EL DESARROLLO DE HABILIDADES COGNITIVAS Y RESOLUCIÓN DE OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES COMUNES EN TELESECUNDARIA Rubicel Manuel Capilla
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA A través de la práctica docente, se ha observado, en reiteradas ocasiones, que los alumnos de Educación Secundaria manifiestan dificultades para resolver problemas matemáticos que involucran operaciones básicas con fracciones comunes, a saber: la adición, sustracción, producto y cociente. A raíz de este escenario se formula una primera interrogante; que circunscribe en la premisa de identificar el origen de la dificultad detectada en los alumnos, es decir, en responder a la pregunta ¿Cuál es la causa de que los alumnos, que cursan el último grado de educación básica no logren resolver problemas matemáticos que involucran operaciones básicas con fracciones comunes? Empíricamente, podría darse respuesta a la pregunta anterior. Enunciando que tal situación obedece a dos razones fundamentales. Por un lado, a la vaga comprensión del problema matemático. Por otro, la causa podría situarse en el manejo de los números racionales. A fin de determinar con mayor precisión el origen del problema advertido, en un primer momento, se diseñó y aplicó un instrumento de diagnostico. Se consideró conveniente el planteamiento de dos problemas matemáticos; uno de éstos involucró operaciones con números naturales y, otro con fracciones comunes. La primer situación problemática presentada a los alumnos se formuló de la manera siguiente: Los lados de un rectángulo 4m y 8m, respectivamente. ¿Cuál es su perímetro? El segundo, los lados de un triangulo son 4/6m, 1/3m y 6/5m. ¿Cuál es su perímetro? Ambos se formularon de manera homóloga, pidiéndose encontrar el mismo dato y la misma operación básica. La única diferencia significativa, entre éstas situaciones, refiere al manejo de números naturales y racionales; concretamente las fracciones comunes. Los resultados obtenidos, a partir de este breve instrumento, manifiestan que al alumno se le dificulta el manejo de este tipo de números racionales, en tanto que el 53% de la muestra diagnosticada logró resolver el primer problema de manera correcta; que contemplaba al manejo de números naturales. En contraparte, en el segundo problema; que demandaba el manejo de fracciones comunes, solo el 13% arribó al resultado correcto. Cuantitativamente, la diferencia existente entre los porcentajes señalados, es significativa. Lo que indica que el origen del problema, subyace fundamentalmente, en la dificultad para el manejo de las operaciones básicas con fracciones comunes. En un análisis más detallado; del mismo instrumento de diagnóstico, centrando evidentemente,
la atención en el manejo de fracciones y las operaciones. De éste, se advierte en el alumno la dificultad para aplicar el algoritmo propio para este tipo de dígitos, en la resolución de las operaciones involucradas, en tanto que únicamente el 20% de la muestra recurrió para ello al algoritmo. Sin embargo, únicamente el 13% de ésta arriba al resultado correcto. El 33% de la muestra, al resolver la adición de fracciones aludidas, aplica el criterio de los números naturales, es decir, tanto el numerador como el denominador; que forman una fracción común, los considera como dígitos independientes, sin relación alguna. Ejemplo: En la adición de las siguientes fracciones 4/6m + 1/3m + 5/7m = el resultado que emiten es 10/16. Resalta una tercera dificultad, que manifiestan los alumnos, misma que circunda en el establecimiento de equivalencia entre fracciones. Como puede observarse, en el caso de las dos primeras fracciones, éstas se pueden simplificar en una, a partir de encontrar la fracción equivalente, de manera que se obtenga un mismo denominador. En el caso de la fracción 4/6, ésta pudiese expresarse como 2/3 y sumarse con 1/3, dando como resultado 3/3 o bien 1 entero, esto es 4/6+1/3= 2/3+1/3=3/3 o bien, igual a 1 entero. Por otro lado, en cuanto a las estrategias de resolución que aplican en la operación con fracciones comunes, se advierten dos principales; a partir del algoritmo tradicional y la conversión de fracciones en decimales, respectivamente. En torno a ello, se tiene que el 20% de la muestra aplica la primera de éstas y el 6.6% aplica la segunda estrategia. En síntesis, en esta primera etapa, los resultados de éste indican que el problema se sitúa en el manejo de este tipo de numerales, es decir, en interpretar el significado que expresa una fracción común, en el algoritmo propio para cada una de las operaciones citadas, en identificas algunas propiedades de éste tipo de dígitos, a saber; la equivalencia de las mismas. Empero, lo anterior no basta para determinar el origen de la problemática detectada. Se considera que existen elementos y requisitos considerados como base para lograr resolver operaciones básicas con fracciones comunes, en concreto para manejar y aplicar el algoritmo en las operaciones de éstas. En ausencia de éstas los alumnos manifiestan tal dificultad. Por lo anterior, se hizo imprescindible, en un segundo momento, continuar con la indagación del origen del problema. Este se realizó a partir del análisis de los resultados que muestran algunas investigaciones; en torno a las operaciones básicas con fracciones; a saber: CABAS Y LÓPEZ (2001), BLOCK (2008), RAMÍREZ Y BLOCK (2009), mismos que coinciden al concluir que los alumnos antes de resolver este tipo de operaciones mediante el algoritmo tradicional, aplican como estrategia, principalmente, el orden y la equivalencia de fracciones comunes; consideradas como habilidades cognitivas y resaltado la importancia de promover en el alumno las habilidades intelectuales. Al considerar tal premisa, se procede al diseño de un nuevo instrumento de diagnóstico, a fin de indagar la presencia o ausencia de estas habilidades cognitivas en alumnos de tercer grado secundaria; que supone favorecen el significativamente la noción de fracción, las propiedades de equivalencia, orden y relación, y por tanto, las operaciones básicas de éste tipo de dígito racional. Para la segunda indagación; que ayudó a determinar el origen del problema detectado
inicialmente, se diseñó un nuevo instrumento, mismo que contenía una serie de actividades. Éstas implicaban ordenar fracciones; de mayor a menor o viceversa, compararlas; en un par de fracciones comunes, se determinaba si una fracción era menor, mayor o equivalencia en relación a otra, correspondencia; en donde debía escribir la fracción correspondiente que indicaba la parte de una figura. Incluso de se indagó lo concerniente a la noción misma de fracción. De lo anterior, se encontraron los resultados siguientes: De la muestra diagnosticada, que el 100% tienen la noción de fracción común. En contraparte, los datos que circunscriben a la presencia de las Habilidades cognitivas, se observó que solo el 35% establece la Correspondencia, el 25% a la Equivalencia, el 0% Orden y la Comparación, únicamente el 11% de fracciones, respectivamente. Estos datos indican, por tanto, que la muestra de diagnosticada, tiene prácticamente nulo desarrollo cognitivos de las habilidades cognitivas aludidas. Qué la noción de fracción no es una variable que influye directamente en la resolución de tales operaciones y dígitos. Al contrastar los datos obtenidos, en relación a los porcentajes obtenidos de las operaciones con fracciones comunes y los que refieren a las habilidades cognitivas, se hace factible explicitar la relación existente entre estas dos variables. Se concluye, con base en lo anterior, que el origen de la problemática está justamente en La ausencia de habilidades cognitivas que implican la resolución de operaciones con fracciones. Así entonces las variables “Habilidades Cognitivas y Operaciones Básicas con fracciones comunes” determinan la temática de estudio, y consecuentemente, el problema u objeto de estudio se estructura como “La ausencia de habilidades cognitivas, propias para la resolución de operaciones básicas con fracciones comunes, en los alumnos de Telesecundaria de la comunidad de Ocumicho, Municipio de Charapan, Michoacán.” Una vez identificado el objeto de estudio, conviene determinar el rumbo de la investigación. Ello, a partir de la formulación de algunas interrogantes, tales como en qué habilidades cognitivas específicas debe desarrollar el alumno, cuáles son las habilidades cognitivas que favorecen la resolución de operaciones con fracciones en el nivel de secundaria. Empero, para precisar y guiar el desarrollo de la investigación, se estructura la interrogante: ¿Qué habilidades cognitivas implica el algoritmo? A partir de ésta incógnita emergen otras, a saber: A qué estrategias cognitivas recurren los alumnos para resolver operaciones con fracciones a partir del algoritmo respectivo y qué estrategias didácticas favorecen el desarrollo de tales habilidades cognitivas.
HIPÓTESIS HIPÓTESIS GENERAL: Si se aplican estrategias de enseñanza que favorezcan en el alumno el desarrollo de habilidades cognitivas; propias para las fracciones comunes, entonces resolverá de manera correcta las operaciones básicas que involucren tales dígitos, a partir del algoritmo tradicional. Sin pretender establecer hipótesis con características propias de una investigación cuantitativa
o bien que la investigación adopte tal enfoque, es menester recurrir a éstas con la intensión de clasificar las variables o categorías que la componen y orientar la propia investigación. La hipótesis general, al fragmentarla, expresa que ésta formada por dos variables, a saber: Operaciones Básicas con Fracciones Comunes y Habilidades cognitivas, variable dependiente e independiente, respectivamente.
PROPÓSITO Con base a las premisas que formulan el tema y objeto de estudio, así como las interrogantes e hipótesis estructuradas, se fulgura el diseño de estrategias que coadyuven en resarcir los resultados que se obtienen en relación al manejo, operación de fracciones comunes en el nivel de secundaria. Empero a efectos de refinar los alcances de la investigación, es igualmente ineludible definir la intención final que perseguirá la propia investigación, misma que culminará con el diseño de una estrategia didáctica que favorezca el desarrollo de las habilidades cognitivas específicas para las operaciones básicas con fracciones comunes; lo que representa el objetivo general de la investigación. Éste se pretende alcanzar considerando tres etapas fundamentales. La primera de éstas girará en torno a la Identificación de las habilidades cognitivas que favorecen la resolución de operaciones básicas con fracciones comunes a partir del algoritmo tradicional; a partir de la indagación, recopilación y revisión bibliografía referente a las habilidades del pensamiento. En la segunda etapa, se realizará la descripción de las estrategias cognitivas que el alumno de telesecundaria aplica en la resolución de operaciones básicas con fracciones comunes; para lo cual se diseñará, aplicará y evaluará una secuencia didáctica. En la tercera etapa, a partir del contraste las habilidades cognitivas identificadas teóricamente con las estrategias cognitivas que aplica el alumno en la resolución de operaciones básicas con fracciones comunes se seleccionarán las habilidades cognitivas que favorecen, a partir del algoritmo, la resolución de operaciones básicas con fracciones comunes. De esta manera podemos advertir tanto los objetivos generales, particulares y específicos.
JUSTIFICACIÓN En el alumno se favorece el desarrollo de habilidades cognitivas y conocimientos; mismas que fungirán como herramienta principal para la resolución operaciones con fracciones, el de competencia matemática, y la autogestión del conocimiento, que le permitirán continuar profundizando en torno al contenido curricular. Las habilidades cognitivas son el fundamento principal para el aprendizaje permanente, autónomo, es decir, el aprender a aprender. Es un contenido curricular que para muchos no representa un conocimiento relevante, por tanto, no se le presta atención, aun cuando las dificultades en el alumno estén latentes. Concede importancia a las habilidades cognitivas particulares que demanda cada uno de los contenidos curriculares y reconocer su importancia como requisito, condiciones necesarias, es decir como aprendizajes previos, para que el alumno acceda al desarrollo real; que en este
caso, está representado por la mejora de habilidades cognitivas y el conocimiento de las fracciones y la resolución de problemas matemáticos que las involucre. Evidentemente, la temática y el problema a tratar en el desarrollo de la investigación, obedece a la preminencia que se advierte e incide en el acto educativo. Por lo que es factible exponerla desde diferentes perspectivas, tales como la, filosófica, economía, política, cultural, epistemológica, pedagógica y social. Indiscutiblemente es insoslayable la interrelación de éstas. Empero, por la temática, el objeto o problema de estudio, las interrogantes y el propósito que guían y enmarcan la investigación, se considera prestar mayor atención a las tres últimas posturas o perspectivas, mismas que permiten justificar más directamente el desarrollo de la investigación que se aborda en el presente documento. Las escuelas de educación básicas han adoptado el modelo por competencias para desarrollar el proceso de formación del individuo. Concretado en los espacios áulicos, se promueven competencias, una de éstas de carácter matemática. Empero en el ánimo de promover tal competencia, en muchas de las ocasiones a los docentes desconocen y olvidan que una competencia implica la puesta en práctica no solo de conocimientos sobre la temática en cuestión, también implica la incorporación y aplicación de habilidades y destrezas cognitivas, así como las que refieren a las actitudinales y físicas. Así, una situación problemática, para su solución correcta demanda la puesta en práctica de tales elementos, y consecuentemente, de la competencia concreta. En la revisión de algunas investigaciones en torno a la temática de estudio, escasamente se encuentran aquellas que circunden en el nivel de secundaria; generalmente, éstas se han realizado en alumnos de cursantes, principalmente, del segundo ciclo de Educación Primaria. Se limitan únicamente a dar a conocer los resultados y recomendaciones, que emanan de investigaciones que consideran una muestra con un contexto diferente, con intereses y necesidades opuestas a las que circunda esta investigación. Es importante, considerar el desarrollo de la investigación, con ello se contribuye a la promoción de aprendizaje significativo, toda vez que los aprendizajes que han adquirido hasta el momento los alumnos de telesecundaria, no han sido trascendentales. En este sentido, los aprendizajes promovidos por la escuela telesecundaria deber ser funcionales, y de acuerdo al objeto de estudio ésta no ha cumplido con tal función. Desde la perspectiva Epistemológica, se considera imprescindible redimir premisas que permitan entender y explicar en torno al cómo el individuo genera y accede a nuevos conocimiento, al arribo de aprendizajes útiles y duraderos, es decir, aprendizajes significativos, evidentemente, concernientes a las operaciones básicas con fracciones comunes. Habilidades a promover permitirán al alumno construir nuevos conocimientos. Desde el aspecto pedagógico la realidad educativa, indica que en el proceso de enseñanzaaprendizaje, que prevalece en las escuelas de nivel básico, circunda en depositar únicamente conocimientos carentes de significado en el alumno. El docente se limita a trasmitir conocimientos y el alumno, por su parte, exclusivamente los memoriza. Así por tanto, en este proceso se advierte que se le resta importancia al desarrollo de habilidades cognitivas. De aquí se resulta importante que el diseño de estrategias didácticas que reviertan esta situación, es decir, que centren su atención en la promoción y desarrollo de tales habilidades cognitiva,
por la importancia que éstas tiene en el proceso de aprendizaje continúo. Se carece de la formulación de un diseño didáctico, que retome las características reales del contexto en el que se desarrolla el alumno, así como sus necesidades e intereses, que preste atención específicamente a las habilidades cognitivas que favorezcan la resolución correcta de las operaciones básicas con fracciones comunes. El maestro de telesecundaria, por no tener una formación directa en el campo de la educación, carece de estrategias didácticas para promover las habilidades cognitivas propias para la temática que esta investigación circunscribe. Por tanto, con base a ésta, se coadyuva a la formulación de herramientas o estrategias didácticas pertinentes, que una vez dadas a conocer al docente de telesecundaria, pueda considerarlas para la promoción de un aprendizaje significativo del contenido curricular. Por otro lado, con los resultados obtenidos de la investigación, se posibilita el logro de cambios en el actuar docente. Incide en la posibilidad de que el docente logre, finalmente realizar su labor profesional, con base a las premisas de una función mediadora, entre los contenidos curriculares y el desarrollo de habilidades cognitivas. Es decir, que de manera paulatina, que deje a una lado su quehacer docente bajo esquemas tradicionales. Social. Cada día, en las sociedades actuales, se demanda la formación de individuos capaces de responder favorablemente a los cambios que sufren éstas; mismas que cada vez más las experimentan con mayor rapidez. Así, actualmente se concibe un individuo competente, dotado de capacidades, destrezas, actitudes y valores. Empero, no se puede concebir a un individuo con competencias si previamente no ha desarrollado habilidades cognitivas. Las instituciones educativas, son espacios de socialización. Y las escuelas son el medio y las responsables directas de la formación del individuo con las características que la sociedad actual requiere. Es importante elevar la calidad de la educación que brindan las escuelas telesecundaria. Es necesario que la comunidad, líderes políticos, padres de familia y los mismos alumnos usuarios de este servicio crean en la pertinencia, eficiencia y calidad educativa que las escuelas telesecundarias ofertan. Es importante que los alumnos adquieran herramientas, habilidades y competencias que les permitan continuar, sin mayores problemas, sus estudios del nivel medio superior o bien insertarse en el medio laboral. Al concederse importancia a la promoción de tales habilidades, se coadyuva a elevar el índice de escolaridad de los adolescentes en edad escolar, que de acuerdo al INEGI (2012) la SEDESOL, en el Catalogo de entidades, municipio y localidades (2012), la comunidad; en la que se sitúa la escuela telesecundaria; donde además se realizará la investigación y recogerá la información a partir de las muestras seleccionadas, denota problemas de rezago educativo, toda vez que el 82.34% de población de 15 años y más, cuenta con educación básica incompleta, porcentaje situado por debajo del promedio municipal. También, el diseño de estrategias didáctica, que favorezcan el desarrollo de habilidades cognitivas, competencias matemáticas y herramientas para el aprendizaje significativo y
continuo, favorece en gran medida el aumento de los índices de eficiencia terminal que la escuela telesecundaria denota. Con base a la premisa de diseñar estrategias didácticas pertinentes que promuevan habilidades cognitivas y, por tanto, de competencias matemáticas, en los alumnos de Telesecundaria, se coadyuva no solo a elevar la calidad educativa, también representa una vía para resarcir el rezago de las condiciones sociales en las que se encuentra sumergida la comunidad; observadas de manera directa. Promover en el alumnos competencias matemáticas, a partir de habilidades cognitivas, favorecerá la apropiación de herramientas conceptuales, que le permitan; una vez que se involucre en las situaciones o cuestiones de la comunidad que impliquen la participación activa en la resolución de un problema determinado, la mejora de la condiciones sociales del medio. Situación que permitirá en un momento dado mejorar y afinar los conocimientos conceptuales, habilidades y competencias matemáticas, que le permitan transformar su contexto. En debido a que la SEDESOL clasifica al Municipio de Charapan, como uno de los 8 municipios con Alto nivel de marginación, en el 2012. A Ocumicho como una de las 5 localidad que conforman este municipio con alto índice de marginación. Al referirnos a la pertinencia de las estrategias didácticas, es conceder importancia al contexto, reconocer las limitantes y ventajas que se sobreponen en el acto educativo, y considéralas como medio para la formación del individuo. EL contexto es sin duda un ambiente que favorece y desfavorece la promoción de habilidades cognitivas. Indudablemente, que posteriormente al hecho de averiguar las estrategias y habilidades cognitivas, que demanda la resolución de operaciones con fracciones comunes y contrastarlas con aquellas a las que recurre y aplica el alumno, será de gran utilidad, toda vez que permitirá en primer término seleccionar aquellas que se consideren relevantes para el diseño de estrategias didácticas pertinentes, que favorezcan la promoción de aprendizajes significativos; evidentemente, a partir de la promoción de habilidades cognitivas; mismas que deben concebirse como el vehículo para la construcción y profundización de conocimientos propios de la matemática. Habilidades y conocimientos que puede en un momento determinado transpolar a otras disciplinas o campos del conocimiento, tales como la física y química. De esta manera, se favoreciendo la transversalidad entre los contenidos curriculares de educación básica, así como la visión holística en el alumno. Por otro lado, se hace latente la importancia del diseño de estrategias didácticas, que consideren la promoción de habilidades cognitivas y competencias matemáticas, que reconozcan e incorporen aspectos tales como el contexto; que reconozcan las limitantes y ventajas que determinan el proceso educativo, necesidades e intereses del alumno. Toda vez que éstas permitirán al alumno no solo responder de manera favorable a las demandas del contexto inmediato, también a contextos diferentes. Relevancia teórica. A través de ésta investigación, es factible encontrar elementos importantes con respecto a la problemática, que en algunas han pasado desapercibidos, tal es el caso de no reconocerse que tal situación está latente en las escuelas secundarias, es decir, no es un problema exclusivo del nivel primaria. El contexto rural, es otro elemento que no menos se ha descuidado, en función de que en su mayoría las investigaciones que han girado
en torno a la problemática se han realizado en un contexto urbano, donde las condiciones económicas y socioculturales son diferentes a las que en esta investigación se contempla.
MARCO TEÓRICO Desde luego, en primer término, el constructivismo representa la teoría general que enmarca la investigación. Ésta adopta la postura de que el individuo es el que construye su propio conocimiento. Al respecto, BARRIGA (2007) enuncia que el constructivismo reconoce el carácter endógeno del aprendizaje. Empero, sin menoscabo del aspecto exógeno, es decir, el individuo construye primordialmente el conocimiento a partir de la interacción del objeto y con la mediación del contexto inmediato. De lo anterior, se advierten dos enfoques del constructivismo, a saber: El Cognitivo de Ausubel y Sociocultural de Vigotsky. Empero, de las dos teorías constructivistas citadas con antelación, sustentará la Teoría Cognitiva, misma que está interesada en primordialmente en explicar las representaciones mentales y la importancia de éstas en la modificación o apropiación de nuevas conductas. Afirma que las representaciones mentales están en función de los símbolos, esquemas, imágenes, ideas, o bien de conceptos, que finalmente son los responsables del cambio de conducta o aprendizaje. Uno de los teóricos de este paradigma es Ausubel, con su postulado del aprendizaje significativo; teoría que concede importancia a la cognición en la construcción de aprendizajes significativos. Al respecto HERNÁNDEZ (1998) enuncia que el individuo aprendiz debe desarrollar habilidades no solo de carácter intelectual, también a las que favorecen el establecimiento de estrategias, toda vez que éstas le permitirán desenvolverse de manera eficaz no solo ante cualquier situación de aprendizaje, sino que también en la aplicación de los conocimientos adquiridos en situaciones semejantes o nuevas; que finalmente permiten al individuo apropiarse de aprendizajes con significado, caracterizados estos por ser duraderos, útiles a su entorno, gestados a partir de su interés y con base premisas ya existentes. Este paradigma o enfoque considera al individuo aprendiz como un sujeto activo, que procesa la información, posee competencia cognitiva para aprender y solucionar problemas. Aunque reconoce también la importancia del entorno inmediato, es decir, el aspecto exógeno, concede importancia en mayor grado al aspecto endógeno del individuo en la apropiación de conocimientos. El paradigma cognitivo, de acuerdo a lo que plantea HERNÁNDEZ (1998) el alumno; en el proceso de apropiación de nuevos conceptos, ideas, aprendizajes o conocimientos aplica procesos básicos; atención, percepción, codificación memoria y recuperación de la información, una base de conocimientos; conocimientos previos, Estilos cognitivos; formas diferentes de enfrentarse a determinadas tareas de apropiación del conocimiento, conocimientos de estrategias propias; de tipo general y específicas, es decir de tipo procedimental; Conocimientos metacognitivos; que refiere al conocimiento de sus procesos cognitivos y estratégicos a utilizar en determinado momento. Tanto BARRIGA (2007) como HERNÁNDEZ (1998) coinciden en que el proceso de aprendizaje
debe contemplar tres fases importantes; a cada una de éstas corresponden estrategias cognitivas diferentes. Tales fases son la inicial; donde prácticamente el individuo aprendiz percibe la información de manera fragmentada; intermedia, donde comienza de manera gradual a entrelazar, relacionar, encontrar similitud e integrar la información, los conceptos y esquemas; en la fase final del aprendizaje; se integran finalmente todos los esquemas, conceptos e ideas conformando un todo. Consecuentemente, se consideran estrategias para establecer la conexión de los conocimientos base con la nueva información presentada; mismas en las que se recurre a al diseño del preguntas. Se tienen también las estrategias para organizar la información nueva; se recurre a los mapas conceptuales o redes semánticas. El paradigma cognitivo, como se ha manejado con antelación, se ha preocupado por aterrizar la teoría en el campo de la educación, muy concretamente en inferir en los programas de enseñanza. Concede importancia a la enseñanza de las habilidades cognitivas que favorezcan el aprendizaje autónomo, por lo que se han diseñado programas educativos que tienen como propósito fundamental entrenar las operaciones cognitivas básicas; a saber: la clasificación, percepción, etc. Otros programas circundan al desarrollo de principios heurísticos y del pensamiento formal. En segundo término, es importante resaltar los conceptos centrales que la investigación circunda, mismos que refieren primordialmente a las habilidades cognitivas y fracciones comunes, mismas que se forman el marco conceptual y que se pretenden definir desde la perspectiva del paradigma cognitivo, en los párrafos subsecuentes. Así tenemos que Habilidad cognitiva es un concepto proveniente del campo de la psicología educativa, que denota las operaciones del pensamiento mediante las cuales el individuo logra apropiarse no solo de los contenidos curriculares, sino también del proceso mismo que utilizó para ello. Hablar de habilidades cognitivas, también, nos remite al ámbito de las aptitudes e implica el estudio del pensamiento, como procesos sumamente complejos, lo cual abarca desde la captación de estímulos sensoriales, hasta su almacenaje en la memoria y su posterior utilización en situaciones diversas. En otras palabras, las habilidades cognitivas, representan la conjugación de las operaciones mentales, éstas permiten de manera exponencial al individuo acceder e integrar la información presentada y adquirida a sus estructuras del pensamiento, de tal manera que ésta tenga sentido y valor para él. Éstas son las responsables de facilitar el conocimiento, en tanto que operan directamente sobre la información presentada al alumno. Éstas se hacen presentes en el momento mismo que el individuo recopila, analiza, comprende, procesa y guarda la información en su memoria. Para hacer usos de la misma cuando así lo requiera el alumno, en diversos contextos y situaciones problemáticas. Por lo anterior, la habilidad cognitiva refiere a la capacidad mental del individuo para establecer estrategias correctas, adecuadas y de manera rápida, que le permitan acceder a nuevos
conocimiento y actuar ante situaciones diversas de manera satisfactoria. La importancia del desarrollo de las habilidades cognitivas, no radica solo en que pueden considerarse micro estrategias, sino en la posibilidad que existe para lograr su articulación, de manera tal que las considere para constituir estrategias diversas de aprendizaje; mismas que suelen denominarse como macro estrategias. En otras palabras, el alumno desarrolla las habilidades cognitivas como habilidades del pensamiento y las utiliza de manera diferente en la apropiación de nuevos conocimientos; éstas dan lugar a la formulación de estrategias de aprendizaje. Consecuentemente, la escuela debe adoptar esa responsabilidad; de promover el desarrollo de habilidades cognitivas. Por su parte, los alumnos pueden aprender a coordinarlas de manera que conscientemente estructuren sus estrategias de aprendizaje. De esta manera, un aprendizaje satisfactorio implica que el alumno ha desarrollado un amplio repertorio de estrategias entre las que sabe elegir cuál es la más apropiada para una situación específica y además que es capaz de adaptarla para resolver cada caso que se le presente. Con ello, el alumno dirige su propio proceso de aprendizaje. En otras palabras, ese aprender a controlar el aprendizaje es darse cuenta de lo que se está haciendo y ser capaz de someter los procesos mentales a un examen crítico. Se entiende, entonces, por estrategias de aprendizaje el conjunto de actividades, técnicas y medios que se planifican de acuerdo con los objetivos que persiguen, la naturaleza de las áreas o del objeto de estudio con el propósito de hacer más efectivo el proceso de aprendizaje. La enseñanza, por tanto, necesariamente debe estar centrada en promover dichas habilidades cognitivas y, consecuentemente, que puede enseñar estrategias de aprendizaje. En este marco, se inscriben los procesos de enseñanza-aprendizaje que giran en torno al enseñar a aprender, aprender a aprender o enseñar a pensar. Estos procesos reavivan la necesidad de que la enseñanza facilite la adquisición de estrategias cognitivas a saber: de exploración, descubrimiento, elaboración y organización de la información. También que coadyuve al proceso interno de planificación, regulación y evaluación de la propia actividad. Por otro lado, los procesos del pensamiento a través de la práctica y el desarrollo de las habilidades cognitiva se perfeccionan. La premisa principal, entonces, es generar de manera paulatina en los nuevos individuos una actitud estratégica que le permita de manera favorable enfrentar a lo novedoso o desconocido; en este caso al enfrentarse a una nueva información o una situación que implique la resolución de un problema. Es importante también definir lo que representa; para el alumno, el objeto de conocimiento, es decir, el concepto de fracción. Es frecuente encontrar conceptos diferentes en relación a la fracción. Algunos prefieren denominar a las fracciones como reducciones, por el proceso mismo que implica reducir una cantidad a otra. De igual manera, este tipo de número racional es posible considerarlo como razón. El cociente de números naturales, recibe también el nombre de extracción, en tanto que dado un todo, se especifica cuántas veces se puede realizar el proceso de extracción. Es factible interpretar el cociente de naturales como operador fraccionario. Por otro lado, es frecuente conceptualizar el término como la relación
que existe entre la parte- todo. Estas diversas acepciones que se le han asignado a una fracción o número racional, es decir, al cociente de números naturales, están en función de la aplicación de éstas. En otras palabras, a una fracción la podemos denominar de diferentes maneras, según la naturaleza del problema matemático que se plantee para su resolución. Empero, es ésta ultima acepción la que interesa considerar en el desarrollo de la investigación, que permite a la vez, de manera más puntual, considerarla como matemáticamente se con antelación se definió. De aquí que los números racionales o fraccionarios representan la forma de expresar partes de un entero; en el entendido de que un entero puede ser cualquiera de los números naturales o de alguna cosa u objeto factible de ser dividido en partes iguales. También es factible considerarlo como el número que expresa una o varias partes de algo que ha sido dividido en partes. Una fracción, entonces, no es otra cosa más que un número racional. Matemáticamente ésta se define de la manera siguiente: Un número de la forma fraccionaria a/b, donde a y b son naturales y b es diferente a cero. Frecuentemente, con la finalidad de conceder partes a una fracción, se le denomina a “a” como numerador; que indica el número de partes que comprende la fracción. Al término “b” se le suele llamar denominador; consecuentemente, indica el número de partes iguales en que se fraccionó el o los enteros. números se le denomina fracción común, en que representan una cantidad menor al entero o la unidad, es decir, su valor en la recta numérica se localiza en el intervalo que existe entre el “0” y el “1”, considerándose también su respectivo valor simétrico; -1 y 0.
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ESTADO DEL CONOCIMIENTO CIRCUNDANTE EN EL APRENDIZAJE DE LA NOCIÓN DE FRACCIÓN
Rubicel Manuel Capilla
INTRODUCCIÓN El estado del conocimiento, también conocido como estado del arte, es la actividad y resultado de la indagación, organización y valoración de las principales investigaciones realizadas en torno a un problema o tema. Dicha acción es factible realizar para el inicio de una nueva investigación. Ello, no sólo permite visualizar las perspectivas teóricas, enfoque, metodología y resultados, también facilita la identificación de escollos que vierten algunas investigaciones.
Para los investigadores novatos, en múltiples ocasiones ésta acción, que forma parte previas a la investigación, representa una de las principales dificultades para su elaboración, en tanto que implica no solo proceso cognitivos importantes, también demanda una indagación y localización de fuentes documentales que traten la temática o problema de investigación. En este caso el principal problema fue la localización de bibliografía que tratase concretamente a las habilidades cognitivas que implican y demandan al alumno para la apropiación del conocimiento, noción y operaciones con las fracciones comunes. Por lo que se únicamente se realizó dicha actividad con base a archivos electrónicos, encontrados en sitios web.
Como se manejó con antelación, la elaboración del estado del conocimiento, implica la puesta en juego de procesos y habilidades cognitivas, por mencionar algunas, el análisis y la síntesis, la poca presencia de éstas en el la persona que se inicia en la investigación, representa una dificultad significativa. Al igual, la omisión o vaga puntualización; del autor de los documentos, en cuanto a algunos aspectos imprescindibles en los reportes de investigación o artículos referentes, impactan de manera negativa en la elaboración de cada una de las reseñas; a saber, omiten puntualizar, el enfoque, las teorías, y principalmente, la denominación de las estrategias para procesar la información recabada, ello impide la identificación puntual de la información requerida; contenida en los documentos tratados.
