fisica para ingenieros by Odile Gutierrez De La Cruz

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Jeime Arvizu Lsre Frendsco Panlagua B.

Direccíón: Edlcíón: Producciórc .~ Preparación: ,CUbíe.rta:·

Os:waldo Ortiz Rocha

GlorIa. Esquive/ M171¿n, Guille,frlo Walles D/ae', EdItor/á! TIerra Firme ~

Gom.,pOslción::

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'FíSI,CA PARA CIENCIAS E INGENIER1A Tomo l. ,¡.

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Versión autorizada en españoí de la, primera parte de la obra en ,ingl'és tJtu.lada~:

P,HYS'ICS 'FOR SCIE,NCE ANO ENGINEERIN'G Copyright .@ 1.978 by John P', McKelvey and Howard Q·r.o.tch. Publióada en Estados Unidos de América por Harper & Row, Publtsbera. Inc., , 10 East 68rd Streetr Nueva York', N, Y. 10022, ISBN O-Oa.,044376-.e.~Obra original r

•

la ..repreduceíón de este libro por c'ual.quíe,r ,m;e.dlQ, fotal (l 'parcialmente, sin, ,el parrois:Q, par ,es'erfto de los ,edItares

,DeR.ECHOS RESE.RVAOOS. Proh,ibjd'a

ISBN 968..0034· OZ.·l Obra completa' en es'paRo! . • ,

fMPRt80 'EN "M.eXttG ,

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Prólogo ~fii Agradecím/en'tos

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XVII

M'EDICIÓN, UNIDADES y VECTORES 1.1 1 .2 1 .3

1.4 1 .5

introducción y advertencia al estudiante 1 Medición, unidades y dimensiones 5 Operaciones matemáticas que comprenden cantidades dimensionale.s '7 Ese,alaresy vectores: Métodos gráficos para. la edición vectoriaí 9 Componentes de vectores: Adición y sustracción de vectores mediante sus

componentes

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11 Multiollcacíón de vectores: Productos escalar y vectorial v' ,

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2,,8 Momentos de fuerzas g,ravita'c'io'na les. (pesos) y centro .de grtrrv.,edad 5,3 ,2:.,9 Elem..plos de sistemas en, equilibrio 60 2:." O Equilibrio estable, inestable y neutro o indiferente 66 Resumen 67 Preqome« 6a, t:JI:'Q:, .D.·, I" t ,1

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CI'NEM,ATICA DE LA PARTlc:U,LA

y acelsracíón 77 ¡i"::,i:;;l;:;:,:,f. 3.'~,2 Mevlmíerrto 'e.n una dimenslórr C:QO: aceleracfón constents: Cuerpea en calda;},~:'~;¡,·~l Des;,plaza,mientovetcerdad

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MovimJent,o' ds un proveeiñ ;87 3:~4 -, Movimtente de, rotación: Desplazamiento, velocidad y aceleración :8:.nguJare:s, 91 '3.5 ta velocidad anqular y la aceleraeión anqular corno vectores; R'ota:cf6n :de:cuerp,Qs¡-. ., 'd 9'7 ;~ rJgtuOS ': ,

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Movlrniento rotaclonaí urriforrrrernertte acelerado 102 Componentes rarflsl .y acimutal del, movirnlertto de;una 'p'srtfo:uJa en un plano :3,.6 Vsloctdsd y aceleración en dístlntos slstemas de referencia 108 ; 3:,9 Velo,clda"d y aceleración en, sistemas de referencia acelerados 11.~ Resum '1..' : " 6': .~< ~ ... ".... ::n..n q.. 3,6. 3,¡7' .

Prd(Jun,tas Proble.mas

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S'EGUND:A LEY DE ,NEWTO.N y ,DINÁ'MI'·CA D,E LA TRAS,LACIÓN; 4 ,. '1 l' .,-. ~4" J:ntr'o,du',ccíén . · ,

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Ptoblemas 20

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Desplazamlento velocidad y aeeleración 77 .~. , • Movimlento en una dlmensión con aceleración constante: Cuerpos en caída ' , Ubre 81 , Movimiento d's un p.royect¡·, 87 Movlmiento d:e rotación: Desplazarniento. velocldad y aceleración angulares, 91 ' La velocidad angular y la aceleración 8..nqutar como vectores: Hotaclón de cuerpee : rigJdo.s 97 ' : · Movirniento rotacional uniformemente acelerado 102 ,; Componentes radia y acimutal del movimiento: de. una partícula en un plan,Q 1O~6· Ve.ro.ci.d·ady aceleración en distintos sistemas 'de referencia 108 : Velocidad y aceleración en sistemas de referencia acelerados . 11 ,2:," .; ..-. " .' .....;.: :: :.,r

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2'6 ... ,. ,ApJlcaoi:ón de la primera ley de Newton 3.0 Fuerzas de acción y de reacción: Tercera le·y de Newton 31 .. • Fuerza 'y coeficiente de' frleción o rozamtento 3. 7 .~.}: ·.. Momentos de fuerza y mementos de rotación: Equilibrio rotacional de cuerpos·, rf'gid'ús 49 .; . MO.m·entos de fuerzas qravttaclonales (pesos) y centro de gravedad 53 ;,d<

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Ejempl'os de sistemas en equjlibrto 60 2 ,.1'O EquilJ.brio estable '. inestable 'y. neutro o Indiferente Resumen 6 7. Prequntes 68 'Problemas, 6·8

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inir{)(Jut.,t ~t(J'~' Definición' de fuerza 23 • Leves del movimiento 'de ~tewton 25 Se.gund:a I.e.y d.e Newton y la deflníciórr de masa: Unidades de fueras y de

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:Preg,an"ta.'$

152

Problemes

152

'TRABAJO Y EN,ERGfA 5. 1 5.2 5,,3' ,5.4

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160

Introduccíor, 16,0 .EI concepto , de trabajo Potencia 167

•

161

Energía cinética y el teorema del trabajo y la energía 170 5.5: ~nerg'ía cinética 'v potenciaf: Fuerzas cerrservattvas y no conservattvas 5.6 Conservación de la enerqía: Sistemas conservativos 175 '5,7. • Movímrento unidimensional 1 S '3' 5,8 Conservación d.e I·ae~nergía':Sistemas no conservativos 1 9·3::. Resumen 1 98, . Preguntes '199 Problemas 200

173

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CANTIDAD DE MOVIMIENTO LlNEAL Y CONSERV'ACIÓN DE 'LA CAN'TIDAD DE MOVIMIENTO 206 6. 1

6.2 6.,3 6.4,

6.5 6.6 ,6,..7

6 ..8 6.9

Introducción 206 Cantidad d'e rrtovirniento Ilneal y segunda ley de' Newton 2·0.7 Conservaclón de I.a cantidad de rnovlrniento lineal 207 Colisiones o choques 214 Estudio de choques en, una dimensión': Colislcnes elásticas e inelásticas 21 5 Coflsiones unidimensionales en el sistema del' centro de masa 218 Colislones en dos y tres dlrrrensiones 224 'Teorema del .mpulso y la cantidad de rnovlmiento 231 " ,: '" Movimiento de sistemas con masa variable 236 ,

Resumen Preguntas Problemas

'7,5 _

7',5 7.7'

240 241 2:42

DI'NÁMICA DE LA ROT,ACIÓN :7.'1 7 2, 7 ..3 7;4

249

"ntroduncí6n 24,9 : -. Segundé ley de Newton para la rotación: Mornen fa de 'inercia 256:::! C'áJcufo ,de 1'0$ mementos de ínsrcia . 261 Teorema Jos ejes paralelos ,265 El momento" de rotación y la' acelereclón a'ngular como' vecto~$, 268 _Tre'bajo y anergfa en éJ movimiento ne rÓl'ac:f6,fl ' 2 ;'0 " . ,EnGr,gfs$ rcteclonsl y tra'sla clona I en 'sistemas ,dotados, "d'e movlmíentos ,afmu'ltá,n~Q?'-:'",,,-: ' , dé tra51eof6n y rOfa'clón .2 79 " , )~ .. ' ...', ,'c

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ñesumer: Preguntas

303

•

304

Probteme»

3,06.

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GRAVITAC,IÓ.N UN.IVERS,AL y MOV1MIENTO ORBITAL 8. 1 1 ntrod u oció n 31 :2

Los movimientos aparentes de los cuerpos. celestes: El universo geocéJntri:co . 31.3 ': Concepción helloeéntrloa del 'sistema 'solar: Nicolás Copérnico Tvcbo Brahe, Galileo '; Galifei y Johanrres Kepler .3:17 :• I Ley de la gravitaclón universal de Newton 321 : Energia potencial gravitatoria, el campo 'gravitacional y el orlncípro de, la su perp osíció n 323 . Fuerzas y campes de objetos esféricos: Experimento de Cavendish y la masa: terrestre 32,6 " E.I campo qravitacionsl terrestre y masa de la Tierra 330 Órbitas planetarias y de satélites 334

8 ,. 2'· 8.3

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8.8

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MOVIMIENTO' ONDU'LATORIO 1 'O 1 I

Introducción

38·3

383

'·0.2, Tlp,Q'$.de ,on.o'es' 3'8.41.0.3 Matem·étícas· dé ondas unl,dimensio'riale~~~3a7 . '10.4 Ondl,;s lan.gJtu·Q.insJe:$; ,Oflda,$ ~o:n'oras 3.94, 10,6 ,Tr~n8PQrte'de energla por rnerño de ondas ~: , ,

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~U~ÉlrpQSlCí6n0'(')\ on®#,';:: , SerIes d:eFo.utre·r· 410 ~l' 0.2 El erf,ecto de Do.ppler ,l.'.,. ..... '10.9 Ondas l'Il8rínas' a gunos feno.menos te(aPiOf1ildoli '(l~·o: ...',m' ..... , a~'0u' 'en 4:2 2 . '1 '0: , 7;,

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Propi.edades básicas dé las fluidos: Principio de Pascal; presión, volumen y

42.8

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Preg:un,tFr..$

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Problemas

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.D'ESORDEN" R.EVERSIBIL.1DAD, E:'NTROpf'A y LA SEGUN.D.A L.EY .DE.lA . ·TERM,ODiNÁM.ICA 54'8 '

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1 4.2

Procesos reversibles e irreversibles 551 '. . .~14.3 ,M¡á,q\uinastérmicas reales e ideales: Clolo de Carnot 556 , . ~1,4.:4· Entropfa, probabilidad y desorden 567 " .' ~1'4.5 Carnoíos de entreoía .en procesos, reverstbles e irreversibtes . '.', :;~14 ..6 La.tercera ley de la terrnodlnérnica .57:9 ' . "Resumsn 59.0 "'~,', .~.~...~". ~D 581 _', -,', ',.. , .' ~ " ,~.rr.é{Juntas .,". "" _ .."". ~ '",

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C,ÁLC'ULO INTEGRAL DERIVADAS PARCI.AL.ES

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Constantes tísicas A-1: 7 Equ;jv·aJe.nc·ias,de unldades A..18 ;'.Funciones trlqoncrnétricas naturales A 0.:.2 '2 \ v, - Tabla periódica os los elementos A·",23

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'mJ~ttth!~im0$ :~·st:ud:i:QSy tl:eh:at.e'..s tndt\iid:u.a:les qne' sostnvieren COn áq,u'é:llQS .. Si~ es, 'C'a i:n.t~lla,~ct'Ón,) no .b).tb.í~r·~,sido p.dsi.bfe. es~cti.b:tr·esta ,Q.btiá.¡.Los:~:st:udi.a'(ites q u.e~s.e' li):s~~j:hf~l?é'ti',~ti"el curso ',IS:2':de tfsj:c'a .en. Clemson Un:íve:rsity l}.ar~ .eJ semestre ¿le; primfá:v.éra '¿te 1'9.'77., .ap,Q.rta,ron una, v:a:líQsa ~a.,yuda pata d-escub:¡:iJ; ~ttQre$ en ~tQb~e~a.s ·Y'f~F:1;,Ye-s.t.a:s,; y pa.:.na·,d'ar seguridad a 'lo:s auteres de que: ~n'Verdad ~l@s: e$tndt,áiñ.tes'l);tlfdert. aprender .utilít.and.o. $\.1 ti·b.ro" Re'éQiP:9·c:e.OlO$ ,~s,pecialW'e:¡;lt~. :el.-:i< :-

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_.. T.ambien

V~.tl~ei,JohIt W:óo(is¡.W:ayíl~·S.t:ho.tan:n~, Ráre.R.J:udd.'1 Drig:itte Pelner qp,e' (jirl-,. ~ 1 ' " ,. gle'ttrn e :pt:óy,e<¿t,o h~st'asn ter¡p¡Jn-a~ió.n" A:grade.cemos igu~ltnente. el .es:t'Ím:u,l:o: ,~ .la t'ofer.a:ncia de 'nuestras espesas y familias durante 'el .la¡.goIapso 'en que: nuestro ~tra,b,i1(;)'4,,!>-s:o:rbió gr~n.par.i.~ del. .ttem:pt> ,.qU,i~'de'Qi;mQs haberles d.eaiQadQ.. , ;\ P~r 'últim.~.,pero eón; 'hgu,al importancia, reconocemns el. incansable ~~fu:é¡.z;Q, $e, quf(}:nes :r,,~,a;llz'arbnhá'bilnrente l~.Jtrg.~:rtte t:a:re~a m,€canQ;graf~ar". t:ep,rp.duci.r~:'. '''e'(tft~l.';Yotga~1:'t.a:r el 'cJ)mp~lejo marruserito. Entre estas personas destacan :Sylviai. ,Mo.Qte 'y :S"á)ly Latharn. de Clemson T)nive.r;,Sit:y,),y Fran::c:es' Fo:gle' de, Pen,o.s.yLvaI1i:a:, $tae~Univ~t$:(,ty) .sin c,uya 'ayuda ~nuse bubiera lo;gtado terminar la presentaeián , M'e·losQt'ígiriaLes,,. También á:gra;d'e'cem.os la ayud.a de M:ary Helen W·ajt~s" Ona-, :Wr.ay ,MoJl¡'~a;n.,.,lJ~nna 'lN.euh,a,us,! Richar.d Reid, Atice Sto·n.e., :}\itaxiné 'Deesl.é;y;:' ~.'atldl Wallace, y. demuchas Qtras personas, que ge·ntilme.itt:e cQiltTibuyerprt, ~; , ~9l{l:pil~l" él m~tiu5.crit~. r' , .

