Geometría para docentes by Mercedes Loholaberry

I.S.F.D nº 17

Cuadril

o r t e erím

l+l

+l+

áter s

Ár e

GEOMETRÍA ..

Circu nfer encia

Secuencias didácticas mediante Geogebra

s e n e m Volú

s o l u g n Triá

Triángulos (CAPÍTULO 1) ............................................................................................................. 1 Introducción .................................................................................................................................... 1 Actividad nº 1 .............................................................................................................................. 1 Actividad nº 2 .............................................................................................................................. 4 Actividad nº 3 ............................................................................................................................. 6

Cuadriláteros (CAPÍTULO 2)........................................................................................................ 8 Introducción .................................................................................................................................... 8 Actividad nº 1 .............................................................................................................................. 9 Actividad nº 2 ............................................................................................................................ 11 Actividad nº 3 ............................................................................................................................ 14

Perímetro (CAPÍTULO 3) ............................................................................................................ 19 Introducción .................................................................................................................................. 19 Actividad nº 1: Polígonos regulares .......................................................................................... 20 Actividad nº 2: Circunferencia ................................................................................................... 24 Actividad nº 3: Perímetro y área ............................................................................................... 28

Área (CAPÍTULO 4) ................................................................................................................... 31 Introducción .................................................................................................................................. 31 Actividad nº 1 ............................................................................................................................ 33 Actividad nº 2 ............................................................................................................................ 35 Actividad nº 3 ............................................................................................................................ 35

Teniendo en cuenta los conocimientos previos de los alumnos de 2do año de E.S.B ampliaremos los saberes a institucionalizar. Es importante la adquisición de significado a la hora de trabajar con construcciones geométricas, sabiendo que trabajamos con sujetos que pueden desarrollar un pensamiento hipotético deductivo nos centraremos en potenciar estos conocimientos. Más allá de las teorías que sostienen lo que estamos enseñando, es importante que visualicen los conceptos y adquieran por sí mismos la noción de sentido. Para ello utilizaremos el Geogebra como herramienta idónea para trabajar las figuras geométricas elegidas en este caso, los triángulos. El manejo de esta aplicación habilita a la búsqueda de soluciones por parte del alumnado quienes incursionarán el camino de la construcción del conocimiento por sí mismos, probando, sacando conclusiones, cometiendo errores y aprendiendo de los mismos. El trabajo del docente será guiar la producción y construcciones generadas por los alumnos pero serán estos últimos quienes trabajen activamente en el proceso de aprendizaje. Criterios de congruencia de triángulos. Con la siguiente secuencia se pretende que los alumnos incursionen en la utilización del Geogebra como método de resolución de distintas situaciones. A partir del trabajo con esta herramienta se espera que los estudiantes construyan y sean capaces de utilizar los criterios de congruencia de triangulos (LAL, LLL, ALA). Además deberán buscar la o las herramientas más convenientes para construir un triángulo con las características necesarias.

Actividad nº 1 Utilizando la herramienta Geogebra realiza las siguientes construcciones. a) Un triángulo en el cual dos de sus lados miden 6 cm y 4 cm. b) Un triángulo con un lado de 7 cm y un ángulo adyacente a él de 35°. c) Un triángulo con dos de sus lados formando un ángulo de 50° y con medidas de 5 cm y 9 cm respectivamente. d) Un triángulo con un ángulo de 60° y otro de 40°. e) un triángulo con medidas 8 cm, 7 cm y 4 cm.

f) Un triángulo con sus ángulos interiores de 48°, 77° y 55°. Compara tus construcciones con las de tus compañeros y responde: 1) En cada caso ¿todas las construcciones son iguales? ¿cuáles sí y cuáles no? 2) Piense en cada caso cuántos triángulos diferentes podrían construirse y bajo qué condiciones. 3) Si se pidiese construir un triángulo congruente a otro dado ¿Que datos como mínimo necesitas conocer del triángulo original? Posibles construcciones Punto a)

Punto b)

Punto c)

Punto d)

Punto e)

Punto f)

Lo que se pretende a partir de estas consignas es que los alumnos conciban las variadas formas de construcción existentes, como así también interpretar y decidir sobre cuáles son los datos necesarios y suficientes para construir triángulos congruentes.

Actividad nº 2 Construya en Geogebra un triángulo congruente a los dados a continuación utilizando la menor cantidad posible de datos del triángulo original e indicando cuales fueron los datos utilizados. a)

punto a) utiliza criterio ALA.

punto b) Utiliza criterio LAL.

Con esta actividad se busca que los alumnos puedan decidir por sí mismos los datos para la construcción de triángulos congruentes y puedan verificar que, efectivamente, los criterios de congruencia establecidos son necesarios y suficientes para dichas construcciones.

Actividad nº 3 a) Demuestre que la diagonal de un rectángulo genera dos triángulos congruentes. represente gráficamente con Geogebra. b) Construya en Geogebra un triángulo de vértices A,B,C isósceles con lados AB=AC= 8,5 cm y altura AD, con distancia BD= 4.5 cm. Luego, justificando mediante algún criterio de los trabajados, calcule el perímetro del triángulo. Punto a) Los alumnos trabajarán los contenidos ya dados para demostrar este enunciado. Partiendo de la figura del rectángulo analizamos cómo son los ángulos internos. al construir el rectángulo tienen que contar con nociones y propiedades de los mismos. A partir de la construcción del rectángulo y trazando una diagonal es sencillo percibir la similitud de los triángulos formados. Pero el fin de la actividad es que busquen las herramientas que denoten las características necesarias para poder llegar a la conclusión deseada.

Por ejemplo, sabemos que el segmento AB mide igual que CD, y sabiendo a su vez que AC = BD (más allá de los datos explícitos deberán justificar a partir de las propiedades del rectángulo) y la diagonal es lado en común entre los triángulos, entonces por criterio LLL decimos que los triángulos ABC y BCD son congruentes. Punto b) 6

Analíticamente podemos calcular el perímetro de dicha figura ya que sabemos cuánto miden los lados, teniendo en cuenta que por propiedad, la altura me marca a D como mediana entre BC, por lo tanto BC mide el doble de BD. Sin embargo, el propósito de la actividad es que utilizando algún criterio de congruencia entre los dos triángulos formados por la altura, demuestren que efectivamente BC=2BD, y así calculen el perímetro sabiendo el valor de todos los lados de ABC.

