Índice Unidad I Capítulo 1
Expresiones algebraicas
4
Capítulo 2
Teoría de exponentes I
9
Capítulo 3
Teoría de exponentes II
14
Capítulo 4
Ecuaciones exponenciales
19
Capítulo 5
Valor numérico en polinomios
24
Capítulo 6
Teoría de grados
29
Capítulo 7
Polinomios especiales
34
Capítulo 8
Multiplicación algebraica
39
Capítulo 9
Repaso I
44
Unidad II Capítulo 10
Productos notables I
49
Capítulo 11
Productos notables II
54
Capítulo 12
División algebraica I
59
Capítulo 13
División algebraica II
64
Capítulo 14
Factorización I
69
Capítulo 15
Factorización II
74
Capítulo 16
Fracciones algebraicas I
79
Capítulo 17
Repaso II
84
Unidad III Capítulo 18
Fracciones algebraicas II
89
Capítulo 19
Radicación I
94
Capítulo 20
Radicación II
99
Capítulo 21
Radicación III
104
Capítulo 22
Teoría de ecuaciones
109
Capítulo 23
Ecuaciones de 1er grado I
114
Capítulo 24
Ecuaciones de 1er grado II
119
Capítulo 25
Repaso III
124
Unidad IV Capítulo 26
Sistemas de ecuaciones I
128
Capítulo 27
Sistemas de Ecuaciones II
134
Capítulo 28
Repaso IV
140
Capítulo 29
Sistemas de ecuaciones III
145
Capítulo 30
Desigualdades
150
Capítulo 31
Intervalos
155
Capítulo 32
Inecuaciones I
162
Capítulo 33
Inecuaciones II
167
Álgebra
1
Capítulo
Expresiones algebraicas Lectura: Notación matemática y algebraica La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la Matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV. En el problema 14° del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. 2 2 El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4 (t , b ), 2 2 multiplica 2 por 4(tb), suma los anteriores resultados (t + b + tb) y multiplica por un tercio de 6 (h/3); finaliza diciendo: “Ves, es 56, lo has calculado correctamente”. En notación 2 2 algebraica actual sería: V = h (t + b + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.
t=2
h=6
b=4
2 2 V = h (t + bt + b ) 3
Así tenemos el volumen de una pirámide truncada: 2
Algunos polinomios, como: f(x) = x + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del Álgebra.
En este capítulo aprenderemos Expresiones algebraicas .. El término algebraico y sus componentes. .. Cómo identificar términos algebraicos semejantes. .. La reducción de términos algebraicos semejantes.
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Álgebra Síntesis teórica
Expresiones Algebraicas
Definición
Término algebraico
Términos semejantes
Notación Reducción de términos algebraicos semejantes
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Segundo año de secundaria
5
1
Capítulo
Saberes previos 3. Calcular el valor de: −3+8−11+2
1. Calcula en cada caso: a) 4+9= b) −8+3=
4. Calcular en cada caso:
c) −10+6=
a) (−2)(4)= d) −9+(−4)= b) (−5)(−3)=
2. Calcular en cada caso: a) −4−5=
c) (7)(−5)=
b) −9−11=
d) (8)(9)(−2)=
c) −9+5=
5. Calcular el valor de: −3(2−5)−8(5−3)
d) 7−10=
Aplica lo comprendido 1. Indicar las algebraico:
partes
del
siguiente
T(x)=−4x
término
3. Reducir en cada caso: 4
4
a) 5x +8x =
9
3
• Variable : _____________ : _____________
• Exponente
: _____________
• Coeficiente
3
b) 2m −7m = c) −4ab−5ab= 2
2
d) 11x y−5x y= 2
: _____________
• Parte literal
2
2
2
4. Reducir: −2x y+x y−3x y+5x y
2. Indicar con un aspa (x), el término algebraico que no es semejante a los demás: 5x
3
−8x
3
4x
2
9x
3 3
2
3
2
5. Reducir: 4x −2x −5x +7x 2 3
4x y
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6
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2 3
5x y
3 2
9y x
5xy
2
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Álgebra Aprende más 3
1. Siendo: A=5xy–4xy–2xy B=–xy+3xy–4xy Hallar A–B a) 0 d) –xy
Determine 2 P(x)+ Q(x)
b) 3xy e) –3xy
2
c) xy
2
2
2
2
P(x;y)=5x –2xy+y –4x +xy+2y –x +3xy–5y a) 2xy–2y 2 d) 2xy–y
2
2
b) 2xy+y 2 e) –y –2xy
c) 2xy+2y
3. Si: A=–xy+3xy–(4xy–2xy) B=2xy–[xy–2xy]
b) 2xy e) 5xy
c) −3xy
c) –13mn
b) 3mnp e) mnp
c) 0
6. Reducir: –2xyz–{3xyz–[4xyz–5xyz]} a) 2xyz d) 4xyz
b) –2xyz e) –6xyz
c) –4xyz
b) –8xy e) 0
c) 3xy
2
P(x)=–x +x–1 2 Q(x)=2x –x+2 Hallar P(x)+ Q(x)
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2a–3
, hallar
a) 2 d) 5
a) 8 d) 11
5
c) 3x+2y
es semejante con
a
b) 3 e) 6
c) 4 4 5
; R(x;y)=5x y son semejantes, b) 9 e) 12
c) 10
13. Si: 2m+p 3n+p 17 +3x =px ; entonces “m+n+p” 2x será: a) 15 d) 11
b) 9 e) 26
c) 10
a) 1
b) 2
d) 4 3
e) 1 2
;
c) 3 2
15. Si la expresión: b+2 a+3 6 +2x +(b+4)x , se reduce a P(x)=(a+3)x un solo término. Calcule su coeficiente.
8. Siendo
2
b) 8x+10y e) 5x+2y
a–b
3xy–{2xy–[–5xy–(12xy–5xy)]–3xy}
a) x –x+1 2 d) x –x–1
a) 5x+5y d) 13x+15y
14. Si los términos en variable "x", T1=mx b–c T2=nx son semejantes; calcular: a + c b
7. Reducir:
a) 8xy d) –3xy
2
16x + 20y − 2 (3x + 5y) 2
a b–1
5. Restar –2mnp de –mnp a) –3mnp d) –mnp
E(x;y)=
12. Si T(x;y)=3x y hallar “a+b”
b) –15mn e) 12mn
c) 2x +8
10. Reducir la siguiente expresión:
Q(x)=–5x
4. De 14mn restar –mn a) 13mn d) 15mn
2
2
b) 2x –8 2 e) 2x +6
11. Sabiendo que P(x)=4x
Hallar A–B a) xy d) 4xy
2
a) x +8 2 d) x
2. Reducir: 2
2
9. Si P(x)=x +3x +2x+3 3 2 Q(x)=–2x –4x –4x+2
2
b) x +1 2 e) x
2
a) 10 d) 16
b) 12 e) 18
c) 14
c) x –1
Segundo año de secundaria
7
1
Capítulo
Practica en casa 1. Siendo: A=6xy–4xy–5xy B=–2xy+5xy–6xy Hallar: A+B
10. Reducir la siguiente expresión: E(x;y)= 18x − 30y − 4 (2x − 5y) 5
2. Reducir:
11. Sabiendo que Q(x)=3x
2
2
2
2
2
P(x;y)=2x +xy–2y –x –3xy+y +xy–2x +y
2
3. Si: A=2mp–[mp–(3mp–mp)] B=–mp–(mp–4mp) Hallar: A+B
12. Si: M(x;y)=5x
, hallar:
a+1 b+2
y
es semejante con
a 7 7
; A(x;y)=7x y
son semejantes, hallar: a+b
4. De: (4x–7y+3) restar (–3x–7y+2)
13. Si: 3x
5. Restar: (3m+4) de (5m+4)
m–1
+4x
p+1
=qx
5
Hallar: m+p+q
6. Reducir: –{5mn–[4mn–(2mn–5mn)+4mn]–4mn}+mn 7. Reducir: P(x;y)=2x–y–[3x–(4x–2y)+3y]–x+2y
14. Si se cumple: (a–2)x
b–1
4
+(a+3)x ≡ 11x
c+1
Hallar: ab–c b+1
15. Si la expresión: P(x)=(a+6)x
2
8. Siendo: P(x)=2x +4x–2 2 Q(x)=x –4x+1 Hallar: P(x)+Q(x) 3
R(x)=–5x
2a–6
12
a+2
+5x
8
+(b+3)x
se reduce a un solo término, calcule su coeficiente.
2
9. Si: F(x)=2x +2x –x+4 3 2 Q(x)=x +x +2x+3 Hallar: F(x)–2Q(x)
Tú puedes 4
n+1 m
1. Si x y; 3x y son semejantes; ¿qué podemos 5 3 5 m+2 ? afirmar de: (m+2)x y ∧ nx y a) Diferentes b) Iguales c) Semejantes d) Hay 2 correctas e) Constantes 2. Sabiendo que “a” y “b” son números naturales 8+m
10
b 5–n
+x =a x tales que: 3x de: m+n+a+b, si: a!b a) 1 d) 4
, hallar la suma
b) 2 e) 5 6
6
c) 3 6
3. Al sumar x +2x +3x +....+nx 6 2 55x , indique: n a) 76 d) 100
Colegios
8
TRILCE
b) 81 e) 196
6
4. Jorge compró tres artículos distintos en $(4a+b). El primero le costo $a y el segundo $(2a–b). ¿Cuánto le costó el tercero? a) $a d) 3a+2b
b) 7a e) a+2b
c) 3a–b
5. Sea: A(x)=x+3x+5x+7x+9x B(x)=2x+4x+6x+8x+10x Reducir S(x)=5A(x)–{2B(x)+(4A(x)–3B(x))} a) 35x d) 65x
b) 45x e) 75x
c) 55x
se obtuvo
c) 49
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Capítulo
2
Teoría de exponentes I Lectura: Gauss los tiempos.
es, sin duda, uno de los mejores matemáticos de todos
Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edad y asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarlo porque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos los números del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría varias horas en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cinco minutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución. Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara el procedimiento que había seguido. En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo lo siguiente: Acomodó en una fila todos los números del 1 al 100 y debajo de esa fila acomodó, en otra fila, todos los números del 100 al 1. Después sumó las dos filas. 1 100 101
2 99 101
3 ... 98 98 100 98 3 2 1 101 ... 101 101 101
Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos los números del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación. Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = o lo que es lo mismo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050 No se sabe si la leyenda es cierta o no pero en cualquier caso tratándose de Gauss es perfectamente posible.
En este capítulo aprenderemos Teoría de exponentes I .. Exponente cero, natural, negativo. .. Teoremas de multiplicación y división de potencias. .. Potencia de potencia y exponentes sucesivos.
