14 %20tuy%e1%bb%83n%20ch%e1%bb%8dn%20b%c3%a0i%20t%e1%ba%adp%20tr%e1%ba%afc%20nghi%e1%bb%87m%20chuy%c by Miracle

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

1|Page

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

MỤC LỤC I – LÝ THUYẾT CHUNG ..................................................................................................................... 3 II – CÁC DẠNG BÀI TẬP..................................................................................................................... 5 DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC.................................................... 5 A – CÁC VÍ DỤ ............................................................................................................................... 5 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM........................................................................................................ 6 C - ĐÁP ÁN.................................................................................................................................... 13 DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT ................................................................................. 14 A – CÁC VÍ DỤ ............................................................................................................................. 14 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM...................................................................................................... 15 C - ĐÁP ÁN.................................................................................................................................... 22 DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN ................................................................... 23 A – CÁC VÍ DỤ ............................................................................................................................. 23 B – BÀI TẬP .................................................................................................................................. 23 C - ĐÁP ÁN.................................................................................................................................... 27 DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT .................................................... 28 A – CÁC VÍ DỤ ............................................................................................................................. 28 B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................... 30 C - ĐÁP ÁN.................................................................................................................................... 30 DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC ......................................................... 31 A – CÁC VÍ DỤ ............................................................................................................................. 31 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM...................................................................................................... 34 C - ĐÁP ÁN.................................................................................................................................... 38 DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM ................................................................. 39 A – CÁC VÍ DỤ ............................................................................................................................. 39 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM...................................................................................................... 41 C - ĐÁP ÁN.................................................................................................................................... 48 DẠNG 7: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ....................................................................... 49 A – CÁC VÍ DỤ ............................................................................................................................. 49 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM...................................................................................................... 51 C – ĐÁP ÁN ................................................................................................................................... 52

2|Page

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

I – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b  R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) • z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. a  a ' • Hai số phức bằng nhau: a  bi  a’  b’i   (a, b, a ', b '  R) b  b ' Chú ý: i4k  1; i4k 1  i; i4k 2  -1; i4k 3  -i 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u  (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)

M(a;b)

b O

3. Cộng và trừ số phức: •  a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i •  a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi • u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u  u ' biểu diễn z + z’ và u  u ' biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : •  a  bi  a ' b'i    aa’ – bb’   ab’  ba’ i • k(a  bi)  ka  kbi (k  R) 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z  a  bi z  z • z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';  1   1 ; z.z  a 2  b2  z 2  z2 • z là số thực  z  z ;

z là số ảo  z   z

6. Môđun của số phức : z = a + bi • z  a 2  b 2  zz  OM z 0z0 • z  0, z  C , z z  • z.z '  z . z ' • • z  z'  z  z'  z  z' z' z' 7. Chia hai số phức: a+bi aa'+bb' a 'b  ab ' • Chia hai số phức:  2  i. a'+b'i a '  b '2 a '2  b '2 • z 1 

1 2

z (z  0)

z 8. Căn bậc hai của số phức:

•

z' z '.z z '.z  z 'z 1  2  z z.z z

3|Page

•

z'  w  z '  wz z

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 x 2  y2  a • z  x  yi là căn bậc hai của số phức w  a  bi  z2  w    2xy  b • w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w  0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau • Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

• Hai căn bậc hai của a < 0 là  a.i 9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A  0 ).   B2  4AC B   •   0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2  , (  là 1 căn bậc hai của ) 2A B •   0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1  z 2   2A Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*). 10. Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao) a) Acgumen của số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Nếu  là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng  + k2 (kZ). b) Dạng lượng giác của số phức : Dạng z = r(cos + isin) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, bR) (z ≠ 0)  r  a 2  b 2  a   cos  ( là acgumen của z,  = (Ox, OM). r  b  sin   r c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác : Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì: z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( +’)] z r   cos(   ')  i sin(   ')  . z' r ' d) Công thức Moa-vrơ : n Với n là số nguyên, n  1 thì :  r(cos  i sin )   r n (cos n  i sin n) Khi r = 1, ta được : (cos  isin )n  (cos n  isin n) e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Các căn bậc hai của số phức z = r(cos + isin)

         r  cos  i sin   r cos      i sin      . 2 2   2   2

4|Page

(r > 0) là :

   r  cos  i sin  và 2 2 

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

II – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho số phức z =

3 1  i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2 2 2

Giải:

3 1 3 1  i z=  i 2 2 2 2

a) Vì z =

 3 1  3 1 2 3 1 3 i=  i b) Ta có z =   i  =  i  4 4 2 2 2 2 2   2

 3 1  3 1 2 3 1 3  ( z ) =   i    i  i  i 2 2 2  2 2  4 4 1 3  3 1  3 1 3 3 i   i   i  i  i ( z )3 =( z )2 . z =      4  2 2  2 2  4 2 4 2

3 1 1 3 3  3 1 3  i  i  i 2 2 2 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i  (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i 1  x  3x  y  2y  1  7   Giải hệ này ta được:  5x  x  y y  4  7 Ví dụ 3: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n  N* Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N. n n 1 n -1 -n Nếu n nguyên âm, i = (i ) =     i  . i Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được: 105 i + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 16 8  1 i   1 i  Ví dụ 4: Tính số phức sau: z =      1 i   1 i  1  i (1  i)(1  i) 2i Giải: Ta có:   i 1 i 2 2 16 8 1 i  1 i   1  i  16 8  i . Vậy      =i +(-i) = 2 1 i  1 i   1 i  Ta có: 1 + z + z2 = 1 

5|Page

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Ví dụ 5: Tìm phần ảo của z biết: z  3z   2  i   2  i  (1) 3

Giải: Giả sử z=a+bi (1)  a  bi  3a  3bi   8  12i  6i 2  i 3   2  i    2  11i  .  2  i   4a  2bi  4  2i  22i  11i 2  20i  15  a 

15 ; b  10 . 4

Vậy phần ảo của z bằng -10 Ví dụ 6: Cho z1  3  i, z2  2  i Tính z1  z1z 2 Giải:

z1  z1z 2  3  i   3  i  2  i   10  10  0i  z1  z1z 2  102  02  10 Ví dụ 7: Cho z1  2  3i, z 2  1  i . Tính z1  3z 2 ;

z1  z 2 ; z13  3z 2 z2

Giải: +) z1  3z2  2  3i  3  3i  5  6i  z1  3z 2  52  62  61 +)

z1  z 2 3  4i  3  4i 1  i  7  i z z 49 1 5 2     1 2    2 z2 1 i 1 i 2 z2 4 4 2

+) z13  3z 2  8  36i  54i 2  27i 3  3  3i  49  6i  z13  3z 2  2437 Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức z  5  12i Giải: Giả sử m+ni (m; n  R) là căn bậc hai của z Ta có: (m  ni)2  5  12i  m2  2mni  n 2i2  5  12i  m2  2mni  n 2  5  12i m 2  n 2  5(1) m 2  n 2  5    6 2mn  12 m  (2)  n 2

6 Thay (2) vào (1) ta có:    n 2  5  36  n 4  5n 2 n

 n 4  5n 2  36  0  n 2  4;n 2  9(loai) n  2  m  3  n  2  m  3  Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết rằng số phức z  x  iy thỏa z2  8  6i . Mệnh đề nào sau đây sai?  x 4  8x 2  9  0  x 2  y 2  8  A.  B.  3  xy  3 y   x x  1  x  1 hay  C.  D. x 2  y2  2xy  8  6i y  3 y   3   6|Page

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 2: Cho số phức z   m  1   m  2  i,  m  R  . Giá trị nào của m để z  5 A. 2  m  6

B. 6  m  2

 2  i   1  2i  2

Câu 3: Viết số phức

 m  6 D.   m2

C. 0  m  3

dưới dạng đại số:

3i

11 7 13 7 11 7 11 7 B.   i C. D.   i  i  i 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: a  0 A. Số phức z  a  bi  0 khi và chỉ khi  b  0 B. Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy.

A. 

C. Số phức z  a  bi có môđun là a 2  b 2 D. Số phức z  a  bi có số phức đối z'  a  bi Câu 5: Cho số phức z  a  bi,a, b  R và các mệnh đề. Khi đó số 1) Điểm biểu diễn số phức z là M  a; b  . 1 2) Phần thực của số phức z  z là a; 2





1 z  z là: 2



9a 2  b 2

3) Môdul của số phức 2z  z là 4) z  z A. Số mệnh đề đúng là 2 C. Số mệnh đề sai là 1 Câu 6: Mệnh đề nào sau đây sai. A. z1  z 2  z1  z 2

B. Số mệnh đề đúng là 1 D. Cả 4 đều đúng

B. z  0  z  0 C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 là đường tròn tâm O, bán kính R = 1 D. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau Câu 7: Cho hai số phức z1  4  3i, z2   4  3i, z3  z1.z 2 . Lựa chọn phương án đúng: A. z 3  25

B. z 3  z1

Câu 8: Cho các số phức z 

C. z1  z 2  z1  z 2

D. z1  z 2

3i 3i . Trong các kết luận sau: , z'  5  7i 5  7i

(I). z  z ' là số thực, (II). z  z ' là số thuần ảo, (III). z  z ' là số thực, Kết luận nào đúng? A. Cả I, II, III. B. Chỉ II. III.

C. Chỉ III, I. D. Chỉ I, II. 3 2 2 i i 2 z z  z  z và    z  z . Khi đó Câu 9: Cho số phức z  1 . Xét các số phức   z 1 z 1 A. ,  R B. ,  đều là số ảo C.  R,  là số ảo D.   R,  là số ảo 2009

1 3 Câu 10: Cho số phức z =   i . Số phức 1 + z + z2 bằng: 2 2 1 3 A.   B. 2 - 3i C. 1 i 2 2

7|Page

D. 0

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 11: Giá trị biểu thức 1  i  i2  i3  ...  i 2017 là: A. 1  i B. i C. i Câu 12: Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau: A. (1  i)2018  21009 i B. (1  i)2018  21009 i C. (1  i)2018  21009 Câu 13: Cho z1 , z2  và các đẳng thức: z1 z  1 ; z1  z 2  z1  z 2 ; z1  z 2  z1  z 2 . z2 z2 Số đẳng thức đúng trong các đẳng thức trên là: A. 1 B. 3 C. 4 Câu 14: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng? A. (1  i)8  16 B. (1  i)8  16 C. (1  i)8  16i Câu 15: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng? A. i 2006  i B. i2345  i C. i1997  1 Câu 16: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ? 2 A.  2  2i  B. 2  3i  2  3i

D. 1  i D. (1  i)2018  21009

z1 . z 2  z1.z 2 ;





2  3i .

2  3i



 

D. 2 D. (1  i)8  16i D. i2005  1



3  2i 2  3i

Câu 17: Giá trị của 1  i2  i4  ...  i4k với k  N* là A. 2ki B. 2k C. 0 D. 1 Câu 18: Các số x; y  R thỏa mãn đẳng thức (1  i)(x  yi)  (2y  x)i  3  2i . Khi đó tổng x  3y là: A. - 7 B. - 1 C. 13 D. - 13 3 Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y  thỏa mãn z = 18 + 26i. Giá trị của 2012 2012 là: T  (z  2)  (4  z) A. 21007

C. 21007

B. 31007

D. 21006

 13 3  9i  Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức   là số thực ? số ảo ? là: 12  3 i   A. n = 2 + 6k, k  B. n = 2 + 4k, k  C. n = 2k, k  D. n = 3k, k  z Câu 21: Cho số phức z  2i  3 khi đó bằng: z 5  12i 5  6i 5  12i 5  6i A. B. C. D. 11 11 13 13 3

 1 i 3  Câu 22: Tính số phức z    :  1 i  A. 1 + i B. 2 + 2i 5  1 i  5 6 7 8 Câu 23: Cho z    , tính z  z  z  z . 1  i   A. 4 B. 0 Câu 24: Tính giá trị P  i  i2  i3  ...  i11 là A. −1 B. 0 Câu 25: Tính P  1  5i   1  3i  

2007

C. 2 – 2i

D. 1 – i

C. 3

D. 1

C. 1 + i

D. 1 – i

kết quả là

A. 22007 i B. 2007i C. 22007 Câu 26: Giá trị của biểu thức A  i105  i23  i20 – i34 là: A. 2i B. 2 C. 2i

8|Page

D. 22007 i D. 2

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

z2 1 z A. Là số ảo B. Bằng 0 16 8  1 i   1 i  Câu 28: Số phức z       bằng:  1 i   1 i  A. i B. 2 Câu 27: Nếu z  1 thì

C. Lấy mọi giá trị phức D. Lấy mọi giá trị thực

D. 2 iz  1  3i  z a b 2  z . Khi Câu 29: Biết số phức z    i ( với a, b, c là những số tự nhiên) thỏa mãn c c 1 i đó giá trị của a là: A. - 45 B. 45 C. - 9 D. 9 x  1 y 1 Câu 30: Cho x, y là 2 số thực thỏa điều kiện: là:  x 1 1  i A. x  1; y  1 B. x  1; y  2 C. x  1; y  3 D. x  1; y  3 Câu 31: Cho z1  2  3i;z 2  1  i . Tính : A.

C. i

z13  z 2 (z1  z 2 )

61 5

C. 85

85 25

Câu 32: Cho hai số phức z1  ax  b, z2  cx  d và các mệnh đề sau: 1 z  2 (I) ; (II) z1  z 2  z1  z 2 ; (III) z1  z 2  z1  z 2 . z1 a  b 2 Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (I) và (III) B. Cả (I), (II) và (III) C. Chỉ (I) và (II) D. Chỉ (II) và (III) Câu 33: Tìm căn bậc hai của số phức z  7  24i A. z  4  3i và z  4  3i B. z  4  3i và z  4  3i C. z  4  3i và z  4  3i D. z  4  3i và z  4  3i 1 Câu 34: Cho z  5  3i . Tính z  z ta được kết quả là: 2i A. 3i B. 0 C. 3 D. 6i Câu 35: Cho số phức z  a  bi,  a, b   . Nhận xét nào sau đây luôn đúng?



A. z 2  a  b



B. z 2  a  b

Câu 36: Tìm các căn bậc 2 của số phức z  A. 4i B. 2i 6 Câu 37: Tính 1  i  ta được kết quả là: A. 4  4i

B. 4  4i

C. z  2  a  b 

1  9i  5i 1 i C. 2

C. 8i

D. z  2  a  b 

D. 4 D. 4  4i

2024

 i  Câu 38: Giá trị của  là   1 i  1 1 A.  2024 B. 1012 2 2

1 2

2024

D. 

1 1012

 3 i Câu 39: Tính z     ta được kết quả viết dưới dạng đại số là:  2 2 3 i 1 3 3 i A. B.  i C.    2 2 2 2 2 2 9|Page

1 3 D.   i 2 2

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 40: Tìm các căn bậc hai của - 9 A. - 3 B. 3 C. 3i D. 3i 1 3 Câu 41: Cho z    i . Tính 1  z  z 2 2 2 A. 2 B. - 2 C. 0 D. 3 Câu 42: Tìm số phức   z1  2z2 , biết rằng: z1  1  2i, z1  2  3i. A.   3  4i. B.   3  8i. C.   3  i. D.   5  8i. Câu 43: Tích 2 số phức z1  1  2i và zi  3  i A. 5 B. 3 - 2i C. 5 - 5i D. 5  5i Câu 44: Tổng của hai số phức 3  i;5  7i là A. 8  8i B. 8  8i C. 8  6i D. 5  6i Câu 45: Các số thực x và y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i là 9 9 9     x   11  x  11  x  11 A. Kết quả khác B.  C.  D.  4 4 y  y   y  4     11 11 11 25i Câu 46: Biết số phức z  3  4i . Số phức là: z A. 4  3i B. 4  3i C. 4  3i D. 4  3i Câu 47: Cho biết: 3 1 i3  i  2 i4  i  3  i  1  2  i Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai A. Chỉ (3) sai B. Chỉ (2) sai Câu 48: Tổng 2 số phức 1  i và 3  i

C. Chỉ (1) và (2) sai

D. Cả (1), (2), (3) sai

A. 1  3 B. 2i C. 1  3  i Câu 49: Cho 2 số phức z1  2  i, z 2  1  i . Hiệu z1  z2 A. 1 + i B. 1 C. 2i Câu 50: Tính  3  4i   (2  3i) ta được kết quả:

D. 1  3  2i

A. 3  i B. 5  7i Câu 51: Đẳng thức nào đúng A. (1  i)4  4 B. (1  i)4  4i z Câu 52: Cho số phức z = 2i + 3 khi đó bằng: z 5  12i 5  12i A. z  B. z  13 13 Câu 53: Số 12  5i bằng:

C. 1  7i

D. 1  i

C. (1  i)8  16

D. (1  i)8  16

7 Câu 54: Giá trị biểu thức (1 - i 3 ) 6 bằng:

C. 13

A. - 12.5

A. 64

B. 25

C. z 

5  6i 11

C. 24

z Câu 55: Tính 1 , với ` z1  1  2i và z 2  2  i z2 A. 1 - i B. - i 2008 Câu 56: Giá trị ` i bằng A. i B. - 1 Câu 57: Nghịch đảo của số phức 5  2i là:

D. 1 + 2i

D. z 

D. ` 119 D. Kết quả khác

C. 1 + i

D. I

C. - i

D. 1

10 | P a g e

5  6i 11

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

5 2 5 2 5 2  i B. `  i C. `   i D. 29 29 29 29 29 29 Câu 58: Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: ` x  2y   2x  y  i  2x  y   x  2y  i A. ` 

1 1 2 B. x  ; y  C. x  y  0 2 3 3 Câu 59: Giá trị biểu thức (1 + i)10 bằng A. i B. Kết quả khác C. – 32i Câu 60: Dạng đơn giản của biểu thức (4  3i)  (2  5i) là: A. 1 + 7i B. 6 + 2i C. 6 – 8i Câu 61: Các căn bậc hai của 8 + 6i là   3  i   3  i A. Kết quả khác B.  1 C.  1 2  3  i 2  3  i

A. x  y 

Câu 62: Số nào sau đây bằng số  2  i  3  4i 

1 2 D. x   ; y   3 3

D. 32i D. 1 – 7i   3  i D.  1 2  3  i

A. 5  4i

B. 6  11i C. 10  5i D. 6  i  2  i 1  2i    2  i 1  2i  . Trong các két luận sau, kết luận nào đúng? Câu 63: Cho z  2i 2i 22 A. z.z  B. z là số thuần ảo C. z  D. z  z  22 5 Câu 64: Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được: A. z = 5 + 3i B. z = - 1 – 2i C. z = 1 + 2i D. z = - 1 – i Câu 65: Thu gọn z = i(2 – i)(3 + i) ta được: A. z  2  5i B. z  5i C. z  6 D. z  1  7i Câu 66: Kết quả của phép tính (2  3i)(4  i) là: A. 6 - 14i B. - 5 - 14i C. 5 - 14i D. 5 + 14i 3 Câu 67: Số phức z = 1  i  bằng: A. 4  3i B. 3  2i C. 4  4i Câu 68: Số phức z thỏa mãn: 1  i  z   2  3i 1  2i   7  3i . là: 3 A. z  1  i 2

Câu 69: Số phức z 

3  4i bằng: 4i

1 1  i 2 2

1 3 C. z    i 2 2

9 4 C. z   i 5 5 4i Câu 70: Thực hiện các phép tính sau: A = (2  3i)(1  2i)  ; . 3  2i 114  2i 114  2i 114  2i A. B. C. 13 13 13 Câu 71: Rút gọn biểu thức z  i  (2  4i)  (3  2i) ta được: A. z  1  2i B. z  –1– i C. z  –1– i Câu 72: Rút gọn biểu thức z  i(2  i)(3  i) ta được: A. z  6 B. z  1  7i C. z  2  5i 3  4i Câu 73: Thực hiện các phép tính sau: B= . (1  4i)(2  3i) 3  4i 62  41i 62  41i A. B. C. 221 14  5i 221 Câu 74: Kết quả của phép tính (a  bi)(1  i) (a, b là số thực) là:

A. z 

16 11  i 15 15

B. z 

16 13  i 17 17

11 | P a g e

D. 2  2i 1 3 D. z    i . 2 2

D. z 

9 23  i 25 25

114  2i 13

D. z  5  3i D. z  5i

62  41i 221

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 A. a  b (b a)i B. a  b (b a)i C. a  b (b a)i D.  a  b (b a)i Câu 75: Cặp số (x; y) thõa mãn điều kiện (2x  3y  1)  (x  2y)i  (3x  2y  2)  (4x  y  3)i là:  9 4  9 4  4 9  4 9 A.  ;  B.  ;  C.  ;  D.  ;   11 11   11 11   11 11   11 11  Câu 76: Các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y)i là 1 4  2 4  1 4  1 4 A. (x; y)   ;  B. (x; y)    ;  C. (x; y)    ;  D. (x; y)    ;   7 7  7 7  7 7  7 7 2 Câu 77: Các số thực x, y thoả mãn: x -y-(2y  4)i  2i là: A. (x; y)  ( 3; 3);(x; y)  (  3;3)

B. (x; y)  ( 3;3);(x; y)  ( 3; 3)

C. (x; y)  ( 3; 3);(x; y)  (  3; 3)

D. (x; y)  ( 3;3);(x; y)  (  3; 3)





2  3i Câu 78: Thu gọn z = ta được: A. z  11  6i B. z = - 1 - i C. z  4  3i D. z = - 7 + 6 2i Câu 79: Thu gọn z = (2 + 3i)(2 – 3i) ta được: A. z  4 B. z  9i C. z  4  9i D. z  13 Câu 80: Cho hai số phức z1  1  2i;z 2  2  3i . Tổng của hai số phức là A. 3 – 5i B. 3 – i C. 3 + i D. 3 + 5i 3 Câu 81: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x  3  5i   y 1  2i   35  23i A. (x; y) = ( - 3; - 4) B. (x; y) = ( - 3; 4) C. (x; y) = (3; - 4) D. (x; y) = (3; 4) Câu 82: Tìm các căn bậc hai của số phức sau: 4 + 6 5 i A. z1 = 3 - 5 i và z2 = - 3 - 5 i B. Đáp án khác C. z1 = - 3 + 5 i và z2 = 3 + 5 i D. z1 = 3 + 5 i và z2 = - 3 - 5 i Câu 83: Các căn bậc hai của số phức 117  44i là: A.   2  11i  B.   2  11i  C.   7  4i  D.   7  4i 

Câu 84: Cho 2 số thực x, y thỏa phương trình: 2x  3  (1  2y)i  2(2  i)  3yi  x . Khi đó:

x 2  3xy  y  49 47 43 B. C. D. - 1 45 45 45 Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn: (3  2i)z  (2  i)2  4  i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là: A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 2 12 112 1122 Câu 86: Cho các mệnh đề i  1 , i  1, i  1 , i  1. Số mệnh đề đúng là: A. 3 B. 0 C. 1 D. 4 3 Câu 87: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z  x  yi thỏa mãn z  18  26i x  3  x  3 x  3 x  1 A.  B.  C.  D.   y  1 y  1 y  1 y  3 1 m (m  R) . Tìm m để z.z  1 . Câu 88: Xét số phức z  1  m(m  2i) A. m  0, m  1 B. m  1 C. m  1 D. m  1 zw Câu 89: Cho hai số phức z và w thoả mãn z  w  1 và 1  z.w  0 . Số phức là: 1  z.w A. Số thực B. Số âm C. Số thuần ảo D. Số dương

A. 

 1 i  Câu 90: Cho số phức z     1 i 

2017

. Khi đó z.z7 .z15  12 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 A. i B. 1 C. i D. 1 Câu 91: Phần ảo của số phức z = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20 bằng: A. 210 B. 210 + 1 C. 210 – 1 D. - 210 Câu 92: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai? A. z  z là một số thực B. z  z là một số ảo C. z.z là một số thực D. z2  z 2 là một số ảo Câu 93: Tổng ik + ik + 1 + ik + 2 + ik + 3 bằng: A. i B. - i C. 1 D. 0

C - ĐÁP ÁN 1D, 2C, 3D, 4D, 5A, 6A, 7A, 8D, 9C, 10D, 11D, 12A, 13D, 14B, 15B, 16A, 17D, 18D, 19A, 20D, 21C, 22B, 23B, 24A, 25A, 26B, 27C, 28B, 29B, 30A, 31A, 32D, 33D, 34C, 35B, 36B, 37C, 38D, 39C, 4DC, 41C, 42B, 43D, 44C, 45D, 46A, 47D, 48D, 49D, 50C, 51D, 52A, 53C, 54A, 55D, 56D, 57C, 58C, 59D, 60B, 61D, 62C, 63C, 64D, 65D, 66C, 67D, 68D, 69B, 70B, 71C, 72B, 73B, 74B, 75B, 76C, 77C, 78D, 79D, 80B, 81D, 82D, 83A, 84A, 85C, 86A, 87C, 88B, 89D, 90A, 91B, 92D, 93D.

13 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm mô đun của số phức z  Giải: Ta có : z 

5i 1  1 i 5 5

(1  i)(2  i) 1  2i

26 1 Vậy, mô đun của z bằng: z  1     5 5 (1  i 2) 1  i  Ví dụ 2: Tìm môđun của z biết z  2z  (1) 2i (1  i 2) 1  2i  i 2  2i  2 2i 2  Giải: (1)  a  bi  2a  2bi  2i 2i (2i  2 2)  2  i  i(4  2 2)  4 2  2  3a  bi   4  i2 5 4 2 2 4  2 2 a ;b  15 5 2

32  4  16 2  144  72  144 2 225  128 2  225 15 5(z  i)  2  i (1) . Tính môđun của số phức   1  z  z2 . Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giải: Giả sử z=a+bi 5(a  bi  i) (1)   2i a  bi  1 z

 5a  5i(b  1)  2a  2bi  2  ai  bi 2  i  3a  2  b  i(5b  5  2b  a  1)  0 3a  2  b  0 a  1    z  1 i 3b  a  4  0 b  1   1  1  i  1  2i  1  2  3i    4  9  13

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn: (2  i)z  Giải: Giả sử z  a  bi

2(1  2i)  7  8i (1) . Tìm môđun của số phức   z  1  i 1 i

2(1  2i)  7  8i 1 i 2(1  2i)(1  i)  2a  2bi  ai  bi 2   7  8i 1  i2

(1)  (2  i)(a  bi) 

2a  b  3  7 a  3   2a  2bi  ai  bi  1  i  2i  2i 2  7  8i   2b  a  1  8 b  2 Do đó   3  2i  1  i  4  3i    16  9  5 . Ví dụ 5: Tính môđun của số phức z biết: (2z  1)(1  i)  (z  1)(1  i)  2  2i (1) Giải: (1)  (2a  2bi 1))(1  i)  (a  bi  1)(1  i)  2  2i  2a  2ai  2bi  2bi2 1  i  a  ai  bi  bi 2  1  i  2  2i  3a  3ba  ai  bi  2i  2  2i 14 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

1  a  3a  3b  2 1 1 2  3     Suy ra z  . 9 9 3 a  b  2  2 b  1  3



Ví dụ 6: Tìm n là số nguyên dương và n  1,10 sao cho số phức z  1  i 3



là số thực

  n n    Giải: Ta có: 1 + i 3 = 2  cos  i sin   z = 2n  cos  i sin  3 3 3 3    n n Để z  R  2n.sin = 0  sin = 0  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  3 3 [3;6;9]

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 i  5  i bằng: 1 i C. 5 2

Câu 1: Mô đun của số phức   z  z2 , với (2  i).z  A. 2 2 B. 4 2 Câu 2: Số nào trong các số sau là số thuần ảo ?

