Методические указания
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Омск - 2010
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методические указания к выполнению графических заданий
Омск Издательство ОмГТУ
2010 2
Составители: Т. А. Макушева, ст. преподаватель; Н. В. Кайгородцева, доцент
В методических указаниях содержатся рекомендации и исходные данные для выполнения графических заданий по дисциплине «Начертательная геометрия». Указания способствуют приобретению навыков построения и графического оформления чертежей различных геометрических моделей, основанных на ортогональном проецировании. Предназначены для студентов направления 130500.62 «Нефтегазовое дело» специальности 130501 «Проектирование, сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ» и направления 240100.62 «Химическая технология и биотехнология» специальности 240401 «Химическая технология органических веществ» всех форм обучения, в том числе и дистанционной.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета
3
© ГОУ ВПО «Омский государственный технический университет», 2010
Задание 1. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПИРАМИДЫ Цель выполнения: 1. Закрепить знание способов формирования изображений различных геометрических элементов – точек, прямых, плоскостей, поверхностей, основанных на ортогональном проецировании. 2. Приобрести навыки построения и чтения технических чертежей, которые представляют собой графические модели конкретных инженерных изделий. 3. Овладеть алгоритмами и приемами решения задач на чертежах геометрических объектов. 4. Приобрести навыки конструктивно-геометрического представления и анализа формы и положения геометрических элементов. Содержание: 1. Построить военную проекцию и ортогональные проекции пирамиды SABCD по заданным координатам вершин S, A, B, C, D. 2. Провести анализ расположения геометрических элементов пирамиды SABCD (вершин, ребер и граней) относительно плоскостей проекций. Оформление: Графические задания выполняются на листах формата А3 (297×420) и А4 (210×297) (рис. 1). На каждом листе вычерчивается внутренняя рамка сплошной толстой основной линией.
Рис. 1. Параметры форматов графических работ
4
В правом нижнем углу выполняется основная надпись по ГОСТ 2.104-68 (рис. 2).
Рис. 2. Основная надпись
Все построения на чертежах выполняются с соблюдением типов линий, установленных ГОСТ 2.303-68. Условие задачи и результаты решения выполняются сплошной толстой основной линией. Вспомогательные построения выполняются сплошной тонкой линией и сохраняются на чертеже для демонстрации хода решения задачи. Невидимый контур при необходимости показывают штриховыми линиями. При изображении фигур, участвующих в условии задачи, необходимо придерживаться той формы и взаимного расположения, которые указаны на образцах выполнения задания. Все надписи на чертеже должны быть выполнены чертежным шрифтом размером 3,5 и 5 в соответствии с ГОСТ 2.304-81. Пример выполнения графического задания «Построение и анализ геометрических элементов пирамиды» приведен на рисунке 4. Методические указания: Исходными данными являются координаты вершин пирамиды SABCD (заданы в мм). Они выбираются из таблицы 1 в соответствии с вариантом. Построения следует выполнять в масштабе 1:1. В левой части формата А3 вычерчивается аксонометрическая проекция первого октанта пространства, а в правой – их ортогональные проекции. По заданным координатам x, y, z точек S, A, B, C, D строится военная проекция. Военная проекция (cavalier) – вид аксонометрической проекции с вертикальной осью Z, горизонтальной X и осью Y, расположенной под углом 45°, – имеет коэффициент искажения, равный единице. Данный вид 5
проекции не относится к визуально точным видам аксонометрии, но она является наиболее простой в отношении построения. Соединив соответствующие точки (AB-BC-CD-DA-SA-SB-SC-SD) с учетом видимости, получим изображение пирамиды SABCD. Далее соединив в той же последовательности одноименные проекции этих точек A1B1-B1C1-C1D1-D1A1-S1A1S1B1-S1С1-S1D1, A2B2-…-S2D2 и A3B3-…-S3D3 на чертеже, получим соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции пирамиды SABCD. Пирамида представляет собой гранную поверхность, состоящую из простейших геометрических элементов – вершин (точек), ребер (отрезков прямых) и граней (отсеков плоскостей). Вторая часть задания заключается в проведении анализа расположения ребер и граней пирамиды относительно плоскостей проекции. Например, ребро SA расположено на чертеже перпендикулярно горизонтальной плоскости проекции, следовательно, SA называется горизонтально-проецирующей прямой. Названия ребер и граней, определенных в результате анализа положений, заносятся в таблицу (рис. 3). Таблица выполняется на листе формата А4 и состоит из трех частей. В первой части содержится количественный анализ элементов пирамиды, во второй – анализ положений ребер, в третьей – анализ положений граней. Количественный анализ Количество вершин Количество ребер Количество граней Анализ положений ребер SA SB SC SD AB BC CD DA Анализ положений граней SAB SBC SCD SDA ABCD Рис. 3. Таблица анализа положения элементов пирамиды
6
Таблица 1
Исходные данные задания «Построение и анализ геометрических элементов пирамиды» № S A вар. X Y Z X Y Z 1 95 65 20 53 25 90
B X Y Z 95 25 90
C X Y Z 95 65 90
D X Y Z 30 65 90
2
30 64 20 50 27 100 30 27 100 30 64 100 102 64 100
3
40 15 65 95 75 25
40 75 25
40 75 65
70 75 65
4
100 20 30 25 50 75
25 20 75
25 20 30
25 65 30
5
92 12 75 25 59 25
25 12 25
25 12 75
25 50 75
6
22 20 90 88 43 22
88 20 22
22 20 22
22 55 22
7
103 25 75 27 70 20
27 70 75
27 25 75
27 25 45
8
25 25 80 90 72 33
90 25 33
90 25 80
90 58 80
9
96 16 20 25 65 50
25 65 20
25 16 20
25 16 72
10 102 62 24 20 12 72
20 12 24
20 62 24
20 62 58
11
25 65 102 60 27 23
25 27 23
25 65 23
95 65 23
12
25 20 100 95 60 20
95 20 20
25 20 20
25 45 20
13
25 62 98 95 30 20
25 30 20
25 62 20
75 62 20
14
25 67 107 90 24 23
90 67 23
25 67 23
25 40 23
15
21 75 25 70 18 60
21 18 60
21 18 25
90 18 25
16
90 80 20 20 16 71
20 16 20
90 16 20
90 16 53
17
21 75 15 87 16 43
87 16 15
21 16 15
21 16 62
7
100 20 30
28 20 30
18 100 75 30 55 20 70 100 20 19
26 65 10 95 30 88
26 30 88
26 65 88
70 65 88
20
92 25 15 25 70 95
25 25 95
92 25 95
92 52 95
21
25 65 15 60 22 88
25 22 88
25 65 88
94 65 83
22
85 25 73 30 64 25
85 64 25
85 25 25
47 25 25
23
92 60 32 35 36 92
35 60 92
92 60 92
92 22 92
24
38 68 20 90 19 92
90 68 92
38 68 92
38 43 92
7
Перв. примен.
