BAB 1 BILANGAN DAN OPERASI BILANGAN
A. APA PERBEDAAN BILANGAN DAN ANGKA ? Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan (banyak) dan pengukuran (panjang, luas,
volume, berat,
waktu). Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Angka ada sepuluh (10) yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
B. JENIS - JENIS BILANGAN YANG SEDERHANA : (a) Bilangan Asli
: 1, 2, 3, . . .
(b) Bilangan Cacah
: 0, 1, 2, 3, . . .
(c) Bilangan Bulat
: . . . , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .
(d) Bilangan Prima
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . .
(e) Bilangan Kuadrat
: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, . . .
(f) Bilangan Kubik
: 1, 8, 27, 64, 125, . . .
C. OPERASI BILANGAN PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-) adalah sama kuat
Pada operasi penjumlahan dan pengurangan, yang dilakukan adalah kerjakan dulu operasi di sebelah kiri
Contoh 213 + 205 - 101 = . . .
Olimpiade Matematika SD
1
Penyelesaian 213 + 205 – 101
atau
213 + 205 – 101
= (213 + 205) – 101
= 213 + (205 – 101 )
= 418 -101
= 213 + 104
= 317
= 317
PERKALIAN DAN PEMBAGIAN
Operasi perkalian (x) dan pembagian (:) adalah sama kuat
Pada operasi perkalian dan pembagian, yang dilakukan adalah kerjakan dulu operasi di sebelah kiri
Contoh 13 x 15 : 3 = . . . Penyelesaian 13 x 15 : 3 = (13 x 15) : 3
atau
13 x 15 : 3 = 13 x (15 : 3)
= 195 : 3
= 13 x 5
= 65
= 65
OPERASI CAMPURAN
Operasi pada perkalian (x)dan pembagian(:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-)
Pada operasi campuran yang dilakukan adalah kerjakan dahulu operasi yang lebih kuat
Contoh 7 + (9 x 9) – (9 : 3 ) = . . . Penyelesaian 7 + 9 x 9 – 9 : 3 = 7 + ( 9 x 9 ) – (9 : 3) = 7 + 81 – 3 = 85
2
Olimpiade Matematika SD
D. SIFAT- SIFAT PADA OPERASI BILANGAN Misal a, b, dan c adalah suatu bilangan maka belaku sifat operasi campuran berikut a) Sifat Komutatif
b) Sifat Assosiatif
a b b a
a b c a b c
a b b a
a b c a b c
Contoh
Contoh
2+5=5+2=7
21 + (50 + 32) = (21 + 50) + 32
3 6 = 6 3 = 18
=103 4 (2 9) = (4 2) 9 = 72
c) Sifat Distributif
a b c a c b c a b c a c b c Contoh Tentukan nilai dari : 10.002 28 ! Penyelesaian 10.002 28 = (10.000+2) 28 = (10.000 2 ) + ( 28 ) = 280.000 + 56 =280.056 Contoh Tentukan nilai dari : 9.999 14 ! Penyelesaian 9.999 14 = (10.000-1) 14 = (10.000 14 )– (1 14 ) =140.000-14 =139.986 d) a a 2 a
a a a 3a ...
aa a a n a sebanyak n
Olimpiade Matematika SD
3
Contoh
9 9 9 ! Tentukan nilai dari : 9 sebanyak100
Penyelesaian
9 9 9 9 9 100 900 sebanyak100
e) a a a 2
a a a a 3
dibaca ( a kuadrat) dibaca ( a pangkat tiga)
...
