38ο ΓΕΛ Λ Αθηνώ ών νικος κ. ιωαννου φυσικος Α΄΄ Λυκείου
Η έννοια της ταχύτητας 1) Γιατί χρησιμοποιούμε τον όρο ταχύτητα Γενικά χρησιμοποιούμε τον όρο ταχύτητα κάθε φορά που θέλουμε να αναφερθούμε στο πόσο γρήγορα ή αργά ένα σώμα αλλάζει τη θέση του ως προς ένα σημείο που, αυθαίρετα, θεωρούμε ως σημείο αναφοράς. Επιπλέον, η ταχύτητα πρέπει να οριστεί με τέτοιο τρόπο ώστε να μας πληροφορεί και προς τα που αλλάζει η θέση.
2) Μέση διανυσματική ταχύτητα Ορίζουμε ως μέση διανυσματική ταχύτητα του κινητού, στη διάρκεια ενός συγκεκριμένου χρονικού διαστήματος Δt το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που δίνεται από το πηλίκο της μετατόπισης Δx του κινητού στο δεδομένο χρονικό διάστημα προς το χρονικό διάστημα αυτό. Δηλαδή Δx υ= Μέση διανυσματική ταχύτητα Δt Άλλος συνηθισμένος συμβολισμός της μέσης διανυσματικής ταχύτητας είναι υμ . Δηλαδή: Δx Μέτρο : υμ Δt Μέση διανυσματική ταχύτητα υμ Κατεύθυνση :του Δx Μονάδα (S.I.) 1m / s
Παράδειγμα
0
(tαρχ)
(tτελ)
xαρχ
xτελ
Έστω ότι ένα κινητό ξεκινά τη χρονική στιγμή tαρχ από τη θέση xαρχ και τη χρονική στιγμή tτελ περνά από τη θέση xτελ. Στο σχήμα φαίνεται το διάνυσμα της μετατόπισης Δx .
Σελίδα 1 από 12
Έτσι, θα είναι: Δx xτελ xαρχ υμ Δt tτελ tαρχ
(1)
Αριθμητική εφαρμογή: Έστω xαρχ = 2m, tαρχ = 4,5s, xτελ = 7m και tτελ = 12,5s. Με αντικατάσταση στην τελευταία σχέση θα είναι: 5m 7m 2m (1) υμ υμ υμ 0,625m / s ή υμ 6,25 101 m / s 12,5s 4,5s 8s Η αλγεβρική τιμή της μέσης διανυσματικής ταχύτητας είναι υμ 6,25 101 m / s επίσης. Παρατηρήστε ότι υμ > 0, αφού Δx > 0. Άρα, το κινητό μετατοπίστηκε προς τα θετικά του άξονα x΄x και επομένως η ταχύτητά του έχει θετική αλγεβρική τιμή. Λίγο πιο «συμπυκνωμένα» θα μπορούσαμε να πούμε ότι: 1 Ορίζουμε ως μέση διανυσματική ταχύτητα το ρυθμό μεταβολής του διανύσματος θέσης ενός κινητού. 3) Μέση αριθμητική ταχύτητα Ορίζουμε ως μέση αριθμητική ταχύτητα του κινητού, στη διάρκεια ενός συγκεκριμένου χρονικού διαστήματος Δt το φυσικό μονόμετρο μέγεθος που δίνεται από το πηλίκο του διατήματος sολ που διένυσε το κινητό στο δεδομένο χρονικό διάστημα προς το χρονικό διάστημα αυτό. Δηλαδή s υ = ολ Μέση αριθμητική ταχύτητα Δt Προσοχή!!! Στη γενική περίπτωση είναι υ υ αφού Δx sολ
Μονάδα της μέσης αριθμητικής ταχύτητας είναι το 1m/s. Ερώτηση για προβληματισμό Οι δύο ταχύτητες (αριθμητική και διανυσματική) για τις οποίες διαβάσατε παραπάνω, πιστεύετε ότι είναι αρκετές για να μας δώσουν μια πλήρη εικόνα της κίνησης ενός κινητού; Ποια είναι τα πλεονεκτήματα και ποια τα μειονεκτήματά τους;
1
Γενικά με
Δμ συμβολίζουμε το ρυθμό μεταβολής του μεγέθους μ και εννοούμε: Δt μτελ μαρχ
Δμ Δt tτελ tαρχ
Σελίδα 2 από 12
