Cours 6ème by M. LENZEN

   Cours de Mathématiques  Classe de 6ème             Année scolaire 2008/2009 M. LENZEN

SOMMAIRE I. Notions fondamentales de géométrie ................................................................ 1 le point, la droite, le segment et la demi-droite, droites sécantes, point d’intersection

II. Les nombres .............................................................................................................. 7 numération de position, écritures d’un nombre décimal, la demi-droite graduée, ranger les nombres, encadrements, valeur approchée, arrondi, troncature

III. Parallèles & perpendiculaires ......................................................................... 12 position de deux droites, construction d’une perpendiculaire/parallèle donnée, propriétés

IV. Opérations .............................................................................................................. 15 vocabulaire, calculs posés, problèmes

V. Le cercle .................................................................................................................... 17 vocabulaire, points sur un cercle

VI. Les fractions (partie 1) ...................................................................................... 18 écriture fractionnaire, fraction et quotient

VII. Grandeurs & mesures (partie 1) ................................................................... 20 les unités, périmètre d’une figure

VIII. Calcul mental ..................................................................................................... 25 calculs en ligne, quelques astuces de calcul mental, ordre de grandeur

IX. Angles....................................................................................................................... 28 définition et notation, vocabulaire, le rapporteur, bissectrice d’un angle

X. Grandeurs & mesures (partie 2) ...................................................................... 32 unité d’aire, formules d’aires

XI. Triangles ................................................................................................................. 34 construction à partir des longueurs des côtés, des mesures d’angles, triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle

XII. Divisions ................................................................................................................ 39 divisibilité, division posée (euclidienne et décimale), calcul mental, problèmes

XIII. Quadrilatères ..................................................................................................... 43 vocabulaire, le cerf-volant, le losange, le rectangle, le carré

XIV. Les fractions (partie 2) .................................................................................... 46 fractions égales, simplification de fractions, multiplier un nombre par une fraction

XV. Symétrie axiale .................................................................................................... 49 construire le symétrique d’un point, d’une figure, bilan des propriétés de la symétrie, axe de symétrie

XVI. Pourcentages ...................................................................................................... 53 appliquer un pourcentage, quelques pourcentages à connaître, calculs de réduction

XVII. Parallélépipède & cube .................................................................................. 55 le parallélépipède ou pavé droit, le cube, dessiner en perspective, fabrication d’un patron

XVIII. Proportionnalité ............................................................................................. 59 reconnaître, appliquer une situation de proportionnalité

XIX. Tableaux & graphiques ................................................................................... 61 tableau, diagramme en bâtons, diagramme circulaire ou « camembert », graphique cartésien

Chapitre 1 Notions fondamentales de géométrie

La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d’Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l’époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, plan, longueur, aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire, étudiée au collège.

N’importe quel dessin, n’importe quelle figure, doit toujours se faire avec un porte-mines ou un crayon bien taillé. I.

Le point 1. Définition

Définition Un point est l’intersection de deux lignes (l’endroit exact où deux lignes se coupent). une 1ère ligne

 A

une 2ème ligne

Notation : On désigne un point par une lettre majuscule.

Codage : On marque un point par une petite croix.

2. Dessin d’un seul point P

P 

P

OUI

NON



OUI

Chapitre 1 : Notions fondamentales de géométrie

OUI

NON

3. Dessin d’un point sur une figure a) sur une droite



NON

OUI

NON



NON

OUI

b) sur plusieurs droites \

c) comme sommet d’une figure A 

B

C

NON

OUI

II. La droite Activité 1 : Marquer tous les points alignés avec les points A et B :

A  B 

1. Dessin d’une droite Une droite est illimitée, elle n’a pas de longueur, on ne peut pas la mesurer. On ne pourra donc jamais la dessiner entièrement : on ne peut dessiner qu’une partie de la droite. Cette droite se note avec une lettre minuscule entre parenthèses, par exemple (d). (d)

2. Des points sur une droite a) Nouvelle notation Comme vu précédemment, rien n’empêche une droite d’accueillir des points : A \

C \

D

Chapitre 1 : Notions fondamentales de géométrie

(d)

La droite (d) possède alors d’autres noms : (AB), (BA), (AC), (CA), (BC) et (CB). Pour les trouver, il suffit de choisir 2 points au hasard sur cette droite, de les écrire à la suite et les entourer de parenthèses. S’il n’y a aucun point marqué sur la droite (ou un seul), la droite d’écrira comme au paragraphe 1, par exemple :  (d), (e), (f), etc. s’il n’y a pas trop de droites,  (d), (d’) et (d’’) s’il s’agit d’exactement trois droites,  (d1), (d2), (d3), etc. s’il y a beaucoup de droites. b) Points alignés Sur le dessin ci-dessus, les points A, B et C se trouvent sur la même droite (d).

Définition Trois points (au moins) sont dits alignés s’ils se trouvent sur une même droite.

Propriété La droite (AB) est formée par tous les points alignés avec A et B. c) Appartenance -

Le point A appartient à la droite (d). On note cela : A  (d). Le point D n’appartient pas à la droite (d). On note alors : D  (d).

Activité 1 p. 140

«  » signifie et se lit « appartient à ». Ce symbole nous vient de la lettre grecque «  » [epsilon], initiale de «  » [= il est], utilisée par le mathématicien italien Giuseppe PEANO (1858-1932), en 1889. Le symbole d’appartenance apparaît pour la première fois dans le traité du mathématicien anglais Bertrand RUSSELL (1872-1970), Principles of Mathematics, en 1903. Le symbole «  » signifie et se lit donc en toute logique « n’appartient pas à ». Exercice 1 : 1. Écrire tous les noms de la droite (d). 2. Même question pour la droite (AB). 3. En utilisant les symboles qui conviennent, a) écrire tous les points qui se trouvent sur la droite (CE), b) écrire tous les points qui ne se trouvent pas sur la droite (d’). 4. Donner trois points alignés. 5. Reproduire la figure (facultatif).

Chapitre 1 : Notions fondamentales de géométrie

F

(d) A /

(d’)

III. Le segment et la demi-droite Activité 2 : Écrire un texte, le plus court possible, qui permette de reproduire exactement à droite du trait vertical la figure qui se trouve à gauche.

C 

A 

A B

D

 B

Activité 2 : Écrire un texte, le plus court possible, qui permette de reproduire exactement à droite du trait vertical la figure qui se trouve à gauche.

C 

D A 

D

B

1. Le segment B

Définition Une portion de droite délimitée par deux points s’appelle un segment. Ces deux points s’appellent les extrémités du segment. Notation : Le segment ci-dessus se note [AB]. Codage : On dessine un segment [AB] en prenant la règle, et tracer de A vers B sans dépasser ces deux points.

Définition La longueur d’un segment est la distance qui sépare ses deux extrémités. Dans la pratique, pour mesurer un segment [AB], il suffit de prendre la règle, placer le 0 en A, et lire la valeur qui se trouve au point B.

Le segment [AB] mesure (par exemple) 8 cm. On écrit : AB = 8 cm , Et non pas [AB] = 8 cm ‼

Chapitre 1 : Notions fondamentales de géométrie

2. La demi-droite x

Définition Une portion de droite limitée d’un seul côté s’appelle une demi-droite.

Notation : La demi-droite ci-dessus se note [AB), mais aussi [Ax) s’il n’y a qu’un seul point donné. Codage : On dessine une demi-droite [AB) en prenant la règle, et tracer de A vers B sans dépasser du côté du point A (on doit dépasser du côté du point B). 2, 4, 6, 7 p. 146

Exercice 2 : Pour chacun des cas, tracer ce qui est demandé, et donner la notation. 1. Le segment d’extrémités B et D. 2. La droite qui passe par A et C. 3. La demi-droite d’origine D, passant par C. 4. La demi-droite d’origine C, passant par B. 5. La demi-droite d’origine B, passant par A.

C 

A 

D

B

3. Segments de même longueur

Définition Deux segments ont la même longueur lorsqu’on peut les superposer :

codage

Codage : On ajoute un même symbole au milieu de tous les segments de même longueur. Les symboles les plus courants sont : / , // , /// , o et x .

Exemple (rectangle) :

Chapitre 1 : Notions fondamentales de géométrie

4. Milieu d’un segment

Définition Le milieu I d’un segment [AB] se trouve sur le segment [AB], tel que AI = IB. Le milieu est donc à égale distance des extrémités du segment. B I

28, 29 p. 148 67 p. 152

IV. Droites sécantes, point d’intersection Activité 3 : Un élève a dessiné cette figure sur son cahier :

(d)



(e)

(f) K

J Écrire un texte pour décrire ce dessin.

Définition Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point, appelé point d’intersection. Exemple : Sur cette figure, (d)

(e) (d) et (e) sont sécantes en A. Cela signifie que A  (d) et A  (e). 68 p. 152

Chapitre 1 : Notions fondamentales de géométrie

Chapitre 2 Les nombres

Pour écrire les nombres, nous utilisons 10 symboles appelés chiffres. C’est le système décimal. Les chiffres que nous appelons arabes ont pour origine les Indes. Ce sont les arabes qui emprunteront le système de numération aux Indes. Le moine français Gerbert d’Aurillac (devenu le pape Sylvestre II) les amène en Europe. Le mathématicien italien Léonard de Pise, dit Fibonacci (1180-1250), introduit en Europe la numération de position (voir paragraphe I). Évolution des chiffres de l’Inde à L’Europe

Al Kashi (1380-1430), astronome à Samarkand (Asie), est à l’origine des nombres décimaux (nombres à virgule), mais c’est le mathématicien Simon Stevin qui se rapprochera de la notation actuelle. Il notait par exemple le nombre 89,532 : 89532. C’est un progrès considérable pour effectuer des opérations par rapport à l’écriture romaine.

