Numerele normale şi misterul graalului by Mihai Neagoe

NUMERELE NORMALE ŞI MISTERUL GRAALULUI

Neagoe Mihai Cătălin – profesor Şcoala Numărul 182, Bucureşti

Abstract: The Arthurian myth and other legends tell of mankind's fascination with the Holy Grail. But the Grail is more than a literary motive. Within it's story one can find themes quintessential to understanding human nature: the quest, the trial of knightly virtues and the ever-present mystery of the Grail itself. Akin to the Grail, ''perfect numbers" have exerted a fascination on Man since ancient of times. In 1909 Émile Bore introduced the concept of ''normal numbers". Since then there have been numerous attempts to produce such a number. Through various efforts, numbers close to this description were found, but an absolutely normal number has not yet been discovered, remaining a mystery even in this age of supercomputers. This paper will attempt to be a chronicle of several quests for the absolute normal number, and also present some possibilities of utilizing such numbers in fields like cryptography and storage of information.

Introducere Fascinaţia Graalului a generat multe legende cavalereşti şi scrieri epice. În texte, Graalul este prezentat, în esenţă, în trei moduri: imaterial, înzestrat cu mişcare proprie, de natură indefinită şi enigmatică – ,,nu era de lemn, nici din vreun metal oarecare, nici din piatră, din corn sau din os”; din piatră – ,,piatră cerească” şi ,,piatră a luminii”; în formă de cupă, vas sau tavă, de cele mai multe ori din aur şi uneori împodobită cu nestemate. [1] Cavalerul căruia i se înfăţişează Graalul capăta anumite virtuţi supranaturale: virtutea luminii, adică virtutea iluminatoare prin care personajul ce-l vede capătă capacităţi mentale inaccesibile omului obişnuit; putere de victorie şi de stăpânire. Dar Graalul are şi putere distrugătoare: Graalul orbeşte, Graalul fulgeră sau poate acţiona ca un abis. Natura primejdioasă a Graalului este legată şi de tema ,,locului primejdios” şi cu încercarea pe care acest loc o constituie pentru cei ce vor să-şi asume rolul ,,eroului aşteptat”. Dualitatea virtuţii Graalului se manifestă în funcţie de natura diferită a celor ce intră în contact cu el. Forţa Graalului îi distruge pe toţi cei care încearcă să-l atingă fără a avea pregătirea adecvată. [2] Fascinaţia Graalului este dincolo de compoziţia fantastică şi poetică a diferitelor texte. Este dată de temele străvechi preluate şi purtate peste veacuri de aceste compoziţii individuale sau colective: tema unei căutări, a unei încercări, tema unui centru misterios sau a unei cuceriri spirituale. Matematica de ieri si de azi (CD-ROM) = ISSN 2286 – 6985 ISSN–L 1844 – 7821

The Damsel of the Sanct Grael by Dante Gabriel Rossetti [3]

În Antichitate, pitagoricienii erau încredinţaţi că găsesc în numere ,,mai multe asemănări cu lucrurile permanente şi cu cele ce sunt în devenire decât ar fi găsit în elementele Foc, Pământ şi Apă, (...) că celelalte lucruri sunt făcute în natura lor după asemănarea numerelor, iar numerele sunt lucrul cel mai de seamă din lume, (...) elementele numerelor sunt elementele tuturor lucrurilor şi întregul Univers se reduce la număr şi armonie.” [4] Partea nevăzută a Universului este desluşită prin număr: cele 9 planete vizibile pe firmament sunt completate cu a zecea – Antihton – pentru ca numărul lor să corespundă cu numărul Zece Decada – număr considerat perfect, cuprinzând natura întreagă a numerelor (pentru pitagoricieni cuprinde suma celor dintâi numere 1 + 2 + 3 + 4). [5] Universul pitagoreic, guvernat de numere şi rapoarte simple a fost ameninţat de ,,iraţionalul” diagonalei pătratului. Pentru ca doctrina pitagoreică să nu fie distrusă, numerele iraţionale au fost păstrate secrete. Până când, spune legenda, Hippass din Metapont, membru al confreriei pitagoreice, a dezvăluit lumii secretul acestor numere. Pentru această trădare, pitagoreicii l-au aruncat pe Hippass în mare de pe puntea unui vas. [6] Dincolo de legendă, nu grecii au fost cei care au descoperit numerele iraţionale. Mesopotamienii aveau tabele cu rădăcini pătrate ale numerelor de la 1 la 60, cu 3000 de ani i.Hr. După vechii greci, în secolul 1d.Hr., hinduşii încep să utilizeze numerele iraţionale. [7] În Evul Mediu, dezvoltarea algebrei de către matematicienii arabi a permis încadrarea numerelor iraţionale într-un concept mai general – al numerelor reale. După secolul al XVII – lea, locul numerelor iraţionale este bine precizat în cadrul mulţimii numerelor reale. În 1909, Émile Borel introduce conceptul de numere normale. Numerele normale sunt numere iraţionale care posedă anumite proprietăţi. Au fost ,,găsite” sau ,,construite”