D. 3 2

2  3i D. ( 2  3i).( 2  3i) 2  3i Câu 3: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ? A. | z | 1 B. z là một số ảo C. z  D. | z | 1 Câu 4: Cho số phức z thỏa | z 1  2i || z | . Khi đó giá trị nhỏ nhất của | z | là:

A. ( 2  3i)  ( 2  3i) B. (2  2i)2

A. 1

C. 2

5 2

a  b  2 Câu 5: Tìm các số phức a và b biết  biết phần ảo của a là số dương. a.b  9 A. a  2  8i, b  2  8i B. a  1  3i, b  1  3i C. a  1  5i, b  1  5i

D. a  1  8i, b  1  8i

Câu 6: Khi số phức z thay đổi tùy ý thì tập hợp các số 2z  2z là A. Tập hợp các số thực dương B. Tập hợp tất cả các số thực C. Tập hợp tất cả các số phức không phải là số ảo D. Tập hợp các số thực không âm 1 Câu 7: Cho z là số phức khác 0 thỏa mãn z  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng z A. z là số thực B. z có mô đun bằng -1 C. z là số thuần ảo D. z có điểm biểu diễn nằm trên đường tròn x 2  y2  1 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn: 3(z  1  i)  2i(z  2) . Khi đó giá trị của | z(1  i)  5 | là: A. 4 B. 29 C. 5 D. 6 Câu 9: Cho z = m + 3i, z’ = 2 – (m +1)i. Giá trị nào của m sau đây để z.z’ là số thực ? A. m = -2 hoặc m = 3 B. m = -1 hoặc m = 6 C. m = 2 hoặc m = -3 D. m = 1 hoặc m = 6 3 3 (2  i)  (2  i) Câu 10: Số phức liên hợp của số phức z  là: (2  i)3  (2  i)3 2 2 A.  i B. 2  i C. 2  i D. i 11 11

15 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1  i)(z  i)  2z  2i . Mô đun của số phức w 

z  2z  1 z2

là: A. 2 2

C. 10

D. 2 5

(1  3i)3 . Mô đun của số phức w = z  iz 1 i A. 16 B. 8 C. 8 3 D. 8 2 2 Câu 13: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện (3  2i)z  (2  i)  4  i . Phần ảo của số phức

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 

w  (1  z)z là: A. 2

C. 1

B. 2

D. 0

Câu 14: Phần ảo của số phức z thỏa mãn z  3z  1  2i  là: 2

A. 1 B. 2 C. 2 2 Câu 15: Số phức z thỏa mãn 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z có mô đun là A. 1

D. 1 D. 13

C. 17

Câu 16: Cho số phức z thỏa 1  i  (2  i)z  8  i  1  2i  z . Phần thực của số phức z là: 2

A. 4 B. 3 C. 1 3 Câu 17: Mô đun của số phưc z  1  4i  1  i  là:

B. 1

D. 2 D.

2(1  2i)  7  8i . Mô đun của số phức w  z  i  1 1 i A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 19: Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn: (1  2i)(z  i)  4i(i 1)  7  21i

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn (2  i)z 

A. z  5

B. z  3 7

D. z  9

C. z  2 3

Câu 20: Cho số phức z thõa mãn điều kiện:  2  3i  z   4  i  z   1  3i  . Phần ảo của z là: 2

A. 5

B. 4

C. 3 D. 2 1 Câu 21: Số phức liên hợp của z  (1  i)(3  2i)  là: 3i 53 9 53 9 53 9 53 9 A. z    i B. z   i C. z   i D. z    i 10 10 10 10 10 10 10 10 3 (1  3i) Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn z  . Mô đun của số phức w = z  iz 1 i A. 8 B. 16 C. D. 8 3









Câu 23: Cho số phưc z thỏa điều z  z 1  i   z  z  2  3i   4  i . Phần ảo của là: A.

1 2

Câu 24: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn: A. 2 Câu 25: Cho z  A. 1  i 3

B. 3

D. 

C. 2

B. 1

4  3i 2 1  z  z  3  i   8  13i 2i  1 C. 1 D. 7



1 3



2 . Số phức liên hợp của z là: 1 i 3 B.

1 3 i 2 2

C. 16 | P a g e

1 3 i 2 2

D. 1  i 3

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 (4  3i)(2  i) 5  4i 34 D. 41

Câu 26: Cho w  z2  z  1 tìm phần thực của số phức nghịch đảo của w biết: z  3715 3715 63 B. C.  27389 1681 41 Câu 27: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa): 1) Số phức và số phức liên hợp của nó có mô đun bằng nhau 2) Với z  2  3i thì mô đun của z là: z  2  3i

3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi z  z 4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  z  1  2 là một đường tròn. 5) Phương trình: z3  3zi  1  0 có tối đa 3 nghiệm. Số nhận định đúng là: A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn (3  i)z  (2i  1) z  4i  3 . Khi đó phần thực của số phức z bằng: A. 5i B. -2 C. 2 D. -5 2 3 20 Câu 29: Số phức z  1  i  i  i  ...  i có phần thực và phần ảo là A. 2 và 0 B. 1 và 0 C. 0 và 2 D. 0 và 1 Câu 30: Nhận xét nào sau đây là sai ? A. Mọi phương trình bậc hai đếu giải được trên tập số phức B. Cho số phức z  a  bi . Nếu a, b càng nhỏ thì mô đun của z càng nhỏ. C. Mọi biểu thức có dạng A2  B2 đều phân tích được ra thừa số phức. 1  ti D. Mọi số phức z  1 và có mô đun bằng 1, có thể đặt dưới dạng: z  , với t  . 1  ti Câu 31: Phát biểu nào sau đây là đúng: A. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nó có bình phương bằng nhau. B. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nó có căn bậc hai bằng nhau. C. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nó có phần ảo bằng nhau. D. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nó có mô đun bằng nhau. Câu 32: Mô đun của 2iz bằng A. 2 z B. 2 z C. 2z D. 2 Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn: z   2i  1 z  10 và có phần thực bằng 2 lần phần ảo của nó. Tìm môđun của z ? 5 5 5 5 A. z  B. z   C. z  D. z  2 2 3 2 Câu 34: Cho số phức z  a  bi và số phức z'  a ' b'i . Số phức z.z ' có phần ảo là: A. aa ' bb' B. 2  aa ' bb '  C. ab' a 'b D. ab  a 'b' Câu 35: Số nào trong các số sau là số thực ? 2 A.  2  2i  C.



2  3i



2  3i



Câu 36: Cho số phức z thỏa



5 zi z 1



 

2  3i 2  3i

2  3i 

2  3i



  2  i . Tính mô đun của số phức w  1  z  z

3 13 B. 13 8 Câu 37: Số nào trong cách số sau là số thực ?

17 | P a g e

D. 2

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

   C. 1  i 3 

A. 2  i 5  2  i 5





 

3  2i 

3  2i



2 i 2 i

Câu 38: Với mọi số ảo z, số z 2  z là 2

A. Số 0 B. Số thực âm C. Số thực dương D. Số ảo khác 0 2 Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn (2  3i).z  (4  i).z  (1  3i)  0 . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z . Khi đó 2a  3b  A. 11 B. 1 C. 19 D. 4 Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z  i  3  2z . Mô đun của số phức 2i  1  iz bằng: A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 Câu 41: Cho z  m  3i, z '  1   m  1 i. Giá trị nào của m đây để z.z ' là số thực ? A. m  1 hay m  6 B. m  2 hay m  3 C. m  2 hay m  3 D. Đáp án khác Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn 3iz   2  3i  z  2  4i . Mô đun của số phức 2iz bằng: B. 2 2

A. 1

Câu 43: Mô đun của số phức

x  y  2i xy

bằng:

x  8y  xy A. B. Kết quả khác. C. 1 n * Câu 44: Cho số phức z  3  i . Số n  N để z là số thực là A. n  4k  2, k  N* B. n  6k, k  N* . C. n  5k  1, k  N* Câu 45: Số nào trong các số sau là số có phần ảo âm: 2 2  3i A. 2  3i B.  2  2i  2

 C. 

D. 2

x  y  i 2xy 2

 2  3i   

2x 2  2y 2  3xy

D. n  3k  3, k  N*



2  3i



2  3i 2  3i

7  17i có phần thực là 5i A. 2 B. 3 C. 1 Câu 47: Số phức z thỏa mãn iz  2  i  0 có phần thực bằng: A. 4 B. 1 C. 3 Câu 48: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ? A. 7  i  7  i B. 10  i   10  i 

Câu 46: Số phức z 

    C.  5  i 7    5  i 7 

D. 4 D. 2

D.  3  i    3  i 

Câu 49: Phần thực và phần ảo của số (2 – i). i. (3 + i) lần lượt là: A. 1 và 7 B. 1 và 0 C. 0 và 1 D. 1 và 3 Câu 50: Xét các câu sau: 1) Nếu z  z thì z là một số thực 2) Mô đun của một số phức z bằng khoảng cách OM, với M là điểm biểu diễn z. 3) Mô đun của một số phức z bằng số z.z Trong 3 câu trên: A. Cả ba câu đều đúng B. Chỉ có 1 câu đúng C. Cả ba câu đều sai D. Chỉ có 2 câu đúng Câu 51: Mô đun của số phức z thỏa mãn phương trình (2z  1)(1  i)  (z  1)(1  i)  2  2i là:

18 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

2 2 3

1  3i  Câu 52: Cho số phức z thỏa: z 

2 3

D. Đáp án khác

1 i

. Khi đó mô đun của số phức z  iz bằng:

A. 8 B. 8 2 C. 8 D. 16 Câu 53: Mệnh đề nào sau đây là sai A. Trong tập hợp số phức, mọi số đều có số nghịch đảo B. Căn bậc hai của mọi số thực âm là số phức C. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba D. Hiệu hai số phức liên hợp là một số thuần ảo Câu 54: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là không đúng A. Tập hợp số thực là tập con của số phức B. Nếu tổng của hai số phức là số thực thì cả hai số ấy đều là số thực C. Hai số phức đối nhau có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O D. Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua Ox 1  9i Câu 55: Ta có số phức z thỏa mãn z   5i . Phần ảo của số phức z là: 1 i A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 56: Những số vừa là số thuần ảo, vừa là số thực là: A. Chỉ có số 0 B. Chỉ có số 1 C. 0 và 1 D. Không có số nào Câu 57: Cho hai số phức z1  2  5i;z2  3  4i . Phần thực của số phức z1.z2 là: A. 26 B. 27 C. 25 D. 28 2 Câu 58: Phần ảo của số phức z  (1  2i).(2  i) . là: A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 2 Câu 59: Cho số phức z thỏa (1  2i) .z  z  4i  20 . Mô đun số z là: A. 10 B. 5 C. 4 D. 6 2 3 Câu 60: Phần thực của số phức z  (3  2i)  (2  i) . là: A. 7 B. 5 C. 8 D. 6 Câu 61: Số phức z thỏa mãn: z  2 z  z  2  6i có phần thực là:





3 2 B. 1 C. 4 5 Câu 62: Cho số phức z  i  3 . Giá trị phần thực của A. 0 B. 512 C. Giá trị khác Câu 63: Phần ảo của số phức z bằng bao nhiêu ? biết z  ( 2  i) 2 (1  2i)

D. 6

D. 512

A. 2 B. -2 C.  2. D. 2. Câu 64: Biết hai số phức có tổng bằng 3 và tích bằng 4. Tổng mô đun của chúng bằng A. 5 B. 10 C. 8 D. 4 2 Câu 65: Mô đun của số phức z  (1  2i)(2  i) là: A. 5 5 B. 16 2 C. 5 2 Câu 66: Phần ảo của số phức z  ( 2  i) 2 (1  2i) bằng: A.  2

B. 2

D. 4 5

D. 3 Câu 67: Cho số phức z  3  2  3i   4  2i  1 . Nhận xét nào sau đây về số phức liên hợp của z là đúng: A. z  10  i

B. z  10  i

C. z  3  2  3i   4  2i  1 D. z  i 10 19 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 68: Cho số phức z  5 12i . Mệnh đề nào sau đây là sai: A. Số phức liên hợp của z là z  5 12i B. w  2  3i là một căn bậc hai của z 5 12 C. Môđun của z là 13 D. z 1    i 169 169 2i Câu 69: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i  3)z   (2  i)z . Mô đun của số phức w  z  i là: i 26 6 2 5 16 A. B. C. D. 5 5 5 5 Câu 70: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai ? A. Mô đun của số phức z là một số thực B. Mô đun của số phức z là một số thực dương C. Mô đun của số phức z là một số phức D. Mô đun của số phức z là một số thực không âm 3 Câu 71: Mô đun của số phức z  5  2i  1  i  là: A. 7 B. 3 C. 5 D. 2 Câu 72: Cho số phức z  1  i 3 . Hãy xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 2 A. z có một acgumen là B. z  2 3 C. A và B đều đúng D. z có dạng lượng giác là 5 5   z  2  cos  i sin  3 3   Câu 73: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện (3  2i)z  (2  i)2  4  i . Phần ảo của số phức w  (1  z)z là: A. 0 B. 2 C. -1 Câu 74: Cho số phức z  12  5i . Mô đun của số phức z bằng

D. - 2

A. 7 B. 17 C. 119 D. 13 Câu 75: Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn: (1  2i)(z  i)  4i(i 1)  7  21i A. z  5

B. z  2 3

C. z  9

D. z  3 7

2(1  2i)  7  8i . Mô đun của số phức w  z  i  1 1 i A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 15 Câu 77: Số phức liên hợp của số phức z  (1  i) là:

Câu 76: Cho số phức z thỏa mãn (2  i)z 

A. z  128  128i B. z  i 30 Câu 78: Phần thực của số phức 1  i  bằng:

C. z  128  128i

D. z  128  128i

A. 0 B. 1 C. 215 D. 215 Câu 79: Cho hai số phức z1  1  2i;z 2  2  3i . Xác định phần ảo của số phức 3z1  2z2 A. 11 B. 12 C. 10 D. 13 2 Câu 80: Cho số phức z thỏa 1  i  (2  i)z  8  i  1  2i  z . Phần thực của số phức z là: A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 2 3 200 Câu 81: Tìm phần phần ảo của số phức sau: 1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i  A. 210  1 B. 210  1 C. 2100  1 D. 210  1 Câu 82: Cho số phức z  4  3i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là A. -4 và -3 B. -4 và 3 C. 4 và -3 D. 4 và 3 Câu 83: Cho các số phức z1  1  i, z 2  3  4i, z3  1  i . Xét các phát biểu sau 20 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

