ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝ ΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)
ΘΕΜ Α Α A1.
Να αποδείξετε ότι , αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 7
A2.
Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε
συνάρτηση
f:
που
είναι
“1-1”
είναι
και
γνησίως
μονότονη.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμ ό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησ ή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4 A3.
Να διατυπώσετε Λογισμού.
το
Θεμελιώδες
Θεώρημα
του
Ολοκληρωτικού Μονάδες 4
A4.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η συνάρτηση
f(x) x με x
έχει μία μόνο θέση ολικού
μεγίστου. β) Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ , η οποία είναι γνησίως αύξουσα , ισχύει f (x) 0 για κάθε x Δ .
1 x 0. x 0 x
γ) Ισχύει lim δ) Αν
η
f
είναι
αντιστρέψιμη
συνάρτηση,
τότε
παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f συμμετρικές ως προς την ευθεία y x .
1
οι
γραφικές
αντίστοιχα είναι
ε) Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f(x) x
4 , x x2
{0} .
B1.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Μονάδες 8
B2.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 4
B3.
Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f . Μονάδες 6
B4.
Με βάση τις απαντήσεις σας στα παραπάνω ερωτήματα , να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό με μελάνι που δε σβήνει.) Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8 m, το οποίο κόβουμε σε δύο τμήματα. Με το ένα από αυτά, μήκους x m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο. Γ1. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων σε τετραγωνικά μέτρα, συναρτήσει του x, είναι
π 4 x 2 64x 256 E(x) , 16π
x (0,8) . Μονάδες 5
Γ2.
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρ ο του κύκλου. Μονάδες 10
Γ3.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8 m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5 m 2 . Μονάδες 10
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(x) 2e Δ1.
x-α
x 2, x
με
α 1.
Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του α 1 η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής . Μονάδες 3
Δ2.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά x1, x 2 η συνάρτηση
με x1 x 2 , τέτοια ώστε
f να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 και τοπικό
ελάχιστο στο x 2 . Μονάδες 7 Δ3.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) f(1) είναι αδύνατη στο (α, x 2 ) . Μονάδες 6
Δ4.
Αν α 2 να αποδείξετε ότι : 3
2
f(x) x 2 dx
32 . 15 Μονάδες 9
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέ νους) 1.
2.
3.
4. 5. 6.
Σ τ ο ε ξ ώ φυ λ λ ο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Σ τ ο ε σ ώφ υ λ λ ο πά νω - π ά νω να σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ α α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μ α θ η τ ή . Σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α π α ντ ή σ ε ώ ν σ α ς να γρ ά ψ ε τ ε π ά νω - π ά νω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α κ α ι τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Ν α μ η ν α ντ ι γ ρά ψ ε τε τ α θ έ μ α τα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μ η γ ρά ψ ε τε π ο υ θ ε νά α λ λ ο ύ σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς . Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά τ η ν α π ο χ ώ ρ η σ ή σ α ς να π α ρ α δ ώ σ ε τ ε μ αζ ί μ ε τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τ α φ ω τ ο α ντ ί γ ρ α φ α . Ν α α π α ν τ ή σ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρά δ ι ό σ α ς σ ε όλ α τ α θ έ μ α τ α μ ό νο μ ε μ π λ ε ή μ ό νο μ ε μ α ύ ρ ο σ τ υ λ ό μ ε μ ε λ ά νι π ο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λ ύ β ι ε π ι τ ρ έ π ε τ α ι , μ ό νο α ν τ ο ζ η τ ά ε ι η εκ φ ώ νη σ η, κ α ι μ ό νο γ ι α π ί να κ ε ς , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κ . λ π. Κ ά θ ε α π ά ντ η σ η ε π ι σ τ η μ ο νι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ νη ε ί να ι α π ο δ ε κ τ ή . Δ ι ά ρ κ ε ι α ε ξ έ τ α σ η ς : τρ ε ι ς ( 3 ) ώ ρ ε ς με τ ά τη δ ι α νο μ ή τ ω ν φ ω τ οα ντ ι γ ρ ά φ ω ν. Χ ρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ .
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