Bai giảng hinh họa dhbk by Vòng Tròn Rỗng

Bài giảng

Biên soạn: TS. Phạm Văn Sơn Bộ môn hình họa – Vẽ Kỹ Thuật Trường ĐHBK Hà Nội

Chương 1 phép chiếu

I. Phép chiếu xuyên tâm Cho mặt phẳng Πi, gọi là mặt phẳng hình chiếu

Một điểm S không thuộc mặt phẳng Πi gọi là tâm chiếu Chiếu một điểm A từ tâm S lên mặt phẳng Πi là :

1) Vẽ đường thẳng SA 2) Giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng Πi là Ai

Πi

Điểm Ai là hình chiếu xuyên tâm của điểm A

II. Phép chiếu song song Định nghĩa:

A Cho mặt phẳng Πi, gọi là mặt phẳng hình chiếu

Một đường thẳng s không song song với mặt phẳng Πi gọi là hướng chiếu

Chiếu một điểm A theo hướng s lên mặt phẳng Πi là: 1) Qua A vẽ đường thẳng d//s

Πi

2) Vẽ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Πi là Ai Điểm Ai là hình chiếu song song của điểm A

Tính chất của phép chiếu song song 1. Hình chiếu của một đường thẳng không song song với hướng chiếu là một đường thẳng A a M a B N s d ai Ai Πi

e Mi Bi

Ni Có thể xác định ai như sau * Bước 1: Lấy 2 điểm A, B∈a * b.2: tìm Ai, Bi theo định nghĩa * b.3: Nối AiBi ta được ai

Chú ý: ai cũng là giao tuyến của mặt phẳng α với mặt phẳng Πi

Trường hợp đặc biệt 1: Hình chiếu của một đường thẳng song song với hướng chiếu là một điểm

a M s

ai LMi

Πi

Trường hợp đặc biệt 2: Một đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó

a α

s ai Ai Πi Vµ AB=AiBi

Mở rộng : một hình phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu thì có hình chiếu bằng hình thật

Πi

2. Hai đường thẳng song song (và không song song với hướng chiếu) thì hai hình chiếu song song. A a

k C

B t

Ai Πi Vµ:

AB : CD = Ai Bi : Ci Di

ti Ci

3. Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự và tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng A

Ci Bi Ai Πi AB:BC=AiBi:BiCi

4. Một mặt phẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của nó suy biến là một đường thẳng α

M g Lαi

Πi

5. Một điểm nằm trên mặt phẳng hình chiếu thì điểm đó trùng với hình chiếu của nó.

s A=Ai

Πi

III. Phép chiếu vuông góc Cho mặt phẳng Πi, gọi là mặt phẳng hình chiếu

Chiếu vuông góc một điểm A lên mặt phẳng Πi là:

1) Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Πi

2) Vẽ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng Πi là Ai

Ai Πi

§iÓ m Ai lµ h× nh c hiÕ u v u« ng g ãc c ña ®iÓ m A

1.5. Tính chất của phép chiếu vuông góc * Có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra còn có các tính chất riêng. A Tính chất 1 B

Ai Πi Đặc biệt: + AiBiAB là hình thang vuông + AiBi<AB

Hình chiếu của một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu là một đường thẳng

Tr ê ng hîp ®Æc b iÖ t 1 A

Ai= Bi

Πi

Hình chiếu của một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu là một điểm

Tr ê ng hîp ®Æc b iÖ t 2 A

B Một đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó

Πi C hú ý: ABAiBi là hình c h ữ nh ật

Hai đường thẳng song song (và không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) thì hai hình chiếu song song. A Tính chất 2 C

Ci Πi

Phép chiếu vuông góc bảo toàn thứ tự và tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng A C

Tính chất 3

Πi AB:BC=AiBi:BiCi

Một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của nó suy biến là một đường thẳng

Tính chất 4

α M gLαi Mi

Πi

Một điểm nằm trên mặt phẳng hình chiếu thì điểm đó trùng với hình chiếu của nó. Tính chất 5

A=Ai

Πi

Tính chất bảo toàn góc vuông của phép chiếu vuông góc: * Hình chiếu của một góc vuông nói chung không phải là một góc vuông; * Hình chiếu của một góc vuông là một góc vuông chỉ khi cóít nhất một cạnh góc vuông song song với mặt phẳng hình chiếu và cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. C