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Segundo año de secundaria
9
2
Capítulo
Síntesis teórica
Teoría de Exponentes I
Definiciones
Teoremas
Exponente Cero Multiplicación
División
Exponente Natural
Bases iguales Exponente Negativo Exponentes iguales
Potencia de potencia
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10
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Álgebra Saberes previos Calcular las siguientes operaciones: 1. –9–(–5)+(–11)–(–12)+5–(–7)
4. 5 − 4 2 3
2. 3x+4(3x–4)+5x+4(–5x+4) 5. 5 − 2 2
3. 5 + 3 4 4
Aplica lo comprendido 0
0
0
0
1. Efectuar: 4 –2 –(–4) –5(–7 )+3
0 2
–1
–2 –1
4. Calcular: (4 + 4 )
50 veces
6 44 7 44 8 a 2. Reducir: .a.a.....a ; a ^ 0 a.a.a.....a 1 44 2 44 3 40 veces
–1
5. Calcular: 9.3 +16.2
–1
2
24 32 3. Reducir: (3 ) .4(35 ) (3 )
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11
2
Capítulo
Aprende más 1. Reducir: 3 # 3 # 3 # ..... # 3 − (− 3) 38 .32 1 4444 2 4444 3
0
40 veces
a) 1 d) 0
b) –3 e) 1
c) 2
4
b) x 5 e) x
c) x
–3 5
8
23
3. Efectuar: M=(b ) .(–b) .(b ) .(–b) 6
a) b 2 d) b
b) –b 5 e) b
6
2
7
c) b
b) 160 e) 40
18
2
c) 162
2 3
c) ab
2
-4 -8 7. Si: M = e a 8 o e a 4 o ; aa-
Calcular: M
b) 3 e) 6
a
13. Si: a =3, calcular: aa
c) 4
a+ 1
b) 27 e) 39
c) 81
Exponente negativo
a) 10 10 d) n
b) 6 e) 18
3
c) m
n+ 4 n+ 3 12. Reducir: 2 n 2 − 2 n 1 + 2 −n +
14. Reducir:
3x + 2 x + 12 6. Reducir: 272x 3 .32x 4 81 + .3 +
a) 3 d) 12
2
b) m 5 e) m
a) 25 d) 243
b) a b 19 e) a .b
c) 3
m+ 5 m+ 3 11. Reducir: m m 3 + m m 1 m + +m +
a) 2 d) 5
2 4 5 2 5. Reducir: (((a 3.b) 2.b3 ) .a7) ((a .b ) .b)
a) a .b 5 d) a.b
b) 2 e) 5
a) m 4 d) m
2 3 4. Reducir: 6 .18 362
a) 150 d) 62
a) 1 d) 4
Descomposición de potencias
30 23 42 2. Reducir: x 7. (x12) . (7x 3) ; x ! 0 x .x . (x )
a) x 6 d) x
- 50
10. Reducir: 89- 2 + 2.3- 2B
5n + 2n
5- n + 2- n –n
b) 10 e) 10n
c) 10
n
c) 9 –n
2n
15. Si: x =9; reducir: 81x +x a) 81/82 d) 82/81
a!0
b) 1/82 e) 82
–2n
c) 1/81
–1
3
4
a) a 6 d) a
b) a 7 e) a
c) a
5
8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir: -5 2 -4 N = ((7x ) 4) 3 ; x . (x- )-
a) 19 d) 22
b) 20 e) 23
9. Si: A = ` 1 j 3
-2
de: a) 6 d) 9 Colegios
12
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x!0
+ ` 1j 4
-3
c) 21
+ ` 1j 2
-3
entonces el valor
A b) 7 e) 10
c) 8
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Álgebra Practica en casa 9. Si: B = ` 1 j 5
1. Reducir: 2 # 2 # 2 # ... # 2 − (− 2) 30 .25 1 444 4 2 444 43
-2
35 veces
2
24
3
6. Reducir:
x+ 5 x+ 3 11. Reducir: x x 3 + x x 1 x + +x + 3
n+ 5 n+ 3 12. Reducir: 3 n 3 − 3 n 1 3 + −3 +
4
(((xy) .x) .y) ; xy ! 0 ((x2 .y) 2 .y) 8
13. Si: b b = 2,
492x - 1.7x + 3 343x - 2 .72x + 7
14. Reducir:
bb
b+ 1
7a + 2a 7- a + 2- a
–n
15. Si: x =8 2n –2n Reducir: 64x +x
2
-3 -6 7. Si: N = e x 6 o e x 3 o ; x ! 0 xx-
Calcular: N
B
Descomposición de potencias
4 2 4. Reducir: 15 .75 453
5. Reducir:
+2
0 0 0 10. Reducir: (16- 3 + 15.16- 4 )- 11
3. Efectuar: R=(x ) .(–x) .(–x ) .(–x)
2
-2
entonces el valor de:
20 32 52 2. Reducir: x 5. (x 7) . (3x 6) ; x ! 0 (x ) (x ) (x ) –4 2
+ ` 1j 3
–1
8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir: M=
((x- 4) 2)- 3 ; 3 x6 . (x(- 2) )- 2
x!0
Tú puedes 4. Determinar el valor de:
x 2x x 1. Efectuar: ` 2 j . ` 9 j . ` 8 j 3 4 27
a) 2 3 d) 9 4
b) 3 2 e) 4 9
5x + 5x + 1 + 5x + 2 + 5x + 5x - 1 + 5x - 2 +
c) 1
a) 5 d) 625 2
2
2
2. Efectuar: A = (− x2) 3 (− x- 3) 2 (x3 ) (− x(- 3) ) (x- 3 ) 9
a) x 6 d) x
b) –x 3 e) x
9
c) –x
6
59 60
) 5. Efectuar: ;^5 5 a) 0,1 d) 0,55
5x + 3 5x - 3
b) 25 e) 3125
c) 125
5 5 5 5 3 / 5 3 -1 5 E
h
b) 0,2 e) 0,5
c) 0,25
-3 -2 3. Efectuar: A = c`... `^2011- 4h j ...j m
a) 0 d) infinito
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b) 1 e) absurdo
c) 30
Segundo año de secundaria
13
3
Capítulo
Teoría de exponentes II Lectura: El tablero de ajedrez y los granos de trigo El juego del ajedrez que conocemos hoy día, tiene su origen en un juego hindú denominado Chaturanga, y posiblemente se fusionó con otro juego griego denominado Petteia, ambos juegos existen desde la antigüedad, las primeras apariciones del juego actual son de los alrededores del año 500 de nuestra era, y llegó a Europa a través de los árabes.
1 2 4 8 16
Cuenta la leyenda sobre el inventor de este juego:El Brahmán Lahur Sessa, también conocido como Sissa Ben Dahir (recordemos que Ben Dahir significa “hijo de Dahir”), escuchó que el Rey Iadava estaba triste por la muerte de su hijo y fue a ofrecerle el juego del ajedrez como entretenimiento para olvidar sus penas; el rey quedó tan satisfecho con el juego, que juego quiso agradecer al joven otorgándole lo que este pidiera. Sessa lo único que pidió fue trigo, pidió que el rey le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, el doble por la segunda, el doble por la tercera, y así sucesivamente hasta llegar a la casilla número 64. Iadava accedió a esta petición, pero cuando hizo los cálculos se dio cuenta de que la petición era imposible de cumplir. ¿Cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor? Para calcularlo hemos usado las potencias, y hemos obtenido que tenía que darle 263, es decir 9223372036854780000 granos de trigo. Si lo expresamos con notación científica sería redondeando 9.22 1018 granos de trigo.
En este capítulo aprenderemos Teoría de exponentes II .. Exponente fraccionario. .. Teoremas de multiplicación y división de radicales. .. Raíz de raíz
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Teoría de Exponentes II
Definiciones
Teoremas
Exponente Fraccionario
Multiplicación de radicales
División de radicales
Raíz de raíz
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15
3
Capítulo
Saberes previos 1. Efectuar: x.x.x....x 14 24 3
4. Reducir: 5(m+3)+2(4–m)–3(m–1)
20 veces
2. Efectuar: 1 + 1 4 5
3. Efectuar: 8 + 1 3 3
5. Simplificar: a)
4 = 24
b) 30 = 105
Aplica lo comprendido 1. Calcular en cada caso: a)
81=
b) 3 125 =
2. Calcular en cada caso: a) 36
1/2
b) 27
1/3
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3. Calcular en cada caso: 2/3
=
b) 125
2/3
a) 8
=
4. Reducir la expresión: A =
2
3
x +3 x +4 x
4
=
2
=
5
5. Reducir la expresión: A = 6 7 # 15 7 # 9 7
3
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Álgebra Aprende más 1. Reducir: 5 x . 5 x . .... . 5 x 1 4444 2 4444 3
11. Reducir: R =
60 factores
5
7
a) x 12 d) x
b) x 24 e) x
2. Reducir:
2
2 2 2
a) 2 d)
c) x
3. Reducir: M = x a) 10 d) 7
a) 1 d) a
a) 1 d) a
3x + 7x 3- x + 7- x c) 3
a) 2 d) 9
4. Efectuar: n
2
n+ 4 n
.
2
3n + 10 n
a) 8 d) 64
.
(2
n- 7 2
) ; n!N nH2
b) 16 e) 128
c) 32
m
n
a) 2 d) 5 6. Efectuar: 64 x3 . 4
a) x 24 d) x
b) 3 e) 6
15
a) 1 d) 4
c) ab
1 + 3x + y 1 + 3- x
8(x
2 642 16 B
)
b!0
1 + 6y 1 + 6- y c) 6
16 3 4 16 m
.x
b) 1 e) 2x
; x>0 c) x
80 n + 16 n 20 n + 4 n b) 2 e) 5
c) 3
24
8
b) x 32 e) x
7. Efectuar: 6 x5 . a) x 35 d) x
c) 4
x@
20 c2
15. Simplificar: 2n
Calcular: m+n
a m . b- n ; a ! 0 a- n . b m
b) 3 e) 1/2
a) 2 2 d) x
a16 .b64 ; se obtiene a .b
5. Al efectuar:
14. Efectuar:
c) b a
b) a/b e) b
13. Reducir: L = x
b) 21 x e) 21
b.
b) a b e) b
12. Efectuar: m + n c) 8
b
aa ; ab ! 0 b a. a b b
2
b) 4 e) 16
2
9
a
c) x
16
c) x
30
12 x . 3 x@ 25
b) x 24 e) x
8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar: 3 x x a) 1/2 d) 3/4
b) 3/2 e) 5/2
c) 5/4
9. Efectuar: A = 9 2. 4 32 a) 2
b)
d) 3 2
e) 6 2
2
c) 4 2
3 5 10. Efectuar: A = 5 2 . 4 2 . 3 16
a) 2 d) 1 www.trilce.edu.pe
b) 4 e) 16
c) 8
Segundo año de secundaria
17
3
Capítulo
Practica en casa 9. Efectuar: L =
1. Reducir: 3 a . 3 a . .... . 3 a 1 4444 2 4444 3 90 factores
2. Reducir: 3 2
3. 3. 3
2
2
3
3 16 2 4 9
11. Reducir: L = 2y
x
a36 .b324 ; se obtiene a .b
6. Efectuar: (5 x2 . 3 5 x ) 45 x .4 4 x .
y
13. Reducir: a
y.
x. x y y
-2 1
8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar: 4 3 x x
xx
1 + 2a + b 1 + 2a
14. Calcular: 16- 4
x ) 32
y
15. Reducir: M=
n
; xy ! 0
ax .b- 2y ; a ! 0 b ! 0 a- 2y .bx
12. Efectuar: x + 2y
Calcular: x y2 7. Efectuar: (4
4
2x
4. Efectuar: n 3 n - 2 . n (3 n - 1) 2 . n 34 - 3n 5. Al efectuar:
3. 310
10. Efectuar: L =
2a + 3a 2- a + 3- a
3. Reducir: L = a
3
1 + 5b 1 + 5- b -2 1
+ 25- 4
64 n + 162n 8 n + 32 n
Tú puedes 1. Reducir: a) 4 d) 3
0 3 4 1 -1 ;(− 2) + (− 2) + (− 3 ) + 4 3 E
b) 2 e) 1 -2 1
-4 2. Calcular: E = ` 1 j 36
a) 6 d) 12
c) 0
4. Calcule el valor de "M": 3 M = = 8 . 18 − 3500 − 5 − 1G 4
a) 1 d) 4 53
b) 2 e) 5
c) 3
57
+ 20 + 31
b) 8 e) 20
1/3
c) 10
5. Halle el exponente final de "x" luego de reducir la siguiente expresión: a) –2 d) 1
3. Simplifique la expresión "S":
b) –1 e) 3
x.
5
x2 .