Numération de position 1. Rang des chiffres

8 3 2 , Partie entière

Millionièmes

Centmillièmes

Dix-millièmes

Millièmes

Centièmes

Dixièmes

Unités

Dizaines

Centaines

Milliers

Dizaines de milliers

Centaines de milliers

Exemple : 4832,326.

Millions

3 2 6 Partie décimale

Dans le nombre ci-dessus : - Bien que 4 soit inférieur à 8, la valeur du chiffre 4 est supérieure à celle du chiffre 8. C’est le principe de la numération de position. - Le nombre contient 483 232 centièmes, ou encore 483 dizaines.

Chapitre 2 : Les nombres

2. Quelques grands nombres

Million (1 000 000) Milliard (1 000 000 000) Billion (1 000 000 000 000) Billiard (1 suivi de 15 zéros) Trillion (1 suivi de 18 zéros) Quatrillion (1 suivi de 24 zéros) Quintillion (1 suivi de 30 zéros) Sextillion (1 suivi de 36 zéros) Septillion (1 suivi de 42 zéros)

Octillion (1 suivi de 48 zéros) Nonillion (1 suivi de 54 zéros) Décillion (1 suivi de 60 zéros) Googol (1 suivi de 100 zéros) Googolplex (1 suivi de Googol zéros)  XXè s., Edward Kasner, USA Asankhyeya (1 suivi de 140 zéros)  origines bouddhiques

3. Nombres entiers et nombres décimaux Exemples de nombres entiers : Exemples de nombres décimaux :

1 ; 2 ; 2008 ; 0 ; 15. 12,5 ; 20,8 ; 2008,9 ; 0,8.

Attention aux zéros inutiles !!!! Pour les nombres, les zéros inutiles sont les suivants : - les « 0 » au début de la partie entière ; - les « 0 » qui terminent la partie décimale. Exception : Si la partie entière n’est formée que d’un 0 (par exemple 0,8), alors celui-ci n’est pas inutile !

Exercice 1 : Supprimer les zéros inutiles :

3,0600 015,150

03,3 3,057

14,0 03,350

103400 103,400

02,02 020,2 34, 35 p. 22 37, 39 p. 23

II. Écritures d’un nombre décimal 1. Fraction décimale

En lettres

Un dixième

Un centième

Un millième

Treize centièmes

Soixante-cinq millièmes

Deux cent trois dixièmes

Fraction décimale

1 10

1 100

1 1000

13 100

65 1000

203 10

Écriture décimale

0,1

0,01

0,001

0,13

0,065

20,3

Chapitre 2 : Les nombres

2. Différentes écritures Écriture décimale :

203,92

En lettres :

203 unités et 9 dixièmes 2 centièmes 203 unités et 92 centièmes

Fraction décimale :

20392 100

Somme d’un entier et d’une fraction décimale : 92 203 + 100 Décomposition :

(2  100) + (0  10) + (3  1) + 9 

En toutes lettres :

Deux cent trois unités et quatre-vingt-douze centièmes.



1  1  + 2   10  100 10, 14,19 p. 21 41, 42 p. 23

III. La demi-droite graduée (ou demi-axe gradué) l’unité

E A l’origine

D C

B 4

L’unité choisie ici est le centimètre (cm). Elle est régulièrement reportée sur tout le demi-axe gradué.

- Ne pas oublier la flèche au bout du demi-axe gradué ! - L’origine n’est pas systématiquement 0 !

Définition Chaque point sur un demi-axe gradué possède une abscisse. On dit que l’abscisse du point A est 3, et on note ceci A(3). Le mot « abscisse » vient du latin « abscissa » (ligne coupée), dû à l’allemand Leibniz en 1692.

Exercice 2 : 1. Quelles sont les abscisses des points B et C ? 2. Placer les points D et E d’abscisses respectives 5,5 et 2,5.

Chapitre 2 : Les nombres

B(4,5) et C(6)

Activité 1 : Tracer un demi-axe gradué en prenant 1 cm pour 2 dixièmes, et ayant 33,5 pour origine (la première graduation). Placer sur cet axes les points 9 358 A(34,8) B33 +  C . 10    10 

B 33,5

33,7

33,9

A 34,1

34,3

34,5

34,7

34,9

35,1

35,3

35,5

35,7

35,9

36,1

36,3

31, 32, 33, 34 p. 38

IV. Ranger les nombres 1. Comparer On utilise les symboles suivants : - < : « … est inférieur à … » - > : « … est suppérieur à … » Ces symboles ont été introduits par l’anglais Thomas Harriot (1560-1621), en 1631.

Activité 2 : Comparer les nombres 8,32 et 8,4. 8,32 > 8,4 car 32 > 4 est FAUX ‼ En effet, 32 et 4 n’occupent pas le même rang (32 centièmes et 4 dixièmes). Avant de comparer deux nombres décimaux (dont les parties entières sont égales), il faut au besoin ajouter des zéros inutiles : 8,32 < 8,40 car 32 < 40. 1, 4, 6 p. 36

2. Ordonner

Définition L’ordre croissant, c’est ranger des nombres du plus petit au plus grand. L’ordre décroissant, c’est l’inverse : du plus grand au plus petit.

Exercice 3 : 1. Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant : 2. Ranger les nombres suivants dans l’ordre décroissant :

4 ; 3,12 ; 3,9 ; 1,2. 9,6 ; 8,9 ; 11 ; 8,79. 2, 3 p. 36 42 à 48 p. 39

Chapitre 2 : Les nombres

V. Encadrements, valeur approchée, arrondi, troncature Activité 3 : Encadrer le nombre 33,486 à l’unité, au dixième, puis au centième. Dans chaque cas, donner aussi la valeur approchée par excès et par défaut. Encadrement à l’unité :

33 < 33,486 < 34

Valeur approchée par défaut

Valeur approchée par excès = troncature

Le plus proche : 33 est l’arrondi à l’unité de 33,486

Encadrement au dixième :

32,9

33,1

33,4 < 33,486 < 33,5

33,2

33,3

33,4

Valeur approchée par défaut

33,5

33,6

33,7

33,8

33,9

Valeur approchée par excès = troncature

Le plus proche : 33,5 est l’arrondi au dixième de 33,486

Encadrement au centième : 33,39

33,4

33,41

33,42

33,48 < 33,486 < 33,49 33,43

33,44

33,45

33,46

33,47

33,48

Valeur approchée par défaut

33,49

33,5

Valeur approchée par excès = troncature

Le plus proche : 33,49 est l’arrondi au centième de 33,486

14, 16, 17, 18 p. 37

Chapitre 2 : Les nombres

Chapitre 3 Parallèles & perpendiculaires I.

Position de deux droites

Voici un tableau récapitulant les différentes positions possibles de deux droites :

Positions

Droites parallèles (d)

Droites perpendiculaires

Droites sécantes (d)

(d)

codage

Dessins (d’)

(d’)

Définition

Elles ne se croisent jamais.

Elle se croisent en un point.

Notations

(d) // (d’)

–

(d’) Elles se croisent et forment un angle droit. (d)  (d’) activité 1 p. 156

II. Construction d’une perpendiculaire donnée Pour construire la perpendiculaire à une droite (d) donnée passant par un point A donné, quatre étapes sont nécessaires : A

(d)

A (d)

(d)

4 19, 20 p. 165

Chapitre 3 : Parallèles & perpendiculaires

III. Construction d’une parallèle donnée Pour construire la parallèle à une droite (d) donnée passant par un point A donné, six étapes sont nécessaires :

A (d) (d)

(d) 3

(d)

(d) 4

1, 2, 3 p. 162 22, 23 p. 165

IV. Propriétés 1. Propriété 1

Propriété Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Illustration : //

2. Propriété 2

Propriété Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Chapitre 3 : Parallèles & perpendiculaires

Illustration :

3. Propriété 3

Propriété Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est alors perpendiculaire à l’autre. Illustration :

7, 8, 9, 10, 12 p. 163

Chapitre 3 : Parallèles & perpendiculaires

Chapitre 4 Opérations I.

