Morfismos, Vol 15, No 1, 2011 by Morfismos, Department of Mathematics, Cinvestav

VOLUMEN 15 NÚMERO 1 ENERO A JUNIO DE 2011 ISSN: 1870-6525

Morfismos Departamento de Matem´aticas Cinvestav

Chief Editors - Editores Generales • Isidoro Gitler • Jes´ us Gonz´alez

Associate Editors - Editores Asociados • Ruy Fabila • Ismael Hernández • Onésimo Hern´ andez-Lerma • Héctor Jasso Fuentes • Sadok Kallel • Miguel Maldonado • Carlos Pacheco • Enrique Ram´ırez de Arellano • Enrique Reyes • Dai Tamaki • Enrique Torres Giese

Apoyo Técnico • Irving Josué Flores Romero • Omar Hernández Orozco • Roxana Mart´ınez • Carlos Daniel Reyes Morales • Iv´ an Mart´ın Su´ arez Barraza • Laura Valencia Morfismos est´ a disponible en la direcci´ on http://www.morfismos.cinvestav.mx. Para mayores informes dirigirse al teléfono +52 (55) 5747-3871. Toda correspondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matemáticas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, México, D.F. 07000, o por correo electr´ onico a la direcci´ on: morfismos@math.cinvestav.mx.

VOLUMEN 15 NÚMERO 1 ENERO A JUNIO DE 2011 ISSN: 1870-6525

Morfismos Departamento de Matem´aticas Cinvestav

Morfismos, Volumen 15, N´ umero 1, enero a junio de 2011, es una publicación semestral editada por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav), a través del Departamento de Matem´ aticas. Av. Instituto Politécnico Nacional No. 2508, Col. San Pedro Zacatenco, Delegaci´ on Gustavo A. Madero, C.P. 07360, D.F., Tel. 55-57473800, www.cinvestav.mx, morfismos@math.cinvestav.mx, Editores Generales: Drs. Isidoro Gitler Golwain y Jes´ us Gonz´ alez Espino Barros. Reserva de Derechos No. 04-2008-100210441300-102, ISSN: 1870-6525, ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Certificado de Licitud de T´ıtulo No. 14729, Certificado de Licitud de Contenido No. 12302, ambos otorgados por la Comisi´ on Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretar´ıa de Gobernaci´ on. Impreso por el Departamento de Matemáticas del Cinvestav, Avenida Instituto Politécnico Nacional 2508, Colonia San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, México, D.F. Este n´ umero se terminó de imprimir en septiembre de 2011 con un tiraje de 50 ejemplares. Las opiniones expresadas por los autores no necesariamente reflejan la postura de los editores de la publicaci´ on. Queda estrictamente prohibida la reproducción total o parcial de los contenidos e imágenes de la publicaci´ on, sin previa autorización del Cinvestav.

Information for Authors The Editorial Board of Morfismos calls for papers on mathematics and related areas to be submitted for publication in this journal under the following guidelines: • Manuscripts should fit in one of the following three categories: (a) papers covering the graduate work of a student, (b) contributed papers, and (c) invited papers by leading scientists. Each paper published in Morfismos will be posted with an indication of which of these three categories the paper belongs to. • Papers in category (a) might be written in Spanish; all other papers proposed for publication in Morfismos shall be written in English, except those for which the Editoral Board decides to publish in another language. • All received manuscripts will be refereed by specialists.

• In the case of papers covering the graduate work of a student, the author should provide the supervisor’s name and affiliation, date of completion of the degree, and institution granting it. • Authors may retrieve the LATEX macros used for Morfismos through the web site http://www.math.cinvestav.mx, at “Revista Morfismos”. The use by authors of these macros helps for an expeditious production process of accepted papers. • All illustrations must be of professional quality.

• Authors will receive the pdf file of their published paper.

• Manuscripts submitted for publication in Morfismos should be sent to the email address morfismos@math.cinvestav.mx.

Informaci´ on para Autores El Consejo Editorial de Morfismos convoca a proponer art´ıculos en matem´ aticas y ´ areas relacionadas para ser publicados en esta revista bajo los siguientes lineamientos: • Se considerar´ an tres tipos de trabajos: (a) art´ıculos derivados de tesis de grado de alta calidad, (b) art´ıculos por contribuci´ on y (c) art´ıculos por invitaci´ on escritos por l´ıderes en sus respectivas ´ areas. En todo art´ıculo publicado en Morfismos se indicar´ a el tipo de trabajo del que se trate de acuerdo a esta clasificaci´ on. • Los art´ıculos del tipo (a) podr´ an estar escritos en espa˜ nol. Los dem´ as trabajos deber´ an estar redactados en ingl´ es, salvo aquellos que el Comit´ e Editorial decida publicar en otro idioma. • Cada art´ıculo propuesto para publicaci´ on en Morfismos ser´ a enviado a especialistas para su arbitraje. • En el caso de art´ıculos derivados de tesis de grado se debe indicar el nombre del supervisor de tesis, su adscripci´ on, la fecha de obtenci´ on del grado y la instituci´ on que lo otorga. • Los autores interesados pueden obtener el formato LATEX utilizado por Morfismos en el enlace “Revista Morfismos” de la direcci´ on http://www.math.cinvestav.mx. La utilizaci´ on de dicho formato ayudar´ a en la pronta publicaci´ on de los art´ıculos aceptados. • Si el art´ıculo contiene ilustraciones o figuras, ´ estas deber´ an ser presentadas de forma que se ajusten a la calidad de reproducci´ on de Morfismos. • Los autores recibir´ an el archivo pdf de su art´ıculo publicado.

• Los art´ıculos propuestos para publicaci´ on en Morfismos deben ser dirigidos a la direcci´ on morfismos@math.cinvestav.mx.

Lineamientos Editoriales Morfismos, revista semestral del Departamento de Matem´ aticas del Cinvestav, tiene entre sus principales objetivos el ofrecer a los estudiantes m´ as adelantados un foro para publicar sus primeros trabajos matem´ aticos, a fin de que desarrollen habilidades adecuadas para la comunicaci´ on y escritura de resultados matem´ aticos. La publicaci´ on de trabajos no est´ a restringida a estudiantes del Cinvestav; deseamos fomentar la participaci´ on de estudiantes en México y en el extranjero, as´ı como de investigadores mediante art´ıculos por contribuci´ on y por invitaci´ on. Los reportes de investigaci´ on matem´ atica o res´ umenes de tesis de licenciatura, maestr´ıa o doctorado de alta calidad pueden ser publicados en Morfismos. Los art´ıculos a publicarse ser´ an originales, ya sea en los resultados o en los métodos. Para juzgar ésto, el Consejo Editorial designar´ a revisores de reconocido prestigio en el orbe internacional. La aceptaci´ on de los art´ıculos propuestos ser´ a decidida por el Consejo Editorial con base a los reportes recibidos. Los autores que as´ı lo deseen podr´ an optar por ceder a Morfismos los derechos de publicaci´ on y distribuci´ on de sus trabajos. En tal caso, dichos art´ıculos no podr´ an ser publicados en ninguna otra revista ni medio impreso o electr´ onico. Morfismos solicitar´ a que tales art´ıculos sean revisados en bases de datos internacionales como lo son el Mathematical Reviews, de la American Mathematical Society, y el Zentralblatt MATH, de la European Mathematical Society.

Morfismos

Editorial Guidelines Morfismos is the journal of the Mathematics Department of Cinvestav. One of its main objectives is to give advanced students a forum to publish their early mathematical writings and to build skills in communicating mathematics. Publication of papers is not restricted to students of Cinvestav; we want to encourage students in Mexico and abroad to submit papers. Mathematics research reports or summaries of bachelor, master and Ph.D. theses of high quality will be considered for publication, as well as contributed and invited papers by researchers. All submitted papers should be original, either in the results or in the methods. The Editors will assign as referees well-established mathematicians, and the acceptance/rejection decision will be taken by the Editorial Board on the basis of the referee reports. Authors of Morfismos will be able to choose to transfer copy rights of their works to Morfismos. In that case, the corresponding papers cannot be considered or sent for publication in any other printed or electronic media. Only those papers for which Morfismos is granted copyright will be subject to revision in international data bases such as the American Mathematical Society’s Mathematical Reviews, and the European Mathematical Society’s Zentralblatt MATH.

Morfismos

El Cinvestav y su Departamento de Matemáticas festejan este a˜ no sus quincuagésimos aniversarios. Por tal motivo, a partir de este n´ umero Morfismos se enorgullece de presentar, mediante art´ıculos panorámicos, el trabajo matemático de los profesores de nuestro departamento con la mayor trayectoria académica. Al mismo tiempo, Morfismos festeja su decimoquinto aniversario con una revisión y actualización de sus objetivos, metas y visión general de su papel en el medio académico nacional e internacional. Estamos convencidos de que Morfismos y nuestro Departamento de Matemáticas continuarán su ascendente y fruct´ıfera trayectoria.

¡ Felicidades a Ambos !

Cinvestav and its Mathematical Department celebrate this year their fiftieth anniversary. Morfismos joins the festivities by proudly presenting, starting with this issue and through survey papers, the work of the professors in our department with the most notable mathematical influence. Morfismos is also celebrating its fifteenth anniversary with a revision and general update of its goals and role within the national and international scientific community. We believe Morfismos and our Department of Mathematics will continue with an ascending and fruitful development.

Congratulations to Both !

Contents - Contenido La obra matem´ atica de Samuel Gitler al Quincuag´esimo Aniversario del Departamento de Matem´ aticas del Cinvestav Jes´ us Gonz´ alez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sobre la din´ amica del sistema de Lamb con masa cero Marco Antonio Taneco Hern´ andez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs Carlos M. Ramos and Feli´ u D. Sagols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Morfismos, Vol. 15, No. 1, 2011, pp. 1–8

La obra matema´tica de Samuel Gitler al Quincuag´esimo Aniversario del Departamento de Matema´ticas del Cinvestav Jesu ´s Gonza´lez

2010 Mathematics Subject Classification: 55-02, 55-06. Keywords and phrases: Samuel Gitler, Topolog´ıa Algebraica, Departamento de Matema ´ticas del Cinvestav. Es un gran honor poder compartir con ustedes algunos pensamientos sobre la trascendencia del traba jo de Samuel Gitler en las matema´ticas modernas.1 Una de las cualidades del topo ´logo algebraico es el saber destilar las propiedades geométricas de los espacios, condensańdolas en sus ingredientes homoto ´picos esenciales. Sin embargo, poder contraer, dentro de una charla de 30 minutos, la labor de uno de los genios matema´ticos mas influyentes que nuestro pa´ıs ha producido es un reto mayor pues el espacio de traba jo de Samuel se caracteriza por tener una dimensioń homoto´pica alt´ısima. As´ı pues, con detalles técnicos reducidos al m´ınimo posible, esta charla necesariamente hara´ un brev´ısimo recorrido por los puntos medulares de la obra de Samuel, sus cualidades humanas y cient´ıficas, y la profunda huella que ha dejado en el desarrollo de la topolog´ıa. Al revisar los diversos correos electrońicos en donde se anuncia este evento, se puede ver que el t´ıtulo de esta charla estaba planeado originalmente como: “Samuel Gitler y el desarrollo de la topolog´ıa en el Departamento de Matema ´ticas del Cinvestav”. Pero el poster que se 1

Discurso del Dr. Jesu ´ s Gonza ´lez durante la celebracio ´n del cincuentenario del Departamento de Matema ´ticas del Cinvestav.

Jes´ us Gonz´alez

preparó para el evento muestra el ligero cambio que se hizo posteriormente en el t´ıtulo, a saber: “Samuel Gitler y el desarrollo de la topolog´ıa en México”. Para el conocedor de la trayectoria de Samuel, esta extensión de objetivos sólo hace patente el hecho de que el t´ıtulo correcto de la charla, en todo caso, tendr´ıa que haber sido: “Samuel Gitler y el desarrollo de la topolog´ıa en el mundo”. En efecto, Samuel es uno de los poqu´ısimos matemáticos, no sólo mexicanos, sino a nivel mundial, cuyo talento, amor por la ciencia e incansable investigaci´ on cient´ıfica han trascendido a niveles que le aseguran un lugar destacado en la historia universal de las matemáticas. Cuando Samuel concluy´ o sus estudios doctorales en la Universidad de Princeton, Norman Steenrod, su asesor, le comentó sobre lo afortunado que era, para un recién doctorado, el poder regresar a su propio pa´ıs a colaborar con José Adem, uno de los brillantes jóvenes matemáticos de la época. Evidentemente, el comentario de Steenrod no fue del todo preciso: fue nuestro querido México el afortunado de contar con estos dos cient´ıficos de primer nivel, que jugar´ıan un papel fundamental en la detonaci´ on y posterior consolidación del vertiginoso desarrollo matem´ atico que nuestro pa´ıs estaba por experimentar. Y no pudo ser mejor el momento: Samuel terminó sus estudios doctorales justo en un periodo en que una plétora de nuevos métodos hac´ıan su aparición para revolucionar la topolog´ıa; por su puesto, todos ellos estaban empacados en la maleta de la familia Gitler de regreso a México. El siglo XX se conoce en las matemáticas como el Siglo de la Topolog´ıa, y en la década de los 50’s alcanz´ o uno de sus momentos cumbres, con el trabajo de diversos matem´ aticos muy distinguidos, entre los que figura Solomon Lefschetz, otro importante impulsor de la ciencia matemática en México. Dentro de los temas de mayor actividad en aquel momento se encontraba el de la existencia y clasificación de encajes e inmersiones euclideanas de una variedad dada—por ejemplo los modelos tridimensional usuales de la botella de Klein y del plano proyectivo. Y ese fue justamente el tema central que el joven Samuel abordara, por aproximadamente los primeros 15 a˜ nos de su carrera cient´ıfica, con notables resultados, particularmente en el caso de los espacios proyectivos. Alejandro nos ha platicado acerca del trabajo de José Adem en relación a las operaciones cohomol´ ogicas de Steenrod, sus relaciones universales, y las operaciones cohomológicas derivadas. En los albores

La obra matem´ atica de Samuel Gitler

de su vida académica profesional, y junto con José, Samuel realizó un profundo estudio de estas operaciones secundarias, aplicando el conocimiento as´ı desarrollado al problema de inmersión de variedades. Los resultados que obtuvieron fueron sobresalientes, particularmente en el caso de los espacios proyectivos—que tradicionalmente han sido uno de los puntos de comparaci´ on est´ andar para medir la fuerza de cada nuevo avance en el ´ area. Para nuestros fines, la mejor forma de apreciar los alcances de los primeros trabajos de la pareja Adem-Gitler es observando el “antes y despues” en la escena matemática. El problema de determinar la m´ınima dimensión euclideana donde un espacio proyectivo dado admite una inmersión es un problema en extremo dif´ıcil, aun abierto en la actualidad, y que recientemente ha generado un renovado interés debido a una conexión inesperada con problemas cl´ asicos en rob´ otica. A finales de los 50’s, pr´ acticamente no se conoc´ıan inmersiones expl´ıcitas de espacios proyectivos, más que las que se derivan del trabajo de Whitney, quien en la década de los 30’s hab´ıa mostrado que, de hecho, toda variedad admite una inmersión euclideana en dimensi´ on uno menos que el doble de la dimensión de la propia variedad. También se sab´ıa que, en el caso de un espacio proyectivo de dimensi´ on potencia de dos, la inmersión de Whitney ser´ıa óptima, es decir que la variedad no admit´ıa una inmersión en una di´ mensión euclidena menor. Esta era, pues, la u ńica familia de inmersiones o´ptimas conocida a inicios de los 60’s. Pero el trabajo de Samuel y sus colaboradores revolucion´ o tan incipiente panorama al establecer 3 de las 7 familias de inmersiones ´ optimas que se conocen en la actualidad para espacios proyectivos. De hecho, el papel de l´ıder mundial que Samuel ha jugado se aprecia tanto por su prol´ıfica actividad cient´ıfica ya desde la década de los 60’s, como porque r´ apidamente se destacó como experto, no sólo por establecer m´ ultiples resultados ´ optimos en el problema de inmersión de variedades, sino por el hecho m´ as importante a´ un de que, como veremos en breve, su trabajo molde´ o, de forma sustancial, los futuros desarrollos de la topolog´ıa algebraica. En efecto, la profunda huella dejada por Samuel y sus colaboradores en el problema de inmersi´ on fue apenas el inicio de una espectacular carrera cient´ıfica: el método de Adem y Gitler para analizar operaciones cohomológicas de ´ ordenes superiores trascendió debido, por una parte, al profundo enraizamiento de la técnica dentro la teor´ıa de homotop´ıa, y por la otra, al extraordinario genio e incre´ıble intuición matemática

Jes´ us Gonz´alez

que caracterizan a Samuel, mismas que invariablemente lo conducen al punto medular que resuelve el problema geométrico en turno. Pero conviene contextualizar el gran desarrollo que se avecinaba. A inicios de los 50’s, Mikhail Postnikov introdujo un método para reconstruir el tipo de homotop´ıa de un espacio a partir de sus grupos de homotop´ıa. A finales de esa misma década la construcción de Postnikov fue ampliada y refinada por John Moore, para producir una extensión natural de la teor´ıa de espacios cubrientes, en donde no sólo el grupo fundamental, sino todos los grupos de homotop´ıa juegan un papel esencial. Sin embargo, aunque extremadamente poderosa, la teor´ıa resultante es particularmente dif´ıcil de manipular en casos concretos. A finales de los 60’s, este inconveniente fue subsanado por Samuel en colaboración con Mark Mahowald, quienes modificaron la teor´ıa de MoorePostnikov mediante la introducci´ on de técnicas del álgebra homológica. El resultado fue un método altamente manipulable para evaluar operaciones cohomol´ ogicas de ´ ordenes superiores y, consecuentemente, estudiar de modo eficaz las propiedades homotópicas de diversos objetos geométricos de interés. La idea es comparable a la posibilidad de reconstruir un organismo a partir de su información genética, sólo que, en el caso matem´ atico, esta posibilidad ha sido una auténtica realidad durante ya varias décadas. La experiencia que Samuel desarrolló con este trabajo rindió frutos importantes en muy poco tiempo. En colaboración con Edgar Brown, Samuel construy´ o uno de los objetos matemáticos de la mayor influencia en el desarrollo de la topolog´ıa moderna: el espectro de Brown-Gitler, introducido en 1973 en un art´ıculo seminal, y publicado en la principal revista del ´ area en aquel momento. La motivaci´ on original de tal trabajo fue particularmente ambiciosa: estudiar la naturaleza de las obstrucciones de orden mayor que surgen dentro del problema de inmersi´ on de variedades arbitrarias. El resultado fue una familia de teor´ıas de cohomolog´ıa generalizada respecto a la cual todas las variedades son orientables, pero a diferencia de la cohomolog´ıa singular con coeficientes módulo 2, la orientabilidad se logra de la manera m´ as limpia posible, en el sentido de que, si bien la orientación módulo 2 de cualquier variedad se levanta canónicamente a los espectros de Brown-Gitler, en la cohomolog´ıa módulo 2 de éstos u ´ltimos se han eliminado todas aquellas operaciones de Steenrod que de por s´ı se anulan en la clase de Thom del haz normal a cualquier variedad.