Utilizando el Geogebra podemos manejar la barra de herramientas, la vista algebraica y la barra de entrada para registrar datos que son útiles. En esta versión nueva del programa es posible arrastrar datos que tenga en la vista algebraica y copiarlos dentro de la construcción para mayor visualización de lo que estoy trabajando. Así mediante la nomenclatura adecuada podemos detectar el perímetro y visualizarlo en el plano como para comprobar los resultados.

Con la presente secuencia didáctica se pretende, además de promover el uso de equipos portátiles en el proceso de enseñanza -aprendizaje, que los alumnos construyan distintos tipos de cuadriláteros y reconozcan sus características. Dentro del espectro de herramientas existentes para este aprendizaje, en la presente exposición, deseamos destacar GeoGebra por varios motivos:  Es un software gratuito, libre y de código abierto. No les cuesta dinero a los centros

educativos

pueden

modificar

elementos

para

tener

funcionalidades que no se presentan en la versión estándar.  Es fácil de usar. Además existen numerosas formaciones, algunas de ellas gratuitas, impulsadas por colectivos de profesores y universidades.  Es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas

para

educación

todos

sus

niveles.

Combina,

dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente.  Permite abordar la geometría y otros aspectos de las matemáticas, a través de la experimentación y la manipulación de distintos elementos, facilitando la realización de construcciones para deducir resultados y propiedades a partir de la observación directa.

Breve introducción teórica

Recordemos que un polígono es una porción finita del plano, limitada por líneas rectas. Según el número de vértices o lados, los polígonos reciben el nombre de triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc. Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros presentan diversas formas, pero todos ellos tienen cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y dos diagonales. Además, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360o. La propuesta consiste en verificar gráficamente las propiedades de los mismos utilizando como soporte GeoGebra.

Actividad No1

1) Dibujen un cuadrilátero cualquiera en el programa GeoGebra, utilizando para ello el “comando polígono”. Marquen, mediante el uso del “comando punto medio”, el punto medio de cada lado del polígono construido. Con dichos puntos medios, como vértices, construyan un nuevo cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadrilátero obtuvieron al unir los puntos medios del cuadrilátero original? Comparen los dibujos de sus compañeros.

2) Dibujen, ahora, un cuadrilátero distinto al que obtuvieron en el apartado y reiteren los pasos en él indicados. ¿Qué cuadrilátero se formó?

3) Redacten, con sus palabras, una conclusión que indique la propiedad que pudieron observar. El objetivo de este ejercicio es demostrar que “Uniendo los puntos medios de los lados de un trapezoide de manera consecutiva (sucede en cualquier cuadrilátero) se conforma un paralelogramo”. Para la demostración de dicha propiedad será necesaria nuestra intervención.

Demostración:

Una vez trazado el polígono ABCD, marcamos los puntos medios de los segmentos que determinan sus lados, el cuadrilátero que queda determinado al unir dichos puntos medios- EFGH- es un rectángulo. Para demostrarlo utilizaremos la propiedad de la “base media de un triángulo” que dice: “Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo se traza una recta paralela a un segundo lado, esta recta corta en su punto medio al tercer lado, la longitud del segmento que se determina es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralela".

Para lograr trabajar con â&#x20AC;&#x153;la base media de un triĂĄnguloâ&#x20AC;? trazamos las diagonales del trapezoide. AsĂ, quedan determinados los triĂĄngulos ABD y CBD sobre los que trabajaremos inicialmente. En el triĂĄngulo ABD el segmento EH es base media, por lo tanto: EH =

đ?&#x;? đ?&#x;?

AnĂĄlogamente, en el triĂĄngulo CBD, FG es base media del triĂĄngulo. Entonces:

FG =

đ?&#x;? đ?&#x;?

De esta manera demostramos que los segmentos EH y FG son congruentes. Es decir EH â&#x2030;&#x152; FG AnĂĄlogamente, trabajamos ahora con los triĂĄngulos ABC y ADC. Los segmentos EF y GH son bases medias de los triĂĄngulos citados, por lo antes expuesto:

EF = GH =

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

AC AC

AsĂ, los segmentos EF y GH son congruentes. Es decir EF â&#x2030;&#x152; GH Queda asĂ demostrado que la figura determinada al unir los puntos medios del trapezoide en un PARALELOGRAMO, ya que su definiciĂłn versa: â&#x20AC;&#x153;Es un cuadrilĂĄtero que posee sus dos pares de lados opuestos congruentes y paralelos dos a dosâ&#x20AC;?.

Actividad N° 2:

a) Gastón piensa que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo suman 180°. ¿Estás de acuerdo? b) Construyan, con Geogebra, dos segmentos que sean diagonales de un rectángulo y les permitan- a partir de ellas- trazar los lados del rectángulo. Al mover sus diferentes elementos, ¿Sigue siendo un rectángulo? Exploren por qué. Si se “deforma”, busquen otras maneras de construirlo, siempre partiendo de sus diagonales, para que esto no suceda.

a) Para demostrarlo dibuja un paralelogramo ABCD cualquiera, usando Geogebra y las propiedades correspondientes. Une dos lados paralelos con un segmento perpendicular a ellos y forma dos cuadriláteros uno amarillo y el otro verde (los ángulos 1,2 ,3 y 4 son rectos).

A partir de tu construcción responde:

1) ¿Cuánto suman los ángulos interiores en el cuadrilátero amarillo? 2) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2? ¿Por qué? 3) ¿Cuál es la suma de los ángulos B y D? 4) ¿A qué conclusión se llega si usamos el mismo razonamiento en el cuadrilátero verde?

El objetivo de la presente actividad es que relacionen los ángulos interiores de un cuadrilátero, esto a partir de la construcción del paralelogramo con el programa GeoGebra como herramienta, para lo cual deberán poner en juego las propiedades del mismo.