3
x 7 . x4
c) 0
x+ 2 + 2 .3x + 1 S=3 2 . 3x + 1 − 3x
a) 1 d) 4
Colegios
18
TRILCE
b) 2 e) 5
c) 3
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Capítulo
4
Ecuaciones exponenciales Lectura: Vieta Francisco (1540 - 1603) Matemático francés, nacido en Fontenay-le-Comte y fallecido en París. La más espectacular de sus virtudes, fue su capacidad para descifrar enigmas, llegando incluso a descifrar, las claves utilizadas por el rey Felipe II de España. Tomó las matemáticas como pura diversión, y sin embargo, llegó a elaborar un gran trabajo en Álgebra y Trigonometría. Fue el primero en utilizar letras para simbolizar incógnitas y constantes en las ecuaciones algebraicas; de esta manera el libro que escribió en 1591, Isagoge in artem analiticam se considera como el primer libro de Álgebra con la notación actual. Por esta razón se le llamo padre del Álgebra Moderna. También fue aficionado a la Geometría, calculando el número “pi” con una aproximación correcta de diez decimales.
En este capítulo aprenderemos Ecuaciones exponenciales .. Los principios básicos para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. .. A las ecuaciones exponenciales; y sus criterios básicos de resolución. .. Los criterios básicos para resolver ecuaciones exponenciales: –– Potencias de bases iguales. –– Potencias de exponentes iguales. x 4 –– Resolución por comparación (x =4 ).
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Segundo año de secundaria
19
4
Capítulo
Síntesis teórica
Ecuaciones exponenciales
Ecuación
Definición
Criterios básicos de resolución
Ecuación de primer grado Potencias de bases iguales
Potencias de exponentes iguales (exponente cero)
Principios básicos de resolución Teoría de exponentes
Colegios
20
TRILCE
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Álgebra Saberes previos Reducir las siguientes expresiones:
4. 4x − 1 = 5 3
1. –5x+6x–7x+11x
2. –7(x+4) 5. 5x+8=3x+30 Resolver las siguientes ecuaciones: 3. 3x–2=91
Aplica lo comprendido 1. Resolver: 5
x–2
2. Resolver: 7
2x–3
4. Resolver: 49
=25
=3
=343
x–5
2x–3 5- x 5. Resolver: ` 1 j = 9x + 1 3
3–x
3. Al resolver la ecuación 7 Indicar el valor de: 3x+1
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x–2
=49
x–1
Segundo año de secundaria
21
4
Capítulo
Aprende más 1. Resolver: 8
x–2
=4
a) 6 d) 10 2. Resolver: 4
b) 5 e) 11 x–1
. 5=5
a) 1 d) 4 3. Resolver: 7
x+3
x–1
c) 12
a) 1 d) 4
.4
b) 2 e) 5 3x–2
=49
a) 1 5 d) 5 6
10. Calcular el valor de “x” en: x+1 x–1 x +3 +3 =351 3
2x
2x = 84 , se obtiene como solución la fracción irreductible: a ; indique b a+b.
2–x
a) 2 d) 5
c) 6 5
e) 1 6
12. Resolver: (3). (2
x- 2 x+ 1 4. Resolver: 45 =425
a) –2 d) 1
b) –3 e) 2
a) 1 3 d) 2
a) 1 d) 4
c) –4
5. Encontrar el valor de “x”, al resolver: 6 3 b) 3 4 e) 1 2
x @3
c) 4 3
6. Determinar el valor de “x”, al resolver: 22 a) 7 d) 10 7. Hallar “x”, si (4 a) 10 d) 15
7x - 1
2x + 3
= 48
b) 8 e) 11 x+1
)(8
x–1
c) 3
11. Al resolver: 163
c) 3
b) 6
b) 2 e) 5
c) 9
b) 3 e) 6 x+3
)=(192) . (3
x–3
b) 2 e) 5
13. Encontrar el valor de "y", si: =9 a) 1 3 d) 5 3
c) 4
) c) 3
1
1
1 ( y–12 ) b
b) 2 3 e) 3
= b 8y
c) 4 3
x- 5 x+ 2 14. Resolver: 55 = 312525
a) 10 d) –10
c) –15
b) 15 e) –5 -1
)=16
x+3
b) 13 e) 20
15. Hallar "x+3"; en: c) 14
a) 3 d) 6
- 25- x 9- 32
b) 4 e) 7
= 3- 1 c) 5
x+ 3 5x + 1 8. Encontrar el valor de “x”: 33 = 279
a) 1
b) 2
d) 1 3
e) 1 4
c) 1 2
x+ 5 2x + 1 9. Hallar “x” en: 53 = 1253
a) 2
b) 3
d) 5
e) 1
Colegios
22
TRILCE
c) 1 5
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Álgebra Practica en casa 1. Resolver: 5
3x–2
=25
x+9
5x + 1 x+ 3 8. Resolver: 33 = 279 3x 93 9 3 9. Resolver: `5 j = 59
x- 1 x+ 1 2. Resolver: 936 = 9216 2x + 1
3. Hallar "x" en: 74
4. Calcular el valor de "x" en: 5 3x
5. Al resolver: 815 Se
obtiene
-1
2x - 1
= 492
x+1
10. Resolver: x
+5 +5
x–1
=3875
3x
= 2434
la
fracción
x
irreductible:
x
m n
–5
12. Si: 25- 8
= 5- 1, hallar: x+1
x 13. Resolver: 6x8 @
4- x
14. Si: 11
8x 7. Resolver: 23 = 512
=1 3
11. Si: 216 . 6 =6 , hallar el valor de x - x- 1 - 27
indique: m+n 16 4 6. Resolver: x81 = x3
- 9- x 9- 8
12
= x16
a25 + a n = a . Determinar "n" a3 + a n
2a + 2 15. Si 5 a 1 = 24 , encontrar "a" 10 -
Tú puedes 1. Hallar "x", si 7 a) 1 d) 4
4. Hallar "x"; en: x - 1 x = 3 4
712 + 7 x + 5 = 7 7 x + 73 b) 2 e) 5
a) 2 d) 40
c) 3
–6
a) 3 –3 d) 3
Indicar el producto de soluciones. –1
c) 32
1/3 3 5. Hallar "x" en: xx = 9 3
2. Resolver: x = 1 . 2 x
a) –2 –3 d) 2
b) 4 e) 54
–2
b) –2 –3 e) –2
c) 2
–2
b) 3 –9 e) 3
c) 3
–8
–2
n 3. Hallar "x"; si xx =n
a) n –1 d) n
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b) 2 n –2 e) n
c) n n
Segundo año de secundaria
23
5
Capítulo
Valor numérico en polinomios
Lectura: Legendre, Adrien-Marie (1752-1833) Matemático francés nacido el 18 de septiembre de 1752 en París y fallecido el 10 de enero de 1833 en la misma ciudad, a quien se deben gran parte de los métodos de análisis matemático de las teorías físicas. Fue miembro del Instituto y catedrático de Matemáticas en la Escuela militar de París, e hizo grandes adelantos en varias ramas de la ciencia, pudiendo citarse su teorema sobre la solución de los triángulos esféricos de lados pequeños, sus descubrimientos sobre la teoría de números, su método de los menores cuadrados, etc. Dejó asimismo muchas obras de mérito, como son: Elementos de geometría; Ejercicios de cálculo integral; Tratado de las funciones elípticas y de las integrales eulerianas; Teoría de los números; Investigaciones sobre la figura de los planetas; etc.
En este capítulo aprenderemos Valor numérico en polinomios .. La notación polinómica; sus elementos y características. .. Las diferentes formas de hallar el valor numérico de un polinomio (casos P(x); P(x+a); P(x−a); P(ax±b))
Colegios
24
TRILCE
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Álgebra Síntesis teórica
Valor Numérico en Polinomios
Notación polinomica
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Estrategias para calcular el valor numérico de un polinomio de una, dos o más variables.
Segundo año de secundaria
25
5
Capítulo
Saberes previos 10
4. Efectuar: 9.3 −27.3
1. Completar: Polinomio
M(x)=–4x
9
Variables Exponentes Coeficiente
3
2 5
T(x;y)=8x y
2. Efectuar: C=–5+7–3–10–8+23 2
5. Sea: P=(x+5)(x+2)+x –xy Hallar el valor que toma "P", si: x=3 ∧ y=5
2
3
3. Efectuar: A=(–2) +(–1) +(2)(–5)–(–1)
2
Aplica lo comprendido 2
2
1. Si: P(x)=x +5x+1 Hallar: P(1)+P(−1)
2. Sea: P(x;y)=3xy–2xy Hallar: P(2;–2)
4. Sea: M(x−5)=x –3x Hallar: M(1)
2
10
5. Sea: P(x)=25x –125x Hallar: P(5)
9
3. Sea: F(x−1)=4x+3 Hallar: F(3)
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Álgebra Aprende más 2
1. Si: A=x +2xy, hallar el V.N. de "A" cuando: x=5; y=–2 a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
2. Si: P(x)=8x +2x –x+ 3 2 3
2
2
b) 3 2 e) 4 2
3. Si: M(x;y)=(x+y) –(x–y) Calcular: M(0;5) a) 0 d) 16
c) 5 2
2
b) 1 e) 25 2
c) 4
3
b) 6 e) 15
b) 4 e) 49
c) 9
c) 25
b) 4 e) 25
c) 9
7. Si "B", es el cuadrado de la suma de "x" y el doble de "y", hallar el valor de "B" si: x=5; y=–10 a) 100 d) 226
b) 220 e) 625 5
a) 44 d) 50
c) 3
b) 46 e) 52
c) 48
11. Si: Q(3x−1)=3−8x Hallar: Q(2)−4.Q(−4) b) −49 e) −52
c) −47
2
12. Si: P(5x+3)=x –4x+2 Hallar: P(−2)+3.P(3) b) 12 e) 15 2
c) 13
2
13. Si: R=x –48 , hallar el V.N. para: x=50 a) 200 d) 194
b) 198 e) 192
c) 196
2
14. Si: M=(x+y)(x–y)+y ; hallar el V.N. para: x=100; y=89 a) 1 d) 1000
2
6. Si: A(x)=x –60x+900, hallar: A(31) a) 1 d) 16
b) 2 e) 5
a) 11 d) 14
5. Si "E" es el cuadrado de la diferencia de "x" y "4", hallar el V.N. de "E" cuando: x=–1 a) 0 d) 36
a) 1 d) 4
a) –48 d) −50
4. Si: A(m;n)=m +n +3mn Hallar: A(−2;−1) a) 3 d) 12
94
10. Si: P(x−2)=4x+11 Hallar: P(2)+P(0)
Calcular: P ` 1 j a) 1 2 d) 7 2
99
9. Si: P(x)=2x −64x +x+1 Hallar: P(2)
b) 10 e) 10000
c) 100
b) 25 e) 38
c) 28
2
15. P(x–3)=2x –5x Hallar: P(2)+P(0) a) 15 d) 35
c) 225
4
8. Si: P(x)=27x −81x +x Hallar: P(3) a) 0 d) 1000
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b) 1 e) 27000
c) 3
Segundo año de secundaria
27
5
Capítulo
Practica en casa 2
2
1. Si: M(x;y)=3x –xy Hallar: M(1;3)
2
2
10. Si: G=(x+2y)(x–2y)–x Hallar el V.N. cuando: x=100; y=–1
2. Si: P(x)=27x +9x Hallar: P ` 1 j 3
2
9. Si: F=x –y ; hallar el V.N. de "F" para: x=38; y=22
2
3. Si: P(x;y)=(x+y) –(x–y) Hallar: P(–1;4) 2
4. Si: M(x;y)=x –2xy+y Hallar: M(15;10)
2
98
2
2
5. Si: Q(x;y)=x +2xy+y Hallar: Q(20;–10)
96
11. Si: M(x)=4x –16x +x Hallar: M(2) 2
12. P(x)=(x+3) +5x Hallar: P(0)+P(1)+P(–2)
2
3
13. Si: M(x)=x Hallar: M(–1)+M(–2)+M(3)
2
6. Si: A(x)=x –40x+400 Hallar: A(22)
14. Si: P(x–2)=3x+8 Hallar: P(9)
7. Si "R" es el cuadrado de la suma de "x" e "y", hallar el valor de "R" cuando x=–5; y=8
15. Si: Q(x+3)=5x–7 Hallar: Q(2)+Q(5)
2
8. P(x;y)=2xy+y Hallar: P(0;2)+P(0;5)
Tú puedes 2 1–x
1. Cuál es el valor numérico de: (2–x–x ) x=–2 a) 0 d) 3
b) 1 e) 4 99
a) 184 d) 189
94
b) 2 e) 5
c) 3
Colegios
28
TRILCE
b) 185 e) 200
c) 187
2
2
(a+b+2c) +(a+b–2c) =8(a+b)(c) Calcular el valor de: E = ` a − c j c−b
3
3. Si: P(x;y;z)=x +xy+xz+yz Hallar: P(–3;3;–2) b) 1 e) 4
2
5. Sabiendo que:
2
a) 0 d) 3
2
4. Si: P(x;y)=(3x+y)(9x –3xy+y ) Hallar: P(2;–3)
c) 2
2. Si: P(x)=3x –729x +x+1 Calcular: P(3) a) 1 d) 4
; para:
c) 2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Central: 6198 – 100
Capítulo
6
Teoría de grados Lectura: El triángulo de Pascal En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. También se le denomina como Triangolo di Tartaglia debido a que el matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia fue el primero en describirlo en un tratado de la primera mitad del siglo XVI. En regiones como Uretra, India o Persia, esta formulación era bien conocida y fue estudiada por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Kayam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió en el año 1303.
