Simulaciรณn y anรกlisis de sistemas con ProModel
Simulación y análisis de sistemas con ProModel Segunda edición
Eduardo García Dunna Heriberto García Reyes Leopoldo E. Cárdenas Barrón Tecnológico de M onterrey
R e v is ió n t é c n ic a
Lu is Ernesto M ancilla Espinosa División de Estudios de Posgrado e Investigación Instituto Tecnológico d e León Victoria Á lv a re z U reña D epartam ento d e Ingeniería Industrial Centro Universitario d e Ciencias Exactas e Ingenierías - CUCEI Universidad d e Guadalajara Liliana Y adira C astellan o s Ló p ez D epartam ento d e Ingeniería Industrial Instituto Tecnológico Superior del Occidente del Estado d e Hidalgo
PEARSON
/
D ato s d e c a ta lo g a c ió n b ib lio g ráfica
G A R C ÍA DUNNA, ED U A RD O ; G A R C ÍA R E Y E S , H E R IB E R T O y C Á R D E N A S B A R R Ó N , L E O P O L D O E.
Simulación y análisis de sistemas con ProModel. S egunda edición P E A R S O N , M éx ico , 2 0 1 3 IS B N : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1 5 1 1 -4 A rea: In g en iería F o rm ato : 18.5 X 2 3 .5 c m
P ág inas: 360
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Luis M iguel C ru z C astillo e-m ail: luis.cruz@ pearson.com
E ditor d e D esarro llo : Supervisor d e P ro d u cció n : G erente E ditorial Educación S uperior L atinoam érica:
B ernardino G u tiérrez H ernández R odrigo R om ero V illalobos M arisa d e A nta
SEG U N D A E D IC IÓ N , 2013 D.R. © 2013 p o r P earso n E ducación d e M éxico, S. A. d e C.V. A tlaco m u lco 500-5° Piso C o l. Industrial A toto, C.P. 53519 N au calp an d e Ju árez, E stad o d e M éxico e-m ail: ed ito rial.universidades@ pearsoned.com C ám ara N acional d e la Industria E ditorial M exicana. R eg. núm . 1031. R eservados todos los derechos. N i la to talid ad ni parte d e e sta p u b licación pueden reproducirse, registrarse o tran sm itir se, por un siste m a d e recuperación d e in fo rm ació n , e n ninguna fo rm a ni por ningún m edio, sea electrónico, m ecánico, fotoquím ico, m agnético o electro ó p tico , por fotocopia, g rab ació n o cu alq u ier o tro , sin perm iso previo por e sc rito d e los coeditores. El préstam o, alquiler o cu alq u ier o tra fo rm a d e cesió n d e uso d e e ste ejem p lar requerirá tam bién la autorización d e los coeditores o d e sus representantes.
ISBN versión impresa: 978-607-32-1511-4 ISBN E-Book: 978-607-32-1501-5 ISBN E-Chapter: 978-607-32-1502-2 Im preso en M éxico. P rinted in M éxico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12
PEARSON
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Contenido
Introducción
Capítulo 1
Capítulo 2
ix CD-ROOM con ProM odel
x
Agradecim ientos
x
Principios b ásico s de la sim ulació n
1
1.1
Introducción a la sim ulación
2
1.2
D efiniciones de sim ulación
4
1.3
Ventajas y desventajas de la sim ulación
9
1.4
Elem entos clave para garantizar el éxito d e un m odelo de sim ulación
10
1.5
Pasos para realizar un estudio de sim ulación
12
1.6
Problem as
16
Referencias
20
N úm eros p seu d o aleato rio s
21
2.1
Los núm eros pseudoaleatorios
22
2.2
Generación d e núm eros pseudoaleatorios
22
22.1
Algoritm o d e cuadrados m ed ios
24
2 2 .2
Algoritm o d e productos m edios
25
2 2 .3
Algoritm o d e m ultiplicad or constante
26
2 2 .4
Algoritm o lin eal
27
2 2 .5
Algoritm o co ngruencial m ultip licativo
29
2 2 .6
Algoritm o co ngruencial aditivo
30
2 2 .7
Algoritm os congruenciales no lineales
31
2.3
Propiedades d e los núm eros pseudoaleatorios entre 0 y 1
32
2.4
Pruebas estadísticas para los núm eros pseudoaleatorios
34
24.1
Prueba d e m edias
35
2 4 .2
Prueba d e varianza
36
2 4 .3
Pruebas de uniform idad
38
2 4 .4
Pruebas de independencia
41
2.5
Problem as
52
Referencias
58
v
Variables aleato rias
59
3.1
Definición d e variab le aleatoria
60
3.2
Tipos d e variables aleatorias
60
3.3
D eterm inación del tip o de distribución de un conjunto d e datos
62
3.3.1
Prueba Chi-cuadrada
63
3.3.2
Prueba de Kolm ogorov-Sm irnov
65
3.3.3
Prueba de Anderson-Darling
68
3.3.4
Ajuste de datos con Stat::Fit
74
3.4
Generación d e variables aleatorias
78
3.4.1
M étodo d e la transform ada inversa
78
3.4.2
Métod o d e convoluc ión
86
3.4.3
M étodo d e com posición
89
3.4.4
M étodo d e transform ación directa
92
3.5
Expresiones com unes de algunos generadores d e variables aleatorias
93
3.6
Problem as
96
Referencias
112
Sim ulación de v aria b les aleato rias
113
4.1
Verificación y validación d e los m odelos de sim ulación
114
4.1.1
114
4.2
4.3
Sim ulaciones n o term in ales o de estado estable
117
4.2.1
117
Longitud d e las réplicas
M odelos de sim ulación
121
4.3.1
M odelo d e una línea d e espera con un servidor
122
4.3.2
M odelo d e un proceso de ensam ble e inspección
126
4.3.3 4 .4
Sim ulacio nes term inales
M odelo d e un sistem a de inventarios
Selección de lenguajes de sim ulación
130 134
4.5
Caso d e estudio 1
135
4.6
Caso d e estudio 2
137
4.7
Problem as
138
Sim ulación con ProM odel
151
5.1
Introducción al uso de ProModel
152
5.2
Elem entos básicos
152
5.3
Estructura de program ación en ProM odel
153
C o n te n id o |
5.4
Capítulo 6
Anexo 1
Construcción d e un m odelo
153
5.4.1
M odelo M/M/1 de líneas d e espera
153
5.4.2
M ejoram iento visual del m od elo
166
5.4.3
M odelado d e un sistem a que incluye m ás de un proceso
175
5.4.4
Inclusión d e gráficos d e fo n d o en el m odelo
183
5.5
Arribos cíclicos
186
5.6
Caso integrador
190
5.7
Problem as
192
Instrucciones de ProM odel
201
6.1
Uso d e la biblioteca de funcio nes probabilísticas
202
6.2
Recursos
207
6.3
Paros en los equipos
212
6.4
Reglas d e ruteo
220
6.5
Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de piezas
225
6.6
Transporte entre estaciones
241
6.7
Instrucciones de control
252
6.8
Optim ización con Sim runner
257
Introducción
257
Sim Runner
258
6.9
Caso integrador 1
269
6.10
Caso integrador 2
271
6.11
Problem as
277
D istribucio n es de p ro babilidad
295
A.1
D istribuciones continuas
296
A.2
D istribuciones discretas
305
Anexo 2
Reportes estad ístico s en ProM odel (form ato View er 2.0)
311
Anexo 3
Reportes estad ístico s en ProM odel
321
Anexo 4
D istribucio n es de p ro babilidad
331
vii
Introducción
La sim ulación es una form a de estudiar los procesos aleatorios, los cuales se encuentran p rácticam ente en todas las operaciones d e sistem as de producción y servicios. Aprender a m odelar con sim ulación estocástica discreta es un reto dem andante, principalm ente por la com plejidad del tem a y porque el proceso de sim ulación y el análisis d e los resul tado s requieren d e un razonable conocim iento de probabilidad, estadística y co m pu tación. La experiencia nos ha m ostrado que estos tem as son difíciles de dom inar, y desafortunadam ente la m ayoría d e los estudiantes no se sienten cóm odos al trab ajar con ellos. En este texto presentam os los conceptos de la m odelación d e los procesos estocásticos, el análisis estadístico de la inform ación y la relación d e éstos con la sim ulación estocástica discreta, utilizando com o herram ienta el program a ProModel. ProM odel y su ento rno con el usuario fueron desarrollados específicam ente para sim p lificar la interac ción entre el estudiante y la com putadora. ProM odel es una poderosa herram ienta de análisis que, sin em bargo, es fácil de usar. Para un m ejo r m an e jo d e los tem as, el lib ro se ha d ivid id o en seis capítulo s. El c a p í tu lo 1 establece los conceptos básicos relacionados con un proyecto d e sim ulación, e in clu ye una introducción a la técnica y la m etodología para su desarrollo. El capítulo 2 presenta los núm eros aleatorios, base d e los m odelos estocásticos, sus propiedades, m anejo y generación, así com o todos los requerim ientos para ser considerados com o tales. Tam bién se han agregado m ás problem as y fó rm ulas d e generación d e núm eros pseudoaleatorios, com o son los m étodos M IN STD y Super-Duper. El capítulo 3 ofrece los conceptos de pruebas de bondad de ajuste, para determ inar la distribución de probabilidad asociada a las variables de decisión y eventos en el siste ma a modelar, para con ello generar variables aleatorias que puedan ser usadas durante la sim ulación. Este capítulo incorpora el uso d e la herram ienta Stat:Fit, que se incluye ju n to en el CD que acom paña este libro, la cual p erm ite determ inar autom áticam ente la distribución de probabilidad d e las variables y eventos a m o d elar en el sistem a; co n este fin se han m odificado m uchos d e los problem as, para poder ser analizados con Stat:Fit, tam bién se ha agregado una gran cantidad de p ro blem as que involucran la generación d e variables aleatorias con el m étodo de la transform ada inversa. El capítulo 4 m aneja los conceptos d e validación y análisis d e los m odelos de sim u lació n ; y presenta al fin al del capítulo ejem p lo s de sim ulación M onteCarlo, desarrollados en hojas de cálculo, sobre líneas de espera, procesos de ensam ble y sistem as de inventa rios, con la esperanza de que el lecto r sea capaz d e realizar m odelos sim ples usando una hoja de cálculo. Se han agregado dos casos d e estudio: en el prim ero se requiere de la optim ización d e un sistem a d e producción, y el seg u n d o es sobre el d iseño de un s is te m a de m uestreo. A dicionalm ente se ha agregado m ás del d o b le d e problem as que en la versión anterior.
| In tro d u cció n
□ c a p ítu lo 5 p re se n ta las caracte rísticas y b o n d ad es d e P ro M o del a tra v é s de e jem p lo s que guían al usuario en la construcción de los m odelos. El capítulo 6 , por su parte, cub re elem entos m ás com plejos de program ación que le perm itirán am p liar las capacidades d e m odelación. En estos capítulo s se han agregado nuevos conceptos de program ación, específicam ente aquellos que tienen que ver con arribos cíclicos, la crea ción de fu n cio n es d e usuario, el uso d e la program ación de paros por turnos, el m anejo de m ateriales usando grúas viajeras, ejem plos d e instrucciones d e control del tipo IF-THEN-ELSE, WHILE-DO, entre otros, y el uso de la herram ienta Sim Runner que perm ite la optim ización de los m odelos desarrollados con ProModel. En estos capítulo s se han agregado casos integradores y m ayo r cantidad d e ejercicios para fo rtalecer el aprendizaje. Finalm ente, el nuevo apéndice describe el significado de los resultados obtenidos en los repo rtes con la nueva versión O utput View er 4 .0 de ProM odel.
CD-ROOM con ProM odel Es im p o rtan te d estacar que el CD-ROM que se incluye con el libro contiene la versión estudiantil m ás reciente de ProM odel con to das las fu n cio n es de la versión profesional. La única restricción es en cuanto al tam añ o d e los m odelos que pueden construirse.
A gradecim ientos A gradecem os a las personas e institucio nes que han hecho posible la publicación d e esta segunda edición. A nuestros estudiantes, quienes con sus com entarios nos han perm itido agregar nuevo m aterial y corregir detalles que se nos escaparon en la prim era edición. Al departam ento de Ingeniería Industrial y de Sistem as del ITESM Cam pus M onterrey por el tiem p o que nos dieron para que este lib ro llegara a ser realidad. Q uerem os agradecer a ProM odel por perm itirnos incluir su softw are, y en especial a D aniel Villarreal Parás por su apoyo constante e incondicional para lograrlo. Finalm ente, agradecem os al equipo ed ito rial d e Pearson por creer en nosotros, especialm ente a Luis Cruz Castillo y Óscar Ortega, co n quienes hem os trab ajad o durante estos últim os años. Eduardo G arcía D unna
x
1.1
Introducción a la sim ulación
1.2
D efiniciones d e sim ulación
1.3
Ventajas y desventajas d e la sim ulación
1.4
Elem entos clave para garantizar el éxito de un m odelo d e sim ulación
1.5 1.6
Pasos para realizar un estudio d e sim ulación Problem as Referencias
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
1.1 Introducción a la sim ulación La creación de nuevos y m ejo res desarrollos en el área d e la com putación ha traído co n sigo innovaciones m u y im portantes tanto en la tom a d e decisiones com o en el diseño de procesos y productos. Una d e las técn icas para realizar estudios piloto, con resultados rápidos y a un relativo b ajo costo, se basa en la m odelación — la cual se conoce com o sim ulación— que se ha visto beneficiada por estos avances. A ctualm ente, el analista que desea h ace r uso d e esta herram ien ta d isp o n e d e una gran cantidad d e so ftw are d e sim ulación que le p erm ite to m a r decisio nes en tem as m uy diversos. Por ejem p lo , en ap licacio n es dond e se usan len g u ajes d e program ación g eneral co m o Fo rtran, para analizar esq uem as d e ad m inistració n del in ve n tario ,111 en a p lica cio n e s para a n alizar y m e jo ra r la ad m in istració n d e la cad e n a d e su m in istro ,1121 en análisis y valid ació n de m ed idas de d esem p eñ o en sistem as de m an u factu ra / 31 en aplicacio nes d e m ejo ras m ed ian te d esp lieg u es seis sig m a ,141 o en procesos de ca p a cita ción a través de la sim ulación com o herram ien ta b ase .151 Sin duda, la fle xib ilid a d en cu an to a la m o delació n, el análisis y el m ejo ram ien to d e sistem as ha h e ch o d e la sim u lación una h erram ien ta cu y o uso y desarro llo se han visto alentad os d e m anera sig n ifi cativa. En la actualidad resulta fá cil en co n trar p aq uetes d e so ftw a re con gran capacidad de análisis, a sí co m o m ejo res an im acio n es (2D y 3D) y ap licacio n es para generació n de repo rtes con inform ación relevan te para la tom a de d ecisio nes. En g eneral, dichos p aq uetes — ya sea orientados a procesos, a servicio s, o d e ín d o le general— nos p ro veen d e una eno rm e diversidad d e h erram ien tas estadísticas que p erm iten tan to un m anejo m ás eficien te de la info rm ación relevan te b ajo análisis com o una m ejo r p re se n tación e in terpretació n. El concepto d e sim ulación engloba soluciones para m uchos propósitos diferentes. Por ejem plo, podríam os decir q u e el m o d elo d e un avión a escala que se introduce a una cám ara por dond e se hace pasar un flu jo d e aire, puede sim ular los efectos que exp eri m entará un avión real cuando se vea som etido a turbulen cia. Por otro lado, algunos paquetes perm iten hacer la representación de un proceso de fresado o torneado: una vez que el usuario establezca ciertas condiciones iniciales, podrá ve r cóm o se llevaría a cabo el proceso real, lo q u e le d a la posibilidad d e revisarlo sin necesidad d e desperdiciar m ate rial ni poner en riesgo la m aquinaria. Por lo tanto, la sim ulación se refiere a un gran conjunto de m étodos y aplicaciones que buscan im itar el co m portam iento de sistem as reales, generalm ente por m edio de una com putadora con un softw are apropiado. Existen distintos m od elo s de sim ulación que p erm iten representar situacio nes rea les d e diferentes tipos. Podem os ten e r m odelos físico s — co m o el del avión q u e m en cio nam o s en el párrafo anterior— o m odelos m atem áticos, a los cu ale s pertenecen los m odelos d e sim ulación d e evento s discretos. Asim ism o, los m odelos pueden diferenciar se según el tip o d e ecuacio n es m atem áticas que los com ponen. Por ejem p lo , los m o d e lo s co ntinu o s son aquello s en los que las relaciones entre las variables relevantes d e la situación real se definen por m edio d e ecuaciones diferenciales, ya que éstas perm iten co n o cer el co m po rtam iento d e las variab les en cierto tiem po. Problem as tales com o saber d e qué m anera se tran sfiere el calor en un m olde, o determ inar có m o flu ye cierto m aterial dentro d e una tub ería, e incluso p rever el co m p o rtam ien to del nivel d e un tan2
1.1 In tro d u c c ió n a la sim ulación \~ \
que d e gasolina al paso del tiem po, m ientras el veh ículo está en m archa, pueden sim u larse con este tip o d e m odelo. Adem ás de m odelos co ntinuo s tenem o s m o d elo s discretos. En ellos el co m p o r tam ie n to qu e nos in teresa an alizar puede rep resentarse por m e d io de ecu acio n es e va luadas en un p u n to determ inado . Por ejem p lo , si hacem os un m u e streo del n ú m e ro de personas qu e llegaron a un b anco en un lapso específico , podem os sim u lar esta variab le con ecu acio n es lig ad as a d istrib u cio n es d e probabilidad que reflejen dich o co m po rtam iento . Otro tip o de clasificación es el d e los m odelos dinám icos o estáticos. Los m odelos dinám ico s son aquellos en los que el estado del sistem a que estam os analizando cam bia respecto del tiem po. Por ejem plo, el núm ero de personas que hacen fila para entrar a una sala d e cine varía con el tiem po. Por otro lado, los m odelos estático s representan un resultado b ajo un conjunto d e situaciones o condiciones determ inado; por ejem plo, al lanzar un dado los únicos valores que se puede obtener son 1, 2, 3, 4, 5 o 6 , d e manera que el resultado d e la sim ulación será uno de tales valores po sibles; a esto se le conoce generalm ente com o sim ulación de M onte Cario. Por últim o, podem os hablar d e m odelos determ inístico s y m odelos probabilísticos, llam ados tam bién estocásticos. Los prim eros se refieren a relaciones constantes entre los cam b io s de las variables del m odelo. Por ejem plo, si las cajas em p lead as en un proceso contienen siem pre 5 productos, cada vez que se añada una caja al inventario éste se increm entará en 5 unidades. Si, por el contrario, hay una distribución de probabilidad en el proceso de m anera que, por ejem plo, algunas cajas contienen 3 productos y otras 4 , el inventario se m odificará según el núm ero d e piezas de cada caja y, en consecuencia, será necesario un m odelo estocástico. En el caso d e la sim ulación de eventos discretos hablarem os d e m odelos m atem áticos, discretos, dinám icos, y que pueden incluir varia b les determ m ísticas y probabilísticas. En este libro nos ocuparem os del proceso que se basa en el uso d e ecuaciones m ate m áticas y estadísticas, conocido com o sim ulación de even to s discretos. Este proceso consiste en relacionar los diferentes eventos que pueden cam b iar el estado d e un sistem a bajo estudio por m ed io d e d istrib uciones d e probabilidad y condiciones lógicas del pro blem a que se esté analizando. Por ejem plo, un proceso de inspección donde sabem os estadísticam ente que 0 . 2 % d e los productos tien e algún tip o d e defecto, puede sim ularse co n facilidad m ediante una sim p le hoja d e cálculo, al co nsid erar estadísticas d e rechazos y productos sin defecto, y al asignar una distribución de probabilidad con 0 . 2 % de opor tunidad de defecto para cada intento de inspección. En este capítulo abordarem os las definiciones básicas de los conceptos de la sim ula ción d e eventos discretos. En el capítulo 2 se presentarán algunos otros elem entos re le vantes, co m o los núm eros pseudoaleatorios y las pruebas estadísticas necesarias para co m probar esta aleatoriedad, la generación de variables aleatorias, y la caracterización de algunas distribuciones de probabilidad de uso com ún en la sim ulación. El capítulo 3 m uestra cóm o usar estos núm eros pseudoaleatorios para m odelar sistem as, y una vez que sepam os utilizarlos podrem os realizar una sim ulación sencilla con la ayuda de una hoja d e cálculo. En el cap ítu lo 4 se presenta sim ulación d e variables aleatorias. En el resto d e los capítulo s describirem os el uso del softw are com ercial ProM odel, del cual incluim os una versión lim itada. 3
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
1.2 D efiniciones d e sim ulación Para poder realizar un buen estudio de sim ulación es necesario entender los conceptos básicos que com ponen nuestro m odelo. Com enzarem os por d efin ir e l concepto de sim ulación de even to s discretos com o el conjunto d e relaciones lógicas, m atem áticas y probabilísticas q u e integran el com porta m iento d e un sistem a b a jo estudio cuando s e presenta un evento determ inado. El objetivo d e l m odelo d e sim ulación consiste, precisam ente, en com prender, analizar y m ejorar las condiciones d e operación relevantes del sistem a. En la definición anterior encontram os elem entos co m o sistem a, m odelo y evento, de los que se desprenden otros conceptos im portantes dentro de una sim ulación. A conti nuación abundarem os en cada uno. La definición básica de sistem a nos dice que se trata de un conjunto d e elem entos q u e s e interrelacionan para funcionar com o un to d o ; desde el p u n to de vista d e la sim ulación, tales elem entos deben ten e r una frontera clara. Por ejem plo, podem os hablar del sistem a de atención a clientes en un banco, del sistem a d e inventarios d e una em presa, o del sistem a d e atención en la sala d e em ergencia d e un hospital. Cada uno p u e d e dividirse en elem entos que son relevantes para la construcción de lo que será su m odelo de sim u lació n ; entre ellos tenem os entidades, estado del sistem a, eventos a ctu ales y futuros, localizaciones, recursos, atributos, variables, y el relo j de la sim ulación, los cuales a continuación se describen: Una entidad por lo general es la representación délos flujos d e entrada y salida en un siste m a; al entrar a un sistema una entidad es el elemento responsable de que el estado del sis tem a cam bie. Ejem plos de entidades pueden ser; los clientes que llegan a la caja de un banco, las piezas que llegan a un proceso, o el embarque de piezas que llega a un inventario. El estado del sistem a es la condición q u e guarda e l sistem a b a jo estu dio en un m om ento d e tiem po determ in ado; es com o una fotografía d e lo que está pasando en el sistem a en cierto instante. El estado del sistem a se co m po ne d e variab les o característi cas d e operación pun tu ales (digam os el núm ero d e piezas que hay en el sistem a en ese m om ento), y d e variables o características d e operación acum uladas, o prom edio (com o podría ser el tiem p o prom edio d e perm anencia d e una entidad en el sistem a, en una fila, alm acén o equipo). Un evento es un cam bio en el estado actual del sistem a; por ejemplo, la entrada o salida d e una entid ad, la fin alizació n d e un proceso en un equipo, la interrup ció n o re a ctiva ción d e una operación (d ig am o s por un d escan so del operario ), o la d esco m p o stura de una m áquina. Podem os catalogar estos eventos en dos tipos: eventos actuales, aquellos que están sucediendo en el sistem a en un m om ento dado, y eventos futuros, cam bios que se presentarán en el sistema después del tiem po de simulación, de acuerdo con una pro gram ación específica. Por ejemplo, im agine que cierta pieza entra a una máquina para que ésta realice un proceso. El evento actual sería precisamente que la entidad llamada "pieza" se encuentra en la m áquina. El evento futuro podría ser el m om ento en que la máquina concluirá su trabajo con la pieza y ésta seguirá su cam ino hacia el siguiente proceso lógico, d e acuerdo con la program ación: alm acenam iento, inspección o entrada a otra m áquina. Para ilustrar con m ayor claridad estas definiciones veam os la siguiente figura. 4
1.2 D e fin icio n es de sim u lació n |~1
RELOJ H R :0 0 M IN:05 E ven to futuro: lleg a d a d e entidad "pieza" a la tarim a, H R: 0 0 M IN: 07
En tid ad "pieza"
Evento a ctu al: e n tid a d "pieza" en p ro ceso en e sta c ió n . Inicio HR 00 MIN 0 3 . D u ració n 3 m in .
F ig u ra 1.1 R ep resentación d e co n c e p to s de sim u lació n .
Estados del sistem a: 2 e n tid a d e s "pieza" en la ta rim a .
A dicional a la figura 1.1 podem os ilustrar los cam bios en el estado del sistem a de m anera tab ular y la m anera en que va cam b iand o con cada evento en el tiem po. Si bien es cierto que en un m odelo real se puede considerar una gran variedad de estadísticas, com o podría ser el tiem p o d e perm anencia en el sistem a, el tiem p o que pasa entre esta ciones, el tiem p o d e procesos y el prom edio de piezas. Cada una d e estas estadísticas se vu elve a calcular hasta que un nuevo evento altera el estado del sistem a actual; de aquí la im portancia de identificar este tip o d e sim ulación com o eventos discretos. Esta rep re sentación se m uestra en la siguiente tabla, la cual sólo considera el núm ero d e entidades en el sistem a, en un m odelo real am bas tablas contendrían m ás inform ación.
Historia de la simulación
Tabla de eventos futuros Reloj
Evento futuro
Estatus
00:02
Llegada pieza
Realizado
00:03
Mover pieza a estación
Realizado
00:04
Llegada de la pieza
Realizado
00:05
Llegada de la pieza
Realizado
00:06
Fin de proceso estación
En espera
00:07
Llegada de la pieza
En espera
Reloj
Evento
Estado tarima
Estado estación
00:00
Inicio de simulación
0 piezas
0 piezas
00:02
Llegada de pieza
1 pieza
0 piezas
00:03
Pieza en estación
0 piezas
1 pieza
00:04
Llegada de pieza
1 pieza
1 pieza
00:05
Llegada de pieza
2 piezas
1 pieza
RELOJ H R :0 0 MIN 05
Tabla 1.1 Relación eventos y estado del sistema. 5
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
Adem ás del esquem a transaccional (pieza en tarim a -> pieza en estación) que se presenta en un m o d elo de sim ulación, es necesario considerar algunos otros elem entos que tam b ién form an p arte de este tip o d e m odelaciones. A continuación describirem os algunos de ellos. Las lo calizaciones son todos aquellos lugares en los q u e la pieza p u ed e detenerse para se r transform ada o esperar a serlo. D entro d e estas localizaciones tenem os alm acenes, b and as transportadoras, m áquinas, estaciones d e inspección, etcétera. En el caso del gráfico m ostrado en la figura 1.1 la tarim a y la estación serían consideradas localizaciones del m odelo. O bserve que en el caso d e la estación una sola localización puede ser rep re sentada gráficam ente por varias figuras. En la estación observam os una m esa y a una persona que en conjunto form an una sola localización. En térm ino s d e sim ulación algu nos p aq uetes perm iten la anim ación d e lo que se program ó. En estos p aq uetes la rep re sentación iconográfica es sólo para aspectos visuales y n o le resta o agrega potencia al m odelo. Es decir, podríam os h ab er co locado una casa en lugar de la estación con m esa y operador y el m o d elo nos hubiese dado el m ism o resultado. Los recu rso s son aquellos dispositivos — diferentes a las localizaciones— necesarios para llevara cabo una operación. Por ejem plo, un m ontacarg as que transporta una pieza de un lugar a otro: una persona que realiza la inspección en una estación y tom a turnos para descansar; una herram ienta necesaria para realizar un proceso p ero que no form a parte de una localización específica, sino que es trasladada d e acuerdo con los requeri m ientos de aquel. Un atributo es una característica d e una entidad. Por ejem plo, si la entidad es un motor, los atributos serían su color, peso, tam año o cilindraje. Los atributos son m u y útiles para diferenciar entidades sin necesidad de generar una nueva, y pueden adjudicarse al m om ento de la creación de la entidad, o asignarse y/o cam b iarse durante el proceso. Com o indica su nom bre, las varia b les son condiciones cuyos valores s e crean y m od i fican p o r m edio d e ecuaciones m atem áticas y relaciones lógicas. Pueden ser continuas (por ejem plo, el costo prom edio de operación d e un sistem a) o discretas (com o el núm ero de unidad es que deberá envasarse en un contenedor). Las variables son m u y útiles para realizar conteos d e piezas y ciclos de operación, así com o para determ inar características d e operación del sistem a. El reloj de la sim ulación es el contador de tiem po d e la sim ulación, y su función consiste en responder preguntas tales com o cuánto tiem po se ha utilizado el modelo en la sim ula ción, y cuánto tiem po en total se quiere que dure esta última. En general, el reloj d e sim u lación se relaciona con la tabla de eventos futuros, pues al cum plirse el tiem po programado para la realización de un evento futuro, éste se convierte en un evento actual. Regresando al ejem plo de la figura 1. 1, cuando el tiem po de proceso se cum pla, la pieza seguirá su cam ino hasta su siguiente localización, si ésta es la última del sistema lo m ás probable es que su siguiente proceso sea salir del sistem a; el reloj simula precisam ente ese tiem po. Podem os hablar d e dos tipos d e reloj de sim ulación: el reloj de sim ulación ab so lu to, que p arte de cero y term ina en un tiem p o total d e sim ulación definido, y el relo j de sim ulación relativo, que sólo considera el lapso que transcurre entre dos eventos. Por ejem plo, podem os d e cir que el tiem p o de pro ceso de una pieza es relativo, m ientras que el absoluto sería el tiem p o global de la sim ulación: desde que la pieza entró a ser pro ce sada hasta el m om ento en el que term in ó su proceso. 6
1.2 D efinicion es de sim ulación |~1
Ejem plo 1.1 Un taller recibe ciertas piezas, m ism as que son acum uladas en un alm acén tem p o ral en dond e esperan a se r procesadas. Esto ocurre cu an d o un operario transpo rta las piezas del alm acén a u n torno. Desarrolle un m odelo que incluya el núm ero de piezas que hay en el alm acén y que esperan ser atendidas en todo m om ento, y el núm ero de piezas pro cesadas en el torno. En la sig uiente figura podem os o bservar có m o se vería un m o d elo d e sim ulación para este ejem plo.
pr P iezas e n alm acén
Piezas procesadas
Torno A lm acén
♦ Figura 1.2 M odelo de sim u lació n para el e je m p lo 1 . 1 .
En este ejem p lo podem os identificar algunos d e los elem ento s que participan en un m odelo de sim ulación, d e acuerdo con las definiciones que hem os com entado: Sistem a: En este caso, el sistem a está conform ado por el conjunto d e elem entos interrelacionados para el funcio nam iento del proceso: las piezas, el alm acén tem poral, el opera rio, el torno. En tid ad es: En este m odelo sólo tenem o s una entid ad; las piezas, que representan los flu jo s de entrada al sistem a del problem a b ajo análisis. Estad o del sistem a: Podem os observar que cuando llevam os 1 hora 10 m inutos d e sim u lación (vea el extrem o superior derecho de la figura) en el alm acén se encuentran 9 piezas esperando a ser procesadas; el operario está transpo rtando una pieza m ás para procesar la en el torno. E l torno, por lo tanto, no está trab ajan d o en ese m om ento, aunque ya ha procesado 4 piezas. A d icional a estos datos, podem os llevar un co ntro l d e otras estadísti cas relacionadas con el estado del sistem a, com o el tiem p o prom edio de perm anencia de las piezas en los estantes del alm acén tem p oral o en el sistem a global. 7
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Eventos: Entre otros, podríam os considerar com o eventos de este sistem a el tiem po de descanso del operario o la salida de una pieza tras ser procesada por el torno. Adem ás es posible identificar un evento futuro: la llegada de la siguiente pieza al sistem a (tendríam os m ás eventos de este tip o respecto de las piezas que esperan a que el operario las tome). Localizacion es: En este caso tenem o s el alm acén al que deberán llegar las piezas y en el que esperarán a ser procesadas, a sí com o el to rn o en dond e esto ocurrirá. Recursos: En este m odelo, un recurso e s el operario que transporta las piezas del alm a cén al torno. A trib uto s: D igam os que (au nque n o se m enciona en el ejem plo) las piezas pueden ser d e tre s tam años diferentes. En este caso, un atributo llam ado tam año podría agregarse a la inform ación de cada pieza que llega al sistem a, para m ás adelante seleccionar el tipo d e operación que deberá realizarse y el tiem p o necesario para llevarla a cabo d e acuerdo con dich o atributo. V ariables: Tenem os dos variables definidas en este caso: el núm ero de piezas en el alm a cén y el núm ero d e piezas procesadas en el torno. R eloj de la sim ulación: Com o se puede ver en la esquina superior derecha d e la figura 1.2, en este m o m ento la sim ulación lleva 1 hora 10 m inutos. El reloj de la sim ulación co n tinuará avanzando hasta el m om ento que se haya establecido para el térm in o de la sim u lación, o hasta que se cum pla una condición lógica para detenerla, por ejem plo, el núm ero d e piezas que se desean simular. Otro concepto im po rtante que vale la pena d efin ir es el d e réplica o corrida de la sim ulación. Cuando ejecutam os el m o d elo una vez, los valores que obtenem os de las variables y parám etros al fin al del tiem p o de sim ulación generalm ente serán distintos de los que se producirán si lo vo lvem o s a correr con diferentes núm eros pseudoaleatorios. Por lo tanto, es necesario efectuar m ás d e una réplica del m odelo que se esté analizando, con la finalidad d e obtener estadísticas d e intervalo que nos den una m ejo r ubicación del verdadero valo r d e la variable b ajo los d iferentes escenarios que se presentan al m odificar los núm eros pseudoaleatorios en cada oportunidad. De esta m anera, la pregunta clave es: ¿cuánto tiem p o se deb e sim ular un m odelo para obtener resultados confiables? En general, podem os decir que to das las variables que se obtienen en térm ino s de prom edios presentan dos diferentes etapas: un estado tran sito rio y un estado estable. El prim ero se presenta al p rin cip io de la sim ulación; por ejem plo, en el arranque d e una planta, cuan do no tien e m aterial en proceso: el últim o de los procesos estará inactivo hasta que el prim er cliente llegue, y si el tiem p o d e sim ula ción es bajo, su im pacto sobre la utilización prom edio d e este proceso será m u y alto, lo cual no ocurriría si el m odelo se sim ulara lo suficiente para lograr una com pensación. En el estado transitorio hay m ucha variación entre los valores prom edio de las variables de decisión del m odelo, por lo que fo rm ular conclusiones con base en ellos sería m u y arries gado, toda vez que difícilm ente nos darían una representación fiel d e la realidad. 8
1.3 Ventajas y desventajas de la sim ulación |
Por otro lado, en el estado estab le los valo res d e las variab les d e decisión p erm a necen m u y estables, y presentan sólo variacio nes poco sig nificativas. En este m om ento las d ecisio n es q u e se tom en serán m ucho m ás confiables. Sin em bargo, n o to das las variab les convergen al estado estab le con la m ism a rapidez: algunas pasan con m ás lentitud qu e otras d e un estado transitorio a uno estable. Es responsabilidad del analista verificar q u e las variables d e decisión del m o d elo se encuentren en estado estable antes d e d e ten er el tiem p o d e la sim ulación (vea la figura 1.3). Otro facto r im po rtante para decidir el tiem p o d e sim ulación es el co sto de la corrida. M ayor tiem p o de sim ulación requiere m ás tiem p o com putacional, lo cual im plica, n ece sariam ente, un costo m ás alto. Por supuesto, la situación em peora si a esto le agregam os que en algunos casos es preciso efectuar m ás d e tre s réplicas.
Figura 1.3 G rá fica de estab iliza ció n de una va riab le.
1.3 V entajas y d esv e n ta ja s d e la sim ulación Com o hem os visto hasta ahora, la sim ulación es una d e las diversas herram ientas con las que cuenta el analista para to m ar decisiones y m ejorar sus procesos. Sin em bargo, se d eb e destacar que, com o to das las dem ás opciones de que disponem os, la sim ulación de eventos discretos presenta ventajas y desventajas que se precisa to m ar en cuenta al d eci dir si es apta para resolver un problem a determ inado. D entro d e las ventajas m ás com unes que ofrece la sim ulación podem os citar las siguientes: a) Es m u y buena herram ienta para conocer el im p acto d e los cam b io s en los pro ce sos, sin necesidad d e llevarlos a cabo en la realidad. b ) M ejora el conocim iento del proceso actual ya que perm ite que el analista vea cóm o se com porta el m o d elo generado b ajo diferentes escenarios. c) Puede utilizarse co m o m ed io d e capacitación para la tom a d e decisiones. d) Es m ás económ ico realizar un estudio d e sim ulación que hacer m uchos cam bios en los procesos reales. 9
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e)
Perm ite probar varios escenarios en busca d e las m ejo res co nd icio nes de trabajo
de los procesos que se sim ulan. f ) En problem as d e gran com plejidad, la sim ulación perm ite generar una buena solución. g) En la actualidad los paquetes d e softw are para sim ulación tiend en a ser m ás sen cillos, lo que facilita su aplicación. h) Gracias a las herram ientas de animación que form an parte de m uchos de esos paquetes es posible ver cóm o se comportará un proceso una vez que sea mejorado. Éstas son algunas de las desventajas que la sim ulación puede presentar: a) Aunque m uchos paquetes de softw are perm iten obtener el m e jo r escenario a partir de una com binación de variaciones posibles, la sim ulación n o es una herra m ienta de optim ización. b) La sim ulación puede ser costosa cuando se quiere em plearla en problem as rela tivam ente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analíticas que se han desarrollado de m anera específica para ese tip o de casos. c) Se requiere bastante tiem po — p o r lo general m eses— para realizar un buen estudio d e sim ulació n; por desgracia, no todos los analistas tienen la disposición (o la oportunidad) d e esp erar ese tiem p o para obtener una respuesta. d) Es preciso que el analista dom ine el uso del paq uete d e sim ulación y que tenga sólidos conocim ientos d e estadística para interpretar los resultados. é)
En algunas ocasiones el cliente puede tener falsas expectativas de la herram ienta de sim ulación, a tal grado que le asocia condiciones sim ilares a un video ju e g o o a una bola d e cristal que le p erm ite pred ecir con exactitud el futuro.
1.4 Elem entos clave para g aran tizar el éxito de un m odelo d e sim ulación Pese a los b eneficios que conlleva la sim ulación, es im po sible garantizar que un m odelo tendrá éxito. Existen ciertas condiciones clave que pueden traer problem as si no se les pone atención al m o m ento d e usar la sim ulación para la tom a de decisiones. A co n tin u a ción destacarem os algunas d e las causas por las que un m odelo d e sim ulación podría no ten e r los resultados que se desean. Tam año insuficiente de la corrida. Com o se m en cio nó antes, para poder llegar a co n clusiones estadísticas válidas a p a rtir de los m odelos de sim ulación es necesario que las variables aleatorias de respuesta se encuentren en estado estable. El problem a estriba en que, por lo general, cu an d o el m odelo consta d e m ás de una variable de decisión, es difícil que éstas alcancen un estado estable al m ism o tiem po: es posible que una se encu en tre estable y la otra no en un m o m ento determ inado, por lo que las conclusiones respecto de la segunda variable no serán confiables en cuanto a la estadística. Variable(s) de resp u esta m al definida(s). Aun cuando el m o d elo d e sim ulación sea m uy eficiente y represente en gran m edida la realidad, si la variab le de respuesta seleccionada 10
1.4 Elem entos clave para garantiza r el é xito de u n m o d e lo de sim ulación |~ j
n o es la apropiada, será im po sible to m ar decisiones que tengan im p acto en la operación del sistem a b ajo estudio. Por ejem plo, digam os que una variable de respuesta es el nivel de inventarios de cierto producto, sin em bargo, la política d e la em presa establece que no se debe parar ninguno d e los procesos de fabricación. En consecuencia, el problem a no será el inventa rio final, sino el ritm o de producción necesario para que aquel cum pla con los requeri m ientos de diseño que se desean. Erro res al estab lecer la s relacio n es entre la s v aria b les aleato rias. Un error com ún de program ación es olvidar las relaciones lógicas que existen entre las variab les aleatorias del m odelo, o m in im izar su im pacto. Si una de estas variab les n o está definida de m anera correcta, es posible tener un m o d elo que se apegue a la realidad actual; sin em bargo, si el sistem a no se lleva hasta su m áxim a capacidad para o bservar su com portam iento, podría resultar im posible visualizar el verdadero im p acto d e las deficiencias. Erro res al d eterm in ar el tipo de distribución asociado a la s variab les a le ato ria s del m odelo. Este tip o de problem a es m u y sim ilar al anterior, pero en este caso se utilizan d istrib uciones que no son las m ás adecuadas o que responden únicam ente a un intento d e sim plificar los estudios estadísticos. Digam os, por ejem plo, que se nos dan los siguien tes parám etros d e producción aproxim ados: m ínim o 10, m áxim o 40, y prom edio 30. En esta circunstancia la tentación de sim p lificar el estudio d e la variab le asignándole una distribución triang u lar con parám etros (10, 30, 40) es m u y gran de; no obstante, hacerlo afectaría d e m anera im po rtante los resultados de la sim ulación, pues el m odelo podría alejarse de lo que sucede en la realidad. Falta de un an á lisis estadístico de lo s resultad o s. Un problem a com ún por el que la sim ulación su ele ser objeto d e crítica, radica en asum ir que se trata d e una herram ienta d e optim ización. Esta apreciación es incorrecta, ya que involucra variables aleatorias y características propias d e un m o d elo que incluye probabilidades. Por lo m ism o — com o se ap un tó antes— , es necesario realizar varias corridas a fin de p ro du cir diferentes resul tado s finales para las variables d e respuesta y, a p artir d e esos valores, obtener intervalos d e confianza que puedan dar un rango en dónd e encontrar los valores definitivos. Este tipo de problem as se presentan tam b ién al com parar dos escenarios: podríam os encon trar un m e jo r resultado para uno d e ellos, pero si los in tervalo s de confianza de las variab les de respuesta se traslapan resultaría im po sible decir q u e el resultado de un esce nario es m ejo r que el del otro. De hecho, en lo que a la estadística se refiere, am bos resul tado s pueden ser iguales. En ese c a so in crem en tar el tam añ o d e corrida o el n ú m e ro de réplicas puede ayudar a obtener m ejores conclusiones. Uso incorrecto de la inform ación o b tenida. Un problem a que se presenta en ocasiones es el uso inco rrecto d e la inform ación recabada para la realización del estudio, ya sea a través d e un cliente o d e cualquier otra fuente. M uchas veces esta inform ación se recolec ta, analiza y adm inistra de acuerdo con las necesidades propias de la em presa, lo que im plica que no siem pre está en el form ato y la presentación que se requiere para la sim u lación. Si la inform ación se utiliza para determ inar los parám etros del m o d elo sin ser 11
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depurada y reorganizada, es m u y pro bable que la precisión d e los resultados del estudio se vea afectada. Falta o exceso de detalle en el m odelo. Otro punto im po rtante a considerar es el nivel d e detalle del m odelo. En m uchas ocasiones algún pro ceso se sim plifica tan to que tiende a verse com o una "caja negra"que nos im p id e v e rq u é ocurre en el interior, aunque sí haya entrada y salida d e datos que interactúan con otras p artes del m odelo. Cuando esto su ce de, el im p acto que podrían ten e r los subprocesos que se llevan a cabo en la "caja negra" (es decir, del proceso sobresim plificado) no se incluye en la sim ulación. Por ejem plo, si se analiza un sistem a de distribución y se da por sentado que el alm acén siem pre su rte sus pedidos, no incluirem os el im pacto de los tiem p o s necesarios para surtir las órdenes, ni la posibilidad d e que haya faltantes de p ro du cto; excluirem os tam b ién los horarios de com ida, en los que no se surten pedidos, y las fallas en los m ontacargas que transportan los pedidos hasta los cam iones para su distribución. Por otra parte, si el m odelo se hace dem asiado detallado, tanto el tiem p o dedicado al estudio com o el costo de llevarlo a cabo podrían increm entarse sustancialm ente. Es labor del encargado de la sim ulación sugerir y clarificar los niveles de detalle que se requieren en el m odelo, resaltando los alcances y lim itaciones de cada uno.
1.5 Pasos para realizar un estu d io d e sim ulación D ebem os considerar que — igual a lo que ocurre con otras herram ientas d e investiga ción— la realización de un estud io d e sim ulación requiere la ejecución de una serie de actividad es y análisis que perm itan sacarle el m ejo r provecho. A continuación se m en cio nan los pasos básicos para realizar un estudio de sim ulación, aunque en m uchas ocasio nes será necesario agregar otros o suprim ir algunos d e los aq u í enum erados, d e acuerdo con la problem ática en cuestión. 1. Definición del sistem a bajo estudio. En esta etapa es necesario conocer el siste ma a modelar. Para ello se requiere saber qué origina el estudio d e sim ulación y establecer los supuestos del m odelo: es conveniente definir con claridad las varia bles de decisión d e l m odelo, determ inar las interacciones entre éstas, y establecer co n precisión los alcances y lim itaciones que aquel podría llegar a tener. Antes de concluir este paso es recom endable contar con la información sufi ciente para lograr establecer un modelo conceptual o un mapa m ental del sistema bajo estudio, el cual debe incluir sus fronteras y todos los elem entos que lo com ponen, adem ás d e las interacciones entre ellos, los flujos de productos, las perso nas y los recursos, a sí com o las variables d e m ayor interés para el problema. 2. G eneración del m odelo de sim ulación b ase. Una vez que se ha definido el sistem a en térm ino s d e un m odelo conceptual, la sig uiente etapa del estudio consiste en la generación de un m o d elo d e sim ulación base. No es preciso que este m odelo sea dem asiado detallado, pues se requiere m ucha m ás inform ación estadística sobre el co m portam iento de las variables d e decisión del sistem a. La generación de este m odelo es el prim er reto para el program ador d e la sim ula ción, ya que debe traducir a un lenguaje d e sim ulación la inform ación que se 12
1.5 Pasos para realizar u n estu d io de sim ulación |
obtuvo en la etapa de definición del sistem a, e incluir las interrelaciones de todos los po sibles sub sistem as que existan en el problem a a m odelar. En caso de que se requiera una anim ación, éste tam b ién es un buen m om ento para defi n ir qué gráfico puede representar m ejo r el sistem a que se m odela. Igual que ocurre en otras ram as d e la investigación d e operaciones,"la sim u lación exige ciencia y arte en la generación de sus modelos". El realizador de un estudio d e sim ulación es, en este sentido, co m o un artista que debe usar toda su creatividad para realizar un buen m o d elo que refleje la realidad del problem a que se está analizando. Conform e se avanza en el m odelo base se pueden ir agregando las variables aleatorias del sistem a, con sus respectivas distribuciones de probabilidad asociadas. 3. Recolección y a n á lisis de datos. Es posible com enzar la recopilación d e la infor m ación estadística de las variables aleatorias del m odelo d e m anera paralela a la generación del m odelo base. En esta etapa se debe establecer qué inform ación es útil para la determ inación d e las d istrib uciones de probabilidad asociadas a cada una d e las variables aleatorias necesarias para la sim ulación. Aunque en algunos casos se logra contar con datos estadísticos, suele suceder que el fo rm a to d e alm acenam iento o d e generación de reportes n o es el apropiado para facilitar el estudio. Por ello, es m u y im po rtante dedicar el tiem p o suficiente a esta actividad. D e n o contar con la inform ación requerida o en caso de desconfiar de la disponible, será necesario realizar un estudio estadístico del com portam iento d e la variable que se desea identificar, para lueg o incluirla en el m odelo. Más adelante se hará e l análisis de los datos indispensables para asociar una d istrib u ción de probabilidad a una variable aleatoria, así co m o las pruebas que se le deben aplicar. Al finalizar la recolección y análisis d e datos para todas las varia bles del m odelo, se tendrán las condiciones para g enerar una versión p relim inar del problem a que se está sim ulando. 4. Generación del m odelo prelim inar. En esta etapa se integra la inform ación obtenida a p artir del análisis d e los datos, los supuestos del m odelo y todos los datos necesarios para crear un m odelo lo m ás cercano posible a la realidad del problem a b ajo estudio. En algunos casos — sobre to d o cuando se trata del dise ñ o d e un nuevo proceso o esquem a de trabajo — no se cuenta con inform ación estadística, p o r lo que debe estim arse un rango d e variación o determ inar (con ayuda del cliente) valores constantes que perm itan realizar el m odelado. Si éste es el caso, el encargado de la sim ulación puede, con base en su experiencia, realizar algunas sugerencias de distribuciones de probabilidad que co m únm en te se asocien al tip o de proceso que se desea incluir en el m odelo. A l fin alizar esta etapa el m o d elo está listo para su prim era prueba: su verificación o, en otras palabras, la com paración con la realidad. 5. Verificación del m odelo. Una vez que se han identificado las distribuciones de probabilidad d e las variables del m odelo y se han im plantado los supuestos acordados, es necesario realizar un proceso de verificación de datos para com probar la propiedad d e la program ación del m odelo, y co m probar que todos los parám etros usados en la sim ulación funcio nen correctam ente. Ciertos p ro b le m as, en especial aquellos que requieren m uchas operaciones de program ación 13
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o que involucran distribuciones de probabilidad difíciles de program ar, pueden ocasionar que el co m po rtam iento del sistem a sea m u y diferente del que se espe raba. Por otro lado, no se debe descartar la posibilidad d e que ocurran errores hum anos al alim en tar el m o d elo con la inform ación. Incluso podría darse el caso d e que los supuestos iniciales hayan cam biado una o varias veces durante el desarrollo del m odelo. Por lo tanto, debem os asegurarnos de que el m o d elo que se va a ejecutar esté basado en los m ás actuales. Una ve z que se ha co m pletad o la verificación, el m odelo está listo para su com paración co n la realidad del problem a que se está m odelando. A esta etapa se le conoce tam b ién co m o validación del m odelo. 6. Validación del m odelo. El proceso de validación del m o d elo consiste en realizar una serie de pruebas sim ultáneas con inform ación d e entrada real para o bservar su co m portam iento y analizar sus resultados. Si el problem a b ajo sim ulación involucra un proceso que se desea mejorar, el m odelo debe som eterse a prueba con las condiciones actuales de operación, lo que nos dará com o resultado un co m po rtam iento sim ilar al que se presenta realm ente en nuestro proceso. Por otro lado, si se está diseñando un nuevo p ro ceso la validación resulta m ás com plicada. Una m anera de validar el m odelo en este caso, consiste en introducir algunos escenarios sugeridos por el cliente y validar que el co m po rtam iento sea congruente con las exp ectativas que se tie nen d e acuerdo con la experiencia. Cualquiera que sea la situación, es im p o rtan te que el analista conozca bien el m odelo, d e m anera que pueda ju stificar aquellos co m po rtam iento s que sean contrarios a la exp eriencia de los especia listas que participan en su validación. 7. Generación del m odelo final. Una vez que el m o d elo se ha validado, el analista está listo para realizar la sim ulación y estudiar el co m portam iento del proceso. En caso d e que se desee com parar escenarios diferentes para un m ism o p ro b le m a, éste será el m odelo raíz; en tal situación, el siguiente paso es la definición de los escenarios a analizar. 8. D eterm inación de lo s escen ario s para el análisis. Tras validar el m o d elo es necesario acordar con el cliente los escenarios q u e se quieren analizar. Una m anera m u y sencilla d e determ inarlo s co nsiste en utilizar un escenario p esim is ta , uno optim ista y uno interm edio para la variab le d e respuesta m ás im p o rtan te. Sin em bargo, es preciso to m ar en cu e n ta que n o to das las variab les se com portan igual ante los cam b io s en los d istin to s escenarios, p o r lo q u e ta l vez sea necesario q u e m ás d e una variable d e respuesta se analice b ajo las p ersp e c tiva s pesim ista, optim ista e interm ed ia. El riesgo d e esta situación radica en que el analista podría realizar un d iseño d e exp erim en to s capaz d e g enerar una gran cantidad d e réplicas, lo q u e redundaría en un increm ento co nsid erab le d e co s to, análisis y tiem p o d e sim ulación. Es por ello que m uchos p aq uetes d e sim ula ción cuentan con h erram ien tas para realizar este proceso, las cuales elim inan la anim ación y acortan los tiem p o s d e sim ulació n. Estas h erram ien tas perm iten realizar varias réplicas del m ism o escenario para obtener resultados con estad ís ticas im p o rtantes respecto d e la toma d e d ecisio n es (por ejem plo, los intervalos d e confianza). 14
1.5 Pasos para realizar u n estu d io de sim ulación |
Por su parte, el analista tam b ién puede co ntribuir a la selección de escena rios, sugiriendo aquellos que considere m ás im portantes; al hacerlo dará p ie a que se reduzca el núm ero de com binaciones posibles. 9. A nálisis de sensib ilidad . Una vez que se obtienen los resultados d e los escena rios es im portante realizar pruebas estadísticas que perm itan com parar los esce narios co n los m ejores resultados finales. Si dos d e ellos tienen resultados sim ilares será necesario com parar sus intervalos d e confianza respecto de la varia ble de respuesta final. Si no hay intersección d e intervalos podrem os decir con certeza estadística que los resultados no son iguales; sin em bargo, si los intervalos se sobreponen será im posible definir estadísticam ente que una solución es m ejor que otra. Si se desea obtener un escenario "ganador", será necesario realizar más réplicas de cada m odelo y/o increm entar el tiem p o de sim ulación d e cada corrida. Con ello se busca acortar los intervalos de confianza de las soluciones finales y, por consiguiente, increm entar la probabilidad d e diferenciar las soluciones. 10. Documentación del modelo, sugerencias y conclusiones. Una vez realizado el análisis de los resultados, es necesario efectuar toda la docum entación del modelo. Esta docum entación es m u y im portante, p ues perm itirá el uso del m odelo generado en caso de que se requieran ajustes futuros. En ella se deben incluir los supuestos del m odelo, las d istrib uciones asociadas a sus variables, todos sus alcances y lim itaciones y, en general, la totalidad de las consideraciones de pro gram ación. Tam bién es im po rtante incluir sugerencias tanto respecto del uso del m odelo com o sobre los resultados obtenidos, con el propósito de realizar un reporte m ás com pleto. Por últim o, deberán presentarse las conclusiones del proyecto de sim ulación, a p artir de las cu ale s es posible obtener los reportes ejecutivos para la presentación final. En la figura 1.4 se presenta una gráfica d e G antt en dond e se m uestra, a m anera de ejem plo, la planificación d e los pasos para realizar una sim ulación que hem os com entado en esta sección.
Actividad Definición del sistema Modelo de simulación base Recolección y análisis de datos Modelo preliminar de simulación Verificación del modelo Validación del modelo Modelo final de simulación Determinación de escenarios Análisis de Sensibilidad Documentación Final Tiempo Figura 1 .4
Gráfica de Gantt de un proyecto de simulación. 15
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Podem os decir que la realización de un proyecto de sim ulación im p lica tres grandes fases. El diseño del m odelo del problem a a analizar, la construcción del m odelo y la e x p e rim entación que se puede realizar con éste. La figura 1.5 ilustra una m anera alternativa de presentar este m ism o proceso .161
D is e ñ o d e l m o d e lo
C o n s tr u c c ió n
E x p e r im e n t a c ió n
Figura 1 .5 R ep resen tació n del c ic lo d e un p ro yecto d e sim u lació n .
Com o podem os o b servar en la fig u ra 1.5, la construcción del m o d e lo es sólo una parte d e l b en eficio de una h erram ien ta co m o sim u lació n. Tam bién se puede usar para h ace r análisis con diferentes escen ario s y to m ar d ecisio n es sustentad as e sta d ística m ente. En el sig uiente cap ítu lo revisarem o s cóm o se m odela la variabilid ad natural de los procesos.
1.6 Problem as 1. D eterm ine los elem entos de cada uno d e los siguientes sistemas, de acuerdo con lo que se com entó en la sección 1 . 2 . a) b) c) d)
La sala de em ergencia d e un hospital
Un b anco m ercantil Una línea telefónica de atención a clientes La recepción de un hotel é) Un taller d e tornos f) El proceso de pintura de un autom óvil g ) Un hospital h) Un sistem a de respuesta en caso de em ergencias 16
1.6 Problem as [~ ]
2. Defina los elem entos de cad a uno de estos sistem as, de acuerdo con lo que analizó en la sección 1. 2 . a) El sistem a d e m antenim ien to d e los equipos de una em presa, llevado a cabo por una cuadrilla d e personas b) Un aeropuerto c) Una bodega de distribución d e productos d) e) f) g) h)
Una línea em botelladora de refrescos Un sistem a de control de tránsito para la ciudad Una línea d e arm ado de refrigeradores Una superm ercado Un taller d e m antenim iento d e m oldes
3. ¿Cuáles podrían ser las entidades d e cada uno d e los siguientes sistem as? a) Un cajero autom ático b) Un sistem a autom ático de inspección de botellas c) Una m áquina dobladora d e lám ina d) é) f) g)
Un proceso de em p aq ue d e televisores Una sala d e urgencias d e un hospital Un alm acén de p ro ducto term inado Una línea d e em b utid o d e carnes
4. ¿Cuáles podrían ser las entidades d e cada uno d e los siguientes sistem as? a) b) c) d) e) f) g)
Un sistem a de distribución d e paquetería Un sistem a de cobranza Un conm utador telefónico Un d epartam ento d e devolución d e m ercancía El abordaje de un crucero por el Caribe Un taller d e reparación de m otores Un centro de despacho y asignación de pedidos d e productos
5. D eterm ine qué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación d e los siguientes sistem as. a) b) c) d) é) f)
El m aq uinado de una fam ilia de engranes Un proceso de pintura de refrigeradores Un sistem a de recepción de m ateria prim a Un proceso de soldadura para varios productos Una sala d e tratam iento s dentales Un sistem a de registro de p acientes en un hospital g) Un sistem a de localización de m ercancía por radio frecuencia 6 . ¿Qué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación de los siguientes sistem as?
a) Un proceso de empaque de 10 productos por caja, donde cada producto es diferente b) Un proceso d e separación de 3 productos para enviarlos a sus respectivas áreas de procesam iento 17
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
c)
Un sistem a de inspección de calidad de piezas m aquinadas
d)
Un sistem a de program ación de m antenim ien to que califica sus trab ajo s com o urgentes y no urgentes, adem ás d e asignarles etiquetas d e "Pendiente d e asig nar", "Asignado", "En proceso" y "Term inado"
7. Especifique las variables que podrían ser relevantes en los siguientes sistemas. a) b) c) d) é) f)
El m aq uin ado de una fam ilia de engranes Un proceso de pintura de refrigeradores Un sistem a de recepción de m ateria prim a Un proceso de soldadura para vario s productos Una sala d e tratam ientos dentales Un sistem a de registro de p acientes en un hospital
g ) Un sistem a de localización de m ercancía por radio frecuencia 8 . De los siguientes sistemas, ¿cuáles podrían ser clasificados co m o eventos?
a) b) c) d) é)
Una sala d e urgencias d e un hospital Un sistem a de em ergencias epidem iológicas Un sistem a de control de calidad de una planta que fabrica botellas Un restaurante d e com ida rápida Una term in al de cam iones de carga
f)
Una aduana com ercial d e im portaciones y exportaciones
9. D eterm ine el p ro m ed io m óvil d e los núm eros d e la sig uiente tabla y grafique los prom edios. ¿Llega a estado estab le la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a p a rtir de qué valor se puede considerar el inicio del estado estable?
0.6435
0.9849
0.9152
0.8327
0.2803
0.1730
0.9002
0.1853
0.3499
0 .7 3 6 8
0.0168
0.1133
0.5673
0.5013
0.0330
0.9814
0.7602
0.1865
0.5518
0 .1 0 6 4
0.3553
0.3846
0.3063
0.1319
0.3769
0.3809
0.5290
0 .8 5 8 6
0.6225
0 .5 4 2 5
0.1242
0.2806
0.9285
0.4257
0.5007
0.9997
0.2072
0.0580
0.5460
0 .3 9 1 0
0.4006
0.2376
0.3883
0.7998
0.9111
0.5554
0.6080
0 .6 7 2 4
0.0332
0.9451
0.2944
0.5657
0.4072
0.6198
0.6809
0.7154
0.8810
0 .3 0 2 8
0.5950
0.3131
0.1438
0.7546
0.0982
0.4946
0.1837
0.5438
0 .6 5 9 8
0.6460
0.8039
0 .1 5 9 9
0.7612
0.8071
0.5163
0.5810
0.6720
0.6020
0.0120
0.4502
0.4228
0 .2 7 3 4
0.4776
0.1012
0.0935
0.4389
0.7195
0.7738
0.8939
0.5225
0.1220
0 .8 2 6 5
0.6031
0.9288
0.1209
0.5537
0.1219
0.9657
0 .9 7 3 4
0.9955
0.2281
0 .1 0 8 4
1 n Prom edio m óvil: rn = —\ r ¡ n /.i
18
pora
n =1,2,...,100
1.6 Problem as [~ ]
10. D eterm ine el p ro m ed io m óvil d e los núm eros d e la sig uiente tabla y grafique los prom edios. ¿Llega a estado estable la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a p a rtir de qué valor se puede considerar el inicio del estado estable?
0.1762
0.0477
0.5245
0.6735
0.9922
0.3669
0.1380
0 .6 5 8 4
0.5371
0 .4 5 8 0
0.9750
0.7266
0 .2 0 9 4
0.5885
0.5842
0.5057
0 .2 6 1 4
0.6131
0.8510
0 .9 5 0 2
0.9770
0.6959
0.2955
0.4447
0 .2 8 5 6
0.3545
0.2401
0 .5 4 0 6
0.0547
0 .4 5 5 2
0.4181
0.7080
0.5093
0.1922
0.0685
0.3380
0.7969
0.3670
0.4124
0 .9 6 0 8
0.4409
0.8448
0.4257
0.0763
0.0513
0.8583
0.9419
0.8389
0.0096
0 .0 6 3 3
0.6124
0.8186
0 .1 2 8 8
0.8095
0.1313
0.8238
0 .9 6 2 8
0 .0 7 3 6
0.8992
0 .3 6 5 7
0.7017
0.8310
0.2849
0.5471
0 .3 7 1 6
0.7481
0.0009
0 .0 9 3 6
0.2608
0 .5 4 1 5
0.9343
0.5679
0 .0 1 1 6
0.3081
0.6192
0.4047
0.9659
0 .5 6 3 8
0.7183
0 .5 6 4 9
0.1087
0.8235
0.9399
0.6169
0.0711
0.3051
0.4250
0 .5 2 7 6
0.2523
0 .1 2 4 2
0.8740
0.0961
0 .2 1 6 6
0.5799
0.2477
0.1443
0.4937
0.7373
0.9575
0 .1 7 0 6
i n Prom edio m óvil:
para
n = 1, 2 , ...,100
n /-i 11. G enere en una hoja de cálculo 100 núm eros con la función x¡ = —3ln(1 — ); donde r;.es un núm ero pseudoa lea to rio entre cero y uno, obtenido a p a rtir d e la función ALEATORIO de la hoja d e cálculo. Suponga que estos valores son tiem po s de proceso de cierta pieza. D eterm ine un prom edio m ó vil d e estos valo res co nfo rm e se va reali zan d o el procesam iento d e las piezas, y grafique ese prom edio. ¿El tiem po prom edio de proceso es estable? ¿Y si en lugar de 100 se generan 200 núm eros? (Sugerencia: Para evitar que se recalculen los núm eros aleatorios es necesario copiarlos y pegarlos m ediante pegado especial de sólo valores). 12. En una hoja d e cálculo genere 100 núm eros con la fu n ció n x¡ = 5 + 10/;.;do nd e/;.es un núm ero pseud oaleato rio entre ce ro y uno, obtenid o a p artir d e la fu n ció n ALEATORIO de la hoja d e cálculo . Suponga que estos valores son tiem po s d e atención a clientes en un banco. D eterm ine un p ro m ed io m óvil d e estos valores conform e se va reali zan d o la atención d e los clientes, y grafique ese prom edio. ¿El tiem p o p ro m ed io de atención a clientes es estable? ¿Q ué pasa si ahora se generan 200 núm eros? 13. G enere en una hoja de cálculo núm eros con las siguientes funciones: a) x,. = - 2 0 * ln (r ,* r y) b) x , = - 1 0 * ln (o * / )* /• ,* /;) c) x¡ = —5 *ln(r, * r¡ * rk *rl * rm *rn* r0 *rp)
19
|- |
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
D ond e r,,rj ,rk,rl,rm,rn,rolrp son núm eros pseudoaleatorios entre cero y uno, obtenidos a p artir de la función ALEATORIO de la hoja de cálculo. Suponga que estos valores son tiem po s de reparación de una m áquina. D eterm ine un prom edio m ó vil de estos valores conform e se van realizando m antenim ientos, y grafique ese prom edio. ¿C u ál d e las tres fu n cio n es llega a estado estable m ás rápidam ente? ¿En qué p u n to del tiem p o llega cada una a estado estable? ¿A qué valor converge el prom edio en cada una?
Referencias [1] Goodsell, C. A. y Van Kely(T. J. (2004)."lnventory Management Simulation atCAT Logistics", En J. A. Joines, R. R. Barton, K. Kang, y P. A. Fishwick (Eds), pp 1185-1190. [2] Chan, F.T.S., N. K. H., Tang, H. C. W., Lau, y R. W. L., Ip (2002). "A Simulation Approach in Supply Chain Management", IntegratedManufacturing Systems, volumen 13 {número 2), pp 117-122. [3] O'Kane, J. (2004)."Simulating production performance: cross case analysis and policy implications" Industrial Management and Data Systems, volumen 104 {número 4), pp. 309-321. [4] Mahanti, R. y Antony, J (2005)."Confluence of Six Sigma, Simulation and Software Development" Managerial Auditing Journal, volumen 20 (número 7), pp. 739-762. [5] Strauss, U. (2006). "Using a Business Simulation to Develop Key Skills - the MERKIS Experience", Industrial and Commercial Training, volumen 38 (n úmero 4), pp. 213-216. [6] García, H. y Centeno, M. A. (2009)."S.U.C.C.E.S.S.F.U.L.: a Frameworkfor Designing Discrete Event Simulation Course", Proceed’m gsofthe 2009 WinterSimulation Conference, M. D. Rossetti, R. R. Hill, B. Johansson, A. Dunkin y R. G. Ingalls (Eds), pp. 289-298.
20
Capítulo 2 Núm eros pseudoaleatorios
2.1
Los núm eros pseudoaleatorios
2 .2
Generación de núm eros pseudoaleatorios
2 .3
Propiedades de los núm eros pseudoaleatorios entre 0 y 1
2 .4
Pruebas estadísticas para los núm eros pseudoaleatorios
2 .5
Problem as Referencias
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
2.1 Los núm eros pseu d o aleato rio s Para poder realizar una sim ulación que incluya variabilidad dentro d e sus eventos, es preciso g enerar una serie d e núm eros que sean aleatorios por sí m ism os, y que su aleatoriedad se extrapole al m o d elo de sim ulación que se está construyendo. Com o puede com prender, en la construcción del m odelo los núm eros aleatorios ju e g an un papel re le vante. Así, una de las prim eras tareas que es necesario llevar a cabo co nsiste en determ inar si los núm eros que utilizarem os para "correr"o ejecutar la sim ulación son realm ente alea torios o no. Por desgracia, precisar lo anterio r con absoluta certidum bre resulta m uy com plicado, ya que para ello tendríam os que g enerar un núm ero infinito de valores que nos perm itiera com probar la inexistencia de co rrelaciones entre ellos. Esto sería m uy costoso y tardado, adem ás volvería im práctico el uso d e la sim ulación aun con las com putadoras m ás avanzadas. A pesar d e lo anterior, podem os asegurar que el conjunto de núm eros que utilizare m os en una sim ulación se com porta de m anera m u y sim ilar a un conjunto de núm eros totalm ente aleatorios; por ello es que se les denom ina núm eros pseudoaleatorios. Casi to das las aplicacio nes com erciales tienen varios generadores d e núm eros pseud oaleato rios que pueden generar un conjunto m u y grande d e núm eros sin m ostrar correlación entre ellos. En el presente c a p ítu lo d iscu tirem o s alg uno s de los m éto d o s d e g e n e ra ción de núm eros pseudoaleatorios, y precisarem os qué características deben ten e r para em plearlos com o una fuen te confiable de variabilidad dentro de los m odelos. Asim ism o, se m ostrarán algunas d e las pruebas m ás com unes para co m probar qué tan aleatorios son los núm eros o btenid os con dichos generadores.
2.2 G eneración de núm eros pseu d o aleato rio s Para realizar una sim ulación se requieren núm eros aleatorios en el intervalo (0,1), a los cuales se hará referencia com o rr es decir, una secuencia r¡ = { f , , r2lr3 l...,rn} que contiene un" núm eros, todos ellos diferentes. El valor un ” recibe el nom bre de periodo o ciclo d e vida del generador que creó la secuencia r¡. Los r¡ constituyen la parte m edular d e la sim ulación de procesos estocásticos, y por lo regular, se usan para generar el co m portam iento de variables aleatorias, tanto continuas com o discretas. Debido a que no es posible generar núm eros realm ente aleatorios, co n sideram os los r. com o núm eros pseudoaleatorios generados por m edio de algoritm os determ m ísticos que requieren parám etros d e arranque. Para sim ular el co m portam iento de una o m ás variables aleatorias es necesario co n tar co n un co n ju n to suficientem ente grande de r, que perm ita, por ejem plo, que la secuencia tenga al m enos un perio do d e vida d e n = 2 31 = 2,147,483,648. D e acuerdo con L'E cu ye r 141u n a se cu e n cia d e r ,c on p erio d o d e vid a d e n = 2 31 es re la tiv a m e n te p e q u e ñ a ; de hecho, incluso una secuencia d e r¡ q u e contenga un ciclo d e vida de n = 2M se considera pequeña. En la actualidad, contam os ya con generadores y procesadores capa ces de construir una secuencia de r. con perio do d e vida de n = 2 200. Tal vez se preguntará; ¿p o r qué debe interesarnos co nstruir una secuencia d e n ú m e ros r. lo bastante grande? A continuación ilustrarem os la razón m ediante un ejem plo. 22
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Suponga que querem os sim ular el tiem p o d e atención a clientes en un b anco que tiene 5 cajeros en paralelo, cada uno de los cuales atiend e alrededor de 50 clientes diarios. Para sim ular el tiem p o de atención se requiere un generador de variable aleatoria en función de rF com o por ejem p lo 7 = 5 + 2 rf expresado en m inutos para toda i = 1, 2, 3 , . . . , n. (El tem a de generadores de variables aleatorias se presenta en el capítulo 3). Si sim ulam os el tiem p o de atención de m anera aislada, es decir, sin considerar el tiem p o transcurrido desde la lleg ad a d e éstos, serán n ecesario s 5 x 50 = 2 5 0 n ú m e ro s r¡ para sim u la r un d ía ; si deseáram os sim ular 5 días se necesitarían 250 x 5 = 1250 rv Ahora bien, si consideram os e l tiem p o desde la llegada de los clientes, precisaríam os de 250 r¡ para sim ular el tiem po transcurrid o desde la llegada al banco de los 250 clientes p o r día, y 250 x 5 = 1250 r¡ para sim ular el correspondiente al total de clientes atendidos durante 5 días. Por lo tanto, se requerirán 2500 núm eros pseudoaleatorios r¡ para sim ular la operación del banco duran te 5 días. Com o se m encionó en el capítulo 1, los resultados no pueden basarse en una sola sim ulación del sistem a; por el contrario, es necesario realizar varias réplicas d e la m ism a, corriend o cada una d e ellas con núm eros pseudoaleatorios diferentes. Si retom am os el ejem p lo del banco, sim ular 5 días otra vez significa que necesitam os otros 2500 núm eros pseudoaleatorios en el intervalo (0,1). En consecuencia, se requieren 5000 r, para realizar la sim ulación del sistem a d e atención a clientes con d o s réplicas. Usted podrá im aginar cuántos núm eros r. serán necesarios para sim ular la operación del banco durante un año con 9 réplicas, o cuántos núm eros r, se requieren para sim ular un sistem a p ro du ctivo durante un año con varias líneas d e producción, y cada una con varias estaciones, y cada estación con uno o m ás procesos. Dada la im po rtancia de contar con un co n ju n to de rysuficientem ente grande, en esta sección se presentan diferentes algoritm os determ m ísticos para obtenerlo. Por otra parte, es conveniente señalar que el conjunto d e r. debe ser som etido a una variedad de p ru e bas para verificar si los núm eros que lo conform an son realm ente independientes y u n i form es. En la sección 2 .4 verem os las p rueb as estadísticas que determ inan si un conjunto r. tie n e las p ro p ie d a d e s de in d e p e n d e n c ia y u n ifo rm id a d . U na ve z g e n e ra d o el c o n ju n to r m ed iante un algoritm o determ inístico, es necesario som eterlo a las pruebas antes m encionadas: si las supera, podrá utilizarse en la sim ulació n; d e lo contrario, sim p lem en te deberem os desecharlo. Un conjunto de ry debe seguir una distribución uniform e continua, la cual está defini da por: f ( r ) = { 1'
[ 0,
oárS1
en cualquier otro valor
G enerar un conjunto d e r, es una tarea relativam ente sencilla; para ello, el lector sólo tien e qu e diseñar su propio algoritm o de generación. Lo que resulta difícil es diseñar un algoritm o que genere un conjunto d e r.co n perio do de vida lo bastante grande (A/), y que adem ás p ase sin problem a las pruebas d e uniform idad e independencia, lo cual im plica evitar problem as com o éstos: •
Que los núm eros del co n ju n to r. no estén uniform em ente distribuidos, es decir, que haya dem asiados r. en un subintervalo y en otro m u y pocos o ninguno. 23
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
•
Que los núm eros r. generados sean discretos en lugar d e continuos.
•
Que la m edia del conjunto sea m u y alta o m u y baja, es decir, que esté por arriba o
•
por debajo de V2 . Que la varianza d e l co n ju n to sea m u y alta o m u y baja, es decir, que se lo calice por arriba o por d e b a jo d e l V2 (la o b tenció n d e estos valo res se d iscu te en la sección 2.3).
En ocasiones se presentan tam b ién anom alías com o núm eros r. seguidos por arriba o por d eb ajo d e la m e d ia ; secu e n cia d e r ¡ p o r arriba d e la m ed ia, seg uid a d e u n a secu e n cia p o r d e b a jo d e la m e d ia, y viceversa, o varios r. seg u id o s en fo rm a a scen d en te o d e s cendente. A co ntinuació n se presentan diferentes algoritm os determ m ísticos para g enerar los r¡, los cuales se clasifican en alg o ritm o s n o co n g ru en ciales y co ng ruenciales. Los a lg o ritm os n o co ng ru enciales que analizarem os en esta obra son: cu ad rad o s m ed ios, p ro ductos m ed ios y m u ltip lica d o r co nstante. En tre los alg o ritm o s co n g ru en ciales se en cu en tran los algoritm os co ngruenciales lineales y los n o lineales. En este libro abo rda rem os los algoritm os co ngruenciales lineales — tales com o algoritm o congruencial lineal, m ultip licativo y aditivo— , y los algoritm os no lineales, com o el algoritm o de Blum , Blum y Shub, y el co ngruencial cuadrático.
2.2.1
Algoritm o de cuadrados m edios Este algo ritm o n o co ngruencial fu e pro p uesto en la década d e los cuarenta d e l siglo xx por Von N eum ann y M etrópolis .1’1Requiere un núm ero entero detonado r (llam ado sem i lla) con D dígitos, el cu a l es elevad o al cuadrado para seleccio nar del resultado los D díg ito s d e l centro ; el p rim er núm ero r¡ se determ ina sim p lem ente an tep o n ie n d o e l" 0 ." a esos d íg ito s. Para o b te n e r el se g u n d o r¡ se sig ue el m ism o p ro ced im ien to , sólo que ahora se elevan al cuadrado los D díg ito s del centro q u e se seleccionaron para obtener e l p rim er rr Este m éto d o se repite hasta o b ten er n núm eros rr A continuación se presen tan con m ás d e talle los pasos para g enerar núm eros co n el algo ritm o d e cuadrados m edios. 1. Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3). 2. Sea Y0 = resultado de elevar Xq al cuadrado; sea X, = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0. D dígitos del centro. 3. Sea /.= resultado d e e le v a rX al cuadrado; sea XM = los D d íg ito s del centro, y sea r. = 0 . D dígitos del centro para toda /= 1, 2 , 3 , . . . n. 4 . Repetir el paso 3 hasta obtener los n núm eros r. deseados. N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yp agregue ceros a la izquierda del núm ero Yr Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de cuadrados m edios se presenta el siguiente ejem plo.
24
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Ejem plo 2.1 G enerar los prim eros 5 núm eros r¡ a p a rtir de una sem illa X 0 = 5735, d e dond e se puede o bservar que D = 4 dígitos. S o lu c ió n Y0 = (5735)2 = 32890225
X, =8902
r, = 0.8902
Y} = (89 0 2 )2 = 79245604
X 2= 2 4 5 6
r2 = 0.2456
V2 = (2456)2 = 06031936
X 3= 0 3 1 9
r3 = 0.0319
Y3 = (0319 )2 = 101761
X4 = 0176
r4 = 0.0176
/4 = (0176)2 = 030976
X 5 = 3097
r5 = 0.3097
El algoritm o de cuadrados m edios generalm ente es incap az de generar una secuencia de r. con perio do d e vida n grande. Adem ás, en ocasiones sólo es capaz de generar un n ú m e ro, por ejem p lo , si X0= 1000, entonces X , = 0 0 0 0 ; r.= 0.0000 y se dice que el algoritm o se degenera con la sem illa d e X 0= 1 0 0 0 .
2.2.2
Algoritm o de productos m edios La m ecánica de generación d e núm eros pseudoaleatorios de este algoritm o n o congruencial es sim ilar a la del algoritm o de cuadrados m edios. La diferencia entre am bos radica en que el algoritm o de productos m edios requiere dos sem illas, am bas con D díg i to s; adem ás, en lugar de elevarlas al cuadrado, las sem illas se m ultiplican y del producto se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales form arán el prim er núm ero pseudoaleato rio r, = 0 .D dígitos. D espués se elim ina una sem illa, y la otra se m ultiplica por el prim er núm ero d e D dígitos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conform arán un seg u n d o n ú m e ro rr Entonces se e lim in a la seg un d a se m illa y se m u ltip lica n el p ri m e r núm ero de D dígitos por el segundo núm ero d e D dígitos; del p ro ducto se obtiene el tercer núm eror,. Siem pre se irá elim inando el núm ero m ás antiguo, y el procedim iento se re p e tirá hasta g e n e ra r los n n úm ero s p seu d o aleato rio s. A co n tinuació n se p re se n tan con m ás detalle los pasos del m étodo para generar núm eros con el algoritm o de producto m edios. 1. 2. 3. 4.
Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3) Seleccionar una sem illa (X,) co n D dígitos (D > 3) Sea Y0= X ^ X ,; sea X 2= los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0.D dígitos del centro. Sea Y = X *X m; sea X V2= los D dígitos del centro, y sea r /+1 = 0 .D dígitos del centro para toda / = 1, 2, 3 ,... n.
5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n núm eros r, deseados. N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yf agregue ceros a la izquierda del núm ero Yr Para ilustrar la m ecánica del algoritm o d e productos m edios se presenta el siguiente ejem plo. 25
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Ejem plo 2.2 G enerar los prim eros 5 núm eros r,a p a rtir de las sem illas X0= 5 0 1 5 y X , = 5734; o bserve que am bas sem illas tien en D = 4 dígitos. Solución:
2.2.3
v ; = (5015) (5734) = 28756010
X 2 = 7560
r, = 0.7560
Y} = (5734) (7560) = 43349040
X 3 = 3490
r 2 = 0.3490
Y2 = (7560) (3490) = 26384400
X 4 = 3844
r 3 = 0.3844
Y3 = (3490) (3844) = 13415560
X 5 = 4155
r4 = 0.4155
Y4 = (3844) (4155) = 15 971820
X 6 = 9718
r 5 = 0.9718
Algoritm o de m ultiplicador constante Este algoritm o no co ngruencial es sim ilar al algoritm o de productos m edios. Los siguien te s son los pasos necesarios para generar núm eros pseudoaleatorios con el algoritm o de m ultiplicad or constante. 1. 2. 3. 4.
Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3). Seleccionar una constante (a) co n D dígitos (D > 3). Sea Y0= a *X ¿ sea X 1= los D dígitos del centro, y sea r = O.D dígitos del centro. Sea Y,= a*X¡; sea X^, = los D dígitos del centro, y sea rM = O.D dígitos del centro para toda / = 1, 2, 3 ,... n. 5. Repetir e l paso 4 hasta obtener los n núm eros r. deseados.
N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yf agregue ceros a la izquierda del núm ero Yr Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de m ultiplicad or constante se presenta el sig uiente ejem plo. Ejem plo 2.3 G en e ra r los p rim e ro s 5 n ú m e ro s r. a p a rtir d e la se m illa X 0 = 9803 y con la co n sta n te a = 6 9 65. O bserve que tanto la sem illa com o la constante tienen D = 4 dígitos. Solución:
26
Y0 = (6965) (9803) = 68277895
X, =2778
r, = 0.2778
V, = (6965) (2778) = 19348770
X 2 = 3487
r2 = 0.3487
Y2 = (6965) (3487) = 24286955
X 3= 2 8 6 9
r3 = 0.2869
Y3 = (6965) (2869) = 19982585
X 4 = 9825
r4 = 0.9825
YA= (6965) (9825) = 68431125
X 5 = 4311
r5 =0.4311
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
2 .2 .4
Algoritm o lineal Este algoritm o co ng ruencial fue propuesto por D. H. Lehm er 151 en 1951. Según Law y Kelto n,PI no ha sid o el m ás usado. E l algoritm o co ngruencial lin eal genera una secuencia d e núm eros enteros por m edio de la siguiente ecuación recursiva: X + 1 = (ax¡ + c)m od(m )
/ = 0 , 1, 2 , 3 , . . n
dond e XQes la sem illa, a es la constante m ultiplicativa, c es una constante aditiva, y m es e l m ódulo. Xo > 0 , a > 0 , c > 0 y m > 0 deben ser núm eros enteros. La operación "mod (m)" significa m ultip licar^ , por a, sum are, y dividir el resultado entre m para obtener el residuo X/+1. Es im po rtante señalar que la ecuación recursiva del algoritm o co ngruencial lineal genera una secuencia d e núm eros enteros S = {0, 1 ,2 , 3 ,..., m - 1}, y que para obtener núm eros pseudoaleatorios en el intervalo (0 , 1 ) se requiere la siguiente ecuación: X,
í = 0 , 1 ,2 ,3 ,...,n
A nalice el sig uiente ejem p lo para com prender m ejo r la m ecánica del algo ritm o co n gruencial lineal: Ejem plo 2.4 G enerar 4 n úm ero s e n tre 0 y 1 con los sig u ie n te s p arám etros: X0= 37, a = 19, c = 33 y m = 100.
Solución: X , = (19*37 + 33) m od
100 = 36
r, = 36/99 = 0.3636
X 2 = (19*36 + 3 3 ) m od
100 = 17
r 2 = 17/99 = 0.171 7
X 3 = (19* 17 + 33) m od
100 = 56
r 3 = 56/99 = 0.5656
X 4 = (19*56 + 33) m od
100 = 97
r4 = 97/99 = 0.9797
En el ejem p lo anterior se dieron d e m anera arbitraria cada uno d e los parám etros req ue ridos: Xq, a, c, m . Sin em bargo, para que el algoritm o sea capaz de lograr el m áxim o p e rio do d e vida N, es preciso que dichos parám etros cum plan ciertas condiciones. Banks, Carson, Nelson y N icol 111sugieren lo siguiente: m = 29 a = 1 + 4k k debe ser entero c relativam ente prim o a m g debe ser entero Bajo estas condiciones se obtiene un perio do de vida m áxim o: N = m = 2g. Veam os un ejem p lo m ás, to m and o en cuenta lo anterior. 27
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Ejem plo 2.5 G enerar suficientes núm eros entre 0 y 1 con los parám etros X 0 = 6 , k = 3, g = 3 y c = 7, hasta encontrar el periodo de vida m áxim o (A/). Com o podem os ver, si se cum plen las condiciones que Banks, Carson, Nelson y Nicol sugieren, se logrará el periodo m áxim o N = m = 8 . A continuación se presenta el d esarro llo de la generación d e los núm eros rr a = 1 + 4 ( 3 ) = 13 y m = 23 = 8 X0 = 6 X } = (1 3*6 + 7) m od 8 = 5
r, = 5/7 = 0.714
X 2 = (13*5 + 7) m od 8 = 0
r2 = 0/7 = 0.000
X 3 = (13*0 + 7) m od 8 = 7
r3 = 7/7 = 1.000
X 4 = (13*7 + 7) m od 8 = 2
r4 = 2/7 = 0.285
X 5 = (13*2 + 7) m od 8 = 1
rs = 1 /7 = 0 .1 4 2
X 6 = (13*1 + 7 ) m od 8 = 4
r6 = 4/7 =0.571
X 7 = (1 3 *4 + 7) m od 8 = 3
r 7 = 3/7 = 0.428
X 8 = (13*3 + 7) m od 8 = 6
r8 = 6/7 = 0 .8 5 7
Es im po rtante m encionar que el núm ero generado en X8= 6 es exactam en te igual a la sem illa X^ y si continuáram os generando m ás núm eros, éstos se repetirían. Adem ás, sabem os que el algoritm o co ngruencial lineal genera una secuencia d e núm eros enteros S = {0, 1 ,2 , 3 ,..., m - 1}. O bserve q u e en este caso se genera la secuencia S = { 0 ,1 ,2 , 3, 4, 5 ,6 , 7}. Ejem plo 2.6 Considerem os d e nuevo el ejem p lo anterior, pero tratem o s de infringir de m anera arb i traria alguna d e las condiciones. Supongam os que a = 12; se sabe que a no es el resultado de 1 + 4/c, dond e k es un entero. Veam os el co m portam iento del algoritm o congruencial lin eal ante ta l cam bio. Solución: o = 1 + 4 (3) = 13 y m = 2 3 = 8 X0 = 6 X , = (12*6 + 7) m od 8 = 7
r, = 7 /7 = 1.000
X 2 = (12*7 + 7) m od 8 = 3
r2 = 3/7 = 0.428
X 3 = (12*3 + 7) m od 8 = 3
r 3 = 3/7 = 0.428
El perio do de vida en este caso es N = 2, de m anera que, com o puede ver, el periodo de vida m áxim o no se logra. Com o conclusión tenem o s que si n o se cu m p le alguna de las condiciones, el perio do de vida m áxim o N = m no se garantiza, por lo que el perio do de vida será m en o r que m. 28
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
2 .2 .5
Algoritm o congruencial m ultiplicativo El algoritm o co ngruencial m ultiplicativo surge del algoritm o co ng ruencial lineal cuando c = 0. Entonces la ecuación recursiva es: XM = {aX) m od (m)
i = 0 , 1 ,2 ,3 , . . . , n
En com paración con el algoritm o co ngruencial lineal, la ventaja del algoritm o m u ltip lica tiv o es que im plica una operación m enos a realizar. Los parám etros d e arranque d e este algoritm o son XQ, a y m, los cuales deben ser núm eros enteros y m ayores que cero. Para transform ar los núm eros X. en el intervalo (0 ,1 ) se usa la ecuación r¡= x l/(m - 1 ) . D e acuer do con Banks, Carson, Nelson y Nicol,111las condiciones que deben cum plir los parám etros para qu e el algoritm o co ngruencial m ultip licativo alcance su m áxim o perio do A/, son: m = 2i
a = 3 + 8k
o
a = 5 + 8k
k = 0 , 1, 2, 3 ,... X0 = debe ser un núm ero im par g debe ser entero A p a rtir d e estas condiciones se logra un perio do d e vida m áxim o N = k/4 = 2g'2 Ejem plo 2.7 G enerar suficientes n úm ero s entre 0 y 1 con los sig uientes p arám etros: X0 = 17, k = 2 y g = 5, hasta encontrar el perio do o ciclo de vida. Solución: a = 5 + 8 (2) = 21
y
m = 32
X0 = 1 7 X , = (21 *1 7 ) m od 32 = 5
r , = 5/31 = 0 .6 1 2
X 2 = (21*5) m od 32 = 9
r2 = 9/31 = 0.2903
X 3 = (21 *9 ) m od 32 = 29
r3 = 29/31 = 1.9354
X 4 = (21*29) m od 32 = 1
r4 = 1/31 = 0.3225
X 5 = (2 1 *1 ) m od 32 = 21
r5 = 21/31 = 0 .6 7 7 4
X 6 = (21*21) m od 32 = 2 5
r6 = 25/31 = 0 .8 0 6 4
X ? = (21*25) m od 32 = 13
r? = 13/31 = 0 .4 1 9 3
X 8 = (21*13) m od 32 = 17
r8 = 17/31 = 0 .5 4 8 3
Si la sem illa X 0 se repite, volverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo tanto, el p e rio do d e vida es n = 8 , el cual corresponde a N = m /4 = 32/4 = 8 . 29
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Ejem plo 2.8 Ahora bien, si quebrantam os la condición de que la sem illa sea un núm ero im par, diga m os con X 0 = 12, tenem os: Solución: X0 = 1 2 X , = (21 *1 2 ) m od 32 = 2 8
r, =28/31 = 0 .9 0 3 2
X 2 = (21 *28) m od 32 = 12
r 2 = 12/31 = 0 .3 8 7 0
En vista de que la sem illa X 0 se repite, vo lverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo tanto, el perio do d e vida es N = 2.