A2 =D2
S A B C D
A1 D1
D
Координаты X Y Z 20 20 90 90 20 20 20 20 20 20 90 20 90 60 20
A B1 =S1
B2 =C2
S2
B
S
Z
C1
C
A3 = B3 D3
S3
C3 Y
X
Н.контр. Утв.
Изм. Лист № докум. Подп. Дата Разраб. Сидоров А.А . Пров. Петрова И.И. Т.контр.
D1
A1
A2 =D2
C1
S3
D3
Копировал
Y
Листов
1:1
Масса Масштаб
C3
Формат
A3
ОмГТУ, гр. ХТ-119
Лист
Лит.
А8.ГР.01.33.00.000
Y
A3 = B3
Z
Построение и анализ геометрических элементов пирамиды
B1 =S1
B2 =C2
S2
Рис. 4. Пример выполнения задания «Построение и анализ геометрических элементов пирамиды»
КОМПАС-3D LT V10 (некоммерческая версия)
X
Точки
Справ. №
КОМПАС-3D LT (с) 1989-2008 ЗАО АСКОН, Россия. Все права защищены. Подп. и дата Взам. инв. № Инв. № дубл. Подп. и дата Инв. № подл.
А8.ГР.01.33.00.000
8
Задание 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА Цель выполнения: 1. Закрепить знания по применению способов преобразования комплексного чертежа. 2. Приобрести навыки практического применения способов преобразования комплексного чертежа. 3. Овладеть алгоритмами и приемами решения задач на определение метрических характеристик геометрических объектов. Содержание: Задание содержит две задачи на определение метрических характеристик геометрических объектов. 1. Решить одну задачу из группы задач на определение расстояний: 1) Определить расстояние от точки А до прямой ВС. 2) Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС. 3) Определить кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD. 4) Определить расстояние от прямой DC до плоскости треугольника АВС. 5) Построить точку, равноудаленную от вершин треугольника АВС. 2. Решить одну задачу из группы задач на определение натуральной величины углов: 1) Определить величину угла между двумя пересекающимися прямыми АВ и АС. 2) Определить угол между прямой АВ и горизонтальной плоскостью проекции. 3) Определить линейный угол двугранного угла ABCD. 4) Определить угол между прямой АВ и плоскостью треугольника DE. 5) Определить угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD. Оформление: Задание выполняется на листе формата А3, координаты точек приведены в таблице 2. Пример выполнения графического задания «Преобразования комплексного чертежа» приведен на рисунке 7. Методические указания: Задачи на определение расстояний между прямой и плоскостью, между плоскостями, между параллельными прямыми и скрещивающимися прямыми сводятся к решению задачи на определение расстояния между точкой и плоскостью. 9
Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Это определение положено в основу алгоритма графического решения задачи определения расстояния от точки до прямой. Решение задачи на определение величины плоского угла сводится к перемещению плоскости общего положения, которой принадлежит угол, в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции, так как плоский угол проецируется на плоскость проекций без искажения в случае, когда его стороны параллельны этой плоскости. Определение угла между прямой и плоскостью и скрещивающимися прямыми, сводится к нахождению угла между двумя прямыми. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на данную плоскость. Решение данной задачи значительно упрощается, если определять не угол между прямой и плоскостью, а дополнительный к нему угол до 90° (угол между прямой и перпендикуляром на эту плоскость). Углом между скрещивающимися прямыми называется плоский угол, который образуется между прямыми, проведенными из произвольной точки пространства параллельно данным скрещивающимся прямым. Поэтому решение по определению величины угла между скрещивающимися прямыми, по существу, ничем не отличается от решения задачи по определению угла между пересекающимися прямыми. Единственное отличие состоит в том, что на первой стадии решения необходимо построить плоский угол, являющийся аналогом искомого угла. Для этого через произвольную точку, которую принимаем за вершину угла, проводим две прямые, параллельные заданным скрещивающимся прямым. Чтобы не происходило наложения линий вспомогательных построений на исходные данные задачи, точку, которую принимаем за вершину угла, следует брать на свободном месте поля чертежа. Пример 1. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD. Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые. Последовательность решения (рис. 5): 1. Одну из скрещивающихся прямых, например АВ, перевести в положение параллельное плоскости П4; для этого необходимо заменить систему плоскостей проекций П2/П1 новой П1/П4, при этом ось Х1 проводится параллельно горизонтальной проекции прямой АВ. Строятся [А4В4] и [C4D4], [А4В4] есть натуральная величина отрезка прямой АВ. 10
