LONGITUD DEL ARCO ¿Qué se entiende por la longitud de una curva? Podríamos pensar en instalar un trozo de cuerda a la curva en la Figura 1 y luego la medición de la cadena con una regla. Pero eso podría ser difícil de hacer con mucha precisión si tenemos una curva complicada. Necesitamos una definición precisa de la longitud de un arco de una curva, en el mismo espíritu que las definiciones que hemos desarrollado para los conceptos de área y volumen. Si la curva es un polígono, se puede encontrar fácilmente su longitud; vamos a sumar las longitudes de los segmentos de línea que forman el polígono. (Se puede utilizar la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre los extremos de cada segmento.) Vamos a definir la longitud de una curva general por primera aproximación de un polígono y luego tomar un límite en cuanto al número de segmentos del polígono se incrementa. Este proceso es familiar para el caso de un círculo, donde la circunferencia es el límite de longitudes de polígonos inscritos. Supongamos ahora que una curva C se define por la ecuación y=f(x) donde f es continua a ≤ x ≥ b. Se obtiene una aproximación poligonal para C dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos con extremos Pi (xi, xi) y la misma anchura. Si, entonces el punto se encuentra en el polígono y con vértices P0, P1….Pn La longitud L de C es aproximadamente la longitud de este polígono y la aproximación mejora a medida que sea n aumento. (el arco de la curva entre P i-1 y Pi se ha magnificado y aproximaciones con valores cada vez más pequeños de la muestra son.) Por lo tanto, definir la longitud L de la curva C con la ecuación y=f (x), a ≤ x ≥ b como el límite de las longitudes de estos polígonos inscritos (si el límite existe): Pi-1Pi Observe que el procedimiento para definir la longitud del arco es muy similar al procedimiento que utilizamos para definir el área y el volumen: Se divide la curva en un gran número de piezas pequeñas. A continuación se encuentran las longitudes aproximadas de las piezas pequeñas y agregó ellas. Por último, tomamos el límite como n->∞ La definición de la longitud del arco dada por la ecuación 1 no es muy conveniente para fines de cálculo, pero podemos deducir una fórmula integral para L en el caso que f tenga una derivada continua. [Esta función f se llama lisa debido a que un pequeño cambio en x la produce un pequeño cambio en f(x).]
Si dejamos que Δyi=-yi-yi-1, a continuación
AREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCION Una superficie de revolución se forma cuando una curva se hace girar sobre una línea. Esta superficie es el límite lateral de un sólido de revolución del tipo ya discutido. Queremos definir el área de una superficie de revolución, de tal manera que se corresponde con nuestra intuición. Si la superficie es A, podemos imaginar que la pintura la superficie que requieren la misma cantidad de pintura al igual que una región plana con el área A. Vamos a empezar con algunas superficies de simple. La superficie lateral de un cilindro circular con radio y altura se toma
porque podemos imaginar el cilindro de corte y desenrollar la
misma (como en la figura 1) para obtener un rectángulo con las dimensiones
and h.
Del mismo modo, podemos tomar un cono circular con un radio de base y altura inclinada, corte a lo largo de la línea discontinua en una figura, y se aplanan para formar un sector de un círculo con el radio y el ángulo central Angulo un círculo de radio y el ángulo es
is
. Sabemos que, en general, el área de un sector de entonces en este caso el área es
Si la curva está definida por las funciones x(t) y y(t), perteneciendo t a un intervalo [a,b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado y, el área A estará dada, entonces, por la integral
siendo x(t) siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad
se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad 2πx(t) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución. Si la curva está definida por la función y = f(x), la integral se transforma en
para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y
para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas. Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva x(t) = sen(t) y y(t) = cos(t) cuando t toma valores en el intervalo [0,π]. Su área, por tanto, será
Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:
Superficie de revolución. Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio. Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera. Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.