La obra matem´ atica de Samuel Gitler

Debido a este alto contenido de información geométrica, no es de sorprenderse que el espectro de Brown-Gitler resultara ser central en la teor´ıa de homotop´ıa moderna. En efecto, durante las u ´ltimas cuatro décadas este objeto ha jugado un papel especial en el avance y/o resolución de problemas fundamentales en el área. El primero y mas natural de estos problemas es la llamada “Conjetura de Inmersi´ on”, que afirma que toda variedad admite una inmersión euclideana en poco menos que la dimensión de Whitney. Este “poco menos” se refiere al n´ umero de 1’s que aparecen en la expresión binaria de la dimensi´ on de la variedad en cuestión. En el programa de Ralph Cohen para resolver esta conjetura, el espectro de Brown-Gitler es utilizado en un paso clave a fin de identificar el tipo de homotop´ıa del espacio que clasifica los haces normales a las variedades de una dimensión dada cuando se insiste en ignorar las clases caracter´ısticas que no detectan a tales haces. La segunda gran aplicaci´ on del espectro de Brown-Gitler fue en la resolución de uno de los problemas más significativos en la teor´ıa de homotop´ıa de los 80’s: la llamada “Conjetura de Sullivan”. En una de sus m´ ultiples formas, este resultado describe la naturaleza homotópica del espacio de funciones que parten del espacio clasificante de un grupo discreto, y llegan a un espacio de lazos iterados de un complejo celular finito. La conjetura afirma que, salvo homotop´ıa, las u ńicas tales funciones son constantes. Haynes Miller probó la “Conjetura de Sullivan” haciendo uso de la sucesi´ on espectral de Adams que calcula los grupos de homotop´ıa del espacio de funciones en consideración. La evaluación del término inicial de esta sucesión espectral requiere, a su vez, del uso de diversas sucesiones espectrales auxiliares. Miller usó el espectro de Brown-Gitler para probar que, de hecho, la primera de estas sucesiones auxiliares se aniquila después de su primera diferencial. La importancia de esta aplicaci´ on del espectro de Brown-Gitler radica en sus m´ ultiples consecuencias dentro problemas fundamentales en la teor´ıa de homotop´ıa. Por ejemplo, la Conjetura de Sullivan implica una famosa conjetura hecha en los 50’s por Jean-Pierre Serre, y que extiende su estudio de la torsi´ on en los grupos de homotop´ıa de esferas. La conjetura de Serre se refiere al hecho de que cualquier complejo celular finito sin grupo fundamental y cuya homolog´ıa contenga torsión primaria sólo en una cantidad finita de dimensiones (como es el caso de las esferas), necesariamente tendr´ a una infinidad de grupos de homotop´ıa con esa misma torsi´ on primaria.

Jes´ us Gonz´alez

La tercera aplicaci´ on del espectro de Brown-Gitler que mencionaré es de hecho no menos impresionante, pues está directamente ligada al objeto que acabamos de mencionar, y que es central en la topolog´ıa algebraica, a saber, los grupos de homotop´ıa de esferas. En los a˜ nos 60’s Frank Adams introdujo una maquinaria (la sucesión espectral que lleva su nombre) para organizar estos grupos por “capas”, o filtraciones. Como escuchamos en la pl´ atica de Alex, el propio Adams demostró que sólo hay 4 elementos con invariante de Hopf unitario en los grupos de homotop´ıa de esferas, que estos 4 elementos viven en filtración 1, y corresponden a las 4 u ńicas estructuras de álgebras reales de división que existen: los reales, los complejos, los cuaternios y los octonios. Otro ejemplo m´ as reciente fue anunciado en el 2009 durante la conferencia organizada en la Universidad de Edinburgo para celebrar el octogésimo aniversario de Sir Machael Atiyah. En esa ocasión, Mike Hill, Mike Hopkins y Doug Ravenel reportaron que hay a lo más 6 elementos con invariante unitario de Kervaire, todos los cuales, se sabe, viven en filtración 2. Este u ´ltimo es un resultado espectacular debido a su relación con la clasificaci´ on, en términos homotópicos, de estructuras diferenciales exóticas en esferas. Pero de regreso a la relevancia del espectro de Brown-Gitler en este contexto, el punto que quiero marcar aqu´ı es que los dos fenómenos anteriores (la finitud de elementos con invariantes unitarios de Hopf y de Kervaire) apuntan en la direcci´ on de una conjetura hecha por Joel Cohen en 1970, y que domin´ o la atención topológica de esa década. La conjetura afirmaba que, en una filtración dada, sólo podr´ıa haber una cantidad finita de elementos de grupos de homotop´ıa de esferas. Pero a finales de los 70’s Mahowald observó que el espectro de Brown-Gitler surge como una pieza clave en la descomposición estable de algunos es´ pacios de lazos iterados de esferas. Esto condujo a la costrucción de familias infinitas de elementos en los grupos de homotop´ıa de esferas dentro de una misma filtraci´ on, echando por tierra la tan popular conjetura de Cohen. Por su trascendencia, estas tres apariciones del espectro de BrownGitler son representativas de la marcada influencia Gitleriana en el desarrollo de la topolog´ıa algebraica durante las u ´ltimas 5 décadas. De hecho, la tecnolog´ıa detr´ as del espectro de Brown-Gitler lleg´ o a ser tan importante desde los 80’s que, en junio de 1985, la Sociedad Matemática Estadounidense organiz´ o un simposio con ese tema. Samuel es un cient´ıfico desbordante de energ´ıa y apasionado de su

La obra matem´ atica de Samuel Gitler

labor. Su incansable investigaci´ on cient´ıfica queda patente al observar que, sólo durante los dos u ´ltimos a˜ nos, ha producido 7 art´ıculos fascinantes sobre la topolog´ıa de las variedades tóricas y los complejos de momento angular—su reciente pasión. ¡Este ritmo de trabajo prácticamente duplica el promedio mundial de producción de art´ıculos por a˜ no entre los mejores top´ ologos del mundo! Esta alta calidad cient´ıfica es ampliamente reconocida. En México, Samuel recibi´ o el Premio Nacional de Ciencias en 1976, es miembro de El Colegio Nacional desde 1986, y fue representante de México ante la Unión Matem´ atica Internacional en 1975. Ha sido invitado a instituciones internacionales de reconocida investigación cient´ıfica, como son el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, el Instituto de Tecnolog´ıa de Massachussets, y el Instituto de Estudios Superiores de Francia. Ha visitado m´ ultiples universidades de primer nivel entre las que figuran Harvad, Yale, Chicago, Northwestern, Berkeley, Montreal, Cambridge, Manchester, Oxford, Bonn, y Jerusalem. Pero este genio no s´ olo ha destacado en la ciencia; su afable personalidad aunada a un carisma natural lo ha colocado como el l´ıder indiscutible de sus m´ ultiples grupos de trabajo. La lista de sus colaboradores cient´ıficos no se reduce sólo a sus coautores; han sido de hecho muchos los matem´ aticos con los que Samuel ha colaborado, intercambiando ideas matem´ aticas, y disfrutando del placer de descubrir fenómenos y propiedades geométricas profundas. Estas relaciones de trabajo a menudo han trascendido para formar fuertes lazos de amistad que Samuel ha sabido cultivar con esmero a través de los a˜ nos. Pero tan importante es el hacer matemáticas del más alto nivel, como saber trasmitir el gusto por las mismas a las nuevas generaciones. En el caso de Samuel, esta m´ axima tiene un acento especial pues, junto con figuras como Adem y Lefschetz, Samuel es forjador de una sólida Escuela de Topolog´ıa Mexicana. Para poder apreciar esta aseveración en su cabal magnitud, debemos comenzar por notar que, a modo global, la ciencia moderna en México surgi´ o como tal hace aproximadamente 70 a˜ nos, con la década de los 50’s como periodo de consolidación de la profesión cient´ıfica nacional. Sin embargo, al particularizar al caso de las matem´ aticas, la situaci´ on tiene un desfazamiento de aproximadamente diez a˜ nos. Por una parte, aun a inicios de los 50’s, el quehacer matemático dif´ıcilmente se hubiera podido considerar una actividad profesional en nuestro pa´ıs. Si bien exist´ıan matemáticos talentosos, la infraestructura m´ınima para un desarrollo firme y saludable simplemente

Jes´ us Gonz´alez

no exist´ıa. Pero el final de la Segunda Guerra Mundial traer´ıa consecuencias favorables para la ciencia matemática en México. En 1944 comenz´ o una larga serie de visitas a nuestro pa´ıs por parte de Solomon Lefschetz, una figura singular pero central en la visión moderna de la topolog´ıa algebraica. Durante estas estancias, Lefschetz pudo detectar jóvenes matem´ aticos brillantes, entre los que destacan José Adem y Samuel Gitler, quienes fueron enviados a Princeton a realizar sus estudios doctorales. La semilla estaba sembrada y germinó en el a˜ no de 1961, con un repentino cambio en la concepción cient´ıfica nacional, cristalizado en la creaci´ on de nuestro centro de investigación, teniendo como uno de los departamentos fundadores el de Matemáticas, y a la mancuerna Adem-Gitler como el motor principal. Esta afortunada combinación garantiz´ o el inicio de un desarrollo vertiginoso de la ciencia matemática mexicana, pues en tan sólo 10 a˜ nos de actividad se contaba con el amplio reconocimiento de la comunidad cient´ıfica internacional, tanto en la investigaci´ on de vanguardia, como en la esmerada preparación de recursos humanos de alta calidad. En conclusi´ on, por medio de su talento, ense˜ nanzas y liderazgo, Samuel Gitler, junto con José Adem y Solomon Lefschetz, han sido los forjadores de una s´ olida Escuela Mexicana de Topolog´ıa. Por todo esto, gracias, Samuel. Jes´ us Gonz´ alez Espino Barros Departamento de Matem´ aticas, Cinvestav, A.P. 14-740, México D.F., 07000, jesus@math.cinvestav.mx

Morfismos, Vol. 15, No. 1, 2011, pp. 9–54

Sobre la dina´mica del sistema de Lamb con masa cero Marco Antonio Taneco Herna´ndez

Resumen Probamos la existencia de dina ´mica para el sistema de Lamb, el cual consiste de una ecuacio ´n de onda acoplada a la ecuacio´n de movimiento de una part´ıcula de masa m = 0 sujeta a un campo de fuerza no lineal. Tal sistema es no lineal conservativo y reversible con respecto al tiempo.

2010 Mathematics Subject Classification: 37K05, 35A05, 35A30. Keywords and phrases: Ecuaci´ on de ondas, sistema conservativo, funci´ on hamiltoniana, descomposici´ on de D’ Alembert distribucional.

Intro duccio ´n

En muchas ecuaciones en derivadas parciales lineales y no lineales es muy u ´til observar su dina ´mica en términos de sus componentes considerandolas como part´ıculas. La descomposicioń de este tipo de ecuaciones nos permite obtener una descripcioń equivalente en términos de dos subsistemas: el primero es de dimensioń finita y es responsable del comportamiento, como part´ıcula (o estado ligado) de una parte de la solucioń; el segundo es de dimensio ń infinita y dispersivo. Los términos de acoplamiento son los responsables de co´mo la dina´mica de la solucioń, vista como part´ıcula, influye en el campo (o medio) y co´mo el campo de ondas dispersivo influye en la dina´mica de la solucioń, vista como part´ıcula (véase [20] para detalles ma´s precisos). 1 Este art´ıculo es parte de la investigaci´ on doctoral que el autor realizo ´ ba jo la supervisio ń del Dr. Anatoli E. Merzon en el Instituto de F´ısica y Matema ´ticas, UMSNH, dentro del programa de posgrado Conjunto UMSNH-UNAM. El traba jo conto ´ c o n el apoyo financiero del CONACyT.

Marco Taneco

El sistema de Lamb fue el primer modelo f´ısico, introducido por H. Lamb (1900), que describe la radiación amortiguada (fenómeno que proviene de la electrodin´ amica cl´ asica [9]). Dicho sistema esta compuesto por un oscilador que se encuentra acoplado a una cuerda de longitud semi-infinita y Lamb lo us´ o para describir oscilaciones (vibraciones) de un n´ ucleo en un medio extendido. El oscilador transfiere energ´ıa a la cuerda generando ondas que se propagan a lo largo de esta. El modelo de Lamb representa también un ejemplo de un sistema en el que existen transiciones entre sus estados estacionarios [14]. Si la fuerza externa es lineal: F (y) = −ω 2 y, ω > 0, H. Lamb [18], fue el primero en estudiar el sistema para explicar aspectos de las soluciones en un dominio infinito. Si la fuerza externa es no lineal y la masa de la part´ıcula es m ≥ 0, Keller y Bonilla [10] investigaron tal modelo para analizar interrogantes sobre la irreversibilidad y no recurencia. En [11, 13, 15] A. Komech estudia el sistema de Lamb demostrando por primera vez la existencia de un atractor global minimal y en [7] se estudian regimenes meta estables, para un sistema de Lamb estocástico. La existencia de una din´ amica del sistema de Lamb, para el caso m ≥ 0 con datos iniciales con soporte compacto, fue tratada en [11, 12, 13], y en [15] se presentan generalizaciones de los art´ıculos anteriores. En el presente art´ıculo se considera el caso m = 0 y datos iniciales más arbitrarios, empleando los mismos métodos pero realizando las pruebas completas y simplificando argumentos. Otros trabajos relacionados con este tópico de investigación para sistemas tipo Lamb son los siguientes: los métodos y resultados de [14, 13, 15] se aplicaron y extendieron para tratar el problema del análisis de estabilidad e inestabilidad en algunos sistemas lineales de tipo Lamb [5]. El art´ıculo [4] usa la teor´ıa de dispersión de Lax-Phillips en modelos lineales de tipo Lamb y establece la existencia de una dinámica para cierta clase de sistemas no lineales. En [12] se estudia un sistema de ecuaciones del tipo (1) que modela el caso de una cuerda infinita acoplada a un n´ umero finito N de osciladores no lineales los cuales afectan a N part´ıculas de masas mi = 0, i = 1, · · · , N atadas a la cuerda, aqu´ı solo se demuestra la existencia de un atractor minimal asociado a tal modelo. En todos los art´ıculos anteriores el sistema de Lamb es citado como el ejemplo mas simple no trivial de un sistema no lineal conservativo reversible con respecto al tiempo que permite analizar diversas interrogantes. En [19] se demuestra, por primera vez para el caso m = 0, que todas las soluciones de energ´ıa finita del sistema de Lamb convergen a

Din´ amica del sistema de Lamb

un atractor global con respecto a la norma de energ´ıa local y se descubre el car´acter de la convergencia, es decir, se describe la asint´otica de cada soluci´ on de energ´ıa finita cuando t → ±∞. Y en [16] se hace lo mismo para el caso m > 0.

(1)

El sistema de Lamb Consideremos el sistema acoplado  ¨(x, t) = u!! (x, t), x ∈ R\{0},   u  

0 = F (y(t)) + u! (0+, t) − u! (0−, t); y(t) := u(0, t),

% % % % % t ∈ R, % %

∂u ! ı sucesivamente para las derivadas de en donde, u˙ ≡ ∂u ∂t , u ≡ ∂x y as´ orden 2. Las soluciones u(x, t) toman valores en Rd con d ≥ 1. En todo el art´ıculo las derivadas se entender´ an en el sentido de distribuciones [22] a menos que se especifique lo contrario. F´ısicamente (en dimensi´ on d = 1) el sistema (1) describe peque˜ nas oscilaciones transversales de una cuerda de longitud infinita que se encuentra estirada paralelamente al eje Rx ; una part´ıcula de masa m = 0 es atada a la cuerda en el punto x = 0; la fuerza externa F (y) es un camua sobre la part´ıcula po vectorial no lineal, perpendicular a Rx que act´ (ver Figura 1). En dimensiones d ≥ 2, el modelo de Lamb constituye

Figura 1: Cuerda infinita acoplada a un oscilador. un sistema de d ecuaciones escalares y podr´ıa modelar la interacci´ on

Marco Taneco

de d cuerdas que interact´ uan con un oscilador no lineal. El caso escalar complejo corresponde a d = 2. Si la dimensi´ on de la variable espacial x es n = 2 el sistema de Lamb podr´ıa usarse como un modelo simple para estudiar terremotos. Observaci´ on 2.1. 1. La segunda ecuación exhibe que la derivada de la solución del problema (1) en los puntos (0, t), en general, es discontinua (si F (y) !≡ 0) (ve´ ase Figura. 1.1). Esto significa, en particular, que si u(x, 0) ∈ C ∞ (Rx ; Rd ) y F (u(0, t)) !≡ 0, entonces la segunda ecuación no se cumple en el punto t = 0. Por lo tanto, no debemos entender esta ecuación en el sentido “puntual”. En la Observación 6.2.4 precisaremos el sentido de la segunda ecuaci´ on de (1). 2. El sistema (1) es formalmente equivalente a una ecuación de onda no lineal d-dimensional cuyo término no lineal, concentrado en el punto x = 0, tiene la forma δ(x)F (u), a saber: (2)

u ¨(x, t) = u"" (x, t) + δ(x)F (u(x, t)),

(x, t) ∈ R2 .

Es importante hacer notar que tal equivalencia es solo formal. 3. El sistema (1) es reversible formalmente, es decir, no cambia su forma despu´es de hacer el cambio de variable t $→ −t. En efecto, con∂2 ∂2 sideremos u1 (x, t) := u(x, −t). Obviamente ∂x 2 u1 (x, t) = ∂x2 u(x, −t) y ∂2 ∂2 u (x, t) = ∂t on para u1 en (1) 2 u(x, −t). Entonces, la primera ecuaci´ ∂t2 1 " " se cumple formalmente. Adem´ as u1 (0+, t) = u (0+, −t) y u"1 (0−, t) = " u (0−, −t). Ya que y(t) = u(0, t), entonces y(−t) = u(0, −t) = u1 (0, t). De esta forma por la segunda ecuaci´ on de (1) ! " F u1 (0, t) + u"1 (0+, t) − u"1 (0−, t) ! " = F y(−t) + u" (0+, −t) − u" (0−, −t) ! " −t$→ζ = F y(ζ) + u" (0+, ζ) − u" (0−, ζ) = 0.

Esto significa que también la segunda ecuación para u1 en (1) se cumple formalmente. Notemos que todav´ıa no precisamos el sentido de esta ecuación. Entonces el sistema de Lamb (1) es reversible.

El problema de Cauchy Consideremos el sistema (1) junto con las condiciones iniciales

(3)

u(x, t)|t=0 = u0 (x),

u(x, ˙ t)|t=0 := v(x, t)|t=0 = v0 (x).

Din´ amica del sistema de Lamb

Definimos (4)

! " ! " Y (t) := u(x, t), v(x, t) , Y0 := u0 (x), v0 (x) , ! " V(Y (t)) = v(x, t), u!! (x, t) + δ(x)F (u(x, t)) .

Entonces, el problema de Cauchy (1), (3) como un sistema din´amico se escribe como # $ % Y˙ (t) = V Y (t) , t∈R (5) Y (0) = Y0 . En efecto, el sistema acoplado (2) (el cual es formalmente equivalente a (1)) puede escribirse como el sistema de ecuaciones (6)

u(x, ˙ t) = v(x, t), v(x, ˙ t) = u!! (x, t) + δ(x)F (u(x, t)).

Observaci´ on 3.1. Notemos que u!! (x, t) en (6) tiene sentido como la derivada en el sentido de Sobolev [6]. En efecto, podemos definir para u1 ∈ E1 := C(R; Rd ) ∩ {u1 | u1 ∈ L2 (R; Rd )} & !! ! ! #u (x, ·), u1 (x)$ = −#u (x, ·), u1 (x)$ = − u! (x, ·)u!1 (x) dx R

y lo u ´ltimo tiene sentido ya que u! y u!1 pertenecen a L2 (R; Rd ). Si convenimos en tratar a la segunda derivada en este sentido entonces se puede demostrar que el sistema (6) es formalmente hamiltoniano (v´ease [21]).