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El objeto de este libro es servir como text<?de introducción para estudiantes de ciencias e ingeniería. Requiere como fundamento un conocimiento del álgebra elemental y trigonometría, y está dirigido a los estudiantes que han cursado un semestre de cálculo diferencial e integral, o que al menos llevan esta materia junto con. sus cursos de ñsica, El formato y orden de .los temas del libro 'S,OO los 'usua.les y su enfoque es predominantemente clásico ~aunque Losdos capítulos fi" nales se dedican a la física cuántica y a la relatividad. En cierta manera, e:stá di-. '. rígido al 'buen estudiante en general, y no al de dotes- excepcionales, Por. tanto,'; .. ': es probable que no lo utilicen alumnos de cursos superiores de tlsica, en ·inst,itu:·' .•. "'.~ cienes como la Universidad de Berkeleyo el Tecnológico de. California, que;:pl'o~." .".... '.: bablemente encontrarán otros textos más adecuados a sus necesidades, Por' otra parte, se encontrará que éste proporciona una base sólida y' rigurosa de ñsica clásica para estudiantes de ciencias e Ingeniería inteligentes y laboriosos, p~ro cuyos conocimientos, preparación y nivel académicos sean normales, no escep-

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Mozart , Se reconoce que (como la Iarguísirna 'sinfonía de Schubert) Ia primera impresión puede no ser mu'y favorable para el profesor o para el estudiante. Ern- f · pero, no contiene más material que otr'os Iibros, y su nivel no es nátablement,e · " elevado. En vez' de ello, se irrteritó explicar y analizar de rna.nera consciente' 'y: , adecuada todos los ternas par,a que se cornpreridierari cabal y det.alladameme: se trató siempre de a.dela nñarse 'a pregun.ta,s capciosas, fáciles de formular :pero , d.ifíciles de responder', yde aclarar los.errores de coricepro más cormrnes y las: pa .. ' .~: ¿ . a,pa'ren tes q'U€ surgen a caeda paso. L t: l .." ae .A l'a J/'(.' 'radojas ' a ca oo: cQ1"ft,¿pre.ns:z,on U.tCa. .S~ , logra en estos campos de estu-dia, .y n.a en el sz·mp le' eruunciado e z·lus·traciO·n. delas ' pri·n.c1,Pios fundamentales y ejem-plos sim-ples. Par tarrto, este libro' es más extenso t que muchos otras, no porque abarque más, sino pO'r:que su contenido está ,pIt·· ~ sentado en la forrn a más clar-a, completa y sin arnb.igüed ades. 2 Análogarn.ente., a'unque este libro contiene miles 'de ecuaciones, 'y no se.inten- i .. .' tó reducir su nivel matemático por debajo de lo usual en, un texto de esta clase, ~. tampoco es más elevado de' lo ordinario. En. vez de' ello se in.tentó, cabal y. cons.. cientemente, presentar todos los' detalles rnaterraáticos y todas 'las ecuaciones 'in, termedias, necesarios p:ara que le sea fácil al lector pasar dé una ecuación a Ia . . siguiente:' y ésto se hizo desde· el princip.io hasta el final de cad,a tem,a .. Se esp.era. '. así, que el estudia:nte pueda con.centrarse en el dominio ae }:a físi.ca., en v~tde·te- ; .> o.er que ~nd,ar d.ificultosame,nte de'bido a.los detal.les materná.ti.c,os." pues esto esl~l ~ que comu·n·mente sucede e.uando se prese.nta:n, ·sólo }·osmínimos de.t:a,11esp()si.blfS~,<.:j ..· An.tes se 'II1encio~óqU.e este libro está 'dirigido a 'los "'b'uenps'~'es·tudiant.es. Es 'ver'"~ "., ,da~'t peoro. tambié.n se elaboró para que a 1.oses.tu:di.an:tes de ,tipo "~medi()'-'":1e5 se,~~ ..,.. . fácll,... seg.ulrlo con f!0ca o ninguna ayuda. ., " ' ~ .,. . Slgu~e;ndo 1: mlSm.a narm.a, los a'utore:s se dieron el lujo de desc.ribl¡ tel1las. 1 . ,. lmportante.s m,as de. una 'vez, y desde (liferentes puntos, de vis.ta. A.menud,ose,ob,.., i 'serva (pero no se ad' ' .t • 1 ,recu.enc:i~) f . q:ue generalme.nte 'las ,es,tu,w.an: ..1:!·tes . . . . , ...~ ~.: ..,~l' e CO~l~a :~',:1 no a,prenden ft.s·lc,a a la ptll'Xlera pasada"'. POI' .tanto, intencionalmente helllOS!~ '. . .. vuelto a eX.aOltnar tema:s i'mpo'rtantes, en oc,asiones. 'varias v'e~es po...ara qtre.se: :1 'pued t d~ d ' . .._ ..' , 1. ' · :. ~.,' , an 'es u:. lar mas 'e una vez. ,Por eiemplo a P" ' ropósito evitain·o$. tl'ata,T .la~"~ . . · tátlca como· ". .. J.~ ". . ,.. ' . ", ." " . ",áQ' ' .un casa .e~pecl.al de .la, dinámi'c.·.a, p,: a r'a q'. ·u.efue,ra p'osib'l·e tener lJ:l~; ~ :. ,.'1\ p'ráctlca en l' ~'d di, _. ..._ .. ¡la .: " ' ~ ."..., ..' ..... os metO', os •. e an #:,.1 i'Si~'s 'ci:'\~un~s' a'" Q'm"b""as 'ra''ro'"'!:lIS 'q' '-i'),'etan' a.lXlP '. ; ...', ;... ap' lic'sci6n ti", .... d _ """ . .a ....... ~,. .... "" ."' .•.. i .'. ~;, .' . . '0" ha 3¡dó ~'~'en: 'e~n~n :~~,t~:.a.clase de pr()blemas<~,C(lnscientemen.t~,.J' e:f enfo:qU! ~~ I

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e in te gral Au.nque ,n.oes: 4,bsolutament:e necesario, es cnnve .. mente ,que el altrrrmo haya cu.rsado un semestre de cálculo .infirritesirrral antes; de cQ:m,e·n~.at~,u estudio, de Ía. física, Sin embargo, en los cuarro pzimeros capttulo$ se res~ringió a propósito el uso de tal rnatemárica ,..así que: lo ,que se empleó fue 'm:~ys:imple. 'y dire'c:t9_ En ·l,as.c.apítulos signientes se usa el cálculo con mayor Iíberali.d.ad , aunque dando la debida atención a la cantid ad de rrtarerrrárícas que ra~ , z~Q'n'ab,lem,entese puede esperar que dornine el estudiarrre prornedio, Al rína,l de'} Iibro se da un breve resumen de los principios básicos de álgebra, trlg,drtometría c~lc,ul() diferencial

geometría analttica y cálculo infinitesimal en una. serie de apéridices. . El. texto contiene suficiertte material para una sucesión de tres sernestres de' cursos de física, asigriando la rnecárrica al primer semestre, 10$ ternas de calor " e.'l:ec.trl~id~d 'y magnetismo al segundo, y reservando .el estudio de ondas efectromagnéticas, óptica y física, moderna al tercero, Selecetonando razo.nablemente: el material, tarnbién se puede ad apt ara un forrnato de' dos semestres, P,0r ·~j'e.ropl,o::, es posilrle ornitrr casi todo el contenido de materiales dieléctr icos y rnagnérices, rnecárrica de fhrid'os, circuitos. de CA, óprica georo.é,trl.ca. relatividad y física cu ánrica, siri degr adar dernasiado un curso básico de ffsica clásica, Empero, serierie abrmdante marer ial :paia quienes lo ptreda'n ufil.iaar-. Ha:y rnuchos casos, 'de los q'ue quizás la óptica geométrica sea. el más sobresaliente, en los,'que se ad,optó t

uri punto de vista muy distinto al tradicional. La cantidad de, ejemplos re suelto s es muy grande, y' forrria parte integral del texto .. Exceptu ando los más difíciles, señalarlos con un asterisco, no pueden omitirse sin pé rdid.a de corrtirurida.d dél texto. Además, 'al final de cada captrulo se. p.reserrtarr rrruchas pregun;tas y' problernas. Estos incluyen ejercicios rmry simples, otros de dífic,ultad moderada, y otros más (seña.lados con un asterisco] que, son iridiscutihlernenre ~uy d:ífí'cile~". " E:Iisección aparte, al .final 'del Iibro, se dan' las respuestas a los problemas de rrü- . ... 'mero 'Impar. . '. No todo el mundo estará de acuerdo con los puntos de vista expresados. y que iridujeron a los autores a escribir un texto con las. características éste. Para los que disienten, hay gran número de textos más concisos 'que pueden ser hascante s·ati'sfac,t'orios.. S·in embargo, para quienes coinciden con nosottost se ,cree que esta obra puede c.ontener ve'ntajas únicas' de l'as, que ca'recen Q.tra,s ac'tualm:en..te en uso y que, por t.a,nto, ésta les ofrecerá 'una alternativa útil e inte.tes.ante"

'ohn p Mcl'(el;v~'U" .,. .... ',' ,....t~~,. '1 !I'~'; J. Howard Grotch 'l,

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Tantas p'ersonas contribuyeron de una u otra manera a crear y producir este libro, que sería prolijo, si ?o imposible! dar los nombres de todos. Sin embargo, los autores ·agradecen debidamente la ayuda de todos, aunque no se mencionen sus nombres explícitamente. Los útiles análisis y suge.rencias de nuestros colegas de las universidades Clemson y Pennsylvania State ayudaron mucho a hacer de este libre lo que es, En especial, q~eremos agradecer la colaboración de los profesores Joh,n R. Ray, Max D. Sherrill, W. E. Gettys y F. J. Keller, del departamento de Física y ,Ast:ronomía de Clemson University, y de los profesores Wayne y Helen W'e,b,b:" Gilbert WardJ Stanley J'. Shepherd, johnj. Gibbons, Roland Good, Em,iI Kazes y Santiage Polo, del de"par.tamento de Física de Pennsylvania State Universiry, Agradecemos particularmente la ayuda, del profesor', Thornas Wiggins de esta última universidad, el habernos proporcionado muchas de las ilustraciones del capítulo .26~ También e'xpresamos nuestro a,gradecimiento a todas las personas que leyeron y corrigieron los originales durante el largo periodo de gestación del libro .. Uno .de nosotros O. P. M.) agradece cumplidamente la toler(lnci-~/:YS

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objetivas. Los físicos utilizan instrumentos de gran poder y alta sensibilidad, como los aceleradores de partículas y los. telescopios astronómicos, para

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extender al máximo 'el alcance de nuestros senti-

~ E.s·'difícil definir simple y exactamente la física, y tal vez no sea necesario hacerlo. Pero como se de( sea mostrar al lector el destino antes de iniciar el ;, viaje, se' inten.tará ahora dar esa definición, En términos ge:nerales, la. física es una ciencia que , pretende comprender cómo ocurren las' cosas en el 'm'~~ionatural, y por qué suceden así. Es necesario califica.r c§ta afirmación de diversas formas, .En 'primer lugar, la ffsica se interesa por los even tos. ~d~l mundo ma terial "q.ue podemos ver y experi:,!?~~·tar,.y acerca de los: que podernos ponernos de :a¡~~:erdo sobre la base 'de medición y' observación

'han inventado aparatos' como los y los osciloscopios para explorar determinados. fenómenos naturales que 'no son di,,,, rectarnen te accesibles a los sentidos, como las .. .. y m:ag'''' corrientes e1,,' éctrrcas y 1os campos e1'" ecmcos , néticos, Sin embargo, el funcionamiento de estos instrumentos se comprende cabalmente mediante indicadores qu.e pueden percibir los sentidos humanos, De esta manera, la física es una ciencia experimental que depende mucho de la abs·e-rvCb.ct\Q.l1 y la medl'.cz'Ón o bJ·e.ttv.~s de>l,o,s,fen:.ómenos rta..tur-4..~~~¡ I 011:a 1,.1 "'a! .Estas earactens" t I.Ca.S se' ap'11'·c'an por .'. ."(~ - .'9':~'

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vlmíento .que adcluíeren

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objetos .como resu..lta,.

do de ~as..fu.erzas q'u:e actúan en ellos, En calo1; y termodinámica, s·e.extiende·u la·s leyes de la mecá ~ nica a si.3~em;as;lTl:alec.ulares pa.ra ,explicar los fenó~~s térmicos". incluyendo la e1nergía té·rmica, la temp:e~,t,}lra. y l~aspropi:e,d,ades' ·té·rm.Íc.as. o tetmodi" ~~'m_ita$. de la matet'iái Bajo el e'pígrafe de 'electric.t~fl;d~:m(J;gn.etismiJ se .investigan Los.,efectos· deb,.idas. a. la~:eª~gas. ·el~ctrlcas·y a su ,flujo d, c(l:r,ríent'e .~ ,f.,~~~tr'ica:f. Por~~lti~o~ la óptica tra:ta ~e'l~apropa .. ~~~16¡n,te,flexi.ó.n :re.frac·ci6n e interíere'ncia de las ontlalf de lu.~.. . ,., ,t;:n'la p,n,m.~.~,:d;tca:d~~ ,detal'gro' )(,X se :po'5tula~ , 1.

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~~nla teoría de' la relatlvidaú"y la ieoria cuánt. I'~'t;"""d "to .direerO'm lu. 'g... .'1"0'''8'" 'Ca ·~s··t· 'JfS re eas p·_'·ron,.'. . . ar a cam·. ··h. ;r¡ . .q.. . .. , '. . . .' ~l''q profund<1s en algunos de los c:.o~ce~tosba~i-~os la.física notablemente las.' p"auth:ft .' o ,.' y alteraron , " .... ,. '., """18e lentes' de1'p~ensamiento cienrífico .. La fisic'a :t~~ntj,. . ca y la relarividad no d.estruye:rop de ninguna .rn... , dI a. nera el marco . 'e a.' ñsi IS.lCa,~'1""; asica, srno qlle' d~mostraron qtle ésta tiene ~ímit'e5de v~lidezr y que más allá de ellos se n,e~c.es.ltanc~.~~eptQ~ nuevos y muy djstintos acerca de la realidad fJSi,Cil? Por ejemplo, se encontró qU,e la mecánica clás·ica de 1900 no podía describir el movimiento de' sIstemas en el qU.e las velocidades son comparahles a la ve. locidad de la luz, o d.e describir claramente la me. cánica de átomos, moléculas y núcleos atómico·s. En consecuencia, el año de 190'0' represerm una época de cambios profundos en la flsica -no solamente en su. parte sustancial, sino en las actitudes, conceptos e ideas. A 10 sucedido a partir de entonces se le conoce po,r física moderna, la cual ha 'podido utilizar con éxito los conceptos' de 'la. física cuántica y de la relatividad para describir la estructura de átomos, y moléculas, para explicar cómo se llevan a cabo reacciones nucleares e inter:accion.es entre, par'ticulas element.ales; y pata reso'lver muchos otros proble'mas re·l:acion({dos·con la estructura fundamental de la m,ateria~ A.u.nqu.e la física m.o.derna es m.uy distin.ta de la. fÍs:lc'a ,clásica desarrollad.a antes de 1900, sus cOQce·ptos es~án profundame,nte arr~a¡gados en la.s idea.s: de esta út·· ti~a_ ~or tanto, no pod'rá comprender' bien la fís'lca moderna quien no posea u.n conocintie~to razo~nable· d.e·los aS.pectos clásicos de la m.ateria. Un texto introductorio de fís:ic,ano puede estudiar' co:n g·ran. det:alle la física el áSl C.a.y la. modernar.. Por esta Y·azón, en. este libro se escogió a pro'pósit.o estudiar a.m··pIla.mente la Us·l.c.a clásica 'y p.res,en.tar un p'a,nora.m'a gene'fal. de' la fí:siéa m'o,derna". En conse~~e,nc,ia'J los. 26 p.rixneros e·a pl/tu},os· s,e d:edi<ia~ a l~afislc'a clásica, e'o tanto. qu;e en. los c:apítl.l~l~S 27 y 28 Se est\.ldian las ideas impol~tante,s SUrgidas,3_ partir de 19QO.. Los ~:U,tQresta.lubién 11antratad,o, d.e indicar las lim.itaciones de la teo.rra clás).ca en ,todo 'C''a'S~.o d· . .' h~lcerlo> . ..... .-Q·nd e conSl:.der·aro,n. t.mpott:ante ,~.:'.'. '8 L:a finalid.ad dA 1 ·fi·s· 'l"'C::~ es obtener U11.' . .'. · ,. . '-- '~'. ~. . '- los descflp:clo.n genera.l de cómo 'se (;oU'lpOfca·ra,tl ',;. .' . . . de Cl'~ n:,.'

