IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
Answers Worksheet
1
1.- a) El producto P · Q, siempre será una matriz 2xn pero en el caso de Q · P, sí existe, bastaría tomar Q = ( 1 1) como vector fila 2
−1 3 −1 3 1 0 7 0 3 −9 −2 0 8 −9 b) M = − 3 − 2 = + + = 2 1 2 1 0 1 0 7 −6 −3 0 −2 −6 2 2.- 2A = AX + B AX=2A – B X = A-1 (2A – B) −1
1 0 1 0 −1 2 1 0 3 −2 3 −2 X = 2 − = = −1 1 −1 1 −3 1 1 1 1 1 4 −1 −1
−1
1 0 0 0 1 0 1 −1 0 1 1 1 −1 3.- ( I − A ) = 0 1 0 − 0 0 1 = 0 1 −1 = 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 α 1 1 4.- 2 α α 2 1 2 1 1 2
α
1
1
2 α α 2 = α 2 + 2α 2 + 2 − 2α − 2 − α 3 = −α 3 + 3α 2 − 2α = −α (α − 1)(α − 2 ) 2 1 1 Si α ≠ 0 y α ≠ 1 y α ≠ 2 entonces rang(A)=3
0 Si α ≠ 0 entonces la matriz es 2 2 1 Si α ≠ 1 entonces la matriz es 2 2
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0 1 y tiene rang(A)= 3 pues 2 2 2 2 1 1 y tiene rang(A)= 3 pues 2 2 2
1 2 0 1 =2≠0 1 2 1 2 1 1 = −1 ≠ 0 1 2
2 1 1 2 Si α ≠ 2 entonces la matriz es 2 2 4 1 y tiene rang(A)= 2 pues F1 = F3 2 1 1 2 1 0 0 a 1 0 a 0 1 0 0 1 0 5.= 1 ⋅ 0 1 0 = 1⋅ =1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1
3x − 2 y + z = m 3 −2 1 m 3 −2 1 5 x − 8 y + 9 z = 3 5 − 8 9 3 6. donde A = 5 −8 9 = 0 ⇒ rang ( A) = 2 2 x + y − 3z = −1 2 1 −3 −1 2 1 −3
Worksheet 21
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
Luego, para que el sistema sea compatible, necesitamos que el rango de la ampliada sea también 2, por tanto
3 −2
m
1 5 −8 3 = 21m − 7 = 0 ⇒ m = para este valor de m el sistema es compatible indeterminado y 3 2 1 −1 para cualquier otro valor de m es incompatible 7.-
m 1 3 3 mx + y 3z 3 mx + y + 3z 3 m 1 3 x 3 x 1 −1 ⋅ y + −1 ⋅ z = 0 ⇔ x − y + − z = 0 ⇔ x − y − z = 0 ⇔ 1 −1 −1 y = 0 5 −3 2 6 5 x − 3 y 2 z 6 5 x − 3 y + 2 z 6 5 −3 2 z 6 m
1
3
1
3
3
1 5
−1 −1 = −5m − 1 y −1 −1 0 = −3 ≠ 0 −3 2 −3 2 6
a) Discutirlo según los valores de m Si m ≠
−1 entonces rang(A) = 3 = ran(A*) = nº incognitas SISTEMA COMPATIBLE 5
DETERMINADO Si m =
−1 entonces rang(A) = 2 ≠ ran(A*) = 3 SISTEMA INCOMPATIBLE 5
b) Resolverlo en el caso de m = 2 En este caso el sistema es INCOMPATIBLE, no hay nada que resolver
Worksheet 22
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
Answers Worksheet
2
1 −1 x 1 = 1 1 y x
y 2 x − y 2 + y x − y = 2 + y x − 2 y = 2 y = −1 ⇔ = ⇔ −1 1 x + y 2 x − 1 x + y = 2 x − 1 − x + y = −1 x = 0
1. 2.
1 0 M = 0 α 4 1
-1 3 ; M = −α 2 + 4α − 3 = − (α − 1)(α − 3) -α
Entonces cuando α = 1 ó α = 3 la matriz M no tiene inversa por ser singular. En el resto de los casos si. Concretamente para α = 2 se tiene que la inversa es:
1 0 -1 -7 -1 2 −1 M = 0 2 3 ⇒ M = 12 2 -3 4 1 -2 -8 -1 2 3.
