CHAP4_FONCTIONS NUMERIQUES

CHAPITRE IV_FONCTIONS NUMERIQUES Novembre 2015

Contenus : Ø Ø Ø Ø

Fonctions, images, antécédents, courbe représentative Etude qualitative de fonctions Fonction croissante, fonction décroissante Maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle

Algorithmique : Ø Appréhender les instructions d’entrée et de sortie Ø Initiation aux instructions conditionnelles Histoire : Ø Leonhard Euler, XVIIIème siècle Objectifs : Ø Traduire le lien entre deux quantités par une formule. Ø Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : o Identifier la variable et, éventuellement, l’ensemble de définition o Déterminer l’image d’un nombre o Rechercher des antécédents d’un nombre o Décrire avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe o Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. o Lorsque le sens de variations est donné, par une phrase ou un tableau de variations : § Comparer les images de deux nombres d’un intervalle § Déterminer tous les nombres dont l’image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée

Sommaire Activité 0_Leonhard Euler, XVIIIème ............................................................................................... 2 Activité 1_Découvrir le lien fonctionnel entre deux variables ........................................................ 3 Activité 2_A la recherche d’images et d’antécédents… .................................................................. 6 Activité 3_Appartenance d’un point à une courbe ......................................................................... 7 Activité 4_Synthèse ......................................................................................................................... 7 Activité 5_Apprivoiser le vocabulaire sur les fonctions ................................................................... 8 Activité 6_Construire un tableau de variations à partir d’une courbe ........................................... 9 Activité 7_Construire des courbes à partir de contraintes algébriques ........................................ 11 English corner ................................................................................................................................ 12

1 HOUPERT N.

CHAPITRE IV_FONCTIONS NUMERIQUES Novembre 2015

Activité 0_Leonhard Euler, XVIIIème

En théorie des nombres, Euler démontre la conjecture de Fermat dans le cas n=3, étudie les nombres parfaits (nombre égal à la somme de ses diviseurs propres) et entretient des correspondances avec Christian Goldbach (1690 ; 1764), célèbre aujourd’hui pour sa conjecture.

Dans Introductio in analysin infinitorum (1748), il pose les fondements de l’analyse mathématique et de la mécanique analytique. Euler établit la célèbre constante, notée γ (gamma), qui porte aujourd’hui son nom : γ = 0,57721566490153286060…

Sa nature est un problème ouvert, on ne sait pas s’il s’agit d’un nombre rationnel ou irrationnel.

Aujourd’hui près de 108 000 000 décimales de ce nombre sont connues. Le record est détenu par Patrick Demichel et Xavier Gourdon depuis 1999. La constante d’Euler, définit comme suit, demande quelques connaissances du lycée : Euler fonde ce qu’on appelle aujourd’hui l’analyse fonctionnelle en donnant une définition précise de la notion de fonction. Nous lui devons la notation f(x) pour désigner l’image d’un nombre x par une fonction f.

Mais ce n’est de loin pas la seule notation qu’il introduit dans le langage des mathématiques. Il utilise la lettre grecque Σ comme symbole de sommation. Par exemple, 1 + 2 + 3 + … + 1000 trop long à écrire se note :

Il propose le célèbre pour le nombre Pi, la lettre i pour la racine carrée de -­‐1 et le fameux e base des logarithmes népériens.

Il établit à ce sujet, une formule liant ces trois nombres : eiπ + 1 = 0 et une seconde mettant en relation la trigonométrie et l’analyse complexe : eix = cos x + i.sin x.

Dans Institutiones calculi intégralis (1768/70), Euler développe également le calcul différentiel de Wilhelm Gottfried von Leibniz (1646 ; 1716) et la méthode des fluxions d’Isaac Newton (1642 ; 1727).

Il prolonge les travaux des Bernoulli et met en place la notion d’équation aux dérivées partielles et le calcul des variations par la recherche des extrema sur les courbes.