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. P'O~lo. general,. las leyes de la física son tanto ' ':, e'..o'.,m'.', '0 :.. '",ua 1"'Ita "tlV¡tS : es d': eci r . que cu:''aJ!tl{tat~1Jas p'u'ede:n dar re;spues.t:as< prec:ls;a.s no só1.o. a P",reg'uu' t~s·._' « .. de~_"comq . Q "por qué", sinn tambié.u a interro~a,c'lQn~"acerc~ de "cuánto", "'hasta dónde", o · po'r 'cu~nto' tI·emp·o"'. Co:ltlO lo. :ex:p" resat~a lord ..

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evitar siempre que sea posible. Sin. embargo, el físieQ.~.matemático o' ingeniero , . de mente creadora se' dlsringue del mecánico 'Q del técnico rutinarios), precisamente ,porque puede encarar esta serie de disciplinas intelectuales .. En efecto, esta facul tad es esencial :pa.ra alcanzar el éxl·to en el estudio de la física -o de cualquier otra disciplina científica llnp,o·r·t.an te. , La más deseable sería contar con una serie de ecuaciones o fórmulas. qU'e describieran tod.o 1.0 referente a la físÍc:a.elemental, qu'e permitieran resolver cualquier problema práctico después de memorizarlas, con sólo sustituir 'los datos numéricas adeeuados p:ax;aobtener los. resultados deseados. Desde luego); esto ahorraría tener que· emprender laardua rarea de comprensión mencionada. Desa .. forturradamente muchos estudiantes de ciencias e lu:genJerl:a y,a trataron de realizar ese traba jo s6,10 . pa.ta. sufrir un doloroso desengaño 'en el primer examen ..Algunos otros, emp:ero, persistieron en su rnétodo más allá de, ese punto, e incluso 'hubo quienes lograren terminar SUIS cursos de .física con c~lifi.,c,ationes aprobatorias. Sin embargo, 'a la larga ~~1esmdiante que opte por este procedimiento 'n()alcanzará la,comprensión de la física en grado .c

~ufieietl'te.para que pueda desenvolverse 'con ·éxi·t'o · en una carrera en ciencia pura ·0 aplicada, por' 10' · ·qu,e¡ólQ se priva así de una parte esencial de. su ,ed:Uí~a.cíó.;,n# ,. '.: En de~tP1el ~)'l?jetívQID,ás:, lrn portante de todo ' · t:l1fS.O· de física elemental ,de'b,f:ser habituarse a ~,~;a~~~,p~oblemas.lfsa.nd.o· unas euanras leyes físicas .s~mpJéI ; -~uliq·u.e ·abstratta:s..._ de manera ra .,.: ( , llonal·nd ~. . " ~c,J,.:', l~" ..:.~p~ll~.l:~n~t.~), .en vezde 'tener que buscar tQ$ !ap.uutel. la form~la co-rre·cta y de "'Jnijer~ !á.~r::~~_ ..l~a.,lo,' u'ÚmerQ6 ap!o.pjados'·; ~ Es:to. e:s tan ;t

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pf~:ferible.s.par .5~a~plia. cap~,c·id~d de c~1~ulo4 En toda la historia de' la crencra. los fíSIcos. se ..,'" ¡t;ltere:sa~'dao. een, .'d ar . uso. pracnco ~ ., a 'S'Q conocí ·.. 'han ~ rn,iento'" en crear dispositivos 'que utilicen 1.05 prlnc.ipios físicos, AJgun.Q.s· ejemplos son el reloj de pén'dulo'f el cr~n6·m.,etrQ) el giróscopo; la máquina ~evap:or el ge.~er.ad,o.r y el motor eléctricos, y los sistemas de radiodifusión y de televisión. En fechas m··ásrecientes, la investigación en la física ha sido. direeramente responsable del desarrollo de la .generación de' energía nuclear , de los dispositivos :e~ec·triini·co·s de, estado sólido :y de: los 'circuitos ,1hteg~a.dos.,. Por' 1'0 gener,al, los físicos se pr.eocupan J

p'o,r el desarrolló recnológico sólo en sus primeras etapas,..y 'tan pronto se comprende bien la aplicación de ~Q5,principios en que se basan, entregan tales dispositivos a los ingenieros .para que "los perfecclonen y 'fabriquen masivamente. A su vez, les irrge.ni·e'fo:s,. tratan de incorporar refinamientos ..adicionales y de resolver los problemas de fabricacién y comercialización. AsI se desarrollaron las diversas, ramas de la ingeniería 'y la tecnología, por '10 que se puede considerar a la ingenieria .ptimo·rdia.lmen.te 'como física aplicada .. A,menudo se dice q,ue la física es una discipli'na fría ' y objetiva: cuantitativa, matemática, desapasionada, abstracta, muy alejada del medio de la experiencia humana, yseparada de las pre.o:cupaciones relevantes de la Humanidad .. En form,a p~a·te'¿tdaa la c'ontabilidad. o la b·anca" se afir:ma que.l,e f~l~a ·:p.Qtcompleto con.t'en:iq.o humano', Des, ·de lu~gQ,f:S cíe:rto que la física es ab'stra.cta y que su es'enci'a. 'se puede com,prender y expresar' ,muy ·ú~~ilme~n.te:t. r.ecu·,rriendo ,allenguaj'e de l.as ffi·ate.má·. . tic,as·:.Empero) la más humaJ1·a de tadas las actlvi .. da·des reiulta ser la haJ~lilldad d,e crear cODee'p·tos a,bstr:(l,ct.os . y de .e\mplearlos en pro,vecho de la Hu."manidad" pues. en ,efecto, esta capacidad úni'ca es la 'qlif: ,difeteo'cia: al género human'o d'e laS, demás ,es.pec.l~esVIYle·n:tes" ~.~ . "»111 f"·· Por' .esta razon., q utz,a a. lSlca ,sea la, má:a .huma,p.3 de to.da.s las disci plínas-: el con, - ,

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{·¡·ouo~fuerzo dt;l' ,hom bre por utiJIz/ar el rn.edí.o nat,ural· par:a satí$.,fac~:r $'.U5 n~ce:sída,d:es ,ro.aterlales ,.4' i~~ectualel eS u'n etnp:eño c,ar-acterístJcamente ~ú:~aM ~, más, :aún, ~o.ns,tít:uye u,na pa.rte: p'or de~ ~~ ,:i.niPQf(tante de ,la llistaria ,de. su. e.xIs:t·encia en __ l' ,. . , ,.,.;'.,,'..,n."a \'.':'ro, ne't,~," ~~{.;:~<:~ ~._1~stadíode" la nifca 'ha ayu:da:do'·~compten" .~ eJ, ~tl¡Y~t~ n~tural en forma cienUfíea y úijI, q,

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,las últimos, trescientos años, desde la. época ii., 'Y' "'H N '..dd' Ir "" isaac ',:ewton y'J. en ~j, es 'uno ae Os M:axltnos .. 1a H..urnanidad... .. logros Intelectuales de No es, y probablemente jamás será, un Io:gr'ocompleta en el mismo sentido de' una obra de arte terminada p.or completo, sino qu:e continuamente crece' y s.e desarrolla. El maduro crecimiento de la ciencia física ocurrió' principalmente en Europa oceiden• tal y' en Norteamérica, yes uno de' los más lttlp'o'rtantes componentes intelectuales de ,lo, que se' conoce por "civilización occidental", De heeho, . , .,C,f. 'hay quienes aseveran que el desarrolle de Ia 1:1$1ca. produjo la civilizació..n occidental actual, y que 'es su más sobresaliente caracteristica. La humanidad ha Iuchado corttinuarnente po;r sobrevivir en un medio natural q'ue no siempre ha, sido benigno, sino qu,e en muchos sentidos ha ¡si.do - y sigue siendo - cruel, hostil e mclemente .. En la actu alidad se afron ta una escasez de materiales y energía" la, degradación del ambiente y otras amenazas serias para. la seguridad comün. Por otra parte" es probable qUé a la larga, la ciencia y la tecnología. contemporáneas no puedan resolver estos problemas, así ,q.ue la, eliminación de, estas amenazas sólo se conseguirá como resultado de un mayor des arrol lo, del conocimienre científico, Ciertamente la física tendrá un papel destacada, si no dominante, en la conquista de este 'objetívo .. Entonces, ¿pod'ría decirse que la física es algo, ajeno. a la .experiencia hum¡ana; q:ue c'aree.e·de cont,enido· 'O"

•

humano? La, ,física es tam bi'én una 'm'atétia inspiradora;

desafia,nte y de s.umQ interés,,, po"r de!(echo p:ropio,~ Re.quiere· de quien la 'estudia trapajo in,te'nso y disciplina intelect.uaJ., .además: del dominio' de téc'ni'" "" b'" ca,s m:ate:ro,atlcas '.aSlca.Sque no son en. sí·esp.ecial"" mente atractivas, Empero, una vez .domina,do lo at1teríor, S.e· hallar'á q'u,e'la fislc'a es apasi'qnallte, d-e. g'ran Interés e ilnport,anti.a rn.uy útil y,. en verda,d aun di vertída. ::. " ::.:.''" :"..:."""~ t:

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el CQ~QcJm.len·tode 1'a, :natu:r:aleza de és·ta. d:es C'Oll q'u,e 'se e\ra.1úa una Cle'rta can-·a.' Las unl.·~'d' tidcad fís.i\ca} casi .siempre se· pued.en expresar en ·funci:ón 'de cuatro unid,ades: fun,dament·ales. 'como ,de masa2~lon_gitu.d tiem.po y. .carga elé·ct·rica. En el ·c,a..so de uni:d.ades ,de: canti.dades m;ecánÍcas, bast.an la& tres prítneras. Así. p·ues.; l,a velocidad pue.de' exp'res.ar:5.eco,n una. unid·ad 'de· longitud dividida ,entJ!e U?2 unída~d de tiern'.po; ·como 'met.ro po.t g,e-

Un si'stema internat:;ional de. unidades" b.as'ado en el sisterrtt ~KS racionalizado, h'a sido y·a ad·Q.ptado pOr' m.u~hQs'paises,.en a.~os r:ecie'llt~s, y s~ conoce Q'fieialmente. por Systeme 11~térña.· t~on,a;l d"U?Jités (51)\ Podriam<Js y q.ui2i.á d,eblaroQs, ha:~tr 3

emple~.do estas u;ni'd:ades exclusivament:e en e.stelJ.b.ro, JlU~r: probab~e. qu,e e~SIstema sea a,doptado unjy~rgalro€.nteen,un t tur~ ~o ~uy leJano;l .aun en Estados Unidos, En y,ez.d.e elr~,. ~

~ecldl.6.usar las unl.d.acles SI en s,u .m~yorpatt.e 'y CQlJ;S.e~~,at. gundo (lll!St, o.b:ie.n m.,:S-l)1. milla. ·po.rhora (rni/h o. Ilb:er.tad de e.lec ci6n, pata ,u.tifila.r ·{)tra~ unlda~~~ ,~~ri m,phJ;t :0 bien,., .kI16metro .p:or' hora (km/h). De la c~sos donde"sea partlculartnente cunventent.e n lnstruct.~o II mllnla maner'a, la .densidad se puede 'expresar .. ·cerlO..No hay un solo. sistema de unidades'qu~$..t-a adectt~d~

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.t''''zand t.l~,ct:r(j'$látir;á <te .(;'~rga • llamada a veces' siafcr;ulomb' Las u''ni'da''des eléctricas se, 'u.escrt .J,' .' bi á ' d '1'1 I -,-;':', Vr •. r,o:, ,. . • y, ..... ..'.... 1)' n en: era e' e~ e, seguQ:"

do v(:)lume:nde esta obra,

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'El1-rtet'r,q. (m) se definió originalmenre como un. die,lro.í.l1onésim.ode la longitud del cuadrante del meridianQ terrestre .que pas.a por París, Francia. Sin emb·argo; cuando se adoptó el metro por primera vez como la unidad legal de longitud en Europa, y se construyeron las' primeras 'barras protcripos los estudios topográficos y geodésicos de la, superficie ') terrestre no eran del todo exactos, y mediciones " p~ost.erio'resindicaron q'ue' dicho cuadrante mide "

del metro, corno igual a. 1 6'50 763.73 veces la ,. lo.llgltttd,de onda de una luz anaranjada característica (la radiación correspondiente a, la transición entre los niveles de energía 2PIO y 5d5) que emiten, en el vaclo, los átomos del isótopo crip'tán 86~ Ya que' es posible determinar e'sp'ectroscópicamente con mucha precisión la longitud de onda de esta radiación" sirve como patrón , conveniente y exacto para Ia unidad de longitud. :~ ''suelen usarse en la práctica submúltiplos del " metro como el ceniimetro (cm), igual a 'un' centésiroo de metro, el milimetro (mm), .igua.l a un rnilé:'.;, simo, y el micrometro (pl,m) [anreriormente. micra oc.

(JL)]j .ÍgnáJ' a u~millonésimo de metro,

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comprenden cantidades, dime,nSfonale.s: 'ir

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c,antid,ade-s dimensionales. ·en la~ " ecuaciQn,es ·alg.fbtaic:ttst. s-e:de:b:e~ cun1,plir'd;,et,~ttn:~ .. nad·ps., r,eq u181to.:8:'que n'o $f' rretesttl,O c.uando.6.t ~u.. " Al 'utilizar

..~t,~1)~~~"t~ ,~l~(;lmb(ede la llnidad .yill

¡Im,bolo 11011 18~~"':~'~8Llt!á, la 'ft01:m¡ :8cri~rá,J~é"qu~ los smb.QJQ$' d'e Jas \l"ld,d'.~~.'f..i.:,l,J:tk~.rt', (M·,, -dltf.S~) ,,,, ' ' , "

•

qu,e ..

Operacio'nes m:'atemátic'a,s

se definía como

como la duració:n de 9 192 631 7'70 ti.clos de la. fa" d,iaci6n CQrrespo!ndiente a l.a transición en~'r,elos: dos nivel'es hi per,rl'nos de·}'e,stado 'fun'dament:al del ,áto'mo de cesio 1~33.. .

,1ibrQ.~" , ' ,': ,/' :La ·u.nidad MKS de ma:sa es"el kilogramo (kg)l ,.. que:e4 la: masa' de. un cílin~ro pa.tt6n de p.lati'na e . ~

kilogramo se

1/86 400 de la duración media anual de un día so... lar. En el curso de un año, la duración del día SQ'lar (el intervalo de tiempo transcurrido entre p~a,'-" sos' sucesivos de] So] por un meridiano) v/aria lige.,. ramente debido 'al movimientc de la Tierra en su, órbita. alrededor del Sol, a que esa órbita es elíptica ,y no circular, ya que no es constante la velocidad de la Ti err a,a lo largo de su trayectnria orbital, sirro que varía de día a día durante e,l año. Por lo tanto, la definición actual del segundo. es

7.7.