2
0
−1 1
≠ 0 ⇒ ran( A) es por lo menos 2
1
a
1
2
0 -1 = a + 2 + 1 + 2a = 3a + 3 = 3(a + 1) ⇔ el determinante es no nulo si a ≠ -1;luego rang(A)=3
-1 1 -1 Podría parecer que para a=-1 el rango ya es 2 pero queda comprobar el valor del determinante de las columnas C1, C2 y C4 cuando a = -1.
1
-1 2
2 0 -1 1
1 = 1 + 4 − 1 = 4 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 0
Por tanto, nuestra matriz A tiene siempre rango 3 para todo valor a.
4.
a a a a
a
a
a
a
2 a a a
2−a
0
0
0
3− a
2−a
0
0
3 2 a a 4 3 2 a
=
4 − a 3− a
2−a 0
2−a = −a 3 − a
0
0
2−a
0
4− a 3− a
= −a ( 2 − a )
3
2−a
5.
(a + 1) x + 2 y + z = a + 3 a + 1 2 1 x a + 3 ⇔ a 1 0 y = a ax + y = a ax + 3 y + z = a + 2 3 1 z a + 2 a a +1 2 1 a a
1 0 = ( a + 1) ⇔ rang ( A) = 3 sii a ≠ −1 3 1
Worksheet 23
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
0 2 2 0 2 1 2 Si a = -1 tenemos que rang(A)=2 y la ampliada −1 1 0 −1 tiene −1 1 −1 = 0 luego rang(A*) = −1 3 1 1 −1 3 1 2 por tanto la discusión del sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, solución única si a ≠ -1 COMPATIBLE INDETERMINADO Si a = -1 y sus infinitas soluciones se obtienen parametrizando una de las incógnitas, y calculando las otras dos:
y = 1−
λ
2 2y = 2 − λ λ − x + y = −1 x = 2 − 2 z=λ z=λ 6.
x x + 2 y + z = 0 1 2 1 0 0 y y + 2 z + t = 0 0 1 2 1 = 0 ; que es un sistema homogéneo, luego siempre es 2 x + 2λ y − t = 0 2 2λ 0 −1 z 0 t COMPATIBLE y la solución trivial x = 0; y = 0; z = 0; t = 0; siempre es solución. Por otro lado, cualquiera que sea el valor de λ el rang(A) = rang(A*) va a ser menor que el número de incógnitas que son 4, luego el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO, ahora bien, segúns ea el valor de λ hay que parametrizar una ó dos incógnitas
1 1
0
1
2
0 2 1 =0 y 0 1 2 0 −1 2 2λ
0
3 3 1 = −2λ + 3 ; luego cuando λ = el rang(A)=2 y si caso λ ≠ el rang(A)=3. 2 2 −1
Para λ = 0 el rang(A)=3 luego tenemos que parametrizar una de las variables. por ejemplo la t:
1 λ λ −λ − − = − y = − λ 2 4 2 4 x + 2 y = −λ −3λ y + 2 z = −λ z = 1 −λ − − λ = −3λ z = 8 2 8 4 2x = λ λ λ x= t = λ x= 2 2 t=λ t =λ y=
Worksheet 24
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
3
Answers Worksheet
1.
0 r 0 r rs 0 M2 = = s 0 s 0 0 rs rs 0 0 r 0 r 2 s 3 2 M =M M = = 2 0 0 rs s 0 rs 0 r 2s 0 r r 2s2 0 M 4 = M 3M = 2 = 0 s 0 0 r 2s2 rs ........ M
2k
r k sk = 0
0 r s k k
2. El determinante
0
0
0 −1
= 0 luego rang(A) es al menos 1
m 0 0 0 m = m 2 que será cero sii m = 0. Para que sea tres el |A| ≠ 0 luego A = 0 0 −1 m + 1 Por tanto si m≠ 0 => rang(A) = 3 Si m = 0 => rang(A) = 1 Si m = -1 sabemos que |A|= m2 = (-1) 2 = 1 ≠ 0; luego A tiene inversa. Multiplicando por la derecha ambos miembros d ela igualdad por la A-1 se tiene :
XA + A = 2 I ⇔ XA = 2 I − A ⇔ XAA−1 = ( 2 I − A ) A−1 ⇔ X = ( 2 I − A ) A−1
Por lo que
1 X = ( 2 I − A ) A−1 = 2 0 0 3 0 0 −1 0 ... = 0 2 1 0 0 0 1 2 0 −1
−1
0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 − 0 0 −1 0 0 −1 = ... 0 1 0 −1 0 0 −1 0 0 −3 0 0 −1 = 0 −1 −2 0 0 −2 −1
3.