1) Mô đun của số phức z1 bằng

2) Số phức z 3 có phần ảo bằng 1 . 3) Mô đun của số phức z 2 bằng 5 . 4) Mô đun của số phức z1 bằng mô đun của số phức z 3 . 5) Trong mặt phẳng Oxy , số phức z 3 được biểu diễn bởi điểm M(1;1) 6) 3z1  z2  z3 là một số thực. Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng ? A. 2 B. 5 C. 3 D. 4 Câu 84: Cho số phức z  a  bi;(a, b  ) . Trong 4 mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 1) z 2   z   2(a 2  b 2 ) 2

2) z.z  a 2  b2 3) Phần ảo của z 3 là a 3  3a 2 b 4) Phần thực của z 3 là 3a 2 b  b3 A. (3) B. (4) C. (1) D. (2) 1 i Câu 85: Cho số phức z  . Phần thực và phần ảo của z2010 là: 1 i A. a  1, b  0 B. a  0, b  1 C. a  1, b  0 D. a  0, b  1 Câu 86: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai ? A. Mô đun của số phức z là một số thực âm. B. Mô đun của số phức z là một số phức. C. Mô đun của số phức z là một số thực. D. Mô đun của số phức z là một số thực dương. 2 Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn: (3  2i)z  (2  i)  4  i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là: A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 2 (1  3i) Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn z  . Mô đun của số phức w = z  iz 1 i A. 8 B. 8 3 C. 2 6 D. 16 (1  i)(2  i) Câu 89: Mô đun số phức z  là: 1  2i 26 6 26 A. | z | B. | z | C. | z | D. | z | 2 5 5 26 Câu 90: Cho số phức z thỏa mãn z   3  2i 1  i  . Mô đun của số phức w  iz  z là: 2

A. 2 2 .

B. 2

C. 1

Câu 91: Cho số phức z  x  yi  1 (x, y  ) . Phần ảo của số phức A.

xy

 x  1

y

Câu 92: Mô đun của số phức A. z  20

2x

z 1 là: z 1

 x  1  y  x  1  y 2 3 19 z  1  1  i   1  i   1  i   ....  1  i  2

B. z  210  1

C. z  1

2y

 x  1

 y2

bằng: D. z  210  1

Câu 93: Cho số phức z  a  bi. Để z 3 là một số thực, điều kiện của a và b là: A. b  0 và a bất kì hoặc b2  3a 2 B. b  3a 2 2 C. b  5a D. a  0 và b bất kì hoặc b2  a 2

21 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

C - ĐÁP ÁN 1C, 2B, 3A, 4D, 5D, 6B, 7D, 8C, 9C, 10D, 11C, 12D, 13C, 14B, 15D, 16D, 17A, 18C, 19D, 20A, 21B, 22C, 23A, 24A, 25C, 26B, 27A, 28C, 29B, 30B, 31D, 32A, 33A, 34C, 35A, 36B, 37A, 38A, 39A, 40D, 41D, 42B, 43C, 44A, 45D, 46A, 47B, 48C, 49A, 50A, 51B, 52B, 53A, 54B, 55A, 56A, 57A, 58A, 59C, 60B, 61C, 62C, 63C, 64D, 65A, 66A, 67A, 68A, 69D, 70B, 71A, 72B, 73C, 74D, 75C, 76C, 77C, 78A, 79B, 80C, 81C, 82D, 83D, 84A, 85C, 86A, 87C, 88C, 89D, 90A, 91D, 92B, 93A.

22 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z  x  iy thỏa mãn z3  18  26i 3 2  x  3xy  18 Giải: Ta có (x  iy)  18  26i   2  18(3x 2 y  y3 )  26(x3  3xy2 ) 3 3x y  y  26 1 Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được t   x  3, y  1 . Vậy z=3+i. 3 2 2 Ví dụ 2: Tìm tất cả các số phức z, biết z  z  z (1) 3

Giải : (1)   a  bi 2   a 2  b 2  a  bi  a 2  b 2i 2  2abi  a 2  b 2  a  bi

1 1  a   2 ; b  2 2b 2  a  0   2b 2  a  bi  2abi  0     b  0;a  0 b  2ab  0  1 1 a  ; b  2 2  1 1 1 1 Vậy z  0; z   i; z   i 2 2 2 2 3 Ví dụ 3: Tìm phần ảo của z biết: z  3z   2  i   2  i  (1) Giải: Giả sử z=a+bi (1)  a  bi  3a  3bi   8  12i  6i 2  i 3   2  i    2  11i  .  2  i 

 4a  2bi  4  2i  22i  11i 2  20i  15  a 

15 ; b  10 . 4

Vậy phần ảo của z bằng -10 2 Ví dụ 4: Tìm số phức z biết: z  3z   3  2i   2  i  (1) Giải: Giả sử z=a+bi, ta có: (1)  a  bi  3a  3bi   9  12i  4i 2   2  i    5  12i  .  2  i  11 19 11 19 . Vậy z   i ;b  12 2 2 2 (1)

 4a  2bi  10  24i  5i 12i 2  22 19i  a 

Ví dụ 5: Tìm số phức z biết z  2z   2  i  1  i  3

Giải: Giả sử z  a  bi  z  a  bi (1)  a  bi  2(a  bi)  (23  3.22 i  3.2i 2  i3 )(1  i)  a  bi  2a  2bi  (8  12i  6  i)(1  i)  (11i  2)(1  i)

B – BÀI TẬP Câu 1: Tìm số phức z biết 2z  3i  z  5z  4z 3 3 3 3 A. z  i B. z   i C. z  D. z   i 2 2 2 2 z  3i Câu 2: Tìm một số phức z thỏa điều kiện là số thuần ảo với zi A. z  2  i B. z  2  i C. Cả A và B đều đúng. D. Cả A và B đều sai. Câu 3: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa): 1) Số phức và số phức liên hợp của nó có môđun bằng nhau 23 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 2) Với z  2  3i thì môđun của z là: z  2  3i 3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi z  z 4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  z  1  2 là một đường tròn. 5) Phương trình: z3  3zi  1  0 có tối đa 3 nghiệm. Số nhận định sai là: A. 1 B. 2 C. 3 5i 3 Câu 4: Tìm một số phức z thỏa z  1  0 z A. z  1  3i B. z  2  3i C. -2 5iz Câu 5: Tìm số phức z thỏa mãn z  (1  i)(3  2i)  . Số phức z là: 2i 1 A.  2i B. 1  2i C. 1  2i 2 1 Câu 6: Trong các số phức sau, số nào thỏa điều kiện z   z  1 ? z A. z  2  i 3

1 3 B. z    i 2 2

D. 5

D. z  2  3i

C. z  2  i 3

D. z 



Câu 7: Tìm số phức z có phần ảo gấp 3 lần phần thực đồng thời z  10 z  z A. 0 và 2 B. z  1  3i C. z  2  6i Câu 8: Số phức z thỏa mãn z  2z  3  2i là: A. 1  2i . B. 1  2i . C. 2  i . Câu 9: Số phức z thỏa điều kiện z   2  i   10 và z.z  25 là: A. z  5;z  3  4i

B. z  5;z  3  4i

C. z  5;z  3  4i

1  2i 2



1 3 i 2 2

D. z  3  12i D. 2  i . D. z  5;z  3  4i

Câu 10: Tìm số phức z biết (1  2i) z  z  4i  22 A. z  3  4i B. z  3  4i 2

C. z  3  4i D. z  3  4i 3 2  4i  2(1  i)  Câu 11: Tìm số phức   2.z1.z 2 , biết z1  4  3i  (1  i)3 ; z 2  1 i A.   18  75.i. B.   18  74.i. C.   18  75.i. D.   18  74.i. 2

Câu 12: Với mọi số ảo z, số z  z là 2

A. Số 0 B. Số thực âm C. Số ảo khác Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z.z  2z  19  4i A. 1 B. 2 C. 0 2 Câu 14: Để z  z  z ta được kết quả: A. z  0 hay z  i B. z = 2 hay z  1 C. z  0, z  1  i hay z  1  i D. z  1 hay z  i

D. Số thực dương D. 3

Câu 15: Tìm số phức z biết: z  3z  (3  2i)2 (1  i) 17  14i 17 7 5 B. z  C. z   i 4 4 4 3 2 Câu 16: Tìm số phức z thỏa mãn:  2  i  z  iz  2i 1  i   33  5i

A. z 

D. z 

17 7  i 4 2

A. z  3  5i B. z  3  5i C. aa ' bb' 2 Câu 17: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  z  0 :

D. z  3  5i

A. 1 B. 4. C. 3 Câu 18: Số phức z thỏa mãn z  2z  9  2i và 2z  z  3  6i là:

D. 2

24 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 A. z  3  2i C. z  3  2i

B. z  3  2i 2  3i  D.



 

2  3i



Câu 19: Tập hợp các nghiệm phức của phương trình z 2  z  0 là: 2

2  3i C. 0 2  3i Câu 20: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  (2  i)  10 và z.z  25 : A. 1 B. 3 C. 2 Câu 21: Số phức z thỏa mãn:  3  i  z  (1  2i)z  3  4i là:

A. Tập hợp số ảo

D. i;0

D. 4.

A. z  2  3i B. z  2  5i C. z  1  5i D. z  2  3i Câu 22: Tìm số phức z biết: z  2z  2  4i 2 2 2 2 A. z    4i B. z   4i C. z   4i D. z    4i 3 3 3 3 Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  z  6, z.z  25 . Số giá trị của z thỏa mãn là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 24: Nghiệm của phương trình 2ix + 3 = 5x + 4 trên tập số phức là: 23 14 23 14 23 14 5 2 A.   i B. C.   i D.   i  i 29 29 29 29 29 29 29 29 Câu 25: Số phức z thỏa z  2z  3  i có phần ảo bằng: 1 1 A.  B. C. 1 D. 1 3 3 Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z – i) + 2z = 2i. khi đó môđun của số phức z  2z  1 w là z2 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Câu 27: Cho số phức z thỏa: 2z  z  4i  9 . Khi đó, modun của z 2 là A. 25 B. 4 C. 16 D. 9 2i Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i  3)z   (2  i)z . Môđun của số phức w  z  i là: i 2 5 26 26 6 A. B. C. D. 25 5 5 5 Câu 29: Số phức z thỏa mãn: 1  i  z   2  3i 1  2i   7  3i . là: 1 3 1 1 3 1 3 B. z   i C. z  1  i D. z    i  i. 2 2 2 2 2 2 2 3 Câu 30: Phương trình z  8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 31: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ? A. z  B. z  1 C. z  1 D. z là một số thuần ảo

A. z 

Câu 32: số phức z thỏa mãn:  3  2i  z  4 1  i    2  i  z . Môđun của z là: A. 10

Câu 33: Số phức z thỏa z  (2  3i)z  1  9i là: A. z  3  i B. z  2  i

C. z  2  i

25 | P a g e

3 4

D. z  2  i

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 34: Phần thực của số phức z thỏa mãn 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z là 2

A. -6

B. -3

C. 2

D. -1

5i 3  1  0 là: z A. 1  3i và 2 - 3i B. Đáp án khác C. 1  3i và 2 - 3i D. 1  3i và 2 - 3i Câu 36: Nghiệm của phương trình 3x  (2  3i)(1  2i)  5  4i trên tập số phức là: 5 5 5 5 A. 1  i B. 1  i C. 1  i D. 1  i 3 3 3 3 2 Câu 37: Số các số phức z thỏa hệ thức: z  z  2 và z  2 là:

Câu 35: Số phức z thõa mãn điều kiện z 

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 2 Câu 38: Gọi z là nghiệm phức có phần thực dương của phương trình: z  1  2i  z  17  19i  0 . Khi đó, giả sử z2  a  bi thì tích của a và b là: A. 168 B. 12 C. 240 D. 5 2 |z| 2(z  i) a  2iz   6  4i  0 có dạng a+bi khi đó Câu 39: Số phức z thỏa mãn bằng: z 1 i b 1 3 A. D. B. -5 C. 5 5 7 4 a Câu 40: Cho số phức z thoả mãn z  là:  i . Số phức w  z2  i(z  1) có dạng a+bi khi đó b z 1 4 4 1 4 A. B.  C. D.  3 3 3 3 2z  z  3i Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn: (1  2i)(z  i)  3z  3i  0 . Môđun của số phức w  là z2 m 106 . Giá trị m là: 26 A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Câu 42: Tìm số phức z biết z   2  3i  z  1  9i A. z = 2 + i B. z = - 2 - i C. z = - 2 + i D. z = 2 – i n Câu 43: Cho số phức z  1  i  , biết n  N và thỏa mãn log4 (n  3)  log 4 (n  9)  3. Tìm phần thực của số phức z. A. a  7 B. a  0 C. a  8 D. a  8 2 Câu 44: Cho số phức z thỏa (1  2i) .z  z  4i  20 . Môđun số z là:: A. 4 B. 5 C. 10 D. 6 Câu 45: Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 và z.z  25 . A. z = 3 + 4i; z = -5 B. z = 3 + 4i; z = 5 C. z = 3 - 4i; z = 5 D. z = -3 + 4i; z = 5 Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn phương (1  2i).z  1  2i. Phần ảo của số phức   2iz  (1  2i).z là: 3 4 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 z Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn  z  2 . Phần thực của số phức w = z2 – z là: 1  2i A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 1 Câu 48: Tìm số phức liên hợp của: z  (1  i )(3  2i)  3i

26 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 

A. z  

53 9  i 10 10



B. z 

53 9  i 10 10



C. z  

53 9  i 10 10

z

53 9  i 10 10

5(z  i)  2  i . Tính môđun của số phức w = 1 + z + z2. z 1 B. 2 C. 13 D. 4

Câu 49: Cho số phức z thỏa A. 1

Câu 50: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1  i)(z  i)  2z  2i . Môđun của số phức w 

z  2z  1 z2

là:

C. 10

D. 2 5 i  2z Câu 51: Cho phương trình 1  i  z  (2  i)z  3 . Môđun của số phức w  là ? 1 i 122 122 122 3 10 A. B. C. D. 4 2 5 2 Câu 52: Tính môđun của số phức z biết rằng:  2z  11  i   z  1 1  i   2  2i A.

