Cinematica de una particula by Henrry Lojan

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: FISICA I

CINEMATICA DE UNA PARTICULA AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ

INTRODUCCIÓN MECANICA

MECANICA DE CUERPO RIGIDOS

ESTATICA

MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE

MECÁNICA DE FLUIDOS

DINAMICA

CINEMATICA

CINETICA

II. NOCION DE CINEMATICA 

La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.



También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento.



En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

II.

ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 1.ESPACIO ABSOLUTO.



Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos.



Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio.



El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo.

II.

ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2.TIEMPO ABSOLUTO

La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.

II.



ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2. MOVIL

El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico. Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado.

II. 



RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia. En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes. a. un origen O, que es un punto del espacio físico. b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO 



Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo. En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial. De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO 



En la Figura hemos representado dos observadores, S y S′, y una partícula P. Estos observadores utilizan los referenciales xyz y x′y′z′, respectivamente. Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO 



Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una órbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una línea ondulante. Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrán reconciliar sus observaciones

MOVIMIENTO RECTILÍNEO Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta 1. POSICIÓN. La posición de la partícula en cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O. 

Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO   

2. DESPLAZAMIENTO. El desplazamiento se define como el cambio de posición. Se representa por el símbolo Δx. Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición inicial P, el desplazamiento ∆x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo

∆x = x '− x r r r ∆r = r '− r = x ' iˆ − xiˆ

MOVIMIENTO RECTILÍNEO 3. VELOCIDAD MEDIA Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será

∆x x2 − x2 vm = = ∆t t2 −t1 r r r ∆r r '− r x ' iˆ − xiˆ r vm = = = ∆t t '−t t '−t

MOVIMIENTO RECTILÍNEO 



3. VELOCIDAD MEDIA La velocidad media también puede interpretarse geométricamente para ello se traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta línea forma un triángulo de altura ∆x y base ∆t. La pendiente de la recta es ∆x/∆t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo

MOVIMIENTO RECTILÍNEO 

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto valores más pequeños de ∆x. Por tanto:

∆x dx v = lim( ) = ∆t → 0 ∆t dt r r ∆r dr dx ˆ r v = lim( ) = = i ∆t → 0 ∆t dt dt

MOVIMIENTO RECTILÍNEO 4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA 

Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente

MOVIMIENTO RECTILÍNEO 5. RAPIDEZ MEDIA.

La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido ∆t, es decir,

ST (vrap ) = ∆t

MOVIMIENTO RECTILÍNEO 6. ACELERACIÓN MEDIA . Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces: La aceleración media se define como ∆v v '− v amed = = ∆t t '− t

MOVIMIENTO RECTILÍNEO 6. ACELERACIÓN INSTANTANEA . La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la aceleración media cuando ∆t tiende a cero es decir ∆v dv )= ∆t → 0 ∆t dt d dx d 2x a= ( )= 2 dt dt dt a = lim(

Ejemplo 01 

La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación x = 6t 2 − t 3 Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

Solución 

La ecuaciones de movimiento son

x = 6t − t

dx v= = 12t − 3t 2 dt



dv d 2 x a= = 2 = 12 − 6t dt dt Las cantidades solicitadas son

• En t = 0,

x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0 • En t = 4 s, m/s2

x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12

• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t). Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x). Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v). Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos escribir

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante

A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

Ejemplo 01 El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

Solución POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es función del tiempo v = f(t). La posición es

Cuando t = 3 s, resulta



ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t), la aceleración se determina a partir de a = dv/dt



Cuando t = 3 s

Ejemplo 02 Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.

Solución Velocidad: Usando el sistema POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es

la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt

Ejemplo 03 

Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se mide como donde S está en metros. Determine; (a) la velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de CaB

Solución 



Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. Consideramos además que v = 0 cuando S = 100 mm

La velocidad cuando S = 0,2 m es



El tiempo que demora en viajar la partícula de C a B se determina en la forma



Cuando S = 0,2 m el tiempo es

Ejemplo 04 Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra sometida a un campo gravitacional que le proporciona una aceleraci贸n g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en funci贸n del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente

Solución dv = a = −9.81 m s 2 dt v( t ) t v( t ) − v0 = −9.81t ∫ dv = − ∫ 9.81 dt v0

v( t ) = 10

m  m −  9.81 2  t s  s 

dy = v = 10 − 9.81t dt y( t )