1) Se traza el segmento desde el ángulo D hasta el ángulo recto 2, quedando determinados dos triángulos en el cuadrilátero amarillo. y como la suma de los ángulos de cada triángulo es igual a un llano tendremos entonces una suma de 2 llanos, es decir 360°.

2) Por construcción 1, 2,3 y 4 son rectos; pues se determinaron a partir de la perpendicular trazada al lado DC.

3) Si los ángulos 1 y 2 son rectos, entonces la suma de B y D debe ser un llano. Es decir :

B + D = 180 °

4) Podemos establecer el mismo razonamiento para el cuadrilátero verde y así arribaremos a las mismas conclusiones encontradas en el amarrillo.

b) Para la construcción deben conocer que “las diagonales de un rectángulo

tienen la misma longitud y que, al cortarse, se bisecan”.

Para que la misma permanezca sin alterarse al mover alguno de sus elementos, es preciso utilizar las propiedades de la figura que deseemos obtener. Como lo haremos a partir de sus diagonales una opción sería: Traza un segmento AB, de cualquier longitud, utilizando el “comando segmento”. Mediante el comando “punto medio” determina sobre AB el punto O. Construye, con cualquier dirección, una recta “r” que pase por el punto O. Con centro en O y radio OA traza una circunferencia, con el “comando circunferencia (centro, radio), y determina los puntos de intersección entre la circunferencia y la recta r (C y D). 12

Quedan

así

determinados los

segmento

≌

CD,

diagonales

del

paralelogramo. Por último, con el “comando polígono”, traza el polígono ABCD y determinarás el rectángulo buscado.

Actividad N° 3: a) Construye un romboide, utilizando como soporte el programa GeoGebra y las propiedades correspondientes, que cumpla con los siguientes requisitos:

1) Debe tener un lado de 3,5 cm y el otro de 4,5 cm. 2) El ángulo que conforma el lado menor con la diagonal principal debe medir 50°. 3) Mide la longitud de las diagonales. 4) ¿Dónde se intersecan las diagonales?

b) Construye, ahora, un rombo sabiendo que uno de sus ángulos, A, tiene una amplitud de 60o y que su diagonal AC mide 9 cm. Explica, detalladamente, los pasos utilizados en sus construcción. Recuerda siempre utilizar las propiedades geométricas de la figura como soporte para lograrlo. Al igual que en el apartado anterior, mide segmentos para determinar peculiaridades en la intersección de las diagonales.

El objetivo de la presente actividad es poner en juego los conocimientos que los alumnos poseen acerca de las propiedades del rombo y del romboide. A continuación las posibles soluciones de los incisos a) y b).

a) Para realizar la propuesta comenzamos con la construcción de los dos segmentos con el comando “segmento de longitud dada “, uno que mida 3.5 y el otro 4.5. A continuación trazamos una recta que contendrá a la diagonal mayor y al ángulo de 50° con el lado menor. Marcamos un ángulo de 50° en sentido horario y otro de la misma amplitud, pero en sentido anti horario.

Luego Trazamos con el comando “semirrecta “ dos semirrectas que pasen desde el punto E hacia el punto G’ y G’1 donde apoyaremos los segmentos AB y CD. Para no importunar podríamos borrar los tres punto G con el comando “objeto visible”. Con el comando “compás” mido el segmento menor y lo marco sobre cada una de las semirrectas.

A continuación, con el mismo comando “compás “, trasladamos el segmento CD a partir de los puntos H e I para generar los lados mayores del romboide.

Por último señalamos con la herramienta “polígono” para marcar el romboide construido, colocamos color y listo! Para marcar las diagonales r y s utilizamos el comando “segmento” y medimos su longitud con el comando “distancia o longitud en cm” y marcando los extremos del segmento que quiero medir aparecerá sobre el mismo su longitud en centímetros.

Teniendo en cuenta el punto de intersección de las diagonales, ¿Qué condiciones se cumplen al intersecarse entre sí? ¿Encontraste alguna particularidad?

b) Trazamos una recta cualquiera que contenga al punto A, a partir de ella y mediante el “comando ángulo dada su amplitud”, marcamos un ángulo de 60 o.

Luego, a través del “comando bisectriz” trazamos la bisectriz del ángulo ya que, por propiedad, la diagonal principal del rombo será bisectriz del mismo. Sobre dicha recta bisectriz, y mediante el “comando segmento de longitud dada”, trazamos la diagonal AC de longitud 9.

Desde el punto C, trazamos rectas paralelas a los lados del ángulo de 60 o determinando así el rombo buscado. Ahora, mediante el “comando intersección”, determinamos los vértices faltantes de nuestra figura geométrica: D y E.

Mediante comando “polígono” dibujamos el rombo de vértices A, D, C, E y, con el “comando objeto visible”, ocultamos todas las rectas que no nos permiten mostrarde manera prolija- la figura obtenida. Traza la diagonal DE y verifica propiedad de las diagonales de la figura trabajada.

Por último, diviértete pintando tu rombo del color que más te agrade. ¡Éxitos!

La palabra perímetro proviene del latín perimĕtros, en su origen etimológico nos encontramos con el hecho de que este término está conformado por dos partes perfectamente diferenciadas. Así, en primer lugar, está el prefijo peri– que puede traducirse como sinónimo de “alrededor” y, en segundo lugar, se encuentra el vocablo metron que es equivalente a “medida”. El perímetro de una figura geométrica es la suma de las longitudes de todos los segmentos que la forman. La unidad está conformada en dos partes: La primera, se detiene en los polígonos regulares y la circunferencia, el propósito de la secuencia didáctica, utilizando como aporte el Geogebra, es que los alumnos tengan una opción diferente para la construcción y el análisis geométrico, el cual logrará a través de la visualización, en un tiempo más acotado, las múltiples posibilidades que presenta una figura y las repeticiones de patrones, los cuáles serán importantes para la construcción de un camino, que los llevará a hallar fórmulas, para la simplificación y resolución de problemas geométricos más complejos. La segunda parte, apunta a resolver una problemática habitual presente en los alumnos, cuando se encuentran con los conceptos del perímetro y área. Es por eso, que utilizando como soporte el Geogebra, esta vez, se busca mediante figuras irregulares poder visualizar la independencia que posee el perímetro respecto al área, sin haber todavía trabajado este último concepto, logrando de todas formas la conceptualización y el análisis correspondiente de dicha relación, que se deberá profundizar en la siguiente unidad. Conocimientos necesarios para abordar la unidad: -Definición de perímetro. -Definición de polígono. -Definición de polígono regular e irregular, cóncavo y convexo. -Definición, características y propiedades de circunferencia. -Definición, características y propiedades de cuadriláteros.

