Matemática recreativa by Ignacio Ariel Anastasio

MATEMÁTICA RECREATIVA

¡Bienvenidos! A la revista virtual sobre Matemática recreativa. En la misma tendrás acceso a problemas de probabilidades, pensamiento lateral, geometría y demás. Espero te resulten atractivos y a pensar!!!!! 1

Acertijos de probabilidades Todo lo que hacemos, todo lo que ocurre a nuestro alrededor, obedece a las leyes de las probabilidades. No podemos escaparnos de ellas, de la misma manera que no podemos escaparnos de la ley de la gravedad. Suena el teléfono. Contestamos porque pensamos que alguien ha marcado nuestro número, pero siempre existe una posibi1idad de que el que llama haya marcado el número equivocado por error. Abrimos un grifo porque creemos que es probable que de él salga agua, pero tal vez no salga. "La probabilidad" dijo una vez un filósofo, "es la guía de la vida". Somos todos jugadores que pasamos por la vida haciendo incontables apuestas acerca de los resultados de incontables acciones. La teoría de las probabilidades es esa rama de la matemática que nos dice cómo estimar los grados de probabilidad. Si es seguro que un acontecimiento se producirá, su grado de probabilidad es 1. Si es seguro que no se producirá, su grado de probabilidad es 0. Todas las otras probabilidades que se sitúan entre 1 y 0 se expresan con fracciones. Si es tan probable que un acontecimiento se produzca como que no se produzca, decimos que su grado de probabilidad es 1/2. En todos los campos de la ciencia se utiliza la estimación de probabilidades. Un físico calcula el probable trayecto de una partícula. Un genetista calcula las probabilidades de que una pareja tenga un hijo de ojos azules. Las aseguradoras, los comerciantes, los agentes de bolsa, los sociólogos, los políticos, los expertos militares... todos ellos deben ser expertos en calcular la probabilidad de los sucesos que les conciernen. 2

LAS TRES MONEDAS Juan: "Voy a arrojar tres monedas al aire. Si todas caen cara, te daré diez centavos. Si todas caen cruz, te daré diez centavos. Pero si caen de alguna otra manera, tú me das cinco centavos a mí." Pedro: "Déjame pensarlo un minuto. Al menos dos monedas tendrán que caer igual porque si hay dos diferentes, la tercera tendrá que caer igual que una de las otras dos. Y si hay dos iguales, entonces la tercera tendrá que ser igual o diferente de las otras dos. Las probabilidades están parejas con respecto a que la tercera moneda sea igual o diferente. Por lo tanto, hay las mismas probabilidades de que las monedas muestren el mismo lado, como que no. Pero Juan está apostando diez centavos contra cinco que no serán todas iguales, de modo que las probabilidades están a mi favor. ¡Bien, Juan, acepto la apuesta!" ¿Fue bueno para Pedro haber aceptado la apuesta?

LA DECIMA TIRADA

Un dado común (como los que se usan en juegos de azar) tiene seis caras, de modo que la probabilidad de que aparezca alguna de ellas es uno sobre seis, o 1/6. Supongamos que tiras un dado nueve veces. Cada una de ellas cae con la cara del 1 hacia arriba.

¿Cuál es la probabilidad de que la cara del 1 vuelva a aparecer en la tirada siguiente? ¿Es más de 1/6 o sigue siendo 1/6?

APOSTANDO A LOS REYES Hay seis naipes boca abajo en la mesa. Te han dicho que dos y sólo dos entre ellos son reyes, pero no sabes en qué posición están. Eliges dos cartas al azar y las pones boca arriba. ¿Qué es más probable? (1) Que haya al menos un rey entre esas dos cartas (2) Que no haya ningún rey entre esas dos cartas

VARONES CONTRA MUJERES

George Gamow y Marvin Stern, en su estimulante librito, Puzzle-Math, cuentan acerca de un sultán que pensó en aumentar el número de mujeres de su país, con respecto al número de hombres, para que los hombres pudieran tener harenes más grandes. Para lograr su propósito, formuló la siguiente ley: en cuanto una madre de a luz su primer hijo varón, se le prohibirá tener más niños. De esta manera, argumentaba el sultán, algunas familias tendrían varias mujeres y sólo un varón, pero ninguna familia podría tener más de un varón. No pasaría mucho tiempo sin que el número de mujeres fuera mayor que el de varones. ¿Crees que la ley del sultán dará resultados?