Cada una de las reseñas, establece una relación directa e indirectamente con el problema que se pretende abordar, misma que gira en torno a la indagación de las habilidades cognitivas que implican la resolución de problemas matemáticos que involucren operaciones básicas con fracciones, en tanto que éstas consideran algunas de las estrategias, condiciones, sugerencias y dificultades que deben considerarse al momento de tratar el contenido curricular. Describen de manera general las opciones, en cuanto al enfoque, teorías, metodología, técnicas e instrumentos de investigación, mismas que pueden orientar el proceso de indagación.
En otro orden de ideas, el presente documento representa un primer intento de elaboración del estado del conocimiento. En su estructura, en primer término, se presentan las reseñas, mismas que se organizan en función de los problemas o interrogantes que se plantearon los investigadores, así se inicia con la problemática que se plantea en torno a la utilidad de las fracciones en el medio inmediato y el impacto que éste con el aprendizaje del contenido curricular, para continuar con los problemas que abordan lo concerniente a identificar las estrategias que favorecen la apropiación de la noción de fracción. En segundo, se formulan las conclusiones, mismas que están vertidas en función de los resultados, las ideas que pueden ser consideradas y orientadoras de la investigación. Al final, se presenta las fuentes de información.
DESARROLLO "El uso de las fracciones en adultos poco escolarizados"
Ávila (2006), en torno a las fracciones, planteó algunas interrogantes, tales como: ¿Qué se hace con las fracciones en la actividad cotidiana? ¿Cuán útiles y necesarias les son a las personas? ¿Cuáles entornos y situaciones determinan el conocimiento que sobre ellas se construye? ¿Son la medida, el reparto y la proporcionalidad relevantes como productores de conocimientos sobre las fracciones? ¿Cuáles conocimientos se producen en torno a las fracciones con dichas situaciones? Con éstas intentó profundizar la indagación acerca de las prácticas que involucran este tipo de números y los saberes que de ella pudieran derivarse. Desde la perspectiva del constructivismo, que arropa a la investigación, los procesos de enseñanza formal deben vincularse con la experiencia previa y sustentarse en los saberes previos en dicha experiencia, además deben responder a interés y modos de construir el conocimiento de las personas. El sistema conceptual que considera, lo conforma primordialmente la fracción como fracturador y como comparador, es decir, la fracción como resultado de repartir equitativamente la unidad y como la comparación de dos magnitudes, respectivamente.
El diseño metodológico implicó una muestra de 36 adultos, hombres y mujeres; 17 sin escolaridad o iniciada la alfabetización, 6 con alfabetización y 13 que en la infancia tuvieron algún grado de educación básica. Con oficios, tales como: agricultores, albañiles, empleadas domésticas, amas de casa, empleados. De un rango de 22 a 75 años de edad. Para la recopilación de la información utilizó la técnica de interrogatorio crítico y la entrevista audio grabada. También consideró la entrevista individualizada, láminas y tarjetas con fracciones no contextualizadas, transcripciones de las videograbaciones, mismas que incluyeron las actitudes, sus manipulaciones y producciones escritas. Se empleó un tiempo promedio de 2 horas por cada individuo. Para el análisis de los datos recabados, se combinaron dos estrategias; un análisis cualitativo; para describir el usos de los conceptos, saberes y habilidades y, otro cuantitativo; para establecer la correlación entre escolaridad y conocimientos y habilidades mostrados.
Los resultados que revela, la investigación, indican que la vida cotidiana no es solo fuente de habilidades y conocimientos, también delimitan y estructuran las actividades relacionados con las fracciones y el razonamiento que las acompaña. Los cálculos cotidianos que implican el manejo de fracciones son escasos en relación con los que implican el manejo de números naturales. Las situaciones que implican prácticas de medición del peso y la capacidad son la fuente principal de las concepciones y habilidades. La bipartición es la forma más sencilla de dividir la unidad, los tercios no son muy utilizados y, en consecuencia, se tiene poco o nula concepción de los tercios. Las concepciones construidas con base a prácticas cotidianas son frágiles y precarias, por un lado debido a que son locales, es decir, asociadas únicamente al contexto específico en el que se generan, por otro, porque implican la relación de orden y equivalencia, se limitan a manejar fracciones como medios, cuartos y medios cuartos.
"Aprendizaje cooperativo en la solución de problemas con fracciones"
Parra y Flores (2008) analizaron tanto los significados que los alumnos, con bajo aprovechamiento escolar tenían de los conceptos relacionados con la fracción, como los recursos utilizados para solucionar problemas matemáticos y caracterizar la interacción suscitada entre ellos. Desde la perspectiva del enfoque constructivista, mismo que abrigó a la investigación, expone que el trabajo cooperativo es un acto social, por tanto permite al alumno aproximarse paulatinamente al comportamiento, vocabulario y conocimiento; mismo que deben ser contextuales para que se le dé utilidad al nuevo conocimiento. El sistema conceptual al que recurrieron lo conforman los siguientes: alumnos con bajo aprovechamiento, problemas matemáticos, fracciones, aprendizaje cooperativo, secundaria.
La investigación, en su diseño metodológico, consideró como muestra a 6 alumnos de segundo año, de 14 a 15 años de edad, con bajo aprovechamiento escolar, quienes asistían a
un programa de apoyo extraescolar. Las técnicas de recolección de datos fueron la observación, videograbación y diseño de sesiones de aprendizaje, materiales didácticos que se les proporcionó a los alumnos y fotografías. Para el procesamiento y análisis de los datos recabados recurrieron al análisis de la interacción y diálogos establecidos entre tutor y alumno, integrantes del equipo y tutor equipo, escritos y trabajos realizados por los alumnos, así como las fotografías.
Concluyeron que el aprendizaje cooperativo en la solución de problemas propició que los alumnos manifestarán las dificultades, información que permitió al tutor apoyar adecuadamente el desarrollo cognitivo. Permite, además, que los alumnos argumenten las propuestas de solución. Los conocimientos en torno a los procedimientos de operaciones con fracciones no son suficientes si no se interpreta de una manera adecuada el problema. Los problemas matemáticos presentados exigen a los alumnos un pensamiento matemático que no se limitó al mero uso de algoritmos formales, demandó además el análisis de la pertinencia de tales algoritmos para resolver el problema.
La enseñanza por medio de problemas matemáticos no se limita a la obtención del resultado correcto; mediante procedimientos fijos, sino que promueve, en los alumnos, el transito de una representación actual de conceptos y problemas matemáticos a otra más desarrollada. Un problema no agota las posibilidades de aprendizaje, promueven procesos de solución acordes a los problemas y despliegan una serie de recursos cognitivos. Las dificultades advertidas tienen que ver con las concepciones que tenían los alumnos, a saber: consideraban que fracción derivada de un entero hace por sí sola otra unidad; misma situación que enfrentan los alumnos de primaria. Se les dificulta recordar el algoritmo para la solución de operaciones con fracciones.
"Enseñanza experimental de las fracciones en cuarto grado"
Otra de las dificultades de esta naturaleza, identificadas por Perera y Valdemoros (2009), concierne a la construcción del conocimiento de fracción. Por lo que se plantearon las interrogantes siguientes: ¿Qué estrategias y situaciones de enseñanza debe complementar el maestro para facilitar el aprendizaje de los números fraccionarios en os niños de cuarto grado de educación primaria? ¿Cuál debe ser la intervención del maestro en la resolución de las actividades en el aula para que el alumno logre construir un conocimiento sólido de las fracciones? ¿Qué dinámica grupal es conveniente establecer en el aula para que se propicie en el niño el desarrollo de las actividades sobre fracciones de una manera eficaz? Tales, guiaron la investigación, a fin de establecer si una enseñanza constructivista a través de actividades realistas y lúdicas resueltas de manera colaborativa, propicia en el niño de cuarto grado el afianzamiento del aprendizaje de las fracciones. En el sentido de alcanzar tal propósito formularon la hipótesis Siguiente: Un programa de enseñanza constructivista, realista, lúdico y
cooperativo favorecerá en el niño de cuarto grado de educación primaria la consolidación de la noción de fracción y de los significados de relación parte-todo, medida, cociente intuitivo y la idea embrionaria de operador multiplicativo.
La investigación fue realizada considerando el paradigma de la fenomenología didáctica y constructivista; adoptaron el enfoque cognitivo que fundamenta y expone las premisas de la resolución de problemas, educación matemática realista, trabajo colaborativo y conflicto cognitivo. Consideraron conceptos tales como: enseñanza experimental, significado de fracción, escenarios, matemática realista, resolución de problemas.
La muestra estuvo integrada por alumnos de un grupo de 4° grado de primaria y, para profundizar sobre los procesos y fenómenos, se escogieron a tres alumnos de mismo grupo, como estudio de caso. Como instrumento de indagación y diagnóstico se utilizó el cuestionario, la observación directa y un programa de enseñanza con enfoque constructivista; que contemplaba las actividades y un cuestionario final se aplicaron como técnicas e instrumentos para recabar la información relevante. Para el estudio de caso se empleó la entrevista semiestructurada. Para el caso del procesamiento de la información recabada recurrieron a la triangulación de los instrumentos, donde se confrontaron y compararon los datos recopilados tanto en los cuestionarios inicial y como en el final, las observaciones registradas y los datos obtenidos de las entrevistas.
Los resultados de la investigación indican que con el programa de enseñanza se promovió el desarrollo intelectual de los niños, habilitándolos para que ellos mismos construyeran sus propios conocimientos sobre la base de sus experiencias cotidianas, realizaron exitosamente repartos equitativos y exhaustivos, manifestaron expresiones simbólicas de fracción para nombrar las partes de un todo. Los conocimientos previos favorecen la construcción de la noción de fracción. La interacción y confrontación entre los alumnos propició la creación de un ambiente de confianza y respeto mutuo, favorecieron la conexión de varios significados de la fracción en la resolución de las tareas, lograron nombrar las partes fraccionarias, resolvieron satisfactoriamente las situaciones de reparto, la relación de orden, y equivalencia. También incrementan la habilidad para manipular mentalmente las fracciones. En síntesis, consolidaron la noción de fracción y de algunos de sus significados a través de la resolución de situaciones problemáticas de la vida real.
"Las fracciones y la división en la escuela primaria"
Block (2001) desarrolló una investigación en torno a la interrogante ¿Cuál es la utilidad didáctica de la diversificación de los procedimientos adoptados por los alumnos al resolver un
mismo problema? A fin de demostrar que en problemas ciertos valores de la variable “tipo de magnitud” dan lugar a procedimientos de resolución de los estudiantes cualitativamente distintos entre sí. Lo que presenta un interés desde el punto de vista del aprendizaje de las fracciones. Con lo que pretendía corroborar que las posibilidades didácticas de la división de números naturales representan una fuente de problemas que vuelven funcional a la noción de fracción.
En su diseño metodológico consideró una muestra de 36 alumnos de un grupo de 5° grado de primaria, con conocimientos previos referentes a los quebrados, equivalencia de fracciones, suma y resta de fracciones con distinto denominados. La maestra de grupo fue quien dirigió las sesiones con una duración de 60 a 90 minutos. Las sesiones fueron grabadas en cada uno de los equipos, además, se recogieron las fichas de trabajo. El análisis de la información recabada se realizó al final de cada sesión, a fin de que se tomaran decisiones de la siguiente sesión. También, se realizó un análisis final de todo el proceso, principalmente contrastando la hipótesis, los argumentos y errores observados durante la secuencia.
Los resultados que arrojó la investigación indican que los niños desarrollaron una diversidad considerable de procedimientos para resolver la situación fundamental. Resuelven la situación primordialmente por ensayo-error y mediante procedimientos sistemáticos; tales como la búsqueda de una partición cómoda de la unidad, el algoritmo de la división con cociente decimal, identificar las relaciones internas, indicación de la medida de un paso como fracción unitaria del recorrido total. Realizaron, además, la verificación de los resultados, en sus distintas modalidades. Lo que permitió a los alumnos poner a prueba, una y otra vez el grado de exactitud de sus resultados, y con ello, la pertinencia de sus procedimientos.
Por lo que concluyen en que la variable tipo de magnitud influyó de manera determinante en la forma de abordar el problema, se generó una diversidad de procedimientos que no se ponen en juego en los problemas clásicos de reparto, el recurso de las razones internas fue puesta en marcha por muy pocos alumnos, varios niños lograron establecer la relación a:b=a/b a partir del procedimiento de las razones internas, la mayoría a partir del procedimiento de partición de la unidad entre el número de pasos. Establecieron la relación recíproca, dada una fracción de unidad, encontraron un número de unidades del recorrido (numerador) y un número de pasos (denominador) que arroja este tamaño de paso. Con ello se da la importancia de articular nociones o concepciones que los alumnos están por aprender, a saber: la división y fracción.
"La división de una fracción entre un número natural en primaria"
González y Block (2005) se preguntaron, en torno a las fracciones, ¿Cuál es el potencial didáctico de la división de fracciones entre una unidad, para el aprendizaje de la noción de fracción? A fin de Explorar el potencial didáctico para el aprendizaje de la noción de fracción a partir de un problema que implica la división de una fracción de unidad entre un entero. Consideraban que El estudio de la operación de división de una medida fraccionaria entre un número natural puede favorecer una comprensión más profunda de la noción de fracción. Consideraron la teoría del constructivismo y la teoría curricular. El sistema conceptual lo formaron fracciones, división de fracción entre un entero, fracciones unitarias y no unitarias.
La muestra la formó un grupo de 5°grado de primaria de 30 alumnos, de zona urbana, y la maestra de matemáticas. Para la recopilación de la información, se aplicó una secuencia didáctica de 8 sesiones; una microingeniería, entrevistas, observación. Para el análisis de la información recabada recurrieron al registro del observador, hojas de los alumnos y los análisis previos.
Los alumnos desarrollan varios procedimientos para resolver problemas que involucraron la división de fracciones unitaria (cuando el resultado de dividir una fracción es una fracción compuesta por números enteros), incluyendo el algoritmo. La división de fracciones no unitarias (cuando el cociente de una fracción resulta otra fracción no compuesta por números naturales o bien el cociente no es exacto) les resulta más difícil de resolver. Por lo que se puede decir que el tipo de problema que se les plantea podría favorecer una comprensión más profunda de la noción de fracción como partes de unidad es este nivel escolar.
No funcionó la secuencia didáctica en tanto que el docente encargado de dirigir las sesiones de clase no adquirió sólidamente las instrucciones que debía seguir, por que propició que no emitieran las instrucciones de manera correcta a los alumnos, ello propició que los alumnos validaran los resultados de manera empírica, es decir, no se propició que los alumnos dieran cuenta de los procesos intelectualmente seguidos. Los alumnos con frecuencia, al dividir una fracción entre un número entero, cometían el error de considerar la fracción como una nueva unidad. Cuando la fracción es solo una parte de una unidad, es decir, la fracción que conforma la unidad, nuevamente de divide en un número entero. Para encontrar un resultado, se limitan a usar fracciones que se derivan de dividir entre 2.
Con las secuencias diseñadas se pretendió que el alumno encuentre el resultado del cociente de una fracción entre un número entero o bien entre una segunda fracción, que explique los proceso a seguir y, además, comprenda el algoritmo de la división de fracciones, situación que se logró al menos en algunos alumnos. Pocos dieron cuenta de la operación de división, algunos dieron cuenta tanto de la operación de división como del proceso, algunos confundieron la operación en juego con la que usaron en el proceso de cálculo, la mayoría proporcionaron únicamente del proceso de cálculo.
Hacer explícita la operación que ha estado en juego en las tareas realizadas; la división de una fracción, distinguiendo dicha operación de la que se utiliza como parte de la técnica para encontrar el resultado y poder expresar lo anterior en el lenguaje de la aritmética constituyeron retos adicionales a los que había logrado el alumnado.
Los investigadores se abstuvieron de emitir conclusiones finales, en función de las dificultades presentadas en las sesiones de clase; por las fallas en el diseño de intervención, por no identificar los avances de cada un de los alumnos que participaron en la experiencia. Sin embargo, los alumnos lograron recuperar la unidad de referencia original para identificar la fracción resultante. Hacer explícito que al multiplicar el denominador la fracción disminuye de tamaño. Identificar que aunque el resultado se obtiene multiplicando el de denominador, la operación en juego es una división. La división de fracciones no unitarias entre un entero resultó más difícil, solo 13 de 33 alumnos lograron resolver el problema correcto, aun que no pudieron llevarlo a buen término.