Actividad nº 1

Parte I: Utilizando Geogebra.

➤ Generen un deslizador en forma de entero, llamándolo “A” y teniendo como intervalo su mínimo en 0 y su máximo en 6. En la pestaña deslizador corroboren que la forma sea horizontal. ➤ Formen un segmento de longitud dada llamado BC, cuya longitud sea “A”. Asegúrense que figure nombre y valor del mismo en la representación. ➤ Generen otro deslizador en forma de entero, llamándolo “Lados” y teniendo como intervalo su mínimo en 3 y su máximo en 8. En la pestaña deslizador corroboren que la forma sea vertical. ➤ Construyan un polígono regular cuyos puntos sean B y C; y sus vértices sean “Lados” ➤ Con la herramienta distancia o longitud marquen el polígono, para generar su perímetro.

Construcción actividad 1

Parte II: Análisis.

Completen la siguiente tabla y contesten las preguntas:

TRIÁNGULO

CUADRADO

PENTÁGONO

LADO

PERÍMETRO

LADO

PERÍMETRO

LADO

PERÍMETRO

1cm

3cm

1cm

4cm

1cm

5cm

2cm

3cm

4cm

5cm

6cm

HEXÁGONO

HEPTÁGONO

OCTÁGONO

LADO

PERÍMETRO

LADO

PERÍMETRO

LADO

PERÍMETRO

1cm

6cm

1cm

7cm

1cm

8cm

2cm

3cm

4cm

5cm

6cm

A) Elijan un polígono regular de la tabla. Cada vez que aumenta un centímetro el lado, ¿cuántos centímetros aumenta el perímetro?, ¿qué relación se les ocurre que hay entre el lado y el perímetro de la figura? 21

B) ¿Qué perímetro tendrá un hexágono regular cuyo lado mide 1 cm?, ¿y si su lado midiera 5 cm?, ¿y si midiera 10 cm? C) ¿Qué perímetro tendrá un eneágono regular, cuyos lados sean de 2 cm cada uno? D) ¿Qué perímetro tendrá un polígono de “n” lados? E) ¿Qué perímetro tendrá un polígono regular de 20 lados, si cada lado midiera 3 cm? Comprobarlo mediante Geogebra. F) ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular si se sabe que uno de sus lados mide 2 cm y su perímetro es de 60 cm? Comprobarlo mediante Geogebra. G) ¿Cuánto medirá un lado de un polígono regular de 25 lados, si su perímetro es de 100 cm? Comprobarlo mediante Geogebra. El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee el perímetro con la longitud de un segmento en las figuras geométricas regulares y puedan hallar una fórmula que los ayude a resolver situaciones problemáticas de mayor grado de complejidad. Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre los polígonos, hasta el análisis de la construcción, la tabla y preguntas propuestas por el docente. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan surgir al utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o su incorrecta ejecución. También mediante los deslizadores, podrá realizar un repaso de las figuras geométricas y conceptos como polígono regular, nombre y características de los mismos. Por otro lado, la pregunta del inciso “a”, abre el debate a la relación entre el perímetro

longitud

lado

del

mismo,

será

importante

institucionalización del docente. Ya los incisos “b” y “c”, cumplirán la función de poner en práctica lo logrado en el punto anterior y será un antecesor importante para el inciso “d”, que a su vez, este ignora un dato importante: nunca se menciona la medida del lado del polígono de n lados, esto permite que el alumno se encuentre con distintas posibilidades, lo cual hace al debate más enriquecedor; es posible que el alumno se plantee utilizar un supuesto dato para resolver el problema y mediante la exposición se pueda conceptualizar que cualquier ejemplo 22

propuesto también puede sustituirse por una letra, desde el punto algebraico, así como se hizo con “n”, y hallar así finalmente la fórmula. Una vez logrado este primer objetivo y luego de la institucionalización del docente, y el debate sobre cuándo funciona la fórmula n.l, el alumno se encontrará con los incisos “e”, “f” y “g”, donde a través de la fórmula P = n.l, se tendrá que analizar cada componente por separado y decidir cuáles entrarán en juego para hallar la solución. Más allá de ser un problema de forma de ecuación, donde se despejan los componentes, se podrá profundizar la relación entre estos mismos, es decir: el perímetro, la cantidad de lados y la medida del mismo.

Actividad 2

Parte I: Utilizando Geogebra. ➤ Generen un deslizador en forma de entero, llamándolo “r” y teniendo como intervalo su mínimo en 1 y su máximo en 5. En la pestaña deslizador corroboren que la forma sea horizontal. ➤ Construyan una circunferencia (centro, radio), elijan un punto como centro y llamen al radio “r”. ➤ Creen una circunferencia de radio 5 y marquen un segmento de longitud dada entre dos puntos de la circunferencia, donde pase por el centro. Asegúrense de mostrar el nombre y valor del mismo. ➤ Formen un arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de la circunferencia, el punto C y otro punto que pertenezca a la circunferencia. Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color para el arco y un grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto D hasta que el arco mida lo mismo que el diámetro de la circunferencia. ➤ Formen otro arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de la circunferencia, el punto D y otro punto que pertenezca a la circunferencia. Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color distinto que el arco anterior y un grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto E hasta que el arco mida lo mismo que el diámetro de la circunferencia. ➤ Formen un tercer arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de la circunferencia, el punto E y otro punto que pertenezca a la circunferencia. Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color distinto que los arcos anteriores y un grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto F hasta que el arco mida lo mismo que el diámetro de la circunferencia. ➤ Forme por un último un arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de la circunferencia, el punto F y el punto C. Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color distinto que los arcos anteriores y un grosor de trazo de 5.

Construcción actividad 2 24

Parte II: Análisis.