Ασκήσεις για το σπίτι 1. Ποια ταχύτητα είναι μεγαλύτερη: Το 1m/s ή το 1km/h; 2. Υλικό σημείο κινείται κατά μήκος της περιφέρειας ενός νοητού κύκλου ακτίνας 3m και σε χρονικό διάστημα 24s διαγράφει 4 κύκλους κινούμενο συνεχώς κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Να υπολογίσετε για το παραπάνω χρονικό διάστημα: α. το μέτρο της μετατόπισής του β. το διάστημα που διάνυσε γ. το μέτρο της μέσης διανυσματικής του ταχύτητας δ. τη μέση αριθμητική του ταχύτητα. 3. Ένα αυτοκίνητο ξεκινά στις 10:00 π.μ. από την Αθήνα (Α) για Θεσσαλονίκη (Β). Η απόσταση των δύο πόλεων είναι 502km. Φτάνει στη Θεσσαλονίκη στις 8:00 μ.μ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέσης διανυσματικής του ταχύτητας και τη μέση αριθμητική του ταχύτητα. 4. Στις 31 Μαΐου του 2007 ο Marc Webber, επίσημος προσκεκλημένος, ταξίδεψε με το μονοθέσιο αυτοκίνητό του, ώστε να διασχίσει τη γέφυρα «Χαρίλαος Τρικούπης» από το Ρίο στο Αντίρριο και πάλι πίσω στο Ρίο. Το μήκος της γέφυρας είναι L = 2000m και η διαδρομή πραγματοποιήθηκε σε χρόνο Δt = 40s. α. Πόση ήταν η μέση αριθμητική του ταχύτητα και πόσο το μέτρο της μέσης διανυσματικής του ταχύτητας; β. Συγκρίνετε τις παραπάνω τιμές με την ταχύτητα που ανέπτυξε ο Usain Bolt (Γιουσέιν Μπολτ), κάνοντας παγκόσμιο ρεκόρ στα 100m ανοικτού στίβου. Η επίδοσή του ήταν 9,58s.
Άσκηση - Πρόκληση (μόνο για όσους και όσες θέλουν να προσπαθήσουν περισσότερο) Αυτοκίνητο μετατοπίζεται διαδοχικά κατά Δx1 και Δx2, με ταχύτητες μέτρων 72km/h και 36km/h αντίστοιχα, χωρίς να σταματήσει. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέσης διανυσματικής ταχύτητας του αυτοκινήτου, όταν: α. Οι μετατοπίσεις του κινητού είναι ίσες. β. Τα χρονικά διαστήματα μέσα στα οποία έγιναν οι μετατοπίσεις είναι ίσα.
Σελίδα 3 από 12
Στιγμιαία ταχύτητα Ορισμός στιγμιαίας ταχύτητας Ορίζουμε ως στιγμιαία ταχύτητα ή απλά ταχύτητα ενός κινητού που κινείται στον άξονα x΄Οx, το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που δίνεται από τη σχέση dx Στιγμιαία ταχύτητα υ= dt όπου dx η μετατόπιση του κινητού στη διάρκεια της στοιχειώδους χρονικής διάρκειας dt . Μονάδα στιγμιαίας ταχύτητας στο S.I. είναι το 1m/s.
Μπορούμε να πούμε ότι το μέγεθος αυτό μας δίνει την ταχύτητα του κινητού σε συγκεκριμένη θέση και σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Κι αυτό διότι η στοιχειώδης χρονική διάρκεια dt είναι τόσο μικρή που μπορεί (με καλή προσέγγιση) να θεωρηθεί ισοδύναμη με μια χρονική στιγμή. Δx Ας ξανασκεφτούμε τον ορισμό της μέσης διανυσματικής ταχύτητας: υ . Αν Δt θεωρήσουμε ότι η χρονική διάρκεια Δt μικραίνει ολοένα και περισσότερο, από ένα σημείο και μετά θα έχει γίνει τόσο μικρή που δε θα διαφέρει από μια χρονική στιγμή. Όλος αυτός ο συλλογισμός αποτυπώνεται και στην παρακάτω σχέση: dx Δx υ όριο ή υ dt Δt 0 Δt
Παράδειγμα Η στιγμιαία ταχύτητα ενός αυτοκινήτου είναι η ένδειξη του ταχυμέτρου του (κοντέρ) σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.