numere normale dar, numărul absolut normal care să păstreze aceste proprietăţi în orice bază de numeraţie rămâne încă un centru misterios, înterzărit şi neatins (chiar şi de supercomputere). Fascinaţia şi căutarea numerelor perfecte continuă. Numere normale Conceptul de numere normale apare în 1909 în lucrarea ,,Les probabilités dénomerables et leurs applications arithmetiques” [8] de Émile Borel. Considerând numărul scris în baza 10: =∑

+∑

unde aj, bi {0,1, ..., 9}, j N şi i {0,1, ..., 9}, an 9 şi n (1) Numărul se numeşte număr simplu normal în baza 10 dacă fiecare cifră 0, 1, ..., 9 apare cu frecvenţa de 1/10. În acest caz: =

{0,1, ..., 9},

unde reprezintă numărul de apariţii ale cifrei ai = r şi 1 i n (2) Numărul se numeşte număr normal în baza 10 dacă fiecare secvenţă Bk = c1... ck de k cifre, k N, apare cu frecvenţa : = pentru fiecare secvenţă Bk = c1... ck de k cifre,

reprezintă numărul de apariţii ale secvenţei Bk = c1... ck, unde cj = ai+j- 1 şi 1 i n, j, 1 i k Aceste definiţii pot fi extinse pentru orice bază de numeraţie. Primele numere neperiodice, normale în unele baze b, au fost construite de Champernowne în 1933. Zecimalele acestora erau obţinute prin concatenarea numerelor într-o anumitǎ bazǎ în ordinea lor naturalǎ [9]: C10 = 0.12345678910111213141516171819... C2 = 0.(1) (10) (11) (100) (101) (110) (111) ... Champernowne a presupus cǎ numǎrul 0.13571113171923…, obţinut prin concatenarea numerelor prime este un numǎr simplu normal în baza 10. Presupunerea lui a fost verificatǎ în 1946 de Copeland şi Erdős. [10] Un alt exemplu de numǎr normal ,,artificial” este numǎrul Copeland – Erdős: 0.235711131719232931374143.... Champernowne demonstreazǎ [11] urmǎtoarele teoreme:

T1: Dacǎ sr este o secvenţǎ 00....0,00...1,00...2, ..., 99...9, constând din 10r aranjamente posibile de r cifre scrise în ordine crescǎtoare (de exemplu, s1 are forma 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 şi s2 = 00,01,02, ..., 98, 99), atunci numǎrul S = s1 s2 s3... sr... este normal în baza 10. T2: Dacǎ sr este definit ca în T1 precedentǎ şi dacǎ prin ms r se noteazǎ secvenţa notatǎ prin repetarea s r de m ori, unde m este un numǎr întreg fixat, atunci mS

ms1 ms2 ms3... msr...

este normal în baza 10. T3: Numǎrul 123456789101112... este normal în baza 10. T4: dacǎ m s r este definit ca în T2, atunci mS

= 1s1 2s2 ms3... rsr...

este normal în baza 10. Către numărul absolut normal Este relativ uşor sǎ se construiascǎ numere normale într-o bazǎ, dar proprietatea de numǎr normal nu se pǎstreazǎ şi pentru altǎ bazǎ De exemplu, numǎrul a2 = 0.101010, simplu normal în baza 2, nu este normal în baza 10 întrucât a10 = 2/3 = 0.6666... .[12] Teorema lui Cassels este un alt exemplu în acest sens [13] T5 (Cassels): Fie funcţia f : [0, 1] R, definitǎ prin: f(x) = ∑ unde x1 x2 .... reprezintǎ cifrele binare ale lui x. Atunci, pentru aproape toate x [0, 1], f(x) este simplu normalǎ pentru orice bazǎ b care nu este putere a lui 3. O remarcǎ la aceastǎ teoremǎ: deoarece 2f este o bijecţie între [0, 1] şi mulţimea triadicǎ C a lui Cantor, Teorema Cassels construieşte o mulţime nenumǎrabilǎ în C, de numere simplu normale pentru orice bazǎ b care nu este putere a lui 3. Nu existǎ, însǎ, exemple concrete de astfel de numere. [14] Borel a demonstrat (1909) că aproape toate numerele reale sunt numere normale (în sensul în care mulţimea numerelor non-normale are măsura Lebesgue egală cu zero) enunţând următoarea teoremă: T6 (Teorema numerelor normale): Aproape toate numerele din intervalul [0,1] sunt normale. [15] O consecinţă imediată este că aproape toate numerele reale sunt numere absolut normale, adică sunt numere normale în orice bază b, pentru b 2. [16]