Completen la siguiente tabla y contesten las preguntas:

Radio

Diámetro

Valor total de arcos iguales al diámetro

Valor total de arcos diferentes al diámetro

Perímetro

1 2 3 4 5 A) ¿Cuál será el valor total de arcos iguales al diámetro de una circunferencia, si su radio es 6?, ¿y si es 10? B) ¿Cuál será el valor total de arcos diferentes al diámetro de una circunferencia, si su radio es 6?, ¿y si es 10? C) ¿Cuál será el valor total de arcos iguales al diámetro de una circunferencia, si su radio es n? D) ¿Cuál será el valor total de arcos diferentes al diámetro de una circunferencia, si su radio es n? 25

E) ¿Qué relación se podrá encontrar entre el perímetro y su radio? F) Hallar el perímetro de una circunferencia cuyo radio es de 6,5 cm. Comprobar mediante Geogebra. G) ¿Cuál será el radio de una circunferencia cuyo perímetro es de 29,83 cm? Comprobar mediante Geogebra. El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee el perímetro con el radio de la circunferencia y puedan hallar una fórmula que los ayude a resolver situaciones problemáticas de mayor grado de complejidad.

Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre la circunferencia, hasta el análisis de la construcción, la tabla y preguntas propuestas por el docente. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan surgir al utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o su incorrecta ejecución. También mediante los deslizadores, podrá realizar un repaso de los elementos de la circunferencia. Por otro lado, las preguntas del inciso “a” y “b”, abre el debate a la relación entre el radio, el diámetro y los arcos de la circunferencia trabajados. Será importante diferenciar entre lo que podremos llamar “arco completo”, por ser igual al diámetro y “arco incompleto”, distinto al diámetro. El alumno podrá elegir distintas estrategias para la resolución de estos incisos, no siempre llegará a la conclusión de multiplicar por 3 el diámetro para los “arcos completos” y multiplicar por 0,14 los “arco incompleto”. Lo importante en esta primera instancia es que el alumno pueda construir una forma para hallar el valor de los arcos, teniendo como dato el radio o diámetro y así lograr definir su perímetro. En los incisos “c” y “d”, se plantea que el alumno llegue a una forma algebraica de los incisos anteriores, pondrá en práctica lo logrado y será un antecesor importante para el inciso “e”, que finalmente invita al alumno a encontrar la fórmula del perímetro de la circunferencia. En este punto donde se podrá intervenir sobre el número pi: 3,14… Anteriormente el alumno se encontrará con la parte decimal del número pi, la relación del “arco incompleto” muchas veces será de 0,14; 0,142; 0,1425. Como el propósito no se detiene en este número complejo, en una primera instancia se podrá acordar trabajar con dos decimales, pero en el inciso “e”, ya se plantea la fórmula del perímetro de la 26

circunferencia y no es lo mismo que el alumno adquiera como conocimiento 3,14 x 2 x Radio que Pi x 2 x Radio. El docente podrá tomar como iniciativa esta actividad para abordar desde cualquier propuesta el trabajo con el número pi. También en este inciso se podrá abordar el tema de 2 x radio igual a diámetro. Finalmente los incisos “f” y “g”, servirán para poner en práctica lo aprendido.

Actividad nº 3 Parte I: Utilizando Geogebra.

➤ Abran el Geogebra y trabajen con apariencia en Geometría, y elijan también mostrar cuadrícula. A ese archivo lo vamos a llamar: Construcciones. ➤ Construyan dos rectas para dividir el espacio en tres partes, los cuales deberán tener horizontalmente, cada uno, una distancia entre ocho o más cuadrados de la cuadrícula. Los espacios generados serán: 1, 2 y 3. ➤ En el espacio 2 formen un segmento de longitud dada de 1cm. ➤ Generen un polígono regular de cuatro lados. ➤ Copiar el cuadrado generado y pegar en 1 y 3 doce del mismo y en 2 cinco, quedando un total de seis cuadrados. ➤ En 2 generen con seis cuadrados un polígono con un perímetro de 12 cm. ➤ Creen una nueva ventana. Trabajando también como apariencia en Geometría y mostrar cuadrícula. Dividir tres espacios con dos rectas. A ese archivo lo vamos a llamar: Productos. ➤ Generen un polígono en Productos igual al creado en Construcciones. ➤ Calculen el perímetro con Distancia o Longitud y denomínenlo “A”. ➤ Vuelvan a Construcciones y en el espacio 1 construyan dos figuras de seis cuadrados cada una. Una deberá tener un perímetro menor que la figura construida en 2 y otra deberá ser mayor. ➤ En Productos generen los dos polígonos creados en el punto anterior y calculen el perímetro con Distancia o Longitud. A la de menor perímetro la llamaremos “B” y a la de mayor “C”. ➤ Vuelvan a Construcciones y en 3 construyan dos figuras, una de cinco cuadrados y otra de siete, donde ambas tengan un perímetro de 12cm. ➤ En Productos generen los dos polígonos creados en el punto anterior y calculen el perímetro con Distancia o Longitud. A la de cinco cuadrados llamenla “D” y a la de siete “E”.

Construcciรณn Actividad 3

Completen la siguiente tabla con verdadero o falso.

La figura A, tendrรก mayor superficie que B. La figura C, tendrรก mayor superficie que B. La figura A, tendrรก la misma superficie que D y E. La superficie de B es igual a la superficie de C. La superficie de C es mayor a la superficie de E.

El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee el perímetro con el área y puedan conceptualizarla.

Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre polígono y perímetro. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan surgir al utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o su incorrecta ejecución. Por otro lado, las propuestas de construcción por parte de los alumnos a través del Geogebra, las cuales serán múltiples, dan pie a que el docente pueda intervenir en cada una de ellas para analizar lo aprendido por los alumnos sobre polígonos y perímetro. Para que los alumnos completen la actividad, se deberá dar una idea de área de una figura geométrica, pero no el mecanismo para hallarla. El resultado del ejercicio mostrará la noción construida sobre la relación, por ejemplo: si aumenta el perímetro, ¿aumenta el área? Luego de analizar la actividad, se podrá corroborar desde el Geogebra, calculando el área de cada figura creada y reabrir el debate sobre la relación entre perímetro y área. ¿Qué relación existe sobre una figura?, ¿es la misma sobre dos figuras? Una forma interesante es poder observar cuáles son las relaciones que plantea un grupo de alumnos y a través de los ejemplos en la actividad, proponer a otro grupo que las refute.