Pensamiento lateral: ¿Qué es el pensamiento lateral? A uno le presentan un problema que no contiene la información suficiente para poder descubrir la solución. Para avanzar se requiere de un diálogo entre quien lo plantea y quien lo quiere resolver. En consecuencia, una parte importante del proceso es hacer preguntas. Las tres respuestas posibles son: sí, no o irrelevante. Cuando una línea de preguntas se agota, se necesita avanzar desde otro lugar, desde una dirección completamente distinta. Y aquí es cuando el pensamiento lateral hace su presentación. Para algunas personas, es frustrante que un problema “admita” o “tolere” la construcción de diferentes respuestas que “superen” el acertijo. Sin embargo, los expertos dicen que un buen problema de pensamiento lateral es aquél cuya respuesta es la que tiene más sentido, la más apta y la más satisfactoria. Es más: cuando uno finalmente accede a la respuesta se pregunta “cómo no se me ocurrió”.

A) EL HOMBRE EN EL ASCENSOR. Un hombre vive en un edificio en el décimo piso (10). Todos los días toma el ascensor hasta la planta baja para ir a su trabajo. Cuando vuelve, sin embargo, toma el ascensor hasta el séptimo piso y hace el resto del recorrido hasta el piso en el que vive (el décimo) por las escaleras. Si bien el hombre detesta caminar, ¿por qué lo hace? B) EL HOMBRE EN EL BAR. Un hombre entra en un bar y le pide al barman un vaso de agua. El barman se arrodilla buscando algo, saca un arma y le apunta al hombre que le acaba de hablar. El hombre dice “gracias” y se va. C) EL HOMBRE QUE SE “AUTOESTRANGULÓ”. En el medio de un establo completamente vacío, apareció un hombre ahorcado. La cuerda alrededor de su cuello estaba atada a un andamio del techo. Era una cuerda de tres metros. Sus pies quedaron a un metro de altura del piso. La pared más cercana estaba a siete metros del muerto. Si escalar las paredes o treparse al techo es imposible, ¿cómo hizo? D) HOMBRE EN UN CAMPO ABIERTO CON UN PAQUETE SIN ABRIR. En un campo se encuentra un señor tendido, sin vida. A su lado hay un paquete sin abrir. No hay ninguna otra criatura viva en el campo. ¿Cómo murió? E) DOS AMIGOS ENTRAN A COMER EN UN RESTAURANTE. Los dos lograron sobrevivir al naufragio de un pequeño barco en donde viajaban ambos y el hijo de uno de ellos. Pasaron más de un mes juntos en una isla desierta hasta que fueron rescatados. Los dos ordenan el mismo plato del menú que se les ofrece. Una vez que el mozo les trae la comida, comienzan a comer. Uno de ellos, sin embargo, ni bien prueba el primer bocado sale del restaurante y se pega un tiro. ¿Por qué? F) UN HOMBRE VA BAJANDO LAS ESCALERAS DE UN EDIFICIO cuando advierte súbitamente que su mujer acaba de morir. ¿Cómo lo sabe? G) LA MÚSICA SE DETUVO. La mujer se murió. Explíquelo. H) EN EL FUNERAL DE LA MADRE DE DOS HERMANAS, una de ellas se enamora profundamente de un hombre que jamás había visto y que estaba prestando sus condolencias a los deudos. Las dos hermanas eran las únicas que quedaban ahora como miembros de esa familia. Con la desaparición de la madre ellas dos quedaban como únicas representantes. Después del 6

funeral y ya en la casa de ambas, una hermana le cuenta a la otra lo que le había pasado (y le estaba pasando con ese hombre) del que no sabía quién era y nunca había visto antes. Inmediatamente después, mata a la hermana. ¿Por qué? I) El PROBLEMA DE LOS TRES INTERRUPTORES: Se tiene una habitación vacía con excepción de una bombita de luz colgada desde el techo. El interruptor que activa la luz se encuentra en la parte exterior de la habitación. Es más: no sólo hay un interruptor, sino que hay tres iguales, indistinguibles. Se sabe que sólo una de las “llaves” activa la luz (y que la luz funciona, naturalmente). El problema consiste en lo siguiente: la puerta de la habitación está cerrada. Uno tiene el tiempo que quiera para “jugar” con los interruptores. Puede hacer cualquier combinación que quiera con ellos, pero puede entrar en la habitación sólo una vez. En el momento de salir, uno debe estar en condiciones de poder decir: “ésta es la llave que activa la luz”. Los tres interruptores son iguales y están los tres en la misma posición: la de apagado. Para aclarar aún más: mientras la puerta está cerrada y uno está afuera, puede entretenerse con los interruptores tanto como quiera. Pero habrá un momento en que decidirá entrar en la habitación. No hay problemas. Uno lo hace. Pero cuando sale, tiene que poder contestar la pregunta de cuál de los tres interruptores es el que activa la lamparita. Una vez más: el problema no tiene trampas. No es que se vea por debajo de la puerta, ni que haya una ventana que da al exterior y que le permita a uno ver qué es lo que pasa adentro, nada de eso. El problema se puede resolver sin golpes bajos. J) MARÍA Y JUAN. María tiene un hermano llamado Juan. Juan tiene tantos hermanos como hermanas. María tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuantos chicos y chicas hay en la familia? K) LLENANDO LA PICINA. Para llenar de agua una piscina hay tres surtidores. El primer surtidor tarda 30 horas en llenarla, el segundo tarda 40 horas y el tercero tarda cinco días. Si los tres surtidores se conectan juntos, ¿cuánto tiempo tardará la piscina en llenarse?.