a a a a a n dibaca (a pangkat n) sebanyak n
Contoh 9 9 9! Tentukan nilai dari : 9 sebanyak 24
Penyelesaian
9 9 9 9 9 24 sebanyak 24
f)
a b 2 a b a b a 2 2 a b b 2 a b 2 a b a b a 2 2 a b b 2 Contoh Tentukan nilai dari : 105 2 ! Penyelesaian
1052 (100 5) 2 (100 5) (100 5)
1002 2 100 5 52
10000 1000 25
11025 Contoh Tentukan nilai dari : 997 2 ! Penyelesaian
997 2 (1000 3) 2 (1000 3) (1000 3) 1000 2 2 1000 3 32 4
Olimpiade Matematika SD
1000.000 6000 9 994.000 g) a 2 b 2 a b a b Contoh : Tentukan nilai dari : 999 2 1 ! Penyelesaian
999 2 1 = 999 2 12
999 1999 1 = 998 1.000 = 998.000
E. OP ER A SI K H U SU S Operasi khusus adalah operasi yang drumuskan secara khusus dan tidak bersifat umum. Biasanya operasi khusus diketahui secara langsung rumusannya atau operasi khusus yang harus dicari terlebih dahulu rumusannya. Contoh
Jika a * b a 2 b 2 . Tentukan nilai dari 5 * 3 ! Penyelesaian
5 * 3 5 2 32
25 9 34 Contoh
Jika 2 * 3 1
3* 6 3 5 * 4 21 Tentukan nilai dari 4 * 7 ! Penyelesaian Operasi khusus diatas mempunyai rumusan : a * b a 2 b Sehingga : 4 * 7 4 2 7
16 7
9 Olimpiade Matematika SD
5
SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Tentukan banyaknya bilangan tiga angka yang bisa dibentuk dari angka 4, 5, dan 6! Angka yang digunakan setiap bilangan tidak boleh lebih dari sekali. Penyelesaian Bilangan tiga angka yang bisa dibentuk dengan tiap angka berbeda : 456 , 465, 546, 564, 645, 654 Jadi, Banyaknya bilangan tiga angka ada 6 buah. 2. Tentukan semua bilangan prima yang terdiri dari dua angka jika angka-angkanya pembentuk bilangan tersebut dijumlahkan juga membentuk bilangan prima! Penyelesaian Bilangan prima yang terdiri dari dua angka yaitu 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
11 1 + 1 = 2 (bilangan prima)
53 5 + 3 = 8
13 1 + 3 = 4
59 5 + 9 = 14
17 1 + 7 = 8
61 6 + 1 = 7 (bilangan prima)
19 1 + 9 = 10
67 6 + 7 = 13 (bilangan prima)
23 2 + 3 = 5 (bilangan prima)
71 7 + 1 = 8
29 2 + 9 = 11 (bilangan prima)
73 7 + 3 = 10
31 3 + 1 = 4
79 7 + 9 = 16
37 3 + 7 = 10
83 8 + 3 = 11 (bilangan prima)
41 4 + 1 = 5 (bilangan prima)
89 8 + 9 = 17 (bilangan prima)
43 4 + 3 = 7 (bilangan prima)
97 9 + 7 = 16
47 4 + 7 = 11 (bilangan prima) Jadi banyaknya bilangan prima dua angka, jika angka-angkanya dijumlahkan juga membetuk bilangan prima adalah 10 bilangan prima. 3. Tentukan nilai dari : 9x9+9:9–9+9x9:9=..... Penyelesaian 9x9+9:9–9+9x9:9 6
= (9 x 9) + (9 : 9) – 9 + (9 x 9) : 9 Olimpiade Matematika SD
= 81 + 1 – 9 + (81 : 9) = 82 - 9 + 9 = 82 4. Hitunglah : 2011 + 2010 + 2009 + . . . + 2 + 1 + 0 + (-1) +( -2) + . . . +( -2008) + (-2009) ! Penyelesaian 2011 + 2010 + 2009 + . . . + 2+ 1 + 0 + (-1) + (-2) + . . . + (-2008) + (-2009) = 2011+2010 + 2009 + (-2009)+ 2008 +(-2008) + . . . + 2 + (-2) + 1 +( -1) + 0
0 0 = 2011 + 2010 + 0 0 + 0 0 sebanyak2009
Sifat Identitas
a a 0
= 4021
5. Tentukan nilai dari : 8 + 45 : 5 x 3 + 112 : 4 -21 = . . . . Penyelesaian 8 + 45 : 5 x 3 + 112 : 4 -21 = 8 + (45 : 5) x 3 +( 112 : 4) – 21 = 8 + (9 x 3) + 28 -21 = 8 + 27 + 7 = 42 6. Tentukan jumlah dari seluruh digit dari hasil kali : 999999999 123456789 Penyelesaian 999999999 123456789 = (1000.000.000-1)123456789 = 123456789000000000 – 123456789 = 12345678887654321 Jadi, jumlah seluruh digit yang dihasilkan adalah 80 7. Jika 5 # 4 = 9 ; 6 # 2 = 32 ; 11 # 9 = 40. Tentukan nilai dari 10 # 4 !
