FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMES CHAPITRE 5 HOUPERT N. Contenus : ¾ Fonction exp ¾ Relation fonctionnelle ¾ Notation ¾ Fonction ln ¾ Relation fonctionnelle ¾ Dérivée ¾ Algorithmique : o Manipulation d’un tantque : Declic 40p136 o Programmation : math’x 36p79 o Approximation de ln 2 : math’x 6p209 o Manipulation d’un pour : math’x 123 A p223 ¾ AP : o Lier propriété de exp, écriture et courbe : math’x p94 o Transformer des expressions avec exponentielles : math’x p94 o Lier graphique et algébrique : math’x p94 o Traiter une ROC : math’x p95 o Etudier le signe d’une expression avec exp : math’x p95 o Lever des formes indéterminées avec des exponentielles : math’x 2p195 o Passer d’une limite de référence à une autre : math’x p225 o Rechercher un ensemble de points : math’x p226 ¾ QCM interactif Objectifs : ¾ ¾ ¾ ¾
Démontrer l’unicité d’une fonction dérivable sur , égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0. Démontrer que lim ∞ et que lim 0. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. Connaitre le sens de variation et la représentation graphique de la fonction exponentielle.
¾ Connaitre et exploiter lim
∞ et lim
0.
¾ Connaitre le sens de variation, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. . ¾ Utiliser pour a réel strictement positif et b réel, l’équivalence ln ¾ Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. ¾ Connaitre et exploiter lim
0
FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMES CHAPITRE 5 HOUPERT N. Activité 1_ Résolution d’équations, inéquations 1. Déterminer sur un intervalle pertinent les solutions possibles des équations suivantes : 3
4
2
1
7
ln
3
2
4ln 4 , vous écrirez la solution sous la forme : 2 ln ln 2
2
2
3
ln 2 9
1
ln
5
ln ² ln
1
ln
3
3
ln
2 ln 2
ln 6 1 ln 3
2 ln
1
3
4
0
0
2 0 , discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de cette équation.
2. Déterminer sur un intervalle pertinent les solutions possibles des inéquations suivantes : 5
2 ln
ln
0 ln
ln
1
1
1
ln ln 2
ln 2
2 ²
ln
6
0
Activité 2_Dérivation des fonctions exponentielles et logarithmes 1. 2. 3. 4.
Déterminer le domaine de définition Df de la fonction f. Déterminer les limites de f aux bornes de son intervalle de définition. Déterminer le domaine de dérivabilité Df’ de la fonction f. Calculer la dérivée de la fonction . ² f. a. ² b. g. c. 2 h. d. i. ln e.
1
FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMES CHAPITRE 5 HOUPERT N. Activité 3_Taux d’accroissement 1. Déterminer les limites suivantes : a. lim b. lim
d. lim e. lim f.
h. lim
c. lim
²
lim
²
g. lim
i.
lim
j.
lim
²
k. lim
Activité 4_Système Résoudre les systèmes suivants : 3 2
2 3
3 7
2 2
3 3
9 10
Activité 5_Autour du graphe de la fonction ln Déduire du graphe de la fonction ln, les représentations graphiques des fonctions suivantes, sans calculs, ni calculatrice : 1. 2.
ln ln
2 2
ln |ln
3. 4.
|
Activité 6_La fonction logarithme décimal Définition : le log décimal est la fonction définie par log I.
.
CONSTRUCTION DE LA FONCTION log a. Déterminer le domaine de définition du log. b. Calculer les limites du log aux bornes de son ensemble de définition. c. Déterminer le domaine de dérivabilité du log. d. Construire le tableau de variations du log. e. Montrer que l’équation log 0 possède une unique solution sur 0, ∞ . f. Donner la valeur exacte de à l’aide de la définition.
FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMES CHAPITRE 5 HOUPERT N.
