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DIRECCIÓN FINANCIERA

INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS

Matemรกtica Financiera

Matemática Financiera

Javier Miner Aranzábal Profesor titular del Departamento de Finanzas y Contabilidad ESTE Universidad de Deusto, San Sebastián

MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MÉXICO NUEVA YORK PANAMÁ SAN JUAN BOGOTÁ SANTIAGO SÃO PAULO AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILÁN MONTREAL NUEVA DELHI PARÍS SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR SAN LUIS TOKIO TORONTO

MATEMÁTICA FINANCIERA

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2005, respecto a la primera edición en español, por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U. Edificio Valrealty, 1.ª planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) ISBN: 84-481-9829-8 Depósito legal: Editora: Ana Navarro Asist. editorial: Amelia Nieva Compuesto en Vuelapluma, S. L. Impreso en IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 1

CAPÍTULO 2

CAPÍTULO 3

CAPÍTULO 4

.....................................

ALGUNAS CONSIDERACIONES INICIALES . . . . . .

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES . . . . .

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valoración de capitales por interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vencimiento medio y vencimiento común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tasa de recargo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5 8 9 11 12

CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTOS .

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valoración de capitales por interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . Valor actual y valor final para períodos de capitalización no enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor actual y valor final cuando varía el tipo de interés . . . . . . . . Capitalización fraccionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tasa anual equivalente Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 38 39 40 47

RENTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de las rentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 78

V I MATEMÁTICA FINANCIERA

CAPÍTULO 5

CAPÍTULOS 6

CAPÍTULO 7

CAPÍTULO 8

RENTAS CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor actual y final de rentas constantes, enteras, temporales . . . . . Valor actual de rentas constantes, enteras, indefinidas . . . . . . . . . . Valor actual de rentas constantes, periódicas, indefinidas . . . . . . . . Valor actual y final de rentas constantes, periódicas, temporales . . Rentas fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 86 88 90 94 98

RENTAS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA . . . . . . .

121

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor actual de rentas en progresión geométrica, enteras, indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor actual de rentas en PG periódicas, indefinidas . . . . . . . . . . . . Valor actual y final de rentas en PG periódicas, temporales . . . . . . Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 121 127 130 133

RENTAS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA . . . . . . .

145

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor actual de rentas en progresión geométrica, enteras, indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor actual y final de rentas en PA enteras, temporales . . . . . . . . . Valor actual de rentas en PG periódicas, indefinidas . . . . . . . . . . . . Valor actual y final de rentas en PA periódicas, temporales . . . . . . Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 145 148 151 152 155

AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS . . . . . . . . . . . .

165

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reembolso único o amortización a plazo fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . Tanto efectivo de los préstamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amortización «In fine» o reembolso único con pago periódico de intereses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuota de amortización constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema francés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema americano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amortización voluntaria de préstamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 165 166 168 170 171 177 182 187

CONTENIDO V I I

CAPÍTULO 9

CAPÍTULO 10

APÉNDICE I

APÉNDICE II

VALORACIÓN DE BONOS Y ACCIONES . . . . . . . .

225

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos de bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cómo se valoran los bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cómo se valoran las acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225 225 226 229 229 231

CRITERIOS DE VALORACIÓN DE INVERSIONES . .

241

Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Período de recuperación, Payback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor Actual Neto (VAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El efecto fin de año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241 242 242 243 244 245 246

TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257

Tabla 1. Valor final de un capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla 2. Valor actual de un capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla 3. Valor final de una renta constante, entera, temporal . . . . . . . . Tabla 4. Valor actual de una renta constante, entera, temporal . . . . . . . Tabla 5. Cuota de capitalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla 6. Cuota de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla 7. Valor actual de una renta constante, periódica, indefinida . . . .

258 273 288 303 318 333 348

FORMULARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

INTRODUCCIÓN

¿Quién le ha dicho que la Matemática Financiera puede con usted? He escrito este libro con varios objetivos en mente: Demostrarle que usted puede con la Matemática Financiera y que puede aprenderla de forma autónoma. Sorprenderle con la velocidad a la que puede aprender y pasar a la acción: aplicar lo aprendido. Divertirle en este proceso de aprendizaje, arrancarle algunas sonrisas o incluso alguna carcajada. Conseguir que la Matemática Financiera le seduzca porque le va a servir para aplicarlas en el ámbito profesional y en el de sus finanzas personales.

PARA QUIÉN HE ESCRITO EL LIBRO

Para usted que está en la Universidad y estudia Matemática Financiera, Introducción a las Finanzas o Dirección Financiera. Para usted, profesional de la Banca, que necesita tener este tipo de conocimientos. Para usted, profesional de otras industrias, que quiere empezar a aprender Finanzas.

ESTRUCTURA DEL LIBRO

Los 10 capítulos del libro contienen un poco de teoría, que se explica con 102 Ejemplos resueltos, y una colección de 423 Problemas adicionales, lo que supone un total de 525 «historias». ¿Por qué les llamo historias? Porque los problemas financieros reales son historias que les suceden a las empresas y a las personas. ¿Por qué utilizo historias como estrategia pedagógica? Para que usted las experimente como propias, para implicarle emocionalmente. Las historias provocan emociones y pretendo que la Matemática Financiera, a través de esas emociones, le seduzca. Además, las historias pueden ser divertidas, espero que alguna de las mías lo sean, y yo creo que divertirse beneficia seriamente la salud (mental). Al final de cada capítulo hay historias, llamadas Problemas, para que usted aplique lo que ha aprendido. Se trata de consultas que usted recibe en un pequeño negocio que ha montado: una consultoría financiera virtual (www.mof.mof). Muchas de estas consultas están resueltas, algunas tienen pistas para resolverlas además de la respuesta, y otras sólo tienen su respuesta. Al final del libro encontrará unas herramientas que pueden serle útiles: unas tablas financieras, que le pueden ahorrar tiempo, y un formulario, para que no se aprenda las fórmulas de memoria.

ALGUNAS CUESTIONES DE INTERÉS

A lo largo del libro, insistiremos en la importancia de representar los problemas financieros que se nos plantean en forma de gráfico de flujos de dinero, esto nos ayudará a resolverlos. IX

X MATEMÁTICA

FINANCIERA

Vamos a usar fórmulas. No les tenga miedo, lo que importa es que las entienda, no que se las sepa de memoria. Verá que me gusta emplear problemas «tapados». Son problemas en los que usted está resolviendo operaciones más sofisticadas de lo que cree y de las que hablaremos en capítulos posteriores. Esto me permite empezar esos capítulos con «buenas noticias».

AGRADECIMIENTOS

A mi familia: Olga, con quien tengo la suerte de estar casado, Alexandra y Pablo, mis hijos. Me han animado y han tenido la generosidad de perdonarme que terminara el libro en mis-sus vacaciones. A McGraw-Hill, y en especial a Silvia Figueras y Ana Navarro por volver a confiar en mí y en mi forma de escribir. A todas las personas que, por un motivo u otro, decidan utilizar este libro.

FINALMENTE Tanto McGraw-Hill como yo nos hemos esforzado para que esta obra no tenga errores. Reconozco que no es fácil lograrlo con este tipo de materias. En todo caso, le pido perdón por las erratas que no hayan sido detectadas, la culpa, si las hay, es exclusivamente mía.

CAPÍTULO 1

Algunas consideraciones iniciales UN POCO DE TEORÍA

Una operación financiera es un intercambio temporal de capitales.

EJEMPLO 1.1 Usted presta 1.000€ al 10% de interés anual a un año. ¿Cuánto dinero cobrará dentro de un año? ¿C1?

Año

0 1.000

Para calcular C1 hacemos: C1 1.000 0,1 * 1.000

z z z

C1 1.000 + 0,1*1.000 es la ecuación de equilibrio financiero. Resolviendo la ecuación tenemos que C1 1.100€. La Matemática Financiera, MF, nos sirve para calcular que, para un 10% de interés anual, 1.000€ hoy son equivalentes a 1.100€ dentro de un año, o visto de otra forma, 1.000€ hoy tienen un valor de 1.100€ dentro de un año. Si usted presta sus 1.000€ al 20% de interés anual, el valor de su dinero, o el capital equivalente, dentro de un año no será 1.100€, sino: C1 1.000 0,2 * 1.000 1.200

Los elementos de una operación financiera son: z z

Prestación: uno o varios capitales que constituyen el origen de la operación. Contraprestación: uno o varios capitales entregados a cambio de la prestación. 1

2 MATEMÁTICA z z

FINANCIERA

Ley financiera: modelo empleado para mover el dinero en el tiempo. Tiempo: duración de la operación.

En el Ejemplo 1.1, usted prestaba 1.000€ al 10% de interés anual a un año, la MF nos ha permitido calcular que dentro de un año cobrará 1.100€. 1.100 Año

1.000 Prestación: Contraprestación:

1.000€ 1.100€

Tipo de Interés: 10% anual Tiempo: 1 año

EJEMPLO 1.2 Usted recibe hoy un préstamo bancario de 15.000€ al 12% de interés anual para comprar un coche y quiere devolver el préstamo mediante 4 pagos trimestrales iguales. z La MF nos sirve para calcular que cada trimestre debe pagarle 4.035,41€ al banco.

Mes

4035,41

0 15.000

Prestación: Contraprestación:

15.000€ 4 pagos trimestrales de 4.035,41€

Tipo de Interés: 2% anual Tiempo: 1 año

EJEMPLO 1.3 Usted tiene que hacer dos pagos de 6.000€ cada uno dentro de 5 y 6 años. Para asegurarse que tendrá ese dinero, usted decide ingresar 4 capitales iguales, durante los próximos 4 años, en una cuenta que le produce un interés del 6% anual. z La MF nos sirve para calcular que debe ingresar 2.514,59€ anuales durante los próximos 4 años.

Año

2514,59

Prestación: Contraprestación:

4 pagos anuales de 2.514,59€ 2 cobros anuales de 6.000€

6.000

Tipo de Interés: 6% anual Tiempo: 6 años

CAPÍTULO 1 ALGUNAS

z z z

Calcular la contraprestación: conocidos la prestación, la ley financiera y el tiempo. Ejemplos 1.1 y 1.2. Calcular la prestación: conocidos la contraprestación, la ley financiera y el tiempo. Ejemplo 1.3. Calcular la ley financiera: conocidos la prestación, la contraprestación y el tiempo. Calcular el tiempo: conocidas la prestación, la contraprestación y la ley financiera.

Veremos dos leyes financieras de capitalización: z z

En el Ejemplo 1.1: 1.000€ hoy son equivalentes, para un 10% de interés anual, a 1.100€ dentro de un año. En el Ejemplo 1.2: 15.000€ hoy son equivalentes, para un 12% de interés anual, a 4 capitales de 4.035,41€ recibidos en los meses 3, 6, 9 y 12. En el Ejemplo 1.3: 2.514,59€ durante los próximos 4 años son equivalentes, para un 6% de interés anual, a 2 capitales de 6.000€ recibidos en los años 5 y 6. La ecuación de equilibrio financiero es el instrumento que nos permite calcular estas equivalencias financieras.

La ecuación de equilibrio financiero nos permite resolver los 4 tipos de problemas que existen: z

Diferir o calcular el valor final: moverlo hacia la derecha del gráfico. Actualizar o calcular el valor actual: moverlo hacia la izquierda del gráfico.

En las operaciones financieras debe haber equilibrio financiero entre la prestación y la contraprestación, ambas magnitudes deben ser equivalentes z

Es la herramienta que utilizamos para ayudarnos a entender las operaciones financieras. Este gráfico no es más que una recta en la que representamos el tiempo y a la que incorporamos los capitales que conforman una operación financiera, las entradas y salidas de dinero, y sus respectivos vencimientos.

La matemática financiera sirve para mover el dinero en el tiempo. z z

Operación financiera simple: la prestación y la contraprestación están formadas por un sólo capital. Ejemplo 1.1. Operación financiera compleja: la prestación, la contraprestación, o ambas, están compuestas por varios capitales. Ejemplos 1.2 y 1.3.

El gráfico de flujo de fondos. z z

Tipos de operación financiera. z

CONSIDERACIONES INICIALES

Ley financiera de capitalización simple. Ley financiera de capitalización compuesta.

Veremos tres leyes financieras de descuento: z z z

Ley financiera de descuento simple racional. Ley financiera de descuento simple comercial. Ley financiera de descuento compuesto.

CAPÍTULO 2

Capitalización y descuento simples UN POCO DE TEORÍA EL INTERÉS

El tipo de interés es el precio del dinero, la rentabilidad que queremos obtener de nuestras inversiones. Cuanto más arriesgada sea una inversión, mayor será la rentabilidad que queramos obtener con la misma. Tipo de interés Rentabilidad libre de riesgo Prima de riesgo

Formas de expresar el tipo de interés. Podemos expresar el interés de un préstamo, por ejemplo el 6%, de varias maneras: z

En tanto por uno:

0, 06

z z z

En tanto por cien: En puntos básicos: En puntos porcentuales:

6% 600PB 6PP

6    6% = 100 = 0, 06    (6% 6*100 600PB) (6% 6PP)

VALORACIÓN DE CAPITALES POR INTERÉS SIMPLE

La capitalización simple es una de las leyes que pueden emplearse para valorar el dinero en el tiempo. Utilizar esta ley implica que los intereses son improductivos, se calculan sólo sobre la prestación. La fórmula de interés simple es: Interés P * r * t z z

«P» es la prestación o el principal. «r» es el tipo de interés vencido que se haya pactado. 5

6 MATEMÁTICA z z

FINANCIERA

«t» es el tiempo, la duración de la operación. «r» y «t» tienen que ser homogéneos. Si «r» es el tanto anual, «t» debe expresar años o fracción de año.

EJEMPLO 2.1 ¿Qué interés produce un préstamo de 1.000 a 9 meses, al 6% de interés anual? Interés = 1.000 ∗ 0, 06 z

9 = 45 12

Fíjese que «r» y «t» son homogéneos: «r» 6% anual; «t» es una fracción de año (9/12 de año).

El valor final de un capital, también llamado Montante (Ct), es igual a su valor inicial, C0, más los intereses que genera. Ct = C0 + C0 ∗ r ∗ t ⇒ sacamos C0 factor común

INTERÉS

⇒ C t = C0 (1 + rt )

EJEMPLO 2.2 ¿Cuál es el valor dentro de 9 meses de 1.000 invertidos hoy al 6% de interés anual? ¿C9? Mes

0 1.000

9  C9 = 1.000  1 + 0, 06  = 1.045 12  

Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento matemático o racional, no tenemos más que despejar C0 de la expresión Ct C0(1 rt). Nos queda: C0 =

Ct (1 + rt )

EJEMPLO 2.3 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual y se acuerda aplicar el descuento racional? 2.000 Mes

C0 =

0 ¿C0?

2.000 = 1.923, 08 8   1 + 0, 06 12   

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento comercial, hacemos: C0 Ct (1 dt) z

Esta «d» es el tipo de interés anticipado, tipo de descuento. Si lo representamos con «r» tenemos: C0 Ct (1 rt)

EJEMPLO 2.4 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual pero se acuerda aplicar el descuento comercial? 2.000

Mes

0 ¿C0?

8  C0 = 2000  1 − 0, 06  = 1.920 12   z

Compare los Ejemplos 2.3 y 2.4. Observará que el valor actual de un capital que vence dentro de 8 meses depende del modelo empleado para mover el dinero en el tiempo, de la ley financiera descuento racional o descuento comercial que apliquemos.

¿Y qué se aplica en la «vida real», descuento racional o comercial? z Hay operaciones en las que no puede elegir, por ejemplo, en el descuento de letras, en el que se aplica el descuento comercial. z Cuando pueda elegir, debe optar por la ley financiera que sea más beneficiosa para sus accionistas.

Tipo de interés vencido equivalente a tipo de interés anticipado. r= z

d 1 − dt

Si queremos calcular el tipo de interés vencido equivalente al tipo de interés anticipado, descuento comercial, que nos han aplicado en el ejemplo anterior, hacemos: r=

0, 06 1 − 0, 06

8 12

= 0, 0625

Esto quiere decir que el interés anticipado descuento comercial que nos han cobrado, 6% anual, es equivalente a que nos hubieran cobrado un interés vencido descuento racional del 6,25% anual. Volvemos sobre el Ejemplo 2.4. 2.000 Mes

0 ¿C0?

8 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Cuando nos aplicaban un descuento comercial del 6% anual, nos daban: 8  C0 = 2.000  1 − 0, 06  = 1.920 12   Si nos hubieran aplicado un descuento racional del 6,25% anual, hubiéramos cobrado la misma cantidad: C0 =

Ct = C0 (1 + rt ); C0 =

2.000 8   1 + 0, 0625 12   

= 1.920

Ct ; C0 = Ct (1 − rt ) son las ecuaciones de equilibrio financiero que utiliza(1 + rt )

remos para hacer las valoraciones cuando la operación financiera se pacta con la ley de capitalización simple.

LA INFLACIÓN

Usted invierte hoy su dinero al 8% de interés anual y a un año. Suponga que durante ese año la inflación resulta ser del 8%. El interés real, rr, que ha obtenido es el 0%. La inflación se ha «comido» todo su interés nominal, rn, el 8% al que había invertido su dinero. La relación que hay entre el interés nominal, rn, el interés real, rr, y la inflación, i, es: (1 rn) (1 rr) (1 i)

EJEMPLO 2.5 D. Francisco Segurola quiere invertir su dinero obteniendo una rentabilidad real del 14% a un año. La inflación esperada para el año que viene es el 8%. D. Francisco, cree que debería invertir su dinero al 22% nominal (14% 8%), pero, por si sus cálculos no son correctos, nos pide que le calculemos el tipo de interés nominal al que debe invertir su dinero. 1 + rn = 1,14 * 1, 08 ⇒ ⇒ rn = 1,14 * 1, 08 − 1 = 0, 2312 = 23,12%

EJEMPLO 2.6 D. Francisco está muy enfadado. El año pasado invirtió su dinero al 23,12% y la inflación de este año ha sido el 10%, en vez del 8% esperado, por lo que calcula que la rentabilidad real que ha obtenido es el 13,12% (23,12% 10%), lejos del 14% que deseaba. D. Francisco nos pide que le calculemos con exactitud la rentabilidad real de su inversión. Si (1+rn ) = (1 + rr )(1 + i) ⇒ ⇒ rr = rr =

1 + rn −1 1+ i

1, 2312 − 1 = 0,11927 = 11, 93% 1,1

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

VENCIMIENTO MEDIO Y VENCIMIENTO COMÚN

Un conjunto de capitales con distintos vencimientos pueden sustituirse por otro capital, suma de los anteriores, si éste se paga en la fecha del vencimiento medio (VM) de los capitales iniciales. Si sustituimos un conjunto de capitales con distintos vencimientos por otro capital, que no resulta ser igual a la suma de los anteriores, la fecha en la que paga este capital recibe el nombre de vencimiento común (VC). El VM es la media ponderada de los vencimientos de varios capitales.

EJEMPLO 2.7 Debemos a un proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar esta deuda mediante un único pago de 3.000 . ¿En qué fecha debe hacerse este pago? z z

Como queremos pagar un capital que es suma de los que debíamos inicialmente, los 3.000 deben pagarse en la fecha de VM. El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Vencimiento, días

1.000

¿VM? 3.000

El VM es la media ponderada de los vencimientos de los tres capitales de 1.000 . CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

1.000 1.000 1.000

30 60 90

30.000 60.000 90.000

3.000

180.000

VM = z

∑ Números = 180.000 = 60 días ∑ Capitales 3.000

Cuando todos los capitales son iguales, como en este caso, para determinar el VM nos basta con calcular la media aritmética de los tiempos. VM =

30 + 60 + 90 = 60 días 3

Cuando, además de ser los capitales iguales, sus vencimientos son a plazos regulares, como es nuestro caso, podemos calcular el VM dividiendo entre 2 la suma del primer vencimiento más el último. 60 + 90 VM = = 60 días 2

10 MATEMÁTICA

FINANCIERA

El vencimiento medio nos permite convertir en una operación financiera simple lo que en principio era una operación financiera compleja.

EJEMPLO 2.8 Debemos a un proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar esta deuda mediante un único pago que haremos dentro de 75 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactamos un interés del 12% anual? z

El gráfico que representa la operación es el siguiente: 1.000 Vencimiento, días

1.000

60 75

¿C75?

Por el Ejemplo 2.7, sabemos que el VM de estos tres capitales de 1.000 es el día 60, con lo que podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C75? Día

60 3.000

Ahora sólo tenemos que diferir estos 3.000 , moverlos 15 días hacia la derecha. Haremos los cálculos empleando años comerciales, 360 días, y años naturales, 365 días. Ct = C0 (1 + rt ) 15   C75 = 3.000  1 + 0,12 = 3.015 360   15   = 3.014, 79 C75 = 3.000  1 + 0,12 365   Como a nuestros accionistas les interesa pagar lo menos posible, deberíamos utilizar años naturales en esta operación. Claro que a los accionistas de nuestra empresa proveedora les interesa cobrar lo más posible, por lo que serían partidarios de utilizar años comerciales, ¿no cree?

EJEMPLO 2.9 Suponga que quiere calcular el interés anual que le cobran por una financiación de 2.900 que recibe hoy y por la que debe pagar tres capitales de 1.000 a 30, 60 y 90 días. z

Empezamos por el gráfico de la operación.

Día

0 2.900

1.000

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN z

Y DESCUENTO SIMPLES

Este gráfico representa una operación financiera compleja. Si calculamos el VM de estos tres capitales, la convertimos en una operación financiera simple. Ya sabemos, por el Ejemplo 2.7, que el VM de estos capitales es el día 60, por lo que el gráfico que podemos construir es el siguiente: 3.000 Día

0 2.900

La ecuación de equilibrio financiero, C0(1 rt) Ct, nos permite calcular el coste de esta financiación, el tipo de interés que nos cobran por la misma. Si empleamos años comerciales: 60   = 3.000 ⇒ r = 0,20689 = 20,69% 2.900  1 + r 360   Si empleamos años naturales: 60   = 3.000 ⇒ r = 0,20977 = 20,98% 2.900  1 + r 365  

TASA DE RECARGO

Las tasas de recargo son una forma de expresar en % el coste de una financiación. Pero tenga cuidado, la tasa de recargo no es el tipo de interés de la financiación (permítame un consejo: no se crea lo que le digan, haga siempre sus propios cálculos para evitar sorpresas desagradables). Veamos su funcionamiento.

EJEMPLO 2.10 Usted quiere comprar un coche 4d que tiene un precio al contado de 15.000 . 4d le ofrece financiarlo a un año, pagando, a partir del mes que viene, 12 cuotas mensuales iguales. 4d aplica en sus financiaciones una tasa de recargo del 8% anual. ¿Cuál es el importe de cada cuota? z

Precio del coche al contado: 15.000

Precio del coche financiado: 15.000 0,08 * 1(año) * 15.000 16.200 Cuota mensual =

Coche financiado 16.200 = = 1.350 Número de cuotas 12

Para calcular el tipo de interés al que resulta esta financiación, debe seguir los pasos del Ejemplo 2.9. 1. Gráfico de la operación financiera compleja. 2. Cálculo del VM de la contraprestación (los 12 pagos de 1.350 ). 3. Gráfico de la operación financiera simple. 4. Ecuación de equilibrio financiero y despejar «r».

Si la financiación fuera a dos años, usted pagaría 24 cuotas mensuales de 725 . Precio del coche financiado: 15.000 0,08 * 2(años) * 15.000 17.400

12 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Cuota mensual =

Coche financiado 17.400 = = 7255 Número de cuotas 24

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS 1.

Su prima Irma quiere comprar una plaza de garaje que cuesta 15.000 . Irma quiere pagar la plaza dentro de 8 meses y su propietario acepta darle esta financiación con un interés del 9% anual. ¿Cuánto deberá pagar Irma dentro de 8 meses?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C8? Mes

0 15.000

Se trata de calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Ct = C0 (1 + rt ) 8  C8 = 15.000  1 + 0,09  = 15.900 12  

¿Cuánto tendría que pagar Irma dentro de 8 meses si el propietario le cobrara un interés del 12% anual? Respuesta: 16.200

Doña Generosa, su vecina del 3º y «Gene» para los amigos, ha abierto una cuenta de 6.000 a nombre su sobrina Tinagera, «Tina», que hoy cumple 13 años. La cuenta ofrece un interés del 6% anual y Tina le pregunta cuánto dinero habrá en la cuenta cuando alcance su mayoría de edad, dentro de 5 años.

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C5? Año

0 6.000

Debemos calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Ct = C0 (1 + rt ) C5 = 6.000 (1 + 0,06 ∗ 5 ) = 7.800

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

Tina le pregunta cuánto habrá en la cuenta si deja el dinero hasta que termine su carrera universitaria, dentro de 9 años. Respuesta: 9.240

Tina le hace otra consulta. Quiere saber cuánto dinero tendría dentro de 5 años si el interés de la cuenta no fuera el 6% sino el 8% anual. Respuesta: 8.400

Volvamos sobre el problema 1, interés pactado 9%. Irma quiere aplazar el pago del garaje, pero quiere pagar 15.675 . ¿En qué fecha debe pagar esta cantidad?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. 15.675 Mes

0 15.000

Se trata de calcular la duración de la operación, el tiempo. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Ct = C0 (1 + rt ) t   15.675 = 15.000  1 + 0,09  ⇒ t = 6 meses 12  

Fíjese que la ecuación nos dice que «t» es igual a 6 doceavas partes de año, por lo tanto 6 meses. Si planteamos el tiempo en años tenemos: 15.675 = 15.000 (1 + 0,09 ∗ t ) ⇒ t = 0,5 años = 6 meses

¿Cuándo tendría que pagar Irma 15.506,25 por el garaje para un interés del 9% anual? Respuesta: dentro de 4,5 meses o, si lo prefiere, 135 días.

Su tío Pío compró acciones de yaquien.mof a 10 y 4 meses más tarde las vendió a 12 cada una. ¿Qué rentabilidad ha obtenido D. Pío en la operación?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. 12 Mes

0 10

Se trata de calcular la rentabilidad de la operación, el tipo de interés que produce equivalencia entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C0 (1 + rt ) = Ct

14 MATEMÁTICA

FINANCIERA

4  10  1 + r  = 12 ⇒ r = 0,6 = 60% 12   z

Recuerde que en la expresión (1 rt), «r» es el tipo de interés anual expresado en tanto por uno, por lo que 0,6 en tanto por uno es el 60%.

Usted también compró acciones de yaquien.mof a la vez que D. Pío (a 10 cada una), pero las ha vendido a los 5 meses de su compra a 13 cada una. Calcule la rentabilidad de su inversión. Respuesta: 0,72 72%.

10.

Su abuela Dña. Pilar compró acciones de yaquien.mof el día que las vendió D. Pío (a 12 cada una) y las ha vendido el mismo día que usted (a 13 cada una). ¿Qué rentabilidad ha obtenido Dña. Pilar en su inversión? Pista: entre la compra y la venta sólo ha pasado un mes. Respuesta: 0,999999 100%.

11.

Un proveedor al que su empresa debe 50.000 a pagar a 60 días, le ofrece un descuento del 3% si le paga al contado. ¿Qué coste tiene para su empresa financiarse con este proveedor?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. Su empresa puede pagar 48.500 hoy o pagar 50.000 dentro de 60 días. 50.000 Día

0 48.500

Este problema es básicamente igual que el 5, el de las acciones de yaquien.mof. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. La respuesta varía un poco dependiendo de que usemos años naturales o comerciales. C0 (1 + rt ) = Ct 60   48.500  1 + r  = 50.000 ⇒ r = 0,18556 = 18,56% 360   60   = 50.000 ⇒ r = 0,18814 = 18,81% 48.500  1 + r 365  

Si su empresa está dispuesta a pagar 50.000 dentro de 60 días por no pagar 48.500 hoy (por obtener una financiación de 48.500 ), su empresa se está financiando al 18,81% de interés anual.

12.

Calcule el coste de la financiación con el proveedor anterior si el descuento que le ofrece por pagarle al contado fuera el 4% en lugar del 3% (utilice años naturales). Respuesta: 0,25347 25,35%.

13.

Su vecina, Doña Prudencia Segurola, va a necesitar 2.000 dentro de 6 meses para pagar una estancia para jubilados con el Inserso en Benidorm. Doña Prudencia le ha pedido que le calcule cuánto

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

dinero debe colocar hoy en una cuenta que le ofrece un 6% de interés anual, para hacer frente a este pago.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos. 2.000 Mes

0 ¿C0?

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. C0 = C0 =

Ct (1 + rt )

2.000 6   1 + 0,06 12   

= 1.941,75

14.

Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 1.923,08 .

15.

Doña Prudencia tiene que hacer dos pagos de 2.000 cada uno, dentro de 6 y 9 meses, para hacer frente a unas reparaciones extraordinarias de la comunidad de vecinos. Calcule cuánto dinero debe colocar Doña Prudencia hoy en una cuenta que le ofrece el 6% de interés anual, para hacer frente a estos pagos.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos

Mes

2.000

¿C0?

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de estos dos capitales. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. C0 =

16.

2.000 6   1 + 0,06 12   

2.000 9   1 + 0,06 12   

= 3.855,62

Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia, para hacer frente a estos dos pagos, si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 3.809,87 .

16 MATEMÁTICA 17.

FINANCIERA

Un cliente nos debe 600 mensuales durante los próximos 3 meses. El cliente quiere liquidar su deuda haciéndonos un único pago dentro de 3 meses. Calcule el importe de ese pago si hemos pactado un interés anual del 12%.

SOLUCIÓN z

Empezamos por lo más importante, el gráfico.

Mes

600

3 ¿C3?

El cliente tendrá que pagar el valor final de estos tres capitales, su valor en el mes 3. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. 2 1   C3 = 600  1 + 0,12  + 600  1 + 0,12  + 600 = 1.818 12  12   

18.

Calcule la deuda de su cliente en el mes 3 si el interés pactado fuera el 9% anual. Respuesta: 1.813,5 .

19.

Su hermana Rosana acaba de ser madre. Rosana está pensando en pedir un préstamo de 3.000 a Financiaciones Distintas para Madres, fidisma.mof. Los préstamos de fidisma.mof están destinados a mujeres que han dado a luz, su interés es el 12,5% anual y se conceden a tres meses. Rosana quiere saber cuánto dinero tendrá que pagarle a fidisma.mof dentro de 3 meses.

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C3? Mes

0 3.000

Rosana tendrá que pagar el valor final de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Ct = C0 (1 + rt ) 3  C3 = 3.000  1 + 0,125  = 3.093,75 12  

20.

Rosana ha pedido finalmente el préstamo «Sin interés, por ser madre» que acaba de lanzar Caixa Madrid para apoyar la natalidad. El préstamo, destinado también a mujeres que han dado a luz, es de 3.000 y hay que devolverlo a los tres meses. El préstamo, que, como su nombre indica, tiene un interés del 0% anual, sólo tiene unos gastos de concesión del 3%, de 90 , que se pagan en el momento de recibirlo. Rosana le ha pedido que le calcule el coste de este préstamo.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

SOLUCIÓN z

Empezamos por el gráfico. Rosana tiene hoy una entrada de tesorería de 2.910 (3000 90 de gastos de concesión) y, a cambio, tiene que pagar 3.000 dentro de 3 meses (recuerde que el préstamo es al 0% de interés). 3.000 Mes

0 2.910

Ya hemos hecho varios problemas de este tipo. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C0 (1 + rt ) = Ct 3  2.910  1 + r  = 3.000 ⇒ r = 0,12371 = 12,37% 12  

21.

Calcule el coste del préstamo «Sin interés, por ser madre», si sus gastos de concesión fueran el 2%, 60 , en lugar del 3% del problema anterior. Respuesta: 0,08163 8,16%.

22.

El fabricante de coches Se@ acaba de lanzar el Teruel, su nuevo modelo 4x4. El Teruel cuesta 40.000 y su campaña de promoción ofrece no pagarlo hasta dentro de 3 meses. La misma campaña ofrece un descuento del 5% a quienes paguen el Teruel al contado. Calcule el coste de esta financiación.

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. Usted debe elegir entre pagar 38.000 hoy (40.000 – 2.000) o pagar 40.000 dentro de 3 meses. 40.000 Mes

0 38.000

Este tipo de problema ya es como de la familia. Debemos calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C0 (1 + rt ) = Ct 3  38.000  1 + r  = 40.000 ⇒ r = 0,21052 = 21,05% 12  

23.

Calcule el coste de financiación del Se@ Teruel si el descuento por pagarlo al contado fuera el 8%. Respuesta: 0,34782 34,78%

18 MATEMÁTICA 24.

FINANCIERA

Descuentos On Line, dol.mof, es una entidad de crédito especializada en descontar letras de pymes. Sus condiciones de descuento son las siguientes: interés 12% anual, comisión 1%, comisión mínima 7 . Canasa, una empresa que fundó su familia, descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que debe recibir Canasa por esta letra.

SOLUCIÓN z

En negociación de letras se utiliza el descuento comercial. Aplicamos las condiciones de dol.mof. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal

900

Interés 900 ∗ 0,12

120 = 360

Comisión: 1% s/900 Líquido z

9 855

También lo podemos calcular de la siguiente forma: 120   − 0,01 ∗ 900 = 855 Líquido = 900  1 − 0,12 360  

25.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la financiación anterior.

SOLUCIÓN z

Empezamos por lo importante, el gráfico. 900 Día

0 855

120

Calculamos el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Vamos a emplear años comerciales. C0 (1 + rt ) = Ct 120   = 900 ⇒ r = 0,15789 = 15,79% 855  1 + r 360  

26.

Canasa descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 60 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa por esta letra. Respuesta: 873 .

27.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18556 18,56%.

28.

Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

SOLUCIÓN z

Aplicamos las condiciones de dol.mof. Nominal Interés 400 ∗ 0,12

400 120 = 360

Comisión: 1% s/400 Líquido z

16 7 (comisión mínima) 377

También lo podemos calcular de la siguiente forma: 120   − 7 = 377 Líquido = 400  1 − 0,12 360  

29.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18302 18,30%.

30.

Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 60 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa. Respuesta: 385 .

31.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,23376 23,38%.

32.

Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido 389 . Coste de la financiación: 0,33933 33,93%.

33.

Canasa descuenta en dol.mof una letra de 100 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido 92 . Coste de la financiación: 1,04347 104,35%.

34.

Dol.mof ofrece a Canasa un «tipo forfait», descuento sin comisiones, del 15% para letras de más de 1.000 , forfait mínimo 20 días. Canasa descuenta una letra de 3.000 con vencimiento a 60 días. Calcule el líquido y el coste de esta financiación.

SOLUCIÓN z

Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal Interés 3.000 ∗ 0,15

3.000 120 = 75 360

Líquido z

2.925

Podemos calcular el líquido más rápido: 60   = 2.925 Líquido = 3.000  1 − 0,15 360  

Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación.

20 MATEMÁTICA

FINANCIERA

3.000 Día

0 2.925

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C0 (1 + rt ) = Ct 60   = 3.000 ⇒ r = 0,15384 = 15,38% 2.925  1 + r 360  

35.

Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido que recibe y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido 2.962,5 . Coste de la financiación: 0,15189 15,19%.

36.

Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 10 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa.

SOLUCIÓN z

Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal

3.000

Interés 3.000 ∗ 0,15

20 = 360

Líquido

25 (20 días mínimo) 2.975

O bien:

20   Líquido = 3.000  1 − 0,15  = 2.975 360   Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación, recuerde que aunque le hayan cobrado 20 días de interés, días mínimos del forfait, la letra vencía a 10 días. 3.000 Día

0 2.975

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C0 (1 + rt ) = Ct 10   = 3.000 ⇒ r = 0,30251 = 30,25% 2.975  1 + r 360  

37.

Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 7 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido 2.975 . Coste de la financiación: 0,43217 43,22%.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

38.

Calcule el líquido y el tipo de interés de la letra negociada en el problema anterior si el forfait mínimo fuera de 30 días. Respuestas: Líquido 2.962,5 . Coste de la financiación: 0,65099 65,10%.

39.

Un cliente debe a Canasa tres capitales: uno de 1.000 con vencimiento a 30 días, otro de 2.000 a 60 días y un tercero de 3.000 a 90 días. El cliente quiere liquidar la deuda haciendo un único pago de 6.000 . ¿En qué fecha tiene que pagarlo?

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Vencimiento, días

1.000

2.000

3.000

90 ¿VM? 6.000

El cliente quiere pagar 6.000 , la suma de los capitales que debía inicialmente, en la nueva fecha, por lo que forzosamente debe hacer el pago en la fecha del VM. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

1.000

30.000

2.000

120.000

3.000

270.000

6.000

VM = z

420.000

∑ Números 420.000 = = 70 días 6.000 ∑ Capitales

El cliente debe pagar los 6.000 dentro de 70 días.

40.

Canasa debe a un proveedor tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días, respectivamente. Calcule en qué fecha podría pagar Canasa los 6.000 juntos. Respuesta: dentro de 80 días.

41.

Canasa debe a un proveedor tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos a 60, 90 y 120 días, respectivamente. Calcule en qué fecha podría pagar los 6.000 juntos. Respuesta: dentro de 90 días. ¿Se ha acordado de que cuando los capitales son iguales no hace falta ponderar?

42.

Un cliente le debe 4.000 con vencimiento a 90 días. El cliente le propone pagarle 1.000 a 30 días y retrasar el pago de los 3.000 restantes. ¿En qué fecha debe pagar estos 3.000 ?

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

22 MATEMÁTICA

FINANCIERA

1.000 Vencimiento, días

3.000

90 4.000

El cliente quiere pagar dos capitales que suman los 4.000 que debía inicialmente, por lo que el día 90 debe ser el VM de esos dos capitales. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

1.000

30.000

3.000

3.000X

4.000

VM: z

¿X?

30.000 3.000X

30.000 + 3.000X = 90 ⇒ X = 110 4.000

El cliente debe pagar los 3.000 dentro de 110 días.

43.

Canasa debe a un proveedor 5.000 con vencimiento a 120 días. Este proveedor le propone liquidar la deuda pagándole 3.000 dentro de 60 días y retrasando los 2.000 restantes. ¿Cuándo debería pagar Canasa estos 2.000 ? Respuesta: dentro de 210 días.

44.

Un cliente de Canasa le debe tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos a 60, 90 y 120 días, respectivamente. El cliente le propone liquidar esta deuda mediante un único pago a efectuar dentro de 150 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactan un interés del 15% anual?

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Día

2.000

120

150 ¿C150?

Calculamos primero el VM de estos tres capitales de 2.000 . Los capitales son iguales y sus vencimientos son a plazos regulares (60, 90 y 120 es una progresión aritmética), podemos calcular el VM dividiendo entre dos la suma de los vencimientos primero y último de estos tres capitales: 60 + 120 VM = = 90 días 2 Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C150? Día

90 6.000

150

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN z

Y DESCUENTO SIMPLES

El cliente debe pagar el valor en 150 de los 6.000 del día 90, movemos este capital 60 días hacia la derecha: 60   = 6.150 C150 = 6.000  1 + 0,15 360   También podemos calcular esta cantidad, aunque es un proceso tedioso cuando hay muchos capitales, moviendo cada uno de los 3 capitales hasta el día 150: 90  30  60     + 2.000  1 + 0,15 + 2.000  1 + 0,15 = 6.150 C150 = 2.000  1 + 0,15   360  360  360    

45.

Guguel, empresa que edita páginas amarillas, es cliente de Canasa. Guguel le debe tres capitales de 1.000, 2.000 y 3.000 con vencimientos a 30, 60 y 90 días respectivamente. Guguel le quiere hacer un único pago dentro de 100 días. Calcule el importe de este pago si el interés pactado es el 12% anual. Respuesta: 6.060 .

46.

Vuelva sobre el problema 44. Suponga que lo que el cliente quiere es liquidar la deuda haciendo un único pago dentro de 100 días. Calcule su importe.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Día

2.000

2.000 100

120

¿C100?

z z

Ya sabemos que el VM de estos tres capitales es el día 90. Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C100? Día

90 6.000

100

Valoramos en el día 100 los 6.000 del día 90, movemos este capital 10 días hacia la derecha: 10   = 6.025 C100 = 6.000  1 + 0,15 360   Vamos a calcular esta cantidad moviendo cada uno de los 3 capitales al día 100: 40  10  2.000   + + 2.000  1 + 0,15 C100 = 2.000  1 + 0,15 = 6.025,14   20  360  360      1 + 0,15 360    ¿Por qué hay esta pequeña diferencia? Porque uno de los capitales de la deuda inicial resulta anticipado, hay que moverlo hacia la izquierda.

24 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Recuerde que cuando calculamos la fecha de VM, como la media ponderada de varios capitales, los capitales que se anticipan se descuentan aplicando el descuento comercial. Los 14 céntimos de diferencia de nuestra última solución se deben a que hemos actualizado el último capital de 2.000 aplicando el descuento racional. Si cambiamos esta forma de descontar, obtenemos los mismos 6.025 como respuesta. 40  20  10     + 2.000  1 + 0,15 + 2.000  1-0,15 = 6.025 C100 = 2.000  1 + 0,15   360  360  360    

z 47.

Éste es un problema de la ley financiera de interés simple. En lo sucesivo plantearemos todas las soluciones calculando el VM.

Canasa debe a un proveedor tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días respectivamente. Usted quiere liquidar esta deuda mediante un único pago dentro de 140 días. El proveedor acepta la propuesta y le pide 6.180 en esa fecha. Calcule el tipo de interés anual que le cobra por esta financiación.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Día

3.000

2.000

1.000

120

140 6.180

Calculamos primero el VM de estos tres capitales. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

3.000

180.000

2.000

180.000

1.000

120

120.000

6.000

VM = z

480.000

∑ Números 480.000 = = 80 días 6.000 ∑ Capitales

Podríamos pagar los 6.000 juntos dentro de 80 días, pero queremos diferir su pago hasta el día 140, fecha en la que nos piden 6.180 . Podemos plantear el siguiente gráfico: 6.180

Día

80 6.000

140

Calculamos el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Vamos a emplear años comerciales.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

C0 (1 + rt ) = Ct 60   = 6.180 ⇒ r = 0,18 = 18% 6.000  1 + r 360   48.

Un cliente debe a Canasa tres capitales de 10.000 cada uno que vencen a 30, 60 y 90 días. El cliente le propone sustituir estos pagos por otro de 30.675 a 120 días. ¿Qué interés anual obtiene Canasa si acepta la propuesta? Respuesta: 0,135 13,5%

49.

Vuelva sobre el problema anterior. Calcule la rentabilidad que obtiene Canasa si usted le pide al cliente que le pague los 30.675 a 100 días y el cliente lo acepta. Respuesta: 0,2025 20,25%

50.

Un cliente debe a Canasa tres capitales de 10.000 cada uno que vencen a 30, 60 y 90 días. El cliente quiere sustituir estos pagos por otro de 31.125 . Calcule el vencimiento de este pago si han acordado un interés anual del 15%.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Día

10.000

¿t? 31.125

Calculamos primero el VM de estos tres capitales: VM =

30 + 90 = 60 días 2

Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: 31.125

Día

60 30.000

¿t?

El cliente paga más de 30.000 , por lo que debe estar pagando más tarde que el VM. Vamos a llamar X a los días que retrasa, los que van del día 90 al día «t». Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y resolvemos: C0 (1 + rt ) = Ct X   = 31.125 ⇒ X = 90 días 30.000  1 + 0,15 360  

Para pagar 31.125 debe retrasar 90 días el pago de los 30.000 . Como este capital vencía el día 60, los 31.125 se deberán pagar el día 150 (90 días más tarde).

26 MATEMÁTICA

FINANCIERA

51.

Un cliente debe a Canasa tres capitales de 3.000 cada uno que vencen a 40, 70 y 100 días. El cliente quiere sustituir estos pagos por otro de 9.225 . Calcule el vencimiento de este pago si han acordado un interés anual del 18%. Respuesta: el día 120

52.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 12 pagos mensuales de 275 , el primero un mes después de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

275

3.000

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas 12 mensualidades es lo mismo que pagar los 3.300 juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 3.300

Mes

0 3.000

6,5

6,5   = 3.300 3.000  1 + r 12   ⇒ r = 0,18461 = 18,46% 53.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 12 pagos mensuales de 275 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

275

3.000 2.725

Usted tiene que pagar la primera cuota en el mes 0, por lo que la cuota número 12 se pagará en el mes 11. Por otra parte, si usted financia la vajilla, de los 3.000 que cuesta al contado, usted ya tiene que pagar 275 como entrada, por lo que la prestación son los 2.725 restantes. Por diferir el pago de estos 2.725 usted deberá pagar las 11 cuotas de 275 que vencen desde el mes 1 al 11. Podemos representar la operación financiera de esta forma:

Mes

275

2.725

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: VM =

1 + 11 =6 2

Pagar esas 11 mensualidades es lo mismo que pagar los 3.025 juntos en el mes 6. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 3.025

Mes

0 2.725

6  2.725  1 + r  = 3.025 ⇒ r = 0,22018 = 22,02% 12  

28 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada, coste 22,02%, o se pague al mes de realizar la compra, coste 18,46%. 54.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. Fíjese bien en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 4 pagos trimestrales de 825 , el primero a los 3 meses de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

0 3.000

825

Respuesta: 0,16 16% 55.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 4 pagos trimestrales de 825 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

825

0 3.000 2.175

Respuesta: 0,27586 27,59%

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

Compare la respuesta de estos dos últimos problemas. Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada (27,59%) o se pague a los tres meses de realizar la compra (16%). 56.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese bien en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 2 pagos semestrales de 1.650 , el primero a los 6 meses de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

0 3.000

1.650

Respuesta: 0,13333 13,33%

57.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 2 pagos semestrales de 1.650 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

Respuesta: 0,44444 44,44%

1.650

0 3.000 1.350

30 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Compare la respuesta de estos dos últimos problemas. Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada (44,44%) o se pague a los seis meses de realizar la compra (13,33%). 58.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo electrónico.

¿Quién le ha dicho que no puede tener un 4d?

Le ofrecemos el modelo YNOT4d. Precio al contado: ¡sólo 20.000 ! ¿Quiere financiarlo? Pague 12 cuotas mensuales, la primera al mes de llevarse su YNOT4d. Con la mejor financiación del mercado: ¡8% anual!*

* Tasa de recargo

SOLUCIÓN z

En primer lugar deberemos calcular el importe de cada pago porque la oferta no lo indica. ¿Se ha fijado que el anuncio tiene un asterisco al lado del 8%, y que ese asterisco está explicado más abajo en letras más pequeñas? Los asteriscos suelen traer, normalmente, malas noticias para usted. El 8% anual no es el tipo de interés que cobra 4d por la financiación, se trata de una tasa de recargo (lo que también es una mala noticia para usted). z Precio del coche al contado: 20.000 z Precio del coche financiado: 20.000 0,08*1(año) * 20.000 21.600 Cuota mensual =

Coche financiado 21.600 = = 1.800 Número de cuotas 12

Veamos el gráfico.

Mes

1.800

...

1.800

...

20.000

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas 12 mensualidades de 1.800 cada una es lo mismo que pagar los 21.600 juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 21.600 Mes

0 20.000

6,5

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

6,5   = 21.600 ⇒ r = 0,14769 = 14,77% 20.000  1 + r 12   59.

Calcule el tipo de interés al que resultaría la financiación del problema anterior, si tuviera que pagar la primera de las cuotas como entrada. z

Le ayudo con el gráfico. 1.800

1.800

Mes

...

1.800 3

...

1.800

20.000 18.200

Respuesta: 0,17582 17,58% 60.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo electrónico.

¿Quién le ha dicho que no puede tener un 4d?

* Tasa de recargo

Respuesta: 0,20307 20,31% (cuotas mensuales de 1.850 ). 61.

Calcule el tipo de interés al que resultaría la financiación del problema anterior, si tuviera que pagar la primera de las cuotas como entrada. Respuesta: 0,24242 24,24%

62.

Usted trabaja en el Departamento Financiero del equipo ciclista DOCE y acaba de recibir el siguiente memorando. De: Para: Asunto:

Gerencia DOCE Depto Financiero DOCE Coste de financiación de las bicicletas BUL

Hemos recibido de BUL, Bicicletas Ultra Ligeras, la siguiente oferta del modelo BUL XXI, el que queremos usar en el próximo Tour de Francia. Precio de las BUL XXI al contado: 7.500 Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 900 cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour Necesitamos conocer el tipo de interés anual de esta financiación para presentar mañana un informe en Presidencia.

32 MATEMÁTICA

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

900

7.500

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. VM =

4 + 12 =8 2

Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 8.100 Mes

0 7.500

8  7.500  1 + r  = 8.100 ⇒ r = 0,12 = 12% 12   63.

Gerencia le manda otro memorando.

De: Para: Asunto:

Gerencia DOCE Depto Financiero DOCE Coste de financiación de las bicicletas BUL

Gracias por la rápida respuesta al memo anterior. BUL se equivocó en la oferta que nos hizo para el modelo BUL XXI. Precio de las BUL XXI al contado: 7.500 Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 950€ cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour. Tenemos la misma urgencia por conocer el tipo de interés anual de esta financiación.

Respuesta: 0,21 21% 64.

Definitivamente hoy no es su día. Gerencia vuelve a mandarle el memorando que se muestra en la página siguiente. Respuesta: 0,30 30% Pista. La única diferencia entre el gráfico inicial de flujos de este problema y el del problema anterior es que en este caso el flujo que debe poner en el mes 0 es de 7.125 (7.500 5% de 7.500 7.125).

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

De: Para: Asunto:

Y DESCUENTO SIMPLES

Gerencia DOCE Depto Financiero DOCE Coste de financiación de las bicicletas BUL

Gracias por las rápidas respuestas a los memos. Hemos negociado un poco con BUL. Las condiciones definitivas son: Precio de las BUL XXI al contado: 7.500 . Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 950€ cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour. Si la pagamos al contado obtendremos un descuento del 5%. ¿Nuestra urgencia? La de siempre -!

65.

Vuelva al Ejemplo 2.10 de este capítulo y calcule el tipo de interés al que le resulta la financiación del coche 4d.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

1.350

...

1.350

...

15.000

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas 12 mensualidades es lo mismo que pagar los 16.200 juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 16.200 Mes

0 15.000

6,5

6,5   = 16.200 ⇒ r = 0,14769 = 14,77% 15.000  1 + r 12  

CAPÍTULO 2

Capitalización y descuento simples UN POCO DE TEORÍA EL INTERÉS

Formas de expresar el tipo de interés. Podemos expresar el interés de un préstamo, por ejemplo el 6%, de varias maneras: z

En tanto por uno:

0, 06

z z z

En tanto por cien: En puntos básicos: En puntos porcentuales:

6% 600PB 6PP

6    6% = 100 = 0, 06    (6% 6*100 600PB) (6% 6PP)

VALORACIÓN DE CAPITALES POR INTERÉS SIMPLE

«P» es la prestación o el principal. «r» es el tipo de interés vencido que se haya pactado. 5

6 MATEMÁTICA z z

FINANCIERA

«t» es el tiempo, la duración de la operación. «r» y «t» tienen que ser homogéneos. Si «r» es el tanto anual, «t» debe expresar años o fracción de año.

EJEMPLO 2.1 ¿Qué interés produce un préstamo de 1.000 a 9 meses, al 6% de interés anual? Interés = 1.000 ∗ 0, 06 z

9 = 45 12

Fíjese que «r» y «t» son homogéneos: «r» 6% anual; «t» es una fracción de año (9/12 de año).

El valor final de un capital, también llamado Montante (Ct), es igual a su valor inicial, C0, más los intereses que genera. Ct = C0 + C0 ∗ r ∗ t ⇒ sacamos C0 factor común

INTERÉS

⇒ C t = C0 (1 + rt )

EJEMPLO 2.2 ¿Cuál es el valor dentro de 9 meses de 1.000 invertidos hoy al 6% de interés anual? ¿C9? Mes

0 1.000

9  C9 = 1.000  1 + 0, 06  = 1.045 12  

Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento matemático o racional, no tenemos más que despejar C0 de la expresión Ct C0(1 rt). Nos queda: C0 =

Ct (1 + rt )

EJEMPLO 2.3 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual y se acuerda aplicar el descuento racional? 2.000 Mes

C0 =

0 ¿C0?

2.000 = 1.923, 08 8   1 + 0, 06 12   

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento comercial, hacemos: C0 Ct (1 dt) z

Esta «d» es el tipo de interés anticipado, tipo de descuento. Si lo representamos con «r» tenemos: C0 Ct (1 rt)

EJEMPLO 2.4 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual pero se acuerda aplicar el descuento comercial? 2.000

Mes

0 ¿C0?

8  C0 = 2000  1 − 0, 06  = 1.920 12   z

Tipo de interés vencido equivalente a tipo de interés anticipado. r= z

d 1 − dt

Si queremos calcular el tipo de interés vencido equivalente al tipo de interés anticipado, descuento comercial, que nos han aplicado en el ejemplo anterior, hacemos: r=

0, 06 1 − 0, 06

8 12

= 0, 0625

0 ¿C0?

8 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Ct = C0 (1 + rt ); C0 =

2.000 8   1 + 0, 0625 12   

= 1.920

Ct ; C0 = Ct (1 − rt ) son las ecuaciones de equilibrio financiero que utiliza(1 + rt )

remos para hacer las valoraciones cuando la operación financiera se pacta con la ley de capitalización simple.

LA INFLACIÓN

1 + rn −1 1+ i

1, 2312 − 1 = 0,11927 = 11, 93% 1,1

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

VENCIMIENTO MEDIO Y VENCIMIENTO COMÚN

Como queremos pagar un capital que es suma de los que debíamos inicialmente, los 3.000 deben pagarse en la fecha de VM. El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Vencimiento, días

1.000

¿VM? 3.000

El VM es la media ponderada de los vencimientos de los tres capitales de 1.000 . CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

1.000 1.000 1.000

30 60 90

30.000 60.000 90.000

3.000

180.000

VM = z

∑ Números = 180.000 = 60 días ∑ Capitales 3.000

Cuando todos los capitales son iguales, como en este caso, para determinar el VM nos basta con calcular la media aritmética de los tiempos. VM =

30 + 60 + 90 = 60 días 3

10 MATEMÁTICA

FINANCIERA

El vencimiento medio nos permite convertir en una operación financiera simple lo que en principio era una operación financiera compleja.

El gráfico que representa la operación es el siguiente: 1.000 Vencimiento, días

1.000

60 75

¿C75?

Por el Ejemplo 2.7, sabemos que el VM de estos tres capitales de 1.000 es el día 60, con lo que podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C75? Día

60 3.000

EJEMPLO 2.9 Suponga que quiere calcular el interés anual que le cobran por una financiación de 2.900 que recibe hoy y por la que debe pagar tres capitales de 1.000 a 30, 60 y 90 días. z

Empezamos por el gráfico de la operación.

Día

0 2.900

1.000

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN z

Y DESCUENTO SIMPLES

0 2.900

TASA DE RECARGO

Precio del coche al contado: 15.000

Precio del coche financiado: 15.000 0,08 * 1(año) * 15.000 16.200 Cuota mensual =

Coche financiado 16.200 = = 1.350 Número de cuotas 12

Si la financiación fuera a dos años, usted pagaría 24 cuotas mensuales de 725 . Precio del coche financiado: 15.000 0,08 * 2(años) * 15.000 17.400

12 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Cuota mensual =

Coche financiado 17.400 = = 7255 Número de cuotas 24

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS 1.

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C8? Mes

0 15.000

Se trata de calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Ct = C0 (1 + rt ) 8  C8 = 15.000  1 + 0,09  = 15.900 12  

¿Cuánto tendría que pagar Irma dentro de 8 meses si el propietario le cobrara un interés del 12% anual? Respuesta: 16.200

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C5? Año

0 6.000

Debemos calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Ct = C0 (1 + rt ) C5 = 6.000 (1 + 0,06 ∗ 5 ) = 7.800

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

Tina le pregunta cuánto habrá en la cuenta si deja el dinero hasta que termine su carrera universitaria, dentro de 9 años. Respuesta: 9.240

Tina le hace otra consulta. Quiere saber cuánto dinero tendría dentro de 5 años si el interés de la cuenta no fuera el 6% sino el 8% anual. Respuesta: 8.400

Volvamos sobre el problema 1, interés pactado 9%. Irma quiere aplazar el pago del garaje, pero quiere pagar 15.675 . ¿En qué fecha debe pagar esta cantidad?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. 15.675 Mes

0 15.000

¿Cuándo tendría que pagar Irma 15.506,25 por el garaje para un interés del 9% anual? Respuesta: dentro de 4,5 meses o, si lo prefiere, 135 días.

Su tío Pío compró acciones de yaquien.mof a 10 y 4 meses más tarde las vendió a 12 cada una. ¿Qué rentabilidad ha obtenido D. Pío en la operación?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. 12 Mes

0 10

14 MATEMÁTICA

FINANCIERA

4  10  1 + r  = 12 ⇒ r = 0,6 = 60% 12   z

Recuerde que en la expresión (1 rt), «r» es el tipo de interés anual expresado en tanto por uno, por lo que 0,6 en tanto por uno es el 60%.

10.

11.

Un proveedor al que su empresa debe 50.000 a pagar a 60 días, le ofrece un descuento del 3% si le paga al contado. ¿Qué coste tiene para su empresa financiarse con este proveedor?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. Su empresa puede pagar 48.500 hoy o pagar 50.000 dentro de 60 días. 50.000 Día

0 48.500

Si su empresa está dispuesta a pagar 50.000 dentro de 60 días por no pagar 48.500 hoy (por obtener una financiación de 48.500 ), su empresa se está financiando al 18,81% de interés anual.

12.

Calcule el coste de la financiación con el proveedor anterior si el descuento que le ofrece por pagarle al contado fuera el 4% en lugar del 3% (utilice años naturales). Respuesta: 0,25347 25,35%.

13.

Su vecina, Doña Prudencia Segurola, va a necesitar 2.000 dentro de 6 meses para pagar una estancia para jubilados con el Inserso en Benidorm. Doña Prudencia le ha pedido que le calcule cuánto

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

dinero debe colocar hoy en una cuenta que le ofrece un 6% de interés anual, para hacer frente a este pago.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos. 2.000 Mes

0 ¿C0?

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. C0 = C0 =

Ct (1 + rt )

2.000 6   1 + 0,06 12   

= 1.941,75

14.

Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 1.923,08 .

15.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos

Mes

2.000

¿C0?

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de estos dos capitales. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. C0 =

16.

2.000 6   1 + 0,06 12   

2.000 9   1 + 0,06 12   

= 3.855,62

Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia, para hacer frente a estos dos pagos, si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 3.809,87 .

16 MATEMÁTICA 17.

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

Empezamos por lo más importante, el gráfico.

Mes

600

3 ¿C3?

18.

Calcule la deuda de su cliente en el mes 3 si el interés pactado fuera el 9% anual. Respuesta: 1.813,5 .

19.

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C3? Mes

0 3.000

Rosana tendrá que pagar el valor final de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Ct = C0 (1 + rt ) 3  C3 = 3.000  1 + 0,125  = 3.093,75 12  

20.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

SOLUCIÓN z

0 2.910

21.

Calcule el coste del préstamo «Sin interés, por ser madre», si sus gastos de concesión fueran el 2%, 60 , en lugar del 3% del problema anterior. Respuesta: 0,08163 8,16%.

22.

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. Usted debe elegir entre pagar 38.000 hoy (40.000 – 2.000) o pagar 40.000 dentro de 3 meses. 40.000 Mes

0 38.000

23.

Calcule el coste de financiación del Se@ Teruel si el descuento por pagarlo al contado fuera el 8%. Respuesta: 0,34782 34,78%

18 MATEMÁTICA 24.

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

En negociación de letras se utiliza el descuento comercial. Aplicamos las condiciones de dol.mof. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal

900

Interés 900 ∗ 0,12

120 = 360

Comisión: 1% s/900 Líquido z

9 855

También lo podemos calcular de la siguiente forma: 120   − 0,01 ∗ 900 = 855 Líquido = 900  1 − 0,12 360  

25.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la financiación anterior.

SOLUCIÓN z

Empezamos por lo importante, el gráfico. 900 Día

0 855

120

26.

Canasa descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 60 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa por esta letra. Respuesta: 873 .

27.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18556 18,56%.

28.

Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

SOLUCIÓN z

Aplicamos las condiciones de dol.mof. Nominal Interés 400 ∗ 0,12

400 120 = 360

Comisión: 1% s/400 Líquido z

16 7 (comisión mínima) 377

También lo podemos calcular de la siguiente forma: 120   − 7 = 377 Líquido = 400  1 − 0,12 360  

29.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18302 18,30%.

30.

Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 60 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa. Respuesta: 385 .

31.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,23376 23,38%.

32.

33.

34.

SOLUCIÓN z

Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal Interés 3.000 ∗ 0,15

3.000 120 = 75 360

Líquido z

2.925

Podemos calcular el líquido más rápido: 60   = 2.925 Líquido = 3.000  1 − 0,15 360  

Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación.

20 MATEMÁTICA

FINANCIERA

3.000 Día

0 2.925

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C0 (1 + rt ) = Ct 60   = 3.000 ⇒ r = 0,15384 = 15,38% 2.925  1 + r 360  

35.

36.

Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 10 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa.

SOLUCIÓN z

Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal

3.000

Interés 3.000 ∗ 0,15

20 = 360

Líquido

25 (20 días mínimo) 2.975

O bien:

0 2.975

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C0 (1 + rt ) = Ct 10   = 3.000 ⇒ r = 0,30251 = 30,25% 2.975  1 + r 360  

37.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

38.