2 HOUPERT N.

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015   ActivitĂŠ  1_DĂŠcouvrir  le  lien  fonctionnel  entre  deux  variables   1. Trouver  le  lien  unissant  les  deux  ensembles  de  nombres  ci-­â€?dessous  :   7 Â

12 Â

20 Â

Ensemble  1 Â

Â

1 Â 3 Â 4 Â

Ensemble  2 Â

Â

2 Â 6 Â 8 Â 14 Â 24 Â 40 Â

  ‌ Â

  Les  ÊlĂŠments  de  l’ensemble  1  sont  appelĂŠs  les  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌  et  se  notent  ‌.  Les  ÊlĂŠments  de  l’ensemble  2  sont  appelĂŠs  les  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌  et  se  notent  ‌.  On  peut  alors  Êcrire  une  relation  entre  đ?‘Ś  et  đ?‘Ľ  :  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌..  On  dit  alors  que  đ?‘Ľ  et  đ?‘Ś  sont  liĂŠs  par  une  fonction  notĂŠe  đ?‘“ .  On  Êcrit  alors  đ?‘Ś = đ?‘“ đ?‘Ľ .  ComplĂŠter  alors  :   2 = đ?‘“ ‌   ;   đ?‘“ 3 = â‹Ż   ;   8 = đ?‘“ ‌    ;   đ?‘“ 7 = â‹Ż   ;   24 = đ?‘“ ‌   ;    đ?‘“ 20 = â‹Ż     Le  tableau  ci-­â€?dessus  s’Êcrit  plus  simplement  :   đ?‘“ đ?‘Ľ = â‹ŻĂ—đ?‘Ľ   Conclusion  :  Une  fonction  est  le  ‌‌..‌‌  qui  unit  deux  ensembles  de  nombres.    Les  ÊlĂŠments  de  l’ensemble  de  dĂŠpart  sont  appelĂŠs  les  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌.,  tandis  que  les  ÊlĂŠments    de  l’ensemble  d’arrivĂŠe  sont  appelĂŠs  les  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌...   En  utilisant  cette  mĂŞme  fonction,  complĂŠter  le  tableau  ci-­â€?dessous  :  đ?‘Ľ Â

1 Â 2

Â

-­â€?3,4 Â

Â

đ?‘“ đ?‘Ľ Â

Â

1 Â 6

Â

2đ?œ‹ Â

 2. Placer  dans  le  repère  ci-­â€?après,  les  diffĂŠrentes  abscisses,  lorsque  cela  est  possible,  puis  leur  ordonnĂŠe  correspondante.     Â

 Â

3 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE IV_FONCTIONS NUMERIQUES Novembre 2015

Les abscisses sont représentées sur l’axe ……………………….…………. du repère.

Les ordonnées sont représentées sur l’axe …………………………….…… du repère.

3. Ecrire dans, le tableau ci-­‐dessous la fonction qui lie les ensembles de nombres suivants :

E1

2

3

8

E2

1

3

2

4

E3

-­‐2

E4

5

-­‐3 7

4 HOUPERT N.

12 6

-­‐8

-­‐12

17

25

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015    Abscisses  đ?‘Ľ Â

OrdonnĂŠes  đ?‘“(đ?‘Ľ) Â

E1 Â

E2 Â

đ?‘“ đ?‘Ľ = Â

E2 Â

E3 Â

đ?‘” đ?‘Ľ = Â

E2 Â

E1 Â

Â

E3 Â

E2 Â

Â

E1 Â

E3 Â

Â

E1 Â

E4 Â

â„Ž đ?‘Ľ = Â

E3 Â

E4 Â

Â

E4 Â

E1 Â

Â

E4 Â

E3 Â

Â

Fonction  đ?‘“ Â

 4. Construire  dans  les  repères  ci-­â€?dessous,  les  courbes  reprĂŠsentatives  des  fonctions  đ?‘“ , đ?‘”, â„Ž Â

  Les  courbes  reprĂŠsentatives  des  fonctions  đ?’‡  et  đ?’ˆ  sont  des  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌   Ces  fonctions  sont  des  fonctions    ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌.   La  courbe  reprĂŠsentative  de  la  fonction   đ?’‰   est  une  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌..   Cette  fonction  est  une  fonction    ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌. Â

 Â

5 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015    ActivitĂŠ  2_A  la  recherche  d’images  et  d’antĂŠcĂŠdents‌   L’image  d’une  abscisse   par  une  fonction  đ?’‡  est  son  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌correspondante,   elle  se  situe  donc  sur  l’axe  des  ‌‌‌‌‌‌‌..‌‌‌‌..   Les  antĂŠcĂŠdents  d’une  ordonnĂŠe  par  une  fonction  đ?’‡  sont  ses  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌correspondantes,  elles  se  situent  donc  sur  l’axe  des  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌..   1.  A  l’aide  du  tableau  de  la  fonction  đ?‘“  ci-­â€?après,  dĂŠterminer  : Â Ă˜ďƒ˜ les  images  de  4  ;  de  2  ; Â Â Ă˜ďƒ˜ les  antĂŠcĂŠdents  de  -­â€?3  ;  de  2  et  de  0.    2. A  l’aide  du  graphique  de  la  courbe  de  la  fonction  đ?‘“  ci-­â€?après,  dĂŠterminer  : Â Ă˜ďƒ˜ les  images  de  -­â€?2  ;  de  -­â€?1  et  de  0  ; Â Ă˜ďƒ˜ les  antĂŠcĂŠdents  de   4  ;  2  ;  1  et  0.        3. Que  vous  inspire  cette  courbe  ?       Â