2 .2.6
Algoritm o congruencial aditivo Este algoritm o requiere una secuencia previa d e n núm eros e n te ro sX ,, X2, X 3,X 4, ...,X n para generar una nueva secuencia de núm eros enteros que em pieza en X ^ , Xn^ Xn i, Xn+A, ... Su ecuación recursiva es: X = (x/+1 +X._n) m od (m)
/'= n + 1, n + 2 , n + 3 ,...A/
Los núm eros r, pueden ser generados m ediante la ecuación r. = x./m - 1 Ejem plo 2.9 G enerar 7 núm eros pseudoaleatorios entre cero y uno a p a rtir de la siguiente secuencia d e núm eros enteros: 6 5 ,8 9 , 9 8 ,0 3 ,6 9 ; m = 100. Sean X , = 65, X 2= 8 9 , X 3= 98, X 4 = 03, X 5= 6 9 . Para generar r}, r2, r3, r4, ry r6 y r7 antes es necesario generar X^ X 7, X8, Xg, X 10, X ,,, X 12. Solución:
30
X 6 = (X 5 + X ,)m o d 100 = (69 + 65) m od 100 = 34
r ,= 34/99 = 0.3434
X 7 = (X6 + X2) m od 100 = (34 + 89) m od 100 = 23
r 2 = 23/99
0.2323
X 8 = (X 7 + X3) m od 100 = (2 3 + 98) m od 100 = 21
r 3 = 21/99
0.2121
X 9 = (X8 + X4) m od 100 = (21 + 0 3 ) m od 100 = 24
r4 = 24/99
0.2424
X 10= (X 9 + X 5) m od 100 = (24 + 69) m od 100 = 93
r5= 93/99
0.9393
X u = (X 10 + X J m od 100 = (9 3 + 3 4 ) m od 1 0 0 = 2 7
r6 = 27/99
0.2727
X 12 = ( X „ + X 7) m od 100 = (2 7 + 2 3 ) m od 1 0 0 = 5 0
r7 = 50 /9 9
0.5050
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
2.2.7
Algoritm os congruenciales no lineales En esta sección se analizarán dos algoritm os co ngruenciales no lineales: el congruencial cuadrático y el algoritm o presentado por Blum , Blum y Shub .121 2.2.7.1 Algoritm o congruencial cuadrático Este algoritm o tien e la siguiente ecuación recursiva: XM = (aX¡2 + bX¡ + c ) mod (m)
i = 0 , 1, 2 ,3 , ...A/
En este caso, los núm eros^ pueden ser generados con la ecuación r¡= x ¡/ ( m - 1). De acuer do con L'Ecuyer ,141 las condiciones que deben cu m p lir los parám etros m , a, b y c para alcanzar un periodo m áxim o de N = m son: m = 2< > a debe ser un núm ero par c debe ser un núm ero im par g debe ser entero (6 - 1) m od 4 = 1 D e esta m anera se logra un periodo de vida m áxim o N = m. Ejem plo 2.10 Generar, a p a rtir del algoritm o co ngruencial cuadrático, suficientes núm eros enteros has ta a lcan zar el p erio d o de vid a, para esto considere los parám etros Xq= 13, m = 8 , a = 26, b = 27 y c = 27. Com o to das las condiciones estipuladas para los parám etros se satisfacen, es d e esperarse que el perio do de vida del generador sea N = m = 8 , tal com o podrá com p robar al revisar los cálculos correspondientes, que se presentan a continuación. Solución: X , = (2 6 *1 32 + 27*13 + 27) m od (8 ) = 4 X 2 = (2 6 *4 2 + 2 7 *4 + 27) m od (8 ) = 7 X 3 = (2 6 *7 2 + 2 7 *7 + 27) m od (8 ) = 2 X 4 = (26*22 + 2 7 *2 + 27) m od (8 ) = 1 X 5 = (2 6 *1 2+ 27*1 + 2 7 ) m od (8 ) = 0 X 6 = (2 6 *0 2 + 2 7 *0 + 27) m od (8 ) = 3 X 7 = (26*32 + 2 7 *3 + 27) m od (8 ) = 6 X 8 = (2 6 *6 2 + 2 7 *6 + 27) m od (8 ) = 5 X 9 = (26*52 + 2 7 * 5 + 2 7 ) m od (8 ) = 4 31
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Por otro lado, el algoritm o cuadrático genera u na secuencia d e núm eros enteros S = {0 ,1 , 2, 3
, m - 1}, al igual que el algoritm o congruencial lineal.
2.2.7 .2 Algoritm o de Blum , Blum y Shub<2] Si en el algoritm o co ngruencial cuadrático a = ‘\ ,b = 0 y c = 0 , entonces se construye una nueva ecuación recursiva: X í+1 = (X .2)m od (m )
/ = 0,1,2,3 ,...n
La ecuación anterior fu e propuesta por Blum , Blum y Shub 121co m o un nuevo m étodo para g enerar núm eros que no tien en un co m portam iento predecible.
2.3 Propiedades d e los núm eros pseu d o aleato rio s entre 0 y 1 En la sección anterior hablam os d e có m o generar núm eros aleatorios usando diferentes m étodos. Sin em bargo, ¿de qué m anera se puede garantizar que tales núm eros son real m ente aleatorios entre 0 y 1 ? ¿Cuáles son las características que los identifican?, ¿cuáles son sus parám etros? La respuesta es m u y im portante, dado que los núm eros aleatorios serán utilizados en la sim ulación para generar los valores d e cualquier variab le aleatoria. En gran m edida, conocer las propiedades que deben ten e r estos núm eros aleatorios garantiza una buena sim ulación, por ello, se enum eran a continuación. M edia de lo s aleatorios entre 0 y 1. En vista d e que estos núm eros deben ten e r la m is ma probabilidad de presentarse, es preciso que su co m portam iento m uestre una distri bución de probabilidad uniform e continua, con lím ite inferior cero y lím ite superior uno. La función de densidad d e una distribución uniform e es la siguiente:
f { x ) = T —— b -Q
a < x < b ; en este caso, a = 0 y b = 1
G ráficam ente se vería d e la siguiente m anera:
m
y a
32
b
Fig u ra 2.1 Fo rm a general d e la d istrib u ció n u n ifo rm e entre a v b.
2.3 Propiedades d e los núm eros pseudoaleatorios e n tre 0 y 1 [~ ]
Para o b te n e r la m e d ia d e la d istrib u ció n m u ltip lica m o s la fu n c ió n d e d en sid ad p o r x, y la in te g ra m o s en to d o el rango d e la m ism a d is trib u c ió n d e la sig u ie n te m an era: b 2 F íx \ - f f ( * ) d x - f X d x - — —— |b -J b -Q ~ 2 (b -a ) Sustituyend o los valores de a = 0 y b = 1. 1
E(x) = ~
Por lo tanto, el valo r esperado (es decir, la m edia d e los núm eros aleatorios entre 0 y 1) es ¡ i = 0 .5 . Varianza de lo s n ú m ero s aleato rio s. Si partim o s de la m ism a distribución uniform e continua obtenem os la varianza d e la distribución por m edio de la ecuación: V(x) = a 2 = E(x2) - fj } Lo que nos da E{x2): f £ (* )=
1
/
, * =
x 3 ^ ( b - a ) 3 (b - a ) : 3 7 ^ = ^ = 3
A l sustituir a = 0 y b = 1, tenem o s que:
E(x2) = l
Por lo tanto,
'(i) Dados estos resultados podem os decir que los núm eros aleatorios entre 0 y 1 deben tener
33
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Independencia. Ésta es una propiedad m u y im portante, e im plica que los núm eros aleatorios no deben ten e r correlación entre sí; es decir, deben ser independientes, de m anera que puedan dispersarse de m anera uniform e dentro de to d o el espectro de valo res posibles. La figura 2.2a m uestra una gráfica to talm ente dispersa en los valores po si bles, y la figura 2 . 2 b presenta una acum ulación de los valo res en la p arte central, lo cual q uiere decir que hay una correlación entre los m ism os.
(a)
Figura 2.2 V alo res u n iform em ente d isp erso s y valo res co rrelacio n ad o s.
(b)
Es p o sib le realizar u n a serie d e p ru e b as para co rro b o rar q u e n o existe correlación entre los n ú m e ro s aleato rio s, e in c lu so para g aran tizar q u e n o e xista un se sg o o te n d encia e n tre los díg ito s d e cad a u n o d e ellos. Estas p rueb as se revisarán con m ás d e talle en la sig u ie n te secció n.
2 .4 Pruebas estad ísticas p ara los núm eros pseu d o aleato rio s En la sección 2.2 se presentaron diversos algoritm os para construir un conjunto rf pero ése es sólo el prim er paso, ya que el conjunto resultante debe ser som etido a una serie de pruebas para validar si los núm eros que lo integran son aptos para usarse en un estudio de sim ulación. 34
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se em plean gene ralm ente para determ inar si un conjunto de núm eros pseudoaleatorios entre cero y uno cum plen con las propiedades básicas d e independ encia y uniform idad. El objetivo, en otras palabras, es validar que el conjunto r¡ realm ente está conform ado por núm eros aleatorios. Es im po rtante m en cio nar que las pruebas que se discutirán no son únicas; si desea conocer otras, consulte Banks, Carson, Nelson y Nicol.m
2.4.1
Prueba de m edias U na de las propiedades que deben cu m p lir los núm eros del co n ju n to r¡, es que el valor esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determ inar lo anterior es la llam ada prueba d em ed ia s, en la cu al se plantean las siguientes hipótesis: H ¿ n ,= 0.5 Hy/J-, * 0 .5 La prueba de m edias consiste en determ inar el prom edio de los n núm eros que contiene e l co n ju n to r;, m ed iante la ecuación siguiente:
- 1V f = n• I ^ ¡ m \ r' D espués se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:
1
U r = l ~ Za,2
^ 7 = l + Za,2
\/l 2 n
y -JÜ n j
Si el valo r d e T se encuentra entre los lím ites d e aceptación, concluim os que n o se puede rech azar que el co n ju n to r¡ tie n e un valo r esp erad o d e 0.5 con un n ive l d e aceptación de 1 - a . En caso contrario se rechaza que el conjunto r¡tien e un valo r esperado de 0.5. Para el cálculo de los lím ites d e aceptación se utiliza el estad ístico za/2, e l cual se deter m ina p o r m edio d e la tabla d e la distribución no rm al están d ar (ver apéndice). Ejem plo 2.11 Considere los 4 0 núm eros del co n ju n to r. que se presenta a continuación, y determ ine si tien en un valo r esperado de Vi con un nivel de aceptación de 95 por ciento. 35
n
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
0.0449
0.1733
0 .5 7 4 6
0.049
0.8406
0.8349
0.92
0 .2 5 6 4
0.6015
0 .6 6 9 4
0.3972
0.7025
0.1055
0.1247
0.1977
0 .0 1 2 5
0.63
02531
0.8297
0.6483
0.6972
0.9582
0.9085
0 .8 5 2 4
0.5514
0 .0 3 1 6
0.3587
0.7041
0.5915
0.2523
0.2545
0 .3 0 4 4
0.0207
0.1067
0.3857
0.1746
0.3362
0.1589
0.3727
0 .4 1 4 5
El conjunto r¡ contiene 4 0 núm eros, por lo tanto, n = 4 0 . Un nivel de aceptación de 95% im plica que a = 5% . Enseguida procedem os a calcular el prom edio d e los núm eros y los lím ites d e aceptación: 1
n
1
40
T = -n ^ ¡.\ r> =40^i.i r>
r = — [0.0 4 4 8 7 + 0.17328+ 0.57458 + 0.04901 + ...+ 0.33616 + 0.15885 + 0.37266 + 0.41453 40 r =0.43250
1
1 __
7 1
2
U
T
=
~
U
—
( 1
.9
6
l
]
1
2
n
J
i
2
( 4
z
2
Z
°“
' 2
U
1
2
( 4
0
)
= 0.410538649
) v
0
)
\
1 :
+
1
1
— _
_i_ 7
z
2 2
L S
7
=
^
a
+
(
n
1 .9
V
6
l
2
n
0 -0 5 / 2 W
1
2
( 4
0
)
= 0.589461351
)
V i 2(40) , Com o el valo r del prom edio: 7 = 0.43250 se encuentra entre los lím ites d e aceptación, se co n cluye que no se puede rechazar que el conjunto de 4 0 núm eros r. tien e un va lo r espe rado de 0.5, con un nivel de aceptación de 95 por ciento.
2.4.2 Prueba de varianza Otra de las propiedades que debe satisfacer el co n ju n to r¡t es que sus núm eros tengan una varianza de 1/1 2. La prueba que busca determ inar lo anterior es la prueba d e varianza, que establece las siguientes hipótesis: Ho:° Í = 1 /1 2 H,:o\2 * 1 /1 2 36
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
La prueba d e varianza consiste en determ inar la varianza d e los n núm eros que contiene e l conjunto r,, m ed iante la ecuación siguiente:
l(r - 7 )2 V (r) = ^ — n- 1 D espu és se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:
,r
..
_ X a/2,n- 1 vw ~ 12 (n - 1)
X Q-a)/2,n--\ VM ~ 12 ( n - 1)
Si el valo r d e V(r) se encuentra entre los lím ites d e aceptación, decim os que no se puede re ch a za r q u e el c o n ju n to r¡ tie n e u n a v a ria n z a d e 1/ 12 , co n un n iv e l d e a ce p ta ció n d e 1 - a ; d e lo contrario, se rechaza que el conjunto tien e una varianza de 1/12. Para o btener valores de los facto res Chi-cuadrada vea los anexos del libro. Ejem plo 2.12 Realizar la prueba de varianza a los 4 0 núm eros r{ del ejem p lo 2.11. Considerando que n = 40 y a = 5%, procedem os a calcular la varianza de los números, y los lím ites d e aceptación correspondientes:
V (r)
Í ( r - r ) 2 Z (f¡ - 0 .4 3 2 50)2 /-i _ /-i n -1 4 0 -1
l/(r) = — [(0.04487 - 0.43250)2 + (0.17328 - 0.43250)2+ ...+ (0.37266 - 0.43250)2+ (0.41453 - 0.43250)2] 39 V (r) = 0.08695062 LS = X- “ a-*--\. = XJ ™ ™ . = 58.1200541 = Q 12 41 g8 1 5 1 2 (0 -1 ) 12(39) 468 m
U n ,)
_X = X ^ 3 » = 23;6 5 43003 = 0.05054338 12(n —1) 12(39) 468 Dado que el valo r d e la varianza: V{r) = 0.08 6 9 5 0 6 2 está entre los lím ites d e aceptación, podem os decir que no se puede rechazar que el co n ju n to de 4 0 núm eros r, tien e una varianza de 1/1 2 = 0.08333. 37
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
2.4.3
Pruebas de uniform idad U na de las propiedades m ás im p o rtantes que debe cu m p lir un conjunto d e núm eros r. es la uniform idad. Para co m probar su acatam iento se han desarrollado pruebas estadísticas tales com o las p rueb as Chi-cuadrada y de Kolm ogorov-Sm irnov. En cualquiera de am bos casos, para probar la uniform idad d e los núm eros de un conjunto r es necesario form ular las siguientes hipótesis: H0:r ,~ (/(0,1) H ,: r¡ no son uniform es Veam os a continuación cóm o funciona cada una d e estas pruebas. 2.4.3.1 Prueba Chi-cuadrada La prueba Chi-cuadrada busca determ inar si los núm eros del co n ju n to r.se distribuyen de m anera uniform e en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir e l intervalo (0,1) en m sub-intervalos, en dond e es recom endable m = v n . Luego se clasi fica cada núm ero pseudoaleatorio del conjunto r. en los m intervalos. A la cantidad de núm eros r. que se clasifican en cada intervalo se le denom ina frecuencia observada (O ), y a la cantidad d e núm eros r¡ que se espera encontrar e n cada intervalo se le llam a frecu en cia esperada (E) ; teóricam ente, la E .e s igual n/m . A p artir d e los valores de O. y E se deter m ina el estadístico X 0 m ed iante la ecuación ,2
Xo ~
m ( E , - 0 ,)2 /-i
p
fc/
Si el valo r del estadístico Xo e s m en o r al valo r d e tablas d e X 2a jn - 1 , entonces no se puede rechazar que el conjunto de núm eros r¡ sigue una distribución uniform e. En caso co n tra rio, se rechaza que r¡ sigue una distribución uniform e. Ejem plo 2.13 Realizar la prueba Chi-cuadrada a los siguientes 100 núm eros d e un conjunto r.,c o n un n ivel de confianza de 95 %.
38
0.347
0.832
0.9 6 6
0.4 7 2
0.797
0.101
0 .6 9 6
0.9 6 6
0.4 0 4
0.6 0 3
0.993
0.371
0.729
0.0 6 7
0.189
0.977
0.8 4 3
0.562
0.549
0.9 9 2
0.674
0 .6 2 8
0.055
0 .4 9 4
0.4 9 4
0.235
0 .1 7 8
0.775
0.797
0.2 5 2
0.426
0 .0 5 4
0.022
0.7 4 2
0.6 7 4
0.8 9 8
0.641
0.6 7 4
0.821
0.19
0.46
0 .2 2 4
0.99
0.7 8 6
0.3 9 3
0.461
0.011
0.977
0.2 4 6
0.881
0.189
0 .7 5 3
0.73
0.797
0.2 9 2
0.8 7 6
0.7 0 7
0.562
0.562
0.821
0.112
0.191
0.5 8 4
0.347
0 .4 2 6
0.057
0.819
0.3 0 3
0.4 0 4
0 .6 4
0.37
0 .3 1 4
0.731
0.742
0.2 1 3
0.472
0.641
0 .9 4 4
0.28
0.6 6 3
0.909
0 .7 6 4
0.999
0.303
0 .7 1 8
0.933
0.0 5 6
0.4 1 5
0.819
0 .4 4 4
0.178
0 .5 1 6
0.437
0.393
0 .2 6 8
0.123
0.945
0.5 2 7
0.459
0.6 5 2
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Antes de proceder, es recom endable crear una tabla sim ilar a la tabla 2 . 1, en dond e se resum en los pasos que deben llevarse a cabo en la prueba Chi-cuadrada. Tabla 2.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada.
Intervalo
* ,= m
5
[0.00-0.10)
7
10
0.9
[0.10-020)
9
10
0.1
[0.20-0.30)
8
10
0.4
[0.30-0.40)
9
10
0.1
[0.40-0.50)
14
10
1.6
[0.50-0.60)
7
10
0.9
[0.60-0.70)
11
10
0.1
[0.70-0.80)
14
10
1.6
[0.80-0.90)
9
10
0.1
[0.90-1.00)
12
10
0.4
_ X '( E ¡ ~ 0 ¡ ) 2 El estadístico * 02 = £ /-I E,
_
6.2 es m en o r al estadístico correspondiente de la
Chi-cuadrada xlosg = 16.9. En co nsecuencia, no se puede rechazar que los núm eros r. siguen una distribución uniform e. 2.4.3 .2 Prueba Kolm ogorov-Sm irnov Propuesta por Kolm ogorov y Sm irnov, ésta es una prueba estadística que tam b ién nos sirve para determ inar si un conjunto r¡ cum ple la propiedad de uniform idad. Es recom en dable aplicarla en co njuntos r¡ pequeños, por ejem plo, n < 20. El procedim iento es el siguiente: 1. O rdenar d e m en o r a m ayo r los núm eros del conjunto r 1 <2 r < r3 < ...< rn 2. D eterm inar los valores de: D*, D~ y D con las siguientes ecuaciones: m áx D +=
'- r ,
n
D~ = maX \ n - 1 < /< n n D = m á x (D +,D “ )
39
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
3. D eterm inar el valor crítico Da,nn d e acuerdo con la tab la de valores crítico s de Kolm ogorov-Sm im ov para un grado d e confianza a , y según el tam año de la m uestra n. 4 . Si el valor D es m ayo r que el valo r crítico Dafll se concluye que los núm eros del conjunto r. no siguen una distribución uniform e; d e lo contrario se dice que no se ha detectado diferencia significativa entre la distribución de los núm eros del conjunto r .y la distribución uniform e. E je m p lo 2 .1 4
Realizar la prueba Kolgom orov-Sm irnov, con un nivel de confianza de 90% , al siguiente conjunto r¡ d e 10 núm eros: r = {0.97,0.11,0.65,0.26,0.98,0.03,0.13,0.89,0.21,0.69} El nivel de confianza de 90% im plica a = 10% . Si se ordenan los núm eros r¡ de m en o r a mayor, la secuencia es:
0.03
0.11
0.13
0.21
0.26
0.65
0.69
0.89
0.97
0 .9 8
Para determ inar los valores d e D*, D~ y D es recom endable realizar una tabla com o la siguiente.
Tabla 2.2 Cálculos de la prueba Kolmogorov-Smimov. ■
’
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i n
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
r.
0.03
0.11
0.13
021
0.26
0.65
0.69
0.89
0.97
0.98
/-1 n
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
i
0.07
0.09
0.17
0.19
0.24
-0.05
0.01
-0.09
-0.07
0.02
0.03
0.01
-0.07
-0.09
-0.14
0.15
0.09
0.19
0.17
0.08
D
0.19
D
024
r ' /-I
40
n
10
D*
0.24
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
De acuerdo con la tabla d e valores para la prueba Kolm ogorov-Sm irnov, el valor crí tico D01010 correspondiente a n = 10 es D01010 = 0.368, que resulta m ayo r al valo r D = 0.24; por lo tanto , se concluye que los núm eros del conjunto r¡ se distribuyen uniform em ente.
2 .4 .4
Pruebas de independencia Recuerde que las dos propiedades m ás im p o rtantes que deben satisfacer los núm eros de un conjunto r, son uniform idad e independencia. En la sección anterior com entam os las pruebas que buscan determ inar si los núm eros del conjunto r¡ son uniform es. A co ntinua ción hablarem os d e las pruebas estadísticas que tratan d e corroborar si los núm eros en el intervalo (0 , 1 ) son independientes o, en otras palabras, si parecen pseudoaleatorios. Para probar la independ encia d e los núm eros d e un conjunto r, prim ero es preciso fo rm ular las siguientes hipótesis: H0: los núm eros del conjunto r, son independientes H y los núm eros del conjunto r¡ no son independientes 2.4.4.1 Prueb a de corrid as arriba y abajo E l procedim iento d e esta prueba consiste en determ inar una secuencia de núm eros (S) que sólo co n tien e unos y ceros, d e acuerdo con una com paración entre r. y r. Después se determ ina e l núm ero de corridas observadas, C0 (una corrida se identifica com o la cantidad de unos o ceros consecutivos). Luego se calcula el valo r esperado, la varianza del núm ero d e corridas y el estadístico Z^ m ediante las ecuaciones: 2n-1 ^ c0
3 1 6 n - 29
°e =
90 Co “ Mq
Si el estadístico Z 0 es m ayo r que el valor crítico de Zo/2, se concluye que los núm eros del conjunto #} no son independientes. De lo contrario no se puede rechazar que el conjunto de r. sea independiente. Considere el siguiente conjunto r. de 21 números: r, = {0.89,0.26,0.01,0.98,0.13,0.12,0.69,0.11,0.05,0.65, ¿21,0.04,0.03,0.11,0.07,0.97,0.27,0.12,0.95,0.02,0.06} La secuencia d e unos y ceros se co nstruye de esta m anera: se coloca un cero si el núm ero r. es m e n o r q u e o ig u al al n ú m e ro r. a n te rio r; en caso d e se r m ayo r que el n ú m e ro r¡ 41
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
anterior, se pone un uno. Si se considera la secuencia d e los 21 núm eros del conjunto r¡ que se dio antes, la secuencia de unos y ceros es: S = {0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,1 ,0,0,1,0,1} O bserve que la secuencia S contiene n - 1 núm eros, en este caso 20. Esto se debe a que el prim er núm ero r. = 0.89 n o tien e núm ero anterior con el cual compararlo. Recuerde que una corrida se form a con unos consecutivos o ceros consecutivos. Por ejem plo los prim e ros dos ceros de la secuencia form an la prim er corrida, que se dice que tiene una longitud de dos; el tercer núm ero d e la secuencia, uno, form a la segunda corrida con longitud de uno ; después siguen d o s ceros, los cuales form an la tercera corrida con longitud d e dos; después sigue un uno, q u e form a la cuarta corrida con longitud de uno, etcétera. M ediante el proceso anterior se determ ina r.q u e el núm ero d e corridas de la secuencia es CQ= 14. Ejem plo 2.15 Realizar la prueba de co rridas arriba y ab ajo con un nivel d e aceptación d e 95% al siguien te conjunto d e 4 0 núm eros r¡.
0.3 4
0.8 3
0.96
0.47
0.79
0.99
0.37
0.72
0 .0 6
0 .1 8
0.67
0.6 2
0.05
0.49
0.59
0.42
0.05
0.02
0 .7 4
0.67
0.4 6
0.2 2
0.99
0 .7 8
0.39
0 .1 8
0.75
0.73
0.79
0.29
0.11
0.1 9
0.58
0 .3 4
0.42
0.37
0.31
0.73
0 .7 4
0.21
Realizarem os la asignación d e unos y ceros por renglón (o fila). Por lo tanto, la secuencia 5 es:
S = { 1 ,1 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1 A 1 #1,0 ,0 ,1 ,1 A 0 ,0 ,1 ,0 , 0 , 0 , 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 } obteniéndose un va lo r d e CQ= 2 4 y a = 5%. A continuación se presentan los cálculos correspondientes al valor esperado y a la varianza del núm ero de corridas:
_ = 2 ! M = íM z ! = 2 6 .3 3 3 3 3 = 1 6 n -2 9 = 1 6 ^ 4 0 )- » = 6 7 ¡¡8
Co ~ ^ c0 ¿o =
2 4 -2 6 .3 3 3
= 0.8954
V6.788
C o m o el e s ta d ís tic o Z 0 es m e n o r que el v a lo r d e tab la d e la n o rm a l e s tá n d a r para Z al2 = Z5%/2 = 1.96, se co ncluye que n o se puede rechazar que los núm eros del conjunto r¡ son independientes. Es decir, d e acuerdo con esta prueba, los núm eros son aptos para usarse en sim ulación. 42
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
2.4.4 .2 Prueba de corrid as arriba y abajo de la m edia El procedim iento de esta prueba consiste en determ inar una secuencia de unos y ceros, de acuerdo con una com paración entre los núm eros del conjunto r¡ y 0.5. Después se determ i na el núm ero de corridas observadas, C& y los valores de n0y n}. CQes el núm ero de corridas en la secuen cia, el cual está d e term in ad o d e la m ism a m anera que en la prueba de corridas arriba y abajo; nQes igual a la cantidad de ceros en la secuencia, y n } es igual a la cantidad de unos en la secuencia, y se cum ple que n0+ n }= n. (Recuerde que una corrida se identifica com o la cantidad de unos o ceros consecutivos). Luego se calcula el valor espera do, la varianza del núm ero de corridas, y el estadístico ZQcon las siguientes ecuaciones: 2 n„n , 0 1
n 2
_ 2n0n ,(2 n 0n ,- n )
c° 7
0 ”
1
+
n2( n - 1) C° ~ ^ °-c0
Si el estadístico Z 0 está fuera del intervalo: - Z o
Zq
Z ol se concluye que los núm eros
2
2
del co n ju n to r. no son independientes. De lo contrario no se puede rechazar que el co n ju n to de r. es independiente. Considere la siguiente secuencia d e 10 núm eros d e un conjunto r¡. r = {0.67,0.62,0.05,0.49,0.59,0.42,0.05,0.02,0.74,0.67} La secuencia de unos y ceros se construye de la siguiente m anera: se asigna un uno si el núm ero r,e s m a yo r que o igual a 0.5. En caso contrario se asignará un cero. Al seguir esta regla, la secuencia d e unos y ceros es: S = { 1, 1, 0 , 0 , 1, 0 , 0 , 0 , 1, 1 } E l núm ero de corridas se determ ina de la m ism a m anera que en la prueba d e corridas a rrib a y ab ajo . En este caso se tie n e q u e el n ú m e ro d e co rrid a s d e la se cu e n cia S es CQ = 5. Por otra parte, la secuencia tien e 5 ceros y 5 unos, así que nQ= 5 y n } = 5. Ejem plo 2.16 Realizar la prueba de corridas arriba y abajo, con un nivel d e aceptación de 95% , al sig uiente conjunto de 50 núm eros r¡: 0.809
0.042
0.432
0 .5 3 8
0.225
0 .8 8
0.6 8 8
0.7 7 2
0.0 3 6
0 .8 5 4
0.397
0 .2 6 8
0.821
0.8 9 7
0.07
0.721
0.087
0.35
0.779
0.4 8 2
0 .1 3 6
0.855
0.4 5 3
0.197
0.4 4 4
0.7 9 9
0.809
0.691
0.545
0.8 5 7
0.692
0.055
0.3 4 8
0.3 7 3
0.4 3 6
0.29
0.015
0 .8 3 4
0.599
0 .7 2 4
0 .5 6 4
0.709
0.9 4 6
0 .7 5 4
0.677
0 .1 2 8
0.012
0.4 9 8
0 .6
0.9 1 3
43
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Construirem os la secuencia de unos y ceros por renglón quedando de la siguiente m anera:
S= {1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1, 1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0 , 0 , 0 , 1, 1 }
A p artir de la secuencia anterior se determ ina que hay 21 corridas, 23 ceros y 27 unos. Por lo tanto, C0 = 2 1 , n0= 2 3 y n ,= 27. A continuación se presentan los cálculo s del valo r espe rado y d e la varianza del núm ero d e corridas:
= 2M
l + , = 2 ( 23X 2 7 ) + , = 2 5 3 4
n
2
50
2
= 2n 0n l (2n 0n l - n ) = 2 (2 3 )(2 7 )[2 (2 3 )(2 7 )- 5 0 ] = ^
n 2( n - l )
=
2 1 -2 5 .3 4 = 0^
(5 0 )2( 5 0 - l )
l2 - B 4
V i 2.08542
Com o el valo r de Z 0 cae dentro del intervalo -1 .9 6 < Z 0 = -1 .2 4 8 4 < 1.96, se dice que no se puede rechazar que los núm eros del conjunto r. son independientes con un nivel de confianza de 95 % . D e acuerdo con esta prueba, el conjunto d e núm eros r. se puede usar en un estudio de sim ulación. 2.4.4.3 Prueba poker Esta prueba consiste en visualizar el núm ero r .c on cinco decim ales (com o si fuera una m ano del ju e g o d e poker, con 5 cartas), y clasificarlo com o: todos diferentes (TD ), exacta m ente un p ar (1P), dos pares (2P), una tercia (T ), una tercia y un p ar (TP), poker (P) y q u in tilla (Q). Por ejem p lo , si r, = 0.69651 se le cla sifica co m o par, porque hay dos n ú m e ros 6 . Ahora bien, considerem os el caso d e r, = 0.13031, el cual deb e clasificarse com o dos pares (dos núm eros 1 y dos núm eros 3). Finalm ente, r. = 0.98898 debe clasificarse com o una tercia y un par, porque hay tre s núm eros 8 y dos núm eros 9. La prueba p o ker se p u e d e realizar a núm eros r, con tres, cuatro y cin co decim ales. Para r, con tres decim ales sólo hay tres categorías de clasificación: todos diferentes (TD ), un p ar (1P) y una tercia (T). Cuando se consideran r.co n cuatro decim ales se cuenta con cinco opciones para clasificar los núm eros: todos diferentes (TD), exactam en te un p ar (1P), dos pares (2P), una tercia (T) y poker (P). Las tablas 2.3 a 2.5 presentan la probabilidad esperada para cada una d e las categorías de clasificación de esta prueba para conjuntos r ,q u e contienen n núm eros con 3 ,4 y 5 decim ales.
44
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Tabla 2.3 Prueba poker para números con 3 decimales. Categoría
Probabilidad
Todos diferentes (TD)
0.72
0.72n
Exactamente un par ( 1P)
0.27
027n
Tercia (T)
0.01
0.01 n
Tabla 2.4 Prueba poker para números con 4 decimales. Categoría
Probabilidad
E,
Todos diferentes (TD)
0.5040
0.5040n
Exactamente 1 par(1P)
0.4320
0.4320n
2 pares (2 P)
0.0270
0.02 70n
Tercia (T)
0.0360
0.0360n
Poker (P)
0.0010
0 .0 0 10n
Tabla 2.5 Prueba poker para números con 5 decimales. Categoría
Probabilidad
*,•
Todos diferentes (TD)
0.3024
0.3024D
Exactamente 1 par (1P)
0.5040
0.5040n
2 pares (2 P)
0.1080
0.1080n
1 tercia y 1 par (TP)
0.0090
0.0090n
Tercia (T)
0.0720
0.0720n
Poker (P)
0.0045
0.0045n
Quintilla (Q)
0.0001
0.0001 n
La prueba poker requiere el estadístico d e la distribución Chi-cuadrada x \ 6 para núm eros con 5 decim ales, X a4 para núm eros con 4 decim ales, y X ^ P ara núm eros con 3 decim ales. X a 6 tien e 6 grados de libertad, debido a que los núm eros se clasifican en 7 categorías o clases: todos diferentes, exactam en te un par, dos pares, una tercia y un par, una tercia, poker y quintilla. El procedim iento de la prueba consiste en: a) D eterm inar la categoría d e cada núm ero del conjunto rr b ) Contabilizar los núm eros r¡d e la m ism a categoría o clase para obtener la frecu en cia observada (O,).
45
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
c)
Calcular el estadístico d e la prueba x l con *a ecuación
(E. - O , )2
2 Xo -
/-1
'
t;
donde E ¡e s la frecuencia esperada d e núm eros r. en cada categoría, y m represen ta la cantidad de categorías o clases en las que se clasificaron los núm eros r¡, siendo m = 7, m = 5, y m = 3 los núm eros d e categorías para la prueba poker con 5 ,4 y 3 decim ales, respectivam ente. Por últim o: d) com parar el estadístico de x l con x\m -v Si Xo es m en o r que x \m -v se ^'ce ^ue no x P u e de rechazar la independencia d e los núm eros del conjunto r,. En caso contrario la independencia de los núm eros del conjunto r. se rechaza. Ejem plo 2.17 Realice la prueba poker, co n un nivel de aceptación de 95% , a los siguientes 30 núm eros entre cero y uno, con 5 decim ales.
0.06141
0 .7 2 4 8 4
0.94107
0.56766
0.14411
0.87648
Q 81792
0.48999
0.18590
0.06060
0.11223
0 .6 4 7 9 4
Q 52953
0.50502
0.30444
0.70688
0.25357
0.31555
0.04127
0.67347
0.28103
0.99367
0 .4 4 5 9 8
0.73997
0.27813
0.62182
0.82578
0.85923
0.51483
0.09099
Prim ero hay que clasificar cada núm ero del conjunto r¡, asignándole las claves que se m encionaron antes. El resultado es el que se m uestra en la tabla 2.6:
Tabla 2 . 6 C la s if ic a c ió n d e lo s n ú m e r o s d e u n c o n ju n t o r¿, d e a c u e r d o c o n la p r u e b a p o k e r. 0.06141
1P
0.7 2 4 8 4
1P
0.94107
TD
0 .5 6 7 6 6
T
0.14411
TP
0 .8 7 6 4 8
1P
0.81792
TD
0.48999
T
0.18590
TD
0.06060
TP
0.11223
2P
0 .6 4 7 9 4
1P
0.52953
1P
0.50502
2P
0.30444
T
0 .7 0 6 8 8
1P
0.25357
1P
0.31555
T
0.04127
TD
0.67347
1P
0.28103
TD
0.99367
1P
0.44598
1P
0.73997
2P
0.27813
TD
0.62182
1P
0.82578
1P
0.85923
TD
0.51483
TD
0.09099
TP
Para seguir con la prueba se recom ienda hacer una tabla co m o la siguiente:
46
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Tabla 2.7 Cálculos de la prueba poker. V - O 'f Categorías
o,
5
5
Todos diferentes (TD)
8
(0.3024)(30) = 9.072
0.12667
Exactamente 1 par (1P)
12
(0.5040)(30) = 15.12
0.64380
2 pares (2 P)
3
(0.1080)(30) = 3.24
0.01777
1 tercia y 1 Par (TP)
3
(0.0090)(30) = 0.27
27.6033
Tercia (T)
4
(0.0720)(30) = 2.16
1.56740
Poker (P)
0
(0.0045)(30) = 0.135
0.135
Quintilla (Q)
0
(0.0001)(30) = 0.003
0.003
El estadístico x \ -
{E. —O ) — = 30.0969 es m ayor que el estadístico correspondiente /-i £/
d e la Chi-cuadrada: ^ 05 6 = 12.59. En consecuencia, se rechaza que los núm eros del co n ju n to r, son independientes.
2 .4 .4 .4 Prueba de series Esta prueba consiste en com parar los núm eros con el propósito d e corroborar la ind ep en dencia entre núm eros consecutivos. Las hipótesis básicas son: Ho : T¡ ~ Independientes H. : r¡ ~ D ependientes La prueba funciona de esta m anera: se inicia al crear una gráfica de dispersión entre los núm eros consecutivos (r, r^ ); luego se divide la gráfica en m casillas, com o se m uestra en la figura 2.3, con m com o el valo r entero m ás cercano a v'n que perm ita form ar de prefe rencia, aunque no necesariam ente, una m atriz cuadrada.
v, 0 .6 0
0.00
'
0 .2 0
-
0 .4 0
*V /
0 .6 0
0 .8 0
1.00
Fig u ra 2.3 G rá fica d e d isp ersió n : p rim er paso d e la p ru eb a d e series.
47
X
Capítulo 2 Números pseudoaleatorios
Enseguida se determina la frecuencia observada 0 f al contabilizar el núm ero de puntos en cada casilla y su correspondiente frecuencia esperada E¡, de acuerdo con E¡ = (n - 1 )/m, donde n - 1 es el núm ero total d e pares ordenados o puntos en la gráfica. Se procede m ( F —Q ) 2
entonces a calcular el error o estadístico de prueba %2 = ^ L 2 /-i E¡
finalm ente, si el
valor del error es m enor que o igual al estadístico de tablas Xa,m-i, no podem os rechazar la hipótesis d e independ encia entre núm eros consecutivos. Ejem plo 2.18 Realice la prueba de series a los siguientes 30 números, con un nivel de confianza de 95 %.
0.872
0.950
0.343
0.0 5 8
0.3 8 4
0.219
0.041
0.0 3 6
0.213
0.9 4 6
0.570
0.842
0.7 0 6
0.809
0.300
0.6 1 8
0.512
0.462
0.005
0.203
0.291
0.151
0.5 9 6
0.443
0.8 6 8
0.913
0.511
0.5 8 6
0.6 0 8
0.879
Para em pezar, generam os la gráfica d e dispersión (vea la figura 2.4) co n la secuencia de los 29 pares ordenados (x ,y ) = (r¡, r/+1) siguientes: ( r „ r 2) = (0.872,0.219) (r2, r 3) = (0.219,0.570) (r3, r 4) = (0.570,0.618) (r4, r 5) = (0.618,0.291) (r5, r 6) = (0.291,0.913) (r6, r 7) = (0.913,0.950) (r2a, r „ ) = (0.203,0.868) (r29, rx ) = (0.868,0.879)
♦
♦ ♦ .
♦ .
♦
0666
♦♦
♦
+
♦♦
♦
v .
♦
♦
I I ^
•
0 U.JJJ
+
♦
♦
♦ ♦
♦
♦
♦
♦ ♦
♦
*
0.000
0.000
48
0.333
0.666
0.9 9 9
Fig u ra 2.4
Gráfica de dispersión del ejemplo 2. 18.
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
En la tabla 2.8 se presenta el resto del procedim iento: se contabiliza el núm ero de punto s en cada casilla O , y se calcula la frecuencia esperada E. de acuerdo con E¡ = 29/9; en la últim a colum na se presenta el cálculo del estadístico d e prueba 2 _ f l E ,- O l )2 A ( 3 .2 2 - 0 ,)2 Xo r 2Li /-I £/ /-I
Tabla 2.8 Cálculos de la prueba de series.
1
f l- 1
29
m
9
/-i
Intervalo
O,
1
3
3.22
0.015
2
3
3.22
0.015
3
5
3.22
0.984
4
3
3.22
0.015
5
6
3.22
2.400
6
1
3.22
1530
7
5
322
0.984
8
1
3.22
1.530
9
2
322
0.462
Total
29
29
7.935
c/
El v a lo r d e tablas xlosa = 15.507 es m ayo r que el error total de 7.935, por lo cual no podem os rechazar la hipótesis d e independencia. 2 .4 .4 .5 P ru e b a d e h u e c o s
Esta prueba consiste en com parar los núm eros con el propósito d e verificar el tam año del "hueco" que existe entre ocurrencias sucesivas d e un núm ero. Las hipótesis fu n d am en ta les son: Hq : r¡ ~ Independientes H. : r.~ D ependientes La prueba se inicia al d e fin ir un intervalo de prueba ( a , p ), donde ( a , /3) e (0 ,1 ), posterior m ente se construye una secuencia d e unos y ceros d e esta m anera: se asigna un uno si el r. pertenece al in tervalo ( a , p ), y un 0 si no p erte n ece a dicho intervalo. Por ejem plo, si se define un intervalo (or, p ) = (0.6, 0.7) y se tien e la m uestra de 10 núm eros r¡ = {0.67,0.62,0.05,0.49,0.59,0.42,0.64,0.06,0.74,0.67}, 49
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
se asignará un uno si el r. está entre 0.6 y 0.7; en caso contrario se asignará un cero. Si se sig ue la regla anterior, la secuencia binaria es:
S = { l , 1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 }
El ta m a ñ o d e h u e c o / se d e fin e co m o el n ú m e ro d e ce ro s e x is te n te s e n tre u n o s co nsecutivos. En el caso d e la secuencia d e n u e stro ejem p lo ten e m o s h = 3 hueco s, el p rim e ro d e ta m a ñ o 0, el se g u n d o d e ta m a ñ o 4 , y el te rce ro d e ta m a ñ o 2 d e a c u e r do co n:
S = 11, 0 , 0 , 0 , 0 , 1^ 0,1 4
2
A p artir del conjunto anterio r se determ ina la frecuencia observada O., al co ntabilizar el núm ero d e ocurrencias de cada tam año d e hueco y su correspondiente frecuencia espe rada E , d e acuerdo co n E ,= (ñ)(/3 - a )( 1—(/3 - a)Y, donde h es el núm ero to tal d e huecos en la m uestra. La fre cu e n cia del ú ltim o in te rv a lo se p u e d e ca lcu la r m ed ian te la d ife ren cia e n tre el total y la sum a de las frecuencias esperadas de los intervalos anteriores. En la tabla 2.9 se m uestra un resum en de estos cálculos.
Tabla 2.9 Frecuencias observadas y esperadas en la prueba de huecos.
/
Oi
E ,= [ h ) { p - a ) ^ - { p - a ) y E¡= (3)(0.7 —0.6)(1—(0.7 —0.6)'
0
1
0X0.1 )(0.9)°
0.3
1
0
(3X0.1 X0.9)>
0.27
2
1
(3X0.1 X0.9)2
0243
3
0
3X0.1 X0.9)3
02187
4
1
(3X0.1 X0.9)4
0.1968
>5
0
(3X0.1 X0.9)5
1.7715
Total
h= 3
h=3
h=3
Tamaño del hueco
2
Se procede entonces a calcular el error o estadístico de prueba Xo = 2 j /-i
ñ H
/ P or
últim o, si este valor es m enor que o igual al estadístico de tablas x l^ - v no podem os rechazar la hipótesis d e la independ encia entre los números.
50
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Ejem plo 2.19 Realizar la prueba de huecos a los siguientes 30 núm eros, con un nivel de confianza de 95% para e l intervalo (a - /3) = (0 .8 ,1 .0 ).
0.872
0.950
0.343
0.058
0.3 8 4
0.219
0.041
0.0 3 6
0.213
0.9 4 6
0.570
0.842
0.7 0 6
0.809
0.300
0.6 1 8
0.512
0.462
0.005
0.203
0.291
0.151
0.5 9 6
0.443
0.8 6 8
0.913
0.511
0.5 8 6
0.6 0 8
0.879
Tom ando los núm eros por renglón (o fila) y tenien d o en cuenta el intervalo (0.8,1.0), la secuencia de unos y ceros es: s={11,0,0,0,0,0,0,0, \ 0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1} Si calculam os los huecos d e la m uestra, tenem os:
S = 1,1,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1,1,0,0,0,1
r°
7
1 I
10
~0
3
E l núm ero d e ocurrencias de cada tam año d e hueco 0¡, su correspondiente frecuencia esperada £; y el cálculo del estadístico d e prueba se m uestran en la tabla 2.10. Tabla 2.10 Ejemplo de la prueba de huecos.
[E> 9> J
O,
E '-m p -a H I-W -a f í £, = (7)(0.2) (0.8)'
0
2
1.4
02571
1
2
1.12
0.6914
2
0
0.896
0.896
3
1
0.7168
0.1119
4
0
0.5734
05734
>5
2
7(0.8)5=2.2938
0.0376
Total
h=7
h=7
2.5675
Tamaño d e l hueco f i
f,
6 (E —O.) — = 2.5675 es m enor que el estadístico /-i E¡ d e tablas Xa/n-i= X ods¿ = 1 1 0 7 , no podem os rechazar la hipótesis d e independencia entre los núm eros. Ya que el estadístico de prueba x l -
51
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
2 .5 Problem as 1. D eterm ine el ciclo o periodo d e vida d e los siguientes generadores congruenciales. a) x /+1 = (21x; + 1 5 ) m od (31)con x0 = 21 b) x /+1 = (13 x + 9) m od (128)con x0 = 7 c) xM = (17 x) m od (31) con d) x /+1 = (121 + x ) m od (256)con e) x /+1 = (21 x. + 15 x m ) m od (64)
x0 = 23 xQ= 17 con x0 = 21
y
x. = 43
2. D eterm ine el ciclo o perio do d e vida d e los siguientes generadores congruenciales. a) XM = (13 7 * X + 47) m od 17 b) c) d) e) f)
X^, = (191*X^.+ 17) m od 23 X/f1 = (2 3 7 *X + 71) m od 37 XM = (1 17*X¡ + 31) mod 19 X *, = (157*X^. + 47 ) m od 37 XM = (3 2 1 *X + 11) m od 27
3. Program e en una hoja de cálculo la serie co ngruencial x /+1= (553 + 121x.) m od (177) con x0 = 23, y haga lo que se indica. a) D eterm ine el ciclo o periodo de vida. b) Realice las pruebas de m edia, varianza y uniform idad. 4. Realice las pruebas de uniform idad, series y corridas a los prim eros 100 aleatorios de los siguientes generadores а )X íf l= (1 1 1 7 #X;. + 3057) m od 1679567; semilla 1457 б) X^, = (2 1 77*X. + 2367) m od 1351867; semilla 1117 5. Para cada uno de los generadores del problem a anterior to m e ahora los datos de 101 al 200 y realice las pruebas de m edia, varianza y poker. 6. Program e en una hoja de cálculo la generación autom ática d e núm eros pseudoalea torios co n el m étodo d e cuad rado s m edios. Genere una m uestra de 50 núm eros con la sem illa 5735, y determ ine con un nivel d e aceptación de 90 % si son uniform es entre 0 y 1. 7. Realice las pruebas de m edia, varianza y uniform idad a los 50 núm eros de la tabla siguiente, con un nivel de aceptación de 95 %.
52
0.8797
0.3884
0.6289
0.8750
0.5999
0.8589
0 .9 9 9 6
0.2415
0.3808
0 .9 6 0 6
0.9848
0.3469
0.7977
0.5844
0.8147
0.6431
0.7387
0.5613
0.0318
0.7401
Q4557
0.1592
0 .8 5 3 6
0.8846
0.3410
0.1492
0.8681
0.5291
0.3188
0 .5 9 9 2
0.9170
0.2204
0.5991
0.5461
0.5739
0 .3 2 5 4
0.0856
0 .2 2 5 8
0.4603
0 .5 0 2 7
0.8376
0.6235
0.3681
0.2088
0.1525
0 .2 0 0 6
0.4720
0.4272
0.6360
0 .0 9 5 4
2.5 Problem as |
8. G enere la secuencia de aleatorios del generador congruencial x /+1= (71 x ) m od (357) con x0 = 167 y efectúe lo que se indica: a) Realice la prueba de corridas arriba y abajo. b) Realice la prueba de corridas arriba y ab ajo d e la m edia. 9. O btenga una secu e n cia de aleatorios d e tam añ o n = 200 con el g en erad o r co n gru encial M INSTD.161 xj } = (16807x;) m od (2147483647) con x 0 = 1 y e fe ctú e lo que se in d ica: a) Realice la prueba de m edia, varianza y uniform idad. b) Realice la prueba de corridas arriba y abajo. c) Realice la prueba d e co rridas arriba y ab ajo de la m edia. d) Realice la prueba de poker y series. é) Realice la prueba de huecos. 10. Obtenga una secuencia de aleatorios con el generador congruencial Super- D uper.171 x/+1= (69069x) m od (4294967296) con x0 = 1 y efectúe lo que se indica: a) Realice la prueba de m edia, varianza y uniform idad. b) Realice la prueba de corridas arriba y abajo. c) Realice la prueba de corridas arriba y ab ajo de la m edia. d) Realice la prueba de poker y series. e) Realice la prueba de huecos. 11. D eterm ine si la siguiente lista de 100 núm eros de 2 dígitos tien e una distribución uniform e con un nivel de aceptación de 90 %.
0.7 8
0.9 8
0.24
0.73
0.43
0 .1 6
0 .7 8
0.47
0 .1 8
0.55
0.0 4
0.29
0.68
0.77
0.16
0.03
0.79
0.22
0.37
0.80
0.9 6
0.2 6
0.91
0.55
0.75
0.55
0 .6 4
0.39
0.53
0.45
0.61
0.1 4
0.38
0.12
0.40
0.74
0 .7 8
0 .9 8
0.27
0.60
0.43
0.67
0.62
0.32
0.53
0.54
0 .2 4
0.29
0 .1 8
0 .0 8
0.82
0.9 4
0.19
0.98
0.41
1.00
0 .7 4
0.92
0 .1 4
0.43
0.83
0.8 8
0.18
0.21
0.50
0.13
0.43
0.69
0 .0 8
0.12
0.22
0.50
0.16
0.11
0.18
0.89
0.80
0.42
0.29
0.87
0.83
0.79
0.65
0.28
0.78
0.49
0.36
0 .8 6
0.87
0 .6 4
0.51
0.07
0.18
0.94
0.50
0.22
0.66
0.91
0 .4 8
0 .2 4
12. U tilice la prueba de poker con nivel de aceptación de 95 % para com probar la h ip ó tesis de que los núm eros de la sig uiente lista son aleatorios.
53
r~ | C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
0.5632
0.2395
0.5583
0.8050
0 .4 1 6 6
0 .5 4 5 4
0.5491
0.5593
0.7725
0 .2 3 2 6
0.1020
0 .4 7 0 8
0.5690
0.3802
0 .8 2 2 4
0 .6 8 6 6
0 .7 0 9 8
0.9352
0 .1 3 8 8
0.4535
0.0945
0.1357
0.9191
0.1503
0 .1 6 4 5
0.9770
0.1301
0.1100
0.2523
0.4439
0.9499
0.9415
0.7413
0.9335
0 .0 8 0 5
0.8295
0.4575
0.1863
0 .5 5 0 4
0 .8 9 2 6
0.9035
0.1133
0.1115
0.8761
0 .0 0 0 7
0.6222
0.4605
0 .0 6 8 8
0 .9 1 6 4
0.3482
0.9419
0.3802
0.8765
0.5340
0.6593
0 .8 2 6 6
0.5932
0.4277
0.9162
0.7300
0.0927
0.4691
0 .5 7 3 6
0.5615
0.1909
0 .2 1 4 3
0.2672
0 .7 8 6 4
0 .3 2 1 8
0.4765
0.5581
0 .0 8 8 8
0.3969
0.0151
0.8605
0 .9 6 1 5
0.7752
0.0461
0.1122
0.7559
0.4251
0.7327
0.8791
0.4445
0 .8 8 6 4
0 .6 3 8 4
0.6607
0.2892
0.8905
0 .5 1 2 6
0.7184
0.0512
0.5982
0.3277
0.0407
0 .2 6 6 8
0.5557
0.8139
0.3261
0 .7 9 4 9
0.2236
0.1455
0.5083
0 .6 1 0 6
0.7605
0 .9 7 8 8
0 .0 2 0 4
0 .6 0 0 6
0.1452
0 .1 2 3 4
13. D eterm ine, m ediante las pruebas d e independ encia (corridas arriba y abajo, corridas arriba y debajo de la m edia, de poker, d e series o de huecos) si los 100 núm eros d e la tabla son pseudoaleatorios con un nivel d e aceptación de 90 %.
0.7 8
0.9 8
0.24
0.73
0.43
0 .1 6
0 .7 8
0.47
0 .1 8
0.55
0.0 4
0.29
0.68
0.77
0.16
0.03
0.79
0.22
0.37
0.80
0.9 6
0.2 6
0.91
0.55
0.75
0.55
0 .6 4
0.39
0.53
0.45
0.61
0.1 4
0.38
0.12
0.40
0.74
0 .7 8
0 .9 8
0.27
0.60
0.43
0.67
0.62
0.32
0.53
0.54
0 .2 4
0.29
0 .1 8
0 .0 8
0.82
0.9 4
0.19
0.98
0.41
1.00
0 .7 4
0.92
0 .1 4
0.43
0.83
0.8 8
0.18
0.21
0.50
0.13
0.43
0.69
0 .0 8
0.12
0.22
0.50
0.16
0.11
0.18
0.89
0.80
0.42
0.29
0.87
0.83
0.79
0.65
0.28
0.78
0.49
0.36
0 .8 6
0.87
0 .6 4
0.51
0.07
0.18
0.94
0.50
0.22
0.66
0.91
0 .4 8
0 .2 4
14. Abra el directorio telefó nico en la prim era página de la letra D y seleccione los últi mos 5 dígitos de los prim eros 50 núm eros telefónicos. D eterm ine si esta selección es aleatoria con un nivel d e aceptación de 95 % ; utilice para ello las pruebas de corridas arriba y abajo, arriba y ab ajo de la m edia, y poker. 15. O bserve y anote los 4 dígitos de las placas de 100 autom óviles que pasen por alguna calle. D eterm ine si esta selección es aleatoria co n un nivel d e aceptación de 95% ; utilice para ello las p rueb as d e corridas arriba y abajo, arriba y ab ajo d e la m edia, y la prueba de series.
54
2.5 Problem as |
16. D eterm in e con la p r u e b a d e corridas arriba y a b a jo si los 50 n ú m e ro s d e la ta b la son in d e p e n d ie n te s con un nivel d e a c e p ta c ió n d e 90 %. Q6069
0.5316
0.5929
0.4131
0.2991
0 .6 8 4 8
0.8291
0.1233
0.2497
0.9481
0.4411
0.8195
0.3521
0 .8 0 6 8
0.1062
0 .5 3 8 4
0.9287
0.7954
0.7271
0 .5 7 3 9
0.4029
0.2549
0.1003
0.5523
0.1897
0.8725
0.4439
0.6056
0.8310
0 .4 7 0 9
0.1926
0.0266
0 .5 6 9 6
0 .7 5 0 4
0.8542
0.6045
02269
0.7970
0 .3 7 3 8
0 .1 2 8 4
Q 6367
0.9543
0.5385
02574
0.2396
0 .3 4 6 8
0.4105
0.5143
0 .2 0 1 4
0 .9 9 0 0
17. D eterm ine, con la prueba d e corridas arriba y ab ajo de la m edia, si los 50 núm eros de la ta b la son independ ientes con un nivel de aceptación de 90 %.
Q6351
0.0272
0.0227
0.3827
0.0659
0.3683
0.2270
0.7323
0 .4 0 8 8
0 .2 1 3 9
Q4271
0.4855
0 .2 0 2 8
0 .1 6 1 8
0.5336
0 .7 3 7 8
0.3670
0.6637
0 .1 8 6 4
0 .6 7 3 4
Q 9498
0.9323
0.0265
0 .4 6 9 6
0.7730
0.9670
0.7500
0.5259
0.5269
0 .5 4 0 6
Q3641
0.0356
0.2181
0 .0 8 6 6
0.6085
0 .4 4 6 8
0.0539
0.9311
0 .3 1 2 8
0 .1 5 6 2
Q8559
0.7280
0.7789
0 .1 7 4 6
0.6637
0.0687
0 .5 4 9 4
0.1504
0.8397
0 .2 9 9 5
18. U tilice la prueba d e series para determ inar si los 50 núm eros d e la tabla son ind ep en dientes con un nivel de aceptación de 90 % .
0.5858
0.8863
0 .8 3 7 8
0.3203
0.4115
0.2710
0 .9 2 3 8
0.1959
0 .9 2 6 8
0 .6 7 0 2
Q6213
0.4360
0.6279
0.8415
0.5786
0.0543
0.3567
0.1655
0.3880
0 .8 0 8 0
Q1931
0.0843
0.9152
0.6093
0.7587
0.4515
0.3203
0.5139
0.7070
0 .9 1 2 3
Q 1242
0.8826
0.9921
0.8523
0.6723
0.8540
0.4722
0.4781
0.2101
0 .1 6 8 0
08658
0.4028
0 .6 1 3 6
0.8720
0.1126
0.5857
0.9172
0.8943
0.8095
0 .6 4 0 8
19. G enere en una hoja de cálculo 200 núm eros aleatorios en una m ism a colum na, use la fu n ció n pred eterm inad a ALEATORIO (o RAND). Copie estos valores y ub íq uelo s en la sig u ie n te co lu m n a, pero desfáselos una p o sició n . Copie el ú ltim o d e los valo res en el lugar que quedó vacío al principio, y haga una gráfica de relación XY. ¿Se observa que los datos están dispersos de m anera uniform e? 20. Obtenga la m edia y la varianza d e los datos del problem a 18. ¿Son exactam en te los m ism os qu e para una distribución uniform e entre cero y uno? ¿A qué atribuye esta diferencia? 21. Un m étodo m ultiplicativo m ixto genera 19500 núm eros de 3 dígitos, de los cuales 13821 tienen todos sus dígitos diferentes, 5464 pares y 215 tercias. Calcule el error respecto d e las frecuencias esperadas b ajo la prueba poker. 22. Un m étodo congruencial genera 71500 núm eros de 4 dígitos, de los cuales 3500 se clasifican com o 2 pares. Calcule el error de este evento respecto de su frecuencia esperada b ajo la prueba poker. 55
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
23. Al realizar la prueba poker a 50 núm eros aleatorios de 4 dígitos, el resultado del error total es de 11.07. ¿Aceptaría la hipótesis de independencia con nivel d e aceptación de 95 %? 24. Al realizar la prueba poker a X cantidad d e núm eros aleatorios de 6 dígitos, el resul tado del error to tal es de 15.51. ¿Aceptaría la hipótesis de independencia con nivel de aceptación de 95 % ? 25. Un m étodo co ngruencial genera 357500 núm eros de 6 dígitos, d e los cuales 17500 se clasifican com o 2 pares. Calcule el error de este evento respecto d e su frecuencia esperada b ajo la prueba poker. 26. ¿Cuáles d e las aseveraciones siguientes son correctas? a) La prueba poker requiere núm eros aleatorios de 5 dígitos. b) Si acepto que los núm eros son uniform es (0,1), no necesito hacer la prueba de m edia = Vi y de varianza = 1/12. c) Si acepto la prueba d e series los núm eros no contienen ciclos o tendencias. d) Si acepto la prueba de m edia = Vi y la de varianza = 1/12, entonces los núm eros son uniform es (0,1). 27. La siguiente tabla m uestra los resultados d e la prueba de series después d e clasificar los núm eros entre 0 y 1.
92
85
90
93
88
98
93
90
96
91
86
88
100
85
84
81
a) Calcule el error to tal existen te (C) entre lo real y lo teórico. b) ¿Existe evid encia estadística de falta de independencia d e la secuencia d e n ú m e ros con un nivel d e aceptación de 90 %? 28. Calcule la cantidad m ínim a y m áxim a d e corridas que deben existir en una secuencia de 17000 núm eros para co ncluir que son núm eros aleatorios con un nivel de confian za de 95 %. 29. Genere 100 núm eros pseudoaleatorios usando cualquier hoja de cálculo, y realice las pruebas d e corridas, uniform idad e independencia. ¿Bajo este análisis es posible considerar que el generad or d e núm eros aleatorios que tien e la hoja de cálculo usa da es confiable? 30. Para los siguientes núm eros pseudoaleatorios determ ine por m edio d e una prueba de series si se pueden considerar independientes. a) U tilice 9 casillas equiprobables 56
2.5 Problem as |
b) U tilice 16 casillas equiprobables c) U tilice 25 casillas equiprobables.
0.1108
0.9082
0 .4 7 3 8
0.1181
0.7422
0.5005
0 .6 4 3 8
0.1873
0.7379
0 .4 9 9 9
0.3316
0 .2 9 7 4
0.2480
0.0048
0.9841
0.8873
0.6742
0.4242
0.2729
0 .5 0 0 8
0.1813
0 .7 3 4 8
0.4232
0.5429
0.7373
0.3440
0.4653
0.1465
0.1511
0 .7 9 3 2
0.6113
0 .1 5 0 8
0.4751
0.2777
0.4041
02909
0.4072
0.7725
0.7611
0.5241
0.4128
0.7647
0.8461
0.3529
0 .9 9 6 6
0 .6 5 7 6
0.1951
0 .1 8 4 4
0.0851
0 .9 6 9 8
0.1883
0 .1 3 2 8
0 .4 9 4 4
0.5323
0.0333
0 .1 1 0 6
0 .3 0 0 4
0 .1 1 2 8
0.4664
0 .4 8 2 0
0.2977
0.9579
0.6782
0.2963
0.9185
0.8141
0.9240
0 .5 2 5 4
0.8034
0.7441
0.5114
0.3399
0.2121
0.0674
0 .8 5 3 4
0 .2 1 4 4
0.9660
0 .2 2 4 8
0.9855
0 .9 3 9 4
0.0213
0 .0 1 6 4
0.8420
0.8373
0.7677
0.9857
0 .6 9 7 8
0 .4 1 3 6
0.4721
0 .2 8 1 2
0.6239
0.0502
0 .1 8 4 8
0.1978
0.5805
0.1240
0 .9 5 4 6
0.2802
0.6087
0 .7 1 4 6
31. Dado el siguiente generador de aleatorios Xj+J = (2177*X .+ 2367) m od 1351867; sem i lla 1117. Tom e los prim eros núm eros entre cero y uno para com pletar 100 pares de datos. Luego elabore una prueba de series com o se pide. a) Considere clases en increm entos de 0.125 en el e je X y de 0.25 para Y. Es decir, una m atriz de 32 casillas. b ) Considere clases en increm ento d e 0.2 en el eje X y 0.25 para Y. Es decir, una m atriz de 20 casillas. c) Basado en los dos casos, ¿podem os decir que los aleatorios generados son in d e pendientes? 32. La siguiente tabla m uestra los resultados de la prueba d e huecos con p - a = 0.1 después de clasificar los núm eros uniform es.
Tamaño del hueco
Frecuencia ob servada
0
5
1
4
2
3
3
3
>3
25
Total
40
a) Calcule el error to tal existen te entre lo real y lo teórico. b) ¿Se puede considerar que esta m uestra es pseudoaleatoria con un nivel de acep tación d e 90 %?
57
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
33. D eterm ine, m ediante la prueba d e huecos, con a = 0.5 y/3 = 0.8, si los 50 núm eros de la ta b la son independ ientes con un nivel de aceptación de 90 %.
0.5858
0.8863
0 .8 3 7 8
0.3203
0 .4 1 1 5
0.2710
0 .9 2 3 8
0.1959
0 .9 2 6 8
0.6702
0.6213
0.4360
0.6279
0.8415
0 .5 7 8 6
0.0543
0.3567
0.1655
0.3380
0.8080
0.1931
0.0843
0.9152
0.6093
0 .7 5 8 7
0.4515
0.3203
0.5139
0.7070
0.9123
0.1242
0 .8 8 2 6
0.9921
0.8523
0 .6 7 2 3
0.8540
0.4722
0.4781
0.2101
0.1680
0.8658
0 .4 0 2 8
0 .6 1 3 6
0.8720
0 .1 1 2 6
0.5857
0.9172
0.8943
0.8095
0 .6 4 0 8
Referencias [1] Banks, J., Carson, J.S., Nelson, B.L., y Nicol, D.M.(2005). Discrete-Event System Simulation (4* ed.) NuevaJersey: Prentice Hall. [2] Blum, L., Blum, M.y Shub, M.A(1986). Simple Unpredictable Pseudo-random NumberGenerator, SIAMJ. Comput, volumen 15 (número 2), pp. 364-383. [3] Law, A.M. y Kelton, W.D. (2000). Simulation Modeling andAnalysis (3*. ed.): McGraw Hill. [4] L'Ecuyer, P (1994b). Uniform Random Number Generation, Ann. OfOperations Research., 53, pp. 77-120. [5] Lehmer D.H. (1951). Proceedings o f the Second Symposium on Large-Scale Digital Computing Machinery, Massachussetts: Harvard University Press, Cambridge. [6] Lewis P.A., Goodman A.S., and Miller J.M. (1969). A pseudo-random number generator for the System/360, IBMSyst. J., volúmenes 8,2, pp.136-146. [7] Margsalia D.H. (1972). The structure of linear congruential sequences, Applications o f Number Iheoryto Numérica! Analysis, S.K. Zaremba, pp. 248-285, Nueva York: Academic Press.
58
Variables aleatorias
1
Defi n ic i贸n de va ria b le a leato ria
2
Tipos de variab les aleatorias
3
D eterm inaci贸n del tip o d e distribuci贸n d e un conjunto de datos
4
Generaci贸n de variables aleatorias
5
Expresiones co m unes d e algunos generadores de variables aleatorias
6
Problem as Referencias
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
3.1 Definición de va riab le aleato ria A lo largo de los capítulos anteriores hem os m en cio nad o que un m odelo de sim ulación perm ite lograr un m ejo r entendim iento de prácticam ente cualquier sistem a. Para ello, resulta indispensable obtener la m ejor aproxim ación a la realidad, lo cual se consigue co m poniendo el m odelo con base en variables aleatorias que interactúen entre sí. Pero, ¿cóm o podem os determ inar qué tip o de distribución tien e una variable aleatoria?, ¿cóm o podem os usarla en el m odelo una vez que conocem os su distribución asociada? En este capítulo com entarem os los m éto d os y las herram ientas que pueden d ar respuesta a estas interrogantes clave para la generación del m odelo. Podem os decir que las variables aleatorias son aquellas que tien en un co m po rta m iento pro babilístico en la realidad. Por ejem plo, el núm ero d e clientes que llegan cada hora a u n banco depende del m o m ento del día, del día d e la sem ana y de otros factores: por lo general, la afluencia d e clientes será m ayor al m ediodía que m u y tem prano por la m añana; la dem anda será m ás alta el viernes que el m iércoles; habrá m ás clientes un día de pag o que un día norm al, etcétera. D ebido a estas características, las variables aleato rias deben cum plir reglas d e distribución de probabilidad com o éstas: • • • •
La sum a de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la variable aleatoria x e s uno. La probabilidad de que un posible valo r de la variables x se presente siem pre es m ayor que o igual a cero. El valo r esperado de la distribución de la variab le aleatoria es la m edia de la m is m a, la cu al a su vez estim a la verdadera m edia d e la población. Si la distribución de probabilidad asociada a una variab le aleatoria está definida por m ás de un parám etro, dichos parám etros pueden obtenerse m ed iante un estim ador no sesgado. Por ejem plo, la varianza de la población cr2 puede ser esti m ada usando la varianza de una m uestra que es s2. De la m ism a m anera, la d esvia ción estándar de la po blación cr, puede estim arse m ediante la desviación estándar d e la m uestra s.
3.2 Tipos d e v a riab le s aleato rias Podem os diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tip o d e valores aleatorios que representan. Por ejem p lo , si habláram os del núm ero d e clientes que solicitan cierto servicio en un periodo de tiem p o determ inado, podríam os encontrar valores tales com o 0, 1, 2, ..., n, es decir, un co m portam iento co m o el que presentan las d istrib uciones de probabilidad discretas. Por otro lado, si habláram os del tiem p o que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría resultados com o 1.54 m inutos, 0.028 horas o 1.37 días, es decir, un co m po rtam iento sim ilar al de las distribuciones de pro ba bilidad continuas. Si consideram os lo anterior podem os diferenciar entre variables alea torias discretas y las continuas. V a ria b le s a le a to ria s d iscre ta s. Este tip o d e variab le s deben c u m p lir con esto s p a rá m etros: 60
3.2 Tipos de variables aleatorias |
P(x) > 0
Í
/-o
p,= i b
P [ a ¿ x < , b ) = ] £ p , = p „ + ...+p„
/-fl Algunas d istrib ucio n es discretas de probabilidad son la unifo rm e d iscreta, la de Berno u lli, la hip erg eo m étrica, la d e Poisson y la bino m ial (vea la fig u ra 3.1). Podem os a s o c ia ra estas u otras d istrib u cio n es d e probabilidad el co m p o rtam ien to d e una varia ble aleato ria. Por ejem p lo , si n u e stro p ro pó sito al an alizar un m uestreo d e calidad con siste en d e cid ir si la pieza b ajo insp ecció n es b u en a o no, estam os realizan d o un exp e rim e n to con 2 posibles resultados: la pieza es b u en a o la p ieza es m ala. Este tip o de co m p o rtam ien to está aso ciad o a una d istrib ución d e Berno ulli. Por otro lado, si lo que querem os es m o d elar el n ú m e ro d e usuarios q u e llam arán a un teléfo n o d e aten ción a clientes, el tip o d e co m p o rtam ien to p u e d e llegar a parecerse a una d istrib ución de Poisson. In clu so podría ocurrir que el co m p o rtam ien to d e la variab le n o se pareciera a otras d istrib ucio n es d e p ro babilidad conocidas. Si éste fu era el caso, es p e rfe ctam e n te vá lid o usar una d istrib u ción em p írica que se ajuste a las co nd icio nes reales d e pro b ab ilid ad . Esta d istrib ución puede se r una ecuación o una sum a d e térm in o s que cum pla con las co nd iciones necesarias para se r considerada una d istrib ución d e pro babilidad.
D istrib u c ió n B in o m ial (A/ = 5 ,p = 0 .5 ) P (x)
Figura 3.1 D istrib u ció n de probabilidad d e una variab le aleatoria d iscreta.
Variables a le ato ria s continuas. Este tip o de variables se representan m ediante una ecuación que se co no ce com o función d e densidad d e probabilidad. Dada esta condición, cam biam os el uso de la sum atoria por la d e una integral para conocer la función acum u lada d e la variable aleatoria. Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cum plir los siguientes parám etros.
61
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
P (x)> 0 oo
J fM
=i b
P {a < ,x < b ) = P { a < x < b) = F ( x ) = j f ( x ) d x a
Entre las distribuciones de probabilidad tenem o s la uniform e continua, la exp o n en cial, la norm al, la d e W eibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang (vea la figura 3.2). De la m ism a form a que en las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser asociados a cie r tas distribuciones.
Por ejemplo, es posible que el tiem po entre llegadas de los clientes a un sistema tenga una distribución de probabilidad m uy sem ejante a una exponencial, o que el tiem po que le tom a a u n operario realizar una serie de tareas se com porte de manera m u y similar a la dis persión que presenta una distribución normal. Sin embargo, debemos hacer notar que este tip o de distribuciones tienen sus desventajas, ya que el rango de valores posibles implica que existe la posibilidad de tener tiem pos entre llegada de clientes infinitos o tiem pos de ensam ble infinitos» situaciones lejanas a la realidad. Por fortuna, es m uy poco probable de se pre senten este tipo de eventos, aunque el analista d e la simulación debe estar consciente de cóm o pueden im pactar valores com o los descritos en los resultados del modelo. En las siguientes secciones revisaremos algunas herram ientas útiles para lograr ese objetivo.
3.3 D eterm inación del tipo d e d istrib u ció n d e un conjunto de datos La distribución de probabilidad de los datos históricos puede determ inarse m ediante las pruebas Chi-cuadrada, de Kolm ogorov-Sm irnov y de Anderson-Darling. En esta sección se revisarán los procedim ientos d e cada una de estas pruebas, así com o la form a d e rea lizarlas a tra vés d e Stat::Fit, una herram ienta com plem entaria d e ProModel. 62
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
3.3.1 Prueba Chi-cuadrada Se trata de una prueba de hipótesis a p artir de datos, basada en el cálculo de un valor llam ado estadístico d e prueba, al cual suele com parársele con un valo r conocido com o valor crítico, m ism o que se obtiene, generalm ente, de tab las estadísticas. El pro ced im ien to general de la prueba es: 1. O btener al m enos 30 datos de la variab le aleatoria a analizar. 2. Calcular la m edia y varianza d e los datos. 3. Crear un histogram a d e m = \fn intervalos, y obtener la frecuencia observada en cada intervalo O.. 4 . Establecer exp lícitam ente la hipótesis nula, m ediante una distribución de pro ba bilidad que se ajuste a la form a del histogram a. 5. Calcular la frecuencia esperada, E¡, a p a rtir de la función de probabilidad p ro puesta. 6. Calcular el estadístico de prueba
/«i
s-
7. D efinir el n ive l de sig n ifican cia d e la prueba, a, y d e te rm in ar el valo r crítico de la p ru e b a, Xa^-k^ {k es el n ú m e ro d e parám etros estim ado s en la d istrib ución propuesta). 8. Com parar el estadístico d e prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es m en o r que el valo r crítico n o se puede rechazar la hipótesis nula. Ejem plo 3.1 Éstos son los datos del núm ero de autom óviles que entran a una gasolinera cada hora:
14
7
13
16
16
13
14
17
15
16
13
15
10
15
16
14
12
17
14
12
13
20
8
17
19
11
12
17
9
18
20
10
18
15
13
16
24
18
16
18
12
14
20
15
10
13
21
23
15
18
D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel d e significancia a de 5 %. El histogram a (vea la figura 3.3) d e los n = 50 datos, que considera m = 11 intervalos, la m edia m uestral de 15.04 y la varianza m uestral de 13.14, perm ite establecer la siguien te hipótesis: Ho: Poisson (A = 15) autom óviles/hora H ,: Otra distribución
63
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Histogram a 12
-
10 -
.2 8 -)£ 3 6u 4-
l
2
n r v a \ . - r o i n r v o \ . - r o i n
(N
(N
<N
0
O iñ CM
Lleg a d a s/h r
Figura 3.3 H istogram a de fre cu e n cias d e la llegada de a uto m ó viles a la g a so line ra .
Com enzam os por calcular la probabilidad de cada intervalo a p artir d e la función de probabilidad de Poisson: A V a — x! 15x e~15 P (x ) = — x! p (x ) =
x = 0 ,1 ,2 ,.. x = 0 ,1,2,...
Por ejem plo, para el intervalo 8-9 1 5 V 15 159e '15 p (x = 8 ,9 ) = ---------+ ----------= 0.0519 8! 9!
Enseguida calculam os la frecuencia esperada en cada intervalo, m ultiplicando la probabilidad p(x) por el total de datos d e la m uestra: E, = n p (x ) E, = 50 p (x )
Y luego estim am os el estadístico de prueba: 2 _ y (E¡ —0 ¡)2 _ (0.9001- 1 )2 [ (2.5926- 2 ) 2 |
Xo
t í
E¡
0.9001
2.5926
A p a rtir d e los cálculos anteriores se obtiene la tabla 3.1.
64
| (0 .3 0 9 2 - 0 )2 ^ 0.3092
7£<|£
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
Tabla 3.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada. Intervalo
o,
p (x )
E .= S 0 *p (x )
Error
0-7
1
0.0180
0.9001
0.0111
8-9
2
0.0519
25 9 2 6
0.1354
10-11
4
0.1149
5.7449
0.5300
12-13
10
0.1785
8.9233
0.1299
14-15
11
0.2049
10.2436
0.0559
16-17
10
0.1808
9.0385
0.1023
18-19
6
0.1264
6.3180
0.0160
20-21
4
0.0717
3.5837
0.0483
22-23
1
0.0336
1.6821
0.2766
24-25
1
0.0133
0.6640
0.1700
25-8
0
0.0062
0.3092
0.3092
Total
50
1
50
1.78481
El valor del estadístico de prueba, x l = 1.7848, co m parado con el valo r de tablas crí tico, xlos ii-o-i= 18-307, indica que no podem os rechazar la hipótesis de que la variable aleatoria se com porta de acuerdo con una distribución de Poisson, con una m edia d e 15 a uto m ó vi les/ho ra.
3.3.2
Prueba de Kolm ogorov-Sm irnov Desarrollada en la década de los treinta del siglo XX, esta prueba perm ite — al igual que la prueba Chi-cuadrada— determ inar la distribución d e probabilidad d e una serie d e datos. Una lim itante de la prueba d e Kolmogorov-Smirnov estriba en que solam ente se puede aplicar al análisis de variables continuas. El procedim iento general de la prueba es: 1. O btener al m enos 30 datos de la variab le aleatoria a analizar. 2. Calcular la m edia y la varianza d e los datos. 3. Crear un histogram a d e m = v n intervalos, y obtener la frecuencia observada en cada intervalo 0 ¡ . 4 . Calcular la probabilidad observada en cada intervalo PO¡ = 0 ¡ / n , esto es, dividir la frecuencia observada O. entre el núm ero total d e datos, n. 5. A cum ular las probabilidades PO.para obtener la probabilidad observada hasta el i-ésim o intervalo, POAr 6. Establecer de m anera exp lícita la hipótesis nula, para esto se propone una distri bución de probabilidad que se ajuste a la form a del histogram a. 7. Calcular la probabilidad esperada acum ulada para cad a intervalo, PEA¡, a p artir d e la función de probabilidad propuesta. 8. Calcular el estadístico de prueba c = m áx |PEA¡ - PÚA, \
i = 1,2,3,..., k ,..., m 65
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
9. D efinir el n ivel de significancia d e la prueba a, y determ inar el valor crítico de la prueba, Da n (consulte la tabla d e valores críticos d e la prueba de KolmogorovS m irn o ve n la sección d e apéndices). 10. Com parar el estadístico d e prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es m en o r que el valo r crítico n o se puede rechazar la hipótesis nula. E je m p lo 3 .2
A continuación se m uestra un estudio del co m po rtam iento del tiem p o entre roturas de cierto filam ento, m ed ido en m inutos/rotura.
4.33
1.61
216
2.88
0.70
0.44
1.59
2.15
8.59
7.36
9.97
7.8 6
5.49
0.98
4.52
212
4 .4 4
0.82
6.96
3.04
2.81
14.39
3.44
9.92
4 .3 8
8.04
2.18
6.19
4.48
9.66
4.34
1.76
2.30
5.24
11.65
10.92
12.16
6.60
0.85
4.82
1.36
333
6.58
1.45
8.42
3.69
2.44
028
1.90
2.89
D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel d e significancia a de 5 % . El histogram a (vea la figura 3.4) d e los n = 5 0 datos con m = 8 intervalos, la m edia m uestral de 4 .7 3 3 6 y la varianza m uestral de 12.1991 perm iten estim ar un parám etro de form a de 1.38 y un parám etro de escala de 5.19, y establecer la hipótesis: Ho: W eibull ( a = 1 .3 8 ,/3 = 5 .1 9 ) m inutos/rotura H ,: Otra distribución
Histograma 14 12
(D 10 ■ ■ 2 8
* £
4 ..
2 -Fig u ra 3.4
+
0 -0-2
2-4
4-6
6-8
8 -1 0
10-12
12-14
14-oo
Minutos/roturas
Histograma de frecuencias del tiempo entre roturas.
Iniciam os el procedim iento con el cálculo d e la probabilidad observada en cada intervalo:
H l A A i i l l
pn '
66
n
50
IS O 'S O 'S O 'S O 'S O 'S O 'S O 'S O 'Í
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
para después calcular la probabilidad observada acum ulada hasta el intervalo i. n™ X 0/ X ° i POA¡ = — — = = —
f 12 25 3 4 40 4 6 48 49 5 0 1 , ^^ , _ _ _ _ _ _ _ _ l = {0 .2 4 ,0 .5 0 ,..., 1}
Posteriorm ente calculam o s la probabilidad que se espera se acum ule de cada intervalo PEA.a p a rtir d e la función de probabilidad acum ulada d e W eibull
-í-f
F (x ) = J ap~ ax a~'e 0 dx
F {x ) = '\ - e
p
F (x ) = i - e ‘ ,5-,9; Por ejem plo, para el intervalo con el lím ite superio r d e 8:
138
P E \ = F (x = 8) = 1 - e - 's ”’ 1
=0.8375
Por últim o, calculam os el estadístico d e prueba
C = m á x |PO A , - P E A ,| = m á x { |0 .2 4 - 0 .2 3 5 3 |,|0 .5 0 - 0 . 5 0 2 5 | | l —1|} = 0 .0 3 7 5
A p a rtir d e los cálculos anteriores se obtiene la tabla 3.2:
Tabla 3 .2 Cálculos para la prueb a de Kolm ogorov-Smirnov. Intervalo
O,
PO¡
POA,
PEA,
I POA¡-PEA¡ |
0-2
12
024
024
0.23526
0.0047
2-4
13
026
050
0.50247
0.0025
4-6
9
0.18
0.68
0.70523
0.0252
6-8
6
0.12
0.80
0.83747
0.0375
8-10
6
0.12
0.92
0.91559
0.0044
10-12
2
0.04
0.96
0.95839
0.0016
12-14
1
0.02
0.98
0.98042
0.0004
14-8
1
0.02
1.00
1
0.0000
Total
50
1
C
0.0375
67
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
El valor del estad ístico de prueba, c = 0.0375, co m parado con el valo r d e tablas crítico, ^oq5(5o = 0*1 923 t indica que no podem os rechazar la hipótesis de que la variable aleatoria se com porta d e acuerdo con una distribución d e W eibull con p arám etro d e escala 5.19 y parám etro d e fo rm a 1.38.
3.3.3
Prueba de Anderson-Darling Se dio a conocer en 1954. Esta prueba tien e com o propósito corroborar si una m uestra de variables aleatorias p ro viene de una población con una distribución de probabilidad específica. En realidad se trata de una m odificación d e la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov, aunq ue tiene la virtud de detectar las discrepancias en los extrem o s de las distribuciones. La principal desventaja de la prueba d e Anderson-Darling estriba en que es necesario calcu lar los valores críticos para cada distribución. La prueba es m u y sensible en los extre m os d e la distribución, por lo que debe usarse con m ucho cuidado en d istrib uciones con lím ite inferior acotado, y n o es confiable para distribuciones de tip o discreto. En la actua lidad es posible encontrar tablas de valores críticos para las distribuciones norm al, lognorm al, exponencial, log-logística, de W eibull y valo r extrem o tip o I. El procedim iento general d e la prueba es: 1. 2. 3. 4.
O btener n datos de la variab le aleatoria a analizar. Calcular la m edia y la varianza de los datos. O rganizar los datos en form a ascendente: Y¡ / = 1,2,...,n O rdenar los datos en form a descendente. /'= 1,2,...,n
5. Establecer de m anera exp lícita la hipótesis nula, a l pro po ner una distribución de probabilidad. 6. Calcular la probabilidad esperada acum ulada para cada núm ero Yf PEA{Y), y la probabilidad esperada acum ulada para cada núm ero Yn^_¡, PEA(Yn^ ,) ,a p a rtir de la función d e probabilidad propuesta. 7. Calcular el estadístico de prueba
n + l¿ (2 / - 1 )[ ln P £ A (V ;.) + ln ( 1 - P M ( C w )] n /=! 8. A justar el estadístico de prueba de acuerdo con la distribución de probabilidad propuesta. 9. D efinir el nivel d e significancia d e la prueba a, y determ inar su valo r crítico, aan (vea la tabla 3.3). 10. Com parar el estadístico d e prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es m en o r que el valo r crítico n o se puede rechazar la hipótesis nula.
68
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
Tabla 3.3 Estadísticos de prueba y valores críticos para la prueba de Anderson-Darling. Valores crítico s a
Estadístico d e prueba ajustado
Distribución
Parámetros conocidos n> 5
*
Normal
, *
4
25
0.1
.05
.025
.001
1.933
2.492
3.070
3.857
0.632
0.751
0.870
1.029
1.070
1.326
1587
1.943
0.637
0.757
0.877
1.038
0.563
0.660
0.769
0.906
' +« ~ ¥ )
Exponencial K
H
.
DeWeibull K Log-logística K
E je m p lo 3.3
Los siguientes son los datos d e un estudio del tiem p o d e atención a los clientes en una florería, m edido en m inutos/cliente:
9.400
8.620
9.346
13.323
7.112
13.466
5.7 6 4
8.9 7 4
9.831
10.056
7.445
6.619
9.260
6.7 7 5
8.3 0 6
5.633
8.864
13.944
8.952
9.355
10.489
6.306
12.685
11.078
6.957
9.532
9.192
11.731
11.350
14.389
12.553
8 .0 4 5
9.829
11.804
9.274
12190
10.270
14.751
9.237
6.5 1 5
12.397
8 .4 5 3
9.628
13.838
9.935
7.827
9269
8.690
11.515
8.5 2 7
D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a de 5 por ciento. El histogram a (vea la figura 3.5) de los n = 50 datos, que considera m = 10 intervalos, la m edia m uestral de 9.786 y la varianza m uestral de 5.414, perm ite establecer la siguien te hipótesis nula: Ho: N orm al (/x = 10, a = 2.0) m inutos/cliente H ,: Otra distribución
69
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Histograma
14 T 12
|
10-
S 8+
*
6 -I4
2 _L
Figura 3.5
0 co-6
6-7
7-8
8-9
9-10
10-11
11-12 12-13 13-14
Minutos/cliente
14^>o
Histograma de frecuencias del tiempo de servicio en la florería.
En la tabla 3 .4 se m uestran los resultados d e los cálculo s d e cada uno d e los pasos del procedim iento siguiente: -
En la colum na C1 se ordenaron los datos Y, i = 1,2,...,30 en form a ascendente. En la colum na C2 se organizaron los datos V'30^1_/ / = 1,2,...,30 en form a descen dente.
-
En la colum na C3 se calcula la variable auxiliar 2/ —1 / = 1,2,...,30 del estadístico de prueba. En las colum nas C4 y C5 se calcula la probabilidad esperada acum ulada para cada núm ero Yr PEA(Y¡) d e la colum na C1, y el co m plem ento de la probabilidad espera da acum ulada para cada núm ero : 1-P EA {Y n^ ¡) de la colum na C2 a p a rtir de la función de probabilidad propuesta, que en este ejem p lo es una norm al (yx = 10,
-
cr = 2 .0 ). Si se to m a, por ejem plo, el renglón / = 7 con Y7 = 7.8266 de la colum na C1 y Y2A= 10.0562 d e la colum na C2, y se estandarizan am bos valores 7 .8 2 6 6 - 1 0 Z, , = --------------- = - 1 .0 8 6 7 2 1 0 .0 5 6 2 - 1 0 = 0.0281 z¡„24 =
se e n cu e n tra la p ro babilidad acum ulad a en la tab la no rm al estándar. D e esta form a te n e m o s u n a PEA7 = 0.1385 para z = - 1 .0 8 6 7 y, para z = 0.0285 u n a PEA2A = 0 .5 1 1 2 y 1 - PEA2A= 0.4888. En las colum nas C6, C7 y C8 se desglosan los cálculos del estadístico d e prueba
70
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
* = -
n + —¿ ( 2 / - 1)[lnP£A(V^)+ln (1 - P E A t C ,.,) ]
30 + ^ ¿ ( 2 / - l) [ ln P £ 4 ( y ') + ln ( 1 - P M ( V 'n+1.,) ] /-I a
:= -
30 + — [(1)[-4.2399 —3.1812] + (3 )[-4.0692 —3.1812] + ... + (5 9 )[-0 .0 4 2 4 - 0 .0146]] 30
= 2,825724
U na vez calculado el estadístico d e prueba es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla 3.3. En este caso, com o tenem os n > 5 no se requiere ajuste. Por últim o, al com parar el estadístico d e prueba A* = 2.825724 con el valor crítico de la prueba y el nivel d e significancia seleccionado, a00S 3O= 2.492 (vea la tabla 3.3, en donde se dan los valores críticos de a), se rechaza la hipótesis H .
