NUMEROS ENTEROS ( Z) En N la resta sólo está definida si el minuendo es mayor o igual al sustraendo. Para que dicha operación no sea tan restringida se creó el conjunto de enteros negativos ( notado por –N) Z = N U -N U {0} −1 −5 Números enteros negativos Expresan cantidades que son menores que cero
31 17 Números enteros positivos Expresan cantidades que son mayores que cero
CARACTERISTICAS: 1. Los números enteros no tienen parte decimal. 2. Los números enteros están formados por los enteros positivos , los enteros negativos y el cero . El 0 no se considera ni positivo ni negativo. 3. Un número es menor cuanto más a la izquierda se sitúe en la recta numérica El valor absoluto de un número entero se obtiene al prescindir de su signo . El valor absoluto se representa mediante dos barras que encierran al número: | +200 | = 200 : Se lee: "El valor absoluto de +200 es 200". | −200 | = 200 : Se lee: "El valor absoluto de −200 es 200".
El Opuesto de un número entero es el número con el mismo valor absoluto pero con distinto signo Los números +300 y −300 tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Se dice que +300 es el opuesto de −300 y al revés: −300 es el opuesto de +300.
Se escribe así: Op(+25) = -25 Se lee: "El opuesto de +25 es −25". Op(-25) = +25 Se lee: "El opuesto de -25 es +25".
Matematicas I
COMPARACION DE NUMEROS ENTEROS Para averiguarlo, basta con representar los números −2 y −9 en la recta numérica:
Vemos que −9 está a la izquierda de −2; por tanto, −9 es menor que −2. Una comparación se escribe con los símbolos : > mayor que
−9 < −2
: Se lee: "−9 es menor que −2"
< menor que = igual que Para comparar números enteros, debemos tener en cuenta: ♦ Cualquier positivo es mayor que cualquier negativo. ♦ Cualquier negativo es menor que cero. ♦ Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; es decir, el esté más próximo a 0 en la recta numérica.
que
SUMA Y RESTA DE NUMEROS ENTEROS Suma de dos o más enteros del mismo signo Para sumar enteros del mismo signo ♦ Se suman sus valores absolutos. ♦ El resultado tiene el mismo signo que el de los números que se suman. Por ejemplo: +200 + (+100) = +300 −40 + (−30) = −70 Para sumar enteros de diferente signo: ♦ Se restan sus valores absolutos. ♦ Al resultado se le coloca el signo del que tenga mayor valor absoluto. Por ejemplo: +8 + (−3) = +5 −5 + (+9) = +4
Para restar dos números enteros Se debe sumar al primero el opuesto del segundo.
Karen Ormazabal
Matematicas I
Ejemplos: (+8) − (+6) = (−20) − (−4) = (−15) − (−13) =
(+8) + (−6) = (−20) + (+4) = (−15) + (+13) =
+2 −16 −2
Propiedades de la suma de enteros Propiedad de
la
conmutativa El orden de los sumandos no altera el suma resultado:
a+b=b+a (+3) + (−4) = (−4) + (+3)
Propiedad de
la
asociativa La suma de tres enteros no varía cuando se suma asocian los sumandos de modos distintos.
(a + b) + c = a + (b + c) [(−2) + (−7)] + (+4) = (−2) + [(−7) + (+4)]
LA REGLA DE LOS SIGNOS 1. El producto o el cociente de dos enteros del mismo signo es siempre positivo. 2. El producto o cociente de dos enteros de distinto signo es siempre negativo.
MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros: ♦ Se multiplican sus valores absolutos. ♦ El signo del resultado es el que resulta de aplicar la regla de los signos. Por ejemplo: (+8) · (−7) = −56 (−9) · (−12) = +108
Para dividir dos números enteros ♦ Se dividen sus valores absolutos. ♦ El signo del resultado es el que resulta de aplicar la regla de los signos.
Karen Ormazabal
Matematicas I Por ejemplo: (−30) : (+5) = −6 (−90) : (−10) = +9 Propiedades de la multiplicación Propiedad de la
conmutativa El orden de los factores no altera el resultado: multiplicación
a·b=b·a Propiedad de la
(−8) · (+7) = (+7) · (−8) = −56 asociativa El producto de tres enteros no varía cuando se asocian multiplicación los factores de modos distintos
(a · b) · c = a · (b · c)
Propiedad distributiva de El producto de un número entero por una suma es la multiplicación respecto de la igual a la suma de los productos del número entero suma por cada uno de los sumandos: a · (b + c) = a · b + a · c
(−3) · (−5 + 7) = −3 · (−5) + (−3) · 7 = −6
OPERACIONES COMBINADAS Para resolver operaciones combinadas es indispensable seguir estas reglas ♦ Primero se resuelven las operaciones que haya entre ♦ A continuación se resuelven las multiplicaciones y las ♦ Por último, se resuelven las sumas y restas.
paréntesis. divisiones.
Karen Ormazabal
Matematicas I
EJERCICIOS 1.
Ubica en una recta numérica los siguientes enteros: -1 0 -3 4 2 1 -2 ________________________________________________
2.
