CHAP2_ENSEMBLE DE NOMBRES & INEQUATIONS

Page 1

CHAPITRE  II_ENSEMBLE  DE  NOMBRES  &  INEQUATIONS  29  septembre  2015    Contenus  :   Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

Intervalles  Ensemble  de  nombres  RĂŠsolution  graphique  et  algĂŠbrique  d’inĂŠquations  Approche  d’exercices  en  anglais  Â

 Algorithmique  :  Ă˜ďƒ˜ Notion  de  variable   Ă˜ďƒ˜ Lire  et  comprendre  un  algorithme   Histoire  :  Ă˜ďƒ˜ Pierre  de  Fermat  đ?‘‹đ?‘‰đ??źđ??ź è!"  siècle   Objectifs  :   Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

Etudier  les  ensembles  de  nombres  et  les  comparer  RĂŠsoudre  une  inĂŠquation  du  premier  degrĂŠ  ModĂŠliser  un  problème  par  une  inĂŠquation  RĂŠsoudre  graphiquement  des  inĂŠquations  de  la  forme  đ?‘“ đ?‘Ľ < đ?‘˜  ; đ?‘“(đ?‘Ľ) < đ?‘”(đ?‘Ľ)  Â

Â

Sommaire   ActivitĂŠ  0_Pierre  de  Fermat  đ?‘żđ?‘˝đ?‘°đ?‘°Ă¨đ?’Žđ?’†  ...........................................................................................  2  ActivitĂŠ  1_Les  intervalles  .................................................................................................................  3  ActivitĂŠ  2_Ensemble  de  nombres  ....................................................................................................  4  ActivitĂŠ  3_RĂŠsolution  d’inĂŠquations  du  premier  degrĂŠ  ..................................................................  5  ActivitĂŠ  4_RĂŠsolution  graphique  d’inĂŠquations  ..............................................................................  5   Â

 Â

1 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  II_ENSEMBLE  DE  NOMBRES  &  INEQUATIONS  29  septembre  2015   ActivitĂŠ  0_Pierre  de  Fermat  đ?‘żđ?‘˝đ?‘°đ?‘°Ă¨đ?’Žđ?’† Â