Tabla 3.4 C á lc u lo s d e la h ip ó t e s is in ic ia l e n la p r u e b a d e A n d e r s o n - D a r lin g . --------------- -----------------------
C7
C8
LN[C4)
LN(CS)
(C 3)*((C 6) + C (7 ))
0 .0 4 1 5
-4 2339
-3 .1 8 1 2
-7.4151
0.01709
0 .0 4 1 5
-4 0692
-3 .1 8 1 2
-2 1 .7 5 1 3
5
0.01709
0 .0 4 8 3
-4 0692
-3.0301
-3 5 .4 9 6 7
12.6853
7
0.06 4 0 5 8
0 .0 8 9 7
-2 7480
-2 4 1 1 4
-3 6 .1 1 5 2
7.11163
12.19
9
0.074343
0 .1 3 6 8
-2 5 9 9 1
- 1 .9 8 9 6
-4 1 .2 9 7 7
6
7.11163
10.2697
11
0.074343
0 .4 4 6 4
-2 5 9 9 1
- 0 .8 0 6 6
-3 7 .4 6 2 5
7
7.8266
10.0562
13
0.138585
0 .4 8 8 8
-1 .9 7 6 3
- 0 .7 1 5 8
-3 4 .9 9 7 4
8
8.30552
9.93504
15
0.198431
0 .5 1 3 0
-1 .6 1 7 3
- 0 .6 6 7 6
-3 4 .2 7 3 2
9
8.61959
9.83097
17
0.245033
0 .5 3 3 7
- 1 .4 0 6 4
-0 .6 2 8 0
-3 4 .5 8 3 6
10
8.86415
9.82943
19
0.285043
0 .5 3 4 0
-1 2 5 5 1
- 0 .6 2 7 4
-3 5 .7 6 7 6
11
8.97359
9.62768
21
0.303903
0 .5 7 3 8
-1 .1 9 1 0
- 0 .5 5 5 4
-3 6 .6 7 5 5
12
9.1919
9.53164
23
0.343089
0 .5 9 2 6
- 1 .0 6 9 8
-0 .5 2 3 3
-3 6 .6 3 9 9
13
9.25952
9.39954
25
0.355602
0 .6 1 8 0
-1 .0 3 3 9
-0 .4 8 1 3
-3 7 .8 8 0 3
14
9.26901
9.34602
27
0.357372
0 .6 2 8 2
-1 .0 2 9 0
-0 .4 6 5 0
-4 0 .3 3 6 2
15
9.27425
9.34602
29
0.358348
0 .6 2 8 2
-1 .0 2 6 2
-0 .4 6 5 0
-4 3 .2 4 5 0
16
9.34602
9.27425
31
0.371838
0 .6 4 1 7
-Q 9 8 9 3
-0 .4 4 3 7
-4 4 .4 2 3 3
17
9.34602
9.26901
33
0.371838
0 .6 4 2 6
-0 .9 8 9 3
-0 .4 4 2 2
-47.2391
18
9.39954
9.25952
35
0.382
0 .6 4 4 4
-Q 9 6 2 3
- 0 .4 3 9 4
-4 9 .0 6 2 0
19
9.53164
9.1919
37
0.407422
0 .6 5 6 9
-0 .8 9 7 9
-0 .4 2 0 2
-4 8 .7701
20
9.62768
8.97359
39
0.426161
0.6961
-Q 8 5 2 9
-0 .3 6 2 3
-4 7 .3 9 3 0
21
9.82943
8.86415
41
0.466018
0 .7 1 5 0
-Q 7 6 3 5
-0 .3 3 5 5
-4 5 .0 6 1 7
22
9.83097
8.61959
43
0.466323
0 .7 5 5 0
-Q 7 6 2 9
-0.2811
-4 4 .8 9 0 2
23
9.93504
8.30552
45
0.487045
0 .8 0 1 6
-Q 7 1 9 4
-0 .2 2 1 2
-4 2 .3 2 6 3
C1
C2
C3
C4
CS
C6
/
Y,
Y30+W
2/-1
PEA(Y)
1 - / W 30íw>
1
5.63282
13.4663
1
0.01 4 4 9 6
2
5.76414
13.4663
3
3
5.76414
13.3229
4
6.95 6 8 6
5
71
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
24
10.0562
7.8266
47
0.51 1 2 1 6
0 .8 6 1 4
-0 .6 7 1 0
-0 .1 4 9 2
-3 8 .5 4 6 7
25
10.2697
7.11163
49
0.55 3 6 3 6
0 .9 2 5 7
-0 5912
-0 .0 7 7 3
-3 2 .7 5 6 5
26
12.19
7.11163
51
0.863247
0 .9 2 5 7
-0 1 4 7 1
-0 .0 7 7 3
-1 1 .4 3 9 6
27
12.6853
6.9 5 686
53
0.91 0 3 0 6
0 .9 3 5 9
-0 0940
-0 .0 6 6 2
-8 .4 8 9 4
28
13.3229
5.76414
55
0.951689
0 .9 8 2 9
-0 0495
-0 .0 1 7 2
-3 6715
29
13.4663
5.76414
57
0.95 8 4 6 4
0 .9 8 2 9
-0 0 4 2 4
-0 .0 1 7 2
-3 4007
30
13.4663
5.63282
59
0.95 8 4 6 4
0 .9 8 5 5
-0 0 4 2 4
- 0 .0 1 4 6
-3 3645
Replanteam iento de una nueva hipótesis: Ho: N orm al (/x = 9.604, a = 2.0) m inutos/cliente H ,: O tra distribución En la tabla 3.5 se presenta el resum en de resultados de cada uno d e los pasos del pro ce dim iento; la m odificación se ve reflejada en los cálculos de las probabilidades esperadas acum uladas. Por ejem plo, para el renglón / = 7 tenem o s ahora: 7 .8 2 6 6 -9 .6 0 4 */-7 =
1 0 .0 5 6 2 -9 .6 0 4 Z /-2 4 =
-0.8887 = 0.2261
Con estos valores se encuentra la probabilidad esperada acum ulada en la tabla norm al están d ar: a z = -0 .8 8 8 7 le corresponde PEA7 = 0.18707, y a z = 0.2261, PEA24 = 0 .5 8 9 4 y 1 - P£/\24 = 0.4106. Al calcular de nuevo el estadístico d e prueba se obtiene:
K = - n + i ¿ ( 2 / - 1 ) [ h f l E W , ) + l n O - / W . fW )] 11 /=1 $ = -
a
;= -
3 0 + ¿ £ ( 2 / - 1 ) [ l n / W #) + l n O - / W „ w )]
/-I
3° + ¿
[(1) [ _ 3-749 - 3 .6 2 1 8 ]+ (3 )[-3 .5 9 6 1 -3 .6 2 1 8 ]+ ...+ {5 9 )[- 0 .0 2 7 1 - 0.0238]]
=1.3516
Una vez calculad o el estadístico de prueba, es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla 3.3. En este caso, com o tenem os n > 5, no se requiere ajuste. Por últim o, al com parar el estadístico d e prueba A 2 n =1.3516 con el va lo r crítico y el n ivel de significancia seleccionado, o005J0 = 2.492 (tabla 3.3 d e valores crítico s d e a ), vem os que n o se puede rechazar la hipótesis H0. 72
3.3 D e te rm in a ciรณ n d el tip o de d is trib u c iรณ n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
Tabla 3.5
C รก lc u lo s d e la s e g u n d a h ip รณ t e s is e n la p r u e b a d e A n d e r s o n - D a r lin g . C1
--------------- ---------------C3 C4
C2
CS
C6
C7
C8
LN [C4)
LN[CS)
(C 3 )*((C 6 ) + C (7 ))
1/
W
i
2 7 -1
PEM Y)
1
5.63282
13.4663
1
0.02354
0.0267
-3.7491
- 3 .6 2 1 8
-7 .3 7 0 9
2
5.76414
13.4663
3
0.02743
0.0267
-3.5961
-3 .6 2 1 8
-2 1 .6 5 3 5
3
5.76414
13.3229
5
0.02743
0.0315
-3.5961
-3 .4 5 8 3
-3 5 .2 7 1 8
4
6.9 5 68 6
12.6853
7
0.09282
0.0617
-2 3 7 7 1
-2 .7 8 5 4
-3 6 .1 3 7 5
5
7.11163
12.19
9
0.10634
0.0980
-2 2 4 1 1
-2 3227
-4 1 .0 7 4 3
6
7.11163
10.2697
11
0.10634
0 .3 6 9 6
-2 2 4 1 1
-0 9952
-3 5 .5 9 9 7
7
7.8266
10.0562
13
0.18707
0 .4 1 0 6
-1 .6 7 6 3
-0 8902
-33.3641
8
8.30552
9.93504
15
0.25808
0.4343
-1 .3 5 4 5
-0 8 3 4 1
-3 2 8 2 8 2
9
8.61959
9.83097
17
0.31128
0 .4 5 4 8
-1.1671
-0 7 8 7 8
-3 3 .2 3 3 2
10
8.86415
9.82943
19
0.35571
0.4551
-1 .0 3 3 6
-0 7872
-34.5951
11
8.97359
9.62768
21
0.37629
0.4953
-0 .9 7 7 4
-0 7 0 2 6
-3 5 .2 8 0 2
12
9.1919
9.53164
23
0.41837
0 .5 1 4 4
-0 .8 7 1 4
-0 6647
-3 5 .3 2 9 6
13
9.25952
9.39954
25
0.43161
0.5407
-0 8 4 0 2
-0 6 1 4 8
-3 6 .3 7 6 8
14
9.26901
9.34602
27
0.43348
0.5513
-0 8 3 5 9
-0 5 9 5 4
-3 8 .6 4 6 0
15
9.27425
9.34602
29
0.43451
0.5513
-0 8 3 3 5
-0 5 9 5 4
-4 1 .4 3 9 9
16
9.34602
9.27425
31
0.44867
0.5655
-0 8 0 1 5
-0 5 7 0 1
-4 2 .5 1 7 3
17
9.34602
9.26901
33
0.44867
0 .5 6 6 5
-0 8 0 1 5
-0 5 6 8 2
-4 5 .2 0 0 4
18
9.39954
9.25952
35
0.45927
0 .5 6 8 4
-0 7 7 8 1
-0 5 6 5 0
-47.0071
19
9.53164
9.1919
37
0.48556
0 .5 8 1 6
-0 7 2 2 5
-0 5 4 1 9
-4 6 .7 8 1 7
20
9.62768
8.97359
39
0.50471
0 .6 2 3 7
-0 6 8 3 8
-0 4 7 2 1
-4 5 .0 7 7 7
21
9.82943
8.86415
41
0.54486
0 .6 4 4 3
-0 6 0 7 2
-0 4 3 9 6
-4 2 .9 2 0 0
22
9.83097
8.61959
43
0.54516
0 .6 8 8 7
-0 6 0 6 7
-0 3 7 2 9
-42.1221
23
9.9 3 5 0 4
8.30552
45
0.56572
0 .7 4 1 9
-0 5 6 9 7
-0 2 9 8 5
-3 9 .0 6 7 7
24
10.0562
7.8266
47
0.58943
0 .8 1 2 9
-0 5 2 8 6
-0 2 0 7 1
-3 4 .5 7 8 3
25
10.2697
7.11163
49
0.63037
0 .8 9 3 7
-0 .4 6 1 5
-0 1 1 2 4
-2 8 .1 2 0 5
26
12.19
7.11163
51
0.90199
0 .8 9 3 7
-0.1031
- 0 .1 1 2 4
-1 0 .9 9 4 6
27
12.6853
6 .9 5 6 8 6
53
0.93829
0 .9 0 7 2
-0 .0 6 3 7
- 0 .0 9 7 4
-8 .5 3 8 5
28
13.3229
5.76414
55
0.96852
0 .9 7 2 6
-0 .0 3 2 0
- 0 .0 2 7 8
-3 .2 8 9 2
29
13.4663
5.76414
57
0 .9 7 3 2 6
0 .9 7 2 6
-0.0271
- 0 .0 2 7 8
-3.1301
30
13.4663
5.63282
59
0 .9 7 3 2 6
0 .9 7 6 5
-0.0271
-0 .0 2 3 8
-3 .0 0 4 2
73
[~\ C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
3 .3 .4
A juste de datos con Stat::Fit La h e rram ie n ta Sta t::Fit d e ProM odel se u tiliza para a n a liza r y d e te rm in ar el tip o de d istrib u ció n d e p ro babilidad de un co n ju n to d e datos. Esta u tilería p e rm ite co m p arar los resultad o s e n tre varias d istrib u cio n e s analizad as m ed ian te u n a ca lific a ció n . Entre sus p ro ced im ien to s em p lea las p rueb as C hi-cuadrad a, d e K o lm o g o ro v-Sm irno v y de A nderso n -D arlin g. A d em ás c a lcu la los parám etros apro piado s para cad a tip o d e d is tri b ució n, e in clu ye info rm ación estad ística ad icio n al co m o m e d ia, m oda, valo r m ín im o , v a lo r m á xim o y varian za, e n tre o tro s d ato s. S ta t::F it se p u e d e e je c u ta r d e sd e la p a n ta lla d e in icio d e ProM odel, o bien d esd e el co m an d o S t a t ::F it d e l m enú Too ls (vea la fig u ra 3.6).
P ro M o d e l F íe
---
Ylew
3uta
SmulaOor
O jtput
VM ow
Help
e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n e n l V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
en » V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n W u .n ln n C tn ila M
W o r p ln n C tu H o n l \ lo r n ln o
T h e P ro M o d e l S lio r t c u t P a n e l
in s s tc a ll
m o c J e 3!
p c a c k c a Q e »
Figura 3.6
Pantalla de inicio de ProModel.
Una vez que com ience a ejecutarse el com ando Stat::Fit, haga clic en el icono d e la hoja en blanco de la barra d e herram ientas Estánd ar para abrir un nuevo docum ento (tam bién puede ab rir el m enú File y hacer clic en New). Enseguida se desplegará una ventana con el nom bre Data Table (vea la figura 3.7), en la que deberá introducir los datos de la variab le que se analizará, ya sea con el teclado o m ed iante los com andos C o piar y Pegar (Copy / Paste) para llevar dichos datos desde otra aplicación, co m o puede ser Excel o el Bloc d e notas de W indows.
74
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
S t a t : : F it F ie
Edt
D o c u m o n tl
Irp u t
Statabcs
R
U tib es
a y
1
D o c u m e n M : D a ta I a b le
Intervols:
1
Wew
e
W ndow
zt
Help
~)L\
^
A
I_
Points: Fig u ra 3.7
Introduzca los datos de la variable que desea analizar en esta ventana de Stat: :Fit.
Una vez introducida la inform ación es posible seleccionar una serie d e opciones de análisis estadístico, entre ellas las d e estadística descriptiva y las de pruebas de bondad d e ajuste, de las cuales nos ocuparem os en los siguientes ejem plos. Ejem plo 3.4 Los datos del núm ero d e autom óviles que entran a una gasolinera por hora son:
14
7
13
16
16
13
14
17
15
16
13
15
10
15
16
14
12
17
14
12
13
20
8
17
19
11
12
17
9
18
20
10
18
15
13
16
24
18
16
18
12
14
20
15
10
13
21
23
15
18
D eterm ine la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a d e 5 %. Después de introducir estos datos en Stat::Fit, desp lieg ue el m enú Statistics y selec cio n e el com ando D escriptive. Enseguida aparecerá una nueva ventana con el nom bre d e D escriptive Statistics, en dond e se m uestra el resum en estadístico de la variable (vea la figura 3.8).
S t d t ::( i t
Doci>:.K>nt1
X Intervolí «
0 2 3 4
14. 7. 13. 16. 16. 13. 14. 17. 15. 16. 13. 15. 10. 15.
n
P o in ts:
|
50
6
D o cu m o n tl: D e scrip tivo S ta tis tic s d e s c rip tiv e s t a t is t ic s d a ta p o in ts m ín im u m m á x im u m m ean m e d ia n m od e s ta n d a rd d e v ia tio n v a r i a n ee c o e t iid e n t o f v a ria tio n ske w n e ss k u rto s is
____________________
50 7. 24. 1 5 .0 4 15. 13. 3 .6 2 5 0 0 1 3 .1 4 1 2 2 4 .1 0 2 9 0 .1 3 4 6 5 1 0 .1 2 1 9 8 2
Figura 3.8
Ventana de resultados estadísticos de STAT: :Fit.
75
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Para determ inar el tip o d e distribución de probabilidad de los datos, seleccione el com ando A utoFít del m enú Fit en la pantalla principal d e Stat::Fit. A continuación se desplegará un cuadro diálogo sim ilar al que se ilustra en la figura 3.9, en el cual se tiene que seleccionar el tip o d e distribución que se desea probar. Se deb e seleccionar si dicha distribución es no acotada en am b o s extrem os (unbounded), o si el lím ite inferior está acotado — en este últim o caso se puede aceptar la propuesta d e que la cota del lím ite inferior sea el dato m ás peq ueñ o de la m uestra (low er bound)— , o seleccionar exp lícita m ente otro valor co m o lím ite inferior (assigned bound). Para este ejem p lo seleccionam os una distribución d e tip o discreto: discrete distributions, ya que los datos d e la variable aleatoria [autom óviles/hora] tien en esa característica.
Auto::Fit
C
c o n tin u á is distrbutons
( • de cre te dKtnbutons
C
unbounded
r
a s s o n e d bou
T h e Distributor! Is:
lower bound
Figura 3.9 OK
Cancel
Help
Este cuadro de diálogo permite seleccionar el tipo de varia ble aleatoria.
Para que el proceso d e ajuste se lleve a cabo, haga clic en el botón OK. E l resultado se desplegará en la ventana Autom atic Fitting, donde se describen las distribuciones de probabilidad analizadas, su posición de acuerdo con el ajuste, y si los datos siguen o no alguna d e las distribuciones. En la figura 3.10 se observa el resultado del análisis de ajuste del ejem plo 3.4, el cual nos indica que no se puede rechazar la hipótesis de que los datos provengan de cualq uiera de las sig uientes dos d istrib u cio n e s; B ino m ial, con N = 104 y p = 0.145, o de Poisson, con m edia 15.0 (esta últim a coincide con el resultado que obtuvi m os en el ejem plo 3.1 m ediante la prueba de bondad d e ajuste Chi-cuadrada).
«I
|
D o cu m e n tl: A uloriuilic f iltirift
Figura 3 .10
Ventana de resultados del análisis de la variable aleatoria.
76
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
Haga clic co n el ratón en cualquiera d e las dos distribuciones (vea la figura 3.10); enseguida se desplegará el histogram a que se ilustra en la figura 3.11: las barras azules representan la frecuencia observada de los datos; la línea roja indica la frecuencia espera da d e la distribución teórica.
Figura 3.11
Histogramas teórico y real de la variable aleatoria.
El form ato del histogram a puede ser m odificado m ed iante el co m and o G raphics style del m enú G rap h ics (esta opción solam ente está disponible cuando se tiene activa la ventana Com parison G raph; vea la figura 3.11). Ejem plo 3.5 Éstos son los datos de un estudio del tiem p o de atención a los clientes en una florería, m edido en m inutos/cliente:
9.400
8.620
9.346
13.323
7.112
13.466
5.7 6 4
8.9 7 4
9.831
10.056
7.445
6.619
9.260
6.7 7 5
a306
5.633
8.864
13.944
8.952
9.355
10.489
6.306
12.685
11.078
6.957
9.532
9.192
11.731
11.350
14.389
12.553
8.045
9.829
11.804
9.274
12190
10.270
14.751
9.237
6.5 1 5
12.397
8.453
9.628
13.838
9.935
7.827
9.269
8.690
11.515
8.5 2 7
D eterm ine la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a d e 5 %. Debido a las características de la variable aleatoria a analizar, al desplegarse el cuadro de diálogo Auto::Fit (vea la figura 3.9) d eb em o s activar la opción co ntinuous distributions. El resum en de resultados que se ilustra en la figura 3.12 indica que la m uestra p uede pro venir de cualquiera d e las cuatro distribuciones listadas, resultado que coincide con el análisis ejem p lificad o previam ente en la prueba d e Anderson-Darling acerca d e la norm alidad de los datos. 77
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
En la ventana G>mparison G raph puede com pararse la form a d e la distribución no rm al (verde) y lognorm al (roja) propuestas por Stat::Fit, y la diferencia respecto del histogram a de frecuencias de la m uestra.
í á D o c u m e n t ? : O d io l a b i o
J
1»
I
5
Pont»
_
I
X
™ m x u m c m J ; O K r y a i . ' t . . U j|> > i F in a d D a n a lty
50
-d 94 8(2 9 946 13323 7112 13 466 5 764 8974 8831 10 056 7 445
i 2 3 4 s 5 7 g 9 10
O o c u n o n l ? : I t o v i l j r i v i - S U ll.
d c tc r tp liv r a ta titlC T d a t a p o in ta m í n im u m m á x im u m m ean m e d ia n m ode c la n d a id d rv ia tio n v a lla n te lo r m c le n i o l v a ila llo n
60 6 .6 3 3 1 4 .7 6 1 9 .7 8 6 0 2 9 .3 6 0 6 9 .1 3 2 2 .3 2 6 7 4 6 .4 1 3 7 2 2 3 .7 7 6 2
sk ew ness k u rto s lí
0 .3 2 2 6 3 -8 .6 7 2 2 4 3
1 4 C to c u n K n t7 : A u t o m a t i c 1 i l t i n g
A u t o : .» I I o l D l s t r i b u U o n s d is tr lb u tlo n
re a l
l o g n a r m a l | - 3 . 1 . 2 . 5 4 . 0 .1 7 9 ) T i l a a g u l o i |4 . 8 8 . 1 5 .5 . 9 . 2 1 | N o i c i . a i p . 7 9 . 2 .3 ) U n l l o i m |5 .6 3 . 14.81 E x p o n e n t l a i p . 6 3 . 4 .1 5 )
100 S 7 .2 3 6 .7 1 .2 l.6 3 e -0 0 2
Fig u ra 3.12 R esu m en del a n álisis d e la v a ria b le aleato ria d e l e je m p lo 3.5.
3 .4 G eneración de variab les aleato rias La variabilidad de eventos y actividad es se representa a través de funcio nes de densidad para fenóm enos continuos, y m ediante d istrib uciones de probabilidad para fenóm enos d e tip o discreto. La sim ulación d e estos eventos o actividad es se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias. Los principales m étodos para generar las variables aleatorias son: •
M étodo de la transform ada inversa
•
M étodo de convolución
• • •
M étodo de com posición M étodo de transform ación directa M étodo de aceptación y rechazo
En las siguientes secciones se describirán los prim eros cuatro m étodos; el lector interesa do en el m étodo d e aceptación y rechazo puede consultar la bibliografía recom endada.
3.4.1
M étodo de la transform ada inversa El m étodo d e la transform ada inversa puede utilizarse para sim ular variab les aleatorias continuas, lo cual se logra m ediante la función acum ulada F(x) y la generación de n ú m e ros pseudoaleatorios r¡ ~ U (0 ,1). E l m étodo consiste en:
78
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
1. D efin ir la función d e densidad F(x) que represente la variable a m odelar. 2. Calcular la función acum ulada F(x). 3. D espejar la variable aleatoria x y obtener la función acum ulada inversa F(x)~'4 . G enerar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con núm eros p seud oa leatorios r. ~U(0,1) en la función acum ulada inversa. El m étodo de la transform ada inversa tam bién puede em plearse para sim ular variables aleatorias d e tip o discreto, com o en las d istrib uciones d e Poisson, de Bernoulli, binom ial, geom étrica, discreta general, etcétera. La generación se lleva a cabo a través de la pro ba bilidad acum ulada P(x) y la generación de núm eros pseudoaleatorios r^ U fO J). El m éto do consiste en: 1. Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar. 2. Calcular todos los valores de la distribución acum ulada P(x). 3. G enerar núm eros pseudoaleatorios ry~U(0,1). 4 . Com parar con el valo r d e P(x) y determ inar qué valo r d e x corresponde a P(x). En la figura 3.13 se m uestra gráficam ente la m etodología para generar variables aleato rias continuas:
Función de densidad (Normal)
Función acumulada (Normal)
f(x) 0.45 0.4 -
Función de densidad (Exponencial)
Función acumulada (Exponencial) F(x)
Fig u ra 3 .13 Esquematización del método de la transformada inversa para variables continuas.
79
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Por su p a rte , la figura 3.14 m u e s tra d e m a n e r a gráfica la m e to d o lo g ía p a ra g e n e ra r variables aleatorias discretas.
Distribución de probabilidad (Geométrica)
Distribución acumulada (Geométrica)
P(x)
pM
1
0.25 0.8 0.2
r> 0.6
0.15
0.4
0.1
0.2 4 rr
0.05
0
I
0
2
4
I
6
I
8
I
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
10 12 14 16 18 2 0 x
Distribución de probabilidad (Poisson)
I
01
2 3 4 5 6 7 8 9
101112131415*
Distribución acumulada (Poisson) P(x)
pM 0 .1 4
0.1
0.12
0.8
r
0.1
0 .0 8
0.6
0 .0 6
0 .4
0 .0 4 0.2
0.02
0 0
2
4
q fl
□ppi
i 6
8
10 12 14 16 18 2 0 x
0
2
4
6
8
10~12 14 16 18 2 0 *
Figura 3 .1 4 Esquematización del método de la transformada inversa para variables discretas.
D istribución uniform e A p a rtir d e la función d e densidad de las variables aleatorias uniform es entre a y b,
F {x ) =
b -a
a< x< b
se obtiene la función acum ulada
F(x) = f - ! —dx b -a
=
x-a b -a
a< x< b
A l igualar la función acum ulada F(x) con el núm ero pseudoaleatorio r^ U fO , 1), y despejar x se obtiene:
x, = fl+ (b - o )f(x ), x, = fl+ (6 - ú )r , 80
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Ejem plo 3.6 La tem p eratura de una estufa se com porta de m anera uniform e dentro del rango de 95 a 100°C. La lista d e núm eros pseudoaleatorios y la ecuación x. = 95 + 5 r¡ nos perm iten m odelar el co m portam iento d e la variab le aleatoria que sim ula la tem peratura d e la estu fa (vea la tabla 3.6).
Tabla 3.6 Simulación de las temperaturas de una estufa. Medición
Temperatura °C
1
0.48
97.40
2
0.82
99.10
3
0.69
98.45
4
0.67
98.35
5
0.00
95.00
D istribución exponencial A p a rtir de la función de densidad de las variables aleatorias exponenciales con m edia 1/A, f ( x ) = \ e rÁX
para
x> 0
se obtiene la función acum ulada
F ( x ) = ^*\e~Xxd x
=
1 - e " Ax
para
x> 0
Si igualam os la función acum ulada F(x) con el núm ero pseudoaleatorio r/~ U (0 ,1), y des pejam os x se obtiene:
x, = - - l|n ( 1 - F ( x ) ,)
A
x, = —j-ln (l-f|) A
Ejem plo 3.7 Los datos históricos del tiem p o de servicio en la caja d e un banco se com portan d e form a e xp o n e n cia l con m ed ia d e 3 m in u to s/clie n te . U na lista de n úm ero s p seu d o aleato rio s r. ~U(0,1) y la ecuación generadora exp o nencial x. = —3ln(1 nos perm iten sim ular el co m portam iento de la variab le aleatoria (vea la tabla 3.7). 81
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Tabla 3.7 Sim ulación del tiem p o de servicio en la ca ja de un banco. Cliente
Tiempo de servicio (min)
ri
1
0.64
3.06
2
0.83
5.31
3
0.03
0.09
4
0.50
2.07
5
0.21
0.70
D istribución de Bernoulli A p a rtir de la distribución de probabilidad d e las variables aleatorias de Bernoulli con m edia p(x)= p*(1 - p ) 1- *
para
x = 0 ,1
se calculan las probabilidades p a r a x = 0 y x = 1, para obtener
X
0
P(X)
1-p
1 P
Si acum ulam os los valores de p(x) obtenem os:
X
0
PW
1-p
1 ------------1
A l g enerar los núm eros pseudoaleatorios r.~U(0/1) se aplica la regla:
*'
(0
si
r{ e ( 0 ,1 - p )
(1
si
/; e ( 1 - p , 1)
Ejem plo 3.8 Los datos históricos sobre la frecuencia de paro s d e cierta m áquina m uestran que existe una probabilidad de 0.2 de que ésta falle (x = 1), y de 0.8 de que no falle (x = 0) en un día determ inado. G enere una secuencia aleatoria que sim ule este com portam iento. A p artir de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con m edia 0.8, p(x) = (0.2)x (0.8), “ x
para
x = [0 ,1 ]
se calculan las probabilidades puntuales y las acum uladas p a ra x = 0 y x = 1 , y se obtienen los datos ilustrados en la tabla 3.8: 82
3.4 G eneración d e variables aleatorias
Tabla 3.8 Cálculo de las probabilidades acum uladas de las fallas d e la m áquina del ejem plo 3.8. X
0
1
Pix)
0.8
0.2
PiX)
0.8
1
La regla para generar esta variable aleatoria estaría definida por: _ |0
si
r. e ( 0 - 0 . 8 )
X ,- )l
si
r ,e (0 . 8 - 1)
Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r/~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular el co m portam iento d e las fallas de la m áquina a lo largo del tiem po, al considerar lo siguiente: • •
Si el núm ero pseudoaleatorio es m en o r que 0.8, la m áq uina no fallará. Si el núm ero pseudoaleatorio es m ayo r que 0.8, ocurrirá la falla (vea la tabla 3.9).
Tabla 3.9 Sim ulación de las fallas de la m áquina. Día
Evento: la máquina
1
0.453
0
no falla
2
0.823
1
falla
3
0.034
0
no falla
4
0.503
0
no falla
5
0.891
1
falla
Ejem plo 3.9 El núm ero de piezas que entran a un sistem a de producción sigue una distribución de Poisson con m edia de 2 piezas/hr. Sim ule el co m po rtam iento de la llegada d e las piezas al sistem a. A p artir d e la distribución de probabilidad d e la variab le aleatoria d e Poisson con m edia 2,
p {x ) = — — x\ 2* e~2 P (X ) =
x\
p ara
x = 0 , 1 ,2 , 3„..
paro
x = 0, 1 ,2 ,3 ,...
83
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
s e calculan las p ro b a b ilid a d e s p u n tu a le s y las a c u m u la d a s p a ra x = 0 , 1; 2,..., y se o b tie n e n los d a to s d e la ta b la 3.10.
Tabla 3.10 Cálculo de las probabilidades acumuladas para el ejemplo 3.9. X
p( x)
Pix)
0
0.1353
0.1353
1
0.2706
0.4060
2
0.2706
0.6766
3
0.1804
0.8571
4
0.0902
0.9473
5
0.0360
0.9834
6
0.0120
0.9954
7
0.0034
0.9989
8
0.0008
0.9997
9
0.0001
0.9999
10
0.00003
0 .9 9 9 9
La regla para generar esta variable aleatoria estaría definida por:
0
si
r .e ( 0 - 0 .1 3 5 3 )
1
si
r. € ( 0 .1 3 5 3 - 0 .4 0 6 0 )
2
si
/; e (0 .4 0 6 0 - 0 .6 7 6 6 )
3
si
r¡ € ( 0 .6 7 6 6 - 0 .8 5 7 2 )
4
si
r¡G (0 .8 5 7 1 - 0 .9 4 7 3 )
5
si
r¡ € ( 0 .9 4 7 3 - 0 .9 8 3 4 )
6
si
r¡ e (0 .9 8 3 4 - 0 .9 9 5 4 )
7
si
r¡ € ( 0 .9 9 5 4 - 0 .9 9 8 9 )
8
si
r¡ e (0 .9 9 8 9 - 0 .9 9 9 7 )
9
si
r¡ e (0 .9 9 9 7 - 0 .9 9 9 9 )
Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r.~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular la llegada de las piezas al sistem a de producción, con los resultados consignados en la tabla 3.11.
84
_______________________________________________________________ 3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Tabla 3.11 Simulación de la llegada de piezas al sistema, con variables aleatorias de Poisson. Hora
Piezas/hr
1
0.6754
2
2
0.0234
0
3
0.7892
3
4
0.5134
2
5
0.3331
1
Ejem plo 3.10 La ta b la sig u ie n te m u e stra la d em and a diaria d e cep illo s d e n tales en un su p e rm e rca do. Sim ule el co m p o rtam ien to d e la d em and a m ed iante el m éto d o d e la tran sfo rm ad a inversa.
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Demanda
1
2
2
1
3
0
3
1
3
A p artir d e la inform ación histórica se calculan las probabilidades puntuales y las acum uladas p a r a x = 0, 1, 2, 3 (vea la tabla 3.12).
Tabla 3.12 Cálculo de la probabilidades acumuladas para el ejemplo 3.10. X
p(x)
p(x)
0
0.1111
0.1111
1
0.2222
0.3333
2
0.3333
0.6666
3
0.3333
1
La regla para generar esta variable aleatoria estaría determ inada por:
*/ =
si
(0 -0 .1 1 1 1 )
si
r, €(0.1111 - 0 .3 3 3 3 )
si
r. € (0 .3 3 3 3 -0 .6 6 6 6 )
si
r. € (0 .6 6 6 6 - 1 )
Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r. ~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular la dem anda diaria de cepillos dentales, ta l com o se m uestra en la tabla 3.13. 85
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias__________________________________________
Tabla 3 .1 3 Sim ulación de la dem anda de cepillos dentales. Día
3.4.2
Demanda diaria
1
0213
1
2
0.345
2
3
0.021
0
4
0.987
3
5
0.543
2
M étodo de convolución En algunas distribuciones de probabilidad la variab le aleatoria a sim ular, Y, puede g en e rarse m ediante la sum a de otras variables aleatorias X de m anera m ás rápida q ue a través d e otros m étodos. Entonces, el m étodo de convolución se puede expresar como: Y = X } + X2 + ...+ Xk
Las variables aleatorias d e cuatro de las distribuciones m ás conocidas (de Erlang, norm al, binom ial y d e Poisson) pueden generase a través de este m étodo, com o se verá a conti nuación. D istribución de Erlang La variable aleatoria /c-Erlang con m edia 1/A puede producirse a p artir de la generación d e k variab les exp o nenciales co n m ed ial /kA: Y = X l + X 2 + .„ + X k
y = - ^ [ l n ( w 1) + ln ( l- r 2) + ...+ ln ( l- r lr)]
Y= ER' = - ¡ ¿
86
In r io - '.)
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Ejem plo 3.11 El tiem p o de proceso d e cierta pieza sig ue una distribución 3-Erlang con m ed ia 1/A de 8 m inutos/pieza. Una lista de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~U(0,1) y la ecuación de genera ción de núm eros Erlang perm ite obtener la tabla 3.14# que indica el co m portam iento de la variable aleatoria. Y= ER, = ~ 3 Y
=
-
f
l n
[ ( 1
- f
In f ld - r ,) /-I , )
( 1
-
f , ) ( 1
-
f , ) ]
Tabla 3.14 Simulación del tiempo de proceso para el ejemplo 3.11. Tiempo de proceso (min/pieza)
Pieza
1 - 'i
1
0.28
052
0.64
6.328
2
0.96
0.37
0.83
3.257
3
0.04
0.12
0.03
23 5 8 8
4
0.35
0.44
050
6.837
5
0.77
0.09
0^1
1 1 .2 7 9
D istribución norm al La variable aleatoria norm al con m ed ia /x y desviación estándar cr puede generarse m ediante el teorema d e l lím ite central: Y = X, + X 2 + ... + X k ~ N (kfxx, k a l ) A l sustituir X. por núm eros pseudoaleatorios rr se obtiene: Y = r ,+ r , + ...+ rk ~ N ( k - ,k — ) 2 12
V'=r1+r2 + ...+ r12 ~A/(—
)~A/(6,1)
Y = Z = (r, + r2 + ... + r12) - 6 ~ A/(0,1) 12
Z =1 (0 - 6 /-i
x - fl
N (0 ,1).
Si despejam os X, tenem o s que 12
x = AA =
X ('i)-6 (=1
87
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Ejem plo 3.12 El vo lum en d e líquido de un refresco sigue una distribución norm al con m edia d e 12 o nzas y desviación estándar de 0 .4 onzas. G enere 5 variables aleatorias con esta d istrib u ción para sim u lar el pro ceso d e llenado. 12
N ,= 5 > « > - 6 CT+ j.1 /-i N ,= í > , ) - 6 /-I
(0.4)+ 12
Tabla 3.15 Simulación del volumen de llenado de refrescos (ejemplo 3.12). \folumen (onzas)
Botella
!< * ;> /=i
1
62 1
021
12.084
2
5.34
- 0 .6 6
11.736
3
6.03
0.03
12.012
4
6.97
0.97
12.038
5
4.81
-1 .1 9
1 1 .5 2 4
£ w /=i
-
D istribución Binom ial La variable aleatoria Binom ial con parám etros N y p puede ser generada a través de la sum a de N variables aleatorias con distribución de Bernoulli con parám etro p. Y = B¡ = BE} + BE2 + ... + BEN~ B I(N ,p ) Ejem plo 3.13 A l inspeccionar lotes de tam añ o N = 5, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0.03. Sim ule el proceso de inspección para determ inar el núm ero de piezas d efectuo sas por lote. Este proceso sig ue una distribución Binom ial con N = 5 y p = 0.03, y será sim ulado m ediante la generación d e variables aleatorias d e Bernoulli con p = 0.03, d e acuerdo con el procedim iento señalado en la sección anterior, donde BE. = 0 representa una pieza en buen estado y BE¡= 1, una pieza defectuosa. (O bserve los resultados en la tabla 3.16.)
BE¡ =
si
=(0 - 0 .9 7 )
si
(0 .9 7 -1 )
B¡ = B E : + B E 2+ ...+ BE^ 88
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Tabla 3.16 Simulación del sistema de inspección del ejemplo 3.13. Lote
3.4.3
'3
*3
r4
SÉ4
r5
Piezas defectuosas
1
0.49
0
0.32
0
0.15
0
0.01
0
0.45
0
0
2
0.11
0
0.85
0
0.93
0
0.99
1
0.61
0
1
3
0.57
0
0.92
0
0.84
0
0.74
0
0.82
0
0
4
0.62
0
0.01
0
0.68
0
0.98
1
0.99
1
2
5
0.34
0
0.98
1
0.99
1
0.02
0
0.98
1
3
M étodo de com posición E l m étodo de com posición — conocido tam b ién com o m étodo m ixto— p erm ite generar variables aleatorias x cuando éstas provienen de una función de densidad f(x) que puede expresarse com o la co m binació n convexa d e m distribuciones de probabilidad f.(x). Entonces, la com binación co nvexa se puede expresar como:
/-I donde: xgA
x¿A A lgunas de las distribuciones m ás conocidas que pueden expresarse com o una co m b ina ción convexa son: la triangular, la de Laplace y la trapezoidal. El procedim iento general de generación es el siguiente: 1. Calcule la probabilidad de cada una de las distribuciones f.(x). 2. Asegúrese que cada función f.(x) sea función d e densidad. 3. O btenga, m ed iante el m étodo de la transform ada inversa, las expresiones para g enerar variables aleatorias d e cada una d e las d istrib uciones fyx). 4 . G enere un núm ero pseudoaleatorio r que perm ita definir el valor de lA(x). 5. Seleccione la función generadora correspondiente a la función f,(x). 6. G enere un segundo núm ero pseudoaleatorio r .y sustitúyalo en la función g en e radora anterior para obtener /. D istribución trian g u lar A p a rtir d e la función d e densidad triangular
f(x) =
_ 2 (x-a) fh (b-a){c-a) 2jb-x)
a < ,x < c c< xib
(b-a)(b-c) 89
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
calcule la probabilidad d e cada uno de los segm entos d e la función
í P (X ) =
—
dx a)(c-a) zi 2(b - x )
o dx Jf ífl ( b—- a ) ( b - c ) (c - Q )
(b - ú ) P (x ) = (b - c )
a < ,x ic c < x < ,b
(b-a) Ya que los segm entos por separado no son funcio nes de densidad, se ajustan al dividir entre su correspondiente p(x). 2(x-a) f(x) =
(b-a) _ 2 {x - a )
(b-a)(c-a)(c-a) 2 (6 - x )
(c-af
(b-a) _2 (b -x )
(b-a)(b-c)(b-c)
(b - c )2
a<x<c c<x<b
A l expresar la función com o una com binación convexa se obtiene: m /-i
(a-a)
/-i
2 aSxfic
(b - c )
donde
M *) =
1
s/
xeA
0
s/
xgA
Para aplicar el m étodo de la transform ada inversa, prim ero integram os a cada segm ento de la función:
F(x) =
90
* 2 X( x- - a ) . (x - a ) 2 C*A r- dx = -------V o < x < c (C ( c —. -af (c - a f r » 2 (b - * b- * \ d x . c < x .b (b -c)‘ (b - c )2
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Luego, al desp ejar x y sustituir r.e n F{x) obtenem os: a + (c - a )^ r, X =
b - [ ( b - c ) ^ r ,] Por últim o, al expresar la ecuación anterior incluyend o la función indicadora lA{x) tenem os que: (C -tJ)
si
a + (c - a )Jr¡
r, < ' (b - a )
x=
Ejem plo 3.14 G enere una m uestra d e 5 variables aleatorias con distribución triang ular a p a rtir d e los parám etros: valo r m ínim o 5, m oda 10 y valor m áxim o 20.
si
o + (c - o )^
(b-a)
x= ¿ > - [ (¿ > - c ),/ l- / ;]
si
A l sustituir o = 5, c = 10 y ó = 20 obtenem os
5 +(5 )^
si
r. < — ' 15
x= 2 0 - [(1 0 )^ ]
Si
r¡> ^
A l generar una secuencia d e núm eros pseudoaleatorios se obtiene la secuencia de varia bles triangulares que se lista en la tabla 3.17:
Tabla 3.17
S im u la c ió n d e v a r ia b le s a le a to r ia s t r ia n g u la r e s .
x = 5 + 5yfr¡ Variable
si
r. <, 3 3
x = 20-10^1- t¡ si
r. > 0.33
r¡
'/
1
0.231
0.456
8.37
2
0.421
0.967
-
18.18
3
0.853
0.982
—
18.65
4
0.048
0.134
6.83
5
0.675
0536
-
—
—
13.18
91
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
3 .4 .4
M étodo de transform ación directa Este m étodo se basa en el teorem a de Pitágoras, y se usa para generar variables aleatorias norm ales. En la figura 3.15 se m uestra la relación entre las variables involucradas en él.
F ig u ra 3.15
Generación de variables aleatorias z~ N [0,1).
G eom étricam ente, z., '2 =hser\6 z 2 = y ] z [ + z ¡ se n e
La sum a d e v variables aleatorias norm ales están d ar sigue una distribución Chi-cuadrada con v grados d e libertad:
La función de densidad de una variab le aleatoria Chi-cuadrada con 2 grados d e libertad es la m ism a d e una distribución exp o nencial con m edia igual a 2. En consecuencia, a través de la ecuación obtenida por el m étodo de la transform ada inversa para generar variables aleatorias exponenciales, y sustituyéndola en la ecuación anterio r se obtiene: z2=
2ln(1—ij )sen 6
Se generan valores aleatorios uniform es del áng ulo 6 entre 0 y 27r m ediante el m étodo d e la transform ada inversa: 6 = a+(b-a)íj 0 = (2tr)ry
92
3.5 Expresiones com unes de a lg u n o s generadores de variables aleatorias |
Y al sustitu ir obtenem os
z 2 = 7 -2ln (1 - r , )sen(27t í . ) Para cualquier variable aleatoria norm al N,
cr A l despejar A/y sustituir el valor de z previam ente desarrollado, se llega a la expresión final para la generación de variables aleatorias norm ales:
W, = [ ( 7 = 2 Í ñ C M ) ) s e n ( 2ir/;.)]c r+ ^
Este procedim iento deb e iniciarse tam bién a través de la generación d e la variable alea toria z }, lo cual dará lugar a la ecuación final
Nj = [ ( N/-2 ln (1 -/;))co s(2 7 rr)
+
Cualquiera de las dos últim as ecuaciones puede utilizarse para resolver el ejem plo 3.12, en dond e el generador d e variables aleatorias que sim ulan el vo lum en d e las botellas sería:
N, = [ ( 7 - 2 ln(l - r, ))sen(27í/})] (0 .4 )+ 1 2
D e m anera qu e si producim os los núm eros pseudoaleatorios uniform es 0.43 y 0.75, el volum en del líquido generado para alguna de las bo tellas sería
N¡ = [(V -2 ln (1 -0 .4 3 ))s e n (2 7 r(0 .7 5 ))](0 .4 )+ 12 = 11.575
onzas
3.5 Expresiones com unes de alg u n o s g en erad o res de variab le s aleato rias En la tabla 3.18 se presentan los generadores d e variables aleatorias de las distribuciones de probabilidad m ás usuales.
93
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Tabla 3.18 Generadores de variables aleatorias. Distribución
Generador
Parám etros o = Límite inferior de la distribución uniforme.
Uniforme u,
b = Límite superior de la distribución uniforme.
U, = a+ ( b - a ) r ¡
r¡ = Número aleatorio con distribución uniforme entre0 y 1. Triangular
a = Límite inferior de la distribución triangular.
o + 7 (fe -fl)(c-o )r/
T,
»
r¡ < (c _ o ) (6 - o )
c = Moda de la distribución triangular.
1= b - 7 (b - o )(b - c )(1 - f,) s Triangular
r > (c _ o ) ' (6 - a ) a = Límite inferior de la distribución triangular.
a + ic - a )^
T.
b = Límite superior de la distribución triangular.
s
r. < (c _ o ) 1 ib-a)
c = Moda de la distribución triangular.
T,=
b = Límite superior de la distribución triangular.
b-[(b-c)^ -r,] t (c-a) si r. >------' (6 - o )
Z = Números aleatorios con distribución normal estándar.
II !M a A
*
*2
n = Grados de libertad. 1/A = Valor esperado. k = Parámetro de forma.
Erlang ER.
Normal
J
N, = [(7-21 n(1 - r¡)) eos (27rr¡) a +/x
",
A// = [(7 -2 ln (1 -rí ))sen(27rr/)]<r+ /x Normal ",
94
í
12 ' Ni=\ 5 > ,- 6 c j+ ^ V /=i
/x = Media de la distribución normal a = Desviación estándar de la distribución normal. fj, = Media de la distribución normal. a = Desviación estándar de la distribución normal.
3.5 Expresiones com unes de a lg u n o s generadores de variables aleatorias |
Exponencial
f,= - i|n ( 1 - r ,)
f,
Weibull
1/A=Media de la distribución exponencial.
=Parámetro de escala. a =Parámetro de forma.
/3
w,
W,=y +f3!¡l-\n{\-rl)
y
/A=Valor esperado. k=Parámetro de forma.
Gamma 6
1
,
Lognormal LN,
= Parámetro de localización.
LN,=eN' donde:
fj, =Valor esperado. a2 =Varianza.
W í®r 15VÍInfligir i In ^ ' U,' ) { { Js+a* Bernoulli
BE,
'
ÍO
si
|1
s>
r,e(0,1 -p) r,e(1 -p,1)
B, B, =t BE,
;=«
p,
1 - p = Probabilidad de ocurrencia del evento x - 0 . BEj = Números aleatorios con distribución de Bernoulli.
Binomial
Poisson
p =Probabilidad de ocurrencia del evento x = 1.
Inicialización. Hacer A/ = 0 ,T = 1 y generar u n aleatorio r(.
N = Número del evento máximo de la distribución binomial. p = Probabilidad de éxito de la distribución binomial que se involucra al generar los Bernoulli. A = Media de la distribución de Poisson. N = Contador. T = Contador.
Paso 1. Calcular T = (7)(r.) Paso 2. Si la T > e~x, entonces hacer N = N + ‘\ , T = T ' I calcular otro ri y regresar al paso 1. Si T < e~x, entonces la variable generada esta dada por: P. = N. Para generar la siguiente variable de Poisson, regresara la fase de inicialización.
95
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
3 .6 Problem as 1. U tilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos.
17.392
ano
4.0 7 8
3.151
3.528
2.440
5.9 2 4
3.461
2.052
10.369
3.690
10.870
4.793
2.4 9 8
0.569
8.281
0 .1 5 4
5.959
3.384
12.877
13.602
5.244
16.677
5.977
4.313
4.767
2.381
6.443
1.392
1.578
8.115
4.891
6.720
7.7 2 8
2717
10.451
5.901
0.8 1 8
7.088
2.637
4.714
3.032
1.495
15.733
7.7 6 8
2.333
7.822
3.708
6.412
1.290
3.957
5 .2 8 5
7.094
3.078
1.264
2.630
10.177
2.155
2.945
7.552
11.094
4 .7 7 2
7281
14.344
19.867
0.119
2.072
1.486
3.791
4 .2 1 4
1.611
1.781
1.530
3.280
4.301
0.202
7.489
1.422
1.453
0.0 2 2
6.001
9.269
8.477
3.043
0.8 7 7
6.9 6 6
2.103
1.816
0.433
2.5 4 7
0.843
1.182
8.121
2.007
1.395
4.661
7.378
5.300
17.066
12.171
2. A p artir de la prueba Chi-cuadrada determ ine, con un nivel d e confianza de 90% , qué tip o d e distribución siguen los datos.
18.799
14.889
20.977
25.106
24.793
26.933
11.266
19.063
24.380
15.653
17.239
13.238
12.612
16.089
16.906
11.528
17.728
ia 3 8 4
20.539
18.538
18.692
18.519
25.371
19.659
19.255
17.947
27.889
23.463
29.503
17.380
26.646
13.550
2 2 .1 5 6
23.609
27.676
19.662
17.905
22.701
18.475
23.030
14.223
16.611
13.914
18.548
19.870
20.112
18.709
28.778
13.030
17.054
9.690
25.791
14.881
17.386
23.031
21.867
23.498
22.383
14.513
15.537
22.776
21.291
16.241
19.036
20.526
22.231
20.555
16.356
27.539
21.949
20.289
23.319
23.448
17.454
16.307
24.445
15.195
13.764
22.845
2 2 .5 5 4
28.823
25.775
25.216
20.452
2 0 .0 0 8
21.815
19.898
15.781
12.901
3.313
21.777
22.472
20.854
15.892
24.953
18.755
16.640
16.715
18.284
18.187
3. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o d e distribución siguen los datos.
96
12.656
11.664
11.855
11.399
11.845
9.766
11.866
10.671
12.157
12.503
13.317
11.381
11.252
12.146
11.769
11.792
13.577
12038
11.854
13.830
11.369
13.271
11.985
11.936
13.610
12363
12.437
11.765
12.683
11.931
11.264
10.902
12204
11.019
13.940
11.873
10.412
11.665
12957
11.617
11.346
10.634
12316
11.836
12.571
11.363
11.654
12.286
11.669
12.212
9.526
11.931
12247
14.116
10.475
10.441
9.695
13.172
14.374
11.610
10.999
12.548
12659
11.148
12.809
12.660
11.793
10.452
13.013
12.763
11.650
11.309
12.863
12.347
12.556
14.086
12.273
10.893
12.480
10.771
12.566
11.843
12.299
12357
12.131
11.728
10.653
14.121
13598
13.049
10.522
10.883
12.533
12.074
11.991
12.161
10.118
11.743
11.062
11.002
3.6 Problem as |
4. Em plee la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel d e confianza de 95% , qué tip o d e distribución siguen los datos. C om pruebe con la herram ienta Stat::Fit de ProModel.
1.679
1.187
0.2 3 4
1.780
1.458
2.6 2 8
0 .5 0 4
0.951
1.383
0 .4 8 6
0.561
0 .4 9 4
4.923
0.6 3 5
0.5 0 4
2.606
0.3 8 2
1.380
2.700
0 .4 6 8
2771
3.141
1.019
2.5 1 6
1.182
2.258
0.161
8.055
0.4 6 4
2.312
2.327
0.761
1.876
1.506
2.451
0.831
5.715
0.699
1.450
3.582
0.684
3.192
1.427
0.5 1 8
2.1 9 8
0.922
1.597
2.660
2.933
4 .5 1 8
5. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los datos; em p lee la prueba Chi-Cuadrada.
12.561
2.695
12.082
10.335
13.260
2.549
4 .5 9 4
2500
24.930
7.805
& 322
7.422
11.143
20.599
7508
4.367
1544
3.706
8.185
14.405
4.057
15584
9.049
6.265
10.663
10.257
11.475
4.6 8 8
16.256
4 .6 8 8
11.963
5.599
19.204
1.784
25.998
12.299
10.317
3.779
18.993
7.419
15.154
9.579
8.423
6 .9 3 4
2005
13.234
5542
5271
12.831
8.231
15.330
7 .9 5 8
7.103
16.134
0.189
10.165
14.624
15.696
10.212
0.891
3.186
9.051
11.118
4.449
17.901
15.497
6.6 4 5
5.078
11555
3.7 2 4
21.500
7.160
13.528
3.372
15.334
7.603
31.066
1.992
21.127
10.784
3.643
27.334
3.178
1.313
10.962
6.9 3 6
3.140
16.877
19.171
6.6 2 0
3.775
16.675
1.368
17.583
1.669
11.157
16.432
2.831
7.844
10.745
6. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o d e distribución siguen los datos; em p lee la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov. C om pruebe con la herram ienta Stat::Fit d e ProModel.
16.032
24.076
16.463
21.151
14.817
14.702
27.014
12.165
16.597
2 1 .4 0 4
18.825
19.364
18515
14.240
24.154
19.916
16.238
20.795
25.924
18.874
17.532
16.713
16.677
18.739
14.206
19.501
18590
18587
19.929
2 5 .3 5 4
12.858
16.452
17.487
22.658
22.240
17.471
16.537
23.960
14.417
18.338
28.501
16.939
17.926
24.477
17.673
22422
13.373
21.971
20.549
24.509
7. Em plee la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel d e confianza de 90% , qué tip o d e distribución siguen los datos. C om pruebe con la herram ienta Stat::Fit de ProModel.
0 .9 0 4
0 .5 9 8
0.081
2.7 5 6
0.151
1.662
0.2 2 3
0.531
1.229
0.3 4 7
1.228
0.235
2.060
1.182
0.280
7.860
0 .6 6 4
2.898
2.815
0.121
2.294
2.087
1.424
1.525
0.7 5 4
7.145
0 .7 5 4
1.962
1.613
0.0 0 3
1.337
3.399
1.639
3591
2393
0.412
3.2 5 8
0.2 5 6
1.419
0 .1 5 6
2775
0 .3 5 5
0.0 4 6
1.243
0 .7 7 6
0.585
0.6 6 7
0.123
1.202
6.9 8 5
97
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
8. D eterm ine, co n un nivel d e confianza d e 90%, q u é tip o d e distribución siguen los d a to s m e d ia n te la p r u e b a d e Kolmogorov-Smirnov. C o m p ru e b e con Stat::Fit.
4.548
3.136
5.366
1.979
6.097
3.823
5.520
4.203
4.972
8.4 2 9
3.242
4.705
5.919
5.530
6.891
5.997
6.6 4 0
6.3 7 6
6.860
5.991
6.303
6 .4 7 6
8.503
3.863
1.738
2.913
5.171
6.8 5 6
5.665
3.3 9 6
5.225
5 .9 6 6
4.743
7.2 2 8
6.030
6.1 8 4
7.600
5.716
5.781
4.4 6 5
5.307
8 .5 4 6
6.093
4.720
5.771
4.521
3.715
5.368
1.871
1.629
9. A p artir de la prueba Chi-cuadrada determ ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o d e distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat:Fit
6 .5 3 6
8.441
3.822
6 .1 7 6
5.059
5.325
6 .4 7 6
4.229
5.619
4.0 6 2
4.769
4 .4 8 4
2.938
6.4 5 9
3.083
6.199
2.590
7.407
7.001
8.501
3.154
3 .5 4 6
6.3 1 6
4 .3 6 4
8.986
4.195
2.952
3.590
7.356
6.2 6 9
5.427
3.431
6.532
6.101
2 .6 2 5
4.463
7.900
3.715
4.881
7.410
3.404
5.769
2.917
6.739
7.049
5.743
5.4 4 8
3.958
6.632
7.0 3 6
10. U tilice la prueba d e Anderson-Darling para determ inar, con un nivel de confianza de 90%, qu é tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
1.018
0.283
1.672
-0 .2 8 9
-1 .3 4 3
-0 .4 1 8
1.317
0.249
0.9 3 7
-0 .6 7 0
-1 .3 2 2
- 0 .2 9 6
-1 .6 3 8
1.970
-0 5 4 1
1.567
-1 .7 1 7
0.1 2 5
-0 .6 0 8
1.027
2.295
-Q 9 5 2
0.431
2.210
-0 4 7 7
0.9 1 3
-0 .6 9 7
-0 .1 4 5
-1 .0 8 8
0.1 3 7
- 1 .1 0 8
-0.281
0.5 6 4
0.6 8 3
-0 6 9 1
0.0 1 0
-0 .4 2 9
-1 .4 2 0
-0 .0 7 0
1.517
0.095
- 0 .1 0 4
1.240
- 0 .3 5 4
-1 .5 2 5
1.077
0.2 0 0
-0 .9 5 9
- 0 .1 4 4
-1 .1 6 9
11. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos; utilice la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov.
98
7.982
40.122
5.862
21.920
7.902
10.824
22.258
13.343
11.045
23.603
18.951
12.348
8.725
11.536
10.187
11.442
13.396
13.070
13.668
7.9 5 4
6.361
6.405
34.450
24.956
5.442
12.996
5.073
13.620
11.020
11.729
3.382
14.387
10.037
5.481
2.969
7.503
4.159
23.466
5.219
11.713
37.134
21.099
9.021
6.0 8 0
9.053
5.178
18.700
9.056
6.647
5.767
17.684
8 .8 1 4
22.939
2.491
10.123
3.244
9.433
11.774
3.271
10.390
6.839
7.073
10.708
25.237
7368
1.152
8.059
26.399
29.285
22.350
3.274
7.325
10.046
9.888
13.798
15.255
20.507
11.147
19.691
7.711
22.836
11.811
14.650
2.8 9 8
20.041
10.228
9.553
19.870
8.520
26.182
12.427
14.432
24.699
6.848
7.197
12156
1.674
8.582
16.293
16.126
3.6 Problem as |
12. A p a rtir de la prueba Chi-cuadrada, determ ine con un nivel de confianza de 90% qué tip o d e distribución siguen los datos.
5.091
11.319
3.274
3.366
12.233
5.725
9.1 8 6
8.232
6.545
6.481
6.752
10.640
7.242
2.9 1 0
8.391
2.2 8 8
4.5 8 2
6.1 1 4
9.965
10.643
11.584
13.333
10.081
11.892
14.542
9.851
11.088
6.301
5.350
3.465
9.595
13.784
4.867
3.171
7.782
5.682
9.587
12.519
9.964
1.298
7.556
8.120
6.451
10.263
5.367
3.059
6.341
3.613
3.068
7.291
4.179
10.035
5.599
5.582
4 .8 3 6
8.663
6.9 7 5
8.441
2.064
5.147
13.470
1.512
11.317
9.799
7.825
9.464
7.799
6.929
8.915
8.0 0 7
9.710
5.259
8.086
4.141
2.972
14.575
2.2 4 8
6.565
13.418
5.2 3 8
14.135
5.937
2954
9.264
14.970
6.742
5.551
5.313
6.3 4 8
5.723
12.436
8 .1 5 3
5.418
4.0 2 8
6.5 1 5
9.474
6.817
10.190
4.961
13.263
13. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos; utilice la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov.
1.338
0.530
0.580
0.1 0 2
0.285
0.725
5.567
6.773
0.101
5.549
1.198
0.049
0.2 9 4
3.661
3.072
5.193
0.3 2 9
2.721
0.9 8 8
0 .7 1 6
1.852
1.426
1.586
0 .6 6 4
6.032
0.093
3.8 5 6
1.779
1.729
1.456
3.050
4 .6 8 8
4.117
2.350
2.954
0.883
1.790
3.847
2.659
3.622
1.003
0 .4 6 0
1.645
2.342
3.983
1.517
0.6 9 5
3.564
0.573
0 .2 0 4
0.286
1.581
0.395
3.986
2.4 1 6
0.577
0.6 1 7
1.494
0.4 6 8
1.037
2.283
0 .7 7 4
0.483
0.852
4.3 4 2
0.0 6 4
0.299
0 .2 1 4
3.294
0.3 4 5
0.388
0 .4 2 9
2156
4.2 7 6
0.371
4.520
0.408
0.1 1 3
0.240
2.923
0.095
2.267
1.355
2.859
0.7 9 9
4.7 1 8
8.664
0.3 3 9
1.892
1.262
0.265
2.032
7.487
2.852
0.0 4 0
1.860
0.7 1 6
3.551
0.493
0.2 6 9
14. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los datos; em p lee la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov. C o m p ru eb e con Stat::Fit.
20.931
18562
26.714
25.275
24.580
22.090
19.608
15.447
29.631
28.821
28.013
26.693
29.751
22.189
20.807
27.339
22556
24.069
15.724
2 1 .6 1 4
2S.570
18.746
16.818
29.122
27.190
26.915
26.844
19.573
26.853
17.053
22.518
18.883
26.128
24.007
28.127
25.213
19.964
27.141
2 5 .4 5 8
26.060
29.791
17.890
15515
24.985
17.717
19.063
2 9 .9 8 6
24.074
23.517
20.733
99
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
15. D eterm ine, co n un nivel d e confianza d e 90%, q u é tip o d e distribución siguen los d a to s m e d ia n te la p r u e b a d e Anderson-Darling. C o m p r u e b e co n Stat::Fit. 7.717
7.971
5.261
5.9 9 4
7.215
6.100
6 .8 7 6
7514
6.409
6.6 7 9
6.377
6.155
7.512
7.9 3 6
7.960
6.157
5.7 9 6
7.579
6.450
6.7 1 9
6.150
5.983
5.091
7.492
6.9 7 4
5.386
6.3 4 7
5.053
5.129
5.922
6.174
5.962
5.153
6 .8 3 8
5.741
5.478
5.471
7.745
5.057
5.5 4 8
7.814
6 .2 3 8
7.484
6.150
7.561
7.734
5.595
7.587
5.235
7.872
16. U tilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit. 71.680
81.149
97.491
68.180
95.076
63.185
75.425
80.150
68.181
9 7 .8 4 4
85.478
91.051
95.882
95.804
62.614
92.978
97.926
69.716
70.205
7 3 .8 6 4
89.360
97.891
83.945
60.747
75.734
8 3 .7 0 4
93.645
84.366
64.310
8 6 .9 5 0
95.181
91.325
72.550
63.391
96.829
90.108
75.107
68.775
92.229
7 7 .1 4 8
90.591
83.537
91.262
69.235
69.346
74.473
80.042
68.510
63.499
89.607
17. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos m ediante la prueba Chi-Cuadrada. C om pruebe con Stat::Fit. Z076
3.724
5.187
3.775
1.443
4.0 9 8
2.919
4.043
1.677
3.501
3.137
1.806
4.9 6 8
2.370
3.009
3.964
4.0 5 7
4.035
2.499
3.200
3.983
4 .1 0 2
4.5 7 4
5.331
3.309
3.351
3.722
6.430
3.587
5.0 0 6
1.556
4 .9 9 3
4.3 2 8
2.749
4.3 7 4
3.018
4 .6 0 6
2.682
4.870
2.7 2 7
3.899
5 .8 2 8
1.874
1.316
3.361
2.639
2.2 4 6
4.463
4.1 6 4
6.351
18. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos. Em p le e la prueba Chi-cuadrada y com pruebe con Stat::Fit. Z076
3.724
5.187
3.775
1.443
4.0 9 8
2.919
4.043
1.677
3.501
3.137
1.806
4.9 6 8
2.370
3.009
3.964
4.0 5 7
4.035
2.499
3.200
3.983
4 .1 0 2
4.5 7 4
5.331
3.309
3.351
3.722
6.430
3.587
5.0 0 6
1.556
4 .9 9 3
4.3 2 8
2.749
4.3 7 4
3.018
4 .6 0 6
2.682
4.870
2.7 2 7
3.899
5 .8 2 8
1.874
1.316
3.361
2.639
2.2 4 6
4.463
4.1 6 4
6.351
19. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos; utilice la prueba d e Anderson-Darling. C om pruebe con Stat::Fit.
10 0
191.088
178.781
199.534
191.382
173.618
193.244
185.665
192.927
175.524
189.795
176.583
187.396
198.267
181.183
186.406
19Z473
193.006
192.881
18Z241
187.850
193.267
192.581
195.991
200.364
188.597
188.870
191.077
206.708
190.292
198.489
198.414
174.540
194.575
184.283
194.842
186.476
196.176
183.730
197.700
184.097
203.231
192.099
177.140
17 Z 5 8 2
188.939
183.386
180.174
195.355
193.626
206.255
3.6 Problem as |
20. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos. Em p le e la prueba Chi-cuadrada y com pruebe con Stat::Fit.
17.264
18.129
15.235
15.281
16.162
18.089
14.601
12.091
17516
12.258
14.938
17223
19.787
13.435
16.082
13.025
18.482
19.439
15.032
10.816
16.751
16.805
ia 5 8 0
15.663
13.163
16.930
18.475
18.064
16.390
15.989
14.257
14.772
17.520
15.959
17.579
18.917
18.737
13.028
13.534
14.233
16.651
17.175
17.510
14.658
15.845
17552
18.398
10.877
13.538
13.217
21. U tilice la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov para determ inar, con un nivel d e confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
2865
4.419
3.681
6502
1.141
2.773
2.299
4.589
7.142
1.783
2336
2201
1.186
3.610
0.753
2.653
3.5 7 4
3.588
3.128
3.100
3.420
1.123
3.264
2.219
1.962
2.915
4.2 8 2
4.835
3.057
1.000
1242
3.725
4.317
1.694
3.286
3.698
3.2 0 8
1.628
3.704
1.020
3.117
1.283
3.821
0.943
1.713
4.715
1.740
2.769
2.877
3.9 5 6
22. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos. U tilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov y com pruebe con Stat::Fit.
82.842
208.481
261.858
54.809
989.300
64.625
334.560
53.719
75.188
5 9 .4 4 4
44.148
102.905
185.161
32.573
1231.860
1176.460
175.667
53.632
105.450
125.164
647.174
183.747
113.870
78.092
64.731
332.889
139.595
153.120
57.566
83.781
114.911
431 .1 3 8
274.864
877.946
85.668
222.815
47.822
114.754
416.533
337.344
169.609
251.844
210.369
106.671
56.651
98.984
168.127
476.397
86.082
215.320
23. A p artir d e la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov, determ ine con un nivel d e confianza de 90% qu é tip o d e distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
0 .4 8 8
0 .1 1 6
0.731
0 .0 9 4
0.6 8 4
0.093
0 .3 6 8
0.090
0.761
0.4 2 0
0.995
0 .9 0 8
0.183
0 .1 4 6
0.633
0.567
0 .0 5 8
0.507
0.780
0.1 3 9
0.088
0 .3 8 2
0.707
0.4 1 3
0.581
0.2 5 4
0.4 4 0
0.447
0.251
0.8 7 0
0.149
0 .4 2 7
0.743
0 .4 3 4
0.260
0.7 3 8
0.3 0 0
0.302
0.3 1 4
0.4 2 3
0.731
0 .3 1 3
0.9 0 8
0.845
0.9 3 7
0.607
0.0 2 5
0.302
0.6 0 8
0 .0 7 8
101
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
24. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , si la variable aleatoria representada por la siguiente tabla de frecuencia sigue una distribución exponencial con media 1.
Intervalo
Frecuencia
0-1
29
1-2
18
2-3
18
3-4
12
4-5
8
5-6
3
6-7
2
7-8
5
8-9
3
9-10
0
10-oo
2
25. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos, a) Em p le e la prueba d e Anderson-Darling, b)e m p le e la prueba Chi-cuadrada.
10 2
Intervalo
Frecuencia
-00-12
3
12.0-12.5
4
12.5-13.0
3
13.0-13.5
6
13.5-14.0
8
14.0-14.5
15
14.5-15.0
12
15.0-155
13
15.5-16.0
7
16.0-16.5
16
16.5-17.0
7
17.0-oo
6
3.6 Problem as |
26. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los datos. U tilice la prueba Chi-cuadrada.
Histograma Frecuencia 16
15
14-
13
12-
11
11
10 -
10
8
8
8
64
2- 0 0 o 1/1
7
r— irt T—
CM m T— 1
óin
fO m T— <Ñ in
1/1
vo
m T—
cb 1/1
rv
co
1/1
1/1
1/1
1/1
T— Jl
v6
T— rv
1/1
1/1
1/1
1/1
T—
r—
o< m r— cb IT)
m
*”
Intervalos
27. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos; em p lee la prueba Chi-cuadrada.
Histograma Frecuencia 60 - r
57
50 40
47 39
30 23 16
20 --
10 40 <N
(N
VO 4
co vó
o
O
fN
^
VO
1 0 = H --O fN ÍN fN CO O Intervalos
103
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
28. Utilice la p r u e b a C hi-cuadrada p a ra d e te rm in a r co n un nivel d e confianza d e 95% q u é tip o d e distribución sig u en los datos.
4
5
3
5
5
4
3
2
4
3
4
6
4
3
5
2
2
3
3
4
4
4
3
3
3
2
2
3
2
3
3
4
5
2
3
4
3
3
5
3
2
5
3
4
4
1
4
5
4
5
7
2
4
4
2
4
1
5
4
4
5
5
5
2
4
4
5
4
4
1
6
4
6
6
2
4
4
2
2
2
3
3
2
5
3
5
1
3
2
4
1
2
5
2
3
1
5
3
2
5
29. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos. Use la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov.
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
2
1
1
1
0
0
0
1
0
1
2
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
2
1
0
1
2
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
2
0
0
1
2
1
0
1
0
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
2
1
0
0
30. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos; use la prueba Chi-cuadrada y com pruebe con Stat::Fit.
104
5
3
2
4
6
4
3
2
2
0
3
2
4
6
2
8
6
3
3
3
11
5
9
3
7
4
7
2
7
3
4
7
7
3
3
4
8
4
2
7
5
4
5
3
6
4
4
3
1
3
3.6 Problem as |
31. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con la herram ienta Stat::Fit.
10
9
8
10
9
8
13
10
16
13
14
15
11
6
12
10
5
10
9
12
8
7
8
9
10
8
10
5
3
13
9
12
15
7
5
9
14
12
11
10
4
12
13
7
7
7
18
5
9
10
32. A p a rtir de la prueba Chi-cuadrada, determ ine con un nivel de confianza de 90% qué tip o d e distribución siguen los datos.
2
1
2
0
1
1
2
1
0
1
1
2
2
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
2
2
0
0
2
1
0
2
0
0
1
2
1
0
0
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
0
2
0
3
2
0
0
1
2
1
1
1
2
3
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
2
0
0
0
3
1
0
1
0
1
0
1
1
2
3
2
1
2
0
0
1
1
0
0
2
0
33. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos; em p lee la prueba Chi-cuadrada.
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
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0
1
1
0
0
1
1
1
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1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
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0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
105
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
34. D eterm ine, co n un nivel d e confianza d e 95%, q u é tip o d e distribución siguen los datos; e m p le e la p r u e b a Chi-cuadrada.
35. U tilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
1
2
0
1
2
1
0
0
1
2
2
1
1
1
1
2
0
2
2
1
1
1
2
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
2
0
1
2
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
36. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos. U tilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov y com pruebe con Stat::Fit.
37. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los datos; em p lee la prueba Chi-cuadrada y co m p rueb e con Stat::Fit.
10 6
X
Frecuencia
0
11
1
29
2
31
3
14
4
9
5-oo
6
3.6 Problem as |
38. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos; use la prueba Chi-cuadrada.
0
1
0
2
2
1
0
2
5
0
6
0
0
0
3
1
4
0
0
2
1
2
1
0
1
4
0
0
0
1
2
2
2
0
1
0
0
0
4
3
0
1
0
0
2
1
0
0
9
3
4
2
0
1
8
0
2
0
6
1
1
1
0
3
2
0
0
0
3
1
0
5
0
0
1
1
1
0
1
0
7
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
0
5
9
1
2
4
0
0
0
39. Em plee la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel d e confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos.
X
Frecuencia
0
21
1
17
2
14
3
9
4
8
5
6
6
6
7
1
8
4
9
4
10
1
11
0
12
1
13
2
14-03
6
107
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
40. D eterm ine, con un nivel d e confianza de 90% , si los datos se distribuyen de acuerdo con una distribución binom ial con N = 10 y p = 0.5.
41. D eterm ine, con un nivel d e confianza de 90% , si los datos se distribuyen de acuerdo con una distribución uniform e discreta (1-6).
Frecuencia
Histograma
42. Genere, m ediante el m étodo de la transform ada inversa, 100 núm eros aleatorios para las siguientes distribuciones de probabilidad. x -1
01 " “
' i d
,
1 i A* k) p (x ) = - - I 2
10 8
para
para
x = 1,2,3,-.
x = 0 , 1,2,3,...
3.6 Problem as |
C) p ( y ) = 2020o°X
P afa
d) P (x ) = 185()4 X
para
3x + 8 e) p (x ) = 10Q
f> p { x ) = ^ x 9
x = 0' 1' 2' 3 ' 4
x = 0 /1 2 ,3 ,4
para
para
x = 2 ,3 ,4 ,5 ,6
x = 6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1
p(1 —p)*"1 p w = 1 - (1 - p )"
Para
x= 1'2
n
43. O btenga, con el m étodo de la transform ada inversa, la expresión m atem ática para generar variables aleatorias que sigan las funcio nes d e densidad indicadas.
x 4-
a) f ( x ) = - e 10
para
b ) f ( x ) = 3 6 x V 2,‘ c ) f ( x ) = 4 x 3e - x'
x> 0
para para
x¿0 x >0
44. En los siguientes incisos genere variables aleatorias co n densidad f(x) m ediante los núm eros aleatorios 0 .1 2 3 ,0 .7 6 5 ,0 .8 9 3 , 0.563,0.642, 0 .2 2 5 ,0 .3 3 4 ,0 .0 7 6 , 0.984 y 0.445. Use el m étodo de la transform ada inversa. a) f ( x ) =
3 /4
0< x< 1
1 /4
1 < x <2
y ^ (x —7)
7< x< 10
b) f ( x ) = — (15 —x ) 20 ^ (x - 8 ) c )
f ( x
)
10< x< 15
8< x< 11
=
8
6 d) f ( x ) =
11< x < 1 2
8 < x < 10 10< x< 14
12 1
14< x < 1 5
109
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
45. Obtenga las funcio nes generadoras m ed iante el m étodo de com posición d e las siguientes fu n cio n es d e densidad: O) f { x ) =
3 /4
0 < x< 1
1 /4
1< x< 2
1
— (x - 7 )
7SÍ x < 1 0
b) f[x ) = — (1 5 - x ) 20 ^ (x - 8 ) 3
f{x) =
10 S x <15
8< x< 11
5
11< x <12
8 1
2< x < 4
6 d) f(x ) = -
4 < x <5
3
5 < x< 9 12 1 -e 2 e) f ( x ) = 1 -e 2
< x< 0 - X
0< X<oo
46. Genere 100 variables aleatorias para las siguientes distribuciones de probabilidad; utilice el m étodo d e la transform ada inversa. ° ) ^(x) = —
b) ^(x ) = ”
0 < x < 4+ ^ 152
P ara
4 < x <10
1 c) f ( x ) = —
para
2< x< 7
d) f ( x ) = —
para
0< x< 2
x2 e) f { x ) = — 4 o
11 0
r™ -
72
par a
para
f ( x ) - ( x - 14)
1 < x < l1 3
para
14< x< 34
3.6 Problem as |
47. Genere 50 variables aleatorias para las siguientes distribuciones de probabilidad; em plee el m étodo de la transform ada inversa. a) f ( x ) = —— 4
para
1< x< 1 + \ 8
b) f ( x ) = 6
para
7 :£ x < 1 3
c) f ( x ) = ~ x
para
^<,x<^I7^3
d) f ( x ) = - ^ x 1
para
2 < ,x< ,l¡& 9
e) f ( x ) = - 1 - x 2 0.8
para
0< x< V ¿4
48. Obtenga las expresiones para generar variab les aleatorias con la distribución de pro babilidad: a) f ( x ) = — ( x + 1)2 28
para
-2 ¿xi2
b) f ( x ) = ^ ( x - 9)
para
9< x< 12
c) f ( x ) = ~ ( 8 - x )
para
5^ x< 8
d) f ( x ) = - ( 1 5 - x ) 8
para
115x< 15
49. D eterm ine los valores de X para los núm eros aleatorios 0 .0 2 3 4 ,0 .2 4 5 6 ,0 .7 8 6 7 ,0 .4 2 6 , 0.9845, 0.124, 0.8 62,0.555, 0.3345 y 0.6735, puesto q u e X s o n variables aleatorias con las siguientes distribuciones de probabilidad. 1 -a)f(x) = - e s
para
x> 0
1 b) f { x ) = - { x 6
— )e 6
para
x>
50. M ediante cualquier hoja de cálculo, genere 50 variables aleatorias. a) D istribuidas d e m anera exp o nencial con A = 5. b) D istribuidas de form a no rm al con m edia 50 y varianza 36. c) D istribuidas de m anera uniform e con lím ite inferior igual a 20 y lím ite superior igual a 100.
111
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
d) D istribuidas trian guiar m en te co n lím ite inferior = 5, valor m ás p ro b ab le = 15 y lím ite superior = 25. é) Con distribución bino m ial y parám etros N = 5, p = 0.3, q = 0.7. f) Con distribución d e Poisson, con A = 3. g) Con distribución w eib u ll con parám etro de localización 100, escala 30 y form a 4 h) Con distribución erlang con p arám etro d e form a 4 y m edia 20. Com pruebe con Stat::Fit si las variables aleatorias generadas siguen la d istrib u ción d e probabilidad que se esperaría d e ellas. 51. M ediante una hoja d e cálculo, genere 200 variables aleatorias distribuidas no rm al m ente con m edia 30 y varianza 25. U se la fórm ula x = 5z + 30 donde el valor d e z representa una variable aleatoria con distribución no rm al estándar obtenida a p artir de la función = NORMSINV(RAND()) 52. M ediante cualquier hoja d e cálculo, genere 50 variables aleatorias distribuidas de m anera triangular con lím ite inferior = 12, valor m ás pro bable = 18 y lím ite superior = 25, use: a) El m étodo de la transform ada inversa. b) El m étodo de com posición.
Referencias [1] Azarang, M. y García, E. (1996). Simulación y Análisis de Modelos Estocásticos (1a ed.): McGraw Hill.
[2] BanksJ., Carson, J.S., Nelson, B.L., y Nicol, D.M. (2005). Discrete-EventSystem Simulation (4,h ed.): Prentice Hall NJ. [3] Law, A.M. y Kelton, W.D.(2000). Simulation Modeling andAnalysis (3*. ed.): McGraw Hill.
11 2
Sim ulación de variab les aleatorias
4.1
Verificación y validación de los m odelos d e sim ulación
4.2
Sim ulaciones no term inales o d e estado estable
4.3
M odelos d e sim ulación
4.4
Selección d e leng uajes d e sim ulación
4.5
Caso de estudio 1
4.6
Caso de estudio 2
4.7
Problem as
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
4.1 Verificación y valid ació n de los m odelos d e sim ulación G racias al avance tecnológico, en la actualidad existen en el m ercado aplicacio nes con interfaces gráficas tan poderosas que perm iten a m uchos usuarios con inclinaciones té c nicas desarrollar m odelos en el área de la sim ulación. Por desgracia, en general, dichos usuarios, aunque aprenden a usar el lenguaje relacionado y m anejan algunos d e los con ceptos básicos, ponen m u y poca atención al análisis correcto d e los resultados. Así, m uchos estudios son interpretados de m anera errónea y es m u y pro bable que co nd uz can, en consecuencia, a m alas decisiones. El fenó m eno que acabam os d e describir ocurre por razones com o éstas: e n prim er lugar, el falso sentido de seguridad que desarrolla el usuario por el sim ple hecho d e cono cer el lenguaje utilizado en el área; la facilidad de uso del softw are de sim ulación actual y su capacidad para desarrollar gráficos y anim aciones y, sobre todo, la dificultad im plícita en el análisis estadístico d e la inform ación. Es m u y com ún encontrar personas que des pués d e sim ular un sistem a estocástico aseguran de m anera bastante ingenua que el resultado de la variab le d e respuesta es un valor único — por ejem plo, que el núm ero de p iezas que se acum ulan ante una m áq uina es tan sólo el prom edio d e la variab le— , y dejan d e lado un co m pleto análisis estadístico de dicha variab le. Para evitar que el lector se convierta en uno d e esos usuarios, aq u í se discutirán los aspectos m ínim o s que deben cuid arse en el análisis d e las variables de salida. Para em pezar, debem os distinguir dos categorías entre los m odelos de sim ulación: m odelos de categoría term in al y m odelos no term inales o de estado estable. A co ntinua ción se explica esta clasificación con m ás detalle.
4.1.1
Sim ulaciones term inales Los m odelos d e tip o term in al tienen com o característica principal la ocurrencia de un evento que da por term inada la sim ulación. Un ejem p lo sería el siguiente: digam os que nos interesa conocer el tiem p o que llevaría procesar un lote de 10 piezas, el tiem po requerido para vender 100 periódicos, o el núm ero de clientes que se atiend e en una cafetería entre las 8:00 y las 9:00 a.m . El análisis estadístico recom endado para este tipo d e sim ulaciones involucra la utilización d e intervalos d e confianza y la determ inación de la distribución de probabilidad de la variab le d e salida. 4.1.1.1 Intervalo s de confianza D ebid o a la naturaleza aleatoria d e los resultados d e este tip o de m odelos, es necesario determ inar su distribución de probabilidad y su intervalo d e confianza en las diferentes réplicas. En la sección 3.3 del capítulo anterio r se discute cóm o obtener la distribución de probabilidad d e una variab le aleatoria; por lo tanto, aq u í nos ocuparem os d e los interva los de confianza. Si la variable aleatoria sigue una distribución norm al, el intervalo de confianza está dado por:
4.1 V erificación y va lid a ció n de los m o d e lo s de sim ulación
En caso de que la variable aleatoria siga otro tip o de distribución, el intervalo d e confian za es relativam ente m ás am plio, y se calcula como:
IC =
x + yfra
En am bas ecuaciones: r = Núm ero d e réplicas a = Nivel d e rechazo 1V * =-r L x ¡ ' m , V I
S = '
i ¡_ i
Ejem plo 4.1 Los resultados de 10 réplicas d e la sim ulación d e un sistem a d e inventario prom edio en un alm acén son 190.3, 184.2, 182.4, 195.6, 193.2, 190.5, 191.7, 188.5, 189.3, 188.4. D eterm ine el intervalo de confianza con un nivel d e aceptación de 95% . La m ed ia y la desviación estándar de la m uestra son: x = 189.41 S
= 3.916
Bajo la prem isa d e que el inventario prom edio sig ue una distribución norm al, el intervalo de confianza se calcularía de la siguiente form a:
IC = a/2'r-1 IC = 189.41
3.916 \ / í0
(^ 0 .0 2 5 ,9 )
v'10
el fa cto r fQ0259 se obtiene de la tab la d e distribución t que se encuentra en los anexos.
IC = 1 8 9 .4 1 - ^ ¿ ( 2 2 6 2 ) v
i
o
‘
1 8 9 .4 1 + ^ 1 ^ (2 .2 6 2 ) x / T o
IC = [186.60,192.21] piezas prom edio en el alm acén. Si la variable aleatoria n o fuera norm al, o si la suposición d e norm alidad se considerara inadecuada, el intervalo d e confianza se calcularía así: 115
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
IC = X
s
x +
v ra
v 'r a
3.916
IC = 189.41
V 10(0.05)
3.916
189.41 + '
V í 0(0.05)
IC = [183.87,194.94] piezas prom edio en el alm acén. En co nsecuencia, si la variab le aleatoria sigue una distribución norm al y realizam os 100 réplicas del experim ento, esperam os que el resultado de 95% d e las m ism as se encuentre entre 186.08 y 192.73, a diferencia d e lo que ocurriría en una variab le no norm al, en don de después de 100 réplicas del experim ento esperam os que 95% de ellas se encuentren entre 183.87 y 194.94; lo cual im plica m ucho m enos exactitud. E je m p lo 4 .2
Un cliente ha solicitado la entrega de un pedido d e 100 artículos. Com o analistas, desea m os conocer un valor estim ado del tiem po prom edio d e entrega del pedido, y un inter valo d e confianza con un nivel de 90% . Por el hecho d e que este problem a exije una sim ulación d e tip o term inal, debem os desarrollar un m odelo y realizar suficientes réplicas independientes para obtener la dis trib ució n d e probabilidad y el intervalo de confianza que nos interesan. Con este p ro p ó sito realizam os 30 réplicas, y obtuvim os los siguientes resultados del tiem p o de entrega del producto, m ed ido en días transcurridos desde la form ulación del pedido. 9.57
4.81
7.33
5.72
7.90
12.03
6.30
5.83
8.39
9.74
6.55
2.92
10.65
7.85
8.04
4.60
10.20
7.27
6.32
7.08
4.69
6.7 7
4.85
5.72
9.75
6.33
8.35
8.89
5.83
3.77
En la figura 4.1 se m uestran el histogram a del tiem p o d e entrega y el resultado d e la prueba d e bondad de ajuste.
Distribución
fto
Normal (7.14, 2.12)
11 6
Figura 4.1 Histogram a d e la s ré p licas del m o d elo de tiem p o d e e n tre g a del p ro ducto (ejem p lo 4.2 ).
4.2 Sim ulaciones n o te rm in a le s o d e e sta d o esta b le | ^
Si to m am o s en cuenta la evid encia estadística de norm alidad, a sí co m o la m edia y la desviación estándar d e la m uestra, calculam os el intervalo d e confianza así: x = 7.14 s= 2.12 IC =
IC = 7.14-
2.12 \ 30
(W a o )
7.14 +
2.12 v3 0
(^ 0 .0 5 ,3 0 )
nuevam ente el facto r ^O5í30 se obtiene de la tab la de distribución f que se encuentra en los anexos. IC = 7 . 1 4 - ^ ( 1 .6 9 7 ) n/30
7 .1 4 + H 1 ( 1 . 697) %/30
IC = [6.46, 7.79] días
4.2 Sim ulaciones no term in ales o de estad o estab le A d iferencia de los m o d elo s anteriores, las sim u lacio n es n o te rm in ale s o de estado estable n o invo lucran una ocurrencia en el tie m p o en que ten g an que fin alizar. Por ejem plo, si d eseáram o s conocer el núm ero d e m áq uin as que deben instalarse en un sistem a de producción cuya operación tie n e que m an ten erse activa co ntinuam ente durante to d o el año, po dríam o s m o d elar el sistem a hasta que la variab le d e interés llegara a un estad o estab le. En este caso surge la necesidad de d eterm in ar la longitud de la corrida para aseg urar la estab ilizació n de los resultad o s del m odelo. V eam os cóm o satisfacer dich o requisito.
4.2.1
Longitud de las réplicas Para qu e el resultado de una variab le aleatoria llegue al estado estable en una sim ulación no term inal, es necesario garantizar que la longitud de la réplica, n, sea lo suficientem ente grande para qu e la variación entre réplicas no difiera d e cierta exactitud, e , el 100(1 - a)% d e las veces. En caso de norm alidad, el tam añ o d e corrida d e la sim ulación se calcula como:
Ejem plo 4.3 D eterm ine la longitud d e la réplica para estim ar, dentro d e un rango de ±2, el valor de una variable norm al con desviación estándar 4 y un nivel de aceptación de 95% (nivel de rechazo de 5%). 117
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Solución:
n=
= ((2 )(1 .9 6 ))2 =15.36
n = 16 La figura 4.2 representa los resultados d e la sim ulación d e seis réplicas independ ientes de lo n g itu d n = 16 d e u n a va ria b le aleato ria co n d istrib u ció n n o rm a l y d e sviació n e stá n d ar 4 . Com o puede ver, los resultados finales de la variable aleatoria se encuentran dentro de la exactitud deseada. Dado el nivel d e aceptación d e 95% (nivel de rechazo de 5% ), si realizáram os 100 réplicas cabría esperar que cinco de ellas estuvieran fuera de la exacti tu d deseada.
Si se tien e la certeza de norm alidad pero se desconoce el valo r de la desviación estándar, será necesario realizar una corrida inicial de tam añ o n ' para determ inar un esti m ad or de la desviación. En este caso la longitud d e la réplica se determ ina m ediante
n = ^“ (fa/2,n'-l) j
Ejem plo 4.4 Se re a lizó una co rrid a in ic ia l d e ta m a ñ o n ' = 10 para e stim a r la d e svia ció n e s tá n d a r s = 13.21 d e u n a variab le no rm al. D e te rm in e la lon g itud d e la ré p lica para e stim a r el valo r m ed io d e n tro d e un rang o d e ±0.3 con un n ive l d e aceptación de 95% (n iv e l de rech azo 5% ). 11 8
4.2 Sim ulaciones n o te rm in a le s o d e e sta d o esta b le | ^
Solución (vea la figura 4.3):
(1 3 .2 1 .. . n ~■ (^0025,9 ) 0.3
= ((44.033)(2.262))2 =9920.83
n =9920
R ép lica d e lo n g itud 9920 105 103 101
99 97 95 1
1001
2001
3001
4001
5001
6001
7001
8001
9001
Figura 4 .3 C o m p o r ta m ie n to del p ro m ed io d e la variab le aleato ria norm al; e xactitu d d esead a d e 0 .0 4 5 tr.