•

es el segundo, que

sistemas

.. sima de milírnetro.: De manera análoga '. a un lllillá,r de metros se le conoce corno kl'lómetro :(knr).. En, :e1sis,tema inglés la unidad de lo.ngi,tud es ',; e] ,pt;e) y tambié'n ~e'utilízan :I;aslJoid'a,de.s ,?eri.v'adas . " pulgáda '(plg) (1 /2 de pie), yat:da (yd,) (Igual a 3 ;~",pie*), , milla ('rol.) (igual a 5 280 p,ie) , ,p'ara I~ con .. , ~er5i,ón,e.ntreunidades métríca.8 e ingles'as, vease la {t~,tila:,de equi,alencl'a.& ~l 'prin.cipio y final de, este

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U'11.

'(le normas:

La, unidad funda mental de tiempo en los tres

a un rnilé-

mos nacionales

de las: orgatlis;;:

de agu,a pura a la. temperatura de 4°'C, A un milé- , sirno de esa masa se le conoce CQm.QJ(ramo '(g). En los sistemas gravitaciorrales de ingeniería no hay unidad [undamental de masa, pue,sto q,ue se elige la unidad de fuerza corno unidad básica. Un ki'· lograma [uerza. (kgf) es 'la fuerza ;grav.i.ta,cian,aI (pe-, so) ejercida sobre el kilogramo prototipo en condi .. cienes específicas, que imparte a éste la acelera .. ción normal de la gravedad igua] a 9,.80.665 m/s", Análogamente, la lib ra (fuerza.) (lbf) es. la fuerza g'ra vítaroria que· irnparte a l-a libra. prototipo (igual a 0.453 5,9 kg) la aceleración normal de 32. 16 Pie/52,

en realidad un poco más de 10 000 000 de metros. En época reciente se adoptó una nueva definición

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definía an tiguarnen te' como la masa de '1000 cm"

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iridio que se conserva en cada

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líián simples: nümeros. Tales condiciones pueden

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. 1* 'Las dimensiones de las cantidades en ambos .' mlem bros de una ecuación deben ser' iguales,

a m~enos'q:n:e la ecuación contenga un factor de conversión entre dos. sistemas de unidades

(por ejemplo, 1,'plg .:::;2 .54 cm)

Es claro. qUf las' dimensiones de' 10& dos te~~~ .. en e1 seguncdoQ mi :~~' a dilt.IVO.S miem bro de esta .eétiacf¿{-.:~ l' ...U'' tl"l'lZa,ti.'dcQ: las . .l~' tnétri: '.n d eb' en s.~r ~19U~.~ ,aB; uí unlua,des cas MKS '(0 SI) p,ar,a (J; (,metr:o por segundo p:OT se. gundo, o ,m/sg), 'lJo' (rn/s) y t (5')' se v'e q~e Iae di. mensiones del primer 'término deben s.er [se,:u.)l.n el req uisito (3)]

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:2.~8.:[)·10 pueden 'sumarse o restarse cantidades

que 'tengan las mismas, dimensiones'. V n corolarlo de esto es que todos los términos aditivos de una ecuación deben ser de las mismas 'dimenSlones .. . 3\. Se' pue'Q.:en.·multiplicar o dividir entre sí

sea, m. ;

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en tanto que las del, segundo termmo

50.n

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, cualesquiera dos; cantidades dimensionales, . p,ero las dimensiones del' producto o cociente resultante serán el producto o el cociente de

las dimensiones de los [actores.

En relación con la regla (.1) 'anterior, ,jamás tendrá sentido decir, por ejemplo, que 3 metros: es igual 'a 3 kilogramos, au,nque es cierto que "3 igual a ,3 t) es una expresión matemática correcta cuando s;ól.()$e consideran números. En forma 'análoga, en ecuaciones en que intervienen factores de- conversiÓn entre distintos sistemas de unidades, cierta, mente tiene sentido físico decir 'qu:e '1,plg es Igual 'a 2 ..54 cm, aunque 1 = 2,.54 es una expresión matelllia;tÍ'ca incorrecta, tratándose de los valores numé,

ricos ií_ni:camen t,e,.

Se puede ilustrar el requisito (2) señalando .qu'e·,;pO..r'·:ej',e·m.pl0.'., n·op.ued,en S.um:ar'se tr,cs c.ab,al los á cÍnco' e'abras;: la' ún.ica, respu.esta que puede darse e·s ""tres caballos y cinc.o cabras·; ,,. De,sde luego, es p;Q$ible s'uma,r ·tr.e~.caballos y cinco cab·allos p'ara ohte:n.er .ocho ,e,ab'alIas,. o tres c'abt:as y cinco cab'ras~.para que resulten ocho c·abras ..5 >

Un t;j.emplo 'IDá.s :relacio.na.do con .la fís'ica .~().p.r:opo'f.ciona; la ecuac'í'ón que d.a la distancia x qne réc:or.re una partícula que' p·arte del origen (x ="O) en el'tie]tl:PQ t _z;;. Qt d,espués, de tr·anscu·rrir un tiempo t., ,siempre qu'~ la 'part.ícula se mueva cO'~ácel:era'cíón ,constante' a y tenga la veloC.idad .in.ki:aJ 'V~t.' L.a ecu'acíón. puede es:cribi'rse . . ,

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Los dos. términos son dimensionalmenre homog~é.), neos y" por 'tanto, pueden sumarse: entonces, la ecuación (1.3.1) es coherente en este sentido: Además" puesto q.ue las dimensiones de los dos térmi..

nos en dicho segundo miembro ,.8,00 metros y la dimensíón de la, distancia x en el primero es el metro también, las dimensiones de las, cantidades en amhas lados de la ecuación son iguales, l' tambfén se satisface el requisito (1). Es claro que la forma de la ecuación es congruente con las tres especificacienes, de manera que se dice que Ia ecuación es ' dimensionaimerue homogénea, Si el segundo término del segundo miembro tuviera la forma V.o,!" en vez de vol, las dimensiones de los dos, ter.l1lJnos de este miembro de la ecuación no serían las mismas, y la ecuación resul raria dimenszO.,nalmente he.terogénea), por lo que n,o se:ría c~ort'ecta1 El hecho de que' esté segu'ndo término no 'tenga la dim~ns!ón ?e distancia, mientras qu,e l:~.ea:ntid,a:cl. al lado 'lzqule'rdo del signo. igual e~s.indiseu'rible;mente una distancia,,, indíca que el té)'mino' tlat<t debe ser •

Incorrecto. . L·a. viola:ció;n d.e la cong·ft;te.ne i,a, dimensional 'es una señal clara de que se ha cometidco un efl~o:r'en

a,lguna parte; de m·an.er?a que ·siem,pre que se d.~ duzc.'a una expresión p'~ra,tina cantida;d í!si:ca" .s.e~ rá prudente' ,asegurar,se que el. re~ltado'final,~~ ad.emás dimension'alm,ente car,rec,t.o.~ Si se· e\llllpl~' es'ta condíciól1 e-s. posib'le, ga;rantizar'todaVia q,ue~.} resultado se·a totalmente cQrre~to, ,pe,ro,~n d1$(i ~tá c,on~rarlo;. sera ln~du.d-,a:b:.le· qu:e, 1:a··te~puesta ~"':': ~quivoca(la,.,Es obvio 'que al $.u:stituir'C8;llt:id:ades. dimensi'onales -en una ecuaci.ón como la ,(l.S.l.), $i~pre es necesari() emplear el m!srno,s16tl1!fIlII~; u.nld,ade~; o sea 'que si, ·se e,scóge'el s~temª ~~ , desde el' p'rirtC.1,pío· t' n,o se ,debe.rán util~·~ar~ ; " . ~,

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1..,4 E$:~~/a,es. )'"vectores: .Métodos 'gráficos ,para' la adición vectoríal Cle:ttas cantidades

áJg:e:bravectorial, Un vector se rep:resent'a .gráfi.c'am,e·n~tep.or· medió de un segmento rectilíneo dirigido (flecha) qu.e

apun.ta en Ia dirección del vector" y cuya longitud es proporcional a la magnitud de la cantidad vec; torial, Una representación algebraica de un vector en texto impresn es 'mediante un símbolo literal en . tipo n~gr()_1por ejemplo". A; la magnitud del vectorcorresponde al símbolo respectivo en tipo cursivo, A, o bien, se representa a veces por CO,. " me se muestra en la figura 1;,1.:a, la suma, o result,a1J,té~.de dQ.s vectores:, A + B,. se obtiene, grá\fi.camente u.níenda ,el oríg.en del v.ector B a la p'unta o .extre~idad. del. vector A? y ·tr:a'z.ando luego' un ter .. ,e~~,,e~tor(:U.yo o.rigen es 'el de A~y .cuya extremi .. / dad cOIncide ~:on la 'de B~ Est.e t~etcer'V,ectQfrepre:.. "knta .la sU1!l'a ver;torz'a_l de A Y B~. En las figUras ,l.~14,Yl~·.lbes, claro q'ue'el orden de la .8u:ma d~ A.y' »fl;0 a:f~c_tae~.r~ultado.;·p.or tabtq, '' (

JAI.

•

.':;A.

•

B·

, S+A

de importancia en la física.

pu~den describirse completamente enunciando su 'rr:agni1'U.d .. ·E.s:te tipo .:decantida'des -por ejemplo, tIern~pOtmasa, densidad y volumen - se conocen por escalares " Otras cantidades importantes, de naturaleza tJ;l.áscompleja, implican una direaciési a,de~.ásde' su, m:agnitud, E:~tetipo de cantidades, que incluyen el desplazamiento, la velocidad, la aceleración .Yla fuerza: se 'llaman vectores. Por ejemplo, la velocidad de un objeto' no queda es·pe:· cifi,c.a,da completamente' diciendo que su magnitud es de 15. m/s; 'para describir completamente S.U:S caracterísricas, debe decirse que es de 15 mis dirigida hacia el Norte. Como las leyes de la física se.refieren en su mayor parte a cantidades vectoriales', e's necesario tener familiaridad con, las di'venas:formas de representar gráfica y maternáticarnente los vectores .., as! corno con las reglas del

•

A. +B· .

••

,, .'

FIGURA 1, 1

Adición vectorial deñnida par la suma

geométrjca Q gráfica de dos desplazamientos. Es cbvío que .el desplszarniento resultante tiene l€l misma maqrtituo y dirección. srn importar qU.e 'S se sume a A, e.amo 'en (a), o bien, que A se sume a. B, como en lb).

temática arbitraria, sino que se deduce -de la forrna como 'se relaciona la magrrinrd y la direccióndel vector que describe el desplaxamiento total de un objeto desde u.n punto inicial 01. con 'los, vectores A y B, que dan la longitud 1 la dirección de dos tramos a componentes del corrimiento. Por ejemplo, si se parte de O 'y se desplaza hacia el Este una distancia que corresponde a la longitud de A (fig. l.la) 'y luego a 10 largo de una trayectoria 'hacia el. noreste, una distancia correspondiente a, la longitud de B, se llegaa un punto cuya posición c:on,respecto al punto de partida e:s.tá descrita por el vector A + B. Esta cantidad ve-ctorial representa su desplazamiento total desde el punto a.. 'EI vector - A se define corno Un vector con la

misma magnitud de A pero que apunta en la, direccz'ón opuesto: De esta definición, y del proeedimiento para la adición de dos vectores, descrito antes, es claro que la s.urna 've'ctorl:al de un vec:to:r: , c'on su vector negativo correspon·die·nte vale éerot como. sl:lcede CO'fl la adiciÓ;n. a.lgebraica d.e·'UJl nU,., mero co;nsu negati~o'alg~eb'raico~·Se pueden :restar, ' ~.os vectQ'res, sU'm~'ndQ ,a uno el negtltivo del ·otro .. ,

·n.ta., ',' t··a... P:o'r

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•

,+ B + e, = (A + B) + e

En, Ia ñgur,a '1.Sa se ilustra este p:ro~cedímiento.,~~

claro q. 'ue el orden en la adición de los ve.ctores· ",,~ afecta el resultado, T'a.mbíen. se ve :que P'Ol' lo ge'~ . , d" '..'. neral tres (o más) vectores, po:: rían no estar en el!.'. mismo 'p. Iano. POT' último, en la figu:ra r ~.:a'b·;esfa'!,l· cil ver 'q'. ue la resultante ,A + B +. es 'el ~ve:c.tor que forma la díago~alde,un paralel:epíp~.do.cU1a~ aris t as; están determinadas por A.,. B YC·~ Para Ile4!• . t' a u '" Iti '. c",·;C.. '0' n' lusi 1.' o.....n·''.t e's.'. n' ~"..,. . Ace"s, rrio ," s , gar a e:s, ,IIDa " a; :10 t:rans~ .

FIG'URA 1 ~2 '(a) Procedfmtento g'ráffc.a para la $wstra.:c:c·ión vectortat. (b) Su rne y dJf'erencla. veotoriale 'B'" ." ·t·Q", 'd a.SPQ~r ., . I:a.s.:d'0:$ ed'lag,ana: , Ie.s~d....e'l''paf~a,Ie-o ': .•,'S' .::,r..pre~an,

[oi).ramo deñnido ••

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A +

en: que v es el ánS'l:llo entre las direcciones de: Á. y ,ir B .El' ' angu.' '" .~'l"'o : ..' q' U:f ..A", + 'B s: A está ,:ue ,'. forma cO'n .", .·'o_',:~.··

..... : :~."

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•

dI' .' C"mantenl,ell. o"o apuntado,

po.r'tar el vector e siempre en Ia misma dirección) desde la pOSIción a la, posición 2" lo :que es admisible en 10 'que t.esi pecta, 'a las eondícíenes del á"lg'Bb~áde '¡'e:ct():r.e~ •

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:duce que Ia magnitud de

dos v:'e·cto ros" . .,

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B'sen6 ..

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aplicación de vectores que representan tantidadd~ '. fís:'~:cas>. por 10 qu,e: en general no sera posible ·real" zar esas t;raS.l,,ciol1,e's .de' ve.c'tQres, sin alterar 11 estructura físi;.'a, de)} sistern,a. El pr.Qeedimienl~ · par'a, suma:! vectOtla "1" mente: cuatro.: :0.. rn~ ~1 grá f1,C~O' , . '. . vec.toresJ puede tma:glnarse· como u:na, exte.nslOD' ló.:gica de] p:r'oted·im,ie'rlto. desc.rit,o ·a;nt.es 'pa:ra la.:s1!(

(1.4.,.4)

'Los .de,talles,,de la dero:óst:ra:cÍó,n, trigonomé:tric~a d:e es!tos. t:esllltados ,se dejan, al le,c'tQ;r COID:O e.jerc'icío. N 'o' es nece-sa;rÍ:o 'r'ecord:a:r e,n deta:lle l¡as ecu'aC:I,ones .

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F'rGU.R:A 11 .4.