Vocabulaire Addition :

82,12 + 21,31 = 103,43 les termes la somme Soustraction : 98,25 – 23,8 = 74,45 les termes la différence Multiplication : 102,31  17,4 = 1780,19 les facteurs le produit

Définition - Dans une addition, les nombres que l’on additionne s’appellent les termes. Le résultat de l’addition s’appelle la somme. - Dans une soustraction, les nombres que l’on soustraie s’appellent les termes. Le résultat de la soustraction s’appelle la différence. - Dans une multiplication, les nombres que l’on multiplie s’appellent les facteurs. Le résultat de la multiplication s’appelle le produit. Le mot « facteur » vient du latin « factor » qui signifie celui qui est fait. 8 à 13 p. 53

II. Calculs posés 1. Addition et soustraction

Méthode Pour poser une addition ou une soustraction, il faut écrire les termes l’un en-dessous de l’autre en alignant les virgules : 3 6,3 0 + 4 3,9 6 8 0,2 6 Aligner les virgules ‼

Exercice 1 : Poser les opérations suivantes : 1. 52443 + 975 2. 453,3 + 48,97 3. 724 – 513 4. 435,6 – 87,94 5. 309,6 + 57,19 + 4,973 6. 302,6 – 257,973

Chapitre 4 : Opérations

2 9,1 3 – 1 21, 6 0 1 6,5 3 Aligner les virgules ‼

42, 43, 44 p. 55

2. Multiplication

Méthode Pour poser une multiplication, on écrit les facteurs l’un en-dessous de l’autre en alignant les chiffres à droite (on n’aligne pas la virgule) :

 6 5 0 2 5 3 3 1 0

8 4 3, 7 5 6 8 4 1 8, 4

4, 7  3 chiffres après la virgule 6 8 7 6 on effectue la multiplication comme s’il 2 n’y avait pas de virgule 9 6  3 chiffres après la virgule

Exercice 1 : Poser les opérations suivantes : 1. 521  440 2. 637  2800 3. 9400  608 4. 4,93  7,5 5. 16,35  2,4 6. 9,37  60,8 37, 38 p. 71

Activité 1 (multiplications curieuses) : 1. Poser : 37  3 ; 37  6 ; 37  9 ; ··· ; 37  27. 2. Poser : 5291  21 ; 5291  42 ; 5291  63 ; ··· ; 5291  189. 3. Poser : 10101  11 ; 10101  22 ; ··· ; 10101  99. 4. Poser : 8547  13 ; 8547  26 ; ··· ; 8547  117. 5. Poser : 15873  7 ; 15873  14 ; ··· ; 15873  63. 6. Poser : 37037  3 ; 37037  6 ; ··· ; 37037  27.

Que constate-t-on ? Que constate-t-on ? Que constate-t-on ? Que constate-t-on ? Que constate-t-on ? Que constate-t-on ?

III. Problèmes Le but d’un problème est de transformer les informations qu’il contient sous forme mathématique. On peut alors le résoudre en effectuant une ou plusieurs opérations. Le nombre que l’on recherche, s’il y en a un à calculer, sera appelé l’inconnue. Exemple de problème : Activité 2 : Georges achète un poulet chez son volailler. Il a le choix : - soit il achète un poulet vidé, de 1,380 kg à 10,80 € le kilogramme, - soit il achète un poulet non vidé, de 1,765 kg à 8,30 € le kilogramme. Georges décide de choisir le poulet le moins cher. Lequel ? Solution : Prix du poulet vidé : 1,380  10,80 = 14,904 €. Prix du poulet non vidé : 1,765  8,30 = 14,6495 €. Georges va donc acheter le poulet non vidé.

Chapitre 4 : Opérations

1 à 6 p. 68

Chapitre 5 Le cercle Remarque préliminaire : Ne pas confondre cercle et disque ‼

Vocabulaire

Formule 1

DIAMÈTRE = 2  RAYON (encore notée D = 2  R).

Formule 2 Le milieu d’un diamètre est le centre du cercle. 33, 34, 35, 36 p. 149

II. Points sur un cercle Activité 1 : 1. Placer un point O. 2. Placer un point A à 3 cm du point O. 3. Recommencer la question 2 avec un point B, et ainsi de suite (C, D, E, …). 4. Que constate-t-on ?

Propriété 3 Tous les points situés à 3 cm d’un point O se trouvent sur le cercle de centre O et de rayon 3 cm. On peut généraliser cette propriété pour n’importe quel rayon.

Chapitre 5 : Le cercle

87 p. 154

Chapitre 6 Les fractions (partie 1) Les fractions trouvent leurs origines en Égypte avec les fractions de dénominateur 1 . Au Moyen-Âge en Europe, les fractions sont appelées nombres rompus. La barre de fraction venant des arabes fut ensuite reprise par le français Nicole Oresme (1325-1382) dans son ouvrage Algorismus proportionum (sur les calculs et les exposants fractionnaires). C’est dans ce même ouvrage que sont définis pour la première fois les termes « numérateur » et « dénominateur ».

Écriture fractionnaire 1. Géométriquement

La règle ci-dessus est partagée en 4 parties égales. Les morceaux coloriés 3 3 représentent les de la règle. s’appelle une fraction (définie au paragraphe 2). 4 4 Le mot vient du latin « fractiones » (rompu, fracturé).

2. Dans la vie L’heure : Sport : Cuisine :

il est 2 heure et quart un 100 m en 8 secondes et 3 dixièmes un tiers de lite de lait pour une recette

3. Vocabulaire

Définitions 3  LE NUMÉRATEUR 4  LE DÉNOMINATEUR Numérateur vient de numéral signifiant ici nombre (dans notre exemple, 3). Dénominateur vient de nom, les quarts dans notre exemple. Des quarts (nom – dénominateur), il y en a 3 (nombre – numérateur). Mots inventés par Nicole ORESME au XIVè s.

Une fraction ne possède aucune virgule, jamais. Un quotient, par contre, peut en contenir.

Chapitre 6 : Les fractions (partie 1)

41, 42, 43 p. 102 44 p. 103

II. Fraction et quotient 1. Introduction 3 possède aussi une écriture décimale, mais comment faire pour la 4 trouver ? On pose la division : on fait 3  4… La fraction

Ainsi,

3 = 3  4 = 0,75 . 4

Toutes les fractions ne possèdent pas d’écriture décimale (nombre fini de chiffres après la virgule). 11 Par exemple,  1,833… 6 3 est appelé le quotient de 3 par 4. Il se définit comme le 4 nombre qui, multiplié par 4, donne 3. En effet : 3  4 = 3  4  4 = 3. 4 Plus généralement,

Exercice 1 : Compléter les opérations suivantes : …… …… ……  7 = 11 ; 6=1 ; 8 = 5. …… …… …… 45, 45, 47 p. 103

2. Définition

Définition Une fraction est un quotient de deux nombres entiers.

3. Fraction et demi-droite graduée Activité 1 : Placer sur la demi-droite ci-dessous les fractions 5 3 8 3 ; ; et . 4 4 4 2

3 54, 55 p. 103 56 p. 104

Chapitre 6 : Les fractions (partie 1)

Chapitre 7 Grandeurs & mesures (partie 1) I.

Les unités Tableaux interactifs : http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/tableaux.html 1. Masse

Définition La masse est la mesure d’une quantité de matière. Son unité est le gramme, notée g. Exemple : La masse d’une tablette de chocolat est 100 g. Autres unités de masse kilogramme kg 1 kg = 1000 g

hectogramme hg 1 hg = 100 g

décagramme dag 1 dag = 10 g

gramme g 1g

décigramme dg 1 dg = 0,1 g

centigramme cg 1 cg = 0,01 g

milligramme mg 1 mg = 0,001 g

Il existe aussi le « quintal », noté q et la « tonne », notée t, qui vérifient 1 t = 10 q = 1000 kg.

Conversions Par exemple :  1 dag = 100 dg  1 kg = 1000 g  1 cg = 0,1 dg

(le dag est 100 fois plus grand que le dg) ; (le kg est 1000 fois plus grand que le g) ; (le cg est 10 fois plus petit que le dg).

Exercice 1 : 1. Convertir 13 hg en g. 2. Convertir 43,52 cg en dg. 3. Compléter : 4,3 g = …… mg 45,2 kg = …… dag 458 dg = …… dag 3, 6, 9, 11 p. 224

2. Durée

Définition La durée est la mesure du temps entre deux instants donnés. Son unité est le seconde, notée s. Exemple : « Il faut environ 2 secondes pour lire cette phrase ». Autres unités de masse heure h 1 h = 3600 s

minute min 1 min = 60 s

seconde s 1s

Chapitre 7 : Grandeurs & mesures (partie 1)

Autres unités : jour, semaine, année, décennie, siècle, etc.

L’unité officielle de la seconde est notée s, et non sec ou sde. L’unité officielle de la minute est min, non mn ou m.

Conversions Par exemple :  1 h = 60 min

(1 h est 60 fois plus grande que la min).

Exercice 2 : 1. Convertir 25 min en s. 2. Calculer 2 h 35 min + 3 h 48 min. 3. Calculer 3 h 48 min – 2 h 35 min. 40, 41, 42, 44 p. 227

3. Longueur

Définition La longueur est la mesure d’une distance. Son unité est le mètre, notée m. Exemple : La salle de classe mesure environ 8 m de long. Autres unités de masse kilomètre km

hectomètre hm

décamètre dam

mètre m

décimètre dm

centimètre cm

millimètre mm

1 km = 1000 m

1 hm = 100 m

1 dam = 10 m

1 dm = 0,1 m

1 cm = 0,01 m

1 mm = 0,001 m

Conversions Par exemple :  1 dam = 100 dm (le dam est 100 fois plus grand que le dm) ;  1 mm = 0,001 m (le mm est 1000 fois plus petit que le m). Exercice 3 : Compléter : 5,6 m = …… cm 25,8 km = …… m 328 dm = …… dam 1, 2, 4, 10 p. 224 29 p. 227

II. Périmètre d’une figure 1. Définition

Définition Le périmètre d’une figure est la longueur que l’on parcourt lorsqu’on fait le tour de la figure. Pour déterminer le périmètre d’une figure, plusieurs techniques sont possibles.