2. В результате замены плоскости П1 плоскостью П5 прямая АВ занимает положение, перпендикулярное плоскости П5 (новая ось Х2 проводится перпендикулярно А4В4). Строится проекция С5D5. 3. Расстояние от точки А5≡В5 до прямой C5D5 (отрезок [А5М5]) является искомым. A2
D2 М2
C2
B2
П2 XП 1 С1 X1 П1 П4
М1
D1
C5
A1 М5 B1
С4
A5 =B5 М4
D5
B4
А4 D4 П5 X 2 П4 Рис. 5. Пример решения задачи на определение расстояния
Пример 2. Определить угол между двумя пересекающимися прямыми AB и BD. Решение задачи сводится к перемещению плоскости общего положения, которой принадлежит угол, в положение, параллельное какойлибо плоскости проекции. Данную задачу можно решить вращением вокруг линии уровня, принадлежащей заданной плоскости. Последовательность решения (рис. 6): 1. В плоскости, определяемой пересекающимися прямыми AB и BC, проводится горизонталь h (h1,h2). 2. Плоскость (AB ∩ BC) необходимо повернуть вокруг ее горизонтали h до нового положения, параллельного П1. Точки А и С принадлежат 11
оси вращения, поэтому при вращении плоскости вокруг оси h они не изменят своего положения. Следовательно, для определения нового положения плоскости достаточно осуществить поворот только одной точки – точки В. 3. Через точку В вводится плоскость вращения, перпендикулярная оси вращения – горизонтали. На чертеже это будет прямая (след плоскости вращения), перпендикулярная h1 и проходящая через B1. 4. Определяется центр вращения – точка О (О1,О2). Точка О1 на горизонтальной проекции определяется как точка пересечения h1 и следа плоскости вращения. Затем строится О2 h2. 5. Проекции О1В1 и О2В2 – соответственно горизонтальная и фронтальная проекции радиуса вращения точки В. Способом прямоугольного треугольника (или другим способом) определяется натуральная величина радиуса вращения: R=|О1В1|. 6. Из центра О1 радиусом О1В0 проводим дугу окружности до пересечения со следом плоскости вращения Q. Получим точку B'1. Угол A1B'1C1 – искомый.
B2
A2
O2
C2 h2
X B1 B0 A1
O1 h1 C1
Q1
B'1
Рис. 6. Пример решения задачи на определение величины угла
12
Таблица 2
Исходные данные задания «Преобразования комплексного чертежа» № вар. 1
A(x,y,z)
B(x,y,z)
18,10,90
83,79,25
2
20,12,92
3
C(x,y,z)
D(x,y,z)
E(x,y,z)
K(x,y,z)
140,48,82 65,85,110
0,35,20
120,0,50
85,85,25
135,50,85 70,85,110
0,35,20
110,0,45
15,10,85
80,80,20
130,50,80 70,80,105
0,30,20
118,0,50
4
15,12,88
85,80,25
130,50,80 75,85,110
0,30,15
120,0,44
5
18,12,80
83,80,25
120,55,85 75,85,110
0,35,20
120,0,50
6
10,90,10
83,25,79
135,83,48 67,110,85
0,19,36
121,52,0
7
18,40,75
83,117,6
135,47,38
67,20,0
0,110,48
121,78,86
8
18,75,40
83,10,107 135,38,47
67,0,20
0,48,110
115,86,75
9
120,75,40 52,10,100
0,38,47
135,0,20
86,48,110
15,65,75
10
120,90,9
55,25,75
0,85,45
65,110,85 130,20,35
15,50,0
11
110,85,15
50,25,80
10,85,60
70,100,85 135,20,35
15,50,0
12
20,45,70
85,110,10 125,40,30
13
115,90,10
50,25,80
0,80,45
65,105,80 130,18,35
15,50,0
14
120,85,5
50,20,75
5,85,50
70,100,85 120,20,32
10,50,0
15
115,10,90
52,80,25
0,50,85
65,85,110 135,35,20
15,0,52
16
110,5,85
50,80,25
0,50,85
70,80,110 111,20,20
15,0,50
17
120,10,90
45,85,20
5,55,85
65,80,110 130,35,20
12,0,52
18
105,8,85
40,78,25
0,46,80
70,85,100 125,35,15
10,0,60
19
15,10,90
80,85,20
20
117,75,40
50,5,105
21
15,15,85
80,84,20
22
15,85,15
88,20,84
23
105,10,80
45,85,20
0,55,80
65,85,105 106,25,15
10,5,45
24
110,85,20
45,20,90
0,75,55
60,100,90 125,13,45
10,45,10
65,15,0
130,50,85 75,85,110
5,115,50
110,70,80
0,35,20
110,0,45
80,45,110
20,70,75
135,53,77 60,90,105
0,40,15
115,5,45
140,78,53 72,105,90
0,14,44
126,47,5
0,40,45
13
125,0,10
Перв. примен.