APLICACIONES DE LA FÍSICA E INGENIERÍA Entre las muchas aplicaciones del cálculo integral a la física y la ingeniería, se consideran dos aquí: fuerza debida a la presión del agua y centros de masa. Al igual que con nuestras aplicaciones anteriores a la geometría (áreas, volúmenes y longitudes) y al trabajo, nuestra estrategia consiste en dividir la cantidad física en un gran número de piezas pequeñas, aproximadamente cada pequeña parte, sumar los resultados, tomar el límite, y a continuación, evaluar la integral resultante.
HIDROSTÁTICA Los buzos de aguas profundas cuenta de que aumenta la presión del agua como buceo profundo. Esto es porque el peso del agua por encima de ellos aumenta. En general, supongamos que una placa delgada horizontal con metros cuadrados de área se encuentra sumergido en un fluido de densidad kilogramos por metro cúbico a un metros de profundidad bajo la superficie del líquido. El líquido directamente sobre la placa tiene un volumen, por lo que su masa es.
MOMENTOS Y CENTROS DE LA MASA Nuestro objetivo principal es encontrar el punto en que una placa delgada de cualquier forma dada saldos horizontal. Este punto se llama centro de masa (o centro de gravedad) de la placa. Cuando dos masas y se unen a una varilla de masa despreciable en los lados opuestos de un punto de apoyo y en las distancias y desde el punto de apoyo.
APLICACIONES A LA ECONOMÍA En esta sección se consideran algunas aplicaciones de la integración a la economía (excedente del consumidor) y la biología (el flujo sanguíneo, el gasto cardíaco). Otros se describen en los ejercicios.
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR La función de demanda es el precio que una compañía tiene que cobrar una comisión para vender unidades de un producto. Por lo general, la venta de grandes cantidades requiere bajar los precios, por lo que la función de demanda es una función decreciente.
Dividimos el intervalo en subintervalos, cada uno de longitud, y sea el extremo derecho del subintervalo de sesiones, como en la figura 2. Si, después de las primeras unidades se vendieron un total de unidades sólo había estado disponible y el precio por unidad se ha fijado en dólares, entonces las unidades adicionales podrían haber sido vendidos (pero no más). Los consumidores que han pagado dólares colocado un alto valor en el producto, sino que habría pagado lo que valía la pena para ellos. Así, en el pago de dólares sólo se han ahorrado una cantidad de (ahorro por unidades) (número de unidades) p .x- P.x
INTEGRACION APROXIMADA Existen dos situaciones en las cuales es imposible hallar el valor exacto de una integral definida.
La primera proviene del hecho de que para evaluar aplicando la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo se necesita conocer una primitiva f. Sin embargo en muchos casos hallar una primitiva es difícil o prácticamente imposible. Es imposible evaluar
o
bien La segunda situación surge cuando la función se determina a partir de una experiencia científica, la experiencia en un laboratorio, a través de lecturas de instrumentos o datos recogidos. En los dos casos planteados se pueden calcular los valores aproximados de la integral definida utilizando lo que se conoce como integración numérica o integración aproximada. Estos métodos emplean valores de f(x) en diversos puntos y son especialmente apropiados para computadoras y calculadoras. Un método para resolver estos casos ya lo conocemos dado que la integral definida se define como un límite de sumas de Riemann de modo que se podría utilizar cualquiera de las sumas de Riemann para aproximar la integral. También es posible utilizar la regla del punto medio, la regla trapezoidal o la regla de Simpson. El método más simple e intuitivo de integración aproximada es el método de los trapecios, en el que se sustituye la función o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las ordenadas (también se puede decir que se sustituye en cada tramo por un polinomio de primer grado). El procedimiento de cálculo consiste en hallar el área de los distintos trapecios entre ordenadas consecutivas y sumarlos todos. Aquí partimos de que la separación entre ordenadas consecutivas es siempre la misma, o sea, igual a alfa
Otro método es el de Simpson. Aquí en vez de cuerdas, sustituimos la función por un polinomio de segundo grado (función cuadrática). Al ser una curva suave su adaptación será mejor que en el método anterior. Puesto que aplicamos una función de segundo grado, podemos integrar esta función y buscar un sistema para que partiendo de las ordenadas y del intervalo de separación, podamos calcular el área.
