Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa MÉTODO SMPLEX
EJERCICIOS DE MAXIMIZACIÓN F.O Max z= 2x+y S.A (1) (2) (3)
3x+y≤6 x -y≤2 y≤3
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD x,y≥0 (4) IGUALDADES Z -2x -1y -0h1 -0h2 -0h3 3x +y +h1 x -y +h2 +1y +h3
= = = =
0 6 2 3
TABLA SIMPEX v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
-2
-1
0
0
0
0
/2 =2
h1
0
3
1
1
0
0
6
/3 =2
h2
0
1
-1
0
1
0
2
/1 =2
h3
0
0
1
0
0
1
3
/0 = --
v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
0
-3
0
+2
0
+4
/3 =1.3
h1
0
0
4
1
-3
0
0
/4 =0
x
0
1
-1
0
1
0
2
/1 =2
h3
0
0
1
0
0
1
3
/1 = 3
pág. 1
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I v.
z
x
Dr. Marlón Villa y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
0
0
0
+4
y
0
0
1
0
0
x
0
1
0
0
2
h3
0
0
0
1
3
RESPUESTA El Problema no tiene solución.
F.O Max z= 400x+300y S.A (1) 2x+y≤60 (2) x+3y≤40 (3) x+y≤30 RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y≥0 IGUALDADES Z -400x 2x x x
pág. 2
-300y -0h1 -0h2 -0h3 +y +h1 +3y +h2 +y +h3
= = = =
0 60 40 30
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
TABLA SIMPLEX v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
-400
-300
0
0
0
0
/400
=0
h1
0
2
1
1
0
0
60
/2
=30
h2
0
1
3
0
1
0
40
/1
=40
h3
0
1
1
0
0
1
30
/1
=30
v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
0
100
0
0
400
12000
y
0
0
-1
1
0
-2
0
h2
0
0
2
0
1
-1
10
x
0
1
1
0
0
1
30
SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 12000 VALORES ÓPTIMOS x= 30
y= 0
HOLGURA h1= 0
pág. 3
h2= 10
h3= 0
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
F.O Max z=
3x+2y
S.A (1) 2x+y≤18 (2) 2x+3y≤42 (3) 3x+y≤24 RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y≥0 IGUALDADES Z -3x -2y 2x
+y
2x
+3y
3x
+y
-0h1 -0h2 -0h3 = 0 +h1
= 18 +h2
= 42 +h3
= 24
TABLA SIMPLEX v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
-3
-2
0
0
0
0
/3
=0
h1
0
2
1
1
0
0
18
/2
=9
h2
0
2
3
0
1
0
42
/2
=21
h3
0
3
1
0
0
1
24
/3
=8
pág. 4
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
v.
z
Dr. Marlón Villa
x
y -1
Z
1
0
h1
0
h2 x
h1
h2
h3
0
0
0
1
0
0
0
1
Valor. 1
24
/1
=24
0
2
/
=6
0
1
26
/
= 11.1
0
0
8
/
=24
v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
0
0
3
0
-1
30
y
0
0
1
3
0
-2
6
h2
0
0
0
-7
1
4
12
x
0
1
0
-1
0
1
6
SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 30 VALORES ÓPTIMOS x= 6
y= 6
HOLGURA h1= 0
h2= 12
h3= 0
F.O Max z=
2x+y
S.A
pág. 5
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
(1) 3x+y≤6 (2) x -y≤2 (3) y≤3
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y≥0
IGUALDADES Z -2x -1y 3x
+y
x
-y
-0h1 -0h2 -0h3 = 0 +h1
= 6 +h2
+1y
= 2 +h3
= 3
TABLA SIMPEX v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
-2
-1
0
0
0
0
/2
=2
h1
0
3
1
1
0
0
6
/3
=2
h2
0
1
-1
0
1
0
2
/1
=2
h3
0
0
1
0
0
1
3
/0
= --
v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
0
-3
0
+2
0
+4
/3 =1.3
h1
0
0
4
1
-3
0
0
/4 =0
x
0
1
-1
0
1
0
2
/1 =2
h3
0
0
1
0
0
1
3
/1 = 3
pág. 6
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
v.
z
x
y
Z
1
0
y
0
x h3
h1
h2
h3
Valor.
