Vida, numeros y formas by Natalia Kramm

Vida, números y formas Grecia Gálvez Silvia Navarro Marta Riveros Pierina Zanocco

Ministerio de Educación Co - edición: Programa de Mejoramiento de la Calidad de la Educación en Escuelas Básicas de Sectores Pobres Centro de Perfeccionamiento, Experimentación e Investigaciones Pedagógicas

Santiago, reimpresión 1998

MINISTERIO DE EDUCACION N° Inscripción 84.439 Prohibida la reproducción sin previa autorización HECHO EN CHILE Portada: Verónica Araya Ilustraciones: Claudio Martínez Diagramación: Carlos Altamirano MAVAL Ltda. Pirámide 521 San Miguel Fono: 552.1527 • 552.2899 D.A.E. O/C N° 10276

Indice Presentación

Taller 1/ La matemática y nosotros

Taller 2/ Problemas en matemática

Taller 3/ Analizando, adaptando e inventando problemas

Taller 4/ Las mil y una maneras de resolver un problema

Taller 5/ Enseñando a resolver problemas

Taller 6/ Explorando el espacio

Taller 7/ figuras del plano y del espacio

Taller 8/ Reconstruyendo el sistema de numeración decimal

107

Taller 9/ Situaciones y combinaciones aditivas

121

Taller 10/ Revisando los algoritmos de la adición y la sustracción

139

Taller 11/ Situaciones y combinaciones multiplicativas

155

Taller 12/ Revisando el algoritmo de la multiplicación

173

Taller 13/ Revisando el algoritmo de la división

185

Taller 141 La matemática en nuestras aulas

195

Presentación Vida, números y formas, es un material para ser trabajado en Talleres de Perfeccionamiento en Matemática por profesores de primer a cuarto año de Educación General Básica; es fruto de la experiencia acumulada, en relación a esta modalidad de perfeccionamiento, por el Programa de Mejoramiento de la Calidad de las Escuelas Básicas de Sectores Pobres. Se concibe el Taller de Perfeccionamiento, como una instancia de reflexión de los profesores, en lo relativo a la orientación de los procesos de desarrollo y aprendizaje de los alumnos. También constituye un espacio para el intercambio organizado de experiencias y puntos de vista de los profesores ypara el rescate y valoración de sus prácticas de aula más exitosas. El trabajo del Taller conduce a la reconstrucción de la matemática que los profesores deben enseñar, y al establecimiento de nexos significativos entre los contenidos de aprendizaje y la cultura en la que se encuentran inmersos sus alumnos. Todo esto conlleva a la generación de propuestas didácticas, posibles de experimentar a nivel de sala de clases. A través de diversas actividades, el Taller de Perfeccionamiento posibilita a los profesores vivenciar y analizar los

procesos de construcción de conceptos, el establecimiento de relaciones y procedimientos, para optimizar su comprensión de los procesos de aprendizaje de sus alumnos, y estar así en mejores condiciones para introducir mejoras en sus prácticas de enseñanza. El perfeccionamiento, así concebido, contribuye a garantizar el derecho de todos los alumnos a disfrutar de experiencias educativas consideradas esenciales para su desarrollo y para la construcción de sus conocimientos y abre un espacio a la autonomía profesional de los docentes, permitiéndoles fundamentar su toma de decisiones en relación al establecimiento y puesta en práctica dél currículum escolar.

La concreción de este tipo de perfeccionamiento docente requiere de un compromiso por parte de todos y cada uno de los participantes del Taller, quienes deben aportar a la creación de un clima de convivencia en las sesiones, que permita la libre expresión de sentimientos e ideas, y a la consecución del logro de los propósitos de cada Taller, mediante su participación en las sesiones y el cumplimiento, entre una sesión y otra, del compromiso contraido con las «Tareas». Estos aportes significarán una contribución a la' meta general del perfecionamiento que es introducirmejoras en la calidad de los aprendizajes matemáticos de los alumnos. Los Talleres de Perfeccionamiento en Matemática que se proponen en este texto, abordan temas generales que un profesor debe analizar para enfrentar la enseñanza de la

matemática y temas considerados contenidos mínimos en la educación matemática de los alumnos de primer ciclo de Educación General Básica. Resulta interesante señalar que los temas generales son trabajados en el primero y en el último de los Talleres propuestos. El Taller 1: «La matemática y nosotros», cons tituye un marco de referencia necesario de tener presente durante la realización de los siguientes Talleres. En éste se proponen actividades para develar la actitud hacia la matemática de cada profesorparticipante, la influencia de ésta en la enseñanza y un análisis del sentido del aprendizaje matemático para los alumnos de Educación General Básica. En el último; Taller 14: «La matemática en nuestras aulas», se plantea una revisión de la organización de las clases de matemática, de los momentos claves de éstas, de los recursos a los que más usualmente puede acceder un profesor, concluyendo con la evaluación, por parte de cada participante, de los cambios que ha experimentado como enseñante de la asignatura, a raíz del perfeccionamiento.

En relación a los contenidos propios de la educación matemática de escolares básicos, se presentan tres temáticas: Resolución de problemas. Iniciación a la geometría. Operatoria aritmética. Resolución de problemas, es un tema que puede cons-

tituirse en el eje central de la educación matemática en la escuela básica, dado que contribuye significativamente a que los alumnos capten el sentido de los conocimientos matemáticos que adquieren en la escuela y de sus relaciones con los que logran y necesitan fuera de ella y favorece el desarrollo de competencias básicas generales, tales como; las habilidades para seleccionar, analizar, organizar y comunicar información. Este tema es trabajado, en forma específica, a través del: Taller 2: "Problemas en matemática" Taller 3. "Analizando, adaptando e inventando problemas" Taller 4. "Las mil y una maneras de resolver un problema " Taller 5: "Enseñando a resolver problemas".

Los logros esperados en estos cuatro Talleres son permanentemente evocados a través de los restantes. El tema iniciación a la geometría, ha sido incluido como respuesta a una necesidad sentida y muchas veces planteada por los supervisores y profesores que han participado en este Programa. Se abordan aspectos que aparecen como esenciales para los alumnos de primer ciclo, las nociones espaciales básicas (orientación, ubicación y movimiento en el espacio), cuerpos geométricos y polígonos. Se sugieren actividades de integración con otras asignaturas, que favorecen el desarrollo de nociones espaciales y de conceptos geométricos en forma intuitiva.

Este tema se trabaja en el Taller 6: «Explorando el espacio y Taller 7. «Figuras del plano y del espacio».

Finalmente el tema referido a operatoria aritmética, atiende a la revisión de un contenido siempre presente en los del primer ciclo de educación básica: cursos adición, sustracción, multiplicación y división con números naturales. Este tema se inicia con un Taller destinado a una revisión del sistema de numeración decimal, requisito indispensable para manejar comprensivamente procedi mientos de cálculo escrito. En los Talleres siguientes se proponen actividades tendientes a analizar el significado de la operatoria aritmética mediante problemas. Se plantea que a partir de situaciones aditivas es posible conceptualizar la adición y la sustracción como problema inverso y, en forma análoga, las situaciones multiplicativas generan los conceptos de multiplicación y división. Se ofrecen también actividades para un análisis de los procedimientos o algoritmos de resolución de ejercicios de operatoria. El desarrollo de este tema contempla el. Taller 8: «Reconstruyendo el sistema de numeración decimal» Taller 9.: «Situaciones y combinaciones aditivas» Taller 10: «Revisando los algoritmos de la adición y de la sustracción»

Taller 11: nSituacionesycombfnacionesmultiplicativas» Taller 12: «Revisando el algoritmo de la multiplicación» Taller 13: «Revisando el algoritmo de la división».

Los Talleres, en la mayoría de los casos, consideran tanto actividades- para el profesor, como sugerencias de actividades y materiales para los alumnos de E.G. B., que se espera sean incrementados con el aporte de los profesores. En general, esta propuesta de perfeccionamiento sólo cobra vida gracias al trabajo sesión a sesión de los participantes y es valiosa si logra traducírse en acciones en las salas de clases. Se desea dejarconstancia de nuestra gratitud a la Embajada de Francia por el aporte académico que significaron la presencia de los expertos franceses en Educación Matemática, Profesores Guy Brousseau, Catherine Houdement , Daniélle Ilergnes, Yves Clavier ya la Editorial Hatier por sus autorización para utilizar las propuestas pedagógicas del texto «Objectif Calcul» en la elaboración de este texto.

Finalmente-un agradecimiento muy especial a los supervisores yprofesores que junto a nosotros fueron abriendo este camino de perfeccionamiento profesional, sus obser vaciones y sugerencias permiten brindar a otros docentes una ruta ya explorada y enriquecida. Las autoras.

Taller 1/

La primera parte de este Taller obedece al propósito de explicar en qué consiste, hacia dónde apunta y cómofunciona este Programa de Perfeccionamiento. La segunda parte consiste en una invitación a revivir experiencias personales relativas al aprendizaje y a la enseñanza de la matemática, para reflexionar luego sobre su influencia en la disposición a aprender matemática que presentan hoy nuestros alumnos y, por lo tanto, en sus rendimientos.

Actividad 1 / Mis expectativas y el programa Los profesores participantes se sientan, formando un círculo. Esta distribución es adecuada para todos los Talleres. El conductor del Taller organiza una dinámica para que l os participantes expresen sus expectativas. Por ejemplo, pregunta: «¿qué esperan Uds. d e este trabajo de perfeccio namiento?» y deja un tiempo para que cada persona reflexione i ndividualmente. Luego fabrica una pelota, arrugando una hoja de papel, y la lanza a cualquiera de los participantes para que exteriorice su respuesta, en una sola frase. Al terminar, esta persona lanza la pelota a otra y así continúan, hasta que todos hayan intervenido. A medida que van respondiendo, el conductor del Taller hace un punteo de las i deas principales, en el pizarrón. Una vez explicitadas las expectativas, corresponde que los participantes conozcan lo que se les ofrece: el Programa de los catorce Talleres contenidos en este Manual. Individualmente, los profesores exploran el Manual: opinan sobre el título, leen la Presentación y el Indice, hojean las páginas interiores para formarse una idea de su contenido.

Luego, leen lo que sigue. Seguramente han observado que cadaTaller comienza con un párrafo que explica sus propósitos y que, entre Taller y Taller, hay que hacer una Tarea. Esta consistirá general mente en realizar alguna actividad con sus alumnos y en redactar sus conclusiones en un breve informe. El objetivo principal de organizar este perfeccionamiento en forma de Talleres es facilitar el intercambio de experiencias entre los profesores participantes y estimular su reflexión colectiva. Se trata de que, a partir de lo que hacen, leen, piensan y conversan en los Talleres, vayan adoptando criterios que les sirvan para optimizar su práctica profesional, aprovechando integralmente su experiencia e incorporando también la experiencia y habilidades que sus alumnos desarrollan en .su vida extraescolar. Para fomentar el intercambio de experiencias y reflexiones, las actividades, en su mayoría, se realizarán en grupos. Los grupos serán de dos o tres personas, si el total de participantes del Taller es reducido, y de cuatro a cinco personas, en un Taller más numeroso. AÍ término de las actividades grupales, se ha programado una puesta en común, en la que se comunican las conclusiones de cada grupo al resto de los participantes. El desarrollo de las actividades propuestas en cada Taller requiere de un conductor. Este puede ser un supervisor

u otro experto, pero también puede ser uno de los participantes que; habiendo asistido al Taller anterior, se encargue de preparar la sesión siguiente, basándose en el Manual, y de conseguir los materiales que allí se indiquen. A fin de garantizar la continuidad del perfeccionamiento, es conveniente alternar sesiones conducidas por un supervisor u otro experto, con sesiones a cargo de conductores internos al grupo de participantes. El Manual ha sido organizado en catorce Talleres. Cada uno de ellos aborda un tema que puede ser desarrollado en varias sesiones. De acuerdo a sus intereses y a su experien cia, los participantes irán determinando, en conjunto con el conductor del Taller, el ritmo con que van avanzando a través del Programa propuesto. Las autoras esperan que tengan un grato caminar.

Actividad 2/ Mi experiencia como alumno Materiales: Una hoja con las preguntas, por profesor. El conductor del Taller anuncia que van a hacer un ejercicio de imaginería. Pide a los profesores que se sienten cómodamente, apoyen ambos pies en el suelo dejándolos un poco

separados, bajen sus hombros y dejen colgar sus brazos, inclinen su cabeza hacia adelante soltando el cuelloy cierren sus ojos, respirando profundo para relajarse. Hablando en forma lenta y tranquila, haciendo pausas para dar tiempo a que aparezcan las imágenes, dice: •

Concéntrese en sí mismo y preste mucha atención a l o que siente al escuchar la siguiente palabra: ..... MATEMATICA..... Trate de mantener sus sensaciones... sus imágenes... sus sentimientos... Deje de lado sus pensamientos y concéntrese en sus sentimientos... sus emociones ...¿Qué siente?... ¿Qué emociones experimenta?

•

Retroceda mentalmente en el tiempo y véase a sí mismo como alumno, en clase de matemática... ¿Cómo se sentía?... ¿Le gustaba esta asignatura?... ¿Cómo le iba en matemática?... ¿Le era fácil aprender?... ¿Hubo cambios?... ¿En qué momentos?...

•

Recuerde a quienes le enseñaron matemática... ¿Cómo eran estas personas?... ¿Recuerda a alguna en especial?... ¿Qué siente al imaginársela? ... ¿Cuál fue el mejor profesor de matemática que tuvo? ... ¿Y el peor?...

El conductor pide que abran sus ojos y, sin hacer ningún comentario, contesten por escrito las preguntas del recuadro: «Mi experiencia como alumno», reproducidas en una hoja.

Mi experiencia como alumno

Durante el ejercicio, mi reacción al escuchar la palabra matemática fue: - más bien positiva - más bien negativa - neutra

Durante mi época de estudiante, en matemática me sentí un alumno: - Con facilidad para aprender esta asignatura - Con dificultad para comprenderla - Ni bueno ni malo, promedio

Creo que los aspectos positivos de los profesores de matemática son: a) b) c)

Me parece que los aspectos negativos de los profesores de matemática son: a) b) c)

No necesitan poner su nombre. Después de recoger las respuestas, el conductor deja un tiempo para que los profesores comenten las experiencias evocadas durante el ejercicio, en la medida en que deseen compartirlas. Es importante insistir en que centren sus comentarios en los sentimientos, más que en las posibles explicaciones de ellos. Se recomienda hacer una pausa, antes de iniciar la siguiente actividad.

Actividad 3/ Mi experiencia como profesor Materiales: Una hoja con las preguntas, por profesor. El conductor del Taller pide nuevamente a los profesores que se sienten cómodamente y se relajen (repite las instrucciones de.la actividad anterior). Hablando lentamente, con pausas, les dice: 0

Concéntrese en sí mismo e imagine que está haciendo

una clase de matemática en su curso.... ¿Cómo se siente?... ¿Cuáles son sus sensaciones... imágenes... sentimientos...? ¿Le gusta estar allí?... ¿Cómo siente el paso del tiempo?... ¿Se siente seguro o inseguro?... ¿En qué se siente más inseguro?... ¿Cómo ve a sus alumnos?... •

Concentre ahora toda su atención en alguno de sus alumnos e imagine, por un momento, que Ud. está en su l ugar... ¿Cómo se siente?... ¿Le interesa la clase?... ¿Le parece claro lo que le están explicando?... ¿Cómo ve a su profesor?... ¿Se atreve a hacerle preguntas?... ¿Le parece que Ud. es importante para él?... ¿Qué le gustaría que fuera diferente?

El conductor pide que abran los ojos y, sin hacer comentarios, contesten las preguntas del recuadro: «Mi experiencia como profesor», en la hoja previamente preparada. Después de recoger las respuestas, el conductor propone a los profesores que intercambien comentarios sobre l o que sintieron y recordaron durante este segundo ejercicio.

Mi experiencia como profesor 1.

Los aspectos positivos de mis clases de matemática son: a) b) c)

Z Los aspectos negativos de mis clases de matemática son: a) b) c)

Cuando me puse en el lugar de uno de mis alumnos sentí que yo podría enseñarles mejor si

Actividad 4/ Análisis de las respuestas Los profesores respondieron por escrito siete preguntas. De acuerdo al número de participantes en el Taller, uno o dos profesores se encargan de analizar y resumir, en un papelógrafo, las respuestas a una misma pregunta. Para facilitar su trabajo, cortan las hojas y juntan las respuestas a una misma pregunta. Al final, se hace una puesta en común de los análisis realizados, con apoyo de los papelógrafos.

Actividad 5/ Definamos la tarea Se propone la lectura de un texto sobre el sentido de la enseñanza de la matemática en la escuela básica, con preguntas para pensar y responder. El conductor del Taller invita a los profesores a leer el texto que sigue y a responder las preguntas que aparecen al final del mismo, las que se comentarán en el próximo Taller.

Aprendizaje matemático y contextualización En la Universidad de Southern Illinois, en Edwardsville, Estados Unidos, el profesor Thomas C. O'Brien creó un Centro para Profesores, donde se realizaban actividades para la actualización de los profesores de Educación Básica de la región. En una ocasión invitó a A. I. Weinzweg, profesor de matemáticas de la Universidad de Illinois, en Chicago, a conversar con un grupo de profesores sobre la enseñanza de la matemática en la escuela básica. Presentamos aquí un extracto de dicha conversación, que fue publicada por el Centro de Profesores dirigido por T.C. O'Brien.

Weinzweg: Yo pienso que la matemática es una manera de pensar. La matemática es el arte de tratar de determinar qué sucederá cuando decido hacer algo, sin tener que hacerlo realmente. Por ejemplo, si tengo un espacio disponible en mi comedor y quiero comprar una vitrina...

lo que va a suceder si la compro. Esta es la forma en que uso la matemática. Pienso que lo importante es usarla. Me parece que mucho de lo que se hace en las escuelas no está relacionado con el contexto en que usamos la matemática. Las escuelas funcionan a nivel de un simple entrenamiento de los niños para hacer o decir cosas. Se les dice: «3 + 4» y ellos responden: n7». ¿Quién, en su sano juicio, se interesaría por saber que tres más cuatro es igual a siete, a menos que eso tenga alguna utilidad? Seleccionamos lo que queremos enseñar en la escuela por su utilidad, pero no les presentamos a los niños las cosas contextualizadas. Nunca les decimos que es importante saber que 3 + 4 = 7 porque eso se puede aplicar en muchos contextos diferentes y es posible ahorrarse mucho trabajo al no tener que enfrentar cada nuevo contexto como si fuera una nueva situación. Eso es precisamente lo esencial de la matemática.

O'Brien: Tú no empiezas por traer la vitrina.

O'8rien: La matemática se usa en la escuela para acostumbrar a los niños a hacer lo que el profesor les dice que hagan.

Weinzweg: Yo no compro la vitrina hasta estar seguro de que es del tamaño adecuado. Primero mido el espacio donde la voy a colocar y mido la vitrina, así sé

Weinzweg: Sí, y también como mecanismo de selección de los alumnos. Los tests de inteligencia usan tareas matemáticas, por ejemplo, de visualización es-

pacial. La mayoría de la gente tiene dificultades para visualizar. Pienso que esto se debe a que, aunque han tenido mucha experiencia en visualizar cosas, nunca han aprendido a localizar, no saben realmente qué

buscar, qué mirar, cuando ven algo. La gente que ha desarrollado naturalmente su habilidad en está área maneja, sin darse cuenta, ciertas claves. Parte del problema reside en que hay que trabajar con representaciones en dos dimensiones de objetos que son tridimensionales. Esto requiere el manejo de un código, igual que la lectura y la escritura, y hay que aprender a descifrar ese código. Hay que aprender a fijarse en cierto tipo de cosas y a no fijarse en otras.

O'Brien: ¿Y cómo aprendemos a fijarnos en lo que corresponde? Weinzweg: Como matemático, me es difícil responder, porque yo, automáticamente, hago cosas de las que no me doy cuenta. Dando un curso para profesores, sin embargo, he visto que personas que inicialmente tenían muy poca habilidad para visualizar, pudieron llegara resolver tareas más difíciles que las que aparecen en los tests de inteligencia.

O'Brien: 0 sea que un aspecto importante, en el

desarrollo del pensamiento, es aprender a distinguir entre lo que hay que considerar y lo que hay que ignorar, al realizar una tarea.

Weinzweg: Correcto. Pienso que constantemente nos enfrentamos a una masa de estímulos. Y tenemos que distinguir entre la información y el ruido de fondo. Nos fijamos en lo que creemos que constituye una información importante. Pero a veces, lo que es realmente importante no se ve de inmediato. Seguramente Uds. han tenido la experiencia de dar una serie de instrucciones a-un grupo. La gente empieza a trabajar y dé pronto se detienen. «No sabemos cómo seguir, dicen. Al repetirles las mismas instrucciones exclaman: «Ah, ahora sí—, como si antes no se les hubiese dado la información. Lo que pasa es que, al principio, ellos se fijaron sólo en lo que les parecía importante y desatendieron parte de la información que se les dió. Cuando avanzaron en la realización de la tarea se encontraron en una situación en la que no disponían de suficiente información; en ese momento, las informaciones que Uds. les repiten son significativas porque están referidas al contexto particular en que ellos están funcionando. Ahora pueden asimilarlas y utilizarlas.

O'Brien: Eso significa que hay que observar en qué

parte de la tarea está el niño, no darle el flujo total de información o de instrucciones en un solo paquete.

Weinzweg: Exactamente. Cuando trabajo con alumnos, en cualquier nivel, les doy sólo la información suficiente para empezar. Les doy las reglas básicas del juego. Y cuando avanzan en la tarea les digo: «ahora voy a introducir una nueva regla». En ese momento esta regla resulta significativa, porque están manejándola en un contexto particular. Si yo tratara de darles todas las reglas al comienzo.s e produciría una situación frustrante para ellos y para mí. Yo diría: «Eso ya lo expliqué». Y el pobre alumno respondería: «Pero yo no lo entendí^ El se sentiría tonto, yo sentiría que él es tonto y que el curso no puso atención. La verdad es que ellos sí pusieron atención, pero no lograron ensamblar todas las piezas desde el principio. O'Brien: Hablemos un poco acerca del contexto. Este parece ser un tema muy importante para ti. Weinzweg: Bueno, cuando hablamos del aprendizaje de los niños, lo que queremos que aprendan son conceptos, conceptos matemáticos. Pero los conceptos no vienen del aire, los desarrollamos para abordar situaciones particulares en contextos particulares. Por

ejemplo, si le digo a uno de Uds.: «Cuente, la persona designada dirá: « 1, 2, 3, 4, 5, 6-. Si luego le muestro un puñado de cubos y le digo: «Cuente», la persona los irá señalando uno por uno mientras dice:; -f 1, 2, 3, 4, 5, 6». Yo utilicé exactamente la misma orden verbal, pero las respuestas fueron diferentes. Usamos la palabra contar para designar acciones muy variadas. Como matemático interesado en el aprendizaje infantil, yo quiero desarrollar en los niños la comprensión del número. Primero tengo que preguntarme: ¿Por qué están interesados en el número? ¿Qué problemas van a afrontar cuando usen números?¿ Cómo van a usar los números? Supongamos que estoy con un grupo de niños y tengo una bolsa de dulces. Como soy una persona considerada y amable quiero dar un dulce a cada niño. Pero si empiezo a repartir los dulces y no me alcanzan para todos me encontraré en un gran problema. Necesito saber lo que pasará, antes de ejecutar realmente la acción. Así, cuento el número de niños y el número de

dulces. Si el número de dulces no es menor que el de niños, puedo iniciar el reparto sin ningún riesgo. Aquí estoy resolviendo un problema particular en un contexto particular. Si quiero que los niños capten esta idea tengo que examinar detalladamente lo que pasa con el número y con el contar y tengo que crear contextos de

manera que los niños construyan su noción de número a partir de ellos. Lo que sucede es que el niño crea una noción de número para enfrentar un contexto y otra noción diferente para enfrentar otro contexto. Después de cierto tiempo, el niño empieza a reconocer que si hace una tarea en un contexto, puede cambiar a otro contexto y obtener la misma respuesta al hacer el mismo tipo de tarea. Por ejemplo, en un juego tipo carrera de caballos, si un niño tira dos veces el dado y obtiene 3 y 2, podemos escribir su tirada como: 3 + 2 = 5. Para el niño, esta escritura tiene un significado contextual; significa sólo que en su primera tirada le salió un 3, en la segunda un 2 y que, en total, su caballo avanzó 5 espacios.

O'Brien: De lo que dices se desprende que gran parte del trabajo que los niños realizan en la escuela no tiene ningún contexto. Weinzweg: Precisamente. Parte importante de la enseñanza escolar consiste en presentar información sin ningún contexto; y el niño no tiene cómo captarla, no tiene cómo llegara la solución. Si le damos un problema contextualizado, puede llegara la respuesta; aunque no recuerde cuánto es 3 + 2, puede reconstruirlo actuando sobre la situación.

Después de un tiempo de. tratar con adiciones contextualizadas, el niño empieza a desarrollar su comprensión descontextualizada de 3 + 2 = 5. Se da cuenta de que si sabe la respuesta en un contexto, puede aplicarla a cualquier otro contexto. Ahora tiene una razón para aprender que 3 + 2 = 5. Es un conocimiento que le ahorra trabajo.

O'Brien: Esto le da mucho poder.

Weinzweg: Absolutamente. La matemática es poderosa. Actualmente, juega un rol importante en casi todas las áreas. La razón es que los matemáticos desarrollan, en situaciones descontextualizadas, conocimientos que luego podemos aplicar en toda clase de contextos diferentes. Pero lo que la gente olvida es que la matemática surgió originalmente de algún contexto. O'Brien: Entonces, ¿cuál es su consejo para los profesores? Weinzweg: Pienso que para ayudar a un niño a desarrollar un concepto, hay que pensar en el contexto del cual surge el concepto. Hay que presentar una situación y dejar que el niño funcione dentro del contexto de manera que empiece a abordar el problema, a

desarrollar el concepto para resolver el problema, y a

estructurar y organizar sus experiencias. Y luego se debe proporcionar otros contextos para localizar la atención del niño en el hecho de que si resuelve un problema en un contexto y obtiene una respuesta, y luego resuelve el mismo tipo de problema en un contexto diferente, obtendrá la misma respuesta. Una vez que

1. Weinzweg propone: « La matemática es el arte

el niño toma conciencia de la utilidad de cambiar de un contexto a otro, se da cuenta también de la utilidad de aprender relaciones como 3 f 2 = 5 sin ningún contexto

onces; abre su billetera y ve que tiene tres mil

particular, de manera que puedan aplicarse a toda clase de contextos. Lo que está faltando en la educación matemática es esa

2. Ud. va ll egando a una esquina cuando dos autos chocan. Señale tres aspectos en los que

progresión desde una situación ligada a un contexto hacia una situación descontextualizada. Siempre operamos en situaciones descontextualizadas con los niños y ellos ignoran el por qué, el dónde y el cómo han surgido las cosas que aprenden. Existe un' proverbio: «Si le das un pescado a un hombre, lo alimentas por un día. Si le enseñas a pescar, lo alimentas por toda su vida». En cierto sentido, eso es lo que estoy tratando de decir aquí. No quiero darles a los niños un pescado, quiero e; ,° - eñarles a pescar.

necesitaría fijarse si estuviera dispuesto a de-

de tratar de determinar qué sucederá cuando decido hacer algo, sin tener que hacerlo realmente» . Aplique esta afirmación en el contexto siguiente y deduzca consecuencias: Ud. quiere i nvitar a una amiga a ver una película y a tomar pesos.

necesitaría fijarse y otros tres en los que no clarar como testigo. 3. Busque situaciones en las que sus alumnos usen habitualmente números, fuera de la sala de clases, y utilícelas para contextualizar dos ejercicios de sustracción. 4. De acuerdo al proverbio citado por Weinzweg al final del texto, ¿Qué significaría «enseñar a pescar» a los profesores en vez de «darles un pescado», en un curso de perfeccionamiento?

Para pensar, y responder por escrito:

Taller 2/

En este Taller los profesores vivencian el proceso de resolución de problemas, analizan los procedimientos que utilizan para resolverlos y las respuestas encontradas. Este análisis incluye la forma de presentación del enunciado, la cantidad de datos, las relaciones numéricas entre éstos, laforma de preguntaryel sentido que el problema tiene para quien lo resuelve. Todos estos aspectos son considerados en función del rol que juegan en la generación de procedimientos para resolver los problemas propuestos.

Actividad 1 / Comentemos la tarea

profesores no debiera limitarse a entregar «recetas» sobre cómo enseñar; debiera estimular la reflexión sobre la toma cotidiana de decisiones en el aula.

Los participantes intercambian opiniones sobre el texto leído. Pueden responder preguntas como las siguientes: ¿Les resultó fácil su lectura? ¿Están de acuerdo con lo que dice Weinzweg? ¿Qué ideas nuevas sobre la matemática y su enseñanza encontraron? Luego comentan las respuestas que escribieron Para cada punto, leen algunas y las complementan con intervenciones orales de quienes hayan escrito algo diferente. Las i deas que se espera sean comentadas son:

Actividad 2/ Resolvamos problemas Los profesores se agrupan para resolver los siguientes problemas.

Para el punto 1: La matemática es un medio para anticipar resultados de acciones posibles. Para el punto 2: Es posible desarrollar la capacidad de discriminar información relevante de acuerdo a un propósito, en diversas situaciones. Para el punto 3: Es importante que los ejercicios de matemática resulten significativos para los alumnos. Para el punto 4: Un curso de perfeccionamiento para

La compra y venta del libro Alicia compra un libro de recetas en $3.900 y se lo vende a una amiga en $3.960. Al día siguiente Alicia le compra el mismo libro a su amiga en $4.000 y lo vende a su vecina en $4.050. ¿Cuánto dinero ganó Alicia?

Los chocolates de Ursula Estas son las reflexiones de doña Ursula: Compré 100 bolsitas plásticas para vender chocolates. Puse 15 en cada una y con todos los chocolates que tenía, completé 32 bolsas. Pensaba vender cada una en $360. Pero saqué mis cuentas y voy a ganar muy poco. Es mejor que saque 3 chocolates de cada bolsa... ¿Cuántas bolsas le resultaron finalmente a doña Ursula, si con los chocolates que sacó llenó otras y todas tienen la misma cantidad?

La consulta al médico Antonio fue al médico porque se sentía con fiebre y mucho dolor de cabeza. Después de examinarlo el médico le recetó Gremapiesil, una pastilla cada 6 horas, durante 8 días. En la farmacia le informan que este remedio se vende en tiras de 6 pastillas y en frascos que traen 20. El frasco vale $1,040 y la tira $330. ¿Qué le conviene comprar a Antonio?

El cerco del terreno Don Aurelio quiere cercar su terreno. Decidió col ocar estacas cada tres metros para tender un cerco de alambre. Si tiene 100 estacas, ¿le sobran o le faltan?, ¿cuántas?

Una vez que han terminado de resolverlos, los profesores comentan las dificultades que se les presentaron y señalan el problema que les pareció más difícil y el más fácil. Lo fácil o difícil de un problema es relativo; puede'suceder que para alguien sea tan fácil resolver determinado problema que éste no sea un problema para él.

