FRACCIONES PARCIALES
MATEMATICAS MODALIDAD VIRTUAL GRUPO 01
Investigación
ORLANDO ISAZA ESTRADA Ingeniero Informático
POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID FACULTAD DE INGENIERÍA MEDELLÍN 11 de Mayo de 2008
CONTENIDO
INTRODUCCION
3
DESARROLLO
4
1.
DEFINICION
4
2.
ALGUNOS CONCEPTOS PRELIMINARES
4
3.
PROCEDIMIENTO TEORICO PARA TRABAJAR CON FRACCIONES PARCIALES
6
4.
EXISTEN CUATRO CASOS
6
5.
6.
4.1 Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
6
4.2 Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
7
4.3 Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
7
4.4 Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.
7
PASOS DEL METODO DE FRACCIONES PARCIALES
7
5.1
Dividir polinomios.
8
5.2
Factorizar el denominador.
8
5.3
Obtener las fracciones parciales.
9
5.4
Encontrar el valor numérico de las
10
5.5
Igualdad por coeficiente.
10
5.6
Evaluación.
11
EJEMPLOS
12
7. RECURSOS EN LA RED PARA ESTUDIANTES EN EL TEMA DE LAS FRACCIONES PARCIALES.
15
CONCLUSION
17
FUENTES DE INFORMACION
18
INTRODUCCION
Como actividad investigativa nos corresponde tratar el tema Fracciones parciales, además del rastreo de información y la búsqueda de recursos académicos esta actividad nos plantea la construcción grupal del texto de estudio y su presentación final como fruto de la integración de los conceptos hallados por cada uno de los compañeros de curso.
De esta manera se refleja el resultado final del trabajo realizado durante la semana, la evidencia del proceso investigativo, la participación, interacción y contribución de cada uno de los alumnos se encuentra plasmado en el foro habilitado para la actividad.
DESARROLLO
1. DEFINICION El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace inversa (dos de sus aplicaciones). El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador. Para mayor claridad, sea:
En donde: m < n.
2. ALGUNOS CONCEPTOS PRELIMINARES Consideremos polinomios en una variable, que son denotados con una letra minúscula, seguido de la variable indeterminada entre paréntesis:
(La
variable y los coeficientes están en , a menos que se diga explícitamente lo contrario. La variable o indeterminada siempre se denotará . Cuando desarrollemos el método de fracciones parciales, los polinomios se indicarán con letras mayúsculas). Se supone entendido qué es el grado de un polinomio no nulo. Si un polinomio tiene grado , entonces llamaremos coeficiente líder a aquel que pondera a operaciones
con
polinomios
Dados dos polinomios: polinomios
(suma,
. Suponemos conocidas las resta,
, es posible dividirlos. Esto significa que existen
que cumplen las siguientes dos propiedades:
, o bien el grado de
multiplicación)
es menor que el grado de
Los polinomios
están bien determinados a partir de
, o sea, son
únicos. La justificación de esto (existencia y unicidad) no es nuestro objetivo por ahora. Es útil comparar en un comienzo, esto con el algoritmo de la división de enteros (al dividir dos enteros, con divisor entero positivo, aparece un cociente y un resto. El resto es menor que el divisor). Los nombres se mantienen en este contexto. Por ejemplo, se sigue llamando resto. Si
, decimos que
es un divisor de
Otro asunto interesante es el teorema del resto: Cuando el polinomio por
, el resto es
reemplazar
. Basta con tomar el algoritmo de la división (
. Como el grado de
dice
es
una
sea
. De aquí se deduce el teorema del
es un divisor del polinomio que
)y
es 1, no queda otra opción que
constante (tal vez nulo). Luego factor:
se divide
raíz
, si y sólo si o
un
. En caso afirmativo se cero
del
polinomio
También es válido el Teorema Fundamental del Álgebra, que dice lo siguiente: todo polinomio no constante posee una raíz compleja. Esto nos permite sacar un factor lineal: si el polinomio que
tiene una raíz
, entonces podemos hallar un polinomio
, y el grado del polinomio
grado de
tal
es una unidad menor que el
. Si continuamos con el procedimiento tantas veces como sea posible,
llegamos a la siguiente representación del polinomio
, con grado
y coeficiente
líder :
Por otra parte, si
es escrito como
, y resulta ser una raíz de
con coeficientes en , entonces su conjugado:
también es raíz de
.
