distribucións en baixa tensión by miguel anxo gonzalez

4. Diferéncias de tensión nas distribucións eléctricas

No anterior apartado estudiouse a diferéncia de tensión nunha liña eléctrica ocasionada por unha carga puntual. Numerosas instalacións están compostas por liñas dese tipo, pero existen outro tipo de repartos posíbeis. Nos seguintes apartados estudiaranse algusn destes repartos, comezando pola distribución liñal de cargas nunha liña, seguindo pola distribución ramificada e posteriormente polas distribucións abastecidas polos dous extremos. Concluirase o capítulo cunha referéncia ás distribucións uniformes de intensidade ao longo dunha liña eléctrica.

4.1. Cálculo da diferéncia de tensión nunha distribución liñal. As distribucións liñais consisten simplemente nun conductor do que vai saindo unha intensidade cada certa distáncia. A intensidade pode ser a demandada por un receptor como un motor ou unha lámpada, pero tamén pode ser a demandada por outra liña eléctrica como se verá no apartado de liñas ramificadas.

4.1.1. Corrente contínua Supoñamos en princípio unha distribución liñal con sección única como a da figura 4.1 de receptores abastecidos por corrente contínua. Lóxicamente non é este o caso mais habitual, pero o razoamento é relativamente simple e serve como base para os razoamentos similares que se realizarán posteriormente para corrente alterna tanto monofásica como trifásica. Ln L3 L2 L1 O

I2 i1

n-1

I3 i2

n In

i3 l3

in-1

in ln

fig 4.1 .Distribución liñal de corrente contínua

A diferéncia de tensión δ entre a orixe O e a última carga situada no punto n será a suma das diferéncias de tensión de todos os tramos :

δ = δ O ,1 + δ 1,2 + δ 2,3 + ..... + δ n −1,n

(4.1)

Sabendo que cada tramo ten unha resisténcia R e que está atravesado por unha intensidade I, as diferéncias de tensión pódense sustituir por …., e terase que:

δ = 2 ⋅ RO ,1 ⋅ I 1 + 2 ⋅ R1, 2 ⋅ I 2 + 2 ⋅ R 2,3 ⋅ I 3 + ..... + 2 ⋅ R n −1,n ⋅ I n

(4.2)

Descompoñendo cada resisténcia en función da resistividade e da lonxitude, e tendo en conta que a sección en toda a liña é única teremos que :

δ=

2⋅ ρ ⋅ (l1 ⋅ I 1 + l 2 ⋅ I 2 + l 3 ⋅ I 3 + ..... + l n ⋅ I n ) S

(4.3)

Agora teremos en conta que a intensidade que circula por cada tramo é a suma das intensidades que saen para os receptores que quedan diante del, é dicir:

I 1 = i1 + i 2 + i3 + ..... + i n −1 + i n I 2 = i 2 + i3 + ..... + i n −1 + i n I 3 = i 3 + ..... + i n −1 + i n

(4.4)

I n −1 = i n −1 + i n I n = in Introducindo estas intensidades en 4.3, esta expresión quedará como:

δ=

2⋅ ρ ⋅ [l1 ⋅ (i1 + i 2 + i3 + ..... + i n ) + l 2 ⋅ (i 2 + i3 + ..... + i n ) + l 3 ⋅ (i3 + .....i n ) + ..... + l n ⋅ i n ] S

(4.5)

Reordeando podemos poñer a expresión como:

δ=

2⋅ ρ ⋅ [i1 ⋅ l1 + i 2 ⋅ (l1 + l 2 ) + i 3 ⋅ (l1 + l 2 + l 3 ) + ..... + i n ⋅ (l1 + l 2 + l 3 + ..... + l n )] S

(4.6)

Tendo en conta que as distáncias entre os puntos 1, 2, 3, …,n e a orixe póndense expresar como:

L1 = l1 L 2 = l1 + l 2 L3 = l1 + l 2 + l 3

(4.7)

L n = l1 + l 2 + l 3 + ..... + l n

Introducindo 4.7 en 4.6, quedará a expresión: n

δ=

2⋅ ρ 2⋅ ρ ⋅ [i1 ⋅ L1 + i 2 ⋅ L 2 + i 3 ⋅ L3 + ..... + i n ⋅ L n ] = ⋅ i k ⋅ Lk S S k =1

∑

(4.8)

Deste xeito dada unha distribución liñal de n receptores de corrente contínua e onde a máxima diferéncia de tensión é δmax , a sección mínima necesária do conductor será:

2⋅ ρ

δ max

⋅

∑i

⋅ Lk

(4.9)

k =1

4.1.2. Corrente alterna monofásica No caso de que a distribución liñal teña corrente alterna o razoamento e similar ao do caso anterior, inda que coas particularidades estudiadas no apartado 3.3 En primeiro lugar é preciso distinguir entre corrente alterna trifásica e corrente alterna monofásica. A demostración seguinte farase para o caso de corrente alterna monofásica, sendo o caso de trifásica unha modificación final deste caso. Como se veu no apartado...., para avaliar a diferéncia de tensión en liñas con receptores de corrente alterna hai que ter en conta non só a intensidade i de cada receptor senón tamén o seu ángulo de retraso com respecto á tensión, representado polo cosφ .

Supóñase unha distribución liñal con sección única S , de corrente alterna monofásica con n receptores cada un dos cales absorve unha intensidade ik con cosφk . Nótese que por cada tramo circula unha intensidade Ik que ten un Cosφk (con maiúscula).

Seguindo os pasos da distribución liñal en corrente contínua e tendo en conta a expresión da diferéncia de tensión en corrente alterna, terase que:

δ = 2 ⋅ RO ,1 ⋅ I 1 ⋅ Cosϕ1 + 2 ⋅ R1, 2 ⋅ I 2 ⋅ Cosϕ 2 + 2 ⋅ R 2,3 ⋅ I 3 ⋅ Cosϕ 3 + ..... + 2 ⋅ R n −1,n ⋅ I n ⋅ Cosϕ n

(4.10)

Se como no caso anterior descompoñemos as resisténcias :

δ=

2⋅ ρ ⋅ (l1 ⋅ I 1 ⋅ Cosϕ1 + l 2 ⋅ I 2 ⋅ Cosϕ 2 + l 3 ⋅ I 3 ⋅ Cosϕ 3 + ..... + l n ⋅ I n ⋅ Cosϕ n ) S

(4.11)

Ln L3 L2 L1 O

1 I1 Cosφ1

2 I2 Cosφ2

i1 cosφ1 l1

3 I3 Cosφ3

i2 cosφ2 l2

n-1

n In Cosφn

i3 cosφ3 l3

in-1 cosφn-1

in cosφn ln

fig 4.2 Distribución liñal de corrente alterna

A continuación teremos en conta que as intensidades que circulan por cada tramo son a suma das intensidades dos receptores que teñen por diante, é dicir:

I 1 = I 1 ∠ϕ1 = i1 + i 2 + ..... + i n = (i1 ⋅ cos ϕ1 − j ⋅ i1 ⋅ senϕ1 ) + (i 2 ⋅ cos ϕ 2 − j ⋅ i 2 ⋅ senϕ 2 ) + ..... + (i n ⋅ cos ϕ n − j ⋅ i n ⋅ senϕ n ) = = (i1 ⋅ cos ϕ1 + i 2 ⋅ cos ϕ 2 + ..... + i n ⋅ cos ϕ n ) − j ⋅ (i1 ⋅ senϕ1 + i 2 ⋅ senϕ 2 + ..... + i n ⋅ senϕ n ) = I 1 ⋅ Cosϕ 1 − j ⋅ I 1 ⋅ Senϕ1 (4.12) logo: I1 ⋅ Cosϕ1 = (i1 ⋅ cosϕ1 + i2 ⋅ cos ϕ2 + ..... + in ⋅ cosϕ n )