Cuando se desconoce el tip o d e distribución d e la variable aleatoria a sim ular o bien la suposición de norm alidad no existe, es preciso hacer uso del teorem a d e Tch eb ych eff para calcular la longitud de la réplica. En este caso se utiliza
n=
11 a a
Ejem plo 4.5 Supongam os que la suposición d e norm alidad del ejem p lo anterior no es válida, y co nsi derem os la m ism a inform ación con r í = 10 y s = 1321. La longitud d e la réplica para esti m ar el valo r de la variable dentro d e un rango d e ±0.3 con un nivel d e aceptación de 90% (nivel d e rechazo 10% ) es:
1 a n=— a 13.21
n= 0.1
= 19389.3
0.3
n = 19390 119
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Este resultado concuerda con el concepto expuesto en el ejem plo 4.1: para distribuciones diferentes, aun con los m ism os rangos deseados, los requerim ientos d e sim ulación cam bian, en este caso respecto de la n. Ahora bien, veam os qué sucede al m o m ento de sim u lar la variable aleatoria exponencial. La figura 4 .4 m uestra el com portam iento prom edio de la variable; a pesar de haberla sim ulado en 9920 ocasiones, dicha variab le está lejos de lograr la exactitud que se observa en la figura 4 .3 , en dond e la variable sim ulada sigue una d istrib u ció n n o rm a l. Para q u e el co m p o rtam ie n to d e la va ria b le lle g u e a la zo na de estabilización con la exactitud deseada de 0.045o-, es preciso generar 19390 variables exponenciales (al sim ular solam ente 9920 variables exponenciales la exactitud es de 0.063o-).
R é p lica d e lo n g itu d 9920 105 103 101
9997 95 1
1001
2001
3001
4001
5001
6001
7001
8001
9001
F ig u ra 4 .4 C o m p o rtam ien to d e l p ro m ed io de la variab le aleato ria e xp o n e n cial; exactitu d lograda d e 0.063o-.
Ejem plo 4.6 D eterm inar la longitud de la réplica para estim ar, dentro de un rango de ±0.5 con un nivel d e aceptación de 90% (nivel de rechazo 10% ), el valor prom edio de una variab le con cr = 8. Se desconoce la distribución de probabilidad d e la variable. Solución:
n=
(
— 0.1\ 0.5
= 2560
Ejem plo 4.7 D eterm ine la longitud de la réplica, de m anera que el estim ado del valor prom edio de una variable con distribución d e W eibull y desviación estándar a no difiera en m ás de Va d e la desviación estándar, con un nivel d e rechazo de 5% (nivel d e aceptación 95% ). 12 0
4.3 M odelos de sim ulación |
Solución:
n=— a
1 n=— a 1 —a 4
=l ( 4 ) ; = ^ = 320 o í ' 0.05
En la figura 4.5 se m uestran los resultados de 10 réplicas de longitud 3 2 0 ; cada una rep re senta el prom edio m ó vil d e una variab le aleatoria de W eibull con cr de 1.6. D e acuerdo con los cálculos del ejem plo, esta longitud d e la réplica debería asegurar la estabilización d e la variable aleatoria — lo cual aparentem ente ocurre, según la gráfica— , con una exac titud de 0.25(7. Los resultados confirm an los cálculos, ya que el valor fin al d e las réplicas estuvo entre 54.41 y 54.57. La diferencia de 0.16 eq uivale a una exactitud relativa a la desviación estándar d e apenas 0.1(7.
60
10 réplicas de variables aleatorias Weibull valores finales mínimo 54.41, máximo 54.57 ----------------------------------------------------------------------
52
48
luuuiiniwuuiiiiumuiiiuuniHniiuiiiiinniuiiiiiuimiiiuuiiimiuuiiimmuuiiuimniiiuuimuuiuuiiitmmiiiumuniii
1
100
199
298
Figura 4.5 C o m p o rtam ien to del prom edio d e la v a ria b le aleato ria de W eib u ll; e xactitu d d e se a d a d e 0.25o-.
4.3 M odelos d e sim ulación Con el propósito d e d ar una idea de cóm o desarrollar un m odelo de sim ulación y de qué m anera em plear los conceptos expuestos a lo largo del presente capítulo, a continuación se presentan algunos ejem p lo s program ados en un program a de hoja d e cálculo.
121
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
4.3.1
M odelo de una línea de espera con un servid or Ejem plo 4.8 El tiem p o que transcurre entre la llegada d e ciertas piezas a una estación de inspección sig ue una distribución exp o nencial con m edia d e 5 m inutos/pieza. El proceso está a car go de un operario, y la duración de la inspección sigue una distribución norm al con m edia de 4 .0 y desviación estándar de 0.5 m inutos/pieza. C alcu le el tiem po prom edio de perm anencia de las piezas en el proceso de inspección. Para solucionar el problem a anterior se debe: 1. Construir una tabla d e eventos en la que se describa la relación entre las variables involucradas en el proceso. Para la construcción d e dicha tabla es preciso identi ficar los elem entos que se listan a continuación.
Variable de estado
Tiempo en el sistema de inspección (7)
Entidades
Piezas
Eventos
Tiempo de llegada (2) Fin de la inspección (5)
Evento secundario
Inicio de la inspección (3)
Actividades
Tiempo entre llegadas (1) Tiempo de inspección (4)
Los núm eros entre paréntesis indican la colum na que ocupa cada elem ento en las tablas 4.1 y 4.2. 2. Defina las relaciones lógico-m atem áticas entre los elem entos; en la tabla 4.1 se describen, por ejem plo, las siguientes relaciones: a) El tiem po entre llegadas e s una variable aleatoria, que se sim ula por m edio del generador RANDO o ALEATORIOO d e la hoja de cálculo de Excel y la función generadora d e variables exp o nenciales E = - 5 ln(1 - r ). b) El evento tiem po d e llegada d e la pieza corresponde al valor acum ulado d e la c)
colum na (1). Si se tom a en cuenta que solam ente existe un operario encargado de la tarea, el inicio d é la inspección puede ocurrir cuando la pieza entra al sistem a, esto, en caso d e que el operario esté ocioso (2), o bien cuando term ina d e in sp ec cionar la pieza anterior (5).
d) El tiem po d e inspección es una variable aleatoria norm al con m edia 4 y d esvia ción estándar 0.5, generada m ediante la función interna norm al acum ulada inversa (NORMINV O DISTNORMINV) y com o probabilidad el generador de núm eros aleatorios RANDQ o ALEATORIOQ.
12 2
4.3 M odelos de sim ulación |
e) El fin d e la inspección se calcula sum ando el tiem p o de inspección (4) al tiem po d e inicio de la inspección (3). f)
La variable Tiem po en inspección se calcula, finalm ente, co m o la diferencia entre el tiem p o de llegada (2) y el fin d e la inspección (5).
g) Si bien no form a p arte del objetivo del ejem plo, tam b ién es posible determ i nar el tiem po d e espera d e una pieza antes de ser inspeccionada, ya que es igual a la diferencia entre el tiem p o d e inicio de inspección (3) y el tiem p o de llegada d e la pieza (2). h) Esta últim a colum na p erm ite calcular el tiem p o prom edio de inspección com o prom edio m óvil: cad a vez que una nueva pieza es sim ulada, el tiem po prom edio d e inspección se recalcula.
Tabla 4.1 Relación entre los eventos y actividades involucradas en el proceso (ejemplo 4.8).
_______ s_______ Tiem po entre llegadas
Tiem po de llegada
Inicio d e la Tiem po de inspección
Fin de la inspecdón
Tiem po en
inspección
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
| Pieza
1
2 3
n
=-5‘ LN(1-RAND()l =D5 =-5*LN(1-RAND0> =D 6*E 5 = -5 'lN (1 -R A N D 0 ) =D7*E6 =-5TN(1-RAND<)) = D 8*E 7
=E5 =M AX(E6 H5) r MAX(E7.H6) =M AX(E8.H7)
=F5*G 5 =NORMINV(RAND<) 4.0 5)
■F 6 « G 6
=NORMINV(RAND<) 4.0 5) = N O R M IN V (R A N D 0 4.0 5)
=F7«G7 =F8*G 8
Tiempo
inspección en espera
=H5-E5 «HS-E6 =H7-E7 =H8-E8
(7) =F5-E5 -F 6-E 6 “ F7-E7 =F8-E8
Tiem po prom edio en inspección (8) =AVERAGE(SlS515) =AVERAGE(SlS516) =AVERAGE(SIS517) =AVERAGE(SIS5 18)
3. Una ve z definidas las relaciones se sim ula el proceso, al hacerlo, se debe cuidar que el tam año de la réplica o experim en to sea lo suficientem ente grande para asegurar la estabilidad del resultado final. La réplica cuyos resultados se ilustran en la tabla 4 .2 se realizó con 1500 piezas; la inform ación nos indica que el tiem po prom edio d e espera es de 15.05 m inutos/pieza. A dem ás de este resultado, la colum na 8 perm ite visualizar la estabilización del sistem a m ed iante una gráfica d e líneas.
Tabla 4.2 Simulación del proceso de inspección (en una hoja de cálculo de Excel). Tiempo Tiempo Inicio Tiempo Tiempo entre de déla Tiempo de Fin de la Tiempo en en promedio en llegadas llegada inspección inspección inspección inspección espera inspección Pieza (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (1)
1
4.82
4.82
4.82
4.03
8.84
4.03
0.00
4.03
2
2.77
7.59
8.84
4.77
13.61
6.02
1.25
5.02
3
3.72
11.32
13.61
3.97
17.59
6.27
2.30
5.44
4
3.39
14.71
17.59
3.71
21.30
6.59
2.88
5.73
5
2.59
17.30
21.30
3.10
24.40
7.10
4.00
6.00
123
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
6
0.19
17.49
24.40
2.64
27.04
9.56
6.91
659
7
1.85
19.33
27.04
4.34
31.38
12.05
7.71
7.37
8
0.93
20.26
31.38
4.16
3554
15.28
11.12
8.36
9
4.65
24.92
35.54
4.41
39.95
15.03
10.63
9.10
10
6.02
30.94
39.95
4.14
44.09
13.15
9.01
9.51
...
...
...
...
> .
...
1495
0.04
7380.97
7390.99
3.68
7394.66
13.70
10.02
15.02
1496
1.46
7382.42
7394.66
4.45
7399.11
16.69
1224
15.02
1497
1.56
7383.99
7399.11
4.32
7403.43
19.45
15.13
15.03
1498
1.98
7385.97
7403.43
3.66
7407.09
21.13
17.47
15.03
1499
0.37
7386.34
7407.09
3.48
7410.57
24.23
20.75
15.04
1500
1.86
7388.20
7410.57
4.57
7415.15
26.94
22.37
15.05
. _
En la figura 4.6 se m uestra la gráfica d e estabilización que se obtuvo a p a rtir de la colum na 8 (Tiem po p ro m ed io en inspección). D icha gráfica nos indica que el tam año de la réplica es lo suficientem ente grande para asegurar la convergencia del resultado. Cabe señalar q u e esta gráfica d e estabilización corresponde a una réplica diferente a la d e la tabla de eventos.
G rá fica d e e sta b iliza ció n
Fig u ra 4 .6 Periodo de estáb il izac ió n d e tie m p o pro m edio de p erm an en c ia e n el sis tem a .
Al tra b a ja r con procesos dond e se involucran variables, actividad es y eventos aleato rios, las variables d e estado o variables de respuesta serán, en co nsecuencia, aleatorias. La figura 4.7 m uestra las gráficas d e estabilización de 5 diferentes réplicas del m ism o m o d e lo. Si bien la estabilización está asegurada, el resultado fin al nunca es el m ism o ; es evid en te que replicar el experim en to debe ser una práctica com ún en cualquier sim ulación.
124
4.3 M odelos de sim ulación |
Al replicar el experim en to 50 veces se obtienen los resultados que se listan en la tabla 4.3. Para com prender el co m po rtam iento de la variable es necesario analizar estadística m ente esta inform ación.
Tabla 4.3 Resultados de 50 réplicas del experimento. 10.44
11.53
14.58
11.43
1427
12.63
1522
10.66
12.00
1023
11.06 12.01
1022 11.30
17.09 12.55
14.62 1225
13.90 16.34
13.49
12.52
11.55
11.73
15.31
10.57
10.47
10.05
11.85
13.12
10.97
10.41
11.66
10.48
10.59
13.75
11.88
15.09
10.12
9.69
12.97
12.34
11.21
13.17
13.66
12.36
11.63
10.19
1156
10.59
El análisis estadístico de las réplicas — realizado en este caso con la herram ienta Stat::Fit de ProModel— perm ite concluir, a través de una prueba de bondad de ajuste, que el tiem po prom edio d e espera en el proceso d e inspección sigue una distribución de Erlang con los siguientes parám etros: localización 9, form a 3 y escala 1.06 (vea la figura 4 .8 ); adem ás, tenem o s los siguientes estadísticos básicos: • M edia: 12.18 m inutos/pieza • D esviación estándar: 1.76 m inutos/pieza • Intervalo de confianza con 1 - a = .95: [11.66,12.69] m in/pieza 125
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
• V alor m ínim o en la m uestra: 9.69 m inutos/pieza • Valor m áxim o en la m uestra: 17.09 m inutos/pieza • Coeficiente d e asim etría (skewness): 0.8177 • C u rto sis:-0.071
4.3.2
M odelo de un proceso de ensam ble e inspección Ejem plo 4.9 Dos barras m etálicas de diferente longitud son unidas m ediante un proceso d e soldadura para form ar una barra de m ayo r longitud. La longitud del prim er tip o de barra sig ue una distrib ución unifo rm e entre 45 y 55 cm . La longitud del seg u n d o tip o de barra sig ue una distribución 4-Erlang con m edia de 30 cm . Las especificaciones del p ro ducto final son de 80 ± 10 cm . D eterm ine el porcentaje de barras fuera de especificación. Para la solución del ejem p lo se requiere: • Identificación de los elem entos:
12 6
Variable de estado
Cantidad de barras fuera de especificación
Entidades
Barras
Evento
Comparación contra especificaciones 0: Dentro de especificaciones 1: Fuera de especificaciones
Actividades
Medición de la longitud de la barra 1 Medición de la longitud de la barra 2 Soldadura de las barras 1 y 2
4.3 M odelos de sim ulación |
• C onstrucción d e la ta b la d e eventos:
Tabla 4 .4 Relación entre los elementos (ejemplo 4.9). c
Ensamble 1 2 3 4
Longitud barra 1 [cm] (1) =(55-45)’ RAND()*45 =(55-45)‘ RAND()+45 =(55-45)‘ RAND()+45 =(55-45)*RAND()+45
Longitud barra 2 [cm] (2) =-(30/4)*LN(RAND() =-(30/4)*LN(RAND() =-(30/4)“LN(RAND() =-(30/4)*LN(RAND()
Longitud total [cm] (3) =D5+E5 =D6+E6 =D7+E7 =D8+E8
Ei (4) 70 70 70 70
Es (5) 90 90 90 90
Estado de la barra (6) =IF(F5<G5,1 .IF(F5> H 5.1.0)) =IF(F6<G6.1 IF(F6> H 6.1.0)) =IF(F7<G7,1.IF(F7>H 7,1.0)) =IF(F8<G8,1.IF(F8>H8 1.0))
Probabilidad de estar fuera de especificaciones (7) =SUM(SIS5 =SUM(SIS5 =SUM($IS5 =SUM(SIS5
I5VC5 I6)/C6 I7>/C7 I8VC8
La tabla 4 .4 m uestra la relación m atem ática entre las diferentes variables o elem entos del sistem a; fue desarrollada en una hoja d e cálculo y el significado d e cada colum na es el siguiente: (1) La lon g itu d d e la barra 1 es u n a variab le a le ato ria con d istrib u ció n u n ifo rm e entre 45 y 55 cm . Fue sim u lad a con el g e n e rad o r RAND() o ALEATORIO)) d e la hoja de cálcu lo , y CON la ecuación g enerad o ra d e variab le s u n ifo rm es U.= a + (b - a ) r r (2) La longitud de la barra 2 es una variab le aleatoria sim u lad a con la fu n ció n RANDO o ALEATORIO0, y CON la ecuación generad ora d e evento s Erlang:
4
In d íO M
(3) Longitud to ta l: Esta colum na representa el proceso d e soldadura, y se obtiene sum ando las longitudes d e las barras p eq ueñas de las colum nas (1) y (2). (4) La variab le E¡ sim ula el lím ite inferior d e las especificaciones. (5) La variab le Es sim ula el lím ite superior de las especificaciones. (6) Se asigna el atributo d e calidad a cada pieza, denom inado Estado d e la barra, m ediante la com paración de la longitud total de la barra y los lím ites d e especi ficación. (7) Para determ inar la Probabilidad d e estar fuera d e especificaciones se d ivid e el núm ero d e piezas defectuosas entre el núm ero d e piezas totales. Esto perm ite obtener la probabilidad com o prom edio m óvil, de m anera que cada vez que es sim ulad o un nuevo ensam ble la probabilidad se recalcula. • Sim ulación d e sistem a. En la tabla 4.5 se m uestra una réplica con los resultados num éricos de las ecuaciones de la tabla 4.4.
127
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Tabla 4.5 Simulación del proceso (en Excel).
Ensamble
Longitud barra 1 [cm] (1)
Longitud barra 2 [cm] (2)
Longitud total [cm] (3)
1
47.25
2250
69.75
2
48.65
43.32
3
5359
4
Estado déla barra (6)
Probabilidad (7)
70.00 90.00
1.00
1.00
91.96
70.00 90.00
1.00
1.00
16.32
69.92
70.00 90.00
1.00
1.00
47.79
35.74
83.53
70.00 90.00
0.00
0.75
5
52.08
25.62
77.70
70.00 90.00
0.00
0.60
6
51.93
37.48
89.41
70.00 90.00
0.00
0.50
7
51.31
19.86
71.17
70.00 90.00
0.00
0.43
8
53.17
39.58
92.75
70.00 90.00
1.00
050
9
45.58
3253
78.11
70.00 90.00
0.00
0.44
10
49.10
25.01
74.12
70.00 90.00
0.00
0.40
-•
•“
-•
-■
-•
995
46.83
12.19
59.02
70.00 90.00
1.00
0.50
996
54.31
8.04
62.35
70.00 90.00
1.00
050
997
52.36
16.18
68.54
70.00 90.00
1.00
050
998
49.32
48.40
97.72
70.00 90.00
1.00
050
999
51.30
6.82
58.11
70.00 90.00
1.00
0.50
1000
49.88
38.76
88.64
70.00 90.00
0.00
050
Ei (4)
Es (5)
-•
A p a rtir de la inform ación de la variable aleatoria Estado d e la barra (colum na 6) y m ediante una prueba de bondad de ajuste, es posible dem ostrar que esa variab le sigue una distribución d e probabilidad de Bernoulli con m edia 0.5. • Construcción de la gráfica d e estabilización. La gráfica d e estabilización (vea la figura 4.9) d e la inform ación de la Probabilidad (colum na 7) de la tabla 4.5 perm ite visu alizar que la réplica entra a la zo na de estado estable d espués de 200 ensam bles, y se m an tien e oscilando alrededor de 0.5 hasta el fin al de la sim ulación. Ésta nos perm ite co m p ro b ar visu alm ente que el experim en to tie n e las d im ensiones suficientes para asegurar la convergencia del resultado.
12 8
4.3 M odelos de sim ulación |
Probabilidad
Gráfica d e estabilización
------------------------------------------------------------------
0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0 .2 0
-
0.10
0.00 201
401
601
801
1001
Ensambles
Fig u ra 4 .9 G rá fica d e e stab iliza ción d e la pro b ab ili d ad de q u e una b arra e sté fu era de especificaciones.
• Réplicas. Si se replica el experim ento 4 2 veces, y se m odifica sólo la secuencia de núm eros p seu doaleatorios, se obtienen los resultados de la tabla 4.6.
T a b la 4 . 6
Resultados de 42 réplicas del experimento.
050
0.49
0.50
0.51
050
0.54
0.52
0.51
0.48
0.49
051
0.54
0.50
053
0.53
0.51
0.49
0.49
051
0.51
052
0.51
052
0.50
0.51
0.46
0.50
0.52
0.52
0.51
0.52
0.49
0.50
050
0.50
053
0.54
0.54
0.49
0.50
0.51
0.53
• Análisis estadístico d e la variable de estado: E l análisis del resultado de las réplicas de la tabla 4.6 — realizado con ayuda d e la herra m ienta Stat::Fit de ProModel— perm ite concluir, a través de una prueba de bondad de ajuste, que la Probabilidad d e q u e un ensam ble esté fuera d e especificaciones sigue una distribución de Erlang con estos parám etros: localización, 0, form a 31.5, y escala, 0.517 (vea la figura 4.10).
129
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Figura 4 .1 0 H istogram a d e las rép licas (obtenido co n Stat::Fit).
Adem ás, la variab le d e respuesta tien e los siguientes estadísticos: • M edia: 0.509 • D esviación estándar: 0.0175 • Intervalo de confianza con 1 - a = .95: [0.504,0.514] m in/pieza • V alor m ínim o en la m uestra: 0.46 • Valor m áxim o en la m uestra: 0 .5 4 • Coeficiente d e asim etría: -0 .1 2 4 • Curtosis: 0 .014
4.3.3
M odelo de un sistem a de inventarios Ejem plo 4.10 La dem anda d e azúcar en una tienda sigue una distribución exponencial con m ed ia de 100 kg/día. El du eñ o d e la tienda revisa el inventario cada 7 días, y hace un ped ido a la planta igual a la capacidad d e la bodega m enos la cantidad d e azúcar que tien e disponi ble en ese m om ento; la entrega es inm ediata. La dem anda no surtida por falta de existen cias representa ven tas perdidas. La capacidad d e alm acen am iento d e la bodega es de 700 kg. El costo d e o rdenar es de $1,000/orden. El costo de faltante es d e $6/kg, y el cos to de llevar el inventario es de $ 1/kg. D eterm ine el co m po rtam iento del inventario a lo largo del tiem p o y el costo prom edio/día para un horizonte de dos meses. Para la solución del ejem p lo se requiere:
13 0
4.3 M odelos de sim ulación |
• Identificación de los elem entos Variable de estado
Inventario en el almacén
Entidades
Clientes
Evento
Demanda Ventas Entrega de material por parte del proveedor
Actividades
Cálculo de los costos
• Construcción de la tab la d e eventos Tabla 4.7 Tablas de eventos para el ejemplo 4.10.
I
° 10
Dia
Entregas del proveedor
i* i¿ 13 14
0 =B11+1 = B12+1 =B13+1 =B14* 1
700 -IF(MOD(B12.7)-0.700-G11 0) - IF(MOD(B13.7)^0,700 G12 0) =F(MOD(B14.7)=0.70OG13 0) =F(MOD(B15.7)=0,700-G14 0)
15
_ i r — Inventare inicial
=C11 =G11+C12 -G12+C13 =G13*C14 =G14*C15
I
i _______I Demanda
=-1C0*l N(I-RANDO) —'1C0*IN(1-RAND()) - 1C0‘ LN( 1-RAND()) =-1C0‘ LN<1-RAND<)} --1C0‘ LN(1-RAND())
Ventas
hven'.ario ínal
=F(D11> =F11.F11,D11) =F(D12>=E12.E12,D12) -F(D13>-E13.E13,D13) = F(D14> =E14.E14,D14)
=MAX0.SD11-$F11) =MAX<0.SO12-SF12) MAX[0. SD13 SE 13) - MAX[0, SD14-SE14)
=F(D15> =E15.E15.D15)
=MAX0, SD15-SE15)
(a) Relación entre los elementos 9
10 11 12 13 14
H
|
Costo de ordenar =F(MOD(B11.7)=0.1000.0) =F(MOD(B12.7)=Ó.10ÓÓ.0) =F (MOD(B 13.7)=0.1000.0) - F (MOD(B 14.7 )-0 ,1000.0)
15
' Costo de llevar inventario
|
J Costo de faltante
Costo total
Costo promedo
=1*(D11+G11)/2 =1*(D12*G12)/2 =1’ (D13+G13)/2 = 1*(D14+G14)/2
=IF(D11<=E11.6*(E11-D11).0) =IF(D12<=É12.6*(É12-D12).0) =F(D13<=E13.6*(E13-D13).0) IF(D14<~E14,6*(É14 D14).Ó)
=SUM(J11:L11) =SUM(J12:L12) =SUM(J13:L13) -SUM(J14:L14)
=AVERAGE($MS11:M11) =AVÉftAÓE($MS11:M12) =AVERAGE($M$11:M13) =ÁVERAGE(SMS1Í:M14)
=1*(D15+G15)/2
=IF(D15<-E15,6*(E15-D15).0)
=SUM(J15.L15)
=AVERAGE($M$11.M15)
(b) Relación entre los costos Las tablas 4.7(a) y 4.7(b) m uestran la relación m atem ática entre las diferentes varia b les o elem entos del sistem a; la tabla está desarrollada en un program a d e hoja de cálcu lo, y el significado de cada colum na es el siguiente: •
B : Contador de los Días transcurridos.
•
C : En esta colum na se sim ulan las Entregas d e m aterial: cada siete días se restab le ce el inventario en un nivel de 700 kg. Los valores se calculan com o la diferencia entre la Capacidad del alm acén y el Inventario fin a l del día anterior. El uso d e la fu n ció n r e s id u o o m ó d u lo (MOD) p erm ite co ntro lar que la entrega se realice cada vez que el Día (colum na B) sea m últiplo de siete.
•
D : El Inventario a l inicio del día se calcula m ediante la sum a del Inventario final del
•
día anterio r y las Entregas d e m a teria l por p arte del proveedor. E : La Dem anda es una variab le aleatoria con distribución exp o nencial y m edia de 100 kg. Se simula m ediante el generador RANDOo ALEATORIO0 de la hoja de cálcu lo y la ecuación generadora E¡ = - —ln(1—/:).
131
| ~| Capítulo 4 Sim ulación de variables aleatorias
•
F: Las Ventas representan la cantidad que le fue entregada a l cliente, y se calcula
•
com o el valo r m ín im o entre el Inventario a l inicio del día y la Dem anda. G: El Inventario a l final del día se calcula m ediante la resta de las Ventas (colum na F) del Inventario inicial del día (colum na D), se verifica previam ente que no exista
•
falta nte. H: En esta colum na la función re sid u o o m ó d u lo (MOD) perm ite increm entar en $1,000 el Costo d e orden ar cada ve z que llegue una orden a la tienda. I: Se calcula el inventario prom edio durante el día, y el resultado se m ultiplica por
•
$1/kg. J: En caso d e no cubrir la Dem anda, el Costo d e falta n te se calcula m ultiplicando la
•
• •
dem anda no surtida en ese día por el costo de faltante por u nidad, q ue en el ejem plo es de $6/kg. K: El Costo to ta l se determ ina m ediante la sum a de las colum nas Costos d e inven tario, Faltante y Ordenar. L: La form a de calcular esta colum na p erm ite ten e r el Costo to ta l com o prom edio m óvil: cada vez que se sim ula un nuevo día, el costo se recalcula. Con esta co lum na se analiza la estabilidad d e la variable inventario prom edio.
• Sim ulación d e sistem a. La tabla 4.8 m uestra los resultados, es una réplica de 14 días de la sim ulación del sistema, utiliza las ecuaciones d e las tablas 4.7(a) y 4.7(b). Tabla 4 .8 Tabla de eventos del sistema de inventarios (realizada en Excel). En treg as del
Inventario
Día
proveedor
inicial
D em and a
Ventas
final
0
700.00
700.00
181.23
181.23
518.77
1
518.77
29.40
29.40
2
489.37
205.65
3
283.72
4
Costo de
Costo
Costo
to tal
prom edio
6 0 9 .3 9
1609.39
1609.39
489.37
504.07
504.07
1056.73
205.65
283.72
386.55
386.55
833.33
112.36
112.36
171.36
227.54
227.54
681.89
171.36
107.42
107.42
6 3 .9 4
117.65
117.65
569.04
5
63.94
77.26
63 .9 4
0.00
31.97
79 .9 6
111.93
492.85
6
000
4 3 .3 4
0.00
0.00
0.00
260.06
260.06
459.60
700.00
42.02
42.02
6 5 7 .9 8
6 7 8 .9 9
1678.99
612.02
8
657.98
121.36
121.36
536.61
597.30
597.30
6 1 0 .3 8
9
536.61
83.89
83.89
452.73
494.67
494.67
598.81
10
452.73
139.21
139.21
313.52
383.12
383.12
579.20
11
313.52
185.00
185.00
128.51
221.01
221.01
549.36
12
128.51
46.62
46.62
81.89
105.20
105.20
515 19
13
81.89
329.79
81.89
0.00
40.94
1528.37
587.56
700.00
150.99
150.99
549.01
1624.51
656.69
14
13 2
700.00
700.00
de lle v a r
Costo de
Costo
7
Inventario
ord enar inventarlo falta n te 1000.00
1000.00
1000.00
624.51
1487.43
4.3 M odelos de sim ulación |
• Resultados: La fig u ra 4.11 m u e stra el co m p o rtam ien to d e l in ve n tario al in icio del día (co lu m n a C) a lo largo del tiem po, para el periodo sim ulado de 60 días.
C o m p o rtam ie n to d e l inven tario 700 600 500 400 300 200 100
0 22
29
50
57
En sa m b le s
F ig u r a 4 .1 1
Simulación del sistema de inventarios (realizada en Excel).
El análisis del costo prom edio d e operación d e la tienda in clu ye en prim era instancia las gráficas de estado estable (figura 4.12) de cinco réplicas independ ientes de los resul tado s de la tabla 4 .8 . El resultado nos perm ite o bservar la convergencia del costo respec to del tiem po.
$/día
C o sto prom edio
1800 1600 1400 1200 1000
800 600 400 200 Días
Figura 4 .12 C o sto p ro m ed io por d ía d e c in c o rép licas independ ien tes.
Los valores finales del costo d e operación d e estas cinco réplicas son 592.55, 527.45, 506.13, 605.59 y 597.85. Con esta inform ación calculam o s un valor prom edio de 565.9 y una desviación estándar de 4 5 .7 . D ebido a que esta inform ación es insu ficiente para 133
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
dem o strar la no rm alidad d e los datos, el cálcu lo d e l in te rva lo d e co nfianza con un n iv e l de aceptación de 95% (nivel de rechazo 5% ) se realiza m ediante el teorem a de Tchebycheff:
IC =
IC = 565.9-
X
45.7
565.9+
7(5X005) IC = [474.49
+
,
'
45.7
7(5X0.05)
657.33]$/día
4 .4 Selección de len g u ajes d e sim ulación En un principio, los program as d e sim ulación se elaboraban m ed iante algún lenguaje de p ro p ó sito g e n eral, com o ASSEM BLER, FO RTRAN , A LG O L o LP/1. A p a rtir d e la década de 1960 hacen su aparición los lenguajes específicos para sim ulación que perm iten a analistas y program adores desarrollar m odelos d e una form a m ás rápida, gracias a m ó d u los estandarizados. En aquella época surgieron leng uajes co m o GPSS, GASP, SIMSCRIPT, SLAM, SIMAN y SSED. En la últim a década del siglo pasado la aparición d e las interfaces gráficas revolucionaron el cam p o d e las aplicaciones en esta área, y ocasionaron el naci m iento d e los sim uladores, con los cuales se ha facilitado enorm em ente la program ación de los m odelos. En el terreno práctico, es im po rtante utilizar la aplicación que m ejo r se adecúe al tipo de sistem a a sim ular, ya que de la selección del lenguaje o sim ulador dependerá el tiem po de desarrollo del m odelo d e sim ulación. Las opciones van desde las hojas de cálculo, leng uajes de tip o general (com o Visual Basic, C++o FORTRAN), leng uajes específicos de sim ulación (com o GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, G AS y SSED), hasta sim uladores espe cíficam ente desarrollados para diferentes objetivo s (com o SIM PROCESS, ProM odel, Witness, Taylor I I , C rystal Ball, Delm ia). En la actualidad la selección del lenguaje o sim ulador depende d e los siguientes factores: (1) Los m ercado s p rim ario s a los que atend erá la sim u lació n , a sí com o las a p lic a cio n es típ ica s en q u e se le u tiliza rá , por e je m p lo : ad m in istració n estratég ica, log ística, teleco m u n icacio n e s, m an u factu ra, sistem as m ilitares, sistem as de salud, m an e jo d e m ateriales, análisis d e riesgo, sim u lació n co ntinua o d is c re ta, etcétera. (2) Los requerim ientos de equipo, co m o plataform a o sistem a operativo, m em oria RAM y utilización de disco duro. (3) La capacidad de construcción y program ación del m o d elo a través de iconos o m ediante procesos de tip o "arrastrar y colocar" (drag and drop), así com o acceso a program ación estándar. A este respecto tam b ién es im p o rtan te considerar el
134
4.5 Caso d e e s tu d io 1
tiem po y la velocidad en la detección de errores, así co m o la posibilidad de reutilizar p artes d e código, objetos o p lantillas (tem plates). (4) La inclusión de herram ientas com plem entarias para la realización de p rueb as de bondad de ajuste en form a autom ática, el análisis de las variables d e respuesta, la posibilidad de crear diseño d e experim entos, y la optim ización del sistem a sim ulado. (5) La anim ación del sistem a, considerando aspecto s co m o velocidad, uso d e dife rentes vistas, facilidad de exportación, co m patibilid ad con otras aplicaciones, y la posibilidad d e poder prescind ir del uso de la anim ación. (6) El costo y el tip o d e licencia otorgada, así com o el soporte técnico y la facilidad d e entrenam iento y uso de m anuales y ayudas en línea. (7) Otras consideraciones, com o la capacidad de em p aquetam iento de los m odelos, la distribución a otros usuarios, y la capacidad que tenga la com pañía para actu a lizar su producto. A lg u n a s a p lica cio n e s en el área d e sim u la ció n d is p o n ib le s a c tu a lm e n te en el m e rca do son:
aGPSS
Analytica 4.4
Arena Simulation Software
Bluesss Simulation System
Capacity Planning Simulator
CSIM 20
Enrmgmsuite
Enterprise Dynamics
Exten dSim
Flexsim
GoldSim
LABAMS
MAST
MedModel Optimization Suite
Micro Saint Sharp
Oracle Crystal Ball Suite
Patient Flow Simulator
Portfolio Simulator
Process Simulator
Project Simulator
ProModel Optimization Suite
SAIL
SAS Simulation Studio
ServiceModel Optimization Suite
Si mead Pro
Simio
SIMPROCESS
SIMSCRIPTIII
SimTrack
SIMUL8
SLIM
Vanguard Business Analytics
4.5 Caso de estu d io 1 La com pañía PELICR E se dedica a la fab ricació n d e sham po o para el crecim ie n to de cabello. La em p resa cuenta con 2 líneas de producción dond e se llen an , tapan y e tiq u e tan los frasco s. El índice d e producción anual es de cinco m illo nes d e frasco s en la línea 1 y tres m illo nes de frascos en la línea 2.
135
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
La em presa ha padecido un largo historial de dificultades en cuanto a la colocación d e las tapas. Cuando ocurre una de estas fallas se debe detener la línea hasta que se corri ge el im perfecto. Se ha descubierto que la distribución del tiem p o entre fallas es el siguiente:
Tabla 4.9
T ie m p o e n t r e f a lla s d e la lín e a d e p r o d u c c ió n 1 (a ñ o s / fa lla ).
0.002603
Q 039543
0.007795
0.00 2 7 7 4
0.019015
0.007731
0.020012
0.00 0 2 2 4
0.001501
0.001067
0 .0 0 1 7 8 4
0.006437
0.011479
0.050093
0.000667
0.006141
0.015217
0.001125
0.00 3 7 0 4
0.00 3 5 0 4
0 .0 0 2 9 9 6
0.011127
0.002341
0.005903
0.005369
0.0022
0.00 0 2 5 8
0.00 9 9 8 6
0.01 2 7 2 4
0.014449
0.002533
a 0 13669
0.005693
0.013389
0.013057
0.014287
0.009593
0.019847
0.003017
0.006602
0.027379
0.01309
0.01223
0.00 2 1 2 6
0.008752
0.010181
Q 0 15025
0.00 7 3 0 4
0.01711
0.049539
Tabla 4.10
T ie m p o e n t r e f a lla s d e la lín e a d e p r o d u c c ió n 2 (a ñ o s / fa lla ).
0 .0 0 4 2 8 6
0.00 4 2 9 4
0.005361
000 8 6 2 1
000891
0.008475
0.006741
0.003123
0008298
0011369
0.00732
Q 008715
0.005589
0012689
0006035
0.009587
0.00 8 7 1 6
0.00 3 4 6 4
0.00747
0006335
0.008301
0.009675
0.005695
0.009542
0007926
0.006663
0.008711
0.008972
0.00 7 9 5 4
0012864
0.008863
0.008215
0004428
0.00 8 5 0 6
0007099
0.007903
0.009177
0007846
0.00 6 0 7 6
0008713
0.009643
0.00 7 2 7 6
0011721
0.009558
0008087
0.0 0 9 54
0.00 6 0 1 8
0007876
0.00 9 3 6 8
0008413
El tiem p o d e reparación sigue una distribución exp o nencial con una m edia de (0 .0 0 1/n) años, dond e n denota el núm ero de trabajado res en el equipo d e reparaciones. Cada vez que ocurre una falla se destruyen cierta cantidad d e frascos, lo que equivale a un costo de $ 7.0 cada uno. Cada frasco se ven d e a $ 8.0. Un m uestreo sobre el núm ero de frascos que se destruyen cuando ocurre una falla arroja la siguiente inform ación.
13 6
4 .6 Caso d e estu d io 2 |~1
Tabla 4.11 Frascos rotos/falla. 8
10
12
10
9
10
17
10
11
14
13
10
7
8
8
8
10
10
13
8
7
7
7
7
10
14
12
10
12
11
11
15
7
8
12
6
8
15
14
9
10
7
12
19
8
6
10
4
4
11
El co sto anual por trabajador es de $50,000/año. a) La em presa desea determ inar el tam año óptim o del equipo de reparaciones, esto es, el núm ero de trabajado res que deben estar asignados para la reparación de las líneas de producción con la finalidad de obtener la m ayo r utilidad posible. b) La solució n o b ten id a en el in ciso (a) seg u irá sie n d o ó ptim a si se c u m p le cuál de las siguientes opciones: 1. El tiem p o prom edio entre fallas de la línea 1 dism inuye en un 80% 2. El tiem p o prom edio entre fallas de la línea 1 aum enta en un 100% 3. El tiem p o prom edio entre fallas de la línea 2 dism inuye en un 70% 4 . El tiem p o prom edio entre fallas de la línea 2 aum enta en un 80% 5. El núm ero de botellas rotas por falla aum enta en un 200%
4 .6 Caso de estu d io 2 La em presa DRE produce piezas electrónicas y las ensam bla en una línea sem iautom ática. U na de las piezas es producida en lotes de tam añ o N = 10000 unidades por sem ana. Al fin al de cada sem ana, se inspecciona una m uestra aleatoria de n = 25 unidades para d eterm in ar si la producción d e la sem ana cu m p le con los estánd ares d e ca lid a d . Si co m o resultado d e la inspección, el núm ero de piezas defectuosas o btenidas " d " es m en o r o igual a un valo r de rechazo “cn, el lote será aceptado y enviado a la línea de ensam ble y por cada pieza defectuosa que entre a la línea de ensam ble, ocurrirá un falla que detendrá la línea de producción y ocasionará un costo de $ 25/falla. Por otro lado, si e l núm ero de piezas defectuosas “d " es m ayo r que el valo r de rechazo "c", el lote será rechazado y enviado a desperdicio, en este caso, para que la línea d e ensam ble n o se detenga, el lote deberá ser repuesto co n un lote libre de defectos com prado a un provee dor a un costo d e $ 30,0 0 0 . E l co sto d e producción d e cad a pieza es $ 2. Las u n id ad es in sp eccio n ad as se destruyen y el costo de m ano de obra y equipo usado en la inspección es $ 0.5. Por lo tanto, el costo total d e las piezas inspeccionadas es de $ 2.50.
137
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
La siguiente tabla m uestra datos históricos de la fracción d e piezas defectuosas en 100 lotes.
0 .0 6 8
0.012
0.145
0.0 2 7
0.0 3 4
0 .1 4 6
0.007
0.041
0.100
0.0 0 3
0.003
0.081
0.061
0.0 9 3
0.012
0 .0 2 4
0.005
0.011
0.022
0.0 6 9
0 .0 7 6
0.025
0.032
0.0 5 7
0.123
0 .0 4 6
0.129
0.1 3 9
0.002
0.0 1 3
0 .1 5 8
0.012
0.0 1 6
0.0 7 2
0.040
0.0 2 9
0.0 3 6
0 .0 0 8
0.013
0.0 6 9
0.025
0.001
0.0 1 4
0 .0 0 6
0.021
0 .0 1 6
0.0 5 4
0 .0 3 6
0.007
0.001
0.005
0.072
0.0 1 8
0 .1 0 6
0.0 7 8
0.0 4 9
0.007
0.0 1 2
0.0 2 6
0.1 1 5
0.055
0.130
0.075
0.0 2 9
0.043
0 .0 3 8
0.0 0 6
0.0 6 8
0.061
0 .0 0 8
0.033
0.109
0.0 3 6
0.011
0.0 0 6
0.0 5 5
0.002
0.061
0.0 4 7
0.011
0 .0 0 4
0.120
0.0 4 4
0.001
0.047
0.0 2 7
0.213
0.012
0.0 0 7
0.001
0 .0 9 8
0.063
0.050
0 .0 1 6
0.0 1 8
0 .0 3 6
0.090
0.0 0 6
0 .1 1 8
0.0 4 0
a) Desarrolle un m o d elo d e sim ulación en una hoja de cálculo para el valo r óptim o de determ inar el valo r de rechazo " c " p a ra este plan d e m uestreo sim ple, que asegure el m ín im o costo. b ) Si la fracción de piezas defectuosas de los lotes fuera tres veces m ás grande que los datos históricos, ¿cam biaría el valor de " c " l
4 .7 Problem as 1. En un restaurante de com ida rápida se venden ham burguesas a $6 cada una, con un co sto de producción por unidad de $3.5. D espués d e un estudio se encontró que la dem anda p o r hora en este local se distribuye de acuerdo con la siguiente función de probabilidad:
Demanda Probabilidades
0
1
2
3
4
5
6
0.10
0.15
0.25
0.20
0.15
0.08
0.07
Sim ule la utilidad prom edio p o r hora que se obtendría en 100 horas de trabajo. Realice 5 corridas y construya la gráfica de estabilización d e la utilidad prom edio para cada corrida, incluyend o su respectivo intervalo d e confianza a 95% . ¿Considera que las conclusiones o btenidas son estadísticam ente válidas? ¿Por qué? ¿Cuál es la dife rencia de concluir m ed iante los intervalos de confianza de cada réplica y em plear el intervalo d e confianza global para las 5 réplicas? 2. D espués d e realizar una sim ulación de 5 réplicas se obtuvieron los siguientes valores en estado estable para el nivel de ingresos prom edio m ensual de una com pañía: 1 2 3 6 ,1 3 2 4 ,1 2 8 9 , 1302 y 1265. D eterm ine el intervalo d e confianza para establecer el verdadero valo r del nivel d e ingresos prom edio m ensual d e la com pañía. 13 8
4.7 Problem as f 1
3. Un m o d elo sim ula el núm ero d e botellas rotas por año en una línea de producción. Los resultados d e 6 años de esta variab le son: 11540, 10870, 1 2 520,13750, 10550 y 9850. No se tien e la certeza que el resultado d e esta variable siga una distribución Normal. a) Calcule la exactitud actual del m odelo con un nivel d e aceptación del 95%. b) D eterm ine el núm ero de años que es necesario sim ular para obtener una e xa cti tud en el resultado d e ±300 bo tellas rotas con un nivel de aceptación del 90% . 4. Una sim ulación predice el precio por barril d e petróleo a nivel m und ial para finales de 2015 en función de ciertos parám etros m acroeconóm icos que tienen variabilidad. Se realizaron 5 réplicas de 1 año cada una y el precio al fin al en cada una de las 5 réplicas fue: 125.50,132.75, 120.80, 138.20 y 127.50 dólares por barril. Suponga no r m alidad en esta variab le para lo siguiente: a ) D eterm inar la exactitud lograda con este núm ero d e réplicas y co n un nivel de aceptación del 95% . b ) Calcular el núm ero d e réplicas que se deben realizar para lograr una exactitud de ±0.35 con un nivel d e aceptación de 90% . 5. Se desea conocer el núm ero d e productos a sim ular en un m odelo de llenado de botes d e m erm e lad a para log rar una exactitu d d e l volum en p ro m ed io d e llen ad o de ±10 m ililitros con un nivel d e aceptación de 95% . Se realizaron observacio nes del volum en (en m i) de 10 botes obteniendo los siguientes resultados: 556, 557, 572, 561, 559, 558, 552, 558, 560 y 558. 6. El tiem p o de reparación de un avión se com porta norm alm ente con m ed ia de 5 días y desviación estándar d e 1 día. ¿Cuántas reparaciones se tendrían que realizar para que el resultado prom edio del tiem p o tuviera una exactitud d e ±0.2 días con un nivel de aceptación de 95% ? 7. D eterm ine el núm ero de cajas de cereal que es necesario sim ular en un proceso de lle n a d o jja ra q u e la e x a ctitu d d e l p e so p ro m e d io d e las cajas n o d ifie ra en m ás d e ±0.33(7 con un nivel de aceptación de 98% , considere que la m áquina d e llenado introduce hojuelas en cada caja con una distribución d e w eibull. 8. A u n operario le llegan ciertas p iezas para que las in sp e ccio n e ; la revisió n se d e sa rrolla de acuerdo con la distribución de tiem p o t= 3r¡¿. Si el operario recibe un lote de 10 piezas, sim ule cuánto tiem p o tardará en revisar el lote. U tilice los siguientes núm eros aleatorios: 0.6251, 0.5948, 0.6674, 0.2807, 0.9359, 0.1655, 0.1189, 0.7857, 0.4783, 0.9987. Sim ule ahora 100 lotes m ed iante una hoja de cálculo y el generador d e núm eros pseudoaleatorios MINSTD y determ ine el tiem p o de prom edio de revisión por lote. 9. Se tien e un proceso d e fabricación d e refrigeradores. La dem anda diaria de este p ro ducto está distribuida de m anera normal. La dem anda prom edio es de 80 refrigera dores por día, con una desviación estándar de 10 refrigeradores diarios. Se desea 139
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
saber cu á l es la m ejo r política de producción, considere 60, 70, 80, 90 y 100 refrigera dores p o r día. El costo por faltante es de $8/refrigerador por día, y el costo de tener un refrigerador en el inventario es de $5/refrigerador por día. a) Se le p id e realizar 5 corridas de 100 días para cada política. b) Obtenga el costo prom edio p o r día d e cada política, y un intervalo d e confianza para ese prom edio diario. c) D eterm ine, con b ase en sus resultados, cuál de las po líticas seleccionadas es la que deb e im p lem en tar la em presa. 10. Un cilin dro con diám etro x , será insertado en un agujero con diám etro xr Si x , sigue una distribución norm al con m edia de 1.5 cm y varianza de 0.0016, y x 2, una d istrib u ción 2-Erlang y una m edia de 2.5 cm , sim ule en una hoja de cálculo la inserción de 500 cilin d ro s y determ ine m ediante el estim ador la probabilidad de que haya inter ferencia (es decir, que cilindro pequeño no entre en el agujero). 11. Una barra d e longitud x 1 será unida m ediante soldadura a otra de longitud x 2. Si x } sigue una distribución norm al con m edia de 30 cm y varianza d e 0.81, y x 2, una distri bución Erlang con k = 10 y una m edia de 14.5 cm , sim ule la soldadura de 300 barras, to m e en cuenta que las especificaciones d e diseño son de 4 5 ± 5 cm . y determ ine el estim ador de la probabilidad de que una barra esté fuera d e especificaciones. Tam bién calcule los coeficientes d e capacidad Cp y Cpk d e este proceso. ¿Considera que está b ajo control? 12. Un proceso consta de 2 etapas: la prim era tien e una duración de f, m inutos y la segunda dura t2 m inutos, f,sig u e una distribución norm al con m edia de 30 m in y varianza de 10 m in, y t^ una distribución 3-Erlang y una m edia de 20 m in, el tiem po m áxim o de producción perm itido de este proceso es de 55 m in, sim ule en una hoja de cálculo la producción de 1000 piezas y estim e la probabilidad d e que una pieza consum a m ás tiem po del perm itido. 13. Un tirado r d e flecha se encuentra entrenan do para las pró xim as olim piadas. El blanco a que le dispara consiste en un cuadrado de 1 0 c m x 1 0 c m . Un equipo d e investiga dores m idió el co m portam iento histórico de su pulso, y llegaron a la conclusión de que la desviación de cada disparo respecto del centro es normal(<7 = 3) cm en el eje "y" yu n ifo rm e(-12, +12) en el eje "x". Sim ule en una hoja d e cálculo 500 disparos (por réplica) del tirado r y calcule: a) La probabilidad d e d ar en el blanco sim uland o sólo una réplica. b) El in tervalo de confianza a un nivel de 90% d e la distancia entre el p u n to donde pegó el disparo y el centro del blanco, usando 10 réplicas. 14. En el cierre de la novena entrada del 7o ju e g o del Clásico de Otoño en el Yankee Stadium , Kevin Brow n, lanzado r de los Padres de San Diego, se enfrenta a Chili Davis, b atead o r d e l e q u ip o contrario. Los Padres d e San D ieg o m an tien e n una m ín im a ven taja d e 1 a 0. Con casa lle n a , 2 outs y 1 bola en la cu e n ta d e l bateador, D avis recibe la señal de esp erar. El árb itro ha estad o m a n te n ie n d o u n a zo na d e strike de 14 0
4.7 Problem as f 1
40 cm x 40 cm . Kevin Brow n lanza la pelota respecto del centro de la zona d e strike con una desviación norm al(cr = 10) cm en el eje "y", y u n ifo rm e(-30; +30) en el eje "x". Sim ule, e n una hoja d e cálculo, hasta que el bateador quede elim inado, y calcule lo siguiente: a ) El p o rcen taje d e strikes al sim ular sólo una réplica. b) El intervalo d e confianza a un nivel d e 95% de la distancia entre el p u n to por donde pasó el lanzam iento y el centro de la zo na de strike, use 100 réplicas. N ota :C o n 3 strikes (strike = lanzam iento en la zona de 4 0 x 4 0 ) acum ulados, el batea dor p ierd e; con 4 bolas (bola = lanzam iento fuera de la zona) el bateador gana. 15. La llegada de clientes a un b anco con 2 cajeras y una fila tien e una distribución de Poisson con m edia de 40 personas/hr. En una hoja d e cálculo sim ule este proceso durante 8 hrs y determ ine el tiem p o prom edio en el sistem a, to m e en cuenta que el proceso de servicio es exp o nencial con m edia 4 .4 m inutos/cliente. 16. La llegada de clientes a un banco con 1 cajera y una fila tien e una distribución de Poisson con media de 15 personas/hr. El 40% de los clientes hacen 1 transacción, el 30% , 2 transacciones, el 20% , 3 transacciones y 10% el restante, 4 transacciones. El proceso de servicio es exp o nencial con m edia 2.2 m inutos/transacción. Sim ule en una hoja de cálculo este proceso durante 8 hrs y replique durante 300 días para determ inar el tiem po p ro m ed io en la fila. 17. En una fábrica las piezas pasan por un proceso de inspección donde un operario las revisa, tardan 6 ± 2 m inutos por pieza. El porcentaje d e rechazos que se tien e es de 15%, y las piezas defectuosas son elim inadas. Suponga que el inspector siem pre tie ne piezas disponibles para revisar, sim ule este sistem a durante 100 piezas. a) Realice 5 corridas y determ ine, por m edio de un intervalo d e confianza, el valor prom edio de piezas defectuosas que se generarán en el sistem a. b) ¿Considera que los resultados obtenidos de la sim ulación son confiables? ¿Por qué? 18. Un centro d e m aq u in ad o recib e d iversas p iezas para se r procesadas. Cada u n a se trab aja b ajo los sig u ien tes tiem p o s: el 30% tarda 2 m in u to s con d istrib u ció n e x p o nen cial, el 35% tarda 3 ± 1 m in ; el 20% tarda 4 m in u to s d e m anera constante, el 15% se d istrib u ye d e a cu e rd o con una d istrib u ció n no rm al con m ed ia d e 5 m in , y con u n a d esviació n e stán d ar d e 1 m in . P o r otra p arte, e l 5% d e l to tal d e las piezas m aq uin ad as son retirad as com o p ro d u cto n o co nfo rm e, y en viad as al área de reproceso. a) Sim ule el sistem a hasta o b ten er 100 piezas buenas. b) Realice 5 replicas y calcu le un intervalo de confianza para el tiem p o necesario para co m pletar las 100 piezas. c) ¿Considera que los resultados obtenidos en el inciso c tienen validez? En caso de que n o los considere válidos, ¿q ué sugiere para m ejorar sus conclusiones? 141
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
19. Un cam ión de reparto tarda 30 ± 10 m inutos en ser cargado, 20 ± 5 m inutos en ser descargado, y 40 m inutos con distribución exp o nencial en trasladarse, ya sea d e su base al lugar d e entrega, o del lugar d e entrega a su base. a) Sim ule el sistem a por 10 horas y realice 5 réplicas. b) Calcule un intervalo de confianza para el núm ero de viajes que se pueden hacer en un día. c) Sólo hay espacio para cargar un cam ión a la vez. Si la em presa necesita realizar al m enos 10 entregas por día, ¿qué recom endaciones daría para lograrlo? Justifique su respuesta y establezca sus supuestos. 20. Una estación de gasolina que cuenta con una sola bom ba recibe 10 clientes por hora con distribución exponencial. Estos clientes son atendidos p o r el operador d e la bom ba que les da el servicio y les cobra. El tiem p o de servicio se distribuye exp o n en cialm ente con m edia de 4 m inutos por cliente. a) D eterm ine el núm ero prom edio de clientes e n e l sistem a. b) D eterm ine el porcentaje del tiem p o que el operador está ocupado. c) D eterm ine el tiem p o prom edio d e perm anencia en la fila. 21. En un proceso de control de calidad se pasan cajas de m anera constante, con el fin de inspeccionar al azar cie rto núm ero d e productos d e una caja seleccionada tam bién arbitrariam ente. La probabilidad de seleccionar una caja para inspección es de 30% ; d e las cajas que se revisan, en el 50% de los casos se inspecciona sólo un p ro ducto, en el 30%, 2 productos, y en el 20% restante, 3 productos. Se sabe que la probabilidad de que una caja contenga uno o m ás productos defectuosos es d e 2%, y que la probabilidad (en porcentaje) d e que este p ro ducto sea encontrado durante la inspección es de 10*núm ero de productos inspeccionados. a) Sim ule 100 cajas que pasan por el proceso de control de calidad. b) D eterm ine el núm ero de cajas que contendrán productos defectuosos. c) D eterm ine cuántas cajas con productos defectuosos n o fueron detectadas. Si el costo de una caja con productos defectuosos que sale al m ercado es de $20/caja, determ ine el valor total en el que se incurriría. 22. Una em presa tien e asignado un cam ión para el transpo rte de sacos de harina. El cam ión realiza 10 viajes diarios y en cada via je transporta toda la cantidad de sacos que su capacidad le perm ita. La capacidad del cam ión es de 1 tonelada y el peso de los sacos sig ue una distribución de probabilidad de w eibull con parám etro de form a 2, parám etro d e e scala 4 0 kg y p arám etro d e lo calizació n 210 kg. D esp u és de sim u lar 2 m eses, determ ine el núm ero prom edio de sacos transportados por día y su desviación estándar. 23. Un granjero tien e una gallina que pone huevos a una razón Poisson con m edia de 2 huevos/día. El 20% d e los huevos se ro m pen, del 30% de ellos nacen pollos y el resto perm anecen co m o huevos. D e los pollos el 20% m uere y el 80% sobreviven. Sim ule este sistem a durante 300 días y determ ine el ingreso prom edio del granjero si cada huevo lo vende en $2 y cada pollo en $30. 14 2
4.7 Problem as f 1
24. El du eño d e la única funeraria de un peq ueñ o pueblo ha com prad o un lote de 500 ataúdes con una longitud de 1.70 m etros. La población de este pueblo tien e una estatura norm al con una m edia d e 1.65 y desviación estándar de 0.05 metros. El costo de cada ataúd es de $3,000 y calcula vender cada uno en $8,000. Al morir, el difunto es lle vad o a la fu n e ra ria para lo s p rep arativo s co rresp o n d ien te s y en alg u n as o ca sio nes será necesario hacer arreglos adicionales para que quepa en el ataúd ; com o d o b larle las ro d illas, el c u e llo , o am b o s, h a ce r un o rificio en la b ase o en la tap a del ataúd, alargar el ataúd o sim p lem ente llevarlo co n las piernas colgando. Ind ependientem ente d e la solución que m ás agrade a los deudos, el d u eñ o o frece un descuento d e 5% sobre el precio regular. Sim ule este proceso hasta que se agoten las existencias d e ataúd es y determ ine: a) La cantidad d e difuntos que obtendrán un descuento. b ) La utilidad prom edio que obtendrá la funeraria p o r este concepto. 25. Una tiend a vende tres tipos d e refrigeradores. El 25% d e los clientes com pra refrig e radores económ icos a un precio de $8,000/refrigerador, el 45% com pra refrigerado res estándar a un precio de $ 16,000/refrigerador y el resto com pra refrigeradores de últim a generación a un precio de $30,000/refrigerador. Sim ule la venta de 1000 refri geradores y determ ine: el prom edio, la desviación estándar, el error estándar, la curtosis y el coeficiente d e asim etría del ingreso por día de la tienda. 26. Una em presa fabricante de agua desea abrir una nueva sucursal. El clim a existente es m uy variab le, vea la sig uiente tabla: Clima Probabilidad
Caluroso
Templado
Frío
Helado
0.50
0.25
0.15
0.10
La venta de agua se com porta diferente para cada clim a de acuerdo con las siguien tes distribuciones de probabilidad: Caluroso Ventas (It/día)
50
100
200
300
Probabilidad
0.10
0.30
0.40
0.20
Templado Ventas (It/día)
40
50
100
200
Probabilidad
0.10
0.20
0.40
0.30
Frío Ventas (It/día)
10
20
50
100
Probabilidad
0.05
0.70
0.20
0.05
143
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Helado Ventas (It/día)
0
5
10
20
Probabilidad
0.10
0.20
0.60
0.10
Si la venta por litro es d e $50 y los costos d e producción son de $1,000/día, sim ule y determ ine los siguientes estadísticos para la variable utilidad diaria: a) Prom edio, m ediana, m oda, valo r m ínim o y valor m áxim o. b ) Desviación estándar, error estándar y rango. c) Curtosis y coeficiente d e asim etría. d) Cuartil 25% y 75% e intervalos de confianza del 90 y 95% . e) Histogram a y distribución d e probabilidad. f ) La probabilidad d e que la utilidad sea m ayo r a 0. 27. Una em presa ha decidido lanzar a la venta por única ocasión, 1000 lavadoras d e un m odelo especial. La cantidad de lavadoras a fab ricar serán de 1000 + x dond e x e s la cantidad de lavadoras que se m antendrán en inventario para reponer aquellas que se d escom p on gan antes de la fech a lím ite de garantía. La vid a d e una lavadora sigue una función de densidad 3-Erlang con media de 3 años. La garantía indica que se repondrá cualquier lavadora que se descom ponga antes de 1 año. Esta garantía no será válida para las lavadoras de repuesto. Sim ule el co m po rtam iento de cada una de las 1000 lavadoras y encuentre el valo r d e x. 28. La venta diaria d e un determ inado producto se distribuye de acuerdo a la tabla de probabilidades m ostrada. El costo d e m antener inventario es de $5/pieza, m ientras que el costo del faltante es de $10/pieza. Se desea evaluar los niveles de producción de 90, 94, 98 y 100. D e te rm in e cuál es el n ive l d e producción q u e m in im iza los co sto s de operación, utilice 3 réplicas de 100 días cada una.
Demanda
88
90
92
94
96
98
100
102
probabilidad
0.05
0.2
0.1
0.15
0.2
0.15
0.1
0.05
29. Una estación d e reproceso recibe piezas con problem as de calidad. En esta estación se revisan 4 puntos de calidad. La probabilidad de encontrar un defecto (d) es de 0.4 para cada uno d e estos puntos de inspección. Las piezas que tengan d > 3 defectos son desechadas com o desperdicio. Las que si se pueden rescatar, son reprocesadas en un tiem po exponencial con m edia de 1 + 2 d m inutos y regresadas a la línea de fabri cación. Use 5 corridas d e 100 piezas que si se puedan regresar a la línea, determ ine: a) El costo del desperdicio si cada pieza cuesta $ 13. b ) El tiem p o para com pletar 100 piezas reprocesadas. 30. A un cajero autom ático llegan clientes con un tiem po entre llegadas con distribución 3-Erlang con media de 6 minutos, cada cliente retira entre $1,000 y $5,000 en múltiplos de $500 con distribución uniform e discreta. El cajero solo tiene disponible $450,000. 144
4.7 Problem as f 1
a ) ¿Cuánto tiem p o tardará el cajero para que deje de p erm itir al cliente retirar to d o el dinero que deseaba? b) ¿Cuántos clientes s í pudieron retirar to d o el dinero que deseaban? c) Si este cajero es rea bastecido d e dinero cada 2 4 horas, ¿Q ué recom endación le haría al Banco? 31. Cada 20 m inutos llegan piezas a una estación d e reproceso. El núm ero d e defectos que una pieza puede tener com o m áxim o es 3. Se sabe que estos defectos siguen una distribución Binom ial con m edia 2.4. El tiem po para realizar las reparaciones correspondientes se distribuye exponencial con A = 0.2 piezas por m inuto por cada defecto que tenga la pieza. D eterm ine, ¿cuánto tiem p o tom ará procesar 200 piezas? Use 5 réplicas. 32. Don Cleto vende afuera de un estadio de béisbol dos tipos de productos: agua de lim ón y em paredados de queso. Don Cleto prepara en casa 15 litros de agua y 5 em paredados. El costo de producción por litro es de $2.00 y el precio d e venta es de $10.00. El costo de producción por em paredado es de $3.50 y el precio de venta es $50. La dem anda diaria de agua sigue una distribución de probabilidad cuya función de densidad es: f(x)= ^ (x-S)
para
5¿x¿20
y la dem anda de las em paredados sigue una distribución de probabilidad geom étri ca con m edia d e 5 tortas/día. Cualquier p ro ducto sobrante al fin al se debe tirar y no tie n e valor d e recupera ción n i es posible venderlo al día siguiente. Sim ule el co m po rtam iento d e este siste ma durante un año y calcule: a) La utilidad prom edio por día que obtiene Don Cleto. b) La probabilidad d e n o vender todos los em paredados. c) La probabilidad d e n o vender toda el agua. 33. Un vendedor pro d u ce 2 hectolitros d e cerveza al inicio d e cada ju e g o del equipo de fútbol de la ciudad de M orelia. El costo d e fabricación es de $100/hectolitro, y el p re cio de venta es de $ 1100/hectolitro. El producto que no logre venderse tien e un valor de rescate de $30/hectolitro. La dem anda sabatina d e este producto d epend e del resultado del ju e g o del equipo local (ganar, em p atar o perder) y para cada caso exis te una función de densidad d e acuerdo a los datos de la siguiente tabla.
Equipo local
Demanda: (hectolitros/juego)
Gana
Triangu lar (a = 1.5, b = 4, c = 2)
Pierde
Weibull con parámetros de localización = 0.5, escala = 1.5, forma = 3
Empata
f(f)= t-1
1<f <1+\ 2
145
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
La probabilidad de que el equipo local obtenga cada uno d e los resultados depende del resultado del ju e g o anterior, d e acuerdo a la siguiente m atriz de probabilidades de transición (obtenida a p artir d e los resultados de la tem porada actual) que se m uestra en esta tabla.
Resultado probable en el juego / + 1
Gana Resultado en el ju e g o # Empata Pierde
Gana
Empata
Pierde
0.2
0.1
0.7
0.4
0.3
0.3
0.5
0.4
0.1
Sim ule el co m portam iento d e este sistem a durante 100 partidos. Considere que el últim o resultado d e este equipo fu e un triunfo y determ ine: a) La utilidad prom edio por juego. b) La probabilidad d e ten e r faltante. 34. Fuerzas rebeldes han decidido bom bardear el palacio d e un dictador. Para lograrlo, lanzarán las bom bas en ataques convencionales consistentes sobre el objetivo. El área del palacio p u e d e representarse co n el polígono d e la sig uiente figura:
Cuando un bom bardero llega al objetivo, lanza una carga de 1 bomba y aunque el bom bardero siem pre lanza hacia el centro del objetivo (0 ,0 ), factores com o experien cia, peso de la bom ba, velocidad del bombardero, clima, visibilidad, velocidad del aire y fricción, etcétera, desvían las bom bas hacia el Norte o Sur y hacia el Este o el Oeste. 14 6
4.7 Problem as f 1
Se ha dem ostrado en estudios previos, en otros ataques, que la posición donde cae la bom ba en el eje Norte-Sur sigue una función de densidad que depende p rin cipalm ente d e la exp eriencia del piloto d e acuerdo a: Experiencia del piloto Veterano
Función de densidad Weibull (y = -500, /3 = 700, a = 3) metros
Novato
f{x)-
1 (x+500) 500000
500< x <500 metros
Y que la posición donde cae la bom ba en el eje Este-O este tam bién es depen diente de la experiencia del piloto pero con las siguientes funcio nes d e densidad: Experiencia del piloto Veterano
Función de densidad Triangular [a = -600, b = 800, c = 0) metros
Novato
Uniforme (a = -600, b = 600) metros
D entro de la fuerza de ataque rebelde, el 65% d e los pilotos son novatos y el 35% veteranos. Las fuerzas leales al dictador poseen baterías antiaéreas que perm iten elim in ar a los bom barderos antes que lleguen al palacio. La probabilidad d e que un b o m b ard e ro sea elim in ado antes de llegar a l palacio es d e 20%. Desarrolle un m o d elo de sim ulación M onteCarlo dond e se sim ule el ataque de 1000 bom barderos y determ ine: a) La distancia en línea recta entre el centro de palacio y la posición donde pegó la bom ba. b ) La probabilidad de que un bo m bard ero logre pegarle al objetivo contabilizando aquellos elim inados antes d e llegar al palacio. c) ¿Q uiénes son m ás precisos, los novatos o los veteranos? d) ¿Consideraría ap un tar hacia otra coordenada que n o fuera el centro del palacio con el o b jetivo d e m axim izar la probabilidad d e éxito? En caso afirm ativo ¿Cuál sería esa coordenada? ¿Sería diferente para cada tipo d e piloto? 35. En un sistem a d e producción, una m áq uina tien e un índice d e producción de 1000 piezas/día (día = 2 4 horas). En ciertos días la m áquina se descom pone, la pro b ab ili dad de que la m áquina se descom ponga cualq uier día es 0.80. El departam ento de m antenim iento ha desarrollado un sistem a de clasificación de fallas de acuerdo a su im pacto y son: fallas leves, m oderadas, graves y fatales. En la tab la siguiente se p re senta un resum en d e los resultados históricos d e estas fallas. Registros históricos del número de días en que ha ocurrido cada tipo de falla Tipo de falla Días
Leve
Moderada
Grave
Fatal
Total de días
10
15
25
35
85
147
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
De m anera adicional se han hecho pruebas sobre el tiem p o d e reparación d e la máq uina, el cual d epend e del tip o de falla d e acuerdo a los datos presentados en esta tabla. Tiempo de reparación [horas]
Tipo de falla Leve
4~Erlang(media = 4)
Moderada
Normal (/x = 3.5, a = 1.1)
Grave
f[t)=t-6
Fatal
6< f <6+v'2
Exponencial con parámetro A = 02
D urante el tiem p o de reparación, la m áquina no fabrica y su índice de producción dism inuye proporcionalm ente según la duración d e la reparación. Si el precio de venta del producto es de $1 OO/pieza, y el costo de reparación es de $ 11 /hora, deter mine: a) El índice d e producción diaria y su prom edio después de 300 días. b) La utilidad diaria y su p ro m ed io después de 300 días. 36. En un proceso d e fabricación de televisores, se desea saber el núm ero d e televisores a producir, considere com o opciones 60, 70, 80, 90 y 100 televisores p o r día. En la siguiente tab la se m uestran los datos históricos de la dem anda por día.
14 8
99
94
80
73
86
95
90
70
92
83
89
93
62
94
86
62
77
72
63
88
96
99
98
77
96
74
86
81
94
81
70
98
78
86
74
94
95
77
79
89
65
94
88
72
71
70
76
95
92
96
93
72
97
75
97
72
76
69
61
69
99
83
83
61
64
95
80
70
79
65
80
85
72
68
83
78
84
64
72
67
94
100
78
93
66
99
97
74
93
95
70
93
64
86
72
80
83
65
66
96
95
84
88
68
65
70
88
90
85
92
81
68
92
64
84
69
73
71
98
66
68
74
93
94
86
69
82
71
79
100
84
65
99
100
61
78
73
80
72
100
100
98
82
60
93
75
84
75
76
71
94
74
84
72
71
71
85
69
88
97
93
63
91
89
89
99
93
62
99
77
69
82
66
91
73
88
61
63
67
76
100
93
82
72
75
92
87
74
60
93
77
60
84
64
83
75
68
64
97
78
4.7 Problem as f 1
El costo por faltante es de $40/televisor por día, el costo de ten e r un televiso r en el inventario es de $20/televisor por día. Existe una probabilidad de 3% de que un te le visor esté defectuoso debido al m al m anejo de producto y al proceso m ism o, por lo que antes d e salir de la fábrica, un inspector de calidad lo rechaza y este televiso r no puede ser reprocesado, lo que provoca una pérdida directa de $90 por televisor. Por otro lado, el cliente realiza un proceso d e inspección aleatoria para determ inar si recibió televisores que se dañaron en el traslado de la planta a su tienda, el núm ero de televisores que inspeccionan varía a diario. A continuación se m uestran los reco pilados del núm ero de productos inspeccionados todos los días por el cliente.
4
2
1
1
1
2
2
0
2
1
2
2
0
2
1
0
1
0
0
2
3
3
3
1
3
1
1
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2
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2
De este proceso d e inspección el núm ero d e televisores defectuosos que encuentra el cliente se distribuye d e acuerdo a una distribución Binom ial con una probabilidad de encontrar un televiso r defectuoso de 5% . El fabricante paga el costo de un televi sor defectuoso, el cual es de $120 por televisor. a ) Obtenga el costo prom edio por día de cada política y un intervalo de confianza para este prom edio diario. b ) Con base en sus resultados determ ine cual de las políticas seleccionadas es la que debe im p lantar la em presa.
149
Sim ulación con ProM odel
5.1
Introducción al uso d e ProModel
5 .2
Elem entos básicos
5.3
Estructura d e program ación en ProModel
5 .4
Construcción de un m odelo
5 .5
Arribos cíclicos
5 .6
Caso integrador
5 .7
Problem as
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
5.1 Introducción al uso de ProM odel ProM odel es uno de los paquetes de softw are com erciales para sim ulación m ás usados en el m ercado. Cuenta con herram ientas d e análisis y diseño que, unidas a la anim ación d e los m odelos b ajo estudio, perm iten al analista conocer m ejo r el problem a y alcanzar resultados m ás confiables respecto d e las decisio nes a tomar. Básicam ente, este p ro ducto se enfoca a procesos d e fabricación d e uno o varios p ro ductos, líneas de ensam ble y de transform ación, entre otros. La m ism a com pañía de desarrollo ofrece otros paquetes, com o M edM odel y ServiceM odel, diseñados para sim u lación de sistem as m éd icos y de servicios, respectivam ente. Sin em bargo, aunque n o es su especialidad, podem os realizar buenas sim ulaciones d e operaciones d e servicio con ProM odel, ta l com o se verá a lo largo de este capítulo. Para conocer las noticias m ás recientes sobre nuevos productos y casos de aplica ció n , visite la p ág in a W eb h ttp ://w w w .p ro m o d el.co m , la c u a l tam bién p o n e a su d isp o sición dem os d e sus artículo s e inform ación referente a ellos.
5.2 Elem entos básicos En ProM odel podem os distinguir una serie de m ódulos que perm iten al analista hacer un estudio m ás co m pleto sobre el m od elo que quiere simular. Cada uno d e estos m ódulos cuenta con h erram ien tas d e trab ajo que hacen d e ProM odel uno d e los m ejo res p a q u e tes de sim u lación que existen en el m ercado. A co ntinuació n darem os una breve d e s cripción d e cada un o d e ellos. ProM odel. Es el área d e trab ajo dond e se definirán el m odelo y todos sus com ponentes. En este m ó d u lo se program a to d o lo que tien e que ver con las relaciones entre las varia b les del m odelo, ta n to contadores com o relaciones lógicas, flujos, actividad es y ciclos de producción, por ejem plo. Editor gráfico. El editor gráfico d e ProM odel cuenta con una serie de b ibliotecas que perm iten dar una m ejo r presentación visual a los m odelos realizados. Adem ás, cuenta co n la capacidad de im portar y crear las im ágenes necesarias para representar con m ayor propiedad el problem a a sim ular. Incluso pueden im portarse dibujos hecho s con algún softw are para dicho propósito. Resultados. ProM odel cuenta con una interfaz d e resultados que facilita la adm inistra ción, el m anejo y el análisis d e la inform ación. En este m ódulo se pueden ve r los resulta dos d e to das las variables d e l m odelo. Algunas d e ellas se reportan d e manera autom ática, y otras se obtienen b ajo solicitud expresa del analista. Adem ás, el m ódulo perm ite la interacción con program as d e hoja de cálculo, com o Excel. Stat::Fit. E l softw are incluye una herram ienta estadística llam ada Stat::Fit (algunas de sus fu n cio n es se com entaron ya en el capítulo 3), que perm ite hacer pruebas de bondad de ajuste sobre datos m uestra, produciendo inform ación m u y im po rtante para determ inar las distribuciones asociadas a las variables aleatorias del m odelo. Adem ás, co nstitu ye una 15 2
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
gran ayuda si se desconoce cóm o alim entar distribuciones co m p lejas d e la biblioteca de ProM odel en el m o d elo d e sim ulación. Editor de turno s. E l editor d e turno s perm ite asig nar turno s de trab ajo a los elem entos del m o d elo que lo requieran, por ejem plo, descansos program ados, com o el tiem p o de com ida. Sim runner. Ésta es una herram ienta m u y útil en el análisis posterior del m odelo. Con ella se p u e d en d ise ñ a r exp erim en to s d estin ad o s a co n o cer el im p acto de facto res crítico s que se generan a p artir de la variación en los valores de las variables aleatorias seleccio nadas para ello. Asim ism o, p erm ite d iscernir cu á l es la m ejo r com binación de factores para obtener el m áxim o ben eficio al m ejo rar un proceso. R eferencias y A yuda. Estos m ódulos de ProM odel facilitan el uso y la program ación del software.
5.3 Estructura d e program ación en ProM odel En ProM odel, la program ación para la sim ulación constituye sólo una p arte del proceso d e construcción del m odelo ya que, co m o se ha m encionado, el softw are tam bién cuenta co n diversas herram ientas — d e anim ación, por ejem plo— que el analista debe aprender a m anejar para obtener los m ejo res resultados. A fin de ayudarle a lograr una com prensión integral acerca del uso de ProM odel, en este capítulo utilizarem os varios ejem plos que nos llevarán de lo m ás sim p le a lo m ás com plejo. A pesar de lo anterior, esta obra no pretende cubrir de m anera exhaustiva todos y cada uno de los elem entos que com ponen el producto. Si desea obtener m ás detalles respecto de su funcionam iento, le recom endam os consultar los m anuales de referencia que acom pañan al paquete.
5 .4 Construcción d e un m odelo En esta sección com enzarem os nuestro análisis d e algunas d e las instrucciones de p ro gram ación del paquete. Para em pezar, com entarem os algunos m odelos básicos d e líneas d e espera.
5.4.1
M odelo M/M/1 de líneas de espera Un m odelo sencillo d e líneas d e espera podría describirse com o aquel en dond e el tie m po entre llegadas y el tiem p o de servicio son exponenciales. Considerarem os que el orden d e atención (clientes en espera d e algún servicio, piezas involucradas en un pro ce so de ensamble, etcétera) sigue la estructura "primero que llega, prim ero en recibir atención". Por otro lado, darem os por sentado que tanto la capacidad de clientes (o piezas) que p u e d e h a b e r en el siste m a an alizad o en un tie m p o d e te rm in a d o co m o la p o b lació n que puede requerir del servicio, son infinitas. 153
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Ejem plo 5.1 U na p ren sa cu e n ta co n un siste m a au to m atizad o d e carga y d e scarg a d e p iezas. C ad a 5 m in u to s llegan p iezas d e d ife re n te s ca ra cte rística s al siste m a, co n d istrib u ció n exponencial. La prensa tarda 4 m inutos, tam bién con distribución exp o nencial, en term i n ar su trab ajo co n cada pieza, se considera carga, proceso y descarga. Suponga que p uede ten e r cualquier cantidad de piezas que esperan ser procesadas, y sim ule el pro ce so por 100 días. Un p rim er análisis d e l problem a nos p erm ite ve r q u e nuestro sistem a in clu ye d ife rentes elem entos a considerar. Debem os suponer que las piezas llegan a una fila de espera, después son procesadas en la prensa y abandonan, por últim o, el área de trabajo con destino hacia algún otro alm acén y/o proceso. D ado que lo que ocurra con ellas al salir de la prensa no nos interesa de m om ento, el sistem a b ajo análisis concluye cuando se term inan las piezas en la prensa. Una ve z identificados estos detalles, procederem os a realizar la program ación para sim ular el proceso en ProModel. □ prim er paso, por supuesto, consiste en ejecutar el softw are para com enzar a trab a jar en la definición del sistem a que deseam os modelar. Una vez que se despliegue la ven tan a del program a, em pezarem os por construir las localizaciones, es decir, una rep re sentación d e todos aquellos lugares físicos dond e las piezas serán trab ajad as o esperarán su turno para ser procesadas. En este caso el sistem a cuenta sólo con una fila o alm acén tem poral, y con la prensa en dond e se realizará el trabajo . Para definir dichas localizacio nes, abra el m enú Build y haga clic en el com ando Locations, com o se m uestra en la figura 5.1.
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Figura 5.1 El co m a n d o Lo ca tio n s d e l m enú Build nos p erm ite co m e n za r a cre a r la s lo ca liza cio n e s para nuestro m odelo.
Adem ás de Locations, el m enú Build agrupa todos los com andos referentes a la construcción d e elem ento s d e n tro del d iseño de n u e stro sistem a: E n titie s (entid ades),
154
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Path N etw ork (rutas de m o vim ie n to de los recurso s o entid ad es), R eso u rces (recur sos), A rriv a ls (llegadas d e en tid ad es al sistem a), y Processing (la program ación d e la sim ulación en sí m ism a), entre otros. (N ota: Al ig u al que m u ch o s otros program as, ProM odel ofrece la posibilidad de acced er a sus co m and os ta n to a través d e los m e n ú s com o m ed iante m étod os a b re v ia dos de teclad o . Para conocer d ich o s m éto d os, abra cualq uiera d e los m en ús y o bserve la referencia a las te clas co rresp o nd ien tes a la derecha de cad a co m and o [vea la fig u ra 5.1]. Por ejem p lo , para e je cu ta r el co m and o Lo catio ns o prim a sim u ltán e am en te las teclas Ctrl y L.). Una vez que ejecute el com ando Locations aparecerán tre s ventanas en la pantalla: Locations, G ra p h ics y Layo ut (vea la figura 5.2). En la prim era definirem os las caracterís ticas d e las localizaciones y en la segunda las de los gráficos; la tercera ventana constituye el área en donde determ inarem os la configuración general del m odelo. Gracias a la interfaz gráfica del program a, para definir cada una de las localizaciones podem os pro ced er de dos m aneras. La prim era co nsiste en escribir directam ente en los cam pos de la ventana Locatio ns la inform ación correspondiente a cada localización: nom bre, capacidad de atención, núm ero de unidades, estado, reglas y dem ás datos rela cionados. La o tra es m ás intuitiva y aprovecha los botones del área Graphics. El procedi m iento es com o sigue: •
Haga clic con el botón izquierdo del ratón en uno d e los iconos del área G raphics y lib ere el b o tó n , u b iq u e el c u rso r en el lu g a r del layo u t d o n d e qu iera co lo car el icono y vuelva a o p rim ir el botón izquierdo del ratón. D e esta m anera habrá creado una n u e va lo calizació n . El ico n o co rresp o nd ien te tend rá un nom bre p re a sig n a d o en el ca m p o Ñ am e de la ve n ta n a L o ca tio n s. Para ca m b ia r el no m b re, sim p lem ente selecciónelo y escriba. Para quitar la selección del icono actual, sólo elija un nuevo icono y repita la operación.
•
Para se ñ a la r los lug ares a d o n d e qu erem o s q u e lleg u en las e n tid a d e s, haga c lic en el ico no p re d e fin id o de localizació n (un c írc u lo con una e q u is |___ [) y, sin soltar el botón d e l rató n, arrástre lo hasta la posición d esead a en la ven tan a
•
Layout. Para agregar texto a las localizaciones, haga clic en el botón d e texto de la ventana G ra p h ics (Aa ). Este texto puede editarse con sólo hacer doble clic sobre él.
Aunque para este prim er ejem p lo n o es necesario, se puede alim entar el m odelo con m ás inform ación respecto d e las localizaciones; por ejem plo, su capacidad d e atención a enti dades, el núm ero d e localizaciones iguales, si se tom arán en cuenta los tiem po s d e des com postura, etcétera. (Nota: Es im po rtante señalar que los gráficos únicam ente constituyen un elem ento visual de apoyo, y n o la sim ulación en s í m ism a.)
155
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
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Figura 5 .2 D e fin ició n d e lo ca liza cio n e s e n ProM odel.
En el caso p articular de nuestro ejem plo, debem os considerar que toda pieza que llegue puede esperar a ser atendida. Para ello definirem os una localización a la que llam a rem os "fila", y le asignarem os una capacidad infinita en el cam p o Cap. al escribir infinite, o sim p lem ente inf, para cada localización. Si por alg una razón deseáram os cam b iar el icono de una localización, to d o lo q ue hay que hacer es: •
Seleccionar la fila en que reside dentro d e la ventana Locations.
• •
O prim ir la tecla Sup r (o Delete). D esm arcar la casilla de verificación New d e la ventana G rap h ics y seleccionar el nuevo icono.
Otra posibilidad consiste en hacer clic con el botón derecho del ratón en el icono que define la localización en la ventana Layout. Enseguida aparecerá un m enú co ntextual con com andos para editar o elim inar la localización y borrar, incluso, toda la inform ación refe rente a ella. Por ejem plo, si selecciona el com ando Edit G rap h ic podrá m odificar el ta m a ñ o y color del icono seleccionado, pero no la localización en sí m ism a. Para usar un gráfico diferente que identifique la localización, tendrá que borrar el actual y rem plazado por el nuevo. 15 6
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
[ N o t a : Si olvida desm arcar la casilla de verificación New de la ventana Graphics, al
realizar cualquiera de las acciones anteriores estará creando m ás localizaciones de las necesarias [en el caso de nuestro ejem plo, dos]. Para elim in ar aquellas que n o le sean útiles, seleccione la fila apropiada en la ventana Locations, abra el m enú Ed it y haga clic en el com ando Delete.) Para continuar, definirem os la localización que representará la prensa. Igual que antes, seleccione un icono cualquiera en la ventana Graphics. Gracias a la interfaz gráfica de ProM odel puede anexar una posición sobre el icono, de m anera que "se vea" que la pieza llega a la prensa; para ello, em plee el botón I U . Una ve z concluidas estas defin icio nes prelim inares, la ventana Layout podría lucir com o se ilustra en la figura 5.3.
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Prensa
Figura 5 .3 D e fin ició n d e lo ca liza cio n e s e n el Layout.
Una vez definida la configuración del proceso, pasarem os a d efin ir la entidad que representará la pieza en proceso. Para ello: •
Abra el m enú Build y hag a clic en el co m an d o En tities. Una ve z m ás, en la p a n ta lla aparecerán tre s ven tan as: En titie s, En tity G ra p h ics y Layout, cuyo p ro p ó sito es m u y sim ila r al d e sus eq uivalentes en el c a so d e la defin ició n de localizaciones.
157
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Tanto la definición d e entidades co m o su edición se llevan a cabo m ediante pro ced im ien tos parecidos a los que se realizaron con las localizaciones. Es posible m odificar el gráfico seleccionado para cam b iar sus dim ensiones y su color, y definir, com o se describe a co n tinuació n, varios gráficos para una m ism a entidad: •
Desm arque la casilla d e verificación New de la ventana En tity Graphics. Enseguida aparecerán nuevos lugares para definir m ás iconos que identifican la m ism a enti dad; una ve z seleccionado el icono, su pantalla será sim ilar a la que se ilustra en la figura 5.4.
[N ota: A l igual que en el caso de las localizaciones, si m an tien e m arcada la casilla d e veri ficación New definirá nuevas entidades con cada selección d e icono que haga.)
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Prensa
A Figura 5 .4 D e fin ició n d e entid ad es.
Una vez definidas las entidades determ inarem os su frecuencia de llegadas a nuestro m odelo. Para ello: •
Abra el m enú Build y haga clic en el com ando Arrivals. A continuación se desp le gará la ventana A rriv a ls (vea la figura 5.5). En ella definirem os la frecuencia de llegadas para nuestra pieza.
15 8
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
di Figura 5 .5 D e fin ició n d e lleg a d as de la e n tid a d a l sistem a.
•
•
Para seleccionar la entidad oprim a el botón Entity. Luego especifique a qué loca lización llegará la entid ad; e n este caso será a una localización llam ada T ila": haga clic en el botón Location para que se desplieguen to das las localizaciones que definim os previam ente. Ahora determ ine, en la colum na Qty Each, cuántas piezas llegarán cada v e z que
•
se cum pla el tiem p o entre llegadas; en este caso determ inam os una (1) a la vez. Prosiga su trabajo , especifique esta vez el tiem p o d e ocurrencia del p rim er evento de llegada en la colum na First Time. En la colum na O ccurrences debe indicarse el núm ero de repeticiones del evento
•
de llegada. En este caso especifique infinite (o sim p lem ente inf), lo cual im plica que se adm itirá un núm ero infinito de eventos de llegada. En la colum na d e Frequency especifique la distribución del tiem p o entre lleg a
•
das; m anejarem os un valor exp o nencial con m edia d e 5 m inutos: e(5) min. {N o ta : Si desea conocer las o pciones predeterm inadas d e las distribuciones de pro b ab ili dad que ofrece ProM odel, despliegue la ayuda del program a haciendo clic en el menú Help, consulte el tem a Functio ns y elija la opción Probability Distributions). Por ú ltim o co m pletarem os nuestro m o d elo d efin ien d o la lógica d e la sim u lació n ; para ello abra el m enú Build y elija Processing. En esta ocasión se desp legarán dos ven tan as en las que program arem os de m anera secuencial el proceso que sig ue la pieza en el sistem a: P rocess y R o uting for. En la p rim era defin irem os las operacio nes que se harán sobre la entid ad, y e n la segunda in d icarem o s la ruta secu en cial en el proceso. Al an aliza r una v e z m ás el ejem p lo , verá que podem os d iv id ir el pro ceso en los sig uientes pasos: 1. La pieza llega a la fila para esperar su turno d e procesam iento. Cuando se cum pla la condición sobre el estado d e la prensa, la pieza abandonará la fila y seguirá su ruta hacia la localización "prensa". 2. La p ieza lleg a a la p ren sa, d o n d e se le pro cesa d u ran te un tie m p o p ro m ed io de 4 m in u to s, con d istrib u ció n e x p o n e n c ia l. U na ve z te rm in ad o el pro ceso en la p ren sa, la p ieza ab and o na e sta lo c a liz a c ió n ; su sig u ie n te paso es sa lir del sistem a. Cada un o de estos pasos deberá program arse de m anera independiente, es decir, en un registro separado. Em pezarem os p o r definir la llegada de las piezas a la fila. Para ello: 159
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
•
Seleccione la entidad co rrespo ndiente en la ventana Processing, ya sea haciendo clic en el botón En tity o escribiendo directam ente el nom bre d e la entidad en el cam p o d e dicha colum na.
•
Para program ar la localización de llegada d e la entidad (en este caso la localiza ción llam ada "fila"), haga clic en el botón Location; debajo se desplegarán todas las localizaciones definidas.
Puesto qu e en esta localización la pieza sólo espera a que la prensa esté disponible, no se program a nada en la colum na O peration. A continuación definirem os la ruta de salida en la ventana Routing for:
•
En este caso la entidad de salida es d e nuevo la pieza, por lo que ése es el nom bre
•
que escribim os en la colum na Output. El destino de la pieza es la prensa, así que seleccionam os dicha localización en la colum na D estination.
•
La siguiente colum na, Rule, indica la regla de m o vim iento ; el valor pred eterm ina do a q u í es FIRST 1, lo que significa que la entidad avanzará tan pronto se tenga capacidad disponible en la localización de destino.
•
La últim a colum na, Move Logic, determ ina el m o vim iento lógico de salida; en este caso dejarem os en blanco el cam po. Una vez com pletada, la prim era línea de program ación deberá quedar com o se ilustra en la figura 5.6.