Справ. №
X1 П1 П4
П2 XП 1
А4
С4
С1
C2
М4
A1
A2
М1
D4
М2
B4
B2
B1
D1
D2
A5 =B5
C5 М5
Н.к онтр. Утв.
Изм. Лист № докум. Подп. Дата Разраб. Сидоров А.А. Пров. Петрова И.И. Т.к онтр.
D5
X
A1
A2
B'1
B1
C1
B0
C2
h1
h2
Копировал
Преобразования комплексного чертежа
Листов
1:1 1
Масса Масштаб
Формат
A3
ОмГТУ, гр. ХТ-119
Лист
Лит.
А8.ГР.02.33.00.000
O1
O2
B2
Определить величину угла между пересекающимися прямыми АВ и BC
Рис. 7. Пример выполнения задания «Преобразования комплексного чертежа»
КОМПАС-3D LT V10 (некоммерческая версия)
КОМПАС-3D LT (с) 1989-2008 ЗАО АСКОН, Россия. Все права защищены. Инв. № подл. Подп. и дата Взам. инв. № Инв. № дубл. Подп. и дата
Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD
Q1
А8.ГР.02.33.00.000
14 П5 X 2 П4
Задание 3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ Цель выполнения: 1. Изучение и практическое применение правил изображения простейших геометрических форм и их сочетаний. 2. Приобретение навыков построения сечений различных поверхностей плоскостью. 3. Использование знаний методов преобразования чертежа для определения натуральной величины плоских фигур. 4. Приобретение навыков построения аксонометрических проекций по заданным ортогональным проекциям. Содержание: 1. Построить три проекции фигуры, составленной из различных геометрических поверхностей и рассеченных проецирующей плоскостью Q. 2. Определить натуральную величину сечения. 3. Построить изометрическую проекцию усеченной части фигуры. Оформление: Задание выполняется на листе формата А3, исходные данные приведены в таблице 3. Пример выполнения графического задания «Пересечение поверхностей плоскостью» приведен на рисунке 8. Методические указания: В центральной части формата расположить оси координат для построения трех проекций фигуры. Слева необходимо оставить место для определения натуральной величины сечения, а справа – для построения аксонометрического изображения. Решение задачи рекомендуется начинать с построения проекций фигуры. По данным таблицы 3 строятся горизонтальная и фронтальная проекции. При этом рекомендуется горизонтальную проекцию располагать отстоящей от оси координат на 10–15 мм, а фронтальную – по оси Х. Затем по двум заданным проекциям строится профильная проекция фигуры. Во всех вариантах фигура представляет собой сложную поверхность, состоящую из простейших – многогранника и поверхности вращения. Многогранники являются правильными, поэтому для построения их основания задан диаметр описанной окружности. Решение задачи рекомендуется начинать с анализа чертежа. В сечении фигуры фронтально-проецирующей плоскостью Q получается плоская ли15
ния, состоящая из многоугольника – сечения многогранника и дуг кривой второго порядка – сечения поверхности вращения второго порядка. Частное расположение секущей плоскости определяет фронтальную проекцию линии сечения. Построение горизонтальной и профильной проекции рекомендуется начинать с опорных точек линии сечения. Затем последовательно строятся участки линии сечения: – пересечение многогранника плоскостью; – пересечение промежуточного основания фигур – совпадающих верхнего основания одной поверхности и нижнего – другой плоскостью; – пересечение поверхности вращения плоскостью. Многоугольник, получаемый в сечении многогранника, определяется пересечением ребер и граней поверхности многогранника с плоскостью сечения. Промежуточное основание пересекается с плоскостью сечения по фронтально-проецирующей прямой, на которой выделяются участки между основаниями каждой из поверхностей, составляющих заданную фигуру. Натуральная величина сечения определяется любым способом преобразования комплексного чертежа: заменой плоскостей проекций, плоскопараллельным перемещением (рис. 8), совмещением и др. Для решения этой задачи достаточно одного преобразования, так как плоскость сечения является плоскостью частного положения. При этом плоскость сечения необходимо преобразовать в плоскость уровня, т. е. расположить параллельно одной из плоскостей проекций. Для построения аксонометрической проекции фигуры рекомендуется применять стандартные диметрическую или изометрическую проекции. В изометрии все коэффициенты искажения по осям координат равны между собой. Они при масштабе 1,22:1 равны единице. Это значительно упрощает построения, но при этом возможны зрительные искажения форм. Поэтому в вариантах, где многогранник – четырехугольная призма или пирамида, рекомендуется использовать диметрию с масштабом 1,06:1, при котором коэффициенты искажения по осям х и у равны единице, а по оси z равен 0,5. Рекомендуется ось z аксонометрической проекции совместить с осью фигуры, разместив начало координат в нижнем основании. Построение каждой точки фигуры осуществляется по трем ее координатам х, у, z, определяемым по комплексному чертежу. В практике наиболее распространен способ построения аксонометрической проекции точки по ее вторичной проекции. 16
Окружности основания поверхностей вращения отображаются в аксонометрии в виде эллипсов, которые можно построить по восьми точкам: четыре – это точки окружности, расположенные на осях х и у, а четыре другие – определяются с помощью большой и малой оси эллипсов. При графическом оформлении задания сохраняются все построения. Обозначать можно только опорные точки. В аксонометрии линии невидимого контура можно не показывать. Таблица 3
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей плоскостью»
1
2
Q2
3
Q2
75 35
35
5 5
50
60
X
40
75
75
Q2
X
X
Q1
85
4
50
60
Q1
90
Q1
90
5
6 Q2
Q2
70
65
70
Q2
55
40
45 X
X
Q1
20
Q1
50
60
90
Q1
74
45
4 5
X
68
17
90
Продолжение табл. 3
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей плоскостью»
8
Q2
9
Q2
75
75
Q2
80
7
35
35 X
X
50
Q1
90
11
Q2
12 Q2
70
75
Q2
40
40
X
50
5 5
55
X
X
50
Q1
Q1
90
Q1
60
60
90
90
14
Q2
50
15
Q2
70
75
75
Q2
55 35
30
35
50
X
X
X
Q1
Q1
60
90
50
60
40
70
10
Q1
80
85
90
13
50
60
Q1
66
Q1
5 5
50
35
50
X
76 90
18
90
Окончание табл. 3
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей плоскостью»
16
17
18
Q2
Q2
70
70
Q2
35
40
40 35
55
60
X
X
X
Q1
90
90
20
21
Q2
Q2
75
70
Q2
90
70
19
60
70
Q1
70
Q1
40
35
55
40
5 5
60
X
X
X
Q1
90
90
22
60
Q1
60
Q1
23
24
Q2
Q2 70
65
60
Q2
90
40
X
X
Q1
68
Q1
30
90
60
Q1
90
19
74
45
50
55
60
X
90
Перв. примен.