În 1917, Waclaw Sierpinski a arătat în lucrarea ,,Démonstration élémentaire du Théoréme de M. Borel sur les nombres absolument normaux et détermination effective d’une tel nombre” [17] că este posibil să se specifice un astfel de număr iar, în 2002, Becher şi Figueira reformulează recursiv construcţia lui Sierpinski demonstrând că în acest mod se poate obţine un număr absolut normal, calculabil [18]. În conformitate cu teorema lui Borel, aproape toate numerele sunt absolut normale. Cu toate acestea obţinerea unor astfel de numere, dincolo de construcţiile teoretice, rămâne un lucru dificil. A determina dacǎ un numǎr este normal este o problemă nerezolvatǎ. Nu se poate spune cu certitudine cǎ numere ca pi (Wagon 1985, Bailey şi Crandall 2003), ln2 (Bailey and Crandall 2003), constanta Apéry ζ(3) unde ζ(s) este Riemann zeta function (Bailey and Crandall 2003), √ (Bailey and Crandall 2003), şi e sunt normale deşi, de exemplu, primele 30 de milioane de zecimale ale lui Pi sunt uniform distribuite (Bailey 1988). De asemenea, testarea statisticǎ apentru √ , n = 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 indicǎ faptul cǎ aceste numere sunt normale, dar fǎrǎ a fi demonstrate acest fapt . [19] De exemplu, teste fǎcute pentru secvenţe de lungime 15; 925; 868; 541; 400 dintr-un un numǎr de 1012 zecimale binare ale lui Pi au gǎsit un numǎr de apariţii apropiate. Acest rezultat a fost utilizat printr-un proces Poisson pentru modelul de normalitate al numǎrului Pi. [20], [21] Teoreme şi câteva precizări În cele ce urmează sunt prezentate unele rezultate referitoare la distribuţia numerelor din secvenţa de zecimale a unui număr iraţional. Următoarele teoreme au fost demonstrate: T7: Aproape toate numerele conţin în partea lor zecimală (baza 10) orice cifră posibilă, şi conţin de asemenea, orice secvenţă finită de cifre dată. [22] T8: Aproape toate numerele, atunci când sunt scrise în orice bază b, conţin în secvenţa de b – zecimale orice b – cifră posibilă şi orice secvenţă finită de b – cifre. [23] T9: Aproape toate numerele, atunci când sunt scrise în orice bază b, au proprietatea că fiecare b – cifră are frecvenţa limitǎ în dezvoltarea lor b -zecimală şi orice secvenţă finită de b -cifre b1b2..bm (indiferent de mărimea lui m) are frecvenţa limitǎ în dezvoltarea lor b –zecimală. [24] Frecvenţa limitǎ a lui x în şirul X=x1 x2 x3 ... este dată de , unde reprezintǎ numǎrul de apariţii ale lui x în primii n termeni ai şirului X. Frecvenţa limitǎ este probabilitatea "întâlnirii" lui x când se parcurge şirul X, sau probailitatea apariţiei lui x în X raportatǎ la numǎrul de termeni: dacǎ aceastǎ probabilitate este p (0,1) atunci pentru n suficient de mare, x apare între primii n termeni de aproximativ pn ori, fluctuaţiile de la valoarea pn fiind din ce în ce mai mici când n creşte indefinit (Borel). [25] Aşa cum s-a menţionat, numerele care respectă (T9), se numesc numere normale. [26], [27]. Toate numerele normale sunt iraţionale; un număr raţional periodic nu posedă proprietatea (T9). În particular, aproape toate numerele iraţionale, fiind normale, au, în dezvoltarea zecimală (în baza 10), fiecare cifră cu o frecvenţă limitǎ de apariţie de 1/10 şi, de asemenea, au în dezvoltarea zecimală (în baza 10) fiecare grup de două cifre, ̅̅̅̅̅̅ cu o frecvenţă de apariţie de 1/100, şi fiecare grup de trei cifre̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ apare cu o frecvenţă de 1/1000; în plus, aceste rezultate sunt adevărate pentru orice altă bază b.