(4.13)

Gráficamente o anterior pódese ver na figura 4.3

I 1 ⋅ Cosϕ1

i1 ⋅ cos ϕ1 i1 ⋅ senϕ1 i 2 ⋅ senϕ 2

i 2 ⋅ cos ϕ 2

i n ⋅ cos ϕ n

I 1 ⋅ Senϕ1 I1

i n ⋅ senϕ n

fig. 4.3 Suma vectorial das compoñentes de I1 Tal como se fixo a deducción de I1·Cosφ1 , tamén se pode facer a deducción da intensidade que circula polos demais tramos, e como consecuéncia aparecerán as expresións: I 2 ⋅ Cosϕ2 = (i2 ⋅ cos ϕ2 + i3 ⋅ cosϕ3 + ..... + in ⋅ cosϕn )

(4.14)

. . . I n ⋅ Cosϕ n = in ⋅ cos ϕn

(4.15)

Sustituindo as anteriores expresións 4.13, 4.14, e 4.15 en 4.11, quedará:

δ=

2⋅ ρ ⋅ (l1 ⋅ (i1 ⋅ cos ϕ1 + i 2 ⋅ cos ϕ 2 + ..... + i n ⋅ cos ϕ n ) + l 2 ⋅ (i 2 ⋅ cos ϕ 2 + ..... + i n ⋅ cos ϕ n ) + ..... + l n ⋅ i n ⋅ cos ϕ n ) S (4.16)

Tendo en conta as distáncias á orixe e reordeando como se fixo en 4.8: n

δ=

2⋅ ρ 2⋅ ρ ⋅ [i1 ⋅ cos ϕ1 ⋅ L1 + i 2 ⋅ cos ϕ 2 ⋅ L 2 + ..... + i n ⋅ cos ϕ n ⋅ L n ] = ⋅ i k ⋅ cos ϕ k ⋅ L k S S k =1

∑

(4.17)

Como no caso anterior dada unha distribución liñal de n receptores de corrente alterna monofásica e onde a máxima diferéncia de tensión é δmax , a sección mínima necesária do conductor será:

2⋅ρ

δ max

⋅

∑i

⋅ cos ϕ k ⋅ L k

(4.18)

k =1

Chegado a este punto é preciso facer unha série de aclaracións moi importantes dende o punto de vista conceptual. É moi frecuente que a resolución de problemas utilice casi únicamente a imaxe que se ten do modelo simplificado da liña. En moitas ocasións o nivel de abstracción acadado nestes modelos alonxa o problema real da resolución numérica do modelo simplificado. Escoller a sección dun conductor non só é seleccionar esa sección polo critério de diferéncia de tensión. Existen outros critérios como o de límite térmico ou às veces o de corrente de cortocircuíto, que deben ser cumpridos obrigatóriamente. Así mesmo critérios como o de perda de poténcia poden ser impostos por quen encarga o proxecto. Estes critérios inclúen na sua aplicación a intensidade I que circula pola liña ao igual que no critério de diferéncia de 4

tensión. O critério de diferéncia de tensión correctamente formulado e sen simplificacións, xa foi exposto na expresión ........, e simplificado por motivos de manexabilidade, na expresión ....... Nótese que na deducción desta última expresión foi aplicada a propiedade conmutativa, polo que matemáticamente é correcta, é dicir cúmprese a igualdade:

δ = 2 ⋅ (I ⋅ R ⋅ cos ϕ + I ⋅ X ⋅ senϕ ) = 2 ⋅ (R ⋅ I ⋅ cos ϕ + X ⋅ I ⋅ senϕ )

(4.19)

Na figura ..... pódese comprobar que a aplicación de cosφ e de senφ faise por motivos xeométricos, e ambos multiplican aos productos R·I e X·I respectivamente, tal como aparece no primeiro membro da igualdade anterior. Comprobouse que en certas liñas onde os conductores estaban moi cercanos, como no caso das liñas de distribución interior, o valor de X é moi pequeno sendo habitual desprezar X·I·senφ co cal a expresión queda moito mais sinxela e aplicábel na práctica (expresión .....). Por outra banda tense que a intensidade pódese expresar en forma complexa como:

I = I∠ − ϕ = I ⋅ cos ϕ − j ⋅ I ⋅ senϕ

(4.20)

sendo φ o ángulo de retraso entre a onda de tensión e a onda de intensidade (positivo no caso de receptores inductivos, e negativo no caso de receptores capacitivos). En moitas ocasións, e por paralelismo co caso das poténcias activa e reactiva, denomínase a I·cosφ como “intensidade activa” ou Ia e a I·senφ como “intensidade reactiva” ou Ir . Lóxicamente cúmprese:

I = I a2 ⋅ I r2

(4.21)

Estes conceptos de intensidade activa e intensidade reactiva son conceptos inexistentes dende o punto de vista físico. A intensidade é única inda que se poda expresar de forma complexa. A única utilidade destes conceptos e facer os cálculos mais simples tal e como se verá mais adiante. Unha comparación entre a citada expresión ...... e a anterior ……, pode dar lugar a confusións dende o punto de vista conceptual. Así é frecuente considerar que a diferéncia de tensión é provocada únicamente por I·cosφ , é dicir pola “intensidade activa”, cando na realidade é provocada pola intensidade I . Este matiz é importante dado que a aplicación dos outros critérios de cálculo de liñas require como é lóxico a utilización da intensidade I que é a que circula pola liña, e non da intensidade activa que é só un artificio de cálculo resultante de simplificacións da expresión xenérica ......

4.1.3. Corrente alterna trifásica Na corrente alterna trifásica a deducción é similar á exposta para a corrente alterna monofásica, inda que coas variacións descritas no apartado 4.2 No caso de considerar a diferéncia de tensión con respecto á tensión composta ou de liña, a diferéncia de tensión nunha distribución liñal será: n

3⋅ρ ⋅ i k ⋅ cos ϕ k ⋅ Lk S k =1

∑

δ=

(4.22)

Como nos casos anteriores dada unha distribución liñal de n receptores de corrente alterna trifásica e onde a máxima diferéncia de tensión é δmax , a sección mínima necesária do conductor será:

3⋅ρ

δ max

⋅

∑i

⋅ cos ϕ k ⋅ L k

(4.23)

k =1

Tal e como se discuteu no apartado ….., no caso de utilizar a disferéncia de tensión com respecto á tensión simple ou de fase as anteriores expresións 4.22 e 4.23 serán :

δ=

ρ S

⋅

∑ k =1

i k ⋅ cos ϕ k ⋅ L k

ρ δ max

⋅

∑i

⋅ cos ϕ k ⋅ L k

(4.24 e 4.25)

k =1

4.1.4. Obtención da intensidade que circula por cada tramo: uso da “rede activa” e da “rede reactiva” O método exposto no apartado anterior ou método dos momentos eléctricos presenta a gran ventaxa de que non é necesário saber a intensidade que circula por cada tramo, pois chega con saber a intensidade que sae por cada punto. Por elo non é necesário realizar sumas de intensidades en forma complexa como a enunciada en 4.12, co cal vaise simplificar enormenmente o cálculo da sección. Fixemos referéncia anteriormente a outros métodos de cáculo de seccións como o método do límite térmico ou o método das perdas de poténcia que van requerir que saibamos a intensidade que circula por cada tramo. Concretamente para o método do límite térmico é necesário averiguar cal é o tramo onde a intensidade que circula é mais elevada (para tramos liñais será lóxicamente o tramo mais cercano á alimentación), e posteriormente a intensidade que circula polo mesmo. Para o método das perdas de poténcia é necesário saber a intensidade que circula por cada un dos tramos dado que a perda de poténcia total da distribución será a suma das perdas de poténcia que hai nos disversos tramos que a compoñen. En definitiva é indispensábel calcular as intensidades que circulan por alguns ou por todos os tramos que constitúen unha distribución en xeral. Recurrindo ás figuras 4.2 e 4.3 podíase comprobar que por exemplo a intensidade que circulaba polo tramo 1 ven dada pola expresión 3.12, que resumida queda como: n

