mecanica de fluidos

Page 1

UNASAM FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Formulario Mecánica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

UNIDAD DIDÁCTICA I:

Unidades derivadas

LOS FLUIDOS Y SUS PROPIEDADES 1.1 INTRODUCCIÓN FLUIDO: Sustancia que se deforma continuamente al ser sometido a un esfuerzo cortante no importa cuán pequeño sea este. MASA (m): Propiedad que se mide por su inercia o resistencia a un cambio de movimiento. Es también una medida de la cantidad de fluido. (1 kg = 2.205 lbm = 0.068 slugs) PESO (w): Fuerza con la que el cuerpo es atraído hacia la tierra por la acción de la gravedad. (1 N = 1 kg.m.s-2 = 0.225 lbf) w=mg g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2 1.2 SISTEMA DE UNIDADES Unidades Base o fundamentales y suplementarias

Magnitud física Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Intensidad Luminosa Cantidad de sustancia Ángulo plano Ángulo sólido

Unidad base

Símbolo

metro kilogramo segundo ampere

m kg s A

kelvin candela

K cd

mol

mol

radián estereorradián

rad sr

Clasificación

Magnitud

Expresión en otras unidades

Expresión en unidades SI base

Nombre

Símbolo

Frecuencia Fuerza

hertz newton

Hz N

Presión y tensión Trabajo, energía Potencia

pascal joule watt

Pa J W

N.m-2 N.m J.s-1

m-1.kg.s-2 m2.kg.s-2 m2.kg.s-3

Carga eléctrica Potencial eléctrico

coulomb volt

C V

W.A-1

s.A m2.kg.s-3.A-1

Resistencia eléctrica Conductancia Capacitancia

ohm siemens farad

Ω S F

V.A-1 C.V-1

m2.kg.s-3.A-2 m-2.kg-1.s3.A2 m-2.kg-1.s4.A2

Flujo magnético Inducción magnética

weber tesla

Wb T

V·s Wb.m-2

m2.kg.s-2.A-1 kg.s-2.A-1

Inductancia Flujo luminoso Iluminación

henry lumen lux

H lm lx

Wb.A-1

m2.kg.s-2.A-2 cd.sr cd.m-2.sr

s-1 m.kg.s-2

Múltiplos y submúltiplos decimales UNIDADES BASE O FUNDAMENTALES

UNIDADES SUPLEMENTARIAS

Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Prefijo yotta zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca

Símbolo Y Z E P T G M k h da

Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Símbolo d c m μ n p f a z y

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

Magnitud Longitud Masa

Equivalencias

1 kg = 2.205 lbm = 0.068 slugs 0.454 kg = 1 lbm = 0.031 slugs 14.606 kg = 32.2 lbm = 1 slug = 1 lbf.s2/pie

Fuerza

1 N = 1 kg.m.s-2 = 0.225 lbf 4.45 N=4.45 kg.m.s-2 = 1 lbf =32.2 lbm.pie.s-2 = 1 slug.pie.s-2

PresiĂłn

1 lbf.pulg-2 =6895 Pa = 6895 N.m-2 = 6895 kg.m-1.s-2 1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa 1 atm=101,325 Pa=101.325 kPa=1.013 bars =10.33 m de H2O =14.7 lbf/pulg2 1 kgf/cm2 = 9.807 N/cm2 = 9.807 x 104 N/m2 = 9.807 x 104 Pa = 0.9807 bar= 0.9679 atm

EnergĂ­a Potencia

-1

-1

1 lbf.pie.s = 1.356 W= 1.356 J.s

a) DENSIDAD (Ď ):

LIQUIDO Alcohol etĂ­lico Benceno Aceite industrial Agua Glicerina Mercurio

đ?‘š ∀

SI Sistema Ingles Sistema cgs

(kg/m3)

Agua en condiciones normales (4ÂşC y 1 atm.) Ď = 1,000 kg/mÂł đ?›ž=

đ?‘Š

DENSIDAD RELATIVA (S): � =

�

b) PESO ESPECĂ?FICO (Îł):

đ?‘œ

∀ đ?›žđ?‘¤

=

d) VOLUMEN ESPECĂ?FICO (∀S ): ∀đ?‘† =

1 đ?œŒ

đ?›ž = đ?œŒđ?‘” (N/m3)

đ?œŒ

=

∀ đ?‘š

1.4 COMPRESIBILIDAD E: Modulo volumĂŠtrico de elasticidad đ??¸ = −

Δđ?‘? Δ∀⠄∀

(m3/kg)

(MPa) 896 1,062 1,303 2,179 4,509 24,750

đ?œ?=đ?œ‡

đ?œ‡:

đ?‘˜đ?‘” đ?‘šâˆ™ đ?‘

đ?‘ ∙đ?‘ đ?‘š2

= đ?‘ƒđ?‘Ž ∙ đ?‘

Unidades de viscosidad dinĂĄmica

đ??‚ (đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘˜đ?‘’) =

Sistema de unidades SI Sistema Ingles Sistema cgs

=

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘˜đ?‘” â „đ?‘š ∙ đ?‘ = đ?‘ ∙ đ?‘ â „đ?‘š 2 = đ?‘ƒđ?‘Ž ∙ đ?‘ đ?‘ đ?‘™đ?‘˘đ?‘” â „đ?‘?đ?‘–đ?‘’ ∙ đ?‘ , đ?‘™đ?‘?đ?‘“ ∙ đ?‘ â „đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘ 2 đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘’ = đ?‘‘đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž. đ?‘ â „đ?‘?đ?‘š 2 = đ?‘”đ?‘&#x; â „(đ?‘?đ?‘š ∙ đ?‘ ) = 0.1 đ?‘ƒđ?‘Ž ∙ đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘’ = đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘’ â „100 = 0.001 đ?‘ƒđ?‘Ž ∙ đ?‘ = 1 đ?‘šđ?‘ƒđ?‘Ž ∙ đ?‘

Viscosidad cinemĂĄtica ( v ): đ?œˆ = Equivalencia:

đ?œŒđ?‘¤

E (lbf/pulg2) 130,000 154,000 189,000 316,000 654,000 3,590,000

Ley de Newton de la Viscosidad:

Sistema de unidades

đ?œŒ=

1

đ??¸

1.5 VISCOSIDAD DE LOS FLUIDOS

ClasificaciĂłn: Viscosidad DinĂĄmica (Îź):

1 lbf.pie = 1.356 J

1.3 PROPIEDADES

c)

đ?‘˜=

k: Modulo volumĂŠtrico de compresibilidad

1 m = 3.281 pies 0.3048 m = 1 pie

đ?œ‡ đ?œŒ

(

đ?‘š2 đ?‘

)

đ?? (đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘’) đ??† (đ?‘”đ?‘&#x; â „đ?‘?đ?‘š3 )

Unidades de viscosidad cinemĂĄtica đ?‘š2â „ đ?‘ đ?‘?đ?‘–đ?‘’ 2 â „ đ?‘ đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘˜đ?‘’ = 1 đ?‘?đ?‘š 2â „đ?‘ = 1 Ă— 10 −4 đ?‘š 2â „đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘˜đ?‘’ = đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘˜đ?‘’ â „100 = 1 Ă— 10−6 đ?‘š 2â „đ?‘

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

1.6 DIAGRAMA REOLĂ“GICO

1.8 CAVITACIĂ“N Ocurre en situaciones que implican el movimiento de lĂ­quidos, cuando se producen presiones muy bajas en algunos lugares del sistema. Bajo tales circunstancias la presiĂłn puede llegar a ser igual o menor que la presiĂłn del vapor. Cuando ocurre esto, el lĂ­quido se transforma en vapor. 1.9 TENSIĂ“N SUPERFICIAL La tensiĂłn superficial de un lĂ­quido representa el trabajo de estiramiento que se necesita para hacer que aumente el ĂĄrea superficial del lĂ­quido en una cantidad unitaria. Sus unidades son N.m/m2 o J/m2.

1.7 PRESIĂ“N DE VAPOR Los lĂ­quidos se evaporan porque las molĂŠculas se escapan de su superficie. Cuando el espacio por encima del lĂ­quido estĂĄ limitado, las molĂŠculas de vapor ejercen una presiĂłn parcial en dicho espacio llamada presiĂłn de vapor pv.

La tensiĂłn superficial es numĂŠricamente igual a la fuerza tangencial de contracciĂłn que actuara sobre una lĂ­nea hipotĂŠtica de longitud unidad situada en la superficie (N/m) para mantenerla en equilibrio. đ?œŽ=

đ??šđ?‘‘ đ?‘?đ??´ đ??š = = đ??´ đ??ż đ??ż

Tensión superficial a 1 atm y 20°C (a menos que se indique otra cosa):

Para el agua: Temperatura

pv (kPa)

-10ÂşC 0.260 -5ÂşC 0.403 0ÂşC 0.611 5ÂşC 0.872 10ÂşC 1.23 15ÂşC 1.71 20ÂşC 2.34 25ÂşC 3.17 30ÂşC 4.25 40ÂşC 7.38 50ÂşC 12.35 100ÂşC 101.3 (1 atm) 150ÂşC 475.8 200ÂşC 1554 Para el mercurio a 20ÂşC: 0.000176

Fluido

TensiĂłn superficial Ďƒ(N/m)

0°C 20ºC 100°C 300°C Glicerina Aceite SAE 30 Mercurio Alcohol etílico Sangre, 37°C Gasolina Amoniaco Solución de jabón Queroseno

0.076 0.073 0.059 0.014 0.063 0.035 0.440 0.023 0.058 0.022 0.021 0.025 0.028

Agua

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

FenĂłmenos debidos a la tensiĂłn superficial:

UNIDAD DIDĂ CTICA II: FLUIDOS EN REPOSO

a). Formación del menisco: Fuerza de adherencia: fuerzas solido-liquido. Fuerza de cohesión: fuerzas liquido-liquido. Cuando θ < 90º Fza adherencia > Fza cohesión (líquido moja) Cuando θ > 90º Fza adherencia < Fza cohesión (líquido no moja)

2.1 GRADIENTE DE PRESIONES PresiĂłn đ?‘? =

Δđ?‘? =

4đ?œŽ đ?‘‘

 Fuerza de presiĂłn necesaria para la formaciĂłn de la burbuja. 8đ?œŽ Δđ?‘? = đ?‘‘ c). ElevaciĂłn capilar o capilaridad:

đ??´

SI: Pascal (Pa) o N/m2 ; Lbf/pie2 o lbf/pulg2

Gradiente de presiones: đ?‘‘đ??šâƒ— đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§

b). Formación de gotas y burbujas de líquido:  Fuerza de presión necesaria para la formación de la gota.

đ??š

⃗⃗đ?‘? ≥ đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘? Entonces: đ?‘“⃗ = ∇

Ley de los Gases:

p = Ď RT

GRADIENTE DE PRESIONES ⃗⃗đ?‘? đ?‘“âƒ—â€˛ = − ∇

ECUACIĂ“N GENERAL DE LA HIDROSTĂ TICA: Fuerzas mĂĄsicas o de cuerpo: đ?‘‘đ??šâƒ—đ?‘€ = đ?‘”⃗đ?‘’ đ?‘‘đ?‘š = (đ?‘”⃗ − đ?‘Žâƒ—) đ?‘‘đ?‘š ⃗⃗đ?‘? đ?‘‘∀ Fuerzas superficiales: đ?‘‘đ??šâƒ—đ?‘† = đ?‘“âƒ—â€˛ đ?‘‘∀ = − ∇

Caso particular: ∴

1.10GAS PERFECTO

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘–⃗ + đ?‘—⃗ + đ?‘˜âƒ—⃗ ) đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

â&#x;š la fuerza que produce el flujo sobre dicho punto es:

⃗⃗đ?‘? = đ?‘”⃗đ?‘’ đ?œŒ ∴ ∇ 2đ?œŽ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ Δℎ = đ?œŒđ?‘”đ?‘&#x;

= đ?‘“⃗ = (

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘§

EcuaciĂłn General del movimiento para un fluido que actĂşa como un cuerpo rĂ­gido đ?‘”⃗ = −đ?‘” đ?‘˜âƒ—⃗

đ?‘Ś

đ?‘Žâƒ— = 0

= −đ?›ž = −đ?œŒđ?‘” EcuaciĂłn General de la EstĂĄtica de Fluidos para un campo gravitacional

2.2 VARIACIĂ“N DE LA PRESIĂ“N EN UN FLUIDO ESTĂ TICO p (N/m2) = Ď (kg/m3) R (N m/kg ÂşK) T (ÂşK) p (kPa) = Ď (kg/m3) R (kPa m3/kg ÂşK) T (ÂşK) R: Constante de los gases perfectos T: temperatura absoluta, ÂşK = ÂşC + 273.15

a). Fluido incompresible Ď = Ď 0=cte, g = cte. â&#x;š

đ?‘‘đ?‘? đ?‘‘đ?‘§

= −đ?œŒ0 đ?‘” = đ?‘?đ?‘Ąđ?‘’ â&#x;š p = po + Ď o g h

b). Fluido compresible đ?‘‘đ?‘? = −đ?œŒđ?‘” Para cualquier fluido estĂĄtico đ?‘‘đ?‘§ Expresar Ď como funciĂłn de las otras variables de la ecuaciĂłn.

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

Su CP se calcula usando el ĂĄrea proyectada del mismo modo que en una superficie plana.