39.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Vencimiento, días

1.000

2.000

3.000

90 ¿VM? 6.000

El cliente quiere pagar 6.000 , la suma de los capitales que debía inicialmente, en la nueva fecha, por lo que forzosamente debe hacer el pago en la fecha del VM. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

1.000

30.000

2.000

120.000

3.000

270.000

6.000

VM = z

420.000

∑ Números 420.000 = = 70 días 6.000 ∑ Capitales

El cliente debe pagar los 6.000 dentro de 70 días.

40.

41.

42.

Un cliente le debe 4.000 con vencimiento a 90 días. El cliente le propone pagarle 1.000 a 30 días y retrasar el pago de los 3.000 restantes. ¿En qué fecha debe pagar estos 3.000 ?

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

22 MATEMÁTICA

FINANCIERA

1.000 Vencimiento, días

3.000

90 4.000

El cliente quiere pagar dos capitales que suman los 4.000 que debía inicialmente, por lo que el día 90 debe ser el VM de esos dos capitales. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

1.000

30.000

3.000

3.000X

4.000

VM: z

¿X?

30.000 3.000X

30.000 + 3.000X = 90 ⇒ X = 110 4.000

El cliente debe pagar los 3.000 dentro de 110 días.

43.

44.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Día

2.000

120

150 ¿C150?

90 6.000

150

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN z

Y DESCUENTO SIMPLES

45.

46.

Vuelva sobre el problema 44. Suponga que lo que el cliente quiere es liquidar la deuda haciendo un único pago dentro de 100 días. Calcule su importe.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Día

2.000

2.000 100

120

¿C100?

z z

Ya sabemos que el VM de estos tres capitales es el día 90. Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C100? Día

90 6.000

100

24 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

z 47.

Éste es un problema de la ley financiera de interés simple. En lo sucesivo plantearemos todas las soluciones calculando el VM.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Día

3.000

2.000

1.000

120

140 6.180

Calculamos primero el VM de estos tres capitales. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

3.000

180.000

2.000

180.000

1.000

120

120.000

6.000

VM = z

480.000

∑ Números 480.000 = = 80 días 6.000 ∑ Capitales

Podríamos pagar los 6.000 juntos dentro de 80 días, pero queremos diferir su pago hasta el día 140, fecha en la que nos piden 6.180 . Podemos plantear el siguiente gráfico: 6.180

Día

80 6.000

140

Calculamos el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Vamos a emplear años comerciales.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

C0 (1 + rt ) = Ct 60   = 6.180 ⇒ r = 0,18 = 18% 6.000  1 + r 360   48.

49.

Vuelva sobre el problema anterior. Calcule la rentabilidad que obtiene Canasa si usted le pide al cliente que le pague los 30.675 a 100 días y el cliente lo acepta. Respuesta: 0,2025 20,25%

50.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Día

10.000

¿t? 31.125

Calculamos primero el VM de estos tres capitales: VM =

30 + 90 = 60 días 2

Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: 31.125

Día

60 30.000

¿t?

Para pagar 31.125 debe retrasar 90 días el pago de los 30.000 . Como este capital vencía el día 60, los 31.125 se deberán pagar el día 150 (90 días más tarde).

26 MATEMÁTICA

FINANCIERA

51.

52.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo.

Vajilla Leti

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

275

3.000

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas 12 mensualidades es lo mismo que pagar los 3.300 juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 3.300

Mes

0 3.000

6,5

6,5   = 3.300 3.000  1 + r 12   ⇒ r = 0,18461 = 18,46% 53.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 12 pagos mensuales de 275 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

275

3.000 2.725

Mes

275

2.725

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: VM =

1 + 11 =6 2

Pagar esas 11 mensualidades es lo mismo que pagar los 3.025 juntos en el mes 6. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 3.025

Mes

0 2.725

6  2.725  1 + r  = 3.025 ⇒ r = 0,22018 = 22,02% 12  

28 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada, coste 22,02%, o se pague al mes de realizar la compra, coste 18,46%. 54.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. Fíjese bien en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 4 pagos trimestrales de 825 , el primero a los 3 meses de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

0 3.000

825

Respuesta: 0,16 16% 55.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 4 pagos trimestrales de 825 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

825

0 3.000 2.175

Respuesta: 0,27586 27,59%

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese bien en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 2 pagos semestrales de 1.650 , el primero a los 6 meses de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

0 3.000

1.650

Respuesta: 0,13333 13,33%

57.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 2 pagos semestrales de 1.650 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

Respuesta: 0,44444 44,44%

1.650

0 3.000 1.350

30 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo electrónico.

¿Quién le ha dicho que no puede tener un 4d?

* Tasa de recargo

SOLUCIÓN z

Coche financiado 21.600 = = 1.800 Número de cuotas 12

Veamos el gráfico.

Mes

1.800

...

1.800

...

20.000

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas 12 mensualidades de 1.800 cada una es lo mismo que pagar los 21.600 juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 21.600 Mes

0 20.000

6,5

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO SIMPLES

6,5   = 21.600 ⇒ r = 0,14769 = 14,77% 20.000  1 + r 12   59.

Calcule el tipo de interés al que resultaría la financiación del problema anterior, si tuviera que pagar la primera de las cuotas como entrada. z

Le ayudo con el gráfico. 1.800

1.800

Mes

...

1.800 3

...

1.800

20.000 18.200

Respuesta: 0,17582 17,58% 60.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo electrónico.

¿Quién le ha dicho que no puede tener un 4d?

* Tasa de recargo

Respuesta: 0,20307 20,31% (cuotas mensuales de 1.850 ). 61.

Calcule el tipo de interés al que resultaría la financiación del problema anterior, si tuviera que pagar la primera de las cuotas como entrada. Respuesta: 0,24242 24,24%

62.

Usted trabaja en el Departamento Financiero del equipo ciclista DOCE y acaba de recibir el siguiente memorando. De: Para: Asunto:

Gerencia DOCE Depto Financiero DOCE Coste de financiación de las bicicletas BUL

32 MATEMÁTICA

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

900

7.500

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. VM =

4 + 12 =8 2

Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 8.100 Mes

0 7.500

8  7.500  1 + r  = 8.100 ⇒ r = 0,12 = 12% 12   63.

Gerencia le manda otro memorando.

De: Para: Asunto:

Gerencia DOCE Depto Financiero DOCE Coste de financiación de las bicicletas BUL

Respuesta: 0,21 21% 64.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN

De: Para: Asunto:

Y DESCUENTO SIMPLES

Gerencia DOCE Depto Financiero DOCE Coste de financiación de las bicicletas BUL

65.

Vuelva al Ejemplo 2.10 de este capítulo y calcule el tipo de interés al que le resulta la financiación del coche 4d.

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

1.350

...

1.350

...

15.000

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas 12 mensualidades es lo mismo que pagar los 16.200 juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 16.200 Mes

0 15.000

6,5

6,5   = 16.200 ⇒ r = 0,14769 = 14,77% 15.000  1 + r 12  

CAPÍTULO 3

Capitalización y descuento compuestos UN POCO DE TEORÍA VALORACIÓN DE CAPITALES POR INTERÉS COMPUESTO

La capitalización compuesta es la otra ley financiera que puede emplearse para valorar el dinero en el tiempo. Utilizar esta ley supone que cada cierto período de tiempo, por ejemplo cada año, se calculan los intereses devengados por un capital y se le añaden a éste. Esos intereses, al formar ya parte del capital, son capaces de generar intereses en el futuro, por lo tanto los intereses son productivos.

EJEMPLO 3.1 Don Justo de Pasta ha recibido hoy un préstamo de 100€ a un interés compuesto del 10% anual. Don Justo quiere saber cómo evolucionará su deuda durante los próximos años. Año

Deuda inicial

Interés

Deuda en

C0 100

0,1*100

C1 100(1 0,1)

110

0,1*100(1 0,1)

C2 100(1 0,1)

121

0,1*100(1 0,1)

C3 100(1 0,1)

133,10

2 3

100 100(1 0,1) 2

100(1 0,1)

100 1 2 3

100(1 0,1)3

0,1*100(1 0,1)3

C4 100(1 0,1)

146,41

…

………

……………..

…………

………

……………..

C9 100(1 0,1)

235,79

…

………

……………..

…………

………

Ct 100(1 0,1)

Deuda final

depende de «t»

La deuda final del año 1, C1 100(1 0,1)1, es igual a la deuda final del año anterior, 100, más los intereses generados por este capital durante este año, 0,1 * 100. Dentro de un año deberá 110€. 35

36 MATEMÁTICA z

z z

FINANCIERA

La deuda final del año 2, C2 100(1 0,1)2, es igual a la deuda final del año anterior, 100(1 0,1), más los intereses generados por ese capital durante este año, 0,1*100(1 0,1). Dentro de dos años deberá 121€. Y así sucesivamente… Fíjese que la deuda en el año t es: Ct 100(1 0,1)t. Donde: 100 C0 (el capital inicial) 0,1 r (el tipo de interés anual) t número de años que nos desplazamos Por lo tanto, tenemos que: Ct C0 (1 r)t

La fórmula de interés compuesto es: (1 + r) ⇒ por ahora: (1 + ranual ) t

Dividiendo a un capital para calcular su valor actual, C0. C0 =

Esta fórmula se utiliza multiplicando a un capital para calcular su valor final, Ct. Ct = C0 (1 + r )

Años

(1 + r )

Éstas son las ecuaciones de equilibrio financiero que utilizaremos para hacer valoraciones cuando la operación financiera se pacta con la ley de capitalización compuesta. Vaya a las Tablas Financieras. En la Tabla 1 del Apéndice encontrará la expresión (1 r)t.

En la Tabla 2 del Apéndice encontrará la expresión

(1 + r )

EJEMPLO 3.2 Su vecina Matilde ha invertido 10.000€ a 5 años. Calcule el saldo de la cuenta de Dña. Matilde dentro de 5 años si el interés de la cuenta es: 1. El 12% compuesto anual (lo que nos interesa en este capítulo). 2. El 12% simple anual (para que pueda comparar). ¿C5? Año

0 10.000

Interés compuesto: Ct C0 (1 r)t ⇒ C5 10.000 (1 0,12)5 17.623,42€

Interés simple: Ct C0 (1 rt) ⇒ C5 10.000 (1 0,12 * 5) 16.000€

EJEMPLO 3.3 Su hermana Isabel le pregunta cuánto dinero debe invertir hoy en una cuenta para tener 4.000€ dentro de 5 años. Calcule lo que debe invertir hoy Isabel si el interés de la cuenta es: 1. El 8% compuesto anual (lo que nos interesa en este capítulo). 2. El 8% simple anual (para que pueda comparar).

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

4.000 Año

Interés compuesto: C0 =

Interés simple: C0 =

(1 + r )

0 ¿C0?

⇒ C0 =

4.000

(1 + 0,08 )

= 2.722,33 €

Ct 4.000 ⇒ C0 = = 2.857,14€ (1 + r ∗ t ) (1 + 0,08 ∗ 5)

EJEMPLO 3.4 Su jefe le pregunta qué rentabilidad ha obtenido con un apartamento que tenía en el Mediterráneo. Hace 4 años lo compró por 50.000€ y acaba de venderlo por 103.680€ (recuerde que trabajamos por interés compuesto). 103.680 Año

0 50.000

Planteamos la ecuación de equilibrio, podemos igualar los 2 capitales en el año 4, y despejamos la rentabilidad, a la que también conocemos por TIR (Tasa Interna de Rentabilidad). C0 (1 + r ) = Ct ⇒ 50.000 (1 + r ) = 103.680 ⇒ t

⇒r= 4

103.680 − 1 ⇒ r = 0,2 = 20%anual 50.000

EJEMPLO 3.5 Acaba de heredar 100.000€. Usted invierte este dinero en la «Cuenta Limón» del banco on line milagros.mof. La cuenta ofrece un interés del 10% anual. ¿Dentro de cuántos años tendrá 146.410€ en la cuenta? 146.410 Año

0 100.000

Planteamos la ecuación de equilibrio, podemos igualar los 2 capitales en el año «t», y despejamos la «t», el tiempo. C0 (1 + r ) = Ct ⇒ 100.000 (1 + 0,1) = 146.410 ⇒ t

⇒ 1,1t = 1,46410 ⇒ t ∗ log1,1 = log1,46410 ⇒ ⇒ t ∗ 0,04139268 = 0,16557406 ⇒ t = 4años

38 MATEMÁTICA

FINANCIERA

VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL PARA PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN NO ENTEROS

En los ejemplos anteriores hemos desplazado un capital un número entero de períodos de capitalización del interés, un número entero de años por ahora, con la fórmula (1 r)t. ¿Cómo desplazamos en el tiempo un capital durante un número no entero de períodos de capitalización? z

Cuando «t» no es un número entero, supongamos 3,5 años 3,5 períodos de interés , decimos que nos queremos desplazar un número entero de años «n», 3, y una fracción de año «h», 0,5. Hay dos formas de mover el dinero en el tiempo en estos casos, el convenio exponencial y el lineal. Si se aplica el convenio exponencial, empleamos la fórmula de interés compuesto para toda la duración de la operación, multiplicando o dividiendo dependiendo de que queramos diferir o actualizar el capital:

(1 + r ) z

n+h

⇒ (1 + r )

3,5

Si se aplica el convenio lineal, empleamos la fórmula de interés compuesto para los «n» períodos enteros de capitalización y la de interés simple para la fracción «h» de período de capitalización (3,5 años son 3 años y 6/12 de año): 6   1 + r 12    Empleamos esta expresión multiplicando o dividiendo dependiendo de que queramos diferir o actualizar el capital.

(1 + r ) (1 + rh ) ⇒ (1 + r ) n

EJEMPLO 3.6 El BE, Banco Exponencial, ha lanzado una cuenta de alta remuneración que ofrece un interés del 12% anual. Su tío, el Sr. Charlie Brown, es un ciudadano británico que se va a jubilar dentro de 5 años y 3 meses, momento en el que vendrá a vivir al apartamento que tiene en Torrevieja. Mr. Brown, que ha invertido 10.000€ en esta cuenta, le pregunta qué saldo tendrá la cuenta cuando se jubile. El BE aplica el convenio exponencial en esta cuenta. z

Tenemos que diferir un capital durante «n» períodos enteros (5 años) y una fracción «h» de año (3 meses 0,25 años). ¿C5,25? Año

Ct = C0 (1 + r )

n+h

0 10.000

5 5,25

⇒ C5,25 = 10.000 (1 + 0,12 )

5,25

= 18.129,87€

EJEMPLO 3.7 El BL, Banco Lineal, también ha lanzado, como reacción al BE, una cuenta de alta remuneración que ofrece un interés del 12% anual. Mr. Brown le pregunta ahora cuánto dinero tendrá en el BL cuando se jubile, si ingresa ahora 10.000€ en esta cuenta. Usted ya lo sospechaba, el BL aplica el convenio lineal en esta cuenta.

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN z

Y DESCUENTO COMPUESTOS

Tenemos que diferir un capital durante «n» períodos enteros (5 años) y una fracción «h» de año (3 meses 3/12 de año). ¿C5+3/12?

Año

0 10.000

5 5 3/12

   3 n 5  Ct = C0 (1 + r ) (1 + rh ) ⇒ C5 y 3 meses =  10.000 (1 + 0,12 )   1 + 0,12   = 18.152,12 €

    12   Valor en 5   

 Valor en 5 años y 3 meses

VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL CUANDO VARÍA EL TIPO DE INTERÉS

En los ejemplos anteriores hemos desplazado un capital a un cierto tipo de interés constante, «r», con la fórmula (1 r)t. ¿Cómo desplazamos en el tiempo un capital cuando varía el tipo de interés a lo largo de la operación financiera? r1

0 C0

...

t 1

Llamamos: r1 al interés del primer período de capitalización, año por ahora; r2 al interés del segundo período y así sucesivamente, rt es el interés del último período. Las fórmulas que empleamos son las siguientes: Ct = C0 (1 + r1 ) (1 + r2 ) ... (1 + rt ) Ct C0 = (1 + r1 ) (1 + r2 ) ... (1 + rt )

La idea es la misma, aunque exige un poco más de trabajo: para diferir un capital, lo multiplicamos por (1 r) –uno más los distintos «r»; para actualizar un capital, lo dividimos entre (1 r) –uno más los distintos «r».

EJEMPLO 3.8 Hace tres años, el BLT –Banco Local de Torrevieja- lanzó la Güiri Cuenta Creciente, la GCC. Esta cuenta, en la que los clientes debían mantener el dinero durante 3 años, ofrecía un interés creciente: el 5% durante el primer año, el 6% durante el segundo y el 7% durante el tercero. Mr. Brown invirtió entonces 10.000€ en la GCC, ¿qué saldo tendrá hoy su cuenta? ¿C3? 5%

Año

0 10.000

40 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Ct = C0 (1 + r1 ) (1 + r2 ) ... (1 + rt ) C3 = 10.000 (1 + 0,05 ) (1 + 0,06 ) (1 + 0,07 ) = 11.909,1€

CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA

La capitalización fraccionada es un acuerdo por el que los intereses se capitalizan cada fracción de año: cada semestre (capitalización semestral), cada trimestre (capitalización trimestral), cada mes (capitalización mensual), etc.

EJEMPLO 3.9 Don Tieso Deuros ya no encuentra quien le preste dinero. Desesperado, D. Tieso acude a una mafia local que le presta, hoy lunes, 100€ a un interés compuesto del 10% diario. D. Tieso quiere saber cómo evolucionará su deuda durante los próximos días. Día

Deuda inicial

Interés

Deuda final

C0 100

0,1*100

C1 100(1 0,1)

110

0,1*100(1 0,1)

C2 100(1 0,1)

121

C3 100(1 0,1)

133,10

2 3

100 100(1 0,1) 2

100(1 0,1)

100 1 2 3

0,1*100(1 0,1)

100(1 0,1)

0,1*100(1 0,1)

C4 100(1 0,1)

146,41

…

………

……………..

…………

………

……………..

C9 100(1 0,1)

235,79

…

………

……………..

…………

………

Ct 100(1 0,1)

Deuda en

depende de «t»

La deuda final del día 1 (mañana), C1 100(1 0,1)1, es igual a la deuda final del día anterior, 100, más los intereses generados por este capital durante este día, 0,1 * 100. Dentro de un día deberá 110€, La deuda final del día 2, C2 100(1 0,1)2, es igual a la deuda final del día anterior, 100(1 0,1), más los intereses generados por ese capital durante este día, 0,1*100(1 0,1). Y así sucesivamente… A D. Tieso le han prestado 100€ hoy lunes, el viernes ya deberá 146,41€.

La capitalización fraccionada sigue siendo, por tanto, un régimen de capitalización compuesta, los intereses se capitalizan cada fracción de año y son capaces de generar más intereses en el futuro.

La fórmula para mover el dinero sigue siendo (1 r)t, entendiéndola como: (1 interés periódico) número de períodos que nos desplazamos

En realidad, la fórmula general válida para todos los casos es: r  1 + n    z

«r»: es el interés nominal anual.

donde:

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

«n»: es el número de períodos de capitalización que hay en un año.

«t»: es el número de años que nos desplazamos. r es el interés de cada período (el interés mensual si n 12). n «n * t», el producto del exponente: es el número de períodos de capitalización que nos desplazamos, número de meses que nos desplazamos si n 12.

z z

Y DESCUENTO COMPUESTOS

Por lo tanto, podemos ver esta fórmula como: (1 interés periódico) número de períodos que nos desplazamos Por ejemplo: (1 interés semestral) número de semestres que nos desplazamos (1 interés mensual) número de meses que nos desplazamos (1 interés diario) número de días que nos desplazamos

EJEMPLO 3.10 Las trillizas Trillo, sus tías solteras, acaban de invertir 100.000€ cada una para cuando se jubilen dentro de 15 años. ¾ Ana ha colocado su dinero en el BA, Banco Anual, que le ofrece un interés nominal del 12% anual capitalizable anualmente. ¾ Semera ha colocado su dinero en el BS, Banco Semestral, que también ofrece un interés nominal del 12% anual pero capitalizable semestralmente. ¾ Mencía ha colocado su dinero en el BM, Banco Mensual, que ofrece un interés nominal del 12% anual capitalizable, usted ya se lo imaginaba, mensualmente. Calcule qué capital tendrá cada una de sus tías cuando se jubilen. z

Ana recibe el 12% anual capitalizable anualmente. Cada período de interés, cada año, recibe un 12%. Tenemos que desplazarnos 15 períodos de interés. ¿C15? Año

0 100.000

(1 interés anual) número de años que nos desplazamos C15 = 100.000 (1 + 0,12 ) = 547.356,58€ 15

Semera recibe el 12% anual capitalizable semestralmente. Cada período de interés, cada semestre, recibe un 6%, la mitad del interés nominal anual. Tenemos que desplazarnos 30 períodos de interés, en 15 años hay 30 semestres. ¿C30? Semestre

0 100.000

42 MATEMÁTICA

FINANCIERA

(1 interés semestral) número de semestres que nos desplazamos C30 = 100.000 (1 + 0,06 ) = 574.349,12 € 30

Mencía recibe el 12% anual capitalizable mensualmente. Cada período de interés, cada mes, recibe un 1%, un doceavo del interés nominal anual. Para mover el dinero al año 15, debemos desplazarnos 180 meses. ¿C180? Mes

0 100.000

180

(1 interés mensual) número de meses que nos desplazamos C180 = 100.000 (1 + 0,01)

180

= 599.580,20 €

TASA ANUAL EQUIVALENTE

En el ejemplo anterior se ve que no es lo mismo recibir un 12% de interés anual, que recibir un 6% semestral o un 1% mensual. Seguro que usted preferiría colocar su dinero en el banco de Mencía, que es la que tendrá más dinero dentro de 15 años. Para poder comparar las diversas capitalizaciones fraccionadas que se nos pueden presentar, debemos homogeneizarlas. La TAE, Tasa Anual Equivalente, es la homogeneización más común. Calcular la TAE no es más que anualizar un interés fraccionado, un interés que se capitaliza cada fracción de año. Tendemos a anualizar porque estamos acostumbrados a hablar de rentabilidad anual de una inversión, del coste anual de una financiación… Para calcular la TAE hacemos: n

r  TAE =  1 +  − 1 n   Como «n» es el número de períodos de capitalización que hay en un año, podemos leer esta fórmula como: TAE (1 interés fraccionado)períodos fraccionados que hay en un año 1

EJEMPLO 3.11 Calcule la TAE que obtiene cada una de sus tías trillizas en sus inversiones del problema anterior. z

Ana recibe capitalización anual, n 1, cada año le capitalizan el 12%. TAE = (1 + 0,12 ) − 1 = 0,12 1

Semera recibe capitalización semestral, n 2, cada semestre le capitalizan el 6%. (1 interés semestral)número de semestres que hay en un año 1 TAE = (1 + 0,06 ) − 1 = 0,1236 2

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

Un 6% semestral no es lo mismo que un 12% anual. Recibir un 6% semestral es equivalente a recibir un 12,36% capitalizado anualmente. z

Mencía recibe capitalización mensual, n 12, cada mes le capitalizan el 1%. (1 interés mensual)número de meses que hay en un año 1 TAE = (1 + 0,01) − 1 = 0,12682503 12

Un 1% mensual no es lo mismo que un 12% anual. Recibir un 1% mensual es equivalente a recibir un 12,68% capitalizado anualmente.

Vemos que: z El interés nominal coincide con la TAE cuando no se fracciona la capitalización. z Cuanto mayor es el fraccionamiento, mayor es la TAE. z El incremento de la TAE se va atenuando al ir aumentando el fraccionamiento.

EJEMPLO 3.12 Su cuñado Alberto, que también se jubila dentro de 15 años, ha invertido 100.000€ en la «Cuenta Jubilación» de milagros.mof. Esta cuenta ofrece un interés nominal anual del 12,682503% capitalizable anualmente. Calcule el capital que tendrá Alberto cuando se jubile. ¿C15? Año

0 100.000

C15 = 100.000 (1 + 0,12682503 ) = 599.580,20€ 15

Compare los perfiles de flujos de Alberto y la trilliza Mencía del Ejemplo 3.10. Con el mismo capital inicial, Alberto tendrá dentro de 15 años el mismo capital que Mencía, por lo que ambos obtienen la misma rentabilidad. Lo habíamos calculado en el Ejemplo 3.11: una capitalización del 1% mensual tiene una TAE del 12,682503% (el 1% mensual de Mencía equivale al 12,68253% anual de Alberto.

La TAE, Tasa Anual Equivalente, no es más que una macrotasa equivalente a un interés que se capitaliza cada fracción de año. Anualizamos un interés que se capitaliza cada fracción de año. Podemos calcular otras macrotasas con el mismo método.

EJEMPLO 3.13 Calcule la Tasa Semestral Equivalente (TSE) a un interés del 1,5% capitalizado mensualmente (un mes, interés mensual, es una fracción de semestre). z

Tenemos que semestralizar un interés que se produce cada fracción de semestre. Sabemos que tiene que ser algo mayor que el 9%. TSE = (1 + interésmensual )

meses que hay en un semestre

−1⇒

TSE = (1 + 0,015 ) − 1 = 0,09344 = 9,34% 6

44 MATEMÁTICA

FINANCIERA

EJEMPLO 3.14 Calcule la Tasa Trienal Equivalente (TTE) a un interés del 10% capitalizado anualmente (un año, interés anual, es una fracción de trienio). z Tenemos que «trienalizar» un interés que se produce cada fracción de trienio. Sabemos que tiene que ser algo mayor que el 30%. TTE = (1 + interésanual )

años que hay en un trienio

−1⇒

TTE = (1 + 0,1) − 1 = 0,331 = 33,1% 3

EJEMPLO 3.15 PC, Poco Cash, es un proveedor al que su empresa debe 40.000€ que vencen dentro de 45 días, PC le ofrece un descuento del 4% si le paga al contado. La gerente de su empresa quiere saber qué TAE supone financiarse con PC. z Su empresa puede pagar 38.400€ hoy o pagar 40.000€ dentro de 45 días. 40.000 Día

0 38.400

Hasta ahora sólo sabíamos calcular el coste de la financiación por interés simple. 45   = 40.000 ⇒ r = 0,33333 = 33,33% simple anual 38.400  1 + r 360  

Fíjese que la gerente le ha pedido que calcule la TAE, por lo que el cálculo anterior no sirve. Para llegar a la TAE, podemos empezar por calcular el tipo de interés que nos cobran por 45 días, le llamamos r45. 38.400 (1 + r45 ) = 40.000 ⇒ r45 =

40.000 − 1 = 0,04166666 = 4,17% 38.400

Ahora anualizamos este interés fraccionado, 45 días es una fracción de año.

(1 + interés

45días

)

número períodos de 45 días que hay en un año

TAE = (1 + 0,04166666 )

360

−1

− 1 = 0,38621 = 38,62%

Fíjese en lo que hemos hecho: el cociente del capital final entre el inicial, 40.000/38.400, es igual a 1,0416666 (1 interés45 días); le hemos restado un 1, para llegar a la conclusión de que nos cobran el 4,17% por 45 días (dato que la gerente no nos pedía); finalmente hemos sumado un 1 a ese 4,17% y hemos anualizado para calcular la TAE (el dato que nos pedía la gerente).

Podemos hacerlo más rápido. Anualizamos directamente el cociente capital final entre capital inicial.  40.000  TAE =    38.400

 (1+ r45 )

360

− 1 = 0,38621 = 38,62%

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN z

Y DESCUENTO COMPUESTOS

Usted debe calcular la TAE en su empresa. No se conforme con calcular el interés simple de la financiación.

EJEMPLO 3.16 Su empresa descuenta en dol.mof una letra de 40.000€ que vence dentro de 45 días y recibe un líquido de 38.400€. La gerente de su empresa quiere saber qué TAE soportan por esta financiación. z La historia que le propongo en este ejemplo parece distinta de la planteada en el ejemplo anterior, pero, desde el punto de vista de las finanzas, es la misma operación financiera. 40.000 Día

0 38.400

 40.000  TAE =    38.400



360

− 1 = 0,38621 = 38,62%

(1+ r45 )

EJEMPLO 3.17 La empresa MOBBINGSA ha sido multada por un caso de acoso moral. Para pagar la multa, ha pedido un préstamo de 38.400€ a 45 días al BLT, por el que tendrá que pagar 40.000€ para liquidarlo dentro de 45 días. La gerente de su empresa quiere saber la TAE de este préstamo. z Usted ya se ha dado cuenta. Le he disfrazado en una historia diferente una operación financiera exactamente igual a las dos anteriores. Diríjase a sus soluciones para comunicarle la TAE del préstamo a su gerente. z Podría proponerle muchos ejemplos «aparentemente» diferentes, es una cuestión de imaginación, pero usted ya no perdería ni un segundo en resolverlos. Aquí tiene dos historias: 1. Hace 45 días usted invirtió 38.400€ en acciones de yaju.mof y hoy las ha vendido por 40.000€. 2. Su tío yanki, Jorge Bus junior, especula en divisas. Jorge, convencido de que el euro iba a ganar valor frente al dólar, compró euros por 38.400$ y 45 días más tarde los vendió por 40.000$.

EJEMPLO 3.18 ¿Se acuerda de la primera oferta de la Vajilla Leti, el Problema 52 del Capítulo 2? Vamos a calcular ahora la TAE de la financiación que nos ofrecían. Le reproduzco el anuncio para su comodidad.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000€. Financiación: 12 pagos mensuales de 275€, el primero un mes después de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

46 MATEMÁTICA

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

275

3.000

Calculamos, como hacíamos en el Capítulo 2, el VM de la contraprestación. VM =

1 + 12 = 6,5 2

Representamos, como hacíamos en el Capítulo 2, el nuevo gráfico: 3.300

Mes

0 3.000

6,5

Fíjese que este gráfico es similar al de los ejemplos que acabamos de resolver. Calculamos la TAE de esta financiación, ahora que sabemos hacerlo (fíjese que el número de períodos de 6,5 meses que hay en un año es 12/6,5): 12

 3.300  TAE =  3.000  

(1+ r6,5meses )

6,5

− 1 = 0,19238 = 19,24%

Hemos empleado el interés simple, para calcular el VM, y el compuesto, para anualizar. Esta forma de calcular la TAE, a la que llamaremos «aproximación mixta», es cómoda y muy rápida, aunque no es del todo exacta. Es una buena aproximación a la TAE que aprenderemos a calcular un poco más adelante.

En el Capítulo 2, en el que manejábamos la ley financiera de interés simple, sólo éramos capaces de calcular el interés simple de la financiación: 6,5   = 3.300 ⇒ r = 0,18461 = 18,46% 3.000  1 + r 12  

EJEMPLO 3.19 Su amigo Pedro es el Director Comercial de una pequeña Caja de Ahorros. Una Caja competidora ha lanzado una cuenta que capitaliza mensualmente los intereses y que tiene una TAE del 16,08%. Pedro le pide que le calcule el interés nominal anual de la cuenta de su competidor. z

Si sabemos cómo llegar de un interés mensual a su TAE (una macrotasa), también sabremos llegar desde la TAE al interés fraccionado (una microtasa), al interés mensual en este caso, y de éste al interés nominal anual.

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

TAE = (1 + interés mensual ) − 1 ⇒ 12

0,1608 = (1 + interés mensual ) − 1 ⇒ 12

1,1608 = 12 (1 + interés mensual ) ⇒ 12

1,1608 − 1 = interés mensual = 0,0125 ⇒ 0,0125 = interés mensual ⇒ Interés nominal anual = 12 ∗ 0,0125 = 0,15 = 15% 12

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS Sus conocimientos de finanzas empiezan a ser famosos, lo que le ha animado a montar un pequeño negocio virtual de consultas financieras –usted quiere «rentabilizar» los conocimientos que va adquiriendo. Sus clientes le plantean sus consultas por: CE, correo electrónico, consultas@mof.mof; BV, dejando un mensaje en su buzón de voz; SMS, enviándole un sms. Le presento las consultas que ha recibido esta semana. Alguna de ellas se las envía J, un tal Javier Miner –que no sé si le sonará-, y que es al único al que usted no cobra los 3€ de tarifa por consulta respondida.

PROBLEMAS DE CAPITALIZACIÓN ANUAL 1.

CE. Un abogado del Banco Rothsman se ha puesto en contacto conmigo. Resulta que hace 150 años, el hermano de un tatarabuelo mío prestó al Banco el equivalente a 3€, al 10% de interés anual y, como le digo, a 150 años. Les ha costado encontrarme, pero lo han hecho, y resulta que soy la única heredera. ¿Cuánto dinero recibiré la semana que viene que vence el préstamo?

SOLUCIÓN z

Empezamos con el gráfico. ¿C150? Año

0 3

150

Se trata de diferir un capital durante 150 años, 150 períodos de capitalización de intereses. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. Ct = C0 (1 + r) C150 = 3 (1 + 0,1)

150

= 4.853.153,€ (no está nada mal, ¿no?)

J. Suponga que un antepasado suyo también hubiera prestado dinero al Banco Rothsman a 150 años. Este antepasado, un poco más pobre que el anterior, sólo prestó 2€ al Banco, pero pactó un interés del 11% anual. Calcule cuánto dinero recibiría usted hoy por esta herencia. Respuesta: 12.574.097,21€ ¡Y eso que su antepasado era más pobre!

BV. «Soy Tina, la sobrina de tu vecina Gene. Hoy es mi cumpleaños y mi tía Gene ha abierto en un banco una cuenta de 6.000€, a mi nombre, para cuando vaya a la universidad. El interés de la cuenta es el 6% anual. ¿Cuánto dinero tendré en el banco cuando entre en la universidad dentro de 5 años?»

48 MATEMÁTICA

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

Empezamos con el gráfico. ¿C5? Año

0 6.000

Hay que diferir 5 años el capital. Ct = C0 (1 + r) C5 = 6.000 (1 + 0,06) = 8.029,35€ 5

BV. «Soy Tina otra vez. ¿Cuánto dinero tendré en la cuenta cuando termine mi carrera dentro de 9 años?» Respuesta: 10.136,87€

SMS. qantos € en qenta en 5 años sinTres 8% anual? Tina Respuesta: 8.815,97€

CE. Un piso de 70m2 cuesta, en un barrio a las afueras de mi ciudad, unos 300.000€. Parece que todos los expertos esperan que el precio de la vivienda en mi ciudad aumente un 18% anual durante los próximos años. ¿Cuánto costará ese piso dentro de 4 años, cuando empiece a trabajar, si los expertos aciertan?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿P4? Año

0 300.000

Le sería igual que la consulta fuera ésta o le preguntaran el valor dentro de 4 años de 300.000€ invertidos hoy al 18% de interés anual. Llamamos «i» al incremento anual del precio de los pisos, 18% Pt = P0 (1 + i)

P4 = 300.000 (1 + 0,18) = 581.633,33€ 4

CE. El nuevo gobierno, surgido de las últimas elecciones, ha anunciado un plan de choque de la vivienda. Como resultado de ese plan, se estima que los precios de los pisos «sólo» aumentarán un 7% anual. Si estos planes se cumplen, ¿cuánto costará dentro de 4 años el piso que hoy cuesta 300.000€? Respuesta: 393.238,80€

CE. Queremos tener ahorrados 6.000€ dentro de 6 años para celebrar nuestras bodas de plata. Nuestro banco nos ofrece la CMD, Cuenta Matrimonios Duraderos, que produce un interés del 4% anual. ¿Cuánto dinero debemos colocar hoy en esta cuenta para tener esos 6.000€?

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

SOLUCIÓN z

Empezamos por el gráfico de flujos. 6.000

Año

¿C0?

Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. C0 =

(1 + r)

⇒ C0 =

6.000 = 4.741,89€ (1 + 0,04)6

J. Calcule qué capital deberían ingresar hoy en la CMD sus clientes de la consulta anterior, si el interés de la cuenta fuera el 8% anual. Respuesta: 3.781,02€

10.

BV. «Soy Zacarías Portero. Mi nieta se casa y quiero regalarle 6.000€ para sus bodas de plata, dentro de 25 años. Mi banco me ofrece la CBP, cuenta Bodas de Plata, que ofrece un interés anual del 4% durante este plazo. ¿Cuánto dinero tengo que ingresar hoy en la CPB para que mi nieta tenga 6.000€ cuando celebre sus bodas de plata?» Respuesta: 2.250,70€

11.

BV. «Soy Zacarías Portero otra vez. Resulta que hay otro banco que me ofrece otra cuenta para el regalo de mi nieta, sólo que el interés de esta cuenta es el 8% anual. ¿Cuánto tendría que ingresar hoy en esta cuenta para que mi nieta tuviera los 6.000€ en sus bodas de plata?» Respuesta: 876,11€ Esto es lo que tenía que hacer para las dos consultas de su cliente Zacarías. z

Plantear el gráfico de flujos, la ecuación de equilibrio y resolver. 6.000

Año

¿C0?

Consulta 10. C0 =

(1 + r)t

Consulta 11. C0 = 12.

⇒ C0 =

(1 + r)

6.000

(1 + 0,04)25

⇒ C0 =

= 2.250,70€

6.000 = 876,11€ (1 + 0,08)25

CE. Puedo comprar un terreno que espero poder vender dentro de 3 años por 125.000€. ¿Cuánto debería pagar hoy por este terreno si quiero obtener una rentabilidad del 18% anual en esta operación?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico.

50 MATEMÁTICA

FINANCIERA

125.000

Año

¿C0?

Debería pagar, como máximo, el valor de ese terreno para un tipo de interés del 18% anual. El valor del terreno, y el de cualquier otro activo, no es más que el valor actual de los flujos de fondos que el activo genera en el futuro. C0 =

⇒ C0 = 125.0003 = 76.078,86€ (1 + r) (1 + 0,18) t

13.

J. Calcule el valor del terreno de la consulta anterior, si se desea obtener una rentabilidad del 20% anual. Respuesta: 72.337,96€ Observe que si aumentamos la rentabilidad exigida, del 18% al 20%, el valor del activo disminuye. En sentido contrario, si disminuimos la rentabilidad exigida del 20% al 18%, el valor del activo aumenta.

14.

BV. «Me llamo Pablo Dalí y acabo de empezar a invertir en obras de arte. Me han ofrecido un cuadro que creo que podré vender dentro de 7 años por 18.000€. ¿Cuánto debería pagar ahora por el cuadro si la rentabilidad adecuada para inversiones en arte es el 15% anual?» Respuesta: 6.766,87€

15.

CE. Soy su cliente Pablo Dalí. Puedo comprar por 20.000€ un cuadro de un pintor recientemente fallecido. Dada la escasez de su obra, creo que el precio de este cuadro se duplicará en 3 años. ¿Debería pagar los 20.000€ que me piden por el cuadro si, como sabe, la rentabilidad adecuada para inversiones en arte es el 15% anual?

SOLUCIÓN 1 z

Vemos el gráfico de flujos de la operación, hoy se produce una salida de tesorería de 20.000€ y dentro de 3 años hay una entrada de tesorería de 40.000€. 40.000

Año

20.000

Podemos dar el consejo apropiado, comprar o no comprar el cuadro, haciendo cálculos financieros totalmente diferentes. Uno de ellos consiste en calcular el valor del cuadro (calcular el valor actual, para un 15% de rentabilidad anual, del único flujo que esta inversión va a generar en el futuro, los 40.000€ del año 3) y compararlo con su precio (los 20.000€ que nos piden hoy). C0 =

⇒ C0 = 40.000 3 = 26.300,65 € (valor del cuadro) (1 + r) (1 + 0,15) t

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

El valor del cuadro es 26.300,65€, si Pablo pagara hoy esta cantidad y recuperara 40.000€ dentro de 3 años, estaría obteniendo una rentabilidad del 15%, que es la rentabilidad adecuada en esta «industria».

El precio del cuadro es 20.000€, el dinero que le piden para comprarlo. Por lo tanto, Pablo tiene la oportunidad de comprar por 20.000€ algo que vale 26.300,65€, el cuadro está «barato». Comprar cosas más baratas que lo que valen, es una de las formas hacerse rico; acertar la lotería, las quinielas… son otras formas de hacernos ricos.

Aunque lo veremos en el Capítulo 10, usted ya sabe lo suficiente para entender a qué nos referimos en finanzas cuando hablamos de hacernos ricos. Se lo explico y me va a permitir que sea yo quien se haga rico. ¿Qué hubiera hecho yo si me hubiera enterado de la posibilidad de comprar este cuadro? ¾ Lo hubiera comprado rápidamente por los 20.000€, el precio. ¾ Nada más comprarlo, le llamaría a Pablo para vendérselo. Pablo estaría dispuesto a pagarme hoy mismo 26.300,65€, que sabemos que es el valor del cuadro para una rentabilidad del 15%. ¾ Fíjese bien. A primera hora de la mañana he comprado el cuadro por 20.000€ y unos minutos más tarde, lo he vendido en 26.300,65€. ¡He aumentado mi riqueza en 6.300,65€! Aunque en mi caso seguiría siendo pobre, no se olvide que soy un profesor universitario; claro que si este libro se convirtiera en el Harry Potter de las finanzas…

Comprar el cuadro aumenta hoy la riqueza de Pablo en 6.300,65€. Este cálculo es muy importante en finanzas y le llamamos VAN, Valor Actual Neto, de una inversión. Si el VAN de una inversión es positivo, debemos hacerla (nos hace ricos), si el VAN es negativo, debemos rechazarla (disminuye nuestra riqueza). Fíjese cómo hemos calculado el VAN: V0 de Entradas de tesorería V0 de Salidas de tesorería VAN        40.000    − 20.000   = VAN = 6.300,65€ 3 + 0,15)  V0 Salidas (1   Precio)   V0 Entradas   (  (Valor) 

SOLUCIÓN 2 z

Recordamos el gráfico de flujos de la inversión. 40.000

Año

20.000

Otra forma de dar el consejo apropiado, comprar o no comprar el cuadro, consiste en calcular la rentabilidad que obtiene Pablo con esta inversión, la TIR (Tasa Interna de Rentabilidad) de la inversión, y compararla con la rentabilidad que se considera adecuada en la industria de inversiones en arte, que recuerde que es el 15% anual. Planteamos la ecuación de equilibrio y despejamos la rentabilidad de la inversión. 3 20.000 (1 + r) = 40.000 ⇒ r = 3 40.000 − 1 = 0,25992 = 25,99% 20.000

52 MATEMÁTICA

FINANCIERA

La rentabilidad que obtiene Pablo con esta inversión, 25,99%, es superior a la rentabilidad que se exige en esta industria, 15%, por lo que Pablo debe comprar el cuadro. Seguro que se hace rico, aunque este cálculo, 25,99%, no nos mide la creación de riqueza, los 6.300,65€ que nos indicaba el VAN.

Para terminar, vamos a volver al cálculo que acabamos de hacer. 20.000 (1 + r) = 40.000 ⇒ 3

20.000 = 40.0003 ⇒ (1 + r)

0 = 40.0003 − 20.000 (1 + r) Aquélla «r» que satisfaga cualquiera de estas ecuaciones es la TIR. Pero…¿no le suena la última ecuación? ¡Es la expresión del VAN!       40.000    0= − 20.000  3 1 + r)  V0 Salidas ( 

 Precio   V0 Entradas   ( )  Valor )   (

VAN

Podemos decir, indistintamente, que la TIR es: ¾ El tipo de interés que hace que el VAN de una inversión sea igual a cero. ¾ El tipo de interés que produce equilibrio financiero entre los flujos de fondos de una inversión.

16.

CE. Soy Pablo Dalí otra vez. Creo que he sido un poco optimista en mi consulta anterior. Puedo comprar por 20.000€ el cuadro, pero tardará 4 años en duplicar su precio. ¿Cuál es el VAN de esta inversión? ¿Y su TIR? Le recuerdo que la rentabilidad adecuada para inversiones en arte es el 15% anual. Consejo: calcule la TIR como el tipo de interés que produce equilibrio entre los flujos de fondos de una inversión. Respuesta: VAN 2.870,13€ (es positivo, debe comprar el cuadro). TIR 18,92% (es mayor que el 15%, debe comprar el cuadro).

17.

CE. Hace 6 años invertí 2.000€ en acciones de guguel.mof, una punto com de la que era fundador mi sobrino Sergio. Resulta que guguel.mof, que ha sobrevivido a la burbuja, va a empezar a cotizar en bolsa y, dado el precio de salida que se está barajando por acción, podré vender mis acciones por 3 millones de euros. ¿Qué rentabilidad he obtenido con esta inversión?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos de la inversión, la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 3.000.000

Año

0 2.000

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

6 2.000 (1 + r) = 3.000.000 ⇒ r = 6 3.000.000 − 1 = 2,38336 = 238,34% 2.000

18.

CE. Hace 8 años compré un apartamento en la costa por 60.000€. Acabo de vender este apartamento por 250.000€. ¿Qué rentabilidad he obtenido con esta inversión? Respuesta: 0,19529 19,53%

19.

CE. El precio del metro cuadrado de la vivienda en mi ciudad ha pasado de 1.800€ a 4.000€ en los últimos 4 años. ¿Cuál ha sido el incremento anual que han tenido los precios de los pisos? Pista: fíjese en el Problema 6 de este capítulo Respuesta: 0,22094 22,09%

20.

CE. He invertido 1.000€ en la Cuenta Joven TIC que ha lanzado mi banco, he escaneado el anuncio que me mandaron y te lo attacheo en el emilio. ¿Qué rentabilidad saco con esta cuenta?

Nueva Cuenta Joven TIC, tu interés crece

Hemos diseñado una cuenta para que pases de todo durante 4 años. Además el interés de la cuenta crece contigo. 1% el 1er año 2% el 2º año 3% el 3er año 8% el 4º año www.banconaranja.mof Creemos en los jóvenes, creemos en ti

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente: ¿C4? 1%

Año

0 1.000

Calculamos el capital del año 4. C4 = 1.000 (1 + 0,01) (1 + 0,02) (1 + 0,03) (1 + 0,08) = 1.145,99

Planteamos el gráfico de flujos, la ecuación de equilibrio y despejamos 1.145,99

Año

1.000

1.000 (1 + r) = 1.145,99 ⇒ r = 4 4

1.145,99 − 1 = 0,034654 = 3,47% 1.000

54 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

No era estrictamente necesario hacer estos cálculos para llegar a esta respuesta. Cada euro invertido en esta cuenta se convierte, 4 años más tarde en:

(1 + 0,01) (1 + 0,02) (1 + 0,03) (1 + 0,08) = 1,14599448 z

Para calcular la rentabilidad podemos hacer:

(1 + r)4 = (1 + 0,01) (1 + 0,02) (1 + 0,03) (1 + 0,08) ⇒ r = 4 (1 + 0,01) (1 + 0,02) (1 + 0,03) (1 + 0,08) − 1 ⇒ r = 4 1,14599448 − 1 = 0,034655 = 3,47% 21.

CE. Mi hermana Rosana ha invertido 500€ que le han quedado de las prácticas de verano en la Cuenta 2248 que ha lanzado un gran banco. Te mando el anuncio escaneado. ¿Qué rentabilidad va a sacar Rosana con esta cuenta?

Pensamos en joven Lanzamos la cuenta 2248

Déjanos tu dinero durante 4 años. El interés de la Cuenta 2248 es creciente. 2% el 1er año 2% el 2º año 4% el 3er año 8% el 4º año www.bancoazul.mof Porque tu eres el futuro

Respuesta: 0,03971 3,97% 22.

CE. ¿Cuánto debo invertir en la Cuenta 2248 para tener 2.000€ dentro de 4 años?

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente: 2.000 2%

Año

0 ¿C0?

Calculamos el valor actual del capital C0 =

2.000

(1 + 0,02) (1 + 0,02) (1 + 0,04) (1 + 0,08) C0 =

= 1.711,48€, o bien

2.000 = 1.711,48€ (1 + 0,02) (1 + 0,04) (1 + 0,08) 2

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

23.

CE. ¿Cuánto debo invertir en la Cuenta Joven TIC para tener los mismos 2.000€ dentro de 4 años? Respuesta: 1.745,21€

24.

CE. He recibido el folleto que les adjunto en este correo electrónico. ¿Qué rentabilidad han ofrecido los sellos durante estos 20 años?

La inversión más rentable Invierta en sellos

Compre activos tangibles. No permita que su dinero pierda valor. 100€ invertidos en sellos hace 20 años valen hoy 15.035€. Compre sellos y tendrá rentabilidad, seguridad, tranquilidad.

www.sellosinversion.mof

Respuesta: 0,284858 28,49% 25.

CE. Después de ver su respuesta a mi consulta anterior, voy a invertir 3.000€ en sellos. Si la rentabilidad anual que ofrecen los sellos en el futuro es el mismo 28,49% del pasado, ¿qué capital tendré cuando me jubile dentro de 15 años? Respuesta: 128.872,78€

26.

CE. Hace 8 años mi padre compró un piso por 80.000€ y acaba de venderlo por 240.000€. ¿Qué rentabilidad ha obtenido con esta inversión? Respuesta: 0,14720 14,72%

27.

CE. Según me dices, mi padre ha obtenido una rentabilidad del 14,72% con el piso que ha vendido. Pero en estos cálculos no hemos tenido en cuenta que parte de esa rentabilidad se la ha comido la inflación. He estado buscando el dato y resulta que el si el Índice de Precios al Consumo era 100 hace 8 años, ahora es 152. ¿Qué rentabilidad que ha sacado mi padre con el piso, teniendo en cuenta la inflación?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico que refleja la evolución del IPC 152

Año

100

Calculamos la inflación media anual, le llamamos «i», de estos 8 años. Lo hacemos como si tuviéramos que calcular la rentabilidad de los flujos que aparecen en el gráfico. 8 100 (1 + i) = 152 ⇒ r = 8 152 − 1 = 0,0537326 = 5,37% 100 En la consulta anterior, usted calculó que la rentabilidad nominal, rn, del padre de su cliente era el 14,72%. Tenemos que deflactar esa rentabilidad porque su cliente le pregunta ahora la rentabilidad real, rr, de la inversión. Para calcularla, hacemos:

56 MATEMÁTICA

FINANCIERA

(1 + rr ) (1 + i) = (1 + rn ) ⇒ (1 + rr ) (1 + 0,0537) = (1 + 0,1472) ⇒ (1 + rr ) = 1,1472 ⇒ rr = 1,1472 − 1 = 0,088734 = 8,87% 1,0537

1,0537

Podemos calcular la rentabilidad real de otra forma, deflactando primero el precio al que se ha vendido hoy el piso. ¾ Los precios se han multiplicado por 1,52 (152/100) en estos 8 años. ¾ Deflactamos el precio al que se ha vendido hoy el piso para calcular cuántos euros de los de hace 8 años, con la misma capacidad de consumo, hemos recibido hoy: 240.000 = 157.894,74€ 1,52 ¾

Planteamos el gráfico con los flujos deflactados de la inversión, la ecuación de equilibrio y obtenemos la rentabilidad real. 157.894,74

Año

80.000

80.000 (1 + r) = 157.894,74 ⇒ r = 0,088703 = 8,87% 8

La pequeña diferencia que observa entre esta respuesta (0,088703) y la de la solución anterior (0,08873) se debe en que no hemos utilizado todos los decimales en nuestra primera respuesta. 28.

J. El IPC en España pasó de 100 en 1970 a 1.318,57 en 1996. Calcule la inflación media anual en España durante este período. (Por si le sorprende, le diré que estos datos son ciertos) Respuesta: 0,10428 10,43%

29.

J. En 1970 sus padres compraron un piso en Madrid por 6.000€ y lo vendieron en 1996. ¿A qué precio tenían que haberlo vendido para batir a la inflación en un 5% anual (obtener una rentabilidad real del 5%)? Utilice la evolución del IPC que le he dado en el problema anterior. Pista: primero tendrá que calcular la rentabilidad nominal Respuesta: rentabilidad nominal 0,1595 15,95% (1,1043 * 1,05 1) precio de venta del piso en 1996 281.313,66€ (6.000 * 1,159526)

30.

J. En 1996 sus padres vendieron el piso del problema anterior por 220.000€. Calcule la rentabilidad nominal y real de su inversión. Utilice los datos del IPC que conoce. Respuesta: rentabilidad nominal 0,14858 14,86% rentabilidad real 0,04011 4,01%

31.

J. Tomando como base el año 1972, el IPC en España pasó de 100 en 1972 a 528,19 en 1983. Calcule la inflación media anual en España durante este período. (Estos datos también son ciertos.) Respuesta: 0,16334 16,33%

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

32.

J. Teniendo en cuenta la información del problema anterior, calcule la rentabilidad nominal y real de un especulador que en 1972 compró una vivienda en Barcelona por 12.000€ y la vendió en 1983 por 72.000€. Respuesta: rentabilidad nominal 0,17690 17,69% rentabilidad real 0,01169 1,17%

33.

CE. El BGF, Banco Grandes Fortunas, ofrece la CGC, Cuenta Gran Capital. La CGC exige una imposición mínima de 100.000€ durante al menos 3 años y ofrece un interés del 6% anual. Aunque no entiendo lo que significa, el BGF aplica en esta cuenta el convenio exponencial para las fracciones de año. ¿Cuánto dinero tendré en esta cuenta dentro de 4 años y medio si ingreso ahora 200.000€?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C4,5? Año

0 200.000

4 4,5

Diferimos el capital durante «n» períodos enteros (4 años) y una fracción «h» de año (6 meses 0,5 años). Ct = C0 (1 + r)

n+h

⇒ C 4,5 = 200.000 (1 + 0,06)

4,5

= 259.959,92 €

34.

CE. ¿Cuánto debo colocar ahora en la CGC para tener 300.000€ dentro de 4 años y medio? Respuesta: 230.804,81

35.

CE. El BGF ha lanzado la CGCII, Cuenta Gran Capital II. La CGCII tiene las mismas condiciones que la CGC, la única diferencia, que tampoco entiendo, es que la nueva cuenta aplica el convenio lineal para las fracciones de año. ¿Cuánto dinero tendré en esta cuenta dentro de 4 años y medio si ingreso ahora 200.000€?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C4 6/12? Año

0 200.000

4 4 6/12

Diferimos el capital durante «n» períodos enteros (4 años) y una fracción «h» de año (6 meses 6/12 de año).    n 4 Ct = C0 (1 + r) (1 + rh) ⇒ C 4 y 6 meses = 200.000 (1 + 0,06)  1 + 0,06 6  = 260.070,25 €

 12   Valor en 4  



(

)

Valor en 4aæos y 6 meses

36.

CE. ¿Cuánto debo colocar ahora en la CGCII para tener 300.000€ dentro de 4 años y medio? Respuesta: 230.706,89

58 MATEMÁTICA

FINANCIERA

37.

CE. Un Ayuntamiento nos debe 400.000€ por unas obras de infraestructura que ya hemos terminado. Por problemas presupuestarios, el Ayuntamiento nos propone pagarnos dentro de 2 años y 9 meses. El interés que nos ofrece por el aplazamiento es el 8% anual, pero exige que se aplique el convenio exponencial para fracciones de año. ¿Cuánto dinero no deberá el Ayuntamiento dentro de 2 años y 9 meses en estas condiciones? ¿Cuánto nos debería si se aplicara el convenio lineal? Respuesta: convenio exponencial 494.282,60€ convenio lineal 494.553,60€

38.

BV. «Me han ofrecido entrar en un negocio por el que recibiré 9.000€ anuales durante los próximos 3 años. ¿Cuánto debería pagar por el negocio si quiero obtener una rentabilidad del 10%?»

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico.

Año

9.000

0 ¿C0?

Debe pagar el valor actual de los flujos que genera este activo. C0 = 9.000 + 9.000 2 + 9.000 3 = 22.381,67 € (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1)

39.

J. Calcule cuánto debería pagar su cliente por el negocio anterior si quiere obtener una rentabilidad del 15% anual. Respuesta: 20.549,03

40.

CE. Mi hija Marian empezará a ir a una universidad dentro de 2 años. Marian se alojará en un colegio mayor que cuesta 5.000€ anuales que se pagan a comienzo de cada curso. La carrera que va a estudiar Marian dura 3 años. ¿Cuánto tengo que ingresar ahora en una cuenta que genera un 5% de interés anual para hacer frente a los pagos del colegio mayor?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico.

Año

5.000

¿C0?

Debe ingresar el valor actual de los pagos del gráfico. C0 =

41.

5.000 + 5.000 + 5.000 = 12.967,85€ (1 + 0,05)2 (1 + 0,05)3 (1 + 0,05)4

J. Calcule cuánto debería ingresar su cliente si el interés de la cuenta fuera el 3%. Respuesta: 13.731,12€

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN 42.

Y DESCUENTO COMPUESTOS

CE. Voy a cambiar de coche dentro de 3 años. Quiero ir ahorrando poco a poco, por lo que voy a ingresar, durante los próximo 3 años, 5.000€ anuales en una cuenta que genera un interés del 5% anual. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta dentro de 3 años?

SOLUCIÓN. z

Planteamos el gráfico.

Año

5.000

3 ¿C3?

El saldo de la cuenta será igual al valor de estos flujos en el año 3. C3 = 5.000 (1 + 0,05) + 5.000 (1 + 0,05) + 5.000 = 15.762,50€ 2

43.

J. Calcule el saldo que tendría este cliente en su cuenta si su interés fuera el 8% anual. Respuesta: 16.232,00€

44.

BV. «Me han ofrecido entrar en un negocio por el que recibiré 9.000€ anuales durante los próximos 30 años. ¿Cuánto debería pagar por el negocio si quiero obtener una rentabilidad del 10%?» Respuesta: ¡Es una broma! NO LE PIDO QUE HAGA EL PROBLEMA. Sólo quiero que se dé cuenta de que, con lo que sabe, sería capaz de resolverlo, con mucha paciencia, pero lo lograría. De todas formas, si se anima a resolverlo (no se lo recomiendo), le diré que la respuesta es 84.842,23€. En el Capítulo 5 aprenderemos a resolver de una forma rápida este tipo de operaciones.

45.

BV. «He invertido 20.000€ en una cuenta que capitaliza el 5% anual. ¿Cuánto tiempo tardaré en tener 25.000€ en la cuenta?»

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico. 25.000

Año

20.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos «t», el tiempo. 20.000 (1 + 0,05) = 25.000 ⇒ 1,05t = 1,25 ⇒ t

⇒ t ∗ log1,05 = log1,25 ⇒ t = 4,573535 años z

Esta respuesta, 4 años y una fracción de año (de período de capitalización), hace que tengamos que saber si la cuenta aplica el convenio exponencial o el lineal a las fracciones de año. ¾ Si aplica el convenio exponencial la respuesta a la consulta es: 4,573535años = 4 años + 0,573535 ∗ 360 = = 4 años más 206,47días = 4 años 6 meses y 27 días

60 MATEMÁTICA ¾

FINANCIERA

Si aplica el convenio lineal tenemos que hacer lo siguiente:    n 4 C0 (1 + r) (1 + rh) = Ct ⇒ 20.000 (1 + 0,05)  1 + 0,05 h  = 25.000 ⇒

 360   Valor en 4 = 24.310,125    

)

(

Valor en t

⇒ h = 204,33días ⇒ t = 4 años 6 meses y 25 días 46.

J. Calcule cuánto tiempo tardará el cliente anterior en tener 40.000€ en la cuenta, en duplicar el capital. (Haga los cálculos para el convenio exponencial y el lineal). Respuesta: C. exponencial: 14 años y 74,41 días 14 años 2 meses y 15 días. C. lineal: 14 años y 72,97 días 14 años 2 meses y 13 días.

47.

CE. Nuestro Director de Marketing nos ha presentado un nuevo proyecto de inversión. El proyecto requiere una inversión inicial de 50.000€ que nos generaría unos flujos de fondos de 22.000€ anuales durante los próximos 3 años. Nuestro coste de capital es el 10%. ¿Qué VAN tiene el proyecto de inversión? ¿Qué TIR obtenemos si lo abordamos?

SOLUCIÓN z

Planteamos en el gráfico las entradas y salidas de caja del proyecto.

Año

22.000

50.000

Recuerde que: VAN V0 de Entradas de tesorería V0 de Salidas de tesorería.        22.000    22.000 22.000 + − 50.000  1 + 0,1 +  = VAN = 4.710,74 € 2 3 ( ) 0,1) (1 + 0,1)   V0 Salidas  (1 +   (Precio)    V0 Entradas (Valor)   Deben abordar el proyecto porque su VAN es positivo.

Recuerde que: TIR tipo de interés que hace que el VAN sea igual a cero.       22.000 22.000 22.000    + =0 − 50.000  1+ r +

2 3 ( ) (1 + r) (1 + r)  V0 Salidas    (Precio)    V0 Entradas (Valor)   - Si tenemos una hoja de cálculo o una calculadora financiera, nos dirán que la «r» que hace que se cumpla esta ecuación es el 15,2783% 15,28%. / Si no tenemos esas herramientas, emplearemos el sistema de prueba-error. Pero ya sabemos dos cosas antes de empezar:

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN ¾ ¾ ¾

Y DESCUENTO COMPUESTOS

Hemos hecho una prueba con r 10%, para calcular el VAN, y nos ha salido error, no daba cero. Como para r 10% el VAN era positivo, la TIR será mayor que el 10%. Probamos qué sale el VAN si hacemos r 18%.        22.000   22.000 22.000  + − 50.000 (1 + 0,18) +  = −2.166,00 2 3 1 + 0,18 1 + 0,18 ( ) ( ) Salidas    V(0Precio )      V0 Entradas (Valor)  

z z

Hemos hecho otra prueba con r 18% y el VAN tampoco da cero, nos ha salido error. El VAN ha bajado, que es lo que queríamos, pero la caída ha sido excesiva, 6.876,74€, (de 4.710,74 a 2.166,00). Podemos seguir haciendo pueba-error hasta dar con la «r» que hace el VAN igual a cero. Pero fíjese que para el 18% el VAN es negativo, por lo que la TIR debe ser menor que el 18%. Ahora sabemos que: 10% < TIR < 18% En lugar de seguir haciendo pueba-error, como hemos acotado «r» entre el 10% y el 18%, podemos INTERPOLAR. Se trata de resolver una regla de tres cuyo planteamiento es sencillo.

