Funciones trigonométrica de un ángulo agudo. Antes de mencionarte cuáles son esas razones que se forman en el triángulo rectángulo, es importante hacer un señalamiento que es de vital importancia y que tiene que ver con la actividad que acabas de realizar: Si observas cuidadosamente en la figura 6.5 se te presenta un triángulo rectángulo y en ella podemos identificar 6
a c
b a
b c
c b
a b
c a
razones que se pueden establecer entre sus lados, siendo estas:
C B a c b A
Figura 6.5 Según lo que respondiste en la actividad anterior podemos concluir: “Las razones que establecemos, dependen del valor del ángulo y no de las medidas de los lados del triángulo”. En la siguiente figura 6.6 se muestra un triángulo rectángulo al que le fue trazado al cateto BC una recta paralela y que originan dos triángulos semejantes. Por consiguiente sus lados son proporcionales, entonces se cumple:
b c B C A a
a´
b´ c´ Figura 6.6
a a´ = c c´
b b´ = c c´
a a´ = b b´
Este mismo suceso ocurre si comparamos las demás razones de ambos triángulos rectángulos. Luego las razones se establecen de manera única para el valor del ángulo A, por lo que afirmamos que esas razones son respecto del ángulo A. De esta manera hemos establecido seis relaciones elementales entre el ángulo A del triángulo rectángulo ABC y sus lados. A esas relaciones se les conoce como razones trigonométricas y reciben un nombre que las identifica: Seno (Sen), Coseno (Cos), Tangente (Tan), Cotangente (Cot), Secante (Sec) y Cosecante (Csc) que se definen y representan de la siguiente manera: 1). El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Sen A
¿
a c
¿
Sen B
b c
2). El coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Cos A=
b c
Cos B =
a c
3). La tangente de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Tan A =
a b
Tan B =
b a
4). La cotangente de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. Cot A =
b a
Cot B =
a b
5). La secante de un ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Sec A =
c b
Sec B =
c a
6). La cosecante de un ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Csc A =
c a
Csc B =
c b
Es importante que te comentemos algunas observaciones que son de vital importancia al momento que estés trabajando o usando cualesquiera de estas razones:
• Cabe señalar, que dichas relaciones, al igual que el teorema de Pitágoras, son válidas para triángulos rectángulos, debido a la naturaleza de los lados, los grados del mismo y a las afirmaciones realizadas para llegar a la definición de cada razón. A partir de las razones se puede observar, que los lados están en relación con el ángulo del triángulo, lo que nos permitirá determinar el valor de dichos lados derivado de alguna de las razones establecidas.
• El lado de mayor longitud en el triángulo
1. a es el cateto opuesto al
∢ A
rectángulo se le denomina hipotenusa y a los otros dos se les conoce como catetos. Cuando los catetos se asocian con alguno de
los
ángulos
rectángulo
agudos
pueden
del
triángulo
clasificarse
como
2. b es el cateto adyacente al A
3. b es el cateto opuesto al
adyacentes al ángulo u opuestos a él. Observa la figura 6.7 para que verifiques lo mencionado.
∢
4. a es el cateto adyacente al
∢ B
∢
B
5. c es la hipotenusa Observando los lados y los ángulos del
C B a c b A
triángulo:
Figura 6.7
• A partir de las definiciones de las 6 razones trigonométricas, es importante notar que para el ángulo B, complementario al ángulo A se tiene que: (Obsérvese la figura 6.8)
5
A B C 4 3 Cateto opuesto al < A = Cateto adyacente al < B = 3 Cateto adyacente al < A = Cateto opuesto al < B = 4 Figura 6.8 De aquí se desprende que, siendo A y B complementarios, se tiene que: Sen A = Cos B
Tan A = Cot B
Sec A = Csc B
A las relaciones anteriores se les conoce como co-funciones de ángulos complementarios Ejemplo: Tomando como referencia la figura 6.8, encuentra el valor de las 6 razones trigonométricas tomando como referencia:
a) El < A b) El < B Solución: Siguiendo la definición de cada una de ellas, nuestras 6 razones son:
a) Con respecto al < A
Sen A=
4 5
cot A=
3 4
cos A=
3 5
Sec A=
5 3
tan A=
4 3
Csc A=
5 4
Siguiendo la definición de cada una de ellas, nuestras 6 razones son:
b) Con respecto al < B
Sen B=
3 5
cot B=
4 3
cos B=
4 5
Sec B=
5 4
tan B=
3 4
Csc B=
5 3
Al definir las 6 razones trigonométricas; en el ejemplo podemos observar que algunas guardan una relación con otras, por ejemplo el Sen A y Csc A, Cos A y Sec A, así Tan A y Cot A. ¿Descubriste a que me refiero?, la relación a la que hago referencia es la siguiente: Dos cantidades son recíprocas cuando su producto es igual a la unidad por lo tanto concluimos que:
4 5 ( Sen A )( Csc A )= x =1 5 4
3 5 ( cos A )( Sec A) = x =1 5 3
4 3 ( tan A )( cot A )= x =1 3 4
De donde, para un ángulo agudo cualquiera, tendremos que:
Sen A=
1 1 ; Csc A= Csc A Sen A
cos A=
1 1 ; Sec A= Sec A cos A
tan A=
1 1 ; cot A= cot A tan A
Es así como las relaciones anteriores se llaman razones trigonométricas recíprocas, que nos permitirán hacer el cálculo de las tres primeras Sen, Cos y Tan denominadas directas y a partir de ellas determinar el valor de las otras tres. Ejemplo: Dado que la Sec A = 2, calcule las demás razones trigonométricas. Solución: Para la realización del problema nos basaremos de tres herramientas importantes: La definición de la razón Secante, del teorema de Pitágoras y de las relaciones recíprocas. La definición de Sec A =
Hipotenusa 2 = Cateto adyacente 1
, esto implica que ya conocemos la
hipotenusa y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo cuyo ángulo de referencia es A como el que nos muestra la siguiente figura 6.9
C
B A
2 1 Figura 6.9 Si nuestro objetivo es encontrar las 6 razones trigonométricas, es necesario que encuentres el lado que falta en el triángulo rectángulo, que en nuestro ejercicio es el cateto opuesto al ángulo A y para ello recurrimos al teorema de Pitágoras. Si llamamos al lado faltante “a”, entonces tenemos que: 2 2 c 2 = a 2 + b 2 ⇒ 2 2 = a 2 + 12 ⇒ 4 = a + 1 ⇒ a = 4 − 1 ⇒ a = 3
Por la definición de las razones trigonométricas y la reciprocidad de la que te comente antes, tenemos que:
2 1 ⇒ CosA = 1 2 3 2 SenA = ⇒ CscA = 2 3 SecA =
TanA =
3 1 ⇒ CotA = 1 3
Como puedes observar, la reciprocidad es de gran utilidad, ya que permiten resolver de forma más sencilla y rápida del problema en cuestión.