Espacio de fases y estructura hamiltoniana del sistema de Lamb

En esta secci´ on vamos a introducir el espacio de fases E de los estados con energ´ıa finita para el sistema (1). Denotaremos por || · || y || · ||R la norma en los espacios de Hilbert L2 (R; Rd ) y L2 (IR ; Rd ), respectivamente, 'en donde I(R := (−R, R) ) ⊂ R, generados por los productos escalares: f (x), g(x) L2 (R;Rd ) := f (x) · g(x)dx, en donde, a · b := R

' ( ai bi , para a, b ∈ Rd . Similarmente se define f (x), g(x) L2 (I ;Rd ) . Y R i=1 + |a| := a21 + · · · + a2d . d *

Marco Taneco

Definici´ on 4.1 (Los espacios de fases E y ER ). 1. El s´ımbolo E denotar´a a el espacio de Hilbert de las parejas (u(x), v(x)) ∈ C(R; Rd ) ⊕ L2 (R; Rd ) con u! (x) ∈ L2 (R; Rd ) y la norma de energ´ıa global ||(u, v)||E := ||u! || + |u(0)| + ||v||.

(7)

a a el espacio lineal E dotado con la topolog´ıa 2. El s´ımbolo EF denotar´ generada por la familia de semi normas de energ´ıa local ||(u, v)||ER := ||u! ||R + |u(0)| + ||v||R , R > 0.

(8) E

F 3. Yn −−− → Y si y s´ olo si ||Yn − Y ||ER → 0, para todo R > 0.

n→∞

Observaci´ on 4.2. 1. Notemos que la derivada u! en la definición anterior se entiende en el sentido generalizado D! (R; Rd ). Ya que u! (x) ∈ L2 (R; Rd ), entonces u! (x) existe, salvo un conjunto de medida cero, y como distribuci´ on coincide con la derivada generalizada, véase por ejemplo [17, página 15]. 2. El espacio EF es un espacio metrizable, ya que la topolog´ıa en EF se determina por la familia numerable de semi normas || · ||n , n ∈ N, pero no completo y por lo tanto no es un espacio de Fréchet. Car´ acter conservativo de la fuerza no lineal ! Denotaremos por V (y) = − F (y)dy a la energ´ıa potencial del campo vectorial externo. Supongamos que F (y) : Rd −→ Rd proviene de una función potencial real V : Rd −→ R, V ∈ C 2 : (9) (10)

F (u) ∈ C 1 (Rd ; Rd ), F (u) = −∇V (u), u ∈ Rd , V (u) −−−−−→ +∞. |u|→+∞

La condici´on (10) implica que existe una constante V0 ∈ R de tal manera que (11)

V (u) ! V0 , ∀ u ∈ Rd .

En la Figura 2 mostramos un ejemplo para la fuerza externa F con energ´ıa potencial V en el caso d = 1: F (u) = u − u3 ,

1 V (u) = (u2 − 1)2 , 4

u ∈ R.

Din´ amica del sistema de Lamb

Figura 2: Ejemplo de una fuerza consevativa

Proposici´ on 4.3. [21, Proposici´ on 1.5, Cap´ıtulo 1] Bajo las suposiciones (9), (10), el sistema (2) es formalmente un sistema hamiltoniano en el espacio de faces E con funcional hamiltoniana (energ´ıa total) ! " # 1 (12) H(u, v) = |v(x)|2 + |u! (x)|2 dx + V (u(0)), 2 R para (u, v) ∈ E. La idea para mostrar la proposici´ on anterior es verificar que H satisface las ecuaciones de Hamilton para las funciones (campos) u(x) y v(x). En la siguiente secci´ on enunciamos el teorema principal del art´ıculo, el cual describe todas las soluciones del sistema de Lamb (1) que pertenecen a E, y muestra que existe una cantidad suficiente de ellas.

Construcci´ on de la din´ amica del sistema de Lamb (5)

En el siguiente resultado describe la din´amica del sistema acoplado (1). El caso m ≥ 0 esta considerado en [13] para condiciones iniciales m´as particulares.

Marco Taneco

Teorema 5.1 (Principal). [19, 21] Supongamos que m = 0 y que se satisfacen las condiciones (9), (10). Entonces, 1. (Existencia, unicidad y continuidad de Y (t)) Para cada Y0 ∈ E el problema de Cauchy (5) admite una soluci´ on u ´nica Y (t) ∈ C(R; E). 2. La transformaci´ on U (t) : Y0 "→ Y (t) es continua en E y en EF . 3. La energ´ıa del sistema de Lamb (5) se conserva (13) H(Y (t)) = H(u(·, t), v(·, t)) = const, t ∈ R,

(u, v) ∈ E.

en donde, H se define como en (12). 4. Se cumple la siguiente cota a priori (14)

sup $Y (t)$E < ∞. t∈R

Dedicaremos lo que resta del presente art´ıculo a demostrar el teorema anterior. Con el objeto de demostrar la existencia y unicidad de soluciones para el sistema acoplado (1), es necesario obtener la descomposición de D’ Alembert para la ecuación de onda !u(x, t) := u ¨(x, t) − u"" (x, t) = 0 en la clase de distribuciones D" (Π± ; Rd ), en donde Π± son los semiplanos derecho e izquierdo en el plano (x, y). Mencionamos que dicha descomposición es an´ aloga a la bien conocida descomposición de D’ Alembert en C 2 (R2 ; R) (véase por ejemplo, [22, página 201]). En el Apéndice resumimos las principales construcciones.

Unicidad de la soluci´ on del sistema de Lamb

En esta parte probaremos el primer punto de la Teorema 5.1. Es decir, demostraremos la existencia y unicidad de una solución Y (t) ∈ C(R; E), para cada estado inicial Y0 ∈ E, del sistema (1); en la sección 7 probaremos la continuidad de la misma. ! " Estableceremos la unicidad de la solución Y (t) = u(·, t), u(·, ˙ t), y(t) ˙ ∈ C(R; E) suponiendo que tal solución existe. Al mismo tiempo, obtendremos un método para construir una solución. De esta forma estaremos probando también la existencia. En virtud del Teorema A.4 tenemos

Din´ amica del sistema de Lamb

Teorema 6.1. Para u ∈ D! (Π± ; Rd ) las aseveraciones 1 y 2 son equivalentes 1. u ¨(x, t) − u!! (x, t) = 0, (x, t) ∈ Π− ∪ Π+ . on u satisface la 2. Existen f± , g± ∈ D! (R; Rd ) tales que la distribuci´ descomposici´ on de D’ Alembert " ! f+ (x − t) + g+ (x + t), x > 0, "" (15) u(x, t) = t ∈ R. x < 0, " f− (x − t) + g− (x + t),

3. Si u(x, t) admite otra representaci´ on del tipo (15) con f± , g± ∈ ! d D (R; R ), entonces existen C± tales que se cumple (16)

6.1.

f ± = f± − C ± ,

g ± = g± + C± .

An´ alisis de las propiedades de las soluciones del sistema de Lamb a partir de la existencia de su din´ amica

El siguiente resultado nos dice que la continuidad de la soluci´on u(x, t) se sigue a partir de la continuidad de la din´ amica de Y (t) (suponiendo que ´esta existe). Proposici´ on #6.1.1. [21, Proposici´ on 3.3, Cap´ıtulo 2] $ Si Y (t) = u(·, t), u(·, ˙ t) ∈ C(Rt ; E) entonces u(x, t) ∈ C(R2 ; Rd ).

Corolario 6.1.2. Bajo las suposiciones de la proposici´ on anterior la siguiente funci´ on es continua (17)

R $ t %→ u(·, t) ∈ C(R; Rd ).

Ahora podemos decir que si u(x, t) satisface el sistema de Lamb y la dinámica es continua, entonces las funciones f± , g± que aparecen en el desarrollo de D’ Alembert (15) son continuas: on del problema de Corolario 6.1.3. Si u(x, t) ∈ D! (Π± ; Rd ) es la soluci´ Lamb (1) y la din´ amica Y (t) ∈ C(Rt ; E), entonces las funciones f± , g± que est´ an presentes en (15) son continuas. El siguiente lema tiene car´ acter técnico y se usa en la siguiente subsección para el estudio de las funciones u(x, ˙ t) y u! (x, t). La prueba de este resultado usa esencialmente la continuidad de v(·, t) como función de t, la continuidad de la norma || · ||L2 ([x1 ,x2 ];Rd ) y el teorema de Fubini [1].

Marco Taneco

Lema 6.1.4. Sea v(·, t) : Rt → L2 (Rx ; Rd ) continua. Entonces, v(x, t) ∈ L2loc (R2 ; Rd ). A continuaci´ on explicaremos el sentido del problema de Cauchy que define el sistema de Lamb.

6.2.

Disertaci´ on del problema de Cauchy

Estamos interesado en soluciones u(x, t) del problema de Cauchy (1), (3) tales que ! " (18) Y (t) = u(·, t), u(·, ˙ t) ∈ C(R; E).

Vamos a precisar la definici´ on de los datos de Cauchy (3) para soluciones Y (t) ∈ C(R; E). La funci´ on u(x, t) satisface la ecuaci´on de D’ Alembert (primera ecuaci´ on de (1)). Por lo tanto, el Teorema 6.1 implica el desarrollo (15) para algunas funciones f± , g± . Fijemos estas funciones a partir de ahora. Ahora, ya que Y (t) ∈ C(R; E), entonces u(x, t) ∈ C(R2 ; Rd ) por Proposici´ on 6.1.1 y f+ , g+ ∈ C(R; Rd ) por el Corolario 6.1.3. Por lo tanto podemos ahora sustituir t = 0 en el desarrollo (15) y obtener, # f+ (x) + g+ (x), x > 0 (19) u0 (x) = u(x, 0) = f− (x) + g− (x), x < 0.

Ahora derivando (15) con respecto a t y a x en el sentido de D" (Π± ; Rd ) obtenemos $ # " (x + t), x > 0 $ −f+" (x − t) + g+ $ (20) u(x, ˙ t) = $ t ∈ R. " (x + t), x < 0 $ −f−" (x − t) + g− (21)

u" (x, t) =

" (x + t), f+" (x − t) + g+ " (x + t), f−" (x − t) + g−

x>0 x<0

$ $ $ $ t ∈ R. $

Por definici´ on del espacio E (v´ease Definici´on 4.1) tenemos que las funciones u(·, ˙ t), u" (·, t) : Rt → L2 (Rx ; Rd ) son continuas, luego podemos aplicar el Lema 6.1.4 con v = u˙ y v = u" para obtener (22)

u(x, ˙ t), u" (x, t) ∈ L2loc (R2 ; Rd ).

Esto implica, por el Corolario A.6, ii) (23)

" (η) ∈ L2loc (R; Rd ). f±" (ξ), g±

Notemos que las partes derechas en (20) y (21) admiten restricciones sobre las rectas t = b y x = a respectivamente en el siguiente sentido:

Din´ amica del sistema de Lamb

Definici´ on 6.2.1. Sea h(ξ) ∈ L2loc (Rξ ; Rd ). Consideremos la función de dos variables h(x − t). Definimos la restrcicción de h(x − t) a la l´ınea t = b como la funci´ on h(x − b). Afirmamos que h(x − b) realmente es una restricción en el sentido que h(x − t) −−→ h(x − b), en L2loc (R; Rd ). Esto se sigue de un teorema t→b

conocido (v´ease por ejemplo [3, p´ aginas 255-257]). Ahora dado que se cumple (23), podemos tomar las restricciones de u(x, ˙ t) a la l´ınea t = 0 usando (20). Esto nos permite enunciar las siguientes definiciones: Definici´ on 6.2.2. Para u(x, t) ∈ E que satisface la primera ecuaci´on de (1), colocamos ! " (x), x > 0 −f+" (x) + g+ (24) v0 (x) := u(x, ˙ 0) = " (x), x < 0, −f−" (x) + g− " # con u(x, ˙ 0) ∈ L2loc R; Rd .

Notemos que por Teorema 6.1 inciso 3 v0 (x) no depende de la elecalogamente la siguiente definición da sentido ción de f± , g± en (15). An´ a la segunda ecuaci´ on del sistema de Lamb (1). Definici´ on 6.2.3. En la segunda ecuación de (1), definimos (25)

" u" (0±, t) := f±" (−t) + g± (t), t ∈ R.

Observaci´ on 6.2.4. 1. Ahora podemos precisar el sentido de la segunda ecuaci´ on de (1). La Definici´ on 6.2.3 y (23) implican que u" (0+, t), u" (0−, t) ∈ L2loc (R; Rd ). Esto nos permite entender a la segunda ecuaci´on de (1) en el sentido D" (Rt ; Rd ) (y no puntualmente ver Observaci´on 2.1). 2. En esta forma precisamos el sentido de los datos de Cauchy (3).

6.3.

Expresi´ on de la soluci´ on del sistema de Lamb abajo de las caracter´ısticas

A continuaci´ on expresamos las funciones de la descomposici´on de D’ Alembert en t´erminos de los datos iniciales.

Marco Taneco

Lema 6.3.1. Sea Y (t) ∈ C(R; E). Si u es una soluci´ on del sistema acoplado (1) y satisface las condiciones iniciales (3), entonces existen C± ∈ R tal que 1 1 f± (z) = u0 (z) − 2 2

v0 (χ)dχ + C± , ±z > 0

1 1 g± (z) = u0 (z) + 2 2

v0 (χ)dχ − C± , ±z > 0.

(26)

Nota 6.3.2. A pesar de que f+ (z) ∈ D! (R; Rd ), la primera fórmula de (26) se cumple u ńicamente para z > 0. Para z < 0 a´ un no hemos definido la forma de f+ (z) (en la subsección 6.4 se definirá). Comentarios similares se pueden hacer para g+ , g− y f− . Observaci´ on 6.3.3. 1. Vamos a cambiar las funciones f± , g± fijadas al inicio de la subsecci´ on por f ± = f± − C ± ,

(27)

g ± = g± + C± .

Claro que el desarrollo (15) con estas funciones se sigue cumpliendo asi como tambi´en las f´ ormulas (26). Por lo tanto, podemos asumir en lo sucesivo que C± = 0.

(28)

2. Notemos que a partir de la expresi´on (26), el hecho que (u0 , v0 ) ∈ E y la definici´ on de E, tenemos que ! (z) ∈ L2 (R ; Rd ), f±! (z), g± ±

(29)

f± (z), g± (z) ∈ C(R± ; Rd ) " # en donde, R± ≡ x ∈ R | ± x > 0 . (30)

La soluci´ on del problema de Lamb es u ´nica bajo las caracter´ısticas y se expresa por las f´ ormulas de D’ Alembert por medio de los datos iniciales: Proposici´ on 6.3.4. La f´ ormula usual de D’ Alembert es v´ alida en la regi´ on |x| ≥ |t|: (31)

u(x, t) =

1$ u0 (x 2

− t) + u0 (x + t) +

1 2

!x+t v0 (χ)dχ,

x−t

|x| ≥ |t|.

Din´ amica del sistema de Lamb

Demostraci´ on. De (26) (recordando que ahora C± = 0) se siguen las ecuaciones: (32)

1 1 u0 (x − t) − 2 2

" !x−t f+ (x − t), x − t ≥ 0; v0 (χ)dχ = f− (x − t), x − t ≤ 0. 0

(33)

1 1 u0 (x + t) + 2 2

" !x+t g+ (x + t), x + t ≥ 0; v0 (χ)dχ = g− (x + t), x + t ≤ 0. 0

Luego, sumando se tiene $ 1 1# u0 (x − t) + u0 (x + t) + 2 2

" x+t ! f+ (x − t) + g+ (x + t), x ≥ |t|; v0 (χ)dχ = f− (x − t) + g− (x + t), −x ≥ |t|. x−t

La fórmula de D’ Alembert (31) se sigue de las ecuaciones anteriores y la descomposici´ on (15). ! Corolario 6.3.5. La soluci´ on del problema de Lamb u(x, t) por abajo de las caracter´ısticas es u ńica y se expresa por las f´ ormulas de D’ Alembert (31). En la siguiente subsecci´ on damos una expresión para la solución u(x, t) en la regi´ on |x| < |t|.

6.4.

Expresi´ on de la soluci´ on a el sistema de Lamb en la regi´ on |x| < |t|. La ecuaci´ on reducida

Mostraremos la unicidad de la solución u(x, t) en la región |x| < |t|. Consideraremos el caso t > 0, para t < 0 se procede de manera similar. Para tal fin construimos una ecuación diferencial ordinaria nolineal que nos permitir´ a efectuar la demostración de la unicidad en dicha región. Para construir la soluci´ on u(x, t) en la región |x| < t usaremos la descomposici´ on de D’ Alembert (6.1). Notemos que para x > 0 la función g+ (x + t) es conocida para t > 0 por (33), en cambio la función f+ (x − t) es desconocida para 0 < x < t. De manera similar la función f− (x − t) es conocida para x < 0 y t > 0 por (32), pero g− (x + t) es una funci´ on desconocida para −t < x < 0. Por lo tanto, tendremos que encontrar las funciones f+ (z) para z < 0 y g− (z) para z > 0. Para

Marco Taneco

hallar esas funciones desconocidas, deduciremos una ecuaci´on diferencial ordinaria no-lineal para (34)

y(t) := u(0, t).

Primero, las condiciones iniciales (3) implican que y(0) = u0 (0),

(35)

ya que u(x, t) ∈ C(R2 ; Rd ) por Proposici´on 6.1.1. Luego introduciendo la funci´on y(t) = u(0, t), obtenemos que y(t) ∈ C(R; Rd ) por continuidad de u(x, t). ! " Lema 6.4.1. Para cada soluci´ on Y (t) = u(·, t), u(·, ˙ t) ∈ C(R; E) del sistema (5) la funci´ on y(t) := u(0, t) es una soluci´ on de las ecuaciones ! d reducidas en D (Rt ; R ) ! " (36) 0 = F y(t) − 2y(t) ˙ + 2w˙ in (t), t ∈ R, ! " (37) 0 = F y(t) + 2y(t) ˙ − 2w˙ out (t), t ∈ R,

en donde, la funci´ on win (t) es la suma de las ondas incidentes (para t positivos) en el punto x = 0: (38)

win (t) := g+ (t) + f− (−t),

t∈R

y w˙ out (t) es la suma de las ondas reflejadas (para t negativos) en el punto x = 0: (39)

wout (t) := g− (t) + f+ (−t),

t ∈ R.

Adem´ as, se cumple (40)

w˙ in (t) ∈ L2 (R+ ; Rd ),

w˙ out (t) ∈ L2 (R− ; Rd ).

Demostraci´ on. Mostremos que la trayectoria y(t) satisface la primera ecuaci´on. La descomposici´ on (15) y el hecho que u(x, t) ∈ C(R2 ; Rd ) implica (41)

y(τ ) := u(0+, τ ) = u(0−, τ ) = f+ (−τ ) + g+ (τ ) = f− (−τ ) + g− (τ ), τ ∈ R.

Diferenciando en el sentido D! (R; Rd ) obtenemos (42)

! ! (τ ) = −f−! (−τ ) + g− (τ ), τ ∈ R. y ! (τ ) = −f+! (−τ ) + g+

Din´ amica del sistema de Lamb

Luego por (23) obtenemos que y ! (τ ) ∈ L2loc (R; Rd ). Expresamos las ondas reflejadas en t´erminos de las ondas incidentes y de la trayectoria y(t). Las igualdades (41) implican (43)

f+ (−τ ) = y(τ ) − g+ (τ ),

g− (τ ) = y(τ ) − f− (−τ ), τ ∈ R.