Para co ntinuar es preciso d efin ir el proceso que se llevará a cabo con la pieza en la prensa. Una vez m ás, com enzarem os p o r establecer que la entidad cuyo co m p o rtam ien to nos interesa es la pieza, que la localización en la que se encuentra es la prensa, y que el proceso ocupa un tiem p o específico de esta localización: 4 m inutos prom edio con distribución exponencial. Para conocer los com andos de program ación necesarios para especificar lo anterior, haga clic en el botón O peration d e la ventana Process. Enseguida se desplegará la ventana O peration (vea la figura 5.7), en donde se escribirá la lógica del proceso.
16 0
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
B
H 0
O p e ia t io n
Imprimir Compilar
Cortar
Deshacer
Construir lógica Buscar
Figura 5.7 La ven ta n a O peration p erm ite p ro gram ar las operaciones.
Line: 1
•
Haga clic en el icono de m artillo para com enzar la construcción lógica. Al hacerlo se abrirá otra ventana, que contiene todos los com andos d e program ación exis tentes.
ProM odel hará una sugerencia de co m and os que podrían resultar útiles. Al colocar el curso r del ratón sobre cada uno de ellos se m ostrará una sugerencia en pantalla con una b reve descripción de su utilización. El com ando que puede ser d e utilidad en nuestro caso es WAIT, que im plica una espera d e la entidad en cierto m om ento (por ejem plo, para realizar una operación).Toda vez que querem os m anejar un tiem po exp o nencial de 4 m inutos, la instrucción com pleta será WAIT E(4) min. La sintaxis general del com ando es la siguiente: WAIT c u n id a d e s de t ie m p o Procedam os a definir la ruta d e salida d e este registro. En este caso la entidad d e salida es la pieza, y su destino es salir del sistem a. Finalm ente la program ación deb e lucir com o se ilustra en la figura 5.8.
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Figura 5 .8 D e fin ic ió n d e la segunda lín e a d e program ación.
161
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
O bserve que, a l definir el segundo registro, la ventana de la ruta de salida em pieza de cero. Esto significa que la ventana de program ación nos perm ite ve r los procesos d e las piezas de m anera secuencial, aunque la ventana correspondiente a la ruta de salida del proceso sólo m ostrará la program ación correspondiente a la línea seleccionada en la ventana del procesam iento. Finalizada la program ación, nos queda por definir el tiem p o de sim ulación. Para ello: •
Abra el m en ú Sim ulation y haga clic en el com ando Options. Enseguida se abrirá la ventana correspondiente, ahí, en el cam p o Run h o u rs escribirem os lO O d ay. En el cam p o N um ber o f R eplicatio ns podem os determ inar el núm ero d e veces que deseam os correr el m odelo, es decir el núm ero de replicas. En este caso sólo requerirem os de una repetición. Seleccione en la sección O utput View er(s) to launch el form ato deseado para el
•
reporte de resultados, para este ejem p lo elegirem os la opción Output View er 2.0 (3DR). E l m odelo está term inado. Para ejecutarlo, lo ú n ico que tien e que hacer es desplegar el m enú Sim ulation y hacer clic en el com ando Save & Run. Una vez que esté corriéndose la sim u la ció n , podrá — si así lo d e se a— a ju star su velo cid ad con la barra q u e aparece en la parte superior de la ventana, o cancelar la anim ación m ediante el com ando Anim ation O ff del m enú Options. Al term inar la sim ulación de los 100 días se desplegará un cuadro de m en saje que confirm ará la finalización del tiem p o program ado. Si desea ver los resultados, haga clic en e l botón Yes (éstos pueden com pararse con los que se obtienen teó ricam ente m ediante las ecuaciones m atem áticas d e líneas de espera para un m o d elo M/M/1). Enseguida se abrirá una ventana con varias fichas que m uestran los resultados estadísticos de la sim u lación (vea la figura 5.9). Los datos pueden leerse y graficarse d e inm ediato con las herra m ientas que ofrece ProM odel, o guardarse en archivos con form ato de Excel para luego personalizarlos. En am bos casos podrem os encontrar la siguiente inform ación relevante (las cifras pueden variar dependiendo d e los núm eros aleatorios que haya utilizado d u rante la sim ulación).
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Figura 5 .9 R eporte d e datos generales d e l m o d e lo (ficha General).
16 2
(«MAnvcfe | EnUyActvly |
V a * tb n
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5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Ficha G eneral Los datos que despliega esta ficha indican qué archivo se usó para obtener los resultados, a sí co m o la fecha y hora en la que se realizó la sim ulación. Ficha Locations En esta sección (vea la figura 5.10) se presenta la información de cada una de las localizacio nes, las horas simuladas, su capacidad (en este caso la capacidad infinita se representa con 999999), el núm ero total d e entidades que entraron durante la simulación, el tiem po prom e tí io de estancia de las entidades en cada localización, el núm ero promedio de piezas, el núm ero m áxim o de entidades, el núm ero actual de entidades al m om ento de finalizar la sim ulación, y el porcentaje de utilización de cada una de las localizaciones. Tam bién se pue den revisar las estadísticas independientes de cada localización con capacidad unitaria — com o la prensa— y de aquellas que tienen capacidad m ayor a uno — com o la de la fila.
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79 28
Figura 5 .10 R eporte estad ístico de la s lo ca liza cio n e s (fich a Locations).
La ficha Locations tam b ién in clu ye inform ación respecto de los parám etros de un sistem a d e líneas de espera, com o: la utilización de la prensa (P), que es un porcentaje de la operación; el núm ero p ro m ed io de clientes en el sistem a (L), que es el Avg C ontents d e la fila m ás el Avg C o n ten ts de la prensa; el núm ero prom edio de clientes en la fila (Lq), que es el A vg C o n ten ts de la fila ; el tie m p o p ro m ed io de p erm an en cia en el sistem a (W ), que es la sum a d e los Avg tim e per En try d e la fila y d e la prensa, y el tiem po pro m edio de perm anencia en la fila (W q), que es únicam ente el tiem p o d e la fila. Si com param os estos resultados con los teóricos, verem os que son m u y sim ilares (vea la tabla 5.1). La diferencia puede deberse a que la sim ulación no ha llegado a estado esta ble, o a la variabilidad natural del m odelo. En cualquier caso, es recom endable graficar la variab le o variables d e respuesta que se desea com parar. Tabla 5.1 Comparación entre los resultados teóricos y los obtenidos mediante simulación. Parámetro
Resultado teórico
Resultado de la simulación
L
4 piezas
3.83 piezas
3.2 piezas
3.04 piezas
20 minutos
19.35 minutos
Wq
16 minutos
15.35 minutos
P
80%
79.28%
L q
w
1 6 3
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Fich a s Locations S ta tes Single/Tank y Locations S ta tes Multi En la prim era d e estas fichas se presenta la inform ación de las localizaciones que tienen capacidad d e uno (conocidas com o de capacidad unitaria), y la segunda la de aquellas que pueden contener m ás de una entidad a la ve z durante la sim ulación (denom inadas de m ulticapacidad; vea las figuras 5.11 y 5.12). En nuestro ejem p lo tenem os una de cada tipo: la localización "fila" tien e capacidad infinita, m ientras que la localización "prensa" tien e capacidad de u no .1
3¡)eiem plo3_1.idb - Output View ei 3DR - (R ep o il foi ejemplo3_1] ¿¡U Fíe View Jools Wmdow Help
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Locations
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Location States Multi
0
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Prensa
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0 00
0 00
0 00
000
20.72|
F ig u ra 5.11 Reporte de lo ca liza cio n e s c o n cap acid ad u n ita ria (es decir, c o n cap acid ad p ara u n a so la en tid a d ).
L e je m p lo 3 _1 .id b - O utput V ie w e i 3 D R - (R e p o rt ío r e je m p lo 3 _1 | 3
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Location States Single/Tank
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S ch e d u le d T im e (M IN) 4¿IT i 3.00
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37.29
62.71
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F ig u ra 5 .1 2 Reporte de lo ca liza cio n e s co n m ulticap acid ad (es d ecir, c o n cap acid ad para v a ria s en tid ad es).
En esta sección del reporte podem os encontrar inform ación referente al porcentaje de tie m p o vacío , o cu p ad o d e m anera p arcial y n o lib re resp ecto del tie m p o d isp o n i b le para cada localización con capacidad m ayor a uno. En este caso, la localización "fila" se encuentra 37.29% del tiem po vacío, 62.71% del tiem po con al m enos una pieza, y nunca llena n i no disponible, pues le asignam os capacidad infinita y no se program aron eventos que lim itaran el acceso y/o salida de las entidades a esta localización. Por otro lado, la localización "prensa" es de capacidad unitaria, a sí que el reporte inform a el por centaje d e tiem p o que la prensa estuvo procesando alguna pieza (79.28% d e l tiem po), el porcentaje d e tiem p o dedicado a actividad es de preparación (en este ejem p lo n o exis-
'Es la sum a de piezas e n a m b a s lo calizacio n es; lo m ism o su ce d e e n el c a so d e l tie m p o to ta l d e p erm an en cia e n el sistem a.
164
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
ten), el porcentaje de tiem p o que la prensa estuvo inactiva debido a que no había piezas que procesar, el porcentaje de tiem p o que la localización espera a q u e un recurso u otra entidad lleguen para iniciar el proceso (por ejem plo, en las situaciones en que hay ensam bles o cuando la prensa requiere de un dado especial para procesar la pieza), el porcen ta je de tie m p o en q u e la localizació n n o está re alizan d o trab ajo a lg u n o — ya q u e la capacid ad d e su localización destino está llena— , y finalm ente el p o rcentaje de tiem po en el que la localización se encuentra no disponible. Ficha Failed A rrivals Esta ficha (vea la figura 5.13) lista las entidades de cada m odelo, e indica si alguna de ellas no pud o entrar al sistem a en la localización definida en A rrivals. Esto puede suceder, por ejem plo, cuan do la localización de llegada tien e una capacidad finita. Si ésta se com pleta y una entidad desea ocupar un espacio en la localización, al no poder encontrarlo es destruida y elim inada del sistem a. Esta inform ación es útil, por ejem plo, cuando se anali zan sistem as d e líneas de espera con capacidad finita y se desea saber el porcentaje de clientes que n o pudieron ser atendidos.
l e |e m p lo 3 _ 1 idb - Qutput V ie w e i 3D R irm £ile
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Location States Multi
F a ile d A n iv a ls íor ejem plo3_1 E n lity Ñame
L o ca tio n Ñ am e
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To tal Failed |
0.00
F ig u ra 5 .1 3 Estad ística de e n tid ad e s no ingresadas (fich a Failed Arrivals).
Ficha En tity A ctivity Esta ficha del reporte refleja las estadísticas d e cada entidad definida en el m odelo. Com o se observa en la figura 5.14, en este caso sólo tenem os la entidad llam ada "pieza". La infor m ación reportada es la entidad, el to tal de entidades que salieron del sistem a (en este ejem p lo 28521), las entidades que se encuentran en el sistem a al fin alizar la sim ulación , e l tiem po prom edio de perm anencia en el sistem a (19.35 m inutos, que es el m ism o que se inform a en la fich a Locations), el tiem po prom edio que la entidad pasó en un traslado o m o vim ien to d e una localización a otra (m ism o que no se pro gram ó en nuestro m o d e lo), el tiem p o prom edio q u e la entidad espera a otra entidad para un ensam ble, o a un recurso para ser procesada o transportada (por ejem plo, p o r un m ontacargas), el tiem po prom edio qu e se encuentra en p ro cesam iento o viajando en un transp o rtad o r y, fin a l m ente, e l tie m p o que n o p u e d e a van zar d e b id o a q u e la localizació n d e stin o está to ta lm e n te ocupada (15.36 m inuto s, el tiem p o prom edio d e espera en la fila). 165
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
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E n t it y A c t i v i t y l o i c ic m p lo 3 _ 1
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C u n e n ! Q ty In S y s te m
A v g T im e In S y s te m (M IN )
A v g T im e I n M o v e l o g ic (M IN )
28521.00
3.0 0
19.36
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A v g T im e W a i t F o r R e s (M IN )
A v g T im e I n O p e r a tio n (M IN )
A v g T im e B lo c k e d (M IN )
400
1536
0.00
F ig u ra 5 .1 4 Estad ísticas d e la a ctivid a d d e la s e n tid ad e s e n el sistem a (fich a E n tity A ctivity).
Ficha En tity States En esta ficha del reporte (vea la figura 5.15) podem os encontrar un resum en de los datos d e la ficha En tity Activity, p ero en térm ino s porcentuales. Por ejem plo, com o en este caso la entidad "pieza"pasa sólo 4 m inutos en operación, el reporte indica que pasó 20.68% del tiem p o total de perm anencia en el sistem a (19.35 m inutos), m ientras que estuvo blo queada para co n tin u arsu cam ino a la localización destino el tiem p o restante, 15.35 m in u to s (es decir, 79.32% del tiem p o total).
J¡] ejem plo3_1.idb - Output V iew er 3D R - [Report for ejem plo3_1] m
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79.32
F ig u ra 5 .1 5 Estad ística p o rcentu al d e la a ctivid a d d e la s e n tid a d e s (fich a E n tity States).
5.4.2
M ejoram iento visual del modelo ProM odel p e rm ite in cre m e n ta r la cap acid ad visu al d e l m o d e lo m e d ia n te un c o n ju n to d e h e rra m ie n ta s e sp e c ífic a s para d ich o p ro p ó sito . En e sta se cció n h ab larem o s sobre có m o u tiliz a rla s, con b ase u n a ve z m ás en el m o d e lo que se co n stru yó para el e je m p lo 5.1.
166
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Ejem plo 5.2 Nuestro trabajo en esta sección se basará en el ejem plo 5.1, aunque le harem os algunas m odificaciones con el o b jetivo d e m ejorar su presentación al m o m ento d e ejecutar la sim ulación. Adem ás, tratarem os de obtener inform ación relevante para el tom ador de decisiones y/o para el program ador del m odelo. Para com enzar, determ inarem os la cantidad de piezas que hay en el alm acén en cualquier m o m ento dado. Esto se puede hacer de dos form as: • •
Abra el m enú Build y haga clic en el com and o Locations. En la ventana Graphics, haga clic en el icono predeterm inado para la función de contabilización de entidades en una localización (00). (Es im p o rtan te resaltar que d eb e desm arcar la casilla d e verificación New para poder integrar este contador a la localización que deseem os editar.)
•
Vaya a la colum na Cap. del registro d e la localización que desea m odificar (en este caso "fila"), y cam b ie su capacidad a 50.
•
Seleccione los iconos correspondientes en la ventana Graphics, co m o se m uestra en la figura 5.16. B4M'roivrn
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0 1 4 ..1
Prensa
Figura 5 .16 D e te rm in a ció n d e la c a n tid a d de piezas e n una localización.
167
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
•
Agregue una barra que ilustre la capacidad utilizada del to tal (es por eso que cam biam os la capacidad de la localización a 5 0 ; si la hubiéram os m antenido en infini to no aparecería registro alguno en la barra). Para ello em plearem os el icono predeterm inado, la barra de color azul que se encuentra debajo del ico no 0 0 en la ventana Graphics. Si al m om ento d e colocar la barra de capacidad no ve la escala, d e un doble click con el ratón sobre la barra y se abrirá la ven tana d e diálogo Gauge/Tank donde podrá cam b iar las características visuales de la barra, active la opción Show Escale y cierre la ventana. Al hacerlo su pantalla deberá lucir com o se ilustra en la figura 5.16.
La otra m anera de llevar a cabo este procedim iento consiste en utilizar una variab le e igualarla al com ando predeterm inado CONTENTS(/7/o) para contabilizar los contenidos d e las localizaciones. Para agregar el núm ero de piezas procesadas utilizarem os una variable. Para ello:
•
Abra el m enú Build, haga clic en el subm enú More Elem en ts y elija Váriables (global). Enseguida se desplegará en pantalla la ventana d e definición d e varia bles, m ism a que se ilustra en la figura 5.17.
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F ig u ra 5 .1 7 La v e n ta n a V ariab les (g lo b a l) n o s se rvirá para d e fin ir la s v a ria b le s del m odelo.
Nuestro propósito es d efin ir los parám etros de la variab le p za s_to t. Para ello:
• •
Coloqúese en el prim er cam p o (ID) y m odifique el nom bre de la variable. Cam bie al cam p o d e la segunda colum na (Type) para definir el tip o d e variable, que puede ser entera (integer) o real; en este caso la variable es entera.
•
En el cam p o d e la sig uiente colum na, Inicial Valué, determ ine com o 0 el valor
•
inicial de la variable. Com o querem os que el inco no d e esta variable aparezca en la sim ulación, haga clic en la colum na Icón y después, nuevam ente en el lugar en dond e quiere que aparezca el contador (vea la figura 5.18).
16 8
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~1
Fig u ra 5 .18 D eterm in ació n d e lo s p ará m etro s d e la v a ria b le q u e co n ta b iliza piezas to tales.
□ sig u ien te paso co nsiste en esp e cificar que la variab le cam b ie cad a ve z que entre una pieza a la pren sa. Esto se logra al program ar esta acción com o una operación que se ejecutará al m o m ento d e que la pieza term in e d e ser procesada en la prensa. Para log rarlo:
•
E lija el c o m a n d o P ro c e ssin g d e l m en ú B u ild . E n este caso a ñ a d ire m o s la in stru c c ió n p z a s _ t o t = E N T R IE S (P re n sa ) e n el se g u n d o re g istro d e la p ro g ra m a ció n , q u e c o rre s p o n d e al p ro ceso q u e se re a liza e n la lo c a liz a c ió n "prensa". Esta lín e a d e p ro g ra m a c ió n hará q u e cad a ve z q u e u n a p ieza te r m i ne su pro ceso d e 4 m in u to s co n d istrib u ció n e x p o n e n c ia l e n la p ren sa se c o n ta b ilic e co m o u n a p ieza te rm in a d a . La p ro g ram ació n d e b erá q u e d a r co m o se m u e stra e n la fig u ra 5.19.
169
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Prensa 000000
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F ig u ra 5 .19 Uso de la in stru cció n E N T R IE S ().
Si corriéram os la sim ulación en este m om ento, podríam os ver que tan to el contador com o la barra reflejan la cantidad de piezas que se encuentran en un m om ento determ i nado en el alm acén definido en la sim ulación. Sin duda el m o d elo ya sim ula el problem a que estam os ejem plificando, a pesar de que lo único que hem os hecho es agregar un par d e gráficos que hagan m ás entendible lo que pasa. La segunda m odificación que harem os consistirá en cam b iar el tiem p o d e sim ula ción, de m anera qu e su ejecución no sea m u y larga. Suponga que querem os cam b iar la duración del m odelo a solo 30 días. Para ello: •
D espliegue el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando O ptions, com o se m uestra en la figura 5.20.
S rrU y c n
É W jU
B v r.
¡W ,
V
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U ttM P S s rc tm S senvot
Figura 5 .20 Acceso a las o p c io n e s d e la sim ulación.
17 0
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
A continuación se abrirá el cuadro de diálogo Sim ulation O p tio ns (vea la figura 5.21), en dond e es posible m odificar varias opciones d e la sim ulación. Por lo p ro n to, cam b ie el valo r del cuadro d e texto Run h o u rs a 30 days y haga clic en OK.
Simulation Options O utputPath:
ts and se
Run Ñame:
■ M
J JJ
documente toromodel H53B
Bro-Ase...
Ejemplo 5.1 Disable
Run Length © Time Only
O Weekly Time
O Calendar Date
f~~l Warmup Pefiod
□ Animation
□ Cost
□ A rray Exp o rt
□ Time Series
A tS ta rt " Run Tañe*:
□
Trace
□ üisplay Model Notes
T im e units default to hours unless otherwise spedfied.
General "
Adjust for Dayiight Sa
□ Generate Animabon S ] Common Random Nun 0
Output Reporbng © Standard
O Batch Mean
C
Indica una sola ré p lic a
lllB jg g B W
------------------------------------Number o f Replicabons:
Run
Modifique aquí el tiempo de simulación
]
1 ^
|
Seleccione el formato del reporte de resultados
Slap Resource D Ts if O ff-sh ft U Recompfe Mappings
u u ip u i viewer^sj 1 0 «unen / 1 -------------------------------r — 1 0 Output Viewer 2 . 0 (3DR) v □ Minitab
OK
|
Cancel
Help
Figura 5.21 0 cu a d ro de d iálo g o Sim ulation O p tio n s p erm ite d e te rm in a r d ive rso s p arám etro s d e la sim u lació n .
Una interrogante im po rtante para el tom ador d e decisiones es si las variables del m odelo están en estado estable o todavía se encuentran en un estado transitorio. Com o se m encionó en el capítulo anterior, si querem os evitar la variabilidad que ofrecen los resultados del estado transitorio, es necesario que nuestras soluciones se basen en las estadísticas del estado estable. Una opción de m ucha utilidad para obtener estadísticas estables consiste en definir un tiem p o transitorio o de preparación (w arm up) dentro del m odelo. Com o p ro b ab le m ente recordará, la gráfica de estabilización que m encionam os en capítulo s anteriores nos m uestra que los valores de las variables de respuesta en el estado transitorio suelen describir una alta variabilidad. Para evitar que el efecto d e esta variación se diluya y poda171
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
m os obtener respuestas estables, es necesario contar con m ayo r tiem p o de ejecución. D efinir un perio do de w arm up im plica ejecutar el m odelo durante cierto tiem po, después del cual las estadísticas regresarán a cero. Gracias a ello se elim inarán los registros corres pondientes a las variables d e respuesta en el estado transitorio, y se conservará única m ente el valor fin al d e las variables de respuesta, lo cual im plica m enos tiem p o de sim ulación y, por consiguiente, m en o r inversión de tiem po de com putadora y m enor costo. Esto es m u y útil en casos en los que el sistem a se encuentra vacío en el arranque. Si se da un tiem p o transitorio m ientras el sistem a se llena, ese tiem p o sería el que coloca ríam os de warm up. Le sugerim os acom odar un tiem p o d e un día para com parar resulta dos entre los m odelos con y sin tiem p o transitorio. La sim ulación term inará cuando se cum plan 31 días: un tiem p o transitorio que no será to m ad o en cuenta al g enerar las esta dísticas, y 30 días que sí aportarán datos para o b ten er los pro m ed io s finales d e las varia bles d e respuesta. Ahora nos falta colocar algún elem ento que m uestre la utilización de la prensa en to d o m om ento. Esto nos servirá para determ inar si la variable de respuesta que deseam os conocer — la utilización del equipo— se encuentra en estado estable o aún en estado transitorio. Con dicho propósito incluirem os lo que se conoce com o un gráfico dinám ico. Para construirlo: •
Corra la sim ulación a una velocidad lenta para darle tiem p o a construir el gráfico antes de que term in e la sim ulación, m ientras ésta se encuentra en ejecución, abra el m enú Inform ation y haga clic en el com ando D ynam ic Plot/New. Al realizar esta selección aparecerá la ventana D ynam ic P lo ts con la pestaña Stats to Plot activada con las diferentes estadísticas que ProM odel recopila de m anera autom á tica, se recom ienda m over el tam año y la posición de la ventana hacia un lugar
•
dond e n o estorbe la vista del m odelo. Com o en este caso d eseam os vin cu la r el gráfico d in ám ico con una lo calizació n, haga clic en el botón Locations. Lu e g o seleccio ne la localizació n "prensa", y d eterm ine la estad ística del p o rcentaje d e utilizació n (U tilization % ). Enseq uida cam b ie a la p estañ a C h art y verá el co m p o rtam ien to d e la variab le a través del tiem p o . La gráfica resultante puede ser m o d ificad a tal com o si se tratara d e un gráfico d e Excel.
Si desea guardar el gráfico d inám ico para utilizarlo en futuras ocasiones, agréguelo a la configuración de la siguiente m anera: M ientras el m o d elo esté aún en ejecución y con el gráfico creado anteriorm ente en la posición y dim ensiones deseadas, despliegue d e nuevo el m enú Inform ation, abra el subm enú D ynam ic P lot y haga clic en el com ando Configurations. En ese m om ento aparecerá una ventana en la que podrá asignar un nom bre al gráfico que acaba d e crear, y guardarlo para em plearlo en alguna oportunidad posterior (por ejem plo, nos será útil en la solución del ejem plo 5.2). En el cam p o Save/Renam e A s: pondrem os figura prensa, haga clic en el botón Save. Una vez guardado el gráfico dinám ico podrem os activarlo al inicio d e la sim ulación. Para ello m odificarem os lo que se conoce com o lógica inicial del m odelo: 17 2
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Abra el m enú Build y elija el com ando G eneral Inform ation. Enseguida se des plegará en su p antalla el cuadro d e diálogo correspondiente (vea la figura 5.22).
□
G e n e i a l I n f o im a t i o n
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Hours
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T e irrw u tio n L o g c ..
F ig u ra 5 .2 2 0 cu a d ro de d iálo g o G eneral Inform ation.
Este cuadro d e diálogo nos perm ite acceder a una opción para colocar notas que identifiquen el m odelo. (Para crearlas, haga clic en el botón Model Notes, y para activar las, despliegue el cuadro de diálogo Sim ulation O p tio ns [Sim ulation/Options] y m ar que la casilla d e verificació n Display Notes). El cuadro d e diálogo m uestra adem ás la ruta d e la biblioteca de gráficos q u e actual m ente se está usando en el m odelo, y que perm ite definir las unidades de tiem p o y dis tancia. Por últim o, en él podem os especificar eventos o características iniciales y finales del m odelo. Por ejem plo, es posible desplegar un m ensaje d e advertencia que anun cie el in icio o el té rm in o d e la sim u la ció n . Sin em b argo , p o r el m o m en to sólo activare m o s e l gráfico dinám ico al com ienzo de la sim ulación. Siga estos pasos: •
Haga clic en el botón Inizialization Logic para desplegar la ventana d e program a ción correspondiente (vea la figura 5.23). Initializaiion Logic
x u
Ud U ne 2
■H
%
F ig u ra 5 .2 3 V entana de pro gram ació n para la lógica inicial del m odelo.
Esta ventana es sim ilar a la d e Operation (vea la figura 5.7). En ella colocarem os la instrucción DYNPLOT"nom bre del gráfico". Para nuestro ejem p lo escribirem os: DYNPLOT "figura prensa". Una vez introducida la instrucción, cierre la ventana. Si ejecuta en este 173
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
m om ento la sim ulación, el gráfico dinám ico aparecerá desde el inicio y m ostrará su perio do transitorio, lo cual le perm itirá o bservar si la variable graficada está estable o no. D urante la ejecución es posible que el gráfico oculte la sim ulación d e nuestro siste m a. Para evitarlo podríam os m odificar el tam año del gráfico, aunq ue con ello sacrificaría m os su calidad. Otra solución consiste en definir una vista dond e el sistem a se m uestre alineado hacia el lado contrario a dond e aparece el gráfico dinám ico. Para lograrlo: •
Prim ero d im ensio narem o sel sistem a actual. D etenga la sim ulación y abra el menú V ie w y haga clic en el com ando V ie w s.
•
Enseguida escriba un nom bre específico para la vista en V ie w Ñ a m e , y haga clic en la opción A d d del cuadro de diálogo. Ahora el botón S e t V ie w del m enú V ie w está disponible para seleccionar la vista que acaba de definir. Haga clic en él.
•
Para desplegar la vista, abra el m enú V ie w , elija el subm enú V ie w s y haga clic en el nom bre de la vista que definió en el paso anterior. Otra opción es ejecutar la vista m ediante el m étodo abreviado de teclado que aparece al lado de su nombre, el cual se com pone de la tecla Ctrl y un núm ero que corresponde al núm ero d e la vista, en este caso Ctrl+ 1.
Puesto que la vista deberá ser activada al inicio de la sim ulación, regrese a la ventana In ic ia t iz a t io n L o g ic y escriba en el siguiente renglón después d e la instrucción del gráfi c o dinám ico: V IEW " N o m b re d e la v is ta " . De esta m anera, la vista se activará al co m ien zo d e la sim ulación, al igual que el gráfico dinám ico. El resultado d e estas acciones podría verse com o se ilustra en la figura 5.24. La sintaxis general de la instrucción VIEW es: V IEW " n o m b re d e la v is ta "
F ig u ra 5 .2 4 Eje m p lo 5.2 term in ad o .
174
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Com o pud im os ve r en este ejem plo, increm entar el po tencial gráfico d e nuestro m odelo es relativam ente sencillo. Pero las herram ientas de ProM odel no sólo están desti nadas a m ejorar la interpretación visual del m odelo; tam b ién nos perm iten integrar m uchos otros elem entos con propósitos distintos, por ejem plo: la tasa de descom postu ras de un equipo, el tiem p o que tarda en repararse, la p ro b ab le generación de piezas defectuosas en el proceso, los niveles de retrabajo o de utilización de los recursos, e tcé tera. Es evidente, que, cuanto m ás apegado a la realidad queram os que resulte nuestro m odelo, m ás cantidad de ajustes tendrem os que hacer; ésta es la razón p o r la que un buen m o d elo d e sim ulación tom a tiem p o en ser construido. No obstante, es preciso to m ar en cuenta, e n todo m om ento, que de nada sirve un m odelo perfecto gráficam ente si n o se tien en buenos datos estadísticos de entrada.
5.4.3
M odelado de un sistem a que incluye m ás de un proceso E je m p lo 5.3
Dos tipos d e piezas entran a u n sistem a. La prim era es un engrane q ue llega a una estación de rectificado donde se procesa por 3±1 m inutos; la distribución de probabilidad asociada a las llegadas de este engrane a la fila de la rectificadora es una distribución norm al con tiem p o prom edio de 13 m inutos y desviación estándar d e 2 m inutos. La segunda pieza es una placa de m etal que llega a una prensa con una distribución de probabilidad exponen cial con m edia de 12 m inutos. La prensa procesa un engrane cada 3 m inutos con distribu ción exponencial. Al term inar sus procesos iniciales, cada una d e estas piezas pasa a un proceso autom ático de lavado que perm ite lim piar 2 piezas a la vez de m anera indepen diente; este proceso, con distribución constante, tarda 10 minutos. Finalm ente, las piezas se em pacan en una estación que cuenta con 2 operadores, cada uno de los cuales em paca un engrane en 5±1 m inuto y una placa en 7±2 m inutos. Se sabe que los tiem po s de tran s porte entre las estaciones son de 3 m inutos con distribución exponencial. No hay alm ace nes entre cada proceso: sólo se tien e espacio para 30 piezas antes d e la prensa y 30 antes de la rectificadora. Suponga que cada día de trabajo es de 8 horas. Sim ule este sistem a por 4 0 días, indique el m om ento en que se inicia y se term ina la sim ulación. E s q u e m a t iz a d o n i n id a l d e l m o d e lo
Antes de com enzar a definir el m odelo en ProM odel, es conveniente analizar el problem a. El prim er paso consiste en esquem atizar el sistem a, com o se m uestra en la figura 5.25.
U n ifo rm e (3 ,1 )
E xp o n e n cia l ( 1 2 )
C o n sta n te 10
U nifo rm e (5 ,1 ) e n g ran e U n ifo rm e (7, 2 ) placa
F ig u ra 5 .2 5 Esq u em a del sistem a a m odelar e n el ejem p lo 5.3.
175
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
D e f in ic ió n d e lo c a liz a c io n e s
Recordem os que el m odelado en ProM odel com ienza por la definición d e las localizacio nes físicas d e nuestros procesos, en este caso:
1. La fila de llegada para la rectificadora, con capacidad para 30 piezas. 2. La fila de llegada para la prensa, co n capacidad para 30 piezas. 3. El proceso d e rectificado, con capacidad para una pieza. 4 . El proceso d e prensado, co n capacidad para una pieza. 5. El proceso de lim pieza, con capacidad para lim piar dos piezas de m anera in d e pendiente. 6. El proceso d e em paque, en el que participan dos operadores independientes.
En este m o d e lo a p arece un n u e vo tip o d e lo c a liz a c ió n , ya que d e b em o s d e fin ir fila s de e n tra d a . En m u ch o s siste m as se tie n e n b an d as o tra n sp o rta d o re s q u e se e n c a r gan d e d esp lazar las p iezas d e un p ro ceso a otro; en otros casos, co m o el d e las in sti tu cio n es b an cad as, hay so lam en te una fila para aten d er al clien te . ProM odel p erm ite sim u la r esto s d e ta lle s. Por ejem plo, para definir una fila:
• •
Abra el m enú B u ild y elija L o c a tio n s . i Seleccione el icono que parece una escalera horizontal » *** "* ■ ) en la ventana G r a p h ic s , y haga clic en la posición d e la ven tana L a y o u t dond e q uiere que
aparezca la fila de rectificado. Luego, al m over el curso r del ratón, una flecha indi cará que está definiendo la fila; coloqúese en el lugar dond e quiere que term ine la fila haga doble clic. Es im po rtante m en cio nar que si sólo hace un clic en la posi ción final, seguirá construyendo la m ism a fila; esta característica es m u y útil para definir en una sola localización band as o transportadores que pasen por toda la planta o por varios procesos.
P o dría o c u rrir q u e al d e fin ir n u e stra fila el ico n o ap a re cie ra co m o u n a b a n d a d e ro d i llo s m ás q u e co m o u n a fila ; sin em b argo , es im p o rta n te que el m o d e lo sep a q u e se ha d e fin id o u n a fila y n o u n a b an d a, p u e s al m o m en to d e la sim u la c ió n tra ta cada e le m e n to d e m anera d ife re n te . Le re co m e n d a m o s q u e c o n s u lte la ayud a d e P ro M o del para co n o ce r to d as la s c a ra c te rís tic a s q u e se p u e d en a sig n a r a una fila y a u n a b a n d a. P o r lo p ro n to , u n a b u e n a fo rm a d e a se g u ra rse d e q u e la lo c a liz a c ió n es u n a fila ( q u e u e ) y n o u n a b a n d a ( c o n v e y o r), es co n un d o b le clic e n e lla d esd e la ven tan a
L a y o u t;e n s e g u id a se d esp leg ará el cu ad ro d e d iá lo g o C o n v e y o r / Q u e u e (vea la fig u ra 5 .2 6 ). E n este cu ad ro po drá co n tro la r varias ca ra cte rística s d e la lo c a liz a c ió n . Haga lo sig u ie n te :
17 6
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~1
C o n ve y o i / Q ueue
Style
Width
r
s o iid
r Roller Line Boeder Color... FU Color... Length 116 000
meters
Conveyor Op‘ions. [nviable Dunng SmUation í
• •
•
OK
1
Cancel
Help
F ig u ra 5 .2 6 D e fin ició n d e las ca ra cte rística s de u n a fila .
Asegúrese de que esté m arcada la casilla de verificación d e la opción Q u e u e . Recuerde qu e el icono es sólo una representación visual, así q u e puede decidir, en la sección S ty le , si el icono aparecerá sólido (Solid), co m o banda de rodillos (R o ller), o sólo com o una línea (U n e ). Si desea qu e el icono no aparezca al m o m ento d e ejecutar la sim ulación, m arque la casilla de verificación d e la opción In v is ib le D u rin g S im u la tio n .
•
A dem ás d e estas características, el cuadro d e diálogo perm ite definir otras, com o el color de borde y de relleno del icono (m ediante los botones B o r d e r C o lo r y Fill C o lo r) y su longitud (Le n g h t), en metros.
•
Al term in ar d e definir las características de la fila de rectificado, haga clic en el botón O K.
R epita el p ro ce d im ie n to para d e te rm in a r la lo ca liza ció n d e la p ren sa. (R ecu erd e q u e am bas fila s tie n e n u n a cap acid ad d e 30 p iezas so lam en te.) Lu e g o d e fin a la p ren sa y la re ctifica d o ra d e la m ism a m anera que d e fin im o s o tro s pro ceso s en lo s ejem p lo s a n terio res. A continuación definirem os la lavadora, seleccionando para ello el icono que desee m os que la represente. Para una m ejo r visualización, coloque 2 iconos de posicionam iento sobre el icono que representará a la lavadora (recuerde que ésta tien e capacidad de lim piar dos piezas a la vez y de m anera independiente). Por últim o, defina los operadores d e ensam ble. D e acuerdo con la descripción, en el proceso participan dos operadores q u e realizan la m ism a operación, pero de m anera independiente. O bserve que, en el caso d e la lavadora, un m ism o equipo tien e capacidad para realizar 2 procesos de lavado, m ientras que ahora tenem o s dos operarios que reali zan la m ism a operación d e em paque. Para definir esto en el m odelo podem os proceder d e dos m aneras. La prim era consis te en especificar a cada operador d e em paque com o una nueva localización; sin embargo, 177
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
a nivel d e program ación tendrem os que determ inar rutas d e entrada y salida para cada u no d e ellos. La segunda opción es m ás práctica: se trata de establecer que el pro ceso de ensam ble tie n e 2 unidades de capacidad, una por cada operador. Para lograrlo: •
Defina una operación de em paque y, al term inar, coloque un 2 en la colum na U n its de la ventana Locations. D espués d e aceptar este cam bio aparecerá una segunda localización, idéntica a la que definim os originalm ente.
Si desea ca m b ia r d e posición d ich a lo calizació n , h ág alo ; e sto n o afectará el m o d e lo . Es im p o rtan te m e n cio n a r que si la d e fin ició n d e l pro ceso im p lica m ás d e un ico no , es p o sib le m o verlo s todos a la vez si se tom an d e la lín ea p u n te ad a q u e aparece en su co ntorno. Esta m anera d e d efin ir localizaciones iguales facilita la program ación y perm ite seguirlas tratando d e m anera independiente, lo cual resulta m u y útil cuando querem os sim ular, por ejem plo, un banco con 10 cajeros que realizan las m ism as operaciones. Al term in ar estas definiciones, el m odelo se verá co m o se m uestra en la figura 5.27.
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F ig u ra 5 .2 7 D efin ició n de lo ca liza cio n e s p ara el e je m p lo 5.3.
O bserve que, aunque las filas aparecen com o líneas en el m odelo, en la ventana Locatio n s siem pre lucirán com o band as de rodillos. 17 8
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
D efinición de en tid ad es E l siguiente paso en la construcción d e nuestro m o d elo será la definición de las entid a des. Para ello es necesario desplegar la ventana apropiada m ediante el com ando En tities del m enú Build. En este pro blem a será necesario d efin ir dos entidades: una que rep re sente el engrane y otra que represente la placa. Com enzarem os por d efin ir el engrane seleccionando el gráfico para dicho propósito. Com o se m en cio nó en el ejem p lo 5.1, para m ejorar el aspecto visu al podem os agregar una segunda gráfica. D espués repetim os el m ism o proceso para la placa. O bserve que en la p arte inferior d e la ventana G rap h ics aparecen unas dim ensiones b ajo el concepto Conveyor Only: estás dim ensiones son las que tom aría la pieza si entrara a alguna loca lización definida com o banda y no com o fila. Uno de los p ro blem as que podrían presen tarse al m om ento de sim ular el m odelo, es que estas dim ensiones sean dem asiado grandes, lo qu e ocasionaría que las piezas no pudieran ser contenid as en la banda. Al m om ento d e definir el m odelo es im po rtante considerar que el sim ulador tom ará en cu e n ta las d im e n sio n e s física s d e las p iezas d e fin id a s en la o p ció n C o n v eyo r O n ly en caso de entrar a una banda; sin em bargo, las ignorará cuan do entren a una fila. D efinición de lleg ad as El sig u ie n te paso en la construcción del m o d e lo es la defin ició n de los arribos o lle g a das d e las p iezas al siste m a ; para ello , abra el m enú Build y hag a clic en el com ando A rrivals. Al esp e cificar los parám etros, recu erd e que las llegad as d e los eng ranes tien en d istrib ución no rm al con m ed ia d e 13 m in u to s y desviació n están d ar d e 2 m inuto s, m ientras que las d e las placas tien en d istrib u ció n exp o n en cial con m edia d e 12 m in u tos. Una ve z definidas am bas llegadas, la ventana A rrivals deberá lu cir com o se m uestra en la fig u ra 5.28.
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F ig u ra 5 .2 8 D efin ició n de lleg a d as d e la s e n tid ad e s (ejem p lo 5.3).
D efinición d el proceso: uso de la opción V iew Text A continuación definirem os la lógica de procesam iento de la sim ulación. Para ello ejecute e l com ando Processing del m enú Build. Para program ar las operaciones y rutas de am bas entidades (engranes y placas), pro cederem os com o se indicó en el ejem plo 5.1, pero prim ero es co nveniente ten e r un esquem a del proceso secuencial d e cada una d e ellas. Es en este tip o d e situaciones don de herram ientas co m o los diagram as de operación resultan útiles para realizar una pro gram ación m ás eficiente. 179
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Recuerde que el tiem p o de transpo rte entre procesos es de 3 m inutos, con d istrib u ción exponencial. Por lo tanto, en cada ruta que im p liq u e m o vim iento d e un proceso a otro será necesario program ar la instrucción M ove For E(3) en la colum na Move Logic de la ventana Routing. La sintaxis general d e esta instrucción es: M OVE FO R < tie m p o > , dond e el tiem p o puede ser una constante, una distribución de probabilidad, una variable o un atributo num érico. Para ilustrar la program ación de am bas piezas en este m odelo, em plearem os una opción d e ProM odel que perm ite visualizar la m ayor p arte de la inform ación. Siga estos pasos: •
Abra el m enú File y haga clic e n el com ando View Text. Enseguida se desplegará en la pantalla toda la inform ación que hem os incluido hasta el m o m ento en el m odelo. Esto es m u y útil, sobre todo en problem as en los que se requiere m ucha program ación. En la figura 5.29 se m uestra la p arte correspondiente al procesa m iento que desplegará el com ando View Text. Tom e está inform ación com o referencia para verificar si ha program ado la secuencia d e los procesos y las rutas d e m anera adecuada.
P ro c e s a in g P ro c e sa E n tity
L o c a tio n
E n gran e
P i la _ r e c t i f ic a ilo r a
E n g ran e E n g ran e
R e c tific a d o ra la v a d o ra
E n g ran e p la c a p la c a p la c a
E npaque P ila ._ P re n sa la v a d o ra
u a i t E<3> u a i t 1S G ra p h ic 2 u a i t u < ? .2 >
D e s tin a tio n
R u le
fio v e L o g ic
1 1
E n g ran e E n g ran e
R e c tific a d o ra la v a d o ra
P IR S I 1 FIRST 1
n o v e f o r E<3>
1 1 1 1
E n g ran e E n g ran e p la c a p la c a
E m paque EX 1I P re n sa la v a d o ra
FIR S T FIR S T FIR S T FIRST
1 1 1 1
n o v e f o r E<3>
1
p la c a
E m paque
FIRST 1
f o r E<3>
1
p la c a
EXIT
FIRST 1
nove «i
E npaque
u a i t u < 3 .i> u a i t 10 G ra p h ic 2 u a i t u < S .l>
B lh
I
p la c a
O p e r a tio n
R o u tin g O u tp u t
f o r E<3>
F ig u ra 5 .2 9 In stru ccio n es d e p ro cesam ien to del e je m p lo 5.3.
O bserve que en este ejem p lo hem os utilizado el com ando GRAPHIC #, m ism o que perm ite cam b iar la gráfica de la entidad por otra determ inada al m om ento de definir las entidades. El sím bolo # representa la posición que tien e la gráfica dentro d e la lista de gráficos definidos para esta entidad. Vea tam b ién cóm o se usa la instrucción M OVE FO R en cada caso donde se requiere un transpo rte de un proceso a otro. Por último, observe que se program aron prim ero las trayectorias del engrane y posteriorm ente las de la placa. ProM odel p erm ite definir cualq uier proceso y ruta sin im p o rtar el orden cronológico. Sin em bargo, con el propósito de lograr una m ejo r lectura d e la program ación, se recom ien da proceder com o se m uestra en este ejem plo. D e esta m anera, si por algún m o tivo fuera necesario m odificar la program ación, será m ás sencillo insertar y elim inar líneas para darle un orden secuencial a la sintaxis d e nuestro m odelo. 18 0
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Uso de la instrucción DISPLAY A p artir d e los pasos q u e hem os seguido hasta este m om ento, el m odelo deberá poder ejecutarse sin problem as. Sin em bargo, aún no hem os incluido el m en saje de inicio y de fin de la sim ulación que se nos pidió. Para hacerlo: •
Abra el m en ú Build y haga clic en el com ando G en eral Inform ation para desp le
•
gar el cuad ro d e diálogo correspondiente (vea la figura 5.22). Haga clic en el botón Initilization Logic y, en la ventana que aparece, escriba la instrucción DISPLAY "Inicio de la Sim ulación". Esta instrucción desplegará una ven tana d e m e n saje q u e d e ten d rá la sim u lació n h asta que h ag am o s clic en u no d e los botones incluidos en ella: si hacem os clic en Cancel, la sim ulación no se ejecutará; si hacem os clic en OK la sim ulación com enzará.
Una vez que haya program ado el m en saje de inicio, deberá hacer lo pro p io con el m e n saje de finalización d e la sim ulación. •
Vuelva a desplegar el cuadro d e diálogo General Inform ation, y ahora haga clic
•
en el botón Term ination Logic. Cuando se abra la ventana Term ination Logic, coloque nuevam ente el com ando DISPLAY, pero esta ve z con un m en saje de fin d e la sim ulación. (Recuerde colocar el texto entre com illas dobles.)
La in stru cció n D ISP LA Y es m u y ú til para program ar m en sajes d e alerta d e n tro d e la sim ulació n, o para realizar interacción con el usuario del m odelo. Sin em bargo, tien e el inco nveniente d e que detiene la sim ulación, por lo que es im po rtante utilizarla única m ente cuando el m en saje sea relevante. Por otro lado, si el program ador desea colocar com entarios dentro d e la program ación, puede hacerlo en los espacios reservados para las notas del m odelo. Adem ás, si se considera necesario, es posible usar com entarios en la program ación de las operaciones y rutas d e las entidades, m ediante cualquiera d e las siguientes o pciones al com ienzo del renglón: // te x to d e un solo renglón • te x to d e un solo renglón /* texto en varios renglones */. En este caso es necesario d efin ir el inicio del co m en tario y la finalización del m ism o; es por ello que se utilizan dos sím bolos. La sintaxis general d e la instrucción DISPLAY es: DISPLAY iJm e n sa je " {, < e x p re sió n >}, N uestro m odelo se encuentra casi term inado. Sólo nos falta incluir el tiem p o que desea m os sim ular el sistem a. 181
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
D efinición del tiem p o de sim ulación En el planteam iento del problem a se estableció que cada día tien e 8 horas hábiles de trabajo. Tam bién se estipuló que el m odelo del sistem a abarcaría 4 0 días, por lo que el tiem p o to ta l de sim ulación será de 320 horas. Dé los pasos pertinentes para determ inar estos parám etros com o sigue: •
Abra el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando Options. En el cuadro de diálogo que se despliega, especifique 3 2 0 hr. en el cam p o Run H ours. Tenga cui dado y no lo indique c o m o 4 0 d a y , porque si lo hace el m o d elo sim ulará el sistem a por 4 0 días de 2 4 horas cada uno.
Estam os listos para guardar y ejecutar el m odelo. Abra el m enú Sim ulation y haga clic en e l com ando Save & Run. V erifique que el m odelo se ejecute sin problem as. En tid ad es que no pudieron en trar al sistem a U na de las problem áticas que pueden presentarse al m o m ento de m o d elar un sistem a, radica en que la capacidad de las localizaciones d e llegada resulte insuficiente para recibir to das las piezas que arriban a l sistem a. Cuando esto ocurre, ProM odel genera, al fin al de la sim ulación, un m en saje de advertencia co m o el que se ilustra en la figura 5.30 (en español, el m ensaje dice "¿Q uiere ve r los resultados?) (Nota: Se presentaron fallas en la llegada de entidades debido a capacidad insuficiente). im ulation Complete
$
Do you want lo see Ihe resulls? (NOTE: There weie enlity arñval lailures due lo ¡nsufficient capacity) No
F ig u ra 5 .3 0 Aviso de llegadas fa llid as.
En este ejem p lo se espera que se presente esta situación. Es posible, sin em bargo, que no sea así. Todo depende de la com putadora que se esté usando, y tam bién del núm ero d e veces que se ejecute la sim ulación, puesto que al ejecutarse en repetidas ocasiones, los núm eros aleatorios que se utilizan para el m odelo cam bian, y a su vez m odifican los resultados finales. O bserve que el m ensaje de la figura anterior no estipula cuántas entidades no pud ie ron ser sim uladas. Para conocer el dato preciso, consulte la inform ación d e la fich a Failed A rriv a ls en el rep o rte de resultados, donde se m ostrará el núm ero d e piezas que no pudieron entrar al sistem a. En cualquier caso, a fin d e evitar la ocurrencia de este tip o de problem a se sugiere al lecto r qu e cam b ie la capacidad d e las filas de entrada. D icho increm ento no dism inuye de m anera lineal el núm ero de piezas que no pudieron ser sim uladas. Incluso si se increm en ta 300% la capacidad actual d e las filas, el m odelo seguirá p resentan do entidades que no pudieron ser sim uladas. El analista debe evaluar si es m ejo r ten e r filas m ás grandes — que ocupan m ás espacio— o m odificar algunos d e los procesos, de m anera que las piezas puedan fluir m ejo r por el sistem a. 18 2
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
5 .4 .4
Inclusión de gráficos de fondo en el modelo En algunos casos podría ser necesario m odelar procesos sobre un plano real de una p lan ta o de un área d e trabajo, en especial con m iras a m ejorar la presentación visual de la sim ulación. En ProM odel esto es posible por m edio de un cam bio del gráfico d e fondo del m odelo. Veam os có m o fu n cio n a esto en el ejem p lo siguiente. Ejem plo 5.4 Tom e com o base el ejem p lo 5.1, m o difique el fo n d o d e la sim ulación y agregue un código d e colores a la prensa, para saber cuándo está trab ajan d o y cuándo se encuentra ociosa. Sim ule este sistem a por 4 0 días. Para com enzar, harem os las m odificaciones pertinentes en las localizaciones: agre gue un código de colores a la prensa, para identificar sus periodos activo s e inactivos: • • • •
Abra el m enú Build y haga clic en el com ando Locations. Seleccione e l icono d e la prensa en la ventana L a y o u t Desm arque la casilla de verificación d e la opción N ew en la ventana Graphics. Seleccione el icono del punto azul en la ventana G raphics, y arrástrelo hasta colocarlo a un lado d e la prensa.
LíJ
El icono cam b iará de color autom áticam ente durante la sim ulación, lo que le indica el estado de la prensa: será azul si está ociosa, verd e si está realizando alguna operación, y rojo cuan do n o esté disponible (en este caso, cuan do se presente el evento del m anteni m iento preventivo). El sig uiente paso consiste en cam b iar el fo n d o de la sim ulación. Podem os hacerlo de dos m aneras; la prim era consiste en m odificar así el fondo del área d e trabajo: • •
Abra el m enú View, elija el subm enú Lay o u t Settings, y haga clic en el com ando Background C olo r (vea la figura 5.31). Seleccione el co lor que desee en la ventana que se despliega, y haga clic en el botón OK; el cam b io se reflejará d e inm ed iato en el área de trabajo.
eiii i ni t*
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m SinAtxn JUv.1 Ioob S'nb-
F ig u ra 5.3 1 Siga e s ta ruta para ca m b ia r el c o lo r d e fo n d o del á re a d e trab a jo de la sim ulación.
El otro m étodo para m odificar el fondo del área d e sim ulación nos perm ite, adem ás, co lo car una im agen con form ato BMP, WMF, G IF o PCX. Esto facilita la im portación de archivos de AutoCad, por ejem plo, p erm ite trab ajar sobre el p lano de una planta real. En 183
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
este caso es recom endable colocar el fo n d o antes d e com enzar a definir las localizacio nes, ya qu e d e otra m anera éstas podrían quedar desfasadas d e su lugar si se hiciera una m odificación de tam año al plano, lo cual exigiría invertir m ás tiem p o en su reubicación. Para poder insertar el archivo gráfico com o fondo: •
Abra el m en ú Build, elija el subm enú Background G raphics, y haga clic en el com ando Behind G rid (vea la figura 5.32).
6 *3
Q upu
Ix fc 014 Cu14 Di141
r *J
CM4I 014» 01-4 Sa* *4#e
Z iw u
014
F ig u ra 5 .3 2 Prim er paso p ara la inserció n d e u n a im ag en d e fo n d o e n el área de trab ajo .
Enseguida se desplegará en la p antalla una interfaz gráfica que nos p erm ite insertar im ágenes d e fondo, o incluso diseñar nuestros propios fo ndo s para el área d e trabajo (vea la figura 5.33). Sin em bargo, en este ejem p lo ilustrarem os sólo cóm o insertar una im agen con form ato BMP.
fi.
v—
0 -*-
Q / ;u
t
.r ,
tf"
Figura 5 .33 Im p o rta c ió n d e una im a g e n d e fo n d o a la sim ulación
184
-ISJ21
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Una vez que entre al área de im portación y generación d e im ágenes d e fondo: •
•
Abra el m enú Ed it y elija Im port G raphic. A continuación se desplegará un cu a dro d e diálo go O pen, sim ile al h ab itu al en los program as d e plataform a W indows. Localice el archivo que le interese en la unidad y carpeta d e su com putadora en dond e esté alm acenado (en ProM odel los fo rm atos predeterm inados para im po r tación son BMP y WMF, aunq ue adm ite otros form atos). Selecciónelo y haga clic en el botón OK. El archivo gráfico se abrirá d e inm ed iato com o fondo de la sim ulación (las im ágenes im portadas generalm ente aparecen en la esquina superior izquier da del área de trabajo).
En ocasiones el gráfico im portado resulta m u y pequeño, por lo que tendrá que agrandar lo m anualm ente. Para ello, selecciónelo, coloque el cursor del ratón en una de sus esqui nas, haga clic y, sin soltar el botón del ratón, arrastre hasta lograr el tam año deseado. Es im po rtante señalar que, en el caso d e los archivos BMP en particular, un increm ento de tam año im plica tam bién m ayo r distorsión de la im agen. Una ve z com pletada la im portación podríam os ver un fondo com o el que se m uestra en la figura 5.34. En este caso se colocó un gráfico predeterm inado d e W indows com o fo n d o del sistem a.
F ig u ra 5 .3 4 0 fo n d o d e e sta sim u lació n u tiliza un a rc h iv o gráfico e n fo rm a to BM P para m ejorar su p resen tació n .
Con esto concluim os las m odificaciones visuales requeridas en el ejem p lo 5.4. 185
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
5.5 A rribos cíclicos En los ejem p lo s anteriores se ha utilizado el m ó d ulo A rriv a ls para sim ular la llegada de en tid ad es a cada sistem a. En estos ejem p lo s se ha su p u esto que la fre cu e n cia d e lle g a das no cam b ia durante to d o el tiem p o d e sim ulación, de esta m anera en el ejem p lo 5.1 las entid ades llegarán siem pre de una en una (QTY e a c h .. .: 1) con un tiem p o entre arri bos exp o n encial de 4 m inutos (Frequency : E(4)), com o se m uestra en la figura 5.5. De m anera sim ilar en el ejem plo 5.2 tan to la llegada de los engranes com o la d e las placas ocurrirá de una en una con un tiem p o entre arribos N(13,2) y E(12) respectivam ente e n el transcurso de la sim ulación (ver figura 5.28). En m uchos sistem as la llegada d e las entidades sigue un co m portam iento cíclico. Algunos ejem plos son las llegadas de p acientes a un consultorio, la llegada de autobuses a una parada, la llegada d e alum nos a un salón d e clases, los aviones a un aeropuerto o los clientes a un restaurante. Estos arribos cíclico s se definen en el m ódulo A rrival Cycles (Build / More Elem en ts /Arrivals Cycles). Las llegadas pueden ser definidas com o un porcentaje o com o una cantidad, y puede hacerse en form ato acum ulativo o n o acum u lativo. Una vez definido el ciclo d e arribos, puede ser asignado en el cam p o Qty each... dentro de A rrivals (Build / Arrivals). Ejem plo 5.5 A una clínica llegan todos los días a consulta un prom edio de 70 p acientes con d istrib u ción Poisson. Los registros históricos m uestran el siguiente patrón d e llegadas:
De:
A:
Porcentaje
6:00
700
30
7:00
9:30
10
9:30
1200
10
1200
1300
10
1300
1500
5
1500
1900
35
El tiem p o d e co nsulta sigue una función de densidad uniform e entre 25 y 35 m in u tos. Se dispone de 3 doctores para las consultas. Corra el m odelo d e sim ulación durante treinta días para encontrar el tiem p o prom edio d e espera d e un paciente antes d e ser atendido. D efina en el ventana Locations (Build/Locations) dos localizaciones: Fila y Doctores, y en la ventana En tities (Build/Entities) la entidad Pacientes con sus correspondientes características. Enseguida, en la ventana Process (Build/Processing) defina la lógica de proceso d e acuerdo a lo m ostrado en la figura 5.35. 1 8 6
5.5 A rribos cíclicos |~1
«*
**
L o ca t io n s Ñame
Cap
U n its S t a t s
D octores D o c t o r e s .1 D o c to r e s .2 D o c to r e s .3 F ila
1
3
1 1 1
1 1 1
IN FIN ITE 1
T im e T im e T im e T im e T in o
R u les
C ost
S e r ie s O ld est, S e r ie s O ld e st, S e r ie s O ld e st, S e r ie s O ld e st, S e r ie s O ld e st,
»
,
F ir st
#
P FIFO ,
M
E n titie s Ñame
Speed
P a c ie n te s
150
< fp m >
S ta ts
C ost
T iñ e S e r ie s
«*
•»
P ro cessin g P rocess
E n tity
L o c a tio n
O p era tio n
P a c ie n te s P a c ie n te s
F ila D o c to r e s w a it
U < 3 0 ,5 > m in
R o u tin g B lk
O utput
D e stin a tio n
P a c ie n te s D octores P a c i e n t e s EXII
R u le
Houe L o g i c
FIR ST PIRST
F ig u ra 5 .3 5 Lo calizacio nes, e n tid a d e s y ló g ica d e la ruta d e lo s pacientes.
En la figura 5.36 se m uestra una im agen del m odelo de sim ulación d e la clínica.
Figura 5 .36 Esquem atización d e l e je m p lo 5.5.
187
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Para definir el ciclo de arribos activam o s el m ó d ulo A rrival Cycles (Build / More E lem en ts /Arrivals Cycles), se abre la tabla d e edición que se m uestra en la figura 5.37. A l ciclo de arribos se le llam ará Llegadas. Debido a que los datos están expresados en porcentaje, seleccionam os Percenten el cam p o Qty/% . Estos porcentajes son no acum u lativos de ta l form a que especificam os No en el cam p o Cum ulative.
¡III A rrival Cycles
ni Q
ID
Qty/%
Llegadas
Percent
Cum ulative No
l f x ]
Table... D efined
V
F ig u ra 5 .3 7 E sq u em atizació n del c ic lo d e a rrib o s del ejem p lo 5.5.
Enseguida activam o s el botón T a b le ... para activar la ventana de edición del ciclo lo strad a en la figura 5.38.
lili Table for Llegadas |» |fp ][X j Tim e (Hours) 1
Qty / % 30
------------------------------
3.5
10
6
10
7
10
9
5
13
35
24
0
F ig u ra 5 .3 8 Esq u em atizació n del c ic lo de arribos.
En este ejem plo, aun cuan do los porcentajes d e pacientes que llegan a la clínica son n o acum ulativos, el tiem p o siem pre será acum ulativo. D e tal form a que la tabla se lee co m o sigue: 30% del to tal de p acientes arriba en la prim era hora, 10%, entre la hora 1 y la hora 3.5 de la sim ulación, y a sí sucesivam ente. Las llegadas se distribuyen d e m anera uniform e dentro del intervalo en el que el p acien te llega. Una vez definido el ciclo de arribos, ahora puede ser asignado al cam p o Qty e a c h ... del m ódulo d e A rrivals (Build/Arrivals). En la ventana de diálogo que se m uestra en la figura 5.39 seleccionam os el ciclo de arribos creado anteriorm ente y la cantidad de pacien tes qu e llegan por ciclo.
18 8
5.5 A rribos cíclicos |~1
Arrival Qty Amval Cycle (optional) <Norte>
Quantity: P(70) I
Figura 5 .3 9 Program ación d el c ic lo d e a rrib o s d en tro d el m ó d ulo Arr'rvals.
Cancel
OK
El m ó d ulo d e arribos queda com o se m uestra en la figura 5.40.
W- Arrivals Entity.
Location
First T im e... f \ Occurrence-
Qty Each...
>isjbl«
P{70); Llegadas 0
Pacientes
Ciclo de arribos
Tiempo de simulación
Tiempo entre arribos
Figura 5 .40 A rrib o s a la clín ica .
Al ejecu tar este m od elo se despliega e l resultado de 4 7.80 m inutos de tiem p o p ro m edio de espera de los p acientes en fila (figura 5.41).
B0B
u r General Report (Normal Run - Rep. 1 ' G eneral
| Locabonsj
L o c a to n States McJü
Lo ca tio n States S m jfc
E n b tyA ctivily
E n tíy S ta te :
Ejemplo 613.mod (Normal Run - Rep. 1 ) N am c
S c h e d u le d T im e |H R )
C a p a c ily
T o t a l E n tiic s
Avg T une Per Fnl.y (MIN)
A v g C o n tc n ts
M á x im u m C o n te n te
C u rte n ! C o n te n te
X U tiliz u tio n
Doctores. 1
709.86
1.00
75600
3 0 06
0.53
1.00
0.00
D octores 2
70966
1.00
734 00
2984
0.51
1 .0 0
0.00
51.44
D o d o re s . 3
709.66
1.00
69500
3000
0.49
1 .0 0
0.00
4 8 97
Doctores Fia
2128.99
3.00
2185 00
709.68
99999900
2185 00
29.97
I
TTW
1
5 3 33
0.51
3 .0 0
0.00
51.26
245
21.00
0.00
000
Figura 5.41 R esultados d e la e je cu ció n del m o d elo por tip o d e c lie n te , c o n el fo rm ato de rep o rte V ie w e r 2.0 (3DR).
189
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Si la opción de form ato de salida d e los resultados dada d e alta en Sim ulation/ O p tio ns es V iew er 4.0, el despliege d e los resultados d e la ficha Locations se verá de una form a sim ilar al m ostrado en la figura 5.42.
O u t p u t V ie w e r
Tabíes C olum n C h a rts -
lo c a tio n Resource
Summary
U til c a tió n R c p o rtl
Scenario
B ntity
L o ca tio r lo c a tio n Resource Pie S irg le Cap M u lti Cap O ia rts -
T e re P io t
H istogram
State
r
Entity
Count
lo c a tio n L c c a tio r Resourte UtBization State Jsage
Tim e Senes
R e p o rt? x
Ñame
Basefine
Doctores
Basdlne
Scheduled Tim e (H r)
C aparity
Total Entrtes
Average Tim e Per E r try (M n )
Average C o c te rts
Máxim um
C urrent
Cor.tents
C cn te rts
% UtBization
2,128.99
3.00
2,185.00
29.97
0.51
3.00
0.00
51.26
Doctores. 1
709.66
1.00
756.00
30.06
0.53
1.00
0.00
53.38
BaseBne
Doctor es.2
709.66
1.00
734.00
29.84
0.51
1.00
0.00
51.44
Basehne
Doctor es.3
709.66
1.00
695.00
30.00
0.49
1.00
0.00
48.97
Basehne
Fila
709.66 999,999.00
« * > l
2.45
21.00
0.00
0.00
2,185.00 1
F ig u ra 5 .4 2 R esultados de la e je cu ció n del m o d elo por tip o d e c lie n te , c o n el fo rm ato d e rep o rte V ie w e r 4 .0 .
5.6 Caso integrador Se tien e una línea de em paque a la que llegan piezas cada 2 m inutos con distribución exponencial. Esta línea cuenta con cinco procesos, que se describen a continuación: 1. Recepción de m ateriales. Cuenta con un espacio ilim itado de alm acenam iento. En este lugar se reciben las piezas que llegan al sistem a, y lueg o éstas pasan a un pro ce so d e lavado. El traslad o de las piezas d e una estación a otra es de 3 m inutos con distribución exponencial. 2. Lavado de la p ieza. La lavadora tiene capacidad para lim piar 5 piezas a la vez. El tiem po d e proceso de cada pieza se distribuye norm alm ente con m edia d e 10 m inutos y desviación estándar de 2 minutos. De aquí pasan a u n proceso de pintura, antes del cual llegan a un alm acén con capacid ad para un m áxim o d e 10 p iezas. El tiem p o de traslado entre estas estaciones es de 2 m inutos con distribución exponencial. 3. Pintura. En el área de pintura se tien e capacidad para pintar 3 piezas a la vez. El tiem po de pintado tiene una distribución triangular de (4, 8, 10) minutos. Posteriormente las piezas pasan a un horno, el cual cuenta con un alm acén que tiene capacidad para 10 piezas. El tiem po d e transporte entre estos procesos está uniform em ente distribui do con un lím ite inferior de 2 m inutos y uno superior de 5 minutos. 4. Horno. En el horno se seca la pintura. El horno sólo puede procesar una pieza a la vez. La duración del proceso es d e 3 ± 1 m inutos. D e aq u í son transpo rtadas a dos m esas de inspección visual. No existe un alm acén entre el horno y las m esas d e inspección. El tiem p o d e transpo rte entre estas estaciones es de 2 ± 1 m inutos. 19 0
5.6 Caso in te g ra d o r |
5. Inspección. En cada m esa hay un operario que realiza la inspección de 3 elem entos en cada pieza. La revisión de cada elem ento tarda 2 m inutos con distribución exp o nencial. Al fin alizar este proceso, las piezas salen del sistem a. Realice lo siguiente: a ) Sim ule el sistem a por 90 días d e 2 4 horas cada uno. b) Ejecute 3 réplicas d e la sim ulación. c) Analice el archivo d e resultados del m odelo. d) Obtenga un intervalo de confianza para el núm ero d e piezas producidas. e)
D eterm ine, en una tabla, las utilizaciones d e to das las localizaciones del m odelo.
A n á lisis del m odelo Cada una de las siguientes preguntas es independiente, y tien en com o b ase el m odelo original. Respóndalas con b ase en el análisis de sus resultados. 1. ¿D ónde se encuentra el cuello d e botella de este sistem a? 2. ¿Q ué sugerencias haría para m ejorar el sistem a? 3. El hecho d e que una entidad se encuentre en estado d e bloqueo significa que la pieza ha term inad o sus operaciones en la localización actual p ero no puede avanzar a la siguiente, puesto que no hay espacio para colocarla. De acuerdo con esto, ¿considera que es grave el pro blem a de blo queo d e las piezas? ¿En qué localizaciones? ¿Q ué se puede hacer para m ejorar la situación? Haga los cam bios que considere necesarios al m odelo, y ejecútelo nuevam ente para determ inar la m ejora porcentual respecto del núm ero de piezas term inadas. 4 . Si pudiera lograr una m ejoría de 10% en el tiem p o de proceso de alguna d e las estaciones, ¿en cuál de ellas sería y por qué? 5. ¿Es necesario que alguno de los alm acenes sea m ás grande? ¿Cuál y por qué razones? 6. ¿Considera necesario colocar un alm acén entre el horno y las m esas de inspec ción? ¿De qué capacidad? 7. Cada pieza deja una utilidad de $5 y ninguna de las inversiones deb e recuperar se en m ás de 3 meses. ¿Cuál sería su recom endación si se está analizando la posibilidad de com prar otro horno con la m ism a capacidad y que cuesta $
100 , 0 0 0 ?
8. ¿Cuál sería su recom endación si lo que se desea com prar e s otra lavadora de la m ism a capacidad y con un costo de $100,000? 9. ¿Valdría la pena contratar otro operario para la inspección? El costo de esta o p e ración es de $50,000. 10. Con base en su conocim iento del sistem a, haga com binaciones d e los incisos anteriores y trate de obtener la m ayo r cantidad de piezas con el m ínim o costo de inversión. 191
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
5.7 Problem as 1. Los espectadores llegan a un estadio de béisbol cada 2 ± 1 segundos y hacen cola para entrar. El tiem p o que se requiere para pasar por la puerta giratoria del estadio es 5 ± 3 segundos. M odele este sistem a y sim ule el paso de 300 personas por la p u e r ta. D eterm ine la longitud prom edio de la fila y la utilización de la puerta. 2. Un m u e lle cuenta con una grúa para descargar barcos. El tiem p o d e descarga es de 2 ± 1 d ías y los barcos llegan de u n o en u n o a u n a tasa p ro m ed io d e 6 barcos cada 14 ± 2 días. Si un barco llega y la grúa está ocupada, espera en una línea para ser descargado posteriorm ente. Sim ule un año y determ ine el tiem p o p ro m ed io que transcurre desde que un barco llega al sistem a hasta que term ina su descarga y la longitud m áxim a de la fila. 3. A una m áquina d e autolavado llegan coches con un tiem p o entre arribos de 5 ± 5 m inutos/auto. E l tiem p o de lavado es d e 4.5 ±1 m inuto/auto. Frente a la m áquina hay un tech o que proporciona som bra a los 4 prim eros autom óviles d e la fila. Haga 100 réplicas d e este sistem a, de 8 horas cada una, y determ ine el núm ero prom edio de autos haciendo fila en la som bra y haciendo fila en el sol. 4. Una tienda em plea a un dependiente para atender a sus clientes. El tiem p o entre arribos es de 5 ± 4 m inutos/cliente. El depend iente tien e que cobrar y em p acar los artículos com prados. El prim er proceso consum e 1 ± 0.5 m inutos y el segundo, 3.5 ± 2 m inutos. Sim ule hasta que asegure que el sistem a llegue a estado estable, use un gráfico dinám ico de la utilización del dependiente y calcule: a) la utilización del dependiente y b) el tiem p o prom edio de espera en la fila. 5. Una gasolinera tien e una bom ba y una fila con capacidad para n autos dond e p u e dan esperar antes de ser atendidos. El tiem p o entre arribos de los vehículos es de 3 ± 1 m inutos/auto. El tiem po para dar servicio es de 5 ± 2 m inutos. Elabore un m odelo en ProM odel con sólo dos localizaciones, una que sim ule la bom ba y otra, la fila de tam año finito. Ejecute el m odelo durante 100 horas con n = 1, 2, 3, 4, 5 e indique en cada caso el núm ero to tal d e autos que no pudieron e n tra re n la gasolinera p o r falta de espacio. ¿Cuál es el núm ero m ínim o d e espacios que se deberían tener para ase gurar que n o hubiera rechazos de autos? 6. Un centro de m aq uinado recibe tres diferentes tipos d e piezas. Antes del centro exis te un alm acén d e producto en proceso, con capacidad prácticam ente infinita. El tiem p o d e operación y la tasa de entrada d e las piezas son las siguientes:
19 2
Tipo de pieza
Tasa de entrada (piezas/hr)
Tiempo de maquinado (min/pieza)
1
2
3
2
4
5
3
2
10
5.7 Problem as | j
Sim ule este sistem a en ProM odel durante 100 horas y determ ine: a) b) c) d)
La utilización del centro de m aquinado. Núm ero total de piezas producidas. Tiem po prom edio d e espera d e las piezas en el alm acén. Núm ero prom edio d e piezas en el alm acén.
7. A un operario de lim pieza se le entregan sim ultáneam ente 60 piezas cada hora. El tiem p o de lim pieza es de 50 segundos/pieza. Sim ule el proceso anterio r durante 500 horas para determ inar: a) b) c) d)
La utilización del operario. Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e ser lim piadas. La cantidad to tal d e piezas lim piadas.
8. Al operario de lim pieza del problem a anterior le entregan ahora una pieza cada m inuto. El tiem p o d e lim pieza es de 50 segundos/pieza. Sim ule el proceso anterior durante 500 horas para determ inar: a) La utilización del operario. b) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e ser lim piadas. d) La cantidad d e piezas lim piadas. e) ¿Existen diferencias entre los resultados de este problem a y el anterior? ¿A qué atribuye que algunos resultados sean sim ilares y otros no? 9. Un sistem a d e pintura consta de dos procesos en serie: pintura y horneado, antes de cada proceso h ay un alm acén de capacidad infinita. El tiem p o de pintura es de 10 m inutos/pieza, y el tiem p o d e horneado es de 6 m inutos/pieza. Para el proceso hay dos pintores y un horno. La tasa d e entrada es de 7 piezas/hora (pieza tipo 1) y de 3 piezas/hora (pieza tip o 2). El tiem po para m o verse d e un proceso a otro es d e 30 segundos. Sim ule el sistem a con 5 días para determ inar: a) La utilización de cada operación. b) El tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) El tie m p o p ro m ed io d e espera d e las p iezas an tes d e l p in ta d o y antes del h o r neado. 10. A u n centro d e copiado arriban tre s tipos de trabajos, cada uno llega individ ualm en te. Si un trabajo no puede iniciarse d e inm ediato, espera en una fila com ún hasta que esté disponible alguna de las tre s copiadoras. El tiem po de copiado y la tasa de entra da de los trab ajo s son com o en el siguiente cuadro:
Upo de trabajo
---------------------------------- ---------------------------------Tasa de entrada Tiempo de copiado (trabajos/hr) (min/trabajo)
1
4
12
2
8
15
3
16
1 193
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Después del proceso de copiado los trab ajo s son inspeccionados por un em pleado en un tiem p o de 3 ,6 ,1 0 m inutos para los trabajos 1, 2 y 3, respectivam ente. Sim ule el sistem a en ProM odel durante 50 horas, y determ ine: a) La utilización del em pleado y de las copiadoras en la situación propuesta. b ) Núm ero d e em pleados y copiadoras m ínim os necesarios para asegurar el flujo constante de los trabajos. 11. La aerolínea V FC ha instalado un m ódulo con tre s agentes para la atención de los pasajeros, existen tres tipos de pasajeros. Los tiem po s entre llegadas y los tiem po s de servicio para cada uno son co m o en esta tabla:
Tipo de pasajero
Tiempo entre arribos (mi n utos/pa saje ro)
Tiempo de servicio (min/pasajero)
A
55 ±2
3±1
B
10.5 + 5
8±5
C
155 ±10
12 ±7
D esarro lle un m o d e lo d e sim u lació n co n an im ació n . S im u le d u ran te 1000 horas. Si cad a ag en te atien d e sólo a un tip o de pasajero , d eterm in e la lon g itud m áxim a da cad a fila , la lon g itud p ro m ed io d e cada u n a d e las fila s y la utilizació n d e cada agente. 12. Cierto tip o de pieza entra a una línea d e producción; el pro veedo r entrega las piezas en grupos d e 5 cada 10 m inutos. La línea consta de 5 operaciones, con una m áquina dedicada a cada operación. Los tiem pos de proceso son: Operación
1
2
3
4
5
Tiempo (min/pza)
2
1
05
0.25
0.125
El tiem p o para m o verse entre estaciones es d e 0.0625 m inutos. La anim ación debe incluir un contador de las piezas producidas. Sim ule en ProM odel el proceso de 1000 piezas para determ inar: a) Tiem p o to tal d e sim ulación. b) Utilización de cada operación. c) Tiem p o d e espera antes d e la prim era operación. d) Porcentaje del tiem p o que la pieza está bloqueada. 13. ELEC TRSA fa b rica co m po nentes e le ctró n ico s. El p ro ceso co nsta de cu a tro e sta c io nes: en sam b le, sold ad u ra, p intura e in sp e cció n . A n tes d e cad a estación h a y a lm a cenes d e cap acid ad para 50 co m p o nentes. Las ó rd en es d e tra b a jo tie n e n un tiem p o e n tre arrib o s d e 20 ± 14 m in u to s. Los tie m p o s d e p ro cesam ien to s en cada estación son: 194
5.7 Problem as | j
Operación
ensamble
soldadura
pintura
inspección
Tiempo (min/ pza)
13.5 ± 1 5
36 ±20
55 ± 15
8± 6
Hay un operario en la estación d e ensam ble, uno en inspección, tre s en soldadura y cuatro en pintura. Elabore un m odelo de sim ulación d e este sistem a de m anufactura, sim ule 100 días de 8 horas cada uno. D eterm ine la utilización d e cada estación de trabajo, el núm ero de com ponentes en prom edio que están esperando antes de cada operación y el núm ero prom edio d e órdenes fabricadas cada 8 horas. 14. A un cajero autom ático llegan clientes cada 10 m inutos con distribución exp o n en cial. El tiem p o que tarda cada d ie n te en hacer sus m ovim ientos bancario s se distri buye exp o n encialm en te con m edia de 4 m inuto s. Lleve a cabo lo que se indica a continuación: a) Si se desea que el cajero no tenga m ás de 5 clientes haciendo fila en un m om ento determ inado, ¿qué recom endación haría al banco? Considere una sim ulación con 3 réplicas una sem ana de 4 0 horas de trab ajo cada una. b) Realice un análisis d e sensibilidad variando el tiem p o prom edio de servicio del cajero, y determ ine cuál es el tiem p o m áxim o que un d ien te debe tardar para que la fila de espera no exceda 5 clientes en ningún m om ento. c) Program e un gráfico dinám ico que m uestre la utilización del cajero autom ático durante la sim ulación. ¿Q ué observaciones puede hacer respecto d e la gráfica de estabilización generada? 15. A un centro d e copiado llegan clientes cada 5 m inutos, con distribución exponencial. Ah í son atendidos por un operario con un prom edio d e servicio de 6 m inutos con distribución exponencial. Sólo hay espacio para tres personas en la fila; si llega alguien m ás, se le envía a otro centro d e copiado. Sim ule el sistem a a p artir d e esta inform ación y determ ine: a) ¿Cuál es el núm ero prom edio de clientes que esperan en la fila? b) ¿Cuál es la utilización del centro d e copiado? c) Si cada cliente que se va le cuesta $5 a l centro de copiado, ¿a cuánto asciende la pérdida esperada? 16. En una autopista hay una sola caseta de cobro para autom óviles y cam iones. El tiem po entre llegadas d e autos es 25 ± 10 segundos y el de cam iones 60 ± 20 segundos. La caseta de cobro, operada por una sola persona, tien e distintos tiem po s de cobro según el tip o de vehículo. El tiem p o de cobro para los cam iones es de 50 ± 2 0 seg un dos y el d e los autos es de 20 ± 15 segundos. R e a líc e lo réplicas de 8 horas y encuen tre la utilización del operario y el tiem po de perm anencia en el sistem a p o r cada tipo de vehículo. 17. Un centro d e servicio cuenta con 3 cajeros. Los clientes llegan individualm ente y lo hacen en prom edio a razón de 60 por hora con distribución d e Poisson. El tiem po prom edio qu e se requiere para atender a un cliente es de 2 m inutos con distribución 195
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
exponencial. Lo s clientes hacen una sola fila y no hay lím ite para su longitud. Haga lo siguiente: a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas. b) D eterm ine la utilización de los cajeros. c) Si el costo de ten e r a un cliente haciendo fila es de $5/cliente prom edio-hr; deter m ine el costo d e operación de este sistem a. 18. Un banco está diseñando su área de cajas, y desea determ inar cuán tas ventanillas debe colocar. D espués de hacer un análisis estadístico, la em presa sabe que sus clien tes llegan con un tiem po m edio de 3 m inutos con distribución exp o n en cial; asim is mo, se sabe — a p artir de inform ación de otras sucursales del m ism o banco— que cada cajero tarda un tiem p o prom edio de 8 m inutos con distribución exp o nencial en atender a un cliente. La em presa planea utilizar una sola fila dond e se ubicarían todos los clientes, para después pasar a la prim era caja desocupada. Si el costo de ten e r un cajero es de $15 por hora, y adem ás se sabe que por p o lí tica de la em presa el costo de que un cliente esté esperando a ser atendido es de $8/ cliente-hr, determ ine: a) El núm ero óptim o d e cajeros de acuerdo con el costo. Tom e en cuenta este n ú m e ro de cajeros, determ ine tam bién la probabilidad d e que el sistem a esté vacío, la utilización d e los cajeros, el tiem p o prom edio en el sistem a, el tiem po prom edio en la fila, y el núm ero prom edio de clientes en el sistem a. b) Realice este m ism o análisis considerando que cada caja tien e su propia fila y que las llegadas se distribuyen proporcionalm ente al núm ero de cajas; es decir, las llegadas a cada fila son iguales al núm ero to tal d e llegadas, dividid o entre el núm ero de cajas. c) ¿Cuál de los dos m odelos sería m e jo r y a qué atribuye este resultado? d) ¿Cuál sería el costo de utilizar el m odelo original de una sola fila y evitar, al m ism o tiem po, que 70% d e los clientes hagan fila? 19. Un sistem a recibe piezas d e acuerdo con una distribución uniform e de entre 4 y 10 m inutos. Las piezas son colocadas en un alm acén co n capacidad infinita, donde esperan a ser inspeccionadas por un operario. El tiem po d e inspección tiene una distribución exponencial con m edia de 5 m inutos. D espués de la inspección las p ie zas pasan a la fila de em paque, con capacidad para 5 piezas. E l proceso de em paque está a cargo de un operario que tarda 8 m in u to s con distribución exponencial en em pacar cada pieza. Luego, las piezas salen del sistem a. a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas. b) Identifique dónde se encuentra el cuello de botella. c) G enere vistas para cada uno de los procesos p o r separado. d) Increm entar el espacio en el alm acén cuesta $5/sem ana-unidad de espacio adi cional; aum entar 10% la velocidad de em p aq ue cuesta $15/sem ana; el costo de incluir otro operario para que se reduzca el tiem p o d e em p aq ue a 5 m inutos con distribución exponencial, es de $20/sem ana. Cada unidad producida deja una utilidad de $0.40. Con base en está inform ación, determ ine qué m ejoras podrían hacerse al sistem a para increm entar su utilidad sem anal. 19 6
5.7 Problem as | j
20. A un to rn o llegan barras cada 3 m inutos con distribución exponencial. A hí se proce san de acuerdo con una distribución norm al con m edia de 5 m inutos y desviación estándar de 1 m inuto. Posteriorm ente pasan a un proceso de inspección. La cap aci dad del alm acén p revio al to rn o es de 10 piezas. Por otro lado, a una fresadora llegan placas cada 5 ± 1 m inutos. El tiem po de proceso d e las placas en la fresadora se dis trib u ye triangularm ente (2,4,7). Después, las placas pasan a inspección. La capacidad del inventario antes d e la fresadora es de 10 piezas. En el proceso d e inspección se cuenta con espacio disponible para alm acenar 15 piezas, m ientras que el tiem p o de inspección es de 4 ± 2 m inutos para las barras y de 6 ± 1 para las placas. Tras la ins pección, las piezas salen del sistem a. Considere un tiem p o d e transpo rte entre esta ciones d e 2 m inutos, con distribución constante. a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas para determ inar la capacidad m ínim a d e cada inventario, de m anera que to das las piezas que lleguen al sistem a se procesen y no exista blo queo por falta de capacidad. b) ¿Cuál es la diferencia en el núm ero d e piezas producidas entre el m odelo original y el m o d elo m ejorado? c) Coloque m ensajes de inicio y fin d e la sim ulación. d) Cam bie las gráficas de am bas piezas después d e ser procesadas. 21. A una línea de em ergencias m édicas llegan llam adas norm alm ente distribuidas con un tiem po m edio entre llam adas d e 6 m inutos, y desviación estándar de 1.5 m inutos. El tiem p o de atención d e cada llam ada es de 10 m inutos con distribución exp o n en cial. Se desea determ inar el núm ero d e líneas necesarias para que por lo m enos 80% de 24 a) b)
los clientes no tenga que esperar a ser atendido. Sim ule el sistem a por 7 días de horas cad a u no para responder las siguientes preguntas. ¿Cuántas líneas telefó nicas se necesitan para cu m p lir con la m eta? Si el costo de cada línea es de $150/sem ana, ¿cuál es el costo d e operación por sem ana? c) ¿Cuál es el costo d e increm entar el porcentaje d e clientes atendidos sin espera a 90%?
d) ¿Cuál sería el núm ero de llam adas en espera que se tendría en el caso a? ¿Cuál sería en el caso c? e) Si el costo de cada cliente en línea de espera es de $40/cliente, ¿q ué opción sería mejor, a o c? 22. A una em presa llegan piezas con m edia de 8 m inutos y distribución exponencial. Las piezas entran a un alm acén con capacidad para 50 unidades, donde esperan a ser procesadas en un torno. A hí son torneados por 3 m inutos con distribución exp o n en cial. El tiem p o de transportación del alm acén a l to rn o tien e una distribución norm al con m edia de 4 m inutos y desviación estándar de 1 m inuto.D espués, las piezas son transportadas a una estación de inspección donde hay dos operarios, cada uno tra bajando d e m anera independiente. La inspección tarda 6 ± 2 m inutos por pieza. El tiem p o d e tran sp o rte entre el to rn o y los operarios es de 4 ± 1 m inutos. a) Sim ule el sistem a por 30 días de 8 horas de trab ajo cada uno. b) Incluya un contador y una gráfica d e barra para las piezas en el alm acén. 197
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
c) Incluya un indicador de actividad para el torno. d) Realice 3 réplicas y obtenga un intervalo d e confianza para el núm ero d e piezas que salieron del sistem a. 23. Una tienda dep artam ental recibe hom bres y m ujeres co n un tiem p o entre arribos de 5 ± 2 m inutos y 3 ± 3 m inutos respectivam ente. Los clientes seleccionan prim ero la ropa y el tiem p o para este proceso es de 20 ± 5 m inutos para los hom bres y 50 ± 30 para las m ujeres. Una vez seleccionada la ropa, los clientes van a la sección de pro ba dores y el tiem p o para trasladarse hacia ese lugar es de 4 0 ± 10 segundos. La tienda tien e separados los probadores para cada género y ha asignado 2 probadores para hom bres y 6 para m ujeres. Los clientes esperan e n fila en caso de que los probadores estén ocupados, considere que hay una fila para hom bres y otra para m ujeres. El tiem po para probarse la ropa es de 12 ± 7 m inutos para los hom bres y de 20 ± 8 m inutos para las m ujeres. Sim ule este sistem a y haga recom endaciones a la tienda, por ejem plo: a) ¿Son suficientes los probadores para cada género? b ) ¿Agregaría o quitaría probadores? ¿Cuántos? c) ¿Recom endaría que el total de los probadores fueran com partidos por am bos géneros? 24. A las cajas d e la cafetería d e una universidad llegan 800 estudiantes por día. La tasa de entrada durante el día es variab le y se com porta de la siguiente form a: De:
*
Porcentaje
600
700
5
700
1000
20
1000
1200
10
1200
1400
50
1400
1800
5
1800
1900
10
Existen 4 em pleados para cobrar y una fila com ún donde los estudiantes pueden hacer fila antes d e ser atendidos. El tiem p o de atención es de 4 5 ± 20 segundos. Sim ule el proceso anterior durante 30 días. Incluya en la sim ulación un gráfico diná m ico en el que se o bserve la cantidad d e estudiantes en la fila a través del tiem po, y determ ine: a) La utilización de los em pleados. b) El tiem po prom edio d e perm anencia de los estudiantes en la fila. c) Con base en los resultados anteriores ¿agregaría m ás em pleados? d) Con base en la gráfica ¿qué recom endaciones haría?
19 8
5.7 Problem as | j
25. Una zapatería tien e un em pleado que atiende a dos tipos de clientes: niños y adultos. D iariam ente recibe 30 niños y 60 adultos. La tasa de llegada d e los niño s durante el día es variable y depende d e la hora del día d e acuerdo con las siguientes tablas: Tasa de llegada para los niños: De:
A:
Porcentaje
8:00
1200
0
1200
1400
20
1400
1600
20
1600
1800
50
1800
2000
10
De:
A:
Porcentaje
800
1000
10
1000
1200
10
1200
1400
5
1400
1300
5
1300
1800
50
1800
2000
20
Para los adultos:
El tiem p o d e atención es d e 4 ± 2 m inutos para los niños y 10 ± 4 m inutos. Sim ule el pro ceso a n terio r d u ran te 30 días. In clu ya en la sim u lació n un gráfico d in á m ico en el que se o bserve la cantidad d e clientes en la fila a través del tiem po, y determ ine: a) La utilización del em pleado. b) El tiem po prom edio d e perm anencia de los clientes en la fila. c) Con base en los resultados anteriores ¿agregaría m ás em pleados?, ¿cuántos?