2.3 PRESIONES ABSOLUTA Y MANOMÉTRICA Se cumple:

Componente vertical Es igual al peso del lĂ­quido situado verticalmente por encima de la superficie curva y extendido hasta la superficie libre.

pabs = pman + patm

đ?‘­đ?‘…đ?‘§ = đ?œ¸ ∀đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘™ đ?‘œ đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ Su centro de presiĂłn coincide con el centro de gravedad del volumen del fluido real o imaginario, que se encuentra sobre la superficie curva. Unidades: patm = 1.033 kg/cm2 = 101.3 kPa (a nivel del mar). 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = 101,325 Pa = 101.325 kPa = 1.033 kg/cm2 = 10.33 m de H2O = 14.7 lb/pulg2

2 2 2 Fuerza Resultante: đ??šđ?‘… = √ đ??šđ?‘…đ?‘Ľ + đ??šđ?‘…đ?‘Ś + đ??šđ?‘…đ?‘§

2.5

E = Ď g ∀ = Îł ∀

2.4 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 1) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS FR =

đ?‘?đ??śđ??ş đ??´

Teorema de los ejes paralelos. Ě… + đ?‘ŚĚ… đ?‘ĽĚ… đ??´ đ??źđ?‘Ľ = đ??źđ?‘ĽĚ… + đ?‘ŚĚ… 2 đ??´ đ??źđ?‘Ľđ?‘Ś = đ??źđ?‘Ľđ?‘Ś

đ??šđ?‘… = đ??šđ?‘…đ?‘Ľ đ?‘–⃗ + đ??šđ?‘…đ?‘Ś đ?‘—⃗ + đ??šđ?‘…đ?‘§ đ?‘˜âƒ—⃗

Componentes Horizontales đ?‘­đ?‘…đ?‘Ľ = đ?’‘đ??śđ??ş đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘¨đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘Śđ?‘§ = ( đ?‘?0 + đ?›žâ„ŽĚ…đ?‘¨ đ?‘Śđ?‘§ ) đ??´đ?‘Śđ?‘§ đ?‘­đ?‘…đ?‘Ś = đ?’‘đ??śđ??ş đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘¨đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘§ = ( đ?‘?0 + đ?›žâ„ŽĚ…đ?‘¨ đ?‘Ľđ?‘§ ) đ??´đ?‘Ľđ?‘§

es el centroide del Volumen.

∀

Caso particular: Cuerpos flotantes o sumergidos en dos lĂ­quidos. đ??¸ = đ?›ž1 ∀1 + đ?›ž2 ∀2 2.6

đ?‘Ś

đ?‘ĽĚ… =

đ?›ž1 ∀1 đ?‘ĽĚ…1 + đ?›ž2 ∀2 đ?‘ĽĚ… 2 đ?›ž1 ∀1 + đ?›ž2 ∀2

FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO RĂ?GIDO

a) FLUIDO CON ACELERACIĂ“N LINEAL UNIFORME ⃗∇⃗đ?‘? = đ?œŒđ?‘”⃗ − đ?œŒđ?‘Žâƒ—

2) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS Fuerza resultante:

∀ : volumen del cuerpo sumergido o volumen desalojado por el cuerpo

Punto de aplicaciĂłn 1 đ?‘ĽĚ… = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘∀

donde đ?‘?đ??śđ??ş = đ?‘?0 + đ?›žâ„ŽĚ… PresiĂłn en el centro de gravedad.

CENTRO DE PRESIONES (đ?‘Ľ ′, đ?‘Ś ′ ) Ě… đ??źđ?‘ĽĚ… đ??źđ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘Ś ′ = đ?‘ŚĚ… + đ?‘Ľ ′ = đ?‘ĽĚ… + [đ?‘ŚĚ… + đ?‘?0 â „(đ?œŒđ?‘” đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ) ] đ??´ [đ?‘ŚĚ… + đ?‘?0 â „(đ?œŒđ?‘” đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ) ] đ??´

EMPUJE Y FLOTACIĂ“N DE CUERPOS SUMERGIDOS

FUERZA DE PRESIĂ“N POR UNIDAD DE VOLUMEN EN UN PUNTO đ?œ•đ?‘?

(

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘–⃗ +

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?‘—⃗ +

o

⃗∇⃗đ?‘? = đ?œŒ(đ?‘”⃗ − đ?‘Žâƒ—) = đ?œŒđ?‘”⃗đ?‘’

FUERZA VOLUMÉTRICA O DE CUERPO POR UNIDAD DE VOLUMEN EN UN PUNTO đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘§

= + y

MASA POR UNIDAD DE VOLUMEN

x

ACELERACIĂ“N DE LA PARTĂ?CULA DE FLUIDO

đ?‘˜âƒ—⃗) = đ?œŒ(đ?‘”đ?‘Ľ đ?‘–⃗ + đ?‘”đ?‘Ś đ?‘—⃗ + đ?‘”đ?‘§ đ?‘˜âƒ—⃗) − đ?œŒ(đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘–⃗ + đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘—⃗ + đ?‘Žđ?‘§ đ?‘˜âƒ—⃗)

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

En las tres direcciones ortogonales: En x:

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ľ

= đ?œŒ(đ?‘”đ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘Ľ ); En y:

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ś

EcuaciĂłn para las Isobaras:

= đ?œŒ(đ?‘”đ?‘Ś − đ?‘Žđ?‘Ś ); En z:

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘§

= đ?œŒ(đ?‘”đ?‘§ − đ?‘Žđ?‘§ )

CASO PARTICULAR: đ?‘”⃗đ?‘§ = đ?‘”đ?‘§ đ?‘˜âƒ—⃗ = −đ?‘”đ?‘˜âƒ—⃗ es decir đ?‘”đ?‘§ = −đ?‘” y Ď =Îł/g con đ?‘”đ?‘Ľ = đ?‘”đ?‘Ś = 0 La direcciĂłn de la gravedad coincide con el eje negativo z. Fluidos en aceleraciĂłn: đ?œ•đ?‘? đ?›ž đ?œ•đ?‘? đ?›ž = − đ?‘Žđ?‘Ľ , = − đ?‘Žđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘”

đ?œ•đ?‘Ś

y

đ?‘”

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘§

�

= − (đ?‘” + đ?‘Žđ?‘§ ) đ?‘”

DistribuciĂłn de la presiĂłn:

đ?œ•đ?‘Ľ

= 0,

đ?œ•đ?‘?

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘&#x;

đ?œ•đ?‘Ľ

= 0,

đ?œ•đ?‘?

đ?œ•đ?‘Ś

=0

y

=0 y

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘§

=0

→

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘§

= −2đ?›ž

p = constante

La diferencia de presiĂłn se duplica.

AceleraciĂłn en trayectoria recta đ?œ•đ?‘? đ?›ž đ?œ•đ?‘? đ?‘Žđ?‘Ś = 0. = − đ?‘Žđ?‘Ľ , =0 đ?œ•đ?‘Ľ

= −đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?œƒ

=

� �

đ?œ” 2 đ?‘&#x;,

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?œƒ

=0

y

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘§

= −đ?›ž

đ?œ•đ?‘§

AceleraciĂłn hacia arriba de un cuerpo de fluido: đ?‘Žđ?‘§ = đ?‘”, đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘Ś = 0 đ?œ•đ?‘?

đ?‘Žđ?‘Ľ

�+��

Las ecuaciones del movimiento para fluidos en rotaciĂłn se reducen a:

CaĂ­da libre de un cuerpo de fluido: đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘Ś = 0 đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘§ = −đ?‘” đ?œ•đ?‘?

=−

đ?‘Žđ?‘§ = 0 La aceleraciĂłn đ?‘Žđ?‘&#x; = đ?œ” 2 đ?‘&#x;.

đ?œ•đ?‘?

đ?œ•đ?‘Ś

��

đ?‘‘đ?‘Ľ

b) FLUIDO CON ROTACIĂ“N UNIFORME ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL

Fluidos en reposo: đ?‘Žâƒ— = 0 đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? = 0, =0 y = −đ?›ž đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘š=

đ?‘”

y

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘§

�

= − (đ?‘” + đ?‘Žđ?‘§ )

đ?‘? = đ?‘?0 +

� 2�

Superficies de presión constante (isobaras): � =

Diferencia mĂĄxima en las alturas:

�

�

đ?‘”

đ?œ” 2đ?‘&#x;2 2đ?‘”

+ đ??ś1

Con origen la base del cilindro, para la superficie libre con r = 0 y z = 0 se obtiene C1 = hc đ?œ” 2đ?‘&#x; 2 đ?œ”2 đ?‘…2 đ?‘§= + â„Žđ?‘? , đ?‘Ś â„Žđ?‘? = â„Ž0 − 2đ?‘” 4đ?‘”

đ?‘”

đ?‘”

đ?œ” 2 đ?’“2 − đ?›žđ?’›

���� =

đ?œ” 2đ?‘…2 2đ?‘”

VariaciĂłn de la presiĂłn đ?‘? = đ?‘?0 − đ?‘Žđ?‘Ľ đ?’™ − (đ?‘” + đ?‘Žđ?‘§ )đ?’› Ascenso vertical de la superficie

:∆đ?‘§ = −

�� �+��

(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

UNIDAD DIDĂ CTICA III: HIDROCINEMATICA

đ?‘Žâƒ— = (đ?‘‰đ?‘Ľ đ?‘–⃗ + đ?‘‰đ?‘Ś đ?‘—⃗ + đ?‘‰đ?‘§ đ?‘˜âƒ—⃗) (

Sistema de control: cantidad de masa fija e identificable perfectamente determinada por una superficie cerrada (frontera). Volumen de control es una regiĂłn fija en el espacio o volumen arbitrario en el espacio a travĂŠs del cual se mueve un fluido.

⃗⃗ đ?œ•đ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ą

���

�� = �� =

3.3 CAMPOS VECTORIALES

= đ?‘‰đ?‘Ľ đ?‘–⃗ + đ?‘‰đ?‘Ś đ?‘—⃗ + đ?‘‰đ?‘§ đ?‘˜âƒ—⃗ = đ?‘˘đ?‘–⃗ + đ?‘Łđ?‘—⃗ + đ?‘¤đ?‘˜âƒ—⃗ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘&#x;⃗ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ľ 2

đ?‘‘đ?‘Ś 2

�� 2

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

= √( ) + ( ) + ( )

⃗⃗ = đ?‘‰đ?‘ ⃗ = đ?‘‰

đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘ ⃗ =

đ?‘‘đ?‘ ⃗

‌ (3.1)

đ?‘‘đ?‘Ą

Donde đ?‘‘đ?‘ ⃗ es el vector diferencial de arco: đ?‘‘đ?‘ ⃗ = đ?‘‘đ?‘ đ?‘ ⃗ 2) CAMPO DE ACELERACIONES AceleraciĂłn de una partĂ­cula de fluido đ?‘Žâƒ—(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ą) =

⃗⃗ đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?‘‘ 2 đ?‘&#x;⃗ đ?‘‘đ?‘Ą2

‌ (3.2)

đ?œ•đ?‘Ą

�� ��� �� ��� ��

=� =� =�

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘Ľ

+đ?‘Ł +đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ł

+đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘Ś

+� +� +�

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ł

+ +

đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘˘

‌ (3.3a)

đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ł

‌ (3.3b)

đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘¤

+

‌ (3.3c)

đ?œ•đ?‘Ą

đ?‘Žâƒ— =

⃗⃗ đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘(đ?‘‰ đ?‘ ⃗)

=

đ?‘‘đ?‘Ą

=

�� ��

đ?‘‘đ?‘ ⃗

đ?‘ ⃗ + đ?‘‰ (

đ?‘‘đ?‘

∙

đ?‘‘đ?‘

��

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

)=

đ?‘ ⃗ + đ?‘‰ 2

đ?‘‘đ?‘ ⃗ đ?‘‘đ?‘

đ?‘‘đ?‘Ś

|đ?‘‘đ?‘&#x;⃗| = | | đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘‘đ?‘ elemento diferencial de arco. đ?‘‘đ?‘

đ?œ•đ?‘Ą

AceleraciĂłn en tĂŠrminos de đ?’” ⃗⃗

1) CAMPO DE VELOCIDADES

�=

⃗⃗ đ?œ•đ?‘‰

⃗⃗ + đ?œ•đ?‘‰ đ?‘˜âƒ—⃗) đ?‘‰

= AceleraciĂłn local, e indica si la velocidad varia o no con el tiempo

 MÊtodo Euleriano (VOLUMEN).

; �� = �� (�, �, �, �) = �� �� �� = �� (�, �, �, �) = �� Velocidad en función del diferencial de arco

⃗⃗

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

⃗∇⃗ = Operador gradiente u operador nabla

đ?‘Žđ?‘Ľ =

�� = �� (�, �, �, �) =

đ?‘—⃗ +

⃗⃗ ∙ ∇ ⃗⃗) đ?‘‰ ⃗⃗ = AceleraciĂłn convectiva o de transporte. (đ?‘‰

 MÊtodo Lagrangiano (SISTEMA).

đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

Componentes del vector de aceleraciĂłn en coordenadas cartesianas

3.2 MÉTODOS DE DESCRIPCIÓN

⃗⃗ = Vector velocidad: đ?‘‰

đ?‘–⃗ +

⃗⃗ ∙ ∇ ⃗⃗)đ?‘‰ ⃗⃗ + đ?‘Žâƒ— = (đ?‘‰

3.1 SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL

đ?‘‘đ?‘&#x;⃗

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ľ

AceleraciĂłn tangencial y normal đ?œ•

�2

đ?œ•đ?‘‰

đ?œ•đ?‘

2

đ?œ•đ?‘Ą

đ?‘Žâƒ—đ?‘ = [ ( ) + đ?‘Žâƒ—đ?‘› = −

đ?‘‰2 đ?‘&#x;

] đ?‘ ⃗ Componente tangencial de la aceleraciĂłn.

đ?‘›âƒ—⃗

Componente normal de la aceleraciĂłn.