O metodă de obţinere a unei secvenţe uniform distrbuite Prin aceastǎ metodǎ (Neagoe, M.) [28] se obţine o secvenţă uniform distribuită T în urmǎtorii paşi: Pasul (1): Se alege un număr iraţional β în scriere zecimalǎ. Pasul (2): Se alege valoarea parametrului n0 care indică numărul de ordine i, al zecimalei numărului iraţional, de la care se consideră şirul ce urmează a fi prelucrat, de ex. i=1, n0=1, atunci şirul de zecimale utilizat la obţinerea secvenţei uniform distribuite va începe cu prima zecimală a numărului iraţional (zecimala de pe poziţia i ). Pasul (3): Se aleg valorile urmǎtorilor parametrii care dau structura secvenţei uniform distribuite (schimbarea unui parametru duce la schimbarea structurii secvenţei obţinute): - Se alege valoarea m a parametrului n1. Parametrul n1 = m modificǎ şirul iniţial de zecimale (al numărului iraţional ales) într-un nou şir de numere prin gruparea a câte m zecimale consecutive. Se obţine astfel un şir de numere b: b1 b2 b3 b4 b5 ... de valori strict inferioare lui 10m . - Se alege valoarea LS a parametrului n2. Parametrul n2 = LS reprezintǎ lungimea unei secvenţe de numere S consideratǎ din şirul obţinut b dupǎ alegera parametrului n1. Se reţine secvenţa S formatǎ din primele LS numere din b, deci S: b1 b2 ... bi ... . Se va observa cǎ schimbarea valorii lui n2 schimbǎ de asemenea structura scvenţei rezultate. Pasul (4): Se determinǎ cea mai micǎ frecvenţǎ FS de apariţie a numerelor în cadrul secvenţei S considerate. Frecvenţa fS(bi), a lui bi în S, este numărul de apariţii ale lui bi în şirul finit S : Fs = fS(bi) Pasul (5): Se construieşte secvenţa uniform distribuită T, reţinând, din secvenţa S consideratǎ, numerele bi în ordinea de apariţie, păstrând neschimbate primele FS apariţii ale lui bi şi suprimând apariţiile următoare ale numerelor bi. În secvenţa uniform distribuită T obţinută, numărul de apariţii al fiecărui bi este acum FS , astfel că frecvenţa de apariţie a oricǎrui numǎr bi este egalǎ cu FS . Secvenţa uniform distribuită T conţine toate numerele strict inferioare lui 10m fiecare de FS ori (procedura pentru obţinerea lui T din S continuǎ pânǎ când apar toate numerele strict inferioare lui 10m). Se considerǎ în cele ce urmeazǎ: n0 = 1: şirul utilizat la obţinerea secvenţei aleatoare va începe cu prima zecimală a numărului iraţional (zecimala de pe poziţia 1); n1 = 1: şirul utilizat la obţinerea secvenţei aleatoare va fi format din grupe de câte o zecimalǎ Considerând o secvenţǎ S de numere din şirul obţinut dupǎ alegera parametrului n2=LS (i.e. lungimea secvenţei S) adicǎ S: b1 b2 ... bi ... ; se noteazǎ cu frecvenţa de apariţie a cifrei zecimale b, unde b = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} şi notǎm prin F cel mai mic dintre numerele Fb. Extragem, pornind de la S, secvenţa T formatǎ din 10F cifre în ordinea datǎ de numǎrul iraţional ales reţinând doar primele F apariţii ale fiecǎrei cifre pânǎ când apar toate cifrele din baza 10. Lungime L, a unei secvenţe aleatoare, respectă condiţia L 10F, respectiv, în cazul general: L F deci F

şi, respectiv, în cazul general: F

Prin urmare, fiind dată lungimea unei secvenţe aleatoare L’ necesară unei aplicaţii şi valoarea parametrului n1, se poate determina plaja în care F se poate afla pentru ca lungimea finalǎ L a secvenţei aleatoare T obţinute din S să depǎşeascǎ lungimea L’. Cea mai micǎ lungime L va proveni din n1 şi cel mai mic F admisibil pentru L’ dat. În cazul n1=1, notând prin [x] partea întreagǎ a unui numǎr real x, obţinem: F = [ ] + 1 şi L = 10([ ]

)

În cazul general obţinem: F=[

] + 1 şi L =

Evident L

([

]

)

L’

În continuare este prezentat un exemplu [29] de aplicare a metodei descrise anterior pentru obţinere a unei secvenţe uniform distrbuite: Pasul (1): Se alege numărul iraţional √ . √ = 2,64575131106459059050161575363926042571025918308245018036833445920106...