I1 =

∑

i k =I 1 ⋅ Cosϕ1 − jI 1 ⋅ Senϕ1 =

k =1

∑

i k ⋅ cos ϕ k − j

k =1

∑i

⋅ senϕ k

(4.26)

k =1

Utilizando os conceptos de “intensidade activa” e “intensidade reactiva” teremos que: n

I 1 = I a1 − j ⋅ I r1 =

∑i k =1

−j

∑i

(4.27)

k =1

sendo Ia e Ir as “intensidades activa” e “reactiva” respectivamente. Tal e como se fixo para o primeiro tramo, podese obter a intensidade nos outros tramos. Así para un tramo p calquera:

∑ k=p

i k ⋅ cos ϕ k − j

∑ k= p

I p = I p ⋅ Cosϕ p − jI p ⋅ Senϕ p =

i k ⋅ senϕ k =

∑ k= p

i ak − j

∑i

(4.28)

k=p

En definitiva trátase de facer a suma dos fasores de intensidade que existen diante do tramo a estudiar. Esto pódese facer de dous xeitos con diferente metodoloxía de cálculo, pero que na realidade son o mesmo. O primeiro xeito consiste en obter os fasores correspondentes a cada unha das saídas de intensidade que hai na rede, e posteriormente facer as sumas para cada tramo, como se a resolución dun circuíto se tratase. Para este caso non existe dificultade se traballamos con corrente alterna monofásica, pois a tensión vai a estar usualmente referida á orixe de fases. Para o caso de trifásica consideraremos en principio que se trata dun sistema equilibrado polo que as intensidades en cada fase serán idénticas e separadas entre sí 120º , así executaranse únicamente os cálculos para unha fase, por exemplo para a fase r. Pódese recordar que era moi frecuente que a tensión simple U1´ (á que se refería as intensidade composta ou de liña I1 ou Ir) se tomase 90º adiantada con respecto á orixe de fases. Por motivos de comodidade é preferíbel tomar esta tensión en 0º, é dicir na orixe de fases, co cal vanse simplificar bastante as operacións. Unha vez realizada a suma fasorial teremos tanto o valor da intensidade como do ángulo φ correspondente a intensidade que circula por ese tramo. O segundo xeito de obter a intensidade consiste na utilización das denominadas “rede activa” e “rede reactiva”, que deriva da descomposición do número complexo en parte real e parte imaxinária. As operacións con números complexos fanse engorrosas cando hai moitas intensidades en xogo. O paso de coordenadas rectangulares a coordenadas polares e viceversa soe ser unha operación manual que en ocasións enlentece bastante os cálculos. Unicamente no caso de receptores que teñan o mesmo factor de poténcia este cálculo é elemental, e non diferiría do cálculo con números reais. A rede activa sería unha representación das partes reais de cada unha das intensidades, é dicir: I·cosφ, mentras que a rede reactiva sería unha representación das partes imaxinárias é dicir: I·senφ

Deste xeito teríanse duas redes de distribución no lugar dunha soa. Unha representando a parte real dos números complexos (rede activa), e outra representando a parte imaxinária (rede reactiva). Nótese que esto é un simple artificio de cálculo pois só existe unha única rede onde se terían que representar as intensidades na sua forma complexa. A ventaxa deste método é que as operacións a realizar en calquera das duas redes son operacións elementais de números reais, que se poden efectuar de xeito rápido e sinxelo. Así nunha rede liñal e para um tramo p determinado, a “intensidade activa” que circula por el, será a suma das “intensidades activas” das saidas que se atopan diante del. Igualmente a “intensidade reactiva” será a suma das “intesidades reactivas” dos receptores abastecidos por ese tramo. É dicir: n

I ap = I p ⋅ Cosϕ p =

I rp = I p ⋅ Senϕ p =

∑

i k ⋅ cos ϕ k =

∑i

k= p

k=p

∑

i k ⋅ senϕ k =

k= p

∑i

(4.29)

(4.30)

k= p

A intensidade I que realmente circula polo tramo e o seu ángulo φ obteranse a partir de: 2 2 I p = I ap + I rp

ϕ = arctx

I rk I ak

(4.31 e 4.32)

Lóxicamente as operacións teñen que ser feitas por duplicado, unha vez para a rede activa e outra vez para a reactiva, pero en moitas ocasións supón un considerábel aforro de operacións e de tempo. Ademais se só estamos interesados en obter as diferéncias de tensión, e dado que usualmente utilizaremos a forma simplificada 4.22, chegaría con traballar únicamente coa rede activa. Realmente pódese comprobar que as duas formas de operar son na realidade a mesma. Á vista da expresión 4.26 por unha banda e das expresións 4.29 e 4.30 pola outra, pódese concluir que nos dous casos traballamos com números complexos, no primeiro facendo as operacións co número complexo en forma rectangular ou polar, e no segundo caso traballando por unha banda coas coordenadas reais e pola outra coas coordenadas imaxinárias, e posteriomente unindo os resultados utilizando a mesma definición de número complexo. A diferéncia estriba únicamente na maior facilidade de cálculo da segunda forma, sobre todo para redes complexas dende o punto de vista da sua morfoloxía.

4.2. Cálculo da diferéncia de tensión en redes ramificadas As redes ramificadas caracterízanse por ter un único punto de alimentación e múltiples saídas en ramas diferentes. Poden ser bastante sinxelas cun tramo ou rama principal e várias ramas secundárias, ou poden ser mais complexas e adoptar estructuras de tipo arborescente como se pode ver na figura 4.4

E B

H D D

fig 4.4 Redes ramificadas simple (esq.) e complexa (dta)

Nas redes da figura anterior existe un punto de orixe da instalación O, e que coincide co punto de alimentación da rede. Tamén existe un tramo principal O-A, e unha série de ramas como son A-B, A-C, e A-D. Do mesmo xeito na rede da dereita as ramas podense subdividir noutras ramas como B-E, B-F, D-F, etc. , e así múltiples veces. A chave da resolución deste tipo de redes e plantexar correctamente as diferéncias de tensión existentes. Así, cando se impón que a máxima diferéncia de tensión na rede non pode superar un determinado valor δmax , estase dicindo que a diferéncia de tensión entre a orixe O e os diferentes puntos extremos non pode superar ese valor. No caso anterior de distribucións liñais esta comprobación era sinxela dado que só existía un punto extremo. No caso das redes ramificadas existen varios puntos extremos, polo que as comprobacións a realizar van ser várias. Ademais no caso de distribucións liñais considerabamos que toda a rede tiña unha única sección, mentres que nestes tipos de redes e frecuente que existan seccións diferentes para o tramo principal e as diversas ramas. De todo o anterior e á vista da rede simple da esquerda da figura 4.4 pódese deducir que as diferéncias de tensión deben cumplir o seguinte:

δ max ≥ δ OA + δ AB δ max ≥ δ OA + δ AC δ max ≥ δ OA + δ AD

(4.33)

Do mesmo xeito, para a rede mais complexa da parte dereita da figura 4.1, as diferéncias de tensión deberán cumplir:

δ max δ max δ max δ max δ max δ max

≥ δ OA ≥ δ OA ≥ δ OA ≥ δ OA ≥ δ OA ≥ δ OA

+ δ AB + δ BE + δ AB + δ BF + δ AC + δ AD + δ DF + δ FH + δ AD + δ DF + δ FI + δ AD + δ DG

(4.34)

Polo tanto calquera que sexa o método de dimensionamento das seccións destas redes, deberanse cumplir sempre as anteriores relacións. Así por exemplo no caso de redes curtas e con saídas de moita intensidade, o critério mais limitante vai ser o da intensidade máxima admisíbel ou límite térmico. Neste caso un xeito de determinar as seccións podería ser o escoller na correspondente táboa do REBT as seccións mínimas necesárias para a intensidade que circula por cada 8

tramo. Unha vez escollidas estas seccións hai que obter a diferéncia de tensión para cada un dos tramos utilizando expresións como a 4.22 (esta para o caso de corrente alterna trifásica). Despois comprobarase que a máxima diferéncia de tensión admitida δmax non supera a que existe entre a orixe O e os diversos extremos existentes. De confirmarse esta comprobación as seccións escollidas serían en principio as definitivas. O problema aparece cando non se cumple o critério de diferéncia de tensión. Neste caso teranse que modificar as seccións para que a diferéncia de tensión que se produce nos tramos sexa mais pequena. Esto, no caso de ter unha rede de sección única é doado de facer, e non plantexa problema pois simplemente consiste en aumentar a sección. O problema aparece cando existen várias seccións na rede, pois aparece a cuestión de decidir que sección ou seccións imos cambiar. A solución de cambiar todas as seccións non é axeitada pois é moi posíbel que finalmente a liña fique con seccións excesivas. Por elo para elexir a sección ou seccións a cambiar hai que examinar as diferéncias de tensión en cada tramo, e intentar minimizar aquelas que sexan maiores. Lóxicamente teranse que seguir precaucións como non elexir seccións nas ramas superiores ás seccións dos tramos precedentes. Vese que en princípio o cálculo deste tipo de redes débese facer conxugando os dous critérios de intensidade máxima admisíbel e de diferéncia de tensión. Esto quere dicir que tamén se podería ter procedido à inversa, é dicir escoller as seccións utilizando o critério de diferéncia de tensión, e posteriormente facer a comprobación da intensidade máxima admisíbel. Este xeito de calcular sería mais útil para o caso de redes de maior lonxitude e onde as intensidades fosen mais pequenas. Neste tipo de redes o critério mais limitante sería o de diferéncia de tensión dado que este é directamente proporcional á loxitude das liñas. Ademais sendo as intensidades mais pequenas, as sección mínimas para levar estas intensidades serían reducidas, e a diferéncia de tensión é maior canto mais pequena é a sección. Escoller unha série de seccións en redes ramificadas utilizando o critério de diferéncia de tensión é complexo pola enorme cantidade de combinacións de seccións que poden aparecer. Nos seguintes apartados veranse alguns métodos para obter as combinacións de seccións dun xeito óptimo e non arbitráriamente. Verase primeiro o caso de redes ramificadas com sección única, e despois o caso de seccións variadas, concretamente o método do volume mínimo de conductor utilizado.

4.2.1.. Redes ramificadas con sección única. As redes ramificadas con sección única son moi frecuentes en redes que abastecen receptores de alumado. Xeralmente nestas redes a intensidade que demanda cada receptor pode ser pequena (tubos fluorescentes), o número de receptores presentes soe ser elevado e o número de ramificacións tamén pode ser elevado. As seccións resultantes son pequenas, e os cámbios de sección no medio da rede son problemáticos pois implicarían a preséncia de dispositivos de protección en cada cámbio de sección, o cal complicaría e encarecería moito a instalación. Para ilustrar este método utilizarase unha rede que abastece un conxunto de 12 tubos fluorescentes dispostos regularmente tal e como aparece na figura 4.5 A

I cosφ

fig 4.5 Rede de alimentación de 12 tubos fluorescentes Lóxicamente o feito de que a sección a calcular sexa única implica que a máxima diferéncia de tensión admisíbel deberá ser superior á máxima diferéncia de tensión existente na rede. Por elo é necesário buscar o punto mais desfavorábel da rede en canto à diferéncia de tensión. Para elo, e recurrindo á expresión 4.17, observarase que dado que tanto a sección, como a resistividade do material non varían, a diferéncia de tensión virá determinada polo sumátorio de momentos 9

eléctricos. Por elo un tramo que presente maior momento eléctrico que outro producirá así mesmo maior diferéncia de tensión, polo que o seu punto final será mais desfavorábel. Por elo o punto da rede mais desfavorábel será aquel que acumule dende a orixe o maior momento eléctrico, pois será o que presente unha diferéncia de tensión mais elevada. Para o caso do exemplo e dado que as intensidades das diferentes saídas son idénticas e existe unha regularidade xeométrica, é inmediata a identificación do punto mais desfavorábel. Así o punto G acumulará mais momento eléctrico que os punto F pois ten maior lonxitude. Á sua vez o punto F acumulará mais momento eléctrico que o punto D, pois o tramo C-F presenta maior momento que o tramo C-D. O mesmo ocorrerá co punto B, sendo maior o momento no tramo A-D, que no tramo A-B. Para outros casos a deducción non é tan elemental pois o momento depende tanto da distáncia como da intensidade e o factor de poténcia., polo que se deberían de facer os cálculos necesários de momentos eléctricos e identificar así o punto onde este sexa maior. Unha vez identificado o punto mais desfavorábel, pódese reducir a rede a unha distribución liñal con final no citado punto (no presente caso o G) e orixe no punto O. Hai que ter en conta que nesta liña simple a saída que corresponde ao entronque de cada rama ten que ser a suma intensidade das saídas existentes na citada rama. Gráficamente o anterior queda expresado como aparece na figura 4.6

3xI cosφ

I cosφ

fig 4.6. Simplificación da rede ramificada nunha rede liñal

Chegados a este punto e sabendo a diferéncia de tensión admisíbel, obterase a sección única para a rede. Posteriormente comprobaríase que a máxima intensidade que chega a circular pola rede (a que corresponde ao tramo O-A) é inferior a intensidade máxima admisíbel pola sección escollida, e fixada no REBT.

4.2.2. Redes ramificadas con sección variábel. Método do volume mínimo. Para obter as seccións utilizando o critério de diferéncia de tensión no caso de redes ramificadas con várias seccións vamos a partir do caso mais sinxelo que responde á figura 4.7. Consideraremos tamén que se trata dunha rede de corrente alterna trifásica, inda que o método exposto sería tamén válido para unha rede de corrente alterna monofásica ou de corrente contínua. Nesta rede, o tramo principal ou tramo O-A ten n receptores de características diferentes, absorbendo cada un deles unha intensidade ik que vai retrasada φk º con respecto da tensión. Así mesmo temos 3 ramas que abastecen a unha série de receptores tamén diferentes. Por exemplo a rama A-B ten m receptores e denominaremos i1k e φ1k á intensidade e ángulo de desfase de cada um deles. Igualmente para as ramas A-C e A-D teremos respectivamente p e q receptores, denominando as suas intensidades e ángulos i2k , i3k , φ2k e φ3k . A máxima diferéncia de tensión admisíbel será δmax e terá que ser igual ou inferior que a diferéncia de tensión dende a orixe O até calquera dos puntos extremos B, C ou D. É dicir supoñendo que é igual:

δ max = δ OA + δ AB δ max = δ OA + δ AC δ max = δ OA + δ AD

(4.35)

