CHAP6_EQUATIONS DE DROITES ET SYSTEMES LINAEAIRES

CHAPITRE  VI_EQUATIONS  DE  DROITES  &  SYSTEMES  LINEAIRES  Janvier  2015    Contenus  : Â Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

Droites  Droites  comme  courbe  reprĂŠsentative  d’une  fonction  affine  Equations  de  droites  Droites  parallèles,  sĂŠcantes  Â

Algorithmique  : Â Ă˜ďƒ˜ Instructions  conditionnelles Â Â Ă˜ďƒ˜ Initiation  à  Python  Histoire  : Â Ă˜ďƒ˜ Carl  Friedrich  Gauss,  XVIIIème  Objectifs  : Â Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

Tracer  une  droite  dans  le  plan  repĂŠrĂŠ  InterprĂŠter  graphiquement  le  coefficient  directeur  d’une  droite  CaractĂŠriser  analytiquement  une  droite  Etablir  que  trois  points  sont  alignĂŠs,  non  alignĂŠs  Reconnaitre  que  deux  droites  sont  sĂŠcantes,  parallèles  DĂŠterminer  les  coordonnĂŠes  du  point  d’intersection  de  deux  droites  sĂŠcantes Â

Â

Sommaire  ActivitĂŠ  0_Carl  Friedrich  Gauss,  XVIIIè  ............................................................................................  2  ActivitĂŠ  1_Donner  une  Êquation  de  droite  connaissant  deux  points  (TP)  ......................................  3  ActivitĂŠ  2_Tracer  une  droite  d’Êquation  đ?’š = đ?’‚đ?’™ + đ?’ƒ  .....................................................................  4  ActivitĂŠ  3_Montrer  que  deux  droites  sont  parallèles  ......................................................................  4  ActivitĂŠ  4_Etudier  si  des  points  sont  alignĂŠs  ou  non  .......................................................................  5  ActivitĂŠ  5_Intersection  de  droites  ...................................................................................................  5  ActivitĂŠ  6_RĂŠsolution  graphique  d’Êquations  .................................................................................  6  English  corner  ..................................................................................................................................  6  Â

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1 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE VI_EQUATIONS DE DROITES & SYSTEMES LINEAIRES Janvier 2015

Activité 0_Carl Friedrich Gauss, XVIIIè

Surnommé le Prince des mathématiciens, Carl Friedrich Gauss étudia tous les domaines des mathématiques et contribua à développer la plupart des branches des sciences.

Gauss naît le 30 avril 1777 à Brunswick dans une famille d’artisans. Enfant prodige, il apprend à lire et à compter dès l’age de trois ans et on raconte qu’à cet age, il corrige une erreur dans les comptes de son père. Une seconde anecdote relate également comment Gauss sait faire preuve d’un talent remarquable pour le calcul mental. Voulant occuper ses élèves, le professeur demande d’effectuer des additions, plus exactement d’effectuer la somme des nombres de 1 à 100. Après très peu de temps, le jeune Gauss, alors âgé de 10 ans, impressionne son professeur en donnant la réponse correcte. Agé seulement de 19 ans, Gauss découvre une solution au problème de construction à la règle et au compas d’un polygone régulier à 17 côtés. Poursuivant les travaux commencés par les savants grecs de l’Antiquité, il démontre également que ce type de construction pour un nombre impair de côtés n’est possible qu’avec un nombre de côtés égal à l’un des nombres premiers 3, 5, 17, 257, 65567 ou un produit de ses nombres.

En 1799, Gauss propose comme sujet de thèse sa première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre qui énonce que le nombre de racines d’une équation est égal au degré de cette équation. Sa démonstration le conduit à concevoir une représentation géométrique des nombres complexes comme point du plan. Par exemple, l’équation x4 + 3x2 -­‐ 5x + 3 = 0 possède 4 solutions (non nécessairement réelles).

C’est dans le domaine des probabilités que le nom de Gauss reste le plus célèbre. Il conçoit une loi statistique continue, appelée loi normale ou loi de Laplace-­‐Gauss, dont la répartition est représentée par la fameuse courbe en cloche. L’adjectif « normale » s’explique par le fait que cette loi décrit et modélise des situations statistiques aléatoires concrètes et naturelles.