Справ. №
20
1'1
2'' 1
2'''1
3''1
4''1
4''' 1
3''' 1
7' 1
Q1
11
12
21
41
2'1 3'1 4' 1
22
51
61
5'1 6' 1
52
31
32=42
62
71
72
Q2
У
Z
4'3 13
73
X
43
Н.контр. Утв.
2'
63 53
Изм. Лист № докум. Подп. Дата Разраб. Сидоров А.А. Пров. Петрова И.И. Т.контр.
3'3 2'3
6'3 5'3
5'
6'
Z
4
1
2
5 3
6
7
1,22:1
120
Z
У
У
Листов
1:1
Масса Масштаб
1
Формат
A3
ОмГТУ, гр. ХТ-119
Лист
Лит.
А8.ГР.03.33.00.000
4'
У
1
Пересечение поверхностей плоскостью
1
Копировал
3'
33 23
X
12 0
Рис. 8. Пример выполнения задания «Пересечение поверхностей плоскостью»
5'' 1
6''1
6'''1
5'''1
2''2 3''2=4'' 2 5''2 6''2 7''2
КОМПАС-3D LT V10 (некоммерческая версия)
X
1''2
А8.ГР.03.33.00.000
КОМПАС-3D LT (с) 1989-2008 ЗАО АСКОН, Россия. Все права защищены. Подп. и дата Взам. инв. № Инв. № дубл. Подп. и дата Инв. № подл.
120
Задание 4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Цель выполнения: Применение знаний студентов, полученных по теме «Пересечение поверхностей» для построения линий пересечения гранных поверхностей. Содержание: 1. Построить три проекции заданных гранных поверхностей. 2. Выполнить все необходимые построения, связанные с нанесением линий пересечения на проекции пересекающихся гранных поверхностей. Оформление: Задание выполняется на листе формата А3, исходные данные приведены в таблице 4. Пример выполнения графического задания «Пересечение гранных поверхностей» показан на рисунке 9. Методические указания: В центральной части формата расположить оси координат. Построить заданные горизонтальную и фронтальную проекции поверхностей. Рекомендуется горизонтальную проекцию располагать отстоящей от оси х и у на 10…15 мм, а фронтальную по оси Х. Затем строится профильная проекция заданных поверхностей. Линии пересечения гранных поверхностей определяются по точкам пересечения ребер каждой из них с гранями другой поверхности. Соединив каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получим линию пересечения гранных поверхностей. Видимыми являются только те стороны многоугольника пересечения, которые принадлежат видимым граням поверхностей. Возможны два случая пересечения – врезание и проницание.
21
Таблица 4
Исходные данные задания «Пересечение гранных поверхностей»
X
X
X
5
60
110 100
80
100
60
100
45
90
X
60
60
60
110
6 110
5 110
4
100
X
X
80
96
110
96
110
110
80
80
80
80
70 10
30
45
100
110
3 110
2
70
45
1
60
90
100
10 100
100
94
94
22
92
15
X
96
100
X
60
70
X
45
20
9 100
8 100
7
40
100
Продолжение табл. 4
Исходные данные задания «Пересечение гранных поверхностей»
X
50
60
65
100 70
12 100
11 100
10
X
X
38
60
94
96
40
60
100
96
100
70
110
10
10
45
70
40
15 110
14 100
13
X
X
35
90
100
95
60
92
100 96
80
X
X
X
26
110
20
96
96
110
110
96
110
60
50
60
110
18 110
17 110
16
80
23
80
Окончание табл. 4
Исходные данные задания «Пересечение гранных поверхностей»
X
60
60
60
110
21 110
20 110
19
X
X
25
20
90
96
80
60
80
40
60
60
60
110
24 110
23 110
22
110
80
100
110
96
X
X
80
96
80
80
24
80
110
110
110
96
60
40
Перв. примен.
