MINISTERE DE L’EDUCATION ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE INSTITUT SUPERIEUR D’ARCHITECTURE DE LA COMMUNAUTE FRANCAISE LA CAMBRE
1ère année du grade de bachelier
MECANIQUE Tome 2
EDITION 2008-2009
Denis POOLS
Place Flagey, 19 1050 BRUXELLES
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TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES ........................................................................................................................................................................ 3 PARTIE 4 - LE TRANSFERT DES CHARGES ...................................................................................................................................... 5 27 LES CHARGES ............................................................................................................................................................................ 6 27.1 Charges statiques.......................................................................................................................................................... 6 27.2 Charges dynamiques..................................................................................................................................................... 8 28 LES ÉLÉMENTS DE STRUCTURE ................................................................................................................................................. 11 28.1 Horizontaux.................................................................................................................................................................. 11 28.2 Verticaux...................................................................................................................................................................... 13 28.3 Unités structurales élémentaires.................................................................................................................................. 14 28.4 Grilles structurales ....................................................................................................................................................... 15 29 DESCENTE DE CHARGES ........................................................................................................................................................... 17 29.1 Méthode de descente des charges.............................................................................................................................. 17 29.2 Transformation d'une force au cours de son transfert ................................................................................................. 18 29.3 Analyse d'un cas concret ............................................................................................................................................. 18 29.4 Evaluation rapide des charges transfèrées.................................................................................................................. 21 29.5 Transfert des charges dues à un plancher béton ........................................................................................................ 22 29.6 Transfert d'une charge ponctuelle verticale dans un mur ............................................................................................ 23 29.7 Exemples resolus......................................................................................................................................................... 24 30 NOTION DE STABILITÉ ............................................................................................................................................................... 37 30.1 Calcul de la largeur de la semelle de fondation ........................................................................................................... 38 30.2 Longueur de pose........................................................................................................................................................ 39 31 EXERCICES RÉSOLUS ............................................................................................................................................................... 42 PARTIE 5 - EFFORTS INTERIEURS ................................................................................................................................................... 43 32 INTRODUCTION......................................................................................................................................................................... 44 33 LE PRINCIPE DE LA COUPE ........................................................................................................................................................ 44 33.1 Où de nouvelles forces apparaissent........................................................................................................................... 44 33.2 Ce qu'elles représentent physiquement....................................................................................................................... 44 33.3 Où elles jouent à cache-cache..................................................................................................................................... 45 33.4 Détection et nature des forces internes ....................................................................................................................... 45 33.5 Applications.................................................................................................................................................................. 45 34 LES EFFORTS DANS UNE POUTRE .............................................................................................................................................. 46 34.1 Nature des forces internes........................................................................................................................................... 46 34.2 Détermination méthodique des diagrammes MNT ...................................................................................................... 47 34.3 Exemples résolus......................................................................................................................................................... 48 35 LIEN ENTRE EFFORTS INTÉRIEURS ET SECTION D'UNE POUTRE..................................................................................................... 53 36 DÉTERMINATION RAPIDE DES MNT............................................................................................................................................ 55 36.1 Relations entre les charges réparties, les efforts tranchants et les moments fléchissants.......................................... 55 36.2 Influence des forces ponctuelles et couples appliqués................................................................................................ 56 37 SUPERPOSITION DES DIAGRAMMES MNT................................................................................................................................... 60 38 OPTIMISATION D'UNE POUTRE ................................................................................................................................................... 63 39 EXERCICES RÉSOLUS ............................................................................................................................................................... 66 PARTIE 6 - CAS PRATIQUES ............................................................................................................................................................. 69 40 CAS RÉSOLUS .......................................................................................................................................................................... 70 40.1 Transformation - Suppression d’un mur....................................................................................................................... 70 40.2 Extension d’une habitation........................................................................................................................................... 72 41 CAS NON RÉSOLUS ................................................................................................................................................................... 75 41.1 Salle de cours 102 ....................................................................................................................................................... 75 41.2 Couverture de garage à autocars ................................................................................................................................ 76 41.3 Mezzanine.................................................................................................................................................................... 77 PARTIE 7 - ANNEXES.......................................................................................................................................................................... 79 42 ANNEXE 1 – RAPPELS MATHÉMATIQUES ...................................................................................................................................... 1 42.1 La parabole.................................................................................................................................................................... 1
43 ANNEXE 2 – GRANDEURS ET UNITÉS ............................................................................................................................................3 43.1 Unités et grandeurs ........................................................................................................................................................3 43.2 Poids spécifiques ...........................................................................................................................................................3 43.3 Poids propre et surcharge permanente des parois horizontales et des toitures ............................................................3 43.4 Poids propre des éléments des parois verticales en maçonnerie ..................................................................................4 43.5 Surcharges d'exploitation sur les planchers et escaliers................................................................................................4 43.6 Classification sommaire des sols selon les contraintes admissibles (capacités portantes) ...........................................5 44 ANNEXE 3 - RÉSOLUS DES EXERCICES .........................................................................................................................................6 45 ANNEXE 4 – GLOSSAIRE ...........................................................................................................................................................14 46
BIBLIOGRAPHIE .........................................................................................................................................................................19
47 ANNEXE 5 – QUESTIONS DE THÉORIE .........................................................................................................................................20
PARTIE 4 - LE TRANSFERT DES CHARGES
"Ce n'est pas, loin de là, le déroulement complexe et obscur des calculs qui peut conduire l'esprit à concevoir la structure, ni guider la main qui la dessine, mais plutôt le sentiment profond de ses modes de travail, sentiment si naturel qu'il arrive à donner l'impression que c'est la personne même de l'auteur qui s'assimile à chacun des éléments de la structure comme s'il s'agissait d'un être vivant. Comme le diraient les Allemands, il faut arriver à un véritable Einfuhlung du processus de résistance, conçu à travers un concept de déformation qui est toujours inséparable de celui des tensions intérieures. Disons en langage plus concis et plus académique: l'heuristique de la structure demande une connaissance intuitive de son éthopée résistante et celle du comportement des matériaux qui la constituent." Eduardo Torroja
Torroja E., Les structures architecturales - Leur conception - Leur réalisation', Eyrolles, Paris, 1969.
p. 5
Le but d'une construction est de remplir une fonction, souvent liée à l'homme. Et la fonction de la plupart des constructions est de créer des espaces clos (pouvant communiquer entre eux), destinés à protéger les individus contre les intempéries. Beaucoup ont une destination privée; d'autres, une destination publique, culturelle ou politique. Murs et toits ont d'une part une fonction commune: séparer l'extérieur de l'intérieur, et d'autre part, une fonction propre: les toits ayant pour but de protéger les bâtiments contre la neige et la pluie, et les murs devant être percés de fenêtres et de portes, pour laisser circuler librement l'air et l'homme. Par analogie avec le corps humain, l'enveloppe fonctionnelle d'un bâtiment est appelée la peau. À l'intérieur de cette peau, la séparation des espaces nécessite la construction de planchers, de cloisons, d'escaliers ou d'ascenseurs. Le rôle des éléments structuraux est de soutenir la construction et de permettre l'accueil de ces fonctions liées à l'homme. Ainsi, murs, colonnes, poutres et planchers (la structure proprement dite) rendent possible la fonction architecturale. Nous en étudierons au cours de ce chapitre les différentes combinaisons. En matière de construction, comme dans d'autres domaines, les désirs humains sont souvent contrecarrés par les lois de la nature. Nous nous posons donc la question "quelles interactions la nature et les bâtiments provoquent-ils?"
27
LES CHARGES
La distribution des charges, même pour des structures géométriques apparemment simples, est une difficulté permanente pour les constructeurs. S'il n'y avait ni vent, ni attraction terrestre, ni tremblements de terre ou affaissements de terrain, ni variations de température, les charges n'existeraient pas, et la structure deviendrait inutile. Le monde de l'architecture serait alors un véritable jardin d'Alice au pays des merveilles, où l'on pourrait se consacrer uniquement à la définition et à la clôture des espaces intérieurs. Mais dans notre monde réel, le constructeur doit impérativement tenir compte de la structure et avoir une connaissance approfondie des charges agissant sur les bâtiments. Le premier travail du concepteur constructeur sera de déterminer ces charges et de prévoir leur intensité dans les cas extrêmes. Délimitant des volumes, la structure d'un bâtiment doit pouvoir supporter deux types de charges: les charges statiques et les charges dynamiques, transmises via l'enveloppe du bâtiment à sa structure.
27.1 CHARGES STATIQUES Les charges statiques s'appliquent lentement à la structure d'un bâtiment jusqu'à ce qu'elle atteigne sa valeur maximale sans fluctuation rapide de son ampleur ou de son emplacement.
Les charges permanentes sont des charges statiques agissant vers le bas sur une structure. Elles comprennent le poids de la structure elle-même (poids propre) et celui des éléments de construction (surcharges permanentes), des installations et de l'équipement permanents qui y sont fixés. Les surcharges d'exploitation résultent du poids des occupants, des meubles, de l'équipement stocké et des autres objets similaires présents dans un bâtiment. Les surcharges de neige proviennent du poids de la neige accumulée sur un toit. Elles varient selon l'emplacement géographique, l'exposition du terrain, la nature des vents et la géométrie du toit. Dans nos régions, la valeur prise en compte est 50kg/m² Les surcharges dues à la pluie résultent de l'accumulation d'eau sur un toit en raison de sa forme, de son inclinaison et de l'obstruction de son système de drainage. La pression géostatique est la force verticale exercée par le sol sur le bâtiment, l'empêchant de s'enfoncer dans le sol, à laquelle il convient d'ajouter la force horizontale qu'un sol exerce sur une structure de soutènement vertical.
27.1.1 Poids propre et surcharges permanentes Les éléments lourds d'une structure, tels que colonnes, poutres, planchers ont, pour la plupart, pour rôle de supporter les éléments verticaux (enveloppe) et horizontaux (planchers ou enveloppe) permettant le développement de l'activité humaine. Tous les éléments sont soumis à la principale charge agissant sur une construction: la gravité (ou poids). Ils auront ainsi pour rôle de supporter le poids des plans horizontaux ou verticaux limitant ou définissant les espaces créés, mais aussi leur propre poids. Et là réside le paradoxe du projet structural. Le poids propre est une charge permanente qui, dans certaines constructions en maçonnerie ou en béton, peut être la charge la plus importante que la structure ait à supporter. Les éléments techniques ou de finitions rapportés aux éléments structurels (chape, isolation, carrelages, faux plafonds, …) constituent les surcharges permanentes. Dans les tables figurant en annexe, elles sont parfois incluses avec le poids propre de l'élément structurel. p. 6
27.1.2 Surcharges d'exploitation Indépendamment de son poids propre, une structure doit supporter un grand nombre de surcharges dites d'exploitation: êtres humains, meubles, matériels de toute sorte et marchandises. Ces charges non permanentes peuvent être déplacées, et leur valeur peut changer. On peut se trouver seul dans une pièce un jour, et y recevoir dix personnes le lendemain. Ces mêmes personnes peuvent tout aussi bien se disperser dans la pièce, ou se regrouper en un point. Il est évident que nous ne pouvons jamais savoir exactement quel sera le poids de la surcharge d'exploitation, et de quelle façon elle sera répartie. La sécurité veut que ces charges soient calculées sur la base des conditions de contraintes les plus défavorables qu'un bâtiment soit susceptible de subir. On admet en général que les variations les plus défavorables de la surcharge d'exploitation sont représentées par une charge uniforme, c'est-à-dire une charge également répartie sur la surface des planchers. C'est ainsi que la surcharge d'exploitation à prendre en compte est de 200 kg par m² de plancher pour un immeuble d'habitation1. La valeur de cette surcharge varie naturellement suivant le type de construction, sa situation et son importance. Il est bien évident que celle d'un entrepôt sera supérieure à celle d'un appartement. Ainsi, le toit d'un immeuble ne supportera pas le même poids de neige dans toutes les régions. Quant aux espaces publics d'un bâtiment (entrées, couloirs, salles de conférences ou de restaurants, etc.), ils seront prévus pour supporter une surcharge d'exploitation supérieure à celle des espaces privés. Tous ces surcharges sont déterminées et rassemblées dans des tables comme celles figurant en annexe. 27.1.3
Les contraintes thermiques La dernière catégorie de contraintes dont il faut se préoccuper est celle causée par les variations thermiques quotidiennes ou saisonnières, ou par le tassement irrégulier des fondations d'un bâtiment.
Dilatation thermique d'un pont
Contraintes thermiques sur poutres encastrées
27.1.4
Contraintes thermiques sur poutres articulées
Supposons qu'un pont en acier d'une portée de 100 m ait été construit en hiver, alors que la température moyenne était de 2°C. En été, lorsque la température atteindra 32°C, le pont s'allongera comme tous les corps sous l'effet de la chaleur. L'allongement du pont peut être évalué à environ 3 cm seulement. Le 1/3000 de la longueur du pont, c'est en effet assez peu, mais si le pont est retenu par des massifs d'ancrage qui ne permettent pas cet allongement, ceux-ci vont faire pression sur le pont, afin de le ramener à sa longueur initiale. Cependant, l'acier est tellement rigide que la charge de compression exercée par les massifs d'ancrage (ou culées) réduit sa résistance de moitié. Il n'y a qu'un seul moyen d'éviter cette surcharge: afin de permettre une éventuelle dilatation thermique, une des extrémités du pont doit demeurer mobile. Dans une construction de grande dimension (de plus de 15m en plan), on aura recours au joint de dilatation, afin d'éviter les contraintes de dilatation et les fissures qui en découlent. Tandis que les charges dues à la gravité doivent être combattues en augmentant la force et la rigidité d'une structure, les contraintes thermiques doivent être évitées en réalisant une structure moins rigide. La contrainte thermique est la contrainte de compression ou de traction engendrée dans un élément exposé à une dilatation ou à une contraction thermique.
Les tassements des appuis La déformation des poutres dont nous venons de parler peut également provenir du tassement inégal des fondations d'un bâtiment. Ce fut le cas de la Tour de Pise, dont l'inclination débuta pendant la construction. Avec ses 58 m de hauteur, son sommet est maintenant en déport de près de 4,80 m.
Tassement d'appuis inégal des fondations d'un immeuble
1
Ce phénomène s'explique par le fait que toutes les charges liées à un bâtiment sont transmises au sol (le sol porte le bâtiment). Si celui-ci est incapable de supporter les charges, il s'affaisse. Le sol n'étant pas un matériau homogène, il se peut que certaines de ses parties soient moins portantes que d'autres. un tassement différentiel s'opère alors, induisant ainsi des charges supplémentaires dans la structure. La plupart des difficultés en matière de construction proviennent des problèmes de fondation.
La marge de sécurité y est très largement calculée, mais il convient de ne prendre aucun risque face aux variations possibles de la surcharge d'exploitation et ne commettre aucune erreur susceptible d'entraîner des dommages matériels ou corporels. p. 7
27.2 CHARGES DYNAMIQUES Les charges dynamiques sont des charges qui s'appliquent soudainement à une structure et dont l'ampleur varient souvent rapidement. La pression d'une rafale de vent ou la chute d'un objet sur le sol, en sont appelées des exemples. Elles peuvent être particulièrement dangereuses du fait de leur soudaineté. Ainsi, un marteau que l'on fait retomber doucement sur la tête d'un clou, n'aura aucun impact, mais s'il retombe avec force, il fera pénétrer le clou dans le bois. Cette force exercée brusquement est appelée force d'impact et correspond très rapidement à plusieurs fois son poids appliqué de façon statique. Les charges dynamiques ont également leur point d'application qui peut varier. Les deux principaux types de charges dynamiques sont les charges dues aux vents et celles dues aux séismes. 27.2.1 Charges dues au vent Les charges dues aux vents sont des forces résultant de l'énergie cinétique de masses d'air se déplaçant généralement à l'horizontale. La structure, les éléments constitutifs et le parement d'un bâtiment doivent résister aux glissements, aux soulèvements et aux renversements que peut causer l'action du vent.
Les forces exercées par les vents sur les constructions élevées s'accroissent proportionnellement à leur hauteur. Ainsi, les effets statiques du vent augmentent du carré de la hauteur de l'édifice. De plus, la vitesse du vent augmente avec l'altitude et sa pression croît du carré de sa vitesse. La pression du vent agit horizontalement, et pour les grands immeubles elle nécessite une structure indépendante de celle qui est prévue pour la charge verticale2. Environ 10 % du poids de la structure, et donc de son prix de revient, passe dans le contreventement d'une construction très élevée.
Effet du vent autour d'un building. On observe le formation de tourbillons entre les deux immeubles.
Indépendamment du fait qu'elles sont fonction de la vitesse du vent et de la hauteur de la construction, les charges dues au vent varient également selon la forme de la construction. Si l'on prend le cas d'un immeuble rectangulaire, la pression des vents s'exerce sur la façade exposée qui fait écran. Les courants d'air, tout en suivant leur direction d'origine, contournent l'immeuble comme nous pouvons le voir sur la figure cicontre, et sont en quelque sorte aspirés par la face protégée, où s'exerce alors une dépression ou succion. La somme de ces deux forces (pression et succion) représente la force totale du vent — chacune ayant d'ailleurs ses propres effets. Le vent exerce une pression positive horizontale sur les surfaces verticales d'un bâtiment qui y sont exposées et une pression normale sur les surfaces du toit qui y sont exposées et dont la pente est supérieure à 30°.
Pression et dépression suivant l'orientation des faces
Le vent exerce une pression négative dite d'aspiration sur les côtés d'un bâtiment et sur ses surfaces sous le vent, et une pression normale sur les surfaces du toit qui y sont exposées et dont la pente est inférieure à 30°. Dans la mesure donc où l'on doit tenir compte des contraintes dues au vent, aucune construction ne peut être considérée comme étant indépendante de son environnement. Les immeubles voisins, tout comme la configuration du terrain, ont une réelle importance. Le balancement du sommet d'un building, provoqué par le vent, n'est pas forcément visible à l'œil nu, par contre il peut être ressenti par les habitants des derniers étages. Par vent fort, le sommet des tours du World Trade Center se déplaçait d'environ 90 cm, et de 1,80 m à 2 m en cas d'ouragan ! Les interactions du vent et de la structure sont appelées forces aérodynamiques; elles sont entre autres l'objet de la science appelée Mécanique des fluides.
Effets du vent sur un immeuble élevé. 2
Dans le cas d'un immeuble haut et élancé, d'une structure de forme inhabituelle ou complexe ou encore d'une structure flexible et légère qui est sujette aux vibrations, il faut procéder à des essais en soufflerie ou à une modélisation informatique pour déterminer leur résistance à la répartition de la pression due au vent
p. 8
Il est intéressant de constater que certaines charges, dont le temps d'application est relativement lent, peuvent avoir des effets dynamiques croissants, pas instantanément, mais progressivement. Ce phénomène, appelé résonance, est l'un des plus dangereux qu'une construction puisse rencontrer. Pour comprendre le principe de la résonance, regardons comment un homme, tirant sur une corde, parvient à actionner seul une lourde cloche d'église. Si la cloche pèse quelques tonnes, ce qui est souvent le cas, il ne sera pas possible de la mettre en mouvement, en ne tirant qu'une seule fois sur la corde. Il faut tout d'abord exercer sur elle une légère traction, jusqu'à ce que la cloche ait amorcé son premier balancement, puis tirer à nouveau par coups secs et rythmés. La cloche se balancera alors progressivement, avec de plus en plus d'amplitude, jusqu'à ce qu'elle sonne. L'important est de bien tirer sur la corde au commencement de chaque nouveau balancement, à une fréquence égale à la période de la cloche. Quand une force est appliquée de manière rythmée à une structure, à la même période que celle de la structure, la force est dite être en résonance avec celle-ci. Les forces de résonance ne produisent pas Périodes des oscillations immédiatement des effets importants, tels que pourraient le faire les forces d'impact, mais leurs effets d'un immeuble élevé. s'accroissent progressivement jusqu'à provoquer des catastrophes si elles durent trop longtemps. En 1940, le pont de Tacoma, dans l'État de Washington, pont suspendu particulièrement étroit et flexible - ayant une portée de 853 m - fut détruit par un vent constant, soufflant latéralement à 68 km/h, pendant 70 mn environ. Les oscillations du pont provoquèrent une ondulation du tablier trop flexible, balayé par le vent, et naturellement en résonance avec la période même du pont. 3
3
Il faut noter que les effets de ces oscillations, pourtant semblables à une charge de résonance, n'auraient jamais été suffisamment forts pour détruire le pont. La catastrophe se produisit lorsque d'autres oscillations conjuguées, provoquant un effet de torsion, augmentèrent sous la poussée d'un vent soufflant sur le tablier non plus horizontalement, mais légèrement par en dessous. Ce cycle, reproduit plusieurs fois, augmenta progressivement la torsion du tablier, jusqu'à ce que le vent détruise le pont. Depuis ce jour, les tabliers de tous les ponts suspendus modernes ont été renforcés pour éviter que ce phénomène ne se reproduise. p. 9
27.2.2
Contraintes dues aux tremblements de terre Depuis l'Antiquité, les tremblements de terre ont été source de destruction, et ce n'est seulement que depuis trente ou quarante ans que leur étude et l'analyse de leur impact sur les constructions ont débouché sur la conception de nouvelles structures capables de leur résister. L'écorce terrestre flotte sur une masse de roches fondues, et certaines surfaces ont tendance à se déplacer. Ce mouvement crée des tensions, et l'écorce terrestre finit par se briser en formant des zones de fractures appelées failles. La cassure a pour cause un brusque glissement de terrain en direction de la faille, et secoue toutes les constructions environnantes. Étant donné que les forces dynamiques d'impact, dues au mouvement saccadé des secousses, sont pour la plupart du temps horizontales, les constructions peuvent résister grâce au même type de renforcement que celui que l'on utilise contre le vent.
Pour évaluer la force d'un tremblement de terre, on utilise des "échelles", comme par exemple l'échelle de Richter. Ainsi, un séisme de magnitude 4 ou 5 sur l'échelle de Richter ne causera pas de gros dégâts aux immeubles bien construits, par contre, un autre atteignant 8 ou plus, sur la même échelle, entraînera la destruction de nombreux immeubles, faisant des victimes. Deux vastes zones de notre globe sont plus particulièrement exposées aux violents tremblements de terre. L'une d'elles suit une ligne passant par la Méditerranée, l'Asie Mineure, l'Himalaya et l'Inde. L'autre suit les rives ouest, nord et est du Pacifique.
27.2.3
Surcharges d'impact Les surcharges d'impact sont des charges cinétiques de courte durée qui proviennent de véhicules, d'appareils et de machines en mouvement. Les codes du bâtiment les assimilent à des charges statiques et tiennent compte de leur nature dynamique en amplifiant la charge statique à laquelle elles correspondent.
Dans le cadre de ce cours, nous nous concentrerons sur l'étude des charges statiques, et parmi celles-ci, les plus importantes: le poids propre et les surcharges.
p. 10
28
LES ÉLÉMENTS DE STRUCTURE
Le but de la structure est de conduire les charges jusqu'au sol. Ce travail est le même que celui de l'eau canalisée par un réseau de tuyaux. Poteaux, poutres, câbles, arches et autres éléments structuraux agissent comme des tuyaux pour la descente des charges. Naturellement, plus la construction est importante, plus il y a de contraintes et plus le travail devient complexe. La simplicité remarquable et inhérente à la nature (Einstein l'appelait "élégance") permet à la structure d'accomplir sa tâche grâce à deux actions élémentaires: tirer et pousser. Aussi nombreuses et variées que les charges puissent être, et aussi géométriquement compliquée que soit la structure, les éléments composant cette structure ne développent aucune autre sorte d'action4. Ils sont soit tirés par les charges, et de ce fait ils s'allongent, soit poussés, et alors se raccourcissent. En termes techniques, on dit que les charges font travailler la structure, qui se déforme sous leur action. Quand une structure est "exagérément" soumise à une surcharge, elle risque de "céder", mais il lui arrive aussi de "flamber"5. Une autre loi fondamentale de la nature gouverne la réaction de la structure, face aux charges. Avec un sens judicieux de l'économie, ou une paresse intelligente, une structure choisira toujours de conduire ses charges jusqu'au sol, par la voie la plus simple possible. C'est le chemin qui demande le minimum de travail de la part des matériaux de construction, et est une conséquence de ce que l'on appelle en physique "la loi du moindre effort ", mais avec le maximum d'efficacité… La surface qui accueille une activité humaine et qui requiert le minimum d'énergie pour les déplacements humain est la surface horizontale. Le besoin en surface augmentant au cours de l'histoire, l'homme a développé des constructions sur plusieurs niveaux. Les charges à supporter étant essentiellement verticales (poids propres de la structure, surcharges permanentes et d'exploitation), l'homme s'est retrouvé dans l'obligation de devoir développer des éléments de structure verticaux et horizontaux.