 Â

6 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

đ?‘Ľ  -­â€?2  1  0  4  2  đ?‘“(đ?‘Ľ)  -­â€?3  4  2  -­â€?3  0 Â

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015    4. A  l’aide  de  l’Êquation  de  la  fonction  đ?‘“  :  đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘ĽÂ˛ − 2đ?‘Ľ + 1,  dĂŠterminer  : Â Â Ă˜ďƒ˜ les  images  de  0,  -­â€?1  et  3  ; Â Ă˜ďƒ˜ les  antĂŠcĂŠdents  de  0  et  de  1.   5.  A  l’aide  d’un  algorithme  que  vous  rĂŠdigerez  sur  votre  calculatrice,  dĂŠterminer  : Ă˜ďƒ˜ les  images  de  129  ;  de  1295  et  de  -­â€?234  par  la  fonction  đ?‘“ đ?‘Ľ = −2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ !  ; Ă˜ďƒ˜ les  images  de  tous  les  entiers  compris  entre  50  et  70  par  cette  mĂŞme  fonction  ;  ActivitĂŠ  3_Appartenance  d’un  point  à  une  courbe  Un  point  đ?‘¨(đ?’™đ?‘¨ , đ?’šđ?‘¨ )  appartient  à  la  courbe  reprĂŠsentative  de  la  fonction  đ?’‡  si  et  seulement  si  đ?’šđ?‘¨ = đ?’‡(đ?’™đ?‘¨ )  Â

6. Soit  đ?‘“  la  fonction  dĂŠfinie  par  đ?‘“ đ?‘Ľ = 3đ?‘ĽÂ˛ − 2. Ă˜ďƒ˜  Les  points  suivant  appartiennent-­â€?ils  à  la  courbe  reprĂŠsentative  de  đ?‘“  ?  Â

7. Soit  �  la  fonction  dÊfinie  par  � � =

!!! !!!!

(3,25)  (−1, −5)  (1,1)  (0, −2) Â

OUI Â Â OUI Â OUI Â OUI Â

NON Â NON Â NON Â NON Â

(0, −0,5)  (−1,0)  (−2,0)  (2, −0,25) Â

OUI Â Â OUI Â OUI Â OUI Â

NON Â NON Â NON Â NON Â

.

Ă˜ďƒ˜ Les  points  suivant  appartiennent-­â€?ils  à  la  courbe  reprĂŠsentative  de  g  ? Â

 ActivitĂŠ  4_Synthèse   Traduire  les  phrases  suivantes  à  l'aide  d'ĂŠgalitĂŠs,  et  placer  les  points  correspondants  dans  un  repère,  pour  enfin  construire  une  courbe  à  partir  de  ces  informations  : Â Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

L'image  de  3  par  đ?‘“  est  2:  ‌‌‌‌‌‌‌  Le  point  đ??´(−1; 5)  appartient  à  la  courbe  đ??śđ?‘“:  ‌‌‌‌‌‌‌  –3  est  un  antĂŠcĂŠdent  de  2  par  la  fonction  đ?‘“ :  ‌‌‌‌‌‌‌‌..  La  courbe  đ??śđ?‘“  passe  par  đ??ľ (−4; 0):  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌  L'ordonnĂŠe  du  point  de  đ??śđ?‘“  d'abscisse  2  est  nulle:  ‌‌‌‌‌‌‌‌  4  est  l'image  de  0  par  la  fonction  f:  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌. Â

Â

 Â

7 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015   ActivitĂŠ  5_Apprivoiser  le  vocabulaire  sur  les  fonctions   Une  fonction  est  dite  croissante  si  sa  courbe  reprĂŠsentative  est  croissante.   MathĂŠmatiquement,   Une  fonction  đ?’‡  est  dite  croissante   đ?’”đ?’Š  đ?’‚ ≤ đ?’ƒ  đ?’‚đ?’?đ?’?đ?’“đ?’”  đ?’‡ đ?’‚ ≤ đ?’‡(đ?’ƒ) Â