INTEGRACION POR PARTES El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema: Eligiendo adecuadamente los valores de
y
integral.
, puede simplificarse mucho la resolución de la .
. Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:
. "Sentado ( de uniforme (
) un ( ) día vi (
) (=) un ( ) valiente ( ) soldado (
) vestido ( )
)" .
Eligiendo adecuadamente los valores de integral.
y
, puede simplificarse mucho la resolución de la
Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas: 1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S. Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES. 2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E. Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE. 3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L PET Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.
Cada regla de diferenciación tiene una regla de integración correspondiente. Por ejemplo, la sustitución Regla para la integración corresponde a la regla de la cadena para la diferenciación. La regla que se corresponde con la regla del producto para la diferenciación se llama la regla para la integración por partes. El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.
Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata. Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u. Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
INTEGRAL POR FUNCIONES TRIGONOMETRICAS En general, tratamos de escribir una poderes integrando la participación de seno y el coseno de un formulario en el que sólo tienen un factor de seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo uno de los factores del coseno (y el resto de la expresión en términos de seno). La identidad nos permite convertir de ida y vuelta entre los poderes, incluso del seno y del coseno Integrales que contienen solamente seno
Integrales que contienen solamente cos
Integrales que contienen solamente tan
Integrales que contienen solamente cot
Integrales que contienen sin y cos
también:
también:
también:
también:
también:
Integrales que contienen sin y tan
Integrales que contienen cos y tan
Integrales que contienen sin y cot
Integrales que contienen cos y cot
Integrales que contienen tan y cot
Integral de la Sec
INTEGRACION POR SUSTITUCION El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. [editar] Procedimiento práctico Supongamos que la integral a resolver es:
En la integral reemplazamos
con (u):
(1) Ahora necesitamos sustituir también Tenemos que
Se despeja
para que la integral quede sólo en función de
:
por tanto derivando se obtiene
y se agrega donde corresponde en (1):
Simplificando:
Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar
mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo. En este caso, como se hizo
: (límite inferior) (límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
Supongamos ahora que la integral a resolver es:
Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: la sustitución conveniente resulta ser
,
Entonces
por otra parte
o
la integral queda después de dicha sustitución:
:
y
En conclusión el área de un círculo o una elipse, un integrante de la forma surge, dónde. Si lo fuera, la sustitución sería eficaz, pero, tal y como está, es más difícil. Si cambia la variable a partir de la sustitución, a continuación, la identidad nos permite deshacerse de los signo de la raíz, porque Note la diferencia entre la sustitución (en el que la nueva variable es una función de la anterior) y la sustitución (la variable de edad es una función de la nueva). En general se puede hacer una sustitución de la forma mediante la regla de sustitución a la inversa. Para hacer nuestros cálculos más simples, se supone que tiene una función inversa, es decir, es uno a uno. En este caso, si reemplazamos por y en la regla de sustitución Este tipo de sustitución se llama sustitución inversa. Podemos hacer la sustitución inversa, siempre que se define una función uno a uno. Esto se puede lograr mediante la restricción de estar en el intervalo. En la tabla siguiente lista de sustituciones trigonométricas que son eficaces para las expresiones dadas por radicales de las identidades trigonométricas especificado. En cada caso, la restricción a se impone para garantizar que la función que define la sustitución es de uno a uno.
CRITERIO DE LA INTEGRAL DE CAUCHY Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces
converge si y sólo si
es finita.