AB⊥BC ; AB//Πi; BC⊥Πi

→ AiBi⊥BiCi

TÝnh c hÊt 4

Ai Πi

Bi Ci

Mở rộng:

a⊥b   a // Π i ai ⊥ bi b ⊥ Π i  ai ⊥ bi  a ⊥ b a // Π i  a⊥b   ai ⊥ bi 

ít nhất có một cạnh song song với Πi

Tính chất 4

Tính phản chuyển của hình biểu diễn: + Với một điểm A, tìm được duy nhất một điểm Ai + Cho Ai là hình chiếu vuông góc của điểm A, ta không xác định được A Vậy biểu diễn điểm A bằng một hình chiếu Ai là không có tính phản chuyển. A

Ai Πi

Πi

Chương 2 §Điểm

2.1. Đồ thức của điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu Π1 Gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng Π2 Gọi là mặt phăng hình chiếu bằng Π1

II III I

Π2

A1 Gọi là hình chiếu đứng, A2 Gọi là hình chiếu bằng Độ cao của A: Vị trí tương đối của A so với Π2; có dấu(+) khi A ở phía trên Π2; z AA=đến AA2 Π = .A1 Ax có dấu âm khi A ở phía dưới Π2. Có trị số bằng khoảng cách từ 2 Độ xa của A: Vị trí tương đối của A so với Π1; có dấu(+) khi A ở phía trước Π1; = AA1Π=. A2 Ax A đến có dấu âm khi A ở phía sau Π1. Có trị số bằng khoảng cách từyA 1 Π1

A Ax

Π2

Π1

A2 Π2

Π1

A2 Π2

Đồ thức của điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

Π1

A2 Π2

Tính chất: 1) A1A2⊥x 2) Tồn tại duy nhất 1 điểm A Chú ý: A1Ax=Trị số độ cao của điểm A; A2Ax =Trị số độ xa của điểm A A1

Tính phản chuyển

Π1

A2 Π2

Π1

A2 Π2

Π1

A2 Π2

Π1

A Ax

Π2

2.2. Đồ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

Π2

Π3

Π1

A1 là hình chiếu đứng A2 là hình chiếu bằng Π1

z Az

A1 A

Π3

A3 là hình chiếu cạnh

A2 Π2

Ay y

Nhận xét:

Π1

A2 Π2

→AxA2=AzA3 A3

Π3

z Az

A1 Ax

* A1AzA3AAxOAyA2 là hình hộp chữ nhật

Ay y

Π1

A1 Ax

A2 Π2

Π3

z Az

Ay y

Π1

A1 Ax

Π3

z Az

Ay y

Π1

Π3

z Az

Ay y

Π1

Π3

z Az

Ay y

Π1=Π2

O Ay y

Π3

z Az

Π1=Π2

z Az

Π3

Ay y

Π1=Π2

z Az

Π3

A3 x

O Ay y

Đồ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

Π1=Π2=Π3

z Az

Ay y

Tính chất: A1A2⊥x A1A3⊥z

z A1

A2Ax=A3Az

Biết hai hình chiếu, vẽ hình chiếu thứ ba

z A1

Biết hai hình chiếu, vẽ hình chiếu thứ ba

z Az

A2 x

Biết hai hình chiếu, vẽ hình chiếu thứ ba

z A1

Chương 3 Đường thẳng

3.1. Biểu diễn đường thẳng trên đồ thức Có hai cách 1) Biểu diễn bằng cách xác định 2 điểm

2) Biểu diễn bằng cách cho 2 hình chiếu( Không cùng vuông góc với trục x)

3.1.1. Biểu diễn bằng cách xác định hai điểm B1 A1

A2 B2

Nhắc lại tính chất phép chiếu (Hình chiếu của một đường thẳng): A

Ai Πi

áp dụng, ta có A1B1là hình chiếu đứng của AB; A2B2 là hình chiếu bằng của AB B1 A1