28.1
HORIZONTAUX
Les planchers sont des plans horizontaux qui transmettent horizontalement leurs charges aux éléments porteurs verticaux. La profondeur du plancher est directement liée aux dimensions et aux proportions des portées qu'il doit enjamber et à la résistance des matériaux utilisés. La nature des bords du plancher et l'assemblage de celui-ci aux éléments verticaux portants influent tant sur l'intégrité de l'ossature que sur l'aspect physique du bâtiment. Ces éléments portent les charges verticales suivant leur longueur, et transfèrent horizontalement ces charges sur leurs appuis. Suivant les caractéristiques spatiales des volumes inférieures au plancher (petits espaces fermés ou grand espace libre), leurs dimensions et les matériaux employés pour le plancher, celui-ci aura des compositions différentes. 28.1.1 Nappes d'éléments linéaires Dans ce type de planchers (le plus courant), ils sont composés de nappes successives se supportant l'unes l'autres, perpendiculaires entre elles, et composées d'éléments parallèles6. Chacune de ces nappes est composées d'une nombre de plus en plus réduit d'éléments au fur et à mesure que l'on descend dans les éléments portants d'un même plancher. Les dimensions de leurs éléments augmentent au fur et à mesure7. Bois et acier Ces planchers se composent d'un ensemble de poutres et de solives ou poutrelles linéaires, recouvertes d'un platelage ou d'un revêtement plans. Les solives (ou gîtes ou le gîtage) de bois supportent le plancher ou le platelage. Elles s'appuient sur des poutres maîtresses, des poteaux ou des murs portants, suivant leur espacement et les caractéristiques qu'on veut donner à l'espace inférieur. Les revêtements de sous-plancher, de sous-finition et de plafond ont une portée relativement courte. Le même raisonnement peu être tenu pour un plancher métallique, si ce n'est que les portées peuvent être plus importante. Les planchers mixtes (bois & métal) sont également possibles.
La flexion et la torsion (voir p.46) peuvent être considérées comme des combinaisons de traction et compression de l'élément étudié. Vous le verrez l'année prochaine, ce terme est employé à propos de longs éléments minces sujets à des charges de compression suivant leur axe principal trop fortes pour leur résistance 6 Ainsi, dans l'exemple ci-dessous à gauche, les planches sont portées par les solives, elles-mêmes portées par les deux poutres 7 Dans cet exemple, les planches, solives et poutres ont leurs longueur, largeur et hauteur qui augmentent; par contre, leur nombre diminuent: des dizaines de planches, neuf solives et deux poutres. p. 11 4 5
Béton Parmi les planchers en béton, on distinguera deux familles: les éléments préfabriqués et les éléments coulés sur place. Les planchers en béton préfabriqués (les hourdis en sont l'exemple le plus employé) s'appuient sur des poutres ou des murs portants et portent suivant une seule direction. Ils offrent l'avantage d'un placement rapide et relativement aisé. Ils sont solidarisés par une chape de compression.
28.1.2
Les dalles Une dalle est une structure rigide, plane et habituellement monolithique dans laquelle les charges appliquées se dispersent en un réseau multidirectionnel et parviennent aux appuis selon le trajet le plus court et le plus rigide. Ainsi, les dalles en béton peuvent être appuyées sur des surfaces carrées (ou faiblement rectangulaires); elles portent alors suivant trois ou quatre murs ou poutres, répartissant mieux leurs charges. Les dalles en béton peuvent également être bi-appuyées de part et d’autre sur des poutres ou murs; elles portent alors suivant une seule direction, ce qui présentant peut d'intérêt par rapport aux hourdis. Enfin, il n'est pas rare de faire porter la dalle béton par un ensemble de colonnes (ponctuellement, donc) A la différence d'un ensemble de hourdis placés côte à côte, la dalle apparaît comme une série de bandes de poutre adjacentes et entièrement reliées les unes aux autres sur toute leur longueur. Lorsqu'une charge appliquée se transmet aux appuis grâce à la flexion d'une bande de poutre, elle se répartit sur toute la dalle. Une dalle doit être carrée ou faiblement rectangulaire pour se comporter comme une structure bidirectionnelle. Dans le cas d'une dalle plus fortement rectangulaire, le comportement bidirectionnel s'amoindrit et un effet unidirectionnel sur la dimension la plus courte apparaît ensuite, car les bandes de dalle plus courtes sont plus rigides et portent une plus grande partie de la charge. On trouvera en annexe les poids volumiques des différents matériaux composants ces éléments, p. A2_2
Au niveau annotations, on renseigne le sens de portée de tous types de plancher, d’appui à appui, au moyen des flèches suivantes, en fonction du matériau qui compose le plancher : Poutres ou solives bois Dalle béton posée sur trois murs Ferme de toiture en bois Hourdis béton
p. 12
Dalle béton posée sur quatre murs
28.2
VERTICAUX Le choix des éléments porteurs verticaux est fortement lié à la nature des éléments horizontaux qu’ils portent (dont ils doivent descendre les charges vers le sol via les fondations) On observe ainsi le passage à une structure de mur porteur à une structure de colonnes ou poteaux. Un mur porteur sera d’autant plus efficace8 qu’il portera des éléments horizontaux serré (dans le meilleur des cas, une dalle oui des hourdis en béton) ; plus on éloignera les éléments horizontaux, moins le mur porteur sera efficace (de la matière ne portant pas) ; un système de poteaux, ou colonnes, sera alors le plus adapté. On trouvera également en annexe les poids volumiques des différents matériaux composants ces éléments, p. A2_2
8
On peut définir l’efficacité structurelle comme le taux d’utilisation de la matière employée pour supporter les efforts auxquels elle est soumise. A charge égale, une structure sera donc plus efficace si elle utilise moins de matière, et donc, si elle l’utilise mieux. p. 13
28.3
UNITÉS STRUCTURALES ÉLÉMENTAIRES
Planches ou platelage Solives ou poutrelles Poutres ou poutres maîtresses Dalle ou plaque Mur portant Assemblage poutres-poteaux
Les portées horizontales peuvent être enjambées par des dalles de béton armé ou par un arrangement structuré en couches de poutres maîtresses, de poutres et de solives ou de poutrelles portant des planches ou un platelage. Les appuis verticaux d'une unité structurale peuvent être assurés par des murs portants ou un assemblage poutres-poteaux. Les dimensions et les proportions d'une unité structurale élémentaire ou d'une travée influent sur le choix du système d'enjambement approprié. Les systèmes unidirectionnels de solives ou poutrelles, de planches ou de dalles sont plus efficaces lorsque les travées sont rectangulaires - c'est-à-dire lorsque le rapport entre les dimensions de leurs côtés est supérieur à 1,5:1 - ou que la grille structurale donne une configuration linéaire des espaces.
La présence de murs portants parallèles favorise le recours à un système d'enjambement unidirectionnel.
p. 14
Étant donné que les murs portants offrent une efficacité maximale lorsqu'ils supportent une charge uniformément répartie linéaire, ils servent généralement d'appui à un ensemble de solives ou de poutrelles, de planches, ou de dalles unidirectionnelles.
Deux murs portants délimitent simplement un espace axial bidirectionnel. Des ouvertures pratiquées dans les murs portants confèrent à cet espace des axes secondaires perpendiculaires à l'axe primaire.
Les systèmes bidirectionnels de poutres et de dalles sont plus efficaces pour les travées carrées ou faiblement rectangulaires.
Pour une même structure, nous pouvons constater des différences spatiales, esthétiques et architecturales.
28.4
Une dalle bidirectionnelle s'appuyant sur quatre poteaux délimite un espace à caractère horizontal; son extension mettra en évidence cet espace fermé par une dalle continue et parsemée d'une maille de colonnes..
Un assemblage linéaire de poteaux et de poutres délimite un espace tridimensionnel (une cellule, comme sur le schéma) se prêtant bien à une expansion horizontale et verticale. La perception est ici toute autre qu'au point ci-dessus: ici on perçoit chaque "cellule", la perception de l'ensemble est limitée par les poutres du plan supérieur de fermeture de l'espace.
GRILLES STRUCTURALES
L'arrangement des principaux appuis verticaux détermine non seulement le choix du système d'enjambement mais aussi les possibilités d'agencement des espaces et des fonctions d'un bâtiment. Les principaux points et lignes d'appui d'une structure prennent généralement la forme d'une grille. Les points vitaux de la grille se situent là où les poteaux et les murs portants reçoivent les charges des poutres et des autres éléments de portée horizontaux et d'où ils dirigent verticalement ces charges jusqu'aux fondations. L'agencement géométrique de la grille peut servir, lors de la conception, à la mise au point et au renforcement de l'organisation fonctionnelle et spatiale du bâtiment.
Les lignes de référence d'une grille représentent des poutres horizontales et des murs portants. Les intersections des lignes de référence représentent les emplacements des poteaux ou de la concentration des poids. On peut étendre une unité structurale élémentaire ou une travée sur un plan vertical, dans l'axe des poteaux, et sur un plan horizontal, dans la portée des poutres et des murs portants.
On peut disposer les murs non portants de façon à définir un large éventail de configurations spatiales et à multiplier les fins possibles auxquelles peuvent être consacrés les espaces du bâtiment. L'ajout ou la suppression d'éléments dans une grille permet de satisfaire des besoins particuliers tels que l'aménagement de plus grands espaces ou l'adaptation à des conditions exceptionnelles. La disposition d'une grille peut être irrégulière dans une ou deux directions en raison des exigences dimensionnelles propres à L'utilisation prévue des espaces. p. 15
II est possible de séparer une partie de la grille et de la faire pivoter par rapport à la configuration initiale.
Le décalage de deux grilles parallèles l'une à l'autre fera apparaître des espaces intermédiaires susceptibles de faciliter les déplacements, de relier une série d'espaces plus grands ou d'abriter des services mécaniques. La présence d'un troisième élément tel qu'un mur portant, un espace intermédiaire ou un système de portée plus fin peut faciliter l'harmonisation de deux configurations hétérogènes. Le recours à des grilles non uniformes ou irrégulières reflétera la disposition hiérarchique ou fonctionnelle des espaces d'un bâtiment.
On peut étendre une unité structurale élémentaire ou une travée sur un plan vertical, dans l'axe des poteaux, et sur un plan horizontal, dans la portée des poutres et des murs portants.
p. 16
29
DESCENTE DE CHARGES
Les principales charges sollicitant les constructions étant identifiées (poids propre, surcharges permanentes et d'exploitation), et les principaux types d'éléments structuraux verticaux et horizontaux (et leurs compositions) constituant une construction ayant été présentés, nous allons à présent qualifier et quantifier toutes les charges appliquées à tous les éléments d'une structure. Pourquoi cette démarche? L'objectif du cours étant de qualifier et quantifier tous les efforts intérieurs à une structure, on comprend que ceux-ci seront liés aux sollicitations que la structure subira. Pour rappel, dans l'étude des constructions, les forces peuvent être classées selon deux catégories9:
Une charge concentrée ou ponctuelle dont l'unité officielle de force est le Newton (N). On emploiera une lettre majuscule pour en représenter l'intensité. Une charge répartie est une charge s'exerçant sur la longueur, l'aire ou le volume d'un élément portant de la structure10. On emploiera une lettre minuscule pour en représenter l'intensité. On les appellera respectivement charge linéique, charge surfacique, et charge volumique. Leurs unités respectives seront [N/m], [N/m²], [N/m³]. Leur intensité rend compte de la charge qui est appliquée (et répartie) sur n'importe quelle unité de longueur, surface ou volume.
29.1
MÉTHODE DE DESCENTE DES CHARGES
Afin de pouvoir évaluer toutes les charges extérieures appliquées à chaque élément composant une structure, il convient de se rappeler qu'une structure est composée d'un ensemble d'éléments se supportant les uns les autres pour générer et définir des espaces. Ainsi, pour déterminer les charges appliquées sur un élément composant une structure, immanquablement apparaissent les charges des éléments de la structure qu'il supporte. Donc, pour déterminer les charges sur chaque éléments d'une structure, il conviendra de toujours commencer par les éléments supérieurs de la structure, et de descendre dans la structure d'élément en élément pour en arriver aux éléments inférieurs que sont les fondations de la structure. Cette opération s'appelle la descente de charge; elle permet de comprendre comment les charges auxquelles est soumise une structure descendent jusqu'au sol. Comment allons-nous évaluer toutes les charges agissant sur les éléments composant la structure? Grâce au principe de la Coupe, au principe de l'Action et de la Réaction, et à la théorie de l'équilibre. Le principe de la Coupe nous enseigne que si une structure est en équilibre, tous les éléments qui la composent sont aussi en équilibre. Ainsi, chaque élément de notre structure devra être en équilibre; les trois équations d'équilibre issues de la théorie de l'équilibre pourront donc lui être appliquées. Dans la structure ci-contre, observons le transfert des charges: les planches du plancher sont portées par les solives; ces quatre solives sont portées par deux poutres; ces deux poutres sont portées par quatre colonnes; et enfin, les quatre colonnes sont portées chacune par un plot de fondation. Comment allons-nous concrètement appliquer ces principes? En commençant par l'élément supérieur de la structure, nous allons étudier l'équilibre des planches et ainsi déterminer les forces exercées par les solives sur les panneaux11. Nous aurons ainsi déterminé toutes les charges extérieures appliquées sur les planches. Pour passer à l'étude de l'élément de la structure suivant, les solives, nous appliquerons le principe de l'Action et de la Réaction qui nous enseigne que les charges exercées par les planches sur les solives, sont égales, en intensité, direction mais sens opposé, à l'action des solives sur les planches12. Connaissant donc ces charges, nous pourrons appliquer le principe d'équilibre et ainsi, déterminer les charges exercées par les poutres sur les solives. En continuant de la sorte à descendre dans la structure en appliquant les trois principes sur les éléments successifs composant la structure, nous pourrons déterminer toutes les charges appliquées sur tous les éléments composant la structure.
Voir le point 3.3 du tome1, p. 12 et 13 pour plus de détails. aussi appelée linéaire 11 Nous connaissons les charges de poids propre ainsi que les surcharges permanentes et d'exploitation via les tables en annexes au point 43 p.A3 12 Pour l'étude des actions/réactions, dans le schéma, les flèches blanches représentent l'action de l'élément inférieur sur l'élément supérieur; les flèches noires représentent elles les forces exercées par l'élément supérieur sur l'élément inférieur. Par le principe de l'A/R, ces forces auront mêmes intensités. p. 17 9
10
Dans le cas fréquent où on s'intéressera à toutes les charges extérieures appliquées à un élément donné, il conviendra d'abord d'effectuer ce qu'on peut appeler une remontée de charges, c'est-à-dire, en partant de l'élément en question, de déterminer les éléments structurels qu'il porte directement; puis de déterminer les éléments structurels que portent directement ces éléments portés, et remonter ainsi de suite jusqu'au dernier élément porté. Cette remontée tient lieu d'inventaire des éléments portés par l'élément étudié. Une fois effectuée, la descente de charges quantitative s'opére pour déterminer les quantités de charges portées.
29.2 TRANSFORMATION D'UNE FORCE AU COURS DE SON TRANSFERT Dans notre exemple, les charges se transmettent depuis les planches vers le sol via les solives, puis les poutres, puis les colonnes et enfin les fondations. Cette descente de charges se fait par le transfert d’un élément structurel à un autre. Durant le transfert, les charges peuvent changer de nature, et se transformer. Ainsi, dans l’exemple, la charge surfacique sur les planches (pp+sp+se) se transforme en deux charges réparties linéaires sur les solives (qp), puis chacune de ces charges qP en deux charges ponctuelles FS sur les poutres, qui elles mêmes se diviseront en deux charges ponctuelles FP sur les colonnes; au final, la charge ponctuelle FC se transforme par le plot de fondation en une charge répartie qf sur le sol. Ces transformations de charges constituent le point délicat d'une descente de charges. Elles seront développées en détail dans le point suivant.
29.3 ANALYSE D'UN CAS CONCRET Etudions le transfert de charges de la structure précédente jusqu'au sol qui la porte. Considérons le cas pour une maison d'habitation (surcharges d'exploitation: 200 kg/m²) avec les données suivantes: planches en bois: poids propre: 25 kg/m² solives: section 5cmx15cm ρ bois : 800 kg/m³ longueur d= 200cm poutres: section 8cmx23cm ρ bois : 800 kg/m³ longueur l= 240cm colonnes: section 15cmx15cm ρ bois : 800 kg/m³ hauteur: h=300cm fondation: hauteur: 30cm, base: 40cmx40cm ρ béton : 2400 kg/m³ Résolution: Comment allons-nous faire pour évaluer le transfert des charges dues aux planches (25kg/m²) et à ce qu'elles portent (200 kg/m²) sur les solives, soit un total de soit 225kg/m² ? Les planches portent de solive à solive; nous pouvons donc rapprocher ce cas en trois dimensions au cas en deux dimensions ci-contre. Pour ce faire, nous allons étudier l'équilibre d'une bande de d mètres de planche, et l'assimiler à un cas en deux dimensions.
p. 18
Nous pouvons dire que puisque les 225kg/m² s'appliquent sur une surface de 0,8m . dm, la charge résultante sera de 225.0,8.d kg, et qu'elle s'appliquera au centre de la surface13. Nous pouvons donc dire que la charge linéaire correspondant à cette résultante de 225.0,8.d kg aura pour intensité 225.0,8.d / 0,8 puisque la résultante équivaut à l'aire du rectangle dont la base vaut 0,8m. Pour évaluer les charges transmises aux appuis (les solives), nous allons exprimer l'équilibre de cette bande de planches (de largeur d). ∑FX = 0 ∑FY = RAy + RBy – 225.d.0,8 = 0 ∑MA = -0,4. 225.d.0,8 + 0,8. RBy = 0 On déduit donc que RAy = RBy = 225.d.0,4 [kg] ce qui correspond à la moitié de l'aire totale, soit l'aire hachurée ci-contre. Cette charge de 225.d.0,4 [kg] correspond donc à l'action des deux solives sur la bande de largeur d[m] de panneaux. Par le principe de l'Action et de la Réaction, cette charge correspond donc aussi en direction et intensité à l'action des panneaux sur les solives! Comment cette charge totale de 225.d.0,4 [kg] est-elle transmise des lattes aux solives? Linéairement puisque les solives portent des lattes sur toute la longueur de leur 2m. Nous pouvons donc dire que cette charge de 225.d.0,4 kg sera répartie sur les d m de solives; la charge linéaire correspondant sera donc: 225.d.0,4 kg / d m soit: 225.0,4 [kg/m] = 90 [kg/m] ceci en vertu du calcul de la résultante d'une charge répartie que nous avons étudié au premier semestre (intensité = longueur x charge répartie) Nous venons ainsi de déterminer (qualitativement et quantitativement) le transfert des charges des panneaux sur les solives. En observant à présent toutes les solives, nous observons que les solives extérieures (1 et 4) supporteront une bande de 0,4m de large de lattes14 alors que les solives intérieurs (2 et 3) supporteront deux bandes de 0,4m de large de lattes, soit le double.
Nous pouvons poursuivre la descente de charges: ces solives sont portées par les deux poutres. A quelles charges seront soumises les solives 1 et 4? Aux 90 [kg/m] que nous venons de calculer, mais aussi à leur poids propre et aux réactions d'appuis dues aux poutres qui les supportent. Le poids propre étant appliqué uniformément sur toute la solive, la charge qui lui correspondra dans notre étude en deux dimensions de la solive sera une charge linéaire pp. On peut donc en dessiner le DCL ci-contre. Quantifions cette charge pp de poids propre. Le poids volumique du bois constituant la solive est de 800 kg/m³. Celui-ci s'applique uniformément sur tout le volume de bois de la solive, soit sur 0,05m.0,15m.2m, soit 1,5.10-2m3. La charge résultante vaut donc 800 kg/m³.1,5.10-2 m3 = 12kg. Ces 12kg se répartissant uniformément sur les 2m de poutre, la charge linéaire correspondant à cette charge résultante sera donc 12kg / 2m = 6kg/m. par extension en trois dimensions à ce que nous avons vu au premier semestre pour deux dimensions concernant l'intensité et la position de la résultante d'une charge répartie uniforme. 14 correspondant à une surface hachurée de schéma p. 19 13
L'équilibre de la solive peut à présent être exprimé via les équations d'équilibre et les réactions aux appuis quantifiées: ∑FX = 0 ∑FY = Rp1 + Rp2 – 96.2 = 0 ∑Mp1 = -96.2.1 + 2.Rp2 = 0 On en tire donc que Rp1 = Rp2 = 96 [kg] Ces charges ponctuelles des poutres sur la solive seront donc égales, en vertu du principe de l'Action et de la Réaction, aux actions ponctuelles des solives sur les poutres. Le transfert des charges des solives extérieures aux poutres étant ainsi déterminé (qualitativement et quantitativement), nous pouvons passer à celui des solives intérieures. Le raisonnement est le même. On obtient ainsi pour ces solives le DCL résolu suivant: Le transfert des charges dues aux solives (et à ce qu'elles portent) sur les poutres est donc à présent complètement déterminé. Les charges qui agissent sur les deux poutres sont donc celles figurant sur le DCL d'une des deux poutres ci-contre. Suivant le même raisonnement que précédemment, le poids propre de la poutre correspond dans notre DCL à une charge linéaire dont l'intensité vaut: 800 kg/m³.0,23m.0,08m.2,4m / 2,4m = 14,72kg/m En exprimant l'équilibre de la poutre, nous déterminons RC1 et RC2 qui valent 299,66kg et qui correspondent à l'action des colonnes sur les poutres, et donc à l'action des poutres sur les colonnes15. L'étude de l'élément suivant de la structure, les colonnes, nous donne le DCL suivant et l'étude de son équilibre nous donne RF = 353,66 kg, qui constitue aussi l'action d'une colonne (et de tout ce qu'elle porte) sur son plot de fondation.
Enfin, l'étude du dernier élément de la structure, le plot de fondation16, nous permettra de déterminer les charges transmises à la terre par la structure. L'équilibre vertical du plot nous donne ainsi: -353,66[kg] -115,2[kg] + 0,4[m].0,4[m].qs[kg/m²]=0, donc, qs= 2930,38 [kg/m²]
Le bâtiment transmet donc une charge de 0,29 kg/cm² au sol via chacun de ses quatre plots de fondation. La descente de charges de cette structure est ainsi achevée, toutes les charges sur chacun des éléments qui la composent étant déterminées.