Problemas de Geometría y algo más… Muchas veces un problema geométrico es terriblemente difícil si se lo enfoca de manera equivocada. Se lo enfoca de otra manera y resulta absolutamente simple. Este problema es un caso clásico. Dadas las dimensiones (en centímetros) que muestra la ilustración, ¿con qué rapidez puedes calcular la longitud de la diagonal del rectángulo que va de la esquina A a la esquina B?

Se tienen seis fósforos iguales. ¿Es posible construir con ellos cuatro triángulos equiláteros cuyos lados sean iguales al largo del fósforo? Nota: No contestar rápido si no se te ocurre la solución. ¡Pensar! Sea ABC un triángulo que tiene A=36° y B=21°. Sobre el lado AB se marcan los puntos D y E de modo que AD = DC y EB = EC. Hallar la medida del ángulo DCE. En la figura, PR = QR; PRQ=40°; PTU=25°. Hallar la medida del ángulo RST.

Como pago de un pequeño lote tres personas recibieron una partida de vino excelente, envasado en 21 vasijas iguales, de las cuales se hallan: 7 llenas, 7 mediadas y 7 vacías. Quieren ahora repartirse estas 21 vasijas de modo que cada uno de ellos reciba el mismo números de vasijas y la misma cantidad de vino. ¿Cómo hacen?

Un barco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el recorrido que presenta la figura. Ángulo ABC = Ángulo CDX. Calcular el ángulo ABC.

En este dibujo hay 16 puntos. Divide el rectángulo en cuatro partes iguales, de tal manera que, en cada una de ellas, queden cuatro puntos.

En un cuadrilátero ABCD los lados AB, BC y CD son iguales y AC = BD = AD. Hallar la medida de los ángulos del cuadrilátero.

Problemas surtidos Dos pintores y una pieza: En una casa hay una habitación grande que hay que pintar. Un pintor, llamémoslo A, tarda 4 horas en pintarla solo. El otro, a quien llamaremos B, tarda 2 horas. ¿Cuánto tardarán si los dos se pusieran a pintarla juntos? (Antes de avanzar: la respuesta no es 3 horas.)

¿Recordás el problema de los 3 interruptores? Ahora el agregado es: si en lugar de haber tres interruptores, hay cuatro, ¿se puede encontrar la solución también entrando en la pieza una sola vez? Laringitis, un orador griego, nació el 4 de Julio del 30 A.C. Murió el 4 de Julio del año 30 D.C. ¿Qué edad tenía cuando murió?

Las dos tribus: Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros de la otra tribu mienten siempre. Un misionero se encontró con dos de estos nativos, uno alto y otro bajo. “¿Eres de los que dicen la verdad?”, preguntó al más alto. “Upf”, respondió el nativo alto. El misionero reconoció la palabra como el término nativo que significa sí o no, pero no podía recordar cuál de los dos. El nativo bajo hablaba español, así que el misionero le preguntó qué era lo que le había dicho su compañero. “Dijo sí”, replicó el nativo bajo, “pero él gran mentiroso!”. ¿A qué tribu pertenecía cada uno de los nativos?

Lógica cotidiana: Es muy común que uno cometa errores de interpretación lógica en la vida cotidiana. Síganme en estos ejemplos: a) Supongamos que un señor se encuentra en un ascensor con dos señoritas y dice, mirando a una de ellas: “Usted es muy bonita”. La otra mujer, ¿tiene derecho a sentirse menos bonita? b) Si uno encuentra un cartel en un restaurante que dice: “prohibido fumar los sábados”, ¿tiene derecho uno a suponer que en todos los otros días, salvo el sábado, se puede fumar? c) Último ejemplo, pero siempre con la misma idea. Si en un colegio un maestro dice:”los lunes hay prueba”, ¿significa esto que ningún otro día hay prueba?

Suma rápida: Sume mentalmente los números que están abajo, tapando con su mano la lista y descubriéndolos uno a uno.

1000 40 1000 30 1000 20 1000 10

¿Podés trazar cuatro líneas rectas, sin levantar la punta del lápiz del papel, que pasen por los nueve puntos de la ilustración?

∙ ∙ ∙

Ocho números conectados: Se tiene el siguiente dibujo:

El objetivo del problema es distribuir los primeros ocho números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8) en los círculos indicados en el dibujo, de manera tal de que no haya ningún par de números consecutivos unidos por un segmento. ¿Se podrá? ¿O no?

Fin 12