25 LAT „NASZEJ POLITECHNIKI”
O definiowaniu liczb i własnościach jubileuszowej (srebrnej) liczby 25 JAN KOROŃSKI
Liczby są obiektami matematycznymi, to znaczy należą do pojęć matematyki, a współcześnie wszystkie pojęcia matematyki powinny być ściśle zdefiniowane (z wyjątkiem ogólnego pojęcia zbioru i relacji należenia elementu do zbioru, które to uważa się za pojęcia pierwotne). Sama matematyka także powinna być w sposób jednoznaczny określona, aby możliwa była odpowiedź na pytanie: co to jest matematyka? W przekonaniu autora tego opracowania matematyka jest zbiorem definicji, twierdzeń i dowodów tych twierdzeń, przeprowadzanych zgodnie z regułami dowodzenia logiki matematycznej; regułami, które bynajmniej nie zależą od prywatnych poglądów matematyków w odróżnieniu od przedstawicieli innych nauk, na przykład filozofów, teologów, a nawet fizyków. W wymienionych naukach pozamatematycznych (również ścisłych) stosuje się inne kryteria tego, co uznajemy za prawdę (inne kryteria racjonalności). Poprzez definicje do matematyki wprowadzana jest nowa treść (wprowadzane są nowe obiekty matematyczne).
We władzy aksjomatów Współcześnie w matematyce bardzo popularne są definicje aksjomatyczne, czyli takie, które wprowadzają obiekty matematyczne, spełniające pewną listę warunków (aksjomatów). Lista aksjomatów może być tak „wyśrubowana”, że żaden obiekt ich nie spełnia. Zatem oprócz definicji aksjomatycznych potrzebne są konstrukcje postulowanych aksjomatycznie obiektów. Tak jest na przykład w przypadku liczb rzeczywistych. Definicja aksjomatyczna liczb rzeczywistych mówi, że niepusty zbór jest zbiorem
www.nasza.pk.edu.pl
liczb rzeczywistych, jeżeli w tym zbiorze określona jest relacja porządku (porównywania elementów tego zbioru) oraz jeśli określone są dwa działania — dodawania elementów tego zbioru i mnożenia elementów tego zbioru; działania, które dla wszystkich elementów tego zbioru spełniają następujące aksjomaty: I. Aksjomaty ciała przemiennego. Chodzi o to, że działania dodawania i mnożenia muszą być łączne. Dla dodawania musi istnieć element neutralny, czyli zero, a dla mnożenia — jedynka. Dla każdej liczby musi istnieć element odwrotny — względem dodawania jest to liczba z przeciwnym znakiem, a dla mnożenia — odwrotność liczby z wyjątkiem liczby zero. Działania dodawania i mnożenia muszą być przemienne oraz mnożenie
musi być rozdzielne względem dodawania. (Te własności liczb uczniowie poznają w ciągu edukacji szkolnej). II. Aksjomaty porządku. Aksjomaty te można w jednej z wersji streścić w następujący sposób: dla dowolnych trzech liczb, jeśli jedna jest mniejsza od drugiej, to po dodaniu do pierwszej i drugiej liczby trzeciej suma pierwszej i trzeciej jest mniejsza od sumy drugiej i trzeciej, a w przypadku gdy trzecia liczba jest większa od zera, to iloczyn liczby pierwszej i trzeciej jest mniejszy od iloczynu liczby drugiej i trzeciej. (Aksjomaty porządku można wyeksplikować w innych równoważnych postaciach). III. Aksjomat ciągłości (równoważny aksjomatowi kresu górnego). Aksjomat ciągłości mówi o tym, że jeżeli mamy dwa niepuste podzbiory definiowanego zbioru liczb rzeczywistych, takich, że ich suma mnogościowa jest równa definiowanemu zbiorowi, to zachodzi jedna z dwóch następujących możliwości — albo w pierwszym podzbiorze istnieje element największy, albo w drugim podzbiorze istnieje element najmniejszy. (Jest to równoważne temu, że każdy niepusty podzbiór ograniczony z góry ma kres górny, to znaczy: albo największy element tego podzbioru, albo najmniejsze górne ograniczenie tego podzbioru, w przypadku gdy element największy podzbioru nie istnieje).
„Konstruktorzy” liczb rzeczywistych W historii rozwoju matematyki powstało wiele konstrukcji liczb rzeczywistych. Swoją konstrukcję przedstawił między innymi Richard Dedekind (1831–1916), który w 1872 roku wprowadził
Nasza Politechnika nr 1 (221) styczeń 2022
9
