Materia pro lnela metodo grafico by Nancy Pao

INVESTIGACIÓN OPERATIVA 1

Dr. Marlón Villa

PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO GRÁFICO 1.- Una Compañía de Auditores se especialista en preparar liquidaciones y auditorías de pequeñas empresas. Tiene interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizarse mensualmente para maximizar sus ingresos? Se dispone de 600 horas de trabajo directo y 220 horas para revisión, además aporta un ingreso de $250, una liquidación de impuestos requiere de 6 horas de trabajo directo y 4 de revisión producen un ingreso de $90, una auditoría requiere de 30 horas de trabajo directo y 8 de revisión, aporta con un ingreso de $250. El máximo de liquidaciones posibles es de 50. TABLA DE DATOS DESCRIPCIÓN

TRABAJO DIRECTO

REVISIÓN

INGRESOS

MÁXIMO

LIQUIDACIONES

8 1 600

2 1 220

90 250

AUDITORÍAS DISPONIBILIDAD

FUNCIÓN OBJETIVO. Max. Z=90x+250y RESTRICCIONES (1) 6x+30y≤ 600 (2) 4x+8y≤ 200 (3) x≤50 RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y0 SISTEMAS ECUACIONES (1) 6x+30y=600 x y 100 0 0 20

pág. 1

(2) 4x+8y=200

(3) x=50

x y 0 27,5 55 0

Srta. Paola Meza

COMPROBACIÓN P(0,0) (1) 6(0)+30(0)≤600 0≤600 VERDAD

P(0,0) (2) 4(0)+8(0)≤ 200 0≤ 200 VERDAD

P(0,0) (3) 0≤50 VERDAD

GRÁFICO

ARCO CONVEXO

pág. 2

Punto

1050

6000

4500

Srta. Paola Meza

C. (1) (2)

-24x-120y= -2400 24x+48y= 1200 y=15 x=25

SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 1050 VALORES ÓPTIMOS x= 3

y=2

RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

pág. 3

Srta. Paola Meza

2.- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de plátano y 7 de manzanas si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el mayorista B a 30 km. Determine cuantos contenedores habrá que comparar a cada mayorista con el objeto de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia. TABLA DE DATOS DESCRIPCIÓN

NARANJA PLÁTANOS MANZANAS DISTANCIA

A 8 1 2 150

B 2 1 7 30

DISPONIBILIDAD

16 5 20

FUNCIÓN OBJETIVO. Min. Z=150x+30y RESTRICCIONES (1) 8x+2y16 (2) x+y5 (3) 2x+7y20 RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x,y0 SISTEMAS ECUACIONES (1) 8x+2y=16 x y 0 8 2 0

COMPROBACIÓN P(0,0) (1) 8(0)+2(0)16 016 FALSO

pág. 4

(2)

x+y=5 x y 0 5 5 0

P(0,0) (2) 0+05 05 FALSO

(3) 2x+7y=20 x y 0 2,9 10 0

P(0,0) (3) 2(0)+7(0)20 020 FALSO

Srta. Paola Meza

GRÁFICO

ARCO CONVEXO Punto

1500

1050

1350

2400

B. (2) (3)

C. -2A-2B= -10 2A+7B= 20 B=2 A=3

(1) (2)

-8A-8B= -40 8A+2B= 10 B=4 A=1

SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 1050 VALORES ÓPTIMOS x= 3 y=2 RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

pág. 5

Srta. Paola Meza

3.- MAXIMIZAR FUNCIÓN OBJETIVO

SUJETO A (1) (2) CONDICIONES TÉCNICAS O (1) 3x+5y=15 x 0 5

y 3 0

(2) 5x+2y=10 x 0 2

y 5 0

GRÁFICO

pág. 6

Srta. Paola Meza

ARCO CONVEXO Punto

A B

0 0

0 3

C. −

𝑥− 𝑦 𝑥 6𝑦

−7

𝑥

𝟒𝟓 𝟏𝟗

𝑦

𝑥

𝟐𝟎 𝟏𝟗

RESPUESTA Este problema tiene múltiples soluciones. SOLUCIÓN ÓPTIMA Z1= 5

Z2=5

VALORES ÓPTIMOS x1= 20/19

y1=45/19;

x2=2

y2=0

RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2 NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS

pág. 7

Srta. Paola Meza

4.- MAXIMIZAR FUNCIÓN OBJETIVO Z= 2x+3y SUJETO A (1) x≤2 (2) y≥4 (3) 2x+y≥5 CONDICIÓN TÉCNICA (4) x,y 0 SISTEMA DE ECUACIONES (1) x=2

