Mundo Vectorial
Andrea Cordón 131138 Alejandra de la Torre 13444 Paulina González 13029 Maria Isabel Méndez 13095
Vectores: Un vector es un segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto � a otro punto �. El vector
⃗ AB queda determinado por dos puntos, inicial A y terminal B. Elementos o características de un vector:
•
Modulo (magnitud) de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector entre barras : ∣⃗ AB∣
•
Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la de todas sus paralelas. AB es el que va desde el Sentido El sentido del vector ⃗ origen A al extremo B.
•
Los vectores se representan por letras minúsculas con una w , .... o bien mediante uno de sus representantes, designando flecha encima: ⃗u , ⃗v , ⃗ su origen y su extremo con una flecha encima ⃗ AB . Distancia: Para encontrar la distancia de un vector con puntos A y B se usa la formula:
AB= [ x 2−x 1 , y 2 − y 1 ] ⃗v =⃗ donde A=(x 1 , y 1 ) y B=( x 2 , y 2) Vector en posición estándar es cuando un vector tiene el punto inicial en el origen, o sea, A=(0, 0) Coordenadas
Componentes
(x , y)
[ x , y]
Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.
Es muy común que representemos un vector utilizando los valores de sus componentes.Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector. Así, podemos expresar el vector rojo como [4, 3], indicando con ello que su componente X es 4 y su componente Y es 3.
Vectores en Rn Un vector de Rn es un conjunto ordenado de n números reales, los cuales son llamados componentes. Se denota de la siguiente manera:
⃗v = [ v 1 , v 2 ,… , v n ] donde
⇒ Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado ( x , y ) , será un vector en R2 . ⇒ Si el vector tiene tres componentes, una terna ordenada, ( x , y , z ) , será un vector en R3 . Vector renglón: Un vector renglón de n componentes u, es un conjunto ordenado de n números, escritos de la siguiente manera:
⃗u =( u1 , u 2 ,… , u n ) Vector columna: Un vector columna de n componentes v, es un conjunto ordenado de n números, escritos de la siguiente manera:
v1 ⃗v = v 2 … vn
()
Producto cruz o producto vectorial: El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
∣u⃗ × ⃗v∣=∣⃗u∣∣⃗v∣sin α El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:
ejemplo: Calcular el producto cruz de los vectores
⃗v =(−1,1, 2) .
⃗u =( 1, 2,3) y
Propiedades del producto cruz
1. 2. 3. 4.
u⃗ × v⃗ =−v⃗ × u⃗ k ( ⃗u × ⃗v )=( k u⃗ ) × ⃗v = ⃗u × ( k ⃗v ) w )=u⃗ × v⃗ + ⃗v × ⃗ w ⃗u × ( ⃗v + ⃗ ⃗ ⃗u ∥ ⃗v ⇒ ⃗u × ⃗v =0
Anticonmutativa Homogenea Distributiva Vectores paralelos = vector nulo
Producto punto o producto escalar: El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
⃗u ∙ v⃗ =∣u⃗∣∣⃗v∣cos α Expresión analítica del producto punto
⃗u ∙ v⃗ =u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3
Propiedades del producto punto
1. 2. 3. 4.
⃗u ∙ v⃗ =⃗v ∙ ⃗u k ( ⃗u ∙ ⃗v ) =( k u⃗ ) ∙ ⃗v u⃗ ∙ ( v⃗ + w ⃗ ) =u⃗ ∙ v⃗ + u⃗ ∙ w ⃗ ⃗u ≠ 0 ⇒ ⃗u ∙ ⃗u > 0
Conmutativa Asociativa Distributiva vector no nulo por si mismo es positivo
Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales, =, si tienen la mima magnitud y la misma dirección. Vectores Iguales (equipolentes):Dos vectores son iguales si tienen el mismo modulo, dirección y sentido. Todos ellos se llaman representantes de un único vector.
⃗ A= ⃗ B Vectores Opuestos: Dos vectores son opuestos si tienen el mismo modulo, dirección, pero distinto sentido.
Vector Cero o Nulo: Se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como 0 ó 0.
⃗0 =[ 0,0 ] Vectores Concurrentes: Vectores que comparten el mismo origen.
Combinación Lineal: Si ⃗v =c 1 v 1 +c 2 v 2 +…+ c n v n ; se dice que una combinación lineal de los vectores
v1 , v2 , … , vn
⃗v es
VIDEO: http://www.youtube.com/watch?v=hEwMcCd-57o (combinaci贸n lineal)
Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si uno de estos es el producto del otro vector por un escalar. Esto quiere decir: si y solo si ⃗u ∥ ⃗v ⃗u =k v⃗
Vectores ortogonales o perpendiculares: Dos vectores son ortogonales cuando el ángulo entre ellos es de 90°. Al sacar producto cruz de dos vectores ortogonales este dará un resultado de cero.