B. 2 2





3 5 2 B. Đáp án khác C. D. 3 3 3 Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  (2  i)z  13  3i . Phần ảo của số phức z bằng A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 1  z  z2 Câu 54: Cho số phức z thỏa (1  i)(z  i)  2z  2i . Môđun của số phức w  là 1 z 2 A. 5 B. 10 C. D. 5 2 Câu 55: Môđun của số phức z thỏa mãn phương trình (2z  1)(1  i)  (z  1)(1  i)  2  2i là:

2 2 2 4 2 B. z  C. z  2 D. z  3 3 3 2 Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn (3  4i)z  (1  3i)  12  5i . Phần thực của số phức z bằng A. 5 B. -4 C. 4 D. -3

A. z 

C - ĐÁP ÁN 1B, 2C, 3A, 4B, 5D, 6D, 7C, 8B, 9A, 10D, 11D, 12C, 13B, 14C, 15D, 16A, 17C, 18B, 19A, 20C, 21B, 22C, 23B, 24D, 25D, 26B, 27A, 28C, 29A, 30A, 31D, 32A, 33C, 34C, 35B, 36B, 37A, 38A, 39D, 40A, 41B, 42D, 43C, 44B, 45B, 46B, 47B, 48D, 49C, 50C, 51D, 52D, 53D, 54C, 55B, 56D.

27 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn u  (z  3  i)(z  1  3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|. Giải: Giả sử z  a  ib , ta có u  (a  3  (b 1)i)(a  1  (b  3)i)  a 2  b2  4a  4b  6  2(a  b  4)i u R  a  b  4  0  a  b  4

| z |min  | z |2 min | z |2  a 2  b2  (b  4)2  b2  2b2  8b  16  2(b  2)2  8  8 Dấu = xảy ra khi b  2  a  2 Vậy | z |min  z  2  2i Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: z  i  1  z  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . Giải: 2 2 2 a  bi  i  1  a  bi  2i   a  1   b  1  a 2   b  2   a 2  2a  1  b 2  2b  1  a 2  b 2  4b  4  2a  2b  2  0  a  b  1  a  1  b 1 2  a 2  b 2   b  1  b 2  2b 2  2b  1  2 1 1 1 1 z  a  ; b  . Vậy Min z  2 2 2 2 Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z  3  4i  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

Giải: Giả sử z=a+bi, ta có: a  bi  3  4i  4   a  3   b  4   16 2

a  3  4sin  a  3  4sin   Đặt  b  4  4 cos  b  4 cos   4

 z  a 2  b2  9  16sin 2   24sin   16cos 2   16  32cos  2

3 4  41  24sin   32cos   41  40( sin   cos ) 5 5 3 4 2 Đặt cos   ,sin    z  a 2  b 2  41  40sin(  )  1 . 5 5   Dấu = xảy ra khi       k2        k2 . Do đó Min z  1 2 2 Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của z ta có thể sử dụng phương pháp hình học. Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5, z 2  1  3i  z 2  3  6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của

z1  z 2 . Giải: Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1  a  bi , N(c;d) là điểm biểu diễn của số phức

z2  c  di Ta có z1  5  5  (a  5) 2  b 2  25 . Vậy M thuộc đường tròn (C) :(x  5)2  y2  25

z 2  1  3i  z 2  3  6i  8c  6d  35 . Vậy N thuộc đường thẳng  : 8x  6y  35 . 28 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Dễ thấy đường thẳng  không cắt (C) và z1  z 2  MN . Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :(x  5)2  y2  25 và đường thẳng  : 8x  6y  35 . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng  .

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với  . PT đường thẳng d là 6x-8y=-30. Gọi H là giao điểm của d và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ x  1 8x  6y  35 9    9  H(1; ) 2 6x  8y  30  y   2 Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn (C) . Tọa độ K, L là nghiệm của hệ (x  5) 2  y 2  25  x  1; y  3 . Vậy K(-1;3), L(-9;-3)    x  9; y  3 6x  8y  30 5 5  M  K, N  H . Khi đó Min z1  z 2  2 2 3 Ví dụ 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 2 3 3 Giải: Giả sử z = x + yi, khi đó : |z – 2+3i| =  |(x-2) +(y+3)i|= 2 2 9  (x-2)2 + (y+3)2 =  Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2;-3) và 4 bán kính 3/2. Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất  M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường tròn. Ta có: OI = 4  9  13 Kẻ M1H  Ox. Theo định lý Talet ta có: 3 13  M1H OM1 2  13M H  3 13  9  6 13  9   1 3 OI 2 2 13

Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra MinMN 

6 13  9 78  9 13  26 2 13 3 13  OH 2  OH  26  3 13  Lại có: 2 13 13  M1 H =

29 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

Vậy số phức cần tìm là: z 

26  3 13 78  9 13  13 26

B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong các số phức z thỏa mãn z  z  3  4i , số phức có môđun nhỏ nhất là: A. z  3  4i

B. z  3  4i

Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn

C. z 

3  2i 2

D. z 

3  2i 2

(1  i) z  2  1 , z 0 là số phức có môđun lớn nhất. Môdun của 1 i

z 0 bằng: A. 1

C. 10

B. 4

D. 9

Câu 3: Cho số phức z thỏa z  i 1  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z là 1 1 A. B. 1 C. 2 D. 4 2 Câu 4: Tìm số phức z thoả mãn (z – 1)( z + 2i) là số thực và môđun của z nhỏ nhất ? 4 2 3 4 1 A. z = 2i B. z   i C. z   i D. z  1  i 5 5 5 5 2 Câu 5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có môđun bé nhất. A. z =2 + i B. z =3 + i C. z =2 + 2i D. z =1 +3 i Câu 6: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i , số phức z có môđun bé nhất là: 1 2 1 2 C. z    i D. z   i 5 5 5 5 3 Câu 7: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  2i  , số phức z có môđun nhỏ nhất là: 2 3 78  9 13 A. z  2  B. z  2  3i  i 26 13

A. z  1  2i

B. z  1  2i

3 78  9 13 D. z  2  3i  i 26 13 Câu 8: Số phức z có modun nhỏ nhất thỏa mãn | z  2  4i || z  2i | là số phức có môđun C. z  2 

A. 3 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 2 2 Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z  4  3i  3. Số phức z có môđun nhỏ nhất là: 8 6 5 A. z   i B. z  3  i C. z  1  4i D. z  2  3i 5 5 2 Câu 10: Số phức z thay đổi sao cho | z | 1 thì giá trị bé nhất m và giá trị lớn nhất M của | z  i | là

A. m  0, M  2

B. m  0, M  2

C. m  0, M  1

C - ĐÁP ÁN ----------------------------------------------1D, 2A, 3A, 4B, 5C, 6D, 7C, 8D, 9A, 10B

30 | P a g e

D. m  1, M  2

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau : a) iz + 2 – i = 0 b) (2 + 3i)z = z – 1 c) (2 – i) z - 4 = 0 d) (iz – 1)(z + 3i)( z - 2 + 3i) = 0 e) z2 + 4 = 0. Giải: i2 1 1 3 a) z = b) z =  1  2i   i i 1  3i 10 10 4 8 4 8 4 c) z = d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i   iz=  i 2i 5 5 5 5 e) z = 2i. Ví dụ 2: Giải phương trình: z2  (3i  8)z  11i  13  0 Giải:   (3i  8)2  4(11i  13)  4i  3 Giả sử m+ni (m; n  R) là căn bậc hai của  Ta có: (m  ni)2  5  12i  m2  2mni  n 2i2  3  4i  m2  2mni  n 2  3  4i

m 2  n 2  3(1) m 2  n 2  3    2 2mn  4  n  (2)  m 2 m2  4 2 4 2 Thay (2) vào (1) ta có: m     3  m  3m  4  0   2 m  m  1(loai) 2

m  2  n  1  m  2  n  1  Vậy  có hai căn bậc hai là 2+i và -2-i  3i  8  i  2  2i  5 z  2 Do đó nghiệm của phương trình là   z  3i  8  i  2  i  3  2 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: z  4z  7  0 Giải:  '  22  7  3  3i 2  các căn bậc hai của  ' là i 3 Vậy nghiệm của phương trình là: z  2  3i, z  2  3i Ví dụ 4: giải phương trình: z3  4z2  (4  i)z  3  3i  0 (1) Giải: Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên (1)  (z  i)(z2  (4  i)z  3  3i)  0 z  i  0  2  z  (4  i)z  3  3i  0 (2) Giải (2)

  (4  i)2 12  12i  16 1  8i 12  12i  3  4i  4  2.2.i  i 2  (2  i) 2 Vậy  có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

31 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

 4  i  2  i  1  i z  2 Do đó nghiệm của (2) là   z  4  i  2  i  2  3  2 Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i. Ví dụ 5: a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm. Giải: a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0  b + c + (2 + b)i = 0  b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2 b) Với 1 + i là nghiệm ta được : (1 + i)3 + a(1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0  (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0  b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2). Với 2 là nghiệm ta được : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3). Từ (2) và (3) cho c = −4, (1)  b = 6 (2)  a = −4. Vậy a = c = −4, b = 6. Ví dụ 6: Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2 1  i  z 2  4  2  i  z  5  3i  0 . Tính z1  z 2 . 2

Giải: Ta có  '  4  2  i   2 1  i  5  3i   16 . Vậy phương trình có hai nghiệm phức 2

3 5 1 1 2 2  i, z 2    i . Do đó z1  z 2  9 . 2 2 2 2 Ví dụ 7: Gọi z1 , z 2 , z 3 , z 4 là bốn nghiệm của phương trình z4  z3  2z2  6z  4  0 trên tập 1 1 1 1 số phức tính tổng: S  2  2  2  2 . z1 z 2 z3 z 4 z1 

Giải: PT: z4  z3  2z2  6z  4  0   z  1 z  2   z 2  2z  2   0 (1)

 z1  1  z  2 Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là  2  z3  1  i  z4  1  i 1 1 1 1 1 1 1 5 Thay và biểu thức ta có: S  2  2  2  2  1     2 2 z1 z 2 z3 z 4 4 1  i  1  i  4

z2  z  1  0 (1) 2 Giải: Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z  0 1 1 1 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( z 2  2 )  (z  )   0 (2) z z 2 1 1 1 Đặt t= z  Khi đó t 2  z 2  2  2  z 2  2  t 2  2 z z z 5 Phương trình (2) có dạng : t2-t+  0 (3) 2 5   1  4.  9  9i 2 2 Ví dụ 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức C: z 4  z3 

32 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 1  3i 1  3i , t= 2 2 1  3i 1 1  3i Với t= ta có z    2z 2  (1  3i)z  2  0 (4) 2 z 2 2 Có   (1  3i)  16  8  6i  9  6i  i 2  (3  i) 2 (1  3i)  (3  i) (1  3i)  (3  i) i  1 Vậy PT(4) có 2 nghiệm : z=  1  i , z=  4 4 2 i 1 i  1 Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 2 Ví dụ 9: Giải các phương trình: 1) z3 – 27 = 0 2) z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y  Z Giải: z  1 z  1 3 2  1) z – 27 = 0  (z – 1) (z + 3z + 9) = 0   2  z  3  3 3i  z  3z  9  0  2,3 2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Vậy PT (3) có 2 nghiệm t=

2) Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i  x 3  3xy2  18 Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:  2 3 3x y  y  26 Từ hệ trên, rõ ràng x  0 và y  0. Đặt y = tx , hệ  18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 )  18(3t-t3 ) = 26(1-3t2)  18t3 – 78t2 – 54t+26 = 0  ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = 0. Vì x, y  Z  t  Q  t = 1/3  x = 3 và y = 1  z = 3 + i. Ví dụ 10: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) Giải: Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1. (1)  (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = 0 z  1 z  1 z  3  2   (z – 1) (z – 3) (z + 4) = 0  z  3  z  2i  z 2  4  0   z  2i Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Ví dụ 11: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0 Giải: Đặt t = z2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:  1  23i z  2  2 z  z  6  0   t  6 1  23i  2  z  t2 + 4t – 12 = 0   t  2 2  z  z  2  0  z  1   z  2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Ví dụ 12: Giải phương trình: (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = 0 Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang: 33 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

t  z t2 +2zt – 3z2 = 0  (t – z)(t+3z) = 0    t  3z  z  1  5i + Với t = z  z2 + 3z +6 –z = 0  z2 + 2z + 6 = 0    z  1  5i  z  3  3 + Với t = -3z  z2 + 3z +6 +3z = 0  z2 + 6z + 6 = 0    z  3  3 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tổng tất cả các nghiệm phức của phương trình z 2  z  0 và z  0, z  1, z 

1 3  i 2 2

A. - 1 B. 1 C. 3 D. 0 2 Câu 2: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phương trình z  2z  8  0; trong đó z1 có phần ảo dương. số phức w   2z1  z 2  z1 là:

A. z  12  6i B. z  10  2 7i C. z  9  6i D. z  12  6i 2 Câu 3: Tập hợp các nghiệm của phương trình z  2 z  35  0 trên tập số phức là A. 2  i, 2  i

C. 5,5

B. 2  3i, 2  3i

D. 5i,5i

Câu 4: Gọi z1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z  2z  6  0. Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị 2

biểu thức M  z1  3z1  z 2 là. A. M  6  2 21 .

B. M  6  21 .

C. M  2 6  21 .

D. M  2 21  6

Câu 5: Trong tập số phức , phương trình z  3z  2  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3 2 Câu 6: Tập nghiệm trong C của phương trình z  z  z  1  0 là: A. 1;1;i B. i;i; 1 C. 1 D. i;i;1 4

Câu 7: Tính z1  2 z 2 2

biết z1 , z2 là nghiệm của phương trình z2  2z  17  0

A. 68 B. 51 C. 17 D. 34 2 Câu 8: Cho phương trình z  mz  2m 1  0 trong đó m là tham số phức; giá trị m để phương trình có hai nghiệm z1;z 2 thỏa mãn z12  z 22  10 . A. m  2  3i;m  2  3i. B. m  2  2 2i; m  2  2 2i C. m  1  3i;m  2  3i. D. m  1  3i;m  1  3i. 2 Câu 9: Cho phương trình z  mz  m  2  0 1 , trên trường phức và m là tham số thực. Giá trị m để (1) có hai nghiệm ảo z1;z 2 trong đó z1 có phần ảo âm và phần thực của số phức   z1  i z2 bằng B. m  2 C. m  1 D. m  5  z1  1  Câu 10: Cho hệ phương trình  z 2  1 . Tính z1  z 2   z1  z 2  3 A. 2 B.  3 C. 1 D. 0 3 Câu 11: Trong tập số phức , phương trình z  1  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 A. Không có m

34 | P a g e

1 . 2

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

Câu 12: Phương trình z2  2z  6  0 có các nghiệm z1;z 2 . Khi đó giá trị của biểu thức F 

z12 2



z 22 2

là: A. 8

2 3

D. 