A2 B2

Một ví dụ khác về biểu diển đường thẳng qua hai điểm

A1 Ax

Π1

A1 x

Π2

Π1

A1 x

Π2

Π1

A1 x

B2 Π2

Π1

A1 x

A2 B2 Π2

Đường thẳng AB được gọi là đưong cạnh

Π1

A1 A

A2 B2 Π2

Π3

x Bx= Ax

3.1.2. Biểu diễn bằng cách xác định hình chiếu( không cùng vuông góc với trục x) a1

Π1

a2 Π2

Π1

Π2

Π1

Π2

Π1

Π2

Π1

a1 a x

Π2

Nếu cho hai hình chiếu cùng vuông góc với x, sẽ không xác định duy nhất a:

Π1

a1 x

Π2

Π1

a1 x

a2 Π2

Π1

a1 x

Π2

a: bất kỳ thuộc mặt phẳng α L β

Π1

α a1 a Π3

Π2

3.2. Điều kiện điểm thuộc đường thẳng 3.2.1. Đối với đường thẳng thường

Điều kiện cần và đủ để điểm I thuộc đường thẳng a là: I1∈a1; I2∈a2; I1I2⊥x.

a2 I2

Chó ý: I3∈a3; I1I3⊥z

Thí dụ áp dụng: Cho điểm I thuộc đường thẳng a. Biết I1, tìm I2

a2 I2

Gi¶i: 1- Tõ I1 vÏ ®êng ®ãng ⊥x 2- §êng dãng trªn c¾t a2 lµ ®iÓm I2 cÇn t×m

3.2.1. Đối với đường thẳng cạnh Thường áp dụng hai mệnh đề sau: Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc Đường thảng AB là M1∈A1B1; M3∈A3B3 và M1M3⊥z Hoặc:

Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc Đường thẳng AB là: M1∈A1B1; M2∈A2B2 và tỷ số đơn (A1,B1,C1)=(A2,B2,C2)

Thí dụ áp dụng: Cho điểm M thuộc đường thẳng AB. Biết M1, tìm M2 z B1

B3 M3

A1 Ax

A2 M1 B2

A3 Bx

B1 M1

A1 Ax Bx A2 M2 B2

A1 Ax Bx A2

M2 B2

3.3. Độ lớn thật của một đoạn thẳng và góc của nó so với các mặt phẳng hình chiếu Bài toán: Cho đoạn thẳng AB xác đihnh bỏi các hình chiếu. Hãy tìm độ dài thực của AB và góc của nó so với các mặt phẳng hình chiếu. B1

A1 Ax

Phân tích:

Giả: B

A Độ dài

∆yAB A

Π1 AA1: độ xa của A =A2Ax BB1: độ xa cửa B =B2Bx AA1B1B là hình thang ∆ vuông yAB là hiệu độ xa A và B

∆yAB

E Ax

∆yAB

B2 1- Lấy A1B1làm một cạnh của tam giác vuông 2- Xác định ∆yAB 3- Dùng 1 đường vuông góc với A1B1tại A1 hoặc B1, trên đó lấy 1 đoạn = ∆yAB làm cạnh thứ hai của tam giác vuông 4- Cạnh huyền của tam giác vuông này là độ dài thật của AB. α là góc của AB so với Π1

Ph©n tÝc h:

Gi¶i:

B ∆zAB

∆zAB A

A1 Ax

A2 A2

∆zAB ĐDTAB

Π2 AA2: (độ cao của A)=A1Ax BB2: (độ cao của B)=B1Bx AA2B2B là hình thang vuông ∆zAB là hiệu độ cao A và B

β B2

1- Lấy A2B2 làm mét cạnh của tam giác vuông 2- Xác định ∆zAB 3- Dùng 1 đường vuông góc với A2B2tại A2 hoặc B2, trên đó lấy 1 đoạn = ∆zAB làm cạnh thứ hai cửa tam giác vuông 4- Cạnh huyền của tam giác vuông này là độ dài thật của AB. β là góc của AB so với Π2

3.4. Các đường thẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu Các đường thẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu: 1) Đường bằng: Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng A1

B h1 1

Π1 A1

B A

A2 B 2

A2 Π2

B 2

2) Đường mặt: Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng

Π1

f B

A2 Π2

B 2

2) Đường cạnh: Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh và có hình chiếu đứng, hình chiếu bằng cùng vuông góc với x B1

A1 Ax

Π1

A1 x

Π2

Π1

A1 x

Π2

Π1

A1 x

B2 Π2

Π1

A1 x

A2 B2 Π2

Đường thẳng AB được gọi là đường cạnh

Π1

A1 A

A2 B2 Π2

B3 Π3

x Bx= Ax

Các đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng hình chiếu: 4) Đường thẳng chiếu đứng: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng A1=B1 Π1 A1=B1

x A B A2

Π2

B2 B2

4) Đường thẳng chiếu bằng: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng A1

Π1

A1 x B1

Π2

B2=A2

A2=B2

4) Đường thẳng hình chiếu cạnh: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh.