Il conviendra toujours de bien étudier le cas de chaque poutres et colonnes. Dans notre cas, les charges étant les mêmes pour chacune des poutres, ou chacune des colonnes, l'étude d'une seule suffit. Dans le cas contraire, chaque élément différent doit être étudié, comme nous l'avons fait pour les solives. 16 Leur rôle est de répartir les charges sur le sol. Les fondations sont présentées au point 30 , p.37 15
p. 20
29.4 EVALUATION RAPIDE DES CHARGES TRANSFÈRÉES Comme nous venons de le voir dans le cas étudié, les quantités de charges transférées par un élément porté à un élément portant sont toujours calculées grâce à l'étude de l'équilibre de l'élément porté. Sur base de cet exemple et de la théorie de l'équilibre vue au premier semestre, nous pouvons donc dire qu'un élément chargé et porté symétriquement transférera ses charges de façon égale sur ses appuis. Nous pourrons donc dès à présent évaluer rapidement les charges transmises dans un tel cas en disant que la moitié des charges totale due à un élément (et celles qu'il porte) sera portée par chacun de ses deux appuis. Dans le cas d'une charge linéaire, la charge de la moitié de la ligne sera portée par un appui; l'autre moitié, par l'autre appui. Dans le cas d'une charge surfacique, la charge de la moitié de la surface sera portée par un appui; l'autre moitié, par l'autre appui. Dans le cas d'une charge volumique, la charge de la moitié du volume sera portée par un appui; l'autre moitié, par l'autre appui. Il est ici important de préciser que dans d'autres cas de charges (charges non symétriques et/ou appuis non symétriques), l'étude de l'équilibre est la seule méthode valable d'évaluation du transfert de charges d'un élément à un autre. Une fois quantifiée les charges totale transmises via l'appui, il nous reste à déterminer le mode de transmission de ces charges: la charge totale transmise se transfère-t'elle ponctuellement, linéairement ou surfaciquement? Dans le cas d'un transfert ponctuel, on dira donc que l'élément porté étudié transfère x kN (ou kg) à l'élément portant. Dans le cas d'un transfert linéaire (à un mur ou une poutre, par exemple), on dira donc que l'élément porté étudié transfère x kN (ou kg) à l'élément portant sur une longueur de d m. La charge linéaire uniforme correspondante est donc x/d [kN/m]. Enfin, dans le cas d'un transfert surfacique (à une semelle de fondation par exemple), on dira donc que l'élément porté étudié transfère x kN (ou kg) à l'élément portant sur une surface de s m². La charge surfacique uniforme correspondante est donc x/s [kN/m²]. Nous pouvons donc quantifier et qualifier les charges transmises d'un élément à un autre dans un transfert de charges. Une autre méthode efficace pour évaluer le transfert des charges est la suivante: Dans l’exemple ci-contre, l’élément de plancher représenté est porté par une poutre, elle-même supportée par deux colonnes. La charge répartie surfacique du plancher se transformera donc en une charge répartie linéaire sur la poutre. Cette transformation se fera suivant le raisonnement suivant : une charge surfacique représente un poids par unité de surface, càd, dans le cas repris, w kN porté par un m2 de surface de plancher, et se répartissant uniformément sur ce m². Sachant que la poutre sera soumise à une charge linéaire, la question qu’on se pose est "combien de kN un mètre de poutre va-t’il supporter ?". La réponse est: Le poids de la bande de un mètre de largeur et de b mètres de longueur. La charge sera la même pour n’importe quel mètre de poutre, la réponse est donc w . b [ kN/m].
p. 21
29.5
TRANSFERT DES CHARGES DUES À UN PLANCHER BÉTON
Dans le cas du transfert d’un plancher, on observe les cas suivants: si le plancher est constitué de hourdis (béton) ou de solives (bois), il porte sur murs (de longueur a dans le schéma ci-dessus) ou colonnes, suivant les schémas ci-dessous:
La charge surfacique q uniformément répartie qui s'applique sur la surface a . b, se répartit en deux charges linéaires de valeur b q⋅ , par analogie avec le raisonnement précédent. 2 Si les hourdis sont portés dans l'autre sens via un mur (ou une poutre) intermédiaire, on obtient les schémas suivants:
La charge surfacique q uniformément répartie qui s'applique sur la surface a . b, se répartit alors en trois charges linéaires de valeur a a q⋅ pour les deux murs de longueur b, et 2 q⋅ pour le mur (ou poutre) intermédiaire. 4 4 Si le plancher béton est constitué par une dalle coulée sur place, la répartition est différente: on observera deux cas dans le cadre de ce cours: Le premier consiste à faire porter la dalle par les quatre murs périphériques. Les murs prennent en charge la matière qui leur est la plus proche; ainsi, on observe un partage suivant la bissectrice de l'angle formé en deux murs (ici, 45°). On a donc:
La charge surfacique q uniformément répartie qui s'applique sur la surface a . b, se répartit alors en quatre charges que l'on b b⋅ q⋅ 2 2 pour les côtés de longueur b et deux de valeurs q . 17 considérera comme linéaires uniformément réparties; deux de valeur b ⎡ b⎤ b ⎢a +(a − 2⋅ )⎥ ⋅ 2⎦ 2 q⋅ ⎣ 2 aire du trapèze / a, càd 18: , pour les côtés de longueur a. a Le second cas consiste à faire porter la dalle par trois murs périphériques; on a ainsi: La charge surfacique q uniformément répartie qui s'applique sur la surface a . b, se répartit alors en trois charges que l'on
17 18
En vertu des propriétés des triangles isocèles formés, la hauteur de ces triangles correspondant à la base de côté b vaudra b / 2 Pour rappel, l'aire d'un trapèze se calcule comme suit: ( grande base + petite base ) . hauteur / 2
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b q⋅ 2 2 pour le côté de longueur b et deux de valeurs q . aire considérera comme linéaires uniformément réparties; une de valeur b ⎡ b⎤ b ⎢a +(a − )⎥ ⋅ 2⎦ 2 ⎣ q⋅ 2 du trapèze / a, càd: , pour les côtés de longueur a. a b⋅
29.6
TRANSFERT D'UNE CHARGE PONCTUELLE VERTICALE DANS UN MUR
Dans le cas d'une charge ponctuelle F (par exemple transmise par une poutre) dans un mur, on observe dans la réalité que la charge se disperse dans le mur suivant un triangle de 60° d'ouverture. Tout se passe comme si le mur répartissait la charge entre toute sa matière à proximité du point d'application de la charge, avec un même poids supporté par la matière à une même hauteur.
A une hauteur h du point d'application de notre charge ponctuelle, on obtient dès lors une charge répartie linéaire de valeur: F / 2h . tg30°
Si le triangle de dispersion de la charge ponctuelle rencontre un vide, la charge se répartira dans la matière présente, et compensera ce vide. On assimilera ainsi simplement la charge répartie obtenue à la charge uniforme en divisant, pour une hauteur h donnée, la charge F par la distance d sur laquelle elle se répartit.
Dans le cas d'un linteau de fenêtre, on pourra considérer que les deux charges ponctuelles dues au linteau se répartissent suivant un triangle de 30° d'ouverture, par analogie avec le raisonnement cidessus.
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29.7 EXEMPLES RESOLUS 29.7.1
Descente de charges sur une fondation
Evaluez les charges totales, exprimées en kg/m, sur fondation du mur A de l'immeuble d’habitation ci-contre dont les compositions des murs et planchers (surfaces de plancher prises en compte: d,e, mesures intérieures) sont les suivantes : Plancher niv. 3 (toiture): solives + panneaux bois + revêtement mince (Ps=55daN/m2) surcharge exploit. : 100kg/m² Plancher niv. 2 : dalle en béton armé + chape + carrelage (Ps=460daN/m2) Plancher niv. 1 : solives + panneaux bois + revêtement mince (Ps=55daN/m2) (on ne tiendra pas compte du poids des poutres) Plancher niv. 0 : hourdis + chapes + carrelage : poids surfacique (Ps) =360daN/m2) Murs de béton cellulaire maçonnés, épaisseur= 19cm; Pv=1100daN/m3 Murs du sous-sol: blocs de béton lourd, épaisseur= 39cm; Pv=1800daN/m3 Charges de neige : 55daN/m2 a: 250cm b: 250cm c: 350cm d: 12m e: 5m f: 1m
RESOLUTION La première phase de notre travail dans pareil cas sera toujours de partir de la question posée. Dans ce cas: quelles sont les charges sur la fondation du mur A? Ceci revient à étudier la remontée des charges. On va donc partir de la fondation et remonter jusqu'au sommet du bâtiment, jusqu'à terminer cette remontée, quand aucune nouvelle charge supérieure n'est portée par l'élément étudié. On peut ainsi dire que la fondation porte le mur du sous-sol; celui-ci porte une partie du plancher du rez (et ses surcharges!), et le mur du rez; à son tour, celui-ci porte une partie du plancher du +1 (et ses surcharges) et le mur du +1; celui-ci porte une partie du plancher du +2 (et ses surcharges) et le mur du +2; enfin celui-ci porte une partie du plancher du +3 (et ses surcharges). Une fois la remontée terminée, pour visualiser ce qui a été inventorié, on hachure les surfaces correspondantes. De façon à bien quantifier toutes les charges correspondant à ces éléments de la structure, nous commencerons toujours notre descente de charge depuis les charges portées supérieures jusqu'aux charges portantes inférieures, en veillant à n'en n'oublier aucune. Observons les différents éléments portés par la fondation du mur A. Charge de toiture Quand on observe le schéma structurel de la toiture, on voit que les solives de toiture sont portées chargées et portées symétriquement par les murs A et C. La répartition de ces charges surfaciques sur les différents éléments porteurs se fait donc suivant le schéma ci-contre. On obtient ainsi une charge répartie linéairement qt (aussi appelée "linéique"). Cette charge étant transmise au mur du +2, et ce mur étant porté sans déviation aucune des charges par la fondation, on peut descendre ces charges directement sur la fondation. qt = (qneige + qexpl + Ps) . e . 1/2 qt = (55kg/m² + 100kg/m² + 55 kg/m² ) . 5m . 1/2 = 525 kg/m Cette charge est transférée par le mur porteur (en bloc) sur les fondations. Charge due au niv+ 2 On observe que le plancher du niv+2 est une dalle en béton armé reposant sur 3 murs. La répartition des charges sur les différents éléments se fait suivant le schéma b). On obtient donc une charge linéique q2 sur le mur A qui vaut : q . [ ( d + d – e /2 ) .( e / 2 ) / 2 ] / d. Cette charge descend directement sur la fondation. q2 = (Ps + qexpl ) . [ (d + d – e / 2) . ( e / 2) / 2 ] / d
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q2 = (460kg/m² + 200kg/m²) . [ ( 12m + 12m – 5m /2 ) .( 5m / 2 ) / 2 ] / 12m q2 = 1478,13 kg/m Charge due au niv+ 1 Quand on observe le schéma structurel du niv+ 1, soit les solives du plancher sont portées par les murs B et D, et par une poutre transversale au centre du plancher. La répartition de ces charges surfaciques sur les différents éléments se fait suivant le schéma cicontre. On obtient ainsi une charge linéique q1 sur la poutre. q1 = ( Ps + qexpl ) . d . 2 / 4 q1 = ( 55 kg/m² + 200 kg/m² ) . 12 m . 2/4 q1 = 1530 kg/m On négligera le poids propre de cette poutre transversale dans ce premier exercice, de façon à ne pas l'alourdir. A l'avenir, il conviendra de toujours en tenir compte. La charge linéique de cette poutre se transmet ponctuellement aux appuis de la poutre en deux charges ponctuelles Q1 sur les murs A et C. Q1 = q1 . (L/ 2) Q1 = ( 1530 kg/m) . ( 5m / 2) Q1 = 3825 kg La charge Q1 va à présent descendre directement vers les fondations suivant leurs triangles19 de répartition de 60° d'ouverture. Quand on observe ce triangle, on remarque, au niveau des fondations, que la répartition se fait sur une longueur de : 2h. tg30° = 2(3,5m + 1m).tg30°= 5,2m. Chaque charge ponctuelle Q1 se répartit donc sur la longueur de 5,2m du mur de fondation A avec une valeur linéaire. q1f = Q1 / 2h . tg30° q1f = 3825kg / 2(3,5m + 1m) . tg30° q1f = 736,12 kg/m
Charge due au niv 0 hourdis + chape + carrelage = 360 kg/m² pl = 360 kg/m² exploitation = 200 kg/m² charge surfacique du plancher se répartit linéairement sur les murs extérieurs A et C. q 0 = (Ps + qexpl) . e / 2 q 0 = (360kg/m² + 200 kg/m²) . (5m /2) q 0 = 1400 kg/m
A ce stade, on a donc sur la fondation du mur A : qt = 525 kg/m q2 = 1478,13 kg/m q1f = 736,12 kg/m sur 5,2m q 0 = 1400 kg/m
19
En réalité, en trois dimensions, on parlera d'un cône de répartition; ici, dans le cas d'un mur, l'épaisseur étant négligeable par rapport aux hauteur et longueur, on parlera d'un triangle. p. 25
Charge due au mur Tout d’abord, on observe que tout le mur en béton cellulaire (épaisseur= 19cm; Pv=1100daN/m³) descend directement depuis la toiture jusqu’aux niveau du plancher du rez-de-chaussée, on a donc : m = ( Pv . ép) . (a + b + c) m = (1100kg/m³. 0,19m) . ( 2,5m + 2,5m + 3,5m) = 1776,5 kg/m m = 1776,5 kg/m Ensuite, on a le mur de fondation en blocs de béton lourd (épaisseur= 39cm; Pv=1800daN/m³) du niv 0 jusqu’au fondation. mf = (1800kg/m³. 0,39m) . (1m) =702 kg/m mf = 702 kg/m
mf m q0 q 1f q2 qt
5881,63 kg/m
Globalement sur la fondation du mur A, on a : qt = 525 kg/m q2 = 1478,13 kg/m q1f = 736,12 kg/m sur 5,2m q 0 = 1400 kg/m m = 1776,5 kg/m mf = 702 kg/m
6617,75 kg/m
Au total, on a 6617,75 kg/m sur 5,2m centré sur la longueur de la fondation Et de part et d’autre sur (12m – 5,2m)/ 2 =3,4m, on a 5881,63 kg/m
p. 26
29.7.2 Percement de mur Dans le mur D du rez-de-chaussée de l'immeuble d'habitation suivant, on désire percer une baie vitrée centrée, de 3m de large et 2,5m de haut. Vitrage de la baie, (Ps =55daN/m²) Évaluez les charges totales, exprimées en kg/m, que reprend la portion de mur à abattre sachant que: Ensuite évaluez les charges reprises par la fondation du mur D. Plancher niv. 3 (toiture): solives + panneaux bois + revêtement mince (Ps=55daN/m²) surcharge exploit. : 100kg/m² / Charges de neige : 55daN/m² Plancher niv. 2 : dalle en béton armé + chape + carrelage (Ps=460daN/m²) Plancher niv. 1 : solives + panneaux bois + revêtement mince (Ps=55daN/m²) (on ne tiendra pas compte du poids des poutres) Plancher niv. 0 : hourdis + chapes + carrelage : poids surfacique (Ps) =360daN/m²) Murs de béton cellulaire maçonnés, épaisseur= 19cm; Pv=1100daN/m³ a: 250cm b: 250cm c: 350cm d: 12m e: 5m f : 1m Dans l’exemple précédent, les charges descendaient directement jusqu’aux fondations par les éléments porteurs. Dès qu’il y a un obstacle dans la descente de charge, dans ce cas une baie, les charges sont déviées vers les éléments structurels pour rejoindre les fondations RESOLUTION De façon à bien comprendre comment le bâtiment transfère toutes ses charges vers la baie, nous commencerons toujours notre descente de charge depuis les charges portées supérieures jusqu'aux charges portantes inférieures, en veillant à n'en n'oublier aucune.
Charge de toiture Quand on observe le schéma structurel de la toiture, on observe que les solives de toiture sont portées par les murs A et C. La répartition de ces charges sur les différents éléments se fait suivant le schéma ci-contre On observe donc qu’aucune charge due à la toiture ne se transmet sur le mur D. qt = 0
Charge due au niv+ 2 On observe que le plancher du niv+2 est une dalle en béton armé reposant sur 3 murs (A,B et C). La répartition des charges sur les différents éléments se fait suivant le schéma ci-contre On observe également qu’aucune charge due au plancher du niv +2 ne se transfert sur le mur D. q2 = 0
p. 27
Charge due au niv+ 1 Quand on observe le schéma structurel du niv+ 1, on observe que les solives du plancher sont portées par les murs B et D, et par une poutre transversale au centre du plancher. La répartition de ces charges sur les différents éléments se fait suivant le schéma ci-contre. On obtient ainsi une charge linéique q1 sur le mur D. q1 = (Ps + qexpl ) . d . 1 / 4 q1 = ( 55 kg/m² + 200 kg/m² ) . 12 m . 1/4 q1 = 765 kg/m
Charge due au mur Tout d’abord, on observe que le mur en béton cellulaire (épaisseur= 19cm; Pv=1100daN/m³) entre le niv+ 3 et le niv+1 descend jusqu’au niveau du plancher du niv +1. m2 = (Pv. ép.) . ( a + b ) m2 = (1100kg/m³. 0,19m) . ( 2,5m + 2,5m) = 1045 kg/m
Ensuite, on observe qu’une partie du mur en béton cellulaire entre le niv+1 et la baie descend sur celle-ci, on a donc : m0 = (Pv. ép.) . (c - 2,5m) m0 = (1100kg/m³. 0,19m) . (3,5m - 2,5m) = 209 kg/m Et qu’une autre partie du mur en béton cellulaire entre le niv + 1 et le niv 0 descend jusqu’au niveau du plancher 0. m0 ‘ = (Pv. ép.) . ( c ) m0 ‘ = (1100kg/m³. 0,19m.) . 3,5m = 731,5 kg/m Le vitrage par sa fragilité ne peut reprendre aucune charge. Il n’y a aucun transfert de charge par le vitrage, toutes les charges sont reprises par un linteau constituant cette baie et déviée sur les éléments porteurs afin de descendre jusq’aux fondations. Inventorions toutes les charges reprises par le linteau constituant la baie sur une longueur de 3m : q1 = 765 kg/m m2 = 1045 kg/m m0 = 209 kg/m
Au total, on a 2019 kg/m sur la longueur d’ouverture de baie. A ce stade, observons ce que les fondations du mur D reprennent comme charge. En effet, une partie des charges des murs et planchers ont été reprises par le linteau sur une longueur de 3m. De part et d’autre de ce linteau, les charges dûes au plancher du niv +1 sont reprises par les fondations q1 = 765 kg/m de même que les charges dûes au mur entre le niv +3 et le niv +1 m2 = 1045 kg/m ainsi que les charges dûes au mur entre le niv+1 et le niv0. m0 ‘ = 731,5 kg/m
p. 28
La charge linéique reprise par le linteau de la baie ve être transmise aux éléments porteurs par les appuis de cette poutre. On a une réaction d’appui de part et d’autre de la poutre : Q1 = 2019 kg/m . 3m / 2 Q1 = 3028,5 kg La charge ponctuelle Q1 va descendre vers les fondations suivant leurs triangles de répartition de 60° d’ouvertures. Quand on regarde ce triangle, on remarque, au niveau des fondations que la répartition se fait sur une longueur de : 2 . h . tg30° = 2 ( 2,5 + 1 ) tg 30° = 4,04m Hors le trumeau du mur porteur a une longueur de : (e – lbaie) / 2 = 5m – 3m / 2 = 1m La charge Q1 va se répartir sur le mur D sur une longueur 1m. q1f = Q1 / 1m q1f = 3028,5 kg / 1m q1f = 3028,5 kg/m Actuellement sur la fondation du mur D, on a : q1 = 765 kg/m m2 = 1045 kg/m m0 ‘ = 731,5 kg/m q1f = 3028,5 kg/m sur une longueur de 1 m de part et d’autre de la baie
Charge due au vitrage de la baie qvitrage = ( Pv . h) = 55 kg/m² . 2,5m qvitrage = 137,5kg/m
Charge due au niv 0 On observe qu’aucune charge due au plancher du niv +0 ne se transfert sur le mur D. q0 = 0 Charge due mur du sous-sol mss = (Pv. ép.) . f mss = (1100kg/m³. 0,19m) . 1m = 209 kg/m
Globalement sur la fondation du mur D, on a : mss = 209 kg/m q1 = 765 kg/m m2 = 1045 kg/m m0 ‘ = 731,5 kg/m q1f = 3028,5 kg/m sur une longueur de 1 m de part et d’autre de la baie qvitrage = 137,5kg/m sur 3m centré sur la fondation
p. 29
29.7.3
Charges sur fondations Dans le cadre de l'étude d'une maison d'habitation (de 6m de pignon par 8m de façade), on cherche à déterminer les charges appliquées sur les fondations sachant que (les poids volumiques ou surfaciques des divers éléments sont donnés en Annexe 2, p.A2-3):
Toiture
Composition des murs de cave sous terre : -Blocs de béton lourds maçonnés: ép. 29cm sur une hauteur de 0,6m Composition des murs des rez et +1: -Blocs de béton mi-lourds maçonnés: ép. 14cm -Isolant en laine minérale: ép. 4cm -Coulisse d'air: ép. 2cm -Briques de parement maçonnées: ép.9cm
1er
Composition du mur intérieur au rez : -Blocs de béton mi-lourds maçonnés: ép. 19cm Ce mur est repris par une poutre en béton armé (h:30cm, b:19cm, pv:2400kg/m³) Composition du plancher du rez : -hourdis et chape de compression: Ps = 3,80kN/m² -chape de finition et carrelages : Ps = 2,0kN/m² Composition du plancher du +1: -panneaux à base de bois avec revêtement mince rapporté -solives 7/18 reposant sur les murs de pignons et sur le mur intérieur poids propre du plancher = 55kg/m².
Rez
Terre
Vide ventilé
Composition de la toiture: -solives reposant sur les murs de pignons et sur deux poutres intermédiaires en bois constituée de deux 8x23 (h:23cm, b:16cm, pv: 600kg/m3) -poids propre de la toiture + surcharge d'exploitation = 55 kg/m² -surcharge de neige = 50 kg/m²
Coupe longitudinale – Détail mur pignon
mur 3 mur 4
mur 1 p. 30
mur 2
Toiture
1er
Rez
Vide ventilé
Terre
Poutre bois 2 pannes 8/23
Coupe longitudinale
Solives
Mur 4
Toiture
Solives
Mur 4
Plancher bois
1er
Mur intérieur ép.19cm
Mur 1 Niv. toiture
Rez
Mur 1 Niv. + 1
Mur 4
hourdis
Poutre béton 19/30
Vide ventilé
Coupe transversale
Mur 1 Rez
p. 31
RESOLUTION De façon à bien comprendre comment le bâtiment transfère toutes ses charges vers le sol, nous commencerons toujours notre descente de charge depuis les charges portées supérieures jusqu'aux charges portantes inférieures, en veillant à n'en n'oublier aucune.
t2 t1
p t2
t2 t1
t1
p t2 t1
Quand on observe le schéma structurel de la toiture, on observe que les solives de toiture sont portées par les murs 2 et 4, et par 2 poutres transversales. La répartition de ces charges sur les différents éléments se fait suivant le schéma a). On obtient ainsi deux charges réparties linéairement t1 et t2 (aussi appelée "linéique"). Charge de toiture t1 = (50 kg/m² + 55 kg/m²) . 8 m /6 20 t1 = 140 kg/m t2 = 2 t1 = 280 kg/m = ( 50 kg/m² + 55 kg/m² ) . 8 m /3 Les poutres reprennent chacune t2 ainsi que leurs propres poids Calculons la charge dûe au poids propre des poutres, on obtient la charge linéique : p = densité . h . b p = 600 kg/m³ . 2 . 0,08m . 0,23m p = 22,08 kg/m
T2 t1
T2 T2
t1
T2
D’une part, on a les charges linéaires t1 qui descendent directement sur les fondations par les murs 2 et 4.
T2 t1
T2 T2 T2
t1
t1 t2f t2f
T2
Toiture
1er
Rez
Vide ventilé
t1
D’autre part, on a une charge linéaire t2 + p sur chacune des poutres en bois. Ces charges linéaires vont se transmettre de part et d’autre des poutres sur les murs 1 et 3. Ces charges sont transférées ponctuellement par le biais des appuis des poutres en bois. On a donc 2 charges ponctuelles T2 pour chacune des poutres en bois. T2 = ( t2 + p ) . (L/ 2)21 T2 = ( 280 kg/m + 22,08 kg/m) . [ 6m- 2.(0,09m - 0,02m - 0,04m – 0,14m)] /2 T2 = 818,64 kg Les deux charges vont à présent descendre directement vers les fondations suivant leurs triangles22 de répartition de 60° d'ouverture. Quand on observe ce triangle, on remarque, au niveau des fondations, que la répartition se fait sur une longueur l qui vaut : l = 2 . h. tg 30° h est la hauteur sur laquelle se répartit la charge à travers le mur, c’est donc la distance entre le point d’application de la charge T2 jusqu’au niveau de la fondation. On a : h = (3,1m – 0,15m – 0,23m) + 3,3m + 0,16m + 0,8m = 6,98m l = 2 . 6,98m . tg 30° = 8,05m. Chaque charge ponctuelle T2 se répartit donc sur toute la longueur de 8m du mur de fondation 1 et 3. Pour ce qui est des deux charges t1, elles descendent directement sur leurs fondations respectives sans transfert supplémentaire. t2f = 2. T2 / 8m t2f = 2 . 818,64 kg / 8m t2f = 204,66 kg/m
On considérera que la corniche fait partie de la toiture, on prend donc une portée de 8m pour la toiture. L est la portée de la poutre en bois (la distance entre appuis). 22 En réalité, en trois dimensions, on parlera d'un cône de répartition; ici, dans le cas d'un mur, l'épaisseur étant négligeable par rapport aux hauteur et longueur, on parlera d'un triangle. 20 21
p. 32
t1
t2f
sur fondations 2 et 4
sur fondations 1 et 3
m4
m4
m3
m2
m1
m1 t 2f
m1
m1 t1
t1 m1
Charges dues aux murs du +1 Ces charges peuvent se réduire à des charges linéiques (par rapport à leur direction et sens d'application et par rapport aux dimensions auxquelles elles s'appliquent); de plus, la composition et les hauteurs des quatre murs étant identiques, la charge linéique sera la même pour les quatre murs. En fonction de la composition des murs, on a : m1 = [ 1800 kg/m³ . h briques . ép briques ] + [ 35 kg/m³ . h isolant . ép isolant ] + [ 1500 kg/m³ . h blocs . ép blocs ] m1 = [ 1800 kg/m³ . (3,1m - 0,15m) (23) . 0,09m ] + [ 35 kg/m³ . (3,1m - 0,15m) . 0,04m ] + [ 1500 kg/m³ . 3,1m (24) . 0,14m ] m1 = 1145,78 kg/m
m2
m1
m1
Les charges étant descendues, quelles sont les charges suivantes en progressant dans notre descente de charges? Les charges dues aux murs entre le 1er étage et la toiture.
m3
m1
m1
m1
t 2f
m1
m1
t 2f
t1
p1
Plancher du 1er solives 7/18 reposant d'une part sur mur extérieur et d'autre part sur le mur intérieur solives = p = 55 kg/m² exploitation = 200 kg/m² Charge totale du plancher : 55kg/m² + 200kg/m² = 255kg/m² p1 p1
p 1'
Plancher bois
p1
Mur 4
En continuant notre descente, nous arrivons à présent au plancher du +1.