En este capítulo recordaremos Teoría de grados .. Concepto de grado. .. Grado relativo para monomios y polinomios. .. Grados absoluto para monomios y polinomios.
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Segundo año de secundaria
29
6
Capítulo
Síntesis teórica
Grado
Concepto
Grado
Grado
Relativo
Absoluto
Para monomios y polinomios
Colegios
30
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra Saberes previos 5 7 3
9 5
8 7
6 6
1. Dada la expresión: M(x;y)=6x y z Indicar: • Las variables • Los exponentes de las variables
4. Dada la expresión: A(x;y)=x y +x y +x y Indicar: a) El mayor exponente de "x". b) El mayor exponente de "y".
2. Calcular la suma de coeficientes de: 4 3 2 E(x)=x +2x +3x +4x+5
5. Halla "x" en cada caso: a) x–3=11
a–2
a–3
a–1
3. De la expresión: P(x)=x +x +x Calcular el valor de "a", si el mayor exponente de "x" es 5.
b) x+2=7
Aplica lo comprendido 8 7 10
5 10
1. Si: H(x;y)=5x y z Calcular: G.R(x)= G.R(y)=
G.R(y)=
G.A.=
G.A.=
2. Si el grado relativo de: M(x)=3x Calcular: "a"
7 8
2 12
4. Del polinomio: E(x;y)=x y +x y +x y Calcular: G.R(x)=
a–2
es 5
7
6
5. Del problema: A(x;y)=x +y +1 Hallar: G.R(x)= G.R(y)=
3. Si el exponente de la variable es un número 12/a entero positivo en: R(x)=8x Calcular la suma de los posibles valores que puede asumir "a".
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G.A.=
Segundo año de secundaria
31
6
Capítulo
Aprende más 8 6
1. Del monomio: H(x;y)=3x y Calcular: G.R(x)–G.R(y) a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
9. Calcular el valor de "a", en: a+2 a+1 a+3 a +x +x +x H(x)=x si: G.R(x)=21–2a
c) 3
2. Calcular: "a+b", si G.R(x)=3 ∧ G.R(y)=5, en: a a–7 b+7 P(x;y)=2 .x .y a) 11 d) 8
b) 10 e) 7
c) 9
3. Si el G.R(x)=2, calcular el grado absoluto del m–3 10+m .y monomio: R(x;y)=–7x a) 17 d) 15
b) 12 e) 13
c) 19
4. Si los monomios: m 2m–1 A(x;y)=5x . y 5m m–13 B(x;y)=–6x . y Poseen igual grado absoluto, calcular "m". a) 3 d) 5
b) 2 e) 6
2m+3 3
c) 24 3n–5 2
b) 7 e) 10
c) 8 7 6
5 10
b) 36 e) 26
8. En el polinomio: F(x;y)=x G.R(x)=10 ∧ G.R(y)=8 Calcular: "a.b" a) 35 d) 30
Colegios
32
TRILCE
b) 36 e) 31
c) 30 a+5 5
7 b+2
.y +x .y
b) 14 e) 17
c) 15
11. Calcular m+n en el polinomio: m–2 n+3 m+1 n–3 m–3 n+5 A(x;y)=x y +x y +x y si el grado absoluto de "A" es además: m>3 ∧ n>3 a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
15,
c) 14 a–1
17–a
b) 39 e) 31
c) 45
13. Del polinomio: a–3 a/2 a/3 31–a N(x)=x +x +x +x Calcular la suma de los posibles valores de "a"
6 8
7. Del polinomio: P(x;y)=3x y +4x y +2x y Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A a) 32 d) 28
a) 13 d) 16
a/3
6. De: H(x;y)=8(x ) .(y ) Se sabe que el grado absoluto es 47, calcular "m+n" a) 6 d) 9
c) 7
10. Calcular el valor de "m", en: m–5 m–3 m–7 10 +x +x +x R(x)=x si el grado absoluto es 13
a) 40 d) 63
b) 16 e) 22
b) 6 e) 9
12. Del polinomio: H(x)=x +x +x Calcular la suma de los posibles valores de "a".
c) 4
5. Calcular el coeficiente de: 3a–2 2b–3 .y M(x;y)=(2a+3b)x si: G.R(x)=13 ∧ G.R(y)=5 a) 18 d) 20
a) 5 d) 8
a) 85 d) 90
b) 87 e) 76
c) 98
14. Si la suma de coeficientes del polinomio: a–3 a–2 a–1 K(x)=(a+2)x +(a+1)x +(a+3)x es 21, calcular su grado absoluto. a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
2 2 15. Del polinomio: P(x;y)=3x35 - a .y5 + 7x2 .y3b - 11 2
2
se sabe que: G.R(x)=a +3 ∧ G.R(y)=b +7 identificar un valor de "a+b" a) 8 d) 2
b) –3 e) 5
c) –1
c) 20
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Álgebra Practica en casa 7 8 3
1. Del monomio: E(x;y;z)=5x y z Calcular: 2(G.R(x))+3(G.R(y))–5(G.R(z)) 2. Si el G.R(y)=8, calcular el grado absoluto del 3m–2 m+3 y monomio: H(x;y)=12x 3. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=5 a+3 b–8 .y en: M(x;y)=–10x calcular: "a+b"
12. Calcular la suma de los posibles valores de "a", a/5 a–3 32–a en el polinomio: P(x)=x +x +x
5. Calcular el coeficiente de: 5a–3 4b–1 S(x;y)=(3a–2b)x .y si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=15
43–a
2n–1 6
6 11
8
7. Del polinomio: H(x;y)=5x y +3x y +4x y Calcular: G.A.+G.R(x)–G.R(y) m+7 8
a–1
a/2
a/5
13. Del polinomio: E(x)=x +x +x +x Calcular la suma de posibles valores de "a".
6. De: A(x;y)=(x ) .(y ) se sabe que el grado absoluto es 48, calcular "m+n" 9 5
10. Calcular el valor de "m", en: m–4 m–6 m–2 13 A(x)=x +3x +x +x si su grado absoluto es 18. 11. Del polinomio: m–5 n+4 m+3 n–6 m–2 n+5 H(x;y)=x y +x y +x y se sabe que el G.A(H)=16 Calcular: "m+n"
4. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=4 5a+2 b–5 .y en: E(x;y)=(3a–2b)x calcular el coeficiente.
4m–2 3
9. Calcular el valor de "a", en: a+5 a+7 a+2 a+1 +x +x +x P(x)=x si: G.R(x)=35–3a
3 n+4
8. Del polinomio: E(x;y)=x y +x y se sabe que: G.R(x)=16 ∧ G.R(y)=14 calcular el valor de "m+n"
14. Si la suma de coeficientes del polinomio: a–4 a–3 a–1 R(x)=(a+5)x +(a–3)x +(a+1)x es 27, calcular su grado absoluto. 2 2 15. Del polinomio: M(x;y)= x9 + a .y7 + x4 .y2b + 1 2
2
se sabe que: G.R(x)=2a +5 ∧ G.R(y)=b +10 Calcular el mínimo valor de "a+b"
Tú puedes m n p
1. En el monomio: E(x;y;z)=2012.x .y .z la suma de sus grados relativos tomados de 2 en 2 es 9, 10, 11 respectivamente, calcular el valor p- n de: m + n ; además GR(y)<GR(x)<GR(z) a) 1 d) 5
b) 2 e) 7
c) 3
2. Calcular: m.n, si G.A(p)=11, n+3 m–2 n+2 m–3 y +x y , si además: en: P(x;y)=6x G.R(x)–G.R(y)=5 a) 25 d) 24
b) 30 e) 16
3. Si el grado del monomio: P(x;y;z)=
c) 21
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b) 5 e) 8
a) 8 d) 2
b) 5 e) 7
c) 10
5. Calcule la suma de posibles valores de "n", en: n- 2
19 - n 2
H(x)=2x 3 + 3x si es un polinomio. a) 27 d) 33
b) 30 e) 35
+ 4x
n
c) 31
xa - b .ya + b w b - a .za + b
es 16. Hallar el grado de: S(x;y;z;w)= a) 4 d) 7
x n - 2 . 7 x3 n 4 n+ 1 x es de grado 2. Calcular el valor de "n".
4. Si el monomio: P(x)= 3
xa . y b w b . za
c) 6
Segundo año de secundaria
33
7
Capítulo
Polinomios especiales
Lectura: El objetivo del Álgebra "En el mundo laboral nos encontramos diariamente con problemas referentes al cálculo de cantidades e incógnitas, lo cuál exige de operadores competentes y eficaces para resolver dichas dificultades de un modo optimo". FUENTE: http://google.com.pe
En este capítulo aprenderemos Polinomios especiales .. Polinomio homogéneo. .. Polinomio completo (propiedad). .. Polinomio ordenado. .. Polinomios idénticos. .. Polinomio idénticamente nulo.