∫

dy = ∫ ( 10 − 9.81t ) dt

y ( t ) − y0 = 10t − 12 9.81t 2

m  m  y ( t ) = 20 m + 10 t −  4.905 2 t 2  s  s 

Solución Cuando la bola alcanza su altura máxima su velocidad es cero, entonces se tiene m  m v( t ) = 10 −  9.81 2  t = 0 s  s 

t = 1.019 s

• Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene. m  m  y ( t ) = 20 m +  10 t −  4.905 2 t 2  s  s  m   m ( ) y = 20 m +  10  1.019 s −  4.905 2 ( 1.019 s ) 2  s  s 

y = 25.1 m

Solución • Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entoces tenemos. m 2  m  y ( t ) = 20 m + 10 t −  4.905 2 t = 0  s  s 

t = −1.243 s ( meaningless ) t = 3.28 s v( t ) = 10

m  m −  9.81 2  t s  s 

m  m v( 3.28 s ) = 10 −  9.81 2  ( 3.28 s ) s  s  m v = −22.2 s

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento relativo 

Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A será. xB A = x B − x A ⇒



xB = x A + xB A

La velocidad relativa d A con respecto a B será. v B A = vB − v A ⇒ vB = v A + vB A La aceleración relativa se expresa en la forma aB A = aB − a A ⇒

aB = a A + aB A

Ejemplo 05 ď Ž

Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un ascensor de plataforma abierta estĂĄ a 5 m de altura ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s. Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en el momento del choque

SOLUCION: • Remplazando la posición, velocidad inicial y el valor de la aceleración de la bola en las ecuaciones generales se tiene. v B = v0 + at = 18

m  m −  9.81 2 t s  s 

m  m  y B = y0 + v0t + 12 at 2 = 12 m + 18 t −  4.905 2 t 2  s  s 

• La posición y la velocidad del ascensor será.

m vE = 2 s  m y E = y 0 + v E t = 5 m +  2 t  s

• Escribiendo la ecuación para las posiciones relativas de la bola con respect al elevador y asumiendo que cuando chocan la posición relativa es nula, se tiene.

(

)

= 12 + 18t − 4.905t 2 − ( 5 + 2t ) = 0

t =−0.39 s t =3.65 s

• Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la posición del elevador y en la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor se tiene y E = 5 + 2( 3.65) vB

= (18 − 9.81t ) − 2 = 16 − 9.81( 3.65)

y E = 12.3 m v B E = −19.81

m s

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento dependiente 



La posición de una partícula puede depender de la posición de otra u otras partículas. En la figura la posición de B depende de la posición de A. Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene

x A + 2 xB = cons tan te v A + 2vB = 0 a A + 2a B = 0 Debido a que sólo una de las coordenadas de posición xA o xB puede elegirse arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento dependiente 



Aquí la posición de una partícula depende de dos posiciones más. En la figura la posición de B depende de la posición de A y de C Debido a que la longitud del cable que une a los bloques es constante se tiene 2 x A + 2 xB + xC = ctte

dx A dx B dxC 2 +2 + = 0 or 2v A + 2v B + vC = 0 dt dt dt dv A dv B dvC 2 +2 + = 0 or 2a A + 2a B + aC = 0 dt dt dt

Como solo es posible elegir dos de las coordenadas, decimos que el sistema posee DOS grados de libertad

Ejemplo 06 

El collar A y el bloque B están enlazados como se muestra en la figura mediante una cuerda que pasa a través de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E son fijas mientras que la polea D se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 3 pul/s. Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde el reposo cuando t = 0 y alcanza la velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la variación de altura, la velocidad y la aceleración del bloque B cuando el collar pasa por L

Solución 



Se analiza en primer lugar el movimiento de A. El collar A tiene un MRUV, entonces se determina la aceleración y el tiempo v 2A = ( v A ) 02 + 2a A [ x A − ( x A ) 0 ] 2

 in.  12  = 2a A ( 8 in.)  s 

aA = 9

in. s2

v A = ( v A ) 0 + a At in. in. 12 = 9 2 t s s

t = 1.333 s

Solución • Como la polea tiene un MRU se calcula el cambio de posición en el tiempo t. xD = ( xD ) 0 + vDt

in.   x D − ( x D ) 0 =  3 (1.333 s ) = 4 in.  s 

• El movimiento del bloque B depende del movimiento de collar y la polea. El cambio de posición de B será x A + 2 x D + x B = ( x A ) 0 + 2( x D ) 0 + ( x B ) 0

[ x A − ( x A ) 0 ] + 2[ x D − ( x D ) 0 ] + [ x B − ( x B ) 0 ] = 0 ( 8 in.) + 2( 4 in.) + [ x B − ( x B ) 0 ] = 0

x B − ( x B ) 0 = −16 in.