Esto implica ! ! ! ! x, t ∈ R. g− (x + t) = y(t + x) − f− (−t − x). !

f+ (x − t) = y(t − x) − g+ (t − x),

(44)

Sustituyendo f+ y g− de las ecuaciones anteriores en (15) obtenemos ! " x > 0, !! y(t − x) − g+ (t − x) + g+ (x + t), (45) u(x, t) = ! t ∈ R. y(t + x) − f (−t − x) + f (x − t), x < 0, ! −

−

Derivando (43) en el sentido D! (R; Rd ) tenemos ! (t), f+! (−t) = −y ! (t) + g+

! g− (t) = y ! (t) + f−! (−t) t ∈ R.

Luego en virtud de la Definici´ on 6.2.3 obtenemos ! ˙ + 2g+ (t), u! (0+, t) = −y(t)

u! (0−, t) = y(t) ˙ + 2f−! (−t), t ∈ R.

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la segunda ecuaci´on del sistema (1), obtenemos $ # ! (t) − f−! (−t) , t ∈ R. 0 = F (y(t)) − 2y(t) ˙ + 2 g+

Por lo tanto, la ecuaci´ on reducida (36) se sigue de la definición de win (38). Finalmente, (40) se obtiene de (38) y (29). Por u ´ltimo mostremos que y(t) satisface la ecuación (37). Expresamos las ondas incidentes g+ y f− en términos de las ondas reflejadas y la trayectoria y(t). De (41) tenenos (46)

g+ (τ ) = y(τ ) − f+ (−τ ),

f− (−τ ) = y(τ ) − g− (τ ),

Esto implica (47)

! ! ! ! x, t ∈ R. f− (x − t) = y(−x + t) − g− (−x + t). ! g+ (x + t) = y(x + t) − f+ (−x − t),

τ ∈ R.

Marco Taneco

Sustituyendo g+ y f− de las ecuaciones anteriores en (15) obtenemos (48) " ! x > 0, "" y(x + t) + f+ (x − t) − f+ (−x − t), u(x, t) = " t ∈ R. y(−x + t) − g− (−x + t) + g− (x + t), x < 0, " Derivando (46) en el sentido D" (R; Rd ) tenemos

(49)

" " (τ ), τ ∈ R. (τ ) = y " (τ ) + f+" (−τ ), −f−" (−τ ) = y " (τ ) − g− g+

Luego en virtud de la Definici´ on 6.2.3 obtenemos (50) u" (0+, t) = y " (t) + 2f+" (−t),

" u" (0−, t) = −y " (t) + 2g− (t), | t ∈ R.

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la segunda ecuaci´on del sistema (1) obtenemos $ # $ # " (t) − f+" (−t) , t ∈ R. (51) 0 = F y(t) + 2y(t) ˙ − 2 g−

Por lo tanto, la ecuaci´ on reducida (37) se sigue de la definición de wout , (39). Finalmente, la segunda expresi´ on de (40) se obtiene de la definición y de (29). ! Corolario 6.4.2. Si existe una soluci´ on u(x, t) a el sistema de Lamb (1) en la regi´ on 0 ≤ |x| < t, t > 0, entonces u(x, t) se expresa mediante (45) y es u ńica. De manera an´ aloga se tiene un resultado cuando t < 0 y cuya demostración es similar. Corolario 6.4.3. Si existe la soluci´ on u(x, t) a el sistema de Lamb (1) en la regi´ on t < |x| ≤ 0, t < 0, entonces u(x, t) se expresa mediante (48) y es u ńica. 6.4.1. Existencia y unicidad local de las soluciones de la ecuaci´ on reducida Demostramos que existe una u ńica solución local para el problema de Cauchy (36), (35), en una clase de las funciones continuas, usando el Principio de Contracci´ on2 2 Definici´ on. Sea (X, ρ) un espacio métrico. Si existe un n´ umero L < 1 tal que la funci´ on f : X → X satisface la desigualdad ρ(f (x1 ), f (x2 )) ≤ Lρ(x1 , x2 ), para todo x1 , x2 ∈ X, entonces decimos que f es una contracci´ on en X. Teorema. Sea (X, d) es un espacio métrico completo. Si f : X → X es una contracci´ on en X, entonces existe un u ńico a ∈ X tal que f (a) = a.

Din´ amica del sistema de Lamb

Definici´ on 6.4.1.1. Sea I! := [0, !). Definimos el espacio de funciones 2 d L1 (I! ; R ) por ! " (52) L21 (I! ; Rd ) := y ∈ C(I! ; Rd ) | y˙ ∈ L2 (I! ; Rd ) , con la norma (53)

˙ L2 (I! ;Rd ) + |y(0)| "y"L21 (I! ;Rd ) := "y"

en donde, la derivada de y se entiende en el sentido de distribuciones. $ # Observaci´ on 6.4.1.2. L21 (I! ; Rd ), "·"L2 (I! ;Rd ) es un espacio de Ba1 nach. No es dif´ıcil demostrar que Lema 6.4.1.3. Si y ∈ L21 (I! ; Rd ) con y(0) = 0, entonces "y"L2 (I! ;Rd ) ≤ ! "y"L2 (I! ;Rd ) . 1 ! " Sea M! := y ∈ L21 (I! ; Rd ) | y(0) = u0 . Es claro que M! es cerrado en L21 (I! ; Rd ), luego M! es un espacio m´etrico completo con la m´etrica generada por la norma (53). Consideremos el operador integral A : M! → M! definido por % % t 1 t (55) (Ay)(t) := F (y(τ ))dτ + w˙ in (τ )dτ + u0 , t ∈ I! , 2 0 0 (54)

en donde, F es como en (9) y win (t) está definida por (38). Es fácil verificar& que A 'realmente manda M! en si mismo, ya que (Ay)(0) = d u0 y dt (Ay)(t) ∈ L2 (I! ; Rd ) por (40) y dado que F ∈ C 1 (Rd ; Rd ). El objetivo consiste en demostrar que el operador integral A es una contracción, para una elecci´ on apropiada de alg´ un !0 > 0, en el espacio métrico M!0 . De esta manera, estaremos demostrando que hay una sola y(t) ∈ M! tal que Ay(t) = y(t), t ∈ I! . Ya que y ∈ M!0 , se tiene que y(0) = u0 , entonces encontrar un punto fijo del operador integral A, definido por (55), es equivalente a encontrar una soluci´ on u ńica y(t) ∈ M!0 del problema de Cauchy (36), (35).

Proposici´ on 6.4.1.4 (Contracci´ on de A). Para todo ! > 0, el operador integral A : M! → M! , definido por (55), es Lipschitz-continuo con constante de Lipschitz K(!) = K21 !; es decir, existe una constante K1 ≥ 0 que no depende de ! ∈ [0, 1], tal que ∀ y 1 , y 2 ∈ M! , tenemos que ( ( ( ( 1 (Ay − Ay 2 ( 2 ≤ K(!)(y 1 − y 2 (L2 (I! ;Rd ) . (56) L (I! ;Rd ) 1

Marco Taneco

Demostraci´ on. La ecuaci´ on (55), implica que (57)

Ay 1 (t)

−

Ay 2 (t)

1 = 2

# $ # $% F y 1 (τ ) − F y 2 (τ ) dτ.

Derivando con respecto a t (usando el Teorema de Newton-Liebniz, dado que F ∈ C 1 (Rd ; Rd ) e y ∈ C(R+ ; Rd )) obtenemos (58)

% 1" # 1 $ # $% d " 1 Ay (t) − Ay 2 (t) = F y (t) − F y 2 (t) . dt 2

Sin p´erdida de generalidad vamos a suponer que F (y) = 0 para |y| ≥ R > 2|u0 |. En el caso cuando esto no se cumpla podemos multiplicar a F (y) por la funci´ on & 1, |y| ≤ 32 R, (59) χ(y) := 0, |y| ≥ R y entonces caemos en la situaci´ on anterior. Primero notemos que existe K1 que no depende de # ∈ [0, 1] tal que para cada y 1 (t), y 2 (t) ∈ L21 (I! ; Rd ), ' # 1 $ ' ' # $' 'F y (t) − F y 2 (t) ' ≤ K1 'y 1 (t) − y 2 (t)', t ∈ I! . (60)

En efecto. Lo anterior se sigue del hecho que F ∈ C 1 (Rd ; Rd ) y supp (F ) es compacto: ' # 1 $ ' ' ' ' # $' 'F y (t) − F y 2 (t) ' ≤ sup 'F " (z)' · 'y 1 (t) − y 2 (t)' z∈supp (F )

en donde, F " (z) es el jacobiano de F y la norma de F " (z) esta acotada en supp (F ). De aqui (60) se sigue para K1 = sup |F " (z)|. Luego, de (58) y (60) obtenemos ' ' ' 'd " 1 %' K1 '' 1 2 ' Ay (t) − Ay (t) '' ≤ y (t) − y 2 (t)' , t ∈ I! , # ∈ [0, 1]. (61) ' dt 2

Lo cual implica que (62)

! (d " %( %2 K12 " 1 ( (2 1 2 Ay (t) − Ay (t) ( 2 |y (t) − y 2 (t)| dt. ≤ ( d dt 4 L (I! ;R ) I!

Din´ amica del sistema de Lamb

o equivalentemente (63) ! ! ! !d " 1 #! K1 !! 1 2 2 ! ! 2 ! Ay y (t) − Ay (t) ≤ (t) − y (t) , ! 2 ! dt L (I! ;Rd ) 2 L (I! ;Rd )

! ∈ [0, 1].

Definimos σ(t) := y 1 (t) − y 2 (t), entonces σ ∈ L21 (I! ; Rd ); en particular σ˙ ∈ L2 (I! ; Rd ) ⊂ L1 (I! ; Rd ). Luego, por el Teorema fundamental del c´alculo en el sentido de Lebesgue y tomando en cuenta que σ(0) = 0, ya que y 1 , y 2 ∈ M! tenemos (64)

σ(t) =

σ(s)ds. ˙

as, dado que σ(0) = 0, entonces por Es claro que σ ∈ C(I! ; Rd ). Adem´ (54) se satisface la desigualdad ˙ L2 (I! ;Rd ) . |σ|L2 (I! ;Rd ) ≤ ! |σ|

(65)

Ahora a partir de la definici´ on de σ (65) es equivalente a % % % % (66) %y 1 (t) − y 2 (t)%L2 (I! ;Rd ) ≤ ! %y 1 (t) − y 2 (t)%L2 (I! ;Rd ) , ! ∈ [0, 1]. 1

Luego de (63), (66), (55) y (53) obtenemos (56).

Corolario 6.4.1.5 (Existencia y unicidad local). Existe !0 > 0 tal que el problema de Cauchy (36), (35) admite una soluci´ on u ńica y(t) ∈ L21 (I!0 ; Rd ), para t ∈ [0, !0 ). Demostraci´ on. Sea K(!) = K21 !. Si ! → 0, entonces K(!) → 0. Luego, existe !0 > 0 tal que 0 ≤ K(!0 ) < 1. Entonces, para tal !0 el operador integral A definido por (55) es una contracción en M!0 por Proposición 6.4.1.4. Luego, el Principio de Contracci´ on implica que existe y(t) ∈ M! tal que Ay(t) = y(t), t ∈ [0, !0 ). Por lo tanto de (55) se sigue (67)

1 y(t) = 2

$t 0

F (ϕ(τ ))dτ +

$t 0

w˙ in (τ )dτ + u0 (0),

t ∈ [0, !0 ),

Finalmente diferenciando a (67) con respecto a t obtenemos que y(t) ∈ on del problema de Cauchy (36), (35). ! M!0 es soluci´

Marco Taneco

6.4.2. Existencia y continuidad de la soluci´ on global a la ecuaci´ on reducida La meta principal de esta subsección consiste en demostrar la existencia global, para t > 0 de la solución local del problema de Cauchy (36), (35) y adem´ as que esta es u ńica. Asi como también demostrar que esta soluci´ on es continua en R+ . La existencia de la extensión y continuidad de y(t) para t > 0 se sigue de la estimación a priori que a continuación desarrollaremos y la cual es esencial en nuestro trabajo. Proposici´ on 6.4.2.1 (Estimaci´ on a priori). Las soluciones de la ecuaci´ on (36), con F satisfaciendo (10) admite la estimaci´ on a priori (68)

sup |y(t)| + t>0

!∞ 0

|y(t)| ˙ 2 dt ≤ B < ∞,

en donde, B es acotado para #(u0 , v0 )#E acotado. Demostraci´ on. Tomando el producto interior de y(t) ˙ con cada miembro de la ecuaci´ on (36) y usando la identidad F (y) = −∇V (y) obtenemos " # ˙ t ≥ 0. ∇V (y(t)) · y(t) ˙ = −2y(t) ˙ · y(t) ˙ + 2w˙ in (t) · y(t),

lo cual es equivalente a

% d $ V y(t) = −2|y(t)| ˙ 2 + 2w˙ in (t) · y(t), ˙ dt

para casi todo

t ≥ 0.

Ahora utilizando la desigualdad −2a2 + 2ab ≤ −a2 + b2 , obtenemos −2|y(t)| ˙ 2 + 2w˙ in (t) · y(t) ˙ ≤ −|y(t)| ˙ 2 + |w˙ in (t)|2 . Luego, para casi todo t ≥ 0, (69)

d V (y(t)) ≤ −|y(t)| ˙ 2 + |w˙ in (t)|2 . dt

Entonces, la f´ ormula de Newton-Leibniz cl´asica implica (dado que V ∈ C 2 (Rd ; R)) (70)

V (y(t)) +

!t 0

|y(s)| ˙ ds ≤ V (y(0)) +

!t 0

|w˙ in (s)|2 ds,

Din´ amica del sistema de Lamb

para todo t ≥ 0. Ahora dado que w˙ in (t) ∈ L2 (R+ ; Rd ) por el Lema 6.4.1, entonces existe B1 ≥ 0 tal que !∞ 0

|w˙ in (s)|2 ds ≤ B1 .

Notemos que B1 es acotada si ||(u0 , v0 ||E es acotada ya que w˙ in se expresa por medio de u0 y v0 mediante las f´ormulas de (26). Luego, para todo t ≥ 0, (71)

V (y(t)) +

!∞ 0

2 |y(s)| ˙ ds ≤ B2 ,

en donde, B2 = V (y(0)) + B1 , la cual es acotada ya que B1 lo es siempre que ||(u0 , v0 ||E es acotado. La desigualdad (71) implica que V (y(t)) ≤ B2 para todo t ≥ 0. Por otro lado, V (y) → +∞ cuando |y| → ∞, por (9). Entonces, existe B3 ≥ 0 tal que (72)

sup |y(t)| ≤ B3 . t>0

Finalmente, (71) y (72) implican la estimación a priori (68). Además B3 es acotado si ||(u0 , v0 ||E es acotado ya que B2 tiene esta propiedad. ! El Corolario 6.4.1.5 implica la existencia local de solución a el problema de Cauchy (36), (35). En el siguiente corolario demostraremos, usando la estimaci´ on a priori (68) la existencia global de tal solución. Corolario 6.4.2.2 (Existencia global). La soluci´ on local y : [0, !0 ) −→ d on, para problema de Cauchy R , obtenida por el Principio de Contracci´ on y(t) es (36), (35) puede ser extendida al semi eje R+ y tal extenci´ continua en R+ : (73)

y(t) ∈ C(R+ ; Rd ).

Demostraci´ on. La estimaci´ on a priori (68) implica |y(t)| ≤ B < ∞ para casi todo t > 0, lo cual muestra la existencia de la solución global para casi todo t > 0 por argumentos est´ andares (con ciertas modificaciones) de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales (ver por ejemplo [2, página 102]). La inclusión (73) se sigue también de la estimación a priori (68). !

Marco Taneco

Corolario 6.4.2.3. i) La estimaci´ on a priori (68), las identidades (43) y (46) implican por (29) (74)

f+! (τ ) ∈ L2 (R− ; Rd ),

! (τ ) ∈ L2 (R+ ; Rd ), τ > 0, g−

(75)

! g+ (τ ) ∈ L2 (R− ; Rd ),

f−! (τ ) ∈ L2 (R+ ; Rd ), τ < 0.

De (74), (75) y (29) se sigue que (76)

! ! f−! (τ ), f+! (τ ), g− (τ ) ∈ L2 (R; Rd ). (τ ), g+

ii) (74) y (75) implican (77) (78)

f+ (τ ) ∈ C(R− ; Rd ),

f− (τ ) ∈ C(R+ ; Rd ),

g− (τ ) ∈ C(R+ ; Rd ),

g+ (τ ) ∈ C(R− ; Rd ).

iii) (79)

f− (τ ), f+ (τ ), g− (τ ), g+ (τ ) ∈ C(R; Rd ).

Demostraci´ on (de iii). Probemos que f+ (τ ), g− (τ ) ∈ C(R; Rd ). La continuidad de f+ , g− (30), (26) y (28) implican que (80)

f− (0−) = f+ (0+) = g− (0−) = g+ (0+) =

u0 (0) . 2

Por lo tanto, (73), (43), (35) y (30) nos dan que  u (0)  f+ (0−) = y(0) − g+ (0+) = 0 , 2 (81)  u g (0+) = y(0) − f (0−) = 0 (0) . − − 2 De aqu´ı tenenmos (82)

f+ (0−) = f+ (0+),

g− (0−) = g− (0+).

Ahora (78) y (30) implican f+ (τ ), g− (τ ) ∈ C(R; Rd ). Similarmente (73), (46), (35) y (30) implican  u (0)  f− (0+) = y(0) − g− (0−) = 0 , 2 (83)  u 0 g (0−) = y(0) − f (0+) = (0) . + + 2 luego tenemos que (84)

f− (0+) = f− (0−),

g+ (0−) = g+ (0+).

Finalmente (78) y (30) implican f− (τ ), g+ (τ ) ∈ C(R; Rd ).

Din´ amica del sistema de Lamb

Existencia y continuidad de la din´ amica Y (t) del sistema de Lamb

A continuaci´ on demostraremos la existencia y continuidad de la soluci´on a el problema de Cauchy (5), Y (t) ∈ C(Rt ; E), esto completa la prueba del punto 1 del Teorema 5.1. Para tal fin usaremos los resultados de la secciones previas. Sea Rt := {x ∈ R | |x| ≥ t ≥ 0}.

(85)

Demostraci´ on del Teorema 5.1, 1. Probaremos la existencia de una solución Y (t) = (u(·, t), v(·, t)) ∈ E del problema de Cauchy (5) para t ≥ 0. El caso t ≤ 0 se muestra de forma similar. En otras palabras demostraremos que existe una soluci´ on (u(·, t), v(·, t)) ∈ E, ∀ t ∈ R que satisface el sistema de Lamb (1) y las condiciones iniciales (3). El desarrollo de la prueba ser´ a en varios pasos: Paso 1. Definimos u(x, t) en la región |x| ≥ t mediante la fórmula de D’ Alembert (31). Demostremos que u(x, t) ∈ C(Rt ; Rd ), u! (x, t), u(x, ˙ t) ∈ 2 d d L (Rt ; R ). En efecto, u(x, t) ∈ C(Rt ; R ) para t ≥ 0, dado que u0 (z) ∈ C(R; Rd ) y v0 (z) ∈ L2 (R; Rd ) (ya que (u0 , v0 ) ∈ E). Además (31) implica (86) ! ! " " # u! (x, t) = 12 u!0 (x − t) + u!0 (x + t) + 12 v0 (x + t) − v0 (x − t) , ## # " " # |x| ≥ t ! ! ! ! 1 1 u(x, ˙ t) = 2 u0 (x + t) − u0 (x − t) + 2 v0 (x + t) + v0 (x − t) , # de donde se ve que (87)

u! (x, t), v(x, t) = u(x, ˙ t) ∈ L2 (Rt ; Rd ), t ≥ 0,

ya que u!0 (z), v0 (z) ∈ L2 (R; Rd ), pues (u0 , v0 ) son elementos de ∈ E. Paso 2. Definimos u(x, t) en la región |x| < t, para t > 0. Primero, resolviendo la ecuaci´ on reducida (36) con la condición inicial (35) obtenemos, por el Corolario 6.4.2.2 la u ńica solución y(t) que cumple (73). Ahora definimos u(x, t) por (45) en el sentido de distribuciones para t > 0, x ∈ R, en donde las funciones g+ y f− se expresan mediante las f´ ormulas (26) para ±z > 0 y y(t) es la soluci´ $ on del problema % de Cauchy (36), (35). Demostremos que u(x, t) ∈ C {|x| < t}; Rd y $ % u! (x, t), u(x, ˙ t)$ ∈ L2 {|x| < %t}; Rd para t > 0. 1) u(x, t) ∈ C {|x| < t}; Rd , t > 0. Esto se sigue de (45), la continuidad de y(t) (véase Corolario 6.4.2.2) y la continuidad de f± , g± , (véase (30)).