199
Instrucciones de ProM odel
6.1
Uso de la biblioteca d e fu n cio n e s probabilísticas
6.2
Recursos
6.3
Paros en los equipos
6.4
Reglas de ruteo
6.5
Ensam bles, acum ulación y agrupam iento d e piezas
6.6
Transporte entre estaciones
6.7
Instrucciones d e control
6.8
O ptim ización con Sim runner
6.9
Caso integrador 1
6.10
Caso integrador 2
6.11
Problem as
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
6.1 Uso d e la biblioteca de fun cio n es p rob ab ilísticas La biblioteca de distribuciones de probabilidad de ProM odel perm ite sim ular la variabili dad de los procesos. En la tabla 6.1 se num eran las distribuciones de probabilidad inclui das e n ProM odel y la form a d e program ar cada una de ellas. Tabla 6.1 Funciones de probabilidad disponibles en ProModel. Distribución de probabilidad
Beta
B (1 ,a ,, ocy a, b)
Parámetros a ,: forma a 2: forma a: mínimo b: máximo
Binomial
BI(N, p)
N: intentos p: probabilidad
k-Erlang
ER(/x, k)
k: forma /x: media
E(m )
/x: media
Exponencial
a: forma p : escala a : forma p : escala
Gamma
G(<*,/3)
Gaussiana inversa
IG(or, p)
Geométrica
GEO(p)
p: probabilidad
Lognormal
L(/x#a)
/x: media (t .: desviación
Normal
N(/x, cr)
/x: media (t : desviación
De Poisson De Pearson V
De Pearson VI
PW
¿x: media
P5 (a, p)
a : forma p : escala
Póíor,, a v 0)
a ,: forma a 2: forma p : escala a: mínimo c: moda b: máximo
Triangular
T(a, c, b)
Uniforme
U(/x, h)
/x: media h: medio rango
Uniforme discreta
U(a, b)
a: mínimo b: máximo
De Weibull
202
Codificación en ProModel
y + W(a, p)
a : forma p : escala y : localización
6.1 Uso d e la b ib lio te ca de fu n cio n e s p ro b a b ilís tk a s |~~1
Ejem plo 6.1 A un proceso llegan tres diferentes tipos de pieza. El proceso consta de dos operaciones en serie: lavado e inspección. Antes d e cada operación las piezas pasan por alm acenes de producto en proceso, co n capacidad prácticam ente infinita. Se dispone d e una lavadora y d e dos inspectores en paralelo. Los datos d e tiem p o entre llegadas y tiem po s d e proce so para cada tip o de pieza son los siguientes: Tiem po de proceso (min/pieza)
Pieza
uem po enire le g a d a s (min/pieza)
Lavado
Inspección
A
Exponencial (6)
Uniforme (3± 2)
Normal (8,2)
B
Exponencial (9)
3-Erlang (4)
Triangular (3,5, 7)
C
Exponencial (8)
De Weibull (0 ,2 ,3 )
De Weibull (9 ,1 ,4 )
Para em pezar, definirem os las 4 localizaciones, com o se m uestra en la figura 6.1 (re cuerde que esto se hace m ediante el com ando Build / Locations).
Uso de funciones de probabilidad
Almacén 1
Lavado
Almacén 2
Inspección
F ig u ra 6 . 1 Layout del e je m p lo 6 . 1 .
Ahora determ inarem os las entidades correspondientes a los tres tip o s de piezas (Build / Entities), y el tiem p o exponencial entre llegadas, para ello utilice la colum na Freq u en cy de la ventana A rrivals (Build / Arrivals), com o se m uestra en la figura 6.2. l i l i A n iv r t ls
Figura 6 .2 P rogram ación d e la d is trib u c ió n d e p ro b a b ilid a d del tie m p o e n tre llegadas.
203
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Enseguida program arem os las tre s diferentes rutas y cad a uno de los tiem po s de proceso, usarem os la colum na O peration de la ventana Processing (Build / Processing). La figura 6.3 m uestra p arte del proceso y la form a de program ar las distribuciones de probabilidad. ProModel - FJFMPL04.1 ¡¡J jH e E d t
V *w
E n c it y —
Bmd
[Process]
S im ia t»on
I
O u tp u t
Toob
W ndow
L o c a c ió n ...
Help
O p e ra c ió n
WAIT T 1 3 .5 .7 J P la z a C P la z a C
WAIT W( 2 ,3 )
P la z a C
F ig u ra 6 .3 P rogram ación d e las fu n cio n e s de pro b ab ilidad del tiem p o de proceso.
En caso de que no recuerde la form a de program ar alguna de las funcio nes, haga clic en el botón O peration de la ventana Processing para usar el constructor d e lógica, que perm ite acceder a la ventana d e diálogo Logic B u ild erco n sólo hacer clic en el icono del m artillo. Luego haga clic en la opción D istribution Fu n ctio n s de la sección Logic E lem en ts para desplegar las diferentes funcio nes de probabilidad (vea la figura 6.4).
□ E S B D E ÍB f c lB E a V
V
3
Logic Buildoi
Gamma - Betuna a random vdue aceoring lo a
daOtKOon
ShapeV*je I ScatoVdua I
Stosn
SKspaVabe
Cancel **yp*l<>l - | - | ' | / | - | < | > | awdor| Lope BamarU A Lln m flo n t Ama»* AtMxzes l í l f d Dowrtmw F* & W C Ptat S « t BUm E úw tj J Fúes Keyped Locabom tU~rs«
204
OatrfcUon Rjnctona A
Beta B rw w l Etang Expoñertial Ga-r-a Geometnc
*
°~ *1
lo g w n a l
OOM
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V
H «(p
F ig u ra 6 .4 U so del co n stru cto r d e ló g ica para program ar fu n cio n e s d e pro b ab ilidad.
6.1 Uso d e la b ib lio te ca de fu n cio n e s p ro b a b ilís tk a s |~ ]
Para consultar el texto com pleto del program a que hem os creado en ProM odel para el ejem p lo 6.1, abra el m enú File y elija View Text. El resultado deberá ser sim ilar al que se ilustra en la figura 6.5.
b
a
Form acced L is c i n g o f M c d e l: C : \ A r c h i v c s d e p r o g r a m a \ F r c M o d e l \ M o d e l s \ Z JZMFLC4 . 1 . M 0 3
T ire» U n i x » : D is c a n c e U n ica :
M in u ces Feec
b
*
L eca cicn s
Ñame
C ap U n i c a S c a c s
A lm a c é n 1 L avadora A Ltacen 2 Inspeccor I n s p e c c c r .l I n s p e c c o r .2
IN F 1 in í 1 1 1
1 1 1 2 1 1
T im e T im e T im e T im e T im e T im e
A u les Senes S e r ie s S e r ie s S e r ie s S e r ie s S e r ie s
fr
C C C C C C
C ose
id e sc , id e sc , id e sc . id e sc , id e sc , id e sc ,
, , , , , ,
F ir sc
*
Z n c ic ie s
Narre
Speed
E ie z a A P ie z a 3 E ie za _ C
150 150 150
■fpm:
Scacs
C ese
T im e S e r i e s T im e S e r i e s T im e S e r i e s
b
*
F ro cessin g
F rocess Z n c ic y
L o c a c ió n
P ieza _ A E iez a _ A F i e za__A F ie z a A F ieza _ 3 F ie z a 3 F ie z a 3 E ie z a 3 F ie z a C F ie z a ~ C F ie z a C E ie z a ~ C
A lm a c é n 1 L avadora A lm a c é n 2 Inspeccor A lm a c é n 1 Lavadora A lm a c é n 2 Inspeccor A lm a c é n 1 Lavadora A lm a c é n 2 Inspeccor
A cu cin g
C p era cicn
WATT U ( 3 , 2 ) WATT N O , 2 ) WATT Z A ' 4 , 3 > VJAIT T < 3 , 5 , 7 ) HAIT W { 2 , 3 ) HAIT 9 + W < l, 4)
b
3 1 Je
C ucpuc
^ e sc in a c ic n
A u le
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
F ieza _ A F ie z a A F ie z a A E ieza A F ie z a 3 E iez a 3 F ie z a B F ie z a B F ie z a C F ie z a C F ie z a C F ieza _ C
L avadora A lm a cen _ 2 Inspeccor
F IA S T F IA S T F IA S T F IA S T F IA S T F IA S T F IA S T F IA ST F IA S T F IA S T F IA S T F IA ST
zxrr Lavadora A lm a cen _ 2 Inspeccor ZXIT Lavadora A lm a cen _ 2 Inspeccor ZXIT
M ove L o g ic 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
•
A rr iv a ls
Z n c ic y
L o c a c ió n
Jey Fach
F ie z a A E iez a “3 F ieza ~ C
A lm a cén 1 1 A lm a c e .n _ l 1 A lm a cén 1 1
F i r s c T im e C c c u r r e n c e s F r e q u e n c y 0 0 0
IN F IN F IN F
L o g ic
£(€>
ZO) ZO)
Figura 6 .5 Sintaxis d e l p ro g ra m a para el e je m p lo 6.1.
20 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
En ocasiones no es posible ten e r la distribución o función d e probabilidad teórica por insuficiencia de datos o bien porque la inform ación no se ajustó a alguna d e las d istrib u ciones teóricas existentes. Por ejem plo, si en el proceso antes descrito la inform ación del tiem p o de lavado de la pieza A en lugar d e ser una función Uniform e(3 ± 2) m inutos fu e ra la siguiente: 10% de las piezas se lavan en 1 m inuto, el 4 0 % se lavan en 2 m inutos, el 5%, en 3 m inutos y el 45% restante, en 32 m inutos, tendríam os que crear funcio nes per sonalizadas sim ilares a las que se m uestran en la figura 6.6 o en la figura 6.7. Estas funcio nes se crean a través de la opción Build/ More Elem en ts /User D istributions.
Type
tiem pojavado
||
C u m u la t iv e
D is c r e t e
T a b le . D e fin e d
1 1 Table for tiempojavado
[
Percentage
Valué
10
1*
40
2
5
3
45
32
F ig u ra 6 . 6
u
U ser
F u n ció n d e u su ario m ed ian te el fo rm a to d e fu n ció n no acu m u la d a.
Distributions
1*1 i-
ID
Cumulative
Type
tie m p o ja v a d o
Distrete
:iM*/Tn['iiwor.3n*
Yes
Table. Defined
io n S tu d e n t V e r s ió n
H Table for tiempojavado
m r - 1°
P e r c e n ta g e 10
V a lu é 1
50
2
ss
3
100
32
«*»
V
F ig u ra 6 .7 F u n ció n d e u su ario m ed ian te el fo rm ato d e fu n ció n acu m u la d a.
Para la creación d e estas funcio nes se requiere de la siguiente inform ación: ID: N om bre d e la función a crear Type: Puede ser discreta o continua y d epend e de las características de la variable dependiente. Cum ulative: Se activa la opción Yes o No para indicar si los porcentajes d e la función serán alim entados en form a acum ulativa o no. Table: Perm ite asociar cada porcentaje con el valor de la variab le dependiente que le corresponde. 206
6.2 Recursos | 1
Una vez qu e la función d e usuario es dada de alta, podem os hacer uso d e ella duran te la creación de la ruta de proceso. Com o en este caso la función se utiliza para sim ular el tiem p o de lavado d e la pieza A, al hacer uso de ella en el Process lo haríam os com o WAIT tiem p o_lavad o() tal com o se m uestra en la figura 6.8. Este tip o de fu n cio n es p u e den ser utilizadas en cualquier cam p o d e lógica del ProM odel.
3ÜS
ProModel - EJEM PL04.1.M 0D - [Process]
10 3
View
Simulation
E n c ic y ...
O u tp u t
Tools
L o c a c ió n —
P ie z a _ A
A ir e a c e n _ l
P ie z a _ A
L avadora
P ie z a _ A
A lm a c e n _ 2
P ie z a _ A
Inspecror
P ie z a _ B
A lr a a c e n _ l
P ie z a _ B
L avadora
P ie z a _ B
A lm a c e n _ 2
P ie z a _ B
Inspecror
P ie z a _ C
A lm a c e n _ l
P ie z a _ C
L avadora
P ie z a _ C
A lm a c e n _ 2
P ie z a
In soeccor
W in d ow
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5
O p era ció n .
1
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WAIT T ( 3 , 5 , 7 )
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9+W ( 1 . 4 )
F ig u ra 6 . 8 U tilizació n d e la fu n ció n d e u su ario e n el e je m p lo 6 . 1 .
6.2 Recursos Los recursos son m ecanism os que requieren las entidades para com pletar una operación, y se caracterizan en prim er lugar por tener una disponibilidad lim itada. En ProModel encontram os dos tipos de recursos: Recursos estático s. Son aquellos sin una ruta de m ovim iento y que, por lo tanto, p erm a necen inm óviles. Se utilizan principalm ente para m o d elar recursos necesarios para llevar a cabo una tarea dentro d e una localización (por ejem plo, el operador de una m áquina). Tam bién pueden em plearse en m ás d e una localización, o bien para m over entidades de una localización a otra, siem pre y cuan do la ausencia de m o vim iento no sea un facto r relevante en el m odelo. Recursos dinám icos. Son aquellos que se m ueven a través d e una red de rutas (Path Networks). Estos recursos perm iten transpo rtar entidades entre localizaciones, para m odelar, por ejem plo, un m ontacargas que m ueve contenedores de una m áquina a un alm acén, o un operario que tien e que operar dos o m ás m áquinas; en estos casos, el tiem po de traslado entre las m áquinas im pacta los resultados del m odelo. 20 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Las instrucciones m ás com unes relacionadas con el uso d e un recurso son GET, FREE, U SE y MOVE WITH. Analicem os a continuación dos de las m ás utilizadas. Instrucción G ET La sintaxis general d e esta instrucción es: G ET {< Cantidad> } <recurso> {,< prioridad 1>{,< p rioridad 2>}} {AND o OR {Cantidad} <recurso> {^ p rio rid a d 1> {/<prioridad2>}}} La instrucción G ET captura un recurso o com binación de recursos, d e acuerdo con cierta prioridad especificada. Si ya se tiene un recurso capturado, la entidad tratará d e capturar uno adicional. Ejem plos: G ET Herram ienta1 G ET 1 Operario, 2 ,2 5 G ET Grúa 7,20 AND (Grua2,10 OR Polipasto,20,70) G ET 2 Cajas, AND (Pegam ento OR Cinta) Instrucción FR EE La sintaxis general es: FR EE <{cantidad} recurso F R E E libera recursos previam ente capturados con las instrucciones G ET o JO INTLY GET. Ejem plos: FREE pallet FREE Juan, Paco, Luisa FREE 4 Tornillos, 3 Tuercas FREE all Ejem plo 6.2 Considere el sistem a d e m anufactura que se ilustra en la figura 6.9, el cual consta d e dos procesos en serie: to rnead o y fresado de barras en las m áquinas llam adas Lathe y Mili respectivam ente. El tiem p o de torneado es d e 3 m in/pieza, y el de fresado es de 2.7 m in/ pieza. Para operar am bas m áquinas se ha contratado a un solo operario llam ado M achinist. Las barras esperan antes d e cada proceso en alm acenes denom inados Palletl y Pallet2. La tasa de entrada es de 10 piezas/h. Sim ule el sistem a por 2 4 horas para deter m inar la utilización del equipo y del personal. 208
6.2 Recursos | 1
Layout
Figura 6.9 Layo u t d e l sistem a d e m anufactura (ejem p lo 6 .2 ).
Iniciarem os la construcción del m o d elo definiendo los siguientes elem entos: •
En la ventana Locatio ns (Build / Locations) active la ventana d e edición que se ilustra en la figura 6.10, y defina las localizaciones Lathe, Mili, P a lle tl y Pallet2.
Illll Lo ca tio n s Ic o n
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1
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1
N one
■1
Fig u ra 6.10 D e fin ició n d e las lo calizacio n es y su cap acid ad .
En la ventana Entities (Build / Entities) defina la entidad Barra (vea la figura 6.11).
E n titie s Speed
■T
^ B
a r r a
(íp x )
Fig u ra 6.11 V entana de ed ició n para la d efin ició n d e la entidad
IS O
B arra.
•
En la ventana Arrivals (Build / Arrivals) especifique un número infinito de ocurrencias para la entidad Barra, con un tiem po entre llegadas de 6 m inutos al Palletl (vea la figura 6.12). (Al definir un número de ocurrencias infinito, es necesario que el modelo de simulación se detenga mediante la determinación de un tiem po de corrida.)
Illll A r riv a ls E n tity — B a rra
L o c a tio n .. . P a lle tl
Q t y e a c h ___ 1
F i r s t T is te 0
O c cu rre n c es IN F
F re q u e n cy €
Figura 6 .12 M odelado de las llegadas de m aterial.
20 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
•
En la ventana R esou rces (Build / Resources) defina el recurso M achinist y la c a n tidad del recurso que se tien e (vea la figura 6.13).
Resources Icón
i
ü n its
Ñame M a c h in is t
11
DTs. . . None
S t a t s ___ By ü n it
Specs.. . No N etw ork
F ig u ra 6 .1 3 V entana d e e d ició n para la d e fin ició n d e recursos.
•
En la ventana Processing (Build / Processing), cree la ruta de producción d e las barras a través del to rn o y la fresadora, incluya en dichas localizaciones la captura del recurso con la instrucción GET M a c h in ist, y su liberación con la instrucción F R E E M a c h in ist después del tiem p o de proceso. La figura 6.14 m uestra una parte de la program ación de la ruta.
MI Process E n t i t y ___
l°|x. L o c a t i o n ___
3 a rra
P a lla tl
B a rra
L a th e
B a rra
P a lla t2
B a rra
M ili
■ Operation
|
O p a r a t i o n ___
C u t p u t ___ B a rra
O a s tin a tio n . P a lle t2
R u la . F IR S T
1
3LTF5EE M a c h in is t]
GET M a c h i n i s t
BU®
3Z T M a c h i n i s t rfA IT 3 FREE M a c h i n i s t
ít
F ig u ra 6 .1 4 Ruta d e p ro d u cció n d e la s barras.
•
Por ú ltim o , abra el m en ú S im u la tio n y hag a clic en el co m a n d o O p tio n s para desplegar el cuadro d e diálogo que se m uestra en la figura 6.15. En el cuad ro de te x to de este cu ad ro e stab le zca la lo n g itu d d e la co rrid a d e sim u lació n en 24 horas.
210
6.2 Recursos | 1
Simulation Options O i i p i i P a th :
B row se
|c :'o fo m o d 4 \o u tp u »
CJock P re a s o n D e fn e ru n leng th b y : f * Tim e O nly f-
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W e e k ty T m e
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C a le n d a r D ate
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|
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M n u te
R i n hours:
|24
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F ig u ra 6 .1 5 D efinició n d e la d u ració n d e la co rrid a de sim ulación.
TDay
-------------------------------- 1
Para consultar el resultado d e los pasos anteriores, abra el m enú File y haga clic en el com ando View Text. En la figura 6.16 hem os encerrado en un círculo el uso d e las instruc ciones G ET y FREE.
■
*
L o c a t io n s Ñame
ca p u n it s S t a t s
L a th e
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O ld e s t , o ld e s t , O ld e s t , O ld e s t .
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E n t it ie s Ñame
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R e s o u rc e s
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M o tio n
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Em p ty: 15 0 fpm F u l l : 150 fpm
P r o c e s s in g
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T tro c e ss E n t it y
L o c a tio r * O p e ra tio n
B a rra B a rra
P a lle n L a th e /
B a rra B a rra
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5
\
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/
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R o u tin g B lk
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B a rra
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B a rra B a rra
P a lle t 2 M ili
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B a rra
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F IR S T 1
A r r iv a ls
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F i r s t T im e O c c u rr e n c e s F re q u e n c y
B a rra
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l
Move L o g ic
IN F
L o g ic
6
Figura 6 .1 6 La p ro g ra m a ció n co m p le ta d e la sim ulación.
211
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Ejecute el m odelo. O bserve que no se presenta ningún tip o de m ovim iento del recur so, ya que no se trata d e un recurso dinám ico. Esto se debe a q ue, al definir el recurso M achinist, el parám etro d e la colum na Sp ecs d e la ventana R esou rces se conservó com o No N etw ork (vea la figura 6.13). Más adelante em plearem os recursos en com binación con Path N etworks para p erm itir la visualización d e recursos en m ovim iento. Finalm ente, revise el reporte de resultados d e la sim ulación. Para ello: Abra el O utput y haga clic en el com ando View Statistics. Seleccione en la pestaña C h a rt la opción Tables/Location Sum m ary y Tables/Resources Sum m ary. Las ventanas que se desplegarán serán sim ilares a las que se m uestran en la figura 6.17. Com o puede observar, el recurso ha sid o utilizado un total de 95% del tiem po, 50% del cual correspon de al torno, y 4 5 % a la fresadora.
S rftn a h n
Ñ am e
S c h e d iie d T lm e ( H r )
T o ta l F n trifts
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1 .0 0 1
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0 .0 0
0 .0 0
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9 9 9 ,9 9 3 0 0
2 4 0 .0 0
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C .00
1.00
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1.0 0
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N jm b e r T im e s Uaed 4 8 1 .0 0
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A v e ra g e T im e P e r U sa g e (M in )
/ U tiliz a re n 2 .8 4
F ig u ra 6 .1 7 R eporte d e resu ltado s del uso d e lo ca liza cio n e s y recu rso s c o n fo rm a to O u tp u t V ie w e r 4 .0 .
6.3 Paros en los equipos Un paro provoca que un recurso o localización q uede inhabilitada para operar, o fuera de servicio. Desde el punto d e vista de la sim ulación, un paro puede representar fallas, des cansos, m antenim ientos preventivos (en cuyo caso se necesitarán uno o m ás recursos), interrupciones program adas o cam b io s d e turno. Una lo calizació n p u e d e q u ed ar fu e ra d e se rv ic io en fu n ció n del tie m p o d e s im u la ción (C lock), por tie m p o de u so (U sag e), por n ú m e ro d e en tid ad e s pro cesad as (E n tity ), o por un ca m b io en el tip o d e entid ad a pro cesar (S e tu p ). Los paros se procesan de m anera in d e p e n d ie n te , p o r lo que d ifere n tes paros p u e d en o cu rrir d e m anera sim u l tánea en una m ism a lo calizació n (e xce p to aq u ello s que se deb an a cam b io s d e tip o de entid ad ). Por su parte, un recurso puede quedar fuera d e servicio solam ente en función del tiem po de sim ulación (Clock), o p o r tiem po d e uso (Usage). Otro m étodo para definir paros por descansos o turno s consiste en utilizar el editor d e turno s (Shift Editor). Este procedim iento tien e la ventaja d e perm itir paro s en to d o un grupo d e localizaciones. 212
6.3 Paros e n los e q u ip o s |~1
Para definir un p a ro en u n a localización o e n u n recurso: •
Abra el m enú Build y haga clic en el com ando Locatio ns (o Resources, según el caso) para desplegar la ventana de edición que se m uestra en la figura 6.18 (por supuesto, si está definiendo un paro en un recurso, la ventana m ostrará el nom bre R esou rces en la barra d e título).
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C ap.
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Calted. -
F ig u ra 6 .1 8 Pro g ram ació n de d iferen tes tip o s d e paro e n las localizaciones.
*•
Haga clic en el botón leyenda DTs y elija, en el m enú contextual que aparece, el tip o de paro que desea program ar. Enseguida se abrirá una ventana de edición sim ilar a la que se ilustra en la figura 6.19.
- 1n
C lo c k d o w n tim e s f o r L a th e F requ en cy 600
F rra t 20
T im e
P r io r ity 99
S c h e d u l e d ____
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L o g i c ____ w a it
25
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D is a b le No
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□ d F ig u ra 6 .1 9 D eterm in ació n d e p arám etro s d e u n paro e n una lo ca liza ció n .
Las ventanas de edición d e paros contienen un conjunto d e colum nas dond e p o d e m os especificar los valores d e los siguientes parám etros: Frequency. Representa el tiem p o que transcurre entre paros consecutivos. First tim e. Representa la hora en que ocurre el prim er paro; si se deja en blanco, el pará m etro tom ará el valor asignado en el cam p o Frequency. Priority. R ep resenta la prioridad relativa que tend rá el paro. D e m anera p re d e te rm in a da, la prioridad es 99. Si los paros ocurren hasta que la entid ad que está en posesión de la localización sale de ella, el rango de prioridades es de 0 a 99. Si un paro ocurre mientras la localización está ocupada, interrum piendo el proceso d e la entidad, el rango de prio rid a des es de 100 a 999. Sched uled. Perm ite indicar si los paros son program ados o no. Los paros program ados se deducen del tiem p o total d e sim ulación para el cálcu lo estadístico de los resultados. 213
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
List. En caso de ten e r varias unidades d e un m ism o recurso, este parám etro perm ite seleccionar el núm ero d e la unidad al que se aplica el paro. N ode. En caso de recursos dinám icos, representa el nodo, dentro d e su ruta, donde debe esperar el recurso m ientras el paro esté activo. Logic. Perm ite programar los eventos y actividades que ocurren durante el paro. En este cam po es posible utilizar las instrucciones GET, FREE, WAIT, USE, GRAPHIC y JOINTLY GET. D isab le. Perm ite deshabilitar tem p oralm ente el paro, sin ten e r que elim inarlo. Ejem plo 6.3 Considere un sistem a de m anufactura sim ilar al del ejem p lo 6.2, con dos m áq uin as en serie para los procesos d e torneado y fresado. E l tiem p o de torneado es de 3 m in/pieza, y e l de fresado es de 2.7 m in/pieza. Para operar am bas m áq uin as se ha contratado a un solo operario. La tasa de entrada es 10 piezas/h. □ torno tiene una frecuencia de fallas exponencial de 400 minutos, y para su reparación se n ecesita un m ecán ico . El tiem p o d e reparación es d e 10 ± 3 m in u to s, con d is trib u ción uniforme. El operario de producción descansa 5 m inutos con distribución exponencial cada 120 m inutos de trabajo. Sim ule el sistema por 24 horas para determ inar el im pacto de las fallas y los descansos en la utilización del equipo y del personal. Partiendo de los elem entos definidos en el m o d elo del ejem p lo anterior: • •
Abra el m en ú Build y elija R esou rces para acceder a la ventana de edición corres p o nd iente (vea la figura 6.20). Defina com o recurso al m ecánico que hará las reparaciones del torno. En cuanto al recurso M achinist, haga clic en el botón DTs para ed itar sus descansos.
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Figura 6 .20 Edición d e los descansos d e M a chinist y a d ic ió n d el recurso M ecánico.
214
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_______________________________________________________________________ 6.3 Paros e n los e q u ip o s
•
|~1
Abra la ventana Locatio ns (Build / Locations). Seleccione la localización Lathe (vea la figura 6.21), para editar las fallas del equipo haga clic en el botón DTs y luego en C lo ck (del m enú contextual). En este caso la prioridad de 999 perm ite que la m áquina falle aún tenien d o una entidad en proceso.
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P r io r ity 339
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GET M e c a n ic u C X l V o
No
F ig u ra 6 . 2 1 Ed ició n de los d escan so s de M ach in isty uso del recurso M ecánico para h a c e r la rep aración.
- :n x
•
Abra el reporte de resultados (Output / View Statistics) para verificar las estadís ticas del nuevo recurso M ecánico, y el im p acto d e los paros en las estadísticas de M achinist, La th e y M ili (vea la figura 6.22).
S ceiküiu
Ñam e
A u e ra q s T im e
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Scheduled T im e (H r)
C a p a u íy
E ntries
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C o n te n ts
C o n te n ts
C o n te 'its
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1 .0 0
1 .0 0
2 3 9 .0 0
0.4 7
1 .0 0
1 .0 0
9 9 9 ,9 9 9 .0 0
2 4 1 .0 0
0.0 4
2 .0 0
1 .0 0
9 9 9 ,9 9 9 .0 0
2 3 9 .0 0
0 .0 0
1 .0 0
0 .0 0
Lathe
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N u m b e r T im e s Used
A vero g e T r o e P e r U sage ( M ir )
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1 .0 0
2 4 .0 0
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4 8 1 .0 0
2.8 3
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1 .0 0
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3 9 .9 9
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1 0 .0 0
F ig u ra 6 . 2 2 V ie w e r 4.0 ).
9 4 .5 6 V
2 .7 8
Im p acto d e lo s paros en la u tiliza ció n d e lo s re cu rso s y la s lo calizacio n es. (Form ato O utput
21 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
U tilización de tu rn o s ProM odel ofrece al usuario una buena interfase para incluir paros program ados en los equipos mediante la programación de turnos de trabajo y descansos de los elem entos o p e rativos de un sistem a (localizaciones o recursos). Algunos ejem plos de estos paros podrían ser horarios de com ida, descansos, cam b io s de turno , descansos dom inicales etcétera. Los tu rn o s de trab ajo de cada elem ento pueden definirse en form a separada e incluir ciclos de trab ajo que se repitan sem analm ente. Los tu rn o s de trab ajo se definen y se asignan en el m ódulo Build/Shifts. Ejem plo 6.4 Los clientes com pran com putadoras en cierta tienda. Hay tres tipos de clientes: el 40% com pra com putadoras económicas, el 50% com putadoras estándar y el 10%, com putado ras de última generación. El tiem po entre arribos d e los clientes está exponencialm ente distribuido con m edia de 16 minutos. El tiem po de compra (en m inutos) depende del tipo de com putadora a comprar: para una com putadora económ ica es de 8 a 12 minutos, para una estándar de 10 a 16 m inutos y para una de última generación es de 14 a 22 minutos, en los tres casos con una función de densidad uniforme. La tienda sólo tien e un dependiente. El horario de atención de lunes a viernes es de 9:00 a 13:00 h y de 15:00 a 20:00 h, el sábado de 9:00 a 14:00 h y los domingos perm anece cerrada. Corra el modelo de sim ulación duran te un m es para encontrar el tiem po prom edio d e espera antes de ser atendido. Definam os tre s localizaciones (Entrada, Espera y Venta) y cuatro entidades (Clientes, Pobres, Ricos y M agnates). Los arribos y la lógica de proceso se definen de acuerdo a la lógica m ostrada en las figuras 6.23 y 6.24. Una im agen del m odelo de sim ulación se m ues tra en la figura 6.25.
M
P ro cessin g P rocess E n tity
L o ca tio n
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P u erta
Pobres E spera Pobres U en ta R ic o s E spera R ic o s U en ta M agn ates E s p e r a M agn ates U e n ta
R o u tin g
O p era tio n
B lk
O utput
D est in a tio n
R u le
1
Pobres R ic o s M agn ates Pobres Pobres R ic o s R ic o s M agn ates M agn ates
E spora E spera E spera U en ta EX IT U en ta EX IT U en ta EX IT
0 .4 0 0 0 0 0 1 0 .S 0 0 0 0 0 0 .1 0 0 0 0 0 F IR S T 1 F IR S T 1 F IR S T 1 F IR S T 1 F IR S T 1 F IR S T 1
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UftIT U < 1 0 , 2 > n i n UflIT U < 1 3 . 3 > n i n UfllT U < 1 8 . 4 > n i n
Move L o g i c
F ig u ra 6 .2 3 Ló g ica d e la ruta d e lo s clie n te s.
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Ü Figura 6 .24 A rrib os a la tienda.
216
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O ccu rren ces INF
F re q u e n c y E ( 16) m in
6.3 Paros e n los e q u ip o s |~1
F ig u ra 6 .2 5 Esq uem atizació n del e je m p lo 6 .4 .
Para d efin ir el horario de trabajo: •
A ctive el editor d e turno s Shifts Ed ito r (Build / Sh ifts / D efine) y se abrirá un calendario sem anal sim ilar al d e la figura 6.26
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F ig u ra 6 .2 6 Ed ito r d e tu rn o s.
•
Verifique que el icono con la taza de café perm anezca resaltado (desactivado). Seleccione cualquier día de la sem ana y deslice d e izquierda a derecha el ratón m anteniendo oprim ido el botón izquierdo, notará que el área de ese día se cubre de color azul.
•
Oprim a el icono con la taza d e café para activar el proceso d e descansos. Deslice otra v e z de izquierda a derecha el ratón con el botón izquierdo oprim ido cub rien do el horario donde no se trabajará, al finalizar observará superpuesta un área de color rojo. En este proceso siem pre quedará el área roja arriba del área azul, y en caso de n o ser a sí el editor m arcará error. A l term inar cualq uier día obtendrem os una im agen sim ilar a la figura 6.27. 21 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
EREAK M C O IFIE D
F ig u ra 6 .2 7 H orario d e d e scan so s d e l lunes.
•
Repita el proceso para todos los días, activand o y desactivando la taza de ca fé, note que para desactivar la taza d e café debe o p rim ir el botón que está a la izquierda d e la taza. Si la estructura d e uno de los días se repite puede usar la opción de duplicar ese día en el m enú Ed it tan tas veces com o se desee. Al finalizar el proceso (vea la figura 6.28) debem os guardar (File / Save As) nuestro archivo de turno s con extensión .SFT.
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S h i f j td ito r - C : \ D o c u m e n t s a n d S e tt¡n g s \u s u a r io \l) e s k to p \e je n ip lo 6 . 8 0 . s f t
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F ig u ra 6 .2 8 Pro g ram ació n co m p le ta d e lo s tu rno s.
•
218
Ahora debem os definir a cuáles localizaciones o recursos afecta el program a de turnos, por lo que activam o s la opción Shifts A ssig n m en ts (Build / Sh ifts / Assign). En el cam p o Locatio ns seleccionam os las localizaciones Entrada y Venta
6.3 Paros e n los e q u ip o s |~1
y en el cam p o Shift F ile s b uscam os la ruta dond e guardam os el archivo SFT. En la figura 6.29 se visualiza este proceso.
lo t- itio n s .
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F ig u ra 6 .2 9 A sig n ació n d e lo s tu rn o s.
•
A ctive la ventana d e Sim ulation O p tio ns (Sim ulation / Options) y en la sección Run Leng th seleccione la opción Calendar D ate. En esta m ism a sección con los botones Sim . Begin y Sim . End, defina la fecha d e inicio de sim ulación y la fecha d e fin d e sim ulación. Ejecute el m odelo y o bserve que el reloj de sim ulación corre en un esquem a sem anal. Al fin alizar la sim ulación aparecerá un aviso que indica que ocurrieron Failed A rrivals, lo cual es no rm al ya que m ientras la tiend a p erm a necía cerrada los clientes siguieron llegando y fueron rechazados.
En la figura 6.30 se despliegan los resultados finales del tiem po prom edio d e espera de los clientes desglosados por tip o d e cliente. A v g Time W a t n g - fn t ty
Tpo
Ok cíente
F ig u ra 6 .3 0 R esultados de la ejecució n d el m o d elo p o r tip o d e clie n te .
21 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
6 .4 Reglas d e ruteo La ventana d e edición que se ilustra en la figura 6.31 m uestra una de las herram ientas disponibles en ProM odel. Rule perm ite gran versatilidad en la creación del proceso al construir las rutas d e las entidades. Para desplegar la ventana correspondiente, abra el m enú Build y haga clic e n el com ando Processing.
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ULTIMO 1.M0D
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III Routing tor PIEZA1 ® LLEGADA «■: A 1 1PTBZA1 G3LDA1 —
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F ig u ra 6 .3 1 A cceso a la s reglas de ruteo.
La colum na Rule p erm ite seleccionar la condición que se debe cum plir para que una entidad sea transferida desde la localización actual (definida en la colum na Location) hasta la localización sig uiente (determ inada en la co lum na Destination). Al oprim ir el botón Rule se abre el cuadro d e diálogo Routing Rule. En él se puede seleccionar cualquiera d e las siguientes reglas d e ruteo: First availab le. Selecciona la prim era localización que tenga capacidad disponible. By tu rn . Rota la selección entre las localizaciones que estén disponibles. If Jo in Request. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso de unión (requiere el uso de la instrucción JOIN). If Send. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso d e envío (requiere el uso de la instrucción SEND). U ntil Full. Selecciona la localización hasta que esté llena. Random . Selecciona aleatoriam ente y en form a uniform e alguna d e las localizaciones disponibles. M ost A vailab le. Selecciona la localización que tenga la m ayo r capacidad disponible. If Load Request. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso de carga (requiere el uso de la instrucción LOAD). Longest Unoccupied. Selecciona la localización que tenga el m ayor tiem po desocupada. 220
6.4 Reglas d e ru te o | 1
If Em pty. Selecciona la localización solam ente cuando está vacía, y continuará seleccio nándola hasta que esté llena. Probability. Selecciona la localización de acuerdo con un p o rcentaje asignado. U ser C ondition. Selecciona la localización que satisfaga una condición booleana especi ficada por el usuario. Continué. Se m an tien e en la localización para realizar operaciones adicionales. A s A ltérnate. Selecciona la localización com o alternativa si está disponible y ninguna de las reglas anteriores se cum ple. A s Backup. Selecciona una localización com o respaldo si la que tien e preferencia está descom puesta. D ependent. Selecciona una localización solam ente si la ruta inm ediata anterior ya fue ejecutada. Q u antity. Es un cam p o adicio nal que p erm ite d e fin ir el n ú m e ro d e unidad es que sa l drán de esta localización por cada unidad que entre. Esta instrucción se utiliza para pro cesos d e corte y separación. Ejem plo 6.5 El proceso de m anufactura ilustrado en la figura 6.32 consta de 2 tornos y un alm acén dond e las piezas esperan antes d e ser procesadas. Los tiem po s d e proceso son de 12 y 15 m in/pieza en los tornos 1 y 2, respectivam ente. La tasa d e entrada a este proceso es d e 6 piezas/h con distribución d e Poisson. Sim ule el proceso.
! Layout - Student Versión
Torno 1
Almacén
%
Torno 2
F ig u ra 6 .3 2 Esq u em atizació n d e un proceso de torneado.
221
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
•
Para em pezar, definirem os las localizaciones Alm acén, T o rn o _ l y Torn o_2 en la ventana Locatio ns (Build / Locations). Especifique la capacidad de dichas locali zacio nes com o se m uestra en la figura 6.33.
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Cap.
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T o m o _ l|
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Tom o 2
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Almacén
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Fig u ra 6 .33 D efin ició n d e ca p a cid a d d e la s lo calizacio n es.
•
Defina la entidad Pieza en la ventana En tities (Build / Entities), co m o se m uestra en la figura 6.34.
lllll E n titie s 1 Icó n
Ñame
Speed (fpm)
P ie z a
ISO
Fig u ra 6 .34 D efin ició n de la entidad.
A co n tinuació n program arem o s las lleg ad as d e la Pieza al A lm acén. Abra la v e n ta na A rriv a ls (Build / A rrivals) y e sp e cifiq u e los p arám etro s que se m u estran en la fig u ra 6.35.
lllll A rriv a ls E n t1 1 y . - P ie z a
| L o c a tio n .. . A lm a c é n
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c u c h ._ . |
F i r s t Tune
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Fig u ra 6 .35 E ntrada d e m ateria p rim a (Pieza) al p u n to inicial del proceso (Almacén).
222
F requ en cy E (1 0 )
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6.4 Reglas d e ru te o | 1
•
D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta de p ro ducción de las piezas a través de cualquiera d e los 2 tornos (vea la figura 6.36).
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F ig u ra 6 .3 6 Selecció n d el to rn o d o n d e se procesará la pieza.
Com o puede ver en la figura 6.36, en el cam p o Rule aparece, de m anera pred eterm i nada, el valo r FIRST para am bas salidas. En este caso la regla de ruteo indica que la pieza deberá m overse al prim er torno que se encuentre disponible. Si am bos están disponibles, el torno 1 será la opción elegida. E l"1 " a la derecha del prim er FIRST indica el valo r del cam p o Q uantity del cuadro de diálogo Routing Rule (vea la figura 6.37). •
Haga clic en el botón Rule de la ventana Routing fo r para desplegar el cuadro de diálogo Routing Rule (figura 6.37), en donde podrá seleccionar alguna de las reglas de ruteo para el registro activo, en este caso para Torno_1.
Routing Rule
W Slait New Block
Quanhly 1 1
T New Entity
(* Fus! Available r By Turn
c Mosl Available C Random C II Load Request
(*' II Jom Request
Longest Unoccupied
T || Send
r
C || Empty
Unhl Full
C Piobability (" User Condilion.
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C As Allernate OK 1
1
Conlinue
C As Backup Cancel 1
C Dependen! Help
F ig u ra 6 .3 7 Seleccio ne e n e ste cu adro de diálogo la regla de tran sfere n cia entre localizaciones.
Por ejem p lo si desea cam b iar la regla de m anera que 30% d e las piezas sean pro ce sadas en el to rn o 1 y el resto en el to rn o 2: • •
Abra prim ero la ventana Routing Rule para el to rn o 1, seleccionam os la opción Probability, y escriba 0.3 en el cuadro de texto correspondiente. Haga clic en OK. Repita los pasos anteriores para el torno 2, tenga cuidado d e que la opción Start N ew B lock esté desm arcada en este caso. Elija Probability y escriba 0.7 en el cam p o d e texto. La figura 6.38 m uestra p arte d e este procedim iento. 223
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
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Utei CondKion f * C o n lin u p f '
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F ig u ra 6 .3 8 Selecció n del to rn o e n fu n ció n de p orcen tajes.
Podemos seleccionar de manera similar cualquier otra regla de ruteo. La sintaxis de pro gramación del ejem plo (m anteniendo la regla probabilística) se muestra en la figura 6.39:
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F o r n a t t e d L i s t i n g o f M od el: C:\ProM od4\raodels\rutas.M OO
T im e u n it s : D is t a n c e u n it s :
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L o c a t io n o p e r a t io n
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224
E n t it y
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F i r s t T iñ e o c c u r r e n c e s F re c u e n c y
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F ig u ra 6 .3 9 Sintaxis co m p leta d e la program ación para el e je m p lo 6 . 5 .
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
6 .5 Ensam bles, acum ulación y agrup am iento de piezas Un gran núm ero de procesos de producción incluyen operaciones de separación, ensam ble, agrupam iento y unión. A continuación se resum en varias de las funcio nes que ProM odel tiene para m odelar este tip o de procesos.
Instrucción ACCUM La instrucción ACCUM, cuya sintaxis general es ACCUM <Cantidad>, retrasa el proceso de las entidades hasta que cierta cantidad del m ism o tip o se haya acu m ulado en algún lugar del m odelo. Una vez que se han acum ulado, se p erm ite que todas ellas continúen en form a separada. Si la entidad a procesar se define co n el parám etro ALL, todas las entidades, sin im p o rtar su tipo, entran en el proceso de acum ulación. Esta instrucción no consolida las entid ades (vea la figura 6.40).
Ejem plos: ACCUM 5 ACCUM 10
a c c u ín w o it
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A lm a c é n
M a q u in a
F ig u ra 6 .4 0 Ejem p lo d e u n p ro ceso d e m a n u factu ra d e 12 m in u to s, q u e inicia c u a n d o se han acum ulado 5 p ie zas e n la m áquina.
22 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Instrucción GROUP La sintaxis general d e esta instrucción es: GROUP <Cantidad> A S <Nueva entidad>/ y su propósito es realizar una unión tem p oral d e entidades de un m ism o tip o (a m enos que se utilice com o parám etro la palabra A LL, en cuyo caso puede unir entidades de diferente tipo). Las entidades agrupadas se m antienen en ese estado hasta que encuen tran una instrucción UNGROUP. Si se utiliza la opción AS, la entidad resultante de la unión puede ten e r un nom bre diferente (vea la figura 6.41). Ejem plos: GROUP 10 GROUP 10 A S Am igos GROUP PRODO AS Lote
ProModel - agrupar.MOD P ie
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F ig u ra 6 .4 1 Ejem p lo d e u n sistem a d e p ro d u cció n d e 10 m in/lo te, c o n a g ru p ació n p revia d e 5 p ie zas e n el alm a cé n (in cluye la sin taxis d e p ro gram ació n co m p leta del proceso).
226
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
Instrucción UN GROUP La instrucción UN GROUP tien e la sig uiente sintaxis general: UNGROUP El o b jetivo de esta instrucción es separar las entid ades agrupadas previam ente con la instrucción GROUP. Las entidades son desagrupadas d e acuerdo con e l esquem a "prim e ro en entrar, prim ero en salir", a m enos que se indique lo contrario con la expresión LIFO (vea la figura 6.42). Ejem plos: UNGROUP UNGROUP LIFO
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ProM odel - desag rupar.M O D
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F ig u ra 6 .4 2 Ejem p lo d e u n sistem a d e p ro d u cció n d e 10 m in/lo te, a g ru p a n d o p reviam en te 5 p ie zas e n el alm acén y d esag ru p an d o d e sp u é s del p roceso.
22 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Instrucción COM BINE La sintaxis general d e la instrucción es: COMBINE <Cantidad> AS <Nueva entidad> Su propósito es realizar una unión definitiva de entidades de un m ism o tipo, a m enos que se utilice com o parám etro la palabra A LL, en cuyo caso puede unir entid ades d e diferen te tipo. La entidad resultante m antiene el nom bre y atributos de la últim a entidad com b inad a; si se utiliza el parám etro AS, la entidad resultante de la unión puede ten e r un nom bre diferente (vea la figura 6.43). Ejem plos: COMBINE 10 COMBINE 50 AS Lote
PioM odel - co m bina!.M O D He
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Output
D e s t i n a t i o n Rule
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FIR S T
1
F ig u ra 6 .4 3 Ejem p lo d e u n sistem a de em p a q u e e n u n a lm a cé n , co m b in a n d o 10 p iezas/caja (in cluye parte d e la sin taxis de p ro g ram ació n d e l m odelo).
228
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
Instrucción JOIN Con la sin taxis general: JOIN <Cantidad> < Entidad a ensam blar> la instrucción JOIN ensam bla entid ades de cierto tip o a la entidad actual. Las entidades a ensam blar provienen de otra localización, y se dirigen m ed iante la regla d e ruteo IF JOIN REQUEST. U na vez ensam bladas, las entidades pierden su identidad y atributos. Ejem plos: JOIN 2 4 Refrescos JOIN Variable_1 Cajas Ejem plo 6.6 Com o se ilustra en la figura 6.44, un operario em paca cajas de 25 piezas cada una. El tiem p o de em p aq u e es exp o nencial de 1 m inuto. Las tasas de entrada por hora son cons tantes, d e 1500 en el caso d e las piezas, y de 60 en el de las cajas.
ProModel - Ensamble.MOD - (Normal Run] p .jj F ie
S m iia b o n
O pbons
In fo rm atio n
W indow
In te rn e t
Help
n 2168 & A lm acén Pieza
C aiü3 te n e s
i Figura 6 .4 4 Proceso de empaque para el ejemplo 6.6.
• •
Para com enzar, defina las localizaciones Alm acén_Caja, Alm acén_Pieza y Operario en la ventana Locatio ns (Build / Locations). Especifiq ue las entidades Caja_vacía, C a ja JIe n a y Pieza en la ventana En tities (Build / Entities).
22 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
•
En la ventana A rriv a ls (Build / Arrivals) determ ine las entradas al sistem a, d e la C aja_vacía al Alm acén_Caja, y de la Pieza al Alm acén_Pieza.
•
En la ventana Processing (Build / Processing), cree la ruta de cada tipo de entidad.
Para m odelar la unión de las entidades son necesarios dos procesos: uno para la entidad principal, C aja_vacía, y otro para la entidad secundaria, Pieza. El prim er proceso se ilustra en la figura 6.45; en él harem os uso de la instrucción JOIN para indicar que la entidad actual, C aja _va da , en la localización Operario solicita 25 entidades Pieza para llevar a cabo la unión. La entidad resultante d e este proceso se identifica com o C a ja JIe n a ,y es enviada al exterior.
Process
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C a ja v a c a a
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A J ja a c e n V i e s e
O ucpur. C a ja
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D a a c ln a e la n
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Operation M rools New Process
pOTM 2 5 P i a s a H A IT E {1}
Add Routing Find Process
Entitv: Figura 6 .45 Programación de la instrucción JOIN.
El segundo proceso a program ar es para la entidad Pieza, y consiste en m odificar la regla de ruteo hacia la localización Operario. En la figura 6.46 se m uestra có m o llevarlo a cabo m ediante la selección d e la opción If Jo in R eq u esten el cuadro d e diálogo Routing Rule.
I I R o u tin g l o r P ie za ® A lm a c e n _ P ic /a £ u l . l . y ____ C a ;»
v ic i»
lu c il.u i.
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C y n iitik u ..
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A lm a c é n _ C a ja
C a ja _ v a c x a
C p e a a a io
P isa s
A lm acon_Plsan
JOIN 2fi P i n a
R outing Rulo P S t * t N w Block
QuanWy 1
r Ne* Enlitr B ljla y o u t M o jI Avaddble N e w P ro c e s s A dd Routmg
Figura 6 .46 P rogram ación d e la regla de ru te o If J o in Request.
230
C Ky lia n
\
I I J o in rie q iJc it
r ii Sond y
C R.indom C II Load
(le q u c it
C I n r g r t l lln n c ru p in d
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
La sintaxis de program ación del ejem p lo 6.6 se ilustra en la figura 6.47.
In s t r u c c ió n LO A D
La instrucción LO A D , cuya sintaxis general es LO A D < C a n tid a d > IF F < C o n d ic ió n > IN < T ie m p o > ,
agrupa tem p oralm ente entidades d e cierto tip o a la entidad actual. Las entidades a agru par provienen d e otra localización, y se dirigen m ed iante la regla d e ruteo I f L o a d R e q u e s t. Las entidades agrupadas m antienen su identidad y atributos, y se separan cuan do encuentran una instrucción U N LO A D . 231
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Ejem plos: LOAD 5 LOAD 10 IFF Tipo > 2 LOAD 2 IF F Peso > 3 IN 5 m in LOAD 5 IN 10 m in In s tru c c ió n U N LO A D
La sintaxis general d e esta instrucción es: U N LO A D < C a n tid a d > IF F < E x p re sió n >
y su propósito es p erm itir que una entidad descargue o desagrupe otras entidades p re viam ente agrupadas por una instrucción L O A D o G R O U P si se cu m p le la condición espe cificada. Ejem plos: UNLOAD 10 UNLOAD 2 IFF entityO = Pieza E je m p lo 6 .7
Un proceso requiere m over m aterial en contenedores d e un lugar a otro. Cada co ntene dor debe llevar 5 piezas. El tiem po para cargar e l contenedor es de 1 m inuto. Los co n te nedores se m ueven a través de una banda transportadora en 30 segundos. A l fin al d e este m o vim iento se separan y cada entidad co ntinúa por separado en bandas transportadoras independientes. Vea la esquem atización de este problem a en la figura 6.48.
ProModel
Í
j j = íe
Ejem p lo L0AD .M 0D
S r r u ia tjo n
O p tio n s
In fo rm a tio n
[N orm al Run] W ndow
In te ra c t
H elp
3 -------------------------------------------------------------------------------------------B an d a paDets
B an d a p ie z a s
Figura 6 .4 8 Esquem atización d e la sim ulación d e u n proceso d e u n ió n y separación d e entidades.
232
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
Para este ejem p lo , antes que nad a es necesario d e fin ir las siete lo calizacio n es que se m uestran en la fig u ra 6.48 (alm acén de piezas, alm acén d e pallets, carga, banda, banda p allets, d e scarg a y banda piezas), las dos entid ades que se m ueven a través d e l sistem a {pallet y piezas), y la inform ación sobre la llegada del m aterial al sistem a. Estos elem entos y sus características se describen m ás adelante en la sintaxis d e p ro gram a ción del m odelo. De la misma form a que en el caso de la instrucción JO IN , para lograr la unión o carga se requieren dos procesos: uno para la entidad principal, Pallet, y otro para la entidad secunda ria, Piezas. El prim ero de dichos procesos se muestra en la figura 6.49. En él se hace uso de la ins trucción LO A D para indicar que la entidad actual, Pallet, solicita en la localización Carga 5 entidades para llevar a cabo la unión, incluyendo el tiem po necesario para hacerlo. La enti dad resultante de este proceso es enviada hacia la banda transportadora Banda.
lili Process
lili Routing for Pallet @ Carga
■ Operation B s n d ít _ p i
LO A D 5
IN
1 m r.
A c d R o u tin g
F ig u ra 6 .4 9 Program ación de la in stru cció n LOAD.
El segundo proceso a program ar es para la entidad Piezas, y consiste en m odificar la regla d e ruteo desde el Almacen_de_piezas hacia la localización Carga. La figura 6.50 ilus tra có m o se lleva esto a cabo m ediante la selección de la opción If L o a d R e q u e s t en el cuadro de diálogo R o u tin g Rule. III PlOC«>
□
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m K o u tm g tu i P ie io * e> A lm < ic tM i_ d v _ p ie ia *
!U n i 1 i i _ p > l t M a
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R oiitir>e P ulo F S t a il N ew B lock I
N ew L o lilf C M .u l A voilob le
N®w P rrc e s s
\
r Rondo^ II I iidil Rin|unit I o n g etf tlno cco p ied
Fm d P roce ss
F ig u ra 6 .5 0 Program ación d e la regla de ru te o If Load Request.
Una vez transportado el Pallet por la banda, se lleva a cabo el proceso d e separación o descarga m ediante la instrucción U N L O A D , de m anera que cada entidad sea enviada a su sig uiente proceso (vea la figura 6.51). 233
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
, n
|X
I I R o u tin g l o r P a lte t v Descarga
O p e ra tto n
N ew P rocesa
Artd Routing III R o u tin g lo i P ie za s 9 Descaí:
F ig u ra 6.51 Program ación d e la instrucció n UNLOAD.
O bserve la sintaxis de program ación com pleta para el m odelo del ejem p lo 6.7 en la figura 6.52.
F oraacted L i s t m ; o f f c d e l : C:\Prolfod4\iasdel9\B jesplo IOAD.1CC •••••••• Time I t a it a : D istan ce U n íta ;
* -
K iru ta s Feet
*
L o c a tic n a Cup
A ln B c a n _ d e _ p a lle t9 A l uneen~de_plezna Banda Dasrargn Carga B an d A _p allets k _p iea a »
Unica S
D JF D JnS 1 IN F IN n B 1 INFDJITB 1 1 1 1
to ta
* Rui « a
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T une S a n e a O l d e a t . . Tune Tune Tune Tuno Tune TUne
1
DJFDJ ITK 1 IN F IN riB 1
S e d e a O ld e a t. S e n e s O ld e a t. S a n e a O ld e a t. S o c io ■ O ld e a t, S a n e a O ld e a t, S a n a s O ld e a t,
. FIFO, . . FIFO. FIFO.
B n titie 9
P ie z a s P a lla r
Speed <fj*a)
S tata
ISO ISO
Tune S e n e s Tuse S a n a s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C oat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Procesa B n tlty
In c a t Io n
P a lle e P a lle e P a lle s P a lle s P a lle s Pieaaa P ie za s P le n a
Alm acan_da_palla es Carga Banda Descarga B a n d a_p allet a Al meg¿n_de_piezaa Descarga Banda_piezae
R outing
C p e ra tic n
Bife C u tp jt
IDAD S DJ 1 m n NA IT SO aec unload S u a it SO aec
u a i t 30 aec
1 1 1 1 1 1 1 1
P a lle s P a lle t Pal lo r P a lle t P a lle t P ie za s P ie za s P ie za s
Efese i na t io n
R u le
C *rga Banda Descarga Banda p a l i s t a 2XIT Carga Banda_piezas DCIT
FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST LOAD FIRST FIRST
A r r iv a l a
234
1 1 1 *
H n tity
L o c a t ic n
P ie z a s P a lla r
Alnacer. de_pieaaa 1000 0 1 1 A lc a c e r, da p e l l e t a 200__________ 0____________1______________1__________________
Q ty
c a c ti
F ir s t T in a C ecu tren ce* Fre<jicr.cy
1 1 1 1
L o g ic
F ig u ra 6 .5 2 Sin taxis co m p leta de la p ro gram ació n para el e je m p lo 6 .7 .
I n s t r u c c ió n S P L I T
La sintaxis g e n eral d e la instrucción S P L I T es: SPLIT <Cantidad> AS <Nueva entidad> Su propósito es dividir una entidad en varias entidades, y asig nar a cada una de ellas (de m anera opcional) un nuevo nom bre. Las entidades resultantes d e la división m antienen los m ism os atributos que la entidad original. Ejem plos: SPLIT 10 SPLIT 20 AS Botella SPLIT V ariab le_4 AS Láminas E l uso d e esta instrucción se recom ienda solam ente cuando existan operacio nes adicio nales a las entidades dentro d e la localización actual. En caso contrario es m ejo r utilizar la estructura de reglas de ruteo que se ilustra en la figura 6.53 para definir la cantidad de entid ades a separar.
'•áa a1
lili Procos t r . t i t y ___
uperition__
L o c o t io n ----
v.di i
Vidilu Vidrio Vidrio Vidrio
——.—————CB —— CfittftdQ
unir 12S
Jipolldo fulido
Molí UHC. b)
_ |n X
M T o o ls
-SI Uyout siuceru Versión
III Routing for Vidrio @Cortadora »Xk Output__ Destinación-Vidrio Fip jlid o
■
F S ta it N ew B lo ck
r NexEnldr C M o it A variable
F in d P .'ocoss
F Himduai
C Oy Turn
r || Simd
C || L u jd R e q o o il C | n n g c il lln o cru p « cd
C llr lil
r || |
r
A d d R outing Almacén ae v d rc
Bule--1FIRST S
Rouling Rulo
F irtl A vailable 'J c w P roco sr.
|
r
II Jo in R o q u e il
I lili
P io b jb ilily
c U te i C ondilion T Continué
•
Cajas_vacias CajasJleras
C A» A R m naln
OK
CA i
R .m kup
r.Anod
C Dr.pnndr.nl H elp
I
F ig u ra 6 .5 3 Separación d e e n tid a d e s m ed ian te la o p ció n d e ca n tid a d d isp o n ib le e n el c u a d ro d e diálogo R ou ting R ule.
Ejem plo 6.8 A la cortadora de la figura 6 .5 4 llegan rollos a una tasa de 5 por hora. El proceso d e corta do es d e 30 segundos, y de cada rollo se obtienen 10 lám inas, las cuales se envían al sig uiente proceso a través d e una banda transportadora. 23 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
L L ÍL
111111111111
3
1
Salida Entrada
F ig u ra 6 .5 4 Proceso d e co rte .
Cortadora
□ m o d elo re q u iere d e fin ir 3 lo ca liza cio n e s: En tra da , co n cap acid ad in fin ita ; C ortadora, con capacid ad 1, y Sa lid a, con capacid ad in fin ita . Adem ás, es preciso e sp e ci ficar dos entid ades, llam ad as R ollo y Lám ina, y las llegad as de rollos al proceso con un tie m p o entre llegad as de 12 m inuto s. La d e scrip ció n com pleta de los elem ento s m e n cio nado s se encuentra en la sintaxis de program ación del m odelo, que se presentará m ás adelante. El p u n to im po rtante de este m o d elo se ilustra en la figura 6.55, y ocurre al crear la ruta de proceso cuando el Rollo, después d e un tiem p o de operación de 30 segundos, se transfiere hacia la localización Salida. Es en el cuadro d e diálogo Routing Rule donde determ inam os el va lo r d e la variable Q uantity en 10.
ProModel - cortadoro.MOD F l11»
Edil
E X ítí
S nuiab on
Tool'
C u tp u t
Process
I n c i t y ___
121
l o c a c i ó n . ..
B e llo
Err.rnrln
Rol l o
C o rta d o ra
L e a in a
S a lid a
W rC c v /
1-
Hdp
III Routing for Lamina @ Cortadora
r . x
O p e r a c ió n .. .
O i t p u t ___
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O e i t m a t i o n ----1
^rn n »
S a lid a
R u le.
| H o v f L o g i c ___|
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^1
WAIT 30 « r
Routing Rule P Slart New Efcxx r
Qj3Tiey|lO
New Entíy
k it Av.iiMo
.31 Layout
C
Mar
Av.-faMr:
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1111111111: : Ffrtfnda
A
Cortadora
Salda
C |f Joan Roques r FSend
C* I Load Re?-»efl Lcngest llro c a jp te d
r UtUFiJ
í Enr*y
r ProbaWy
Li«sCondbcn Cortnue
C A ; Altérnale OK
r '
A sE ack u p
Cancel I
Figura 6 .55 Uso d el p a rá m e tro Q u a n tity para sim u la r procesos d e c o rte y separación.
236
C
C 'e p e n d e n l
Hefc> I
__________________________________________ 6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
La sintaxis de program ación com pleta del ejem p lo 6.8 se m uestra en la figura 6.56.
F o rm a tte d L i s t i n g o f M o d e l: C :\ A r c h i v o s d e p ro g ra m a \P ro M o d e l\M o d e ls\c o rta d o ra .M O O
* e
e aeffBeeceeaffSBsnsoeBííffeacffBoaeeooesBSoeBSBeíeooBOBesBtaaíeoeocíííffaesoeíseaBíac T im e u n i t s : D is t a n c e U n it s : m i t i a l i z a r io n L o g i c :
M in u te s Feet a n ím a t e s
C 8 B B a S a S B a B B S a a B 6 B B S B B B a a B B 6 6 a 6 B a B B B S 8 S B 8 B S 8 B B S B B B B S a B B a S B S S B S B 6 B B B 8 S B 8 6 a B B a S B e B
*
L o c a t io n s Mame
cap
u n it s s t a t s
E n tra d a C o rta d o ra S a lid a
I N F IN IT E l 1 1 I N F IN IT E 1
T im e T im e T im e
•
e
R u le s S e r i e s O ld e s t , S e r i e s O ld e s t , S e r i e s O ld e s t ,
co st F IF O , , F IF O ,
E n t it ie s Ñame
sp e e d ( f p n )
S ta ts
R o llo L a m in a
IS O 150
T im e S e r i e s T im e s e r i e s
•
C o st
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P r o c e s s in g
a
P ro c e ss E n t it y
L o c a t io n
o p e r a t io n
R o llo R o llo L a m in a
E n tra d a C o r t a d o r a W AIT 3 0 s e c S a lid a
R o u t in g
B lk
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D e s t1 n a t1 o n R u le
l 1 1
R o llo L a m in a L a m in a
C o rta d o ra S a lid a E X IT
Move L o g ic
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i
F IR S T F IR S T
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E n t it y
L o c a t io n Q ty e a c h
F i r s t T im e O c c u r r e n c e s F re q u e n c y
R o llo
E n tra d a
O
1
IN F
L o g ic
12 m in
F ig u ra 6 .5 6 Sin taxis g en eral del pro gram a d e m o delado para el e je m p lo 6 .8 .
Com o se m en cio nó anteriorm ente, tam bién es posible m o d elar este proceso con el uso de la instrucción SPLIT. Para hacerlo se deben realizar cambios sólo en la ruta del pro ce so. En la figura 6.57 se m uestra la p arte del program a que sufre m odificaciones.
*
*
P r o c e s s in g P ro c e s s E n t it y
L o c a t io n
R O llO R O llO
E n tra d a l C o r t a d o r a W AIT 3 0 se c s p l i t 1 0 a s Lam in a C o rta d o ra l s a lid a 1
L a m in a L a m in a
O p e r a t io n
R o u tin g B lk
O u tp u t
D e s t i n a t i o n R u le
M ove L o g ic
R O llO
c o rta d o ra
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L a m in a Lam i na
S a lid a E X IT
F IR S T 1 F IR S T 1
1
Figura 6 .57 Uso d e la in stru cció n SPLIT para el e je m p lo 6.8.
23 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Instrucción ROUTE La sintaxis general d e esta instrucción es: ROUTE <Bloque de ru tee» La instrucción ROUTE envía la entidad hacia el proceso especificado por el núm ero del bloque. Ejem plos: ROUTE 2 ROUTE Tipo_de_pieza Ejem plo 6.9 Sim ule el proceso d e separación d e tres tipos d e pieza (vea la figura 6.58). El 20% d e las p iezas son d e tip o 1, el 50% son de tip o 2, y el resto son de tip o 3. El tiem p o d e transp o r te es d e 3 m inutos en las band as de entrada, d e 3 m inutos en las band as de salida de las piezas tip o 1 y 3, y de 5 m inutos en la banda de d e salida d e las piezas tip o 2. El tiem po entre llegadas al sistem a es d e 1 m inuto/pieza, distribuido exponencialm ente.
ProM odel
1
- ile
Ruteo.M OD - [N o rm al Run]
b im u a tio n
O p tio n s
I n f o r m a tio n
W r x io w
In te ra c t
H e lp
r ^ ie za s tipo 1
Entra
P ie z a s tipo 3
F ig u ra 6 .5 8 Proceso de separación d e m ateriales.
• •
•
238
Defina las localizaciones Entrada, Separación, B a n d a _ l, B a n d a _ 2 y Banda_3 en la ventana Locatio ns (Build / Locations), siguiendo el esquem a d e la figura 6.58. Defina la entidad G e a re n la ventana En tities (Build / Entities), especifique tres form as diferentes para que cada entidad pueda diferenciarse por su color (revise el procedim iento descrito en el ejem p lo 5.3 d e la sección 5.4.3). Abra la ventana A ttib utes (Build / Attributes) para definir el atributo Ruta que id entifique la trayectoria que seguirá cada tip o d e pieza (vea la figura 6.59).
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
S
ProModel - Ruteo.MOD td it
Vkw
Build
S m daüon
C uO ut
lo> 's
W ndow
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ID
C la a t iiC ic a t io n .. .
X y jw . .
R uta
In t * j* c
Ene
Figura 6 .59 Id en tificació n d e l a trib u to RUTA.
•
En la ventana U ser D istrib utio ns (Build / U ser Distributions), defina una tabla sim ilar a la que se m uestra en la figura 6.60 para determ inar la m ezcla d e produc to dond e la variab le Tipo_de_pieza tom ará los valores 1, 2, 3, d e acuerdo con los porcentajes definidos.
P roM otM - Puteo. MUU
Be EO! «te» B*d Smitdten Ou-sut Tocfe Wnúo* «do
I I I la b le lo r Ilp o _ d o _ p lo ia V o lu o
F ig u ra 6 .60 D efin ició n d e la d istrib u ció n d e u su ario Tipo_de_Pieza.
•
Haga clic en el botón Logic de la ventana Arrivals (Build / Arrivals) para desplegar la ventana Logic y asignar ahí los atributos de cada pieza (vea la figura 6.61). Indique, en la colum na Frequency de la misma figura, el tiempo entre llegadas: exponencial con media de 1 minuto/pieza. Al llegar cualquier pieza se evaluará la función Tipo_de_Pieza, y se asigna un valor al atributo RUTA y a la form a de la entidad (graphic R U TA ). Estos valores permanecerán com o característica de la entidad hasta que sea destruida.
S-tu U kíi « iT « Jt
'octs ftnáom MHp
lo o ls
F ig u ra 6.61 A sig n ació n d e a trib u to s a la entidad.
•
Abra la ventana Processing (Build / Processing) para d efin ir la ruta de la entidad G ear a través de las localizaciones. Tenga cuidado al crear el proceso de separación 23 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
que se ilustra en la figura 6.62; o bserve que en la localización Separación existen tres posibles rutas d e salida, identificadas en el cam p o B lk co m o 1, 2, 3. Para lograrlo es necesario m arcar la casilla de verificación de la opción Start a New B lo ck e n el cuadro d e diálogo Routing Rule.
III P roce ss
III R o u tin g f o r G e a r o» S e p a ra c ió n
Hervía ñas:
Banda ■
H ervía 3 O p e ra r io r
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R o u tin g R ule
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IJu .in h ly 11
C M o it A v o io b le C K . in il i v
A d d R o jlifig
F ig u ra 6 .6 2 S eg m en to d e la ruta d e la lo ca liza ció n Sep aració n.
La sintaxis completa de la programación para el ejemplo 6.9 se muestra en la figura 6.63.
•
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L o c a tio n s
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G ear G ear G ear
8an da_l B an da_? 8anda_3
w a it w a it w a it
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G G G G G G G
S e p a r a c ió n Eandd 1 Banda 2 Ganda 3 E X IT E X IT E X IT
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1 1 1 1 1 1 1
A r r iv a ls
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L o g ic
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•
*
U ser O ís tr ib u tio n s
10
Type
C u n u la t iv e
P e rc e n ta g e
V a lu é
T lp o _ d e _ p te z a
J 1 s e re te
no
20 SO 30
1 2 3
F ig u ra 6 .6 3 Sintaxis co m p leta de la p ro gram ació n del m odelo para el e je m p lo 6 .9 .
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
6 .6 Transporte entre estacio n es En ProM odel, el m odelado del transporte d e entidades a través de un sistem a se lleva a cabo gracias a los recursos dinám icos y a la creación de rutas de transporte. El pro ced i m iento es el siguiente: •
D efinir la ruta y sus propiedades en la ventana Path N etw ork (Build / Path NetWork).
•
D eterm inar el recurso en la ventana Resource (Build / Resource), y asociarlo con la ruta creada previam ente. Program ar en la ventana Processing (Build / Processing) la captura del recurso con la instrucción GET, el uso del recurso con las instrucciones M O VE WITH o
•
M OVE FOR, y la liberación del recurso con la instrucción FREE. Ejem plo 6.10 A l inicio del día entran 100 barriles de 200 litros a un alm acén de m aterial en proceso. Estos barriles deben ser transportados hacia un proceso d e inspección, en donde el o p e rario, llam ado Casim iro, inspecciona el producto en 5 m inutos con distribución exp o n en cial. D ebido al tam año de los barriles, un m ontacargas debe realizar el m o vim iento del producto desde el alm acén hasta dond e se encuentra Casim iro. El tiem p o de transporte es de 2 a 3 m inutos con distribución uniform e. O bserve el esquem a del problem a en la figura 6.64.
Transporte entre estaciones
I
Almacén
Casimiro
F ig u ra 6 .6 4 Esq u em atizació n del ejem p lo 6 . 1 0 .
Tom ando com o base el esquem a d e la figura 6.64, debem os: •
D efinir en la ventana Locations (Build / Locations) dos localizaciones: Alm acén y Casimiro.
•
Especificar en la ventana En titie s (Build / Entities) la entidad Barril. 241
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
•
D efinir en la ventana A rrivals (Build / Arrivals) las características d e las llegadas del Barril al Alm acén.
•
En la ventana Path N etw ork (Build / Path Network), active una ventana de edi ción para especificar la trayectoria por dond e se m overá el recurso. Al crear la ruta deberá establecer los valores de los siguientes parám etros:
G raphic. Perm ite seleccionar el color de la trayectoria, y ésta será visible o no durante la sim ulación. Si es una grúa viajera perm itirá especificar sus colores, la separación del p u e n te y la representación gráfica. Ñ am e. N om bre de la trayectoria. Type. Perm ite definir la posibilidad de rebasar dentro d e la trayectoria. Seleccione la opción Crane si la trayectoria será usada por una grúa viajera. T/S. Perm ite determ inar si el m o vim iento es con base en el tiem p o o en la velocidad. Paths. Perm ite crear y editar la trayectoria y sus nodos. Interfaces. Perm ite asociar los nodos con las localizaciones. M apping. Perm ite realizar el m apeo de destinos y rutas. N odes. Se crean autom áticam ente al crear la trayectoria.
Para crear la ruta y sus nodos siga este procedim iento:
•
Haga clic en el botón Paths de la ventana Path Networks.
•
Haga clic con el botón izq u ie rd o d e l ratón sobre el p u n to del layo u t dond e desee m arcar el in ic io d e la ruta. L u e g o hag a clic d e m anera su cesiva para d eterm in ar cam b io s de d ire cció n . Haga c lic con el botón d e re ch o d e l ratón en el p u n to d o n d e qu iera fija r un nodo. Si desea se g u ir ag reg and o nodos, rep ita el p ro ced im ie n to an terio r a p a rtir del ú ltim o no d o que haya d e term in ad o (vea la
•
figura 6.65). Defina el resto de las características de la trayectoria. Com o en este ejem plo deseam os m over el recurso de acuerdo con el tiem po, active la opción Tim e en la colum na T/S y, en la ventana d e edición Paths, establezca un tiem p o U(2.5,0.5) entre el nodo N I y N2 en la colum na Time.
242
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
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F ig u ra 6 .6 5 C reació n de la ruta del m ontacargas.
Term inado este proceso, haga clic en el botón In te rfa c e s para abrir el cuadro de diálogo que se muestra en la figura 6.66. Asocie cada nodo con su localización res pectiva: en este caso, asocie el nodo N 1 con Alm acén, y el nodo N2 con Casimiro.
III In te rfaces Nade
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L o c a tio n A ir .» c a n C a a im r o
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F ig u ra 6 .6 6 R egistre e n e ste cu a d ro d e d iálo g o la in te rfaz e n tre c a d a nodo y la lo ca liza ció n asociada.
En la figura 6.67 vem os finalizad o el proceso de creación de la trayectoria. Los círculos señalan la asociació n; en el layout ésta se identificará m ed iante una línea punteada entre e l nodo y la localización. 243
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
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Transporte entre estacio n es
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C aam ro
< F ig u ra 6 .6 7 D e fin ició n fin al de la ruta.
Para co ntinuar el m odelado del problem a: •
Abra la ventana Resources (Build / Resources) para especificar el recurso M o n ta cargas y la cantidad de unidades que co n tien e (vea la figura 6.68).
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Figura 6 .6 8 D e fin ic ió n d e l recurso M ontacargas.
244
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6.6 T ransporte e n tre estaciones |
•
Haga clic en el botón Sp ecs (identificado con un círculo en la figura 6.68) para aso ciar el recurso con la ruta. Enseguida se abrirá el cuadro de diálogo Specifications (vea la figura 6.69), en donde deberá seleccionar la ruta por la que se m overá el recurso Montacargas. En este ejem plo, la Ruta tendrá asociado un nodo que será la base del recurso; tam bién determ inarem os si cuando dicho recurso esté ocioso deberá regresar a ese punto. Asimismo, podem os especificar otras propiedades, co m o velocidad de movimiento, aceleración, desaceleración, etcétera. (En este ejemplo dichos cam pos quedan en blanco, ya que el movim iento entre los nodos se definió en función del tiem po y no en función de la velocidad.)
Specifications - Nodes Path Netwotk
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F ig u ra 6 .6 9 Esp ecificacio n es del recu rso y su aso ciació n co n la ruta.
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Cancd
Abra la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta, considere los detalles d e la figura 6.70 que consisten en la captura del recurso en el Alm acén, su m ovim iento hacia Casimiro, y su liberación final.
II' Procesa E ncicy___
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B a r r il R arri
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H I 1 M H o n r a - o i j a i 1M i S
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L Figura 6 .7 0 S egm ento d e la p rogram ació n d e la ca p tu ra , uso y lib e ra ció n d e l recurso d e n tro d el proceso.
24 5
| C a p Ătu lo 6 Instrucciones d e ProM odel__________________________________________________________________________
La sintaxis de programaciĂłn del modelo para el ejem plo 6.10 se muestra en la figura 6.71.
246
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
ProModel perm ite tam bién la construcción de sistem as de m anejo de m ateriales a través de grúas viajeras. Estos sistem as son m odelados m ediante el uso d e los m ódulos de Path NetWork y Resources. Ejem plo 6.11 En un punto denom inado bodega l , e n un patio d e m aniobras, se colocan 400 co ntene dores d e 2 to neladas al inicio del día. Estos contenedores deben ser transportados hacia dos lugares; bodega 2 y bodega 3, en donde se depositan para su posterior operación. El 40% d e los contenedores se envían a la bodega 2 y el resto a la bodega 3. D ebido a su tam año, una grúa debe realizar el m o vim iento entre las bodegas. La distancia entre la bodega 1 y la 2 es de 4 0 m etros, y entre la bodega 1 y la 3 es de 50 m etros. La velocidad de la grúa cuando viaja sin contenedor es de 50 m etros por m inuto y con contenedor es de 20 m etros por m inuto. El tiem p o para elevar el contenedor es de 4 0 segundos y para depositarlo es de 50 segundos. Este sistem a se puede o bservar en la figura 6.72.
381 C o ntened o res pen d ientes de m over
i
it t
n
Q üEB J Bodega3
F ig u ra 6 .7 2 Esq u em atizació n del ejem p lo 6 .1 1 .
Si se tom a com o base el esquem a d e la figura 6.72, debem os: • • • •
D efinir en la ventana Locatio ns (Build / Locations) tre s localizaciones: B o d e g a l, Bodega2 y Bodega3. En la ventana En tities (Build / Entities) dé d e alta la entidad Contenedor. Especifique en la ventana A rrivals (Build / Arrivals) las características de las lleg a das del C ontenedor a la Bodega 1. Para crear la ruta y los nodos, en la opción Path N etw ork (Build / Path Network), active la ventana de edición para especificar la trayectoria por donde se m overá el recurso. Al crear la ruta deberá establecer los valores de los siguientes parámetros:
G raphic. Especifique los colores, la separación del p uente y la representación gráfica de los rieles. 24 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Ñ am e. Establezca el nom bre a la trayectoria com o Red. Type. Seleccione la opción Crane. Aparecerán sobre el layout un p ar de rieles conectados por el p uente sobre el que se m overá la grúa viajera y se activará la opción Nodes. Con el ratón podrá m over y cam b iar las dim ensiones de los rieles m oviendo cualquiera de los 4 punto s extrem os. Estos punto s denom inados O rigin, R a illE n d , BrideEnd y Rail2End representan las fronteras d e m o vim iento d e la grúa. Al redim ensionar el tam año d e los rieles, las localizaciones deberán quedar dentro del área. En la ventana de edición N odes m odifique las dim ensiones d e estos punto s en la colum na Coords(R,B) para que coinci dan con las dim ensiones del sistem a, en este caso el área de m o vim iento será de 100 m etros d e largo por 50 d e ancho. Con el botón izquierdo del ratón agregue tres nodos N I, N2 y N3 dentro del área de los rieles e indique en la colum na Coords(R,B) las coordenadas de estos nodos para definir la distancia entre cada uno de ellos de acuerdo a las dim ensiones de este sistem a, vea la figura 6.73 y o bserve que la distancia entre el nodo 1 y e l2 e s d e 4 0 m etros y entre el nodo 2 y el 3 es de 50 m etros.
Path Networks P a l li s . . .
[ In le ifa te s ... |
M a p p in t;...
[N o d e s ]
A D iste
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N odes Node O r ig in
- [ r .|X
'
Layout
C o o r d s ( 11, 0 ) 0 .0 0 ,0 .0 0
R a i ll E n d
1 0 0 .0 0 , 0 .0 0
B r id g c E n d
0 .0 0 , 5 0 .0 0
R a ¡l2 fn d
1 0 0 .0 0 , 5 0 .0 0
N I
5 .0 0 ,2 5 .0 0
N2
4 5 .0 0 , 2 5 .0 0
NJ
9 5 .0 0 ,2 5 .0 0
C o n te n e d o r e s p e n d ie n t e s d e m o v e r
B odegal
Dimensiones de los rieles y coordenadas de los nodos
xw xoo< xi tfX K !
F ig u ra 6 .7 3 C reació n d e lo s rieles de m o vim ien to .
In te rfa c e s: Haga c lic en el b o tó n In te rfa c e s para a b rir el cu a d ro d e d iálo g o q u e se m u e stra en la fig u ra 6 .7 4 y a so c ie cad a no d o con su lo ca liza ció n re s p e c tiv a : en este caso, a so cie el n o d o N I co n B o d eg a 2, el n o d o N2 co n B o d e g a l y el n o d o N3 con B odega3
248
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
In te rfaces Node
Location
NI
Bodega2
N2
---------------9 Bo d eg al
N3
Bodega3 M
F ig u ra 6 .7 4 R egistre e n este c u a d ro d e d iálo g o la interfaz e n tre c a d a nodo y la localizació n a so cia d a.
T/S. Las grúas viajeras solam ente se m ueven con base en la velocidad por lo que este cam p o perm anece inactivo. Paths. Esta opción perm anecerá desactivada. M apping. Esta opción perm anecerá desactivada. Para co ntinuar el m odelado del problem a: •
‘
Abra la ventana Resources (Build / Resources) para especificar el recurso Grúa y la cantidad d e unidades que contiene es 1 (vea la figura 6.75).
Resources
F ig u ra 6 .7 5 D efin ició n d el recurso G rú a .
Haga clic en el botón Sp ecs (identificado con uno de los círculos en la figura 6.75) para asociar el recurso con la ruta. Enseguida se abrirá el cuadro de diálogo
24 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Sp ecificatio ns (vea la figura 6.76), en donde deberá seleccionar la ruta por la que se m o verá el re cu rso Grúa. En este e je m p lo , la Red te n d rá aso cia d o un no d o que será la base del recurso; tam b ién determ inarem os que cuan do dich o recurso esté ocioso deberá regresar a ese punto. Asim ism o, vam os a especificar otras pro piedades, com o velocidad d e m ovim iento, aceleración, desaceleración, etcétera.
Specifications Nodes P a th N etw afc
Red
------- 1
'*] Home:
M
N1
OflShlt
Ó-one)
B-eak
(roñe)
0 Retum Haré 1 kJe K e s o u rc e b e a rc fi •
b m t y be a re n
C losest R e30Lrce
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Least U liiz e d
S p c c d (F j I). 2 0 .2 0
M h A trib u te V M ax ¿ttnfcure i
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5 0 .5 0
S p e e d (b n p ty )
O d o s e s t E r ít y
OK
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U eceíe-ate
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P ic k n jp T m e : 4 0
S eccnd s
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S eccrids
O e o c s l T ifie
C ance l
rp m
F ig u ra 6 .7 6 Esp ecificacio n es d e l recurso y su a so cia ció n c o n la ruta.
Help
Abra la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta, considere los detalles de la figura 6.77, que consisten en la captura del recurso para transpo rtar los contenedores desde la B o d e g a l hacia Bodega2 o Bodega3, utilice la regla de ruteo probabilística, respete los porcentajes fijad os inicialm ente. Para hacer uso del recurso utilizam os la instrucción MOVE WITH G rúaTH EN F R E E y a utilizada en ejem plos anteriores. Note que en el ejem p lo no usam os la instrucción G ET Grúa e n el cam p o O p e ra tio n , lo a n te rio r se d e b e a q u e e sta in stru c c ió n e stá im p lí cita en la instrucción M OVE WITH por lo que puede ser elim inada sin ningún problem a, esto es válido tam bién para el ejem p lo anterior.
R o j l i n g f o í C o n l r .- K 'i l o r a
F ío c c s s
B odega1
O p p rm lo n
Rixtrca? Bo^gal ' f Mc a * Log c
Figura 6 .77 S egm ento d e la p rogram ació n d e la ca p tu ra , uso y lib e ra ció n d e l recurso d e n tro d el proceso.
250
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
La sintaxis de program ación del m odelo para el ejem plo 6.11 se m uestra en la figuras 6.78 y 6.79.
* a
C :\ P r o g r a m
F o m a t t e d L i s t i n g o f M o d e l: F i l e s \ P r o M o d e l \ M o d e l s \ E je r i p l o 6 1 0 .n o d
* *
a a a a a a o a a s a d t t a a a a a s a B B o a a t t a a a a a a a a a a a o a o a ía a o t t Q t t a a a a n a o a a s a o n a s a s o a a a o a a a n a fr o a o a
T im e U n i t s : D is t a n c e U n it s :
M in u t e s M e te rs
L o c a t io n s
Ñame
C a p U n it s S t a t s
Bodegal Bodega2 Bodega3
in f 1 in f 1 in f 1
R u le s
T im e S e r i e s O l d e s t , T im e S e r i e s O l d e s t . T im e S e r i e s O l d e s t .
*
C o st , , .
E n t it ie s
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S p e e d (mpfTi)
C o n te n e d o r 1 5 0
S ta ts
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T im e S e r i e s
P a th N e tw o rk s
-
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Ñame
Type
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C ra n e Speed & D is t a n c e O r ig in R a illE n d Uni O r ig in B r id g e E n d U n i B n d g e E n d R a il2 E n d Uni
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Speed F a c t o r
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Node
L o c a t io n
C o o rd s (R . B)
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NI N2 N3
Bodega2 Bodegal Bodega3
5 .0 0 . 2 5 .0 0 45.00. 25.00 95.00. 25.00
F ig u ra 6 .7 8 Prim era p arte d e la sin taxis d e l m o d elo para el e je m p lo 6 .1 1 .
251
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
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R e so u rc e s
Ñame
U n it s S t a t s
G rú a
1
Res S e a rch
B y U n it
Ent S e a rc h P a th
M o tio n
C l o s e s t O ld e s t Red Home: M I (R e tu rn )
C o st
E n p ty : 5 0 . 5 0 npn F u l l : 2 0 . 2 0 mpm P ic k u p : 4 0 Seco nd s D e p o s it : 50 S eco n d s
s a a * s a a a s s f t * s * * 4 4 a s a a a 4 s s 4 S 4 * 4 3 i± 4 s 4 a 4 a 4 4 ± a s s a a s a ± a a s s 4 a t s f t a is ± a 4 t t ± a » a s M s * s a s 9 4 a
P r o c e s s in g
* R o u t in g
P ro c e s s E n t it y
L o c a t i o n O p e r a t io n
C o n te n e d o r B o d e g a l
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D e s t in a t io n
1
C o n te n e d o r B o d eg a2
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C o n te n e d o r E X I T C o n te n e d o r E X IT
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M ove L o g i c
0 .4 0 0 0 0 0 1 MOVE G rú a THEN 0 .6 0 0 0 0 0 MOVE G rú a THEN F IR S T 1 F IR S T 1
C o n te n e d o r B o d eg a3
C o n t e n e d o r B o d eg a2 C o n t e n e d o r B o d eg a3
R u le
W ITH FREE WITH FREE
A r r iv a ls
E n t it y
L o c a t io n Q ty Each
C o n te n e d o r B o d e g a l
400
F ir s t 0
T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y IN F
L o g ic
1 day
F ig u ra 6 .7 9 S eg u n d a p arte d e la sin taxis del m odelo p ara el ejem p lo 6.11.
6 .7 Instrucciones de control En ProM odel se puede hacer uso d e algunas instrucciones de co ntro l con el propósito de to m ar decisiones. Estas instrucciones se pueden clasificar en decisiones, cuando uno o m ás blo ques d e código d e program ación son ejecutados en función de cierta condición, o en ciclos, cuando una o m ás instrucciones son ejecutadas repetidam ente hasta que cierta condición sea verdadera. A continuación se resum en las instrucciones de control disponibles en ProM odel. Instrucción IF-THEN-ELSE La instrucción IF-THEN-ELSE, cuya sintaxis general es: IF <Condición> THEN {acción 1} EL S E {acción 2} y su propósito es que el program a ejecute la acción 1 si la Condición es verdadera y la acción 2 si es falsa.
252
6.7 Instrucciones de c o n tro l |~1
Ejem plos: IF Tipo=1 THEN {W A IT5 m in } ELSE {W A IT IO m in } IF RAND(1)<=0.95 THEN {INC BUENAS} ELSE{IN C M ALAS} IF Prod=1000 THEN {STOP} IF CLOCK(H)<=8 THEN {RO UTE 1} ELSE {ROUTE 2} IF CONTENTS(Fila)<=5 THEN {W AIT E(4) m i} ELS E {W A IT E(1) m in} Instrucción W HILE-DO La instrucción WHILE-DO, tien e la siguiente sintaxis general: WHILE <Condición> D O {acciones} y causa que el program a ejecute las acciones m ientras la Condición sea verdadera, si la Condición es falsa las acciones no se ejecutan. Ejem plos: W HILE CONTENTS(Fila)<=10 DO {W AIT 10 m in} W HILE CLOCKO<=480 DO {INC A,2} Instrucción DO-W HILE La instrucción DO-WHILE, cuya sintaxis general es D O <acciones> W H ILE {Condición} causa que el program a ejecute las acciones m ientras la Condición sea verdadera. Este ciclo será ejecutado al m enos una ve z y posiblem ente en m ás ocasiones. Ejem plos: DO {W AIT 10 m in} W HILE CONTENTS(Fila)<=10 DO {W AIT 10 m in INC CICLO,1} W HILE W IP=10 Instrucción G O TO La instrucción GO TO, con la sintaxis general: G O T O <etiqueta> envía la ejecución del program a al b lo q u e d e instrucciones q u e inician co n la dirección m arcada en etiqueta.
253
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Ejem plo: IF W IP>10 THEN GOTO LIN EA4 W AIT4 m in LINEA4: WAIT 2 m in Instrucción WAIT UNTIL La sintaxis general d e la instrucción WAIT UN TIL es: WAIT UNTIL <Condición> y detiene el flujo de una entidad en una localización hasta que la Condición sea verdadera. Ejem plos: W AIT UN TIL CONTENTS(ALM)<10 WAIT UNTIL CLOCKO>320 min W AIT UN TIL PIEZAS=100 Ejem plo 6.12 El proceso d e m anufactura que se ilustra en la figura 6.80 consta de 1 rectificadora y un alm acén donde las piezas esperan antes de ser procesadas. Los tiem po s de proceso son de 10 y 8 min/pieza para la pieza tipo 1 y tipo 2, respectivam ente. El tiem po entre arribos de la pieza tip o 1 a este proceso es de 12 m in/pieza con distribución Exponencial, y el d e la pieza tip o 2 es de 14 m in/pieza con distribución Expo nencial. Sim ule el proceso.
L a y o u t - S tu d e n t V e rs ió n
WIP
00000
A lm a c é n
254
R e c t ific a d o r a
F ig u ra 6 .8 0 Esq u em atizació n del proceso d e rectificado.
6.7 Instrucciones de c o n tro l |~1
•
Para em pezar, definirem os las localizaciones Alm acén y Rectificadora en la ventana Locatio n s (Build / Locations). Especifiq ue la capacidad d e dichas localizaciones com o se m uestra en la figura 6.81.
*
Lo catio ns Ñame
Icón
♦ £
Cap.
Units
Almacén
infinite
1
Rectificadora
1
1
F ig u ra 6.8 1 D efin ició n de ca p acid ad d e la s lo calizacio n es.
•
Defina la entidad Pieza en la ventana En tities (Build / Entities), co m o se m uestra en la figura 6.82.
•
E n tit ie s Icón
Ñame
Speed (fpm)
Pieza
150
F ig u ra 6 .8 2 D e fin ició n d e la e n tid ad .
•
Defina el atributo Tipo en la ventana A ttributes (Build / Attributes), com o se m uestra en la figura 6.83.
A A ttrib u te s ID Tipo
Type Integer
Classification Ent
Figura 6 .8 3 D e fin ició n del a trib u to .