Chapitre 7 : Grandeurs & mesures (partie 1)

Méthode Lorsque qu’aucune longueur ou codage ne sont donnés, on reporte sur une demi-droite le périmètre de la figure, puis on le mesure à la règle :

Dans le cas contraire, le périmètre s’obtient par addition des longueurs des côtés de la figure. Le codage est important, il peut servir à trouver des longueurs non inscrites : B

1,5 cm

1 cm

E 1,5 cm

4 cm

p = AB + BC + CD + DE + EF + AF = 2,5 + 2,5 + 1 + 1,5 + 1,5 + 4 = 13 cm.

2. Périmètres de quadrilatères particuliers Établir des formules de calcul de périmètres pour des quadrilatères suivants en fonction de la longueur de leurs côtés : Le cerf-volant

Le losange

Le rectangle

ℓ

Le carré

L p=a+b+a+b ou p = 2  (a + b)

p=c+c+c+c ou p = 4  c

p=L+ℓ+L+ℓ ou p = 2  (L + ℓ)

p=c+c+c+c ou p = 4  c 46, 47, 48, 50 p. 228

3. Longueur du cercle On dit aussi « périmètre d’un cercle » ou « circonférence ».

Le nombre Pi (noté ) À partir de plusieurs objets circulaires (bouchon d’un pot de Nutella, d’un bocal, roue de vélo, casserole, …), nous allons réaliser l’activité suivante, en commençant par un rouleau de ruban adhésif :

Chapitre 7 : Grandeurs & mesures (partie 1)

(attention : calculer !!) demander de ramener objets ronds…

Activité 1 :

Prendre un rouleau de ruban adhésif et mesurer son diamètre D : D = ………………

Faire une marque au niveau de l’extrémité du ruban.

On trouve D = 6,1cm.

Dérouler le ruban et couper au niveau de la marque.

Coller le ruban ainsi découpé sur une feuille de papier et mesurer sa longueur L : L = …………………

Diviser L par D : L  …,………… D

On trouve L = 19,2cm. À l’aide des autres objets, compléter le tableau suivant : Objet

Le rapport

Diamètre (D)

Longueur (L)

Rapport

L semble rester le même, quelque soit le diamètre du rouleau. D

Définition Le rapport entre la longueur d’un cercle est son diamètre est constant (toujours le même), il s’appelle Pi et se note .

Chapitre 7 : Grandeurs & mesures (partie 1)

L D

L’écriture décimale du nombre  est infinie. Ses première décimales sont :   3, 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679… Archimède (–285 ; –212), savant de Syracuse, trouva   3,14185 pour valeur approchée de , ce qui fut remarqua-ble pour l’époque où l’on ne connaissait pas encore les méthodes de calcul posés et où les figures se dessinaient souvent sur le sable. Anecdote à propos d’Archimède : Le roi Héron possédait une couronne qui pesait bien le poids d’or qu’il avait donné à son orfèvre, mais il n’était pas sûr que celui-ci ne l’avait pas trompé en travaillant la couronne avec d’autres matériaux que de l’or pur. Il demanda donc à Archimède de s’assurer de la supercherie sans refondre la couronne. La légende raconte que dans son bain, Archimède prit conscience de la poussée de l’eau sur tout corps plongé. Celui-ci fut si joyeux d’avoir trouvé la solution qu’il sortit de l’eau et aurait traversé la ville de Syracuse, tout nu, en criant « Eurêka ! » (j’ai trouvé !) Ainsi Archimède pesa de l’or dans l’eau puis hors de l’eau. Il constata que dans l’eau, l’or perd un vingtième de son poids. Il fit alors la même expérience avec la couronne du roi et s’aperçut que dans l’eau, la couronne perd plus d’un vingtième de son poids. Donc la couronne n’était pas faite que d’or, et le roi a été trompé !

Exemple Exercice 4 : On cherche à calculer la longueur d’un cercle de diamètre D = 5 cm. L 1. À quoi est égal  D (rappel du chapitre précédent) ? D L 2. À quoi est égal le rapport ? D 3. Remplacer cette expression dans l’égalité trouvée à la question 1. 4. Remplacer D par la valeur demandée (ici 5), et calculer L. 5. À partir de la question 3, peut-on énoncer une formule permettant de calculer la longueur L d’un cercle à partir de son diamètre D ? Formule

Formule Longueur d’un cercle =   diamètre, ou Longueur d’un cercle = 2    rayon,

avec   3, 14.

Exercice 5 : On cherche à calculer la longueur d’un cercle de diamètre D = 5 cm. 1. Calculer la longueur d’un cercle de 3 cm de rayon. 2. Calculer le périmètre d’un demi-cercle de diamètre 4 cm. 3. Calculer le périmètre d’un quart de cercle de rayon 4 cm. 4. Calculer le périmètre d’un cercle de 3 cm de diamètre. 12, 13, 14, 15 p. 225 49 p. 228

Chapitre 7 : Grandeurs & mesures (partie 1)

Chapitre 8 Calcul mental

Calculs (vient du latin « calculus » signifiant caillou) La légende raconte que le berger déposait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des prés, le berger sortait les cailloux du panier afin de vérifier le compte de moutons. + et – : Introduits par l’allemand Johannes Widdmann en 1489 pour les besoins du commerce. Le symbole « + » serait à l’origine un symbole « – » barré.  : Vient de l’anglais William Oughtred en 1631. = : Introduit par l’anglais Robert Recorde en 1557 qui le voyait comme deux lignes jumelles : « Rien n’est pareil que deux jumeaux ». Comble pour l’inventeur du symbole « = », il fut condamné pour dettes et mourra en prison !

Calculs en ligne Exercice 1 : Calculer mentalement : 1. 42,5 + 29,36 2. 79,36 – 21,2 On a tendance à répondre 71,41 et 58,34, alors que c’est faux ‼ En effet, dans l’addition, 5 et 36 n’ont pas le même rang (ce sont 5 dixièmes, mais 36 centièmes !). On n’a pas le droit de faire, pour le premier cas, « 42 + 29 = 71 et 5 + 36 = 41, donc 42,5 + 29,36 = 71,41. » ‼

Avant d’effectuer une addition ou une soustraction de deux nombres à virgule, il faut s’assurer qu’ils aient le même nombre de chiffres après la virgule.

II. Quelques astuces de calcul mental 1. Addition et soustraction  Additionner ou soustraire par 299 ; 199 ; 1001 ; 0,99 ; …

exemples :

2658 + 299 = 2957 +300

2958

Chapitre 8 : Calcul mental

–1

33,7 – 0,99 = 32,71 –1

32,7

+0,01

Exercice 1 : Calculer mentalement les sommes et différences suivantes : 473,5 + 9 ; 32 + 11 ; 65,26 + 11 ; 437 + 101 ; 627 – 99 ; 324 + 99 ; 2024 – 101.  Grouper astucieusement les termes

Pour le calcul d’une somme, l’ordre des termes n’a pas d’importance. Ce n’est pas vrai pour une différence. Exemple avec 21,26 + 3,12 + 78,74 + 6,88 : 21,26 + 3,12 + 78,74 + 6,88 = 21,26 + 78,74 + 3,12 + 6,88 = 100 + 10 = 110 2. Multiplication  Multiplier par 4 ( 2, puis  2)

41  4 = 164 2

2

 Multiplier par 0,5 (: 2)

32  0,5 = 16 :2

 Multiplier par 5 ( 10, puis : 2)

66  5 = 330  10

660

 Multiplier par 10 ; 100 ; 1000 ; …

Lorsqu’on multiplie un nombre par 1000, il "grandit" de 3 rangs : 32  1000 = 32000 15  500 = 15  5  100 = 6000 6,3  100 = 630 21,21  10 = 212,1

 Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; …

Lorsqu’on multiplie un nombre par 0,01, il "réduit" de 2 rangs : 312  0,001 = 0,312 63  0,1 = 0,63 1,2  0,001 = 0,0012 21,23  0,1 = 2,123

Grouper astucieusement les facteurs

Pour le calcul d’un produit, l’ordre des facteurs n’a pas d’importance. Ce n’est pas vrai pour un quotient. Exemple avec 2,5  6,68  4 : 2,5  6,68  4 = 2,5  4  6,68 = 10  6,68 = 66,8. Exercice 2 : Calculer mentalement les opérations suivantes : 7  9 ; 0,6  8 ; 0,3  11 ; 1,753  1000 ; 100  0,01 ; 2,78  0,1 ; 0,6  0,9. 28, 29 p. 55

III. Ordre de grandeur On remplace les termes ou les facteurs à calculer par des nombres proches et « plus simples ». Le résultat obtenu par remplacement est alors une valeur approchée du vrai résultat, permettant de vérifier la pertinence de celui-ci.

Chapitre 8 : Calcul mental

Définition Cette valeur approchée du résultat est appelé ordre de grandeur du résultat.

Il ne permet pas de vérifier que le calcul est correct, mais juste d’avoir une idée du résultat à trouver. Pratique pour vérifier si un calcul est FAUX. Exemples :  42,5 + 29,36  40 + 30 = 70  69,32  103,5  70  100 = 7000  79,36 – 21,2  80 – 20 = 60 Exercice 3 : Calculer mentalement un ordre de grandeur des opérations suivantes, puis calculer le résultat exact de l’opération, en posant l’opération. 1. 52,78  4,9634 2. 0,68341  62,489 3. (0,898  5,1) – 3,5 4. 1111  0,01 + 10 32, 34, 35 p. 71

Chapitre 8 : Calcul mental

Chapitre 9 Angles

Le mot « angle » vient du grec « agkon », qui signifie « coude ». Le mathématicien (ci-contre) et philosophe grec Thalès de Milet (–624 ; –548) considérait que l’angle était la quatrième mesure géométrique après la longueur, la surface et le volume.