         Â

Une  fonction  est  dite  dĂŠcroissante  si  sa  courbe  reprĂŠsentative  est  dĂŠcroissante.   MathĂŠmatiquement,   Une  fonction  đ?’‡  est  dite  dĂŠcroissante   đ?’”đ?’Š  đ?’‚ ≤ đ?’ƒ  đ?’‚đ?’?đ?’?đ?’“đ?’”  đ?’‡ đ?’‚ ≼ đ?’‡(đ?’ƒ) Â

        Â

Une  fonction  possède  un  maximum  M  si  les  diffĂŠrentes  valeurs  de  la  fonction  sont  toutes  infĂŠrieures  à  M  ;   Â

Une  fonction  possède  un  minimum  m  si  les  diffĂŠrentes  valeurs  de  la  fonction  sont  toutes  supĂŠrieures  à  m  ;    Â

                 Â

Â

Â

Un  tableau  de  variations  est  un  tableau  qui  dĂŠcrit  l’Êvolution  de  la  courbe  reprĂŠsentative  d’une  fonction.   đ?‘Ľ  -­â€?5                   -­â€?3                       10                    đ?‘“   0 Â

Â

  Â

 Â

8 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015   ActivitĂŠ  6_Construire   un  tableau  de  variations  à  partir  d’une  courbe Â

Un  tableau  de  variations  se  compose  dans  l’ordre  des  ÊlĂŠments  suivants  : Â Â Ă˜ďƒ˜ Le  domaine  de  dĂŠfinition  de  la  fonction  đ?’‡  est  l’intervalle  [‌‌.  ;‌‌] Â Â Â Ă˜ďƒ˜ La  fonction  đ?’‡  est  croissante  sur  l’intervalle  [‌‌  ;‌‌]  et  sur  l’intervalle  [‌‌.  ;‌‌]  ; Â Â Â Ă˜ďƒ˜ La  fonction  đ?’‡  est  dĂŠcroissante  sur  l’intervalle  [‌‌  ;‌‌]  et  sur  l’intervalle  [‌‌.  ;‌‌]  ; Â Â Ă˜ďƒ˜ La  fonction  possède  un  maximum  à  l’abscisse  đ?’™ =‌‌..  qui  vaut  ‌‌‌‌  ; Â Â Ă˜ďƒ˜ La  fonction  possède  un  minimum  à  l’abscisse  đ?’™ =‌‌..  qui  vaut  ‌‌‌‌  ;    1. Dresser  le  tableau  de  variations  des  courbes  reprĂŠsentatives  des  fonctions  suivantes  :  a.                  b.                        c.            Â

 Â

Â

9 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015    2. Puis,  complĂŠter  le  rĂŠcapitulatif  ci-­â€?dessous  à  l’aide  d’intervalles  ou  de  valeurs   :  Courbe  Domaine   de  reprĂŠsentative  dĂŠfinition   de  la  fonction Â

Croissante  sur  Â

DĂŠcroissante  sur Â

Maximum  En  Valeur  đ?‘Ľ = Â

Minimum  En  Valeur  đ?‘Ľ = Â

A Â

Â

Â

Â

Â

Â

Â

Â

B Â

Â

Â

Â

Â

Â

Â

Â

C Â

Â

Â

Â

Â

Â

Â

Â

 3. Parallèlement  à  ce  travail,  construire  dans  chaque  cas,  une  courbe  rĂŠpondant  aux  conditions  des  tableaux  de  variations  ci-­â€?dessous  :  a.   đ?‘Ľ  -­â€?7                 -­â€?3                    2                    5                          5                                         2     đ?‘“     2                                          -­â€?3    b.   đ?‘Ľ  -­â€?2          -­â€?1          2            3            5             7                            2                       5                          2    đ?‘”     -­â€?2                       -­â€?1                      -­â€?1       c. DĂŠterminer  alors  les  images  de  -­â€?3  ;  2  et  5  ;  Les  antĂŠcĂŠdents  de  -­â€?3  ;  2  et  5  ;   d. Les  images  de  -­â€?1  ;  2  et  5  ;   Les  antĂŠcĂŠdents  de  2  ;   5  ;   -­â€?1  ;    4. Comparer  :   a. đ?‘“(−3)  et  đ?‘“ (3)  ;  đ?‘“ −4  et  đ?‘“ (2)  ;   b. đ?‘” −1  et  đ?‘” 6  ;   đ?‘” 0  et  đ?‘”(7)  ; Â

