TRABAJO DE MODELAMIENTO ÁLGEBRA
PROFESOR: Sergio Yansen Núñez
OBJETIVO Aplicar un modelo matemático, mediante una función cuadrática, a situación problemática en un contexto asociado a la realidad.
FUNCIÓN CUADRÁTICA Forma general
y = f ( x) = ax 2 + bx + c Donde
, son coeficientes reales,
La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada “parábola”. Ejemplo:
El Dominio de la función cuadrática es todos los números reales
ECUACIÓN CUADRÁTICA Soluciones de la ecuación de 2º Grado 2 Cuando y=0, la función cuadrática, se transforma en ax + bx + c = 0 , que es la Ecuación de 2º grado (o Cuadrática). Para el cálculo de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado, x1 y x2 , se utiliza la siguiente expresión:
x=
− b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a
Donde las dos soluciones están dadas, cada una por:
x1 =
− b − b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a y
x2 =
− b + b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a
Y que gráficamente, representan los puntos en donde la curva intersecta al eje x.
Naturaleza de las Soluciones de la ecuación de 2º Grado Podemos ver la naturaleza de las raíces de la función con el discriminante,
∆ =b2 −4⋅ a⋅ c •
Si
∆ = 0,
tiene dos soluciones reales iguales, es decir x1 = x2
•
Si
∆ > 0,
las raíces son reales y distintas, es decir x1 ≠ x2
•
Si
∆ < 0,
no tiene solución real, es decir x1 , x2 son números complejos.
El siguiente cuadro, muestra la relación entre a (el coeficiente de discriminante y el gráfico de la función cuadrática.
a
∆>0
∆=0
∆<0
∆>0
∆=0
∆<0
> 0
a < 0
), el
Ejemplo: Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo. Después de transcurridos t minutos, la altura del proyectil, en metros, por sobre el suelo está dada por la función:
h(t ) = −13t 2 + 91t .
a) ¿Qué altura alcanza el proyectil a los 4 minutos? b) ¿En qué momento la altura del proyectil es de 78 metros? Desarrollo: a) Se quiere obtener la altura (imagen) a los 4 minutos, es decir Reemplazamos 2
t=4
en la fórmula
h(4) = −13⋅ 4 + 91⋅ 4 = 156
Respuesta: La altura a los 4 minutos será de 156 metros b) Se quiere conocer a que minuto (preimagen) la altura es de 78 metros Igualamos la función a 78 y se tiene
−13t 2 + 91t = 78 Se obtiene una ecuación cuadrática a resolver obtienen dos soluciones t1 y t2 .
−13t 2 + 91t − 78 = 0 ,
donde se
Las soluciones (preimágenes) de la ecuación se obtienen a través de la fórmula cuadrática
t=
−91± 912 − 4 ⋅ (−13) ⋅ (−78) −91± 4225 −91± 65 = = −26 2 ⋅ (−13) −26
t1 = 1
; t2
=6
Respuesta: Se tiene, en este caso, que ambas soluciones responde a la pregunta, pues un valor, (t1 = 1) corresponde al momento cuando el proyectil sube y el otro,
(t2 = 6) , cuando el proyectil va bajando.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA FUNCIÓN CUADRATICA Relación entre las raíces y los coeficientes de la función cuadrática son las soluciones (o raíces) de la ecuación ax2 + bx + c = 0 , entonces siempre se cumplen las siguientes igualdades:
Si
x1
y
x2
x1 + x2 = −
b a
x1 ⋅ x2 =
c a
Gráfica La grafica de la función cuadrática
f (x) = ax2 + bx + c corresponde a una Parábola.
Para esbozar la función cuadrática se necesita conocer la intersección con los ejes y las coordenadas del vértice. Intersección con los Eje y Para determinar la intersección de la parábola con el eje Y ⇒ f (0) = a⋅ 0 2 + b⋅ 0 + c = y Se hace x = 0
⇒ y= c
De esta forma, el termino independiente (c) de la función cuadrática es el valor donde la grafica intersecta al eje Y. Luego finalmente el punto de intersección es (x,y)=(0,c) Eje x Para determinar la intersección de la curva con el eje X, se hace y=0, obteniendo la ecuación cuadrática Se hace
y=0
⇒ ax2 + bx + c = f (x) = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0
Al resolver la ecuación se obtienen las soluciones que son
x1 = Los puntos el eje x.
x1
y
x2 ,
− b − b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a
y
x2 =
x1
y
x2 , donde
− b + b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a
corresponden a los puntos por donde la curva intersecta con
Coordenadas del vértice Las coordenadas del vértice corresponden al punto
V = (x ; y)
perteneciente a la
parábola, que corta al eje de simetría, donde el eje simetría es la recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas. Se puede determinar con la siguiente expresión:
b b V = − ; f − 2a 2 a b b e y = f − Donde x = − 2a 2a Grafica de una parábola
Trabajo de modelamiento
Situación a modelar Nº1: La propagación de cierto virus computacional se puede modelar mediante una función cuadrática. Considere que f (t ) indica el número de computadores infectados (en miles) y t indica el número de días desde que se propagó el virus. Se recopiló la siguiente información:
día Primer día Segundo día Tercer día
Cantidad de computadores infectados 7.000 12.000 15.000
a)
Modele la situación mediante una función cuadrática
b)
Estime la cantidad de computadores contagiados al quinto día.
Situación a modelar Nº2: La productividad de una parcela que cultiva frutales se puede modelar mediante una función cuadrática. Considere que f (t ) indica el número de kilogramos de fruta producidos y t indica el número de árboles que se plantan en la parcela. Se recopiló la siguiente información:
Número de árboles 100 200 300
Número de kilogramos producidos 70 120 150
a)
Modele la situación mediante una función cuadrática
b)
Estime cuántos kilogramos de fruta se producen con 500 árboles.