Así, obtendo unha delas, e sabendo a máxima admisíbel, poderanse averiguar as outras, e posteriormente obter as seccións para os diversos tramos utilizando a xa vista expresión 4.23. O normal é intentar fixar δOA e despois deducir as outras tres:

δ AB = δ AC = δ AD = δ max − δ OA

(4.36)

O anterior pódese facer dando un valor aproximado a δOA en base a experiencia prévia. Lóxicamente este método pode ter infinitas combinacións inda que na práctica quedan restrinxidas pola posibilidade de elección de seccións comerciais. A continuación deducirase o xeito de obter o valor de δOA mais concretamente utilizando criterios de minimización dos costes do material utilizado. 10

Partindo da figura 4.7. as diferéncias de tensión en cada tramo estarán relacionadas coa sua sección respectiva, que será a variábel fundamental a estudiar.

i1m cosφ1m

i12 cosφ12 O

i11 cosφ11

i1 cosφ1

i21 cosφ21

in cosφn

i2p cosφ2p

i31 cosφ31

i3q cosφ3q

fig 4.7 Rede ramificada

No tramo O-A a diferéncia de tensión será:

δ OA =

3⋅ρ S OA

 n  m ⋅ i k ⋅ cos ϕ k ⋅ LOk +  i1k ⋅ cos ϕ1k +   k k i = 1 =  

∑

i 2 k ⋅ cos ϕ 2 k +

k =1

∑i k =1

  ⋅ cos ϕ 3k  ⋅ LOA     

(4.37)

A Nótese que na anterior expresión todos os datos de intensidade, factor de poténcia e dsitáncias son datos coñecidos e constantes durante todo o problema. Por motivos de simplicidade da demostración imos designar como “A” ao sumatório dos momentos no tramo O-A, que corresponde co valor do pechado pola chave na expresión 4.37, e que situando a sección no outro membro quedaría :

S OA =

3⋅ρ ⋅A δ OA

(4.38)

Para os tramos A-B, A-C, e A-D, poderíase facer o mesmo chamándolles aos sumatórios de momentos “B”, “C” e “D” respectivamente. É dicir:

S AB =

3⋅ρ

δ AB

⋅

∑i

⋅ cos ϕ1k ⋅ L Ak

⇒

S AB =

3⋅ρ ⋅B δ max − δ OA

(4.39)

⇒

S AC =

3⋅ρ ⋅C δ max − δ OA

(4.40)

k =1

S AC =

3⋅ρ

δ AC

⋅

∑i

21k

⋅ cos ϕ 2 k ⋅ L Ak

k =1

S AC =

3⋅ρ

δ AC

⋅

∑i

⋅ cos ϕ 3k ⋅ L Ak

S AC =

⇒

k =1

3⋅ρ ⋅D δ max − δ OA

(4.41)

D Das anteriores expresións 4.38, 4.39, 4.40, e 4.41, pódese deducir que unha vez que se teña a diferéncia de tensión no tramo principal δOA xa se poden obter as seccións nos diversos tramos. Como se dixo anteriormente vamos a intentar obter δOA minimizando o volume de conductor empregado na rede. Supoñendo a rede trifásica de tres fíos, o volume de conductor a utilizar será:

V = 3 ⋅ (S OA ⋅ LOA + S AB ⋅ L AB + S AC ⋅ L AC + S AD ⋅ L AD )

(4.42)

Sustituindo as seccións anteriormente obtidas na anterior expresión do volume 4.42, esta quedará como:

 A ⋅ LOA B ⋅ L AB + C ⋅ L AC + D ⋅ L AD V = 3 ⋅ 3 ⋅ ρ ⋅  + δ max − δ OA  δ OA

   

(4.43)

Para minimizar este volume pódense facer duas cousas: representar gráficamente a anterior expresión e buscar o mínimo, ou buscar o mínimo matemáticamente por médio da derivación e igualación a cero. Inda que realmente vamos a utilizar este segundo método, exporase brevemente o primeiro por motivos de claridade. Dado que todos os elementos da expresión 4.43 son constantes excepto δOA e o volume V poderemos obter este último dando valores ao primeiro. Representando gráficamente os resultados terase unha gráfica como a que aparece na figura 4.8, e onde dun xeito doado poderase obter a δOA que fai que o volume sexa mínimo.

volume mínimo

δOA que minimiza o volume

δOA

fig 4.8.Minimización gráfica do volume dunha rede ramificada

A minimización matemática faise derivando a expresión 4.43, con respecto á variábel que se quere minimizar (neste caso a única que hai, é dicir δOA ), e igualando a derivada obtida a cero, despexando posteriormente o valor da variábel, que será o mínimo. O resultado da derivada é:

 A ⋅ LOA B ⋅ L AB + C ⋅ L AC + D ⋅ L AD ∂V = 3⋅ 3 ⋅ ρ ⋅ +  −δ 2 ∂δ OA (δ max − δ OA ) 2 OA 

   

(4.44)

Igualando a cero quedará:

A ⋅ LOA 2 δ OA

B ⋅ L AB + C ⋅ L AC ⋅ D ⋅ L AD

(δ max − δ OA )2

(4.45)

E despexando, a δOA que fai o volume mínimo será:

δ OA =

δ max

(4.46)

B ⋅ L AB + C ⋅ L AC + D ⋅ L AD 1+ A ⋅ LOA

Unha vez obtido a δOA óptima, poderíamos pensar que as seccións das ramas se obteñen directamente aplicando as expresións 4.38, 4.39, 4.40, e 4.41. Non é así, pois as seccións resultantes posíbelmente non sexan seccións comerciais, polo que hai que proceder a un reaxuste. Para elo, escollerase a sección SOA entre as comerciais mais cercanas, por exemplo a inmediatamente superior. Unha vez fixada a sección para este tramo hai que ter en conta que a diferéncia de tensión que se produzca non vai a ser a óptima deducida da expresión 4.46. Por elo hai que obter a nova δOA real que se obterá aplicando a expresión 4.37, e posteriormente xa se poderán obter as seccións nas ramas aplicando as expresións 4.39, 4.40, e 4.41 . Chegados aquí, é preciso facer un comentário acerca da elección óptima das seccións. Acabamos de comentar que a elección da sección SOA se podía facer “por exemplo” tomando a inmediatamente superior. Deste xeito terase unha combinación de seccións SOA , SAB , SAC , e SAD que teóricamente proporcionaría o menor volume de conductor. Un enfoque mais exacto da cuestión requeriría analizar tamén o que ocorre cando no lugar de tomar a sección comercial inmediatamente superior para o tramo AO se toma a sección comencial inmediatamente inferior. En canto á diferéncia de tensión, esta nova elección non plantexa problemas pois inda que a δOA real sexa mais grande que a ideal resultante de 4.46, este aumento quedará compensado asignando menor diferéncia de tensión aos tramos AB, AC, e AD, de xeito que non se supere a δmax tal como se enúncia en 4.35. Obtense así outra combinación de seccións que garantizarían tamén un volume mínimo de material a utilizar e onde a sección no tramo pincipal sería menor e as seccións das ramas posíbelmente serían maiores que no anterior caso. Para elexir unha das duas combinacións teríase que calcular o volume de cada unha delas, e elexir a que realmente tuvese o volume mais pequeno. É dicir para as duas combinacións 1 e 2 de seccións os volumes serían:

V1 = S OA1 ⋅ LOA + S AB1 ⋅ L AB + S AC1 ⋅ L AC + S AD1 ⋅ L AD

(4.47)

V 2 = S OA2 ⋅ LOA + S AB 2 ⋅ L AB + S AC 2 ⋅ L AC + S AD 2 ⋅ L AD

(4.48)

Elixindo o volume mais pequeno teríamos a combinación de seccións óptima. Gráficamente pódese ver na figura seguinte onde δOA1 correspondería á SOA comercial superior á óptima, e δOA2 á SOA comercial inferior á óptima. Para o caso representado nesta figura o menor volume sería o conseguido pola opción 2, é dicir escollendo a SOA comercial inmediatemente inferior á que se obtén de 4.38.