C. 5

2 9

 z 1  Câu 13: Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình    1. Giá trị của  2z  i  P  (z12  1)(z 22  1)(z 32  1)(z 42  1) là: 17 9 17 8 A. B. C. D. 9 17 8 17 2 Câu 14: Với mọi số phức z , ta có | z  1| bằng 4

A. z  z  1 B. z.z  z  z  1 C. z.z  1 D. | z |2 2 | z | 1 Câu 15: Trên tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z2 + mz + i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng - 4i là: A. m = 1 - i hoặc m = - 1 + i B. m = 1 + i C. m = 1 - i D. m = - 1 + i Câu 16: Các giá trị thực của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực z 3 + (3 + i)z2 - 3z - (m + i) = 0 là: A. m = 1 hoặc m = 5 B. m = 1 C. m = 5 D. m = 4 2 | z  z | 2  Câu 17: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hệ:  là:  | z | 2 A. z  1; z  1  3i Câu 18: Nếu z  1 thì A. Bằng 0

B. z  1; z  1  2i

C. z  1; z  1  2i

D. z  1; z  1  3i

z2 1 z B. Là số ảo

C. Lấy mọi giá trị phức D. Lấy mọi giá trị thực z Câu 19: Tập hợp các nghiệm của phương trình z  là zi A. {0;1  i} B. {0} C. {1  i} D. {0;1} Câu 20: Tập hợp các nghiệm phức của phương trình z 2  z  0 là 2

A. i;0

B. Tập hợp mọi số ảo

C. i; 0;i

D. 0

Câu 21: Giá trị của các số thực b, c để phương trình z + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm 1 nghiệm là:  b  2 b  2  b  1  b  4 A.  B.  C.  D.  c  2  c  2 c  3 c  2 2 Câu 22: Trên tập hợp số phức, phương trình z  7z  15  0 có hai nghiệm z1 ; z 2 . Giá trị biểu thức 2

z1  z 2  z1z 2 là: A. 22 B. 15 C. 7 D. 8 4 Câu 23: Trên tập hợp số phức, phương trình x  16  0 nhận giá trị nào dưới đây là nghiệm? 1 1 1 1 1  i i A. B.  i C.  2  D.  2  2i 2 2 2 2 2 Câu 24: Giải phương trình z  z  2  4i có nghiệm là A. −3 + 4i B. −4 + 4i C. −2 + 4i D. −5 + 4i

35 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

 z 1  z i 1  Câu 25: Số phức z thoả mãn hệ  là:  z  3i  1  z  i A. z  1  i B. z  1  i C. z  1  i 2 Câu 26: Phương trình bậc hai z  (1  3i)z  2(1  i)  0 có nghiệm là: A. z1  2i, z2  1  i B. z1  2i, z2  1  i C. z1  2i, z2  1  i

D. z  1  i D. z1  2i, z2  1  i

Câu 27: Số phức z thỏa mãn z   2  i   10 và z.z  25 là: A. z  3  4i hoặc z  5 B. z  3  4i hoặc z  5 C. z  3  4i hoặc z  5 D. z  3  4i hoặc z  5 2 Câu 28: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện: 2 z  1  z  1  1  i  z ?





A. 2 B. 3 C. 1 3 Câu 29: Trong trường số phức phương trình z  1  0 có mấy nghiệm? A. 3 B. 2 C. 1 2 2 Câu 30: Tập hợp các nghiệm của pt z  z  0

D. 4

A. Tập hợp mọi số ảo B. i;0 Câu 31: Nghiệm của pt z3  8  0 là A. 2; 1  3i; 1  3i

D. i;0

C. 0

D. 4

B. 2; 1  3i; 1  3i

C. 2;1  3i;1  3i D. 2;1  3i;1  3i 6 3 Câu 32: Phương trình z  9z  8  0 trên tập số phức C có bao nhiêu nghiệm. A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 3 2 Câu 33: Cho phương trình z  (2i 1)z  (3  2i)z  3  0. Trong số các nhận xét 1. Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc tập hợp số thực 2. Phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc tập hợp số phức 3. Phương trình có hai nghiệm có phần thực bằng 0 4. Phương trình có hai nghiệm là số thuần ảo 5. Phương trình có ba nghiệm, trong đó có hai nghiệm là hai số phức liên hợp Số nhận xét sai là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4 2 Câu 34: Cho phương trình sau  z  i   4z  0 Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau: 1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực R 2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức 3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập hợp số thực 4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập hợp số phức 5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức 6. Phương trình có hai nghiệm là số thực A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6 3 Câu 35: Phương trình z  9z  8  0 trên tập số phức có bao nhiêu nghiệm. A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 2 Câu 36: Giải phương trình sau: z  1  i  z  18  13i  0 A. z  4  i , z  5  2i B. z  4  i , z  5  2i C. z  4  i , z  5  2i D. z  4  i , z  5  2i 2 Câu 37: Phương trình 8z  4z  1  0 có nghiệm là

36 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

1 1 5 1 1 1 1 3 B. z1   i và z 2   i  i và z 2   i 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1 C. z1   i và z 2   i D. z1   i và z 2   i 4 4 4 4 4 4 4 4 2 Câu 38: Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2z  3z  3  0 . Khi đó, giá trị của z12  z 22 là: 9 9 A. B. C. 9 D. 4 4 4 2 2 Câu 39: Gọi z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình z2  2z  4  0 . A  z1  z 2 bằng

A. z1 

A. 2 B. 7 C. 8 D. 4 2 Câu 40: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z  4z  3  0 . Giá trị của biểu thức

z1  z 2 bằng A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 6 Câu 41: Hai số phức 4  i và 2  3i là nghiệm của phương trình: A. x 2   6  2i  x  11  10i  0 B. x 2  11  10i  x  6  2i  0 C. x 2   6  2i  x  11  10i  0

D. x 2  11  10i  x  6  2i  0

Câu 42: Giải phương trình 8z2  4z  1  0 trên tập số phức. 1 1 1 1 1 1 1 1 A. z    i hay z   i B. z   i hay z    i 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 C. z   i hay z   i D. z   i hay z   i 4 4 4 4 4 4 4 4 2 Câu 43: Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình z  2iz  4  0 . Khi đó môđun của số phức

w  (z1  2)(z 2  2) là A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2 Câu 44: Phương trình z  az  b  0 có một nghiệm phức là z  1  2i . Tổng 2 số a và b bằng A. 0 B. 4 C. 3 D. 3  zi  Câu 45: Nghiệm phương trình    1 là:  z i  A. z  0;z  1 B. z  0;z  1 C. z  0;z  1 D. Đáp án khác. 3 2 Câu 46: Bộ số thực  a; b; c  để phương trình z  az  bz  c  0 nhận z  1  i và z  2 là nghiệm. 4

A.  4;6; 4 

B.  4; 6; 4 

C.  4; 6; 4 

D.  4; 6; 4 

4z  3  7i  z  2i z i A. z  1  2i và z  3  i. B. z  1  2i và z  3  i. C. z  1  2i và z  3  i. D. Đáp án khác Câu 48: Môđun của số phức z – 2i bằng bao nhiêu? Biết z thỏa mãn phương trình (z  2i)(z  2i)  4iz  0

Câu 47: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:

A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 4 3 2 Câu 49: Tìm tất cả các nghiệm của z  4z  14z  36z  45  0 biết z  2  i là một nghiệm A. z  2  i ;z  3i ;z   3i B. z  2  i ;z  2  3i ;z  3i ;z   3i C. z  2  i ;z  2  i ;z  3i ;z   3i D. z  2  i ;z  2  i ;z  3i . Câu 50: Phương trình (2  i)z2  az  b  0; (a, b  ) có 2 nghiệm là 3  i và 1  2i . Khi đó a  ? A. 9  2i B. 15  5i C. 9  2i D. 15  5i 2 Câu 51: Số nghiệm phức z của phương trình z  z  0 là: 37 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

A. 4 B. 3 C. 1 Câu 52: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 w  z 21  z 2 2  3z1z 2 là số phức có môđun là:

D. 2 (1 – 3i)z - 2(1 + i) = 0. Khi đó

D. 13 5 2 Câu 53: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z  3z  7  0 Khi đó A  z 41  z 2 4 có giá A. 2 13

trị là: A. 23 B. 23 C. 13 D. 13 4 2 Câu 54: Phương trình: x  2x  24x  72  0 trên tập số phức có các nghiệm là: A. 2  i 2 hoặc 2  2i 2 B. 2  i 2 hoặc 1  2i 2 C. 2  i 2 D. 1  2i 2 2 Câu 55: Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z : 4z 2  8 z  3  0 là: A. 4

B. 3

C. 2

Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn z2  6z  13  0 . Tính z 

D. 1 6 zi

A. 4 B. 5 C. 6 2 Câu 57: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn phương trình z 2  z  z :

D. Đáp án khác

A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 . Câu 58: Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4 - i và tích của chúng bằng 5(1 - i). Đáp số của bài toán là: z  3  i  z  3  2i z  3  i z  1  i A.  B.  C.  D.   z  1  2i  z  5  2i  z  1  2i  z  2  3i 2 2 Câu 59: Trong C, phương trình  z  i  z  2iz  1  0 có nghiệm là:

2 1  i  2 , B. 1 - i ; - 1 + i ; 2i  1  i  , i 2 2 3 3 C. D. 1 - 2i ; - 15i ; 3i 1  2i  ;  2  i  ; 4i 2 2 Câu 60: Cho phương trình z3 + az + bz + c = 0. Nếu z = 1 + i và z = 2 là hai nghiệm của phương trình thì a, b, c bằng: a  4 a  2 a  4 a  0     A. b  6 B. b  1 C. b  5 D. b  1 c  4 c  4 c  1 c  2     A.

C - ĐÁP ÁN --

1D, 2B, 3C, 4A, 5A, 6B, 7B, 8B, 9A, 10C, 11C, 12A, 13A, 14B, 15A, 16B, 17A, 18A, 19A, 20B,

21A, 22D, 23D, 24A, 25B, 26B, 27B, 28A, 29A, 30A, 31A, 32D, 33C, 34B, 35D, 36A, 37C, 38B, 39C, 40D, 41A, 42C, 43A, 44D, 45A, 46A, 47D, 48B, 49C, 50A, 51D, 52C, 53B, 54A, 55C, 56D, 57C, 58A, 59A, 60A.

38 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải: a) Vecto OM biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto OM ' biểu diễn số phức z’ = 2 + i b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OP . z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OQ .

Ví dụ 2: Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i A biểu diễn số −i.    3 1  ;  nên E biểu diễn số Dễ thấy điểm E có tọa độ  cos ;sin    6 6   2 2  

3 1  i ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức 2 2 3 1 3 1   i ; F biểu diễn số phức  i ; B biểu diễn số phức 2 2 2 2 3 1   i. 2 2 Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: z i 1 a) z – i = 1 b) c) z  z  3  4i zi Giải: Gọi z = a + bi a)  z - i = a + bi - i = 1  a + (b – 1)i = 1  a2 + (b – 1)2 = 1, Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1. z  i a  (b  1)i   1  a  (b  1)i  a  (b  1)i  a 2  (b  1) 2  a 2  (b  1) 2  b  0 b) z  i a  (b  1)i Vậy z là số thực. c) Ta có : z  z  3  4i  a + bi = a – bi – 3 + 4i a + bi = (a – 3) + (4 – b)i phức

 a2 + b2 = (a – 3)2 + (4 – b)2  6a + 8b – 25 = 0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. Ví dụ 4: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) z2 là số thực âm b) z2 là số ảo

39 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

c) z2 = ( z )2

1 là số ảo. z i

Giải: a) z2 là số thực âm  z là số ảo. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên trục ảo (Oy), trừ điểm O b) Gọi z = a + bi  z2 = a2 – b2 + 2abi là số ảo  a2 – b2 = 0  b = a. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên hai đường phân giác của các gốc tọa độ. c) z2 = ( z )2  (z + z )(z − z ) = 0 z + z = 0 (truïc thöïc)   . Vậy tập hợp các điểm là các trục tọa độ. z z = 0 (truïc aûo)  1 d) là số ảo  z – i là số ảo  x + (y – 1)i là số ảo  x = 0 và y ≠ 1. Vậy tập hợp các điểm biểu z i diễn nằm trên trục Oy (trừ điểm có tung độ bằng 1). z  2  3i Ví dụ 5: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  là một số thuần ảo. z i a  2  bi  3i (a  2  (b  3)i)(a  (b  1)i) Giải: Giả sử z  a  ib (a, b  R) , khi đó u   a  (b  1)i a 2  (b  1) 2 Tử số bằng a 2  b2  2a  2b  3  2(2a  b  1)i a 2  b 2  2a  2b  3  0 (a  1) 2  (b  1) 2  5 u là số thuần ảo khi và chỉ khi:   2a  b  1  0 (a; b)  (0;1), (2; 3) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; 1) , bán kính bằng 5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3). z  2  3i  1(*) Ví dụ 6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z4i Giải: Giả sử z  a  bi  (a  2)2  (b  3)2  (a  4)2  (b 1)2  3a  b 1  0 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0. Ví dụ 7: Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức   (1  i 3)z  2 biết số phức z

thỏa mãn: z  1  2 (1) . Giải: Giả sử   a  bi Ta có a  bi  (1  i 3)z  2  z 

a  2  bi a  3  (b  3i)  z 1  1 i 3 1 i 3

a  3  (b  3)i a  3  (b  3)i (a  3)2  (b  3) 2 (1)  2 2 2 2 1 i 3 1 i 3

 (a  3) 2  (b  3) 2  16 Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn (x  3) 2  (y  3) 2  16 (kể cả những điểm nằm trên biên). Ví dụ 8: Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm z3  C sao cho các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 tạo thành tam giác đều. Giải: Giả sử z3 = x+yi Để các điểm biểu diễn của z1, z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì

40 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

 44   z1  z 2  z1  z3      z1  z 2  z 2  z3  44    2y2 = 6  y =  3  x =

 x  1   y  1 2

 x  1   y  1 2

2 2  x  1   y  1  8   x  y  0

Vậy có hai số phức thoả mãn là: z3 = 3 (1+i) và z3 = - 3 (1-i) Ví dụ 9: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một trong các điều kiện 1 sau: z   2 z 1 Giải: Giả sử z = x + yi  z   2  z 2  1  2 z z

 x 2  y 2  1  2y  (x – y +1) +4x y = 4(x + y )  (x + y -1) = 4y   2 2  x  y  1  2y  Tập hợp các điểm M(x;y) biểu thị số phức z là hợp của hai đường tròn: x2 + y2-2y – 1 = 0 và x2 + y2 +2y – 1 = 0 2

2 2

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho (z  1)(z  i) là số thực. B. Đường tròn x 2  y2  x  y  0

A. Đường thẳng x  y  1  0

C. Đường tròn x 2  y2  x  y  0 D. Đường thẳng x  y  1  0 Câu 2: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  (1  i)(2  i), z2  1  3i, z3  1  3i . Tam giác ABC là: A. Một tam giác đều. B. Một tam giác vuông (không cân). C. Một tam giác vuông cân. D. Một tam giác cân (không đều). Câu 3: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 – i, 5 + 4i , 3 + i. Tìm số phức z biểu diễn bởi điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành A. 6i – 7 B. 7 + 6i C. 6 – 7i D. 6 + 7i 1 Câu 4: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho z  i là số thuần ảo. A. Trục hoành, bỏ điểm (-1; 0) B. Đường thẳng x = -1, bỏ điểm (-1; 0) C. Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1). D. Trục tung, bỏ điểm (0; 1) Câu 5: Trong mặt phẳng phức Oxy , cho ba điểm A, B,C biểu diễn cho 3 số phức z1  3  i, z2  2  3i, z3  1  2i . Xác định độ lớn của số phức biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 Câu 6: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 + i , 2 + 3i , 1 – 2i. Số phức z biểu diễn bởi điểm Q sao cho MN  3MQ  0 là: 2 1 2 1 2 1 2 1 A.  i B.  i C.   i D.   i 3 3 3 3 3 3 3 3 Câu 7: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  1  i  1 là A. Đường tròn tâm I  1,1 , bán kính R  1

B. Đường tròn tâm I  1, 1 , bán kính R  1

C. Hình tròn tâm I  1,1 , bán kính R  1 D. Hình tròn tâm I 1, 1 , bán kính R  1 Câu 8: Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuông tại C; Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số phức: z1  -2  4i, z 2  2 -2i . Khi đó, C biểu diễn số phức: 41 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 A. z  2  4i B. z   2  7i C. z   2  2i D. z  2  4i Câu 9: Cho các số phức: z1  1  3i;z2  2 +2i;z3  1  i được biểu diễn lần lượt bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng. Gọi M là điểm thỏa mãn: AM  AB  AC . Khi đó điểm M biểu diễn số phức: A. z  6i B. z   6i C. z  2 D. z   2 Câu 10: Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A(4; 0), B(0; - 3). Điểm C thỏa mãn: OC  OA  OB . Khi đó điểm C biểu diễn số phức: A. z   3  4i B. z  4  3i C. z   3  4i D. z  4  3i Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1  1  2i , B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O. B biểu diễn số phức nào sau đây: A. z  1  2i B. z  1  2i C. z  2  i D. z  3  2i Câu 12: Cho 3 số phức i, 2 – 3i, 3  4 i có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là A, B, C; Tìm số phức biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC. 1 2 1 2 1 2 1 2 A.  i B.   i C.  i D.   i 3 3 3 3 3 3 3 3 Câu 13: Cho số phức z  6  7i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là: A. (6;7) B. (6; 7) C. (6; 7) D. (6;7) Câu 14: Cho A, B, M lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức - 4, 4i, x + 3i. Với giá trị thực nào của thì A, B, M thẳng hàng? A. x = - 2 B. x = 1 C. x = - 1 D. x = 2 Câu 15: Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng Oxy biết (1  i)z là số thực là: A. Trục Ox B. Trục Oy C. Đường thẳng y  x D. Đường thẳng y  x Câu 16: Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  4 là A. Đường tròn B. Đường thẳng C. Phần bên trong đường tròn có tâm là O và có bán kính R = 4 D. Đường hypebol Câu 17: Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là đường thẳng  như hình vẽ. Giá trị z nhỏ nhất là: A. 2 C.

B. 1 D.

1 2

Câu 18: Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 2 – 3i, z3 = 5 + 4i. Chu vi của tam giác ABC là: A. 26  2 2  58 B. 26  2  58 C. 22  2 2  56 D. 22  2  58 4i 2  6i Câu 19: Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diển các số phức z1  , z 2  1  i 1  2i  , z3  1  i 3i . Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. A, B, C thẳng hàng B. Tam giác ABC là tam giác tù C. Tam giác ABC là tam giác đều D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  5 có dạng là: A.

x 2 y2  1 25 9 9 4

B. x 2  y2  9

42 | P a g e

x 2 y2  1 9 25 4 9

D. x 2  y 2  16

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 21: Cho số phức   iz  1 với | z  1  2i | 2 . Khi đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức  trên mặt phẳng Oxy là: 2 2 2 2 A. (x  1)  (y  2)  2 B. (x  1)  (y  3)  2 2 2 2 2 C. (x  3)  (y  1)  2 D. (x  3)  (y  1)  2 Câu 22: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  2  z  2  10 là: A. Parabol B. Hình tròn C. Đường thẳng D. Elip Câu 23: Cho biết có hai số phức z thỏa mãn | z | 5 và có phần thực bằng hai lần phần ảo. Hai điểm biểu diễn của hai số phức đó: A. Đối xứng nhau qua trục thực. B. Cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông C. Đối xứng nhau qua trục ảo. D. Đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Câu 24: Tập hợp các số phức w  1  i  z  1 với z là số phức thỏa mãn | z  1| 1 là hình tròn có diện tích là A.  B. 3 C. 4 D. 2 Câu 25: Cho số phức z = a + a2i với a  R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên: A. Đường thẳng y = - x + 1 B. Parabol y = - x2 C. Đường thẳng y = 2x D. Parabol y = x2 Câu 26: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z  2  i  z A. 4x  2y  3  0 B. 4x  2y  3  0 C. 4x  2y  3  0 Câu 27: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1  i  2 là

D. 4x  2y  3  0

A. Đường tròn tâm (1; 2), bán kính R = 1. B. Đường tròn tâm ( - 1; 1), bán kính R = 2. C. Đường tròn tâm (1; - 1), bán kính R = 2. D. Đường thẳng x  y  2 Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp tất các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: z   3  4i   2 có dạng A.  x  3   y  4   4

B. 2x  3y  4  0

C.  x  4    y  3  4

D. 2x  3y  4  0

Câu 29: Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn | z  i || 1  i  z | là đường tròn có phương trình A. x 2  y2  2x  1  0

B. x 2  y2  2y  1  0

C. x 2  y2  2x 1  0

D. x 2  y2  2y  1  0

Câu 30: Số phức z thỏa mãn z   2  i  z  3  5i có điểm biểu diễn M, thì A. M nằm trong góc phần tư thứ nhất C. M nằm trong góc phần tư thứ ba.

B. M nằm trong góc phần tư thứ hai. D. M nằm trong góc phần tư thứ tư. 4i Câu 31: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức , (1 – i)(2i i 1 2  6i + 1), . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 3i A. Tam giác ABC có diện tích bằng 2 B. Tam giác ABC đều C. Tam giác ABC vuông cân D. Tam giác ABC có chu vi bằng 4 Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  2i  5 là: A. Đường tròn tâm I( - 3;2) bán kính bằng 5 C. Đường tròn tâm I( - 3; - 2) bán kính bằng 5

B. Đường tròn tâm I(3; - 2) bán kính bằng 5 D. Đường tròn tâm I(3;2) bán kính bằng 5

43 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 33: Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z2  2z  5  0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: A.  0,1

B.  0, 1

C. 1,1

D. 1, 0 

Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là: A. Đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R = 2 B. Đường tròn tâm I(3; - 4) bán kính R = 2 C. Hình tròn tâm I(3; - 4) bán kính R = 2 D. Hình tròn tâm I(3; 4) bán kính R = 2 Câu 35: Cho A, B, M lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 4;4i; x  3i. Với giá trị thực nào của x thì A, B, M thẳng hàng: A. x  1 B. x  1 C. x  2 D. x  2 Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z 2 là số ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là: A. Đường thẳng B. Parabôn C. Elip D. Đường tròn Câu 37: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Giả sử điểm M biểu diễn số phức z , điểm N biểu diễn số phức z . Khi đó: A. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục Oy B. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục Ox. C. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. D. Tất cả đều sai. Câu 38: Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C biểu diễn các số phức z  1  4i , z  2  i , z  4  i . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biểu diễn số phức nào? A. z  2  3i B. z  3  3i C. z  2  3i D. z  4  i Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  2  3i . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là: A. Đường tròn tâm I(1; 2) bán kính R = 1 B. Đường thẳng có phương trình x - 5y - 6 = 0 C. Đường thẳng có phương trình 2x - 6y + 12 = 0 D. Đường thẳng có phương trình x - 3y - 6 = 0 z  2  3i  1 là: z 4i A. Đường tròn tâm I( - 2;3) bán kính r = 1 B. Đường thẳng: 3x - y - 1 = 0 C. Đường thẳng: 3x + y - 1 = 0 D. Đường tròn tâm I( - 4;1) bán kính R = 1 Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  2i  z  1  3i là:

Câu 40: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn:

A. Một Hyperbol B. Một đường tròn. C. Một parabol D. Một đường thẳng Câu 42: Trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn z  i  z  3i  2 là

A. Đường tròn  C  tâm I  0;1 , bán kinh R  3 . B. Đường thẳng D: x  2y  3  0 C. Đường tròn  C  tâm I  2; 3 , bán kinh R  3 . D. Đường thẳng D: y  0 . Câu 43: Cho các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự được biểu diễn bởi các số: 1  i, 2  4i, 6  5i . Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành: A. 3

B. 7  8i

C. 3  8i

Câu 44: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn A. bán kính I  0; 4  bán kính r  2    3 3

z  2 là: zi

B. bán kính

44 | P a g e

D. 5  2i

I 1;0 

bán kính r  1 3

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 C. Đường tròn I  0;1 bán kính r  2 D. bán kính I  0; 4  bán kính r  1    3 3 3 Câu 45: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các điều kiện sau đây, tập hợp nào là hình tròn: A. 3  i  z  z  2 B. z  1  i  z C. z  2i  3  i D. z  1  i  2 .. Câu 46: Điểm M(1;3) là điểm biểu diễn của số phức: A. z  1  3i B. z  1  3i C. z  2i D. z  2 Câu 47: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn lần lượt các số phức 4i 2  6i z1  , z 2  1  i 1  2i  , z 3  i 1 3i Nhận xét nào sau đây là đúng nhất A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng B. Tam giác ABC là tam giác vuông C. Tam giác ABC là tam giác cân D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân Câu 48: Cho số phức z = 1 + bi , khi b thay đổi tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ là A. Đường thẳng y - b = 0 B. Đường thẳng x - 1 = 0 C. Đường thẳng bx + y - 1 = 0 D. Đường thẳng x - y - b = 0 Câu 49: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức 1  3i, 2  2i, 4  2i,1  7i, 3  4i,1  3i, 3  2i Nhận xét nào sau đây là sai A. Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp B. Hai tam giác ABC và MNP là hai tam giác đồng dạng C. Hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm D. A và N là hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox Câu 50: Cho A, B, C lần lượt là ba điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa z1  z 2  z 3 Mệnh đề nào sau đây là đúng A. O là trọng tâm tam giác ABC B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C. Tam giác ABC là tam giác đều D. Trọng tâm tam giác ABC là điểm biểu diễn số phức z1 + z2 + z3 Câu 51: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi trong mặt phẳng phức. Khi đó khoảng cách OM bằng: A. Môđun của a + bi

a 2  b2

C. a  b

D. a 2  b 2

Câu 52: Cho số phức z  6  7i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là: A. (6; 7) B. (6; –7) C. (–6; 7) D. (–6; –7) Câu 53: Cho số phức z = 5 – 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là: A. ( - 5; - 4) B. (5; - 4) C. (5;4) D. ( - 5;4) Câu 54: Số phức z = 2 – 3i có điểm biểu diễn là: A. ( - 2;3) B. (2;3) C. ( - 2; - 3) D. (2; - 3) Câu 55: Tọa độ điểm M biểu diễn cho số phức z  3  i A. M( 3;i) B. M( 3;0) C. M(0; 3) D. M( 3;1) 1 Câu 56: Điểm biểu diễn của số phức z  là: 2  3i 2 3 A. (3; –2) B.  ;  C. (2; –3) D. (4; –1)  13 13  Câu 57: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = 2 + 3i. Tìm mệnh đề đúng của các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O 45 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x Câu 58: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện zi   2  i   2 là: A.  x  1   y  2   4 2

B. x  2y 1  0

C. 3x  4y  2  0 D.  x  1   y  2   9 Câu 59: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  z  i  4 là một: 2

A. Đường tròn B. Đường Hypebol C. Đường elip D. Hình tròn Câu 60: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = - 2 + 5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung Câu 61: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z2 là số ảo là: A. Trục ảo B. 2 đường phân giác y = x và y = - x của các trục tọa độ C. Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất D. Trục hoành Câu 62: Phương trình z2  2z  b  0 có 2 nghiệm phức được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi hai điểm A và B . Tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) đều thì số thực b bằng: A. B, C, D đều sai B. 3 C. 2 D. 4 Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 và w  2z  1-i . Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I , bán kính R là A. I(3; 4), R  2 B. I(4; 5), R  4 C. I(5; 7), R  4 D. I(7; 9), R  4 Câu 64: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện phần thực bằng 3 lần phần ảo của nó là một A. Parabol B. Đường tròn C. Đường thẳng D. Elip Câu 65: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  (4  3i)  2 là đường tròn tâm I , bán kính R