Worksheet 25
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
2 0 0 0 0 2 0 0 2 4 0 0 2 2 A = A ⋅ A = 0 2 0 0 2 0 = 0 4 0 = 0 22 0 2 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 22 3 4 0 0 0 0 2 0 0 8 0 0 2 A3 = A2 ⋅ A = 0 4 0 0 2 0 = 0 8 0 = 0 23 0 0 0 4 2 0 0 8 0 0 23 0 0 4 0 0 0 0 8 0 0 2 16 0 0 2 A4 = A3 ⋅ A = 0 8 0 0 2 0 = 0 16 0 = 0 24 0 8 0 0 2 0 0 0 0 16 0 0 24
A
2000
22000 = 0 0
0
0 0 22000
c c
2+a+b+c b = 2+a+b+c 2+b
0 2
2000
4.
2+a b a 2+b a
b
2+c
2+a+b+c
b
c c 2+c
2+a+b+c b c = 0 2 0 = 4(2 + a + b + c) 0
0 2
5. m−2 1 2 = ( m − 2 ) − 1 = m 2 − 4m + 3 = ( m − 1)( m − 3) lo que implica que este determinante es 0 1 m−2 para m = 1 o m = 3 entonces: Si m ≠ 1 y m ≠ 3 entonces rang(A) = 2 = nº incognitas => SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO solución única que por tanto es la trivial x = 0 y = 0 que siempre es solución de un sistema homogéneo Si m=1 o m=3 entonces rang(A)=1 => SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Lo resolvemos para m en general, para que valga tanto para m=1 ó m=3. Parametrizamos la incógnita y, resultando
(m − 2) x = −λ ⇔ x =
−λ m−2 y=λ
6. ax + y + z = (a − 1)(a + 2) a 1 1 x (a − 1)(a + 2) a 1 1 (a − 1)(a + 2) a) x + ay + z = (a − 1) 2 (a + 2) 1 a 1 y = (a − 1)2 (a + 2) ; 1 a 1 (a − 1) 2 (a + 2) 3 3 3 x + y + az = (a − 1) (a + 2) 1 1 a z (a − 1) (a + 2) 1 1 a (a − 1) (a + 2)
Worksheet 26
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
a 1 1 1 a 1 = a 3 − 3a + 2 = (a − 1)2 (a + 2) por lo que este determinante es 0 para a = 1 y a = 2 1 1 a Si a ≠ 1 y a ≠ -2 el rang(A) = rang(A*) = 3 = nº incógnitas => SISTEMA COMPATIBLE determinado de solución única
1 1 1 0 Si a = 1 el rang(A) = 1 y la ampliada es 1 1 1 0 , luego las 3 ecuaciones son iguales, por lo que 1 1 1 0 rang(A*) = 1 => SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
−2 1 0 −2 1 1 0 Si a = -2 el rang(A) = 2 y la ampliada es 1 −2 1 0 , donde 1 −2 0 = 0 luego rang(A*) = 2 1 1 −2 0 1 1 0 => SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO b) Pendiente de explicar geometría del espacio c)
x=
1 −λ 3 −λ
1 3λ = =λ −2 3
−2 x + y = − λ 1 −2 −λ 3λ x − 2 y = −λ y = = =λ 3 1 −λ 3 z=λ z=λ
Worksheet 27
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
4
Answers Worksheet
1.