A partir de 1801, Gauss prête un intérêt ostensible pour l’astronomie. La même année l’astéroïde Cérès, découvert récemment, disparaît subitement des télescopes. Gauss en détermine la trajectoire et prédit le retour de l’astéroïde sans se tromper en appliquant la méthode d’approximation des moindres carrés. Cette méthode consiste à créer un modèle mathématique à partir de données expérimentales et permet de minimiser l’impact des erreurs expérimentales. Elle est encore utilisée aujourd’hui pour les sciences.

2 HOUPERT N.

CHAPITRE  VI_EQUATIONS  DE  DROITES  &  SYSTEMES  LINEAIRES  Janvier  2015   ActivitĂŠ  1_Donner  une  Êquation  de  droite  connaissant  deux  points  (TP) Â

 Pour  chaque  droite,  1. Lire  l’ordonnĂŠe  à  l’origine  de  la  droite.  2. Choisir  deux  points  A  et  B  sur  la  droite.  Lire  la  variation  des  abscisses  ∆đ?‘Ľ = đ?‘Ľ! − đ?‘Ľ!  ainsi  que  la  variation  des  ordonnĂŠes  ∆đ?‘Ś = đ?‘Ś! − đ?‘Ś! .  3. En  dĂŠduire  le  coefficient  directeur  de  la  droite.  4. Ecrire  une  Êquation  de  la  droite  (đ??´đ??ľ).   Soit   đ??´ −1, −1 , đ??ľ(2,5).   1. Ecrire  une  Êquation  de  la  droite  (đ??´đ??ľ).  2. Le  point  đ??ś (10,21)  appartient-­â€?il  à  (đ??´đ??ľ)  ?  Soient  les  points  đ??´ 2, −3 , đ??ľ 5,6 , đ??ś(2,6)  .  1. Tracer  les  droites  đ??´đ??ľ , đ??´đ??ś đ?‘’đ?‘Ą  đ??ľđ??ś .  2. DĂŠterminer  les  Êquations  de  chaque  droite.   Â

3 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  VI_EQUATIONS  DE  DROITES  &  SYSTEMES  LINEAIRES  Janvier  2015    On  considère  la  figure  ci-­â€?contre  :    1. Utiliser  le  graphique  pour  lire  les  Êquations  des  droites  D1,  D2  et  D3.  2. Donner  une  Êquation  des  droites  D4  et  D5.  3. DĂŠterminer  le  point  d’intersection  des  droites  D4  et  D5.  4. DĂŠterminer  une  Êquation  de  la  droite  ∆.       ActivitĂŠ  2_Tracer  une  droite  d’Êquation  đ?’š = đ?’‚đ?’™ + đ?’ƒ   Tracer  les   droites  d’Êquations  :    đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ + 1  đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ − 1 Â

1 3 đ?‘Ś = − đ?‘Ľ −  2 2 đ?‘Ś = 6 Â

đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 2  đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 2  đ?‘Ś=

3 đ?‘Ľ + 3 Â 4

7 đ?‘Ľ − 1  5

đ?‘Ś=

đ?‘Ľ = −2 Â

 ActivitĂŠ  3_Montrer  que  deux  droites  sont  parallèles   Soit  đ??´ −4, −3 , đ??ľ 8,1 , đ??ś 6, −4 , đ??ˇ(−2,2).  1. DĂŠmontrer  que  les  droites  đ??´đ??ś đ?‘’đ?‘Ą  (đ??ˇđ??ľ)  sont  parallèles.   Les  droites  d  et  d’  sont-­â€?elles  parallèles  ?  đ?‘‘: đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 1   đ?‘’đ?‘Ą  đ?‘‘ ! : đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ − 1  đ?‘‘: đ?‘Ś = −4đ?‘Ľ + 5   đ?‘’đ?‘Ą  đ?‘‘ ! : đ?‘Ś = −4đ?‘Ľ + 1 Â

đ?‘‘: đ?‘Ś =

đ?‘‘: đ?‘Ś = 3 Â Â đ?‘’đ?‘Ą Â đ?‘‘ ! : đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ Â

  Â

2 đ?‘Ľ − 3   đ?‘’đ?‘Ą  đ?‘‘ ! : đ?‘Ś = 0,4đ?‘Ľ + 2  5

4 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  VI_EQUATIONS  DE  DROITES  &  SYSTEMES  LINEAIRES  Janvier  2015    A  l’aide  du  calcul  de  coefficient  directeur,  dites  si  les  droites  đ??´đ??ľ đ?‘’đ?‘Ą  (đ??ˇđ??ś)  sont  parallèles.  1. đ??´ −3,1 , đ??ľ 5,4 , đ??ś 2, −2 , đ??ˇ(5, −1).  2. đ??´ −4, −5 , đ??ľ 5, −2 , đ??ś −1,2 , đ??ˇ(5,4).  3. đ??´ −3, −1 , đ??ľ 0, −

! !

