LIVRO 1 - GEOMETRIA ANALÍTICA by natal antunes barros barros

Geometria Analítica e Álgebra Linear Autoras: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa Profa. Valéria de Carvalho Colaboradores: Profa. Mirtes Mariano Prof. Daniel Scodeler Raimundo

Professoras conteudistas: Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa / Valéria de Carvalho Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), leciona no Ensino Superior desde 1981. Professora do curso de Pós-graduação lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz e professora da Universidade Paulista – UNIP na modalidade presencial e na modalidade EaD – Educação a Distância. Coautora dos livros: • Geometria analítica para computação, editora LTC. • Álgebra linear para computação, editora LTC. • Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia, editora Ícone. Valéria de Carvalho Valéria de Carvalho, especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica), mestre e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação – Unicamp é professora do Ensino Superior desde 1988. Trabalha com temas envolvendo Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de Educação Continuada, envolvendo docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora. Possui publicações em anais de congressos fora do Brasil e capítulos de livros em nossa língua pensando o trabalho docente, a educação matemática crítica e a sociedade. Atualmente, professora da Universidade Paulista – UNIP e coordenadora do curso de Matemática na modalidade EaD – Ensino a Distância. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) E77g

Espinosa, Isabel Cristina de Oliveira Navarro Geometria analítica e álgebra linear / Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa; Valéria de Carvalho - São Paulo: Editora Sol, 2012. 288 p., il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-021/12 , ISSN 1517-9230. 1. Geometria analítica. 2. Álgebra linear. 3. Matemática I.Título. CDU 51

© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista.

Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor

Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças

Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias

Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa

Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Graduação

Unip Interativa – EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Profa. Melissa Larrabure

Material Didático – EaD

Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Ana Luiza Fazzio e Virgínia Bilatto

Sumário Geometria Analítica e Álgebra Linear Apresentação.......................................................................................................................................................9 Introdução......................................................................................................................................................... 10 Unidade I

1 Matriz..................................................................................................................................................................11 1.1 Introdução.................................................................................................................................................11 1.2 Igualdade de matrizes......................................................................................................................... 16 1.3 Alguns tipos especiais de matrizes................................................................................................ 17 2 Operações com Matrizes....................................................................................................................... 21 2.1 Adição........................................................................................................................................................ 21 2.2 Multiplicação por escalar................................................................................................................... 24 2.3 Transposição ou matriz transposta................................................................................................ 28 2.4 Multiplicação de matrizes................................................................................................................. 29 2.5 Matriz inversa ....................................................................................................................................... 39 2.6 Processo prático para determinar a matriz inversa ............................................................... 42 2.7 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 47 3 SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES................................................................................................ 55 3.1 Sistemas lineares................................................................................................................................... 55 3.1.1 Equações lineares ................................................................................................................................... 55 3.1.2 Sistemas lineares...................................................................................................................................... 56 3.1.3 Resolução por adição............................................................................................................................. 59 3.1.4 Resolução por escalonamento........................................................................................................... 62 3.1.5 Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss.............................................. 69

3.2 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 75 4 Determinantes.............................................................................................................................................. 81 4.1 Introdução................................................................................................................................................ 81 4.2 Cálculo de determinantes ................................................................................................................ 81 4.3 Regra de Cramer e a resolução de sistemas lineares n x n.................................................. 87 Unidade II

5 GEOMETRIA ANALíTICA : UMA ABORDAGEM VETORIAL................................................................101 5.1 Vetores – tratamento geométrico................................................................................................101 5.1.1 O conceito de vetor..............................................................................................................................102 5.1.2 Casos particulares de vetores...........................................................................................................104

5.1.3 Operações com vetores.......................................................................................................................105

5.2 Espaço vetorial real............................................................................................................................ 117 5.3 Vetores – tratamento algébrico..................................................................................................... 118 5.3.1 Plano cartesiano.....................................................................................................................................119 5.3.2 Vetores no plano................................................................................................................................... 120 5.3.3 Combinação linear............................................................................................................................... 123 5.3.4 Dependência e independência linear........................................................................................... 126 5.3.5 Base .......................................................................................................................................................... 130

5.4 Operações com vetores utilizando as coordenadas..............................................................132 5.4.1 Adição ...................................................................................................................................................... 132 5.4.2 Multiplicação por escalar.................................................................................................................. 133 5.4.3 Vetores paralelos................................................................................................................................... 134 5.4.4 Dependência linear.............................................................................................................................. 136 5.4.5 Módulo ou norma de um vetor...................................................................................................... 140

5.5 Produto escalar....................................................................................................................................142 5.5.1 Definição algébrica.............................................................................................................................. 142 5.5.2 Propriedades do produto escalar................................................................................................... 142 5.5.3 Ângulo entre dois vetores................................................................................................................. 145 5.5.4 Projeção ortogonal............................................................................................................................... 149

5.6 Produto vetorial .................................................................................................................................150 5.6.1 Orientação no espaço vetorial IR................................................................................................... 150 5.6.2 Produto vetorial - definição..............................................................................................................151 5.6.3 Propriedades........................................................................................................................................... 154

5.7 Produto misto .....................................................................................................................................156 5.7.1 Definição . ............................................................................................................................................... 156 5.7.2 Propriedades do produto misto...................................................................................................... 158

5.8 Sistema de coordenadas .................................................................................................................164 5.8.1 No plano ................................................................................................................................................. 164 5.8.2 No espaço................................................................................................................................................ 165

5.9 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................167 6 RETAS E PLANOS.............................................................................................................................................178 6.1 Estudo da reta.......................................................................................................................................178 6.1.1 Equação vetorial.................................................................................................................................... 178 6.1.2 Equações paramétricas....................................................................................................................... 180 6.1.3 Equações simétricas (na forma simétrica).................................................................................. 182

6.2 Estudo do plano .................................................................................................................................185 6.2.1 Equação vetorial.................................................................................................................................... 185 6.2.2 Equações paramétricas do plano................................................................................................... 189 6.2.3 Equação geral do plano...................................................................................................................... 192 6.2.4 Vetor normal ao plano........................................................................................................................ 196

6.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................198 Unidade III

7 Posição relativa, distância e ângulos...................................................................................... 211

7.1 Posição relativa.................................................................................................................................... 211 7.1.1 Reta-reta................................................................................................................................................... 211 7.1.2 Reta-plano ..............................................................................................................................................216 7.1.3 Plano-plano............................................................................................................................................. 222

7.2 Ângulos....................................................................................................................................................228 7.2.1 Reta-reta.................................................................................................................................................. 228 7.2.2 Reta-plano................................................................................................................................................231 7.2.3 Plano-plano............................................................................................................................................. 235

7.3 Distâncias...............................................................................................................................................237 7.3.1 Distância entre dois pontos ............................................................................................................ 237 7.3.2 Distância entre ponto e reta............................................................................................................ 238 7.3.3 Distância entre retas paralelas........................................................................................................ 239 7.3.4 Distância entre um ponto e um plano..........................................................................................241 7.3.5 Distância entre reta e plano (paralelos)....................................................................................... 242 7.3.6 Distância entre planos paralelos..................................................................................................... 243

8 Seções Cônicas .........................................................................................................................................245 8.1 Parábola...................................................................................................................................................247 8.2 Elipse.........................................................................................................................................................254 8.3 Circunferência......................................................................................................................................258 8.4 Hipérbole.................................................................................................................................................259 8.5 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................263

Apresentação

Estudaremos, neste livro-texto, alguns conceitos fundamentais da geometria analítica. Esse campo de estudo tem importantes aplicações na própria matemática e vem sendo cada vez mais aplicado a outras ciências. Sua utilização na solução de diversos problemas tem crescido em ordem proporcional ao avanço da tecnologia. As aplicações desse poderoso campo de estudo – a geometria analítica –, podem ser encontradas na engenharia, ciência da computação, matemática, física, biologia, economia, estatística e outras. Nesse material e no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), você encontrará algumas dessas aplicações para contextualizar boa parte dos conceitos aqui abordados. Recomendamos que se dedique ao estudo de aplicações, pois estas são importantes para ampliar a sua visão, como matemático e educador. Estudaremos, inicialmente, o conceito de matrizes, sistemas lineares e determinantes que são assuntos que você já conhece, pois são conteúdos vistos no Ensino Médio. Aprenderemos a noção de vetores no plano e no espaço, com uma visão geométrica e depois uma visão analítica. Estudaremos também equação de reta e do plano, seguindo de posições relativas entre ponto-reta, ponto-plano, reta-reta, reta-plano e entre plano-plano. Finalmente, estudaremos as seções cônicas, circunferência, elipse, parábola e hipérbole. Esperamos, com esse material, que você, aluno, consiga dominar os conhecimentos matemáticos estudados, relacionando-os com outros campos de estudo, por exemplo, relacionando a linguagem matemática com as linguagens da área da informática. O conteúdo foi desenvolvido de modo sistematizado, contribuindo para que você, futuro professor, possa avaliar criticamente e se organizar em intervenções futuras na sua prática docente. No desenvolvimento do texto, procuramos mostrar alguns modelos matemáticos que representam problemas concretos. Esperamos, com isso, despertar em você o interesse pela modelagem matemática. É importante salientar que o material foi desenvolvido para um curso introdutório de geometria analítica, sendo assim, busca-se aqui uma abordagem mais objetiva e simplificada, e a consulta aos livros que constam nas referências bibliográficas será essencial para um aprofundamento nos temas propostos. Para terminar essa breve apresentação, queremos fazer uma última observação: “estudaremos aqui conceitos que levaram séculos e até milênios para serem desenvolvidos, sistematizados e colocados em bases formais e rigorosas”. Seria, no mínimo, pretensioso acreditar que podemos compreendê-los sem esforços ou com pouco tempo de estudos, ou seja, será necessária muita motivação, dedicação, erros (pois estes fazem parte do processo de ensino e aprendizagem da 9

matemática) e a utilização de materiais complementares (pesquisas em livros, sites, resolução de problemas e exercícios). Introdução

Nosso estudo será divido em três módulos, porém essa divisão não significa de forma alguma que esses temas sejam disjuntos, muito pelo contrário, eles estão ligados por meio de articulações entre os conceitos e suas possíveis aplicações. Essa divisão trata-se apenas de uma escolha organizacional. Na unidade I, estudaremos matrizes, sistemas e determinantes. Na unidade II, faremos uma abordagem vetorial; estudaremos vetores no plano e no espaço e o estudo da reta e do plano. Na unidade III, abordaremos posição relativa, distância e ângulo entre retas e planos. Encerramos com uma breve apresentação das cônicas, parábola, elipse, circunferência e hipérbole. Veremos a equação reduzida de cada uma delas. Não será foco de nosso estudo as translações e rotações envolvendo as cônicas Ao final de cada unidade, você encontrará um resumo dos itens estudados e uma sequência de exemplos para consolidar os conhecimentos teóricos apresentados. Recomendamos que você resolva todos eles, isso auxiliará o seu estudo. Esperamos que você, aluno, seja capaz de identificar, fundamentar e aplicar os conhecimentos matemáticos necessários para que se torne um bom profissional de Ensino Fundamental, Médio ou Superior e que esteja sempre preocupado com o papel social de sua futura função profissional como educador matemático. Você deve estudar buscando identificar e superar suas dificuldades e limitações individuais, procurando formas de “aprender a aprender” que viabilize seu desenvolvimento pessoal e profissional, e possibilite prosseguir os seus estudos de forma fundamentada. Deve ser um profissional capaz de trabalhar de forma integrada com os professores da sua área e de outras, investigar e viabilizar o uso de novas tecnologias nas aulas de matemática, e deve agir de modo a contribuir efetivamente com o desenvolvimento de propostas pedagógicas da sua escola. Esperamos ainda que você, aluno, torne-se um professor que saiba reconhecer as dificuldades individuais de seus educandos e sugerir caminhos alternativos que os permitam desenvolver e prosseguir os estudos. Desejamos que esse material possa auxiliá-lo nessa caminhada. Bom estudo!

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Unidade I 1 Matriz 1.1 Introdução

Inicialmente, apresentaremos os conceitos básicos sobre matrizes. Esses conceitos aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas científicos ou do cotidiano e são essenciais não apenas porque eles “ordenam e simplificam” tais problemas mas também porque fornecem novos métodos de resolução. Chamamos de matriz, uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao fazer uma pesquisa e recolhermos os dados referentes à altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na seguinte tabela: Altura (m)

Peso (Kg)

Idade (anos)

Pessoa 1

1,70

Pessoa 2

1,75

Pessoa 3

1,60

Pessoa 4

1,81

Tabela 1

Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz: 1, 70 1, 75  1, 60  1, 81

70 60 52 72

23 45  25  30

É importante perceber que em um problema, no qual o número de variáveis de observações é muito grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente indispensável. Outros exemplos de matrizes são: 11

Unidade I 2x −1 2 3    0 x 

0 1]

[1]

Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, vetores ou ainda outras matrizes. Por convenção, representa-se uma matriz de m linhas e n colunas da por: (ai j) mxn, com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n , onde o elemento aij indica a posição ocupada na matriz, linha i coluna j. Ainda, por convenção, usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escreveremos Amxn:  a11 a12 a a Amxn =  21 22   am1 am2

a1n  a2n  = a ij   amn 

( )mxn = aij mxn

Podemos também utilizar, para representar uma matriz, a notação de parênteses ou duas barras, além da notação de colchetes, como no exemplo abaixo: ou:

ou ainda:

 a11 a12 a a A =  21 22   am1 am2

a1n  a2n     amn 

 a11 a12 a1n  a a a2n   A =  21 22    a  m1 am2 amn  a11 a12 a1n a a a2n A = 21 22 am1 am2 amn

Geometria Analítica e Álgebra Linear Utilizaremos nesse material a representação por meio de colchetes ou de parênteses. Para localizar um elemento de uma matriz, indicamos a linha e a coluna (nessa ordem) em que ele está.