3) CAMPO ROTACIONAL Vector de vorticidad đ?œ ⃗ đ?‘–⃗ đ?œ• | ⃗ ⃗ ⃗ đ?œ = đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą đ?‘‰ = | đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘‰đ?‘Ľ Vector torbellino đ??Ž ⃗⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗ Ă— đ?‘‰ ⃗⃗ = 1 đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą đ?‘‰ ⃗⃗ = đ?œ” ⃗⃗ = ∇

đ?œ”=

đ?‘‘đ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ą

2

2

⃗⃗ đ?œ 2

đ?‘—⃗ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?‘‰đ?‘Ś

đ?‘˜âƒ—⃗ đ?œ• | ⃗⃗ ⃗⃗ |=âˆ‡Ă—đ?‘‰ đ?œ•đ?‘§ đ?‘‰đ?‘§ ‌ (3.4)

⃗⃗ = đ?œ”đ?œ” y đ?‘‰ ⃗=đ?œ” ⃗⃗ Ă— đ?‘‘đ?‘&#x;⃗, donde đ?œ” ⃗⃗ = đ?œ”đ?œ” ⃗⃗⃗⃗ Ă— đ?‘‘đ?‘&#x; ⃗⃗⃗⃗

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

Vector vorticidad en coordenadas cartesianas đ?‘–⃗ đ?‘—⃗ đ?‘˜âƒ—⃗ ⃗⃗ = | đ?œ• đ?œ• đ?œ• | = (đ?œ•đ?‘¤ − đ?œ•đ?‘Ł ) đ?‘–⃗ + (đ?œ•đ?‘˘ − đ?œ•đ?‘¤ ) đ?‘—⃗ + (đ?œ•đ?‘Ł − đ?œ•đ?‘˘) đ?‘˜âƒ—⃗ đ?œ ⃗ = đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą đ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ś

�

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘§

đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ľ

Considerando temperatura y calor Flujo isotĂŠrmico. Flujo adiabĂĄtico.

đ?œ•đ?‘Ś

�

3.5 ASPECTOS SOBRE LA VISUALIZACIĂ“N DEL FLUJO

Vector vorticidad en coordenadas cilĂ­ndricas đ?‘’⃗đ?‘&#x; đ?œ• đ?œ ⃗ = |

đ?‘’⃗đ?œƒ 1 đ?œ•

đ?‘‰đ?‘&#x;

đ?‘‰đ?œƒ

đ?œ•đ?‘&#x;

đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ

a) FUNCIĂ“N DE CORRIENTE

đ?‘’⃗đ?‘§ đ?œ• đ?œ•đ?‘§

1 đ?œ•đ?‘‰đ?‘§

|=(

đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ

��

−

đ?œ•đ?‘‰đ?œƒ đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘‰đ?‘&#x;

) đ?‘’⃗đ?‘&#x; + (

đ?œ•đ?‘§

−

đ?œ•đ?‘‰đ?‘§ đ?œ•đ?‘&#x;

1 đ?œ•(đ?‘&#x;đ?‘‰đ?œƒ )

) đ?‘’⃗đ?œƒ + ( đ?‘&#x;

đ?œ•đ?‘&#x;

−

đ?œ•đ?‘‰đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ

) đ?‘’⃗đ?‘§

3.4 CLASIFICACIĂ“N DEL FLUJO DE FLUIDOS

Para un flujo incompresible bidimensional en el plano xy, la ecuaciĂłn ⃗⃗ ∙ đ?‘‰ ⃗⃗ = (đ?œ•đ?‘˘ + đ?œ•đ?‘Ł + đ?œ•đ?‘¤ ) = 0 de continuidad ∇ ‌ (3.5) se reduce a:

Considerando la viscosidad del fluido Flujos no viscosos: đ?œ‡ = 0, đ?œ? = 0 Flujos viscosos: đ?œ‡ > 0, đ?œ? > 0

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘˘= đ?‘‰đ??ˇ đ?‘…đ?‘’ = đ?œˆ

đ?œ•đ?‘ đ?œ•đ?œŒ

∂t

đ?œ•đ?‘

≠0,

âˆ‚Ď„

∂t

∂v ∂t

≠0,

∂t

âˆ‚Ď âˆ‚t

= 0,

≠0,

âˆ‚Ď„ ∂t

đ?œ•đ?œ‡ đ?œ•đ?‘Ą

đ?‘ž=

=0

≠0,

đ?œ•đ?œ‡ đ?œ•đ?‘Ą

Flujo uniforme:

∂s

Flujo no uniforme:

= 0, ∂v ∂s

∂s

≠0,

= 0, âˆ‚Ď âˆ‚s

âˆ‚Ď„ ∂s

≠0,

đ?œ•đ?œ“

‌ (3.6)

đ?œ•đ?‘Ľ

= 0, âˆ‚Ď„ ∂s

đ?‘„ đ?‘?

= đ?œ“2 − đ?œ“1 Gasto por unidad de ancho

‌ (3.7)

ConvenciĂłn del lado izquierdo đ?œ•đ?œ‡ đ?œ•đ?‘

≠0,

El valor de đ?œ“ aumenta hacia la izquierda de la direcciĂłn del flujo en el plano xy.

= 0, đ?‘’đ?‘Ąđ?‘?. đ?œ•đ?œ‡ đ?œ•đ?‘

≠0, đ?‘’đ?‘Ąđ?‘?.

Considerando la rotaciĂłn de partĂ­culas ⃗⃗ ≠0 Flujo rotacional: đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą đ?‘‰ ⃗⃗ = 0 = (đ?œ•đ?‘¤ − đ?œ•đ?‘Ł ) = (đ?œ•đ?‘˘ − đ?œ•đ?‘¤ ) = (đ?œ•đ?‘Ł − đ?œ•đ?‘˘ ) Flujo irrotacional: đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą đ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘Ł=−

≠0

Considerando variaciones en el espacio ∂Ď

đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘Ś

Gasto (q) entre lĂ­neas de corriente

∂t

∂v

đ?œ•đ?œ“

đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§ = = = đ?‘‰ đ?‘˘ đ?‘Ł đ?‘¤

≠0

Considerando variaciones en el tiempo ∂v âˆ‚Ď Flujo permanente (estacionario): = 0, = 0, Flujo no permanente (no estacionario):

đ?œ•đ?‘§

Para una lĂ­nea de corriente đ?œ“ es constante a lo largo de ella: ⃗⃗ = đ?‘˘đ?‘–⃗ + đ?‘Łđ?‘—⃗ + đ?‘¤đ?‘˜âƒ—⃗. đ?‘‘đ?‘&#x;⃗ = đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘–⃗ + đ?‘‘đ?‘Śđ?‘—⃗ + đ?‘‘đ?‘§đ?‘˜âƒ—⃗ y đ?‘‰

Considerando la variaciĂłn en la densidad del fluido âˆ‚Ď đ?œ•đ?œŒ Flujo incompresible = 0, =0 ∂t ∂Ď

đ?œ•đ?‘Ś

Se define đ?œ“ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘Ą) FunciĂłn corriente, como:

Considerando la turbulencia del flujo: Laminar Re < 2,300 Transición 2,300 ≤ Re ≤ 4,000 Turbulento Re > 4,000

Flujo compresible

đ?œ•đ?‘Ľ

=0

đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ľ

FunciĂłn de corriente en coordenadas cilĂ­ndricas đ?œ•(đ?‘&#x;đ?‘‰đ?‘&#x; ) đ?œ•đ?‘&#x;

+

đ?œ•(đ?‘‰đ?œƒ ) đ?œ•đ?œƒ

= 0;

đ?‘‰đ?‘&#x; =

1 đ?œ•đ?œ“ đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ

đ?‘Ś

đ?‘‰đ?œƒ = −

đ?œ•đ?œ“ đ?œ•đ?‘&#x;

‌ (3.8)

đ?œ•đ?‘Ś

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

b) POTENCIAL DE VELOCIDADES

b) Flujo uniforme inclinado

SĂ­ đ?œ™ es cualquier funciĂłn escalar (de las coordenadas espaciales y del tiempo) teniendo primera y segunda derivadas continuas. đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą(đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?œ™) = ⃗∇⃗ Ă— ⃗∇⃗đ?œ™ = 0

‌ (3.9)

⃗⃗ = ∇ ⃗⃗ Ă— đ?‘‰ ⃗⃗ = 0 â&#x;š para flujo irrotacional: đ?œ ⃗ = đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą đ?‘‰

‌ (3.10)

⃗⃗ = 0, y por lo tanto a đ?œ™ se le llama funciĂłn potencial de Si đ?œ ⃗ = đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą đ?‘‰ ⃗⃗ = ∇ ⃗⃗đ?œ™ velocidad, igual a: đ?‘‰ ‌ (3.11) đ?‘˘=

đ?œ•đ?œ™

đ?‘Ł=

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?œ™ đ?œ•đ?‘Ś

⃗⃗= En coordenadas cilĂ­ndricas: ∇ đ?œ•đ?œ™ đ?‘‰đ?‘&#x; = đ?œ•đ?‘&#x;

đ?‘¤= đ?œ•

đ?‘’⃗ đ?œ•đ?‘&#x; đ?‘&#x;

+

đ?œ•đ?œ™

Fuente o sumidero

‌ (3.12)

đ?œ•đ?‘§ 1 đ?œ•

đ?‘’⃗ đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ đ?œƒ

1 đ?œ•đ?œ™ đ?‘‰đ?œƒ = đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ

c)

+

đ?œ•

đ?‘’⃗ đ?œ•đ?‘§ đ?‘§

‌ (3.13)

đ?œ•đ?œ™ đ?‘‰đ?‘§ = đ?œ•đ?‘§

EcuaciĂłn de Laplace đ?› đ?&#x;? đ??“ = đ?&#x;Ž ⃗⃗ ∙ ∇ ⃗⃗ El operador laplaciano ∇2 es un operador escalar definido como ∇ ⃗⃗ ∙ ∇ ⃗⃗đ?œ™ = ∇2 đ?œ™ = ∇

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?œ™

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ś

( )+

đ?œ•đ?œ™

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘§

( )+

En coordenadas cilĂ­ndricas: ∇2đ?œ™ =

1 đ?œ• đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x;

đ?œ•đ?œ™

đ?œ•2đ?œ™

đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘Ľ 2

( )= (đ?‘&#x;

đ?œ•đ?œ™ đ?œ•đ?‘&#x;

)+

+

đ?œ•2đ?œ™ đ?œ•đ?‘Ś2

1 đ?œ•2đ?œ™ đ?‘&#x; 2 đ?œ•đ?œƒ 2

+

+

đ?œ•2đ?œ™ đ?œ•đ?‘§ 2

đ?œ•2đ?œ™ đ?œ•đ?‘§ 2

=0

=0

Función de corriente y potencial de velocidades �=

đ?œ•đ?œ“ đ?œ•đ?‘Ś

=

đ?œ•đ?œ™ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘Ł=−

đ?œ•đ?œ“ đ?œ•đ?‘Ľ

=

đ?œ•đ?œ™ đ?œ•đ?‘Ś

3.6 FLUJOS IRROTACIONALES ELEMENTALES

‌ (3.14)

d) VĂłrtice irrotacional

a) Flujo uniforme

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------UNIDAD DIDĂ CTICA IV: 3.7 FLUJOS SUPERPUESTOS ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL FLUJO DE FLUIDOS

Principio de superposiciĂłn: Ď•3 = Ď•1 + Ď•2

a)

Ďˆ3 = Ďˆ1 + Ďˆ2

4.1 DEFINICIONES

El doblete: FUENTE + SUMIDERO = DOBLETE đ??´đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ đ?œ‹đ?‘&#x; đ??´đ?‘Ž đ?œ“=− đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ đ?œ‹đ?‘&#x;

PROPIEDAD EXTENSIVA (N): es aquella cuyo valor para un estado varĂ­a al variar la magnitud de la masa considerada.

đ?œ™=

Se puede definir K=

PROPIEDAD ESPECIFICA: (n= N/masa) đ??´đ?‘Ž đ?œ‹

4.2 MÉTODOS DE ANà LISIS como

la intensidad del doblete. b) Flujo sin circulaciĂłn alrededor de un cilindro FLUJO UNIFORME + DOBLETE = FLUJO ALREDEDOR DE UN CILINDRO đ??´đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ đ?œ‹đ?‘&#x; đ??´đ?‘Ž đ?œ“ = đ?‘‰0 đ?‘&#x; đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ − đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ đ?œ‹đ?‘&#x; đ?œ™ = đ?‘‰0 đ?‘&#x; đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ +

c)

a). AnĂĄlisis Integral Se trata de ecuaciones que describen el comportamiento integral (global) del flujo. b). AnĂĄlisis Diferencial Se formulan ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del fluido al detalle infinitesimal. 4.3 ANĂ LISIS INTEGRAL Teorema del Transporte de Reynolds (RTT)

SuperposiciĂłn de un sumidero y un vĂłrtice SUMIDERO + VĂ“RTICE

đ?‘ = đ?‘›đ?œŒâˆ€ ⇒ đ?‘ đ?‘†đ??źđ?‘†đ?‘‡đ??¸đ?‘€đ??´ = âˆŤ

đ?‘› đ?‘‘đ?‘š = âˆŤ

đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž (đ?‘†đ??źđ?‘†đ?‘‡đ??¸đ?‘€đ??´)

đ?‘›đ?œŒđ?‘‘∀

∀ (đ?‘†đ??źđ?‘†đ?‘‡đ??¸đ?‘€đ??´)

đ?œ•đ?‘ đ?‘ đ?œ• ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— + âˆŤ đ?‘›đ?œŒđ?‘‰ ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = âˆŤ đ?‘› đ?œŒđ?‘‘∀ − âˆŤ đ?‘›đ?œŒđ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś đ?‘†đ??ś đ??ź đ?‘†đ??ś đ??źđ??źđ??ź Teorema de Transportes de Reynolds (transformaciĂłn de sistema a volumen de control para un volumen fijo de control), o ecuaciĂłn