Définition et notation 1. Exemple

Définition Un angle est une ouverture limitée par deux demi-droites. Ici, le sommet de l’angle est le point B. Ses extrémités sont les demi-droites [BA) et [BC).

A B B

Cet angle se note : ABC . C

(le sommet de l’angle s’écrit au milieu)

Exercice 1 : Voici une figure B

C 3

9 2

4 7

Compléter le tableau ci-dessous au fur et à mesure des indications du professeur. ANGLES NOMS TYPES MESURES

obtus 110°

aigu 40°

aigu 30°

aigu 60°

aigu 50°

aigu 70°

aigu 50°

droit 90°

aigu 40° 27, 29 p. 243 30 p. 244

Chapitre 9 : Angles

II. Vocabulaire

Angle aigu

inférieure à 90°

Angle droit

égale à 90°

Angle obtus

comprise entre 90° et 180°

Angle plat

égale à 180°

sera complétée au 3.

Exercice 2 : Compléter la deuxième ligne (Types) du tableau du I. (on pourra éventuellement d’aider d’une équerre). 28 p. 243

III. Le rapporteur 1. Mesurer un angle

Méthode Pour mesurer un angle, il faut suivre les 4 étapes suivantes : 4

Chapitre 9 : Angles

1 : On place le contre du rapporteur sur le sommet de l’angle. 2 : On place le (ou l’un des) zéro(s) sur une extrémité de l’angle. 3 : Les flèches du rapporteur recouvrent l’angle. 4 : La mesure de l’angle se lit sur l’autre extrémité de l’angle. Pour les rapporteurs à deux séries de mesures, on compte à partir du zéro que l’on a placé. On lit sur le rapporteur 38. L’unité d’angle est le degré qui se note °. On écrit donc = 38°. Exercice 3 : Compléter la troisième ligne (Mesures) du tableau du I. et la deuxième colonne (Mesure) du tableau du II. 2, 4, 5 p. 240 32, 38 p. 244

2. Construire un angle

Méthode Construire un angle de 32° :

5 : Relier la marque et le sommet de l’angle.

4 : Petite marque des 32° à l’aide du rapporteur *

1 : On commence par tracer une demi-droite

2 : On place le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle à construire. 3 : On place un zéro du rapporteur sur l’extrémité qu’on a tracé en 1. * : On compte 32° à partir du zéro que l’on a placé au point 3. 6, 7, 8, 11 p. 241 44, 45 p. 245

IV. Bissectrice d’un angle 1. Définition Construire un angle et le découper. Faire un pliage en superposant les 2 extrémités (demi-droites) de l’angle. Marquer ce pliage en rouge. L’angle est alors partagé en deux angles à mesurer : on trouve la même mesure pour chacun des deux angles. L’axe du pliage est la bissectrice de l’angle.

Chapitre 9 : Angles

Bissectrice de l’angle

Définition La Bissectrice d’un angle est la drotie qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Découvert par Euclide (IIIè s. avant J.-C.).

2. Construction a) Avec le rapporteur Il suffit de mesurer l’angle dont on doit construire la bissectrice, et de construire un angle à partir de l’une des deux extrémités, qui mesure la moitié de la mesure trouvée.

1, 2, 3 p. 194

b) Avec le compas (plus précis, prend moins de temps) A

C B

1 : on trace deux arcs de cercle de même rayon (par exemple 4 cm), qui donnent les points A et B. 2 : on trace deux arcs de cercle de centres A et B et de même rayon (on peut reprendre le rayon précédent pour plus de rapidité, mais on peut aussi prendre par exemple 6 cm). Ces deux arcs de cercles donnent un point noté C. 3 : On relie les points O et C → c’est la bissectrice recherchée. 4, 5, 6, 9, 10 p. 194

Chapitre 9 : Angles

Chapitre 10 Grandeurs & mesures (partie 2) I.

Unité d’aire 1. Définition

Définition La surface d’une figure est la partie qui se trouve à l’intérieur. L’aire est la mesure de la surface. Exemple de base :

1 cm

Ce carré possède une surface (ce qui est représenté en vert, à l’intérieur du carré). Cette surface peut être représentée par un nombre (en effet, la surface du rectangle est deux fois plus grande que celle du carré). Ce nombre s’appelle l’aire du carré. L’aire du carré ci-dessus (de 1 cm de côté) est égale à 1 cm2 (cm2 se lit « centimètre carré »).

2. Exemples Quelle est l’aire de ces deux figures (chaque carré a pour côté 1 cm) ?

a = 2 cm2

a = 5,5 cm2

Exercice 1 : 1. Calculer l’aire des figures en unité « carreau » :

2. Calculer l’aire des figures en unité « triangle » :

1 à 4 p. 258 (en dessinant les figures sur papier quadrillé)

Chapitre 10 : Grandeurs & mesures (partie 2)

3. Conversions Dans le carré ci-dessus de côté 1 cm, combien peut-on mettre de carrés de 1 mm de côté à l’intérieur ? Autrement dit, quelle est son aire en mm2 ? Dans un carré de 1 cm de côté, on peut construire exactement 100 petits carrés de 1 mm de côté, donc : 1 cm2 = 100 mm2 : = 1 cm2 = 100 mm2 Entre deux unités d’aires, il n’y a donc pas un, mais « deux rangs de décalage » : km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 2

1 km = 2 100 hm

1 hm = 2 100 dam

1 dam = 2 100 m

1 dm = 2 0,01 m

1 cm = 2 0,01 dm

1 mm = 2 0,01 cm

Il existe aussi l’ « hectare », noté ha et l’ « are », notée a, qui vérifient 1 ha = 100 a = 100 dam2.

Exercice 2 : 1. Convertir 28 m2 en cm2. 2. Convertir 4,32 dm2 en m2. 3. Convertir : 1 cm2 en mm2, 3,3 dm2 en mm2, 301,5 hm2 en m2, 2,1 dm2 en m2. 8 à 12 p. 259

Largeur

II. Formules d’aires

Aire = longueur  largeur

RECTANGLE

CARRÉ

Hauteur

Côté

Longueur

TRIANGLE RECTANGLE Base

Aire = côté  côté

Aire = base  hauteur  2

Exercice 3 : Calculer l’aire des figures suivantes : 4 cm 5 cm

2,5 cm 4,5 cm 32, 33, 34 p. 261 38, 39 p. 262

Chapitre 10 : Grandeurs & mesures (partie 2)

Chapitre 11 Triangles I.

Construction à partir des longueurs des côtés Reproduire en vraie grandeur le triangle ci-dessous :

3,5 cm

5 cm

6 cm

Méthode Figure :

Programme de construction : 1 : Tracer le segment [BC] de longueur 6 cm. 2 : Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 3,5 cm 3 : Tracer un arc de cercle de centre C et de rayon 5 cm. 4 : Le point A se trouve à l’intersection des deux arcs. 5 : Tracer les segments [AB] et [AC].

4 2

3,5 cm

5 cm

6 cm 1

49, 50 p. 150

II. Construction à partir des longueurs des côtés et des mesures d’angles Reproduire les triangles ci-dessous en vraie grandeur :

4 cm 40°

Chapitre 11 : Triangles

30°

40° 5 cm

6 cm

Méthode A

F 3

4 cm

2 1

40°

5 cm

40°

C D

30°

6 cm

Exercice 1 : Déterminer les programmes de construction de ces deux triangles. 9, 10 p. 241

III. Triangle isocèle 1. Définition

Définitions A Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur.  A est appelé sommet principal du triangle.  On dit que ABC est isocèle en A.  [BC] est apelée la base du triangle.

Vient du grec : « iso » (= égal) et « skelos » (= jambes).

2. Propriété

Propriété A

Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. B

3. Construction Un triangle isocèle reste avant tout un triangle. On le construit donc en utilisant l’une des méthodes ci-dessus, facilitée par le fait que deux longueurs sont les mêmes.

Chapitre 11 : Triangles

Rappel : Lorsque la construction n’est donnée que par du texte, il faut impérativement faire une figure à main levée avant, en y ajoutant les mesures et en y codant les informations. Voici ce à quoi ressemblerait la construction d’un triangle isocèle en A tel que AC = 4 cm et BC = 6 cm :

A 4 cm

6 cm

C 9b, 10, 13 p. 147 51, 52 p. 150

IV. Triangle équilatéral 1. Définition

Définition Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur.

Vient du latin : « equi » (= égal) et « lateris » (= côtés).

2. Propriété

Propriété Dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même mesure.

3. Construction Un triangle équilatéral se construit exactement comme un triangle isocèle. Voici un triangle équilatéral de 5 cm de côté :

Chapitre 11 : Triangles

5 cm

9a, 11, 16 p. 147 53 p. 150

V. Triangle rectangle 1. Définition

Définition A

Un triangle rectangle a deux côtés perpendiculaires. On dit que ABC est rectangle en A.

2. Construction Exercice 2 : 1. Construire le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 3 cm. 2. Construire le triangle EDF rectangle en D tel que DE = 3,5 cm et EF = 6 cm. http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=triangle_rectangle_hypotenuse.xml, puis appuyer sur le triangle vert (lecture).