Para plantear un problema de Matemática no basta con proponer una situación y una pregunta: es necesario que, para quien lo resuelva, signifique un desafío, una interrogante que necesita la elaboración de un plan y el diseño de una estrategia, para encontrar la respuesta.

en $4 000 y venderlo en $4 050. Es posible que algunos aseguren que la ganancia que obtiene Alicia es $70; el razonamiento que lleva a esa conclusión considera que hay una pérdida de $40 en el momentó que Alicia compra el libro por segunda vez y paga $4000. Comparen el problema en cuestión con el siguiente:

Alicia compra un libro de recetas en $3 900 y se lo vende a una amiga en $3 960. Al día siguiente, Alicia compra un florero en $4 000 y se lo vende a su vecina en $4 050. ¿Cuánto dinero ganó Alicia?

En la siguiente tabla se puede visualizar un procedimiento de búsqueda de solución al problema modificado.

Actividad 3 Comentemos los problemas 3/1. La compra y venta del libro Cada grupo comenta el resultado obtenido y explica la manera cómo lo encontró. La respuesta correcta al problema es: Alicia gana $110. Ella gana $60 al comprar el libro en $3 900 y venderlo en $3 960; después gana $50 al comprarlo

Artículo

Compra

Venta

Ganancia

Libro Florero

$3900 $4000

$3960 $4050

$60 $50

Total

$7900

$8010

$110

Si aún quedan dudas sobre la respuesta correcta al problema, es conveniente hacer una dramatización. Perso-

najes: Alicia, la vendedora de libros, la amiga, la vecinayotra persona, que le presta dinero a Alicia para comprar el libro por segunda vez. Al final de la escena, Alicia devuelve ese préstamo y cuenta su ganancia.

• • •

La forma de presentar un problema, su ENUNCIADO, puede ser fuente de dificultades para su resol ución, ya que para buscar la respuesta a un problema, es necesario comprender bien de qué se trata. Los enunciados de los problemas pueden tomar forma de dramatización, historietas, texto con ilustración, sólo texto, dibujo con datos, presentación oral.

3/2. Los chocolates de Ursula Los grupos comparten los resultados y los procedimientos utilizados para resolver este problema. La respuesta correcta al problema es: doña Ursula llena 40 bolsas, con 12 chocolates cada una. Un procedimiento posible para buscar respuesta al problema es:

Hay 32 bolsas con 15 chocolates cada una, luego son 480 chocolates. Si se sacan 3 chocolates de cada bolsa, quedan 12 en cada una. Como todas las bolsas quedarán con 12 chocolates y el total de chocolates es 480, el total de bosas llenas se obtiene dividiendo 480 por 12. Resultan 40 bolsas.

Otra manera de encontrar la respuesta es: • • • • •

Hay 32 bolsas con 15 chocolates cada una. Si se sacan 3 chocolates de cada bolsa, en total se sacan 96 chocolates. Quedan 32 bolsas con 12 chocolates cada una. Con los 96 chocolates sacados se llenan 8 bolsas más. Resultan 40 bolsas con 12 chocolates.

Este problema incluye dos tipos de datos, los que son necesarios para resolverlo y los que, siendo pertinentes a la situación, no se usan en el proceso de resolución. Son datos necesarios: 32 bolsas, 15 chocolates por bolsa, 3 chocolates que se sacan de cada una. Son datos innecesarios: 100 bolsas compradas, $360 el precio de venta de una bolsa.

Los DATOS son otro componente de un problema. Es habitual que los problemas incluyan sólo los datos necesarios para resolverlos. Pero, también se pueden proponer problemas que tengan exceso de datos o que no tengan todos los datos necesarios para obtener su solución. Esto sirve para aprender a diferenciar los datos relevantes de los irrelevantes, en la resolución de los problemas.

En un problema, los datos no siempre se presentan ordenadamente en el enunciado. A veces, se presentan en tablas o cuadros. Por ejemplo: ¿En cuál de las siguientes ciudades se presentó la mayor diferencia de temperatura, el día 9 de julio de 1992?

CIRLE AYER Ciudad

Min.

Máx.

Condición

Arica

12,0

18,0

Despejado

Antofagasta

10,9

16,0

Despejado

Valparaíso

10,0

14,0

Nublado

Temuco

6,6

13,0

Nublado

Valdivia

7,6

9,0

Lluvia

En otros problemas algunos datos no se explicitan porque se supone que son conocimientos que ya posee la persona que los resuelve: por ejemplo, que el día tiene 24 horas, en el problema de la consulta al médico; o porque lo que interesa es que los alumnos aprendan a recurrir a diversas fuentes de información para obtenerlos. A veces, uno o varios de los datos necesarios para resolver un problema deben ser inferidos de la información que se proporciona. Los datos no siempre son numéricos; en algunos problemas puede tratarse de formas, de relaciones lógicas, o de ubicaciones en el espacio, como en el problema siguiente:

Negro, el perro guardián, está amarrado con una cadena de 2,5 metros a una barra que mide 1 metro de largo. En el dibujo, pinte el terreno que puede recorrer elperro si el nudo de la cadena se puede deslizar sobre la barra AB.

3/3. La consulta al médico Los grupos comparten las respuestas obtenidas e i ntercambian información sobre los procedimientos utilizados. Generalmente el proceso de resolución se incia calcul lando la cantidad de pastillas necesarias para el tratamiento: son 4 pastillas diarias, durante 8 días. En total, son 32 pastillas. En seguida, algunos calculan el valor unitario. En frascos, 1 040: 20 = 52 pesos, es el precio de una pastilla. En tiras, 330: 6 = 55 pesos cada pastilla.

pastillas y se quedan con esta opción. Es el número exacto de pastillas que se necesitan. También hay quienes organizan la información en cuadros y centran su atención en los precios. Frascos 1 frasco 2 frascos

20 pastillas 40 pastillas

$1040 $2080

Tiras 1 tira 6 tiras

6 pastillas 36 pastillas

$330 $1980

En consecuencia, parece más conveniente comprar dos frascos. Otros, en cambio, se preocupan de calcular cómo obtener el número de pastillas que se necesitan: • 1 frasco, son 20 pastillas, me faltan • 2 frascos, son 40 pastillas, me sobran 8 • 5 tiras, son 30 pastillas, me faltan • 6 tiras, son 36 pastillas, pero como sólo me sobran 4, esta opción es la que más me conviene. En este mismo cauce de razonamiento, hay personas que se dan cuenta que con 1 frasco y 2 tiras logran 32

Al hacer la comparación, resulta preferible comprar 6 tiras porque sale más barato que los 2 frascos. Pero, si se establece la relación: 1 frasco 2 tiras

20 pastillas 12 pastillas

$1040 $660

Al sumar se obtiene que 32 pastillas valen $1 700, lo que es más barato aún que comprar 6 tiras.

Habitualmente, las respuestas a este problema señalando lo que le conviene comprar a Antonio, son tres: • dos frascos • seis tiras • un frasco y dos tiras Esta última es la mejor respuesta porque corresponde a la compra más barata y a la cantidad exacta de pastillas. Sin embargo, siempre hay alguien que argumenta en favor de una de las otras dos: "es mejor que le sobren pastillas porque así tiene para la próxima vez que se enferme", "en frasco, los medicamentos se conservan mejor", "en una compra de remedios no se alcanza a sacar este tipo de cuentas", "¿qué significa preguntar qué le conviene comprar a Antonio?"

La PREGUNTA es otro componente de un problema. Es la que señala el tipo de respuesta esperada y orienta, en consecuencia, los procedimientos de resolución del problema. Responder la pregunta equivale a decir que el problema está resuelto. Si la pregunta es ambigua, es probable que se obtengan diferentes respuestas, según como hayan i nterpretado la pregunta quienes resolvieron el problema.

3/4. El cerco del terrreno Los grupos comentan el problema e indican la respuesta obtenida. El procedimiento habitual para resolver este problema es calcular el perímetro del terreno y dividir este resultado por 3. Así se obtiene el número de estacas necesarias. El perímetro es: 2 (80 + 40) = 240 metros El número de estacas se calcula con la división: 240: 3 = 80 estacas Como don Aurelio tenía 100, sobran 20 estacas. Esta sería la respuesta al problema. Pero, ¿cuántas estacas se necesitan para cada lado del terreno? La respuesta a esta pregunta se obtiene calculando.40:3= 80: 3 = y ¿Qué significa, para la distribución de las estacas, que «la división no sea exacta»? Si las medidas de los lados fueran múltiplos de 3, el resto sería cero; esto significaría que en cada esquina del terreno quedaría ubicada una estaca. Pero, en el problema en cuestión, que al dividir 80 por 3 el cociente sea 26 y el resto sea 2, significa, en l a práctica, que si la primera estaca

se ubica a 3 metros de la esquina, la estaca número 26 se ubicará en el metro 78 y faltarán 2 metros para llegar a la esquina siguiente. Para resolver el problema práctico de cercar un terreno es necesario colocar una estaca en cada una de las esquinas; por consiguiente, decir que se necesitan 80 estacas noes una respuesta que solucione el problema, si se respeta la condición de colocar las estacas cada 3 metros. Sin embargo, el problema de don Aurelio puede tener una o varias soluciones que no respetan totalmente la condición impuesta. Por ejemplo, la siguiente: En esta solución, entre cuatro pares de estacas hay menos de tres metros.

Al resolver un problema es necesario confrontar la solución que se obtiene por la aplicación de un MODELO MATEMÁTICO, con la solución real del problema. Si, por ejemplo, se trata de repartir 15 globos entre 2 amigos, de modo que ambos reciban la misma cantidad y se usa el modelo matemático de la división con decimales: 15 : 2 = 7,5 se obtiene una respuesta que es correcta desde el punto de vista del modelo empleado, pero que no resuelve el problema; no tiene sentido decir que cada uno recibe 7,5 globos. El modelo matemático

adecuado a este reparto equitativo de globos es el de la división euclídea o división con resto. En la elección del modelo matemático adecuado, las rel aciones entre los datos juegan un rol decisivo. Si en el anterior reparto de globos los amigos fueran 3 y no 2, no se presentaría discrepancia entre la solución matemática y la solución real del problema. En forma similar, si el terreno de don Aurelio midiera 60 metros de largo por 30 metros de ancho, el número de estacas resulta del perímetro dividido por 3 correspondería a una solución real del problema.

En la solución que se presenta a continuación, se opta por una distribución más simétrica. Sólo las estacas de las esquinas distan menos de tres metros de las contiguas.

Para esto se hacen los cálculos siguientes: • 525 x 4 = 2100, lo que debe pagarse por llevar los cinco paquetes • 2100: 5 = $420, el precio real de un paquete, en el supermercado En el almacén del frente, el precio del paquete antes de hacer la rebaja de 20%, era igual a $525. Para calcular el precio rebajado se pueden hacer los cálculos siguientes: • determinar primero el 10% de 525, que es igual a 52,5 • luego, el 20 % es igual a 52,5 x 2 = 105 pesos de rebaja • En consecuencia, el precio rebajado es: 525 - 105 = 420 pesos

3/5. La propaganda para el detergente Los grupos ponen en común los resultados obtenidos y l os procedimientos utilizados. La forma más frecuente de enfrentar este problema es hacer primero el cálculo de cuánto vale un paquete, según la propaganda: pague 4 y lleve 5.

Después de estos cálculos Alfonsina sabe que puede comprar el detergente en el supermercado o en el almacén porque va a pagar lo mismo por cada paquete, aunque en el supermercado está obligada a comprar 5 paquetes. ¿Significa, entonces, que no hay diferencia entre ambas propagandas? ¿es lo mismo decir PAGUE 4 Y LLEVE 5 que REBAJADO EN UN 20%?

El siguiente cuadro puede ayudar a responder estas preguntas:

Si se pagan 80 paquetes, se llevan 100; significa que se paga el 80% o, que se ha hecho una rebaja: de cada100 paquetes que se llevan, 20 no se pagan, es un 20% de rebaja respecto al precio de los 100 paquetes. Este procedimiento está apoyado en el concepto de porcentaje.

La resolución de problemas es un excelente medio para lograr la comprensión del sentido de los conceptos matemáticos, por ejemplo, los conceptos de adición, sustracción, multiplicación, división, etc. Su aprendizaje no consiste en la memorización de una definición, sino que pasa por un proceso de construcción personal. En este proceso juega un rol importante la CONTEXTUALIZACION DEL CONCEPTO en problemas que sea interesante resolver. El profesor es quien define la intención didáctica del trabajo con problemas: para aplicar operatoria ya aprendida, que es lo más habitual, para conceptualizar, para desarrollar habilidades especificas, etc.

Antes de finalizar el taller en cada grupo eligen el o los problemas que les parecieron más interesantes y también los que les interesaron menos. Comentan las opiniones que apoyan esta selección y, si es posible, establecen cuáles son los puntos de acuerdo sobre qué hace que un problema resulte interesante.

El mayor o menor interés que genera un problema no depende sólo del tema al que se refiere. Los temas pueden ser no tan interesantes y puede diseñarse un problema atractivo por las relaciones entre los datos, o por la pregunta, o bien por las dificultades para generar una estrategia de solución, o por el sentido que el problema tiene para quien l o resuelve. La diversidad de procedimientos para enfrentar un problema y las diferentes maneras para llegar a una respuesta dependen de cada sujeto. En los momentos de intercambio de estos procedimientos cobra gran relevancia el clima de confianza que debe generarse al interior del taller, el que permite a cada participante plantear sus opiniones, sus dudas, sus desacuerdos, reconocer sus errores y además se produce una valoración del trabajo cooperativo, de la necesidad de tiempo para poder pensar y organizar un camino de solución al problema.

Actividad 5 Definamos la tarea Cada profesor elige uno de los problemas analizados en el Taller y se lo propone a una persona adulta, dejándole el tiempo necesario para que lo resuelva y pidiéndole luego que explique cómo lo hizo. Registra los procedimientos utilizados y sus comentarios para llevarlos al siguiente Taller.

Taller 3/

Este Taller tiene como propósito, conducir a los participantes a analizar problemas atendiendo al nivel de significación de la situación para el alumno, al propósito u objetivo del docente y a la formulación del problema, de tal manera que, habiéndose apropiado de ciertos criterios de análisis, logren adaptar e inventar problemas adecuados para el grupo de alumnos que cada profesor tiene su cargo.

Actividad 1 / Comentemos la tarea Cada profesor lee el informe escrito que ha preparado. Luego, comentan las estrategias y procedimientos que emplearon los adultos consultados para buscar solución a los problemas elegidos y las respuestas que dieron, destacando las coincidencias y discrepancias. Concluyen respecto a si las situaciones seleccionadas fueron efectivamente problemas para las personas consultadas.

Actividad 2 / Analicemos problemas desde distintas perspectivas 2.1. Los problemas y la vida de los alumnos Cada profesor participante lee los siguientes problemas: Los huesillos Doña Rosalía preparó huesillos de postre. Repartió 3 por plato. Sirvió 8 platos y le sobraron 3 huesillos. ¿Cuántos huesillos preparó doña Rosalía?

Las blusas Catalina tiene tres sobrinas. A cada una de ellas le hizo dos blusas para el colegio. Para cada blusa necesita siete botones. ¿Cuántos botones necesita Catalina?

alumnos u observada habitualmente en su medio? Las láminas Diego colecciona láminas para un álbum. Tiene un montón que no alcanzan a ser 50. Si las reparte en partes iguales entre 6 amigos, le sobran 3 y si las reparte entre 7 amigos, le sobran 4. ¿Cuántas láminas tiene Diego?

Problema

sí

Los huesillos Las blusas Las láminas Andrea y Tomás

Andrea y Tomás Los profesores se organizan en grupos para: Andrea se pesa en el almacén de la esquina. La pesa marca 46 kg. En ese momento llega Tomás y se sube junto a Andrea a la pesa, ésta marca ahora 104 kg. ¿Cuántos kg. más pesa Tomás que Andrea?

En relación a cada uno de los problemas leídos, cada participante del Taller, contesta la pregunta que se enuncia a continuación y marca con una X, su respuesta en la columna Sí o No de la tabla. La situación que se presenta en el problema, ¿corresponde a una situación que puede haber sido vivida por mis

compartir las respuestas de la tabla y verificar las coincidencias y discrepancias, dialogar acerca de la conveniencia de que las situaciones presentes en los problemas respondan, en la mayoría de los casos, a situaciones del contexto cultural de los alumnos y hacer una lista de actividades de niños y adultos de la comunidad que pudiesen ser consideradas en la formulación de problemas. Cada profesor señala algunos temas queél seleccionaría para redactar problemas porque considera responden a las vivencias de sus alumnos.

El conductor del Taller hace presente al grupo que las situaciones que consideran las experiencias de vida de los alumnos facilitan su aprendizaje, ya que les permiten rela cionar acontecimientos de su vida diaria con los contenidos que la es^,uela l es ofrece y de esta manera lograr una mayor comprensión del concepto, relación o procedimiento implícito en la situación.

El docente que conoce el medio en que viven sus alumnos, su cultura, sus intereses, está en óptimas condiciones para seleccionar situaciones que l e permitan generar los aprendizajes que se propone desarrollar en los niños. Lo anterior no descarta l a posibilidad de presentar situaciones correspondientes a contextos más amplios, que el niño puede comprender, ya sea porque son hechos de nivel nacional, que puede conocer a través de los medios de comunicación o porque constituyen temas de estudio de otras asignaturas. Lo importante es asegurarse de que la situación facilita al alumno el logro del propósito para el cual el profesor la seleccionó.

2,/2. Los problemas y l os propósitos docentes Cada uno de los participantes escribe, en una hoja, una respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los propósitos que quiero lograr cuando les planteo problemas a mis alumnos? Comparten sus respuestas y hacen un listado general de propósitos docentes para la resolución de problemas. En grupos, resuelven los siguientes problemas; toman nota de los procedimientos que utilizaron para resolverlos y de sus respuestas. Recogiendo duraznos Ocho niños salen a recoger duraznos. Cada uno recoge tres duraznos. ¿Cuántos recogieron entre todos?

El reparto de duraznos Entre 8 niños recogieron 21 duraznos y los reparten de manera que unos reciben 3 y otros 2, porque la cantidad de duraznos no alcanza para darles 3 a cada uno. ¿Cuántos niños recibieron sólo 2 y cuántos recibieron 3 duraznos?

dientes, con el fin de facilitar el análisis. Don Raimundo Este año, don Raimundo ha decidido repartir, en partes iguales, toda la producción de duraznos entre sus tres hijos. El piensa que así cada uno se responzabi¡izará de la venta Calcula que aproximadamente deberán repartirse unas 4 700 cajas. ¿Cuántas cajas le corresponden a cada hijo?

Vendiendo duraznos Pedro vendió 30 cajas de. duraznos a $1500 cada una. Angélica dice que ella vendió el doble de cajas de duraznos que Pedro y que obtuvo la misma cantidad de dinero por la venta. ¿A qué precio vendió Angélica la caja de duraznos? Trata de contestar sin hacer cálculos escritos.

Los grupos se reunen para compartir los procedimientos de resolución y las respuestas. Es importante que una persona vaya anotando en un pizarrón o papelógrafo los procedimientos de resolución empleados en cada problema y las respuestas correspon-

Es muy probable que frente al problema: Recogiendo duraznos, hayan empleado la multiplicación 8 x 3 = 24 para dar solución al problema y que por lo tanto la respuesta sea: entre los ocho niños o entre todos, recogieron 24 duraznos. Con seguridad, para ninguno de los participantes del Taller éste fue un problema, porque todos reconocen esta situación como de tipo multiplicativo, pero sí puede serlo, y muy importante, para los alumnos que no conocen o recién empiezan a conocer la operación de multiplicación. Los niños emplearán otros procedimientos de resolución, como por ejemplo: dibujar los ochos niños, frente a cada uno dibujar tres duraznos y luego contar los duraznos, o bien, tomar fichas para representar duraznos, hacer ocho montoncitos de tres fichas y luego contarlas, etc.

Este problema podría permitir a los alumnos construir un nuevo concepto o idea matemática, por esto debería estar presente al inicio del proceso enseñanza-aprendizaje de un nuevo tema, de un nuevo contenído.

Frente al problema: El reparto de duraznos; los profesores podrán haber empleado procedimientos de solución como

los siguientes: • Son 8 niños y hay 21 duraznos. • Como8x2= 16 y 21-16=5 quedan 5 duraznos, después de haber dado 2 a cada uno de los 8 niños. • Por lo tanto a 5 niños se les puede dar 3 duraznos. • •

•

Son 8 niños y hay 21 duraznos. Como8x3=24 y 24-21 =3 faltan 3 duraznos para poder dar 3 a cada uno de los 8 niños. Por lo tanto a 3 niños se debe dar 2 duraznos.

sólo pudo darle a 7 niños y el problema dice que son 8. Si las reparte de a 2, verá que después de haber dado 2 acada uno de los 8 niños le sobran 5 fichas. A partir de estas constataciones es posible que redistribuya las fichas y llegue a la solución.

Conviene hacer presente que este tipo de problema podría permitir a los niños empezar a elaborar relaciones matemáticas interesantes, proceso importante en la enseñanza de la matemática en el nivel básico, aún cuando ellos empleen procedimientos primitivos de resolución.

Ambos procedimientos arriban a la respuesta: 5 niños reciben 3 duraznos y 3 niños, 2 duraznos. El problema El reparto de duraznoz seguramente demandó un pequeño esfuerzo a los participantes del Taller, dado que pusieron en juego un conjunto de relaciones y tuvieron que coordinar más datos que en la situación anterior. Este problema podrá ser resuelto por los niños con procedimientos que irán desde el tanteo sistemático hasta procedimientos similares a los empleados por los profesores. Es así, como un niño que toma 21 fichas para representar los duraznos y las reparte en grupos de a 3, constata que

Para dar solución al problema de Don Raimundo, los profesores pueden haber hecho un ejercicio de división: 4 700: 3 =1 566 y dirán que cada hijo recibe 1 566 cajas y sobran 2. Como se pedía decir el número de cajas que recibiría cada hijo,se espera que la respuesta no haya sido l a de la calculadora: 1 566,6666667, lo que nos llevaría a decir que cada hijo recibió aproximadamente 1 567 cajas. De todas maneras, es probable que este problema no haya sido realmente problema para ningún participante del Taller, pero sí será un problema para los niños que aún no conocen o no dominan alguna de las formas de resolver ejercicios de división y para ellos puede ser interesante. Los alumnos podrán pensar así:

• •

• • •

Si de las 4 700 cajas se da 1 000 a cada hijo se habrá repartido 3 000 cajas y quedan 1 700 por repartir. De las 1700 cajas que quedan, se puede dar 500 a cada hijo y se habrá repartido 1 500 cajas más, quedando sólo 200. De las 200 que quedan, se puede dar 60 a cada hijo y se habrá repartido 180 cajas más, quedando sólo 20. De las 20 que quedan se puede dar 6 a cada hijo y se habrá repartido 18 cajas más, quedando sólo 2. Luego, cada hijo recibe 1 000 + 500 + 60 + 6, o sea 1 566 cajas y sobran 2.

Este tipo de problema podría facilitar, a los alumnos que aún no conocen una forma de resolver ejercicios de problemas de operatoria, el proceso de construcción de un algoritmo, y en el caso de los niños que ya han aprendido el procedimiento tradicional, podría apoyar la comprensión de procedimientos conocidos.

Los profesores, luego de leer el problema: Vendiendo duraznos, pueden haber contestado que Angélica tiene que haber vendido a $750 la caja de duraznos, porque si vendió el doble de cajas y recibió la misma cantidad de dinero, debe haber vendido los duraznos a la mitad de precio que Pedro.

Dar respuesta a este problema demanda a todos, al menos una lectura cuidadosa. Además, a los alumnos de básica los lleva a hacer un esfuerzo para establecer una relación de igualdad entre dos pares de factores: 30 x 1.500 y 60 x 750. Si uno de los factores se duplica, mantener la igualdad exige que el otro se divida por 2; es decir, se considere la mitad. Lo más probable es que la mayoría de los niños haga por escrito el procedimiento de calcular el dinero obtenido por Pedro: 30 x 1 500 y luego divida este resultado por 60, para decir que Angélica vendió a $750 la caja de duraznos.

Este tipo de problema podría llevar a los alumnos a efectuar una aplicación de la operatoria en forma comprensiva. Es importante que el profesor plantee este tipo de problemas a sus alumnos, para que ellos puedan aplicar lo aprendido y demostrar el dominio que tienen de cada operación, así como de las relaciones entre éstas. Al presentar un problema a los alumnos el profesor puede perseguir propósitos distintos; que sus alumnos construyan o generen un nuevo concepto o idea matemática, que elaboren una relación matemática, que construyan un algoritmo de resolución de ejercicios de operatoria, o que evidencien sus niveles de logro en algunos aprendizajes matemáticos. Es así como los problemas cobran sentido durante todo el proceso enseñanza aprendizaje de un tema matemático y no pueden quedar reservados sólo para la etapa final con el único propósito de aplicación de lo aprendido o con fines de evaluación.

Los profesores leen el listado general de propósitos docentes para la resolución de problemas que habían elaborado previamente, lo analizan y completan. Comentan aquéllos que les parecen más importantes de incorporar en la planificación de sus clases.

Actividad 3/ Adaptemos e inventemos problemas 3/1. Análisis y adaptación de problemas El conductor hace presente al grupo que a continuación analizarán un conjunto de problemas que han sido formulados a partir de una situación común, las ofertas de un almacén. Los profesores se organizan en grupos y se reparten los problemas, de manera que cada grupo analice al menos dos de éstos. Los resuelven y establecen diferencias en cuanto a la cantidad de información que entregan y a la forma de presentación de la misma.

A. Don Luis Don Luis fue al almacén "La pulga saltarina", y compró un bidón de 10 litros para la parafina. El recibió de vuelto $ 410. ¿Con cuánto pagó don Luis?

B. Las ofertas La señora Juana fue al almacén y compró: Compras

Precio por unidad

Total

2 kilos de azúcar 1 paquete de manteca 2 rollos de papel higiénico 1 tarro de jurel Total Completa la tabla y averigua cuánto gastó doña Juana.

C. El té de Luisa Luisa supo que en «La pulga saltarina» el té está en oferta, pero que lo venden sólo en cajas de 100 bolsitas. Luisa cree que le conviene porque le va a durar más de 15 días. ¿Cuántas personas toman té en la casa de Luisa?

D.Las compras de Isabel ¿Qué productos en oferta podría comprar Isabel en "La pulga saltarina", con los $1500 que tiene, si quiere que le den de vuelto al menos los $100 que necesita para un pasaje de micro?

E. Las cuentas de Armando Armando calculó que en las compras de almacén no puede gastar más de $10 000 en la quincena. Hoy pasó a «La pulga saltarina y compró 1 kilo de tallarines y 114 kilo de vienesas. ¿Cuánto le dieron de vuelto, si pagó con un billete de $ 5 000?

Comentan las diferencias encontradas en la formulaciรณn de estos problemas. Entre todos los participantes, completan con las palabras Sรญ o No, la siguiente tabla que copian en el pizarrรณn o en un papelรณgrafo.

El enunciado...

...tiene sรณlo los datos necesarios. ...tiene datos innecesarios ... no tiene suficiente i nformaciรณn.

Comparten las respuestas dadas y las relacionan con los propรณsitos que persigue el docente cuando presenta problemas a sus alumnos.

Es conveniente presentar enunciados de problemas que contengan sรณlo la informaciรณn estrictamente necesaria y cuya carga verbal sea la indispensable para que el alumno pueda imaginar bien la situaciรณn, cuando el propรณsito es introducir un concepto, un algoritmo o llevar al alumno a visualizar una nueva relaciรณn. Por otra parte, los enunciados de problemas que contienen datos no necesarios para la elaboraciรณn de la respuesta, pero sรญ pertinentes a la situaciรณn, son mรกs adecuados cuando el propรณsito que persigue el profesor es que los alumnos seleccionen datos y evidencien una buena comprensiรณn de la situaciรณn y de la pregunta. Finalmente, aquellos enunciados de problemas que no tienen informaciรณn suficiente para dar respuesta, sirven a propรณsitos de desarrollo de habilidades comprensivas, evitan la mecanizaciรณn y cuando los alumnos responden justificando la imposibilidad de dar respuesta revelan altos niveles de logro.

Cada grupo elige uno de los problemas analizados, para adaptarlo a un propรณsito distinto del que se visualiza en la formulaciรณn dada, pudiendo introducir adaptaciones en los datos, en la forma de presentaciรณn, en la pregunta, etc.

Comparten los problemas adaptados, analizan y justifican los cambios introducidos.

exploración de soluciones y desarrollar la capacidad de señalar la información que permitiría dar una respuesta numérica.

Observan las respuestas dadas a los problemas A, B, C, D, E y F y los clasifican en aquéllos que: • • •

tienen una respuesta numérica única tienen respuestas numéricas múltiples no tienen respuesta numérica

Reflexionan acerca de cuándo es adecuado presentar a los alumnos cada una de estas categorías de problemas.

Es necesario utilizar problemas de respuesta numérica única, cuando los alumnos se están iniciando en un aprendizaje, reservar aquéllos de respuesta númerica múltiple para presentarlos a los alumnos cuando ellos manejan los conceptos o relaciones implicadas, lo que les permite explorar soluciones. Finalmente aquellos problemas, para los cuales no es posible dar una respuesta numérica, parece conveniente presentarlos ocasionalmente para llevar a los niños a enfrentar desafíos diferentes, evitar la mecanización, afianzar la comprensión de las situaciones y preguntas previo a la

Así, frente al problema: «El té de Luisa», una buena respuesta es decir que no es posible señalar el número de personas que toman té en la casa de Luisa, porque falta información relativa al número de veces que toman té en el día cada una de las personas, rendimiento que le dan a cada bolsita, uso del té para otras personas, por ejemplo visitas, etc. Es posible, dándose algunos supuestos, intentar una aproximación de respuesta numérica; por ejemplo: en la casa de Luisa hay como mínimo 3 personas que toman té, si se supone que toman té dos veces al día y que cada persona ocupa una bolsita cada vez, 3 personas en 15 días gastarían 90 bolsitas de té y como la caja trae 100 bolsas podría cumplirse que dure más de 15 días como piensa Luisa. O bien, estimar que una bolsita de té es suficiente para que una persona tome dos veces al día, yen ese caso pensar que en la casa de Luisa pueden tomar té 6 personas. Cada participante elige uno de los problemas presentados en el Taller, para introducirle las modificaciones que le permitan aplicarlo a sus alumnos, teniendo en consideración sus actuales necesidades de aprendizaje matemático. Estas adaptaciones podrán hacer variar el propósito y el grado de

dificultad del proceso de resolución. Comparten los problemas adaptados, analizan y justifican los cambios introducidos. 3/2. Creando problemas Cada profesor inventa un problema que considere adecuado para su curso, lo escribe en una hoja de papel y l o intercambia con otro participante. Leen algunos de los problemas creados, señalan el propósito docente más relevante y fundamentan la elección de la temática de cada uno de éstos. Analizan los problemas presentados, introducen modificaciones si es necesario.

Actividad 4/ Definamos la tarea Los profesores se comprometen a aplicar a los alumnos de su curso el problema: «Las blusas, y uno de los problemas adaptados o inventados por ellos, los que serán analizados en el próximo Taller. Acuerdan hacer algunas observaciones durante el trabajo de problemas con los alumnos, respecto a: • • •

l as reacciones de los alumnos al presentarles el problema las formas de resolución que emplean los comentarios que hacen durante el proceso de resolución

Elaboran un informe escrito dando cuenta de las reacciones, comentarios y procedimientos de resolución empleados por los alumnos, frente a los problemas planteados.

