Tarea de matematicas by Neely Sanchez

MATEMATICAS

ÍNDICE JUSTIFICACIÓN

INTRODUCCIÓN

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

PRODUCTOS NOTABLES

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS

ECUACIONES CUADRÁTICAS

CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES

E-GRAFÍA

JUSTIFICACIÓN Pondré en práctica todo lo que he aprendido para que en la vida me valla bien y pueda ser una persona de éxito como me lo he propuesto. Para poder llegar a donde tanto he deseado primero tengo que planear muy bien como poder lograrlo, para lograr todo esto necesito tomar siempre en cuenta todo lo que he aprendido durante todo el tiempo en que he practicado la matemática y todos los demás cursos. De esa manera será más fácil, ya que también no debo olvidar los valores que me han inculcado ya que como sabemos los valores son una de las cosas más importantes en una persona. Es importante que primero planifiquemos todo lo que queremos realizar en nuestro futuro para que cuando llegue ese momento planeado, podernos dar cuenta que lo que aviamos deseado se ha realizado y cuando eso suceda darnos cuenta que nuestros esfuerzos a cérvido de mucho y ha sido de mucho logro.

INTRODUCCIÓN Matemática, es uno de los cursos en la cual muchas personas le temen porque creen que es muy difícil, en cuanto a la realidad es nada más algo en donde nosotros como seres humanos damos a conocer nuestras capacidades o habilidades para resolver diferentes topos de problemas matemáticos. Existen diferentes problemas para resolver ya que como nos podemos dar cuenta no son fáciles, pero nada de otro mundo, para que no se pueda realizar solo es cuestión de comprender los ejercicios y poder realizarlos. Sabemos que uno de los principales aprendizajes en matemáticas son: las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Por lo tanto sabiendo realizar estos problemas nos es más fácil resolver aquellos otros un poco más difíciles que estos como por ejemplo: los polinomios que es una expresión algebraica constituida por un numero finito de variables y constantes, también existe el producto notable Se le llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso, como también tenemos las Ecuaciones enteras de primer grado Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas. Ya que entre las incógnitas existen diferentes: ay una primera a que le damos el nombre de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita, y la segunda que es ecuaciones enteras con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. Como también está la tercera que es ecuaciones enteras con tres incógnitas cada una de ellas tiene su procedimiento para poder llegar a tener un resultado o una respuesta para cada problema que tenga en cuestión de matemáticas. Ya que como también sabemos para poder realizar estos tipos de problemas en matemáticas siempre tendremos un ejemplo y una guía para poder realizarlas y no tener dificultades al practicarlo. También tenemos la que es ecuación cuadrática Esta es una ecuación en forma de ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. Esta al igual que las anteriores tiene un procedimiento para realizarlos y obtener la respuesta que se busca Nos podemos dar cuenta que al mencionar matemáticas mencionamos a un mundo de aprendizaje que nos ayuda de mucho a cada una de las personas que la practicamos.

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS En matemáticas, se denomina polinomio a una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación, y potenciación con exponentes naturales. Por ejemplo:

Es un polinomio pero:

No, porque incorpora la división y un exponente fraccionario.

Esta es una multiplicación con polinomios:

Esta es una división de polinomios.

RESUMEN MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS En matemáticas, se denomina polinomio a una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación, y potenciación con exponentes naturales. Por ejemplo:

Es un polinomio pero:

No, porque incorpora la división y un exponente fraccionario.

PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2 Nota: Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a – b) = a2 – b2 El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2 Otros casos de productos notables (o especiales): Producto de dos binomios con un término común, de la forma x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo: Tenemos la expresión algebraica x2 + 9 x + 14 Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7) ¿Cómo llegamos a la expresión? a) El cuadrado del término común es (x) (x) = x2 b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7) x = 9x c) El producto de los términos no comunes es (2) (7) = 14 Así, tenemos: x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 ) Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a + b) x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b) Producto de dos binomios con un término común, de la forma x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b) Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a – b) x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b). En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx). Demostración: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na) x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3. A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable

Expresión algebraica

Nombre

(a + b)2

a2 + 2ab + b2

Binomio al cuadrado

(a + b)3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Binomio al cubo

(a + b) (a

Diferencia de cuadrados

a 3 + b3

(a + b) (a2 + b2

(a + b) (a

(a + b + c)2

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

b) (a2 + b2 + ab) ab)

b) (a2 + b2)

Diferencia de cubos Suma de cubos Diferencia cuarta Trinomio al cuadrado

RESUMEN PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Demostración:

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Demostración:

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a – b) = a2 – b2 Demostración:

Otros casos de productos notables (o especiales): x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Producto de dos un término común, de

binomios con la forma x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

Cubo de una diferencia a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable (a + b)2

Expresión algebraica

Nombre

a2 + 2ab + b2

Binomio al cuadrado

(a + b)3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Binomio al cubo

(a + b) (a

Diferencia cuadrados

a 3 + b3

(a + b) (a2 + b2

(a + b) (a

(a + b + c)2

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

b) (a2 + b2 + ab) ab)

b) (a2 + b2)

Diferencia de cubos Suma de cubos Diferencia cuarta Trinomio al cuadrado

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una ecuación es una igualdad en desconocidas llamadas incógnitas.

que

hay

una

varias

cantidades

Las incógnitas se representan por letras del alfabeto a, b, c, d, m, n, x, y, z. así;

En una ecuación se distinguen dos miembros, a saber; el primer miembro es la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad (=) y el segundo miembro es la expresión que está a la derecha. Veamos;

Ecuaciones de primer grado con una incógnita; son aquellas en las cuales el mayor exponente de la incógnita es uno, también se llaman ecuaciones simples o lineales. Estudiaremos las enteras y las fraccionarias. Ejemplos;



Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita: cuando ninguno de sus términos tiene denominadores, así;



Ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita: cuando algunos de sus términos o todos tienen denominadores, como:

Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita: es encontrar el valor de la incógnita que verifica o satisface la ecuación, es decir, que sustituido en lugar de la incógnita, hace que el lado izquierdo de la ecuación se iguale al lado derecho. Para solucionar una ecuación de primer grado con una incógnita (hallar

la raíz o el valor de la incógnita) se aplicará el proceso de transposición de términos, así: 1. Reunir en un miembro todos los término que contengan la incógnita y en el otro miembro los demás términos. 2. Cuando se pase un término de un miembro a otro se le cambia de signo: si el término es positivo pasa al otro miembro negativo y si el término es negativo pasa al otro miembro positivo. 3. Se reducen términos semejantes, si los hay. 4. Si la incógnita tiene coeficientes se despeja: si está multiplicando pasa al otro miembro a dividir y si está dividiendo pasa al otro miembro a multiplicar (pasa con el signo que tenga). 5. Si aparecen signos de agrupación, estos se eliminan primero (de adentro hacia afuera) 6. Toda incógnita debe ser siempre positiva: si aparece negativa se le cambia el signo a todos los términos de la igualdad.

Ejemplos:

Si la ecuación posee coeficientes fraccionarios se procede así:   

Se calcula el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de todos los denominadores presentes en la ecuación. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el M.C.M. para eliminar los denominadores. Se transponen términos y se reúnen términos semejantes.

Ejemplo:

RESUMEN ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Las incógnitas se representan por letras del alfabeto a, b, c, d, m, n, x, y, z. así;

En una ecuación se distinguen dos miembros

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

EJEMPLO:

PROBLEMAS DE APLICACION DE

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Ejemplo: La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas edades. Solución: Sea x=edad de A. Como B tiene 8 años menos que A; x-8=edad de B. La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemos la ecuación: x + x − 8 = 84 Resolviendo esta ecuación con la calculadora, tenemos x=46, la cual representa la edad de A. La edad de B será x − 8 = 46 − 8 = 38 años. Nota la verificación de los resultados es importante, porque permite percatarse si se satisfacen las condiciones iniciales del problema. En este caso las condiciones iniciales serıa que la suma de las edades de A y B son 84, como efectivamente es, pues; 46+38=84. Ejemplo: Pague $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costo $5 más que el libro y $20 menos que el traje. ¿Cuánto pague por cada artıculo? Solución: No está de más decir que la asignación de la letra ¨x¨ tiene mucho que ver en la simplicidad de la resolución del problema. Sea x=precio del libro. Como el sombrero costo $5 más que el libro: X + 5 = precio del sombrero El sombrero costo $20 menos que el traje; luego, el traje costo $20 más que el sombrero; X + 5 + 20 = x + 25 = precio del traje. Como todo costo $87; la suma de los precios del libro, del sombrero y el traje tiene que ser igual a $87: de aquí tenemos la ecuación, x + x + 5 + x + 25 = 87

Usando cualquier método para encontrar el valor buscado, tenemos que x=19, $19 precio del libro. X+5=19+5=24, $24 precio del sombrero y X+25=19+25=44, $44 precio del traje. Chequeando el resultado con las condiciones iniciales; 19+24+44=87.

Ejemplo: La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.