Una gran parte de las dificultades que los alumnos tuvieron al intentar resolver las divisiones de fracciones no unitarias se originaron en el hecho de que tendieron a perder de vista la unidad de referencia de las fracciones. La doble partición, en el caso de fracciones no unitarias, da lugar a una diversidad de subunidades que dificultó considerablemente la identificación de la unidad. Plantear directamente la pregunta “¿Qué fracción resulta de dividir tal fracción entre tal número?” permitió plantear, en quinto grado, un problema adecuado sin necesidad de que operación en juego apareciera como herramienta de otra tarea.
Con ello se puede discernir en cuáles casos el estudio de un conocimiento requiere una situación que apele a dicho conocimiento como herramienta para resolver determinada tarea, en cuáles es necesario que la situación permita validad de manera empírica, y en cuáles en cambio una simple pregunta, que no es sencilla de contestar, planteada directamente en el nivel de modelo, es decir, sin apelar a contexto extramatemático, tiene buenas posibilidades de convertirse en una situación de aprendizaje.
"Estrategias construidas para la división de fracciones"
Kribs-Zaleta (2006) Describió algunas estrategias de cálculo desarrolladas por los estudiantes para problemas de división de fracciones. Para lo anterior, consideraron las premisas de Warrington (1997), quien demuestra que los niños pueden desarrollar sus propias estrategias para el cálculo de división de fracciones; evidentemente bajo la perspectiva del
constructivismo. Las categorías de análisis fueron dos métodos o estrategias seguidas por los alumnos, a saber: la cuotitiva; considerada como la división-medida o división-reparto y la partitiva; entendida como la división-reparto.
En el diseño metodológico consideraron una muestra de 21 estudiantes indígenas de primaria, 24 futuros estudiantes, 29 maestro de primaria y secundaria. Diseñaron problemas, bajo las premisas de las estrategias cuotitiva y partitiva. Para la solución de los problemas que implicaban la división de fracciones, se recurrió a materiales concretos (naranjas y papel), trabajo en equipo; mismo que formaron al azar, se le pedía describieran la solución de problema de manera individual. Cada sesión duró una hora, algunos requirieron una segunda sesión. Para la recopilación de la información utilizaron como técnicas la observación, registrando con ello las formas de solucionar el problema y discusiones generadas en los alumnos, además de la entrevista. Se consideraron los trabajos escritos por los alumnos, fotos de los modelos construidos para resolución del problema. El análisis se centró en describir y clasificar los modos de resolver el problema.
En general, de acuerdo a los resultados, los participantes aplicaron estrategias que implican uno; división partitiva, y dos pasos, en función de los números que formaban las fracciones, que pueden clasificarse en fáciles y difíciles, o bien, de fácil y difícil reconocimiento. Los problemas que implican para su resolución dos pasos generalmente inician con el primer pasos partitivo, y se les aumenta como segundo paso el método cuotitivo. Se debe jerarquizar las fracciones para su tratamiento de las más fáciles a las difíciles, de las conocidas a desconocidas, que implique un paso a las que impliquen dos pasos. Es importante que antes de adentrase a las operaciones con fracciones los alumnos se apropien de estrategias para la división de números enteros. Algunos errores que se generalizaron tienen que ver con el método cuotitivo, dividir la parte fraccionaria del dividendo en tantos trozos como el denominador del divisor.
"El trabajo cooperativo en el aprendizaje significativo en matemáticas de educación primaria"
Terán de Serrantina (2009) se planteó un problema con base a interrogantes, tales como ¿Cuáles serían las características de las estrategias basadas en el trabajo cooperativo a fin de promover el aprendizaje significativo en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, en la educación básica? ¿Cuáles estrategias utiliza el docente en la clase de matemáticas? ¿Cómo concibe el docente de educación básica el trabajo cooperativo para la enseñanza y aprendizaje de la matemática? ¿Cómo conciben los alumnos de la educación básica el trabajo cooperativo? Adoptó el enfoque constructivista, concretamente dos teorías, la sociocultural de Vigotsky que prioriza la función del maestro, compañeros y padres de familia como mediadores de un proceso que antecede al desarrollo en un devenir dialéctico
permanente y, también, la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel; adoptó la premisa de que el aprendizaje implicaba una restructuración activa de las percepciones, ideas, conceptos y esquemas. De aquí se desprende el sistema conceptual, que utilizó, conformado por los constructos educación matemática, aprendizaje significativo y trabajo colaborativo.
Diseñó la investigación adoptando las premisas de del enfoque cualitativo, y metodología propia de la investigación–acción. La muestra estuvo conformada por 16 individuos; 12 niños y cuatro docentes de sexto grado. Para recabar la información se auxilió de técnicas, tales como la observación participativa, entrevista, fotografías y grabaciones. Para el análisis de datos recabados utilizó la técnica de triangulación de fuentes. Mediante ésta se reunieron las observaciones e informes sobre una misma situación; efectuados desde diversos ángulos o perspectivas para compararlos y contrastarlos.
Los resultados de la investigación consideran que el trabajo cooperativo para promover aprendizajes significativos debe basarse en los aprendizajes previos, se debe considerar la integración o interrelación de las matemáticas con otros contenidos curriculares, integrar actividades lúdicas a fin de favorecer la motivación e interés, el juego debe ser un componente vital, con el trabajo cooperativo se promueve la interacción, participación, motivación y aprendizaje de valores, se desarrolla la creatividad e inventiva.
"La noción de razón en la construcción de las fracciones en la escuela primaria"
Block (2008) se preguntó ¿Qué implicaciones tienen las expresiones de relación o razón en el aprendizaje y enseñanza de las fracciones? Demostrar que los alumnos para la resolución de problemas, que a pesar de que reciben sistemáticamente la enseñanza de las fracciones, y no de las razones, la tendencia es poner en juego de manera espontánea a éstas últimas para manipular medidas y operaciones racionales. La enseñanza de los números racionales podría verse enriquecida el considerar conocimientos que los alumnos han desarrollado, y podrían desarrollar sobre las razones de números naturales.
Diseñó la investigación bajo las premisas experimentales. La muestra la conformaron 13 alumnos de 4° y 6° grados de diferentes escuelas. Recabó la información con base a entrevistas, problemas verbales de “valor faltante” y de “comparación de razones”. El conjunto de problemas se presentó en un documento que contiene un problema por página, redactado bajo la forma de un texto con preguntas, son dibujos ni esquemas. Los problemas se aplicaron en sesiones individuales con cada entrevistado, se le permitió el uso de todos los recursos, se le leyó el problema de forma pausada. Misma que, posterior a la recopilación de ésta, analizó detalladamente las entrevistas y producciones, ambas dirigidas a los alumnos participantes.
Los hallazgos encontrados le permitieron concluir que los alumnos resuelven problemas de tipo “valor faltante” y “comparación de razones”, que implican las fracciones en el papel de expresar medidas y operaciones multiplicativas, sin hacer explícitas las fracciones, manipulando razones de números naturales. En contraparte, muestran un bajo dominio de las fracciones. El favorecer un trabajo con razones y propiciar su noción se podría ayudar a enriquecer la noción de fracción que se estudia en este nivel: una medida fraccionaria.
Las articulaciones entre razones y fracciones no son espontáneas, deben propiciarse, sin lo cual los alumnos, se apropian solo de esbozaos de dos familias de técnicas para resolver problemas de proporcionalidad, unas formales y explícitas pero poco funcionales, las de las fracciones, otras implícitas, informales y funcionales, pero de alcance muy limitado, la de las razones. Estudiar formas de articular las “razones” y “fracciones” a lo largo de las secuencias didácticas es una tarea aun inconclusa que puede valer la pena continuar. Las secuencias didácticas diseñadas y planteadas podrían constituir una segunda introducción a las fracciones en la escuela secundaria, cuando los niños ya conocen la interpretación como partes de unidad. Diseñar situaciones didácticas que consideren la articulación entre razón y fracción es la propuesta.
"La razón y la fracción en las matemáticas"
Ramírez y Block (2009) se interrogaron ¿Qué se entiende hoy día por proporcionalidad? ¿Qué se enseñan sobre este tema y con cuál propósito? y ¿Qué dificultades se enfrentan? Intentaron establecer pruebas en torno al tratamiento de los conocimientos en el aula, de que la relación entre las nociones de razón y fracción no está satisfactoriamente resuelta en las matemáticas escolares y, por tanto, requiere un esfuerzo de reorganización curricular. Partieron de la premisa de que la dificultad de aprendizaje radica fundamentalmente en las dificultades de estas nociones de razón y fracción, así como en la enseñanza. La investigación consideró una perspectiva conceptual, que aborda lo referente a la fenomenología y didáctica. La razón, números racionales y proporcionalidad conformaron el sistema conceptual de la investigación.