Taller 4/

A través del análisis de los procedimientos utilizados por alumnos para resolver situaciones problemáticas, los participantes se interesan por averiguar y, por lo tanto entender, como piensan los niños cuando plantean sus propios procedimientos de solución, sean éstos conducentes o no a una respuesta correcta. Además, comprenden y valoran los distintos procedimientos de solución, considerando este proceso como una estrategia que entrega información para conducir el proceso enseñanza- aprendizaje.

Actividad 1 / Comentemos la tarea Los participantes comentan su experiencia, relacionada con la aplicación de los problemas creados. Discuten las temáticas seleccionadas, las reacciones de los alumnos y los procedimientos empleados

Actividad 2/ Más de un camino para llegar a una respuesta

Los participantes, en forma colectíva • • •

I nforman en qué cursos se trabajó el problema. Analizan los caminos de solución que utilizaron los alumnos, en cada uno de los cursos en que se aplicó. Distinguen distintas formas de abordar el problema con dibujos, esquemas, números, entre otras.

Los participantes, en grupos revisan los procedimientos que a continuación se presentan, obtenidos en una aplicación individual del problema.

2/1. El problemas de las blusas Catalina tiene 3 sobrinas. A cada una de ellas le hizo 2 blusas para el colegio. Para cada blusa necesita 7 botones.¿Cuántos botones necesita Catalina?

(') En este Taller, el comentario de la tarea se divide en dos partes, la primera se realiza en la Actividad 1, correspondiendo a la creación de problemas. La segunda parte, la aplicación del problema de "Las Blusas", se desarrolla en la Actividad 2.

Margarita, de segundo año básico, solicitó ayuda para l eer el problema. Luego de escucharlo, dijo: «Latía Catalina tiene tres sobrinas, a la vez que hablaba iba dibujándolas; l uego trató de leer nuevamente el problema, para enseguida explicar y dibujar al mismo tiempo: «Le hizo dos blusas l a cada una». Margarita volvió a mirar los datos del problema y dijo: «La tía Catalina necesita siete botones para cada blusa». Empezóa dibujar los botones en cada blusa diciendo: «uno, dos, tres, ..... . siete». Cuando terminó de dibujar los botones, los contó todos de una vez y dijo: «Necesita cuarenta y dos botones.

Constanza, de tercer año, leyó el problema y explicó: «Voy a dibujar primero los botones que necesita para cada

una de las blusas , trazó tres pares de líneas, es decir seis líneas, y en cada una dibujó siete botones. Enseguida dijo: «Necesita catorce botones para las dos blusas y como son tres sobrinas voy a sumar catorce más catorce más catorce», escribió el ejercicio. Finalmente escribió su repuesta.

Julia, de tercer año, lee el problema y explica: «Voy a dibujar unos palitos. Casi al borde de la hoja, dibuja por cada botón un palote, diciendo: auno,dos tres, cuatro ...... ..catorce», vuelve a repetir el conteo y dice: «aquí hay parados blusas; repite lo mismo dos veces más, cuenta el número de palotes que hay en cada conjunto y comenta: apara cada dos blusas necesita catorce botones y como son tres sobrinas, la tía ... _, piensa un poco, mira y dice: «voy a

sumar catorce más catorce más catorce, ¿si? ¿no es cierto?». Al contestársele afirmativamente, escribió el ejercicio y su respuesta.

•

Comparan los procedimientos de estos alumnos, reflejados en los relatos leídos, con los utilizados por sus alumnos.

2/2. El proaiema de los transportes

Quince amigos organizan un paseo.Disponen de 5 bicicletas y 2 coches tirados por caballos. Los coches tienen una capacidad de 3 personas, cada uno.¿Cuántas personas se deben ir a pie?

Los participantes, en grupos:

Rosa, de cuarto año, lee el problema y comenta: Es fácil, para cada blusa necesita siete botones y Catalina hace dos blusas, así que voy a sumar siete más siete», escribe el ejercicio y una respuesta parcial. Luego vuelve a explicar: «Como las sobrinas son tres, ahora sumo catorce más catorce más catorce». Rosa realiza el ejercicio y escribe, por últi mo, su respuesta.

Leen el problema. Revisan los trabajos que a continuación se presentan, resultantes de una aplicación individual del problema. En esta revisión se sugiere observar, entre otros aspectos, el papel que juega el dibujo y el orden en que realizan los ejercicios. Escriben un pequeño relato del razonamiento, que piensan, siguió cada uno de los niños, para desarrollar el problema. Plantean, por escrito, las preguntas o dudas que pueden haber manifestado los niños, cuando estaban resolviendo el problema.

•

Ponen en común, los análisis y conclusiones.

2/3

El problema de los duraznos

Entre 8 niños recogieron 21 duraznos y los reparten de manera que unos tendrán 3 y otros 2, porque la cantidad de duraznos no alcanza para darles 3 a cada uno. ¿Cuántos niños recibieron sólo 2duraznosycuántos recibieron 3?

Los participantes, en grupos • •

• •

Leen el problema. Imaginan y escriben procedimientos de solución que podrían utilizar los alumnos de diferentes cursos, para abordar el problema. I maginan y escriben posibles errores en que pueden i ncurrir los alumnos, de los distintos cursos. Revisan y comentan los procedimientos para resolver el problema, que se presentan a continuación.

Javiera, de segundo año básico, dibujó primero los ocho niños, luego comenzó a repartir los duraznos a los niños, dibujándole uno a cada uno. Al repartir contaba: "uno,dos,tres,cuatro,etc «.Cuando llegó al número veintiuno trazó una raya divisoria y dijo:- Estos (mostrando los cinco niños dibujados) recibieron tres y éstos (mostrando el resto de los niños dibujados) dos» Se le pide, por último, que escriba la respuesta.

Hugo, de tercer año, leyó el problema, escribió primero su esquema de resolución y dijo: «tengo que dividir veintiuno por tres». Hizo el ejercicio y explicó: « a todos los niños les tocaron tres duraznos . Se le pidió que leyera el problema de nuevo, Hugo miró y escribió su respuesta.»

Marcelo, también de segundo año básico, dibujó los veintiún duraznos, luego los agrupó todos de a tres, enseguida contó los grupos y dijo: a Ah , no me alcanza para los ocho niños, me alcanza para siete». Pensó un poco, enseguida tomó su goma y borró algunas de las agrupaciones volvió a contar y a agrupar, para después decir la respuesta correcta y escribirla.

Caria, de cuarto año, necesitó inicialmente de un apoyo gráfico, el cual finalmente borró, para luego establecer relaciones entre los grupos formados y la correspondiente multiplicación.

Actividad 3/ Definamos la tarea La invención de problemas, por parte de los alumnos, es una actividad que nos brinda excelentes oportunidades para conocerlos, en cuanto a sus intereses, sus conflictos, sus relaciones entre pares, constituyéndose además, en una actividad muy significativa para ellos.

•

I nstrucciones para los profesores: Proponga a sus alumnos inventar problemas; la organización del curso puede ser en parejas o en grupos. No les sugiera temas, sólo motívelos para que se sientan capaces de hacer el trabajo. Una vez terminada la experiencia, haga un resumen de l as temáticas abordadas por los alumnos, informando sobre la coherencia de los problemas y el tipo de preguntas formuladas. Seleccione algunos de los problemas, para llevarlos al próximo Taller.

Taller 5/

Con este Taller se pretende estimular la reflexi贸n de los profesores, tanto sobre lo que hacen como sobre lo que podr铆an hacer, cuando plantean problemas a sus alumnos. Entre los quehaceres reales y posibles, se trata de que identifiquen aqu茅llos que pueden ayudar a los alumnos en el aprendizaje de la resoluci贸n de problemas.

Actividad 1/ Comentemos la tarea

En la clase de Mari Carmen M.C. dice: « ¡A ver niños, hoy vamos a resolver un problema!».

Los profesores muestran los problemas inventados por sus alumnos.

M.C. dicta el problema. Cuando los niños han terminado de resolverlo, M.C. pregunta: «¿Cuál fue la respuesta?»

Comentan qué expectativas tenían, antes de proponer esta actividad a sus alumnos y las contrastan con los resultados encontrados.

Los niños dan diversas respuestas y M.C. las anota en el pizarrón, sin indicar cuál es la correcta. M.C. dice: «Hay tres respuestas diferentes: 25, 38 y 42. Juanito, a ti te salió 25, pasa al pizarrón y explícanos cómo lo hiciste».

Analizan las temáticas escogidas por sus alumnos para inventar problemas, la coherencia de las situaciones planteadas, el interés de las preguntas formuladas. I ntercambian algunos de los problemas planteados en un curso para proponerlos a los alumnos de otro curso.

En la clase de Ramón R. dice: «Ya que estamos hablando de enfermedades, les voy a poner un problema de remedios. Anita, ¿qué te recetó el doctor cuando fuiste al consultorio?» Varios niños cuentan qué remedios les dieron. R. s e interesa por la frecuencia con que l os tomaron.

Actividad 2/ Las etapas de la resolución de un problema

R. plantea un problema en el que, a partir de la receta que dio el médico, hay que determinar cuántas pastillas tiene que tomar el paciente y a qué horas debe tomarlas. Los alumnos resuelven el problema, trabajando por grupos. Mientras, R. se pasea entre los grupos y se fija en lo que están

En grupos, los profesores leen los siguientes registros de clases.

haciendo. Cuando terminan, R. dice: "Ahora guarden sus cuadernos porque nos toca musicá .

En la clase de Julia J. dice: «Abran su libro en la pág. 59 y lean el problema N4 4». Después de un rato, J. pregunta: «¿Quién puede explicar de qué se trata este problema?» Varios alumnos intervienen. J. ayuda a organizar la información: «A ver, qué es lo que sabemos?... ¿Y qué nos preguntan?... » Anota en el pizarrón los datos y la pregunta. J. dice: «Muy bien, ahora que está claro de qué se trata el problema, ¿pueden imaginarse más o menos cuánto va a ser el resultado? ¿Cuánto crees tú, Manuelito?...» Va anotando las estimaciones en un borde del pizarrón. J. dice: Bueno, ahora pónganse a trabajar. Pueden hacerlo solos o en grupos, como Uds. quieran. Los niños resuelven el problema. Cuando han terminado, J. pregunta qué resultado obtuvieron. Una vez identicada la respuesta correcta, J. pregunta: «¿Quién estuvo más cerca del resultado, en su estimación?». Lo verifican, mirando las anotaciones del borde del pizarrón.

En cada grupo los profesores comentan lo que hicieron Mari Carmen, Ramón y Julia y lo comparan con lo que ellos hacen cuando plantean problemas a sus alumnos. En grupos, los profesores leen el siguiente texto.

Un esquema para orientar el trabajo en resolución de problemas Aprender a resolver problemas no significa sólo asimilar técnicas para aplicarlas en determinados casos. Significa también atreverse a buscar una respuesta cuando no se sabe cómo llegar a ella, probar diferentes caminos y descartar los que no acercan a la solución, compartir las propias ideas y aceptar sugerencias de los compañeros o del profesor, reconocer sus dificultades y pedir ayuda para superarlas, explicar los procedimientos seguidos y fundamentar las respuestas encontradas.

Se aprende a resolver problemas, resolviendo problemas en clase. Si en una clase no se alcanza a completar el trabajo con un problema, es necesario retomarlo en la próxima clase.

Etapa 11 Cuando se plantea el problema Qué problemas elaboramos o elegimos, entre los propuestos por los alumnos: un tema interesante, una pregunta relevante, un contenido matemático adecuado. Cómo los presentamos: en relación con otras asignaturas, con participación de los alumnos, en forma oral, escrita o con dibujos. Cómo averiguamos si los alumnos han comprendido un

problema: dificultades de comprensión que surgen y cómo enfrentarlas. Qué indicaciones damos para orientara los alumnos en la resolución de un problema: pocas, las mínimas suficientes para que empiecen a trabajar.

•

En síntesis: Busquemos problemas interesantes para los alumnos. Conversemos con ellos hasta estar seguros de que comprenden el problema planteado. No les digamos lo que tienen que hacer para resolverlos; dejémoslos buscar, explorar, decidir por sí mismos lo que harán.

En síntesis: Respetemos el trabajo de los alumnos, dejémoslos tranquilos. Permitámosles conversar sobre lo que hacen y elegir sus procedimientos y apoyos. Permanezcamos atentos a lo que está sucediendo en la clase, listos para intervenir cuando nos parezca necesario.

Etapa 21 Mientras los alumnos trabajan •

•

Qué procuramos: que los alumnos se sientan tranquilos, con tiempo suficiente para pensar y para poner en práctica las ideas que se les vayan ocurriendo. Qué permitimos: que los niños se comuniquen mientras trabajan, que intercambien opiniones, que conversen sobre cómo resolver el problema. También, que cada uno use el procedimiento que más le acomode, apoyándose en materiales concretos, dibujos, esquemas u operaciones con números.

Qué hacemos: desplazarnos por la sala, fijarnos en los procedimientos de los alumnos, atender a sus preguntas, permanecer en estado de alerta. Cuándo intervenimos: cuando los vemos distraídos o haciendo otra cosa, cuando los notamos demasiado abrumados. En este último caso, les damos alguna pista para que puedan seguirbuscando, pero no les decimos directamente cómo llegar a la solución.

Etapa 31 Cuando el problema ya está resuelto

•

Qué respuestas dieron los alumnos: pedimos que digan su respuesta; registramos todas las que nos dan en el pizarrón, sin decir cuál es la correcta. Qué procedimientos usaron: pedimos a algunos alumnos que expliquen cómo procedieron para llegar a su respuesta, incluyendo los tanteos iniciales; ponemos en

evidencia eventuales errores, explicándolos sin desvalorizar el trabajo de los alumnos que los cometieron. Cuál es la respuesta correcta y el procedimiento más eficiente: identificamos la respuesta correcta y comparamos los procedimientos que permitieron obtenerla para identificar el más sencillo, seguro y eficaz.

En síntesis: Pongamos en común las respuestas obtenidas y los procedimientos seguidos. Identifiquemos la respuesta correcta y el mejor procedimiento para obtenerla, dentro de las posibilidades del grupo curso.

Trabajando en grupos, los profesores identifican, en el esquema anterior, a qué etapas corresponden las actividades realizadas por Mari Carmen, Ramón y Julia. Cuando terminan el trabajo grupal, ponen en común lo que les pareció más interesante de lo realizado por estos tres profesores, refiriéndolo al texto leído.

Se recomienda ver el video: «Problemas: Comunidad y Escuela, del Programa de las 900 Escuelas.

Los profesores identifican, en el video, acciones correspondientes a cada una de las etapas descritas en el texto«Un esquema para orientar el trabajo en resolución de problemas».

Actividad 3/ Para que todos lleguen a la cumbre 3/1. Un ejercicio de imaginería El conductor del Taller pide a los profesores que se pongan cómodos, cierren los ojos y recuerden una experiencia personal en la que hayan sentido que fracasaban en algo. Les pide que se concentren en los sentimientos que experimentaron, que traten de revivirlos. Después de abrir los ojos, los profesores comparten sus vivencias.

La i ncapacidad de resolver un problema puede ser vivida por los alumnos como una experiencia de fracaso. ¿Qué podemos hacer para evitarlo?

El conductor del Taller comenta con los profesores la i mportancia de que, cuando se resuelve un problema en la clase, todos los niños logren llegara la respuesta, cualquiera sea el procedimiento que les permita encontrarla.

ventaja y el riesgo especificados. Finalmente, deciden si el recurso les parece o no adecuado para aplicarlo en sus cursos y registran su decisión en la siguiente Tabla.

3/2. Calificando recursos metodológicos En esta actividad los profesores trabajarán con dos li stas: Lista de recursos metoaológicos que contiene aquellos recursos que puedan ser utiles para procurar que todos los alumnos resuelvan los problemas planteados en clase. Lista de ventajas y riesgos correspondientes a cada uno de los recursos de la lista anterior ya que ninguno es infalible. Materiales: Dos dados para cada grupo de profesores. En grupos, cada profesor lanza los dados.

6 7

8 91011

Recursos ventajosos Recursos riesgosos Al término de la actividad, cada grupo informa a los demás cuáles sonios tres recursos que le parecieron más importantes, entre los que eligieron como ventajosos.

Lista de recursos metodológicos 2

Plantear problemas interesantes para los alumnos. También se les puede proponer un tema y pedirles que hagan preguntas y precisen qué datos necesitan para responderlas. Ejemplo: Tema: Un partido de foot-ball. Pregunta: Dinero recaudado. Datos: Entradas vendidas y sus precios:

Ayudar a la comprensión del problema planteado. Hacerles preguntas, pedirles que expliquen lo que entendieron, que identifiquen la pregunta y los datos.

Busca, en la primera lista, un recurso metodológico correspondiente al puntaje obtenido. Si el recurso ya ha sido sorteado o si le sale doble seis. vuelve a tirar los dados. En cualquier otro caso, lee la descripción del recurso y da su opinión sobre su utilidad. Luego comentan, en el grupo, la tactibilidad de este recurso para cada uno de ellos y leen, en la segunda lista, la

3 4 5

Disminuir la dificultad del problema planteado. Si los niños no se sienten capaces de resolverlo, estimularlos para que lo intenten; si la mayoría no sabe qué hacer, cambiar el problema por otro más simple, por ejemplo, con datos nunféricos más pequeños. Pedir que estimen el resultado, antes de resolver un problema. Al final, comparar la respuesta correcta con las estimaciones, destacando las mejores aproximaciones.

Darles tiempo suficiente para que todos alcancen a resolver el problema. No presionarlos, ni permitir que se genere un ambiente tenso.

Permitir que los alumnos se comuniquen, mientras resuelven el problema, tanto si están trabajando individualmente como si lo hacen en grupos. En este último caso, permitirles que se distribuyan tareas parciales.

Prestar atención a los diferentes caminos que están siguiendo los alumnos para resolver el problema. Recorrer la sala, fijarse en lo que están haciendo y, si no se entiende qué está tratando de hacer un alumno o un grupo, preguntárselo. Permitirles que recurran a cualquierprocedimiento para tratar de resolver el problema. Sugerirles que usen

material concreto, o que hagan dibujos o esquemas, pero de acuerdo a sus propias ideas. 10 Ayudar a los alumnos que están con muchas dificultades, durante la resolución. Conversar con ellos, darles ánimo y sugerirles alguna manera de superar la dificultad que enfrentan. 11 Dedicar tiempo al análisis de las respuestas obtenidas y de los procedimientos empleados por los alumnos. Pedir a algunos que expliquen cómo resolvieron el problema, para comparar los distintos procedimientos e identificar la respuesta correcta.

Lista de ventajas y riesgos Ventajas

Riesgos

Que se sientan motivados para trabajaren el problema.

Que se entusiasmen tanto hablando del tema que el problema les resulte irrelevante

Facilitarles la tarea de relacionar adecuadamente los datos.

Darles demasiada información sobre lo que tienen que hacer para resolver el problema.

Ventajas

Que los niños desarrollen su confianza en su propia capacidad deresolverproblemas.

Ventajas

Riesgos Que se acostumbren a no esforzarse para enfrentar actividades complejas, a no asumir el riesgo de equivocarse.

Que los niños desarrollen su capacidad de cálculo mental aproximado. Que dispongan de una referencia para controlar sus respuestas y corregir errores gruesos de cálculo.

Que crean que no es necesario resolver el problema, que basta con estimar el resultado.

Que los alumnos perciban que su trabajo es respetado y valorado.

Que los-que terminan primero se aburran, o les den la respuesta a los otros. Para contrarrestar este riesgo se les puede pedir a los niños que, a medida que terminen, mues-

Riesgos tren su resultado al profesor y luego realicen otra actividad.

Que a medida que algunos alumnos encuentren procedimientos adecuados para resolver el problema, éstos se difundan a través del curso, sin que sea el profesor quien los impone.

Que algunos alumnos trabajen y otros sólo copien, sin entender lo que hacen.

Aprender acerca de las diversas formas que usan los niños para resolver los problemas.

Perturbar el trabajo de los niños. Dedicarse mucho a algunos alumnos y descuidara los otros.

Que adquieran confianza en su capacidad intelectual, a partir de experiencias exitosas.

Que elijan procedirnientos laboriosos e inadecuados, con los que trabajarán mucho sin llegar

Ventajas

Riesgos a ninguna parte. Que no se esfuercen por aplicar sus nuevos conocirrlentos yse queden con procedimientos más elementales.

Evitar que loes alumnos se angustien y desarrollen una actitud negativa hacia la matemática.

Darles demasiada información privándolos de la oportunidad de pensar por sí mismos.

11 Apoyar la corrección en argumentos y demostracionesynosóloenloque dice el profesor. Mostrar quepordistintoscaminos se puede llegar a un resultadocorrecto. Mostrar que hay procedimientos más rápidos, más seguros o más sencillos que otros.

Que los niños se burlen de los que llegaron a respuestas erróneas. Que se confundan, al no entender los procedimientos desuscomparñeroas. Que se desinteresen y no se escuchen entre sí.

Actividad 4/ Y también ayudémoslos a progresar El conductor del Taller comenta con los profesores que es necesario que todos los alumnos resuelvan, de alguna manera, los problemas planteados en la clase, pero que esto no basta.

En grupos, los profesores intercambian sus ideas para responder a esta última pregunta. Luego, ponen en común las ideas que surgieron y hacen una lista de ellas.

Después de resolver un problema, poner en común los procedimientos empleados por los alumnos y compararlos, mostrando cuáles son más rápidos, más seguros o más sencillos.

Para complementar su lista, los profesores leen las siguientes recomendaciones. Evalúan su adecuación para l ograr que los alumnos se habitúen a utilizar los procedimien tos más rápidos, más seguros y más eficientes que tienen a su disposición, cuando resuelven problemas.

Proponer, a los alumnos que dominen un determinado procedimiento de resolución, que lo expliquen a otros para que traten de aplicarlo a un problema similar. Es decir, fomentar la difusión de los procedimientos más eficientes entre los alumnos.

Ejercitar la asimilación de sumas de dígitos y de productos de dígitos. Esto puede contribuir a que los nidos se sientan más seguros en el uso de la operatoria aritmética.

Pedir a los alumnos que inventen problemas cuyo procedimiento de resolución más eficiente corresponda a una operación determinada, como 28 x 7, por ejemplo. De está manera, tendrán que reflexionar sobre el sentido de las diversas operaciones.

Recomendaciones

1 Plantear el mismo problema, varias veces, proponiendo, a modo de desafío: «A ver si ahora lo pueden resolver sin material, o sin sumar...» Si hay alumnos que se bloquean con esta restricción, permitirles que resuelvan el problema como ellos saben y repetir el desafío más adelante. 2 Plantear problemas que correspondan a variaciones de otros que ya han sido resueltos. Por ejemplo, aumentar el número de objetos de manera que a los alumnos les resulte más práctico hacer un cálculo numérico que dibujarlos.

Por más que se quiera que los alumnos usen los procedimientos más adecuados para resolver determinado tipo de problemas, no es conveniente decirles qué procedi miento deben emplear, al plantearles un problema. Hay que dejar que ellos decidan lo que van a .hacer, para que aprendan a escoger, dentro de su repertorio de conocimien-

tos, aquéllos con los que se sientan más seguros y que crean que les servirán para resolver el problema. A sí adquirirán métodos de trabajo; aprenderán a organizar las informaciones, a identificar las incógnitas, a planear una estrategia, etc. Esto les permitirá atreverse a abordar la resolución de problemas muy diversos.

En síntesis, para que los alumnos se apropien de los procedimientos más eficientes para resolver un tipo determinado de problemas, lo único que de ninguna manera conviene decirles es: «esto es lo que tienen que hacer». Tal consejo les servirá para resolver el problema actual pero no les ayudará a abordar el siguiente.

Actividad 5/ Definamos la tarea Entre los recursos que han sido considerados como ventajosos, cada profesor elige dos, que no utilice habitualmente y le interese poner a prueba. Planifica su aplicación al proponer un problema para que sus alumnos lo resuelvan en l a clase. Elabora un informe escrito, indicando: • Qué recursos eligió y por qué le interesaron • Qué problema propuso a sus alumnos • Qué dificultades experimentó, para aplicarlos recursos seleccionados • Qué conclusiones puede sacar sobre la factibilidad de usar esos recursos con sus alumnos

Taller 6/

Este Taller propone que los profesores visualicen la importancia y necesidad de estimular el desarrollo de las nociones espaciales, en los alumnos, a través de su participación en situaciones que las involucren. Además se presentan actividades, destinadas a los niños, relacionadas con orientación, organización y estructuración del espacio.

Actividad 1/ Comentemos la tarea Los participantes, en conjunto, hacen una lista de los recursos metodológicos utilizados en el desarrollo de la experiencia con los alumnos. Comentan los criterios de selección, destacando las coincidencias.

de plano, códigos y referentes utilizados en su representación, relaciones espaciales y conceptos geométricos que utilizaron. Entenderemos por plano la representación gráfica -de un terreno, de una ciudad, de una casa, etc.realizada sobre una superficie. Se diferencia del mapa, en que éste es una representación topográfica de la Tierra, de sus accidentes geográficos o realidad geo-política.

Cada participante lee el problema que planteó en la clase. Conversan acerca de la temática de los problemas creados e intercambian opiniones sobre los resultados obtenidos en la experiencia con los alumnos.

2/2. Comunicando recorridos

Actividad 2/ Ubicándonos en el espacio

Los participantes se organizan en grupos. Cada grupo elige un lugar conocido por todos; por ejemplo, la plaza, el Correo, la Municipalidad, etc. El lugar elegido no es comunicado a los otros grupos.

2/1. Construyamos un plano del lugar En grupos de trabajo, los integrantes del Taller hacen un plano del fugar donde se está desarrollando la reunión, determinando algunos referentes que faciliten su ubicación. Una vez concluido el trabajo, los planos se exponen y se procede a realizar un comentario sobre la actividad desarroll ada, desde diferentes puntos de vista; por ejemplo: concepto

Tomando como punto de partida el lugar de reunión, elaboran las instrucciones necesarias para realizar un recorrido que debe permitir a otras personas llegar al lugar seleccionado. Las instrucciones del recorrido deben darse por escrito, en un papelógrafo, sin indicar el nombre ni ninguna otra pista que permita identificar el lugar de llegada. La forma de comunicar las instrucciones la elige cada grupo, pudiendo éstas ser, por ejemplo: planos, información codificada, descripción de caminos, etc.

•

I ntercambian las instrucciones entre los grupos, para que éstas sean analizadas. La intención primera es comprobar si se comunica lo solicitado, es decir, si el punto de llegada descubierto por un grupo coincide con el determinado por el grupo que propuso el recorrido. Si no se logra esta coincidencia, el grupo que i nterpreta el recorrido, debe proponer las modificaciones respectivas, sin cambiar la forma de comunicación.

•

Exponen los papelógrafos, con el propósito de analizar el nivel de claridad del mensaje y visualizar diferentes formas de comunicar las instrucciones. En caso de que fueran todas muy semejantes, se intercambian opiniones para que entre todos busquen otras posibilidades de comunicación. Expresan las dificultades que se les presentaron al realizar la tarea. Estas pueden estar referidas a. las habilidades de ubicación u orientación espacial, a la forma de organización de las instrucciones, al estilo de comunicación u otros. Reflexionan, en conjunto, acerca de las relaciones espaciales y conceptos geométricos que utilizaron al cumplir la tarea encomendada. Por ejemplo: puntos cardinales, calles paralelas, calles perpendiculares, lateralidad (izquierda-derecha), otras relaciones espaciales (arriba, abajo, atrás, entre, etc.).

Actividad 3/ Revisemos actividades para el desarrollo de la ubicación espacial Las actividades siguientes tienen como propósito que los niños desarrollen habilidades para ubicarse en el espacio, que sean capaces de organizarlo y estructurarlo. . El niño, tanto en su vida escolar como en la ex-_ traescolar necesita manejar relaciones espaciales,' por ejemplo, relaciones de vecindad, distancia, posiciones relativas, etc. Aprender a ubicarse en el espacio, en su entorno próximo, significa, también, ser capaz de utilizar un vocabulario que 1e permita diferenciar ubicaciones relativas a un referencial. El niño, al inicio del desarrollo de las nociones espaciales tiene como referencia¡ su propio cuerpo, describe la posición de los objetos o personas que están cerca suyo, con respecto a su propia orientación. Más adelante logra utilizar otros ceferenciales que pueden ser fijos o móviles, logrando describir ubicaciones con respecto a otras personas u objetos; de esta forma aprende a ubicarse como un objeto entre otros.

aproximado al largo del paso que puedan dar los niños. Primero se determinan puntos de partida, luego por turno los niños se desplazan por el cuadriculado, obedeciendo las órdenes dadas por el profesor; por ejemplo: dos pasos hacia adelante, uno hacia la izquierda, tres hacia atrás, etc. Una variación posible es que un niño recorra un camino por el cuadriculado y otro registre, de alguna forma, los desplazamientos que está realizando. Entre todos inventan códigos que permitan comunicar, por escrito; los desplazamientos que se realizan en el cuadriculado. De esta forma, dado un código, el niño podrá desplazarse por el cuadriculado marcado, o viceversa.

Los participantes revisan el conjunto de actividades que se proponen a continuación, destacan, en algunas de éstas, las posibilidades de integración con otras asignaturas e incrementan el listado con otras ideas. 3/1. En el patio •

Los niños juegan a Simón manda: El profesor prepara el terreno ubicando algunos objetos visibles en el patio, que pasan a conformar puntos de referencia; por ejemplo, una caja grande de cartón, una mesa, una silla, etc. Saca los niños al patio y da órdenes que ellos deben obedecer. «Simón manda ubicarse a la izquierda de la mesa. «Simón manda ubicarse delante de la caja. Simón manda ubicarse entre la silla y la mesa. «Simón manda convertirse en estatua». «Simón manda a la estatua girar media vuelta». «Simón manda a la estatua girar un cuarto de vuelta», etc. Los niños que tardan en llegar a la ubicación o se equivocan, pueden dar prenda, para luego cumplir alguna penitencia.

•

Los niños se desplazan en cuadriculados marcados con tiza: Para la actividad se necesita que un sector del patio esté cuadriculado. Dependiendo del curso, se recomienda realizar con los alumnos este cuadriculado, por ser una excelente actividad para aplicar conceptos de paralelismo,y perpendicularidad, entre otros. El tamaño de cada cuadro debe ser

•

Los niños registran desplazamientos en cuadriculados marcados en hojas de papel: En hojas de papel cuadriculado y utilizando el código convenido en la actividad anterior, los niños registran o interpretan recorridos, desplazándose en el plano representado por el papel.

¿quién se sienta entre Luisa y Ana?, etc. El niño contesta, dando el nombre del compañero. También se puede jugar a que los niños contesten verdadero o falso, frente a proposiciones dichas por el profesor, por ejemplo, él dice: Eugenio se sienta a la izquierda de Yolanda, los niños contestan verdadero o falso.

A continuación se muestra un ejemplo.

Las dos actividades anteriores cumplen con el propósito de codificar y decodificar una acción de desplazamiento, poniendo a su vez en práctica un vocabulario de relaciones tales como: izquierdaderecha, avanzar-retroceder, arriba-abajo, etc.