, đ??ś 2,0 , đ??ˇ(−2,1). Â

 Ecrire  une  Êquation  de  la  droite  parallèle  à  la  droite  đ?‘‘ : đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ − 4  et  passant  par  :  1. đ??¸(0, −2) Â

2. đ??š(0,3) Â

3. đ??ş(0,1). Â

 Ecrire  une  Êquation  de  la  droite  d’  passant  par  le  point  A  et  parallèle  à  la  droite  d  :  1. đ?‘‘: đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 3  đ?‘’đ?‘Ą  đ??´(−2,6)  2. đ?‘‘: đ?‘Ś = −5đ?‘Ľ  đ?‘’đ?‘Ą  đ??´(1, −4)   Sur  un  logiciel  de  gĂŠomĂŠtrie,  tracer  la  parabole  d’Êquation  đ?‘Ś = đ?‘ĽÂ˛.  1.

2.

3.

4.

Placer  deux  points  A  et  B  sur  la  parabole  non  symĂŠtriques  par  rapport  à  l’axe  (đ?‘‚đ??˝).  Construire  le  point  C  de  la  parabole  tel  que  (đ??´đ??ľ)  đ?‘’đ?‘Ą  (đ?‘‚đ??ś)  soient  parallèles.  Conjecturer  une  relation  entre  les  abscisses  des  points  A,  B  et  C.  DĂŠmonstration  :  On  note  đ?‘Ľ! , đ?‘Ľ! , đ?‘Ľ!  les  abscisses  de  A,  B  et  C.   a. Quelles  sont  leurs  ordonnĂŠes  ?  b. En  dĂŠduire  les  coefficients  directeurs  des  droites  (đ??´đ??ľ)  đ?‘’đ?‘Ą  (đ?‘‚đ??ś).  c. DĂŠmontrer  la  relation  conjecturĂŠe  à  la  question  3. Â

 ActivitĂŠ  4_Etudier  si  des  points  sont  alignĂŠs  ou  non   Soit  đ??´ −2, −3 , đ??ľ 3,6 , đ??ś 6,11 , đ??ˇ −3, −4 , đ??¸(1; 2,7).  1. Les  points  A,  B  et  C  sont-­â€?ils  alignĂŠs  ?  Et  les  points  B,  C  et  D  ?  !

2. La  droite  (BC)  a  pour  Êquation  � = � + 1.  Les  points  B,  C  et  E  sont-­�ils  alignÊs  ?  !

Soit  đ??´ −4, −2 , đ??ľ −5, −10 , đ??ś 1,2 , đ??ż 5, −5 ,  1. DĂŠmontrer  que  A,  L  et  C  sont  alignĂŠs.  2. DĂŠterminer  les  coordonnĂŠes  de   K  milieu  de  đ?‘‚đ??ś  et  de  P  milieu  de  đ??ľđ??ś .  3. Les  points  K,  L  et  P  sont-­â€?ils  alignĂŠs  ?   ActivitĂŠ  5_Intersection  de  droites  Â