1 8 3 −6 A − 4 B = −2 −13B = 3 −1 5 4 1 2 A= 6 A − 9B = 3 −6 −1 −6
8 3 A + 2B = 5 1 2 A − 3B = −1
3 4 2
2 8 3 −13 0 − 2 = −6 5 4 −13 −26 1 2 1 3B + 2 −1 −6
1 1 0 1 2 2 1 A = 3 + = 2 1 2 −1 −6 1 0 B=
2. A =
1 −13 0 1 0 = −13 −13 −26 1 2
2a
a
a
a
a
2a
a
a
a
a
2a
a
a
a
a
2a
5a =
a
a
a
5a 2a
a
a
5a
a
2a
a
a
a
2a
5a
5a a a a =
0
a 0 0
0
0 a 0
0
0 0 a
= 5a 4
−1
2a a a a 4 −1 −1 −1 a 2a a a 1 − 1 4 −1 −1 −1 A = = a a 2a a 5a −1 −1 4 −1 a a a 2a −1 −1 −1 4
3. (Galicia, Prueba previa Selectividad 2001) a) Discutir en función de los valores de k y resolver cuando tenga mas de una solución el sistema
1
1 1 2 3 x + y + 2z = 3 1 1 2 x 3 2 x − y + kz = 9 ⇔ 2 −1 k y = 9 ; A* = 2 −1 k 9 x − y − 6 z = 5 1 − 1 −6 z 5 1 − 1 −6 5 1 2
2 −1 k = −6 + k − 4 + 2 + k + 12 = 2k + 4 = 2(k + 2) ; por lo que este determinante será cero si k = -2. 1 −1 −6 Si k ≠ -2 el rang(A) = rang(A*) = 3 = nº incognitas es un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO de solución única. 1 1 2 3 Si k = 2 rang(A) = 2, pero veamos lo que ocurre con la ampliada. La matriz queda A* = 2 −1 2 9 1 − 1 −6 5 1
1
3
−1 9 = −5 + 9 − 6 + 3 + 9 − 10 = 0 el rang(A*) = 2 por loq ue el sistema resulta COMPABLE 1 −1 5
Como 2
INDETERMINADO de infinitas soluciones que se resuelve parametrizando una de las incógnitas y calculando las otras dos por Cramer:
Worksheet 28
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
−1 3 − 2λ 3 9 + 2λ
=2 −1 x + y = 3 − 2λ −1 1 3 − 2λ 2 x − y = 9 + 2λ y = = 2λ + 1 ( x, y, z ) = ( 2, 2λ + 1, λ ) 3 2 9 + 2λ z=λ z=λ 1 1 2 3 c) Para k = -2 el rang(A*) = rang 2 −1 −2 9 = 2 luego existen α, β tales que F3 = α F1 + β F2 es 1 −1 −6 5 x=
1
decir (1, -1, -6, 5) = α(1, 1, 2, 3) + β (2, -1, -2, 9) Y una combinación nula para las columnas sería encontrar otro α, β, γ tales que C4 = α C1 + β C2 + γ C3 En ambos casos hay que resolver el sistema formado y calcular α, β, γ 4. a)
− x + λ y + 2 z = λ −1 λ 2 x λ 2 x + λ y − z = 2 ⇔ 2 λ −1 y = 2 λ x − y + 2z = λ λ −1 2 z λ −1 λ 2 2
λ
(
)
−1 = −2λ − λ 2 − 4 − 2λ 2 + 1 − 4λ = −3λ 2 − 6λ − 3 = −3 λ 2 + 2λ + 1 = −3 ( λ + 1) −1 2
λ
2
Si λ ≠ -1 entonces rang(A) = 3 = rang(A*) = nº incognitas => SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO SOLUCION UNICA
−1
2
−1
−1 2 = 0 rang(A*) = 2 => SISTEMA COMPATIBLE −1 2 −1
Si λ = -1 entonces rang(A) = 2 y 2
INDETERMINADO. b) Para λ = 1 el sistema es COMPATIBLE determinado de solución única, por loq ue lo resolvemos por Cramer:
−1 1 2 x 1 2 1 −1 y = 2 1 −1 2 z 1 1 1 2 −1 −1 10 5 x= 2 1 −1 = ( −10 ) = = 12 12 12 6 1 −1 2
Worksheet 29
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
−1 1 2 10 5 −1 −1 y= 2 2 −1 = ( −10 ) = = 12 12 12 6 1 1 2 −1 1 1 6 3 −1 −1 z= 2 1 2 = ( −6 ) = = 12 12 12 6 1 −1 1 c) Resolver el sistema para λ = -1 el sistema es COMPATIBLE Indeterminado de infinitas soluciones. Parametrizamos el sistema llamando µ a la incógnita z, quedando el sistema
5. Dado el sistema de ecuaciones lineales
ax + y + z = 1 a 1 1 x 1 x + ay + z = b 1 a 1 y = b x + y + az = 1 1 1 a z 1 a 1 1 1 a 1 = a 3 − 3a + 2 = ( a + 2 )( a − 1) 1 1 a Si a ≠ -2 y a ≠ 1
2
a) discutir el sistema en función de a y b b) resolver el sistema para a = b = -2
Worksheet 30
CONCEPCIÓN ARENAL
IES
Ferrol
Answers Worksheet 5 1. (Asturias, Septiembre 2007) Sea la matriz
−1 −2 −2 A= 1 2 1 0 − 1 −1 a) Comprueba que A3 – I = 0, donde I es la identidad y 0 la matriz nula b) Calcula A13. c) Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla una matriz X que verifique la igualdad A2X + I = A 2. (Castilla la Mancha, septiembre 2001) Dadas las matrices
− 1 −1 3 1 0 0 −1 2 A = −1 0 −3 ; B = −1 2 ; C = −2 1 −1 −1 2 1 0 1 c) Halla la inversa de A- BC d) Resuelve la ecuación matricial AX – BCX = A 3.