Marco Taneco

2) La ecuaci´ on (45) implica para t > 0 (88)

u (x, t) =

u(x, ˙ t) =

! (t − x) + g ! (x + t), x > 0, −y ! (t − x) + g+ +

y ! (t + x) + f−! (−t − x) + f−! (x − t), x < 0,

y (89)

! (t − x) + g ! (x + t), y(t ˙ − x) − g+ +

x > 0,

y(t ˙ + x) + f−! (−t − x) − f−! (x − t), x < 0.

" ˙ t) ∈ L2 {x ∈ R | |x| < t}; Rd ) De donde observamos que u! (x, t), u(x, ! , f ! ∈ L2 (R; Rd ) por la estimaci´ on a t > 0, ya que y˙ ∈ L2 (R+ ; Rd ) y g+ − priori (68) y (76). Paso 3. Sea t > 0. Mostremos la continuidad de u(x, t) en: 1) x = t para x > 0, y 2) x = −t si x < 0. 1) Por la representaci´ on (45), tenemos (90)

u(t−, t) = y(0) − g+ (0) + g+ (2t), x > 0, t > 0,

de aqu´ı vemos que u(t−, t) es continua por (73) y (79). 2) La descomposici´ on de D’ Alembert (31) implica (91) #0 u0 (0) u0 (−2t) 1 u(−t+, t) = + + v0 (χ)dχ = u(−t−, t); x < 0, t > 0, 2 2 2 −2t

la cual tambi´en es continua. " Por lo tanto, tomando en cuenta que u(x,$ t) ∈ C {|x| ≤ t}; Rd ) (por " Paso 2 y Paso 3) y u(x, t) ∈ C {|x| ≥ t}; Rd (por Paso 1) obtenemos (92)

" $ u(x, t) ∈ C {(x, t) ∈ R2 | |x| ≤ t, t ≥ 0}; Rd .

De esta forma los Pasos 2 y 3 implican que (u(x, t), u(x, ˙ t) ∈ E para todo t > 0. Paso 4. A continuaci´ on probemos que la función u(x, t) satisface el sistema de Lamb (1) y las condiciones iniciales (3). Las aseveraciones 1. y 2. del Teorema 6.1 muestra que u(x, t) satisface la ecuación 1 de (1) para x %= 0, t ∈ R. Probemos que u(x, t) satisface la segunda ecuación del sistema de Lamb. La expresi´ on (45) implica para t > 0 (93)

! ˙ + 2g+ (t), u! (0+, t) = −y(t)

u! (0−, t) = y(t) ˙ + 2f−! (−t).

Din´ amica del sistema de Lamb

Luego, sustituyendo las ecuaciones anteriores en la segunda ecuaci´on del sistema (1), obtenemos " ! ! (t) − f−! (−t) , F (y(t)) − 2y(t) ˙ + 2 g+

t > 0.

Ahora en virtud de la ecuaci´ on reducida (36), la definición de win (38) y (73) obtenemos la igualdad en la segunda ecuación del sistema de Lamb. Finalmente la descomposici´ on de D’ Alembert (31) fija las condiciones (3). Paso 5. Demostremos que Y (t) ∈ C(R+ ; E). Por la Definición 4.1 de norma en E (94)

#Y (t1 ) − Y (t2 )#E = |u(0, t1 ) − u(0, t2 )| #! "! # # # + #u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )#L2 (R;Rd ) + # u(x, t1 ) − u(x, t2 ) # 2 L (R;Rd ) #! # "! # # = |y(t1 ) − y(t2 )| + # u(x, t1 ) − u(x, t2 ) # 2 d L (R;R )

+ #u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )#L2 (R;Rd ) .

Sea ! > 0. Por (73) existe δ1 > 0 tal que (95)

! |y(t1 ) − y(t2 )| < , si |t1 − t2 | < δ1 . 6

Ahora examinemos los u ´ltimos t´erminos. Caso 1: por abajo de la caracter´ısticas. Por monoton´ıa de la integral de Lebesgue y usando (86) tenemos #! "! # # # # u(x, t1 ) − u(x, t2 ) #

#! "! # # # ≤ u(x, t ) − u(x, t ) # # 2 1 2 L2 (Rt ;Rd ) L (R;Rd ) # # # # #1 # #1 # ≤ # [u!0 (x − t1 ) − u!0 (x − t2 )]# + # [u!0 (x + t1 ) − u!0 (x + t2 )]# 2 2 L2 (R;Rd ) L2 (R;Rd ) # $ # # $ # % % #1 # #1 # + # v0 (x + t1 ) − v0 (x + t2 ) # 2 + # v0 (x − t1 ) − v0 (x − t2 ) # 2 d d 2

L (R;R )

en donde, Rt es como en (85). Sea ∆t := t2 −t1 . Haciendo un cambio de variable (en el sentido de Lebesgue): y = x − t1 y usando la continuidad de las traslaciones en L2 (v´ease por ejemplo [3, p´aginas 255–257]) tenemos para la u ´ltima desigualdad que existe δ2 > 0 tal que # # # # #1 ! # #1 # + # [u!0 (y) − u!0 (y + ∆t)]# # [u0 (y) − u!0 (y − ∆t)]# 2 2 2 L (R;Rd ) L2 (R;Rd ) # $ # $ %# %# ! #1 # #1 # + # v0 (y) − v0 (y + ∆t) # 2 + # v0 (y) − v0 (y − ∆t) # 2 < , 2 2 6 L (R;Rd ) L (R;Rd )

Marco Taneco

si |∆t| < δ2 , ya que u0 , v0 ∈ L2 (R; Rd ). Esto implica que !" #! ! " ! ! ≤ , si |∆t| < δ2 . (96) ! u(x, t1 ) − u(x, t2 ) ! 2 d 6 L (Rt ;R ) Finalmente para el u ´ltimo sumando de (94) tenemos, de (86)

$u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )$L2 (Rt ;Rd ) ≤ $u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )$L2 (R,Rd ) ! ! ! ! 1 !1 ! ! ! ! ! ! ≤ ! [u0 (x − t1 ) − u!0 (x − t2 )]! 2 [u (x + t + ! 1 ) − u0 (x + t2 )! 0 2 2 L (R;Rd ) L2 (R;Rd ) ! $ ! $ %! %! !1 ! !1 ! + ! v0 (x + t1 ) − v0 (x + t2 ) ! 2 + ! v0 (x − t1 ) − v0 (x − t2 ) ! 2 d d 2

L (R;R )

Ahora usando los mismos argumentos como en el sumando anterior tenemos que existe δ3 > 0 tal que ! ! ! ! ! !1 ! ! !1 ! + (y + ∆t)] (97) ! [u!0 (y) − u!0 (y − ∆t)]! 2 [u (y) − u ! ! 2 0 0 2 2 L (R;Rd ) L (R;Rd ) ! $ ! ! ! %! %! " !1 !1$ + ! v0 (y) − v0 (y + ∆t) ! + ! v0 (y) − v0 (y − ∆t) ! < , 2 2 6 L2 (R;Rd ) L2 (R;Rd )

si |∆t| < δ3 , ya que u0 , v0 ∈ L2 (R; Rd ). Esto implica que

(98)

" $u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )$L2 (Rt ;Rd ) ≤ , 6

si |∆t| < δ3 .

Ahora de (95), (96) y (98) tenemos !" #! ! ! ! (99) |u(0, t1 ) − u(0, t2 )| + ! u(x, t1 ) − u(x, t2 ) !

L2 (Rt ;Rd )

" + $u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )$L2 (Rt ;Rd ) ≤ , si |∆t| < δ1 , 2

en donde, δ1 := m´ın (δ1 , δ2 , δ3 ). Caso 2: en la regi´ on |x| < |t| . La ecuaci´on (88) para x > 0, t > 0, las f´ormulas (26) y la monoton´ıa de la integral implican !" #! ! ! ! ! u(x, t1 ) − u(x, t2 ) !

!" #! ! ! ! ≤ u(x, t ! 1 ) − u(x, t2 ) ! L2 ((0,t);Rd ) L2 (R;Rd ) ! $ %! ! !1 ! ! ≤ $y(t ˙ 1 − x) − y(t ˙ 2 − x)$L2 (R;Rd ) + ! u0 (t1 − x) − u0 (t2 − x) ! 2 2 L (R;Rd ) ! $ ! $ %! %! !1 ! ! !1 ! ! v + ! u0 (x + t1 ) − u0 (x + t2 ) ! 2 + ! 0 (t1 − x) − v0 (t2 − x) ! 2 2 L (R;Rd ) L2 (R;Rd ) ! $ %! !1 ! + ! v0 (x + t1 ) − v0 (x + t2 ) ! 2 . d 2

L (R;R )

Sea ∆t := t1 − t2 . Haciendo los cambios de variable (en el sentido de Lebesgue): ζ1 = t1 − x, ζ2 = x + t1 y usando la continuidad de las

Din´ amica del sistema de Lamb

traslaciones en L2 (v´ease por ejemplo [3, p´aginas 255-257]) tenemos, para la u ´ltima desigualdad, que existe δ1 > 0 tal que ! " #! ! !1 !y(ζ ˙ 1 ) − y(ζ ˙ 1 − ∆t)!L2 (R;Rd ) + ! u!0 (ζ1 ) − u!0 (ζ1 − ∆t) ! 2 2 L (R;Rd ) ! " ! ! " ! # # !1 ! ! ! ! 1 + ! u0 (ζ2 ) − u!0 (ζ2 − ∆t) ! 2 + ! v0 (ζ1 ) − v0 (ζ1 − ∆t) ! 2 2 2 L (R;Rd ) L (R;Rd ) ! " ! # # !1 ! + ! v0 (ζ2 ) − v0 (ζ2 − ∆t) ! 2 ≤ 2 8 L (R;Rd )

si |∆t| < δ1 , ya que u0 , v0 ∈ L2 (R; Rd ) y y˙ ∈ L2 (R+ ; Rd ) por (68). Por lo tanto !$ %! ! # ! ! ≤ , si |∆t| < δ1 . (100) ! u(x, t1 ) − u(x, t2 ) ! 2 d 8 L ((0,t);R ) De manera an´ aloga, usando (88) para x < 0, t > 0 y los argumentos anteriores tenemos que existe δ2 > 0 tal que !$ %! ! # ! ! (101) ≤ , si |∆t| < δ2 . ! u(x, t1 ) − u(x, t2 ) ! 2 8 L ((−t,0);Rd )

Por lo tanto (100) y (101) implican (102) !$ %! ! # ! ! ≤ , si |∆t| < δ3 = m´ın (δ1 , δ2 ). ! u(x, t1 ) − u(x, t2 ) ! 2 4 L ({|x|<t};Rd )

Usando (89), obtenemos de manera an´aloga que existe δ4 > 0 tal que (103)

# ˙ t2 )!L2 ({|x|<t};Rd ) ≤ , si |∆t| < δ4 . !u(x, ˙ t1 ) − u(x, 4

Ahora (102) y (103) implican (104)

!$ %! |u(0, t1 ) − u(0, t2 )| + ! u(x, t1 ) − u(x, t2 ) ! 2 $ L

+ !u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )!L2 ({|x|<t};Rd ) ≤

{|x|<t};Rd

# si |∆t| < δ2 , 2

en donde, δ2 = m´ın (δ1 , δ3 , δ4 ) Por lo tanto, de la definici´ on de norma en E y de (99) y (104) tenemos ||Y (t1 ) − Y (t2 )||E ≤ #, si |∆t| < δ = m´ın (δ1 , δ2 ). El primer punto del Teorema 5.1 esta probado.

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8. Continuidad del flujo U (t) del sistema de Lamb En esta parte demostraremos el punto 2 del Teorema 5.1. La prueba usa las construcciones de las subsecciones previas. Probaremos un resultado que establece que las soluciones de la ecuaci´on (36) dependen continuamente de los datos iniciales (3). Lema 8.1. Consideremos el problema de Cauchy (5) con los datos iniciales Y0i = (ui0 , v0i ) ∈ E, i = 1, 2. Sean y 1 (t), y 2 (t) dos soluciones correspondientes de la ecuaci´ on reducida (36) con las condiciones iniciales (105)

y 1 (0) = u10 (0),

y 2 (0) = u20 (0)

Entonces, para cualquier T > 0 existen CT > 0, CT0 > 0 tal que " ! " ! (106) m´ ax !y 1 (t) − y 2 (t)! ≤ CT "Y01 − Y02 "E , t∈[0,T ]

(107)

" 1 " " " 0 " 1 2" "y˙ (t) − y˙ 2 (t)" 2 Y ≤ C − Y . d T 0 0 L ([0,T ]; R ) E

" " Adem´ as CT y CT0 son acotadas si "Y0i "E , i = 1, 2 es acotado.

Demostraci´ on. Sean y 1 (t), y 2 (t) soluciones de (36) con (105) satisfaciendose. Supongamos que (ui0 , v0i ) ∈ B ⊂ E, i = 1, 2, en donde B es un conjunto acotado. Esto implica que u10 (0), u20 (0) ∈ B0 ⊂ Rd en donde on 4.1 de E. Luego y 1 (t), y 2 (t) ∈ B1 ⊂ Rd B0 es acotado por la Definici´ para t > 0 con B1 acotado por la cota a priori (68), Proposici´on 6.4.2.1. Entonces como F ∈ C 1 (Rd ; Rd ) por (9), tenemos ! # $!! !d 1 % &! 1 !! % 1 & 2 y (t) − y (t) !! = F y (t) − F y 2 (t) ! (108) !! dt 2 ! ! ≤ C1 !y 1 (t) − y 2 (t)! , t ∈ [0, T ],

en donde, C1 > 0 es acotada ya que y 1 (t), y 2 (t) est´an contenidas en el conjunto acotado B1 para t ∈ [0, T ]. Esta desigualdad implica la estimaci´on ! 1 ! !y (t) − y 2 (t)! ≤ C1

't 0

! 1 ! ! ! !y (τ ) − y 2 (τ )! dτ + !y 1 (0) − y 2 (0)! , t ∈ [0, T ].

Ahora usando la desigualdad de Gronwall [8, p´agina 3] obtenemos ! ! ! ! 1 !y (t) − y 2 (t)! ≤ !y 1 (0) − y 2 (0)! eC1 t , t ∈ [0, T ].

Din´ amica del sistema de Lamb

Tomando el m´ aximo sobre el intervalo [0, T ] (ya que y 1 , y 2 ∈ C(R+ ; Rd ) por (34) y Proposici´ on 6.1.1) obtenemos ! ! ! ! (109) m´ ax !y 1 (t) − y 2 (t)! ≤ CT !y 1 (0) − y 2 (0)! , t∈[0,T ]

C1 T Adem´as, por en donde, " ! 1 CT =2 e ! es! 1acotada 2ya !que "C1 1 es acotada. (105) !y (0) − y (0)! = !u0 (0) − u0 (0)! ≤ "Y0 − Y02 "E . Entonces, (109) implica (106). Ahora mostremos la segunda estimaci´on. Usando (108) y (106) obtenemos

" " 1 "y˙ (t) − y˙ 2 (t)"2 2 L ([0,T ];Rd ) =

#T 0

! 1 ! !y˙ (t) − y˙ 2 (t)!2 dt ≤ C12

≤ C12

#T 0

! 1 ! !y (t) − y 2 (t)!2 dt

"2 " "2 " CT2 "Y01 − Y02 "E dt = C12 CT2 T "Y01 − Y02 "E .

As´ı hemos demostrado (107), en donde CT0 = C12 CT2 T es acotada ya que C1 y CT son acotadas. ! Sea t fijo y Y01 = (u10 , v01 ) y Y02 = (u20 , v02 ). El siguiente teorema prueba el punto 2 del Teorema 5.1. Teorema 8.2. Para todo t > 0 existe Ct > 0 tal que ! 1 " " ! !Y (t) − Y 2 (t)! ≤ Ct "Y01 − Y02 " E es decir, U (t) es continua en E.

Demostraci´ on. Por la Definici´ on 4.1 de norma en E (110) "$ " 1 " %! " " 1 2 "Y (t) − Y 2 (t)" = |u1 (0, t) − u2 (0, t)| + " u (x, t) − u (x, t) " " 2 E L (R;Rd ) " 1 " 2 + "u˙ (x, t) − u˙ (x, t)"L2 (R;Rd ) "$ ! 1 ! %! " " " = !y (t) − y 2 (t)! + " u1 (x, t) − u2 (x, t) " L2 (R;Rd ) " 1 " 2 " + u˙ (x, t) − u˙ (x, t)"L2 (R;Rd ) .

Marco Taneco

Ahora (111)

! ! ! ! 1 !u (0, t) − u2 (0, t)! ≤ Ct ||Y01 − Y02 ||E

por el Lema 8.1 y dado que ui (0, t) = y i (t), i = 1, 2 (v´ease (34)). Resta examinar los ultimos t´erminos. Caso 1: por abajo de las caracter´ısticas. Por monoton´ıa de la integral de Lebesgue, en donde Rt se define en (85) y usando (86) obtenemos "# $! " " 1 " " u (x, t) − u2 (x, t) "

"# $! " " " ≤ " u1 (x, t) − u2 (x, t) " 2 L2 (Rt ;Rd ) L (R;Rd ) " " % " &" " "1 1 " "1 1 ! 2 ! 2 v + (x + t) (x + t) − v ≤ " [(u0 ) (x − t) − (u0 ) (x − t)]" 2 " " 2 0 0 2 2 L (R;Rd ) L (R;Rd ) " " " % " & 1 "1 1 ! " " " + " [(u0 ) (x + t) − (u20 )! (x + t)]" + " v01 (x − t) − v02 (x − t) " 2 2 L2 (R;Rd ) L2 (R;Rd ) " 1 ! " 1 " 1 " " " 2" 2 !" 2" " " " = (u0 ) − (u0 ) L2 (R;Rd ) + v0 − v0 L2 (R;Rd ) ≤ Y0 − Y0 E ,

' ' ya que |f (x ± t)|2 dx = |f (x)|2 dx para toda f ∈ L2 (R; Rd ). Esto implica que "# " " 1 $! " " " 1 2 "Y0 − Y02 " . ≤ (112) " u (x, t) − u (x, t) " 2 E d L (Rt ;R )

Finalmente para el u ´ltimo sumando de (110) tenemos, de (86) " " 1 "u˙ (x, t) − u˙ 2 (x, t)"

" " ≤ "u˙ 1 (x, t) − u˙ 2 (x, t)"L2 (R;Rd ) " " " % &" "1 " "1 1 " 2 v ≤ " [(u20 )! (x − t) − (u10 )! (x − t)]" 2 + (x + t) (x + t) − v " " 2 0 2 2 0 L (R;Rd ) L (R;Rd ) " " " % &" "1 1 ! " "1 1 " 2 ! 2 + " [(u0 ) (x + t) − (u0 ) (x + t)" + " v0 (x − t) − v0 (x − t) " 2 2 L2 (R;Rd ) L2 (R;Rd ) " " " " 1 " 1 ! " 1 2" 2" 2 !" " " " = (u0 ) − (u0 ) L2 (R;Rd ) + v0 − v0 L2 (R;Rd ) ≤ Y0 − Y0 E , L2 (Rt ;Rd )

en donde hemos usando, como en el anterior sumando, el cambio de variable para la integral de Lebesgue. Luego obtenemos " " " " 1 "u˙ (x, t) − u˙ 2 (x, t)" 2 ≤ "Y01 − Y02 "E . (113) L (Rt ; Rd ) Ahora (111), (112) y (113) implican (114)

! "# ! 1 $" !u (0, t) − u2 (0, t)! + " u1 (x, t) − u2 (x, t) " 2 L (Rt ; Rd ) " " " 1 " + "u˙ (x, t) − u˙ 2 (x, t)"L2 (Rt ; Rd ) ≤ Ct "Y01 − Y02 "E .