Σελίδα 4 από 12
Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση (Ε.Ο.Κ.) 1. Ποια κίνηση ονομάζεται Ευθύγραμμη Ομαλή Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση είναι η κίνηση κατά την οποία η στιγμιαία ταχύτητα υ ενός κινητού διατηρείται διανυσματικά σταθερή. Άρα:
Ε.Ο.Κ.
υ σταθ.
Μπορεί εύκολα να καταλάβει κανείς ότι κατά τη διάρκεια μιας Ε.Ο.Κ. η μέση δια νυσματική ταχύτητα υμ και η στιγμιαία ταχύτητα υ του κινητού ταυτίζονται συνεχώς, είναι δηλαδή Άρα:
Ε.Ο.Κ.
υμ υ σταθ.
Δείτε το παρακάτω σχήμα:
Α
Β
(t1)
(t1)
x
Για τις ταχύτητες υA και υB στην Ε.Ο.Κ. θα είναι: υA υB .
2. Για την Ε.Ο.Κ. προκύπτουν τα παρακάτω συμπεράσματα: Η μέση διανυσματική ταχύτητα και η στιγμιαία ταχύτητα ταυτίζονται. Δηλαδή: υμ υ . Το μέτρο της μέσης διανυσματικής ταχύτητας, το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας και η μέση αριθμητική ταχύτητα ταυτίζονται. Δηλαδή: υμ υ υ Σε δύο τυχαία ίσα χρονικά διαστήματα αντιστοιχούν ίσες μετατοπίσεις. Τη χρονική στιγμή tτελ = t κατά την οποία το κινητό βρίσκεται στη θέση xαρχ = 0, μπορούμε για απλότητα να γράφουμε x υ t αν γνωρίζουμε ότι το κινητό τη χρονική στιγμή tαρχ = 0 βρισκόταν στη θέση xαρχ = 0. Κι αυτό διότι: Δx xτελ xαρχ x 0 x υ υ Δt tτελ tαρχ t 0 t Είναι προφανές ότι η τελευταία σχέση ισχύει μόνο στην Ε.Ο.Κ.
Σελίδα 5 από 12
Χρήσιμη σχέση στην Ε.Ο.Κ. Δx υ Δx υ Δt από την οποία προκύπτει xτελ x αρχ υ t τελ tαρχ . Δt Η ίδια σχέση ισχύει και για τις αλγεβρικές τιμές των διανυσμάτων.
3. Ασκήσεις 1. (στην τάξη) Υλικό σημείο Σ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση πάνω στον άξονα x΄x. Αν από τη χρονική στιγμή t0 = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 = 2s μετατοπίστηκε από τη θέση x0 = 0 στη θέση x1 = 2,80m, να υπολογίσετε το μέτρο και την αλγεβρική τιμή της στιγμιαίας ταχύτητάς του και να σχεδιάσετε το διάνυσμά της κατά τις χρονικές στιγμές t0 = 0, t1 = 2s, t2 = 4s και t3 = 6s. 2. (στο σπίτι) Υλικό σημείο Σ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση πάνω στον άξονα x΄x. Αν από τη χρονική στιγμή t0 = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 = 2s μετατοπίστηκε από τη θέση x0 = 0 στη θέση x1 = -2,80m, να υπολογίσετε το μέτρο και την αλγεβρική τιμή της στιγμιαίας ταχύτητάς του και να σχεδιάσετε το διάνυσμά της κατά τις χρονικές στιγμές t0 = 0, t1 = 1s, t2 = 3s και t3 = 5s. 3. (στο σπίτι) Υλικό σημείο Σ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση πάνω στον άξονα x΄x. Αν από τη χρονική στιγμή t1 = 2s μέχρι τη χρονική στιγμή t2 = 12s, μετατοπίστηκε από τη θέση x1 = 2m στη θέση x2 = -8m: α. να υπολογίσετε το μέτρο και την αλγεβρική τιμή της στιγμιαίας ταχύτητας του Σ. β. να σχεδιάσετε