0
0
+4
0
1
0
0
0
1
0
0
2
0
0
0
1
3
RESPUESTA El Problema no tiene solución. F.O Max z=
400x+300y
S.A (1) 2x+y≤60 (2) x+3y≤40 (3) x+y≤30 RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y≥0 IGUALDADES Z -400x 2x x x
pág. 7
-300y -0h1 -0h2 -0h3 +y +h1 +3y +h2 +y +h3
= = = =
0 60 40 30
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
TABLA SIMPLEX v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
-400
-300
0
0
0
0
/400
=0
h1
0
2
1
1
0
0
60
/2
=30
h2
0
1
3
0
1
0
40
/1
=40
h3
0
1
1
0
0
1
30
/1
=30
v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
0
100
0
0
400
12000
y
0
0
-1
1
0
-2
0
h2
0
0
2
0
1
-1
10
x
0
1
1
0
0
1
30
SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 12000 VALORES ÓPTIMOS x= 30
y= 0
HOLGURA h1= 0
h2= 10
h3= 0
F.O Max z=
3x+5y
S.A (1) x≤4 (2) 2y≤12 (3) 3x+2y≤18
pág. 8
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y≥0 IGUALDADES Z -3x x 0 3x
-5y -0h1 -0h2 -0h3 0 +h1 +2y +h2 +2y +h3
= = = =
0 4 12 18
TABLA SIMPLEX v.
z
x
y
h1
h2
h3
Valor.
Z
1
-3
-5
0
0
0
0
/5
=0
h1
0
1
0
1
0
0
4
/0
=--
h2
0
0
2
0
1
0
12
/2
=6
h3
0
3
2
0
0
1
18
/2
=9
v.
z
x
y
h1
Z
1
-3
0
0
h1
0
1
0
1
y
0
0
1
0
h3
0
3
0
0
pág. 9
h2
0
-1
h3
Valor.
0
30
/3
=10
0
4
/1
=4
0
6
/0
=--
1
6
/3
=2
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
v.
z
x
y
Dr. Marlón Villa
h1
Z
1
0
0
0
h1
0
0
0
1
y
0
0
1
0
x
0
1
0
0
h2
h3
Valor. 1
36 2
0
6 2
SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 36 VALORES ÓPTIMOS x= 2
y= 6
HOLGURA h1= 2
h2= 0
h3= 0
EJERCICIOS DE MINIMIZACIÓN F.O. Min. Z= x+2y RESTRICCIONES (1) 2x+2y ≤ 8 (2) 2x+6y ≥ 12 CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD (3) x,y ≥ 0 FORMA ESTÀNDAR Z = + x +2y +0h1 +0h2 -MA1 +2x +2y +h1 ≤ 8 +2x +6y 0 -h2 +A1 ≥ 12
pág. 10
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
FORMA DE ECUACIÓN Z
x -2y -0h1 -0h2 -MA1 = 0 +2x +2y +h1 = 8 +2x +6y 0 -h2 +A1 = 12 CÀLCULO DE LA FUNCIÒN OBJETIVO Z
-2y -0h1 -0h2 -MA1 = 0 x +2Mx +6My 0 -Mh2 +MA1 = 12M Z = 12M +2Mx -2y+6My -0h1 -Mh2
-Z
+0h1 +Mh2
= -12M
-Z +x( +2M) +y(2-6M) +0h1 +Mh2
= -12M
- 2Mx
+2y-6My
FUNCIÒN OBJETIVO -Z
- 2Mx +2y-6My +0h1 +Mh2
= -12M
S.A +2x +2y +h1 +2x +6y 0 -h2 A1
= 8 = 12
CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD +x +y +h1 +h2 +A1 ≥ 0 TABLA h1 h2
A1
Valor
2-6M
0
M
0
-12M
2
2
1
0
0
8
=4
2
6
0
-1
1
12
=2
VARIABLES
Z
x
Z
-1
-2M
h1
0
A1
0
pág. 11
y
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
VARIABLES
Z
Z
x
Dr. Marlón Villa
y
h1
h2
A
Valor
-1
0
0
h1
0
0
1
4
y
0
1
0
2
SOLUCIÓN ÓPTIMA Min. –Z= -4 Z= 4 VALORES ÒPTIMOS x= 0 y= 2 h1= 4 COMPROBACIÒN Z=
(0)+2(2)