Solives
p1
Mur intérieur ép.19cm
p1
Les charges descendent directement sur les fondations sans transfert supplémentaire. On a donc a ce stade sur les fondations les charges suivantes:
sur fondations 2 et 4
sur fondations 1 et 3
Globalement, sur les fondations nous avons à ce stade de la descente de charges les charges t2f pour les murs 1 et 3 et t1 sur les fondations des murs 2 et 4.
Charge du plancher sur les murs extérieurs descendant directement sur les fondations. p 1 = 255 kg/m² . L / 2 (25) p 1 = 255 kg/m² . [4m – 0,29m – (0,19m/2)]/2 p 1 = 255 kg/m² . 3,615m / 2 = 460,91kg/m Charge de plancher sur le mur intérieur p 1 ' = 2 . 255kg/m² . L/2 = 2 p1 p 1 ' = 921,82 kg/m Cette charge descend via le mur intérieur du rez jusqu’au plancher du rez et sera reprise par la poutre en béton. On les prendra en compte à l'étape suivante.
Mur 1 Niv. + 1
hauteur sous la corniche. hauteur sans l’épaisseur de la toiture. 25 L est la portée du plancher en bois, c’est donc la distance entre les appuis. Dans ce cas c’est la distance entre le mur extérieur et le mur intérieur. p. 33 23 24
On a donc a ce stade sur les fondations les charges suivantes:
p1 m1
m1
t 2f
t1 En continuant la descente de charges, nous arrivons aux charges dues au mur du rez.
sur fondations 2 et 4
sur fondations 1 et 3
Mur entre le rez et le 1er étage m4'
m3' mr
m5' m1'
m2'
m5'
mr
mr mr
p1' m5'
mr
mr
M ri mr
mr
M ri
mr
mr
M ri
mr
mr
mr
Mur intérieur : Poids propre m5 ' = [ 1500 kg/m³ . h blocs . ép blocs ] m5 ' = [ 1500 kg/m³ . (3,30m) . 0,19m ] m5 ' = 940, 5 kg/m
mr
mr
M ri
mr
m rif
mr mr
mr
m rif
m rif
m rif m r pf ' 1 m1
Charge portée par le mur intérieur dûe au plancher du +1 (voir plus haut) p1 ' = 921,82 kg/m
mr
mr pf ' 1 m3 tf2
mr p1 m4 t1
m rif
m rif mr p1 m2 t1
tf2
Toiture
1er
Mri
Murs extérieurs : Ici encore, nous aurons la même charge linéique mr pour chaque mur du rez: mr = [ 1800 kg/m³ . h briques . ép briques ] + [ 35 kg/m³ . h isolant . ép isolant ] + [ 1500 kg/m³ . h blocs . ép blocs ] mr = [ 1800 kg/m³ . (3,3m + 0,16m) . 0,09m ] + [ 35 kg/m³ . (3,3m + 0,16m) . 0,04m] + [ 1500 kg/m³ . (3,0m+ 0,16) . 0,14m ] mr = 1343,86 kg/m mr descend directement sur les fondations.
Rez
On a donc une charge linéaire p1 ' + m5 ' qui tombe sur le plancher du rez ce qui entraîne un renfort du plancher par une poutre en béton à l’endroit du transfert de la charge. Cette charge linéique va être transmise dans les murs 1 et 3 ponctuellement par la poutre et correspondent deux charges ponctuelles Mri. Charge reprise par la poutre : p1 ' = 921,82 kg/m m5 ' = 940, 5 kg/m ainsi que son poids propre : p = 2400kg/m³ . 0,19m . 0,3m = 136,8 kg/m Mri = (921,82 kg/m + 940,5 kg/m + 136,8 kg/m) . L/226 Mri = 1999,12 kg/m . (6m - 0,29m - 0,29m) /2 = 5417,61 kg Cette charge ponctuelle se transfèrera dans le mur en une charge linéique: mrif = Mri / ( 2 . l . tg 30°) (27) mrif = 5417,61 kg / ( 2 . (0,80m) . tg 30°) mrif = 5864,74 kg/m sur une longueur de 0,92m
Vide ventilé
26 27
L est la portée de la poutre en béton, c’est donc la distance entre les murs de façade. voir p.23 .
p. 34
mri f
mr
mr
p1
m1
m1
t 2f
t1
sur fondations 1 et 3
A ce stade, on a donc sur les fondations des quatre murs :
sur fondations 2 et 4
Les charges dues au plancher du rez valent : hourdis + chape compression + finition + carrelage = 380 kg/m² + 200 kg/m² pl = 580 kg/m² exploitation = 200 kg/m² pr pr
pr pr
mr p1 m1 t1 pr m rif
mr pf ' 1 m1 t 2f
mr
charge du plancher sur les murs extérieurs 1 et 3. p r = (580kg/m² + 200 kg/m²) . L / 2 p r = (580kg/m² + 200 kg/m²) . [ 6m - 0,29m – 0,29m ] / 2 p r = 2113,80 kg/m p r descend directement sur les fondations des murs 1 et 3.
m rif p r mr p1 m1 t1
pf ' 1 m1 t 2f
pr mri f
mr
mr
p1
m1
m1
Mur du vide ventillé entre le sol et le rez m ss = [ 1800 kg/m³ . h blocs . ép blocs ] m ss = [ 1800 kg/m³ . 0,8m. 0,29m ] m ss = 417,6 kg/m
t1
t 2f sur fondations 1 et 3
sur fondations 2 et 4
m 4 ''
m 3 ''
m 2 '' m 1 ''
m ss
m ss
m ss
pr m rif
m ss mr p1 m1 t1
m ss
m ss m ss
pr m rif mr m1
m ss mr p1 m1 t1
Globalement, on a donc :
t 2f
p. 35
Total sur la semelle de fondation des murs 1 et 3 m ss pr m rif mr m1 t 2f
m ss mr p1 m1 t1
m ss p r m r if m
r
m
1
t
Globalement, pour les 8m de semelle de fondations, on a : tot = 5225,70 kg/m sur une longueur de 8m plus m rif = 5864,74 kg/m au centre sur une longueur de 0,92m
2f
m
t 2f = 204,66 kg/m m 1 = 1145,78 kg/m m r = 1343,86 kg/m m rif = 5864,74 kg/m sur une longueur de ( 2 . 0,8m . tg 30°) = 0,92m p r = 2113,80 kg/m m ss = 417,6 kg/m
r if
On a 11090,44 kg/m au centre sur 0,92m et 5225,70 kg/m sur les [(8m – 0,92m) / 2 ] = 3,54 derniers mètres de mur.
to t
sur fondations 1 et 3
Total sur la semelle de fondation des murs 2 et 4 t1 = 140 kg/m m 1 = 1145,78 kg/m p 1 = 460,91 kg/m m r = 1343,86 kg/m m ss = 417,60 kg/m
m ss mr p1 m1 t1
tot
tot = 3508,15 kg/m sur une longueur de 6m sur fondations 2 et 4
p. 36
30
NOTION DE STABILITÉ La condition requise de stabilité des corps rigides concerne le risque de mouvements inadmissibles du bâtiment considéré comme un tout. Le risque d'instabilité en rotation existe aussi lorsqu'un bâtiment n'est pas bien équilibré ou s'il repose sur un terrain de résistance non uniforme. Si le sol sous le bâtiment se tasse de manière inégale, le bâtiment peut s'incliner, comme le fait encore actuellement la Tour de Pise (fig. ci-contre) et peut même finir par basculer; dans d'autres cas de bâtiment plus long, des fissures peuvent apparaître. Cet exemple montre l'importance d'étudier le rapport entre un bâtiment et le sol qui le porte. Pour ce faire, inventorier, qualifier et quantifier toutes les charges que le bâtiment induit sur le sol est primordial.
Pourquoi un sol s'affaise-t'il? Pour le comprendre, étudions un cas semblable, celui d'un homme marchant dans la neige. Dans la neige, un homme ne parvient pas à marcher sans s'enfoncer. L'explication est que la neige n'est pas assez résistante pour supporter le poids de l'homme. Tout se passe comme si chaque cm² de neige ne pouvait supporter qu'une charge de n kg, au-delà de cette charge, elle s'affaisse. On appelle cette valeur la capacité portante, pression qui s'exprime en kg ou N par cm² ou m² [kg/cm²]. Dans le cas de l'homme marchant dans la neige, son poids est déterminé (par ex. 75kg), la surface de ces chaussures, aussi (par ex. 250cm²). Pour diminuer la pression induite par sa présence sur la neige (75kg / 250cm² = 0,3 kg/cm²), si on ne peut diminuer son poids, on peut par contre augmenter sa surface de pose au moyen de raquettes, ou de ski.
Pour un bâtiment, on procède de la même façon; c'est la semelle de fondation qui joue le rôle des raquettes pour l'homme. Elle a donc pour rôle de répartir uniformément les charges dues à un bâtiment sur le sol qui le portera. La caractéristique première d'un sol sera, pour l'architecte, sa capacité portante, exprimée par exemple en [daN/cm2]. Il convient donc de connaître les charges que le bâtiment induira sur le sol, la surface sur laquelle ses charges s'appliqueront, et de vérifier quels sols ont une capacité portante supérieure à leur rapport. On trouvera en annexe les poids volumiques des différents matériaux composants ces éléments, p. A2_3. Dans la pratique, on utilise des semelles de fondation de 30 cm d'épaisseur et de 40cm, 60cm, 80cm, 100cm ou 120cm de large, en fonction des charges à porter et de la capacité portante du sol en présence. Dans le cas de bâtiments longs, les joints de dilatation permettront de limiter l'impact de tassements différentiels éventuels du sol (dus à un sol à la résistance non homogène, où des pressions induites sur le sol par le bâtiment non uniforme. En leurs absences, des fissures verticales apparaissent. L'exemple ci-dessous nous permet d'illustrer un autre moyen d'éviter le tassement trop important dans le cas d'un sol trop peu résistant, celui de pieux. Cette technique permet d'aller chercher un sol plus profond plus résistant. Elle est cependant très onéreuse dans la pratique.
p. 37
30.1
CALCUL DE LA LARGEUR DE LA SEMELLE DE FONDATION Poursuivons l'exercice précédent en nous demandant à présent quelle sera la largeur des semelles de fondations en béton non armé (ép. 30cm) sachant que le sol est constitué de glaise sableuse de capacité portante de 1,85 kg / cm².
pp
pp
pp
pp
pp m ss mr p1 m1 t1 pp p ss m ss pr m rif
pp p ss pp m ss m ss mp rifr mr mr p1 m1 m 1 t 2f t1 mr m 1 t 2f
poids propre de la fondation semelle en béton non armé pp = densité . h . b pp = 2200 [kg / m3] . 0,30m . x [m] pp = 660 x [kg / m] Pour les fondations des murs 1 et mur 3, la charge surfacique correspondant à la charge linéaire du cas le plus défavorable 28 de 11090,44 kg/m s'appliquant suivant le schéma ci-contre sur une largeur de x vaudra : 11090,44 / x [kg/m²] La charge surfacique correspondant au poids volumique de 2200 kg / m3 du béton non armé de la semelle de fondation de 30 cm d'épaisseur vaudra : 2200 . 0,3 [kg / m²] = 660 [kg / m²]
x
Au total, on a sur le sol une charge surfacique de (11090,44 / x) + 660 [kg / m²]. Or, on sait que la capacité portante de notre sol est de 1,85 kg / cm² c'est-à-dire de 18500 [kg / m²]. On peut donc écrire que : (11090,44 / x) + 660 < 18500 (11090,44 / 17840) < x 0,621 m < x Sachant que la largeur d'une semelle de fondation peut valoir 40 cm, 60 cm, 80 cm, 100 cm ou 120 cm, on choisira une semelle de 80 cm de largeur. De la même méthode, on obtient pour la largeur de fondation des murs 2 et 4 la valeur de 0,196 m < x, c'est-à-dire 40 cm
28
Les semelles de fondations ont une largeur constante pour un même mur, il convient donc de les dimensionner dans le cas de charge le plus défavorable pour le mur étudié.
p. 38
30.2
LONGUEUR DE POSE Si on désire à présent percer des baies dans les murs suivant les schémas ci-contre et ci-dessous (hauteur des deux baies du rez de chaussée: 2m libres), pour supporter les charges que la matière retirée supportait, on va placer des linteaux (largeur de la baie 1 au niveau des blocs: 2m, largeur de la baie 2 au niveau des blocs: 1m). Afin de pouvoir par la suite les dimensionner, on cherche à quantifier les charges extérieures appliquées sur les linteaux29 de nos baies. On calculera ensuite la longueur de pose minimale des linteaux de sorte que la contrainte maximale de compression des blocs portant les linteaux (12kg/cm²) ne soit pas dépassée.
Toiture
1er
linteau 1 linteau 2
Rez
RESOLUTION
T2 1
T2 t1
T2 T2
t1
T2
Charge de toiture
T2 linteau 1
linteau 2
Sur le linteau 1 t1 = 140 kg/m
linteau 1
linteau 2
Sur le linteau 2 T2 = 818,64 kg t L = T2 / [2 . h . tg 30°] t L = T2 / [2 . ( 3,1m + 3,3m – 0,1m - 2m - 0,19m) . tg 30°] t L = 172,49 kg/m
t1
t1 t1
T2
T2
T2
tL tL
29
On considérera que les briques sont portées par le linteau de béton via une cornière acier de type "Korbo" dont on négligera le poids propre. p. 39
Charge du mur
m
m
m
m
m t1
m
m
m tL
m
Mur intérieur ép.19cm
m
Solives
Charge du plancher du 1er étage charge du plancher sur le linteau 1 p 1 = 460,91 kg/m
Mur 4
Plancher bois
m = [ 1800 kg/m³ . h briques . ép briques ] + [ 35 kg/m³ . h isolant . ép isolant ] + [ 1500 kg/m³ . h blocs . ép blocs ] m = [ 1800 kg/m³ . (3,1m + 3,3m -0,15m - 1,95m - 0,1m) . 0,09m ] + [ 35 kg/m³ . (3,1m + 3,3m -0,15m - 1,95m - 0,1m) . 0,04m] + [1500 kg/m³ . (3,1m + 3,3m - 2m - 0,19m - 0,1m) (30). 0,14m] m = 680,40 kg/m + 5,88 kg/m + 863,10 kg/m m = 1549,38 kg/m
charge ponctuelle du plancher +1 sur linteau 2 pas d'incidence sur le linteau
Mur 1 Niv. + 1
p1 m t1
p1
p1
m tL
P1
Charge du poids propre des linteaux poids propre d'un linteau en béton armé pp = [ 2400 kg/m³ . h linteau . ép linteau ] pp = [ 2400 kg/m³ . 0,19m . 0,14m ] pp = 63,84 kg/m
pp p1 m t1
tot
Charge totale sur les appuis du linteau 1 pp = 63,84 kg/m t1 = 140 kg/m m = 1549,38 kg/m p 1 = 460,91 kg/m Soit un total de 2214,13 kg/m Le linteau mesurant (longueur de baie + 2 l appui), on aura donc un poids total porté par les appuis de 2214,13 kg/m . ( 2m + 2 l appui).
30
On considère que l'isolant correspond à l'enveloppe, c'est-à-dire les briques.
p. 40
La surface de pose des linteaux vaudra 0,14m . l appui pour chaque appui. La pression engendrée par ce poids sur les deux surfaces d'appui vaudra alors : [2214,13 kg/m . ( 2m + 2 l appui) ] / (2 . 0,14m . l appui). On veut qu'elle soit inférieure à la contrainte de compression admissible dans les blocs constituant les appuis, soit 12kg/cm². On doit donc avoir : [2214,13 kg/m . ( 2m + 2 l appui) ] / (2 . 0,14m . l appui) < 12 kg/cm² [2214,13 kg/m . ( 2m + 2 l appui) ] / (2 . 0,14m . l appui) < 12 . 104 kg/m² [2214,13 kg/m . ( 2m + 2 l appui) ] < [12 . 104 kg/m² . (2 . 0,14m . l appui)] 2m + 2 l appui < [12 . 104 kg/m² . (2 . 0,14m . l appui)] / 2214,13 kg/m . 2m < 15,175 l appui 0,132m < l appui Charge totale sur les appuis du linteau 2 pp m tL
tot
pp = 63,84 kg/m t L = 172,49 kg/m m = 1549,38kg/m Soit un total de 1785,71 kg/m Le linteau mesure 1m + 2 l appui. Le poids total porté par les appuis vaudra donc 1785,71 kg/m . ( 1m + 2 l appui). La surface de pose à chaque extrémité est de 0,14m . l appui. La pression engendrée vaudra donc : [1785,71 kg/m . ( 1m + 2 l appui) ] / (2 . 0,14m . l appui). Cette pression doit être inférieure à la contrainte de compression des blocs d'appui (soit 12kg/cm²), donc : [1785,71 kg/m . ( 1m + 2 l appui) ] / (2 . 0,14m . l appui) < 12 kg/cm² 1m + 2 l appui < [12 . 104 kg/m² . (2 . 0,14m . l appui)] / 1785,71 kg/m . 1m < 18,816 l appui 0,043m < l appui
p. 41
31
EXERCICES RÉSOLUS 47. A combien de kN/mm² sont équivalents 20 kg/m² ? 48. Quelle est la valeur de la charge surfacique totale (poids propre, surcharges permanentes, et surcharges d'exploitation) du plancher d'habitation, exprimée en kg/m², dont la composition est la suivante: Revêtement parquet (épaisseur= 2,5cm; Pv=5kN/m3) chape légère (épaisseur=8cm; Pv=16kN/m3) dalle en béton armé (épaisseur=21cm; Pv=26kN/m3) plafonnage (épaisseur=1,3cm; Pv=10kN/m3)
49. Evaluez sommairement les charges totales, exprimées en kg/m, sur fondation du mur A de l'immeuble d’habitation ci-dessous dont les compositions des murs et planchers (surfaces de plancher prises en compte : d .e) sont les suivantes : Murs de béton cellulaire maçonnés, épaisseur= 19cm; Pv=1100daN/m3) Plancher niv. 0 : hourdis + chapes + carrelage : poids surfacique (Ps) =360daN/m2) Plancher niv. 1 : dalle en béton armé + chape + carrelage (Ps=460daN/m2) Plancher niv. 2 : solives + panneaux bois + revêtement mince (Ps=55daN/m2) Plancher niv. 3 : solives + panneaux bois + revêtement mince (Ps=55daN/m2) (on ne tiendra pas compte du poids des poutres) Charges de neige : 55daN/m2 a: 300cm b: 250cm c: 350cm d: 12m e: 6m 50. Evaluez sommairement les charges totales, exprimées en kg/m, sur fondation du mur de béton cellulaire maçonnés (épaisseur= 19cm; Pv=1100daN/m3). On négligera ici le poids et la longueur des hourdis.
51. Déterminez la pression uniforme [ N/m²] sur le sol induite par le cas de charges suivant (matériau: béton pv: 2400kg/m3) : a: 80cm b: 30cm c: 20cm d: 3m F: 5000N
52. On souhaite appuyer le mur de fondation ci-dessous sur un sol en sable sec (contrainte admissible = 3daN/cm²).On demande de déterminer la largeur minimale de la semelle de fondation afin d'assurer la stabilité du mur sachant que: la charge due au mur de fondation (poids propre et charges reprises par le mur) est de 30tonnes par mètre de mur; dans la pratique, une semelle de fondation a une hauteur de 30cm, et une largeur de 60cm, 80cm, 100cm, ou 120cm (poids volumique = 22 kN/m3). On tiendra compte du poids de la semelle.
p. 42
PARTIE 5 - EFFORTS INTERIEURS
"Je me suis vite persuadé que l'expression architecturale est une chose d'autant plus difficile à obtenir qu'on la recherche plus volontairement. En conséquence, ayant abandonné tout préjugé d'ordre esthétique, je me suis efforcé de retourner à la simple mentalité du constructeur qui étudie avec amour les problèmes qui lui sont posés, celle qui m'avait guidé dans les premières années. Cette confiance dans l'expression esthétique naturelle d'une bonne solution constructive ne m'a jamais trahi, et je n'y ai trouvé aucune exception, après avoir examiné les oeuvres d'architecture récentes ou passées. C'est pourquoi je crois pouvoir affirmer qu'un bon organisme structural étudié avec amour dans l'ensemble et dans les détails, est la condition nécessaire, sinon tout à fait suffisante, d'une bonne architecture." Pier Luigi Nervi
Pier Luigi Nervi - Constructions et projets; Editions Vincent, Fréal et Cie, Paris, 1957.
p. 43
32
INTRODUCTION
Au chapitre précédent, nous avons concentré notre attention sur l'équilibre d'un simple corps rigide ou d'un ensemble de barres assemblées qui, envisagé comme un tout, peut être réduit à un simple corps rigide. Dans les problèmes abordés, nous avons en premier lieu dessiné le diagramme du corps libéré sur lequel nous avons marqué toutes les forces extérieures; ensuite, nous avons appliqué les équations d'équilibre des forces et des moments. Dans ce chapitre, nous allons nous attacher particulièrement à la détermination des forces internes de la structure, c'est-à-dire aux forces d'action et de réaction qui existent entre les éléments assemblés du système. Dans l'analyse des forces d'une structure, il est nécessaire de désarticuler la structure et d'analyser les diagrammes de corps isolés de chacun de ses membres ou groupe de membres afin d'établir les forces internes à la structure. Cette analyse est basée sur une application stricte du troisième principe de Newton, qui énonce qu'à chaque action correspond une réaction de même grandeur et direction, mais de sens opposé. Dans le présent chapitre, nous allons chercher à connaître les efforts qui apparaissent dans l’élément de structure le plus courant: les poutres. Dans cette étude, nous allons nous limiter seulement aux structures isostatiques (ou statiquement déterminées), soit celles qui ont juste le nombre d'appuis nécessaire pour les maintenir en équilibre. Comme nous l'avons déjà vu, dans cette situation, le nombre d'équations d'équilibre indépendantes est égal au nombre de réactions inconnues. L'étudiant qui aura acquis la pleine maîtrise de la procédure de base exposée dans la partie 2 et qui saura parfaitement définir sans ambiguïté le corps étudié en traçant le bon diagramme du corps libéré n'éprouvera aucune difficulté à réaliser l'analyse de structures statiquement déterminées. L'analyse des poutres est ainsi une application directe de la matière exposée précédemment. Grâce à ce chapitre, nous allons pouvoir comprendre la base de la résistance des matériaux, et répondre aux questions du type: "Pourquoi une poutre fléchit-elle lorsqu'elle est soumise à des charges perpendiculaires à son axe principal?" ou "Pourquoi la section des branches d'un arbre est plus grande près du tronc, et plus fine au fur et à mesure qu'on s'éloigne de celui-ci?" Reprenons le principe de la Coupe, déjà utilisé en début de la partie 2, et appliquons-le, cette fois, non plus à l'étude des efforts extérieurs appliqués à une structure, mais à l'étude des efforts intérieurs induits par ces efforts extérieurs, maintenant complètement déterminés.
33 33.1
LE PRINCIPE DE LA COUPE OÙ DE NOUVELLES FORCES APPARAISSENT
Structure C Système (Fi, Mi) Equilibre
Structure C1 Forces partielles Plus d'équilibre
Structure C1 Nouveau système de forces Equilibre
Soit C une structure en équilibre et (Fi, Mi) le système de forces en équilibre qui la sollicite (fig. a). Isolons un fragment C1 par la coupe fictive S. La fraction des forces (Fi, Mi) qui agit sur ce fragment ne constitue plus un système de forces en équilibre (fig. b). Or, le principe de la Coupe31 nous enseigne qu'il y a équilibre. Par suite, il doit nécessairement exister d'autres forces, qui ne peuvent apparaître que là où on a modifié quelque chose, c'est-à-dire sur la surface de coupe S (fig. c). Grâce à ces nouvelles forces, l'équilibre est alors rétabli dans le fragment C1.
33.2
CE QU'ELLES REPRÉSENTENT PHYSIQUEMENT
Ainsi, le principe montre que des forces apparaissent sur la surface d'une coupe qui isole un fragment d'une structure. D'un point de vue physique, ces forces représentent la transmission des charges entre les fragments à travers les coupes et correspondent à la capacité de la matière à transmettre des forces, grâce à sa cohésion (due aux forces d'attraction atomiques). On les appelle forces internes. Le principe permet donc, par la notion de coupe, de visualiser le cheminement des forces dans la matière composant les structures; il donne aussi une méthode pour évaluer les forces internes par l'étude de l'équilibre du fragment. 31
voir point 14, p.54 du tome 1 de ces notes de cours
p. 44
33.3
OÙ ELLES JOUENT À CACHE-CACHE
Les forces internes ne peuvent apparaître que si l'on pratique des coupes et disloque la structure. Elles n'interviennent jamais si la structure n'est pas fragmentée. En effet (fig. gauche ci-dessous), en vertu du principe de l'action et de la réaction, ces mêmes forces s'appliquent sur l'autre fragment C2, aux mêmes points, mais en sens contraire; lorsqu'on reconstitue la structure, elles disparaissent car chaque paire forme un système équivalent à zéro (fig. droite). Ainsi, les nouvelles forces apparaissent par paires (égales et directement opposées); pour pouvoir les visualiser (les dessiner), il faut couper et disloquer.