το διάνυσμά της στιγμιαίας ταχύτητας, τις χρονικές στιγμές t2 = 12s και t3 = 17s. γ. να βρείτε τη μετατόπιση του υλικού σημείου από την t3 = 17s μέχρι την t4 = 22s. δ. να υπολογίσετε σε πόσο χρονικό διάστημα το Σ μετατοπίζεται από τη θέση x = 0 στη θέση x = -15m. 4. (στο σπίτι) Ένας μοτοσικλετιστής πρέπει να διανύσει απόσταση d = 1km σε ευθύγραμμο δρόμο μέσα σε χρονικό διάστημα 35s. Αν για τα πρώτα 30s της κίνησής του κινήθηκε με σταθερή ταχύτητα μέτρου 30m/s, με τι ταχύτητα πρέπει να κινηθεί στο υπόλοιπο της διαδρομής ώστε να διανύσει την απόσταση d στο χρόνο που υπολόγισε;
Σελίδα 6 από 12
Συναρτήσεις κίνησης και διαγράμματα στην Ε.Ο.Κ. 1. Συνάρτηση θέσης - χρόνου στην Ε.Ο.Κ. Ας θεωρήσουμε ότι ένα υλικό σημείο, το οποίο θα το αποκαλούμε «σώμα» ή «κινητό», ξεκινά τη χρονική στιγμή t0 από τη θέση x0 και κινούμενο ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα, διέρχεται από τη θέση x τη χρονική στιγμή t. Για τη θέση x ισχύουν τα εξής: Δx Ε.Ο.Κ.: υ Δx υ Δt x x0 υ t t0 Δt x = x0 + υ t - t0 Συνάρτηση θέσης στην Ε.Ο.Κ. Παρατηρούμε ότι η θέση του κινητού μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο. Αυτό φαίνεται από το ότι η θέση είναι ανάλογη της πρώτης δύναμης του χρόνου, κάτι που μαθηματικά μας παραπέμπει στην εξίσωση ευθείας, δηλ. την y = αx+β. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι στην Ε.Ο.Κ. η γραφική παράσταση της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο είναι ευθεία. Η γραφική αυτή παράσταση φαίνεται παρακάτω: x
x
υ>0
x
υ<0
x0 Δx > 0 θ
x0
Δx < 0 θ
x
Δt t0
Δt t
t
t0
t
t
Σχήμα 2
Σχήμα 1
Σημαντικές παρατηρήσεις από τις γραφικές παραστάσεις x(t): α. Θετική κλίση της ευθείας (σχήμα 1) σημαίνει ότι Δx > 0 και υ > 0, δηλαδή το κινητό κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του Οx. Αντίστοιχα, αρνητική κλίση της ευθείας (σχήμα 2) σημαίνει ότι Δx < 0 και υ < 0, δηλαδή το κινητό κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση του Οx β. Η κλίση (ή αλλιώς ο συντελεστής διεύθυνσης), δηλαδή η εφθ ισούται αριθμητικά με την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του κινητού. Κι αυτό διότι x x0 Δx απέναντι κάθετη εφθ εφθ υ προσκείμενη κάθετη t t0 Δt
Σελίδα 7 από 12
Προσέξτε ότι ακριβώς τα ίδια έχουμε να παρατηρήσουμε και για την περίπτωση κατά την οποία είναι υ < 0.
2. Συνάρτηση ταχύτητας - χρόνου στην Ε.Ο.Μ.Κ. Η ταχύτητα στην Ε.Ο.Κ. είναι σταθερή. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο είναι ευθεία παράλληλη με τον άξονα των χρόνων. Προφανώς, όταν γνωρίζουμε τα χρονικά όρια της κίνησης, δηλαδή για tαρχ t tτελ η γραφική παράσταση θα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο με τον άξονα των χρόνων.