Queda de ejercicio propuesto. Pasando a la forma (2) y agrupando los pares de factores (si los hubiera con coeficientes en
), vemos que cualquier polinomio con
puede escribirse como producto de polinomios, todos ellos con grado
menor o igual que 2 (y si el grado es igual a 2, este polinomio no puede ser reducido, o sea no tiene raíces reales, su discriminante es negativo). Tenemos otra forma:
Donde
3.
las
raíces
reales
son
,
y
además
.
PROCEDIMIENTO TEORICO PARA TRABAJAR CON FRACCIONES PARCIALES La estrategia de las fracciones parciales consiste en descomponer una función fraccionaria compleja en la suma de fracciones más simples. La clave es expresar el denominador de la fracción compleja como un producto de factores (monomios, binomios o trinomios). Se desarrolla el proceso algebraico de descomposición de fracciones complejas en simples, y en lugar de integrar la fracción compleja, se integra sus equivalentes fracciones simples. En la mayoría de ejemplos suele utilizarse la forma log para integrar las fracciones simples. La descomposición dependerá del tipo de factor que esté presente en el denominador, los más comunes son lineales y cuadráticos.
4. EXISTEN CUATRO CASOS 4.1 Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. Paso 1: Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador. Paso 2: Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, 2 px +q, o factores cuadráticos irreductibles, ax bx c , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma
px q m
, donde
m 1 o ax 2 bx c los números m y n
n no pueden ser negativos. Paso 3: Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.
A B ... primer factor segundo factor
4.2 Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
Cuando los términos son únicamente lineales y no repetidos, que es mucho más fácil.
4 x 2 13x 9 A B C 3 2 x 2 x 3x x x 3 x 1 Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
4.3 Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
Para este caso, los factores son de la forma a1x2+b1x+c1 irreductibles, es decir que no tienen raíces reales. Para esto se plantea una fracción para cada factor y en particular sus numeradores son de la forma ax +b, donde a y b son las incógnitas por localizar. Por ejemplo si se encuentran los factores (x+5)(x2+4)(x2+x+1), las fracciones propuestas serán:
a bx c dx e 2 2 x 5 x 4 x x 1 4.4 Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.
Al igual que con los factores lineales múltiples, se plantean tantas fracciones como repetición del factor haya, pero con potencias crecientes hasta el valor de n. Por ejemplo si se encuentra el factor repetido (x2+1)4 se proponen las siguientes fracciones:
ax b cx d ex f gx h 2 2 2 2 2 3 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 4
5. PASOS DEL METODO DE FRACCIONES PARCIALES
Esta técnica se trabaja para el cociente de polinomios, con una variable. Por lo tanto, vamos a considerar polinomios de este tipo, con coeficientes en . Además vamos a exigir que no sea constante, para evitar casos evidentes. La expresión con la que trabajaremos, es:
A continuaci贸n viene una lista con los pasos fundamentales del m茅todo de fracciones parciales
5.1 Dividir polinomios.
Algo que puede suceder al comienzo, es que que
tenga grado mayor o igual
, y lo que debemos hacer en este caso, es dividir. Aparece un cociente y un resto
, con las siguientes propiedades:
, o bien el grado de
es menor que el grado de
Si dividimos la primera igualdad por
Si fuera
, entonces
polinomio y el proceso acaba. Si
vamos a obtener:
(excepto cuando
) es un
, entonces nos concentramos en
para seguir. Veamos lo que pasa con nuestro ejemplo:
5.2 Factorizar el denominador.
Esto quiere decir que llevamos
a la forma (2) o bien a la forma (3),
dependiendo de nuestros objetivos (normalmente se busca la representaci贸n
,
sobre todo si queremos calcular integrales). Pasando a f贸rmulas se tiene lo siguiente:
La constante
no debería ser un problema significativo, desde un punto de vista
teórico
y
práctico.