Olimpiade Matematika SD
7
Penyelesaian Rumusan khusus untuk operasi khusus diatas adalah a # b a b a b 10 # 4 = (10 + 4) (10 - 4) = 240 8. Hitunglah penjumlahan berikut ini! 8 + 98 +998 +9998 +99998 + 999998 +9999998+99999998 +999999998 Penyelesaian Cara 1 : bersusun pendek
8 98 998 9998 99998 999998 9999998 99999998 999999998 + 1111111092
Cara 2 : Pembulatan
8 98 998 9998 99998 999998 9999998 99999998 999999998
8
10 – 2 100 – 2 1000 – 2 10000 – 2 100000 – 2 1000000 – 2 10000000 – 2 100000000 – 2 1000000000 - 2 + 1111111110 - 18 =1111111092
Olimpiade Matematika SD
BAB 2 KETERBAGIAN BILANGAN A. PENGERTIAN KETERBAGIAN BILANGAN Misalkan bilangan N dibagi p akan menghasilkan q dan bersisa r. Dapat dinyatakan sebagai berikut :
N p q r Dengan : p = pembagi bilangan ; q = hasil bagi dan r = sisa pembagian
Catatan : Bilangan N habis dibagi p jika r = 0 (memberikan sisa 0) Contoh Tentukan Hasil bagi dan sisa bagi dari 2011 : 6! Penyelesaian 335 6 2011 18 21 18 31 30 1
Sehingga, 2011 = 6 335 + 1 Jadi hasil bagi = 335 dan sisa = 1
Contoh Tunjukkan bahwa 2896 habis dibagi 8! Penyelesaian 362 8 2896 24 49 48 16 16 0 Contoh
Sehingga, 2284 = 8 361 + 0 Karena sisa = 0 sehingga 2896 habis dibagi 8.
Tentukan angka satuan dari 3 2011 ! Penyelesaian Pola dari bilangan berpangkat dari 3 sebagai berikut Olimpiade Matematika SD
9
31 3 memiliki angka satuan yaitu 3 32 9 memiliki angka satuan yaitu 9
33 27 memiliki angka satuan yaitu 7 3 4 81 memiliki angka satuan yaitu 1
35 243 memiliki angka satuan yaitu 3 36 729 memiliki angka satuan yaitu 9 37 2187 memiliki angka satuan yaitu 7
3 8 6561 memiliki angka satuan yaitu 1
….. dst Ternyata pola angka satuannya adalah 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, …. dan merupakan perulangan empat angka. Aturan yang digunakan sebagai berikut :
Jika pangkat bilangan tersebut dibagi 4 bersisa 1 maka angka satuannya 3
Jika pangkat bilangan tersebut dibagi 4 bersisa 2 maka angka satuannya 9
Jika pangkat bilangan tersebut dibagi 4 bersisa 3 maka angka satuannya 7
Jika pangkat bilangan tersebut dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya 1
Angka satuan dari 3 2011 dapat ditentukan dengan mencari sisa pembagian dari 2011:4 yaitu 2011 = 4 x 502 + 3 Jadi, angka satuan dari 32011 adalah 7
B. HAL-HAL YANG MENARIK PADA BILANGAN
Suatu Bilangan habis di bagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut adalah 0, 2, 4, 6, atau 8
Suatu Bilangan habis di bagi 5 jika angka terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5
Suatu Bilangan habis di bagi 10 jika angka terakhir dari bilangan tersebut adalah 0
Contoh
5467438 habis dibagi 2 karena memiliki angka angka satuan 2
45680 dan 39785 habis dibagi 5 karena memiliki angka satuan berturut-turut 0 dan 5
1896780 habis dibagi 10 karena memiliki angka satuan 0 10
Olimpiade Matematika SD
Suatu Bilangan habis di bagi 4 jika bilangan yang dinyatakan oleh dua angka terakhir dari bilangan tersebut habis di bagi 4
Suatu Bilangan habis di bagi 8 jika bilangan yang dinyatakan oleh tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis di bagi 8
Contoh
15636 habis dibagi 4 karena 36 habis dibagi 4
57840 habis dibagi 8 karena 840 habis dibagi 8
Suatu Bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3
Suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9
Contoh
456321 habis dibagi 3 karena 4+ 5+6+3+2+1 =21 habis dibagi 3
207144 habis dibagi 9 karena 2+0+7+1+4+4 = 18 habis dibagi 9
Suatu bilangan habis dibagi 11 jika jumlah angka – angkanya setelah di operasikan selang seling (jumlah dan kurang) habis dibagi 11
Contoh 50369 habis dibagi 11 karena 5 – 0 + 3 - 6 + 9 = 11 habis dibagi 11.