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... •

Pepresentación qráfica de 'la adición d'e varios vectores; uustrando

lá r~g!a.'del polfgono.

,.'· /'

ma de tres de ellos. "Seilustra en la figura 1.4 para

¡'

..-

clde con. el del primero y cuya extremidad es la d'e( último vector del conjunto cuya suma. se busca ..,

cinco vectores que están en el mismo plano, aunqU'e los métodos son aplicables ,p',ara cualquier número de cantidades vectoriales, sin que importe si son eoplanares Q no. El resultado puede resumirse como la r:e.gla del,po:lígo'no par'a la adición gráfica o. geom'étrica de varios vectores, en la siguiente

)

•

El vector resultante' es tal que cierra el ,· polígono abierto formado cuando todos los vecto .. . res cuya, suma se busca se ordenan como se descri- , bió anteriormente. Si ya es cerrado el políg'otl'o' !. vectorial formado por esos vectores, entonces, co- ~· mo lo muestra la figura 1.5, la. suma de los vecto-. • ". . res sera cero. .' ·.

manera: Se une:el oríqan del sequndo vector con la punta del primero, el o.r.i_ge,n del tercero con la sxtremidad del s.egundo, el punto lrricial del cuarto vector con el ... ,punto.terrnine! dal tercerc. y así suceslvarnertte. La suma vectorial .de todos los veoto re s dispuestos 'de esa manera es.' entonces el vector cuvo origen coln-

,~~

,•

,• ,1

Componentes de vectores: A,dicio,,' y' sustrsccián de vectores medient« sus componentes

;

" ,-

-•

•

Ahora se estudiará el caso de un único vector en el

como se ve en la 'figura 1~6~,El vecter .,(\ : ilustrado puede representarse como, la suma del } vector A;-.;" en la dirección positiva del eje ,~1. Y'J\~, ~ plano

e ,., '.

Xy'f

que ·a·punta,en la, dirección positiva del eje: :y., Las

: proyecct,Ques de A sobre los. ejes ~ Y'y S'Qn~por ta·ntQ~. ~

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12 . . •

, , d' " '~1' "',,:,,..J,c' "ad'o,. am bos ml·'e,",,'hr~~):¿~~,:">I' ',:~¡)., /:it~s~' "M(':¿¡~l'~':\p" '::iáta ~~b;tene,f:':~&1' A .'A :ele\Tan', '0:':a.J, eu>a:~ ,,' M " ,4,"'''' 'V, u'J;; , ," , , , . -;.~~~' 1',': ._. ~es.("'1'5.1) Y (l. á, 2)) 'y sumando las dos A' 2.' - A 2 + A :.2 ' ,, . (. . ~ las ecu·ael'o",~.' , , :.J..... d ,; , , 2 fÍ' + ,'. ,.1: 'P' ,1,.5:.31. /.' " , "~~"'~s. resultantes" recorU4n, ,o qu.e, sen (J .. ' . )~ ecuaCI011¡ ,',' ~," Dividiendo la ecuación {1.5'..2}'entre (1.5.,1)'., de In.lj ,Q"

••

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media to se' ve que. .. ' A tan {]::;, ,y

' '"

;.,

'.;.

'(1 5

.':~;4):

Es importante notar' que cua,~do el ángulo, 6' entre la dirección positiva del eje,~ y la dirección:' del vector' A e,s mayor que 9'00, 'las compónel1~te& Ax Y Ay) definidas r= las ecuac:ion~s(1 ~5.1) y (1.5. ,2) serán negativas. En, gener,aI, ~lempreq'llf,

la 'p,royeccÍón de un 'vector corno el de la figura 1.,6 en la dirección x o en la y quede en la parte nega- : tiva del eje x o del eje Y1 la componente respectiva' Ax o A')I será también, negativa. Por ejemplo, un vector dirigido hacia el tercer cua drante , para ~l: q'ue 180,°< () <270°., tendrá componentes x y y negativas. Otra forma muy útil de considerar lo anterior es: considerar l?s vectores i,e iy"de magnitud Unto taria ,yen, las: direcciones positivas de los ejes' x yy.; respectivamente: se observa que el vector Áx, es igual a la cOI1l:ponente A x: multiplicada po,r' el veetor unitario I, Y que Ay es igual 'a la e,olI1,ponente A.y multiplicada po,r el vector unitarios i,. Entonces se, pue'de escnibínr •

Ix "

. FIG'U:AA1,.,6. Vector ,A representado corno la suma ,de,Jos. vectores ortoqonales Ay, v· Ay,/'q,ue a su vez se pueden representar como el producto de las cornP?rtentes Ax Y'Ay por tos vectores unltarios ix e iyen las dlr'e.c;ei'Ones x y 'v.' •

••

+ Ay =: Axix: + Ayiy '= (A cos 9)ix + (A sen 9):iy

A ,= .t(x

que expresa esencialmente lo mismo' que las; ecuaciones (1.5.1) 'y (1.5.2). Ahora se trabajará, con los dos vectores Ay B q'ue están en el plano xy, como se indica en la figuroa 1.7; Yse' representa' la resultante de A + B 'CQn~ un tercer vector R~corno' se ve' en la misma, figur"l· Por la geometría del paralelogramo es obvio, que

I,y

A Áx'

'Ix .

• •

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, •

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l1,$~6

RJ( .

R)'

~.'

= A~+ B>; =: A,p' + By

R¿

" ...'

, "

anterlór significa que el multipli.car una cántidad :Y~

:1a1 por una, 'ctantidad e8eala( da. Un v~tot ,c,Q;ya ~~ctió.~ ~ , rsua1 a la del ve'ctol' original" 'y,clW"a roaanitud :es la (le est~~(" roo' multi'pli.cada plll' el escAlar. PQI f}jemplo,) el veció'( 6'A :~:~ vec:eol' .~~ la ditec.ei6.n, de. A. y do ,roQlllttld ~s',!ec~,'m~r to define 10 que, ,le enti,n.do poi ,.escalar multiplicado ,po.r. ve,c.tOl'f

. .'

, •

1.:5 c:pmp·o.n~:nlQ$;de v.e6tote$" Ad~"'~. . . .." .... . ' , ., .". ~ IQ(~n y sUMraceion'de: vectore.$ :me.d.fante 'sus' ,

;,'~ ~.'otr:a.tru.ll'leI:a~• ex.~re.s.~ndQA y B. en términos.

~~:~' un)tartos t, e· I, cerno en '(1 5 5)" . ,~ J'11ii1s ·v·ect~o:r~s, . . '1

...

......

•.

••

~-.:

R A +.B ~ A)~+ ~~;.+ Bxi~ + B)li~ ';::t

~ (A~· + B:x)~x + (Ay

+ By}iy.

•

. .,

..~

•

!'Estaecua~.ó~ .equiv~e precisamenee a (1 ..5.6), ya. ~·que:.el ~aeilCle~te.de l:~'tle~e,'que ser la ·com:p~t1en.. te ~ de R y el de 1". debe ser la co'm,ponente y de. R. ~De uná u otra manera.resulta que la compo'nente ; 'X del vector resultante R, es .sim:pletne.nte la suma de las coxnp.onente·s x de A y B, 'y la componente y de esa re.s.ultante 'es ~a suma de las componentes y de los vectores dados .. Es claro que este resultado puede extenderse a sumas que comprenden más : ·dédos vectores. P'OT ejemplo, en la figura. 1.4b, es . Qb:vio'que la componente x del vector resultante . de A + B + e + D + E es la suma algebraica de las componentes ~ de esos vectores, notando desde ; luego q'ue son negativas las componentes X de D y ! E..'De la misma manera" las componentes y de los ' vectores dan PQ,r'suma la com ponente y de la resultante" considerando que la correspondiente a E. es negativa, S'iun vector quedase fuera del plano ~y, como se ilustra en la figura 1..8, también tendrá una componente según el eje z, además de' sus comp'orientes X y .Y~. En la ilustración es claro que .elvector A_puede representarse como la suma vectorial de los vectores componentes Ax' Ay YA~:que apuntan ~ . en las, direcciones x, y y x, respe.ctrvamente .. T arnbién, por la 'geometría dé la figura, es fácil ver qu'e

A C'O S CJ... Ay ;;::;: .A cos f3 At. := A ca.s: 'Y '

.Iz r

\ I I

y...

I I

---o -----.--

"'_---Av---.,.~/

)'j '.

Asimismo, en la figura 1,.8es evidente que. la mag· nitud A siempre puede determinarse en términos de leas' componentes At'; A), y A~mediante ,

Si ahora se desea encontrar la resultante R que representa la Stlma de 11, vectores Al' A2,. • • ,~AIl'~' se procederá observando primero qu.e cada 'vector

(1.,5,8)

puede descomponerse en S\.lS corrrponentea &, y ~z .y escribir

. ,

.",,,

+4'

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)l \

'P..... 'i':Y1i.

'Puede .escribí r . ,

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1,; .

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• t •

•

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1\.'1 = A.");·i~-+ An),iy

+ Aflz.l.a

4'>;:"" , ~:,;~;~~, :+·."A;.ij. f A.J, , ..,<...•"

...

. ,

•

FIGURA 1.8,. Componentes de un vector que está en ninquno de los ,pl'an'os: definidos por ios ejes de coordenadas. Estas. componentes siempre pueden expresarse corno múltiplos 'de tos vectores unttarios IXI iy e i;Zl a largo de los ejes.

en.que .(/. P Y y' son los ángulos directores de' A, formados con 10,s.ejes XI. y Y z, respectivamente. Si Sé definen ·t.. ¡y' i como de magn°itud uní~- . vectores . .. . ~aria~gÚ:n..i.o$e.jé.s :~·1.y y: Z., entonces el vector A.~es: laJ'Ial 11 rnu 1tl:p '1~ el vector vector uni .. Q¡~' ...a .ll:x lea..dooor .Q por e. urutano l)..) y ~'W~4...... ~ -~_:W' . ... :. gamen.te A ~. Al" y. A,. =- Al Entonces, Al' Z ;~~".(() .ti a suma vé.¿torÍal de Ai;I Ay y A;, se •'

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A,,JC..

Suma11do ~oda~estosvectol:.eg se llega ·d.ireje·t~I·"'.'

te al resul tad'o

_~: .~lf~ + {A. c~fl)iy + lA Co! y)i1 •

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MIQl-.C; .....".~, lQ;N: U~I,tDA~~ J'.-J ,." ~..L1~~ y,vsereass . 'V. Ji: . ,JU;';

.. 1,4'~

, .¡¡.

~.•r RJ..,:+ R)P + R"i

~ (A lx +. A2~+ A3;x + ·.'~+ A'n~)ix .. +,(Aty'+ Az>! + A3y + . "· + A,,}')i)! ,

+ (A l~·+ Áz,z + A3t

i- .

l' •

+ Anz)iz

.(1.5~12).

:P:U'Ta. que dos vectores sean iguales, sus component-:s X. y'; z tienen: q.ue serlo 'también ...En consecuen1,

'C1~'" ::a...~ ,

La componente x del vector resultante es la suma algebraica 'de las' componentes x de los vectores , dados: la componente y de la resultante es la, suma algebraica de las componentes yde los vectores; y la cnmp.oné:nte z de la resultante será la, suma algebraíca de las componentes :z de los vectores que se suman,

alplano en qu~ están 'tQdus res, y> ninguno de elles ni la r6su~tantes :tendrá'tl CQmp.onente s.e:gún el:,ej~z,¿ ~s:imismo:, puede e,&to.. gerse la orien taci6n 'd~ los eJ~sx Y , ~ .el ~lano "l' de manera que Ias c.o,mpone~tes respectl\l.l\S., tie uno. o más de los vectores participamea, sean cero: Esta técnica se. ilustra en el ejemplo 1~5.4·.. '.'. En lI}uchos cases es muy Importante cpnsid~" rar un oector de posztc1'ón r que va desde el,ori.gen hasta un. punto arbítraríc P, cuyas .cbor4ellada$ son x, y y z, El vector describe Ia ubicación del punto .. Si éste d~la p'O,s'¡ción de una p:artíc.ula e.o movimiento, q,ue partió del origen, el vector representará el desplazamz'ent o de la. p'artlcula desde su posición inicial. Entonces. es claro que las·/ componentes x, y y z del vector rson precisamentt.~¡ las, coorderradas x, y Y z del punto p, p'or lo que se; puede expresa.r r en función de los vectores uniteti;

Esta es la regla para Ia adición vectorial por compo,nen,tes, y puede representarse mediante la. ecuación (1~5.,12)o 'mediante las ecuaciones 11

:.:,Rx '::::A1¡x

+ A,zx + .A3~+ . ". + A1.JX

1.J

== Áty'

,+ A2 + A·3;y .+ " .. + .A"y = )!

A:~y'

í=l

(1.. 5.13). .

· La notación

•

ríos

•

1~, ly

' ••

l~como

.' . . r == XIx + Yly + zt,

(1.5.14)

Como. se verá e·n el Capítulo 3, el concepto del desp,la.zamiento de. un cuerpo desde Ut;1. punto de partida es uno de los más importantes en el estu.. dio del movimiento.

i= 1

. R)'-

~~e

stta normal

utilizada a Ia derecha es el :slm.bolomatemátíco usual de una sumatoria para representar una suma de cantidades de la forma , A,~,. A··íy, o A.¡~)en que i es un Indice variable que toma valores enteros desde 1 has.~an.; inelusive,~ Se ~_.tilizará ex.tensam'ente en este libro.

EJEMPL.Q 1 ..5.1 Se recorren 30 km hacia el este en un ~U'tO,yluego diez más hacia el norte. Describir como vector el desplazamiento desde el punto de partida, El desplazamiento total :r es' la suma vectoria ~.elos dos ve.ctores de desplazamiento parcial que; representan las dos partes del recorrido, como se muestra en la figura l. 9~,Claramente lll·agnitud del vector r es· .

'la

Al.sumar vectores p.or el método de'las compo-

nen.tes ant,e.s' ,deser:itb.,. '0 al de$compone,r vecto·res ~ .. ,SUB,. ;.~mponent~s" deb-e de.st:acatse que la O!;1entacl'ón de los ejes. x, y. y z es cOlU'p.ltfta,mente arbitraría y !l.ue pue'de esco,gerse como se ·desee. En la m~yD.rr~ de los ~a$o.s~ el trabajo mat'emá,dco ,puede.~.$:tmptific.'ars.e,si se elige la orien:t~:ción de e~~~8·.' ,~e.co.~~denadas .de ma~er:a ·que.s.ean ~~,a~,e$,.a cero. el ~ay,!r l1:úmerop~slble de cQmpo.. n.en~.~e.ctQnales" ~or eJemplQt $i todos 10& vecto .. · r~ ~ttn:F. un-,'ttl¡¡tJJ:«) plano (J'bv1amente 'con-Yl~. :GOnstd~ratlq.~l plan~x~). Entonces,;. el·eje ,t

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18.4·~' ,.