Solución • Derivando la relación entre las posiciones se obtiene las ecuaciones para la velocidad y la aceleración x A + 2 xD + xB = constant v A + 2vD + vB = 0  in.   in.  12 + 2  ÷  3 ÷+ vB = 0 s    s  vB = −18 pu lg/ s

a A + 2aD + aB = 0  in.  9 2 ÷+ aB = 0  s 

in. vB = 18 ↑ s

in. a B = −9 2 s aB = 9 pu lg/ s 2 ↑

Ejemplo 07 La caja C estĂĄ siendo levantada moviendo el rodillo A hacia abajo con una velocidad constante de vA =4m/s a lo largo de la guĂa. Determine la velocidad y la aceleraciĂłn de la caja en el instante en que s = 1 m . Cuando el rodillo estĂĄ en B la caja se apoya sobre el piso.

Solución 

La relación de posiciones se determina teniendo en cuenta que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia.

xC + 4 + x = 8m 2



2 A

Cuando s = 1 m, la posición de la caja C será

xC = 4m − s = 4m − 1m ⇒ xC = 3m 

Se determina ahora la posición xA, cuando s = 1 m

3m + 4 + x = 8m ⇒ x A = 3m 2

2 A

Solución 

La velocidad se determina derivando la relación entre las posiciones con respecto al tiempo −1/ 2 dxC 1 dx + ( 16 + x A2 ) (2 x A ) A = 0 dt 2 dt xA 3m(4m / s ) vC = − vA = − 16 + x A2 16 + 32

vC = 2, 4m / s ↑ 

La aceleración será   dvC d  xA v A2 xAaA x A2 v A2 aC = =−  vA  = −  + − 2 2 2 3 dt dt  16 + x A2   16 + x 16 + x [16 + x A A A]     42 3(0) 32 (42 )  aC = −  + −  3 16 + 9 [16 + 9]    16 + 9  aC = 2, 048m / s 2 ↑

   

Ejemplo 08 El sistema representado parte del reposo y cada componente se mueve a aceleraciรณn constante. Si la aceleraciรณn relativa del bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2 hacia arriba y la aceleraciรณn relativa del bloque D respecto al bloque A es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle: (a) la aceleraciรณn del bloque C al cabo de 3 s, (b) el cambio de posiciรณn del bloque D al cabo de 5s

Ejemplo 09 Un hombre en A estĂĄ sosteniendo una caja S como se muestra en la figura, caminando hacia la derecha con una velocidad constante de 0,5 m/s. Determine la velocidad y la aceleraciĂłn cuando llega al punto E. La cuerda es de 30 m de longitud y pasa por una pequeĂąa polea D.

Resolución gráfica de problemas en el movimiento rectilíneo



La velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo están dadas por las ecuaciones,

v = dx / dt a = dv / dt



La primera ecuación expresa que la velocidad instantánea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante. La segunda ecuación expresa que la aceleración es igual a la pendiente de la curva v-t en dicho instante

Resolución gráfica de problemas en el movimiento rectilíneo



Integrando la ecuación de la velocidad tenemos t2

A = x2 − x1 = ∫ vdt ; t1



A = v2 − v1 = ∫ adt t1

El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo

Otros métodos gráficos • El momento de área se puede utilizar para determinar la posición de la partícula en cualquier tiempo directamente de la curva v-t: x1 − x0 = area bajo la curva v − t v1

usando dv = a dt , x1 − x0 = v0t1 +

= v0t1 + ∫ ( t1 − t ) dv v0

∫ ( t1 − t ) a dt

∫ ( t1 − t ) a dt =

Momento de primer orden de area bajo la curva a-t con repecto a la línea t = t1

x1 = x0 + v0t1 + ( área bajo la curva a - t ) ( t1 − t ) t = abscisa del centroide C

Otros métodos gráficos • Método para determinar la aceleración de una partícula de la curva v-x

dv a=v dx = AB tan θ a = BC = subnormal a BC

EJEMPLO 10 

Un ciclista se mueve en línea recta tal que su posición es descrita mediante la gráfica mostrada. Construir la gráfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0≤ t ≤ 30 s