Din´ amica del sistema de Lamb

Caso 2: en la regi´ on |x| < |t|. De (88) y usando las f´ormulas (26) tenemos, cuando x > 0, por la monoton´ıa de la integral, el cambio de variable en la integral de Lebesgue y por el Lema 8.1 (estimaci´on (107)): !" #! ! ! 1 ! ! u (x, t) − u2 (x, t) !

!" #! ! ! 1 ! 2 ≤ u (x, t) − u (x, t) ! ! 2 L2 ((0,t);Rd ) L (R;Rd ) ! ! 2 ! $ 1 ! %! 1 ! ! 2 ! 1 ≤ !y˙ (t − x) − y˙ (t − x)!L2 (R;Rd ) + ! (u0 ) (t − x) − (u0 ) (t − x) ! 2 L2 (R;Rd ) ! $ ! $ %! %! !1 1 ! ! !1 1 ! 2 ! 2 v + ! (u0 ) (x + t) − (u0 ) (x + t) ! 2 + (t − x) − v (t − x) ! ! 2 0 0 2 2 L (R;Rd ) L (R;Rd ) ! $ %! ! !1 1 2 + ! v0 (x + t) − v0 (x + t) ! 2 L2 (R;Rd ) ! ! ! ! 2 ! 1 ! ! 1 1! 2 !! ! ! ! = y˙ − y˙ L2 (R;Rd ) + (u0 ) − (u0 ) L2 (R;Rd ) + v0 − v02 !L2 (R;Rd ) ! ! ≤ Ct !Y01 − Y02 !E .

Similarmente, usando (88) para x < 0 obtenemos !" ! 1 ! #! ! ! ! 1 2 !Y0 − Y02 ! . ≤ C ! u (x, t) − u (x, t) ! 2 t E d L ((−t,0);R )

Luego (115)

!" #! ! ! ! 1 ! u (x, t) − u2 (x, t) !

L2 ({|x|<t};Rd )

Usando (89), obtenemos de manera an´aloga (116)

! ! 1 !u˙ (x, t) − u˙ 2 (x, t)!

L2 ({|x|<t};Rd )

Ahora (111), (115) y (116) implican (117)

! ! ≤ Ct !Y01 − Y02 !E .

& !" & 1 #! &u (0, t) − u2 (0, t)& + ! u1 (x, t) − u2 (x, t) ! 2 L ({|x|<t};Rd ) ! ! ! 1 ! + !u˙ (x, t) − u˙ 2 (x, t)!L2 ({|x|<t};Rd ) ≤ Ct !Y01 − Y02 !E .

Por lo tanto, de la definici´ on de norma en E y de (114) y (117) tenemos ! ! ||Y 1 (t) − Y 2 (t)||E ≤ Ct0 !Y01 − Y02 !E .

El Teorema 8.2 esta probado.

Observaci´ on 8.3. La continuidad de U (t) : Y0 #→ Y (t) en EF se demuestra de manera similar a como se prob´o el Teorema 8.2.

Marco Taneco

Conservaci´ on de la energ´ıa del sistema de Lamb

El plan para demostrar la conservación de la energ´ıa en el sistema de Lamb es el siguiente: probaremos la ley de conservación de energ´ıa, punto 3 del Teorema 5.1 para datos iniciales suficientemente suaves y después usaremos argumentos de densidad en subespacios adecuados de E junto con la continuidad de H(Y (t)) (ver (12)) como función de E → R y la continuidad del flujo U (t). Antes damos algunos resultados técnicos. ! " Definici´ on 9.1. Sea F el conjunto de las parejas u(x), v(x) tales que: 1. u ∈ C 2 (R\{0}; Rd ), v ∈ C 1 (R\{0}; Rd ) y 2. los l´ımites u(0±), u! (0±) y v(0±) existen. Corolario 9.2. La Definici´ on 9.1 implica que u! (x ± t), v(x ± t) ∈ ! " C 2 {|x| #= |t|}; Rd .

A continuaci´ on demostraremos una propiedad importante de las soluciones de las ecuaciones reducidas (36) y (37), para t > 0 y t < 0 respectivamente, suponiendo que los datos iniciales del problema de Cauchy para el sistema de Lamb pertenecen a el conjunto F.

Lema 9.3. Sea y(t) una soluci´ on de las ecuaci´ on reducidas (36) (37), para t > 0 y t < 0 respectivamente y supongamos que (u0 , v0 ) ∈ F. Entonces, y(t) ∈ C 2 (R\{0}; Rd ). Demostraci´ on. Sea t > 0. Las f´ ormulas (26) y la definic´ıon de win (t) (38) implican (118)

w˙ in (t) = R(t),

t > 0,

u! (t)−u! (−t)

0 (−t) en donde, R(t) := 0 2 0 + v0 (t)+v . Esto implica que w˙ in (t) ∈ 2 d ! C(R+ ; R ), dado que u0 , v0 ∈ C(R\{0}; Rd ) (ya que (u0 , v0 ) ∈ F). Adem´as, por Proposici´ on 6.1.1 y (34) tenemos que y(t) ∈ C(Rt ; Rd ); luego como F ∈ C 2 (Rd ; Rd ) (ver (9)), entonces F (y(t)) ∈ C(Rt ; Rd ). Ahora usando la ecuaci´ on reducida (36) junto con la continuidad de F (y(t)) y w˙ in (t) en R+ obtenemos que y(t) ˙ ∈ C(R+ ; Rd ). Sea t < 0. Las f´ ormulas (26) y la definici´ on de wout (t) (39) implican

(119)

w˙ out (t) = R(t),

t < 0.

Din´ amica del sistema de Lamb

Luego usando la ecuaci´ on reducida (37) y argumentando de manera análoga al caso t > 0 obtenemos que y(t) ˙ ∈ C(R− ; Rd ). Por lo tanto, y(t) ˙ ∈ C(R\{0}; Rd ). Mostremos que y¨(t) ∈ C(R\{0}; Rd ). Usando (118) tenemos que u!! (t)+u!! (−t) v ! (t)−v ! (−t) ˙ ˙ w ïn (t) = R(t), + 0 20 . De t > 0, en donde R(t) = 0 20 d "" " aqu´ı vemos que w ïn (t) ∈ C(R+ ; R ), dado que u0 , v0 ∈ C(R\{0}; Rd ) (ya que (u0 , v0 ) ∈ F). Adem´ as, d F (y(t)) = ∇y F (y(t)) · y(t) ˙ ∈ C(Rt ; Rd ), dt ya que y(t) ∈ C(R; Rd ) por Proposici´ on 6.1.1 y (34), y F (y) ∈ C 2 (Rd ; Rd ). Ahora derivando la ecuaci´ on reducida (36) con respecto a t junto con d la continuidad de dt F (y(t)) y w ïn (t) en R+ obtenemos que y¨(t) ∈ d C(R+ ; R ). ˙ t < 0 en virtud (119), luego w öut (t) ∈ Finalmente, w öut (t) = R(t), d "" C(R− ; R ), dado que u0 , v0" ∈ C(R\{0}; Rd ) (ya que (u0 , v0 ) ∈ F). Luego derivando la ecuaci´ on reducida (37) con respecto a t y usando la contid nuidad de dt F (y(t)) y w ïn (t) en R− obtenemos que y¨(t) ∈ C(R− ; Rd ). ! Y por consiguiente y¨(t) ∈ C(R\{0}; Rd ). Lema esta probado. ! " Corolario 9.4. y(t ± x) ∈ C 2 {|x| #= |t|}; Rd .

Notemos que en particular el Corolario anterior implica que y(t ± ! " x) ∈ C 2 {|x| < |t|}; Rd .

Lema 9.5. Supongamos que se cumplen las hip´ otesis del Lema 9.3. Entonces existen los l´ımites l´ım y(t). ˙ t→±0

Demostraci´ on. Consideremos el caso t → 0+. La ecuaci´on reducida (36) ˙ existe si existen los l´ımites de F (y(t)) y w˙ in (t) implica que l´ım y(t) t→+0

cuando t → 0+. Como w˙ in (t) = R(t), entonces por la Definici´on 9.1 tenemos que l´ım w˙ in (t) existe. Adem´as como F ∈ C 2 (Rd ; Rd ) (ver t→+0

condici´ on (9)) e y(t) ∈ C(R; Rd ) por (34) y por la Proposici´on 6.1.1, entonces F (y(t)) ∈ C(Rt ; Rd ) luego l´ım F (y(t)) tambi´en existe. Por lo t→+0

˙ El caso cuando t → 0− se tanto, se tiene la existencia de l´ım y(t). t→+0

demuestra de manera an´ aloga, usando la ecuaci´on reducida (37). ! # $ Denotemos por R2c a el conjunto (x, t) ∈ R2 | x #= 0, x #= ±t . ! " Teorema 9.6. Sean (u0 , v0 ) ∈ F y u(x, t), v(x, t) = Y (t) con Y (0) = Y0 . Entonces

Marco Taneco

i) u(x, t) ∈ C(R2 ; Rd ), ii) u! (x, t), u(x, ˙ t), u!! (x, t) y u ¨(x, t) existen, coinciden con las derivadas cl´ asicas y son localmente acotadas en x ∈ R2c . iii) Para todo t ∈ R los l´ımites laterales (120) a) l´ım v(x, t), b) l´ım u! (x, t), c) l´ım u! (x, t), d) l´ım v(x, t) x→0±

x→0±

x→±t±0

existen. Demostraci´ on. i) se sigue por Proposición 6.1.1 ya que F ⊂ E por la Definici´ on 4.1. Probemos la afirmaci´ on ii). De la representación de D’ Alembert (31) se sigue que las primeras y segundas derivadas parciales de u(x, t) con respecto a x y t existen en"el sentido clásico y son localmente acotadas ! en (x, t) ∈ R2 | |x| > |t| (ya que u0 , v0 ∈ F). De esta forma hemos demostrado ii) en |x| > |t|. Demostremos la aseveraci´ on ii) en la región |x| < |t|. Usando la representaci´ on (45), para t > 0, y las expresiones (26) obtenemos (121) !

u (x, t) =

  −y ! (t − x) + 

y ! (t + x) +

u!0 (t+x)+u!0 (t−x) 2

u!0 (−t+x)+u!0 (−t−x) 2

v0 (t+x)+v0 (t−x) , 2

−

v0 (−t+x)+v0 (−t−x) , 2

0 < x < t, −t < x < 0.

Luego por el Corolario 9.4 y dado que (u0 , v0 ) ∈! F obtenemos que u! (x, t) existe y es localmente acotada en la regi´on (x, t) ∈ R2 | |x| < " t, x $= 0 . Similarmente, usando la representaci´on (48), para t < 0 y las expresiones (26) obtenemos

(122) !

u (x, t) =

  y ! (t + x) + 

u!0 (−t+x)+u!0 (−t−x) 2

−y ! (t − x) +

u!0 (t−x)+u!0 (t+x) 2

−

v0 (−t+x)+v0 (−t−x) , 2

v0 (t−x)+v0 (t+x) , 2

0 < x < −t, t < x < 0.

Luego por el Corolario 9.4 y dado que (u0 , v0 ) ! ∈ F obtenemos que y es localmente acotada en la regi´ o n (x, t) ∈ R2 | − |x| > u! (x, t) existe " t, x $= 0 . De esta manera hemos mostramos que u!"(x, t) existe y es ! localmente acotada en (x, t) ∈ R2 | |x| < |t| , x $= 0 . An´alogamente se demuestra que u(x, ˙ t) existe y es localmente acotada en la misma regi´on. Finalmente la existencia ! de las derivadas parciales de orden " 2, con respecto a x, de u(x, t) en (x, t) ∈ R2 | |x| < |t| , x $= 0 , se obtiene del Coralario 9.4, (121) y (122), dado que (u0 , v0 ) ∈ F. Se razona similarmente para justificar que "u ¨(x, t) existe y es localmente acotada ! en (x, t) ∈ R2 | |x| < |t| , x $= 0 .

Din´ amica del sistema de Lamb

Probemos la afirmaci´ on a) de iii). Consideremos el primer l´ımite on (45) para u(x, t) y la f´ormula para g+ l´ım v(x, t). La representaci´

x→0+

(ver 2da. expresi´ on de (26)) implican para 0 < x < t (123)

l´ım v(x, t) = l´ım u(x, ˙ t) x→0+ ! " #$ 1 ˙ − x) + − u"0 (t − x) − v0 (t − x) + u"0 (t + x) + v0 (t + x) . = l´ım y(t x→0+

x→0+

para Ahora dado que "u"0 , v0 ∈ C(R\{0}; Rd ) ya que (u0 , v0 ) ∈ F tenemos #

0 < t, que l´ım

x→0+

− u"0 (t − x) − v0 (t − x) + u"0 (t + x) + v0 (t + x) existe y

por el Lema 9.3 obtenemos de (123) la existencia del l´ımite l´ım v(x, t) x→0+

para 0 < t. Analicemos el caso: t < 0. A partir de la representaci´on (48) y la f´ormula para f+ (ver 1a. expresi´ on de (26)) tenemos para 0 < x < −t (124)

l´ım v(x, t) = l´ım u(x, ˙ t) x→0+ #$ ! " 1 ˙ −u"0 (−t+x)+v0 (−t+x)+u"0 (−t−x)−v0 (−t−x) . = l´ım y(t+x)+ x→0+

x→0+

, v0 ∈ C(R\{0}; Rd ) ya que (u0 , v0 ) ∈ F obtenemos Luego como u"0" # para t < 0 que l´ım −u"0 (−t+x)+v0 (−t+x)+u"0 (−t−x)−v0 (−t−x) existe x→0+

y por el Lema 9.3 obtenemos de (124) la existencia del l´ımite l´ım v(x, t) x→0+

para t < 0. De esta forma concluimos que l´ım v(x, t) existe para todo x→0+

t ∈ R\{0}. El l´ımite lateral de v(x, t) cuando x → 0− se demuestra de manera similar, usando la expresi´ on (45) de u(x, t) para x < 0 y 0 < t, y la fórmula (26) para f− . Para t < 0 se usa la expresión (48) para u(x, t) junto con la f´ ormula para g− (ver f´ ormulas (26)), cuando x < 0 y t < 0. Finalmente analicemos el caso t = 0, es decir, l´ım v(x, 0). La expresión x→0±

(31) para t = 0 implica 1 2

v(x, 0) = [−u"0 (x) + u"0 (x) + v0 (x) + v0 (x)],

x ∈ R.

De aqu´ı, por la condici´ on 2 de la Definici´on 9.1 concluimos que existe l´ım v(x, 0). El inciso a) de la afirmaci´on iii) esta probado. x→0±

Probemos el inciso b). Para ello analicemos el l´ımite de u" (x, t) cuando x → 0±. La expresi´ on (121) para t > 0, el Lema 9.3 y la Definici´on

Marco Taneco

9.1 implican l´ım u" (x, t) = ∓y " (t) ± u"0 (±t) + v0 (±t).

x→0±

Similarmente, la expresi´ on (122) para t < 0 implica l´ım u" (x, t) = ±y " (t) + u"0 (∓t) − v0 (∓t).

x→0±

De esta forma concluimos que existe l´ım u" (x, t) para todo t ∈ R\{0}. x→0±

Finalmente analicemos el l´ım u" (x, 0). La expresi´on (31) para t = 0 x→0±

implica 1 2

u" (x, 0) = [u"0 (x) + u"0 (x) + v0 (x) − v0 (x)],

x ∈ R.

De aqu´ı, por la condici´ on 2 de la Definici´on 9.1 concluimos que existe " l´ım u (x, 0). El inciso b) de la afirmaci´on iii) esta probado. x→0±

Probemos el inciso c). Consideremos el caso x → t ± 0, el caso x → −t ± 0 se maneja similarmente. Mostremos la existencia de los l´ımites l´ım u" (x, t). Primero analizaremos dicho l´ımite cuando x → t + 0. La

x→t±0

descomposici´ on de D’ Alembert (31) implica para |x| > |t|, ±t > 0 " 1! " l´ım u" (x, t) = l´ım u0 (x + t) + u"0 (x − t) + v0 (x + t) − v0 (x − t) , x→t±0

x→t±0 2

´ltimo l´ımite existe ya que (u0 , v0 ) ∈ F, entonces por la Definici´on 9.1 el u para ±t > 0. Ahora tratemos el l´ım u" (x, t) si ±t < 0. La representaci´on (122) de x→t±0

u" (x, t) para |x| < |t| implica l´ım u" (x, t)

x→t±0

1 2

= l´ım [−y(t ˙ − x) + (u"0 (t − x) + v0 (t − x) + u"0 (t + x) + v0 (t + x))], x→t±0

± t < 0. Luego por el Lema 9.5 y la Definici´ on 9.1 el u ´timo l´ımite existe para ±t < 0. Para t = 0 el l´ımite l´ım u" (x, t) tambi´en existe, en virtud del inciso x→t±0

b). Por lo tanto, l´ım u" (x, t) existe para todo t ∈ R. El inciso c) de la x→t±0

afirmaci´on iii) esta probado.

Din´ amica del sistema de Lamb

Mostremos el inciso d) considerando el caso t > 0 la situaci´on t < 0 se maneja de forma similar. Demostremos la existencia del l´ımite alogamente al inciso c) (el caso x → ±t, l´ım v(x, t). Razonando an´ x→t±0

±t > 0), usando la descomposici´ on de D’ Alembert (31) y la Definici´on 9.1 obtenemos la existencia de l´ım v(x, t) = l´ım u(x, ˙ t)

x→t±0

x→t±0 1 l´ım [u" (x + t) 2 x→t±0 0

− u"0 (x − t) + v0 (x + t) + v0 (x − t)],

±t > 0.

Ahora trataremos el l´ımite l´ım v(x, t) cuando ±t < 0. Usando argux→t±0

mentos an´alogos al inciso c) (el caso x → ±t, ±t < 0) obtenemos de la representaci´ on (48) para t < x < 0 l´ım v(x, t) = l´ım u(x, ˙ t) x→t+0 #$ " ! 1 ˙ − x) + − u"0 (t − x) − v0 (t − x) + u"0 (t + x) + v0 (t + x) . = l´ım y(t

x→t+0

Luego el Lema 9.5 y la Definici´ on 9.1 implican la existencia del limite anterior cuando ±t < 0. Para t = 0 este mismo l´ımite tambi´en existe, en virtud del inciso a). Por lo tanto, l´ım v(x, t) existe para todo t ∈ R. x→t±0

El inciso d) de la afirmaci´ on iii) esta probado.

Corolario 9.7. Y (t) es invariante sobre F, es decir Y (t) ∈ F si Y0 ∈ F, para todo t ∈ R. Lema 9.8. Sea (u(x, t), v(x, t)) ∈ F, entonces % % % & & & & % u˙ + u" |x=t+0 = u˙ + u" |x=t−0 , u˙ − u" |x=−t−0 = u˙ − u" |x=−t+0 , for all t $= 0.