Π1 B1

A1 A

Π2

A3=B3

3.5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Trong không gian, hai đường thẳng có thể: - Cắt nhau - Song song - Chéo nhau nếu không cắt nhau và không song song 3.5.1 trường hợp cả hai đường không phải là đường cạnh. a) Hai đường thẳng cắt nhau nhau: M1

a1 × b1 = M 1  a × b = M ⇔ a2 × b2 = M 2 M M ⊥ x  1 2

a1 x

Đặc biệt:

a1=b1

x a2=b2

b) Hai đường thẳng song song:

a1 // b1 a // b ⇔  a2 // b2

x b2

Đặc biệt: a1=b1

x a2

a2=b2

c) Hai đường thẳng chéo nhau:

M1 b1

a1 x

a1 b2

x a2

3.5.2 trường hợp một trong hai đường là đường cạnh Nhận xét: Hai đường thẳng này không song song cho cắt nhau hoặc chéo nhau C1 B1 A1 A2

D1 D2 B2 C2(?)

a) Cắt nhau

I1 A1 A2

I1 A1

D1 D2

C2 C¸ch 1

C '

B1 A3

D2 B2 C2 C¸ch 2

C1 B1 A1 A2

D1 D2 B2 C2 C存ch 3

a)Chéo nhau: Trong trường hợp này, hai đường thẳng không cắt nhau thì chéo nhau

3.5.2 Trường hợp cả hai đường là đường cạnh A1

B1 D1

x A2

C2 B2

B2 D2(?) Loại 1: Song song hoặc chéo nhau

D2(?) Lo¹i 2: Song song hoặc cắt nhau

Lọai 1: Song song: A1

A1 C1

I1 B1

B1 D1

x A2

A3 C3

x A2

I2 B2

Trong tr-êng hîp nµy 2 ®-êng kh«ng song song th× chÐo nhau

B3 D3

Lọai 2: Nếu hình chiếu cạnh cắt nhau thì hai đường thẳng cắt nhau, hình chiếu cạnh song song thì hai đường song song. C1

B1 D1

x A2

B2 D2(?)

3.5. Vết của đường thẳng Đường thẳng a cắt tại điểm M, thì điểm M được gọi là vết đứng của đường thẳng a Đường thẳng a cắt tại điểm N, thì điểm N được gọi là vết bằng của đường thẳng a

Π1

M1 M M 1

a1 x N1

N =N2 Π2

N2 (IV)

(I)

(II)

Bµi to¸n : VÏ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng vµ c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. XÐt xem ®êng th¼ng ®ã ®i qua c¸c gãc phÇn t nµo

z M1 Π1

Π3

B1 N1= M2

B1 A2

Π2

B B2

B3 B2

N N2

M M1

B3 M2 =N1

Chương 4 Mặt phẳng

Biểu diễn trên đồ thức B1

M1 a1

N1 b1

x a2 C1

M2 α(a//b)

b2 N2

α(aGc)

α(ABC) B2 c1 a1

M1 b1

a2 a2

α(aGb)

b2 M2 α(a//c)

M2 c2

α(a,M)

IIĐiều kiện điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng Mệnh đề 2

Mệnh đề1:

M b

M α

:Mệnh đề 3:

Cho mặt phẳng α

Đường thẳng a ∈α

Điểm M ∈α và N ∈α

Đường thẳng a ∈α

Điểm M ∈a thì M∈α

Qua M và N vẽ đường thẳng a thì a∈α

Điểm M ∈α Qua M vẽ một đường thẳng b//a thì b∈α

Điều kiện điểm thuộc mặt phẳng là điểm nằm trên một đường thẳng của mặt phẳng

Điều kiện đường thẳng thuộc mặt phẳng là đường thẳng đi qua 2 điểm của mặt phẳng

Điều kiện đường thẳng thuộc mặt phẳng là đường thẳg đi qua 1 điểm của mặt phẳng và song song với một đường thẳng của mặt phẳng

Thí dụ áp dụng: Cho mặt phẳng α(ABC), đường thẳng g∈α. Biết g1, tìm g2 . B1

B1 M1

g1 N1

M1 A1

A1 C1

A2 M2

N2 B2

x A2

g2 M2 B2

Cho mặt phẳng α(ABC), điểm M ∈α. Biết M1, tìm M2 .