 Â

10 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015    5. Dresser  le  tableau  de  variations  des  fonctions  suivantes,  sur  les  intervalles  indiquĂŠs  :  a. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘ĽÂ˛ + 3đ?‘Ľ − 4    sur  −5,2  ;  b. đ?‘” đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ! − 5đ?‘Ľ     sur  −2,3  ;  c. â„Ž đ?‘Ľ = cos  (đ?‘Ľ)  sur  0,2đ?œ‹  ;   6. On  considère  la  fonction   f  dĂŠfinie  sur  [-­â€?5  ;3]  dont  voici  la  reprĂŠsentation  graphique  :  a.  Dresser  le  tableau  de  variation  de   f  .  b.  Recopier  et  complĂŠter  les  phrases  suivantes  :  đ?‘†đ?‘–  − 5  ≤  đ?‘Ľ  ≤  −3, đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘   ‌  ≤  đ?‘“(đ?‘Ľ)  ≤  ‌  đ?‘†đ?‘–  − 3  ≤  đ?‘Ľ  ≤  0,    đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘   ‌  ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ)  ≤ â‹Ż  đ?‘†đ?‘–  − 5  ≤  đ?‘Ľ  ≤ 3,    đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘   ‌  ≤  đ?‘“(đ?‘Ľ)  ≤  ‌      ActivitĂŠ  7_Construire  des  courbes  à  partir  de  contraintes  algĂŠbriques   1. Tracer  une  courbe  susceptible  de  reprĂŠsenter  la  fonction   f  sachant  que  :  •   f  est  dĂŠfinie  sur  l’intervalle  [0  ;  5]  ;  •   f  est  croissante  sur  cet  intervalle  ;  •   đ?‘“(0)  =  1   đ?‘’đ?‘Ą   đ?‘“(5)  =  4.   2. Tracer  une  courbe  susceptible  de  reprĂŠsenter  la  fonction   f  sachant  que  :  •   f  est  dĂŠfinie  sur  l’intervalle  [-­â€?3  ;  3]  ;  •   f  est  dĂŠcroissante  sur  [-­â€?3  ;  -­â€?1]  ;  •   f  est  croissante  sur  [-­â€?1  ;  3]  ;   •   pour  tout  đ?‘Ľ ∈  −3  ;  3 , −1  ≤  đ?‘“ đ?‘Ľ ≤  4.   3. Tracer  une  courbe  susceptible  de  reprĂŠsenter  la  fonction   f  sachant  que  :  •   f  est  dĂŠfinie  sur  l’intervalle  [-­â€?3  ;  4]  ;  •   f  admet  un  minimum  en  -­â€?1  et  un  maximum  en  2  ;  •   les  images  de  -­â€?3  et  de  4  sont  respectivement  2  et  1  ;  • 0  a  deux  antĂŠcĂŠdents  :  -­â€?2  et  1.  Â

 Â

11 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  IV_FONCTIONS  NUMERIQUES  Novembre  2015    English  corner   Definition  :  A  function  is  a  process  from  a  set  of  values  called  the  domain  to  a  set  of  values  called  the  range.  Each  number  đ?‘Ľ  in  the  domain  is  called  the  input.  Each  number  đ?‘Ś  in  the  range  is  called  the  output  or  the  image  of  đ?‘Ľ .  1.  Function  defined  by  a  table  of  values   đ?‘Ľ  -­â€?4  -­â€?1,5  0  1  2,6  6   7  -­â€?1  -­â€?1  3  5,5  -­â€?3,1  đ?‘“(đ?‘Ľ)   a. Sketch  a  graph  of  function  defined  by  the  following  table  of  values.   b. Have  all  pupils  the  same  graph  ?  Why  ?     2. Function  defined  by  a  graph  :   a. The  diagram  shows  the  graph  of  a  function  đ?‘“ .   What  is  the  domain  of   đ?‘“  ?   b. What  is  the  image  of  −2  ?   c. Find  values  of  đ?‘Ľ  when  đ?‘“ đ?‘Ľ = 1  ;  when  đ?‘“ đ?‘Ľ = 3.   3. Function  defined  by  an  algebraic  formula  đ?‘“ đ?‘Ľ =

! !!!

. Â Â !

Give  the  output  when  đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ľ = , đ?‘Ľ = −1; đ?‘Ľ = 2.  !

Â

 Â

12 Â HOUPERT Â N. Â

 Â