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Álgebra Síntesis teórica
Polinomio Homogéneo
Polinomio Completo
Polinomios Especiales
Polinomio Ordenado
Polinomios Idénticos
Polinomio Idénticamente Nulo
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7
Capítulo
Saberes previos 5 4 6 3
4 2
1. En: P(x;y;z)=3 x y z Determinar:
3 5
4. Dado el polinomio: S(x;y)=7x y –3x y –y Determinar: G.R(x)+2G.R(y)–G.A(S)
9
• G.R(x)= ______________________________ • G.R(y)= ______________________________ • G.R(z)= ______________________________ 5 4
4 7
2 8
2. En Q(x;y)=x y +2x y –3x y Determinar:
• G.R(x)= ______________________________ • G.R(y)= ______________________________
5. Hallar el valor de "x" en: a) x+3=15
b) x–4=10
• G.A(Q)= ______________________________ c) 3x–5=2x+1 3 7 9
3. Dado el monomio: P(x;y)=6 x y Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A(P)
d) 4x–1=2x+7
Aplica lo comprendido 1. Hallar: "a–1"; si el polinomio: a+3 7 6 8 y –x y es homogéneo. P(x;y)=5x
4. Si: (a–3)x+16 ≡ 5x+2b Hallar: "a.b"
2. Dado el polinomio completo: 4 2 b Q(x)=x –2x +5x +3x+7 Hallar el valor de "b" 2
5. Si: (m–5)x +(n+1)x+(P-2)≡0 Hallar: "m+n+p"
3. Dado el polinomio completo y ordenado en a+1 b–2 c–3 forma decreciente: P(x)=x +x +x +5 Calcular: "a+b+c"
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Álgebra Aprende más 9. Si el polinomio es completo y ordenado en forma n–1 m–2 p–3 a +x +5x creciente: P(x)=2a+x +3x Hallar: m+n–p+a
1. Calcular "a"; si el siguiente polinomio: 3+a 2 4 7 y –5x y es homogéneo Q(x;y)=x a) 6 d) 7
b) 3 e) 11
c) 5
2. Calcular: "a+b"; si el polinomio: 4 a b 5 2 8 M(x;y)=3x y –5x y +2x y es homogéneo. a) 10 d) 12
b) 9 e) 11
c) 8
2
3. Calcular: m+n , si el siguiente polinomio: m–1 4 m+1 n 9 5 y +7x y –x y es homogéneo. P(x;y)=x a) 14 d) 17
b) 15 e) 18
c) 16 n 3 m+2
n–3 4
–3x y 4. Dado el polinomio: N(x;y)=2 x y tiene como grado de homogeneidad a 15; calcular "m.n". a) 140 d) 180
b) 150 e) 190
c) 160
c) 9
2
6. Calcular: a +b ; si el siguiente polinomio: 5 2 a 4 a+b –7 P(x)=x –6x +3x +x –5x (b>a) es completo a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
7. Dado el trinomio ordenado: 4 a P(x)=x +x +2; (a ! Z+ ) Calcular la suma de los posibles valores de "a". a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8 a
b
2
c
8. Si el polinomio: P(x)=18x +x +2x –x +5 es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: "a+b+c" a) 7 d) 10
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b) 8 e) 11
c) 7
10. Hallar el término independiente del siguiente polinomio completo y ordenado: 2013 a n 5 a–2010 +x +...+x +x +...+2n P(x)=x a) 64 d) 18
b) 32 e) 72
c) 16
11. Dada la identidad: 2 2 (a–1)x +(b–2)x+12 ≡ 3x +x+3c Calcular: a+b+c a) 12 d) 9
b) 3 e) 6
c) 11
12. Calcular: "m.n" Si: (m+n–3)x+m–n ≡ 8x+7 b) 16 e) 22
c) 20
2
b) 16 e) 1 2
b) 5 e) 8
a) 5 d) 18
5. Sea el polinomio completo: 4 2 a P(x)=x +x –3x +1+x 2 Hallar: a a) 4 d) 25
a) 3 d) 4
13. Si: (a–8)x +(b–5)x+(c+3) ≡ 0 Hallar: a + b + c 5 a) 2 b) 5 d) 10 e) 1
c) 1/2
14. Dado el polinomio: 2 P(x)=(a–9)x +(b–6)x+(3c–15) es idénticamente nulo, hallar: a + b + 2c a) 5 d) 6
b) 3 e) 7
c) 2
15. Dado la identidad: 2 2 2 2 (a –8)x +(b+2)x+16 ≡ x +5x+c Hallar el máximo valor de: a+b+c; (c<0) a) 10 d) 2
b) –4 e) 5
c) 6
c) 9
Segundo año de secundaria
37
7
Capítulo
Practica en casa m
2. Calcular: m–n; si el siguiente polinomio: 7 m 5 6 n 3 9 P(x;y)=5 x y –3x y –7x y es homogéneo.
n–4 5
4. Dado el polinomio: N(x;y)=2x y –4x y tiene como grado de homogeneidad a 16, hallar "n–m" 5. Si el polinomio: a–2b a+b b a+2b a–b 8 P(x;y)=x y –5x y +7x y es un polinomio homogéneo, el valor de: E=(a+b)ab es:
p
11. Hallar el término independiente del siguiente polinomio completo y ordenado. 215 a n 4 a–212 P(x)=x +x +...+x +x +...+3n 12. Calcular "m.n" Si: 3ax+12 ≡ 24x+4b 13. Dada la identidad: 2 2 (a+1)x +(b–1)x+3 ≡ 4x +5x+c Hallar: a+b+c 4
2
14. Si: (a–3)x +(b+2)x +(5–c) ≡ 0 Hallar: a + b + c 3
6. Sea el polinomio completo: 6 5 m 2 4 A(x)=4x +x +x +x+x +3+x Hallar: "5–m" 2
2
10. Si el polinomio es completo y ordenado en forma n–1 m–2 p–3 a creciente: P(x)=3a+x +x –4x +x Hallar: m+n+p–a
3. Dado el polinomio homogéneo: a+3 a–1 b+2 b+8 P(x;y)=ax –abx y +2by Hallar: "a.b" 4 m+3
n
9. Si el polinomio: Q(x)=2013x +x +3x –5x +7 es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: m+2n–p
1. Calcular "a" si el siguiente polinomio: 5 8 4+a 3 y es homogéneo Q(x;y)=x y –3x
2
7. Calcular: m +n ; si el siguiente polinomio: 4 2 m m+n +4; (n>m) es completo S(x)=x +7x –x +x m
5
8. Dado el trinomio ordenado: P(x)=5+2x +x Calcular la suma de los posibles valores de "m".
15. Dada la identidad: 2 2 2 2 (a –2)x +(b–3)x+c ≡ 2x +4x+25; a>0 Hallar el mínimo valor de a+b+c
Tú puedes 1. Si el polinomio: 2b a+2 2a 4b +10bx y P(x;y)=5ax y es un polinomio homogéneo, calcular P(1;1) a) 5 d) 20
b) 10 e) 25
c) 15
2. Si el polinomio: m–2 n–1 7 2n–3 y (x +y ) P(x;y)= 5 x es homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16, determinar los valores de m y n respectivamente. a) 2;6 d) 5;8
b) 7;5 e) 6;9
c) 6;8
4. Si los polinomios: 2 P(x)=mx(1+x)+n(x+p)+x 2 Q(x)=3x +8x+12 son idénticos , hallar: m+n+p a) 5 d) 14
b) 10 e) 16
c) 13
5. El polinomio: 2 2 P(x)=x(ax +bx+c)–2x(bx +cx+d)+2d–1 es idénticamente nula, halla: acd abcd a) 8 d) 2
b) 6 e) 1
c) 4
3. Si el polinomio: a+b a+2 2a a a–1 +x –x +3x +x P(x;y)=ax es completo y ordenado, hallar el valor de "b+1" a) 12 d) 2
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b) 6 e) 1
c) 4
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Capítulo
8
Multiplicación algebraica Lectura: Al-Khwarizmi, el álgebra y los algoritmo Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe, nacido en Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año 780. Entonces reinaba el califa Harun al-Rashid, quinto califa de la dinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun, tuvo dos hijos y a su muerte, hubo una guerra de sucesión entre los dos hermanos, al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra al-Mamun y al-Amin fue ejecutado en 813. al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñaban filósofos y científicos griegos. También construyó una biblioteca y un observatorio astronómico. Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático. La obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primera vez, en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha influencia en las matemáticas de la época. La traducción del título de la obra era complicado, por lo que los traductores optaron por latinizar el título, convirtiéndolo en aljeber que acabó derivando en el actual álgebra. La palabra jebr se refiere a la operación de pasar al otro lado del igual un término de una ecuación y la palabra muqabalah se refiere a la simplificación de términos iguales. La versión latina del tratado de al-Khwarizmi sobre álgebra fue responsable de gran parte del conocimiento matemático en la Europa medieval. Otro libro de al-Kharizmi fue De numero indiorum (Sobre los números hindúes). En este libro se dan las reglas para hacer las operaciones aritméticas. Estas reglas se denominaron como las reglas de al-Kharizmi y por deformación de la palabra llegó al término actual algoritmo. Su trabajo con los algoritmos introdujo el método de cálculo con la utilización de la numeración arábiga y la notación decimal. Las matemáticas le deben a al-Khwarizmi la introducción del sistema de numeración actual y el álgebra. Murió alrededor del año 835.
En este capítulo aprenderemos Multiplicación algebraica .. Multiplicar un monomio por otro monomio. .. Multiplicar un monomio por un polinomio. .. Multiplicar un polinomio por otro polinomio.