 Ses  activitĂŠs  scientifiques  pour  lesquelles  il  s’adonne  en  amateur,  le  consacrent  comme  un  gĂŠnie  de  son  temps.  Il  ne  s’intĂŠresse  aux  mathĂŠmatiques  que  par  plaisir,  adore  la  dĂŠmonstration  et  propose  des  mĂŠthodes  innovantes.  Pourtant  Fermat  ne  publiera  rien  de  son  vivant  ;  l’essentiel  de  ses  travaux  se  dispersent  au  travers  de  correspondances  avec  quelques-­â€?uns  des  plus  grands  scientifiques  de  son  temps  tels  que  GalilĂŠe  (1564  ;  1642),  RenĂŠ  Descartes  (1596  ;  1650),  Blaise  Pascal  (1623  ;  1662)  ou  Marin  Mersenne  (1588  ;  1648).    En  1632,  Fermat  rencontre  pour  la  première  fois  Pierre  de  Carcavi,  un  autre  conseiller  au  parlement  de  Toulouse  avec  lequel  il  se  lie  d’amitiĂŠ  et  partage  son  goĂťt  pour  les  sciences.  C’est  avec  lui  et  Mersenne  que  Fermat  traite  de  problèmes  sur  la  chute  des  corps  dĂŠjĂ Â exposĂŠs  par  GalilĂŠe.    En  parallèle  avec  Descartes,  avec  qui  Fermat  correspond  et  n’est  pas  toujours  en  accord,  il  dĂŠveloppe  la  notion  de  reprĂŠsentation  graphique  d’une  fonction.  Pour  Descartes,  le  repère  permet  de  rĂŠsoudre  un  problème  de  gĂŠomĂŠtrie  alors  que  Fermat  part  directement  d’une  expression  algĂŠbrique  pour  tracer  la  courbe.   Ses  travaux  en  analyse  sont  les  bases  du  calcul  diffĂŠrentiel  que  reprendront  un  peu  plus  tard  Isaac  Newton  (1643  ;  1727)  et  Gottfried  Wilhelm  von  Leibniz  (1646  ;  1716).  Fermat  approche  la  notion  de  dĂŠrivĂŠe  pour  trouver  les  minima  et  maxima  de  fonctions  polynĂ´mes  et  dĂŠveloppe  une  mĂŠthode  d’intĂŠgration  proche  de  celle  utilisĂŠe  aujourd’hui.   Mais  ce  qui  passionne  le  plus  Fermat,  ce  sont  les  problèmes  de  l’AntiquitĂŠ.  Il  expose  et  dĂŠveloppe  des  travaux  d’arithmĂŠtique  de  Pythagore  de  Samos  (-­â€?569  ;  -­â€?475),  Euclide  d'Alexandrie  (-­â€?320  ;  -­â€?260),  Archimède  de  Syracuse  (-­â€?287  ;  -­â€?212),  Eudoxe  de  Cnide  (-­â€?408  ;  -­â€?355)  et  Diophante  d'Alexandrie  (IIIème  siècle  de  notre  ère).  C’est  dans  l’ouvrage  de  ce  dernier,    Les  ArithmĂŠtiques    que  Fermat  renferme  toutes  ses  recherches  sur  la  thĂŠorie  des  nombres.  Il  y  laisse  de  nombreux  ÊnoncĂŠs  non  dĂŠmontrĂŠs  que  plus  tard  le  mathĂŠmaticien  suisse  Leonhard  Euler  (1707  ;  1783)  tentera  de  rĂŠsoudre.  On  y  trouve  en  particulier  l’un  des  problèmes  les  plus  cĂŠlèbres  de  l’histoire  des  mathĂŠmatiques  :  La  conjecture  de  Fermat.     đ??żâ€™ĂŠđ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘œđ?‘›  đ?‘Ľ !  +  đ?‘Ś !  =  đ?‘§ !  đ?‘›â€™đ?‘Ž  đ?‘?đ?‘Žđ?‘  đ?‘‘đ?‘’  đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘–đ?‘œđ?‘›  đ?‘Žđ?‘Łđ?‘’đ?‘?  đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§  >  0  đ?‘’đ?‘Ą  đ?‘›  >  2  .   Â

 Â

2 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  II_ENSEMBLE  DE  NOMBRES  &  INEQUATIONS  29  septembre  2015   ActivitĂŠ  1_Les  intervalles   Au  pays  des  intervalles,  cohabitent  quatre  types  de  familles  :   â€˘ • • •

 les  fermĂŠs  qui  s’identifient  ainsi  :  đ?’‚, đ?’ƒ  ;  les  ouverts  qui  s’identifient  ainsi  :  đ?’‚, đ?’ƒ  ;  les  ouverts  à  droite  qui  s’identifient  ainsi  :  đ?’‚, đ?’ƒ  đ?’?đ?’–  đ?’‚, +∞    ;  les  ouverts  à  gauche  qui  s’identifient  ainsi  :  đ?’‚, đ?’ƒ  đ?’?đ?’–  âˆ’∞, đ?’ƒ  ; Â

 1. Associer  à  chaque  famille  d’intervalles,  une  inĂŠgalitĂŠ  mathĂŠmatique  :   đ?‘Ž, đ?‘?      đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ < đ?‘?   đ?‘Ž, đ?‘?                                                đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?    đ?‘Ž, đ?‘?                                                 đ?‘Ž < đ?‘Ľ < đ?‘?   đ?‘Ž, +∞                                            đ?‘Ľ ≤ đ?‘?    đ?‘Ž, đ?‘?                                                 đ?‘Ž < đ?‘Ľ ≤ đ?‘?   âˆ’∞, đ?‘?                                             đ?‘Ľ ≼ đ?‘Ž    2. ComplĂŠter  le  QCM  suivant  en  barrant  les  rĂŠponses  fausses:  3 ∈ Â