Al hacer «r» 10% el VAN sale 4.710,74€. Al hacer «r» 18% el VAN sale 2.166,00€. Hemos subido en un 8% la tasa de descuento, pero entonces el VAN ha bajado demasiado (6.876,74€) y se ha situado en 2.166,00€. Esto quiere decir que ese 8% ha sido una subida excesiva en el tipo de descuento. Para que el VAN sólo baje en 4.710,74€, en lugar de subir un 8%, habrá que aumentar la tasa en otra cantidad X. Veamos cómo lo calculamos: Tipo Interés

VAN

r = 10%

+ 4.710,74

r = 18%

− 2.166,00

r ↑ 8% r↑X

 → ← 

Vo ↓ 6.876,74 8% ∗ 4.710,74  X = 6.876,74 = 5,4802% ⇒ Vo ↓ 4.710,74 

r 10% 5,4802% 15,48% z

Fíjese que «X» no es el tipo de interés que buscamos, sino en cuánto hay que subir el tipo de descuento «r» (desde el 10%) para que el VAN baje en 4.710,74 (desde 4.710,74) y se sitúe en cero, el valor que buscamos. La interpolación no es una operación exacta porque la estamos aplicando a funciones que son curvas, la respuesta que obtenemos con ella, 15,48%, no coincide con la que nos daría una hoja de cálculo, 15,28%, pero se parecen mucho, ¿no le parece? Cuanto más estrecho sea el ámbito de acotamiento (en nuestro caso hemos acotado la «r» entre el 10% y el 18%, un 8% de ámbito de acotamiento ó 800 puntos básicos), tanto más exacta es la respuesta obtenida con la interpolación. Si queremos ser más precisos, debemos seguir haciendo pruebas. Sabemos que la TIR está comprendida entre el 10% y el 18%. Si hacemos una prueba para «r» 15%, obtenemos un

62 MATEMÁTICA

FINANCIERA

VAN positivo ( 230,95€). Hacemos otra prueba para «r» 16% y obtenemos un VAN negativo ( 590,43€). Ahora sabríamos que la TIR está comprendida entre el 15% y el 16%. Interpolamos y obtenemos como respuesta que la TIR es el 15,2811% 15,28%. 48.

CE. Soy el director de producción de una pyme. Tengo que presentar un proyecto de inversión al Consejo de Dirección y me gustaría aportar, además, el valor actual neto y la rentabilidad del proyecto. El coste de capital que maneja nuestra empresa es el 15%, el proyecto supone una inversión inicial de 80.000€ y generará un cash flow anual de 50.000€ durante los próximos 2 años. Traducción: cash flow flujos de fondos, dicho en inglés. Pista: empiece por calcular el VAN. Posteriormente, para determinar la TIR, calcule el VAN probando «r» 17%. Lógicamente le saldrá error, pero ya tendrá la TIR acotada, interpole a hora para responder a su cliente. Respuesta: VAN 1.285,44€ TIR 16,27%

49.

CE. La empresa Pagotarde nos ha comprado una máquina que cuesta 100.000€ al contado. Pagotarde quiere pagarnos la máquina entregándonos dos capitales iguales dentro de 1 y 2 años. ¿Cuál es el importe de estas cuotas anuales si hemos pactado un interés del 10% anual por el aplazamiento?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico.

Año

100.000

Planteamos la ecuación de equilibrio. El valor actual de los dos capitales del gráfico debe ser igual a los 100.000€ que cuesta la máquina al contado. C

(1 + 0,1) (1 + 0,1)2

= 100.000 ⇒

0,9090909C + 0,82644629C = 100.000 ⇒ C = 57.619,05€ Imagínese que usted pide a su banco un préstamo de 100.000€ a dos años para comprarse un apartamento. El banco le concede el préstamo al 10% de interés anual y usted se lo va a devolver pagándole dos anualidades constantes los dos próximos años. Adivine el importe de cada anualidad. Respuesta: 57.619,05€ 50.

J. Vuelva sobre el problema anterior. Calcule el importe de las cuotas anuales que debe cobrar su cliente a Pagotarde, si el interés pactado hubiera sido el 12% anual. Respuesta: 59.169,81€

51.

BV. «Puedo comprar un activo por el que recibiré 40€ anuales durante los próximos tres años y 1.000€ adicionales dentro de tres años. ¿Cuánto debería pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 6% anual? ¿Y si quisiera obtener una rentabilidad del 4% anual?»

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico.

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

1.000

Año

¿C0?

Deberá pagar el valor de este activo, el valor actual de los flujos futuros que genera, para la rentabilidad que desea obtener. ¾ Para obtener una rentabilidad del 6% anual: C0 = ¾

1.040 = 946,54€ (1 + 0,06)3

Para obtener una rentabilidad del 4% anual: C0 =

52.

(1 + 0,06) (1 + 0,06)2

(1 + 0,04) (1 + 0,04)2

1.040 = 1.000,00€ (1 + 0,04)3

BV. «Puedo comprar un activo por el que recibiré 40€ anuales durante los próximos dos años y 1.000€ adicionales dentro de dos años. ¿Cuánto debería pagar por este activo para obtener una rentabilidad del 6% anual? ¿Y si quisiera obtener una rentabilidad del 4% anual?» Respuesta: Para un 6% anual 963,33€ Para un 4% anual 1.000,00€

PROBLEMAS DE CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA 53.

CE. El abogado del Banco Rothsman se ha puesto en contacto conmigo otra vez. Resulta que el hermano de mi tatarabuelo prestó al Banco el equivalente a 3€, al 10% de interés anual, pero capitalizable semestralmente, y, como le dije en mi consulta anterior, a 150 años. ¿Cuánto dinero recibiré del Banco Rothsman? ¿Qué TAE tiene este préstamo?

SOLUCIÓN z

Empezamos con el gráfico. ¿C300? Semestre

0 3

300

Se trata de diferir un capital durante 300 períodos de capitalización de intereses, 300 semestres. El interés de cada semestre, 5%, es la mitad del interés nominal anual, 10%. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. Ct = C0 (1 + r) C300 = 3 (1 + 0,05)

300

= 6.821.988,39 €

Compare esta respuesta con la del Problema 1 de este capítulo. La diferencia es significativa, ¿no le parece?

64 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Para calcular la TAE, hacemos: TAE (1 interés fraccionado)períodos fraccionados que hay en un año 1 En nuestro caso: TAE (1 interés semestral)número de semestres que hay en un año 1 TAE = (1 + 0,05) − 1 = 0,1025 = 10,25% 2

54.

J. Suponga que el antepasado suyo que «sólo» prestó 2€ al Banco Rothsman, pactó un interés del 11% anual, capitalizable semestralmente. Calcule cuánto dinero recibiría usted hoy por esta herencia y la TAE de la operación. Recuerde que este préstamo fue a 150 años. Respuesta: Herencia 18.913.325,02€ (¡Lo que le daría una alegría adicional!) TAE 0,113025 11,30%

55.

BV. «Soy Tina, la sobrina de tu vecina Gene. Hoy es mi cumpleaños y tía Gene ha ingresado, a mi nombre, 6.000€ en la CIT, cuenta interés trimestral, para cuando vaya a la universidad. El interés de la cuenta es el 6% nominal anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto dinero tendré en el banco cuando entre en la universidad dentro de 5 años? ¿Qué TAE tiene la cuenta?»

SOLUCIÓN z

Empezamos con el gráfico. ¿C20? Trimestre

0 6.000

Hay que diferir el capital 20 trimestres, 20 períodos de capitalización. El interés de cada trimestre es el 1,5%, la cuarta parte del 6% de interés nominal anual. Ct = C0 (1 + r)

C10 = 6.000 (1 + 0,015) = 8.081,13 € 20

Calculamos la TAE. TAE = (1 + interés trimestral) número de trimestres que hay en un añoo − 1 TAE = (1 + 0,015) − 1 = 0,06136 = 6,14% 4

56.

BV. «Soy Tina otra vez. ¿Cuánto dinero tendré en la CIT cuando termine mi carrera dentro de 9 años?» Respuesta: 10.254,84€

57.

SMS. qantos € en CIT en 5 años sin3 anual 8%? Nuva TAE? Tina Respuesta: Saldo dentro de 5 años 8.915,68€ Nueva TAE: 8,2432% 8,24%

58.

CE. Estamos ciudadanos inglesos. En 5 anios jubilarnos in Espania. Cuanto ingresar hoy en Banco Marbella para tener entonces 40.000€? Interes cuenta 13% anual que capitalizar cada semana. Que ser TAE cuenta? Nota: estos clientes extranjeros no dominan el español, ni sus teclados tienen tildes.

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

SOLUCIÓN z

El gráfico. 40.000

Semana

0 ¿C0?

260

Se trata de actualizar un capital durante 260 períodos de capitalización de intereses, las 260 semanas que hay en 5 años –cada año tiene 52 semanas. Interés semanal = 13% = 0,25% = 0,0025 52 40.000 C0 = = 20.898,78€ (1 + 0,0025)260

Calculamos la TAE. TAE = (1 + interés semanal) número de semanas que hay en un año − 1 TAE = (1 + 0,0025) − 1 = 0,138643 = 13,86% 52

59.

J. Calcule qué capital deberían ingresar hoy sus clientes ingleses del problema anterior, si el Banco Marbella les ofreciera un interés nominal anual del 10,4%, capitalizable semanalmente. Calcule también la TAE de este caso. Respuesta: Ingreso hoy 23.793,17€ TAE 0,109485 10,95%

60.

CE. Puedo comprar un activo por el que recibiré 1.000€ dentro de 4 años. ¿Cuánto debería pagar ahora por el activo si quiero obtener una rentabilidad del 4% semestral? ¿Y para obtener un 5% semestral?

SOLUCIÓN z

Empezamos con el gráfico. 1.000

Semestre

0 ¿C0?

Deberá pagar el valor de este activo, el valor actual de los flujos futuros que genera, para la rentabilidad que desea obtener. ¾ Para obtener una rentabilidad del 4% semestral: C0 = ¾

1.000

(1 + 0,04)8

= 730,69€

Para obtener una rentabilidad del 5% semestral: C0 =

1.000 = 676,84€ (1 + 0,05)8

66 MATEMÁTICA

FINANCIERA

61.

BV. «Puedo comprar un activo por el que recibiré 1.000€ dentro de 2 años. ¿Cuánto debería pagar ahora por el activo si quiero obtener una rentabilidad del 4 % semestral? ¿Y para obtener un 5% semestral?» Pista. La operación dura 4 semestres. Respuesta: Para un 4% semestral 854,80€ Para un 5% semestral 822,70€

62.

CE. Mi abuela Prudencia tiene que hacer dos pagos de 2.000€ cada uno, dentro de 6 y 9 meses, para hacer frente a unas reparaciones extraordinarias de la comunidad de vecinos. ¿Cuánto dinero debe colocar mi abuela hoy en una cuenta que le ofrece un 6% de interés nominal anual, capitalizable mensualmente, para hacer frente a estos pagos?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos

Mes

2.000

0 ¿C0?

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de estos dos capitales, valorados al 0,5% de interés mensual. C0 =

2.000 + 2.000 = 3.853,25€ (1 + 0,005)6 (1 + 0,005)9

Compare este problema con el Problema 15 del Capítulo 2. 63.

J. Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia, para hacer frente a estos dos pagos, si el interés de la cuenta fuera el 9% nominal anual. Respuesta: 3.782,24€.

64.

CE. Un proveedor al que nuestra empresa debe 50.000€ a pagar a 60 días, nos ofrece un descuento del 3% si le pagamos al contado. ¿Qué TAE soportamos por financiarnos con este proveedor?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. Su empresa puede pagar 48.500€ hoy o pagar 50.000€ dentro de 60 días. 50.000

Día

48.500

En la consulta nos piden calcular la TAE de la financiación. Anualizamos directamente el cociente capital final entre capital inicial (vea el Ejemplo 3.15 de este capítulo).

)

(

Con años comerciales: TAE = 50.000 48.500

(1+ r60 )

360

− 1 = 0,20052 = 20,05%

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

)

(

Con años naturales: TAE = 50.000 48.500

365

Y DESCUENTO COMPUESTOS

− 1 = 0,20357 = 20,36%

(1+ r60 )

Compare estas respuestas con las obtenidas en el Problema 11 del Capítulo 2. 65.

J. Calcule el coste de la financiación con el proveedor de la consulta anterior si el descuento ofrecido por el pago al contado fuera el 4% (utilice años comerciales). Respuesta: 0,27753 27,75%.

66.

CE. Un cliente que nos debe 40.000€ que vencen dentro de 20 días, nos ofrece pagarnos hoy 39.300€ para liquidar la deuda. ¿Qué TAE soportamos si admitimos el cobro al contado? (utilice años comerciales). Respuesta: 0,37408 37,41%.

67.

CE. Acabamos de tener una hija y he pedido el préstamo «Sin interés, por ser madre» que ha lanzado Caixa Madrid para apoyar la natalidad. El préstamo es de 3.000€ y tengo que devolverlo a los tres meses. El préstamo tiene un interés anual del 0%, pero tiene unos gastos de concesión del 3%, 90€ en mi caso, que se pagan en el momento de recibirlo. ¿Qué TAE tiene este préstamo?

SOLUCIÓN z

Empezamos por el gráfico. Su clienta recibe hoy 2.910€ (3000€ 90€ de gastos de concesión) y, a cambio, tiene que pagar 3.000€ dentro de 3 meses (recuerde que el préstamo es al 0% de interés). 3.000

Mes

2.910

La historia que cuenta la consulta es diferente a las anteriores, pero para las finanzas es el mismo problema. Anualizamos directamente el cociente capital final entre capital inicial.

(

)

TAE = 3.000 2.910

− 1 = 0,12956 = 12,96%

(1+ rtrimestral )

Compare esta respuesta con la obtenida en el Problema 20 del Capítulo 2. 68.

J. Calcule el coste, la TAE, del préstamo «Sin interés, por ser madre», si sus gastos de concesión fueran el 2%, 60€, en lugar del 3% de la consulta anterior. Respuesta: 0,08416 8,42%.

69.

J. Calcule la TAE de la financiación del Se@ Teruel que se describe en el Problema 22 del Capítulo 2. Respuesta: 0,22773 22,77%.

70.

J. Calcule la TAE de la financiación del Se@ Teruel si el descuento por pagarlo al contado fuera el 8%. Respuesta: 0,39588 39,59%.

68 MATEMÁTICA 71.

FINANCIERA

CE. Nuestra empresa anda muy mal de liquidez momentáneamente y no vamos a poder hacer frente a todos los pagos que vencen este mes. Nuestro gerente me ha dicho que retrase el pago al Ayuntamiento, que ya le pagaremos el mes que viene. He llamado al Ayuntamiento, le tenemos que pagar 50.000€ ahora, y he preguntado las condiciones que nos aplicarían si retrasamos un mes este pago. Nos cobrarían un interés simple anual del 9% y una multa del 8% por el aplazamiento. A mí me parece que esto nos sale muy caro. ¿A cuánto nos sale esta financiación?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico de la operación. ¿C1? Mes

50.000

Calculamos el pago que tendrá que hacer nuestro cliente el mes que viene. Recuerde que la consulta dice que se aplica interés simple anual

)

(

C1 = 50.000 1 + 0,09 1 + 8%s/50.000 = 50.375 + 4.000 = 54.375€ 12 z

Planteamos el gráfico de la financiación. 54.375

Mes

50.000

Calculamos la TAE de la financiación.

)

(

TAE = 54.375 − 1 = 1,73622 = 173,62% 50.000

(1+ rmensual )

Realmente resulta caro financiarse con el Ayuntamiento. Esa multa del 8%, que no depende del plazo de la operación, es lo que la encarece. Seguro que esta empresa puede encontrar fuentes de financiación más baratas. 72.

CE. Gracias por su rápida respuesta a nuestra consulta anterior. El Ayuntamiento acaba de publicar la nueva normativa para los retrasos en los pagos. Ya no va a cobrar interés por los retrasos, pero la multa pasa a ser del 10%. ¿Qué TAE soportamos si retrasamos un mes los 50.000€ que le debemos? Pista: en su gráfico deben aparecer 50.000€ en el mes 0 y 55.000€ en el mes 1. Respuesta: 2,13842 213,84% (ya le he dicho que el problema es la multa).

73.

CE. Nuestra empresa ha negociado una letra de 900€, que vence dentro de 120 días, en Descuentos On Line, dol.mof, una entidad de crédito especializada en descontar letras de pymes. Las condiciones de descuento son las siguientes: interés 12% anual, comisión 1%, comisión mínima 7€. ¿Qué TAE hemos soportado por este descuento?

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

SOLUCIÓN z

Para plantear el gráfico de flujos, hay que calcular el líquido de la negociación. Vaya al Problema 24 del Capítulo 2 y verá que, es el mismo problema, el líquido que recibe la empresa es 855€. 900

Día

120

855

Calculamos la TAE de la financiación.

( )

TAE = 900 855 N

360

120

− 1 = 0,1663507 = 16,64%

(1+ r120 días )

74.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 28 del Capítulo 2. Nota: vamos a «apalancarnos» en varios problemas de descuento de letras que hemos resuelto en ese capítulo. Como usted ya conoce el líquido de la negociación, ahora sólo debe plantear el gráfico y anualizar. Compare también esta TAE con el coste que calculábamos por interés simple. Respuesta: 0,19441 19,44%

75.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 30 del Capítulo 2. Respuesta: 0,257753 25,77%

76.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 32 del Capítulo 2. Respuesta: 0,39741 39,74%

77.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 33 del Capítulo 2. Respuesta: 1,719857 171,99%

78.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 34 del Capítulo 2. Respuesta: 0,164051 16,41%

79.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 35 del Capítulo 2. Respuesta: 0,16293 16,29%

80.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 36 del Capítulo 2. Respuesta: 0,351556 35,16%

81.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 37 del Capítulo 2. Respuesta: 0,53782 53,78%

82.

J. Calcule la TAE de la letra negociada en el Problema 38 del Capítulo 2. Respuesta: 0,90962 90,96%

83.

CE. He puesto en venta un piso heredado de una tía soltera en una pequeña capital de provincias y tengo dos compradores.

70 MATEMÁTICA

FINANCIERA

El primer comprador es un particular que me ofrece 300.000€ al contado. El segundo comprador es un banco, que lo quiere comprar para su director y que me ofrece 50.000€ al contado y tres cantidades de 90.000€ cada una que me pagará los próximos tres semestres. ¿A quién debo vender el piso para un interés del 3% semestral?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico de flujos de las dos alternativas. Particular 300.000

Semestre

0 ¿C0?

Banco

Semestre

50.000

90.000

¿C0?

Para comparar ambas alternativas, debemos calcular el valor de sus flujos en la misma fecha. Las valoramos en el semestre 0, por comodidad. V0 Particular 300.000€ V0 Banco = 50.000 + 90.000 1 + 90.000 2 + 90.000 3 = 304.575,02 € (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03) A su cliente le interesa la alternativa que tiene mayor valor: puestos a cobrar, cuanto más, mejor. Por lo tanto, debe vender el piso al banco.

Si quiere, puede valorar las dos opciones en otra fecha, por ejemplo, en el semestre 3. V3 Particular 300.000 (1 0,03)3 327.818,10€ V3 Banco = 50.000 (1 + 0,03) + 90.000 (1 + 0,03) + 90.000 (1 + 0,03) + 90.000 ⇒ 3

V3 Banco 332.817,35€ Llegamos a la misma conclusión, debe vender el piso al banco. 84.

CE. Voy a comprar una plaza de garaje en el centro de la ciudad. El vendedor me ofrece dos alternativas de pago. 1) 26.000€ al contado. 2) Una entrada de 10.000€, 9.000€ dentro de 6 meses y 8.000€ dentro de 12 meses. ¿Cómo debo pagar la plaza para un interés del 0,5% mensual? Pistas. 1. No se complique la vida, valore en 0 ambas alternativas. 2. A su cliente le interesa pagar lo menos posible (puestos a pagar, cuanto menos, mejor). Respuesta: V0 1ª opción 26.000,00€ (debe elegir ésta por ser la más barata) V0 2ª opción 26.269,91€ (10.000 9.000/1,0056 8.000/1,00512)

85.

CE. El año pasado invertí dinero el 2% cuatrimestral. ¿Qué rentabilidad he obtenido? ¿ Qué rentabilidad he obtenido si tengo en cuenta que la inflación durante este año ha sido el 3%?

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

SOLUCIÓN z

Su cliente le está pidiendo que le calcule la rentabilidad nominal y real de su inversión. ¾ La rentabilidad nominal es la TAE, invertir al 2% cuatrimestral no es lo mismo que invertir al 6% anual. TAE = (1 + interéscuatrimestral) número

de cuatrimestres que hay en un año

−1

TAE = (1 + 0,02) − 1 = 0,061208 = 6,12% 3

Para calcular la rentabilidad real, debemos deflactar la TAE.

(1 + rr ) (1 + i) = (1 + rn ) ⇒ (1 + rr ) (1 + 0,03) = (1 + 0,0612) ⇒ (1 + rr ) = 1,0612 ⇒ rr = 1,0612 − 1 = 0,03029 = 3,03% 1,03

1,03

86.

CE. He invertido dinero el 1,25% mensual.¿ Qué rentabilidad real voy a obtener si la inflación esperada para este año es el 10%? Pista: para responder a lo que pide el cliente, deberá calcular previamente la TAE. Respuesta: TAE 0,160754 16,08% Rentabilidad real 0,055272 5,53% Hemos usado 2 decimales de la TAE, si usáramos todos sus decimales, la rentabilidad real nos saldría: 0,055231 5,52%.

87.

Voy a invertir dinero en un fondo que capitaliza el interés trimestralmente. La inflación esperada para el próximo año es el 5%. ¿Qué interés trimestral debo obtener para sacar una rentabilidad real del 4% este año?

SOLUCIÓN z

Calculamos la rentabilidad nominal que necesita para batir en 4 puntos a la inflación.

(1 + rr ) (1 + i) = (1 + rn ) ⇒ (1 + 0,04) (1 + 0,05) = (1 + rn ) ⇒ rn = 0,092 = 9,2% z

Tiene que invertir el dinero al 9,2% anual. Como la capitalización es trimestral, calculamos qué interés trimestral tiene un equivalente anual (TAE) del 9,2%. TAE = (1 + interés trimestral) − 1 ⇒ 4

0,092 = (1 + interés trimestral) − 1 ⇒ 4

interés trimestral = 0,02224 = 2,22% 88.

CE. Voy a invertir dinero en una cuenta que capitaliza el interés mensualmente. La inflación esperada para el próximo año es el 8%. ¿Qué interés mensual debo obtener para sacar una rentabilidad real del 5% este año? Respuesta: Necesita una TAE de: 0,134 13,4% Interés mensual: 0,010534 1,05%

72 MATEMÁTICA 89.

FINANCIERA

CE. El Banco Naranja ha lanzado la CISCE, Cuenta Interés Semestral Convenio Exponencial. Esta cuenta ofrece un interés semestral del 3% y aplica el convenio exponencial para fracciones de semestre. ¿Cuánto dinero tendré en la CISCE dentro de 19 meses si ingreso ahora 30.000€?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C3,166? Semestre

0 30.000

3 3,166

Diferimos el capital durante «n» períodos de capitalización enteros (3 semestres) y una fracción «h» de semestre (1 mes 0,166666 semestres). También podemos decir que el número de semestres que debemos desplazarnos es 19/6. Ct = C0 (1 + r)

n+h

⇒ C3,166666 = 30.000 ∗ 1,033,166666 = 32.943,71€

O bien: Ct = C0 (1 + r)

n+h

⇒ Cmes 19 = 30.000 ∗ 1,03

= 32.943,71€

90.

Mi suegro ha ingresado 80.000€ en la CISCE. ¿Cuánto dinero tendrá dentro de 27 meses? Respuesta: 91.381,33€

91.

CE. El Banco Rojo ha lanzado la CISCL, Cuenta Interés Semestral Convenio Lineal. Esta cuenta ofrece un interés semestral del 3% y aplica el convenio lineal para fracciones de semestre. ¿Cuánto dinero tendré en la CISCL dentro de 19 meses si ingreso ahora 30.000€?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. ¿C3 1/6? Semestre

0 30.000

3 3 1/6

Diferimos el capital durante «n» períodos de capitalización enteros (3 semestres) y una fracción «h» de semestres (1 mes 1/6 de semestre).    n 3 Ct = C0 (1 + r) (1 + rh) ⇒ C3 y 1 mes = 30.000 (1 + 0,03)  1 + 0,03 1  = 32.945,72 €  6   Valor en semestre 3



(

)

Valor en 3 semestres y 1 mes

92.

Mi suegra ha ingresado 80.000€ en la CISCL. ¿Cuánto dinero tendrá dentro de 27 meses? Respuesta: 91.391,32€

93.

Hace 6 meses invertí 50.000€ a interés variable y capitalización trimestral del interés. El interés del primer trimestre fue el 2% y el del 2º trimestre ha sido el 2,5%. ¿Cuánto dinero deben entregarme hoy? ¿Qué TAE he obtenido?

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. ¿C2? 2% Trimestre

2,5% 1

50.000

Calculamos el valor final del capital. C2 50.000 * 1,02 * 1,025 52.275,00€

El gráfico de flujos de la operación es: 52.275

Mes

50.000

Calculamos la TAE de la operación.

)

(

TAE = 52.275 50.000

− 1 = 0,09307 = 9,31%

(1+ rsemestral )

También podemos calcular primero el interés trimestral que hemos obtenido en la operación y anualizarlo para calcular su TAE. 50.000 (1 + rtrimestral ) = 52.275 ⇒ rtrimestral = 0,0224969 ⇒ 2

TAE = (1 + 0,0224969) − 1 = 0,09307 = 9,31% 4

94.

CE. Hace 2 meses invertí 40.000€ a interés variable y capitalización mensual del interés. El interés del primer mes fue el 1% y el del 2º mes ha sido el 1,5%. ¿Cuánto dinero deben entregarme hoy? ¿Qué TAE he obtenido? Respuesta: Capital 41.006€. TAE 0,16071 16,07%

95.

CE. Me llamo Froilán, aunque to2 me llaman Froi, tengo 13 años y me han empezado a explicar algunas cosas de finanzas en el cole. Mi abuelo Juan Carlos me ha empezado a preguntar algunas cosas y hemos quedado que me pagará 6€ por cada consulta que le responda y si te la tengo que preguntar a ti saco el 2%. El abuelo me ha preguntado qué TAE tiene una cuenta que tiene un interés mensual del 0,5%.

SOLUCIÓN z

El crío apunta maneras de financiero, se apalanca en usted: le compra la consulta a 3€ y se la vende a su abuelo a 6€. Saca el típico 2%, lo que compra a 100 lo vende a 200 -. TAE = (1 + 0,005) − 1 = 0,06167 = 6,17% 12

74 MATEMÁTICA

FINANCIERA

96.

SMS. TAE sin3 3,25% smstrl? Froi Interpretación del SMS: parece que le pide que le calcule la TAE si el interés (sin3) es el 3,25% semestral. Respuesta: 0,066056 6,61%

97.

SMS. TAE sin3 1,75% trmstrl? Froi Respuesta: 0,071859 7,19%

98.

SMS. In3 d 1 prstamo 0,2% smnl TAE? Froi Interpretación del SMS: parece que le pide que le calcule la TAE de un préstamo que capitaliza un interés semanal del 0,2%. Pista: recuerde que el año tiene 52 semanas. Respuesta: 0,10948 10,95%

99.

BV. «Puedo comprar un activo por el que recibiré 25€ semestrales durante los próximos dos años y 1.000€ adicionales dentro de dos años. ¿Cuánto debería pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 4% semestral? ¿Y si quisiera obtener una rentabilidad del 2,5% semestral?»

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos del activo.

Semestre

1.000 25

¿C0?

Deberá pagar el valor actual de los flujos futuros que genera el activo, valorados a la rentabilidad semestral que desea obtener. ¾ Para obtener una rentabilidad del 4% semestral: C0 = 25 + 25 2 + 25 3 + 1.0254 = 945,55€ 1,04 1,04 1,04 1,04 ¾

Para obtener una rentabilidad del 2,5% semestral: C0 = 25 + 25 2 + 25 3 + 1.0254 = 1.000,00 € 1,025 1,025 1,025 1,025

100. BV. «Puedo comprar un activo por el que recibiré 25€ semestrales durante el próximo año y 1.000€ adicionales dentro de un año. ¿Cuánto debería pagar por este activo para obtener una rentabilidad del 4% semestral? ¿Y si quisiera obtener una rentabilidad del 2,5% semestral?» Pista: en su gráfico sólo habrá flujos en los semestres 1 y 2 (eso es un año). Respuesta: Para un 4% semestral 971,71€ Para un 2,5% semestral 1.000,00€ 101. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el siguiente anuncio (es el mismo que el del Problema 53 del Capítulo 2). Nota: volvemos a «apalancarnos», para ganar tiempo, en algunos problemas de ofertas de financiación que hemos resuelto en el Capítulo 2. Como ya conocemos la prestación y el VM de la con-

CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN

Y DESCUENTO COMPUESTOS

traprestación, sólo tenemos que plantear el gráfico y anualizar. Compare esta TAE con el coste que calculábamos por interés simple.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000€. Financiación: 12 pagos mensuales de 275€, el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico que queda después de calcular el VM, puede verlo en la solución del Problema 53 del Capítulo 2, y anualizamos: 3.025

Mes

2.725

(

)

TAE = 3.025 2.725

− 1 = 0,232303 = 23,23%

(1+ r6meses )

102. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 54 del Capítulo 2. Respuesta: 0,16473 16,47% 103. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 55 del Capítulo 2. Respuesta: 0,29488 29,49% 104. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 56 del Capítulo 2. Respuesta: 0,135508 13,55% 105. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 57 del Capítulo 2. Respuesta: 0,49382 49,38% 106. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 58 del Capítulo 2. Respuesta: 0,15267 15,27% 107. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 59 del Capítulo 2.

76 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Respuesta: 0,183552 18,36% 108. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 60 del Capítulo 2. Respuesta: 0,21247 21,25% 109. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 61 del Capítulo 2. Respuesta: 0,25711 25,71% 110. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 62 del Capítulo 2. Respuesta: 0,12236 12,24% 111. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 63 del Capítulo 2. Respuesta: 0,21718 21,72% 112. J. Calcule la TAE, por aproximación mixta, de la financiación que se ofrece en el Problema 64 del Capítulo 2. Respuesta: 0,31453 31,45% 113. CE. Mi abuelo me ha prestado 9.000€ para comprarme un coche. Le devolveré el préstamo pagándole tres capitales iguales entre sí dentro de 3, 6 y 9 meses. Quiero que mi abuelo saque una rentabilidad trimestral del 2%. ¿De cuánto tiene que ser cada capital que tengo que pagarle?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico.

Mes

9.000

Planteamos la ecuación de equilibrio. El valor actual de los tres capitales del gráfico debe ser igual a los 9.000€ que le ha prestado el abuelo a su cliente. C + C + C = 9.000 ⇒ C = 3.120,79 € 1,02 1,02 2 1,023

114. CE. A mi abuelo le ha entrado cargo de conciencia por prestarme al 2% trimestral, le parece demasiado interés. Me ha dicho que me presta el dinero para el coche al 1% de interés trimestral. ¿Qué cuota trimestral tendré que pagarle ahora? Respuesta: 3.060,20€ 115. CE. Gracias a la generosidad de mi abuelo, veo que me ahorro 60,59€ cada trimestre. He pensado ingresar estos ahorros en una cuenta que genera un 2% de interés trimestral para hacerle un regalo al abuelo en su próximo cumpleaños, que es dentro de un año. ¿Cuánto dinero tendré en la cuenta entonces? Pista: su cliente ingresa 60,59€ los meses 3, 6 y 9, pero le pide el saldo en el mes 12. Respuesta: 189,14€

CAPÍTULO 4

Rentas UN POCO DE TEORÍA INTRODUCCIÓN

Una renta es un conjunto de capitales, cada uno de los cuales tiene su propio vencimiento. Cada uno de los capitales que conforma una renta recibe el nombre de término. Para calcular el valor actual (V0) o el valor final de una renta (Vt), no tenemos más que actualizar o diferir cada uno de sus términos.

EJEMPLO 4.1 Pablo Pérez ha recibido el premio al vendedor del año en la empresa en la que trabaja. El premio consiste en 1.000 anuales que Pablo cobrará durante los próximos 4 años. Los Pérez han pensado rápidamente en cumplir un sueño: hacer un crucero de lujo. Para financiarlo, van a pedir hoy un préstamo y lo quieren devolver con el premio que le han dado a Pablo. El banco les presta el dinero al 10% de interés anual. ¿Cuál es el importe del préstamo que pueden pedir? z

El préstamo tiene que ser igual al valor actual de la renta que forman los flujos del premio. Representamos el gráfico y actualizamos los términos de la renta.

1.000 Año

0 ¿V0?

1.000 2

1.000 3

V0 = 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.169,87 2 3 1,1 1,1 1,1 1,14

1.000 4

78 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Si la renta tiene muchos términos, tardaríamos demasiado tiempo en valorarla de esta forma, se trata de un método poco eficiente. Vamos a buscar nuevas fórmulas, basadas en la fórmula de interés compuesto, (1+r)t, que sean capaces de valorar rentas. Empezaremos por aprender a clasificarlas.

CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS

Atendiendo al importe de los términos de las rentas, éstas pueden ser: 1. 2.

CONSTANTES: todos sus términos son iguales, es el caso de nuestro ejemplo, todos sus términos son de 1.000 . VARIABLES: sus términos no son iguales. Pueden ser: Rentas en progresión geométrica: sus términos siguen una progresión geométrica.

Año

500

500*1,02

500*1,022

500*1,023

500*1,024

Rentas en progresión aritmética: sus términos siguen una progresión aritmética.

Año

500

500 40

500 2*40

500 3*40

Atendiendo a la duración de las rentas, éstas pueden ser: 1. 2.

TEMPORALES: tienen un número limitado de términos, la renta del Ejemplo 4.1 tiene 4 términos. INDEFINIDAS o PERPETUAS: tienen un número ilimitado de términos, no se cortan por la derecha.

Mes

200

200 . . .

8...

Además de Indefinida, es constante (sus términos son iguales).

Atendiendo a la frecuencia de los términos de la renta éstas pueden ser: 1.

ENTERAS: la frecuencia de los términos de la renta coincide con la frecuencia con la que se capitalizan los intereses. Es el caso del Ejemplo 4.1, la renta es anual y el interés se capitaliza también anualmente. Otro ejemplo: ingresamos 800 semestrales en una cuenta que capitaliza un 4% semestral.

CAPÍTULO 4 RENTAS 79

Interés semestral 4%

Semestre

800

800 . . .

800

3...

Además de entera, es constante (sus términos son iguales) y temporal (tiene un número limitado de términos). 2.

PERIÓDICAS: la frecuencia de los términos de la renta es menor que la frecuencia, o periodicidad, con la que se capitalizan los intereses. Por ejemplo: ingresamos 800 semestrales en una cuenta que capitaliza un 1% mensual.

Interés mensual 1%

Semestre

800

800 . . .

800

3...

Además de Periódica, es constante (sus términos son iguales) y temporal (tiene un número limitado de términos). 3.

FRACCIONADAS: la frecuencia de los términos de la renta es mayor que la frecuencia con la que se capitalizan los intereses. Por ejemplo: ingresamos 800 semestrales en una cuenta que capitaliza un 10% anual.

Interés anual 10%

Semestre

800

800 . . .

800

3...

Además de fraccionada, es constante (sus términos son iguales) y temporal (tiene un número limitado de términos). Por lo tanto, una renta semestral puede ser: ENTERA, si la capitalización de los intereses es semestral; PERIÓDICA, si la capitalización es mensual; FRACCIONADA, si la capitalización es anual. ¿Y una renta mensual? Puede ser: ENTERA, si la capitalización de los intereses es mensual; PERIÓDICA, si la capitalización es semanal; FRACCIONADA, si la capitalización es semestral.

Atendiendo a la situación del primer término de la renta, éstas pueden ser: 1.

INMEDIATAS: el primer término de la renta se encuentra al final del primer período de la renta. Es el caso del Ejemplo 4.1 la renta es anual y el primer término se encuentra al final del primer año.

80 MATEMÁTICA 2.

FINANCIERA

NO INMEDIATAS: el primer término de la renta no se encuentra al final del primer período de la renta. Éstas pueden ser: Anticipadas: aquéllas en las que el primer término de la renta se encuentra en algún momento anterior al que correspondería a una renta inmediata. Por ejemplo una renta anual cuyo primer término está en el año 0.

Año

200

Diferidas: aquéllas en las que el primer término de la renta se encuentra en algún momento posterior al que correspondería a una renta inmediata. Por ejemplo, una renta anual cuyo primer término está en el año 4.

Año

200

Volviendo al Ejemplo 4.1, clasificamos la renta como: z z z z

Constante: todos sus términos son iguales. Temporal: tiene un número limitado de términos. Entera: la renta es anual y la capitalización de intereses también. Inmediata: la renta es anual y su primer término está en el año 1.

CAPÍTULO 5

Rentas constantes

UN POCO DE TEORÍA

Este capítulo es muy importante. Usted va a aprender a valorar rentas constantes, y esto ya es una buena noticia. Además hay otra buena noticia, las cuestiones que va a aprender, le servirán para los capítulos restantes.

VALOR ACTUAL Y FINAL DE RENTAS CONSTANTES, ENTERAS, TEMPORALES EJEMPLO 5.1 PIAL, Pequeñas Inversiones a Largo, puede entrar en un negocio por el que recibirá 9.000 anuales durante los próximos 30 años. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? Nota: visite el Problema 44 del Capítulo 3. Verá que le estoy proponiendo la misma operación. Sólo que lo que entonces era una broma, ahora ya no lo es. Podemos resolver el caso con lo que sabemos. z

Planteamos el gráfico.

Año

9.000

9.000 . . .

9.000

3...

¿V0?

En el gráfico tenemos una renta que podemos clasificar: constante, temporal, entera (la renta es anual y la capitalización también) e inmediata (la renta es anual y el primer término está en el año 1). Con lo que hemos visto hasta ahora, calcularíamos el valor actual de estos capitales para calcular el valor actual de esta renta: 81

82 MATEMÁTICA

FINANCIERA

V0 = 9.000 + 9.000 + 9.000 + . . . + 9.000 + 9.000 1,1 1,12 1,13 1,129 1,130

Ya hemos terminado con las finanzas. Para llegar a la respuesta, debemos armarnos de paciencia y trabajar mucho con las tablas financieras y/o nuestra calculadora. Lo importante es que se dé cuenta de que puede resolver el caso. V0 = 9.000 + 9.000 + 9.000 + . . . + 9.000 + 9.000 = 84.842,23 1,1 1,12 1,13 1,129 1,130

Esta forma de valorar rentas es muy incómoda. Vamos a buscar «atajos», fórmulas capaces de valorar rentas.

Planteamos un caso general igual al caso particular que queremos resolver. Suponga que tiene que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R...

4...

¿V0?

La renta de este gráfico es igual que la del Ejemplo 5.1: constante, temporal, entera (si 1, 2, 3… representan años, la capitalización es anual; si 1,2, 3… fueran meses, la capitalización sería mensual, etc) e inmediata.

Para calcular el valor actual de esta renta, actualizamos sus términos. R

V0 =

+ ... +

(1 + r) (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)4 (1 + r

⇒

VALOR EN UN PERÍO ODO DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: V0 = R

(1 + r)t − 1 t r (1 + r)

En la Tabla 4 encontrará los valores de:

(1 + r)t − 1 t r (1 + r)

Es muy importante entender la fórmula: z R: es el término de la renta. z r: es el tipo de interés de la valoración. z t: es el número de términos de la renta. z ¿Qué hace la fórmula?: actualiza los «t» términos de una renta constante, entera, temporal y los valora en un período de capitalización «r» de interés antes del primer término. z

Resolvemos el Ejemplo 5.1 con lo que hemos aprendido. Le recuerdo el gráfico.

Año

0 ¿V0?

9.000

9.000 . . .

9.000

3...

CAPÍTULO 5 RENTAS z

CONSTANTES

Aplicamos la fórmula que acabamos de ver, ya que la renta es constante, temporal, entera e inmediata. V0 = R

(1 + r)t − 1 1,130 − 1 ⇒ ⇒ V0 = 9.000 t 0,1 ∗ 1,130 r (1 + r)

Mirando en la Tabla 4:V0 = 9.000 ∗ 9,42691446 = 84.842,23 z

Es muy importante interpretar bien esta respuesta. ¿Qué es 84.842,23 ? Es el valor de los 30 términos de la renta en un período de interés 10% (un año en este caso) antes del primer término. Por lo tanto, es el valor de la renta en el año 0, que es el valor que buscábamos.

Hemos calculado la respuesta muy rápido, ¿no le parece?

EJEMPLO 5.2 Debemos calcular, para un interés del 1% mensual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Mes

0 ¿V0?

500

La renta es constante, temporal, entera e inmediata. Le aplicamos su fórmula.

(1 + r)t − 1 1,016 − 1 ⇒ V0 = R ⇒ V = 500 0 t 0,01 ∗ 1,016 r (1 + r) Mirando en la Tabla 4:V0 = 500 ∗ 5,79547647 = 2.897,74

EJEMPLO 5.3 Debemos calcular, para un interés del 1% mensual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Mes

0 ¿V0?

500

La renta es constante, entera, temporal y no inmediata. Aunque no sea inmediata, aplicamos la fórmula que acabamos de ver.

(1 + r)t − 1 V0 = R t r (1 + r) 1,014 − 1 ∗ 1 2 = 1.912, 54 V0 = 500 4 ∗ 0,01 1,01 1, 01 VALOR EN EL MES 2

VALOR EN EL MES 0

84 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Fíjese en la importancia de entender la fórmula: z z z z

R: es el término de la renta, 500 en nuestro caso. r: es el tipo de interés de la valoración, 1% mensual en este caso. t: es el número de términos de la renta, en nuestro gráfico hay 4 términos. ¿Qué hace la fórmula?: actualiza los «4» términos de la renta y los valora en un período de capitalización «1%» de interés, 1 mes en este caso, antes del primer término. Por lo tanto, la fórmula nos ha dado el valor de la renta en el mes 2, actualizamos esta cantidad 2 meses para calcular su valor en 0.

EJEMPLO 5.4 Su prima Prudencia, «Pruden», se jubila dentro de 30 años. Pruden va a ingresar 9.000 anuales, durante los próximos 30 años, en un fondo que le capitaliza un 5% de interés anual. ¿Qué capital tendrá Pruden en el fondo cuando se jubile? z

Planteamos el gráfico.

Año

9.000

9.000 . . .

9.000

3...

30 ¿V30?

Tenemos que calcular el valor final de una renta constante, temporal, entera e inmediata. Podríamos hacerlo difiriendo cada capital al año 30, pero es obvio que nos interesa más buscarnos un «atajo», otra fórmula. Planteamos un caso general igual al particular que queremos resolver.

Valor Final. Vamos a calcular el valor final de la siguiente renta:

R...

4...

t ¿Vt?

Para calcular el valor final, basta con diferir el valor actual y simplificar la expresión resultante. Vt = V0 (1 + r) ⇒ t

    (1 + r)t − 1 t ∗ (1 + r)  ⇒ Simplificando Vt = R t    r (1 + r) 

  V0 Vt = R

(1 + r)t − 1 r

En la Tabla 3 encontrará los valoresde:

Es muy importante entender la fórmula:

(1 + r)t − 1 r

CAPÍTULO 5 RENTAS

CONSTANTES

z z z z

R: es el término de la renta. r: es el tipo de interés de la valoración. t: es el número de términos de la renta. ¿Qué hace la fórmula?: difiere los «t» términos de una renta constante, entera, temporal y los valora en el período en el que se encuentra el último término.

Resolvemos el Ejemplo 5.4 con lo que hemos aprendido. Le recuerdo el gráfico.

Año

9.000

9.000 . . .

9.000

3...

¿V30?

Aplicamos la fórmula de valor final que acabamos de ver, ya que la renta es constante, temporal, entera e inmediata.

(1 + r)t − 1

1,0530 − 1 ⇒ 0,05 r Mirando en la Tabla 3:V30 = 9.000 ∗ 66,4388475 = 597.949,63 Vt = R

⇒ V30 = 9.000

Es importante interpretar bien la respuesta. ¿Qué es 597.949,62 ? Es el valor de los 30 términos de la renta en el período en el que se encuentra el último término. Por tanto, es el valor de la renta en el año 30, el valor que buscábamos.

EJEMPLO 5.5 Debemos calcular, para un interés del 1% mensual, el valor final de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Mes

500

6 ¿V6?

La renta es constante, temporal, entera e inmediata. Le aplicamos su fórmula. Vt = R

(1 + r)t − 1 r

⇒ V6 = 500

1,016 − 1 = 3.076,01 0,01

EJEMPLO 5.6 Debemos calcular, para un interés del 1% mensual, el valor final de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Mes

500

6 ¿V6?

86 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

La renta es constante, entera, temporal y no inmediata. Aunque no sea inmediata, aplicamos la fórmula que acabamos de ver. Vt = R

(1 + r)t − 1

r 1,014 − 1 = 2.030,20 V6 = 500 0,01 Fíjese en la importancia de entender la fórmula: z R: es el término de la renta, 500 en nuestro caso. z r: es el tipo de interés de la valoración, 1% mensual en este caso. z t: es el número de términos de la renta, en nuestro gráfico hay 4 términos. z ¿Qué hace la fórmula?: difiere los «4» términos de la renta y los valora en el período en el que se encuentra el último término. Por lo tanto, la fórmula nos ha dado el valor de la renta en el mes 6, que es el valor que buscábamos.

VALOR ACTUAL DE RENTAS CONSTANTES, ENTERAS, INDEFINIDAS

Voy a cambiar la forma en la que vamos a ir avanzando. Primero le propondré el caso general y luego los ejemplos de aplicación.

Suponga que tiene que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R...

4...

La renta del gráfico es constante, entera, indefinida e inmediata.

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante.

R...

4...

V0 =

+ ...

(1 + r) (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)4

VALOR EN UN PERÍODO DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: V0 = R r Entendiendo la fórmula: z R: término de la renta

⇒

CAPÍTULO 5 RENTAS z z

CONSTANTES

r: tipo de interés de la valoración Lo que hace la fórmula: actualiza los infinitos términos de una renta constante, entera, indefinida o perpetua y los valora en un período de capitalización «r» de interés antes del primer término.

El valor final de las rentas indefinidas es infinito, no tiene fórmulas. Si diferimos el valor actual de la renta hasta el año infinito, el valor final es infinito, . t ∞ Vt = V0 (1 + r) ⇒ V∞ = R (1 + r) = ∞ r N V0

V∞

EJEMPLO 5.7 PIAL, Pequeñas Inversiones A Largo, puede entrar en un negocio por el que recibirá, a partir del año que viene, 9.000 anuales a perpetuidad. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Planteamos el gráfico de flujos:

Año

0 ¿V0?

9.000

9.000 . . .

3...

La renta del gráfico es constante, indefinida, entera e inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. V0 = R = 9.000 = 90.000 r 0,1

EJEMPLO 5.8 Debemos calcular, para un interés del 1% mensual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Mes

0 ¿V0?

500

500 . . .

6...

La renta es constante, indefinida, entera e inmediata. Le aplicamos su fórmula. V0 = R = 500 = 50.000 r 0,01

EJEMPLO 5.9 Debemos calcular, para un interés del 1% mensual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

88 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Mes

0 ¿V0?

500

500 . . .

6...

La renta es constante, entera, indefinida y no inmediata. Aunque no sea inmediata, aplicamos la fórmula que acabamos de ver. V0 = 500 ∗ 1 2 = 49.014,80 0,01 1,01 N VALOR EN EL MES2

VALOR EN EL MES0

Fíjese otra vez en la importancia de entender la fórmula: z R: es el término de la renta, 500 en nuestro caso. z r: es el tipo de interés de la valoración, 1% mensual en este caso. z ¿Qué hace la fórmula?: actualiza los infinitos términos de la renta y los valora en un período de capitalización «1%» de interés, 1 mes en este caso, antes del primer término. Por lo tanto, la fórmula nos ha dado el valor de la renta en el mes 2, actualizamos esta cantidad 2 meses para calcular su valor en 0.

VALOR ACTUAL DE RENTAS CONSTANTES, PERIÓDICAS, INDEFINIDAS

Suponga que tiene que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R...

4p . . .

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. R

V0 =

+ ...

(1 + r)p (1 + r)2p (1 + r)3p (1 + r)4p

⇒

VALOR EN "P" PERÍODOS DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: V0 =

R (1 + r)p − 1

En la Tabla 7encontrará los valoresde:

1 (1 + r)p − 1

Entendiendo la fórmula: z R: término de la renta. z r: tipo de interés de la valoración. z p: cada cuántos períodos de capitalización del interés se producen los términos de la renta. z Lo que hace la fórmula: actualiza los infinitos términos de una renta constante, periódica, indefinida y los valora en «p» períodos de capitalización «r» de interés antes del primer término.

CAPÍTULO 5 RENTAS

CONSTANTES

Recuerde que al tratarse de una renta indefinida, su valor final es infinito.

EJEMPLO 5.10 PIAL, Pequeñas Inversiones A Largo, puede entrar en un negocio por el que dentro de dos años empezará a recibir 9.000 cada dos años a perpetuidad. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Planteamos el gráfico de flujos.

Año

9.000

9.000 . . .

6...

0 ¿V0?

La renta del gráfico es constante, indefinida, periódica e inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. V0 =

R = 9.000 ⇒ p (1 + r) − 1 1,12 − 1

Mirando en la Tabla 7:V0 = 9.000 ∗ 4,76190476 = 42.857,14

EJEMPLO 5.11 Debemos calcular, para un interés del 1% mensual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Mes

0 ¿V0?

500

500 . . .

18 . . .

La renta es constante, indefinida, periódica, inmediata. Le aplicamos su fórmula. V0 =

500

(1 + 0,01)3 − 1

= 16.501,11

EJEMPLO 5.12 Debemos calcular, para un interés del 1% mensual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Mes

0 ¿V0?

500

500 . . .

18 . . .

La renta es constante, indefinida, periódica y no inmediata. Aunque no sea inmediata, aplicamos la fórmula que acabamos de ver.

90 MATEMÁTICA

FINANCIERA

V0 =

500 ∗ 1 9 = 15.087,62 3 0,01) − 1 1,01 (1 +

VALOR EN EL MES 9

VALOR EN EL MES 0

Fíjese otra vez en la importancia de entender la fórmula: z z z z

R: es el término de la renta, 500 en nuestro caso. r: es el tipo de interés de la valoración, 1% mensual en este caso. p: representa cada cuántos períodos de capitalización del interés se producen los términos de la renta, cada 3 meses en nuestro caso. ¿Qué hace la fórmula?: actualiza los infinitos términos de una renta constante, periódica, indefinida y los valora en «p» períodos de capitalización «r» de interés antes del primer término. Por lo tanto, la fórmula nos ha dado el valor de la renta en el mes 9, actualizamos esta cantidad 9 meses para calcular su valor en 0.

VALOR ACTUAL Y FINAL DE RENTAS CONSTANTES, PERIÓDICAS, TEMPORALES

Suponga que tiene que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R...

4p . . .

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. V0 =

R + R + R + R + ... + R ⇒ Simplificando p 2p 3p 4p tp 1 + r) 1 + r) 1 + r) 1 + r) 1 + r) ( ( ( ( (

VALOR EN "P P" PERÍODOS DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

R ∗ (1 + r) − 1 (1 + r)tp (1 + r)p − 1 tp

V0 =

Entendiendo la fórmula: z R: término de la renta. z r: tipo de interés de la valoración. z t: número de términos de la renta (como en TODAS las fórmulas de rentas temporales). z p: cada cuántos períodos de capitalización del interés se producen los términos de la renta (como en TODAS las fórmulas de rentas periódicas). z Lo que hace la fórmula: actualiza los «t» términos de una renta constante, periódica, temporal y los valora en «p» períodos de capitalización «r» de interés antes del primer término.

Para calcular el valor final basta con diferir el valor actual y simplificar la expresión. Vtp = V0 (1 + r) ⇒ tp

CAPÍTULO 5 RENTAS

CONSTANTES

  tp    − 1 + r 1 ( ) tp  ⇒ Simplificando ∗ + Vtp =  R tp ∗ 1 r ( )  p 1 + r) − 1  (1 + r)  (

  V0

(1 + r)tp − 1 Vtp = R (1 + r)p − 1 Entendiendo la fórmula: z R: término de la renta. z r: tipo de interés de la valoración. z t: número de términos de la renta. z p: cada cuántos períodos de capitalización del interés se producen los términos de la renta. z Lo que hace la fórmula: difiere los «t» términos de una renta constante, periódica, temporal y los valora en el período en el que se encuentra el último término.

EJEMPLO 5.13 La empresa de logística Jarry Portes ha llegado a un acuerdo de donación con ESMA, un centro de formación de magos. Este acuerdo supone que Jarry Portes se hará cargo de la renovación, durante los próximos 25 años, del aula tecnológica de ESMA, que pasará a llamarse Aula Jarry Portes. El aula renovará sus equipos cada 5 años, cada renovación cuesta 90.000 y la primera será dentro de 5 años. El acuerdo se materializa mediante la donación hoy a ESMA de un capital suficiente para sufragar estos desembolsos. Calcule, para un interés del 5% anual, el importe de dicha donación. z

Planteamos el gráfico de flujos:

0 ¿V0?

90.000

La renta del gráfico es constante, temporal, periódica e inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. R ∗ (1 + r) − 1 (1 + r)tp (1 + r)p − 1 tp

V0 =

1,055∗5 − 1 ∗ = 229.558,39 V0 = 90.000 5∗5 1,05 1,055 − 1 Fíjese que «t», el número de términos del gráfico, es 5 y «p», cada cuántos períodos de capitalización del interés (años en este caso) se produce la renta, también es 5.

EJEMPLO 5.14 La clínica de cirugía estética Frank Stein ofrece el Programa «Vuelve a los 40», un «pack» de intervenciones que consiste en lifting, liposucción y abdominoplastia. La clínica cobra por el programa 6 cuotas semestrales de 3.000 cada una, la primera se paga a los 6 meses de iniciar el programa.

92 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Una clienta ha solicitado pagar la totalidad del programa dentro de 3 años. Para un interés de 1% mensual, ¿cuánto deberá pagar a la Clínica Frank Stein entonces? z

Planteamos el gráfico de flujos:

Mes

3.000

36 ¿V36?

La renta del gráfico es constante, temporal, periódica e inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. Vtp = R

(1 + r)tp − 1 1,016∗6 − 1 = 21.006,23 ⇒ V36 = 3.000 p 1,016 − 1 (1 + r) − 1

Fíjese que «t» es 6 (número de términos de la renta) y «p» también es 6, los términos se producen cada 6 meses (períodos de capitalización del interés).

EJEMPLO 5.15 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

0 ¿V0?

500

La renta es constante, temporal, periódica e inmediata. Le aplicamos su fórmula. 1,16∗2 − 1 = 1.622,31 V0 = 500 ∗ 1,16∗2 1,12 − 1

EJEMPLO 5.16 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

500

0 ¿V0?

La renta es constante, temporal, periódica y no inmediata. Aunque no sea inmediata, aplicamos la fórmula que acabamos de ver. 1,17∗2 − 1 ∗ 1,12 = 2.122,31 V0 = 500 7∗2 2 − 1,1 1,1 1

VALOR EN EL AÑO − 2

VALOR EN EL AÑO 0

CAPÍTULO 5 RENTAS

CONSTANTES

Fíjese otra vez en la importancia de entender la fórmula: z R: es el término de la renta, 500 en nuestro caso. z r: es el tipo de interés de la valoración, 10% anual en este caso. z t: número de términos de la renta (como en todas las fórmulas de rentas temporales), 7 en este caso. z p: representa cada cuántos períodos de capitalización del interés se producen los términos de la renta (como en todas las fórmulas de rentas periódicas), cada 2. z ¿Qué hace la fórmula?: actualiza los 7 términos de la renta y los valora en «p» períodos de capitalización «r» de interés antes del primer término. Por lo tanto, la fórmula nos ha dado el valor de la renta en el año -2, diferimos esta cantidad 2 años para calcular su valor en 0. z También podríamos haber calculado este valor actual de otra forma: sumando a los 500 que ya están en el año cero, el valor actual de los otros 6 términos. 1,16∗2 − 1 = 2.122,31 V0 = 500 + 500 ∗ 1,16∗2 1,12 − 1

EJEMPLO 5.17 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor final de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

500

12 ¿V12?

La renta es constante, temporal, periódica e inmediata. Le aplicamos su fórmula. V12 = 500

1,16∗2 − 1 = 5.091, 50 1,12 − 1

EJEMPLO 5.18 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor final de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

500

12 ¿V12?

La renta es constante, entera, periódica y no inmediata. Aunque no sea inmediata, aplicamos la fórmula que acabamos de ver. 1,17∗2 − 1 = 6.660,71 V12 = 500 2 −

1 1,1 VALOR EN EL AÑO 12

Fíjese que el número de términos, «t», es 7 y que la fórmula nos da su valor en el período en el que se encuentra el último término de la renta, en el año 12.

94 MATEMÁTICA

FINANCIERA

RENTAS FRACCIONADAS

Son rentas cuya frecuencia es mayor que la de la capitalización del interés. Esto supone que a lo largo de un período de capitalización del interés se producen varios términos de renta.

La buena noticia (no busque la mala, que no la hay) es que las rentas fraccionadas no tienen fórmulas específicas, emplearemos las fórmulas de rentas enteras. Hay dos métodos de valoración de estas rentas. Estos métodos dependen de las condiciones prácticas de capitalización que se aplican a las fracciones de período de capitalización del interés. Aunque lo veremos con ejemplos, le adelanto que estas condiciones prácticas de capitalización son dos. Se puede aplicar: z Interés compuesto a las fracciones de período de capitalización del interés. z Interés simple a las fracciones de período de capitalización del interés.

EJEMPLO 5.19 Rosa Flores del Camino ha sido una de las personas agraciadas del premio «Por tu fidelidad» de la tarjeta de crédito PISA. El premio consiste en que PISA entrega a los ganadores 240 mensuales durante los próximos 24 meses. PISA también da a los ganadores la opción de recibir hoy la totalidad del premio o recibirlo dentro de 2 años. En ambos casos se utiliza un interés trimestral del 4,5% y se aplica interés compuesto a las fracciones de período de capitalización del interés. Rosa le pide que le calcule cuánto recibiría hoy si opta por esta alternativa y cuánto recibirá dentro de dos años si elige la otra. z

Planteamos el gráfico de flujos.

Mes

240

240 . . .

240

5...

Esta renta es constante, temporal, inmediata y fraccionada. Decimos que es fraccionada porque su frecuencia, mensual, es mayor que la frecuencia con la que se capitalizan los intereses, trimestralmente. En este caso, se aplica interés compuesto a las fracciones de período de capitalización del interés. Esto supone calcular primero qué interés mensual, r12, tiene un equivalente trimestral del 4,5%. Si lo prefiere, calculamos el «microinterés», mensual, que nos permite definir la renta, también mensual, como entera. Sabemos que r12 tiene que ser algo menor que el 1,5%. En este caso hacemos:

(1 + r12 )3 − 1 = 0,045 ⇒ r12 = 3 1,045 − 1 = 0,0147804 = 1,47804% z

Para un interés mensual del 1,47804%, tomamos muchos decimales para ser precisos, la renta de nuestro gráfico es constante, entera (la renta es mensual y ahora la capitalización también lo es), temporal, inmediata. Para calcular su valor actual, hacemos:

(1 + r)t − 1 1,0147804 24 − 1 V0 = R ⇒ V = 240 = 4.819,58 0 t 0,0147804 ∗ 1,0147804 24 r (1 + r) z

Para calcular su valor final, hacemos: Vt = R

(1 + r)t − 1 r

⇒ V24 = 240

1,0147804 24 − 1 = 6.853,92 0,0147804

CAPÍTULO 5 RENTAS

CONSTANTES

EJEMPLO 5.20 Margarita Flores del Camino, hermana gemela de Rosa, también ha resultado agraciada con un premio, el «Para tu felicidad» de la tarjeta de crédito AE, Asian Express. El premio consiste en que AE entrega a los ganadores 240 mensuales durante los próximos 24 meses. AE también da la opción de recibir hoy la totalidad del premio o recibirlo dentro de 2 años. En ambos casos se utiliza un interés trimestral del 4,5% y se aplica interés simple a las fracciones de período de capitalización del interés. Margarita le pide que le calcule cuánto recibiría hoy si opta por esta alternativa y cuánto recibirá dentro de dos años si elige la otra. z

Planteamos el gráfico de flujos

Mes

z z

240

240 . . .

240

5...

Esta renta es constante, temporal, inmediata y fraccionada, su frecuencia, mensual, es mayor que la frecuencia con la que se capitalizan los intereses, trimestralmente. En este ejemplo tenemos que aplicar el interés simple a las fracciones de período de capitalización del interés. Replanteamos el gráfico de flujos agrupando los flujos que se producen a lo largo del período de capitalización (del trimestre en nuestro caso). Tenemos 8 términos de 720 cada uno.

Mes

240

720

720 . . .

720

15 . . .