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

fundamental para un VC. đ?œ•đ?‘ đ?œ• ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = âˆŤ đ?‘› đ?œŒđ?‘‘∀ + âˆŤ đ?‘›đ?œŒđ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś đ?‘†đ??ś

‌(4.1)

Flujo neto o razĂłn neta de flujo de la propiedad extensiva N que pasa a travĂŠs de la superficie de control

Rapidez total con que cambia cualquier propiedad extensiva N del sistema

Rapidez con que cambia el contenido de cualquier propiedad extensiva N dentro del volumen de control

⃗⃗ se mide con respecto al VC. La velocidad đ?‘‰ ⃗⃗ del Para un VC en movimiento o deformaciĂłn, la velocidad absoluta đ?‘‰ fluido del Ăşltimo tĂŠrmino debe reemplazarse por la velocidad relativa, ⃗⃗đ?‘&#x; = đ?‘‰ ⃗⃗ − đ?‘‰ ⃗⃗đ?‘†đ??ś donde đ?‘‰ ⃗⃗đ?‘†đ??ś es la velocidad local de la SC. đ?‘‰

⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = ∑đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘›đ?œŒđ?‘‰đ??´ − ∑đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą đ?‘›đ?œŒđ?‘‰đ??´ âˆŤđ?‘†đ??ś đ?‘›đ?œŒđ?‘‰

m = constante â&#x;š đ?œ•đ?‘š/đ?œ•đ?‘Ą = 0 Considerar en la ecuaciĂłn (4.1) N = m → n=1, ademĂĄs que

đ?œ•đ?‘š đ?œ•đ?‘Ą

=0

EcuaciĂłn de conservaciĂłn general de la masa =

đ?œ• âˆŤ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś

⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = 0 đ?œŒđ?‘‘∀ + âˆŤđ?‘†đ??ś đ?œŒđ?‘‰

Rapidez con que cambia el contenido de masa dentro del VC

‌(4.2)

Gasto mĂĄsico neto a travĂŠs de la superficie de control

Casos especiales:  Flujo incompresible đ?œŒ = đ?‘?đ?‘Ąđ?‘’ â&#x;š

‌(4.4)

2) ECUACIĂ“N GENERAL DE LA ENERGĂ?A đ?‘‘đ??¸đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą  đ?‘„̇ = đ?‘„̇đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą − đ?‘„̇đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ es la razĂłn neta de transferencia de calor hacia el sistema (negativa, si es desde el sistema)  đ?‘ŠĚ‡ = đ?‘ŠĚ‡đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą − đ?‘ŠĚ‡đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ es la entrada neta de potencia hacia el sistema en todas las formas (negativa, si es salida de potencia) ∆đ??¸ = đ??¸đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą − đ??¸đ?‘ đ?‘Žđ?‘™

�̇ + �̇ =

đ?‘Ś

De manera mĂĄs general: đ??¸đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą = âˆŤđ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž (đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą) đ?‘’ đ?‘‘đ?‘š = âˆŤâˆ€(đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą) đ?‘’đ?œŒđ?‘‘∀ EnergĂ­a mecĂĄnica de un fluido fluyente:

đ?‘? đ?‘‰2 + + đ?‘”đ?‘§ đ?œŒ 2

Transferencia de energĂ­a por trabajo, W

1) ECUACIĂ“N DE CONSERVACIĂ“N DE LA MASA

đ?œ•đ?‘Ą

⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = 0 â&#x;š âˆŤđ?‘ đ?‘? đ?œŒđ?‘‰

� = � + ec + ep =

AproximaciĂłn para el flujo neto:

đ?œ•đ?‘š

 Flujo permanente (estacionario) No necesariamente incompresible đ?œŒ = đ?œŒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§).

⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = 0 âˆŤđ?‘ đ?‘? đ?‘‰

‌(4.3)

đ?‘ŠĚ‡ = đ?‘ŠĚ‡đ?‘ + đ?‘ŠĚ‡đ?‘ đ?‘‚đ?‘…đ?‘€đ??´đ??ż + đ?‘ŠĚ‡đ??śđ?‘‚đ?‘…đ?‘‡đ??´đ?‘ đ?‘‡đ??¸ + đ?‘ŠĚ‡đ?‘‚đ?‘‡đ?‘…đ?‘‚đ?‘† ‌(4.5) a) Trabajo de eje, đ?‘ŠĚ‡đ?‘ ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— b) đ?‘ŠĚ‡đ?‘ đ?‘‚đ?‘…đ?‘€đ??´đ??ż = âˆŤđ?‘ đ?‘? đ?œŽđ?‘›đ?‘› đ?‘‰ ̇ ⃗ ⃗ c) đ?‘Šđ??śđ?‘‚đ?‘…đ?‘‡đ??´đ?‘ đ?‘‡đ??¸ = âˆŤđ?‘ đ?‘? đ?œ? đ?‘‰ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— d) Otras formas de trabajo, đ?‘ŠĚ‡đ?‘‚đ?‘‡đ?‘…đ?‘‚đ?‘† đ?‘‘đ??¸ ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— + đ?‘ŠĚ‡đ??śđ?‘‚đ?‘…đ?‘‡đ??´đ?‘ đ?‘‡đ??¸ + đ?‘ŠĚ‡đ?‘‚đ?‘‡đ?‘…đ?‘‚đ?‘† = đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą đ?‘„̇ + đ?‘ŠĚ‡đ?‘ + âˆŤ đ?œŽđ?‘›đ?‘› đ?‘‰ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘ đ?‘? đ?œ•đ??¸ đ?œ• ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = âˆŤ đ?‘’ đ?œŒđ?‘‘∀ + âˆŤ đ?‘’ đ?œŒđ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś đ?‘†đ??ś RazĂłn neta de transferencia de energĂ­a hacia un VC por transferencia de calor o de trabajo

‌(4.6)

Gasto neto de energĂ­a hacia fuera de la SC por flujo de masa

RazĂłn de cambio respecto al tiempo del contenido de energĂ­a del VC

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

Entonces: ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— + đ?‘ŠĚ‡đ??śđ?‘‚đ?‘…đ?‘‡đ??´đ?‘ đ?‘‡đ??¸ + đ?‘ŠĚ‡đ?‘‚đ?‘‡đ?‘…đ?‘‚đ?‘† đ?‘„̇ + đ?‘ŠĚ‡đ?‘ + âˆŤ đ?œŽđ?‘›đ?‘› đ?‘‰ đ?‘ đ?‘?

đ?œ• ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = âˆŤ đ?‘’ đ?œŒđ?‘‘∀ + âˆŤ đ?‘’ đ?œŒđ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś đ?‘†đ??ś Caso particular: Flujo permanente o estacionario đ?œ•đ??¸ đ?œ• ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = âˆŤ đ?‘’ đ?œŒđ?‘‰ ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = âˆŤ đ?‘’ đ?œŒđ?‘‘∀ + âˆŤ đ?‘’ đ?œŒđ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś đ?‘†đ??ś đ?‘†đ??ś EcuaciĂłn de Bernoulli:

đ??¸1 = đ??¸2

�12

đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘‰22 + + đ?‘§1 = + + đ?‘§2 = đ??ť = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?›ž 2đ?‘” đ?›ž 2đ?‘” EcuaciĂłn de energĂ­a para el flujo estacionario e incompresible đ??¸1 = đ??¸2 + â„Žđ??ż đ?‘?1 đ?‘‰12 đ?‘?2 đ?‘‰22 + + đ?‘§1 + â„Žđ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘Ž = + + đ?‘§2 + â„Žđ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž + â„Žđ??ż đ?›ž 2đ?‘” đ?›ž 2đ?‘” Donde:  â„Žđ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘Ž =

đ?‘Šđ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘Ž

 â„Žđ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž =  â„Žđ??ż =

đ?‘” đ?‘Šđ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž

đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž đ?‘”

đ?‘”

=

∆đ??¸ đ?‘Ąđ?‘”

es la carga Ăştil entregada al fluido por la bomba. es la carga que la turbina extrae del fluido. es la pĂŠrdida irreversible de carga entre 1 y 2

3) ECUACIĂ“N DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ⃗⃗ đ?‘‘(đ?‘šđ?‘‰ ⃗⃗) đ?‘‘đ?‘ƒâƒ—⃗ đ?‘‘đ?‘‰ đ??šâƒ— = đ?‘šđ?‘Žâƒ— = đ?‘š = = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą ⃗⃗ es la cantidad de movimiento del cuerpo o momento lineal. đ?‘ƒâƒ—⃗ = đ?‘šđ?‘‰ ⃗⃗ = âˆŤ ⃗⃗đ?‘‘∀ De manera mĂĄs general: ∑ đ?‘ƒâƒ—⃗đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą = âˆŤđ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž (đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘š đ?‘‰ đ?œŒđ?‘‰ ∀(đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą)

o tambiĂŠn ∑ đ??šâƒ—đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą =

đ?‘‘ ⃗⃗ đ?‘‘∀ âˆŤ đ?œŒđ?‘‰ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą

y

∑ đ??šâƒ—đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą = ∑ đ??šâƒ— = ∑ đ??šâƒ—đ?‘† + ∑ đ??šâƒ—đ??ľ

∑ đ??šâƒ—đ?‘† = ∑ đ??šâƒ—đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘› + ∑ đ??šâƒ—đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ + ∑ đ??šâƒ—đ?‘œđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž ∑ đ??šâƒ—đ??ľ = ∑ đ??šâƒ—đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Łđ?‘’đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ ∑ đ??šâƒ— = ∑ đ??šâƒ—đ?‘† + ∑ đ??šâƒ—đ??ľ =

đ?œ• âˆŤ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś

⃗⃗đ?‘‘∀ + âˆŤ đ?‘‰ ⃗⃗ đ?œŒ(đ?‘‰ ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ—) đ?œŒđ?‘‰ đ?‘†đ??ś

‌(4.7)

Suma de todas las fuerzas Flujo neto de cantidad de externas que actĂşan sobre un movimiento que sale a VC RazĂłn de cambio respecto al travĂŠs de la SC tiempo de la cantidad de movimiento dentro del VC

∑ đ??šđ?‘Ľ = ∑ đ??šđ?‘†đ?‘Ľ + ∑ đ??šđ??ľđ?‘Ľ =

đ?œ• âˆŤ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś

⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ—) đ?œŒđ?’–đ?‘‘∀ + âˆŤđ?‘†đ??ś đ?’– đ?œŒ(đ?‘‰

‌(4.8a)

∑ đ??šđ?‘Ś = ∑ đ??šđ?‘†đ?‘Ś + ∑ đ??šđ??ľđ?‘Ś =

đ?œ• âˆŤ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś

⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ—) đ?œŒđ?’—đ?‘‘∀ + âˆŤđ?‘†đ??ś đ?’— đ?œŒ(đ?‘‰

‌(4.8b)

∑ đ??šđ?‘§ = ∑ đ??šđ?‘†đ?‘§ + ∑ đ??šđ??ľđ?‘§ =

đ?œ•

⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ—) đ?œŒđ?’˜đ?‘‘∀ + âˆŤđ?‘†đ??ś đ?’˜ đ?œŒ(đ?‘‰

‌(4.8c)

âˆŤ

đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś

Cantidad de movimiento con VC que se mueve con velocidad constante Para un VC (fijo con respecto a un marco de referencia xyz) que se ⃗⃗đ?‘&#x; = đ?‘‰ ⃗⃗ − đ?‘‰ ⃗⃗đ?‘†đ??ś donde đ?‘‰ ⃗⃗đ?‘†đ??ś es la mueve con velocidad constante đ?‘‰ velocidad local de la superficie de control, con respecto a un sistema de referencia (inercial) XYZ, tambiĂŠn es inercial, puesto que no tiene aceleraciĂłn relativa a este Ăşltimo. ∑ đ??šâƒ— = ∑ đ??šâƒ—đ?‘† + ∑ đ??šâƒ—đ??ľ = 4) ECUACIĂ“N DEL MOVIMIENTO

đ?œ• âˆŤ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś

⃗⃗đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘§ đ?‘‘∀ + âˆŤ đ?‘‰ ⃗⃗ đ?œŒ(đ?‘‰ ⃗⃗đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘§ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ—) ‌(4.9) đ?œŒđ?‘‰ đ?‘†đ??ś đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘§

MOMENTO

⃗⃗ = đ?‘&#x;⃗ Ă— đ??šâƒ— = đ?‘&#x;⃗ Ă— ∑đ?‘‡

DE

LA

CANTIDAD

⃗⃗ đ?‘‘(đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘šđ?‘‰ ⃗⃗) đ?‘‘đ??ť ⃗⃗ đ?‘‘đ?‘šđ?‘‰ = = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

DE

‌(4.10)

⃗⃗: Momento de torsiĂłn total sobre el sistema. ∑đ?‘‡

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

⃗⃗ = đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘šđ?‘‰ ⃗⃗ se llama cantidad de movimiento angular del sistema. đ??ť AdemĂĄs: đ?‘‰ = đ?‘&#x;đ?œ”, đ?œ” es la velocidad angular. đ?œ”=

2đ?œ‹đ?‘›Ě‡ 60

Rapidez de cambio de masa dentro del VC đ?œ• đ?œ•đ?œŒ âˆŤ đ?œŒđ?‘‘∀ ≅ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś Gasto mĂĄsico neto

(rad/s), �̇ es el número de revoluciones por minuto.

⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = [ âˆŤ đ?œŒđ?‘‰

⃗⃗ = âˆŤ ⃗⃗đ?‘‘đ?‘š = âˆŤ ⃗⃗đ?œŒđ?‘‘∀ De manera mĂĄs general: đ??ť đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘‰ đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘‰ đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž (đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą) ∀(đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą) ⃗⃗ = đ?‘&#x;⃗ Ă— đ??šâƒ—đ?‘ + âˆŤ ⃗⃗đ?‘“đ?‘™đ?‘’đ?‘?â„Žđ?‘Ž TambiĂŠn: ∑ đ?‘‡ đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘”⃗đ?‘‘đ?‘š + đ?‘‡ đ?‘š(đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą)

Para flujo estacionario:

đ?œ•đ?‘Ą

⃗⃗= ∇

đ?œ• ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ— = 0 âˆŤ đ?œŒđ?‘‘∀ + âˆŤ đ?œŒđ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś đ?‘†đ??ś Gasto mĂĄsico neto a travĂŠs de la superficie de control

đ?‘–⃗ +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘—⃗ +

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘Ą

⃗⃗ ∙ ∇ ⃗⃗đ?œŒ + đ?œŒâˆ‡ ⃗⃗ ∙ đ?‘‰ ⃗⃗ = 0 +đ?‘‰

‌(4.18)

⃗⃗ = đ?‘˘đ?‘–⃗ + đ?‘Łđ?‘—⃗ + đ?‘¤đ?‘˜âƒ—⃗ đ?‘˜âƒ—⃗ Operador de divergencia y đ?‘‰

Flujo incompresible: đ?œ•đ?œŒ ⃗⃗ ∙ đ?‘‰ ⃗⃗ = 0 = 0. đ?œŒ = đ?‘?đ?‘Ąđ?‘’ ; ∇ đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘§

=0

Flujo permanente (estacionario) Flujo en donde ninguna variable del fluido varĂ­a con el tiempo đ?œ•đ?œŒ = 0, no necesariamente incompresible đ?œŒ = đ?œŒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§). đ?œ•đ?‘Ą ⃗⃗ ∙ (đ?œŒđ?‘‰ ⃗⃗) = 0 ∇ En coordenadas cartesianas:

=0

đ?œ•đ?œŒ

→

En coordenadas cartesianas: 

Con la aplicaciĂłn del teorema de Transporte de Reynolds se tiene:

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

⃗⃗ ∙ (đ?œŒđ?‘‰ ⃗⃗) = 0 +∇

đ?œ•đ?‘Ą

‌(4.14)

a) ECUACIĂ“N DE CONSERVACIĂ“N DE LA MASA

+

‌(4.17)

Casos particulares: 

4.4 ANĂ LISIS DIFERENCIAL

Rapidez con que cambia el contenido de masa dentro del volumen de control

đ?œ•đ?œŒ

‌(4.13)

Flujo neto del momento angular hacia fuera de la SC por el flujo de masa

⃗⃗đ?‘’đ?‘—đ?‘’ = âˆŤ (đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘‰ ⃗⃗) đ?œŒ(đ?‘‰ ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ—) đ?‘‡ đ?‘†đ??ś

EcuaciĂłn de continuidad en coordenadas cartesianas: đ?œ•đ?œŒ đ?œ•(đ?œŒđ?‘˘) đ?œ•(đ?œŒđ?‘Ł) đ?œ•(đ?œŒđ?‘¤) + + + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ Simplificando y empleando el operador de divergencia:

⃗⃗ = đ?‘&#x;⃗ Ă— đ??šâƒ—đ?‘ + âˆŤ ⃗⃗đ?‘“đ?‘™đ?‘’đ?‘?â„Žđ?‘Ž ∑đ?‘‡ đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘”⃗đ?‘‘đ?‘š + đ?‘‡ đ?‘š(đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą) đ?œ• ⃗⃗)đ?œŒđ?‘‘∀ + âˆŤ (đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘‰ ⃗⃗) đ?œŒ(đ?‘‰ ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ—) = âˆŤ (đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘‰ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś đ?‘†đ??ś RazĂłn de cambio respecto al tiempo del momento angular dentro del VC

đ?œ•(đ?œŒđ?‘˘) đ?œ•(đ?œŒđ?‘Ł) đ?œ•(đ?œŒđ?‘¤) + + ] đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?œŒ đ?œ•(đ?œŒđ?‘˘) đ?œ•(đ?œŒđ?‘Ł) đ?œ•(đ?œŒđ?‘¤) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§ + [ + + ] đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§ = 0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

‌(4.11)

⃗⃗ = đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘šđ?‘‰ ⃗⃗ y đ?‘› = đ?‘ â „đ?‘š = đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘‰ ⃗⃗: En la ecuaciĂłn (4.1), con đ?‘ = đ??ť ⃗⃗ đ?œ•đ??ť đ?œ• ⃗⃗)đ?œŒđ?‘‘∀ + âˆŤ (đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘‰ ⃗⃗) đ?œŒ(đ?‘‰ ⃗⃗ ∙ đ?‘‘đ??´âƒ—) = âˆŤ (đ?‘&#x;⃗ Ă— đ?‘‰ ‌(4.12) đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‰đ??ś đ?‘†đ??ś

Suma de todos los momentos externos que actĂşan sobre un VC

đ?‘†đ??ś

‌(4.16)

đ?œ•(đ?œŒđ?‘˘) đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ•(đ?œŒđ?‘Ł) đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ•(đ?œŒđ?‘¤) đ?œ•đ?‘§

=0

EcuaciĂłn de continuidad en coordenadas cilĂ­ndricas: đ?œ•đ?œŒ 1 đ?œ•(đ?‘&#x;đ?œŒđ?‘‰đ?‘&#x; ) 1 đ?œ•(đ?œŒđ?‘‰đ?œƒ ) đ?œ•(đ?œŒđ?‘‰đ?‘§ ) + + + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ đ?œ•đ?‘§

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Formulario Mecánica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

b) ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ENERGÍA O DE EULER Fuerzas másicas o de cuerpo: 𝑑𝐹⃗𝑀 = 𝑔⃗𝑒 𝑑𝑚 = (𝑔⃗ − 𝑎⃗) 𝑑𝑚 Fuerzas superficiales:

Entonces:

Simplificando: Ecuación de Euler o de conservación de la energía. −𝑔⃗ +

𝜌

Si 𝑔⃗ = −𝑔𝑘⃗​⃗

c)

⃗​⃗ ∙ ∇ ⃗​⃗) 𝑉 ⃗​⃗ + + (𝑉

⃗​⃗ 𝜕𝑉 𝜕𝑡

=0

⃗​⃗𝑧 = 𝑘⃗​⃗ entonces: y ∇

…(4.19)

⃗​⃗𝑧 + 𝑔∇

⃗​⃗𝑝 ∇ 𝜌

⃗​⃗ ∙ ∇ ⃗​⃗) 𝑉 ⃗​⃗ + + (𝑉

⃗​⃗ 𝜕𝑉 𝜕𝑡

=0

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ⃗​⃗ 𝑑(𝑚𝑉 ⃗​⃗) 𝑑𝑃⃗​⃗ 𝐷𝑉 …(4.20) 𝑑𝐹⃗ = 𝑑𝑚 𝑎⃗ = 𝑑𝑚 = = 𝐷𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ⃗​⃗ se llama cantidad de movimiento del cuerpo. 𝑃⃗​⃗ = 𝑑𝑚 𝑉 𝑑𝐹⃗ = Fuerzas superficiales + Fuerzas volumétricas Fuerzas externas que actúan sobre el elemento de fluido diferencial, en dirección x: 𝑑𝐹𝑥 = 𝑑𝐹𝑆𝑥 + 𝑑𝐹𝐵𝑥

⃗​⃗ 𝑑𝑉

𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝑥

+

+ +

𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝑦

+ + +

𝜕𝜏𝑧𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝜎𝑧𝑧 𝜕𝑧

+ 𝜌𝐵𝑥 = 𝜌 (𝑢

𝜕𝑢

+ 𝜌𝐵𝑦 = 𝜌 (𝑢

𝜕𝑣

+ 𝜌𝐵𝑧 = 𝜌 (𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

+𝑣

𝜕𝑢

+𝑣

𝜕𝑣

+𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦

+𝑤

𝜕𝑢

+𝑤

𝜕𝑣 𝜕𝑧

+𝑤

𝜕𝑢

+

𝜕𝑧

+

𝜕𝑤 𝜕𝑧

𝜕𝑡 𝜕𝑣 𝜕𝑡

+

)

)

𝜕𝑤 𝜕𝑡

𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 ) 𝜎𝑧𝑧

0 −𝑝 0

0 0) −𝑝

−𝑝 𝜎𝑖𝑗 = ( 0 0

0 −𝑝 0

𝜎𝑥𝑥 0 0 ) + (𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 −𝑝

𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 ) , en donde 𝜏𝑖𝑗 es 𝜎𝑧𝑧

llamado tensor de esfuerzo viscoso. Para un fluido newtoniano incompresible: En este caso se puede demostrar que 𝜏𝑖𝑗 = 2𝜇 𝜀𝑖𝑗 , donde 𝜀𝑖𝑗 es el tensor de razón de deformación. 0 −𝑝 0

0 0 )+ −𝑝

2𝜇 𝜇(

𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝜕𝑤

+

𝜕𝑢

𝜇(

𝜕𝑦

)

𝜕𝑦 𝜕𝑢

2𝜇 𝜕𝑤

+

𝜕𝑣

𝜕𝑥 𝜕𝑣

)

𝜕𝑦 𝜕𝑣

𝜕𝑢

𝜇(

(𝜇 ( 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 ) 𝜇 ( 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 )

𝜕𝑡

…(4.21a)

…(4.21c)

Fuerzas de presión termodinámica local

Fuerzas volumétricas

Fuerzas debido a esfuerzos

𝜕𝑧 𝜕𝑣

𝜇(

Ecuación de Navier-Stokes: ⃗​⃗ ⃗​⃗𝑝 + 𝜇∇2𝑉 ⃗​⃗ + 𝜌𝐵 ⃗​⃗ = 𝜌 [(𝑉 ⃗​⃗ ∙ ∇ ⃗​⃗) 𝑉 ⃗​⃗ + 𝜕𝑉 ] −∇

…(4.21b)

)

𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑦𝑧

Para fluidos en movimiento

⃗​⃗ 𝑑𝑉

Reemplazando en 𝑑𝐹⃗ = 𝑑𝑚 𝑎⃗ = 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑥 ( + + + 𝜌𝐵𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑎𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Para los tres ejes coordenados: 𝜕𝑥

−𝑝 Para fluidos en reposo 𝜎𝑖𝑗 = ( 0 0

−𝑝 𝜎𝑖𝑗 = ( 0 0

𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑥 𝑑𝐹𝑥 = ( + + + 𝜌𝐵𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝜎𝑥𝑥

…(4.22)

𝜕𝑡

𝜎𝑥𝑥 Donde 𝜎𝑖𝑗 es el tensor de esfuerzos: 𝜎𝑖𝑗 = (𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧

⃗​⃗𝑝 𝑑∀ 𝑑𝐹⃗𝑆 = − ∇

Por equilibrio, se debe cumplir: 𝑑𝐹⃗𝑀 + 𝑑𝐹⃗𝑆 = 0

⃗​⃗𝑝 ∇

⃗​⃗

⃗∇⃗ ∙ 𝜎𝑖𝑗 + 𝜌𝐵 ⃗​⃗ = 𝜌 [(𝑉 ⃗​⃗ ∙ ⃗∇⃗) 𝑉 ⃗​⃗ + 𝜕𝑉 ]

Aceleración convectiva

𝜕𝑧

+ +

2𝜇

𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤

𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑧

) ) )

…(4.23) Aceleración local

Para un flujo sin rozamiento μ = 0

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

UNIDAD DIDĂ CTICA V:

Utilidad de las ecuaciones diferenciales

FLUJO EN TUBERĂ?AS

Quedan cuatro variables o incĂłgnitas: - PresiĂłn ⃗⃗ - Tres componentes de velocidad đ?‘‰ Y se tienen cuatro ecuaciones diferenciales: - Continuidad. - Tres componentes de Navier-Stokes.

5.1 MOVIMIENTO UNIFORME EN TUBERĂ?AS En el flujo uniforme en tuberĂ­as đ?‘†0 = đ?‘†đ?‘¤ = đ?‘†đ??¸ ⃗⃗ đ?œ•đ?‘‰ ] đ?œ•đ?‘Ą

⃗⃗đ?‘? + đ?œ‡âˆ‡2đ?‘‰ ⃗⃗ + đ?œŒđ??ľ ⃗⃗ = đ?œŒ [(đ?‘‰ ⃗⃗ ∙ ⃗∇⃗) đ?‘‰ ⃗⃗ + −∇ EcuaciĂłn de continuidad flujo incompresible:

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘§

=0

Componente x, y y z de la Ec. de Navier-Stokes de flujo incompresible: −

đ?œ•đ?‘?

−

đ?œ•đ?‘?

−

đ?œ•đ?‘?