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie
Converge sí y sólo sí la integral
Converge. Se repasa el planteo tradicional del Criterio de la Integral para la convergencia de series (con las hipótesis de que la función en cuestión sea continua, positiva y decreciente, y la conclusión de que la serie y la integral impropia convergen ambas o divergen ambas). Se muestran ejemplos en los que fallan una o más de las hipótesis y la conclusión del criterio falla. Se demuestra que son innecesarias las hipótesis de continuidad y positividad, y finalmente que basta con una condición aún más débil que la de que la función sea decreciente. Los resultados se aplican tanto a la equivalencia entre la convergencia de la serie y la convergencia de la integral impropia como a la fórmula para la cota del error en las sumas parciales cuando la serie converge. Estudiar las series infinitas, uno de los primeros criterios de convergencia que se presentan es el Criterio de la Integral. Su planteo tradicional dice, a grandes rasgos, que si continua, positiva y decreciente en converge si y sólo si la serie
es una función
, entonces la integral impropia converge.
En este artículo veremos que las hipótesis de continuidad y positividad son innecesarias. Con sólo suponer que
sea decreciente ya se puede demostrar la equivalencia entre las convergencias de
la integral y de la serie. Y hay más: resulta que ni siquiera es necesario que sea decreciente. Veremos que hay una condición aún más débil que sigue siendo suficiente en el Criterio de la Integral, pero reservamos los detalles para la última sección.
INTEGRACION POR AREA ENTRE CURVA Recordemos que el desarrollo del Cálculo Integral se originó en parte para calcular el área bajo una curva. El cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] nos llevó a definir una sumatoria de Riemann y el área entre la curva y el eje horizontal se calculó tomando el límite de la suma de Riemann cuando n---> . Todo esto fue para f(x)>0 en [a,b]. El área entre una curva y el eje x Sea f(x) 0 en el intervalo [a,b]. Entonces la altura del k-ésimo rectángulo es f(xk) y el área bajo la curva es igual al valor de la Integral Definida de f(x) desde a hasta b. Observa la siguiente gráfica.
Valor de la integral definida = 8.0 Área entre la curva y el eje horizontal = 8.0
El caso en que f(x)<0 en el intervalo [a,b] Si f(x)<0 en [a,b] la situación cambia. En este caso la altura del rectángulo es el negativo del número f(x), puesto que el área del rectángulo (y cualquier área) debe ser positiva. Observa la siguiente gráfica.
Valor de la integral definida = -8.0 ¡NEGATIVO! Área entre la curva y el eje horizontal = 8.0
Como hemos visto, el área entre la curva y el eje x no siempre es lo mismo que la integral definida. Depende de si f >0 o si f<0 en el intervalo de interés. Enseguida definiremos de una vez por todas el área entre la gráfica de y=f(x) y el eje x en un intervalo dado.
Definición de área: Sea f(x) continua en [a,b]. El área entre la gráfica de y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] se define como la integral definida en [a,b] del valor absoluto de f(x).
En el siguiente ejemplo verás el cálculo del área entre una curva y el eje x.
Dentro del intervalo (0,1.5), las curvas: y = 1 - x3 y y = 0 se intersectan en x = 1. f(x)= 1 - x3 ; g(x)= 0 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {0.75, 0.515625} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 0.75 + 0.515625 = 1.26563
AREA ENTRE DOS CURVAS En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas. El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b]. Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.
f(x)= 3x3 - x2 - 10x
g(x)= - x2 + 2x
Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.
1.
Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)). 2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas. 3.
4.
Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).
En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia).
Definición de área entre dos gráficas: El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].
Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas. Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1 se intersectan en x = -1, 1. f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:
4 + 4 + 4 = 12
Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas: y = -x2/3+1 y y = x2/3 se intersectan en x = 1. f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 1.6 + 0.15867 = 1.75867
Otros métodos: Rectángulos horizontales. El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas.
Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)1/2.
En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X2 - X1 y de altura
y.