Cho mặt phẳng α(a//b), điểm M ∈α. Biết M1, tìm M2 . a1

M1 g1

A1 x A2

b2 M2

D2 B2

III.Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu 1. Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng Π1. Π1

M1 g 1= α1 t1

g 1= α1

t1 x

g t Π2

M∈α g∈α t∈α

2. Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu b ằng Π2 .

Π1 x

M g

Π2

t2 t2 g 2 = α2

M∈α g∈α t∈α

g 2 = α2

3. Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Π2.

Π1 α1

α1

x α

Π2

4. Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng Π1. C1 Π1

A1 B1

x α2 Π2

α2 B2

IV.Vết của mặt phẳng

Mặt phẳng α cắt Π1 theo đường thẳng mα thì đường thẳng đó gọi là vết đứng của α;

1. Vết của mặt phẳng

Mặt phẳng α cắt Π2 theo đường thẳng nα thì đường thẳng đó gọi là vết bằng của α.

Π1 m1

mα

x αx

m2=n1

nα

Π2

Nhận xét: mαGnα=αx trên trục x m1 = mα ; m2=x n2 = nα ; n1 =x

2a Cách vẽ vết của mặt phẳng m1 31 Π1

3 mα

x αx

x αx 1 Π2

nα

m2 =n1

b 22 2

Vẽ đường bằng của mặt phẳng m1

I1 C1

αx

m2=n1

D2 B1

Trong mét mÆt ph¼ng, c¸c ®êng b»ng song song víi nhau vµ song song víi vÕt b»ng.

Vẽ đường mặt của mặt phẳng m1

f1 A1

D1 C1

αx

m2=n1 f2

Trong mét mÆt ph¼ng, c¸c ®êng mÆt song song víi nhau vµ song song víi vÕt ®øng.

2b Cách vẽ vết của mặt phẳng m1

h1 αx

m2=n1 f2

V.Giao của đường thẳng với mặt phẳng. Giao của hai mặt phẳng 1. Trường hợp đặc biệt t1

α1=g1 α1

A1 C1 C2

t2 M2 Vậy M là giao điểm của t và α Giả sử M là giao điểm của t và α . Vậy M∈t→ M1∈t1; M2∈t2; M1M2⊥x. Và M∈α →M1 ∈ α1 Từ đó M1=t1G α1. Dóng về t2 ta có M2.

g2 g=αGβ(ABC)

Giả sử g là giao tuyÕn của α vµ β(ABC). Vậy g∈α→g1=α1. Mặt khác g∈β. Ta vẽ được g2 bằng cách giải bài toán g∈β, biết g1 tìm g2.

α1 α1=g1

g1 β1

g2 β2=g2 Giả sử g là giao tuyến của α và β(ABC). Vậy g∈α→g1=α1. Mặt khác g∈β→g2 =β2.

Giả sử g là giao tuyến của α và β(ABC). Vậy g∈α→g1∈α1. Và

g∈β→g1∈β1.

Vậy g1 là 1 điểm ⇒ g2 ⊥x

Vẽ giao điểm của đường thẳng t và mặt phẳng α

S1 A1

t1=M1

B2 C1

M2 t2

t2=M2

Giả sử M là giao điểm của t và α

→M∈α và M∈t.

Với điều kiện M∈t ⇒M1Lt1

Với điều kiện M∈t ⇒M2Lt2

Mặt khác M∈α, nên biết M1 ta sẽ tìm được M2

Mặt khác M∈α, nên biết M2 ta sẽ tìm được M1

2. Trường hợp tổng quát: Phương pháp mặt phẳng phụ trợ giải bài toán giao của đường thẳng với mặt phẳng: B1

g1= β1=t1

β M

g2 t2

1) Vẽ mặt phẳng β chứa đường t (thường lấy β là mặt phẳng chiếu) 2) Vẽ giao tuyến của α và β (đường thẳng g) 3) Giao điểm của t và g chính là giao điểm của t và α