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘§

+ đ?œ‡(

đ?œ•2đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ 2

+đ?œ‡(

đ?œ•2đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘Ľ 2

+ đ?œ‡(

đ?œ•2đ?‘¤ đ?œ•đ?‘Ľ 2

+ + +

đ?œ•2đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ś2 đ?œ•2đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś2

+ +

đ?œ•2đ?‘¤ đ?œ•đ?‘Ś2

đ?œ•2đ?‘˘

) + đ?œŒđ?‘”đ?‘Ľ = đ?œŒ (đ?‘˘

đ?œ•đ?‘˘

) + đ?œŒđ?‘”đ?‘Ś = đ?œŒ (đ?‘˘

đ?œ•đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘§ 2 đ?œ•2đ?‘Ł đ?œ•đ?‘§ 2

+

đ?œ•2đ?‘¤ đ?œ•đ?‘§ 2

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ľ

) + đ?œŒđ?‘”đ?‘§ = đ?œŒ (đ?‘˘

+đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘˘

+đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘Ś

+đ?‘Ł

+�

đ?œ•đ?‘˘

+�

đ?œ•đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘§

+�

+

đ?œ•đ?‘˘

+

đ?œ•đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘Ą

đ?œ•đ?‘Ą

+

đ?‘‰12 đ?‘?1 đ?‘‰22 đ?‘?2 đ??¸1 − đ??¸2 â„Žđ?‘“ (2đ?‘” + đ?›ž + đ?‘§1 ) − (2đ?‘” + đ?›ž + đ?‘§2 ) đ?‘†đ??¸ = = = đ??ż đ??ż đ??ż

)

) đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘Ą

)

5.2 DISTRIBUCIĂ“N DEL ESFUERZO CORTANTE ∑đ??šđ?‘™ = 0:

đ??ˇ

â„Ž

4

2

∴ đ?œ?â„Ž = đ?›žđ?‘† ( − )

đ??ˇ

đ?œ?0 = đ?›žđ?‘† = đ?›žđ?‘…đ?‘†

En las paredes:

4

â„Ž

y đ?œ?â„Ž = đ?œ?0 (1 − ) VĂĄlida tanto para flujo đ?‘&#x; laminar como para flujo turbulento. 5.3 DISTRIBUCIĂ“N DE VELOCIDADES – FLUJO LAMINAR đ?‘‰â„Ž =

đ?‘”đ?‘† đ??ˇâ„Ž đ?œˆ

(

���� =

4

−

â„Ž2 4

) Ec. distribuciĂłn de velocidades para una tuberĂ­a con flujo laminar.

đ?‘”đ?‘† đ??ˇ2 đ?œˆ 16

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

�=

đ?‘”đ?‘† đ??ˇ2 đ?œˆ 32

=

�� � 2

Rangos conductos hidrĂĄulicamente lisos-rugosos a. Conductos hidrĂĄulicamente lisos: đ?‘˜ ≤ 0.4đ?›ż đ?‘œ

EcuaciĂłn de Hagen- Poiseville

đ?œ‡ 2

5.4 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES – FLUJO TURBULENTO

â&#x;š đ?‘‰â„Ž =

đ?‘‰âˆ— đ?œ’

ln

â„Ž â„Ž0

đ??ˇ 4

đ??ˇ

��

4

đ?œŒ

=√

đ?œ?0 đ?œŒ

= đ?‘‰âˆ—

Velocidad de corte

‌(5.2)

Ley Universal de distribuciĂłn de velocidades de Prandtl-Von Karman, flujo turbulento Dentro de la sub-capa laminar. Para h= 0 â&#x;š đ?‘‰â„Ž = 0 â&#x;š đ??ś = 0 → đ?‘‰â„Ž =

đ?‘‰âˆ—2 đ?œˆ

â„Ž para 0 ≤ h ≤ δ

‌(5.3)

Para h = δ las ecuaciones (5.2) y (5.3) deben ser vĂĄlidas. â&#x;š DistribuciĂłn de velocidades en una tuberĂ­a hidrĂĄulicamente lisa: đ?‘‰â„Ž =

đ?‘‰âˆ— 104 â„Ž ln đ?œ’ đ?›ż

Velocidad media đ??ˇ 1 đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ 1 2 đ?‘‰âˆ— 104 â„Ž đ??ˇ đ?‘‰âˆ— 46.4 đ?‘… đ?‘‰= âˆŤ đ?‘‰â„Ž đ?‘‘đ??´ = âˆŤ ln 2đ?œ‹ ( − â„Ž) đ?‘‘â„Ž = ln đ??´ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘’ đ??´ đ?›ż đ?œ’ đ?›ż 2 đ?œ’ đ?›ż 5.4.2 CONDUCTOS HIDRĂ ULICAMENTE RUGOSOS â&#x;š DistribuciĂłn de velocidades en una tuberĂ­a hidrĂĄulicamente rugosa: đ?‘‰â„Ž =

đ?‘‰âˆ— đ?œ’

ln

30 â„Ž đ?‘˜

đ?‘œ

≤5

đ?œˆ đ?‘‰âˆ— đ?‘˜ đ?œˆ

≼ 70

c. Conductos hidrĂĄulicos de transiciĂłn: 0.4đ?›ż < đ?‘˜ < 6đ?›ż đ?‘œ 5 <

5.4.1 CONDUCTOS HIDRĂ ULICAMENTE LISOS Si llamamos √đ?‘”đ?‘† = √

b. Conductos hidrĂĄulicamente rugosos: đ?‘˜ ≼ 6đ?›ż

đ?‘‰âˆ— đ?‘˜

‌(5.4)

Velocidad media đ??ˇ 1 đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ 1 2 đ?‘‰âˆ— 30 â„Ž đ??ˇ đ?‘‰âˆ— 13.4 đ?‘… đ?‘‰= âˆŤ đ?‘‰â„Ž đ?‘‘đ??´ = âˆŤ ln 2đ?œ‹ ( − â„Ž) đ?‘‘â„Ž = ln đ??´ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘’ đ??´ â„Ž0 đ?œ’ đ?‘˜ 2 đ?œ’ đ?‘˜

Valores tĂ­picos para k (m) Material Tubos muy lisos Fierro forjado Fierro fundido, nuevo Fierro galvanizado Cemento enlucido Asbesto cemento, nuevo Concreto liso Concreto rugoso

đ?‘‰âˆ— đ?‘˜ đ?œˆ

< 70

Rugosidad k (m) 1.5 x 10-6 4.5 x 10-5 2.5 x 10-4 1.5 x 10-4 4.0 x 10-4 2.5 x 10-5 2.5 x 10-5 1.0 x 10-2

TransformaciĂłn de la ecuaciĂłn de Karman-Prandtl đ?‘‰â„Ž −đ?‘‰ đ?‘‰âˆ—

â„Ž

= 5.75 log đ?‘… + 2 Exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad media.

Se cumple para tuberías lisas, rugosas y de transición. Ecuación de Chezy � = (18 log

6đ?‘… ) √đ?‘…đ?‘†, đ?‘˜ đ?›ż + 2 7

đ?‘ đ?‘– đ??ś = (18 log

6đ?‘… ) â&#x;š đ?‘˝ = đ?‘Ş âˆšđ?‘šđ?‘ş đ?‘˜ đ?›ż + 2 7

5.5 PERDIDA DE CARGA POR FRICCIĂ“N a) ECUACIĂ“N DE DARCY Considerando un cilindro: ∑đ??šđ?‘™ = 0: (đ?‘?1 − đ?‘?2 )đ??´ + đ?›žđ??ż đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ đ??´ = đ?œ?0 đ?‘ƒđ??ż ‌(5.5) A: secciĂłn transversal P: perĂ­metro đ?œ?0 : Corte medio sobre el contorno Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

Para flujo turbulento: đ?œ?0 = đ?›žđ?‘…đ?‘†

đ?‘‰ = đ??ś √đ?‘…đ?‘†

Coeficiente de fricciĂłn de Darcy: đ?‘“ = đ??ż đ?‘‰2

â„Žđ?‘“ = đ?‘“

EcuaciĂłn de Darcy:

�

đ??ś2

2.

đ??ś2

64

3.

‌(5.7)

đ?‘…đ?‘’

 f para tuberías hidråulicamente lisas 0.316

Nikuradse:

đ?‘…đ?‘’ 1/4

1 √đ?‘“

para đ?‘…đ?‘’ < 105 aproximadamente

‌(5.8)

= 2 log(đ?‘…đ?‘’ √đ?‘“) − 0.8 para đ?‘…đ?‘’ > 105 0.221

Nikuradse: đ?‘“ = 0.0032 + Konakov: đ?‘“ =

5

1 √đ?‘“

5.6 CONCEPTO DE POTENCIA

para 2,300 < đ?‘…đ?‘’ < 10

3.71 đ??ˇ

= 2 log (

đ?‘˜

đ?‘˜

) = 1.14 − 2 đ?‘™đ?‘œđ?‘” ( )

‌(5.12)

đ?‘ƒđ?‘œđ?‘Ą = đ?›žđ?‘„đ??ť Donde:

‌(5.14)

đ??ˇ

đ?‘ƒđ?‘œđ?‘Ą =

TransiciĂłn entre contornos lisos y rugosos Combinando ambas ecuaciones:

1 √đ?‘“

= −2 log (

đ?‘˜ â „đ??ˇ 3.71

+

2.51 đ?‘…đ?‘’ √đ?‘“

)

‌(5.15)

FĂłrmula de Colebrook y White (sirve para liso, rugoso, transiciĂłn). Algunas investigaciones para el cĂĄlculo de f 1.

FĂłrmula de Wood: đ?‘˜ 0.225

đ?‘Ž = 0.094 ( ) đ??ˇ

đ?‘“ = đ?‘Ž+đ?‘?

đ?‘˜ 0.44

đ??ˇ

đ??ˇ

+ 0.53 ( ) đ?‘? = 88 ( )

đ?›žđ?‘„đ??ť đ?‘›đ??ž

kg m/s (TeĂłrica);

đ?‘˜ 0.134

đ?‘? = 1.62 ( ) đ??ˇ

 No sirve para tuberĂ­as hidrĂĄulicamente lisas.  Para 10−5 ≤ đ?‘˜â „đ??ˇ ≤ 4 Ă— 10−2 đ?‘Ś đ?‘…đ?‘’ > 104 el error es del orden de -4% a 5% comparada con la ecuaciĂłn (5.15).

đ?‘ƒđ?‘œđ?‘Ą =

đ?›žđ?‘„đ??ť đ?‘›

Îł: peso especĂ­fico del fluido (kg/m3) Q: caudal (m3/s) H: energĂ­a total con respecto al plano de referencia (m) n: eficiencia de la bomba, 50% - 85% K= 1 K= 75 K= 76 K= 102

kg m/s CV (caballos de vapor) HP (Horse power) kW

5.7 FORMULA DE HAZEN-WILLIAMS đ?‘„ = 0.000426 đ??śđ??ť đ??ˇ 2.63 đ?‘† 0.54

đ?‘…đ?‘’−đ?‘?

đ?‘˜

đ?‘…đ?‘’

1 đ?‘˜ 21.25 = 1.14 − 2 log ( + 0.9 ) đ??ˇ đ?‘…đ?‘’ √đ?‘“  Valido para las tres zonas de flujo turbulento.  Errores comparados con la ecuaciĂłn (5.15) Colebrook-White: Para 10−6 ≤ đ?‘˜â „đ??ˇ ≤ 10−2 đ?‘Ś 5 Ă— 103 ≤ đ?‘…đ?‘’ ≤ 108 error Âą1% Para 10−5 ≤ đ?‘˜â „đ??ˇ ≤ 10−3 đ?‘Ś 104 ≤ đ?‘…đ?‘’ ≤ 107 error Âą0.5%

 f para tuberías hidråulicamente rugosas Nikuradse:

đ??ˇ

)]

FĂłrmula de Akalank K. Jain:

‌(5.11) 9

(1.81 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘…đ?‘’ −1.5)2

106 3

‌(5.10) 7

para 10 < đ?‘…đ?‘’ < 10

đ?‘…đ?‘’0.237

1

1

đ?‘˜

FĂłrmula de Moody: đ?‘“ = 5.5 Ă— 10−3 [1 + (2 Ă— 104 +

 Sirve para 0 ≤ đ?‘˜â „đ??ˇ ≤ 10−2 đ?‘Ś 4 Ă— 103 ≤ đ?‘…đ?‘’ ≤ 107 , error Âą5%.

‌(5.6)

f FLUJO TURBULENTO

Blasius: đ?‘“ =

 10−6 ≤ đ?‘˜â „đ??ˇ ≤ 10−5 đ?‘Ś 5 Ă— 103 ≤ đ?‘…đ?‘’ ≤ 105 , error:-4% a 20%

�2

8đ?‘”

đ??ˇ 2đ?‘”

đ?‘“=

f FLUJO LAMINAR:

∴ đ?œ?0 =

đ?‘œ

â„Žđ?‘“ =

đ??ż đ?‘„1.85 (0.01776 đ??śđ??ť đ??ˇ 2.63 )1.85

Con Q = (lt/s) Q = (lt/s) D = (pulgadas) D = (pulgadas) S = (m/km) L = (m) CH: Coeficiente de Hazen-Williams (depende de cada tuberĂ­a)

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------đ??ż đ?‘„ 1.85

Hazen-Williams con unidades SI đ?‘„ = 0.2784 đ??śđ??ť đ??ˇ 2.63 Con

â„Žđ?‘“ 0.54 ( ) đ??ż

Con H-W: â„Žđ?‘“ = (0.01776 đ??ż đ?‘„1.85 â„Žđ?‘“ = (0.2784 đ??śđ??ť đ??ˇ 2.63)1.85

đ?‘Ś

đ??śđ??ť đ??ˇ2.63 )1.85

Q = (m3/s) D = (m) L = (m)

Valores tĂ­picos de đ?‘Şđ?‘Ż

Caso 2: Calculo del Q (PROBLEMA DE COMPROBACIĂ“N) đ?‘Şđ?‘Ż

Material Tuberías lisas y rectas PVC Asbesto cemento Fierro fundido Concreto Tuberías concreto liso, f°f° nuevo Madera lisa Acero remachado nuevo F°F° poco usado F°F° viejo Tuberías viejas en malas condiciones Tuberías fuertemente corroídas

Con Darcy:

140 150 140 110 100 130 120 110 100 95 60-80 40-50

â„Žđ?‘“ = đ?‘“

1 √đ?‘“

đ??ˇ 2đ?‘”

y Akalank

1 √đ?‘“

đ?‘˜

21.25

đ??ˇ

đ?‘…đ?‘’ 0.9

= 1.14 − 2 log ( +

)

Caso 3: Calculo de D (PROBLEMA DE DISEĂ‘O) Con Darcy: â„Žđ?‘“ = đ?‘“ y Akalank

Caso 1: Calculo de â„Žđ?‘“ (PROBLEMA DE COMPROBACIĂ“N) đ??ż đ?‘‰2

y

Akalank

5.8 DISEĂ‘O Y ANĂ LISIS DE TUBERĂ?AS SIMPLES Con Darcy: â„Žđ?‘“ = đ?‘“

đ??ż đ?‘‰2 đ??ˇ 2đ?‘”

đ?‘˜

21.25

đ??ˇ

đ?‘…đ?‘’

= 1.14 − 2 log ( +

1 √đ?‘“

đ??ż đ?‘‰2

đ??ˇ 2đ?‘”

;

�=

4đ?‘„

đ?‘˜

đ?œ‹đ??ˇ2 21.25

đ??ˇ

đ?‘…đ?‘’ 0.9

= 1.14 − 2 log ( +

â&#x;š đ??ˇ 5 = 0.08263 đ?‘“

đ??ż â„Žđ?‘“

đ?‘„2

)

MĂŠtodo 1: Suponiendo un f

0.9 )

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

MĂŠtodo 2: Suponiendo un D (Debe ser un diĂĄmetro comercial)

2) ExpansiĂłn y contracciĂłn brusca de tuberĂ­a

2 đ?‘‘ 2

ExpansiĂłn brusca đ?‘˜đ??ż = [1 − ( ) ] đ??ˇ

1

ContracciĂłn brusca đ?‘˜đ??ż = ( − 1)

5.9 PERDIDAS DE CARGA LOCALES â„Žđ??ż = đ?‘˜đ??ż

Formula general: Longitud equivalente → đ??żđ?‘’đ?‘ž =

đ?‘˜đ??ż đ??ˇ

�2

đ?‘–

đ?‘—

(đ?’…â „đ?‘Ť)đ?&#x;? 0.1 0.2 0.3 0.624 0.632 0.643 đ?‘Şđ?’„

đ?‘“

đ?‘–

đ??śđ?‘? : coeficiente de contracciĂłn.