Pasul (2): Se alege valoarea n0=1; Pasul (3): Se aleg n1 = 1, n2 = 53 Se utilizeazǎ secvenţa S de lungime LS = 53 S = 64575131106459059050161575363926042571025918308245018 = b1 b2 b3 ... b53 Pasul (4): Se determinǎ cea mai micǎ frecvenţǎ F de apariţie a unei zecimale: Zecimala b recvenţa de apariţie

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 8 4 4 4 10 5 3 3 4

Se observă ca F = 3. Secvenţa uniform distribuită T are lungimea: L = 10 3 = 30 Pasul (5): Se construieşte secvenţa uniform distribuită T reţinând din secvenţa consideratǎ S, numerele bi în ordinea de apariţie, astfel încât frecvenţa de apariţie a oricǎrui numǎr b sǎ fie egalǎ cu F = 3: T = 645751311064590906733924272888 Secvenţa uniform distribuită T, obţinutǎ prin această metodă, aplicatǎ unui numǎr iraţional scris într-o bazǎ datǎ b, are un numǎr de apariţii egale cu F pentru fiecare bi şi o

lungime L = F ∙ b. Având în vedere cǎ secvenţa a fost construitǎ pe baza unui singur criteriu ,,artificial” – distribuţia uniformǎ a zecimalelor – apariţia zecimalelor rǎmâne ,,naturalǎ”. Pentru o lungime finitǎ a secvenţei obţinute, numǎrul de apariţii al fiecǎrei zecimale se modificǎ la trecerea în altǎ bazǎ. O statisticǎ asupra secvenţelor T O statisticǎ descriptivǎ [30] privind zecimalele secvenţei T obţinute prin metoda prezentată în paragrafele anterioare din numǎrul iraţional √ este prezentată în cele ce urmează: În Tabelul 1 şi Tabelul 2 sunt prezentate numǎrul de apariţii al cifrelor secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 77 caractere ale şirului de zecimale S considerat din numǎrul iraţional, frecvenţa minimǎ f rezultatǎ, frecvenţele relative ale numǎrului minim de zecimale f/LS, respectiv lungimea secvenţei obţinute raportatǎ la lungimea şirului de zecimale considerat L/LS.

Tabel 1 Frecvenţa de apariţie a cifrelor secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 77 caractere Zecimala/nr. zecimale considerate LS 77 154 231 308 385 462 0 12 19 29 39 50 58 1 9 13 21 30 37 46 2 8 14 26 29 34 38 3 9 17 24 33 40 49 4 6 16 20 30 35 40 5 11 19 24 35 44 51 6 7 15 19 23 31 38 7 14 23 32 43 55 3 8 7 17 25 28 32 40 9 5 20 29 39 47 10 Nr. minim de apariţii f 3 10 19 23 31 38 Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.0389 0.0649 0.0822 0.0746 0.0805 0.0822 Lungimea secvenţei T 30 100 190 230 310 380 L / LS 0.389 0.649 0.822 0.746 0.805 0.822

Tabel 2 Frecvenţa de apariţie a cifrelor secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 77 caractere Zecimala/nr. zecimale 539 616 693 770 847 924 1001 considerate LS 0 66 72 78 90 96 104 119 1 51 57 67 74 85 90 96 2 53 59 67 74 85 94 44 3 60 65 71 81 90 97 107 4 52 58 71 77 84 90 98 5 57 64 71 76 84 91 100 6 46 50 52 57 67 79 84 7 60 71 80 87 91 97 103 8 45 55 65 72 79 86 91 9 58 71 79 89 97 105 109 Nr. minim de apariţii f 44 50 52 57 67 79 84 Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.0816 0.0811 0.0750 0.0740 0.0791 0.0854 0.0839 Lungimea secvenţei T 440 500 520 570 670 790 840 L/LS 0.816 0.811 0.750 0.740 0.791 0.854 0.839 În Tabelul 3 şi Tabelul 4 sunt prezentate numǎrul de apariţii al cifrelor secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 50 caractere ale şirului de zecimale S considerat din numǎrul iraţional, frecvenţa minimǎ f rezultatǎ, frecvenţele relative ale numǎrului minim de zecimale f/LS, respectiv lungimea secvenţei obţinute raportatǎ la lungimea şirului de zecimale considerat L/LS. Tabel 3: Frecvenţa de apariţie a cifrelor secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 50 caractere Zecimala/ nr. zecimale LS 50 100 150 200 0 7 14 18 25 1 7 10 12 15 2 4 10 14 22 3 4 12 17 19 4 4 9 16 17 5 10 12 19 23 6 5 12 15 18 7 3 12 21 6 8 9 17 23 2 9 4 6 17 10 Nr. minim de apariţii f 2 6 10 15 Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.04 0.06 0.0(6) 0.075 Lungimea secvenţei T 20 60 100 150 L/ LS 0.4 0.6 0.(6) 0.75