EJEMPLO 11 Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una línea recta acelerando a razón constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razón constante hasta detenerse. Trazar las gráficas v-t y s-t y determinar el tiempo t’ que emplea en detenerse

Solución: Grafica v - t

La gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica a-t. Usando la condición inicial v = 0 cuando t = 0

0 ≤ t ≤ 10 s a = 10;

∫

dv = ∫ 10 dt , v = 10t 0

Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene

10 s ≤ t ≤ t ′; a = −2;

∫

100

dv = ∫ − 2 dt , v = −2t + 120 10

Cuando t = t´, la velocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t’ + 120 t’ = 60 s

Solución: Grafica s - t

La gráfica posición-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica v-t. Usando la condición inicial s = 0 cuando t = 0

0 ≤ t ≤ 10s; v = 10t ;

∫

ds = ∫ 10t dt , s = 5t 2 0

Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene s t

10 s ≤ t ≤ 60 s; v = −2t + 120;

∫ ds = ∫ ( − 2t + 120) dt 500

s = −t 2 + 120t − 600 Cuando t = t´, la posición S = 3000 m

Ejemplo 12 La gráfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en línea recta es el mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posición S = 120 m

Solución Grafico a-s. Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser determinada usando la ecuación dv = a ds 0 ≤ s ≤ 60m; v = 0.2 s + 3 dv a=v = 0.04 s + 0.6 ds 60m < s ≤ 120m; v = 15; dv a=v =0 ds

Solución Calculo del tiempo. El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0

ds ds 0 ≤ s ≤ 60m; v = 0.2 s + 3; dt = = v 0.2 + 3 t s ds ∫o dt = ∫0 0.2s + 3 t = 5 ln(0.2 s + 3) − 5 ln 3 Cuando s = 60 m, t = 8,05 s

Solución Calculo del tiempo. Para el segundo tramo de movimiento ds ds 60 < s ≤ 120m; v = 15; dt = = v 15 t s ds ∫8.05 dt = ∫60 15 s t = + 4.05 15

Cuando S = 120 m, t´= 12 s

Ejemplo 13 Una partícula parte del reposo y se mueve describiendo una línea recta, su aceleración de 5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuación la aceleración adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es 180 m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la aceleración durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.

Solución En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo , ya que a = constante. Como la aceleración es la pendiente de la curva v-t, tenemos

v1 tgα = a1 ⇒ 5m / s = ∆t1 2

v1 = 5m / s 2 ( ∆t1 ) = 5m / s 2 (12s ) v1 = 60m / s

(1)

La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto dT = A1 + A2 ⇒780m =

1 1 (∆t1 +∆t 2 )v1 + (∆t3 )v3 2 2

1 1 (12 s +∆t2 )60m / s + ( ∆t3 )v3 = 780m 2 2

(2)

Solución El desplazamiento viene expresado por ∆x = A1 − A2 ⇒ 180m =

1 1 (∆t1 + ∆t2 )v1 + (∆t3 )v3 2 2

1 1 (12 s + ∆t2 )60m / s − ( ∆t3 )v3 = 180m 2 2

(3)

Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta

(12 s + ∆t2 )60m / s = 960m ∆t2 = 4 s

(4)

La aceleración en el segundo intervalo tiempo es v1 60m / s a2 = tg β = = ∆t2 4s a2 =15m / s ¬

(5)

Solución Se determina ∆t3

v3 a2 = tg β = = 15m / s 2 ∆t3 v3 = 15m / s 2 ( ∆t3 )

(6)

Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene 1 1 (12 s + 4 s )60m / s − (∆t3 )(15∆t3 ) =180m 2 2 15m / s 2 480m − ( ∆t3 ) 2 =180m 2 ∆t3 = 6, 32 s

El intervalo total de tiempo será

∆t = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3 = 12 s + 4s + 6,33s ∆t = 22,33seg

Ejemplo 14 Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales están separados 90 m tal como se indica. Determine el desplazamiento Δx del cuerpo durante los dos últimos segundos antes de llegar a B.

Poblemas propuestos 1. El movimiento de una partícula se define por la relación x = 2t − 6t + 15 donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine el tiempo, la posición y la aceleración cuando la velocidad es nula. 3

2. El movimiento de una partícula se define mediante la relación x = 2t − 20t + 60 donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad es cero, (b) La posición y la distancia total recorrida cuando t=8s 2

Problemas propuestos 3. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = (64 − 12t 2 ) pul / s 2 . La partícula parte de x = 25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 a t = 5 s. 4. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la partícula viajará antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la partícula se reduzca al1% de su valor inicial

Problemas propuestos 5. El bloque A tiene una 6. Los collares A y B deslizan a lo largo de las barrar fija que velocidad de 3,6 m/s hacia forman un รกngulo recto y estรกn la derecha. Determine la conectadas por un cordรณn de velocidad del cilindro B longitud L. Determine la aceleraciรณn ax del collar B como una funciรณn de y si el collar A se mueve con una velocidad constante hacia arriba vA

Problemas propuestos 7. Una partícula que se mueve 8. Determine la rapidez vP a la cual a lo largo del eje x con el punto P localizado sobre el aceleración constante , tiene cable debe viajar hacia el motor una velocidad de 1,5 m/s en M para levantar la plataforma A a el sentido negativo de las x razón de vA = 2 m/s. para t = 0, cuando su coordenada x es 1,2 m. tres segundos más tarde el punto material pasa por el origen en el sentido positivo. ¿Hasta qué coordenada negativa se ha desplazado dicha partícula?.

Problemas propuestos 9. Determine la velocidad del 10. Determine la velocidad del bloque A si el bloque B tiene bloque A si el bloque B tiene una una velocidad de 2 m/s velocidad de 2 m/s hacia arriba hacia arriba

Problemas propuestos 10. Determine la velocidad con la

11 . cual el bloque asciende si el extremo del cable en A es halado hacia abajo con velocidad de 2 m/s hacia abajo

Problemas propuestos 

Para levantar el embalaje mostrado mediante el aparejo se usa un tractor. Si el tractor avanza con una velocidad vA. Determine una expresión para la velocidad ascendente vB del embalaje en función de x. Desprecie la pequeña distancia entre el tractor y su polea de modo que ambos tengan la misma velocidad.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO 1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa por r = r(t).

MOVIMIENTO CURVILÍNEO 2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la partícula se mueve durante un pequeño intervalo de tiempo ∆t hasta el punto P’, entonces su posición será r’ (t + ∆). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y se expresa r r r ∆r = r '(t + ∆t ) − r (t )

MOVIMIENTO CURVILÍNEO 3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. la velocidad media se define como r r r r ∆r r '− r vm = = ∆t t '− t La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento es decir es secante a la curva. La velocidad media depende del intervalo de tiempo.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO 4. Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño (∆t→0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene la velocidad instantánea. Es decir. r r r r ∆r r '− r dr r v = lim = lim = ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 t '− t dt La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO 3. Velocidad Instantánea: Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la longitud del arco ∆s = acrPQ, obtenemos

r r ∆r ∆s ∆r ∆s r v = lim = lim lim ∆t → 0 ∆s ∆t ∆t → 0 ∆s ∆t → 0 ∆t

A medida que Q se acerca a P la magnitud de ∆r se aproxima a ∆s, entonces se tiene

r r dr ∆r r = lim = et ds ∆t →0 ∆s

Además se tiene

∆s ds v = lim = ∆t → 0 ∆t dt

r ds r v= et dt

MOVIMIENTO CURVILÍNEO 5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir r vr − vr r ∆v am = = Q P ∆t tQ − t P

La aceleración media es un vector paralelo a ∆v y también depende de la duración del intervalo de tiempo

MOVIMIENTO CURVILÍNEO 3. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir r vr − vr r ∆v am = = Q P ∆t tQ − t P

La aceleración media es un vector paralelo a ∆v y también depende de la duración del intervalo de tiempo

MOVIMIENTO CURVILÍNEO 6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media es decir haciendo cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo

r r ∆v dv r a = lim = ∆t →0 ∆t dt r 2r r d  dr  d r a=  ÷= 2 dt  dt  dt

La aceleración instantánea es un vector que tiene misma dirección que el cambio instantáneo de la velocidad es decir apunta hacia la concavidad de la curva

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 1. POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula en componentes x, y, z es

r r r r r = xi + y j + zk

Las coordenadas x, y, z son funciones del tiempo: x = f(t), y = f(t), z = f(t) La magnitud del vector de posición será

r = x2 + y2 + z 2

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 2. Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P en un intervalo de tiempo ∆t. El desplazamiento está dado por:

r r r ∆r = r '− r = ∆xiˆ + ∆yjˆ + ∆zkˆ r ∆r = (∆x) 2 + (∆y ) 2 + (∆z ) 2

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 3. Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. La velocidad media será r r ∆r ∆x ˆ ∆y ˆ ∆z ˆ vm = = i+ j+ k ∆t ∆t ∆t ∆t Es un vector secante a la trayectoria