Anexo a la Actividad 3:

Marcar

cuál

relación

que

existe

entre

perímetro

área:

Si el perímetro aumenta, la Si el perímetro aumenta,

Si el perímetro aumenta, la

superficie también.

la superficie es igual.

superficie disminuye

Si el perímetro es igual, la

superficie aumenta.

superficie es igual.

superficie disminuye.

Si el perímetro disminuye,

la superficie aumenta.

la superficie es igual.

la superficie disminuye.

La presente secuencia pretende retomar los conceptos abordados hasta el momento, a saber: cuadriláteros, congruencia y semejanza de triángulos, perímetro, entre otros; y ensamblarlos con el concepto de área que, a posteriori, se podrá utilizar como disparador para construir el concepto de volumen, por ejemplo. Las actividades propuestas intentan dotar de sentido y significado el concepto de área, generando las competencias necesarias para poder hallar la superficie de cualquier cuadrilátero, sin necesidad de recurrir a fórmulas. Para lograr el cometido, nos apoyaremos en las propiedades de rotación y traslación de figuras geométricas. La secuencia puede desarrollarse a través del programa Geogebra o mediante lápiz y papel. El uso del Geogebra es más conveniente ya que permite visualizar, usando deslizadores, las congruencias entre figuras facilitando la comparación y resolución de los problemas. Por último, y con ayuda de los profesores, se pueden demostrar las fórmulas de área para los polígonos más utilizados. El trabajo consta de tres etapas: En un primer momento, se recordarán los conceptos abordados hasta el momento, que tengan relevancia con el concepto a trabajar. A continuación se expondrá la secuencia para llevar adelante el desarrollo del tema propuesto. Por último, se discutirán posibles soluciones y/o errores que puedan surgir, seguido de orientaciones para el docente y el uso del Geogebra. Objetivos ❖ Reanudar el concepto de perímetro y la construcción de polígonos para utilizarlos como soporte en la construcción del concepto de área. ❖ Comprender y afianzar el concepto de área. ❖ Construir la fórmula del área de cualquier figura plana, salvo la circunferencia, a partir del área de un rectángulo, mediante el hallazgo de regularidades. ❖ Establecer relaciones significativas entre área y perímetro, pudiendo ensamblar ambos contenidos.

❖ Trabajar

manera

significativa

las

propiedades

las

áreas,

relacionándolas con los conceptos de rotación y traslación. Para recordar… Los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos rectilíneos. Los elementos de un polígono son: ❖ Los lados: segmentos rectilíneos que delimitan al polígono. ❖ Los vértices: puntos donde se intersecan los lados dos a dos. ❖ Los ángulos: regiones comprendidas entre cada par de lados. ❖ Las diagonales: segmentos que unen vértices no consecutivos. Los más utilizados son los triángulos y los cuadriláteros Los triángulos se clasifican según:

❖ La longitud de sus lados: ➢ Equilátero: los tres lados del triángulo tienen la misma longitud. ➢ Isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"): tiene al menos dos lados de igual longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados son congruentes. ➢ Escaleno (del griego σκαληνός "desigual"): todos sus lados tienen longitudes diferentes (en este triángulo no hay ángulos congruentes). ❖ Sus ángulos: ➢ Acutángulo: tiene sus tres ángulos agudos. ➢ Rectángulo: tiene un ángulo recto. ➢ Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso. Los cuadriláteros se clasifican en: ❖ Paralelogramos: sus lados opuestos son paralelos y congruentes Se clasifican en: ➢ Cuadrado: tiene los cuatro lados congruentes y los cuatro ángulos rectos. ➢ Rectángulo: lados opuestos congruentes y sus cuatro ángulos rectos. ➢ Rombo: cuatro lados congruentes y los ángulos opuestos iguales. ❖ Romboide: tiene dos pares de lados consecutivos congruentes. ❖ Trapecio: sólo tienen dos lados paralelos. ❖ Trapezoide: los lados no son paralelos. Se llama perímetro de una figura plana a la longitud del borde de dicha figura. Se llama área de una figura plana a la medida de la superficie que ocupa.

Actividad nº 1 Observar las siguientes construcciones en Geogebra: a) ¿Es posible calcular el área del paralelogramo DEFB a partir del área del triángulo DEB? ¿Y el área del triángulo ABC a partir del área paralelogramo del ABCD? ¿Por qué?

b) Mediante el uso de Geogebra, averiguar: el área de los triángulos ABE y CDF, el área del paralelogramo BACD y el área del trapecio ACDE. Observar los datos obtenidos, ¿Se puede establecer una relación entre el área del rectángulo ACFE y el área del paralelogramo ACDB? ¿Y entre el área del rectángulo ACFE, el área del triángulo CDF y el área del trapecio ACDE? De ser posible, explicar.

c) Dado el trapecio ABDC:

¿Qué relación existe entre su área y el área del rectángulo que lo circunscribe? d) Sabiendo que el área de un rectángulo de lado mayor a y lado menor b es: Área = a.b

¿Podrías calcular el área del siguiente rombo, tomando como referencia el área del rectángulo que lo circunscribe?

e) A partir del área del rectángulo, hallar la fórmula del área para las figuras de los ejercicios anteriores. g) Dibujar un rectángulo y un romboide inscrito en él. ¿Existe una relación entre sus áreas? ¿Cuál?

Actividad nÂş 2 a) Representar las siguientes figuras y calcular su ĂĄrea utilizando las fĂłrmulas halladas en el problema anterior: I.

Un romboide cuya diagonal menor mide 15 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; y la diagonal mayor mide 17 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; .

II.

Un rombo con diagonal mayor de 12đ?&#x2018;&#x161; y diagonal menor de 10 đ?&#x2018;&#x161; .

III.

Un triĂĄngulo de 60 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; de base y 45đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; de altura.

IV.