2,8 Â

3,5 Â

−1,1 Â

−4,3 Â

đ?‘Ľ ≤ 3  correspond  à  l’intervalle Â

−3,3 Â

−∞, 3 Â

3, +∞ Â

−∞, 3 Â

đ?‘Ľ  est  compris  entre  2  et  5  strictement  Â

2,5 Â

2,5 Â

2,5 Â

2,5 Â

−1,1    s’Êcrit  : Â

−1 < đ?‘Ľ ≤ 1  1 > đ?‘Ľ > −1  1 > đ?‘Ľ ≼ −1  −1 ≤ đ?‘Ľ < 1 Â

 3. Traduire  les  ensembles  de  nombres  suivants  à  l'aide  d'intervalles,  de  rĂŠunions  ou  d'intersections  d'intervalles  :  Les  rĂŠels  strictement  supĂŠrieurs  à  10  et  infĂŠrieurs  ou  Êgaux  à  12  Les  rĂŠels  compris  entre  -­â€?5  et  7,  bornes  exclues,  ou  supĂŠrieurs  ou  Êgaux  à  3  Les  rĂŠels  positifs  ou  nuls  et  infĂŠrieurs  ou  Êgaux  à  25   Les  rĂŠels  strictement  supĂŠrieurs  à  6  ou  nĂŠgatifs  ou  nuls   Â

   Â

3 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  II_ENSEMBLE  DE  NOMBRES  &  INEQUATIONS  29  septembre  2015    4.  DĂŠterminer  les  intersections  et  les  unions  des  intervalles  suivants Â

1)  đ??ź =] − 3; 7]  đ?‘’đ?‘Ą  đ??˝ = [1; +∞[                                    2    )    đ??ź    =]       −     ∞;       4[  đ?‘’đ?‘Ą  đ??˝     = [4; 10]  Â

Â

5. L’intervalle  K  est-­â€?il  inclus  dans  l’intervalle  J  ?  1)  đ??ž = [−2; 5  [       đ??˝ = [−2; +∞[ Â

2) Â đ??ž = [5; 12] Â Â Â Â Â Â đ??˝ = [5; 12[ Â

 6. ComplĂŠtez  les  encadrĂŠs  ci-­â€?dessous  :  Â

đ??ź ∊ đ??˝ Â

đ??ź âˆŞ đ??˝ Â

Si  I = [3; 5]  et  J = [4; 6] Â

Â

Â

Si  I = [3; 5[  et  J =]4; 6] Â

Â

Â

Si  I =]3; 5]  et  J = [4; 6[ Â

Â

Â

Si  I = [3; 5[  et  J = [4; 6[ Â

Â

Â

Si  I  = [1; 10]  et  J = [4; 9] Â

Â

Â

Si  I = [30; 50[  et  J = [55; 60[ Â

Â

Â

Si  I = [30; +∞[  et  J =] − ∞; 60] Â

Â

Â

Si  I =] − ∞; 5[  et  J = [−4; 2[ Â

Â

Â

Si  I =] − 20; 5]  et  J = [5; +∞[ Â

Â

Â

Si  I =] − 20; 5[  et  J =]5; +∞[ Â

Â

Â

Si  I =] − 20; 5[  et  J = [5; +∞[ Â

Â

Â

 ActivitĂŠ  2_Ensemble  de  nombres   Classer  en  mettant  des  croix  les  nombres  du  tableau  suivant  par  famille  de  nombres  :  Nombre Â

â„•  entier  naturel Â

ℤ  entier  relatif Â

2 Â

Â

Â

-­â€?1,4 Â

Â

Â

-­â€?12 Â

Â

Â

đ?œ‹ Â

Â

Â

Â

Â

Â

Â

2 Â 3 Â 4 Â Â

4 Â HOUPERT Â N. Â

Rationnels       Â

 Â

â„?  rĂŠel       Â

CHAPITRE  II_ENSEMBLE  DE  NOMBRES  &  INEQUATIONS  29  septembre  2015   RĂŠcapitulons  en  complĂŠtant  ce  schĂŠma  :  Â