Справ. №
Х
82
51
71 21
2'1 5'1
61
62
81 7' 1 11
72
12
22
31
41
52
32 42
Y
Z
73 =53
23
Н.контр. Утв.
Изм. Лист № докум. Подп. Дата Разраб. Сидоров А.А . Пров. Петрова И.И. Т.контр.
7'3 =5'3
83 =43
13 =33
2'3
Y
Пересечение гранных поверхностей
Листов
1:1 1
Масса Масштаб
Формат
A3
ОмГТУ, гр. ХТ-119
Лист
Лит.
А8.ГР.04.33.00.000
Копировал
63
Рис. 9. Пример выполнения задания «Пересечение гранных поверхностей»
КОМПАС-3D LT V10 (некоммерческая версия)
КОМПАС-3D LT (с) 1989-2008 ЗАО АСКОН, Россия. Все права защищены. Инв. № подл. Подп. и дата Взам. инв. № Инв. № дубл. Подп. и дата
А8.ГР.04.33.00.000
25
Задание 5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННОЙ И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Цель выполнения: 1. Закрепление знаний по теме «Пересечение поверхностей». 2. Применение навыков решения позиционных и метрических задач для построения разверток геометрических образов. Содержание: 1. Построить три проекции пересекающихся поверхностей. 2. Построить проекции линии пересечения. 3. Построить развертки заданных поверхностей с нанесением на них линии пересечения. Оформление: Задание выполняется на двух форматах А3, исходные данные приведены в таблице 5. На первом листе решается задача на построение линии пересечения, на втором – построение разверток пересекающихся поверхностей. Пример выполнения графического задания «Пересечение гранной и поверхности вращения» приведен на рисунке 10, а задания «Развертки поверхностей» – на рисунке 11. Методические указания: На первом формате проводятся оси координат и с учетом рекомендаций к заданию 4 строятся сначала заданные горизонтальная и фронтальная проекции поверхностей, а затем профильная. Линией пересечения поверхности вращения и гранной поверхности является пространственная линия, состоящая из плоских кривых, получаемых в пересечении поверхности вращения гранями гранной поверхности. Каждая точка линии пересечения принадлежит обеим поверхностям и поэтому построение этой линии сводится к нахождению ряда таких точек. В ряде вариантов одна поверхность – призматическая, которая является проецирующей поверхностью (в данном случае фронтально-проецирующей). В этом случае фронтальная проекция линии пересечения принадлежит вырожденной фронтальной проекции призматической поверхности, точки горизонтальной проекции определяются из условия принадлежности второй поверхности. В других вариантах обе поверхности являются проецирующими: призматическая – фронтально-проецирующая поверхность и цилиндрическая – горизонтально-проецирующая. Тогда 26
25
вырожденные проекции поверхностей определяют фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения, а по ним строится профильная проекция. Построение проекций линии пересечения поверхностей рекомендуется выполнять в следующей последовательности: – выявить геометрическую форму линии пересечения; – определить проецирующие поверхности; – определить, какие проекции линии пересечения требуют построения; – построить опорные точки линии пересечения; – построить промежуточные точки; – соединить построенные точки в определенной последовательности, учитывая форму и видимость определенных участков линии пересечения. На втором листе формата А3 выполняется построение развертки пересекающихся поверхностей. Разверткой гранной поверхности является плоская фигура, состоящая из граней поверхности. Поэтому построение развертки гранной поверхности сводится к определению натуральной величины каждой грани. Для этого любым способом преобразования комплексного чертежа на основном чертеже в тонких линиях определяются натуральные величины каждого ребра гранной поверхности, а затем последовательно способом треугольников строится каждая ее грань. На развертке на образах ребер и граней гранной поверхности определить образы точек линии пересечения поверхностей. Аналогичным способом можно построить развертки поверхностей вращения, аппроксимировав их гранной поверхностью, т. е. вписав в цилиндрическую поверхность n-угольную призматическую поверхность, а в коническую – n-угольную пирамидальную поверхность, где n – число сторон многоугольника основания. Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра является прямоугольник, одна из сторон которого равна длине окружности основания, а вторая – высоте цилиндра. Разверткой боковой поверхности прямого кругового конуса является сектор круга, радиус дуги которого равен длине образующей конуса, а дуга сектора – длине окружности основания конуса. На развертке провести образы прямолинейных образующих, проходящих через точки линии пересечения поверхностей, и отметить эти точки. 27
Таблица 5
Исходные данные задания «Пересечение гранной и поверхности вращения»
70 55
40
40
110
3
110 30
2
110
1
X
20
X
100
110
110
100
110
100
10
X
70
70
10 50
80
110
6
110
5
80
110
4
X
X
110 100
110 100
110
100
10
X
28
Продолжение табл. 5
Исходные данные задания «Пересечение гранной и поверхности вращения»
15
30
X
10
X
10
X
60
55
50
110
9 110
8 110
7
35
20
100
110
110
96
110
96
20
106
75
10
60
40
60
110
12 110
11 110
10
X
X
70
40
80
55
X
X
100
110
110 100
30
40
60
29
100
10
X
110
90
80 50
90
15 110
14 110
13
100
110
110
100
110
100
10
X
Окончание табл. 5
Исходные данные задания «Пересечение гранной и поверхности вращения»
50 50
70
110
18 110
17 110
16
X
X
X
110
90
110
100
110
90
10
40
30
43
50
110
110
35
55
55
110
21 70
20 70
19
X
X
X
95
50
100
10
X
110 100
110 100
10
X
80
110
110 50
70
110
80
110 X
100
24
23
30
110
22
90
110
110 100
45
Перв. примен.