3/2. En la sala de clases •

Los niños dicen el nombre de un compañero: el profesor hace preguntas como las siguientes a algún niño del curso: ¿quién se sienta delante de Rosa?,

•

Los niños cacen su ubicación en la sala: El profesor le pide a los niños que digan su ubicación en la sala, el niño seleccionado parte diciendo su nombre y agregan do como información su ubicación en relación a otro niño, por ejemplo: me llamo María y me siento delante (detrás, a la derecha, a la izquierda, etc.) de Marcelo .

•

Los niños se ubican en la sala de clases, tomando en cuenta un referente: Todos los niños pasan a pararse cerca del pizarrón. El profesor se sienta en algún lugar de la sala y da instrucciones como las siguientes: Elena siéntate a mi derecha, Lucía siéntate a mi izquierda, Luis siéntate delante de Lucía, etc.

Se sugiere que estas actividades se centren en el desarrollo de las relaciones: izquierda-derecha, delantedetrás y entre. Si los niños ya saben identificar sus nombres escritos, podemos realizar actividades como las que se presentan a continuación.

•

Los niños establecen relaciones espaciales que, se presentan entre parejas de compañeros: El profesor escribe el nombre de dos niños en la pizarra, y pide a los alumnos que digan alguna frase que relacione sus ubicaciones. Por ejemplo, un niño podría decir: Ana está a la izquierda de Marcelo, el profesor enseguida deberá hacer reflexionar a los niños preguntando ¿y cómo está ubicado Marcelo en relación a Ana?, con el propósito de establecer la simetría de la relación dada. Una variación de esta actividad podría ser la siguiente: los niños, trabajando en grupo, escriben una orden, para que sea obedecida por dos o tres compañeros. Por ejemplo: María se sienta delante de Julia y Julia delante de Luis. Los niños construyen el plano de su sala de clases: El profesor reparte a cada niño una tarjeta, para que escriba su nombre. En el suelo ubica un papel, en éste se han marcado algunos puntos de referencia: pizarrón, ventanas, puerta, mesa del profesor. El tamaño del papel debe estar de acuerdo con el de las tarjetas. El profesor da un punto de referencia como punto de partida del juego. Dice: aquí se sienta Juanito. Si el niño está de acuerdo, ubica su tarjeta en el plano. Luego continúan todos los niños, por turno, ubicando su tarjeta en el plano. Una vez ubicadas todas las tarjetas, los niños se sientan en sus puestos y comparan las ubicaciones en la sala

con las del plano. En caso de detectar errores, tos niños pueden hacer las correcciones correspondientes, para finalmente pegar las tarjetas en el papel. Como paso siguiente, el profesor levanta el plano del suelo y lo. coloca en posición vertical, para que los niños logren establecer relaciones entre los dos puntos devista, horizontal y vertical. Ellos deben realizar todas las acciones que les permitan comprobar sus ubicaciones, porejemplo, mirando el plano los niños reconstituyen dos o tres hileras que correspondan a sus posiciones en la sala, relacionan las ubicaciones arriba en el plano, con adelante en la sala; abajo en el plano, con atrás en la sala. Otra actividad posible de realizar, a continuación de la anterior, es entregar a cada niño una hoja de papel que contenga el dibujo del plano de la sala de clases, donde estén representados los bancos de los niños y algunos de los puntos de referencia. El niño puede, por ejemplo, dibujar los puntos de referencia que no aparezcan en el dibujo, pintar la representación de su banco, anotar el nombre del compañero que esté ubicado delante, detrás, a la izquierda, etc. Los participantes conversan acerca de la posibilidad de ntegración de esta actividad con la asignatura de Ciencias i Sociales, destacando la factibilidad de que al realizarla con los niños, el profesor propicie el desarroffo de los objetivos

propuestos en la asignaturas de Matemática y de Ciencias Sociales, trabajando así un proceso de enseñanza-aprendizaje articulado y relacionado.

do el material de las fichas de colores, por el lado blanco. La figura no debe ser vista por el resto de los participantes.

Los integrantes del grupo leen los siguientes propósitos, comentando el significado de cada uno de ellos y relacionándol os con las actividades anteriormente propuestas:

El participante que construyó la figura da las instrucciones necesarias, para que el resto de las personas logre construirla. Otro integrante del grupo anota las instrucciones dadas, en el pizarrón. En esta modalidad no se permiten preguntas aclaratorias.

Manejar orientación (izquierda -derecha; arriba-abajo; delante-detrás, etc.) • Con relación al propio cuerpo • Respecto a otros objetos • Respecto a otras personas Manejar movimientos relacionados con giros.

Actividad 4¡ Estructurando el plano Materiales: 15 fichas por pareja del material llamado "Fichas de colores": 10 de forma cuadrada y 5 rectangulares, de distintos colores. •

Un participante del Taller, construye una figura utilizan-

Comparan las figuras armadas con la construida por el participante que dio las instrucciones. Se comentan las dificultades encontradas para cumplir con ¡atarea, por ejemplo: claridad y precisión de las instrucciones, falta de información u otras razones. El juego se puede variar permitiendo preguntas aclaratorias al momento en que cada participante recibe las instrucciones para construir la figura. Es conveniente, para realizar el análisis de lo acontecido, que se registren tanto las instrucciones dadas como las preguntas formuladas. Al mostrar las figuras construidas por cada uno, verifican si hubo mayores aciertos, si disminuyeron las dificultades, etc. Comentan la necesidad de contar con puntos o sistemas de referencia que faciliten la comunicación de la ubicación de las fichas.

La utilización de sistemas de referencia convencionales surge de la necesidad de contar con una forma de comunicación, más precisa y a la vez fácil, que permita determinar la ubicación de una persona u objeto tanto en el plano como en el espacio. Un sistema de referencia conocido es el de las coordenadas cartesianas el cual permite ubicar puntos en el plano.

Actividad 5/ Revisando actividades para el desarrollo de la estructuración espacial Los participantes leen el texto que sigue:

El movimiento en el espacio supone la necesidad de utilizar puntos de referencia, los cuales deben llegar a constituirse en un sistema. Su desarrollo se fundamenta en la capacidad natural de utilizar un marco de referencia, a su vez natural, como lo son la horizontalidad y la verticalidad.

Algunos autores sostienen que un elemento importante para utilizar adecuadamente un sistema de referencia es manejar la direccionalidad, aduciendo que las relaciones espaciales se exploran inicialmente a lo largo del eje vertical, o sea, mirando hacia arriba y hacia abajo. Relaciones tales como las ya nombradas (arriba - abajo) y otras como encima - debajo tienen, entre sí, un significado muy diferente, lo que no se presenta en las relaciones de orientación horizontal. Por ejemplo, si estamos en una posición determinada, sabemos lo que está en frente y detrás nuestro, pero si giramos media vuelta, lo que tentamos delante ahora está atrás y viceversa, asfcomo también lo que estaba a nuestra derecha ahora está a nuestra izquierda. Estas ideas permiten comprender por qué los niños tienen más dificultades en desarrollar la lateralidad que aquellas nociones relacionadas con la verticalidad.

Los antecedentes anteriores hacen necesario que el niño realice actividades que lo lleven a poner en práctica sus sistemas referenciales, desde los más básicos hasta llegar a aquéllos convencionales, como lo son las coordenadas cartesianas. La estructuración espacial está referida, además, a la composición de las partes en relación a un todo, por lo cual actividades relacionadas con mosaicos, simetrías, y pavi mentación entre otras, son apropiadas para estimular en los niños este nivel de desarrollo espacial.

Los integrantes revisan el conjunto de actividades que se proponen a continuación e incrementan el listado con otras ideas. Los niños construyen figuras: Esta actividad es semejante a la realizada por los participantes del Taller en la Actividad 4. Inicialmente las instrucciones para construir el todo pueden ser dadas por el profesor, para que luego este rol lo tomen los alumnos. A continuación se muestran posibles figuras. En algunas de éstas se trabaja también con fichas triangulares, las que corresponden a cuadrados cortados por una de sus diagonales.

Los niños construyen mosaicos: Utilizandocomo material las fichas de colores (cuadradas, rectangulares y triangulares, de distintos colores ) se pueden realizar las siguientes actividades: - Copian patrones dados, una o más veces, respetando forma y color. - Construyen la imagen de una figura, dado un eje de simetría externo a ésta, en posición vertical, horizontal u oblicuo. - Construyen la parte que falta de una figura, dado un eje de simetría interno a ésta.

Los niños replican la imagen de una figura que se proyecta en un espejo: Ubicando un espejo en posición perpendicular al papel donde se ha dibujado una figura, el niño dibuja la imagen que se ve en el espejo, simétrica a la figura.

La actividad anterior puede realizarse sin espejo.Se le entrega al niño figuras dibujadas en papel cuadriculado, él debe copiarlas o completarlas, tal como muestran las ilustra ciones, imaginando que en el eje marcado existe un espejo.

Los plegados en papel también son un excelente apoyo para trabajar tanto la noción de simetría como de otros conceptos geométricos.

•

Los niños, utilizando un material concreto, determinan giros: El profesor entrega a los alumnos un conjunto de tarjetas, todas con el mismo dibujo. Los niños forman una, hilera con éstas, ubicándolas en la misma posición. Luego tomando en cuenta la posición inicial de la primera tarjeta, la cual no varía, reciben órdenes para girar la tarjeta siguiente; por ejemplo, un cuarto de vuelta en la dirección en que se cierra una ll ave de agua; que otra la giren media vuelta en relación a la primera tarjeta; tres cuartos de vuelta; una vuelta completa, etc. El centro de giro, en las tarjetas, está representado, por la intersección de sus diagonales .

También es posible trabajar con sólo una tarjeta. Se sugiere colocar un alfiler al centro de ésta y luego girarla, de acuerdo a órdenes similares a las dadas en la actividad anterior. Es importante que los niños comparen las acciones realizadas, tomando en cuenta la posición inicial, la orden dada y la posición final. Veamos algunos ejemplos: en algunos se les pide girar la tarjeta, en otras deben descubrir la amplitud del giro, etc.

Si los niños tienen dificultades, como actividad previa nos podemos ayudar de un lápiz que lo ubicamos en una posición y luego lo vamos haciendo girar. En esta activi dad, el centro de giro, corresponde a un extremo del lápiz.

Los niños completan figuras: A través de este tipo de actividades, los alumnos establecen relaciones entre las partes y el todo.

Los niños trasladan figuras a través del cuadriculado: Estableciendo relaciones entre sus propios desplazamientos por el cuadriculado y l a posibilidad de que cada punto de una figura se desplace en el plano, el niño traslada figuras en un cuadriculado, utilizado como sistema de referencia. Los puntos determinados, en l a figura, se trasladan de acuerdo a un código especificado por ellos. El niño, luego de trasladar los puntos, los une con líneas rectas, con el propósito de formar la figura. En la primera ilustración podemos ver que cada punto se trasladó 8 unidades hacia la derecha y 4 hacia arriba.Otro código posible de usar es

8 Este, 4 Norte o bién 8 4

Los niños pavimentan el plano: Teniendo como material las fichas de colores, los alumnos, cubren una región limitada, sin dejar espacios vacíos entre cada figura. Esta actividad, relacionada con simetrías, rotaciones y traslaciones, se puede enriquecer utilizando otras figuras para cubrir el plano. Los niños, a través de esta actividad, logran descubrir propiedades de las figuras utilizadas, tales como congruencia de lados y complementariedad de ángulos.

Los niños amplían figuras: Dibujan una figura en el cuadriculado, Imaginan que la observan a través de una l upa. Para ampliar Ía figura establecen una proporción, por ejemplo cuatro cuadrados por cada cuadrado. Construyen la figura ampliada.

Los participantes, en conjunto, hacen un registro de las relaciones espáciales o conceptos geométricos implícitos en las actividades propuestas y entregan sugerencias para incrementar el listado.

Actividad 6/ Integrándonos con otras asignaturas También se pude realizar la acción inversa, o sea reducir una figura.

Los participantes leen las siguientes actividades, que se realizan en otras asignaturas y que ofrecen excelentes posibilidades para apoyar el desarrollo de las nociones espaciales en los niños . Identifican en cada una, las relaciones espaciales y nociones geométricas presentes, haciendo un registro de ellas. Incrementan el listado, proponiendo actividades o situaciones que se realizan en otras asignaturas y que contribuyen al desarrollo de las nociones espaciales.

*El profesor de Artes Plásticas propuso construir un mosaico. Luis, uno de sus alumnos, presentó el siguiente trabajo.

•

El profesor de Técnicas Manuales enseñó a sus alumnos a construir un barco, utilizando la técnica del plegado.

Actividad 7/ Definamos la tarea La lectura del siguiente texto le orientará para desarroll ar la parte práctica de la tarea.

En este trabajo se han aplicado nociones de simetría, rotaciones, relaciones entre ángulos, entre otras. •

La profesora de Educación Física da instrucciones al curso para realizar una actividad: Mirando al frente, tres rebotes, girar un cuarto de vuelta hacia la izquierda, dar tres rebotes, girar al frente, tres rebotes, girar un cuarto devuelta hacia l a derecha, girar al frente, girar media vuelta y repetir los rebotes. La profesora de Ciencias Sociales solicita a sus alumnos construir una maqueta, donde se ubique la escuela y algunos lugares conocidos cercanos a ésta.

La preocupación y ansiedad existentes en muchas personas, para que los niños adquieran destrezas numéricas, tiende a dejar en segundo plano el hecho que casi todo el mundo debe afrontar con mayor frecuencia problemas espaciales que problemas numéricos. Es difícil aceptarlo en una primera instancia, sin embargo si analizamos los siguientes ejemplos, seguramente lo visualizaremos más fácilmente. Detengámonos a reflexionar sobre algunas de las tareas que se deben realizar en diferentes actividades laborales. Por ejemplo, un arquitecto, al preparar el plano de una casa debe imaginarse la mejor forma de distribuir las habitaciones, según lo solicitado por su cliente, un albañil, al construir una muralla, debe manejar perpendicularidad, un campesino, al preparar el terreno

para algunos cultivos, debe formar surcos paralelos, etc. ¿Verdad que podrfan ser muchas más las acciones, relacionadas con un trabajo específico, en que es necesario contar con un buen desarrollo de pensamiento espacial para su óptima realización? Ahora nos referiremos a algunas actividades cotidianas. No pocos son los que al intentar armar un juguete siguiendo las instrucciones de un folleto,han fracasado. Aquéllos que conducen un vehículo y que se han visto en la necesidad de estacionar en un espacio reducido, pueden haber tenido como consecuencia un roce con los vehículos ya estacionados. Cuántas veces nos ha tocado ubicar una sala en un hospital y hemos pasado dos o tres veces por el mismo lugar sin encontrarla. También el ubicar una calle en un mapa puede presentar dificultades si no se maneja el sistema de referencia utilizado. Qué necesarias son las habilidades espaciales para entrar y ubicar, adecuadamente, los muebles en una casa.

La lista podría seguir extendiéndose, pero seguramente ya nos hemos dado cuenta de la necesidad e importancia de desarrollar estas habilidades, de proporcionar a los niños conjuntos de experiencias, que les permitan descubrir y analizar conscientemente estrategias, que a su vez los lleven a solucionar problemas que requieran de pensamiento espacial. La Matemática ofrece, al igual que el lenguaje, una vía

para la comprensión y apreciación de nuestro entorno. Una gran parte de tal apreciación será fruto de la comprensión y captación de lo espacial, por la manifiesta razón de que nuestro ambiente físico lo es.

No debe extrañarnos entonces que las actividades de iniciación a la Geometría estén relacionadas con la exploración del espacio, la cual está dirigida por un lado a las acciones que vivenciamos directamente en el espacio real y por otro a sus representaciones, donde hacemos uso de figuras y diagramas. Veamos ejemplos para clarificar estas dos últimas ideas. Es muy distinto para un niño vivenciar el recorrido de su casa a la escuela, que relatar oralmente cuál es éste y luego representarlo a través de un dibujo. También, en el deporte, es diferente seguir las instrucciones de un entrenador en la cancha -espacio real- que recibir otras complementarias, a través de un diagrama, de acuerdo a los resultados del primer tiempo.

Uno de los primeros aspectos interesantes que debemos trabajar, con nuestros alumnos de Primer Ciclo de Educación General Básica, relacionados con conceptos geométricos, está referido a la orientación espacial.

La primera aproximación del niño hacia la Geometría está relacionada con la exploración del espacio y nuestro

propósito será que el niño se maneje en éste, llegue a dominarlo y lo construya por sí mismo. Cuántos alumnos son catalogados de mediocres en otros aspectos de su formación, por ejemplo en lectura, escritura, o en actividades musicales o artísticas, cuando justamente sus problemas derivan de un escaso dominio de las relaciones espaciales. Está demostrado, por especialistas, que los conceptos espaciales no son innatos, sino que se elaboran y estructuran a través de las experiencias activas de los niños.

Podemos identificar tres elementos: la orientación, la organización y la estructuración.

La organización del espacio se refiere al reconocimiento de relaciones como distancia (proximidad o lejanía), tamaño (grande, mediano y pequeño), posición relativa de las partes de un todo, reconocimiento de algunos movimientos del sujeto o de objetos que experimentan giros o cambios relativos de posición.

La estructuración se refiere a la composición y descomposición de un todo en partes o sectores, cuya identificación se facilita mediante mediciones, que pueden ser efectuadas a lo largo de ejes perpendiculares entre sí.

Al interior de la orientación espacial, una noción importante es la de direccionalidad, como orientación hacia un punto de referencia determinado, como previsión de un punto de llegada cuando aún se está recorriendo el camino.

La orientación corresponde a un sistema de relaciones espaciales en el que es preciso reconocer los puntos de referencia claves. Los primeros referenciales están ubicados en el propio cuerpo del niño. Los últimos, en cambio, corresponden a los puntos cardinales. También podemos considerar otros referenciales; por ejemplo, para situarse en un mapa, en las calles de la ciudad, éstos se transforman en señales, que finalmente se apoyan en los dos referenciales claves ya nombrados.

La parte práctica de la tarea consiste en que cada profesor selecciona alguna de las actividades propuestas en este Taller, relacionadas con el concepto de simetría, para trabajarla con sus alumnos. Observa sus reacciones, registra los resultados que obtiene , las dificultades a las cuales se enfrenta, etc. y escribe un breve informe.

Taller 7/

En este Taller los profesores construyen cuerpos utilizando cajas de fรณsforos y, por medio de plegados y cortes, construyen figuras planas. Interesa que realicen, a partir de estas construcciones, un anรกlisis sobre algunas propiedades de los prismas y de los cuadrilรกteros y que intercambien los procedimientos utilizados.

Actividad 1 / Revisemos la tarea Los profesores informan qué actividades seleccionaron para trabajar con sus alumnos. Comparten las observaciones registradas y organizan secuencialmente las actividades aplicadas en sus cursos.

Actividad 2/ Analizando cuerpos geométricos

cuatro o cinco cajas realizando la misma actividad y registrando siempre el número de caras, de aristas y de vértices. Si lo necesitan, unen con scotch las superficies de las cajas do fósforos para que las construcciones sean más fáciles de manipular. Todas las construcciones que los profesores realizaron en esta actividad pertenecen a la clase de los cuerpos poliedros.

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado sólo por superficies planas, que se llaman caras. Si un cuerpo está limitado por superficies curvas o por superficies curvas y planas pertenece a la clase de los cuerpos redondos.

2/1. Elementos de un cuerpo construido Materiales: 5 cajas de fósforos por grupo de trabajo Un rollo de scotch

Un poliedro es convexo si al apoyar cualquiera de sus caras sobre un plano, por ejemplo, sobre una mesa, todo el cuerpo se ubica a un mismo lado de ese plano.

Los profesores registran el número de caras, de aristas y de vértices que tiene una caja de fósforos. En seguida, construyen diversos cuerpos, usando dos cajas de fósforos; verfican si hay o no variaciones en el número de caras, de aristas y de vértices. Amplían a tres,

Entre las construcciones realizadas, los profesores discriminan las que son poliedros convexos de las que no lo son.

En un poliedro convexo la relación entre el número de caras (C), de aristas (A) y de vértices (V) está dada por

Esta relación se conoce con el nombre de fórmula de Euler, porque fue descubierta por el matemático suizo del siglo XVIII, Leonard Euler.

Los participantes del Taller verifican que se cumple esta relación para todos los poliedros convexos construidos. ¿Cómo aseguran que contaron todas las caras, aristas y vértices y que los contaron sólo una vez? Comparten los procedimientos utilizados, especialmente en los poliedros no convexos. 212: Elementos de un cuerpo representado.

Comparten los resultados obtenidos y los diferentes procedimientos utilizados. Comparan la dificultad para realizar esta actividad con la que experimentaron al realizar la actividad anterior.

Actividad 3/ Cuerpos geométricos en la sala de clases En grupos de trabajo, los profesores eligen una de las cuatro situaciones descritas a continuación y diseñan actividades útiles para que los alumnos se familiaricen con los poliedros y aprendan a identificar y contar caras, aristas y vértices en poliedros convexos. 1. Construir con cubos o envases, realizando actividades como las siguientes: • Construcción libre • Copia de construcciones hechas por un alumno o grupo de alumnos, mirándolas • Comunicación oral para que otro haga la misma construcción, sin verla • Comunicación a través de dibujos hechos por los alumnos para que otro haga la misma construcción, sin verla • Construcción a partir de un dibujo dado por el profesor

11. Decorar envases: • Forrarlos • Pintar o pegar dibujos, papel picado, arenilla, conchitas, etc., en cada una de las caras • Pegar cintas engomadas en las aristas • Poner pompones o cintitas en los vértices

Las actividades mencionadas y otras que sugieran l os participantes en el Taller, son habituales en las clases de educación artística y manual. Es conveniente que se aprovechen esas mismas actividades para sacarles partido desde la perspectiva del conocimiento de la Geometría.

111. Desarmar y volver a armar envases para visualizar la relación entre el patrón plano o red y el cuerpo correspondiente. I V. Construir cuerpos en greda o plasticina. Comentan la elección de la situacion y las actividades diseñadas. Responden las preguntas siguientes: ¿Cuales son, a juicio de los participantes del Taller, las mejores actividades para que los alumnos identifiquen las caras? ¿Cuáles para que las cuenten? ¿Qué actividades son las más adecuadas para identificar y contar aristas? ¿Cuáles permiten la identificación y el conteo de vértices? Cada profesor elige una de las actividades diseñadas para realizarla con sus alumnos.

Actividad 4/ Figuras geométricas con plegados y cortes Materiales: 10 hojas de papel, preferentemente de copia, por participante Un par de tijeras por grupo Una escuadra y un compás por grupo

4/1. Dobleces y cortes En grupos, cada profesor toma una hoja, hace dos dobleces y luego recorta lo que quiera. Antes de desdoblar la hoja dibuja cómo cree que quedará al extenderla.

Conviene que los profesores experimenten con los dobleces y cortes hasta que logren anticipar lo que aparecerá en la hoja desdoblada.

• Haga dos dobleces perpendiculares entre sí • Haga un corte recto que pase por los dos bordes plegados. • Quédese con la parte recortada y deseche el resto de la hoja. • Dibuje la figura que cree que aparecerá al desdoblar la parte recortada. • Compare su dibujo con el recorte extendido. ¿Qué características comunes tienen las figuras que resultan al desdoblar la parte recortada? Conviene que analicen la medida de los lados y la dé¡ ángulo formado por las diagonales. Pueden constatar sus hipótesis mediante plegados y superposiciones. ¿A qué corresponde; en lafigura recortada, cada uno de los dobleces iniciales y el corte?

Una vez lograda cierta familiaridad con esta actividad se puede pedir que lafigura recortadacumpla determinadas condiciones. Por ejemplo, ¿qué dobleces y qué cortes hay que hacer para que resulte una estrella de 4, de 6, o de 8 puntas? 4/2. Cuadriláteros En los mismos grupos de trabajo, cada profesor toma una hoja y sigue estas instrucciones:

Las figuras que aparecen tienen las siguientes características: • Son figuras cerradas, limitadas por lados rectos, en consecuencia son polígonos. • Tienen cuatro lados, por lo tanto son cuadriláteros. • Los cuatro lados miden lo mismo, luego son equiláteros. • Los ángulos opuestos son de igual medida. • Las diagonales se dimidian y son perpendiculares entre sí, en consecuencia son rombos.

4/3. Generando rombos Repiten la actividad anterior, pero esta vez hacen un doblez en lugar del corte; al extender la hoja queda marcado un rombo. Vuelven a doblar y marcan, en la misma hoja, diferentes rombos cuyas diagonales coincidan. Al extender la hoja se puede obtener conjuntos de rombos como los siguientes:

¿Es posible que entre éstos aparezca un cuadrado? Un cuadrilátero equilátero cuyos ángulos son rectos, es decir miden 90 grados, es un cuadrado. En la ilustración anterior, en el conjunto de rombos que tienen dos vértices comunes, puede apreciarse que varía la medida de los ángulos interiores. En los ángulos corres pondientes a los vértices comunes, el menor es agudo, mide menos de 90 grados; el mayor es obtuso, mide más de 90 grados. Entre ambos debe existir un ángulo. que mida exactamente 90 grados. 4/4. Cuadrados A partir de dos dobleces perpendiculares entre sí, los profesores buscan cómo pueden obtener un cuadrado con un solo corte recto. Ponen en común los procedimientos encontrados, diferenciándolos de los que les permiten obtener rombos.

El corte que permite obtener un cuadrado es el que genera la misma longitud en ambas diagonales: en un cuadrado las diagonales tienen la misma medida.

4/5. Construcciones con escuadra y compás

A continuación realizan un procedimiento de construcción análogo, a partir de dos diagonales no perpendiculares.

Los profesores construyen un cuadrado y un rombo, utilizando escuadra y compás, a partir de lo que han constatado sobre las diagonales de estas figuras: son perpendi culares, se dimidian y, en el caso del cuadrado, son de igual medida.

Comparan estas figuras con las obtenidas en la construcción anterior.

El cuadrado, el rectángulo, el rombo y él romboide son paralelogramos. Tienen en común las siguientes características: • Los lados opuestos son paralelos. • Los lados opuestos son de igual medida. • Las diagonales se dimidian. • Los ángulos opuestos son de igual medida y la suma de dos ángulos consecutivos es 180 grados.

Los cuadriláteros se pueden clasificar según cuantos pares de lados paralelos tengan en: PARALELOGRAMOS TRA PECIOS TRA PEZOIDES

: :

dos pares un par ningún par

Al desdoblar los dos últimos dobleces, se obtienen tres ángulos de 60 grados cada uno. ¿Por qué miden 60 grados? Hacen de nuevo los dobleces y buscan cómo hacer un corte para obtener un triángulo equilátero. Hacen ese corte y comentan los diferentes procedimientos que emplearon.

4/6. Otros Polígonos En grupos de trabajo, los profesores toman una hoja y marcan un doblez que la atraviese totalmente.

Un triángulo equilátero tiene sus tres lados de igual medida y cada uno de sus tres ángulos mide 60 grados.

A continuación hacen dos dobleces que partan de un mismo punto del primer doblez, cuidando que las tres partes que se forman coincidan exactamente.

Antes de desdoblar la figura recortada, dibujan cuál creen que será la forma que aparecerá al extenderla totalmente.

Desdoblan la figura recortada paso a paso. Inicialmente es un triángulo equilátero y al extender el primer doblez aparece un rombo. Después, al extender el doblez siguiente, aparece un trapecio, que es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos. Este trapecio es muy especial porque tiene tres l ados de igual medida y el cuarto mide el doble que cualquiera de los otros tres lados. Finalmente aparece un hexágono, esto es, un polígono de seis lados. En este hexágono tanto sus lados como sus ángulos son de igual medida, por esto es un hexágono regular. ¿Cómo se puede obtener, por medio de plegados y cortes un dodecágono, que es un polígono de 12 lados, o un octógono, que es un polígono de 8 lados? ¿Cómo obtener un polígono con el máximo de lados posibles?

Plegados y cortes son recursos que se pueden usar, entre otros, para generar figuras, para comparar medidas de lados, de diagonales y de ángulos, para bisectar y trisectar ángulos, para trazar perpendiculares y para reconocer simetrías.

Actividad 5/ Plegados y cortes en la sala de clases Materiales: Figuras recortadas, reproduciendo las que aparecen en las tres páginas siguientes; un juego por grupo de trabajo. Los profesores eligen una de las siguientes series de figuras y diseñan actividades útiles para que los alumnos constaten propiedades de las figuras planas. En algunos casos es conveniente que reproduzcan varias veces las figuras más pequeñas.

1. Figuras: A B D U EGO Se pueden proponer actividades de clasificación considerando los criterios siguientes: • Número de lados; como resultado de esta clasificación se usan los nombres de triángulos y cuadriláteros. • Presencia de ángulos rectos; se puede comprobar si un ángulo es recto por medio de una escuadra o, en su defecto, con un papel en el que se han hecho dos dobleces perpendiculares entre sí. • Igualdad de medida de lados; en esta clasificación se distinguen los que tienen todos sus lados de igual medida, los que tienen dos lados de igual medidaylos que tienen dos pares de lados de igual medida. 11. Figuras: A C I J Se trata de encontrar cómo doblar la figura C para obtener la A. En seguida, qué dobleces hacer en la figura I para generar las dos anteriores y también para obtener sólo la figura A. Finalmente, qué dobleces en la figura J permiten obtener todas las figuras anteriores. Después de realizar la actividad de los dobleces, se puede comparar la medida de los lados, ángulos y diagonales de todas las figuras de esta serie. 111. Figuras: D U F O En forma análoga a la actividad anterior, se trata de

buscar dobleces para poder obtener las figuras más pequeñas a partir de las inmediatamente más grandes y comparar, posteriormente, las medidas de los lados, ángulos y diagonales. IV. Figuras: D E G O Con dobleces y superposiciones, se trata de encontrar cómo doblar las figuras G y O para obtener la D. En seguida; qué dobleces y cortes permiten obtener las figuras G y O a partir de la E. Posteriormente, se puede comparar lados, ángulos y diagonales. Cada profesor elige una de las actividades diseñadas para realizarla con sus alumnos.

Actividad 6/ Definamos l a tarea Los profesores planifican la realización con sus alumnos de las dos actividades elegidas durante el Taller, referidas a cuerpos (actividad 3) y a figuras geométricas (actividad 5). Para el Taller siguiente deben llevar algunos trabajos hechos por sus alumnos y un informe sobre la forma en que se desarrolló la ,actividad.

Taller 8/

Se espera que a través del Taller los profesores profundicen su comprensión del sistema de numeración decimal, valoren este contenido por sus proyecciones en el aprendizaje de otros temas matemáticos, revisen sus prácticas de enseñanza en relación con el tema y analicen algunas actividades que les permitan a los alumnos acrecentar el nivel de aprendizaje de este tema.

Actividad 1 / Comentemos l a tarea

Escriben con los dígitos que acaban de conocer los siguientes datos numéricos. • Número de su Escuela

Los profesores comentan las actividades que realizaron con sus alumnos, en relación a cuerpos y figuras geométricas, leen los comentarios escritos que elaboraron acerca de la forma en que realizaron las actividades e intercambian algunos trabajos de los alumnos.