250 32 22 27 25 21 30 20 25 26 22 20 0.08 200 0.8

Tabel 4: Frecvenţa de apariţie a cifrelor secvenţei T pentru lungimi crescǎtoare cu 50 caractere Zecimala/ nr. zecimale LS 300 350 400 450 500 0 39 45 51 56 61 1 29 35 39 43 49 2 29 32 35 38 39 3 31 37 42 49 53 4 29 31 35 40 49 5 34 41 45 49 56 6 41 22 26 31 37 7 31 38 46 52 57 8 28 29 35 40 42 9 28 36 41 46 53 Nr. minim de apariţii f 22 26 31 37 39 Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.07(3) 0.0742 0.0775 0.08(2) 0.078 Lungimea secvenţei T 220 260 310 370 390 L/ LS 0.7(3) 0.742 0.775 0.8(2) 0.78 Se observǎ cǎ, pentru toate cazurile prezentate, valorile frecvenţelor relative sugereazǎ o convergenţǎ a seriei ∑ .

f/LS

Considerându-se intervalele de 50 de caractere consecutive din şirul zecimalelor lui √ : 64575131106459059050161575363926042571025918308245 01803683344592010688232302836277603928864745436106 15064578338497463095743529888627214784427390555880 10772271715072972832389229968959486508726070097805 42037238280237159411003419391160015785255963059457 41035152396802716407373799074041581519904403474319 45367139973059700505139969223754561609711902737815 49916332882877040006575706746519634977520837938181 14613090876473786595624330579947981281632307054836 50107715617946361191553454536477494820593090494849 se obţin datele din Tabelul 5.

Tabel 5: Frecvenţa de apariţie a cifrelor secvenţei T pentru 10 intervale de lungime de 50 de caractere consecutive din şirului de zecimale S din numǎrul iraţional Zecimala/ nr. zecimale LS 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 0 7 7 4 7 7 7 6 6 5 5 1 7 3 3 7 7 6 4 4 6 2 2 4 6 4 8 5 3 2 3 3 1 3 4 8 5 6 6 6 5 7 4 2 4 4 5 7 1 4 8 2 4 5 9 5 10 2 7 4 7 4 7 4 4 7 6 5 7 3 3 2 4 5 6 4 2 7 3 3 6 9 4 6 7 8 6 5 8 7 8 6 3 2 6 5 2 2 1 9 4 4 7 5 6 8 5 5 7 2 Nr. minim de apariţii f 2 2 2 1 2 2 1 3 3 1 Frecvenţǎ relativǎ f/LS 0.04 0.04 0.04 0.02 0.04 0.04 0.02 0.06 0.06 0.02 Exemplul prezentat a utilizat pentru obţinerea secvenţei T numărul iraţional √ . Nu ştim dacă √ este un număr normal în baza 10. În ANEXE sunt prezentate diagrame legate de distribuţia zecimalelor numărului iraţional √ şi , cât şi comparaţii ale distribuţiei zecimalelor pe diferite intervale. Liste complete privind zecimalele unor numere iraţionale pot fi găsite în referinţele [31], [32]. Câteva ,,virtuţi” ale numerelor normale 1. Infinitul exprimat printr-un simbol a. Codificarea mesajelor. Mulţimea numerelor iraţionale este infinită. În general, un număr iraţional poate fi codificat printr-un singur simbol sau printr-un şir finit de caractere prin care se denumeşte. Spre exemplu (pi) sau √ (radical din şapte). Însă, un număr iraţional conţine un număr infinit de zecimale în orice bază de numeraţie. Această caracteristică, utilă în domeniul codificării şi transmiterii de informatii codificate, oferă posibilitatea ca printr-un şir finit de caractere şi intr-un interval finit de timp să se transmită o cantitate infinită de informaţii sau, mai simplu, spus, oferă posibilitatea de a codifica printr-un număr finit de caractere o cantitate infinită de informaţii. (Ioniţă, C.) [33] b. Criptarea mesajelor Sistemele de criptare care au la bazǎ chei fluide din numere iraţionale, în anumite condiţii, posedă proprietatea secretului perfect (Shannon). [34], [35], [36] c. Compresia datelor Un mesaj este definit ca un şir finit de caractere dintr-o listă finită (alfabet). [37] Codarea sau transmiterea mesajelor se face utilizând caractere alfanumerice, cele mai utilizate fiind caracterele sistemului de numeraţie binar {0; 1}. Deoarece un număr normal conţine în dezvoltarea lui b – zecimală orice b – cifră sau secvenţă finită de b – cifre dată (conform T8), orice mesaj codificat sub forma unui număr într-o bază b va fi conţinut în dezvoltarea b – zecimală a numărului normal considerat. Printr-un procedeu care să asocieze secvenţa de b –