II.
g. Construire les courbes des fonctions PROPRIETES DE LA FONCTION log a. Montrer que pour a>0, b>0 : log log
III. APPLICATION 1. En sismologie.
log 10
et dans un même repère orthonormé.
log
log
log
log
pour tout n entier naturel
I0 désignant une intensité de référence, la magnitude M d’un séisme d’intensité I est mesurée sur l’échelle de Richter par
log
.
Quelle a été la magnitude du séisme de 1971 à Los Angeles, pour lequel on a relevé 5,01 10 ? 2. En acoustique. L’intensité I (en dB) d’un son de puissance P est donnée par
10 log
, où
correspond au seuil d’audibilité au‐dessous duquel aucun son n’est perçu. a. Quelle est l’intensité d’une conversation normale pour laquelle 10 b. Le seuil de la douleur auditive est fixé à 130 dB. Exprimez la puissance correspondant à un tel son, en fonction de . Activité 7_Des intérêts … On place 1000€ sur un compte épargne au taux d’intérêts composés de 3% par an. Au bout de combien d’années, sans effectuer de retrait, le capital aura doublé ? Activité 8_Une fonction logistique Par définition, une fonction logistique est une fonction de la forme
.
?
FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMES CHAPITRE 5 HOUPERT N. Les fonctions logistiques sont très utilisées en économie, en biologie, en psychologie. Elles sont bien adaptées pour décrire l’évolution de populations à « croissances limitées », la limite correspondant au paramètre a. 1.
On se propose d’étudier le cas de la fonction f où 1. 2. 3. 4. 5.
Quel est l’ensemble de définition de f ? Etudiez les limites de f aux bornes de son ensemble de définition ? La fonction f est‐elle dérivable ? Si oui, déterminer sa fonction dérivée . Dressez le tableau de variations. Construisez la courbe représentative de f dans un repère orthogonal : abscisse : 1 unité = 1cm ordonnée : 1 unité = 4cm
Remarque : Sa forme en S suggère parfois l’appellation de sigmoïde. Activité 9_Allure particulière On pose pour tout x réel,
.
1. Démontrer que la courbe représentant f admet comme asymptotes obliques la droite d’équation et 1. 2. Calculer la dérivée de f et en déduire que f est strictement croissante sur . 3. Indiquer l’allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. Activité 10_La fonction exponentielle au jeu de Go Le jeu de Go est un jeu ancien originaire du Japon. La simplicité de ses règles en fait un jeu très abordable. Le système de classement de la fédération française du jeu de Go est basé sur la supposition selon laquelle il existe une valeur k telle que si A joue contre B, alors la probabilité que A remporte la partie est donnée par : 1 1 1. Sachant que :
,
, déterminer la différence entre les deux classements.
2. Sachant que la somme des deux classements est le carré de la dixième décimale de , déterminer le classement des joueurs A et B.
FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMES CHAPITRE 5 HOUPERT N.
Activité 10_Datation à l’aide du carbone 14 En fouillant une tombe égyptienne funéraire royale, l’archéologue découvre le cadavre d’une momie, certainement celle d’un pharaon. Pour dater sa trouvaille, il utilise la méthode du carbone 14, méthode qui permet de donner une idée assez précise de l’époque à laquelle la momie appartient. Les physiciens nous expliquent ceci : On note momie.
le nombre d’atomes de carbone 14 présents à l’instant t dans un prélèvement de
1,245 0
La fonction vérifie :
10
.
, convient. 1. Vérifier que la fonction 2. On appelle période ou demi‐vie du carbone 14, le temps T au bout duquel la moitié des atomes se sont désintégrés.
Montrer que
,
. Donner une valeur approchée de T.
3. Chez les êtres vivants, le carbone 14 est renouvelé constamment. A leur mort, le carbone 14 se désintègre. Le fragment de l’os de la momie présente un taux de carbone 14 de 67,4409% par rapport à un fragment d’os actuel pris comme témoin. a. Notons t la date de l’expérience et t M la date de la mort du pharaon. Montrer que t
tM
,
.