Z= 4 F.O. Min. Z= 4x+5y RESTRICCIONES (1) 2x+2y ≤ 10 (2) 2x+6y 18 (3) x+y = 7 CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y ≥ 0
pág. 12
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
FORMA ESTÀNDAR Z = +4x +2x +2x +x
+5y +2y +6y +y
+h1 +h2 +MA1 +MA2 +h1 ≤ 10 0 -h2 +A1 ≥ 18 0 0 +A2 = 7
FORMA DE ECUACIÓN Z -4x +2x +2x +x
-5y -0h1 -0h2 - MA1 -MA2 +2y +h1 +6y -h2 +A1 +y +A2
= = = =
0 10 18 7
CÀLCULO DE LA FUNCIÒN OBJETIVO Z -4x +2Mx +Mx
-5y +6My +My
-0h1 -0h2 - MA1 -MA2 = 0 0 -Mh2 +MA1 = 18M 0 0 +MA2 = 7M
Z -4x+3Mx -5y+7My -0h1 -Mh2
= 25M
-Z +4x-3Mx +5y-7My +0h1 +Mh2 = -25M -Z +x(4-3M) +y(5-7M) +0h1 +Mh2 = -25M FUNCIÒN OBJETIVO -Z +x(4-3M) +y(5-7M) +0h1 +Mh2 = -25M -Z +x(4-3M) S.A +2x +2y +h1 = 10 +2x +6y -h2 +A1 = 18 +x +y +A2 = 7 CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD +x +y +h1 +h2 +A1 +A2 ≥ 0 TABLA VARIABLES
Z
x
y
h1
h2
A1
A2
Valor
Z
-1
4-3M
5-7M
0
M
0
0
-25M
h1
0
2
2
1
0
0
0
10
=5
h2
0
2
6
0
-1
1
0
18
=3
A1
0
1
1
0
0
0
1
7
=7
pág. 13
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
VARIABLES
Z
Z
x
Dr. Marlón Villa
y
h1
-1
0
h1
0
h2
0
y
0
VARIABLES
Z
x
y
Z
-1
0
0
x
0
1
0
h2
0
y
0
1
A2
Valor
0
0
-15-4M
0
1
0
4
1
0
0
3
0
1
4
A2
Valor
0
-22-2M
0
3
0
0
3
0
1
4
h1
h2
A1
h2
4
A1
-4
RESPUESTA El problema no tiene solución. F.O. Min. Z= 14x+10y RESTRICCIONES (1) 7x+3y ≤ 60 (2) 3x-2y 50 (3) 4x+6y = 80
pág. 14
Srta. Paola Meza
Investigación Operativa I
Dr. Marlón Villa
CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y ≥ 0 FORMA ESTÀNDAR Z = +14x +7x +3x +4x
+10y +h1 +h2 + MA1 +MA2 +3y +h1 ≤ 60 -2y -h2 +A1 50 +6y +A2 = 80
FORMA DE ECUACIÓN Z -14x +7x +3x +4x
-10y -0h1 -0h2 -MA1 -MA2 +3y +h1 -2y -h2 +A1 +6y +A2
= = = =
0 60 50 80
CÀLCULO DE LA FUNCIÒN OBJETIVO Z -14x +3Mx +4Mx
-10y -2My +6My
-0h1 -0h2 -MA1 -MA2 = 0 -Mh2 +MA1 = 50M +MA2 = 80M
Z -14x+9Mx -10y+4My -0h1 -Mh2
= 130M
-Z +14x-9Mx +10y-4My +0h1 +Mh2 = -130M -Z +x(14-9M) +y(10-4M) +0h1 +Mh2 = -130M FUNCIÒN OBJETIVO -Z +x(14-9M) +y(10-4M) +0h1 +Mh2 = -130M S.A +7x +3y +h1 = 60 +3x -2y -h2 +A1 = 50 +4x +6y +A2 = 80 CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD +x +y +h1 +h2 +A1 +A2 ≥ 0 TABLA VARIABLES
Z h1 h2 A1
pág. 15
Z -1 0 0 0
x 14-9M 7 3 4
y 10-4M 3 -2 6
h1 0 1 0 0
h2 0 0 -1 0
A1 0 0 1 0
A2 M 0 0 1
Valor -130M 60 50 80
=8.5 =16.6 =20
Srta. Paola Meza
Investigaci贸n Operativa I
Dr. Marl贸n Villa
VARIABLES
Z
x
y
h1
h2
A1
A2
Valor
Z
-1
0
4-M
-2+M
M
0
0
-120-70M
h1
0
1
0
0
0
h2
0
0
-1
1
0
x
0
0
0
0
1
VAR IAB LES
Z
x
y
Z
-1
0
0
0
h1
0
1
0
0
y
0
0
1
0
x
0
0
0
1
h1
h2
A1
A2
Valor
RESPUESTA El problema no tiene soluci贸n.
p谩g. 16
Srta. Paola Meza
Investigaci贸n Operativa I
p谩g. 17
Dr. Marl贸n Villa
Srta. Paola Meza