En este gráfico vemos una renta constante, temporal, entera (sus términos son trimestrales y la capitalización de intereses también), inmediata y usted ya conoce las fórmulas que calculan su valor actual y su valor final. Pero tenemos un pequeño problema en este gráfico. La renta es de 240 mensuales y hemos supuesto que 240 que vencen en los meses 1, 2 y 3 de cada trimestre son equivalentes a 720 (la suma de esos tres capitales) en el mes 3 de cada trimestre, y esto no es cierto. ¿Se acuerda de lo que aprendimos de vencimiento medio, VM, en el Capítulo 2? 240 que vencen en el mes 1, 2 y 3 de cada trimestre son equivalentes a los 720 en su fecha de VM. Calculamos el VM por interés simple y nos da el mes 2, como los 3 capitales son iguales, basta con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento (mes 1) y el último (mes 3) de cada trimestre. 720 Mes 0 Mes VM

720

3 2

720

6 5

720

9 8

720 . . .

12 11

720

15 . . . 14

24 23

96 MATEMÁTICA z

z z

FINANCIERA

El primer término de 720 está en el mes 2 del primer trimestre (aunque lo hayamos puesto en el 3). El segundo término de 720 está en el mes 2 del segundo trimestre, esto es en el mes 5 (aunque lo hayamos puesto en el 6), y así sucesivamente. Por lo tanto, los términos de 720 son trimestrales, entre dos términos consecutivos hay un trimestre (del mes 2 al 5 hay un trimestre, del mes 5 al 8 hay un trimestre, etc.). En este gráfico seguimos teniendo una renta constante, temporal (8 términos), entera (sus términos son trimestrales y la capitalización de intereses también). Para calcular el valor actual hacemos:

VAño 0

    8 1,045 − 1   = 720 1 + 0,045 1 = 4.820,27 8 3  0,045 1,045 ∗

  Valor mes − 1  

)

(

Valor mes 0 = Valor año 0

La fórmula del valor actual nos valora los 8 términos del gráfico en un período de interés, trimestre, antes del primer término, nos da su valor en el mes 1. Para diferir un mes ese capital y llevarlo al mes 0, lo multiplicamos por la fórmula de interés simple (1 r*t), nos desplazamos un tercio de trimestre hacia la derecha.

Para calcular el valor final hacemos:

VAño 2

    8 1,045 − 1 1 + 0,045 1 = 6.854,91 = 720 0,045 3 

  Valor mes 23   

(

)

Valor mes 24 = Valor año 2

La fórmula del valor final nos valora los 8 términos del gráfico en el período en el que se encuentra el último término, nos da su valor en el mes 23. Para diferir un mes ese capital y llevarlo al mes 24, lo multiplicamos por la fórmula de interés simple (1 r*t), nos desplazamos un tercio de trimestre hacia la derecha. Llamamos factor corrector al (1 r*t) que utilizamos en las rentas fraccionadas cuando se aplica capitalización simple para los períodos fraccionados. Deberemos deducir ese factor corrector en cada caso que tengamos que resolver. Fíjese que para solucionar este ejemplo, hemos calculado el VM y hemos deducido el factor corrector. No hemos aprendido gran cosa, simplemente hemos vuelto a poner en práctica nuestros conocimientos de interés simple.

Resumiendo, en situaciones similares a las de este ejemplo, actuaremos de la siguiente manera: z Agrupamos los términos fraccionados a lo largo de un período de capitalización. z Los ponemos, por comodidad, en el gráfico al final de cada período de capitalización. z Tenemos en cuenta que financieramente esos términos están en la fecha de VM. z Deducimos el factor corrector adecuado al caso. z Aplicamos la fórmula de la renta y el factor corrector correspondiente.

EJEMPLO 5.21 Debemos calcular, para un 18% de interés anual y capitalización compuesta para fracciones del período de capitalización, el valor actual y final del siguiente gráfico de flujos.

CAPÍTULO 5 RENTAS

Mes

CONSTANTES

900

900 . . .

900

4...

Estamos ante una renta constante, temporal, inmediata y fraccionada. Es fraccionada porque su frecuencia, mensual, es mayor que la frecuencia con la que se capitalizan los intereses, anualmente. En este caso se aplica interés compuesto a las fracciones de período de capitalización del interés. Debemos calcular primero qué interés mensual, r12, tiene un equivalente anual del 18% (calculamos el «microinterés», mensual, que nos permite definir la renta, también mensual, como entera).

(1 + r12 )12 − 1 = 0,18 ⇒ r12 = 12 1,18 − 1 = 0,01388843 = 1,388843% z

Para un interés mensual del 1,388843%, la renta de nuestro gráfico es constante, entera (la renta es mensual y ahora la capitalización también lo es), temporal inmediata. Para calcular su valor actual, hacemos: V0 = R

(1 + r)t − 1 1,0138884336 − 1 ⇒ V0 = 900 = 25.361,56 t 0,01388843 ∗ 1,0138884336 r (1 + r)

Para calcular su valor final, hacemos: Vt = R

(1 + r)t − 1 r

⇒ V36 = 900

1,0138884336 − 1 = 41.669,85 0,01388843

EJEMPLO 5.22 Debemos calcular, para un 18% de interés anual y capitalización simple para fracciones del período de capitalización, el valor actual y final del siguiente gráfico de flujos.

Mes

z z

900

900 . . .

900

4...

Estamos ante una renta constante, temporal, inmediata y fraccionada (la renta es mensual y la capitalización es anual, cada período de capitalización hay varios términos de renta. Como tenemos que aplicar el interés simple a las fracciones de período de capitalización del interés, replanteamos el gráfico de flujos agrupando los flujos que se producen a lo largo del período de capitalización (del año en nuestro caso). 10.800 Mes

6,5

10.800 18,5 24

10.800 30,5 36

Tenemos en cuenta que 900 que vencen durante los 12 meses del año son equivalentes a 10.800 en su fecha de VM, el mes 6,5 de cada año (1 12)/2.

98 MATEMÁTICA

FINANCIERA

En este gráfico tenemos una renta constante, temporal, entera (sus términos son anuales, entre dos términos consecutivos hay un año -del mes 6,5 al 18,5 hay un año, etc.- y la capitalización de intereses también).

Para calcular el valor actual hacemos:

VAño 0

    3 1,18 − 1  5,5 = 10.800 1 + 0,18 = 25.419,42 3 12   0,18 ∗ 1,18

  Valor mes − 5,5  Factor corrector 

(

)

Valor mes 0 = Valor año 0

La fórmula del valor actual nos actualiza los 3 términos del gráfico y los agrupa en un período de interés, año, antes del primer término, nos da su valor en el mes 5,5. Para diferir 5,5 meses ese capital y llevarlo al mes 0, lo multiplicamos por la fórmula de interés simple (1 r*t), nos desplazamos 5,5/12 de año hacia la derecha.

Para calcular el valor final hacemos:

VAño 3

    3 1,18 − 1 5,5 1 + 0,18 = 41.764,93 = 10.800 0,18 12  

 Valor mes 30,5  Factor corrector  

(

)

Valor mes 36 = Valor año 3

La fórmula del valor final nos valora los 3 términos del gráfico en el período en el que se encuentra el último término, nos da su valor en el mes 30,5. Para diferir 5,5 meses ese capital y llevarlo al mes 36, lo multiplicamos por la fórmula de interés simple (1 r*t), nos desplazamos 5,5/12 de año hacia la derecha.

Finalmente, fíjese en los factores correctores que hemos empleado en este ejemplo y en el 5.20. En ambos casos la renta era mensual, sin embargo el factor corrector no es el mismo. Hemos tenido que deducirlo en cada ejemplo ya que la capitalización de interés era anual y trimestral respectivamente.

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS Su negocio virtual de consultas financieras ha sido un gran éxito, de hecho ha subido su tarifa a 4 . Ahora sus clientes sólo pueden hacerle las consultas por correo electrónico. Usted ha eliminado la posibilidad de que emplearan el teléfono porque le salía caro y además tenía problemas para entender algunos de los SMS. Éstas son las consultas recibidas este fin de semana, algunas las envía su, espero, amigo J. 1.

He recibido el premio al vendedor del año en la empresa en la que trabajo. El premio consiste en 1.000 anuales que cobraré durante los próximos 4 años. Mi mujer y yo vamos a hacer un crucero de lujo y para financiarlo vamos a pedir hoy un préstamo que devolveremos con las cantidades que recibiré por mi premio. El banco nos presta el dinero al 10% de interés anual. ¿Cuánto dinero podemos pedir?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

CAPÍTULO 5 RENTAS

Año

0 ¿V0?

1.000

CONSTANTES

Tenemos que calcular el valor actual de una renta constante, temporal, entera (los términos de la renta y la capitalización son anuales), inmediata. V0 = R

(1 + r)t − 1 1,14 − 1 = 3.169,87 ⇒ V = 1.000 0 t 0,1 ∗ 1,14 r (1 + r)

Esta consulta es igual al Ejemplo 4.1 del Capítulo 4, el de Pablo Pérez. Compare cómo resolvía esta operación entonces y cómo lo hace ahora. Use la Tabla 4 incluida en el Apéndice. 2.

J. Calcule el importe del préstamo que podrían pedir los Pérez si su interés fuera el 6% anual. Respuesta: 3.465,11

J. Calcule el importe del préstamo que podrían pedir los Pérez si su interés fuera el 14% anual. Respuesta: 2.913,71

Soy Pablo Pérez otra vez. Mi mujer y yo hemos pensado que no vamos a irnos ahora de crucero. Lo haremos dentro de 9 años, para entonces nuestro hijo ya tendrá 39 años y creemos que se habrá independizado. Pili y yo vamos a ingresar mi premio en una cuenta que nos ofrece un interés del 5% anual. ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta entonces?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Año

1.000

9 ¿V9?

Tenemos que calcular el valor en el año 9 de una renta constante, temporal, entera, inmediata. Vt = R

(1 + r)t − 1 r

1,054 − 1 ⇒ V9 = 1.000 ∗ 1,055 = 5.500.93 0,05

VALOR EN EL AÑO 4

VALOR EN EL AÑO 9

Recuerde que «t» es el número de términos (4 en esta operación) y que la fórmula del valor final nos valora los 4 términos del gráfico en el período en el que se encuentra el último término, nos da su valor en el año 4. Tenemos que diferir ese capital 5 años para calcular su valor en el año 9. Las Tablas 1 y 3 incluidas en el Apéndice le ayudan en este caso. 5.

J. Vuelva sobre el problema anterior. Calcule qué capital tendrán los Pérez dentro de 9 años si el interés de la cuenta es el 8% anual. Respuesta: 6.620,96

100 MATEMÁTICA

FINANCIERA

J. Vuelva al mismo problema. Calcule qué capital tendrán los Pérez dentro de 9 años si el interés de la cuenta es el 3% anual. Respuesta: 4.849,97

J. Suponga que el premio de Pablo Pérez fuera de 800 anuales durante los próximos 6 años. Calcule qué préstamo, al 10% de interés anual, podrían pedir hoy. Respuesta: 3.484,21

J. Si el premio de Pablo es como en el descrito en el problema anterior, ¿qué capital tendrán los Pérez dentro de 9 años si invierten esas cantidades al 5% anual?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Mes

800

9 ¿V9?

La renta es constante, temporal, entera, inmediata Su valor en el año 9 es: Vt = R

(1 + r)t − 1 r

1,056 − 1 ⇒ V9 = 800 ∗ 1,053 = 6.299,25 0,05

VALOR EN EL AÑO 6

VALOR EN EL AÑO 9

Recuerde que la fórmula del valor final nos valora los 6 términos del gráfico en el período en el que se encuentra el último término, nos da su valor en el año 6, y nos han pedido su valor en el años 9. 9.

Soy Prudencio Calavera, Pruden, y ésta es la primera vez que te hago una consulta. He dejado de fumar porque es bueno para la salud y me han dicho que también lo es para mis finanzas personales. El BS, Banco de la Salud, ha lanzado la cuenta PPT, Pensión Por Tabaco, y la ha presentado con una campaña promocional que tiene un eslogan agresivo: Fumar perjudica gravemente sus finanzas personales. La cuenta ofrece un interés del 0,5% mensual y va dirigida a gente que deja de fumar. Yo gasto en tabaco unos 80 al mes. A partir del mes que viene voy a ingresar todos los meses, y hasta que me jubile, esa cantidad en la PPT. ¿Cuánto dinero tendré en la cuenta cuando me jubile dentro de 40 años?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Mes

80 . . .

5...

479

480 ¿V480?

CAPÍTULO 5 RENTAS z

CONSTANTES

101

Calculamos el valor final de la renta que es constante, temporal, entera (los términos son mensuales y la capitalización de intereses también), inmediata. Vt = R

(1 + r)t − 1 r

⇒ V480 = 80

1,005480 − 1 = 159.319,26 0,005

Parece que es verdad que fumar perjudica gravemente sus finanzas personales, su bolsillo vaya. El hábito, además de a fumar tabaco, le obliga a que se le esfume un bonito capital que podría tener, para mejorar su calidad de vida, cuando usted se jubile. 10.

J. Calcule qué capital tendrá «Pruden» cuando se jubile si invierte sus ahorros en tabaco al 0,75% de interés mensual, en lugar de al 0,5%. Respuesta: 374.505,62 (yo también estoy planteándome dejar de fumar).

11.

Mi hermano mayor, Román, se ha quedado impresionado con los 159.319,26 que me dices que tendré en la PPT dentro de 40 años. Román gasta unos 120 al mes y él también va a dejar de fumar y a ingresar esos ahorros mensuales en la PPT. ¿Qué capital tendrá Román en la cuenta cuando se jubile dentro de 30 años? Pruden. Respuesta: 120.541,81

12.

En una consulta anterior me decías que, si dejo de fumar, dentro de 40 años tendré 159.319,26 en la PPT. Ahora me gustaría que me dijeras cuánto dinero podré sacar todos los meses de la PPT a partir de mi jubilación. Empezaré a sacar dinero al mes de jubilarme y vamos a suponer que mi esperanza de vida sea de 20 años. Pruden.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. Fíjese que si su cliente va a vivir 20 años, retirará 240 mensualidades de la PPT. Recuerde que la cuenta ofrece un 0,5% mensual.

Mes

R...

0 1 159.319,26

5...

239

240

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. Valoramos todos los flujos en el mes 0 por comodidad, los 159.319,26 de la prestación ya están en 0 (el momento de la jubilación). La renta del gráfico es constante, temporal, entera (los términos son mensuales y la capitalización de intereses también), inmediata. 159.319,26 = R

1,005240 -1 0,005*1,005240

159.319,26 = R*139,58077 ⇒ R = 1.141,41 13.

Hola! Soy Pruden otra vez. Mi hermana gemela Presentación, Presen, dejó de fumar a la vez que yo y también va a ingresar 80 mensuales durante 40 años en la PPT. Es evidente que dentro de 40 años también tendrá 159.319,26 , me ahorré los 4 de esta consulta que no te hice. Presen también quiere saber qué cantidad podrá retirar todos los meses de la PPT cuando se jubile, el tema es que la esperanza de vida de las mujeres es 5 años más que la de los hombres.

102 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Pista: el gráfico de «Presen» es básicamente igual que el de «Pruden», la diferencia es que el de «Presen» tiene 300 mensualidades. Respuesta: 1.026,50 14.

Presen se ha quedado mosca porque sólo podrá sacar 1.026,50 al mes de su cuenta. Lo que quiere saber ahora es qué capital debería tener en la PPT cuando se jubile para poder disfrutar de los mismos 1.141,41 mensuales que me dijiste que podré retirar yo. Pista: «Presen» quiere retirar 1.141,41 mensuales de su PPT, pero no se olvide de que su esperanza de vida es 30 años. Respuesta: 177.154,67 Comentario: reflexione sobre las Consultas 12, 13 y 14. Saque sus conclusiones personales en función de que usted sea hombre o mujer.

15.

J. Le voy a dar una buena noticia para animarle, para hacerle un poco más feliz: usted sabe más de lo que cree. Para demostrárselo, voy a pedirle que calcule algo de lo que no hemos hablado todavía. Imagínese que me acaban de conceder un préstamo de 159.319,26 para comprarme un apartamento en el Mediterráneo. El préstamo tiene un interés mensual del 0,5% y lo voy a devolver con cuotas mensuales constantes que pagaré durante los próximos 20 años. Calcule qué cuota mensual tendré que pagarle al banco.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. Tengo que pagar 240 cuotas iguales al banco.

Mes

R...

5...

239

240

159.319,26

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. Valoramos todos los flujos en el mes 0 por comodidad, los 159.319,26 de la prestación ya están en 0. La renta del gráfico es constante, temporal, entera (los términos son mensuales y la capitalización de intereses también), inmediata. 159.319,26 = R

1,005240 -1 0,005*1,005240

159.319,26 = R*139,58077 ⇒ R = 1.141,41 Compare la solución de esta consulta con la solución de la Consulta 12 de su cliente «Pruden». Las historias que hay detrás de ambas consultas son muy diferentes, pero, para las finanzas, se trata del mismo problema. 16.

J. Vuelva a mi consulta anterior. Suponga que quiero devolver el préstamo con cuotas mensuales constantes que pagaré durante los próximos 30 años. Calcule la cuota mensual que me cobrará el banco en este caso. Respuesta: 1.026,50 Comentario: compare esta respuesta y su respuesta a la Consulta 13. ¡Es el mismo problema! En el Capítulo 8 veremos con más profundidad el tema de la amortización de préstamos, pero quiero

CAPÍTULO 5 RENTAS

CONSTANTES

103

que sepa que usted ya sabe la matemática financiera necesaria para estas operaciones. De hecho, usted podría pasar directamente de esta página al Capítulo 8 y entender casi todo. ¡Le felicito! Usted ya sabe mucho. 17.

Soy Luis Alcalde, alcalde de una capital de provincias. Quiero iniciar un proyecto para ofrecer pisos más baratos a los jóvenes, pero tenemos problemas de presupuesto y déficit y el ministro de economía no nos permite endeudarnos más. He tenido una idea para obtener liquidez. Nuestro ayuntamiento es un edificio muy singular y quiero firmar un contrato para cedérselo a perpetuidad a un importante grupo inversor. El contrato supone que este grupo nos daría ahora dinero por la cesión y nuestro ayuntamiento le pagaría, a partir del año que viene, un alquiler anual de 200.000 , ya que el edificio seguiría siendo el ayuntamiento de nuestra ciudad. ¿Cuánto dinero deberíamos recibir del grupo para un interés del 5% anual?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Año

200.000

200.000 . . .

4...

0 ¿V0?

Tenemos que calcular el valor actual de una renta constante, indefinida, entera, inmediata. V0 = R ⇒ V0 = 200.000 = 4.000.000 r 0,05

18.

J. Calcule cuánto dinero debería recibir este ayuntamiento si el tipo de interés utilizado en la valoración fuera el 4% anual. Respuesta: 5.000.000

19.

Hola, Luis Alcalde otra vez. La oposición, y algunos miembros de mi partido, se me han echado al cuello y han rechazado mi idea. Lo que sí aceptan, y también lo hace el grupo inversor, es firmar un contrato de cesión para los próximos 50 años, al cabo de los cuales nuestra ciudad recuperaría la titularidad del edificio. ¿Cuánto dinero deberíamos recibir del grupo para un interés del 5% anual? Pista: la idea es la misma, pero los flujos de 200.000 se terminan en el año 50. Respuesta: 3.651.185,09

20.

¿Cuánto dinero recibiríamos si el contrato de cesión fuera a 40 años? Luis Alcalde. Respuesta: 3.431.817,27

21.

Un alcalde de mi partido político, al que le ha gustado mi idea, quiere firmar un contrato de cesión del edificio de su ayuntamiento a perpetuidad. El grupo inversor le ofrece 2.500.000 a cambio de un alquiler anual de 150.000 . ¿Qué rentabilidad obtiene el grupo inversor en la operación? Luis Alcalde.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

104 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Año

0 2.500.000

200.000

200.000 . . .

4...

Planteamos la ecuación de equilibrio y despejamos «r». V0 = R ⇒ 2.500.000 = 150.000 ⇒ r = 0,06 = 6% r r 6% es la rentabilidad del grupo y también es el interés anual que soporta el ayuntamiento por tener hoy 2.500.000 de liquidez.

22.

J. Mi colega alcalde ha negociado con el grupo inversor. Han acordado que la ciudad recibirá 2.760.000 a cambio del alquiler de 150.000 anuales. ¿Qué interés anual soporta la ciudad por la operación? Luis Alcalde. Respuesta: 0,05434 5,43%

23.

La empresa graciascerdo.mof está especializada en la curación por encargo de jamones de Jabugo Gran Reserva. El jamón se recibe a los 3 años de encargarlo, pero se va pagando a lo largo de los 3 años que dura su proceso de curación. La empresa ofrece dos alternativas de pago: A) Una entrada de 30 al encargarlo y 6 pagos semestrales de 50 cada uno. B) Una entrada de 40 al encargarlo y 3 pagos anuales de 100 cada uno. Para un interés del 2% semestral, ¿cómo pago los jamones a graciascerdo.mof?

SOLUCIÓN z

Representamos los gráficos de las dos alternativas. 30 Semestre 0 ¿V0?

40 Semestre 0 ¿V0?

100 1

100 3

100 5

Para hacer comparables estas alternativas, calculamos su valor en la misma fecha, por ejemplo su valor actual, su valor en 0. ¾ En la primera alternativa tenemos un capital que ya está en 0, los 30 de la entrada, más una renta constante, entera, temporal, inmediata. Para calcular el valor en 0 de esos flujos, hacemos: V0 = 30 + 50

1,026 − 1 = 310,07 0,02 ∗ 1,026

CAPÍTULO 5 RENTAS ¾

CONSTANTES

105

En la segunda alternativa tenemos un capital que ya está en 0, los 40 de la entrada, más una renta constante, periódica (cada 2 períodos de capitalización, semestres), temporal, inmediata. Para calcular el valor en 0 de esos flujos, hacemos: R * (1+ r) -1 (1+ r)tp (1+ r)p -1 tp

V0 =

1,023*2 -1 = 317,30 V0 = 40 + 1003*2 * 1,02 2 -1 1,02 Recuerde que «t» es el número de términos del gráfico, 3, y «p» representa cada cuántos períodos de capitalización del interés, semestres en este caso, se produce la renta, cada 2. La fórmula valora los 3 términos «p» períodos de interés 2%, dos semestres, antes del primer término de la renta, en esta operación nos da el valor en 0. z

Ahora podemos hacer la recomendación, su cliente debe optar por la primera alternativa, la más barata.

24.

Nuestra empresa ha puesto en venta un pequeño local. Hay tres bancos interesados en comprarlo, pero nos ofrecen unos planes de pago diferentes. z El primer banco nos ofrece 225.000 al contado. z El segundo nos ofrece una entrada de 50.000 y 36 pagos mensuales de 5.000 cada uno, el primero un mes después de la entrada. z El tercero nos ofrece una entrada de 5.000 y 12 pagos trimestrales de 20.000 cada uno, el primero un trimestre después de la entrada. ¿A qué banco deberíamos vender el local supuesto un interés del 0,5% mensual? Pistas: calcule el valor actual de los flujos que ofrece cada banco y véndaselo al que tenga mayor valor actual. El segundo banco paga una renta constante, temporal, entera. El tercer banco paga una renta constante, temporal, periódica. Respuesta: V0 Banco 1 225.000,00 V0 Banco 2 214.355,08 V0 Banco 3 223.048,05 Su cliente debe vender el local al Banco 1.

25.

Puedo comprar un activo por el que recibiré 1.000 dentro de 5 años. ¿Cuánto debo pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 6% anual? Nota ésta no es una consulta de rentas, pero quiere cobrar los 4 que vale, ¿no? Respuesta: 747,26

26.

Puedo comprar un activo por el que recibiré 30 semestrales durante los próximos 3 años y un capital adicional de 1.000 dentro de 3 años. ¿Cuánto debo pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 2% semestral?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de los flujos que genera el activo.

Semestre 0 ¿V0?

1.000 30

106 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Su cliente debe pagar el valor del activo, el valor actual de los flujos que genera, una renta constante, entera, temporal y un capital adicional. Para calcular el valor actual de todos esos flujos, hacemos: V0 = 30

1,026 − 1 + 1.0006 = 1.056,01 6 0,02 ∗ 1,02 1,02

También podríamos representar el gráfico de esta forma. 30

1.030

Semestre 0 ¿V0?

Calculamos el valor actual de esta renta de 5 términos de 30 y del capital de 1.030 . V0 = 30

1,02 5 − 1 + 1.0306 = 1.056,01 5 0,02 ∗ 1,02 1,02

27.

Puedo comprar un activo por el que recibiré 50 anuales durante los próximos 8 años y un capital adicional de 1.000 dentro de 8 años. ¿Cuánto debo pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 10% anual? Respuesta: 733,25

28.

Puedo comprar un activo que dentro de 3 años empezará a generar 6 anuales a perpetuidad. ¿Cuánto debo pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 10% anual?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de los flujos que genera el activo.

Año

6...

¿V0?

Su cliente debe pagar el valor actual de los flujos que genera el activo.    6  1 R V0 = ⇒ V0 =  ∗ 2 = 49,59 r 0,1   N  1,1 Valor año 2 

Valor año 0

Recuerde que esta fórmula valora los infinitos términos de la renta en un período de interés 10%, un año, antes del primer término. Por lo tanto, nos da el valor de la renta en el año 2 y nosotros buscamos el valor en el año 0.

CAPÍTULO 5 RENTAS

CONSTANTES

107

29.

Puedo comprar un activo que empezará a generar, a partir del año que viene, 4 anuales a perpetuidad ¿Cuánto debo pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 8% anual? ¿Y para una rentabilidad del 10% anual? Respuesta: Para un 8% 50 Para un 10% 40

30.

J. Haga las valoraciones, para las mismas rentabilidades, del activo anterior, suponiendo que empezará a generar los 4 anuales dentro de dos años, en el año 2. Respuesta: Para un 8% 46,30 Para un 10% 36,36 Comentario: tengo otra buena noticia para usted. En las 6 últimas consultas le pedían que valorara activos de los que hablaremos en el Capítulo 9 (bonos y acciones), aunque también debo reconocer que algunas consultas del Capítulo 3 le pedían lo mismo. ¡Le felicito! Le voy a proponer una consulta algo más compleja.

31.

Puedo comprar un activo que empezará a generar, dentro de 3 años, 2 anuales durante 5 años y dentro de 8 años generará 3 anuales a perpetuidad ¿Cuánto debo pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 8% anual? Pista: en su gráfico deben aparecer 2 en los años 3 al 7 y 3 anuales del año 8 hasta el infinito. Respuesta: 28,73 Comentario: si ha sido capaz de dar con la respuesta, céntimo arriba o abajo, ¡le felicito! En caso contrario, no se preocupe, volveremos sobre este problema en el Capítulo 9.

32.

Soy Eva del Bosque, responsable del departamento de donaciones de la Universidad Autónoma de Reus, UAR. Mi misión consiste en fomentar la cultura de la donación a la Universidad por parte de empresas y Antiguos Alumnos (AA). Una de las primeras donaciones que he propuesto tiene por objetivo becar a perpetuidad una plaza de estudiante. La beca llevará el nombre de quien hace la donación. La empresa Jarry Portes quiere poner en marcha el año que viene la Beca Jarry Portes de Química. Las tasas anuales de esta carrera ascienden a 5.000 . Para un interés del 5% anual, ¿cuánto dinero debe darnos ahora Jarry Portes para que esta beca se pueda conceder indefinidamente? Eva. Pista: le ayudo con el gráfico.

Año

5.000

5.000 . . .

4...

¿V0?

Respuesta: 100.000 33.

La UAR tiene uno de los mejores arbolarios de nuestra comunidad. El cuidado de cada árbol nos cuesta unos 120 anuales. Voy a proponer donaciones para asegurar el cuidado de cada árbol a perpetuidad, «Apadrina un árbol», a cambio de poner una placa en cada árbol con el nombre de quien lo apadrina. Para un interés del 4% anual, ¿qué donación debemos recibir por cada árbol apadrinado? Eva. Respuesta: 3.000

34.

Nuestro AA Ignacio Barranco Nuevo es un emprendedor de éxito que quiere hacer una donación para la renovación periódica de las 300 computadoras del aula informática, que pasará a llamarse

108 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Aula IBN. Renovamos las computadoras cada 5 años, operación que nos cuesta 240.000 . La próxima renovación toca dentro de 2 años. Para un interés del 5% anual, ¿qué donación debe hacernos Ignacio? Eva.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. La renta empieza en el año 2 y se repite cada 5 años.

Año

240.000

240.000 . . .

17 . . .

¿V0?

Tenemos que calcular el valor actual de una renta constante, indefinida, periódica, no inmediata. R V0 = (1 + r)p − 1 V0 =

240.000 5 − 1 1,05

∗ 1,053 = 1.005.604,56

VALOR EN EL AÑO − 3

VALOR EN EL AÑO 0

35.

Nuestro AA Ignacio quiere que las computadoras del Aula IBN se renueven cada 4 años. Cada renovación nos seguirá costando 240.000 , pero haremos la primera renovación dentro de 1 año. Para un interés del 5% anual, ¿qué donación debe hacernos Ignacio? Eva. Respuesta: 1.289.196,95 (los flujos están en los años 1, 5, 9, 13…)

36.

La empresa graciascerdo.mof, creada por nuestra AA María Cocho, se va a hacer cargo del mantenimiento indefinido de nuestra Aula Magna, todavía no sabemos qué inscripción ponerle a la placa que colocaremos a la entrada. El Aula Magna requiere unas obras de mantenimiento que se realizan cada 10 años y que cada vez que se hacen nos suponen un desembolso de 250.000 . Las próximas obras están programadas para dentro de 10 años. Para un interés del 5% anual, ¿qué donación debe hacernos graciascerdo.mof? Eva. Respuesta: 397.522,87

37.

J. Vuelva al problema anterior y calcule la donación que debería realizar graciascerdo.mof si las próximas obras estuvieran programadas para dentro de 4 años. Recuerde que estas obras se repiten cada 10 años. Respuesta: 532.718,67

38.

Nuestra AA Generosa Carro nos ha propuesto financiar indefinidamente un coche para rectorado, algo que actualmente no tenemos en la UAR. El modelo que vamos a utilizar cuesta 30.000 , lo renovaremos cada 5 años y su valor residual es un 30%. Para un interés del 5% anual, ¿qué donación debe hacernos Generosa? Eva.

SOLUCIÓN z

El valor residual es lo que nos dan por el coche viejo cuando lo renovamos. En este caso, el valor residual es el 30%, esto supone que, cada vez que renovemos el coche, sólo tendremos que pagar el 70% de lo que cuesta uno nuevo.

CAPÍTULO 5 RENTAS z

CONSTANTES

109

Veamos el gráfico. El primer coche se compra ahora y cuesta 30.000 . A partir de aquí, al renovar el coche cada 5 años, habrá que pagar el 70% de 30.000 . 30.000

0,7*30.000

0,7*30.000 . . .

15 . . .

Año

¿V0?

Tenemos que calcular el valor actual de un capital de 30.000 que se paga hoy y el de una renta constante de 21.000 (0,7*30.000), periódica (se paga cada 5 períodos de interés), indefinida. Vamos a llamar coste capitalizado al valor actual de una inversión y de sus futuras renovaciones indefinidas. V0 = 30.000 + 21.000 = 106.009,42 1,055 − 1

39.

A nuestra AA Generosa Carro le ha parecido demasiado caro financiar el coche de rectorado indefinidamente. Generosa quiere saber cuánto le costaría financiar los 5 primeros coches, el que se compre ahora más 4 renovaciones. Eva.

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico.

Año

30.000

0,7*30.000

0,7*30.000 20

¿V0?

Tenemos que calcular el valor actual de un capital de 30.000 que se paga hoy y el de una renta constante de 21.000 , periódica, temporal (t 4 términos). R ∗ (1 + r) − 1 (1 + r)tp (1 + r)p − 1 tp

V0 =

1,054∗5 − 1 = 77.362,27 ∗ V0 = 30.000 + 21.000 1,054∗5 1,055 − 1 40.

Generosa Carro está dispuesta a darnos algo más de dinero y nos ha preguntado cuánto le costaría financiar los 7 primeros coches, el que se compre ahora más 6 renovaciones. Eva. Respuesta: 88.422,55

41.

¿Cuánto le costaría a Generosa financiar los 9 primeros coches? Eva. Respuesta: 95.212,61

42.

J. Calcule, para el mismo tipo de interés, el coste capitalizado del coche de rectorado si el modelo se renovara cada 3 años, en cuyo caso su valor residual sería el 40%. Pista: le ayudo con el gráfico.

110 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Año

30.000

0,6*30.000

0,6*30.000 . . .

9...

¿V0?

Respuesta: 144.195,08 43.

Soy director de producción de una pyme. Nuestra empresa tiene que decidir qué máquina debe utilizar para una parte de nuestro proceso productivo. Hay dos modelos que cumplen nuestros requisitos. AC38: este modelo cuesta 30.000 , debe renovarse cada 5 años y tiene un valor residual del 30%. AC42: este modelo cuesta 25.000 , debe renovarse cada 3 años y tiene un valor residual del 20%. ¿Qué modelo nos recomiendan para un interés del 15% anual? Pista: deben elegir la más barata. Calcule el coste capitalizado, CC, de cada modelo. Vamos bastante apalancados en consultas anteriores. Respuesta: CC de la AC38 50.764,18 . Debe elegir esta máquina CC de la AC42 63.396,93

44.

A partir del año que viene, ingresaré 1.000 anuales, durante 35 años, en una cuenta que capitaliza un interés del 1% mensual. ¿Qué capital tendré dentro de 35 años? Pista: se enfrenta a 35 términos que se producen cada 12 períodos de interés, cada 12 meses. Le ayudo con el gráfico.

Mes

1.000

1.000 . . .

1.000

48 . . .

420 ¿V420?

Respuesta: 507.073,36 45.

A partir del semestre que viene, ingresaré 500 semestrales, durante 35 años, en una cuenta que capitaliza un interés del 1% mensual. ¿Qué capital tendré dentro de 35 años? Pista: se enfrenta a 70 términos que vencen cada 6 períodos de interés, meses. Le ayudo con el gráfico.

Mes

500

500 . . .

500

24 . . .

420 ¿V420?

Respuesta: 522.670,98 46.

A partir del trimestre que viene, ingresaré 250 trimestrales, durante 35 años, en una cuenta que capitaliza un interés del 1% mensual. ¿Qué capital tendré dentro de 35 años? Pista: se enfrenta a 140 términos que vencen cada 3 períodos de interés, meses. Respuesta: 530.589,71

CAPÍTULO 5 RENTAS 47.

CONSTANTES

111

Nuestra empresa ha comprado una máquina por la que tendremos que hacer 12 pagos trimestrales de 6.000 cada uno, el primero dentro de un año. Nuestra Directora General quiere pagar la máquina al contado. El suministrador de la máquina está de acuerdo y hemos pactado un interés mensual del 1%. ¿Cuánto tenemos que pagar hoy por la máquina?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 6.000 6.000 6.000 . . . Mes

6.000 6.000

18 . . .

¿V0?

Se trata de calcular el valor actual de una renta constante, temporal, periódica. R ∗ (1 + r) − 1 (1 + r)tp (1 + r)p − 1 tp

V0 =

   6.000 1,0112∗3 − 1 1 = 54.510,06 ∗ V0 =  ∗ 12∗3 3 01 −

1  1,019 1,01 1, Valor mes 9  

Valor mes 0

48.

J. Vuelva sobre la Consulta 9 de este capítulo. Calcule el capital que tendrá «Pruden» en la PPT, si el interés de esta cuenta fuera el 8% anual y se aplica interés simple a las fracciones de período de capitalización del interés.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico agrupando todos los flujos que ocurren a lo largo del período de capitalización, del año.

Mes

960

960 . . .

960

48 . . .

480 ¿V480?

Utilizamos la fórmula del valor final de una renta constante, temporal y entera, a la que añadiremos el factor corrector correspondiente, ya que la renta es fraccionada. Fíjese en el Ejemplo 5.22.

VMes 480

    40 1,08 − 1  5,5 1 + 0,08 = 257.813,05 =  960 0,08 12 

 Valor mes 474,5 Factor corrector  

(

Valor mes 480 = Valor año 40

)

112 MATEMÁTICA

FINANCIERA

49.

J. Vuelva otra vez a la Consulta 9. Calcule el capital que tendrá «Pruden» en la PPT, si el interés de esta cuenta fuera el 4% semestral y se aplica interés simple a las fracciones de período de capitalización del interés. Pista: en su gráfico debe haber 80 flujos semestrales de 480 cada uno. El VM de estos flujos es el mes 3,5 de cada semestre y el factor corrector es (1 0,04*2,5/6). Respuesta: 269.007,55

50.

J. Vuelva sobre la Consulta 9. Calcule el capital que tendrá «Pruden» en la PPT, si el interés de esta cuenta fuera el 2% trimestral y se aplica interés simple a las fracciones de período de capitalización del interés. Pista: en su gráfico debe haber 160 flujos trimestrales de 240 cada uno. El VM de estos flujos es el mes 2 de cada trimestre y el factor corrector es (1 0,02*1/3). Respuesta: 275.060,48

51.

J. Recalcule la Consulta 9, suponiendo que la PPT tiene un interés del 8% anual y aplica interés compuesto a las fracciones de período de capitalización del interés.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Mes

80 . . .

5...

479

480 ¿V480?

Calculamos primero qué interés mensual, r12, tiene un equivalente anual del 8%. Este interés mensual nos permite definir la renta, también mensual, como entera.

(1 + r12 )12 − 1 = 0,08 ⇒ r12 = 12 1,08 − 1 = 0,00643403 = 0,643403% z

Para este interés mensual, la renta es entera, constante, temporal. Su valor final es: Vt = R

(1 + r)t − 1 r

⇒ V480 = 80

1,00643403480 − 1 = 257.686,34 0,00643403

52.

J. Recalcule la Consulta 9, suponiendo que la PPT tiene un interés del 4% semestral y aplica interés compuesto a las fracciones de período de capitalización del interés. Pista: calcule primero qué interés mensual tiene un equivalente semestral del 4%. Respuesta: r12 0,006558197 Valor final 268.973,92

53.

Tengo 9.000 en una cuenta que capitaliza un 12% de interés anual. Quiero saber cuánto dinero podré retirar trimestralmente durante los próximos 12 trimestres. Nota: aplique interés simple a las fracciones de período de capitalización del interés.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico.

CAPÍTULO 5 RENTAS

Mes

CONSTANTES

113

9.000

Agrupamos los flujos que vencen a lo largo del período de capitalización, aunque el VM de esos flujos sea el mes 7,5 de cada año.

Mes

9.000

Planteamos la ecuación de equilibrio.     3 1,12 − 1  4,5 1 + 0,12 ⇒ 9.000 =  4R 3 12   0,12 ∗ 1,12

  Valor mes − 4,5 Factor corrector 

(

)

Valor mes 0 = Valor año 0

9.000 = 4R ∗ 2,401831 ∗ 1,045 ⇒ R = 896,45 Hemos llamado R a lo que retira cada trimestre, puede retirar 896,45 trimestrales. 54.

Un cliente nos tiene que hacer, a partir del trimestre que viene, 12 pagos trimestrales de 900 cada uno. El cliente, que tiene mucha liquidez, quiere pagarnos hoy su deuda. Nuestra empresa tiene un acuerdo con este cliente sobre el interés a utilizar cuando se cambian los vencimientos de los pagos. El interés acordado es el 12% anual y aplicamos interés simple a las fracciones de período de capitalización. ¿Cuánto debe pagarnos este cliente ahora? Pista: le ayudo con el gráfico.

Mes

900

¿V0?

Respuesta: 9.035,69 55.

Soy José Casado Dorado y un sobrino me ha animado a hacerle esta consulta. Acabo de jubilarme y tengo 200.000 en una cuenta que capitaliza el 0,5% mensual. Mi esperanza de vida es 15 años. ¿Cuánto dinero podré retirar de la cuenta los próximos 180 meses?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

114 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Mes

R...

0 1 200.000

5...

179

180

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 200.000 = R

56.

1,005180 − 1 ⇒ R = 1.687,71 0,005 ∗ 1,005180

Soy José Casado Dorado y le escribo para agradecerle su pronta respuesta y hacerle otra consulta. Me estoy replanteando qué hacer con mis 200.000 . La estadística dice que me quedan 15 años de vida, pero mi familia es bastante longeva y no quiero quedarme sin dinero si vivo más años. Me gustaría saber cuánto dinero puedo retirar de mi cuenta durante los próximos 179 meses si quiero que dentro de 15 años queden en la cuenta 40.000 (el 20% de mi dinero). De esta forma, si no me muero, todavía me quedará algo de dinero, y si me muero, el dinero será para mis sobrinos, yo soy soltero.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Mes

R...

40.000

0 1 200.000

5...

179

180

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 200.000 = R

1,005179 − 1 + 40.000 ⇒ R = 1.555,52 0,005 ∗ 1,005179 1,005180

57.

J. Calcule cuánto dinero podrá retirar D. José Casado Dorado de su cuenta durante los próximos 179 meses si quiere que dentro de 15 años le queden 50.000 . Respuesta: 1.521,02

58.

Necesito un préstamo de 200.000 para comprarme un piso. Mi banco ha lanzado la Nueva Hipoteca, NH. La NH tiene un interés mensual del 0,5% y se amortiza mediante cuotas mensuales durante 15 años, tendré que pagar 180 cuotas. Las cuotas de la NH son iguales entre sí, salvo la última, la 180, cuyo importe es igual al 20% de préstamo, 40.000 en mi caso. ¿Cuál es el importe de las cuotas constantes? Pista: compare esta, aparentemente, nueva consulta con el gráfico de la Consulta 56. ¡Es el mismo problema! Mismo gráfico, misma ecuación de equilibrio y misma: Respuesta: 1.555,52

59.

A partir del año que viene voy a empezar a realizar aportaciones anuales en un fondo durante 12 años. Las 5 primeras aportaciones serán de 500 cada una y las 7 últimas serán de 800 cada una. El interés del fondo es el 4% anual. ¿Qué capital tendré acumulado dentro de 12 años?

CAPÍTULO 5 RENTAS

CONSTANTES

115

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Año

500

800

¿V12?

Tenemos que diferir dos rentas. Una de 5 términos de 500 y otra de 7 términos de 800 . Planteamos la ecuación de equilibrio.    1,04 5 − 1  1,04 7 − 1 = 9.882,39 V12 =  500 ∗ 1,04 7 + 800  0,04 0,04

  VALOR EN EL AÑO 5 

VALOR EN EL AÑO 12

60.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el capital que tendrá su cliente dentro de 12 años si sus aportaciones en ese fondo fueran de 600 las 4 primeras y de 900 las 8 restantes. Pista: le ayudo con el gráfico.

Año

600

900

¿V12?

Respuesta: 11.779,75 61.

Dentro de 10 años nuestros hijos gemelos, Pablo y José, irán a la universidad. Mi marido y yo queremos que estudien fuera de nuestra ciudad y eso nos va a costar bastante dinero. Pensamos que entre tasas académicas, colegios mayores, libros y demás, cada niño nos costará 10.000 anuales. Nuestro banco nos ofrece la CAUH, Cuenta de Ahorro para la Universidad de tus Hijos, cuyo interés es el 5% anual. En este momento tenemos dinero porque nos ha tocado una cantidad en la lotería. Queremos saber cuánto deberíamos ingresar hoy en la CAUH para pagar los gastos universitarios de Pablo y José, suponiendo que estudien una carrera que dura 4 años.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Año

0 ¿V0?

Planteamos la ecuación de equilibrio.

20.000

116 MATEMÁTICA

FINANCIERA

  4  1,05 − 1  V0 = 20.000 ∗ 1 9 = 45.715,03 4 0,05 ∗ 1,05 

 1,05 VALOR EN EL AÑO 9  

VALOR EN EL AÑO 0

62.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule cuánto deberían ingresar hoy sus clientes en la CAUH, si los gemelos empezaran la universidad dentro de 5 años. Respuesta: 58.345,25

63.

J. Volvemos a un clásico, la Vajilla Leti. Ahora que sabemos valorar rentas, vamos a calcular la TAE de la financiación de la siguiente oferta.

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 12 pagos trimestrales de 275 , el primero un mes después de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

SOLUCIÓN z

El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Mes

275

3.000

En el gráfico tenemos una renta constante, temporal, inmediata y mensual. Podemos calcular el interés mensual, r12, que nos cobran por la financiación. Ese interés mensual hace que la renta sea entera. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 3.000 = 275

z z

(1 + r12 )12 − 1 (1 + r12 )12 − 1 ⇒ = 10,9090909 12 12 r12 ∗ (1 + r12 ) r12 ∗ (1 + r12 )

En este caso no es necesario iniciar un proceso de prueba-error, ya que la Tabla 4 del Apéndice nos da los valores de esta fórmula. Vaya a la Tabla 4 del Apéndice, seleccione el exponente 12 y recorra las distintas columnas hasta encontrar el valor 10,9090909, o alguno muy próximo. ¾ Encontramos el valor 11,0793119 en la columna 1,25% ¾ Encontramos el valor 10,9075052 en la columna 1,5%

CAPÍTULO 5 RENTAS z

CONSTANTES

117

Como el valor que buscamos que tenga la fórmula (10,9090909) está entre estos dos números, el interés mensual de la financiación debe estar comprendido entre el 1,25% y el 1,50%. Ahora podemos INTERPOLAR. Tipo Interés r = 1,25% r = 1,50% r ↑ 0,25% r↑X

Fórmula 11,0793119 10,9075052  → V0 ↓ 0,1718067  0,25% ∗ 0,1702210 = 0,24769% ⇒ X = 0,1718067 ←  V0 ↓ 0,1702210 ⇒ r = 1,25% + 0,24769% = 1,49769% ⇒ TAE = 1,014976912 − 1 = 0,19529 = 19,53%

64.

Compare el coste de la financiación que acabamos de calcular, 19,53% TAE, con los que calculábamos: ¾ En el Problema 52 del Capítulo 2 (18,46%), cuando sólo manejábamos la fórmula de interés simple. ¾ En el Ejemplo 3.18 del Capítulo 3 (19,24%), cuando sabíamos anualizar pero no sabíamos valorar rentas. Permítame que me ponga en su lugar. «¿Y yo cómo calculo el coste de este tipo de financiaciones?» ¾ Como lo hemos visto en este capítulo, la TAE es el 19,53%. ¾ Si tiene prisa y no dispone de tablas, computadora o una calculadora financiera, calcule la TAE como lo hemos hecho en el Capítulo 3, TAE 19,24%. No es del todo exacta, hay una diferencia de 29 puntos básicos, pero está cerca. ¿Recuerda que a este sistema le llamábamos «aproximación mixta»? ¾ En casos de emergencia y cuando sólo disponga de una calculadora de 3 , puede calcular el interés simple de la financiación, 18,46%, como hacíamos en el Capítulo 2. Pero tenga en mente que la TAE siempre es mayor.

J. Calcule la TAE de la siguiente oferta y luego compare sus cálculos con los que hacíamos para la misma oferta en el Problema 53 del Capítulo 2 (22,02%) y en el Problema 101 del Capítulo 3 (23,23%).

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 12 pagos trimestrales de 275 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Pista: le ayudo con el gráfico (si no lo entiende, vaya al Problema 53 del Capítulo 2 donde está explicado) y con la ecuación de equilibrio.

118 MATEMÁTICA

Mes

FINANCIERA

275

2.725

(1 + r12 )11 − 1 2.725 = 275 ⇒ vaya a la Tabla 4 del Apéndice, acote, interpole y anualice. 11 r12 ∗ (1 + r12 ) Respuesta: Interés mensual 1,782412%, TAE 23,62% 65.

Los médicos le han dado a mi amigo Lucas una esperanza de vida de 3 años. Lucas, que no quiere que sus sobrinos se beneficien de su seguro de vida y desea disfrutar a tope estos 3 años, se ha puesto en contacto con desahucia2.mof. Esta empresa se especializa en comprar seguros de vida a personas desahuciadas, de forma que, a cambio de figurar como beneficiario del seguro de vida de sus clientes, les entrega una cantidad fija anual, la primera a la firma del contrato. ¿Qué tres cantidades anuales debe cobrar Lucas si su seguro de vida es de 200.000 y si el tipo de interés de la operación es el 18% anual? Pista: le ayudo con el gráfico. Fíjese que, en principio, Lucas estará muerto dentro de 3 años. Esto supone que desahucia2.mof le pagará dinero a Lucas en los años 0, 1 y 2 y cobrará 200.000 en el año 3 (perdón por una consulta un tanto macabra). 200.000 Año

0 R

1 R

2 R

Respuesta: R 47.444,72 66.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule la cantidad anual que recibirá Lucas si los médicos le dan una esperanza de vida de 4 años. Pista: los términos de la renta están en los años 0, 1, 2 y 3, el capital en el año 4. Respuesta: R 32.498,08

67.

Quiero tener 250.000 cuando me jubile dentro de 10 años. ¿Qué aportaciones trimestrales tengo que hacer, a partir del próximo trimestre, para cumplir mi objetivo? El interés de la cuenta es el 2% trimestral.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Trimestre 0

R...

5...

40 250.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero.

CAPÍTULO 5 RENTAS

R 68.

CONSTANTES

119

1,02 40 − 1 = 250.000 ⇒ R = 4.138,94 0,02

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule las aportaciones trimestrales que debería hacer su cliente si se jubilara dentro de 15 años. Pista: le ayudo con el gráfico.

Trimestre 0

Respuesta: 2.191,99

R...

5...

60 250.000

CAPÍTULO 6

Rentas en progresión geométrica UN POCO DE TEORÍA

En este capítulo va a aprender a valorar rentas variables en progresión geométrica (PG). Los términos de estas rentas siguen una progresión de este tipo; esto es, un término cualquiera multiplicado por una razón nos da el siguiente término. Ésta es la única característica de la renta que cambiamos, ya no es constante. La buena noticia es que mucho de lo que ha aprendido en el capítulo anterior le va a servir para éste. z En las fórmulas de rentas temporales, «t» representa el número de términos. z «r» representa el tipo de interés utilizado en la valoración. z En las fórmulas de rentas periódicas, «p» representa cada cuántos períodos de capitalización del interés vencen los términos de la renta. z Las fórmulas de valor final valoran los términos de la renta en la fecha en la que vence el último término del gráfico. z Las fórmulas de valor actual valoran los términos de la renta en un período de interés, si son enteras, o «p» períodos de interés, si son periódicas, antes del primer término del gráfico.

No hay tablas para estas rentas, aunque las Tablas 1 y 2 del Apéndice pueden serle útiles.

VALOR ACTUAL DE RENTAS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, ENTERAS, INDEFINIDAS EJEMPLO 6.1 PIAL, Pequeñas Inversiones A Largo, puede entrar en un negocio por el que recibirá, a partir del año que viene, 9.000 anuales, cantidad que se irá incrementando anualmente en un 3% a perpetuidad. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Vamos a poner de manifiesto la evolución de estos flujos. PIAL recibe cada año un flujo igual al del año anterior aumentado en un 3%. El flujo del año 1 es 9.000 . 121

122 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Año 1: Año 2: 9.000 0,03*9.000 Año 3: 9.000 (1 0,03) 0,03*9.000 (1 0,03) 9.000 (1 0,03) (1 0,03) Año 4: 9.000 (1 0,03)2 0,03*9.000 (1 0,03)2 9.000 (1 0,03)2 (1 0,03) Año 5: 9.000 (1 0,03)3 0,03*9.000 (1 0,03)3 9.000 (1 0,03)3 (1 0,03) Etcétera z

9.000 9.000 (1 0,03) 9.000 (1 0,03)2 9.000 (1 0,03)3 9.000 (1 0,03)4

Fíjese que si multiplicamos un flujo cualquiera por (1 0,03), 1 más la tasa de crecimiento 3%, obtenemos el siguiente término.

Vamos a plantear un caso general igual al caso particular que queremos resolver. Tenemos que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R(1 g)

R(1 g)2

R(1 g)3 . . .

4...

En el gráfico tenemos una renta en progresión geométrica (PG), entera, indefinida e inmediata.

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. R + R (1 + g) + R (1 + g) + R (1 + g) + ... ⇒ 4 (1 + r) (1 + r)2 r) (1 + r)3 (1 +

V0 =

VALOR EN UN PERIODO DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: V0 = R r−g Entendiendo la fórmula: z z z z

R: es el primer término de la renta. r: tipo de interés de la valoración. g: es la tasa de crecimiento (3% en el Ejemplo 6.1). Lo que hace la fórmula: actualiza los infinitos términos de la renta y los valora en un período de capitalización «r» de interés antes del primer término.

Vamos a resolver el Ejemplo 6.1. Planteamos el gráfico de flujos.

Año

0 ¿V0?

9.000

9.000*1,03

9.000*1,032 . . .

3...

La renta del gráfico es indefinida, entera, en PG e inmediata. Su primer término, R, es 9.000 y su tasa de crecimiento, g, es el 3%. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver.

CAPÍTULO 6 RENTAS

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

123

V0 = R ⇒ V0 = 9.000 = 128.571,42 r−g 0,1 − 0,03 z

¿Qué es 128.571,42 ? Es el valor de los infinitos términos de la renta en un período de interés 10% (un año en este caso) antes del primer término. Por lo tanto, es el valor de la renta en el año 0, que es el valor que buscábamos.

EJEMPLO 6.2 Debemos calcular, para un interés del 6% semestral, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Semestre

0 ¿V0?

500

500*1,02

500*1,022 . . .

3...

Renta en PG, indefinida, entera e inmediata. Le aplicamos su fórmula. 500 V0 = R = = 12.500 r − g 0,06 − 0,02

EJEMPLO 6.3 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

0 ¿V0?

500

500*1,03

500*1,032

500*1,033 . . .

6...

Renta en PG, entera, indefinida y no inmediata. Aunque no sea inmediata, aplicamos la fórmula que acabamos de ver. V0 =

500 ∗ 1 = 5.903,19 2 0,1 − 0,03

1,1 VALOR EN AÑO 2 EL

VALOR EN EL AÑO 0

Al igual que en el capítulo anterior, sigue siendo importante entender la fórmula: z z z z

R: es el primer término de la renta, 500 en nuestro caso. r: es el tipo de interés de la valoración, 10% anual en este caso. g: es la tasa de crecimiento periódico de la renta (3% en este caso). ¿Qué hace la fórmula?: actualiza los infinitos términos de la renta y los valora en un período de capitalización 10% de interés, 1 año en este caso, antes del primer término. Por lo tanto, la fórmula nos ha dado el valor de la renta en el año 2, actualizamos esta cantidad 2 años para calcular su valor en 0.

124 MATEMÁTICA

FINANCIERA

VALOR ACTUAL Y FINAL DE RENTAS EN PG, ENTERAS, TEMPORALES

Tenemos que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R(1 g)

R(1 g)2

R(1 g)3 . . .

R(1 g)(t 1)

4...

En el gráfico tenemos una renta en PG, entera, temporal e inmediata.

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. t −1

R (1 + g) R (1 + g) R (1 + g) R (1 + g) V0 = R + + + + ... + ⇒ 3 4 t (1 + r) (1 + r)2 1 + r) 1 + r) 1 + r) ( ( (

VALOR EN UN PERIODO DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: R ∗ (1 + r) − (1 + g) r−g (1 + r)t t

V0 =

Entendiendo la fórmula: z z z z z

R: es el primer término de la renta. r: tipo de interés de la valoración. t: número de términos de la renta. g: es la tasa de crecimiento periódico de la renta. Lo que hace la fórmula: actualiza los «t» términos de la renta y los valora en un período de capitalización «r» de interés antes del primer término.

Para calcular el valor final de esta renta, diferimos el valor actual y simplificamos la expresión. Vt = V0 (1 + r)

  t t   (1 + r) − (1 + g)  t ∗ (1 + r)  ⇒ Simplificando Vt =  R t ∗  r−g (1 + r)     V0 Vt = R

(1 + r)t − (1 + g)t r−g

Entendiendo la fórmula: z «R», «r», «t» y «g» representan lo mismo que en la fórmula de valor actual. z Lo que hace la fórmula: difiere los «t» términos de la renta y los valora en el período en el que se encuentra el último término.

CAPÍTULO 6 RENTAS

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

125

EJEMPLO 6.4 PIAL, Pequeñas Inversiones a Largo, puede entrar en un negocio por el que recibirá, a partir del año que viene, 9.000 anuales, cantidad que aumentará en un 2% anual, durante los próximos 30 años. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Planteamos el gráfico.

Año

9.000

9.000*1,02

9.000*1,022 . . .

3...

0 ¿V0?

9.000*1,0229 30

En el gráfico tenemos una renta en PG, temporal, entera e inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. R ∗ (1 + r) − (1 + g) r−g (1 + r)t t

V0 =

1,130 − 1,0230 = 100.821,77 ∗ V0 = 9.000 30 0,1 − 0,02 1,1

EJEMPLO 6.5 PIAL, Pequeñas Inversiones a Largo, puede entrar en un negocio por el que recibirá, a partir del año que viene, 9.000 anuales, cantidad que aumentará en un 10% anual, durante los próximos 30 años. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Planteamos el gráfico.

Año

0 ¿V0?

9.000

9.000*1,1

9.000*1,12 . . .

3...

9.000*1,129 30

En el gráfico tenemos una renta en PG, temporal, entera e inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. R ∗ (1 + r) − (1 + g) r−g (1 + r)t t

V0 =

1,130 − 1,130 9.000 0 ∗ = ∗ = indeterminado V0 = 9.000 0,1 − 0,1 1,130 0 1,130 z

¿Cómo es posible que no se pueda determinar el valor actual de una renta de 30 términos? Las fórmulas de rentas en PG dan estos problemas cuando el tipo de interés, «r», coincide con la tasa de crecimiento, «g». No hay problema, podemos calcular el valor actual de esta renta actualizando cada término. V0 = 9.000 + 1,1

9.000 ∗ 1,129 9.000 ∗ 1,1 9.000 ∗ 1,12 + + ... + = 245.454,55 2 3 1,130 1,1 1,1

126 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Si simplificamos la expresión antes de calcular el resultado, tenemos: V0 = 9.000 + 9.000 + 9.000 + ... + 9.000 = 30 ∗ 9.000 = 245.454,55 1,1 1,1 1,1

1,1 1,1 30 términos

Vamos a generalizar la expresión simplificada: V0 = 30 ∗ 9.000 = t ∗ R 1,1 (1 + r)

Cuando «r» y «g» coinciden, calculamos el valor actual multiplicando el número de términos de la renta, «t», por el primer término, «R» y dividiéndolo entre uno más el interés. Esta fórmula nos da el valor de la renta un período de interés antes del primer término.

Voy a ponerme en su lugar, probablemente le surgen algunas preguntas. z z

¿Cómo calculamos el valor final en estos casos? Respuesta: Difiera el valor actual. ¿Y si la renta es indefinida? Respuestas: 1. En este caso «t» es infinito, luego el valor actual es infinito. V0 = t ∗ R (si t = ∞) ⇒ ∞ ∗ R = ∞ (1 + r) (1 + r) 2.

De todas formas no se preocupe, es difícil pensar en un negocio que pueda mantener, a tan largo plazo, una tasa de crecimiento tan alta, enseguida le saldrían competidores que la atenuarían. Por otra parte, si crecer al 10% anual fuera lo normal en las empresas, sería la economía del país la que crecería a esa tasa tan elevada. ¿Y si la renta es temporal pero «r» es menor que «g»? Respuesta: la fórmula no es un problema. Vamos a valorar la renta de nuestro ejemplo para un interés del 8% anual. 1,0830 − 1,130 = 330.333,77 V0 = 9.000 ∗ 0,08 − 0,1 1,0830

¿Y si la renta es indefinida y «r» es menor que «g»? Respuestas: 1. El valor actual es infinito, aunque la fórmula nos dé que es negativo. V0 = 2.

9.000 = 9.000 < 0 0,08 − 0,1 −0,02

No es lógico que el valor actual de flujos futuros sea negativo, es un problema de la fórmula. Actualice los flujos de los 100, ó si le hace más feliz, los 200 primeros años y confórmese con esa valoración. ¿Le preocupa mucho lo que pueda pasar dentro de 300 años? Le insisto otra vez que no parece razonable que se puedan mantener tasas de crecimiento anormalmente altas.

EJEMPLO 6.6 Su prima Prudencia, «Pruden», se jubila dentro de 30 años. A partir del año que viene, y durante 30 años, Pruden ingresará dinero en un fondo que le capitaliza un 5% de interés anual. El año que viene

CAPÍTULO 6 RENTAS

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

127

ingresará 9.000 y aumentará esta cantidad en un 2% anual todos los años. ¿Qué capital tendrá Pruden en el fondo cuando se jubile? z

Planteamos el gráfico.

Año

9.000

9.000*1,02

9.000*1,022 . . .

3...

9.000*1,0229 30 ¿V30?

En el gráfico tenemos una renta en PG, temporal, entera e inmediata. Calculamos su valor final aplicando la fórmula que acabamos de ver. Vt = R ∗ V30 = 9.000 ∗

(1 + r)t − (1 + g)t r−g

1,0530 − 1,0230 = 753.174,24 0,05 − 0,02

EJEMPLO 6.7 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor en el año 6 de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

500

500*1,03

500*1,032

500*1,033

6 ¿V6?