25 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
A continuación program arem os las llegadas d e cada Pieza al Alm acén. Abra la ven ta na A rriv a ls (Build / Arrivals) y especifique los parám etros q u e se m uestran en la figura 6.84, defina en el cam p o Lo gic el valo r del atributo Tipo correspondiente a cada tip o de pieza.
r< A rriva ls
[2
Entity...
Location...
Pieza
Almacén
Pieza
Almacén
Qty Each.. First Time... ............................ 0 1 _______________ l 1 0
Occurrences
Frequency I Logic..
INF
E (12) min
Tipo = 1
INT
C (14) min
Tipo = 2
Figura 6 .84 Entrada de m a te ria p rim a {Pieza) a l p unto inicial d e l p ro ceso {Alm acén).
u j . P ro ce ss [ Entity...
[2] ]
L o c a tio n .
_ :
O peration. ___________________________________
_____ ____ A
I Pieza
Almacén
I Pieza
Rectificadora 1J F T Íp o = 1 THEN { W A IT10 >E L S E (W A IT 8 j)
Routing for Pieza & Rectificadora Blk 1
X
D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta de p ro ducción de las piezas a través de la rectificadora (vea la figura 6.85).
□
•
[ Output.. J[_ Destination... J Rule... Pieza | EXIT FIRST 1
______________________________________ n i B B f g )
— Move Logic ^ ^tFENJRIES( Rectificadora) > 800 THEN { ST0PJ_J* ----------- ------------------------------
V
I
R g u ra 6 .8 5 Pro g ram ació n del p ro ceso e n la rectificad o ra para c a d a tip o d e pieza.
Com o puede ver en la figura 6.85, en el cam p o O peration aparecen las instrucciones d e control IF-THEN-ELSE con el propósito de asig nar el tiem p o de rectificado a las piezas en función del tip o de pieza que le fue asignado previam ente en la ventana A rrivals, y en e l cam p o M ove Logic se utilizan las instrucciones d e control con fin de term inar la sim u lación del sistem a cuando el núm ero d e piezas que hayan entrado a la rectificadora sea m ayor de 800 piezas. La sintaxis de program ación del ejem p lo se m uestra en la figura 6.86:
256
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
F o rm a tte d
T im e
L ls tln q
u n its :
o f M o d e l:
M in u te s Feet
D ista n ce Uní e s: •
♦
L o c a tio n s
Ñ am e
C ap
U n its
S ta ts
R u le s
A lm a c é n R c c t if ic a d o r a
in fin ite i
1 1
T im e S e n e s T im e S e r i e s
O ld e s t. O ld e s t.
C ost , ,
*
E n ti tie s
Ñ am e
Speed
P ie z a
150
(fp ra )
c o st
S ta ts T im e s e r l e s
•
•
P r o c e s s in g
R ro c e s s E n tity
L o c a c ió n
Fiera
A lm a c é n R e c tific a d o r a
P ie z a
o p e r a t io n
I F T ip o - 1 TH E N { W A IT 1 0 E L S E { W A IT 8
»
R o u t in g B lk
O u tp u t
O e s t in a tio n
R u le
M ove
1
P ie z a
R e c tific a d o r a
F IR S T i
> } 1
P ie z a
E X IT
F IR S T
L o g ic
1 IF E N T R iE S ( R e c t ific a d o r a ) > 8 0 0 TH E N { STO P >
A r r iv a ls
e
t s t f C s s í r t s M í í i s s t r f t s í r e s t t ü S í S f t t s s t r e i r r s s s s í í s s í l t s s s f r t s s s e s s s í í r i s s t e t f f
E n tity
L o c a tio n
Q ty E a c h
F i r s t T im e O c c u r r e n c e s
F re q u e n c y
P ie z a P ie z a
A lm a c é n A lm a c é n
1 1
O O
E f 12 E ( 14
TNF IN F
) )
m in m in
A ltr ib u te *
10
Type
c ia s s lflc a t lo n
T ip o
in te g e r
E n tity
L o g ic T ip o T ip o
-
1 2
*
F ig u ra 6 .8 6 Sin taxis co m p le ta d e la p ro g ram ació n para el e je m p lo 6 .1 2 .
6 .8 O ptim ización con Sim runner Introducción Una d e las razones por las cuales se desarrollan m odelos de sim ulación es por la necesi dad d e optim izar el sistem a d e estudio. La optim ización es el proceso de evaluación de diferentes com binaciones de valores d e un conjunto de factores que puedan ser contro lables con el fin de encontrar aquella com binación que logre obtener el m ejo r d e los resultados del sistem a. En un proceso de optim ización surgen preguntas tales com o "¿Cuál es el núm ero óptim o de m áq uin as que se deben instalar para m axim izar la produc ción por hora?" "¿Cuántos operarios debem os de asignar a cierto departam ento para m inim izar el inventario p ro m ed io de piezas?". En estos ejem plos podem os distinguir a los
25 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
operarios y las m áq uin as com o los facto res o variables controlables y la producción por hora o el inventario prom edio com o la m edida de rendim iento que nos perm ite seleccio n ar la m e jo r d e las alternativas evaluadas. La búsqueda de la m ejo r solución puede ser llevada a cabo en form a m anual o autom ática a través del uso de algoritm os específica m ente diseñados para la búsqueda de una solución sin la necesidad d e evaluar todas las posibles soluciones. ProM odel incorpora la herram ienta Sim Runner con el fin d e facilitar el proceso d e optim ización. Sim Runner utiliza un algoritm o evolutivo que pertenece a un conjunto de técnicas d e optim ización conocidas com o "Técnicas d e Búsqueda Directa", las cuales se han diseñado para encontrar los valores óptim os para las variables de decisión de un sistem a con la finalidad de m axim izar o m inim izar las m edidas de interés de dicho sistem a. La relación entre el ProModel y el Sim Runner se puede visualizar com o un sistem a cerrado con retroalim entación en el cual el m o d elo de sim ulación se ejecuta en ProModel co n alguna de las com binaciones posibles d e las variables d e decisión, d e esta ejecución se obtiene el resultado de la variable de salida, que sirve com o inform ación d e entrada al algoritm o de optim ización que reside en el Sim Runner y que perm ite generar una nueva com binación d e valores de las variables d e decisión para ejecutar el m od elo nuevam ente e ir en form a iterativa en busca d e la m ejo r com binación de valores (vea la figura 6.87).
F ig u ra 6 .8 7 R elació n e n tre el ProM odel y el Sim Runner.
Sim Runner A l conducir y analizar un experim en to m ediante Sim Runner se deb e de construir y ejecu tar un proyecto. En cada proyecto Sim Runner utiliza un algoritm o d e búsqueda para encon trar sim ultáneam ente valores óptim os para m ú ltip les variables de decisión. Para cada proyecto se deb e crear un m odelo d e sim ulación, identificar los facto res a m odificar y defin ir la función o b jetivo con la que se m edirá el rendim iento del sistem a. Para llevar a cabo este procedim iento se deben seguir los siguientes pasos:
Paso 1. C rear un m o d elo en ProM odel estadísticam ente vá lid o y representativo del siste m a a optim izar. Paso 2. Seleccionar las variables d e entrada o factores que se desean analizar para encon trar su valor óptim o. Estas variables son generalm ente aquellos parám etros que pueden ser ajustados por el usuario, tales com o el núm ero de m ontacargas a asignar, el núm ero de operarios a contratar, el núm ero de tarim as a com prar o el precio d e venta de un pro258
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
ducto. En este punto se deberá crear en ProM odel una M acro para cada uno d e estos factores. Paso 3. Cada facto r estará representado por una M acro y para cada una d e ellas se define e l tip o d e dato (real o entero), su lím ite inferior (el valo r m ás peq ueñ o posible a analizar) y el lím ite superior (el valo r m ás alto posible que se desee analizar). La cantidad d e facto res y el rango d e valores que puede to m ar cada uno afecta d e m anera directa el espacio d e búsqueda o núm ero d e posibles soluciones del problem a, por ejem plo, si se desean analizar tres factores cada uno con cuatro po sibles valores, el espacio de búsqueda será de 81 com binaciones, pero si cada uno de los facto res requiere de cin co valores, entonces e l espacio de búsqueda será de 243 co m binaciones. Increm entar el núm ero de factores o su rango hará m ás difícil y m ás tardada la búsqueda del óptim o. Es im po rtante seleccio n a r sólo aquellos facto res que afecten de form a significativa las variables de respuesta. Paso 4 . Construir en Sim Runner la función objetivo para m ed ir la utilidad d e cada co m bi nación d e factores. Esta función o b jetivo se construye por m edio d e los térm ino s del reporte de salida generado al fin alizar una corrida de sim ulación. Por ejem plo, la función o bjetivo puede estar basada en las estadísticas de las entid ades (entities), las estadísticas de las ubicaciones (locations), las estadísticas de los recursos (resources), etcétera. Al diseñar la función o b jetivo se deb e especificar si se desea m inim izar (Min), m axim izar (M ax), o lograr un objetivo determ inado (Target). Para crear la función o b jetivo se debe pen sar en térm ino s de Program ación por M etas en donde podem os ten e r un objetivo d ividid o en varias m etas, cada una con cierta ponderación. Por ejem plo, podem os tener en un sistem a com o prim er objetivo o m eta la de m inim izar el inventario de piezas y un segundo o b jetivo que puede ser m axim izar las producción por hora. Cada uno de ellos d eb e d e estar acom pañado por un facto r d e im po rtancia relativa. Paso 5. Seleccionar en Sim Runner el perfil de optim ización (optim ization profile) y com en za r la búsqueda d e la com binación óptima. Existen tres perfiles d e optim ización: agresivo, m oderado y cauteloso. La selección de cada uno de ellos afecta el núm ero de soluciones que el algoritm o de optim ización va a evaluar. El perfil agresivo evalúa una m enor canti dad d e com binaciones que el cauteloso antes d e detenerse. En form a general se puede decir que a m ayor cantidad de soluciones evaluadas m ayor probabilidad d e encontrar la mejor, y m ayo r el tiem p o requerido para llevar a cabo la búsqueda d e la solución. E je m p lo 6.13 A un estadio llegan aficionados con un tiem p o entre arribos de 2.5 m inutos con d istrib u ción Expo nencial. El tiem p o d e viaje desde la entrada hasta las taq u illas está no rm alm en te distribuido con una m edia de cuatro m inutos y una desviación estándar de 0.75 m inutos. Frente a las taquillas, los aficionados esperan en una fila hasta que uno de los cajeros esté d isp o nib le para atend erlos. El tie m p o para com prar los bo leto s es exp o n en cial con una m edia de cinco m inuto s. D espués de com prar los boletos los visitantes se dirigen hacia las puertas d e acceso para entrar al estadio. Se desea crear un m o d elo de sim ulación para determ inar el núm ero m ínim o d e taq u illas a ab rir con el objetivo de que los aficionados esperen en prom edio m enos d e 1 minuto. 25 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel________________________________________________________
Sim ule el proceso para atender 100 aficionados (vea la figura 6.88).
F ig u ra 6 .8 8 Proceso d e ve n ta de boletos.
•
Com o prim er paso, se dará de alta una M acro que representará el facto r que deseam os optim izar. Para este problem a, el facto r es el núm ero d e em pleados a contratar para la venta de boletos. Iniciarem o s co n un valo r d e 3 em pleados pero se hará una búsqueda del óptim o en el rango de 1 y 15 em pleados. Definirem os la M acro Em pleados en la ventana M acros (Build / Macros). En el cam p o Text se dará el valor inicial de 3 y en el cam p o O p tio ns seleccionarem os Scenario Param eter/D efine especificando en la ventana d e diálogo el rango de valores de 1 a 15, co m o se m uestra en la figura 6.89.
Id Macros
1 EMPLEADOS
11] I= _ il3 jl2 < i| Options
W
S c e n a rio P a r a m e t * —
Param eter d e fin id o r to r LMPLLADüS
'
Layout
|
P a ra meter Ñ am e P íw n p l.
OUnfMnrteri mrt O
R e c o rd R aoq e
®
N um coc
Fig u ra 6 .89 D e fin ició n d e la Macro.
260
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
Enseguida definirem os las localizaciones Entrada, Fila y Taquilla en la ventana Locatio n s (Build / Locations). Especifiq ue la capacidad d e dichas localizaciones com o se m uestra en la figura 6.90, o bserve que el valo r num érico en la localización Taquilla se sustituye por la nom bre d e la M acro Em pleados, de esta form a p o d re m os ejecutar el m o d elo con los diferentes valores, en este caso el valor actu al de la M acro es 3.
Ñame
Icón
m
i m
iimiiiiii X
Cap.
ENTRADA
U nits
1 __________ __ 1
FILA
/ INFINITE
TAQ UILLA
\ EMPLEADOS
D Ts... None None None
p
Figura 6 .9 0 D e fin ició n d e ca p a cid a d d e la s lo calizacio n es.
D efina la entidad A ficionado en la ventana En tities (Build / Entities), com o se m uestra en la figura 6.91. • Entities Ñame
II
Speed (fpm)
AFICIONADO
150 Figura 6.91 D efinició n de la e n tid ad .
A continuación program arem os la llegada de cada A ficionado a la Entrada. Abra la v e n ta n a A rriv a ls (Build / A rriv a ls) y e sp e c ifiq u e lo s p arám e tro s q u e se m u e stran en la figura 6.92. ^ Ai livals F n li t y . . . A F IC IO N A D O
][
I tx a tio n ... ENTRADA
Q t y E a c h ...
1
F ir s t lim e . . .
0
O c c u rre n c e s
100
F re q u e n c y E (2 .S ) m ln
Figura 6 .9 2 Entrada d e e n tid a d e s (A ficionado) a l p u n to inicial del p ro ceso [E n trad a).
•
D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta d e los aficionados por las taq u illas del estadio, (figura 6.93). Routing i : t ATICIONADO u ENTRADA fn tity...
II location
AFICIONADO j fNTRADA
AfICIONAOO
Opet.Hlon A f l f IONADO
HRST1
TAQUILLA
Fig u ra 6 .93 P rogram ación d e l proceso in clu ye n d o tie m p o s d e traslado.
261
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
El núm ero d e aficionados que serán atendidos durante la ejecución del m o d elo no necesariam ente asegura que los resultados lleguen a estado estable, por lo que para cada escenario se harán 30 réplicas. Para esto entram os al m enú S im u la tio n /O p tio n s y en la ventana de diálogo correspondiente dam os de alta el valo r de 30 en el cam p o N u m b e r o f re p lic a tio n s : una ve z hecho esto se procede a guardar y ejecutar el m odelo, con el fin d e corregir cualq uier error antes d e iniciar con la optim ización. En el m enú File/View Text podem os visu alizar la sintaxis del ejem p lo, el cual deb e ser sim ilar al d e la figura 6.94:
. • *
.............
■ ........ .................................................................. F o rm a tte d L i s t i n g o f M o d e l: C :\ P r o g r a m F ile s \ P r o M o d e l\ M o d e ls \ L ib r o V2 E je m p lo s \ E ;je m p lo 7 1 . mod
T im e u n i t s : D is t a n c e u n i t s :
M in u te s Feet
*
o
L o c a t io n s Ñame
Cap
u n it s S t a t s
en trad a
i
i
F IL A T A Q U ILLA
in f in it e
i
EMPLEADOS l
R u le s
T im e s e r i e s o l d e s t . T im e s e r i e s o l d e s t . T im e S e r i e s O ld e s t ;
*
C o st . . F ir s t
f if o
,
* • B » • *>» m *»
E n t it ie s Ñame
sp e e d (fp m )
AFICIONADO 1 5 0
sta ts
co st
T im e S e r i e s
-
*
P r o c e s s in g P ro c e s s E n t it y
e *
L o c a t io n o p e r a t io n
R o u t in g
B lk
O u tp u t
D e s t i n a t i o n R u le
AFICIO N ADO ENTRADA
1
AFICIO N ADO F I L A
F IR S T 1
AFICIO N ADO F I L A AFICIONADO TA Q U ILLA W AIT E ( S ) MIN
1 1
AFICIO N ADO 1AQU1LLA AFICIO N ADO E X I T
F1KSI 1 F IR S T 1
Move L o g ic MOVE FOR N ( 4 ,0 .7 5 )M IN
« * A r r iv a ls ; - í : í í f ; : t í ; í * f ; ; í ; : : í ; ; í í - ; ; - í ; t ; r : í í í : í í r : ; í ; ; ; í í : i * ; ; í f ; ; ; í t ; t - ; ; 5 í í ; í AAAAAAA E n t it y
L o c a t io n Q t y E a c h
AFICIO N ADO ENTRADA
1
F i r s t T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y 0
100 M acro s
ID
Text
EMPLEADOS
3
Figura 6 .9 4 Sintaxis d el e je m p lo 6.13.
262
L o g ic
E ( 2 . S ) m1 n *
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
Para optim izar el m o d elo vam os a ejecutar el Sim Runner desde el m enú Sim ulation / Sim ru n ner y debem os ir siguiendo las instrucciones que se presentan en la pantalla, en ocasiones h ay qu e ser p acientes ya que este proceso puede tard ar varios m inutos. En caso d e ten e r la versión estudiantil aparecerá una ventana d e inform ación en la cual se indica el núm ero m áxim o de experim entos que podrán realizarse en la búsqueda del óptim o, en la versión incluida en este libro el núm ero m áxim o es 25. Cuando aparece la pantalla m ostrada en la figura 6.95 estarem os ya dentro del Sim runner. En esta prim era ventana se dará de alta un nuevo proyecto, y por default se hará co n el m odelo que se encuentre activo. Tam bién es posible ejecutar proyectos realizados anteriorm ente.
Saladnr<M'r*r|f“r«
A (pirn?*W ciV *
M odal
S e tu p Pr otee!
Creóte nev» projed
D x n o o s t n g proycct
S d e d model D e i m c b e e 'iv e í
|c ''ífe g r a -n f f c i 'o r o n o
S e te d p r o jc d [ ____ |
Detne ¡opute
<
Ne*
F ig u ra 6 .9 5 V en tan a inicial del Sim runner.
Avanzam os a la pantalla siguiente con el fin d e crear la función objetivo, para este ejem p lo el objetivo es m inim izar el tiem p o prom edio de espera de los aficionados en la fila, y esta varia b le puede ser localizada dentro del ProM odel com o AVG TIM E/ENTRY asociada a la localización fila. En la ventana q u e se m uestra en la Figura 6.96 selecciona m os Lo catio ns y FILA-Ave Tim e/Entry y m ediante los botones circulados se arm a y actu a liza la función objetivo, la cual debe quedar activada en la ventana central, tenga cuidado de actualizar el tip o de o b jetivo a lograr (M in, M ax, Target). Es posible dar de alta varias fu n cio n es objetivo y a cada una de ellas les puede asig nar un peso relativo a las dem ás utilizand o el cam p o Weight. En este caso sólo tenem o s un objetivo, por lo que no se hará uso de este cam po. La función objetivo, entonces, deberá leerse com o: Location Min 1*FIL A - Avg Tim e/Entry.
263
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
SimRimiw S*IV «w
9
trafcccKc*)
COTCíMoO*
F ig u ra 6 .9 6 V en tan a para cre a r la fu n c ió n o b jetivo .
Avanzam os en el proceso con el botón N e x t y ahora tend rem o s que seleccionar aquellos factores que el Sim runner podrá m odificar para lograr la función o bjetivo. La figura 6.97 m uestra esta pantalla en dond e se puede actualizar inform ación con respecto a los rangos y valores d e los factores seleccionados sin necesidad de ir al m odelo original a m odificar los valores de las Macros, sin em bargo, hay que tener en cuenta que m odificar los valores d e las Macros en este punto no m odifica los valores originales del m odelo, sólo se hace para este experim ento. La figura 6.97 m uestra la pantalla fin al después d e haber m anipulado la inform ación, los factores activo s del experim ento deberán quedar activa dos en la pantalla central, para este ejem plo: E M P L E A D O S D e fa u lt = 3 .0 0 Lo w e r= 1 , U p p e r= 1 5 .
F ig u ra 6 .9 7 V entana para seleccionar los factores.
264
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
Una v e z hecho esto avanzam os a la sig uiente pantalla en donde verificam os que las condiciones acerca de la longitud de la corrida, el núm ero d e réplicas y el nivel d e co n fianza sea el adecuado. En este caso para poder seguir avanzando tendrem os que asignar un tiem p o d e sim ulación, valo r que no se dio de alta en el m odelo original ya que se quería controlar por núm ero d e aficionados. Cada usuario puede dar de alta el valor que co nsid ere fa ctib le para que puedan ser atendidos 100 aficionados, en este caso se selec cionaron arbitrariam ente 200 horas.
r* cc^s -e*> O p íii-e M o d r
A /o í/íc M c d r1
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F ig u ra 6 .9 8 V en tan a para seleccio nar los p arám etro s de e je cu ció n d e la sim ulación.
A p a rtir de la pantalla m ostrada en la figura 6.98 saltarem os 2 pantallas, las cuales en este m om ento no son d e utilidad para el análisis del problem a p ero se invita al lector a que exp erim en te con los diferentes valores que se encuentran allí. En una prim era instan cia se recom ienda seguir estos pasos para llegar hasta la pantalla que se m uestra en la figura 6.99, en la cual al oprim ir el botón Run activará el proceso de optim ización. « in R u n o o r rt-
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F ig u ra 6 .9 9 V en tan a para la e je cu ció n de la sim u lació n .
26 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
En este proceso se ejecutarán los diferentes escenarios y al fin alizar cada uno se irá actualizando la p antalla y se indicará el núm ero d e l experim ento, el valor de la función objetivo y sus lím ites de confianza superior e inferior, así com o la com binación de valores de los facto res an alizad o s. El resu ltad o d e cad a e xp e rim e n to se verá en p an talla en orden de m ejo r a peor.
SimRurmtM Untitli-d rte
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-138.605
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-
< Hwl>
hbevMis
F ig u ra 6 .1 0 0 V en tan a d e resultados.
Para este ejem p lo podem os o bservar el resultado fin al en la figura 6.100 en dond e el o bjetivo de que los espectadores esperen m enos de 1 m inuto en prom edio ocurre cuan do el núm ero d e em pleados es m ayo r o igual a 4 . Si asignam os 4 em pleados podem os esperar en la fila 0 .774 m inutos equivalente a 4 6 .4 4 segundos, con lím ites entre 0.489 y 1.059 m in con un intervalo d e confianza del 95% . E je m p lo 6 .1 4 Considerem os ahora el m ism o sistem a descrito en el ejem plo 6.13 pero deseam os deter m inar el núm ero d e taquillas a instalar en función de un objetivo diferente. Si en este caso tenem o s que el costo por hora d e instalar cada taquilla es de $300/h y el costo d e espera por cada aficionado se estim a en $15/h, podem os plantear com o nuevo objetivo: en co n trar el núm ero óptim o d e taq u illas que m inim icen el costo del sistem a. El m odelo en ProM odel es idéntico al desarrollado anteriorm ente, el único cam bio es en la definición de una nueva función objetivo la cual es: M in 266
costo
=
300*(cantidad
de
taquillas)
+
75*(aficionados
en
espera)
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
Y la función objetivo se m odifica en las ventanas de diálogo del Sim runner, por lo que ejecutam os nuestro m odelo de Prom odel siguiendo los pasos del ejem p lo 6.13 hasta lle g a ra la ventana que se m uestra en la figura 6.101 en dond e com enzarem os a form ar la nueva función objetivo:
SimRunn<*r - U n H lle d Te
O pw o
lie'p
Q
Cp*mícMiMcl
M«Je"
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Pofcmaoce Meques Fe3Dcrse cal©3}*v Detre -<x*¡
----------------- j a locMon M jbC aa Loceticn EfUy Resouice Vntabto ¿JttfCoilu y j> u d cn Costino Escorce Co«tng
S M IO flM tS IC a
)
vi
Ü|
_J F e *w i r
v ric O d f j otqedlre
Uoratel <■M* r fVi r largaRango
Wojtí 1 F ig u ra 6.1 0 1 V en tan a para edició n d e la fu n ció n objetivo.
En esta nueva función necesitam os dar d e alta el núm ero prom edio de aficionados que perm anecen en fila y su costo, por lo cual, en la ventana de la figura 6.101 seleccio nam os Locations y FILA-A verage C ontents y m ediante los botones centrales se arm a y actualiza la función objetivo, que debe quedar activada en la ventana central, al actualizar e l tip o de o b jetivo en m inim izar (M in) y agregar en el cam p o W eight el valor de 15. Enseguida requerim os agregar el núm ero d e taq u illas a instalar y su costo, para esto seleccionam os en la ventana superior la variable Locations Taquilla-Capacity, n o olvide que la M acro EMPLEADOS está asociada en el m odelo con la capacidad d e la localización Taquilla, en este caso el o b jetivo tam b ién es m inim izar (M in) y agregam os en el cam po W eight el valor de 300 para fin alm en te actualizar con los botones centrales. Al fin alizar este proceso, en la ventana central m ostrada en la figura 6.102 tendrem os la función dividida en dos renglones: Location Min 1 5 * F IL A - A verag e Contents Location Min 300*TAQ U ILLA - Capacity
26 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
AratyitMpM
St*.pF ocd
l
Moe-I
------------------------------
SAlir.-.WWíi 0«lr4cCyKDm
IVAmr»Vto»«rae
D e fin e r c u :
V f a g M |3 Ó 5
PlfVOWi
F ig u ra 6 .1 0 2 Fun ció n o b jetivo para m inim izar co sto s.
|
Al ser éste el único cam bio, continuam os con los pasos restantes de form a sim ilar q ue en el ejem p lo 6.13 y al fin al del proceso llegam os a la tab la d e resultados m ostrada en la figura 6.103 en donde podem os visualizar que el costo óptim o de la función objetivo es de $667.5 /h y qu e el núm ero óptim o de em pleados a contratar es solam ente de 1, lo que ocasiona una fila prom edio de 24.5 aficionados. Podem os analizar este m odelo si fijam os un costo diferente para la espera d e los aficionados. P c rfo n ra n c o V e a tu m Pie*
J p n r w M e te
6X 0 7 O CO
Figura 6.103 Solución al eje m p lo 6 . 14.
268
6.9 Caso in te g ra d o r 1 |
Podría ser interesante hacer un análisis de sensibilidad de este m odelo para determ i nar la influencia que tien e el costo d e espera de los aficionados en el núm ero d e em plea dos a contratar. Por ejem plo si repetim os el experim ento pero con $30/h de espera, el resu ltad o ó p tim o sería d e 2 em p le ad o s con un co sto por hora d e $ 7 67.4, y si fijam o s el costo de espera en $60/h, se m antiene el resultado en 2 em pleados pero con un costo total d e $934.85/h. Si aum entam os e n un últim o experim ento el costo de espera a $ 100/h, al ejecutar el Sim runner obtendrem os el resultado m ostrado en la figura 6.104, donde el costo óptim o total por hora es d e $980.7 con un núm ero óptim o de em pleados d e 3.
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P e rfo rm a n ce M oasuros Plot
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F I I A : A v e r a n e C o n te n t a
|T A Q .,!1 1 A C Q j o t y
|fH A
5 181
12 .3 0 3
2 3
•1 2 3 1 .5 5 3
0 316
4 .3 0 3
4 3|
|
11
15 1 1 . « 6
0 11*
5 .9 0 3
5 3:
;
9
1 8 M .3 »
0094
6 .3 0 3
6 .3
2
1S
-7 1 M .6 9 6
0 C87
7 .3 0 3
73
1
- 7 4 0 H .W
0 CM*
8 .3 0 3
8 0
7
-2 7 0 8 .3 3 6
0083
9 .3 0 3
9 - O j» ,
j:
lie*
F ig u ra 6 .1 0 4 A n álisis d e se n sib ilid ad del e je m p lo 6 . 1 4 .
6 .9 Caso integrado r 1 Una em presa fabricante d e h ilo p o lié ste r tien e 50 m áquinas estirotorcedoras en su depar tam en to de estiraje. El índice de producción anual es de 90,000 toneladas, el cu a l n o se está log rando debido a fallas en los m otores de las estirotorcedoras. Cada m áq uina tien e un m otor que está su je to a d escom p osturas al azar, cu a n d o un m otor se d e sco m pone se reem plaza por otro d e repuesto inm ediatam ente o cuando haya uno disponible. El m o to r descom puesto se envía al taller de m antenim ien to y una vez reparado se co n vie rte en un m otor d e repuesto. En m antenim ien to hay dos áreas, una d e ellas es d e capacidad para 100 m otores y perm ite qu e los m otores que n o puedan ser reparados d e inm ed iato esperen en ese lugar hasta que se desocupe alguno de los m ecánico s y la segunda e s donde los m ecánicos hacen la reparación. La distancia que hay entre estiraje y el área d e espera de m otores antes de ser reparados es de 55 m etros, entre el área de espera y el área de reparación hay 26 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
5 m etros, entre reparación y el área de reserva hay 40 m etros y la distancia entre el área d e reserva y estiraje es 20 m etros. Los datos de la tabla 6.2 son una m uestra histórica d e 50 reparaciones.
Tabla 6.2 Tiempo de reparación (horas). 36.80
48.97
51.15
1.96
49.01
2.86
36.02
58.82
11.70
40.82
26.46
50.62
4.32
78.01
7.37
3.07
5.67
14.70
60 .5 8
51.81
38.70
167.87
26.66
25.96
29.21
118.13
7.89
82.53
29.19
37.03
22.80
111.58
112.10
4.75
9.92
82.83
32.07
85.53
69.27
18.73
198.88
25.53
27 .4 6
16.73
39.86
27.28
41 .2 6
65.79
10.33
59.38
En la tabla 6.3 se tien en los datos históricos del tiem po que transcurre desde que un m otor es instalado en la estirotorcedora hasta que sufre una descom postura.
Tabla 6.3 Tiempo de operación de los motores (horas). 437.65
80.59
355.57
141.20
182.59
98.34
263.45
294.31
97.82
200.28
378.73
130.09
311.03
87.93
195.97
264.56
78.37
80.63
48.07
318.78
143.89
324.54
343.22
118.70
191.50
6 5 .0 6
134.71
183.02
208.03
119.89
330.00
140.07
111.64
147.79
157.34
203.86
121.53
70.51
109.04
112.96
61.89
102.03
439.97
183.66
290.41
187.15
416.68
256.00
38.32
79.60
D ebido al volum en y peso de los m otores, cualquier m o vim iento de un m otor debe hacerse con un m ontacargas. La velocidad del m ontacargas es de 150 m etros/m in si va
270
6.10 Caso in te g ra d o r 2
vacío y 100 m etros/m in si va cargado. El tiem p o para subir y o b ajar un m o to r del m o n ta cargas es de 45 segundos. Actualm ente la em presa tiene 3 m otores de repuesto, 5 m ecánicos y 2 m ontacargas. Se estim a qu e cada tonelada se vende a $2,000. El costo anual d e cada m ecánico es de $150,000, el d e los m ontacargas es de $450,000, y cada m otor ocasiona gastos anuales por $750,000. Construya un m o d elo en ProM odel y m ed iante Sim runner determ ine: a) El índice real de producción actual. b) La utilidad anual actual. c) El m ín im o núm ero de m ecánico s a co ntratar para trab ajar en el taller, el núm ero m ínim o d e m o n tacarg as a co m p rar para el tra sla d o d e los m o to res y el n ú m e ro m ín im o de m otores de repuesto, para que el departam ento de estiraje esté trabajando al 90% d e utilización y que le perm ita obtener un índice d e produc ción anual de 81,000 toneladas. La producción por fabricada por arriba d e esta cantidad no se p u e d e vender p o r falta d e dem anda. d) La utilidad anual con las m ejoras realizadas.
6 .10 Caso integrado r 2 La em presa EHLE, S.A. se dedica a la fabricación y ensam ble de circuito s electrónicos (PCB) para la industria autom otriz, y desea instalar una nueva celda flexib le de m an u fac tu ra donde se puedan ensam blar 10 nuevos tipos de circuitos electrónicos. Las o peracio nes para fab ricar y ensam blar son las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Carga de la tarjeta en el contenedor (CTC) Lim pieza (Ll) Corte con cizalla (CCZ) Taladrado d e orificios (TO) Copia d e patrones (CP) Ataque quím ico (AQ) Deposición electrolítica (DE) Inspección (IN) Inserción d e com ponentes (IC) Soldadura, lim pieza y pruebas (SLP) Descarga del circuito del contenedo r (DCC)
La línea de ensam ble puede trabajar de 1 a 3 turno s en función de la dem anda d e los clientes. Los productos se m ueven en contenedores a través de la celda, y cada proceso se lleva a cabo sobre e l contenedor. Existe sólo una banda transportadora por dond e se m ueven los contenedores, de m anera que es im po sible que uno rebase a otro. Hoy en día la em presa cuenta con 350 contenedores y desea saber cuántos asignar a la celda para el transpo rte y m anejo d e m ateriales. El diagram a 1 m uestra el flu jo d e la celda.
271
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
L im p ie z a D e sc a rg a
C o rte
T a la d ra d o
C arg a
í L im p ie z a y
C o p ia d e
p ru e b a s
p a tró n
S o ld a d u ra
In se rc ió n d e co m p o n e n te s
In sp e cc ió n
D e p o sició n e le c tro lític a
A taq u e q u ím ic o
h
D iagram a 1 . D iag ram a de flu jo d e la lín e a de fa b rica ció n y en sam b le.
En cada una d e las estaciones únicam ente se puede procesar un contenedo r a la vez, excepto en Lavado y Lim p ieza; adem ás, existen lugares de espera lim itados d e acuerdo co n los siguientes parám etros:
Estación
Cantidad máxima de contenedores permitidos en la estación En espera
En proceso
Carga de la tarjeta en el contenedor
4
1
Limpieza
0
5
Corte con cizalla
6
1
Taladrado de orificios
0
1
Copia de patrones
0
1
Ataque químico
0
1
Deposición electrolítica
9
1
Inspección
0
1
Inserción de componentes
0
1
Soldadura
4
1
Limpieza y pruebas
0
10
Descarga del circuito del contenedor
9
1
En el diagram a 2 se presenta, en form a esquem ática, el proceso de producción, in clu ye n d o los tie m p o s d e p ro ceso y los tie m p o s d e tra n sp o rte en cad a etap a (to d o s los
272
6.10 Caso in te g ra d o r 2 |
tie m p o s están en m inutos y por contenedor). Casi todos estos tiem po s son constantes, excepto las estaciones m arcadas con la expresión f(t), ya que el tiem p o d e proceso en esas operaciones d epend e d e cada tip o de p ro ducto y fam ilia. En algunos casos, com o en el de Talad rad o , e xiste n 2 co m p o n e n te s d e tie m p o , u n o co n sta n te y o tro q u e d e p e n d e del producto.
D iagram a 2 . T ie m p o s d e p ro c e s o y t r a n s p o r t e (m in / c o n t e n e d o r ).
La celda puede procesar 10 tipos de productos diferentes, aunq ue en un program a d e producción de un día típico de trab ajo se pueden fab ricar m enos tip o s de circuitos. Esto se debe a la distribución de probabilidad d e la dem anda diaria de cada producto. La colum na 2 de la tabla 6 .4 m uestra esas distribuciones; por ejem plo, del producto 1 se p u e d en p ro g ram ar e n tre 8 y 10 circ u ito s con d is trib u c ió n u n ifo rm e ; d e l p ro d u cto 2 se pueden program ar en prom edio 8 circuitos con distribución d e Poisson, y así sucesiva m ente. El departam ento de Adm inistración d e la Producción envía este program a a Producción un día antes, de tal m anera que el m aterial lo deja disponible desde el inicio del turno, para com enzar a procesarlo durante el día. Los circ u ito s se han a g ru p a d o p o r fa m ilia s, d e a cu e rd o co n su tie m p o d e pro ceso en cad a etap a. P o r e je m p lo , se g ú n la ta b la 6.4, el circ u ito tip o 1 p e rte n e c e a la fa m i lia C en el p ro ceso d e Carga, a la fa m ilia A en el pro ceso d e C o rte, a la fa m ilia A en el p ro ceso d e T ala d ra d o , a la fa m ilia B en el p ro ceso d e D e p o sició n , y a la fa m ilia C en el p ro ceso d e D e sca rg a . Los co n te n e d o re s están vacío s al in ic io d e cad a tu rn o , e m p ie za n a carg arse con los d ife re n te s p ro d u cto s y, al fin a liz a r la p ro d u cció n , d e b en d e q u e d a r va cío s n u e v a m en te.
273
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Tabla 6.4 Programa de producción y definición de familias. Operación
Tipo de circuito
Cantidad a producir p o r día U - Uniforme P = Poisson
CTC
1
U (8 ,10)
C
A
A
B
C
ccz
TO
DE
DCC
Familia a la que pertenece el circuito
2
m
A
c
A
A
A
3
P(3)
A
c
A
B
B
4
P(2)
B
c
A
A
B
5
P(5)
B
B
A
A
C
6
U (1 0 ,20)
C
B
B
A
B
7
P(4)
B
D
B
A
A
8
U (0,2 )
A
A
C
A
A
9
P(8)
A
A
C
A
B
10
U (20, 30)
B
A
c
A
C
En todos los casos, la com ponente aleatoria del tiem p o d e proceso, f(t), se expresa con una función d e densidad Erlang con un valor esperado (f) y un parám etro de form a k, com o se m uestra en la tabla 6.5 para cada una de las fam ilias y procesos. Por ejem plo, todos los productos que pertenezcan a la fam ilia A en el proceso de Carga tendrán un valo r esperado de 7.55 m inutos, con k = 3 y así sucesivam ente.
Tabla 6.5 Familias y distribución de probabilidad de los tiempos de
proceso: /c-Erlang(f) en min/contenedor. Operación CTC
CCZ
TO
DE
DCC
A
A
A
A
A
3-Er(755)
2-Er(6.37)
4-Er(3.91)
3-Er(3.12)
1-Er(9.45)
B
B
B
B
B
3-Er(7.70)
2-Er(12.1)
4-Er(6.56)
3-Er(4.44)
4-Er(9.36)
C 2-Er(8.28)
C 2-Er(6.96)
C 2-Er(3.64)
D
D
D
D
3-Er(8.82)
1-Er(2.27)
3-Er(6.15)
4-Er(8.52)
E 2-Er(8.02)
274
C 2-Er(8.12)
6.10 Caso in te g ra d o r 2 |
Con el propósito d e m o d elar correctam ente la celda y diseñarla to m and o en cuenta todos los factores, se ha decidido incluir el co m portam iento de las fallas y el tiem p o de reparación d e las estaciones de Lim p ieza e Inserción d e com ponentes. Las tablas 6 .6 ,6 .7 , 6.8 y 6.9 m uestran los co m po rtam iento s históricos de m áq uin as sim ilares a las que se desea instalar. Las fallas en el resto d e los equipos son despreciables.
Tabla 6.6 (MTBF) Tiempo entre fallas en Limpieza, en min/falla. 144.58
162.38
156.07
158.88
15620
159.20
164.52
163.47
16224
156.55
147.81
160.84
150.95
161.59
16262
154.24
155.31
159.86
165.35
160.61
148.81
163.69
156.03
154.46
159.01
159.17
158.80
149.89
15204
159.39
154.93
151.48
151.57
154.49
156.82
163.19
156.67
158.04
161.51
155.36
149.38
161.79
160.45
160.52
154.32
159.79
158.38
151.09
159.86
152.91
156.73
156.07
159.80
147.14
157.08
159.91
161.32
161.08
153.76
155.70
160.50
161.15
157.82
163.80
160.10
160.32
150.71
161.35
154.19
146.04
154.19
156.13
166.73
150.44
163.32
156.10
167.30
150.09
153.58
157.50
153.25
161.83
158.62
159.87
165.06
162.57
164.22
157.25
155.42
160.31
158.61
163.26
154.16
160.51
158.68
162.83
162.44
161.66
153.06
156.41
154.97
162.96
165.15
155.87
155.02
160.53
161.51
164.42
162.64
157.49
Tabla 6.7 (MTBF) Tiempo entre fallas en Inserción, en min/falla. 390.38
340.79
353.86
375.09
387.54
376.53
368.91
364.23
380.81
382.50
352.23
353.55
366.98
387.21
381.95
366.98
372.79
373.68
36&01
371.33
334.49
346.45
344.52
384.61
333.35
351.04
354.60
350.01
310.28
3 8 7 .1 6
366.33
379.57
376.32
373.21
388.54
356.29
325.38
320.72
346.07
324.70
380.62
379.65
360.09
330.05
387.11
410.69
352.58
383.61
365.38
3 5 8 .2 4
334.37
386.09
347.36
3 8 a i9
347.10
310.49
379.52
334.38
353.17
3 5 6 .8 6
332.71
358.20
356.32
336.09
384.46
349.54
347.12
363.04
3 5 7 .6 6
362.61
351.00
406.17
326.97
311.41
345.02
378.39
390.65
333.74
350.43
332.19
373.34
370.81
374.81
387.64
361.44
360.25
384.13
386.91
372.00
343.56
355.54
354.69
368.34
340.94
319.74
377.43
387.61
379.29
322.39
383.20
27 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Tabla 6.8 (M I IR ) Tiempo de reparación en Limpieza, en min/falla. 6.28
24.89
51.35
1058
4.91
29.36
3.13
4.02
0.69
34.10
4.44
23.85
19.33
36.39
1350
2.72
8.35
33.61
23.50
3.67
30.66
16.96
4.01
29.91
42.99
3.22
8.07
12.02
24.44
36.41
54.85
31.30
23.95
17.92
3.91
10.32
525
7.15
24.54
14.78
22.95
728
1.30
2.08
10.60
21.08
113.92
24.26
36.74
8.38
12.06
46.07
20.42
7.53
2.41
0.89
11.72
5.32
8.70
60.55
9.83
15.74
523
2.18
19.01
1024
1.99
0.06
12.75
459
4.51
13.01
9.06
9.68
18.81
3.09
0.17
6.85
15.59
8.24
2826
728
6.31
10.39
43.10
9.33
4.70
26.90
6.98
65.31
17.86
26.64
3521
0.01
62.72
7.94
18.47
19.49
2052
31.61
Tabla 6 .9 (MI IR) Tiempo de reparación en Inserción, en min/falla. 16.73
16.50
17.67
15.16
17.84
19.15
1723
16.39
16.35
14.68
17.70
16.12
14.94
16.89
17.97
15.91
18.01
17.39
17.72
15.97
18.37
18.34
1828
1629
15.40
16.83
16.92
18.18
16.08
15.34
1529
15.19
17.19
16.36
16.89
14.87
17.25
17.27
14.97
18.05
16.14
17.09
17.97
16.55
17.55
17.69
15.86
16.36
17.48
16.87
15.39
17.82
16.40
17.99
1726
16.00
16.68
17.32
1628
16.49
18.08
16.98
1651
16.84
17.40
15.08
14.34
17.30
16.94
16.77
17.73
17.55
16.71
16.49
16.21
15.81
1624
1820
15.94
16.70
1720
15.24
15.99
16.85
1857
17.89
15.58
16.11
1724
1522
16.66
16.83
16.25
16.00
15.10
14.49
17.79
15.09
16.94
16.84
Dentro d e la em presa se han generado varias preguntas, ya que se vislum bra — en un futuro cercano— un increm ento considerable en la dem anda de productos. Para co n testar tales interrogantes desarrolle en ProM odel un m odelo de sim ulación estadística m ente válido, que perm ita determ inar: a) La operación en que se presenta un cuello de botella. b) La hora d e term inación del program a de producción diario, considere la variación en la dem anda de un día para otro, con un nivel de 90% de confianza. c) La cantidad óptim a de contenedores que debe asignarse a la celda. Es posible justificarla m ed iante una gráfica donde se relacione el núm ero d e contenedores asignados contra la producción diaria lograda, o b serve a p artir de qué p u n to la producción prácticam ente no se increm enta. d) El inventario prom edio d e contenedores en cada operación. é) El tiem p o d e perm anencia prom edio d e los contenedores en cada operación. /) 276
B tiem po promedio de permanencia de un contenedor en la celda de manufactura.
6.11 Problem as |~1
6.11 Problem as 1. Un inspector recibe siem pre 120 piezas/h. E l tiem p o prom edio de inspección es uniform e, entre 20 y 30 s/pieza. Sim ule el sistem a en ProM odel, y calcule la u tiliza ción del insp ecto r y el núm ero m áxim o de piezas acum uladas antes del proceso de inspección. 2. Un cajero autom ático recibe 30 clientes/h con distribución d e Poisson. Existen 5 esce narios posibles: Escenario
Tiempo promedio de servicio (min/cliente)
1
Exponencial con media 1.8
2
2-Erlang con media 1.8
3
4-Erlang con media 1.8
4
Normal con media 1.8 y varianza 0.2
5
1.8
Sim ule el sistem a en ProM odel y calcule, para cada escenario: a) La utilización del cajero. b) El núm ero prom edio d e clientes en espera. c) Si en todos los casos el tiem p o prom edio de servicio es el m ism o, ¿a qué facto r se deben las diferencias (si es que existen)? d) ¿Q ué diferencia existe entre el prim ero y el últim o escenario? 3. A una ferretería llegan 56 clientes/h con distribución d e Poisson. El negocio cuenta con sólo dos dependientes, y los clientes deben hacer una fila. El tiem p o de servicio es exponencial con m edia de 2 m in/cliente. Sim ule el sistem a hasta lograr el estado estable y calcule: a ) La utilización de los dependientes. b ) El tiem po prom edio d e espera en la fila. 4. Una tiend a d e aparatos electrónicos ven d e 2 tipos de m icrocom putadoras: la E-GD y la H-GR. El tiem p o entre llegadas es exp o nencial co n m edia de 45 m in/cliente. Se trata de una tienda pequeña, por lo que solam ente requiere un em pleado para atender a los clientes de acuerdo con un esquem a "prim ero en llegar, prim ero en salir". Veinticinco por ciento de los clientes que entran no realizan com pra alguna, y utilizan al em pleado durante 15 m inutos exactam ente. Cincuenta p o r ciento de los clientes que entran com pran una com putadora tip o E-GD, y el tiem p o que les lleva realizar la transacción sigue una distribución uniform e d e entre 31 y 36 m inutos. El 25% restante entra a la tienda y com pra la com putadora tipo H-GR; el tiem po que se requiere para la venta en este caso sigue una distribución exp o nencial con m edia de 70 m inutos. Sim ule 8 horas y determ ine: a ) Utilización del em pleado. b) El tiem po prom edio que un cliente tien e que esperar antes de ser atendido. 27 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
5. Un sistem a de producción cuenta con 10 tornos. El tiem po d e operación de cada uno sigue una distribución de probabilidad exp o nencial co n m edia de 96 horas, después del cu a l ocurre una falla y tien e que ser enviado a m antenim iento. El tiem po de reparación es exp o nencial con m edia de 72 horas. El tiem p o d e traslado d e los tornos entre producción y m antenim ien to es uniform e, con parám etros de 60 ± 15 m inutos. Se desea sim ular el sistem a hasta alcanzar el estado estable, con 1, 2, 3, 5, ..., 10 m ecánico s para determ inar en cada caso la utilización de los m ecánico s y el núm ero prom ed io de tornos en espera d e reparación. 6. La em presa LECAR dispone de 100 telares. El tiem p o d e operación d e cada uno antes de que ocurra una rotura sigue una distribución de probabilidad exponencial, y el telar se detiene en espera d e que un obrero repare la rotura y reinicie la operación. El tiem po de reparación es d e 2-Erlang con m edia de 5 minutos. El tiem po prom edio entre rotu ras depende d e la calidad del hilo, d e acuerdo con los siguientes escenarios: Escenario
Calidad del hilo
Tiempo promedio entre roturas (min/rotura)
Optimista
Primera
40
Promedio
Segunda
20
Pesimista
Dudosa
5
Cree un m odelo de sim ulación para cada escenario, y determ ine el núm ero d e o b re ros qu e deben asignarse a la reparación de roturas con el o b jetivo de m an ten er en operación los telares 95% del tiem po. 7. A una biblioteca llega un p ro m ed io de 104 personas/año con distribución de Poisson, para ped ir prestado cierto libro. La persona que logra encontrarlo lo regresa en prom edio 10 días después, co n distribución exponencial. Las personas que solici tan el libro pero no lo reciben por estar en préstamo, se van y nunca regresan. Sim ule el proceso durante un año, con 1 ,2 ,3 y 4 ejem p lares del libro, y determ ine en cada caso el núm ero esperado d e personas que podrán leer el libro. 8. A la operación d e em pacado de bolsas d e detergente entran bolsas a una velocidad de 20 por m inuto. Cuando las bolsas entran al sistem a son colocadas en una banda que las transporta hasta la m esa de un operario d e em paque. E l tiem po d e transp o r te en la banda es de 20 s/bolsa. Una vez que la bolsa llega al fin a l d e la banda, cae por gravedad hacia una m esa dond e se va acum ulando co n otras. Un operario tom a las bolsas d e la m esa y las introduce en una caja con capacidad d e 30 unidad es; el tiem p o que le lle va al o p erario to m a r una bo lsa y colocarla d e n tro de la ca ja es de 1 segundo/bolsa. Una ve z que la caja se llena, el operario la lleva a l alm acén de cajas; allí la deja y recoge una caja vacía para repetir el procedim iento d e llenado. El tiem p o que le tom a en llevar la caja llena y traer una vacía sigue una distribución exponencial con m edia de 3 m inutos. Sim ule el sistem a anterior en ProM odel, para obtener la gráfica del núm ero de bolsas en la m esa, el núm ero prom edio de bolsas y el tiem p o prom edio de espera en la m esa a lo largo del tiem po. 278
6.11 Problem as |~1
9. A un proceso de troquelado llegan lám inas d e acuerdo co n una distribución de Poisson con prom edio de 82 lám inas/m in. Se cuenta con 7 troqueladoras, cada una de las cuales es capaz de procesar una lám ina en 5 segundos. H ay un alm acén de grandes dim ensiones para m ateria prim a, d e m anera que to das las piezas que no puedan ser troqueladas inm ed iatam ente podrán esperar ahí. E l costo d e operación de las m áq uin as se estim a en $10/h-troqueladora, y el costo de m antener una lám i na en inventario se estim a en $0.500/h-lám ina. Sim ule el sistem a para determ inar el inventario prom edio de lám inas y el costo total/h. 10. A un proceso de troquelado llegan lám inas d e acuerdo con una distribución de Poisson con prom edio de 82 lám inas/m in. Se cuenta con 7 troqueladoras, cada una de las cuales es capaz de procesar una lám ina en 5 segundos. H ay un alm acén para m ateria prim a con capacidad de 5 lám inas; si una lám ina llega y no puede entrar al proceso o al alm acén de m ateria prim a, deb e de ser enviada a otro lugar d e la planta para la realización del troquelado. El costo d e operación de las m áq uin as se estim a en $10/h-troqueladora; el costo de m antener una lám ina en inventario se estim a en $0.500/h-lám ina, y el costo d e enviar a las lám inas hacia otro lugar es de $0.800 por lám ina. Sim ule el sistem a para determ inar el inventario prom edio de lám inas en el alm acén antes d e troquelado, y el costo total/h. 11. A un centro de m aquinado llegan tres diferentes tipos de piezas. Antes de llegar pasan por un alm acén de producto en proceso, con capacidad prácticamente infinita. El tiem po de operación y la tasa de entrada de las piezas son las siguientes:
Tipo de pieza
Tasa de entrada Poisson (piezas/h)
Tiempo de maquinado exponencial (min/pieza)
1
2
3
2
4
5
3
2
10
Sim ule el sistem a en ProM odel durante 100 horas, y determ ine: o) Uso del centro de m aquinado. b) Núm ero total de piezas producidas. c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas en el alm acén. d) Núm ero prom edio d e piezas en el alm acén. 12. A un operario de lim pieza le entregan cada hora 60 piezas en form a sim ultánea. El tiem po d e lim pieza es uniform e, de 50 ± 10 s/pieza. Sim ule el proceso anterior duran te 500 horas para determ inar: a) Uso del operario. b) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e ser lim piadas. 27 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
13. Un siste m a d e p in tu ra tie n e d o s p ro ceso s en se rie : p in tu ra y h o rn e a d o . E l t ie m po d e p in tu ra es e xp o n e n c ia l, d e 10 m in /p ie za , y el d e h o rn e a d o es tria n g u la r (3,6,15) m in/pieza. Para am bos procesos hay dos pintores y un horno. La tasa de entrada es de 7 piezas/h en el caso de la pieza tip o 1, y d e 3 piezas/h en el caso d e la pieza tip o 2. E l tiem po para m o verse de un proceso a otro es de 30 segundos. Sim ule el sistem a 5 días para determ inar: a ) Uso de cada operación. b) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e pintura y antes del horneado. 14. A un centro d e copiado llegan tre s tipos de trabajos. Si un trab ajo no puede ser ini ciado de inm ediato, espera en una fila com ún hasta que esté disponible alguna d e las tres copiadoras con las que cuenta el centro. El tiem po d e copiado y la tasa de entrada de los tra b ajo s son com o siguen:
Upo de trabajo
Tasa de entrada (trabajos/h)
Tiempo de copiado (min/trabajo)
1
4
Exponencial(12)
2
Poisson(8)
Normal(15,2)
3
16
3-Erlang(1)
D espués del proceso de copiado los trabajos son inspeccionados por un em pleado en un tiem p o exp o nencial con m edia de 3, 6 , 10 m in u to s para los trab ajo s 1, 2 y 3, respectivam ente. Sim ule el sistem a en ProM odel durante 50 horas, y determ ine: a ) Uso del em pleado y las copiadoras en la situación propuesta. b ) Núm ero de em pleados y copiadoras m ínim o s necesarios para asegurar el flu jo de los trabajos. 15. Un tip o de pieza entra a una línea de producción. E l proveedor entrega en form a exponencial con m edia de 2 m in/pieza. La línea consta de 3 operaciones con una m áquina en cada operación. Los tiem pos de proceso son:
Operación
1
2
3
Tiempo (min/pieza)
Constante (2)
Exponencial (1)
Uniforme (0.5 ± 0.1)
El tiem p o para m o verse entre estaciones es d e 0.0625 m inutos. La anim ación debe incluir un contador de las piezas producidas. Sim ule en ProM odel el proceso de 500 piezas para determ inar: a) Tiem p o to tal d e sim ulación. b) Uso de cada operación. c) Tiem p o d e espera antes d e la prim era operación. d) Porcentaje del tiem p o que la pieza estuvo bloqueada. 280
6.11 Problem as |~1
16. A un proceso de perforado llegan piezas a p a rtir d e las 8:00 a.m . El tiem p o entre llegadas es exponencial, con m edia de 30 s/pieza. La perforación se puede realizar en cualquiera de las 3 m áquinas existentes; sin em bargo, debido al tam año del tran s fo rm ador de energía eléctrica, las m áquinas no pueden trab ajar al m ism o tiem po. Se ha decidido que la producción se realice en la m áq uina 1 las prim eras 3 horas del turno, en la m áquina 2 las 3 horas siguientes, y en la m áquina 3 las 2 últim as horas. Por razones de program ación, la m áquina 1 inicia siem pre a las 8:15 a.m . Los tiem pos de perforado en cada m áq uina se m uestran a continuación: ---------------------------------------- -----------------------------------------------------------------Máquina Tiempo promedio de proceso (s/pieza) 1
Exponencial (20)
2
Exponencial (10)
3
Uniforme (15 ± 5)
Realice un m o d e lo en ProM odel para s im u la r 30 d ías d e 8 ho ras cad a u no , y obtenga: a ) Producción al fin al d e cada uno de los días. b) D istribución de probabilidad d e la producción diaria. 17. A una oficina llegan 2 tipos d e clientes. La tasa d e llegadas d e los clientes tip o I sigue una distribución uniform e (100-150) m in/cliente; la tasa del segundo tip o sigue una distribución constante con m edia de 120 m in/cliente. Solam ente existe un servidor que tien e que atender a am bos tipos de clientes de acuerdo con un esquem a de "prim ero en llegar, prim ero en salir". El tiem p o que tarda en atender a los clientes tipo I sigue una distribución exp o nencial con m edia de 25 m in/cliente, m ientras que el tiem p o de servicio del segundo tip o d e clientes sigue una distribución 2-Erlang con m edia de 35 m in/cliente. Sim ule hasta que hayan sido atendidos 500 clientes de tipo II y determ ine: a ) Tiem p o to tal d e sim ulación. b) Núm ero de clientes tip o I que fueron atendidos. c) Tiem po prom edio d e estancia en la oficina por cada tip o d e cliente. d) Núm ero m áxim o d e clientes en la oficina. 18. En un banco hay 2 cajas, cada una con su propia fila d e tam año infinito: la caja 1 para clientes "rápidos" con tiem p o d e 2 m inutos, y la caja 2 para clientes "lentos" con tiem p o de 16.4 m inutos, en am b o s casos con distribución exponencial. Los clientes "lentos" y "rápidos" llegan de acu erd o con una fu n ció n exp o n en cial, con m ed ia de 8 y 20 m in/cliente, respectivam ente. Algunos días, en particular, solam ente viene a trabajar 1 cajera que tien e que atender am bas filas según la siguiente secuencia cíclica: 5 clientes "rápidos" y 2 clientes "lentos". E l tiem po para m o verse entre las cajas es de 0.33 m inutos. Sim ule en ProM odel el proceso por 80 horas, y determ ine: a) Núm ero prom edio d e clientes en espera en cada fila. b) Secuencia óptim a de atención para m inim izar el tiem po prom edio d e espera, considere am bos tipos de clientes. 281
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
19. A un sistem a de lim pieza entran intercam biadores de calor en form a exponencial, con m edia d e 5 h/pieza. El proceso consta d e 3 operaciones con una m áquina y en cada operación. Los tiem po s de proceso son: Operación
Tiempo promedio de proceso (h/pieza)
1
Constante (4.9)
2
Exponencial (4)
3
Uniforme (4.7 ± 0.3)
Se tien e un m ontacargas para todos los m o vim iento s entre estaciones. E l tiem p o de traslado entre estaciones es 3-Erlang con m edia de 30 m in/intercam biador. La anim a ción deb e incluir un contador de las piezas producidas. I. Sim ule en ProM odel el proceso de 500 intercam biadores para determ inar: a) Tiem p o total de sim ulación. b) Utilización d e cada operación. c) Tiem p o de espera antes de la prim era operación. d) Porcentaje del tiem p o que la pieza estuvo bloqueada. e) ¿Recom endaría ten e r otro m ontacargas? Ju stifiq u e su respuesta. II. Sim ule el m o d elo con un escenario dond e el m ontacarg as falle en form a e xp o nencial cada 15 horas de trabajo y sea reparado con una distribución norm al con m edia de 30 m inutos y desviación estándar de 5 m inutos. En este caso, ¿sería apropiado ten e r dos o m ás m ontacargas? Ju stifiq u e su respuesta. 20. Un prom edio de 10 personas/h con distribución de Poisson intentan entrar al jacu zzi de un hotel. En prom edio, cada persona perm anece 20 m inutos con distribución exponencial. En el ja c u zzi existen solam ente 6 espacios, por lo que si una persona llega y están ocupados todos los lugares, se retira enojada y no regresa. Sim ule el proceso durante 100 horas. a ) ¿Cuál es la utilización del jacuzzi? b) En prom edio, ¿cuántas personas se encuentran en el jacuzzi? c) En prom edio, ¿cuántas personas por hora n o pueden usar el jacuzzi? d) ¿Cuántos lugares debería ten e r el ja cu zzi para asegurar que 95% d e las personas que llegan puedan entrar? 21. D eterm ine m ed iante ProM odel el núm ero de m áq uin as que requiere un sistem a para procesar las piezas, tenga co m o restricción m antener una utilización entre 60 y 80%. Las piezas llegan d e acuerdo con una distribución d e Poisson, con m edia de 1.5 clientes por m inuto. Cuando una pieza entra y todas las m áq uin as están ocupadas, perm anece en una sola fila com ún a las m áquinas. El tiem p o de proceso sigue una distribución exp o nencial con m edia de 3 m inutos. In clu ir dentro d e los resultados los valores de la utilización, tiem p o de espera prom edio y núm ero de piezas prom edio en espera. 282
6.11 Problem as |~1
22. El diagram a muestra el proceso y ruta d e las piezas dentro de una celda de manufactura. Todas las piezas deben entrar y salir de la celda a través de la máquina de carga y descar ga (AS/RS). Los núm eros en las flechas dentro del diagrama representan el porcentaje de flujo que es enviado a otros equipos; por ejemplo, 10% de lo que entra a corte se envía al AS/RS, 85% a escuadre, y 5% a reproceso. Un sistema de control autom ático mantiene siem pre 10 piezas dentro del sistema (observe el siguiente diagrama).
El tiem p o d e proceso en cada operación es: Operación
[Min/pieza]
AS/RS
1.000
CORTE
0.465
ESCUADRE
0500
REPROCESO
6.666
Sim ule en ProM odel y determ ine para cada operación: a ) Utilización. b ) Núm ero m áxim o d e piezas. c) Núm ero prom edio d e piezas. 23. En el sistem a cerrado que se m uestra en el diagram a se m antienen siem pre 20 piezas en proceso. Cada una entra desde una banda principal a través de un robot d e tran s ferencia, y debe visitar las 2 estaciones de rectificado antes de regresar al robot de transferencia para ser enviada de nuevo hacia la línea principal. Las piezas se m ueven a través de bandas transportadoras (observe el sig uiente diagram a).
Rectificado 1
Rectificado 2
n (
)
L
□ Robot de transferencia
n
o
n
n
283
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel_______________
Los tiem po s d e producción son:
Operación
Tiempo de proceso [min/pieza]
Robot
Normal (4,1)
Rectificado 1
Normal (6,0.3)
Rectificado 2
Exponencial (4)
Transporte entre estaciones
1
Sim ule durante 200 horas y determ ine: a) Producción por hora. b) Uso de las estaciones. c) Inventario prom edio en proceso en cada estación. d) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en el sistem a cerrado. 24. Se utilizan cinco cam iones para tran sp o rtar concreto d e un lugar a otro. Solam ente se tien e una tolva de carga, y el tiem po para hacerlo sigue una distribución exponencial con m edia de 20 m inuto s. El tiem p o para transpo rtar el concreto y regresar por m ás m aterial sigue una distribución exp o nencial co n m edia de 180 m inutos. Sim ule el m ovim iento de los cam iones para contestar: a) En prom edio, ¿cuánto espera un cam ió n en la fila de la tolva? b) ¿Q ué fracción del tiem p o n o se utiliza la tolva? c) Si se han program ado 500 viajes, ¿cuánto tiem p o tom ará hacerlos? 25. A un sistem a d e producción de la em presa EHYPSA llegan piezas d e tip o 1 cada 5 ± 3 m inutos, y piezas tip o 2 cada 3 ± 2 m inutos. Las piezas tip o 1 pasan por lim pieza en un tiem p o de 8 ± 3 m in u to s; al salir, 25% deben lim piarse d e nuevo, y el 75% restante sale del sistem a para su venta. Las piezas tip o 2 pasan prim ero por verificación en un tiem p o de 9 ± 3 m inutos, y después por lim pieza en un tiem p o de 3 ± 1 m inutos. Al salir de lim pieza, 5% deben lim piarse de nuevo, y el 95% restante sale del sistem a para su venta. Sim ule el sistem a un m es y determ ine el núm ero m ín im o de operarios de verificación y lim pieza que perm itan m axim izar la producción por hora. Indique núm ero de piezas de cada tip o que se produjeron durante el mes. 26. En el hospital HELEED, los pacientes entran a las salas de em ergencia a una tasa Poisson con m edia de 4 persona/h. O chenta por ciento d e los p acientes entran direc tam en te a una d e las 5 salas; el 20% restante son llevados co n una secretaria para un proceso de registro de datos. E l tiem p o en registro es de 5 ± 0 .5 m in/paciente, luego, pasan a las salas d e em ergencia. Se tien e de guardia a dos m éd icos en las salas de em ergencia, y ellos tardan en revisar a los pacientes un tiem p o 3-Erlang con m edia de 30 m in /p acien te. D esp u és d e este tie m p o el p acie n te es traslad ad o a otras áreas del hospital, d e acuerdo con su estado. Realice un m odelo en ProM odel para sim ular 3 réplicas de 4 8 horas de la situa ción anterio r y determ ine, con un intervalo d e co nfianza, d e 95% : 284
6.11 Problem as |~1
a ) Tiem po prom edio d e espera d e los p acientes e n el proceso d e registro. b) Núm ero m áxim o d e clientes que estuvieron en todo el hospital. c) Utilización de los m édicos, las salas de em ergencia y la secretaria. 27. Cierta pieza requiere 2 operaciones: soldadura en 6 m inutos, y esm erilado en 6.4 m inutos. La llegada de piezas es uniform e entre 10 y 15 m in/pieza. Existen alm acenes de ta m añ o infinito antes de cada operación. Se tien e solam ente un operario para hacer am bas operaciones, de acuerdo con la siguiente secuencia cíclica: 5 piezas en soldadura y 5 piezas en esm erilado. E l tiem po para m o verse entre las m áquinas es de 1 m inuto. Sim ule en ProM odel el proceso 480 horas, y determ ine el tiem po prom edio de espera de las piezas en los alm acenes antes d e cada operación. 28. Una m áquina em pacadora es alim entada por dos bandas transportadoras. Por la pri m era entran dulces a una razón constante de 2000 dulces/h. Por la segunda entran bolsas. La m áquina em paca 50 dulces por bolsa y co loca el producto em p acado en una tercera banda, para su transportación hacia el alm acén de p ro ducto term inado. El tiem p o total de em paque es de 20 segundos. La velocidad d e las band as es de 150 pies por m inuto. Cada 3 horas la em pacadora se detiene para ajuste y lim pieza; el tiem po para llevar a cabo estas operaciones es exponencial con m edia de 10 m in u tos. M ientras la em pacadora es ajustada, las bolsas y los dulces siguen entrando al sistem a. Desarrolle un m odelo en ProModel y determ ine la tasa prom edio de entrada de las bolsas. 29. A la oficina de la SRE llegan clientes para recibir su pasapo rte a una tasa de Poisson con m edia de 18 clientes/h. Al entrar tom an una ficha que perm ite atenderlos en el orden de llegada. Noventa por ciento de los clientes entra directam ente a la sala de espera, y el resto llena prim ero algunas form as en un tiem po uniform e (6 ± 2) m in u tos. Existen 2 servidores para atender a los clientes d e la sala d e espera; el tiem po prom edio de atención es exp o nencial con m ed ia de 6 m inutos. La sala de espera dispo ne de 4 0 sillas. Si un clien te llega y todas las sillas están ocupadas, perm anece de pie y se sienta cuan do se desocupa alguna de ellas. Cada vez que se expiden 10 pasaportes, el servid o r deja de atender la fila y conduce a los clientes atendidos a la p arte posterior, después d e lo cual sigue aten diendo la fila; el tiem p o en ir y ven ir sig ue una función exp o nencial con una m edia de 5 m inutos. Haga un m odelo en ProM odel para sim ular durante 8 horas la situación actual, de m anera que, al fin alizar la sim ulación, se indique en pantalla los siguientes resul tados: a ) Tiem po prom edio d e espera en la fila. b) Número prom edio d e personas sentadas. c) Núm ero prom edio d e personas d e pie. d) Núm ero m áxim o d e personas en la sala d e espera. e) Utilización de los servidores. 28 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
30. En la com pañía PESYPIN SA, las piezas entran a un proceso de pintura a una tasa de Poisson con m edia de 1.0 m in/pieza. Antes de pintarse, las piezas deben pesarse en cu alq uiera de las dos b ásculas existen tes: el tie m p o en la b áscu la es u n ifo rm e, de (2 ± 0.5) m inutos. Existe una persona que realiza la operación de pintura en 12 m in u tos p o r pieza, con distribución exponencial. Hay tam bién un p into r de reserva, que entra a proceso cada vez que el núm ero de piezas en el alm acén de p ro ducto en proceso entra a las b ásculas y la pintura excede de 10, y perm anece trabajando durante una hora, después de lo cual deja de pintar y regresa a su posición d e p into r d e reserva. Haga un m odelo en ProM odel para sim ular durante 8 horas la situación actual, de m anera que, a l fin alizar la sim ulación, se indique en pantalla: a) Tiem po prom edio d e espera en el alm acén d e pintura. b) Núm ero m áxim o d e piezas que se llegaron a acum ular en to d o el sistem a. c) Utilización de la báscula y de los pintores. 31. La em presa M OLGADE Co. fabrica m oldes y desea sim ular en ProM odel una p arte de su proceso. Los moldes inicialmente se encuentran en el almacén de materia prim a, en cantidad suficiente para no detener la producción por falta de material. La prim era o p e ración es una lim pieza con chorro d e arena, con duración de 4 m inutos. Enseguida, uno de seis inspectores verifica la dim ensión de los m oldes; cad a inspector tarda 3-Erlang con m edia de 18 m inutos en la verificación. Luego, los m oldes son transp o r tados a un horno en lotes de 5, m ediante una grúa viajera. El tiem p o d e transporte es de 6 m inutos, y la em presa cuenta con dos grúas para este m ovim iento. En el horno se cargan 4 lotes para iniciar el proceso d e calentam iento; este tiem p o es de una hora. Al salir del horno, los m oldes se enfrían al aire libre en 3 ± 1 hora. Una vez term inado el proceso, se em pacan en cajas de 25 m oldes. El tiem po de em p aq ue es triangular de (2,3,6) m in /ca ja ,y los m oldes se transportan en contenedores de 8 cajas cada uno hasta el área de producto term inad o en un AGV. El tiem p o requerido para este m o vim iento es de 10 m inutos. Se trab ajan tres turno s d e ocho horas cada uno. M odele la operación durante un m es para: a ) D eterm inar la utilización de los equipos, el inventario p ro m ed io en pro ceso y el tiem p o d e perm anencia de un m olde en el sistem a. b) Detectar p ro blem as y proponer el aum ento o dism inución d e recursos. c) Determ inar, para la solución propuesta, la utilización d e los equipos, el inventario prom edio en proceso, y el tiem p o de perm anencia d e un m olde en el sistem a. 32. Use Sim Runner para determ inar el núm ero de m áq uin as que debe haber en un centro de copiado, su objetivo es que los clientes no esperen m ás de 20 m inutos en la fila. Los clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una m edia de 4 clientes/m in. El tiem p o que lleva atend er a cada cliente sigue una distribución e xp o nencial con m edia de 7.5 m inutos. Cuando un cliente llega y to das las copiadoras están ocupadas tiene que esperar en una fila com ún. 286
6.11 Problem as |~1
33. A una tien d a llegan 10 clientes/h con distribución Poisson. E l tiem p o de atención de los clientes sigue una función 3-Erlang con m edia de 15 m in/cliente. Cada servidor puede atend er sólo a un cliente sim ultáneam ente y si todos los servidores están o cu pados el cliente espera en una fila única. El costo d e servicio es $500/h-servidor y el costo de la espera se estim a en $1000/h-transacción. Se desea determ inar el núm ero de servidores a co ntratar utilizando Sim Runner. 34. A una celda de m anufactura llegan 10 engranes al día con distribución Poisson. El tiem p o d e proceso está distribuido de m anera uniform e entre 1 y 2 horas. La celda opera 16 horas p o r día. Sim ule este sistem a 30 días y encuentre la utilización p ro m e dio de la celda, el tiem po prom edio d e residencia d e los engranes y el núm ero de engranes prom edio en el proceso. La celda sólo puede procesar una orden a la vez. 35. Un inspector recibe una com putadora cada 5 m inutos en prom edio. El tiem p o entre arribos de las com putad o ras se distribuye exponencialm ente. Cada com putadora requiere de cinco operaciones consecutivas (cuando una computadora entra a la estación de inspección se deben com pletar las cinco tareas antes de procesar la com putadora siguiente). El tiem p o para una operación ind ivid ual es exponencial con m edia de 0.9 m inutos. Realice una sim ulación con 3 réplicas de 6 m eses cada una y encuentre la utilización prom edio del inspector, el tiem p o prom edio d e residencia de las co m pu tadoras y el núm ero d e com putadoras prom edio en el proceso. 36. Un vendedor recibe un cliente cada 5 m inutos en prom edio. El tiem po entre arribos de los clien tes se distribuye exponencialm ente. El tiem p o d e atención por cliente es 5-Erlang con m edia de 4.5 m inuto s. Realice una sim ulación con 3 réplicas de 1 mes cada una y encuentre la utilización prom edio del vendedor, el tiem po p ro m ed io de espera de los clientes y el núm ero de clientes prom edio en el proceso. 37. Un grupo de 50 estudiantes organizaron una fiesta para ellos solos. Com praron una canasta con 1000 tacos. Cada uno tom a un plato y se sirve 4 ± 1 tacos. El tiem p o para servirse un plato es Exp o nencial con m edia de 1 m inuto. El 30% d e ellos term ina su plato en un tiem p o Norm al con m edia 10 m inutos y desviación estándar 2 m inutos, el 70% se term ina el plato en un tiem p o U niform e entre 10 y 15 m inutos. Una vez que se term ina su plato regresa a servirse de nuevo. Sólo un estudiante a la vez puede servirse d e la canasta, y debe esperar en una fila hasta que se desocupe la canasta. Codifique en ProM odel el sistem a anterior para que se detenga cuando se hayan acabado los tacos y determ ine el tiem p o que tardaron los estudiantes en lograrlo. 38. Una línea aérea requiere del diseño de su sistem a de reparación d e sus aviones. La tasa d e llegada d e aviones a m antenim iento es Poisson con m edia de 8 aviones/m es. Cuando un avión requiere de este servicio, se asigna una cuadrilla de trabajadores para realizar estas tareas, el tiem p o de reparación de un avión es exponencial con m edia de 3 días por avión. En cuentre el núm ero óptim o de cuadrillas si: a) El costo d e m antenim ien to es $100,000/m es-cuadrilla y el costo d e que un avión no esté volando es $1,000,000/m es-avión. 28 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
39. Una oficina d e recaudación de im puestos requiere determ inar el núm ero de cajas a instalar. La tasa de llegadas es Poisson con m edia de 2 4 personas/h. El tiem p o de atención es exp o nencial con m edia d e 2 m inutos por cliente. Las personas que p u e den ser atendidas inm ediatam ente esperan en una fila com ún. En cuentre el núm ero óptim o d e cajas si: a) El costo d e atención es $200/h-caja y el co sto de espera $20/h-cliente. b) El costo de d ar servicio es $200/h-caja y el co sto d e que un cliente espere es $200/h-cliente. c) El costo d e servicio es $20/h-caja y el costo d e que un cliente espere es $200/hcliente. 40. Una oficina dispone actualm en te d e 3 copiadoras. Los em pleados llegan al área de copiado cada 1.5 m inutos con distribución 2-Erlang. El tiem p o que cada em pleado necesita una copiadora es de 4 .2 m inutos con distribución 3-Erlang. D ebido a quejas de los em pleados del tiem p o perdido hasta que se desocupa una d e las copiado ras, la em presa ha decidido evaluar la posibilidad d e contratar un m ayor núm ero de copiadoras. Desarrolle un m o d elo de sim ulación en ProM odel y con el uso de Sim runner, encuentre el núm ero de copiadoras a instalar si la renta d e cada copiado ra es de $20,000/año y el costo d e productividad perdida p o r el tiem po que pasa un em pleado en la sección de copias es $200/h-em pleado. 41. Un banco recibe clientes cada 3 m inutos con distribución Exponencial. Lo s clientes hacen una fila com ún antes de ser atendidos p o r cualquiera de las 2 cajas dispo ni bles. El tiem p o de atención al cliente sigue una distribución Norm al con m edia de 2 m inutos y desviación estándar de 0.5 m inutos p o r cada transacción que el cliente vaya a realizar. Un estim ado del núm ero d e transacciones por cliente indica que el 20% de los clientes requiere 1 transacción, el 30% hacen 2 transacciones, el 4 0 % soli citan tre s transaccio nes y el 10% restante realiza 4 transacciones. El banco opera de 9:00 a 16:00 d e lunes a viernes y los sábados d e 9:00 a 13:00. Los clien tes qu e se encuentran en el b anco al cerrar deben ser atendidos. Realice 3 réplicas de un m es cada una y determ ine: a) Utilización prom edio de las cajas. b) Tiem po prom edio d e espera d e los clientes. c) Si el b anco desea que sus clientes no esperen en p ro m ed io m ás d e 5 m inutos en la fila, ¿deberá abrir m ás cajas?, en caso afirm ativo ¿cuántas? 42. Un taller de reparación de neum áticos tien e la intención de proporcionar ese servicio de m anera eficiente y ten e r suficientes em pleados para que la espera sea m ínim a. Se estim a q u e el co sto d e esp erar es $0.6 0 /m in -clien te y q u e el co sto d e cada em pleado es de $18/h. La tasa prom edio d e entrada es Poisson con una m ed ia de 5 autos/h. Y el tiem p o necesario para reparar un neum ático es 4-Erlang con m edia d e 20 m inutos. Cree un m odelo y ejecute con Sim runner 100 réplicas de 8 horas cada una con el fin de encontrar el núm ero d e em pleados a contratar para m inim izar el costo to ta l esperado p o r hora. 288
6.11 Problem as |~1
43. Un ta lle r tien e 3 operarios que realizan un proceso d e inspección y rectificación de discos del sistem a de frenos. Cada operario está asignado solam ente a un vehículo, si un autom óvil llega al taller y todos los operarios están ocupados, el auto espera en una fila com ún hasta que se desocupe algún operario. El tiem p o entre arribos de los coches es una distribución exp o nencial con una m edia de 10 por hora. Cada veh ícu lo requiere de la verificació n de los 4 discos y la posible rectificación d e alguno de ellos. El proceso inicia con una inspección d e uno de los discos, el tiem p o para esta prim era inspección es d e 3 ± 2 m inutos, si el disco está en m al estado el operario realiza la rectificación en un tiem p o exponencial con m edia de 4 m inutos, y una vez que term ina el rectificado hace una segunda inspección con una duración d e 2 ± 1 m inuto. Si el disco está en buen estado ya n o realiza ninguna operación adicional. Una vez term inad o con este prim er disco, pasa con el segundo repitiendo el proceso de form a sim ila r y así su cesivam en te hasta te rm in a r el au to m ó vil. D e datos previos se estim a que el 35% de los discos inspeccionados requieren de rectificado. Sim ule el sistem a hasta que considere que las variables están en estado estable, replique al m enos 3 veces y determ ine: a ) Utilización de los operarios. b) Número prom edio d e autos en espera. c) Longitud m áxim a de la fila. d) Tiem p o d e estancia d e un auto en el taller. e) Núm ero m ínim o de operarios con el fin d e que un auto espere en prom edio m enos de una hora en el taller. 44. Se cuenta con dos m áquinas para el perforado de dos tipos de partes (Tipo 1 y Tipo 2). Las partes Tip o 1 llegan a una razón d e una cada 15 ± 2 m inutos y las d e Tip o 2, de una cada 5 ± 2 m inutos. Las piezas Tipo 1 deben ser perforadas en la m áquina EDW. Las p a rtes Tip o B deben ser procesadas por la m áquina PGM pero podrán ser pro ce sadas por la m áquina EW D en caso d e que la m áquina PGM esté en reparación. La m áquina PGM se descom pone cada 8 horas con distribución exponencial y el tiem po de reparación es d e 3 ± 1 horas. El tiem p o de proceso d e las piezas tien e una dura ción N orm al con m edia de 4 m inutos y desviación estándar de 1 m inuto. Realice un m odelo en ProM odel y sim ule 10 réplicas de un m es cada una para estim ar el núm ero prom edio de piezas de cada tip o esperando a ser perforadas. 45. Un sistem a flexib le de m anufactura tien e cinco tornos en paralelo. Las piezas llegan en form a Poisson con una m edia de 18 p o r hora y pueden ser procesadas en cual quiera d e los cin co to rno s. El tie m p o d e to rnead o es exp o n en cial con una tasa de 4 p o r h o ra p o r to rn o . A l fin a liz a r e l p ro ceso las p iezas son e n v ia d a s a cu alq u ie ra de dos operarios d e em paque, el tiem p o d e em paque es exp o nencial con m edia de 6 m in/pieza. Sim ule el sistem a con 10 réplicas de una sem ana cada una y determ ine la utilización prom edio de los tornos y los operarios de em paque, el tiem po pro m edio de espera d e las piezas antes d e cada operación y el núm ero de m áxim o de piezas que se acum ularon e n e l proceso. 28 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
46. Un sistem a de producción consiste en dos operaciones en serie (operación A y ope ración B). Las piezas llegan en lotes d e tam añ o 5, el tie m p o e n tre arribos es e xp o n en cial con m edia 15 m in/lote, las piezas se procesan prim eram ente en la operación A y al salir, el 10% d e las piezas salen defectuosas y tien en que repetir la operación A para después ir a la operación B, el 90% restante pasa directam ente de la operación A a la operación B. En la Operación A hay 2 m áquinas y en la O peración B hay 3, cada m áquina sólo puede procesar una pieza a la vez. El tiem p o d e operación B es uniform e entre 15 y 25 m in/pieza. El tiem p o de operación A es Expo nencial con m edia 8 m inutos. A ntes de cada operación pasan por un alm acén de capacidad 10. Cree un program a en ProM odel que sim ule este sistem a con 15 réplicas de 1000 piezas cada réplica y determ ine: a ) Utilización de cada operación. b) Núm ero prom edio d e piezas e n los alm acenes. c) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en el sistem a. d) Si fuera necesario, ¿cuántas m áquinas agregaría o elim inaría en cada operación? 47. En un sistem a de prod ucción se fabrican 4 tipos de válvulas para la industria petrolera, la materia prima es tom ada del alm acén DO CK y el producto final es depositado en el almacén STOCK. Ambos alm acenes tienen capacidad ilimitada. Además, cada máquina M1, M2 y M3 tiene su propio alm acén de tam año 20, 20 y 30 respectivam ente. Todos los m ovim ientos d e m aterial son realizados por la grúa viajera que se m ueve a una velocidad d e 40 ft/h cuando transporta una válvula y a 50 ft/h cuando está vacía. En el siguiente diagrama se muestra un esquem a d e la distribución de planta.
DO CK
G R Ú A V IA JER A
STO CK
M3
MI
M2
Las distancias (en m etros) entre estaciones son las siguientes: ¡
DOCK
STOCK
DOCK
0
10
STOCK
10
0
10
20
MI
10
0
10
M2
20
10
0
10
10
0
M3
290
20
M1
M2
M3 20
6.11 Problem as |~1
El resto de las distancias se pueden obtener m ed iante el teo rem a de Pitágoras. La siguiente tab la m uestra la secuencia d e operación, la m áq uina dond e se rea liza y el tiem p o d e proceso de cada tip o de válvula. En todas las m áq uin as el tiem po de pro ceso es constante. Operación
Máquina - Tiem po d e proceso (h/pieza)
Válvula-1
Válvula-2
Válvula-3
Válvula-4
1
MI -10
M 2-12
M1 - 5
M1 - 2
2
-
M 3-7
-
M 3 -5
3
M 3-5
M 2-2
M 3 -1 0
M 2 -1 0
La dem anda d e cada uno de los productos es: Producto
Válvula-1
Válvula-2
Válvula-3
Válvula-4
D em anda sem anal
10
40
10
20
El proveedor entrega toda la m ateria prim a necesaria para la producción d e la sem a na los lunes a las 6.00 am. La em presa trab aja solam ente dos turno s al día de lunes a viernes. M ediante ProM odel y Sim runner determ ine: a) El n ú m e ro m ín im o d e m áq u in as y/o g rú as a in sta la r para c u m p lir con la d em anda. Y para la solución propuesta, encuentre: b) Utilización de cada estación. c) La estación cuello d e botella. d) Núm ero de válvulas prom edio en to d o el sistem a por tip o d e producto. e) Núm ero de válvulas prom edio en cada m áquina, incluyendo las que están en los alm acenes respectivos. /) Tiem p o d e perm anencia en el sistem a de cada tip o de válvula. 48. En una celda de m anufactura se realizan 8 operaciones. Las operaciones y los flujos de producción se m uestran en el diagram a. Los núm eros que se encuentran dentro el diagram a representan la proporción d e piezas que salen de una operación y se diri gen a la siguiente. Por ejem plo, del total de las piezas que se procesan en Escuadre, un 50% son enviadas al AS/RS y el otro 50% a Lim pieza, del total de piezas que se procesan en Rectificado el 100% son enviad as a Reproceso. Un sistem a de 50 contenedores perm ite controlar el núm ero d e piezas (1 pieza en cada contenedor) dentro del sistem a. La piezas entran al sistem a en la estación AS/RS y d e allí son transpo rtadas den tro de su contenedor a través de la celda, una vez que la pieza es procesada regresa a la estación AS/RS y sale com o producto term inado. 291
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
i
0.5
“ 10.1
f— AS/RS
CO RTE
ESCU AD RE
iFRFSAD iiu^r\iyv/ O
LIM PIEZA
0.85
1
-
0.5
1
0.5
0.7 0.3
005
,f
N1^1 1 SPFCC l_N_V_IÓ 1V_/N■1
RFCTIFICADO i»t_v. i ii iV-r»vy
1
1
RFPRO i*i—i i\v/\.Ljni/\/ CFSADO
1
La capacidad de producción de cada equipo es: Operación
(Piezas/min)
A S /R S
1 .0 0
C o rte
2 .1 5
Esc u a d re
2 .0 0
R e p ro c e s o
0 .1 5
L im p ie z a
025
In s p e c c ió n
1 .5 0
R e c tific a d o
0 .4 0
F re s a d o
050
Sim ule el proceso de 3 réplicas de un año cada una y determ ine el índice d e produc ción anual de esta celda. 49. La em presa En granes d e Acero SA fabrica piezas autom otrices en una celda flexible de m anufactura. El diagram a m uestra la distribución de los equipos en la celda. Las piezas entran del exterior a un alm acén de m ateria prim a a una tasa de 12 piezas/h con distribución Poisson y posteriorm ente son procesados en el horno, la capacidad del horno es de 10 piezas e inicia su operación cuan do está lleno.
n
Talad ro
Fresado
Robot
R ectificado
To rn ead o
Grúa D escarga
C arga Horno
Inspección Ban d a 2
Ban d a 1 A lm acén
292
6.11 Problem as |
El flujo de producción es el siguiente: 1. 2. 3. 4.
Horno Carga Torneado Fresado
5. 6. 7. 8.
Taladrado Rectificado Descarga Inspección
Para cada m o vim iento entre las operaciones se requiere de las bandas transpo rta doras, el ro bo t o la grúa viajera d e acuerdo con el diagram a anterior. Los tiem po s de proceso son:
* emp° P rom* dio . de proceso (min/pieza)
Número actual de m áquinas
Carga y descarga
0.5
Espacio muy grande
Torneado
5.2
1
9.17
1
1.6
1
Rectificado
2.85
1
Inspección
Exponencial (3)
1
100
1
Operación r
Fresado Taladrado
Horno
La velocidad de los equipos para el m o vim iento de m ateriales es:
Vélocidad (pies/min)
Cantidad actual de equipos
Robot
45
1
Bandas (la longitud de ambas es de 30ft)
30
2
Grúa viajera
25
1
Equipo
Las distancias entre los diferentes procesos son las siguientes: Estación
Estación
Distancia (pies)
Almacén inicial
Horno
10
Horno
Banda 1
15
Torneado y rectificado
Fresado y taladrado
15
Carga y descarga
Torneado y rectificado
20
293
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Con esta inform ación desarrolle un m o d elo de sim ulación. Realice 3 réplicas de 1000 horas cada u no y determ ine: a) La utilización de los equipos. b) La producción d e la celda. c) Identifique la estación cuello d e botella. D eterm ine el núm ero m ín im o d e m áquinas que deberían ser instaladas en cada estación para m axim izar la producción y que la estación considerada com o cu e llo de botella tra b a je a una utilización lo m ás cercana al 95% .