x2 a a a
a x2 a a
a a x2 a
a x 2 + 3a a x 2 + 3a = 2 a x + 3a 2 x x 2 + 3a
x2 − a ... = ( x 2 + 3a ) 0 0
a x2 a a
0 x −a 0 2
a≥0⇒
a x 2 + 3a a 0 = a 0 2 x 0
a a x2 a
a x −a 0 0 2
a 0 2 x −a 0
a 0 = ... 0 x2 − a
0 3 x 2 + 3a = 0 x = ± −3a 0 = ( x 2 + 3a )( x 2 − a ) = 0 ⇒ ⇒ 2 x − a = 0 x=± a x2 − a
x=±
(
3a
)
−1 = ±
(
)
3a i
x=± a x=± En ℂ las soluciones son: a < 0 ⇒
x=±
(
(
) (
−3a = ±
) ( a)
− a =±
3a
)
−1 = ±
( a )i
Worksheet 31
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
4.-
x + 2y − z = 2 1 2 −1 2 x + (1 + b) y − bz = 2b 1 1 + b −b 2b x + by + (1 + b) z = 1 1 b 1 + b 1 A A* −1 1 2 0 1 − b −1 + b 1 1+ b 1
b
−b
= 0 F1 − F2 1 + b F2 − F3 1
1 b
−2b − 1 = (1 − b ) 1+ b
1
−1
1 −2b − 1
= − (1 − b ) 2b = 0 ⇒ b =
1 0
F3
Si b ≠ 0 y b ≠ 1 ⇒
rang(A) = rang(A*) = 3 = nº incógnitas SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO SOLUCION UNICA que podemos resolver por la regla de Cramer en función del parámetro b
2 2 −1 2b 1 + b −b 1 b 1 + b 2b 2 − b + 3 (1 − b ) ( 2b + 3) 2b + 3 x= = = = 2b(1 − b) 2b(1 − b) 2b 2b (1 − b) 1 2 −1 1 2b −b 1 1 1 + b 2b 2 + b − 3 − (1 − b ) ( 2b + 3) −2b − 3 y= = = = 2b(1 − b) 2b(1 − b) 2b 2b (1 − b)
z=
1 2 2 1 1 + b 2b 1 b 1 2b(1 − b)
=
−2b 2 + 5b − 3 (1 − b ) ( 2b − 3) 2b − 3 = = 2b(1 − b) 2b 2b (1 − b)
Si b = 0 ⇒
1 2 2 1 2 −1 2 1 1 0 0 donde rang(A)=2 y como 1 1 0 = 1 − 2 − 2 = −3 ≠ 0 ⇒rang(A*)=3 1 0 1 1 1 0 1 ⇒ SISTEMA INCOMPATIBLE Si b = 1 ⇒ 1 2 2 1 2 −1 2 1 2 −1 2 donde rang(A)=2 y como 1 2 2 = 0 ⇒rang(A*)=3 1 1 2 1 1 1 1 ⇒ SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO INFINITAS SOLUCIONES Parametrizamos la incognita z = λ y resolvemos las otras dos incógnitas en función del λ.