A. I(4;3), R  2 B. I(4; 3), R  4 C. I(4;3), R  4 D. I(4; 3), R  2 Câu 66: Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn các số phức z1  2  i, z2  5i, z3  3  2i, z 4  1  2i . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Tam giác ABC vuông tại A B. Điểm M(1;2) là trung điểm của đoạn thẳng CD. C. Tam giác ABC cân tại B . D. Bốn điểm A, B, C, D nội tiếp được đường tròn. Câu 67: Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1  7  3i, z2  8  4i, z3  1  5i, z 4  2i . Chọn kết luận đúng nhất: A. ABCD là hình bình hành. B. ABCD là hình vuông. C. ABCD là hình chữ nhật. D. ABCD là hình thoi. Câu 68: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1  1  5i, z2  3  i, z3  6 . M, N, P là 3 đỉnh của tam giác có tính chất: A. Vuông B. Vuông cân C. Cân D. Đều 46 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 69: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn điều kiện: z  1  i = 2 A. Đáp án khác B. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4 2 2 C. (x - 1) + (y - 1) = 4 D. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 4 Câu 70: Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn z  5i  z  5i  10 là: A. Đường tròn B. Đường elip C. Đường thẳng D. Đường parabol Câu 71: Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho 3 số phức z1  1  i, z 2  (1  i) 2 , z 3  a  i, a  . Để tam giác ABC vuông tại B thì a  A. - 3 B. - 2 C. 3 D. - 4 Câu 72: Tập hợp điểm biễu diễn số phức z thoả z  2i  3 là đường tròn tâm I. Tất cả giá trị m thoả khoảng cách từ I đến d: 3x + 4y – m = 0 bằng

1 là? 5

A. m  10;m  14 B. m  10;m  12 C. m  10;m  11 D. m  7;m  9 Câu 73: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa z  3  2i  4 là A. Đường tròn tâm I( - 3;2), bán kính R = 4. B. Đường tròn tâm I(3; - 2), bán kính R = 16. C. Đường tròn tâm I(3; - 2), bán kính R = 4. D. Đường tròn tâm I( - 3;2), bán kính R = 16. Câu 74: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  (3  4i)  2 trong mặt phẳng Oxy là: A. Đường thẳng 2x  y  1  0

B. Đường tròn (x  3)2  (y  4)2  4

D. Đường tròn x 2  y2  6x  8y  21  0 C. B và C đều đúng. Câu 75: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả điều kiện: z  1  i  z  3  2i là: A. Đường thẳng B. Elip C. Đoạn thẳng D. Đường tròn Câu 76: Cho phương trình x2 – 2x + 2 = 0. Gọi A và B lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm của pt. Khi đó diện tích tam giác OAB là: A. 1đvdt B. 2đvdt C. đvdt D. đvdt Câu 77: Trong mặt phức cho tam giác ABC vuông tại C; Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số phức: z1 = - 2 – 4i; z2 = 2 – 2i. Khi đó có một điểm C biểu diễn số phức: A. z = 2 – 4i B. z = - 2 + 2i C. z = 2 + 2i D. z = -2 – 2i, z = 2 -4i Câu 78: Trong mặt phẳng phức cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức z1 = 2; z2 = 4 + i ; z3 = - 4i. M là điểm sao cho: OA  OB  OC  3OM  0 . Khi đó M biểu diễn số phức: A. z = 18 –i B. z = - 9 + 18i C. z = 2 – i D. z = - 1 + 2i Câu 79: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1 = 1 + 2i. B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O. B biểu diễn số phức nào sau đây: A. z = - 1 + 2i B. z = 1 – 2i C. z = - 1 – 2i D. z = 1 + 2i Câu 80: Gọi M và M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z 0 và z  i  z(z  1) . Tam giác OMM’ là tam giác gì? A. Tam giác vuông B. Tam giác cân C. Tam giác vuông cân D. Tam giác đều Câu 81: Điểm biểu diễn của các số phức z = a + ai với a  R, nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y = x B. y = 2x C. y = 3x D. y = 4x Câu 82: Cho số phức z = a - ai với a  R, điểm biểu diễn của số phức đối của z nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y = 2x B. y = - 2x C. y = x D. y = - x 2 Câu 83: Cho số phức z = a + a i với a  R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên:

47 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

3i x

x O

(Hình 1)

x 2

3i (Hình 2)

(Hình 3)

A. Đường thẳng y = 2x B. Đường thẳng y = - x + 1 C. Parabol y = x2 D. Parabol y = - x2 Câu 84: Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2. Khi đó đọ dài của véctơ AB bằng: A. z1  z2 B. z1  z2 C. z2  z1 D. z2  z1 Câu 85: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z  i  1 là: A. Một đường thẳng B. Một đường tròn C. Một đoạn thẳng D. Một hình vuông Câu 86: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z 2 là một số thực âm là: A. Trục hoành (trừ gốc toạ độ O) B. Trục tung (trừ gốc toạ độ O) C. Đường thẳng y = x (trừ gốc toạ độ O) D. Đường thẳng y = - x (trừ gốc toạ độ O) Câu 87: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z2 là một số ảo là: A. Trục hoành (trừ gốc toạ độ O) B. Trục tung (trừ gốc toạ độ O) C. Hai đường thẳng y = ±x (trừ gốc toạ độ O) D. Đường tròn x2 + y2 = 1 Câu 88: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z2 = ( z )2 là: A. Trục hoành B. Trục tung C. Gồm cả trục hoành và trục tung D. Đường thẳng y = x z i Câu 89: Cho số phức z = x + yi. (x, y  R). Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho là một số z i thực âm là: A. Các điểm trên trục hoành với - 1 < x < 1 B. Các điểm trên trục tung với - 1 < y < 1  x  1  y  1 C. Các điểm trên trục hoành với  D. Các điểm trên trục tung với  x  1 y  1

C - ĐÁP ÁN 1D, 2C, 3B, 4D, 5C, 6B, 7C, 8A, 9A, 10B, 11A, 12B, 13B, 14C, 15C, 16C, 17D, 18A, 19D, 20A, 21A, 22B, 23D, 24C, 25B, 26C, 27B, 28A, 29D, 30D, 31C, 32D, 33D, 34D, 35B, 36A, 37, 38B, 39C, 40B, 41D, 42D, 43D, 44A, 45C, 46D, 47B, 48D, 49B, 50B, 51A, 52B, 53C, 54D, 55D, 56B, 57D, 58A, 59C, 60D, 61B, 62A, 63D, 64C, 65D, 66D, 67B, 68A, 69D, 70B, 71A, 72D, 73A, 74B, 75A, 76A, 77D, 78C, 79A, 80B, 81A, 82C, 83D, 84C, 85D, 86A, 87C, 88C, 89B.

48 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

DẠNG 7: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Viết số phức sau dạng lương giác: z  3  i  3 i            2  cos  sin .i   2  cos  i sin Giải: z  2   6 6  6 6     2 2    Ví dụ 2: Tìm acgumen của số phức: z  2  sin  icos  5 5       3 3  3 3     )  i sin( ) Giải: z  2  cos(  )  i sin(  )   2  cos  i sin   2  cos( 2 5 2 5  10 10  10 10     3  k2  acgumen của z là 10 Ví dụ 3: Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i    1     1    i   2 2  cos  i sin   2 2  cos( )  i sin( )  Giải: z  2 2  4 4  4 4 2     2 Ví dụ 4: Tìm acgumen của z  2 3  2i .  3 1          i   4  cos  i sin   4  cos( )  i sin( )  Giải: z  2 3  2i  4  6 6  6 6    2 2   Vậy acgumen của z là  k2 6 Ví dụ 5: Biết z  1  i 3 . Tìm dạng đại số của z2012 1    3     Giải: z  1  i 3 = 2   i   2  cos  i sin   2  cos( )  i sin( )  3 3  2  3 3   2 2012 2012 z 2012  (2 2)2012 .(cos  i sin )  (2 2) 2012 .(1  i.0)  (2 2) 2012 4 4 Ví dụ 6: Cho z1  1  i ; z 2  2 3  2i . Tìm dạng đại số của z20 .z15

     1   1    i   2  cos  i sin   2  cos( )  i sin( )  Giải: z1  1  i  2  4 4  4 4 2     2 20 20  10  z120  ( 2) 20 .  cos( )  i sin( )   2 .( 1  i.0)  210 4 4    3 1     z 2  2 3  2i  4   i   4  cos  i sin  6 6   2 2  15 15  15 15  15 z15  i sin 2  4 .  cos   4 .(0  i1)  4 i 6 6   20 15 Suy ra z .z  240 i Ví dụ 7: Gọi z1 ; z 2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z2  2 3iz  4  0 , viết dạng lượng giác của z1 ; z 2 . Giải: z2  2 3i.z  4  0 ,   3i2  4  4  3  1 49 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

z1  3i  1; z 2  3i  1

 1 3  2 2   z1  2   i   2  cos  isin  2  3 3    2 1 3     z 2  2   i   2  cos  isin  3 3  2 2  Ví dụ 8: Tính : a) (1 + i)5 Giải:

b) (1 +

3 i)9

      5 5  2 2  i a) (1 + i) =  2  cos  i sin    ( 2)5  cos  i sin   4 2     4(1  i) . 4 4  4 4  2 2      b) Ta tìm dạng lượng giác của 1  3i . 5

 r  1  3  2  1  Ta có : cos  suy ra r = 2 và  = /3 2   3 sin    2 Dạng lượng giác của 1  3i là : 2(cos/3 + isin /3) 1 Ví dụ 9: Cho số phức w =  (1  i 3) . Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có chăng 2 một số nguyên dương m để wm là số ảo ? 1 4 4 4n 4n Giải: Ta có : w =  (1  i 3)  cos  wn = cos (n guyên dương). Số này  i sin  i sin 2 3 3 3 3 4n là số thực khi và chỉ khi sin  0  4n/3 phải là số nguyên, tức là n phải là một bội nguyên dương 3 của 3. 4m Số wm (m nguyên dương) là số ảo khi và chỉ khi cos  0 , tức là khi và chỉ khi có số nguyên k để 3 4m 1   k  8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2. Vậy không có số 3 2 nguyên dương m để wm là số ảo. 2 4 2012  C2012  C62012  ...  C 2010 Ví dụ 10:Tính tổng S  C02012  C 2012 2012  C 2012 2011 2012  C 2012 Giải: Ta có (1  i) 2012  C02012  C12012i  C 22012i 2  C32012i 3  ...  C 2011 2012i 2012i

2011 2012 (1  i) 2012  C02012  C12012i  C 22012i 2  C32012i 3  ...  C 2011  C 2012 2012i 2012i 2 2012  C 62012  ...  C 2010 Suy ra (1  i) 2012  (1  i) 2012  2(C02012  C 2012 2012  C 2012  2S   Mặt khác (1  i) 2012  [ 2(cos  i sin )]2012  21006 (cos 503  i sin 503)  21006 4 4   (1  i) 2012  [ 2(cos  i sin )]2012  21006 (cos  503  i sin  503)  21006 4 4 1006 Từ đó S  2 Ví dụ 11: Dùng công thức khi triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)19 và công thức Moa-vro để tính : 0 2 4 18 C19  C19  C19  .....  C16 19  C19

50 | P a g e

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

Giải: 16 18 18 1 3 3 19 19 Ta có : (1 + i)19 = (C190  C192 i 2  C194 i 4  .....  C16 19i  C19i )  (C19i  C19i  ....  C19i ) 18 1 3 5 17 19 = C190  C192  C194  .....  C16 19  C19  (C19  C19  C19  .....  C19  C19 ).i 18  phần thực là C190  C192  C194  .....  C16 19  C19 19

    19 19  Theo Moa-vro, ta có : (1 + i) =  2  cos  i sin    ( 2)19  cos  i sin  4 4  4 4      2 2 9 9 i = ( 2)19     2  2 .i 2   2 18 9  phần thực là : −29. Vậy : C190  C192  C194  .....  C16 19  C19 = −2 = −512. 19

Cách khác: (1 + i)2 = 2i  (1 + i)19 = (2i)9(1 + i) = 29.i(1 + i) = 29(−1 + i), từ đó suy ra số cần tìm.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Số phức z = 8i viết dưới dạng lượng giác là: 3 3      A. z = 8  cos  i sin  B. z = 8  cos  i sin  2 2  2 2   C. z = 8  cos 0  i sin 0  D. z = 8  cos   i sin   Câu 2: Dạng lượng giác của số phức z = A. z = C. z =

11 11   2  cos  i sin  6 6   5 5   2  cos  i sin  6 6  

   2  cos  i sin  là: 6 6  7 7   B. z = 2  cos  i sin  6 6   13 13   D. 2  cos  i sin  6 6  

Câu 3: Số phức nào dưới đây được viết dưới dạng lượng giác của số phức z  

3 3  i 2 2

  2 2    A. 2  s in  i cos  B. 3  cos  i sin  3 3  5 5      1    C. 2 2  cos D.  cos  i sin   i sin  5 5  2 7 7  Câu 4: Cho số phức z = - 1 - i. Argumen của z (sai khác k2) bằng:  3 5 7 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 5: Cho số phức z = cos + isin. kết luận nào sau đây là đúng:

A. z n   z n   n cos 

B. z n   z n   2 cos n

C. z n   z n   2n cos 

A. 6(1 - 2i)

B. 4i

C. 6i

A. 1 + i 3

B. 2 1  i 3

D. z n   z n   2 cos 

Câu 6: Cho z1  3  cos 200  i sin 200  , z 2  2   cos1100  i sin1100  . Tích z1. z2 bằng:

D. 6(1 - i) z Câu 7: Cho z1  8  cos1000  i sin1000  , z 2  4  cos 400  i sin 400  . Thương 1 bằng: z2





C. 1 - i 3

51 | P a g e

D. 2(1 + i)

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098

C – ĐÁP ÁN 1B, 2A, 3B, 4B, 5B, 6C, 7A.

52 | P a g e