V1 V2 V óptimo

δOA1

δOA δ optima OA2

δOA

fig 4.9. Elección da sección comercial que proporciona um menor volume de conductor Inda así a elección anterior pode non ser a óptima. Dado que as diferéncias entre as combinacións de seccións non teñen por que ser grandes, unha elección inda mais estricta debera ter en conta os costes de cada sección comercial e lóxicamente avaliar as duas combinacións en función deles. A cousa inda se complica mais ao ter en conta a posibilidade que as duas combinacións de seccións poden implicar diferentes características nos sistemas de protección (fusíbeis, interruptores magnetotérmicos), ou en dispositivos auxiliares (tubos, bandexas, etc).

4.3. Distribución abastecida dende dous extremos

Considerarase neste apartado o caso dunha distribución abastecida desde dous puntos A e B con idéntica tensión. Inda que a nivel de resolución este sexa o caso que resolvamos, na práctica este caso darase nas liñas pechadas abastecidas dende un só punto. Neste tipo de liñas o punto de abastecimento fará tanto de punto A como de punto B, resolvendose o problema como se fose alimentado dende dous extremos. Para o exemplo da figura 4.9, onde hai 5 saídas de intensidade a liña pechada da esquerda transfórmarase a efectos de cálculo na liña abastecida por dous puntos que figura na dereita. Así a operación equivalería en cortar a liña polo punto de abastecimento, e estirala de xeito liñal, tendo en conta que os dous extremos do punto de abastecimento serán agora A e B.

punto de abastecimento 3

1 2

fig 4.9. Liña pechada, transformada para a resolución

Tomaremos como exemplo a liña anterior para explicar o fundamento do cálculo da diferéncia de tensión, e posteriormente faremos a deducción de expresións aplicábeis a calquera caso en xeral. Os diversos receptores ou saídas presentes na liña absorberán unha intensidade que debe ser abastecida dende os puntos A e B. Así, por exemplo, será moi posíbel que a saída 1 sexa abastecida polo punto A, e a saída 5 polo punto B, así mesmo as outras saídas poden ser abastecidas dende un dos dous puntos, e incluso haberá unha saída que teña alimentación dende os dous puntos. Na resolución deste tipo de liñas é imprescindíbel averiguar cal é esta saída abastecida dende os dous extremos A e B. A intensidade que percorre o tramo A-1, producirá unha diferéncia de tensión δA-1 , e a que percorre o tramo B-5, unha diferéncia de tensión δB-5 . Así mesmo as intensidades que percorren os outros tramos producirán as diferéncias δ1-2 , δ23 , δ3-4 , δ4-5 . Como se veu en anteriores apartados a magnitude destas diferéncias dependerá tanto da intensidade que percorra cada tramo como da sua lonxitude. Dado que A e B teñen a mesma tensión e a intensidade parte destes dous puntos, a tensión irá decrecendo dende A e B, tramo a tramo até que se chegue a un punto onde a diferéncia de tensión acumulada dende A sexa igual que a diferéncia de tensión acumulada dende B. Este punto será o punto de mínima tensión da liña, e representará a saída de intensidade que é abastecida dende A e dende B. Todos os puntos situados entre A e este punto serán abastecidos dende A, e todos os puntos situados entre este e B serán abastecidos dende B. Gráficamente o anterior queda reflexado na figura 4.10

δA-1

δB-5 δA-3 = δ3-B

δ1-2

δ4-5 δ3-4

δ2-3

fig 4.10. Punto de mínima tensión dunha distribución abastecida dende dous puntos.

É dicir para este exemplo cumplirase que:

δ AB = O δ A−3 = δ A−1 + δ 1− 2 + δ 2 −3 δ B − 3 = δ B −5 + δ 5 − 4 + δ 4 −3

(4.49)

No presente exemplo considérase que o punto de mínima tensión é o 3, pero non ten por que ser así. Este punto dependerá das diversas diferéncias de tensión nos tramos, que como dixemos dependerán tanto da intensidade das saídas como das suas lonxitudes. Posteriormente aclararase mais este tema. Polo momento dicir que os puntos de mínima tensión tamén poideran ser o 2, o 4 ou incluso o 1 ou o 4 , dependendo dos valores das intensidades que saen por cada punto e das lonxitudes. Seguindo con este exemplo, sabendo que o punto de mínima tensión coincide co abastecido dende A e B, poderase dividir a liña en duas subliñas independentes, unha entre A e o punto de mínima e outra entre B e este mesmo punto. Na figura 4.11 amósase o anterior, aparecendo o punto de mínima tensión deste exemplo (punto 3) dividido em dous puntos. Na realidade é un só punto, inda que a efectos de cálculo se tomen dous puntos diferenciados. Lóxicamente a suma das duas intensidades que chegan a cada un destes dous puntos diferenciados é a intensidade que sae polo punto orixinal.

I3A 3

i3A

i3B

I3B

fig 4.11.. Liña abastecida dende dous puntos representada mediante duas liñas simples

O anteriormente exposto da unha visión da resolución das liñas abastecidas por dous puntos. A cuestión chave é cuantificar as intensidades que parten dos puntos A e B para posteriormente identificar a saída de intensidade que recebe dos dous extremos que como se dixo anteriormente será o punto de mínima tensión.

4.3.1 Caso de corrente contínua A continuación deducirase o método concreto que nos permita cuantificar estas intensidades. Como no caso da distribución liñal, farémolo primeiro para a liña de corrente contínua da figura 4.12.

n-1

in-1

fig 4.12. Liña de de corrente contínua alimentada polos dous extremos Para maior claridade chararáselle X á intensidade que sae do extremo A e Y á que sae do extremo B. O objetivo do cálculo que se exporá a continuación é o de obter as intensidades que saen de cada extremo, e dicir X e Y. Hai que destacar que lóxicamente a suma de X e Y será igual ao total das intensidades que saen na liña, é dicir: n

X +Y =

∑i

(4.50)

k =1

Como se veu anteriormente os puntos A e B teñen a mesma tensión, polo que δAB será igual a cero. Por outra banda δAB é a suma das diferéncias de tensión de todos os tramos da liña, é dicir :

δ AB = δ A−1 + δ 1− 2 + ... + δ n −1− n + δ n − B = 0

(4.51)

Nótese que as diferéncias de tensión nos tramos poden ser positivas (descenso de tensión) como negativas (aumento de tensión), tal e como se pode ver na figura 4.10. A efectos de cálculo esta diferéncia de signo non vai a ter a mais mínima importáncia como se verá a continuación. Sustituindo como se facía nas distribucións anteriores dacordo coa expresión ...., quedará:

δ AB =

2⋅ ρ [X ⋅ l A1 + ( X − i1 )⋅ l12 + ( X − i1 − i 2 )⋅ l12 + ... + ( X − i1 − i 2 − ... − i n )⋅ l nB ] S AB

(4.52)

Poñendo as intensidades en función das distáncias terase que

δ AB =

2⋅ ρ [X ⋅ (l A1 + l12 + l 23 + ... + l nB ) − i1 ⋅ (l12 + l 23 + ... + l nB ) − i 2 ⋅ (l 23 + ... + l nB ) − ... − i n ⋅ l nB ] = 0 S AB (4.53)

Ou tamén:

X ⋅ (l A1 + l12 + l 23 + ... + l nB ) = i1 ⋅ (l12 + l 23 + ... + l nB ) + i 2 ⋅ (l 23 + ... + l nB ) + ... + i n ⋅ l nB

(4.54)

Utilizando as distáncias con respecto aos puntos A e B n

X ⋅ LAB = i1 ⋅ L1B + i2 ⋅ L2 B + ... + in ⋅ LnB =

∑i

⋅ LkB

(4.55)

k =1

De onde a intensidade X que sae do punto A será: n

∑i X =

⋅ L kB

k =1

L AB

(4.56)

Obter a intensidade que sae do punto B pódese facer de dous xeitos, ou ben facendo un razoamento similar ao anterior, pero dende o outro extremo, ou ben, no caso de ter calculado X, utilizando a expresión 4.50, é dicir:

∑i Y=

⋅ L kA

k =1

L AB

∑i

−X

(4.57 e 4.58)

k =1

Hai que destacar que nas expresións 4.56 e 4.57 non se está a facer uso do concepto de momento eléctrico exposto no apartado 4.1. Naquel caso multiplicar as intensidades polas distáncias era un xeito de simplificar a intensidade que percorría cada tramo, sendo o seu significado directamente proporcional á diferéncia de tensión. Neste caso as distáncias non teñen ese significado, pois ademais a distáncia que se computa non é a distáncia ao punto dende onde sae a intensidade senón ao punto contrário, non significando a diferéncia de tensión. Polo tanto os valores de intensidade por distáncia utilizados aquí non se poden chamar momento eléctrico. Nalgunha bibliografía receben o nome de momento inverso, ao ser calculados con respecto ao punto contrário, mas aquí e por non crear confusión non se lles cahamará así. Unha vez calculados os valores de X e de Y e sabendo as intensidades que absorbe cada saída, pódese obter o punto alimentado dende os dous extremos ou punto de mínima tensión, e as intensidades que recibe polos dous lados iminA e iminB. Esta operación pódese fecer indistintamente dende o lado A ou dende o lado B obténdose lóxicamente os mesmos resultados, o cal pode valer para verificar a auséncia de erros nas operacións. Hai que destacar que a suma destas duas intensidades ten que ser evidentemente a intensidade total que sae por ese punto. Por último e como se comentou anteriormente, a liña ficará dividida en duas partes coa mesma diferécia de tensión en cada unha. Unha delas será dende A até o punto de mínima tensión, e a outra dede B até este mesmo punto. Unha vez chegados aquí pódese facer o que sexa convinte segun queiramos obter a diferéncia de tensión a partir dunha sección SAB dada, ou dada unha máxima diferéncia de tensión admisíbel, obter a sección mínima. Tanto unha cuestión como a outra resólvense escollendo calquera desas duas partes e aplicando as expresións 4.8 e 4.9. vistas anteriormente para distribucións liñais. É dicir:

S AB =

2⋅ ρ

δ max

min −1

⋅

∑i

⋅ L kA + i min A ⋅ L min A

(4.59)

k =1

Sendo iminA a intensidade que chega ao punto de mínima tensión dende o lado A e LminA a distáncia entre o citado punto e o extremo A (Nótese que o sumatório abarca dende a primeira saída até a anterior ao punto de mínima tensión). Obteríase a mesma sección partindo do punto B, é dicir resolvendo:

S AB =

2⋅ ρ

δ max

min +1

⋅

∑i

⋅ L kB + i min B ⋅ L min B

(4.60)

k =n

Tanto se o cálculo é para unha das partes ou para a outra, o resultado deberá ser o mesmo, como xa se veu anteriormente. 4.3.2. Caso de corrente alterna Para o caso de corrente alterna o razoamento será idéntico. Neste caso o razoamento pódese facer de duas formas (que como se viu anteriormente no fondo son a mesma): utilizando o concepto de “intensidade activa” e “intensidade reactiva” e utilizando as intensidades na sua forma complexa. Farémolo de cada un dos dous xeitos. En primeiro lugar considérese o caso da anteriormente denominada “rede activa” é dicir a representación da liña que so ten en conta a parte real do número complexo que representa a intensidade. Así cada saida terá a sua intensidade e o seu coseno do ángulo φ. A seguinte deducción farase para unha rede de corrente alterna trifásica, sendo similar o caso de corrente alterna monofásica. A

1 X CosφX

i1 cosφ1

i2 cosφ2

i3 cosφ3

n-1

in-1 cosφn-1

B Y CosφY

in cosφn

fig 4.13. Rede de corrente alterna abastecida dende dous puntos 17

Dado que a diferéncia de tensión entre A e B e cero, a δmax deberá ser cero, a suma das diferéncias de tensión entre A e B tamén será cero como se veu na expresión 4.51. Por motivos de comodidade chamarémoslle X á intensidade que sae do punto A e Y á que sae do punto B polo que facendo unha sustitución similar á que se facía em corrente contínua quedará que:

3⋅ρ [X ⋅ Cosϕ X ⋅ l A1 + ( X ⋅ Cosϕ X − i1 ⋅ cos ϕ1 )⋅ l12 + ( X ⋅ Cosϕ X − i1 ⋅ cos ϕ1 − i 2 ⋅ cos ϕ 2 ) ⋅ l12 + ...] S AB ... + ( X ⋅ Cosϕ X − i1 ⋅ cos ϕ1 − i 2 ⋅ cos ϕ 2 − ... − i n ⋅ cos ϕ n )⋅l n −1B ] = 0

(4.61)

Reordeando e sacando as intensidades dos paréntesis :

X ⋅ Cosϕ X ⋅ (l A1 + l12 + ... + l n −1B ) = i1 ⋅ cos ϕ1 ⋅ (l12 + l 23 + ... + l n −1B ) + i 2 ⋅ cos ϕ 2 ⋅ (l 23 + ... + l n −1B ) + ... + i n ⋅ cos ϕ n ⋅ l nB (4.62) e agrupando as distáncias: n

X ⋅ Cosϕ X ⋅ L AB = i1 ⋅ cos ϕ1 ⋅ L1B + i 2 ⋅ cos ϕ 2 ⋅ L 2 B + ... + i n ⋅ cos ϕ n ⋅ L nB =

∑i

⋅ cos ϕ k ⋅ L kB

(4.63)

k =1

Así o producto da intensidade polo coseno de φ que proporciona o extremo A será: n

X ⋅ Cosϕ X =

∑i

⋅ cos ϕ k ⋅ LkB

k =1

(4.64)

L AB

Lóxicamente para obter Y·Cosφ pódese proceder a unha deducción semellante pero partindo do punto B, ou restar o valor anterior da suma dos productos de intesidade por coseno de φ da liña, é dicir: n

Y ⋅ Cosϕ Y =

∑i

⋅ cos ϕ k ⋅ L kA

k =1

L AB

Y ⋅ Cosϕ Y =

∑i

⋅ cos ϕ k − X ⋅ Cosϕ X

(4.65 e 4.66)

k =1

Como no caso de corrente contínua, a continuación se busca o punto de mínima tensión, tanto partindo dende un lado como partindo dende o outro. Deste xeito poderase dividir a rede en duas partes e sabendo a sección, obter a diferéncia de tensión, ou polo contrário calcular a sección sabendo a máxima diferéncia de tensión admisíbel.