cifre care codifică mesajul cu un număr redus de caractere se poate obţine o ,,compresie” a datelor ce codifică mesajul. 2. Frumuseţea unui concept ,,imaterial, înzestrat cu mişcare proprie, de natură indefinită şi enigmatic”, înzestrat cu ,,virtutea luminii, adică virtutea iluminatoare” pe care o oferă celui ce încearcă să-l găsească. Anexa 1 Distributia zecimalelor numarului irational √ pentru 1 000 024 zecimale 0 99767

1 99640

2 100506

3 100216

4 99801

5 100190

6 99826

7 100196

8 99943

9 99939

Frecventa absoluta de aparitie a fiecarei zecimale pentru √7 Decimal of √7

Linear (Decimal of √7)

99939

99943

100196

99826

100190

Zecimala

Zecimala Frecvenţa absolută

99801

100216

100506

99640

0 99200

99767 99400

99600

99800

100000

Numar zecimale

100200

100400

100600

Total zecimale 1000024

Anexa 2 Analiza Scatter a distribuţiei zecimalelor numarului irational√ luate câte două; s-au considerat 500012 grupe de câte două zecimale 5200

5150 5100 Frecventa

5050 5000 4950 4900 4850 4800 4750 0

60 Grupe zecimale

100

120

Anexa 3 Distributia zecimalelor numarului irational Pi pentru 1 000 000 zecimale 0 99959

1 99757

2 100026

3 100230

4 100230

5 100359

6 99548

7 99800

8 99985

9 100106

Frecventa de aparitie a fiecarei zecimala a numarului Pi pentru 10^6 zecimale Pi

Linear (Pi)

100106

99985

99800

Zecimala

Zecimala FrecvenĹŁa absolutÄ&#x192;

99548

100359

100230

100026

99757

0 99000

99959 99200

99400

99600

99800 100000 100200 100400 100600

Numar zecimale

Total zecimale 1000000

Anexa 4 Comparaţie între frecvenţele de apariţie ale zecimalelor numǎrului √ şi Pi, pentru 106 zecimale Zecimala Frecvenţa absolută √ Frecvenţa absolută Pi

0 99767

1 99640

2 100506

3 100216

4 99801

5 100190

6 99826

7 100196

8 99943

9 99939

Total 1000024

99959

99757

100025

100230

100359

99548

99800

99985

100106

1000000

Comparatie intre frecventele absolute de aparitie ale zecimalelor Digits of √7

Digits of Pi

Linear (Digits of Pi)

99939

99943 99985

100106

100196

99800 99826

6 Zecimala

Linear (Digits of √7)