Worksheet 32
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
x + 2y = 2 + λ 2+λ x + y = 1 − 2λ ⇒ x = − 1 − 2λ z=λ
2 1 2+λ = −5λ ; y = − = − ( −1 − 3λ ) = 1 + 3λ 1 1 1 − 2λ
5.-
kx + 3 y = 0 k 3 0 3x + 2 y = k 3 2 k 3x + ky = 0 3 k 0 A A* k 3 0 A * = 3 2 k = 9k − k 3 = k ( 9 − k 2 ) = 0 ⇒ 3 k
0
k =0 9− k2 = 0
⇒
k = ± 9 = ±3
Si k ≠ 0; k ≠ +3; k ≠ -3⇒
Rang(A*)=3≠ rang(A) < 3 ⇒ SISTEMA INCOMPATIBLE Si k = 0 3y = 0 y = 0 3x + 2 y = 0 ⇒Rang(A) = 2 = rang(A*)=nº incognitas ⇒ SISTEMA COMPATIBLE 3x + = 0 x = 0 DETERMINADO SOLUCION UNICA luego, al ser el sistema homogéneo, la solución es la trivial x=0; y = 0 Si k = 3
3x + 3 y = 0 y = 3 3 x + 2 y = 3 ⇒Rang(A) = 2 = rang(A*) = nº incognitas ⇒ SISTEMA ⇒ x = − 3 3x + 3 y = 0 COMPATIBLE DETERMINADO SOLUCION UNICA que es x = -3 e y = 3 Si k = -3
−3 x + 3 y = 0 −3 y= 3 x + 2 y = −3 5 ⇒ 3 ⇒Rang(A) = 2 = rang(A*) = nº incognitas ⇒ SISTEMA x = 5 3x + −3 y = 0
COMPATIBLE DETERMINADO SOLUCION UNICA que es x = 3/5 e y = -3/5
Worksheet 33
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
Answers Workshett 6
1.
1 3 1 2 λ 1 + 2λ 3 + 2λ a) AB = λ 0 = 1 1 −1 −1 0 2 1 − λ Calculamos para que dos valores de se anula el determinante, lo cual indica que para ellos AB to tiene inversa por tratarse de una matriz singular. 1 1 + 2λ 3 + 2 λ 2 2 = 1 + 2λ − ( 3 + 2λ − 3λ − 2λ ) = 2λ + 3λ − 2 = 0 ⇒ λ = 2 1− λ 1 −2 b)
1 3 4 −1 λ − 3 1 2 λ 2 BA = λ 0 = λ 2λ λ 0 2 1 −1 −1 2 −2 −2 Y esta matriz será singular cuando su determinante sea cero, por tanto 4 −1 λ − 3 4 −1 λ − 3 2 λ 2λ λ = 2 λ 1 2 λ = 2λ −8 − λ − λ + 3 − ( 2 − λ − 6 − 4 − λ + 1) = ... 2 −2 −2 1 −1 −1 ... = 2λ −8 + 3 − ( 2 − 6 − 4 + 1) = 4λ
Worksheet 34
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
4.- (Navarra, Junio 2006) Discute según los valores del parámetro α, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolviéndolo cuando sea posible x− y−z =0 −1 −1 0 1 2 2 x + (α − α − 1) y = −1 0 −1 1 α − α − 1 2 2 x + (α 2 − α − 1) y + (α − 2 ) z = 1 − α 2 1 α − α − 1 α − 2 1 − α 1 −1 −1 1 0 0 1 1 1 α 2 − α −1 0 = 1 α 2 −α 1 = (α 2 − α ) = α (α − 1)(α − 2 ) 1 α −1 2 2 1 α − α −1 α − 2 1 α − α α −1 Si α ≠ 0, α ≠ 1 y α ≠ 2 el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO con solución única dependiente del valor α y que se calcula por Cramer: 0 −1 −1
α 2 − α −1 0 2 2 1 − α α − α −1 α − 2 = ... x= α (α − 1)(α − 2 ) −1
y=
1
0
1
−1
1 1−α
−1 0
α −2 = ... α (α − 1)(α − 2 ) 2
−1
1
1 α − α −1 2
0 −1
1 α − α −1 1 − α 2 2
z=
α (α − 1)(α − 2 )
= ...
