Géométrie dans l'espace
Exercices
Exercice 1 Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 10 cm selon un cercle (C) de centre H. La distance OH du centre de la sphère à ce plan vaut 6 cm. Le point A est un point du cercle (C). 1. Représenter la situation sous forme d’une figure en perspective. 2. En utilisant uniquement les données de l’énoncé, tracer en vraie grandeur le triangle OHA. On laissera les traits de construction apparents. 3. Calculer le rayon du cercle (C). Exercice 2 Une boîte de chocolats a la forme d’une pyramide SABCD régulière à base carrée ABCD et de sommet S. Elle est sectionnée par un plan parallèle à la base. Les intersections de ce plan de coupe avec les arêtes [ SA], [SB], [SC] et [SD] sont notés respectivement E, F, G et H. On note aussi O et O' les centres respectifs des quadrilatères ABCD et EFGH. La partie supérieure est le couvercle de la boîte et la partie inférieure contient les chocolats. On donne : AB = 30cm, SO = 18cm et SO′ = 6 cm. 1. Rappeler la définition d'une pyramide régulière. 2. Représenter la situation sous forme d’une figure en perspective. 3. Calculer le volume V 1 de la pyramide SABCD. 4. (a) Démontrer que le volume V 2 de la pyramide SEFGH est égal à 200 cm3. (b) En déduire le volume V 3 du récipient ABCDEFGH qui contient les chocolats. 5. Quel pourcentage (à 1% près) du volume de la boîte peut-être rempli par les chocolats ? Exercice 3 QCM : pour chaque question, une seule réponse est correcte. Donner la en justifiant. 1. Dans le cube de centre O, d’arête a, dont une face s’appelle ABCD, on considère la pyramide de sommet O et de base ABCD (voir le schéma sur lequel figurent les diagonales du cube et la pyramide en traits pleins). Quel est, en fonction de a, le volume de la pyramide ? (a)
a3 6
(b)
a3 4
(c)
a3 2
(d)
a3 3
2. Sur le cube ABCDEFGH d’arête 10 cm, on considère quatre trajets allant de A vers G. Chaque trajet est composé de deux segments. I est le milieu de [BC], J est le milieu de [BI]. Parmi ces quatre trajets l’un passe par B, un autre par J, un autre par I, un autre par C. Le plus court est celui qui passe par : (a) B (b) J
(c) I (d) C
3. Voici le patron d’un dé à jouer. Le total des points figurant sur deux faces opposées est toujours égal à 7. Quelle est la valeur de x ? (a) 3 (b) 4
(c) 5 (d) 6
4. Un grand cube de 6 cm d’arête peint en rouge a été découpé en 216 petits cubes de 1 cm d’arête. Combien de petits cubes n’ont aucune face rouge ? (a) 64
(c) 96
(b) 80
(d) 125
5. On considère le tronc de pyramide à base rectangulaire ABCDEFGH représenté ci-dessous. On le coupe par un plan passant par les points A, C et H. On obtient alors deux solides. Une seule des affirmations suivantes est fausse. Laquelle ? (a) l'un des deux solides a cinq faces dont une est rectangulaire (b) chacun des solides a au moins trois faces triangulaires (c) parmi les faces triangulaires, certaines sont des triangles rectangles (d) les faces non triangulaires sont des trapèzes
Exercice 4 ABCDS est une pyramide régulière à base carrée telle que AB = OS = 4 cm. Le point E est le symétrique du point A par rapport au point B . 1. Déterminer les positions relatives des droites suivantes : (a) Les droites DC et OS . (b) Les droites AD et EC . (c) Les droites DS et AC . 2. Sans faire de calcul et en laissant les traits de construction apparents, représenter en vraie grandeur le triangle ACE . 3. Déterminer les longueurs des côtés du triangle BCS . 4. Quelle est la nature du solide ABCS ? Calculer son volume.
Exercice 5 La figure ci-contre représente un tétraèdre ABCD. On sait aussi que I ∈ [AC], J ∈ [AD] et K ∈ [BD]. Donner, sans justifier, les positions relatives des droites ou plans proposés. 1. Les droites (IJ) et (CD). 2. Les droites (AC) et (BD). 3. Les plans (BIJ) et (ADC). 4. Le plan (ADC) et la droite (IJ). 5. Le plan (BIJ) et la droite (AK). 6. Les plans (AKJ) et (BIC).
Exercice 6 La figure ci-dessus représente un tétraèdre ABCD. P est un point de l’arête [AB], Q est un point de l’arête [AC] et les droites (BC) et (QP) se coupent en M . 1. Les droites (BC) et (AD) sont-elles parallèles, sécantes ou non coplanaires ? Justifier. 2. Les droites (QP) et (AD) sont-elles coplanaires ? Justifier. 3. Les droites (PC) et (QB) sont-elles sécantes ? Justifier. 4. Les droites (QP) et (CD) sont-elles sécantes ? Justifier.