En nuestro ejemplo vamos a tener lo siguiente (el factor cuadrático tiene discriminante negativo):
Salvo casos excepcionales, factorizar polinomios es sumamente complicado. Requiere práctica y conocimiento de ciertos criterios. Por esta razón, casi siempre en los ejercicios propuestos el denominador ya está factorizado, o bien lo que falta se deduce a partir de técnicas usuales de factorización
5.3 Obtener las fracciones parciales. Aquí debemos hacer una observación: las representaciones (2) y (3) no han agrupado explícitamente los factores repetidos. En este método es necesario hacerlo para el denominador. Lo que viene a continuación es generar ciertas fracciones de la siguiente manera:
, con
Cada factor de la forma
Donde
genera las fracciones
son constantes reales, incógnitas por ahora
Cada factor de la forma
, con
, genera las
fracciones
Donde
son constantes reales, incógnitas por ahora
Todas estas fracciones generadas, se suman para obtener
Veamos lo que ocurre con nuestro ejemplo. Se obtiene la siguiente igualdad:
5.4 Encontrar el valor numérico de las
Cuando uno llega a la igualdad enunciada en la parte anterior, pueden igualarse los denominadores, y en el numerador se llega a una igualdad de polinomios (otra forma de verlo, es multiplicar ambos lados de la igualdad por
, que ya
estaba factorizado). Esta es información suficiente para encontrar todos los coeficientes. Vamos a indicar dos métodos para conseguirlo: igualdad por coeficiente, y evaluación, con la ventaja que ambos pueden ser combinados, como
sea
más
cómodo
para
cada
caso.
Antes de eso, veamos lo que sucede con nuestro ejemplo (multiplicamos ):
por
5.5 Igualdad por coeficiente. Dos polinomios son iguales, cuando lo son coeficiente por coeficiente. Usamos este principio para establecer un sistema de ecuaciones que nos dará el valor de las constantes
. Veamos con nuestro ejemplo:
De aquí pasamos al siguiente sistema de ecuaciones:
Restando la primera ecuación de la primera, se obtiene que cuarta ecuación de la segunda se obtiene ecuaciones, obtenemos que
. Restando la
. Reemplazando esto en las
y que
, de donde
. A fin de
cuentas, llegamos a lo siguiente:
Formalmente, esto termina de resolver el problema (salvo por pequeños detalles técnicos). Pero es muy habitual que de este método aparezca un sistema de ecuaciones bien complicado. En este ejemplo tuvimos suerte que no fuera
así,
y
se
pudo
salir
del
problema
en
pocos
pasos.
5.6 Evaluación. Este método es especialmente corto cuando el denominador (ya factorizado) tiene muchos factores (lineales o cuadráticos irreducibles) con exponente 1. El método es evaluar los polinomios, o sea dar valores a . Lo astuto es evaluar en los ceros (reales o complejos) del denominador. Veamos qué sucede en nuestro ejemplo:
Si reemplazamos
llegamos a lo siguiente:
, de donde
. A
diferencia del método anterior, llegamos de inmediato al valor de una constante, cosa que antes podía tardar mucho tiempo. Poniendo lo siguiente:
. Ahora nos acordamos que
tenemos , luego
. Aquí con una evaluación obtuvimos dos incógnitas. Al evaluar (el complejo conjugada) obtenemos la misma información, así que no lo haremos.
Hasta aquí no es forzoso tener todos los coeficientes (en nuestro ejemplo falta obtener
). El esquema general para continuar, es el siguiente: reemplazar
todas las constantes que hayamos determinado, aislar las incógnitas restantes en el lado derecho, factorizar ambos lados y dividir por los factores comunes. Veamos lo que pasa en nuestro ejemplo:
Normalmente se llega a este punto y repetimos el razonamiento inicial (el método de evaluación), pero en el ejemplo apenas quedaba una incógnita y por eso terminamos de inmediato. Si hubiera más constantes por determinar, el proceso se extendería un poco más. Un camino alternativo a este, es reemplazar las constantes conocidas, derivar, evaluar en todas las raíces que sean convenientes, y con frecuencia se obtiene "gratis" el valor de algunas constantes. Con práctica, esto resulta mucho más rápido. En nuestro ejemplo se vería así:
6. EJEMPLOS
Ejemplo 1
7x 6 Halla la descomposición de x x 6 2
7x 6 7x 6 A B x x 6 x 3 x 2 x 3 x 2 2
A x 2 B x 3 7x 6 x 3 x 2 x 3 x 2 7 x 6 A x 2 B x 3
Si
x 2
entonces cancelamos la A y podemos hallar el valor de B
7 2 6 A 2 2 B 2 3 14 6 A 0 5B 20 5 B 5 5 B4
Ahora utilizamos
x 3 entonces cancelamos la B y podemos hallar el valor de A
7 3 6 A 3 2 B 3 3 21 6 5 A B 0 15 5 B 5 5 A3 Entonces
7x 6 3 4 x2 x 6 x 3 x 2 Si el denominador de una expresión racional se puede expresar como productos de factores lineales repetitivos, cada término de la descomposición tiene forma de
A1 A2 Am ... m px q px q 2 px q
Ejemplo 2
Halla la descomposición de
2 x 2 15 x 10 x3 3x 2 4
2 x 2 15 x 10 2 x 2 15 x 10 2 x3 3x 2 4 x 1 x 2 Como el denominador se factoriza, entonces tenemos que considerar tanto (x + 2) como
( x 2) 2 , como posibles factores en la posible 2descomposición.
x 1 x 2 2 x 15 x 10 A B C 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 2
2 x 2 15 x 10
x 1 x 2
A x 2
2
B x 1 x 2
C x 1
x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 2 x 2 15 x 10 A x 2 B x 1 x 2 C x 1 2
2
2
2
Si utilizamos x 2 , entonces cancelamos tanto A como B y podemos hallar el valor de C
2 2 15 2 10 A 2 2 B 2 1 2 2 C 2 1 2
2
2 4 30 10 A 0 B 1 0 C 3 8 30 10 3C 12 3C 3 3 C4 Ahora utilizamos x
1 , entonces cancelamos B y C y podemos hallar el valor de A
2 1 15 1 10 A1 2 B 1 11 2 C 1 1 2
2
2 15 10 A 3 B 0 3 C 0 2
27 9 A 27 9 A 9 9 A3 Ya tenemos el valor de A y C, nos falta el valor de B, para hallarlo utilizamos
x = 0, y
utilizamos los valores de A y C ya encontrados. Al sustituir el 0 en la x, eliminamos los dos primeros términos del polinomio de la izquierda
2 0 15 0 10 A 0 2 B 0 1 0 2 C 0 1 2
2
10 3 2 B 1 2 4 1 2
10 3 4 2 B 4 10 12 2 B 4 10 8 2 B 10 8 2 B 2 2 B 2 2 B 1 El resultado es
2 x 2 15 x 10 3 1 4 x3 3x 2 4 x 1 x 2 x 2 2
7. RECURSOS EN LA RED PARA ESTUDIANTES EN EL TEMA DE LAS FRACCIONES PARCIALES.
Esta página nos hará un énfasis de donde provienen las fracciones parciales. http://www.astroseti.org/imprime.php?num=3594.
Esta página nos dará pie a diferentes ejemplos de Integración Mediante Fracciones Parciales: http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/materia.htm.
Esta página nos mostrara los pasos para resolver una fracción: http://www.calculadoras.cl/foro/attachment.php?attachmentid=307.
Esta es una página sobre ejercicios resueltos de fracciones parciales: http://hdqtitm.blogviajes.com/1161208140/
CONCLUSION Las formas de acercarse al conocimiento cada vez son más variadas, tenemos muchas fuentes de información y cada día se nos ofrecen nuevas opciones, Internet se ha convertido en una autopista del conocimiento y por allí circulan teorías, datos, ejemplos y demás conceptos de
todas las disciplinas, consultar es cada
día más
sencillo. Apropiarse del
conocimiento es distinto requiere un compromiso mayor, es un proceso que involucra crecer y tomar parte de ese conocimiento para sí. Esta actividad nos invito apropiarnos del conocimiento, el tema
académico las fracciones
parciales, la oportunidad de crecer es la forma en que fue hecha la consulta, el reto que nos propone interactuar como grupo, liderar un proceso, contribuir
con los temas y cumplir con
las responsabilidades asignadas, esta manera de elaborar un trabajo es un gran aporte a nuestro aprendizaje ahora como estudiantes a futuro como profesionales nuestro desarrollo personal.
y día a día en
FUENTES DE INFORMACION
http://www.fmat.cl/index.php?s=6d31ff89a3a4e036de8e791212440f7c&showtopic=892 &pid=146218&st=0&#entry146218
http://hdqtitm.blogviajes.com/1161208140/ http://www.calculadoras.cl/foro/attachment.php?attachmentid=307 http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/materia.htm http://www.astroseti.org/imprime.php?num=3594