Bài toán: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng α(ABC) và mặt phẳng θ(t//k)

g1=β1=t1

k1 =γ1 =g'1

x A2

g2 t2

M2 B1

g'2

Phương pháp mặt phẳng phụ trợ giải bài toán giao của hai mặt phẳng:

α k

B k' θ

Thí dụ áp dụng γ1=g1=k1 a1

M1 θ1=g'1=k'1 N1

b2 g2 g'2

k'2

c2 k2

Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng cho bằng vết

A =A1

Π1

mβ

A mβ

βx

αx

B Π2

βx

nα

nβ

nα

αx

mα

B =B2 AB=αGβ

V.Đường thẳng song song với mặt phẳng Hai mặt phẳng song song. 1. Đường thẳng song song với mặt phẳng Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng này phải song song với một đường thẳng của mặt phẳng. b

a α b//a; a∈α ⇒ a//α

Thí dụ áp dụng: Vẽ t2 biết đường thẳng t đi qua M và song song với mặt phẳng α(ABC). B1 M1 t1 A1

C1 B2

t2 M2

Vẽ mặt phẳng α(ABC) song song với đường thẳng t.

B1 I1 A1

M1 t1 C1

B2 I2 A2

t2 M2 C2

1. Hai mặt phẳng song song Điều kiện để hai mặt phẳng song song là mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau tương ứng song song với 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia a

b α

d β

aGb=α; cGd=β; a//c; b//d.

⇒

α/β

Thí dụ áp dụng: Qua điểm M vẽ mặt phẳng β song song với mặt phẳng α(ABC) t1 M1

1- Qua M, vẽ t//AB 2- Qua M, vẽ k//AC

k1 A1

C1 B2

t2 k2

3- Mặt phẳng cần vẽ là β(t,k)

Qua điểm M vẽ mặt phẳng β song song với mặt phẳng α(mα,nα) m'1

f1 M1

h1 αx

m'2=n'1

M2 n'2 1- Qua M, vẽ h//n 2- Qua M, vẽ f//m 3- Mặt phẳng cần vẽ là β(h,f) 4- Vẽ các vết của β

m2=n1

f2 h2

VI.Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Một số mệnh đề cần chú ý: Mệnh đề 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đó d

Mệnh đề 2: điều kiên để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đó d a

t α

a⊥b a // Π i

  ai ⊥ bi b ⊥ Π i 

ai ⊥ bi  a ⊥ b a // Π i 

a ⊥ b  ít nhất a hoặc b  song song với Π i ai ⊥ bi 

Một số bài toán cơ bản: Bài toán 1: Cho đường thẳng d, Qua điểm M hãy vẽ mặt phẳng α vuông góc với d Phân tích: d//Π2; d⊥α ⇒ α là mặt phẳng chiếu bằng. Mặt khác đt α qua điểm M ⇒ cách vẽ

d1 M1 d2

α2

* Qua M2 vẽ đường thẳng vuông góc với d2

Bài toán 1: Cho đường thẳng d, Qua điểm M hãy vẽ mặt phẳng α vuông góc với d f1

Phân tích: điều kiện d⊥α là d phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng α. Chọn 2 đường đó lần lượt là đường bằng h và đường mặt f. d⊥α ⇒d⊥h MÆt kh¸c h//Π2 suy ra d2⊥h2 ⇒ c¸ch vÏ h

f2 h2

Mặt phẳng α xác định bởi h và f là mặt phẳng cần vẽ. d⊥α ⇒d⊥f Mặt khác h//Π1 suy ra d2⊥f1 ⇒ cách vẽ f

Bài toán 2: Cho mặt phẳng α, Qua điểm M hãy vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α. f 1 m1 d1

M1 d1

h1 αx

f2 M2 d2

d⊥α ⇒d⊥h Mặt khác h//Π2 suy ra d2⊥h2 ⇒ cách vẽ d2 d⊥α ⇒d⊥f Mặt khác h//Π1 suy ra d2⊥f1 ⇒ cách vẽ d1

m2=n1

d2 n2

Bài toán 2: Cho mặt phẳng α, Qua điểm M hãy vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α. B1 M1

1- đưa về một trong 2 dạng trên 2- áp dụng kết quả ở trên, ta vẽ được d

C1 A2 C2

f2 h2 d2

Thí dụ áp dụng: Tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến một mặt phẳng α(m,n). 1- Qua M vẽ d⊥α(m,n)

MH t §

∆YAB M1

2- Vẽ giao điểm H của d và α.