Справ. №
Х
T2
G2
R2
W2
Q2
11
12
81
8'1
82
7'1
31
3'1
2'1
21
22
32
71
41
4'1
72
61
6' 1
62
42
51
52
Y
Z
8'3 =6'3
13 =53
Н.контр. Утв.
Изм. Лист № докум. Подп. Дата Разраб. Сидоров А.А. Пров. Петрова И.И. Т.контр.
7'3
2'3 =4' 3
3' 3
83 =63
23 =43
73 Y
Копировал
Формат
A3
А8.ГР.05.33.00.000 Лит. Масса Масштаб Пересечение гранной 1:1 и поверхности вращения Лист Листов 1 ОмГТУ, гр. ХТ-119
33
Рис. 10. Пример выполнения задания «Пересечение гранной и поверхности вращения»
КОМПАС-3D LT V10 (некоммерческая версия)
КОМПАС-3D LT (с) 1989-2008 ЗАО АСКОН, Россия. Все права защищены. Инв. № подл. Подп. и дата Взам. инв. № Инв. № дубл. Подп. и дата
А8.ГР.05.33.00.000
31
Перв. примен.
Справ. №
1
3
3'
1
КОМПАС-3D LT V10 (некоммерческая версия)
КОМПАС-3D LT (с) 1989-2008 ЗАО АСКОН, Россия. Все права защищены. Инв. № подл. Подп. и дата Взам. инв. № Инв. № дубл. Подп. и дата
А8.ГР.06.33.00.000
32
1 3
3'
4
4'
Н.контр. Утв.
Изм. Лист № докум. Подп. Дата Разраб. Сидоров А.А. Пров. Петрова И.И. Т.контр.
2
2'
7
1
Копировал
Формат
A3
А8.ГР.06.33.00.000 Лит. Масса Масштаб Развертки 1:1 поверхностей Лист Листов 1 ОмГТУ, гр. ХТ-119
5
Рис. 11. Пример выполнения задания «Развертки поверхностей»
7
5
7'
7'
Задание 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ Цель выполнения: 1. Приобретение навыков построения линии пересечения двух или нескольких поверхностей вращения с помощью вспомогательных секущих плоскостей. 2. Приобретение навыков построения линии пересечения поверхностей вращения с помощью вспомогательных концентрических сфер. Содержание: 1. Построить линию пересечения заданных поверхностей, используя метод вспомогательных секущих плоскостей. 2. Построить линию пересечения заданных поверхностей вращения, используя метод вспомогательных концентрических сфер. Оформление: Графическое задание состоит из двух частей, которые выполняются на одном формате А3, пример выполнения задания «Пересечение поверхностей вращения» приведен на рисунке 12. В левой части формата располагается задание, исходные данные которого приведены в таблице 6, а в правой – данные из таблицы 7. Методические указания: Обе части задания выполняются на двух проекциях – фронтальной и горизонтальной. При построении заданных проекций сохраняются методические рекомендации к заданию 4. В первой части даны поверхности вращения второго порядка, оси которых перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций. Поэтому для построения линии пересечения применяется способ вспомогательных секущих плоскостей-посредников. Чтобы в сечении обеих поверхностей плоскостью получились окружности, плоскость должна быть перпендикулярна оси вращения. Следовательно, для решения задачи в качестве плоскостей-посредников могут быть использованы горизонтальные плоскости уровня. С помощью вспомогательных секущих плоскостей определяют точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой и промежуточные точки линии пересечения. Решение задачи необходимо начинать с определения особых точек линии пересечения и интервала проведения секущих плоскостей. Особыми точками линии пересечения являются точки, полученные непосредственно из чертежа, точки пересечения очерковых образующих, крайние 33
точки, точки видимости. Определив достаточное количество точек, строят линию пересечения поверхностей с учетом видимости на проекциях. Во второй части задания пересекаются две поверхности вращения, оси которых взаимно пересекаются и принадлежат одной плоскости уровня. Для решения этой задачи применяется способ концентрических сфер. Так как плоскость, образованная осями поверхностей вращения, параллельна фронтальной плоскости проекций, то построение точек линии пересечения поверхностей выполняется вначале на фронтальной проекции. Точка пересечения осей принимается за центр концентрических сфер. Затем определяются особые точки линии пересечения – точки пересечения очерковых образующих. Определяется интервал проведения концентрических сфер, т. е. определяется Rmax и Rmin. Сферу наибольшего радиуса Rmax определяет точка пересечения очерковых образующих, наиболее удаленная от центра сфер. Радиус минимальной сферы Rmin определяется размером большей длины одной из двух нормалей, проведенных из центра сфер к образующим заданных поверхностей. Промежуточные точки строятся путем проведения сфер произвольного радиуса, выбранных в интервале между Rmax и Rmin, т. е. Rmin < Rпром.< Rmax. Горизонтальные проекции этих точек строятся по их фронтальным проекциям из условия принадлежности той поверхности, ось которой перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Построив достаточное количество точек, строят проекции линии пересечения с учетом видимости.