Méthode 1) On commence donc par une figure à main levée, puis la « vraie » figure : C

3 2

4 3 cm

Chapitre 11 : Triangles

B 5 cm

Programme de construction : 1 : Tracer le segment [AB] de longueur 5 cm. 2 : Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A. 3 : Le point C se trouve sur cette perpendiculaire et à 3 cm de A. 4 : Tracer le segment [BC].

2) On commence toujours par une figure à main levée avant la « vraie » :

2 3

6 cm

3,5 cm

L 1

Programme de construction : 1 : Tracer le segment [AL] de longueur 3,5 cm. 2 : Tracer la perpendiculaire à [AL] passant par A. 3 : Tracer un arc de cercle de centre L et de rayon 6cm. 4 : L’arc de cercle coupe la perpendiculaire en G. 5 : Tracer le segment [LG]. 29, 30, 21, 35, 36 p. 165 64 p. 168

Chapitre 11 : Triangles

Chapitre 12 Divisions

Les divisions ont été introduites déjà par les romains sous forme de fractions, mais c’est en 1698 que l’allemand Gottfried Willhelm Leibniz, un des plus grands génies qui aient existés, introduisit le symbole « : » propre à la division. À la fois philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque toutes les branches des connaissances humaines.

Divisibilité 1. Définitions Exemple : 56 = …  … = …  … = 8  7.

Définitions   

7 et 8 sont des diviseurs de 56. 56 est divisible par 7 ; 56 est divisible par 8. 56 est un multiple de 7 ; 56 est un multiple de 8.

2. Critères de divisibilité # Un nombre est divisible par 2 s’il est pair s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8). Exemples : 2008 ; 2 ; 256 (nombre de joueurs à Roland-Garros en 2008) ; 20. # Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. Exemples : 125 ; 310 ; 20 (note maximale). # Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0. Exemples : 90 ; 20. # Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple : 123 456 est divisible par 3 car 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 l’est aussi. # Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple : 31 572 est divisible par 9 car 3 + 1 + 5 + 7 + 2 = 18, et 18 = 9  2. # Divisibilité par 7 sur un exemple : 3192

3 1 9 2 on soustrait le double de 2 à 319 – 4 3 1 5 on soustrait le double de 5 à 31 – 10 21 21 est divisible par 7, donc 3192 aussi.

Chapitre 12 : La division

46, 47, 50 p. 87

II. Division posée 1. Division euclidienne (rappel) Effectuons la division de 731 par 34 :

731 – 68

Le dividende

Le reste

34 21

Le diviseur Le quotient 9, 10 p. 241

05 1 –34 17

Le reste est toujours inférieur au diviseur. Légende : x Dans 73, combien de fois 34 ? 2 fois ! x 2  34 = 68 x 73 – 68 = 5 (inférieur au diviseur) On abaisse le 1 x Dans 51, combien de fois 34 ? 1 fois ! x 1  34 = 34 x 51 – 34 = 17 (inférieur au diviseur) On arrête, il n’y a plus rien à abaisser.

731 DIVIDENDE



DIVISEUR



QUOTIENT

+ 17 +

RESTE 34, 35 p. 86 (avec – ‼) 38, 40 p. 87

2. La division décimale (diviser un nombre à virgule par en nombre sans) La méthode est la même que pour la division euclidienne. On observe cependant quelques règles supplémentaires dues à la virgule : 1. Tous les chiffres du dividende doivent être abaissés ; 2. Lorsqu’on franchit la virgule au dividende, on la franchit aussi au quotient ; 3. On s’arrête lorsque le reste est égal à 0, ou que l’on observe une répétition dans les restes intermédiaires. Exercice 1 : Poser les divisions suivantes : 1. 32,12  4 2. 16,75  5 3. 45  8 4. 954  24 5. 23  11 (on donnera une valeur approché au millième). 7 p. 85 43, 44, 45 p. 87

Chapitre 12 : La division

Essayons de diviser 17 par 0 : LA DIVISION PAR 0 EST STRICTEMENT INTERDITE !!!

III. Calcul mental 1. Diviser par 4 Cela revient à diviser par 2 une première fois, puis une seconde fois. Exemple :

84  4 = 21 2

42 58

2 1

2. Diviser par 5 Cela revient à diviser par 10 dans un premier temps, puis multiplier par 2 dans un second temps. Exemple :

160  5 = 32  10

16 8

2 1

3. Diviser par 10, 100, 1000, … Lorsqu’on divise un nombre par 100, il « réduit » de 2 rangs. Exemples :

246  1000 = 0,246 3,9  100 = 0,039

18,7  10 = 1,87 0,91  100 = 0,0091

Diviser par 10 = Multiplier par 0,1 Diviser par 100 = Multiplier par 0,01 Diviser par 1000 = Multiplier par 0,001 … IV. Problèmes Les divisions seront fréquemment utilisées pour résoudre des problèmes rédigés en français (et non qu’avec des chiffres !). Il y a une méthodologie à respecter pour résoudre un tel problème :

Chapitre 12 : La division

1. Transformer les informations écrites en français dans l’énoncé en langage mathématique (si nécessaire). 2. Trouver la division à effectuer et la faire (en la posant). Ne pas oublier d’écrire l’égalité en ligne correspondant au résultat. 3. Donner une petite phrase de conclusion en français qui réponde à la question posée dans l’énoncé (attention aux éventuels pièges).

Voici deux exemples illustrant ces différentes étapes : Exercice 2 : M. LENZEN s’est récemment vu offrir un classeur comportant 6 intercalaires, dans lequel il souhaite ranger 100 feuilles. Il voudrait placer le même nombre de feuilles dans chacune des 6 parties du classeur. 1. Combien place-t-il de feuilles de chaque partie ? 2. Combien lui restera-t-il de feuilles ? Solution :

100 – 6 40 – 36 4

6 16

On a donc : 100 = 6  16 + 4. 1. M. LENZEN placera donc 16 feuilles dans chaque partie. 2. Il lui restera 4 feuilles.

Exercice 3 : La principale du collège a convoqué les 149 élèves de 6ème dans le réfectoire où les surveillants ont disposé des chaises par rangées de 18. 1. Combien faut-il prévoir de rangées ? 2. Combien reste-t-il de places libres dans la dernière rangée ? Solution :

149 – 11 39 – 33 6

11 13

On a donc : 149 = 11  13 + 6. 1. Il faut prévoir 13 + 1 = 14 rangées (13 sont pleines, et la 14ème contient les 6 élèves restants). 2. Il reste 13 – 6 = 7 places libres dans la dernière rangée. 1 à 6 p. 84 9 à 18 p. 85

Chapitre 12 : La division

Chapitre 13 Quadrilatères I.

Vocabulaire Définition Un polygone possédant quatre côtés s’appelle un quadrilatère. « Quadrilatère » vient du latin « quădrĭ » (= quatre) et « lătĕr » (= côtés).

Tous les quadrilatères sont composés de plusieurs éléments que l’on va détailler : diagonales

côtés consécutifs

angles opposés

C côtés opposés

A, B, C et D sont les sommets du quadrilatère ci-dessus. Pour nommer ce quadrilatère, il suffit de choisir un sommet « de départ » et de citer les autres sommets dans l’ordre où ils apparaissent en parcourant le quadrilatère. Différents noms sont possibles, mais d’autres sont interdits : Noms autorisés

ABCD, BCDA, CDAB, DABC, ADCB, BADC, CBAD, DCBA.

Noms interdits ! ABDC, ADBC, ACBD, ACDB, BACD, BCAD, BDAC, BDCA, CDBA, CBDA, CABD, CADB, DACB, DCAB, DBAC, DBCA.

II. Le cerf-volant Définition Un cerf-volant est un quadrilatère qui a deux paires de côtés consécutifs de la même longueur.

Chapitre 13 : Quadrilatères

Propriété 1 Si un quadrilatère est un cerf-volant, alors ses diagonales sont perpendiculaires. 18, 19 p. 195

III. Le losange Définition Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur. Vient du gaulois « lausa » (= pierre plate).

Propriété 2 Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles.

Propriété 3 Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu.

Propriété 4 Si un quadrilatère est un losange, alors ses angles opposés sont de même mesure. 12, 13 p. 195 47 p.198

IV. Le rectangle Définition Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. Vient du latin « rectus » (= droit) et « angŭlus » (= angle).

Chapitre 13 : Quadrilatères

Propriété 5 Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur.

Propriété 6 Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur. 14, 15, 20 p. 195 46 p. 198

V. Le carré Définition Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Vient du latin « quădrātus » (= carré).

Par conséquent, un carré est toujours un rectangle et un losange.

Propriété En conclusion, le carré possède toutes les propriétés de rectangle et toutes les propriétés du losange :

16, 17 p. 195 48, 49 p. 189

Chapitre 13 : Quadrilatères

Chapitre 14 Les fractions (partie 2) I.

Fractions égales Les deux surfaces, verte et rouge, sont de taille égale :

3 4 3 6 Comment passe-t-on de à ? 4 8

= 2 ⇒

6 8

3 6 = . 4 8 2

Propriété 1 On ne change pas une fraction lorsqu’on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre.

3 Activité 1 : On considère la fraction . 4 1. En ajoutant le nombre 5 au numérateur et au dénominateur de cette fraction, quelle nouvelle fraction trouve-t-on ? 2. Poser les deux divisions 3  4 et 8  9. Que peut-on en déduire ?