υ
υ
υ>0
tαρχ
tτελ
t
0
υ
υ<0 x
υ 0
tαρχ
tτελ
t Σχήμα 2
Σχήμα 1
Σημαντική παρατήρηση από τη γραφική παράσταση υ(t): Το εμβαδό του χωρίου που προσδιορίζεται από τον (οριζόντιο) άξονα των χρόνων, τη γραφική παράσταση υ(t) και τις δύο κάθετες στον άξονα των χρόνων που αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές της έναρξης και της λήξης της κίνησης ισούται αριθμητικά με το μέτρο της μετατόπισης του κινητού. Πιο συγκεκριμένα: υ υ
0
υ
υ>0 Εμβ = υ·Δt ή Εμβ =
tαρχ
tτελ
t
Σελίδα 8 από 12
tαρχ
tτελ
t
0
υ
υ<0 x Εμβ = ή Εμβ =
Ερωτήσεις - Ασκήσεις 1. (στην τάξη) Αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα και σε χρόνο 30s διανύει απόσταση 1200m. α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου, β. Να εκφράσετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου σε km/h. γ. Να κατασκευάσετε τα διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου και θέσηςχρόνου x(t). δ. Να υπολογίσετε (με χρήση των σχέσεων που μάθατε για την Ε.Ο.Κ. αλλά και από το διάγραμμα) σε πόσο χρόνο το αυτοκίνητο, κινούμενο με την ίδια ταχύτητα, θα διανύσει 7200m. x 2. (στην τάξη) Ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα. Στο σχήμα φαίνεται η θέση του σε συνάρτηση με τον χρόνο. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 0 t1 t2 t3 t α. Από 0 μέχρι t1 το σώμα επιταχύνεται, δηλαδή αυξάνει την ταχύτητά του. β. Από t1 μέχρι t2 το σώμα ηρεμεί. γ. Το σώμα τη χρονική στιγμή t3 έχει επιστρέψει στην αρχική του θέση. δ. Η μετατόπιση του στο χρονικό διάστημα t2 μέχρι t3 είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη στο χρονικό διάστημα 0 μέχρι t1. 1 ε. Η μέση ταχύτητα του κινητού είναι υ0 . 2 στ. Στο διάστημα από t2 μέχρι t3 το κινητό επιβραδύνεται, δηλαδή μειώνει την ταχύτητά του. 3. (στο σπίτι) Ένας ποδηλάτης ξεκινάει (με το ποδήλατό του εννοείται...) απ' την πόλη Α και φτάνει στην πόλη Β, που απέχει απόσταση 4km, κινούμενος με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ1 = 10m/s. Μετά από στάση 5min, ξεκινάει και πάλι, με ταχύτητα μέτρου υ2 = 20m/s και φτάνει στην πόλη Γ μετά από 3min. Να υπολογίσετε: α. Το συνολικό χρόνο που χρειάστηκε για να πάει απ' την πόλη Α στην πόλη Γ. β. Τη συνολική απόσταση που διένυσε. γ. Τη μέση ταχύτητα για όλη τη διαδρομή. δ. Να κατασκευάσετε σε μιλλιμετρέ χαρτί και με κατάλληλη κλίμακα τα διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου για όλη τη διαδρομή του κινητού.
Σελίδα 9 από 12
Συμπληρωματικές Ασκήσεις στην Ε.Ο.Κ. Α. (Συνάντηση δύο κινητών) 1. Δύο σημεία Α και Β μιας ευθείας απέχουν 1200m το ένα από το άλλο. Δύο κινητά διέρχονται ταυτόχρονα από τα Α και Β με ταχύτητες18m/s και 22m/s αντίστοιχα, κινούμενα με αντίθετη φορά εκτελώντας ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. α. Μετά από πόσο χρόνο τα δύο κινητά θα συναντηθούν; β. Σε ποιο σημείο της ευθείας θα συναντηθούν; γ. Να γίνουν τα διαγράμματα θέσης-χρόνου και ταχύτητας-χρόνου για τα δύο κινητά χρησιμοποιώντας κοινούς άξονες. δ. Να απαντηθούν τα ερωτήματα α, β και γ όταν τα δύο κινητά κινούνται ομόρροπα. 2. Δύο πεζοπόροι βαδίζουν στον ίδιο ίσιο δρόμο με σταθερές ταχύτητες και προς την ίδια κατεύθυνση. Ο προπορευόμενος έχει ταχύτητα μέτρου 1m/s και κάποια χρονική στιγμή περνάει μπροστά από μια βρύση. Την ίδια στιγμή ο άλλος βρίσκεται60mπιο πίσω και έχει ταχύτητα μέτρου 2m/s . α. Πού θα βρίσκεται ο πρώτος όταν ο δεύτερος φθάσει στη βρύση; β. Ποια χρονική στιγμή θα συναντηθούν οι δύο πεζοπόροι, θεωρώντας αρχή των χρόνων την χρονική στιγμή που ο πρώτος περνάει από την βρύση; γ. Πού πρόκειται να συναντηθούν οι δύο πεζοπόροι, θεωρώντας σημείο αναφοράς τη βρύση; δ. Να κατασκευάσετε το διάγραμμαx(t) για τους δύο πεζοπόρους σε κοινούς άξονες. ε. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα υ(t)για τους δύο πεζοπόρους σε κοινούς άξονες. 3. Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με ταχύτητα μέτρου 20m/s και προσπερνά αμαξοστοιχία που κινείται παράλληλα και ομόρροπα προς αυτό με σταθερή ταχύτητα μέτρου 10m/s. Αν η αμαξοστοιχία έχει μήκος 50m, να βρεθεί ο ελάχιστος χρόνος για την προσπέραση.