33.4
DÉTECTION ET NATURE DES FORCES INTERNES
Les forces internes sont réparties sur toute la matière coupée (fig. gauche ci-dessous). Dans un premier temps, on les remplace par l'effet global équivalent (au sens du point 7, p.32 du tome 1) qu'elles produisent en un point O de la surface de coupe plane, appelé centre géométrique). Cet effet global se traduit par une force résultante FR et un moment résultant MR, équivalents aux forces internes réparties. EQUIVALENT
L'existence ou non de ces deux quantités dépend de la constitution physique de l'élément structural; on procède composante par composante: si, au droit d'une coupe, la cohésion de la matière s'oppose au déplacement d'un fragment par rapport à l'autre, la composante force ou moment associée peut se développer ; sinon, elle est nulle. La nature du déplacement empêché dicte la nature de la force correspondante (association force-déplacement). Ces résultantes internes sont, pour les éléments structuraux, des intermédiaires essentiels: ce sont des forces ordinaires, calculées par l'équilibre, qui permettront dans un deuxième temps de trouver la répartition détaillée des forces internes sur toute la matière (dernier chapitre).
33.5
APPLICATIONS Chaîne Dans une coupe S de la chaîne, seule la translation dans l'axe (ici X) est empêchée, les cinq autres mouvements étant libres de se produire. La chaîne ne peut donc transmettre que la composante Fx de la force résultante en S.
Articulation Dans l'articulation, liant par exemple deux os, et selon la coupe S (surface de contact lisse des os), seules les trois composantes de translation sont empêchées, celles de rotation étant libres. L'articulation peut donc transmettre les trois composantes Fx, Fy et Fz d'une force résultante, mais aucun moment. Tronc Au niveau de toute coupe S pratiquée transversalement dans un tronc d'arbre, le fragment C2 ne peut se déplacer, par rapport au fragment C1, ni en translation, ni en rotation. Il existe donc les trois composantes Fx, Fy, Fz de la force résultante et les trois composantes Mx, My, Mz du moment résultant.
p. 45
34
LES EFFORTS DANS UNE POUTRE Les éléments porteurs qui résistent aux effets de flexion introduits par les charges qu'on leur applique sont connus sous le nom de poutres. La plupart des poutres sont de longues barres prismatiques, et les charges qu'on leur applique sont généralement perpendiculaires à l'axe longitudinal de la barre. La flèche est la distance perpendiculaire de laquelle une travée dévie par rapport à sa position initiale lorsqu'elle subit l'action d'une charge transversale. La poutre la plus courante est la poutre simple ou poutre à deux appuis simples: c'est une poutre appuyée isostatiquement 32sur une articulation dite appui fixe et un rouleau dit appui mobile. La distance séparant les appuis s'appelle portée de la poutre; la longueur réelle de la poutre est légèrement supérieure pour des raisons techniques évidentes (encombrement des appareils d'appui). On appelle porte-à-faux ou encorbellement un prolongement de la poutre en dehors de sa portée. Très fréquente est aussi la console (ou poutre console) également isostatique dans ses appuis. Les poutres sont sans doute les éléments de structure les plus importants, et on ne saurait trop insister sur le besoin de bien saisir toutes les particularités de leur calcul. L'analyse de la capacité portante d'une poutre consiste, premièrement, à établir les conditions d'équilibre de la poutre dans son ensemble ou de toute section étudiée individuellement. Deuxièmement, on établit les relations qui existent entre ces forces résultantes et les forces de résistance intérieures induites par la mise en charge. La première partie de la résolution exige que l'on applique les principes de la statique, alors que la deuxième partie du problème fait appel aux propriétés mécaniques des matériaux, sujet que l'on aborde généralement dans les cours de résistance des matériaux. Le présent chapitre s'intéressera à la répartition le long de To la poutre des efforts et des moments intérieurs.
To T
34.1
En plus de résister aux efforts de compression et de tension, une poutre doit résister aux effets de cisaillement, de flexion et de torsion. Ces trois effets sont illustrés à la figure ci-contre. L'effort T est appelé l'effort tranchant, le couple M, le moment fléchissant et le couple To, le moment de torsion. Ces effets sont les composantes vectorielles de la résultante des forces qui sollicitent la section transversale de la poutre, comme le montre le quatrième schéma ci-contre. Notre intention dans ce chapitre est d'exposer les effets qui apparaissent à l'intérieur de la poutre suite aux sollicitations extérieures auxquelles elle est soumise: charges ponctuelles, réparties, moments directement appliqués et réactions aux appuis.
NATURE DES FORCES INTERNES
Soit AB une poutre coudée à deux appuis simples chargée d'une force concentrée F (fig. a). Sa modélisation (fig. b) extériorise les réactions d'appui Ax, Ay et B qu'on peut aisément calculer par l'équilibre. La charge F est donc transmise aux appuis à travers la matière composant la poutre. Pour étudier les forces internes qui agissent dans la poutre, on utilise bien entendu le principe de la coupe. T
Suite à une coupe S, perpendiculaire à l'axe de la poutre et donc selon l'une de ses sections droites, on peut regarder la poutre comme une structure composée, dont les deux fragments AG et GB possèdent certaines liaisons en G.
32
Les poutres appuyées de façon telle que leurs réactions d'appui extérieures puissent être calculées au moyen des méthodes de la statique seulement sont appelées poutres isostatiques. Celles qui possèdent plus d'appuis qu'il n'est nécessaire pour garantir l'équilibre sont dites hyperstatiques, elles ne seront pas étudiées dans le cadre de ce cours.
p. 46
Quelles sont ces liaisons? Au droit de G, une poutre, de par sa nature physique (cohésion de la matière), empêche tous les déplacements d'un fragment par rapport à l'autre, c'est-à-dire 3 dans le cas plan :
la translation selon l'axe x de la poutre (déplacement axial); la translation parallèle à la section S (déplacement transversal); la rotation autour du point G.
Il naît, associés à ces déplacements empêchés (fig. c), deux forces de translation, N et T, et un moment, M, résultantes des forces internes, transmises à l'axe de la poutre, ou, dans la section, au centre géométrique G. La liaison de la partie AG à la partie GB se fait donc par encastrement. Dans toute section droite S d'une poutre plane, les trois résultantes internes M, N, T se nomment efforts intérieurs et ont les dénominations particulières suivantes:
la force N s'appelle effort normal; son effet est de tendre ou comprimer la poutre axialement (comme l'effort normal dans une barre de treillis); la force T s'appelle effort tranchant et tend à trancher la poutre suivant S; le moment M s'appelle moment fléchissant ou de flexion; il tend à courber l'axe de la poutre, c'est-à-dire à fléchir la poutre. T
Conventionnellement, on attribue une valeur positive à l'effort tranchant T et au moment fléchissant M quand ils agissent dans le sens indiqué sur le schéma ci-contre. En vertu du principe de l'action et de la réaction, il faut que les sens de ces composantes soient les inverses l'une de l'autre dans chaque section. 33
T
La variation des efforts tranchants et des moments fléchissants le long de la poutre nous fournit les informations nécessaires au dimensionnement de la poutre. En particulier, elle nous permet de connaître la grandeur et la position du moment fléchissant maximal, sans doute le paramètre le plus critique dans la conception ou la sélection d'une poutre. Les variations des efforts tranchants et des moments fléchissants sont mieux exprimées graphiquement pour chacun des points de la poutre. Les graphiques des grandeurs T et M en fonction de la distance s'appellent respectivement diagramme des efforts tranchants et diagramme des moments fléchissants.
34.2
DÉTERMINATION MÉTHODIQUE DES DIAGRAMMES MNT
La première étape de la détermination des variations des efforts tranchants et des moments fléchissants consiste à établir les valeurs des réactions d’appuis agissant sur la poutre, en appliquant les équations d'équilibre sur le D.C.L. d'ensemble de la poutre. Ensuite, pour déterminer les efforts intérieurs à la poutre, on va s'arranger pour rendre extérieurs ces efforts intérieurs. Pour ce faire, on va utiliser le principe de la coupe et couper la poutre à l'endroit où on veut obtenir les efforts. On trace le D.C.L. de la partie isolée de la poutre, puis on lui applique les équations de la statique. Ces équations produisent les expressions de l'effort tranchant T, du moment fléchissant M et des efforts normaux N dans la section transversale de la partie analysée. Elles seront valables tant que reste valable le DCL du tronçon de poutre étudié. Dès qu'une nouvelle force apparaît, le DCL change, les équations également, et donc des nouvelles équations de M, N, et T apparaissent. La partie de la poutre (à gauche ou à droite de la position de coupe) qui fait intervenir le moins de forces conduit généralement vers la solution la plus simple. Il faut surtout éviter de choisir une coupe qui coïncide avec une charge ou un couple concentré, car cet emplacement dans la poutre correspond à un point de discontinuité de la fonction des efforts tranchants ou des moments fléchissants. Par méthode, et analogie avec l'analyse mathématique, nous placerons toujours l'origine des abscisses x à l'extrémité gauche de la poutre, et nous tracerons la première coupe juste après cette extrémité, en faisant ensuite déplacer notre coupe jusqu'à l'extrémité droite de la poutre. Finalement, il est important de ne pas oublier que les calculs de N, de T et de M pour chaque section transversale faite dans la poutre respectent la convention du signe positif définie précédemment.
33
La plupart du temps, il est impossible de savoir intuitivement avant les calculs si l'effort tranchant et le moment fléchissant dans une section sont positifs ou négatifs. Pour cette raison, nous conseillons de toujours considérer que ces composantes sont positives sur les diagrammes du corps libéré et de laisser le signe des résultats nous indiquer s'il s'agit du sens réel ou non p. 47
34.3 EXEMPLES RÉSOLUS 34.3.1 Exemple résolu 1 – charge ponctuelle Déterminez la répartition des efforts tranchants et des moments fléchissants engendrés dans la poutre simplement appuyée par la charge concentrée de 4 kN. Solution À partir du D.C.L. d'ensemble de la poutre, nous trouvons les réactions d'appuis suivantes : R1 = 1,6 kN R2 = 2,4 kN Ensuite, on trace le D.C.L. d'une section de la poutre à la distance x, où l'effort tranchant et le moment fléchissant sont dessinés dans leur sens positif. Les équations d'équilibre donnent T = 1,6 kN ∑ Fy = 0 = 1,6 − T = 0 →
T
∑ M1 = 0 = M − 1,6x = 0
→ M = 1,6x
Ces valeurs de T et de M sont valables pour toutes les sections de la poutre à gauche de la charge de 4 kN, puisqu'elles correspondent au même D.C.L., la seule grandeur variant étant x. 34 On trace ensuite le D.C.L. d'une section de la poutre à droite de la charge de 4 kN, où l'effort tranchant et le moment fléchissant sont dessinés dans leur sens positif. Les conditions d'équilibre donnent → T = −2,4kN ∑ Fy = 0 = T + 2,4 = 0
T T
∑ M2 = 0 = −(2,4)(10 − x) + M = 0
→ M = 2,4(10 − x)
Ces résultats sont valables aussi pour toute section de la poutre à droite de la charge de 4 kN. Les valeurs de T et de M sont reportées sur les diagrammes ci-contre. Le moment fléchissant maximal se produit quand l'effort tranchant change de sens. En partant de x = 0 et en se dirigeant vers l'autre extrémité de la poutre (x = 10), on constate que le moment M est simplement la somme algébrique de l'aire sous le diagramme des efforts tranchants.
F2
F1
A
B
C
F3
D
E
F
34.3.2 Exemple résolu 3 – Charges ponctuelles. Considérons la poutre bi-appuyée ci-contre, soumise à l'action de trois forces ponctuelles. On demande de déterminer les diagrammes MNT des efforts intérieurs à la poutre. F1 = 100 kN, F2 = 60 kN, F3 = 50 kN A.
F2
F1
F3
RBx A
C RBy
E RDy
F
Étude de l’équilibre global de la poutre chargée.
Cette poutre est en équilibre sous l’action des six forces extérieures appliquées, à savoir : F1, F2, F3 ; Les réactions de l’appui simple en B (RBX, RBY) ; La réaction verticale du rouleau en D (RDY) . Les conditions d’équilibre de la poutre sont : Σ FX = 0 = RBX Σ FY = 0 = -100 - 60 - 50 + RBY + RDY(1) Σ MB = 0 = (+ 1.100) – (2. 60) + (3. RDY) – (4.50)(2) Elles se résument donc à un système algébrique de trois équations à trois inconnues. (2) donne RDY = 73,33 kN (2) → (1) donneRBY = 136,67 kN L’équilibre de la poutre sera assuré grâce à ces 2 forces verticales.
34
Nous devons faire attention à ne pas choisir notre section sur un point où se trouve une charge concentrée (comme x = 6 m), puisqu'en cet endroit les fonctions des efforts tranchants et des moments fléchissants présentent des discontinuités
p. 48
B.
F2
F1
A
F3
C
E
RBy
F
RDy
Mx Nx
x Tx
0
T(x)
M(x)
x B
Les trois équations mathématiques rendent compte des efforts M, N, T en 1 point situé à la distance x de A. Les trois équations correspondent à l’équilibre du fragment étudié sous les forces et moment extérieurs appliqués (DCL 1). On peut donc dire que tant que l’on sera en présence de ce DCL, l’expression de son équilibre sera la même, à savoir ces trois équations qui nous donnent ainsi M, N, T. Le DCL est le même pour toute coupe entre A et B. On pourra donc dire que ces trois équations de M, N, T sont valables pour x variant de A (origine x = 0) et B (x = 1m).
-100 x
0
L’équilibre global étant assuré, nous pouvons appliquer le principe de la coupe afin de déterminer les efforts en chaque section de la poutre. Par méthode, nous étudierons le tronçon gauche (ou droit) de la poutre, la surface de coupe de la poutre se déplaçant de son extrémité gauche à son extrémité droite. Si nous commençons l’étude de l’équilibre du tronçon gauche de la poutre après l’avoir sectionné près de A, on obtient le DCL 1 et les équations d’équilibre suivantes : Σ F X = 0 = NX Σ FY = 0 = -100 - TX→ TX = -100 kN Σ MX = 0 =MX + x. 100→ MX = - x.10035
F1
A
Etude des efforts intérieurs induits.
B
-100x
Par extension, on identifie quatre autres DCL type liés à la coupe de la poutre en un point x s’éloignant de A jusqu’en F. L’expression de l’équilibre du fragment gauche (ou droit) de la poutre donnera les expressions de M, N et T correspondant à ces quatre DCL. Comme on l’a fait pour la première coupe, il convient de préciser pour quelles positions x de la coupe ces DCL (et les équations qui en découlent) sont valables.
F1 Mx A
On a ainsi :
Nx
x Tx R
By
Coupe 2 : 1 < x < 3
3 6 ,6 7
T (x )
0
M (x )
0
B x
C
x
C
Σ FY = 0 = -100 + 136,67 - T→ T = 36,67 kN
-1 0 0 B
Σ MX = 0 =MX + 100.x – ( x-1). 136,67→ MX = 36,67x – 136,67
3 6 ,6 7 .x - 1 3 6 ,6 7 -1 0 0
F2
F1
Coupe 3 : 3 < x < 4
Mx A
C
Nx
x Tx
R
Σ FY = 0 = -100 + 136,67 – T - 60→ T = - 23,33 kN
By
3 6 ,6 7
T (x )
M (x )
0
x
B C
Σ MX = 0 =MX + 100.x – ( x-1). 136,67 + (x-3). 60 → MX = -23,33x + 43,34
D
- 2 3 ,3 3
-1 0 0 0
C
B
x
-2 6 ,6 6
D
- 2 3 ,3 3 .x + 4 3 ,3 4
-1 0 0
F1
F2 Mx
A
Nx
x
C
Tx R
RDy
By
50
3 6 ,6 7
T (x )
0
Σ FY = 0 = -100 + 136,67 – T – 60 + 73,33 → T = 50 kN
B C
-1 0 0
M (x )
Coupe 4 : 4 < x < 5
B
D
- 2 3 ,3 3
C
D
0 -2 6 ,6 6
-5 0
x
E
x
E
Σ MX = 0 =MX + 100.x – ( x-1). 136,67 + (x-3). 60 - (x-4) . 73,33 → MX = 50x – 250
5 0 .x - 1 5 0
-1 0 0
35
Le choix du pôle en x permet de supprimer le moment de T dans cette équation et donc de simplifier la résolution du système, même si tout autre pôle donnerait les mêmes expressions de T et M. p. 49
F1
F2
Coupe 5 : 5 < x < 6
F3 Mx
A
C R
Tx RDy
By
Σ FY = 0 = -100 + 136,67 – T – 60 + 73,33 - 50 → T = 0 kN
50
3 6 ,6 7 0
Nx
x
E
x
B C
D
- 2 3 ,3 3
E
F
0
Σ MX = 0 =MX + 100.x – ( x-1). 136,67 + (x-3). 60 - (x-4) . 73,33 + (x-5) . 50 → MX = 0
-1 0 0 B
C
D
E 0
0 -2 6 ,6 6
x 0
F
Cet exercice met bien en évidence la simplicité de cette résolution méthodique de l’extrémité gauche de la poutre à l’extrémité droite. Chaque expression de l’équilibre vertical (ou de rotation) pour une coupe diffère de la précédente par le terme en italique, correspondant à l’élément rendant leurs DCL différent. Choisir l’origine des abscisses x à l’extrémité gauche et le sens positif vers la droite rend en outre familiaire les expressions analytiques de M, N, T (avec les ordonnées positives vers le haut).
-5 0
-1 0 0
34.3.3 Exemple résolu 3 – Charge répartie. Considérons la poutre bi-appuyée ci-contre, soumise à l'action de la force répartie. On demande de déterminer les diagrammes MNT des efforts intérieurs à la poutre.
q A
B
D
C
A.
Étude de l’équilibre global de la poutre chargée.
100 kg/m A
RBx
D
RCy
RBy
600 kg A
RBx RBy
D
RCy
100 kg/m A
D
400 kg
200 kg
La poutre est en équilibre sous l’action de la charge répartie et des réactions à l’appui et au rouleau. Les conditions d’équilibres de la poutre Σ FX, Σ FY, Σ M traitent de forces appliquées. Il convient donc de déterminer la résultante de la charge répartie appliquée à toute la poutre pour ensuite exprimer les conditions d’équilibre. Conformément au point 11.4 p.46 du tome 1 de ce cours, la force résultante correspondante à cette force repartie de 100kg/m appliquée sur 6m aura son point d’application au milieu de la poutre (x=3m) et 600kg d’intensité (100kg/m x 6m). L’expression mathématique de l’équilibre peut donc maintenant s’écrire : Σ FX = 0 = FBX Σ FY = 0 = RBY + RCY - 600(1) Σ MX = 0 = - 2. 600 + 3.RCY→ RCY= 400 kg(2) (2) dans (1)→ RBY= 600 – RCY = 200 kg Cette partie étant en équilibre sous l’action des toutes les forces connues, nous pouvons à présent appliquer le principe de la coupe. B.
100 kg/m A
200 kg
400 kg
D
Etude des efforts intérieurs induits.
Coupons à présent la poutre en deux parties afin d’étudier l’équilibre du fragment soumis au cas de charge le plus simple36. Par méthode, nous placerons notre première coupe proche de l’extrémité gauche de la poutre (x=0) et la déplacerons successivement vers l’extrémité droite. L’exercice présent nous enseigne que nous avons ici 3 coupes types correspondant à 3 DCL types dont l’étude de l’équilibre donnera 3 fois 3 équations d’équilibre. Nous aurons ainsi :
36
Nous savons que les efforts MNT représentent l’action d’un fragment sur l’autre. Le principe de l’A/R nous enseigne que ces MNT seront de même ligne d’action, intensité et sens opposé si nous étudions l’action du fragment gauche sur le droit. C’est pourquoi le choix de l’étude de l’un ou l’autre des fragments importe peu. Le choix des signes arbitraire positif est fait pour que les diagrammes soient les mêmes quelque soit le fragment étudié.
p. 50
100 kg/m A
Coupe 1 : 0 < x < 1 Le DCL du fragment gauche fait apparaître 2 forces ponctuelles (TX, NX) un moment d’encastrement MX et une charge répartie. Celle-ci doit être remplacée par sa résultante, afin de pouvoir appliquer les équations d’équilibre. On a ainsi le DCL équivalent. Les conditions d’équilibre s’écrivent : Σ F X = 0 = NX Σ FY = 0 = - x . 100 - T → T = -100. x qui est l’expression d’une droite Σ MX = 0 =MX + x/2 . x . 100 → MX = - 50x2 qui est l’expression d’une parabole Nous renvoyons à l’annexe pour les propriétés des paraboles.
Mx
x
Nx Tx
A
Mx
x
Nx Tx
x.100 kg
T(x)
0
x
B
x.100
M(x)
0
x
B
100 kg/m
200 kg
x.100 kg
0
Tx Mx Nx
200 kg
T(x)
Nx
x
A
Coupe 2 : 1 < x < 4 Σ F X = 0 = NX Σ FY = 0 = - x . 100 – T + 200 → T = -100 x + 200 Σ MX = 0 =MX + x/2 . x . 100 – (x-1). 200 → MX = - 50 x2 + 200 x - 200
Mx x
A
Tx
x
B
C
x.100 - 200
M(x)
C
B 0
x
100 kg/m A
400 kg
200 kg
x
Nx Tx Mx
x
A 200 kg
x.100 kg
Coupe 3 : 4 < x < 6 Σ F X = 0 = NX Σ FY = 0 = - x . 100 – T + 200 + 400 → T = -100 x + 600
Mx
Σ MX = 0 =MX + x/2 . x . 100 – (x-1). 200 – (x-4) . 400 → MX = - 50 x2 + 600 x - 1800
Nx
400 kg
Tx
x.100 - 600
T(x)
M(x)
0
B C
B
x
D
C x
0
D
50
200
p. 51
34.3.4 Exemple résolu 4 – charges réparties et ponctuelles Tracez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre chargée et déterminez le moment maximal M ainsi que sa position x mesurée à partir de l'extrémité gauche.
Solution Les réactions aux appuis sont faciles à déterminer en considérant les résultantes des charges réparties, appliquées sur le D.C.L. d'ensemble de la poutre. Le premier intervalle de la poutre que l'on analyse est le D.C.L. d'une section de la poutre qui est définie pour 0< x < 2m. Une somme des forces verticales et une somme des moments par rapport à la section droite donnent ∑ Fy = 0 T = 1,23 - 0,25x2 T
∑ M = 0 M + (0,25x2) x/3 - 1,23x =0
M = 1,23x - 0,0833x3
Ces valeurs pour T et pour M sont vraies pour tout x dans l'intervalle 0< x < 2m, et on les a représentées sur les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants (figures ci-contre)).
T
D'après le D.C.L. de la section définie pour 2< x <4m, l'équilibre selon la verticale et une somme des moments par rapport à la section transversale nous donne ∑ Fy = 0 T + 1(x - 2) + 1 - 1,23 = 0T = 2,23 – x
∑ M = 0 M + 1(x- 2) (x-2)/2 + 1[x – 2/3 (2)] - 1,23x = 0 T T
M = -0,667 + 2,23x - 0,50x2 Ces valeurs pour T et M sont représentées sur les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour l'intervalle 2 < x < 4 m. L'analyse du reste de la poutre se poursuit en recourant au D.C.L. de la portion de la poutre à droite de la section de l'intervalle suivant (4 < x < 5 m). Remarquer que T et M sont représentés dans leur sens positif. Une somme des forces verticales et une somme des moments par rapport à la section permettent de résoudre, ce qui donne T = -1,77kN et M =7,33 - 1,77x Ces valeurs de T et M sont tracées sur les diagrammes des efforts et des moments pour l'intervalle 4 < x < 5 m. De la même manière, on obtient pour la section suivante 5 < x < 6, T = 1,5kN et M = 1,5x - 9
p. 52
35
LIEN ENTRE EFFORTS INTÉRIEURS ET SECTION D'UNE POUTRE Reprenons le cas simple et courant d'une poutre sur deux appuis soumise à une charge ponctuelle du point 34.3.1 de la p. 48. Observons le diagramme des moments M: au fur et à mesure qu'on s'éloigne des appuis, l'intensité des moments augmente dans les sections de la poutre, jusqu'à atteindre le maximum au point d'application de la force. Si on se rappelle que le moment est lié à la tendance à la rotation du tronçon gauche de la poutre par rapport à son tronçon droit, cela signifie que la tendance à la rotation des fragments de poutre les uns par rapport aux autres va aller en augmentant jusqu'au point d'application de la force ponctuelle. Cette tendance à la rotation des éléments les uns par rapport aux autres, due aux charges extérieures, entraînera une déformation de la poutre, plus ou moins grande en fonction de la capacité de la poutre à lui résister. Cette déformation s'appelle la flexion37.
Abordons à présent l'étude de notre poutre d'un autre point de vue. Si on observe une poutre de section rectangulaire (hauteur h et base de largeur b), on peut l'assimiler à un ensemble de longues fibres parallèles (de la longueur de la poutre). Dans le cas de la poutre ci-contre, la déformée de la poutre sera la suivante: La partie supérieure de la poutre se raccourcit, elle est comprimée. Tandis que la partie inférieure s’allonge, et est donc tendue. La partie centrale de la poutre que l’on appelle fibre neutre conserve sa longueur initiale, cette partie n’est ni tendue ni comprimée. On peut donc dire, que suite à la mise en charge de la poutre, des contraintes de compression apparaissent dans les fibres supérieures, et que des contraintes de traction apparaissent dans les fibres inférieures. Au niveau de la fibre neutre, il n’y a aucune déformation ni contraintes σ=0. Si on suppose que les déformations sont proportionnelles aux contraintes, alors on obtient une répartition des contraintes triangulaire. Plus on s’éloigne de la fibre neutre, plus les déformations et donc les contraintes sont grandes. Les compressions et les tractions maximales se situent respectivement au niveau des faces supérieures et inférieures. Ces contraintes sont perpendiculaires au plan de la section, puisqu'elles correspondent à un étirement ou à un raccourcissement des fibres de la poutre.
Max
σ max
Nous l'avons vu précédemment, les cas de charges rencontrés dans le cadre de ce cours (forces réparties ou concentrées sur poutres isostatiques) nous amènent des efforts intérieurs, dans les sections de la poutre, en M et T, N étant nul. Sur base de ce que nous venons de voir, nous pouvons donc dire que dans ces cas de charges, N étant nul et M différent de zéro, la résultante des contraintes de compression et la résultante des contraintes de traction constitueront un couple de forces! La répartition de ces contraintes sera donc du type ci-contre. Les contraintes de compression et de traction sont maximales dans les fibres supérieures et inférieures. Appelons-les σmax. Si on pousse l'observation, on remarque que si F augmente, les déformations augmentent, donc, les contraintes augmentent. La résultante de traction et de compression vaudra donc: 1 h b.h R TC = . .σ max .b = .σmax 2 2 4 (puisque que les contraintes s'exercent sur toute la surface de coupe de hauteur h et de base b).
37
La poutre se courbe de façon lenticulaire p. 53
Le moment résultant vaudra donc quant à lui l'intensité de cette résultante multipliée par la distance entre les deux forces constituant le couple soit: ⎛ 2 h⎞ ⎤ b.h2 2h ⎡ b.h M = d.R TC = 2.⎜⎜ . ⎟⎟⎟.[R TC ] = . ⎢ .σ max ⎥ = .σ max ⎜⎝ 3 2 ⎠ ⎥⎦ 3 ⎢⎣ 4 6 Quels enseignements pouvons-nous à présent tirer? 1. σmax est la contrainte maximale à la traction et à la compression que le matériau va subir dans un section donnée (mais toujours dans les fibres extrêmes). Un matériau sera caractérisé par des contraintes à la compression et à la traction admissibles maximales, mesurées en laboratoire38. Au delà de cette limite, le matériau se rompt. Il faudra donc toujours que σmax qui apparaît dans le matériau suite à la mise en charge, soit inférieure à σadm. Dans notre cas précis, comment et où cela va-t'il se produire? Dans la fibre extrême, autour du point d'application car c'est là que les contraintes qui apparaissent seront les plus grandes. On risque ainsi une fissuration qui remonte dans le matériau depuis le bas, ou qui descend depuis le haut suivant les σadm en compression et en traction du matériau. Certains matériaux résistent bien à la traction et à la compression, c'est le cas de l'acier; d'autres, bien à la traction et mal à la compression, c'est le cas du bois. D'autres, bien à la compression et pas à la traction, c'est la cas du béton. Dans le cas de ce matériau artificiel, le danger est grand d'un déchirement des fibres inférieures et de fissures qui remontent jusqu'à découper la poutre en deux. Pour contrer ce défaut, on joint au béton dans ses fibres inférieures un matériau résistant bien à la traction: l'acier. On parle alors de béton armé. Le choix du matériau pour une poutre est donc primordial dans son comportement sous charges. 2. Reprenons la formule liant le moment dans une section avec les dimensions de cette section et la contrainte en traction et compression maximale qui y apparaît. Pour rappel, ce moment est un effort intérieur que subit la poutre suite à sa mise en charge. Elle devra donc y résister. Le moment résistant maximum que notre poutre pourra opposer sera donc: b.h2 Madm = .σ adm 6
b h
h b
38
Celui-ci est donc aussi fonction de h et de b. On aura donc intérêt à choisir une poutre plus haute que large (puisque h apparaît au carré dans cette formule) pour que les poutres résistent mieux à la flexion. Plus concrètement, pour la poutre ci-contre, la flexion sera moindre dans le cas gauche.
par exemple, pour le bois, à la σcomp= 80kg/cm² et σtract = 80kg/cm² , pour l'acier: σcomp= 1600kg/cm² et σtract = 1600kg/cm² et pour le béton: σcomp= 80kg/cm² et σtract = 80kg/cm²
p. 54
36
DÉTERMINATION RAPIDE DES MNT
36.1 RELATIONS ENTRE LES CHARGES RÉPARTIES, LES EFFORTS TRANCHANTS ET LES MOMENTS FLÉCHISSANTS. Certaines relations générales peuvent être déduites pour toute poutre sollicitée par des charges réparties. Ces relations pourront servir ensuite à déterminer plus facilement la répartition des efforts tranchants et des moments fléchissants le long de la poutre. La T figure ci-contre illustre une partie d'une poutre chargée, dont on a isolé un élément. La charge w correspond à une force par unité de longueur de la poutre. À la position x, on a dessiné dans leur sens positif l'effort tranchant T et le moment fléchissant M qui agissent sur l'élément. Sur le côté opposé de l'élément, repéré par la coordonnée x + dx, ces T+dT quantités sont aussi dessinées dans leur sens positif et elles sont désignées par les notations T + dT, M + dM, puisque T et M varient en fonction de x. La charge appliquée w peut être considérée comme invariable le long de cet élément, puisque c'est une longueur infinitésimale et que l'effet de la variation de la charge w est minime à la limite face à l'effet de la charge totale. L'équilibre de l'élément suppose que la somme des forces verticales est nulle. Donc nous avons dT T - w dx - (T + dT) = 0 ou w = dx L'équation ci-dessus nous indique que la pente du diagramme des efforts tranchants doit être partout égale à la valeur négative de la charge appliquée. Cette équation est vraie de part et d'autre d'une charge concentrée, mais non au point d'application de la charge concentrée, du fait qu'il existe à cet emplacement une discontinuité provoquée par une variation abrupte de l'effort tranchant. Maintenant, nous pouvons exprimer l'effort tranchant T en fonction de la charge w en intégrant cette équation. Ainsi, T
x
T0
x0
∫ dT = −∫ w ⋅ dx T = To + (l'aire négative sous la courbe de charge entre x0 et x) Dans cette expression, To est l'effort tranchant en x0 et T, l'effort tranchant au point x. La sommation de l'aire sous la courbe de charge constitue généralement une façon simple d'obtenir le diagramme des efforts tranchants. L'équilibre de l'élément de la figure ci-dessus exige aussi que la somme des moments soit nulle. En additionnant les moments par rapport à un pôle situé sur le bord gauche de l'élément étudié, nous obtenons39 M + w dx
dx + (T + dT ) dx − (M + dM) = 0 2
Les deux M s'annulent, et les termes w.
(dx)2 et dT.dx peuvent être négligés puisqu'il s'agit de différentielles d'ordre plus élevé que 2
les autres. Il ne reste plus que dM T= dx ce qui traduit le fait que l'effort tranchant en tout point est égal à la pente de la courbe des moments. L'équation est vraie de part et d'autre d'un couple concentré, mais pas au point d'application du couple, puisqu'à cet emplacement il existe une discontinuité causée par le changement abrupt du moment. Il est maintenant possible d'exprimer le moment M en fonction de l'effort tranchant T en procédant à l'intégration de cette dernière équation, d'où M
x
M0
x0
∫ dM = ∫ Tdx ou M = M0 + (l'aire sous le diagramme des efforts tranchants entre x0 et x) Dans cette expression, M0 est le moment fléchissant en x0 et M est le moment fléchissant en x. Pour les poutres qui ne subissent pas de moment extérieur M0 en x0 = 0, le moment total au niveau d'une section quelconque est l'aire sous le diagramme des efforts tranchants jusqu'à cette section de la poutre. Le calcul de l'aire sous le diagramme des efforts tranchants est généralement la méthode la plus simple pour construire le diagramme des moments.
39
Notons que si on additionnait les moments par rapport à un pôle situé sur le bord droit de l'élément étudié, on obtiendrait le même résultat p. 55
Quand T passe par zéro et qu'il est une fonction continue de x de sorte que dT/dx ≠ 0, le moment fléchissant M aura un maximum ou un minimum en ce point, puisque dM/dx = 0. Les valeurs de M sont critiques quand T traverse la discontinuité de l'axe zéro, ce qui se produit dans le cas des poutres soumises à des charges concentrées. Nous constatons d'après ces deux équations que la dépendance entre T et x est à un degré plus élevé que la dépendance entre w et x. De même, la dépendance entre M et x est à un degré plus élevé que celle entre T et x. Ainsi, pour une poutre chargée par w = kx, une fonction du premier degré de x, l'effort tranchant sera une fonction du second degré de x, et le moment fléchissant, une fonction du troisième degré de x. d²M Ces deux équations peuvent être combinées pour obtenir = -w dx² Donc, si w est une fonction connue de x, le moment M peut être déterminé par une double intégration, à la condition de bien respecter chaque fois les limites d'intégration. Cette méthode n'est valable que si w est une fonction continue de x. Ainsi, dans l’exercice précédent, nous pouvons dire que, par exemple, pour x < 2 m, x
ΔM = ∫ Tdx 0 x
M − 0 = ∫ (1,23 − 0,25x 2 )dx 0
ce qui donne, après intégration, la réponse déjà trouvéeM = - 0,0833x3 +1,23x
36.2 INFLUENCE DES FORCES PONCTUELLES ET COUPLES APPLIQUÉS Intéressons-nous à présent à ce qui se passe au droit des points d'application de forces ponctuelles et de moments extérieurs, et à leurs influences dans le tracé des MNT.
F T(x) X M(x)
M(x+dx) T(x+dx)
Soit une poutre quelconque soumise à plusieurs charges, dont des charges ponctuelles. Isolons un tronçon de poutre infinitésimal (de longueur dx) sur lequel est appliquée la force ponctuelle F. Les surfaces de coupes permettent d'extérioriser les efforts intérieurs en deux points, X et X+dx. Ces efforts sont dessinés sur le DCL avec leurs sens conventionnel comme cicontre. L'équilibre de déplacement vertical nous impose que:
T(x)
Σ FY = 0 = +T(x) – F – T(x+ dx) = +T(x) – F – (T(x)+ dT) donc, T(x)+ dT = T(x) – F donc, dT = – F Ce qui signifie que, au point d'application de F, le graphique de T va subir un "saut", une discontinuité dans son tracé dont l'importance sera la grandeur (et le signe) de F!40 Ce qu’illustre le schéma ci-contre : la différence entre la valeur de T juste avant l’application de F et la valeur de T juste après l’application de F, est la valeur de F.
Le même raisonnement peut-être tenu pour un couple extérieur, ou moment, appliqué sur la poutre en un point donné. La discontinuité se produira alors dans le diagramme des moments.
40
Il importe ici de bien se rappeler que T est la dérivée de M, donc de l'importance du signe de T, et surtout de la variation du signe de T. Une discontinuité dans le graphe de T n’entraînant pas de variation de signe de T (comme dans le dernier schéma) provoquera donc un point d’inflexion dans le graphe de M. Si la discontinuité entraîne un changement de signe de T, en passant d'un T positif à un T négatif, cela entraînera un maximum (ou un minimum) dans le graphe de M, ce qui du point de vue de la Mécanique nous donnera une section fortement sollicitée en flexion.
p. 56
36.2.1
Exercice résolu 1 Reprenons la première poutre pour laquelle nous avons déterminé les diagrammes des efforts intérieurs, et appliquons-lui cette méthode de détermination rapide.
Déterminons d’abord les réactions aux appuis; exprimons l’équilibre global de la poutre : 4 kN
A
B RAy
RBy
Σ Fy = 0 = RA -4 + RB (1) Σ M0 = 0 = - 6.4 + 10.RB -> RB = 2,4 kN (2) (2) -> (1) RA = 1,6 kN Passons ensuite aux diagrammes des efforts intérieurs On détermine les deux coupes types en x : pour 0 < x < 6m, et 6m < x < 10m. Que peut-on dire du graphe de T ? T = To + (l'aire négative sous la courbe de charge entre x0 et x) ; la force répartie étant nulle, on a donc T = To. En x=6m, la force ponctuelle entraînera un saut vers le bas de 4kN. Le graphe de T consistera donc en deux segments de droites horizontales, de part et d’autre de x = 6m. Pour le tracer, commençons par l’extrémité gauche de la poutre. En x=0, l’équilibre vertical du segment impose que 1,6 kN – T = 0. Donc, T = 1,6kN.
Mx Nx
0 x Tx 1,6 kN
T(x)
Nous pouvons donc à présent tracer le graphe de T : Pour 0 < x < 6m, un segment de droite horizontal en T=1,6kN, puis en x=6m, un saut de 4kN vers le bas, et enfin, pour 6m < x < 10m, un autre segment de droite horizontal en T= -2,4kN.
x
1,6 kN
6m
0
-2,4 kN
Concernant le graphe de M, on sait qu’il est l’intégrale du graphe de T. La primitive d’une constante est une droite (M = M0 + (l'aire sous le diagramme des efforts tranchants entre x0 et x). Nous pouvons donc dire que le graphe de M sera composé de deux segments de droite. Du type M = a.x + b avec a = 1,6 pour le premier segment, et a = -2,4 pour le second segment. Que vaut b dans chaque cas ? En reprenant à présent l’équilibre du tronçon de poutre précédent de longueur dx, on déduit que M0 = 0 ; b est donc nul lui aussi puisque M0 = 0 = 1,6.0 + b. Mx Nx
x
10
Tx
En tenant le même raisonnement, pour un segment de longueur dx à l’autre extrémité de la poutre, on déduit que M10 = 0. Dans ce cas, M10 = 0 = -2,4.10 + b et donc, b = 24
2,4 kN
M=
M(x) 0
Mmax = 9,6 kN.M M =2, 4 1,6x 6m
x-
24
10m
Nos deux expressions de M valent donc : Pour 0 < x < 6m, M = 1,6x Pour 6 < x < 10m, M = -2,4x + 24
p. 57
36.2.2 Exercice résolu 2 1500kg
500kg/m
500kg/m
A
Etudions la poutre soumise au cas de charges ci-contre par cette méthode de détermination rapide.
B RAy
RBy
Déterminons d’abord les réactions aux appuis; exprimons l’équilibre global de la poutre; par symétrie du cas de charges et de la poutre, nous tirons RAy = RBy = 1750 kg Passons ensuite aux diagrammes des efforts intérieurs On détermine quatre coupes types. Que peut-on dire du graphe de T ? T = To + (l'aire négative sous la courbe de charge entre x0 et x) ; la force répartie est égale à 500kg/m; en étudiant l'équilibre d'un tronçon gauche au voisinage de x=0, on tire que T0=0, on a donc T = -500.x jusqu'en x=2m (T = 500.2 = -1000kg)
Mx Nx
0 x Tx
En x=2m, la force ponctuelle entraînera un saut vers le haut de 1750kg. On aura donc T = -1000+1750 = 750kg On a donc pour 2<x<7, T = 750kg, aucune nouvelle force extérieure n'étant appliquée sur notre tronçon gauche étudié.
1000
750kg
T(x)
En x=7, nouvelle force ponctuelle appliquée, nouveau saut du graphe de T, de 1500kg vers le bas: T= 750-1500 = -750kg En x=12, nouvelle force ponctuelle appliquée, de 1750kg vers le haut: T= 750+1750 = 1000kg
0
1000
750kg
Mx Nx
x 14 Tx
De 12<x<14, application d'une force répartie de 500kg/m. Donc, T = -500.x + constante. Que vaut cette constante? Sachant que T12 = 1000, on tire 1000 = -500.12 + constante, la constante vaut donc 7000. -> T= -500.x+7000 Enfin, T14=-500.14+7000=0. On le vérifie en étudiant l'équilibre d'un tronçon droit au voisinage de x=14m Le graphe de M est l'intégrale du graphe de T. On a donc: 0<x<2, T= -500.x -> M = -250.x² + cste M0 = 0 = -250.0² + cste -> cste = 0 M = -250.x² Traçons son graphe. L'expression est du type a.x² + b.x + c, d'une parabole.41 Dans notre cas, on déduit donc que: 1- M sera maximum en x=-b/2a=0 2- Δ = 0 -> une seule racine en x= (-b + √Δ )/ 2a =0 3- A=-250 <0 donc la parabole est "tournée vers le bas" On trace ainsi l'allure de la parabole En x=2, M= -250.2² = -1000. Aucun moment n'étant appliqué, le graphe de M y sera continu. Continuons notre progression: 2<x<7, T= 750 -> M= 750.x + cste Puisque M2= -1000 = 750.2 + cste, on déduit que cste = -2500 -> M = 750.x – 2500 En x=7, aucun moment n'étant appliqué, le graphe de M y sera continu. -> M7= 750.7 – 2500 = 2750
41
Voir les propriétés de la parabole en Annexe 1
p. 58
Pour 7<x<12, T= -750 -> M= -750.x + cste Puisque M7= 2750 = -750.7 + cste -> cste = 8000 -> M = -750.x + 8000 En x=12, aucun moment n'étant appliqué, le graphe de M y sera continu. -> M12= -750.12 + 8000 = -1000 Mx Nx
x 14 Tx
Mmax = 2750 kg.M
M(x)
0
14m 1000
36.2.3
1000
Pour 12<x<14, T= -500.x + 7000 -> M= -250.x² + 7000.x + cste Puisque M12= -1000 = -250.12² + 7000.12 + cste -> cste = -49000 -> M = -250.x² + 7000.x – 49000 -> M14 = -250.14² + 7000.14 – 49000 = 0 On le vérifie en étudiant l'équilibre d'un tronçon droit au voisinage de x=14m Traçons le graphe correspondant à cette équation: l'expression est du type a.x² + b.x + c, d'une parabole. Dans notre cas, on déduit donc que: 1- M sera maximum en x=-b/2a=14 2- Δ = 0 -> une seule racine en x= (-b + √Δ )/ 2a = 14 3- A=-250 <0 donc la parabole est "tournée vers le bas" On trace ainsi l'allure de la parabole.
Exercices non résolus
10 tonnes.m
7500 kg.m
p. 59
37
SUPERPOSITION DES DIAGRAMMES MNT
Soit une poutre isostatique sur deux appuis quelconques. Chargeons la, suivant deux cas de charges quelconques : Cas α :
F1
F2
q1
F.... Fk-1 q ... qn
A
Fi qj
(F1, …., Fk ) (q1, …., qn ) JG G k JG n JG JG JG ∑ Fy = 0 = ∑ Fi + ∑ R q j + R A y ,α + RBy ,α (1)
Fk
i=1
B
j=1
JJJG avec R q j la résultante de la force répartie qj. JJG
G
k
JG
JG
n
G
JG
JJG
JG
JJG
JG
∑ M0 = 0 = ∑ xi ∧ Fi + ∑ rj ∧ R qj + x A ∧ R A y ,α + xB ∧ RBy ,α (2) i=1
qn+1
Fk+1
F....
q ...
G avec xi le bras de levier de la force Fi par rapport au pôle O JG rj le bras de levier de la force R q j par rapport au pôle O
Fr
qs
j=1
Cas β :
B
A
Fi qj
(Fk+1, …., Fr ) (qn+1, …., qs ) G G r JG s JG JG JG ∑ Fy = 0 = ∑ Fi + ∑ R q j + R A y ,β + RBy ,β (3) i=k+1
j=n+1
JG G r G G s G JG G JG G JG ∑ M0 = 0 = ∑ xi ∧ Fi + ∑ r j ∧ R q j + x A ∧ R A y ,β + xB ∧ RBy ,β (4) i=k+1
j=n+1
Si on combine à présent les deux cas de charges α et β sur notre poutre, que peut-on dire des réactions d'appuis en A et B, JG JG R A y ,α+β et RBy ,α+β ? Les équations d'équilibre nous donnent : G G r G s JG JG JG ∑ Fy = 0 = ∑ Fi + ∑ R q j + R A y ,α+β + RBy ,α+β (5) i=1
j=1
JG G r G G s G JG G JG G JG ∑ M0 = 0 = ∑ xi ∧ Fi + ∑ r j ∧ R q j + x A ∧ R A y ,α+β + xB ∧ RBy ,α+β (6) i=1
j=1
Si on décompose l'équation (5), on a : JG G k G r JG n JG s JG JG JG ∑ Fy = 0 = ∑ Fi + ∑ Fi + ∑ R q j + ∑ R q j + R A y ,α+β + RBy ,α+β i=1
ou G 0=
G
k
i=k+1
n
JG
∑ Fi + ∑ R q j
j=1
r
+
j=1 J G J G (1) ⎯⎯ → = −R A ,α − RB ,α y y
j=n+1
JG
s
JG
JG
JG
∑ Fi + ∑ R q j + R A y ,α+β + RBy ,α+β
i=1
i=k+1
j=n+1 JG JG
(3) ⎯⎯ →=−R A
y ,β
−RBy ,β
JG JG JG JG JG JG → R A y ,α+β + RBy ,α+β = R A y ,α + RBy ,α + R A y ,β + RBy ,β (7)
Si on décompose de la même manière l'équation (6), on tire : JG G k G G r G G n G JG s G JG G JG G JG ∑ M0 = 0 = ∑ xi ∧ Fi + ∑ xi ∧ Fi + ∑ r j ∧ R q j + ∑ r j ∧ R q j + x A ∧ R A y ,α+β + xB ∧ RBy ,α+β ou i=1
G 0=
i=k+1
j=1
j=n+1
G G n G JG r G G s G JG G JG G JG + ∑ xi ∧ Fi + ∑ r j ∧ R q j + x A ∧ R A y ,α+β + xB ∧ RBy ,α+β ∑ xi ∧ Fi + ∑ r j ∧ R q j i=1 j=1 i=k+1 j=n+1 G JG G JG G G JG
JG x xB ∧RBy ,β (2) ⎯⎯ (4) ⎯⎯ → = − x A ∧ R A ,α − xB ∧ RB ,α →=− ∧ − R A A ,β y y y k
G JG JG G JG JG G JG G JG → x A ∧ (R A y ,α + R A y ,β ) + xB ∧ (RBy ,α + RBy ,β ) = x A ∧ R A y ,α+β + xB ∧ RBy ,α+β (8)
de ces deux équations (7) et (8), on tire :
p. 60
JG JG JG R A y ,α+β = R A y ,α + R A y ,β JG JG JG RBy ,α+β = RBy ,α + RBy ,β
Les réactions aux appuis du cas de charges composé valent donc la somme des réactions aux appuis des cas de charges α et β! Si on s'intéresse à présent aux efforts intérieurs à la poutre en un point x quelconque de la poutre soumise aux deux cas de charges séparément, qu'obtient-on ?
Étudions l'équation du tronçon gauche. Cas α :
F1
F2 Fe
q1
Soit e, l'indice de la force ponctuelle dont le point d'application xe est le plus proche de x en lui étant inférieur. Soit f, l'indice de la force répartie dont la plage d'application comprend x.
qf Mx
L'équilibre du tronçon nous donne : JG G e JG f JG JG G ∑ Fy = 0 = ∑ Fi + ∑ R q j + R A,α + T α (9)
Nx
A
Tx
i=1
j=1
JJG G e JG JG f G JG JJG JG JG ∑ M0 = 0 = ∑ xi ∧ Fi + ∑ rj ∧ R qj + x A ∧ R A,α + Mα (10) i=1
j=1
Avec :
G xi le bras de levier de la force Fi par rapport au pôle en x JG rj le bras de levier de la force R q j par rapport au pôle en x Cas β :
Fk+1
qn+1
qh
Soit g, l'indice de la force ponctuelle dont le point d'application xg est le plus proche de x en lui étant inférieur. Soit h, l'indice de la force répartie dont la plage d'application comprend x.