Cette règle n’est pas vraie pour l’addition et la soustraction ! 58, 59, 60, 61 p. 104 65, 66 p. 104

II. Simplification de fractions Nous venons de voir qu’à partir d’une seule fraction, nous pouvons en trouver des dizaines qui soient les mêmes, mais écrites avec des nombres plus « grands ». Cette démarche est toujours possible.

Chapitre 14 : Les fractions (partie 2)

Nous allons maintenant voir comment faire ce travail en sens inverse, c'est-à-dire trouver des fractions égales à une fraction donnée, mais s’écrivant avec des nombres plus petits.

Définition Simplifier une fraction revient à l’écrire avec des nombres plus « simples » (plus petits). Pour y arriver, il faudra donc diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre. 12 3600 66 ; et . 14 700 54

Activité 2 : Simplifier les fractions suivantes :

Exercice 1 : Simplifier les fractions suivantes : 32 64 15 49 14 8 120 12 3700 48 81 77 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; et . 28 80 35 35 21 16 140 36 1200 56 99 66

On s’arrête de simplifier que lorsqu’on ne peut trouver un nombre par lequel diviser numérateur et dénominateur, pas avant. Tant qu’on peut diviser, onle fait !! 1-6 + 10-15 p. 100 (oral) 7, 8, 9, 16, 17 p. 100 62, 63, 64 p. 104

III. Multiplier une fraction par un nombre 3 Exemple : Calculer 10  . 5 3 3 Puisque = 0,6, multiplier par revient à multiplier par 0,6 : 5 5 10

3 5

 0,6

3

5

Propriété 2 Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier ce nombre par le numérateur de la fraction, puis diviser le résultat par son dénominateur : 3 10  = 10  3  5. 5

Chapitre 14 : Les fractions (partie 2)

Remarquons que 10  5  3 est aussi égal à 6. Selon le calcul demandé, il peut être plus judicieux de faire la division en premier. Ce qui est à retenir est que l’ordre des opérations ne compte pas !

Exercice 2 : 1. Calculer le plus simplement possible : 2 3 10 2 14  ; 15  ; 0,9  et  7. 7 5 3 14 2. L’année dernière, il y avait 24 élèves en classe de 62, et le trois huitièmes des élèves étaient des filles. Combien y avait-il de filles dans cette classe ? 18, 19, 20, 21 p. 101 67, 68, 69 p. 104

Chapitre 14 : Les fractions (partie 2)

Chapitre 15 Symétrie axiale I.

Construire le symétrique d’un point Méthode Pour construire le symétrique d’un point A par rapport à une droite (d), seulement deux étapes sont à respecter : 1. Tracer la perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe (d) en M. 2. Reporter sur cette perpendiculaire la longueur AM de l’autre côté de la droite (d).

A 1 (d) M

A’

Ne surtout jamais oublier le codage, il fait entièrement partie de la figure !!! 21, 22, 23, 24 p. 181

II. Construire le symétrique d’une figure 1. Un polygone On commence par construire le symétrique de chacun des points du polygone, puis on relie les symétriques dans le même ordre. Exercice 1 : Construire le symétrique A’B’C’ du triangle ABC ci-dessous par rapport à la droite (d) : (d) A

A’

B’ C

C’ 1, 2, 3, 4 p. 178 25 p. 181

Chapitre 15 : Symétrie axiale

2. Une droite On commence par placer deux points A et B sur la droite. On trace leur symétrique A’ et B’, et il ne reste plus qu’à relier les points A’ et B’. La droite formée est la droite symétrique. Exercice 2 : Construire le symétrique de la droite (Δ) par rapport à la droite (d) : () (d)

(’)

A B’ A’

26, 27, 28 p. 181

3. Un cercle On commence par construire le symétrique du centre du cercle, qui donne donc le centre du cercle symétrique, et il ne reste plus qu’à prendre le rayon du premier cercle pour tracer le second. Exercice 3 : Construire le symétrique du cercle c par rapport à la droite (d) : c

O (d)

O’ c’ 29, 30 p. 181

III. Bilan des propriétés de la symétrie Propriétés Propriété 1 : Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur. Propriété 2 : Le symétrique d’une droite est une droite. Propriété 3 : Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon. Les centres de ces deux cercles sont symétriques l’un de l’autre. Propriété 4 : Le symétrique d’un angle est un angle de même mesure. 7 à 12 p. 179

Chapitre 15 : Symétrie axiale

IV. Axe de symétrie 1. Définition

Définition Une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure si les deux parties de la figure se superposent par un pliage le long de la droite (d). Autrement dit, si la figure est le symétrique d’elle-même. Exemples :

35, 36, 37 p. 182

2. Axe de symétrie d’un segment ou d’un angle

Propriétés Propriété 5 : L’axe de symétrie d’un segment est la médiatrice de ce segment. Propriété 6 : L’axe de symétrie d’un angle est la bissectrice de cet angle. Illustrations :

O y

Chapitre 15 : Symétrie axiale

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a 1 axe de symétrie. Cet axe passe par le sommet principal ; il est la bissectrice de son angle et la médiatrice du côté opposé.

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie. Ce sont les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles.

Cerfvolant

Un cerf-volant a 1 axe de symétrie : la diagonale qui est la médiatrice de l’autre diagonale.

Losange

Un losange a 2 axes de symétrie : ses diagonales. Elles sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Rectangle

Un rectangle a 2 axes de symétrie : les médiatrices de côtés opposés.

Carré

3. Axes de symétrie des figures usuelles

Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Il a donc 4 axes de symétrie : les diagonales et les médiatrices des côtés opposés.

Chapitre 15 : Symétrie axiale

Chapitre 16 Pourcentages

 Manuscrit italien de 1490 : « pc° » signifiait « per cento »

Manuscrit italien de 1684 : on trouve le symbole , proche de la notation actuelle 

Appliquer un pourcentage Un élève a lu cette phrase dans un journal : « 70 % des enfants aiment les mathématiques ». Que signifie cette phrase ? Que sur 100 enfants, il y en a 70 qui aiment les mathématiques. Toutes les écritures ci-dessous sont alors équivalentes :

Écritures 70 %

70 pour 100

70 100

70 sur 100

Activité 1 : Si 70 % des enfants aiment les mathématiques, combien d’entre eux devraient aimer les mathématiques dans un groupe de 30 ? Solution : On cherche les 70 % de 30. On rappelle que le mot « de » français correspond à «  » en mathématiques. On a donc : 70 70 % de 30 =  30 = 70  100  30 = 21. 100 21 enfants sur 30 devraient aimer les mathématiques. 14 à 19 p. 116

II. Quelques pourcentages à connaître Pourcentage revient à prendre… ou multiplier par…

10 % le dixième 0,1

25 % le quart 0,25

Chapitre 16 : Pourcentages

50 % la moitié

75 % les 3 quarts

0,5

0,75

100 % le tout 1

200 % le double 2

300 % le triple 3

III. Calculs de réduction Activité 2 : Sur un T-shirt qui coûtait 26 €, le commerçant accorde une remise de 40 %. Quel est le nouveau prix ? Solution : Il s’agit d’abord de déterminer le montant de la remise, égal à 40 % de 26 € : 40 40 % de 26 € =  26 € = 40  100  26 = 10,4 €. 100 Pour terminer, il suffit d’ôter du prix initial du T-shirt le montant de la réduction afin d’obtenir le prix final : 26 € – 10,4 € = 15,6 €. Le prix du T-shirt après réduction est donc de 15,6 €. 30, 31, 32 p. 117

Chapitre 16 : Pourcentages

Chapitre 17 Parallélépipède & cube I.

Le parallélépipède ou pavé droit Vient du grec « parallêlos » (= parallèle) et « epipedon » (= surface plane)

arête Hauteur

face sommet arêtes cachées largeur Longueur

Le parallélépipède possède 12 arêtes, 6 faces (des rectangles) et 8 sommets.

II. Le cube Définition Un cube est un parallélépipède dont toutes les faces sont des carrés.

III. Dessiner en perspective La perspective utilisée en mathématiques s’appelle la perspective cavalière. Elle permet de représenter dans le plan (une surface plane, comme une feuille ou le tableau) un objet de l’espace (appelé un solide). Les règles de la perspective cavalière sont les suivantes : - Les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin. - Les arêtes parallèles et de même longueur restent de la même longueur. - Les milieux restent au milieu. - Les points alignés restent alignés. - Les arêtes cachées se représentent en pointillés. - La « face avant » peut être représentée en vraie grandeur (si les mesures le permettent). - Les arêtes fuyantes sont représentées environ deux fois plus petites que dans la réalité, en suivant un angle d’environ 30° par rapport à l’horizontale.