Los participantes fueron un grupo de sexto grado, un maestro con una experiencia de 10 años en el 6° grado. Así mismo, para recabar la información relevante consideraron las técnicas e instrumentos siguientes: análisis de currículo, cuestionarios a maestros, observación directa de secuencias didácticas en el aula. En el proceso de análisis y confrontación de la información relevante se consideró pertinente el uso de la técnicas, instrumentos y actividades diversas, a saber: Se observaron 12 clases no experimentales, con duración de 90 a 120 minutos, los registro de clase se realizaron con el apoyo de grabadora, lápiz y papel,
procurando la interacciones verbales entre alumno-maestro, alumno-alumno, producción privadas de los equipos. Revisión frecuente de cuadernos de los niños para tener una idea del trabajo realizado en las clases no observadas. El análisis se centró en la secuencia de situaciones didácticas, en el cómo éstas ponen en juego y articulan los conocimientos matemáticos. Para el análisis de los datos empíricos se fueron concretados mediante la etnografía, es decir, la descripción densa de la clase, la creación de algunas categorías a partir de análisis de lo observado.
Los resultados indicaron que antes de que el niño aprenda la noción de fracción debe adquirir lo referente a la razón. Es decir, debe adquirir la noción previa de razón, y posteriormente, lo referente a las fracciones. En otras palabras, el aprendizaje de la noción de fracción depende de la noción de razón. Una de las situaciones que impiden el óptimo aprendizaje de las fracciones, se circunscribe en la función del docente, dado que no prioriza una variedad de procedimientos para resolver problemas, no concede importancia a los procesos que los propio alumnos puedan emplear.
La introducción a las fracciones se hace de manera superficial, en tanto que solo quedó como una manera de nombrar las cosas, creándose con ello, en el nivel de representación simbólica, una identidad entre razón y fracción, pero con un significado poco claro para los alumnos, las fracciones se prestaron a la técnica de la simplificación para comprobar que todas las razones en juego eran equivalentes, pero los alumnos no lograron articularlas con sus procedimientos, más bien, las fracciones tendieron a restar visibilidad a éstos últimos. No se resuelve la función de las fracciones y decimales como expresiones de las razones, desde este punto de vista didáctico.
Son diversas y han evolucionado las formas de enseñar la proporcionalidad. El hecho de que el currículum actual no considere este contenido origina por su parte la carencia de un marco claro que sirva de referencia para los maestros y los diseñadores de materiales curriculares, lo que permite también la heterogeneidad en las prácticas concretas de la enseñanza. Existe una ausencia de una propuesta didáctica consolidada, los maestros hacen una selección, organización e interpretación de un contenido, integrando estos procesos indicios de distintas maneras, ello propicia un saber específico que hace vivir en el currículo de formas diversas.
"Las enseñanza-aprendizaje de la fracciones utilizando la secuencia de actividades de Thompson"
Cabas y López (2001) se preguntaron ¿Cómo potenciar el proceso de enseñanza-
aprendizaje de las fracciones aplicando la secuencia de actividades de Thompson, adecuada como programa virtual dinámico y utilizando al computador como mediado? Pretendían la adecuación de las fases de la propuesta de Thompson, para la enseñanza de la fracción, en un programa virtual dinámico. Valorar la herramienta computador como mediador del proceso enseñanza-aprendizaje de las fracciones. Consideraron a priori que a través de la adecuación y uso del computador se encontraran nuevos elementos que permitan crear estrategias para contrarrestar la dificultades en el aprendizaje de la fracciones. El diseño y aplicación concerniente a la adecuación, adoptó el enfoque constructivista.
En el diseño metodológico se adoptó la investigación-acción. La muestra fueron alumnos de cuarto grado. En el desarrollo de la investigación a fin de recabar información diseñaron y aplicaron un software didáctico; allí incorporaron las actividades propuestas por Thompson propone para promover el aprendizaje de las fracciones. Para realizar el análisis de la información recurrieron a la copia de los resultados, producción de los niños, carpeta personal de cada estudiante. Entrevistas y discusiones de grupo, registro de computador, fotos, grabaciones de audio, grabaciones de video.
El procesamiento de la información arrojó resultados que indicaron que la aplicación del computador como mediador en el proceso de enseñanza aprendizaje, permitió manipular la motivación del alumno en torno a la disposición para el tema y las actividades, es decir, generó un cambio de actitud, los indujo a escribir sus resultados y evaluar los resultados obtenidos. El alumno logró adquirir a la noción de fracción, como una parte de un todo. Los problemas y los objetos que involucraron fueron familiares para el niño lo que permitió establecer conexión con facilitar la adquisición de la noción de fracción.
Los alumnos usaron principalmente dos estrategias para resolver el problema; repartieron o dividieron, ello indicó que fue necesario buscar nuevas estrategias que les permitieran arribar al resultado con mayor rapidez, a la vez, reflejó la dificultad para multiplicar y dividir, importantes para establecer equivalencia y orden de fracciones, mismas que favorecen el manejo del algoritmo.
CONCLUSIONES
Coincidentemente, todas las investigaciones afirman en que la dificultad para el aprendizaje radica fundamentalmente en las dificultades de estas nociones, así como en la enseñanza. Se aborda que la noción de razón o proporcionalidad deben preceder a la noción de fracción, que éstas dos nociones; razón y fracción están articuladas, por tanto no pueden tratarse de manera independiente, preferentemente la noción debe preceder al aprendizaje de
las fracciones. Son dos nociones del campo conceptual de las estructuras multiplicativas destinadas a sintetizarse en el concepto de número racional.
Para el aprendizaje de las fracciones, no debe parcelarse este contenido, en tanto que tiene correlación con las otras concepciones que adoptan las fracciones; considerar las diversas acepciones que adquieren las fracciones. Es decir, debe abordarse a partir de la correlación que existe entre los subconstructos de parte y todo; cociente (cociente de dos números naturales), razón, operador y medida. Desde luego estableciendo a la vez la distinción entre éstas. Aunado a ello, la forma en que cada noción se construye de manera diversificada en los distintos niveles educativos, lo que apoya la idea de que aun no se ha establecido una alternativa didáctica que logre disipar o enmendar las problemáticas vertidas en cuanto a la temática, concretamente en el aprendizaje de las fracciones, así como a las diversas habilidades cognitivas y afectivas que debe desarrollar el alumno.
Coinciden en advertir los diversos procedimientos a los que recurre el alumnos para la solución de problemas que involucran operaciones con fracciones, y consecuentemente, en conceder importancia a éstos procesos en la adecuación del proceso educativo. El aprendizaje y enseñanza de las fracciones debe ser mejor si se trata y relaciona con alguna magnitud. Más concretamente, iniciar la enseñanza aprendizaje a partir de problemas que involucren no solo las operaciones fraccionarias sino también el manejo concreto de una magnitud, por ejemplo: longitud, peso o litro, etc. La contextualización de la enseñanza, también juega un papel preponderante en el mismo proceso, por lo que los problemas matemáticos deben ser reales y concretos del entorno inmediato del alumno, es decir, deben involucrarse las vivencias concretas que pueda o haya vivido el alumno.
La organización de las sesiones de aprendizaje y los equipos para el trabajo cooperativo óptimo deben obedecer a ciertos criterios que establece la perspectiva del trabajo cooperativo. Por lo que coincide en considerar como estrategia de enseñanza y priorizar el trabajo colaborativo. Así como la función del docente, función de los alumnos, estrategias, contenido, evaluación. Por ello, recomiendan que los alumnos aprendan cooperativamente a trabajar, ya que, además de lo anterior, propicia que entiendan que este tipo de organización implica la consecución de objetivos comunes, mayor interacción con los pares y la participación de todos los miembros del equipo. La interacción generada en os equipo de trabajo les permite expresar las estrategias utilizadas en la resolución del problema, el diseño de planes, ejecución y evaluación de planes de intervención.
REFERENCIAS
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