Saiba mais Para saber sobre aplicações da geometria analítica e da álgebra linear acesse: <http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/aplicacoes.html>. Acesso em: 06 fev. 2012. Exemplos: 1) Considere uma matriz A3x3, isto é, uma matriz com 3 linhas e 3 colunas. Vamos localizar alguns elementos dessa matriz, utilizando a notação a ij a) a 12 - é o elemento da 1ª linha e 2ª coluna:  A=  

a12    

b) a 31 – é o elemento da 3ª linha e 1ª coluna:  A= a  31

   

 1 0 −4  2) Considere a matriz A2x 3 =   . Determine os elementos indicados: 4 −3 2  a) primeira linha e terceira coluna; b) primeira linha e primeira coluna; c) segunda linha e segunda coluna. Resolução:

Unidade I a) o elemento da primeira linha e terceira coluna “a13” é - 4, isto é, a13 = - 4  1 0 −4  A2x 3 =   4 −3 2  b) elemento da 1ª linha e 1ª coluna “a11” é 1, isto é, a11 = 1  1 0 −4  A2x 3 =   4 −3 2  c) elemento da 2ª linha e 2ª coluna “a22” é - 3, isto é, a22 = - 3  1 0 −4  A2x 3 =   4 −3 2  Veremos no próximo exemplo uma situação que pode ser representada por uma tabela. 3) Dona Cotinha tem uma pequena confecção na qual fabrica moletons. Ela faz 3 tipos de modelos A, B e C, nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro foram feitos do modelo A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos. Determine a matriz que representa a produção da confecção nesse mês. Resolução: Para montar a matriz que representa a produção da confecção da Dona Cotinha você deve primeiro decidir qual informação será colocada na linha e qual será colocada na coluna e montar uma tabela com os valores. Por exemplo, vamos colocar nas linhas as cores branco, preto, azul e vermelho e nas colunas os modelos A, B, C. Para completar a tabela, você deve colocar cada dado sobre o modelo e a cor na posição correta, assim, 15 unidades do modelo A na cor branca deve ficar na coluna do modelo A (1ª cor modelo coluna) e na linha da cor branca (1ª linha), desta mesma forma você vai colocando cada um dos dados do enunciado. A tabela obtida será:

Geometria Analítica e Álgebra Linear

modelo

Branco

Preto

Azul

Vermelho

cor

Tabela 2

Podemos agora montar a matriz correspondente:

Pfevereiro

15 12 9  10 15 11  =  8 6 9   5 4 2

Note que essa matriz tem 4 linhas (cores) e 3 colunas (modelos). Assim, para saber, por exemplo, quantas unidades foram fabricadas no mês de fevereiro da cor preta do modelo B, devemos verificar quem é o elemento a22. Como a22 = 15, temos que foram fabricadas 15 unidades pretas do modelo B. Da mesma forma, todos os outros elementos da matriz também terão um significado. Lembrete Sempre que uma matriz estiver relacionada a um problema, suas linhas e suas colunas terão um significado, além da posição linha e coluna. Podemos indicar na matriz o que significam as linhas e as colunas, por exemplo, reescrevendo a matriz P, produção de fevereiro, temos:

Pfevereiro

A B C 15 12 9  10 15 11  =  8 6 9   5 4 2

Branca Preta Azul Vermelho

Unidade I

Observação Quando for conveniente, você também poderá escrever Pfevereiro = (ai j)cor x; modelo para indicar que as cores estão nas linhas e que os modelos estão nas colunas. 1.2 Igualdade de matrizes

( )

Duas matrizes Amxn = ai j m x n e Br x s = bi j r x s são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij = bij). Nos exemplos a seguir, você pode notar com detalhes como utilizar a definição de igualdade de matrizes. Exemplos: 32 1 log1 9 sen π 2 = 1)  2  2 2 5  2 4

0  5 

As matrizes são iguais, pois são do mesmo tipo, isto é, ambas são do tipo 2x3 e cada elemento de uma é igual ao elemento correspondente da outra, isto é: a11 = 32 = 9 = b11 a11 = 1 = sen π 2 = b12 a13 = log1 = 0 = b13 a21 = 2 = 2 = b21 a22 = 22 = 4 = b22 a23 = 5 = 5 = b23  m +1

2

5

2

2) Determinar os valores de m e n para que as matrizes A =   e B = 1 2 n sejam − + n 2 6     iguais.

Para que as matrizes sejam iguais, você deve primeiro verificar se elas são do mesmo tipo. Nesse caso, temos A = (a i j) 2 x 2 e B = (b i j) 2 x 2 , isto é, as matrizes são do mesmo tipo, 2 x 2. 16

Geometria Analítica e Álgebra Linear Devemos agora comparar cada elemento de uma com o elemento correspondente da outra, assim: a11 = b11 a = b  12 12  a =b  21 21 a22 = b22

,isto Ø, é,

m + 1 = 5 2 = 2    −2 + n = 1 6 = 2n

Resolvendo o sistema, temos: na 1ª equação : m + 1 = 5 ⇒ m = 4 a 2ª equação é sempre verdadeira 2 = 2 (V) na 3ª equação: – 2 + n = 1 ⇒ n = 3 Substituindo o valor de n na 4ª equação, encontramos 6 = 6 (V). Logo, para A = B, devemos ter m = 4 e n = 3. 1.3 Alguns tipos especiais de matrizes

Ao desenvolver um estudo com matrizes, observa-se que existem algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colunas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm propriedades que as diferenciam de uma matriz qualquer. Além disso, esses tipos de matrizes aparecem frequentemente na prática e, por isso, recebem nomes especiais. Estudemos algumas delas. Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotemos por Amxn, Matriz quadrada: tem o número de linhas igual ao número de colunas (m = n). Exemplos:  1 −2 0 A =  3 0 1 e B=[ 8   4 5 6  3 x 3

]1 x 1

No caso de matrizes quadradas Amxm, costumamos dizer que A é uma matriz de ordem m. No nosso exemplo, a matriz A é de ordem 3 e a matriz B é de ordem 1. Na matriz quadrada A de ordem m, definimos as seguintes sequências: 17

Unidade I • diagonal principal de A: é a sequência dos elementos de A que apresentam os dois índices iguais, ou seja: (aij / j = i) = (a11, a22 ,..., am m )  a11 a12 a a A =  21 22   am1 am2

a1m  a2m     am m 

mxm

• diagonal secundária de A: é a sequência dos elementos de A em que a soma dos índices é igual a m + 1, isto é, a sequência: a1m , a2 (m−1) , . . . , am 1  a11 a12 a a A =  21 22   am1 am2

a1m  a2m     am m 

mxn

Exemplo:  1 −2 0 Dada a matriz A =  3 0 1 , indique os elementos da diagonal principal e da diagonal   secundária. 4 5 6  3 x 3 Observando a matriz, temos: (DP) diagonal principal formada por a11 = 1, a22 = 0, a33 = 6 (DS) diagonal secundaria formada por a13 = 0, a22 = 0, a31 = 4 DP  1 −2 0 A =  3 0 1   4 5 6  3 x 3

Matriz nula: é aquela em que aij = 0, para todo i j. Exemplos: 0 0 0 0 0 0 0 A2x2 =  e B3x5 = 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 18

Geometria Analítica e Álgebra Linear Matriz coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1). Exemplos: 1  4  e x  y       −3 Matriz linha: é aquela que possui uma única linha (m = 1). Exemplos:

0 −1] e [1 2]

Matriz diagonal: é uma matriz quadrada (m = n), onde ai j = 0, para i≠j, isto é, os elementos que não estão na “diagonal” são nulos. Exemplos: 3 7 0 0   0 1 0  e 0   0 0 0 −1  0

0 3 0 0

0 0 3 0

0 0  0  3

Matriz identidade quadrada ou simplesmente matriz identidade: é aquela em que ai i = 1, para i = j e ai j = 0, para i ≠ j , isto é: 1, se i = j ai j =  0, se i ≠ j Exemplos:  1 0 0  1 0 I3 = 0 1 0 e I2 =    0 1  0 0 1

Unidade I

Lembrete Note que a matriz identidade é uma matriz quadrada que tem valor na diagonal principal e zero no restante da matriz. Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada, onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e ai j = 0, para i > j. Exemplos: 2 −1 3 0 −1 4  e  a b 0 c      0 0 3 Matriz triangular inferior é aquela em que m = n e ai j = 0, para i < j. Exemplos: 2 1  1  1

0 1 4 5

0 0 1 7

0 5 0 0 0  e  7 0 0   0   4 1 3   4

Matriz simétrica: é aquela onde m = n e ai j = aj i. Exemplos: a  4 3 −1   3 2 0  e b   c  −1 0 5   d

b e f g

c f h i

d g  i  k

Observação Em uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da parte inferior, em relação à diagonal.

Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 Operações com Matrizes

Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações. 2.1 Adição

( )

A soma de duas matrizes de mesma ordem, A = ai j m x n e B = bi j m x n , é uma matriz m x n, que chamaremos de A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é, A + B = ai j + bi j m x n :

(

)

 a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1n   A + B =   am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn 

Exemplos:  0 4  1 −1     1) Dadas as matrizes A = 4 0  e B =  −2 5  , determinar A + B.  1 0  2 5  Devemos primeiro verificar se as matrizes são do mesmo tipo, temos, então: A = ( ai j) 3x2 e B = ( bi j) 3x2, logo, A e B são do mesmo tipo. Agora você deve somar cada elemento de A com o elemento correspondente de B, assim:  1 −1  0 4  4 0  +  −2 5       2 5   1 0

1 + 0 −1 + 4  4 − 2 0 + 5     2 + 1 5 + 0 

1 3 2 5   3 5

Você deve querer saber onde aplicar essa definição em um problema prático. Veja então o próximo exemplo. Vamos retomar o problema da confecção da Dona Cotinha. 2) Dona Cotinha tem uma pequena confecção, na qual fabrica moletons. Ela faz 3 tipos de modelos A, B e C, nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro foram feitos do modelo A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos. 21

Unidade I No mês de março foram feitos do modelo A: 21 brancos, 15 pretos, 12 azuis e 8 vermelhos; do modelo B; 15 brancos, 13 pretos, 9 azuis e 6 vermelhos; do modelo C; 16 brancos, 14 pretos, 8 azuis e 4 vermelhos. Determine a matriz que representa a produção da confecção nesse bimestre e a quantidade produzida no bimestre do modelo C na cor branca. Resolução: Para montar a matriz que representa a produção da confecção da Dona Cotinha no bimestre, vamos utilizar a matriz referente a fevereiro, que já foi calculada, e vamos montar a matriz referente ao mês de março. Novamente, as linhas representarão as cores e as colunas os modelos, assim, a tabela que representa a produção referente ao mês de março é igual a: modelo

Branco

Preto

Azul

Vermelho

cor

Tabela 3

Montando a matriz correspondente ao mês de março, temos:

Pmar

21 15 16  15 13 14    o= 12 9 8    8 6 4

Como queremos saber a produção no bimestre: fevereiro e março, devemos montar a tabela correspondente a essa situação. Tomando as tabelas de fevereiro e de março, vamos somar a produção de cada modelo e cor correspondente nas duas tabelas e assim teremos a tabela referente ao bimestre:

Geometria Analítica e Álgebra Linear Produção em fevereiro modelo

Produção em março

Branco

Preto

Azul

Vermelho

cor

modelo

Branco

Preto

Azul

Vermelho

cor

modelo

Branco

Preto

Azul

Vermelho

cor

Tabela 4

Passando para notação de matrizes, a produção do bimestre é equivalente à soma das matrizes de fevereiro e março, ficamos então com: 15 12 9  21 10 15 11 15   Pfevereiro + Pmar o = +   8 6 9 12    5 4 2 8 21 + 15 15 + 12 16 + 9  15 + 10 13 + 15 14 + 11  = P bimestre =   12 + 8 9+6 8+9    6+4 4+2   8+5

15 16  13 14   9 8  6 4 36 27 25 25 28 25   20 15 17    13 10 6 

Assim, temos que a matriz que representa a produção bimestral da confecção é:

bimestre

= (pi j ) cor x modelo =

36 25  20  13

27 25 28 25  15 17   10 6 

Queremos também saber a quantidade produzida no bimestre do modelo C na cor branca, isto é, queremos saber o valor do elemento da linha 1ª linha e 3ª coluna. 23

Unidade I Assim, a13 = 25. Logo, foram fabricadas 25 unidades do modelo C na cor branca, nesse bimestre. Utilizando uma notação conveniente para facilitar o entendimento do significado da linha e da coluna, temos que a matriz referente ao bimestre pode ser escrita da seguinte forma:

A 36 25 =  20  13

bimestre

B C 27 25 Branca 28 25 Preta  15 17  Azul  10 6  Vermelho

Lembrete Note que sempre que as linhas e colunas representam um dado definido, só poderemos fazer a adição das matrizes se o significado das linhas e colunas forem os mesmos. Propriedades da adição de matrizes Para a adição de matrizes, valem as seguintes propriedades: (I) associativa: A + (B + C ) = ( A + B) + C, ∀A,B, C ∈Mm x n (IR) ; (II) comutativa: A + B = B + A , ∀A,B ∈Mm x n (IR) ; (III) matriz nula: existe uma matriz 0 ∈Mm x n (IR) , tal que: A + 0 = A, ∀A ∈Mm x n (IR) ; (IV) matriz inversa: dada uma matriz A ∈Mm x n (IR) , existe uma matriz (-A), também m x n, tal que A + (-A) = 0 2.2 Multiplicação por escalar

Seja A = (aij)mxn e k um número real, então definimos uma nova matriz k . A = (k . aij)mxn, isto é, cada elemento da matriz será multiplicado por k.

( )m x n

A = ai j

⇒ k . A = (k . ai j )m x n , isto é: Ø,

Geometria Analítica e Álgebra Linear

 a1 1 a1 2 a1 n  A =     am 1 am2 amn  m x n

 k .a1 1 k . a1 2 k . a1 n   ⇒ k . A =     k . am 1 k . am2 k . amn  m x n

Observação Observe que quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o número de linhas e colunas não se altera, isto é, se A = (ai j) m x n então k . A também será do tipo m x n. Exemplos: 2 10  1) Dada a matriz A =   , determine a matriz - 2 A. 1 −3 Pela definição de multiplicação por escalar, devemos multiplicar cada elemento da matriz pelo número (-2), mantendo as posições iniciais. Assim: 2 10  2 . (-2) 10 . (-2)   −4 −20 −2 A = − 2  =  =  1 −3 1 . (-2) −3 . (-2)  −2 6  Lembrete Não esqueça de que ao multiplicar por número negativo você deve colocá-lo entre parênteses e depois deve utilizar as regras de sinal. Vejamos no próximo exemplo uma aplicação em um problema prático. Novamente, usaremos o exemplo da confecção da Dona Cotinha. 2) Dona Cotinha tem uma pequena confecção, na qual fabrica moletons. Ela faz 3 tipos de modelos A,B e C, nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro foram feitos do modelo A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos. Determine a matriz que representa a produção da confecção no próximo mês, se Dona Cotinha pretende duplicar a produção. Resolução: Retomando a tabela referente à produção de fevereiro, temos: 25

modelo cor

Unidade I Produção em fevereiro modelo

Branco

Preto

Azul

Vermelho

cor

Tabela 5

A produção para março deve ser o dobro da produção de fevereiro. E então, a tabela correspondente a essa expectativa de produção é: Produção em março modelo

Branco

Preto

Azul

Vermelho

cor

Tabela 6

Utilizando a notação de matriz, temos que, para saber a matriz referente a março, devemos multiplicar a matriz de fevereiro por 2, pois a produção será duplicada. Assim, P março = 2. P fevereiro, isto é, a produção de março é igual ao dobro da produção de fevereiro.