Demostraci´ on. Probemos la primera igualdad. De la representaci´on de D’ Alembert (31) para u(x, t), las f´ ormulas (26) y la Definici´on 9.1 obtenemos ! $ & % = u" (2t) + v(2t), ∀ t $= 0. u˙ + u" |x=t+0 = u"0 (x + t) + v0 (x + t) x=t+0

Ahora usando la representaci´ on (45), las f´ormulas (26) y la Definici´on 9.1 obtenemos ! $ % & u˙ + u" |x=t−0 = u"0 (x + t) + v0 (x + t) = u" (2t) + v( 2t), ∀ t $= 0. x=t−0

La primera identidad esta probada en virtud de las expresiones anteriores. La otra identidad se muestra de manera similar. !

Marco Taneco

Lema 9.9. Sea D2 (R) := {ϕ !∈ C ∞ "| ϕ" (x) ∈ D(R)}. El conjunto D2 (R) ⊕ D(R) ⊂ E es denso en E, $·$E .

Demostraci´ on. Sea (u, v) ∈ E y " > 0. Es conocido que D(R) es denso en L2 (R) (v´ease [22, p´ agina 80]). Luego existe ψ, φ ∈ D(R) tales que # " # " " #u − φ# 2 ≤ . (125) $v − ψ$L2 (R) ≤ , L (R) 2 2 Definimos ϕ(x) :=

$x 0

Entonces

φ(ξ)dξ + u(0), claramente (ϕ, ψ) ∈ D2 (R) ⊕ D(R).

# # $(u − ϕ, v − ψ)$E = #u" − ϕ" #L2 (R) + |u(0) − ϕ(0)| + $v − ψ$L2 (R) # # = #u" − φ#L2 (R) + $v − ψ$L2 (R) ≤ ".

Definimos el conjunto

(126) % & ' & K := (u, v) ∈ E & ∃ K± , R ∈ R tal que u(x) = K± , v(x) = 0, para ± x > R .

" ! Lema 9.10. El conjunto F ∩ K ⊂ E es denso en E, $·$E .

Demostraci´ on. Obviamente D2 (R)⊕D(R) ⊂ K. Es f´acil ver que D2 (R)⊕ D(R) ⊂ F, ya que u(x), v(x) ∈ C ∞ (R). Entonces, D2 (R) ⊕ D(R) ⊂ es denso en la Proposici´ on 9.9 implica que D2!(R) ⊕ D(R) !F ∩ K. Luego " " E, $·$E , por lo tanto, F ∩ K ⊂ E es denso en E, $·$E . ! Lema 9.11. La trayectoria U (t) : Y0 )→ Y (t) es invariante en F ∩ K, es decir, Y (t) ∈ F ∩ K para todo t ∈ R si Y0 ∈ F ∩ K.

Demostraci´ on. Sea ! (u0 , v0 ) ∈ F "∩ K, entonces la !fórmula de D’ "Alembert (31) implica que u(x, t), v(x, t) ∈ K. Además, u(x, t), v(x, t) ∈ F por Corolario 9.7. ! Demostraci´ on del Teorema 5.1, 3 (Conservación de la energ´ıa del sistema de Lamb) Para t ≥ 0, escribimos ! " ! " H(Y0 ) (t)(u0 , v0 ) = H Y (t) (u0 , v0 ) ( & &2 * 1 ) := (127) |u(x, ˙ t)|2 + &u" (x, t)& dx + V (u(0, t)), 2 R

en donde, u(x, t), v(x, t) = Y (t) y Y (0) = Y0 .

Din´ amica del sistema de Lamb

" ! Notemos que H(Y0 ) (t) : (u0 , v0 ) → R es una función continua de E en R, ya que u!0 (x, 0), v0 (x, 0) ∈ L2 (R; Rd ) y la transformación U (t) del Teorema 5.1 punto 2, es continua de E → E. Además, " ! (128) H(Y0 ) (t) ∈ C(R), ya que Y (t) ∈ C(R;!E) por "Teorema 5.1, punto 1. Demostremos que H(Y0 ) (t) = const para todo t ∈ R con Y0 = (u0 , v0 ) ∈ F ∩ K. Consideremos la integral “energética”de la cuerda del sistema de Lamb # % %2 & 1 $ (129) E(t) = |u(x, ˙ t)|2 + %u! (x, t)% dx. 2 R

" ! " ! Notemos que de (127) se sigue que H(Y0 ) (t) = E(t) + V u(0, t) . Dividimos la integral energ´etica en (130) E(t) =

#t 0

#−t '

−∞

( ( #0 ' [u(x, ˙ t)]2 [u! (x, t)]2 [u(x, ˙ t)2 ] [u! (x, t)]2 + dx + + dx 2 2 2 2 −t +∞ # '

( [u(x, ˙ t)]2 [u! (x, t)]2 + dx + 2 2

( [u(x, ˙ t)]2 [u! (x, t)]2 + dx. 2 2

" ! " Demostremos que existe H ∈ R tal que H(Y0 ) (t) := E(t)+V u(0, t) = H para todo t ≥ 0 y para todo (u0 , v0 ) ∈ F ∩ K. Diferenciando con respecto de t > 0 los primeros dos sumando de (130) y usando la f´ ormula de Liebniz para derivar integrales que dependen de un par´ ametro obtenemos !

(131)

#−t

d dt

) #−t ' −∞

( ( * #0 ' [u# (x, t)]2 [u(x, ˙ t)]2 [u(x, ˙ t)2 ] [u# (x, t)]2 + dx + + dx 2 2 2 2

[u(x, ˙ t)u## (x, t) + u# (x, t)u˙ # (x, t)]dx +

−∞

−

1 2

(u(−t ˙ − 0, t)) + (u (−t − 0, t))

−t

[u(x, ˙ t)u## (x, t) + u# (x, t)u˙ # (x, t)]dx

−t

$ & + (u(−t ˙ + 0, t))2 + (u# (−t + 0, t))2 . 1 2

Usando la primera ecuaci´ on de (1) (la cual es satisfecha para u(x, t) en el sentido cl´ asico para x &= 0 y x &= ±t, por Teorema 9.6 ii)) tenemos

Marco Taneco

que !−t

[u(x, ˙ t)u (x, t) + u (x, t)u˙ (x, t)]dx +

−∞

!−t

[u(x, ˙ t)u## (x, t) + u# (x, t)u˙ # (x, t)]dx

−t #

[u(x, ˙ t)¨ u(x, t) + u (x, t)u˙ (x, t)]dx +

−∞

[u(x, ˙ t)¨ u(x, t) + u# (x, t)u˙ # (x, t)]dx.

−t

Ahora una integraci´ on por partes en esta u ´ltima igualdad nos da que el lado izquierdo de (131) es igual a (132)

#−t−0 " #0− " ˙ t) + u# (x, t)u(x, ˙ t) u# (x, t)u(x, −∞ −t+0 # # " " 1 1 2 # 2 2 ˙ − 0, t)) + (u (−t − 0, t)) + (u(−t ˙ + 0, t)) + (u# (−t + 0, t))2 . − (u(−t 2

En forma an´ aloga, para los u ´ltimos dos sumandos de (130) obtenemos

(133) $ !t % +∞% & & ' ! [−u(x, ˙ t)]2 [−u! (x, t)]2 [−u(x, ˙ t)2 ] [−u! (x, t)]2 d + dx+ + dx dt 2 2 2 2 t 0 #t−0 " #+∞ " # " 1 ˙ t) + u! (x, t)u(x, ˙ t) − (u(t+0, ˙ t))2 +(u! (t+0, t))2 = u! (x, t)u(x, 0+ t+0 2 " # 1 + (u(t ˙ − 0, t))2 + (u! (t − 0, t))2 . 2

De esta forma

(134) #−t−0 " #0− " ˙ ˙ t) + u! (x, t)u(x, ˙ t) E(t) = u! (x, t)u(x,

" #t−0 + u! (x, t)u(x, ˙ t) −∞ −t+0 0+ " #+∞ " # 1 + u! (x, t)u(x, ˙ t) − (u(−t−0, ˙ t))2 +(u! (−t−0, t))2 2 t+0 " # " # 1 1 + (u(−t ˙ + 0, t))2 + (u! (−t + 0, t))2 − (u(t ˙ + 0, t))2 + (u! (t + 0, t))2 2 2 " # 1 2 ! + (u(t ˙ − 0, t)) + (u (t − 0, t))2 . 2

Definiendo

[u! (x, t)]2 # + u! (x, t)u(x, ˙ t) 2 2 ( ( 2 1 ˙ t) ± u! (x, t)( , t > 0, = ± (u(x,

(135) Γ± (x, t) := ±

" [u(x, ˙ t)]2 2

Din´ amica del sistema de Lamb

obtenemos por (134)

!x=−t−0 !x=0− !x=t−0 ! ! ! ˙ (136) E(t) = Γ− (x, t)! + u(x, ˙ t)u" (x, t)! + Γ+ (x, t)! , x=−t+0

x=0+

x=t+0

ya que u(x, t), v(x, t) ∈ K. Luego se sigue del Lema 9.8 !x=±t−0 ! = 0, t > 0, (137) Γ± (x, t)! x=±t+0

dado que (u(x, t), v(x, t)) ∈ F. Ahora la continuidad de u(x, t) (véase Teorema 9.6 i)) y la expresión (34) implican que u(0+, ˙ t) = u(0−, ˙ t) = u(0, ˙ t) = y(t). ˙ De esta forma la segunda ecuaci´ on de (1) (la cual se satisface para u(x, t) en el sentido clásico, para x #= 0 y x #= ±t (véase Teorema 9.6 ii)) y el caracter conservativo de F (véase (9)) implican !x=0− ! u(x, ˙ t)u" (x, t)! = u(0−, ˙ t)u" (0−, t) − u(0+, ˙ t)u" (0+, t) x=0+ " # = −u(0, ˙ t) u" (0+, t) − u" (0−, t) d = −y∇V ˙ (y) = − V (y(t)), t > 0. (138) dt Luego se sigue de (136)-(138) que % $ d ˙ 0 ) (t) = E(t) ˙ + V (y(t)) = 0, t > 0. H(Y dt % $ ) Esto implica que existe H ∈ R tal que H(Y 0 % (t) = H, t > 0, Y0 ∈ $ ) (t) con respecto de t ∈ R F ∩K. Ahora usando la continuidad de H(Y 0 % $ obtenemos que H(Y0 ) (0+) = H. Por lo tanto, $ % H(Y0 ) (t) = H, t ≥ 0. El caso aloga. De esta manera demostramos $ t ≤ %0 se maneja de forma an´ que H(Y0 ) (t) = const, t ∈ R, Y0 ∈ F ∩ K. Nos falta mostrar que esto mismo se cumple para Y0 ∈ E. El siguiente diagrama esquematiza el paso final de la prueba: F∩K

U (t)

! F∩K

∩−denso

H(t)

! R $ # # #

"## (H◦U )(t)

E Recordemos que H : E → R es una función $continua % por (12) y la definición de la topolog´ıa de E. Por lo tanto, H Y (t) (u0 , v0 ) = const para (u0 , v0 ) ∈ E, por el Lema 9.10, la continuidad de U (t) (véase Teorema 9.6 ii)) y la invarianza de U (t) en F ∩ K (véase Lema 9.11). !

10.

Marco Taneco

Acotamiento de las soluciones de energ´ıa finita del sistema de Lamb

En esta u ´ltima secci´ on se demuestra que todas las soluciones de energ´ıa finita del sistema de Lamb est´an acotadas para todo t ∈ R, con respecto a la topolog´ıa dada sobre el espacio de fases E. Demostraci´ on del Teorema 5.1, 4 (Estimaci´on a priori del sistema de Lamb) Demostraremos la estimaci´ on a priori (14) para t ≥ 0. Sea Y (t) ∈ E, por la definici´ on de norma en E ! ! (139) #Y (t)#E = !u! (x, t)!L2 (R;Rd ) + |u(0, t)| + #v(x, t)#L2 (R;Rd ) .

Tenemos dos casos: 1) |x| ≥ |t|. Las f´ormulas (86), la definci´on del espacio E y un cambio de variable (en el sentido de Lebesgue) implican que existe C1 > 0 tal que ! ! ! !u (x, t)! 2 + #v(x, t)#L2 (Rt ;Rd ) ≤ C1 , t ≥ 0, (140) L (Rt ;Rd )

en donde Rt esta definido en (85). 2) |x| < |t|. Las f´ ormulas (88), (89) y (26), la definci´on del espacio E, un cambio de variable (en el sentido de Lebesgue) y la cota a priori (68) implican que existe C2 > 0 tal que ! ! ! !u (x, t)! 2 + #v(x, t)#L2 ((−t,t);Rd ) ≤ C2 , t ≥ 0. (141) L ((−t,t);Rd ) Ahora (140) y (141) implican que existe C > 0 tal que ! ! ! !u (x, t)! 2 + #v(x, t)#L2 (R;Rd ) ≤ C, t ≥ 0. (142) L (R;Rd )

Nuevamente por (34) y la estimaci´ on a priori (68) obtenemos a partir de (139) la estimaci´ on (14) para t ≥ 0. El caso t ≤ 0 se demuestra de manera an´aloga, usando las representaciones adecuadas de u(x, t) en |x|≥|t| y |x|<|t|, cuando t < 0. !

La descomposici´ on de D’ Alembert en la clase de distribuciones D% (Ω; Rd )

Las demostraciones de los resultados de esta sección se pueden consultar en [21, Cap´ıtulo 2] y usan b´ asicamente la teor´ıa de distribuciones y un análisis detallado de las bien conocidas fórmulas de D’ Alembert pero en el sentido distribucional.

Din´ amica del sistema de Lamb

Definici´ on A.1. Sea ψ : R2 → R2 , una transformaci´on lineal definida por ψ(x, t) = (x − t, x + t);

(143)

con funci´on inversa ψ −1 : R2 → R2 ,

1 ψ −1 (ξ, η) = (ξ + η, −ξ + η). 2

(144) Claramente tenemos (145)

|Jψ | = 2

1 y |Jψ−1 | = , 2

en donde, |J| denota el jacobiano de una transformaci´ on lineal. an a los semi planos derecho e izLos s´ımbolos Π+ y Π− denotar´ quierdo respectivamente. Es decir, ! " (146) Π± := (x, t) ∈ R2 | ± x > 0 . La imagen de Π+ bajo ψ ser´ a denotada por Σ+ , Σ+ = ψ[Π+ ] = {(ξ, η) ∈ R2 : η > −ξ}. Lema A.2. Sea w(ξ, η) ∈ D" (Σ+ ; Rd ) y # $ ∂η w(ξ, η) = 1(ξ) ⊗ r(η),

en donde, r(η) ∈ D" (Rη ; Rd ). Entonces 1) existen f+ (ξ) ∈ D" (Rξ ; Rd ) y g+ (η) ∈ D" (Rη ; Rd ) tales que (147)

w(x, t) := w(ξ, η) ◦ ψ(x, t)

con ψ(x, t) definida por (143), se representa en la forma siguiente: (148) en donde, (149)

w(x, t) = f+ (x − t) + g+ (x + t), # $ f+ (x − t) := f+ (ξ) ⊗ 1(η) ◦ ψ(x, t), # $ g+ (x + t) := 1(ξ) ⊗ g+ (η) ◦ ψ(x, t).

2) Si f+ ∈ D" (Rξ ; Rd ), g+ ∈ D" (Rη ; Rd ) es otra pareja de distribuciones que satisface (148), entonces existe una constante C+ ∈ R tal que (150)

f + = f+ − C + ,

g + = g+ + C + .

Marco Taneco

Observaci´ on A.3. Notemos que la identidad (148) se extiende de Σ+ a todo R2 . Ahora podemos enunciar el teorema sobre la descomposici´on de D’ Alembert en D! (Π± ; Rd ). Teorema A.4. [21, Cap´ıtulo 2] a) Si u ∈ D! (Π± ; Rd ), entonces las afirmaciones 1 y 2 son equivalentes: 1. (151)

!u(x, t) = 0,

sobre

Π± .

2. Existen f± , g± ∈ D! (R; Rd ) tal que (148) se cumple. 3. b) Adem´ as, sea u(x, t) que admite el desarrollo (148). Si f ± , g ± ∈ D! (R; Rd ) son tales que (152)

u(x, t) = f ± (x − t) + g ± (x + t),

Π± ,

entonces existen C± ∈ R tal que (153)

f ± = f± − C ± ,

g ± = g± + C ± .

A continuaci´ on enunciaremos algunas propiedades especiales de las funciones f± g± que aparecen en (148) bajo ciertas hip´otesis sobre u(x, t). Lema A.5. Sea v(ξ, η) ∈ D! (R2 ; Rd ) y supongamos que existen p± , q± ∈ D! (R; Rd ) tales que (154)

v(ξ, η) = p± (ξ) ⊗ 1(η) + 1(ξ) ⊗ q± (η), (ξ, η) ∈ Σ± .

Entonces, se cumplen las siguientes implicaciones i) v(ξ, η) ∈ C(R2 ; Rd ) =⇒ p, q ∈ C(R; Rd ), ii) Si v(ξ, η) ∈ L2loc (R2 ; Rd ) =⇒ p, q ∈ L2loc (R; Rd ). Corolario A.6. Sea u(x, t) ∈ D! (Π± ; Rd ) y supongamos que existen f± , g± ∈ D! (R) tal que se cumple (148) en (x, t) ∈ Π± . Entonces, se tienen las siguientes implicaciones i) u ∈ C(R2 ; Rd ) =⇒ f± , g± ∈ C(R; Rd ), ii) si u ∈ L2loc (R2 ; Rd ) =⇒ f± , g± ∈ L2loc (R; Rd ).

Din´ amica del sistema de Lamb

Agradecimientos El autor expresa su profundo agradecimiento a Dios, a su familia, al Dr. Anatoli E. Merzon y al CONACyT por su gran apoyo en esta investigación. Marco Antonio Taneco Hern´ andez Instituto de F´ısica y Matem´ aticas, Universidad Michoacana de San Nicol´ as de Hidalgo, Ciudad Universitaria, S/N, 58060, Morelia, Michoac´ an, México, Edificio C-3, Centro de Ciencias Matem´ aticas, UNAM, Apartado Postal 61-3 (Xangari), 58089, Morelia, Michoac´ an, México, math23@ifm.umich.mx and mtaneco@matmor.unam.mx

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Marco Taneco

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Morfismos, Vol. 15, No. 1, 2011, pp. 55–66

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs ∗ Carlos M. Ramos

Feliu ´ D. Sagols

Abstract We follow the total order for intervals and fuzzy numbers introduced by Hashemi et al. in [1] and Ghatee et al. in [2] to solve the minimum cost flow problem with either, interval or fuzzy arc costs by using its crisp model, a minimum cost flow problem associated to original imprecise problem. Numerical simulations compare the performance of this method in real scenarios with the algorithm proposed in [1].

2010 Mathematics Subject Classification: 65G30, 65G40, 03E72, 90C70. Keywords and phrases: minimum cost flow problem, interval arc costs, fuzzy arc costs, crisp model.

Introduction

The Minimum Cost Flow Problem (MCFP) is a basic problem in network flow theory with several applications. The standard formulation of the MCFP assumes that input data are known precisely. In this paper we study a slight variation of this problem where the arc costs are imprecisely known. There are previous related results in the literature. In [3] the MCFP with stochastic arc costs is studied and solution methods are developed based on two optimality concepts: cycle marginal costs, and network equilibrium. In [1] the MCFP with interval arc costs ∗ This paper extends the methods and results in the Master Thesis of the first author. The thesis has been submitted to the Department of Mathematics of the CINVESTAV under the supervision of the second author. 1 Supported by Conacyt (M´exico, Scolarship 230102).