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8
Capítulo
Síntesis teórica
Multiplicación algebraica
Monomio por monomio
Monomio por polinomio
Polinomio por polinomio
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Álgebra Saberes previos 4 3 6
1. Efectuar: 3 3 a) 4x –7x =
6
b) a .a .a =
4. Indicar verdadero (V) o falso (F):
6
b) –8a –4a =
2. Efectuar: a) (–4)(5)=
• 3.5=5.3 ..........................................(
)
• x.y=y.x ...........................................(
)
5. Calcular: a) 5×3×4=
b) (–8)(–4)=
b) (–4)(–2)(–5)=
3. Efectuar: a) x.x.x=
Aplica lo comprendido 2
4. Efectuar: (–4xy)(2x–3y)
1. Efectuar: (4x )(5x)
3
2
2. Efectuar: (–4xy )(–5x y) 5. Efectuar: (3x+5)(x–1)
2
3. Efectuar: (–2x )(2x+5)
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41
8
Capítulo
Aprende más 2 3
4
6 4
2
1. Efectuar: (3x y )(–5x y)+14x y 6 4
8 3
a) x y
b) –x y
d) –x y
e) –x y
6 4
2
c) 29x y
4
2. Efectuar: x(x+6)–6(x–1)–x a) 6x
b) 12x
d) 6
e) 12
2
c) 2x
2
3
4. Efectuar: 3x.2x .3x .5x a) 13x d) 90x
10 24
e) 90x 2 4
10
d) –96x y
e) –16x y
9 7
24 8
c) 64x y
d) 8x
e) 0
c) 1
7. Dados: A=3x(x–2) B=6x(x+1) Hallar: A + B a) 2x d) 3x
c) 2x
e) –2x 2
2
2
2
2
b) 3x y
4
4
2
4 4
c) 9x y–21x y
e) 6x y
a) –6(x +x)
b) 2
d) 5x
e) 0
14. Dados: A =
c) –6x
2
(a2 + 6a + 9) − (a + 4) (a + 2)
a) 2 d) –1 2
b) 1 e) 0
c) –2
2
15. Si: x +y =2 Hallar: (x + 2y) (x + y) − x (3y − x)
b) 3x
2
2
B = a2 + 8a + 16 − (a + 1) (a + 7) Hallar: A–B
6. Efectuar: 3x(x–2)–(3x+2)x+8x 2
b) 10x
2
4 2
b) –96x y
2
13. Efectuar: 2 2 2 2 (x +x–1)(x +x–2)–(x +x+1)(x +x+2)
c) 90
a) 96x y
b) 9x
3
d) –5x 10
c) 16x
3
2
a) 5x
3
a) 6x
e) 4
4
12. Efectuar: (x +2y)(3y–5x )+6y(x –y)+x y
c) 4x
9 7
24 8
d) 0
d) 10
5. Efectuar: (–8x y )(–2x y)(–6x y ) 9 7
b) 16x 2
4
b) 45x
6
a) 4x +16
a) 2x
b) 16x e) 12x
2
11. Efectuar: (x–5)(x +2)–x +5x(x+2)–10(x–1)
2
3. Efectuar: (2x+1)(4x)–8x(x+1) a) –4x d) 0
3
10. Efectuar: A=x(x –2x+4)–(x –2x ) 2 Hallar: A
c) 6
e) x
a) 4 d) 1
b) 2 e) 0
c) 3
2
8. Efectuar: (4x–6)(5x–8)–20x +62x a) 32x+48
b) 30x
d) 48x
e) 30x 3
2
c) 48
3
9. Si: A=3x(2x –5x )–x (6x–16) Hallar: 3 A a) x d) x
Colegios
42
2
TRILCE
b) 3 6 x e) 2x
c) 3 6
Central: 6198 – 100
Álgebra Practica en casa 2
2 4
4 5
2
1. Efectuar: (2a b)(–3a b )+5a b 2
2. Efectuar: x(x +5)–5(x–2)–x
11. Efectuar: (a+1)(a–1)(a +1)+1
3
2
3. Efectuar: 4x(2x+1)–8x(x–1)–11x 2
3
4. Efectuar: 4a.5a .3a .7a 2 4
4
3
4 2
13. Efectuar: 10 7 7 10 10 7 10 7 (x +x –1)(x +x –2)–(x +x +1)(x +x +2)
2
14. Si: A =
5. Efectuar: (–5a b )(–2a b)(6a b ) 6. Efectuar: 4x(x–5)–(3x–2)x–x 2
2
A + B + 2x 2 2
3
4
15. Si: a +b =2 Hallar:
8. Efectuar: (5x–3)(3x–4)–15x +29x 2
a2 + 6a + 9 − (a + 5) (a + 1)
B = a2 + 8a + 16 − (a + 1) (a + 7) Hallar: A–B
7. Si: A=5.(x –3) 2 B=3.(5+3x ) Hallar:
2
12. Efectuar: (a+1)(a –a+1)+(a–1)(a +a+1)
(a + 2b2) (a + b2) − a (3b2 − a)
3
9. Si: A=6x(2x +x )–x (6x–4) Hallar: 3 4A 2 2 10. Efectuar: M= x. (x – x + 21) + x – x x
Tú puedes 1. Dada la expresión: P(x;y)=( n x3 y2) n - 1 cuyo grado es igual a 15. Halle el valor de su coeficiente. a) 4 d) 16
b) 6 e) 20
c) 8 n
3
2. Dado el polinomio cúbico: P(x)=4x .(3x –2x+n) n+m+4 3–m .(x ) Halle el grado de: Q(x)=x a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
4. Dada la identidad: 5 m (5x+3)(2x–2)(x +3x–5) ≡ ax +...+bx+6k; m ! N ∧ m>6 Hallar el valor de: a+m+k a) 20 d) 23
b) 21 e) 24
c) 22
5. Halle el grado de: 8 3 4 2 5 P(x)=(x +4)(x +2)(x–1)+5x(x –3)(x +x+5)+3x (x–300) a) 10 d) 25
b) 12 e) 27
c) 20
3. Halle el grado de siguiente polinomio: 4 2 R(x)=(x+2)(x–2)(x +4x +16) a) 4 d) 7
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b) 5 e) 8
c) 6
Segundo año de secundaria
43
9
Capítulo
Repaso I Lectura: Los descendientes de Carlomagno Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto día topó con un matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos: “Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el número de ascendentes que contamos son 14, y si nos remontamos 40 generaciones, el número de antepasados que tiene usted es: 2
3
4
38
39
40
2+2 +2 +2 + ... +2 +2 +2 =22 199023, 255550 Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra historia pensó “Poca sangre noble tiene este buen hombre”; pero sigió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna. FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com
En este capítulo recordaremos Repaso I .. Expresiones algebraicas; agregando además el concepto de grado para polinomios en una variable. .. Teoría de exponentes. .. Ecuaciones exponenciales. .. Notación P(x)−Valor numérico
Colegios
44
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra Saberes previos 4
4
4
4
1. Reducir: A=7ab –5a b+9a b–18ab
2. Efectuar: B = ` 1 j 4
-1
3
2
4. Sea: P(x)=4x –5x +4 Calcular: P(–1)
+ 50 − 811/4 5. Resolver: 7
3x–2
2–x
=49
2 33 3. Reducir: C = (a 3.b )2 (a .b)
Aplica lo comprendido 5
8
5
8
1. Reducir: P(x)=4x +x –9x +4x
4
3
2. Reducir: (–x) .(–x) .(–x)
3. Hallar "x"; si: 4
5
3x–1
=0,25
6. Hallar el grado de P 4 3 2 3 3 2 4 Si: P(x;y)=x y +5x y –7x y z
7. Dado el polinomio homogéneo: 2 a 4 b 3 8 P(x;y)=4x y +5x y –ax y ; hallar: "a.b"
3
a
b
8. Sea: P(x)=4x +2x +3x +70 un polinomio completo y ordenado, hallar 2 2 a +b
x x- 1 4. Calcular: Q = x9 1.5 x 1 3 - .15 +
9. Halle: Q(5) si: Q(2x+1)=4x+3
5. Hallar el grado de Q 4 5 4 3 2 si: Q(x;y;z)=4x .y .z .y .z .x
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10. Resolver: 3 2x - 2 = 8x - 2
Segundo año de secundaria
45
9
Capítulo
Aprende más 1. Completar el siguiente cuadro: Coeficiente 3
0
Variables
Exponentes
2 x 4 y2
7 xy3 z4 5
11. Resolver: 8
2. Reducir: 2 3 2 3 2 3 A=x y –7xy+x y –3xy+8xy–2x y a) xy d) –2xy
b) –xy e) 0
c) 2xy 4 a+b y ; 1x y 3
a–b 5
3. Dado los términos semejantes: 5x 2 2 Calcular: a –b a) 0 d) 15
b) 1 e) 20
c) 10
4. Dado el polinomio: 3 n+5 m+1 5 8 6 –3x y –2x y P(x;y)=4x y Halle el valor de "m.n"; si P(x;y) es un polinomio homogéneo. a) 47 d) 50
b) 48 e) 52
c) 49
0 0 0 0 0 5. Efectuar: A=7 +4 –(–3) +2` − 1 j –3 5 3 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6. Efectuar: B = 5.5.5....5 − (− 5) 58 .25 14 424 43 60 veces
60
b) –1 60 e) 2.(5)
c) 1
a) 0 d) 9
b) 1 e) 27
`^a2 bh3 aj
c) 3
5
8. Efectuar: D =
^a7 b3h
;
4
a) a b d) ab
b) ab e) 1
ab ! 0
3
7 3
c) a b 22
0 9. Reducir: A = 5 − 3 + `37 j − ^− 10h2 21
a) 0 d) 3
Colegios
46
TRILCE
12
b) 1 e) –3
c) 3
x+3
=4
b) 4 e) 32
c) 12
5- x 12. Resolver: ` 1 j = 9x + 1 3 a) 1 b) 6 d) –5 e) –7
c) 7
x+ 1 x- 2 13. Resolver: 425 = 45
a) –4 d) 1
b) –3 e) 2
14. Hallar "x" en: 1253
x+ 5
c) –2 2x + 1
= 53
a) 1/5 b) 1 d) 3 e) 5 15. Calcular el valor de "x" en: x x+1 x–1 +5 =3875 5 +5 a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
16. Hallar "x" en: 4
x–2
a) 0 d) 3
=5
c) 2
c) 6
x–2
b) 1 e) 4
c) 2
2
17. Sea: P(x)=x –16x+64 Hallar: P(10) a) 4 d) 64
b) 8 e) 128
c) 16
2
18. Sea: M(x+3)=2x +7x–25 Hallar: M(5)+M(4)
19 21 33 37 7. Efectuar: C = 3 .39 8.3 38.3 (3 ) .3
7
x–2
a) 1 d) 16
5 x 4 + 3y 2
a) –2.(5) d) 0
6 4 )2 10. Efectuar: M = (15) (45) (81 2 (32) 9 .53 a) 1 b) 5 d) 9 e) 25
c) 2
a) –20 d) 10
b) –10 e) –19
c) 20
2
19. Sea: P(x)=x +1 Q(x)=5–3x Hallar: P^Q (2)h + Q^P (1)h a) 1 d) 2
b) 3 e) 4
c) 5
2 20. Sea: P (x) = ) x − 5; si x < 0 2x + 3; si x H 0
Calcular: P(–3)+P(1)+P^P (
a) –1 d) 4
b) –4 e) 5
2)h
c) –5
Central: 6198 – 100
Álgebra Practica en casa 1. Completar el siguiente cuadro: Coeficiente
0
7
0
9. Efectuar: M = 23 − 51 + (23) 4 − (− 5) 2
Variables
Exponentes 7 5 )3 10. Efectuar: N = 6 . (2245) . (632 (3 ) . (2 ) 6
5 x3 y5 − 2 xy3 z4 3
11. Resolver: 25
x–2
=125
x–4
6 3
–7x y
3- x x+5 12. Resolver: ` 1 j =49 7
2. Reducir: 7 2 3 5 7 2 3 5 7 2 A=–5x y +3x y +2x y –9x y +x y
2x + 1
3. Dado los términos semejantes: b+8 a–7 2 7 9 7x y ; x y 5 2
Calcular: a .b
14. Hallar "x" en: (49) 2
2
15. Calcular "x"en: 3
16. Hallar "x" en: 7
4. Dado el polinomio: 4 n+1
m+2 4
0
5. Reducir: A = ^− 5h2 + ` − 1 j + 5 2 + 72 3 0
0
6. Efectuar: B =S 3.3.3...3 − (3) 98 .81 102 veces
2
3
4
10
3 7. Efectuar: C = 3.3 .93 5.3 .... 25 (3 ) . (3 )
^(x3 y2) 5 y3h
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3x–1
x
+3 +3
=9
x+ 5
x+1
=117
3x–1
2
17. Sea: M(x)=x –24x+144 Hallar: M(15)
2
18. P(x)=x +40x+400 Hallar: P(–18)
2
19. P(x)=x –5 R(x)=3x+7 Hallar: P(5)–R(7)+P^R (
2)h
20. Si: S (x) = )3x + 2; si x H 0 x2 + 10; si x < 0
2
2 ^x10 y13h
x–1
= 72
9 5
Q(x;y)=8x y –2x y –13x y Halle el valor de m.n; si Q(x;y) es un polinomio homogéneo.
8. Reducir: D =
x+ 1 x- 2 13. Resolver: 34 = 32
; xy ! 0
Hallar: S(–3)+S(–4)+ S^S (
2)h
Segundo año de secundaria
47
9
Capítulo
Tú puedes 1. Calcular el valor numérico de: xy F (x; y) = 4 x (x − y) + 5 (x + y) − 3 4 5 Para: x= 1 ; y= 2 4 3 a) 443 60 d) 141 31
b) 331 30 e) 101 720
2. De: ` 4 ab2 − 5 bc2 + 7 a2 b2j 3 2 4 Restar: ` 2 bc2 − 9 a2 b2 − 3 ab2j 5 2 4 2 2 2 2 a) ab + 1 a b – 1 bc 4 10 2 2 2 2 b) 25 ab + 25 a b – 29 bc 12 4 10 2 13 2 2 19 2 c) ab + a b – bc 4 10 2 2 2 2 d) 25 ab + 25 a b + 29 bc 12 4 10 2 2 2 e) ab + 25 a b 4
Colegios
48
TRILCE
1
x- n + y- n n 3. El valor simplificado de: M = e n o x + yn tal que xy! 0, es: –1
c) 143 37
a) x y d) (xy)
–1
b) xy
–1
c) xy
e) x/y
n + 1 1 - 2n .9 + 272 - n 4. Simplificar: P = 3 81 (3 n)- 3
a) 9
b) 3
d) 1/3
e) 5
5. Simplificar: Q =
c) 28/3
y.y3 .y5 .y7 ......."n" factores ; y2 .y4 .y6 .y8 ......."n" factores
y! 0 a) y d) y
–3
b) y
–1
e) y
–n
c) y
–2
Central: 6198 – 100
Capítulo
10
Productos notables I Lectura: La multiplicación algebraica y la geometría
b
bx
ab
x
x2
ax
x
a
(x+a) (x+b) = x2 + (a+b) x + ab Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común. Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
En este capítulo aprenderemos Productos notables I .. Desarrollo de un binomio al cuadrado. .. Identidades de Legendre. .. Producto de binomios conjugados (diferencia de cuadrados).