Solución: Resolveremos este ejemplo de dos formas diferentes. CASO 1: Divida 156 entre 3. El cociente 52, representa uno de los números buscado, el del centro para ser exactos. Los otros dos son 51 y 53. Uno menos y uno más. CASO 2: Sea x=número menor, Sea x+1= numero siguiente y x+2=numero siguiente al anterior. Como la suma debe ser 156, Hacemos la ecuación: x + x + 1 + x + 2 = 156 Resolviendo esta ecuación, obtenemos x=51. Luego, x+1=51+1=52, y x+2=51+2=53. De tal forma que los números son: 51-52-53. Comprobando estos tres números consecutivos enteros: 51+52+53=156.

RESUMEN PROBLEMAS DE APLICACION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Ejemplo: La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas edades. Solución: Sea x=edad de A. Como B tiene 8 años menos que A; x-8=edad de B. La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemos la ecuación: x + x − 8 = 84 Resolviendo esta ecuación con la calculadora, tenemos x=46, la cual representa la edad de A. La edad de B será x − 8 = 46 − 8 = 38 años. Nota la verificación de los resultados es importante, porque permite percatarse si se satisfacen las condiciones iniciales del problema. En este caso las condiciones iniciales serıa que la suma de las edades de A y B son 84, como efectivamente es, pues; 46+38=84. EJERCICIOS: 1. Entre A y B tiene $1154 y B tiene $506 menos que A. ¿Cuantos dólares tienen cada uno? R: 324 y 830. 2. Tomas tiene $13 más que Ricardo. ¿Cuánto dinero tiene cada uno si entre ambos los dos reúnen $29? R: $8 y $21. 3. Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24. R: 41 y 65. 4. Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36. R: 303 y 339. 5. A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada uno? R: 21 y 35.

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera: Ax + By = C; Donde (x; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales. Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormente estudiadas.

EJEMPLO 3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuación debemos tomar en cuenta lo siguiente: Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver:

Tomamos como Y= 0 3X + 6(0) = 3, Dicha multiplicación se nos hace 0 y obtenemos 3X = 3 ahora dividimos ambos miembros entre 3 3X / 3 = 3 / 3 X = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando: 3(1) + 6Y = 3 3 + 6Y = 3 -3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos: 6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha división nos da 0 de tal manera que

Y = 0/ 6 Y = 0

y así hallamos en valor de Y

RESUMEN ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Tomamos como Y= 0 3X + 6(0) = 3, Dicha multiplicación se nos hace 0 y obtenemos 3X = 3 ahora dividimos ambos miembros entre 3 3X / 3 = 3 / 3 X = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando: 3(1) + 6Y = 3 3 + 6Y = 3 -3 + 3 + 6Y = 3 - 3

Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos: 6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha división nos da 0 de tal manera que

Y = 0/ 6 Y = 0

y así hallamos en valor de Y

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS Existen varios métodos. Voy a explicarte el de reducción, ya que no me indicas el curso en el que te encuentras. Paso 1.- Elige dos ecuaciones y elimina una incógnita; por ej.: la primera y la segunda para eliminar la Z. Para ello multiplicamos la primera por 2 y la sumamos a la segunda. 6X -4Y+6Z = 32 X +3Y-6Z = -23 Sumando queda 7X - Y = 9 (1) Ahora elegimos otras dos ecuaciones y eliminamos la Z. Por ejemplo: La segunda y la tercera. Para ello multiplicamos la tercera por -3 y la sumamos a la segunda. X +3 Y - 6Z = -23 -15X -12Y +6Z = 27 Sumando queda: -14X-9Y = 4 (2) Nos quedan ahora las expresiones (1) y (2).Un sistema con dos incógnitas 7X - Y = 9 -14X - 9Y = 4 (3) Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando queda: 14X - 2Y = 18 -14X - 9Y = 4 Sumando -11Y = 22 de donde Y = 22/-11 = -2 Calculamos X sustituyendo en cualquier ecuación de (3) 7X - Y = 9; 7X -(-2) = 9 7X = 7 de donde X = 7/7 = 1 Para calcular Z sustituimos estos valores en cualquier ecuación del sistema. Por ejemplo: En la última 5X + 4Y - 2Z = -9 5*1 + 4(-2) -2Z = -9 -2Z = -9 -5 +8 = -6 De donde Z = -6/-2 = 3 Así pues la solución es X = 1 Y = -2 Z = 3

Forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema. Por ejemplo,

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas. El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe). Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.

7. Ecuaciones cuadráticas. Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.) La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee las Definiciones básicas de Álgebra) Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas: En esta a=2, b=5 y c=3

Aquí hay una un poco más complicada:   

¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2" b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.

¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial? Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:   

si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución Para resolverla, sólo pon los valores de a, b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos. Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0 Fórmula cuadrática: x = [-b ± √ (b2-4ac)] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1 Sustituye a, b, c: x = [-6 ± √ (62-4×5×1)] / 2×5 Resuelve: x = [-6 ± √ (36-20)]/10 = [-6 ± √ (16)]/10 = (-6 ± 4)/10 Respuesta: x = -0.2 and -1 (Comprobación: 5× (-0.2)² + 6× (-0.2) + 1 = 5× (0.04) + 6× (-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0 5× (-1)² + 6× (-1) + 1 = 5× (1) + 6× (-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0) Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, Hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x – 8 4 4 4 x2 +

=0 4

–

x2 + 2x – x2 + 2x = 8

Ahora,

EJEMPLO:

x2 + 2x + ___ = 8 + ___

x2 + 2x + 1

[Ya

está en su forma donde [ Pasar a c al lado opuesto.] [Colocar los blancos]

=8+1

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9(x + 1) = ±

1.]

x2 + 2x + 1 = 9 = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

x+1= ±3 x = -1 ± 3

[Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2

x = -4 Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0

a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 2

x=4 2

x = -8 2

x=2

x = -2 - 6 2

x=-4

RESUMEN ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS

EJEMPLO: x2 + 2x – x2 + 2x = 8

x2 + 2x + ___ = 8 + ___

x2 + 2x + 1

[Ya

está en su forma donde [ Pasar a c al lado opuesto.]

1.]

[Colocar los blancos]

=8+1

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±

x2 + 2x + 1 = 9 = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

x+1= ±3 x = -1 ± 3 x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2

[Separar las dos soluciones.] x = -4 Fórmula Cuadrática:

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

EJEMPLO: 9x2 + 6x + 10

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x

a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10

a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1.Factorización Simple 2.Completando el Cuadrado 3.FórmulaCuadrática

Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0

) (x

a=1

)=0

b=2

c=-8

[x •x = x2]

(x + ) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 X+4=0

x–2=0

X+4=0

x–2=0

x=0-4

x=0+2

x = -4

x=2

4 + -2 = 2 4 -2 = -8

Estas son las dos soluciones.

RESUMEN ECUACIÓN CUADRÁTICA

Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0

) (x

a=1

)=0

b=2

c=-8

[x •x = x2]

(x + ) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 X+4=0

x–2=0

X+4=0

x–2=0

x=0-4

x=0+2

4 + -2 = 2 4 -2 = -8

x = -4

x=2

CONCLUSIONES  Si entendemos los pasos para resolver los ejercicios de matemáticas nos podemos dar cuenta que al realizarlos será más fácil de poder resolverlos, ya que teniendo la idea de cómo realizarlos es mucho más fácil llegar al resultado que buscamos.

 Cuando tenemos la oportunidad de practicar los ejercicios de matemáticas podemos observar con mucha claridad cada una de las reglas que se tienen para poder realizar los ejercicios y no cometer errores al momento de buscar el resultado.

 en el momento que iniciamos un ejercicio debemos revisar si el procedimiento está perfecto, porque si no es el procedimiento adecuado el resulta que tendremos será incorrecto porque si empezamos mal terminaremos mal por lo tanto nuestro resultado será incorrecto.

RECOMENDACIONES  Es importante que todas las personas le den uso a la matemática para que cuando necesiten que realizar algunas sumas, restas o multiplicaciones no tenga dificultades al momento de realizarlas. ya que como sabemos todas las personas que obtienen un sueldo al momento de recibirlo tienen la necesidad de contarlo para revisar si todo está perfecto.

 El practicar los problemas matemáticos no nos quita demasiado tiempo ya que como sabemos son de mucha importancia para cualquier ser humano. Al momento de querer practicarlo no se necesita ser un profesional, si no lo que cuenta es el deseo de querer realizarlo y aprender.

 No podemos decir que todo esto de la matemática no nos sirve porque si bien sabemos todos los días sin darnos cuenta utilizamos la suma, resta, multiplicación y la división ya que todos los días contamos dinero compartimos algunas cosas que queremos regalar, entonces es cuando hacemos uso de la matemática.

E-GRAFĂ?A 2dmatsec49.blogspot.com/.../multiplicacion-y-division-de-polinomios.htâ&#x20AC;Ś www.profesorenlinea.cl/matematica/algebraproductosnotables.htm https://juanfernandopaisa.wordpress.com/about/ deecuacionesdeprimergrado.blogspot.com/.../ecuacion-de-primer-gradoponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html