Renta en PG, entera, temporal, no inmediata. Fíjese que tiene 4 términos, acaba en el año 5 y buscamos su valor en el año 6.    1,14 − 1,034  V6 = 500 ∗  ∗ 1,1 = 2.660,36 0,1 − 0,03

  VALOR EN AÑO 5  

VALOR EN AÑO 6

VALOR ACTUAL DE RENTAS EN PG, PERIÓDICAS, INDEFINIDAS EJEMPLO 6.8 PIAL, Pequeñas Inversiones A Largo, puede entrar en un negocio por el que recibirá flujos cada dos años a perpetuidad. El primer flujo será de 9.000 y lo recibirá dentro de dos años, posteriormente este flujo aumentará un 3% anual. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Vamos a calcular los flujos que recibe PIAL en los años 2, 4, 6, 8, 10 … Fíjese que los flujos crecen un 3% anual. Si el año 2 recibe 9.000 , 9.000*1,03 sería el flujo del siguiente año, del año 3. Pero PIAL no recibe el siguiente flujo hasta el año 4 y éste debe crecer también un 3%

128 MATEMÁTICA

FINANCIERA

este año, por lo que su importe será 9.000*1,032. Le muestro a continuación, en negrita, los flujos que recibe PIAL. Año 2: Año 3: 9.000 0,03*9.000 Año 4: 9.000 (1 0,03) 0,03*9.000 (1 0,03) 9.000 (1 0,03) (1 0,03) Año 5: 9.000 (1 0,03)2 0,03*9.000 (1 0,03)2 9.000 (1 0,03)2 (1 0,03) Año 6: 9.000 (1 0,03)3 0,03*9.000 (1 0,03)3 9.000 (1 0,03)3 (1 0,03) Año 8:

9.000 9.000 (1 0,03) 9.000 (1 0,03)2 9.000 (1 0,03)3 9.000 (1 0,03)4 9.000 (1 0,03)6

Año 10:

9.000 (1 0,03)8

Etcétera z

Planteamos el gráfico de flujos. 9.000 Año

0 ¿V0?

9.000*1,032 9.000*1,034 9.000*1,036 . . .

8...

En el gráfico tenemos una renta en PG, indefinida, periódica, inmediata. Necesitamos calcular primero la fórmula capaz de valorar una renta de este tipo.

Planteamos un caso general igual al caso particular que queremos resolver. Tenemos que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R(1 g)p

R(1 g)2p

R(1 g)3p . . .

4p . . .

En el gráfico tenemos una renta en PG, periódica, indefinida, inmediata.

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. R (1 + g) R (1 + g) R (1 + g) V0 = R p + + + + ... ⇒ 2p 3p 4p 1 + r) 1 + r) 1 + r) 1 + r) ( ( ( (

VALOR EN "P" PERIODOS DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: V0 =

R (1 + r) − (1 + g)p p

CAPÍTULO 6 RENTAS

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

129

z z z

g: es la tasa de crecimiento periódico de la renta. (1 g)p: es la razón de los términos de la renta. Lo que hace la fórmula: actualiza los infinitos términos de la renta y los valora en «p» períodos de capitalización «r» de interés antes del primer término.

Vamos a resolver nuestro ejemplo. Le recuerdo el gráfico. 9.000 Año

0 ¿V0?

9.000*1,032 9.000*1,034 9.000*1,036 . . .

8...

Calculamos el valor actual de la renta con la fórmula que acabamos de ver. V0 =

R = 29.000 2 = 60.362,17 p (1 + r) − (1 + g) 1,1 − 1,03 p

EJEMPLO 6.9 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico. 500*1,033

500*1,03 Año

0 ¿V0?

500*1,035 . . . 4

5...

Renta en PG, periódica (cada 2 años), indefinida, no inmediata. Fíjese que el primer término es 500*1,03. Para calcular su valor actual hacemos:    500 ∗ 1,03  V0 =  2 ∗ 1,1 = 3.799,46 2  − 1,03  1,1   VALOR EN AÑO −1 

VALOR EN AÑO 0

EJEMPLO 6.10 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

0 ¿V0?

5.000

5.000*1,08

5.000*1,082 5.000*1,083 . . . 12

16 . . .

Renta en PG, periódica (cada 4 años), indefinida, inmediata. Fíjese que el primer término es 5.000. Para calcular su valor actual hacemos:

130 MATEMÁTICA

FINANCIERA

V0 =

R (1 + r) − (1 + g)p p

Recuerde que (1 g)p es la razón de los términos de la renta, en este caso es 1,08. V0 =

5.000 = 13.017,44 1,14 − 1,08

VALOR ACTUAL Y FINAL DE RENTAS EN PG, PERIÓDICAS, TEMPORALES

Tenemos que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R(1 g)p

R(1 g)2p

R(1 g)3p . . .

R(1 g)(t 1)p

4p . . .

En el gráfico tenemos una renta en PG, periódica, temporal e inmediata.

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. (t −1) p

R (1 + g) R (1 + g) R (1 + g) R (1 + g) V0 = R p + + + + ... + ⇒ 2p 3p 4p tp 1 + r) 1 + r) 1 + r) 1 + r) 1 + r) ( ( ( ( (

VALOR EN "P" PERIODOS DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: R ∗ (1 + r) − (1 + g) (1 + r)tp (1 + r)p − (1 + g)p tp

V0 =

Entendiendo la fórmula: z z z z z z z z

R: es el primer término de la renta. r: tipo de interés de la valoración. p: cada cuántos períodos de capitalización del interés vencen los términos de la renta. t: es el número de términos de la renta. g: es la tasa de crecimiento periódico de la renta. (1 g)p: es la razón de los términos de la renta. (1 g)tp (1 g)pt: es la razón de los términos elevada al número de términos. Lo que hace la fórmula: actualiza los «t» términos de la renta y los valora en un período de capitalización «r» de interés antes del primer término.

Para calcular el valor final de esta renta, diferimos el valor actual y simplificamos la expresión. Vtp = V0 (1 + r)

CAPÍTULO 6 RENTAS

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

131

  tp tp   (1 + r) − (1 + g)  tp  ⇒ Simplificando ∗ + Vtp =  R tp ∗ 1 r ( )  p p 1 + r) − (1 + g)  (1 + r)  (

  V0 Vtp = R ∗

(1 + r)tp − (1 + g)tp (1 + r)p − (1 + g)p

Entendiendo la fórmula: z z

R, r, p, (1 g)p… representan lo mismo que en la fórmula de valor actual. Lo que hace la fórmula: difiere los «t» términos de la renta y los valora en el período en el que se encuentra el último término.

EJEMPLO 6.11 La empresa de logística Jarry Portes ha llegado a un acuerdo de donación con ESMA, un centro de formación de magos. Este acuerdo supone que Jarry Portes se hará cargo de la renovación, durante los próximos 25 años, del aula tecnológica de ESMA, que pasará a llamarse Aula Jarry Portes. El aula renovará sus equipos cada 5 años. Los equipos cuestan 90.000 hoy y se calcula que su precio aumentará un 2% cada año. La primera renovación se hará dentro de 5 años. El acuerdo se materializa mediante la donación hoy a ESMA de un capital suficiente para sufragar estos desembolsos. Calcule, para un interés del 5% anual, el importe de dicha donación. z

Los equipos hoy cuestan 90.000 ; dentro de 1 año costarán 90.000*1,02; dentro de 2 años su precio en el mercado será de 90.000*1,022; dentro de 5 años, en la primera renovación, su precio será de 90.000*1,025; dentro de 10 años, en la segunda renovación, su precio será de 90.000*1,0210 y así sucesivamente.

Planteamos el gráfico de flujos. 90.000*1,025 90.000*1,0210 90.000*1,0215 90.000*1,0220 0

90.000*1,0225 25

¿V0?

Tenemos una renta en PG, temporal, periódica, inmediata. Fíjese que el primer término es 90.000*1,025, «t», el número de términos del gráfico, es 5 y «p», cada cuántos períodos de capitalización del interés, años en este caso, se produce la renta, también es 5. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. R ∗ (1 + r) − (1 + g) (1 + r)tp (1 + r)p − (1 + g)p tp

V0 =

90.000 ∗ 1,025 1,055∗5 − 1,02 5∗5 = 297.479,89 ∗ 1,055∗5 1,055 − 1,02 5

132 MATEMÁTICA

FINANCIERA

EJEMPLO 6.12 Jarry Portes, Presidente de la empresa del mismo nombre, cree que podría hacer otras cosas con su dinero, en lugar de dárselo a ESMA. Se le ha ocurrido que podría crear la Fundación Jarry Portes dentro de 25 años, cuando se jubile. De esta forma tendría algo que hacer en sus años de jubilado. Para financiar su fundación, ha pensado ingresar, en los mismos vencimientos, los flujos necesarios para las renovaciones de las computadoras del aula tecnológica de ESMA en una cuenta que capitaliza un 5% de interés anual. El Sr. Jarry Portes le pregunta qué capital tendrá en esta cuenta, dentro de 25 años, para constituir la Fundación. z

Planteamos el gráfico de flujos, que son exactamente los mismos que los del ejemplo anterior. 90.000*1,025 90.000*1,0210 90.000*1,0215 90.000*1,0220 0

90.000*1,0225

25 ¿V25?

Tenemos una renta en PG, temporal, periódica, inmediata. Calculamos su valor final aplicando la fórmula que acabamos de ver. Vtp = R ∗

V0 = 90.000 ∗ 1,02 5 ∗

(1 + r)tp − (1 + g)tp (1 + r)p − (1 + g)p

1,055∗5 − 1,02 5∗5 = 1.007.372,51 1,055 − 1,02 5

EJEMPLO 6.13 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor final de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

5.000

5.000*1,08

5.000*1,082 . . .

12 . . .

5.000*1,085 24 ¿V24?

Renta en PG, periódica, temporal (6 términos), inmediata. Para calcular su valor actual hacemos:

(1 + r)tp − (1 + g)tp Vtp = R ∗ (1 + r)p − (1 + g)p Recuerde: (1 g)p es la razón de los términos de la renta, en este caso es 1,08; (1 g)tp (1 g)pt es la razón elevada al número de términos, en este caso es 1,086. V24 = 5.000 ∗

1,16∗4 − 1,086 = 107.561,29 1,14 − 1,08

CAPÍTULO 6 RENTAS

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

133

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS Seguimos con su negocio de consultas financieras. Su clientela está muy satisfecha y, además de hacerle consultas recurrentemente, recomienda sus servicios, lo que le trae nuevos clientes. Aunque usted ha subido la tarifa a 6 , las consultas siguen creciendo y su cuenta corriente también. Le presento algunas de las consultas que le han mandado sus clientes este fin de semana. 1.

Nuestra empresa, una bodega de la Rioja, tiene alquilado un viñedo por el que pagamos, desde hace muchos años, una renta anual a su propietario. El contrato, que tiene una duración indefinida, estipula que el alquiler que pagamos al propietario, Feliciano Viñas, debe aumentar un 3% anual. El próximo alquiler vence dentro de un año y asciende a 51.348 . Feliciano quiere vendernos el viñedo para construir unos adosados para sus hijos. ¿Cuánto deberíamos pagar por el viñedo para un interés del 10% anual?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 51.348 51.348*1,03 51.348*1,032 51.348*1,033 . . . Año

4...

¿V0?

Tenemos que calcular el valor actual de una renta en PG, entera, indefinida. V0 = R ⇒ V0 = 51.348 = 733.542,86 r−g 0,1 − 0,03

Soy Pedro Ladrón de la Peña. Me han hablado muy bien de usted y quiero hacerle una consulta. Puedo comprar un activo por el que recibiré 5 el año que viene. Esta cantidad aumentará un 2% anual los años siguientes, a perpetuidad. ¿Cuánto debería pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 8% anual? Pista: le ayudo con el gráfico.

Año

5*1,02

5*1,022 . . .

3...

¿V0?

Respuesta: 83,33 3.

Puedo comprar por 62,5 un activo capaz de generar flujos de fondos anuales a perpetuidad. El año que viene recibiré 5 y esta cantidad aumentará un 2% anual los años siguientes. ¿Qué rentabilidad obtengo si compro el activo? Pedro L de la P.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de flujos.

134 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Año

5*1,02

5*1,022 . . .

3...

62,5

Planteamos la ecuación de equilibrio y despejamos la incógnita. 62,5 =

5 ⇒ r = 0,1 = 10% r − 0,02

En la consulta anterior usted ha calculado que para obtener una rentabilidad del 8% había que pagar 83,33 por este activo. Si, como se indica en esta consulta, su cliente puede comprarlo más barato, por 62,5 , la rentabilidad que obtiene con esta inversión debe ser mayor que el 8%. 4.

Puedo comprar un activo capaz de generar flujos de fondos anuales a perpetuidad. Este activo generará el primer flujo dentro de 3 años y será de 6 , este flujo irá aumentando un 2% cada año. ¿Cuánto debería pagar hoy por el activo para obtener una rentabilidad del 10% anual? Pedro L de la P.

SOLUCIÓN z

Año

Representamos el gráfico.

0 ¿V0?

6*1,02

6*1,022

6*1,023 . . . 6...

Calculamos el valor actual de estos flujos.     1 R 6 V0 = ⇒ V0 =   ∗ 1,12 = 61,98 r−g 0,1 − 0,02

  año 2   Valor

Valor año 0

J. Calcule cuánto debería pagar D. Pedro por el activo de la consulta anterior, si el primer flujo del activo se produjera: A) dentro de 2 años. B) dentro de un año. Respuesta: A 68,18 B 75,00

Puedo comprar un activo que generará unos flujos de 3 anuales durante los próximos 7 años. A partir del año 8, el flujo aumentará un 3% anual de forma indefinida. ¿Cuánto debería pagar hoy por el activo para obtener una rentabilidad del 12% anual? Pedro L de la P.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos.

CAPÍTULO 6 RENTAS

Año

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

3...

3*1,03

3*1,032

3*1,033 . . .

2...

10 . . .

135

¿V0?

Tenemos que calcular el valor actual de dos rentas: una constante de 3 y 7 términos, la otra sigue una PG, empieza en el año 8, su primer término es 3*1,03 y tiene infinitos términos.    3 ∗ 1,03  1,12 7 − 1 1 + V0 = 3 ∗  ∗ 1,12 7 = 29,22 − 0,12 0,03 0,12 ∗ 1,12 7   Valor año 7  

Valor año 0

También podríamos considerar el gráfico como una renta constante de 3 y 6 términos, y una renta en PG que empieza con un término de 3 en el año 7. En este caso haríamos:     1,126 − 1 3 1 + V0 = 3 ∗  ∗ 1,126 = 29,22 6 0,12 − 0,03 0,12 ∗ 1,12   Valor año 6  

Valor año 0

Nuestra empresa, local.es.mof, ha puesto en venta un pequeño local. Hay dos bancos interesados en comprarlo, pero nos ofrecen planes de pago diferentes. z El primer banco nos ofrece 192.000 al contado. z El segundo nos ofrece 5 pagos semestrales, el primero de 40.000 , que nos pagará el próximo semestre, y el resto de pagos crecerán un 2% semestral. ¿A qué banco deberíamos vender el local para un interés del 3% semestral?

SOLUCIÓN z

Su cliente debe vender el local al banco que le dé más dinero valorado en una fecha concreta. El valor hoy de lo que ofrece el primer banco es 192.000 . Planteamos el gráfico de lo que ofrece el segundo, para calcular su valor actual. 40.000

Semestre

40.000*1,02 2

40.000*1,022 3

40.000*1,023 4

40.000*1,024 5

¿V0?

1,035 − 1,02 5 = 190.440,80 V0 = 40.000 ∗ 5 0,03 − 0,02 1,03 Su cliente debe vender el local al primer banco. 8.

¿A cuál de los bancos deberíamos vender nuestro local para un interés del 2% semestral? local.es.mof.

136 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Pista: fíjese que «r», 2%, coincide con «g», 2%. Respuesta: V0 Banco 1 192.000 V0 Banco 2 196.078,43 Su cliente debe vender el local al Banco 2. 9.

Dentro de 10 años nuestros hijos gemelos, Pablo y José, irán a la universidad. Mi marido y yo queremos que estudien fuera de nuestra ciudad y eso nos va a costar bastante dinero. Pensamos que entre tasas académicas, colegios mayores, libros, etc., cada niño nos costará 10.000 anuales el primer año y posteriormente este coste aumentará un 4% anual. Nuestro banco nos ofrece la CAUH, Cuenta de Ahorro para la Universidad de tus Hijos, cuyo interés es el 5% anual. En este momento tenemos dinero porque nos ha tocado una cantidad en la lotería. Queremos saber cuánto deberíamos ingresar hoy en la CAUH para pagar los gastos universitarios de Pablo y José, suponiendo que estudien una carrera que dura 4 años.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 20.000

Año

20.000*1,04

20.000*1,042

20.000*1,043 13

¿V0?

Planteamos la ecuación de equilibrio.    20.000 1,054 − 1,04 4  1 = 48.415,89 V0 =  ∗ ∗ 9 4 − 0,05 0,04 1,05 1,05 

 Valor año 9  

10.

J. Calcule qué capital deberían ingresar ahora los clientes de la consulta anterior si el interés anual de la CAUH fuera el 4% anual. Respuesta: 54.045,13

11.

A partir del año que viene empezaré a hacer aportaciones anuales en un fondo durante 10 años. La primera aportación será de 5.000 e iré aumentando las restantes un 2% anual. El interés del fondo es el 5% anual. ¿Qué capital tendré dentro de 10 años?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 5.000

Año

V10 = 5.000 ∗

5.000*1,02 2

5.000*1,022 . . . 3...

1,0510 − 1,0210 = 68.316,70 0,05 − 0,02

5.000*1,023 10 ¿V10?

CAPÍTULO 6 RENTAS 12.

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

137

A partir del año que viene empezaré a hacer aportaciones anuales en un fondo durante 10 años. La primera aportación será de 5.000 e iré aumentando las restantes un 2% anual. El interés del fondo es el 2,5% semestral. ¿Qué capital tendré dentro de 10 años?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 5.000

Semestre

5.000*1,02

5.000*1,022 . . .

6...

5.000*1,029 20 ¿V20?

Los flujos son los mismos que los de la consulta anterior. La diferencia estriba en que el tipo de interés es semestral, lo que convierte esta renta en periódica. La fórmula que tenemos que emplear es: Vtp = R ∗

(1 + r)tp − (1 + g)tp (1 + r)p − (1 + g)p

Recuerde: (1 g)p es la razón de los términos de la renta, en este caso es 1,02; (1 g)tp (1 g)pt es la razón elevada al número de términos, en este caso es 1,0210. V20 = 5.000 ∗ 13.

1,02510∗2 − 1,0210 = 68.509,72 1,0252 − 1,02

Mi vecina, Isolina Ballina, ha sido una de las personas agraciadas en el sorteo «10 años haciéndote feliz» del BS, Banco de la Salud. Isolina recibirá del BS 10 capitales durante los próximos 10 años. El primero, el del año que viene, será de 5.000 y el resto irán aumentando un 5% cada año. Isolina va a ingresar estos capitales en una cuenta que le ofrece un interés del 5% anual. ¿Qué capital tendrá mi vecina dentro de 10 años?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 5.000

Año

5.000*1,05 2

5.000*1,052 . . . 3...

5.000*1,059 10 ¿V10?

V10 = 5.000 ∗ z

1,0510 − 1,0510 = indeterminado 0,05 − 0,05

Podemos diferir cada término al año 10, pero tenemos otra alternativa. Hemos visto que cuando «r» y «g» coinciden en este tipo de rentas, hay una fórmula que nos permite calcular su valor actual.

138 MATEMÁTICA

FINANCIERA

    t −1 t V0 = t ∗ R ⇒ Vt =  t ∗ R  ∗ (1 + r) ⇒ Vt = t ∗ R ∗ (1 + r) 1 + r (1 + r) ( ) 

  V0  Vt = 10 ∗ 5.000 ∗ 1,0510 = 10 ∗ 5.000 ∗ 1,059 = 77.566,41 1,05 14.

Una empresa muy importante nos ha comprado una máquina que cuesta 200.000 . Esta empresa nos quiere abonar la máquina mediante 4 pagos semestrales, el primero el próximo semestre, que aumentarán un 2% cada semestre. ¿Cuál es el importe de cada pago para un interés del 4% semestral?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de la operación.

Semestre 0 200.000

R*1,02

R*1,022

R*1,023

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 200.000 =

R ∗ 1,04 4 − 1,02 4 ⇒ R = 53.524,27 1,04 4 0,04 − 0,02

Fíjese que 53.524,27 es R, el pago del primer semestre. Su cliente debe cobrar: ¾ ¾ ¾ ¾

Semestre 1 R: Semestre 2 R*1,02: Semestre 3 R*1,022: Semestre 4 R*1,023:

53.524,27 54.594,76 55.686,65 56.800,38

15.

J. Calcule los pagos semestrales del problema anterior si el interés pactado fuera el 2% semestral. Respuesta: Semestre 1 51.000,00 Semestre 2 52.020,00 Semestre 3 53.060,40 Semestre 4 54.121,61

16.

Nuestra empresa necesitará 200.000 dentro de 4 años para comprar una máquina. Para disponer de esa cantidad, vamos a realizar 4 ingresos anuales, a partir del año que viene, en una cuenta que ofrece un interés del 6% anual. Queremos aumentar los ingresos en un 4% anual. ¿Cuánto deberemos ingresar cada año?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de la operación.

CAPÍTULO 6 RENTAS

Año

R*1,04

R*1,042

R*1,043

4 200.000

139

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. R∗ ¾ ¾ ¾ ¾

17.

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

1,06 4 − 1,04 4 = 200.000 ⇒ R = 43.187,96 0,06 − 0,04

Año 1 R: Año 2 R*1,04: Año 3 R*1,042: Año 4 R*1,043:

43.187,96 44.915,48 46.712,10 48.580,58

Nuestra empresa necesitará 400.000 dentro de 4 años para comprar una máquina. Para disponer de esa cantidad, vamos a realizar 4 ingresos anuales, el primero lo haremos hoy, en una cuenta que ofrece un interés del 6% anual. Queremos aumentar los ingresos en un 4% anual. ¿Cuánto deberemos ingresar cada año?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de la operación.

Año

R*1,04

R*1,042

R*1,043

4 400.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero.    1,06 4 − 1,04 4   R ∗ 0,06 − 0,04  ∗ 1,06 = 400.000 ⇒ R = 81.486,72   Valor año 3  

Valor año 4

¾ ¾ ¾ ¾ 18.

Año 0 R: Año 1 R*1,04: Año 2 R*1,042: Año 3 R*1,043:

81.486,72 84.746,19 88.136,04 91.661,48

Tengo 22 años y acabo de encontrar mi primer empleo. Mi sueldo del primer año es 16.000 y estimo que aumentará un 3% cada año. Tengo mis dudas sobre el futuro del estado de bienestar, por lo que quiero empezar a ahorrar desde ya para cuando me jubile. Creo que a la gente de mi edad nos alargarán la vida laboral y nos jubilarán con 70 años. A partir del año que viene, y durante 48 años, ingresaré un 5% de mi sueldo anual en un fondo en el que obtendré una rentabilidad del 9% anual. ¿Qué capital tendré acumulado cuando me jubile?

140 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Pista: los sueldos anuales estimados de su cliente son: 16.000 el primer año; 16.000*1,03 el 2º año; 16.000*1,032 el 3º; 16.000*1,033 el 4º, etc. Su cliente ahorra cada año el 5% del sueldo de ese año. Le ayudo con el gráfico. 800 Año

800*1,032 . . .

800*1,03

800*1,0347

3...

48 ¿V48?

Respuesta: 779.373,13 19.

J. Calcule qué capital tendrá acumulado su cliente de la consulta anterior, si la rentabilidad que le ofreciera el fondo fuera el 10% anual, en lugar del 9% anual. Respuesta: 1.061.542,65

20.

Soy Eva del Bosque, la responsable del departamento de donaciones de la UAR. Hace poco tiempo te hice algunas consultas y ahora quiero replantearlas ya que no tuve en cuenta que casi todo sube de precio en esta vida. Una de mis consultas se refería a la Beca Jarry Portes de Química. Me gustaría que me calcularas cuál es el importe de la donación que tiene que hacernos Jarry Portes teniendo en cuenta los siguientes datos: las tasas de este año han sido de 5.000 , pero estimo que subirán un 2% anual; el tipo de interés es el 5% anual y la duración de la beca es indefinida. Pista: las tasas de este año han sido 5.000 , las del año que viene (primer término) serán 5.000*1,02, las del siguiente serán 5.000*1,022, etc. Veamos el gráfico. 5.000*1,022

5.000*1,02 Año

5.000*1,023

5.000*1,024 . . .

4...

¿V0?

Respuesta: 170.000 21.

Como ya te dije en otra consulta, la empresa graciascerdo.mof se va a hacer cargo de los próximos mantenimientos indefinidos de nuestra Aula Magna. El Aula Magna requiere unas obras de mantenimiento que se realizan cada 10 años, acabamos de pagar 250.000 por las que se han terminado ahora. Estimo que este tipo de obras se encarecerán aproximadamente un 3% cada año. Lógicamente, las próximas obras están programadas para dentro de 10 años. Para un interés del 5% anual, ¿qué donación debe hacernos graciascerdo.mof? Eva.

SOLUCIÓN z

Las obras que se hagan dentro de 10 años costarán 250.000*1,0310, las de dentro de 20 años costarán 250.000*1,0320, y así sucesivamente. Veamos el gráfico. 250.000*1,0310 250.000*1,0320 250.000*1,0330 . . . Año

0 ¿V0?

30 . . .

CAPÍTULO 6 RENTAS V0 =

22.

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

141

250.000 ∗ 1,0310 R = 1.178.964,00 = (1 + r)p − (1 + g)p 1,0510 − 1,0310

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el importe de la donación si la empresa sólo estuviera dispuesta a financiar las próximas 5 obras de mantenimiento. Pista: le ayudo con el gráfico. 250.000*1,0310 Año

250.000*1,0320 . . .

250.000*1,0350

20 . . .

¿V0?

Respuesta: 728.254,38 23.

Nuestra AA Generosa Carro quiere hacernos una donación para financiar, indefinidamente, un coche para rectorado. El modelo que vamos a utilizar cuesta actualmente 30.000 , precio que estimamos que aumentará un 2% anual, lo renovaremos cada 5 años y su valor residual es un 30%. Para un interés del 5% anual, ¿qué donación debe hacernos Generosa? Eva.

SOLUCIÓN z

¿Recuerda que el valor residual es lo que nos dan por el coche viejo cuando lo renovamos? En este caso el valor residual es el 30%, esto supone que cada vez que renovamos el coche sólo tendremos que pagar el 70% de lo que cueste uno nuevo en ese momento. Dentro de 5 años el precio de un coche nuevo en el mercado será de 30.000*1,025, como el valor residual es el 30% de esta cifra, tendremos que pagar el 70% restante. Por lo tanto, la «caja» necesaria en las renovaciones es: 21.000*1,025 ¾ Año 5: 0,7*(30.000*1,025) ¾ Año 10: 0,7*(30.000*1,0210) 21.000*1,0210 ¾ Etcétera

Veamos el gráfico. 30.000 Año

21.000*1,025

21.000*1,0210

21.000*1,0215 . . .

15 . . .

¿V0?

Calculamos el valor actual de todos estos flujos (el coste capitalizado). V0 = 30.000 +

24.

21.000 ∗ 1,02 5 = 164.643,41 1,055 − 1,02 5

J. Calcule qué donación debería hacer Generosa a la UAR para financiar sólo los 5 primeros coches de rectorado. El que se compre ahora más 4 renovaciones. Pista: le ayudo con el gráfico.

142 MATEMÁTICA

FINANCIERA

21.000*1,025

30.000 Año

21.000*1,0210 21.000*1,0215

21.000*1,0220

¿V0?

Respuesta: 89.237,99 25.

Nuestra compañía tiene que decidir cada cuántos años debe renovar el coche de Presidencia. El modelo que vamos a utilizar cuesta 60.000 hoy en el mercado y estimamos que este precio aumentará un 3% anual. Si renovamos el coche cada 3 años, su valor residual es el 50%. Si lo renovamos cada 5 años, su valor residual es el 40%. Para un interés del 15% anual, ¿cuál debe ser nuestra política de renovación indefinida del coche de Presidencia? Pista: las finanzas nos dicen que deben optar por la alternativa más barata. Calcule el coste capitalizado (CC) de ambas. Le ayudo con los gráficos. z

Alternativa 1 60.000 Año

30.000*1,033 3

30.000*1,036 6

30.000*1,039 . . . 9...

¿V0?

Alternativa 2 60.000 Año

36.000*1,035 5

36.000*1,0310 10

36.000*1,0315 . . . 15 . . .

¿V0?

Respuesta: CC Alternativa 1 136.566,54 CC Alternativa 2 108.978,63 26.

Soy director de producción de una pyme. Nuestra empresa tiene que decidir qué máquina debe utilizar para una parte de nuestro proceso productivo. Hay dos modelos que cumplen nuestros requisitos. z AC38: este modelo cuesta 30.000 , este precio aumentará un 2% anual, debe renovarse cada 5 años y tiene un valor residual del 30%. z AC42: este modelo cuesta 25.000 , estimamos que este precio aumentará un 1% anual, debe renovarse cada 3 años y tiene un valor residual del 20%. ¿Qué modelo nos recomiendan para un interés del 15% anual? Pista: deben elegir la más barata. Calcule el coste capitalizado, CC, de cada modelo. Respuesta: CC de la AC38 55.555,27 CC de la AC42 67.003,90

27.

Guillermo Verjas, exitoso e inmensamente rico hombre de negocios, se ha puesto en contacto con nuestra Facultad de Informática y nos ha ofrecido financiar indefinidamente la Cátedra de Ingeniería

CAPÍTULO 6 RENTAS

EN PROGRESION GEOMÉTRICA

143

del Software, que pasaría a llamarse Cátedra Guillermo Verjas. Esta cátedra nos costará 150.000 el año que viene y este coste irá creciendo un 2% cada año. Para un 5% de interés anual, ¿qué donación debe hacernos ahora Guillermo Verjas para hacer frente a esos pagos? Eva. Pista: le ayudo con el gráfico. 150.000 Año

0 ¿V0?

Respuesta: 5.000.000

150.000*1,022 150.000*1,023 . . . 2

3...

CAPÍTULO 7

Rentas en progresión aritmética UN POCO DE TEORÍA

En este capítulo aprenderá a valorar rentas variables en progresión aritmética (PA). Estas rentas son, como ya se imagina, aquéllas cuyos términos siguen una progresión de este tipo; esto es, un término cualquiera sumado a una razón nos da el siguiente término. Voy a empezar con la buena noticia del día: lo que ha aprendido en los dos capítulos anteriores le va a ser útil en éste, ya que: z «R» representa el primer término de la renta. z En las fórmulas de rentas temporales, «t» representa el número de términos. z «r» representa el tipo de interés utilizado en la valoración. z En las fórmulas de rentas periódicas, «p» representa cada cuántos períodos de capitalización del interés vencen los términos de la renta. z Las fórmulas de valor final valoran los términos de la renta en la fecha en la que vence el último término del gráfico. z Las fórmulas de valor actual valoran los términos de la renta en un período de interés, si son enteras, o «p» períodos de interés, si son periódicas, antes del primer término del gráfico.

No hay tablas para estas rentas, pero verá que hay algunas tablas en el Apéndice que le serán útiles.

VALOR ACTUAL DE RENTAS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, ENTERAS, INDEFINIDAS EJEMPLO 7.1 Su amiga Rosa Orden Espinosa, ROE para los amigos, es la alcaldesa de un pueblo de la provincia de Badajoz. El ayuntamiento del municipio está situado, desde hace años, en una casa solariega del siglo XIX alquilada a una familia noble venida a menos. El propietario actual de la casa quiere vendérsela al municipio y Rosa se ha puesto en contacto con usted para que le ayude. En su conversación telefónica ROE le ha dicho lo siguiente: «El contrato tiene una duración indefinida y estipula un pago anual por el alquiler del ayuntamiento. Este pago no es el mismo todos los años, sino que 145

146 MATEMÁTICA

FINANCIERA

aumenta 200 cada año. El próximo alquiler vence dentro de un año y asciende a 9.000 . El director de la Caja de Ahorros me ha dicho que el tipo de interés adecuado para esta valoración es el 5%. Me gustaría que me dijeras cuánto debería ofrecer por la casa solariega. Cuando vengas en verano te regalo un pata negra de 9 kilos por tu tiempo. Buen finde y saluda a tus padres.» z

Planteamos el gráfico de flujos.

Año

9.000

9.000 200

9.000 2 * 200

...

¿V0?

Esta renta es indefinida, entera, en progresión aritmética (PA) un término cualquiera más 200 nos da el siguiente e inmediata.

Vamos a plantear un caso general igual al caso particular que queremos resolver. Tenemos que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R a

R 2a

R 3a . . . 4

...

En el gráfico tenemos una renta en progresión aritmética (PA), entera, indefinida e inmediata.

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. V0 =

R R+a R + 2a R + 3a + + + + ... 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )3 (1 + r )4

⇒

VALOR EN UN PERÍODO DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: V0 =

R a + r r2

Entendiendo la fórmula: z R: es el primer término de la renta. z r: tipo de interés de la valoración. z a: es la razón de la progresión (200 en el Ejemplo 7.1). z Lo que hace la fórmula: actualiza los infinitos términos de la renta y los valora en un período de capitalización «r» de interés antes del primer término. z

Vamos a resolver el Ejemplo 7.1. Le recuerdo el gráfico.

Año

0 ¿V0?

9.000

9.000 200

9.000 2 * 200

...

CAPÍTULO 7 RENTAS z

147

La renta del gráfico es indefinida, entera, en PA e inmediata. Su primer término, «R», es 9.000 y la razón de la progresión, «a» es 200. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. V0 =

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

R a 9.000 200 + 2 ⇒ V0 = + = 260.000 r r 0,05 0,052

¿Qué es 260.000 ? Es el valor de los infinitos términos de la renta en un período de interés 5% (un año en este caso) antes del primer término. Por lo tanto, es el valor de la renta en el año 0, que es el valor que buscábamos.

EJEMPLO 7.2 Debemos calcular, para un interés del 6% semestral, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Semestre

500

500 40

500 2 *40

...

¿V0?

Renta en PA, indefinida, entera e inmediata. Le aplicamos su fórmula. V0 =

R a 500 40 + 2 = + = 19.444,44 r r 0,06 0,06 2

EJEMPLO 7.3 Debemos calcular, para un interés del 8% anual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Año

500

500 40

500 2*40 5

500 3*40 . . . 6

...

¿V0?

Renta en PA, entera, indefinida y no inmediata. Aplicamos la fórmula que acabamos de ver. V0 =

500 40 1 + ∗ = 10.716,74 2 2 0,08 0,08

1,08 VALOR EN EL AÑO 2

VALOR EN EL AÑO 0

Sigue siendo importante entender la fórmula: z z z z

R: es el primer término de la renta, 500 en nuestro caso. r: es el tipo de interés de la valoración, 8% anual en este caso. a: es la razón de la progresión, 40 en este caso. ¿Qué hace la fórmula?: actualiza los infinitos términos de la renta y los valora en un período de capitalización «8%» de interés, 1 año en este caso, antes del primer término. Por

148 MATEMÁTICA

FINANCIERA

lo tanto, la fórmula nos ha dado el valor de la renta en el año 2, actualizamos esta cantidad 2 años para calcular su valor en 0.

VALOR ACTUAL Y FINAL DE RENTAS EN PA, ENTERAS, TEMPORALES

Tenemos que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R a

R 2a

R 3a . . . 4

R (t 1)a

...

En el gráfico tenemos una renta en PA, entera, temporal e inmediata. Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. V0 =

R R+a R + 2a R + 3a R + (t-1)a ⇒ + + + + ... + 2 3 4 t (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) 1+ r) (

VALOR EN UN PERÍODO DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que:

(1 + r ) − 1  R + a  − a ∗ t V0 = t  r  r (1 + r )t r (1 + r )  t

Entendiendo la fórmula: z R: es el primer término de la renta. z r: tipo de interés de la valoración. z t: número de términos de la renta. z a: es la razón de la progresión. z Lo que hace la fórmula: actualiza los «t» términos de la renta y los valora en un período de capitalización «r» de interés antes del primer término.

Para calcular el valor final de esta renta, diferimos el valor actual y simplificamos la expresión. Vt = V0 (1 + r )

   1+ r t −1  ( ) a a∗t  t   Vt = 1 + r ) ⇒ Simplificando R+ − t  t (  r (1 + r )  r  r (1 + r )    V0   Vt

(1 + r ) =

−1 a  a∗t R+ −  r r r 

Entendiendo la fórmula: z «R», «r», «t» y «a» representan lo mismo que en la fórmula de valor actual. z Lo que hace la fórmula: difiere los «t» términos de la renta y los valora en el período en el que se encuentra el último término.

CAPÍTULO 7 RENTAS

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

149

Estas dos fórmulas son bastante áridas y no tenemos tablas para ellas. Sin embargo, las Tablas 3 y 4 incluidas en el Apéndice le pueden ser útiles.

(1 + r ) Tabla 3:

(1 + r ) − 1 Tabla 4: t r (1 + r ) t

−1

EJEMPLO 7.4 PIAL, Pequeñas Inversiones a Largo, puede entrar en un negocio por el que recibirá, a partir del año que viene, 9.000 anuales, cantidad que aumentará en 400 anuales, durante los próximos 30 años. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Planteamos el gráfico. 9.000

Año

9.000 400 9.000 2*400 . . .

...

9.000 29*400 30

¿V0?

En el gráfico tenemos una renta en PA, temporal, entera e inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver.

(1 + r ) − 1  R + a  − a ∗ t t  r  r (1 + r )t r (1 + r )  t

V0 =

1,130 − 1  400  400 ∗ 30 − = 115.672,86 9.000 + 30  0,1  0,1 ∗ 1,130 0,1 ∗ 1,1 

EJEMPLO 7.5 Margarita Flores del Camino, «Marga», está preocupada por el deterioro físico de Rodrigo, su marido. Marga ha pensado regalarle un tratamiento de rejuvenecimiento dentro de 6 años, cuando Rodrigo cumpla 60 años, en la Clínica estética Frank Stein. Para financiar el tratamiento, Marga ingresará dinero anualmente, durante los próximos 6 años, en el BS, Banco de la Salud. El primer ingreso, el del año que viene, será de 800 y los siguientes irán aumentando 100 cada año. El interés que le produce la cuenta de ahorro es el 5% anual. ¿Qué saldo tendrá la cuenta dentro de 6 años? z

Planteamos el gráfico.

Año

800

800 100

800 2*100 . . . 3

...

800 5*100 6 ¿V6?

En el gráfico tenemos una renta en PA, temporal, entera e inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. Vt =

(1 + r )

−1 a  a∗t R+ −  r r r 

150 MATEMÁTICA

FINANCIERA

V6 =

1,056 − 1  100  100 ∗ 6 − = 7.045,36 800 +  0,05  0,05  0,05

EJEMPLO 7.6 Debemos calcular, para un interés del 5% semestral, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico.

Semestre

500

500 40

500 2*40

¿V0?

Renta en PA, temporal, entera e inmediata. Le aplicamos su fórmula.

(1 + r ) − 1  R + a  − a ∗ t V0 = t  r  r (1 + r )t r (1 + r )  t

V0 =

1,053 − 1  40  40 ∗ 3 − = 1.467,01 500 +  3  0,05  0,05 ∗ 1,053 0,05 ∗ 1,05 

¿No le parece que le cuesta más la salsa que los caracoles al utilizar la fórmula cuando la renta tiene pocos términos? En estos casos puede serle más cómodo actualizar, o diferir, término a término. 500 540 580 V0 = + + = 1.467,01 2 1,05 1,05 1,053

EJEMPLO 7.7 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor en el año 8 de los flujos de fondos del siguiente gráfico. 500 Año

500 50 500 2*50 500 3*50 3

8 ¿V8?

Renta en PA, entera, temporal, no inmediata. Fíjese que tiene 4 términos, acaba en el año 5 y buscamos su valor en el año 8.    1,14 − 1  50  50 ∗ 4   ∗ 1,13 = 3.515,17 − V8 =  500 +   0,1  0,1    0,1

  Ñ VALOR EN A O 5  

VALOR EN AÑO 8

Recuerde que siempre puede diferir la renta término a término. V8 = 500 * 1,056 + 550 * 1,055 + 600 *1,054 +650 * 1,053 = 3.515,17

CAPÍTULO 7 RENTAS

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

151

VALOR ACTUAL DE RENTAS EN PA, PERIÓDICAS, INDEFINIDAS

Tenemos que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los siguientes:

R a

R 2a

R 3a . . . 4p

...

En el gráfico tenemos una renta en PA, periódica, indefinida, inmediata. Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. V0 =

R+a

R + 2a

R + 3a

+ ... ⇒

(1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )

VALOR EN "P" PERÍODOS DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: V0 =

(1 + r )

−1

((1 + r ) − 1) p

Entendiendo la fórmula: z R: es el primer término de la renta. z r: tipo de interés de la valoración. z p: cada cuántos períodos de capitalización del interés vencen los términos de la renta. z a: es la razón de la progresión. z Lo que hace la fórmula: actualiza los infinitos términos de la renta y los valora en «p» períodos de capitalización «r» de interés antes del primer término.

La Tabla 7 incluida en el Apéndice puede serle útil. Tabla 7:

(1 + r )

−1

EJEMPLO 7.8 PIAL, Pequeñas Inversiones A Largo, puede entrar en un negocio por el que recibirá flujos cada tres años a perpetuidad. El primer flujo será de 8.000 y lo recibirá dentro de tres años, posteriormente, este flujo irá aumentando 300 cada año. ¿Cuánto debería pagar PIAL por el negocio, si desea obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Planteamos el gráfico de flujos. 8.000 Año

8.000 300 6

8.000 2*300 9

8.000 3*300 . . . 12

...

¿V0?

En el gráfico tenemos una renta en PA, indefinida, periódica, inmediata. Calculamos su valor actual con la fórmula que acabamos de ver.

152 MATEMÁTICA

FINANCIERA

V0 =

(1 + r )

−1

((1 + r )

)

−1

8.000 300 + 3 1,1 − 1 1,13 − 1

(

)

= 26.907,38

EJEMPLO 7.9 Vuelva al Ejemplo 7.1 de este mismo capítulo. Su amiga ROE le ha dejado el siguiente mensaje en su buzón de voz: «Me gustaría que me dijeras cuánto debería ofrecer por la casa solariega para un interés del 2% semestral. Gracias.» z

Planteamos el gráfico de flujos. 9.000 Semestre

9.000 200

9.000 2*200 . . .

...

¿V0?

Esta renta ahora es periódica, indefinida, en PA e inmediata. V0 =

(1 + r )

−1

((1 + r ) − 1) p

9.000 200 + 2 1,02 − 1 1,02 2 − 1

(

)

= 345.309,28

EJEMPLO 7.10 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico. 500 200 Año

500 2*200 2

500 3*200 4

¿V0?

Renta en PA, periódica, indefinida, no inmediata. Fíjese que el primer término es 500+200 = 700. Para calcular su valor actual hacemos:     200   700 ∗ 1,1 = 8.655,33 V0 =  2 + 1,1 − 1 1,12 − 1 2      Ñ − VALOR A O 1  

(

)

VALOR AÑO 0

VALOR ACTUAL Y FINAL DE RENTAS EN PA, PERIÓDICAS, TEMPORALES

Tenemos que calcular el valor actual de una renta cuyos flujos son los mostrados en el primer gráfico de la página siguiente. En este gráfico tenemos una renta en PA, periódica, temporal e inmediata.

CAPÍTULO 7 RENTAS

R a

R 2a

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

R 3a . . . 4p

153

R (t 1)a

...

Para calcular el valor actual de esta renta, descontamos sus términos y simplificamos la expresión resultante. V0 =

R+a

R + 2a

R + 3a

+ ... +

R + ( t-1) a

(1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )

⇒

VALOR EN "P" PERÍODOS DE INTERÉS ANTES DEL PRIMER TÉRMINO

Simplificando esta expresión, se puede demostrar que: V0 =

(1 + r )

 (1 + r )tp − 1   a a∗t    R + − p p  (1 + r )p −11   (1 + r ) − 1  + − 1 r 1 ( )   

Entendiendo la fórmula: z R: es el primer término de la renta. z r: tipo de interés de la valoración. z p: cada cuántos períodos de capitalización del interés vencen los términos de la renta. z t: es el número de términos de la renta. z a: es la razón de la progresión. z Lo que hace la fórmula: actualiza los «t» términos de la renta y los valora en «p» períodos de capitalización «r» de interés antes del primer término.

Para calcular el valor final de esta renta, diferimos el valor actual y simplificamos la expresión. Vtp = V0 (1 + r )

 (1 + r )tp − 1   a∗t  a tp   ∗ (1 + r ) ⇒   − Vtp = + R p tp p p (1 + r )  (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1 

 (1 + r ) − 1  R + a a∗t − p p p (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1 tp

Vtp =

Entendiendo la fórmula: z R, r, p, a… representan lo mismo que en la fórmula de valor actual. z Lo que hace la fórmula: difiere los «t» términos de la renta y los valora en el período en el que se encuentra el último término.

EJEMPLO 7.11 Su primo Jorge puede entrar en un negocio por el que recibirá 10 flujos de fondos cada dos años. Cada flujo irá aumentando en 100 , el primero será de 3.000 y lo recibirá dentro de 2 años. ¿Cuánto dinero debería invertir Jorge en este negocio para obtener una rentabilidad del 10% anual? z

Planteamos el gráfico de flujos.

154 MATEMÁTICA

FINANCIERA

3.000 Año

3.000 100

3.000 2*100 6

...

3.000 9*100 20

¿V0?

Tenemos una renta en PA, temporal, periódica, inmediata. Calculamos su valor actual aplicando la fórmula que acabamos de ver. V0 =

V0 =

(1 + r )

1 1,110∗2

 (1 + r )tp − 1   a a∗t      + − R p p  (1 + r )p −11   (1 + r ) − 1  + − 1 r 1 ( )   

 1,110∗2 − 1  100  200 ∗ 10  − 3.000 + 2   = 13.384,92  2 1,1 − 1  1,12 − 1   1,1 − 1 

EJEMPLO 7.12 Vuelva al Ejemplo 7.5 de este capítulo. Calcule el capital que tendrá Margarita dentro de 6 años si el interés de la cuenta del BS fuera el 3% semestral. z

Planteamos el gráfico.

Semestre

800

800 100

800 2*100 6

... ...

800 5*100 12 ¿V12?

En el gráfico tenemos una renta en PA, temporal, periódica e inmediata. Calculamos su valor final aplicando la fórmula que acabamos de ver.  (1 + r ) − 1  R + a a∗t − p p p   (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1 tp

Vtp =

V12 =

100  100 ∗ 6 1,036∗2 − 1  − 800 + = 7.220,42  2 1,03 − 1  1,032 − 1  1,032 − 1

EJEMPLO 7.13 Debemos calcular, para un interés del 10% anual, el valor actual de los flujos de fondos del siguiente gráfico. 2.000 Año

0 ¿V0?

2.000 90 10

2.000 2*90 14

... ...

2.000 6*90 30

CAPÍTULO 7 RENTAS z

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

155

Renta en PA, periódica (cada 4 períodos de capitalización), temporal (7 términos), no inmediata. Para calcular su valor actual hacemos: V0 =

(1 + r )

 (1 + r )tp − 1   a a∗t      + − R p p  (1 + r )p −11   (1 + r ) − 1  + − 1 r 1 ( )   

   1  1,17∗4 − 1  90  90 ∗ 7   1 = 3.558,12 V0 =  7∗4  2.000 + 4 − ∗  4 1,1 − 1  1,1 − 1  1,14 − 1   1,12  1,1    Valor año 2  

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS Su negocio de consultas financieras sigue creciendo. También crecen su patrimonio y sus tarifas, ahora cobra 8 por consulta. Le presento algunas de las consultas que recibió ayer. 1.

Nuestra empresa, una bodega de la Rioja, tiene alquilado un viñedo por el que pagamos, desde hace muchos años, una renta anual a su propietario. El contrato, que tiene una duración indefinida, estipula que el alquiler que pagamos al propietario, Feliciano Viñas, debe aumentar 300 cada año. El próximo alquiler vence dentro de un año y asciende a 55.400 . Feliciano quiere vendernos el viñedo para construir unos adosados para sus hijos. ¿Cuánto deberíamos pagar por el viñedo para un interés del 10% anual?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Año

55.400

55.400 300

55.400 2*300

55.400 3*300 . . . 4

...

¿V0?

Tenemos que calcular el valor actual de una renta en PA, entera, indefinida. V0 =

R a 55.400 300 + 2 ⇒ V0 = + 2 = 584.000 r r 0,1 0,1

Puedo comprar un activo por el que recibiré 5 el año que viene. Esta cantidad aumentará un euro anual los años siguientes, a perpetuidad. ¿Cuánto debería pagar por este activo si quiero obtener una rentabilidad del 8% anual? Pista: le ayudo con el gráfico.

Año

0 ¿V0?

Respuesta: 218,75

5 1

5 2*1 . . . 3

...

156 MATEMÁTICA 3.

FINANCIERA

Puedo comprar por 150 un activo capaz de generar flujos de fondos anuales a perpetuidad. El año que viene recibiré 5 y esta cantidad aumentará un euro anual los años siguientes. ¿Qué rentabilidad obtengo si compro el activo?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de flujos.

Año

5 1

5 2*1 . . . 3

...

150

Planteamos la ecuación de equilibrio y despejamos la incógnita. 150 =

5 1 + ⇒ r = 0,1 = 10% r r2

Puedo comprar un activo capaz de generar flujos de fondos anuales a perpetuidad. Este activo generará el primer flujo dentro de 3 años y será de 6 , este flujo irá aumentando dos euros cada año. ¿Cuánto debería pagar hoy por el activo para obtener una rentabilidad del 10% anual?

SOLUCIÓN z Representamos el gráfico.

Año

6 2

6 2*2

6 3*2 . . . 6

...

¿V0?

Calculamos el valor actual de estos flujos.    6 R a 2  1 V0 = + 2 ⇒ V0 =  + 2  ∗ 2 = 214,88 r r 0,1  0,1  1,1 ñ Valor a 2   o

Valor año 0

J. Calcule cuánto debería pagarse por el activo de la consulta anterior, si el primer flujo del activo se produjera: A) dentro de 2 años. B) dentro de un año. Respuesta: A = 236,36 B = 260,00

Puedo comprar un activo que generará unos flujos de 3 anuales durante los próximos 7 años. A partir del año 8, el flujo aumentará un euro anual de forma indefinida. ¿Cuánto debería pagar hoy por el activo para obtener una rentabilidad del 12% anual?

SOLUCIÓN z Planteamos el gráfico de flujos.

CAPÍTULO 7 RENTAS

Año

...

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

157

3 1 3 2*1 3 3*1. . . 8

...

¿V0?

Tenemos que calcular el valor actual de dos rentas: una constante de 3 y 7 términos, la otra sigue una PA, empieza en el año 8, su primer término es 4 y tiene infinitos términos.    4 1,12 7 − 1 1  1 V0 = 3 ∗ ∗ = 60,18 + + 7 7 2  0,12 0,12 ∗ 1,12  0,12 1,12 

  Valor año 7  

Valor año 0

También podríamos considerar el gráfico como una renta constante de 3 y 6 términos, y una renta en PA que empieza con un término de 3 en el año 7. En este caso haríamos:    1,12 − 1 3 1  1 V0 = 3 ∗ ∗ = 60,18 + + 6 6 2  0,12 0,12 ∗ 1,12  0,12 1,12 

  Valor año 6  

Valor año 0

Mi abuelo ha puesto en venta un pequeño local. Hay tres bancos interesados en comprarlo, pero le ofrecen planes de pago diferentes. ¾ ¾ ¾

El primer banco le ofrece 5 pagos semestrales de 80.000 cada uno, el primero al contado. El segundo le ofrece 5 pagos semestrales, el primero de 80.000 , que le pagará el próximo semestre, y el resto de pagos crecerán un 2% semestral. El tercero le ofrece 5 pagos semestrales, el primero de 77.000 al contado, y el resto de pagos crecerán 2.000 cada semestre.

¿A qué banco debería mi abuelo vender el local para un interés del 3% semestral?

SOLUCIÓN z

Su cliente debe vender el local al banco que le dé más dinero valorado en una fecha concreta. Planteamos el gráfico de lo que ofrece cada comprador y calculamos el valor actual de esos flujos. Banco 1 80.000 Semestre 0

80.000 1

80.000 2

¿V0?

Como el primer flujo está en 0, podemos hacer:

80.000 3

80.000 4

158 MATEMÁTICA

FINANCIERA

V0 = 80.000 + 80.000 ∗

1,034 − 1 = 377.367,87 0,03 ∗ 1,034

Banco 2

Semestre

80.000

80.000*1,02

80.000*1,022

80.000*1,023

80.000*1,024

¿V0?

V0 =

80.000 1,035 − 1,02 5 ∗ = 380.881,60 0,03 − 0,02 1,035

Banco 3

Semestre

77.000

77.000 2.000

77.000 2*2.000

77.000* 3*2.000

77.000 4*2.000

¿V0?

Como el primer flujo está en 0, podemos hacer:  1,034 − 1  2.000  2.000 ∗ 4  V0 = 77.000 +  − 79.000 +  = 381.527,45  4  0,03  0,03 ∗ 1,034   0,03 ∗ 1,03  También podemos considerar el primer flujo como parte de una renta en PA de 5 términos, en cuyo caso:    1,035 − 1  2.000  2.000 ∗ 5  V0 =  − 77.000 +  ∗ 1,03 = 381.527,45 0,03  0,03 ∗ 1,035  0,03 ∗ 1,035  

  VALOR SEMESTRE −1   Su cliente debe vender el local al tercer banco. 8.

J. Vuelva al problema anterior. ¿A cuál de los bancos recomendaría a su cliente vender el local para un interés del 2% semestral? Pista: fíjese en que «r», 2%, coincide con «g», 2%, del segundo banco. Respuesta: V0 Banco 1 = 384.618,30 V0 Banco 2 = 392.156,86 V0 Banco 3 = 389.045,27 Su cliente debe vender el local al Banco 2.

Soy Marcelino Molino Nuevo, propietario de un terreno de pastoreo en una sierra de Navarra. He recibido una oferta de una empresa que explota parques eólicos, para instalar dos aerogeneradores en mi terreno durante los próximos 20 años. La empresa me pagará, a partir del año que viene, 1.800 por cada aerogenerador, cantidad que aumentará 80 cada año. Voy a ingresar estas cantidades en un fondo que me ofrece un interés anual del 6%. ¿Cuánto dinero tendré dentro de 20 años?

CAPÍTULO 7 RENTAS

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

159

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de flujos. 3.600 Año

3.600 160

3.600 2*160 3

...

3.600 19*160

...

20 ¿V20?

En el gráfico tenemos una renta en PA, temporal, entera e inmediata.

(1 + r ) =

−1 a  a∗t R+ −  r r r  20 1,06 − 1  160  160 ∗ 20 − = 177.189,70 V20 = 3.600 +  0,06 0,06  0,06  Vt

10.

Soy Marcelino Molino Nuevo. Mi hermano Fortunato es propietario de otro terreno más venteado que el mío y ha recibido una oferta para instalar cuatro aerogeneradores en ese terreno durante los próximos 20 años. La empresa le pagará, a partir del año que viene, 2.200 por cada aerogenerador, cantidad que aumentará 100 cada año. ¿Cuánto dinero tendrá Fortunato dentro de 20 años si ingresa esas cantidades en el mismo fondo que yo? Pista: le ayudo con el gráfico. 8.800 Año

8.800 400 2

8.800 2*400 3

...

8.800 19*400

...

20 ¿V20?

Respuesta: 435.617,14 11.

J. Calcule cuánto dinero tendrán los hermanos Molino dentro de 20 años, si el interés ofrecido por el fondo fuera el 3% semestral. Pista: para este tipo de interés, las rentas son periódicas. Respuesta: Marcelino = 178.756,86 . Fortunato = 439.463,44

12.

Nuestra hija Pilar irá a la universidad dentro de 6 años. Calculo que el primer año la broma nos costará unos 11.000 y posteriormente este coste aumentará unos 500 cada año. Me gustaría saber cuánto debería ingresar hoy en una cuenta, que ofrece un interés anual del 6%, para pagar los gastos universitarios de Pilar, suponiendo que estudie una carrera que dure 4 años.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Año

0 ¿V0?

11.000

11.000 500

11.000 2*500

11.000 3*500

160 MATEMÁTICA

FINANCIERA

   1,06 4 − 1  1 500  500 ∗ 4  ∗ V0 =  − 11.000 + = 30.330,40  4  4 0,06  0,06 ∗ 1,06  1,06 5 0,06 ∗ 1,06  

  VALOR AÑO 5   13.

J. Calcule qué capital debería ingresar el cliente de la consulta anterior, si la carrera elegida por Pilar durara 5 años y el interés anual de la cuenta fuera el 4% anual. Respuesta: 43.765,47

14.

A partir del año que viene, la cooperativa en la que trabajo empezará a hacer aportaciones anuales a mi favor en un fondo de pensiones para cuando me jubile dentro de 25 años. La primera aportación será de 4.000 y aumentará las restantes en 200 anuales. El interés del fondo es el 5% anual. ¿Qué capital tendré dentro de 25 años?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 4.000 Año

4.000 200

4.000 2*200 3

...

4.000 24*200

...

25 ¿V25?

V25 =

15.

1,0525 − 1  200  200 ∗ 25 − = 281.816,79 4.000 +  0,05  0,05  0,05

A partir del año que viene haré ingresos anuales en un fondo durante 10 años. El primer ingreso será de 8.000 , aumentaré los restantes 400 cada año. El interés del fondo es el 2% trimestral. ¿Qué capital tendré dentro de 10 años?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 8.000 Trim.

8.000 400

8.000 2*400 12

...

8.000 9*400 40 ¿V40?

En el gráfico tenemos una renta en PA, temporal, periódica e inmediata.  (1 + r ) − 1  R + a a∗t − Vtp = p p p (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1 tp

V40 =

400  400 ∗ 10 1,0210∗4 − 1  − 8.000 + = 139.827,70  4 1,02 − 1  1,02 4 − 1  1,02 4 − 1

CAPÍTULO 7 RENTAS 16.

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

161

Mi nieto Andrés irá a la universidad dentro de 5 años. Calculo que el coste del primer año será 7.000 y posteriormente este coste aumentará unos 300 cada año. Me gustaría que me dijera cuánto debo ingresar hoy en una cuenta, que ofrece un interés semestral del 2%, para pagar los gastos universitarios de Andrés, suponiendo que estudie una carrera que dure 4 años.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Semestre

7.000

7.000 300

7.000 2*300

7.000 3*300

0 ¿V0?

En el gráfico tenemos una renta en PA, temporal, periódica, no inmediata. V0 =

(1 + r )

 (1 + r )tp − 1   a a∗t      + − R p p  (1 + r )p −11   (1 + r ) − 1  + − 1 r 1 ( )   

   1  1,02 4∗2 − 1  1 300  300 ∗ 4   V0 =  = 23.013,01 − 7.000 +  ∗   4 ∗2 2 2 2 1,02 − 1  1,02 − 1   1,028  1,02  1,02 − 1    Valor semestre 8   17.

J. Calcule qué capital debería ingresar el cliente de la consulta anterior, si la carrera elegida por Andrés durara 5 años y el interés anual de la cuenta fuera el 3% semestral. Respuesta: 25.092,88

18.

He heredado un apartamento en la costa y se lo he alquilado a un Tour Operador para los próximos 15 años. El Tour Operador me paga el alquiler anual a comienzo de cada año. Acabo de cobrar 4.000 por el alquiler del primer año y este alquiler aumentará 200 cada año. Voy a ingresar todos estos cobros en una cuenta que me ofrece un interés del 1% trimestral. ¿Qué capital tendré en la cuenta dentro de 15 años?

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. Su cliente cobra 15 alquileres, el primero hoy y el último en el trimestre 56 (en el año 14). Fíjese que le pide el saldo dentro de 15 años (60 trimestres). 4.000

4.000 200

Trim. 0

4.000 2*200

...

4.000 24*200

...

60 ¿V60?

En el gráfico tenemos una renta en PA, temporal, periódica e inmediata.  (1 + r ) − 1  R + a a∗t − p p p   (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1 tp

Vtp =

162 MATEMÁTICA

FINANCIERA

   1,0115∗4 − 1  200  200 ∗ 15  4 V60 =   4.000 + 1,014 − 1  − 1,014 − 1  ∗ 1,01 = 109.932,44 4 1,01 − 1       Valor trimestre 56   19.

Una empresa muy importante nos ha comprado una máquina que cuesta 200.000 . Esta empresa nos quiere abonar la máquina mediante 4 pagos semestrales, el primero el próximo semestre, y que aumentarán en 1.000 cada semestre. ¿Cuál es el importe de cada pago para un interés del 4% semestral?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de la operación.

Semestre 0

R 1.000

R 2*1.000 R 3*1.000 3

200.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero.

(1 + r ) − 1  R + a  − a ∗ t V0 = t  r  r (1 + r )t r (1 + r )  t

200.000 =

1.000  1.000 ∗ 4 1,04 4 − 1  − R+ ⇒ 4  0,04  0,04 ∗ 1,04 4 0,04 ∗ 1,04  R = 53.647,01

Fíjese que 53.647,01 es R, el pago del primer semestre. Su cliente debe cobrar: ¾ Semestre 1 = R: 53.647,01 ¾ Semestre 2 = R+1.000: 54.647,01 ¾ Semestre 3 = R+2.000: 55.647,01 ¾ Semestre 4 = R+3.000: 56.647,01

20.

J. Calcule los pagos del problema anterior, si su incremento fuera de 3.000 cada semestre. Respuesta: Semestre 1 = 50.745,02 Semestre 2 = 53.745,02 Semestre 3 = 56.745,02 Semestre 4 = 59.745,02

21.

Nuestra empresa necesitará 200.000 dentro de 4 años para comprar una máquina. Para disponer de esa cantidad, vamos a realizar 4 ingresos anuales, a partir del año que viene, en una cuenta que ofrece un interés del 6% anual. Queremos aumentar los ingresos en 6.000 cada año. ¿Cuánto deberemos ingresar cada año?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de la operación.