Actividad 2/ Escribamos cantidades con cifras extrañas

• Año importante para Ud: • Número de su carnet de identidad Tratan de memorizar las cifras que acaban de conocer, luego las tapan con una hoja de papel y tratan de completar la siguiente serie con los números que faltan:

Los profesores se organizan en grupos para realizar las siguientes actividades: Imaginan un país desconocido, donde los dígitos se escriben ordenadamente, y a partir del cero, de la siguiente manera:

En ese país, 1992 se escribe así:

Conversan acerca de las diferencias y semejanzas entre esta manera de comunicar cantidades y la que usamos habitualmente. Comentan las dificultades que tuvieron para el aprendizaje de los nuevos símbolos y las relacionan con las que han observado en los alumnos al aprender los dígitos.

La realización de estas actividades puede permitir una mayor toma de conciencia del esfuerzo que demanda el aprendizaje de un conjunto de símbol os por parte del alumno y cómo esto puede ser facilitado manteniendo estos símbolos a la vista y permitiendo que los niños recurran a este apoyo cuando lo necesiten. El sistema empleado para representar cantidades en los ejercicios anteriores es semejante en sus reglas generales al sistema de numeración decimal y difiere de éste sólo en la forma de representar los dígitos.

que se indica, en cada caso. 1. Toman 18 fichas amarillas. Canjean 5 fichas amarillas por una roja, todas las veces que se pueda. Completan el resultado expresado en fichas y comparan esta forma de comunicación con la notación convencional, que se usa al agrupar de diez en diez.

Se acuerda leer el numeral resultante tres-tres y no treinta y tres porque tenenos 3 quinas o quintetos de fichas ( y no 3 decenas) y 3 unidades o fichas.

Actividad 3/ Agrupemos de a cinco, de a cuatro, de a tres... de a diez

¿Cuál hubiese sido el resultado si se hubiese tomado 19 fichas amarillas?, ¿y si se hubiese iniciado el canje con 20 fichas amarillas?

3/1. Canjeando Materiales : 1 bolsa de fichas de colores, por grupo. El conductor propone a los profesores desarrollar, en grupos, las actividades siguientes. En éstas se les solicita tomar 18 fichas amarillas y canjearlas de acuerdo a la regla

11.

Toman 18 fichás amarillas. Canjean 4 fichas amarillas por una roja, todas las veces que se pueda. Canjean 4 fichas rojas por una ficha azul, todas las veces que se pueda.

Expresan el resultado en fichas.

Expresan el resultado en ¡anotación que hemos acordado, con cifras y con palabras.

¿Qué representa la cifra 2 en el numeral resultante?, ¿y cada una de las cifras 0?. ¿Cuál hubiese sido el resultado si se hubiese tomado 20 fichas amarillas?, ¿y si se hubiese iniciado el canje con 27 fichas amarillas?. ¿Cuántas fichas amarillas deberían tomarse para que el resultado fuese 10 (uno-cero) ?.

i nicio

¿Por qué el resultado no podrá leerse ciento dos?. ¿A cuántas unidades o fichas amarillas equivale la cifra 1 que aparece en el resultado? 111. Toman 18 fichas amarillas. Canjean 3 fichas amarillas por una roja, todas las veces que se pueda. Canjean 3 fichas rojas por una ficha azul, todas las veces que se pueda. Expresan el resultado en fichas.

Expresan el resultado en la notación convencional con cifras y con palabras

IV. Toman 18 fichas amarillas. Canjean 10 fichas amarillas por una roja, todas las veces que se pueda. Expresan el resultado en fichas.

El conductor del Taller pide a los profesores que comparen los resultados de las actividades que acaban de realizar, conversen acerca de las dificultades que tuvieron para desarrollarlas y luego comenten las semejanzas y diferencias entre los sistemas de numeración utilizados. En las actividades anteriores, se ha representado 18 de cuatro maneras, con distintos sistemas de numeración

posicional, se ha modificado la cantidad de elementos de las agrupaciones, es decir se ha trabajado con distintas bases y en todas se ha dado una regla de canje similar. Se concluye que un mismo número puede tener múltiples representaciones, dependiendo del sistema de numeración que se esté utilizando. El aprendizaje del sistema de numeración decimal implica, por una parte, el conocimiento de un conjunto de símbolos y por otra la comprensión y manejo de reglas de agrupación que se reiteran y que permiten establecer relaciones entre las cifras. Cuando se dice dieciocho y se escribe 18, se esta representado un número natural de acuerdo al sistema de numeración decimal, es decir se considera 1 grupo de 10 elementos y además 8 elementos, mediante las cifras 1 y 8, respectivamente. 3/2. Docenas y más docenas Materiales: 1 bolsa de fichas de colores y 2 dados, por grupo. Los profesores se organizan en grupos para jugar a: «Docenas y más docenas» . Colocan al centro de la mesa un pozo con todas las fichas cuadradas y a un lado las fichas rectangulares. Por turno, cada jugador tira los dados y saca del pozo tantas fichas cuadradas como la suma de los puntos obte-

nidos en éstos. Repiten esta acción hasta agotar las fichas del pozo. Terminada esta primera vuelta, los jugadores canjean 12 fichas cuadradas (una docena) por una ficha rectangular, todas las veces que puedan. Las fichas cuadradas que fueron canjeadas vuelven a formar el pozo Juegan una segunda vuelta de la misma forma que la primera y canjean 1 docena de fichas cuadradas por una ficha rectangular todas las veces que puedan. Una vez hecho esto, anotan en una hoja sus puntajes en número de fichas rectangulares y cuadradas y en forma convencional en base doce. Es posible que alguna persona haya obtenido como resultado 0, 1 ó 2 fichas rectangulares, o docenas y 10 u 11 fichas cuadradas, o unidades; en este caso necesitan utilizar dos nuevos símbolos, para esto pueden emplear el símbolo para representar 10 y § para representar 11. Es importante percatarse que todo sistema de numeración posicional requiere tantas cifras como su base, es así como en el sistema decimal se ocupan diez cifras o dígitos, en la base tres, sólo las cifras 0, 1 y 2 y en la base doce se necesitan doce símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ', § . Ordenan los puntajes de mayor a menor y comparten la tabla de resultados del juego con los demás integrantes del Taller.

Actividad 4/ Fraccionando decimalmente l a unidad Hasta el momento se ha utilizado el sistema de numeración decimal para representar cantidades de unidades. La forma como se nombran con palabras las cantidades da cuenta de la organización del sistema, en unidades, decenas ycentenas de unidades, en unidades decenas y centenas de miles, en unidades, decenas y centenas de millones, El cuadro siguiente muestra esta organización.

oración la cantidad, que aparece destacada, en forma decimal, considerando la unidad de medida que se indica en cada caso. A. Carmen tiene en su costurero dos trozos de cintas de colores, de 125 centímetros cada uno. 125 centímetros = 1,25 metros B. Darío compró 300 gramos de mortadela para llevar a su casa. 300 gramos =

kilógramos

Miles de Millones

Millones

Miles

Unidades

C. Josefina llegó extenuada después de correr 2 300 metros. U

Cuando se nombra una cantidad muchas veces no se señala las unidades a las que se hace referencia, así al hablar de 1992, se da por supuesto que todos saben que se trata de 1992 unidades de año. Ahora, se verá como el sistema de numeración decimal también permite representar fracciones decimales, es decir, décimos, centésimos, milésimos, ... de unidad.

2 300 metros =

D. La modista dijo que con 60 centímetros más de tela alcanza para una blusa. 60 centímetros =

metros

E. El bus llegó con 90 minutos de retraso, porque tuvo una pana a pocos kilómetros de San Fernando. 90 minutos =

El conductor solicita a los profesores escribir, para cada

kilómetros

horas

F. Nos demoramos 2 horas 45 minutos en contestar la prueba, sin embargo, no salimos cansados. 2 horas 45 minutos =

décimos de unidad, centésimos de unidad y milésimos de unidad.

horas

G. Recogimos 102 huevos en la tarde del martes. 100 huevos = docenas

Wilésirnos

Unidades

M. El grupo demoró 27 meses en poder lograr la meta de tener una nueva sede. 27 meses =

años

Los profesores comparan sus respuestas y comentan las diferencias. El conductor hace notar que entre las unidades dadas existen dos tipos, aquéllas que convencionalmente están organizadas decimalmente; medidas de longitud, de peso, etc. y aquéllas estructuradas de acuerdo a otras relaciones numéricas, como el tiempo (horas,años, etc.). Por ello, 300 gramos equivalen a 0,300 kilógramos, 90 minutos equivalen a 1,5 horas, 102 huevos a 8,5 docenas y 27 meses a 2,25 años. La actividad anterior también ha demandado la ampliación de la tabla ya presentada; ha sido necesario ubicar

Los profesores conversan acerca de la incidencia que tiene el aprendizaje del sistema de numeración decimal en otros aprendizajes matemáticos; como las fracciones deci males, la operatoria aritmética, los sistemas de unidades de medida, etc.

Actividad 5/ El sistema de numeración decimal en el aula 5/1 Los niños viven inmersos en un ambiente numerado Los profesores leen y comentan el siguiente texto: Los niños muestran gran interés por aprender a numerar grandes cantidades, en parte por los estímulos que para este aprendizaje les brindan los adultos en el medio extraescolar y también por el hecho de encontrar «números» en diversos objetos o situaciones de su ambiente, por ejemplo en: • las páginas de los textos escolares, • la numeración de las casas, • los calendarios, • los boletos de locomoción, • las boletas de compra, • los letreros de propaganda, • los relojes digitales, • las camisetas deportivas, • el contador de la bomba de bencina, etc.

En muchas ocasiones, los niños muestran interés por leer estas cantidades o expresan lo maravillados que se

sienten frente a la sucesión de números que van apareciendo en algún tipo de contador; los educadores pueden satisfacer esta inquietud dando respuestas a sus preguntas, respuestas que a veces los llevarán a numerar, incluso más allá del ámbitonumérico que han elaborado conceptualmente, se trata de no frenar el interés de los alumnos, de no paralizar su exploración, cuidando de enfatizar en los procesos sistemáticos de aprendizaje la comprensión del significado de las expresiones numéricas y de su forma de notación.

No podemos dejar de tener en cuenta que, antes de iniciar el aprendizaje matemático escolar, los niños han logrado una natural familiarización con algunos números y las representaciones de los mismos, estos logros constituyen una excelente base para el aprendizaje sistemático de los números y su representación.

5/2. Actividades para que los niños usen y comprendan el sistema de numeración decimal Los profesores leen lo siguiente: Los niños usan y comprenden el sistema de numeración decimal cuando son capaces de leer y escribir numerales, manejar las reglas de canje en sentido directo e inverso, reconocer expresiones equivalentes para una misma canti-

dad y aplicar estos conocimientos en situaciones diversas. La consecución de estos logros, por parte de los alumnos, demanda del profesor una cuidadosa selección de las actividades y de los materiales que les proporcionará.

Billetes de $1, $10, $ 100 y $1000.

En las actividades básicas que se presentan a continuación se consideran fundamentalmente los siguientes materiales:

Palitos y elásticos, o en su defecto cualquier material posible de agrupar de a 10 en 10.

Fichas de colores; rojo, verde, azul y amarillo, para lasque se define una regla de canje.

numerada: Cinta huincha que tiene los números del 1 al 30, escritos por un lado con cifras y por el otro con palabras, y que puede ser completada hasta el 100.

Abaco.

Algunas actividades para: Tarjetas de números: de unidades, decenas, centenas y unidades de mil.

1. Contar, leer y escribir cantidades. • Repetir rimas que les ayuden a aprender, en orden, los nombres de los números, por ejemplo:

Tablero con columnas para las unidades (U), decenas (D), centenas (C) y unidades de mil (UM).

Contador: dispositivo con cuatro ruedas que de derecha a izquierda repre sentan las unidades, decenas, centenas y unidades de mil. Cada rueda al girar muestra las cifras del 0 al 9

Uno, dos, tres, cuatro ll evé mi perro al teatro. Cinco,seis, siete, ocho allí me comí un bizcocho. Nueve, diez, eso es, y volvimos a casa otra vez. • Contar grupos de objetos, de uno en uno, en sentido creciente y decreciente. • Modelar, recortar, pintar y remarcar los símbolos de los dígitos. • Leer en orden una serie de números con apoyo en la cinta numerada. • Leer a coro los números del 1 al 30 en una hoja de calendario. • Recortar los números de una hoja de calendario y l uego ordenarlos formando una línea del 1 al 30, • Contar grupos de objetos de dos en dos, de tres en tres, etc. • Contar del 1 al 100 con apoyo del contador. • Leer en orden los números de las páginas de un libro

11. Efectuar canjes de 10 unidades por una decena y de 10 decenas por 1 centena, y representar cantidades de unidades, con apoyo de material.

• Leer y escribir números al dictado • Completar cuadros organizados de números

100

Los profesores comentan las actividades propuestas e i ntercambian otras que ellos pueden haber realizado, con éxito, para contar, leer y escribir numerales.

Con palitos: •Formar atados de 10 palitos, unirlos con un elástico y nominar al atado decena, hacer un paquete con 10 atados de palitos (decenas) y nominar a esta agrupación centena. • Recibir un conjunto de palitos,canjeat grupos de 10 de éstos por atados, todas las veces que sea posible. Expresar la cantidad de palitos en tantos atados o decenas y tantos palitos o unidades. • Contar de 10 en 10, de 100 en 100, con apoyo de este material. • Representar un número dado por el profesor con paquetes, atados y palitos y traducir esta representación en tantas centenas, más tantas decenas, más tantas unidades. Con billetes: • Canjear 10 billetes de $1 por 1 billete de $10, 10 billetes de $10 por un billete de $100 y 10 billetes de $100 por un billete de $1000. • Recibir una cantidad de billetes de $1, canjear por billetes de $10 todas las veces que puedan y expresar la cantidad de dinero.

• Reconocer una cantidad representada por un conjunto de billetes, expresarla de dos maneras; en número de billetes con su valor respectivo y en unidades, por ejemplo: 3 billetes de $100, 4 billetes de $10 y 5 billetes de $1, es decir $ 345. Los profesores comentan las actividades propuestas y se organizan en grupos para plantear actividades con canjes, utilizando cada grupo uno de los siguientes materiales: Fichas de colores Abaco Exponen su trabajo y proponen un orden, de acuerdo a l os materiales considerados, desde la actividad más fácil hasta la más difícil. 111. Representar una misma cantidad de diversas formas, con apoyo en un material y describir con palabras lo representado. • Representar con billetes una cantidad dada, efectuar canjes para buscar otras formas equivalentes y expresar estas representaciones en número de billetes por su valor respectivo y en unidades. • Señalar la cantidad total de dinero representado en cada línea y el número total de billetes empleados.

Los profesores comentan la importancia que para la resolución de ejercicios de sustracción tiene este tipo de actividad, por ejemplo para resolver 1342 - 867 = , en este caso la descomposición de 1342 en 12 centenas + 13 decenas + 12 unidades es la más adecuada para resolver el ejercicio. Buscan diversas formas de representar una cantidad determinada con otros materiales, señalan cuáles serían más apropiados para sus cursos y fundamentan su selección.

IV. Establecer el valor de posición de las cifras de un numeral. • Representar una cantidad en el ábaco, por ejemplo 21, agregar 1 ficha en la varilla de las unidades y leer la cantidad, agregar 2 fichas en las unidades y leer la cantidad, agregar 1 ficha en la varilla dulas decenas y leer la cantidad, agregar 2 fichas en las decenas y l eer la cantidad.... Comentar los resultados. • Formar números con las tarjetas de números;tomar las tarjetas de las unidades y decenas y representar, por ejemplo 22, luego 23, 33, 34, 44, etc. Señalar en cada ocasión el valor en unidades de cada dígito o cifra. • Representar con billetes sobre el tablero de cuatro columnas una cantidad de dinero, de manera que los billetes de $1 queden bajo la columna de las unidades, los billetes de $10 bajo las columnas de las decenas... Contestar preguntas tales como: ¿Cuanto dinero hay en la columna de las centenas? ¿Cuántos billetes hay en la columna de las centenas?... • Tomar de las tarjetas de números, tres correspondientes a las unidades, por ejemplo 5, 8 y 3 y tomar de las tarjetas de decenas 50, 80 y 30. Formar con éstas todos los números distintos que puedan, anotarlos y l uego ordenarlos de menor a mayor. Contestar preguntas como las siguientes: ¿Qué números tienen la cifra 8 en las decenas?, ¿Qué números tienen la cifra 8 en las unidades? ¿Qué números son mayores que 53?...

• Contestar problemas: Soy un número mayor que 400 y menor que 500, en las decenas y unidades tengo la cifra 5. ¿Quién soy?. Soy menor que 2000 y mayor que 1000, el dígito de las unidades es igual al de las decenas y suman 4, el dígito de las centenas es igual al de las unidades de mil. ¿Quién soy?. Los profesores comentan las actividades propuestas e intercambian algunas de su repertorio destinadas a establecer el valor posicional de las cifras.

Actividad 6/ Definamos la tarea Comentan las dificultades que han observado en sus cursos en relación al manejo por parte de los alumnos del sistema de numeración, ya sea en actividades propias de este tema o en su aplicación al resolver ejercicios de operatoria. Seleccionan una de las dificultades que han comentado y acuerdan realizar en sus cursos algunas actividades, de las propuestas en el Taller, que creen pudiesen ayudar a sus alumnos a superar la dificultad. Cada profesor se compromete atraer, para compartir en el próximo Taller, un informe escrito en el que consigne las actividades realizadas en su curso, las adaptaciones que les hizo al aplicarlas y las reacciones de sus alumnos

Taller 9/

En este Taller se señala a los profesores la importancia de conceptualizar y de ejercitar la adición y la sustracción por medio de situaciones problemáticas de interés para los alumnos. Se plantea la complementariedad de la adición y de la sustracción y la conveniencia de ejercitar sistemáticamente diversos tipos de problemas para que los alumnos capten el sentido de ambas. Finalmente, se proponen algunas actividades para facilitar la comprensión y la asimilación de las combinaciones aditivas básicas.

Actividad 1 / Comentando la Tarea Los profesores comentan qué actividades seleccionaron para trabajar en clases, informan qué adaptaciones les hicieron y cómo reaccionaron sus alumnos. I ntercambian opiniones respecto a las actividades que l es han parecido más adecuadas para reforzar el aprendizaje del sistema de numeración decimal.

Actividad 2/ Problemas para resolver En grupos, los profesores resuelven los siguientes pro-

blemas

3/ En la mañana, doña Peta tenía 15 empanadas. Preparó 6 más. ¿Cuántas tiene ahora?

4/ Doña Peta tenia hoy 24 empanadas. Vendió 7. ¿Cuántas le quedan?

5/ Doña Peta mandó a sus hijos a vender empanadas. Monchito se llevó 17 y la Petita se llevó 23. ¿Quién llevó más empanadas, y cuántas más?

analizan los procedimientos que usaron, escribiendo las relaciones numéricas que les permitieron resolver cada problema.

Actividad 3/ Tipos de problemas de adición y de sustracción A través de esta actividad se analizarán tres tipos de problemas:

De unir y de separar De agregar y de quitar De comparar

Ambos problemas se refieren a una colección o conjunto de empanadas que se pueden considerar, o bien juntas, o bien separadas en dos clases: las de pino y las de queso.

La ejercitación sistemática de problemas de estos tres tipos ayudará a los alumnos a captar el sentido de la adición y de la sustracción y a distinguir cuándo corresponde usarlas.

3/1. Problemas de unir y de separar

Los problemas de unir se resuelven habitualmente con una adición. En este caso: 12 + 7 = n significa que hay que juntar las empanadas de pino con las de queso y contar o calcular el total de empanadas. La acción de unir puede referirse al hecho físico de poner las empanadas en una misma fuente, o al hecho mental de no considerar de qué son las empanadas y ponerlas en una sola categoría al determinar su cantidad.

Los profesores leen el texto que sigue.

Entre los problemas de doña Peta, son de unir y de separar los siguientes: « 12 de pino y 7 de queso, ¿cuántas empanadas?»

pino

queso

«28 empanadas, 18 de queso, ¿cuántas de pino?» pino

queso

Los problemas de separar se pueden resolver mediante una sustracción: En este caso:28 -18 =n significa que hay que separar del total de empanadas las que son de queso y contar o calcular las restantes. La separación, al igual que la unión, puede corresponder a una acción física o mental. También es posible resolverlos problemas de separarmediante una adición en la que se desconoce uno de los sumandos. En este caso: 18 + n = 28, lo que significa que hay que determinar cuántas empanadas de pino habría que juntar cono las 18 de queso para obtener el total de 28 empanadas.

Un tipo especial de problemas de separación son aquéllos en que, conocida la cantidad total, hay que separarla en dos grupos de cualquier tamaño. En este caso, las respuestas posibles son varias.

En un paquete de galletas quedan 7. ¿Cómo se las pueden repartir Rodolfo y Carlos?

Carlos

Rodolfo

Por grupos, los profesores buscan temas interesantes para sus alumnos y apropiados para plantear problemas de unir y de separar. Eligen uno e inventan por lo menos tres problemas diferentes. El conductor del Taller advierte que las colecciones o conjuntos que se unen y se separan deben estar bien definidos y no deben tener elementos en común. Así, los alumnos de un curso pueden ser separados fácilmente en niños y niñas, pero no es tan fácil separarlos en « deportistas» y «aplicados» porque, ¿dónde quedan los que son deportis-

tas y también aplicados? Ponen en común los problemas inventados y comentan cuáles se pueden resolver con adiciones y cuáles con sustracciones.

Otras situaciones que se prestan para plantear problemas de unir y de separar son: • Una colección de estampillas donde hay estampillas de Chile y de Argentina. • Los alumnos de un cursó, en el que hay niños y niñas. • Un corral de animales, donde hay pavos y gallinas. • Un cordel con ropa tendida, donde hay camisas y pantalones. • Una cuenta, que incluye el precio de un sandwich y de una bebida. • Un ramo de flores, en el que hay chinitas y crisantemos.

3/2. Problemas de agregar y de quitar Los profesores leen el siguiente texto.

Entre los problemas de doña Peta, son de agregar y de quitar:

15 empanadas, preparó otras 6,¿cuántas tiene?»

los datos y la incógnita. Cada Ifnea de los cuadros.siguientes corresponde a una posible variación del problema.

n24 empanadas, vendió 7,

¿cuántas tiene?»

Estos dos problemas se refieren a cambios que tienen lugar a lo largo del tiempo. En ellos se puede distinguir un momento inicial (M.I.), una acción intermedia (agregar ó quitar) y un momento final (M.F.).

Los problemas de agregar pueden resolverse con una lo que significa que a las adición. En este caso. 15 + 6 15 empanadas que había al principio se le agregaron 6.

=n,

Los problemas de quitar suelen resolverse con una sustracción. En este caso: 24 - 7 significa que, de las 24 empanadas iniciales, hay que descontar las 7 vendidas.

= F'j

La formulación de los problemas de agregar y de quitar se puede variar, cambiando el lugar en que se encuentran

Por grupos, los profesores resuelven las variantes de problemas de agregar y quitar descritas en los dos cuadros anteriores. Analizan en qué casos usan adiciones y en cuáles sustracciones. Ponen en común los análisis realizados asociando a cada variante una o más de las siguientes expresiones: • Adición, conocidos los sumandos • Adición, conocidos la suma y un sumando Sustracción, conocidos el minuendo y el sustraendo • • Sustracción, conocidos la diferencia y uno de los otros dos términos

Otras situaciones útiles para plantear problemas de agregar y de quitar son:

referirse a cuántos objetos más hay en la colección mayor o a cuántos objetos menos hay en la colección menor. El problema puede resolverse apareando los objetos de ambas colecciones y contando los que quedan sin pareja También mediante una sustracción, como: 23 -17 = n , o una adición en la que se conoce la suma y un sumando, como. 17 + n = 23 que puede interpretarse como: ¿Cuántas empanadas le faltan a Monchito para tener lo mismo que Petita?. Otro procedimiento posible consiste en plantear. 23 - n = 17 , que puede expresarse como: ¿cuántas empanadas le sobran a Petita para tener lo mismo que Monchito?

3/3. Problemas de comparar Los profesores leen el texto que sigue. Entre los problemas de doña Peta, es un problema de comparar:

-Monchito se llevó 17 empanadas y la Petita 23. ¿Quién llevó más, y cuántas más?» Monchito: Petita:

.......................

En este problema se trata de comparar dos cantidades y encontrar la diferencia entre ambas. La pregunta puede

Es posible variar la formulación de los,problemas de comparar si se cambia el lugar en que se encuentran los datos y la incógnita. El siguiente cuadro muestra estas variaciones.

Otro tipo de problemas de comparar son los que contrastan una situación que corresponde al momento actual con otra futura, o pasada.

Mariela va a casa de su abuelita, que queda a 13 cuadras de la suya. Ya caminó 8 cuadras, ¿Cuántas cuadras le faltan para llegar?

En grupos, los profesores escogen un tema de comparación que piensen que interesará a sus alumnos y elaboran por lo menos tres forrhulaciones diferentes de problemas de comparación. . Ponen en común los problemas elaborados y buscan nuevas variantes para cada tema de comparación escogido, cuidando que las preguntas sean relevantes.

Actividad 4/ Cómo representar lo que se suma y lo que se resta Por grupos, los profesores resuelven los problemas siguientes, utilizando representaciones gráficas.

En una conejera había doce conejos. Un día la puerta de una jaula se quedó abierta y se escaparon cinco conejos. ¿Cuántos quedaron?

Juanito Gómez cumplió 9 años en 1992. ¿Qué edad tendrá en el año 2 000?

Ponen en común las representaciones que utilizaron. En el problema de la conejera, cada conejo puede ser representado por un dibujo o un símbolo cualquiera. Algunos de éstos podrán ser marcados, para identificar a los conejos que se escaparon.

En el problema de la edad de Juanito, no resulta adecuado representar cada año por un dibujo aislado. La recta numérica constituye una buena representación, ya que muestra el carácter continuo y secuencial del transcurso del tiempo.

Por grupos, los profesores inventan problemas de adición y de sustracción que puedan ser representados por conjuntos de dibujos o símbolos, como el problema de la conejera, y otros que convenga representarlos por una recta numérica, como el de la edad de Juanito. Al final, hacen una lista en la que anotan con qué clase de objetos trabajaron, en cada tipo de problemas.

El conductor del Taller sugiere a los profesores que busquen temas atractivos para los alumnos, como podrían ser historias protagonizadas por ellos, y que se las cuenten varias veces, mientras logren mantenerlos interesados, variando sistemáticamente:

Las cantidades en juego (los números) El tipo de problemas (de unir y de separar, de agregar y de quitar, de comparar) El tipo de objetos involucrados (objetos aislables o magnitudes continuas) Lo que se pregunta y la información que se da (lo que dará ocasión a la práctica de la adición o de la sustracción) En los casos en que tanto la adición como la sustracción son posibles es conveniente permitir que los alumnos usen una u otra, indistintamente.

Actividad 5/ Combinaciones aditivas básicas Los profesores leen el texto siguiente. Se consideran como combinaciones aditivas básicas las adiciones de dos sumandos cuya suma es igualo menor que 20. Su dominio constituye una de las bases del cálculo mental y escrito correspondiente a la operatoria aritmética. A l término del Primer Ciclo de la Educación General Básica es indispensable que todos los alumnos manejen estas combinaciones en forma rápida y segura, sin cometer errores. El aprendizaje de las combinaciones aditivas básicas requiere de bastante tiempo, dedicado a actividades que aseguren la conceptualización y, posteriormente, la asimila ción de éstas. Por ello, puede ser desglosado en dos etapas: 1/

Conceptualización de las combinaciones aditivas básicas. Etapa destinada a que los alumnos comprendan las relaciones aditivas en el ámbito del 0 al 20. A prenden a encontrar la suma, dados los sumandos, y a descomponerunacantidad enpares de sumandos. Inicialmente,

se apoyan en materiales concretos, para orientar y comprobar sus cálculos. ?,l

A similación de las combinaciones aditivas básicas. En esta etapa se trata de facilitar la memorización y el cálculo rápido de adiciones y sustracciones en el ám bito del 0 al 20. Para ello, hay que ayudarles a visualizar las relaciones entre los diversos ejercicios que se les proponen y proporcionarles instancias de práctica variadas y amenas.

Por grupos, los profesores reflexionan sobre la cantidad de tiempo de clases que dedican al aprendizaje de las combinaciones aditivas básicas. Intercambian experiencias respecto a las actividades de aprendizaje que organizan. Los profesores de cuarto año informan sobre la cantidad de alumnos de su curso que aún cuentan con los dedos o se demoran en calcular una combinación aditiva básica. Opinan sobre la relación entre una deficiente asimilación de las combinaciones aditivas básicas y los errores de cálculo en la operatoria aritmética. Luego, analizan las dos actividades que se describen a continuación, e identifican cuál corresponde a cada una de

las etapas del aprendizaje de las combinaciones aditivas básicas descritas en el texto que leyeron. Finalmente, ponen en común sus conclusiones.

El mago adivinador Materiales: Una bolsa no transparente, fichas de colores y un dado, o tarjetas con los números del 1 al 6.

Gana la suma mayor Materiales: Dos conjuntos de tarjetas con los números del 1 al 9 para cada grupo de alumnos. También sirve un juego de naipes. Descripción: Por grupos, los alumnos colocan las tarjetas boca abajo, al centro de la mesa. Por turnos, cada jugador sacados tarjetas. Completada una vuelta, los jugadores muestran los números que sacaron y dicen su suma. Gana el que tiene la suma mayor, siempre que no se haya equivocado al calcularla. El ganador se lleva todas ,las tarjetas de la vuelta e inicia la vuelta siguiente. Gana el juego quien haya reunido más tarjetas.

Descripción: Al comienzo, el profesor muestra que la bolsa está vacía y dice: « Nada por aquí, nada por allá». Un alumno lanza el dado o toma una tarjeta; supongamos que sale el 3. El mismo alumno pone 3 fichas en la bolsa. A continuación, otro alumno lanza el dado y pone en la bolsa la cantidad correspondiente de fichas. El profesor pregunta cuántas fichas hay ahora en la bolsa. ¿Están todos los alumnos de acuerdo? Es posible verificar la respuesta sacando las fichas de l a bolsa y es necesario hacerlo si hay alumnos que tienen dudas. Si los alumnos responden sin dificultad, laactividad se puede realizar con números del 1 al 10.

Actividad 6/ Definamos la Tarea

Antes del próximo Taller, los profesores deberán leer la lista de actividades que se proponen a continuación, para promover el aprendizaje de las combinaciones aditivas básicas. Cada profesor elige por lo menos una de estas actividades, la pone en práctica con sus alumnos y escribe un informe en el que incluye: • La actividad elegida • Si la realizó tal como está propuesta o con modificaciones, indicando cuáles • Las reacciones de sus alumnos • Otras actividades que le gustaría probar en el aula

Actividades para el aprendizaje de las combinaciones aditivas básicas 1.