Para determinar la pĂŠrdida local se considera que V es la velocidad en la tuberĂ­a de menor diĂĄmetro.

2đ?‘”

PĂŠrdida de carga total đ??ť = ∑ â„Žđ?‘“ đ?‘– + ∑ â„Žđ??ż đ?‘— = ∑ đ?‘“đ?‘–

2

đ??śđ?‘?

0.4 0.659

0.5 0.681

đ?‘‰đ?‘—2 đ??żđ?‘– đ?‘‰đ?‘–2 + ∑ đ?‘˜đ??ż đ?‘— đ??ˇđ?‘– 2đ?‘” 2đ?‘”

0.6 0.712

0.7 0.755

0.8 0.813

0.9 0.892

TambiĂŠn puede calcularse el coeficiente de pĂŠrdida con la grĂĄfica que se muestra.

đ?‘—

Principales pĂŠrdidas de carga locales 1) Entrada de tuberĂ­a

3) ExpansiĂłn y contracciĂłn gradual

Efecto del redondeo de una entrada de tuberĂ­a sobre el coeficiente de pĂŠrdida.

GrĂĄfico de Gibson: para calcular el coeficiente K. (đ?‘‰1 − đ?‘‰2 )2 â„Žđ??ż = đ??ž 2đ?‘”

Tomado de ASHRAE Handbook of Fundamentals.

Marco A. Silva Lindo

1.0 1.0

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

En una contracciĂłn gradual la pĂŠrdida de carga es mĂ­nima. Se puede considerar que su valor es cero. PodrĂ­a calcularse el coeficiente de pĂŠrdida de una contracciĂłn gradual (coeficiente de resistencia) con el grafico que se muestra. Se considera que V es la velocidad en la tuberĂ­a de menor diĂĄmetro.

Sistemas equivalentes Un sistema hidrĂĄulico serĂĄ equivalente a otro, si para una misma perdida de carga transporta el mismo caudal, o viceversa: Q ↔ H 5.10TUBERĂ?AS EN SERIE CaracterĂ­sticas principales: 1) đ?‘„1 = đ?‘„2 = đ?‘„3 = đ?‘„ 2) đ??ť = ∑đ?‘– â„Žđ?‘“ đ?‘– + ∑đ?‘— â„Žđ??ż đ?‘— đ?‘›

4) Vålvulas Vålvula De globo, totalmente abierta Check, totalmente abierta De bola, totalmente abierta Compuerta, totalmente abierta Compuerta, Ÿ cerrada Compuerta, ½ cerrada Compuerta, ž cerrada

đ?‘š

đ??ť = ∑ đ?‘“đ?‘– đ?‘–=1

đ?’Œđ?‘ł 10.0 2.5 0.05 0.2 0.3 2.1 17.0

5) Cambios de direcciĂłn

đ?‘‰đ?‘—2 đ??żđ?‘– đ?‘‰đ?‘–2 + ∑ đ?‘˜đ??ż đ?‘— đ??ˇđ?‘– 2đ?‘” 2đ?‘” đ?‘—=1

Se cumple:  La ecuaciĂłn de la energĂ­a: đ??¸đ??´ = đ??¸đ??ľ + đ??ť  EcuaciĂłn continuidad: đ?‘‰1 đ??ˇ12 = đ?‘‰2 đ??ˇ22 = đ?‘‰3 đ??ˇ32 â&#x;š

�1 �2

=

đ??ˇ22 đ??ˇ12

đ?‘Ś

�1 �2

=

đ??´2 đ??´1

Entonces de la ecuaciĂłn de la energĂ­a: đ?‘‰đ??´2 đ?‘?đ??´ đ?‘‰đ??ľ2 đ?‘?đ??ľ đ??ż1 đ?‘‰12 đ??ż2 đ?‘‰22 đ??ż3 đ?‘‰32 + + đ?‘§đ??´ = + + đ?‘§đ??ľ + đ?‘“1 + đ?‘“2 + đ?‘“3 + 2đ?‘” đ?›ž 2đ?‘” đ?›ž đ??ˇ1 2đ?‘” đ??ˇ2 2đ?‘” đ??ˇ3 2đ?‘” đ?‘˜đ??ż1

đ?‘‰12 đ?‘‰12 đ?‘‰32 đ?‘‰32 + đ?‘˜đ??ż2 + đ?‘˜đ??ż3 + đ?‘˜đ??ż4 2đ?‘” 2đ?‘” 2đ?‘” 2đ?‘”

Para un sistema de tuberías en serie, con la última tubería con descarga a la atmosfera con una velocidad �� se demuestra que:

�� =

2đ?‘”đ??ť

√1+(∑đ?‘›

đ?‘–=1 đ?‘“đ?‘–

2 đ??´2 đ??żđ?‘– đ??´ đ?‘† đ?‘† +∑đ?‘š đ?‘—=1 đ?‘˜đ??ż đ?‘— đ??´2 ) đ??ˇđ?‘– đ??´ 2 đ?‘– đ?‘—

Casos: 1. DeterminaciĂłn de la pĂŠrdida de carga, H. SoluciĂłn es DIRECTA. Nota:

2.

DeterminaciĂłn del caudal, Q. La soluciĂłn es POR TANTEOS.

Considerar pĂŠrdidas de carga locales solamente cuando L/D Ë‚ 1,500.

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------đ?‘?đ??´

+ đ?‘§đ??´ =

đ?‘?đ??ľ

+ đ?‘§đ??ľ + đ??ť

SoluciĂłn para determinaciĂłn del caudal Q, dado H:

3)

MĂŠtodo 1: Suponiendo valores de f

PĂŠrdida de carga en cada tramo đ??ť = đ?‘“đ?‘–

Considerar Akalank

1 √đ?‘“

MĂŠtodo 2: Suponiendo valores de Q đ?‘˜

21.25

đ??ˇ

đ?‘…đ?‘’ 0.9

= 1.14 − 2 log ( +

)

�

�

đ??żđ?‘– đ?‘‰đ?‘–2 đ??ˇđ?‘– 2đ?‘”

��2

+ ∑đ?‘š đ?‘—=1 đ?‘˜đ??żđ?‘—

2đ?‘”

Se cumple:  La ecuaciĂłn de la energĂ­a: đ??¸đ??´ = đ??¸đ??ľ + đ??ť  EcuaciĂłn de continuidad, que debe verificarse en los puntos A y B. Entonces de la ecuaciĂłn de la energĂ­a en cualquier tramo: đ?‘š

đ?‘‰đ?‘—2 đ?‘‰đ??´2 đ?‘?đ??´ đ?‘‰đ??ľ2 đ?‘?đ??ľ đ??żđ?‘– đ?‘‰đ?‘–2 + + đ?‘§đ??´ = + + đ?‘§đ??ľ + đ?‘“đ?‘– + ∑ đ?‘˜đ??ż đ?‘— 2đ?‘” đ?›ž 2đ?‘” đ?›ž đ??ˇđ?‘– 2đ?‘” 2đ?‘” đ?‘—=1

TambiĂŠn: đ??ť = đ?‘“1

đ??ż1 đ?‘‰12 đ??ˇ1 2đ?‘”

+ ∑ đ?‘˜đ??ż

�2 2�

đ??ż2 đ?‘‰22

= đ?‘“2

đ??ˇ2 2đ?‘”

+ ∑ đ?‘˜đ??ż

�2 2�

= đ?‘“3

đ??ż3 đ?‘‰32 đ??ˇ3 2đ?‘”

+ ∑ đ?‘˜đ??ż

�2 2�

Estas ecuaciones pueden simplificarse poniendo todos los caudales en funciĂłn de la pĂŠrdida de carga H. De Darcy đ??ˇ 5 = 0.08263 đ?‘“

En el segundo mĂŠtodo se puede graficar los resultados como ayuda para obtener el valor correcto del Q:

đ??ż â„Žđ?‘“

đ?‘„2 â&#x;š đ?‘„2 =

1

đ??ˇ5

0.08263 đ?‘“ đ??ż

đ??ť

Casos que se presentan: 1. Calculo del caudal en cada ramal Qi, conocida la carga o energĂ­a disponible H, las caracterĂ­sticas de las tuberĂ­as đ??żđ?‘– , đ??ˇđ?‘– , đ?‘˜đ?‘– (đ??śđ??ť đ?‘– ) y las propiedades del fluido đ?œŒ, đ?œˆ. La soluciĂłn es DIRECTA. 2. Calculo de la pĂŠrdida de carga, H y del caudal en cada ramal Qi, conocido el caudal total Q, las caracterĂ­sticas de las tuberĂ­as đ??żđ?‘– , đ??ˇđ?‘– , đ?‘˜đ?‘– (đ??śđ??ť đ?‘– ) y las propiedades del fluido đ?œŒ, đ?œˆ. La soluciĂłn es laboriosa.

SoluciĂłn para determinaciĂłn de la pĂŠrdida de carga H y el caudal Qi en cada ramal, dado Q: 5.11TUBERĂ?AS EN PARALELO CaracterĂ­sticas principales:

MĂŠtodo 1: Con ec. simultaneas tuberĂ­a

MĂŠtodo 2: Suponiendo Qi en una

1) đ?‘„1 + đ?‘„2 + đ?‘„3 = đ?‘„ 2) â„Žđ?‘“ 1 = â„Žđ?‘“ 2 = â„Žđ?‘“ 3 = đ??ť Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

CondiciĂłn en el punto P: ∑đ?‘„đ??¸đ?‘ đ?‘‡đ?‘…đ??´đ?‘ = ∑đ?‘„đ?‘†đ??´đ??żđ??¸đ?‘ Secuencia de soluciĂłn

A fin de no aumentar el nĂşmero de tanteos, es conveniente auxiliarse con un grĂĄfico: Bombeo de un reservorio a otros dos Nota: El segundo mĂŠtodo es mejor resolverlo suponiendo una pĂŠrdida de carga (en lugar de un caudal) y ajustar los caudales obtenidos. 5.12 CASO DE RESERVORIOS IncĂłgnitas: 1) đ?‘„đ?‘– : caudal en cada tramo 2) Zđ?‘? : cota piezomĂŠtrica del punto P. Zđ?‘– =

đ?‘?đ?‘– đ?›ž

+ ��

La cota piezomĂŠtrica en los estanques corresponde a la elevaciĂłn de la superficie libre. Para el nudo P, Zđ?‘? representa la suma de la elevaciĂłn topogrĂĄfica del punto P mĂĄs la altura correspondiente a la presiĂłn.

IncĂłgnitas: 1) đ?‘„đ?‘– : caudal que circula en cada tramo o ramal 2) Zđ?‘? : cota piezomĂŠtrica del punto P. Procedimiento de soluciĂłn propuesto:

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

1.

Suponer un caudal impulsado por la bomba â&#x;š đ?‘„ = đ?‘„1 = đ?‘„2

2.

Calcular â„Žđ?‘“ 1 : â„Žđ?‘“ = 0.08263 đ?‘“

đ??ż đ??ˇ5

â„Žđ?‘“ 1 = Z1 − Zđ?‘?

đ?‘„2

3.

Determinar cota piezomĂŠtrica a la entrada a la bomba:Zđ??¸ = Z1 − â„Žđ?‘“ 1

4.

Det. cota piezom. salida bomba: Zđ?‘† = Zđ??¸ + đ??ťđ??ľ con đ??ťđ??ľ =

5.

Calcular â„Žđ?‘“ 2 , perdida de carga en la tuberĂ­a 2.

6.

Determinar la cota piezomĂŠtrica del nudo P: Zđ?‘? = Zđ?‘† − â„Žđ?‘“ 2

7.

Calcular â„Žđ?‘“ en los tramos 3 y 4: â„Žđ?‘“ 3 = Zđ?‘? − Z3

8.

Calcular Q3 y Q4: (Darcy) đ??ˇ 5 = 0.08263 đ?‘“

9.