Pmarço = 2 . Pfevereiro

21 15 15 13 Pmarço = 2  12 9  8 6

21 15 16  15 13 14   =2  12 9 8    8 6 4 16  42 30 32  30 26 28 14  =   24 18 16  8    4 16 12 8 

Logo, se for duplicada a produção, as quantidades produzidas serão dadas pela matriz:

Geometria Analítica e Álgebra Linear

( ) mxn

Pmarço = p i j

42 30 =  24  16

30 32 26 28  18 16   12 8 

Propriedades da multiplicação de matriz por escalar Para essa operação que transforma cada par (a, A) de IR x Mmxn na matriz real a . A ∈ Mmxn (IR), valem as seguintes propriedades:

( I ) (α β ) A = α (βA ) , ∀ A ∈ M m xn e ∀ α, β ∈IR;

( I I ) (α + β ) A = α A + β A, ∀ A ∈ M m xn e ∀ α, β ∈IR;

( I I I ) α ( A + B) = α A + α B, ∀ A, B ∈ M m xn e ∀ α ∈IR; ( I V ) 1 A = A ∀ A ∈ M m xn . Você deve estar se perguntando como utilizar essas propriedades em nossos exercícios. Vejamos então alguns exemplos. Exemplos:  3 1  −1 2 e B= determinar: Dadas as matrizes A =    −1 2  0 1 a) (2 . 3) A b) 3A + 5 A c) 2 (A + B) Resolução: a) Nesse caso, temos a = 2 e b = 3, na 1ª propriedade (ab)A = a(bA). Na 1ª propriedade, podemos multiplicar os números e depois multiplicar o resultado pela matriz A ou calcular 3A e depois multiplicar por 2, ou ainda podemos calcular 2A e depois multiplicar por 3. Vamos fazer os cálculos das três formas e mostrar que chegamos sempre ao mesmo resultado:

Unidade I  −1 2 (2 . 3) A = 6   0 1

 −6 12 =   0 6 

  −1 2 . ( 3 A) = 2  3  0    −1 3 . (2 A) = 3 2   0

2   1 

 −3 6  −6 12 = = 2   0 3  0 6 

2   1 

 −2 4  −6 12 = = 3   0 2  0 6 

Lembrete Como saber de que modo fazer? Você vai utilizar o modo mais prático, aquele que você achar mais fácil. 2.3 Transposição ou matriz transposta

Dada uma matriz A = (ai j)m x n , podemos obter outra matriz A’ = (bi j)m x n , cujas linhas são as colunas de A, isto é, bi j = a j i. Podemos utilizar as notações A’ ou AT para indicar a matriz transposta de A:  a1 1 a1 2 a1 n  A =     am 1 am2 amn  m x n

a21  a1 1 a 12 ⇒ AT =    a a2 n 1n

am1     amn  n x m

Observação Observe que, a se a matriz A é do tipo m x n, então a sua transposta A será do tipo n x m. T

Exemplo:  2 1 A =  0 3    −1 4  3x2

2 0 −1 AT = A ’ =   1 3 4  2 x 3

Geometria Analítica e Álgebra Linear Propriedades: (I) Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, isto é, se, e somente se, A = AT. (II) (AT)T = A, isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. (III) (A + B)T = AT + BT. (IV) (k A)T = k AT, onde k é qualquer escalar. 2.4 Multiplicação de matrizes

Para podermos efetuar o produto de 2 matrizes, devemos ter que o número de colunas da 1ª deve ser igual ao número de linhas da outra, isto é: (ai k)m x p x (bkj)p x n = (ci j)m x n = Assim: A = (ai k ) , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ p, e

( )

B = bk j , com 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ j ≤ n Chamamos de produto da matriz A pela matriz B a matriz:

( )

C = ci j , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n , tal que: cij = ai1b1j + ai2b2 j + ... + aipbpj Ou seja, o elemento Cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B e somando-se esses produtos. Para indicar que C é o produto de A por B, escrevemos: A . B, A x B ou simplesmente AB.

Lembrete É importante observarmos que só se define o produto de duas matrizes quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda e o resultado será uma matriz com o número de linhas da 1ª e o número de colunas da 2ª. 29

Unidade I Vejamos alguns produtos para que você entenda bem a definição de produto de matrizes. Note que das operações que vimos até agora, esta é a que exige maior atenção devido aos cálculos necessários. Exemplos:

 1 0  −1 0 2  e B =  −1 1 1) Dadas as matrizes A =      2 1 −1 2 x 3  1 2 a) AB b) BA

determinar, se possível: 3x2

Resolução: a) Para o produto AB devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas da 2ª, assim: A = (ai k)2 x 3

B = (bjk)3 x 2 =

Logo, o produto AB é possível e a matriz resultante será do tipo 2 x 2. Vamos então calcular esse produto. Para isso, o ideal é que as matrizes sejam colocadas uma ao lado da outra na ordem em que o produto deve ser feito:  1 0  −1 0 2   A B =  -1 1     2 1 −1  1 2 Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de A pelos elementos de cada coluna de B, termo a termo, e some os resultados. Faça isso por todas as colunas de B, esse procedimento dará todos os elementos da 1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de A, até que acabem as linhas de A. Assim, os elementos da 1ª linha da matriz produto serão: • elemento c11: produto dos elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B: c11 = (-1) . 1 + 0 . (-1) + 2 . 1 = -1 + 0 + 2 = 1 • elemento c12: produto dos elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 2ª coluna de B: c12 = (-1) . 0 + 0 . 1 + 2 . 2 = 0 + 0 + 4 = 4 30

Geometria Analítica e Álgebra Linear Assim, os elementos da 2ª linha da matriz produto serão: • elemento c21: produto dos elementos da 2ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B: c21 = 2 . 1 + 1 .(-1) + (-1) . 1 = 2 + (-1) - 1 = 0 • elemento c22: produto dos elementos da 2ª linha de A pelos elementos da 2ª coluna de B: c22 = 2 . 0 + 1 . 1 + (-1) . 2 = 0 + 1 - 2 = - 1  1 0  −1 0 2    = 1 4  Logo, A B =  -1 1   0 −1  2 1 −1   1 2 b) Para o produto BA, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas da 2ª, assim: B = (bi j)3 x 2

A = (ajk)2 x 3 =

Logo, o produto BA também é possível e a matriz resultante será do tipo 3 x 3. Vamos então calcular esse produto. Novamente, as matrizes devem ser colocadas uma ao lado da outra na ordem em que o produto deve ser feito:  1 0 B A =  -1 1    1 2

 −1 0 2   2 1 −1

Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de B pelos elementos de cada coluna de A, termo, a termo e some os resultados. Faça isso por todas as colunas de A. Esse procedimento dará todos os elementos da 1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de B, até que acabem as linhas de B. Assim, os elementos da 1ª linha da matriz produto serão: • elemento c11: produto dos elementos da 1ª linha de B pelos elementos da 1ª coluna de A: c11 = 1 . (-1) + 0 . 2 = - 1 + 0 = - 1 • elemento c12: produto dos elementos da 1ª linha de B pelos elementos da 2ª coluna de A: c12 = 1 .0 + 0 . 1 = 0 31

Unidade I • elemento c13: produto dos elementos da 1ª linha de B pelos elementos da 3ª coluna de A: c13 = 1 . 2 + 0 . (- 1) = 2 Assim, os elementos da 2ª linha da matriz produto serão: • elemento c21: produto dos elementos da 2ª linha de B pelos elementos da 1ª coluna de A: c21 = (- 1) . (- 1) + 1 . 2 = 1 + 2 = 3 • elemento c22: produto dos elementos da 2ª linha de B pelos elementos da 2ª coluna de A: c22 = (- 1) . 0 + 1 . 1 = 0 + 1 = 1 • elemento c23: produto dos elementos da 2ª linha de B pelos elementos da 3ª coluna de A: c23 = (- 1) . 2 + 1 . (- 1) = - 2 - 1 = - 3 Assim, os elementos da 3ª linha da matriz produto serão: • elemento c31: produto dos elementos da 3ª linha de B pelos elementos da 1ª coluna de A: c31 = 1 . (- 1) + 2 . 2 = - 1 + 4 = 3 • elemento c32: produto dos elementos da 3ª linha de B pelos elementos da 2ª coluna de A: c32 = 1 . 0 + 2 . 1 = 0 + 2 = 2 • elemento c33: produto dos elementos da 3ª linha de B pelos elementos da 3ª coluna de A: c33 = 1 . 2 + 2 . (- 1) = 2 - 2 = 0  1 0 Logo, B A =  -1 1    1 2

 −1 0 2   −1 0 2     2 1 −1 =  3 1 −3  3 2 0

 0  −1 0 2  e B= 1 2) Dadas as matrizes A =     2 1 −1 2 x 3  −1 a) AB b) BA

, determinar, se possível: 3x1

Geometria Analítica e Álgebra Linear Resolução:

a) Para o produto AB, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas da 2ª. Assim: A = (ai j)2 x 3

B = (bjk)3 x 1 =

Logo, o produto AB é possível e a matriz resultante será do tipo 2 x 1. Vamos agora calcular esse produto. Novamente, o ideal é que as matrizes sejam colocadas uma ao lado da outra, na ordem em que o produto deve ser feito:  0  −1 0 2    A B =  1  2 1 −1    -1 Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B, termo a termo, e some os resultados. Como só temos uma coluna em B, o resultado encontrado será o único elemento da 1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de A, até que acabem as linhas de A. Assim, o elemento da 1ª linha da matriz produto será: • elemento c11: produto dos elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B: c11 = (-1) . 0 + 0 . 1 + 2 . (- 1) = 0 + 0 - 2 = - 2 Assim, o elemento da 2ª linha da matriz produto será: • elemento c21: produto dos elementos da 2ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B: c21 = 2 . 0 + 1 . 1 + (-1) . (- 1) = 0 + 1 + 1 = 2 0   −1 0 2     −2  Logo, A B =  1 =  2 1 −1    2 2 x 1  -1 b) Para o produto BA, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas da 2ª, assim: B = (bi j)2 x 1

A = (ajk)3 x 2 = 33

Unidade I Logo, o produto BA não é possível, pois o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A. Agora vamos retomar o problema da confecção da Dona Cotinha. 3) Dona Cotinha tem uma pequena confecção, na qual fabrica moletons. Ela faz 3 tipos de modelos, nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro foram feitos do modelo A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos. Se o preço de venda dos moletons do modelo A é R$ 80,00, do modelo B é R$ 60,00 e do modelo C é R$ 45,00, determine a renda obtida pela Dona Cotinha, nesse mês, com a venda dos moletons de cor vermelha. Resolução:

Observando o enunciado, notamos que temos duas matrizes, uma que relaciona modelo e cor e a outra que relaciona o preço de venda e o modelo. Já conhecemos a matriz que relaciona modelo e cor, é a matriz: 15 12 9  10 15 11  P= 8 6 9    5 4 2  Precisamos determinar a matriz que relaciona o modelo com o preço de venda, podemos montar a matriz colocando modelo para linha e preço para a coluna ou podemos montar com modelo na coluna e preço na linha. Para decidir qual é a forma mais conveniente, precisamos observar qual delas permite que se faça o produto de matrizes. Nesse caso, faremos a matriz com os modelos nas linhas e o preço de venda na coluna:  80 A =  60    45 Para determinar a renda obtida com a venda nesse mês, é necessário fazer o produto P . A. Assim: 34

Geometria Analítica e Álgebra Linear 15 12 9  10 15 11  P=  8 6 9  5 4 2 

 80  60    45 cor x modelo

modelo x

 2325  2195  = 1405  preçoo  730  pre   cor x

. pr e o preço

Logo, o valor obtido com a venda dos moletons vermelhos nesse mês, isto é, linha 4 (cor vermelha) e coluna 1 (preço) foi R$ 730,00. Propriedades da multiplicação de matrizes Podemos demonstrar que, quaisquer que sejam as matrizes A, B e C (convenientes) e qualquer que seja o número real a, valem as seguintes propriedades: (I) associativa: (A B) C = A (B C) (II) distributiva à esquerda: C (A + B) = CA + CB (III) distributiva à direita: (A + B) C = A C + B C (IV) elemento neutro: A In = In A =A (V) (a A) B = A (a B) = a (A B) (IV) A . 0 = 0 e 0 . A = 0 Observações importantes sobre a multiplicação de matrizes: Obs 1) A multiplicação de matrizes não é comutativa. Vejamos quais são as possibilidades de produto de duas matrizes A e B: a) Pode existir o produto AB e não existir o produto BA. Exemplo: Se A é do tipo 3 x 4 e B é do tipo 4 x 2, existe AB (que é do tipo 3 x 2) e não existe BA.  −1 2   −1 1 0 1  0 −1    Dadas as matrizes A = 0 −1 2 1 e B=    3 1  2 0 1 3 3 x 4    1 −1 4 x 2 temos: 35

Unidade I A = (ai j)3 x 4

B = (bjk)4 x 2 =

Logo, o produto AB é possível. Vamos então calcular esse produto: 2 2 -4  -1  = 7 2    1 4 2   -1 O produto BA não é possível, pois o número de colunas de B não é igual ao número de linhas de A:  −1 1 0 1 A . B =  0 −1 2 1    2 0 1 3

B = (bi j)4 x 2

-1 0  3  1

A = (ajk)3 x 4 =

b) Podem existir ambos os produtos AB e BA, sendo eles, porém, de tipos diferentes. Exemplo: Se A é do tipo 3 x 4 e B é do tipo 4 x 3, temos (AB)3x3 e (BA)4x4. 1 0 1   −1 1 0 1 2 −1 2     Dadas as matrizes A = 0 −1 2 1 e B=    0 1 −1  2 0 1 3 3 x 4   1 2 0  4 x 3 temos: A = (ai j)3 x 4

B = (bjk)4 x 3 =

Logo, o produto AB é possível e será uma matriz do tipo 3 x 3. Vamos então calcular esse produto:  −1 1 0 1 A . B =  0 −1 2 1    2 0 1 3

1 0 1 2 1 1  2 -1 2   = -1 5 -4    0 1 -1  5 7 1    1 2 0 

Geometria Analítica e Álgebra Linear B = (bi j)4 x 3

A = (ajk)3 x 4 =

Logo, o produto BA é possível e será uma matriz do tipo 4 x 4. Vamos então calcular esse produto: 1 0 1 2 -1 2  B . A =  0 1 -1   1 2 0 

 −1 1 0 1  0 −1 2 1    2 0 1 3

1 2 =  -2   -1

1 3 -1 -1

1 4 0 7  1 -2  4 3

Existem as matrizes AB e BA, mas são de tipos diferentes. c) Podem existir os produtos AB e BA, sendo ambos do mesmo tipo e AB ≠ BA. Nesse caso, A e B são matrizes quadradas de mesma ordem. Exemplo: 1 2   3 1 e B = Se A =   4 3 , temos: 3 −1   1 2   3 AB =  . 3 −1 4  3 1 1 BA =  . 4 3 3

1 11 7 = 3  5 0 2   9 5 = −1 13 5

d) Podem existir ambos os produtos AB e BA. Sendo AB = BA, dizemos que as matrizes A e B são comutáveis. Exemplo:  1 1 0 −1 e B = Se A =    1 1  , temos:  −1 0   1 A .B =  −1 0 A .B =  1

1 0 -1  1 0 = 0  1 1  0 1 -1  1 1  1 0 =     1   −1 0  0 1

Unidade I Existem os produtos A B e B A e temos AB = BA. Obs 2) Na multiplicação de matrizes, não vale a lei do anulamento do produto: “Se a e b são números reais e a . b = 0, então, a = 0 ou b = 0” Em outras palavras, se o produto é nulo, então um dos fatores (ou ambos) é nulo. Isso, porém, não é um fato para o produto de matrizes, pois podemos ter uma multiplicação entre as matrizes A e B, ambas não nulas, mas o resultado ser uma matriz nula. Exemplo: Considerando as matrizes: 2 0  0 0 A= e B=    , vamos calcular o produto AB. Assim: 3 0  4 1 2 0  0 0 0 0 AB = A . B =  .  =     e, portanto, AB = 02x2  3 0   4 1 0 0 Entretanto, apesar de o produto ser nulo, nem A nem B são matrizes nulas. Obs 3) Na multiplicação de matrizes, não vale a lei do cancelamento do produto: Quando trabalhamos com números reais, a seguinte propriedade é verdadeira: “Se c ≠ 0 e a . c = b . c, então, a = b” Entretanto, tal propriedade não é verdadeira para o produto de matrizes. Exemplo: 2 3  4 2 Sendo A =  e C=   , temos: 5 1 2 1 2 3 4 2 14 7  A .C= .  =  5 1  2 1 22 11 1 5 Sendo B =   , temos: 2 7

Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 5 4 2 14 7  BC =   2 1 = 22 11 2 7       Nesse exemplo, temos: AC = BC e C ≠ 02x2. Mas, A ≠ B. 2.5 Matriz inversa

Uma matriz quadrada A, de ordem n, tem inversa se existe uma matriz quadrada A-1, de ordem n, tal que a multiplicação de A por A-1 é igual a matriz identidade de mesma ordem que A: A . A-

= A- 1. A = In

Observação

O produto de uma matriz por sua inversa é sempre comutativo.