Para la conceptualización de las combinaciones aditivas básicas

Descripción: El profesor explica que las fichas son pulgas; cada pulga salta en la cinta tantos números como lo que i ndica el dado. Gana el niño cuya pulga llega más lejos en dos jugadas. Mientras juegan, el profesor los estimula a que calculen a qué número llegarán en la segunda jugada. Luego comprueban si acertaron, desplazando la ficha. Variaciones: Gana el juego el niño cuya pulga llegue más lejos en tres o en cuatro jugadas. O el que primero llegue al número 30. Con la cinta, sin la ficha. Lanzan el dado y registran en sus cuadernos cada jugada. Si es necesario, usan la cinta para encontrar a qué número llegan. Sin cinta, ni ficha. Lanzan el dado y registran en sus cuadernos lasjugadas, calculando, a su manera, los números a los que llegan. Esta situación es más difícil, porque los alumnostienen que imaginar l aacción ynopueden comprobar inmediatamente con el material. Sin cinta, ni ficha, ni dado. El profesor inventa historias del tipo: «La pulga de Alicia está en el 3 y en el dado sale el 5, ¿a qué número llega la pulga?» El mago que saca fichas

Los saltos de la pulga Materiales: Una cinta de papel numerada hasta el 30 y un dado para cada grupo de alumnos. En los grupos, cada alumno tiene una ficha de un color diferente.

Materiales: Una bolsa no transparente, fichas de colores y un dado, o tarjetas con los números del 1 al 6. Descripción: El profesor muestra que la bolsa está vacía.

Luego colocan dentro un número determinado de fichas, por ejemplo, 7. Un alumno lanza el dado o toma una tarjeta; sacan de la bolsa el número de fichas indicado. El profesor pregunta cuántas fichas quedan en la bolsa. Los niños responden y su respuesta es verificada abriendo la bolsa y contando las fichas. Variaciones: Una vez colocada en la bolsa una cantidad conocida de fichas el profesor pregunta cuántas hay que sacar para que queden, por ejemplo, 3. Los alumnos responden, se saca el número de fichas que ellos dijeron y luego se comprueba si efectivamente quedan 3 en la bolsa. Sin bolsa, ni fichas: Cuando los alumnos ya estén familiarizados con el juego se puede inventar historias: «En la bolsa hay 9 fichas. Pedro lanza el dado, le sale 2; saca 2 fichas, ¿cuántas quedan en la bolsa?».

Jugar sin fichas y con la cinta. Los alumnos registran las jugadas en sus cuademos y se apoyan en la cinta para confirmar sus respuestas. Sin fichas y sin cinta, sólo con el dado. Su único apoyo es el registro escrito. Sin ningún material, en base a historias relatadas por el profesor.

Sumando puntos Materiales: Dos dados y una hoja con una tabla aditiva, sin los resultados, por grupo.

La pulga salta hacia atrás Descripción: Este juego es similar a «Los saltos de la pulga». La diferencia consiste en que ahora la pulga retrocede a partir de un número determinado de la cinta numerada, tantos números como indica el dado. El número de partida puede ser 10, i nicialmente. Variaciones: Iniciar el retroceso desde un número cada vez mayor, de acuerdo a los logros que muestren los niños.

Descripción: En una primera etapa todos los alumnos se agrupan en torno a la tabla, trazada en el piso o sobre una hoja grande de papel. Un alumno lanza el primer dado, lo

coloca sobre el número que salió, en la hilera horizontal, e i dentifica su «camino» (la franja vertical, bajo el dado). Otro alumno lanza el segundo dado y hace lo mismo, pero colocando el dado.sobre el número correspondiente en la hilera vertical. El profesor pregunta cuántos puntos obtuvieron con los dos dados. Los alumnos responden y, después de verificar su respuesta, anotan la suma en la casilla en que se juntan los «caminos de ambos dados. A medida que el juego se desarrolla, van completando la tabla y ejercitando su lectura. Al término de esta etapa colocan latablaen unamuralla, para que puedan consultarla cuando lo necesiten. En una segunda etapa, los niños practican el mismo juego por grupos. Cada grupo completa su propia tabla. Variaciones: Extender la tabla hasta el 10, o hasta el 12, utilizando dos dados para determinar cada sumando. Con la tabla colocada en una muralla, el profesor plantea situaciones ficticias del tipo: «A Manuel le salió 5 y a Rosita 3. ¿Cuántos puntos sacaron entre los dos? Si no lo saben, fíjense en la tabla, antes de contestar. Tapando los números escritos en los bordes de la tabla eligen un número que esté en el centro, por ejemplo, el 8. Buscan números que tendrían que salir en los dados para que los puntos sumados fueran 8 y los registran. Luego destapan los bordes para comprobar sus respuestas.

Cargando el carrito Materiales: Un juego de tarjetas par - impar, -por grupo. Descripción: En cada grupo, distribuyen las tarjetas sobre la mesa, en desorden. Un alumno toma una tarjeta, la esconde en su falda y dice cuántos puntos tiene. Un segundo alumno toma otra tarjeta y hace lo mismo. Entonces, cada miembro del grupo debe armar un «carrito donde quepan exactamente las dos tarjetas, yuxtapuestas. El «carro puede estar formado por una tarjeta o bien por dos, siempre que una de ellas sea la del 10. Comprueban si los «carros» están bien armados poniendo encima las dos «cargas. En cada jugada, verbalizan el ejercicio, por ejemplo: «cinco más cinco son diez. Variaciones: Si se equivocan demasiado, pueden practicar el juego de modo que, en un primer período, sólo puedan esconder cargas que tengan de 1 a 5 puntos. El profesor dice, por ejemplo: «carguen el carro del 9 con dos cargas. Por parejas, los alumnos toman la tarjeta del 9 y buscan otras dos tarjetas que, yuxtapuestas, coincidan exac tamente con ella. Luego, cada pareja dice qué tarjetas encontró. Decenas con los dedos Materiales: Las manos de los niños. Descripción: El profesor muestra con sus dedos un núme-

ro y los alumnos responden levantando el número de dedos necesarios para completar una decena. Es un juego de fácil control porque todos los alumnos deben mostrar la misma cantidad de dedos. Varlaciones: En vez de mostrar sus dedos el orofesor dice un número y pide a un alumno que diga el número necesario para completar una decená. Si otros alumnos no están de acuerdo con la respuesta, levantan sus dedos para mostrar su respuesta. Antes de iniciar el juego eligen un número, por ejemplo, el 7. Si el profesor levanta su mano con 3 dedos extendidos, los alumnos deberán levantar la suyacon 4, para completar 7. Una vez familiarizados con el juego, los alumnos lo practican en parejas; cada pareja elige un número diferente y, después de jugar, registra las descomposiciones aditivas encontradas. Pueden colocar en la muralla los registros correspondientes a los números que más les costó descomponer, como ayuda - memoria.

Ni.

Para la asimilación de las combinaciones aditivas básicas

Este tipo de actividades puede iniciarse cuando los alumnos ya han entendido parte de la tabla aditiva del 1 al 10 y debe prolongarse hasta que logren un manejo expedito de todas las combinaciones de esta tabla.

Contar y descontar Descripción: Participa todo el curso. El profesor parte diciendo el 1 y los alumnos continúan el conteo. Una vez que terminaron se empieza a descender en el conteo. Después se cuenta de diez en diez y se retorna. Se cuenta de dos en dos, de cinco en cinco, siempre en sentido directo e inverso. Es importante hacerlo lentamente al principio, para que los alumnos puedan sacar las cuentas, ejercitando las combinaciones aditivas básicas. El doble gana Materiales: Las manos de los niños. Descripción: Organizados en parejas, los niños dicen: «ca-chi-pún » y muestran, simultáneamente, una mano cada uno con algunos dedos estirados para representar un número. Si ambos señalan el mismo número, deben decir su suma y ganan un punto; por ejemplo: «tres más tres son seis. Después de un período de práctica del juego, registran todas las adiciones que encontraron. Variaciones: Practican el juego con las dos manos, cuidando de usar una mano para representar los números hasta el 5 y las dos manos sólo a partir del 6, para que la representación visual de cada número sea siempre la misma.

En grupo, hacen dos tarjetas con cada número cuyo doble aún no hayan memorizado. Las distribuyen sobre la mesa, por el reverso. Por turnos, cada alumno levanta dos tarjetas; si ambas tienen el mismo número, debe decir el doble para ganar un punto. Lotería Materiales: Fichas con números del 1 al 20. Una tabla aditiva del 1 al 10 sin llenar y 10 fichas de colores, por alumno. Descripción: Juega el profesor con todo el curso. Las fichas con números están en una bolsa; un alumno saca una ficha al azar, lee el número, lo anota en el pizarrón y lo devuelve a la bolsa. Cada alumno busca, en su tabla aditiva, una ubicación correcta del número leído y coloca una ficha de color en esa casilla. Por ejemplo, si se saca de la bolsa el número 9, un alumno podrá poner su ficha de color en la intersección de 5 y 4; otro la pondrá en la de 6 y 3. Gana el que primero complete 5 fichas de color en una misma línea de la tabla. Para verificar si está correcto, el alumno lee los sumandos correspondientes a cada ficha y el profesor revisa si los resultados están anotados en el pizarrón. Variaciones: Jugar en parejas, con una sola tabla aditiva. Por turnos, un alumno saca una ficha numerada de la bolsa, lee el número y coloca la ficha de color en la casilla que elija.

El otro alumno, a su turno, procede de igual manera. Gana el que pone la quinta ficha en una línea. También se puede colorear un sector de la tabla. En este caso, gana el que coloca la última ficha de color, en el sector seleccionado. El trabajo de control de los resultados se facilita con la tabla aditiva colocada en la muralla. A la búsqueda del sumando perdido. Un alumno lee la ficha numerada y el profesor dice un número menor. El alumno debe encontrar el número que, sumado al que dijo el profesor, de como resultado el número que leyó. Tapa estos tres números en la tabla aditiva, con fichas de colores. Se constata si está correcto y se reinicia el juego. El que saca trece, gana Materiales: Dos conjuntos de tarjetas con los números del 1a19. Descripción: Los alumnos se organizan en grupos. Las dieciocho tarjetas se colocan boca abajo, al centro de la mesa. Porturnos, cada alumno saca unatarjeta. Completada una vuelta, cada jugador dice en voz alta qué número le tocó y qué número le falta para obtener 13. En la vuelta siguiente sacan, cada uno, otra tarjeta. Se pueden presentar tres casos: sacar exactamente el número necesario para completar 13 y convertirse en ganador; sacar un número mayor que el requerido y convertirse en perdedor; sacar un número menor que el necesario, lo que da derecho a sacar otra

tarjeta en la vuelta siguiente y convertirse en ganador o perdedor. Gana el jugador que compone el número 13 con la menor cantidad de tarjetas.

Naipes con sumas y restas

Variaciones: Cambiar el número que hay que componer.

Descripción: Los alumnos, guiados por el profesor,-elaboran tarjetas en las que escriben una adición o una sustracción, con números entre 1 y 20, sin poner el resultado. Se organizan en grupos para jugar. Colocan las tarjetas al centro de la mesa, boca abajo. Cada alumno toma una tarjeta, la lee, calcula el resultado y lo dice en voz alta. Gana el alumno que obtiene un número mayor, como resultado.

Para atrás y para adelante Materiales: Por pareja, una cinta numerada, un dado, una tarjeta con el signo + y otra con el signo -, dos fichas de diferentes colores. Descripción: Un alumno lanza el dado y toma una de las tarjetas con signos. A partir de la casilla en que se encuentra, hace saltar su ficha el número de casillas que indica el dado, hacia adelante si tomó el signo + y hacia atrás si tomó el signo-. Gana el que llega primero a un número preestablecido. Variaciones: Sin fichas y con la cinta numerada. En este caso, llevan un registro escrito de las jugadas. La cinta sirve sólo para comprobar los resultados. Se puede organizar un juego colectivo; el profesor dice un número, el 8, por ejemplo, e indica: «sumen 2». Porturnos, los alumnos van diciendo: 10 - 12 - 14, etc., hasta que el profesor golpea con sus manos y cambia la orden diciendo, por ejemplo: « resten 3». A partir del último número dicho, los alumnos comienzan a restar 3, por turnos, hasta que el profesor cambie nuevamente la orden.

Material: Tarjetas en blanco.

Variaciones: Organizar el mismo juego, elaborando tarjetas con las combinaciones aditivas básicas que los alumnos presenten más dificultades para retener.

Taller 101

Se espera que a través del Taller, los participantes tengan oportunidad de reflexionar sobre el significado de los procedimientos que ellos utilizan, para resolver ejercicios de adición y sustracción. Se analizan algunos algoritmos en contextos significativos y se proponen además otros procedimientos para enfrentar más fácilmente la operatoria.

Actividad 1 / Comentemos la tarea Los participantes informan sobre la actividad que se l eccionaron para trabajar en su curso, explican las razones de esta selección y de las modificaciones que hayan hecho. Comentan las reacciones de sus alumnos, opinan sobre la utilidad de estas actividades y programan una secuencia para continuar probándolas en sus cursos.

Actividad 2/ El significado de l os algoritmos Los participantes leen el relato que se presenta a continuación, identifican y analizan los planteamientos que subyacen en la experiencia que se describe, manifestando su acuerdo o desacuerdo con éstos. El relato refleja l as i deas principales de un artículo titulado «Acción y conocimiento matemático» publicado en la Revista «Psicología Educativa» N° 10,1986, Medellín, Colombia, escrito por l a profesora Delia Lerner, Asesora Pedagógica de la Universidad Nacional de Buenos Aires.

«Hace muchos años, un niño de tercer año me pregúntó: «¿Por qué la división se hace al revés que los demás cálculos?» Un tanto sorprendida, le pedí que me explicara mejor su pregunta. Con la ayuda de sus compañeros, la reformuló en los siguientes términos: «Cuando uno suma, resta o multiplica, empieza por las unidades, sigue por las decenas; etc. Cuando uno divide, empieza por el número más grande- es decir, por el valor posicional mayor- y sólo al final divide las unidades. ¿Por qué?» Les dije que nunca se me había ocurrido plantearme esa interesante pregunta. Un niño agregó: « Yo pienso que, como en la división se reparte, es mejor repartir primero lo más grande y después lo más pequeño». Uno de sus compañeros objetó: «Sí, pero en este caso tendría que pasar lo mismo cuando restamos porque también sería lógico quitar primero de los números más grandes y después de los más chiquitos^

Les propuse que retomáramos el problema al día siguiente, una vez que hubiera reflexionado lo suficiente como para encontrar juntos una respuesta. Unas cuantas horas de trabajo, conversando con varios profesores dula escuela resolviendo muchas adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones- nos revelaron que cualquiera de esos cálculos podría resolverse «al derecho» y «al revés», que era posible llegar al resultado correcto tanto comenzando por el valor posicional inferior como por el superior. Descubrimos también que, en algunos casos, los dos métodos eran igualmente económicos pero, en otros casos, resultaba

mucho más económica la dirección convencional.

dolo de cualquiera de las dos formas, otros sostenían que no era así

¿Cómo comunicar a los niños estos descubrimientos? Sabíamos que los descubrimientos no se transmiten, lo único que puede hacerse es crear las condiciones para que los demás tengan la oportunidad de hacerlos. Por lo tanto, al volver al aula, no pretendí explicar a los niños las soluciones que habíamos encontrado. Les dije, en cambio, que para encontrar una respuesta a la pregunta que ellos se habían formulado, era necesario hacerse antes otra pregunta: ¿Es obligatorio multiplicar, sumar, restar y dividir en la forma habitual o bien es posible hacerlo también en dirección inversa?

Decidimos entonces analizar los ejercicios que ellos habían hecho, para determinar las semejanzas y diferencias que pudieran existir entre los cálculos que permitían obtener el mismo resultado en las dos direcciones y los que, según ellos, no lo permitían.

Las opiniones de los niños fueron diversas y pueden resumirse en las tres siguientes:

• • •

No se puede hacer al revés. Se puede, pero no dará el mismo resultado. Se puede y dará el mismo resultado.

Se propuso entonces que buscáramos juntos formas de verificar o rechazar las diversas hipótesis planteadas. Los niños opinaron que era necesario intentar resolver todos los ejercicios en las dos direcciones y que lo más fácil era empezar sumando. Cada niño inventó y resolvió un ejercicio de adición, pero esto no permitió llegar a un acuerdo: algunos sostenían que se obtenía el mismo resultado hacién-

Al comparar varios cálculos de cada tipo especificado, los niños descubrieron que, en el primer caso, se trataba de situaciones que no requerían ninguna reagrupación -"sin reserva "- en tanto que, en el segundo, era necesario reagrupar. Por lo tanto, en este último caso, los resultados que se obtenían al realizar la operación de izquierda a derecha eran absurdos: como no se podía pasar al lugar de las decenas la nueva decena formada al reunir las unidades, se obtenían números mucho mayores de lo que era lógico esperar a partir de los sumandos.

colocar las decenas en el lugar de las centenas y ésa es la razón por la cual los resultados eran tan absurdos.

Dije que me parecía muy raro que se pudiera obtener el mismo resultado en unos casos y no en otros y propuse buscar algún procedimiento que permitiera resolver el pro blema que nos planteaban las adiciones en las que era necesario reagrupar. Después de una discusión en pequeños grupos, a lo largo de la cual los niños volvieron a hacer muchos ejercicios en ambas direcciones, varios de ellos encontraron la solución formulando una regla suplementar¡a que decía: «A ún cuando la adición se realice «al revés», la reagrupación debe hacerse en la dirección convencional». Ejemplos:

Todos los niños consideraron que éste era el único procedimiento posible, puesto que, si no se utiliza, hay que

Una vez logrado el acuerdo, les pregunté: «Si se puede obtener el mismo resultado en las dos direcciones ¿por qué será que al sumar empezamos por las- unidades?» La res puesta fue unánime: «¡Porque es más fácill» Sin embargo, algunos niños dijeron que era más interesante hacerlo «al revés» porque uno se veía obligado a «pensar más». Pregunté qué era lo que tenían que pensar tanto y ellos respondieron: «Uno no se puede olvidar qué es lo que está sumando, hay que prestar atención todo el tiempo para saber s¡ se trata de decenas o de centenas». Luego seguimos un proceso similar para las otras operaciones -muy rápido para la sustracción y la multiplicación, más difícil en el caso de la división- y los niños comprobaron que las conclusiones a las que habíamos llegado con respecto a la adición eran generalizables a los otros cálculos. Esta situación muestra claramente la necesidad de que los niños reconstruyan porsímismos el proceso a través del cual se producen los conocimientos, aún cuando se trate -como en este caso- de contenidos que resultan de una convención social tan establecida que nosotros mismos ya no sabemos cómo ni por qué se llegó a ella. Hemos podido observar también que los niños actúan intelectualmente no sólo sobre objetos concretos, sino también cuando trabajan con lápiz y papel, es decir, sobre representaciones e incluso sobre

procedimientos adquiridos de manera más o menos mecánica. Ellos se plantean problemas, formulan hipótesis y buscan formas de ponerlas a prueba. Para verificar estas hipótesis, coordinan sus acciones de diferentes maneras en este caso variando el orden en que se realizan- y reflexionan acerca de los resultados obtenidos así como acerca de las acciones mismas. De este modo se hace posible, en la situación particular que estamos analizando, descubrir que el resultado es independiente del orden en que se ejecutan las acciones y comprender las razones que llevaron a elegir el procedimiento convencionalmente utilizado.

La familia Soto viaja de Santiago a Antofagasta, ellos recorren aproximadamente 1 370 Kms. La familia Riganaza viaja de Santiago a Puerto Montt, ellos recorren aproximadamente 1050 Kms. Si la familia Riganaza desea ir a visitar a la familia Soto, a la ciudad de Antofagasta ¿ Cuántos kilómetros debe recorrer?

• •

•

Actividad 3/ Diferentes algoritmos de adición para un solo problema 3/1. De viaje por chile 9

Los participantes leen el siguiente problema.

Solucionan el problema en pequeños grupos. Escriben la forma en que lo resolvieron, o sea los pasos que siguen para resolver el ejercicio, ya sea que lo hagan mentalmente o por escrito. Ponen en común los algoritmos utilizados, los comparan y establecen semejanzas o diferencias .

3/2. Haciendo un presupuesto Los participantes leen el siguiente problema.

Tres amigas, Viviana, Consuelo y Pilar, desean preparar una comida para algunos amigos, deciden hacer arroz con salchichas en salsa de tomate, duraznos de postre y bebidas. Los invitados son tres, más ellas, los padres y un hermanito de la dueña de casa, el que participa activamente de la idea . El presupuesto debe ser, entonces, para nueve personas.

Marcelo dijo: voy a calcular cuánto sale comprar la bebida y los duraznos, tomó un lápiz y resolvió el ejercicio así:

Para llegar al resultado, razonó así:

Mirando los precios en una propaganda, las amigas y Marcelo; el hermanito, hacen una lista para l uego realizar los cálculos. ARROZ SALCHICHAS SALSA DE TOMATE BEBIDAS DURAZNOS AL JUGO

$383 $450 $235 $475 $895

Necesitamos $1370 para comprar la bebida y el postre, dijo Marcelo. Viviana, -por su cuenta, realizó los siguientes cálculos.

El resto de las cosas necesarias para cocinar las pone la dueña de casa. i Listo! dijeron las amigas, ahora

a calcular.

31 383 450 235 475 + 895 2438

Viviana dijo: por lo menos necesitamos $2 438, para hacer todas las compras.

Pila( también hizo sus cálculos.

que su suma parcial pasa de diez, tarja el número, conserva las unidades y les suma el número que sigue. Por ejemplo: 3 + 5 = 8; 8 + 5,= 13, tarja este 5, conserva el 3, y sigue sumando. Antes de sumar los números que corresponden a las decenas, cuenta la cantidad de tarjas en la columna de las unidades, la que corres0onde a la «reserva». Luego, sigue sumando las decenas de la misma manera; una tarja, más 8 son 9, más 5 son 14, tarjo el 5 y conservo 4; luego 4 más 3 son 7, más 7 son 14, tarjo el 7 y conservo 4; a continuación, 4 más 9 son 13, tarjo el 9 y escribo 3. Paso a sumar la columna de las centenas, cuento primero el número de tarjas que se hicieron en la posición de las decenas y las sumo al primer número que corresponde a las centenas.

383 450 235 475 + 895 18 320 + 2100 2438 Estoy de acuerdo, necesitamos $ 2 438, dijo Pilar. Al mismo tiempo, trabajaba Consuelo. 383 00 235 410 + 05 2438 Consuelo, también coincidió con la cantidad. Consuelo utiliza una forma de sumar que le facilita el conteo de las reservas. Comienza sumando los números que ocupan la posición de las unidades, cada vez

Las tres amigas y Marcelo, pudieron realizar los cálculos sin mucha dificultad. Los participantes, trabajando en grupos: •

Analizan cada uno de los algoritmos utilizados por Viviana, Consuelo, Pilar y Marcelo, determinan sus ventajas o desventajas

Al trabajar algoritmos, deben considerarse las mismas recomendaciones que para el proceso enseñanza-aprendizaje de cualquier concepto, noción o habilidad matemática; nos referimos a aquéllas relacionadas con la utilización de material concrete. La comprensión de cualquiera de los procedimientos se agiliza si se utilizan primero representaciones concretas, luego gráficas y por último las simbólicas. Son materiales concretos adecuados: los billetes, con su respectivo tablero, un ábaco, construido en cualquiera de sus versiones, las tarjetas con números, entre otros.

En el primer algoritmo Marcelo aplicó sus conocimientos de Sistema de Numeración Decimal y la propiedad asociativa de la adición. El algoritmo de Pilar es semejante al de Marcelo, ella no descompone los números, pero sí suma primero las unidades, l uego las decenas y por último las centenas; para obtener el resultado final Pilar suma sus resultados parciales. Los otros dos algoritmos, el de Viviana y Consuelo, también son semejantes entre sí. Viviana suma en cada posición y escribe la «réserva» sobre la posición de orden superior siguiente, Consuelo, en cambio, se apoya en el conteo de las tarjas. • •

Se recomienda ver el video: "Operatoria Aritmética en la Escuela Básica", del Programa de las 900 Escuelas.

• •

•

Escriben un breve informe, donde establecen semejanzas y diferencias entre los algoritmos presentados en el problema.

El conductor del Taller puede dirigir la atención hacia los siguientes aspectos.

Proponen otros algoritmos conocidos por ellos. Conversan sobre la factibilidad de que sus alumnos utilicen diferentes algoritmos para encontrar el resultado de un ejercicio. Relacionan sus propias conclusiones, con las planteadas en la lectura presentada en la Actividad 2. Ponen en común, el trabajo realizado en los grupos.

Actividad 4/ Conociendo diferentes algoritmos de sustracción 411. Un problema «históricoLos participantes, en conjunto •

Leen el siguiente problema:

Si alguien dice: «pido 1 », ¿a quién le pide?, ¿cuándo devuelve lo que pidió?, ¿a quién le devuelve? Si alguien dice: «pido 1 y tengo 12», ¿si pidió 1, y tenia 2, cómo puede tener 12 ahora? etc. •

Analizan y comentan las siguientes formas de abordar el problema, propuestas por Raúl y Yolanda.

La proposición de Raúl El problema se puede traducir así:

¿Cuántos años han pasado desde que Diego de Almagro descubrió Chile?

•

Resuelven el problema Un «voluntario» hace la sustracción en la pizarra, explicando cada paso: 1 992 -1536 456 •

Ponen en común sus procedimientos, relatando los pasos que siguen para resolver la sustracción. Responden preguntas como éstas: ¿Alguien hace la sus tracción de otra manera? ¿Cuál? Háganla y comparen.

La distancia entre 1536 y 1992 es equivalente a la suma de los tramos: 4+60+300+92=456 Son 456 años.

La proposición de Yolanda Otra manera de encontrar el sumando desconocido es:

Una manera de resolver ejercicios de sustracción consiste en considerarlos como adiciones en las que se desconoce uno de los sumandos.

Los participantes dan respuesta a la siguiente pregunta: Este procedimiento también se puede usar aunque el ejercicio se escriba así:

¿Es posible invertir el procedimiento utilizado en la recta numérica? Intentan dar respuesta a la pregunta, con el siguiente problema:

En este caso se está planteando una sustracción, pero se está resolviendo una adición:

En 1992 se celebran los 215 años del natalicio de José de San Martín ¿En qué año nació?

4/2. Cambiando antes de restar

Por ejemplo, en la columna de la unidades diríamos

Materiales: Una bolsa del material «Los billetes por cada grupo. Los participantes leen el problema, plantean la sustracción y la resuelven, utilizando los "billetes ", como material de apoyo.

pagar los $3 755 y les quedan, $1807. El Tercero A ha reunido $5 362 para la fiesta de fin de año. En el Consejo de Curso decidieron pagar con ese dinero el vidrio que rompió casualmente Anita. El vidrio costó $3 755 ¿Cuánto dinero les queda?

El procedimiento puede esquematizarse así:

La comprensión de este procedimiento se facilita cuando, como en el caso de los billetes, el sistema de medidas está organizado de 10 en 10.

4/3. Sumando y restando constantes •

• •

• Para pagar $5 tuvieron que cambiar un billete de $10 por 10 billetes de un peso. Asimismo, para pagar $700 tuvieron que cambiar un billete de $1000 por 10 billetes de $100. Hecho esto, pueden

Los participantes, en conjunto, conversan sobre algunas estrategias para resolver adiciones y sustracciones, donde se facilite el cálculo mental. Registran por escrito los algoritmos propuestos. Analizan y resuelven los siguientes ejercicios, aplicando alguna estrategia que facilite su cálculo.

Revisan otras estrategias propuestas 198 +378

198+2 378+2

200 +380 580-4=576

Se ha sumado una constante 2 a ambos sumandos para

redondear los sumandos; 200 + 380 se suma y al resultado se le restan 4 unidades.

«Dado que una decena es igual a 10 unidades, si sumamos 10 unidades al minuendo y 1 decena al sustraendo, la diferencia entre ambos términos será la misma, con la ventaja de que será más fácil encontrarla. Tendremos: 1992+ 1536+

El minuendo se expresa como 100 -1, y el sustraendo como 100 + 4, se suma 100 más 100 y se resta 4 menos 1. El resultado final es 203. Revisan y resuelven los siguientes ejercicios.

10 unidades 1 decena

Sumar o restar una misma cantidad al minuendo y al sustraendo, en la sustracción, puede servir como un «truco» para simplificarla. Vean un ejemplo: 723 (+3)... -387 (+3)...

Reflexionan para dar respuesta a la siguiente pregunta: ¿Por qué en todas estas sustracciones se obtiene el mismo resultado?

1 99(12) -15(4)6

726 (+10)... -390 (+10)...

736 -400

En este caso, el «truco» consiste en sumar lo que sea necesario para tener decenas completas y luego centenas completas en el sustraendo.

Recuerdan el problema del descubrimiento de Chile: 1992 -1536 •

Leen y comentan la siguiente estrategia para facilitar el cálculo mental.

La diferencia entre minuendo y sustraendo se mantiene constante cuando a ambos se les suma o se les resta una misma cantidad.

Aplican la conclusión del punto anterior a la resolución del siguiente problema.

Aníbal tiene 8 años y Camila 25. Dos años más tarde Aníbal tiene 10 años y Camila 27. Aníbal suspira: ¡Me siguen faltando 17 años para ser de su edad!

Hay niños que cometen errores en las sustracciones porque restan el número menor del mayor aunque el número mayor esté en el sustraendo. Daniel también lo hace así y no le va mal. Vean como lo aplica en el problema histórico.

Esto está mal ¿verdad? Es que Daniel todavía no ha puesto los signos. En cada columna, si el número mayor está en el minuendo escribe el signo + y si está en el sustraendo escribe el signo - porque la diferencia es negativa.

Actividad 5/ Otras técnicas para resolver ejercicios de adición y sustracción

Ahora escribe el resultado en forma desarrollada sumando los números que tienen signo + y restando los que tienen signo -

5/1. Un procedimiento «algebraico» para restar Los participantes, en pequeños grupos, leen y comentan el siguiente caso.

Este es el resultado, han pasado 456 años.

Actividad 6/ Definamos la tarea Una de las ideas principales, transmitidas a través de los Talleres, es la necesidad de contextualizar los aprendizajes matemáticos.Los algoritmos no se escapan de esta recomendación, por lo tanto es necesario contar con problemas que faciliten su comprensión. Los participantes diseñan dos situaciones problemáticas de adición o de sustracción y las proponen a sus alumnos. Para el Taller siguiente deberán llevar un informe escrito que incluya las situaciones propuestas y una selección de las diferentes maneras que utilizaron los niños para resolverlas.

Taller 111

EsteTallertiene como propósito que los participantes revisen diversos tipos de situaciones multiplicativas que les permitan orientarla conceptualización y ejercitación de la multiplicación y división. Se espera que l os profesores tomen conciencia de la importancia de ligar estos aprendizajes con situaciones interesantes para los alumnos que les permitan dar significado a la operatoria. Se proponen, además, actividades para l a construcción y asimilación de las combinaciones multiplicativas básicas.

Actividad 1 / Comentemos la tarea Los profesores ponen en común las situaciones planteadas a sus alumnos, las analizan y comentan sobre las maneras en que los alumnos hicieron l os cálculos.

3. El curso de Omar recibe 54 lápices. Vienen en 9 cajas con igual número de lápices cada una. ¿Cuántos lápices trae cada caja?

4. Silvia compra 6 chupetes. Un chupete cuesta $15. ¿Cuánto debe pagar por su compra?.

Finalmente, evalúan esas situaciones y seleccionan las mejores, con el fin de seguirlas probando en sus cursos.