  ActivitĂŠ  3_RĂŠsolution  d’inĂŠquations  du  premier  degrĂŠ   RĂŠsoudre  les  inĂŠquations  suivantes  et  donner  les  solutions  (lorsqu’il  en  existe)  sous  la  forme  d’un  intervalle.  a) b) c) d) e) f) g) h)

j) 7đ?‘Ľ  <  −  35   k) −7đ?‘Ľ  <  35 Â

4đ?‘Ľ  +  1  >  đ?‘Ľ  –  2  đ?‘Ľ  +  6  ≤  9   4đ?‘Ľ  >  8   −4đ?‘Ľ  >  8   −3đ?‘Ľ  <  −9   4  +  đ?‘Ľ  ≼  −5đ?‘Ľ  +  10   8đ?‘Ľ  −  4  >  12đ?‘Ľ  −  8   đ?‘Ľ  −  4  ≤  5   !!  !  !

i)

!"

l) 8 3đ?‘Ľ  â€“  5 –  5 2đ?‘Ľ  â€“  8 ≼   4 3đ?‘Ľ  â€“  1 +  16  m)  4(3đ?‘Ľ  â€“  2)  â‰Ľ   7đ?‘Ľ  â€“  8   n)   đ?‘Ľ  â€“  1  â‰¤   đ?‘Ľ  +  1  o)   đ?‘ĽÂ˛  +  4  <  0  p)   (đ?‘Ľ  â€“  4)²  â‰Ľ  âˆ’1  q)  4đ?‘Ľ  +  1  >  2(2đ?‘Ľ  â€“  1) Â

  â‰Ľ  13  Â

  ActivitĂŠ  4_RĂŠsolution  graphique  d’inĂŠquations  Â

Les  solutions  graphiques  de  cette  Êquation  sont  les    â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś   â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś Â

đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘”(đ?‘Ľ)  đ?‘“  g  Â

 Â

5 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  II_ENSEMBLE  DE  NOMBRES  &  INEQUATIONS  29  septembre  2015  Â

Les  solutions  graphiques  de  cette  inĂŠquation  sont    â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś   â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś Â

đ?‘“ đ?‘Ľ ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ) Â

Â

Les  solutions  graphiques  de  cette  inĂŠquation  sont     â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś   â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś Â

đ?‘“ đ?‘Ľ ≼ đ?‘”(đ?‘Ľ) Â

Â

Â

1. Les  fonctions   f  et  g  sont  dĂŠfinies  sur  [-­â€?3  ;  6]  ;   leurs  reprĂŠsentations  graphiques  sont  donnĂŠes   ci-­â€?contre.  RĂŠsoudre  graphiquement  :  a. l’Êquation   đ?‘“ (đ?‘Ľ)  =  đ?‘”(đ?‘Ľ)  ;   b. l’inĂŠquation   đ?‘“ (đ?‘Ľ)  â‰¤  đ?‘”(đ?‘Ľ)  ;  c. l’Êquation  đ?‘“ đ?‘Ľ = 3  ;  d. l’inĂŠquation  đ?‘”(đ?‘Ľ) ≼ đ?‘Ľ.    2. Soient  đ?‘“ đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ + 2,  et  đ?‘” đ?‘Ľ = −đ?‘Ľ + 6   dĂŠfinies  sur  âˆ’5,5 .   RĂŠsoudre  par  le  calcul    :  a. l’Êquation   đ?‘“ (đ?‘Ľ)  =  đ?‘”(đ?‘Ľ)  ;   b. l’inĂŠquation   đ?‘“ (đ?‘Ľ)  â‰¤  đ?‘”(đ?‘Ľ)  ;  c. l’Êquation  đ?‘“ đ?‘Ľ = 3  ;  d. l’inĂŠquation   đ?‘”(đ?‘Ľ) ≼ đ?‘Ľ.  A  l’aide  de  la  calculatrice,  reprĂŠsenter  graphiquement  ces  deux  fonctions  dans  un  repère,  puis  rĂŠpondre  graphiquement  aux  questions  suivantes  :  a. l’inĂŠquation   đ?‘“ (đ?‘Ľ)  â‰¤  8  ;  b. l’inĂŠquation   đ?‘” đ?‘Ľ > 3   ;  c. l’inĂŠquation   đ?‘“ (đ?‘Ľ) >  đ?‘”(đ?‘Ľ)  . Â

 Â

6 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.