Chapitre 17 : Parallélépipède & cube

Méthode Cinq étapes sont nécessaires pour dessiner un parallélépipède en perspective : 30°

1 : Tracer un rectangle en vraie grandeur 2 : Tracer trois segments parallèles et de même longueur (arêtes fuyantes) 3 : Relier la 2e extrémité de ces segments 4 : Finir le rectangle caché semblable au « rectangle avant » 5 : Tracer la dernière arête cachée. 1 à 9 p. 209 (en classe) 33, 34, 35 p. 212

IV. Fabrication d’un patron

4 cm

Exercice 1 : Fabriquer le patron du parallélépipède ci-dessous :

3 cm 6 cm

Développement du parallélépipède afin d’obtenir un patron :

Chapitre 17 : Parallélépipède & cube

Solution : 6 cm

4 cm

3 cm

25 p. 211 (26, 27 en classe) 31, 32 p. 212

V. Volume 1. Contenance En versant exactement 1 L de lait ou d’eau dans un cube d’exactement 1 dm de côté, on constaterait que le liquide monterait jusqu’au bord sans déborder :

1 dm 1 dm 1 dm L’unité de contenance est le litre, noté L. Donc 1 l est la contenance d’un cube de 1 dm d’arête. Il existe d’autres unités de contenance, données par ce tableau : hectolitre décalitre litre décilitre centilitre millilitre hL daL L dL cL mL 1 hL = 100 L

1 daL = 10 L

1 dL = 0,1 L

1 cL = 0,01 L

1 mL = 0,001 L 16 p. 259

2. Unité de volume Tout comme l’aire est la mesure de l’intérieur d’une figure, le volume est la mesure de l’intérieur d’un solide. Il est donc directement lié à sa contenance. 1 L est la contenance d’un cube de 1 dm d’arête. Cette mesure est associée à une unité de volume : le décimètre cube, noté dm3 : 1 L = 1 dm3.

Chapitre 17 : Parallélépipède & cube

De même, 1 m3 est le volume d’un cube de 1 m d’arête, 1 cm3 est le volume d’un cube de 1 cm d’arête, etc. Mais comment passe-t-on alors de l’une à l’autre ?? Cube de 1cm d’arête : 1 cm3

Cube de 1 dm d’arête

10 cubes

10 cubes 10 cubes

= 1 dm3

= 1000 cm3

Dans un cube de 1 dm d’arête, on peut donc ranger 10  10  10 = 1000 cubes de 1 cm d’arête, donc 1 dm3 = 1000 cm3. Entre deux unités de volume, il y a « trois rangs de décalage » : km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 1 km3 = 1000 hm3

1 hm3 = 1000 dam3

1 dam3 = 1000 m3

1 m3

1 dm3 = 0,001 m3

1 cm3 = 0,001 dm3

mm3 1 mm3 = 0,001 cm3

Tableaux interactifs : http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/tableaux.html

Exercice 2 : 1. Convertir 33 m3 en dm3, puis 265,3 cm3 en m3. 2. Convertir : 1 cm3 en mm3 ; 3,3 dm3 en mm3 ; 1,5 hm3 en dam3 ; 2,1 L en m3. 13 à 15, 17, 18 p. 259 40 p. 262

3. Calcul de volume

3 cm

1 cm3

4 cm 5 cm L’unité est le petit cube rouge de 1 cm d’arête, soit le cm3. Déterminer le volume du parallélépipède en cm3 revient à calculer le nombre de petits cubes que peut contenir ce parallélépipède. Sur une rangée, on place 5 petits cubes rouges. Sur une couche (celle du fond par exemple), on place 4 rangées de 5 petits cubes, soit 4  5 = 20 petits cubes. Ce parallélépipède peut contenir 3 couches de 20 petits cubes, soit 3  20 = 60 petits cubes. Chaque petit cube ayant un volume de 1 cm3, le parallélépipède a un volume de 60 cm3.

Chapitre 17 : Parallélépipède & cube

41 à 47 p. 262

Chapitre 18 Proportionnalité I.

Reconnaître une situation de proportionnalité Activité 1 : Le filet de 3 kg d’oranges est vendu 2,70 €. Mme Econome demande à l’épicier d’ouvrir un filer car elle ne souhaite acheter que 5 orange qui pèsent 2,100 kg. Elle paye 1,89 €. Elle voudrait savoir si le prix payé est proportionnel à la quantité achetée. Solution : 2,7  3 = 0,9 et 1,89  2,1 = 0,9. Les deux quotients sont égaux. Le prix payé est donc proportionnel à la quantité achetée. 0,9 est appelé coefficient de proportionnalité.

Activité 2 : Des stylos sont vendus par lots de trois, de six ou de neuf : Nombre de stylos 3 6 9 Prix du lot en € 0,90 1,80 2,50 Le prix est-il proportionnel au nombre de stylos achetés ? Solution : On a 3 + 6 = 9, mais 0,90 + 1,80 = 2,70 ≠ 2,50, donc en additionnant le prix de 3 stylos et le prix de 6 stylos, on ne trouve pas le prix de 9 stylos. Le prix des stylos n’est par conséquent pas proportionnel à leur nombre.

Activité 3 : Voici les tarifs permettant de faire des tours en manège : Nombre de tours 1 2 3 5 10 Prix en € 2 4 6 10 20 Le prix est-il proportionnel au nombre de tours de manège ? Solution : On a 1  2 = 2, 2  2 = 4, 3  2 = 6, 5  2 = 10 et 10  2 = 20. Le prix est 2 fois plus grand que le nombre de tours. Il s’agit bien d’une situation de proportionnalité. 2 est le coefficient de proportionnalité.

Définition -

Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par un même nombre : le coefficient de proportionnalité.

Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la deuxième ligne sont obtenus en multipliant les nombres de la première ligne par un même nombre : le coefficient de proportionnalité. 20 à 26 p. 116

Chapitre 18 : Proportionnalité

II. Appliquer une situation de proportionnalité Exercice 1 : Un cycliste a parcouru 50 km en 3 heures. En supposant qu’il roule toujours à la même vitesse, compléter le tableau suivant en vous aidant des méthodes indiqués dans les trois activités précédentes : Distance en km 100 150 110 30 Temps en min 270 72 Solution : On commence par remplir la première colonne avec l’information donnée : 50 km en 3 h= 180 min. On constate que puisque le cycliste roule toujours à la même vitesse, il y a proportionnalité entre la distance et le temps. Ensuite, deux méthodes existent pour remplir le tableau : Méthode 1 (« à l’arrache ») : 50  2 = 100 et 180  2 = 360, donc on met 360 en-dessous de 100 dans le tableau. Ensuite, 50 + 100 = 150 et 180 + 360 = 540, donc on met 540 endessous de 150 dans le tableau, etc. Méthode 2 (avec coefficient) : On détermine le coefficient de proportionnalité en faisant par exemple 180  50 = 3,6 (en effet, d’après le deuxième tiret de la définition, on a bien que 50  3,6 = 180 !). D’après le second tiret de la définition, on remplit les cases endessous de 100, 150, 110 et 30 en multipliant ces valeurs par 3,6 et les cases au-dessus de 270 et 72 en divisant par 3,6.

Exercice 2 : Compléter le tableau de proportionnalité suivant : Durée de communications du forfait 3 téléphonique en h Prix du forfait en € 35

7,5

Solution : 3  35 et 35  3 ne donnent pas de valeur exacte. Nous devons alors exprimer 35 le coefficient de proportionnalité sous forme fractionnaire : 35  3 = . Le prix 3 recherché est alors donné par le calcul suivant : 35 7,5  = 7,5  3  35 = 2,5  35 = 87,5 €. 3

Exercice 3 : Pour faire des crêpes pour 5 personnes, on a besoin de 400 g de farine, 3 œufs et 1 L de lait. Quelle quantité de farine sera nécessaire pour 4 personnes ? Solution : Revenons à l’unité en calculant la quantité de farine nécessaire pour une personne : 400  5 = 80 g. Pour 4 personnes, il en faut 4 fois plus, soit 4  80 = 320 g. 1 à 6 p. 114 7 à 13 p. 115 27, 28, 29 p. 117

Chapitre 18 : Proportionnalité

Chapitre 19 Tableaux & graphiques I.

Tableaux 1. L’enquête Thème de l’enquête : Saisons de naissance Population étudiée : Classe de 6ème … Effectif total : … Résultat de l’enquête :

Printemps Été Automne Hiver

IIIII II IIIII III IIIII IIIII I

2. Tableau des effectifs Ces résultats seront plus clairs présentés sus forme de tableau : Saisons Printemps Été Automne Effectifs 7 8 5

Hiver 6 1, 3, 4 p. 130

II. Diagramme en bâtons Diagramme en bâtons des saisons de naissance des élèves de 6ème. 10

Effectifs

8 6 4 2 0 Printemps

Été

Automne

Hiver

Saisons 5, 6 p. 131 11 p. 133

III. Diagramme circulaire ou « camembert » Il faut d’abord reprendre le tableau pour y ajouter une ligne et une colonne, devenant ainsi un tableau de proportionnalité à compléter : Saisons Printemps Été Automne Hiver TOTAL Effectifs 7 8 5 6 26 Angle 97° 111° 69° 83° 360°

Chapitre 19 : Tableaux & graphiques

Diagramme circulaire des saisons de naissance des élèves de 6ème. 6

7 Printemps Été Automne Hiver

5 8

12 p. 133 30 p. 137

IV. Graphique cartésien Les statistiques météo ci-dessous représentent les valeurs moyennes des durées d’ensoleillement à Strasbourg pour chacun des mois de l’année. La période d’échantillonnage des données représentées est de 30 ans, soit de 1961 à 1991. Mois J F M A M J J A S O N D Ensoleillement en h 42 79 123 161 197 212 240 215 168 101 58 43

Ensoleillement en h

Graphique des valeurs moyennes des durées d'ensoleillement à Strasbourg pour chacun des mois de l'année 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 J

Mois de l'année 13, 14 p. 133 29 p. 137

Chapitre 19 : Tableaux & graphiques