Β. (Διάγραμμα υ - t από διάγραμμα x - t) 4. Δίνεται το διάγραμμα θέσης – χρόνου για μια ευθύγραμμη κίνηση ενός κινητού. x(m) 16 10
2
4
6
8
10
Σελίδα 10 από 12
t(s)
Να κατασκευάσετε το διάγραμμα υ(t) και να υπολογίσετε τη μέση διανυσματική ταχύτητα για όλη την κίνηση του κινητού.
Γ. (Διάγραμμα x-t από διάγραμμα υ-t) 5. Δίνεται το διάγραμμα ταχύτητας –χρόνου για μια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ενός κινητού. υ(m/s) 10 5 -2
20
35 50
10
t(s)
Να κατασκευάσετε το διάγραμμα x(t) για όλη την κίνηση του κινητού και να υπολογίσετε από το διάγραμμα υ(t) τη συνολική του μετατόπιση και το συνολικό διάστημα που διένυσε.
2η Ομάδα
6. Τρένο μήκους 120m περνά μέσα από μια σήραγγα με σταθερή ταχύτητα μέτρου 72km/h. Αν το πέρασμα του τρένου μέσα από τη σήραγγα διαρκεί 30s, να υπολογισθεί: το μήκος της σήραγγας. α. το χρονικό διάστημα κατά το οποίο δε θα φαίνεται κανένα μέρος β. του τρένου. 7. Αυτοκίνητο περνά μπροστά από έναν ακίνητο παρατηρητή κινούμενο ευθύγραμμα και ομαλά με ταχύτητα μέτρου 6m/s. Ύστερα από 3s περνά μπροστά από τον ίδιο παρατηρητή ένα δεύτερο αυτοκίνητο, κινούμενο επίσης ευθύγραμμα και ομαλά, προς την ίδια κατεύθυνση με το πρώτο , με ταχύτητα μέτρου 8m/s. α. Πότε και πού θα συναντηθούν τα δύο αυτοκίνητα; β. Να γίνουν τα διαγράμματα θέσης-χρόνου και ταχύτητας-χρόνου για τα δύο αυτοκίνητα χρησιμοποιώντας κοινούς άξονες. 8. Τρένο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά και περνάει διαδοχικά από δυο τούνελ. Το πρώτο τούνελ μήκους 70m το περνά σε 12s και το δεύτερο, μήκους 150m, το περνά σε 20s. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του τρένου και β. το μήκος του τρένου.