294
Anexo 1 D istribuciones de probabilidad
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
A.1 D istribuciones continuas Distribuciรณn de Erlang
296
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n e x p o n e n cia l Codificación
£ (1 A )
Fu n ció n d e d en sid ad
f(x) = D istrib u ció n acu m u lad a
F(x) =
si
x>0
1Ae_Ax 10 en
otro
J 1—e-Ax
si
x>0
otro
caso
[0
en
caso
Parám etros Parám etro d e e sc a la : — > 0 A Rango
[0, oo)
M edia
1 A
V arianza
1 A2 Exponencial (2)
m 0.50
—
0.25
-
nnn 0.0
\
i
i
i
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
X
29 7
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución gam ma Codificación
G(a,p)
F u n c ió n d e d e n s id a d
f { x ) = ^ f ^ e ‘ 'a r{a)
para
D is t r ib u c ió n a c u m u la d a
pora a n o entera F (x ) =
t 1 -e
X* & l x / B y 2^ — :—
1=0
P a r á m e tro s
x>0
P a rá m e tro d e fo rm a :
P °ro a
i-
entera
a
P a r á m e t r o d e e s c a la : /3 > 0 Rango
[0 , o o )
M e d ia
a .f i
V a r ia n z a
«,/ 32
m
G a m m a (3 .86,5.25)
5.00 x 1 0 ~2
250
(\c\r\ 0.0
0 .2
0 .4
0 .6 X
298
0 .8
1.0
1.2x10 2
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n lo g -lo g ís tic a C o d ific a c ió n Fu n ció n d e d en sid ad
LL[a .P ) a ( x f PY~' f ( x ) = ---------- ------- -
para
x> 0
/ 3 [ l+ ( x / / 3 ) “ ] D istrib u ció n acu m u lad a
F { x ) = --------------1+ ( x / p ) Parám etros
para
x> 0
P arám etro d e e sc a la : /3 > 0 Parám etro d e fo rm a : a > 0
Rango
[0, oo)
M edia
77/3 ^ — cosecante
a
V arianza
tt /32
a
7T — a )
( 2 i r \ tt \ * f ^ 1 — — co seca n te — U J «1 \ a )_
2 cosecante
Log-Logística (3,1)
m 1.00
0.50
0.00
y 0. 0
i
i
1.0
2.0
— — 3.0
i
—
4.0
i
i
5.0
6.0
X
299
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución lognorm al Codificación Fu n ció n d e d en sid ad
L N i f r a 2)
f ( x ) = — - ---- ^ 0 X\¡2tt(t 2
x >o
D istrib u ció n acu m u lad a
-
Parám etros
P arám etro d e e sc a la : ¿i Parám etro de fo rm a : a > 0
Rango
[0, oo)
M edia V arianza
(e‘r' - 1 )ew Lognormal (4,0.792)
m 1.40 xio -2
0.70
0.00 ^ 0.0
1
03
13
1.0 X
300
2.0
-L-----
23
1 3.0x102
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n n o rm a l Codificación Fu n ció n d e d en sid ad
A/(/x, a 2) f(x)-—- — \'27 t c t 2
para
D istrib u ció n acu m u lad a
-
Parám etros
P arám etro d e lo ca liza ció n : /x
x> -~
Parám etro d e e sc a la : a > 0 Rango
(-o°, oo)
M edia V arianza
o-2 Normal (10,2)
m 0.20
0.10
0.00 —-— 0 .4
—i 0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6x10’
X
301
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución triangular Codificación
T [a ,b ,c )
Fu n ció n d e d en sid ad 2 ( x - fl)
f{x) =
{b - a ) ( c - a ) 2 { b - X)
Sí
a <X<C
sí
0 < *< C
si
(b - a )(b - c ) D istrib u ció n a cu m u la d a
(x - ° » 2 {b - a ){ c - a )
F(x) =
1Parám etros
,
{b - a ){b - c )
Sí
P arám etro d e lo ca liza ció n : a Parám etro d e e sca la : b - a P arám etro de fo rm a : c V a lo r m ín im o : a V a lo r m á xim o : b M oda: c
Rango M edia
V arianza
[a, b] l(a + b + c )
— (a 2+ b2 + c2 - a b - a c - b e ) 18 Triangular (1,7,3)
m 0.35
0.17
n nn
/
0.0
i
2.0
i
i
4.0
6.0 X
302
\
1
8.0
1
10.0
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n u n ifo rm e Codificación
U[a,b)
Función de densidad —— si a < x < b f(x ) = b - a 0 en otro caso Distribución acumulada
0 F (x ) =
Parámetros
si
b -a 1 si
x< a si
a < x< b
b<x
a y b son números reales con a < b; Parámetro de localización: a Parámetro de escala: b - a Valor mínimo: a Valor máximo: b
Rango
[a, b)
Media \ ( a+b) Varianza
— (b - a )2 12 ' Uniforme (5,10)
ftx) 0.20
0.10
0.00
i
0.2
0.4
i
0.6
i
i
0.8
i
1.0
i
1.2
1.4x10'
X
303
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución de Weibull Codificación
W ly ,a ,p )
Fu n ció n d e d en sid ad
f ( x ) = - a p - ° { x - y ) a- ' e p 0 en otro caso
si
x> y
D istrib u ció n acu m u lad a
F [ x ) — 1- e p 0 en Parám etros
si x o tro caso
y
P arám etro d e lo ca liza ció n : y P arám etro d e e sc a la : /3 > 0 Parám etro de fo rm a : a > 0
Rango
[ y , 00)
M edia
y + p T { \ + <*"')
V arianza
/32[r(1 + 2 a -, ) - r 2(1+a-, )| Weibull (4,2,1)
m 1.00
0.50
0.00 4. 0
4.5
5.0
53 X
304
6.0
6.5
7.0
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
A.2 D istribuciones d iscretas Distribuciรณn de Bernoulli BE[p)
C o d ific a c iรณ n D istrib u ciรณ n d e p ro b ab ilid ad
1 -p
si
x =0
P
si
x =1
0
otro caso
0 1 -p
si x <0 s i 0 x< 1
1
si
p (* ) =
D istrib u ciรณ n acu m u lad a
Rango
{0,1}
Parรกm etros
p e (0,1)
X
1
M edia V arianza
p(i -
p) Bern o u lli (0.7)
PW 0 .7 0
r-
0.35
0.00
-1.0
0.0
1.0
20
3.0
4.0
5.0
30 5
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución binom ial Codificación
BI[N,p)
D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
Jim
PM =
D istrib u ció n acu m u lad a
0
o tro caso
0
si
PM =<
I,»:,!
si
1 Rango
{0 ,1 ,.JV }
Parám etros
N es u n n ú m ero e n tero
x< 0
x> 1
p e (0 ,1 ) M edia
*3: l
1
V arianza
Np
Binomial (5,( ).5)
0.35
0.17
0.00 -1.0
1 0.0
1.0
2.0 X
306
3.0
4.0
5.0
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n g e o m é tric a Codificación
G EO [p )
1
D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
P(x) =< 0 D istrib u ció n a cu m u la d a
P(x) = < 0 Rango
{0,1,-}
Parám etros
p e (0 ,1 )
M edia
(1 - p ) p - ’
V arianza
(1 -p)p~2
p t i- p Y
si
x = 0 , 1,-.
otro ca so 1- ( 1- p ) L'> '
si
x = 0 , 1,...
otro caso
Geométrica (0.5) P ix )
0.50
-
0.25
0.00 -2. 0
0.0
2.0
I 4.0
i
i 6.0
.
.
.
8.0
i 10.0
X
30 7
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
D is trib u c ió n de Poisson C o d ific a c ió n
PIA.)
D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
— e K
si
0
otro caso
P(x) = x! D istrib u ció n a cu m u la d a
0
P(x) =
x = 0 ,1 ,2 ,.
si x < 0
L*J Y — e'A
si
x >0
S /! Rango Parám etros
A > 0 es u n n ú m ero e n tero
M edia V arianza t o i s s o n (4) Pix)
308
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n u n ifo rm e d iscreta U D (i,í)
C o d ific a c ió n D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
1 p(x) =
y-/+i en
0 D istrib u ció n acu m u lad a
0 P(x) =
k H *1
otro
caso
S/
X < /"
s/
/< x
<j
7 -/+ 1 si
X> i
¡i
Rango
{/,/' + 1
Parám etros
i y j so n nú m eros entero s c o n / < j; Parám etro d e lo ca liza ció n : i P arám etro d e e sca la : j - i
M edia
l« + i) V arianza
Uniforme discreta (1,6) P (*) 0 .2 0
r-
0.10
0.00 0.0
1.0
2.0
3.0
40
5.0
6.0
7.0
309
Anexo 2 Reportes estad Ăstico s en ProM odel (form ato V ie w e r 2.0)
| ~| Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0)
En ProM odel los reportes con form ato Viewer 2.0(3DR) contienen los resultados num éri cos d e la sim ulación, los cuales se presentan en un form ato de hoja d e cálculo. El reporte contiene la inform ación separada en las siguientes hojas: G eneral R e p o r t f o r e je m p lo 4 .1 General
Locations
Location States Mulli
Location States Single/Tank
G e n e ra l íor Ejem p lo 4.1
Ñame
V a lu é
Run Date/Time 21 /04/2005 13:22:00 Model Path/Fie ¡D W ch rvo s ( ¿ ^ ^ a ^ r ^ < ¿ e Í ^ ( ^ l g É g M ^ : p g D Model Tille
En esta sección se encuentran los datos generales del m odelo com o nom bre, fecha de ejecución y el lugar dond e se encuentra el archivo. Entity A ctivity R e p o rt f o r e je m p lo 4 .1 Resources
Resource States
NodeEntnes
Failed Arrivals
j Enbty Activity!
Entity States
En tity A ctivity ío r e|cmplo4.1 To tal Ñame I Pieza A Pieza B Pieza C
• • • • • •
312
CKHS 000 2216 00 000
Cu*1®®1 A v g Tim e In A vg Tim e In Qty In System Move System (MIN) Logic (NIN) 0.00 0.00 0.00 0.00 3.00 11.31 0.00 0.00 0.00
A v g Time A v g Tim e In A v g Tim e W a it For Operation Blocked (MIN) R e s (M IN ) IMIMll 0.00 000 0.00 0.00 901 230 0.00 000 000
T o ta lE x its . Núm ero d e entid ades que abandonaron el sistem a. C u rre n t Q u a n tity In S y ste m . Núm ero d e entidades que perm anecen en el sistem a al fin alizar la sim ulación. A v g T im e In S y ste m . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron en el sistem a sim ulado. A v g T im e In M o v e L o g ic . T ie m p o p ro m ed io que las en tid ad es p erm aneciero n viajando entre las localizaciones. A v g T im e W ait F o r R e s . T ie m p o p ro m ed io que las en tid ad es p erm aneciero n esperando p o r un recurso o por otra entidad. A v g T im e In O p e ra tio n . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron en operación o en una banda transportadora.
Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0) |
•
A v g T im e B lo c k e d . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron esperan do por una localización desocupada.
En tities Costing BB G e n e ra l R e p o rt (B a s e lin e - R e p . 1 ) Localion States Single
Resources
Resource States
Ni < I ►
M íg _co sl.M O D (B a se lin e - R e p . 1)
Ñame
E x p licit E x ils
T o ta l Cost D o líais
Z T o ta l Cost
93.00 0.00 391.00 167.00 0.00
0.00 0.00 6433.84
: :o 0.00 72.06 27.94 0.00
Polo! Blank Cog Reject Beaiing
2494.48 0.00
• •
Ñ a m e . N om bre de la entidad. E x p lic it E x it s . Núm ero de entidades que abandonaron el sistema.
• •
T o ta l C o st. Costo total de las entidades. % T o ta l C o st. Porcentaje del co sto de las entidades correspondiente a la entidad activa.
Entity States By Percentage fffl R e p o r t f o r e je m p lo 4 .1 | Localion States Mullí
|_ j[ n |[ X
Localion States Single/Tank
Resouices
Resource Sta < | »]
E n tity S ta te s for ejem plo4.1
Ñame Pieza A Pieza B Pieza C
I
Z In M ove
Z W a it F o i
L o g ic
Re*
* ln ° P e ,a " on
X B lo c k e d
0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00
0.00 79.70 0.00
0.00 20.30 0.00
y
• •
Ñ a m e . N om bre de la entidad. % l n M o v e L o g ic . Porcentaje del tiem p o que las entidades perm anecieron viajan do entre localizaciones.
•
% W ait F o r R e s. Porcentaje del tiem po que las entidades perm anecieron esperan do por un recurso o por otra entidad. % In O p e ra tio n . Porcentaje del tiem po prom edio que las entidades perm anecie
• •
ron en operación o en una banda transportadora. % B lo c k e d . Porcentaje del tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron esperando por una localización desocupada.
313
| ~| Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0)
Failed A rrival m
R e p o rt fo r e je m p lo 4 .1
General
Locations
Location States Multi
Failed A rriva ls for ejemplo4.1 En tity Ñame
Location Ñame
Total Failed
Pieza B
Almacén 1
0.00
• •
E n tity Ñ am e. N om bre d e la entidad. L o c a tio n Ñ am e. Localización donde ocurre la llegada d e la entidad.
•
T o ta l F a ile d . Núm ero d e entidades que no entraron a la localización por falta de capacidad.
Locatio ns Costing m R e p o rt f o r d e a e rc o NodeEntries
Failed Aiiivals
Entity Activity
Entity States
Variables
( Location Costinc < | ►
Location Costing for deaerco
Ñame Aísle 1 Aislé 2 Aislé 3 Aísle 4 Aislé 5 Aislé 8 Aislé 7
Operation Cost D ollars 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
X Operation
Cost 0.00 0 00 000 0 00 000 0.00 000
R e so u rce Cost Dollars 30.89 34.36 45 93 30 04 40 87 26.65 4010
Cost 4.62 5.13 6.86 4.49 6.11 3.98 5.99
Total Cost Dollars 33.39 34.36 45.93 30.04 40.87 26.65 40.10
X To tal
Cost 4.62 5.13 686 449 611 398 599 v
•
Ñ am e. Nom bre d e la localización.
• •
O p e ra tio n C o st. Costo del tiem po d e operación. % O p e ra tio n C o st. Porcentaje del costo de la localización sobre la sum a de los costos de operación.
• •
R e so u rce C o st. Costo por el uso de un recurso operando dentro d e la localización. % R e s o u rc e C o st. Porcentaje del costo de recurso en la localización sobre la sum a
• •
d e los costos del resto de los recursos. T o ta l C o st. Costo d e operación m ás costo del recurso. % T o ta l C o st. Porcentaje del costo total de la localización sobre la sum a de los costos totales de las localizaciones.
314
X R e so u rce
_______________________________________ Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0) |
Location S ta tes By Percentage (M últiple Capacity)
General
Locations
| Location States MuRij
Location States Single/Tank
Resources
L o ca tio n S ta te s Multi ío r ejem plo4.1 S ch e d u le d Tim e (MINJ
Ñame
Almacén 1 Almacén 2
2
19200.40 19200.40
Empty
Z P a ft O ccu p ied
82.91 99.38
17.09 0.62
Z
z
Fu ll
Down
0.00 0.00
0.00 0.00
• •
Ñ am e. Nom bre d e la localización. S c h e d u le d T im e. Porcentaje de tiem p o en operación.
• •
% E m p ty . Porcentaje d e tiem p o que la localización estuvo vacía. % P a rtia lly O ccu p ied . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo parcial m ente llena.
• •
% Fu ll. Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo llena. % D o w n . Porcentaje de tiem po que la localización estuvo no disponible por paros no program ados.
Location S ta tes By Percentage (Single Capacity/Tank)
Locations
Location States Multi
j Location States Single/Tank!
R e so u ce s
R eso u ce
4
.
Aj
L o c a tio n S ta te s S in g le / T a n k foi ejem plo4.1
Ñame
Lavadoca Inspector. 1 Inspector. 2 Inspector
• • • • • • • •
S ch e d u le d Tim e (M IN)
19200.40 19200.40 19200.40 38400.80
s
O peration
_____________L 46.15 41.32 16.59 28.95
2
Z S e tu p
2
2
W a itin g
B lo c k e d
53 85
0.00
000
0.00
0.00 58.68 0.00 83.41 0.00 71.05
0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00
000
D ow n
Ñ am e. Nom bre d e la localización. S c h e d u le d T im e. Tiem p o total program ado. % O p e ra tio n . Porcentaje d e tiem p o que la localización estuvo en operación. % S e tu p . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo en preparación. % ld le . Porcentaje de tiem po que la localización estuvo ociosa por falta de entidades. % W aitin g . Porcentaje de tiem p o esperando por un recurso o por otra entidad para agruparse, unirse, etcétera. % B lo c k e d . Porcentaje de tiem po que las entidades perm anecieron bloqueadas en la localización. % D o w n . Porcentaje de tiem p o por paros no program ados.
31 5
| ~| Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0)
Locations Report for ejemplo4.1 General
| Locations
\Z_\[ □ ) ¡X_
Location States Mufti
Location States Single/Tank
Resources
Resource State < | »
Locations toi ejemplo4.1 Ñame ___ Almacén 1 Lavadora Almacén 2 Inspector. 1 lnspector.2 Inspector
Scheduled Time Capacity (MIN) 19200 40 999999 00 19200.40 1.00 19200.40 999999 00 19200.40 1 00 19200.40 1.00 38400.80
zoo
Total Entiies 221900 2218.00 2217.00 1584 00 633.00 2217.00
A vg Time Per Entry (MIN) 225 400 005 501 5.03 502
Avg Contents
Máximum Current Contents Contents
026 046 0.01 041 0.17 0.29
500 1.00 ZOO 1.00 1.00 ZOO
“roo 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00
z Utilization ' 4615 000 41 32 16.59 28.95
Ñ am e. Nom bre d e la localización. S c h e d u le d T im e . Tiem p o total program ado d e la localización. C a p a city . Capacidad d e la localización. T o ta l E n fr ie s . Total de entidades que entraron a la localización. A v g T im e P e r E n tr y . Tiem p o prom edio d e perm anencia en la localización. A v g C o n te n ts. Núm ero prom edio de entidades en la localización. M á xim u m C o n te n ts. Núm ero m áxim o de entidades en la localización en el trans curso de la sim ulación. C u rren t C o n ten ts. Número de entidades en la localización al final de la sim ulación. % U tiliz a tio n . Porcentaje d e utilización. Logs US Report fo r ejem plo4.1 1 Resouce States
Node Entries
Faíed Arrivals
Lo g s for ejemplo4
Ñame
316
Number O b servations
Mínimum V a lu é
EntityActivity 1
Máximum V alu é
A vg V a lu é
• •
Ñ am e. Identificador d e registro. N u m b e rs O b se rv a tio n s. Núm ero de entidades que ejecutaron la instrucción LOG durante la sim ulación.
• •
M ín im u m V alué. El m ín im o va lo r d e tiem p o registrado por la instrucción LOG. M á x im u m V alué. El m áxim o valo r d e tiem p o registrado por la instrucción LOG.
•
A v g V a lu é. El valo r prom edio d e tiem p o registrado por la instrucción LOG.
Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0) |
Node En tries S Report for ejemplo4.1 Resource States
|»
[N o d e Enfries!
Failed Arrivals
< | ►
N o d e E n tr ie s fo r ejem p lo 4.1 P a th Ñ am e
N ode Ñ am e
T o ta l E n t r ie s
B lo c k e d E n trie s
•
P a th Ñ a m e . N om bre de la trayectoria.
• • •
N o d e Ñ a m e . Núm ero del nodo. T o ta l E n tr ie s . Total de entradas de un recurso a un nodo. B lo ck e d E n trie s. Número de veces que el nodo estuvo bloqueado por otro recurso.
Resources Costing 1
R e p o rt f o r d e a e rc o Node Entries
Failed Arrivals
¡ Entity Activity
Entity States
Variables
Location Costing
n r<
Filler.l Filie*. 2 Filie*. 3 Filie*. 4 Filler.5 Filie* Checker
.. u U n ,ls
N onU se Cost D o líais
1.00 1.00 1.00
0.80 0.80 0.80
1.00 1.00 5.00 1.00
081 0.83 4.04 11.39
X N onU se U sa g e Cost
* *
R e s o u ic e Costing foi d e a e rco
Ñame
i
X U sage T otal Cost
Cost
D o líais
Cost
D o líais
0.45 0.45 0.45 0.46 0.47 2.28 6.44
99.18 99.08 98 88
12.10 12.09 12.07
99 03 99.13 495.29 87.79
12.09 12.10 60.45 10.71
99.98 99.88 99 68 99 83 99 96 499.33 99.18
X T otal Cost 10.04 10.03 10.01 1002 10 03 50.12 9.96 v
• •
Ñ am e. Nom bre del recurso. N o n U se C o st. Costo atribuible al ocio del recurso.
•
% N o n U se C o st. Porcentaje del costo d e ocio del recurso sobre la sum a de los costos de ocio d e los recursos. U sa g e C o st. Costo p o r usar el recurso.
• • • •
% U sa g e C o st. Porcentaje del costo de utilización del recurso sobre la sum a de los costos de utilización de los recursos. T o ta l C o st. Costo de utilización m ás costo d e ocio. % T o ta l C o st. Porcentaje del costo total del recurso sobre la sum a d e los costos totales de los recursos.
31 7
¡ | Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0)
Reso urce States By Percentage
BU)! x|
SS Report for deaerco I Location States Single/Tank
Resources
| Resource States!
Node Enfries
Failec <_!► I A
Resource States for deaerco Ñame Fler.1 Fler.2 Fler.3 FiHer.4 Filler.5 Fler Checker
Scheduled Time X In Use (MIN) 600.00 98.60 600.00 98.60 600.00 98.57 600 00 98.63 600.00 98.60 3000.00 98.60 600.00 85.14
X Travel X Travel To ToU se Park 060 0.60 0.62 057 0.57 0.59 3.47
X Idle
* Down
080 0.80 0.80 0.81 0.83 0.81 11.39
0 00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
V
|
•
Ñ am e. Nom bre del recurso.
•
S c h e d u le d T im e . Total de tiem p o que el recurso fue program ado para estar dispo nible.
• •
% l n U se . Porcentaje d e tiem p o que el recurso fu e utilizado. % T ra v e l To U se. Porcentaje de tiem p o que el recurso fue utilizado en m o vim ien tos entre localizaciones.
•
% T ra v e l To P a r k . Porcentaje de tiem p o que el recurso estuvo viajando a su nodo base.
• •
% Id le . Porcentaje d e ocio del recurso. % D o w n . Porcentaje que el recurso estuvo no disponible a causa de paros no program ados.
Resources H Report for deaerco Location States Single/Tank
- fn|x [ Resources)
Resource States
NodeEntries
FailedArnvals
EntityAcl <
318
Ñame Units
i ? !
Resources for deaerco
Fdler.l “ T.oo 1.00 Filer.2 Filer.3 1.00 Filer.4 roo Filer.5 1.00 Filer 5.00 Chec... 1.00
600.00 600.00 600.00 600.00 600.00 3000.00 600.00
Number Avg Time Times Per Usage Used (MIN) 33 00 17.93 33.00 17.93 34 00 17.40 3100 19.09 31.00 19.08 18.26 162.00 134.00 3.81
Avg Time Avg Time X % T ravel T0 Travel To Blocked Utilization Use(MIN) Park (MIN) In Travel 0.00 0.00 99.20 0.11 0.11 000 000 99.20 0 00 000 011 99 20 0.11 000 000 9919 0.11 0.00 0.00 99.17 0.11 0.00 0.00 99.19 0.16 0.00 0.00 88.61
v i l
Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0) |
•
Ñ am e. Nom bre del recurso.
•
U n its. Núm ero de recursos.
•
S c h e d u le d T im e . Tiem p o program ado para utilizar el recurso.
• •
N u m b e r o f T im e s U sed . N úm ero d e ocasiones que se utilizó el recurso. A v g T im e P e r U sa g e . Tiem p o prom edio de utilización del recurso.
•
A v g T im e T ra v e l To U se. Tiem p o prom edio por viaje del recurso.
• •
A v g T im e T ra v e l To P a rk . Tiem p o prom edio para dirigirse al nodo base. % B lo c k e d In T ra v e l. Porcentaje d e tiem p o que el recurso estuvo bloqueado al
•
fin al del viaje. % U tiliz a tio n . Porce ntaje d e u til ización d el recu rso.
V a ria b le s
- !ni x
BU Report fo r deaerco Entity Activity
Entity States
| Variables!
Location Costing
Resource Costing
Entity C< 4
Variables for deaerco Ñame Inventory Aislé 1 Inventory Aislé 2 Inventory Aislé 3 Inventory Aislé 4 Inventory Aislé 5 Inventory Aislé 6 Inventory Aislé 7
Total Avg Time Per Change s Change... 69.00 8.56 86.00
6.88
108.00 70.00 107.00 60.00 117.00
5.50 8.46 5.58 9.97 5.12
Mínimum Valué
Máximum Valué
Current Valué
2891.00 2678.00 2384.00 2883.00 2457.00 2974.00 2307.00
3600.00 3600.00 3600.00 3600.00 3600.00 3600.00 3600.00
2891.00 2678.00 2384.00 2883.00 2457.00 2992.00 2307.00
Avg Valué 3261.05 3138.78 2984.03 3234.83 3019.44 3254.74 2930.76 v |
•
Ñ am e. Nom bre d e la variable.
•
T o ta l C h a n g e s. Total d e cam bios de valor d e la variable.
•
A v e ra g e tim e P e r C h a n g e . El tie m p o prom edio entre cam b io s d e va lo r d e la variable.
•
M ín im u m V alué. V alor m ínim o de la variab le en el transcurso de la sim ulación.
• •
M á x im u m V alué. Valor m áxim o de la variab le en el transcurso de la sim ulación. C u rre n t V alué. V alor d e la variab le al fin alizar la sim ulación.
•
A v g V a lu é. Valor prom edio de la variab le a través del tiem po.
31 9
Anexo 3 Reportes estad Ăstico s en ProM odel
| ~| Anexo 3 Reportes estadísticos e n ProM odel
En ProM odel los reportes en form ato View er 4 .0 contienen los resultados num éricos de la sim ulación, los cuales se presentaron en tablas con los siguientes form atos. El reporte contiene la inform ación separada en las siguientes hojas: G eneral
01/11/2011 04:53:06 p.m. Avg. Warmup Duration (Hr)
0
Avg. Simulation Duration (Hr) 1000
En esta sección se encuentran los datos generales del m odelo, com o nom bre, fecha d e ejecución, tiem p o d e calentam iento y tiem p o d e sim ulación. Entity A ctivity n x Total Exits
Ñame
Average Time In System (Min)
Average Time In Move Logic (Min)
Average Time Waiting (Min)
Average Time In Operation (Min)
Average Time Blocked (Min)
diente
10,789.33
1.67
15.95
0.00
0.00
15.20
0.75
j Contador
60,001.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
•
Ñ a m e . N om bre de la entidad.
• •
T o ta lE x its . Núm ero d e entid ades que abandonaron el sistem a. C u rre n t Q u a n tity In S y ste m . Núm ero d e entidades que perm anecen en el sistem a al fin alizar la sim ulación.
•
A v g T im e In S y ste m . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron en el sistem a sim ulado. A v g T im e In M o v e L o g ic . T ie m p o p ro m ed io que las en tid ad es p erm aneciero n viajando entre las localizaciones.
• • • •
322
Current Quantity In System
A v g T im e W aitin g . Tiem po prom edio que las entidades perm anecieron esperan do por un recurso o por otra entidad. A v g T im e In O p e ra tio n . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron en operación o en una banda transportadora. A v g Tim e B lo ck e d . Tiem po prom edio que las entidades perm anecieron esperando por una localización desocupada.
A nexo 3 R eportes estadísticos en P roM odel f~1
E n t i t i e s C o s t in g
Scenario
Ñame
Explicit Exits
Total Cost
% Total Cost
Baseline
Bearing
0.00
0.00
0.00
Baseline
Blank
0.00
0.00
0.00
Baseline
Cog
391.00
6,433.84
72.06
Baseline
Pallet
93.00
0.00
0.00
Baseline
Reject
167.00
2,494.48
27.94
• • •
Ñ a m e . N om bre de la entidad. E x p lic it E x it s . Núm ero de entidades que abandonaron el sistema. T o ta l C o st. Costo total de las entidades.
•
% T o ta l C o st. Porcentaje del co sto de las entidades correspondiente a la entidad activa.
Entity States By Percentage E n t it y S t a t e s (A v g . R e p s ) % In Move Logic
Ñame
% Waiting
n x
% Blocked
% In Operation
Cliente
0.00
0.00
95.31
4.69
Contador
0.00
0.00
0.00
0.00
._
•
Ñ a m e . N om bre de la entidad.
•
% In M o v e L o g ic . Porcentaje del tiem p o que las entidades perm anecieron viajan do entre localizaciones. % W aiting. Porcentaje d e l tiem p o que las entidades perm anecieron esperando
• • •
por un recurso o por otra entidad. % In O p e ra tio n . Porcentaje del tiem po prom edio que las entidades perm anecie ron en operación o en una banda transportadora. % B lo c k e d . Porcentaje del tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron esperando por una localización desocupada.
323
| ~| Anexo 3 Reportes estadísticos e n ProM odel
Failed A rrival Failed Arrivals (Avg. Reps) □ x Ñ am e
Location
C lie n te
T o ta l Failed
R ía
C o ntado r O ficin a
• • •
1 ,6 9 7 .6 7 0 .0 0
Ñ a m e . N om bre de la entidad. L o c a tio n ñ a m e . Localización donde ocurre la llegada d e la entidad. F a ile d A rriv a ls . Núm ero de entidades que no entraron a la localización por falta de capacidad.
Locatio ns Costing i
Location C o sts Scenano
Operation Cost
% Operatien Cost
Resource Cost
% Resource Cost
Total Cost
% Total Cost
Basdine
Aísle 1
0.00
0.00
142.80
4.13
142.80
4.13
Basdine
Aísle 2
0.00
0.00
167.02
4.84
167.02
4.84
Basdine
Aísle 3
0.00
0.00
215.49
6.24
215.49
6.24
Baseline
Aísle 4
0.00
0.00
145.17
4.20
145.17
4.20
Basdine
Boxing Table One
0.00
0.00
382.38
11.07
382.38
11.07
Basdine
Boxing Table Three
0.00
0.00
391.88
11.34
391.88
11.34
Basdine
Boxing Table Two
0.00
0.00
383.14
11.09
383.14
11.09
• •
Ñ a m e . N om bre de la localización. O p e ra tio n C o st. Costo del tiem p o d e operación.
•
% O p e ra tio n C o st. Porcentaje del costo de la localización sobre la sum a de los costos de operación. R e so u rce C o st. Costo por el uso de un recurso operando dentro d e la localización. % R e so u rc e C o st. Porcentaje del co sto de recurso en la localización sobre la sum a d e los costos del resto de los recursos.
• • • •
324
Ñame
□ x
T o ta l C o st. Costo d e operación m ás costo del recurso. % T o ta l C o st. Porcentaje del co sto total de la localización sobre la sum a de los costos totales de las localizaciones.
A nexo 3 R eportes estadísticos en P roM odel f~1
Location S ta tes By Percentage (M últiple Capacity)
Scenario
Scheduled Tim e (H r)
Ñame
% Empty
% Part Occupied
% Full
% Down
Baseline
Aislé 1
59.62
77.92
22.00
0.09
0.00
Baseline
Aislé 2
59.62
74.79
25.00
0.21
0.00
Baseline
Aísle 3
59.62
68.53
31.13
0.34
0.00
Baseline
Aislé 4
59.62
77.39
22.52
0.09
0.00
Baseline
Counting Location
59.62
89.85
10.15
0.00
0.00
Baseline
O rder Table
59.62
0.00
98.71
1.29
0.00
•
Ñ a m e . N om bre de la localización.
• •
S c h e d u le d T im e . Porcentaje de tiem p o en operación. % E m p ty . Porcentaje d e tiem p o que la localización estuvo vacía.
•
% P a rtia lly O ccu p ied . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo parcial m ente llena. % F u ll. Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo llena.
• •
% D o w n . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo no disponible por paros no program ados.
Location S ta tes By Percentage (Single Capacity/Tank) Location S ta te s Ñame
Scheduled Time (Hr)
% Operation
% Setup
% Idle
% Waiting
% Blocked
% Down
Ría
1,000.00
0.00
0.00
86.54
0.00
13.46
0.00
Oíidna
1,000.00
0.00
0.00
100.00
0.00
0.00
0.00
Servidor
4,000.00
68.35
0.00
31.65
0.00
0.00
0.00
Servidor. 1
1,000.00
80.92
0.00
19.08
0.00
0.00
0.00
Scrvidor.2
1,000.00
74.21
0.00
25.79
0.00
0.00
0.00
Servidor.3
1,000.00
65.08
0.00
34.92
0.00
0.00
0.00
Servidor.4
1,000.00
53.19
0.00
46.81
0.00
0.00
0.00
•
Ñ a m e . N om bre de la localización.
• •
S c h e d u le d T im e . Tiem p o total program ado. % O p e ra tio n . Porcentaje d e tiem p o que la localización estuvo en operación.
32 5
| ~| Anexo 3 Reportes estadísticos e n ProM odel
•
% S e tu p . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo en preparación.
•
% Id le . P o rcen taje d e tie m p o que la lo calizació n estu vo ociosa p o r fa lta de en tid ad es.
•
% W aitin g . Porcentaje de tiem p o esperando por un recurso o por otra entidad para agruparse, unirse, etc. % B lo c k e d . Porcentaje de tiem po que las entidades perm anecieron bloqueadas en la localización. % D o w n . Porcentaje de tiem p o por paros no program ados.
• •
L o c a tio n s L o c a tio n S u m m a r y ( A v g . R e p s )
S c h e d u le d T im e (H r)
Ñ am e
C apacity
T otal E ntries
A v e ra g e T im e P e r E ntry (M in)
A v erag e C o n te n ts
M áxim um C o n te n ts
C u rre n t C o n te n ts
□ x
% Utilization
fila
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
1 0 ,7 9 1 . 0 0
0 .7 5
0 .1 3
1 .0 0
0 .0 0
1 3 .4 5
Oficina
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
6 0 ,0 0 1 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
1 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
S ervidor
4 ,0 0 0 .0 0
4 .0 0
1 0 ,7 9 1 . 0 0
1 5 .2 0
0 .6 8
4 .0 0
1 .6 7
6 8 .3 5
S e rv id o r. 1
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
3 ,1 9 7 .3 3
1 5 .1 8
0 .8 1
1 .0 0
0 .6 7
8 0 .9 2
S e rv id o r. 2
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
2 ,9 2 1 .0 0
1 5 .2 4
0 .7 4
1 .0 0
0 .6 7
7 4 .2 1
S e rv id o r. 3
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
2 ,5 7 0 .6 7
1 5 .1 9
0 .6 5
1 .0 0
0 .3 3
6 5 .0 9
S e rv id o r.4
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
2 ,1 0 2 .0 0
1 5 .1 8
0 .5 3
1 .0 0
0 .0 0
5 3 .1 9
• Ñam e. N om bre de la localización. •
S c h e d u le d Time. Tiem p o total program ado d e la localización. Capacity. Capacidad d e la localización. TotalEntries. Total de entidades que entraron a la localización. Avg Time Per Entry. Tiem p o prom edio d e perm anencia en la localización.
• • • • Avg Contents. Núm ero prom edio de entidades en la localización. •
• •
M áxim um Contents. Núm ero m áxim o de entidades en la localización en el tran s curso de la sim ulación. Current Contents. Número de entidades en la localización al final de la sim ulación. % Utilization. Porcentaje d e utilización.
Lo g s Lo as Scenario Baseline
Ñame Tiem po
Number Observations 391.00
Mínimum Valué 276.53
Máximum Valué 6,260.60
□ x i
Average Valué 3,286.73
[
• •
326
Ñ a m e . Identificador del registro. N u m b e rs O b se rv a tio n s. Núm ero de entidades que ejecutaron la instrucción LOG durante la sim ulación.
A nexo 3 R eportes estadísticos en P roM odel f~1
• Mínimum Valué. El m ín im o valo r d e tiem p o registrado por la instrucción LOG. • M áxim um Valué. El m áxim o valo r d e tiem p o registrado por la instrucción LOG. • Avg Valué. El va lo r prom edio d e tiem p o registrado por la instrucción LOG. Node En tries N o d c En t r i e s a x
Scenario
Ñame
Node
Total Entries
Blocked Entries
Baseline
CellNet NI
558.00
0.00
Baseline
CelINet N2
582.00
0.00
Baseline
CdlNet N3
861.00
0.00
Baseline
CellNet N4
838.00
0.00
Baseline
CellNet N5
559.00
0.00
Baseline
CdlNet N6
1,418.00
0.00
Baseline
CdlNet N7
1,376.00
0.00
• • • •
Ñame. N om bre de la trayectoria. N ode. Núm ero del nodo. Total Entries. Total de entradas de un recurso a un nodo. Blocked Entries. Número de veces que el nodo estuvo bloq ueado por otro recurso.
Resources Costing
Scenario
Ñame
Units
NonUse Cost
% NonUse Cost
Usage Cost
% Usage Cost
Total Cost
Baseline
Boxer
3.00
743.28
46.03
687.62
Basdine
Boxer.l
1.00
219.08
13.57
257.89
5.93
476.97
8.00
Baseline
Boxer. 2
1.00
256.38
15.88
220.59
5.07
476.97
8.00
Basdine
Boxer. 3
1.00
267.82
16.59
209.15
4.81
476.97
8.00
Basdine
Checker
1.00
54.23
3.36
541.97
12.47
596.19
10.00
Basdine
Rller
5.00
4.04
0.25
2,976.57
68.48 2,980.61
50.00
Basdine
ReceMng
2.00
813.17
50.36
140.77
• • • • • •
15.82 1,430.91
% Total Cost
3.24
953.94
24.00
16.00
Ñam e. N om bre del recurso. Units. Núm ero de recursos. N onUse Cost. Costo atribuible al o cio del recurso. % N onUse Cost. Porcentaje del costo d e ocio del recurso sobre la sum a de los costos de ocio d e los recursos. Usage Cost. Costo p o r usar el recurso. % Usage Cost. Porcentaje del costo de utilización del recurso sobre la sum a de los costos de utilización de los recursos. 32 7
| ~| Anexo 3 Reportes estadísticos e n ProM odel
• Total Cost. Costo de utilización m ás costo d e ocio. • % Total Cost. Porcentaje del co sto total del recurso sobre la sum a d e los costos totales de los recursos. Resource States By Percentage R e s o u rc e S t a t e s □ x Scenario Baseline
Ñame
Scheduled Tim e (H r)
CellOp
100.00
% Travel T o Use
% In Use 73.62
% Travel T o Park
4.39
0.00
% Idle
% Down
5.32
16.67
• Ñam e. Nom bre del recurso. • Schedu led T im e .Total d e tie m p o que el recu rso fu e program ad o para estar d is • • • • •
ponible. % In Use. Porcentaje d e tiem p o que el recurso fu e utilizado. % Travel To Use. Porcentaje de tiem p o que el recurso fue utilizado en m o vim ien tos entre localizaciones. % Travel To Park. Porcentaje de tiem p o que el recurso estuvo viajando a su nodo base.
% Idle. Porcentaje d e ocio del recurso. % D o w n . Porcentaje que e l recurso estuvo no disponible a causa de paros no program ados.
Resources Resource Surnmary_______________________________ Scenario
Unrts
Scheduled T m e (H r)
Num ber Tim es Used
Average Tim e Per Usage (M m )
Average T m e T ra v d T o Use (M in )
A verage Tim e % T ra v d T o Blocked P ark (M in ) | In Travel
% UOüration
B aseine
B oxer
3.00
178.86
5,157.18
810.00
6.19
0.18
0.00
0.00
48.06
B asdine
Checker
1.00
59.62
3,251.91
813.00
3.85
0.15
0.00
0.00
90 .90
B asdn e
ñ lle r
5.00
298.11
17,862.11
965.00
18.40
0.11
0.00
0 .0 0
99.86
B aseine
Rececving
2.00
119.24
1,055.74
18.00
58.56
0.09
0.00
0 .0 0
14.76
B aseine
R ece M n g .l
1.00
59.62
496.37
7.00
70.74
0.17
0.00
0 .0 0
13.88
B aseine
R ecciving.2
1.00
59.62
559.37
11.00
50.80
0.0S
0.00
0.00
15.64
• • • • • • • •
328
N arre
W crk Tim e (M in )
Ñam e. N om bre del recurso. Units. Núm ero de recursos. Scheduled Time. Tiem p o program ado para utilizar el recurso. Work Time. Tiem p o d e trab ajo efectivo del recurso N um ber o f Times Used. N úm ero d e ocasiones que se utilizó el recurso. Avg Time Per Usage. Tiem p o prom edio de utilización del recurso. Avg Time Travel To Use. Tiem p o prom edio por viaje del recurso. Avg Time Travel To Park. Tiem p o prom edio para dirigirse al nodo base.
o x
_____________________________________________________ A nexo 3 R eportes estadísticos en P roM odel \
• % B locked In Travel. Porcentaje d e tiem p o que el recurso estuvo bloqueado al •
fin al del viaje. % Utilization. Porcentaje d e utilización del recurso.
Variables □
Scenario
Average Time P er Change (M in )___________
Total Changes
Ñame
Mínimum Valué
Máximum Valué
Current Valué
Average Valué
Baseline
Average Tim e In System
4 0 4 .0 0
8 .8 4
0 .0 0
2,297.00
2,292.00
1,154.74
Baseline
Inventory Aísle 1
4 0 9 .0 0
8 .7 4
-880.00
3,600.00
-880.00
1,387.03
Baseline
Inven to ry A ísle 2
481.00
7.43
-1,977.00
3,600.00
-1,977.00
815.22
Baseline
Inven to ry A ísle 3
623.00
5.73
-3,457.00
3,600.00
-3,457.00
134.24
Baseline
Inven to ry A ísle 4
4 1 7 .0 0
8 .5 6
-1,177.00
3,600.00
-1,177.00
1,247.98
Baseline
Order Rlled
1,114.00
3.21
0 .0 0
1,114.00
1,114.00
563.42
• • • • • • •
X
Ñam e. N om bre de la variable. Total Changes. Total d e cam bios de valor de la variable. Average tíme Per Change. El tiem po promedio entre cambios de valor de la variable. Mínimum Valué. V alor m ínim o de la variab le en el transcurso de la sim ulación. M áxim um Valué. Valor m áxim o de la variab le en el transcurso de la sim ulació n. Current Valué. V alor d e la variab le al fin alizar la sim ulación. Average Valué. Valor prom edio de la variab le a través del tiempo.
Seo re boa rd
nx Scenario
Ñame
Baseline
Bearing
Baseline
Blank
Baseline
Cog
Baseline Baseline
Total Exits
A verage T im e In S yste m (M in)
A vera g e Tim e In Operation (M in)
Average Cost
3 9 2 .0 0
1 ,2 2 5 .6 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
3 9 1 .0 0
90.7 3
5 5 .7 0
16.45
Pallet
9 3 .0 0
128.85
1.00
0 .0 0
Reject
167.00
89.0 4
5 4 .1 4
14.94
l
• Ñame. N om bre de la entidad. • Total Exits. Total de entidades procesadas. • Average Tim e In System . Tiem p o de perm anencia prom edio d e las entid ades en • •
el sistem a. Average Time In Operation. Tiem po promedio q ue las entidades estuvieron siendo procesadas. Average Cost. Costo prom edio por entidad.
32 9
Anexo 4 D istribuciones de probabilidad
[ | Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d ________________________________________________________
Probabilidades acum uladas para la distribución Normal Estánd ar
0
0.01
0.02
0.03
0 .0 4
0.05
0 .0 6
0.07
0 .0 8
0.09
0.00
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0 .5 3 5 9 1
0.00
0.10
0 .5 3 9 8
0.5438
0 .5 4 7 8
0.5517
0.5557
0.5 5 9 6
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.10
0.20
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.20
0.30
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0 .6 3 6 8
0.6406
0.6443
0.6480
0.6517
030
0.40
0 .6 5 5 4
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0 .6 7 3 6
0.6772
0 .6 8 0 8 1 0.6844
0.6879 1
0.40 030 0.60
0.50
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0 .7 0 8 8
0.7123
0.7157
0.7190
0.7224
0.60
0.7257
0.7291
0.7324
0.7357
0.7389
0.7422
0.7454
0 .7 4 8 6
0.7517
0.7549
0.70
0.7580 0 7RA11 U./OO
0.7611 0 V.7010 /7 1U
0.7642
0.7673
0.7764
0 7QÍQ U. /7J 7
0 7Qfi7 U./Í7 Ü/
0.7704 0 U./7QQ^ 77J
0.7734
u.ou
U.OUZj
U.OUj 1
0.7794 fi .o ft07fi u u/ o
0.7823 0 8 110uo 6 U.O
U.O 1J J
0.70 o fin u.ou
0.90
0.8159
08186
0.8212
0.8238
0.8 2 6 4
0.8289
0.8315
0.8340
0.8365
0.8389
0.90
1.00
0.8413
0.8438
0.8461
0.8485
0 .8 5 0 8
0.8531
0.8554
0 .8 5 7 7 1 0.8599
0.8621
1.00
•.....1.10
0.8665
0 .8 6 8 6
0.8708
0.8790
0.8888
0.8907
0.8962
0 .8 9 8 0
0.8810 — 0.8830 I 0.8997 0.9015
1.10
0.8869
■■■0.8729 'j 0.9749 0.8925 0 .8 9 4 4
0.8770
1.20
i. 0.8643 0.8849
1.30
0.9032
0.9049
0 .9 0 6 6
0.9082
0.9099
0.9147
0.9162
0.9177
1.30
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9115 nu.yzoD Q7»;c
0.9131
1.40
0.9279
0.9292
0.9306
0.9319
1.40
1.50
0.9332
0.9345
0.9357
0.9370
0.9382
~03394~
0.9406
0.9419
0.9429
0.9441
1.50
0.7852
1.20
1.60
0.9452
0.9463
0.9474
0.9484
0.9495
0.9505
0.9515
0.9525
0.9535
0.9545
1.60
1.70
0 .9 5 5 4
0.9564
0.9573
0.9582
0.9591
0.9599
0.9608
0 .9 6 1 6
0.9625
0.9633
1.80
0.9641
0.9649
0 .9 6 5 6
0.9664
0.9671
0.9693
0.9699
0 .9 7 0 6
1.70 1.80
1.90
0.9713
0.9719
0 .9 7 2 6
0.9732
0.9738
0 .9 7 4 4
0.9750
0.9756
0.9761
0.9767
1.90
200
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0 .9 7 9 8
0.9803
0 .9 8 0 8
0.9812
0.9817
2.00
2.10
0.9821
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9850
0.9854
0.9857
2.10
2.20
0.9861
0.9864
0.9868
0.9871
0.9875
0 .9 8 7 8
0.9881
0.9884
0.9887
0.9890
2.20
2.30
0.9893
0.9896
0.9898
0.9901
0 .9 9 0 4
0 .9 9 0 6
0.909
0.9911
0.9913
0 .9 9 1 6
2.30
2.40
0 .9 9 1 8
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0 .9 9 3 6 1
2.40
0 .9 9 3 8
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0 .9 9 4 6
0.9948
0.9932 0.9949
0.9934
2.50
0.9951
0.9952
2.50
2.60
0.9953
0.9955
0 .9 9 5 6
0.9957
0.9959
0.9960
0.9961
0.9962
0.9963
0 .9 9 6 4
2.60
0.9969
0.9970
0.9971
0.9972
2.70
0 w.yy 9977 /i
0 9977 y/ /
0 9978
0w»9979 y y /y
0v/»y 9979 y/ y
0.9973 0v«yy 9980 va/
0.9974
\ 0y«9975 y y /J
0 .9 9 6 7 0 V/.y 9976 y/\j
0.9968
28 0
0.9965 0 9974
0.9966
w.y 0 9981 yU l
M 2—*uv 80
2.90
0.9981
0.9982
0.9982
0.9983
0.9 9 8 4
0 .9 9 8 4
0.9985
0.9985
0.9986
0.9 9 8 6
2.90
3.00
0.9987
0.9987
0.9987
0.9988
0.9988
0.9989
0.9989
0.9989 1 0.9990
0 .9 9 9 0 1
3.00
3.10
0.9990
0.9991
0.9991
0.9991
0.9992
0.9992
0.9992
0.9992
0.9993
0.9993
3.20
0.9993
0.9993
0.9994
0.9994
0.9994
0 .9 9 9 4
0.9994
0.9995
0.9995
0.9995
3 .1 0 3.20
3.30
0.9995 0.9997
0.9995
0.9996
0.9996
0 .9 9 9 6
0.9996
0.9996
0.9996
0.9997
3.30
3.40
0.9995 0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0 .9 9 9 8
3.40
330
0.9998
0.9998
0 .9 9 9 8
0.9998
0 .9 9 9 8
0.9 9 9 8
0.9998
0 .9 9 9 8
0.9998
0 .9 9 9 8
330
3.60
0 .9 9 9 8
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999 1 0.9999
0.9999
3.60
3.70
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
3.70
3.80
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0 .9 9 9 9 1
3.80
3.90
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
3.90
4.00
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
4.00
2.70
fuente: Valores calculados con Excel.
332
0.9686 0 .9 6 7 8 _________
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Probabilidades acum uladas para la distribución Normal Estánd ar
J
L
Za 0 -40 0
- 0 .0 9
- 0 .0 8
- 0 .0 7
- 0 .0 6
-0 .0 5
- 0 .0 4
- 0 .0 3
-0 .0 2
-0 .0 1
0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
Za -400
- 3 .9 0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
-3 .9 0
- 3 .8 0
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0 .9 9 9 9
-3 .8 0
- 3 .7 0
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
-3 .7 0
- 3 .6 0
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9998
0 .9 9 9 8
-3 .6 0
-3 .5 0
0.9998
0.9998
0 .9 9 9 8
0.9998
0 .9 9 9 8
0 .9 9 9 8
0.9998
0 .9 9 9 8
0.9998
0 .9 9 9 8
-3 .5 0
- 3 .4 0
0 .9 9 9 8
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
-3 .4 0
-3 .3 0
0.9997
0.9996
0.9995
0.9995
-3 .3 0
0.9994
0.9 9 9 6 0.9994
0.9995
0.9995
0.9996 0.9994
0.9996
0.9995
0 .9 9 9 6 0.9995
0.9996
- 3 .2 0
0.9994
0.9994
0.9993
0.9993
-3 .2 0
- 3 .1 0
0.9993
0.9993
0.9992
0.9992
0.9992
0.9992
0.9991
0.9991
0.9991
0.9990
-3 .1 0
- 3 .0 0
0.9990
0.9993
0.9989
0.9989
0.9989
0.9988
0.9988
0.9987
0.9987
0.9997
-3 .0 0
-29 0
0 .9 9 8 6
0.9986
0 .9 9 8 5 1 0.9985
0 .9 9 8 4
0 .9 9 8 4
0.9983
0.9982
0.9982
0.9981
-290
- 2 .8 0
0.9981
0.9980
0 .9 9 7 9 1 0.9979
0.9978
0.9977
0.9977
0 .9 9 7 6
0.9975
0 .9 9 7 4 ]
-2 .8 0
- 2 .7 0
0 .9 9 7 4
0.9973
0.9972
0.9971
0.9970
0.9969
0.9968
0.9967
0.9966
0 .9 9 6 5
-270
- 2 .6 0
0 .9 3 5 4
0.9963
0.9962
0.9951
0.9960
0.9959
0.9957
0 .9 9 5 6
0.9955
0.9953
- 2 . SO
0.9952
0.9951
0.9949
0.9948
0.9 9 4 6
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0.9857
0.9854
0.9850
0.9846
0.9842
0.9 8 3 8
0.9834
0.9830
0.9826
0.9821
-2 .1 0
-2 .0 0
0.9517
0.9812
0 .9 8 0 8
0.9803
0.9 7 9 8
0.9793
0.9788
0.9783
0.9778
0.9772
-2 .0 0
0.9767
0.9761
0 .9 7 5 6
0.9750
0.9 7 4 4
0.9 7 3 8
0.9732
0 .9 7 2 6
0.9719
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0.9633
0.9625
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0.9608
0.9599
0.9591
0.9582
0.9573
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0.9 3 9 4
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0.9345
0.9 3 3 2
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0.9162
0.9115
0.9099
0 .9 0 3 2
-1 .3 0
0.8962
0 .8 9 4 4
0.8925
0.8SO 7
0 .9 0 6 6 0 .8 8 8 8
0.9049
0.8997
0.9147 0.8980
0.9131
-1 2 0
0 .9 1 7 7 0.9515
a9082
0 9222
0.8869
0 .8 8 4 9
- 1 .2 0
- 1 .1 0
0.8830
0.8810
0.8790
0 .8 6 8 6
0.8665
0 .8 6 4 3
- 1 .1 0
0.8521
08599
0.8577
0.8531
0.8 7 2 9 0.8508
0.8708
-1 0 0
0.8770 0.8554
0.8749
03485
0.8461
0.8438
0 .8 4 1 3 ]
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1 QA
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0.8389
0.8365
0.8340
0.8315
0.8289
03264
0.8238
0.8212
0.8186
0.8159
- 0 .9 0
- 0 .8 0
0.8133
0.8106
0.8078
0.8051
0.8023
0.7995
0.7967
0.7939
0.7910
0.7881
- 6 .8 0
- 0 .7 0
0.7852
0.7823
0.7794
0.7764
0.7734
0.7 7 0 4
0.7673
0.7642
0.7611
0 .7 5 8 0
-0 .7 0
-0 .6 0
0.7549
0.7517
0.7485
0.7454
6.7422
0.7389
0 .7 3 5 7
6 .7 3 2 4
0 .7 2 9 1
0.7257
- 0 .6 0
-0 .5 0
0 .7 2 2 4
0.7190
0.7157
0.7123
0.7088
0 .7 0 5 4
0.7019
0.6985
0.6950
0.6915
- 0 .5 0
- 0 .4 0
0.6879
0.6844
0 .6 8 0 8
0.S772
0.6735
0.6700
0.6664
0 .6 6 2 8
0.6591
0 .6 5 5 4
- 0 .4 0
■
-0 .3 0
0.6517
0.6480
0.6443
0.6406
0.6368
0.6331
0.6293
0.6255
0.6217
0.6179
- 0 .3 0
- 0 .2 0
6.6141
0.6103
0 .6 0 6 4
0.6026
0.5987
0 .5 9 4 8
03910
0.5871
0.5832
0 .5 7 9 3
- 0 .2 0
-0 .1 0
0.5753
05714
0.5675
0.5636
0 .5 5 9 6
0.5557
03517
0 .5 4 7 8
0.5438
0 .5 3 9 8
- 0 .1 0
0.00
0.5359
0.5319
0.5279
0.5239
0.5199
03160
03120
03080
03040
03000
0.00
Fuente: Valores calculados con Excel.
333
[ | Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d ______________________________________
Valores críticos para la distribución t-student
v g ra d o s d e libertad
*Q,0
*005
*0025
*001
*0005
*000,
1
Í0 7 8
6.3 1 4
12.706
31.821
63.657
318.309
2
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
22.327
3
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
10.215
4
1333
2.132
2.776
3.747
4.6 0 4
7.173
5
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
5.893
6
1.440
1.943
2.447
3.143
3.707
5.208
7
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
4.7 8 5
8
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
4501
9
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
4.2 9 7
10
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
4 .1 4 4
11
1.363
1.796
2.201
2.7 1 8
3.106
4.0 2 5
12
1.356
1.782
2.179
2.681
3.055
3.930
13
1.350
1.771
2.160
2.650
3.012
3.852
14
1.345
1.761
2.145
2.624
2.977
3.787
15
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
3.733
16
1.337
1.746
2.120
2.583
2.921
3.6 8 6
17
1.333
1.740
2.110
2.567
2.898
3.6 4 6
18
1.330
1.734
2.101
2 .5 5 2
2.878
3.610
19
1.328
1.729
2.093
2.539
2.861
3.579
20
1.325
1.725
2.086
2.528
2.845
3.552
21
1.323
1.721
2.080
2518
2.831
3.527
22
1.321
1.717
2.074
2.508
2.819
3.505
23
1.319
1.714
2.069
2.500
2.807
3.485
24
1.318
1.711
2.064
2.492
2.797
3.467
25
1.316
1.708
2.060
2.485
2.787
3.450
26
1.315
1.706
2.056
2.479
2.779
3.435
27
1.314
1.703
2.052
2.473
2.771
3.421
28
1.313
1.701
2.048
2.467
2.763
3.408
29
1.311
1.699
2.045
2.462
2.756
3.396
30
1.310
1.697
2.042
2.457
2.750
3.385
40
1.303
1.684
2.021
2.423
2.704
3.307
50
1.299
1.676
2.009
2.403
2.678
3.261
60
1.296
1.671
2.000
2.390
2.660
3.232
70
1.294
1.667
1.994
2.381
2.648
3.211
80
1.292
1.664
1.990
2.374
2.639
3.195
90
1.291
1.662
1.987
2.368
2.632
3.183
100
1.290
1.660
1.984
2.364
2.626
3.1 7 4
oo
1.282
1.645
1.960
2.326
2.576
3.090
Fuente: Valores calculados con Excel.
334
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d | 1
Valores críticos para la distribución \ 2
v g rad o s de libertad
X Q10
X2 qos
A^ooas
X Q01
X aoos
A^aooi
1
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2
4.605
5.991
7.378
9.210
10.597
13.816
3
6.251
7.815
9.348
11.345
12.838
16.266
4
7.779
9.4 8 8
11.143
13.277
14.860
18.467
5
9.236
11.070
12.833
15.086
16.750
20.515
6
10.645
12.592
14.449
16.812
18.548
22.458
7
12.017
14.067
16.013
18.475
20.278
24.322
8
13.362
15.507
17.535
20.090
21.955
2 6 .1 2 4
9
14.684
16.919
19.023
21.666
23.589
27.877
10
15.987
18.307
20.483
23.209
25.188
2 9 .5 8 8
11
17.275
19.675
21.920
24.725
26.757
3 1 .2 6 4
12
18.549
21.026
23.337
26.217
28.300
32.909
13
19.812
22.362
24.736
27.688
29.819
3 4 .5 2 8
14
21.064
23.685
26.119
29.141
31.319
36.123
15
22.307
24.996
27.488
30.578
32.801
37.697
16
23.542
26.296
28.845
32.000
34.267
39.252
17
24.769
27.587
30.191
33.409
35.718
4 0 .7 9 0
18
25.989
28.869
31.526
34.805
37.156
4 2 .3 1 2
19
27.204
30.144
32.852
36.191
38.582
4 3 .8 2 0
20
28.412
31.410
34.170
37.566
39.997
4 5 .3 1 5
21
29.615
32.671
35.479
38.932
41.401
4 6 .7 9 7
22
30.813
33.924
36.781
40.289
42.796
4 8 .2 6 8
23
32.007
35.172
38.076
41.638
44.181
4 9 .7 2 8
24
33.196
36.415
39.364
42.980
45.559
51.179
25
34.382
37.652
4 0 .6 4 6
4 4 .3 1 4
46.928
52.620
26
35.563
38.885
41.923
45.642
48.290
54.052
27
36.741
40.113
43.195
46.963
49.645
55.476
28
37.916
41.337
44.461
4 8 .2 7 8
50.993
56.892
29
39.087
42.557
45.722
4 9 .5 8 8
52.336
58.301
30
40.256
43.773
46.979
50.892
53.672
59.703
40
51.805
55.758
59.342
63.691
66.766
73.402
50
63.167
67.505
71.420
76.154
79.490
86.661
60
74.397
79.082
83.298
88.379
91.952
99.607
70
85.527
90.531
95.023
100.425
104.215
112.317
80
96.578
101.879
106.629
112329
116.321
124.839
90
107.565
113.145
118.136
124.116
128.299
137.208
100
118.498
124.342
129.561
135.807
140.169
149.449
Para v > 100 usar %2va = 0.5[ Z a + \ j2 v - ‘\) fuente: Valores calculados con Excel.
33 5
[ | Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d __________________________________________________
Valores críticos para la distribución \ 2 (continuación)
v g ra d o s d e li b e r t a d
Af?Q90
* 2Q9S
X } Q9JS
A Q99
* * 0.995
A a999
1
0 .0 1 6
0 .0 0 4
0 .0 0 1
0 .0 0 0
0 .0 0 0
0 .0 0 0
2
0 .2 1 1
0 .1 0 3
0 .0 5 1
0 .0 2 0
0 .0 1 0
0 .0 0 2
3
0 .5 8 4
0 .3 5 2
0 .2 1 6
0 .1 1 5
0 .0 7 2
0 .0 2 4
4
1 .0 6 4
0 .7 1 1
0 .4 8 4
0 .2 9 7
0 .2 0 7
0 .0 9 1
5
1 .6 1 0
1 .1 4 5
0 .8 3 1
0 .5 5 4
0 .4 1 2
0 .2 1 0
6
2 .2 0 4
1 .6 3 5
1 .2 3 7
0 .8 7 2
0 .6 7 6
0 .3 8 1
7
2 .8 3 3
2 .1 6 7
1 .6 9 0
1 .2 3 9
0 .9 8 9
0 .5 9 8
8
3 .4 9 0
2 .7 3 3
Z180
1 .6 4 6
1 .3 4 4
0 .8 5 7
9
4 .1 6 8
3 .3 2 5
2 .7 0 0
2 .0 8 8
1 .7 3 5
1 .1 5 2
10
4 .8 6 5
3 .9 4 0
3 .2 4 7
2 .5 5 8
2 .1 5 6
1 .4 7 9
11
5 .5 7 8
4 .5 7 5
3 .8 1 6
3 .0 5 3
2 .6 0 3
1 .8 3 4
12
6 .3 0 4
5 .2 2 6
4 .4 0 4
3 .5 7 1
3 .0 7 4
2 .2 1 4
13
7 .0 4 2
5 .8 9 2
5 .0 0 9
4 .1 0 7
3 .5 6 5
2 .6 1 7
14
7 .7 9 0
6 .5 7 1
5 .6 2 9
4 .6 6 0
4 .0 7 5
3 .0 4 1
15
8 .5 4 7
7 .2 6 1
6 .2 6 2
5 .2 2 9
4 .6 0 1
3 .4 8 3
16
9 .3 1 2
7 .9 6 2
6 .9 0 8
5 .8 1 2
5 .1 4 2
3 .9 4 2
17
1 0 .0 8 5
8 .6 7 2
7 .5 6 4
6 .4 0 8
5 .6 9 7
4 .4 1 6
18
1 0 .8 6 5
9 .3 9 0
8 .2 3 1
7 .0 1 5
6 .2 6 5
4 .9 0 5
19
1 1 .6 5 1
1 0 .1 1 7
8 .9 0 7
7 .6 3 3
6 .8 4 4
5 .4 0 7
20
1 2 .4 4 3
1 0 .8 5 1
9 .5 9 1
8 .2 6 0
7 .4 3 4
5 .9 2 1
21
1 3 .2 4 0
1 1 .5 9 1
1 0 .2 8 3
8 .8 9 7
8 .0 3 4
6 .4 4 7
22
1 4 .0 4 1
1Z338
1 0 .9 8 2
9 .5 4 2
8 .6 4 3
6 .9 8 3
23
1 4 .8 4 8
1 3 .0 9 1
1 1 .6 8 9
1 0 .1 9 6
9 .2 6 0
7329
24
1 5 .6 5 9
1 3 .8 4 8
1 2 .4 0 1
1 0 .8 5 6
9 .8 8 6
8 .0 8 5
25
1 6 .4 7 3
1 4 .6 1 1
1 3 .1 2 0
1 1 .5 2 4
1 0 .5 2 0
8 .6 4 9
26
1 7 .2 9 2
1 5 .3 7 9
1 3 .8 4 4
1 2 .1 9 8
1 1 .1 6 0
9 .2 2 2
27
1 8 .1 1 4
1 6 .1 5 1
1 4 .5 7 3
1 2 .8 7 9
1 1 .8 0 8
9 .8 0 3
28
1 8 .9 3 9
1 6 .9 2 8
1 5 .3 0 8
1 3 .5 6 5
1 2 .4 6 1
1 0 .3 9 1
29
1 9 .7 6 8
1 7 .7 0 8
1 6 .0 4 7
1 4 .2 5 6
1 3 .1 2 1
1 0 .9 8 6
30
2 0 .5 9 9
1 8 .4 9 3
1 6 .7 9 1
1 4 .9 5 3
1 3 .7 8 7
1 1 .5 8 8
— — — —— — — —
■ ■
-
■
—■
40
2 9 .0 5 1
2 6 .5 0 9
2 4 .4 3 3
2 2 .1 6 4
2 0 .7 0 7
1 7 .9 1 6
50
3 7 .6 8 9
3 4 .7 6 4
3Z357
2 9 .7 0 7
2 7 .9 9 1
2 4 .6 7 4
60
4 6 .4 5 9
4 3 .1 8 8
4 0 .4 8 2
3 7 .4 8 5
3 5 .5 3 4
3 1 .7 3 8
70
5 5 .3 2 9
5 1 .7 3 9
4 8 .7 5 8
4 5 .4 4 2
4 3 .2 7 5
3 9 .0 3 6
80
6 4 .2 7 8
6 0 .3 9 1
5 7 .1 5 3
5 3 .5 4 0
5 1 .1 7 2
4 6 .5 2 0
90
7 3 .2 9 1
6 9 .1 2 6
6 5 .6 4 7
6 1 .7 5 4
5 9 .1 9 6
5 4 .1 5 5
100
8 2 .3 5 8
7 7 .9 2 9
7 4 .2 2 2
7 0 .0 6 5
6 7 .3 2 8
6 1 .9 1 8
Para v > 100 usar
|
va = 0 .5 ( Z a + \/2u-11
F u e n te : V a lo re s c a lc u la d o s c o n E x c e l.
336
- -----
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d | 1
Valores críticos de la distribución F con a = 0.05 ----------
k. o c <u E 3 C ■ai
2 ro Q.
Grados de libertad para el denominador 4
5
6
8
9
10
15
20
30
50
100
18.51 10.13
7.71
6.61
5.99
5.32
5.12
4.96
4.54
4.35
4.17
4.03
3.94
199.50
19.00
9.55
6.94
5.79
5.14
4.46
4.26
4.10
3.68
3.49
3.32
3.18
3.09
3
215.71
19.16
9.28
6.59
5.41
4.76
4.07
3.86
3.71
329
3.10
2.92
2.79
2.70
4
224.58
19.25
9.12
6.39
5.19
453
3.84
3.63
3.48
3.06
2.87
2.69
2.56
2.46
5
230.16
19.30
9.01
6.26
5.05
4.39
3.69
3.48
3.33
2.90
2.71
2.53
2.40
2.31
6
233.99
19.33
8.94
6.16
4.95
428
3.58
3.37
3.22
2.79
2.60
2.42
229
2.19
8
238.88
19.37
8.85
6.04
4.82
4.15
3.44
3.23
3.07
2.64
2.45
2.27
2.13
2.03
X
1
1
161.45
2
2
3
9
240.54
19.38
8.81
6.00
4.77
4.10
3.39
3.18
3.02
2.59
2.39
2.21
2.07
1.97
a -Q
10
241.88
19.40
8.79
5.96
4.74
4.06
3.35
3.14
2.98
254
2.35
2.16
2.03
1.93
Ü
15
245.95
19.43
8.70
5.86
4.62
3.94
322
3.01
2.85
2.40
220
2.01
1.87
1.77
20
245.95
19.45
8.66
5.80
4.56
3.87
3.15
2.94
2.77
2.33
2.12
1.93
1.78
1.68
30
250.10
19.46
8.62
5.75
4.50
3.81
3.08
2.86
2.70
2.25
2.04
1.84
1.69
1.57
50
251.77
19.48
8.58
5.70
4.44
3.75
3.02
2.80
2.64
2.18
1.97
1.76
1.60
1.48
100
253.04
19.49
855
5.66
4.41
3.71
2.97
2.76
259
2.12
1.91
1.70
1.52
1.39
1 8 o
fu e n t e : V a lo re s c a lc u la d o s c o n E xce l.
Valores críticos de la distribución F con a = 0 .1 Grados de libertad para el denominador
k_ -§ m ki (V L. 3 C
"á¡
X
1
2
3
4
5
6
8
9
10
15
20
30
50
100
1
39.86
8.53
5.54
4.54
4.06
3.78
3.46
3.36
3.29
3.07
2.97
2.88
2.81
2.76
2
4950
9.00
5.46
4.32
3.78
3.46
3.11
3.01
2.92
2.70
259
2.49
2.41
2.36
3
53.59
9.16
5.39
4.19
3.62
3.29
2.92
2.81
2.73
2.49
2.38
2.28
2.20
2.14
4
55.83
9.24
5.34
4.11
3.52
3.18
2.81
2.69
2.61
2.36
2.25
2.14
2.06
2.00
5
5724
929
5.31
4.05
3.45
3.11
2.73
2.61
2.52
227
2.16
2.05
1.97
1.91
6
5820
9.33
528
4.01
3.40
3.05
2.67
2.55
2.46
22}
2.09
1.98
1.90
1.83
8
59.44
9.37
5.25
3.95
3.34
2.98
2.59
2.47
2.38
2.12
2.00
1.88
1.80
1.73
9
59.86
9.38
5.24
3.94
3.32
2.96
2.56
2.44
2.35
2.09
1.96
1.85
1.76
1.69
10
60.19
9.39
523
3.92
3.30
2.94
2.54
2.42
2.32
2.06
1.94
1.82
1.73
1.66
15
6122
9.42
520
3.87
324
2.87
2.46
2.34
2.24
1.97
1.84
1.72
1.63
156
20
61.74
9.44
5.18
3.84
321
2.84
2.42
2.30
2.20
1.92
1.79
1.67
157
1.49
30
6226
9.46
5.17
3.82
3.17
2.80
2.38
2.25
2.16
1.87
1.74
1.61
150
1.42
50
62.69
9.47
5.15
3.80
3.15
2.77
2.35
222
2.12
1.83
1.69
1.55
1.44
1.35
100
63.01
9.48
5.14
3.78
3.13
2.75
2.32
2.19
2.09
1.79
1.65
1.51
1.39
1.29
w.
OJ Q-
TS tk *_ 0) -Q OJ "O
1
2
Fuente: Valores calculados con Excel.
33 7
[ | Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d __________________________________________________
Valores críticos de la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov V grados de libertad
n
^« =0.05
^<* =0.01
1
0.950
0.975
0.995
2
0.776
0.842
0.929
3
0.642
0.708
0.828
4
0.564
0.624
0.733
5
0.510
0.565
0.669
6
0.470
0521
0.618
0.438
0.486
0.577
8
0.411
0.457
0.543
9
0.388
0.432
0514
10
0.368
0.410
0.490
11
0.352
0.391
0.468
12
0.338
0.375
0.450
13
0.325
0.361
0.433
14
0.314
0.349
0.418
15
0.304
0.338
0.404
16
0.295
0.328
0.392
17
0.286
0.318
0.381
18
0.278
0.309
0.371
19
0.272
0.301
0.363
20
0.264
0.294
0.356
25
0250
0.270
0.320
30
0.220
0240
0290
35
0210
0.230
0270
40
0.193
0215
0258
45
0.182
0.203
0.243
Para valores mayores a 35
122 n/ti
1.36
1.6 3 Vñ
7
----------------------------
Fuente. M a sse y, F. J. (1 9 5 1 ). “T h e K o lm o g o ro v -S m irn o v T e s t f o r G o o d n e s s o f F it" T h e Jo u rn a l o f th e A m e r ic a n S tatistical A s s o c ia tio n (n ú m e ro 4 6 ) , p p 70.
338
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Estadísticos de prueba y valores críticos para la prueba de Anderson-Darling. Valores críticos a Distribución
Estadístico de prueba ajustado
0.1
.05
.025
.001
Parámetros conocidos n > 5
<
1.933
2.492
3.070
3.857
Normal
0.632
0.751
0.870
1.029
Exponencial
1.070
1.326
1.587
1.943
Weibull
0.637
0.757
0.877
1.038
Log-logística
0.563
0.660
0.769
0.906
4 ^ ) Fuente: Law, A.M. y Kelton, W.D. (2000), "Simulation Modeling and Analysis", (3th. ed). pp. 368, McGraw Hill.
33 9
| ~| Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Valores de la funciรณn Gamm a X
T(x)
X
T(x)
T(x)
T(x)
1.00
1.0000000
1.25
0.9064025
1.50
0.8862269
1.75
0.9190625
1.01
0.9943259
1.26
0.9043971
1.51
0.8865917
1.76
0.9213749
1.02
0.9888442
1.27
0.9025031
1.52
0.8870388
1.77
0.9237631
1.03
0.9835500
1.28
0.9007185
153
0.8875676
1.78
0.9262273
1.04
0.9784382
1.29
0.8990416
1.54
0.8881777
1.79
0.9287675
1.05
0.9735043
1.30
0.8974707
1.55
0.8888683
1.80
0.9313838
1.06
0.9687436
1.31
0.8960042
1.56
0.8896392
1.81
0.9340763
1.07
0.9641520
132
0.8946405
157
0.8904897
1.82
0.9368451
1.08
0.9597253
1.33
0.8933781
1.58
0.8914196
1.83
0.9396904
1.09
0.9554595
1.34
0.8922155
1.59
0.8924282
1.84
0.9426124
1.10
0.9513508
1.35
0.8911514
1.60
0.8935153
1.85
0.9456112
1.11
0.9473955
1.36
0.8901845
1.61
0.8946806
1.86
0.9486870
1.12
0.9435902
1.37
0.8893135
1.62
0.8959237
1.87
0.9518402
1.13
0.9399314
1.38
0.8885371
1.63
0.8972442
1.88
0.9550709
1.14
0.9364161
1.39
0.8878543
1.64
0.8986420
1.89
0.9583793
1.15
0.9330409
1.40
0.8872638
1.65
0.9001168
1.90
0.9617658
1.16
0.9298031
1.41
0.8867647
1.66
0.9016684
1.91
0.9652307
1.17
0.9266996
1.42
0.8863558
1.67
0.9032965
1.92
0.9687743
1.18
0.9237278
1.43
0.8860362
1.68
0.9050010
1.93
0.9723969
1.19
0.9208850
1.44
0.8858051
1.69
0.9067818
1.94
0.9760989
1.20
0.9181687
1.45
0.8856614
1.70
0.9086387
1.95
0.9798807
1.21
0.9155765
1.46
0.8856043
1.71
0.9105717
1.96
0.9837425
1.22
0.9131059
1.47
0.8856331
1.72
0.9125806
1.97
0.9876850
1.23
0.9107549
1.48
0.8857470
1.73
0.9146654
1.98
0.9917084
1.24
0.9085211
1.49
0.8859451
1.74
0.9168260
1.99
0.9958133
2.00
1.0000000
Valores calculados a p artir de la ecuaciรณn de aproxim aciรณn de Lanczos Para valores d e x no tabulados, usar la relaciรณn T (x + 1) = x T(x) Para valores n aturales d e x , usar T(x) = ( x - 1)! Fuente. A P re c is iรณ n A p ro x im a tio n o f th e G a m m a F u n c tio n ; J SIAM N u m e r. A n al. Ser. B v V o l l ; p p 6 8 - 9 6 ; (1 9 6 4 ).
340
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d | 1
Probabilidades acum uladas de la distribuciรณn Poisson X
0 1 2
0.01 0.9900 1.0000
0.05 0.9512 0.9988 1.0000
3
0.1 0.9048 0.9953 0.9998 1.0000
4 5
0.2 0.8187 0.9825 0.9989 0.9999
0.3 0.7408 0.9631 0.9964 0.9997
1.0000
1.0000
Media 0.4 0.6703 0.9384 0.9921 0.9992
05 0.6065 0.9098 0.9856 0.9982
0.6 05488 0.8781 0.9769 0.9966
0.7 0.4966 0.8442 0.9659 0.9942
0.8 0.4493 0.8088 0.9526 0.9909
0.9 0.4066 0.7725 0.9371 0.9865
0.9999 1.0000
0.9998 1.0000
0.9996 1.0000
0.9992 0.9999 1.0000
0.9986 0.9998 1.0000
0.9977 0.9997 1.0000
Media 15 0.2231 0.5578 0.8088 0.9344 0.9814 0.9955 0.9991 1.000
1.6 0.2019 05249 0.7834 0.9212 0.9763 0.9940 0.9987 1.000
0.1827 0.4932 0.7572 0.9068 0.9704 0.9920 0.9981 1.000
1.8 0.1653 0.4628 0.7306 0.8913 0.9636 0.9896 0.9974 0.999 1.000
1.9 0.1496 0.4337 0.7037 0.8747 0.9559 0.9868 0.9966 0.999 1.000
2 0.1353 0.4060 0.6767 0.8571 0.9473 0.9834 0.9955 0.999 1.000
6 0.0025 0.0174 0.0620 0.1512 0.2851 0.4457 0.6063 0.744 0.847 0.916 0.957 0.980 0.991 0.996 0.999 0.999 1.000
6.5 0.0015 0.0113 0.0430 0.1118 0.2237 0.3690 0.5265 0.673 0.792 0.877 0.933 0.966 0.984 0.993 0.997 0.999 1000
7 0.0009 0.0073 0.0296 0.0818 0.1730 0.3007 0.4497 0.599 0.729 0.830 0.901 0.947 0.973 0.987 0.994 0.998 0.999 1.000
75 0.0006 0.0047 0.0203 0.0591 0.1321 0.2414 0.3782 0.525 0.662 0.776 0.862 0.921 0.957 0.978 0.990 0.995 0.998 0.999 1.000
6
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 0.3679 0.7358 0.9197 0.9810 0.9963 0.9994 0.9999 1.000
2.5 0.0821 0.2873 0.5438 0.7576 0.8912 0.9580 0.9858 0.996 0.999 1.000
1.1 0.3329 0.6990 0.9004 0.9743 0.9946 0.9990 0.9999 1.000
3 0.0498 0.1991 0.4234 0.6472 0.8153 0.9161 0.9665 0.988 0.996 0.999 1.000
1.2 0.3012 0.6626 0.8795 0.9662 0.9923 0.9985 0.9997 1.000
35 0.0302 0.1359 0.3208 0.5366 0.7254 0.8576 0.9347 0.973 0.990 0.997 0.999 1.000
1.3 0.2725 0.6268 0.8571 0.9569 0.9893 0.9978 0.9996 1.000
4 0.0183 0.0916 0.2381 0.4335 0.6288 0.7851 0.8893 0.949 0.979 0.992 0.997 0.999 1.000
1.4 0.2466 05918 0.8335 0.9463 0.9857 0.9968 0.9994 1.000
4.5 0.0111 0.0611 0.1736 0.3423 0.5321 0.7029 0.8311 0.913 0.960 0.983 0.993 0.998 0.999 1.000
Media 5 0.0067 0.0404 0.1247 02650 0.4405 0.6160 0.7622 0.867 0.932 0.968 0.986 0.995 0.998 0.999 1.000
5.5 0.0041 0.0266 0.0884 0.2017 0.3575 0.5289 0.6860 0.809 0.894 0.946 0.975 0.989 0.996 0.998 0.999 1.000
Fuente. Valores calculados con Excel.
341
| ~| Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Probabilidades acum uladas de la distribuciรณn Poisson (continuaciรณn) 8 0 0.0003 1 0.0030 2 0.0138 3 0.0424 4 0.0996 5 0.1912 6 0.3134 7 0.453 8 05925 9 0.7166 10 0.8159 11 0.8881 12 0.9362 13 0.9658 14 0.9827 15 0.9918 16 0.9963 17 0.9984 18 0.9993 19 0.9997 20 0.9999 21 1.0000 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X
9 0.0001 0.0012 0.0062 0.0212 0.0550 0.1157 0.2068 0.324 0.4557 0.5874 0.7060 0.8030 0.8758 0.9261 0.9585 0.9780 0.9889 0.9947 0.9976 0.9989 0.9996 0.9998 0.9999 1.0000
10 0.0000 0.0005 0.0028 0.0103 0.0293 0.0671 0.1301 0.220 0.3328 0.4579 0.5830 0.6968 0.7916 0.8645 0.9165 0.9513 0.9730 0.9857 0.9928 0.9965 0.9984 0.9993 0.9997 0.9999 1.0000
Fuente. Valores calculados con Excel.
342
11 0.0000 0.0002 0.0012 0.0049 0.0151 0.0375 0.0786 0.143 0.2320 0.3405 0.4599 05793 0.6887 0.7813 0.8540 0.9074 0.9441 0.9678 0.9823 0.9907 0.9953 0.9977 0.9990 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000
12 0.0000 0.0001 0.0005 0.0023 0.0076 0.0203 0.0458 0.090 0.1550 0.2424 0.3472 0.4616 0.5760 0.6815 0.7720 0.8444 0.8987 0.9370 0.9626 0.9787 0.9884 0.9939 0.9970 0.9985 0.9993 0.9997 0.9999 0.9999 1.0000
Media 13 0.0000 0.0002 0.0011 0.0037 0.0107 0.0259 0.054 0.0998 0.1658 0.2517 0.3532 0.4631 0.5730 0.6751 0.7636 0.8355 0.8905 0.9302 0.9573 0.9750 0.9859 0.9924 0.9960 0.9980 0.9990 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000
14 0.0000 0.0001 0.0005 0.0018 0.0055 0.0142 0.032 0.0621 0.1094 0.1757 0.2600 0.3585 0.4644 0.5704 0.6694 0.7559 0.8272 0.8826 0.9235 0.9521 0.9712 0.9833 0.9907 0.9950 0.9974 0.9987 0.9994 0.9997 0.9999 0.9999 1.0000
15
16
0.0000 0.0002 0.0009 0.0028 0.0076 0.018 0.0374 0.0699 0.1185 0.1848 0.2676 0.3632 0.4657 0.5681 0.6641 0.7489 0.8195 0.8752 0.9170 0.9469 0.9673 0.9805 0.9888 0.9938 0.9967 0.9983 0.9991 0.9996 0.9998 0.9999 1.0000
0.0000 0.0001 0.0004 0.0014 0.0040 0.010 0.0220 0.0433 0.0774 0.1270 0.1931 0.2745 0.3675 0.4667 0.5660 0.6593 0.7423 0.8122 0.8682 0.9108 0.9418 0.9633 0.9777 0.9869 0.9925 0.9959 0.9978 0.9989 0.9994 0.9997 0.9999 0.9999 1.0000
18
0.0000 0.0001 0.0003 0.0010 0.003 0.0071 0.0154 0.0304 0.0549 0.0917 0.1426 0.2081 02867 0.3751 0.4686 0.5622 0.6509 0.7307 0.7991 0.8551 0.8989 0.9317 0.9554 0.9718 0.9827 0.9897 0.9941 0.9967 0.9982 0.9990 0.9995 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000
20
0.0000 0.0001 0.0003 0.001 0.0021 0.0050 0.0108 0.0214 0.0390 0.0661 0.1049 0.1565 02211 02970 0.3814 0.4703 0.5591 0.6437 0.7206 0.7875 0.8432 0.8878 0.9221 0.9475 0.9657 0.9782 0.9865 0.9919 0.9953 0.9973 0.9985 0.9992 0.9996 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000
í ndice
A Algoritm o co ngruencial aditivo, 30
D D istribución de conjunto d e datos, determ ina ción, 62
co ngruencial m ultiplicativo, 29 d e cuadrados m edios, 24 d e m ultiplicad or constante, 26 d e productos m edios, 25 lineal, 27 Algoritm os congruenciales no lineales, 31
D istribuciones de probabilidad (Anexo 1), 296-309,331 de Erlang, 296 de W eibull, 304 distribuciones continuas, 296 exponencial, 297
cuadrático, 31 d e Blum , Blum y Shub, 32 A nálisis d e sensibilidad, 15 Arribos cíclicos, 186 Atributo, 6 C Corrida, tam a ñ o insu ficiente d e la, 10
gam m a, 298 log.logística, 229 lognorm al, 300 normal, 301 triangular, 302 uniform e, 303 D istribuciones de probabilidad (Anexo 4), 331-342
| ~| índice
estadísticos d e prueba y valores críticos para la prueba de Anderson-Darling, 339 probabilidades acum uladas para la d istrib u ción N orm al Estándar, 333 valores críticos de la prueba d e KolmorovSm irnov, 338 valores d e la función gam m a, 340 D istribucio nes discretas, 305 binom ial, 306 de Bernoulli, 305
I Instrucciones d e control, 252 Instrucciones d e ProM odel, 201-294 funcio nes probabilísticas, biblioteca, 202 L Localizaciones, 6 M M étodo de la transform ada inversa, 78 M odelo d e un proceso d e ensam ble e
E Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de
inspección, 126 estado d e la barra, 1 27 gráfica d e estabilización, 128 longitud d e la barra 1 ,1 2 7 M odelo d e un sistem a d e inventarios, 130 dem anda, 131
piezas, 225 Entidad, 4 , 7 Erlang, distribución de, 129 Estado, estable, 8, 9 transitorio, 8
entrega d e m aterial, 131 inventario al fin al del día, 132 registros históricos, 147 resid uo o m ódu lo (MO), 131 M odelo(s) d e sim ulación, 2 ,1 2 1 continuos, 2
de Poisson, 308 geom étrica, 307 uniform e discreta, 309
Evento(s), 4 , 8 actuales, 4 futuros, 4 F Función de densidad de probabilidad, 61 G Generación de distribución distribución distribución distribución
variables aleatorias, binom ial, 88 de Bernoulli, 82 de Erlang, 86 exponencial, 81
distribución norm al, 87 distribución triangular, 89 distribución uniform e, 80 m étodo de com posición, 89 m étodo de convolución, 86 m étodo de la transform ada inversa, 78 m étodo de transform ación directa, 92 344
de una línea d e espera con un servidor, 122 determ m ísticos, 3 dinám icos, 3 discretos, 3 estáticos, 3 generación del, 12 probabilísticos (estocásticos) 3 validación del, 13 verificación del, 13 verificación y validación del, 114 M odelado de un sistem a, 175 definición d e entidades, 179 definición d e localizaciones, 176 definición d e llegadas, 179 esquem atización inicial del m odelo, 175 uso de la instrucción DISPLAY, 181 uso de la opción View Text, 179 N N úm eros aleatorios entre 0 y 1, m edia de, 32
ín d ic e |~ ]
instrucción GET, 208
independencia de, 34 varianza de, 33 N úm eros pseudoaleatorios, 21-58 entre 0 y 1, 32 generación de, 22-24 propiedades, 30 prueba Chi-cuadrada, 38 prueba de corridas arriba y abajo, 41 prueba de huecos, 49 prueba de Kolm ogorov-Sm irnov, 65 prueba de m edias, 35
instrucción FREE, 208 utilización d e turnos, 216 Reglas d e ruteo, 220 Reloj d e la sim ulación, 6 ,8 absoluto, 6 relativo, 6 Reportes estadísticos en prom odel (A nexo 2), 311-319, 322 entities costing, 313 entity activity, 312 entity States b y percentage, 313 failed arrival, 314 general, 312 locations costing, 314 logs, 316 resources States by percentage, 328
prueba de series, 47 prueba de varianza, 36 prueba poker, 4 4 pruebas d e independencia, 41 pruebas d e uniform idad, 38 pruebas estadísticas para, 34 O O ptim ización con Sim runner, 257
Scoreboard, 329 variables, 327 Reportes estadísticos en prom odel (A nexo 3), 322-329
P Pallet, 233
S
Paros en los equipos, 212 Principios básicos de la sim ulación, 1-20 definición, 4 introducción, 2 ProM odel, 152 construcción d e un m odelo, 153 editor de turnos, 153
Selección d e leng uajes d e sim ulación, 134 arrastrar y colocar, 134 plantillas, 135 Sim ulación con ProM odel, 151-199 Sim ulación con ProM odel, 151
editor gráfico, 152 elem entos básicos, 152 estructura d e program ación en, 153 inclusión de gráficos, 183 introducción al uso de, 152 m ejoram iento visual del m odelo, 166 m odelo M/M de líneas de espera, 153 referencias y ayuda, 153 resultados, 152 Stat::Fit, 152 R Recursos, 6 ,8 , 207 estáticos, 207 dinám icos, 207
de eventos discretos, 3 ,4 de variables aleatorias, 113 definición del tiem p o de, 182 definición, 2 modelos, 2,121 réplica (corrida), 8 ventas y desventajas, 9 Sim ulación d e variables aleatorias, 113-149 Sim ulaciones term inales, 114 intervalos d e confianza, 114 Sim ulaciones no term inales (o de estado estable), 117 longitud d e las réplicas, 117 Sistem a, 7 estado del, 4 , 7 34 5
| ~| índice
Stat::Fit, 74 T Transporte entre estaciones, 241 m ontacargas, 245 ruta, 245 V V alor crítico, 63 V alor estadístico d e prueba, 63 Valores críticos para la distribución t-student, 332
346
Variables aleatorias, 6 , 8 , 1 1 , 59-112 continuas, 61 definición, 60 fin de la inspección, 122 generación de, 78 inicio de la inspección, 122 prueba de Anderson-Darling, 67 prueba de Chi-cuadrada, 63 prueba de Kolm ogorov-Sm im ov, 65 tiem po entre llegadas, 122 tipos de, 60
Esta edició n d e Simulación y análisis de sistemas con ProModel presenta los conceptos de la m o d e la ció n d e los pro cesos e sto cá sticos, e l a n á lis is e stad ístico d e la in fo rm ació n y su relación con la sim u lación e sto cástica discreta, utilizand o com o h e rra m ie n ta ProM odel, un p ro gram a m u y poderoso para e l a n á lisis y fácil d e usar. Entre las m e jo ras m ás sig n ific a tiv a s d e e ste texto s e encuentran las sig uien tes: ■ N u e vo s co ncepto s d e p ro gram ació n, e sp e cífica m e n te a q u e llo s q u e tie n e n q u e v e r con arribo s cíclicos. ■ El uso d e la pro g ram ació n d e paro s por turnos. ■ El m a n e jo d e m a te ria le s u sa n d o g rú as v ia je ra s. ■ Eje m p lo s d e instrucciones d e control del tipo IF-TH EN -ELSE, W HILE-DO . El m a n e jo de la h e rram ie n ta Sim R u n n er q u e perm ite la o p tim iza ción d e lo s m o d e lo s d esarro llad o s con ProM odel. A sim ism o , se han ag re g a d o ca so s integ rad o res y una gran can ti dad de eje rcicio s para fortalecer el aprend izaje. F in alm en te , se in clu ye un a p é n d ice d o nd e se d e scrib e n los re su l tad o s obtenido s en los reportes con la n u e va v e rsió n O utput V ie w e r 4 .0 de ProM odel.
CD-ROOM con ProModel El lib ro in c lu y e u n C D -R O M c o n la v e r s ió n e s tu d ia n til m á s re c ie n te d e P ro M o d e l, q u e c u e n t a c o n to d a s la s fu n c io n a lid a d e s d e la v e r s ió n p ro fe sio n a l.