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Segundo año de secundaria
49
10
Capítulo
Síntesis teórica
Productos Notables I
Binomio al cuadrado
Colegios
50
TRILCE
Identidades de Legendre
Diferencia de cuadrados
Central: 6198 – 100
Álgebra Saberes previos 4. Siendo a y b dos números cualesquiera, exprese literalmente las siguientes operaciones:
1. Reducir: • 4x–7x+8x–2x=
• El cuadrado de la suma de dos números disminuido en su producto.
3
3
3
3
• –2y +6y +8y –12y =
• La suma de cuadrados de dos números. 2
2
2
2
• 12x –8x –9x +x =
• El cuadrado de la diferencia de dos números aumentado en su producto.
2. Completar: 4 7 2
• x .x .x =
2
5. Efectuar: 22 • (3x ) =
3
• (2x )(–3x )=
2
4
• (–4a)(–2a )(–8a )= 33
• (2m ) =
3. Efectuar: 2 2 2 2 • 3(2x –5y )–6(3x –2y )=
3
2
2
52
• (–4x ) =
3
2
• –4(m –3n )+5(–2n +7m )+n =
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Segundo año de secundaria
51
10
Capítulo
Aplica lo comprendido
1. Efectuar: 2 a) (x+3) =
4. Efectuar: a) (x+8)(x–8)=
2
b) (m–4) =
b) (3x–5)(3x+5)=
2. Efectuar: (2x+5)
3. Efectuar: (3x–4)
2
5. Efectuar: 2 2 a) (x+2) +(x–2) =
2 2
2
b) (y+3) –(y–3) =
Aprende más 2
2
2
2
a) 16x d) x
b) 6x e) 0 2
c) 16
2. Reducir: (x–3) +6(x–1)–x a) 0 d) 3
2
2
3. Reducir: (3x+5) +(2x–3) –13x –34 a) 0 d) x+34
b) 1 2 e) x +18 2
c) 18x
2
4. Reducir: (2x+1) +(2x–3) –8x(x–1) a) 1 d) 10
b) 2 e) 12
c) 4
a)
5
d)
5 /3
e)
c) – 5 /2
2
Colegios
52
TRILCE
b) 0 e) –13
4
4
b) x 8 e) y
a) 1 d) 6
2
b) 2 e) 4
8
c) x 2
2
2
c) 0
2 2 2 2 9. Efectuar: (x + 1 + 5 ) 2− (x + 1 − 5 ) x +1 2
2
a) x –1
b) x +1
d) 2 5
e) 4 5
c) 1
10. Si: a+b=9; ab=37 2
2
Hallar: "a +b " b) 5 e) 9
c) 31
b) 86 e) 43
c) 46
11. Si: ab=29 a+b=12 2
5 /2
2
Hallar: "a +b "
6. Reducir: (x+7)(x–7)–(x–6)(x+6)+13 a) x d) 17
8
a) 7 d) 4
2 2 5. Reducir: ( 5 + 1) 2 − ( 5 − 1) 2 ( 5 + 1) + ( 5 − 1)
b) 0
4
8. Efectuar: (x+6) –(x–6) +(x+4) –(x–4) –40x c) x
2
a) x d) x
2
2
b) 1 e) 15 2
2
7. Reducir: (x–y)(x+y)(x +y )(x +y )+y
1. Reducir: (x+5) +(x+3) –2x –34
c) 1
a) 68 d) 76 2
2
12. Si: x +y =56; xy=44 Calcular el máximo valor de "x+y" Central: 6198 – 100
Álgebra a) 10 b) 11 d) 13 e) 14 13. Si: x–y=9; xy=3 2 2 Calcular: x +y a) 47 d) 78
c) 12
b) 82 e) 74
a) 5 3 +6
b) 4+5 3
d) 3 5 –6
e) 10(1+ 3 )
c) 2– 3
15. Si: x+y= 5 x.y=2 y Calcular: x + y x
c) 87
14. Si: a=6+5 3 b=4+5 3 Calcular:
a)
E=16 2 (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a8 + b8) − b16
d) 2
b) 1
5 –1
c) 2
e) 5/2
Practica en casa 2
2
1. Reducir: (x+10) +(x+3) –2x 2
2
2
2. Reducir: (x–6) +(x+4) –(x+2)
2
3. Reducir: ( 7 + 2) ( 7 − 2) − ( 5 + 3 ) ( 5 − 3 ) 2
2
4. Reducir: (3x+2) –(3x+1) –3(2x+1) 2
2
5. Reducir: (x+2) –(x–2) –4(2x–1) 6. Efectuar: (x+4)(x–4)+(5+x)(5–x) 2
2
4
4
8
7. Efectuar: (x+b)(x–b)(x +y )(x +y )+b –x
8
8. Efectuar: 2 2 2 2 (x+10) +(x–10) +(x+8) –(x–8) –2(100+16x) 9. Si: a+b=7 ∧ ab=16 2 2 Calcular: a +b
11. Si: a–b=11 a.b=6 2 2 Calcular: a +b 12. Calcular el mínimo valor de "x+y" 2 2 Si: x +y =55 ∧ xy=33 13. Si: a=9+7 5 b=7 5 +6 Calcule: E= 8 3 (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) + b8 2 2 14. Reducir: ( 7 + 1) 2 − ( 7 − 1) 2 ( 7 + 1) + ( 7 − 1)
15. Si: a+b=9 ab=14 2 2 Calcular: a + b ab
10. Si: a+b= 5 ; ab=3 2 2 Calcular: a +b
Tú puedes x
y
2
b
2
2
2
2
1. Si: 2 +2 =a x+y=b x y entonces: 4 +4 equivale a: 2
a) a +2 2 d) a –2b
b
b) a –2 +1 2 b+1 e) a +2
2
c) a –2
b+1
2. Si: a +b = m +1
5. Si se cumple: a + b =
x +y = m –1 2
4. Si se cumple que: 2 2 x +y =2(3y+2x)–13; {x;y} ! R x+y Calcular: 5 a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
ab =
2
Halle: (ax+by) +(ay–bx) –m a) m d) –1
b) 1 e) 0
3. Si: x+ 1 =3; calcular: E = x a) 0 d) 3 www.trilce.edu.pe
b) 1 e) 4
c) –m (x3 + x5) (x7 + x3) 21x9
4
2+5 4+3 4
Calcular: "a–b" ; si: a>b a) 2
b) –2
d) – 2
e) –1
c)
2
c) 2
Segundo año de secundaria
53
11
Capítulo
Productos notables II Lectura: Construcción simultánea de un cubo y un producto notable
Descomposición volumétrica del binomio al cubo. Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más 3 3 2 2 el cubo del segundo término. (a+b) =a +3a b+3ab +b
En este capítulo aprenderemos Productos Notables II .. Desarrollo de un binomio al cubo. .. Suma y diferencia de cubos. .. Producto de binomios con término común.
Colegios
54
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra Síntesis teórica
Productos notables II
Binomio al cubo
Suma y diferencia de cubos
Binomios con término común
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Segundo año de secundaria
55
11
Capítulo
Saberes previos 2
1. Efectuar: • 3x (x+1)=
• (3x–5) =
2
4. Efectuar: • (4x+5)(4x–5)=
• –2x . (x–3)=
2. Efectuar: • (3x–5)(4x+1)=
2
2
• (3x+4) –(3x–4) =
• (2x+1)(3x–7)= 5. Efectuar: 2 • (x+6)(x –6x+36)= 3. Efectuar: 2 • (x+2) =
2
• (x–5)(x +5x+25)=
Aplica lo comprendido 3
2
1. Efectuar: (x+5) =
2. Desarrollar: (3x+2)
4. Efectuar: (x+11)(x –11x+121) – x
3
3
4
2
5. Reducir: (m+2)(m–2)(m +4m +16)–m
3. Efectuar: (x–2)
Colegios
56
TRILCE
6
3
Central: 6198 – 100
Álgebra Aprende más 1. Efectuar: (x+5)(x+3)+(x+3)(x+4)–2x a) x+27 d) 15x+7
b) 15x+27 e) 0
2
c) 27x+20
2. Efectuar: (x+1)(x+2)–(x+2)(x+3)+2x b) –1 e) –4
a) 0 d) –3
c) –2
3. Efectuar: (x+2)(x+3)+(x–1)(x–3)–x–9 a) 10x 2 d) 2x
b) 0 e) 1
c) x
2
b) 10 e) 575
c) 875
b) 1 e) –2 3
b) –47 e) 101
c) 51
3
7. Al efectuar: (3x–2) se obtiene un polinomio de 3 2 la forma: mx +nx +px+q Calcular: (m–n)+(p–q) a) –3 d) 3
c) –18
E= (3 7 + 3 5 ) (3 49 + 3 35 + 3 25 ) − ( 7 − 3) ( 7 + 3) a) 4 d) 7
b) 5 e) 14
c) 0
6. Si al desarrollar (2x+3) se obtiene el polinomio 3 2 de la forma: ax +bx +cx+d. Calcular: a+b+d–c a) –23 d) 17
b) –2 3 e) x +28
c) 6
m–3
(x + 4) 2 − (x + 1) (x + 7)
a) 2 d) –1
a) –28 3 d) x +7
13. Determinar el área de:
5. Calcular: "A–B" Si: A = (x + 3) 2 − (x + 4) (x + 2) B=
11. Efectuar: 2 2 E=(2x–3)(4x +6x+9)–(2x+1)(4x –2x+1)
12. Reducir:
4. Efectuar: 2 2 (x+10)(x –10x+100)–(x+5)(x –5x+25) a) 100 d) 475
10. Reducir: (x + 4) (x2 − 4x + 16) − (x − 4) (x2 + 4x + 16) 8 a) 1 b) 4 c) 16 d) 64 e) 128
b) 71 e) 125
c) 26
2
2
;
m>3
2
m +3m+9 3
a) m –9 3 d) m
3
b) m +9 3 e) m +27
3
c) m –27
3 –3 14. Si: x + 1 = 5; obtener el valor de: x +x x a) 90 b) 110 c) 12 d) 130 e) 140
15. Si: a+b=5 ab=3 3 3 Calcular: a +b a) 40 d) 105
b) 15 e) 27
c) 80
8. Efectuar: (x+2)(x –2x+4)+(x–2)(x +2x+4) 3
a) 2x 6 d) 2x
6
b) x e) 0
c) x
3
9. Efectuar: (x + 5) (x2 − 5x + 25) + (x − 5) (x2 + 5x + 25) ; x ! 0 2x a) x 4 d) x
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2
b) x 5 e) x
c) x
3
Segundo año de secundaria
57
11
Capítulo
Practica en casa
1. Efectuar: (x+6)(x+2)+(x+4)(x+1)–2x
2
2. Efectuar: (x+10)(x–3)–(x+4)(x+2)+29 3. Reducir: (x+4)(x–2)+(x–6)(x+4)–2x
2
10. Reducir: (3 6 + 3 2 ) (3 36 − 3 12 + 3 4 ) 11. Reducir: (3 10 − 3 4 ) (3 100 + 3 40 + 3 16 ) 12. Determine el área de:
4. Reducir: (x+3)(x+2)–(x+7)(x+2)+(x+9)(x–4)–(x+4)(x+1) 2
m–2
;
m>2
2
5. Reducir: (x+8)(x –8x+64)–(x–6)(x +6x+36) 2
m +2m+4
6. Calcular: A+B si: A = B=
(x + 5) 2 − (x + 2) (x + 8)
13. Determine el área de:
2
(x + 6) − (x + 3) (x + 9)
7. Reducir: (x + 6) (x2 − 6x + 36) + (x − 6) (x2 + 6x + 36) ; x ! 0 2x
2(m–3)
;
m>3
2
8. Reducir: (x + 3) (x2 − 3x + 9) − (x − 3) (x2 + 3x + 9) ; x ! 0 6 3
9. Al efectuar: (2x+1) se obtiene un polinomio de 3 2 la forma: ax +bx +cx+d Determine el valor de: a+b+c+d
m +3m+9 14. Si: x + 1 = 4 ; calcular: x3 + 13 x x 15. Si: a+b=6 ab=2 3 3 Calcular: a +b
Tú puedes 1. Si se cumple: x = 5 − 3 , calcular: y = 3− 3 F = 16 2 (x + y) (x2 + y2) (x4 + y4) (x8 + y8) + y16 + 3 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5 4
c) 3
b) 9 e) 12
2 Calcular: T= x + 1 + c x2 + 12 m x x
a) 50 d) 53 2
4
a) 0 d) 3 c) 10
58
TRILCE
c) 52
2
b) 1 e) 4
c) 2
5. Siendo: x+ 2 =3. Calcular el valor de: x P=(x–1)(x+2)(x–2)(x–5)+2011 a) 2008 d) 2011
Colegios
b) 51 e) 54
4. Efectuar: (x +5x+5) –(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
2. Efectuar: e 1 4+ 3 o + e 1 4− 3 o 7 7 a) 8 d) 11
2
3. Siendo: x –3x+1=0
b) 2009 e) 2012
c) 2010
Central: 6198 – 100
Capítulo
12
División algebraica I
Lectura: Paolo Ruffini (Valentano, 1765 - Módena, 1822) Matemático y médico italiano. Nacido en Valentano, ciudad que pertenecía entonces a los Estados Pontificios, cursó estudios de medicina en la Universidad de Módena, pero una vez finalizados se dedicó casi por entero a la investigación matemática.