Si α = 1 el rang(A) = 2, pero el determinante formado por las columnas C1 C3 y C4 1 −1 0
1 0 −1 = 1 − 1 = 0 => Rang(A*) = 2 => sistema COMPATIBLE INDETERMINADO 1 −1 0 Las infinitas soluciones se obtienen parametrizando una de las incógnitas, en este caso la y = λ y las otras dos se obtienen por Cramer resolviendo el sistema siguiente: x − z = λ x = −1; y = λ ; z = −1 − λ ⇔ ( x, y, z ) = (−1, 0, −1) + λ (0,1, −1) x = −1 Si α = 2 el rang(A) = 2, pero el determinante formado por las columnas C1 C2 y C4 queda 1 −1 0
1 1
1 1
−1 = −3 + 1 + 1 − 3 = −4 ≠ 0 => Rang(A*) = 3 => SISTEMA INCOMPATIBLE −3
Si α = 0 el rang(A) = 2, pero el determinante formado por las columnas C1 C3 y C4 queda
Worksheet 35
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
1 −1
0
1 0 −1 = 1 − 2 + 1 = 0 => Rang(A*) = 2 => sistema COMPATIBLE INDETERMINADO 1 −2 1 Las infinitas soluciones se vuelven a obtiener parametrizando una de las incógnitas y resolviendo por Cramer el sistema que se forma.
Worksheet 36
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
Answers Worksheet 7 1.-
−1
1
2
−1 −1
2 = −2
2
−1
1
1 −1 AB = C ⇔ −1 −1 2 1 a − b + 2c 0 ... ⇒ −2 − a − b + 2c 3 2a + b + c −1 −1 2 t
... ⇒ a =
−5 −1
2
6
−1
1 −2
2 1 a 2 1 b −1 0 c −3 0 −3 = −2 2 3
0 0 − 1 −3 1 = −2 −5 −3 ⇒ ... −1 3 6 2 −1 −3 a − b + 2c = −1 −5 −3 ⇒ −a − b + 2c = −5 ⇒ ... 6 2 2a + b + c = 6 1 −1 2 1 −1 −1 −1 −5
=
2 −4 = 2; b = −2
6
−1 −1 −5
2 −1
−2
=
2 −2 = 1; c = −2
1
6
−2
=
2 = −1 −2
2.-
−1 1 A= 0 2
0
1 0 = 1 luego es no singular, luego existe A-1 0 −1
−1 0 2 −1 1 0 1 1 A−1 = adj ( At ) = adj 1 1 0 = 0 1 0 A 1 0 0 −1 −2 2 −1 − 1 1 0 1 0 0 −2 2 0 AX + 2 A = I ⇔ AX = ( I − 2 A ) ⇒ X = A ( I − 2 A) = 0 1 0 0 1 0 − 0 2 0 = ... −2 2 −1 0 0 1 4 0 −2 −1
−1 1 0 −1 −2 0 −3 1 0 ... = 0 1 0 0 −1 0 = 0 −1 0 −2 2 −1 −4 0 3 −2 2 −3 2 −1 0 1 3.- rang ( A) = rang 0 0 0 0
4.- A =
1 2 2 3 1 1 8 9 =4 1 1 4 6 0 1 8 9
1
−2
1
−1
−1
0
0
−2
2
−1
2
−2
2
−1 2
2
−3
1
−2
F1 + F2
0
−1
0
0
3
−2
1
−2
F3 + F2 F4 + F2
1
0
0
0
=
1
−1 = (−1)(−1)
3+ 2
0
1
−2 −1 2 = 1
0
0
0
1
−1 2
=1
Worksheet 37
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
5.x + 2 y + z = A 1 2 1 A 1 2 1 x + y + z = B A A* = 1 1 1 B ; A = 1 1 1 = 2 ; luego A es no singular o regular. 1 1 −1 C x + y − z = C 1 1 −1 Entonces para cualquier valor de A, B y C se tiene por Rocuhé-Fröbenius. que rang(A)=3 =rang(A*) = nº incógnitas ⇒ SCDU que se calcula por la Regla de Cramer:
A 2 1 1 A 1 1 2 A −2 A + 3 B + C B −C 1 1 1 x= B 1 1 = ; y = 1 B 1 = A − B; z = 1 1 B = 2 2 2 2 2 C 1 −1 1 C −1 1 1 C 6.x − ay = 2 1 −a 2 2 ; A A * = ; A = a −1 ax − y = a + 1 a 1 a 1 − + Por Rouché-Fröbenius siempre que a2 -1 ≠ 0 (a≠1 and a≠-1) el rang(A) = 2 = rang (A*) = nº incognitas lo que implica que el sistema es SCDU y las soluciones las obtenemos por la Regla de Cramer 2 −a 1 2 2 a + 1 −1 a + a − 2 ( a + 2 ) ( a − 1) a + 2 a a +1 1− a −1 x= = = = ;y= = 2 = 2 2 2 a −1 a −1 a −1 a −1 a + 1 ( a − 1) ( a + 1) a + 1 Si queremos que y = 2 sea una solución se tiene que verificar que −1 −1 3 y= ⇒2= ⇒ 2 a + 2 = −1 ⇒ a = − a +1 a +1 2
Worksheet 38
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
Answers Worksheet 8 1.-
−2 1 0 0 1 E − xAB = yC + zD ⇔ −5 − x 1 1 0 2 = 5 3 0 11 1x − 2 y + z = −2 1x − 2 y + z ... ⇔ −5 = 3x − 5 y + 2 z ⇔ 3x − 5 y + 2 z = 5 4 x + 2 y − 3z 4 x + 2 y − 3z =
−2 1 −2 1 −2 1 y −5 + z 2 ⇒ −5 = x 3 + y −5 + z 2 ⇒ ... 2 −3 5 4 2 −3 −2 −5 ⇔ ... 5
−2 1 −2 1 x x 1 −2 1 −5 = 3 −5 2 y ⇒ y = 3 −5 2 5 4 2 − 3 z z 4 2 −3
−1
−2 1 −5 = 2 5 1
2.