X2 es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y2) y X1 es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1. y=1 [3 - y2 - (y+1)] dy
Entonces el área entre las curvas es igual a y=-2
Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y2) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:
9
a
Area entre las curvas = b
A = ∫ [ f ( x) −2 g ( x)] dx a
b
A = ∫ [ f ( x) − 0] dx a
b
A = ∫ f ( x)dx
a
b
b
A = ∫ [ 0 − f ( x )] dx a
b
A = − ∫ f ( x )dx a
a
ó b
A=
∫ f ( x)dx a
f ( x )
b
INTEGRACION - VOLUMENES Al tratar de encontrar el volumen de un sólido que nos enfrentamos el mismo tipo de problema como en la búsqueda de áreas. Tenemos una idea intuitiva de lo que significa el volumen, pero debemos hacer que esta idea precisa mediante el cálculo para dar una definición exacta del volumen. Empezamos con un tipo simple de sólido llamado cilindro (o, más exactamente, un cilindro de la derecha). Un cilindro está limitada por una región plana, llamada la base, y una región congruentes en un plano paralelo. El cilindro se compone de todos los puntos en los segmentos de línea que son perpendiculares a la base y se unen para. Si el área de la base y es la altura del cilindro (la distancia de a), entonces el volumen del cilindro se define como En particular, si la base es un círculo de radio, el cilindro es un cilindro circular con el volumen y si la base es un rectángulo con una longitud y anchura, el cilindro es una caja rectangular (también llamado un paralelepípedo rectangular) con volumen
VOLÚMENES DE CONCHAS CILINDRICO Algunos problemas de volumen son muy difíciles de manejar por los métodos de la sección anterior. Por ejemplo, consideremos el problema de encontrar el volumen del sólido obtenido al girar sobre el eje de la región limitada por y. Si segmento perpendicular al eje y, obtenemos una lavadora. Sin embargo, para calcular el radio interior y el radio exterior de la lavadora, tendríamos que resolver la ecuación cúbica de x en términos de y, que no es fácil. Afortunadamente, hay un método, llamado método de los depósitos cilíndricos, que es más fácil de usar en este caso. El volumen se calcula restando el volumen del cilindro interior del volumen del cilindro exterior:
SERIE DE TAYLOR En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:
sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
The La función explonencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: • • •
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. •
Definición La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera más compacta como
donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
Historia El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después. En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama.[3] A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente. En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre. Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.
Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables
La función coseno.
Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.
Las dos imágenes de arriba puestas juntas. A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones importantes. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x. Función exponencial y logaritmo natural
Serie geométrica
Teorema del binomio
para y cualquier
complejo
Funciones trigonométricas
Donde Bs son los Números de Bernoulli.
Funciones hiperbólicas
Función W de Lambert
Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.
Varias variables La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables:
donde es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:
Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:
donde
Aplicaciones
es el gradiente y
es la matriz hessiana. Otra forma:
Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones. Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.
El Teorema de Taylor fue enunciado por Brook Taylor en 1712, y permite aproximar una función en un entorno de un punto donde la función sea diferenciable por aproximaciones polinómicas. Si n ≥ 0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:
Donde denota el resto de de aproximar f por el polinomio depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a. y es un número entre a y x. En general si la (n+1) derivada de f está acotada por una constante M en el intervalo (a,b) que se menciona en el teorema de Taylor, es decir, si para todo x en (a,b) entonces Cuando n crece indefinidamente entonces Para algunas funciones se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando n tiende a infinito. Dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor del punto a y se llaman funciones analíticas. En el caso a=0 tenemos y a esta expresión la llamamos fórmula de Mac Laurin.
SERIE MATEMATICA En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si a infinito; converge si
para algún
no existe o si tiende .
Algunos tipos de series •
Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):
En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:
•
La serie armónica es la serie
.
La serie armónica es divergente. •
Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
•
Una serie telescópica es la suma manera:
, donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
•
Una serie hipergeométrica[1] es una serie de la forma
, que cumple que
=
. Sumas conocidas Artículo principal: Fórmula de Faulhaber
Criterios de convergencia Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).
Condición del resto Artículo principal: Test de divergencia
Para que una serie
sea divergente, una condición suficiente es que
. Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero. [editar] Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón) Artículo principal: Criterio de d'Alembert
Sea una serie
, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
con
, el Criterio de D'Alembert establece que: • •
si L < 1, la serie converge. si L > 1, entonces la serie diverge.