,
b. De quelle période date la momie ? 4. Pouvez‐vous identifier votre momie ? XXe dynastie (‐1186 à ‐1069) Sethnakht (‐1196 à ‐1194) Ramsès III (‐1194 à ‐1163) Ramsès IV (‐1163 à ‐1156) Ramsès V (‐1156 à ‐1151) Ramsès VI (‐1151 à ‐1143) Ramsès VII (‐1143 à ‐1136) Ramsès VIII (‐1136 à ‐1131) Ramsès IX (‐1131 à ‐1112) Ramsès X (‐1112 à ‐1100) Ramsès XI (‐1100 à ‐1070)
FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMES CHAPITRE 5 HOUPERT N. Activité 11_Le pont suspendu Ingénieur des ponts et chaussées, on fait appel à vous dans le cadre de la réalisation du Pont du mont Olympe. Les services de la mairie vous demandent de remplacer le câble suspendu aux piliers du pont. Pour cela, vous devez vous informer sur : ¾ La distance entre deux pylônes ; ¾ La hauteur d’un pylône ; On essaye de modéliser la forme du câble à l’aide de la fonction suivante : définie sur un intervalle symétrique centré en 0. où le repère choisi est situé au milieu des deux pylônes, l’axe des abscisses correspondant à l’axe du tablier. 1. Trouver une valeur de a qui modélise correctement l’allure du câble. 2. Etudions cette fonction . a. Montrer que la fonction est une fonction paire sur . En déduire une conséquence graphique. b. est‐elle une fonction dérivable ? Si oui, calculer . c. Dresser le tableau de variations de la fonction sur . d. Construire la partie de pont étudiée dans un repère orthonormal adapté. e. A quelle hauteur est le point le plus bas du câble ? Activité 12_Aire limitée par une hyperbole sur 0, ∞ dans un repère orthogonal où 1 unité = 2cm.
1. Représenter la fonction 2. Placer les points
1 ; 1 , M ( ,
et M(
,
où
1, >0.
3. Hachurer l’aire de la surface du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f, la droite d’équation x=1 et la droite d’équation x= . a. Que vaut 1 ? ) ? A( ) ‐ A( ) ? b. Que représente A( 4. Donner un encadrement de cette dernière aire à l’aide des aires de deux rectangles. 5. Déduisez‐en :
A
A
pour h>0.
Quelle encadrement peut‐on en déduire si h est négatif ? 6. Montrer que le rapport
A
A
a une limite finie quand h tend vers 0.
Que peut‐on en déduire pour la fonction ? 7. Montrer que la fonction ln est une fonction constante dont on précisera la valeur.
FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMES CHAPITRE 5 HOUPERT N. Conclure à propos au sujet du rapport entre la fonction ln et l’aire sous une branche d’hyperbole. Activité 13_Théorème de la bijection 1. Résolution d’une équation à base de ln a. Montrer que l’équation ln 2 0 possède une solution et donner un encadrement de cette solution d’amplitude 10‐2. b. En déduire le signe de la fonction ln 2 . 2. Résolution d’une équation à base d’exponentielle a. Construire dans un repère sur l’intervalle 2,2 les courbes des fonctions et
.
b. Placer le point A d’intersection des deux courbes. Existe‐t‐il d’autres points d’intersection en dehors de l’intervalle considéré ? c. Montrer que l’assertion « x est solution de l’équation est solution de d. Montrer que l’équation
0 ».
e. En déduire que l’équation f.
» est équivalente à « x
0 possède une unique solution dans . possède une unique solution dans .
Conclure.
Activité 14_Etude d’une famille de fonctions Pour entier naturel non nul, on considère la fonction définie sur 0, ∞ par et
ln
sa courbe représentative. 1. Représenter sur un logiciel ou une calculatrice les courbes , 1 8. 2. Etudier les limites de en 0 et en ∞. 3. Montrer que admet un minimum en un réel indépendant de . Interpréter graphiquement. 4. Montrer que est constant. Interpréter graphiquement ce résultat. . Que devient l’écart entre et 5. Etudier la position respective des courbes et lorsque tend vers ∞ ?