1 1 A = 0 0
1 0 ; 0 1 1 1n A2 = A ⋅ A = 0 1 0 0 1
n
1
n
1 1 n 1 n 1 2 n 2 n 0 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 3 3 2 2 1 1 1 n n 1 n n 1 n n 3 2 A = A ⋅ A = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 .... 1 n n −1 A = A ⋅ A = 0 0
1
n −1
1 0
n
n
1 0 0 1 0
n −1
n
1
n
1 0
1 1 1 0 = 0 1 0 1 0 0 1
1
n
3.
0 1 - 2 2 0 A = 1 − 1 y B = 3 1 1 − 2 2 a) NO. Contraejemplo: En las matrices dadas se tiene que rang(A) = 2 y rang(B) = 2 luego rang(A) rang(B) = 4 Sin embargo, el producto A.B es una matriz 3x3, luego su rango como mucho puede ser 3. b) 1 0 a b c 1 0 a+b-2c -b+2c 1 0 XA = I ⇔ 1 −1 = ⇔ = d e f −2 2 0 1 d+e-2f -e+2f 0 1
Worksheet 39
IES
CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
a+b-2c = 1 a -b+2c = 0 b d+e-2f = 1 d -e+2f = 0 e
=
1 = 2c 1 2c ⇒ X = = 1 1 2 f = 2f
c f
c)
1 0 1 0 −2 3 t a b -2 2 0 a b AY = B ⇔ 1 −1 = ⇔ 1 −1 = 2 −1 ⇔ ... −2 2 c d 3 -1 1 c d 0 1 −2 2 a = −2 b=3 a b −2 3 −2 − c = 2 ⇒ c = −4 ... ⇔ a − c b − d = 2 −1 ⇒ 3 − d = −1 ⇒ d = 4 −2a + 2c −2b + 2d 0 1 −2 ⋅ −2 + 2 ⋅ 4 = 12 ≠ 0 ( ) −2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 2 ≠ 1 t
La tercera fila no coincide con la dada por lo que el sistema no tiene solución, luego no puede existir la matriz Y
4.- En determinante de la matriz de coeficientes A es el de Vandermonde, por tanto: a 3 + a 2 x + ay + z = 0 a 2 a 1 x −a 3 a 2 a 1 b3 + b 2 x + by + z = 0 ⇔ b 2 b 1 y = −b3 ; b2 b 1 = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c) =△ c 3 + c 2 x + cy + z = 0 c 2 c 1 z −c3 c 2 c 1 Resolvemos −a 3 a −b 3 b −c 3 c x= △
y=
x, y y z por la Regla de Cramer: 1 1 1
=
a2
−a3 1
b2
−b3 1
c2
−c 3 1
(b − a)(c − a )(c − b)(a + b + c) (a + b + c) = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c) (d − a )(d − b)(d − c)
=
−(b − a)(c − a)(c − b)(ab + ac + bc) −(ab + ac + bc) = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c) (d − a)(d − b)(d − c)
=
−(b − a )(c − a)(c − b)abc −abc = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c) (d − a)(d − b)(d − c)
△ a
z=
2
a −a3
b2
b
−b 3
c2
c
−c 3
△
Worksheet 40