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~ ..... (dad ' l' O' iJII \l .L.ll.tn.agnitu\iJ;.'l' y,'1a,"d' .ltecc:tón· . aaa pore 1.:a~g:u. ~spe'clfican c'?,rnp.letamente· el vector r de d.e~pl'a.z(1m.tento..N~tese que aU.llqu.e. el ;a.u:tJ) ~:ec.·Q:rrló 40 .. krn.1.... la m~gn.jtud del . . vector desplazamiento es. de "', "

so'lo31.6 km...De hecho, si regresara hasta el PU'D'd···· 'a""tl'~<d'a~,'rep,o' to....•... ""e !I... rriende " ,:.. . P'.. ,.".',-Jo::

el ·m···· ism o' 'c'a,' ino a'tnte : rior, hu:bl:era viiaj,a;tt.Q$0' km, 'pero Ia magnitud de su seeror de desplaearnientn total final seria, entonces· igual a. cero...CO;ll1Q la cemponente .x. del .des.pl.a:ka·I))l;.e~rttQvale 10 km 'y la cQmpcrne:nte y es de: 'í,o .km el vector '1' de desplazamiento poderla especiñc:ars.e igualmente mediante X '==' 30.1x' + '1.0)i)', que se .sob~eentierrde :que las ,magnitl1,des; numéricas es:t:an en kíl,ometrus,. '

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,,' .."01' .

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... ",

EJ'EMP'LO 1 .5.2 ta' '~ap¡'tlld del vector A. de, la figura 1..10,...q,ue ,está en el plano ~y, es de 50 unidades, y S11, direccrón de 80'P con respecto al eje, 'X. Encontrar sus

Se lleva un' auto 30 k:D1 al este y luego 20 km al ntt~ reste, como se in.dica en la figura '1'..11 a, D·:e~'et:jb.ir

su desplazamíeneo desde e] punto de partída, ecm~O.·un·vector. .. El desplazamieute total r es Ia suma vectorial de dos desplasamíentos parciales A y B, Es 'rnás fa~

cil calcular el desplazamiente resultartte por' al método 'de las compenentes, Para este fin, s~ "'d'o. .b' ,. e'l·,t aconseja~ el'egrr ·e·1"eje x. d':· ..lrl;g:l~· sacia e~....·, e;:1 ele eie el norte como se muestra en la ñzu, ::J. . y, :hacia ,. "'~ ,o' rá. 1..1,'1a, En..esras ccndicicnes, el vector ,A.no tíene componenre y., en, tanto q,ne :S:U c'o:mponent.,e x.' es igual a su propia magnitud, Usande e;ntonees la, regla 'de queIas componentes x: yy,d,e la, resultant« son .)"-'gu' . allesa Ia suma,":,'de las com:'p'" cnentes respeeti .. .. : .;¡

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rx .

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Ax;'::' A cú;s 60~ '~ (50)(0,.5:00.) .= 2.5: unidades .

.=¡ ···... A·:.'

45··... + B.,·x'.. = A' .+-. B . CO,S ....':•. "" ,".' '= jO + (20)(0..707) ~

A~ : ;. '.6·.'O··ó O:)' :('O 866) (').~- (,.sen ,'. = (S' ,.... ". .= 43.3 . unidades A

. . 'b' vas de lns veetores componentes, se o:atiene

.. ObVIO

é~:

comp'onentes .según :{,OS ~jes'~ ~'.y.; For ·t:ri:gonome,trla (fi.g~ 1.10). es

EJ,EM'PLO 1.. 5.3

44.1

, J y =. Ay

'. + B~ .= O

ii';,

km. ,

,,'

4'0" + B sen ··5, ~ ' ,

'" '"

= C20:}(O..707} :::::1.~4;.1km l..A

J,', .•

·.Y ~

2 +' I"~ '=:'.. )'

• ,

• J

(44~í)··2+, (14,~1)2 ..'

• "

,= :4.6.;,.'. 4k 'Ill .'

. ' h ' , , ,·t·ra.vez; es ill),po:rtanté O ·:'serva't' que. s;e r~:qUle,ren O ,1tud 'p' :fl;t:(l es - ,. r como la direcc'lón ,," .. .., t··anto· l'a mi·'agn·· 'pecificar del todo el vectQ.r t~T'atnb,t~n"y:a ~9:\let~y Ty' son, d~stancias medid;~:s~e,s,dee.l origen a lo tarso de los ejes:~ y y! Y ade·m:áslas c()mpo~nent.esdel ~ec-: tQf que' représertt.a el desplaZAmiento to:taI :d~s:d;e ti]" orígen,,; p,ueden (y d:eben) e-S,crib.irseeam~Q.,~,Y en 'ade;ía,n~tet se representarán así en :cual,qu;ie~caso ,.',

1 J ,.

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-_...'

P a:recid.o~El le'ctor .deb'eri :re~olvet este'prQ:blelll:a ... " ... '. ~

,de' n.ue.VO'lu;t:illz:ando los veetores Ull'lta'ftos ~.~e 1, , para expresar los vec.t:d.r-es a ~Ull1'atf,:11:~$~Qmpo:· nen;.tes del v·eet'Q;t' 'result:an'te" ." I

, "

,.:).

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E,JENlPLO 1 .6!~4

'1,

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H~lla,l' uu,a, (f.~pT.e,&i.ón.g~~t!tll_ pa'l~~la m·.1lJi.

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16 •

,N ,

20 km

By. '4fio 1 ---J

•

.45~;

A 30.km

. ·0:

'-.-.1_-

'__'. __

• x

~-L __

8x "

(b.) .

.(a·lDísposieión de; \0,:8 vectores del ejernplo 1 .6.,'3. (o) Descomoosicién de:los ve'ctore~ que se indican en' {.a} en SU'S componentes x y v.

FlGURA 1 ,'11 ~

de.l v~~ttor~ de la E{gura;1,.7 'y para 'S'U dirección ".r: :.:.: cilla de reorientar los ejes de coo~denad;as;pata relativa 'a, A Y B, en función de' las magnitudes de' ' ..' '. .que· las componentes de los vec te res: sean m: A y B .Y~1ángulo f) entt.e.A·y B, .simples, así que se procede directamen.te~ Us.and En este caso, deseable orientarlos ejes de co-' Ia regla de adición de componentes, erdenadas X 'y -:ti de 'manera .qu.e A esté en el eJ:e x {fig; L 12)~Entonces, A v := O y A:.: :=;. A, en tanto .. = 1 + 3 .+ 1 ~. 5 unidades que dé la, figurea, 1..l,2l Bx; .= B cos y By, '= B sen RJ' ,==- 3 + 3 +. ,3 =, 9· unidades

,:;

B~Y

;:=.

A,)~+ B}~~:

+ 3 == 7 unidades

R7< = 1 + 3

e..

R~= .Ax' + B$ ;:::::, A + B cos R).I'

. ..;1

de donde se puede escribir

o + B sen ()

Pero,

= J Rx2. + .

R)~·2.

se podrían sumar los.vectores (O

De otra manera, mo slg'ue: o.

.+ 2AB cos e + B'Z c.os.2 e + B2 serr' 2A····B 2 .= ~, A 2'. + ..... ,: e,os. D + 8.-'

=-', .Al

1)'

+ B + e == (i~.+ 3i~.+ i=') + (3is + 3i\,,+ + (i, + 3i\~ . + 3i,~) -

R == A

•

== 5j:~,\:,"loo9i)f + 7iz; ,

, La tangente deel ápgulo ifJ' entre la dirección de R y la de 1.1 es

•

... . <P. ~ B\~ tan . " - 'Ax + Bx #.._

B sen 9

- -A-+-' -B-' c-'O-'s-,f) ·.............. Bx",¡.·

....

:Ax"--~--

-,...

, '. 'Estos; resulta,dris.concuerdan con 10.:8 .expresados . .. p~rJ ;tá$ ecuaciones (1 ~4.3), Y (1,4'.4).. '. ... .. ,

l' 1

•

. ..

••

•

EJEMP"lQ , r;;;' . .. , ..l. ·· .. 1.o~5 r.:

.;,.....

•

.'. '.tt~termj~ar' la resul.tante de los tres vecto;res A == .4:' +. ~."..... 't 1,.* JI ~.,....S·f, + S.~t. +: uQ:1t ..,.. y. e '1"... + S'1, + '. al la ,m~t "",y. :,08 I ,áni'llos de,... ~::. :t~' _~.,..~tuu dirección

. n!.' ~ •

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• •

•

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'O\',,~'

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•

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,FIGURA 1 ,~.12." /

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••

. ;.\En~~~t§,~a$Q~ J;Q~tr~~:::v.ec·tore.· qu~~ana $.u·marle no tSJa:Tl ~ft,tJI.mJl.mtt pI.,rto ~ N'Q ha.y fl)·rnla' sen-

<lo' '

•

....

:~t* . . .~con ,1~. ,~ "" .. :l~ ~l'~·fl ~~. ;....t..... ~ : .~~~'i>r..íl_". -~"'.;f;-u.c 'Idas" ,. ',.~._,. , ~,. ,. .

t I .

.. .

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, . (:) Muiti,pJtca.Qi6,o ,de 'vél;tP!reS~,proi{ut:t;o.$ ·&s.eailJ V· ~otjé'

,l.

El.J.~.~lllbO$casos

se nbtiene

el mismo resultado. La "', l d. e·'k. eBt; ..á'd'd" '. ltl~gnt~l1d ,.~·a·· a p.o.r "

pues entonces

~.',.

R.~,'{''1'

R '~

,. +'

"'j'

+. 'g" ~2

,"Il

ee-e-

J l'55": .'

......... . '..

.= ... ~.:.

•

1;.

ecuación (1..5 ..10), en tanto que de e

•

(J'

===

.. = .. '... ~ • .'= • . l.\" 1.'1: 1\. 1\, J,: I~ .. ,

,'.4f .

43.70'.

.~. •

•

puesto que la magnitud de' todos estcs vectores es .: ~ la unidad ....Asimismo, ya. qu.e dos vectores ..c:ú.a.tflS:" quiere del conjunte ix' i,\" 1; son mutuamente per..' . pendiculares. s.e debe tener .

•

y = 55.8°.

,'.

•

· •

•

1 JI*(

1 -- IY'

• j

. ),.

...

J' :x --

J,z '. J.;t '-'1 x .,1 . z

•,

., ,

::l

. .

:., , :'i .' ..

~J .~

v' vectorial

:'"

..:J"

.1:

r,:.

1'11 6 .Multiplica.ci6n de vectores:

Productos escalar

, ,

• •

•

~= 66.3(j ..

•

12'44 unidades · , .

Estas dos observaciones p,e'rniiren evaluar 10'8. productos escalares .~eun par cualq:uie:ra de los: ~ .', ~ ... " .f'!. 1';.. 1 vectores UUI.'tarlOS. l~y 1)'J, 1,,< ;i)eK:U:l'l ia ecuación (1.•6.2) •

•

tIfi"

(OS (}:.;..

...

, .

(,1,6,4)'" \

Si se expres·an los vectores' A y B enfunción de sus .. .. :. . .' componen tes y de' 10.svectores umtartos l.~,1,\1 e 12 tomo en (l. 5..9)~ 'y se determina .SU, producro esca.. lar en. esta forma, el resultado es

Además de las reglas algebraicas enunciadas pa:r·a: sumar y restar vectores, es posible, y muy útil en ciertos aspecros, desarrollar métodos de: :rn~ltíp1i,. caciñn 'vectorial. Hay dos maneras de realizar la mutt,iplz.·cación de uectores. Una. da po'r resultado ; una cantidad escalar pa:ra el 'producto". y la otra : origina un vector. El primer p.roceso se conoce p~r . multiplicación escalar, elsegundo como multipli-

A • ,8 =:¡ (A_~jx + A.}~iy+ A¡;iz) ~(B;,,(x =

AKB,\:(i.~• .i~) + AXBf{i;\: • i)l)

+ Ay,Bx(iy •. ix} + .AJ;B).'{i). + A~.Bx(j= ·1l\) + A.:B,\.(i:;

cación vectorial, El pro,duct,o escalar de dos 'vectores A y. ~. se ,sÍmboJíz:,a por A B (que se lee tiA punto B ~}Y , rambién se llama a veces producto interior (o ' de

+ Byiy. + B:Z"i~) + A~B!!'(j~~ iz}

{y}.

+ A),B~·Ciy,~;Íz:)

iy')

+ A;z<Bz(iz

.;'iz)

Pero. de conformidad con la ecuación {·1..6.4.).t muchos, de estos términos son nulos, y los demás 'pueden evaluarse por (1 ..6.3). El resultado final es

punto"]. Se define corno una cantidad esc~lat dada por :tn:ultiplica'ción .de la magnitud de A por la. "magnitud de B, y p:or el coseno del ángulo é?,tre la d:irect:i.ónde A·y.la de B ..E.n forma de ecuación, se

expresa c,omo

La ec,u,ación (1.6. 5) e~pres:a.A . B en terminos; de . ¡'as coro pbnentes. de los dos "lector.es A:- y R. ·E.n 's.ec.., .

. A, B = AB

c:ione~s pos.te'ri;otes.). se v:erá. qu,e e,s·ta e~presió.n.~ útil para muchos objetos. Tambié'u,es impor~ante' nQtar .de la definició.n (1.6.1) qU.e las ca.ntidades B ' A, y' A .• B son ig:u~le.s. 'En otf·as palabt:ás1 .

CO$

(1.6.1)

ell: qu~f a design:a. al án·gulo entre A y B:. ·Po'r e~t:a .deñm'ci.6n es. c'Jaro' 'que si .:d:()sve'ctfJres son perpendiculare$., :su. pr.Qaucto e.scalar vQ,te. cera * y.a .q.~e .e~to.1l:cesf), ,e:s,llOo y C~OS. O' = 0, T'arobi&n ~s ?b:'to

que.el.prbdtrcto int.erior ·de. u'n v,e,ctor multlpltc..aclo p:~r.s~ :mísmQ" es ,$imple.rnent~·...el 'Gúadrado de. Sll m~~~ d es,' . d'e.clf,. ,. . ~O.":"ÁJ.U,

•

.(t,.. ~ v.S' :',

...A A .·B··~B·,:

'..

(

La definie.ión de' p:rodu.c~~ es~,a,~ar.~ .d'a.~~: PQr (1..6.1), parece bastante. a'rbltt-a;la .. ~m e~~¡~rg~@), se 'adQ'ptap'Orque c~mo ,severa .op~or·tQ~a~~ll:t~~ permite ~'Xpresar i'mpo.ttantM cant.ltlad~s&t~.s'1 J

, ,

.....".

.' .

•

. ,. .... . DES' · . ·V·· VE:Cr'Q" ' R "E:S' , ., M:'..,.,... ti" 'IC,··tO'\N' U· .',!:,(iO,A" " -' " ,: " . " <',..' " :,', '.' ',..' . ,.r~'.

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~ ,1' t·i!l.a",'1,..·~·J;':'¡;¡",:(/

,., 1'" • "' .... BUJOs. e ectrtco y:,O'· :maa,netlcb" .,,. no el .,('~1J'b,.; Ji lo.s. '~', ~Otn' '~'uy''t!~~cillo, así como .enunciar muchas ue mou',;~, ü 4...... · ;;r.""", " .

';,"'" U·tilizando:.es;tas relacíone~.,j~nt(lCOn la misma ~lll~ageneral d~ ataque empleada en tela.clón ClJ~n

\,1"

de l(a~,Í~:y~s' :fu'nda1l1:ent'ale's de la ·físl.c'a en forma CO;tlciS:i

Y sigmfica,tiva ~~

(1..6..5), es posible demostrar que

. .