•
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe. Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie
, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe , siendo
Entonces, si: • •
L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente.
•
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
Criterio de Raabe En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.
Sea una serie
, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz. Criterio de la integral de Cauchy Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces
converge si y sólo si
es finita.
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie
converge sí y sólo sí la integral
converge. Criterio de condensación de Cauchy Artículo principal: Criterio de condensación de Cauchy
Sea serie
una serie monótona de números positivos decrecientes.
converge si y sólo si la
converge. Criterio de Leibniz
Una serie de la forma (con cumplen las siguientes condiciones: a)
) se llama alternada. Tal serie converge si se
para n par y n impar
b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:
Si esto se cumple, la serie diverge.
es condicionalmente convergente de lo contrario la serie
Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de criterio, usando los criterios para series positivas.
antes de aplicar este
Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra serie como la divergencia para la serie geométrica. Entonces:
tal que se conozca su condición, tal
Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss ) Si •
Si
converge
•
Si
diverge
converge diverge
Criterio de comparación por paso al límite del cociente
Entonces:
•
Si L = 0 y
converge
•
Si
•
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).
y
converge
diverge
diverge
Convergencia absoluta Artículo principal: convergencia absoluta Una serie alternada an converge absolutamente si
CONVERGENCIA En análisis matemático, el concepto de convergencia hace referencia a la propiedad que poseen algunas sucesiones numéricas de tender a un límite. Este concepto es bien general y dependiendo de la naturaleza del conjunto donde se encuentre definida la sucesión, puede adoptar varias formas. Tipos de convergencia Los varios tipos de convergencia se obtiene principalmente por hacer modificaciones menores en la definición básica. He aquí los tipos de convergencia más comunes: (Las diferencias entre sus definiciones y la definición básica se marca en cursiva.) Convergencia puntual El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular. Una sucesión de funciones espacio métrico
para cada
definidas en un conjunto no vacío
converge puntualmente a una función
con valores en un si
fijo. Esto significa que
(5) La sucesión de funciones puesto que
con
converge puntualmente a la función
para cada
fijo.
Convergencia uniforme Una sucesión de funciones espacio métrico existe un entero
para todo
definidas en un conjunto no vacío
converge uniformemente a una función (que depende de ) tal que
y todo
con valores en un si para todo
. Es decir,
(6) El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5), puede depender de y de mientras que en (6), sólo puede depender de . Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones por
definidas
. Esta sucesión converge puntualmente a la función
ya que
mientras que pues para
Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, no existe un
que satisfaga (5).
De especial interés es el espacio de las funciones continuas En este caso, una sucesión de funciones función
definidas sobre un compacto converge uniformemente a una
si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,
Convergencia uniforme sobre compactos
Convergencia débil Una sucesion se dice que converge debilmente a x o en sentido debil si para toda funcional lineal f, f(Xn) converge a x. Por ejemplo la serie 1/n desde n=1 hasta infinito converge débilmente a cero. Pues: lim f(1/n) = lim n/n*f(1/n) = lim 1/n*f(n/n) = lim 1/n*f(1) = 0 Todo esto, pues f es lineal.
SERIE ALTERNADA En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo
con an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada. Una condición suficiente para que la serie converja es que sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aún así son convergentes. Por ejemplo, la serie armónica
diverge, mientras que su versión alternada
converge al logaritmo natural de 2. Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión an es monotona decreciente y tiende a cero, entonces la serie
converge. Se puede utilizar la suma parcial
para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si an es monótona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta aproximación resulta ser menor que an + 1. Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la serie real
converge condicionalmente, entonces para todo número real β existe un reordenamiento σ de la serie tal que
Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:
Una forma posible de reordenar la serie es (los paréntesis en el primer renglón están únicamente para mejorar la comprensión):
Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ es correcto.