CAPÍTULO 7 RENTAS

Año

R 6.000

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

163

R 2*6.000 R 3*6.000 3

4 200.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. Vt =

(1 + r )

−1 a  a∗t R+ −  r r r 

1,06 4 − 1  6.000  6.000 ∗ 4 − = 200.000 ⇒ R+  0,06 0,06  0,06  R = 37.154,90 ¾ ¾ ¾ ¾ 22.

Año 1 = R: Año 2 = R+6.000: Año 3 = R+12.000: Año 4 = R+18.000:

37.154,90 43.154,90 49.154,90 55.154,90

Nuestra empresa necesitará 400.000 dentro de 4 años para comprar una máquina. Para disponer de esa cantidad, vamos a realizar 4 ingresos anuales, el primero lo haremos hoy, en una cuenta que ofrece un interés del 6% anual. Queremos aumentar los ingresos en 9.000 anuales. ¿Cuánto deberemos ingresar cada año? Pista: le ayudo con el gráfico.

Año

R 9.000

R 2*9.000 R 3*9.000 2

4 400.000

Respuesta: Año 0 = 73.415,84 Año 1 = 82.415,84 Año 2 = 91.415,84 Año 3 = 100.415,84 23.

Hola soy Eva del Bosque, del departamento de donaciones de la UAR. Un antiguo alumno (AA) quiere hacerse cargo del mantenimiento indefinido del polideportivo de nuestro campus. Este edificio requiere unas obras de mantenimiento que se realizan cada 4 años. El año que viene nos toca hacer el primer mantenimiento y costará 80.000 . Calculamos que estas obras se encarecen en 5.000 cada vez que se realizan. Me gustaría que me calcularas, para un interés del 5% anual, qué donación debe hacernos este AA para hacer frente a estos mantenimientos.

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. Las obras se hacen cada 4 años, en los años 1, 5, 9, 13, etc.

164 MATEMÁTICA

FINANCIERA

80.000 5.000

80.000 Año

80.000 2*5.000 . . .

...

¿V0?

V0 =

(1 + r )

−1

((1 + r ) − 1) p

    5.000   80.000 + ∗ 1,053 = 554.361,04 V0 =  4 2  4 1,05 − 1 1,05 − 1 

  Valor año − 3  

(

)

24.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el importe de la donación, si el AA sólo estuviera dispuesto a financiar las próximas 6 obras de mantenimiento. Pista: el AA financia las obras de los años 1, 5, 9, 13, 17 y 21. Respuesta: 332.504,15

25.

Soy la directora de Marketing de la compañía petrolera Repluna. Voy a proponer al consejo de administración el patrocinio, durante 6 años, del equipo de «Fórmula 3.000» de un joven promesa del automovilismo nacional. Este patrocinio supone pagar, a comienzo de año, el presupuesto anual del equipo, que comprende: sueldos de ingenieros y mecánicos, alquiler de los motores de dos coches, 60 juegos de neumáticos, seguros, viajes, etc. El presupuesto de este año es de 1.800.000 y se encarecerá en unos 100.000 anuales. Quiero hacer constar en mi informe al consejo el coste en euros de hoy de este patrocinio, supuesto un interés del 5% anual. Pista: el primer flujo de su gráfico aparece en el año 0 y el último en el año 5. Respuesta: 10.849.697,35

CAPÍTULO 8

Amortización de préstamos

UN POCO DE TEORÍA

En este capítulo va a aprender a valorar diferentes tipos de préstamos. Tengo dos noticias para usted. La primera es buena: usted ya sabe todas las finanzas necesarias para hacer estas valoraciones. La segunda también es buena: aunque no se lo crea, usted ya ha resuelto bastantes problemas de préstamos, sólo que estaban «disfrazados» en otro tipo de historias que le contaban sus clientes en las consultas de los capítulos anteriores. Por lo tanto, vamos a explicitar conocimientos que usted ya tiene: aprenderá a poner nombre a los distintos tipos de préstamos, entenderá las diferencias jurídicas que hay entre ellos y también aprenderá alguna cuestión menor. Un préstamo es una operación financiera en la que el prestamista, normalmente una Entidad de Crédito, entrega una cantidad «P» de dinero, llamada Principal, al prestatario, que adquiere la obligación de pagar unos intereses y amortizar, devolver, el principal El principal es la prestación de la operación financiera, mientras que los pagos que hace el prestatario por intereses y amortización constituyen la contraprestación. El prestatario puede cumplir sus obligaciones, pagar los intereses y amortizar el principal, de varias maneras. Dicho de otra forma, hay distintos sistemas de amortización de préstamos.

REEMBOLSO ÚNICO O AMORTIZACIÓN A PLAZO FIJO

En esta modalidad de amortización, el prestatario se compromete a pagar al prestamista el Principal y la totalidad de los intereses acumulados, mediante un único pago que efectuará al vencimiento, al cabo de «t» períodos. z El gráfico que representa la operación es el siguiente: Ct Reembolso único 0 P

165

166 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Para calcular el Reembolso Único, no tenemos más que diferir el principal, «P». Ct P(1 r)t

EJEMPLO 8.1 Su prima Macarena le enseña el siguiente contrato de un préstamo de 20.000 que ha recibido. Macarena le pide que le calcule el importe del reembolso único que deberá pagar dentro de 3 años (olvídese de los gastos de concesión, los veremos enseguida).

Contrato de Préstamo

Importe del préstamo: Plazo: Interés nominal anual: Período de capitalización: Sistema de amortización: Gastos de concesión:

20.000 3 años 12% Semestral Reembolso único 1%

El gráfico correspondiente a la operación es el siguiente: Reembolso Único = C6 Semestre

0 20.000

2...

Para determinar el reembolso único, basta con calcular el valor final del principal, de los 20.000 . El interés del préstamo es el 12% nominal anual, pero la capitalización es semestral, 6%. Ct = C0 ∗ (1 + r) ⇒ C6 = 20.000 ∗ 1, 066 = 28.370, 38 t

Diferir un capital, algo que usted aprendió en el Capítulo 3, es todo el conocimiento que necesita para resolver este tipo de préstamo. Es fácil, ¿no le parece?

TANTO EFECTIVO DE LOS PRÉSTAMOS

Ahora vienen las malas noticias. En el mismo momento en el que Macarena, o usted, recibe un préstamo, tiene que pagar dos tipos de gastos: z Gastos de concesión que le cobra el prestamista, usted paga este dinero al banco. z Suplidos: con este nombre nos referimos a gastos que le cobran otras personas que pueden intervenir en la operación, notarios, tasadores… Fíjese que este dinero que usted paga no se lo queda el banco, sino terceras personas. La existencia de estos gastos hace que Macarena no reciba hoy una caja de 20.000 , sino algo menos. Esto supone que el préstamo se encarezca, el tipo de interés semestral al que le resulta el préstamo, el Tanto Efectivo, es superior al 6% semestral. Distinguimos dos tantos efectivos: z El tanto efectivo prestatario: es el coste al que le sale el dinero al prestatario. z El tanto efectivo prestamista: es la rentabilidad que obtiene éste, supongamos un banco, al prestar el dinero.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

167

Calcular los tantos efectivos es muy sencillo, y usted ya sabe hacerlo. Basta con seguir los siguientes pasos: z Representamos el perfil de flujos reales del sujeto, del prestatario o del prestamista. z Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. z Calculamos el tipo de interés para el que se produce dicho equilibrio. ¾ Si los flujos de fondos son anuales, el interés que acabamos de obtener es el tanto efectivo anual. ¾ Si los flujos de fondos son fraccionados, el interés obtenido también lo es (sería el interés mensual, trimestral… que produce la equivalencia financiera), por lo que tendríamos que anualizarlo, esto es, calcular la TAE.

EJEMPLO 8.2 Calcule el coste del préstamo del Ejemplo 8.1 sin tener en cuenta los gastos y calcule también el tanto efectivo prestatario y prestamista teniendo en cuenta que Macarena ha tenido que pagar unos gastos de concesión del 1% del préstamo recibido más otros 100 de suplidos. 1.

Coste sin considerar gastos. ¾ Planteamos el gráfico de flujos de la operación sin considerar los gastos. 28.370,38 Semestre 0

20.000

Planteamos la ecuación de equilibrio, calculamos el interés semestral, r2, que produce la equivalencia y lo anualizamos. 20.000 (1 + r2 ) = 28.370,38 ⇒ r2 = 0,06 ⇒ TAE = 1,06 2 − 1 = 0,1236 6

Si no hay ningún tipo de gasto el préstamo cuesta lo que dice el banco, un 6% semestral cuya TAE es el 12,36%. 2.

Tanto efectivo prestatario. ¾ Planteamos el gráfico de flujos de la operación. Fíjese que Macarena tiene que pagar 28.370,38 dentro de 6 semestres, pero hoy sólo recibe 19.700 , ya que le quitan 200 de gastos de concesión (el 1% del préstamo) y también le quitan 100 de suplidos. 28.370,38 Semestre 0

19.700

Planteamos la ecuación de equilibrio, calculamos el interés semestral, r2, que produce la equivalencia y lo anualizamos. 19.700 (1 + r2 ) = 28.370,38 ⇒ r2 = 0,062673 ⇒ TAE = 1,0626732 − 1 = 0,1293 6

Al haber gastos, el préstamo sale más caro, el 12,93% anual.

168 MATEMÁTICA 3.

FINANCIERA

Tanto efectivo prestamista. ¾ Planteamos el gráfico de flujos de la operación. El banco recibirá 28.370,38 dentro de 6 semestres a cambio de entregar hoy de 19.800 (20.000 menos los 200 que cobra por gastos, Macarena, además, tiene que pagar 100 de suplidos que no son para el banco). 28.370,38 Semestre 0

19.800

Planteamos la ecuación de equilibrio, calculamos el interés semestral, r2, que produce la equivalencia y lo anualizamos. 19.800 (1 + r2 ) = 28.370,38 ⇒ r2 = 0,061777 ⇒ TAE = 1,0617772 − 1 = 0,1274 6

AMORTIZACIÓN «IN FINE» O REEMBOLSO ÚNICO CON PAGO PERIÓDICO DE INTERESES

En esta modalidad de préstamo, el prestatario se compromete a amortizar el principal mediante un único pago al término del contrato, mientras que paga periódicamente los intereses que devenga el préstamo en la manera en que se haya pactado, mensualmente, anualmente… z Como se debe la totalidad del principal durante toda la vida del préstamo, los intereses que hay que pagar cada período se calculan multiplicando el tipo de interés vigente cada período por el capital prestado. z Este sistema no requiere el empleo de fórmulas financieras. z El gráfico que representa la operación es el siguiente:

r*p 0 P

r*p 3...

P r*p 6

EJEMPLO 8.3 Su tío Pío le enseña el siguiente contrato de préstamo y le pide que le calcule los pagos que deberá hacerle al banco y el coste del préstamo teniendo en cuenta los gastos de concesión.

Contrato de Préstamo

Importe del préstamo: Plazo: Interés nominal anual: Período de capitalización: Sistema de amortización: Gastos de concesión:

20.000 3 años 12% Semestral Reembolso único con pago semestral del interés 1%

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN z

DE PRÉSTAMOS

169

Los pagos semestrales que debe realizar tío Pío aparecen en la parte superior del gráfico. 20.000 1.200 1.200 1.200 1.200 1.200 1.200 Semestre 0 20.000

z z

Como el préstamo no se amortiza hasta dentro de 3 años, su tío deberá los 20.000 que le han prestado durante todo ese tiempo. Al llegar el semestre 1, su tío sólo tiene que pagar los intereses del semestre, 1.200 (el 6% de lo que debe, 0,06*20.000 1.200). Como sólo paga los intereses, D. Pío sigue debiendo 20.000 al banco. En el semestre 2 vuelve a repetirse la situación, D. Pío paga 1.200 por intereses y mantiene su deuda con el Banco. Esto se repite todos los semestres. En el semestre 6, D. Pío paga 1.200 por intereses, más 20.000 para amortizar la totalidad del préstamo. Con estos pagos su tío ha cumplido sus obligaciones con el banco, pagar los intereses y devolver el préstamo. Vamos a calcular la TAE del préstamo con gastos. Fíjese en los flujos de caja que ha supuesto el préstamo para su tío, ha hecho una serie de pagos semestrales a cambio de recibir 19.800 en el momento inicial. 20.000 1.200 1.200 1.200 1.200 1.200 1.200 Semestre 0 19.800

Planteamos la ecuación de equilibrio. Fíjese que en el gráfico tenemos una renta constante, entera, temporal e inmediata (6 términos de 1.200 ) y un capital de 20.000 en el semestre 6.

(1 + r2 )6 − 1 20.000 19.800 = 1.200 + 6 r2 (1 + r2 ) (1 + r2 )6 z

¿Qué hacemos ahora? Lo hemos visto en los Capítulos 3 y 5: usamos el método de pruebaerror. Debemos dar distintos valores a «r2» hasta acotarlo, a continuación, interpolamos para calcular el interés semestral que cumple la ecuación y, posteriormente, calculamos la TAE. Las Tablas 4 (para actualizar la renta) y 1 o 2 (para actualizar el capital) disponibles en el Apéndice, nos ayudan en este proceso. Empezamos dando a «r2» el valor 6%, aunque sabemos que será algo superior, luego le damos el valor 6,5%. Tipo Interés r = 6,00% r = 6,50%

V0 Pagos 20.000,00 19.515,90

→ V0 ↓ r ↑ 0,50%  r↑X

←  V0 ↓

484,10 0,50% ∗ 200,00 = 0,206568% ⇒ X = 484,10 200,00

⇒ r2 = 6,00% + 0,206568% = 6,206568% ⇒ TAE = 1,062065682 − 1 = 0,127983 = 12,80%

170 MATEMÁTICA

FINANCIERA

CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE

En esta modalidad de préstamo, el prestatario se compromete a pagarle al prestamista dos cuotas en los plazos acordados (cada mes, cada año, etc.): z z z

La Cuota de Amortización Constante: como el préstamo, P, hay que amortizarlo a partes iguales en «t» períodos –años, semestres…- su importe es: P . t La Cuota de Interés del período: se calcula multiplicando el tipo de interés vigente cada período por la deuda pendiente. Como el préstamo se va amortizando cada período, los intereses que hay que pagar cada períoP do también irán disminuyendo en ∗ r. t

EJEMPLO 8.4 Su vecina Ana le enseña el siguiente contrato de préstamo y le pide que le calcule los pagos que deberá hacerle al banco y el coste del préstamo teniendo en cuenta los gastos de concesión.

Contrato de Préstamo

Importe del préstamo: Plazo: Interés nominal anual: Sistema de amortización: Frecuencia de cota: Gastos de concesión:

20.000 1 año 12% Cuota de amortización constate Trimestral 1%

Veamos los pagos trimestrales que se realizan por este préstamo. 20.000 = 5.000 ¾ Cuota de amortización = . 4 ¾ Cuota de interés 0,03*Deuda pendiente. Como cada trimestre amortiza 5.000 , la deuda pendiente del siguiente trimestre es menor. Cuota de amortización Cuota de interés Trimestre

5.000 5.000 5.000 5.000 600 450 300 150 0

Para calcular la TAE del préstamo con gastos, nos fijamos en los flujos de caja que ha supuesto el préstamo para Ana, planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Pagos totales Trimestre

5.600 5.450 5.300 5.150 0 19.800

Fíjese que en el gráfico tenemos una renta en PA cuya razón «a» es –150 (decreciente), entera temporal. Podemos trabajar con la fórmula de esta renta o hacerlo término a término. Le doy una pista para la prueba error: dé primero al interés trimestral, «r4», el valor 3% y posteriormente el valor 3,5%, interpole y anualice. Su respuesta diferirá un poco de la mía, yo he usado Excel.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

19.800 =

DE PRÉSTAMOS

171

)

(

(1 + r)4 − 1 R + −150 − −150 ∗ 44 O bien: 4 r r ∗ (1 + r) r ∗ (1 + r)

19.800 = 5.600 + 5.4502 + 5.3003 + 5.1504 (1 + r4 ) (1 + r4 ) (1 + r4 ) (1 + r4 )

Usando Excel

r4 = 0,0342765 ⇒ TAE = 1,03427654 − 1 = 0,1443 = 14,43% z

En los préstamos a corto plazo, un año en este caso, los gastos de concesión tienen un efecto más importante en la TAE que en los préstamos a más largo plazo.

SISTEMA FRANCÉS

En este tipo de contrato el prestatario se compromete a pagar un cierto número de cuotas constantes en los plazos fijados, anualmente, semestralmente, etc. El importe de cada cuota debe ser suficiente para: z Pagar los intereses del período correspondiente: Cuota de Interés. z Amortizar una parte del préstamo: Cuota de Amortización. z

El gráfico que representa la operación es el siguiente: Contraprestación

Período

Prestación

C ...

3 ...

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero para calcular el importe de las cuotas que conforman la contraprestación. V0 Prestación V0 Contraprestación

Las cuotas, C, forman una renta constante, entera, temporal e inmediata, por lo que:

(1 + r)t − 1 P=C ⇒ Despejando C t r (1 + r) C=P z

(1 + r)t − 1

Por lo tanto, para calcular la cuota constante de un préstamo que se va a amortizar por el método francés, basta con multiplicar el importe del préstamo por la fórmula: r (1 + r)

(1 + r)t − 1 z

r (1 + r)

(La Tabla 6 del Apéndice representa esta fórmula.)

En este sistema, el préstamo se va amortizando con las sucesivas cuotas, por lo que, al reducirse la deuda pendiente, se producen dos consecuencias:

172 MATEMÁTICA

FINANCIERA

¾ ¾

z z

La cuota de interés va siendo cada vez menor. La cuota de amortización, va siendo cada vez mayor, la amortización de cada período es mayor que la del anterior. Por esto, este método también es conocido como Sistema de amortización progresiva. No confunda este sistema de amortización de préstamos con el de cuota de amortización constante. Fíjese bien: ¾ Sistema francés: la amortización es progresiva (cada período se amortiza más), aunque la cuota periódica sea constante. ¾ Sistema de cuota de amortización constante: la amortización es la misma en todos los períodos, la cuota periódica es cada vez menor. En el sistema francés, además de calcular las cuotas, haremos lo que conocemos como el Cuadro de amortización del préstamo. ¡Usted ya sabía calcular estas cuotas! Por poner un ejemplo: fíjese en la consulta 55 del Capítulo 5, podemos verlo como un problema de cálculo de la cuota mensual de un préstamo de 200.000 a amortizar por el sistema francés en 15 años.

EJEMPLO 8.5 Su primo Lucas le enseña el siguiente contrato de préstamo y le pide que le calcule tres cosas: la cuota anual que deberá pagarle al banco, el cuadro de amortización y la TAE del préstamo teniendo en cuenta los gastos de concesión.

Contrato de Préstamo

Importe del préstamo: Plazo: Interés nominal anual: Sistema de amortización: Frecuencia de cota: Gastos de concesión:

20.000 3 años 12% Sistema francés Anual 1%

Planteamos el gráfico y calculamos la cuota empleando la Tabla 6 del Apéndice (tome muchos decimales de la tabla para calcular la cuota con precisión y redondéela al céntimo). Contraprestación Año Prestación

C = 20.000 z

0 20.000

0,12 (1 + 0,12)

(1 + 0,12)3 − 1

= 8.326, 98

Esto quiere decir que para un 12% de interés capitalizado anualmente, 20.000 hoy son equivalentes a 8.326,98 en cada uno de los próximos tres años. Contraprestación Año Prestación

0 20.000

8.326,98

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN z

DE PRÉSTAMOS

173

Veamos el cuadro de amortización.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 20.000,00

8.326,98

2.400,00

5.926,98

14.073,02

8.326,98

1.688,76

6.638,22

12.565,20

7.434,80

8.326,98

892,18

7.434,80

20.000,00

0,00

Para un período cualquiera: ¾ Cuota de interés 0,12 * Deuda pendiente período anterior. ¾ Cuota de amortización Cuota del período Cuota de interés del período. ¾ Total amortizado Total amortizado anterior Cuota de amortización del período. ¾ Deuda pendiente Deuda pendiente anterior Cuota de amortización del período. En nuestro cuadro: z Deuda pendiente año 0: Lucas debe los 20.000 que le acaban de prestar. z Cuotas periódicas: todas son iguales. z Interés año 1: tiene que pagar el 12% de los 20.000 que debe desde el año anterior: 0,12*20.000 2.400 . z Amortización año 1: ha pagado una cuota de 8.326,98 , de los que 2.4000 han ido destinadas a liquidar los intereses, el resto del dinero, 5.926,98 , van destinadas a disminuir el principal, la deuda que tiene con el banco. z Total amortizado año 1: como hasta este momento sólo ha hecho una amortización de 5.926,98 , el total amortizado hasta la fecha es esa cantidad. z Deuda pendiente año 1: de los 20.000 prestamos, sólo se han amortizado hasta la fecha un total de 5.926,98 , por lo que en este momento Lucas debe los 14.073,02 restantes. z Interés año 2: al llegar este momento Lucas debe pagar por intereses el 12% de los 14.073,02 que debe desde el año pasado: 0,12*14.073,02 1.688,76 . z Amortización año 2: Lucas acaba de pagar una cuota de 8.326,98 , de los que 1.688,76 han ido destinadas al pago de intereses, el resto, 6.638,22 , se destinan a disminuir la deuda. z Total amortizado año 2: hasta este momento Lucas había amortizado un total de 5.926,98 ; con la cuota periódica que acaba de entregar consigue amortizar otros 6.638,22 , con lo que el total amortizado hasta la fecha son 12.565,20 . z Deuda pendiente año 2: de los 20.000 que se prestaron en su día, se han amortizado hasta la fecha un total de 12.565,20 , por lo que Lucas todavía debe 7.434,80 . z Interés año 3: al llegar este momento Lucas debe pagar por intereses el 12% de los 7.434,80 que debe desde el año pasado: 0,12*7.434,80 892,18 . z Amortización año 3: Lucas acaba de pagar otra cuota de 8.326,98 , de los que 892,18 han ido destinados al pago de intereses del período, el resto, 7.434,80 , se destinan a disminuir el principal. z Total amortizado año 3: hasta este momento Lucas había amortizado un total de 12.565,20 ; con la cuota periódica que acaba de pagar amortiza otros 7.434,80 , con lo que el total amortizado hasta la fecha son 20.000 . z Deuda pendiente año 3: de los 20.000 que Lucas recibió en su día, ha amortizado un total de 20.000 , por lo que ya no debe nada al banco.

174 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Normalmente, hay que redondear en unos pocos céntimos la última cuota para que el cuadro cuadre. Esto se debe a que hacemos redondeos (en la cuota del préstamo y en los intereses de cada período) al céntimo más próximo. En este caso, por casualidad, no ha hecho falta redondear la última cuota periódica para cuadrar el cuadro. Para calcular la TAE del préstamo, representamos los flujos de caja que éste ha supuesto para Lucas, planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Contraprestación Año Prestación

0 19.800

8.326,98

(1 + r)3 − 1 (1 + r)3 − 1 19.800 = 8.326,98 ⇒ = 2,3778128 3 3 r ∗ (1 + r) r ∗ (1 + r) Mirando en la Tabla 4 del Apéndice, vemos se cumple la ecuación para un interés comprendido entre el 12% y el 13%, haga la interpolación. Compare su respuesta con la que yo obtengo con Excel: r 0,125869 12,59%. z

Volvamos a nuestro cuadro de amortización. La columna «Cuota de amortización» sigue una progresión geométrica de razón (1 r), donde «r» es el tipo de interés del préstamo. Tomamos la primera cuota de amortización, A1. 5.926,98 ∗ 1,12 = 6.638,22 ⇒ A1 (1 + r) = A 2 5.926,98 ∗ 1,12 2 = 7.434,80 ⇒ A1 (1 + r) = A 3 2

5.926,98 ∗ 1,123 = 8.326,98 ⇒ A1 (1 + r) = A 4 = Cuota perióddica 3

¾ ¾

Por lo tanto, si multiplicamos una cuota de amortización por (1 r), obtenemos la cuota de amortización del siguiente período. Además, si calculamos la cuota de amortización del período «t 1», el resultado obtenido es igual a la cuota periódica del préstamo. En nuestro préstamo a 3 años hemos calculado la cuota de amortización del período 4, 8.326,98 , que es la cuota del préstamo.

EJEMPLO 8.6 Haga el cuadro de amortización del siguiente préstamo y calcule su TAE.

Contrato de Préstamo

Importe del préstamo: Plazo: Interés nominal anual: Sistema de amortización: Frecuencia de cota:

20.000 3 años 12% Sistema francés Semestral

Planteamos el gráfico y calculamos la cuota empleando la Tabla 6 del Apéndice, tenga en cuenta que el interés que cobra el banco es el 6% semestral.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN Contraprestación Semestre

Prestación

20.000

C = 20.000 z

C...

3...

0,06 (1 + 0,06)

175

(1 + 0,06)6 − 1

= 4.067,25

Veamos el Cuadro de Amortización.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

1Se

DE PRÉSTAMOS

Deuda pendiente 20.000,00

4.067,25

1.200,00

2.867,25

17.132,75

4.067,25

1.027,96

3.039,29

5.906,54

14.093,46

4.067,25

845,61

3.221,64

9.128,18

10.871,82

4.067,25

652,31

3.414,94

12.543,12

7.456,88

4.067,25

447,41

3.619,84

16.162,96

3.837,04

4.067,261

230,22

3.837,04

20.000,00

0,00

ha redondeado la última cuota para cuadrar

El cálculo de la TAE es inmediato. Al no haber gastos de concesión, sabemos que el interés semestral que produce equivalencia es el 6%, no es necesario plantear el gráfico, la ecuación de equilibrio, etc., en este caso vale con hacer: TAE = 1,062 − 1 = 0,1236 = 12,36%

EJEMPLO 8.7 Su primo Lucas le enseña el siguiente contrato de préstamo y le pide que le calcule el cuadro de amortización, teniendo en cuenta los siguientes datos adicionales: después de pagar la primera cuota, el Euribor subió al 13% con lo que el interés del préstamo pasó a ser el 14%; el tipo de interés ya no volvió a cambiar.

Contrato de Préstamo

Importe del préstamo: Plazo: Interés nominal anual: Interés primer año: Sistema de amortización:

Frecuencia de las cuotas:

20.000 3 años Variable, Euribor a un año, más 1% 12% Sistema francés, cuota revisable anualmente al alza o a la baja en función de la variación del Euribor Anual

Fíjese que la diferencia con los ejemplos anteriores es que, en este caso, el tipo de interés del préstamo es variable.

176 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Planteamos el gráfico. Contraprestación Período Prestación

En el momento de concederse el préstamo nadie sabe qué va a pasar en el futuro con el interés de referencia, el Euribor. Lo que hacemos es calcular con nuestra fórmula cuál sería la cuota del préstamo si el interés se mantuviera en el 12% anual durante todo el plazo del préstamo. C = 20.000

0 20.000

0,12 (1 + 0,12)

(1 + 0,12)3 − 1

= 8.326, 98

Ésta es, seguro, la primera cuota que paga el prestatario y la que se emplea en el cuadro de amortización, mientras el interés anual sea el 12%.

Período

Tipo de interés

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

0 1

20.000,00 0,12

8.326,98

2.400,00

5.926,98

14.073,02

Pagada la primera cuota, y cuando todavía se deben 14.073,02 , el interés sube al 14% anual. Calculamos una nueva cuota que sea capaz de liquidar la deuda pendiente en los períodos que faltan y al nuevo tipo de interés. Lógicamente, al haber subido el tipo de interés, la cuota también subirá. Contraprestación Período Deuda

C = 14.073, 02 z

Deuda pendiente

1 2 14.073,02

0,14 (1 + 0,14)

(1 + 0,14)2 − 1

= 8.546, 40

A partir de ahora, y mientras no vuelva a cambiar el tipo de interés, el prestatario entregará cuotas de 8.546,40 , con las que podrá pagar un interés del 14% anual y amortizar la totalidad del préstamo en el plazo previsto. Como el tipo de interés no vuelve a cambiar, podemos completar el cuadro de amortización.

Período

Tipo de interés

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 20.000,00

0,12

8.326,98

2.400,00

5.926,98

14.073,02

0,14

8.546,40

1.970,22

6.576,18

12.503,16

7.496,84

0,14

8.546,40

1.049,56

7.496,84

20.000,00

0.00

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

177

Podemos añadir algunas peculiaridades a este tipo de préstamo: plazos de carencia, cuotas arbitrarias o cuotas que sigan algún tipo de progresión, pero veremos estos casos directamente en los problemas. Usted ya ha resuelto algunos de ellos con lo que es lo realmente importante: el gráfico de flujos y la ecuación de equilibrio financiero.

SISTEMA AMERICANO

Este sistema consiste en que el prestatario está obligado a: z Pagar periódicamente los intereses pactados. z Amortizar el préstamo, mediante un único pago, al término del contrato. Para poder amortizar el préstamo de esta manera, debe ingresar unas cuotas periódicas, las cuotas de constitución, en una cuenta remunerada. El objetivo de estas cuotas es que, al acabarse el plazo del préstamo, el capital acumulado en la cuenta sea igual al préstamo. z En este tipo de préstamos nos encontraremos con dos tipos de interés: ¾ El tipo de interés al que se ha concedido el préstamo, rp. ¾ El tipo de interés, a favor del prestatario, con el que se remunera la cuenta en la que éste ingresa las cuotas de constitución, rc. ¾ El interés del préstamo, rp, es mayor que el interés que recibe el prestatario por sus ahorros, rc. Si encuentra algún banco que haga lo contrario, le ruego que me avise urgentemente. z

El perfil de flujo de fondos de este tipo de préstamos es, por lo tanto, el siguiente:

Período

rp*P

rp*P . . .

rp*P

C...

3...

0 P

El prestatario recibe «P» en el momento cero, y durante los siguientes «t» períodos tiene que pagar los intereses del préstamo (rp*P) por una parte, y además debe ingresar una cuota «C» para poder amortizar el préstamo en el momento «t». z

Para que al vencimiento del préstamo el saldo de la cuenta coincida con el préstamo que se recibió en su día, es necesario que el Valor Final de las cuotas de constitución sea igual al Préstamo. ¾ El gráfico que representa este objetivo es el siguiente: Prestación Período Contraprestación

C...

3...

t P

Las cuotas ingresadas en el fondo constituyen la prestación, la cantidad final que podrá sacarse del fondo es la contraprestación. Las cuotas forman una renta constante, entera, temporal, inmediata. Planteamos la ecuación de equilibrio:

178 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Vt Prestación Vt Contraprestación C

(1 + rC )t − 1 rC

= P ⇒ Despejando C

C=P z

(1 + rC )t − 1

Por lo tanto, para calcular la cuota de constitución de un préstamo a amortizar por el método americano, basta con multiplicar el importe del préstamo por la fórmula: rC

(La Tabla 5 del Apéndice representa esta fórmula.)

En este sistema, además de calcular las cuotas, haremos lo que conocemos como el cuadro de capitalización del préstamo. ¡Usted también sabía calcular estas cuotas! Lo ha hecho, de forma disfrazada, en el Problema 67 del Capítulo 5 para un préstamo de 250.000 .

EJEMPLO 8.8 Su vecino Ceferino, «Cefe», le enseña el siguiente contrato de préstamo y le pide que le calcule los pagos que deberá hacerle anualmente al banco, el cuadro de capitalización y el coste anual del préstamo.

Contrato de Préstamo

Importe del préstamo: Plazo: Interés nominal anual: Sistema de amortización: Frecuencia de las cuotas: Interés del fondo de constitución:

20.000 3 años 12% Sistema americano Anual 10%, capitalización anual

Planteamos el gráfico. Cefe recibe ahora 20.000 y tiene que pagarle al banco 2.400 por intereses (0,12*20.000) y, por otra parte, está obligado a ingresar todos los años una cuota de constitución cuyo importe debemos calcular. Cuota interés Cuota capitalización Año

2.400

20.000

Para calcular la cuota de constitución, planteamos su gráfico (recuerde que el objetivo es que dentro de 3 años haya 20.000 en la cuenta) y aplicamos la fórmula que hemos visto, la de la Tabla 5 del Apéndice, empleando el interés del fondo de constitución, el 10% anual.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN Prestación Período

Contraprestación

0,1 = 6.042,30 (1 + 0,1)3 − 1

Esto quiere decir que para un 10% de interés anual, 6.042,30 ingresados en cada uno de los próximos tres años tienen un valor final de 20.000 . Prestación Período

6.042,30

Contraprestación

179

20.000

C = 20.000 z

DE PRÉSTAMOS

20.000

Veamos el cuadro de capitalización.

Período

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

6.042,30

604,23

6.042,30

12.688,83

1.268,88

6.042,291

20.000,00

3 1Se

Capital inicial

12.688,83

0,00

ha redondeado la última cuota para cuadrar

Para un período cualquiera: ¾ Capital inicial Capital final período anterior. ¾ Interés 0,1 * Capital inicial. ¾ Capital final Capital inicial Interés Cuota (de ese período). En nuestro cuadro: z En el período 0 no hay dinero en la cuenta. z Capital inicial año 1: al llegar al año 1 del gráfico, el saldo inicial de la cuenta es igual al saldo final del período anterior, del año 0, esto es, 0 . z Interés año 1: dado que la cuenta no ha tenido dinero, Cefe no tiene derecho a cobrar intereses. z Cuotas de constitución: todas son iguales, salvo la última por redondeo. z Capital final año 1: al no haber Capital inicial ni Intereses, el saldo de la cuenta es igual a la cuota que se acaba de ingresar, 6.042,30 . z Capital inicial año 2: el saldo de la cuenta al llegar al año 2 del gráfico es el mismo que el que tenía a finales del año anterior, 6.042,30 . z Intereses año 2: como Cefe ha mantenido en la cuenta un capital de 6.042,30 desde el año 1 hasta el 2, le corresponde cobrar por intereses el 10% de esa cantidad, 604,23 .

180 MATEMÁTICA z

z z z

FINANCIERA

Capital final año 2: al llegar el año 2 la cuenta ya tenía 6.042,30 , además en este mismo año la cuenta le capitaliza 604,23 de intereses y Cefe ingresa otros 6.042,30 , la Cuota de constitución, el saldo acumulado en la cuenta es la suma de esas tres cantidades, 12.688,83 . Capital inicial año 3: al llegar este momento, la cuenta presenta el mismo saldo que el que tenía al final del año anterior, 12.688,83 . Intereses año 3: del año 2 al 3 la cuenta ha tenido un saldo de 12.688,83 , por lo que Cefe recibirá por intereses el 10% de este capital, 1.268,88 . Capital final año 3: el saldo de la cuenta al llegar al año 3 ya era de 12.688,83 , se le han agregado los 1.268,88 de intereses y, finalmente, Cefe acaba de ingresar otra cuota, esta vez de 6.042,29 por los redondeos. El saldo de la cuenta es la suma de estas tres cifras, 20.000,00 . Con este saldo se amortizan los 20.000 del préstamo. Para calcular el coste anual del préstamo, nos fijamos en su perfil de flujos. Cuota de constitución Interés préstamo Año

0 20.000

6.042,30 2.400,00

Planteamos la ecuación de equilibrio, fíjese que en el gráfico tenemos una renta constante de 8.442,30 , temporal, entera, inmediata.

(1 + r)3 − 1 (1 + r)3 − 1 20.000 = 8.442,30 ⇒ = 2,3690226 3 3 r ∗ (1 + r) r ∗ (1 + r) Mirando en la Tabla 4 del Apéndice, vemos que se cumple la ecuación para un interés comprendido entre el 12% y el 13%. Haga la interpolación y compare su respuesta con la que yo obtengo con Excel: r 0,128042 12,80%. z

Si el préstamo hubiera tenido unos gastos de concesión del 1%, el perfil de flujos y el coste anual hubieran sido: Cuota de constitución Interés préstamo Año

0 19.800

19.800 = 8.442,30

6.042,30 2.400,00

(1 + r)3 − 1 (1 + r)3 − 1 ⇒ = 2,3453324 3 3 r ∗ (1 + r) r ∗ (1 + r)

Mirando en la Tabla 4 del Apéndice e interpolando entre el 13% y el 14%: r 13,40%.

EJEMPLO 8.9 Ceferino le enseña el siguiente contrato para que le calcule el cuadro de capitalización y el coste anual del préstamo, teniendo en cuenta los siguientes datos: tras ingresar la primera cuota, el Euribor bajó al 9%, con lo que el interés del préstamo bajó al 10% y el de la cuenta de capitalización al 8%; el Euribor ya no volvió a cambiar.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

181

Contrato de Préstamo

Importe del préstamo: Plazo: Interés del préstamo: Interés del primer año: Sistema de amortización: Frecuencia de las cuotas: Interés del fondo de constitución: Interés del primer año: Revisión de intereses:

20.000 3 años Euribor a un año, más 1% 12% Sistema americano Anual Euribor a un año, menos 1% 10% Anual

La diferencia con el ejemplo anterior es que ahora el interés pactado es variable. z

Sabemos que en el momento de concederse el préstamo nadie puede adivinar qué va a pasar en el futuro con el interés de referencia. Lo que hacemos es calcular cuál sería la cuota de constitución del préstamo si el interés se mantuviera en el mismo tipo del primer año durante todo el plazo del préstamo.

Para calcular la cuota de constitución, planteamos su gráfico (recuerde que el objetivo es que dentro de 3 años haya 20.000 en la cuenta). Prestación Período Contraprestación

C = 20.000 z

3 20.000

0,1 = 6.042,30 (1 + 0,1)3 − 1

Ésta es la cuota que ingresa el prestatario y la que se emplea en el cuadro de capitalización, mientras el interés anual de la cuenta sea el 10%.

Período

Interés del fondo

Capital inicial

0 1

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

10%

0,00

6.042,30

Después de ingresar la primera cuota el interés de la cuenta baja al 8% anual. Calculamos una nueva cuota que ingresada durante los próximos 2 años y teniendo en cuenta que la cuenta ya tiene 6.042,30 , consiga cumplir su objetivo: que su saldo final sea igual al principal. Prestación Período Contraprestación

6.042,30

3 20.000

182 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero, fíjese que tenemos que diferir los flujos de la prestación al año 3, y calculamos la nueva cuota. 6.042,30 (1,08) + C 2

(1 + 0,08)2 − 1

= 20.000 ⇒ C = 6.227,05

Mientras no vuelva a cambiar el tipo de interés, Cefe entregará cuotas de 6.227,05 , con las que logrará tener 20.000 dentro de 3 años. Como el tipo de interés no vuelve a cambiar, podemos completar el cuadro de capitalización.

Período

Interés del fondo

Capital inicial

0,08

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

10%

0,00

6.042,30

483,38

6.227,05

12.752,73

1.020,22

6.227,05

20.000,00

Para calcular el coste de este préstamo, nos fijamos en su perfil de flujos. Además de sus cuotas de constitución, Cefe habrá pagado los intereses del préstamo: 2.400 el primer año (0,12*20.000) y 2.000 los dos restantes (0,1*20.000) Cuota de constitución

6.042,30

6.227,0

Interés préstamo

2.400,00

2.000,00

Año

0 20.000

Planteamos la ecuación de equilibrio. 20.000 =

8.442,30 8.227,05 8.227,05 + + (1 + r) (1 + r)2 (1 + r)3

Dé valores a «r» para acotarlo, le sugiero que empiece con el 12%, interpole y compare su resultado con el que me dice Excel: r 0,118601 11,86%. Podemos añadir algunas peculiaridades a este tipo de préstamo: plazos de carencia, cuotas arbitrarias o cuotas que sigan algún tipo de progresión, pero también veremos estos casos directamente en los problemas. Le adelanto que usted ya ha resuelto algunos casos con lo que es lo realmente importante: el gráfico de flujos y la ecuación de equilibrio financiero.

AMORTIZACIÓN VOLUNTARIA DE PRÉSTAMOS

Cuando un banco invierte su dinero y nos concede un préstamo, por ejemplo, al 10% anual, lo hace para recibir una corriente futura de flujos y obtener una rentabilidad. ¿Qué sucede si queremos amortizar ese préstamo, parcial o totalmente, de forma anticipada?

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

183

Las amortizaciones voluntarias cuando los tipos de interés han subido hacen felices a los bancos. El banco no nos pondrá una alfombra roja, ni nos hará un regalo, pero estará encantado. Le devolvemos dinero por el que nos estaba cobrando el 10% y prestará ese mismo dinero a un interés superior.

Las amortizaciones voluntarias cuando los tipos de interés han bajado no hacen felices a los bancos. El banco se pondrá triste porque le hacemos perder dinero. Le devolvemos dinero por el que nos estaba cobrando el 10% y prestará ese mismo dinero a un interés inferior. A nadie le gusta perder dinero, a los bancos mucho menos. El banco puede protegerse de estas pérdidas y recuperar su felicidad de varias maneras: z z

Puede cobrarnos una penalización sobre la cantidad que le anticipamos. Por ejemplo, si le entregamos 3.000 , nos penaliza con 100 y considera que sólo le hemos pagado 2.900 . Puede aplicar el principio de equivalencia financiera. Sería una especie de: «No estoy dispuesto a perder si usted hace una amortización voluntaria». Para ello no tiene más que ponerse a dibujar flujos de fondos y aplicar fórmulas financieras.

EJEMPLO 8.10 Vuelva al Ejemplo 8.1 y suponga que a Macarena le ha tocado la lotería y quiere amortizar el préstamo al año de haberlo recibido. El tipo de interés de los préstamos ha bajado al 9% anual, 4,5% semestral. Calcule cuánto dinero tendrá que pagarle al banco y el coste de la operación. z

Planteamos el gráfico de la operación inicial. El banco prestaba 20.000 para recibir 28.370,38 6 semestres más tarde (tres años más tarde). 28.370,38 Semestre

2...

20.000

La deuda de Macarena en el semestre 2 sería: 20.000*1,062 22.472,00 . Pero los tipos de interés han bajado. ¾ Si el banco acepta este dinero y lo presta al 4,5% durante 4 semestres, en el semestre 6 tendrá: 22.472 * 1,0454 26.798,28 . ¾ Esta cantidad es menor que los 28.370,38 que obtendría si Macarena no amortizara el préstamo. Para no perder dinero, el banco exigirá en el semestre 2 una cantidad tal que colocada al 4,5% semestral durante 4 semestres, le garantice un capital final de 28.370,38 . ¾ El banco querrá cobrar el valor en el semestre 2 de los 28.370,38 , descontados al nuevo tipo de interés. 28.370,38 Semestre

2... ¿C2?

C2 =

28.370,38 = 23.790,30 1,0454

184 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Calculamos el tipo de interés al que le ha resultado la operación a Macarena. Recibe 20.000 y dos semestres más tarde, un año, paga 23.790,30 . Como la operación ha durado un año, podemos hacerlo de dos formas 23.790,30 Semestre

20.000

20.000 (1 + r2 ) = 23.790,30 ⇒ r2 = 0,090648 ⇒ TAE = 1,0906482 − 1 = 0,18951 = 18,95% 2

O bien: 20.000 (1 + r) = 23.790,30 ⇒ r = 0,18951 = 18,95% z

Pero no hemos tenido en cuenta que el préstamo tenía unos gastos de 300 entre gastos de concesión y suplidos, por lo que Macarena sólo recibió 19.700 en 0. 19.700 (1 + r) = 23.790,30 ⇒ r = 0,20762 = 20,76%

EJEMPLO 8.11 Vuelva al Ejemplo 8.6. Suponga que el cliente del préstamo quiere amortizarlo tras pagar la segunda cuota. El tipo de interés de los préstamos ha bajado al 9% anual, 4,5% semestral. Calcule cuánto dinero tendrá que pagarle al banco. z

Planteamos el gráfico de la operación inicial. El banco prestaba 20.000 para recibir 4.067,25 durante 6 semestres.

Semestre

4.067,25

20.000

La deuda del cliente después de pagar la segunda cuota es 14.093,46 , vea el cuadro que hemos hecho en el Ejemplo 8.6. El banco podría ponerle una penalización de 300 , en ese caso el cliente debería pagar 14.393,46 para liquidar el préstamo. Supongamos que le pide el valor de las 4 cuotas que faltan.

Semestre

4.067,25

¿C2?

C2 = 4.067,25

1,0454 − 1 = 14.591,36 0,045 ∗ 1,0454

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

185

EJEMPLO 8.12 Vuelva al Ejemplo 8.6. Suponga que los tipos de interés no han variado. Al llegar el tercer semestre, el cliente entrega, además de la cuota semestral, otros 4.000 como amortización voluntaria. El banco admite el pago sin penalizarle y el cliente quiere seguir pagando cuotas de 4.067,25 . Haga el cuadro de amortización del préstamo. z

Veamos el efecto de la amortización voluntaria. Insertamos en el cuadro, aunque no es necesario, una columna: «Amortización voluntaria».

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de Amortización amortización voluntaria

Total amortizado

Deuda pendiente 20.000,00

4.067,25

1.200,00

2.867,25

17.132,75

4.067,25

1.027,96

3.039,29

5.906,54

14.093,46

4.067,25

845,61

3.221,64

4.000,00

13.128,18

6.871,82

4.067,25

412,31

3.654,94

16.783,12

3.216,88

3.409,89

193,01

3.216,88

20.000,00

0,00

Lo que acabamos de ver, hacer una amortización voluntaria y seguir pagando las mismas cuotas, se conoce como amortización voluntaria con reducción de plazo de amortización. Fíjese que el préstamo queda amortizado antes del 6º semestre y que para calcular la última cuota periódica, 3.409,89 , basta con sumar los intereses del período y la deuda pendiente del período anterior.

EJEMPLO 8.13 Vuelva otra vez al Ejemplo 8.6. Suponga que los tipos de interés no han variado. Al llegar el tercer semestre, el cliente entrega, además de la cuota semestral, otros 4.000 como amortización voluntaria. El banco admite el pago sin penalizarle y en esta ocasión el cliente quiere reducir el importe de las 3 cuotas que le quedan y mantener el plazo de amortización que se fijó en el contrato. Haga el cuadro de amortización del préstamo. z

Las tres primera filas del cuadro son las mismas que las del ejemplo anterior.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de Amortización amortización voluntaria

Total amortizado

Deuda pendiente 20.000,00

4.067,25

1.200,00

2.867,25

17.132,75

4.067,25

1.027,96

3.039,29

5.906,54

14.093,46

4.067,25

845,61

3.221,64

4.000,00

13.128,18

6.871,82

Después de la amortización voluntaria, la deuda pendiente es de 6.871,82 . Debemos calcular qué nueva cuota debe pagar durante los tres próximos semestres para liquidar esa deuda.

186 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Semestre

C = 6.871,82 z

3 6.871,82

0,06*1,063 = 2.570,82 1,063 − 1

Completamos el cuadro.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de Amortización amortización voluntaria

Total amortizado

Deuda pendiente

1Se

20.000,00

4.067,25

1.200,00

2.867,25

17.132,75

4.067,25

1.027,96

3.039,29

5.906,54

14.093,46

4.067,25

845,61

3.221,64

4.000,00

13.128,18

6.871,82

2,570,82

412,31

2.158,51

15.286,69

4.713,31

2,570,82

282,80

2.288,02

17.574,71

2.425,29

2,570,811

145,52

2.425,29

20.000,00

0,00

ha redondeado la última cuota para cuadrar

Esta operación, hacer una amortización voluntaria y reducir la cuota de los períodos restantes, se conoce como amortización voluntaria con reducción de cuota.

EJEMPLO 8.14 Recuperamos un clásico. ¿Recuerda esta oferta?

Vajilla Leti

Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 12 pagos trimestrales de 275 , el primero un mes después de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

¿Por qué nos interesa ahora? ¡Porque esta financiación es un préstamo a amortizar por el sistema francés! Veamos el gráfico que representa la operación. 275 Mes

0 1 3.000

275

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN z

187

En el Problema 63 del Capítulo 5, calculábamos que el interés mensual que nos cobraban era el 1,49769% y que su TAE era el 19,53%. Puede hacer el cuadro de amortización de este préstamo, pero le va a resultar pesado. Se lo resuelvo yo.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente

1Se

DE PRÉSTAMOS

3.000,00

275,00

44,93

230,07

2.769,93

275,00

41,48

233,52

463,59

2.536,41

275,00

37,99

237,01

700,60

2.299,40

275,00

34,44

240,56

941,16

2.058,84

275,00

30,84

244,16

1.185,32

1.814,68

275,00

27,18

247,82

1.433,14

1.566,86

275,00

23,47

251,53

1.684,67

1.315,33

275,00

19,70

255,30

1.939,97

1.060,03

275,00

15,88

259,12

2.199,09

800,91

275,00

12,00

263,00

2.462,09

537,91

275,00

8,06

266,94

2.729,03

270,97

275,031

4,06

270,97

3.000,00

0,00

ha redondeado la última cuota para cuadrar.

El interés de un período, la columna cuota de interés, es el 1,49769% de la deuda pendiente al empezar ese período.

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS A pesar de haber subido la cotización de sus servicios financieros a 9 , su clientela no deja de crecer, paralelamente lo hace también su cuenta corriente. 1.

Nuestra empresa, Fraksa2, va a financiar la compra de una máquina con un préstamo de 300.000 a amortizar mediante reembolso único dentro de 5 años. El interés del préstamo es el 8% anual. El préstamo tiene unos gastos de concesión del 2% y unos suplidos de 1.000 . ¿Cuánto tendremos que pagarle al banco dentro de 5 años? ¿Qué coste tiene para nosotros este préstamo?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. Reembolso Único C5 Año

2...

300.000

Calculamos el reembolso único, RU, que debe pagar su cliente al vencimiento. Ct = C0 ∗ (1 + r) ⇒ C5 = 300.000 ∗ 1,085 = 440.798,42 t

188 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Para calcular el coste de la operación, el tipo de interés al que resulta, tenemos en cuenta las entradas y salidas de caja de su cliente. 440.798,42 Año

2...

293.000

293.000 ∗ (1 + r) = 440.798,42 ⇒ r = 0,08511 = 8,51% 5

Éste es el tanto prestatario. Aunque no se lo piden, vamos a calcular el tanto prestamista, la rentabilidad que obtiene el banco en la operación. Para ello, hay que tener en cuenta que el banco invierte 294.000 , los suplidos se los llevan otros. 440.798,42 Año

2...

294.000

294.000 ∗ (1 + r) = 440.798,42 ⇒ r = 0,08437 = 8,44% 5

Al gerente de Fraksa2, D. Luis, le preocupa que dispongamos dentro de 5 años de los 440.798,42 del reembolso único que nos ha indicado en una consulta que acabo de hacerle. D. Luis quiere establecer un plan de ahorro anual, a partir del año que viene, para asegurarnos que tendremos esa cantidad dentro de 5 años. Haremos los ingresos en una cuenta que nos ofrece el 3% de interés anual. ¿Cuánto tenemos que ingresar en la cuenta cada año?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Año

R...

2...

5 440.798,42

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. R

1,035 − 1 = 440.798,42 ⇒ R = 83.026,40 0,03

Fíjese en que podemos darle la vuelta a la consulta. Acaba de calcular, de una forma disfrazada, la cuota de constitución de un préstamo de 440.798,42 a amortizar dentro de 5 años por el sistema americano. 3.

Ahora D. Luis me ha planteado otra cuestión. Ha pensado que podemos aumentar los ahorros en un 2% anual. ¿Cuánto deberíamos ingresar en la cuenta cada año? También me ha preguntado si nos hará algún descuento porque le hemos hecho 3 consultas en los últimos 15 minutos. Fraksa2.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

189

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Año

R*1,02

R*1,024

2...

5 440.798,42

Planteamos la ecuación de equilibrio. Los ahorros forman una renta en PG. R∗ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

1,034 − 1,02 5 = 440.789,42 ⇒ R = 79.864,52 0,03 − 0,02

Año 1 R: Año 2 R*1,02: Año 3 R*1,042: Año 4 R*1,043: Año 5 R*1,044:

79.864,52 81.461,81 83.091,05 84.752,87 86.447,93

Otra buena noticia. Acaba de calcular, también de una forma disfrazada, las cuotas de constitución en PG para un préstamo de 440.798,42 a amortizar en 5 años por el sistema americano. ¡Y eso que todavía no hemos hecho ningún préstamo de este tipo! 4.

J. Calcule los ahorros anuales de la consulta anterior si D. Luis quisiera aumentarlos en un 3% anual. Pista: el tipo de interés, r, coincide con la tasa de crecimiento, g. Usted ya sabe qué hacer en estos casos. Respuesta: Año 1 R 78.328,74 Año 2 R*1,03 80.678,60 83.098,96 Año 3 R*1,032 3 85.591,93 Año 4 R*1,03 4 88.159,68 Año 5 R*1,03

J. Vuelva al Problema 1. Calcule el reembolso único, el tanto prestatario y tanto prestamista de la consulta, si el préstamo fuera a dos años. Respuesta: Reembolso único: 349.920,00 Tanto prestatario: 0,09282 9,28% Tanto prestamista: 0,09096 9,10% Comentario: compare el tanto prestatario de ambos casos, verá que el efecto de los gastos sobre el coste de la operación es mayor en los préstamos a corto plazo.

Hace dos años y medio nuestra empresa obtuvo un préstamo de 200.000 a tres años a amortizar mediante reembolso único y a interés semestral variable. El interés del préstamo fue el 10% nominal anual durante el primer año, posteriormente fue el 9% nominal anual durante año y medio y el banco acaba de comunicarnos que el tipo de interés ha bajado al 8% nominal anual. ¿Cuánto deberemos pagar al vencimiento del préstamo? ¿A qué tipo de interés nos ha resultado el préstamo?

190 MATEMÁTICA

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico. Fíjese que la empresa tiene que pagar el RU dentro de un semestre y que el interés de este semestre es el 4% RU C6 r2 5%

Semestre

r2 4,5%

r2 4% 4

200.000

Calculamos el RU. Usted ya ha diferido capitales a interés variable en el Capítulo 3. C5 = 200.000 ∗ 1,052 ∗ 1,0453 ∗ 1,04 = 261.692,22

Calculamos el coste de la operación. Fíjese que el préstamo ha durado 3 años. 261.692,22 Semestre

2...

200.000

200.000 ∗ (1 + r) = 261.692,22 ⇒ r = 0,093755 = 9,38% 3

Nuestra empresa necesita un préstamo de 400.000 para acometer unas inversiones. Un banco nos ha ofrecido el «Préstamo 4567». Se trata de un préstamo a cuatro años, a amortizar mediante reembolso único y cuyo interés nominal anual es creciente: 4% el primer año, 5% el segundo, etc. Los intereses se capitalizan semestralmente y el préstamo tiene unos gastos de concesión del 2%. ¿Cuánto tendremos que pagar dentro de 4 años? ¿Qué coste tiene la operación? Respuesta: Reembolso único: 496.893,38 Tanto prestatario: 0,06107 6,11%

Nuestra empresa necesita un préstamo de 400.000 . Nuestro banco ha lanzado el «Préstamo In Fine 4567». Se trata de un préstamo a cuatro años, con amortización In Fine y cuyo interés nominal anual es creciente: 4% el primer año, 5% el segundo, etc. Los intereses se capitalizan anualmente y el préstamo tiene unos gastos de concesión del 3%. ¿Qué pagos anuales deberemos realizar si pedimos este préstamo? ¿A qué interés anual nos sale el dinero?

SOLUCIÓN z

Representamos en el gráfico los pagos que debe hacer la empresa. Amortización Intereses Año

16.000

20.000

24.000

400.000 28.000

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN z

DE PRÉSTAMOS

191

Para calcular el coste del préstamo, nos fijamos en los flujos de caja de la empresa, planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Pagos totales Año

16.000

20.000

24.000

428.000

0 388.000

388.000 = 16.000 + 20.0002 + 24.0003 + 428.000 (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)4 z

Calcule «r» por el sistema de prueba-error e interpolando. Compare su respuesta con lo que me dice mi hoja de cálculo: r 0,062954 6,30%.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el calendario de pagos y el coste anual del préstamo si los intereses se capitalizaran semestralmente y los gastos de concesión fueran el 1%. Respuesta: Calendario de pagos: Semestres (S) 1 y 2 8.000 ; S3 y S4 10.000 ; S5 y S6 12.000 ; S7 14.000 , S8 414.000 TAE del préstamo 0,05794 5,79%

10.

Vamos a necesitar un préstamo de 250.000 para comprarnos un piso. Nuestro banco nos ofrece una hipoteca al 6% de interés nominal anual, a amortizar en 15 años por el sistema francés con cuotas trimestrales. Un banco extranjero ha lanzado el préstamo «PMH», Paga Menos por tu Hipoteca. El PMH se amortiza In Fine y el pago trimestral que nos pide este banco durante 15 años sólo es de 4.375 . Mi marido cree que debemos pedir el PMH para pagar el piso, pero yo no estoy segura. ¿Qué nos recomienda?

SOLUCIÓN z

Una forma rápida de verlo consiste en calcular el interés anual del PMH. Al tratarse de un préstamo con amortización In Fine, el pago trimestral va destinado a intereses. Interés trimestral = 4.375 = 0,0175 ⇒ 250.000 Interés nominalanual = 0,0175 ∗ 4 = 0,07 = 7%

El PMH es más caro, 7% nominal anual. Sus clientes deberían pedir el préstamo a amortizar por el método francés, sin dejarse deslumbrar por el pago trimestral más bajo del PMH. Sus clientes no tienen porqué entender las implicaciones de la amortización In Fine, pero usted sí. Vamos a comparar los pagos trimestrales de ambos préstamos. ¾ Préstamo sistema francés, calculamos primero su cuota trimestral. Cuota = 250.000

Trimestre

0,015 (1 + 0,015)

(1 + 0,015)60 − 1

= 6.348,36

6.348,36

6.348,36 . . .

6.348,36

3...

192 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

PMH. Amortización Intereses Trimestre

4.375

4.375 3...

250.000 4.375 60

Veamos la diferencia. El pago trimestral es más bajo en el PMH, pero dentro de 15 años sus clientes tendrán que pagar 250.000 para amortizarlo, si quieren mantener el piso. El común de los mortales no suele tener 250.000 en un momento cualquiera de su vida, lo normal es que sus clientes ahorren para tener ese dinero. Supongamos que trimestralmente ahorran los 1.973,36 de diferencia entre ambas cuotas. Si dentro de 15 años tuvieran 250.000 en la cuenta, ambos préstamos les serían indiferentes, pero ¿qué tipo de interés les debe ofrecer esa cuenta para tener esos 250.000 ?

Trimestre

1.973,36

1.973,36 . . .

1.973,36

3...

60 250.000

(1 + r4 )60 − 1 r4

= 250.000 ⇒ r4 = 0,02300542 ⇒

TAE = 1,02300542 4 − 1 = 0,09524 = 9,52% z

11.

Si las hipotecas se están vendiendo a unos tipos de interés próximos al 6%, no parece lógico pensar que se puedan encontrar en el mercado oportunidades de inversión no arriesgadas al 9%. Si esto fuera posible, le propongo dos cuestiones. La más importante: avíseme, por favor; por otra parte, ¿cree que su banco le prestaría dinero al 6% si tiene oportunidades para invertir ese dinero al 9% sin correr riesgos? Un comentario final. ¿Cree que es difícil deslumbrar al consumidor? Hace unos pocos años, bastantes personas de un país europeo tuvieron problemas muy serios porque financiaron sus casas con bancos de un país vecino que les vendían hipotecas In Fine. Se dejaron deslumbrar con cuotas «más bajas».

Nuestra empresa necesita un préstamo de 400.000 . Un banco nos ofrece el «Préstamo 4567». Se trata de un préstamo a cuatro años, con cuota de amortización constante y cuyo interés nominal anual es creciente: 4% el primer año, 5% el segundo, etc. Los intereses y la cuota de amortización se pagan anualmente y el préstamo tiene unos gastos de concesión del 3%. ¿Qué pagos anuales deberemos realizar si pedimos este préstamo? ¿A qué interés anual nos sale el dinero?

SOLUCIÓN z

Calculamos los pagos anuales que se realizan por este préstamo. ¾ Cuota de amortización = 400.000 = 100.000 . 4 ¾ Cuota de interés Tipo de interés vigente * Deuda pendiente. Como cada año se amortizan 100.000 , la deuda pendiente del siguiente año es menor.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN Cuota de amortización Cuota de interés Año

DE PRÉSTAMOS

100.000 16.000

100.000 15.000

100.000 12.000

100.000 7.000

193

Para calcular el coste anual del préstamo, nos fijamos en los flujos de su cliente. Pagos totales Año

116.000

115.000

112.000

107.000

0 388.000

388.000 = 116.000 + 115.000 + 112.000 + 107.000 2 3 (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)4 z

Calcule «r» por el sistema de prueba-error e interpolando. Compare su respuesta con lo que me dice mi hoja de cálculo: r 0,06293 6,29%.

12.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el calendario de pagos si los intereses y la cuota constante de amortización fueran semestrales. Pista: cada semestre la deuda disminuye en 50.000 . Respuesta: Semestre 1, S1 58.000 ; S2 57.000 ; S3 57.500 ; S4 56.250 , S5 56.000 ; S6 54.500 ; S7 53.500 ; S8 51.750

13.

Voy a prestarle 18.000 a mi nieto Miguel para que se compre un coche. Miguel me ha dicho que va a devolvérmelo en 4 pagos anuales utilizando el método de amortización constante, que no sé lo que es, y quiere que yo gane un 5% de interés anual. ¿Cuánto tiene que pagarme Miguel cada año? Respuesta: Año 1, A1 5.400 ; A2 5.175 ; A3 4.950 ; A4 4.725

14.

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro de amortización de ese préstamo suponiendo que Miguel quisiera amortizarlo por el método francés.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y calculamos la cuota.

Año

0 18.000

194 MATEMÁTICA

FINANCIERA

C = 18.000 z

0,05 ∗ 1,054 ⇒ mirando la tabla 6: C = 5.076,21 1,054 − 1

Hacemos el cuadro de amortización.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

15.