Magnitud de un vector La magnitud de un vector ⃗ PQ es la distancia entre el punto inicial P y el punto final Q . En símbolos la magnitud de ⃗ PQ es escrita como ∣⃗ PQ∣ .Si las coordenadas del punto inicial y del punto final de un vector están dadas, la fórmula de la distancia puede ser usada para encontrar su magnitud. 2 2 ∣⃗ PQ∣=√ ( x 2− x1 ) + ( y 2− y 1 )
Dirección de un vector La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal. Una de las fórmulas siguientes puede ser usada para encontrar la dirección de un vector:
tan θ =
y , donde x es el cambio horizontal y x
vertical. ó
y el cambio
tan θ =
y2 − y1 , donde ( x 1 , y 1 ) es el punto inicial y ( x 2 , y 2) es el punto terminal. x 2 −x 1
La dirección de un vector siempre se da en radianes Vector unitario: Vector con magnitud igual a 1.
⌈ ⃗v ⌉=√ x 2 + y 2 =1
Ejemplo: Halle un vector unitario para
⃗u =[ −2,5 ] −2 5 ⃗u = = , ⃗u = = 2 2 ∣⃗u∣ √ (−2 ) + (5 ) √ 29 √ 29 √ 29
[ −2,5 ]
‖ u⃗ ‖=
√(
−2 2 + √ 29
[
[ −2,5 ]
]
5 2 4 25 29 = + = =1 29 29 29 √ 29
)( )
√
√
Vectores Unitarios Estándar: Los vectores [ 1,0 ] y [ 0,1 ] son llamados vectores unitarios estándar: Se utilizan para representar cualquier vector.
i= [ 1,0 ] y
j =[ 0,1 ] .
⃗v = [ x , y ] =x [ 1,0 ] + y ( 0,1 )= xi + yj Esta forma de representar un vector se llama combinación lineal, donde componentes horizontal y vertical de cada vector.
x y
y son los
Proyección de vectores Sean ⃗u y ⃗v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de ⃗u sobre ⃗v es un vector denotado por proy v u , que se define por,
proy v⃗ u⃗ =
⃗u ∙ ⃗v ⃗v 2 ∣v⃗∣
( )
Normalización: Consiste en obtener otro vector unitario de la misma dirección y sentido de un vector ya dado.
‖ u⃗ ‖=
(∣1⃗v∣) v⃗
Distancia entre dos vectores:
√
2
d ( A , B )= ( x 2 −x 1 ) + ( y 2− y1 )
2
Angulo entre dos vectores: Expresión analítica del ángulo de dos vectores
cos α =
u 1 ∙ v 1 +u 2 ∙ v 2
√u
2 1
+u 22 + √ v 12 +v 22
OPERACIONES CON VECTORES: Propiedades Algebraicas de Vectores en Rn Sean u, v y w vectores en Rn y sean c y d escalares. Entonces 1. u+ v=v +u Conmutativa 2. ( u+ v ) +w=u +(v +w) Asociativa
3. 4. 5. 6. 7. 8.
u+ 0=u u+ (−u )=0 c ( u+ v )=c u+ c v ( c +d ) u=c u+ d u c ( d u ) =( cd ) u 1 u=u
Distributiva Distributiva
Producto de un escalar por un vector: El producto de un número k por un vector ⃗v es otro vector k ⃗v que tiene: • Módulo: igual al producto del módulo de � por el valor absoluto de k: ∣⃗ kv∣=∣k∣∣v∣
• •
Dirección: la misma que la de v⃗ Sentido: o El de ⃗v si k >0 o El opuesto de ⃗v si k <0 El producto de 0∗⃗v es igual al vector ⃗0 . Es un vector cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, su modulo es cero y carece de dirección y sentido.
Suma de vectores
Dados dos vectores u y v para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades: • Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo. • Se sitúan los dos vectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por lados los dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.
Diferencia de vectores: Resultado de la resta de dos vectores dados. Encontrar el vector resultante (A - B) es equivalente a encontrar un vector C que satisfaga la ecuación C = A - B ó C + B = A. La última ecuación nos hace posible utilizar el conocimiento de la suma de dos vectores para encontrar la regla sobre la resta de vectores. Si colocamos juntos el origen de los vectores A y B, vemos que el vector C dibujado desde el extremo del vector B al extremo del vector A satisface la ecuación B + C = A. Por lo tanto, el vector C es el vector resultante de A - B. La regla general es que el vector dibujado del extremo del segundo vector al extremo del primero da la diferencia entre los vectores. Desigualdad de Cauchy-Schwarz El producto escalar de dos vectores x , y ∈ Rn
se define mediante la expresión
n
x ∙ y =∑ x i y i i=1
Es fácil comprobar que el producto escalar es una forma bilineal simétrica definida positiva, es decir, que se cumplen las siguientes propiedades. Proposición (Propiedades del producto escalar) x ∙ x ≥ 0 y además x ∙ x=0 si y sólo si x=0 1.