Olimpiade Matematika SD
11
BAB 3 POLA BILANGAN A. POLA BILANGAN Pola bilangan adalah keteraturan sifat yang dimiliki sederetan atau serangkaian bilangan.
B. BARISAN BILANGAN Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut pola atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan itu dinamakan suku-suku barisan ditulis dengan lambang “U”. Suku pertama di tulis “U1”, suku ke dua “U2” dan suku ke-n “Un”
JENIS-JENIS BARISAN BILANGAN 1. BARISAN ARITMETIKA Barisan bilangan aritmetika adalah barisan bilangan yang tiap suku berikutnya diperoleh dengan menambah suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yaitu beda(b). Suku-suku pada barisan Aritmertika :
a,
a b,
a 2b ,
a 3b ,
Keterangan : Suku awal
U1 a
Bilangan yang ditambahkan (beda)
b U 2 U 1 U n U n 1
Suku ke-n =
U n a (n 1)b
2. BARISAN GEOMETRI
12
Olimpiade Matematika SD
Barisan bilangan geometri adalah barisan bilangan yang suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan satu bilangan tetap, yaitu dengan rasio (r) Suku-suku pada barisan Geometri :
a,
ar ,
ar 2 ,
ar 3 ,
Keterangan : U1 a
Suku awal Bilangan yang dikalikan (rasio)
r
Suku ke-n =
U2 U n U 1 U n 1
U n ar (n 1)
C. DERET BILANGAN Deret Bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan bilangan. Jenis Deret Bilangan : 1. Deret Aritmetika Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku yang ditunjukkan oleh barisan aritmetika Deret Aritmatika:
S n U 1 U 2 U 3 U n 1 S n a a b a 2b a (n 1)b Jumlah suku ke-n
Sn Sn
n 2
U 1 U n
1 n 2a (n 1)b 2
2. Deret Geometri Deret Geometri adalah jumlah suku-suku yang ditunjukkan oleh barisan geometri Deret Geometri :
Olimpiade Matematika SD
13
S n U 1 U 2 U 3 U n 1 S n a ar ar 2 ar 3 ar n 1 Jumlah suku ke-n
14
;
Sn
a r n 1 ; untuk n >1 r 1
Sn
a 1r n 1r
untuk n <1
Olimpiade Matematika SD
BAB 4 FPB DAN KPK BILANGAN
A. FAKTOR BILANGAN Faktor bilangan adalah bilangan yang dapat membagi habis suatu bilangan. Contoh Faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, 16
B. FAKTOR PRIMA Faktor Prima adalah bilangan prima yang habis membagi suatu bilangan. Contoh Faktor prima dari 42 adalah 2, 3, dan 7 CATATAN: Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, 1 dan
bilangan itu sendiri
C. FAKTORISASI PRIMA Faktorisasi prima adalah perkalian semua bilangan-bilangan prima atau perkalian faktor-faktor dari suatu bilangan. Contoh Faktorisasi prima dari 56 = 2 x 2 x 2 x 7 = 23 x 7 Faktorisasi prima dari 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32
Faktor prima dan faktorisasi prima dapat dicari dengan menggunakan pohon faktor. Contoh Tentukan faktorisasi prima dan faktor prima dari 90! Penyelesaian
Olimpiade Matematika SD
15
90
2
Jadi, faktorisasi prima dari 90 = 2 ď&#x201A;´ 3 ď&#x201A;´ 5
45
2
15
3
D. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)
3
5
Faktor persekutuan terbesar adalah sebuah bilangan yang menjadi faktor sekutu terbesar (bilangan terbesar yang dapat membagi bilangan asal) Contoh Tentukan FPB 36 dan 54! Faktorisasi prima 36 = 22 x 32 Faktorisasiprima 54 = 2 x 33 Jadi, FPB dari 36 dan 54 adalah = 2 x 32 = 18 INGAT :
Cara menentukan FPB dengan faktorisasi prima adalah ambillah faktor prima yang sama dari kedua bilangan dipilih pangkat paling kecil dari kedua faktor
E. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah bilangan yang menjadi kelipatan sekutu terkecil (bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan asalnya)