(2) y=4

(3) 2x+y=5

x 0 5/2

COMPROBACIÓN P(0,0) (1) x≤2

P(0,0) (2) y≥4

P(0,0) (3) 2x+y≥5

0≤2 VERDAD

04 FALSO

05 FALSO

GRÁFICO

pág. 8

Srta. Paola Meza

y 5 0

ARCO CONVEXO PUNTOS

1/2

B. (3) (2)

-2x-y= -5 y= 4 x=1/2 y=4

SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 16 VALORES ÓPTIMOS x= 2

y=4

RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2 RESTRICCIONES INACTIVAS: 3

pág. 9

Srta. Paola Meza

5.- MAXIMIZAR FUNCIÓN OBJETIVO Z= 2x+3y RESTRICCIONES (1) x≤2 (2) y≤3 (3) 2x+y≥18 RESTICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x+y≥0 SISTEMAS DE ECUACIONES (1)

(2)

(3)

x=2

y=3

2x+y=18

x 0 9

y 18 0

COMPROBACIÓN P(0,0) (1) x≤2

P(0,0) (2) y≤3

P(0,0) (3) 2x+y≥18

0≤2 VERDAD

0≤3 VERDAD

018 FALSO

GRÁFICO

RESPUESTA: El problema no tiene solución pág. 10

Srta. Paola Meza

6.- Una compañía produce automóviles y camiones, cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y un taller de montaje de carrocería si el taller de pintura pinta solamente camiones, se podría pintar 40 camiones al día y si pinta solo automóviles se podrían pintar 60 automóviles si el taller de carrocerías ensamblara solo camiones podría ensamblar 50 camiones al día y si ensamblaría

solo automóviles podrían

ensamblar 50 automóviles al día cada camión aporta $300 a la

utilidad y cada

automóvil $200. Maximice la utilidad. Pintura

PENDIENTE

ECUACIÓN DE LA RECTA y-y1=m(x-x1)

P1(0,40)

y-40=-2/3 (x)

P2(60,0)

3y-120=-2x −

Ensamblaje

PENDIENTE

2x+3y=120

ECUACIÓN DE LA RECTA

P(0,50)

y-y1=m(x-x1)

P(50,0)

y-50=-1 (x) −

x+y=50

FUNCIÓN OBEJTIVO Z= 200x+ 300y RESTRICCIONES (1) 2x+3y ≤ 120 (2) x+y ≤ 50 RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (3) x,y0

pág. 11

Srta. Paola Meza

SISTEMAS DE ECUACIONES (1) 2x+3y=120

(2) x+y=50

COMPROBACIÓN P(0,0) (1) 2(0)+3(0)≤120 0≤120 VERDAD

P(0,0) (2) (0)+(0)≤ 50 0≤ 50 VERDAD

GRÁFICO

pág. 12

Srta. Paola Meza

ARCO CONVEXO Punto

12000

10000

C. (1) (2)

-2x-3y= -120 2x+2y= 100 y=20 x=30

RESPUESTA El problema tiene múltiples soluciones. SOLUCIÓN ÓPTIMA Z1= 12000

Z2=12000

VALORES ÓPTIMOS x1= 0

y1=40;

x2=30

y2=20

RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2 NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS

pág. 13

Srta. Paola Meza

7.- En una pastelería se hace 2 tipos de torta. Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita ¼ de relleno por cada Kg de bizcocho y produce un beneficio de $250. Una torta Real necesita ½ kg de relleno por cada kg de Bizcocho y produce $400 de beneficio en la pastelería e pueden hacer diariamente hasta 150kg de bizcocho y 50kg de relleno. Por problemas de la maquina o se pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. Determine cuantas tortas de cada tipo deben venderse al día para maximizar el beneficio. FUNCIÓN OBJETIVO MAX. Z= 250x + 400y RESTRICCIONES (1) (2) (3) (4)

x +y ≤ 150 0,250x + 0,500y ≤ 50 X ≤ 125 y ≤ 125

RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (5) x, y ≥ 0 SISTEMAS ECUACIONES (1) x+y=150 X

