Função Afim
FUNÇÃO AFIM Uma
função f: IR em IR recebe o nome de função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x)=ax+b,para cada x € IR associa o elemento (ax + b) € IR em que a ≠ 0 e b são números reais dados. f(x) = ax + b onde a ≠ 0 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções afim: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
GRÁFICO “O gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b (a ≠ 0) é uma reta” Exemplo: construir o gráfico da função f(x) = 2x + 1
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua, para obter os pontos vamos atribuir a x dois valores distintos e calcular os correspondentes valores de y
a)Para x = 0, temos f(x) = 2 · 0 + 1 = 1 b) Para x = 1, temos f(x) = 2. 1 + 1 = 3
y
x f(x) = 2x + 1 0 1
y
f(0) = 2·0+1 1 f(1)= 2. 1 + 3 gráfico é uma 1
O reta que passa pelos pontos (0 ,1) e (1, 3)
3 2 1 1
x
COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR O
coeficiente “a” da função f(x) = ax +b é denominado coeficiente angular da reta representada no plano cartesiano O coeficiente “b” da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente linear. Exemplo: Na função y = 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear é 1. Observe que se x = 0, temos y = 1. Portanto, o coeficiente Linear é a ordenada do ponto que a reta corta o eixo y
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é f(x)=0. Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equação do 1º grau ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos: 1- Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0 2x - 5 = 0 2- o zero da função f(x) = 2x – 1 é x= ½ pois fazendo 2x – 1 = 0, vem x= ½ .
Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x Exemplo : Fazendo o gráfico da função f(x) = 2x – 1 Podemos notar que a reta intercepta o eixo dos x em x = ½ isto é, no ponto (1/2, 0).
y
x f(x)= 2x - 1
y
0
f(0)= 2.0 - 1
-1
1
f(1)= 2.1 - 1
1
1
(1, 1) 1 (1/2, 0) -1 (0, -1)
x
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Função Crescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo Ex: 2x + 1 (a > 0) Sabemos que a função é crescente quando aumentamos o valor atribuído a x, o valor de y também aumenta
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-10
-7
-4
-1
2
5
8
Função Decrescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo Ex: -2x + 1 (a < 0); Sabemos que a função é decrescente quando aumentamos o valor atribuído a x, o valor de y diminui
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
8
5
2
-1
-4
-5
-10
y diminui
GRÁFICOS DAS FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE
Função crescente f(x) = 2x + 1 (a > 0);
y 3 2
x
f(x)= 2x + 1
y
1
0
f(0)= 2.0 + 1
1
0
1
f(1)= 2.1 + 1
3
1
Função decrescente F(x)= -2x + 1 (a < 0);
x
y 1
x f(x)= -2x + 1 y 0
f(0)= -2.0 + 1
1
1
f(1)= -2.1 + 1
-1
1 -1
x
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função qualquer, y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo(y>0), os valores de x para os quais y é zero(y=0) e os valores de x para os quais y é negativo (y<0). Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz .
Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente) y > 0 ax + b > 0 x > y < 0 ax + b < 0 x < Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de menores que a raiz.
2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 ax + b > 0 x < y < 0 ax + b < 0 x > Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
BIBLIOGRAFIA
Matemática Completa – 2º grau – 1ª série (Giovanni, Bonjorno)
Fundamentos da Matemática Elementar – volume 1 (Gelson Iezzi, Carlos Murakami)
Matemática - Volume Único (Marcondes Gentil Sérgio)