Contoh Tentukan KPK 12 dan 16! Faktorisasi prima 12 = 22 x 3 Faktorisasiprima 16 = 24 KPK dari 36 dan 54 adalah = 24 x 3 = 48 INGAT :
Cara menentukan KPK dengan faktorisasi prima adalah kalikan semua faktor prima dari kedua bilangan dipilih pangkat paling besar
16
Olimpiade Matematika SD
BAB 5 PECAHAN
A. PENGERTIAN PECAHAN Pecahan adalah bilangan yang disajikan dalam bentuk
a dengan a, b bilangan bulat b
b 0. a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
dan
Contoh pembilang penyebut
6 11
B. JENIS PECAHAN a) Pecahan Biasa Contoh :
1 11 3 , , , dan sebagainya 4 15 8
b) Pecahan Campuran Contoh : 4
4 5 3 , 3 , 1 , dan sebagainya 4 6 9
c) Pecahan Desimal Contoh : 0,04; 1, 53 ; -2, 123 dan sebagainya d) Persen Contoh : 7 %, 15 %, 1
3 % dan sebagainya 4
e) Permil Contoh : 8 0/00, 12 0/00, 128 0/00,
C. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PECAHAN Misalkan
a c dan adalah sembarang pecahan maka b d
a c ad bc b d bd
a c ad bc b d bd
Olimpiade Matematika SD
17
Sifat-sifat penjumlahan
Sifat komutatif Misalkan
a c dan adalah sembarang pecahan maka b d
a c c a b d d b
Sifat Assosiatif Misalkan
e a c , , dan adalah sembarang pecahan maka b d f
a c e a c e b d f b d f
D. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PECAHAN Misalkan
a c dan adalah sembarang pecahan maka b d
a c ac b d bd
a c a d ad : b d b c bc
Sifat-sifat perkalian pecahan : Misalkan
e a c , , dan adalah sembarang pecahan. b d f
Sifat komutatif
a c c a b d d b
Sifat Assosiatif
a c e a c e b d f b d f
Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
a c e a c a e b d f b d b f
18
Olimpiade Matematika SD
BAB 7 PERBANDINGAN
A. PENGERTIAN PERBANDINGAN Perbandingan adalah membandingkan dua besaran sejenis artinya harus mempunyai satuan yang sama. Bila satuannya belum sama maka harus disamakan. Contoh : 75 cm : 45 m = 75 cm : 4500 cm = 1 : 60
B. PERBANDINGAN SENILAI Jika besaran yang pertama semakin kecil maka besaran yang kedua semakin kecil pula atau sebaliknya. Perbandingan ini biasanya digunakan pada :
Banyaknya barang dengan jumlah harga. Jika barang yang dibeli bertambah maka besar harga barang juga bertambah atau sebaliknya.
Banyak bahan bakar dengan jarak yang ditempuh kendaraan. Jika bahan bakar yang digunakan sedikit maka jarak tempunya juga pendek atau sebaliknya.
Jumlah bunga tabungan dengan lamanya waktu menabung. Jika bunga tabungan semakin banyak maka waktu menabung semakin lama atau sebaliknya.
Rumusan :
a 1 b1 a 2 b2
a1 b 2 a 2 b1
C. PERBANDINGAN BERBALIK NILAI Jika besaran yang pertama semakin kecil maka besaran yang kedua semakin besar atau sebaliknya. Perbandingan ini biasanya digunakan pada :
Kecepatan kendaraan dengan waktu tempuhnya. Jika semakin cepat kendaraan maka waktu tempuhnya semakin sedikit atau sebaliknya.
Olimpiade Matematika SD
19
Banyaknya buruh proyek dengan waktu penyelesaian proyek. Jika semakin sedikit buruh maka proyek semakin lama dikerjakan atau sebaliknya.
Banyaknya hewan peliaraan dengan waktu menyelesaikan persedian makanan. Jika semakin banyak hewan maka makanan waktu persedian makanan semakin sedikit atau sebaliknya.
Rumusan :
a1 b 2 a 2 b1
20
a1 b1 a 2 b 2
Olimpiade Matematika SD
BAB 8 KECEPATAN
Olimpiade Matematika SD
21
BAB 9 STATISTIKA
22
Olimpiade Matematika SD
BAB 11
Olimpiade Matematika SD
SUDUT
23
BAB 12
24
BANGUN DATAR
Olimpiade Matematika SD
BAB 13
Olimpiade Matematika SD
LINGKARAN
25
BAB 14
26
BANGUN RUANG
Olimpiade Matematika SD