Fg Mx
L'équilibre du tronçon nous donne :
Nx
A
Tx
g
h
i=k+1
j=n+1
∑ Fy = 0 = ∑ Fi + ∑ R q j + R A,β + Tβ (11) g
h
i=k+1
j=n+1
∑M 0 = 0 = ∑ x i ∧ Fi + ∑ rj ∧ R q j + x A ∧ R A,β + Mβ (12)
Si à présent on considère la poutre soumise aux deux cas simultanément, l'équilibre de ce même tronçon nous donne : g JG e G f JG h JG JG G JG G A,α+β + T α+β ∑ Fy = 0 = ∑ Fi + ∑ R q j + ∑ Fi + ∑ R q j + R JG JG i=1 j=1 i=k+1 j=n+1 G JG
G JG =R A,α +R A,β →=−Tβ −R A,β (11) ⎯⎯ → = −T α − R A,α (9) ⎯⎯ G G G → T α+β = T α + Tβ (13)
JG
G
e
G
G
f
G
JG
g
G
G
h
G
JG
G
JG
JG
∑ M0 = 0 = ∑ xi ∧ Fi + ∑ r j ∧ R q j + ∑ xi ∧ Fi + ∑ r j ∧ R q j + x A ∧ R A y ,α+β + Mα+β i=1
j=1 JG
G JG → = − x A ∧ R A,α − Mα (10) ⎯⎯
i=k+1
j=n+1
G JG JG →=−x A ∧R Aβ −Mβ (12) ⎯⎯
JG JG =R A,α +R A,β
G G JG JG G JG JG G JG G JG JG 0 = x A ∧ R A y ,α − Mα − x A ∧ R Aβ − Mβ + x A ∧ R Aα + x A ∧ R Aβ + Mα+β JG JG JG → Mα+β = Mα + Mβ (14)
(13) et (14) nous prouvent qu'on peut superposer les diagrammes des efforts intérieurs de cas de charges appliqués à une même poutre pour obtenir les diagrammes des efforts intérieurs correspondant au cas des charges composés!
p. 61
37.1.1 Exercice résolu On désire déterminer rapidement les diagrammes MNT du cas de charges suivant.
Solution On observe que ce cas de charge est la combinaison de deux cas de charges élémentaires. On peut ainsi déterminer les diagrammes par combinaison. 100kg 50kg/m
125 100kg
50x
50kg
T 50kg
M -50kg
50kg
125kg
50kg/m
-25x²+125x -50x+125
T 125kg
M -125kg
125kg
175kg 100kg
-50x+175
-25x²+175x
50kg/m
T 175kg
M
175kg -50x+75
p. 62
-50x+250
-175kg
-25x²+75x+250
38
OPTIMISATION D'UNE POUTRE 0,3 kg/cm
A
C
B
D
0,3 kg/cm RBx
A
RBy
RCy
On désire créer une étagère constituée de planche donnée de 60cm de longueur, posée sur deux appuis et soumise à une charge répartie de vêtement de 0,3kg/cm. On cherche la position symétrique idéale des appuis pour limiter la flèche de la planche.
D
La flèche étant le déplacement vertical que prend tout point de la poutre suite à l'action des efforts extérieurs appliqués, on comprend qu'elle est liée à la rotation des différents tronçons de poutre les uns par rapport aux autres, ce qu'exprime le moment de flexion. Ainsi, réduire la flèche reviendra à limiter le moment de flexion.42 Étude de l’équilibre global de la poutre chargée.
0,3 kg/cm RBx
A
RBy
RCy
D
18 kg A
9 kg
9 kg
D
Etude des efforts intérieurs induits.
0,3 kg/cm
9 kg
A
0,3 kg/cm
9 kg
D
Mx
Tx Mx
Σ FY = 0 = - x . 0,3 – T → T = -0,3. x
x
B
Σ MX = 0 =M + x / 2 . x . 0,3 → M = - 0,15 x2
x
B
x Tx
x.0,3 0 -0,3.x
M(x)
On observe trois coupes types Aucune force horizontale n’intervenant, on déduit que NX = 0 ∀ x Coupe 1 :
x
T(x)
Σ FX = 0 = RAX Σ FY = 0 = RAY + RBY - 0,3 . 60 (1) Σ MA = 0 = -(60/2 – d). 0,3 . 60 + (60 – 2.d). RBY→ RBY= 0,3 . 60 / 2 (2) (2) dans (1)→ RAY= 0,3 . 60 / 2
0
-0,15.x²
0,3 kg/cm A
Mx x
9 kg
Tx Mx
x
A 9 kg 0,3.x
Tx
-0,3.x + 9
T(x)
0
Coupe 2 : Σ FY = 0 = - x .0,3 – T + 0,3 .60 / 2 → T = -0,3. x + 9 Σ MX = 0 =M + x / 2 . x . 0,3 – (x - d) 9 → M = - 0,15 x2 + 9 . x – 9 .d
B
-0,3.x -0,15.x² + 18.x - 9.d
M(x)
0
B
-0,15.x²
42
pour une même poutre et un même matériau. p. 63
Coupe 3 :
Mx A
9 kg
9 kg
9 kg
0,3.x -0,3.x + 9
0
Σ FY = 0 = - x . 0,3 – T + 9 + 9 → T = -0,3. x + 18
Tx
Mx
x
A
T(x)
x
9 kg
Σ MX = 0 =M + x / 2 . x . 0,3 – (x - d) 9 – (x – (60 - d) ) . 9 → M = - 0,15 x2 + 18 x – 540
Tx
-0,3.x + 18
B
-0,3.x
-0,15.x² + 18.x - 9.d
M(x)
0
B
-0,15.x²
-0,15.x² + 18.x - 540
Nous vérifions que : dT / dx = -q et que dM / dx = T aucun moment n'étant appliqué ponctuellement, le graphe de M sera continu. Nous le vérifions : - en x = d pour la coupe 1 : M = -0,15 d² pour la coupe 2 : M = -0,15 d² + 9d – 9d - en x = 60-d pour la coupe 2 : M = -0,15 (60-d)² + 9(60-d) -9d M = -0,15 (60-d)² -18d + 540 pour la coupe 3 : M = -0,15 (60-d)² + 18(60-d) - 540 M = -0,15 (60-d)² -18d + 540 Observons les graphes de T et M pour sept valeurs de d, de d=0 à d=30cm
d =0
d =5
d = 10
d = 15
d = 20
d = 25
d = 30
p. 64
On se rend compte que le moment maximal minimal correspond à la configuration où les valeurs absolues des moments sont égales : IM1I = IM2I On peut donc écrire pour la distance didéal correspondant: pour M1, on est dans la coupe 1, donc, M1 = 0,15 didéal ² pour M2, on est dans la coupe 2, donc M2 = - 0,15. 30² + 9.30 – 9.didéal donc, 0,15 didéal ² = - 0,15. 30² + 9.30 – 9.didéal ou 0,15 didéal ² + 9.didéal – 135 = 0 , équation de second degré en didéal Δ = 9² - 4. 0,15 . (-135) = 162
X1
X2
Les deux solutions à cette équation sont: = ( - 9 + √162 ) / 2 . 0,15= 12,43 cm didéal = ( - 9 - √162 ) / 2 . 0,15< 0 impossible On a donc un didéal égale à 12,43cm. Dans le graphique de M, on observe 2 points x1 , x2 où M = 0. Que valent-ils? M = 0 = -0,15 x² + 9 x – 9. 12,43 , équation du second degré en x Δ = 9² - 4. (-0,15) . (-111,87) = 13,88 x
= ( - 9 + √13,88 ) / 2 . (-0,15)= 42,42 cm = ( - 9 - √13,88 ) / 2 . (-0,15)= 17,58 cm
en ce deux points, le moment est donc nul ! On peut donc assimiler la liaison entre les 2 tronçons de la poutre à une rotule! (L'action du tronçon gauche sur le tronçon droit se limitant à un effort T) La poutre devient alors un assemblage de trois tronçons de poutre, tout en gardant les mêmes diagrammes d'efforts intérieurs! C'est ainsi que sont conçus de nombreux ponts dits "Cantilever" (ou "Gerber")
Tronçon 1
Tronçon 2 Appuis
Tronçon 3
Le pont ci-dessous, sur l'autoroute E42, à hauteur de la sortie 14 en est un bel exemple. Il est constitué de ces deux appuis verticaux sur lesquels sont posés trois tronçons de ponts. Les liaisons entre ces trois tronçons se fait par appuis simples (voir flèches), la partie centrale du pont est simplement posée sur les deux autres.
p. 65
39
EXERCICES RÉSOLUS 53. Déterminez la distribution des efforts tranchants et celle des moments fléchissants dans la poutre causées par la charge concentrée. Quelles sont les valeurs de l'effort tranchant et du moment fléchissant pour x = L/2
54. Dessinez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants de la poutre en console chargée.
55. Dessinez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants de la poutre soumise à une charge uniformément répartie et trouvez le moment fléchissant maximal Mmax.
56. Dessinez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants de la poutre chargée et déterminez la valeur du moment maximal Mmax.
57. Construisez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre chargée par la force de 2 kN et le couple de 1,6 kN.m.
58. Dessinez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre encastrée sur laquelle est appliquée une charge uniformément répartie et indiquez le moment fléchissant MA à l'appui A.
59. Dessinez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre du problème 42 reproduite ci-contre et indiquez l'effort tranchant T et le moment fléchissant M pour une section transversale se trouvant à 3 m à gauche de l'appui A.
60. Déterminez le moment fléchissant maximal Mmax et la valeur correspondante x de la poutre de la grue à portique et indiquez la section dans laquelle ce moment agit. p. 66
61. Dessinez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre ci-contre et indiquez l'effort tranchant T et le moment fléchissant M pour une section transversale se trouvant à 6 m à gauche de l'appui A. Déterminez le moment fléchissant maximal Mmax.
62. Un panneau d'affichage est fixé sur deux poteaux plantés dans du béton en A et en B. Déterminez le moment M que le béton exerce sur chaque poteau en A et en B durant un orage quand la vitesse du vent est de 100 km/h. La pression de l'air (appelé pression de stagnation) contre la surface verticale correspondant à une telle vitesse du vent est 1,4 kPa (103 N/m2).
p. 67
P A R T I E 6 - C A S P R AT I Q U E S
"ÂŤLa technologie de la construction est une science, mais sa pratique est un artÂť
A. Roderick Males in Cowan H., Wilson F., Structural Systems, New-York,Van Nostrand Reinhold, 1981
p. 69
40
CAS RÉSOLUS 40.1 TRANSFORMATION - SUPPRESSION D’UN MUR Dans le cadre de la rénovation d’une habitation, on désire réunir deux pièces contiguës selon le plan ci-contre. Les poutres 1 et 2, en bois, ont une section de 30 x 30 cm (Pv = 800 kg/m³), le plancher qu'elles portent est constitué de solives recouvertes de panneaux à base de bois avec revêtement mince rapporté Ps = 55 kg/m². Déterminer le type de charges (ponctuelle ou répartie) que reprend ce mur à abattre, et quantifiez-les. Déterminer ensuite la section la plus sollicitée en flexion, et calculez la valeur du moment de flexion maximal. RESOLUTION Partie 1 – Détermination du schéma statique
Analysons les charges reprises par le mur à abattre. Quand on observe le schéma structurel, on observe que les solives du plancher sont portées par les murs latéraux, et par les poutres transversales 1 et 2 au centre du plancher. Ces poutres reposent sur le mur central. Tout d’abord analysons les charges reprises par chacune des poutres. Charge reprise par la poutre 1 :
Poids propre de la poutre : pv1 = 800kg/m³ . 0,3m . 0,3m = 72 kg/m La répartition des charges sur les différents éléments se fait suivant le schéma ci-contre. On obtient ainsi une charge linéique q1 sur la poutre 1. q1 = (55 kg/m² + 200 kg/m²) . 6 m . 2/4 q1 = 765 kg/m La poutre 1 reprend donc une charge linéique total : qP1 = 72 kg/m + 765 kg/m = 837 kg/m
Charge reprise par la poutre 2 :
On observe la même répartition des charges pour la poutre 2, on a donc : qP2 = 72 kg/m + 765 kg/m = 837 kg/m
Ensuite, analysons les charges des poutres 1 et 2 transmises sur le mur étudié.
On a deux poutres bi-appuyées chargée uniformément, on a donc la force de réaction aux appuis suivante :
p. 70
Rappui = 837 kg/m .6m / 2 = 2511 kg De même avec la poutre 2, on a donc deux forces ponctuelles sur le mur à abattre qui sont les réactions d’appuis des poutres 1 et 2 : 2511 kg + 2511 kg = 5022 kg. Si l’on veut donc supprimer ce mur, il faut placer un élément structurel, soit une poutre ou une colonne, capable de reprendre une charge ponctuelle de 5022 kg. Partie 2 – Détermination des diagrammes MNT
Étude de l’équilibre global de la poutre chargée.
5022kg
2511kg
2511kg
Σ FX = 0 = RAX Σ FY = 0 = RAY + RBY - 5022(1) Σ MA = 0 = -3 . 5022 + 6. RBY→ RBY= 2511 kg(2) (2) dans (1)→ RAY= 2511 kg On observe également que le chargement et la géométrie de la poutre étant symétriques, les réactions aux appuis le seront aussi.
Mx Nx
0 x Tx 2511kg
Etude des efforts intérieurs induits.
2511kg
On observe deux coupes types
T Aucune force horizontale n’intervenant, on déduit que NX = 0 ∀ x -2511kg 7533kg.m 2511x
M
L'étude de l'équilibre d'un infime tronçon gauche de poutre montre que T0 = 2511 kg et que M0 = 0 kg.m
-2511x + 15066
On trace dès lors le graphe de T, constant jusqu'en x = 3; une force ponctuelle apparaît en 3; un saut dans le graphe de T en découle. Enfin, une dernière force ponctuelle est appliquée en x = 6, qui correspond au dernier saut du graphe de T.43 Le graphe de M se déduit du graphe de T: il sera composé de deux tronçons de droite: Pour 0 < x < 3 : M = 2511x + cste; or M0 = 0 -> cste = 0 et on tire que M3 = 2511.3 = 7533 kg.m -> M = 2511x Pour 0 < x < 6m : M = -2511x + cste; or, aucun moment ponctuel n'étant appliqué en x=3, le graphe de M sera continu; on peut donc dire que M3 = 7533 = -2511.6 + cste -> cste = 15066 -> M = -2511x + 15066 On vérifie qu'on a bien M6 = 0 kg.m
43
Une bonne façon de le vérifier la valeur de T et M en extrémité de poutre est d'étudier l'équilibre d'un infime fragment droit de la poutre, comme nous l'avons déjà vérifié plusieurs fois. p. 71
40.2 EXTENSION D’UNE HABITATION Dans le cadre d’une extension d’une habitation44, évaluez les efforts intérieurs à une solive type du plancher inférieur de cette annexe en sachant que : Cette annexe est constituée de 11 portiques parallèles en bois avec un entre axe de 60cm entre-eux et posés sur deux poutres transversales en lamellé-collé reposant elles-mêmes sur 4 pilotis en béton. La toiture est constituée de 10 travées. Une travée sur deux de la toiture est constitué de panneaux à base de bois avec revêtement mince en zinc rapporté Ps = 65 kg/m² et les autres travées sont constituées de panneaux de verre (pV = 55 kg/m²) surcharge exploit. : 100kg/m² / Charges de neige : 55daN/m² Les portiques sont réalisés avec des éléments structurels en bois (Pv = 800 kg/m³) : 11 solives supérieures de section 8cm X 23cm et 20 poteaux de section 7.5cm x 22.5cm d’une hauteur de 3m entre distant de 4,2m. L’enveloppe de l’annexe du coté jardin et du coté terrasse est composée de vitrage (Pv = 55 kg/m²) tandis que l’enveloppe du coté mitoyen est constituée de panneaux en polycarbonate (Pv = 30 kg/m²) Le plancher de l’annexe est constitué de solives de section 8cm x 23cm (entre axes de 60cm) recouvertes de panneaux à base de bois avec revêtement mince rapporté Ps = 85 kg/m². Les solives reposent sur 2 poutres longitudinales en lamellé-collé de section 20cm x 60cm (Pv = 1300 kg/m³) et d’un entre axe de 3,70m. Les fondations sont constituées de 4 pilotis en béton armé (Pv = 2400 kg/m³) de section 50cm x 50cm sur une hauteur de 80cm.
RESOLUTION Partie 1 – Détermination du schéma statique de la poutre
poteau 7.5/22.5
panneaux e polycarbona
poutre 7.5/22.5
Analysons une solive du portique :
Selon le schéma de répartition des charges, chacune des solives des portiques reprend d’une part une demi travée de toiture de verre et d’autre part une autre demi travée de toiture en bois, on a donc :
vitrage
Le poids propre de la solive : pv1 = 800 kg/m³ . 0,075m . 0,225m = 14,72 kg/m charge due aux panneaux de verre : qverre = (55 kg/m² + 100 kg/m² + 55 kg/m²) . 0,6m / 2 = 63 kg/m charge due aux panneaux de bois recouvert de zinc : qverre = (65 kg/m² + 100 kg/m² + 55 kg/m²) . 0,6m / 2 = 66 kg/m On observe donc une charge linéaire totale de 143,72 kg/m sur la solive d’une longueur de 4,1m + (2. 0,3m) = 4,7m
Charge transmise aux poteaux Cette solive repose sur deux poteaux en bois de section 7.5cm x 22.5 cm 44
Architecte: Bouquelle, Stabilité: JZH. Source A+ n°199
p. 72
sur 3m de haut.
poutre 8/23
panneaux en polycarbonate vitrage
poteau 10/30
poutre en lamellé collé
La poutre transmet sa charge linéique q1 en une charge ponctuelle Q1 sur chaque poteau, on a : Q1 = q1 . l / 2 Q1 = 143,72 kg/m . 4,7m / 2 Q1 = 337,74 kg A cela, il faut ajouter le poids propre du poteau : pp = 800 kg/m³ . 0,225m . 0,075m . 3m pp = 72 kg Globalement, les charges de la toiture et de la structure sont transmises par une charge ponctuelle de 72 kg + 337,74 kg = 409,74 kg en chaque pied de poteau.
solives + plancher
pilotis en béton armé
Charges dues au vitrage vertical
Pvitrage = 55 kg/m² . 3m Pvitrage = 165 kg/m
q 1 = 143,72 kg/m
Charges dues au polycarbonate vertical
Ppolycarbo = 30 kg/m² . 3m Ppolycarbo = 90 kg/m Q1
Q1
Q1
Q1
Qj
Qm
Les charges linéaires dues au vitrage et au polycarbonate sont reprises par les solives constituant le plancher sous forme de charge ponctuelle, on a donc : D’une part 165 kg/m . 0,6m = 99 kg pour le coté vitré ; Et d’autre part 90 kg/m .0,6m = 54 kg pour le côté en polycarbonate.
Actuellement, on a sur la solive du plancher, une charge ponctuelle à chaque extrémité : Qj = 409,74 kg + 99 kg = 508,74kg du côté jardin Qm = 409,74 kg + 54 kg = 463,74kg du côté mitoyen
Charges dues au plancher
qplancher = (85 kg/m² + 200 kg/m²) . 0,6m qplancher = 171 kg/m Qj
q
Qm
Les solives constituant le plancher reprennent aussi leur poids propre : 800 kg/m³ . 0,225m . 0,075m = 14,72 kg/m
Globalement sur les solives, on a : - une charge linéaire de (171 kg/m + 14,72 kg/m) soit 185,72 kg/m sur toute la longueur ; - une charge ponctuelle à gauche de 508,74 kg ; - une charge ponctuelle à droite de 463,74 kg.
p. 73
Partie 2 – Détermination des MNT de cette solive
On optera par exemple pour la superposition de deux cas simples, puis à la composition de ces deux cas pour obtenir par addition les diagrammes de T et de M. On obtient ainsi:
509kg
464kg
464kg 8kg
T 517kg
456kg
M
-509kg 464.x-2181
-509.x
-305kg.m
-277kg.m
8.x-310
Mmax = 251kg.m -93.x²+437x-262
325kg
186 kg/m 437kg
509kg
437kg
186 kg/m
T -186.x -112kg
112kg -186.x+874
M -93.x²
-325kg
-93.x²+874x-2053 -33kg.m
-33kg.m
-186.x+1338
464kg
-186.x+445 T
954kg
-186.x+437
M
893kg
-40 -186.x-509 -93.x²+1338x-4234 -93.x²-509.x
-93.x²+445x-572
-310 -339
p. 74
41
CAS NON RÉSOLUS 41.1 SALLE DE COURS 102 Déterminez rapidement les diagrammes MNT d'une des poutres de 7,5 mètre soutenant la toiture de l'auditoire 102 de l'institut. Précisez la section la plus sollicitée en section ainsi que la valeur du moment dans celle-ci. La toiture, dont l'usage montre qu'elle peut être soumise à une surcharge d'exploitation de 100kg/m², est composée de hourdis. Leur poids propre, ajouté à celui des surcharges permanentes, atteignent les 330 kg/m². Dans le cadre de cet exercice, on considérera que la poutre continue de 12,5 m est constituée de deux poutres isostatiques de 5 m et 7,5 m mises bout à bout. Elle a une section de 20cm de base et de 60cm de haut. L'entre-axes des poutres est de 5m. Le poids volumique du béton armé est de 2,5.103 kg/m3. Tableau
poutre colonne
poutre colonne
poutre colonne
poutre colonne
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41.2 COUVERTURE DE GARAGE À AUTOCARS On demande de déterminer les diagrammes d'efforts intérieurs aux poutres transversales de type IPE 300 de la couverture du garage à autocars ci-contre. Outre les dimensions figurant sur le plan et la coupe ci-dessous, les données sont les suivantes:
Poids propre des IPE 300: 43,05 kg/m Poids propre des poutrelles HEB 140: 34,36 kg/m Poids propre de la toiture: 55 kg/m² Charge de neige: 55 kg/m²
On considérera que ces poutres sont liées de façon isostatique en leurs extrémités aux colonnes qui les supportent.
poutre IPE300
poutre IPE300
poutrelle HEB140
poutre IPE300
poutre IPE300
poutrelle HEB140
poutre IPE300
poutre IPE300
poutre IPE300
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41.3 MEZZANINE
Revêtement solive Poutre
Mur
Dans le cadre d'un projet de rénovation d'une habitation, vous avez à réaliser la structure d'une mezzanine en bois de 3m par 4m. La structure sera constituée de solives en bois (de poids volumique 800kg/m³), de 50 cm d'entre-axes, et recouverte d'un revêtement en bois (poids surfacique du panneau: 20kg/m²). Ces solives de 300cm de long, et de section 5cm x 15 cm, sont fixées à leur extrémité droite au mur bordant la pièce (appui simple), et reposent sur une poutre espacée de 200cm de ce mur, de sorte qu'elles possèdent un porte-à-faux de 1m (voir schéma ci-joint).
Mur
La poutre de support, de section 8cm par 23 cm (de poids volumique 800kg/m³), est considérée comme simplement appuyée aux deux murs latéraux.
solive
Déterminez (qualifier et quantifier) toutes les efforts intérieurs à la poutre.
Poutre
solive
Mur
Mur
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PARTIE 7 - ANNEXES
"Il ne suffit pas d'étudier toutes les théories de résistance et tous les modes de calcul. Il est nécessaire d'absorber tous les détails et toutes les expérimentations, jusqu'à ce qu'ils deviennent familier, par une solution formelle naturelle et intuitive, avec tous les phénomènes de l'effort et de la déformation"
Eduardo Torroja
Torroja E., Les structures architecturales - Leur conception - Leur réalisation', Eyrolles, Paris, 1969.
p. 79
42
ANNEXE 1 – RAPPELS MATHÉMATIQUES
42.1 LA PARABOLE
Annexe 1 – Rappels mathématiques
A-1
A-2
43
ANNEXE 2 – GRANDEURS ET UNITÉS
GENERALITES Préfixes des unités S.I. Facteur de multiplication 1 000 000 000 = 1 000 000 = 1 000 = 100 = 10 = 0,1 = 0,01 = 0,001 = 0,000 001 = 0,000 000 001 =
Préfixe giga méga kilo hecto déca déci centi milli micro nano
109 106 103 102 10 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9
Symbole G M k h da d c m μ n
QUELQUES CONVENTIONS D'ÉCRITURE DES GRANDEURS MÉTRIQUES 1. a) Servez-vous des préfixes pour garder vos valeurs numériques entre 0,1 et 1 000. b) Évitez autant que possible les préfixes hecto, deca, déci et centi, sauf pour certaines surfaces ou certains volumes dont les valeurs seraient trop bizarres. c) N'utilisez des préfixes que dans le numérateur des expressions, sauf pour le kilogramme. (Exemple: écrivez kN/m et non N/mn; J/kg et non mJ/g.) d) Évitez les doubles préfixes (Exemple: écrivez GN et non kMN.) 2. Désignations des unités a) Employez un point pour multiplier les unités. (Exemple: écrivez N.m et non Nm.) b) Évitez les doubles barres de division qui sèment la confusion. (Exemple: écrivez N/m2 et non N/m/m.) c) Les exposants s'appliquent à toute l'unité. (Exemple: mm2 signifie (mm)2.) 3. Groupement des chiffres. Séparez au moyen d'un espace, plutôt que d'un point, les groupes de trois chiffres, en comptant à partir de la virgule décimale et en groupant de part et d'autre. (Exemple: écrivez 4 607 321,048 72.)
