*POTENCIACION*
G*ráfica de varias funciones potencia, función y función cúbica. La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero. Definición Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto al que pertenezca el exponente. Exponente entero[editar] Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a unnúmero cualquiera:
(1) Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas. §Multiplicación de potencias de igual base[editar] El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir: [Expandir] Ejemplos: §Potencia de una potencia[editar] La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes): [Expandir] Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como . §Potencia de un producto[editar] La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir: [Expandir] Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla: [Expandir]
si n es par. si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros: (2) Observación
§División de potencias de igual base[editar] El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor , 1 esto es: [Expandir] Ejemplo:
§Potencia de exponente 0[editar] Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:2 3 El caso particular de , en principio, no está definido [cita requerida] (ver cero). §Potencia de un cociente[editar] La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente. [Expandir] Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan
exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:
§Exponente racional[editar] Artículo principal: Radicación La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la basea es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice: Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva. Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente: (3) Observación En general para las fracciones se define que: (4) Relación [Expandir] §Propiedades[editar]
§Exponente real[editar] Artículos principales: Exponenciación y Logarit mo.
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesione s racionales; esto se recoge en el siguiente teorema: Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión que se escribe como: Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo. Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función exponencial, y su inversa, la funciónlogaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define . De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los números reales positivos R+, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos. §Propiedades[editar]
§Exponente complejo[editar] Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así donde det-exp es la determinación de la exponencial y det-log la determinación del logaritmo.