C. M. Ramos and F. D. Sagols

is considered and two solution methods are introduced based on extensions of some efficient combinatorial algorithms for the MCFP. Also two performance indexes are used to measure the efficiency of these methods in simulations performed on different scenarios. In [2] the MCFP is established for fuzzy arc costs and, just as for the problem with interval arc costs, the proposed solution modifies the negativecycle-canceling algorithm in order to allow the use of fuzzy numbers. In this work we solve both approaches of the MCFP: with interval and fuzzy arc costs. In both cases we solve the problem by transforming it into a conventional MCFP. We use the performance indexes introduced in [1] to compare both, the methodology in [1] and ours.

Intervals and fuzzy numbers

Intervals and fuzzy numbers are mathematical representations of imprecise quantities sucessfully applied to solve several problems in industrial engineering and operations research. Interval and fuzzy mathematics are generalizations of real aritmethic where numbers are replaced by intervals or fuzzy numbers. Some basic fuzzy numbers concepts are defined in Section 2.2. For all of the undefined concepts about fuzzy numbers we follow [5].

2.1

Intervals arithmetic

A closed interval in R is a set [aL , aR ] = {x ∈ R|aL ≤ x ≤ aR } where aL and aR are the left and right limits of the interval. An interval A = [aL , aR ] is an interval number and is represented by AI = #a, aw $ L L and aw = aR −a ≥ 0 are the center and the width of where a = aR +a 2 2 I the interval number A respectively. It is common to use the following two operations on intervals. Definition 2.1.1. Let #a, aw $ and #b, bw $ be interval numbers and λ ≥ 0 a real number. The addition of two interval numbers and the multiplication of an interval number by an escalar satisfies, respectively

(1)

#a, aw $ + #b, bw $ = #a + b, aw + bw $

(2)

λ#a, aw $ = #λa, λaw $ = #a, aw $λ

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs

A review of intervals and their algebraic properties appears in [4]. An ordering on a special kind of interval numbers was introduced by Hashemi et al. [1] based on a weighted scheme. Definition 2.1.2. Let !a, aw " and !b, bw " be interval numbers and k, l real positive numbers. A relation ≤k,l on intervals is !a, aw " ≤k,l !b, bw " ⇔ ka + law ≤ kb + lbw . The relation ≤k,l on interval numbers is reflexive, transitive and complete. The following definition and proposition establishes that this relation is an ordering on a particular subset of interval numbers for a special election of k and l. Definition 2.1.3. Let IQ = {!a, aw "|a, aw ∈ Q} be the set of intervals with rational entries. Proposition 2.1.4 ([1]). Let π be a non-algebraic real positive number and k = q1 π n1 , l = q2 π n2 , where q1 , q2 ∈ Q+ −{0} are non-zero rational numbers and n1 '= n2 ∈ Z+ . Then, the relation ≤k,l provides a total order on IQ .

2.2

Fuzzy numbers arithmetic

A fuzzy set A˜ in the universe X is characterized by a membership (characteristic) function µA˜ : X → [0, 1] which associates with each point in X a “membership grade” in the interval [0, 1]. A fuzzy number A˜ is a fuzzy set in the universe R with membership function µA˜ where 1. µA˜ is piecewise continuous 2. There exists a unique x0 ∈ R with µA˜ (x0 ) = 1 3. µA˜ (λx1 +(1−λ)x2 ) ≥ min(µA˜ (x1 ), µA˜ (x2 )) ∀x1 , x2 ∈ R, ∀λ ∈ [0, 1] ˜ is said to be an LR fuzzy number if and only if A fuzzy number M  $m − x% L for x ≤ m, mL > 0 L % $ xm µM˜ (x) = −m R for x ≥ m, mR > 0 mR where L, R : R → [0, 1] are symmetric and non-increasing on [0, +∞) functions such that L(0) = R(0) = 1. Quantities m, mL and mR are

C. M. Ramos and F. D. Sagols

called the mean value, and the left and right spreads of M respectively. ˜ = (m, mL , mR )LR . Let us denote M For LR fuzzy numbers there are two basic operations too [5]. Definition 2.2.1. Let (a, aL , aR )LR and (b, bL , bR )LR be LR fuzzy numbers and λ ≥ 0 a real number. The addition of two LR fuzzy numbers and the multiplication of a fuzzy number by escalar satisfies, respectively

(3) (4)

! (b, bL , bR )LR = (a + b, aL + bL , aR + bR )LR (a, aL , aR )LR + λ(a, aL , aR )LR = (λa, λaL , λaR )LR = (a, aL , aR )LR λ

Analogous to interval numbers it is possible to define an ordering on a subset of LR fuzzy numbers. Definition 2.2.2. Let (a, aL , aR )LR and (b, bL , bR )LR be LR fuzzy numbers and k, l, r real positive numbers. A relation ≤k,l,r on LR fuzzy numbers may be defined as (a, aL , aR )LR ≤k,l,r (b, bL , bR )LR ⇔ ka + laL + raR ≤ kb + lbL + rbR . Definition 2.2.3. Let LRQ = {(m, mL , mR )LR |m, mL , mR ∈ Q} be the set of LR fuzzy numbers with rational entries. Proposition 2.2.4 ([2]). Let π be a non-algebraic real positive number and k = q1 π n1 , l = q2 π n2 and r = q3 π n3 where q1 , q2 , q3 ∈ Q+ − {0} are non-zero rational numbers and n1 &= n2 &= n3 ∈ Z+ . Then, the relation ≤k,l,r provides a total order on LRQ .

The minimum imprecise-cost flow problem

Let G = (N, A) be a directed graph where N and A are sets of nodes and arcs respectively. Each arc (i, j) ∈ A has a cost ci,j , and an integral capacity ui,j . Each node i ∈ N has a supply or demand represented as an integer bi . If bi is negative (resp. positive or zero) then the node i is a demander (resp. supplier or transient) node. Moreover, the sum of " supplies and demands is assumed to be zero, i.e., bi = 0. i∈N

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs

The cost vector is denoted by c = (ci,j )(i,j)∈A . Similarly u = (ui,j )(i,j)∈A and b = (bi )i∈N denote respectively the capacities and supplies vector. The 5-tuple N = (N, A, u, c, b) is a network. The minimum cost flow problem on network N = (N, A, u, c, b) consists in determining the flow xi,j on each arc (i, j) ∈ A that solves the following problem. Minimize: !

(5)

ci,j xi,j

(i,j)∈A

Subject to: (6)

{j:(i,j)∈A}

(7)

xi,j −

{j:(j,i)∈A}

0 ≤ xi,j ≤ ui,j

xj,i = bi ∀ i ∈ N

∀ (i, j) ∈ A

The flow vector x = (xi,j )(i,j)∈A is feasible if and only if it satisfies the contraints (6) - (7) and it is an optimal flow if its total transporting cost (5) is minimal among the costs of all feasible flows. It is well-known that the MCFP can be solved efficiently in (strongly) polynomial time. The running times for several algorithmic implementations appears in [7, 8]. If instead of using numbers in the entries of the cost vector c we use interval numbers (resp. fuzzy numbers) a minimum interval-cost flow problem (resp. minimum fuzzy-cost flow problem), MICFP (resp. MFCFP) for short, is defined on network N . We have a minimum imprecise-cost flow problem on network N if we have either a MICFP or a MFCFP on N . The notion of feasible flow remains inaltered in this case, however the objective function !

ci,j xi,j

(i,j)∈A

is an interval or fuzzy number and the flow x is optimal if its cost is the minimum among all costs of feasible flows with respect to the ≤k,l or ≤k,l,r ordering.

C. M. Ramos and F. D. Sagols

The crisp model for a minimum imprecisecost flow problem

Suppose we have a minimum imprecise-cost flow problem on a network N = (N, A, u, cˆ, b) with imprecise arc cost vector cˆ, and that all arc costs cî,j are in IQ (resp. LRQ ). Let k and l (resp. k, l and r) be numbers such that the Hashemi’s order is a total order on IQ (resp. LRQ ). For each arc (i, j) ∈ A, let us define the crisp cost c¯i,j as ! if cî,j = "ci,j , cw kci,j + lcw i,j , i,j # c¯i,j = L R R kci,j + lci,j + rci,j , if cî,j = (ci,j , cL i,j , ci,j )LR so we can establish the crisp model associated to the original minimum imprecise-cost flow problem as Minimize: "

(8)

c¯i,j xi,j

(i,j)∈A

Subject to: (9)

{j:(i,j)∈A}

(10)

xi,j −

{j:(j,i)∈A}

xj,i = bi ∀ i ∈ N

0 ≤ xi,j ≤ ui,j ∀ (i, j) ∈ A

which is a conventional minimum cost flow problem where the restrictions (9) - (10) are the same as in the imprecise problem but now with real arc costs in the objective (8) instead of imprecise values. Proposition 4.1. Let x∗ = (x∗i,j )(i,j)∈A be a feasible flow which is an optimal solution for the crisp model (8) - (10) associated to a MFCFP. Then x∗ also is an optimal solution for the MFCFP. Proof. Let k, l, and r be numbers inducing a total order on LRQ (as in Proposition 2.2.4). Notice that a flow is a feasible flow in the crisp model if and only if it is a feasible flow in the MFCFP. Let x∗ = (x∗i,j )(i,j)∈A be an optimal flow for the crisp model. Then ∗ x is a feasible flow for the MFCFP too.

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs

∗ ) If the optimal solution for the MFCFP is y ∗ = (yi,j (i,j)∈A and ! ! ∗ ∗ cˆi,j xi,j . Then we have that cˆi,j yi,j <k,l,r (i,j)∈A

(i,j)∈A

! "

R ci,j , cL i,j , ci,j

(i,j)∈A

⇔

! "

∗ <k,l,r yi,j

(i,j)∈A

∗ ci,j yi,j ,

(i,j)∈A

! "

∗ cR i,j yi,j

(i,j)∈A

$ !

∗ (ci,j yi,j ) + l

(i,j)∈A

ci,j x∗i,j ,

(ci,j x∗i,j )

⇔ ⇔

! "

(i,j)∈A

x∗i,j

<k,l,r ∗ cL i,j xi,j ,

∗ cR i,j xi,j

(i,j)∈A

∗ (cR i,j yi,j ) <

(i,j)∈A ∗ l (cL i,j xi,j ) (i,j)∈A

∗ (cL i,j yi,j ) + r

(i,j)∈A

R ∗ ∗ ci,j x∗i,j , cL i,j xi,j , ci,j xi,j

(i,j)∈A

∗ cL i,j yi,j ,

(i,j)∈A

<k,l,r

(i,j)∈A

⇔k

R ci,j , cL i,j , ci,j

(i,j)∈A

∗ ∗ R ∗ ci,j yi,j , cL i,j yi,j , ci,j yi,j

$ !

! "

∗ (cR i,j xi,j )

(i,j)∈A

! " # ∗ # ∗ R R kci,j + lcL kci,j + lcL i,j + rci,j xi,j i,j + rci,j yi,j <

∗ c¯i,j yi,j <

(i,j)∈A

c¯i,j x∗i,j

(i,j)∈A

which is a contradiction to the optimality of x∗ for the crisp model. Therefore, x∗ is an optimal solution for the MFCFP. Corollary 4.2. Let x∗ = (x∗i,j )(i,j)∈A be a feasible flow that is an optimal solution for the crisp model (8) - (10) associated to a MICFP. Then x∗ also is an optimal solution for the MICFP. Proof. Analogous to proof of Proposition 4.1.

The last results are rewriten as follows. Theorem 4.3. The optimal solution for a minimum imprecise-cost flow problem is given by the optimal solution for the associated crisp model.

C. M. Ramos and F. D. Sagols

Theorem 4.3 yields a simple method to solve a minimum imprecisecost flow problem: we can directly use polynomial-time combinatorial algorithms to obtain the optimal solution for the associated crisp model. The optimal flow found is optimal for the original minimum imprecisecost flow problem too.

Numerical simulation results

The crisp model methodology was tested on networks with interval arc costs consisting of 20 nodes and exactly 40 arcs. The nodes in these networks had two as average degree. These networks were randomly generated using the following procedure (see [3] for details). 1. Label the nodes in the network from 1 through n. 2. Set b1 = b and bn = −b for a positive integer b. The remaining nodes are transient nodes. 3. Generate n − 1 directed arcs (i, i + 1) for all i = 1, · · · , n − 1 and set ui,i+1 = b, and cˆi,i+1 = "c, cw # where c and cw are positive rational constants. 4. Generate the remainning n+1 arcs (i, j) by selecting their tail and head nodes randomly, each node should have the same probability to be selected, but parallel arcs and loops must be avoided. Arc’s capacities, center costs, and cost widths are uniformly drawn from [0, b], [0, c] and [0, cw ] respectively. To measure the accuracy of the crisp model for the prediction of optimal flows in an imprecise environment we follow the scenario idea used in [1]. Let N = (N, A, u, cˆ, b) be a network with interval arc costs; the network Ns = (N, A, u, cs , b) is a scenario of N if and only if each arc cost csi,j belongs to the interval arc cost "ci,j , cw i,j # for all (i, j) ∈ A. Two performance indexes for a set of scenarios S of N are defined in [1] as follows. Let V ∗ (N " ) be the optimal value of a instance of one of the problems MCFP, MICFP or MFCFP on a given network N " . An instance of the MICFP on network N solved by the crisp model has an interval as optimal cost, i.e., V ∗ (N ) = "V, V w # for an interval "V, V w #. The first performance index denoted I1 (N ), is the proportion of scenarios of N

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs

|S| k 1 1 1 1 1 1 1

l 4π 3π 2π π π/2 π/3 π/4

1000 I1 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

I2 0.0 1.0 5.0 0.0 4.0 1.0 0.0

3000 I1 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

I2 0.0 1.0 5.0 0.0 3.9 1.0 8.9

5000 I1 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

I2 6.0 0.0 0.0 0.0 7.0 9.0 18.0

Table 1: Results of the MICFP in the random networks with 20 nodes. whose optimal costs are in the interval V ∗ (N ). More precisely, I1 (N ) =

| {Ns ∈ S : V ∗ (Ns ) ∈ V ∗ (N )} | . |S|

As much as this index is close to one, the crisp model predicts the cost of shipment more accurately. Let x = (xi,j )(i,j)∈A be the optimal flow in the MICFP on network N obtained by solving its associated crisp model, and xs = (xsi,j )(i,j)∈A be the optimal flow for scenario Ns . The second performance index denoted I2 (N ), is the maximum difference between arc flow entries in x and in xs normalized per cost unit. More precisely,   s   c i,j . I2 (N ) = max max |xi,j − xsi,j | Ns ∈S (i,j)∈A  max csi,j  (i,j)∈A

The method yields a better solution as the second index is close to zero. In Table 1 we report the results produced by the crisp model methodology to solve some instances of the MICFP’s and the values obtained for I1 (N ) and I2 (N ). We choose similar values for k and l as used in [1, 2], and for each pair of values k and l a random network with interval arc costs is created and then a set S of scenarios is generated. Finally the indexes I1 and I2 are calculated. Now let us consider the MCFP on network N where the arc costs are all LR fuzzy numbers, i.e., a MFCFP. For every α ∈ [0, 1] the α-level set (or α-cut) of a fuzzy set A˜ is the ordinary set A˜α = {x ∈ X | µA˜ (x) ≥ α} and when A˜ is an LR fuzzy number A˜α is always a closed interval.

k 1 1 1 1 1 1 1

C. M. Ramos and F. D. Sagols

l 4π 3π 2π π π/2 π/3 π/4

0.0

r 16π 2 9π 2 4π 2 π2 π 2 /4 π 2 /9 π 2 /16

I1 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

0.25 I2 9.5 11.2 10.0 0.0 12.0 20.0 9.0

I1 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

0.5 I2 0.0 0.0 3.0 0.0 0.0 0.0 4.0

I1 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

0.75 I2 12.0 0.0 0.0 0.0 4.0 0.0 15.0

I1 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

I2 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0

Table 2: Results for 5000 α-escenarios in the MFCFP on random networks with 20 nodes. Extending the scenario idea for networks with fuzzy arc costs we can take each cost csi,j of scenario Ns in the interval defined by an α-cut of the fuzzy cost c˜i,j . Actually this gives us an α-scenario Ns (α) for each possible value of α. By a similar procedure applied on a randomly generated network N with triangular fuzzy arc costs we measured the performance indexes I1 and I2 for several α-scenarios of the MFCFP. The results obtained for some possibility level α are show in Table 2. In both, Tables 1 and 2, we obtained I1 = 1 for all experiments. This improves the results reported in [1] where a value of one was never reached for I1 . On the other hand, in the same reference no value reported for I2 is zero, but there are several entries in Tables 1 and 2 where this optimal value is reached. Thus, in more than 40% of the entries in Table 1 we obtained the best possible value for I2 by using the crisp model and the same happened for more than 50% of entries in Table 2. The authors of [1] never got zero values. The combination I1 = 1 and I2 = 0 appears in 48% of the results reported in Tables 1 and 2, hence in almost 50% of all experiments performed we obtained accurate solutions.

Conclusion

Minimum cost flow problems are important in network optimization due to their wide range of applications. In this paper we assumed that

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs

arc costs in the network are imprecise values that could be described by intervals as well as by LR fuzzy numbers. We solved the minimum cost flow problem with imprecise arc costs by applying the crisp model methodology and transforming it into a crisp minimum cost flow problem. This transformation was based on the total order introduced in [1, 2] for a special kind of intervals and fuzzy numbers. Although in this paper we choose the k, l and r values accordingly to the recommendations in [1, 2], it is an important question to ask for a proper way to do this selection, because in a floating arithmetic system it is impossible to represent non-algebraic numbers even if they are computable. Our choosing of k, l and r as powers (including exponent 0) of rational multiples of π is motivated (and supported) by the positive results reported in Tables 1 and 2. Yet, we believe a deeper study is in order because the use of a floating point system has radical consequences on the truthfulness of Propositions 2.1.4 and 2.2.4. Finally, numerical simulation showed that the use of the crisp model methodology improves upon the extension of the combinatorial algorithm proposed in [1] and [2], and it is at least comparable to the existing methods. Carlos M. Ramos Departamento de matem´ aticas, Centro de Investigaci´ on y de Estudios Avanzados del IPN, Apartado Postal 14-740, 07000 M´exico, D.F. mramos@math.cinvestav.mx

Feli´ u D. Sagols Departamento de matem´ aticas, Centro de Investigaci´ on y de Estudios Avanzados del IPN, Apartado Postal 14-740, 07000 M´exico, D.F. fsagols@math.cinvestav.mx

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C. M. Ramos and F. D. Sagols

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Morfismos se imprime en el taller de reproducci´ on del Departamento de Matem´ aticas del Cinvestav, localizado en Avenida Instituto Polit´ecnico Nacional 2508, Colonia San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, M´exico, D.F. Este n´ umero se termin´ o de imprimir en el mes de marzo de 2012. El tiraje en papel opalina importada de 36 kilogramos de 34 × 25.5 cm. consta de 50 ejemplares con pasta tintoreto color verde.

Apoyo t´ecnico: Omar Hern´ andez Orozco.

Contents - Contenido La obra matema´tica de Samuel Gitler al Quincuag´esimo Aniversario del Departamento de Matema´ticas del Cinvestav Jesu ´s Gonza ´lez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sobre la dina´mica del sistema de Lamb con masa cero Marco Antonio Taneco Hern´ andez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs Carlos M. Ramos and Feliu ´ D. Sagols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55