Escribe el signo ∈ o ∉ : -5 ____ Z -8 ____ Z+ 0 ____ Z 0 ____ Z+ 9 ____ Z 7 ____ Z+
-6 ____ Z0 ____ Z4 ____ Z-
-5 ____ N 0 ____ N 3 ____ N
3. Escribe el signo ⊂ o ⊄ : Z ____ Z+ Z+ ____ Z Z- ____ N Z- ____ Z
N ____ Z N ____ Z-
Z+ ____ N Z+ ____ Z-
4. Anota el opuesto simétrico de : -3 = 8= -4 =
15 =
0=
a=
-b =
5. Escribe el entero que representa las siguientes situaciones: a) 3 grados bajo cero = b) Debo $ 2.000 = c) 25 metros de profundidad = d) 80 metros de altura = e) 6 metros a la derecha = f) 3.000 años antes de Cristo = 6. Escribe el signo > < o = según corresponda: -3 ____ 3 -6 ____ -1 5 ____ 0 0 ____ +8 -4 ____ +4 -9 ____ 0 6 ____ +6 /-3/ ____ /+3/ 0 ____ /-8/
-2 ____ 0 -1 ____ -1.000 /-6/ ____ /+2/
7. Ordena de menor a mayor estos conjuntos: A = { -5, 4, 0, -7, 3 } B = { -15, -6, -2, -100, -1 } 8. Ordena de mayor a menor estos conjuntos: C = { 18, -14, 26, -32 } D = { -48, -35, -94, -76 } 9. Resuelve las siguientes adiciones: • • • • • • • • • • • • • • •
2 +5= -7 + -3 = 6 + -4 = -4 + 8 = -10 + -20 = 10 + -30 = -18 + 24 = 100 + -32 = 238 + 136 = -529 + -469 = 800 + -468 = 357 + -900 = 5 + -3 + 10 = -8 + -12 + 10 + -13 + -15 = 23 – 45 + 12 – 4 + 58 =
Karen Ormazabal
Matematicas I • • • • • • • • • • •
1 – 4 – 4 – – 6 + 46 + 78 – 5 = 4 + 5 + 7 – 4 – 12 – 5 = 45 – 6 – 5 – 9 + 9 – 23 = (4 + 5) · 8 + 7 · (4 – 5) = 4 · (6 – 7 + 9) – 5 · (9 – 12) = 2 · [9 – 6 · (4 + 9) – 6] – 12 = 12 – 3 · (3 – 8) – 3 ·[5 + 12 · (8 – 4) – 4] = 2 · {4 · (4 + 5) + 3 · [3·(3 + 4) + 3]} = 3 · [(8 – 2) + (2 + 6) · (2 – 7)] – 4 = 4 · [2 – 3 · (2 + 4) + 3] – 4(3 – 4) = 4 · [3 – 4 · (3 + 1) – 2 · (8 – 5) + 8] – 10 =
10. 1) 2) 3) 4) 11.
Anota el número de la columna “A” que corresponda en la “B” : “A” “B” 5+0=5 ____ Conmutativa 2 + -3 = -3 + 2 ____ Asociativa 7 + -7 = 0 ____ Neutro aditivo (-4 + 6) + -2 = -4 + (6 + -2) ____ Inverso aditivo
Escribe el nombre de las siguientes propiedades de la adición: a + 0 = a ___________ a + (b + c) = (a + b) + c ________________ a + b = b + a __________ a + -a = 0 ______________________
12.
Resuelve las siguientes adiciones usando la propiedad asociativa : a) -3 + 4 + -8 b) 6 + -5 + -2 + 9 c) -1 + 2 + -3 + -4 + 5 d) -10 + l5 + 34 + -28 + 60 13.
14.
• • • • • • • • • • • • • • • • • •
Resuelve las siguientes sustracciones: 9-5= -6 – ( -4) = -2 - 7 = 5 – (-1) = 18 - 30 = -24 – ( -19) = -89 -56 = 67 – (-33) = 234 – (-500) = -538 - 700 = -800 – ( -208) = 600 - 209 = -10 – (-8) – (-15) = -7 - 3 – (-10) - 15 = 12 – (-8) – (-3) - 5 – (-4) = -6 - (-2 + 1) + 8 -8 – [ 15 – (3 – 7) – 10 ] –7 – { -3 [ -5 (1 – 9) + 4] – 6} + 8 Resuelve estos problemas, anotando la operación y la respuesta:
a) Si pierdes 15 láminas en un juego y 18 láminas en otro. ¿ Cuántas láminas has perdido en total?
Karen Ormazabal
Matematicas I c) Un submarino descendió 46 metros y luego subió 18 metros. ¿ A qué profundidad se encuentra? d) Santiago tuvo ayer una temperatura de 3º bajo 0 en la mañana y en la tarde subió 18º. ¿ Cuál fue la temperatura alcanzada. e) ¿ Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César ( año 44 A.de C.) hasta la caída del Imperio Romano de Occidente ( año 395 D. de C.) f) En cada una de las siguientes actividades imagina que partes del número cero: Retrocedes 5 pasos y avanzas 3 pasos. ¿ En qué punto te encuentras ? Avanzas 10 pasos y retrocedes 8 pasos. ¿ En qué punto te encuentras ? Avanzas 2 pasos y retrocedes 2. ¿ En qué punto te encuentras ? Si avanzas 13 pasos. ¿ Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto –5
?
g) Un auto está ubicado a 7 m. a la derecha de un punto A, luego avanza 23 m., retrocede 36m.vuelve avanzar 19 m. y retrocede 36 m. ¿ A qué distancia del punto A se encuentra ? 15. En la siguiente recta numérica: x, y, w y z son números enteros. Evalúa cuál de las afirmaciones es verdadera y fundamenta: /
/
/ x
/ -3
x·y=z+z
/ y
/ -1
/ 0
/ 1
x - y < w · -1
/ w
/ 3
z
5
Z+w= 2·w
Karen Ormazabal