Deuda pendiente 18.000,00

5.076,21

900,00

4.176,21

13.823,79

5.076,21

691,19

4.385,02

8.561,23

9.438,77

5.076,21

471,94

4.604,27

13.165,50

4.834,50

5.076,23

241,73

4.834,50

18.000,00

0,00

Necesito 10.000 para comprarme una moto. El banco me ofrece un préstamo al 12% de interés nominal anual, a amortizar por el método francés mediante 6 cuotas mensuales. El préstamo tiene unos gastos de concesión del 1%. Quiero que me hagan el cuadro de amortización y me calculen la TAE del préstamo.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y calculamos la cuota.

Mes

0 10.000

C...

3...

C = 10.000 z

0,01(1 + 0,01)

(1 + 0,01)6 − 1

= 1.725,48

Hacemos el cuadro de amortización.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 10.000,00

1.725,48

100,00

1.625,48

8.374,52

1.725,48

83,75

1.641,73

3.267,21

6.732,79

1.725,48

67,33

1.658,15

4.925,36

5.074,64

1.725,48

50,75

1.674,73

6.600,09

3.399,91

1.725,48

34,00

1.691,48

8.291,57

1.708,43

1.725,51

17,08

1.708,43

10.000,00

0,00

Calculamos la TAE.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

Mes

DE PRÉSTAMOS

1.725,48

1.725,48 . . .

1.725,48

2...

195

9.900

9.900 = 1.725,48

(1 + r12 )6 − 1 (1 + r12 )6 − 1 ⇒ = 5,7375339 6 6 r12 (1 + r12 ) r12 (1 + r12 )

Mirando en la Tabla 4 del Apéndice: 1,25% < r < 1,50%. Interpole y anualice. r12 = 0,0129317 ⇒ TAE = 1,012931712 − 1 = 0,1667 = 16,67% Si el préstamo no tuviera gastos, su TAE sería: TAE = 1,0112 − 1 = 0,1268 = 12,68% 16.

J. Calcule la TAE del préstamo de la consulta anterior si su cliente lo amortizara mediante tres cuotas mensuales. Pista: empiece calculando la cuota (3.400,22 ); plantee el gráfico (no se olvide de los gastos) y la ecuación de equilibrio; acote con la Tabla 4 del Apéndice, interpole y anualice. Respuesta: TAE 19,72%

17.

J. Calcule la TAE del mismo préstamo suponiendo que su cliente lo va a amortizar mediante una cuota mensual. Pista: el préstamo se amortiza un mes después de recibirlo. Respuesta: TAE 27,13%

18.

Hace 3 meses pedí un préstamo de 20.000 a interés variable y a amortizar por el sistema francés en 6 cuotas mensuales. El interés de partida fue el 12% nominal anual, con revisión trimestral del interés. Acabo de pagar la tercera cuota y el banco me ha comunicado que el interés del préstamo ha bajado al 9% nominal anual. ¿Me puede hacer el cuadro de amortización del préstamo?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y calculamos la cuota.

Mes

C...

2...

20.000

C = 20.000 z

0,01(1 + 0,01)

(1 + 0,01)6 − 1

Empezamos el cuadro de amortización.

= 3.450,97

196 MATEMÁTICA

Período

FINANCIERA

Tipo de interés

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente

20.000,00

3.450,97

200,00

3.250,97

16.749,03

3.450,97

167,49

3.283,48

6.534,45

13.465,55

3.450,97

134,66

3.316,31

9.850,76

10.149,24

Tras pagar la tercera cuota, el tipo de interés baja al 0,75% mensual. Debemos calcular la nueva cuota que amortiza la deuda pendiente en las cuotas restantes.

Mes

C = 10.149,24 z

3 10.149,24

0,0075 (1 + 0,0075)

(1 + 0,0075)3 − 1

= 3.433,95

Completamos el cuadro de amortización.

Período

Tipo de interés

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 20.000,00

3.450,97

200,00

3.250,97

16.749,03

3.450,97

167,49

3.283,48

6.534,45

13.465,55

3.450,97

134,66

3.316,31

9.850,76

10.149,24

0,75%

3.433,95

76,12

3.357,83

13.208,59

6.791,41

0,75%

3.433,95

50,94

3.383,01

16.591,60

3.408,40

0,75%

3.433,96

25,56

3.408,40

20.000,00

0,00

19.

J. Vuelva al problema anterior y haga el cuadro de amortización si, tras pagar la tercera cuota, el tipo de interés sube al 15% nominal anual. Respuesta: las tres primeras cuotas son de 3.450,97 , las tres últimas de 3.468,01

20.

Hace 6 meses me concedieron un préstamo de 50.000 a amortizar en dos años por el método francés mediante cuotas trimestrales. El interés del préstamo es variable con revisión semestral. El interés de partida era el 12% nominal anual. He pagado la segunda cuota y en la revisión semestral me han bajado el interés al 10% nominal anual. ¿Me puede decir el importe de la nueva cuota que tengo que pagar? Pista: calcule la primera cuota del préstamo y haga las dos primeras líneas del cuadro. Calcule la nueva cuota que puede amortizar la deuda pendiente en los trimestres que faltan al nuevo tipo de interés. Respuesta: Nueva cuota 7.005,23 (su cliente no le pide que le haga el cuadro)

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

197

Aviso: las próximas 16 consultas incorporan «peculiaridades» a los préstamos a amortizar por el sistema francés. No se preocupe, usted no va a tener ningún problema con estos casos. 21.

Voy a pedir un préstamo de 30.000 al 10% de interés anual a amortizar por el método francés en 6 años. Haré pagos anuales por el préstamo, pero voy a solicitar carencia de amortización durante tres años. ¿Me puede hacer el cuadro de amortización?

SOLUCIÓN z

¿Qué significa carencia de amortización? Significa que durante cierto tiempo, las tres primeras cuotas en nuestro caso, el cliente sólo paga los intereses del préstamo, no amortiza nada. En los períodos restantes paga cuotas que, además de pagar los intereses, van amortizando el préstamo. ¿Cómo se resuelven estos casos? Muy fácil: plantee el gráfico de flujos y la ecuación de equilibrio financiero. Calcule la cuota y haga el cuadro respetando los flujos que indica el gráfico. Dibujamos el gráfico de flujos. Durante los 3 primeros años su cliente sólo paga los intereses, 3.000 , los tres años restantes paga cuotas constantes.

Año

0 30.000

3.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. Esto ya no es nada difícil para usted, independientemente de los flujos que aparezcan en el gráfico.   1,13 − 1  1,13 − 1  1 + C 30.000 = 3.000 ∗ 3 ⇒ C = 12.063,44 3 ∗ 1,1 0,1 ∗ 1,13  0,1

 1,1  Valor año3 

Hacemos el cuadro respetando los flujos que aparecen en nuestro gráfico. Los tres primeros pagos de 3.000 y los tres restantes de 12.063,44 .

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 30.000,00

3.000,00

0,00

30.000,00

3.000,00

0,00

30.000,00

3.000,00

0,00

30.000,00

12.063,44

3.000,00

9.063,44

20.936,56

12.063,44

2.093,66

9.969,78

19.033,22

10.966,78

12.063,46

1.096,68

10.966,78

30.000,00

0,00

¿Ve qué fácil?

198 MATEMÁTICA 22.

FINANCIERA

J. Vuelva a la consulta anterior y haga el cuadro de amortización suponiendo que su cliente sólo quiere carencia de amortización durante 2 años. Pista: le ayudo con el gráfico.

Año

3.000

0 30.000

Respuesta: para que le cuadre el cuadro, la cuota constante que debe salirle de la ecuación de equilibrio es de 9.464,12 23.

Voy a pedir un préstamo de 15.000 para comprarme un coche. La directora de mi sucursal me ofrece un préstamo, al 8% de interés nominal anual, a amortizar por el sistema francés mediante 4 cuotas trimestrales, las dos primeras con carencia de amortización. ¿Me puede hacer el cuadro de amortización?

SOLUCIÓN

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 15.000,00

300,00

0,00

15.000,00

300,00

0,00

15.000,00

7.725,74

300,00

7.425,74

7.574,26

7.725,74

151,48

7.574,26

15.000,00

0,00

Asegúrese de que la cuota constante le sale 7.725,74 . 24.

Nuestra empresa va a pedir un préstamo de 30.000 al 10% de interés anual a amortizar por el método francés en 6 años. Queremos hacer pagos anuales por el préstamo, pero vamos a solicitar carencia de interés y amortización durante tres años. ¿Nos pueden hacer el cuadro de amortización?

SOLUCIÓN z

¿Qué significa carencia de interés y amortización? Significa que durante cierto tiempo, los tres primeros años en nuestro caso, el cliente no paga absolutamente nada, ni intereses ni amortización. En los períodos restantes paga cuotas que, además de pagar los intereses, van amortizando el préstamo. ¿Cómo se resuelven estos casos? Muy fácil otra vez: plantee el gráfico de flujos y la ecuación de equilibrio financiero. Calcule la cuota y haga el cuadro respetando los flujos que indica el gráfico. Dibujamos el gráfico de flujos. Durante los 3 primeros años su cliente no paga nada, los tres años restantes paga cuotas constantes.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

Año

0 30.000

DE PRÉSTAMOS

199

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero.    1,13 − 1  1 ∗ 3 ⇒ C = 16.056,44 30.000 = C 3 0,1 ∗ 1,1   1,1  Valor año3  Hacemos el cuadro respetando los flujos que aparecen en nuestro gráfico. Al no pagar los intereses durante tres años, éstos se capitalizan, la deuda del cliente se incrementa en su importe, lo que hace aumentar los intereses del siguiente año. Este proceso hace que la deuda pendiente aumente hasta los 39.930 en el año 3, que es lo que deberá quedar amortizado tras la última cuota.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 30.000,00

0,00

3.000,00

0,00

33.000,00

0,00

3.300,00

0,00

36.300,00

0,00

3.630,00

0,00

39.930,00

16.056,44

3.993,00

12.063,44

27.866,56

16.056,44

2.786,66

13.269,78

25.333,22

14.596,78

16.056,46

1.459,68

14.596,78

39.930,00

0,00

Fácil otra vez, ¿no? 25.

J. Vuelva a la consulta anterior y haga el cuadro de amortización suponiendo que su cliente sólo quiere carencia de interés y amortización durante 2 años. Pista: le ayudo con el gráfico.

Año

0 30.000

Respuesta: para que le cuadre el cuadro, la cuota constante que debe salirle de la ecuación de equilibrio es de 11.451,59 26.

Nuestra empresa anda mal de liquidez en este momento y vamos a tener que pedir un préstamo de 15.000 para acudir a una feria. El interés del préstamo es el 2% trimestral y vamos a proponerle al

200 MATEMÁTICA

FINANCIERA

banco amortizar el préstamo en un año, para lo que haremos dos pagos trimestrales iguales dentro de 9 y 12 meses, no queremos pagar nada los dos primeros trimestres. Necesitamos el cuadro de amortización.

SOLUCIÓN z

Estamos ante un préstamo con carencia de interés y amortización durante dos trimestres. Dibujamos el gráfico de flujos.

Trimestre 0 15.000

   1,02 2 − 1  ∗ 1 2 ⇒ C = 8.037,86 15.000 = C 2 0,02 ∗ 1,02 

 1,02  Valor trimestre 2  z

Hacemos el cuadro respetando los flujos del gráfico.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

27.

Deuda pendiente 15.000,00

0,00

300,00

0,00

15.300,00

0,00

306,00

0,00

15.606,00

8.037,86

312,12

7.725,74

7.880,26

8.037,87

157,61

7.880,26

15.606,00

0,00

«Disfrute de aire acondicionado y empiece a pagarlo dentro de 3 meses. Llévese el mejor equipo ahora y nos pagará 3 mensualidades de ……… cada una, la primera dentro de 3 meses». Ésta es la campaña que nuestra empresa va a lanzar con vistas al próximo verano. Queremos que nos calculen el importe de cada mensualidad y que nos hagan el cuadro de amortización de este préstamo que damos a nuestros clientes. El equipo cuesta 3.000 y queremos obtener una rentabilidad del 2% mensual.

SOLUCIÓN z

Estamos ante un préstamo con carencia de interés y amortización durante dos meses. Dibujamos el gráfico de flujos.

Mes

3.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

201

   1,023 − 1  ∗ 1 2 ⇒ C = 1.082,29 3.000 = C 3 0,02 ∗ 1,02 

 1,02 Valor mes 2   z

Hacemos el cuadro de amortización.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente

28.

3.000,00

0,00

60,00

0,00

3.060,00

0,00

61,20

0,00

3.121,20

1.082,29

62,42

1.019,87

2.101,33

1.082,29

42,03

1.040,26

2.060,13

1.061,07

1.082,29

21,22

1.061,07

3.121,20

0,00

Nuestra empresa va a pedir un préstamo de 30.000 a amortizar en 6 años. Necesitamos pagar algo menos los dos primeros años y nuestro banco nos ha ofrecido un préstamo, al 10% de interés anual, a amortizar por el método francés con las dos primeras cuotas arbitrarias. Queremos que las primeras cuotas sean de 4.000 y 5.000 respectivamente, las 4 restantes serán iguales entre sí. ¿Nos pueden hacer el cuadro de amortización?

SOLUCIÓN z

¿Qué es el método francés con cuotas arbitrarias? Es un acuerdo por el que el prestatario se compromete a pagar las primeras «n» cuotas de unos importes arbitrarios que él mismo fija, mientras que el importe del resto de cuotas se fija aplicando finanzas. ¿Cómo se resuelven estos casos? Usted ya lo sabe: plantee el gráfico de flujos y la ecuación de equilibrio financiero. Calcule la cuota y haga el cuadro respetando los flujos que indica el gráfico. Dibujamos el gráfico de flujos. Durante los dos primeros años su cliente paga cuotas de 4.000 y 5.000 , los cuatro años restantes paga cuotas constantes.

Año

0 30.000

4.000

5.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero.    1,14 − 1  1 4.000 5.000 30.000 = + + C ∗ 2 ⇒ C = 8.486,16 4 1,1 ∗ 1,1 1,12  0,1

 1,1  Valor año 2 

Hacemos el cuadro respetando los flujos que aparecen en nuestro gráfico.

202 MATEMÁTICA

Período

FINANCIERA

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 30.000,00

4.000,00

3.000,00

1.000,00

29.000,00

5.000,00

2.900,00

2.100,00

3.100,00

26.900,00

8.486,16

2.690,00

5.196,16

8.896,16

21.103,84

8.486,16

2.110,38

6.375,78

15.271,94

14.728,06

8.486,16

1.472,81

7.013,35

22.285,29

7.714,71

8.486,18

771,47

7.714,71

30.000,00

0,00

29.

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro de amortización del préstamo suponiendo que su cliente hubiera pactado tres cuotas arbitrarias de 4.000, 5.000 y 7.000 respectivamente. Respuesta: para que le cuadre el cuadro, la cuota constante que debe salirle de la ecuación de equilibrio es de 9.083,77

30.

Voy a pedir un préstamo de 15.000 para comprarme un coche. Mi banco me ofrece un préstamo, al 8% de interés nominal anual, a amortizar por el sistema francés mediante 4 cuotas trimestrales, las dos primeras arbitrarias de 3.000 cada una y constantes las otras dos. ¿Me puede hacer el cuadro de amortización?

SOLUCIÓN

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

31.

Deuda pendiente 15.000,00

3.000,00

300,00

2.700,00

12.300,00

3.000,00

246,00

2.754,00

5.454,00

9.546,00

4.916,66

190,92

4.725,74

10.179,74

4.820,26

4.916,67

96,41

4.820,26

15.000,00

0,00

Nuestra empresa necesita un préstamo de 200.000 para comprar una máquina. Queremos amortizarlo mediante 4 pagos semestrales crecientes. Nuestro banco nos ofrece un préstamo a amortizar mediante cuotas en progresión geométrica. El interés del préstamo es el 8% nominal anual y las cuotas aumentarán un 2% cada semestre. Necesitamos el cuadro de amortización.

SOLUCIÓN z

¿Qué es la amortización mediante cuotas en progresión geométrica? Es un acuerdo por el que el prestatario se compromete a pagar periódicamente unas cuotas que varían siguiendo una progresión geométrica con una tasa de crecimiento «g». Esto supone que cada cuota es igual a la anterior multiplicada por (1 g). Podemos ver este sistema de amortización como un caso particular del sistema francés con cuotas variables. ¿Cómo se resuelven estos casos? ¿Qué le voy a decir que usted no sepa?, gráfico de flujos, ecuación de equilibrio financiero…

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN z

203

Representamos el gráfico de la operación.

Semestre 0 200.000

DE PRÉSTAMOS

C*1,02

C*1,022

C*1,023

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 200.000 =

C ∗ 1,04 4 − 1,02 4 ⇒ C = 53.524,27 1,04 4 0,04 − 0,02

Fíjese en que 53.524,27 es C, la cuota del primer semestre. Su cliente debe pagar: ¾ Semestre 1 C: 53.524,27 ¾ Semestre 2 C*1,02: 54.594,76 2 ¾ Semestre 3 C*1,02 : 55.686,65 3 ¾ Semestre 4 C*1,02 : 56.800,38

Antes de pasar al cuadro, en el que debemos tener cuidado con poner bien la cuota de cada período, quiero hacerle una pregunta. ¿Le parece que estamos haciendo algo nuevo? Temo decepcionarle, usted ya había calculado estas cuotas, visite el Problema 14 del Capítulo 6.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 200.000,00

53.524,27

8.000,00

45.524,27

154.475,73

54.594,76

6.179,03

48.415,73

93.940,00

106.060,00

55.686,65

4.242,40

51.444,25

145.384,25

54.615,75

56.800,38

2.184,63

54.615,75

200.000,00

0,00

32.

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro de amortización si las cuotas crecieran un 3% cada semestre. Respuesta: Cuota semestre 1 52.756,04 Cuota semestre 2 54.338,72 Cuota semestre 3 55.968,88 Cuota semestre 4 57.647,95

33.

Mi abuelo va a prestarme 18.000 para comprarme un coche. Hemos acordado un interés del 5% anual y que le devolveré el préstamo mediante 4 pagos anuales. El primer año sólo quiero pagar los intereses del préstamo y los otros tres años quiero hacerle pagos que aumenten un 3% cada año. ¿Me puedes hacer el cuadro de amortización?

SOLUCIÓN z

Fíjese en que estamos mezclando un año de carencia con cuotas en progresión geométrica. Quiero que usted se dé cuenta de que es capaz de resolver cualquier historia que le planteen. Representamos el gráfico de la operación.

204 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Año

900

C*1,03

C*1,032

0 18.000

Planteamos la ecuación de equilibrio. Podemos, como siempre, emplear la fórmula de rentas, en este caso en PG, o actualizar término a término.    C 1,053 − 1,033  1 900 18.000 = + ∗ ∗ ⇒ C = 6.421,54 1,05 1,053 0,05 − 0,03  1,05

Valor año1  

6.421,54 es C, la cuota del año 2. Su cliente debe pagar: ¾ Año 1 900,00 ¾ Año 2 C: 6.421,54 ¾ Año 1 C*1,03: 6.614,18 ¾ Año 1 C*1,032: 6.812,61 Hacemos el cuadro.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente

34.

18.000,00

900,27

900,00

0,00

18.000,00

6.421,54

900,00

5.521,54

12.478,46

6.614,18

623,92

5.990,26

11.511,80

6.488,20

6.812,61

624,41

6.488,20

18.000,00

0,00

Nuestra empresa necesita un préstamo de 200.000 para comprar una máquina. Queremos amortizarlo mediante 4 pagos semestrales crecientes. Nuestro banco nos ofrece un préstamo a amortizar mediante cuotas en progresión aritmética. El interés del préstamo es el 8% nominal anual y las cuotas aumentarán 1.000 cada semestre. Necesitamos el cuadro de amortización.

SOLUCIÓN z

¿Qué es la amortización mediante cuotas en progresión aritmética? Usted ya lo intuía. Es un acuerdo por el que el prestatario paga periódicamente cuotas que varían siguiendo una progresión aritmética. Esto supone que cada cuota es igual a la anterior más cierta cantidad. También podemos ver este sistema de amortización como un caso particular del sistema francés con cuotas variables. ¿Cómo se resuelven estos casos? Gráfico de flujos, ecuación de equilibrio…

Representamos el gráfico de la operación.

Semestre 0 200.000

C 100

C 2*1.000 C 3*1.000 3

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN z

DE PRÉSTAMOS

205

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 200.000 =

(

)

1,04 4 − 1 C + 1.000 − 1.000 ∗ 4 4 ⇒ C = 53.647,01 4 0,04 0,04 ∗ 1,04 0,04 ∗ 1,04

O bien ⇒ 200.000 = C + C + 1.000 + C + 2.000 + C + 3.000 ⇒ C = 53.647,01 2 3 1,04 1,04 1,04 1,04 4 z

53.647,01 es C, el pago del primer semestre. Su cliente debe pagar: ¾ Semestre 1 C: 53.647,01 ¾ Semestre 2 C 1.000: 54.647,01 ¾ Semestre 3 C 2.000: 55.647,01 ¾ Semestre 4 C 3.000: 56.647,01

Hacemos el cuadro.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente

z 35.

200.000,00

53.647,01

8.000,00

45.647,01

154.352,99

54.647,01

6.174,12

48.472,89

94.119,90

105.880,10

55.647,01

4.235,20

51.411,81

145.531,71

54.468,29

56.647,02

2.178,73

54.468,29

200.000,00

0,00

¿Le parece que hemos hecho algo nuevo? Temo decepcionarle otra vez, usted ya había calculado estas cuotas, visite el Problema 19 del Capítulo 7.

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro de amortización del préstamo suponiendo que su cliente hubiera pactado carencia de amortización el primer semestre.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de la operación.

Semestre 0 200.000

8.000

C 1.000

C 2*1.000

Plantee la ecuación de equilibrio y determine las cuotas. Le muestro el cuadro.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Deuda pendiente 200.000,00

8.000,00

0,00

200.000,00

71.095,85

8.000,00

63.095,85

136.904,15

72.095,85

5.476,17

66.619,68

129.715,53

70.284,47

73.095,85

2.811,38

70.284,47

200.000,00

0,00

206 MATEMÁTICA 36.

FINANCIERA

J. Vuelva a la misma consulta. Haga el cuadro de amortización suponiendo que su cliente hubiera pactado carencia de interés y amortización el primer semestre.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico de la operación.

Semestre 0

C 1.000

C 2*1.000

200.000

Planteamos la ecuación de equilibrio, lo hacemos término a término para mayor comodidad. 200.000 =

C + C + 1.000 + C + 2.000 ⇒ C = 73.978,64 1,04 2 1,043 1,04 4

Hacemos el cuadro.

Período

Cuota periódica

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

37.

Deuda pendiente 200.000,00

0,00

8.000,00

0,00

208.000,00

73.978,64

8.320,00

65.658,64

142.341,36

74.978,64

5.693,65

69.284,99

134.943,63

73.056,37

75.978,63

2.922,26

73.056,37

208.000,00

0,00

Necesito un préstamo de 10.000 para comprarme una moto. La oferta que me hace yankiloans.mof, empresa especializada en la concesión de préstamos a amortizar por el sistema americano, es un préstamo a 3 años al 12% de interés nominal anual. El interés de la cuenta de constitución es el 10% nominal anual. Los intereses del préstamo y las cuotas de constitución vencen semestralmente. Me cobran unos gastos de concesión del 1%. Quiero que me hagan el cuadro de capitalización y me calculen la TAE que soporto con este préstamo.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y calculamos la cuota de constitución.

Semestre

C...

3...

6 10.000

C = 10.000 z

0,05 ⇒ mirando la Tabla 5 del Apéndice: C = 1.470,17 (1 + 0,05)6 − 1

Hacemos el cuadro de capitalización.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

Capital inicial

Período

Cuota de constitución

Intereses

207

DE PRÉSTAMOS

Capital final

0,00

1.470,17

73,51

1.470,17

3.013,85

150,69

1.470,17

4.634,71

231,74

1.470,17

6.336,62

316,83

1.470,17

8.123,62

406,18

1.470,20

10.000,00

Para calcular la TAE, nos fijamos en los flujos de su cliente. Recibe 9.900 al comienzo y paga todos los semestres 2.070,17 (600 por intereses del préstamo y otros 1.470,17 de cuota de constitución).

Semestre

2.070,17

0 9.900

(1 + r2 )6 − 1 (1 + r2 )6 − 1 9.900 = 2.070,17 ⇒ = 4,7822159 6 6 r2 (1 + r2 ) r2 (1 + r2 ) Mirando en la Tabla 4 del Apéndice: 6,5% < r < 7%. Interpole y anualice. r2 = 0,0689374 ⇒ TAE = 1,06893742 − 1 = 0,14262 = 14,26% 38.

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro de capitalización y calcule la TAE de la operación si el préstamo se hubiera concedido a dos años.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y calculamos la cuota.

Semestre 0

4 10.000

C = 10.000 z

0,05 ⇒ mirando la tabla 5: C = 2.320,12 (1 + 0,05)4 − 1

Hacemos el cuadro de capitalización.

208 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Período 0

Capital inicial

Cuota de constitución

Intereses

Capital final

0,00

2.320,12

116,01

2.320,12

4.756,25

237,81

2.320,12

7.314,18

365,71

2.320,11

10.000,00

Para calcular la TAE, nos fijamos en los flujos de su cliente. Recibe 9.900 al comienzo y paga todos los semestres 2.920,12 (600 por intereses del préstamo y otros 2.320,12 de cuota de constitución).

Semestre 0

2.920,12

9.900

(1 + r2 )4 − 1 (1 + r2 )4 − 1 9.900 = 2.920,12 ⇒ = 3,3902716 4 4 r2 (1 + r2 ) r2 (1 + r2 ) Mirando en la Tabla 4 del Apéndice: 6,5% < r < 7%. Interpole y anualice. r2 = 0,0696 ⇒ TAE = 1,06962 − 1 = 0,14404 = 14,40% 39.

Hace 3 meses yankiloans.mof me concedió un préstamo de 20.000 a interés variable y a amortizar por el sistema americano en 6 meses. El interés de partida fue el 15% nominal anual para el préstamo y el 12% nominal anual para la cuenta de constitución, la revisión de los intereses es trimestral. Pago todos los meses los intereses del préstamo y la cuota de constitución. Acabo de pagar lo que me corresponde del tercer mes y el banco me ha comunicado que el interés del préstamo ha bajado al 12% nominal anual y el de la cuenta de constitución al 9% nominal anual. ¿Me puede hacer el cuadro de capitalización del préstamo?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y calculamos la cuota.

Mes

C...

3...

6 20.000

C = 20.000 z

0,01 = 3.250,97 (1 + 0,01)6 − 1

Hacemos el cuadro con las tres primeras cuotas.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

Tipo Período de interés

Capital inicial

Cuota de constitución

Intereses

0,00

209

DE PRÉSTAMOS

Capital final 0,00

0,00

3.250,97

32,51

3.250,97

6.534,45

65,34

3.250,97

9.850,76

Después de ingresar la tercera cuota, el interés de la cuenta cambia. Calculamos una nueva cuota que ingresada durante los próximos tres meses, y teniendo en cuenta que la cuenta ya tiene 9.850,76 , consiga cumplir su objetivo: que su saldo final sea igual al principal.

Semestre

9.850,76

20.000

9.850,76 (1,0075) + C 3

0,0075

= 20.000 ⇒ C = 3.283,95

Completamos el cuadro de capitalización. Tipo Período de interés 0

(1 + 0,0075)3 − 1

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

0,00

Capital final 0,00

0,00

3.250,97

32,51

3.250,97

6.534,45

6.534,44

65,34

3.250,97

9.850,76

0,75%

9.850,76

73,88

3.283,95

13.208,59

0,75%

13.208,59

99,06

3.283,95

16.591,60

0,75%

16.591,60

124,44

3.283,96

20.000,00

Aunque su cliente no se lo pide, fíjese en las entradas y salidas de tesorería que le genera el préstamo. El interés del préstamo es el 1,25% mensual durante 3 meses y el 1% mensual los tres restantes. Cuotas

3.250,97

3.283,95

Interés

250,00

200,00

Semestre

0 20.000

210 MATEMÁTICA 40.

FINANCIERA

J. Vuelva al problema anterior. Suponga que tras pagar la tercera cuota, el interés del préstamo sube al 18% nominal anual y el de la cuenta de capitalización al 15% nominal anual. Haga el cuadro de capitalización y represente en un gráfico los flujos de tesorería de su cliente.

SOLUCIÓN z

Le dejo a usted que calcule la nueva cuota por su cuenta. Le presento el cuadro de capitalización. Tipo Período de interés 0

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

0,00

Capital final 0,00

0,00

3.250,97

32,51

3.250,97

6.534,44

65,34

3.250,97

9.850,76

1,25%

9.850,76

123,13

3.218,01

13.191,90

1,25%

13.191,90

164,90

3.218,01

16.574,81

1,25%

16.574,81

207,19

3.218,00

20.000,00

Representamos las entradas y salidas de tesorería que genera el préstamo. Cuotas

3.250,97

3.218,01

Interés

250,00

300,00

Semestre

0 20.000

41.

Hace 6 meses me yankiloans.mof me concedió un préstamo de 50.000 a amortizar en dos años por el método americano. El interés de la operación es variable con revisión semestral. Pago trimestralmente tanto el interés del préstamo, que de partida era el 12% nominal anual, como las cuotas de constitución, cuyo interés de partida era el 10% nominal anual. En la revisión semestral han bajado los intereses al 10% nominal anual el del préstamo y al 8% el de la cuenta de constitución. ¿Me puede decir el importe de la nueva cuota que tengo que pagar? Pista: calcule la primera cuota del préstamo y haga las dos primeras líneas del cuadro, aunque también lo puede hacer de otra forma. Calcule la nueva cuota que puede asegurar un saldo de 50.000 en los trimestres que faltan. Respuesta: nueva cuota 5.857,21 (su cliente no le pide que le haga el cuadro) Aviso: las próximas 9 consultas incorporan «peculiaridades» a los préstamos a amortizar por el sistema americano. No se preocupe, usted ya conoce el significado de estas peculiaridades, vamos «apalancados» en las que hemos visto en el sistema francés.

42.

Nuestra empresa va a pedir un préstamo de 30.000 a amortizar en 6 años. Necesitamos pagar algo menos los dos primeros años y yankiloans.mof nos ofrece un préstamo, al 10% de interés anual, a amortizar por el método americano con las dos primeras cuotas arbitrarias. Queremos que las pri-

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

211

DE PRÉSTAMOS

meras cuotas sean de 2.000 y 3.000 , respectivamente, las 4 restantes serán iguales entre sí. El interés de la cuenta de constitución es el 8% anual. Necesitamos el cuadro de constitución.

SOLUCIÓN z

z z

¿Qué es el método americano con cuotas arbitrarias? Es un acuerdo por el que el prestatario se compromete a ingresar las primeras «n» cuotas de constitución de unos importes arbitrarios, mientras que el importe del resto de cuotas se fija aplicando finanzas. ¿Cómo se resuelven estos casos? Gráfico de flujos, ecuación de equilibrio… Dibujamos el gráfico de flujos. Durante los dos primeros años su cliente ingresa cuotas de 2.000 y 3.000 , los cuatro años restantes ingresa cuotas constantes.

Año

2.000

3.000

6 30.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 30.000 = 2.000 ∗ 1,085 + 3.000 ∗ 1,084 + C

Hacemos el cuadro con los flujos que indica nuestro gráfico.

Período

1,084 − 1 ⇒ C = 5.099,71 0,08

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

2.000,00

160,00

3.000,00

5.160,00

412,80

5.099,71

10.672,51

853,80

5.099,71

16.626,02

1.330,08

5.099,71

23.055,81

1.844,46

5.099,73

30.000,00

Su cliente paga 8.099,71 anualmente (3.000 de intereses del préstamo más 5.099,71 de cuota de constitución).

43.

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro de capitalización suponiendo que su cliente hubiera pactado tres cuotas arbitrarias de 2.000, 3.000 y 4.000 , respectivamente. Respuesta: para que le cuadre el cuadro, la cuota constante que debe salirle de la ecuación de equilibrio es de 5.526,44

44.

Voy a pedir un préstamo de 15.000 para comprarme un coche. Mi banco me ofrece un préstamo a amortizar por el sistema americano. Tendré que pagar 300 trimestrales de intereses e ingresar 4 cuotas trimestrales para la amortización en una cuenta que me ofrece un interés del 5% nominal anual. Las dos primeras cuotas son de 2.000 cada una y constantes las otras dos. ¿Me puede hacer el cuadro de constitución?

212 MATEMÁTICA

FINANCIERA

SOLUCIÓN

Período

45.

Capital inicial

Cuota de constitución

Intereses

Capital final

0,00

2.000,00

25,00

2.000,00

4.025,00

50,31

5.403,10

9.478,41

118,48

5.403,11

15.000,00

Nuestra empresa necesita un préstamo de 200.000 para comprar una máquina. Queremos liquidarlo mediante 4 pagos anuales crecientes. Nuestro banco nos ofrece un préstamo a amortizar por el sistema americano mediante cuotas en progresión geométrica. El interés del préstamo es el 8% nominal anual y el de las cuotas, que irán aumentando un 4% cada año, es el 6% nominal anual. Necesitamos el cuadro de capitalización.

SOLUCIÓN z

¿Qué es el sistema americano con cuotas en progresión geométrica? Usted ya se lo imagina. Es un acuerdo por el que el prestatario se compromete a ingresar periódicamente unas cuotas de constitución que varían siguiendo una progresión geométrica. Se trata de un caso particular de este tipo de préstamos. ¿Cómo se resuelven estos casos? También lo sabe: gráfico, ecuación…

Representamos el gráfico de la operación.

Año

C*1,04

C*1,042

C*1,043

4 200.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 200.000 = C ∗

1,06 4 − 1,04 4 ⇒ C = 43.187,96 0,06 − 0,04

Fíjese en que 43.187,96 es C, la cuota del primer semestre. Su cliente debe pagar: ¾ Año 1 C: 43.187,96 ¾ Año 2 C*1,04: 44.915,48 ¾ Año 3 C*1,042: 46.712,10 ¾ Año 4 C*1,043: 48.580,58

Antes de pasar al cuadro, quiero hacerle otra pregunta. ¿Le parece que estamos haciendo algo nuevo? Temo decepcionarle otra vez, usted ya había calculado estas cuotas, visite el Problema 16 del Capítulo 6.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

Período

46.

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

DE PRÉSTAMOS

213

Capital final

0,00

43.187,96

2.591,28

44.915,48

90.694,72

5.441,68

46.712,10

142.848,50

8.570,91

48.580,59

200.000,00

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro si las cuotas aumentaran un 3% anual.

SOLUCIÓN z

Asegúrese de que, con su ecuación de equilibrio, determina que las cuotas son las que aparecen en el siguiente cuadro:

Período

47.

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

43.805,80

2.628,35

45.119,98

91.554,13

5.493,25

46.473,58

143.520,96

8.611,26

47.867,78

200.000,00

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro si las cuotas aumentaran un 6% anual.

SOLUCIÓN z

Recuerde que las fórmulas de rentas en PG dan lugar a algunos problemas cuando «r» y «g» coinciden. Asegúrese de que es capaz de determinar que las cuotas son las que aparecen en el siguiente cuadro:

Período

48.

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

41.980,96

2.518,86

44.499,82

88.999,64

5.339,98

47.169,81

141.509,43

8.490,57

50.000,00

200.000,00

J. Vuelva al Problema 45. Haga el cuadro de capitalización si su cliente quisiera que la primera cuota de constitución fuera de 30.000 . El resto de cuotas crecerán un 4% anual.

214 MATEMÁTICA

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

Estamos mezclando cuotas arbitrarias con cuotas en PG. Veamos el gráfico.

Año

30.000

C*1,04

C*1,042

200.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 30.000 ∗ 1,063 + C ∗

Hacemos el cuadro. Fíjese que 48.733,10 es la cuota del año 2.

Período

49.

1,063 − 1,043 = 200.000 ⇒ C = 49.664,26 0,06 − 0,04

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

30.000,00

1.800,00

49.664,26

81.464,26

4.887,86

51.650,83

138.002,95

8.280,18

53.716,87

200.000,00

Nuestra empresa necesita un préstamo de 200.000 para comprar una máquina. Queremos liquidarlo mediante 4 pagos anuales crecientes. Nuestro banco nos ofrece un préstamo a amortizar por el sistema americano mediante cuotas en progresión aritmética. El interés del préstamo es el 8% nominal anual y el de las cuotas, que irán aumentando 6.000 cada año, es el 6% nominal anual. Necesitamos el cuadro de capitalización.

SOLUCIÓN z z

¿Qué es el sistema americano con cuotas en progresión aritmética? Usted ya lo sabe. Es un caso particular de este tipo de préstamos. ¿Cómo se resuelven estos casos? También lo sabe: gráfico, ecuación…

Representamos el gráfico de la operación.

Año

C 6.000

C 2*6.000 C 3*6.000 3

4 200.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. Vt =

(1 + r)t − 1 r

(R + ar ) − a ∗r t

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

(

DE PRÉSTAMOS

215

)

1,06 4 − 1 C + 6.000 − 6.000 ∗ 4 = 200.000 ⇒ C = 37.154,90 0,06 0,06 0,06

Año 1 C:

37.154,90

Año 2 C 6.000:

43.154,90

Año 3 C 12.000:

49.154,90

Año 4 C 18.000:

55.154,90

Antes de pasar al cuadro, le informo de que si consulta el Problema 21 del Capítulo 7, verá que ya había calculado estas cuotas.

Período

50.

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

37.154,90

2.229,29

43.154,90

82.539,09

4.952,35

49.154,90

136.646,34

8.198,78

55.154,88

200.000,00

J. Vuelva a la consulta anterior. Haga el cuadro de capitalización si su cliente quisiera que la primera cuota fuera de 30.000 . El resto de cuotas aumentarán 6.000 anuales.

SOLUCIÓN z

Estamos mezclando cuotas arbitrarias con cuotas en PA. Dejo a su cargo la ecuación de equilibrio y el cálculo de las cuotas.

Período

Capital inicial

Intereses

Cuota de constitución

Capital final

0,00

30.000,00

1.800,00

45.831,61

77.631,61

4.657,90

51.831,61

134.121,12

8.047,27

57.831,61

200.000,00

Nota importante: podríamos preparar un menú de préstamos más variado: mezclar cuotas en cualquier tipo de progresión con préstamos pactados a interés variable; añadirle algunas cuotas arbitrarias; por si le parece poco, salpimentarlo con algún período de carencia e incluso presentar el plato con un poco de perejil -algún pago voluntario-, se me ocurren más ingredientes… Estoy seguro de que usted sabría hacerlo porque ha entendido la idea: perfil de flujos, ecuación de equilibrio… 51.

Acabo de pagar la primera cuota semestral de un préstamo de 20.000 , al 12% de interés nominal anual, a amortizar por el sistema francés en tres años. He pagado 4.067,25 de cuota y el banco me dice que he amortizado 2.867,25 del préstamo. ¿Cuánto amortizaré con la última cuota?

216 MATEMÁTICA

FINANCIERA

SOLUCIÓN z

Hemos visto que la columna Cuota de amortización, en los préstamos que tienen cuota periódica constante, sigue una progresión geométrica de razón (1 r). Si multiplicamos una cuota de amortización por (1 r), obtenemos la cuota de amortización del siguiente período. El interés semestral es el 6% y en la consulta nos dicen la cuota de amortización del primer período, A1. 5 A 6 = A1 (1 + r) ⇒ A 6 = 2.867,25 ∗ 1,06 5 = 3.837,03

Podemos hacerlo de otra forma. También hemos visto que la cuota de amortización del período «t 1», del semestre 7 en nuestro caso, es igual a la cuota periódica del préstamo. La cuota de este préstamo es de 4.067,25 , por lo que: A6 =

A7 4.067,25 ⇒ A6 = = 3.837,03 1,06 (1 + r)

Vaya al Ejemplo 8.6 y verá que nuestra respuesta coincide con lo que nos dice el cuadro de amortización. Hay una pequeña diferencia que se debe a los redondeos. 52.

He pagado la primera cuota mensual de mi hipoteca y estoy escandalizado porque casi todo el dinero ha ido destinado al pago de intereses, sólo he conseguido amortizar 202,17 . La hipoteca tiene un interés del 12% nominal anual y la amortizaré por el sistema francés en 20 años. Me gustaría saber cuánto dinero irá destinado a la amortización en la última cuota.

SOLUCIÓN z

Nos piden calcular la cuota de amortización del período 240, A240. A 240 = A1 (1 + r)

239

⇒ A 240 = 202,17 ∗ 1,01239 = 2.180,34

53.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule la cuota mensual del préstamo. Respuesta: 2.202,15

54.

El mes pasado me concedieron una hipoteca al 6% de interés nominal anual a amortizar, por el método francés, en 180 cuotas mensuales. Con la primera cuota he pagado 500 de intereses y he amortizado 343,86 . Quiero saber las cantidades que irán destinadas al pago de intereses y a la amortización en la última cuota.

SOLUCIÓN z

Tenemos varios caminos para calcular la respuesta. En este caso, sabemos el importe de la cuota mensual: 500 343,86 843,86 , que sería, a su vez, la cuota de amortización del mes 181, A181. Calculamos primero la cuota de amortización del período 180, A180, y el resto hasta la cuota mensual son los intereses de ese período, I180. A180 =

A181 843,86 ⇒ A180 = = 839,66 1,005 (1 + r)

I180 = cuota mensual − A180 = 843,86 − 839,66 = 4,20 55.

J. Calcule el importe del préstamo recibido por el cliente de la consulta anterior. Pista: puede hacerlo de varias formas. Si se «apalanca» en que conoce la primera cuota de interés, tardará 5 segundos en calcularlo. Respuesta: 100.000

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

217

56.

Soy Daniel Herencia, tengo 25 años y necesito un préstamo de 200.000 para comprar un apartamento. Mi banco me ofrece un préstamo a 25 años a amortizar por el método francés con cuotas mensuales. El interés del préstamo es el 6% nominal anual. ¿Qué cuota mensual tendré que pagar por el préstamo? Respuesta: 1.288,60

57.

Soy Daniel Herencia otra vez. El BA, Banco Azul, ha revolucionado el mercado hipotecario lanzando la HV, Hipoteca de tu Vida. Es un préstamo a 50 años a amortizar por el método francés con cuotas mensuales. El interés del préstamo es el 6% nominal anual. ¿Qué cuota mensual tendré que pagar si me endeudo con el BA? Respuesta: 1.052,81

58.

El BR, Banco Rojo, ha respondido al BA lanzando la HPH, Hipoteca Padres a Hijos. Es un préstamo francés, al 6% nominal anual, a amortizar en 70 años. ¿Qué cuota mensual tendré que pagar si pido mi préstamo al BR? Daniel. Respuesta: 1.015,39

59.

¡Hola! Ahora es el BN, Banco Naranja, el que ha lanzado otra novedad, la HPN, Hipoteca Padres a Nietos. Es un préstamo parecido a los de mis consultas anteriores, pero a 90 años. ¿Qué cuota mensual me cobraría el BN por mi préstamo? Daniel. Respuesta: 1.004,60

60.

Esto es un lío. El BV, Banco Verde, ha lanzado la H100, Hipoteca a 100 años. La única diferencia con las anteriores es que el plazo es de 100 años. ¿Qué cuota mensual me cobraría el BV por mi préstamo? Daniel. Respuesta: 1.002,52

61.

¡Esto es la guerra! El BCNM, Banco Con Nosotros Menos, ha respondido con la HMI, Hipoteca Menos Imposible. La diferencia con las anteriores es que esta hipoteca no se amortiza nunca. ¿Qué cuota mensual tendría que pagarle al BCNM? Daniel. Respuesta: 1.000,00 (sólo se pagarían los intereses mensuales del préstamo) Comentario: compare la disminución de las cuotas conforme aumenta el plazo y saque sus conclusiones.

62.

El gran banco BBSCVHA ha lanzado la HF, Hipoteca Fácil. Es un préstamo francés, al 6% de interés nominal anual, que se amortiza con cuotas mensuales en 15 años. La novedad de este nuevo producto es que la última cuota, la del mes 180, es igual al 20% del importe del préstamo. ¿Qué cuotas mensuales me cobrará el BBSCVHA por mi préstamo? Daniel.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Mes

C...

40.000

5...

179

180

200.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero.

218 MATEMÁTICA

FINANCIERA

200.000 = C z

63.

1,005179 − 1 + 40.000 ⇒ C = 1.555,52 179 0,005 ∗ 1,005 1,005180

Daniel pagaría 179 cuotas de 1.555,52 y una última cuota de 40.000 . Aunque ahora estamos hablando de préstamos, ¿no le suena a algo? ¡Ya lo habíamos resuelto! Visite el Problema 56 del Capítulo 5. La historia era distinta, pero para las finanzas se trata del mismo problema.

Finalmente, he pedido el préstamo HF. El BBSCVHA me ha mandado una carta que dice lo siguiente: «Estimado cliente, gracias por confiarnos su hipoteca. En BBSCBVHA hemos vuelto a pensar en usted para adaptar nuestros productos a sus necesidades. Dentro de 15 años tendrá que pagar 40.000 , la última cuota de su hipoteca. Probablemente, usted necesite ir ahorrando para tener ese capital. Pues bien, en BBSCBVHA también hemos pensado en ello. Le ofrecemos la cuenta UCH, Última Cuota de su Hipoteca. A partir del mes que viene usted ingresa cómodos plazos mensuales en esta cuenta y ¡olvídese de esa cuota! Nosotros le remuneramos su dinero al mejor interés del mercado, el 3% nominal anual. Vaya a su sucursal donde le informaremos de sus pagos mensuales en la UCH.» ¿Me puedes decir cuánto debería ingresar mensualmente en la UCH? Daniel.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Mes

R...

5...

179

180 40.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. R

64.

1,0025180 − 1 = 40.000 ⇒ R = 176,23 0,0025

J. Vuelva a la consulta 62. Calcule el importe de las cuotas mensuales si la HF tuviera una última cuota igual al 40% del préstamo que pide Daniel. Pista: le ayudo con el gráfico.

Mes

C...

80.000

5...

179

180 40.000

Respuesta: C 1.417,50 65.

Soy Alberto Volante Redondo. Necesito un préstamo de 18.000 para comprarme un coche C@. Mi banco me ofrece un préstamo al 12% nominal anual a amortizar en 24 cuotas mensuales. ¿Cuánto tendré que pagar cada mes? Respuesta: 847,32

66.

C@ Credit me ofrece una novedosa fórmula para financiar mi coche. Me prestan los 18.000 que cuesta el coche que quiero, al 12% de interés nominal anual, y tendré que pagar 24 mensualidades,

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

DE PRÉSTAMOS

219

la primera el mes que viene. La novedad es que el último pago, el de dentro de 24 meses, es del 40% de precio del coche. ¿Cuánto tengo que pagar los primeros 23 meses? Alberto.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Mes

C...

7.200

5...

18.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 18.000 = C

z 67.

1,0123 − 1 + 7.200 ⇒ C = 602,74 0,01 ∗ 1,0123 1,0124

Alberto pagaría 23 cuotas de 602,74 y una última cuota de 7.200 . Usted ya se ha dado cuenta que esta financiación de C@ Credit es similar a la de la Hipoteca Fácil del BBSCVHA.

J. Vuelva a la consulta anterior. Suponga que los pagos que exige C@ Credit a Alberto son: una entrada de 2.000 , 23 cuotas mensuales iguales entre sí y, dentro de 2 años, un 40% del precio del coche. Calcule las cuotas mensuales.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

Mes

2.000

C...

7.200

5...

18.000

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero. 18.000 = 2.000 + C

68.

1,0123 − 1 + 7.200 ⇒ C = 504,97 23 0,01 ∗ 1,01 1,0124

Mi jefe, D. Pedro, quiere comprarse un C@ que cuesta 40.000 y lo va a financiar a tres años con C@ Credit. D. Pedro tendrá que pagar una entrada del 25%, 35 cuotas mensuales iguales entre sí y una última cuota de 8.000 (el 20% del precio del coche). ¿De cuánto son las cuotas mensuales? Alberto. Pista: le ayudo con el gráfico.

Mes

10.000

C...

8.000

5...

40.000

Respuesta: C 829,98

220 MATEMÁTICA 69.

FINANCIERA

El BBSCVHA ha lanzado el préstamo CE, Coche Express. El CE es un préstamo al 12% nominal anual y a un año que se amortiza en 12 pagos mensuales. Estos pagos son iguales entre sí y la novedad del préstamo es que cada 4 meses el pago es doble. ¿Cuánto tendré que pagar cada mes si pido un CE de 18.000 ? Alberto.

SOLUCIÓN z

Veamos el gráfico. Todos los meses se paga la cuota «C», salvo en los meses 4, 8 y 12 que se pagan dos cuotas «C». C

Mes

18.000

Planteamos la ecuación de equilibrio. Lo más rápido es actualizar los 12 pagos «C» regulares por una parte y los 3 pagos «C» extra por otra. 18.000 = C

1,0112 − 1 + C + C + C ⇒ C = 1.283,24 0,01 ∗ 1,0112 1,014 1,018 1,0112

Alberto pagará 1.283,24 mensualmente, salvo en los meses 4, 8 y 12, en los que pagará el doble, 2.566,48 .

70.

El BBSCVHA me ofrece el préstamo CE a dos años. En este caso, tendré que hacer 24 pagos mensuales iguales, pero cada 6 meses el pago será doble. El interés sigue siendo el 12% anual. ¿Cuánto tendré que pagar cada mes por mi préstamo de 18.000 ? Alberto. Respuesta: C 728,85 cada mes. En los meses 6, 12, 18 y 24 pagará 1.457,70

71.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule cuánto tendrá que pagar Alberto cada mes, suponiendo que la cuota que se paga cada 6 meses es el triple de la cuota normal. Respuesta: C 639,44 cada mes. En los meses 6, 12, 18 y 24 pagará 1.918,33

72.

Mi novia y yo necesitamos un préstamo de 180.000 para comprarnos un piso. Podemos pedir el dinero a dos bancos virtuales: z Prêtsfrançaises.mof nos ofrece el préstamo al 8% de interés nominal anual, a amortizar en 20 años por el método francés mediante cuotas trimestrales. z Yankiloans.mof nos ofrece el préstamo al 7% de interés nominal anual, a amortizar en 20 años por el método americano. Los intereses del préstamo y las cuotas de constitución, cuyo interés es el 4% nominal anual, son trimestrales. ¿Con qué banco deberíamos endeudarnos? Pista: calcule los pagos trimestrales que les supone cada alternativa, deben elegir la más barata. Respuesta: Prêtsfrançaises.mof 4.528,93 Yankiloans.mof 4.629,39 (intereses: 3.150 ; cuota: 1.479,39 ) Deben endeudarse con prêtsfrançaises.mof porque les sale más barato

73.

J. Vuelva a la consulta anterior. Suponga que el interés de las cuotas de constitución de yankiloans.mof fuera el 5% nominal anual. ¿Con quién deberían endeudarse sus clientes?

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

221

DE PRÉSTAMOS

Respuesta: Prêtsfrançaises.mof 4.528,93 Yankiloans.mof 4.472,37 (intereses: 3.150 ; cuota: 1.322,37 ) Deben endeudarse con yankiloans.mof.mof porque les sale más barato 74.

J. Vuelva a la consulta 72. Suponga que el interés del préstamo de yankiloans.mof fuera el 8% nominal anual y el de sus cuotas de constitución también fuera el 8% nominal anual. ¿Con quién deberían endeudarse sus clientes? Respuesta: Prêtsfrançaises.mof 4.528,93 Yankiloans.mof 4.528,93 (intereses: 3.600 ; cuota: 928,93 ) Pueden elegir cualquiera porque los pagos trimestrales coinciden

75.

Acabo de ser madre por primera vez. El BBSCVHA ha lanzado el PPH, Préstamo Primer Hijo. El PPH es de 9.000 , tiene un interés del 0%, unos gastos de concesión del 2% y hay que devolverlo en 3 pagos mensuales de 3.000 cada uno. ¿Qué TAE tiene el PPH?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico, la ecuación de equilibrio, despejamos y anualizamos. 3.000 3.000 3.000 Mes

8.820

(1 + r12 )3 − 1 8.820 = 3.000 3 r12 (1 + r12 ) Acote, la Tabla 4 del Apéndice le resultará útil, interpole y anualice el interés mensual. r12 = 0,01017 ⇒ TAE = 1,0101712 − 1 = 0,12910 = 12,91% 76.

Hemos tenido nuestro segundo hijo. El BBSCVHA ha lanzado el PSH, Préstamo Segundo Hijo. El PSH es de 9.000 , tiene un interés del 0%, unos gastos de concesión del 3% y hay que devolverlo en 6 pagos mensuales iguales. ¿Qué TAE tiene el PSH? Pista: le ayudo con el gráfico.

Mes

1.500

8.730

Respuesta: r12 0,008773, TAE 11,05% 77.

He sido madre por tercera vez. El BBSCVHA ha lanzado el PTH, Préstamo Tercer Hijo. El PTH es de 9.000 , tiene un interés del 0%, unos gastos de concesión del 4% y hay que devolverlo en 9 pagos mensuales iguales. ¿Qué TAE tiene el PTH? Respuesta: r12 0,008243, TAE 10,35%

222 MATEMÁTICA 78.

FINANCIERA

Me llamo Fortunato Rico. Hace 10 años me concedieron una hipoteca de 150.000 al 12% de interés nominal anual a amortizar en 15 años con cuotas mensuales. He recibido una herencia y quiero liquidar el préstamo. ¿Cuánto tengo que pagar?

SOLUCIÓN z

Tendrá que pagar la deuda pendiente hoy, su cliente no dice que le penalicen. Calculamos primero la cuota de la hipoteca.

Mes

C...

5...

179

180

150.000

C = 150.000 z

0,01 ∗ 1,01180 ⇒ C = 1.800,25 1,01180 − 1

Han pasado 120 meses desde que se concedió la hipoteca. Podemos calcular la deuda pendiente de varias formas. Una de ellas supone armarnos de paciencia y hacer 120 líneas del cuadro de amortización del préstamo, lo que no es nada recomendable para la salud mental. Otra forma, más sencilla, consiste en calcular el valor actual de las 60 cuotas que faltan por pagar. Hay más formas, pero emplearemos ésta.

Mes

1.800,25

1.800,25 . . .

1.800,25

3...

¿V0?

V0 = 1.800,25

1,0160 − 1 = 80.930,31 0,01 ∗ 1,0160

El banco podría cobrarle a Fortunato una penalización, supongamos, del 5% de la deuda pendiente. En este caso, la cantidad que tendrá que pagar para liquidar el préstamo sería: 80.930,31 0,05 * 80.930,31 84.976,83 79.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule cuánto tendrá que pagar Fortunato si los tipos de interés han bajado al 9% nominal anual y el banco le cobra el valor de las 60 cuotas restantes. Respuesta: 86.724,12

80.

La herencia no ha sido tan grande como yo pensaba. En lugar de liquidar mi hipoteca totalmente, voy a hacer una amortización voluntaria de 30.000 y quiero reducir el importe de las 60 cuotas restantes. ¿De cuánto será la nueva cuota? Fortunato Rico.

SOLUCIÓN z

Sabemos que la deuda pendiente hoy es de 80.930,31 , vamos apalancados en el Problema 78. Fortunato amortiza 30.000 voluntariamente, por lo que esa deuda queda en 50.930,31 . Calculamos la nueva cuota.

CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN

Mes

DE PRÉSTAMOS

C...

5...

223

50.930,31

C = 50.930,31 81.

0,01 ∗ 1,0160 ⇒ C = 1.132,92 1,0160 − 1

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule la nueva cuota que tiene que pagar Fortunato si el banco le cobra una penalización del 5% de los 30.000 que entrega para hacer una amortización voluntaria. Pista: esta penalización, 1.500 , supone que la deuda se reduce en 28.500 (30.000 1.500 ). La deuda pendiente después de la amortización es de 52.430,31 (80.930,31 28.500 ). Respuesta: C 1.166,28

CAPÍTULO 9

Valoración de bonos y acciones UN POCO DE TEORÍA

Vamos a empezar el capítulo con las buenas noticias. La primera es que usted ya sabe todas las finanzas necesarias para valorar bonos y acciones. La segunda es que ya ha resuelto bastantes problemas de este tipo en capítulos anteriores.

TIPOS DE BONOS

Cuando una empresa, o una administración pública, necesita un préstamo, puede pedírselo a un banco. También puede fraccionar ese préstamo en muchos préstamos pequeños, emitir títulos de renta fija llamados obligaciones o bonos, y ofrecérselos a los inversores. Emplearemos siempre el término bono. z

z z

Si usted compra un bono de 1.000 nominales se convierte en prestamista de quien ha emitido ese bono, el emisor. Dada su condición de prestamista, usted tendrá derecho a cobrar los intereses pactados, supongamos un 6% anual, y a que le devuelvan ese préstamo de 1.000 en la fecha de su vencimiento. Cuando usted adquiere un bono está comprando un activo capaz de generar flujos de fondos en el futuro. Estos bonos cotizan en bolsa, por lo que si quiere recuperar su dinero antes de su vencimiento, puede venderlo al precio al que cotice en ese mercado.

El emisor del bono tiene varias formas de cumplir sus obligaciones, pagar el interés ofrecido y devolver el principal, al igual que sucede en los préstamos. Veremos tres tipos de bonos. z

Bonos: pagan periódicamente los intereses, a los que se les llama cupón, y amortizan al vencimiento su valor nominal, VN. La idea es la misma que la de los préstamos con amortización «in fine». Se trata del tipo de bono más habitual, les podemos llamar bonos cupón americano. Éste es el perfil de flujos que generan: 225

226 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Período

C...

VN C

3...

Bonos cupón cero: no pagan cupones periódicos a lo largo de su vida, sino que el inversor recibe un único pago al vencimiento del bono. La idea es la misma que la de los préstamos a amortizar mediante reembolso único. Normalmente, se emiten a descuento, esto es, en el momento de la emisión se paga por el bono una cantidad menor que su valor nominal y a su vencimiento se recibe un pago igual al valor nominal del bono. El perfil de flujos que generan es el siguiente: VN Período

Deuda perpetua: pagan periódicamente el cupón y no se amortizan nunca, por lo que el emisor deberá pagar el cupón a perpetuidad. Éste es su perfil de flujos:

Período 0

C...

5...

33 . . .

CÓMO SE VALORAN LOS BONOS

El valor de un bono no es más que el valor actual de los flujos de fondos futuros que va a generar. Esto supone que para realizar esta valoración necesitamos: z Los flujos de fondos que genera el bono. z El tipo de interés al que deben descontarse esos flujos; este tipo de interés es la rentabilidad que exige el mercado para el nivel de riesgo y plazo del bono. Lo normal es que este tipo de interés varíe a lo largo de la vida del bono; cada vez que esto suceda, cambiará el valor del bono, su precio en la bolsa

EJEMPLO 9.1 Me llamo José Bono. Me gustaría saber cuánto debo pagar por unos bonos de 1.000 nominales emitidos por el fabricante de hardware S4M. Estos bonos pagan un cupón anual del 6% y les quedan 3 años hasta su vencimiento. La rentabilidad exigida por el mercado para inversiones de riesgo y plazo similar es el 8% anual. z

Veamos el gráfico. El bono va a generar un cupón anual de 60 durante los próximos 3 años y además en el año 3, en el momento de su vencimiento, generará otro flujo de 1.000 .

Año

0 ¿P0?

1.000 60

CAPÍTULO 9 VALORACIÓN z

0 948,46

1.000 60

Podemos calcular la rentabilidad, la TIR, de esta inversión. 948,46 = 60

1, 083 − 1 + 1.0003 = 948, 46 3 0, 08 ∗ 1, 08 1,08

Esto quiere decir que para obtener una rentabilidad del 8% anual con este activo, se deben pagar 948,46 hoy. Fíjese en el perfil de flujos de los inversores que compren el bono a este precio:

Año

227

El bono cotizará al valor actual de estos flujos, una renta constante, entera, temporal e inmediata, más un capital que vence dentro 3 años. Todo ello descontado al tipo de interés que requiere el mercado. P0 = 60

DE BONOS Y ACCIONES

(1 + r)3 − 1 1.000 + ⇒ despejando: r = 0,08 3 r ∗ (1 + r) (1 + r)3

Podemos decir que este bono cotiza con una TIR a vencimiento del 8% anual.

EJEMPLO 9.2 Soy José Bono otra vez. Los tipos de interés han bajado y la rentabilidad exigida por el mercado a los bonos similares a los de S4M ahora es el 6% anual. ¿Cuánto debería pagar ahora por estos bonos? z

Aunque los tipos de interés de la economía hayan cambiado, el perfil de flujos del bono no cambia, el emisor seguirá pagando su cupón fijo anual de 60 y amortizará el nominal dentro de tres años.

Año

0 ¿P0?

1.000 60

El bono empezará a cotizar al valor de estos flujos descontados a la nueva rentabilidad exigida por el mercado. P0 = 60

1, 063 − 1 + 1.0003 = 1.000 3 0, 06 ∗ 1, 06 1,06

Podemos extraer algunas conclusiones con las valoraciones de estos dos ejemplos. ¾ Si los tipos de interés bajan (del 8% al 6%), los precios de los bonos suben. ¾ Si los tipos de interés suben (del 6% al 8%), los precios de los bonos bajan. ¾ Si la rentabilidad exigida por el mercado, 6%, coincide con el cupón que paga el bono, 6%, el precio coincide con el valor nominal, 1.000 .