Un trapecio de 14 đ?&#x2018;&#x161; de base mayor, 8đ?&#x2018;&#x161; de base menor y 5 đ?&#x2018;&#x161; de altura.

b) Construir al menos dos figuras planas cuyas ĂĄreas sean iguales. c) Construir dos figuras planas distintas que tengan el misma ĂĄrea y distinto perĂmetro.

Actividad nÂş 3 a) Dibujar varios triĂĄngulos, calcular su ĂĄrea y su perĂmetro. Analizar cĂłmo varĂaâ&#x20AC;Ś I. ...El perĂmetro, si uno de los lados del triĂĄngulo aumenta 2 cm y el otro 4 cm. II. ...El ĂĄrea, si uno de los lados se duplica y el otro lado se mantiene fijo. III. ...El ĂĄrea y el perĂmetro, si la base y la altura se duplican.

b) ÂżSe puede generalizar a cualquier figura plana? Dar ejemplos. c) ÂżPodrĂas establecer una relaciĂłn entre el ĂĄrea y el perĂmetro de dos triĂĄngulos semejantes?

Recordar que dos triĂĄngulos son semejantes si tienen sus ĂĄngulos congruentes y sus lados homĂłlogos son proporcionales

Orientaciones para el docente Problema 1 La mayor dificultad que se puede presentar es que los alumnos no comprendan que al rotar o trasladar una figura, el ĂĄrea no varĂa. Para surfear dicho obstĂĄculo, se propone abordar la secuencia desde el uso del Geogebra. Luego de resolver cada items, se espera que los alumnos, guiados por el docente, sean capaces de construir la fĂłrmula de ĂĄrea para cualquier cuadrilĂĄtero. a) Al finalizar la actividad uno, el docente puede plantear lo siguiente: Sabemos que el ĂĄrea del paralelogramo DEFB es el doble del ĂĄrea del triĂĄngulo EDB. Primero probaremos que el triĂĄngulo EDB es congruente al triĂĄngulo EFB. Recordemos el primer criterio de congruencia de triĂĄngulos a saber: â&#x20AC;&#x153;Dos triĂĄngulos que tienen sus tres lados respectivamente congruentes, son congruentes.â&#x20AC;? Los lados son congruentes: â&#x2014;? EB â&#x2030;Ą EB. â&#x2014;?

ED â&#x2030;Ą FB: Por ser lados paralelos de un paralelogramo.

â&#x2014;?

DB â&#x2030;Ą EF: Por ser lados paralelos de un paralelogramo. Por lo tanto, el triĂĄngulo EDB es congruente al triĂĄngulo AFB. Entonces, el

đ?&#x2018;?.â&#x201E;&#x17D; Ă rea del triĂĄngulo EDB= Ă rea DEFB =

(1) y el ĂĄrea del triĂĄngulo EFB=

EDB + EFB

đ?&#x2018;?.â&#x201E;&#x17D; Ă rea DEFB=

đ?&#x2018;?.â&#x201E;&#x17D;

(đ?&#x;?)

(Reemplazo por (1) y (2) )

đ?&#x2018;?.â&#x201E;&#x17D; (Sumando)

đ?&#x2018;?.â&#x201E;&#x17D; +đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D; 2.đ?&#x2018;?.â&#x201E;&#x17D; Ă rea DEFB=

Ă rea DEFB=

(Simplificando)

b.h

De manera anĂĄloga, se puede demostrar el ĂĄrea de cualquier cuadrilĂĄtero.

b) Se pretende mostrar que la fĂłrmula del ĂĄrea del trapecio,

â&#x201E;&#x17D;

(đ??ľ + đ?&#x2018;?). 2 ,

puede deducir del ĂĄrea del triĂĄngulo CFD y del ĂĄrea del rectĂĄngulo ACFE.

Ă rea del rectĂĄngulo ACFE=

AC.CF đ??ˇđ??š.đ??śđ??š

Ă rea del triĂĄngulo CFD=

Ă rea del trapecio ACDE=

AC.CF -

đ??ˇđ??š.đ??śđ??š (1) 2

Sabemos que AC= ED+DF entonces DF= AC - ED. (Reemplazando en (1)) Ă rea del trapecio=

AC. CF -

(đ??´đ??śâ&#x2C6;&#x2019;đ??¸đ??ˇ).đ??śđ??š 2

2.đ??´đ??ś.đ??śđ??š â&#x2C6;&#x2019; đ??´đ??ś.đ??śđ??š+ đ??¸đ??ˇ.đ??śđ??š đ??´đ??ś.đ??śđ??š + đ??¸đ??ˇ.đ??śđ??š 2

= (đ??´đ??ś

+ đ??¸đ??ˇ).

đ??śđ??š 2

Pero AC es la base mayor, sea B y ED la base menor, sea b. Reemplazando queda: Ă rea del trapecio=(đ??ľ

+ đ?&#x2018;?).

â&#x201E;&#x17D; 2

c) Se demostrarĂĄ que el ĂĄrea del trapecio coincide con el ĂĄrea del rectĂĄngulo. â&#x2014;? IHAK se obtiene de rotar BHFD, por lo tanto IHAK â&#x2030;&#x2026; BHFD y ademĂĄs, ĂĄrea IHAK = ĂĄrea BHFD (1)

โ GJC se obtiene de rotar DFG, entonces GJC โ DFG y รกrea GJC = รกrea DFG(2) ร rea del trapecio ABDC = รกrea AHFE + รกrea BHFD + รกrea DFG+ รกrea FGCE. Por (1) y (2): ร rea ABDC= รกrea AHFE + รกrea IHAK + รกrea GJC + รกrea FGCE (3) Pero ร rea IJCK=รกrea IHAK +รกrea AHFE +รกrea GJC + รกrea FGCE (4) De (3) y (4): ร rea ABDC= รกrea IJCK. d) Tomamos en cuenta que como el triรกngulo BCF y el triรกngulo BFO son congruentes, entonces sus รกreas son iguales. De igual manera el resto de los triรกngulos determinados por las diagonales, los lados del rombo y los lados del rectรกngulo, tienen igual รกrea a los anteriores. El รกrea de rectรกngulo es ๐ . โ , que en nuestro caso serรญa ๐ ผ๐ ท. ๐ ท๐ ป. Como puede observarse, es igual a la suma del รกrea de los ocho triรกngulos congruentes. El rombo estรก formado por cuatro de esos triรกngulos, por lo tanto el รกrea del rombo es la mitad de la del rectรกngulo. f) Con este ejercicio se puede poner en discusiรณn las diferencias entre rombo y romboide, pues es muy comรบn que los alumnos en particular y las personas en general, los confundan.

Rombo

Romboide

En el caso del romboide, si Q es el punto donde se intersecan las diagonales del romboide, obtenemos que: โ MKO โ MOQ, entonces รกrea MKO = รกrea MOQ.

โ MPI โ MQP, entonces รกrea MPI = รกrea MQP. โ PQN โ PNJ, entonces รกrea PQN = รกrea PNJ. โ OLN โ QON, entonces รกrea OLN = รกrea QON. Ademรกs: โ La diagonal mayor del romboide, D=MN โ IJ โ KL, con lo cual tiene igual longitud. โ La diagonal menor del romboide, d=OP โ KI โ LJ, con lo cual tienen igual longitud. Por lo tanto, el รกrea del romboide es: ร rea MONP= รกrea KLJI - รกrea MKO - รกrea MPI - รกrea PQN - รกrea OLN. Reemplazo ร rea MONP = รกrea KLJI- รกrea MOQ - รกrea MQP - รกrea PNJ - รกrea QON. Asocio ร rea MONP = รกrea KLJI- (รกrea MOQ + รกrea MQP + รกrea PNJ + รกrea QON) Pero รกrea MOQ + รกrea MQP + รกrea PNJ + รกrea QON= รกrea MONP. Reemplazo ร rea MONP = รกrea KLJI - รกrea MONP. 2.ร rea MONP= รกrea KLJI y ademรกs รกrea KLJI= IJ.LJ โ D.d Con lo cual: ร rea MONP=

๐ ซ๐ ๐

Problema 2 Este problema es una aplicaciรณn de las fรณrmulas de รกrea para darles sentido. En el inciso uno, los alumnos deberรกn construir las figuras y aplicar las fรณrmulas de รกrea a partir de los datos dados. Como consecuencia de la trayectoria escolar, puede suceder que se centren tanto en la construcciรณn de las figuras que terminan obstaculizando el verdadero fin del ejercicio. Los incisos siguientes, pretenden trabajar las diferencias entre รกrea y perรญmetro pues muchos alumnos suelen confundirlos. Ademรกs, hacerles ver que no pueden restringir el trabajo geomรฉtrico sรณlo a la figura, deben recurrir constantemente a las definiciones y propiedades.

Problema 3 Consideramos que este problema es el que puede presentar mayor dificultad. Se intenta trabajar la concepciĂłn de los alumnos â&#x20AC;&#x153;si duplico el perĂmetro, duplico el ĂĄrea de la figuraâ&#x20AC;?. Para ello, se propone recordar quĂŠ significa que dos triĂĄngulos sean semejantes y abordar el ĂĄrea como razĂłn entre figuras semejantes. c)

Los triĂĄngulos ABC y ADE son semejantes, sea k la razĂłn. Tenemos: â&#x2014;? â&#x2014;? â&#x2014;?

đ??ˇđ??¸ đ??ľđ??ś đ??´đ??ˇ đ??´đ??ľ đ??´đ??¸ đ??´đ??ś

=đ?&#x2018;&#x2DC;

entonces DE=k.BC (1)

= đ?&#x2018;&#x2DC; entonces AD=k.AB (2) = đ?&#x2018;&#x2DC; entonces AE=k.AC (3)

PerĂmetro ABC= AB+BC+AC (4) PerĂmetro ADE= AD+DE+AE reemplazo por (1), (2) y (3) PerĂmetro ADE=k.AB+k.BC+k.AC = k(AB+BC+AC) por (4) queda: PerĂmetro ADE=k.PerĂmetro ABC. Ă rea ABC=

đ??´đ??ś.đ??ľđ??ś 2

Ă rea ADE=

đ??´đ??¸.đ??ˇđ??¸ 2

Ă rea ADE=

đ?&#x2018;&#x2DC;.đ??´đ??ś.đ?&#x2018;&#x2DC;.đ??ľđ??ś = 2

(5) (reemplazo por (1) y (3))

đ?&#x2018;&#x2DC;2.

đ??´đ??ś.đ??ľđ??ś 2

por (5)

Ă rea ADE= đ?&#x2018;&#x2DC; .Ă rea ABC. Se recomienda el siguiente video para rever la secuencia propuesta. Acceder desde aquĂ o ingresar al siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=60477IgHb24&feature=youtu.be

Cómo construir con Geogebra Citamos a modo de ejemplo, cómo construir el paralelogramos del problema uno.

Definimos un deslizador: Seleccionamos la herramienta y clickeamos en cualquier espacio libre de la Vista Gráfica para crear un "dial” o deslizador. Luego, ajustamos el valor del número o ángulo que deseamos.

Creamos el segmento Seleccionamos la opción segmento de longitud dada. En el recuadro ingresamos como longitud, el nombre del deslizador.

Obtenemos:

De esta manera obtenemos uno de los lados del paralelogramo.

Sobre el punto B seleccionamos la opción segmento de longitud dada e ingresamos por ejemplo, 2a. Así obtenemos el segmento BC, lado del paralelogramo. Los lados restantes se obtienen trazando la paralela al segmento AB que pasa por C y la paralela al segmento BC que pasa por A. La intersección de ambas rectas, determina el punto D. Por último, seleccionamos la opción polígono y clickeamos en los puntos ABCDA, formando el paralelogramo buscado. Con la opción segmento entre dos puntos podemos trazar la diagonal y con la recta perpendicular al segmento AD que pasa por B, trazamos la altura h.

Con el botón derecho sobre la gráfica, podemos ocultar los ejes y la cuadrícula. Con el botón derecho sobre un punto, con la opción propiedades, podemos cambiar su tamaño y color.

Con la opción área, marcando en el polígono correspondiente, obtenemos el área de las tres figuras formadas, los dos triángulos y el paralelogramo.