Actividad 2/ Problemas para f eer y resolver En grupos, los profesores resuelven cada uno de los siguientes problemas.

1. El curso de Víctor recibe 8 cajas de lápices. En cada caja vienen 6 lápices. ¿Cuántos lápices recibe el curso?

2. El curso de Andrea recibe 42 lápices. Vienen en cajas de 6 lápices. ¿Cuántas cajas recibe el curso de Andrea?

5. Marcela compró 5 calugas en $ 50 ¿Cuánto dinero debe reunir si ella quiere comprar 15 calugas?

6. Marcos sabe que ofrecen 6 chilenitos en $480. ¿Cuánto debe pagar él si necesita comprar 9 chilenitos?

7. Pepe tiene 3 poleras; una blanca, una azul y una negra y 2 pantalones; uno de mezclilla y otro de cotelé. Si combina de todas las formas posibles sus poleras y pantalones. ¿Cuántas tenidas distintas puede armar?

12 lápices. 8. Daniel quiere embaldosarunaterraza, que a lo largo caben 30 baldosas y a lo ancho 12. ¿Cuántas baldosas debe tener Daniel para hacer este trabajo?

9. Juan ha terminado de colocar los azulejos en una pared del baño, ocupó 240 azulejos, si él colocó filas de 12 azulejos cada una. ¿ Cuántas filas colocó?.

Analizan los procedimientos que usaron para resolver los problemas y escriben el ejercicio que utilizaron en cada caso.

Actividad 3/ Tipos de problemas de multiplicación y división El aprendizaje de la multiplicación y la división se facilita si cuando los niños calculan ejercicios de multiplicación o división, pueden atribuirle un significado específico a cada una de las cantidades que intervienen. Así en lugar de decir: 2 por 6 son 12 pueden decir: en 2 cajas con 6 lápices cada una, hay

Y, en vez de decir: 18 dividido 6 es igual a 3 pueden decir: si tengo 18 sillas y las coloco en filas con 6 sillas cada una, formo 3 filas. En esta actividad se analizarán tres tipos de problemas: De agrupamientos y distribuciones equitativos De variación proporcional De combinaciones El trabajo de comprensión y resolución por parte de los alumnos de estos tipos de problemas les permite captar el significado de la multiplicación y división y los prepara para poder usar esta operatoria adecuadamente y con seguridad. 3/1. Problemas de agrupamientos y distribuciones equitativos Los profesores leen el texto siguiente: Dentro de los problemas de agrupamientos y distribuciones equitativos se distinguen dos categorías: A) conjuntistas: aquéllos en los que hay una colección de objetos-envases que actúan como recipientes o conti-

nentes y cada uno de éstos contiene igual cantidad de objetos-elementos, B) de arreglos rectangulares o cuadrados: aquéllos en los que hay un conjunto de elementos ordenados en un número de columnas (o filas) con igual número de elementos en cada una.

La denominación de estas categorías de problemas viene del hecho que para los primeros suelen ser adecuadas las representaciones conjuntistas, mientras que para los segundos se suele usar modelos de tipo geométrico; arreglos cuadrados o rectagulares: El curso de Víctor recibe 8 cajas de lápices. En cada caja vienen 6 lápices. ¿Cuántos lápices recibe el curso?.

Daniel quiere embaldosar una terraza, que a lo largo caben 30 baldosas y a lo ancho 12. ¿Cuántas baldosas debe tener Daniel para hacer el trabajo?

Ambas categorías de problemas se resuelven generalmente con un ejercicio de multiplicación. El curso de Víctor tiene 48 lápices (8 x 6) y Daniel necesita 360 baldosas (30 x 12). Cada uno de estos problemas da origen a otros dos que se pueden resolver mediante una división.

El curso de Andrea recibe 42 lápices. Vienen en cajas de 6 lápices cada una. ¿Cuántas cajas recibe el curso de Andrea?

En este problema se señala

el número total de lápices

recibidos y el número de lápices por caja, para dar respuesta a la pregunta es necesario tomar los 48 lápices e ir formando

cajas con la medida dada, es decir con 6 lápices, por esto último, éste es un problema de división-medición,

El curso de Omar recibe 54 lápices. Vienen en 9 cajas con igual número de lápices cada una. ¿Cuántos lápices trae cada caja? En este problema se señala el número total de lápices recibidos y el número de cajas; para dar respuesta a la pregunta será necesario repartir equitativamente los 48 lápices en las 9 cajas, poresto último éste ps un problema de división-partición. En los problemas de división es indispensable-señalar que el reparto se hará en partes iguales, en este caso, que en cada caja hay «igual número de lápices» Sí no se señala, deberíamos aceptar múltiples respuestas, pues 54 lápices se pueden distribuir en 9 cajas de muy diversas maneras, por ejemplo:

5+5+5+5+5+5+8+8+8=54 6+6+6+6+5+5+5+5+10=54

El problema de «Daniel y las baldosas», también puede originar dos problemas que se pueden resolver mediante una división, en ambos uno de los datos dados es el producto representado por el arreglo rectangular o cuadrado y el otro una de las medidas, preguntando por la otra medida.,

En grupos, los profesores buscan temas apropiados para plantear problemas de agrupamientos y distribuciones equitativos, tanto de la categoría denominada conjuntista como de los denominados arreglos rectangulares o cuadrados. Eligen dos temas, aquéllos que les parecen más interesante para los alumnos, y redactan al menos dos problemas, con cada uno de los temas. Ponen en común los problemas inventados, comentan cuales se pueden resolver con multiplicaciones y cuáles con divisiones. Clasifican los problemas en las categorías conjuntista y de arreglos rectangulares y cuadrados.

Otras situaciones que se prestan para plantear problerrtas de agrupamientos y distribuciones equitativos, de la categoría conjuntista, son aquéllas que consideran objetos envases de uso común: paquetes, floreros, paneras, bandejas, sobres, etc yobjetos-elementos tales-como velas, flores, panes, empanadas, láminas, etc.

Ejemplos: Paquetes con 4 velas cada uno Floreros con 12 flores cada uno Paneras con 6 panes cada una Bandejas con 10 empanadas cada una Sobres con 5 láminas cada uno Cajas, con 3 pañuelos cada una

Situaciones adecuadas para plantear problemas de agrupamientos y distribuciones equitativos, de la categoría de arreglos rectangulares o cuadrados, son aquéllas que consideran elementos que en la vida diaria suelen disponerse en este tipo de arreglos. Ejemplos: Cuadrados de un tablero de juego Botellas de bebida en una caja Butacas en un cine Huevos en una bandeja Vidrios de una ventana Ventanas de un edificio

3/2. Problemas de variación proporcional Los profesores leen: Son problemas en que se establece una corresponden-

cía múltiple entre dos conjuntos de medidas. Veamos un ejemplo:

El precio de cada pan es de $ 20. Se establece una correspondencia múltiple, de 1 a 20, entre las cantidades de panes y las de dinero. El valora pagar varía proporcionalmente al número de panes y el número de panes que se puede comprar varía proporcionalmente a la cantidad de-dinero. En un problema de variación proporcional, podemos distinguir básicamente tres casos que se presentan en cada uno de los siguientes rieles:

En grupos, los profesores resuelven cada uno de los casos presentados en los recuadros. Comparten los procedimientos empleados. Escriben l os ejercicios que hicieron para resolverlos y luego indican cuáles problemas resolvieron sólo multiplicando, cuáles sólo dividiendo, y cuáles dividiendo y multiplicando. Buscan otras situaciones adecuadas para plantear este tipo de problemas y cada profesor redacta tres problemas diferentes. Ponen en común los problemas planteados.

Otras situaciones que se prestan para plantear problemas de variación proporcional, pueden ser: Una campaña de salud, en la que cada participante visita 6 familias. La confección de carritos con 4 ruedas, de delantales con 5 botones. Una fábrica donde se producen 50 vasos cada 4 horas. Un enfermo que debe tomar 3 pastillas, 3 veces al día. Una estufa a parafina que consume 2 litros de parafina cada 6 horas. Un intercambio de objetos de diferente valor, por ejemplo; una estampilla extranjera por 4 nacionales o-1 lámina escasa por 10 láminas fáciles de encontrar. Un dibujo cuyas medidas se duplican o se triplican para agrandarlo. Una receta cuyos ingredientes son para 6 personas y

que se quiere preparar para 3 personas. Una convivencia donde se parte cada queque en 20 tajadas. Una escuela donde se distribuyen 4 libros por alumno. Las situaciones de variación proporcional son abundantes en la vida práctica, pero debemos estar alerta para delimitar en cada una de ellas el rango en que la variación proporcional es válida. Así, por ejerrplo, un atleta que corre un circuito en 3 minutos, después de un tiempo se fatigará yaumentará el tiempo que emplee en este recorrido. Un enfermo que toma un remedio puede experimentar mejoría y requerir una dosis diferente después de unos días. El precio del pan amasado puede disminuir, sien vez de encargar 12 panes, le pedimos a la señora que amasa que nos prepare 300 panes. Teniendo esta precaución, los problemas de variación proporcional se prestan admirablemente para la comprensión y ejercitación de la multiplicación y división.

3/3. Problemas de combinaciones Los profesores leen el siguiente texto: Son problemas en los que dado el número de elementos de dos conjuntos, se trata de determinar el conjunto producto. Asf en el problema siguiente, se señala, que Pepe tiene

un conjunto de 3 poleras y un conjunto de 2 pantalones y se pregunta por el conjunto de tenidas.

Pepe tiene 3 poleras; una blanca, una azul y una negra y 2 pantalones; uno de mezclilla y otro de cotelé. Si combina de todas las formas posibles sus poleras y pantalones. ¿Cuántas tenidas distintas puede armar?

Para dar respuesta se requiere de un ejercicio de multiplicación. Un situación multiplicativa de combinación puede plantearse a los niños como una actividad que ellos pueden resolvér con material concreto, para posteriormente ubicar sus respuestas en tablas o diagramas, con dibujos o con palabras. Lo importante es que el alumno construya todas las posibles combinaciones distintas y que establezca una relación entre el número de elementos de los conjuntos y el número de combinaciones obtenidas. Veamos un ejemplo: Juan y Paola están armando figuras como ésta con piezas cuadradas de color azul, rojo y verde y piezas rectangulares de color amarillo, rojo y azul. ¿Cuántas figuras distintas en color pueden armar?

Conviene que

las niños tengan suficiente material a su

disposición para que puedan armar todas las combinaciones, sin tener que desarmar una figura para hacer otra. Una vez que han armado las figuras, se les puede pedir que las revisen para constatar que no hay ninguna igual a otra en el color. Luego podrán ordenarlas, colocando en una fila todas las que tienen la pieza rectangular de un mismo color, para luego dejar en una misma columna las que tienen la pieza cuadrada del mismo color. Así estarán en condiciones de completar una tabla como la siguiente.

¿Son diferentes estas figuras? ¿Por qué? Cuando se hayan familiarizado con la obtención de las combinaciones, los alumnos podrán resolver problemas como los siguientes: Tenemos 12 figuras distintas en color yse ha usado 3 colores distintos de piezas rectangulares¿ De cuántos colores son las piezas cuadradas que se ha usado? Tenemos 16 figuras distintas en color y se ha usado 4 colores distintos de piezas cuadradas.¿De cuántos colores son las piezas rectangulares que se ha usado?

Este tipo de problemas tiene menos aplicaciones en la vida práctica, pero son de gran valor para el desarrollo del pensamiento lógico del niño, por lo que es necesario considerarlos.

La tabla permitirá a los niños contestar estas preguntas: ¿De cuántos colores distintos hay piezas rectangulares? ¿De cuántos colores distintos hay piezas cuadradas? ¿Cuántas figuras distintas en color se pudieron formar?

Situaciones que se prestan para plantear problemas de combinaciones, pueden ser: Sandwichs distintos con 3 tipos de pan (hallulla, molde y marraqueta) y 4 tipos de relleno (manjar, mermelada, queso, paté) Globos distintos que resultan de combinar 3 formas (salchicha, conejo, redondo) y 5 colores (azul, verde, rojo, amarillo, morado)

Nombres de personas que se pueden formar con 5 nombres distintos y 4 apellidos distintos. En grupos, los profesores escogen una situación que piensan podría ser interesante para los alumnos y que es adecuada para plantear problemas de combinaciones. Elaboran tres formulaciones diferentes de este tipo de problemas. Ponen en común los problemas elaborados y los corrigen, si es necesario.

Actividad 4/ Combinaciones multiplicativas básicas Los profesores leen el siguiente texto:

El manejo rápido y seguro de las combinaciones multiplicativas básicas, es decir las multiplicaciones de factores iguales o menores que 10, es un logro que deben alcanzarlos alumnos durante la escolaridadbásica, pues les permiten enfrentar en buena forma los procedimientos tradicionales de cálculo y estudiar otras relaciones numéricas También es un hecho que el acceso a las calculadoras de bolsillo es cada día mayor, debido a que su costo económico

está más al alcance de todos. Todo lo anterior lleva a concluir que en el proceso de aprendizaje matemático de este tema se debe enfatizar lo conceptual de la multiplicación y división, el manejo comprensivo y flexible de las combinaciones multiplicativas básicas y el desarrollo de estrategias de cálculo estimativo o aproximaciones.

El aprendizaje de las combinaciones multiplicativas básicas requiere de numerosas actividades que aseguren la conceptualización y la asimilación de éstas. La etapa de conceptualización de las combinaciones multiplicativas básicas está destinada a la formación por parte de los alumnos de «las tablas de multiplicar», a través del uso de materiales concretos o situaciones de juego.

La etapa de asimilación de las combinaciones multiplicativas básicas es una etapa orientada a la «memorización comprensiva» de los productos básicos, apoyada ésta por el establecimiento de relaciones que facilitan el cálculo de los productos, una práctica sistemática y la incorporación de estrategias de estimación de resultados.

Los profesores comentan sus experiencias de enseñanza de las tablas de multiplicar y comparten recursos que consideran exitosos para que los niños las construyan. Hacen un listado de actividades y materiales que podrían

utHizar en la etapa de asimilación de las combinaciones multiplicativas básicas. Leen las actividades que se presentan a continuación y l uego comentan las adaptaciones que le harán a una de ellas para realizarla con sus alumnos. Embaldosando Materiales: Una bolsa de fichas cuadradas, por grupo.

Finalmente, se puede pedir a los niños que lean como una serie los números remarcados: 3, 6, 9, 12, etc. Los ayudantes de doña Pancracia Materiales: Tiras de papel numeradas del 1 al 20, del 1 al 30, del 1 al 40,.... del 1 al 100. Conviene tener tantas tiras como parejas de alumnos participantes. Tijeras, pegamento, papel blanco.

Descripción: El profesor les dirá que se trata de ir colocando las fichas ordenadamente de a3, como si fueran baldosas decorativas de un piso. Se dejará a los niños usar los colores libremente, pero se les insistirá que coloquen sólo tres en cada fila. Una vez que los niños han formado 10 filas, se los hará verbalizar el resultado de la acción:

Descripción: El profesor explica que doña Pancracia quiere colocar en bolsitas los alfajores que ha preparado para la venta, pero su problema es sacar las cuentas para saber cuántos alfajores necesita para una cantidad de bolsas. Cada pareja de niños recibe una tira de papel numerada y una instrucción específica.

También es posible contar marcando en un tono más fuerte el tercer elemento de ¡afila.

A la pareja de niños que recibió la tira numerada hasta 20, se le pedirá imaginar que doña Pancracia coloca dos alfajores por bolsa, a los que recibieron la tira numerada hasta 30, que doña Pancracia coloca 3 alfajores por bolsa... a los que recibieron la tira numerada hasta 100, 10 alfajores por bolsa. Cada pareja de niños corta la tira numerada y pega los

trozos resultantes en cada caso sobre el papel blanco, de manera que les permita contestar rápidamente el número de alfajores que necesita doña Pancracia para diferentes cantidades.de bolsas.

¿Cuántas bolsas puede llenar con 18 alfajores? • Si coloca 2 alfajores en cada bolsa, 9 bolsas • Si coloca 3 alfajores en cada bolsa, 6 bolsas • Si coloca 6 alfajores en cada bolsa, 3 bolsas • Si coloca 9 alfajores en cada bolsa, 2 bolsas

Los niños que recibieron la tira numerada hasta 30, podrían organizar su trabajo así:

Esta ejercitación llevará a los alumnos a darse cuenta que, para responder las preguntas, sólo necesitan contar las filas horizontales y consultar la última columna, en cada una de sus tablas. Entonces el profesor les puede proponer que reunan toda la información en un solo cuadro, como el siguiente: N4 de alfajores

por bolsa N 4 de bolsas 2

Cuando todos tiene su tabla organizada, el profesa hará preguntas para que la utilicen.

3 4 5

Doña Pancracia quiere saber:

6 7

¿Cuántos alfajores necesita para 5 bolsas? • 10 alfajores, si coloca 2 en cada bolsa • 15 alfajores, si pone 3 en cada bolsa 0 20 alfajores, si coloca 4 en cada bolsa...

8 9 10

9 10

Una tabla de este tipo puede ser utilizada para calcular productos y para calcular cuocientes. Ejemplos: 2 bolsas con 5 alfajores cada una. ¿Cuántos alfajores? Buscan en lafila del 2, bajo la columna del 5 y encuentran el productol0 (alfajores). 10 alfajores en 2 bolsas. ¿Cuántos alfajores en cada bolsa? Buscan en la fila del 2 , hasta encontrar el número 10 y siguiendo la columna encuentran el cuociente 5 (alfajores). 10 alfajores, de 5 en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas? Buscan en la columna del 5, hasta encontrar el número 10 y siguiendo ¡afila encuentran el cuociente 2 (bolsas). Esta tabla inicial permitirá presentar posteriormente otra que incluya los productos por 0 y por 1 1 bolsa con 0 (ningún) alfajor; 0 (ningún) alfajor. 0 (ninguna) bolsa con 2 alfajores; 0 (ningún) alfajor. 1 bolsa con 1 alfajor, 1 alfajor. 1 bolsa con 2 alfajores; 2 alfajores.

Esta nueva tabla es conveniente que sea colocada en un lugar visible de la sala, que tenga un tamaño suficientemente grande para ser consultada por todos los alumnos. Es deseable que los productos estén escritos en tarjetas posibles de ser retiradas a medida que los alumnos los memorizan, manteniendo a la vista sólo aquéllos que aún no dominan.

Actividad 5/ Definamos la tarea Comentan la necesidad de apoyar el aprendizaje de las combinaciones multiplicativas básicas, en la etapa de construcción y en la de asimilación con acti-

vidades variadas. Se comprometen a leer las actividades que se les ofrecen, para luego seleccionar una para trabajarla con sus alumnos.

que hicieron y que digan el total de cuadraditos o cargas que resultan.

Preparan un informe escrito para la próxima sesión de Taller que contemple los siguientes puntos: 1 carro con 3 cargas, 3 cargas • •

•

Nombre de las actividades que le parecieron interesantes. Razones. Actividad que pudo trabajar con sus alumnos, si le hizo adaptaciones, ¿cuáles?,¿cómo reaccionaron los alumnos? Otra actividad que estaría dispuesto a probar en el aula.

2 carros con 3 cargas cada uno, 6 cargas

Actividades para que todos los alumnos aprendan las tablas de multiplicar 3 carros con 3 cargas cada uno, 9 cargas Los trenes El juego continuará hasta armar 1 tren con 10 carros Materiales: Un juego de tarjetas par-impar por pareja de alumnos. Descripción: Se trata de ir armando el «tren del 3»; ll amado así porque cada carro es una figura de tres cuadraditos, o tres cargas. El profesor podrá dibujar en el pizarrón una máquina que lleva escrito el 3. Pedirá a los niños que construyan trenes con un determinado número de carros. En cada ocasión pedirá a los niños que verbalicen lo

Esta actividad ha sido ejemplificada con «el tren del 3», sin embargo el material permite formar hasta el tren del 10.

Contando-cantando Es necesario elegir una historia que les resulte familiar a los niños, por ejemplo:

Una fabrica de velas que las envasa en paquetes de a 4. Una señora que vende tiras con 5 calugas de shampoo cada una. Una máquina que tapa 4 botellas de una sola vez.

productos de dos cifras y facilita la comprensión del significado de la división, siempre que el número inicial sea un múltiplo del divisor. ¡Cachipún!

Veamos este juego con la rima de la gallina francolina: «La gallina francolina puso 1 huevo en la cocina, puso 1, puso 2, puso 3...». « La gallina francolina puso 3 huevos en la cocina, puso 3, puso 6, puso 9, puso 12, ...». «La gallina francolina puso 4 huevos en la cocina, puso 4, puso 8, puso 12, puso 16, ...». Los niños pueden ir colocando una ficha por cada postura, así en este último canto al decir 12, tendrán 3 fichas (3 x 4) y cuando digan 16, tendrán 4 fichas o posturas ( 4 x 4). Esta rima también puede «cantarse al revés»: «Hay 30 huevos en la cocina, saco 1 huevo, 29, saco otro, 28, saco otro, 27 ...». «Hay 30 huevos en la cocina, saco 3 huevos, 27, saco tres, 24, saco tres, 21 ...». Los niños que tengan dificultad en esta actividad podrán ayudarse con una tira numerada hasta el 100, para que vayan desplazando el dedo sobre ella y encontrando el número que deben decir. El contar hacia atrás ayuda a la memorización de los

Materiales: Una bolsa no transparente para colocar tarjetas con dígitos. Descripción: Se saca una tarjeta de la bolsa, al azar. Supongamos que salió el 3. Por turno los niños van cantando en voz alta, a partir de 1. El primer niño dice 1, el vecino dice 2, el que sigue en lugar de 3 deberá decir icachipún!, siguen numerando pero en lugar de decir cualquier múltiplo de 3, el niño al que le corresponde dirá icachipún! Conviene iniciar este juego sorteando tarjetas de dígitos 2, 3, 4 y 5 y luego cuando lo hayan dominado agregar las tarjetas 6, 7, 8 y 9. La rayuela Materiales: Se dibuja una rayuela en el suelo y se da a los niños tejos para jugar.

Descripción: Por turno, cada jugador lanza 8 veces el tejo. Van anotando en el suelo o en un papel el resultado de sus tiradas. Cuando todos los jugadores han lanzado, calculan sus puntajes sumando lo obtenido en cada tirada o agrupando l as tiradas en que obtuvieron el mismo puntaje para luego sumar. Por ejemplo: Caraosobtuvo; 3+5+3+5+8+5+8+8=45 es decir:

3 tiradas de 5 puntos 3 tiradas de 8 puntos 2 tiradas de 3 puntos

3x5 = 15 3 x 8 = 24 2x3= 6 total: 45 puntos.

torres, va nombrando a cada pareja para que diga o escriba en el pizarrón, lo que ellos formaron y su total de tapitas. Por ejemplo: « 8 torres de 3 tapitas y 1 tapita más; total 25 tapitas » . Cuando esto se ha logrado se puede empezar a jugar a «adivinar las torres». Una pareja de niños arman torres y las ocultan con sus cuadernos. Dicen a sus compañeros algu nos datos y les piden que «adivinen» cómo son las torres ocultas. Por ejemplo: hicimos 6 torres y ocupamos 24 tapitas, ¿cuántas tapitas tiene cada torre? El profesor podrá desafiar a los niños a armar torres con 12, 18, 24 o más tapitas y anotar todas las soluciones que encuentren. Adivina el color

Gana el jugador que obtiene el más alto puntaje. Materiales: 30 fichas cuadradas, 15 azules y 15 amarillas. Las torres Materiales: Tapitas de bebida o fichas de colores. Descripción: El profesor entrega a cada pareja de niños un «montón» de tapitas y los desafía a contarlas rápidamente haciendo torres de 3 o de 5 o de 6... tapitas. Cuando el profesor ve que los niños han armado sus

Descripción: Se juega en grupos de 4 niños. Ponen las 30 fichas sobre la mesa con el color hacia abajo. Se determina el valor de los colores, por ejemplo, la ficha azul vale 3 puntos y la amarilla 4 puntos. Por turno, cada niño dice un color y luego da vuelta una ficha. Si acierta con el color, gana la ficha, en caso contrario la vuelve a dejar sobre la mesa con el color hacia abajo revolviéndola con las otras. Juegan hasta agotar las fichas.

Al terminar de jugar, cada niño separa sus fichas azules y amarillas, luego calcula cuántos puntos obtuvo y muestra su cálculo a sus compañeros para que lo revisen. Gana el que obtiene mayor puntaje y sacó bien el resultado. Variaciones: cambiar los valores asignados a cada color. Jugar con fichas de tres o cuatro colores. Jugar con fichas cuadradas y rectangulares de dos colores. Cada ficha rectangular vale el doble del valor de una ficha cuadrada de igual color.

Taller 121

Se espera que este Taller sea una instancia de reflexión sobre el algoritmo de la multiplicación que permita visualizar la conveniencia de enseñarlo en contextos significativos, a fin de que los alumnos comprendan la lógica de la descomposición en productos parciales que subyace a este algoritmo. Se trabaja también otro procedimiento para disminuir las dificultades que derivan de las resevas en los productos parciales y finalmente, se presentan formas de cálculo más rápidas para algunos casos de multiplicación.

Actividad 11 Comentando la tarea Los profesores comentan las actividades que leyeron y señalan las razones que los llevaron a seleccionar la que trabajaron con sus alumnos, informando sobre las adaptaciones realizadas. En relación con la experiencia en la sala de clase, ponen en común las reacciones de los alumnos, distinguiendo, si es posible, lo afectivo: entusiasmo, interés, agrado, com promiso con el trabajo y los aprendizajes logrados. Finalmente, señalan qué otra actividad de las comentadas, estarían dispuestos a trabajar con sus alumnos.

Actividad 21 Revisando el algoritmo de la multiplicación

Las cajas de frutillas En el Puesto N°5 de la Feria Municipal se vendieron 48 cajas de frutillas. ¿Cuánto dinero recibieron por esta venta si vendieron cada caja en $5 200?

Ponen en común las diferentes estrategias utilizadas para resolver el problema. Luego comentan y comparan con las que se proponen a continuación. 1. De caja en caja La siguiente tabla permite visualizar una manera de resolver el problema.

211. ¿Cómo multiplicar sin conocer el algoritmo? Los profesores resuelven el siguiente problema sin utilizar el algoritmo habitual de la multiplicación, aunque pueden sumar y restar.

El problema podría ser resuelto sumando $5 200 muchas veces, hasta completar las 48 cajas vendidas.

Para este caso, esta estrategia es muy lenta; sin embargo, la adición de sumandos iguales puede ser un buen recurso para resolver otros problemas de multiplicación. Por ejemplo, si sólo se venden dos cajas de frutillas, ¿cuál es la cantidad de dinero recibida por esta venta? En este caso, 5 200 + 5 200 puede ser un procedimiento incluso más rápido que hacer la multiplicación. 11. Duplicando el número de cajas Otra alternativa de resolución es duplicar el número de cajas y sus correspondientes precios reiteradamente, hasta

Luego, por las 48 cajas se reciben $ 249 600. Después del proceso de duplicación, bastó una adición de dos sumandos para resolver el problema. 1/1. Agrupando cajas de diez en diez Esta es otra forma de disminuir el número de sumandos. El precio de cada grupo de 10 cajas se puede determinar también a partir de la duplicación: Cajas

Precio

Para calcular lo que corresponde a las 48 cajas, se suman los precios de 16 y de 32: Se verifica que en el sistema de numeración decimal, al multiplicar por 10 el producto se obtiene cambiando cada cifra al orden inmediatamente superior. Multiplicar 5 200 por 10 equivale a transformar las 5 200 unidades en 5 200

décenas, l as que corresponden a 52 000 unidades. De este hecho deriva la regla que afirma que para multiplicar un número por 10 basta con agregarle un 0 a dicho número.

Esta fiegla podrá ser descubierta por los propios alumnos, si resuelven, sumando, bastantes ejercicios de multiplicación por 10. Las reglas de multiplicación por 10 y por otras potencias de 10 son consecuencia de las propiedades del sistema de numeración, por lo que los alumnos al descubrirlas, enriquecerán paralelamente su :conocimiento en numeración y en multiplicación.

Conocido el precio de 10 cajas, es posible realizar los siguientes cálculos, para determinar él precio de 48 cajas. Cajas

Precio

10 20 40

52 000 104000 208000

El precio de las 8 cajas restantes se determina: Cajas

Precio

1 2 4 8

5200 10 400 20 800 41 600

El precio de las 48 cajas se obtiene sumando los resultados anteriores:

El problema se resolvió calculando separadamente los productos de 5 200 x 40 y de 5 200 x 8 y luego sumándolos. Estos cálculos se pueden organizar de . la siguiente manera:

O bien, de acuerdo a una escritura que se aproxima más al algoritmo habitual de la multiplicación, en el cual se multiplica primero por 8 y después por 40:

Otra construcción del algoritmo de la multiplicación 1/2.

Los profesores leen el siguiente problema

Las butacas del teatro En un teatro hay 24 filas con 32 butacas cada una. ¿Cuántos asientos tiene el teatro? Existen distintos algoritmos para calcular el producto, en una multiplicación. La mayoría de estos procedimientos se apoya en el sistema de numeración y en sus propiedades. Si se quiere multiplicar 453 x 239, se calcula 453 x 200 453 x 30 453 x 9, y se suman los productos

parciales. Lo que varía de un algoritmo a otro es el orden en que se realizan los cálculos y la disposición en la que se colocan los números.

Proponen posibles procedimientos de resolución que, a su juicio, pueda hacer alguien que no conozca el algoritmo de la multiplicación, pero que sí comprende el significado de esta operación y domina las combinaciones multiplicatívas básicas. Ponen en común los procedimientos propuestos. En seguida leen los que se presentan a continuación. 1.

Representar el problema como lo indica el dibujo. En lugar de contar las butacas de una en una, hacer diferentes descomposiciones del número de filas y del número de butacas por fila, calcular los productos parciales correspondientes a cada sector y luego sumarlos.

Por ejemplo:

1/1. Hacer aún menos descomposiciones.

En total son: 160 x 3 + 96 x3 butacas. 11.

600

120

En total son: 600 + 120 + 40 + 8 butacas.

Con una representación semejante a la anterior o en un cuadriculado, hacer descomposiciones decimales. Por ejemplo:

100

En total son: 100 x 6 + 40 x 3 + 20 x 2 + 8 butacas. Quien haga esta descomposición ya ha descubierto la facilidad de cálculo de la multiplicación por 10 y por otras potencias de 10.

La adición correspondiente a esta descomposición puede ordenarse de diferentes maneras. Una de ellas es:

Y, sintetizando aún más, se pueden ordenar de la siguiente manera: x

24 4 filas de 32 butacas 20 filas de 32 butacas

Actividad 3/ Facilitando el algoritmo Este se diferencia del ordenamiento anterior porque se omite el cero de las 640 butacas. Son 20 filas de 32 butacas que equivalen a 2 decenas de filas de 32 butacas, o sea, a 64 decenas de butacas.

A continuación se presenta un procedimiento para multiplicar, apto para quienes cometen errores -comiéndose las reservas» al calcular los productos parciales. Si en el problema de las butacas del teatro, éste tuviera 28 filas con 37butacas en cada una, la respuesta sería 37x28, la que se puede calcular con la técnica siguiente.

¿Cuántos asientos tendría el teatro si tuviera 32 filas con 24 butacas cada una? ¿Cuáles serían para este problema l as descomposiciones más adecuadas?