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5 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  VI_EQUATIONS  DE  DROITES  &  SYSTEMES  LINEAIRES  Janvier  2015   On  considère  les  droites  đ?‘‘ : đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 1  đ?‘’đ?‘Ą  đ?‘‘ ! : đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 4.   1. Montrer  que  les  droites  sont  sĂŠcantes.  2. PrĂŠciser  leur  point  d’intersection.   Le  plan  Êtant  muni  d’un  repère  orthogonal  (O;  đ?š¤,  đ?šĽ),  d’unitĂŠs  2  cm  sur  l’axe  des  abscisses  et  0,5  cm  sur  l’axe  des  ordonnĂŠes  :   1. Tracer  la  droite  (đ??ˇ)  d’Êquation  đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ + 5.  2. Le  point  đ??ľ (1  ; 7)  appartient-­â€?il  à  (đ??ˇ)  ?  3. DĂŠterminer  les  coordonnĂŠes  du  point  A  de  (đ??ˇ)  dont  l’ordonnĂŠe  est  Êgale  à  2.  4. DĂŠterminer  les  coordonnĂŠes  des  points  d’intersection  I  et  J  de  (đ??ˇ)  avec  l’axe  des  abscisses,  avec  l’axe  des  ordonnĂŠes  respectivement.  5. DĂŠterminer  les  coordonnĂŠes  du  point  d’intersection  de  la  droite  ∆!  d’Êquation   đ?‘Ś = −3đ?‘Ľ + 7  et  de  la  droite  ∆!  d’Êquation  đ?‘Ś =  đ?‘Ľ + 5  .    ActivitĂŠ  6_RĂŠsolution  graphique  d’Êquations   On  donne  dans  un  repère  orthonormal  (O;  đ?š¤,  đ?šĽ)  du  plan  :   • les  points   đ??´ −1  , 2 , đ??ľ −2,2 , đ??ś 1, −2 đ?‘’đ?‘Ą  đ??ˇ 3,2  • les  droites  :   ∆  d’Êquation  2đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś  +  4  =  0  et Â âˆ†â€˛  d’Êquation  2đ?‘Ľ + đ?‘Ś  =  0  .   1. Donner  les  Êquations  rĂŠduites  đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?  des  droites   ∆  et Â âˆ†â€˛.  2. VĂŠrifier  que  la  droite Â âˆ†â€˛   passe  par  A  et  C.  3. En  dĂŠduire  une  Êquation  de  la  droite  (đ??´đ??ś).  4. Calculer  les  coordonnĂŠes  du  point  d’intersection  des  droites  (đ??´đ??ś)  et  ∆.   Soit  f   la  fonction  dont  la  courbe  reprĂŠsentative  est  la  rĂŠunion  des  segments  [AB]  et  [AC]  et  de  la  demi  droite  [CD)  ,  autrement  dit  :  Cf  =  [AB]U[AC]U[CD).   5. Construire  la  courbe  dans  un  repère  orthonormĂŠ.  6. RĂŠsoudre  graphiquement  l’Êquation  đ?‘“ (đ?‘Ľ) = 2.  7. Comment  choisir  le  paramètre  rĂŠel  m  pour  que  l’Êquation  đ?‘“ (đ?‘Ľ) = đ?‘š  admette  deux  racines  positives.  !

8. RĂŠsoudre  graphiquement  l’inĂŠquation  đ?‘“ đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ľ − .  ! Â

English  corner   Exercise  1   The  following  graph  represents  a  bike  ride  from  Bournemouth  to  New  Forest  National  Park.   1. Sketch  this  graph  on  your  own  paper.  2. What’s  the  average  speed  of  the  cyclist  in  miles  per  hour  ? Â

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6 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  VI_EQUATIONS  DE  DROITES  &  SYSTEMES  LINEAIRES  Janvier  2015   3. Another  cyclist  is  traveling  from  New  Forest  to  Bournemouth  at  a  constant  speed  of  12  miles  per  hour.  At  1pm,  the  cyclist  is  15  miles  from  Bournemouth.  On  the  same  diagram,  draw  the  graph  that  shows  the  journey  of  this  cyclist  to  Bournemouth.  4. At  what  time  does  the  cyclist  get  to  Bournemouth  ?  5. At  what  time  are  both  cyclists  at  the  same  distance  from  Bournemouth  ? Â

 Exercise  2  To  clean  the  upstairs  window  on  the  side  of  a  house,  it  is  necessary  to  position  the  ladder  sa  that  it  touches  the  edge  of  the  lean-­â€?to  shed.  The  coordinates  represent  distances  between  0  in  meters,  in  the  x  and  y  directions  shown  below.  1. Find  the  height  of  point  B  reached  by  the  top  of  the  ladder.  2. Determine  the  length  of  the  ladder  to  the  nearest  centimeter.  3. A  second  ladder,  touching  the  top  of  the  roof  (7meters  high)  is  parallel  to  the  first  one.  Where  does  it  touch  the  ground  ?   Exercise  3  In  the  frame  of  reference,  đ??´ 2,1 , đ??ľ 5, −3 , đ??ś 0,3 , đ??ˇ(6, −5).  Show  that  lines  đ??´đ??ľ  and  đ??ˇđ??ś  are  parallel.   Â

7 Â HOUPERT Â N. Â

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