99548 100190

100359 99801

100230 100216 100230

100506

100026

99640 99757

99767

99000

99959 99200

99400

99600

99800

100000

Frecventa absoluta

100200

100400

100600

Note bibliografice [1] Evola, J., Misterul Graalului, Editura Humanitas, Bucureşti, 2008, p.104 [2] Evola, J., Misterul Graalului, Editura Humanitas, Bucureşti, 2008, p.105, 108 - 110 [3] http://en.wikipedia.org/wiki/Holy_Grail#Modern_interpretations [4] Aristotel, Metafizica, Editura IRI, Bucureşti, 1996, p. 32, 33 [5] Aristotel, Metafizica, Editura IRI, Bucureşti, 1996, p. 33 [6] Seife, C., Zero:Biografia unei idei periculoase, Editura Humanitas, Bucureşti, 2010, , p. 44 [7] Dăncilă, I., Matematica Gimnaziului între profesor şi elev, Editura Aramis Print, 2001, p.55 [8] Pellegrino, D., On Normal Numbers, p.20 http://www.scielo.cl/pdf/proy/v25n1/art02.pdf [9] Champernowne, D., G., The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260 [10] Khoshnevisan, D., Normal Numbers are Normal, 2006, p. 27 http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf [11] Champernowne, D., G., The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260 [12] Khoshnevisan, D., Normal Numbers are Normal, 2006, p. 27 http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf [13] Khoshnevisan, D., Normal Numbers are Normal, 2006, p. 30 http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf [14] Khoshnevisan, D., Normal Numbers are Normal, 2006, p. 30 http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf [15] Borel, E., Les probabilités dénomerables et leurs applications arithmetiques, Supplemento di rend. circ. Mat. Palermo, p. 247–271 [16] Pellegrino, D., On Normal Numbers, p. 20 http://www.scielo.cl/pdf/proy/v25n1/art02.pdf [17] Sierpinski, W., Démonstration élémentaire du Théoréme de M. Borel sur les nombres absolument normaux et détermination effective d’une tel nombre, http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1917__45_/BSMF_1917__45__125_1/BSMF_1917__ 45__125_1.pdf [18] Becher, V., Figueira, S., An example of a computable absolutely normal number, Theoretical Computer Science 270 (2002) 947–958, 2001 [19] Wolfram MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html [20] Bailey D., H., An Empirical Approach to the Normality of Pi, http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/normality.pdf [21] Bailey D., H., Normality and the Digits of Pi, http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/normality-digits-pi.pdf]. [22] Hardy, G.H. and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford Univ. Press, 2008, p.143 [22] Hardy, G.H. and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford Univ. Press, 2008, p.154 [22] Hardy, G.H. and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford Univ. Press, 2008, p. 154 [25] Borel, E., Leçons sur la théorie des fonctions, Imprimerie Gauthier – Villars et Fils, Paris, 1914 [26] Neagoe, M., C., Stream Keys by Irrational Numbers, Proceedings of the 4th International Conference of Security for Information Technology and Communications, ASE Publishing House, Bucharest, 2011, p.40 [27] Hardy, G.H. and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford Univ. Press, 2008 [28] Neagoe, M., Sisteme de criptare prin chei fluide. chei fluide utilizând numere iraţionale şi evaluarea gradului de secretizare din punctul de vedere al criptanalizei - Lucrare dizertaţie, Facultatea de Ştiinţe Aplicate – Universitatea Politehnica din Bucureşti, 2012, p. 36 [29] Neagoe, M., Sisteme de criptare prin chei fluide. chei fluide utilizând numere iraţionale şi evaluarea gradului de secretizare din punctul de vedere al criptanalizei - Lucrare dizertaţie, Facultatea de Ştiinţe Aplicate – Universitatea Politehnica din Bucureşti, 2012, p. 38

[30] Neagoe, M., Sisteme de criptare prin chei fluide. chei fluide utilizând numere iraţionale şi evaluarea gradului de secretizare din punctul de vedere al criptanalizei - Lucrare dizertaţie, Facultatea de Ştiinţe Aplicate – Universitatea Politehnica din Bucureşti, 2012, p. 50 [31] RJN's More Digits of Irrational Numbers Page, http://apod.nasa.gov/htmltest/rjn_dig.html [32] Digits of Pi, http://www.eveandersson.com/pi/digits/ [33] Ioniţă, C., Lecture notes on the mathematics used in cryptography [in Romanian, manuscript], TCSI, 2010 [34] Shannon, C. E. (1946), Communication Theory of Secrecy Systems (A Mathematical Theory of Cryptography), http://202.38.64.11/~whli/lecture-crypto-pb/materials/, p 681 [35] Neagoe, M., C., Stream Keys by Irrational Numbers, Proceedings of the 4th International Conference of Security for Information Technology and Communications, ASE Publishing House, Bucharest, 2011, p. 39 [36 ]Neagoe, M., Numerele iraţionale şi secretul perfect, ISSN – 1844 – 7821, 2012, p.6 [37] Ioniţă, C., Lecture notes on the mathematics used in cryptography [in Romanian, manuscript], TCSI, 2010