Exemplos: Utilizando a definição, determinar a inversa da matriz A:  1 −1 a) A =   2 3  Pela definição, a matriz inversa deve ter a mesma ordem da matriz A, nesse caso, ordem 2. Para determinar a inversa, precisamos fazer o produto e igualar à matriz identidade. Assim, devemos escolher variáveis para montar uma matriz genérica e efetuar o produto. O objetivo é resolver a igualdade de matrizes resultante e encontrar o valor das variáveis, determinando a inversa. Escolhendo a expressão para a inversa, temos:  a b A− 1 =   c d Pela definição, temos:

Unidade I A . A-

= In

 1 −1  a b  1 0 . =  2 3   c d  0 1 Efetuando a multiplicação das matrizes, temos: b−d   1 0  a−c =  0 1  2 a + 3 c 2 b + 3 d Igualando as matrizes, temos o sistema: a − c = 1 2 a + 3 c = 0   b-d = 0 2 b + 3 d = 1 Resolvendo o sistema, temos:  3 a = 5  b = 1  5  c = − 2  5  1 d =  5  3  Logo, a inversa de A é a matriz A − 1 =  5 −2  5

1 5 . 1  5

Lembrete Você pode fazer a verificação da solução efetuando o produto A. A-1 e igualando a I2 .

Geometria Analítica e Álgebra Linear  1 −2 b) A =   −1 2  Pela definição a matriz inversa, deve ter a mesma ordem da matriz A, nesse caso, ordem 2. Escolhendo a expressão para a inversa, temos:  a b A− 1 =   c d Pela definição, temos: A . A-

= In

 1 0  a b  1 −2 = .  0 1  c d  −1 2  Efetuando a multiplicação das matrizes, temos:  1 0  a−2 c b − 2 d  − a + 2 c − b + 2 d =  0 1 Igualando as matrizes, temos o sistema: a − 2 c = 1 − a + 2 c = 0   b- 2 d = 0  − b + 2 d = 1 Da 2ª equação, temos a = 2c, substituindo na 1ª equação, vem: 2 c - 2 c = 1, isto é, 0 = 1 (F). Logo, o sistema não tem solução e assim a matriz A não admite inversa. Nem sempre é prático determinar a matriz inversa, principalmente se a matriz é de ordem 3 ou mais. Para esses casos, você pode utilizar outro procedimento; no lugar da definição, o processo prático que utiliza operações elementares com as linhas da matriz.

Unidade I 2.6 Processo prático para determinar a matriz inversa

Esse processo consiste em montar a matriz ampliada, formada pelos elementos da matriz A à esquerda e pelos elementos da matriz identidade de mesma ordem que A. O objetivo do processo, utilizando operações elementares com as linhas da matriz é transportar a matriz identidade da parte direita para a parte esquerda. Como as operações são feitas com a linha toda da matriz ampliada ao final do processo, na parte direita aparecerá a matriz inversa. Você deve estar curioso para saber quais as operações elementares que serão utilizadas nas linhas da matriz. Vejamos, então, as três operações elementares: • permutação de linhas; • multiplicação de uma linha por um número real não nulo; • substituição de uma linha por uma combinação linear dela com qualquer outra linha da matriz. Essas operações transformam a matriz em uma matriz equivalente. Vejamos como utilizar essas operações para determinar a inversa da matriz A. Exemplos: 1) Determinar a inversa da matriz A, utilizando o método prático:  2 1 1 A =  1 0 1    2 2 1 Resolução: Para utilizar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada: 2 1 2 1 0 1   2 2 1

1 0 0 0 1 0  0 0 1

Lembrando que para determinar a inversa, vamos transferir a matriz identidade da direita para a esquerda da matriz ampliada, utilizando as operações elementares com as linhas da matriz. 42

Geometria Analítica e Álgebra Linear Ao final do procedimento, a matriz que encontrarmos na parte direta da matriz ampliada será a inversa de A. Para zerar o elemento a21 da matriz, vamos substituir a linha 2 (L2) pela expressão - 2 L2 + L1. Note na matriz a seguir que marcamos com um círculo o elemento a ser zerado, isso deve facilitar o entendimento do proceso. Faremos a mesma indicação também para os outros elementos: 2 1 1 1 0 1   2 2 1

1 0 0 0 1 0  0 0 1

2 1 1  0 1 −1   2 2 1

Rascunho 

1 0 0 1 −2 0  0 0 1

-2 L2 -2 0 - 2 0 -2 0 L1 2 1 1 1 0 0 -2 L2 + L1 0 1 -1 1 -2 0 

L2 = -2 L2 + L1 Para zerar o elemento a31 da matriz, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 - L1: 2 1 1  0 1 −1   0 1 0

1 0 0 1 −2 0  −1 0 1

L3 = L3 + L1

Rascunho 

L3 - L1 L3 - L1

2 2 1 0 0 1 - 2 -1 -1 -1 0 0 0 1 0 -1 0 1

Agora queremos zerar o elemento a 32. Para isso, vamos substituir a linha 3 (L 3) pela expressão L3 - L2:

Observação Nesse caso, não podemos escrever a expressão utilizando a 1ª linha, pois teríamos o elemento a31 novamente diferente de zero.

Unidade I

2 0   0

1 1 0

1 −1 1

1 0 0 1 −2 0  −2 2 1

Rascunho 

L3 = L3 - L2

L3 L2

0 1 0 -1 0 1 0 -1 1 -1 2 0

L3 + L2

0 1 -2 2 1

Já temos metade da matriz zerada, falta zerar a parte superior. Não vamos nos preocupar com elementos da diagonal principal ainda, só ao final do processo vamos deixar todos iguais a 1. Agora vamos zerar o elemento a23. Vamos substituir a linha 2 (L2) pela expressão L3 + L2: 2 0   0

1 1 1 0 0 1

1 0 -1 0 −2 2

0 1   1 

Rascunho L3 L2 L3 + L2

L3 = L3 + L2

0 0

0 1 -2 2 1 1 -1 1 -2 0 0 1

0 -1 0 1

Devemos agora zerar o elemento a13. Para isso, vamos substituir a linha 1 (L1) pela expressão L1 - L3: Rascunho 2 1 0 3 −2 −1 0 1 0 -1 0 1     0 0 1 −2 2 1  L1 = L1 + L3



L1 L3

2 0

1 1 1 -1

L1 - L3 2 1

1 0 0 2 -2 -1 3 -2 -1

Agora falta somente zerar o elemento a12. Para isso, vamos substituir a linha 1 (L1) pela expressão L1 - L2 : Rascunho 2 0   0 L1 44

0 0 4 −2 −2 1 0 -1 0 1   0 1 −2 2 1  = L1 - L2



L1 L2

2 1 0 0 -1 0

L1 - L3 2 0

3 -2 -1 1 0 -1 4 -2 -2

Geometria Analítica e Álgebra Linear Já conseguimos transformar a parte esquerda da matriz ampliada numa matriz diagonal, falta ainda deixar todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Falta somente deixar o elemento a11 igual a 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 2: 1 0   0

2 −1 −1 -1 0 1   −2 2 1 

0 0 1 0 0 1

Logo, a inversa da matriz A é: A- 1

 2 −1 −1 =  -1 0 1     −2 2 1 

Lembrete Para fazer o escalonamento, devemos seguir a ordem em que os elementos da matriz foram zerados nesse exemplo. Isso agiliza o processo. 2) Determinar a inversa da matriz A, utilizando o método prático:  1 0 1 A =  2 1 2    1 1 1 Resolução: Para utilizar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada. Para isso, monte uma matriz dividida por uma barra; do lado esquerdo coloque a matriz A e do lado direito a matriz identidade de mesma ordem de A. Nesse caso, temos a matriz ampliada: 1 0 1 2 1 2   1 1 1

1 0 0 0 1 0  0 0 1

Lembrando que para determinar a inversa, vamos transferir a matriz identidade da direita para a esquerda da matriz ampliada, utilizando as operações elementares com as linhas 45

Unidade I da matriz. Ao final do procedimento, a matriz que encontrarmos na parte direta da matriz ampliada será a inversa de A. Para que você não se confunda durante o proceso, vamos escrever no rascunho as contas que estamos fazendo. Depois que você estiver mais familiarizado com o proceso, pode eliminar os rascunhos. Iniciamos zerando os elementos a21 e a31. Para zerar o elemento a21 da matriz, vamos substituir a linha 2 (L2) por expressão conveniente, de modo que a soma das linhas transforme a21 em zero. Assim, vamos utilizar a expressão L2 - 2 L1. Os resultados vamos colocar no lugar dos elementos da linha 2 e vamos manter as outras linhas da matriz. 1 0 1 2 1 2   1 1 1 1 0   1 L2

1 0 0 0 1 0  0 0 1

0 1 1 0 1 1

1 −2 0

0 1 0

Rascunho 

0 0  1 

L2 2 1 2 0 1 0 - 2L1 -2 0 -2 -2 0 0 L2 - 2 L1 0 1 0 -2 1 0 

= L2 - 2L1

Para zerar o elemento a31 da matriz, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 - L1: 1 0   0

0 1 1 0 1 0

1 0 -2 1 −1 0

0 0  1

L3 = L3 - L1

Rascunho 

L3 L1

1 1 1 0 0 1 -1 0 -1 -1 0 0

L3 - L1 0 1 0

-1 0 1

Agora queremos zerar o elemento a32. Para isso, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 - L2: Observação Nesse caso, não podemos escrever a expressão utilizando a 1ª linha, pois teríamos o elemento a31 novamente diferente de zero. 46

Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 0   0 L3

0 1 1 0 0 0 = L3 - L2

1 0 -2 1 1 −1

0 0  1 

Rascunho 

L3 - L2

0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 2 -1 0

L3 - L1

0 0 0

1 -1 1

Note que a última linha da metade esquerda da matriz ampliada tem os três números iguais a zero. Logo, é impossível transformar essa parte na matriz identidade. Portanto, a matriz não admite inversa. 2.7 Ampliando seu leque de exemplos

i − j se i > j  se i = j 1) Determine os elementos a21 e a34 da matriz definida por 2 2 i se i < j  Resolução:

Para determinar os elementos da matriz, como ela é dada por várias sentenças, você vai observar os índices dos elementos e determinar qual das condições deverá ser obedecida. Assim, temos: • elemento a21: i = 2 e j = 1, isto é, i > j, deve obedecer a condição ai j = i – j • elemento a34: i = 3 e j = 4, isto é, i < j, deve obedecer a condição ai j = 2 i Logo, a21 = 2 – 1 = 1 e a34 = 2 .3 = 6, isto é, a21 = 1 e a34 = 6 1 2   −1 2 2) Dadas as matrizes A =  1 −1 e B =  0 0 , então o valor de X = - 3A + 3B     0 2   2 1 Resolução: Substituindo os valores de A e B na expressão, temos:

Unidade I X=− 3 A + 3 B 1 2 X = − 3  1 -1   0 2

 -1 2 + 3  0 0    2 1

Efetuando o produto dos números pelas matrizes, temos:  -3 -6 X =  -3 3     0 -6

 -3 6  0 0    6 3

Assim:  -6 0  X =  -3 3     6 -3  −1 2  −1 1 −2 determinar o valor de X = A - BT: 3) Dadas as matrizes A =  −2 1 e B =      1 −1 0  0 4 Resolução: Para resolver esse exemplo, você deve inicialmente determinar a transposta da matriz B, assim,  −1 1 T  B = 1 −1 .    −2 0 Substituindo as matrizes na expressão, temos:

X = A - BT  -1 2  -1 1  X =  -2 1 -  1 -1      0 4  -2 0   0 1 X =  -3 2    -2 4

Geometria Analítica e Álgebra Linear 4) Determinar o valor de x que torna iguais as matrizes A e B, sendo:  −1 −3  2x + 1 −1  2 x  B = + A= e  5 3  x   3 5  2 Resolução: Inicialmente, vamos determinar os valores da matriz A:  2x + 1 −1  2 x   2x + 1 + 2 −1 + x  2x + 3 −1 + x  = = + A= x + 5  x   3 5  2 + 3 x + 5   5  2 Daí, temos:  2x + 3 −1 + x   −1 −3 =  5 x + 5   5 3  Igualando as matrizes, vem: 2x + 3 = −1 ⇒ 2 . (-2) + 3 = −1 ⇒ −1 = −1 (V)  −1 + x = −3 ⇒ −1 − 2 = −3 ⇒ −3 = −3 (V)   5 = 5 x + 5 = 3 ⇒ x = − 2 Resolvendo o sistema, encontramos x = - 2.  −1 1 4   3 2 = e B 5) Dadas as matrizes A =   0 1 −2 , determinar o valor de:  1 2 a) A . B b) B . A Resolução:  −1 1 4   3 2 a) A . B =  .  0 1 −2  1 2  3.( −1) + 2.0 3.1 + 2.1 3.4 + 2.( −2) A . B =   1.( −1) + 2.0 1.1 + 2.1 1.4 + 2.( −2)  −3 5 8 A . B =   −1 3 0

Unidade I

b) A . B =

 -1 1 4  0 1 -2 

2X3

 3 2 .   1 2

2x2

≠ Não é possível efetuar o produto, pois o número de colunas da matriz B é diferente do número de linhas da matriz A.  1 0 1 6) Sendo A = (3 −1 0) e I3 =  0 1 0 determinar o resultado de A . l3.    0 0 1 Resolução: Substituindo as matrizes dadas na expressão:  1 0 1 A . I3 = ( 3 -1 0) .  0 1 0    0 0 1 A . I3 =

( 3. 1

A . I3 = ( 3

+ (-1) . 0 + 0 . 0 -1

3. 0 + (-1) . 1 + 0 . 0

3. 0 + (-1) . 0 + 0 . 1)

Observação A matriz resultante é do tipo 1 x 3, isto é, 1 linha e 3 colunas.  5 1 , utilizando a definição. 7) Determinar a inversa da matriz A =   0 1 Resolução: Sabemos que a inversa de uma matriz A do tipo 2 x 2 é uma matriz do mesmo tipo, isto é, também será 2 x 2.  a b Tomemos então A −1 =  como a inversa de A. Devemos determinar os valores de a, b, c, d.  c d Pela definição de matriz inversa, temos: A . A- 1 = I 2 50

Geometria Analítica e Álgebra Linear Agora, substituindo os valores de A e de A-1 na expressão:

 a b  5 1 .  c d  0 1 = I 2 Efetuando o produto das matrizes e lembrando que a matriz identidade 2 x 2 é igual a  1 0 , temos: =  0 1  5a a + b  1 0  5c c + d =  0 1 Igualando as matrizes: 5a = 1 a + b = 0   5c = 0 c + d = 1 Resolvendo o sistema, encontramos: a = 1/5, b = -1/5; c = 0 e d = 1 1 / 5 −1 / 5 é a inversa da matriz A. Logo, A −1 =  1   0 8) Determinar o valor de x que torna verdadeira a equação matricial:  x − 1 2  3 4  4 6  2x 3 +  −6 1 =  −2 4 Resolução:

Para determinar o valor de x, você deve primeiro somar as matrizes e depois deve substituir na expressão e resolver a igualdade:  x − 1 2  3 4  4 6  2x 3 +  −6 1 =  −2 4  x − 1 + 3 2 + 4  4 6  2x − 6 3 + 1 =  −2 4  x + 2 6  4 6  2x − 6 4 =  −2 4 51

Unidade I Lembrando que matrizes são iguais quando cada elemento de uma é igual ao elemento correspondente da outra, temos: x + 2 = 4 6 = 6 (V)   2x − 6 = −2 3 + 1 = 4 (V) Resolvendo o sistema, encontramos x = 2. 9) Determinar a inversa da matriz A, utilizando o método prático:  1 2 0 A =  −1 1 2    1 1 1 Resolução: Para utilizar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada: 1 2 0  −1 1 2   1 1 1

1 0 0 0 1 0  0 0 1

Lembrando que, para determinar a inversa, vamos transferir a matriz identidade da direita para a esquerda da matriz ampliada, utilizando as operações elementares com as linhas da matriz. Ao final do procedimento, a matriz que encontrarmos na parte direta da matriz ampliada será a inversa de A. Para zerar o elemento a21 da matriz, vamos substituir a linha 2 (L2) pela expressão L2 + L1: 1 2 0  −1 1 2   1 1 1 1 2 0 0 3 2   1 1 1 L2 = L2 - 2L1 52

1 0 0 0 1 0  0 0 1 1 0 0 1 1 0  0 0 1

Rascunho 



L2 -1 1 2 0 1 0 L1 1 2 0 1 0 0 L2 - L1 0 3 2 1 1 0

Geometria Analítica e Álgebra Linear Para zerar o elemento a31 da matriz, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 - L1: Rascunho 1 2 0 1 0 0 L3 -1 1 1 0 0 1 0 3 2 1 1 0  -L1 -1 -2 0 -1 0 0    0 −1 1  −1 0 1 0 -1 1 -1 0 1 L -L 3

L3 = L3 - L1 Agora queremos zerar o elemento a32. Para isso, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão 3 L3 + L2:

Observação Nesse caso, não podemos escrever a expressão utilizando a 1ª linha, pois teríamos o elemento a31 novamente diferente de zero. Rascunho 1 0   0

2 0 3 2 0 5

1 0 0 1 1 0  −2 1 3

3L3 L2 3L3 + L1



0 -3 3 -3 0 3 0 3 2 1 1 0 0 0 5 -2 1 3

L3 = 3L3 + L2 Já temos metade da matriz zerada, falta zerar a parte superior. Não vamos nos preocupar com elementos da diagonal principal ainda, só ao final do processo vamos deixar todos iguais a 1. Agora vamos zerar o elemento a23. Vamos substituir a linha 2 (L2) pela expressão -2 L3 + 5 L2. Note que o objetivo de se multiplicar a linha 3 por (-2) e a linha 2 por 5 é obter um múltiplo comum de 2 e 5 para efetuar o cancelamento. Rascunho 1 0   0

2 0 15 0 0 5

1 0 0 9 3 −6  −2 1 3



-2L3 5L2 3L2 + 5L2

0 0 -10 4 -2 -6 0 15 10 5 5 0 0 15 0 9 3 -6

L3 = 2L3 + 5L2 53

Unidade I Como o elemento a13 já é igual a zero, falta somente zerar o elemento a12. Para isso, vamos substituir a linha 1 (L1) pela expressão -2 L2 + 15 L1: 15 0   0

−3 −6 12  3 −6 9  3 −2 1

0 0 15 0 0 5

Rascunho 

L3 = 2L3 + 5L2

-2L2 0 -30 0 -18 -6 12 15L1 15 30 0 15 0 0 -2L2 + 15L1 15 0 0 -3 -6 12

Já conseguimos transformar a parte esquerda da matriz ampliada numa matriz diagonal, falta ainda deixar todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Vamos dividir cada linha por um número conveniente: vamos dividir a linha 1 por 15, a linha 2 por 15 e a linha 3 por 5. Assim, temos: 1   0   0 

0 0 1

0 1

3 15 9 15 2 − 5

−

6 15 3 15 1 5

−

12  15  6  − 15  3   5 

Logo, a inversa da matriz A é:

A- 1 =

 3 −  15  9   15  2 −  5

6 15 3 15 1 5

−

12  15  6  − ou simplificando A - 1 = 15  3   5 

Caso você prefira, pode colocar (1/5) em evidência e daí: A -1

 −1 −2 4  1  = 3 1 −2  5   −2 1 3 

 1 −  5  3   5  2 −  5

2 5 1 5 1 5

−

4  5  2  − 5 3  5 

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Lembrete Para conferir sua resposta, multiplique A por A – 1. O resultado deve ser a matriz identidade, isto é, A . A – 1 = I 3 . 3 SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES 3.1 Sistemas lineares

3.1.1 Equações lineares Para estudarmos sistemas lineares, precisamos inicialmente saber que um sistema linear é formado por várias equações lineares. A equação linear a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b é chamada de linear. Os números a1, a2, . . . , an são chamados de coeficientes, x1, x2, . . . , xn são as variáveis e b é chamado de termo independente. Lembrete Para saber se uma sequência (ordenada) de valores x1, x2, . . . , xn é solução de uma equação linear, você deve substituir os valores na equação e o resultado deve ser igual a b. Exemplo: Dada a equação linear 2 x + 3 y – z = 4, verificar se são soluções da equação: a) (x, y, z) = (0, 1, 2) Devemos substituir os valores de x, y e z na equação e verificar se o resultado obtido é verdadeiro. Substituindo os valores, temos: 2 . 0 + 3 . 1 - 2 = 4 ⇒ 0 + 3 – 2 = 4 ⇒ 1 = 4 (F), logo, não é solução da equação. b) (x, y, z) = (0, 2, 2) Devemos substituir os valores de x, y e z na equação e verificar se o resultado obtido é verdadeiro. Substituindo os valores, temos: 2 . 0 + 3 . 2 - 2 = 4 ⇒ 0 + 6 – 2 = 4 ⇒ 4 = 4 (V), logo, é solução da equação. 55

Unidade I 3.1.2 Sistemas lineares Vamos agora estudar sistemas lineares, isto é, conjuntos de equações lineares. Sendo S um sistema linear com m equações e n variáveis, podemos representar S por: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a x + a x + . . . + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 S    am1 x1 + am2 x2 + . . . + am n xn = bn No sistema S, temos: a i j , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n – coeficientes xj – variáveis, com 1≤ j ≤ n bi – termos independentes, com 1≤ j ≤ nm Se b1 = b2 = . . . = bm = 0, chamamos o sistema S de sistema homogêneo.

Observação Uma n-upla, isto é, uma sequência ordenada de n valores, será uma solução do sistema S se for solução de todas as equações lineares que formam esse sistema. Você deve estar se perguntando: “como aparecem esses sistemas?” “De onde vêm essas equações?” “Será que eu posso montar um sistema?” Vejamos uma situação que gera um sistema. “Aninha e Joaninha foram fazer compras. Aninha gastou R$ 250,00 e Joaninha gastou R$ 270,00 comprando blusas e calças. Aninha comprou 3 blusas e 2 calças e Joaninha comprou 1 blusa e 3 calças. Chegando em casa, sua mãe perguntou quanto tinham pago por cada blusa e por cada calça, mas elas não lembravam. Sabiam apenas que todas as blusas que escolheram tinham o mesmo preço e todas as calças tinham o mesmo preço. Como elas podem descobrir o valor pago por cada blusa e por cada calça?” Para encontrarmos esses valores, devemos resolver o problema da Aninha e da Joaninha por meio de um sistema de equações com duas variáveis. 56

Geometria Analítica e Álgebra Linear Se colocarmos a variável x para o preço de cada blusa e a variável y para o preço de cada calça teremos duas equações: uma para as compras da Aninha e uma para as compras da Joaninha. Teremos então as equações: Aninha: 3 blusas + 2 calças, gastando R$ 250,00: 3 x + 2 y = 250 Joaninha: 1 blusa + 3 calças, gastando R$ 270,00: x + 3 y = 270 Logo, o sistema que representa a situação relatada é dado por: 3 x + 2 y = 250 S  x + 3 y = 270 Veremos mais adiante como resolver esse sistema e determinar os valores pagos. Exemplo: Verificar se as ternas são solução do sistema S: 3 x1 + x2 - x 3 = 6  S  −1 x1 + 2 x2 + x 3 = 2  2 x − x + x = −1 2 3  1 a) (x1, x2, x3) = (1, 0, - 3) Para saber se a terna dada é solução do sistema, devemos substituir os valores em cada uma das equações e daí, se encontrarmos todos os resultados verdadeiros, a terna será solução. Caso uma das equações não dê resultado verdadeiro, então a sequência não será solução do sistema. Substituindo os valores: • na 1ª equação, temos: 3 . 1 + 0 – (- 3) = 6 ⇒ 3 + 0 + 3 = 6 ⇒ 6 = 6 (V) • na 2ª equação, temos: - 1 + 2. 0 + (- 3) = 2 ⇒ -1 + 0 - 3 = 2 ⇒ - 4 = 2 (F) 57

Unidade I Você notou que os valores dados são solução da 1ª equação, porém não é solução da 2ª, logo, a sequência (1, 0, - 3) não é solução do sistema S. Observação Como não é solução da 2ª equação, você não precisa substituir na 3ª equação para concluir que não é solução do sistema. b) (x1, x2, x3) = (1, 2, - 1) Novamente para saber se a sequência é solução do sistema, você deverá substituir os valores nas três equações e verificar se os resultados são verdadeiros. Substituindo os valores: • na 1ª equação, temos: 3 . 1 + 2 – (- 1) = 6 ⇒ 3 + 2 + 1 = 6 ⇒ 6 = 6 (V) • na 2ª equação, temos: - 1 + 2. 2 + (- 1) = 2 ⇒ -1 + 4 - 2 = 2 ⇒ 4 – 2 = 2 ⇒ 2 = 2 (V) • na 3ª equação, temos: 2 . 1 - 2 + (-1) = - 1 ⇒ 2 - 2 - 1 = - 1 ⇒ 0 – 1 = - 1 ⇒ - 1 = - 1(V) Como os valores dados são solução das três equações, a sequência (1, 2, -1) é solução do sistema S. Será que todo sistema tem solução? Como determinar a solução de um sistema linear? Para responder a essas questões, vamos inicialmente ver como classificar um sistema. A classificação é feita pelo fato de o sistema ter ou não solução e tendo solução pelo número de soluções. Assim, temos: • SI – Sistema Impossível ou Incompatível (não tem solução). • SPD – Sistema Possível e Determinado (tem somente 1 solução). • SPI – Sistema Possível e Indeterminado (tem infinitas soluções). 58

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Lembrete Todo sistema homogêneo é possível, pois tem como solução (0, 0, ...,0), isto é, tem solução trivial. Falta verificar se existem outras soluções para saber se é SPD ou SPI. Para resolver um sistema, você pode utilizar várias técnicas, entre elas: adição, Cramer, substituição, escalonamento, Gauss. Nesse texto, vamos utilizar alguns desses processos. A seguir, temos alguns exemplos em que serão utilizados alguns desses métodos. 3.1.3 Resolução por adição Exemplos: Resolva e classifique os sistemas lineares: x-y = 1 a) S  2x − y = 3 Para resolver por adição, devemos decidir qual das variáveis vamos eliminar e daí multiplicar a equação pelo número conveniente para que isso aconteça. Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Devemos multiplicar a 1ª equação por (-2) para cancelar com 2x. Assim: (multiplicando por (-2)) x-y = 1  2x − y = 3 -2 x + 2 y = - 2   2x−y=3

Somando as equações

y = 1 Agora vamos eliminar a variável y, para isso devemos multiplicar uma das equações por (-1): x-y = 1 (multiplicando por (-1))  2x − y = 3  -x+ y=-1   2x−y=3

Somando as equações

x = 2 59

Unidade I Logo, o sistema é possível determinado, SPD e tem solução x = 2 e y = 1. 3 x- 6 y = 2 b) S  −x − 2 y = 1 Para resolver por adição, devemos decidir qual das variáveis vamos eliminar e daí multiplicar a equação pelo número conveniente para que isso aconteça. Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Podemos multiplicar a 2ª equação por 3 para cancelar com 3x. Assim: 3 x- 6 y = 2  −x − 2 y = 1

(multiplicando por 3)

 3x− 6y= 2   −3 x − 6 y = 3

Somando as equações

0 = 5 (F) Logo, o sistema é impossível, SI e não tem solução. 3 x- 6 y = 3 c) S   − x − 2 y = −1 Agora vamos eliminar a variável x e determinar o valor de y. Podemos multiplicar a 2ª equação por 3 para cancelar com 3x. Assim: 3 x- 6 y = 3   − x − 2 y = −1

(multiplicando por 3)

 3x− 6y= 3   −3 x − 6 y = −3

Somando as equações

0 = 0 (V) Note que ao tentar eliminar a variável x, eliminamos y também. Isso significa que as equações são equivalentes e que temos um sistema possível e indeterminado. Para encontrar a solução do sistema, devemos utilizar somente uma das equações, isolando a variável x ou y. Assim, escolhendo a 2ª equação e isolando x, temos: − x − 2 y = −1 ⇒ - x = - 1 + 2 y ⇒ x = 1 - 2 y 60

Geometria Analítica e Álgebra Linear Como o sistema é SPI, tem infinitas soluções que serão dadas por: {(x, y) ∈ IR2

x = 1 - 2 y } ou {(1 - 2 y , y) | y ∈ IR }

Observação A solução de um sistema SPI será dada sempre em função de alguma das variáveis. Para cada valor da variável, teremos uma nova solução. Vamos agora retomar o problema da Aninha e da Joaninha. “Aninha e Joaninha foram fazer compras. Aninha gastou R$ 250,00 e Joaninha gastou R$ 270,00 comprando blusas e calças. Aninha comprou 3 blusas e 2 calças, e Joaninha comprou 1 blusa e 3 calças. Chegando em casa, sua mãe perguntou quanto tinham pago por cada blusa e por cada calça, mas elas não lembravam. Sabiam apenas que todas as blusas que escolheram tinham o mesmo preço e todas as calças tinham o mesmo preço. Como elas podem descobrir o valor pago por cada blusa e por cada calça?” Já sabemos que o sistema de equações que resolve o problema é dado por: 3 x + 2 y = 250 S  x + 3 y = 270 Resolução: Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Devemos multiplicar a 2ª equação por (- 3) para cancelar com 3x. Assim: 3 x + 2 y = 250   x + 3 y = 270

(multiplicando por (- 3) )

3 x + 2 y = 250   −3 x − 9 y = − 810

Somando as equações

-7 y = - 560 Teremos então que y = 80. Agora vamos eliminar a variável y. Para isso, devemos multiplicar a 1ª equação por 3 e a 2ª por (-2): 61

Unidade I 3 x + 2 y = 250   x + 3 y = 270

(multiplicando por (3) ) (multiplicando por (- 2) )

 9 x + 6 y = 750   − 2 x − 6 y = −540

Somando as equações

7x = 210 Teremos então que x = 30. Logo, o sistema é SPD, e sua solução é x = 30 e y = 80, isto é, as meninas pagaram R$ 30,00 em cada blusa e R$ 80,00 em cada calça. 3.1.4 Resolução por escalonamento Nesse processo, utilizaremos operações elementares com as equações para transformar o sistema original em outro equivalente, mais simples, escalonado. Você deve estar se perguntando o que são essas tais operações elementares e o que é um sistema escalonado. Vejamos então o que são as operações elementares. São três operações que podem ser feitas com as equações: • permutação de equações; • multiplicação de uma equação por um número real não nulo; • substituição de uma equação por uma combinação linear dela com qualquer uma das outras equações do sistema. Essas operações transformam o sistema em um outro equivalente, e sistemas equivalentes têm mesma solução. Agora você já sabe quais são as operações elementares, falta o sistema escalonado. Considere um sistema S com m equações e n variáveis: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a x + a x + . . . + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 S   am1 x1 + am2 x2 + . . . + am n xn = bn 62

Geometria Analítica e Álgebra Linear O sistema S estará escalonado quando estiver na forma: a11 x1 + a12 x2 +  a22 x2 +  S a33   

. . .