Σελίδα 11 από 12
9. Α. Πυροβόλο όπλο απέχει απόσταση D από στόχο και εκτοξεύει προς αυτόν βλήμα με σταθερή οριζόντια ταχύτητα μέτρου 680m/s. Το βλήμα συναντά το στόχο και εκρήγνυται. Ο ήχος της έκρηξης του βλήματος φτάνει στον πυροβολητή, που είναι δίπλα στο πυροβόλο, 9s αφού έγινε η εκτόξευση. Να υπολογίσετε την απόσταση D. (δίνεται ότι ο ήχος διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα στον αέρα κινούμενος ευθύγραμμα και με ταχύτητα μέτρου 340m/s). Β. Αν στην προηγούμενη περίπτωση η απόσταση του πυροβόλου από το στόχο είναι 800m ποια πρέπει να είναι η θέση ενός ακίνητου παρατηρητή πάνω στην ευθεία πυροβόλου-στόχου για να ακούσει ταυτόχρονα τον ήχο της εκτόξευσης και τον ήχο της έκρηξης;
10. Ο καθηγητής της Φυσικής διηγείται σήμερα στα παιδιά το γνωστό μύθο του Αισώπου «Ο λαγός και η χελώνα». Τα δυο ζώα ξεκίνησαν αγώνα δρόμου με σίγουρο φαβορί το λαγό και με τελικό νικητή βέβαια τη χελώνα. Ο καθηγητής δίνει στα παιδιά ένα διάγραμμα θέσης – χρόνου στο οποίο φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις της θέσης για τους δυο ‘αθλητές’ κατά τη χρονική διάρκεια του αγώνα. Και ο μύθος γίνεται πιο βασανιστικός στο μάθημα της Φυσικής καθώς τα παιδιά καλούνται να απαντήσουν στα παρακάτω ερωτήματα: α. Να περιγράψετε το είδος της κίνησης ξεχωριστά για το λαγό και τη χελώνα σε καθένα από τα επιμέρους χρονικά διαστήματα. β. Να υπολογίσετε τις μετατοπίσεις του λαγού για τα χρονικά διαστήματα από 0s έως 20s και από 20s έως 190s. γ. Να υπολογίσετε τη μέση διανυσματική ταχύτατα με την οποία κινείται ο λαγός και η χελώνα σε καθένα από τα επιμέρους χρονικά διαστήματα. δ. Να φτιάξετε το αντίστοιχο διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου. ε. Ποια είναι η τιμή της μέσης αριθμητικής ταχύτητας του λαγού και της χελώνας; στ. Πόσο μήκος είχε η διαδρομή του αγώνα; ζ. Σε πόση απόσταση από την αφετηρία βρισκόταν το σημείο στο οποίο κοιμήθηκε ο λαγός και πόσο διήρκεσε ο ύπνος του; η. Ποια χρονική στιγμή η χελώνα προσπέρασε το λαγό; θ. Πότε ακριβώς ξύπνησε και άρχισε να τρέχει ο λαγός; ι. Ο λαγός τερμάτισε δεύτερος, αλλά με πόση χρονική διαφορά από τη χελώνα; ια. Ο λαγός έπρεπε τελικά να τρέξει πιο γρήγορα για να προλάβει τη χελώνα και να τερματίσουν ταυτόχρονα. Δηλαδή με πόση ταχύτητα έπρεπε να τρέξει ο λαγός, από τη στιγμή που ξύπνησε και μετά; 11. Ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας κυνηγά μια χελώνα στην οδό Ζήνωνος. Αρχικά, η χελώνα βρίσκεται 100 μέτρα μπροστά από τον Αχιλλέα. Ο Αχιλλέας μπορεί να τρέχει με σταθερή ταχύτητα μέτρου 10m/s, ενώ η χελώνα μόλις με 1m/s. Ο Ζήνων (ιδιοκτήτης της ομώνυμης οδού) σκέφτεται πως ο Αχιλλέας ποτέ δεν θα καταφέρει να φτάσει τη χελώνα. Διότι, όταν ο Αχιλλέας καλύψει τα 100 μέτρα που τους χωρίζουν, η χελώνα θα έχει προχωρήσει 10 μέτρα. Όταν ο Αχιλλέας καλύψει τα 10 αυτά μέτρα, η χελώνα θα έχει προχωρήσει άλλο ένα. Κι αυτό θα συνεχίζεται επ’ άπειρον, όσο μπορούμε να διαιρούμε την απόσταση και το χρόνο σε ολοένα μικρότερα κομμάτια... Εσείς τι λέτε; Θα φτάσει ο Αχιλλέας τη χελώνα; Κι αν ναι, πού και πότε θα συμβεί αυτό; Σελίδα 12 από 12