O segundo xeito de deducción utiliza a intensidade na sua forma complexa.Tendo en conta os fasores de intensidade teremos a rede representada pola figura seguinte (fig 4.14) A

n-1

i n −1

fig 4.14. Rede abastecida dende dous puntos rpresentando os fasores de intensidade

A caída de tensión en forma fasorial desprezando a reactáncia da liña según a xa vista expresión ..... será:

(

)

(

)

(

U A − U B = R A1 ⋅ X + R12 ⋅ X − i1 + R 23 ⋅ X − i1 − i 2 + ... + R nB ⋅ X − i1 − i 2 − ... − i n

)

(4.67)

Sustituíndo cada resisténcia polos seus valores xeométricos:

U A −U B =

ρ S AB

(

)

(

)

(

⋅ [ l A1 ⋅ X + l12 ⋅ X − i1 + l 23 ⋅ X − i1 − i 2 + ... + l nB ⋅ X − i1 − i 2 − ... − i n

)]

(4.68)

Sabendo que a tensión en A e B é a mesma e reordeando como se facía anteriormente:

X ⋅ (l A1 + l12 + ... + l nB ) − i1 ⋅ (l12 + l 23 + ... + l nB ) − i 2 ⋅ (l 23 + ... + l nB ) − ... − i n ⋅ l nB = 0

(4.69)

Do que se deduce o valor de X como: n

∑i X =

⋅ LlB

k =1

(4.70)

L AB

E análogamente aos casos anteriores: n

∑i Y =

⋅ LlA

k =1

Y =

L AB

∑i

−X

(4.71 e 4.72)

k =1

Esta forma de calcular a intensidade que parte de cada extremo é bastante laboriosa de calcular pois hai que efectuar numerosas operacións con números complexos que fan engorrosa a aplicación deste método. A solución para axilizar os cálculos ven dada por la versión deste método vista no apartado 4.3.1 Así poñendo as intensidade X tal e como aparece na expresión 4.70 en forma de coordeadas cartesianas terase que: n

( X ⋅ Cosϕ X

− jX ⋅ Senϕ X ) =

∑ (i

⋅ cos ϕ k − ji k ⋅ senϕ k ) ⋅ L kB

k =1

(4.71)

L AB

Separando as coordeadas reais e imaxinárias teríase : n

X ⋅ Cosϕ X =

∑i

⋅ cos ϕ k ⋅ LkB

k =1

L AB

X ⋅ Senϕ X =

∑i

⋅ senϕ k ⋅ L kB

k =1

L AB

(4.72 e 4.73)

e consecuentemente: n

Y ⋅ Cosϕ Y =

∑i

⋅ cos ϕ k ⋅ L kA

k =1

L AB

Y ⋅ Senϕ Y =

∑i

⋅ senϕ k ⋅ L kA

k =1

L AB

(4.74 e 4.75)

que sería equivalente a facer a resolución por duplicado utilizando a “rede activa” por unha banda e a “reactiva” pola outra. Así dende o inicio da resolución separaríanse as duas redes e faríanse os cálculos para cada unha. Posteriormente e sabendo as intensidades “activa” e “reactiva” que saen por cada extremo, poderíase obter a intensidade en amperios que proporcionan A e B e o seu ángulo φ, así como a intensidade e ángulo da intensidade que circula por cada tramo. Este xeito de traballar coas redes activa e reactiva presenta duas ventaxas. A primeira basease na maior facilidade de resolución dos cálculos. Inda que haxa que resolver por duplicado as redes, as operacións implicadas son todas en base a números reais. Facendo a resolución do xeito expresado en 4.70 as operacións son en base a números complexos, polo que se volven moito mais tediosas por culpa dos cámbios de coordeadas. A outra ventaxa prodúcese porque os resultados da resolución da rede activa coinciden coas expresións 4.74 e 4.75, polo que xa se pode obter directamente a diferéncia de tensión sabendo a sección, ou obter esta última se coñecemos a máxima diferéncia de tensión admisíbel.

4.4. Distribución uniforme

Este tipo de resolución é útil fundamentalmente en liñas de certa lonxitude e com numerosas saídas da mesma intensidade e ángulo φ e coa mesma distáncia de separación. Unha liña deste tipo sería por exemplo unha liña que abastece os puntos de luz nunha rua ou nun paseo uniforme dun parque. A solución deste tipo de liñas pódese facer tal e como aparecía no apartado 4.1, por ser distribucións liñais. O problema que se plantexa é que si hai moitas saídas, os cálculos pódense facer tediosos e longos. A continuación preséntase unha alternativa aproximada que resolve o problema de xeito moito mais sinxelo. Sexa a distribución monofásica da figura 4.15, onde existen n saídas de intensidade I e factor de poténcia cosφ , e separadas unha distáncia d entre elas. d O I I I I I I I I I I cos φ cos φ cos φ cos φ cos φ cos φ cos φ cos φ cos φ cos φ fig 4.15. Liña con n saidas iguais e separadas a mesma distáncia Pódese transformar esta distribución nunha distribución uniforme aproximada. Nesta distribución suponse que por cada elemento diferencial de conductor dx está saindo unha pequena cantidade de intensidade. O mellor xeito de caracterizala será mediante a sua densidade liñal. Sabendo que a lonxitude total da liña será L=n·d e a intensidade total será IT =n·I , a densidade liñal de intensidade en A/m será:

n ⋅ I IT = n⋅d L

(4.76)

A distribución uniforme equivalente será a que aparece na figura 4.16: L

dx i(A/m) cosφ

fig 4.16. Distribución equivalente da liña da figura 4.15

En cada anaco diferencial dx a diferéncia de tensión dδ será devida á intensidade que circula por el, que é a total i·L menos a que xa vai fora i·x, é dicir:

dδ = 2 ⋅ dR ⋅ (L − x ) ⋅ i ⋅ cos ϕ =

2⋅ ρ ⋅ (L − x ) ⋅ i ⋅ cos ϕ ⋅ dx S

(4.77)

A diferéncia de tensión de toda a liña será a suma das diferéncias de tensión de todos os diferenciais dx, é dicir o resultado de integrar a expresión anterior en toda a lonxitude L da liña: L

δ=

∫ 0

2⋅ ρ 2⋅ρ ⋅ (L − x ) ⋅ i ⋅ cos ϕ ⋅ dx = S S

 L2 ⋅  i ⋅ cos ϕ ⋅ L2 − i ⋅ cos ϕ ⋅  2 

 2⋅ ρ L = ⋅ I T ⋅ cos ϕ ⋅  2 S 

(4.78)

Ou visto doutro xeito, a sección mínima necesária para non superar unha diferéncia de tensión máxima será:

2⋅ ρ

δ max

⋅ I T ⋅ cos ϕ ⋅

L 2

(4.79)

Facendo o mesmo razoamento para unha distribución trifásica chegaríase a:

δ=

3⋅ρ L ⋅ I T ⋅ cos ϕ ⋅ S 2

3⋅ρ L ⋅ I T ⋅ cos ϕ ⋅ 2 δ max

(4.80 e 4.81)

( N O N )

5. Distribucións con saidas trifásicas e monofásicas. É un caso frecuente a existéncia de receptores trifásicos e monofásicos em pequenas instalacións. Os receptores monofásicos estarán conectados entre fase e neutro, polo que este último considerarase un conductor activo, é dicir vai ser recorrido pola mesma intensidade que a fase. Como se veu anteriormente esto ten gran importáncia, pois dado que o neutro terá a mesma sección que a fase, a diferencia de tensión total será o doble que o que lle correspondería a esta. No caso de liñas que abastecen receptores trifásicos, de existir neutro este non levará intensidade (ou será despreciábel), polo que a diferéncia de tensión producirase únicamente nas fases. O problema aparece ao intentar combinar receptores trifásicos e monofásicos na mesma rede, pois neste caso pode ocorrer que polo neutro circule de volta ao xerador a intensidade correspondente aos receptores monofásicos. A cousa complícase ao ter en conta que a magnitude desta intensidade de regreso variará segundo a distribución dos receptores monofásicos entre as tres fases.

. . . .