Se disponen los números que se vana multiplicar como lo indica el dibujo: uno horizontal y el otro verticalmente, escrito de arriba hacia abajo.

11.

Se cuadriculan yse trazan las diagonales de los cuadrados que se forman, como lo señala el dibujo.

¿Es posible resolver el problema de las cajas de frutillas por medio del diagrama rectangular utilizado en el problema del teatro?

El diagrama rectangular surge como representación del problema «Las butacas del teatro», y se complementa con un procedimiento para calcular productos parciales. El diagrama y el procedimiento de cálculo se pueden generalizar a otros problemas.

111. Siguiendo cualquier orden, se escribe en cada uno de los cuadrados el producto de los números que encabezan la fila y la columna correspondiente, escribiendo la cifra de la decena sobre la diagonal y la de las unidades, bajo la diagonal.

Actividad 4/ Algunas formas económicas para multiplicar Las multiplicaciones entre dos números se realizan generalmente, utilizando el algoritmo habitual que es el que se enseña en las escuelas básicas. Pero, hay algunos productos que - conviene calcular con procedimientos más rápidos.

IV. Una vez escritos todos los productos, se suma siguiendo la dirección indicada por las diagonales, teniendo cuidado, ¡ahora síl, de no «comerse las reservas al sumar».

A continuación se han seleccionado algunos de estos procedimientos, que se basan: en propiedades de la multiplicación y del sistema decimal de numeración. 4/1. Multiplicando por 25 Los profesores completan la siguiente tabla y buscan una relación entre los productos que resultan.

4 9 26 496 675

x10 40 .. .. .. ..

x5 20 .. .. ..

La tabla sugiere una manera rápida de multiplicar cualquier número por 5, ¿en qué consiste?

Lo anterior equivale a anotar: 38 x 25 = 950

Los profesores proponen otras multiplicaciones por 5, l as que resuelven multiplicando por 10 y calculando la mitad del producto obtenido. Si el número que se multiplica por 5 es muy grande, el cálculo del producto puede hacerse con ayuda de papel y lápiz para no cometer errores con las cifras. Como 25 es equivalente a 5 x 5, también se puede abreviar la multiplicación por 25, multiplicando dos veces sucesivas por 5. Por ejemplo, para calcular 38 x 25 se calcula 38 x 5 x 5, y para realizarlas multiplicaciones por 5, se aplica la regla anterior.

Los profesores ejercitan este procedimiento para multiplicar por 25. Aprovechando la facilidad de cálculo que tiene la multiplicación por 5, se pueden generar procedimientos análogos para multiplicar por 50 y por 500. 4/2. Descomponiendo un factor en otros dos factores Los profesores analizan el ejemplo siguiente. Calcular 386 x 24

La secuencia de cálculos se anota a continuación: 38 x 10 = 380, luego 38 x 5 = 190 190 x 10 = 1900, luego 190 x 5 = 950

Como 24 = 6 x 4, la acción de multiplicar por 24 es equivalente a multiplicar sucesivamente por 6 y por 4. En consecuencia se puede anotar la siguiente igualdad:

O sea,

386x24=386 x6 x4 Calculando sucesivamente los productos se tiene:

Luego, 386 x 24 = 9 264

Este procedimiento es útil para multiplicar números que se puedan descomponer en factores que permitan una multiplicación de cálculo más rápido. Se apoya en el proceso de factorización de un número y en la propiedad asociativa de la multiplicación.

Pero, 24 admite diferentes factorizaciones: 24=12x2 24=6x4 24=3x8

24 =4 x3 x2 24=2 x2 x2 x3

Cualquiera puede ser utilizada, la que resulte más cómoda, para realizar una multiplicación en que uno de los factores es 24.

4/3. Aprovechando las potencias de 10 A veces calcular productos del tipo 564 x 7 003 genera dificultades por la presencia de los ceros. Se facilita bastante su cálculo, si se expresa esta multiplicación de la manera siguiente:

Porejemplo: 386x24=386 x2 x2 x2 x3 Calculando sucesivamente los productos se obtiene:

Luego, 564 x 7 003 = 3 949 692

Este procedimiento se puede aplicar a multiplicaciones en las que intervienen números que se pueden descomponer en una potencia de 10 por un dígito más (o menos) un número de una cifra. Por ejemplo: múltiplicar por 101 equivale a multiplicar por (100 + 1), multiplicar por 3 004, equivale a hacerlo por (3000 + 4), multiplicar por 99, equivale a multiplicar por (100 - 1), multiplicar por 998, es lo mismo que por (1000 - 2), etc.

Actividad 5/ Definamos la tarea Los profesores diseñan un problema cuya resolución requiera la multiplicación de 420 x 1 642. Lo resuelven utilizando el algoritmo que usan siempre explicitando el significado de los productos parciales que intervienen y recurriendo a alguno de los procedimientos reseñados en el Taller. Al Taller siguiente llevan el problema, los procedimientos de resolución utilizados y las correspondientes explicitaciones, por escrito.

Taller 131

Se espera que este Taller sea una instancia de reflexión sobre el algoritmo de la división que permita visualizar la conveniencia de enseñarlo en contextos significativos, para que los alumnos comprendan la lógica de descomposición a partir de las cifras de más alto rango, los canjes a cifras de orden menor, los cálculos intermedios y la igualdad que relaciona dividendo, divisor, cociente y resto.

Actividad 1 / Comentando la tarea Los profesores presentan los problemas que diseñaron. Opinan respecto a la calidad de los mismos, en cuanto a interés del tema y a relevancia de las relaciones entre los datos y la pregunta formulada. Analizan el proceso de resolución del ejercicio propuesto y los significados de los productos parciales en los diversos problemas diseñados. Finalmente, aclaran posibles dudas sobre el algoritmo de la multiplicación.'

Transportando fruta. En un packing se embalaron 15 345 cajas de fruta. Un camión transporta 470 cajas. Para pagar a la empresa de transportes hay que calcular el número de camiones cargados que salieron.

Ponen en común las diferentes estrategias utilizadas para resolver el problema. Luego, leen y comentan las que se proponen a continuación. 1. Un camión tras otro En la siguiente secuencia de cálculos se puede visualizar una manera de resolver el problema.

Actividad 2/ Dividir sin saber el algoritmo

Hay 15 345 cajas. Si sale un camión quedan:

Si sale otro camión quedan: Los profesores resuelven el siguiente problema sin utilizar su forma habitual de dividir, aunque pueden sumar, restar y multiplicar.

Es posible resolver el problema, restando 470 cajas tantas veces como sea necesario hasta llegar a tener una cantidad menor que 470; luego, para saber el número de camiones que salieron, contar las veces que se restó 470. Pero esta estrategia es excesivamente lenta. Sin embargo, la sustracción reiterada del mismo número puede ser un buen recurso para solucionar problemas que tengan datos como los siguientes: "Si hay que despachar 1 410 cajas, ¿Cuántos camiones se necesitan?"

número de camiones que salen. Si 1 camión transporta 470 cajas, 10 camiones transportan 4 700 cajas 100 camiones transportan .47 000 cajas Como el total de cajas es 15 345, no podrían salir 100 camiones. Si, reiteradamente, se resta la cantidad de cajas que transportan 10 camiones, la cantidad de cajas que va quedando es:

Se necesitan 3 camiones.

La dificultad de una división no depende sólo del ámbito numérico y del divisor; también depende de la relación entre ambos.

Hasta aquí han salido 30 camiones y sólo quedan 1 245 cajas; entonces, se puede restar la cantidad de cajas que transporta un camión, todas las veces que se pueda, hasta que queden menos de 470 cajas.

11. Salen varios camiones a la vez Otra alternativa de resolución es la de ir restando de una vez lo que se llevan varios camiones. Para calcular lo que hay que restar, se multiplica lo que transporta un camión, por el

En total, salieron 32 camiones y quedaron 305 cajas, cantidades que corresponden, respectivamente, al cociente y al resto, en la división de 15 345 por 470.

Con estas multiplicaciones y sustracciones el problema se resolvió más rápido. La solución matemática indica que salieron 32 camiones y quedaron 305 cajas. La solución práctica puede ser que se contrató un flete más para las 305 cajas que quedaron. 111. Abreviando el proceso Para agilizar el cálculo, se intentará disminuir el número de sustracciones. Sabiendo lo que transportan 10 camiones, se puede calcular lo que transportan 20, 30, 40, etc, cuidando que la cantidad de cajas transportadas sea menor que el total de cajas. Si 10 camiones transportan 4 700 cajas

¿Cuántos viajes son necesarios para las 1 245 cajas que quedan? Si 1 camión transporta 470 cajas, 2 camiones transportan 940 cajas 3 camiones transportan 1 410 cajas Como quedan 1 245 cajas y 2 camiones transportan 940 cajas, se puede decir que quedan 305 cajas en el packing, después que han salido 32 camiones cargados. Los cálculos que se acaba de hacer se pueden ordenar de una manera que se aproximé al algoritmo de l a división:

20 camiones transportan 9 400 cajas 30 camiones transportan 14 100 cajas 40 camiones transportan 18 800 cajas Como en el packing hay 15 345 cajas, se puede considerar que salen 30 camiones que transportan 14 100 cajas. Luego, quedan: El significado de cada una de estas cantidades es:

15345, total de cajas embaladas 470, cajas que transporta un camión 14100, cajas que transportan 30 camiones 1 245, cajas que quedan, después de la salida de 30 camiones 940, cajas que transportan 2 camiones 305, cajas que quedan, después de la salida de 32 camiones La situación final es que las 15 345 cajas de fruta se transportan en 32 camiones, con 470 cajas cada uno y quedan 305 cajas en el packing. Las relaciones entre estas cantidades se pueden expresar en la siguiente igualdad: 470 x 32 + 305 = 15 345

En el proceso de aprendizaje del algoritmo de la división, es muy importante asegurarse que los alumnos capten los significados de las cantidades i niciales e intermedias. De ahí la conveniencia de plantear situaciones problemáticas cuando aprenden y ejercitan el algoritmo de la división, para que cuenten con referentes concretos para interpretar cada término de la relación: DIVIDENDO: DIVISOR = COCIENTE

RESTO También es conveniente que aprendan a expresar l as relaciones existentes entre los términos que intervienen en una división, de la siguiente forma: DIVISOR X COCIENTE + RESTO = DIVIDENDO

Actividad 3/ Otra construcción del algoritmo de la división

Se toman los 8 billetes de $1000 y se reparten en partes iguales entre los cinco amigos:

Materiales: una bolsa del material «Los billetes, por grupo: Los profesores leen el siguiente problema y lo resuelven concretamente, usando el material.

Saliendo de pesca

A cada uno le corresponde 1 billete de $1000 y sobran 3 billetes de $1 000. Estos 3 billetes se canjean por 30 billetes de $100 que se juntan con los 2 de $100 que había inicialmente. Entonces hay 32 billetes de $100 para repartir equitativamente, entre los cinco amigos:

Cinco amigos salieron a pescar Vendieron lo que pescaron en $ 8 262 y se lo repartieron en partes iguales. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Los profesores comentan lo que hicieron y establecen las relaciones entre las acciones realizadas y el algoritmo de la división correspondiente. Luego comparan su análisis con lo que se propone a continuación. Se supone que el dinero a repartir corresponde al siguiente número de billetes y sus correspondientes valores. Valor de cada billete Cantidad de billetes

$1000 8

$100 2

$10 6

$1 2

Cada amigo recibe 6 billetes de $100 y sobran 2 de estos billetes. Los 2 billetes de $100 se canjean por 20 billetes de $10. Quedan 26 billetes de $10 considerando el canje recién hecho y los 6 que había inicialmente. Al repartirlos en partes i guales entre los 5 amigos se .obtiene:

A cada uno le corresponden 5 billetes de $10 y queda 1 billete de $10 sin repartir. Se canjea este billete por 10 billetes de $1, que se juntan con los 2 billetes de $1 que había al inicio del reparto. Se reparten equitativamente los $12 entre los cinco amigos:

Cada amigo recibe $2 y sobran 2 billetes de $1. La cantidad de dinero que sobra no puede ser mayor que el número de amigos entre los que se reparte el dinero. Esta afirmación, que es obvia en este caso, no lo es tanto si se trabajara el algoritmo de la división sólo a nivel numérico, sin contextualización. Resumiendo los resultados parciales obtenidos, cada amigo recibe 1 billete de $1 000, 6 billetes de $100,5 ~de $10 y 2 billetes de $1, lo que es equivalente a $ 1 652 y sobran

El resultado obtenido puede expresarse en la siguiente igualdad: 1 652x5+2=8262

Este procedimiento de construcción del algoritmo de la división es recomendable sólo si la cantidad que se divide está expresada en unidades que pertenezcan a un sistema decimal de medidas, por ejemplo, metros, decímetros, centímetros, milímetros. En caso contrario, exige de parte de los alumnos un muy buen manejo del sistema de numeración decimal; deben reconocer, nombrar y canjear unidades, decenas, centenas, etc.

$2.

Al hacer una síntesis y escribiendo juntos los cálculos parciales, se obtiene el algoritmo que se usa para calcular una división:

Sin embargo, es posible construir algunas situaciones para adecuarse a la exigencia del sistema decimal, por ejemplo, paquetes con 10 galletas, cajas con 10 paquetes, cajones con 10 cajas, o bien, tiras con 10 pastillas, cajas con 10 tiras, paquetes con 10 cajas.

Actividad 4/ Definamos la tarea Los profesores diseñan un problema cuya resolución requiera el cálculo de 3 458 : 23, lo resuelven, explicitan el significado de los cálculos intermedios y expresan la co rrespondiente igualdad que relaciona el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Al taller siguiente llevan este problema ylascorrespondientes explicitaciones, porescrito.

Taller 14/

Se espera que este Taller constituya una instancia de reflexión colectiva sobre la clase de matemática: cómo organizarla y cómo aprovechar los recursos disponibles, cómo asignar tareas y cómo evaluar. El i ntercambio de opiniones entre los profesores, junto alas sugerencias contenidas en este Manual, debieran constituir estímulos para repensar el quehacer docente individual en la asignatura de Matemática y para tomar decisiones colectivas que contribuyan a mejorar la educación matemática en la escuela.

Actividad 1 / Comentemos la tarea Los profesores cuentan los problemas que diseñaron. Opinan respecto a la calidad de los mismos, en cuanto a i nterés del tema y a relevancia de las relaciones entre los datos y de la pregunta formulada. Analizan el proceso de resolución del ejercicio propuesto y los significados de los cálculos intermedios y de la igualdad planteada. Finalmente, aclaran posibles dudas sobre el algoritmo de la división.

Actividad 2/ Organización y ritmo de las ,clases Materiales: Un papelógrafo y un plumón para cada grupo de profesores. Cada profesor recuerda una de las últimas clases de matemática que ha hecho y escribe, en una hoja, un punteo secuenciado de lo que hizo en esa clase, procurando ser sintético. Dobla su hoja, sin poner su nombre, y la entrega al conductor del Taller.

En grupos, los profesores se ponen de acuerdo sobre las partes que, en su opinión, debe contener cualquier clase de matemática en el primer ciclo básico. Hacen una lista de éstas, en un papelógrafo. En cada grupo, una vez terminada la tarea anterior toman al azar una hoja por profesor, de entre las que escribieron previamente. Tratan de relacionar los punteos i ndividuales con la lista construida por el grupo. A continuación, cada grupo presenta a los demás su papelógrafo y hace comentarios respecto a la presencia o ausencia de relaciones entre las partes de su lista y los punteos que el grupo revisó. Finalmente leen el texto siguiente, y lo comentan.

Todo profesor aspira a organizar sus clases de manera que sean ágiles, entreteniclas y que favorezcan los aprendizajes previstos. Sin embargo, las clases de matemática a veces resultan lentas, monótonas y poco productivas: tal vez el profesor centró su atención en unos pocos alumnos y los más rápidos se aburrieron...

¿Cómo mejorar la organización y el ritmo de nuestras clases de matemática? Una posibilidad es diversificar las actividades de cada clase, a partir de una propuesta como la que a continuación se describe.

alumnos formen grupos preestablecidos, compartan los resultados entre ellos y posteriormente con todo el curso.

I. Los ejercicios de cálculo Antes de iniciar formalmente una clase, se le propone al profesor que, a modo de saludo, trabaje unos cinco minutos resolviendo ejercicios de cálculo. La intención pedagógica es lograr que los alumnos se apropien de las relaciones numéricas involucradas. Por ejemplo, el profesor escribe en el pizarrón la siguiente serie de ejercicios.

•

usar una pequeña pizarra o una hoja donde se anota el resultado y posteriormente se muestra al profesor ylo al curso.

II. La conexión entre clase y clase 9+9=

90 +90=

900+900=

Aquí, no sólo se pretende que los alumnos encuentren los resultados, sino también que capten la relación existente entre los ejercicios, la que les permitirá simplificar sus cálculos.

Probablemente será necesario establecer ciertas normas para evitar que sólo los alumnos más rápidos trabajen. Se pueden sugerir algunas, como las siguientes:

Este momento está pensado para darle sentido y continuidad a las clases. Se sugiere recordar la clase anterior y presentar lo que se va a trabajar en esta clase. Para consolidar lo aprendido en la clase pasada, o para iniciar esta clase, se propone revisar ylo corregir la tarea.

111. La elaboración de nuevos aprendizajes

•

que los alumnos anoten el resultado y lo digan sólo en el momento en que el profesor lo pida.

•

que los alumnos indiquen para informar al profesor que ya lo resolvieron y que lo digan cuando el profesor lo pida.

Este es el momento destinado al logro de un nuevo aprendizaje; el profesor pone en juego sus estrategias metodológicas: puede ser con un juego, con la resolución de uno o varios problemas, mediante explicaciones en el pizarrón, trabajando con material concreto, etc. Los alumnos podrán organizarse en grupos, hacer trabajo individual, usar el libro de texto, en fin, lo que el profesor proponga.

•

que en el momento en que el profesor señale, los

Lo esencial de este momento es que está dedicado a

IV. La práctica de lo aprendido

Esta propuesta es un intento de darle una organización a una clase de matemática generando momentos claramente diferenciados en sus intenciones, comparables al saludo, la presentación, la conversación seria, con su secuela de comentarios, y la despedida.

En este momento se sugiere que los alumnos desarrollen actividades, en grupo o individualmente, para consolidar los aprendizajes del momento anterior. Son compara bles a los comentarios que derivan de la conversación seria.

Corresponde al profesor decidir si los toma todos para todas sus clases o si, para determinadas sesiones, deja algunos de lado o agrega otros, de acuerdo a sus intenciones específicas.

lograr un nuevo aprendizaje. Si ímaginamos que los ejercicios orales son el saludo, esta parte corresponde a la conversación seria.

Los alumnos podrán hacer ejercicios, consultarán dudas en algunos casos, trabajarán en su libro de texto o con otro material, etc. Es muy útil, para este momento, que el profesor tenga a su disposición ejercicios con cierto nivel de complejidad para que trabajen los alumnos más rápidos. Es altamente conveniente terminar este momento con una comparación de resultados, cotejando de alguna manera si los ejercicios fueron bien resueltos o no.

V, El balance de la clase y la tarea Este es el momento final de la clase, es la despedida. El profesor y sus alumnos comparten los logros de la clase, que es lo que se sacó en limpio del trabajo realizado; es el momento de proponer la tarea y dar término a la clase.

Actividad 3/ Medios para la enseñanza - aprendizaje de la matemática Variados son los medios con que cuentan los profesores paraorganizar las actividades de aprendizaje de sus alumnos. ¿Cómo podríamos sacar de ellos el mayor provecho posible?

3/1. Los textos escolares Materiales: Textos de matemática en uso en la escuela, desde primero a cuarto año básicos.

Los profesores forman cuatro grupos, uno para analizar cada texto. Cada profesor se incorpora al análisis del texto que mejor conoce, aunque no corresponda al curso que tiene actualmente.

Presentación de las explicaciones proporcionadas por el texto a los alumnos. Proporción entre explicaciones y ejercitación, en el texto.

Responden las siguientes preguntas: 1.

¿Les resulta adecuado este texto, para trabajar con sus alumnos? Indiquen ventajas e inconvenientes que han podido constatar.

11.

¿Qué actitud manifiestan sus alumnos ante este texto? Indiquen si les resulta atractivo, si lo hojean por iniciativa propia o sólo lo abren cuando Uds. así lo indican.

Tanto las características de tos alumnos como fa experiencia del profesor varían, de un aula a otra. Es imposible que un mismo texto se adecúe a todas las situaciones. El texto da orientaciones generales, proporciona modelos de explicaciones y de ejercicios. Es legítimo que cada profesor lo use selectivamenté y lo complemente con otros textos y materiales y con sus ideas personales.

111. ¿Se ciñen Uds. a las orientaciones metodológicas presentes en el texto? ¿Lo consultan para preparar sus clases? ¿Para qué temas lo consultan más? 3/2. Otros medios IV. Con sus alumnos, ¿usan el texto en todas las clases? ¿Lo siguen correlativamente o se saltan páginas? ¿Para qué tipo de actividades lo usan más? Ponen en común sus respuestas. Colectivamente, acuerdan lo que le pedirían a los autores de textos de matemática en cuanto a: Orientaciones metodológicas para el profesor.

Materiales: Un ejemplar de muestra de todos los libros de matemática y de los materiales concretos que existan en la escuela. En grupos, los profesores realizan un inventario de los medios con que cuentan para enseñar matemática, aparte de los textos escolares en uso. Incluyen otros libros de texto, libros de consulta y materiales concretos.

En relación respecto a:

a los libros, intercambian información

Qué libros existen, actuales y antiguos Quién los conoce o sabe en qué aspectos pueden complementar a los textos vigentes

semillas, tapas de botellas), juegos (dados, naipes, dominoés), objetos con números (calendarios, huinchas de medir), etc. Concluyen diseñando una estrategia para racionalizar el uso de los materiales concretos existentes, para difundir y/o reproducir aquellos materiales que pertenezcan aun solo profesor y para recopilar, adquirir o producir otros materiales, que los participantes del Taller consideren necesarios.

Quién los tiene o los puede conseguir Concluyen diseñando una estrategia para organizar la Biblioteca Pedagógica de Matemática, de manera que los li bros que existan o se puedan conseguir estén disponibles para su consulta oportuna por los profesores. Deciden acerca del mejor lugar para ubicar la Biblioteca y de la persona que organizará su funcionamiento. En relación a losmateriales concretos, intercambian información sobre: Qué materiales existen: los que maneja cada profesor en su sala y los compartidos por varios profesores. Donde se guardan actualmente los materiales existentes y quiénes los usan. Con qué otros materiales seria necesario contar en la escuela. Por ejemplo: materiales de desecho (envases,

Deciden respecto al mejor lugar para guardar los materiales y designan a una persona como responsable de su conservación y préstamo. Finalmente, desarrollan iniciativas para la producción y administración de archivos comunes, que contengan otros medios complementarios, tales como: Fichas de actividades para desarrollar con los alumnos, clasificadas por contenido matemático e indicando los materiales necesarios. Fichas de trabajo para los alumnos, reproducibles por cada profesor cuando lo requieran. Banco de problemas, clasificados por temas (áreas de interés de los alumnos) y por contenido matemático. Banco de preguntas para pruebas, clasificadas por curso y por contenido matemático. Puede incluir una

sección de preguntas de selección múltiple, utilizables en la preparación de los alumnos para el SIMCE. El conductor del Taller recomienda a los profesores desarrollar sólo algunas de estas iniciativas, tomando el máximo de precauciones para garantizar su funcionamiento: prever fuentes de financiamiento, determinar personas responsables, pedir las autorizaciones necesarias, etc.

4/1. Las tareas En grupos, los profesores intercambian su opinión sobre las siguientes cuestiones: ¿Qué sentido puede tener asignar tareas de matemática a alumnos del primer ciclo básico? ¿Qué tipos de tareas dan habitualmente a sus alumnos, en matemática? ¿Qué otros tipos podrían darles?

La organización de sistemas para el manejo de medios auxiliares a la enseñanza de la matemática tiene el sentido de facilitar el trabajo de los profesores, contribuyendo a mejorar la calidad de la educación impartida. Toda iniciativa que complique innecesariamente el ejercicio de la docencia en la escuela, debe ser desechada.

Actividad 4/ Controlando el proceso de enseñanza-aprendizaje Se propone a los participantes del Taller el análisis de dos medios de control del proceso de enseñanza-aprendizaje: las tareas y las evaluaciones.

¿Con qué frecuencia asignan tareas, en matemática? ¿Sería preferible hacerlo más o menos seguido? Ponen en común sus respuestas en búsqueda de conclusiones. A continuación, leen y comentan el texto siguiente.

Tradicionalmente, las tareas han formado parte de la cultura escolar. Alumnos y padres las esperan y, muchas veces, se considera que un profesor es «más preocupado» si suele dar tareas y las revisa oportunamente.

Sin embargo, existe el riesgo de que las tareas se conviertan en actividades tediosas, que generan conflictos en la vida familiar, sin llegar a constituirse en desafíos interesantes, útiles para ejercitar o complementar lo aprendido en clases.

Una tarea será más funcional al proceso de enseñanzaaprendizaje si el profesor y los alumnos comparten el objetivo con que fue asignada: para afianzar ciertos aprendiza jes, para buscar información complementaria o para intentar una primera aproximación a la resolución de un problema. Junto a estos propósitos, también es importante generar oportunidades para que los alumnos disfruten con la asignatura.

En el primer ciclo básico, las tareas deben ser breves y relativamente fáciles de realizar. Así contribuirán a desarrollar en el niño el hábito de responsabilizarse frente a una actividadengomendada, que no debiera llegara serfatigante. Es importante buscar tareas relevantes para el aprendizaje y, al mismo tiempo, entretenidas para los alumnos. Por ejemplo, en primer año, recortar dígitos de un calendario y tratar de pegarlos ordenados, de menora mayor. O, en tercer año, buscar información númerica en la prensa e intentar leer las cantidades.

También puede resultar atractivo darles cuadros con números y pedirles que busquen los que cumplan alguna condición, por ejemplo, los pares cuya suma sea menor que 48. Normalmente, las tareas deberían ser realizables por la mayoría de los alumnos sin apoyo de otras personas; sólo

excepcionalmente se les puede pedir que consulten a sus padres o hermanos mayores. Los alumnos debieran comprender que es importante mostrar sus errores al profesor para que éste pueda ayudarlos en su aprendizaje. En principio, es conveniente dar tareas clase a clase, para dar continuidad al aprendizaje yapoyar la formación de hábitos de uso del tiempo y de responsabilidad. Sin embar go, si el profesor no ha podido planificarla, es preferible no dar tarea a improvisar una que pueda resultar poco significativa. Al decidir respecto a la asignación de tareas, es indispensable considerar las condiciones del hogar de los alumnos, para dosificarlas adecuadamente, tanto en cantidad como en frecuencia.

Para revisar el cumplimiento de las tareas, es conveniente buscar formas rápidas y eficientes, como el intercambio de cuadernos entre alumnos o la corrección individual, en ambos casos, con la guía del profesor.

Cada profesor, en conjunto con sus colegas, deberá decidir si asigna o no una nota a las tareas, a fin de estimular su cumplimiento y calidad, siempre que esto no desvirtúe el propósito educativo de ellas.

4/2. La evaluación En grupos, los profesores intercambian opiniones acerca de las siguientes preguntas: Los profesores, a través de diversos medios, ¿evalúan permanentemente el proceso enseñanza-aprendizaje? ¿Qué aspectos evalúan de éste? ¿Cómo se dan cuenta los profesores si los niños logran aprender lo que se han propuesto enseñarlec? El análisis de los resultados de las pruebas, ¿les ha ayudado a introducir cambios en su forma de enseñar? Ponen en común sus respuestas y, a continuación, leen y comentan el siguiente texto:

Evaluar el proceso enseñanza-aprendizaje de la matemática significa buscar medios para obtener información relevante acerca de cada uno de los elementos participan tes: profesor, alumnos, estrategias metodológicas, medios, clima de la clase, etc. Sin embargo, las normas que obligan a los profesores a calificar el rendimiento de sus alumnos desde el primer año

básico han contribuido a centrar el proceso evaluativo casi exclusivamente en la medición del nivel de aprendizaje de los alumnos. Para la calificación de los alumnos es posible considerar no sólo los resultados de pruebas sino también los trabajos efectuados en clase o como tarea, y la participación en las actividades de clase. En el primer ciclo básico, es importante que la calificación sea usada como un medio para estimulara los alumnos. Ocasionalmente, se podrá asignar puntos adicionales que contribuyan a mejorar la calificación de un alumno que, a juicio del profesor, ha iricrementado sustantivamente sus logros.

Además de calificar a los alumnos, es necesario que los profesores reserven tiempo para evaluar la propia acción docente y los restantes elementos del proceso enseñanza aprendizaje. Cuando los alumnos no han logrado algunos de los objetivos propuestos, es conveniente que el profesor se pregunte qué modificación de sus estrategias metodológicas, de los medios empleados, del clima de la clase, etc, podrían contribuir a mejorar el nivel de aprendizaje.

Actividad 5/ Hagamos un balance Materiales: Dos hojas de papel por participante. Dos cajas, una forrada con papel negro u otro color oscuro y otra blanca o de un color alegre. Papelógrafo. Los profesores se ubican en círculo y en forma libre comentan el significado que para cada uno ha tenido este ciclo de Talleres de perfeccionamiento, lo más relevante de l o que han aprendidp y los factores principales (personas, actividades, materiales, etc) .a los que atribuyen su aprendizaje. Se organizan para hacer una síntesis de sus comentarios en un papelógrafo, por ejemplo, cada persona escribe una frase que sintetiza lo más significativo para ella y el o los factores que a su juicio más influyeron en sus logros. Los Talleres de perfeccionamiento cumplen su propósito fundamental si cada profesor después de ellos modifica sus prácticas a nivel de aula y asegura con ello una mejor calidad en los aprendizajes de sus alumnos. El conductor del Taller pide que cada profesor escriba en una hoja aquello que, a raíz de sus reflexiones en los Talleres, quiere abandonar de sus prácticas en la sala de clase; algún hábito docente que quiere suprimir, alguna forma de interacción que no quiere volver a usar porque

ahora la considera inadecuada, alguna forma de enseñar que se propone no volver a utilizar, etc. Una vez que terminan de escribir, cada profesor dobla su hoja y la rompe en los trozos más pequeños que pueda para luego, por turno, ir a depositar los trozos de papel a la caja negra u oscura. Mientras hacen esto, el conductor les puede sugerir que todos piensen, que efectivamente dejarán en el pasado aquellas prácticas pedagógicas que han decidido abandonar. Luego, el conductor pide que cada profesor escriba en una hoja algo que como consecuencia de su participación en los Talleres, quiere incorporar en su labor docente a nivel de sala de clases; algo muy concreto, factible de realizar si se lo propone. Una vez que terminan de escribir, comparten sus compromisos de cambio aquellos profesores que lo desean y luego, por turno los van depositando en la caja blanca o de color alegre. Mientras hacen esto, el conductor les puede sugerir que expresen su solidaridad con el colega que deposita su compromiso con un aplauso.

El perfeccionamiento docente verdadero continúa en cada una de las aulas de los profesores comprometidos en generar en todos los alumnos la alegría de seguir aprendiendo cada día más.