2. 3. 4.
x ∙ y=y∙ x ( x + y ) ∙ z =x ∙ z + y ∙ z ( λx ) ∙ y= λ( x ∙ y)
La norma euclidea de un vector x ∈ Rn se define como ‖ x ‖= √ x ∙ x . Es evidente que ‖ x ‖=0 si y solo si x=0 , y que ‖ λx ‖=∣ λ∣∙ ‖ x ‖ . TEOREMA (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si x , y ∈ Rn entonces ∣x ∙ y∣≤ ‖ x ‖∙‖ y ‖ Demosración: Consideramos la función definida por p ( λ )=( λx + y ) ∙(λx + y) . Esta claro que p ( λ ) ≥ 0 todo λ ∈ R . Observamos que: 2
para
p ( λ )=( x ∙ x ) λ + 2 ( x ∙ y ) λ+ ( y ∙ y ) es decir, que p ( λ) es una función polinómica de segundo grado con a lo sumo una raíz real, y por lo tanto su discriminante es no positivo:
∆=4 ( x ∙ y )2−4 ( x ∙ x )( y ∙ y ) Esta última desigualdad implica
∣( x ∙ y )∣≤ √ x 2 ∙ √ y 2=‖ x ‖∙ ‖ y ‖
Desigualdad del triangulo http://www.youtube.com/watch?v=FVY-nDaY4xQ
como queríamos demostrar.
Nuevas reglas y transportadores PARA DIBUJAR MEJOR TUS VECTORES
Ecuaciones de una Recta en R2 Formal normal Forma general
n*x=n*p Ax + By = C
Forma vectorial Forma Paramétrica
x=p+td ⌈ x ⌉ =⌈ P 1 ⌉+ t ⌈ d 1 ⌉ y P2 d2
Ecuaciones de un plano en R3 Forma general Forma general Forma vectorial Ecuaciones Paramétricas
n*x=n*p Ax + By + Cz = D x = p + t v + su
P1 v1 u1 x ⌈ y ⌉ =⌈ P 2 ⌉+ t ⌈ v 2 ⌉ + s ⌈ u 2 ⌉ z P3 v3 u3
Ecuaciones de una recta en R3 Formal normal Formal general Forma vectorial Forma paramétrica
n1 * x = n 1 * p 1 n2 * x = n 2 * p 2 A1x + B1y + C1z = d1 A2x + B2y + C2z = d2 x=p+td P1 d1 x ⌈ y ⌉ =⌈ P 2 ⌉+ t ⌈ d 2 ⌉ z P3 d3
Distancia desde un punto a una recta
Pasos para encontra la distancia desde un punto a una recta 1. Encontrar el vector de P a F PF 2.
Proyectarlo PF sobre d
3.
x = PF – Proyd PF
4.
x = ll PF – Proyd PF ll
Para más información visitar este link: - http://www.youtube.com/watch?v=L13DJFoI-w8 Distancia desde un punto a un plano
Distancia entre rectas paralelas ⃗ ‖⃗ P 2 R−Proy ⃗ P P ‖ d2 1 2 P1 P2 l1 l2 ⃗ d1 ⃗ d2
Distancia entre planos paralelos ‖ Proy ⃗n⃗ P1 P 2 ‖
Video: http://www.youtube.com/watch?v=deS3PstD6ig
Angulo de intersección entre rectas
θ agudo=cos−1
(
⃗ d1∙⃗ d2 ‖ d⃗1 ‖‖ d⃗2 ‖
)
⃗ d1 ⃗ d 2
Tips*
-
Respuesta puede ser dada en radianes o grados.
-
Para encontrar el ángulo obtuso únicamente se resta 180° del ángulo encontrado (agudo).
Angulo de intersección entre planos −1
θ agudo=cos
Video:
(
n1∙ ⃗ n2 ⃗ ‖⃗ n 1 ‖‖⃗ n2 ‖
)
http://www.youtube.com/watch?v=_aPuK_wBFds
Angulo de intersección entre una recta y un plano ⃗ ∙⃗ n d ‖ ⃗n ‖ ‖ ⃗ d‖ θ=π− β −1
β=cos
(
)
CRUCIGRAMA Horizontal: 4. Un vector en posición estándar es cuando un vector tiene el punto inicial en el 6. Es el producto que da como resultado un vector cuya dirección es perpendicular 7. Es el producto de dos vectores que da como resultado un número real 9. Vectores que uno es el producto del otro vector por un escalar son vectores 10. Vectores que comparten el mismo origen son vectores 11. La dirección de un vector siempre se da en 12. Dos vectores que tienen el mismo modulo, dirección, pero distinto sentido son vectores Vertical: 1. Son los números reales que forman un vector 2. Un vector que posee módulo nulo es el vector 3. Dos vectores que tienen la misma magnitud y dirección son vectores 8. Dos vectores que el ángulo entre ellos es un ángulo recto son vectores