Análisis Estructural Teorema de Castigliano Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano “La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada”. 2 2 2 ∂w ∂ N 2 M V T ∆P = = dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx ∫ ∂P ∂P 2 AE 2 EI 2G ( A / α ) 2GJ
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano Tomando como referencia: we = 1/ 2 fi .Di
Obras Civiles – IngenierĂa Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
Ejemplo 1 Calcular la rotación en el punto medio (c) de la viga en voladizo.
∂w M ∂M θC = =∫ dx ∂m EI ∂m Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
Solución 1: corte 1-1 ⌢ +∑ M
1 1
= 0;
M1 = −Px ∂M =0 ∂m
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Px + M1 = 0
Teorema de Castigliano
Solución 1: corte 2-2 ⌢ +∑ M
2 2
= 0;
Px + m + M2 = 0
M 2 = − [ m + Px ]
∂M = −1 ∂m
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
Solución 1 1 θC = EI
L L 2 ∫ ( −Px )( 0 ) dx + ∫ ( −Px )( −1) dx 0 L2
1 P 2 L2 θC = × L − EI 2 4
3PL2 θC = 8EI
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Ejemplo 2 Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w, determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.
∂w M ∂M ∆c ↓= =∫ dx ∂P EI ∂P Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Solución 2 ⌢ + ∑ 11 = 0;
wx 2 wL P − + × x + + M1 2 2 2
wx 2 wL P M1 = + × x − 2 2 2
∂M 1 = x ∂P 2 2 ∆C ↓= EI
L2
∫ 0
w 2 wL x − x ( 0.5 x ) dx 2 2
( )
L wL 2 ∆C ↓= 2 3 4
3
w ( 2) − L
4
5wL3 ∆C ↓= 384EI Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
4
4
Ejemplo 3 Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga en voladizo.
∂U M ∂M ∆B ↓= =∫ dx ∂P EI ∂P
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Solución 3 corte 1-1 ∩ +
∑M
1 1
wX 2 = 0 : PX + + M1 = 0 2
wX 2 M1 = − PX + 2
∂M = −X ∂P
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Solución 3 L 1 wX 2 ∆B ↓= − PX − ( − X ) dx ∫ 2 EI 0 L 1 wX 3 2 = PX + dx ∫ 2 EI 0
L
1 PX 3 wX 4 = + EI 3 8 0
1 PL3 wL4 = + EI 3 8
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Si B se mueve todo se mueve վ y no hay problema.
Si C se mueve վ, se tienen que distribuir los esfuerzos en A y B.
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Indeterminada
Para convertirla en determinada: (Se quita el apoyo simple)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Una estructura es estáticamente indeterminada si no pueden ser analizados sus aspectos internos y reacciones por las ecuaciones de equilibrio estático. • Método de carga unitaria • Método de Castigliano Cualquier estructura puede convertirse en estáticamente determinada suprimiendo las acciones sobrantes o híper estáticas. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
GIE = 2 NE + NR − 2 NN − C NE = 3
GIE = 2
NR = 4 NN = 4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Estructura primaria
∆1 = 0 = ∆1' + ∆11 + ∆12 ∆ 2 = 0 = ∆ '2 + ∆ 21 + ∆ 22
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Definición coeficientes flexibilidad ∆11 = ∂11 X 1 ∆12 = ∂12 X 2 ∆ 21 = ∂ 21 X1 ∆ 22 = ∂ 22 X 2
∆1' + ∂11 X 1 + ∂12 X 2 = 0 ∆ '2 + ∂ 21 X 1 + ∂ 22 X 2 = 0
m1(Se quitan P, Q ∧ w) m2(Se quitan P, Q ∧ w)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS • Por Carga Unitaria: Mm1 dx EI
∆1' = ∫ ∆ '2 = ∫
Mm2 dx EI
m1m2 dx EI mm ∂11 = ∫ 1 1 dx EI
∂12 = ∫
m2 m1 dx EI mm = ∫ 2 2 dx EI
∂ 21 = ∫
∂ 22
• Por Método Castigliano ∂w ∆1 = =0 ∂X 1
∂w ∆2 = =0 ∂X 2
……
∂w ∆n = ∂X n
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA