FLUJO DE FLUIDO by NICO LEONARDO CARRERA

Flujo de fluidos

FLUJO DE FLUIDOS

DR. JOSÉ ENRIQUE VILLA RIVERA Director General DR. EFRÉN PARADA ARIAS Secretario General DR. JOSÉ MADRID FLORES Secretario Académico DR. VICTOR MANUEL LÓPEZ LÓPEZ Secretario de Extensión y Difusión ING. MANUEL QUINTERO QUINTERO Secretario de Apoyo Académico CP. RAÚL SÁNCHEZ ANGELES Secretario de Administración DR. MARIO A. RODRÍGUEZ CASAS Secretario Técnico DR. LUIS ZEDILLO PONCE DE LEÓN Secretario Ejecutivo de la Comisión de Operación y Fomento de Actividades Académicas ING. JESÚS ORTIZ GUTIÉRREZ Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones LIC. ARTURO SALCIDO BELTRÁN Director de Publicaciones

Flujo de fluidos

FLUJO DE FLUIDOS JUAN CARLOS VILLASEÑOR RÍOS

INSTITURO POLITÉCNICO NACIONAL -México-

Flujo de Fluidos Primera edición: 2006 D.R. 2006 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Dirección de Publicaciones Tresguerras 27, 06040, México, DF. ISBN: 03-2001-061516261600-01 Impreso en México / Printed in México

Flujo de fluidos

A mi esposa Betty, A mis hijos: Betty, Charly y Letty, todo mi amor. Gracias por su comprensi贸n y paciencia.

Flujo de fluidos

PRÓLOGO El transporte de fluidos es una actividad sustantiva de cualquier proceso, de aquí que sea parte de la formación de todos los ingenieros. En los procesos biotecnológicos se manejan fluidos con características muy diversas: se requiere conocer los principios básicos de fluidos newtonianos (capítulo 3) y no newtonianos (capítulo 4), de los gases a presiones altas, moderadas y de vacío (capítulo 5), así como de fluidos a través de sistemas heterogéneos (caítulo 6). Si bien de estos temas existe una gran cantidad de información, en el presente libro me permito hacer una breve revisión para introducir a los estudiantes a estos temas. Se contempla un curso previo de fenómenos de transporte como requisito para abordar el capítulo 1, donde se presentan las deducciones de los balances macroscópicos de materia, cantidad de movimiento y energía que se utilizan a lo largo del libro, permitiendo abordar y desarrollar los temas de una manera más directa y concisa. La estrategia sugerida para este curso semestral de flujo de fluidos, es revisar y de considerarse necesario, profundizar la parte teórica a través de revisiones específicas, complementada con la resolución del mayor número de problemas por parte de los alumnos en sesiones plenarias. En la resolución de problemas es recomendable elaborar un esquema o diagrama de la situación en el que se viertan los datos, elegir un sistema de unidades (de preferencia el sistema internacional) y hacer las conversiones de datos antes de utilizarlos en las fórmulas. Hacer un análisis dimensional de los cálculos realizados y complementar el esquema con los resultados obtenidos, consideraciones realizadas, conclusiones obtenidas, etc., con el fin de tener un resumen del problema, identificar posibles errores y facilitar la comunicación con otros colegas. Agradezco al IPN las facilidades otorgadas para escribir la presente obra en mi ejercicio de año sabático, a mis alumnos por permitirme aprender con ellos, a mis compañeros y amigos por sus comentarios, sugerencias y apoyo. Juan Carlos Villaseñor Ríos

Flujo de fluidos

CONTENIDO Tema:

Pág.

1 Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. 1.1 Introducción. 1.2 Ecuación de continuidad. 1.3 Ecuación de cantidad de movimiento 1.4 Ecuación de energía mecánica. 2 Estática de fluidos. 2.1 Ecuación de la hidrostática. 2.2 Presión absoluta, manométrica y de vacío. 2.3 Indicadores de presión. 2.4 Fuerzas sobre objetos sumergidos. 2.5 Problemas propuestos. 3 Fluidos incompresibles Newtonianos. 3.1 Introducción. 3.1.1 Experimento de Reynolds. 3.1.2 Perfiles de velocidad. 3.1.3 Caídas de presión. 3.2 Fricción en tuberías cilíndricas. 3.2.1 Régimen laminar. 3.2.2 Régimen turbulento. 3.3 Balance macroscópico de energía mecánica. 3.4 Fricción en tuberías no cilíndricas. 3.5 Fricción en accesorios. 3.6 Problemas que no tienen solución directa. 3.7 Medidores de flujo. 3.7.1 Tubo de Pitot. 3.7.2 Vénturi. 3.7.3 Medidor de orificio. 3.7.4 Toberas. 3.7.5 Rotámetros. 3.8 Bombas centrífugas. 3.8.1 Curvas características 3.8.2 Tipos de impulsores 3.8.3 Carga neta de succión positiva (NPSH) 11

15 15 16 19 24 31 31 33 34 38 45 51 51 51 51 52 53 53 57 60 62 64 72 77 77 79 80 82 82 83 83 87 90

3.8.4 Arreglo de bombas 3.8.5 Punto de operación de bombas centrífugas 3.9 Problemas propuestos. 3.9.1 Propiedades físicas. 3.9.2 Tubería en régimen laminar. 3.9.3 Tubería en régimen turbulento. 3.9.4 Descarga de tanques. 3.9.5 Tuberías no cilíndricas. 3.9.6 Caída de presión en accesorios. 3.9.7 Redes. 3.9.8 Medidores de flujo. 3.9.9 Bombas y turbinas. 4 Fluidos no newtonianos. 4.1 Modelos reológicos. 4.2 Fluidos que se describen con la ecuación de potencia. 4.3 Plásticos de Bingham. 4.4 Fricción en válvulas y accesorios. 4.5 Bombas de desplazamiento positivo. 4.6 Problemas propuestos. 5 Fluidos compresibles. 5.1 Velocidad del sonido. 5.2 Flujo en ductos de sección variable. 5.3 Flujo adiabático con fricción. 5.4 Flujo isotérmico con fricción. 5.5 Ventiladores, sopladores y compresores. 5.6 Trabajo de compresión. 5.6.1 Compresión adiabática. 5.6.2 Compresión isotérmica. 5.6.3 Compresión politrópica. 5.7 Flujo de gases en condiciones de vacío. 5.7.1 Patrones de flujo. 5.7.2 Definiciones de caudal, velocidad de bombeo y conductancia. 5.7.3 Ecuación general para un sistema de bombeo. 5.7.4 Guía general para el diseño de sistemas de vacío. 5.8 Problemas propuestos. 6 Interacciones sólido – fluido. 6.1 Lechos empacados. 6.2 Fluidización. 6.3 Problemas propuestos. Nomenclatura. Anexos. A1 Coordenadas cilíndricas y ecuaciones de variación. A2 Relaciones termodinámicas B1 Pesos específicos de líquidos. B2 Viscosidad en función de la temperatura. B3 Nomograma de viscosidades de líquidos. B4 Nomograma de viscosidades de gases. 12

94 96 96 96 97 99 101 104 105 109 110 113 123 123 125 126 129 132 138 143 143 145 149 157 159 163 163 164 165 166 166 166 168 170 173 177 177 184 190 195 199 200 202 203 204 205 208

Flujo de fluidos B5 Presiones de vapor en función de la temperatura. B6 Tablas de vapor saturado. C1 Caída de presión en tubos de acero inoxidable. C2 Caída de presión en tubos sanitarios. C3 Diámetros de tuberías sanitarias. C4 Diámetros de tuberías de acero inoxidable. C5 Diámetros de tubería de cobre. C6 Rugosidad de tuberías. C7 Diagrama de Moody. C8 Factor de fricción en función del número de Von Karman. C9 Factor de corrección de la energía cinética. C10 Factor de fricción en función del número de Reynolds para ecuación de potencia. C11 Factor de fricción en función del número de Reynolds para Plásticos de Bingham. C12 Nomograma para L/D de accesorios. C13 Coeficientes de resistencia K de Accesorios. C14 L/D de accesorios. D1 v/vmzx de Tubo de Pitot. D2 Cv Vénturi. D3 Co de Orificio. D4 Ct de Toberas. D5 Cr de Rotámetros. E1 Tabla de Puriti para bombas. E2 Curvas características. F1 Nomograma para flujo adiabático. F2 Nomograma para flujo adiabático. G1 Longitudes máximas para líneas de vacío. G2 Conductancia de líneas de vacío. G3 Factor de bombeo de bombas de vacío. G4 Curva de operación de bomba de vacío. G5 Aplicaciones en condiciones de vacío. H1 Factor de fricción en lechos empacados. H2 Características de resina de intercambio iónico. H3 Esfericidad de partículas. I1 Algoritmo para establecer la secuencia de cálculo. I2 Programa de sistema de vacío. J1 Tablas de conversión. Bibliografía. Indice

210 211 213 214 215 216 217 217 218 219 220 220 221 222 223 227 228 228 229 230 230 231 233 237 238 239 239 240 240 241 243 243 244 244 246 247 249 251

ECUACIONES BÁSICAS PARA EL FLUJO DE FLUIDOS 1.1 INTRODUCCIÓN Las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía, son la piedra angular del cúmulo de conocimientos que tiene el hombre en Ingeniería, en su desarrollo han participado incontables genios de la humanidad. Estas ecuaciones tienen en forma implícita los principales conceptos y leyes de la Física. La aplicación de estas ecuaciones está restringida por la imaginación de quien las utilice y de las herramientas matemáticas que se requieren para resolver la situación dada. Sus expresiones matemáticas junto con las consideraciones realizadas en su deducción y aplicación, constituyen el modelo matemático que nos permitirá cuantificar el fenómeno en estudio, teniendo presente que todo modelo matemático que describa una situación física real tendrá un margen de error, el cual se incrementará conforme nuestro modelo se aleje de las condiciones presentes en la situación real. Las ecuaciones que se revisan en este capítulo son válidas para sistemas monofásicos; el movimiento del fluido se considerará como régimen laminar (el fluido describe trayectorias definidas). La deducción de los balances macroscópicos, se lleva a cabo por la integración sobre un volumen de control finito de los balances diferenciales. En el esquema de la figura 1.1-1, se ilustran los principios y la estrategia que es utilizada en su deducción1. Entenderemos como elemento de control la parte del universo que deseamos estudiar (definición de sistema en termodinámica) y el resto del universo como alrededores. El elemento de control que estudiaremos es el que se muestra en la figura 1.2-1, el fluido ocupará todo el volumen2 (V) y estará delimitado por la suma de todas las superficies sólidas fijas (Sf) y dos áreas transversales al flujo por donde entra (S1) y sale (S2) el fluido; también se considera una superficie sólida móvil (Sm) a través de la cual se puede intercambiar energía con los alrededores en forma de trabajo mecánico. Este elemento de control podrá intercambiar energía con los alrededores en forma de calor, si hay diferencia de temperaturas entre el fluido y los alrededores a través de la superficie fija; otra situación posible es aislarlo térmicamente para que no exista transferencia de energía en forma de calor (sistema adiabático).

Este capítulo está basado en las siguientes referencias: Bird, R. B., Steward, W. E., Lightfoot, E. N., Fenómenos de Transporte. Ed. Reverté, Méx., 1993. Bird, R. B., Chem. Eng. Sci., 6 (123) 1957. Fulford, G.D., Pei, D.C.T., Ind. and Eng. Chem. 61 (47) 1969.

Si un líquido no llena completamente una tubería, se tiene la situación de un canal, situación no analizada en este libro.

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos.

ELEMENTO DE CONTROL: PRINCIPIO: DIFERENCIAL: Balance de materia o ley de conservación de la materia. Balance de fuerzas o segunda ley de Newton.

Ecuación de continuidad. Ecuación de cantidad de movimiento. (v•)

Ley de conservación de la energía.

Ecuación de energía mecánica.

FINITO:

∫ ∫

∫

Balance macroscópico de materia. Balance macroscópico de cantidad de movimiento.

Balance macroscópico de energía mecánica.

Fig. 1.1-1 Estrategias en la deducción de las ecuaciones generales utilizadas en flujo de fluidos. Si bien no es el caso para el estudio de este libro, al elemento de control se le pueden incluir otras superficies con el fin de describir la transferencia de masa, de calor o ambos. Las tuberías cilíndricas son un caso particular de este elemento de control: se presentará cuando no existan aditamentos mecánicos; el volumen estará definido por un cilindro de diámetro D y longitud L, el área lateral definirá la interfase sólido - fluido (Sf o área húmeda) y los dos círculos o áreas transversales por donde entra y sale el fluido, como se observa en la fig. 1.2-2. Por la importancia de las tuberías en el flujo de fluidos, muchos de los términos desarrollados en los balances macroscópicos se acotan a este sistema.

1.2 ECUACION DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad (ec. 1.2-2) es la expresión matemática de la ley de conservación de la materia, su deducción considera un elemento de control infinitesimal fijo, a través del cual fluye el fluido. Se considera que el fluido tiene una composición constante. En esta ecuación ρ es la densidad, t el tiempo y v la velocidad del fluido dentro del elemento de control infinitesimal. El primer término (I) representa la velocidad con la que se acumula la materia por unidad de volumen dentro del elemento de control (término de acumulación), el término de la derecha (II) es la divergencia (producto escalar del operador nabla con un vector) de la velocidad másica (ρv) y representa la velocidad neta con la que el fluido atraviesa el elemento de control por unidad de volumen (término convectivo). 16

Flujo de fluidos La velocidad másica o flux másico representa la cantidad de materia que pasa a través de un área unitaria (normal a la velocidad) por unidad de tiempo, también se puede interpretar como la cantidad de movimiento por unidad de volumen.

Fig. 1.2-2 Esquema de una tubería cilíndrica.

Fig. 1.2-1 Elemento de control finito.

Velocidad de acumulación de materia/unidad de volumen

Velocidad neta de = transferencia de materia asociada al movimiento/ unidad de volumen

(I)

(1.2-1)

(II)

−

∂ρ ∂t

= ∇ ⋅ (ρv )

(1.2-2)

Respecto a la densidad sobresalen dos casos generales: fluido incompresible (ρ=ctte) y fluido compresible (ρ≠ctte), en el primer caso se incluyen en forma práctica a los líquidos y determinadas situaciones de gases en donde la variación de la densidad es pequeña, en el segundo caso se incluyen a los gases principalmente. La ec. 1.2-2 se puede integrar para el elemento de control finito de la fig. 1.2-1, para dar lugar al balance macroscópico de materia. I) Término acumulativo.

∫ V

(−

d ∂ρ )dV = − dt ∂t

∫

ρdV = −

dm T dt

&T = −m

(1.2-3)

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. Como puede observarse la masa total (mT) contenida dentro del elemento de control finito de volumen V, es la integral sobre el volumen de la densidad.

m T = ∫ ρdV

(1.2-4)

En el desarrollo de la ec. 1.2-3 se utilizó la fórmula de Leibnitz3 simplificada para un volumen de control constante.

∫

(∇ ⋅ ρ v )dV =

∫

(ρ v ) n dS =

∫

(ρ v ) n dS +

∫

(ρ v ) n dS +

(Velocidad con (Velocidad con la que entra) la que sale)

∫ ( ∇ ⋅ ρv )dV

= ρ 2 v 2S 2

− ρ1 v 1S1

∫

(ρ v ) n dS

(1.2 − 5)

Sf + S m

(ρv)n = 0 para Sf y Sm

(1.2-6)

Donde ρ, v, y S son las densidades, velocidades lineales promedio y áreas transversales a las tuberías en los puntos de referencia 1 y 2. En esta deducción se considera que el fluido es isotrópico en todo el plano transversal, y se utiliza el teorema de la divergencia de Gauss3, en donde (ρv)n es la componente normal al área considerada, cuya dirección positiva es hacia afuera del elemento de control, lo que da lugar al signo negativo del término de velocidad de entrada de materia. Por las interfases sólido - fluido no puede haber intercambio de materia, de aquí que (ρv)n para las áreas Sf y Sm sean cero. Igualando las ecuaciones 1.2-3 y 1.2-6 se obtiene el balance macroscópico de materia:

−

dm T dt

= ρ 2 v 2S 2

− ρ1 v 1S1

(1.2-7)

Sean: s un escalar, v un vector, t un tensor cualquiera, y n el vector unitario normal al área S cuya dirección es hacia afuera del elemento de control de volumen V constante, se tiene que: Fórmula de Leibnitz (simplificada):

∂s

d sdV = dt ∫V

∫ ∂t dV V

Teorema de Gauss aplicado a s, v, y t:

∫ (∇s)dV

∫ sndS

∫ (∇ ⋅ v )dV

∫ (∇ ⋅ t)dV

∫ (n ⋅ v )dS S

∫ (v)

∫ (n ⋅ t)dS S

Flujo de fluidos Esta ecuación se puede expresar de diferentes formas dependiendo de las siguientes definiciones: Flujo o gasto volumétrico (caudal) = Gv = vS Flujo o gasto másico = Gm = ρvS = ρGv Flux másico o velocidad másica = ρv

(1.2-8)

Al utilizar el balance macroscópico sobresalen dos situaciones generales: estado estable y estado no estable. La condición de estado estable se presenta cuando no hay acumulación de materia dentro del elemento de control (-dmT/dt = 0), siendo los flujos másicos que entran y salen de igual magnitud, los cuales no dependerán del tiempo (Gm1 =Gm2 = ctte). Observe que para fluidos incompresibles no hay acumulación de materia aún cuando los flujos másicos no sean constantes, condición típica de estado no estable o transitorio. En las ecuaciones anteriores la velocidad lineal promedio se define como la relación entre el flujo volumétrico y el área de la sección transversal al flujo: 2π R

v =

Gv S

∫∫v

z rdrdθ

0 0 2π R

(1.2-9)

∫ ∫ rdrdθ 0 0

En la ecuación 1.2-9 θ y r son las coordenadas (cilíndricas) angular y radial respectivamente, vz es el perfil de velocidades dentro de la tubería, aplicando esta definición, se puede evaluar la velocidad lineal promedio si se conoce el perfil de velocidades. Para conocer el perfil de velocidades a partir de la velocidad lineal promedio, es necesario conocer también el patrón de flujo (si es laminar o turbulento) y el modelo reológico que caracteriza al fluido (si es Newtoniano, plástico de Bingham, etc,). Un aspecto importante del balance macroscópico, es que sus términos pueden ser evaluados con facilidad en forma experimental, independientemente del patrón de flujo y del comportamiento reológico del fluido.

1.3 ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO La ecuación de cantidad de movimiento (ec. 1.3-1 y 1.3-2) representa el balance de fuerzas (segunda ley de Newton4) aplicada a un fluido que pasa por un elemento de control infinitesimal:

Segunda ley de Newton: (masa x aceleración/volumen) = Σ(Fuerzas/volumen)

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. Vel. de acumulación de cant. de mov./vol.

Vel. neta de transferencia de cant. de mov. Asociada al mov. del fluido/vol.

Vel. neta de transf. de cant. de mov. + por transporte + molecular/vol.

II) Término convectivo.

III) Término viscoso

Vel. neta de producción de cant. de mov. asociada a superf. Del elemento de control/vol.

Vel. neta de prod. de cant. de mov. asociada al volumen de control/vol.

I) Término de Acumulación

(1.3-1) +

IV) Gradiente de presión. 1 ∂ (ρv ) gc ∂t I) Fuerza resultante/vol.

= −

1 [∇ ⋅ ρvv ] − gc

II) Fza. Inercial neta/vol.

V) Término gravitacional.

[∇ ⋅ τ]

− ∇p +

III) Fza. de fricción/vol

IV) Fza. de presión/vol.

1 ρg gc

(1.3 − 2)

V) Fza. gravitacional/vol

Siendo p la presión absoluta, τ el tensor de esfuerzos, g el vector de aceleración gravitacional y gc el factor de conversión de unidades5. No se incluyen las fuerzas magnéticas, eléctricas ni las asociadas a la tensión superficial, las cuales pueden ser importantes en algunos sistemas. I) Término acumulativo.- Representa la velocidad con la que se incrementa la cantidad de movimiento dentro del elemento de control (fuerza resultante por unidad de volumen). Permite definir la condición de estado estable cuando su valor es igual a cero, en donde la cantidad de movimiento permanece constante (flux másico constante). Si este término es diferente de cero se tendrá estado no estacionario. II) Término convectivo.- Se puede interpretar como la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento asociada a la convección (inercia) del fluido por unidad de volumen. Puede adquirir un valor de cero aún cuando el fluido se mueva (v ≠ 0), por ejemplo cuando se tiene un fluido incompresible en estado estable a través de una tubería de diámetro constante, este término se simplifica al producto de ρv(∇⋅v), la cual es cero por la ecuación de continuidad. En otras palabras, la fuerza inercial asociada al fluido que entra al elemento de control es igual a la fuerza inercial del fluido que sale. III) Término viscoso.- Representa la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso por unidad de volumen, el cual se lleva a cabo a nivel molecular. Está 5

La definición de gc es: gc = (masa x aceleración/Fuerza) = 1 Kg m/s2 N en el sistema internacional de unidades.

Flujo de fluidos relacionado con la fricción que se genera debido al gradiente de velocidades. Las ecuaciones empíricas llamadas modelos reológicos6, son un intento por describir el mecanismo de transmisión de cantidad de movimiento; relacionan el esfuerzo de corte y el gradiente de velocidades. Este término será mayor que cero, siempre que exista un fluido en movimiento. Su magnitud será pequeña cuando se manejen gradientes de velocidades pequeños y/o viscosidades bajas (ej. gases a bajas velocidades). Un caso teórico es considerarlo como cero, condición que define al flujo potencial. IV) Gradiente de presión.- Representa la velocidad de cambio en la cantidad de movimiento dentro del elemento de control debido a las fuerzas de compresión por unidad de volumen. También se puede interpretar como el término generativo de la cantidad de movimiento asociada a superficies del elemento de control. V) Término gravitacional.- Es la fuerza originada por un campo gravitacional, el cual actúa sobre todo el volumen del elemento de control por unidad de volumen (peso/vol.). Es el término generativo de la velocidad de cantidad de movimiento asociada a todo el volumen por unidad de volumen.

Cuando se maneja un fluido incompresible Newtoniano (ρ=ctte, µ=ctte), la ec. 1.3-2 da lugar a la ec. de Navier - Stokes, que se puede expresar como se muestra en la ec. 1.3-3, donde se indican las pseudodimensiones de cada término expresadas como velocidad (v*), tiempo (t*), longitud (L*) y presión (p*) características del sistema que se desea estudiar; la relación de dos términos de esta ecuación define un número adimensional (ec. 1.3-4). Para un problema en particular, la cantidad de números adimensionales necesarios para describirlo, será el número de fuerzas menos uno, esto es, si en un problema participan los cinco términos de la ec. 1.3-3, se requerirán de cuatro números adimensionales para describirlo; la elección de los números adimensionales es arbitraria, pudiéndose elegir cualquier combinación, pero con la restricción de que cada término participe cuando menos una vez en algún número adimensional. Las variables características normalmente se eligen como las cantidades promediadas con respecto al volumen que se emplean en los balances macroscópicos. Los números adimensionales sirven para caracterizar experimentalmente el sistema de estudio, sus relaciones matemáticas (correlaciones) permiten predecir el comportamiento a cualquier escala. El número de Reynolds tiene una importancia particular, dado que se utiliza como criterio para definir el tipo de régimen que se presenta en los diferentes sistemas. 6

Los modelos reológicos más utilizados en Ingeniería son: a) Fluidos Newtonianos. τrz = -(µ/gc)(dvz/dr) b) Ec. de potencia. τrz = -(m/gc)(dvz/dr)n c) Plásticos de Bingham. τrz = τo -(η/gc)(dvz/dr) Siendo τrz el esfuerzo de corte presente en una tubería cilíndrica, (dvz/dr) el gradiente de velocidades, µ la viscosidad, m el índice de consistencia, n el índice de comportamiento, τo la tensión de fluencia y η la viscosidad plástica.

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. 1 ∂v gc ∂t

⎡ v* ⎤ ⎢ gc t * ⎥ ⎣ ⎦

1 µ 2 1 ∇ v − ∇p + gc ρ ρ

1 (v ⋅ ∇v ) + gc

= −

⎡ v *2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ gcL * ⎦

⎡ v* ⎤ ⎥ ⎢ 2 ⎣ gcL * ρ ⎦

g gc

(1.3 − 3)

⎡g⎤ ⎢ gc ⎥ ⎣ ⎦

⎡ p* ⎤ ⎢L *ρ⎥ ⎣ ⎦

Re ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯| Th |⎯⎯⎯⎯⎯→ Eu |⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Fr

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯| Fza. de inercia Fza. viscosa

Re =

No de Reynolds =

Th =

No. de Thompson =

v * L *ρ µ

Fza. de inercia Fza. resultante

v*t* L* (1.3-4)

Eu =

No. de Euler =

Fr = No. de Froude =

Fza. de presión Fza. de inercia

Fza. de inercia Fza. de gravedad

p * gc ρv *2 v *2 g L*

El caso teórico de considerar flujo potencial, da lugar a la ecuación de Euler (ec. 1.3-5): 1 ∂v gc ∂t

= −

1 1 v ⋅ ∇v − ∇p + gc ρ

g gc

(1.3-5)

Se integrará la ec. 1.3-2 sobre el volumen de control finito de la figura 1.2-1 con el fin de obtener el balance macroscópico de cantidad de movimiento. En lo sucesivo, las integrales de área se acotan a los términos que participan en forma significativa no se indican los términos que tengan un valor de cero. Sobreentendiendo que se hace uso de la fórmula de Leibnitz o del teorema de Gauss según sea el caso. I) Término acumulativo. 1 ∂ (ρv )dV = gc V∫ ∂ t

1 d (ρv )dV = gc dt V∫

1 dPT gc dt

1 & PT gc

(1.3 − 6)

En esta ecuación PT es la cantidad de movimiento total del elemento de control.

Flujo de fluidos II) Término convectivo. −

1 [∇ ⋅ ρvv ]dV = − 1 ∫ [ρvv ]n dS = − 1 (ρ 2 2 v 2S 2 − ρ1 2 v 1S1 ) ∫ gc V gc S1 +S2 gc

(1.3 − 7)

Recordemos que este término está asociado a la diferencia de las fuerzas inerciales del fluido que entra y sale del elemento de control. En esta ecuación 2 v se define como el promedio del cuadrado de las velocidades referidas a los puntos 1 y 2. 2π R

v =

∫∫ 0

v 2z rdrdθ

0 2π R

∫∫ 0

(1.3-8) rdrdθ

III) Término viscoso. −

∫(

∫ (n

∇ ⋅ τ )dV = −

⋅ τ )dS = − {Ff }

(1.3-9)

Sf + S m

En este término se involucran todas las fuerzas asociadas a las interfases sólido - fluido (Sm + Sf), representa la fuerza resultante que se opone al movimiento del fluido y se conoce como fuerza de arrastre. En base a la tercera ley de Newton, la magnitud de esta fuerza es igual a la que se necesita para mover el fluido.

IV) Gradiente de presión.

−

∫(

∇p )dV = −

∫

npdS = − (p 2S 2 − p1S1 )

(1.3-10)

S1 +S2

En el desarrollo de esta ecuación se supuso que la presión es constante en todo el plano definido por la sección transversal al flujo, referida al centro de la tubería. La fuerza asociada a la presión sobre las partes móviles se incluye dentro del concepto de fuerza de arrastre. V) Término gravitacional. 1 gc

∫ V

(ρg )dV

g gc

∫

ρdV =

gm T gc

(1.3-11)

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. Este término da como resultado el peso del fluido contenido dentro del elemento de control. Se supuso que el vector de aceleración gravitacional es constante. Igualando la ec. 1.3-3 a la suma de los resultados de las ecs. 1.3-4 a 1.3-8 se obtiene el balance macroscópico de cantidad de movimiento:

1 dPT gc dt

= −

1 (ρ2 2 v 2S2 − ρ1 2 v1S1 ) − (p2S2 − p1S1 ) − gc

{Ff }

mT g gc

(1.3-12)

Utilizando la ecuación de continuidad y reacomodando: 1 dPT gc dt

= − ∆(

1 2v Gm + pS) gc v

− {Ff } +

mTg gc

(1.3-13)

1.4 ECUACION DE ENERGIA MECANICA El producto escalar de la velocidad del fluido con la ecuación de cantidad de movimiento (ec. 1.3-2) da lugar a la ecuación de energía cinética o energía mecánica (ec. 1.4-2), la cual se integrará sobre el volumen de control finito de la fig. 1.2-1 para obtener el balance macroscópico de energía mecánica.

v⋅

1 ∂ ⎛1 ⎞ 1 1 ⎜ ρv ⎟ = − (v ⋅ [∇ ⋅ ρvv]) − v ⋅ [∇ ⋅ τ] − v ⋅ ∇p + v ⋅ ρg gc ∂t ⎝ 2 ⎠ gc gc

(1.4-1)

1 ∂ ⎛1 2⎞ 1 ⎛ 1 2 ⎞ 1 ρ(v ⋅ g ) ⎜ ρv ⎟ = − ⎜ ∇ ⋅ ρv v ⎟ − v ⋅ [∇ ⋅ τ] − v ⋅ ∇p + gc ∂t ⎝ 2 gc ⎝ 2 gc ⎠ ⎠ I

III

Vel. de acum. de energía cinética/vol.

Vel. neta de transf. de energía cin. asociada al movimiento/vol.

Vel. neta de transf. de ener. cinética por transporte molecular/vol.

Vel. neta de trabajo asociado a la presión/vol.

Vel. neta de trabajo asociada a un campo gravitacional /Vol.

(1.4-2)

I) Término acumulativo. 1 ∂ ⎛1 2⎞ ⎜ ρ v ⎟dV gc V ∂t ⎝ 2 ⎠

∫

1 d ⎛1 2⎞ ⎜ ρ v ⎟ dV gc dt V ⎝ 2 ⎠

∫

1 d KT gc dt

1 & KT gc

(1.4 − 3)

Flujo de fluidos & la velocidad con la que Siendo KT la energía cinética total del elemento de control, y K T cambia dicha energía. II) Término convectivo.

−

1 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ ∇ ⋅ ρv v⎟ dV = ∫ ⎠ gc V ⎝ 2

−

1 ⎛1 2 ⎞ ⎜ ρv v⎟ dS = ⎠n gc ∫S ⎝ 2 = −

−

1 ⎛1 2 ⎞ ⎜ ρv v⎟ dS = ∫ ⎠n gc S1 + S2 ⎝ 2

1 ⎛1 3 1 3 ⎞ ⎜ ρ 2 v 2 S 2 − ρ 1 v 1 S1 ⎟ gc ⎝ 2 2 ⎠

(1.4 − 4)

Donde 3 v es el promedio de las velocidades cúbicas, la diferencia entre los puntos 1 y 2 da como resultado la variación de la energía cinética del fluido en movimiento. 2π R

∫∫ 0

v 3z rdrdθ

0 2π R

∫∫ 0

(1.4-5) rdrdθ

III) Término viscoso. Al desarrollar este término, se puede expresar como la suma del trabajo asociado a las fuerzas viscosas (IIIa) y la disipación viscosa (IIIb). −

∫(

v ⋅ [∇ ⋅ τ])dV = −

∫

∫(

∇ ⋅ (τ ⋅ v )dV +

τ : ∇v )dV

(1.4-6)

IIIa

IIIb

IIIa) Trabajo asociado a fuerzas viscosas.

−

∫ ∇ ⋅ (τ ⋅

v )dV = −

∫ (τ ⋅ S

v )n dS = −

∫ (τ ⋅

& v )n dS = − W v

(1.4-7)

Este trabajo (reversible) se transmite a los alrededores a través de la superficie móvil, se puede interpretar como la velocidad de transferencia de energía mecánica a los alrededores debido a las fuerzas viscosas. IIIb) Disipación viscosa.

∫(

τ : v )dV = − E& v

(1.4-8)

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos.

Este término de disipación viscosa (- E& v ) representa la velocidad total de pérdidas de energía mecánica (en forma irreversible), la cual se transforma en calor, asociada a la fricción. IV) Velocidad de trabajo asociada a la presión. −

∫

(v ⋅ ∇p )dV

= −

∫ V

⎛ ⎞ 1 ⎜⎜ ρv ⋅ ∇p ⎟⎟dV ρ ⎝ ⎠

(1.4-9)

La ec. 1.4-9 se puede expresar en términos de la energía libre de Gibbs, si se mantienen $ =1/ρdp , ver anexo A2): condiciones isotérmicas (d G −

∫ V

−

⎛ ⎞ 1 ⎜⎜ ρv ⋅ ∇p ⎟⎟dV ρ ⎝ ⎠

∫ (ρv ⋅ ∇Gˆ )dV

= −

∫(

)

ˆ dV ρv ⋅ ∇G

(1.4-10)

∫ (∇ ⋅ ρvGˆ )dV − ∫ Gˆ(∇ ⋅ ρv )dV

−

(1.4-11)

IVa

IVb

IVa) − ∫ ( ∇ ⋅ ρv )dV = V

−

∫ (ρvG$ )

S1 + S2

(

)

$ dS = dS − ∫ ρvG Sm

ˆ S −ρ v G ˆ & = − (ρ 2 v 2 G −W 2 2 1 1 1S1 ) p

(1.4-12)

IVb) −

∫

ˆ (∇ ⋅ ρ v )dV = − d G dt

∫ (ρGˆ − p)dV

= −

d AT dt

& = −A T

(1.4-13)

& p la velocidad con la que se transmite la energía mecánica a los alrededores Siendo − W $ − p es la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen y debido a las fuerzas de presión, ρG AT la energía libre de Helmholtz total del elemento de control. Sumando los resultados parciales se tiene que:

−

∫ (v ⋅ ∇p)dV

(

ˆS = − ∆ ρvG

)

& −W p

& −A T

(1.4-14)

Flujo de fluidos V) Término gravitacional.- Sean φ la energía potencial del elemento de control infinitesimal y φ$ su energía potencial por unidad de masa. En base a estas definiciones, el vector de aceleración gravitacional será igual a menos el gradiente de φ$ (g = -∇ φ$ ):

(

)

(

)

1 1 1 $ ρ( v ⋅ g)dV = − ∫ ρv ⋅ ∇φ$ dV = − ∫ ∇ ⋅ ρvφ$ dV + φ(∇ ⋅ ρv)dV (14 . − 15(1.4-15) ) ∫ ∫ gc V gc gc V V V Va Vb

Va)

−

∫ (∇ ⋅ ρvφˆ )dV

1 gc

= −

∫ (ρvφˆ )dS

= −

(

1 ρ 2 v 2 φˆ 2S 2 − ρ1 v 1φˆ 1S1 gc

)

(1.4-16)

S1 +S2

Vb) 1 gc

∫

1 φˆ (∇ ⋅ ρ v )dV = − gc

∫

∂ρ 1 φˆ dV = − ∂t gc

∫

∂ρ φˆ dV ∂t

(1.4-17)

En esta última igualdad se supuso que φ$ no depende del tiempo (∂ φ$ /∂t = 0). −

1 gc

∫

∂φˆ ρ 1 d dV = − ∂t gc dt

∫

1 d φˆ ρdV = − φT gc dt

= −

1 & φT gc

(1.4-18)

φ T es la energía potencial total del elemento de control finito. Después de sumar los resultados de cada término y reacomodando, el balance macroscópico de energía mecánica es:

(

)

1 & ˆ 2 S 2 − ρ1 v 1 G ˆ 1S1 ) + & T + 1 φ& T = − 1 ρ 2 3 v 2 S 2 − ρ1 3 v1 S1 + (ρ 2 v 2 G KT + A gc gc gc 2 1 (1.4-19) (ρ 2 v 2 φˆ 2S2 − ρ1 v1φˆ 1S1 ) − W& v − W& p − E& v + (1.4 − 19) gc & = -Wv & & Definiendo a -W −Wp como el trabajo total intercambiado con los alrededores (potencia transmitida) y utilizando el balance macroscópico de materia:

1 & & T + 1 φ& T KT + A gc gc

$ = Observe que ∆G

⎞ ⎛ 1 3v φˆ ˆ ⎟Gm − W & − E& v = − ∆⎜⎜ + +G ⎟ gc 2 v gc ⎠ ⎝ p2

(1.4 − 20(1.4-20) )

∫ ρ dp se puede simplificar para fluidos incompresibles a ∆p/ρ, siendo

la velocidad con la que cambia la energía libre de Helmholtz cero.

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. De especial importancia práctica es el manejo de condiciones de estado estable donde los términos acumulativos de la ec. 1.4-21 se hacen cero. El caso particular de manejar estado estable, cuando no hay pérdidas por fricción ni intercambio de energía en forma de trabajo, da lugar a la ecuación de Bernoulli que representa la interconversión ideal de las energías cinética, potencial y de presión. Un procedimiento análogo al anterior para el caso de un sistema adiabático (sistema aislado térmicamente o proceso isentrópico), da lugar al siguiente balance de energía mecánica que se utiliza para fluidos compresibles principalmente. 1 & 1 K T + E& T + φ& T gc gc

⎞ ⎛ 1 3v φˆ & − E& v ˆ ⎟Gm − W = − ∆⎜⎜ + +H ⎟ gc 2 v gc ⎠ ⎝

(1.4 − 21) (1.4-21)

En la tabla 1.4-1 se resumen las consideraciones que se hicieron en la deducción de las ecuaciones generales, por lo que estarán en forma implícita cada vez que se utilicen estas ecuaciones.

Tabla 1.4-1 Principales consideraciones en la deducción de las ecuaciones generales. Ec. de continuidad (ec. 1.2-2) Fluido monofásico. Composición constante (sin reacción química). Régimen laminar. Ec. de cantidad de movimiento (ec. 1.3-2) Despreciables las fuerzas eléctricas, magnéticas, nucleares y las asociadas a la tensión superficial. Balance energía mecánica (ec. 1.4-2)

Las mismas que para la ec. de cantidad de movimiento.

Balance macroscópico de materia (ec. 1.2-7) Volumen de control constante. Existencia de continuidad del fluido en todo el volumen de control. Areas consideradas: S = S1 +S2 + Sf + Sm Fluido isotrópico en las áreas S1 y S2 Balance macroscópico de cantidad de movimiento (ec. 1.3-13) p1 y p2 serán las mismas en toda el área S1 y S2 respectivamente y referidas al centro de la tubería. En la fuerza de arrastre se involucran todas las fuerzas que se oponen al movimiento del fluido asociado al equipo. Balance macroscópico de energía mecánica Campo gravitacional constante (g = ctte). La energía potencial no depende del tiempo (planos de referencia fijos y constantes). a) Isotérmico (ec. 1.4-20) El calor generado por la disipación viscosa se transmite a los alrededores. b) Adiabático (ec. 1.4-21) El volumen de control está aislado térmicamente, lo que da lugar a un proceso isentrópico.

En el esquema de la fig. 1.4-1 se muestran en forma de diagrama de flujo algunos casos particulares de las ecuaciones generales que se revisarán con más detalle en los capítulos siguientes. El lector no debe tener dificultades para simplificar las ecuaciones generales, acorde a las consideraciones indicadas en el esquema, teniendo presente que los balances macroscópicos son las formas promediadas con respecto al volumen de control de los balances diferenciales, no contemplan la información en forma puntual como lo hacen los balances diferenciales. La información obtenida con los balances diferenciales se complementa con la de los balances macroscópicos y su análisis se facilita expresándola en términos de los números adimensionales y otras cantidades adimensionales. 28

Flujo de fluidos

Ec. generales diferenciales y macroscópicas.

v=0

Estática de fluidos.

v≠0 ∂(ρv)/∂t ≠ 0 Dinámica de fluidos.

Estado no estable.

∂(ρv)/∂t = 0 Isotérmico.

µ=0 ρ ≠ ctte.

Estado estable. Flujo potencial.

Fluido compresible.

Adiabático.

ρ = cte.

Fluido incompresible.

µ = ctte.

Newtoniano.

Rég. turbulento.

µ ≠ ctte.

No Newtoniano.

Rég. laminar.

Ec. de potencia.

Rég. laminar. Rég. turbulento.

Plástico de Bingham.

Rég. laminar.

Fig. 1.4-1 Casos particulares de las ecuaciones generales de fluidos en tuberías cilíndricas.

1) Ecuaciones bรกsicas para el flujo de fluidos.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

2.1 ECUACION DE LA HIDROSTATICA El suponer un fluido en reposo (v=0), implica que la densidad no depende del tiempo (ver ec. de continuidad y restricciones); la ecuación de cantidad de movimiento se puede simplificar a: 1 ρg = 0 gc

− ∇p +

(2.1 - 1)

Esta ecuación es la forma diferencial de la ecuación de la hidrostática, tiene implícito el principio de Pascal: "La presión aplicada a un fluido encerrado (en reposo) se transmite a cada punto del fluido y de las paredes del recipiente que lo contiene". Para el sistema de referencia de la fig. 2.1-1, donde el eje Z coincide con la vertical, se tiene que el vector de aceleración (constante) y el gradiente de presión son:

g = gx

+ gy

+ gz

r = − kg

Fig. 2.1-1 Sistema de referencia.

(2.1-2)

Siendo cero las componentes gx y gy. g = 9.807 m2/s = ctte. de aceleración gravitacional. r ∂p r ∂p r ∂p r ∂p − ∇p = − ( i +j +k ) = −k ∂x ∂y ∂z ∂z

(2.1-3)

Como p es función exclusiva de Z para este sistema de referencia, la ec. 2.1-1 se puede expresar como:

r dp −k dz

r kρg − gc

= 0

(2.1-4)

2) Estática de fluidos. Considerando únicamente cantidades escalares: dp dz

= −

1 ρg gc

(2.1-5)

Para la mayoría de las aplicaciones en ingeniería, se puede suponer que la ρ=ctte. aún para gases. Separando variables e integrando entre los puntos de referencia 1 y 2: p2

2 1 dp = − ρ g dz ∫ gc h∫1 p1

p 2 − p1

= −

(2.1-6)

1 ρg(h 2 − h 1 ) gc

(2.1-7)

Observe que si h1>h2, p1<p2, o bien si h1<h2, p1>p2, dicho de otra forma, la presión se incrementa en la dirección geocéntrica para un fluido en reposo. La ec. 2.1-7 es la forma integrada de la ec. de la hidrostática, la cual se puede expresar en términos del peso específico (γ): γ =

1 ρg gc

(2.1-8)

Para un sistema de vasos comunicantes, la presión será la misma en todos los ramales para el mismo plano de referencia horizontal (siempre que exista continuidad de la fase), como se ilustra en la fig. 2.1-2.

Fig. 2.1-2 Paradoja de Pascal en un sistema de vasos comunicantes.

Flujo de fluidos

2.2 PRESION ABSOLUTA, MANOMETRICA Y DE VACIO Los barómetros de mercurio (fig. 2.2-1) son instrumentos que permiten medir la presión atmosférica. Aplicando la ec. de la hidrostática considerando las interfases mercurio-vapor de mercurio (punto 1) y mercurio-aire (punto 2) como los puntos de referencia, despejando p2 se tiene que: p 2 = p1

+ ρ Hg g(h 1 − h 2 )

g gc

( 2.2 − 1)

La presión que se tiene en 1 es muy pequeña comparada con la presión en 2 y normalmente se puede despreciar (excepto para sistemas trabajando a alto vacío), por lo que este punto sirve para definir la escala de presiones Fig. 2.2-1 Barómetro de mercurio. absolutas (p1=01), siendo para este caso la presión atmosférica la presión en 2: p atm

= ρ Hg (h 1 − h 2 )

g gc

(2.2-2)

Las lecturas de la presión atmosférica se expresan normalmente como mm de Hg o alguna otra longitud y representa la diferencia de niveles en el barómetro (altura hidrostática). Observe que (h1-h2)>=0 lo que da lugar a que las presiones absolutas sean siempre positivas. Una vez conocida la presión atmosférica (presión absoluta del aire) se puede evaluar la presión absoluta para otros sistemas. En la fig. 2.2-2a se ilustra un sistema que tiene una presión absoluta mayor que la presión atmosférica; con relación a esta fig. se tiene que:

Fig. 2.2-2 Manómetro diferencial en “U”.

Estrictamente, la presión de vacío absoluto es la presión de un espacio que no tenga moléculas.

2) Estática de fluidos.

= ρ m (h 1 − h 2 )

g gc

(2.2-3)

Donde ρm es la densidad del líquido manométrico. La diferencia de presiones p2-patm se conoce como presión manométrica (pm), será positiva si p2>patm, cero si p2=patm y negativa si p2<patm. Cuando se presentan presiones manométricas negativas, se acostumbra expresarlas como presiones vacuométricas o de vacío (pv), ver fig. 2.2-2b. pv

= p atm − p 2

= ρ m (h 2 − h 1 )

g gc

(2.2-4)

En la fig. 2.2-3 se esquematiza en una escala absoluta, las diferencias de presiones que definen a las presiones manométrica y de vacío.

Fig. 2.2-3 Escala absoluta de presiones.

2.3 INDICADORES DE PRESION Los tubos piezométricos (manómetros simples) constituyen una forma sencilla y económica para medir presiones manométricas pequeñas. En las figuras 2.3-1 y 2.3-2 se ilustran su aplicación en recipientes y tuberías, donde se observa que el líquido utilizado proporciona la altura manométrica con la cual se puede obtener fácilmente la presión absoluta conociendo la presión atmosférica.

Flujo de fluidos

Fig. 2.3-1 Tubo piezométrico acoplado a un recipiente presurizado.

Cuando se acopla a una tubería, el orificio piezométrico puede practicarse en cualquier punto de esta (arriba, lateral o inferior); cuando se desee mayor precisión en la lectura, se puede practicar una serie de perforaciones comunicadas por una sección anular y esta a su vez se conecta al tubo piezométrico u otro indicador de presión, como se ilustra en la fig. 2.3-3, lo que permite minimizar las posibles variaciones de la presión en la sección transversal de la tubería.

Fig. 2.3-2 Tubo piezométrico acoplado a una tubería.

Fig. 2.3-3 Forma anular para conexiones a indicadores de presión.

Se puede incrementar la precisión en la lectura de las distancias manométricas si se acoplan a los tubos piezométricos un nonio (reglilla o vernier) como se ilustra en la fig. 2.3-4, o bien utilizando tubos inclinados. En muchas ocasiones basta conocer la diferencia de presiones entre dos puntos, para lo cual se puede utilizar un piezómetro diferencial, o bien, un manómetro diferencial, como se esquematiza en las figuras 2.3-5 y 2.3-6. Fig. 2.3-4 Esquema de un nonio.

2) Estática de fluidos.

Fig. 2.3-5 Piezómetro diferencial.

Fig. 2.3-6 Manómetro diferencial.

Las variantes de manómetros diferenciales de cubeta permiten mantener uno de los ramales constante (en forma aproximada) y fijar una escala para medir con mayor facilidad la diferencia de niveles como se ilustra en la fig. 2.3-7. La sensibilidad de los manómetros diferenciales se incrementa cuando la diferencia de las densidades entre el líquido manométrico y el fluido de prueba sea menor. Se puede medir directamente la presión absoluta si se acopla al punto de lectura un barómetro en U, conocido como vacuómetro de líquido (ver fig. 2.3-8).

Fig. 2.3-7 Manómetro diferencial de cubeta.

Fig. 2.3-8 Vacuómetro de líquido.

Si existe alguna interacción no deseable entre el fluido de interés y el líquido manométrico, se pueden utilizar manómetros de dos fluidos manométricos en cualquiera de las variantes de los manómetros diferenciales descritos. 36

Flujo de fluidos Cuando la presión o diferencia de presiones sobrepasa la capacidad de los manómetros diferenciales, pueden utilizarse los manómetros de Bourdon (fig. 2.3-9). El punto de lectura de la presión está conectado al interior del tubo en forma de C del manómetro, conforme se incremente la presión en el interior de este tubo, la diferencia de presiones entre el interior y exterior (ppatm) genera una deformación de este tubo que se transmite por el selector y piñon a la aguja indicadora. Este tipo de indicadores de presión se deben calibrar a la presión atmosférica a la cual trabajen. Es común que se rellenen con glicerina para lubricar las partes mecánicas.

Fig. 2.3-9 Manómetro de Bourdon.

Una variante de estos instrumentos son los manómetros de Bourdon para presiones absolutas, en el interior del tubo en C se hace vacío y en el exterior se tiene la presión del fluido que se desea medir, como se ilustra en la fig. 2.3-10. Dependiendo de la aplicación y escala que se manejen se llaman barómetros, vacuómetros o manómetros. Cuando se desea evitar el contacto físico entre las partes mecánicas y el fluido, pueden utilizarse los manómetros de diafragma (membrana), cuya deformación está asociada a la presión que se transmite a la aguja indicadora como se esquematiza en la fig. 2.3-11.

Fig. 2.3-10 Manómetro de Bourdon para presiones absolutas.

Fig. 2.3-11 Manómetro de Membrana.

Cuando se manejan presiones elevadas, es frecuente el empleo de manómetros de émbolo y resorte, cuyo esquema se muestra en la fig. 2.3-12.

2) Estática de fluidos. Todos los manómetros que tienen partes móviles (mecánicas) deben calibrarse, para tal efecto se utiliza el tarador de manómetros (fig. 2.3-13). Es una buena práctica calibrar periódicamente los manómetros para asegurarse de su buen funcionamiento.

Fig. 2.3-12 Manómetro de émbolo y resorte.

Fig. 2.3-13 Tarador de manómetros.

A las partes mecánicas de los manómetros se les puede acoplar aditamentos eléctricos que permiten enviar señales a distancia, sobresalen los transductores inductivos (envían una corriente eléctrica) y los transformadores potenciométricos (envían una diferencia de voltaje).

2.4 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS El análisis de las fuerzas de presión sobre sólidos es el punto de partida para disciplinas como la flotación y resistencia de materiales, en los que se involucran conceptos como son el de presión, centro de gravedad, torque, esfuerzos en sólidos, etc. En este capítulo se desea resaltar únicamente la relación entre las fuerzas sobre superficies sólidas y el principio de Arquímedes. Por la importancia de la interfase sólido - fluido en este tema, iniciemos la descripción del sistema mostrado en la fig. 2.4-1.

Fig. 2.4-1 Fuerza de un fluido sobre un sólido. 38

Fig. 2.4-2 Interpretación geométrica de la normal a un área.

Flujo de fluidos Sea dS una diferencial de superficie de la interfase sólido - fluido y R el vector que define la posición de esta diferencial de superficie con respecto al sistema de coordenadas x, y, z. Sobre el sólido actuará una diferencial de fuerza debido a la presión del fluido y su dirección está fijada por el vector normal a la diferencial de superficie (n) cuya dirección positiva será hacia el sólido. Para este sistema se cumple que: dF = pndS

(2.4-1)

pndS

= p ndS

(2.4-2)

De esta última expresión se puede definir la presión como: dF

p =

(2.4-3)

ndS

Recordemos que la normal a un área se puede definir en términos de un producto vectorial: =

ndS

dx 1 × dx 2

dx 1 dx 2 senθ

(2.4-4)

Siendo dx1 y dx2 los vectores de posición tangentes a la interfase sólido – fluido, que en general se eligen en forma ortogonal (θ=90), como se muestra en la fig. 2.4-2, de aquí que:

(2.4-5)

= p dx 1 dx 2

dF = pdx 1dx 2

(2.4-6)

Para una superficie finita (S):

∫ dF

∫∫ pdx dx 1

∫ pdS

(2.4-7)

En la ec. 2.4-7 Fs es la fuerza resultante que ejerce el fluido estático sobre el sólido en la superficie S considerada. Note que no hay restricción en como considerar S, un sólido puede contener un fluido (ej. un recipiente cerrado), el fluido puede rodear al sólido (ej. un sólido inmerso en un líquido), o bien, rodearlo parcialmente (ej. cuerpo flotando o una compuerta de una presa). Ejemplo 2.4-1) Cuerpo flotando. Apliquemos los conceptos a un cuerpo sólido, cuya forma es el de un prisma rectangular que flota en un líquido. Sea VS el volumen del sólido, VL la parte inmersa en el líquido y VG la parte del sólido que sobresale como se ilustra en la fig. 2.4-3.

2) Estática de fluidos. Fijemos el sistema de coordenadas en la interfase L-G con eje z en posición vertical.

Fig. 2.4-3 Cuerpo sólido flotando en un líquido. En base a las dimensiones de la fig. 2.4-3 se tiene que: VS

= L1 L 2 L 3

= VG + VL

= L1 L 2 L 4

(2.4-9)

= L1 L 2 L 5

(2.4-10)

(2.4-8)

En la fase gaseosa la presión es constante (p=patm) y existen cinco superficies definidas por los planos Sy=0, Sy=L2, Sx=0, Sx=L1 y Sz=L4. En la superficie Sy=0: + y

L 4 L1

= p atm ∫ ∫ dxdz = p atm ( L1 L 4 )

(2.4-11)

0 0

La dirección de Fy+ es hacia y+. Esta fuerza se equilibra con otra de igual magnitud que actúa sobre la cara Sy=L2.

Fy−

= p atm ( L1 L 4 )

(2.4-12)

El balance de fuerzas en la dirección y se puede expresar en términos de las magnitudes de los vectores, o bien, en forma vectorial como:

Flujo de fluidos

Fy+

Fy−

Fy+

−

Fy−

Fy+

= − Fy−

Fy+

+ Fy−

(2.4-13)

= 0

(2.4-14) (2.4-15)

= 0

(2.4-16)

En forma análoga para la dirección x:

Fx+

Fx−

= p atm ( L 2 L 4 )

(2.4-17)

Para la cara superior Sz=L4:

Fz−

= p atm ( L1 L 2 )

(2.4-18)

Para la fase líquida la ecuación de la hidrostática será: p

∫ dp =

p atm

1 1 ρgdz = − ρg ∫ dz ∫ gc 0 gc 0

p = p atm

−

(2.4-19)

1 ρgz gc

(2.4-20)

Observe que para la fase líquida Z<=0, teniendo también cinco caras cuyas fuerzas se denotarán con el subíndice L. + FyL

∫ pdS =

S yL

+ FyL

0 L1

⎛

∫ ∫ ⎜⎜⎝ p

− L5 0

= p atm ( L1 L 5 ) +

atm

−

⎞ 1 ρgz ⎟⎟dxdz gc ⎠

ρgL1 L25 2gc

(2.4-21)

(2.4-22)

Los balances en y y en x para la fase líquida son: + FyL

+ xL

− FyL

− xL

(2.4-23) = p atm ( L 2 L 5 ) +

ρgL 2 L25 2gc

(2.4-24)

2) Estática de fluidos. Para la cara Sz=-L5: + zL

∫ pdS

SzL

+ FzL

L 2 L1

⎛

∫ ∫ ⎜⎜⎝ p

atm

0 0

= p atm ( L1 L 2 ) +

−

⎞ 1 ρg( − L 5 ) ⎟⎟dxdy gc ⎠

ρgL1 L 2 L 5 gc

(2.4-25)

(2.4-26)

Al obtener la diferencia de fuerzas asociada a la presión en la dirección z, esta da como resultado el peso del líquido desplazado por el sólido. La dirección de esta fuerza es hacia arriba y está asociada con el principio de Arquímedes: "Todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje ascendente igual al peso del líquido desplazado". + FzL

− FzL

−

= mL

g gc

ρgL1 L 2 L 5 gc

(2.4-27)

ρgVL gc

(2.4-28)

El principio de Arquímedes se puede deducir utilizando el teorema de Gauss y la ec. diferencial de la hidrostática, integrada sobre el volumen de líquido desplazado, el cual tiene asociado la interfase S-L: Fb

∫ pndS

= −

gm L gc

= − ∫ ∇pdV = − VL

1 ρgdV gc V∫L

= WL

(2.4-29)

(2.4-30)

En esta ecuación Fb se conoce como la fuerza boyante, empuje ascendente o fuerza resultante en la dirección z (componente vertical) de la fuerza asociada a la presión. El balance de fuerzas en la dirección z será:

Fig. 2.4-4 Balance de fuerzas en la dirección z.

Flujo de fluidos + FzL

Fz−

−

− WS

= WL

− WS

= 0

(2.4-31)

Siendo Ws el peso del sólido: VSρ S g gc

WS =

(2.4-32)

Como el peso del sólido y del líquido desplazado son iguales, se cumple que: VLρg gc

ρ ρS

VSρ S g gc

(2.4-33)

VS VL

(2.4-34)

Ejemplo 2.4-2) Superficie plana inclinada. Analicemos el caso de una compuerta inclinada, la cual se esquematiza en la fig. 2.4-5. Fijemos el sistema de referencia en la interfase L-G de tal forma que se forme un ángulo rectángulo. Para analizar este problema se plantean dos sistemas de referencia: x, y, z para describir la ec. de la hidrostática y x1, x2, n para describe la superficie del sólido. En la interfase S-L se cumple que:

∫ pdS

SSL

⎛ ρgz ⎞ + p atm ⎟⎟dS gc ⎠ SSL

∫ ⎜⎜⎝ −

(2.4-35)

Interfase S-L

z y

Interfase S-G

p(z)

patm = ctte

a) En perspectiva

b) Corte en el plano y=0 Fig. 2.4-5) Superficie plana plana inclinada. Fig. 2.4-5 Superficie inclinada.

c) Interfases

2) Estática de fluidos.

L 2 L1

⎛ ρgz ⎞ + p atm ⎟⎟dx 1dx 2 gc ⎠ 0

∫ ∫ ⎜⎜⎝ −

(2.4-36)

L 2 L1

⎛ ρgx 1senθ ⎞ + p atm ⎟⎟dx 1dx 2 gc ⎠ 0

∫ ∫ ⎜⎜⎝

(2.4-37)

Siendo: − z = x 1senθ

(2.4-38)

= L1 L 2 p atm

L21 L 2ρgsenθ 2gc

(2.4-39)

Para la interfase G-S, p=patm, por lo que: L 2 L1

= p atm ∫ ∫ dx 1dx 2

= L1 L 2 p atm

(2.4-40)

0 0

La fuerza neta que actúa sobre el sólido debido a los dos fluidos será:

= FL

− FG

= ( L21 L 2 senθ)ρg / gc

(2.4-41)

Esta fuerza tendrá dos componentes en el sistema x, y, z: la componente horizontal (FRX) y la componente vertical (FRZ) cuyos valores son (ver fig. 2.4-6):

Fig. 2.4-6 Componentes de la fuerza neta que actúa sobre el sólido.

FRX FRZ

= FR senθ =

(2.4-42)

− FR cos θ

(2.4-43) 44

Flujo de fluidos Observe que el valor de la componente vertical se puede expresar en términos del "volumen desplazado por el sólido":

FRZ

= −

ρg( L 2 )( L1senθ)( L1 cos θ) gc 2

= −

ρg ⎛ ab ⎞ ⎜ L2 ⎟ gc ⎝ 2⎠

(2.4-44)

2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 2.5-1) Densidad de una mezcla líquida ideal (Valiente, 1990, pag. 25, pro. 1.3). Se prepara una solución líquida a 20 C de 40% de ácido acético y 60% en masa de agua. Calcular la densidad de la mezcla. n ⎛X ⎞ 1 = ∑⎜ i⎟ ρ mezcla i =1 ⎝ ρ i ⎠ Xi = fracción en masa = mi/mT mi = masa del i-ésimo componente. mT = masa total de la mezcla. n = número de componentes de la mezcla. R) 1018.27 Kg/m3 2.5-2) Densidad del aire seco (Valiente, 1990, pag. 44, pro. 1.18). a) Calcular la densidad del aire en condiciones estandar (0 C, 1 atm) si su composición es: 78.03 % mol de N2, 20.99 % mol de O2, 0.94 % mol de Ar, 0.01 % mol de H2, 0.0015 % mol de Ne, 0.0005 % mol de He, 0.00011 % mol de Kr y 0.000009 % mol de Xe. b) Determinar la densidad de este aire a 586 mmHg y 20 C. R) 0.9306 Kg/m3 2.5-3) Evaluación de la densidad en un tubo en "U". ¿Si se conoce la ρA, cual es la ρB?

Fig. 2.5-1 Problema 2.5-3

Fig. 2.5-2 Problema 2.5-4 45

2) Estática de fluidos. 2.5-4) Altura hidrostática en un condensador barométrico (Valiente, 1990, pag. 37, pro. 1.11). El vacuómetro en un condensador barométrico indica un vacío de 40 cm de Hg. La presión barométrica es de 586 mmHg. Determine la presión absoluta del condensador y la altura hidrostática en la pierna barométrica. R) p=186 mmHg H=5.483 m 2.5-5) Tanque de extracción líq-líq. En un tanque de separación de una extracción líquido - líquido se desea conocer: a) El nivel en que se encuentra la interfase de los líquidos inmiscibles. b) La proporción en volumen de los dos líquidos.

Fig. 2.5-3 Problema 2.5-5

2.5-6) Indicador de nivel a distancia (Valiente, 1990, pag. 118, pro. 3.12). Evalúe el volumen que tiene un tanque cilíndrico horizontal a partir de las lecturas en un manómetro diferencial. Por el sistema fluye aire a una velocidad lo suficientemente baja como para considerar que la presión sea la misma en todos los puntos de la tubería (v tiende a cero). R) 3.244 m3

Fig. 2.5-4 Problema 2.5-6 2.5-7) Piezómetro diferencial en una tubería (Levenspiel, 1993, pag. 11, pro. 1.2). a) Desarróllese para un piezómetro diferencial, la expresión para determinar la diferencia de presiones p1-p4 (ver fig. 2.5-5). b) Si ρB<<ρA simplifique dicha expresión. R) p1-p4=ρA(Z2-Z3)g/gc

Flujo de fluidos

Fig. 2.5-5 Problema 2.5-7

Fig. 2.5-6 Problema 2.5-8

2.5-8) Manómetro de cubeta de dos fluidos (Levenspiel, 1993, pag. 11, pro. 1.3). Encuentre la diferencia de presiones p1-p2 en función de ∆Z para el manómetro de dos fluidos mostrado en la fig. 2.5-8. 2.5-9) Manómetro de dos fluidos (Levenspiel, 1993, pag. 12, pro. 1.5). Un manómetro de dos fluidos se utiliza cuando el fluido A puede atacar químicamente al fluido manométrico C y por lo tanto debe impedirse su contacto. Desarróllese una expresión p1-p6 en función de las variables pertinentes. 2.5-10) Calibrador de manómetros. Desarróllese una expresión para conocer la presión manométrica en el manómetro de Bourdon (ver fig. 2.5-10).

Fig. 2.5-8 Problema 2.5-10

Fig. 2.5-7 Problema 2.5-9

2) Estática de fluidos. 2.5-11) Prensa hidráulica (Valiente, 1990, pag. 40, pro. 1.13). Con una prensa hidráulica se desea elevar un automóvil que pesa 1500 Kgf. Determinar la fuerza que se necesita aplicar en la sección de 0.01 m2 para que la sección de 1 m2 eleve el automóvil. R) 15 Kgf 2.5-12) Esfera hueca (Valiente, 1990, pag. 44, pro. 1.20). Una esfera de hierro de 50 cm3 de volumen, pesa 40 gf y se introduce en agua. ¿Cuál es el empuje ascendente que recibe? ¿Flotará o se irá al fondo? R) Empuje= 50gf la esfera flota. 2.5-13) Cuerpo inmerso en un líquido (Valiente, 1990, pag. 43, pro. 1.16). Un objeto pesa 54 Kgf en el aire y 24 Kgf cuando está sumergido en agua. Calcule el volumen y la densidad relativa de dicho objeto. R) V=30 l, ρ=1800 Kg/m3 2.5-14) Densímetro (Valiente, 1990, pag. 26, pro. 1.7). Un densímetro pesa 11 gf y el área de la sección recta del vástago es 0.16 cm2. ¿Cuál es la diferencia de alturas sumergidas en dos líquidos de densidades relativas de 1.25 y 0.9 respectivamente? R) ∆H=22 cm 2.5-15) Efecto de la altitud sobre la presión del aire (Bird, 1993, pag. 3-44, pro. 3.C1). En la desembocadura del río Ontagón en la orilla sur del Lago superior (183.5 m sobre el nivel medio del mar) nuestro barómetro portátil indica una presión de 750 mmHg. Utilizar la ec. de movimiento para estimar la presión barométrica en la cima del Government Peak (617 m sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas Porcupine. Supóngase que la temperatura al nivel del lago es de 21 °C y que disminuye a razón constante de 0.55 °C/100m. La aceleración de la gravedad en la orilla sur del lago superior es 981.1 cm/s2 y su variación con la altura puede despreciarse en este problema. R) 712 mmHg 2.5-16) Ventosa. Estime la fuerza (normal) necesaria para despegar una ventosa de 5 cm de diámetro: a) Si se forma vacío (contacto ideal ventosa - superficie) entre la ventosa y el vidrio. b) Si existe una capa de agua entre la ventosa y el vidrio. c) Si está sumergida en una pecera a 30 cm de profundidad. Suponga que la temperatura y presión son 20 °C y 585 mmHg. 2.5-17) Olla de presión. Una olla de presión casera tiene una válvula cuyo peso está calibrado para que en el interior de la olla a nivel del mar sea de 15 psig. ¿Que presión tiene esta olla y su válvula en la ciudad de México (patm=585 mmHg)? 48

Fig. 2.5-9 Problema 2.5-17

Flujo de fluidos 2.5-18) Fuente de Herón. Hace más de 2000 años Herón conceptualizó su fuente, pero difícil de construirla con la tecnología de su época por requerir de tubos, mangueras y recipientes cerrados herméticamente. Explique en forma cualitativa, basándose en las presiones absolutas existentes en los puntos de referencia indicados en la fig. 2.5-18, como funciona la fuente de Herón.

Fig. 2.5-10 Problema 2.5-18 2.5-19) Control de nivel en un sistema de venoclisis. Los sistemas de venoclisis, como el esquematizado en la fig. 2.5-19, tienen como objetivo suministrar flujos constantes a los pacientes. Dichos sistemas se basan en mantener constante el nivel en el recipiente inferior. Explique el funcionamiento del control de nivel.

Fig. 2.5-11 Problema 2.5-19 49

2) Estática de fluidos. 2.5-20) Ec. de la hidrostática para un gas ideal isotérmico (Levenspiel, 1993, pag. 11, pro. 1.4). Considere una columna de gas muy alta, isotérmica y con un factor de compresibilidad promedio Z . a) Muéstrese que la diferencia de presiones entre la parte superior (punto 2) y la base (punto 1) de esta columna viene dada por: PMg / ZRTgc ] ( Z1 − Z 2 ) ∆p = p e [ −1 1

[

]

b) Un manantial de gas natural tiene una presión de 15 atm a nivel del suelo. Suponiendo que es metano puro, calcule la presión del gas a 5000 m de profundidad si la temperatura es de 300 K y Z =0.95 para toda la columna.

FLUIDOS INCOMPRESIBLES NEWTONIANOS 3.1 INTRODUCCION 3.1.1 Experimento de Reynolds Uno de los principales avances en el estudio de flujo de fluidos lo realizó Reynolds cuando observó el comportamiento de un fluido incompresible en una tubería en condiciones de estado estable. En la fig. 3.1-1 se muestra un dispositivo con el cual se puede llevar a cabo su experimento. El colorante describe trayectorias definidas (líneas de corriente) a bajos flujos, condición típica del régimen laminar; a flujos mayores se visualizan perturbaciones en las líneas de corriente (zona crítica) y si se incrementa más el flujo, se observan remolinos dentro de la tubería, condición típica del régimen turbulento, como se ilustra en la fig. 3.1-2. Colorante

Colorante

a) Régimen laminar.

Válvula

Colorante

b) Zona crítica. Colorante

Fig. 3.1-1 Dispositivo para realizar el experimento de Reynolds.

c) Régimen turbulento. Fig. 3.1-2 Comportamiento de un fluido dentro de una tubería.

3.1.2 Perfiles de velocidad Con la ayuda de un tubo de Pitot (medidor de flujo que se revisará en su momento) es posible determinar los perfiles de velocidad en el interior de la tubería. Se ha observado una región a la entrada en donde los perfiles de velocidad se modifican hasta alcanzar el perfil parabólico en el caso de régimen laminar y en forma aproximada a la ecuación de potencia de 1/n para régimen turbulento (ec. 3.1-1 y 3.1-2 respectivamente) como se ilustra en la fig. 3.1-3.

Efectos de entrada. Vz(r,z)

Flujo desarrollado. Vz(r)

a) Régimen laminar Efectos de entrada. Vz(r,z)

Flujo desarrollado. Vz(r)

b) Régimen turbulento. Fig. 3.1-3 Perfiles de velocidad en tubería cilíndrica.

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

vz v zmax vz v zmax

⎛r⎞ = 1− ⎜ ⎟ ⎝R⎠

⎡ ⎛ r ⎞⎤ ≅ ⎢1 − ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ R ⎠⎦

(3.1 − 1) 1 n

Tabla 3.1-1 Valores de n para diferentes números de Reynolds. Re 4000 23000 110000 1100000 2000000 3200000

(3.1 − 2)

La longitud a la entrada de la tubería (Le) necesaria para que se desarrolle completamente el perfil de velocidades es en forma aproximada (Bird1):

n 6.0 6.6 7.0 8.8 10.0 10.0

Fuente: Sissom, L. E., y Pitts, D. R., Elements of transport phenomena. McGraw-Hill. USA 1972, pag. 452.

Le = 0.035 ReD

(3.1-3)

En ambos regímenes de flujo la velocidad máxima se localiza en el centro de la tubería (en este punto el gradiente de velocidades es cero) y disminuye conforme se aproxima a la pared de la tubería en donde se considera que la velocidad del fluido es cero. En régimen turbulento la velocidad puntual no es constante, presenta variaciones aleatorias, siendo el valor de vz el promedio con respecto al tiempo, donde el exponente n de la ec. 3.1-2 depende del número de Reynolds como se muestra en la tabla 3.1-1. Mientras mayor sea el número de Reynolds, se tiende a un perfil de velocidades constante (vz/vzmax≈1), aproximándose al caso ideal de flujo tapón o flujo pistón.

3.1.3 Caídas de presión Se ha observado que para fluidos incompresibles, la diferencia de presiones entre dos puntos de la tubería es proporcional a la longitud, dicho de otra forma, el gradiente de presión es constante (dp/dz=ctte). Esta condición se cumple cuando el perfil de velocidades está completamente desarrollado y es independiente del patrón de flujo presente en la tubería.

Fig . 3.1-4 Alturas piezométricas en una tubería.

Flujo de fluidos Esta conclusión se obtiene de las observaciones de las alturas piezométricas en una tubería en condiciones de estado estable. En la fig. 3.1-4 se ilustran las alturas piezométricas en una tubería horizontal, las cuales se pueden unir con una línea recta. Las presiones absolutas (estáticas) dentro de la tubería evaluadas a partir de las alturas piezométricas y referidas al centro de la tubería, son las que se consideran en los balances. Se puede observar que p1>p2>p3 para la tubería horizontal y son función exclusiva de la coordenada z (p=p(z)). Estas presiones definirán la presión en toda la sección transversal de la tubería.

3.2 FRICCION EN TUBERIAS CILINDRICAS 3.2.1 Régimen laminar. Iniciemos el análisis expresando las consideraciones del caso que estudiamos y que son adicionales a las mencionadas para las ecuaciones generales del capítulo 1: Estado estable: Gm = ctte Fluido incompresible: ρ = ctte Fluido Newtoniano: µ = ctte Sección transversal constante: D = D1 = D2 = ctte Flujo unidireccional v = vr + vθ + vz = vz(r)

(3.2-1)

La última condición (implícita) surge de la restricción física debido a la pared de la tubería, simplificándose la ecuación de continuidad a:

∂v z ∂r

= 0

(3.2-2)

Indicándonos que vz no depende de z.

−

∂p 1∂ ( rτ rz ) − r ∂r ∂z

= 0

(3.2-3)

La ec. de cantidad de movimiento (componente z) permite obtener el comportamiento del esfuerzo de corte dentro de la tubería: Como el gradiente de presiones es constante:

−

∂p ∂z

τ rz

= −

dp dz

∆p r 2L

= −

∆p ∆z

= −

(p 2 − p1 ) L

= ctte

(0 ≤ r ≤ R)

(3.2-4)

(3.2-5)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Separando variables y resolviendo para τrz con la condición de que en el centro de la tubería el esfuerzo de corte es cero, se obtiene el perfil de esfuerzos de corte: En la pared de la tubería (r=R) se presenta el esfuerzo de corte máximo:

τR

= τ rz

r=R

= −

∆p R 2L

(3.2-6)

La consideración utilizada en el perfil de esfuerzos se puede visualizar mejor si se analiza el modelo reológico para fluidos Newtonianos (ec. 3.2-7), en donde el gradiente de velocidades es cero en el centro de la tubería:

µ ⎡ ∂v z ⎤ µ dv z = − ⎥ ⎢ gc ⎣ ∂r ⎦ gc dr

τ rz

= −

⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ = v zmzx ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥

(3.2-7)

(3.2-8)

Igualando el perfil de esfuerzos (ec. 3.2-5) con el modelo reológico (ec. 3.2-7) y resolviendo para vz con la condición límite de que en la pared (interfase sólido - fluido) de la tubería la velocidad es cero, se obtiene el perfil de velocidades (ec. 3.2-8), cuya velocidad máxima (vzmax) se tiene en el centro de la tubería (ec. 3.2-9).

v zmax

= −

∆p gc R 2 4 µL

(3.2-9)

Utilizando la definición de flujo volumétrico para el perfil de velocidades en régimen laminar, se obtiene la ec. de Hagen Poiseuille (ec. 3.2-10), la cual se puede expresar en términos de la velocidad lineal promedio, como se indica en la ec. 3.2-11. 2πR

Gv =

∫ ∫ v z rdrdθ = 0 0

v =

Gv S

= −

π(-∆p)gcR 4 8µL

∆pgcR 2 8µL

= −

(3.2-10)

∆pgcD 2 32µL

v zmax 2

(3.2-11)

La fuerza de arrastre se puede obtener del balance microscópico de cantidad de movimiento y expresarse para la tubería horizontal como: {Ff } = − ( p 2S 2 − p1S1 ) = − ∆p f πR 2

(3.2-12)

La fuerza de arrastre también se puede expresar como el producto del esfuerzo de corte evaluado en la pared multiplicada por el área húmeda:

Flujo de fluidos

{Ff } = ( τ R )( 2πRL)

(3.2-13)

Del balance de energía mecánica (isotérmico) se puede determinar la pérdida de energía debido a la fricción (pérdidas por fricción) por unidad de masa del fluido transportado:

) − ∆GGm − E& v Ev

= 0

(3.2-14)

∆p 1 = − ∫ dp = − f ρ ρ p1

E& v Gm

(3.2-15)

En la ecuación de cantidad de movimiento participan la fuerza de presión y la fuerza viscosa, pudiéndose interpretar la ec. de Hagen Poiseuille como la relación de estas dos fuerzas, las cuales se pueden expresar como el producto de los números adimensionales de Reynolds (Re) y Euler (Eu): ReEu = (Fza. de presión/masa)/(Fza. de fricción/masa) = 32

(3.2-16)

Re = (Fza. de inercia/masa)/(Fza. de fricción/masa) = Dvρ/µ

(3.2-17)

Eu = (Fza. de presión/masa)/(Fza. de inercia/masa) = (-∆pfgcD)/(Lρv2)

(3.2-18)

La forma de agrupar los números adimensionales es arbitraria, Darcy agrupó la ec. de Hagen Poiseuille en términos del factor de fricción de Darcy (fD): RefD = 64 fD

Fórmula de Darcy (ec. 3.2-19)

(Pérdidas por fricción) (Energía cinética)(Longitud equvalente)

⎛ - ∆p f = ⎜⎜ ⎝ ρ

⎞⎛ 2gc ⎞⎛ D ⎞ ⎟⎟⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ v ⎠⎝ L ⎠

(3.2 - 20)

Observe que esta forma de definir los números adimensionales resalta la importancia de los términos convectivos en flujo de fluidos: la fuerza de inercia y la energía cinética, que si bién no participan en forma neta en el planteamiento general, están asociadas al movimiento del fluido, lo mismo que las pérdidas por fricción y la fuerza de arrastre, que serán cero si no hay movimiento del fluido. Fanning agrupa la ec. de Hagen Poiseuille como: RefF = 16

(3.2-21)

fD 4

{Ff } Sf K T

− ∆p f gcD 2ρv 2 L =

(3.2-22)

(− ∆p πR ) 2

(3.2-23)

(2πRL )⎛⎜ 1 ρv 2 ⎞⎟ ⎝2 ⎠ 55

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. La definición del factor de fricción de Fanning relaciona la fuerza de arrastre entre la energía cinética multiplicada por el área húmeda. Siendo la definición del factor de fricción más actual y acorde con las definiciones de los factores de fricción para otros sistemas como se revisará en su momento, por lo que esta definición de factor de fricción la utilizaremos en este libro principalmente.

Ejemplo 3.2-1 Fluido Newtoniano en régimen laminar. Apliquemos los conceptos anteriores a la glicerina que pasa por una tubería horizontal de 1 cm de diámetro interno, a la cual se le acopla un manómetro diferencial de mercurio cuyas entradas están espaciadas 1 m. El flujo de la glicerina es de 10 lpm (litros por minuto) a 60 °C. En el anexo se presenta una tabla de gravedades específicas a 68 °F, en este caso nos interesa la del mercurio (γm=13.55) y glicerina (γ=1.26). La viscosidad de la glicerina se puede consultar en el nomograma del anexo (B3) (µ =100 cp a 60 °C)1. 1

∆p

D = 1 cm L=1m

2 Gv = 10 lpm

∆hm

Fig. 3.2-1 Esquema del ejemplo 3.2-1.

ρ = 1260 Kg/m3 ρHg = 13550 Kg/m3 S = πD2/4 = 7.854 E-5 m2 Gv = 10 lpm = 1.666 E-4 m3/s v = Gv/S = 2.122 m/s vzmax = 2v = 4.244 m/s Re = Dvρ/µ = 267.38 fF = 16/Re = 0.05984 -∆Pf = (2fFρv2L)/(gcD) = 67901.9 N/m2 Diferencia de niveles en el manómetro de mercurio:

Si se desea mayor precisión en los cálculos, se deben consultar las propiedades físicas en referencias más especializadas, o bien determinarlas experimentalmente.

Flujo de fluidos ∆hm = (-∆Pfgc)/[(ρm-ρ)g] = 0.5634 m Gradiente de presión: -∆Pf/L = 67902 N/m3 Esfuerzo de corte en la pared: τR = (-∆PfR)/(2L) = (-∆PfD)/(4L) = 169.75 N/m2 Fuerza de arrastre (en un metro de tubería): {Ff} = τR(2πRL) = 5.33 N Pérdidas por fricción: Ev = -∆Pf/ρ = 53.89 Nm/Kg Velocidad de la transferencia de calor que se debe remover: q = Gm Ev = 11.317 W

3.2.2 Régimen turbulento Las variables macroscópicas involucradas en los números adimensionales han permitido la descripción del comportamiento en régimen turbulento. En la fig. 3.2-2 (y en el anexo C7), se resumen las observaciones experimentales realizadas en tuberías cilíndricas comerciales (ver tablas de los anexos C1 y C2 para tuberías sanitaria y acero comercial).

0.1

Régimen turbulento

0.1

Régimen laminar ε/D ff( b , a )

0.01

Zona crítica

0.001 1 10 3 100

100

1 10

4 1 10

1 10 Re( a )

6 1 10

1 10

Fig. 3.2.2 Diagrama de Moody

8 1 10 8 1 .10

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Cada línea del régimen turbulento representa el comportamiento promedio de una tubería en particular que presenta una rugosidad relativa (ε/D) dada, donde la rugosidad (ε) es una propiedad intrínseca del material con que se construye la tubería y representa la medida de las protuberancias que tiene el área húmeda (ver fig. 3.2-3). Mientras menos rugoso sea el material con que se construya la tubería, las pérdidas por fricción serán menores, teniendo como límite las tuberías hidráulicamente lisas (ε=0), representadas por la línea inferior de la fig. 3.2-2, donde se observa que el factor de fricción disminuye conforme se incrementa el número de Reynolds. Interior del tubo

Exterior del tubo

Fig. 3.2-3 Rugosidad de una tubería.

Para tuberías no lisas (ver tabla del anexo C6 y figura del anexo C7) el factor de fricción se hace constante con números de Reynolds grandes, característica de la turbulencia completa. La región donde el factor de fricción depende del número de Reynolds se conoce como régimen turbulento de transición. En la zona crítica (2100<Re<4000) la incertidumbre de los resultados es alta, sobrepasando el 15 % de error relativo que presentan las otras regiones de la gráfica. Las ecs. 3.2-24 y 3.2-25 son dos correlaciones empíricas (existen otras) que describen el comportamiento en régimen turbulento (Re>4000)

Correlación de Colebrook:

1 fF

⎛ ε 1.255 = − 4 log⎜ + ⎜ 3.7 D Re f F ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(3.2-24)

Correlación de Pavlov: 1 fF

0.9 ⎛ ε ⎛ 6.81 ⎞ ⎞⎟ ≅ − 4 log⎜ +⎜ ⎜ 3.7 D ⎝ Re ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠

(3.2-25)

El producto de los números adimensionales de Re(fF)0.5 (Número de Von Karman) tiene la característica de no involucrar la velocidad lineal, por lo que la correlación de Colebrook es práctica en problemas en los que no se conozca la velocidad del fluido (ver anexo C8), y la correlación de Pavlov cuando sí se tenga este dato.

Flujo de fluidos Re f F

gcD 3ρ( − ∆p f ) 2µ 2 L

(3.2-26)

Ejemplo 3.2-2 Fluido Newtoniano en régimen turbulento. Por una tubería de acero inoxidable sanitaria (tubería lisa) de 1.402 in de diámetro interno circula agua (ρ = 1000 Kg/m3, µ = 1 cp) presentando un gradiente de presión de 0.85 ft (agua) por cada ft de tubería. ¿Cuantos litros por minuto (lpm) circulan por la tubería?

∆h/L = 0.85

Gv = ? L

Fig. 3.2-3 Esquema del ejemplo 3.2-2.

S = πD2/4 = 9.9594 E-4 m2 Los datos para el gradiente de presión se expresan como una altura hidrostática (carga hidrostática), por lo que: -∆P/L = (∆h/L)ρg/gc = 8336 N/m3 Re f F

gcD 3 ρ(− ∆p f ) 2µ 2 L

= 13720

a) Con la Fig. del anexo C8. 1/fF0.5 = 15.8

b) Con la correlación de Colebrook: 1 fF

⎛ ε 1.255 = − 4 log⎜ + ⎜ 3.7 D Re f F ⎝

⎞ ⎟ = 16.15 ⎟ ⎠

fF = 0.003832 ⎛ − ∆p f Dgc ⎞ ⎟⎟ = 6.22 m/s v = ⎜⎜ ⎝ 2f F Lρ ⎠

(más adecuado)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Gv = vS = 0.006298 m3/s = 371.9 lpm El valor proporcionado por los fabricantes de tuberías es de 379 lpm (ver anexo C2).

3.3 BALANCE MACROSCOPICO DE ENERGIA MECANICA En la fig. 3.3-1 se muestra un caso típico en el transporte de flujo de fluidos, donde se pueden identificar algunos elementos importantes: recipientes (cisterna y tanque elevado), una bomba, tramos de tubería, accesorios (válvulas, codos, etc.) y un medidor de flujo. Este sistema y la mayoría de las aplicaciones en el transporte de fluidos, se llevan a cabo en condiciones de estado estable. El balance macroscópico de energía mecánica es una de las principales ecuaciones que permite el análisis de este tipo de sistemas y de los elementos que lo conforman, esta ecuación (3.3-1) se puede expresar como: 2 MF Z>0

Flujo

Tanque elevado

1 B Z<0 Cisterna

Plano de referencia Z=0

Fig. 3.3-1 Ejemplo de un sistema en transporte de fluidos.

−

& W Gm

⎛ 1 3v ⎞ 1 ˆ⎟ + = ∆ ⎜⎜ + φˆ + G ⎟ ⎝ gc 2 v gc ⎠

E& v Gm

(3.3-1)

& /Gm) representa el trabajo total intercambiado con El término de la izquierda (-W’ = - W los alrededores por unidad de masa, si es negativo indica el trabajo que el fluido ejerce sobre los alrededores (ej. a través de una turbina), si es positivo, indica la que se requiere suministrar este trabajo al sistema (ej. con una bomba), si es igual a cero, el sistema no tendrá aditamentos mecánicos.

Dado que la variación en la energía cinética depende de la relación de velocidades entre la velocidad cubica media y la velocidad lineal promedio (3v/v) y éstas a su vez del perfil de velocidades en los puntos de referencia considerados, resulta conveniente expresarla como una función de la velocidad lineal promedio: ⎛ 1 3v ⎞ ⎛ 1 v2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ gc 2 v ⎠ ⎝ gc 2α ⎠

(3.3-2)

Flujo de fluidos En esta ecuación α se conoce como el factor de corrección de la energía cinética y depende del Re (ver anexo C9). Como puede observarse en la gráfica del anexo mencionado, α=1/2 para flujo laminar y en forma aproximada se puede considerar como 1 para régimen turbulento. Los puntos de referencia indicarán el sentido de la dirección del flujo, por ejemplo, 1 en el nivel de la cisterna y 2 en el tubo que descarga al tanque elevado. Los puntos de referencia en general se eligen en aquellos lugares donde se conoce el mayor número de datos. La diferencia de la energía potencial por unidad de masa es función de la diferencia de niveles. Se puede fijar un plano de referencia arbitrario considerando magnitudes positivas aquellas que se encuentren por encima de este plano y negativas las que se encuentren por debajo del mismo. 1 ˆ φ = gc

(Z 2 − Z1 ) g

(3.3-3)

En la fig. 3.3-1 se eligió el nivel del piso como plano de referencia, siendo el nivel de la cisterna negativo (Z1<0) y la tubería que alimenta al tanque elevado positivo (Z2>0). La variación de la energía libre de Gibbs por unidad de masa para fluidos incompresibles es: ˆ = ∆G

∫

1 dp = ρ

p 2 − p1 ρ

(3.3-4)

Siendo p1 y p2 las presiones absolutas (estáticas) en los puntos considerados y ρ la densidad del fluido transportado. Con el fin de resaltar la participación de cada elemento que conforma el sistema, definamos las pérdidas de energía debidas a la fricción por unidad de masa, como la suma de las pérdidas por fricción de cada elemento:

∑ Ev

E& v Gm

= Ev TR + Ev V1 + Ev V 2 + Ev Codos + ...

(3.3-5)

En base a lo anterior, el balance de energía isotérmico en estado estable para un fluido incompresible se puede expresar como: − W' =

v2 ⎞ g p − p1 1 ⎛ v 22 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − 1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 gc gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ

(3.3-6)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Ejemplo 3.3-1 Viscosímetro de Ostwald. Deducir la ec. general para un viscosímetro de Ostwald, suponiendo condiciones de estado cuasi estacionarias (despreciar las posibles variaciones en el flujo). Un viscosímetro de Ostwald consiste en un tubo capilar en forma de U (fig. 3.3-2). El fluido se llena hasta la marca Z1 y se mide el tiempo en que el menisco del fluido llega a la marca en Z1’. Esta operación se realiza dos veces: una con un fluido patrón y otra con el fluido problema.

t=0

t=t

Z1’

Fig. 3.3-2 Viscosímetro de Ostwald.

El balance de energía se simplifica a los términos gravitacional y de fricción, dado que el área en Z1, Z1’ y Z2 es la misma (velocidades iguales en estos puntos), las presiones en los dos meniscos del fluido será la atmosférica, en régimen laminar:

∑ Ev

= ( Z1 − Z 2 )

Gv = vS = V/t

g gc

32vLµ gcD 2 ρ

≈ ctte

v = V/(St)

Para la sustancia de referencia (subíndice 1) y problema (subíndice 2) se cumple que: 32VL µ1 gcSD 2 ρ1 t 1 µ1 µ2

32VL µ 2 gcSD 2 ρ 2 t 2

ρ1 t 1 ρ2 t 2

3.4 FRICCION EN TUBERIAS NO CILINDRICAS Por la frecuencia en el uso de tuberías no cilíndricas, sobresalen las rectangulares (utilizadas en ductos de aire) y el flujo en ánulos (intercambiadores de calor de doble tubo), cuyas geometrías se definen con dos dimensiones (ver fig. 3.4-1). Se ha definido el concepto de diámetro hidráulico (DH) como cuatro veces la relación entre el área de la sección transversal y el perímetro húmedo: DH = 4 (Area transversal al flujo)/(Perímetro húmedo)

(3.4-1)

El concepto de diámetro hidráulico permite predecir, en forma aproximada el comportamiento de las tuberías no cilíndricas con base en el que presentan las tuberías circulares

Flujo de fluidos cuando se sustituye el diámetro hidráulico por el diámetro de la tubería cilíndrica. Esta aproximación se cumple en forma aproximada para régimen turbulento (ReH = DHρv/µ > 4000).

b a

πD /4

Area:

π(D2 - D1 )/4

Perímetro:

πD

2(a + b)

π(D2 + D1)

(2ab)/(a+b)

(D2 - D1)

a) Cilíndrica

b) Rectangular

c) Anular.

Fig. 3.4-1 Características geométricas de tuberías. En régimen laminar (ReH < 2000), el producto del factor de fricción de Fanning por el número de Reynolds da lugar a una constante que depende de la geometría considerada (tablas 3.4-1 y 3.4-2). fF ReH = c

(3.4-2)

c = 16 para tubería cilíndrica.

Tabla 3.4-1 Valores de c para tuberías rectangulares. a/b 0.05 0.10 0.125 0.166 0.25 0.40 0.50 0.75 1.00

Tabla 3.4-2 Valores de c para flujo en ánulos.

fDReH=c 21.17 21.17 20.59 19.70 18.23 16.37 15.55 14.47 14.23

R1/R2 0.001 0.01 0.05 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

fDReH=c 18.67 20.03 21.57 22.34 23.09 23.68 23.90 23.98 24.00

Fuente: Sissom, L.E., y Pitts, D.R., Elements of transport phenomena. McGraw-Hill. USA 1972, pag. 392.

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Ejemplo 3.4-1 Flujo de aire en ducto rectangular. Por una tubería rectangular de 5 cm X 10 cm y una longitud de 50 m (ε = 0.015 mm) circula aire a 1 atm de presión y 25 °C (M = 29 Kg/Kgmol) con una velocidad de 10 m/s. Evaluar la caída de presión. a = 0.05 m b = 0.1 m ε = 1.5 E-5 m p = 1 atm = 101330 N/m2 T = 25 °C = 298 °K M = 29 Kg/Kgmol ℜ = 8314 Nm/Kgmol°K µ (25 °C) = 1.8 E-5 Kg/ms

a = 0.05 m b = 0.10 m

Aire v = 10 m/s

L = 50 m

ρ = (pM)/(ℜT) = 1.186 Kg/m3 DH = 4(ab)/[2(a+b)] = 0.06667 m ReH = DHvρ/µ = 43900 (Régimen turbulento) ε/DH = 0.000225 fF = 0.0069 (fig. anexo C7) -∆p = (2fFρv2L)/(gcDH) = 1228 N/m2

Fig. 3.4-2 Esquema del ejemplo 3.4-1.

La variación en la presión no modifica mucho las propiedades físicas, por lo que el resultado puede considerarse correcto.

3.5 FRICCION EN ACCESORIOS En accesorios las pérdidas por fricción se originan por una o más de las siguientes razones (CRANE, 1994): a) Fricción en las paredes (análoga a lo que ocurre en las tuberías). b) Cambios de dirección (ej. codos, tés, etc.). c) Cambios repentinos o graduales en el área transversal al flujo (ej. contracciones, expansiones, válvulas de paso reducido, etc.). d) Obstrucciones en el paso del flujo debido a cuerpos fijos y/o móviles (ej. esferas en válvulas de retención, etc.). La fricción en las paredes representa un pequeño porcentaje de las pérdidas en la mayoría de los accesorios y se ha observado un comportamiento que depende de la velocidad lineal promedio al cuadrado (v2), de aquí que las pérdidas por fricción de los accesorios se expresen en términos del coeficiente de resistencia (K) y de la energía cinética como: Evacc = K (v2/2gc)

(3.5-1)

Idealmente K es una constante para un accesorio dado que conserve similitud geométrica (ej. contracciones y expansiones). En muchos accesorios no es posible conservar la similitud 64

Flujo de fluidos geométrica en los diferentes accesorios y el coeficiente de resistencia dependerá de esta variable como puede observarse en la figura 3.5-1.

Fig. 3.5-1 Variación del coeficiente de resistencia con respecto al tamaño del accesorio. Fuente: CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994, pag. 2-12.

Cuando se manejan condiciones de régimen turbulento completamente desarrollado en tuberías rugosas (Re grandes, ε > 0), el factor de fricción permanece constante y los accesorios pueden expresarse como una longitud equivalente (L/D) que representa la longitud de un tramo de tubería recta que tiene una pérdida por fricción igual al del accesorio, de aquí que el coeficiente de resistencia pueda igualarse al producto del factor de fricción (de Darcy) por la longitud equivalente del accesorio. K = fT (L/D)

(3.5-2) 65

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Se ha considerado al acero comercial cédula 40 (ε = 4.6 E-5 m) como material de referencia, siendo fT el factor de Darcy para números de Reynolds grandes que puede estimarse con la siguiente correlación: fT = 4/[-4log(4.6E-5/(3.7D))]2

D [=] m

(3.5-3)

Esta ecuación proporciona la dependencia de K en función del diámetro del accesorio, a partir de la cual se construyó el nomograma del anexo C12 que relaciona los valores de K y L/D. Los valores de K (o L/D) se obtienen de forma experimental y pueden variar dependiendo de la marca y material de construcción del accesorio, para cálculos más exactos, conviene consultar las fichas técnicas de los fabricantes (ej. ver anexo C2 de PURITI para codos y tés sanitarios). En el anexo C13 se proporcionan los valores de K típicos para los accesorios más comunes y es frecuente encontrar tablas resumidas de longitudes equivalentes de accesorios como las del anexo C142. Existe poca información sobre el comportamiento de los K de válvulas y accesorios en régimen laminar por la incertidumbre propia de los experimentos para medir las pérdidas por fricción a bajas velocidades. CRANE (1994) utiliza los valores de K para estimar las pérdidas por fricción tanto en régimen laminar como en régimen turbulento (considera que K no depende del Re). Toledo (1991) utiliza las L/D para evaluar las pérdidas por fricción en válvulas y accesorios sanitarios, tanto para régimen laminar como turbulento. Estos procedimientos se deben considerar como guías empíricas par determinar las pérdidas por fricción de válvulas y accesorios en régimen laminar, debido a la incertidumbre que existe en las determinaciones experimentales de las pérdidas por fricción, especialmente en régimen laminar.

Ejemplo 3.5-1 Evaluación del coeficiente de resistencia de un codo sanitario. Utilizando los resultados experimentales para codo sanitario de 1 in (ε =0, D = 0.902 in, r/D = 2) dados en el anexo C2, evaluar los coeficientes de resistencia para cada condición y compararlos con el procedimiento teórico, si circula agua a 20 °C.

Gv (lpm) 8 15 19 38 57 76 95 114 132 2

∆h (ft/codo) 0.01 0.02 0.025 0.06 0.1 0.22 0.4 0.7 1.25

Dependiendo del Autor, se reportan diversos valores de L/D para un accesorio dado.

Flujo de fluidos Como se reporta la carga en ft, las pérdidas por fricción en Nm/Kg y el coeficiente de resistencia K serán: Evcodo =

K =

∆h (ft) 0.3048 (m/ft) 9.807 (m/s 2 ) 1 (Kgm/Ns 2 )

Evcodo 2 gc v2

Siendo la velocidad lineal promedio: 3 ⎞ ⎞⎛ 4 in 2 ⎛ min ⎞⎛ m ⎞⎛ ⎜ ⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎟ v = Gv (l/min) ⎜ ⎟⎜⎜ 2 2 ⎟⎜ 2 2 ⎟ ⎝ 60 s ⎠⎝ 1000 l ⎠⎝ π (0.902) in ⎠⎝ (0.0254) m ⎠

v = 0.04043 Gv

Gv (lpm) 8 15 19 38 57 76 95 114 132

v (m/s) 0.323 0.606 0.768 1.536 2.304 3.073 3.841 4.609 5.336

[=]

m/s

Re (-) 7410 13893 17598 35197 52795 70393 87992 105590 122262

K (-) 0.572 0.325 0.253 0.152 0.113 0.139 0.162 0.197 0.262

El coeficiente de resistencia promedio es: K = 0.242 Los codos sanitarios tienen una r/D = 2, del anexo C13D K = 12 fT, siendo fT = 0.02344 (evaluado para ε = 4.6E-5 m y D = 0.0229 m), por lo que K = 0.281 Como puede observarse, aún en régimen turbulento K presenta variaciones, su valor aproximadamente corresponde con el valor estimado de la información del anexo (C13), de aquí que las pérdidas por fricción puedan evaluarse con una L/D = 12 utilizando el factor de fricción para una tuberías lisa con el Re de operación. Las válvulas y accesorios se pueden unir a la tubería por medio de conexiones soldadas (*), roscadas (*), con bridas y conexiones tipo clamp (*) principalmente, cuyas pérdidas por fricción son tan pequeñas que normalmente se desprecian. (*) Conexiones utilizadas en instalaciones sanitarias.

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Ejemplo 3.5-2 Coeficiente de resistencia de una válvula de globo. Encontrar para una válvula de globo de 1 pulgada nominal de acero comercial completamente abierta el coeficiente de resistencia y la longitud equivalente. Si β=1 El diseño no tiene reducciones en el interior de la válvula. K = 340 fT

(C13B)

D = 1.049 in = 0.0266 m

(C4)

fT = 0.02253

(fórmula 3.5-3 o anexo C13A)

K = 7.66 L/D = 340 L = (L/D)D = 9.044 m

(C12)

9.044 m de tubería recta presentarán las mismas pérdidas por fricción que la válvula de globo en régimen turbulento desarrollado. Cuando en un sistema de tuberías intervienen dos o más diámetros, se pueden expresar los coeficientes de resistencia en función de un solo diámetro por medio de la siguiente ecuación.

⎛ Da ⎞ Ka = Kb⎜ ⎟ ⎝ Db ⎠

(3.5-4)

Donde Ka está referido al diámetro Da y Kb al diámetro Db.

Ej 3.5-3 Pérdidas por fricción de una contracción brusca. Encontrar las pérdidas por fricción y la L/D de una contracción súbita de acero inoxidable cédula 40 de 1 a ½ in nominales, cuando circula agua a temperatura ambiente con un flujo de 20 lpm. Gv = 20 lpm = 3.333E-4 m3/s ρ = 1000 Kg/m3 D1/2 = 0.622 in = 0.0158 m A1/2 = 1.9604E-4 m2 v1/2 = 1.7 m/s β = D1/2/D1 = 0.5925 2 K1/2 = 0.5 (1 - β ) = 0.3242 Evcon = K1/2 v1/22/(2gc) = 0.469 Nm/Kg fT1/2 = 0.025946 L/D1/2 = 12.5

D1 = 1.049 in = 0.0266 m A1 = 5.576E-4 m2 v1 = 0.59782 m/s K1 = K1/2 (D1/D1/2)4 = 2.624 Evcon = K1 v12/(2gc) = 0.469 Nm/Kg fT1 = 0.02253 L/D1 = 116.4 68

Flujo de fluidos Nota: Los coeficientes de resistencia de válvulas y accesorios del anexo (C13) están referidos al diámetro menor cuando estén involucrados dos diámetros. Ejemplo 3.5-4 Evaluación de la viscosidad del agua. Se utilizó un prototipo como el mostrado en la fig. 3.5-2 para determinar la µ del agua. En condiciones de estado estable se recolectaron 22.5 ml de agua en 30 segundos. ¿Cuál es la viscosidad del agua? Para las dimensiones y condiciones indicadas, el área, flujo volumétrico y velocidad lineal promedio en el capilar son: 2

Gv D1 = 3 cm 4

A2 = π D /4 = 4.3477E-6 m Gv = V/t = 7.5E-7 m3/s v2 = Gv/A2 = 0.1725 m/s

ρm=1583 Kg/m3 ∆hm=0.172 m

∆Z=0.309 m

Agua

Balance de energía entre los puntos 1 (interfase G-L) y 2 (salida del capilar).

− W' =

Fig. 3.5-2) Prototipo para evaluar propiedades reológicas en tubo capilar.

v2 ⎞ 1 ⎛ v 22 g p − p1 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − 1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ gc

Consideraciones: a) No hay aditamentos mecánicos: –W´ = 0 b) Como D1 >> D2 se puede despreciar la v12 ya que v12 << v22: Gm = ρ Gv = ρ v1 A1 = ρ v2 A2 (ρv1πD12)/4 = (ρv2πD22)/4 (v2/v1) = (D1/D2)2 (v2/v1)2 = (D1/D2)4 = 26433 c) Suponiendo régimen laminar α2 = ½ d) Fijando Z2 = 0 como plano de referencia. Al simplificar, el balance de energía es: 0 =

1 ⎛ v 22 ⎜ gc ⎜⎝ 2α 2

Capilar: D = 2.353 mm L = 29.7 cm

⎞ g p 2 − p1 ⎟⎟ − Z1 + + ∑ Ev12 gc ρ ⎠

(3.3-6)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. v22/(2α2gc) = v22/gc = 0.029756 Nm/Kg -Z1g/gc = -3.03036 Nm/Kg Como P1 = P4 y P2 = P3 = Patm , en el manómetro diferencial despreciando la densidad del aire se tiene que: P3 – P4 = P2 – P1 = (ρm - ρG) ∆hmg/gc = ρm∆hmg/gc = 2.67021 Nm/Kg Las pérdidas por fricción serán las asociadas a la tubería recta (EvTR), efectos de entrada (EvE) y efectos de salida de la tubería (EvS): EvTR = (2fFv2L)/(gcD) = (32vLµ)/(gcD2ρ) = 296.109 µ Para una tubería inmersa en un fluido KE = 0.78 y para la salida KS = 1 (ver anexo C13). EvE + EvS = (0.78 + 1)v22/(2gc) = 0.02648 Nm/Kg Sustituyendo los valores en el balance de energía y resolviendo para µ: µ = 0.001026 Kg/ms = 1.026 cp El número de Re que se utilizó es: Re = Dvρ/µ = 411.5 (Régimen laminar) Este prototipo se ha utilizado con fines didácticos en la estimación de propiedades reológicas. Es muy sensible a las distancias manométricas y a las diferencias de niveles cuando las caídas de presión son pequeñas, por lo que se recomienda utilizar varias condiciones experimentales y obtener la viscosidad promedio. Con el fin de analizar este comentario, se recomienda al lector evaluar la viscosidad modificando la altura manométrica (por ejemplo, suponer ∆hm = 0.173 ó 0.171 m).

Ejemplo 3.5-5 montajugos.

Presión de un VB Aire

Con la ayuda de un montajugos se desea transferir ácido sulfúrico (ρ = 1780 Kg/m3, µ = 8.6 cp) a un reactor con un flujo de 2 Kg/s. Entre el montajugos y el reactor hay 25 m de tubería recta de acero inoxidable de 1 in cédula 40, 4 codos estándar de 90 ° y una válvula de bola. La diferencia de niveles entre el montajugos y la salida de la tubería que alimenta al reactor es de 5 m. Encontrar la presión manométrica del aire en el montajugos. 70

Z2 = 5 m 2

pm Acido

Nivel en el montajugos Z1 = 0

Fig. 3.5-3) Esquema del ejemplo 3.5-5.

Flujo de fluidos

Balance de energía: − W' =

v 12 ⎞ 1 ⎛ v 22 g p − p1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ gc

(3.3-6)

Consideraciones: Fijemos el plano de referencia en la interfase G-L del montajugos (punto de referencia 1) y la salida de la tubería que alimenta al reactor (punto de referencia 2). Entre estos puntos de referencia no existen aditamentos mecánicos; la velocidad en 1 es mucho menor que la velocidad en 2, por lo que:

p1 − p 2

⎡⎛ v 22 = ρ ⎢⎜⎜ ⎣⎢⎝ 2gcα 2

⎤ ⎞ g ⎟⎟ + Z 2 + ∑ Ev12 ⎥ gc ⎠ ⎦⎥

De la tabla del anexo C3: D = 0.02664 m A = πD2/4 = 5.574E-4 m2 Gv = Gm/ρ = 0.0011236 m3/s v = Gv/A = 2.0158 m/s Re = Dvρ/µ = 11115 (Régimen turbulento) (Anexo C9) α2 = 0.91 ε = 0.046 mm (Anexo C6) ε/D = 0.001727 (Ec. 3.2-25 o anexo C7) fF = 0.008224 ΣEv12 = EvTR + EvE + Evcodos + EvVB + EvS Tubería recta (TR): L = 25 m Entrada (E): K = 0.78 (Anexo C13) o L/D = 33 (Anexo C12) Codos: L/D = 30 (Anexo C12 o C14) Válvula de bola (VB): L/D = 3 (Anexo C13) Salida (S): K = 1 (Anexo C13) o L/D = 43 (Anexo C13) La longitud equivalente total (ΣL12) será: ΣL12 = 25 + (33 + 4(30) + 3+ 43) D = 30.3 m Pm = p1 –p2 = 1780 (49.035 + 2.032 + 76.018) = 224430 Pa Pm = 32.55 psig

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

3.6 PROBLEMAS QUE NO TIENEN SOLUCION DIRECTA Resulta conveniente saber plantear, analizar y resolver problemas de diversos grados de dificultad. En esta sección se utilizan algunas técnicas empleadas en “Análisis de Sistemas” aplicables a problemas de flujo de fluidos. En el apéndice I1 se muestra un algoritmo para establecer la secuencia de cálculo aplicable a un sistema de ecuaciones simultáneas que forman el modelo matemático de una situación dada. El siguiente ejemplo tiene tres objetivos principales: utilizar el algoritmo para establecer una secuencia de cálculo, ilustrar el método de coeficientes de resistencia en régimen turbulento y transformar los coeficientes de resistencia para una línea que tiene diferentes diámetros.

Ejemplo 3.6-1 Tubería en serie. Un tanque elevado se utiliza para transferir agua (25 °C y 1 atm de presión) a otro recipiente por gravedad. Determinar el flujo volumétrico del agua para el sistema mostrado en la fig. 3.6-1. Acero comercial (ε = 4.6E-5 m)

∆Z = 5 m

Agua a 25 °C

2 in, cedula 40 L = 15 m Entrada a tope = 1 Válvula de compuerta = 1 Codos de 90° = 2

1 in, cedula 40 L = 10 m Salida = 1 Válvula de globo = 1 Reducción 2X1 in = 1

Fig. 3.6-1) Esquema del ejemplo 3.6-1.

Diámetro de 2 in

Diámetro de 1 in.

D2 = 2.067 in = 0.0525 m A2 = πD2/4 = 2.165E-3 m2

D1 = 1.049 in = 0.0266 m A1 = 5.576E-4 m2

a) Obtención del modelo matemático (planteamiento). Balance de energía: − W' =

v 12 ⎞ 1 ⎛ v 22 g p − p1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ gc

(3.3-6)

Flujo de fluidos Consideraciones: Plano de referencia: Z2 = 0 Velocidades en los depósitos despreciables con respecto al de las tuberías. Recipientes a presión atmosférica: p2 = p1 = patm Sin aditamentos mecánicos: -W' = 0 Como conocemos Z1 las pérdidas por fricción son: ΣEv12 = Z1 g/gc = 49.035 Nm/Kg

(A)

Expresemos las pérdidas por fricción como la suma de pérdidas para la tubería de 2 in más las de 1 in: ΣEv12 = ΣEv2 + ΣEv1

(B)

Siendo: ΣEv2 = EvTR2 + EvEnt + EvVC + EvCodos

(C)

ΣEv1 = EvTR1 + EvVG + EvCont + EvSal

(D)

EvTR2 = (2fF2v22L2)/(gcD2)

(E)

EvEnt = KEnt(v22/2gc) = 0.5(v22/2gc)

(F)

EvVC = KVC(v22/2gc) = 8fT2(v22/2gc) = 0.152(v22/2gc)

(G)

Siendo

fT2 = 0.019

EvCodos = 2KCodo(v22/2gc) = 2(30fT2) (v22/2gc) = 1.14(v22/2gc)

(H)

EvTR1 = (2fF1v12L1)/(gcD1)

(I)

EvVG = KVG(v12/2gc) = 340fT1(v12/2gc) = 7.82(v12/2gc)

(J)

Siendo fT1 = 0.023 EvCont = KCont(v12/2gc) = 0.5(1-β2) (v12/2gc) = 0.3712(v12/2gc)

(K)

β = D1/D2 = 0.5075 EvSal = KSal(v12/2gc) = (1) (v12/2gc)

(L)

Las ecuaciones (c) y (d) se reducen a:

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

∑ Ev

⎡ 2f L 1.792 ⎤ 2 = ⎢ F2 2 + ⎥v2 2gc ⎦ ⎣ gcD 2 ⎡ 2f L 9.1912 ⎤ 2 = ⎢ F1 1 + ⎥ v1 2gc ⎦ ⎣ gcD1

Sustituyendo en (B): ΣEv12 = (571.4286fF2 + 0.896)v22 + (750.62114fF1 + 4.5956)v12 Del balance de materia: v1A1 = v2A2 v22 = v12(A1/A2)2 = 0.06633v12 Expresando las pérdidas por fricción en términos de la tubería de 1 in: ΣEv12 = (37.9fF2 + 750.62114fF1 + 4.65503)v12

(B)

Para determinar ΣEv12 se requiere en forma estricta evaluar las velocidades, Re, y fF en las tuberías de 2 y 1 in. Veamos si podemos hacer alguna simplificación: Las rugosidades relativas y factores de fricción para régimen turbulento completamente desarrollado son: Diámetro de 2 in:

Diámetro de 1 in:

ε/D2 = 8.76E-4 fF2 = 0.0048 37.9fF2 = 0.18

ε/D1 = 1.72E-3 fF1 = 0.0057 750.62fF1 = 4.275

Lo anterior da lugar a que las pérdidas por fricción de la tubería de 2 in sean pequeñas comparadas con los otros términos, por lo que se pueden despreciar. Combinando el balance de energía y las definiciones de fF y Re se tiene que: (750.62114fF1 + 4.65503)v12 = 49.035

(a)

fF1 = f(ε/D1, Re1)

(b)

Re1 = (D1v1ρ)/µ

(c)

Estas tres ecuaciones representan el modelo matemático, teniéndose tres incógnitas. Para régimen turbulento no es posible resolver el sistema de ecuaciones en forma analítica. Se puede aplicar algún método numérico (algún método de Newton, por ejemplo), si se sustituyen las definiciones de Re y fF en la ec. (a). 74

Flujo de fluidos

Arreglo estructural: a b c

v1 1

fF1 1 1

Re1 1 1

Como puede observarse, el arreglo estructural consiste en una matriz cuyas columnas están representadas por las variables y los renglones por las ecuaciones. Las casillas se llenan con “1” cuando la variable participa en la ecuación correspondiente. En este ejemplo se sustituyeron todos los datos del problema en el planteamiento, obteniéndose una matriz cuadrada que representa el sistema de ecuaciones que se debe resolver en forma simultánea. En forma implícita se cubrieron los pasos 2 a 9 del algoritmo. Apliquemos ahora el paso 10 para establecer la secuencia de cálculo para un procedimiento iterativo. En este caso resulta equivalente elegir cualquier ecuación, dado que en las tres se tienen dos unos (dos variables en cada ecuación). Eliminemos la ec. (a) y la velocidad lineal promedio y continuemos con el procedimiento.

b c

fF1 1

Re1 1 1

Columnas con un “1”: fF1 evaluada con la ec. (b).

Re1 1

Re1 evaluada con la ec. (c).

La secuencia de cálculo será: i) ii) iii) iv)

Suponer v1 (v1 supuesta). Evaluar Re1 con la ec. (c). Evaluar fF1 con la ec. (b). Calcular v1 con la ec. (a) (v1 calculada).

El procedimiento iterativo finaliza cuando la v1 calculada con la ec. (a) coincida con la v1 supuesta.

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Iniciemos el procedimiento con v1 = 10 m/s

Iteración 1: v1Sup = 10 m/s Re1 = 26646v1 = 266460 Como conocemos el Re, utilizando la correlación de Pavlov: fF1 = 0.0050785 v1Cal = 2.4065 m/s

Iteración 2: v1Sup = 2.4065 m/s Re1 = 26646v1 = 64123 fF1 = 0.0057415 v1Cal = 2.3387 m/s

Iteración 3: v1Sup = 2.3387 m/s Re1 = 26646v1 = 62318 fF1 = 0.00576228 v1Cal = 2.3367 m/s Los resultados de la iteración 3 son las condiciones de la tubería de 1 in, por lo que el flujo volumétrico será: Gv = A1v1 = 1.303E-3 m3/s Gv = 78.17 l/s Comprobemos la suposición realizada. v2 = Gv/A2 = 0.6018 m/s Re2 = 31597 fF2 = 0.00637 EvTR2 = 37.9fF2 = 0.2415 Nm/Kg Este valor es menor que EvTR1 = 4.325 Nm/Kg, por lo que el resultado puede considerarse como correcto.

Flujo de fluidos

3.7 MEDIDORES DE FLUJO 3.7.1 Tubo de Pitot En la fig. 3.7-1 se muestran dos diseños de tubos de Pitot, donde la presión en el ramal 1 corresponde con las condiciones del fluido dentro de la tubería: P1 es la presión absoluta y v1 la velocidad puntual del fluido que se aproxima al tubo en forma de L, cuya entrada se elige como punto de referencia 2, para este ramal la velocidad es cero y p2 se conoce como la presión de estancamiento o presión dinámica. Como no hay diferencia de niveles ni pérdidas por fricción, el balance de energía da lugar a: p 1 = Presión estática.

v 1 = Velocidad puntual.

p 2 = Presión de estancamiento.

v2 = 0

p2 ≥ p 1 1

50 D

a) Doble tubo.

b) Tubo simple.

Fig. 3.7-1) Esquema de dos diseños de tubo de Pitot.

− W' =

1 ⎛ v 22 v 12 ⎞ g p − p1 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 ρ gc ⎝ 2 2 ⎠ gc

(3.7-1)

Observe que no se incluyó en este caso el factor de corrección de energía cinética, dado que se manejan condiciones puntuales, si despejamos de la ecuación anterior velocidad puntual v1 tenemos: v1

⎡ 2gc(p 2 − p1 )⎤ = ⎢ ⎥ ρ ⎦ ⎣

1/ 2

(3.7-2)

En medidores de flujo se acostumbra definir los coeficientes de medidores, que sirven para ajustar las mediciones experimentales del aparato en particular, quedando la ecuación para el tubo de Pitot como: v1

⎡ 2gc(p 2 − p1 )⎤ = Cp ⎢ ⎥ ρ ⎦ ⎣

1/ 2

(3.7-3)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. El coeficiente del medidor de Pitot (Cp) tiene valores cercanos a la unidad cuando se construye en forma adecuada y se conserva una distancia mínima de 50 D de tubería recta antes y después del medidor. El Cp es muy sensible al ángulo entre el tubo de Pitot y el eje axial de la tubería (deben ser paralelos). Cuando el tubo se coloca en el centro de la tubería, v1 corresponde con la velocidad máxima. Para determinar la velocidad lineal promedio se utiliza la fig. del anexo D1 en donde se gráfica la relación de velocidades v/vmax en función del Remax que se calcula con la vmax.

Ejemplo 3.7-1 Evaluación del flujo de aire. Una corriente de aire pasa por un conducto circular de 30 cm de diámetro, este conducto tiene un tubo de Pitot en el centro de la corriente. La temperatura del aire circulante es de 45 C, su presión es de 1 atm absoluta. El manómetro acoplado al tubo de Pitot es de tipo de cubeta manejando aceite - agua como líquidos manométricos. El aceite tiene una densidad relativa de 0.835. Cuando la lectura del manómetro es de 50 mm, ¿Cuál es el flujo másico de aire que circula expresado en Kg/min.? Aire

Aceite

Agua

∆hm

Fig. 3.7-2) Esquema del ejemplo 3.7-1. Aire: M = 29 Kg/Kgmol T = 45 C = 318 °K p = 1 atm = 101330 Pa R = 8314 Nm/Kgmol°K Manómetro: ρm1 = 835 Kg/m3 ρm2 = 1000 Kg/m3 ∆hm = 0.05 m ρ = (Mp)/(RT) = 1.111 Kg/m3 p1-p2 = (ρm2-ρm1)∆hmg/gc = 80.908 Pa v1 = vmax = Cp(2gc(p1-p2)/ρ)1/2 = 12.068 m/s

Flujo de fluidos Anexo B4: µ = 0.0185 cp = 1.85E-5 Kg/ms Remax = (Dvmaxρ)/µ = 217420 Anexo D1: v/vmax = 0.81 v = 0.81 vmax = 9.775 m/s S = πD2/4 = 0.070686 m2 Gv = vS = 0.691 m3/s = 41.46 m3/min Gm = ρGv = 46.06 Kg/min

3.7.2 Venturi Un tubo de Venturi (fig. 3.7-3) consta de tres secciones: una contracción gradual con un ángulo entre 25º y 30º, una expansión gradual con un ángulo de 7º o menor y una garganta de estrechamiento. Estos ángulos tomados como estándares de diseño permiten reducir las pérdidas por fricción a un nivel tal, que se pueden despreciar con respecto a la variación que presentan las energías cinéticas y de presión. Tubería

Sección convergente

Sección divergente

Tubería

ρm

Fig. 3.7-3) Esquema de un tubo de Vénturi.

Aplicando el balance de energía considerando que el fluido que pasa por el venturímetro se encuentra en condiciones de régimen turbulento (Re1>4000): − W' =

v2 ⎞ 1 ⎛ v 22 g p − p1 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − 1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ gc

(3.7-4)

Del balance microscópico de materia: ρ1 v 1 πD12 4

ρ 2 v 2 πD 22 4

(3.7-5)

v2 = v1 (D1/D2)2

(3.7-6) 79

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Si se maneja régimen turbulento en la tubería (punto de 1993), también se tendrá régimen turbulento en la garganta (punto de ref. 2), por lo que α1 = α2 =1. Sustituyendo v2 en el balance de energía y resolviendo para v1:

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 2gc( p1 − p 2 ) ⎥ = ⎢ ⎥ 4 ⎞⎥ ⎢ ⎛⎜ ⎡ D1 ⎤ ⎟ ⎢ ρ ⎜ ⎢ ⎥ − 1⎟ ⎥ D ⎢⎣ ⎝ ⎣ 2 ⎦ ⎠ ⎥⎦

1/ 2

(Re1 > 4000)

(3.7-7)

Introduciendo el concepto de coeficiente de venturi (Cv).

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 2gc( p1 − p 2 ) ⎥ = Cv ⎢ ⎥ 4 ⎞⎥ ⎢ ⎛⎜ ⎡ D1 ⎤ ⎟ ⎢ ρ ⎜ ⎢ ⎥ − 1⎟ ⎥ D ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎣ 2 ⎦

1/ 2

(Re1 > 4000)

(3.7-8)

Para un venturi que conserve las especificaciones indicadas, el Cv aproximadamente es la unidad, disminuyendo en la región laminar, como puede observarse en el anexo D2. Las pérdidas por fricción del medidor en general no sobrepasan 10 % de la marcada en el manómetro diferencial. Para un cálculo más exacto, se pueden utilizar las ecuaciones para contracción gradual y expansión gradual indicadas en el anexo C13.

3.7.3 Medidor de orificio El diseño estándar de un medidor de orificio (fig. 3.7-4), consiste en una perforación concéntrica al diámetro de la tubería (D1) con bordes afilados (D0) que provoca un cambio brusco en la energía cinética del fluido. En las inmediaciones de la placa aguas abajo, se forman remolinos y lo que se conoce como vena contracta, que es la región en donde el fluido alcanza la mayor velocidad y donde se registra la caída de presión más grande en el manómetro diferencial, cuando las tomas de lectura se disponen a un

1 D0

50 D1

0.5 D1

50 D1

Fig. 3.7-4) Esquema de un medidor de orificio.

Flujo de fluidos diámetro aguas arriba y 0.5 de diámetro aguas abajo del diafragma. Un desarrollo análogo al medidor de vénturi da lugar a que la velocidad en la tubería sea:

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 2gc( p1 − p 2 ) ⎥ = Co ⎢ ⎥ 4 ⎞⎥ ⎢ ⎛⎜ ⎡ D1 ⎤ ⎟ ⎢ ρ ⎜ ⎢ ⎥ − 1⎟ ⎥ D ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎣ o ⎦

1/ 2

(Re1 > 4000)

(3.7-9)

Donde Co es el coeficiente del medidor de orificio, que depende del número de Reynolds y la relación de diámetros (Do/D1) como puede observarse en las figuras del anexo D3. El coeficiente Co depende de la posición de la toma aguas abajo del manómetro. La caída de presión asociada a la fricción se puede estimar de la diferencia de presiones registrada en el manómetro diferencial como:

p1 − p 4 p1 − p 2

= 1 − β2

(3.7-10)

Donde p4 corresponde a la presión del fluido 4 a 8 diámetros de tubería aguas abajo del medidor de orificio, siendo el coeficiente de resistencia del medidor de orificio (Ko): KO

≅

1 − β2 Co 2β 4

(3.7-11)

Ejemplo 3.7-2 Especificar el diámetro de un medidor de orificio. Por una tubería de 0.157 m de diámetro interno circula agua a 20 °C con un flujo de 850 lpm. Se desea emplear un medidor de orificio de cantos vivos que utilice mercurio con una diferencia de niveles de 9.55 cm. Calcular el diámetro de orificio. ρ = 1000 Kg/m3 µ = 0.001 Kg/ms ρm = 13560 Kg/m3 D1 = 0.157 m Gv = 850 l/min = 0.014166 m3/s ∆h = 0.0955 m Do = ? A1 = πD12/4 = 0.01936 m2 v1 = Gv/A1 = 0.771776 m/s p1-p2 = ρm∆hg/gc = 12690 Pa Re1 = D1v1ρ/µ = 114888 Suponiendo que el Co ≅ 0.62 para β = Do/D1 = 0.5

(Anexo D3)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 2gc(p − p ) ⎥ 1 2 ⎥ = Co ⎢ 4 ⎞⎥ ⎢ ⎛ ⎡ D1 ⎤ ⎢ ρ⎜ ⎢ ⎥ − 1⎟ ⎥ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎣ D o ⎦ ⎠⎦

1/ 2

Resolviendo para Do. Do = 0.07692 m β = 0.4899 ≅ 0.5 Por lo que el resultado es correcto.

3.7.4 Toberas Las toberas tienen estructuras similares a los medidores de orificio, pero en lugar de la placa se tiene un tubo convergente como se muestra en la fig. 3.7-5. En el anexo D4 se muestra el coeficiente de flujo para toberas. El procedimiento de cálculo es similar al de los medidores de placa. Principalmente se utilizan para mediciones elevadas de flujo o cuando la relación de diámetros es grande (β > 0.7).

Fig. 3.7-5) Esquema de una tobera.

3.7.5 Rotámetros

θ/2 Rf Flotador

En la fig. 3.7-6 se esquematiza un rotámetro que consta de un tubo vertical de sección cónica divergente, por el cual pasa el fluido en dirección ascendente. Son variadas las formas y materiales de construcción de los flotadores, en los que se establece un equilibrio entre el peso del flotador, el empuje ascendente del fluido y la fuerza de arrastre (debida a la fricción) como se ilustra en la figura 3.7-7.

Fig. 3.7-6) Esquema de un rotámetro.

Flujo de fluidos Balance de fuerzas en el flotador.

Ff = Fuerza de fricción

Ff = F G – F B

(3.7-12)

Ff = Sf (-∆p) = Vf (ρf - ρ)g/gc

(3.7-13)

FB = Empuje del fluido FG = Peso del flotador

Ff = Fuerza de arrastre. FG = Peso del flotador. FB = Peso del líquido o empuje ascendente. Sf = Area del flotador. ρf = Densidad del flotador. ρ = Densidad del fluido. Vf = Volumen del flotador.

Fig. 3.7-7) Análisis de fuerzas de un flotador.

Por analogía con el medidor de orificio, despreciando la relación entre las áreas del ánulo y área del flotador (Ao2/Sf2).

Gm = C R Ao

2gρ(ρ f − ρ) Vf Sf

(3.7-14)

En esta ecuación CR es el coeficiente de flujo para el rotámetro cuyo comportamiento se puede observar en la fig. del anexo D5, Sf es el área del flotador y Ao el área del ánulo.

3.8 BOMBAS CENTRIFUGAS 3.8.1 Curvas características Las bombas centrífugas están constituidas por un impulsor formado por una serie de aletas radiales curvadas hacia atrás del sentido de rotación, que giran dentro de una carcaza cuya forma más común es el de tipo de voluta. El fluido entra por el centro de la carcaza poniéndose en contacto con el impulsor que le transmite energía cinética y lo descarga en forma tangencial. El diámetro de la tubería de la línea de succión en general es mayor que el de la línea de descarga, aunque algunos modelos tienen el mismo diámetro. Al aplicar el balance de energía entre la entrada y la salida de la bomba, se puede observar que el trabajo transmitido por la bomba es transformado en energía de presión y en energía cinética.

− W' =

v2 ⎞ 1 ⎛ v 22 g p − p1 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − 1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ gc ρ

(3.8-1)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

Fig. 3.8-1 Esquema de una bomba centrífuga. Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980, pag. 543.

Note que el trabajo transmitido, definido en la ec. 3.8-1, corresponde con el trabajo reversible o ideal hecho por el fluido. Si bien existen pérdidas por fricción en el interior de la bomba, estas se incluyen dentro del concepto de eficiencia de la bomba. En las líneas de succión y descarga normalmente se manejan condiciones de régimen turbulento, siendo los factores de corrección de la energía cinética próximos a la unidad. Definiendo la cabeza total (hT) de la bomba como el trabajo transmitido expresado como la altura del fluido que se bombea, se tiene que: 1 ⎛ v 22 v 12 ⎞ p 2 − p1 ⎜ − ⎟⎟ + (3.8-2) gc ⎜⎝ 2 2 ⎠ ρ − W' gc 1 ⎛ v 22 v 12 ⎞ ⎛ p 2 − p1 ⎞ gc ⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ (3.8-3) = hT = ⎟ g g ⎜⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ρ ⎟⎠ g Para bombas con el mismo diámetro de succión y descarga, la cabeza total se reduce a la carga debida a la diferencia de presiones. − W' =

Para bombas con diferentes diámetros se succión y descarga se acostumbra simplificar la carga total (cabeza total) despreciando el término asociado a la succión: hT

⎛ v 2 ⎞ ⎛ p − p1 ⎞ gc = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ρ 2 g ⎝ ⎠ g ⎝ ⎠

(3.8-4)

La potencia transmitida al fluido (Pt) se define como el trabajo multiplicado por el flujo másico:

Flujo de fluidos Pt = − W' Gm =

h T gGm gc

(3.8-5)

La potencia al freno (Pf) es la potencia consumida por una bomba, necesaria para mover el impulsor y vencer todas las pérdidas por fricción (del fluido dentro de la bomba, fricción en los cojinetes, derrames, etc.) y proporcionar la potencia transmitida al fluido, como se esquematiza en la fig. 3.8-2.

Fig. 3.8-2 Principales factores presentes en el funcionamiento de una bomba centrífuga. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 200. La eficiencia de una bomba (η) se define como la relación entre la potencia transmitida (PT) y la potencia al freno (Pf) expresada en porcentaje. ⎛P η = ⎜⎜ T ⎝ Pf

⎞ ⎟⎟ 100 ⎠

(3.8 - 6)

En la figura 3.8-3 se presentan las relaciones de carga total, potencia transmitida y eficiencia de la bomba en función del flujo volumétrico, conocido como curvas características de operación.

Fig. 3.8-3) Curvas características de una bomba centrífuga. Fuente: McNaughton, K., Bombas, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994, pag. 75.

Se recomienda que el punto de operación de una bomba centrífuga se encuentre cerca del punto de máxima eficiencia. Los fabricantes de bombas suministran gráficas como las de la fig. 3.8-4, o tablas como las del anexo E1, que permiten hacer una preselección de una bomba cuando se conoce la carga total y el flujo volumétrico con que trabajará la bomba.

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

Fig. 3.8-4 Gráfico compuesto para la selección de una bomba centrífuga. Fuente: Mott, L.R., Mecánica de fluidos aplicada, 4ª. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, México 1994, pag. 422.

Una vez realizada la preselección, se especifica el diámetro del impulsor y la potencia nominal3 del motor de la bomba a partir de las gráficas compuestas de bombas con el mismo diámetro de carcaza como las de la fig. 3.8-5.

Fig. 3.8-5 Gráfica compuesta del funcionamiento de una bomba con diferentes diámetros de impulsor. Fuente: McNaughton, K., Bombas, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994, pag. 35. 3

Para motores eléctricos de una sola velocidad, la potencia nominal aproximadamente corresponde con la potencia al freno.

Flujo de fluidos En esta figura se gráfica en primer lugar las curvas de carga y flujo volumétrico para diferentes diámetros de impulsor. Se sobrepones las curvas de potencia nominal del motor4 que se debe utilizar, la eficiencia de la bomba y el valor de carga neta de succión positiva requerido (NPSHR), concepto que se revisará en el inciso c de este capítulo. En estas figuras se pueden observar las “leyes de afinidad” de las bombas centrífugas: Cuando el diámetro del impulsor varía (D1 y D2): Gv1/Gv2 = D1/D2

(3.8-7)

hT1/hT2 = (D1/D2)2

(3.8-8)

PF1/PF2 = (D1/D2)3

(3.8-9)

Cuando la velocidad del impulsor varía (N1 y N2): Gv1/Gv2 = N1/N2

(3.8-10)

hT1/hT2 = (N1/N2)2

(3.8-11)

PF1/PF2 = (N1/N2)2

(3.8-12)

NPSHR1/NPSHR2 = (N1/N2)2

(3.8-13)

Las velocidades nominales más comunes para motores eléctricos son 1800 y 3600 revoluciones por minuto (rpm). Cuando se manejan fluidos más viscosos que el agua, las curvas características se modifican, disminuyendo la carga total y la eficiencia conforme se incrementa la viscosidad del fluido como se esquematiza en las figuras 3.8-6 y 3.8-7.

3.8.2 Tipos de impulsores El impulsor es el corazón de una bomba centrífuga, existen diferentes tipos de impulsores entre los que destacan los impulsores cerrados, que normalmente presentan las eficiencias mayores (fig. 3.8-8-a); de doble succión, que permiten equilibrar las fuerzas sobre el impulsor (fuerzas en dirección axial) cuando se manejan grandes volúmenes y presiones (fig. 3.8-8-b); los inatascables que permiten manejar sólidos en suspención (fig. 3.8-8-c); los impulsores abiertos para bombeo de fluidos con sólidos abrasivos (fig. 3.8-8-d); los semiabiertos con placas de refuerzo entre las aletas para reducir los esfuerzos en el impulsor cuando se manejen fluidos viscosos (fig. 3.8-8-e); el impulsor de flujo mezclado (fig. 3.8-8-f), en el cual existen tanto la componente radial como la axial de velocidad que permiten un buen mezclado del fluido. La velocidad del impulsor se escogerá considerando que algunas bombas están diseñadas 4

Para bombas pequeñas el motor está integrado a la bomba. Para bombas grandes normalmente se venden por separado el motor y la bomba.

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. para ser más eficientes trabajando a baja velocidad (1800 rpm), o bién a alta velocidad (3600 rpm), como puede observarse al comparar los gráficos de los anexos E2. Para fluidos abrasivos y viscosos, trabajar a baja velocidad permite reducir las pérdidas por fricción dentro de la bomba y el desgaste del impulsor. En algunas aplicaciones se desea homogenizar el fluido, siendo adecuada la velocidad alta.

Fig. 3.8-6 Efecto de la viscosidad sobre la curva de carga de una bomba centrífuga. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 201.

Fig. 3.8-7 Efecto de la viscosidad sobre la curva de eficiencia de una bomba centrífuga. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 201. 88

Flujo de fluidos

Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. MĂŠxico 1980, pag. 542.

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

3.8.3 Carga neta de succión positiva (NPSH) El fenómeno de cavitación se presenta cuando hay un cambio de fase dentro del sistema, ya sea en bombas, medidores de flujo, o bien, en algún accesorio o válvula. Se manifiesta por vibraciones normalmente aunadas con ruido. El cambio de fase provoca que las paredes sólidas se vean sometidas a esfuerzos considerables y se erosionen rápidamente, pudiendo incluso fracturarse. En la fig. 3.8-9 se muestra el cambio de fase en una hélice de barco.

Fig. 3.8-9) Cavitación en la hélice de un barco. Fuente: Fay, A.J., Mecánica de fluidos. CECSA. México 1996, pag. 470. Nivel del recipiente. 1

En bombas, la carga neta de succión positiva disponible (NPSHD Net positive suction head) es el criterio que permite predecir el funcionamiento adecuado en la línea de succión de una bomba. Para su deducción consideremos el sistema de la fig. 3.810 en donde fijaremos la entrada de la bomba punto de referencia 2, como plano de referencia (Z2 = 0) y el nivel del líquido en el recipiente de alimentación como punto de referencia 1, siendo la velocidad en este punto despreciable con respecto al de la tubería, en donde se considerará que se tiene régimen turbulento.

V1 ≅ 0

Z1 Entrada de la bomba 2

Z2 = 0

Fig. 3.8-10) Deducción del NPSHd.

Flujo de fluidos Balance de energía: − W' =

v 12 ⎞ g p − p1 1 ⎛ v 22 ⎜⎜ ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 − + ∑ Ev 12 gc gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ

(3.8-14)

Reacomodando términos: p 2 v 22 + ρ 2gc

p 1 Z1 g + − ΣEv 12 gc ρ

(3.8-15)

Restando en ambos términos la presión de vapor del fluido entre su densidad, se tienen las dos definiciones de NPSHD. NPSH D

p 2 v 22 p v + − ρ 2gc ρ

(3.8-16)

NPSH D

p p1 Z 1 g + − ΣEv 12 − v ρ ρ gc

(3.8-17)

Si el NPSHD es mayor que cero, no habrá cambio de fase en la línea de succión, si el NPSHD es menor o igual a cero, se presentará un cambio de fase en la línea de succión. En líquidos puros pv es la presión de vapor del fluido a la temperatura de operación. Para fluidos con gases disueltos pv es la presión a la cual el líquido se satura con el gas disuelto. Los fabricantes de bombas proporcionan para cada bomba, una gráfica de NPSHR (requerido) en función del flujo, que representan los valores mínimos que ellos recomiendan para un adecuado funcionamiento de la bomba, de aquí que el NPSHD tiene que ser mayor que el NPSHR dado por el fabricante para evitar el fenómeno de cavitación en la bomba. Si NPSHD > NPSHR Funcionamiento adecuado. Si NPSHD ≤ NPSHR Cavitación dentro de la bomba.

Ejemplo 3.8-1 potencia de una bomba.

Cálculo de la

Se desea transferir 375 lpm de agua (25 °C y 585 mmHg) de un recipiente a otro a través de una instalación sanitaria como se ilustra en la fig. 3.8-11. Especificar las características generales de una bomba para llevar a cabo esta operación.

Z5 = 6.5 m 1 Z1 = 1.5 m

Z2 = 0.5 m

2 VB

Z3 = 0

Fig. 3.8-11) Esquema del ejemplo 3.8-1. 91

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. De 2 a 3 (Succión):

De 4 a 5 (Descarga):

Patm = 585 mmHg T = 25 °C ρ = 1000 Kg/m3 µ = 0.001 Kg/ms pv = 0.464 psia = 3200 N/m2 Gv = 375 lpm = 6.25E-3 m3/s Gm = ρGv φ = 2 in, Ac. inox. sanitario. L=1m V. bola = 1 Te como codo = 1 Te paso recto = 1 Entrada de borde afilado = 1 D = 0.0475 m A = πD2/4 = 1.772E-3 m2 v = Gv/A = 3.527 m/s Re = Dvρ/µ = 167530 α=1 fF = 4E-3 fT = 0.0195

φ = 1.5 in, Ac. inox. sanitario. L = 10 m V. bola = 1 Te paso recto = 1 Codos 90° (r/D=2) = 3 Salida = 1 D = 0.0349 m A = 9.566E-4 m2 v = 6.533 m/s Re = 228015 α=1 fF = 3.77E-3 fT = 0.021

Succión: ΣEv23 = EvTR + EvVB + EvTe90 + EvTe +EvEnt ΣEv23 = (2fFv2L)/(gcD) + ((3 + 60 + 20)fT + 0.5)v2/(2gc) ΣEv23 = 2.09511 + 13.1768 = 15.2719 Nm/Kg Descarga: ΣEv45 = EvTR + EvVB + EvTe + EvCodo +EvSal ΣEv45 = (2fFv2L)/(gcD) + ((3 + 20 + 3(30))fT + 1)v2/(2gc) ΣEv45 = 92.1841 + 64.3616 = 156.5457 Nm/Kg ΣEv15 = ΣEv23 + ΣEv45 = 171.8176 Nm/Kg Balance de energía entre 1 y 5: − W' =

v12 ⎞ 1 ⎛ v 52 g p − p1 ⎟ + ( Z 5 − Z1 ) + 5 ⎜ + ∑ Ev15 − ⎟ ⎜ gc ⎝ 2α 5 2α 1 ⎠ gc ρ 92

Flujo de fluidos -W’ = 21.34 + 49.035 + 171.8176 = 242.1926 Nm/Kg hT = 24.7 m Pt = -W’Gm = 1513 W = 2 HP. Se requiere una bomba que desarrolle una carga total de 25 m con un flujo de 375 lpm. La bomba modelo 216 de 5 HP operando a 3600 rpm (1.5X2X4.75) cubre los requerimientos para esta aplicación. Esta bomba requiere de un NPSHR de 2 m, siendo el NPSHD de: NPSHD = (77.98 + 14.71 – 15.272) – 3.197 = 74.221 Nm/Kg Que expresado en metros de altura es: NPSHD = NPSHD gc/g = 7.6 m Como el NPSHD > NPSHR no habrá cavitación en la bomba. Observe que bajo estas condiciones se emplea gran parte de la energía en las pérdidas por fricción.

Ejemplo 3.8-2 Cálculo de la potencia de una bomba segunda parte. Repetir el problema anterior considerando una tubería general de 4 in tanto en la succión como en la descarga. D = 3.834 in = 0.09738 m A = 0.0074484 m2 v = 0.8391 m/s Re = 81715 fF = 4.637E-3 fT = 0.01648 ΣEv15 = EvTR + EvVB + EvTe90 + EvTe + EvCodo + EvEnt + EvSal ΣEv15 = (2fFv2L)/(gcD) + ((2(3) + 60 + 2(20) + 3(30))fT + 0.5 +1)v2/(2gc) ΣEv15 = 2.4 Nm/Kg − W' =

v12 ⎞ 1 ⎛ v 52 g p − p1 ⎟ + ( Z 5 − Z1 ) + 5 ⎜ + ∑ Ev15 − gc ⎜⎝ 2α 5 2α 1 ⎟⎠ gc ρ

-W’ = 0.352 + 49.035 + 2.4 = 51.787 Nm/Kg hT = 5.28 m

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Pt = 323.66 W = 0.434 HP Para estas condiciones una bomba modelo 216 de 1 HP operando a 1800 rpm (1.5X2X5.5) cubre los requerimientos. Esta bomba no tendrá problemas de cavitación, ya que las pérdidas por fricción para este problema serán menores que para el anterior. Desde el punto de vista técnico, es más adecuada las condiciones del ejemplo 2, pero la decisión final se debe basar en un análisis económico para determinar el diámetro óptimo (y su bomba) que se debe utilizar.

3.8.4 Arreglo de bombas El arreglo en serie se presenta cuando la descarga de una bomba alimenta a otra. En este sistema se tiene que la carga total del sistema es la suma de cargas de las bombas individuales para un flujo dado, como en el caso ilustrado en la fig. 3.8-13) para dos bombas de la misma capacidad. hTS = hT1 + hT2

(3.8-18)

GvS = Gv1 = Gv2

(3.8-19)

hTS

1 hT1=hT2 hT1=hT2

Gv1=Gv2=GvS

Fig. 3.8-12) Arreglo en serie.

Fig. 3.8-13) Comportamiento del arreglo en serie.

El arreglo en serie se utiliza para proveer presiones elevadas y para disminuir la presión de la tubería en algunos sistemas como la elevación de fluidos y en ductos de longitud considerable (acueductos por ej.), que de otra manera requerirían tuberías de cédulas grandes (de mucho espesor). El arreglo en paralelo permite manejar más volumen para una carga total dada. En la fig. 3.8-15 se esquematizan las dos disposiciones posibles y en la fig. 3.8-16 se muestra el comportamiento del arreglo en paralelo de dos bombas idénticas.

Flujo de fluidos GvP = Gv1 + Gv2

(3.8-20)

hTP = hT1 = hT2

(3.8-21)

Pm↑

a) Alimentación a recipientes con elevadas presiones.

c) Elevación de líquidos

b) Transporte de líquidos a grandes distancias.

Fig. 3.8-14) Pricipales aplicaciones del arreglo en serie. En algunos procesos que se requiere un funcionamiento continuo ininterrumpido (ej. sistema de enfriamiento de un reactor exotérmico), la disposición en paralelo permite alternar la operación de dos bombas.

2 1

hTP hTP=h1=h2

h1=h2

a) Alimentación independiente.

Gv1=Gv2

b) Alimentación común.

GvP=Gv1+Gv2

Fig. 3.8-16) Comportamiento del arreglo en paralelo.

Fig. 3.8-15) Arreglo en paralelo.

En algunos procesos que se requiere un funcionamiento continuo ininterrumpido (ej. sistema de enfriamiento de un reactor exotérmico), la disposición en paralelo permite alternar la operación de dos bombas. 95

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

3.8.5 Punto de operación de bombas centrífugas Cuando se conecta una bomba a un sistema, se establece en forma natural un punto de operación definido por un flujo volumétrico. Este flujo se encuentra en la intersección de la curva característica de la bomba y el comportamiento del sistema. En la fig. 3.8-17 se presenta un sistema con válvulas completamente abiertas y cuando disminuye el flujo al cerrar parcialmente una válvula.

Sistema con válvula semiabierta. h Sistema con válvula abierta.

Curva característica.

Fig. 3.8-17) Puntos de operación de un sistema - bomba.

3.9 PROBLEMAS PROPUESTOS 3.9.1 PROPIEDADES FISICAS 3.9.1-1 Cálculo de µ del NaCl. (Valiente, 1990, pag. 88, pro. 2.34). ¿Cuál es la viscosidad de una salmuera (NaCl) al 25 % y 30 °C? R) µ = 1.85 cp. 3.9.1-2 Cttes de la ec. de Andrade (µ=µ (T)). (Valiente, 1990, pag. 65, pro. 2.5). El benceno tiene una viscosidad de 0.87 cp a 0 °C y de 0.41 cp a 55 °C. ¿Cuál será el valor de las constantes de Andrade a y b? log µ = a + b/T T[=] °K R) a = -2.009 b = 531.95 °K 3.9.1-3 Cálculo de µ=µ (T). (Valiente, 1990, pag. 87, pro. 2.32). Se sabe que la viscosidad del clorobenceno a 20 °C es igual a 0.9 cp y a 50 °C de 0.6 cp. Utilizando la ec. de Andrade. ¿Cuál será el valor de la viscosidad del clorobenceno a 70 °C? R) µ = 0.47 cp. 96

Flujo de fluidos 3.9.1-4 Cálculo de µ de mezcla de gases. (Valiente, 1990, pag. 62, pro. 2.3). Una mezcla de gases está constituida por 60 % de metano, 35 % de etano y 5 % de propano (% en mol/mol total). Si la mezcla esta a 1 atm y 100 °C. ¿Cuál será la viscosidad cinemática y absoluta de la mezcla? PMmez/µmez = y1PM1/µ1 + y2PM2/µ2 + ... + yiPMi/µi yi = fracción mol. ν = µ/ρ R) µ = 0.0119 cp 3.9.1-5 Cálculo de µ de líquidos no polares. (Valiente, 1990, pag. 67, pro. 2.7). ¿Cuál de viscosidad de una mezcla líquida de 30 % de benceno 40 % de tolueno y 30 % de ortoxileno en mol a 30 °C? log µmez = x1logµ1 + x2logµ2 + ... + xilogµi xi = fracción mol. R) µmez = 0.616 cp. 3.9.1-6 Cálculo de ρ y µ mezcla de líquidos. (Valiente, 1990, pag. 87, pro. 2.30). Una mezcla líquida está formada por 50 % de octano, 25 % de heptano y 25 % de hexano en mol a 25 °C. ¿Cuál es la viscosidad y densidad de la mezcla? R) µ = 0.4327 cp ν = 0.63914 centistoks. 3.9.1-7 Cálculo de µ del aire líquido. (Valiente, 1990, pag. 85, pro. 2.22). Obtenga la viscosidad del aire líquido a 100 °K. R) µ = 0.1352 cp. 3.9.1-8 Cálculo de µ de mezcla de gases de combustión. (Valiente, 1990, pag. 85, pro. 2.23). Determine la viscosidad de unos gases de combustión formados por 16 % de CO2, 5 % de O2, 79 % de N2 en volumen. La temperatura es de 400 °C y la presión de 1 atm. R) µ = 0.03408 cp.

3.9.2 TUBERIA EN REGIMEN LAMINAR 3.9.2-1 Cálculo de perfil de velocidades. (Valiente, 1990, pag. 73, pro. 2.12). Por una tubería con 0.68 m de diámetro interno fluye un aceite con una viscosidad de 15 cp y una densidad de 800 Kg/m3 con un caudal de 40 m3/h. Determine el perfil de velocidades y la caída de presión por metro de tubería. R) ∆P = 0.0032379 Kgf/m2 Re = 1110 3.9.2-2 Manómetro diferencial para un tubo inclinado. (Bird, 1993, pag. 2-34, pro. 2.L3). Determinar la velocidad de flujo (en Kg/h) en el medidor de flujo capilar de la fig. El fluido que circula por el tubo es agua a 20 °C y como fluido manométrico se utiliza tetracloruro de carbono (CCl4) cuya densidad es de 1.594 g/cm3. El diámetro del tubo es de 0.025 m. Observe

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. que para medir el flujo basta medir H y L, es decir, no es necesario medir el ángulo de inclinación. ¿Porque? ¿El sentido del flujo es de A a B o de B a A? L =300 cm

θ h = Lsenθ

C Agua

H = 2.5 cm CCl4

Fig. 3.9.2-1 Problema 3.9.2-2. 3.9.2-3 Cálculo de Gv en un capilar. (Valiente, 1990, pag. 68, pro. 2.8). Se utiliza un tubo capilar para medir el flujo de un líquido cuya densidad es de 0.875 g/cm3 y una viscosidad de 1.13 cp. El capilar tiene un diámetro interno de 2 mm y una longitud de 0.5 m. Si la caída de presión a través del capilar es de 100 Kgf/cm2. ¿Cuál es el caudal que pasa por el medidor? R) 2.45 l/h. 3.9.2-4 Cálculo de Esfuerzo en tubo. (Valiente, 1990, pag. 71, pro. 2.11). A través de una tubería de 25 cm de diámetro interno fluyen 75 l/h de benceno a 20 °C. ¿Cuál es la caída de presión por cada 100 m de tubería? ¿Cuál es el esfuerzo de corte en la pared? R) ∆P = 14.605 Kgf/m2 τR = 9.128E-4 Kgf/m2 3.9.2-5 Irrigación por goteo. (Levenspiel, 1990, pag. 34, pro. 2.18). La irrigación por goteo es un medio para proporcionar agua a las plantas en crecimiento con muy poco gasto. Un método utiliza un tubo "madre" de polietileno de gran diámetro (10-15 mm de d.i.), del cual salen muchos tubos de polietilieno de pequeño diámetro, denominados goteros, que van directamente a las plantas individuales. ¿Qué diámetro y longitud del gotero debería utilizarse si se desea un caudal de 4 l/h para cada planta y si la longitud del gotero ha de estar entre 0.5 y 1.5 m? Datos: La presión del tubo madre es de 200 KPa, la ambiental de 100 KPa y los capilares se construyen con 0.5, 1 y 1.5 mm de diámetro interno. 3.9.2-6

Correcciones de entrada en viscosímetros de tubo. (Bird, 1993, pag. 7-31, pro.

7N3). En relación con los sistemas de la fig. si se maneja en ambos el mismo flujo másico, demostrar que: (Po-P4)/(Lb-La) = (pb-pa)/(Lb-La) + ρg(1+(lb-la)/(Lb-La)) Siendo Po = po + ρgZo/gc La diferencia Po-P4 representa las perdidas por fricción de una tubería de longitud Lb-La.

Flujo de fluidos Explicar con detalle como se utilizaría esta ecuación para analizar los resultados experimentales tendientes a evaluar la viscosidad. ¿Sería válida la ecuación para tubos de sección no circular? pa

pb la

3 lb

La 2

“0” Lb-La

Fig. 3.9.2-2 Problema 3.9.2-6.

3.9.3 TUBERIA EN REGIMEN TURBULENTO 3.9.3-1 Velocidades medias para régimen turbulento. (Bird, 1993, pag. 7-29, 7.H2). En régimen turbulento se acostumbra sustituir 3v/v por v2, lo que equivale a suponer que el factor de corrección de la energía cinética es de 1. ¿Qué porcentaje de error se comete al utilizar esta aproximación para el flujo en un tubo? Utilice la ley de potencia con n=7 para estimar el error. R) 6 %. 3.9.3-2 Cálculo de Ev en función de Gv. (Levenspiel, 1990, pag. 32,pro. 2.1). Cuando un fluido circula a través de un tubo con una velocidad u, parte de su energía mecánica se disipa en energía interna por efectos friccionantes. Sea esta Ev (J/Kg). Qué le ocurre a esta pérdida friccional de energía si se triplica el caudal? a) Supóngase Re inicial = 100 en tubo rugoso, ε/D = 0.01 b) Supóngase Re inicial = 10000 en tubo liso. c) Supóngase Re inicial = 1000000, ε/D = 0.01 3.9.3-3 Cálculo de ∆P y ∆Z en tubo recto. (Brown, 1965, pag. 175, pro. 17). Por una tubería horizontal, de acero de 2 in cédula 40 y a la velocidad de 750 l/min, circula agua a 20 °C. Las conexiones de 5 manómetros aparecen situadas a lo largo de la tubería, espaciadas 15 en 15 cm. Un manómetro cargado con agua, situado verticalmente y con uno de sus extremos abierto, se une a la conexión # 5 aguas abajo, con lo que se produce una diferencia de niveles de 15 cm. Calcular las lecturas que se producirían (cm de agua y Kgf/cm2) en los siguientes casos: a) Con un manómetro análogo al citado, pero unido “aguas arriba” a la tubería (conexión # 1).

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. b) Con un manómetro sencillo de tubo en U cargado con mercurio, conectado a las tomas 1 y 4. c) Con un tubo en U invertido que utilice aire como fluido auxiliar, conectado a las tomas 1 y 5. d) Con un manómetro en U conectado a los puntos 2 y 3, cargado con un líquido inmiscible de densidad = 1.045 g/cm3. 3.9.3-4 Fuerza para mover un fluido. (Valiente, 1990, pag. 86,pro. 2.26). A través de una tubería de 20 cm de diámetro y 60 m de longitud fluye un líquido. El esfuerzo de corte en la pared es de 4.6 Kgf/m2. Calcular la fuerza necesaria para que el fluido se mantenga en movimiento. R) F = 173.32 Kgf. 3.9.3-5 Cálculo de p en un tubo recto. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 10). Una tubería de 2 in cédula 40, transporta un aceite de 0.85 g/cm3 de densidad, a razón de 75 l/min. En cierto punto de la línea la carga estática es de 3.16 Kgf/cm2 sobre la atmosférica. Calcular la carga estática en otro punto de la línea 15 m aguas abajo, situado 15 metros más abajo que la anterior. La viscosidad del aceite es de 20 cp, a la temperatura del fluido, que se supone invariable. 3.9.3-6 Cálculo de L para un Gv dado. (Levenspiel, 1990, pag. 33, pro. 2.8). Agua a 20 °C fluye desde la base de un gran tanque de almacenamiento a través de una tubería horizontal lisa (100 mm de diámetro interno, 1 Km de longitud) a una velocidad de 1 m/s. Esto no es suficientemente rápido. ¿Cuanta tubería debe eliminarse para conseguir que la velocidad a través del tubo sea 2.5 veces mayor? Ignórense los efectos de la energía cinética y los de entrada de la tubería. 3.9.3-7 Cálculo de Gv por efectos de L de la tubería. (Brown, 1965, pag. 157, pro. 17). Una tubería para el transporte de aceite petrolífero conduce 1000 m3/día a 40 Km por canalización sencilla de 30 cm (12 in) de diámetro interior. Esta capacidad de la línea resulta ahora insuficiente para satisfacer las necesidades del mercado, en vista de lo cual se piensa instalar una línea paralela a la anterior del mismo diámetro, pero de longitud tres veces menor. ¿Cuánto se incrementará con ello la capacidad de transporte? Se supone que ambas tuberías van a iguales niveles en todo el recorrido común. El peso específico del aceite es de 0.91, su viscosidad a la temperatura que circula, de 500 cp. La presión a la entrada se mantiene invariable. 3.9.3-8 ∆P para un flujo dado. (Bird, 1993, pag. 6-23, pro. 6.A1). Hallar la diferencia de presiones necesaria para bombear agua a 20 °C a través de una tubería de 25 cm de diámetro y 1234 m de longitud con una velocidad de 1.97 m3/s. La tubería es horizontal y contiene 4 codos normales de 90° y 2 codos de 45° (L/D=32 y 15 respectivamente). R) 315 atm. 3.9.3-9 Cálculo de D para un Gv dado. (Valiente, 1990, pag. 87, pro. 2.31). Qué diámetro de tubería será necesario para transportar 25 l/s de un aceite a 15 °C, con una viscosidad cinemática de 2E-4 m2/s y una densidad de 0.912 g/cm3, si la caída de presión máxima permisible en 1000 m de longitud es de 0.25 Kgf/cm2. R) D=0.295 m o 12 in de acero comercial.

100

Flujo de fluidos 3.9.3-10 Cálculo de Rendimiento de tuberías. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 11). El rendimiento de tuberías se define como el cociente entre la cantidad de fluido realmente transportado y la cantidad que podría transportar si la tubería fuera lisa, de la misma longitud y diámetro interior con las mismas presiones de entrada y de salida. a) Cierta sección de una línea dedicada al transporte de gas natural conduce 280000 m3/h. La presión de entrada es de 56.5 atm de sobrepresión (sobre la atmosférica); la de salida es 43.3 atm, también de sobrepresión. La citada sección consiste en 150 Km de tubería de 60 cm de diámetro exterior y 6.25 mm de espesor. La presión exterior es de 0.95 atm. La temperatura del gas en la tubería es de 5 °C. El caudal de gas se mide y expresa como cantidad del mismo que ocupa un metro cúbico a la presión de 1 atm absoluta y a la temperatura de 15 C. La viscosidad del gas a 5 °C y 47.5 atm es de 1.34E-2 cp. Su peso específico respecto al aire es 0.69 a baja presión. La masa de un metro cúbico de gas a P atmósferas excede el valor calculado supuesto se cumplan las leyes ideales de los gases en 4.23E-2 P. Cual es el rendimiento de esta conducción? b) Dos líneas una de 20 in (diámetro interior efectivo = 48.75 cm) y otra de 22 in (53.75 cm) trabajan en paralelo en una longitud de 75 Km. Entre las dos transmiten 200000 m3/h de gas, cantidad calculada a la presión de 1.115 atm y 15 °C. La presión de entrada es de 37.4 atm, la presión barométrica es de 0.95 atm. El peso específico del gas a baja presión es de 0.65 y su viscosidad 0.012 cp (a 34 atm y 5 °C, esta es la temperatura de conducción). El peso de un metro cúbico de gas a P atmósferas excede al calculado admitiendo válidas las leyes de los gases ideales de los gases en 0.047 P. La línea de 20 in tiene un rendimiento de conducción de 92 %, el de la línea de 22 in es 88 %. Ambas líneas están tendidas horizontalmente. ¿Cuál es la presión de salida?

3.9.4 DESCARGA DE TANQUES 3.9.4-1 Viscosímetro de Ostwald. (Valiente, 1990, pag. 83, pro. 2.19). En un viscosímetro de Ostwald se determina la viscosidad del CCl4 a 20 °C. El tiempo en que fluye es de 25 s, mientras que el agua lo hace en 42 s. ¿Cuál es la viscosidad del CCl4? 3.9.4-2 Tiempo de vaciado de un tanque elevado. (Bird, 1993, pag. 7-31, pro. 7.M3). a) El tanque de la fig. 3.9.4-1 está inicialmente lleno de un líquido de densidad ρ y viscosidad µ. Hallar una expresión del tiempo necesario para vaciar el tanque (pero no la tubería), utilizando un método cuasi estacionario. Emplear el balance de materia en estado no estacionario juntamente con el balance de energía mecánica en estado estacionario. Despréciense las pérdidas por fricción de la entrada y salida y supóngase que en el tubo se tiene régimen laminar. Desprecie también la energía cinética de la corriente que sale. b) Repetir el problema suponiendo régimen turbulento. R) a) tvac = ((8µLR2)/ρgRo4)ln(1+(H/L)) 3.9.4-3 Ec. de Torricelli. Un recipiente tiene una perforación lateral cuyo diámetro es Do, abajo del nivel del líquido como se indica en la fig. 3.9.4-2. Si el Do<<D del recipiente, por ej. D/Do = 100. a) Para un intervalo de tiempo pequeño (∆t ≅ 0), el nivel del líquido en 1 no cambia demasiado, por lo que puede suponerse condiciones de estado estable (estado cuasi estacionario).

101

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Plantee los balances macroscópicos de materia, cantidad de movimiento y energía despreciando las pérdidas por fricción, identifique los números adimensionales característicos de este sistema y deduzca la ec. de Torricelli. b) Replantee el problema para estado no estable y obtenga una expresión para determinar el tiempo en que el nivel del líquido se encuentre a la mitad de la distancia entre el nivel 1 al tiempo cero y el orificio. Exprese sus resultados en términos de los números adimensionales y construya un prototipo para comprobar sus resultados experimentales. R

D Al tiempo cero se permite el paso por el orificio.

H Do Ro

Fig. 3.9.4-1 Problema 3.9.4-2.

Fig. 3.9.4-2 Problema 3.9.4-3.

3.9.4-4 Cálculo de Gm en tanque presurizado y Fza del chorro. (Bird, 1993, pag. 7-27, pro. 7.E1). En la manufactura de pasta de papel, las fibras de celulosa de las astillas de madera se separan de la lignina mediante el calentamiento a presión con soluciones alcalinas en grandes tanques cilíndricos llamados digestores. Al final del periodo de "cocción" se abre una pequeña portezuela situada en el fondo del digestor y las astillas de madera chocan contra la placa para completar la desintegración y separación de las fibras. Estimar la velocidad de la corriente de descarga y la fuerza que ejerce sobre la lámina en las condiciones indicadas en la fig. 3.9.4-3 para el momento en que se inicia la descarga. Puede despreciarse la fricción contra la pared del digestor y la pequeña cantidad de movimiento del fluido en el interior del tanque. R) 124 ft/s, 4950 Kgf. 3.9.4-5 Tiempo de vertido de un embudo. (Bird, 1993, pag. 7-20, pro. 7.6-1). Un embudo, cuyas dimensiones se muestra en la fig. 3.9.4-4, está inicialmente lleno y se vacía por gravedad. Determinar el tiempo de vertido de un líquido. i) No existe plano "1" (generalizar para el nivel del líquido). ii) En 2 se tiene la salida (Gm2 evaluado en Z=Z2). iii) La superficie del líquido se considera móvil capaz de intercambiar energía con los alrededores. R) tver = (1/5) (Zo/Z2)2 (2Zo/g)1/2

102

Flujo de fluidos

Pm = 7.03 Kg/cm2 ρr = 1.04

Z=Zo

Z=Z

6.1 m r

Do =20 cm

61 cm

Z=Z

Z=Z2 Z=0

Fig. 3.9.4-3 Problema 3.9.4-4.

Fig. 3.9.4-4 Problema 3.9.4-5.

3.9.4-6 Efectos de la aceleración en el vaciado de un tanque. (Bird, 1993, pag. 7-33, pro. 7P4). Un cilindro abierto, de altura H y radio R, está inicialmente lleno de líquido. En el instante t=0 comienza a salir el líquido a través de una boquilla convergente de radio Ro situada en el fondo del tanque. a) Hallar el tiempo de vaciado suponiendo primeramente que la ec. de Torricelli describe la relación entre la velocidad de salida y la altura instantánea del líquido. b) Hallar el tiempo de vaciado utilizando un balance de materia y de energía mecánica. Expresar el resultado como el producto del tiempo de vaciado obtenido en a) por una función N, siendo N=(R/Ro)4. c) ¿Es importante el factor de corrección hallado en b)? R) b) tvac = 2(R/Ro)2(H/2g)φ(N) φ( N) =

1 2

N−2 ( η − η N ) dη ∫ N 0

Orificio de radio Ro

Fig. 3.9.4-5 Problema 3.9.4-6.

Fig. 3.9.4-6 Problema 3.9.4-7. 103

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. 3.9.4-7 Cálculo de L par un Gv dado. (Levenspiel, 1990, pag. 34, pro. 2.14). Se hace circular agua a 10 C procedente de un gran tanque a través de un sistema de tuberías (0.205 m de d.i.) de acero comercial de ocho in, cédula 30, con una válvula abierta como se muestra en la fig. 3.9.4-6. ¿Qué longitud de tubo podría utilizarse para mantener un caudal de 0.2 m3/s? Si se sustituye la válvula de asiento por una válvula de compuerta. ¿Qué longitud máxima de tubo puede utilizarse ahora? 3.9.4-8 Cálculo de Gv en tanque elevado. (Bird, 1993, pag. 7-27, pro. 7F1). Calcular la velocidad de flujo para agua a 20 °C en el sistema que se indica en la fig. 3.9.4-7. El nivel del líquido en el depósito superior se mantiene constante.

3.65 m 8.23 m 4.27 m D = 12.7 cm

3.35 m

R) 7.3 m3/min

Fig. 3.9.4-7 Problema 3.9.4-8. 3.9.4-9 Cálculo de Gv. (Levenspiel, 1990, pag. 33, pro. 2.7). Se descarga agua a 20 °C desde un estanque de sedimentación a una acequia de desagüe a través de una tubería galvanizada de 100 m de longitud equivalente de 100 mm de d.i. El nivel del estanque está 10 m por encima del extremo de descarga de la tubería. Encuéntrese el caudal de agua m3/min. 3.9.4-10 Descarga de tanque. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 5). Un depósito de 90 cm de diámetro interior y 360 cm de altura está lleno de agua a 20 °C. Este depósito se vacía a través de una tubería de 60 cm de longitud y 1 in de diámetro (tipo normal o cédula 40) conectada al fondo del depósito. ¿Cuánto tiempo tarda el nivel de agua en descender desde los 260 cm hasta 60 cm?

3.9.5 TUBERIAS NO CILINDRICAS 3.9.5-1 Inconveniencia del radio hidráulico para flujo laminar. (Bird, 1993, pag. 6-26, pro. 6.L2). Para el flujo en un ánulo en régimen laminar de radio interno kR y externo R, obtener la solución exacta de este sistema expresada en términos de los números adimensionales (factor de fricción y número de Reynolds). Comparar esta solución con los valores de la tabla 3.4-2. 3.9.5-2 Cálculo de Re en ánulo. (Valiente, 1990, pag. 79, pro. 2.16). Determine el tipo de régimen de flujo que existe en el espacio anular de un intercambiador de calor de doble tubo. El diámetro externo del tubo interior es de 27 mm y el diámetro interno

104

Flujo de fluidos del tubo externo es de 53 mm. El gasto másico del líquido es de 3730 Kg/h, la densidad de 1150 Kg/m3 y la viscosidad del líquido es 1.2 cp. R) ∆H = 0.026 m Re = 13741 Turbulento. 3.9.5-3 ∆P en interc. de calor de doble tubo. (Valiente, 1990, pag. 175, pro. 4.17). Se desea calentar 4500 Kg/h de benceno desde 26 ºC hasta 49 °C utilizando tolueno que pasará de 71 °C a hasta 38 °C. Para lograr este propósito se cuenta con un cambiador de calor de doble tubo, el diámetro del tubo externo es de 2 in y el interno de 1.25 in ced. 40. El intercambiador utilizado se muestra en la fig. 3.9.5-1. El tolueno fluye por el espacio anular y el benceno por el tubo interior. La temperatura de la pared es de 46 °C. ¿Cuál es la ∆P del benceno y cual la del tolueno? 6m T4=38 °C T1=26 °C 4500 Kg/h

20 cm

T2=49 °C

2 in

T3=71 °C

Fig. 3.9.5-1 Problema 3.9.5-3. 3.9.5-4 Cálculo de ∆P. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 6) Una corriente de agua fluye a razón de 300 lpm por un conducto anular de 15 m de longitud, constituido por dos tuberías de 0.5 y 1.25 in, cédula 40, de acero. Calcular la caída de presión (Kgf/cm2) a lo largo de los 15 m. Tómese para densidad del agua 1000 Kg/m3 y para su viscosidad 0.88 cp. 3.9.5-5 Cálculo de DP en anulo. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 7) Un líquido con una densidad media de 0.8 g/cm3 y viscosidad de 0.8 cp ha de bombearse a través de un cambiador de calor constituido por tubos de cobre lisos y rectos, que dejan una sección anular, tal que la velocidad es de 3 m/s. El diámetro exterior del tubo interior es de 25 mm y el diámetro interior del tubo exterior es de 37.5 mm. La longitud del espacio anular del cambiador es de 6 m. Calcular la caída de presión en dicho espacio anular.

3.9.6 CAIDA DE PRESION EN ACCESORIOS 3.9.6-1 Oscilaciones de un manómetro amortiguado. (Bird, 1993, pag. 7-20, pro. 7.6-1). Analizar el comportamiento de un manómetro diferencial en U cuando se inicia repentinamente el flujo dentro de la tubería al cual está conectado.

105

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

pb 2

S=πR

Gas

Nivel a t=0 Nivel a t=α Nivel inferior mínimo (Z=0)

H h(t)

Líquido manométrico

Fig. 3.9.6-1 Problema 3.9.6-1. ⎛ 6µ L ⎞ ⎟ Rc = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ gρ ⎠ 2

1 4

Radio críticamente amortiguado.

3.9.6-2 Fuerza en una tubería en U. (Bird, 1993, pag. 7-27, pro. 7D1). Por una curvatura en forma de U de una tubería circulan 85 l/s de agua a 20 °C (densidad de 0.999 g/cm3, viscosidad de 1 cp). ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre la tubería en U? R) 410 Kgf. p2=1.29 atm manométricas

p1=1.43 atm manométricas

D =10 cm

Fig. 3.9.6-2 Problema 3.9.6-2.

3.9.6-3 Fuerza sobre un codo de 60°. (Bird, 1993, pag. 7-16, pro. 7.5-3). Por un codo de 60° en el que existe una contracción del diámetro de 10 a 7.5 cm, circulan 3 3.4 m /min de agua a 95 °C. Calcular la fuerza que actúa sobre el codo sabiendo que la presión a la salida del mismo es de 1.1 atm. R) 137 Kgf.

106

Flujo de fluidos

7.5 cm y

60°

10 cm

x 52°

Fig. 3.9.6-3 Problema 3.9.6-3. 3.9.6-4 ∆P para un flujo y ∆Z dadas. (Bird, 1993, pag. 6-23, pro. 6.B1). Por una tubería de 3 in (diámetro interno de 7.79 cm) y 29 m de longitud se bombea agua a 20 °C hasta un depósito elevado, como se indica en la fig. 3.9.6-4. a) Que presión es preciso comunicar al agua a la salida de la bomba para elevarla al depósito con una velocidad de 4.09 m3/h (a 20 °C ρ = 0.9982 g/cm3, µ = 1.022 cp). b) ¿Qué tanto porciento de la caída de presión se necesita para vencer la fricción de la tubería? R) a) 1.03 atm manométricas. 9.1 m 15.3 m 4.6 m Codos de 45°

Fig. 3.9.6-4 Problema 3.9.6-4. 3.9.6-5 Cálculo de ∆P vs ∆hm. (Brown, 1965, pag. 173, pro. 4). A través de una tubería que tiene un estrechamiento circula un aceite de peso específico 0.891. En sendas zonas anterior y posterior al estrechamiento se conectan las ramas de un manómetro diferencial cargado con agua (las ramas con aceite). La lectura diferencial del manómetro es de 300 mm. Calcular la caída de presión que tiene lugar en el estrechamiento, en Kgfm/Kg de aceite y en Kgf/cm2. El manómetro anterior se sustituyó por una rotura, con otro manómetro de ramas desiguales; la de la zona anterior (aguas arriba) es de tubo de vidrio de 6 mm, y la de la posterior al estrechamiento (aguas abajo) es también de vidrio pero de 8 mm. Cuando no fluye aceite por la tubería, los meniscos están 21 cm sobre la base del manómetro y 40 cm sobre la parte superior del mismo. Calcular la caída de presión máxima que podrá medirse. Si se invierten las conexiones: ¿Cuál será la caída de presión máxima que podrá medirse?

107

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. 3.9.6-6 Cálculo de ∆T debido a la expansión súbita (líq.). (Valiente, 1990, pag. 116, pro. 3.11). Agua a 24 °C fluye a razón de 6 m/s por el interior de una tubería aislada cuyo diámetro interno se aumenta súbitamente a 5 cm. Calcule el cambio de entalpía si la tubería pequeña es de 2.5 cm. Cual sería el cambio en la temperatura debido a la expansión? R) ∆H = -4 cal/Kg. ∆T = -0.004 °C 3.9.6-7 ∆P en un ensanchamiento brusco. (Bird, 1993, pag. 7-26, pro. 7A1). Por un ensanchamiento brusco fluye agua a 1.7 m3/min. El diámetro interior de la tubería estrecha es de 13 cm y el de la ancha de 23 cm. Calcular el aumento de presión en atm, si la densidad es de 1.009 g/cm3. R) 0.01 atm. 3.9.6-8 Descarga múltiple en una conducción común. (Bird, 1993, pag. 7-29, pro. 7I2). Un haz de tubos descargan el fluido a un tubo grande, como se indica en la fig. 3.9.6-5. 1

Fig. 3.9.6-5 Problema 3.9.6-8. Estos sistemas son importantes en intercambiadores de calor, donde las pérdidas por fricción por ensanchamientos bruscos (y contracciones) representan una fracción considerable en las pérdidas por friccón totales del sistema. Tanto en los tubos pequeños como en el grande puede el flujo ser laminar o turbulento. a) Demostrar que los balances macroscópicos conducen a las siguientes expresiones para el aumento de presión y pérdidas por fricción: p 2 − p1

[

= ρv12 β K 12 − β 2 K 22

]

⎛ K 2 K 3 ⎞⎤ K2 1 3 2⎡ K 1 v1 ⎢1 − 2β 13 + β 2 ⎜⎜ 2 23 − 23 ⎟⎟⎥ 2 K1 ⎢⎣ ⎝ K 1 K 1 ⎠⎥⎦ j vi s v2 = β = 1 = j s2 v1 vi

Eˆv = K ij

b) Demostrar que en régimen laminar en tubos circulares K12 = 4/3 y K13 = 2. c) Discutir el comportamiento de las pérdidas por fricción cuando β = 0 y cuando β = 1. d) Discutir las distintas posibilidades con respecto al flujo laminar y turbulento.

108

Flujo de fluidos 3.9.6-9 Cálculo de Gv en boquillas de humidificación. (Brown, 1965, pag. 157, pro. 19). A través de una tubería de 1 in cédula 40, de hierro, y de un colador y una boquilla de pulverización, se inyecta agua en un humidificador. Cuando la lluvia de agua descarga a la presión atmosférica impulsada por una bomba a 6.35 Kgf/cm2, el caudal evacuado por la boquilla es de 760 lpm. Determinar el caudal con que trabajará la boquilla cuando descargue dentro del humidificador, que trabajará a 2.12 Kgf/cm2 de sobrepresión, si la presión de la bomba impulsora se mantiene invariable, sabiendo que el caudal descargado por la boquilla atomizadora guarda la siguiente relación con la caída de presión habida en ella:

-∆ p (Kgf/cm2) 0.352 0.703 1.055 1.405 2.12 3.81

Caudal (lpm) 227 378.5 473 530 662 756

3.9.7 REDES 3.9.7-1 Cálculo de de la altura y concentración de azúcar. (Brown, 1965, pag. 157, pro. 16). El depósito 1 de la fig. 3.9.7-1 contiene agua a 15 °C y mantiene su nivel constante, mientras se descarga a través de la línea A hacia B. El depósito 2 contiene disolución de acuosa de azúcar, a 15 °C y descarga hacia la te B. En B se mezclan el agua y la disolución azucarada, descargándose la disolución diluida por el punto C. Si la velocidad de la disolución en la tubería C es de 3 m/s. Cual es la concentración de la disolución diluida de azúcar? ¿Cuanto vale la altura Z?

Sacarosa % 0 10 20 40

Viscosidad cp 1 1.8 2.68 9.8

Densidad g/cm3 1.000 1.040 1.083 1.178

Fig. 3.9.7-1 Problema 3.9.7-1.

109

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. 3.9.7-2 Cálculo de Gv en ramificación / medidor de orificio. (Brown, 1965, pag. 175, pro. 16). Por el sistema representado en la figura circula agua. Las longitudes acotadas en la fig. 3.9.7-2 se refieren a la tubería recta solamente. Las dos válvulas representadas son esféricas de asiento (bola) y están abiertas. Despreciando las pérdidas en la te, y admitiendo niveles constantes en ambos depósitos, calcular el caudal que llega a los depósitos, calcular el caudal que llega a los depósitos A y B.

Fig. 3.9.7-2 Problema 3.9.7-2.

3.9.8 MEDIDORES DE FLUJO 3.9.8-1 Tubo de Pitot. (Levenspiel, 1990, pag. 12, pro. 1.6). Titán, luna de Saturno, es el mayor satélite de nuestro sistema solar, tiene aproximadamente la mitad del diámetro de la tierra, su atmósfera consiste principalmente en metano y es probablemente el objeto más fácil de explorar en el sistema solar exterior. Cuando el ingenio espacial Voyager se posaba lentamente en la superficie de Titán a través de una atmósfera a -130 °C y 8.4 KPa, su tubo de Pitot indicaba una diferencia de presiones de 140 Pa. Encuentre la velocidad del Voyager 2. 3.9.8-2 Tubo de Pitot. (Bird, 1993, pag. 7-29, pro. 7.G1). Los siguientes datos experimentales (B. Bird, tesis doctoral en Ing. Quím., Universidad de Wisconsin 1915), se han determinado mediante un tubo de Pitot para diversas posiciones a lo largo de una tubería de 7.77 cm de radio por la que circula agua. Representar gráficamente los datos y utilizar la fórmula de Simpson para calcular v/vmax, 2 v/vmax y 3v/vmax.

Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Radio (cm) 7.11 5.51 3.63 1.83 0.00 1.83 3.63 5.51 7.11

Velocidad local (cm/s) 239.3 316.7 344.7 355.4 359.4 356.6 349.6 338.3 282.2 110

Flujo de fluidos 3.9.8-3 Tubo de Pitot/aire. (Brown, 1965, pag. 173, pro. 6). Para conocer la cantidad de aire que fluye por un conducto circular de 50 cm de diámetro interior se han tomado, mediante un tubo de Pitot, las lecturas correspondientes a distintas posiciones de este en una misma sección del tubo y según dos diámetros perpendiculares. Las lecturas obtenidas se copian a continuación.

Situación del Punto, cm del Centro del tubo. 24.4 22.5 20.0 17.5 12.5 7.5 0.0 7.5 12.5 17.5 20.0 22.5 24.4

Lecturas del tubo De Pitot, (mm) de agua. 4.95 20.00 35.00 47.50 66.50 81.75 91.75 84.50 70.25 52.50 39.00 22.25 5.25

Situación del Punto, cm del Centro del tubo. 24.4 22.5 20.0 17.5 12.5 7.5 7.5 12.5 17.5 20.0 22.5 24.4

Lecturas del tubo De Pitot, (mm) de agua. 5.12 21.25 37.00 50.50 68.25 83.00 82.75 68.75 48.70 36.25 21.80 5.00

El aire fluye a una presión absoluta de 735 mmHg y 120 °C. El coeficiente del tubo de Pitot es 0.98. a) Calcular el caudal de aire en lpm (a 760 mmHg y 15 °C). b) Construir una gráfica representativa de la variación del cociente velocidad en cada punto / velocidad máxima (al centro), en función de la distancia del punto en cuestión al centro de la tubería. 3.9.8-4 Vénturi. Por un medidor de flujo de Vénturi circula un fluido Newtoniano incompresible en condiciones de estado estable como se ilustra en la fig. 3.7-3. Encuentre la expresión que relacione el flujo másico en función de la diferencia de presiones registradas en el manómetro diferencial, basándose en el balance macroscópico de energía mecánica para condiciones isotérmicas, despreciando las pérdidas por fricción. a) Si en D2 se maneja régimen laminar. b) Si en D1 se tiene régimen laminar y en D2 régimen turbulento. c) Si en D1 se tiene régimen turbulento. d) Analice la figura del anexo D2. 3.9.8-5 Cálculo de ∆P vs ∆h. (Brown, 1965, pag. 174, pro. 8). Por una canalización tendida horizontalmente en la parte alta de una montaña (g=8.5 m/s2) circula una corriente de agua. Para saber el caudal fluyente se instala en dicha tubería un medidor de diafragma provisto de un manómetro de mercurio, en el que se leen 11.5 cm de desviación. Calcular la caída de presión que corresponde con esta lectura. 111

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

3.9.8-6 Cálculo de Gv en medidor de orificio. (Brown, 1965, pag. 173, pro. 3). Calcular el caudal de aceite (lpm) que pasa por un diafragma de cantos vivos, de 5/8 in de diámetro, tipo normal. Las zonas anterior y posterior al diafragma tienen un diámetro cuatro veces mayor que este. El peso específico del aceite es de 0.85; su viscosidad es de 11 cp. Las indicaciones del diafragma se recogen en un manómetro de mercurio situado debajo de aquel; este manómetro acusa una desviación de 22.5 cm de mercurio. 3.9.8-7 Gv en med. de orif. vs. med. de orif. (Brown, 1965, pag. 174, pro. 10). Por una tubería de 2 in cédula 40 circula agua a 20 °C. Para medir el caudal circulante se utiliza un diafragma de cantos vivos, de 2.7 cm de diámetro (1.077 in). Las indicaciones de este medidor se leen en un manómetro diferencial cargado con mercurio, en el que se obtiene una diferencia de niveles, entre sus ramas de 55 cm cuando el flujo en la tubería es máximo. Después se ha invertido el manómetro, utilizándose como un aparato diferencial del tipo aire - agua, manteniéndose la lectura de 55 cm para las condiciones de flujo máximo. ¿Cuál es, en este caso, el diámetro del nuevo diafragma? 3.9.8-8 Cálculo de Dorif. con agua caliente que vaporiza. (Brown, 1965, pag. 174, pro. 12). Por una tubería de 2 in cédula 40 de acero, fluye agua caliente en cantidad mínima de 200 y máxima de 400 lpm. Para poder medirla se instala un diafragma de cantos vivos, el cual se una al manómetro diferencial tomando las presiones junto a las bridas. La presión aguas arriba es de 0.14 Kgf/cm2 (sobre la atmosférica), siendo también allí la temperatura de 70 C. A velocidades de flujo de 375 lpm y superiores, las lecturas manométricas resultan impracticables, pues el agua caliente se vaporiza súbitamente en la zona de la "vena contracta", si se utiliza el diafragma citado. ¿Qué diámetro de diafragma habrá de emplearse para evitar el expresado fenómeno de vaporización súbita? 3.9.8-9 Efecto de bolsa de aire en med. de orificio. (Brown, 1965, pag. 174, pro. 14). Un diafragma de 1.875 cm de diámetro (0.75 in) está situado en una tubería vertical de 2 in cédula 40, por la que circula benceno en sentido ascendente. Con los tubos de conexión al manómetro llenos de benceno, y con líquido indicador de mercurio, las lecturas manométricas que se han obtenido son las siguiente:

Velocidad (litros por minuto) 113.50 56.75 18.90

Lectura manométrica (mmHg) 198 100 33

Posteriormente se ha encontrado una bolsa de aire en la zona de aguas abajo de la canalización vertical de 25 cm. Representar gráficamente el caudal de benceno vs. las desviaciones del manómetro, cuando existe bolsa de aire.

112

Flujo de fluidos 3.9.8-10 Efecto de variables en med. de orif./gas. (Brown, 1965, pag. 173, pro. 1). Un medidor de diafragma de cantos vivos se utiliza para medir un caudal gaseoso. Las condiciones son tales (Re=10000, aprox.) que la pérdida de carga relativa que produce este medidor es pequeña. El manómetro diferencial acoplado al diafragma está cargado con mercurio. Se desea saber el efecto cuantitativo que tendrán sobre el valor de las desviaciones del manómetro: a) La elevación de la temperatura del gas desde 20 a 40 °C. b) La duplicación del peso molecular del gas. Supóngase que cada uno de estos cambios se produce sin alterar sensiblemente las demás variables. El volumen del gas en condiciones normales se supondrá constante en todos los casos. 3.9.8-11 Cálculo de Dorif para un gas. (Brown, 1965, pag. 173, pro. 2). Especificar el diámetro de diafragma necesario para medir 3000 m3/h (volumen a 15 °C y 760 mmHg) de propano, cuando este gas fluye por una tubería de 12 cm de diámetro a una presión de 1.65 atm y 25 °C. Las lecturas en el manómetro diferencial no serán mayores que 12.5 cm de mercurio. 3.9.8-12 Cálculo de Gv en med de orif. con man. dif. inclinado. (Brown, 1965, pag. 174, pro. 11). A través de una tubería recta, de acero cédula 40, de 10 in de diámetro nominal, fluye una corriente de gas natural (prácticamente metano puro). En la tubería se ha situado un diafragma de cantos vivos de 62.5 mm de diámetro (2.5 in). conectándose las ramas del manómetro diferencial a 12.5 cm de distancia del diafragma. Justamente en el diafragma, el gas se encuentra a 27 °C y 0.34 atm de sobrepresión. El manómetro diferencial, de rama inclinada 15º respecto a la horizontal, está cargado con agua y acusa una desviación de 155 mm. ¿Cuál es el caudal ponderal (Kg/min) que circula por la tubería?

3.9.9 BOMBAS Y TURBINAS 3.9.9-1 Corazón artificial. (Levenspiel, 1990, pag. 14, pro. 1.13). El corazón humano es una bomba maravillosa, pero solo es una bomba. No siente, no se emociona y su gran inconveniente es que solo dura una vida. Puesto que es tan importante para vivir, Porqué no sustituirlo por un corazón mecánico, super seguro, compacto, que durara dos vidas? ¿No sería estupendo? El esquema mostrado a continuación da algunos detalles pertinentes del corazón promedio relajado. A partir de esta información calcúlese la potencia necesaria por un corazón artificial ideal que realice el trabajo de uno real. Comentario: Por supuesto, la unidad final deberá ser algo más potente, quizá un factor de cinco, para tener en cuenta las insuficiencias de bombeo y preveer situaciones de tensión, tales como huir de leones hambrientos. Supóngase también que la sangre tiene las propiedades del agua y circulan 90 ml/s. 3.9.9-2 Cálculo de trabajo de bomba cisterna - tanque. (Valiente, 1990, pag. 104, pro. 3.4). Se bombea agua a 20 °C desde una fosa que se encuentra a 3 m por debajo de la superficie hasta un tanque elevado y abierto a la atmósfera, donde el nivel del líquido es constante a 50 m sobre el nivel de la superficie. Para tal efecto se emplea una tubería de 7.5 cm de diámetro

113

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. interno. Si se tienen 10 Kgfm/Kg de pérdidas por fricción, calcule el trabajo transferido por la bomba. R) 63 Kgfm/Kg.

Fig. 3.9.9-1 Problema 3.9.9-1. 3.9.9-3 Cálculo de Ev en sistema de bombeo. (Valiente, 1990, pag. 118, pro. 3.12). Una bomba lleva una solución de 1.84 de densidad relativa de un tanque a otro a través de una tubería de 2 in cédula 40, con un caudal de 500 lpm. El motor de bomba es de 5 HP y tiene una eficiencia del 65 %. El final de la descarga está a 15 m sobre el nivel de entrada. Calcule las pérdidas por fricción y la presión que debe desarrollar la bomba en Kgf/cm2 si la entrada de la bomba es de 3 in y la salida de 2 in. R) Ev = 0.347 Kgfm/Kg ∆P = 2.85 Kgf/cm2 3.9.9-4

Cálculo de Ev y # de estaciones de bombeo. (Levenspiel, 1990, pag. 32, pro.

2.6).

Se han de transportar 18000 m3/día de petróleo desde un campo de petróleo hasta una refinería localizada a 1000 Km del mismo mediante una tubería de acero de 0.5 m de diámetro interno. La diferencia de niveles entre los extremos de la línea es despreciable. a) Calcular la potencia requerida para vencer la fricción de la línea. b) Puesto que la presión máxima permisible en cualquier sección de la línea es de 4 MPa (aproximadamente 40 atm), será necesario tener estaciones de bombeo a intervalos aconsejables a lo largo de la línea. ¿Cuál es el menor número de estaciones de bombeo requerido? Datos: A la temperatura implicada el petróleo tiene una viscosidad de 0.05 Kg/ms y una densidad de 870 Kg/m3.

114

Flujo de fluidos 3.9.9-5 Cálculo de Potencia en una presa. (Levenspiel, 1990, pag. 34, pro. 2.16). La villa de Schaffzell, en los Alpes Suizos, tiene su propia planta hidroeléctrica modesta que produce electricidad continuamente, tanto si se utiliza como si no. Cuando no se necesita los 240 KW de electricidad mueven una mototurbina con 75 % de eficiencia que bombea 0.1 m3/s de agua a 5 °C, a través de una tubería de 780 m de longitud equivalente hasta un pequeño lago localizado 153 m por encima de la villa. Cuando se necesita electricidad extra se invierte el flujo, el agua circula hacia abajo con el mismo caudal, 0.1 m3/s, desde el pequeño lago a través de la turbina para generar la electricidad necesaria, de nuevo con 75 % de eficiencia. ¿Qué potencia puede generarse con este flujo descendente desde el pequeño lago? ¿Qué tamaño de tubo fue utilizado por la villa en su sistema que bombea agua hasta el pequeño lago? 3.9.9-6 Cálculo de Potencia de bomba. (Levenspiel, 1990, pag. 32, pro. 2.2). Una motobomba de 1 KW y eficiencia de 100 % eleva agua a razón de 1.6 l/s desde un lago a través de una manguera flexible hasta un tanque situado a 32 m arriba de la colina. Se utilizará una segunda bomba con la misma longitud de manguera para bombear agua desde el lago a la misma velocidad hasta un recipiente colocado a nivel del lago. ¿Qué motobomba con una eficacia de 100 % se necesita? 3.9.9-7 Cálculo de Potencia de bomba para solución salina. (Valiente, 1990, pag. 114, pro. 3.10). En la fig. 3.9.9-2 se presenta una instalación simplificada para transportar desde 1 hasta 2 una disolución salina cuya densidad relativa es de 1.1. Los depósitos son cilíndricos y en la figura se dan los diámetros y alturas aproximadas de los niveles del líquido medidas sobre un plano horizontal de referencia. Si las pérdidas de energía debidas a la fricción son de 5 Kgfm/kg. ¿Cuál será la potencia de la bomba en caballos de vapor para transportar 7.2 m3 de líquido en una hora? R) Pot = 0.674 CV con eficiencia del 60 %.

20 m 2m

Fig. 3.9.9-2 Problema 3.9.9-7.

115

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. 3.9.9-8 Cálculo de Potencia de bomba/medidor de orificio/aceite. (Brown, 1965, pag. 174, pro. 15). Una bomba transversa desde A hasta B un líquido aceitoso, a través del sistema de tuberías representado en la fig. 3.9.9-3. La canalización que une A con la bomba es tubería de 10 cm (4 in), la que va desde la bomba hasta B es de 7.65 cm (3 in). A la temperatura de bombeo, el aceite tiene un peso específico de 0.765 y una viscosidad de 1.7 cp. Si la bomba tiene un rendimiento mecánico del 60 %, calcúlense los caballos de vapor necesarios para desplazar el líquido en las condiciones indicadas.

Fig. 3.9.9-3 Problema 3.9.9-8. 3.9.9-9 Cálculo de Pot, Gv, sistema con ramificación. (Brown, 1965, pag. 175, pro. 18). En la instalación representada en la fig. 3.9.9-4, se transvasa agua a 15 °C, desde el depósito A al B a través de una canalización que también conduce a C. Desde A a la bomba, la tubería es de 3 in, el resto de la tubería es de 2 in, todas de cédula 40. Las dos válvulas de la te son de atajadera, las demás son de asiento. Los codos y tes son del tipo normal. ¿Qué potencia debe desarrollar la bomba?

Fig. 3.9.9-4 Problema 3.9.9-9.

116

Flujo de fluidos 3.9.9-10 Cálculo de Re, Pot, Dh en med de orificio. (Brown, 1965, pag. 174, pro. 13). A través de una tubería de acero de 6 in cédula 40, y a la velocidad de 1.2 m/s, fluye aceite de densidad 880 Kg/m3 y 0.2 poises de viscosidad. Calcular: a) El número de Reynolds. b) La potencia necesaria para efectuar el desplazamiento en una tubería de 8 Km de longitud, si el rendimiento global es de 60 %. c) La lectura que se obtendrá en un manómetro diferencial cargado con mercurio, acoplado a un diafragma de cantos vivos de 6.25 cm de diámetro. 3.9.9-11 Cálculo de Potencia de bomba. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 3). Una disolución de metanol en agua, de 90 % ha de bombearse desde el depósito de almacén hasta un taller de transformación a través de una tubería de 1.25 in cédula 40 de 440 m de longitud. La línea contiene 15 codos normales, 5 válvulas de atajadera, 6 tes de paso directo y 4 tes de paso lateral. El alcohol saldrá a una sobrepresión de 0.5 Kgf/cm2, a una altura sobre el nivel del depósito de almacenamiento de 6.7 m. La temperatura de la línea es de 5 C (mínima anual). El caudal es de 75 lpm normalmente, pero puede haber ocasiones en que se necesite un 50 % más de este caudal. Suponiendo que el rendimiento energético sea del 60 %, calcular la potencia del motor encargado de accionar la bomba. 3.9.9-12 Cálculo de Pot. de bomba para H2SO4. (Levenspiel, 1990, pag. 32, pro. 2.5). 3 Kg/s de H2SO4 75 % (ρ = 1650 Kg/m3, µ = 8.6E-3 Kg/ms) han de bombearse desde un tanque abierto a otro a través de 600 m (longitud equivalente total que incluye codos, enlaces, etc.) de tubería de 50 mm de diámetro interno (ε = 0.046 mm). La salida del primer tanque está 7 m por debajo de su superficie. En el segundo tanque la entrada está dos metros por debajo de su superficie, que a su vez está 15 m por encima de la del primer tanque. Encuéntrese la potencia necesaria si la eficiencia de la motobomba es de 50 %. 3.9.9-13 Potencia para el flujo en un ánulo. (Bird, 1993, pag. 7-26, pro. 7.B1). Por una conducción de 6 m de longitud, formada por dos tubos concéntricos, se hace circular un caudal de agua de 55 m3/h a 15 C. Los diámetros interno y externo que forman el ánulo son 7.5 y 17.5 cm, respectivamente. La entrada está 1.5 más abajo que la salida. Supóngase que la entrada y salida están a la misma presión. Se desea calcular la potencia de la bomba. R) P = 0.32 HP 3.9.9-14 Análisis de situación de bombeo. (Brown, 1965, pag. 157, pro. 13). Desde el depósito T a los M y N ha de bombearse agua a 15 °C. Desde el depósito T hasta la entrada de la bomba se ha instalado tubería de 3 in tipo 40, con una longitud equivalente de 60 m. Desde la salida de la bomba hasta la te que conduce a los depósitos M y N (una rama de la te para cada uno) se utiliza la misma tubería, siendo en este caso una longitud equivalente de 30 m. Desde la te hasta el depósito M se ha puesto tubería de 1.5 in tipo 40, cuya longitud equivalente es 180 m. La línea que une la otra rama de la te con el depósito N es de 2 in tipo 40, y su longitud equivalente es 180 m. Las longitudes equivalentes citadas no incluyen las correspondientes a cuatro válvulas de atajadera, situadas: una, entre T y la bomba; otra, entre la bomba y la te; otra entre la te y M y la cuarta, entre la te y N. Tampoco van incluidas en dichas longitudes dos válvulas esféricas A y B situadas la primera entre la te y M y la segunda entre la te y N. Todas las válvulas están abiertas, excepto A o B (una de las dos) que se deja a medio abrir para que se obtengan en los depósitos M y N los caudales de 190 y 340 lpm, respectivamente. El nivel de

117

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. agua en el depósito T se encuentra a 9 m sobre la entrada de la bomba, y los niveles en M y N se encuentran, ambos sobre esa entrada. a) ¿Cuál es la potencia de la bomba? b) ¿Cuál de las dos válvulas A o B está a medio abrir? c) ¿Cuál es la caída de presión debida al frotamiento en la válvula medio abierta? 3.9.9-15 Cálculo de Gv para una bomba - sistema. (Brown, 1965, pag. 209, pro. 1). La bomba centrífuga cuyas características se citan después, se utiliza para elevar agua (temperatura de 27 C) por el sistema de tuberías representado en la figura, compuesto por 8 m de tubería recta de 2.5 in tipo 40, en la zona de succión y 65 m de tubo de 2 in tipo 40, en la zona de impulsión. El motor que acciona la bomba es trifásico, trabaja a 220 voltios con un factor de potencia de 0.9. Todas las válvulas de la instalación son de asiento plano y están completamente abiertas. Determinar: a) El caudal que circula por la tubería en lpm. b) Los amperios que requiere el motor.

Capacidad (lpm) 0 37.8 75.6 113.4 151.2 189.0 227.0 264.4 302.5

Altura (m) 36.6 36.4 35.7 34.4 32.8 30.6 28.4 25.9 23.5

Rendimiento (%) 0 13 23.5 31.6 37.5 42.2 42.5 41.7 39.5

Fig. 3.9.9-5 Problema 3.9.9-15.

3.9.9-16 Cálculo de costo de bombeo. (Levenspiel, 1990, pag. 32, pro. 2.3). Acabo de sembrar un terreno de 0.6 acres de nuevo césped y el agente de extensión agraria recomienda que lo riegue con 0.2 gal/ft2 por día de agua para hacerlo crecer adecuadamente. Para hacer esto, he comprado una bomba, 80 ft de manguera de plástico de 1 in de diámetro interior (lisa) y un rociador, que he conectado adecuadamente. La bomba extrae el

118

Flujo de fluidos agua de una corriente cuyo nivel está 10 ft por debajo de la misma, la entrada del agua es un tubo grande de polietileno (resistencia despreciable) y el césped está 30 ft por encima de la bomba. Cuando la bomba trabaja (7 h/día) el manómetro a la salida de la bomba marca una presión relativa de 80 lbf/in2, el recibo de electricidad indica que pago 2.3 c/KWh y debo regar, según el agente, 32 días para desarrollar un césped vigoroso. Si la temperatura del agua (cuando planeo regar) es de 80 F y la eficiencia de la bomba es 25 %, encuéntrese el costo de la electricidad para este trabajo de 32 días. 3.9.9-17 Cálculo de Costo de bombeo. (Brown, 1965, pag. 155, pro. 1). Una ciudad se suministra de agua captándola de un lago próximo, de donde se eleva a los depósitos situados en lo alto de una columna. La toma se efectúa a 3 m por debajo de la superficie del lago. La entrada a la bomba está a 4.5 m sobre dicha superficie, y el nivel de agua en los depósitos (intercomunicados) se puede considerar siempre constante y está a 95 m sobre la bomba. La pérdida de carga por frotamiento es de 42.5 Kgfm/Kg de agua para los 1830 m de tubería de 20 cm (4 in), que es la longitud total de la línea, incluidas las longitudes equivalentes de los accesorios. La capacidad de la bomba es de 2400 l/h, el rendimiento energético del grupo motor bomba es de 85 %. Calcular el costo horario del bombeo, supuesto que la energía eléctrica se pague a 0.45 $/KWh. 3.9.9-18 Cálculo de Costo de bombeo. (Brown, 1965, pag. 155, pro. 2). Calcular el costo de bombeo de un aceite de peso específico 0.84 y viscosidad de 30 cp a través de una línea de 10 in de diámetro y 50 m de longitud. El KW hora se paga a 0.4 peseta. El rendimiento energético es de 60 %. La línea está tendida horizontalmente y el caudal de aceite es de 130 m3//h. 3.9.9-19 Cálculo de D, L de tubería. (Levenspiel, 1990, pag. 33, pro. 2.9) Domesticar el Mekong. El gigante río Mekong dicurre desda el Himalaya a través del sureste de Asia, y el proyecto de desarrollo del Mekong propuso que se construyeran 35 presas a lo largo del río para controlar su vasto potencial hidroeléctrico. Una de estas presas, la Pa Mong, ha de tener 100 m de altura, un 25 % de eficacia en la conversión global a electricidad y una producción anual de 20 billones (US) KWh de energía eléctrica. El diseño preliminar realizado por el ingeniero Kumnith Ping sugiere utilizar 25 entradas de agua, cada una dirigiéndose a una turbina localizada 100 m por debajo del recipiente, agua arriba a través de 200 m de tubería de hormigón. El caudal total garantizado de agua en las turbinas sería de 14800 m3/s. Encuéntrese el tamaño de los tubos necesarios. (Véase National Geographic 134, 737 (1968)). 3.9.9-20 Cálculo de D para un Gv dado en presa - turbina. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 8). En un lago que hay en una montaña, la superficie se encuentra a 85 m sobre las turbinas de la central eléctrica que utiliza esta agua. Para llegar ésta hasta las turbinas ha de recorrer 940 m, siguiendo el trazado más favorable determinado por los topógrafos. Determinar el diámetro mínimo (tubería normal) con que habrá de construirse la línea de descenso para que las turbinas reciban el caudal de 3.8 m3/min a la presión de 7 Kg/cm2 sobre la atmosférica. La temperatura del agua se considera igual a 15 °C.

119

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. 3.9.9-21 Cálculo de D para una instalación en una población. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 12). Desde la misma estación de bombas de un servicio de distribución de aguas ha de derivarse una línea para el abastecimiento de un poblado de 1500 personas, con un consumo individual medio de 150 l/día y con picos máximos de consumo de 15 l/hora. La tubería será de hierro, y para las juntas se elige conexiones roscadas. La subcentral que abastecerá este poblado se halla situada en la cresta de una colina, a 22.5 m sobre la estación de bombeo. La unión entre ambos puntos se efectúa mediante 4100 m de tubería. El caudal máximo de la bomba es 30 l/min, con una carga de 42.5 Kgfm/Kg. Si la presión en la parte alta (subestación) ha de ser de 1.75 Kgf/cm2 a la velocidad máxima de flujo, ¿Qué tamaño de tubería deberá utilizarse? 3.9.9-22 Cálculo de D, P y potencia de bomba. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 9). Una de las bombas utilizadas en una instalación que recupera el bromo del agua de mar tiene una capacidad de 3.25 m3/s. El peso específico del agua de mar es de 1.03 y su temperatura media de 13 C. El agua se bombea a través de una tubería de 384 m de longitud hasta una altura de 18 m sobre el nivel del mar. a) ¿Qué tamaño de tubería debe utilizarse? b) ¿Qué presión debe desarrollar la bomba? c) Si el rendimiento energético integral es del 70 %, ¿qué potencia debe darse al motor eléctrico encargado de accionar la bomba? 3.9.9-23 Bomba de aire. (Levenspiel, 1990, pag. 14, pro. 1.9). La bomba de aire funciona impulsando pequeñas burbujas de aire en el fondo de un tubo vertical inmerso en el fluido a elevar. Idealmente las burbujas son tan pequeñas que la velocidad relativa entre el aire y el agua es despreciable. Estas bombas pueden conseguir en la práctica eficacias del 75 % o más. Para una mezcla de 60 % de agua y 40 % de aire, A que altura puede elevar el agua una bomba de aire ideal?

Fig. 3.9.9-6 Problema 3.9.9-23. Fig. 3.9.9-7 Problema 3.9.9-24.

120

Flujo de fluidos 3.9.9-24 Lazo de recirculación movida por aire. (Levenspiel, 1990, pag. 37, pro. 2.23). Considérese el lazo de recirculación de sólidos y el modelo algo similar aire agua mostrados a continuación. Encontrar el caudal de circulación de agua (Kg/s) en el modelo en que: * D = 2 cm, LeqABC = 15 m, LeqCA = 1 m. * La sección AC tiene una altura vertical de 1 m y contiene agua burbujeante, con un 1 % de aire, mientras que la sección ABC está libre de aire. * La pérdida friccional de esta mezcla de 1 % de aire - agua es aproximadamente la del agua sola, con el mismo número de Reynolds crítico. 3.9.9-25 Lazo de recirculación movida por aire. (Levenspiel, 1990, pag. 37, pro. 2.24). Considérese la circulación de sólidos entre dos recipientes de proceso y el correspondiente modelo aire - agua esquematizados a continuación. Encontrar el caudal de circulación de agua (Kg/s) en el modelo de planta piloto en el que: * Para cada una de las secciones verticales de flujo ascendente AB y CD: D = 36 cm, Leq = 10 m, 10 % de aire en el flujo burbujeante. * Para cada una de las secciones inclinadas de flujo descendente BC y DA: D = 20 cm, Leq = 15 m, sin aire de arrastre. * Para el flujo burbujeante con 10 % de aire supóngase que la "viscosidad" es de 1.8 veces la del agua sola.

Fig. 3.9.9-8 Problema 3.9.9-25.

121

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

122

FLUIDOS NO NEWTONIANOS 4.1 MODELOS REOLOGICOS Existen diversos modelos reológicos de 2 y 3 parámetros utilizados para describir el comportamiento de los fluidos no newtonianos. Sobresalen el modelo de Herschel - Bulkey (ec. 4.1-1) que contempla como casos particulares los modelos más utilizados en Ingeniería: modelo de Ostwald - De Weale - Nutting o ecuación de potencia (ec. 4.1-2) y los plásticos de Bingham (ec. 4.1-3), cuyo comportamiento puede observarse en la fig. 4.1-1.

τ rz

m ⎛ dv ⎞ = τo − ⎜ z ⎟ gc ⎝ dr ⎠

τ rz

m ⎛ dv ⎞ = − ⎜ z⎟ gc ⎝ dr ⎠

τ rz

= τo −

(4.1-1)

(4.1-2)

η ⎛ dv z ⎞ ⎟ ⎜ gc ⎝ dr ⎠

(4.1-3)

τo = Esfuerzo de corte inicial o tensión de fluencia. m = Índice de consistencia. n = Índice de comportamiento. η = Viscosidad plástica.

τrz

Plástico general (ec. 4.1-1) Plástico de Bingham (ec. 4.1-3) n<1 Pseudoplástico

τo

n=1 Newtoniano

(ec. 4.1-2)

n>1 Dilatante

-dvz/dr

Fig. 4.1-1 Comportamiento de modelos reológicos.

4) Fluidos no Newtonianos. El comportamiento Newtoniano lo presentan todos los gases, líquidos puros de bajo peso moléculas tales como el agua y otros solventes, así como soluciones diluidas. Son pocos los reportes de fluidos dilatantes (TiO2, azúcar en agua con gradientes de velocidad altos), siendo el comportamiento más frecuente de los no newtonianos los fluidos pseudoplásticos; lo presentan sustancias de peso molecular elevado (almidón, proteinas, etc.), sistemas coloidales y suspenciones concentradas de sólidos en suspensión (sangre, puré de manzana, pulpa de papel, etc.). El modelo de plástico de Bingham, es el único modelo de dos parámetros reológicos que explica el comportamiento de sustancias como el chocolate, salsa catsup, mantequilla, mayonesa, etc., que requieren que se aplique una tensión mínima para que puedan fluir dentro de la tubería. Los modelos anteriores se presentan para utilizarse en coordenadas cilíndricas, con flujo unidireccional (en la dirección axial o componente de velocidad vz) de fluidos que no dependen del tiempo. Muchos de los fluidos no newtonianos presentan dependencia con respecto al tiempo: un fluido tixotrópico presenta menor resistencia a fluir cuando se pone en movimiento (ej. pintura, catsup, etc.) y un fluido reopéctico presenta mayor resistencia a fluir cuando se pone en movimiento. En la figura 4.1-2 se esquematizan estos comportamientos en donde el grado de tixotropía y reopectía se evalúa por medio del área delimitada por las curvas de aceleración y desaceleración.

τrz

-dvz/dr

a) Fluido tixotrópico.

b) Fluido reopéctico.

Fig. 4.1-2 Fluidos dependientes del tiempo. Si las curvas de aceleración y desaceleración son iguales, el fluido es tiempo independiente. Los fluidos dependientes del tiempo se pueden describir en forma aproximada en base a las ecuaciones de los fluidos tiempo independientes. Es recomendable utilizar los parámetros reológicos evaluados en un intervalo de gradientes de velocidad (velocidad de corte) que incluya las condiciones de la aplicación.

124

Flujo de fluidos

4.2 FLUIDOS QUE SE DESCRIBEN CON LA ECUACION DE POTENCIA Haciendo un desarrollo análogo al de los fluidos Newtonianos para un fluido que se describe con la ecuación de potencia dentro de una tubería cilíndrica, en condiciones de estado estable y flujo laminar, se tiene que el perfil de esfuerzos es:

τ rz

− ∆p f r 2L

m ⎛ − dv z ⎞ ⎟ ⎜ gc ⎝ dr ⎠

(4.2-1)

Al resolver esta ecuación podemos encontrar el perfil de velocidades dentro de la tubería y el valor de la velocidad máxima. En la figura 4.2-1 se esquematizan los perfiles de esfuerzos y velocidades que se generan dentro de la tubería cilíndrica. vz

⎡ ⎛ r ⎞1+1 / n ⎤ = v z max ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥

v z max

⎡ − ∆p f gc ⎤ = ⎢ ⎣ 2mL ⎥⎦

1/ n

(4.2-2)

R 1+1 / n (1 + 1 / n )

τrz

(4.2-3) vz(r) n>1 n=1 n<1

Perfil de esfuerzos

Perfil de velocidades

Fig. 4.2-1 Perfiles de esfuerzos y velocidades en una tubería cilíndrica. Una vez conocido el perfil de velocidades, se puede encontrar el flujo volumétrico y la velocidad lineal promedio, dando lugar a la ecuación de Hagen - Poiseuille para fluidos con ecuación de potencia.

⎡ − ∆p f Rgc ⎤ Gv = ⎢ ⎣ 2mL ⎥⎦

v =

Gv A

1/ n

πR 3 (3 + 1 / n )

⎡ - ∆p f Dgc ⎤ = ⎢ ⎣ 4mL ⎥⎦

1/ n

⎡ − ∆p f Dgc ⎤ = ⎢ ⎣ 4mL ⎥⎦

D 2( 3 + 1 / n )

1/ n

πD 3 8(3 + 1 / n )

(4.2-4)

(4.2-5)

125

4) Fluidos no Newtonianos. La ecuación 4.2-5 se puede expresar en términos del factor de fricción de Fanning y del número de Reynolds generalizado (Re').

16 Re'

⇔ Re' < 2100

(4.2-6)

Siendo: fF

Re' =

− ∆p f Dgc 2ρv 2 L

(4.2-7)

D n v 2− n ρ 8 n −1 k

(4.2-8)

Definiendo a K como el índice de consistencia en tubería cilíndrica: ⎡ 3n + 1 ⎤ K = m⎢ ⎣ 4n ⎥⎦

(4.2-9)

En régimen turbulento para tuberías lisas (ε=0) se ha encontrado que el comportamiento se describe en forma adecuada con la siguiente correlación empírica: 1 fF

4 n

0.75

(

log Re' f F

1− n / 2

)− n0.4

(4.2-10)

1.2

El límite del régimen de transición varía de 3000 a 4000 como puede observarse en la figura del anexo C10. En régimen laminar, el factor de corrección de la energía cinética se puede evaluar con la ec. 4.2-10. Observe que para fluidos newtonianos (n=1) el factor de corrección es de 1/2 y para fluidos pseudoplásticos con n=0.3, el factor de corrección es de 0.665, presentando poca variación con respecto a los fluidos Newtonianos.

α =

(4n + 2 )(5n + 3) 2 6(3n + 1)

Re' < 2100

(4.2-11)

En régimen turbulento el factor de corrección de la energía cinética se puede considerar como 1, en forma análoga a los fluidos newtonianos.

4.3 PLASTICOS DE BINGHAM Al igualar el perfil de esfuerzos con el modelo reológico para un plástico de Bingham en una tubería cilíndrica, se puede observar que para un radio ro, el valor del esfuerzo de corte será la tensión de fluencia (τo), y en la pared de la tubería (en R) el esfuerzo es (τR), como se esquematiza en la fig. 4.3-1.

126

Flujo de fluidos

η ⎛ dv z ⎞ ⎜ ⎟ = gc ⎝ dr ⎠

− ∆p f r 2L

τ rz

= τo −

τR

− ∆p f R 2L

Si r = R

(4.3-2)

τo

− ∆p f ro 2L

Si r = ro

(4.3-3)

(4.3-1)

τrz

vz(r)

r=ro τrz=τo r=0

vmax

Perfil de esfuerzos

Perfil de velocidades

Fig . 4.3-1 Perfiles de esfuerzos y velocidades de un plástico de Bingham . Si la tensión de fluencia del fluido es menor que el esfuerzo de corte en la pared (τo>τR), el fluido no se moverá; si τo<τR el fluido se moverá con un perfil de velocidades que se describe en dos regiones: una donde la velocidad depende del radio y otra donde la velocidad es constante e igual a la velocidad máxima como se indica en las ecuaciones siguientes. vz

v zmáx

τR R ⎡ ⎛ r ⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ 2η ⎢⎣ ⎝ R ⎠

⎤ τo R ⎡ r⎤ 1− ⎥ ⎥− ⎢ η ⎣ R⎦ ⎥⎦

τR R ⎡ τo ⎤ 1− 2η ⎢⎣ τ R ⎥⎦

ro ≤ r ≤ R

0 ≤ r ≤ ro

(4.3-4)

(4.3-5)

Al integrar el perfil de velocidades sobre el área de sección transversal, se obtiene el flujo volumétrico (ec. de Hagen Poiseuille para plásticos de Bingham) y de esta la velocidad lineal promedio. ⎛ τ D ⎞⎡ 4 ⎛ τ Gv = (πR )⎜⎜ R ⎟⎟ ⎢1 − ⎜⎜ o ⎝ 8η ⎠ ⎢⎣ 3 ⎝ τ R 2

⎞ 1 ⎛ τo ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ 3 ⎝ τR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎤ ⎥ ⎥⎦

127

(4.3-6)

4) Fluidos no Newtonianos. ⎛ τ D ⎞⎡ 4 ⎛ τ v = ⎜⎜ R ⎟⎟ ⎢1 − ⎜⎜ o ⎝ 8η ⎠ ⎢⎣ 3 ⎝ τ R

⎞ 1 ⎛ τo ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ 3 ⎝ τR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎤ ⎥ ⎥⎦

(4.3-7)

La ec. 4.3-7 se puede expresar en términos de los números adimensionales de: factor de fricción de Fanning, número de Reynolds y número de Hedstrom (He), siendo la ec. 4.3-8, la correlación que describe al régimen laminar.

1 Re

f F 1 He 1 He − + 16 6 Re 2 3 f F3 Re 8

(4.3-8)

Donde: fF

− ∆p f Dgc 2ρv 2 L

τ R 2gc ρv 2

(4.3-9)

Re =

Dvρ η

(4.3-10)

He =

τ o D 2ρgc η2

(4.3-11)

En este caso se tiene una familia de curvas en régimen laminar, una para cada número de Hedstrom, como se ilustra en la figura del anexo C11. Se observa que para valores del factor de fricción de Fanning mayores que 0.01 se tiene régimen laminar. Si el número de Hedstrom es cero (τo=0) se tiene el caso particular que define a los fluidos newtonianos. En régimen laminar el factor de corrección de la energía cinética se puede estimar con la ec. 4.3-12:

α =

(4.3-12)

τ 2− o τR

Para fluidos newtonianos (τo /τR =0) el factor de corrección será de 1/2 y para valores elevados de tensión de fluencia (τo /τR tiende a 1) el factor de corrección se aproxima a la unidad (teniéndose flujo tapón). Es difícil que un plástico de Bingham alcance la región turbulenta, dado que se requerirían esfuerzos de corte en la pared grandes, por lo que hay poca información en este régimen. Se debe tener cuidado con la generación de calor, aunque se tenga flujo laminar, las pérdidas por fricción pueden elevar la temperatura del fluido lo suficiente como para modificar sus propiedades reológicas (como ocurre en la extrusión de algunas sustancias).

128

Flujo de fluidos

4.4 FRICCION EN VALVULAS Y ACCESORIOS Existe poca información de pérdidas por fricción de fluidos no newtonianos en válvulas y accesorios. Utilizando los procedimientos descritos para fluidos newtonianos con el número de Reynolds modificado, se estiman pérdidas por fricción que caen dentro del orden de magnitud observada (Metzner). Toledo utiliza el método de longitudes equivalentes en la estimación de las pérdidas por fricción de fluidos pseudoplásticos en tuberías sanitarias y rugosas independientemente del patrón de flujo que se tenga. En régimen laminar, el método de las L/D proporciona estimados más grandes que el método de las K, pero se recomienda para fines de diseño con el fin de no subestimar el efecto de las pérdidas por fricción en la determinación de la potencia de bombas.

Ejemplo 4.4-1) Evaluación de parámetros reológicos. Utilizando el prototipo de la fig. 3.5-2, se obtuvieron los resultados de la tabla 4.4-1, con el fin de determinar los parámetros reológicos de un yogur líquido (ρ=1044 Kg/m3), para lo cual se usó un capilar de 0.297 m de longitud y 0.118 cm de radio.

Tabla 4.4-1) Resultados experimentales. Gv (cm3/s)

Z1 – Z2 (cm)

0.9365 1.2246 1.7435 2.187 2.838

31.00 31.05 31.10 31.15 31.25

h4 –h3 (cm de CCl4) 1.0 -2.7 -5.4 -9.1 -14.8

Balance de energía entre 1 y 2: − W' =

v12 ⎞ 1 ⎛ v 22 g p − p1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 ⎜⎜ + ∑ Ev12 − gc ⎝ 2α 2 2α 1 ⎠ ρ gc

En régimen laminar α2 oscilará entre 0.5 (si n=1) y 0.665 (si n= 0.3) por lo que se puede suponer como 0.5. ΣEv12 = EvTR + EvEnt + EvSal ΣEv12

2f F v 22 L v2 + (0.78 + 1) 2 gcD 2gc

129

4) Fluidos no Newtonianos. El planteamiento tiene puntos comunes con el problema 3.5-2, siendo diferente la forma de evaluar las pérdidas por fricción en la tubería recta, para ello se utilizará la definición del número de Reynolds modificado para la ecuación de potencia (ec. de Heaven Poiseuille), la cual se puede expresar como: − ∆p f Dgc 4L

⎡ 3n + 1⎤ ⎡ 8v 2 ⎤ = m⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 4n ⎦ ⎣ D ⎦

Expresando la ecuación anterior en términos del índice de consistencia en tubería: − ∆p f Dgc 4L

⎡ 8v ⎤ = K⎢ 2 ⎥ ⎣ D ⎦

Aplicando logaritmos y haciendo una regresión lineal, se pueden obtener los parámetros reológicos. ⎡ − ∆p f Dgc ⎤ ⎡ 8v 2 ⎤ log ⎢ ⎥ = log(K ) + n log ⎢ D ⎥ 4 L ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

En la siguiente tabla se resumen los cálculos efectuados en donde se incluye el número de Reynolds modificado que corrobora la suposición de régimen laminar. v (m/s) 0.215 0.282 0.401 0.503 0.653

-∆pf (Pa) 2927 3442 3705 4103 4656

(8v/D)

(-∆pfDgc/4L)

Re’

732 958 1364 1710 2220

5.797 6.816 7.338 8.125 9.222

65.732 181.182 178.581 257.109 390.931

Resultados. K = 0.445 Kg/ms2-n m = 0.391 Kg/ms2-n n = 0.392 r = 0.989

Indice de consistencia en tubería: Indice de consistencia: Indice de comportamiento: Correlación:

Ejemplo 4.4-2) Vaciado de un tanque de proceso. Se desea diseñar el sistema para vaciar los tanques de proceso de yogur líquido. En la fig. 4.4-1 se esquematizan las condiciones típicas generales de un tanque en particular, cuyo volumen de 5000 l se requiere vaciar en 15 minutos. Suponga que para el sistema se tienen 2 válvulas de bola, una te a lo largo, 4 codos de 90 grados de radio largo; la longitud de la tubería recta del

130

Flujo de fluidos tanque 1 a la bomba es de 2 m de tubería de acero inoxidable sanitario y de la bomba a la descarga en el punto de referencia 2 es de 5 m. a) ¿Qué diámetro de tubería se debe utilizar? b) ¿Cual es la potencia transmitida al fluido? 2 m Tubería recta 1 Entrada 1 Válvula de bola

Z 2 =3 m

1Codo de 90° Z 1 =3 m V=5000 l

5 m Tubería recta

t=15 min

1 Salida 1 Válvula de bola 3 Codos de 90°

Z=0

Fig. 4.4-1 Esquema del ejemplo 4.4-2. En forma estricta, este problema debe resolverse encontrando el punto mínimo de la gráfica de costos totales en función del diámetro de la tubería. En este problema se plantea la primer etapa de este tipo de problemas. Fijando los puntos de referencia 1 como el nivel del recipiente que alimenta a la bomba y 2 como la salida de la tubería, al hacer el balance de energía se tiene que: − W' =

∑ Ev

v2 ⎞ g p − p1 1 ⎛⎜ v 22 + ∑ Ev12 − 1 ⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 ⎜ ⎟ gc gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ

∑ Ev

+ ∑ Ev K

= Ev TR + 2Ev VB + 4Ev 90 + Ev Te

ΣL = 7 + (2(3) + 4(20) + 20)D = 7 + 106 D ΣEv LD

2f F v 22 ΣL gcD

⎛ v2 ⎞ = (0.5 + 1)⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 2gc ⎠ Como puede observarse en las ecuaciones anteriores, no es posible responder cada pregunta por separado. La estrategia a seguir, será suponer el diámetro y evaluar la velocidad

∑ Ev K

= Ev Ent + Ev Sal

131

4) Fluidos no Newtonianos. lineal promedio, número de Reynolds, factor de fricción, pérdidas por fricción, trabajo y finalmente la potencia transmitida por la bomba. En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos. D (m) 0.02291 0.03561 0.04750 0.06020 0.07290 0.09738

v (m/s) 13.476 5.578 3.135 1.952 1.331 0.746

124000 35675 15816 8100 4718 2082

0.0022 0.0028 0.0037 0.0042 0.0049 0.0050

-W ΣEvLD ΣEvK ΣEv12 (Nm/Kg) (Nm/Kg) (Nm/Kg) (NmKg) 335.222 136.199 471.422 581.835 54.112 23.335 773447 112.618 19.014 7.373 26.387 50.916 7.370 2.858 10.228 31.747 3.721 1.329 5.050 25.550 1.034 0.417 1.451 21.622

Pt (W) 3375 653 295 184 148 125

Para diámetros pequeños, se requiere una potencia grande, que se utiliza en vencer las perdidas por fricción, provocando que los costos variables (energía eléctrica en este problema) sean grandes, lo mismo que los costos fijos (costo de la bomba grande, costos de tubería y accesorios principalmente pequeños). Para diámetros grandes, la potencia transmitida se utiliza en vencer la diferencia de niveles entre los puntos de referencia, los costos variables son pequeños, lo mismo que la capacidad de la bomba, pero el costo de la tubería será grande. En base a lo anterior, se elige el diámetro de 2 in ó 2.5 in como diámetro adecuado para esta aplicación, la potencia al freno deberá ser de 0.75 HP ó 0.5 HP (considerando una eficiencia de 50 %).

4.5 BOMBAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO Una de las principales características de las bombas de desplazamiento positivo, es que entregan una cantidad constante de fluido por cada desplazamiento en las bombas reciprocantes, o bien, en cada revolución en las rotatorias, independientemente de la presión de descarga. En la fig. 4.5-1 se muestra la clasificación general de las bombas de desplazamiento positivo. El trabajo transmitido al fluido se puede evaluar con el balance de energía de igual forma que para una bomba centrífuga.

Bombas de desplazamiento positivo

Reciprocantes

Pistón Diafragma

Rotatorias o Rotativas

Engranes Lóbulos Tornillo Moyno Pistón Aletas

Fig. 4.5-1 Clasificación general de las bombas de desplazamiento positivo.

132

Flujo de fluidos

Bombas reciprocantes.- En las figuras 4.5-2 y 4.5-3 se muestran los esquemas de las bombas de pistón (émbolo) y diafragma. En estas bombas el eje que mueve al (los) émbolo (s) o diafragma (s) presenta movimiento reciprocante, que es accionado con algún motor o bien con un gas a presión (aire o vapor). Estas bombas cuentan con un juego de válvulas para la succión y descarga del fluido (capleta, bola, etc.), que se abren y cierran dependiendo de las presiones existentes en la línea de succión, compartimiento (s) interno (s) de la bomba y línea de descarga. Cuando la bomba es accionada neumáticamente (con gas), se disminuye el riesgo de explosión o incendio cuando se manejan fluidos inflamables. Las bombas de diafragma no tienen sellos mecánicos ni empaquetadoras, lo que evita derrames. Son autocebantes, pueden manejar fluidos abrasivos, corrosivos, con sólidos en suspención y funcionar como compresores o bombas de vacío. En la fig. 4.5-4 se muestran las curvas de descarga de bombas reciprocantes. Las bombas mostradas en las figuras 4.5-2 y 4.5-3 presentan acción simplex doble, siendo común encontrarlas en máquinas envasadoras de líquidos.

Fig. 4.5-2 Bomba de pistón accionada con vapor. Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980, pag. 535.

133

4) Fluidos no Newtonianos.

Fig. 4.5-3 Bomba de diafragma. Fuente: http://www.wilden.nl/990101en.htm

Fig. 4.5-4 Descarga de bombas reciprocantes. Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. MĂŠxico 1980, pag. 536.

134

Flujo de fluidos Bombas rotatorias.- Este tipo de bombas el fluido ocupa el espacio entre la carcaza y las partes móviles de las bombas, que pueden ser engranes, lóbulos o aletas, como se muestra en las figuras 4.5-5 a 4.5-7, dando flujos constantes, como puede observarse en la fig. 4.5-8. Pueden manejar cualquier fluido que no sea abrasivo, y son recomendadas para fluidos viscosos. Si el fluido tiene propiedades lubricantes, disminuye el desgaste de estas bombas. Son autocebantes y pueden utilizarse como bombas de vacío.

Fig. 4.5-5 Bomba de engranes. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 185.

a) Dos lóbulos

b) Tres lóbulos

Fig. 4.5-6 Bomba de lóbulos. a) Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980, pag. 538. b) Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 186.

Fig. 4.5-7 Bomba de aletas deslizantes. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 187.

135

4) Fluidos no Newtonianos.

Fig. 4.5-8 Curvas de descarga de bomba de engranes. Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980, pag. 541.

Fig. 4.5-9 Bombas de tornillo sinfín. Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980, pag. 539.

136

Flujo de fluidos Las bombas de tornillo (sinfín) y moyno (tornillo helicoidal) permiten manejar fluidos muy viscosos, tales como pastas, chocolate, mermeladas (plásticos de Bingham), etc. Se les encuentra en equipos como embutidoras y extrusores. Proporcionan un flujo continuo a bajas velocidades del rotor. En las figuras 4.5-9 y 4.5-10 se indican las principales partes de estas bombas. Debido a que las bombas de desplazamiento positivo proporcionan flujos constantes incluso a altas presiones, se recomienda poner una válvula de alivio en la línea de descarga como medida de seguridad. Si el flujo es muy viscoso, colocar una placa espaciadora, un rompe vórtice y conservar un nivel mínimo en el tanque de alimentación, evitará el paso de aire a la bomba. Una línea de recirculación permitirá controlar el flujo y presión del fluido que se bombea, como puede observarse en la fig. 4.5-12.

Fig. 4.5-10 Bomba Moyno. Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980, pag. 539.

Fig. 4.5-11 Bomba rotatoria de pistón. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 187.

137

4) Fluidos no Newtonianos.

Fig. 4.5-12 Diseño de alimentación de bombas de desplazamiento positivo. Fuente: McNaughton, K., Bombas, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994., pag. 171.

4.6 PROBLEMAS PROPUESTOS 4.6-1 Velocidades medias para régimen laminar. Encontrar la relación entre la velocidad cúbica media y la velocidad lineal promedio (3v/v) y relacionarla con el factor de corrección de la energía cinética α. 4.6-2 Analisis de n y k vs. T . Analice los datos reológicos de la siguiente tabla, indicando si existe relación del índice de consistencia con respecto a la temperatura acorde con la ec. de Andrade. Concentrado de albaricoque:

Sólidos % 26 26 26

Temperatura °C 4.5 25 60

n (-) 0.26 0.30 0.32

K/gc (dsn/cm2) 860 670 400

Holdsworth, S.D. Applicability of rheological models to the interpretation of flow and processing behavoir of fluid food products. J. Tex. Studies 2(4): 393-418, 1971.

138

Flujo de fluidos

4.6-3 Viscosímetro de Ostwald. Analice la posibilidad de utilizar el viscosímetro de Ostwald para evaluar el índice de consistencia de la misma sustancia a temperaturas diferentes conociendo los parámetros a una temperatura, suponiendo que el fluido se describe con la ec. de potencia. 4.6-4 Para los datos de la siguiente tabla. ¿Es constante el índice de comportamiento? Obtenga el valor promedio y compare los perfiles de velocidad considerando el valor real y el promedio. ¿Cómo afecta la concentración de sólidos a los parámetros reológicos? Obtenga una ecuación que relacione k=k(%sólidos, T). Puré de pera:

Sólidos % 18.3 18.3 26 26 31 31 37 37

Temperatura °C 32 82 32 82 32 82 32 82

n (-) 0.486 0.484 0.450 0.455 0.450 0.459 0.479 0.481

K/gc (dsn/cm2) 22.5 14.5 62 36 109 56 355 160

Holdsworth, S.D. Applicability of rheological models to the interpretation of flow and processing behavoir of fluid food products. J. Tex. Studies 2(4): 393-418, 1971. 4.6-5 Evaluación de parámetros reológicos (Toledo, 1991, pag. 225, pro. 1). Los siguientes datos fueron obtenidos con salsa de tomate que pasaba a través de un tubo de diámetro interno de 1.384 cm y longitud de 1.22 m. Determine los parámetros reológicos.

Gv (cm3/s) 107.50 67.83 50.89 40.31 10.10 8.80 33.77 53.36 104.41 R) n = 0.49

∆P (d/cm2 X 10-4) 50.99 42.03 33.07 29.62 15.56 14.49 31.00 35.14 46.85 k = 6.54 Pa sn.

139

4) Fluidos no Newtonianos. 4.6-6 Evaporador – bomba. Un evaporador operando a 380 mmHg y 82 °C concentra sólidos de pera a 37 % (ρ = 1.18 g/cm3). El flujo que sale del evaporador es de 40 lpm. El nivel del evaporador está a 1.5 m arriba de la salida y ésta a su vez a 0.5 m del nivel de la bomba. La línea entre el evaporador y la bomba tendrá una válvula de bola, una te y dos codos de 90° y una longitud de tubería recta de 1 m, la línea de descarga de la bomba una válvula de bola y tres codos, una logitud de tubería recta de 3 m con descarga a 2 m arriba del nivel de la bomba. a) ¿Qué diámetro de tubería sugiere para la línea de succión y descarga de la bomba? b) ¿Qué potencia debe transmitir la bomba al fluido? c) Calcule el valor del NPSHD e interprete su valor (suponga que la presión de vapor del puré es la del agua pura). d) Sugiera el tipo de bomba a utilizar. 4.6-7 Para el yogur del ejemplo 4.4-1, cuando circula por una tubería de 1 in de acero inoxidable sanitario de 5 m de longitud operando con un número de Reynolds de 1500: a) b) c) d) e)

Evalúe el flujo volumétrico. Determine la velocidad máxima presente en el centro de la tubería. Calcule la caída de presión por fricción. Evalúe el esfuerzo de corte en la pared. La fuerza necesaria para mover el fluido.

4.6-8 Cálculo de Ev en función de Gv. Cuando un fluido circula a través de un tubo con una velocidad v, parte de su energía mecánica se disipa en energía interna por efectos friccionantes. Sea esta ΣEv (J/Kg). ¿Qué le ocurre a esta pérdida friccional de energía al triplicar el caudal si es un fluido con índice de comportamiento de 0.5 y de consistencia de 0.2 Kgsn-2/m? a) Supóngase Reinicial = 100 en tubo liso. b) Supóngase Reinicial = 1000 en tubo liso. c) Supóngase Reinicial = 10000, en tubo liso. Repita el problema suponiendo ahora un plástico de Bingham con η=2 Kg/ms y τo=10 Pa, ρ=1500 Kg/m3 y la tubería de 1 in. 4.6-9 Por una tubería de acero inoxidable de 1 in y 10 m de longitud circula un fluido (n=0.3, m=0.35 Kgsn-2/m). Si la longitud se reduce a la mitad, ¿qué flujo se tiene? Considere únicamente la resistencia de la tubería. 4.6-10 ∆P para un flujo dado. Hallar la diferencia de presiones necesaria para bombear un fluido a través de una tubería de 2 in de diámetro y 10 m de longitud con una velocidad de 2 m3/h. La tubería es horizontal y contiene 4 codos normales de 90° y dos codos de 45° (L/D=32 y 15, respectivamente). a) Si el fluido es agua a 20 °C. b) Si el fluido tiene una n=0.5, m=0.5 Kgsn-2/m. c) Si el fluido tiene una τo=0.2 Pa, η=0.2 Kg/ms.

140

Flujo de fluidos 4.6-11 Tiempo de vaciado de un tanque elevado. El tanque de la fig, 3.9-4 está inicialmente lleno de un líquido que se describe con la ec. de potencia de densidad ρ. Hallar una expresión del tiempo necesario para vaciar el tanque (pero no la tubería), utilizando un método cuasi estacionario. Emplear el balance de materia en estado no estacionario juntamente con el balance de energía mecánica en estado estacionario. Despréciense las pérdidas por fricción de la entrada y salida y supóngase que en el tubo se tiene régimen laminar. Desprecie también la energía cinética de la corriente que sale. 4.6-12 Cálculo de Gv en tanque elevado. Calcular la velocidad de flujo para puré de manzana a 82 °C en el sistema que se indica en la fig. 3.9-11. El nivel del líquido en el depósito superior se mantiene constante. 4.6-13 Una masa para tallarines (τo=200 Pa, η=10 Kg/ms, ρ=1100 Kg/m3) pasará por una boquilla rectangular (rendija de 2 X 0.2 cm y 2 cm de longitud), con un flujo de 1 Kg/min. a) Desarrolle la ecuación que describa un plástico de Bingham a través de una rendija (desprecie los efectos terminales). b) Evalúe la caída de presión por fricción. 4.6-14 Analice la posibilidad de utilizar el diámetro hidráulico en tuberías no cilíndricas para un fluido que se describa con la ec. de potencia en régimen laminar. 4.6-15 Fuerza en una tubería en U. Por una curvatura en forma de U (ver fig. 3.9-14) de una tubería circulan 85 l/s de carboximetilcelulosa en agua al 15 % (ρ=1050 Kg/m3, n=0.5, m=0.5 Kgsn-2/m). ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre la tubería en U? 4.6-16 Análisis de un sistema. Se desea conocer y controlar el flujo de un fluido no newtoniano en una tubería con el fin de estimar el tiempo de permanencia en un equipo (por ej. en un pasteurizador continuo). Proponga un sistema si el fluido: a) Es agua. b) Es opaco homogéneo (ej. leche evaporada). c) Tiene partículas en suspensión (ej. yogur con frutas). 4.6-17 Venturi para para fluido con ec. de potencia. Un fluido que se describe con la ec. de potencia circula por un venturi con un piezómetro diferencial como indicador de la presión (tubo en U invertido utilizando el mismo fluido como fluido manométrico). Encuentre una expresión que relacione la caída de presión registrada con el flujo másico. 4.6-18 Medición indirecta del flujo. ¿Cómo puede relacionarse la presión manométrica y el flujo de un fluido, si ésta se mide en la descarga de una bomba? (Ver fig. 3.8-11). Explique y desarrolle la metodología.

141

4) Fluidos no Newtonianos. 4.6-19 Corazón artificial. ¿Como afectan las propiedades reológicas el resultado del problema del corazón artificial? (Ver problema 3.9.9-1). Datos para la sangre: n=0.89, m=0.00384 Kg/ms2-n 4.6-20 ∆P para un flujo y ∆Z dadas. a) Repetir el problema 3.9.6-4, si en lugar de agua el fluido es leche evaporada (n=0.65, m=0.5 Kg/ms2-n, ρ=1100 Kg/m3). b) Repetir el problema si el fluido es pasta de dientes (η=15 Kg/ms, τo=250 Pa, ρ=1700 3 Kg/m ).

142

FLUIDOS COMPRESIBLES

5.1 VELOCIDAD DEL SONIDO En gases, la transmisión de la presión no se realiza tan rápido como ocurre en líquidos y sólidos. En la figura 5.1-1 se esquematiza una onda de choque que viaja a la velocidad del sonido (c) en la dirección axial en una tubería. La perturbación en este ejemplo puede deberse a un émbolo colocado en la parte izquierda de la figura y que se desplaza a la derecha. p+dp ρ+d ρ

p ρ

Dirección de la onda de choque que viaja a la velocidad c

Elemento de control

Fig. 5.1-1) Propagación de una onda de choque en una tubería.

La ecuación de continuidad para flujo unidireccional en estado estable es: ∂ (ρv z ) ∂v ∂ρ = ρ z + vz ∂z ∂z ∂z

= 0

(5.1-1)

En este caso la velocidad depende de la coordenada axial, se supondrá que se tiene flujo tapón (la velocidad no depende de la coordenada radial), debido a que se manejarán números de Reynolds grandes. La ecuación de cantidad de movimiento (componente z) en estado estable sin fricción se reduce a:

ρv z ∂v z gc ∂z

= −

∂p ∂z

(5.1-2)

5) Fluidos compresibles. Combinando ambas ecuaciones y despejando la velocidad, se obtiene una ecuación que permite estimar la velocidad del sonido (c): gc

∂p ∂ρ

= v 2z

c =

= c2

(5.1-3)

∂p ∂ρ

(5.1-4)

Idealmente la onda de choque es un proceso adiabático reversible (isoentrópico) que se desplaza a la velocidad del sonido. Para un gas ideal en estas condiciones se cumplen las siguientes relaciones: Ley de los gases ideales.

ρℜ T M

p =

(5.1-5)

Ecuaciones de un proceso adiabático.

p ρk

= ctte

T p

(5.1-6)

= ctte

1−1 / k

(5.1-7)

Siendo k la relación de calores específicos a presión constante (Cp) y volumen constante (Cv): cp

k =

ℜ M

(5.1-8)

= cp − cv

k −1 =

ℜ Mc v

(5.1-9)

kℜ Mc p

(5.1-10)

Si la entropía es constante: ∂p ∂ρ

kℜT M

(5.1-11)

144

Flujo de fluidos c =

gckℜT M

gckp ρ

(5.1-12)

Las ecuaciones 5.1-5 a 5.1-11 son ecuaciones generales de un proceso adiabático para un gas ideal. La ec 5.1-12 permite evaluar la velocidad del sonido de un gas ideal. La relación de la velocidad lineal promedio del gas (u) o de un cuerpo sólido en un gas y la velocidad del sonido del gas se conoce como número de Match (Ma), definiéndose las siguientes condiciones:

Ma = Ma < 1 Ma ≅ 1 Ma = 1 Ma > 1

u c

(5.1-13)

Flujo subsónico (coche en movimiento). Flujo transónico (gas en tubería a altas velocidades) Flujo sónico (sonido) Flujo supersónico (avión)

5.2 FLUJO EN DUCTOS DE SECCIÓN VARIABLE En la fig. 5.2-1 se esquematiza un sistema que consta de un reservorio cuyas condiciones serán Po, To y ρo, el cual puede ser un recipiente o bien la descarga de un compresor y que proveerá un flujo constante de gas; una sección convergente y otra divergente, a la sección más estrecha se le denomina garganta y las propiedades del gas estarán definidas con el subíndice 1; el final de la sección divergente con subíndice 2 y un recipiente (subíndice 3) que puede ser un tanque o la descarga a la atmósfera. Las secciones convergente y divergente en general tienen una longitud corta, o aislada térmicamente, de tal suerte que la transferencia de calor es despreciable, como ocurre en un sistema adiabático (tobera de DeLaval, tubo vénturi, válvulas de paso reducido, etc.). Sección convergente

Sección divergente

Reservorio po, To, ρo vo≅0

Recipiente p 3, T 3, ρ3

Garganta p 1, T 1, ρ1 Sistema adiabático (q=0)

Fin de la sección divergente p 2, T 2, ρ2

Fig. 5.2-1 Flujo isoentrópico en ducto de área variable.

145

5) Fluidos compresibles. El balance de materia para este sistema en condiciones de estado estable es: Gm = ρGv = ρuS = ctte

(5.2-1)

Ln Gm = Ln ρ + Ln u + Ln S

(5.2-2)

Diferenciando la ec. 5.2-2: du/u + dS/S + dρ/ρ = 0

(5.2-3)

Despejando la ρ de la ec. 5.1-2 y sustituyendo en la ec. 5.2-3. du/u + dS/S - (u/gc)(dρ/dp)du = 0

(5.2-4)

Sustituyendo la variación de la presión con respecto a la densidad (5.1-4) y acomodando: (1-u2/c2)du/u + dS/S = 0

(5.2-5)

(Ma2 - 1)du/u = dS/S

(5.2-6)

La ec. 5.2-6 predice que para la sección convergente (dS/S<0) cuando se tiene flujo subsónico (Ma<1) la velocidad del gas se incrementa (du/u>0), que es la situación normal de los sistemas que revisaremos. En la garganta se tiene el área mínima (dS/S=0) y la velocidad máxima posible es la del flujo sónico (Ma=1) para un sistema adiabático. En la sección divergente (dS/S>0) cuando en la garganta se tiene flujo sónico, pueden ocurrir dos situaciones: que se tenga flujo subsónico (Ma<1) y el gas disminuya su velocidad (du/u<0) o bién que se tenga flujo supersónico (Ma>1) y el gas incremente su velocidad (du/u>0). Si en la garganta se tiene flujo subsónico, en la sección divergente también se tendrá flujo subsónico. Al plantear el balance de energía en estado estable, despreciando las pérdidas por fricción y variaciones en la energía potencial, se tiene que:

∫

p 1 ⎛ u2 ⎞ ⎟⎟ + ∫ dp = 0 d ⎜⎜ ⎝ 2gcα ⎠ p 0 ρ

(5.2-7)

Como se tiene régimen turbulento, el factor de corrección de la energía cinética se considerará como la unidad. Sustituyendo la densidad para un proceso adiabático (ec. 5.1-6) en el balance de energía y reacomodando:

∫

1/ k p p ⎛ u2 ⎞ o ⎟⎟ = − ∫ dp d ⎜⎜ 1/ k p o 2 gc ρ p ⎠ ⎝ o

(5.2-8)

146

Flujo de fluidos En esta ecuación se considera que en el reservorio la velocidad del gas es despreciable (vo=0). Integrando y despejando la velocidad lineal promedio (u) y a partir de esta, se obtienen las siguientes relaciones:

2gcp o k ⎡ ⎛ p ⎢1 − ⎜ ( k − 1)ρ o ⎢ ⎜⎝ p o ⎣

2 ⎡⎛ p o ⎢⎜ ( k − 1) ⎢⎜⎝ p ⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

1−1 / k

⎤ ⎥ ⎥⎦

(5.2-9)

⎤ − 1⎥ ⎥⎦

1−1 / k

(5.2-10)

⎡ ( k − 1) Ma 2 ⎤ 1− k = ⎢1 + ⎥ 2 ⎣ ⎦

p po

⎡ 2gckρ o p o ⎤ = uρ = ⎢ ⎥ ⎣ ( k − 1) ⎦

Gm S

(5.2-11)

1/ 2

⎛ p ⎜⎜ ⎝ po

⎞ ⎟⎟ ⎠

1/ k

⎡ ⎢1 − ⎛⎜ p ⎢ ⎜⎝ p o ⎢⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

k −1 k

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

1/ 2

(5.2-12)

La información de las ecuaciones 5.2-9 a 5.2-12 es la misma, expresada en términos de la velocidad del gas, número de Match, relación de presiones y flux másico. Si en la garganta se presenta flujo sónico, se presenta la condición límite, para la cual se define a rc como la relación crítica de presiones, siendo máximo el flux másico del gas: Ma1 = 1 rc

p 1* po

⎡ k + 1⎤ 1− k = ⎢ ⎣ 2 ⎥⎦ Gm S

= u 1ρ 1

(5.2-13)

Gnz *

k +1 ⎤ ⎡ k −1 gcMk 2 ⎛ ⎞ = po ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ℜTo ⎝ 1 + k ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

2gckρ o p o k −1

⎛ p 1* ⎜⎜ ⎝ po

⎞ ⎟⎟ ⎠

1/ k

⎛ p* 1 − ⎜⎜ 1 ⎝ po

⎞ ⎟⎟ ⎠

k −1 k

(5.2-14)

1/ 2

(5.2-15)

Note que para determinar el flux másico máximo en condiciones adiabáticas (Gnz*) intervienen exclusivamente las propiedades del gas (k, ρo) y las condiciones del reservorio (To,po). En la deducción se supuso que la velocidad del reservorio es despreciable, por lo que a po, To y ρo se les conoce como condiciones de estancamiento.

147

5) Fluidos compresibles.

a’

1 c

p/po

i d

g’ j h’ g h

0 0

Garganta

Fig. 5.2-2 Variación de la presión en función de la distancia. En la fig. 5.2-2, se muestra como varía la presión en el sistema adiabático de sección transversal variable. L representa la distancia axial de las secciones convergente y divergente. La línea a-a' se presenta cuando no hay flujo (Gm=0), siendo las presiones iguales en todo el sistema (po=p1=p2=p3). Cuando la presión en el recipiente es menor que en el reservorio (p3<po), si en todo el sistema se tiene flujo subsónico (línea a-b-c), en la garganta se tendrá la velocidad máxima y la relación mínima de presiones (punto b). El punto d representa la condición de flujo máximo en donde se tiene flujo sónico en la garganta (Ma1=1). Si la relación de presiones entre el recipiente y reservorio es mayor que la relación crítica (p3/po>rc), se tendrá flujo subsónico en la sección divergente (línea d-e). Al disminuir más la presión en el recipiente, (p3/po<rc) se tendrá una sección con flujo supersónico (d-g o d-h) y posteriormente ocurre una implosión, esto es, un cambio brusco en la velocidad, pasando de flujo supersónico a flujo susbsónico (g-g' o h-h'). El punto f representa la relación p3/po tal que en toda la sección divergente el flujo es supersónico (línea d-f). Al reducir más la presión en el recipiente, en este se presentarán explosiones (expansiones bruscas), tal como ocurre en los cohetes espaciales en su lanzamiento.

148

Flujo de fluidos

5.3 FLUJO ADIABÁTICO CON FRICCIÓN Utilizando las ecuaciones de la sección anterior, podemos relacionar las condiciones del reservorio y la entrada a una tubería cilíndrica aislada térmicamente como la mostrada en la fig. 5.3-1. Tubo adiabático L, D

Reservorio po, To, ρo vo≅0

Recipiente p 3, T 3, ρ3

Entrada p 1, T 1, ρ1

Salida p 2, T 2, ρ2

Fig. 5.3-1) Flujo adiabático en una tubería con fricción. Los balances de materia y cantidad de movimiento para la sección adiabática, de área constante, en condiciones de estado estable y despreciando el término gravitacional, son: d(ρu) = udρ + ρdu = 0

(5.3-1)

d(ρu2/gc) + dp + d(Ff)/S = 0

(5.3-2)

Como la viscosidad de los gases es pequeña, en general se tendrán números de Reynolds grandes, de aquí que el factor de fricción de Fanning será constante en toda la tubería. La fuerza de arrastre entre el área transversal define la caída de presión asociada a la fricción. Utilizando la definición del factor de fricción y el balance de materia, el balance de cantidad de movimiento se puede expresar como: 2 f ρu 2 ρu du + dp + F dz = 0 gc gcD

(5.3-3)

De las definiciones de velocidad del sonido y número de Match, se despejan la densidad y velocidad del gas, respectivamente, al sustituirlas en la ec. 5.3-3.

149

5) Fluidos compresibles.

gckp c2

ρ = ρu gc

kMa 2

kpMa c

(5.3-4)

kpMa 2 u

(5.3-5)

du dp 2f F kMa 2 + + dz = 0 u p D

(5.3-6)

Diferenciando la ley de los gases ideales y combinándola con la ec. de continuidad:

⎛ℜ⎞ ln p = ln⎜ ⎟ + ln ρ + ln T ⎝M⎠

(5.3-7)

dρ dT + T ρ

dp p

dρ ρ

= −

(5.3-8)

du u

(5.3-9)

En estado estable la suma de energías cinética, entalpía y potencial totales de un sistema adiabático permanecerán constantes (ec. 1.4-21). ˆT +H ˆ T + φˆ T ) = 0 d (K

(5.3-10)

⎛ u2 ⎞ ˆ = 0 ⎟⎟ + dH d ⎜⎜ 2 gc ⎝ ⎠

(5.3-11)

De la definición de entalpía y ec. 5.3-11: ˆ = c p dT = − dH dT T

= −

u du gc

(5.3-12)

u du gc c p T

(5.3-13)

Sustituyendo la relación de calor específico a presión constante (ec. 5.1-10) y la temperatura de la definición de la velocidad del sonido (ec. 5.1-12). T =

M c2 gckℜ

(5.3-14)

150

Flujo de fluidos

du dT du = − − ( k − 1) Ma 2 u T u

[

= − 1 + ( k − 1) Ma 2

] duu

(5.3-15)

Diferenciando la definición del número de Match y reacomodando:

⎛ kℜT ⎞ 2 = ⎜ ⎟ Ma ⎝ M ⎠

(5.3-16)

⎛ kℜ ⎞ 2 ln u = ln⎜ ⎟ + ln T + 2 ln Ma ⎝M⎠

(5.3-17)

du u

(5.3-18)

du u

1 dT dMa + 2 T Ma 1 dMa ⎡ ( k − 1) 2 ⎤ Ma ⎢⎣1 + 2 Ma ⎥⎦

(5.3-19)

Finalmente el balance de cantidad de movimiento expresado en términos del número de Match es:

4f F dz = D

2(1 − Ma 2 ) dMa ( k − 1) 2⎡ 2⎤ kMa ⎢1 − Ma ⎥ 2 ⎣ ⎦

(5.3-20)

Al integrar la ec. 5.3-20 con las condiciones a la entrada y salida de la tubería se tiene que el coeficiente de resistencia en gases (N) es:

N =

1⎡ 1 1 ( k + 1) ⎛ Ma 22 Y1 ln⎜⎜ − − ⎢ 2 k ⎣ Ma 12 Ma 22 2 ⎝ Ma 1 Y2

N =

4f F L D

= 1+

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

fFL rH

( k − 1) Ma i2 2

(5.3-21)

(5.3-22)

i = 1, 2

(5.3-23)

Al desarrollar expresiones para la temperatura, presión y densidad como función del número de Match, se puede demostrar que: T2 T1

Y1 Y2

(5.3-24)

151

5) Fluidos compresibles.

p2 p1 ρ2 ρ1

1/ 2

Ma 1 ⎡ Y1 ⎤ Ma 2 ⎢⎣ Y2 ⎥⎦ ⎡ Y2 ⎤ ⎢Y ⎥ ⎣ 1⎦

1/ 2

Ma 1 Ma 2

(5.3-25)

(5.3-26)

De la definición del número de Match, el flux másico es:

G =

⎡ gcMk ⎤ = Ma 1 p 1 ⎢ ⎥ ⎣ ℜT1 ⎦

Gm S

1/ 2

⎡ gcMk ⎤ = Ma 2 p 2 ⎢ ⎥ ⎣ ℜT2 ⎦

G = uρ = Ma 1 (gckρ 1 p1 )

1/ 2

(5.3-27)

(5.3-28)

El caudal máximo posible en un tubo adiabático con fricción (flujo obstruido) corresponde con la velocidad sónica a la salida de la tubería (Ma2=1), en donde las ecuaciones generales se particularizan a:

N =

2 Y1 1⎡ 1 ( k + 1) ⎛ ln⎜⎜ −1− ⎢ 2 2 k ⎣ Ma 1 2 ⎝ ( k + 1) Ma 1

= 1+

T* T1

ρ* ρ1

⎡ k + 1⎤ = Ma 1 ⎢ ⎥ ⎣ 2 Y1 ⎦

1/ 2

p* p1

⎡ 2Y ⎤ = Ma 1 ⎢ 1 ⎥ ⎣ k + 1⎦

1/ 2

(5.3-29)

( k − 1) Ma 12 2

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

(5.3-30)

2 Y1 k +1

Gm * S

(5.3-31)

(5.3-32)

⎡ gckM ⎤ = Ma 1 p1 ⎢ ⎥ ⎣ ℜT1 ⎦

(5.3-33) 1/ 2

⎡ gcMk ⎤ = p ⎢ * ⎣ ℜT ⎥⎦ *

1/ 2

(5.3-34)

Cabe resaltar que la ec. 5.3-33, para el caso particular de que N=0, ya sea que se tenga un fluido potencial (sin viscosidad y por lo mismo sin fricción) o una longitud de cero (L=0, caso de una boquilla u orificio), coincide con la definición de Gnz* (ec. 5.2-15).

152

Flujo de fluidos Las ecuaciones desarrolladas hasta el momento, presentan el inconveniente de que se deben resolver en forma simultánea para la mayoría de los problemas de flujo en gases, requiriéndose de métodos numéricos, por lo que se han desarrollado gráficas como las de los anexos F1 y F2. La gráfica del anexo F1 presenta como ordenadas la relación de fluxes G/Gnz*, y como abscisas la relación de presiones p3/po. Cuando la salida del reservorio se tengan condiciones de flujo subsónico (Ma2<1) representados como la región superior de la línea punteada de las gráficas de los anexos F1 y F2, la presión en el recipiente será igual al de la salida del tubo (p2=p3). En la región inferior de estos anexos, se presenta el flujo obstruido (flujo máximo posible) presentándose flujo sónico a la salida del tubo (Ma2=1), dejando de tener influencia la presión del recipiente (punto de referencia 3) sobre el flujo del gas dentro de la tubería. Mientras mayor sea la fricción en la tubería (N>0), más se reduce el flux másico. La figura del anexo F2 presenta la misma información que la del anexo F1, pero se debe utilizar cuando se manejan valores grandes de pérdidas por fricción (N>5, por ejemplo). Si N es grande, los efectos de entrada comparados con los cambios en la tubería son despreciables siendo las condiciones del reservorio y las de la entrada de la tubería prácticamente iguales.

Ejemplo 5.3-1) Evaluación de las condiciones de un tanque. Un fermentador requiere un flujo de aire de 0.2 Kg/s con una presión de 2 atm absolutas y 25 C. Para este servicio de aire se cuenta con un recipiente y una línea de acero comercial que incluye 2 válvulas de compuerta, tres codos de 90, una te (a lo largo) y 20 m de tubería recta de 2 in cédula 40. ¿Que condiciones debe tener el tanque de aire?

Acero comercial 2 in cédula 40

Tubería recta 20 m Válvulas de compuerta 2 (L/D=13) Codos 90° 3 (L/D=30) Te a lo largo 1 (L/D=20)

Compresor

Fermentador Tanque de Aire

Aire

k=1.4 M=29 Kg/Kgmol R=8314 Nm/Kgmol°K µ=1.8E-5 Kg/ms

p2=2 atm = 202660 Pa T2=25 °C = 298 °K Gm=0.2 Kg/s

Fig. 5.3-2) Esquema del ejemplo 5.3-1.

153

5) Fluidos compresibles. Aire: T = 25 °C = 298 °K p2 = 2 atm = 202660 Pa k = 1.4 M = 29 Kg/Kgmol ℜ = 8314 Nm/Kgmol°K µ = 1.8E-5 Kg/ms Tubería: D = 0.0525 m ε = 4.6E-5 m S = πD2/4 = 2.1647E-3 m2 Flux másico: G = Gm/S = 92.389 Kg/m2s fF = 1/(-4log(ε/3.7D))2 = 0.00476 Leq = 136D + 20 = 27.14 m N = (4fFLeq)/D = 9.83 Ma2 = G/(p2(gcMk/(ℜT2))1/2) = 0.112617 ⎧ ⎡ ⎛ (k − 1) ⎞ ⎤⎫ Ma 22 ⎜1 + Ma 12 ⎟ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 1⎪ 1 1 (k + 1) 2 ⎝ ⎠ ⎥⎪ = 0 N− ⎨ ln ⎢ − − ⎬ 2 2 (k − 1) k ⎪ Ma 1 Ma 2 2 ⎢ 2⎛ 2 ⎞ ⎥⎪ ⎢ Ma 1 ⎜⎝1 + 2 Ma 2 ⎟⎠ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎦⎭ ⎣ Resolviendo para Ma1: Ma1 = 0.1038 Y1 = 1 + (k-1)Ma12/2 = 1.0021549 Y2 = 1 + (k-1)Ma22/2 = 1.0025365 p2/p1 = (Ma1/Ma2)(Y1/Y2)1/2 = 0.922 p1 = p2/(p2/p1) = 219911 Pa k

⎡ (k − 1) ⎤ 1− k p1 / p o = ⎢1 + Ma 12 ⎥ 2 ⎣ ⎦ po = p1/(p2/p1) 221574 Pa T2/T1 = Y1/Y2 = 0.999619 T1 = T2/(T2/T1) = 298.11 °K Gnz *

⎡ Mk = p0 ⎢ ⎢ ℜ To ⎢⎣

k +1 ⎤ ⎛ 2 ⎞ k −1 ⎥ ⎜ ⎟ ⎝1+ k ⎠ ⎥ ⎥⎦

= 0.992

1/ 2

= 518.4 Kg/m 2 s

G/Gnz* = 0.178 p2/po = 0.915 To/po1-1/k = T1/p11-1/k = 8.8719742 To = 298.76 °K 154

Flujo de fluidos Resumen de resultados:

p (Pa) T (°K) Ma

Reservorio Garganta Salida (Subíndice o) (Subíndice 1) (Subíndice 2) 221574 219911 202660 298.76 298.11 298 0.1038 0.11262 ≈0

En forma gráfica, los resultados corresponden a una G/Gnz* = 0.178, una línea vertical intercepta dos puntos de interés en este problema: Cuando N = 9.83, que corresponde con las condiciones a la salida de la tubería con una p2/po = 0.915 y cuando N = 0, que corresponde con las condiciones en la garganta con una p1/po = 0.992. Las condiciones de este problema dan como resultado una variación pequeña de pérdidas por fricción (-∆pf = p1 – p2 = 17251 Pa) y poca variación en la temperatura (menos de 1 ºC). Siguiendo el procedimiento de fluidos incompresibles isotérmicos: ρ2 = p2M/(ℜT2) = 2.373 Kg/m3 Gv = Gm/ρ2 = 0.084 m3/s u2 = Gv2/S = 38.949 m/s Re = Duρ/µ = 269500 fF = 0.004755 -∆pf = (2ff ρ2v22Leq)/(gcD) = 17690 Pa

Nota: Si la caída de presión por fricción es menor a 0.1*p1 (p2/po > 0.9) se puede utilizar el procedimiento de fluidos incompresibles isotérmicos. Ejemplo 5.3-2) Especificar el diámetro de una válvula. Para el tanque del problema anterior, se desea especificar una válvula de seguridad (L/D = 200) que abrirá cuando la presión exceda 3 atm (absolutas) en el tanque. Suponiendo que por la válvula circule el doble de la capacidad de operación normal (0.4 Kg/s). ¿Qué diámetro debe tener la válvula? D=? Gm = 0.4 Kg/s Válvula de alivio

Tanque de Aire

Fig. 5.3-3) Esquema del ejemplo 5.3-2. 155

5) Fluidos compresibles. Como se conoce la relación de presiones p3/po = 0.333, es posible suponer un diámetro de válvula, al cual le corresponde un factor de fricción (fT) que nos permite calcular el coeficiente de resistencia (N) y con ayuda de la figura del anexo F1 especificar el G/Gnz*, como se puede evaluar el Gnz* se calcula G, y con el flujo másico especificado (Gm) el área (S), de ésta se evalúa un diámetro, que debe corresponder con el supuesto.

Gnz *

⎡ Mk = p0 ⎢ ⎢ ℜ To ⎢⎣

k +1 ⎤ ⎛ 2 ⎞ k −1 ⎥ ⎜ ⎟ ⎝1+ k ⎠ ⎥ ⎥⎦

1/ 2

= 711.24 Kg/m 2 s

En la tabla se resumen los cálculos realizados para este problema, en la gráfica se observa claramente que el diámetro adecuado está entre 1.5 y 2 in, por lo que se debe elegir al menos una válvula de 2 in1.

Tabla 5.3-1) Resumen de cálculos. D

D Sup

G/Gnz*

0.5

0.0127

0.027

21.6

0.26

184.9

0.0022 0.0525

D Cal

0.75

0.0191

0.025

20.0

0.28

199.1

0.0020 0.0506

0.0254

0.023

18.4

0.30

213.4

0.0019 0.0489

1.5

0.0381

0.022

17.6

0.32

227.6

0.0018 0.0473

0.0508

0.019

15.2

0.35

248.9

0.0016 0.0452

0.0762

0.018

14.4

0.36

256.0

0.0016 0.0446

0.1016

0.017

13.6

0.37

263.2

0.0015 0.0440

0.120 0.100 0.080

D Cal D Sup

0.060 0.040 0.020 0.000 0

Fig. 5.3-4 Evaluación del diámetro de una válvula de alivio.

Existen otras consideraciones que se deben tener en cuenta para especificar las válvulas de alivio y retención, por ej. ver Greene, 1994.

156

Flujo de fluidos

5.4 FLUJO ISOTERMICO CON FRICCION El flujo isotérmico en gases con grandes flujos, es una situación propia de ductos con grandes longitudes, donde es significativa la transmisión de calor a través de la tubería cilíndrica, como se esquematiza en la fig. 5.4-1. Tubo isotérmico L, D

Reservorio po, To, ρo vo≅0

Recipiente p 3, T 3, ρ3

Entrada p 1, T 1, ρ1

Salida p 2, T 2, ρ2

Fig. 5.4-1) Sistema isotérmico con fricción. Retomemos el balance de cantidad de movimiento (ec. 5.3-3) multiplicada por la densidad: 2f F ρ 2 u 2 ρ2u du + ρdp + dz = 0 gc gcD Para un gas ideal en condiciones isotérmicas se cumple que: dp p

dρ ρ

(5.4-1)

(5.4-2)

Utilizando la ec. de continuidad combinada con la ec. 5.4-2, el balance de cantidad de movimiento se puede expresar como:

2gcMp dp 4f F dp − 2 + dz = 0 Gℜ T p D

(5.4-3)

Al integrar entre los límites de la tubería (puntos de referencia 1 y 2) y reacomodando: N =

4f F L D

⎛p = 2 ln⎜⎜ 1 ⎝ p2

⎞ gcM 2 ⎟⎟ + 2 (p1 − p 22 ) ⎠ G ℜT

157

(5.4-4)

5) Fluidos compresibles. N =

4f F L D

⎛ Ma 2 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ = 2 ln⎜⎜ − 2 2 ⎟ ⎝ Ma 1 ⎠ k ⎝ Ma 1 Ma 2 ⎠

(5.4-5)

Siendo: T1 = T 2

(5.4-6)

p2 p1

Ma 1 Ma 2

(5.4-7)

ρ2 ρ1

Ma 1 Ma 2

(5.4-8)

Para longitudes pequeñas de tuberías, el sistema real se comporta como un sistema adiabático y se deben utilizar la relaciones de la sección 5.3. Si la caída de presión es pequeña ((p1-p2)<0.1p1) la densidad no se modifica mucho y se pueden utilizar los procedimientos descritos para fluidos Newtonianos incompresibles, como se revisó en 5.3-1. Para valores grandes de N (N>5, por ejemplo), el comportamiento del sistema isotérmico (ec. 5.4-5) se aproxima mucho al del sistema adiabático y se pueden utilizar los gráficos de los anexos F1 y F2. Recuérdese que en esta región los efectos de la sección convergente (efectos de entrada) son despreciables (po = p1) cuando la diferencia de presiones es considerable (p3/po<0.9). Por otro lado, para tuberías de longitudes grandes que no manejen flujo obstruido, se puede despreciar el término convectivo (primer término de la ec. 5.4-1). Un desarrollo con esta simplificación da lugar a que el flujo másico sea: ⎡ (p 12 − p 22 )D 5 M ( π / 4) 2 ⎤ Gm = ⎢ ⎥ 4f F LℜT ⎣ ⎦

1/ 2

(5.4-9)

Si se sustituye la correlación empírica (aproximada) que relaciona el factor de fricción y el diámetro de la tubería (fF = 0.008/D1/3, D en pulgadas), se obtiene la ec. de Weymouth utilizada en el diseño de tuberías para gas natural. La transmisión de calor por unidad de masa del gas necesario para mantener condiciones isotérmicas, se puede evaluar con la siguiente ec.: qˆ =

v 22 − v 12 2gcJ

G2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ 2gcJ ⎝ ρ 2 ρ 1 ⎠

(5.4-10)

J = 4187 Nm/Kcal = Equivalente mecánico del calor o factor de conversión de energía mecánica a calorífica (en S.I. J=1). 158

Flujo de fluidos El número de Match máximo posible en condiciones isotérmicas está dado por el inverso de la raíz cuadrada de k (Ma2 ≤ 1/k0.5).

Ejemplo 5.4-1) Cálculo del número de Match. Para las condiciones del ej. 5.3-1, evaluemos el número de Match a la entrada de la tubería.

a) Utilizando la ec. 5.4-5 y resolviendo para Ma1: ⎛ 0.112617 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎜⎜ ⎟⎟ + − 9.83 = 2 ln⎜⎜ 2 2 ⎝ Ma 1 ⎠ 1.4 ⎝ Ma 1 0.112617

⎞ ⎟⎟ ⎠

Ma1 = 0.104036

b) Despreciando el término convectivo: N =

1⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟ − 2 k ⎝ Ma 1 Ma 22 ⎟⎠

(5.4-11)

Ma1 = 0.103912 Con ambos resultados prácticamente no se modifican los resultados del ejemplo 5.3-1. Observe que la ec. 5.4-11 puede utilizarse como un primer estimado al resolver las ec. 5.4-5 para flujo isotérmico y la ec. 5.3-21 para flujo adiabático.

5.5 VENTILADORES, SOPLADORES Y COMPRESORES Los ventiladores y compresores, se utilizan para incrementar la presión del aire y otros gases. Los ventiladores operan contra presiones estáticas pequeñas (0-2 psig/0-13.8 KPa), los de flujo axial con impulsor tipo propela (fig. 5.5-1) son utilizados para mover el aire en sistemas de ventilación, calefacción, refrigeración, aire acondicionado, secadores, etc.

Fig. 5.5-1 Ventilador de ducto. Fuente: Mott, 1994, L.R., Mecánica de fluidos aplicada, 4ª. ed., Prentice-Hall Hispanoamericana, México 1994, pag. 493.

159

5) Fluidos compresibles.

Fig. 5.5-2 Esquema de sopladores. Fuente: Mott, 1994, L.R., Mecánica de fluidos aplicada, 4ª. ed., Prentice-Hall Hispanoamericana, México 1994, pag. 495.

Fig. 5.5-3 Gráfico para la selección de equipo que manejan gases. Fuente: Perry, H.R., Biblioteca del Ingeniero Químico. 2ª. ed. en español. Vol. II. McGraw-Hill. México 1988, pag. 6-21.

160

Flujo de fluidos

Fig. 5.5-4 Curva característica de un compresor centrífugo. Fuente: Perry, H.R., Biblioteca del Ingeniero Químico. 2ª. Ed. en español. Vol. II. McGraw-Hill. México 1988, pag. 6-25.

Los sopladores se utilizan en las mismas aplicaciones que los ventiladores, pero cuando se requieren vencer cargas estáticas mayores que oscilen entre 2 y 10 psig (13.8-69 KPa). En la figura 5.5-2 se esquematizan los principales sopladores centrífugos tangenciales. Sobresalen los de aletas inclinadas hacia atraz con superficie sustentadora por ser más eficientes y silenciosos. Los compresores se utilizan para desarrollar altas presiones estáticas como las que se requieren en recipientes a presión, reactores, gaseoductos, sistemas de transporte neumático, etc. Pueden ser centrífugos (de una o varias etapas), o bién de desplazamiento positivo (reciprocantes y rotatorios). En la fig. 5.5-3 se presenta un gráfico que permite realizar una preselección de equipo en el manejo de gases. Los compresores y sopladores centrífugos presentan curvas características similares al de las bombas centrífugas, como se ilustra en la fig. 5.5-4, en la cual existe una región inestable delimitada por la curva de oscilación (surging en inglés). 161

5) Fluidos compresibles. La oscilación ocurre cuando el caudal del compresor se reduce a un punto tan abajo de las condiciones de diseño que se tiene un funcionamiento errático, y la eficiencia disminuye bruscamente. Este fenómeno se debe a que en la tubería de descarga la presión es mayor que en la salida del compresor y el flujo se invierte momentáneamente generándose un ruido característico y/o vibraciones que pueden dañar al compresor. Con el fin de evitar esta condición, se pueden emplear motores de velocidad variable y motoreductores para controlar la velocidad del impulsor, usar paletas de guía a la entrada del compresor, un sistema automático de control de oscilaciones, o ambos. Los compresores de desplazamiento positivo pueden ser rotatorios o reciprocantes como se ilustra en la fig. 5.5-5, generalmente son de capacidad constante y presiones de descarga variable.

Fig. 5.5-5 Clasificación de compresores. Fuente: Greene, W.R., Compresores, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994, pag. 16.

162

Flujo de fluidos Los compresores reciprocantes se utilizan hasta 3000 PCMS (pies cúbicos por minuto estándar evaluados a 14.7 psia y 60 °F). Si se requieren presiones elevadas y flujos pequeños, se prefieren estos compresores sobre los centrífugos. Muchos de los compresores y sopladores operan con una relación de compresión menor o igual a 4 (presión de descarga/presión de succión), en general limitada por la temperatura que soportan los sellos mecánicos, por los esfuerzos en las paredes del compresor, o por ambos. Como en la compresión de un gas se eleva la temperatura, frecuentemente se requiere de un sistema de enfriamiento en el compresor (con aceite, aire o agua), después de este, o ambos. En general la compresión es politrópica, teniendo como límites la compresión adiabática (cuando no hay enfriamiento) y la compresión isotérmica (cuando el gas que sale a la temperatura de entrada). Algunos compresores y sopladores de desplazamiento positivo pueden operar sin lubricación con el fin de no contaminar al gas con lubricante, aunque presentan más fugas, límites menores en los intervalos de operación y son menos eficientes que los lubricados. Por su diseño intrínseco sobresalen los de diafragma (que operan sin lubricación) y los de tornillo en espiral (una variante de la bomba de tornillo), y los de lóbulos diseñados específicamente para manejar gases.

5.6 TRABAJO DE COMPRESION 5.6.1 Compresión adiabática El trabajo transmitido a un gas en condiciones adiabáticas, puede calcularse con la variación de la entalpía del gas por unidad de masa, medidas a la entrada (subíndice 1) y salida (subíndice 2) del compresor o ventilador, cuando se disponga de esta información (ej. con el digrama de presión – entalpía o un diagrama de Mollier). ˆ = H ˆ2 −H ˆ1 − W ' = ∆H

∫ dqˆ + ∫

1 dp ρ

(5.6-1)

La ec. 5.6-1 es un caso particular del balance de energía en condiciones adiabáticas (ec. 1.4-21), en estado estable, cuando no son significativas las variaciones en las energías cinética y potencial, sin considerar las pérdidas por fricción. Al sustituir la dependencia de la densidad con respecto a la presión (ec. 5.1-6) para un proceso adiabático en la definición de entalpía y resolviendo la integral, se obtiene la expresión para determinar el trabajo transmitido al gas. − W' =

p 11 / k ρ1

1/ k

∫

(5.6-2)

163

5) Fluidos compresibles.

− W' =

⎡ p 1 ⎛ k ⎞ ⎢⎛ p 2 ⎜ ⎟ ⎜ ρ 1 ⎝ k − 1 ⎠ ⎢⎜⎝ p 1 ⎢⎣

− W' =

⎡ RT1 ⎛ k ⎞ ⎢⎛ p 2 ⎜ ⎟ ⎜ M ⎝ k − 1 ⎠ ⎢⎜⎝ p 1 ⎢⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

k −1 k

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎤ − 1⎥ ⎥ ⎥⎦

k −1 k

(5.6-3)

⎤ − 1⎥ ⎥ ⎥⎦

(5.6-4)

Al expresar el trabajo como una longitud, se obtiene la definición de carga adiabática (had). had = -W’gc/g

(5.6-5)

La potencia transmitida se optiene del producto entre el flujo másico y el trabajo transmitido, de igual manera que en una bomba. Pt = -W’Gm

(5.6-6)

En gases se acostumbra expresar el flujo másico en términos del flujo volumétrico en condiciones estándar2 (p = 1 atm = 14.7 psia = 101330 Pa, T = 60 °F = 520 °R = 15.55 °C = 289 °K). Gm = Gvoρo = Gv1ρ1 = Gv2ρ2

(5.6-7)

GmℜTo Mp o

(5.6-8)

Gv o

Gm ρo

5.6.2 Compresión isotérmica Un desarrollo análogo al de la compresión adiabática, partiendo del balance de energía isotérmico (ec. 1.-4-20), da lugar a que el trabajo transmitido sea igual a la variación de la energía de Gibbs por unidad de masa.

ˆ = − W ' = ∆G

∫

p1 1 dp = ρ ρ1

∫

1 dp p

(5.6-9)

Resolviendo se obtiene: − W' =

p1 ⎛ p 2 ⎞ ln⎜ ⎟ = ρ 1 ⎜⎝ p 1 ⎟⎠

ℜT1 ⎛ p 2 ⎞ ln⎜ ⎟ M ⎜⎝ p 1 ⎟⎠

(5.6-10)

En algunos contextos condiciones estándar pueden referirse a otras condiciones de presión y temperatura, por ejemplo 0 °C y 1 atm de presión.

164

Flujo de fluidos 5.6.3 Compresión politrópica Un proceso politrópico se caracteriza por conservar las siguientes relaciones: p/ρn’ = ctte.

(5.6-11)

T/p1-1/n’ = ctte

(5.6-12)

Siendo n’ la constante del proceso politrópico y que adquiere valores mayores que uno y menores que k (1<n’<k). Las relaciones que se obtienen para un proceso politrópico son similares al del proceso adiabático: ⎡ ⎛ n ' ⎞ ⎢⎛ p 2 ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ n '−1 ⎠ ⎢⎝ p 1 ⎣⎢

− W' =

p1 ρ1

− W' =

ℜT1 M

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ n ' ⎞ ⎢⎛ p 2 ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ n ' −1 ⎠ ⎢ ⎝ p 1 ⎣⎢

n ' −1 n'

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎤ − 1⎥ ⎥ ⎦⎥

n ' −1 n'

(5.6-13)

⎤ − 1⎥ ⎥ ⎦⎥

(5.6-14)

Se puede definir la “eficiencia politrópica” referida al de un proceso adiabático como:

η poli

⎛ k − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠ ⎛ n '−1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ n' ⎠

(5.6-15)

La eficiencia politrópica adquiere valores mayores a uno, lo que indica que un proceso politrópico es más eficiente que uno adiabático, requiriéndose menos trabajo de compresión para la misma relación de compresión (p2/p1). El proceso más eficiente es el isotérmico, de aquí que se debe analizar la conveniencia de que el compresor o soplador cuente con un sistema de enfriamiento, sobre todo en aquellos sistemas en que la temperatura de salida del compresor sea mayor a 350 °F (límite normal de algunos sellos mecánicos). Cuando el trabajo (o carga adiabática) sea grande, se debe considerar un sistema de varias etapas (ya sea con o sin enfriamiento). En forma simplista puede considerarse un sistema de i etapas como i compresores conectados en serie, en donde se guarda la misma relación de compresión en cada etapa (p(j+1)/p(j) = ctte), normalmente con enfriamiento después de cada etapa, lo que da lugar a manejar la misma carga o potencia en cada etapa.

165

5) Fluidos compresibles.

5.7 FLUJO DE GASES EN CONDICIONES DE VACIO 5.7.1 Patrones de flujo

vz(r)

pD>0.8 Pam

vz(r,z)

0.01<pD<0.8 Pam

vz(z) = u

pD<0.01

a) Flujo laminar b) Flujo de deslizamiento c) Flujo molecular

Fig. 5.7-1) Perfiles de velocidad más frecuentes en condiciones de vacío. Un gas que circula por una tubería de sección transversal constante a baja presión en estado estable, a temperatura constante, puede presentar los siguientes patrones de flujo: flujo laminar, flujo de deslizamiento y flujo molecular, cuyos perfiles de velocidad se esquematizan en la fig. 5.7-1. En flujo laminar se cumple la ec. de Hagen Poiseuille para fluidos newtonianos incompresibles, cuya velocidad en la interfase gas - sólido es cero. Para fluidos compresibles, la velocidad es función de las coordenadas radial y axial, pero la ec. de Hagen P. da aproximaciones adecuadas. En el flujo de deslizamiento, la velocidad en la superficie de la tubería es mayor que cero. En flujo molecular, la velocidad es función exclusiva de la coordenada axial y bajo estas condiciones el concepto de viscosidad3 deja de tener sentido, dado que las moléculas del gas rebotan principalmente con la pared de la tubería.

5.7.2 Definición de caudal, velocidad de bombeo y conductancia Como en estado estable el flujo másico es constante, el producto de la presión por el flujo volumétrico para un gas ideal también será una constante en un proceso isotérmico. Gv = Gm/ρ

(5.7-1)

Viscosidad.- Constante de proporcionalidad entre el gradiente de velocidades y la densidad de flujo de cantidad de movimiento o esfuerzo de corte. 166

Flujo de fluidos p = ℜTρ/M

(5.7-2)

Q = pGv = ℜTGm/M = ctte Si T = ctte

(5.7-3)

Q = puS = SGℜT/M

(5.7-4)

Al flujo volumétrico en condiciones de vacío (p<patm) se le denomina "velocidad de bombeo" (Gv) y al producto de esta con la presión se le conoce como "caudal" (Q [=] Watts), que se puede expresar de diferentes formas como puede observarse en las ecuaciones 5.7-3 y 5.7-4. Si el caudal se evalúa con la presión de succión de la bomba de vacío, al flujo volumétrico en este punto se le denomina "velocidad de bombeo de la bomba de vacío" (Gvp). A lo largo de una tubería cambian la presión, la velocidad de bombeo, la velocidad lineal promedio y la densidad dependiendo de la coordenada axial, manteniéndose constante la temperatura, el flujo másico, el flux másico y el caudal, como se esquematiza en la fig. 5.7-2. 1

Q1=Q2 Gm1=Gm2 G1=G2 T1=T2

p1>p2 ρ1 > ρ2 Gv1<Gv2 v1<v2

Z=0

Z=L

Fig. 5.7-2 Comportamiento de un gas en una tubería en condiciones de vacío.

La conductancia (C12 [=] m3/s) entre los puntos de referencia 1 y 2, es la constante de proporcionalidad entre el caudal y la diferencia de presiones entre estos puntos. Q = C12(p1-p2)

(5.7-5)

La conductancia C12 se evalúa con la suma de las contribuciones de los regímenes laminar (C12L) y molecular (C12M). C12 = C12L + C12M C12 L

(5.7-6)

πgcD 4 p 12 128µL

(5.7-7)

167

5) Fluidos compresibles. p12 = (p1 + p2)/2

C12 M

D3 L

⎡ πgcℜT ⎤ ⎢⎣ 18M ⎥⎦

(5.7-8) 1/ 2

(5.7-9)

La ec. 5.7-7 se deduce de la ec. de Hagen P. y la ec. 5.7-9 de la teoría cinética de los gases. Como puede observarse, la conductancia asociada al flujo molecular (C12M) es una constante y la conductancia asociada al flujo laminar (C12L) es función de la presión promedio (p12) entre los puntos de refencia 1 y 2. Para el caso particular del aire a 20 C (M=28.97 Kg/Kgmol, µ=1.8E-5 Kg/ms) estas ecuaciones se pueden simplificar a: C12 L

⎡ D 4 p 12 ⎤ = 1364 ⎢ ⎥ ⎣ L ⎦

C12 M

⎛ D3 ⎞ ⎟⎟ = 121.3⎜⎜ L ⎝ ⎠

[=]

m3 / s

(5.7-10)

(5.7-11)

Con estas ecuaciones se construye la gráfica de la figura del anexo G2 para tuberías de un metro de longitud y diferentes diámetros, en donde se puede observar que la conductancia es constante para valores de pD<0.01, que caracteriza al flujo molecular, y que la conductancia es proporcional a la presión promedio para valores de pD>0.8 característico del flujo laminar. La región intermedia entre estos dos casos (0.01<pD<0.8) corresponde al flujo de deslizamiento.

5.7.3 Ecuación general para un sistema de vacío

En la fig. 5.7-3 se esquematiza un sistema de vacío que cuenta con un recipiente, una tubería o línea de vacío y una bomba con descarga a la atmósfera.

p1 po

patm L, D Línea de vacío

Recipiente

Bomba de vacío

Fig. 5.7-3 Sistema general de vacío.

168

Flujo de fluidos Para este sistema el caudal puede estar limitado por:

i) Efectos de entrada: Q = C01(po-p1)

(5.7-12)

ii) Línea de vacío: Q = C12 (p1-p2)

(5.7-13)

iii) Bomba de vacío: Q = Gvpp2

(5.7-14)

En la ec. 5.7-14 se supuso que la presión en el interior de la bomba de vacío es cero. Al combinar las ecuaciones 5.7-12 a 5.7-14, el caudal se puede expresar en términos de la conductancia total (C02) y la presión del recipiente. Q = C02po C 02

(5.7-15) 1 1 1 1 + + C 01 C12 Gv p

(5.7-16)

Siendo: C01 = C01L + C01L C 01L

(5.7-17)

πgcp 01 D 2 ρv

(5.7-18)

p01 = (po + p1)/2

C 01M

⎡ πgcℜT ⎤ = D ⎢ ⎣ 32 M ⎥⎦

(5.7-19) 1/ 2

(5.7-20)

La ec. 5.7-18 se deduce de las pérdidas por fricción para una reducción brusca en régimen laminar, y la ec. 5.7-20 de la teoría cinética de los gases. En forma análoga a lo que ocurre en la tubería, la conductancia asociada al flujo molecular por efecto de la entrada (C01M) es una constante, y la conductancia asociada al flujo laminar (C01L) depende de la presión promedio entre el recipiente y el comienzo de la tubería (p01). La ecuación general (ec. 5.7-15) puede simplificarse a sus contribuciones laminar o molecular, o bien, despreciar los efectos de entrada si la longitud de la tubería es mayor a 100 D (po=p1). 169

5) Fluidos compresibles.

Flujo molecular (pD<0.01): C 02

≅

1 C 01M

1 1 1 + + C12 M Gv p

(5.7-21)

Flujo laminar (pD>0.8): C 02

≅

1 C 01L

1 1 1 + + C12 L Gv p

(5.7-22)

Efectos de entrada despreciables (L>100D, po≅p1): C 02

≅

1 C 01M

1 1 1 + + C 01L Gv p

(5.7-23)

5.7.4 Guía general para el diseño de un sistema de vacío * Especificar la presión del recipiente. Como guía general, en el anexo G5a y G5b se presentan casos típicos de aplicaciones de sistemas de vacío, que permite especificar el orden de magnitud de la presión (o temperatura) que debe tener el recipiente (po).

* Determinar la velocidad de bombeo. La velocidad de bombeo se puede determinar en base al volumen del recipiente (V) y en el tiempo en que se desea vaciarlo (t). Gv = FV/t

(5.7-24)

El factor de bombeo (F) se puede consultar en el anexo G3. También se puede especificar la velocidad de bombeo en base al flujo másico (Gm) con que se desea trabajar. De las definiciones de caudal se tiene que: Q = Gm ℜT/M

(5.7-25)

Gv = Q/po

(5.7-26)

170

Flujo de fluidos Por el momento se elige po = p2 dado que no se conoce la presión real a la entrada de la bomba de vacío.

* Elección de la bomba de vacío. Con base a la capacidad nominal, se elige la bomba que tenga una capacidad igual o mayor que la velocidad de bombeo en el punto de referencia 2 (Gvp>Gv evaluado con la ec. 5.726). Se debe tener cuidado que la presión última de vacío de la bomba (pmin) sea menor que la condición de operación a la entrada de la bomba (pmin<p2), y que en condiciones normales de operación la capacidad real de la bomba se aproxime a la nominal, consultando la información técnica de los fabricantes de bombas de vacío (ver anexo G4).

* Especificar la línea de vacío. Una vez elegida la bomba, se debe especificar la longitud de la tubería de la línea de vacío (L), que será la separación entre el recipiente y la bomba. Como información general se presenta en el anexo G1 longitudes máximas recomendadas para cada diámetro de tubería. Determinada la longitud, se debe evaluar la conductancia de la línea de vacío (C12) considerando a priori que se manejará flujo laminar y con esta la conductancia por cada metro de tubería (C). 1/Gv = 1/C12 + 1/Gvp

(5.7-27)

C = C12/L

(5.7-28)

La conductancia por metro de tubería y la presión del recipiente permiten evaluar el diámetro de la tubería, para ello se puede consultar la figura del anexo G2, escogiendo un diámetro tal que se trabaje en régimen laminar.

* Condiciones de operación. Una vez conocida la presión del recipiente (po), la velocidad de bombeo de la bomba de vacío (Gvp), la longitud (L) y el diámetro de la tubería (D), se deben evaluar las condiciones del sistema con las ecuaciones 5.7-12, 5.7-13 y 5.7-14, que pueden expresarse como: ⎡ πgcℜT ⎤ Q = D2 ⎢ ⎣ 32 M ⎥⎦ Q =

1/ 2

D 3 ⎡ πgcℜT ⎤ L ⎢⎣ 18M ⎥⎦

⎡

(p o − p1 ) + ⎢ π ⎣

1/ 2

⎡

gcD 4 ℜT ⎤ (p o − p1 )(p o + p1 ) 8MQ ⎥⎦ ⎤

(p o − p1 ) + ⎢ πgcD ⎥(p o − p1 )(p o + p1 ) 4

⎣ 256µL ⎦

Q = Gvpp2

(5.7-29)

(5.7-30) (5.7-31)

Este sistema de ecuaciones debe resolverse en forma simultánea para conocer el caudal (Q), la presión a la entrada de la tubería (p1) y la presión a la entrada de la bomba de vacío (p2).

171

5) Fluidos compresibles. Siguiendo el procedimiento descrito en el capítulo 3.6 para establecer la secuencia de cálculo, conociendo D, L, π, ℜ, T, M, µ, po, como primera aproximación suponer que p2=po, evaluar el caudal con la ecuación 5.7-31, calcular p1 con la ecuación 5.7-29 y P2 con la ecuación 5.7-30. Si la presión p2 calculada es igual a la supuesta, concluye el cálculo, de lo contrario, suponer p2=p2 calculada y repetir el procedimiento.

Ejemplo 5.7-1) Diseño de un sistema de vacío. Un sistema de vacío operará a 10 Pa (0.1 mbar) con una bomba que se colocará a 2 m del recipiente. Se desea evacuar los 100 l (0.1 m3) de aire del recipiente en 3 minutos (0.05 h). Suponga que la temperatura ambiente es de 20 C.

po=10 Pa

L=2 m

V=100 l t=3 min

T=20 °C M=28.97 Kg/Kgmol ℜ=8314 Nm/Kgmol°K µ=1.8E-5 Kg/ms

Fig. 5.7-4 Esquema del ejemplo 5.7-1.

De la figura del anexo G3, F=10 para 0.1 mbar. Gv = FV/t = 20 m3/h = 5.55E-3 m3/s = 5.55 lps Con la información anterior se elige una bomba de capacidad nominal de 40 m3/h, que trabajando a 0.1 mbar tiene una capacidad de 25 m3/h (Gvp = 25 m3/h). Diámetro de la tubería: Se debe evaluar la conductancia del sistema despreciando los efectos de entrada y la conductancia por unidad de longitud. 1/C12 = 1/Gv - 1/Gvp = 1/20 - 1/25 = 0.01 C12 = 100 m3/h = 27.7 l/s C = C12/L = 13.8 (l/s)/m Una tubería de 40 mm de diámetro interno será adecuada (ver anexo G2) que corresponde con la entrada nominal de la bomba de vacío (E2M40) trabajando en régimen laminar. 172

Flujo de fluidos Condiciones de operación: Hasta el momento se ha fijado el diámetro interno y velocidad de bombeo de la bomba de vacío. Al resolver en forma simultánea las ecuaciones 5.7-29 a 5.7-31 (ver programa del anexo I2) se tiene que: po = 10 Pa p1 = 9.999 Pa p2 = 7.32 Pa p2D = 0.293 Pam (flujo de deslizamiento). C01M = 0.145 m3/s C01L = 104.457 m3/s C12M = 0.003877 m3/s C12L = 0.015116 m3/s C02 = 0.005085 m3/s Q = 0.050847 W Como puede observarse no hay variación significativa entre las presiones del recipiente y la entrada de la tubería, por lo que podrían despreciarse los efectos de entrada. En la tubería se tiene flujo de deslizamiento, por lo que contribuyen tanto los efectos moleculares como los laminares.

5.8 PROBLEMAS PROPUESTOS 5.8-1) Cálculo de D, P de un servicio de aire (Mott, 1994, 1994, pag. 514, pro. 18.28E). En el proceso de aireación, una planta de tratamiento de aguas residuales requiere de 3000 cfm de aire comprimido. La presión debe ser de 80 psig y la temperatura de 120 °F. El compresor se ubica en un edificio de servicio y se requiere de 180 ft de tubería. La línea también contiene una válvula de mariposa de apertura total, 12 codos, cuatro tes con flujo a través de la corrida y una válvula check tipo bola. Especifique un tamaño adecuado de tubería calibre 40 y determine la presión en el compresor. 5.8-2) Cálculo del Gm de oxígeno en una boquilla (Mott, 1994, pag. 514, pro. 18.32E) Se está descargando oxígeno de un tanque en el que la presión es de 125 psig y la temperatura de 75 °F a través de una boquilla de diámetro igual a 0.120 in. El oxígeno fluye hacia la atmósfera, donde la presión es de 14 psia. Calcule el flujo másico que pasa por la boquilla. 5.8-3) Tubo del Pitot para gases (JC, ver pag. Nevers, 1970, pro. 284/ec. 8.30) Desarrolle una ecuación para evaluar la velocidad de un gas ideal con un tubo de Pitot. Suponga que en el ramal de la presión de estancamiento la compresión es isentrópica (cuando se tiene flujo subsónico en la tubería). 5.8-4) Cálculo del tiempo de vaciado (Nevers, 1970, pag. 293, pro. 8.22) Un tanque de vacío está conectado a una bomba de vacío con una válvula. El tanque tiene un volumen de 100 ft3, la bomba tiene un flujo constante de 10 ft3/min, independiente de la

173

5) Fluidos compresibles. densidad del material que bombea. La válvula (cuando está abierta) tiene una equivalencia con un orificio de 1E-4 ft2 de área transversal. Toda la tubería de este sistema tiene un diámetro mucho mayor que el orificio de la válvula. El tanque de vacío está inicialmente lleno de aire a 1 atm de presión. Un serpentín de calentamiento mantiene el aire del tanque de vacío constante a 70 °F. La válvula se abre totalmente y la bomba de vacío se enciende. ¿Cuánto tarda en descender la presión del tanque de vacío a 0.1 atm? 5.8-5) Cálculo de Gm (Nevers, 1970, pag. 293, pro. 8.21) De un tanque fluye aire a 70 ºF y 30 psia, el orificio por el cual pasa el aire es de 1 in2. ¿Cuál es el flujo máximo que pasa por el orificio? 5.8-6) Regulador de flujo (Nevers, 1970, pag. 294, pro. 8.33). Un recipiente de proceso tiene una presión fluctuante, que oscila entre 15 y 35 psia. La presión nunca excede 35 psia. Deseamos diseñar un sistema de suministro de aire para este recipiente con un flujo constante de 1 lb/h. Nuestro compresor de aire cubre esta necesidad descargando el aire a 100 psia y 70 °F, cuya presión y temperatura no fluctúan. Su competidor por un puesto vacante ha propuesto que se instale un sistema de control de flujo convencional, consistente en un medidor de orificio, un transductor de presión diferencial y una válvula de control en la línea entre el compresor y el recipiente. ¿Tiene Usted una propuesta con la cual ganaría la promoción? 5.8-7) Compresión de aire (Nevers, 1970, pag. 311, pro. 9.5). Se comprime aire de 1 a 10 atm. La temperatura de entrada es de 70 °F. Cuál es el trabajo por mol para: a) Un compresor isotérmico. b) Un compresor adiabático c)Un compresor adiabático de dos estapas, en el que se comprime a 3 atm, luego se enfría a 70 °F, y luego se comprime de 3 a 10 atm. 5.8-8) Análisis en flujo obstruido (Levenspiel, 1993, 1993, pag. 58, pro. 3.22 y 3.23). Un gas circula desde un tanque A a través de un tubo hasta un tanque B y las presiones son tales que exite flujo obstruido en el tubo. Qué le ocurre al caudal si: a) Se dobla la presión en el tanque A y la presión en B se reduce a la mitad. b) Si se doblan las presiones en los tanques A y B.

Fig. 5.8-1 Figura del problema 5.8-9. 174

Flujo de fluidos

5.8-9) Cálculo de presión (Levenspiel, 1993, pag. 56, pro. 3.2). Para nuestro proyecto de descomposición bioquímica de paja de césped se necesita oxigenar la profunda tina de fermentación introduciendo 5 l/s de aire a 2 atm. Se obtiene este aire mediante un compresor localizado a 100 m de distancia y a través de un tubo de acero de 0.1 m de diámetro interno. ¿Cuál sería la presión a la entrada del tubo para garantizar este caudal? 5.8-10) Cálculo de L para medidor de caudal (Levenspiel, 1993, pag. 57, pro. 3.11) Han de alimentarse 25 mol/s de etileno (k=1.2, µ=2E-5 Kg/ms) a un reactor que opera a 250 KPa desde un tanque de almacenamiento a 60 °C y 750 KPa. Este flujo ha de controlarse mediante un tubo de descarga de 24 mm de diámetro interno de hierro comercial como se muestra en el esquema. ¿Qué longitud de tubo de control se necesita? Evalúe las condiciones a la salida del tubo de control.

Fig. 5.8-2 Figura del problema 5.8-10. 5.8-11) Cálculo de D de orificio en microfugas (Levenspiel, 1993, pag. 87, pro. 4.13). Una manera sencilla de detectar fugas en un intercambiador de calor es la siguiente. Se presuriza la unidad con aire, por ej. a 2 atm absolutas, se le sumerge en agua caliente que contiene unas gotas de detergente para reducir la tensión superficial y se buscan cuidadosamente las burbujas. Esta técnica es suficientemente sensible para detectar caudales de fuga muy pequeños, equivalentes aproximadamente a la formación de una burbuja de 1 mm de diámetro cada minuto. ¿Qué diámetro de agujero representa esta situación? Considérese el agujero como un punto de estrechamiento u orificio. 5.8-12) Cálculo de Gm para caldera (CRANE, 1994, pag. 4-20, pro. 4-20). Una caldera con vapor de agua saturado a 12 bar (170 psia), alimenta a un digestor a través de 10 m de tubería de 2 in de acero ISO 336 con paredes de 4 mm (diámetro interno de 52.3 mm), la cual contiene un codo estandar de 90° (K=30fT=0.57) y una válvula de asiento con obturador cónico (K=340fT=6.46) completamente abierto. La presión inicial en el digestor es la atmosférica. Determine el caudal en Kg/h. R) 5350 Kg/h. 5.8-13) Evaluar la presión de un compresor (Valiente, 1990, pag. 393, pro. 8.17). ¿Cuál será la presión de descarga del ventilador requerida en el siguiente sistema?

175

5) Fluidos compresibles.

Fig. 5.8-3 Figura del problema 5.8-13. 5.8-14) Análisis de sistema de vacío (Nevers, 1970, pag. 294, pro. 8.32). Considere el sistema de vacío de la fig. 5.8-4. Se ha decidido que la presión en el recipiente de 0.01 mmHg no es lo suficientemente baja. Algunos proponen que, si se usa una bomba de vacío más grande, podremos conseguir una presión menor en el recipiente. ¿Es correcta la propuesta? ¿Cuál es su recomendación?

Cámara de vacío con escape de aire (p=0.01 mmHg)

Válvula de control de apertura amplia

Bomba de vacío (p=0.005 mmHg)

Fig. 5.8-4 Figura del problema 5.8-14. 5.8-15) Flujo de operación. Para la válvula de 2 in que se especificó en el ejemplo 5.3-2, determine el flujo másico que se tendrá cuando se abra la válvula.

176

INTERACCIONES SÓLIDO FLUIDO

6.1 LECHOS EMPACADOS Existen diversas operaciones unitarias en las que es necesario poner en contacto un sólido con un fluido, por ejemplo, sistemas inmovilizados de células y enzimas, cromatografía de líquidos, lixiviación, etc. Una opción para poner en contacto las fases, es emplear lechos o columnas empacadas, donde el fluido atraviesa el lecho formado por el sólido, a través de los espacios existentes entre las partículas del sólido como se aprecia en la fig. 6.1-1. Dc

1 -∆Pf Dp

Fig. 6.1-1) Esquema de un lecho relleno.

Los sólidos se caracterizan por un diámetro de partícula (Dp) que puede obtenerse ya sea por mediciones directas, análisis de partículas en base a tamices (serie Tyler) o por mediciones con técnicas de microscopía, sedimentación, etc. dependiendo del tamaño de las partículas. Como es frecuente que se tenga una distribución de tamaños de partículas del sólido que está en la columna, se considera el diámetro promedio de la partícula. El recipiente que contiene al sólido, en general es cilíndrico con diámetro de columna Dc, la altura del lecho formado L. El volumen de la columna (Vc) que contiene al sólido será la suma del espacio ocupado por los sólidos (Vs) y los espacios vacíos (Vo).

6) Interacciones sólido fluido. Se define la porosidad (ξ) como la relación del volumen vacío entre el volumen de la columna, siendo 1-ξ la fracción del volumen de la columna que ocupan los sólidos. Ac = πDc2/4

(6.1-1)

Vc = AcL

(6.1-2)

Vc = Vs + Vo

(6.1-3)

ξ = Vo/Vc

(6.1-4)

1-ξ = Vs/Vc

(6.1-5)

Se han caracterizado algunos sistemas en los cuales la porosidad se puede determinar a partir de la relación entre el diámetro de la partícula y el diámetro de la columna (fig. 6.1-2).

Fig 6.1-2 Porosidad en función de la relación de diámetros de partícula y columna. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 225.

En esta figura puede observarse que mientras menor sea la relación Dp/Dc, el valor de la porosidad se vuelve constante e independiente del diámetro de la columna, esta condición estará implícita en el desarrollo de éste capítulo (Dp<<Dc). Otra consideración implícita será el de considerar la altura del lecho constante (L=ctte), situación que la presentan sólidos rígidos; algunos sólidos pueden compactarse con el paso del fluido.

178

Flujo de fluidos La descripción de un lecho empacado se ha abordado desde dos puntos de vista generales: considerarlo como un problema de flujo alrededor de cuerpos inmersos en un fluido, o bien, como un flujo a través de canales tortuosos. Este segundo enfoque presenta analogía con el flujo en una tubería y es el que da lugar a la ec. de Ergun, que es la correlación más aceptada para la descripción de lechos empacados. Los términos involucrados en la ec. de Hagen Poiseuille son: caída de presión asociada a la fricción (-∆Pf), una velocidad característica, las propiedades del fluido (viscosidad y densidad) y dos longitudes características (longitud y diámetro). La velocidad lineal promedio presente en los canales (v*) se puede relacionar con la velocidad lineal promedio referida al diámetro de la columna, conocida como velocidad superficial (vs), para un fluido incompresible: Acvs = Aov*

(6.1-6)

Ao = Area disponible al flujo en un lecho empacado. v* = (Ac/Ao)vs = (AcL/AoL)vs = (Vc/Vo)vs = vs/ξ

(6.1-7)

Si se define al diámetro hidráulico como el diámetro característico en base a su definición: DH = 4RH = 4(Area disponible/perímetro mojado)

(6.1-8)

Radio hidráulico: RH = (Area disponible/perímetro mojado)(L/L) = (Vo/sup. mojada)(Vc/Vc)

(6.1-9)

RH = ξ/a

(6.1-10)

Superficie mojada por unidad de volumen en la columna (a): a = (Sup. mojada/Vc)(Vs/Vs) = (Sup. mojada/Vs)(Vs/Vc) = ae(1-ξ)

(6.1-11)

Superficie específica del sólido (ae): ae = (Sup. mojada/Vs)

(6.1-12)

Si la partícula es una esfera de diámetro Dp: 2

⎛ Dp ⎞ 4π⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 3 4π ⎛ Dp ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎝ 2 ⎠

6 Dp

(6.1 − 13)

179

(6.1-13)

6) Interacciones sólido fluido. Finalmente el diámetro hidráulico puede expresarse en términos del diámetro de partícula y la porosidad como: DH

2Dp ⎛ ξ ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎜⎝ 1 − ξ ⎟⎠

(6.1 − 14)

Las variables características de ξ, -∆Pf, L, µ, ρ y Dp, para un lecho empacado, están relacionadas con la ecuación de Ergun: fK = k1(1-ξ)/Rep + k2

(6.1-15) Pérdidas turbulentas. Término viscoso.

Siendo: fK

Re p

= Factor de fricción =

- ∆PfgcDpξ 3 Lρv s2 (1 − ξ)

= Número de Reynolds =

Dpρv s µ

(6.1 − 16)

(6.1 − 17)

(6.1-16) (6.1-17)

k1, k2 constantes características. Ergun encontró que las constantes características para esferas empacadas al azar son: k1 = 150, k2 = 1.75. Estas constantes son dependientes del acomodo que presenten las partículas en la columna. En el anexo H1 se muestra el comportamiento de la ecuación de Ergun, en donde se han identificado tres regiones. a) Región laminar (Rep/(1-ξ)<10). En esta región el fluido se desplaza en forma uniforme a través de los espacios vacíos y el perfil de velocidades se puede considerar de “flujo tapón” (como ocurre en una cromatografía), ya que la velocidad en cualquier parte de la sección transversal del lecho es la misma. El factor de fricción en esta región es inversamente proporcional al número de Reynolds y la ec. de Ergun se puede simplificar a la ecuación de Kozeny – Carman (ec. 6.1-18). fK = k1(1-ξ)/Rep

(6.1-18)

b) Región de transición. Se presenta cuando el Rep/(1-ξ) está entre los valores de 10 y 1000.

180

Flujo de fluidos

c) Región Turbulenta. Para valores de Rep/(1-ξ)>1000. En esta región el factor de fricción se mantiene constante e independiente del número de Reynolds, la ec. de Ergun se puede simplificar a la ec. de Bruke – Plummer. fK = k2

(6.1-19)

En régimen turbulento y de transición existe mezclado del fluido en dirección axial. Ejemplo 6.1-1) Pérdidas por fricción en lecho empacado. Se desea evaluar las pérdidas por fricción de un suavizador de agua de 0.2 m de diámetro, el cual se opera con un flujo de 1.54 m3/h a temperatura ambiente. Las partículas tienen un diámetro de 0.5 mm y forman un lecho de 1 m cuya porosidad es de 0.44.

Dc=0.2 m

L=1 m Dp=0.5 mm ξ=0.44

Ac = πDc2/4 = 0.031416 m2 vs = Gv/Ac = 0.013616 m/s Rep = Dpvsρ/µ = 6.808 Rep/(1-ξ) = 12.157 fK = 150(1-ξ)/Rep + 1.75 = 14.088 -∆Pf/ρ = EvLecho = (Lvs2(1-ξ)fK)/(gcDpξ3) EvLecho = 34.34 Nm/Kg

Gv=1.54 m3/h

Fig. 6.1-3) Esquema del ejemplo 6.1-1.

Nota: La ecuación de Ergun es muy sensible a la porosidad. Para el problema anterior, si la porosidad fuera de 0.4 (10 % más baja), se obtiene una pérdida por fricción de 52 Nm/Kg, por lo que éste parámetro debe estimarse con la mayor precisión posible. Para partículas esféricas del mismo diámetro, se pueden tener diversos arreglos como se muestra en la fig. 6.1-4, cada arreglo presenta una porosidad diferente. También son diferentes las constantes de la ecuación de Ergun. Para geometrías regulares diferentes a la esférica, resulta adecuado el concepto de esfericidad (ϕ) que relaciona el diámetro de la partícula y el diámetro de una esfera que tiene el volumen de la partícula. Dp = ϕDesf

(6.1-20)

ϕ = (Area de la esfera/Sup. mojada)Mismo volumen

(6.1-21)

181

6) Interacciones sólido fluido.

Fig. 6.1-4 Pororsidades de arreglos ordenados en lechos. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 227.

Ejemplo 6.1-2) Cálculo de la esfericidad. Evaluar la esfericidad y el diámetro de partícula de un cilíndro de 1 cm de diámetro y 1.5 cm de altura. Vp =πD2H/4 = 1.178 cm3 Vesf = VP = (π/6)Desf3 Desf = (6Vp/π)1/3 = 1.31 cm Aesf = πDesf2 = 5.394 cm2 Ap = 2(πD2/4) + πDH = 6.2832 cm2 ϕ = Aesf/Ap = 0.8585 Dp = ϕDesf = 1.1247 cm

D = 1 cm H = 1.5 cm H/D = 1.5

Fig. 6.1-5) Dimensiones de un cilindro.

Para un sistema sólido fluido dado, ξ, Dp, ρ y µ pueden considerarse constantes (T=ctte), por lo que la ec. de Ergun puede expresarse en términos de -∆Pf/L, o bien, como las pérdidas por fricción del lecho, en función de la velocidad superficial como:

⎡ k (1 − ξ )2 µ ⎤ ⎡ k ρ(1 − ξ ) ⎤ 2 v +⎢ 2 v − ∆Pf / L = ⎢ 1 2 3 ⎥ s 3 ⎥ s gcDp gcDp ξ ξ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

182

(6.1 − 22)

Flujo de fluidos

⎡ k (1 − ξ )2 µL ⎤ ⎡ k L(1 − ξ ) ⎤ 2 v +⎢ 2 v − ∆Pf / ρ = ⎢ 1 2 3 ⎥ s 3 ⎥ s gc Dp gcDp ξ ρ ξ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(6.1 − 23)

Como las determinaciones de ξ, Dp y ϕ pueden presentar mucha incertidumbre, al igual que los valores de k1 y k2 para un sistema particular sólido – fluido (T=ctte), resulta conveniente determinar las ecuaciones empíricas entre -∆Pf/L y la velocidad superficial (o bien, las pérdidas por fricción en función de la velocidad superficial). Observe que las ecuaciones empíricas cuyas constantes agrupan los términos entre corchetes de las ecuaciones anteriores, pueden aplicarse a cualquier sistema, incluso a partículas no esféricas y que presenten una distribución de tamaños. Estas constantes empíricas pueden utilizarse en el diseño de equipos. Ejemplo 6.1-3) Análisis de un sistema sólido – líquido. En el apéndice H2 se muestra la ficha técnica de una resina de intercambio iónico, donde las partículas son esféricas con un diámetro promedio de 0.5 mm. Al extraer los datos de velocidad superficial y caída de presión por fricción por unidad de longitud del lecho, expresadas en unidades del sistema internacional para la temperatura de 70 °F (21 °C), tenemos: vs (m/s) 0.0013888 0.0027777 0.0055555 0.0069444 0.0138888 0.0277777 0.0416666

-∆Pf/L (Pa/m) 3840 8370 18100 22620 49800 113100 181000

-∆Pf/Lvs (Pas/m2) 2769000 3013300 3258325 3257300 3583500 4072700 4344300

Los valores de la tercer columna descartan la posibilidad de utilizar la ec. de Kozeny – Carman, (no es constante la relación). Ajustando los valores a una ecuación de segundo orden, las constantes empíricas son: C1 = 2.913E6 C2 = 38.444E6

(En S.I.)

µ = 0.001 Kg/ms ρ = 1000 Kg/m3 Suponiendo que la k1 = 150 y la k2 = 1.75, se pueden determinar el diámetro de partícula y la porosidad:

k 1 (1 − ξ ) µ gcDp 2 ξ 3 2

183

6) Interacciones sólido fluido. C2 C1 C2

k 2 ρ(1 − ξ ) gcDpξ 3 k 1 (1 − ξ )µ = k 2 ρDp

Despejando Dp, sustituyendo en la definición de C2 y resolviendo para ξ:

⎡ k 2ρ 2 C ⎤ ξ = ⎢ 2 2 1 ⎥ ⎣ gcC 2 k 1µ ⎦ Dp =

1/ 3

= 0.3427

C 2 k 1µ(1 − ξ ) = 7.435E − 4 m = 0.7435 mm C1 k 2 ρ

Observe que para determinar la ξ y el Dp no se realizaron experimentos especiales, por lo que las propiedades pueden considerarse como “propiedades efectivas”, entendiendo este término como los valores adecuados desde el punto de vista de flujo de fluidos en este caso. Es interesante comparar estos valores con los reportados por los fabricantes: Dp = 0.5 mm, ξ = 0.35 a 0.4 (reportados como aproximados). Si se utilizan estos valores como los reales, entonces las constantes k1 y k2 adquieren valores diferentes a los reportados por Ergun.

6.2 FLUIDIZACION Al igual que en lechos empacados, la fluidización depende de las propiedades del fluido, condiciones de operación y de las propiedades del sólido, incluyendo la densidad del sólido (ρs). Cuando en un lecho se presenta flujo ascendente (si ρs>ρ) pueden presentarse diversas situaciones, esquematizadas en la fig. 6.2-1. v < vf

v = vf

vf < v < vt

v > vt

Fig. 6.2-1 Posibles situaciones con flujo ascendente.

184

Flujo de fluidos a) Lecho fijo.- El fluido no mueve las partículas del sólido. b)Fluidización incipiente.- Se presenta cuando la velocidad superficial del fluido empieza a mover las partículas del sólido . A esta velocidad superficial se le conoce como velocidad mínima de fluidización (vf). c)Fluidización discontinua, particulada o lecho hirviente.- En este estado al igual que en la fluidización incipiente, la fuerza ejercida por el fluido (empuje de Arquímidez y fuerza de fricción) se iguala al peso de las partículas. d) Fluidización agregativa.Se presenta para el mismo intervalo de velocidades que la fluidización discontinua, pero debido a las propiedades del sistema y condiciones de operación, se forman burbujas del fluido. e) Fluidización continua.Cuando la velocidad del fluido es mayor que la velocidad de transporte (vt = velocidad de sedimentación de la partícula para el sistema sólido – fluido), las partículas sólidas son arrastradas fuera del recipiente que contiene al sólido. Dependiendo del fluido se conoce como transporte neumático (sólido-gas) o transporte hidráulico (sólido-agua). En la fluidización discontinua el log(ξ) es proporcional al log(vs). La velocidad de transporte o velocidad superficial mínima necesaria para tener la condición de transporte se evalúa extrapolando el comportamiento hasta alcanzar una porosidad de uno (Vo = Vc), como se esquematiza en la fig. 6.2-2, en donde las letras corresponden a las diferentes condiciones del lecho. La caída de presión asociada a la fricción en función de la velocidad superficial (ver fig. 6.2-3), se describe acorde con la ec. de Ergun para lechos

Log(ξ) ξ=1 e)

c) o d) ξf

b) vt

Log(vs)

Fig. 6.2-2) Comportamiento de la porosidad en función de la velocidad superficial.

Log(-∆pf)

E B

c) o d) b) A

Log(vs)

Fig. 6.2-3) Comportamiento de la caída de presión por fricción en función de la velocidad superficial.

185

6) Interacciones sólido fluido. fijos (línea AB), hasta que se alcanza la velocidad mínima de fluidización, en donde el lecho se expande lentamente, pero las partículas están aún en contacto, la porosidad aumenta y la caída de presión aumenta en menor proporción con respecto al lecho fijo (puntos ABC). En el punto C el lecho está en la condición menos compactada. En D, las partículas se separan y empiezan a tener movimiento independiente, el cual aumenta conforme se incrementa la velocidad superficial, mas no así la caída de presión, que prácticamente se mantiene constante o con ligeros incrementos en la fluidización discontinua. Cuando se alcanza la velocidad de transporte, comienza la fluidización continua, idealmente para partículas idénticas, todas las partículas son transportadas a esta velocidad, cuando hay una distribución de tamaños, las partículas de menor tamaño son los primeros en salir y la partícula más grande al final. Por lo anterior, en general no esta completamente definida la velocidad mínima de fluidización y la velocidad de transporte, existiendo un cambio gradual entre las diferentes condiciones descritas. Conociendo la velocidad mínima de fluidización, se puede estimar la caída de presión presente en las condiciones de fluidización cuando ésta se sustituye en la ec. de Ergun. Si se tienen condiciones de flujo laminar, se puede despreciar el factor turbulento (usar la ec. de Kozeny – Carman), situación que se presenta normalmente en sistemas sólido – líquido, o bien, si se tiene flujo turbulento, se puede utilizar la ecuación de Bruke – Plummer, situación que la presentan en forma normal los sistemas sólido – gas. Acorde con estas simplificaciones, se puede estimar la velocidad mínima de fluidización con las siguientes ecuaciones:

En régimen laminar: vf

Dp 2 (ρ s − ρ )gξ 3f 150µ(1 − ξ f )

(6.2-1)

Siendo ξf la prosidad presente en la condición de fluidización incipiente.

En régimen turbulento: v

2 f

Dp(ρ s − ρ )gξ 3f 1.75ρ

(6.2-2)

Cuando no se conoce la porosidad mínima de fluidización (que aproximadamente corresponde con la porosidad de un lecho empacado), se pueden utilizar las siguientes aproximaciones:

Régimen laminar: vf

Dp 2 (ρs − ρ )g 1650µ

(6.2-3)

186

Flujo de fluidos

Régimen turbulento:

Dp(ρ s − ρ )g 24.5ρ

(6.2-4)

La fluidización discontinua se presenta cuando el producto de los números adimensionales de Foude (Frf), Reynolds (Repf), relación de densidades y dimensiones de la columna es menor a 100; en caso contrario, se tendrá fluidización agregativa. ρs − ρ ⎤ ⎡ L f ⎤ ⎧< 100 Fluidización discontinua = ⎨ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ρ ⎦ ⎣ Dc ⎦ ⎩ > 100 Fluidización agregativa

(Frf )(Re pf )⎡⎢

Frf = Número de Froude = vf2/(Dpg)

(6.2-6)

Repf = Número de Reynold = Dpρvf/µ

(6.2-7)

(6.2 − 5)

Evaluados a las condiciones de fluidización incipiente

Lf = Altura del lecho

Ejemplo 6.2-1) Cálculo de la velocidad mínima de fluidización. Estimar la velocidad mínima de fluidización para las resinas del ejemplo 6.1-3. Utilizando la ec. 6.2-3: vf = 2.345E-5 m/s Utilizando la ec. 6.2-1: vf = 1.549E-4 m/s = 0.22 GPM/ft2 Este último estimado está acorde con la figura del anexo H2, proporcionada por los fabricantes de que se refiere al porcentaje de expansión del lecho, por lo que deben tomarse con muchas reservas los estimados de las ecuaciones 6.2-3 y 6.2-4. Una vez conocida la velocidad mínima de fluidización, se puede evaluar la caída de presión por unidad de longitud: -∆Pf/L = C1vf + C2vf2 = 452 Pa/m Evaluando los números adimensionales: Repf = Dpvfρ/µ = 0.1151

187

6) Interacciones sólido fluido. Frf = vf2/(Dpg) = 3.29E-6 (ρs - ρ)/ρ = 0.07 Suponiendo las dimensiones del ejemplo 6.1-1: L/Dc = 5 El producto de los cuatro números adimensionales es menor que 100, por lo que se tendrá fluidización discontinua.

Ejemplo 6.2-2) Propiedades de la arena de mar. En una probeta se coloca la arena de mar, y posteriormente se añade agua, teniéndose los siguientes resultados:

Probeta: Vacía Con arena seca Con arena y agua

Peso (g) 95.45 245.9 290.0

Volumen (cm3) 100 (*) 93

(*) Volumen del menisco final con agua y de la muestra seca. Masa de arena:

Masa de agua total de agua:

ms = 245.9 – 95.45 = 150.45 g

mT = 290 – 245.9 = 44.1 g

Volumen total de agua = 44.1 cm3 Vc = 93 cm3 Volumen vacío: Vo = 44.1 – (100 – 93) = 37.1 cm3 Vs = Vc – Vo = 55.9 cm3 ρs = ms/Vs = 2.69 g/cm3 ξ = Vo/Vc = 0.399

Ejemplo 6.2-3) Evaluación de las velocidades vf y vt para la arena de mar. En una columna de 1.81 cm de diámetro interno se coloca arena de mar formando un lecho de 9.8 cm, al cual se le pasa agua en forma ascendente obteniéndose los siguientes resultados:

188

Flujo de fluidos

L (cm) 9.8 9.8 9.9 10 10.8 11.8 12.3 13.5 15.3 17.6

Gv (cm3/s) 0.06 0.2 0.242 0.367 0.733 1.292 1.417 1.94 2.60 3.30

Para conocer la porosidad a diferentes alturas, conviene expresar la porosidad inicial del lecho fijo en términos de una altura Lo, que representa la altura de los sólidos en la columna si no hubiera espacios vacíos: Lo = Vs/Ac = 5.891 cm Siendo Ac = 2.573 cm2 Y la porosidad: ξ = 1 – (Lo/L) En la siguiente tabla se muestran los cálculos realizados.

L (cm) 9.8 9.8 9.9 10.0 10.8 11.8 12.3 13.5 15.3 17.6

Gv (cm3/s) 0.06 0.20 0.24 0.37 0.73 1.29 1.42 1.94 2.60 3.30

ξ 0.399 0.399 0.405 0.411 0.455 0.501 0.521 0.564 0.615 0.665

vs (cm/s) 0.023 0.078 0.094 0.142 0.285 0.502 0.550 0.753 1.009 1.281

Al graficar en escala logarítmica la porosidad en función de la velocidad superficial, los puntos se agrupan en dos secciones: los primeros cuatro puntos corresponden con la condición de lecho fijo, y los restantes con lecho fluidizado, que se describen con las siguientes ecuaciones empíricas.

189

6) Interacciones sólido fluido. 1.00

Lecho fijo (4 puntos):

Lecho fluidizado (otros puntos): log(ξ) = -0.213 + 0.257 log(vs) El punto de intersección de estas dos ecuaciones se puede considerar como el punto de fluidización incipiente:

log(e)

log(ξ) = -0.346 + 0.0467 log(vs)

0.10 0.01

vf = 0.232 cm/s

0.10

1.00

10.00

lolog(v g(vs) s)

ξf = 0.421 Observe que no se ha requerido (ni determinado) el diámetro de partícula.

6.3 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.3-1) Cálculo de la porosidad (Bird, 1993, pag. 6.24, pro. 6F). Una columna de 942 cm2 de sección y 185 cm de altura, está rellena con partículas de 2 mm de diámetro. Cuando se mantiene entre los extremos del lecho una diferencia de presiones de 10.75 atm, una solución de sacarosa de 60 % fluye a través del lecho con una velocidad de 6640 Kg/h a la temperatura de 20 °C. A esta temperatura la µ = 56.5 cp y su ρ = 1.2865 g/cm3. ¿Cuál es la fracción de huecos del lecho? Discutir la utilidad de éste método para obtener la fracción de huecos. R) ξ = 0.3 6.3-2) Análisis dimensional. Obtener una expresión para lechos empacados cuando circula un fluido que se describe con la ec. de potencia. Se sugiere hacer un análisis dimensional y la analogía con la ec. de Ergun para fluidos Newtonianos. 6.3-3) Cálculo de Dp de un plátano (Levenspiel, 1993, pag. 132, pro. 6.1). Yo predigo que los "plátanos felices" barrerán pronto el país. Se producirán pasando óxido nitroso fácilmente absorbible (gas de la risa) a través de un lecho relleno de plátanos de América central verdes pero ya desarrollados. Para desarrollar este proceso se necesitará saber la pérdida de presión en estos lechos de bananas. Para conseguir esto, estímese el tamaño efectivo de plátano (Dp) a partir de las consideraciones mostradas en la figura 6.3-1. 6.3-4) Cálculo de Dp de un anillo Rasching (Levenspiel, 1993, pag. 132, pro. 6.2). Se planea rellenar una torre con anillos Rasching de las dimensiones mostradas a continuación. Determínese el tamaño de partícula de este material de relleno. 190

Flujo de fluidos Nota: La ventaja de estos rellenos especialmente diseñados es que dan un comportamiento de partícula pequeña acoplado con un gran hueco (y una fracción de huecos elevada da una pérdida de presión baja). 1 mm

1 cm

Fig. 6.3-2 Problema 6.3-4.

Fig. 6.3-1 Problema 6.3-3.

6.3-5) Cálculo de del Dp (Levenspiel, 1993, pag. 132, pro. 6.3). Desde el punto de vista de pérdida de presión. ¿Qué tamaño de esferas en un lecho relleno se comportan igual que una mezcla rellena al azar de iguales pesos de esferas de 1 mm y 2 mm? Supóngase la misma fracción de huecos en ambos lechos. 6.3-6) Cálculo de ∆P (Levenspiel, 1993, pag. 132, pro. 6.4). Se pasa aire aproximadamente a 20 °C y 1 atm hacia arriba a través de un lecho fijo (L=0.8 m, Dc=0.1 m, ξ=0.4) de partículas esféricas (ρs=3000 Kg/m3, Dp=10 mm) a una velocidad superficial de 1.5 m/s. Encuéntrese la pérdida de presión a través del lecho. 6.3-7) Cálculo de P salida (Levenspiel, 1993, pag. 132, pro. 6.5). Circula agua hacia abajo, a través de un tubo inclinado 30º con respecto a la horizontal y relleno una longitud de 10 m con esferas metálicas (Dp=1 mm, ρs=5200 Kg/m3, ξ=0.34). Para determinada velocidad de flujo la presión es 3 atm en los dos extremos del lecho. El tubo se coloca ahora horizontalmente, la longitud de relleno se reduce a 5 m y el agua circula a la misma velocidad a través del lecho. Si la presión a la entrada del lecho es de 3 atm, ¿Cuál es la presión a la salida del lecho?

p1=3 atm

p3=3 atm

p4= ?

p2=3 atm

10 m

L=5m

30°

Fig. 6.3-3 Figura del problema 6.3-7. 191

6) Interacciones sólido fluido.

p1=3 atm p4= ?

p3=3 atm

L = 10 m 10 m

p2= 3 atm 45°

Fig. 6.3-4 Figura del problema 6.3-8. 6.3-8) Cálculo de P salida (Levenspiel, 1993, pag. 133, pro. 6.6). Circula agua hacia abajo, a través de un tubo vertical relleno 10 m con esferas metálicas (Dp=1 mm, ρs=5200 Kg/m3,ξ=0.34). Para una determinada velocidad de flujo la presión justo por debajo del lecho es 3 atm. La presión justo por debajo del lecho es también 3 atm. Se coloca ahora el tubo a 45 con respecto a la vertical y se hace circular agua hacia arriba con el mismo caudal a través del lecho. Si la presión justo a la entrada del lecho es de 3 atm, ¿Cuál es la presión a la salida del lecho? 6.3-9) Cálculo de p de entrada para fluidización (Levenspiel, 1993, pag. 143, pro. 7.1). Se pasa aire a 20 °C hacia arriba a través de un lecho (2 m de alto, 0.5 m de diámetro interno, ξ=0.4, ξf=0.44) de piedra caliza (Dp=2 mm, ρs=2900 Kg/m3). ¿Qué presión de aire a la entrada se necesita para fluidizar los sólidos (presión de salida = 1 atm)? 6.3-10) Cálculo de Lf (Levenspiel, 1993, pag. 143, pro. 7.2). Se filtra aire hacia arriba a 1.1 atm y 20 °C a través de un lecho de 10 m de alto de esferas sólidas de plata de 1 mm (εf=0.4) y se descarga a la atmósfera. ¡Diez metros! ¡Qué derroche! La plata es valiosa, por lo que se piensa vender una parte. Nadie sabe qué cantidad de sólidos debe restar para que siga siendo un lecho fijo. ¿Qué altura de plata puede retirarse de modo que el lecho no se fluidice?