EI.pt,od.uc·to vectof'ip,l de dos, v'ec~ore.s.~ y B se .. por A sitn.bo:'l'lZa ' ~.~. B.' (qu ,; .'e 'se " lee''.''-"A. ero' ..... ~.B")y,: taro " '.:bién se ,denomina a veces produ.cto ex.te1io,r·( o "de crus"). Por 'd,efini.cróu; el prod?c~o es 'un v.~ctor .,.cuy'a magnitud, es .la de A m·ultlpllc'a.~aP?r l;a de B.,:y porel seno del ángulo; entre las direcciones de' '7:

Esta. ecuación e}(p.resa A )( B. en. términos de las

componentes de A y B según los ejes de co'or,dena. , das. Será útil p'ara .él estudio fnturc, i Al emplear las relaciones (1.6~ 10), siempre es : necesario usar un sistema 'derecho de ejes ccorde- ~ nados, o sea, un sistema en el que un tornillo de : rosca a Ia derecha 'avance en la dirección positiva del eje z, cuando se' gir.e el eje x. hasta coincidir con el eje y, describiendo el ángulo más pequeño posible, En caso co~trax~o,l~srelaciones no $~ll correctas. En este libro, invariablemente se usaran. lossi os 'SIstemas d e coordenadas que·cumplan con esta regla del tornillo de rosca a la. derecha; De nuevo ~Ia definición escogida p~ra el pro'dueto vectorial p,ar.e,c·e arbitraria, pero, es útilr pu·es permite expresar determinadas eantidades

A y B, 10 cual se 'puede, escribí! corno , v •

. 1A)( B\ = AB sen.fl

(1.6.7)

La dirección del vector A 'x B es perpendicular tanto; a A corno a B, (Y' por lo tanto, normal al pla..no en que están .Ay B), yel vector apunta en la di-

reccíñrr en que a vanzaría un tornillo de rosca a la derecha cuando se gira el vector A hacia el vector

B 'des.cribie,ndo el menor ángulo posible, corno se muestra en la figura 1,.13. Como el tornillo se' mover;á en la dirección opuesta al girar B hacia A, el vector B ~)( .A apuntará en la dirección QP.ue,staa la 'de A ;~ B, 'de donde se sigue que B x A y A x

•

lJ no son ígu:ales..En realidad, utilizando el .enunciado "anterior junto con (1,.6.7),

B x.A :::::~(A. x Bol

es fácil

ver q ue (1..6,8;)

•

· . Lr .

-También, de la deñrtició,n (l.,·6. 7) es evidente que :~lproducto exterior de dos vectores paralelos es (feto', pu.:es 'entonces sen () ,: O.

,. ,

·O:s,ando.·estos. hechos junto con los vectores unitanos !.ti: ly:e i,t" es .fá,cíl ver .que· !;'

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•

(1.6.9)

•

':. ,1. ,de .~l~def1nicÍ:ó,n' (1.6;7) Y de la 'regla del tornillo . 'de ftmca a la, derecha par:a la diretció'n del vector del P~odu~to. de cru:z~,,,fácilme~·nte· s:e{!>S,tabl.ec·eque --

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( 1 ,6.10)

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:~.it~i(é:a~importan·te·s,; corno

el ..,m·útt}·entó de 'un~á;'~'" ~" , . RESUME.N 'f~etz,aY' Ia cantidad de movirnie'uto' angular ~como .' produ'ctPS: vectoriales, además de que ton ella se . pu·ed:e:ne~lPT·e5;.ary comprender con sencillez y cla.La física es: una ciencia cuantitativa en la. que "es ·rid.aa .a'lgunas leyes físicas Ím;portante's\ ' muy importante medir las propiedades de sistemas físicos, las. ,que ge'neralme'Dte son cantidades di ~. rnensionales. Las mediciones se realizan cO,·rnp.g" 1.1 Derivadas e· integrales rando las cantidades a medir, Con cantidades uní· de vectores -: tarias estándares .como··el metro o kilQgr.amo patrones, Al hacerlo, es necesario definir cuatro , cantidades físicas fundamentales - p,ox' ejemplo, masa, longitud> ti e-mp.o' y carga eléctrica -- aun ... . En esta parte solo se estudiarán 'unos cuantos de que para el. estudio 'de la mecánica sólo se necesi; los hechos esenciales relativos a las derivadas e intan las tres primeras ('0 sus equivalenres) , En el sís· tegrales de cantidades vectoriales, posponiendo el tema de unidades: MKS (o SI), estas cantidades son : estudio detallado de algunas otras cuestiones hasta ,>

•

el metro, el kilogramo 'y el segundo;' e.n cambio, en el sistema 'métrico ces se eligen el cenñrnetre, el. gram'o y el segundo. En los sistemas técnicos o' de ingenierta, las unidades definidas COtIlO fundamentales son las de fuerza, de' longitud y de, tiernpo, como el kilogramo fuerza, el metro y el segundo: o bien." la libra (fuerza), el pie' y el segumío, A.lrealizar operaciones con cantidades dimensionales, se pueden sumar o' restar solamente las que estén en las mismas unidades. Cantidades con distintas unidades pueden multiplicarse o dividirse, pero las del resultado serán elproduete o el cocienre de las correspondientes 'a los factores, Todas las ecuaciones que se utilicen par~a relacionar cantidades físicas deben ser"dimensionalmenre homogéneas, lo que quiere decir q,ue todos-sus términos deben tener Ias mismas dimensioaes .. Con.frecuencia, el vigilar que se cumpla este requisito,' 'ayuda a descubrir errores cometí dos, que de' 'otra manera sería difícil encontrar La física no sólo emplea can tid acles,escalares" completamente especificadas por' sólo. su magnitud, sino también vectores que son cantidades con dirección 'y magnitud. Un vector se representa gráfic:amen.te· por un segmen to rectilíneo. dirigido

que sea necesario .. Si se tiene un, vector A de la.'forma

, ,

(1,7.1)

f se puede derivar A con respecto 'a una variable escalar' t (que puede ser el tiempo, aunque no' nece' '; sariamente) para obtener un vector .dAI d t de la ¡' forma I

•

(1.7',2) .,.

•

· Este vector' tiene las componentes dA.~/dt~:d4.y/dt , y dd¡;/dt y representa la derivada del vector A con respecto a. la variable escalar t. Al derivar · la ecuación. (1.7.1), la magnitud y la dirección ) de los vectores 1y e iz,son constantes y, por lo tanto, se les puede tratar del mismo 'm~do .qu'e las 1 Constantes algebraicas en, la dj:fere·nciaclón o la de-

~Xj

rivaeián . ·

..í'

que puede especificarse dando

:~a Inregral de A 'con respeeto a UD:a 'variable e.s~alar:.,t se puede calcular esencialmente de la m'.'a (...era; ,ID.1:,sl'Yi ....~~,'"" .' i:l'

ri: ..

,..... ... t

•

~.'" ?..4..:;d.z: /11' +. ~y ~. Ay tll.' + i~r: Az; (l~ ....( = j.x. '. A . X ,-".' •

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y'.:

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dilreCClon. ,~" o. bilen enUnClan ~ d;Q sus prQyeC'Clo:t)::es:se..... " g,dn los.ejes de coarden.adas ~ tales pl~oyecciolles se llaula:n su:s coro.ponentes" L.os vectores pu,ed,e.n su·" roarse o rest'arse gráfica,m.en.te C:OttlO ·en la ñguta 1.41 o sqm·ando o restando sus componen'tes s.eglltl . los ejes r.e-spectivos de coorden.ada·s par,a 'ob:tenet . las comp.onentes de, la res\tltan'te'. :Es irnp,ottante sabe'r cómo eX'presnr l.amagnitu'd y. la dire:cctón d~ un ,,'ector' el1 func:ió11 de: sus' C(lmpOlleru;es y' en~ ·contrar 'éstas ctlando se CQnocen la magnitu:tl y la direccÍ:ó'n" Ea fspeelalrnetl,te' 'importante :~l.,v'ectQt' , .,

~\':. t .'}.

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, 'q'ue' , 'es" 'p!e'C'l'~fi'l:C:"ael ,1h.'Clij1,,"":"~~,~ri.'s~,to. de''. ' un, 'p:il(ntO"de-sde. u,!(il~ .~~~#..,I.ft~ .. ~" JI." ,~ ¡

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)."1.

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~.'~l, ~rigen de enordenadas;

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tid~d' de movimiento,. $írt, ,e~ba'rg(J,;¿cónió' drernQ§,~ trarfa que :10. son;,$1 se le pidiera '~ace4'l~? ' (9. Tres cantidades de un conjunto tienen" :te~riectl"a., 'mente valores de ,5" 5. Y:3 unidades, con referencia a 'un sistema de coordenadas, y valares de 4. j y'2 u:ni'd,adescuando se miden c~~ respecto a OrTO siste;. rna de C,Q,Q'td'e'na,das::. ¿:Es posible que: es~~:as, conjuntos de números representen las ,coOlflonente,$: del mi$~

.;'

,las,ecmponentes de: este.

'vector' son las c.o,or'denadas'

X'"

,Y Y z del punto.

_, los . ~ lx' '., Támb'ién son.impcrtantes tos vec vectores umtaríos iy"e i~),que permiten un manejo muy "fácil del ál,'h .. , 1 ge ya vectorra . , ,

- Ha'y dos formas de jnultiplicar vectores. La primera da el,producto mterior, A ,. B, que es, una cantidad escalar, en tanto que loa ,segunda da co.. IDO,

10.

resultado el producto exterior, A x B, que es

un vector ..Para usos futuros, es importante cono'eer .la 'definición de estos productos: también es 'útil saber cómo evaluar 10$, productos escalar y vectorial utilizando las propiedades de los vectores urntarros 1 . 1y el, , % Las cantidades vectoriales pueden derivarse (o diferenciarse), o bien" integrarse" derivando (o .diferenciando), 'o bien" integrando suscomponentes. ..

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.. ~

m'o vector'?' , ¿La derivada de. un vector ca? :r,~sp~cto ~;una va, riable escalar debe tener la misma dirección 'que el vector original'?' . '. Una, cierta ecuación expresa una: 19l1raldad d entre una cantidad vectorial y una cantidae escalar. ¿:Có:' 1110. eonsideraría una relaeiórr de esta naturale-.4ap: 'Segú;n la, sección 1.5 es posible mU,l~lp1icaruna cantidad vectorial por un escalar, Empero, ¿se po' : drían sumar o restar un escalar y' un vector? , I 'Un hombre inicia una marcha desdé un punto dado, camina. 1 kilómetro hacia el sur y cata un ese.. Luego anda 1 kilómetro hacia el esre y'lu:ego ~tr.~ haeia el norte. Ahora está de vuelta en, el punto mrcial de; su caminata. ~De qué color -era el osoi

,11.

12.

~",

13.

PREGU',NTA:S 1.. ¿Pue4e sugerir una 'forma de medir las ~'Íme.nsiones de un objeto del tamaño y forma aproximados a las de un ladrillo, con una exactitud de + 0.5 cm? ¿Con una ex:ac'tltll'd, de ~O'.005 cm? ¿Con, exactitud, de .! 5 X I,O-?' cm:? . ~" ,é~Puede sug·erir formas de medir con exactitud de ~. . " " 1% la Iongirud de un objeto de aproximadamente l~O m·" ¿De un objeto de 1000 m? ¿De uno de 10-3. m? ¿~e uno. de 10-6 m? . 3.-. ¿Cóm,a sé p:odría medir~ de nuevo con exa~tltud de , 1 %, ,un interval(1 de tiem:po de u'nos 10,0 s? ¿d,e 1;O s7 :¿de 1,O-~'SI , 40; Una cie.rt~a,oficina .de ttán,sÍ'to certlfica. ~~e el v.elodmetrO. ,de, un a,uta patrulla de p:OllC19 es ·~lOO%,exatto ..'~ ¿Esta forma de expresar el error posible a6ociad.,o a sus jndic,~eiones es probable que

PROBLEMAS

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~e,~t~e'p:t~ el :b~cl1o de' ~'ue 'on f

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origen, cuando l' ~ O con velocidad ini,cial Y,pos' t'ertorm,ente se m\leVf con u,na aceleraci6,n, consta,n' te .{l que es función de su despl~\'~a'm~en.t? ~~'tes.~~( del put\to ele p,artida.. ¿Es la ecu:a,cian 'd.lmeX1'S16'o0. me~te ~l10mogéue-'l'? 'S! Se Indica qt\e la, ecuaClón (en {llncló-n del tlern~ qu,e da el despla,l.amit}nto déun.a p,a.'f.tl:cula qu.~"P~ t', ... dI'· 1 . :}':, ' d" :'!td lnlC1il te con ~.~sp azamlentQ lnlCl~ Xt}i~ ~e ',Q~{.~' . tQtl. va en el tIempO" t ~ O~y que:se lll..ueve desd,e en , ce~ton ,a,eeleracilin c<Q:n~t.a'nte'l es v'()l,

:n.ep:'

para la velocidad ,d,e una partl-cula que parte ,del

\~~& obvIo que sj toda cQmponente de un 'V,ee,tal' es cer()~la propia, cnntídad, "vec't?riaJ tiene que, ,ser nU,la. <El recIprocó de 'e~ste,enunclad,o ,será v~rdadero? En otras palab,ra.:s¡ si ,una 'cantidad vec'toríal vale cc;o" ¿cada cQntp,onente ~:elvector tien~ que 5,er tamblén cero, " ~¡;., 'lln, "tonet'o, ,corre 'co:n"velo.cidad constante alred'cdnl' , ~ 1 ~de'~unap;Í$tacir(ula,T}' Su vector 'desp aznmle'nlQ, r.e'~ jf:ri4o,~Ufl origen en el c:entr,o de la pi5ta, ~séráun V'f!('tn't' ('oAfta,gte Q. uno 'qu.e varia en ,el tie~'P0f 'f.., .¿Vnti c~ntid~d vecto,rial pue-de trn~r magn,ítu~ ne'3tivá; ¿lJn. ,produc.tQ' e!calar de (los :v~etnr~ft podría

~r..

L A partir de las definiciones básicas de,Ias dos canti, dades siguientes en Función de las dimebSiQn~ terrestres, demuestre q,u,e 1 milla marítima \(0 náutica) es tasi igual a ~ kilómetros. S'llgerenaa:. ,27 . d 1 ¿Cómo se define la milla marítima en térmmos e tamaño de la Tierra? [Busque la definición' '. 2. Examinar' todos los asp,~ctos de hnmugeneidad dt· mensio'nal die, la ecua;ción

v~ = vo2 + 2Cl,X

,,,' ~~1,v·n.O· (17', : ,j'¡ ,s,ea I,a: exac.t~ ,',

, .. _',~, ,

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los.$éT~$·de Alta O.entauri pueden viajii"á;,;l~ve- .. 1nddad :d:e:C2l" (:en que a 'denota la. 'velocidad de la.