34
Таблица 6
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей вращения»
1
2
3
74
100
X
R120
X
100
45
90
110
5 R6
X
30
0
22
45
8
90
100
80
45
4
5
6
15
R70
72
45
90 110
80
0
5 X
X
25
1
120
20
0
100
8
10
0
13
35
Продолжение табл. 6
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей вращения»
7
8
9
R45 R55 100
100
45
100
R55
X
X
X
10
20
10
11
R40
80
100
100
30
12 90
100
R55
30
50
100
R40
X
X
20
X
15
13
90
15
90
96
20
14
15 R50
50
R40
90
100
100
R40
X
10
90
10
80
25
10
90
X
X
36
Окончание табл. 6
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей вращения»
16
17
18 90
20
45
90
R50
110
R40
X
X
X
10
80
40
19
110
90
80
10
100
20
21
45
90
80 100 45
100
R7 0
R40
X
X
X
100
25
60
22
25
35
90
85
20
90
23
24 90
100
R50
45
80
110
50
X
X
X
15
110 20
35
70
120
25
60
37
Таблица 7
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей вращения»
1
2
100
3 R165
55
50
110
40
80 45
50
85
1
100
110
0 10
00
100
5
6 0
60
45
4 5
110
6
110
80 10
4
110
75
140
75
38
50
70
100
100
Продолжение табл. 7
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей вращения» 60
8
80
9
70
65
80
80
90
R 11 5
R160
20
30
60
7
110
30
10
100
110
11
80
12
3
0
90
15
55
45
90
00 R1
110
6
75
70
5
50
70
90
75
75
60
120
120
13
14
15 110
100
55
85
30
60
50
100
50
40
50
105
110
R70
65
100
39
110
Окончание табл. 7
Исходные данные задания «Пересечение поверхностей вращения»
16
17
60
18 130
55
110
90
60
30
R130
30
80 100
60
60
R80
70
110
80
75 120
35
R160
20
21 60
40
100 45
50
100
R160
125
19
10
100
70
120
45
90
90
125
100
50
50
110
110 55
60
24
23
22
120
60
50
100
100
74
110
90
65
65
110
40
Перв. примен.
Справ. №
R2
W2
Q2
B1
B2
11
1'1
A2
A1
12
Н.контр. Утв.
Изм. Лист № докум. Подп. Разраб. Сидоров А.А. Пров. Петрова И.И. Т.контр.
C1
D1
D'1
21
2' 1
D2
22
Копировал
Формат
A3
А8.ГР.07.33.00.000 Лит. Масса Масштаб Дата Пересечение 1:1 поверхностей вращения Лист Листов 1 ОмГТУ, гр. ХТ-119
E1
E2
C2
Рис. 12. Пример выполнения задания «Пересечение поверхностей вращения»
КОМПАС-3D LT V10 (некоммерческая версия)
КОМПАС-3D LT (с) 1989-2008 ЗАО АСКОН, Россия. Все права защищены. Инв. № подл. Подп. и дата Взам. инв. № Инв. № дубл. Подп. и дата
А8.ГР.07.33.00.000
41
БРОШЮРОВКА АЛЬБОМА Все графические работы, выполненные в учебном семестре и подписанные преподавателем, подлежат брошюровке в альбом. Чертежи, выполненные на формате А3 с расположением основной надписи вдоль короткой стороны листа, необходимо согнуть по схеме (рис. 13).
Рис. 13. Схема сгибания вертикального листа формата А3
Чертежи собираются в последовательности выполнения заданий – сверху титульный лист, под ним задание 01, 02 и т. д. На титульном листе должны присутствовать следующие надписи: названия вуза, кафедры, дисциплины, наименование работы, семестр, учебный год, преподаватель и необходимая информация о студенте (фамилия, инициалы, группа). При брошюровке необходимо совместить поля подшивки (20 мм) каждого чертежа. Затем пробить три отверстия (шилом, дыроколом), протянуть через них прочную нить (шнурок, тесьму) и завязать узлом (рис. 14).
Рис. 14. Брошюровка альбома графических работ
42
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бубенников А.В. Начертательная геометрия: учебник / А.В. Бубенников. – М.: Высшая школа, 1985. – 288 с. 2. Бубенников А.В. Начертательная геометрия: задачи для упражнений: учеб. пособие / А.В. Бубенников – М.: Высшая школа, 1987. – 296 с. 3. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии: учебник / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. – М.: Высшая школа, 2007. – 270 с. 4. Гордон В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии: учеб. пособие / В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; под ред. Ю.Б. Иванова. – М.: Высшая школа, 2004. – 319 с. 5. Фролов С.А. Начертательная геометрия: учебник / С.А. Фролов. – М.: ИНФРА–М, 2007. – 285 с. 6. Фролов С.А. Сборник задач по начертательной геометрии: учеб. пособие / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1987. – 142 с.
43
СОДЕРЖАНИЕ Задание 1. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПИРАМИДЫ ........................................................ 3 Задание 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА .............. 8 Задание 3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ ............ 14 Задание 4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ..................... 20 Задание 5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННОЙ И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ................................................................................. 25 Задание 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ .................. 32 БРОШЮРОВКА АЛЬБОМА ......................................................................... 41 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................... 42
44
Редактор А. А. Зернова Компьютерная верстка – Е. В. Беспалова ИД № 06039 от 12.10.2001 г. Сводный темплан 2010 г. Подписано в печать . Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 2,75. Уч.-изд. л. 2,75. Тираж экз. Заказ . _________________________________________________________ Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11; т. 23-02-12 Типография ОмГТУ 45