+ a1n xn = b1

. . .

+ a2n xn = b2

x 3 + . . . + a2n xn = b2

am n xn = bn

Lembrete No sistema escalonado, cada equação tem menos variáveis que a linha anterior. Podemos utilizar a notação de matriz para resolver o sistema por escalonamento. A matriz ampliada correspondente a S é:  a11 a12 a1n b1  a a a b  2n1 2  A =  21 22   a a a b   m1 2 mn n1  A matriz escalonada é:  a11 a12 a1n b1   0 a a b  2n 2  22 A=    0 0 a b   mn n 

Observação A utilização do escalonamento permite que você resolva qualquer sistema, não importando quantas equações e quantas variáveis têm. Veja a seguir alguns exemplos para que você entenda o processo de resolução de sistemas por escalonamento.

Unidade I Exemplos: Resolver os sistemas, utilizando escalonamento:  x- 2 y + z = −1  a) S  − x − y + 2 z = −2 2 x + y − z = 1  Para resolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das equações 2 e 3, utilizando as operações elementares. Em nossos exemplos, vamos deixar indicadas todas as contas necessárias (rascunho) para que você entenda o processo. Caso você ache conveniente, pode omitir essas contas. Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a equação 1. Você deve fazer a conta e substituir o resultado obtido no lugar da 2ª equação:  x- 2 y + z = -1   − x − y + 2 z = −2 2 x − y − z = 1  E2 = E2 + E1

Rascunho E2 - x – y + 2z = - 2 E1 x – 2 y + z = -1 E2 + E1 0 – 3 y + 3 z = - 3

 x- 2 y + z = -1   − 3 y + 3 z = −3 2 x − y − z = 1  Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3 = E3 – 2 E1:  x- 2 y + z = -1   − 3 y + 3 z = −3  5 y −3 z=3  E3 = E2 + 2E1

Rascunho Ea -2E1 E2 + E1

2x+y-z=1 - 2 x + 4 y - 2z = 2 0+5y-3z=3

Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Para isso, vamos fazer a conta E3 = 3E3 + 5 E2: 64

Geometria Analítica e Álgebra Linear

 x- 2 y + z = -1   − 3y + 3z=− 3  6 z=− 6  E3 = 3E3 + 5E2

Rascunho 3E3 15 y - 9 z = 9 5E2 - 15 y + 15z = -15 6z=-6 3E3 + 5E2

O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir na 2ª e determinar o valor de y e finalmente substituir y e z na 1ª equação e determinar o valor de x. Assim, temos: • na 3ª equação: z = -1 • na 2ª equação: - 3 y + 3 (-1) = - 3 ⇒ - 3 y = - 3 + 3 ⇒ y = 0 • na 1ª equação: x - 2 . 0 + (-1) = - 1 ⇒ x = -1 + 1 ⇒ x = 0 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (0, 0, -1). Lembrete A notação E2 = E2 + E1 indica que a linha 2 será substituída pelo resultado obtido em E2 + E1. As contas feitas no rascunho podem ser omitidas na resolução do exercício, mas é necessário indicar a expressão que será usada.  x- y + 2 z = 1  b ) S  x + 3y + z = 2 2 x + 2y + 3z = 1  Para resolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das equações 2 e 3, utilizando as operações elementares. Nesse exemplo, vamos utilizar a notação de matriz. Você pode resolver os sistemas utilizando a notação que achar mais conveniente. A matriz ampliada correspondente ao sistema é:  1 −1 2 1  A = 1 3 1 2     2 2 3 1  65

Unidade I Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a 1ª equação multiplicada por (- 1). Você deve fazer a conta e substituir o resultado obtido no lugar da 2ª equação:  1 −1 2 1  1 3 1 2      2 2 3 1   1 −1 2 1    0 4 −1 1      2 2 3 1  E2 = E2 - E1

Rascunho E2 1 3 1 2 -E1 -1 1 -2 -1 E2 + E1 0 4 -1 1

Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3 = E3 – 2 E1:  1 −1 2 1    0 4 −1 1      0 4 −1 −1 E3 = E3 - 2E1

Rascunho E3 -2E1 E2 + E1

2 2 3 1 -2 2 -4 -2 0 4 -1 -1

Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação, fazendo a conta E3 = E3 - E2:

Rascunho  1 −1 2 1    0 4 −1 1     0 0 0 -2  E3 = E3 - E2

E3 0 2 -1 -1 -E2 0 -4 1 -1 E2 + E1 0 0 0 -2

A matriz está escalonada. Devemos agora voltar para a notação de sistema. Reescrevendo o sistema, temos:  x - y + 2 z =1  S  4 y − z =1  0 = − 2 (F) 

Note que a 3ª equação é falsa. Logo, o sistema não tem solução, isto é, o sistema é impossível. 66

Geometria Analítica e Álgebra Linear c) Consideremos novamente a confecção da dona Cotinha, cada tipo de moletom fabricado deve passar por três setores: corte, costura e acabamento. Em uma semana, o setor de corte trabalhou 13600 segundos, o setor de costura trabalhou 156000 segundos e o de acabamento 127000 segundos. Sabendo que: • cada dezena do modelo A precisa de: — 60 segundos no corte — 700 segundos na costura — 500 segundos no acabamento • cada dezena do modelo B precisa de: — 70 segundos no corte — 900 segundos na costura — 800 segundos no acabamento • cada dezena do modelo C precisa de: — 50 segundos no corte — 400 segundos na costura — 300 segundos no acabamento Quantas dezenas de cada modelo foram fabricadas nessa semana? Resolução: Sejam x, y, z as quantidades, em dezenas, produzidas dos modelos A, B, e C respectivamente, os dados do enunciado podem ser colocados em uma tabela para facilitar a montagem do sistema correspondente. Assim: Modelos Setor (segundos)

Corte

Total 13600

Costura

700

900

400

15600

Acabamentos

500

800

300

127000

Tabela 7

O sistema que representa a produção nessa semana, sendo x, y e z as quantidades de dezenas dos modelos A, B e C, respectivamente, é dado por: 67

Unidade I  60x + 70y + 50z = 13600  S 700x + 900y + 400z = 15600 500x + 800y + 300z = 127000  Vamos resolver o sistema por escalonamento. Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por: equação 2 multiplicada por 6, somada com equação 1, multiplicada por (-7), isto é, E2 = 6 E2 - 7 E1:  6x + 7 y + 5 z = 1360  7x + 9 y + 4 z = 156  5 x + 4 y + 3 z = 1270 E2 = E2 + E1

Rascunho -7E2 6 E1

42x + 49y + 35z = 9520 42x + 54y + 24z = 936 103y + 59z = 10456

 6x + 7 y + 5 z = 1360   103 y + 59 z = 10456 5 x + 4 y + 3z = 1270  Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação vamos fazer a conta E3 = 6E3 – 5E1:  6x + 7 y + 5 z = 1360   103 y + 59 z = 10456  4 y + 3 z = 1470  E3 = E3 - 2E1

Rascunho 6E3 30x + 24y + 18z = 7620 -5E1 -30x - 20y - 15z = -6150 E3 - 2E1 0 + 4 y + 3 z = 1470

Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Vamos fazer a conta E3 = 103E3 - 4 E2:  6x + 7 y + 5z = 1360   103 y + 59 z = 10456  73 z = 109586  E3 = 100 E3 - 4E2

Rascunho 103E3 412y + 309z = 151410 -4E2 - 412y - 236z = - 41824 73 z = 109586 103E3 - 4E2

O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir na 2ª e determinar o valor de y, finalmente, substituir y e z na 1ª equação e determinar o valor de x. Assim, temos: 68

Geometria Analítica e Álgebra Linear • na 3ª equação: z = -1 • na 2ª equação: - 3 y + 3 (-1) = - 3 ⇒ - 3 y = - 3 + 3 ⇒ y = 0 • na 1ª equação: x - 2 . 0 + (-1) = - 1 ⇒ x = -1 + 1 ⇒ x = 0 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (0, 0, -1). 3.1.5 Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss O processo utilizado no método de eliminação de Gauss é semelhante ao método de escalonamento, que também consiste em transformar o sistema original em um sistema equivalente escalonado mais fácil de ser resolvido. Diferentemente do escalonamento, agora a expressão que será usada para eliminação das variáveis utilizará um pivô e uma linha pivô para cada passo: para cada variável a ser eliminada, teremos um novo pivô. O pivô será o elemento, não nulo, da diagonal principal da linha pivô, e a linha pivô será a equação utilizada para a eliminação da variável das outras equações. Para esse processo, vamos utilizar a matriz ampliada correspondente ao sistema. A eliminação será feita por colunas. Para cada passo, fixaremos o elemento pivô e a linha pivô. Nesse método, somente a linha pivô será multiplicada pelo número conveniente para eliminar a variável, esse número é chamado de multiplicador.

Observação No processo de escalonamento, podemos multiplicar qualquer uma das equações para efetuar a eliminação da variável. Você está confuso com tantos nomes diferentes. Afinal o que é pivô, linha pivô, multiplicador? Para entender como aplicar a eliminação de Gauss, vamos utilizar um sistema genérico com 3 equações e 3 variáveis. O processo pode ser aplicado a qualquer sistema com n equações e n variáveis. Consideremos o sistema genérico: a11 x1 + a12 x2 + a13 x 3 = b1  S a21 x1 + a22 x2 + a23 x 3 = b2 a x + a x + a x = b 3n 3 3  31 1 32 2 69

Unidade I Queremos transformar esse sistema em um equivalente: a11 x1 + a12 x2 + a13 x 3 = b1  S a22 x2 + a23 x 3 = b2  a3 n x 3 = b3  A matriz ampliada correspondente ao sistema é:  a11 a12 a13 b1  A =  a21 a22 a23 b2      a a a b 31 32 33 3  Para entender o processo, vamos dividi-lo em passos: 1º passo: deixar x1 na 1 equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos a21 e a31. Nesse passo, teremos: • a11 – elemento pivô • L1 – linha pivô • m21 – multiplicador para eliminar x1 da 2ª linha, m21 =

a21 e da daí L 2 = L 2 − m21 . L1 a11

• m31 – multiplicador para eliminar x1 da 3ª linha, m31 =

a31 e da daí L 3 = L 3 − m31 . L1 a11

Agora você deve fazer os cálculos indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz. 2º passo: deixar x2 na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª. Na matriz, devemos eliminar o elemento a32. Nesse passo, teremos: • a22 – elemento pivô

Geometria Analítica e Álgebra Linear • L2 – linha pivô • m32 – multiplicador para eliminar x2 da 3ª linha, m32 =

a32 e daí da L 3 = L 3 − m32 . L 2 a22

Agora você deve fazer os cálculos indicados para a linha 3 e reescrever a matriz. A matriz está escalonada. Reescreva o sistema e determine o valor de x3 na 3ª equação, substitua na 2ª equação e determine o valor de x2. Por fim, substitua os valores encontrados na 1ª equação e determine o valor de x1. Exemplos: 1) Vamos agora refazer o exemplo a, de escalonamento, pelo método de eliminação de Gauss. Assim, você poderá comparar os dois processos:  x- 2 y + z = -1  S  − x − y + 2 z = −2 2 x + y − z = 1  A primeira providência que você deve tomar para aplicar o método de Gauss é escrever a matriz ampliada correspondente ao sistema. Assim:  1 −2 1 −1 A =  −1 −1 2 −2    2 1 −1 1 Agora vamos seguir os passos indicados: 1º passo: deixar x na 1ª equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos a21 e a31. Nesse passo, teremos: • a11 = 1 (elemento pivô) • L1 – linha pivô • m21 – multiplicador para eliminar x da 2ª linha,

m21 =

a21 -1 = = - 1 e daí da L 2 = L 2 − ( −1) . L1 , isto é, Ø, L 2 = L 2 + L1 a11 1 71

Unidade I • m31 – multiplicador para eliminar x da 3ª linha, m31 =

a31 2 = = 2 e da daí L 3 = L 3 − 2 . L1 a11 1

Agora você deve fazer os cálculos indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz:  1 −2 1 -1  −1 −1 2 -2     2 1 -1 1  1 −2 1 - 1    0 −3 3 -3     0 5 -3 3 

Rascunho L1 1 - 2 1 -1 L2 -1 - 1 2 -2 L2 + L1 0 - 3 3 -3 La 2 1 -1 1 -2L1 -2 4 -2 2 La - 2L1 0 - 3 3 -3

2º passo: deixar y na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª equação. Na matriz, devemos eliminar o elemento a32. Nesse passo, teremos: • a22 = - 3 (elemento pivô) • L2 – linha pivô • m32 – multiplicador para eliminar y da 3ª linha,

m32 =

a32 5 5 5  5  = =e da . L2 daí L 3 = L 3 −  -  . L 2 = L 3 +  3  a22 -3 3 3

Fazendo os cálculos e substituindo na matriz, temos:  1 −2 1 -1  0 −3 3 -3     0 5 -3 3  1 −2 1 - 1    0 −3 3 -3     0 5 -3 3  72

Rascunho La

5 L2 3

2 1 -1 1 0 -5 5 -5 0

0 2 -2

Geometria Analítica e Álgebra Linear A matriz está escalonada. Vamos então reescrever o sistema:  x − 2 y + z = −1  S  − 3y + 3z=− 3  2z=− 2 

Determinando o valor de z na 3ª equação, temos: 2 z = - 2, logo, z = - 1 Substituindo na 2ª equação: - 3 y + 3 (-1) = - 3 -3y-3=-3 -3y=-3+3 y=0 Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação, temos: x - 2 . 0 + (-1) = - 1 x-0-1=-1 x = -1 + 1 x=0 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (0, 0, -1). Observação Compare os dois métodos, escalonamento e Gauss, e note as diferenças nos processos. Vejamos mais um exemplo. 2) Utilizando o método de eliminação de Gauss, determinar a solução do sistema linear:  x − y + z =3  S −x + y + z = 1  −2x + y + 3z = 3 

A primeira providência que você deve tomar para aplicar o método de Gauss é escrever a matriz ampliada correspondente ao sistema. Assim: 73

Unidade I  1 −1 A =  −1 1   −2 1

1 1 3

3 1  3 

1º passo: deixar x na 1ª equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos a21 e a31. Nesse passo, teremos: • Pivô: a11 = 1 • L1 – linha pivô • m21 – multiplicador para eliminar x da 2ª linha, m21 =

a21 -1 = = - 1 e da Ø, L 2 = L 2 + L1 daí L 2 = L 2 − ( −1) . L1 , isto é, a11 1

• m31 – multiplicador para eliminar x da 3ª linha, m31 =

a31 -2 = = −2 e daí da L 3 = L 3 + 2 . L1 a11 1

Agora você deve fazer os cálculo indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz:  1 −1 1 3  −1 1 1 1      −2 1 3 3  1  0   0