43.1 UNITÉS ET GRANDEURS 10 Newton (N) = 1 Kg 1 Bar = 1 kg/cm² 1 Pascal (P) = 1 N/m²
43.2 POIDS SPÉCIFIQUES ρ ρ ρ ρ ρ
acier béton béton armé bois mur en maçonnerie
= = = = =
7,85.103 2,4. 103 2,5. 103 0,65.103 2. 103
kg / m3 kg / m3 kg / m3 kg / m3 kg / m3
43.3 POIDS PROPRE ET SURCHARGE PERMANENTE DES PAROIS HORIZONTALES ET DES TOITURES Dans le tableau ci-après, la valeur Q est le poids propre de la structure des parois horizontales et des toitures, augmenté de la surcharge permanente qui est fonction des revêtements des faces supérieures et inférieures de cette structure. Les valeurs indiquées représentent des ordres de grandeur courants et sont des exemples à utiliser lors du calcul de descente de charge. Dans la pratique, elles doivent être ajustées chaque fois qu'elles doivent servir à un calcul correspondant au cas réel.
Annexe 2 – Grandeurs et unités
A-3
Structure
Revêtement de la face supérieure
Q en daN/m2
1. Hourdis (+chape de compression) 2. Hourdis (+chape de compression) 3. Hourdis (+chape de compression)
Carrelage (et chape) Revêtement mince rapporté
240 360 330
4. Dalle B.A. 5. Dalle B.A. 6. Dalle B.A.
Carrelage (et chape) Revêtement mince rapporté
340 460 430
7. Solives (planchers)
Panneaux à base de bois + revêtement mince rapporté
55
8. Pannes (toitures) 9. Pannes (toitures) 10. Pannes (toitures) 11. Pannes (toitures)
Ardoises artificielles Ardoises naturelles Tuiles Plaques ondulées d'asbeste ciment
60 65 80 35
Toutes les faces inférieures sont supposées plafonnées ou revêtues de plaques de plâtre. S'il n'y a pas de finition de plafond prévue, il faut décompter 15 daN / m2. Rappel : Les surcharges d'exploitation ne sont pas comprises dans les valeurs Q indiquées ci-dessus.
43.4 POIDS PROPRE DES ÉLÉMENTS DES PAROIS VERTICALES EN MAÇONNERIE Briques de parement maçonnées
1800 daN/m3
Blocs de béton mi-lourd maçonnés Blocs de béton lourd maçonnés Blocs de béton cellulaire maçonnés Blocs de terre cuite cellulaire maçonnés Béton non armé Béton armé
1500 daN/m3 1800 daN/m3 750 daN/m3 1100daN/m3 2200 daN/m3 2400 daN/m3
Laine minérale (panneau semi-rigide de mur) Mousse de polystyrène expansé Mousse de polystyrène extrudé Mousse de polyuréthane
35 daN/m3 20 daN/m3 30 daN/m3 30 daN/m3
Plafonnage
1300 daN/m2
43.5 SURCHARGES D'EXPLOITATION SUR LES PLANCHERS ET ESCALIERS Classe Catégorie de locaux ou d'Immeubles
Charges
1
Locaux à faible densité d'occupation : - chambres d'hôtel ou d'hôpital, etc. - locaux d'habitation : appartements, flats, villas, maisons particulières - locaux privés d'immeubles de bureaux
2 kN/m2
2
Espaces à densité moyenne d'occupation : - couloirs, corridors et escaliers de maisons d'habitation - locaux publics d'immeubles de bureaux - salles de classas, auditoires et laboratoires d'enseignement - restaurants, cafés, bars, salons d'hôtel - salles communes d'hôpitaux, dortoirs - réfectoires d'établissements d'enseignement - tribunaux
3 kN/m2
3
Espaces à densité élevée d'occupation : - musées, galeries d'exposition - églises, chapelles - salles de lecture avec stockage réduit d'imprimés - salles de vente, locaux commerciaux, magasins de détail - halls de gare - salles publiques avec sièges fixés : théâtres, salles de concert, cinémas - tribunes avec sièges fixés
A-4
4 kN/m2
- balcons de toutes construction - couloirs, corridors, paliers et escaliers de locaux accessibles au public 4
5
Locaux à densité très élevée d'occupation avec possibilité d'action dynamique : - salles de réunions publiques avec sièges non fixés - salles de danse - tribunes debout ou avec sièges amovibles - couloirs, escaliers et passages, dans toute tribune - salles d'exercice et salles de gymnastique Locaux avec charges particulières : - garages particuliers pour véhicules jusqu'à 2,5 t, - parkings publics avec rampes d'accès
5 kN/m2
2,5 kN/m2 + 10 kN sur 10cm x 10cm 3 kN/m2 + 10 kN sur 10cm x 10 cm
43.6 CLASSIFICATION SOMMAIRE DES SOLS SELON LES CONTRAINTES ADMISSIBLES (CAPACITÉS PORTANTES) Nature du sol
Contrainte admissible [ daN/cm2 ]
Remarques
Vase, tourbe.
0,000
Prévoir des fondations sur pilotis.
Terre végétale, remblais.
0,500
Taux variable en fonction de la qualité des matériaux, de la compacité, et de l'épaisseur de la couche.
Argile aquifère.
0,300 à 1,000
Susceptible de tassements lents proportionnels à la teneur en eau. Exige une étude approfondie.
Sable très fin.
0,000 à 2,000
Terrain utilisable seulement lorsqu'il est contenu dans une enceinte de palplanches afin d'éviter son écoulement sous les charges. Sous réserve que ce sol ne puisse ni se dessécher, ni être saturé d'eau. En cas d'infiltration d'eau, réduire ces taux de 1/3.
Glaise sableuse, argile, sol de dureté 1,500 à 3,000 moyenne. Sables secs et graviers mélangés.
3,000 à 5,000
Réduire ces valeurs de % en eu de risques d'infiltration d'eau. Dito ci-dessus.
Marne, argile ou glaise, sol dur
3,000 à 5,500
Roches tendres, peu fissurées, saines, en 7,000 à 10,000 couches régulières. Roches dures, de bonne qualité, saines, 10,000 à 20,000 en couches régulières. Granits, gneiss, etc.
Annexe 2 – Grandeurs et unités
Ces valeurs peuvent être réduites de moitié pour les roches très fissurées. Dito ci-dessus. Le taux de travail admissible est limité à la valeur des maçonneries supportées.
A-5
44
ANNEXE 3 - RÉSOLUS DES EXERCICES
Exercice 47
Exercice 48
Exercice 49
A-6
Annexe 3 – Résolus d'exercices
A-7
Exercice 50
A-8
Exercice 51
Annexe 3 – Résolus d'exercices
A-9
Exercice 52
A - 10
Exercice 53
Exercice 54
Exercice 55
Exercice 56
Annexe 3 – Résolus d'exercices
A - 11
Exercice 57
Exercice 58
Exercice 59 RA et RB ont été calculés précédemment
Exercice 60
Exercice 61
A - 12
Exercice 62
Annexe 3 – Résolus d'exercices
A - 13
45
ANNEXE 4 – GLOSSAIRE
A abscisse action appui appui fixe arc arc à plein cintre arc brisé arc-boutant arête armature articulation B barre barre d'armature bâtiment béton armé bois lamellé-collé C câble
Axe horizontal d'un diagramme Force ou déformation imposée agissant sur une structure. Support d'une structure. Support d'une structure ou d'un élément structural la bloquant le long de deux axes et permettant sa rotation Elément de structure de forme incurvée portant essentiellement par effort normal de compression. Structure en arc de forme circulaire dont la flèche est égale à la moitié de la portée. Arc formé de deux demi-arcs ou de plusieurs barres s'appuyant l'un sur l'autre; les tangentes au sommet de l'arc faisant un angle plus ou moins aigu. Arc en maçonnerie incliné apte à reprendre une partie de la poussée d'une structure en voûte Ligne d'intersection de deux surfaces non coplanaires. Barres métalliques enrobées dans le béton pour reprendre les efforts de traction. Système de jonction de deux éléments permettant leur libre rotation relative Element de structure, généralement longiligne, utilisé par exemple dans les treillis Barre d'acier reprenant les efforts de traction dans une section en béton armé Construction permettant d'accueillir des activités humaines. Béton renforcé de barres métalliques qui ont pour fonction de reprendre la traction. Matériau composé de lamelles de bois collés les unes sur les autres pour constituer des éléments de structure
Elément de structure de forme incurvée portant essentiellement par effort normal de traction. Elément de construction constitué de plusieurs fils présentant une résistance à la traction seulement. cadre Elément structural plan composé d'un élément plus ou moins horizontal (traverse, poutre) connecté de manière rigide à deux ou plusieurs éléments verticaux (piedroits, colonnes). caisson Section creuse fermée à parois minces, de forme généralement rectangulaire ou trapézoïdale. centre de gravité Point d'application de la résultante des forces de gravitation appliquées à un corps. centre de masse voir centre de gravité chaînette Courbe suivie sous l'effet de son poids propre par un câble de section constante tenu à ses deux extrémités charge critique Charge au-delà de laquelle une pièce comprimée présente des déformations latérales excessives et une perte de stabilité. charge linéaire Charge uniformément répartie le long d'une ligne ou de l'axe d'un élément linéaire charge permanente Charge agissant de manière permanente sur la structure. Le poids propre de la structure est une charge permanente. charge ponctuelle Force agissant en un point et sollicitant la structure. charge répartie Force distribuée agissant sur une structure sur une longueur ou une surface donnée charge uniformément répartie Charge répartie de manière constante sur une structure linéaire ou bidimensionnelle charge variable Charge agissant sur une structure de manière non permanente, et dont l'intensité n'est pas nécessairement constante. chevron Pièce de bois équarri sur laquelle on fixe des lattes qui soutiennent la toiture. choc Action accidentelle due à l'interaction entre un corps en mouvement et la structure ou une partie de celle-ci. cintre Element de charpente soutenant les voussoirs pendant la construction d'un arc ou d'une voûte. Par extension, élément ayant la même fonction lors du coulage du béton d'une structure. coefficient de dilatation Constante physique caractérisant le changement de longueur, de surface ou de volume d'un thermique corps soumis à une variation de température. colonne Elément de construction vertical apte à reprendre des efforts de compression. compression Action de comprimer et effort qui provoque un raccourcissement. concourante Qui converge vers un même point. A - 14
console contrainte contrainte de compression contrainte de traction contrefort contreventement coque coupole D dalle déformation déformation admissible déformation plastique déformée critique déplacement dilatation thermique dimensionnement direction dynamique É effondrement effort effort axial effort de compression effort de traction effort normal effort tranchant efforts intérieurs élancement élasticité elastique encastrement encorbellement ou porte-à-faux entre-axe équilibre état limite de service état limite ultime étayage
extrusion F faîte ferme flambage Annexe 4 – Glossaire
Elément de soutien horizontal dont une extrémité est libre et l'autre constitue l'appui (encastrement). Grandeur qui caractérise l'intensité de la sollicitation dans un matériau, définie comme l'effort par unité de surface. Symbole : σ (sigma). Contrainte qui cause un raccourcissement du matériau. Contrainte qui cause un allongement du matériau. Élément de structure en forme de colonne trapue apte à reprendre des efforts de compression inclinés. Élément de construction destiné à reprendre les charges transversales ou à stabiliser les éléments comprimés. Structure de surface incurvée. Structure à surface à double courbure, générée par rotation d'un arc autour d'un axe passant par la clé. Elément de structure plan chargé par des forces perpendiculaires à son plan. Changement de forme du matériau sous forme d'allongement ou de raccourcissement. Déplacement ou déformation de structure, ou d'un élément de structure, qui est toléré pour le cas d'utilisation considéré. Déformation irréversible. Forme que prend une structure sous sa charge critique. Mouvement d'un corps. Augmentation de longueur, surface ou volume d'un corps soumis à une élévation de température. Détermination des dimensions, des matériaux et des détails constructifs d'une structure porteuse. Ligne définissant l'orientation de l'action d'une force dans un plan ou dans l'espace. La partie de la mécanique qui s'applique aux corps en mouvement Rupture d'une structure sous l'action des charges. Force qui agit sur une coupe d'un sous-système. Voir effort normal. Effort normal tendant à raccourcir l'élément qui le subit. Effort normal tendant à allonger l'élément qui le subit. Composante perpendiculaire à la section de l'effort agissant sur un élément structural Composante parallèle à la section de l'effort agissant sur un élément structural Sollicitations à l'intérieur d'un élément générées par les actions auxquelles celui-ci est soumis. Dans un arc ou un câble, rapport entre la portée et la flèche; dans une poutre ou un cadre, rapport entre la portée et la hauteur de la section. Propriété d'un matériau ou d'un corps solide de retrouver sa forme initiale après déchargement. Se dit d'un corps solide ou d'un matériau qui a la propriété de retrouver sa forme initiale après déchargement. Appui dans lequel le déplacement et la rotation sont empêchés Partie d'une construction faisant saillie hors de l'aplomb des appuis. Distance entre l'axe d'éléments semblables, répétés plusieurs fois Situation stable dans laquelle un système ne présente aucune tendance à se déplacer Etat limite correspondant à l'utilisation d'une structure. Etat limite correspondant à la résistance ultime (maximale) d'un structure Système de soutien par éléments comprimés, généralement temporaire. On utilise par exemple un étayage pour soutenir le coffrage d'une structure en béton avant que celui-ci ne durcisse. Procédé de production de barres prismatiques par extrusion au travers d'un masque de forme. Arête sommitale d'un toit. Élément structurel essentiel d'une charpente, qui permet de franchir une portée et reçoit le poids de la couverture par l'intermédiaire d'éléments de support secondaires. Fléchissement latéral, important et brusque d'une pièce élancée sous l'effet d'une A - 15
flèche flexion force force axiale force d'appui force de gravitation force d'inertie frottement G génératrice glissement H hauban haubané hyperstatique
I instabilité intensité isostaticité isostatique isotrope L lanterneau lenticulaire ligne d'action linéaire
M maçonnerie de soutènement madrier masse matériau composite matériau élastique mécanisme membrane membrure mi-portée modèle de structure moment moment de flexion moment de torsion moment fléchissant monolithique montant A - 16
compression axiale provoquant l'instabilité. Distance verticale entre la clé et la corde d'un arc, ou distance verticale entre le point bas et la corde d'un câble Sollicitation de compression et traction dans une poutre provoquant une courbure. Toute cause capable de modifier le mouvement, la direction ou la vitesse d'un corps. Force longitudinale sur un élément de structure, agissant à son centre de gravité Force transmise à la structure par un appui. Force appliquée à tout corps soumis à l'attraction gravitationnelle. Synonyme : poids. Force de réaction d'une masse soumise à une accélération. Force s'opposant au glissement relatif entre deux corps qui s'appuient l'un contre l'autre. La force de frottement dépend de la nature des surfaces de contact. Ligne générant une surface par sa rotation ou sa translation. Mouvement relatif parallèlement à la surface de contact entre deux corps. Tirant, généralement en acier, pour soutenir une toiture ou le tablier d'un pont, ou encore pour ancrer les forces dans le sol Se dit d'un élément de structure ou d'une structure soutenu par un ou plusieurs haubans. Se dit d'une structure où les efforts ne sont pas définissables sur la seule base de la géométrie et des charges appliquées, mais dépendent également du comportement mécanique des éléments qui la composent et de déplacements ou déformations imposés. Phénomène d'augmentation de la déformation transversale en présence d'un effort de compression et pouvant conduire à la ruine. Magnitude d'une force ou d'un effort. Propriété d'une structure dont on peut déterminer les efforts en fonction de la géométrie et des charges uniquement. Se dit d'une structure dont on peut déterminer les efforts en fonction de la géométrie et des charges uniquement. Se dit d'un matériau ou d'une structure dont les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions. Ouverture dans la toiture d'un édifice qui permet à la lumière du jour d'éclairer son intérieur. En forme de lentille bi-convexe, de fuseau. Ligne selon laquelle agit une force. Se dit de la relation entre deux propriétés directement proportionnelles. Typiquement, l'allongement de l'acier dans le domaine élastique est proportionnel à l'effort appliqué. Ce comportement est donc appelé linéaire. Maçonnerie placée au-dessus d'un arc et qui a comme fonction de le stabiliser. Planche très épaisse Grandeur physique fondamentale caractérisant la quantité de matière d'un corps, indépendamment de la pression, de la température et de l'état physique de ce corps. Se dit d'un matériau composés de plusieurs matières différentes. Matériau dont les propriétés mécaniques sont réversibles. Système instable dans lequel se produit un mouvement cinématique Elément structural constitué d'une toile sollicitée exclusivement à la traction. Elément longitudinal supérieur ou inférieur d'un treillis. Milieu de la portée. Représentation mécanique simplifiée d'une structure pour en étudier le comportement. Capacité à mettre en rotation un corps. Produit d'une force par une distance (le bras de levier) Effort composé de traction et de compression provoquant une flexion. Effort provoquant une torsion d'un élément de structure autour de son axe longitudinal. voir moment de flexion Se dit d'un bloc constitué d'une seule pièce massive Barre verticale d'un treillis reliant les membrures inférieure et supérieure.
N nervure Newton nœud O ordonnée ossature P panne paraboloïde hyperbolique paroi Pascal
pile pilier plaque poids propre point d'application point d'inflexion porte-à-faux portée portée libre portique poussée poussée du vent poutre poutre bi-encastrée poutre Gerber poutre simple
poutre triangulée principe de superposition
principe d'équivalence R raccourcissement raidisseur réaction d'appui réaction surabondante hyperstatique réduction des forces résistance résultante réticulé retrait rigidifié Annexe 4 – Glossaire
Renforcement sous forme de poutre d'un dalle ou d'une coque. Unité de mesure d'une force ou d'un effort (symbole [N]), correspondant à 1 kg m/s2, du nom du célèbre physicien Isaac Newton, 1643-1727. Point de convergence des barres d'un treillis. Axe vertical d'un diagramme. Structure porteuse. Structure secondaire, généralement en bois ou en acier, pour transmettre les efforts de la toiture à la structure porteuse principale. Surface de rotation générée par des droites. Sa coupe peut être aussi bien parabolique qu'hyperbolique selon la position du plan de coupe. Elément de structure plan et vertical. Unité de mesure de la pression (symbole [Pa]), corespondant à 1 N/m2, utilisée comme unité de mesure d'une contrainte ou d'une charge répartie sur une surface, du nom du célèbre physicien Blaise Pascal (1623-1662). Elément de structure généralement vertical qui supporte un pont. Element de structure vertical en pierre, brique ou béton armé, qui supporte la structure d'un édifice. voir dalle Poids de la structure porteuse. Point où agit une force. Point d'une courbe où se produit un changement de courbure. Structure libre à une extrémité et encastrée à l'autre. Syn. console. Distance entre les appuis consécutifs d'un élément de structure Espace entre deux appuis ou éléments de support consécutifs Cadre à une baie. Composante horizontale de la force d'appui d'un arc ou d'une voûte. Charge provoquée par le vent. Élément de structure de forme prismatique principalement sollicité à la flexion. Poutre dont les rotations sur les appuis sont empêchées, en plus des déplacements verticaux, ce qui la rend hyperstatique. Poutre isostatique sur plusieurs supports comportant des articulations. Poutre sur deux appuis, l'un fixe et l'autre mobile, disposés aux extrémités. Cette poutre est isostatique, ce qui veut dire que sa résolution peut se faire sur la seule base des conditions d'équilibre. voir treillis. Principe selon lequel les effets de diverses charges sur une structure peuvent être sommés pour obtenir leur effet combiné. Valable seulement pour des matériaux élastiques et des déformations faibles. Expression de l'équivalence statique entre deux systèmes de forces agissant dans une même coupe; ici, il s'agit des contraintes et des efforts intérieurs sur une coupe d'un élément. Déformation causée par une force de compression Elément de rigidification principalement utilisé en construction métallique afin d'empêcher l'instabilité de parois minces. Voir force d'appui. ou Chacune des réactions d'appui d'une structure hyperstatique qui n'est pas strictement nécessaire à l'équilibre. Remplacement de plusieurs forces par leur résultante. Valeur maximale de l'effort ou de la contrainte qu'un élément de structure ou un matériau peut reprendre avant de se rompre. Force de remplacement, dont l'action équivaut à celle du système de forces considéré. En forme de treillis. Diminution de longueur du bois ou du béton, due principalement à une perte d'humidité. Se dit d'un élément de structure auquel sont ajoutés d'autres éléments permettant d'en A - 17
rigidité
rigidité flexionnelle rotule rupture S section solive sollicitation sollicitation de compression sollicitation de traction solliciter sous-système stabilité statique appliquée structure hyperstatique structure isostatique structure porteuse T tablier tassement tasser tirant toit toiture tôle laminée torsion tour traction travée traverse treillis V vecteur viaduc voûte
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diminuer les déformations. Propriété d'un élément de structure ou d'un matériau, exprimée comme le rapport entre la charge ou contrainte qui lui est appliquée et la déformation ou déformation unitaire qui en résulte. Rigidité d'une poutre ou d'une dalle fléchie. voir articulation. Etat dans lequel un matériau ou une structure perd sa résistance après l'avoir atteinte. Surface obtenue en coupant un volume ou un élément par un plan. Dans le cas des structures linéaires (câbles, arcs, poures), ce plan est généralement perpendiculaire à l'axe de gravité. Pièce de charpente qui s'appuie sur les poutres et qui sert à fixer en dessus les planches du plancher, en dessous, les lattes du plafond. Effort dans un élément de structure ou contrainte dans un matériau. On dit aussi effet d'action. Sollicitation causant causant le raccourcissement d'un matériau ou d'un élément de structure. Sollicitation causant causant l'allongement d'un matériau ou d'un élément de structure. Provoquer des sollicitations par le biais de charges ou de déformations imposées. Partie d'un système qui est isolé du reste, avec toutes les forces et efforts qui y agissent. Propriété d'un corps ou d'une structure de rester dans sa position d'équilibre. Branche de la statique qui est dédiée à l'étude de la stabilité et de ses conditions. Partie de la mécanique qui s'applique aux corps en état d'équilibre et sans mouvement. Structure dans lequelle les appuis sont en nombre supérieur à celui strictement nécessaire pour assurer l'équilibre Structure dans laquelle les appuis sont en nombre exactement suffisant pour assurer l'équilibre. Ossature d'une construction reprenant les charges et les transmettant aux appuis. Structure continue de support de la surface de circulation d'un pont. Déplacement vertical du sol d'appui sous les charges qui lui sont appliquées. Les tassements se produisent en partie au cours du temps. 1) Comprimer un sol, un terrain, pour le rendre plus stable. 2) Se déplacer, en parlant d'une structure appuyée sur un sol qui tasse. Élément de structure en traction. Partie supérieure d'un bâtiment ou d'une structure, servant à le couvrir. Structure ou surface qui a pour fonction de couvrir et protéger une construction, un bâtiment. Tôle produite par laminage. Action de tordre, effort qui provoque une rotation autour de l'axe de gravité. Structure verticale de grande hauteur par rapport à sa base. Action de tirer, effort qui provoque un allongement. Portion d'une poutre entre deux appuis adjacents. On parle souvent de mi-travée (à miportée), travée centrale, travée de rive (bord). Partie horizontale ou peu inclinée formant un cadre avec les piédroits. On parle aussi de poutre. Structure constituée de barres disposées selon une maille triangulaire et sollicitées principalement à la traction ou à la compression. Entité mathématique caractérisée par une grandeur, une direction, un sens et un point d'application. Pont de grande longueur, servant au passage d'une route ou d'une voie ferrée au-dessus d'un ravin, d'un grand cours d'eau. Structure incurvée à surface à simple courbure.
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BIBLIOGRAPHIE
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ANNEXE 5 – QUESTIONS DE THÉORIE
Exposez et expliquez succinctement les différentes charges auxquelles sont soumis les bâtiments
Présentez succinctement les différents éléments structurels rencontrés dans le cadre de ce cours et leur composition
Présentez la méthode de descente des charges d'une structure
Présentez le transfert d'une charge surfacique en charge linéaire ainsi que la méthode d'évaluation rapide des charges transférées.
Présentez la méthode de détermination des efforts intérieurs à une poutre
Exposez et expliquez le lien entre efforts intérieurs et section d'une poutre
Présentez la méthode de détermination rapide des diagrammes MNT
Démontrer le principe de superposition des diagrammes MNT entre cas de charges différents
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