đ??ż â„Žđ?‘“

đ?‘› đ?‘ƒđ?‘œđ?‘Ą đ?›žđ?‘„

.

â„Žđ?‘“ 2 = Zđ?‘? − Z2

đ?‘Ś

â„Žđ?‘“ 3 = Zđ?‘? − Z3 đ??ż

5

đ?‘„2

3.

Calcular Q1, Q2 y Q3 : (Darcy) đ??ˇ = 0.08263 đ?‘“

4.

Verificar la ecuaciĂłn de continuidad en el nudo: Q1 = Q2 + Q3 caso contrario reiniciar el cĂĄlculo suponiendo otro valor para Zđ?‘? .

â„Žđ?‘“

Conducto con servicio en camino đ?‘Ś

â„Žđ?‘“ 4 = Zđ?‘? − Z4

đ?‘„2

Verificar continuidad en el nudo: Q2 = Q3 + Q4 caso contrario reiniciar el cĂĄlculo suponiendo otro valor para el caudal. Para reducir el nĂşmero de tanteos es recomendable auxiliarse de un grĂĄfico.

Caudal de entrada: đ?‘„0 Caudal de salida: Q Caudal unitario: q (m3/s/m) đ??ż đ?‘‰2

â„Žđ?‘“ = đ?‘“

đ??ˇ 2đ?‘”

= 0.08263 đ?‘“

Con đ?•‚ = 0.08263 ∴

â„Žđ?‘“ =

đ?‘“ đ??ˇ5

đ??ż đ??ˇ5

đ?‘„2 = đ?•‚đ?‘„2 đ??ż

Si đ?‘‘â„Žđ?‘“ = đ?•‚đ?‘„2 đ?‘‘đ??ż

y

đ?‘„ = đ?‘„0 − đ?‘ž đ??ż

đ?•‚đ??ż (đ?‘„0 2 + đ?‘„0 đ?‘„ + đ?‘„2 ) 3

Efecto del envejecimiento de tuberĂ­as TuberĂ­as con descarga independiente

Formula de Colebrook-White: đ?‘˜đ?‘Ą = đ?‘˜0 + đ?›ź đ?‘Ą đ?‘˜đ?‘Ą : Rugosidad despues de t aĂąos đ?‘˜0 : Rugosidad inicial, al ponerse en servicio đ?›ź: Constante de proporcionalidad de aumento de rugosidad (mm/aĂąo) t: tiempo transcurrido en aĂąos Intensidad de aumento de rugosidad PequeĂąa Moderada Apreciable Severa

IncĂłgnitas: đ?‘„đ?‘– Caudal que circula en cada tramo o ramal En las descargas se tiene la energĂ­a de velocidad debida a las salidas en chorro. Suponer una cota piezomĂŠtrica del punto P: Zđ?‘?

2.

Calcular la energĂ­a disponible en cada tramo:

0.012 0.038 0.120 0.380

Perdidas de fricciĂłn en tuberĂ­as no circulares đ?‘…=

Procedimiento de soluciĂłn propuesto: 1.

Îą (mm/aĂąo)

đ?‘…đ?‘’ =

đ??´đ?‘š đ??ˇ = đ?‘ƒđ?‘š 4

đ?‘‰ đ??ˇ đ?‘‰ (4đ?‘…) = ; đ?œˆ đ?œˆ

đ?‘˜ đ?‘˜ = đ??ˇ 4đ?‘…

â&#x;š đ?‘Ś

đ??ˇ = 4đ?‘… â„Žđ?‘“ = đ?‘“

đ??ż đ?‘‰2 đ??ż đ?‘‰2 =đ?‘“ đ??ˇ 2đ?‘” 4đ?‘… 2đ?‘”

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIER�A CIVIL Formulario Mecånica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------UNIDAD DIDà CTICA VI: 5.13 DISEÑO DE REDES: MÉTODO DE HARDY CROSS ANà LISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRà ULICA

6.1 ANĂ LISIS DIMENSIONAL Dimensiones fundamentales Longitud Masa Tiempo Corriente elĂŠctrica Temperatura Cantidad de luz Cantidad de materia

CaracterĂ­sticas: 1) En cada circuito: â&#x;ł+: ∑đ?‘›đ?‘–=1 â„Žđ?‘“ đ?‘– = 0 2) Los caudales que en cada circuito tengan sentido horario se considerarĂĄn positivos y producirĂĄn perdidas de carga positivas. 3) En cada nudo se cumple continuidad: ∑đ?‘„đ??¸đ?‘ đ?‘‡đ?‘…đ??´đ?‘ = ∑đ?‘„đ?‘†đ??´đ??żđ??¸đ?‘ 4) Las pĂŠrdidas de carga pueden calcularse con Darcy o con HazenWilliams y tendrĂĄn la forma: â„Žđ?‘“ = đ??ž đ?‘„ đ?‘Ľ En donde los valores de K y x dependen de la ecuaciĂłn empleada. 5) La soluciĂłn se realiza por aproximaciones.

Con ecuaciĂłn de Darcy: â„Žđ?‘“ = đ?‘“ ∴



∆đ?‘„ = −

đ??ż đ?‘‰2 đ??ˇ 2đ?‘”

= 0.08263 đ?‘“

∆đ?‘„ = −

đ??ż đ??ˇ5

đ?‘„2 = đ??žđ?‘„2

∑ℎđ?‘“ 0 â„Žđ?‘“ 0 2 ∑( ) đ?‘„0

Con ec. de Hazen-Williams: â„Žđ?‘“ = (0.2784 ∴

∑ℎđ?‘“ 0 â„Žđ?‘“ 0 1.85 ∑ ( ) đ?‘„0

SĂ­mbolo

m (metro) kg (kilogramo) s (segundo) A (ampere) K (kelvin) cd (candela) mol (mole)

L m T I θ C N

A veces se emplea fuerza en vez de masa como dimensión fundamental. a) MÉTODO DIRECTO Establecer de una manera directa las ecuaciones dimensionales. b) TEOREMA π DE BUCKINGHAM �1 = �(�2, �3 , ⋯ , �� ) Donde �1 es el paråmetro dependiente y paråmetros independientes.

đ?‘ž2 , đ?‘ž3 , â‹Ż , đ?‘žđ?‘› son n-1

Se puede expresar tambiĂŠn como: đ?‘”(đ?‘ž1 , đ?‘ž2 , đ?‘ž3 , â‹Ż , đ?‘žđ?‘› ) = 0

Procedimiento de cålculo 

Unidad base

đ??ż đ??śđ??ť đ??ˇ2.63 )1.85

El teorema de Buckingham establece que dada una relaciĂłn de la forma đ?‘”(đ?‘ž1 , đ?‘ž2 , đ?‘ž3 , â‹Ż , đ?‘žđ?‘› ) = 0, entre n parĂĄmetros, ĂŠstos se pueden agrupar en n-m parĂĄmetros adimensionales independientes (Ď€): đ??ş(đ?œ‹1 , đ?œ‹2 , đ?œ‹3, â‹Ż , đ?œ‹đ?‘›âˆ’đ?‘š ) = 0 đ?‘œ đ?œ‹1 = đ??ş1 ( đ?œ‹2, đ?œ‹3, â‹Ż , đ?œ‹đ?‘›âˆ’đ?‘š ) Procedimiento para determinar los parĂĄmetros:

đ?‘„1.85 = đ??žđ?‘„1.85

1) Listar todos los parĂĄmetros significativos inclusive la variable dependiente (sea n el nĂşmero total de parĂĄmetros). 2) Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones, por ejemplo mLT.

Marco A. Silva Lindo

UNASAM FACULTAD DE INGENIERĂ?A CIVIL Formulario MecĂĄnica de Fluidos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------

3) Listar las dimensiones de todos los parĂĄmetros, en funciĂłn de las dimensiones primarias (sea r el nĂşmero de dimensiones primarias). 4) De la lista de parĂĄmetros elaborada (paso1), seleccionar aquellos que se repetirĂĄn en los parĂĄmetros adimensionales que se han de formar; dichos parĂĄmetros repetitivos deberĂĄn ser igual en nĂşmero a las dimensiones primarias r. 5) Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parĂĄmetros repetitivos con cada uno de los parĂĄmetros restantes (se obtendrĂĄn n-m ecuaciones). Resolver estas ecuaciones dimensionales para obtener n-m parĂĄmetros adimensionales. Usualmente m = r.

6.3 SEMEJANZA HIDRĂ ULICA Semejanza GeomĂŠtrica đ??żđ?‘? = đ?œ†, đ??żđ?‘š



NĂşmero de Reynolds



đ??šđ??źđ?‘ đ??¸đ?‘…đ??śđ??źđ??´đ??żđ??¸đ?‘† đ?œŒđ?‘‰ 2đ??ż2 (đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘› đ?‘‘đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘?đ?‘Ž)(đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž) đ?œŒđ?‘‰đ??ż = = = đ?œ‡đ?‘‰ 2 (đ?‘’đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘Łđ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘œ)(đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž) đ??šđ?‘‰đ??źđ?‘†đ??śđ?‘‚đ?‘†đ??´đ?‘† đ?œ‡ đ??ż đ??ż NĂşmero de Euler đ??šđ??źđ?‘ đ??¸đ?‘…đ??śđ??źđ??´đ??żđ??¸đ?‘† đ?œŒđ?‘‰ 2 đ??ż2 (đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘› đ?‘‘đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘?đ?‘Ž)(đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž) đ?œŒđ?‘‰ 2 đ??¸= = = = (đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘›)(đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž) đ??šđ?‘ƒđ?‘…đ??¸đ?‘†đ??źđ?‘‚đ?‘ đ?‘?đ??ż2 Δđ?‘?



NĂşmero de Froude



đ??šđ??źđ?‘ đ??¸đ?‘…đ??śđ??źđ??´ đ??šđ??şđ?‘…đ??´đ?‘‰đ??źđ?‘‡đ??´đ??śđ??źđ?‘‚đ?‘ đ??´đ??żđ??¸đ?‘†

đ?œŒđ?‘‰ 2đ??ż2 đ?‘‰ 2 đ?‘‰ = = đ?œŒđ?‘”đ??ż3 đ?‘”đ??ż √đ?‘”đ??ż

NĂşmero de Mach. đ?‘€= Donde:



=

Prototipo R h

đ?‘Š=

H

b Semejanza CinemĂĄtica đ?‘‰đ?‘? = đ?‘‰đ?‘&#x; , đ?‘‰đ?‘š

B đ?‘„đ?‘? = đ?‘„đ?‘&#x; đ?‘„đ?‘š

đ?‘Žđ?‘? = đ?‘Žđ?‘&#x; , đ?‘Žđ?‘š

Semejanza DinĂĄmica Cuando los flujos en el modelo y en el prototipo tienen distribuciones de fuerzas tales que en puntos correspondientes de ambos flujos, los tipos idĂŠnticos de fuerzas son paralelos y se relacionan en magnitud por un factor de escala constante. Para la semejanza dinĂĄmica estricta los nĂşmeros de E, M, đ?‘…đ?‘’ , F y W deben ser iguales en el modelo y en el prototipo. Ejemplos: (a) Pueden igualarse los parĂĄmetros del mismo modelo en medios

đ??šđ??źđ?‘ đ??¸đ?‘…đ??śđ??źđ??´ đ??šđ??śđ?‘‚đ?‘€đ?‘ƒđ?‘…đ??¸đ?‘†đ??źđ??ľđ??źđ??żđ??źđ??ˇđ??´đ??ˇ

=√

đ?œŒđ?‘‰ 2 đ?‘‰ = đ?œŒđ?‘? 2 c

c: velocidad local del sonido

NĂşmero de Weber.

đ??ť đ?‘… đ??ľ = = =đ?œ† â„Ž đ?‘&#x; đ?‘?

r

đ?‘…đ?‘’ =

đ??š=

∀đ?‘? = đ?œ†3 ∀đ?‘š

Modelo

6) Verificar que cada parĂĄmetro obtenido resulte adimensional. Escribir la relaciĂłn funcional entre los parĂĄmetros. 6.2 PARĂ METROS ADIMENSIONALES MĂ S COMUNES

đ??´đ?‘? = đ?œ†2 , đ??´đ?‘š

2

đ??šđ??źđ?‘ đ??¸đ?‘…đ??śđ??źđ??´ đ?œŒđ?‘‰ đ??ż = đ??šđ?‘‡đ??¸đ?‘ đ?‘†đ??źđ?‘‚đ?‘ đ?‘†đ?‘ˆđ?‘ƒđ??¸đ?‘…đ??šđ??źđ??śđ??źđ??´đ??ż đ?œŽ

diferentes: Igualando đ?‘…đ?‘’ đ?‘š1 = đ?‘…đ?‘’ đ?‘š2

đ?‘‰đ??ż

( ) đ?œˆ

đ?‘‰đ??ż

đ?‘š1

=( ) đ?œˆ

đ?‘š2

(b) Pueden igualarse los parĂĄmetros del modelo y del prototipo en el mismo medio o en medios diferentes. đ??¸đ?‘š = đ??¸đ?‘?

2 đ?œŒđ?‘š đ?‘‰đ?‘š

đ?‘?đ?‘š

=

đ?œŒđ?‘? đ?‘‰đ?‘?2 đ?‘?đ?‘?

đ?‘…đ?‘’ đ?‘š = đ?‘…đ?‘’ đ?‘? , en el aire

â&#x;š

đ?‘‰đ?‘š đ??żđ?‘š đ?œˆđ?‘Žđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’

=

đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘š đ?‘‰đ?‘? đ??żđ?‘?

=

đ?œŒđ?‘? đ?‘‰đ?‘?2 2 đ?œŒđ?‘š đ?‘‰đ?‘š

đ?œˆđ?‘Žđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’

Marco A. Silva Lindo

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.