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 4. Velocidad instantánea. Se obtiene llevando al límite cuando ∆t → 0, la velocidad media es decir: r dx r dy r dz r r r r v = i + j + k = x i + y j + z k dt dt dt r r r = vx i + v y j + vz k

Es un vector tangente a la curva y tiene una magnitud definida por

v = v +v +v 2 x

2 y

2 z

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 5. Aceleración media. Cuando la partícula cambia de posición su velocidad tambien cambia. Entonces la aceleración media será r r ∆v ∆vx ˆ ∆v y ˆ ∆vz ˆ am = = i+ j+ k ∆t ∆t ∆t ∆t

Es un vector que se encuentra dirigido a lo largo del cambio de velocidades

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 5. Aceleración instantanea. Se obtiene llevando al límite la aceleración media. r r r dv a= = ax i + a y j + az k dt donde ax = v x = x a y = v y = y az = v z = z Es un vector que se encuentra dirigido hacia la concavidad de la curva y su magnitud es

a = a +a +a 2 x

2 y

2 z

Ejemplo En cualquier instante la posición horizontal del globo meteorológico está definida por x = (9t) m, donde t es el segundo. Si la ecuación de la trayectoria es y = xª/30, donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la estación A, la magnitud y la dirección de la velocidad y de la aceleración cuando t = 2 s

Ejemplo El movimiento de la caja B está definida por el vector de posición r r = [0,5sen(2t )iˆ + 0,5cos(2t ) ˆj + 0, 2tkˆ]m

donde t esta en segundos y el argumento para el seno y el coseno está en radianes. Determine la localización de la caja cuando t = 0,75 s y la magnitud de su velocidad y aceleración en este instante

Ejemplo 

Los movimientos x e y de las guías A y B, cuyas ranuras forman un ángulo recto, controlan el movimiento del pasador de enlace P, que resbala por ambas ranuras. Durante un corto intervalo de tiempo esos movimientos están regidos por 1 1 x = 20 + t 2 y y = 15 − t 3 4 6

donde x e y están en milímetros y t en segundos. Calcular los módulos de las velocidad y de la aceleración a del pasador para t = 2 s. esquematizar la forma de la trayectoria e indicar su curvatura en ese instante.

MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano. r r r r ( t ) =x ( t ) i +y ( t ) j r r r ∆r = r ( t2 ) − r ( t1 ) r r = ( x2 − x1 ) i + ( y2 − y1 ) j

r r r v ( t ) = vx ( t ) i +vy ( t ) j r r = x ( t ) i + y ( t ) j r r r a ( t ) = ax ( t ) i + a y ( t ) j r r = v x ( t ) i + v y ( t ) j r r =  x ( t ) i +  y(t) j

MOVIMIENTO PARABĂ&#x201C;LICO Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = - g = .9,81 m/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria

MOVIMIENTO PARABÓLICO: Hipótesis Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis

(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie); (b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) terrestre con la altura; (c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y (d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.

MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0 v = v0 + ac t ; 1 2 x = x0 + v0t + ac t ; 2 v 2 = v02 + 2ac ( s − s0 );

v x = (v0 ) x x = x0 + (v0 ) x t v x = (v0 ) x

MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2 v = v0 + ac t ;

v y = (v0 ) y − gt

1 2 y = y0 + v0t + ac t ; 2 v 2 = v02 + 2ac ( y − y0 );

1 2 y = y0 + (v0 ) y t − gt 2 v y2 = (v0 ) 2y − 2 g ( y − y0 )

Ejemplo Un saco desliza por una rampa saliendo de su extremo con una velcoidad de 12 m/s. Si la altura de la rampa es 6 m desde el piso. Determine el tiempo necesario para que saco impacte contra el piso y la distancia horizontal R que avanza

Ejemplo La máquina de picar está diseñada para extraer madera en trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m / s. Si el tubo se orienta a 30° respecto a la horizontal como se muestra en la figura, determinar qué tan alto se apilarán los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la salida es 6 m

Ejemplo La pista de carreras de este evento fue diseñado para que los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30 °, desde una altura de 1m. Durante la carrera, se observó que el conductor permaneció en el aire de 1,5 s. determine la velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal alcanzada y la altura máxima que se eleva el piloto y su moto. Desprecie el tamaño de ambos.