3- Tìm độ dài thật MH H1

αx

m2=n1

H2 ∆YAB M2

d2 n2

Chương 5 các phép biến đổi hình chiếu

Chương 6 đa diện

đa diện đa diện là măt kín được tạo thành bởi các đa giác phẳng (lồi) gắn liền với nhau bởi các cạnh của chúng. D A

D’

A’ B C

Chãp(th¸p)

B’

C’

L¨ng trô

§a diÖn bÊt kú

Biểu diễn đa diện Trên đồ thức, đa diện được biểu diễn thông qua biểu diễn các cạnh của chúng với qui định: các mặt của đa diện là không trong suốt. S1

a1 a1

M1=N1

Q1 A2

B1 N 2 P2=Q2 M2

B2 + -

d1 +

C1 M2= c2

A2 C2

b1 d1 c1 a1

M1=N1

+ A2

N2 b2

Giao mặt phẳng với đa diện Giao của một mặt phẳng với một đa diện là một đa giác phẳng mà mọi đỉnh của nó là giao điểm của 1 cạnh đa diện với mặt phẳng, mỗi cạnh của nó là giao của mặt phẳng với một mặt của đa diện S

P F

M D

E N

A C B

Trường hợp đặc biệt

a1 M1

Mặt phẳng chiếu cắt đa diện

P1=Q1

C2 A2

P2 Q2

M2 S2 N2 B2

Trường hợp Đặc biệt Mặt phẳng cắt đa diện là trụ chiếu

Q1 c1

m1 K1 P1

m2=n1 c2 =Q2

K 2 = a2 n2

b2 =P2

Trường hợp tổng quát

a1=δ1=t1 b1=γ1=k1

c1=β1=g1 D1

E1 m2=n1 t2

g2 n2

a2 E2 b2

Giao của đường thẳng và đa diện a1

Trường hợp đặc biệt: đường thẳng chiếu cắt đa diện

b1 M1=N1= d1

c1 B1 C1 C2 A2

M2 a2

N2 b2

S1 M1=N1= d1

B1 C1 C2 A2

d2 M2 N2

Giao của đường thẳng và đa diện Trường hợp tổng quát S

P F R

M t

V N

A C B

N1 V1

P1 R1

d1 = β 1

B1 C1 C2

A2 M2

β1 E1

M1 b1

N1 c1 B1

P1 C1 C2

F1 F2

R1 M’ F’ P’

R’

V’

M2 V2 B2

N2 E2

N’

E’

a V

N A

P M

E1 a1 d1

β1

M1 A1

P1 B1

R1 Q1 C1 N1 C2 N2

e1 e2

F2 R2

P2 M2

B2 d2

Giao của hai đa diện Giao của hai đa diện là một hoặc nhiều đường gấp khúc không gian khép kín mà mọi đỉnh là giao điểm của một cahnh đa diện này với một mặt đa diện kia; mỗi cạnh là giao của một mặt đa diễn này với một mặt đa diện kia. Cách vẽ giao tuyến: + Lần lượt tìm giao của từng cạnh đa diên này với các mặt đa diện kia và ngược lại, ta được các đỉnh của giao tuyến. + Nối các đỉnh của giao tuyến theo nguyên tắc: Hai điểm được nối với nhau nếu vừa thuộc một mặt của đa diện này, vừa thuộc một mặt của đa diện kia. Cạnh đó chỉ thấy khi nó thuộc cả hai mặt thấy.

e1 11

S2 21

51=61 B1

e2 + f2

52 62

12 S2 32

42 B2

+ B2

d2 22

11=21

31=41

A1=B1

91=101f1

+ +

+ D1

82 32

22 52

2 10

5 6 8

9 +

+ 1

D2 72

102

7 1

S1 11

81 B1

h1 C1

D1 121

7 9 4

S2=B2 12 =52

32 e2 =72=82

92=102= f2

D1 +

62= 22 g2=112=122

B1 5(eh)

6(hg) C1

111 51

101

91 e1

51 d1

61=71

22 32 B2

C2 7 5(de)

B2 4(df)

72 62 S2

+ +

B1 52