10 m

p=1.1 atm

Fig. 6.3-5 Figura del problema 6.3-10.

6.3-11) Cálculo de L. Empacado vs. Fluidización (Levenspiel, 1993, pag. 143, pro. 7.3). Se planea pasar aire hacia arriba a través de un lecho de sólidos situados sobre un tamiz. ¿Fluidizarán los sólidos?

192

Flujo de fluidos ρs=3000 Kg/m3, Dp=2 mm, ξf=0.36 Lecho: 2 m de altura, 0.5 m de diámetro interno. Aire: pentrada = 130 KPa, psalida = 100 KPa, T=100 °C. 6.3-12) Cálculo de vf, ∆P (Levenspiel, 1993, pag. 144, pro. 7.6). Se pasa aire a 20 °C y 1 atm hacia arriba a través de un lecho de sólidos. a) A qué velocidad superficial del aire las partículas empezarán a fluidizar? b) Para la velocidad mínima de fluidización, ¿Cuál será la pérdida de presión a través del lecho? Datos: Sólidos: Desf=15 mm, φ=0.67, ρs=3000 Kg/m3 Lecho: ξ=ξf=0.4, altura=0.5 m, diámetro interno=0.1 m 6.3-13) Cálculo de H fluidización hacia abajo (Levenspiel, 1993, pag. 144, pro. 7.9). En el esquema de la fig. 6.3-6 se muestra un experimento de flujo en un lecho relleno. A medida que se aumenta el caudal de agua, el nivel de agua en el punto 1 aumenta y H crece. Eventualmente se alcanza un punto en que las bolas de plástico fluidizan hacia abajo. Determínese la altura H y la velocidad superficial del líquido cuando esto ocurre. 1 2

0.5 m

Esferas de plástico huecas ρ=160 Kg/m3 Dp=1 mm ξf=0.4

15 m

Fig. 6.3-6 Problema 6.3-13. 6.3-14) Cálculo de vf y vt (Levenspiel, 1993, pag. 156, pro. 8.10). Un lecho de partículas uniformes se fluidiza mediante un gas para una velocidad vf y se elutria para vt. Encuéntrese la razón vt/vf: a) Para sólidos muy finos (vf=1 mm/s) b) Para sólidos muy grandes (vf=1 m/s) Esta razón, vt/vf es una buena medida de la flexibilidad de un lecho fluidizado para acomodarse a las variaciones del fluido del gas. c) ¿Qué tamaño de sólidos, pequeño o grande, puede tolerar cambios relativamente mayores de caudales?

193

6) Interacciones sólido fluido. 6.3-15) Cálculo de Dp y vt (Levenspiel, 1993, pag. 157, pro. 8.12). Como parte de un nuevo proceso químico, se alimentan continuamente pequeñas semillas esféricas (ρs=8500 Kg/m3, Dp=50 µm) a un reactor de lecho fluidizado caliente que se fluidiza mediante un gas. Una parte de este gas se descompone en el lecho caliente, depositándose un recubrimiento esponjoso de sólidos (ρs=500 Kg/m3) sobre las partículas que crecen de tamaño. Los sólidos con su recubrimiento bien mezclados abandonan el reactor. Debido a que la capacidad del reactor depende principalmente del caudal de gas, se desea que éste sea tan alto como sea posible. Este caudal está limitado, a su vez, por la elutriación. Estímese el tamaño de partícula que elutriará (saldrá) primero del reactor, y estímese la velocidad del gas a la salida para que esto ocurra. Datos para el gas caliente: ρ=0.03 Kg/m3, µ=2E-5 Kg/ms, p=125 KPa.

Fig. 6.3-7 Problema 6.3-15. 6.3-16) Cálculo de vt (Levenspiel, 1993, pag. 155, pro. 8.4). Desciende agua a través de un lecho relleno de 1 m (ξ=0.4) de esferas de plástico (ρs=500 Kg/m3) de 1 mm. ¿Qué carga de agua se necesita para evitar que las esferas floten? 6.3-17) Incinerador de sólidos (Levenspiel, 1993, pag. 145, pro. 7.11). En el ej. 7.1 se hace la hipótesis simplificada de que la pérdida de presión de la placa de distribución y del ciclón son relativamente pequeñas y pueden ignorarse. Repítase el ejemplo con la hipótesis más realista de que ∆Pdistribuidor = (20% ∆Plecho) y ∆Pciclón = (10% ∆Plecho).

Fig. 6.3-8 Problema 6.3-17.

194

NOMENCLATURA

φ$ φ& T α β φ ε ε/D µ η ηpoli η π ρ ρm ρs θ τ τrz τo τR ξ ξf 1-ξ ϕ φT A A A$ Ac &T A ae B c c C C02

= Energía potencial por unidad de masa [=] J/Kg = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Velocidad con la que cambia la energía potencial [=] J/s

= = = = = = = = = = =

Superficie mojada/Volumen de la columna [=] m-1 Lado de un rectángulo [=] m Energía libre de Helmholtz por unidad de masa [=] J/Kg Area de la columna [=] m2 Velocidad con la que cambia la energía libre de Helmholtz [=] J/s

Factor de corrección de la energía cinética [=] (-) Relación de diámetros [=] (-) Energía potencial [=] J Rugosidad de la tubería [=] m Rugosidad relativa [=] (-) Viscosidad [=] Kg/ms Viscosidad plástica [=] Kg/ms Eficiencia politrópica [=] (-) Eficiencia de una bomba [=] (-) 3.1416 (radianes) Densidad del fluido [=] Kg/m3 Densidad del fluido manométrico [=] Kg/m3 Densidad del sólido [=] Kg/m3 Coordenada angular Tensor de esfuerzos [=] Pa Esfuerzo de corte en una tubería cilíndrica [=] Pa Tensión de fluencia [=] Pa Esfuerzo de corte en la pared [=] Pa Porosidad del lecho [=] (-) Porosidad en condición de fluidización incipiente [=] (-) Fracción de sólidos [=] m Esfericidad [=] (-) Energía potencial total [=] J

Area específica del sólido [=] m-1 Lado de un rectángulo [=] m Constante empírica ec. 3.4-2 [=] (-) Velocidad del sonido [=] m/s Conductancia por metro de tubería [=] m2/s Conductancia entre los puntos de referencia 0 y 2 [=] m3/s

Nomenclatura. C12L C12M Co CR CT CV cp cv D Dc DH Dp E E$ Ev & Ev Eu fD {Ff} fF fT fk Fr Frf g g g g G G* G$ gc gc gc gc Gm Gnz* Gv Gvo Gvp $ H ∆H ∆h ∆hm had He hT

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Conductancia asociada al flujo laminar entre 1 y 2 [=] m3/s Conductancia asociada al flujo molecular entre 1 y 2 [=] m3/s Coeficiente de orificio [=] (-) Coeficiente de rotámetro [=] (-) Coeficiente de tobera [=] (-) Coeficiente de vénturi [=] (-) Calor específico a presión constante [=] J/Kg°K Calor específico a volumen constante [=] J/Kg°K Diámetro [=] m Diámetro de la columna [=] m Diámetro hidráulico [=] m Diámetro de la partícula [=] m Energía interna [=] J Energía interna por unidad de masa [=] J/Kg Pérdidas por fricción [=] J/Kg Velocidad con la que se disipa la energía mecánica [=] J/s Número de Euler [=] (-) Factor de fricción de Darcy [=] (-) Fuerza de arrastre [=] N Factor de fricción de Fanning [=] (-) Factor de fricción de Darcy en régimen turbulento desarrollado [=] (-) Factor de fricción en lechos empacados [=] (-) Número de Froude [=] (-) Número de Froude para la fluidización incipiente [=] (-) Constante de aceleración gravitacional [=] 9.807 m/s2 Constante de aceleración gravitacional [=] 980.7 cm/s2 Constante de aceleración gravitacional [=] 32.174 ft/s2 Vector de aceleración gravitacional [=] m/s2 Flux másico [=] Kg/m2s Flux másico máximo [=] Kg/m2s Energía libre de gibas por unidad de masa [=] J/Kg Factor de conversión de unidades [=] 1 Kg m/ N s2 Factor de conversión de unidades [=] 9.807 Kg m/ Kgf s2 Factor de conversión de unidades [=] 1 g cm/ d s2 Factor de conversión de unidades [=] 32.174 lb ft/lbf s2 Flujo másico [=] Kg/s Flux másico máximo en sistema adiabático sin fricción [=] Kg/m2s Flujo volumétrico / Velocidad de bombeo [=] m3/s Flujo volumétrico evaluado a 60 °F y 1 atm de presión [=] m3/s Velocidad de bombeo de la bomba de vacío [=] m3/s Entalpía por unidad de masa [=] J/Kg Cambio de entalpía [=] J Diferencia de alturas [=] m Diferencia de altura manométrica [=] m Carga adiabática [=] m Número de Hedstrom [=] (-) Carga (cabeza) total [=] m

196

Flujo de fluidos J K k Ki K1, k2 KT &T K L L* L/D Le m M Ma mT n n n N N1, N2 NPSHD NPSHR p p* PF -∆pf pm Pt PT P& T pv pv Q q$ r ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ R Re Re’ RefF0.5

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Equivalente mecánico del calor [=] 4187 J/Kcal Indice de consistencia en tubería [=] Kg/msn Relación de calores específicos [=] (-) Coeficiente de resistencia del accesorio i [=] (-) Constantes de la ecuación de Ergun [=] (-) Energía cinética total [=] J Velocidad con la que cambia la energía cinética total [=] J/s Longitud de la tubería / Altura del lecho [=] m Longitud característica [=] m Longitud equivalente [=] (-) Longitud de entrada para que se desarrolle el perfil de velocidades [=] m Indice de consistencia [=] Kg/msn Peso molecular [=] Kg/Kgmol Número de Match [=] (-) Masa total [=] Kg Indice de comportamiento [=] (-) Exponente de la ec. del perfil de velocidades en régimen turbulento [=] (-) Vector normal a una superficie [=] (-) Coeficiente de resistencia en gases [=] (-) Velocidad del impulsor [=] rev/min Carga neta de succión positiva disponible [=] m Carga neta de succión positiva requerida [=] m Presión absoluta [=] Pa Presión característica [=] Pa Potencia al freno [=] W Caída de presión por fricción [=] Pa Presión manométrica [=] Pa Potencia transmitida al fluido [=] W Cantidad de movimiento total [=] Kgm/s Velocidad de cambio de la cantidad de movimiento total [=] Kgm/s2 = N Presión de vapor [=] Pa Presión de vacío [=] Pa Caudal [=] W Energía transferida a los alrededores en forma de calor por unidad de masa [=] J/Kg Coordenada radial Constante de los gases [=] 8314 J/Kgmol°K Constante de los gases [=] 1.987 cal/gmol°K Constante de los gases [=] 82.06 atmcm3/gmol°K Constante de los gases [=] 0.7302 atmft3/lbmol°R Constante de los gases [=] 1545 lbfft/lbmol°R Constante de los gases [=] 1.987 BTU/lbmol°R Constante de los gases [=] 847.8 Kgfm/Kgmol°K Radio de la tubería [=] m Número de Reynolds [=] (-) Número de Reynolds modificado para la ec. de potencia [=] (-) Número de Von Karman [=] (-)

197

Nomenclatura. Remax Rep RH S$ S S1, S2 Sf Sm t T Th u v v 2 v 3 v V* vf vr, vθ, vz vs vt vx, vy, vz vz = vz(r)

vzmax V $ V Vc VL Vo Vs -W’ $ W & W & Wv & W p WL Ws Z ∆Z Z

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Número de Reynolds máximo [=] (-) Número de Reynolds para la fluidización incipiente [=] (-) Radio hidráulico [=] m Entropía por unidad de masa [=] J/KgºK

= = = = =

Peso del líquido o empuje de Arquímedes [=] N Peso del sólido [=] N Plano horizontal de referencia [=] m Diferencia de niveles entre dos planos de referencia [=] m Factor de compresibilidad promedio [=] (-)

Superficie [=] m2 Areas transversales al flujo [=] m2 Superficie fija, área húmeda o interfase sólido - fluido [=] m2 Superficie móvil [=] m2 Tiempo [=] s Temperatura absoluta [=] °K Número de Thompson [=] (-) Velocidad lineal promedio en gases o velocidad superficial [=] m/s Vector de velocidad [=] m/s Velocidad lineal promedio [=] m/s Velocidad cuadrática media [=] m/s Velocidad cúbica media [=] m/s Velocidad característica [=] m/s Velocidad superficial para la fluidización incipiente [=] m/s Componentes de velocidad en coordenadas cilíndricas [=] m/s Velocidad superficial [=] m/s Velocidad de transporte [=] m/s Componentes de velocidad en coordenadas cartesianas [=] m/s Perfil de velocidades en una tubería cilíndrica [=] m/s Velocidad máxima o velocidad en el centro de la tubería [=] m/s Volumen [=] m3 Volumen específico = 1/ρ [=] m3/Kg Volumen de la columna [=] m3 Volumen de líquido [=] m3 Volumen vacío [=] m3 Volumen del sólido [=] m3 Trabajo transmitido al fluido [=] J/Kg Trabajo por unidad de masa [=] J/Kg Velocidad de intercambio de energía total en forma de trabajo [=] J/s Velocidad de cambio de trabajo asociada a fuerzas viscosas [=] J/s Velocidad de cambio de trabajo asociada a fuerzas de presión [=] J/s

198

Flujo de fluidos.

ANEXOS

199

Anexos.

A1) Ecuaciones de variación.

∂ρ − ∂t

Ecuación de continuidad (ec. 1.2-2)

= ∇ ⋅ (ρv )

Coordenadas rectangulares (x, y, z). ∂ρ ∂ ∂ ∂ − = (ρv x ) + (ρv y ) + (ρv z ) ∂z ∂t ∂x ∂y Coordenadas cilíndricas (r, θ, z). ∂ρ 1 ∂ 1 ∂ ∂ (ρrv r ) + (ρv θ ) + (ρv z ) − = r ∂x r ∂y ∂z ∂t Ecuación de cantidad de movimiento (ec. 1.3-2). ρg 1 ∂(ρv) 1 = − [∇ ⋅ ρvv] −[∇ ⋅ τ] −∇p + gc ∂t gc gc ρ ∂(ρv) ρ ρg = − [( v ⋅ ∇ ) v] −[∇ ⋅ τ] −∇p + gc ∂t gc gc Coordenadas rectangulares (x, y, z). Coordenada x: ∂τ yx ∂τ zx ⎤ ⎡ ∂τ ∂v ∂v ⎤ ρ ⎡ ∂v ρ ∂v x = − ⎢ v x x + v y x + v z x ⎥ − ⎢ xx + + ⎥ gc ∂t gc ⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x Coordenada y: ∂v y ∂v y ⎤ ⎡ ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy ⎤ ρ ⎡ ∂v y ρ ∂v y = − ⎢v x + vy + vz + + ⎥ −⎢ ⎥ gc ∂t gc ⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x

Coordenada z: ∂v ∂v ⎤ ρ ⎡ ∂v ρ ∂v z = − ⎢v x z + v y z + v z z ⎥ gc ∂t gc ⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦

−

∂p ∂x

−

∂p ∂y

∂τ yz ∂τ zz ⎤ ⎡ ∂τ ∂p − ⎢ xz + + ⎥ − ∂y ∂z ⎦ ∂z ⎣ ∂x

ρg x gc ρg y gc

ρg z gc

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z). Componente r: ρ ∂v r gc ∂t

= −

2 ρ ⎡ ∂v r v θ ∂v r v θ + − ⎢v r ∂r gc ⎢⎣ r r ∂θ

+ vz

∂v r ∂z

⎤ ∂p ⎡ 1 ∂ ( rτ rr ) 1 ∂τ rθ τ θθ ∂τ rz ⎤ + − + − ⎥ −⎢ ⎥ ∂z ⎦ ∂r r ∂θ r ⎣ r ∂r ⎥⎦

Componente θ: ρ ∂v θ gc ∂t

= −

⎡ 1 ∂ ( r 2 τ rθ ) 1 ∂τθθ ∂τθz ⎤ ∂v ⎤ 1 ∂p ρ ⎡ ∂v θ v θ ∂v θ v r v θ + + + + + vz θ ⎥ − ⎢ 2 ⎢v r ⎥ − gc ⎣⎢ r ∂θ r r r z r ∂θ ∂ ∂θ ∂ ∂r ∂z ⎥⎦ r ⎥⎦ ⎣⎢

Componente z: ρ ∂v z gc ∂t

= −

ρ ⎡ ∂v z v θ ∂v z ∂v ⎤ vr + + vz z ⎥ gc ⎢⎣ r ∂θ ∂r ∂z ⎦

⎡ 1 ∂ ( rτ rz ) 1 ∂τ θz ∂τ zz ⎤ −⎢ + + r ∂θ ∂z ⎥⎦ ⎣ r ∂r

Tensor de esfuerzos para fluidos Newtonianos.

200

−

∂p ∂z

ρg z gc

ρg θ gc

ρg r gc

Flujo de fluidos.

Coordenadas rectangulares (x, y, z): µ ⎡ ∂v 2 ⎤ τ xx = − ⎢ 2 x − ( ∇ ⋅ v )⎥ gc ⎣ ∂x 3 ⎦ v ⎤ µ ⎡ ∂ y 2 τ yy = − ⎢2 − (∇ ⋅ v )⎥ gc ⎣ ∂y 3 ⎦ µ ⎡ ∂v z 2 ⎤ − ( ∇ ⋅ v )⎥ τ zz = − ⎢ 2 gc ⎣ ∂z 3 ⎦ ∂ vy ⎤ µ ⎡ ∂v τ xy = τ yx = − ⎢ x + ⎥ ∂x ⎦ gc ⎣ ∂y µ ⎡ ∂v y ∂v z ⎤ τ yz = τ zy = − ⎢ + ⎥ gc ⎣ ∂z ∂y ⎦ ∂v ⎤ µ ⎡ ∂v τ xz = τ zx = − ⎢ x + z ⎥ gc ⎣ ∂z ∂x ⎦ ∂v y ∂v x ∂v z + + (∇ ⋅ v ) = ∂x ∂y ∂z Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): µ ⎡ ∂v 2 ⎤ τ rr = − ⎢ 2 r − ( ∇ ⋅ v )⎥ 3 gc ⎣ ∂r ⎦ ⎤ µ ⎡ ⎛ 1 ∂v θ v r ⎞ 2 τ θθ = − ⎢ 2⎜ + ⎟ − (∇ ⋅ v )⎥ gc ⎣ ⎝ r ∂θ r ⎠ 3 ⎦ µ ⎡ ∂v z 2 ⎤ τ zz = − ⎢ 2 − (∇ ⋅ v )⎥ gc ⎣ ∂z 3 ⎦ µ ⎡ ∂ ⎛ v ⎞ 1 ∂v r ⎤ τ rθ = τ θ r = − ⎢ r ⎜ θ ⎟ + gc ⎣ ∂r ⎝ r ⎠ r ∂θ ⎥⎦ µ ⎡ ∂v θ 1 ∂v z ⎤ + gc ⎢⎣ ∂z r ∂θ ⎥⎦ ∂v ⎤ µ ⎡ ∂v τ zr = τ rz = − ⎢ z + r ⎥ gc ⎣ ∂r ∂z ⎦ ∂v z 1 ∂ 1 ∂v θ + (∇ ⋅ v) = ( rv r ) + ∂z r ∂r r ∂θ τ θz

τ zθ

−

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z)

x2 + y2

x = r cos(θ)

y = r sen(θ) z=z

θ = arctan(y/x) z=z

Fuente: Bird, B.R., Stewart, E.W., y Lightfoot, N.E., Fenómenos de transporte. Reverté. México 1993.

201

Anexos.

A2) Relaciones termodinámicas. Sean :

E$ = Energía interna por unidad de masa,

E = Energía interna, q$ = Calor suministrado al sistema por unidad de masa,

V = Volumen del elemento de control,

$ = Trabajo hecho por el sistema por unidad de masa, W $ = Entalpía por unidad de masa, H $ = Energía libre de Gibbs por unidad de masa, G $ = Energía libre de Helmholtz por unidad de masa, A

$ = pd V $ Si el trabajo es reversible, dW $ = Volumen específico = 1/ρ, V S$ = Entropía por unidad de masa, T = Temperatura absoluta.

1a) Ley de la Termodinámica.

$ = d q$ - d W $ dE $ = pd V $ dW Definición de entalpía.

$ = d E$ + d(p V $ ) = d E$ + pd V $ + dH

$ dp V

$ = d q$ + V $ dp dH 2a) Ley de la termodinámica.

$ = d q$ /T dS Definición de energía libre de Gibbs. $ =dH $ -d(T S$ ) = d H $ - Td S$ dG

S$ dT

$ =V $ dp - S$ dT dG Definición de energía libre de Helmholtz. $ = d E$ - d(T S$ ) = d E$ - Td S$ - S$ dT dA

$ = - pd V $ dA

S$ dT

$ no son funciones de estado, pueden ser reversibles o irreversibles. q$ y W $ define si el proceso es exotérmico, endotérmico o isentálpico. dH $ define si el proceso es expontáneo, no expontáneo o isentrópico. dS $ define si el proceso es reversible o irreversible. dG $ define si el proceso es reversible o irreversible. dA a) Proceso isotérmico (T=ctte): ⇒

$ = dG

$ dp = (1/ρ)dp V $ = -pd V $ dA $ = dG $ - d( V $ p) = d( G $ -V $ p) dA $ ) = d(A/V) = d(ρ G $ - p) d(ρ A & v/Gm) d q$ = d( E ⇒ El calor generado se transfiere a los alrededores. b) Proceso adiabático (aislado térmicamente): d q$ = 0

⇒

S$ = ctte. Se tiene un proceso isentrópico.

⇒

El calor generado modifica la temperatura del fluido.

$ =V $ dp dH $ = - pd V $ dE

$ =dH $ - d(p V $ ) = d( H $ - pV $) dE $ ) = d(E/V) = d(ρ H $ - p) d(ρ E

202

Flujo de fluidos.

B1) Pesos específicos de líquidos.

*Aproximadamente a 68 °F. Estos valores serán satisfactorios, sin extrapolación, para la mayoría de los problemas de ingeniería. Fuente: Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. México 1990. Pag. 913.

203

Anexos.

B2) Viscosidad en funci贸n de la temperatura.

Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. M茅xico 1980. Pag. 694.

204

Flujo de fluidos.

B3a) Nomograma de viscosidades de lĂquidos.

Fuente: Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. MĂŠxico 1990. Pag. 926.

205

Anexos.

B3b) Nomograma de viscosidades de líquidos.

Fuente: Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. México 1990. Pag. 927.

206

Flujo de fluidos.

B3c) Nomograma de viscosidades de lĂquidos.

Fuente: Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. MĂŠxico 1990. Pag. 928.

207

Anexos.

B4a) Nomograma de viscosidades de gases.

Fuente: Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. MĂŠxico 1990. Pag. 929.

208

Flujo de fluidos.

B4b) Nomograma de viscosidades de gases.

Fuente: Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. MĂŠxico 1990. Pag. 930.

209

Anexos.

B5) Presiones de vapor en funci贸n de la temperatura.

Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. M茅xico 1980. Pag. 687.

210

Flujo de fluidos.

B6a) Tablas de vapor saturado.

Fuente: Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. MĂŠxico 1990. Pag. 921.

211

Anexos.

B6b) Tablas de vapor saturado.

Fuente: Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. MĂŠxico 1990. Pag. 922.

212

Flujo de fluidos.

C1) Caída de presión en tubos de acero inoxidable.

CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. Pag. B-16.

213

Anexos.

C2) Caída de presión en tubos sanitarios.

Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. Pag. 27.

214

Flujo de fluidos.

C3) Diámetros de tuberías sanitarias.

Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. Pag. 26

215

Anexos.

C4) Diámetros de tuberías de acero inoxidable.

Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980. Pag. 684.

216

Flujo de fluidos.

C5) Diámetros de tubería de cobre.

Mott, L.R., Mecánica de fluidos aplicada, 4ª. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, Méx. 1994. Pag. 553.

C6) Rugosidad de tuberías.

Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 22.

217

Anexos.

C7) Diagrama de Moody.

Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 20.

218

Flujo de fluidos.

C8) Factor de fricción en función del número de Von Karman.

Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 21.

219

Anexos.

C9) Factor de corrección de la energía cinética.

Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980. Pag. 499.

C10) Factor de fricción en función del número de Reynolds para ecuación de potencia.

Fuente: Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 97.

220

Flujo de fluidos.

C11) Factor de fricción en función del número de Reynolds para Plásticos de Bingham.

Fuente: Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 95.

221

Anexos.

C12) Nomograma para L/D de accesorios.

Fuente: CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. Pag. A-50.

222

Flujo de fluidos.

C13a) Coeficientes de resistencia K de Accesorios.

Fuente: CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. Pag. A-46.

223

Anexos.

C13b) Coeficientes de resistencia K de Accesorios.

Fuente: CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. Pag. A-47.

224

Flujo de fluidos.

C13c) Coeficientes de resistencia K de Accesorios.

Fuente: CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. Pag. A-48.

225

Anexos.

C13d) Coeficientes de resistencia K de Accesorios.

Fuente: CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. Pag. A-49.

226

Flujo de fluidos.

C14) L/D de accesorios.

Fuente: Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 25.

227

Anexos.

D1) Relación de velocidades v/vmzx de un Tubo de Pitot.

Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980. Pag. 519.

D2) Cv Vénturi.

Fuente: Mott, L.R., Mecánica de fluidos aplicada, 4ª. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, Méx. 1994. Pag. 380.

228

Flujo de fluidos.

D3) Co de Orificio.

Fuente: CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. Pag. A-38.

Fuente: Perry, H.R., Biblioteca del Ingeniero Químico. 2ª. Ed. en español. Vol. II. McGraw-Hill. México 1988. Pag. 5-14.

229

Anexos.

D4) Ct de Toberas.

Fuente: CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. Pag. A-38.

D5) Cr de Rotámetros.

Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965. Pag. 168.

230

Flujo de fluidos.

E1a) Selección de bombas sanitarias.

Fuente: Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. Pag. 6.

231

Anexos.

E1b) Selección de bombas sanitarias.

Fuente: Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. Pag. 7

232

Flujo de fluidos.

E2a) Curvas características.

Fuente: Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. Pag. 10.

233

Anexos.

E2b) Curvas características.

Fuente: Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. Pag. 11

234

Flujo de fluidos.

E2c) Curvas características.

Fuente: Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. Pag. 14.

235

Anexos.

E2d) Curvas características.

Fuente: Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. Pag. 15.

236

Flujo de fluidos.

F1) Nomograma para flujo adiabático.

Fuente: Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 50.

237

Anexos.

F2) Nomograma para flujo adiabático.

Fuente: Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 51.

238

Flujo de fluidos.

G1) Longitudes máximas para líneas de vacío.

Fuente: EDWARDS, Catálogo: Vacuum products 1997-1998. Vacío y Hermeticidad Bustamante. Valle del Tigris No. 210-6, Col. Valle de Aragón 3ª. Sección. C.P. 55280. Ecatepec, Edo. de Méx. Pag. 29.

G2) Conductancia de líneas de vacío.

Fuente: EDWARDS, Catálogo: Vacuum products 1997-1998. Vacío y Hermeticidad Bustamante. Valle del Tigris No. 210-6, Col. Valle de Aragón 3ª. Sección. C.P. 55280. Ecatepec, Edo. de Méx. Pag. 28.

239

Anexos.

G3) Factor de bombeo de bombas de vacío.

Fuente: EDWARDS, Catálogo: Vacuum products 1997-1998. Vacío y Hermeticidad Bustamante. Valle del Tigris No. 210-6, Col. Valle de Aragón 3ª. Sección. C.P. 55280. Ecatepec, Edo. de Méx. Pag. 28.

G4) Curva de operación de bomba de vacío.

Fuente: EDWARDS, Catálogo: Vacuum products 1997-1998. Vacío y Hermeticidad Bustamante. Valle del Tigris No. 210-6, Col. Valle de Aragón 3ª. Sección. C.P. 55280. Ecatepec, Edo. de Méx. Pag. 22.

240

Flujo de fluidos.

G5a) Aplicaciones en condiciones de vacío.

Fuente: Perry, H.R., Biblioteca del Ingeniero Químico. 2ª. Ed. en español. Vol. II. McGraw-Hill. México 1988. Pag. 6-35.

241

Anexos.

G5b) Aplicaciones en condiciones de vacío.

Fuente: Perry, H.R., Biblioteca del Ingeniero Químico. 2ª. Ed. en español. Vol. II. McGraw-Hill. México 1988. Pag. 6-36.

242

Flujo de fluidos.

H1) Factor de fricción en lechos empacados.

Fuente: Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 126.

H2) Características de resina de intercambio iónico.

Fuente: Rohm and Haas Ion Exchange Resins., Technical bulletin: Amberlite IRA 402. Química Trepic. Insurgentes Sur 670. Méx. D.F., 03100. Pag. 1.

243

Anexos.

H3) Esfericidad de partículas.

Fuente: Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Pag. 120.

I1) Algoritmo para establecer la secuencia de cálculo. Este algoritmo se aplica a modelos matemáticos que presentan ya sea ecuaciones lineales, no lineales, explícitas, implícitas, así como ecuaciones diferenciales. 1) Obtener del modelo matemático el arreglo estructural. Consiste en tabular las relaciones que existen entre las diferentes variables y ecuaciones. 2) Fijar las variables de diseño a fin de obtener cero grados de libertad (datos para el problema en particular). Eliminar las columnas correspondientes a dichas variables de diseño. 3) Identificar las variables que participan en una sola ecuación (columnas con un uno). 4) Eliminar la (s) variable (s) y ecuación (es) que participan en una sola ecuación. Dicha (s) variable (s) se evaluarán al final con su ecuación correspondiente. 5) Repetir los incisos 3 y 4 el número de veces que sea posible. Si se eliminan todas las variables finaliza el procedimiento. 6) Identificar las ecuaciones con una sola variable (renglones con un uno). 7) Eliminar la ecuación (es) y variable (s) del inciso 6. Cada variable se evaluará al inicio con la ecuación correspondiente. 8) Repetir los incisos 4 a 7 el número de veces que sea posible. Si se eliminan todas las variables finaliza el procedimiento. 9) Las variables que no se puedan eliminar con los procedimientos anteriores se deben evaluar en forma simultánea (resolver simultáneamente las ecuaciones).

244

Flujo de fluidos.

10) Un procedimiento alternativo al inciso 9, es un método iterativo para resolver el sistema de ecuaciones: 10a) Identificar la ecuación en la que participen más variables (renglones con más unos) y eliminarlo. 10b) Repetir los pasos 4 a 7. 10c) La variable que quede al final se evaluará con la ecuación del inciso 10. El método iterativo consistirá en suponer dicha variable que quede al final, evaluar las variables con las ecuaciones correspondientes en el orden determinado en los incisos 10 a y 10b, comparar el resultado de la variable supuesta con el calculado, el cual debe tener el mismo valor, de lo contrario suponer el valor calculado de la variable y repetir el procedimiento.

Inic io

No ¿Hay variables?

Fin

Arreglo e structural

¿Hay columnas con un uno? Si

Definir variables de dise ño

Identific ar colum nas c on un uno Elimina r las columnas de las va riables de diseño No Replanteam iento

G.L. = 0 ?

Elimina r la columnas y renglón Si ¿Hay renglones con un uno? No

Identific ar ec uac ione s y var iables

Identific ar ec uac ione s simultáneas Si

Elimina r ecuaciones y variables

¿Solución analítica? No

Elimina r ecuaciones simultáneas y sus variables

Solución numérica

Fuente: De la Peña M.R., Análisis ingenieril de los procesos químicos. Limusa, México 1981. Pag. 307-310.

245

Anexos.

I2) Programa de sistema de vacío.

FLUJO MOLECULAR (LEVENSPIELD). π = 3.142

0.04

28.97

1 8314 1.8. 10

d π. A1 = 0.001257 4 Indicador del patron de flujo. π . gc . R. T 32. M

0.5

.d2

Gvp . P2

2 4 π . gc . d . R. T 8.M .Q

π . gc . R. T 18. M

C12M

0.5

.d L

Suponer P2.

7.322368

0.006944

Po . d = 0.4

Gvp 2

CO1M

293

4.c

CO1M

Q B

Po CO1M. B

0.5

2 2 4 π . gc . d . R. T . ( Po 8.M .Q

CO1L

P12

P2 2

4 π . gc . d . P12 128. µ . L

C12L

P2c

P1)

CT. Po

CO1M CO1L

C12M C12L

Gvp

Gvp P2c = 7.322368

P2 = 7.322

Si P2c = P2 continuar. De lo contrario utilizar P2c como P2 supuesta y repetir el procedimiento. Po = 10

CO1M = 0.145

C12M = 3.877 10

P1 = 10

CO1L = 104.457

C12L = 0.015

P2 = 7.322

CT = 5.085 10

Q = 0.051

P2. d = 0.293

246

Flujo de fluidos.

J1) Tablas de conversión. FACTORES DE CONVERSION AL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES.

Longitud ft(0.3048) in(0.0254) cm(0.01) Area ft2(0.0929) in2(6.452E-4) cm2(1E-4) Volumen cm3(1E-6) ft3(0.02832) in3(1.6387E-5) gal U.S. (3.785E-3) gal U.K.(4.546E-3) l(1E-3) Tiempo h(3600) día(86400) Año(3.1536E7) Velocidad (ft/s)(0.3048) (ft/min)(5.08E-3) Flujo Volumétrico (ft3/s)(0.02832) (ft3/min)(4.72E-4) Masa lb(0.4536) t(1000) Densidad (lb/ft3)(16.019) (lb/gal U.S.3)(119.8) (lb/gal U.K.3)(99.78) (g/cm3)(1000) Volumen específico (ft3/lb)(0.0624) (cm3/g)(0.001) Flujo másico (lb/s)(0.4536) (lb/min)(7.56E-3) (lb/h)(1.26E-4) Temperatura °F = (9/5)°C + 32 °C = (5/9)(°F-32) °R = °F +460 °K =°C +273.15

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

L m m m L2 m2 m2 m2 L3 m3 m3 m3 m3 m3 m3 t s s s L/t m/s m/s L3/t m3/s m3/s M Kg Kg M/L3 Kg/m3 Kg/m3 Kg/m3 Kg/m3 L3/M m3/Kg m3/Kg M/t Kg/s Kg/s Kg/s

Viscosidad (lb/fts)(1.488) (lb/fth)(4.134E-4) P(0.1) cP(0.001) (Ns/m2)gc Flux másico (lb/ft2s)(1.356E-3) (g/cm2s)(10) Fuerza lbf(4.448) Kgf(9.807) d(1E-5) Presión (lbf/ft2)(47.88) (lbf/in2)(6895) (atm)(1.0133E5) inHg(3386) inH2O(249.1) mmHg(133.3) torr(133.3) bar(1E5) (d/cm2)(0.1) (Kgf/m2)(9.807E4) Energía, calor, trabajo (ftlbf)(1.356) (Btu)(1055) (Chu)(1900) erg(1E-7) cal(4.187) kcal(4187) (KWh)(3.6E6) Entalpía (Btu/lb)(2326) (cal/g)(4187) (ftlbf/lb)(2.9894) Potencia (ftlbf/s)(1.356) hp(745.7) (Btu/min)(4.885E-3) (Btu/h)(0.2931) (Volt)(amp) (ohm)(amp2)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

M/Lt Kg/ms Kg/ms Kg/ms Kg/ms Kg/ms M/L2t Kg/m2s Kg/m2s F N N N F/L2 N/m2 Pa Pa Pa Pa Pa Pa Pa Pa Pa FL Nm = J J J J J J J FL/M Nm/Kg J/Kg J/Kg FL/t Nm/s W W W W W

Fuente: Treybal, R.E., Operaciones de transferencia de masa. 2ª Ed. McGraw-Hill. México 1981. Pag. 13-20.

247

Anexos.

248

BIBLIOGRAFÍA

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22)

Bird, B.R., Stewart, E.W., y Lightfoot, N.E., Fenómenos de transporte. Reverté. México 1993. 2 Bird, B.R., The equations of change and the macroscopic mass, momentum, and energy balances. Chem. Eng. Sci., Vol. 6, 1957:123-131. Bourne, C.M., Food texture and viscosity, concept and measurement. Academic Press. USA 1982. Brennan, G.J., y col., Las operaciones de la ingeniería de los alimentos. 2ª. Ed. Acribia. España 1980. Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965. CRANE. Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías. McGraw-Hill, México 1994. De la Peña M.R., Análisis ingenieril de los procesos químicos. Limusa, México 1981. EDWARDS, Catálogo: Vacuum products 1997-1998. Vacío y Hermeticidad Bustamante. Valle del Tigris No. 210-6, Col. Valle de Aragón 3ª. Sección. C.P. 55280. Ecatepec, Edo. de Méx. Ergun, S., Fluid flow through packed columns. Chem. Eng. Prog., Vol. 48(2), 1952:89-94. Fay, A.J., Mecánica de fluidos. CECSA. México 1996. Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980. Fulford, G.D., y Pei, D.C.T., A unified approach to the study of transfer processes. Ind. and Eng. Chem., Vol. 61, 1969:47-69. Giles, V.R., Mecánica de los fluidos e hidráulica. McGraw-Hill, Serie Schaum. México 1993. Greene, W.R., Válvulas, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994. Greene, W.R., Compresores, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994. Hughes, F.W., y Brighton, A.J., Dinámica de los fluidos. Libros McGraw-Hill. Colombia 1970. Kern, Q.D., Procesos de transferencia de calor. CECSA. México 1990. Levenspiel, O., Flujo de fluidos e intercambio de calor. Reverté. México 1993. Mahan, H.B., Termodinámica química elemental. Reverté. España 1969. Maron, H.S y Prutton, F.C., Fundamentos de fisicoquímica. Limusa Wiley. México 1972. McCabe, L.W., y Smith, C.J., Operaciones básicas de Ingeniería Química. Reverté. España 1981. McNaughton, K., Bombas, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994.

Bibliografía. 23) Metzner, A.B., Flow of non Newtonian fluids, en Skelland, H.P., Non Newtonians flow and heat transfer. Wiley. USA 1967. 24) Mott, L.R., Mecánica de fluidos aplicada, 4ª. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, México 1994. 25) Nevers, D.N., Fluids Mechanics. Addison-Wesley Publishing Co. USA 1970. 26) Perry, H.R., Biblioteca del Ingeniero Químico. 2ª. Ed. en español. Vol. II. McGrawHill. México 1988. 27) 1Puriti. S.A. Catálogo de: Bombas centrífugas de acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. 28) 2Puriti. S.A. Catálogo CS-288, Conexiones sanitarias en acero inoxidable. Alfredo Nobel No. 39, Frac. Industrial Puente de Vigas. Tlalnepantla, Edo. de Méx. 29) Roberson, A.J., y Crowe, T.C., Mecánica de fluidos. McGraw-Hill. México 1989. 30) Rohm and Haas Ion Exchange Resins., Technical bulletin: Amberlite IRA 402. Química Trepic. Insurgentes Sur 670. Méx. D.F., 03100. 31) Sandler, I.S., Termodinámica para químicos e ingenieros químicos. Interamericana. México 1981. 32) Sissom, L.E., y Pitts, D.R., Elements of transport phenomena. McGraw-Hill. USA 1972. 33) Spiegel, M.R., Manual de fórmulas y tablas matemáticas. Serie Schaum, McGrawHill. México 1984. 34) Toledo, T.R., Fundamentals of process engineering. 2nd. Ed. Van Nostrand Reinhold. USA 1991. 35) Treybal, R.E., Operaciones de transferencia de masa. 2ª Ed. McGraw-Hill. México 1981. 36) Valiente, B.A., Problemas de flujo de fluidos. Limusa Noriega. México 1990. 37) Vennard, K., y Street, L.R., Elementos de mecánica de fluidos, Versión S.I. Cia. Ed. Continental. México 1995. 38) 1Whol, H.M. Rheology of non-Newtonians materials. Chem. Eng., February 12, 1968:130-136. 39) 2Whol, H., Instruments for viscometry. Chem. Eng., March 25, 1968:99-104. 40) 3Whol,H.M., Isothermal laminar flow of non-Newtonian flluids in pipes. Chem. Eng., April 8, 1968:143-146. 41) 4Whol, H.M:, Dinamics of flow between parallel plates and noncircular ducts. Chem. Eng., May 6, 1968:183-186. 42) 5Whol, H.M., Isothermal turbulent flow in pipes. Chem. Eng., June 3, 1968:95-100.

250

Flujo de fluidos.

ÍNDICE ANALÍTICO

Ecuación de potencia Efectos de entrada a la tubería Eficiencia de una bomba Eficiencia politrópica Energía cinética

Altura del lecho 177, 178 Altura hidrostática 33, 59 Altura manométrica 34, 70 Altura piezométrica 52 Area de la columna 177 Area específica del sólido 179 Areas transversales al flujo 15, 62 Balance de energía 28, 61 Bomba centrífuga 85 Bomba de desplazamiento positivo 132 Caída de presión por fricción 52, 105 Cantidad de movimiento 16,19 Carga (cabeza) 84 Carga adiabática 164 Carga neta de succión positiva 90 disponible Carga neta de succión positiva 87, 91 requerida Caudal 19, 166 Coeficiente de orificio 81, 229 Coeficiente de resistencia (K) 64 Coeficiente de resistencia en gases 151, 237, 238 (N) Coeficiente de rotámetro 83, 230 Coeficiente de tobera 82, 230 Coeficiente de vénturi 80, 228 Componentes de velocidad en 200 coordenadas cartesianas Componentes de velocidad en 200 coordenadas cilíndricas Compresores 159 Conductancia 166, 239 Conductancia asociada al flujo 168 laminar Conductancia asociada al flujo 168 molecular Constante de aceleración 20, 27, 31 gravitacional Constante de los gases 144, 197 Densidad 16, 45 Diámetro de la columna 178 Diámetro de la partícula 178, 181 Diámetro hidráulico 62, 179, 180

Energía interna Energía libre de Gibbs Energía libre de Helmholtz Energía potencial Energía transferida a alrededores en forma de calor Ergun (ecuación) Esfericidad Esfuerzo de corte

los

Factor de bombeo Factor de conversión de unidades (gc) Factor de corrección de la energía cinética Factor de fricción de Darcy Factor de fricción de Fanning

51, 125, 220 51, 153, 169 85 165 24, 60, 126, 128 202 26, 61, 202 26, 27, 202 27, 28 15, 28, 202 180 181, 244 21, 53, 123, 126 170, 240 20, 196

60, 126, 128, 220 55, 65 55, 63, 126, 128, 149, 218, 220, 221 lechos 180, 243

Factor de fricción en empacados Fluidización 184 Flujo másico 19 Flujo volumétrico 19 Flujo volumétrico evaluado a 60 164 °F y 1 atm depresión Flux másico 19 Flux másico máximo 147 Fracción de sólidos 178 Fuerza de arrastre 23, 28, 54, 83, 149 Indice de comportamiento 123 Indice de consistencia 123 Indice de consistencia en tubería 130 Longitud equivalente 65, 222, 227 Manómetro 37 Número de Euler 22, 55

249

Índice.

Número de Froude Número de Froude para la fluidización incipiente Número de Hedstrom Número de Match Número de Reynolds Número de Reynolds modificado para la ec de potencia Número de Reynolds para la fluidización incipiente Número de Thompson Número de Von Karman Pérdidas por fricción

Velocidad máxima Velocidad superficial Velocidad superficial fluidización incipiente Viscosidad

187 187 128, 221 145 22 126

Viscosidad plástica Volumen de control Volumen de la columna

187

22 58, 219 28, 55, 64, 129, 149, 157 Perfil de velocidades en una 19, 52, 125, tubería cilíndrica 127, 166, 180 Peso específico 32, 203 Plástico de Bingham 19, 29, 123, 126, 221 Porosidad del lecho 178, 185 Potencia al freno 85 Potencia de una bomba 91 Potencia transmitida al fluido 84 Potencia nominal 86 Presión absoluta 20, 33 Presión de vacío 34 Presión de vapor 91, 210 Presión manométrica 34 Principio de Arquímedes 42 Radio hidráulico 62, 179 Relación de calores específicos 144 Relación de diámetros 81, 82, 178 Rugosidad de la tubería 58, 217 Rugosidad relativa 58, 217 Superficie fija, área húmeda o 17 interfase sólido – fluido Superficie mojada/Volumen de la 179 columna Superficie móvil 25 Tensión de fluencia 21, 123, 126 Tensor de esfuerzos 20, 201 Tiempo de vaciado de tanques 101, 130 Trabajo transmitido 83, 132, 163, 164 Vector de velocidad 200 Vector normal a una superficie 39 Velocidad cuadrática media 23 Velocidad cúbica media 25 Velocidad de bombeo 167 Velocidad de bombeo de la bomba 167 de vacío Velocidad de transporte 185 Velocidad del impulsor 87, 162 Velocidad del sonido 143 Velocidad lineal promedio 19

250

para

52,54,125,127 179, 185 la 186 21, 54, 203, 208 21, 123 15 177

Flujo de fluidos

Impreso en los Talleres Gráficos de la Dirección de Publicaciones del Instituto Politécnico Nacional Tresguerras 27, Centro Histórico, México, DF Abril del 2006. Edición: 1000 ejemplares. Corrección de estilo: Diseño de Portada: Formación: Supervisión: Diseño editorial: Procesos editoriales: Cuidado editorial y producción: División editorial: Director:

Felipe Mardones Pons Laura Varela Guadalupe Cervantes Manuel Toral Azuela Jorge Alberto Tena Flores Manuel Gutiérrez Oropeza Martha Varela Michel Jesús Espinosa Morales Arturo Salcido Beltrán