228 MATEMÁTICA

FINANCIERA

EJEMPLO 9.3 Tengo la oportunidad de comprar deuda perpetua de 1.000 nominales que paga un cupón anual del 6%. ¿A cuánto deberían cotizar estos bonos para obtener una rentabilidad del 8% anual? José Bono. z

Veamos el gráfico de flujos de esta inversión.

Año

60 . . .

3...

¿P0?

Este activo cotizará al valor actual de los flujos que genera: una renta constante, entera, indefinida e inmediata. P0 = 60 = 750 0,08

EJEMPLO 9.4 ¿A cuánto debería cotizar la deuda perpetua si la rentabilidad exigida por el mercado bajara al 6% anual? José Bono. z

Los flujos son los mismos. Lo único que ha cambiado es la rentabilidad exigida por el mercado, lo que afectará a la cotización de este activo.

Año

60 . . .

3...

¿P0?

P0 = 60 = 1.000 0,06 z

Si comparamos estas variaciones en los precios con las del bono a 3 años, podemos decir que el precio de los bonos a largo plazo es más sensible, varía más, a las variaciones en los tipos de interés, que el precio de los bonos a más corto plazo Bono a 3 años

Deuda perpetua

948,46

750,00

1.000,00

EJEMPLO 9.5 Nuestra empresa, S4M, va de lanzar una emisión de bonos cupón cero de 1.000 nominales con vencimiento a 8 años. La emisión se hará a descuento y queremos que la rentabilidad obtenida por los inversores sea el 7% anual. ¿A qué precio debemos emitir los bonos?

CAPÍTULO 9 VALORACIÓN z

DE BONOS Y ACCIONES

229

El gráfico de esta operación es muy sencillo. Si usted compra el bono hoy, recibirá un único flujo de 1.000 , el valor nominal del bono, dentro de 8 años. 1.000 Año

¿P0?

Para que los inversores obtengan una rentabilidad del 7% anual, hay que ofrecerles el bono al valor actual de su único flujo descontado al 7% anual. P0 =

⇒ P0 = 1.0008 = 582,01 1,07 (1 + r) t

ACCIONES

El capital de las sociedades anónimas está representado por las acciones, títulos de renta variable, que éstas han emitido. Los accionistas, los inversores que han comprado esas acciones, son los propietarios de la empresa. Si una sociedad tiene un capital de 1.000.000 representado por 100.000 acciones, cada acción tiene un valor nominal de 10 . z Si usted compra acciones se convierte en accionista y tiene, entre otros, el derecho a cobrar la parte que le corresponda del beneficio que la empresa decida repartir entre sus accionistas, el dividendo. Las acciones no se amortizan, por lo que, si quiere recuperar la inversión tendrá que venderlas al precio al que estén cotizando en bolsa. z Una acción es un activo capaz de generar flujos de fondos en el futuro.

CÓMO SE VALORAN LAS ACCIONES

El valor de una acción es el valor actual de los flujos de fondos futuros que va a generar. Esto supone que para realizar esta valoración necesitamos: z Los flujos de fondos que se espera genere la acción, los dividendos esperados. z El tipo de interés al que deben descontarse esos flujos. Este tipo de interés es la rentabilidad que exige el mercado para el nivel de riesgo de esa acción. El precio de las acciones varía, como sucede con el de los bonos, en sentido contrario a las variaciones en el tipo de interés de descuento: si el tipo de interés baja, el precio de las acciones sube y si el tipo de interés sube, el precio de las acciones baja.

El perfil de flujos de fondos de una acción es el siguiente:

Año

0 ¿P0?

DIV1

DIV2

DIV3 . . .

3...

Para calcular el valor de la acción, descontamos el dividendo de cada año. P0 =

DIV3 DIV1 DIV2 DIV4 + + + +. . . 2 3 (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)4

230 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Si todos los dividendos son iguales, estaremos ante una renta constante, entera, perpetua e inmediata. El gráfico y la valoración de la acción son los siguientes:

Año

0 ¿P0?

DIV

DIV . . .

3...

P0 = R = DIV r r

EJEMPLO 9.6 Soy Martín Guarro, fundador y propietario de graciascerdo.mof. Estoy pensando en sacar a cotizar en bolsa las acciones de graciascerdo.mof. Las acciones de la empresa pagarán a partir del año que viene un dividendo anual de 1,25 y creo que el 10% es una rentabilidad adecuada para estas acciones. ¿A qué precio debo ofrecérselas al mercado? z

Planteamos el gráfico. Las acciones generarán un flujo anual de 1,25 de forma indefinida, los años que suponemos vivirá la empresa.

Año

0 ¿P0?

1,25

1,25 . . .

3...

La acción debe ofrecerse al valor actual de estos flujos, que forman una renta constante, entera, indefinida e inmediata. 1,25 P=R = = 12,50 r 0,1

EJEMPLO 9.7 Hemos pensado que el dividendo de las acciones de graciascerdo.mof sea 1,25 el año que viene y que posteriormente vaya creciendo un 2% anual de forma indefinida. ¿A qué precio debo ofrecérselas al mercado en este caso? z

Planteamos el gráfico.

Año

0 ¿P0?

1,25

1,25*1,02

1,25*1,022 . . .

3...

La acción debe ofrecerse al valor actual de estos flujos, que forman una renta en PG, entera, indefinida e inmediata. 1,25 P= R = = 15,63 r − g 0,1 − 0,02

CAPÍTULO 9 VALORACIÓN

DE BONOS Y ACCIONES

231

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS Su iniciativa emprendedora, mof.mof, no ha pasado desapercibida y usted está recibiendo numerosos premios. El último de ellos ha sido el prestigioso «eey», european entrepreneur of the year. Paralelamente a su éxito, usted ha subido su cotización a 12 la consulta. Le presento algunas de las consultas que recibió ayer. 1.

Nuestra empresa necesita financiación y hemos pensado emitir bonos que ofreceremos a nuestros empleados y sus familiares. Queremos emitir bonos cupón cero de 2.000 nominales que vencerán dentro de 5 años. ¿A cuánto debemos ofrecer cada bono para que sus compradores obtengan una rentabilidad del 6% anual?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico. 2.000 Año

0 ¿P0?

P0 =

⇒ P0 = 2.0005 = 1.494,52 1,06 (1 + r) t

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule a cuánto deberían ofrecer el bono para que sus compradores obtengan una rentabilidad del 8% anual. Respuesta: 1.361,17

Tengo un bono cupón cero de 1.000 nominales que vence dentro de 5 años. Compré el bono hace tres años por 582,01 . Puedo venderlo ahora, la rentabilidad que le exige el mercado es el 5% anual. ¿Qué rentabilidad habré obtenido con esta inversión si lo vendo ahora?

SOLUCIÓN z

Vamos a calcular primero cuánto le pagarán si vende el bono. El mercado le pagará el valor actual de los 1.000 de caja que generará el bono dentro de 5 años. Planteamos el gráfico. 1.000 Año

0 ¿P0?

P0 = 1.0005 = 783,53 1,05 z

Veamos el perfil de flujos de su cliente. Compró el bono por 582,01 y hoy, tres años más tarde, lo vende por 783,53 . 783,53 Año

0 582,01

232 MATEMÁTICA

FINANCIERA

582,01(1 r)3 783,53 ⇒ r = 0,10418 = 10,42% 4.

J. Vuelva al problema anterior. Calcule la rentabilidad que obtendría su cliente en esta inversión si, en el momento de venderlo, la rentabilidad exigida por el mercado a este bono fuera el 4% anual en lugar del 5% anual. Respuesta: r = 0,12193 = 12,19%

Soy el adivino Raphael Águila. Puedo comprar por 800 bonos de deuda perpetua de 1.000 nominales, emitida por el gobierno francés, que paga un cupón anual del 4%. ¿Qué rentabilidad obtengo si los compro?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos de la inversión y la ecuación de equilibrio.

Año

40 . . .

3...

800

800 = 40 ⇒ r = 0,05 = 5% r 6.

Soy el adivino Raphael otra vez. Nunca me han interesado los mercados financieros, pero hoy he tenido una visión: aunque nadie se lo espera, dentro de dos días los tipos de interés van a bajar un 2% en la economía. Es la única visión que he tenido y yo no fallo nunca. ¿Qué hago con mi deuda perpetua, venderla o mantenerla?

SOLUCIÓN z

Veamos qué va a suceder con la cotización de estos bonos. Actualmente, el mercado exige para este tipo de inversiones una rentabilidad del 5%, por eso cotizan a 800 . Si Raphael tiene razón, y la rentabilidad exigida cae hasta el 3%, el precio de los bonos subirá.

Año

40 . . .

3...

¿P0?

P0 = 40 = 1.333,33 0,03 z

Su recomendación a Raphael debe ser que se ponga «ciego» a comprar hoy bonos a 800 y y que los venda cuando dentro de dos días su precio suba a 1.333,33 . Ganará, sin correr riesgos, 533,33 por cada bono. Usted también, si confía en Raphael, debería comprar estos bonos con entusiasmo. Por cierto, ¿ha caído en la cuenta de que todos los bonos que hay en el mercado, no sólo éstos, van a subir de precio? ¿Y que también van a subir todas las acciones? ¿Le gustaría ser capaz de adivinar el futuro?

CAPÍTULO 9 VALORACIÓN 7.

DE BONOS Y ACCIONES

233

Hace 3 años compré por 750 deuda perpetua de 1.000 nominales que paga un cupón anual del 3%. Acabo de cobrar el tercer cupón y la rentabilidad que exige el mercado ahora a estos bonos es el 2,5% anual. ¿Qué rentabilidad obtengo en esta inversión si vendo los bonos?

SOLUCIÓN z

Calculamos primero cuánto le pagará el mercado por estos títulos.

Año

30 . . .

3...

¿P0?

P0 = 30 = 1.200 0,025 z

Planteamos el perfil de flujos que ha tenido su cliente: pagó 750 por el activo, ha cobrado 3 cupones y lo ha vendido por 1.200 .

Año

0 750

1.200 30

(1 + r)3 − 1 1.200 750 = 30 + ⇒ despejando: r = 0,20419 = 20,42% 3 r ∗ (1 + r) (1 + r)3 8.

Puedo comprar un bono de 1.000 nominales que paga un cupón anual del 5% y vence dentro de 7 años. ¿Cuánto debería pagar por éste para obtener una rentabilidad del 6%?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y calculamos el valor actual de los flujos del bono.

Año

50 . . .

1.000 50

3...

¿P0?

P0 = 50

1,06 7 − 1 + 1.000 = 944,18 0,06 ∗ 1,06 7 1,06 7

También podemos actualizar 6 cupones de 50 y un capital de 1.050 del año 7. P0 = 50

1,066 − 1 + 1.050 = 944,18 0,06 ∗ 1,066 1,06 7

234 MATEMÁTICA 9.

FINANCIERA

J. Vuelva al problema anterior. Calcule la rentabilidad que obtiene su cliente si compra el bono por 850 .

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio. Fíjese que si pagando 944,18 se obtiene una rentabilidad del 6% (problema anterior), si compra el bono más barato estará obteniendo más rentabilidad.

Año

50 . . .

1.000 50

3...

850

(1 + r)7 − 1 1.000 850 = 50 + ⇒ r = 0,07868 = 7,87 7 r (1 + r) (1 + r)7 10.

Estoy pensando en comprar unos bonos emitidos por el Banco Naranja. Los bonos son de 1.000 nominales, cotizan a 906,15 , pagan un cupón anual del 3% y vencen dentro de 12 años. La rentabilidad que puedo obtener con otros bonos similares que hay en el mercado es el 3,5% anual. ¿Debo comprar estos bonos?

SOLUCIÓN z

Puede resolver la consulta de dos formas. La más cómoda supone calcular el valor del bono, descontando sus flujos a la rentabilidad que se puede obtener en bonos similares, el 3,5% anual, y compararlo con su precio en bolsa, 906,15 .

Año

30 . . .

1.000 30

3...

¿V0?

V0 = 30 ¾ ¾ ¾

1,03512 − 1 + 1.000 = 951,68 0,035 ∗ 1,03512 1,03512

El valor del bono es 951,68 y su precio es 906,15 . El bono está infravalorado. ¡Esto es una máquina de hacer dinero! Su cliente debe ponerse «ciego» a comprar estos bonos a 906,15 . Cuando otras personas, entre las que estamos usted y yo, se den cuenta de este chollo, también los comprarán. ¾ Con tanta gente comprando los bonos, su precio subirá hasta situarse en su valor justo, 951,68 . En ese momento podemos venderlos y obtener un beneficio, sin correr riesgos, de 45,53 por cada bono. ¾ Si hemos comprado 10.000 bonos... La otra forma de resolver la consulta consiste en calcular qué rentabilidad, qué TIR, ofrecen estos bonos si se compran a 906,15 y compararla con la TIR de bonos similares, el 3,5%.

CAPÍTULO 9 VALORACIÓN

DE BONOS Y ACCIONES

235

Usted ya sabe que calcular la TIR nos dará más trabajo, nos obliga a utilizar el sistema de prueba-error, acotar e interpolar.

Año

30 . . .

1.000 30

3...

906,15

906,15 = 30 ¾ ¾ ¾

11.

(1 + r)12 − 1 1.000 + ⇒ r = 0,04 = 4% 12 r (1 + r) (1 + r)12

Este bono ofrece una TIR del 4%. Ofrece más rentabilidad de la que debería, está infravalorado. ¡Esto es una máquina de hacer dinero! Todos nos pondremos a comprar el bono… Su precio irá subiendo, con lo que su TIR irá bajando. Este proceso seguirá hasta que la TIR se iguale con la de bonos similares, el 3,5%, y esto sucederá cuando el bono cotice a 951,68 …

Soy el director de política comercial de un pequeño banco regional. Tenemos una importante cartera de bonos de 2.000 nominales que vencen dentro de 10 años y pagan un cupón anual del 3%. Estos bonos cotizan con una TIR del 4%. Hemos pensado ofrecer a algunos de nuestros clientes la oportunidad de comprarnos exclusivamente los cupones de estos bonos. Ofreceremos a otros clientes la posibilidad de comprar el valor nominal de los bonos. Me gustaría que me dijera cuánto debemos pedir por los cupones y por el valor nominal de cada bono si queremos que nuestros clientes obtengan un 3,25% de rentabilidad por su inversión.

SOLUCIÓN z

Veamos los flujos del bono. A cada tipo de cliente le debe cobrar el valor de los flujos que compran, cupones o VN, descontados al 3,25% anual.

Año

60 . . .

2.000 60

3...

¿V0?

V0 cupones = 60

1,032510 − 1 = 505,34 0,0325 ∗ 1,03510

V0 Valor Nominal = 2.00010 = 1.452,54 1,0325 z 12.

Fíjese en que el banco obtiene 1.957,88 vendiendo de esta forma el bono a sus clientes.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el precio al que deben estar cotizando estos bonos en bolsa (recuerde que cotizan con una TIR del 4%). Respuesta: 1.837,78

236 MATEMÁTICA

FINANCIERA

13.

J. Vuelva a la Consulta 11. Calcule cuánto debe pedir el banco a los clientes que compren los cupones y a los que compren el VN, si quiere que obtengan una rentabilidad del 3% anual. (Reflexione sobre las respuestas de estos tres problemas.) Respuesta: Por los cupones = 511,81 Por el VN = 1.488,19

14.

La empresa en la que trabajo, SoftPymes.mof (SP), me ha ofrecido comprar acciones de la compañía. SP, que no cotiza en bolsa, paga todos los años un dividendo de 1,8 por acción. ¿Cuánto debería pagar por las acciones de SP si el mercado exige una rentabilidad del 12% a acciones similares?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio.

Año

1,8

1,8 . . .

3...

¿P0?

P0 =

1,8 = 15 0,12

15.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule cuánto debería pagar su cliente por las acciones de SP para obtener una rentabilidad del 14% anual. Respuesta: 12,86

16.

J. Vuelva a la Consulta 14. Calcule la rentabilidad que obtiene su cliente si SP le pide 12 por cada acción.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio.

Año

1,8

1,8 . . .

3...

12 = 17.

1,8 ⇒ r = 0,15 = 15% r

La mayoría de los 20 socios fundadores de nuestra empresa ya están jubilados. Algunos de ellos quieren vender sus acciones a los empleados actuales de la empresa y disfrutar del dinero. Nuestras acciones no cotizan en bolsa y pagan un dividendo que aumenta un 2% anual. El dividendo del año que viene será de 2,5 y la rentabilidad que exige el mercado a acciones similares es el 10% anual. ¿Cuál es el precio razonable de nuestras acciones?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio.

CAPÍTULO 9 VALORACIÓN

Año

DE BONOS Y ACCIONES

2,5

2,5*1,02

2,5*1,022 . . .

3...

237

¿P0?

P0 =

2,5 = 31,25 0,1-0,02

18.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el valor de las acciones si la rentabilidad exigida fuera el 12% anual. Respuesta: 25

19.

Soy Restituto Oporto Infante, responsable de oportunidades de inversión del Grupo Inversores Compulsivos, GIC. Me ocupo de buscar empresas, normalmente pequeñas, en las que invertir nuestro dinero y de presentar mis propuestas al consejo de administración del GIC. Podemos comprar acciones de una bodega bastante nueva de La Rioja. Las acciones de esta bodega empezarán a pagar dividendos dentro de 5 años y creemos que ese dividendo se mantendrá constante en 1,2 por acción. ¿Cuánto deberíamos ofrecer por estas acciones para obtener una rentabilidad del 10% anual?

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio.

Año

0 ¿V0?

1,2

1,2 . . .

9...

  1,2  V0 =   ∗ 1 4 = 8,20 0,1  N  1,1  V4  20.

Los propietarios de una empresa nos han ofrecido parte de sus acciones a 50 cada una. Estas acciones pagarán el año que viene un dividendo de 2,5 y este dividendo aumentará un 2% anual de forma indefinida. ¿Qué rentabilidad obtenemos con esta inversión? Restituto.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio.

Año

2,5

2,5*1,02

2,5*1,022 . . .

3...

50 =

2,5 ⇒ r = 0,07 = 7% r-0,02

238 MATEMÁTICA 21.

FINANCIERA

Podemos comprar acciones de NAS, Navarra Air System, una compañía de vuelos baratos que enlaza el aeropuerto de Pamplona con diversas ciudades europeas. Las acciones de NAS pagarán un dividendo constante de 2 anuales durante los próximos 3 años, posteriormente este dividendo aumentará un 2% anual de forma indefinida. ¿Cuánto deberíamos pagar por las acciones de NAS para obtener una rentabilidad del 15% anual? Restituto.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio.

Año

0 ¿V0?

2*1,02

2*1,022

2*1,023 . . .

6...

   2 ∗ 1,02  1,153 − 1 1 = 14,88 + V0 = 2 ∗ 0,15-0,02 0,15 ∗ 1,153  1, 1 53  V3  

o bien

22.

    1,152 − 1 2 + V0 = 2 ∗ 1 2 = 14,88  2 0,15-0,02 0,15 ∗ 1,15   1,15 V2  

Queremos entrar en la industria de las energías renovables. Podemos comprar acciones de un fabricante de palas de aerogeneradores. Las acciones de esta empresa pagarán el año que viene un dividendo de 1 . Este dividendo crecerá un 10% anual durante los siguientes 3 años y, posteriormente, el dividendo crecerá un 2% anual. ¿Cuánto deberíamos pagar por estas acciones si queremos obtener una rentabilidad del 12% anual? Restituto.

SOLUCIÓN z

Año

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio.

0 ¿V0?

1*1,1

1*1,12

1*1,13

1*1,13*1,02 1*1,13*1,022 . . . 5

6...

  1,12 4 − 1,14 1 ∗ 1,13 ∗ 1,02  1 + V0 = ∗ ∗ 1 4 = 12,10  4 0,12 − 0,1 0,12-0,02 1,12

 1,12  V4   23.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el valor de la acción si la tasa de crecimiento del dividendo del año 2 al 4 fuera el 12% en lugar del 10%. Respuesta: 12,68

CAPÍTULO 9 VALORACIÓN 24.

DE BONOS Y ACCIONES

239

Podemos comprar acciones de una empresa de la industria de la alimentación. Estas acciones empezarán a pagar, dentro de 3 años, un dividendo de 2 anuales. Dentro de 8 años el dividendo aumentará a 3 anuales y se mantendrá en este nivel de forma indefinida. ¿Cuánto deberíamos pagar por estas acciones para obtener una rentabilidad del 8% anual? Restituto.

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico y la ecuación de equilibrio.

Año

0 ¿V0?

3...

11 . . .

     1,085 − 1   3  1 V0 = 2 ∗ 1 7 = 28,73 ∗ + 5 2  0,08 ∗ 1,08  0,08

 1,08  N  1,08  V7  V2   Visite el Problema 31 del Capítulo 5 y compárelo con esta consulta. Nota final: he empezado el capítulo diciéndole que usted ya había valorado bonos y acciones. Le pongo algunos ejemplos: en el Capítulo 3 (Consultas 51, 52, 61, 99 y 100); en el Capítulo 5 (Consultas 25, 26, 27, 28, 29, 30 y 31); en el Capítulo 6 (Consultas 2, 3, 4 y 5).

CAPÍTULO 1O

Criterios de valoración de inversiones UN POCO DE TEORÍA

Este capítulo no podía ser menos: también tiene sus buenas noticias. La primera es que usted ya sabe todas las finanzas necesarias para valorar inversiones, calcular su VAN (Valor Actual Neto) y su TIR (Tasa Interna de Rentabilidad). La segunda es que ya ha resuelto problemas de este tipo. z VAN: se lo he presentado en el Capítulo 3, visite las Consultas 15 y 16. z TIR: qué le voy a decir que usted no sepa: ecuación de equilibrio, prueba-error, acotar, interpolar…, le suena, ¿no?

Las empresas suelen tener muchas oportunidades o proyectos de inversión: abrir una nueva planta, sustituir su maquinaria actual por otra más moderna, comprar otra empresa, lanzar una nueva línea de productos, etc. A usted no se le ocurriría invertir su dinero en un proyecto que le hiciera perder dinero. Con las empresas sucede lo mismo, los directivos no deben hacer inversiones en proyectos en los que sus accionistas pierdan dinero. Los directivos deben analizar estos proyectos para acometer sólo los que sean buenos. Pero, ¿qué es un buen proyecto? Le doy dos ideas intuitivas: z Un proyecto es bueno si es rentable. z Un proyecto es bueno si genera riqueza para los accionistas, si genera valor.

Las decisiones de inversión son muy importantes para las empresas y para sus accionistas. Los proyectos pueden requerir desembolsos importantes de dinero ahora (salidas de tesorería) y generan flujos de fondos (entradas de tesorería) en el futuro. Los proyectos buenos hacen que la empresa valga más, sus accionistas serán más ricos. Los proyectos malos hacen que la empresa valga menos, sus accionistas serán más pobres. En el momento de escribir estas líneas es noticia: z El Grupo Santander ha lanzado una oferta de 13.400 millones de euros para comprar el banco británico Abbey. Es una cantidad importante, ¿no cree? z Terra vende el portal Lycos por unos 100 millones de dólares, aproximadamente el 1% de lo que pagó hace 4 años por este portal. z Salen a la venta las acciones del buscador Google. Se calcula que los primeros accionistas de la empresa van a multiplicar su inversión por 1.500. Si usted hubiera invertido 1.000$ en Google en 1998, ahora podría vender sus acciones por 1.500.000$. 241

242 MATEMÁTICA

FINANCIERA

Veremos 3 criterios de valoración o análisis de inversiones: z Período de recuperación o Payback. z VAN. z TIR.

EJEMPLO 10.1 Una empresa tiene un proyecto de inversión que consiste en el lanzamiento de un nuevo producto. El proyecto requiere una inversión inicial de 280.000 y generará un cash flow, unos flujos de fondos, de 70.000 anuales durante los próximos 8 años, al cabo de los cuales el producto quedará obsoleto y dejará de fabricarse. La empresa quiere analizar el proyecto para decidir si lo lanza o lo abandona, teniendo en cuenta que la rentabilidad exigible al proyecto, dado su nivel de riesgo, es el 12% anual. Vamos a analizar el proyecto empleando los tres criterios que hemos indicado.

PERÍODO DE RECUPERACIÓN, PAYBACK

El payback de un proyecto es el número de años necesarios para recuperar la inversión inicial. Este criterio no emplea el concepto del valor del dinero en el tiempo, por lo que no hay que saber finanzas para calcularlo. Es el método más sencillo y el menos recomendable. Lo calcularemos sólo en este ejemplo. Una vez que calculamos el payback de un proyecto, lo comparamos con un payback máximo preestablecido por la empresa. Regla del payback: z Un proyecto se acepta si su payback es menor que el payback máximo establecido por la empresa para sus proyectos de inversión. z Un proyecto se rechaza si su payback es mayor que el payback máximo. ¾

Calculamos el payback del proyecto, cuyos flujos son los siguientes:

Entradas 0

70.000

Salidas 280.000

La empresa necesita los flujos de los 4 primeros años para recuperar la inversión inicial. Cuando los flujos anuales son iguales, podemos hacer: Payback =

¾ ¾

Inversión = 280.000 = 4años Cash Flow anual 70.000

Si el payback máximo establecido por esta empresa fuera, por ejemplo, 3 años, el proyecto se rechazaría; si fuera 5 años, el proyecto se abordaría. Fíjese que para calcular el payback no es necesario saber finanzas.

VALOR ACTUAL NETO (VAN)

El VAN de un proyecto de inversión es el valor actual de las entradas de tesorería menos el valor actual de las salidas de tesorería.

CAPÍTULO 10 CRITERIOS z z

DE VALORACIÓN DE INVERSIONES

243

El valor actual de las entradas es el valor de la inversión. El valor actual de las salidas es el precio de la inversión.

Este criterio utiliza el concepto del valor del dinero en el tiempo. Para calcular el VAN hay que descontar los cash flows, por lo que es necesario saber finanzas. Una vez calculado el VAN de un proyecto, nos fijamos en si es positivo o negativo. Regla del VAN: z Un proyecto se acepta si su VAN es positivo, su valor es mayor que su precio. z Un proyecto se rechaza si su VAN es negativo, su valor es menor que su precio. El VAN de un proyecto mide, por lo tanto, la creación o destrucción de riqueza que genera. ¾ Calculamos el VAN del proyecto. Recordamos los flujos del proyecto: Entradas 0

70.000

Salidas 280.000

Las entradas forman una renta constante, entera, temporal, inmediata. 1,128 − 1 VAN = 70.000 − 280.000

= 347.734,78

= 67.734,78 8 − 280.000 0,12 ∗ (1,12) PRECIO PRECIO VALOR

VALOR

El VAN es positivo, por lo que debemos abordarlo. Fíjese, el valor del proyecto, lo que estaríamos dispuestos a pagar por él para obtener un 12% de rentabilidad, es 347.734,78 . Esta cantidad es mayor que su precio, 280.000 . Si abordamos el proyecto aumentamos nuestra riqueza actual en 67.734,78 , el VAN.

TASA INTERNA DE RENTABILIDAD (TIR)

La TIR de un proyecto es el tipo de interés para el que se produce equivalencia financiera entre las entradas y salidas de tesorería del proyecto. V0 entradas V0 salidas

Fíjese cómo queda la expresión si pasamos el V0 salidas al otro lado: V0 entradas-V0 salidas = 0

VAN

Esta expresión nos dice que la TIR es el tipo de interés de descuento para el que el VAN del proyecto es cero. Para calcular la TIR hay que descontar cash flows, por lo que también es necesario saber finanzas. Una vez calculada la TIR, la comparamos con la rentabilidad mínima que queremos obtener en el proyecto. Esta rentabilidad mínima exigida, a la que también llamaremos coste de capital, dependerá del riesgo del proyecto. Regla de la TIR: z Un proyecto se acepta si su TIR es mayor que la rentabilidad exigida.

244 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Un proyecto se rechaza si su TIR es menor que la rentabilidad exigida. ¾

Calculamos la TIR del proyecto. Recordamos los flujos del proyecto:

Entradas

70.000

0 Salidas 280.000

La TIR es el tipo de interés de descuento que hace que el VAN sea 0.

(1 + r)8 − 1 70.000 − 280.000 = 0 8 r ∗ (1 + r)

VAN

Empezamos el proceso de prueba-error para acotar «r». Vamos a apalancarnos en que ya hemos hecho una prueba, cuando hemos calculado el VAN del proyecto para «r» = 12%, donde hemos obtenido:

1,128 − 1 70.000 − 280.000

= 347.734,78

= 67.734,78 ⇒ r > 0,12 8 − 280.000 0,12 ∗ (1,12) PRECIO PRECIO VALOR

VALOR

Al descontar los flujos al 12% el VAN es positivo, por lo que sabemos dos cosas: 1. La TIR no es el 12%. 2. La TIR es mayor que el 12% porque, para este tipo, el VAN es positivo. Hacemos otra prueba para «r» = 20%. 1,28 − 1 70.000 − 280.000 8.601,19

= 26

= −11.398,81 ⇒ r < 0,2 8 − 280.000 0,2 ∗ (1,2) PRECIO PRECIO VALOR

VALOR

La TIR es menor que el 20%. Ya tenemos la TIR acotada entre el 12% y el 20%. Interpole y obtendrá como respuesta que la TIR del proyecto es el 18,85%. Si quiere acercarse más a la TIR que me calcula Excel, 18,62%, usted ya sabe que debería hacer más pruebas para estrechar el acotamiento de «r». Como la TIR del proyecto, 18,85% en su caso, es mayor que la rentabilidad que se le exige, 12%, la empresa debe hacer esta inversión.

EL EFECTO FIN DE AÑO

Volvamos al perfil de flujos del proyecto de nuestro ejemplo. Entradas 0 Salidas 280.000

70.000

CAPÍTULO 10 CRITERIOS

DE VALORACIÓN DE INVERSIONES

245

Hemos calculado el VAN y la TIR de esta inversión suponiendo que los 70.000 de cash flow anual se generan a fin de año. Es evidente que el cash flow anual que obtienen las empresas es el resultado de muchas entradas y salidas de tesorería que se producen a lo largo del año. Las ventas anuales se van cobrando a lo largo del año, los sueldos, la materia prima, la electricidad… también se van pagando a lo largo del año. Esto supone que: z Los cash flows anuales forman una renta fraccionada. z Si los cobros y pagos se producen de forma más o menos regular a lo largo del año, el vencimiento medio del cash flow anual estará aproximadamente a mitad de año. Vamos a calcular el VAN y la TIR del proyecto teniendo en cuenta que, aunque en el gráfico pongamos los flujos a final de año, financieramente están en la mitad de cada año. Entradas

70.000 0,5 0

70.000 1,5

70.000 2,5

70.000

3,5

70.000 4,5

70.000 5,5

70.000 6,5

70.000 7,5

Salidas 280.000

(

)

1,128 − 1 1 + 0,12 1 − 280.000 = 88.598,87 VAN: 70.000 8 2 0,12 ∗ (1,12)

VALOR AÑO -0,5

VALOR AÑO 0

TIR:

(

)

(1 + r)8 − 1 70.000 1 + r 1 − 280.000 = 0 ⇒ TIR = 0,2218 (con Excel) 8 2 r ∗ (1 + r)

(

)

1 La diferencia es que ahora hemos empleado el factor corrector 1 + r . 2 z La práctica más habitual es no considerar que la renta es fraccionada y no emplear, por lo tanto, el factor corrector. z Lógicamente, las respuestas obtenidas difieren si lo empleamos. z Yo le recomiendo que emplee el factor corrector; aunque no sea del todo exacto, es mucho más probable que el vencimiento medio del cash flow anual esté a mitad de año que a final de año.

NOTAS FINALES Puede que se esté preguntando qué criterio debe emplear para evaluar las inversiones: z No utilice el payback. z Emplee el VAN siempre que pueda. z La TIR no es un mal criterio de evaluación, aunque a veces genera algunos problemas que trascienden los objetivos de este libro. Estoy seguro de que el tema no le ha parecido complicado. z Lo único que hemos hecho, valorar un proyecto de inversión, analizar si se trata de una buena o mala oportunidad, es la parte más fácil del proceso. z Determinar los flujos de fondos que va a generar el proyecto en el futuro y cuál va a ser su vida, es un poco más complicado -salvo que seamos adivinos- y va más allá de los objetivos de este libro.

246 MATEMÁTICA z

FINANCIERA

Encontrar buenos proyectos de inversión es lo realmente complicado, es algo que no se puede aprender en los libros.

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS Varios bancos le han manifestado su interés por comprarle una participación significativa de su empresa. Con toda la caja que usted ha hecho con mof.mof y, sobre todo, con la que haría al vender el 80% de la empresa, podría hasta jubilarse inmediatamente y dedicar el resto de su vida al ocio y a colaborar con diversas ONG. ¿Estamos en la era de las punto mof? Se me olvidaba; algunas de sus consultas, entre las que figuran las de este capítulo, ya cotizan a 15 . 1.

Soy Adela Lade y acabo de empezar a trabajar en el departamento financiero de una empresa de componentes de automoción. Me han pedido que calcule el VAN y la TIR de un proyecto de inversión, pero desgraciadamente tiré mis libros de finanzas después de graduarme en la Uni. La Directora de Planificación; DP; me ha dado la siguiente información: el proyecto tiene una vida de 8 años y generará unos flujos de fondos de 200.000 el primer año, 250.000 el segundo y 320.000 anuales los 6 restantes; requiere una inversión inicial de 1.120.000 ; el coste de capital de la empresa es el 14% anual. Espero que me puedas ayudar. (Nota: resuelva la consulta empleando factor corrector)

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos de la inversión en miles de euros.

200

250

320

1.120

El VAN es igual al valor actual de las entradas de caja menos el valor actual de las salidas de caja.

(

)

0,14 1,146 − 1  200.000 250.000  ∗ 1 2  1+ + 320.000 − 1.120.000 = 298.082,30  1,14 + 2 6 2 0,14 ∗ 1,14 1,14  1,14 

El VAN es positivo, por lo que la empresa debería abordar la inversión. La TIR es el tipo de interés de descuento para el que VAN de la inversión es 0.

( )

 200.000 250.000  (1 + r)6 − 1 + + ∗ 1 2  1 + r − 1.120.000 = 0 320.000  2 6 2 r ∗ (1 + r) (1 + r)  (1 + r)  1+ r ¾ ¾

Sabemos que para «r» = 14%, el VAN es positivo, 298.082,30 , por lo que la TIR debe ser superior. Hacemos una prueba con «r» = 25%.

(

)

0,25 1,256 − 1  200.000 250.000  ∗ 1 2  1+ + − 1.120.000 = −79.991,91 320.000  1,25 + 2 6 2 0,25 ∗ 1,25 1,25  1,25 

CAPÍTULO 10 CRITERIOS ¾

DE VALORACIÓN DE INVERSIONES

247

El VAN es negativo, -79.991,91 , por lo que la TIR debe ser inferior al 25%, aunque bastante próxima ya que ahora estamos más cerca de cero. Hemos subido demasiado el tipo de interés de descuento, un 11% (del 14% al 25%), interpolamos para saber en cuánto deberíamos subirlo para que el VAN sea cero. Tipo Interés

VAN

r = 14%

298.082,30

r = 25%

− 79.991,91

r ↑11% r↑X

 → VAN ↓ 378.074,21 11% ∗ 298.082,30 = 8,6726% ⇒ X = 378.074,21 ←  VAN ↓ 298.082,30 ⇒ r = 14% + 8,6726% = 22,67% = TIR

¾ 2.

Para acercarse más a la TIR que me calcula Excel, el 22,14%, sabe que debe hacer más pruebas para estrechar el acotamiento de «r». Si hace una prueba con «r» = 20%, el VAN le saldrá 67.208,03 . Si interpola ahora con «r» acotado entre el 20% y el 25%, obtendrá que la TIR es el 22,28%, muy cerca de lo que calcula Excel. Como la TIR del proyecto, 22,14%, supera el 14% de coste de capital -la rentabilidad que se pide al proyecto-, la empresa debe abordarlo.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule, empleando factor corrector, el VAN y la TIR del proyecto suponiendo que generara unos flujos de 300.000 anuales. Pista: le ayudo con el gráfico, en miles de euros.

300

1.120

Respuesta: VAN = 369.075,31 TIR = 25,14% (con Excel) 3.

Soy Adela Lade, sigo a vueltas con el mismo proyecto de inversión. La DP me ha pedido que recalcule el VAN y la TIR del proyecto suponiendo que sus flujos fueran de 300.000 anuales y teniendo en cuenta que al final de la vida del proyecto podremos vender la maquinaria por 200.000 . Nota: resuelva la consulta empleando factor corrector.

300

200 300

1.120

SOLUCIÓN z

Planteamos el gráfico de flujos de la inversión en miles de euros.

248 MATEMÁTICA

FINANCIERA

(

)

0,14 200.000 1,148 − 1   1+ VAN = 300.000 + − 1.120.000 = 439.187,12 8 2 1,148

0,14 ∗ 1,14   VALOR ACTUAL ENTRADAS

El valor residual de la maquinaria del proyecto, 200.000 , es un flujo único que se cobra dentro de 8 años, por lo que no necesita factor corrector.

( )

 (1 + r)8 − 1 TIR: 300.000 1 + r + 200.000 − 1.120.000 = 0 8  2 r ∗ (1 + r)  (1 + r)8  ¾

Para acotar la TIR, haga una prueba con «r» = 30%, le saldrá un VAN negativo de –86.460,00 . Interpole y compare su respuesta con lo que yo he calculado con Excel: TIR = 26,39%.

Nuestra empresa, COMASA (Colegios Mayores S.A.), se dedica a la explotación de colegios mayores. Estamos analizando la viabilidad de un proyecto con una importante universidad pública del país que nos cedería los terrenos para construir y explotar un colegio durante 20 años, al cabo de los cuales cederíamos el colegio a la universidad. Hemos realizado las siguientes previsiones: z Inversión necesaria para la construcción y equipamiento del colegio mayor: 2.500.000 . z Cash flow anual derivado de la explotación del colegio: 320.000 el primer año, este cash flow aumentará un 2% anual durante los siguientes 19 años. Nuestro coste de capital es el 10% anual. ¿Cuál es el VAN y la TIR del proyecto? Nota: resuelva la consulta empleando factor corrector.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

320.000

320.000*1,02

320.000*1,022

...

320.000*1,0219

...

2.500.000

(

)

0,1 1,120 − 1,02 20   VAN =  320.000 ∗  1 + 2 -2.500.000 = 772.318,23 20 − 0,1 0,02  1,1 

( )

 320.000 (1 + r)20 − 1,02 20  r ∗ TIR:   1 + − 2.500.000 = 0 20 − 2 r 0,02  (1 + r)  ¾

La TIR debe ser mayor que el 10% ya que para este tipo de interés el VAN sale positivo. Haga alguna prueba para acotarla, interpole y compare su respuesta con lo que yo he calculado con Excel: TIR = 14,31%. Tanto el VAN del proyecto, por ser positivo, como su TIR, por superar el coste de capital de la empresa, nos indican que estamos ante un buen proyecto de inversión para COMASA.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule, empleando factor corrector, el VAN y la TIR del proyecto suponiendo que COMASA pudiera explotar el colegio mayor durante 25 años. Pista: le ayudo con el gráfico.

CAPÍTULO 10 CRITERIOS

DE VALORACIÓN DE INVERSIONES

320.000

320.000*1,02

320.000*1,022

...

320.000*1,0224

...

249

2.500.000

Respuesta: VAN = 1.064.030,25 TIR = 15,09% (con Excel) 6.

Se va a abrir «Ski Park» en nuestra ciudad, la mayor pista de esquí cubierta de Europa. Podemos firmar un acuerdo con sus propietarios para explotar, en exclusiva, el negocio de alquiler de material de esquí durante 5 años. El contrato supone hacerles un único pago de 1.300.000 al comienzo de la explotación, ellos nos dejan el local, todo el material de alquiler y la maquinaria de reparaciones. Hemos estimado que el cash flow que obtendremos el primer año será de 400.000 y que posteriormente aumentará un 3% anual. Queremos obtener una rentabilidad del 12% anual con este negocio. ¿Cuál es el VAN del proyecto? ¿Cuál es su TIR? Nota: resuelva la consulta empleando factor corrector.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

400.000

400.000*1,03

400.000*1,032

...

400.000*1,034

...

1.300.000

(

)

0,12 1,12 5 − 1,035   VAN =  400.000 ∗ 1+ − 1.300.000 = 312.126,94  5 2 0,12 − 0,03   1,12

( )

 (1 + r)5 − 1,035  r TIR:  400.000 ∗  1 + − 1.300.000 = 0 5 − r 0,03 2 1 r + ( )   ¾ 7.

Para calcular la TIR, que debe ser mayor que el 12%, debe hacer alguna prueba e interpolar. Excel me dice que la TIR es el 23,53%.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule, empleando factor corrector, el VAN y la TIR del proyecto suponiendo que el incremento del cash flow fuera del 4% anual. Pista: le ayudo con el gráfico.

400.000

400.000*1,04

400.000*1,042

...

400.000*1,044

...

1.300.000

Respuesta: VAN = 341.083,89 TIR = 24,47% (con Excel)

250 MATEMÁTICA 8.

FINANCIERA

Somos la empresa propietaria de «Ski Park», la mayor pista de esquí cubierta de Europa. Nuestro modelo de negocio supone ceder en concesión diversos negocios que habrá en el parque. Los concesionarios de estos negocios nos pagarán el precio de sus concesiones al firmar el contrato. Uno de estos negocios es el alquiler de material de esquí. Nosotros suministramos el local, todo el material de esquí y la maquinaria de reparaciones. Estimamos que este negocio generará un cash flow de 400.000 el primer año, cantidad que crecerá un 3% anual. La duración de esta concesión será de 5 años y habíamos pensado, en principio, cobrar 1.300.000 por ella. Algunos de nuestros accionistas piensan que deberíamos pedir más dinero. ¿Cuánto deberíamos cobrar por esta concesión para que nuestro concesionario obtenga una rentabilidad del 15% anual? Nota: resuelva la consulta empleando factor corrector.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

400.000

400.000*1,03

400.000*1,032

...

400.000*1,034

...

¿Concesión?

La concesión debe ser de un importe tal que el VAN del proyecto, para un 15% de interés anual, sea cero.

(

)

0,15 1,155 − 1,035   VAN:  400.000 ∗  1 + 2 − Concesión = 0 ⇒ 5 − 0,15 0,03   1,15

(

)

0,15  400.000 1,155 − 1,035  ∗   1 + 2 = Concesión ⇒ 5 − 0,15 0,03   1,15 Concesión 1.518.028,64 ¾

Pagando 1.518.028,64 , el valor actual de las entradas de tesorería, el VAN del negocio es cero, o lo que es lo mismo, el concesionario obtendrá una rentabilidad de su inversión del 15% anual.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el precio de la concesión para que el concesionario obtenga una rentabilidad del 18% anual. Respuesta: 1.433.773,26

10.

Vamos a presentar un proyecto a un concurso de creación de empresas para jóvenes. Nuestro proyecto, que por motivos obvios no podemos describirte, requiere una inversión inicial de 300.000 y generará unos flujos de fondos de 26.000 el primer año, 35.000 el segundo; 50.000 el tercero; a partir del cuarto año este flujo aumentará un 3% anual de forma indefinida. Queremos poner el VAN y la TIR de nuestro proyecto en el informe final. Estimamos que nuestro coste de capital es el 12% anual. ¿Puedes ayudarnos?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

CAPÍTULO 10 CRITERIOS

DE VALORACIÓN DE INVERSIONES

26.000

35.000

50.000

50.000*1,03

251

50.000*1,032. . . 5...

300.000

(

)

0,12   VAN =  26.000 + 35.000 + 50.000 ∗ 1 2  1 + − 300.000 = 223.641,65 2 2 1,12 0,12 − 0,03 1,12 1,12  

( )

  TIR:  26.000 + 35.0002 + 50.000 ∗ 1 2  1 + r − 300.000 = 0 + 1 r − r 0,03 (1 + r) (1 + r)  2  ¾ 11.

Calcule la TIR interpolando y compárela con la que me dice Excel: 18,61%.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule, empleando factor corrector, el VAN y la TIR del proyecto suponiendo que el cash flow de los años 4 y siguientes se mantuviera contante en 50.000 . Pista: le ayudo con el gráfico.

26.000

35.000

50.000

50.000. . . 5...

300.000

Respuesta: VAN = 106.277,00 TIR = 16,16% (con Excel) 12.

La empresa en la que estoy haciendo prácticas de verano está analizando un proyecto de inversión. Para llevar el proyecto adelante se deben invertir 200.000 en maquinaria, que debe ser renovada cada 5 años y cuyo valor residual es el 20%. El proyecto generará un cash flow anual de 52.000 a perpetuidad. El coste de capital de la empresa es el 10%. ¿Debería la empresa abordar el proyecto? ¿Cuál es su TIR? Nota: resuelva la consulta sin emplear factor corrector y con un horizonte indefinido.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico. 52.000

52.000. . .

2. . .

0 200.000

52.000 5 160.000

52.000. . . 6

...

52.000 10 160.000

52.000. . .

52.000 . . .

11 . . .

15 . . . 160.000. . .

Explicación de los flujos. ¾

Entradas de caja: el proyecto genera una caja de 52.000 anuales a perpetuidad, durante infinitos años. A pesar de que lo normal es que este flujo anual se produzca de forma fraccionada, para su comodidad, no emplearemos factor corrector en este caso.

252 MATEMÁTICA ¾

FINANCIERA

Salidas de caja: el proyecto requiere una inversión inicial en maquinaria de 200.000 . Esta máquina debe ser renovada en los años 5, 10, 15, 20, etc. Como el valor residual de la máquina es el 20%, en cada renovación hay una salida de tesorería de 160.000 (el 80% de 200.000).

Cálculo del VAN y la TIR.

(

)

VAN = 52.000 −200.000 − 160.000 = 57.924,03 0,1 1,15 −

1 V0 SALIDAS

)

(

= 0 ⇒ Acote, interpole... TIR: 52.000 −200.000 − 160.000 5 r 1 + r) − 1 (

V0 SALIDAS

⇒ TIR (Excel) = 13,86% z

13.

¿Debe abordarse el proyecto? Tanto el VAN, que es positivo, como la TIR, que es mayor que la rentabilidad exigida, nos indican que la empresa debe abordarlo.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule, sin emplear factor corrector, el VAN y la TIR del proyecto suponiendo que: z z

El cash flow del primer año será 52.000 y que irá creciendo un 3% anual. La maquinaria cuesta hoy 200.000 y se estima que este precio aumentará un 2% anual (recuerde que se renueva cada 5 años y que su valor residual es el 20%).

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico en miles de euros. 52 0

52*1,03 52*1,032. . . 2

3. . .

200

52*1,034 5. . . 160*

1,025

52*1,039. . . 10. . . 160*

1,0210

52*1,0314 . . . 15 . . . 160*1,0215. . .

Explicación de los flujos. ¾ Entradas de caja: el proyecto genera en el primer año una caja de 52.000 . Este flujo aumentará un 3% anual, por lo que el flujo del segundo año será 52.000*1,03, el flujo del tercer año será 52.000*1,032, etc. ¾ Salidas de caja: el proyecto requiere una inversión inicial en maquinaria de 200.000 . El precio de esta maquinaria aumenta un 2% anual, por lo que al llegar el momento de la primera renovación, el año 5, la máquina ya costará 200.000*1,025 en el mercado. Como el valor residual de la máquina es el 20%, la empresa sólo necesitará 0,8*200.000*1,025 = 160.000*1,025. Dentro de 10 años, en la segunda renovación, la máquina costará 200.000*1,0210, pero la empresa necesitará el 80% de esta cantidad: 160.000*1,0210, etc. ¿No le suena? Visite el Problema 23 del Capítulo 6.

Cálculo del VAN y la TIR.

CAPÍTULO 10 CRITERIOS VAN =

(

DE VALORACIÓN DE INVERSIONES

253

)

52.000 − 200.000- 160.000*1,02 5 = 194.036,56 0,1 − 0,03 1,15 − 1,02 5

)

160.000 ∗ 1,02 5 = 0 ⇒ Acote, interpole... TIR: 52.000 − 200.000 − r − 0, 03 (1 + r)5 − 1,025 ⇒ TIR (Excel) = 17,77% z 14.

La empresa debe abordar el proyecto.

Nuestra empresa está considerando lanzar un nuevo producto al mercado. Los datos relevantes son los siguientes: para lanzar el producto debemos comprar una máquina que cuesta 100 millones a la que se le estimamos una vida útil de 8 años y un valor residual del 10%. El producto generará un cash flow anual de 20 millones de forma indefinida. ¿Debemos lanzar el producto si nuestro coste de capital es el 14% anual? Nota: resuelva la consulta empleando factor corrector y con un horizonte indefinido.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico en millones de euros.

20. . .

20 . . .

20. . .

20 . . .

2. . .

9 ...

17 . . .

24 . . .

100

90. . .

La empresa debe lanzar el producto si su VAN es positivo, fíjese que su cliente no le pide la TIR, por lo que no vamos a calcularla.

(

)(

)

0,14 VAN = 20.000.000 1 + −100.000.000 − 90.000.000 = 4.276.413,27 2 0,14 1,148 −11

V0 SALIDAS

15.

La empresa debe lanzar el producto porque su VAN es positivo. Por si le interesa saberlo, le diré que la TIR es el 14,91%.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule el VAN, empleando factor corrector, suponiendo que el cash flow vaya creciendo un 2% anual de forma indefinida. Pista: le ayudo con el gráfico, en millones de euros.

0 100

20*1,02. . .

2. . .

20*1,027 20*1,028 . . . 8

9 ...

Respuesta: VAN = 29.752.603,75 TIR, por si le interesa, = 18,78% (con Excel)

20*1,0215 20*1,0216. . . 16 90

17 . . .

254 MATEMÁTICA 16.

FINANCIERA

He recibido una herencia y tengo la oportunidad de invertir ese dinero en la compra de apartamentos en un «Golf Resort» de Huelva. El apartamento cuesta 150.000 y le cedería su explotación durante 15 años a GS&S (Golf, Sun and Sea), el grupo promotor del Resort. GS&S me pagará a final de cada año una cantidad en concepto de alquiler. El alquiler que recibiré el año que viene es de 4.000 , posteriormente, esta cantidad aumentará un 3% anual. Al cabo de los 15 años, GS&S me comprará el apartamento garantizándome una revalorización anual de su precio del 4%. ¿Qué rentabilidad obtengo con esta inversión?

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

4.000

4.000*1,03

1,032

4.000* 3

1,033 .

4.000*

150.000*1,0415 4.000*1,0314

...

150.000

En este caso, no hay que usar factor corrector, ya que su cliente recibe el alquiler anual a final de cada año, por lo que la renta no es fraccionada.

(1 + r) − 1,03 150.000 ∗ 1,0415 + TIR: 4.00015 ∗ − 150.000 = 0 ⇒ Acote, interpole... 15 r − 0,03 1 + r) 1 + r) ( (

V0 ENTRADAS

⇒ TIR (Excel) = 6,51% 17.

J. Vuelva a la consulta anterior. Calcule la rentabilidad que obtendría su cliente si la revalorización anual del apartamento, garantizada por GS&S, fuera el 5% y la operación durara 10 años. Pista: le ayudo con el gráfico.

4.000

4.000*1,03

1,032

4.000* 3

1,033.

4.000*

...

150.000*1,0510 4.000*1,039 10

150.000

Respuesta: TIR =7,46% (con Excel) 18.

Nuestra empresa está analizando un proyecto de inversión para el que tenemos las siguientes estimaciones: z Inversión inicial en maquinaria 600.000 . z El proyecto tiene una vida de 4 años, al cabo de los cuales obtendremos 100.000 por la venta de la maquinaria. z Flujos de fondos del proyecto: 80.000 el primer año, 120.000 el segundo, 240.000 el tercero y 300.000 el cuarto. ¿Cuál es el VAN del proyecto si la rentabilidad adecuada para el mismo es el 15% anual? ¿Cuál es su TIR?

CAPÍTULO 10 CRITERIOS

DE VALORACIÓN DE INVERSIONES

Nota: resuelva la consulta empleando factor corrector.

SOLUCIÓN z

Representamos el gráfico.

80.000

120.000

240.000

100.000 300.000

600.000

(

)

0,15 100.000   VAN =  80.000 + 120.000 + 240.000 + 300.000 1+ + − 600.000 ⇒ 2 3 4  4 2 1,15 1,15 1,15 1,15   1,15

V0 ENTRADAS

⇒ VAN = −16.469,92 ⇒ Deben rechazar el proyecto

( )

  + 240.000 + 300.000 1 + r + 100.000 − 600.000 = 0 ⇒ Acote... TIR::  80.000 + 120.000 2 3 4  + 1 r (1 + r) (1 + r) (1 + r)  2 (1 + r)4  ⇒ TIR (Excel) = 13,73% ⇒ menor que el 15%

255

APÉNDICE I

Tablas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

VALOR FINAL DE UN CAPITAL VALOR ACTUAL DE UN CAPITAL VALOR FINAL DE UNA RENTA CONSTANTE, ENTERA, TEMPORAL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA CONSTANTE, ENTERA, TEMPORAL CUOTA DE CAPITALIZACIÓN CUOTA DE AMORTIZACIÓN VALOR ACTUAL DE UNA RENTA CONSTANTE, PERIÓDICA, INDEFINIDA

NOTA Cuando los valores de las tablas son excesivamente altos, o bajos, se sustituyen por la siguiente notación:

2,3274E 04 significa que el número 2,3274 hay que multiplicarlo por 10 4 o, lo que es lo mismo, dividirlo entre 104, dando lugar al valor 0,00023274.

1,319865E 08 significa que el número 1,319865 hay que multiplicarlo por 108, dando lugar al valor 131,986,5.

257

258 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLA 1. VALOR FINAL DE UN CAPITAL

Ct = C0 (1 + r )t La tabla presenta los valores de:

(1 + r )t

EJEMPLO Si invertimos 1.000€ al 10% de interés anual, 5 años más tarde tendremos: C5 1.000 * 1,15 Buscamos el valor de 1,15 en la Tabla 1, columna 0,1 y fila 5: 1,61051 C5 1.000 * 1,15 1.000 * 1,61051 1,610,51€ La representación gráfica de la tabla es:

TABLAS 259

260 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 261

262 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 263

264 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 265

266 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 267

268 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 269

270 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 271

272 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 273

TABLA 2. VALOR ACTUAL DE UN CAPITAL

C0 =

La tabla presenta los valores de:

Ct (1 + r )t

1 (1 + r )t

EJEMPLO El capital que tenemos que invertir hoy, en un banco que nos da un interés del 10% anual, para tener 1.000€ dentro de 4 años es:

C0 =

1.000 1 = 1.000 ∗ 1,14 1, 14

Buscamos el valor de C4 = 1.000 ∗

1 en la Tabla 2, columna 0,08 y fila 4: 0,735029 1, 1 4

1 = 1.000 ∗ 0, 6830134 = 683, 01€ 1, 14

La representación gráfica de la tabla es:

274 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 275

276 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 277

278 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 279

280 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 281

282 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 283

284 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 285

286 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 287

288 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLA 3. VALOR FINAL DE UNA RENTA CONSTANTE, ENTERA, TEMPORAL

(1 + r )t − 1 Vt = R r La tabla presenta los valores de:

(1 + r )t − 1 r

EJEMPLO Si durante los próximos 15 años ingresamos 1.000€ a nuales en una cuenta que genera un 7% de interés anual, el capital final que tendremos es:

15 C15 = 1.000 1, 07 − 1 0, 07

15 Buscamos el valor de 1, 07 − 1 en la Tabla 3, columna 0,07 y fila 15: 24,129022 0, 07

La representación gráfica de la tabla es:

TABLAS 289

290 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 291

292 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 293

294 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 295

296 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 297

298 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 299

300 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 301

302 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 303

TABLA 4. VALOR ACTUAL DE UNA RENTA CONSTANTE, ENTERA, TEMPORAL

(1 + r )t − 1 V0 = R r(1 + r )t La tabla presenta los valores de:

(1 + r )t − 1 r(1 + r )t

EJEMPLO Queremos disponer de 1.000€ anuales, a final de cada año, durante los 15 próximos años. El capital que necesitamos hoy, para un 4% de interés anual, es:

15 C0 = 1.000 1,1 − 115 0 ,1 ∗ 1,1

Buscamos el valor de

1, 115 − 1 0 ,1 ∗ 1 ,115

La representación gráfica de la tabla es:

en la Tabla 4, columna 0,04 y fila 15.

304 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 305

306 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 3 7

3 8 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 3 9

MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 311

312 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 313

314 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 315

316 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 317

318 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLA 5. CUOTA DE CAPITALIZACIÓN

C=P La tabla presenta los valores de:

r (1 + r )t − 1

EJEMPLO Queremos tener 20.000€ dentro de 10 años. Para conseguirlo vamos a hacer, a partir del año que viene, 10 ingresos anuales iguales en una cuenta que ofrece un interés del 10% anual. El importe de cada ingreso debe ser de

C = 20.000

0, 1 1, 110− 1

Buscamos el valor de

0, 1 1, 110− 1

en la Tabla 5, columna 0,1 y fila 10: 0,062745395.

La representación gráfica de la tabla es:

TABLAS 319

MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 321

322 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 323

324 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 325

326 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 327

328 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 329

MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 331

332 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 333

TABLA 6. CUOTA DE AMORTIZACIÓN

r(1 + r )t C=P (1 + r )t − 1

La tabla presenta los valores de:

r(1 + r )t (1 + r )t − 1

EJEMPLO La cuota anual de un préstamo de 1.000€, al 10% de interés anual, a amortizar por el sistema francés en 15 años, es:

C = 10.000

0,1 ∗ 1,1 15 1,1 15− 1

Buscamos el valor de

0,1 ∗ 1,1 15 en la Tabla 6, columna 0,1 y fila 15: 0,131473777 1,1 15− 1

La representación gráfica de la tabla es:

334 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 335

336 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 337

338 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 339

MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 341

342 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 343

344 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 345

346 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 347

348 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLA 7. VALOR ACTUAL DE UNA RENTA CONSTANTE, PERIÓDICA, INDEFINIDA

V0 = La tabla presenta los valores de:

R (1 + r )p − 1

1 (1 + r )p − 1

EJEMPLO Un terreno produce una renta indefinida de 10.000€ cada 5 años. El equivalente financiero hoy de esta renta (o el valor del terreno), para un interés del 5% anual, es:

V0 =

10.000 1 = 10.000 5 1, 05 − 1 1, 05 5 − 1

Buscamos el valor de

1 en la Tabla 7, columna 0,05 y fila 5: 3,619495963 1, 05 5 − 1

La representación gráfica de la tabla es:

TABLAS 349

MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 351

352 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 353

354 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 355

356 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 357

358 MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 359

MATEMÁTICA

FINANCIERA

TABLAS 361

362 MATEMÁTICA

FINANCIERA

APÉNDICE II

Formulario INTERÉS SIMPLE

Valor final de un capital: Ct = C0 (1 + rt )

Valor actual de un capital: C0 =

Valor actual de un capital: C0 = C t (1-rt ) Descuento comercial

Ct Descuento racional (1 + rt )

INTERÉS COMPUESTO

Valor final de un capital: C t = C 0 (1 + r ) → Tabla 1

Valor actual de un capital: C0 =

r  TAE =  1 +  − 1  n

(1 + r )

→ Tabla 2

RENTAS CONSTANTES ENTERAS, TEMPORALES

(1 + r ) -1 → Tabla Valor actual: V0 = R t r (1 + r ) t

Valor final: Vt

(1 + r ) =R r

-1

→ Tabla 3

363

364 MATEMÁTICA

FINANCIERA

ENTERAS, INDEFINIDAS

R r

Valor actual: V0 =

PERIÓDICAS, TEMPORALES

(1 + r ) -1 tp p (1 + r ) (1 + r ) − 1 tp

Valor actual: V0 =

(1 + r ) -1 Valor final: Vt = R p (1 + r ) − 1 tp

PERIÓDICAS, INDEFINIDAS

Valor actual: V0 =

(1 + r )

−1

→ Tabla 7

PRÉSTAMOS r (1 + r )

Cuota sistema francÈs: C = P

Cuota sistema americano: C = P

(1 + r )

−1

→ Tabla 6

(1 + rc )

−1

→ Tabla 5

RENTAS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ENTERAS, TEMPORALES

Valor actual: V0 =

Valor final: Vt = R

(1 + r )

Valor actual: V0 =

-(1 + g)t

r −g

R r-g

r −g

(1 + r )

ENTERAS, INDEFINIDAS

(1 + r )

F ORMULARIO 365

PERIÓDICAS, TEMPORALES

(1 + r ) -(1 + g)tp tp p (1 + r ) (1 + r ) − (1 + g)p tp

Valor actual: V0 =

(1 + r ) -(1 + g)tp Valor final: Vt = R p (1 + r ) − (1 + g)p tp

PERIÓDICAS, INDEFINIDAS

Valor actual: V0 =

(1 + r )

− (1 + g)p

RENTAS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA ENTERAS, TEMPORALES

(1 + r ) − 1  R + a  − at Valor actual: V0 = t  r  r (1 + r )t r (1 + r ) 

Valor final: Vt =

(1 + r )

−1 a  at R+ −  r r r 

ENTERAS, INDEFINIDAS

Valor actual: V0 =

R a + r r2

PERIÓDICAS, TEMPORALES 1

 (1 + r )tp − 1    at a     R − + p p  (1 + r )p − 1   (1 + r ) − 1  + − 1 r 1 ( )   

Valor actual: V0 =

 (1 + r ) − 1  R + a at − Valor final: V0 = p p p (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1  (1 + r ) − 1

(1 + r )

PERIÓDICAS, INDEFINIDAS

Valor actual: V0 =

(1 + r )

((1 + r ) − 1) P

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