1 3 −1 0 2 4  − 1 5 9 

Rascunho L1 1 -1 1 3 L2 -1 1 1 1 L2 + L1 0 0 2 4 La -2 1 3 3 -2L1 2 -2 2 6 La - 2L1 0 -1 5 9

2º passo: deixar y na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª equação. Na matriz, devemos eliminar o elemento a32. Nesse passo, teremos a22 = 0, mas o pivô não pode ser igual a zero. Assim, vamos utilizar a operação elementar permutação de linhas: 1 0   0 74

−1 −1 0

1 3 5 9  2 4 

Geometria Analítica e Álgebra Linear A matriz está escalonada. Vamos então reescrever o sistema:  x- y + z = 3  S  − y + 5z= 9  2z= 4  Determinando o valor de z na 3ª equação, temos: 2 z = 4, logo, z = 2 Substituindo na 2ª equação: - y + 5 (2) = 9 - y + 10 = 9 - y = 9 – 10 -y=-1 y=1 Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação temos: x - 1 + (2) = 3 x- 1 +2=3 x=3-1 x=2 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (2, 1, 2). 3.2 Ampliando seu leque de exemplos

1) Verifique se a terna (-1, 2, 0) é solução do sistema linear:  x- 2 y + 3 z = − 5  S  −x+3 y + 4z=7  x+ y − z = 1  Resolução: Para verificar se (-1, 2, 0) é solução do sistema, você deve substituir os valores nas 3 equações: será solução do sistema se for solução de todas as equações. Vamos então fazer essa verificação: 75

Unidade I • 1ª equação: -1 – 2 ( 2 ) + 3 ( 0 ) = - 5 ⇒ -1 – 4 = - 5 ⇒ - 5 = - 5 ( V ) • 2ª equação: - (-1 ) + 3 ( 2 ) + 4 ( 0 ) = 7 ⇒ 1 + 6 = 7 ⇒ 7 = 7 ( V ) • 3ª equação: -1 + ( 2 ) + 3 ( 0 ) = - 5 ⇒ -1 – 4 = - 5 ⇒ - 5 = - 5 ( V ) Como as expressões são verdadeiras para todas as equações, temos que (-1, 2, 0) é solução do sistema. 2) Verifique se o par (2, -1) é solução do sistema linear:

 2x - y = 5  S  −x −3 y = 1  x+ y = -1  Resolução: Para verificar se (2, - 1) é solução do sistema, você deve substituir os valores nas 3 equações: será solução do sistema se for solução de todas as equações. Vamos então fazer essa verificação: • 1ª equação: 2 ( 2 ) - ( -1) = 5 ⇒ 4 + 1 = 5 ⇒ 5 = 5 ( V ) • 2ª equação: - ( 2 ) - 3 ( -1 ) = 1 ⇒ 1 + 6 = 7 ⇒ 7 = 7 ( V ) • 3ª equação: ( 2 ) + ( -1 ) = - 1 ⇒ 2 – 1 = - 1 ⇒ 1 = - 1 ( F ) Notamos que (2, -1) é solução das duas primeiras equações, porém não é solução da terceira equação, logo, não é solução do sistema. 3) Resolver e classificar os sistemas lineares por escalonamento:  x- 3 y + z = 2  a) S  2 x + y − 2 z = − 5 3 x − y − z = − 2  Para resolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das equações 2 e 3, utilizando as operações elementares. Em nossos exemplos, vamos deixar indicadas todas as contas necessárias (rascunho) para que você entenda o processo. Caso você ache conveniente, pode omitir essas contas. 76

Geometria Analítica e Álgebra Linear Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a equação 1 multiplicada por (-2). Fazendo a conta e substituindo o resultado obtido no lugar da 2ª equação, temos:

 x- 3 y + z = 2  2 x + y − 2 z = − 5 3 x − y − z = −2  E2 = E2 - 2E1

Rascunho E2 2x+y- 2z=-5 2 E1 -2x+6y-2z=E2 - 2 E1 0 + 7 y – 4 z = - 9

 x- 3 y + z = 2   7y − 4z= − 9 3 x − y − z = − 2  Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3 = E3 – 3 E1: Rascunho  x- 3 y + z = 2   7y − 4z= − 9  8 y −4 z= − 8 

E2 3x-y-z=-2 -3E1 - 3 x + 9 y – 3 z = - 6 E3 - 3 E1 0 + 8 y - 4 z = - 8

E3 = E3 - 3E1 Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Para isso, vamos fazer a conta E3 = 7 E3 + 8 E2: Rascunho  x- 3 y + z = 2 7E3 56 y – 28 z = - 56  -8E 56 y + 32 z = 72 2  7y − 4z= − 9  4 z = 16 7E3 - 8E2 4 z =16  E3 = 7E3 - 8E2 O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir na 2ª e determinar o valor de y, finalmente, substituir y e z na 1ª equação, e determinar o valor de x. Assim, temos: • na 3ª equação: 4 z = 16 ⇒ z = 4 • na 2ª equação: 7 y - 4 (4) = - 9 ⇒ 7 y = - 9 + 16 ⇒ 7 y = 7 ⇒ y = 1 • na 1ª equação: x - 3 . 1 + 4 = 2 ⇒ x = 2 + 3 – 4 ⇒ x = 1 77

Unidade I Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (1, 1, 4). 2x − 3y + z = − 2  b) S  x + y − 2 z = − 1 3 x − 2 y − z = 2 

Para resolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das equações 2 e 3, utilizando as operações elementares. Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por E1 - 2E2: Fazendo a conta e substituindo o resultado obtido no lugar da 2ª equação, temos:  2 x- 3 y + z = − 2   x+ y − 2z=−1 3 x − 2 y − z = 2  E2 = E1 - 2E2

Rascunho E1 2x-3y+z=-2 -2 E2 -2x-2y+4z=2 E1 - 2 E2 0 - 5 y + 5 z = 0

 2 x- 3 y + z = - 2   -5y + 5z= 0 3 x − 2 y − z = 2  Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3 = 2 E3 – 3 E1: 2 x- 3 y + z = - 2   - 5y + 5z=0  5 y − 5 z = 10 

Rascunho 2 E3 6x–4y–2z=4 -3 E1 -6x+9y–3z=6 2 E3 - 3 E1 0 + 5 y - 5 z = 10

E3 = 2E3 - 3E1 Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação, para isso vamos fazer a conta E3 = E3 + E2:  2 x- 3 y + z = − 2  - 5y + 5 z = 0   0 =1 0 

Rascunho E2 5 y – 5 z = 10 E2 -5y+5z= 0 E3 + E2 0 = 10 (F)

E3 = E3 + E2 A última equação é falsa, logo, o sistema não tem solução. 78

Geometria Analítica e Álgebra Linear 4) Resolver o sistema por eliminação de Gauss:  x+ y + 3z =8  S 2 x − y + z = 1 4 x + 3 y + z = − 1  Primeiro vamos escrever a matriz ampliada correspondente ao sistema: 1 1 3 8  A = 2 −1 1 1    4 3 1 −1 1º passo: deixar x na 1ª equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos a21 e a31. Nesse passo, teremos: • a11 = 1 (elemento pivô) • L1 – linha pivô • m21 – multiplicador para eliminar x da 2ª linha, m21 =

a21 2 = = 2 e daí da L 2 = L 2 − (2) . L1 , isto Ø, é, L 2 = L 2 − 2 L1 a11 1

• m31 – multiplicador para eliminar x da 3ª linha, m31 =

a31 4 = = 4 e daí da L 3 = L 3 − 4 . L1 a11 1

Agora você deve fazer os cálculo indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz:  1  2   4

1 3 8 −1 1 1   3 1 -1

1 8 3 1  0 −3 −5 -15     0 -1 -11 - 33

Rascunho -2L1 L2 -2L2 + L1 L3 -4L1 L3 - 2L1

-2 - 2 - 6 -16 2 -1 1 1 0 - 3 -5 -15 4 3 1 -1 - 4 - 4 -12 -32 0 - 1 -11 -33 79

Unidade I 2º passo: deixar y na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª equação. Na matriz, devemos eliminar o elemento a32. Nesse passo, teremos: • a22 = - 3 (elemento pivô) • L2 – linha pivô • m32 – multiplicador para eliminar y da 3ª linha, m32 =

a32 -1 1 1 1  = = e da . L2 daí L 3 = L 3 −   . L 2 = L 3 − 3  a22 -3 3 3

Fazendo os cálculos e substituindo na matriz, temos:   1 1 3 8    0 −3 −5 -15    28 84  -   0 0 3 3  1 1 3 8   0 −3 −5 -15    0 -1 -11 -33

Rascunho

−

1 L2 3

0 0

-1 - 11 - 33 5 15 1 3 3 28 84 0 3 3

A matriz está escalonada. Vamos então reescrever o sistema:   x+ y + 3z =8  S  − 3 y − 5 z = − 15  28 84  z=− 3 3  Determinando o valor de z na 3ª equação, temos: 28 84 z=− 3 3 84  3  z=− . −  3  28  z=3 -

Geometria Analítica e Álgebra Linear Substituindo na 2ª equação: - 3 y - 5 (3) = - 15 - 3 y - 15 = - 15 - 3 y = - 15 + 15 y=0 Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação, temos: x + 0 + 3 . (3) = 8 x+0+9=8 x=8-9 x=-1 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (- 1, 0, 3). 4 Determinantes 4.1 Introdução

Em meados do século XVII, ao estudar processos para a resolução de sistemas lineares, teve início teoria dos determinantes. Durante o século XVII, os matemáticos Leibniz (1646 – 1716), na Alemanha, e Kowa (1642 – 1708), no Japão, criaram certas expressões matemáticas definidas a partir dos coeficientes das incógnitas dos sistemas. Essas expressões estão relacionadas a matrizes e foram denominadas determinantes; nome utilizado no século XVIII pelo matemático Gauss. Hoje, embora não seja um instrumento prático para resolução de sistemas, os determinantes são usados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas mais complexas. 4.2 Cálculo de determinantes

Quando falamos em determinante de uma matriz, estamos pensando somente no conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto, chamamos determinante da matriz M (e indicamos por det M ou | M |) o número que podemos obter operando com os elementos de M da seguinte forma: 1) n = 1 ⇒ det M = M M = [a11] ⇒ det M = a11 Exemplo: M = [6] ⇒ det M = 6 81

Unidade I 2) n = 2 ⇒ o det M é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária: a  a a a M =  11 12  ⇒ det M = 11 12 = a11a22 − (a12a21) a21 a22 a21 a22  Exemplo:  3 −1 M=   4 2  det M =

3 −1 = 3.2 − [4( −1)] = 10 4 2

 a11 a12  3) n = 3, isto é, M = a21 a22 a  31 a32

a13   a23  ⇒ a33 

det M = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 E agora, como lembrar todos estes produtos? Parece difícil. Você pode utilizar um processo que facilita a memorização dessa expressão, basta seguir os seguintes passos: • repetimos, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas; • multiplicamos os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal, assim, são obtidos os termos precedidos pelo sinal “+”; • multiplicamos os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária, assim, são obtidos os termos precedidos pelo sinal “–”; • somamos todos os resultados obtidos. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 -

Esse dispositivo prático é conhecido como regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3. 82

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Lembrete No sentido da diagonal secundária, o sinal de negativo indica que devemos fazer o produto dos números e inverter o sinal encontrado. Exemplo:

 1 −1 0  Calcular o valor do determinante da matriz A =  0 2 3  , utilizando a regra de Sarrus.    1 0 −1 Resolução: Para utilizar a regra de Sarrus na resolução, devemos repetir as duas primeiras colunas e depois fazer os produtos, no sentido da diagonal principal e no sentido da diagonal secundária:

1 −1 0 0 2 3 1 0 −1

1 −1 0 2 1 0

A seguir, relacionamos algumas propriedades dos determinantes úteis em nosso estudo: • permutação de duas linhas inverte o sinal do determinante: — se duas linhas forem constituídas de elementos proporcionais, o determinante é zero (duas linhas iguais é um caso particular); — se uma das linhas for constituída de zeros, o determinante é zero. Laplace Para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n > 2, podemos também utilizar os conceitos de menor complementar e de cofator no Teorema de Laplace. Vejamos então o que são esses dois conceitos relacionados aos determinantes. Menor complementar Sejam M uma matriz de ordem n, n > 2, aij um elemento de M. Chamamos de menor complementar do elemento aij e indicamos por Dij ao determinante da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz M. 83

Unidade I Exemplo:  1 −1 0  Seja A =  0 2 3  , vamos determinar o menor complementar dos elementos a12 e a31, isto    1 0 −1 é, queremos determinar D12 e D31. Para determinar o menor complementar de a12, devemos calcular o determinante após eliminarmos a linha 1 e a coluna 2 da matriz A. Assim, temos:  1 −1 0  A = 0 2 3     1 0 −1

Linha 1

Coluna 2

Agora você deve calcular o determinante formado pelos elementos que sobraram, isto é, o determinante D12: D12 =

0 3 = 0.( −1) − 1.3 = −3 1 −1

Você deve repetir o processo para encontrar o menor complementar dos outros dois elementos. Para calcular D31, elimine a linha 3 e a coluna 1 da matriz A. Assim, teremos:  1 −1 0  A = 0 2 3     1 0 −1

Linha 3

Coluna 1

Assim, devemos calcular o determinante formado pelos elementos que sobraram. Então, teremos: D31 =

−1 2

0 = ( −1).3 − 2.0 = −3 3

Observação Os valores de D12 e D31 deram iguais só por coincidência, não é uma regra que deva ser igual, geralmente são valores diferentes. 84

Geometria Analítica e Álgebra Linear Cofator Cofator ou complemento algébrico de aij é o número Aij dado por: Ai j = ( −1)i+ j . Di j Exemplo: Vamos determinar o cofator dos elementos do exemplo anterior. Já sabemos o menor complementar desses dois elementos, então: • cofator de a12 será A12 = ( −1)1+2 . ( −3) = ( −1)3 .( −3) = ( −1).( −3) = 3 • cofator de a31 será A 31 = ( −1)3+1. ( −3) = ( −1)4 .( −3) = 1.( −3) = −3 Podemos agora reescrever a definição de determinante utilizando a noção de menor e cofator. Teremos, então: a) M é de ordem 1, isto é, M = [a11] ⇒ det M = a11 M é de ordem n > 2 ⇒ det M = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 + ... + An1 an1 Isto é, o determinante de uma matriz de ordem n > 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores:  a11 a12 a a M =  21 22  ... ...   an1 an2

... a1n  ... a2n   ... ...   ... ann 

Esse procedimento pode ser generalizado para qualquer linha ou coluna pelo seguinte Teorema Fundamental de Laplace. Teorema Fundamental de Laplace O determinante de uma matriz M, de ordem n > 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Lembrete Esse teorema permite que você possa calcular o determinante de qualquer matriz, não importando a sua ordem. O método de Sarrus só pode ser utilizado para determinante de matrizes de ordem 3. 85

Unidade I Vamos agora calcular o determinante de uma matriz, utilizando o teorema de Laplace. Exemplo: 1) Resolva de duas formas diferentes e compare os resultados finais.  −1 2 0 Calcular o determinante da matriz A =  0 1 1 , utilizando Laplace:    0 3 2 a) pela 1ª linha; b) pela 1ª coluna. Resolução: −1 2 0 det A = 0 1 1 0 3 2 a) pela 1ª linha, temos: det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 det A = ( −1). (-1)1+1