"íC!.

los. Clt:ntiuC:Os:t

:- de pesQ,. 'por ejemplo'- al ntav ~ ... .. .cu adrado .... .. .... ,son dos ". 'mil q' ulnl··.. '. .... entes ·c···e· ~ v: os" (),.,·sea ~$.~2S.~O:O. 'Peto! t·amblén~ Jl1edi~ peso ~i :c:~adradoda un enarte de ~s:t·a~oneda,.:i<4ué explicación tiene

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paradoja . '. ,). 6, lln vector sinrado en el plano "

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en'

1,2:~U'n barco m:antien.e u:n rumbo .de' 90'0 d'u:r-an te t;res ho.t~ylue:gQ10'~antbiaa uno 4e 190o..p().~cnatr~ h~.ras. Su ve:loci:dad. es' de ,dQce nudos (12 IDllla:s na:utl.ea~:pOf hora)., .¿Cua.1 es su. despJ:aza:mle;nta lo.tal (e.n· ma,gnitlld y dj,reC,G:ión)~ O'bserve que' U,O tumbo de 0° es' ka:cia 'el' norte un.Q 4.e 90:0 hacia el este', u.·no de 1,.8PQhaci:a el sur',; y '~I10,de :2.70.0 hacla el oeste. lá:. Un au,t;Qtn6.vil recorré' 40 k'm hacía el·es.te 'y luego 3~. , l.~"· .. b d' 'J( . . '~'O o ~s-tc;Q"'· , .'N~ltná~e.:ula d.írecclón o rum o.: e nor e ~ , "'.,.~~ (o sta, a SOl) :al eR.te.: d'el norte).: De:te'rmlne la. rn~agni" tul! y la. dirección del vector que :te·ptese:nt·a el' '. de$pJ~aa,rnientn ~total! .. . :J*~ Un barro., avanlka }ljl.,c.ia el nr>rt;e duran,te .60 km kmgO, ~'ambí'a de' -c,u!rsQ y na;veg·aen d·ír'e..cci'&n. gene" :ral ·tl~cia:e] s:u,reJte 'llQ&ta llegar a una posieión. a 50

~.',

nitud de la r.esult:ante:)f s.u d.lrec·ción ton resp,ect_Qril, eje x? ' .21. Dos. ve~c.toresf.A.:y D,; pu:eden tomar c\\lalquier oii:en", .,. " ,. b'" ,.... D . 1 ~ t'áClon ar:' 'l'ta:fla en'tre Si.. :.emu;estt.e :que ;a (m~gnt."'· tu.d. de la tesul;ta'nte R deb,e :satls.f.a:ce-r las eol.);,(!ü:' ciones lA -- BI < 1J < ,lA + DI· 22) Determine. ]'a res.ult'a~nte..d.e 'los vectores A ~ :i'~+' Si +.. o'¡'xl·-'B" • ~ - si":OC.. '+'1·'y - i~ :tJ.C·::: Si -- .21.-':1 ,_' ti." ", ¿ '~ '.~

H,al.le.:la magnit\l~d,de lá res.ult'a,nt.e y los ánlUlo~di~ rec'tore.s Xl 11, .y: :C:Oll respecto a 10$, tJ~e.sejes: .de ~·Qur,.

~m tte~djlt~n·~i.a ·del punto. ·de p:artida~ en una. .dlr-ec· erQD· tk ~)i.~ ,r~(i'p' e:cto de dj:ché. p; unto .. Determine "

.¿.Cuál será Su dirección, con res.p.e~t:ó, al eJ'e :xi 1:8,. Se tien,e el vecto.r i~,,: .+ 3íy .+ 2,i~.. Det:erm'ine (:a:), la magnitud de su cómpo.nente ~" .(h.)'la de S.u campo,. I1e:nte y" (e) la de SU ·coxn.pone:nte .z.", (.d) J:a 'del vect~r dado! (e) el :ángul.o entre el vector' y el eje x); «() el a·XIgulo entre el 'vector y el :eje y~.(:g) el.angula en.tte 1 ,. el vector ..y,' e". ele z~ 1,9~. Si en p:roblema '1:2 hubiera una, co.riíente maiin:a que se desplaza (a) haci,a, el 8;t1l a.un:a veloc.ida,d de 4 nudos: .Y(b) hacia el .no.:rte a un:a velocidad ~ámbien. de 4: ·nudos,. exprese las. nuevas re'spuest.as.f ',En axn .. bas casos·;.su.ponga qu,e la velocidad del b:atl:O' .t,OJl respecto' a'l agua e.s el.e '1,2 nud,os~ 20. De:terrnlrre'la ·re.s:ultante de los vectores.A := 3i~ + o·, 'B • 41'· ¡-, ..' ~ . '1 . ~J~,.' == ).,~ - ·aly 'y~:;::,_ ~t+ 41t~¿Qua es:la. mag~

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magnitud e.s·de .6 cm y (arma un .ángulo d.e 45 Q con eJ'eje ,de l~asx" El vectot e se. halla, el pTa;no '~;)l't;su magnItud v:ale' 1,5' ,cm y fo:rma u:n ,ángulo d:e1;5'0 ton el citado eje de las x. De.terrn;in.e: gr.,áfic·a~ . ·mente l,a result,a,nte de A, B y C~ y. 'mid.a su rnagnítud Y"el árrm:ilo x,: . ,l),,-. q; u'e fúrm~a eon el e:;e :J '9~.Efectú;e a,lgeh:raieame;n:re la 's:UJDa ·vf·ctor.i¡al del , probleti'la, '8'1. u,tÍl1zand:o el :mé:tQdo de·l:as ,componen··, t.es...¿L'á ·re.spltest:a Qb,te:nida co:nc.ueTda .con, el resu.l,ta·dQ gráfieD! .. Utilizand'o' métod,Q,$ t.flgo"nom.f:trlcas" .. ~. "f' '1. as 10~ v-e:rjlqu:e ecuaciones ..(1.•,4;.,.3) y (1 ..4.4),. 11,. Se viaja, en :au:to 24 km h'acia el este. y luego 60 km ,hacia eJloeste:. H:a_lle' (a) las campD.nentes 'horitontal y vertical del.d·esplaza·mie.llt'o wt.a1.t (b) 'la magnltu,d, del \tecla.r· del desplaz-amieut.o total" (e) el ángulo en,tr·e· eS.te vecco:r desplazamiento'Y la d:í:reccJ:ón. positiva del eje (&.' (:q;ue :apunta hacia :el este). (d) El :automóvit :yuelv.e al punto de partida. lCu~l es el desplaza·' <

" ~' .,]

A. ':1' . ,

con respec·tp 'al ~jede. las ~,? ,8;. Un vector A tiene una magrritud de 9 cm y está dirigído .segú:n el 'eje x·.· O:lro vector B).' est.á en el plano

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7.~ La, cQ:Jn'ponentei~..de un, vector' :que estáen el plano . xy' es ,de 1.2·unidades, y' su componente y de' 16 unidades .. ¿Cuál es la, magnitud y la dire:cc'ió.n de aquél

IX~,t .su

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tud de 25 unidades y forma un. ángul» de 37 Q con el .. 'D ~ . ,eJe,x .• : eterrnme sus eomporrentes ~. y' y~

~enla. dire_cclón e()t.re:~p:Qndient~'a un ángul() .de .+ 30'·(1con el.eje .x: PQS'itíV<l., La m~agnltud de la fuer.- " 'N..' 'y' a'ctú'a',en la dl"'r-ección·. ue fo.n:n:a .~ .. '. ~o;,O·' .'z'a' B'·, ""'» de ,,' ", run ángulo de +' :1:3.5'0' con e.l eje de las ~ posi.)ovas. ." ".¿Quémagninrd y dlrección debe tener una fue,t~a(1 ,. .que aplicada al cuerpo bar,á que se ~nule la resttl-.t tante de las tres fuertas?' 16. Tres fuet-z:as. hori-zo:ntales' actúan sobre 'un Qbjet().~ La, ,magnitlld de la fuerza A. es de 2,5.'kgf y' at:tú:a, en, la dirección de ,3Oo alnrrr.te. del. este, La m~agnitud de Ia fuerza B 'esde 70 kgf 'y actua hacía el rtorte; La, magnitud de la fuerza e vale 5.5 ~gfY acrüa hacia el suroeste. ¿'Qué 'magnitud y qu,é.:dirección tiene su resultante KI Det.e~r;mlne las comp:o.n,en:tes ,x y ).l de' R.) suponiendo que el eje.~ .apunta hacia el este' y el eje y ha,ci~ .el ;no:rte. ., .17,. C'ons.idere el v,ecto:r' it. ,+ Siy,' Ca) ¿Qué mag:n'itu:d .tiene g;U CO'IO:po,nente, x? (b)'¿Cu'al es la ,de la. c:órop·q.. ,ne.n,te y? (e)' ·Q.,ué :m.ag:nitud ·tendrá e.l vec'to.r:t (,d.) .. .'

5,.:' ,Qíntlle.nta centavos

'."es,~. ·t'f'1 aparente . ....., , .'

en earcaj'adáa~ mientras que' :SU$. 'esposas Losn;tita.. h,:an' sin ~mI?r,ende'I'~ ¿Qué p'tov.oCó· el r.egocijo de

Vl·a¡·.., .

. ltl~J,; De í:nmedJ:a:to 't'o.dQ5_ los 'físicos· prorrumpieron .,

's""~~u

. ~I'¡¡';~~l~~'g:'-·~(;:'ttt-· ~,;iJ:')'y";t.~:i"'*;:¡ >'l"'~~ '>m'&'-'!lJ;<\~o. ":d' ('<:<- j" 'd'" a. 'p'.:~' ,. "X-'t'... ,-' 'de:" -. 'lít>-·.. .u·.,. .. ,,:' .. u :.' '.:: . '..~ .. . travesía, 15r.. Dos fue:rzas A y 'H que están 'en el pla'flP.: ,x,;, actuan. sobre 'UO· ·ahje.t:Q }lequ;eñ,i) cólo.-ca.dQen el orl" ge.n" La magnítud de la fuerza t{'·es.de !lON y actúa

1\i~:fan

den.adas ... ..

·2a:.~ Détermine (a) el prQ,dueto e$cala.r y'{h.) el pr.od~~tQ v,ect.o.rial. de los 've:ctQte$ A = ~.---2~ + ~Si~y~;,~ Q'~

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·~4.¿ Qu:é ángulo form:a.n.los vectores; A ~ S~~+ ~ly1- p ~ '." .,[.4J x'.

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25,1 I~lalleun vec:to.t que esté'~n el pla.no .~, y ¡ea p:e.r" pen'dicula'r. 'al ve'etot A: ~. J·i~..,('> Siy.

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Q;)'B .;:: dl!Jt. •x' _, 4''Iy, d e,~U:.. D:p::dQ,s. 1QS vectores A ;:::,t··, + '~1y. terminar (a) la magnitud y la dirección de A 4- B y :A ~ B, (h:).el,án.gulo entre los vectores ,A y B, (e) el '~angul0entre los·vectores A + B. y' A B, (d) las .componentes :X' y y.de un vector e de 6.unidades de ';m,a:g.nitud y perpendicular al vector B.. . qj1 g'e tienen los.vectores A .= i,·+ '3.'1 B;::· Si _ 4i, r...l,.,.' ',' ~ .... " .. ~a' 'J ~. y' Ev·alúe .,a) la magnitud y Ia dlretcron del vector ._ 3D, (by la magnitud y la direeción del 'vector 8A + .+ 2'B (e) las COmpOJle,utes X' y y. de 3A + 2·D. :28) Oonsidere el 'Vec~.or'C .:::! ·1.2:ix+' IOiy. Indique si C· '~:~~:/~~~,' '''''puede expresarse en términos de: los vectores A y' B >-

. ~,.';.'.:, .·:delos, proble.mas 26 y 27 corno la suma de un múl" ':.: ·'·:tiplo.escalar de A más un múltiplo escalar' de B, en

..:-'~. :..:;la forma e =: mA + nBJ en que m y n son escala. '.;_;. :'.~;. res, En caso afirmativo, ¿q'ué valores deben tener m -.,'.','.....,y n: para este objeto?' ,29~ Un punto P(x., y) está 'en el plano xy. El vector r = iJ{~ + \ j ~ .dí~gido radia1mertt~ .(0 sea, a partir del origen) t descri be S'U. desplazarnierrto con respecto 'a dicho punto, Halle un vector ir de magnitud unitaria :en.la dirección del vector desplazamiento 'f del _,'" .' . ·p.u"ttto P, ·como S.eilustra en~ el dla·gra'ma.. " '.

34. Demuestre que son paralelos las v.ectot!..s A -;:: j . " + ~·1 n· Y B.', = -, 4"~l...+ l'Qt" G't.:_ 'l - 31. 'P"\1 _' Q:l y %, '~" J,

35.. Halle un vector B que esté en el plano .tJ"J que sea perpendicular al vector A = .2j,~,+ S:ijl1 y cuya magnirud sea de cuatro unidades,

:.._ .. 1

siempre deben ser perpendiculares. Sugerenela.-; Demuestre que su producto escalar vale' cere..

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36·. Utilizande métodos semejantes a 10$emp.le~'dds~n 'i'2 la ':d,edu.ccló!D de la ecuaci6? (1..6,5); ver-i.flque el resulrado (1.6 ..:11) cnmenzando can las. ecu.acton~:& (1.6.10). , 87. Demuestre' q'ue los vectores A y' B 'inscritos ~enun semicírculo, como se muestra en el dlagrauta, \

.._---r------!.... '

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'x ".

Con 're-ferencia nuevamente a los vecl;are,S A ':' i~ ~, 3iy B. '=, ,3i~-- 4iy' :yC = 12i~ + lO·~delQ$.PrQ~l~' mas 26; 27 Y28, encuentre .(a) el 'vectar A. X {Di ).(. C), (b) el vector' (A )( B) X C. (e). D.ernuestre. q.u~·" . pa.ra e.stos vectores;, A X (B X el = 6.[A .X. (I){, i: A:)l y (A x B) x e :::' 6[A x· (B X A)} + 2[(A x:·:. ~,

SO.,.En e:'l

d~scrít() e,n el pr.oblema ante'fior, en'.cu:e~~un vector' tangencial io de ma.gnitud 'unitar:ia, que eS-ta en el plano xJ. y 'es.nOTm·a) al vector i,. ca,SQ

en' el punto P., ~1»·Determine los productos e.se.alar y vectorial de los vectores A. y B 'de,l pr:O'blem~a23" ])e,lnueltrt: que· .loB 've,etOl'e.$ A = i + ~i, - 6i YB . ~.e:. +,.! '_A~} 'L'~ y ".::s:. ";l~ , ly + 1.:; so.n pe'rptwlcU a'res,

,~y,

B) X B].

"!y

·39. Considere los vectores A = iJt + 4i ; 'B ;;::2:i~--- 3'),' '~ e == ix + izo Enc~entre' (a) la 'cafi'tidad e~calarA ~:., (B X C) y (h) la' ca'ntidad (A. X B} ~ C~ ,. 40, Sí A: B =: :s C~ ¿se.jus'ti.fica la co.nclusi6n de 'que, ,A ;: B.'? En casó. negativo, .¿po:r qué n,o~:y qu.! 're-~~ !

• •

.',

¡.

qU1Sltós ,adicionales. d'epen satisfacerse? :.' . .' "j¡, D,t ~ 41.. D . .r,UeAtre que (A, X B.) • (A X B), '+, tA·,· ·1 ... ,,'>

A.. 11

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