150

(2) 0,250x+0,500y=50 x 0

(3) x=125

(4) y=125

Y 100

200 0

COMPROBACIÓN P(0,0) (1) (0)+(0)≤150 0≤150 VERDAD

pág. 14

P(0,0) (2) 0,250(0)+0,500(0)≤ 50 0≤ 50 VERDAD

P(0,0) (3) 0≤125 VERDAD (4) 0≤125 VERDAD

Srta. Paola Meza

GRÁFICO

ARCO CONVEXO

Punto

100

40000

100

32500

125

131200

125

31250

C. (1) (2)

-0,250 x -0,250y ≤ -37,5 0,250x + 0,500y ≤ 50 y=50 x=100

SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 131200 VALORES ÓPTIMOS x= 125

y=25

RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3

pág. 15

RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

Srta. Paola Meza

8.- Una joyería elaboro 2 modelos de joyas el primer modelo es 5, 5,20 y el segundo modelo es 5, 10,5, los números que se indican representan en porcentaje oro, plata, cobre la joyería dispone de 10kg de oro, 180 de plata y 200 kg de cobre por cada tipo de modelo 5, 5, 10 se obtiene una utilidad de $18,50 y por el otro modelo una utilidad de $20,00 maximice la utilidad establezca restricciones activas e inactivas y verifica si hay holgura o excedente. FUNCIÓN OBJETIVO Max Z= 8,50x + 20Y SUJETO A (1) 0,05X + 0,05y ≤ 110 (2) 0,05x + 0,10y ≤ 180 (3) 0,10x + 0,05y ≤ 200 RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD (4) x, y ≥ 0 SISTEMAS DE ECUACIONES (1) 0,05X + 0,05y = 110 x y 2200 0 0 2200

(2) 0,05x + 0,10y =180

(3) 0,10x + 0,05y = 200

x y

0 1800

0 4000

3600 0

2000 0

COMPROBACIÓN P(0,0) (1) 0,05(0)+0,05(0)≤110 0≤110 VERDAD

pág. 16

P(0,0) (2) 0,05(0)+0,10(0)≤ 180 0≤ 180 VERDAD

P(0,0) (3) 0,10(0)+0,05(0)≤200 0≤200 VERDAD

Srta. Paola Meza

GRÁFICO

D (1) 0,05x + 0,05y = 110 (2) 0,05x + 0,10y= 180

(-1)

(1) 0,05x + 0,05y = 110 (2) 0,10x + 0,05y= 200

- 0,05x - 0,05y = -110 0,05x+ 0,10y = 180 0,05 y = 70 Y= 1400

0,05x - 0,05y = -110 0,10x+ 0,05y = 200 0,05 X = 90 y= 1800

0,05x + 0,10 y = 180

0,10x + 0,05 y = 200

x= 800

Z= 18,50(800) + 20(1400)

Arco Convexo C D

Y 800 1800

400

Z= 18,50(1800) + 20(400)

Z= 42800

(-1)

1400 400

Z 42800 41300

41300

Solución Óptima Z= 42800 Valores Óptimos x= 800 Y= 1400

Cálculo de la Holgura para el oro 0,05x + 0,05y ≤ 110 0,05(800) + 0,05(1400) + h1 ≤ 110 h1 ≤ 0 pág. 17

Srta. Paola Meza

Cálculo de la Holgura para la plata 0,05x + 0,10y ≤ 180 0,05(800) + 0,10(1400) + h2 ≤ 180 h2 ≤ 0

Cálculo de la Holgura para el cobre 0,10x + 0,05y ≤ 200 0,10(800) + 0,05(1400) + h3 ≤ 200 h3 ≤ 50

pág. 18

Oro Plata Cobre

Disponibilid. Ocupados 110 110 180 180 200 50 Solución Óptima Z= 42800 Valores Óptimos x= 800 Y= 1400 h1= 0 h2= 0 h3= 50 Restricción Activa= 1,2 Restricción Inactiva= 3

Srta. Paola Meza

Holgura 0 0 50