1 1 0 1 0 1 + (2). (-1)1+2 + (0). (-1)1+3 3 2 0 2 0 3

det A = −1.1.(2 − 3) + 2.( −1).(0 − 0) + 0 det A = 1 b) pela 1ª coluna, temos: det A = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 det A = ( −1). (-1)1+1

1 1 2 0 2 0 + (0). (-1)2+1 + (0). (-1)1+1 3 2 3 2 1 1

det A = −1.1.(2 − 3) + 0 + 0 det A = 1

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Observação Você deve ter notado que nos dois casos o resultado é o mesmo. Assim, você pode escolher a melhor opção para desenvolver o seu determinante. 4.3 Regra de Cramer e a resolução de sistemas lineares n x n

O estudo de determinantes nos permite resolver sistemas lineares n x n, com a vantagem de permitir que os sistemas sejam analisados quanto à sua solução a partir do determinante da sua matriz incompleta. O método de resolver um sistema por determinantes é conhecido como Regra de Cramer, por ter sido divulgado pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704 –1752). Esse método só pode ser utilizado em sistemas cujas matrizes incompletas possuem determinantes não nulos: ax + by = c Seja o sistema  dx + ey = f Já sabemos que esse sistema, com ae - bd ≠ 0, admite a solução: x=

ce − bf af − cd e y= ae − bd ae − bd

Podemos observar que tanto o valor de x quanto o de y podem ser expressos por um quociente de determinantes: c f x= a d

b e b e

a d y= a d

c f b e

Vamos expressar esses quocientes de outro modo. Para isso, utilizaremos as seguintes denominações: A: matriz incompleta. Ax: matriz que se obtém substituindo em A os coeficientes de x pelos termos independentes. 87

Unidade I Ay: matriz que se obtém substituindo em A os coeficientes de y pelos termos independentes. Então, a solução do sistema pela regra de Cramer é dada por: x=

det A y det A x , com det A ≠ 0 e y= det A det A

A regra de Cramer é válida também para sistemas lineares 3 x 3, 4 x 4, . . . , cujo determinante da matriz incompleta não seja nulo. De forma geral, temos: Teorema ou regra de Cramer Um sistema linear n x n com matriz A incompleta é possível e terá solução única (a1, a2, ..., an) se, e somente se, det A ≠ 0. Di , 1 ≤ i ≤ n, onde, D = det A e Di é o determinante da matriz obtida de A D trocando-se a coluna i ela coluna dos termos independentes do sistema. Nesse caso, α i =

Determinantes e classificação de sistemas Os determinantes podem ser utilizados para se discutir um sistema n x n, ou seja, classificá-lo em possível (determinado ou indeterminado) ou impossível. Para se discutir um sistema linear S, formado por n equações com n incógnitas, utilizando determinantes, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Nesse caso, duas coisas podem ocorrer: a) Se D ≠ 0, então S é determinado. b) Se D = 0, então S é indeterminado ou impossível. Quando D ≠ 0, podemos resolver o sistema valendo-nos da regra de Cramer. Se D = 0, sabemos que o sistema não tem solução única, mas, para decidir se ele é indeterminado ou impossível, devemos utilizar outro processo, por exemplo, o de escalonamento.

Saiba mais Para saber mais sobre matrizes, sistemas e determinantes, leia os capítulos 1 e 2 de: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. 88

Geometria Analítica e Álgebra Linear 4.4 Ampliando seu leque de exemplos

1) Calcule o determinante das matrizes:  −1 3 a) A =   2 4 Resolução: Como a matriz de ordem dois, temos: det A =

−1 3 2 4

Fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária: det A = ( −1) . 4 − (2 . 3) det A = − 4 − 6 det A = − 10  1 4 b) A =   2 8 Resolução: Como a matriz de ordem dois, temos: det A =

1 4 2 8

Fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária: det A = 1 . 8 − (2 . 4) det A = 8 − 8 det A = 0  2 −1 0 c) A =  1 −3 1    −1 2 1 89

Unidade I Resolução: Agora nossa matriz tem ordem 3 e não é mais possível utilizar o procedimento dos itens anteriores. Para o cálculo do seu determinante, vamos utilizar a regra de Sarrus. Escrevendo na notação de determinante:

det A =

2 −1 0 1 −3 1 −1 2 1

Lembrando que para resolver um determinante por Sarrus devemos copiar as duas primeiras colunas do determinante do lado direto do det A, depois multiplicar os elementos conforme o esquema a seguir. No sentido da diagonal principal, mantemos o sinal do produto e, no sentido da diagonal secundária, invertemos o sinal do produto. 2 −1 0 2 −1 det A = 1 −3 1 1 −3 −1 2 1 −1 2 Assim, temos: det A = 2 . (-3) . 1 + (-1) . 1. (-1) + 0 . 1. 2 - (0 . (-3) . (-1) + 2 . 1 . 2 + (-1) . 1 . 1 ) Efetuando os produtos e as somas: det A = - 6 + 1 + 0 - ( 0 + 4 - 1 ) det A = - 5 - 3 det A = - 8 x − y + z = 1  2) Dado o sistema linear 2x + y − 2z = 2 e utilizando a regra de Cramer, determinar o valor do x + 2y − 3z = 2  determinante Ax: Resolução: Para utilizar a regra de Cramer, devemos inicialmente montar a matriz com os coeficientes de x, y, z (por linhas): 90

Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 −1 1 A = 2 1 −2 1 2 −3 Para encontrar o determinante Ax, vamos substituir a coluna dos coeficientes de x (1ª coluna) pelos termos independentes e teremos: 1 −1 1 A x = 2 1 −2 2 2 −3 Desenvolvendo o determinante, temos: A

= 1 . 1 . (-3) + (-1) . (- 2) . 2 + 1 . 2. 2 - (1 . 1 . 2 + 1 . (-2) . 2 + (-1) . 2 . (-3) )

Efetuando os produtos e as somas: = -3 + 4+ 4 - (2 - 4 + 6 )

= 5 - (4 )

= 1

x − y + z = 1  3) Dado o sistema linear 2x + y − 2z = 2 e utilizando a regra de Cramer, calcule o valor do x + 2y − 3z = 2  determinante A: Resolução: Devemos montar a matriz com os coeficientes de x, y, z (por linhas): 1 −1 1 A = 2 1 −2 1 2 −3 Desenvolvendo o determinante por Sarrus, temos: 1 −1 1 1 −1 A = 2 1 −2 2 1 1 2 −3 1 2 A = 1 . 1 . (-3) + (-1) . (- 2) . 1 + 1 . 2. 2 - (1 . 1 . 1 + 1 . (-2) . 2 + (-1) . 2 . (-3) ) 91

Unidade I Efetuando os produtos e as somas: A = -3 + 2+ 4 - (1 - 4 + 6 ) A = 3 - (3

)

A = 0 x 1 1 4) Dada a equação 0 x − 1 1 = 0 , determine a sua solução. 0 −1 2 Resolução: Como temos uma equação que envolve um determinante, a primeira providência será desenvolver o determinante e substituir na expressão dada. Desenvolvendo o determinante:

D =

x 1 1 x 1 0 x −1 1 0 x −1 0 −1 2 0 −1

D = x . (x-1) . 2 + 1 . 1 . 0 + 1 . 0. (-1) - (1 . (x-1) .0 + x . 1 . (-1) + 1 . 0 . (-1) ) D = 2 x . (x-1) + 0+ 0 - (0 - x + 0 )

D = 2 x . (x-1) + x Substituindo na equação: 2 x . (x-1) + x = 0 2 x2 -2 x + x = 0 2 x2 - x = 0 Resolvendo a equação de 2º grau: x = 0 ou x =

1 2

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Resumo Vimos nessa unidade os conceitos de matriz, sistema linear e determinante. Matrizes  a11 a12 a a Amxn =  21 22   am1 am2

a1n  a2n  = a ij   amn 

( )mxn = aij mxn

O elemento ai j indica elemento da linha i e da coluna j. Alguns tipos especiais de matrizes: Matriz quadrada: A =  a i j 

mxn

, com m = n

Diagonal principal:  a11 a12 a a A =  21 22   am1 am2

a1m  a2m     am m 

mxm

(a i j ) m x n , com a i j = 0 , para todo ij . Matriz coluna: A = (a i j ) , com n = 1, isto é, só tem 1 coluna. mxn Matriz linha: A = (a i j ) , com m = 1, isto é, só tem 1 coluna. mxn Matriz diagonal: A = (a i j ) , com aij = 0, se i ≠ j. mxn 1 se i = j Matriz identidade: A = (a i j ) , com ai j =  mxm 0 se i ≠ j Matriz nula: A =

Matriz triangular: • superior: todos elementos abaixo da diagonal principal são nulos; • inferior: todos elementos acima da diagonal principal são nulos. 93

Unidade I

( )mxm,

Matriz simétrica: A = a i j

com ai j = a

Matriz transposta:  a1 1 a1 2 a1 n  A =     am 1 am2 amn  m x n

⇒ AT = A

-1

a21  a1 1 a 12 =    a a2 n 1n

Matriz inversa: A=

(a i j ) n x n ,

A . A-

-1

(b i j ) n x n ,

A - 1 inversa de A

= A- 1. A = In

Operações com matrizes: Adição:

( ) mxn

A = ai j

( ) mxn ⇒A

e B = bi j

(

+ B = ai j + bi j

) mxn

Multiplicação por escalar:

( )m x n

A = ai j

⇒ k . A = (k . ai j )m x n

Multiplicação de matrizes: (aik)mxp x (bkj)pxn = (cij)mxn = onde, cij = ai1b1j + ai2b2 j + ... + aipbpj Propriedades da álgebra matricial • Adição (I) associativa: A + (B + C ) = ( A + B) + C,

∀A,B, C ∈Mm x n (IR) ;

(II) comutativa: A + B = B + A , ∀A,B ∈Mm x n (IR) ; 94

am1     amn  n x m

Geometria Analítica e Álgebra Linear (III) matriz nula: existe uma matriz 0 ∈ Mmxn (IR), tal que: A + 0 = A,

∀A ∈Mm x n (IR) ;

(IV) matriz inversa: dada uma matriz A ∈Mm x n (IR) existe uma matriz (-A), também m x n, tal que A + (-A) = 0. • Multiplicação por escalar ( I ) (α β ) A = α (βA ) , ∀ A ∈ M m xn e ∀ α, β ∈IR

( I I ) (α + β ) A = α A + β A, ∀ A ∈ M m xn e ∀ α, β ∈IR

( I I I ) α ( A + B) = α A + α B, ∀ A, B ∈ M m xn e ∀ α ∈IR ( I V ) 1 A = A ∀ A ∈ M m xn • Multiplicação de matrizes (I) associativa: (A B) C = A (B C) (II) distributiva à esquerda: C (A + B) = CA +CB (III) distributiva à direita: (A + B) C = A C + B C (IV) elemento neutro: A In = In A = A (V) (a A) B = A (a B) = a (A B) (IV) A . 0 = 0 e 0 . A =0 Observações importantes sobre multiplicação de matrizes 1 – não vale a propriedade comutativa, isto é, A . B e B . A nem sempre serão iguais; 2 – não vale a lei do anulamento do produto, isto é, podemos ter: A . B = 0 com A ≠ 0 e B ≠ 0 3 – não vale a lei do cancelamento do produto, isto é, podemos ter: A . C = B .C com C ≠ 0 e mesmo assim A ≠ B

Unidade I Sistemas lineares Resolução por escalonamento e por eliminação de Gauss. Classificação dos sistemas lineares: S impossível (não tem solução)

possível (tem solução)

Determinado (só tem 1 solução) SPD

Indeterminado (infinitas soluções) SPI

Determinante •

Ordem 2:

a  a a a M =  11 12  ⇒ det M = 11 12 = a11a22 − (a12a21) a21 a22 a21 a22  •

Ordem 3 – Sarrus: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 -

— ordem maior ou igual a 3 – Laplace; — regra de Cramer – determinantes na resolução de sistemas.

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Exercícios Questão 1. (ENADE – Matemática/2008) Considere o sistema de equações a seguir: x + y + z = 1  2x + 2y + 2z = 4 3x + 3y + 4 z = 5  Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares. O sistema não tem solução porque o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero. A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta: A) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira. B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. E) Ambas as asserções são proposições falsas. Resposta correta: alternativa B. Análise das alternativas Para resolvermos a questão, temos que utilizar a teoria de discussão de um sistema linear. Como o sistema é formado por três equações e três incógnitas, gera matrizes quadradas cujos determinantes podem ser calculados pela aplicação da Regra de Cramer. Primeiramente, obtemos o determinante dos coeficientes (detA): 1 1 1 det A = 2 2 2 = 8 + 6 + 6 − 8 − 6 − 6 = 0 3 3 4 det A = 0 97

Unidade I Como segunda etapa, calculamos o determinante da matriz obtido a partir da matriz dos coeficientes, substituindo a primeira coluna (coeficientes de x) pelos termos independentes: 1 1 1 det A x = 4 2 2 = 8 + 10 + 12 − 16 − 6 − 10 = −2 5 3 4 det A x = −2 det A x ≠ 0 Como terceira etapa, calculamos o determinante da matriz obtido a partir da matriz dos coeficientes, substituindo a segunda coluna (coeficientes de y) pelos termos independentes: 1 1 1 det A y = 2 4 2 = 16 + 6 + 10 − 8 − 10 − 12 = 2 3 5 4 det A y = 2 det A y ≠ 0 Como quarta etapa, calculamos o determinante da matriz obtido a partir da matriz dos coeficientes, substituindo a terceira coluna (coeficientes de z) pelos termos independentes: 1 1 1 det A z = 2 2 4 = 10 + 12 + 6 − 10 − 12 − 6 = 0 3 3 5 det A z = 0 det A z ≠ 0 Discutindo o sistema, concluímos que, como det A = 0, ele pode ser possível e indeterminado ou impossível. Para verificar sua real classificação, resolvemos o determinante dos coeficientes, substituindo cada coluna pelos termos independentes. Como det A = 0 e pelo menos um det An ≠ 0, o sistema é impossível (não tem solução). Para o sistema ser impossível, deve-se ter det A = 0 e pelo menos um det An ≠ 0. Como há pelo menos um det An ≠ 0, e det A = 0, o sistema é impossível. Então, as duas asserções são verdadeiras, não sendo a segunda uma justificativa correta da primeira. A) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com a resolução completa anterior e considerando a discussão do sistema, as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. É, na verdade, uma justificativa incompleta, logo, incorreta. 98

Geometria Analítica e Álgebra Linear B) Alternativa correta. Justificativa: de acordo com a resolução completa anterior e considerando a discussão do sistema, as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. Para o sistema ser considerado impossível, deve-se ter det A = 0 e pelo menos um det An ≠ 0. C) Alternativa incorreta. Justificativa: a segunda asserção não é falsa (det A = 0). D) Alternativa incorreta. Justificativa: a primeira asserção não é falsa, pois o sistema é impossível (não tem solução). E) Alternativa incorreta. Justificativa: ambas as asserções são proposições verdadeiras, pois o sistema é impossível e det A = 0. Questão 2. (ENADE – Matemática/2005):

Figura 1

A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionamse, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada – o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s. Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional. 99

Unidade I Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que: x  11  1 2 −2     A = 0 4 −1 . B = 4 e x =  y         z   2   1 0 −2 Com base nessas informações, assinale a opção correta: A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A)=0. B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes. C) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais. D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais. E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula. Resolução desta questão na Plataforma.

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