En este capítulo aprenderemos División algebraica I .. El objetivo de la división algebraica, así como las propiedades que se requieren para efectuarla. .. El método de Horner, esquema y operaciones, como técnica práctica para dividir polinomios. .. El método de Ruffini, esquema y operaciones, como técnica práctica para dividir polinomios (comentando sus restricciones).
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Segundo año de secundaria
59
12
Capítulo
Síntesis teórica
División algebraica I
Objetivo
Propiedades
Clases de división algebraica
Colegios
60
TRILCE
Métodos prácticos para dividir
Método de Horner
Método de Ruffini
Central: 6198 – 100
Álgebra Saberes previos 2
4
3
1. Dado el polinomio: P(x)=3x –5x +4–9x +6x Determinar: a) Grado de P(x)=_________________________ b) Coeficiente principal=__________________ c) Término lineal=________________________ d) Término cuadrático= ___________________ e) Término independiente=________________ 2. Realizar las siguientes operaciones: a) −30 ÷ 6=
d) − 72 = −6 3. Realizar las siguientes operaciones: a) −15−8= b) −23+13= c) 10−40= d) −17−(−8)= 4. Completar y ordenar los siguientes polinomios: 2
a) P(x)=5x +3−4x+7x
5
P(x)= ________________________________ 3
b) S(x)=5x −1 b) −44 ÷ −11= c) + 110 = − 10
S(x)= ________________________________ 4
2
6
5. Dado el polinomio: P(x)=8x−2x +5x +6x coloca en cada cuadrícula solo los coeficientes de P(x); una vez que se encuentre "completo y ordenado en forma descendente".
Aplica lo comprendido 1. Si se divide el polinomio: 4 2 2 P(x)=x +x −1 entre x +1, entonces
1
1
5
0
• Grado del polinomio dividendo: ______________________________________ • Grado del polinomio divisor: ______________________________________
−2
• Grado del polinomio cociente: ______________________________________
4. Del problema anterior, una vez operado y completo el esquema indique:
2. Del problema anterior, obtenga el grado máximo del residuo.
residuo: R(x)= ____________________________
cociente: Q(x)=___________________________ 5 3 5. Si se van a dividir los polinomios: x + x − x − 30 x−2 complete su esquema de división:
1
4 2 3. Si se van a dividir los polinomios: x 2+ 5x + 3 x − 3x + 2 complete su esquema de división:
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0
−1
cociente: Q(x)= ___________________________ residuo R(x)= _____________________________
Segundo año de secundaria
61
12
Capítulo
Aprende más
1. Hallar el cociente de la siguiente división: 3 2 2 (x +5x –7x+5)÷(x +2x–3) a) x+5 d) –10x+14
2
b) x +3 e) 10x–14
c) x+3
2. Hallar el residuo de la división x4 − 3x3 + 2x2 + x − 5 x 2 − 3x + 1 2
a) x +1 d) –6
b) 4x–6 e) 4x
c) –2
3. Hallar "m+n"; si la siguiente división es exacta: x5 + 2x3 − 13x2 + mx + n x 2 − 3x + 3 a) 9 d) –12
b) –9 e) 12
c) 24
4. Hallar la suma de los coeficientes del cociente y residuo de la siguiente división: x3 + 3x2 − x − 3 x 2 + 2x − 3 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
5. Hallar "mn"; si la siguiente división es exacta: x4 + 3x3 − 5x2 + mx − n x2 + x − 2 a) 80 d) 110
b) 90 e) 120
c) 100
3 2 6. Dividir e indicar su residuo: 4x − 5x + 3x − 3 x−1
a) 1 d) –1/2
b) –1 e) 0
c) 1/2
3 4 7. Dividir e indicar su cociente: 6x + x + 2x + 3 x+3 2
a) 2x +1 3 d) 2x –1
4
b) 2x +1 4 e) 2x –1
3
c) 2x +1
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
10. En la siguiente división exacta; hallar "n" 2x3 + x2 − 5x + (n − 7) x+ 2 a) 9 b) 2 c) 5 d) 8 e) 7 11. Hallar la suma de coeficientes del cociente, al 4 3 2 dividir: 2x + 5x 2− 2x + 4x + 8 2x + x − 2 a) 2 d) 9
b) 5 e) 13
c) 7
12. Al efectuar la siguiente división: 4 3 2 2 (4x +13x +25x+12+28x )÷(4x +6+5x) el residuo es: a) 2x+6 d) x–2
b) –(2x+6) e) –2x+6
c) –6+2x
13. Hallar "A+B"; si la siguiente división es exacta 2x4 + 3x2 + Ax + B 2x 2 + 2x + 3 a) 2 d) 12
b) 4 e) 13
c) 5
14. Hallar el término independiente del cociente, 4 3 2 luego de dividir: 6x − 4x + x + 10x − 2 3x + 1 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
4 3 2 15. Hallar el resto en: 15x − 8x − 9x + 7x + 1 5x − 1
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3 2 8. Dividir: x + x − 2x − 2 x−1 Indicar el término independiente de su cociente
a) 1 d) –2
b) –1 e) 0
c) 2
9. Indicar la suma de coeficientes del cociente al 3 2 dividir: 3x − 32x + 52x − 63 x−9 Colegios
62
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra Practica en casa 4
3
2
2
1. Al dividir: (x +4x +6x –7x+2)÷(x +2x+1) indicar el cociente y residuo. 4 3 2 2. Luego de dividir: 4x − 5x2 − 2x + 3x − 1 x − 2x − 1 indicar la suma de coeficientes del cociente.
3. Dar el residuo de la siguiente división: 3x4 − 2x3 − 5x − 4 x2 − x − 1 4 3 2 4. Calcular el residuo de: x – 3x 2 + 5x – 3x + 4 x – 3x + 4 4 2 5. Dividir: 8x − 24x + 5x − 2 4x − 2x + 1 e indicar la suma de coeficientes del cociente.
10. Calcular "A+B" si la división: x4 – 2x3 + 3x2 + Ax + B es exacta x2 – x + 1 4 3 2 11. Dividir: 12x + 2x2 − x − 5x − 9 3x − x − 2 indicar el producto de coeficientes del residuo.
12. Indicar "ab", si la siguiente división es exacta: 2x4 + 3x2 − ax + b 2x 2 + 2x + 3 13. Obtener: a + b + c p + q + r + t , luego dividir a b
6
9
p
q
c
5 4 6. Hallar el resto: 8x + 16x − 5x + 9 x+ 2 4
8
5 4
5
11
1
t
r 11
22
22
32
3
7. Hallar el residuo de: 5x + 16x − 8x + 2 x+3 8. Dar el cociente de: 2x − 8x + 9x − 4x − 16 x−3
14. Señalar el término independiente del cociente, 4 3 2 al dividir: 5x − x − 10x + 17x + 5 5x − 1
9. Hallar "a" para que la división sea exacta: 2x3 − 5x2 + 2x + a x−1
15. Señalar el resto, al dividir: 2 x4 + x3 − 8 x2 + 2x + 32 x+ 2
4
3
2
Tú puedes 1. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la 101 siguiente división: x 2 + 2007 x − 2x + 1 a) 2007 d) 4040
b) 5050 e) 3030
c) 2020
2. Calcular "m+n" en la siguiente división exacta: mx4 + nx3 + 3x2 + 4 x2 − 3x + 2 a) –5 d) 7
b) –7 e) –3
c) 5
3. El residuo en la siguiente división es: x+3 2 2 2 Hallar el valor de: b –a 2 x4 − 3x3 + 2 x2 + ax + b x2 − 2 x − 2 a) 5 d) 1 www.trilce.edu.pe
b) –7 e) –1
4. En la siguiente división; si el residuo es numéricamente igual a la suma de coeficientes del cociente. Hallar "m" 4x 4 − x 2 + 3 x + m 2x − 3 a) 3 3
b) 2 3
d) 4 3
e) 5 3
c)
3
5. Hallar el valor de "m", si la suma de coeficientes , tanto del cociente como del residuo, resultan iguales. x3 − 3x2 + (3 − m2 − 3m) x − (4m + 1) ; x ^ m + 3 x−m−3 a) 5 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
c) 3
Segundo año de secundaria
63
13
Capítulo
División algebraica II Lectura: Polinomios Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son muy utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
¿Son polinomios o no? 5
7 8
3 4
a) 3x – x y + 9y x : 2
3 5
b) 4x – 7x y – 7y–3x–4: c)
7 + 2x–5: 9y 2 x 4
En este capítulo aprenderemos En el capítulo "División algebraica II" estudiaremos: 1. El teorema del resto, objetivo y procedimiento. 2. Casos particulares del teorema, para calcular el resto de una división, con divisor no lineal; degradando el dividendo. 3. A calcular el resto de una división algebraica con la identidad fundamental de la división.
Colegios
64
TRILCE
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Álgebra Síntesis teórica
Teorema del Resto
Objetivo
Procedimiento
Forma alternativa para hallar el resto en una división algebraica.
Identidad fundamental de la división
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Segundo año de secundaria
65
13
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar: 2 a) (−4) =
3
b) (−4) =
c) (−1)
20=
13
d) (−1) =
2. Dado el siguiente polinomio: 4 3 2 P(x)=x −2x +x −x−1 Obtener: a) P(1)=
3. En cada igualdad; despeje la potencia de mayor exponente: a) x+4=0 2
b) x −3=0 5
c) x −4x+1=0 5
d) x +7=0 4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x+y=8 x−y=2
b) 4a+b=7 −a+b=3
b) P(−1)=
c) P(−2)=
5. Construya un polinomio lineal en variable "x" tal que: "a": coeficiente lineal. "b": término independiente. considerando que (a≠0)
Aplica lo comprendido 400 20 1. Hallar el residuo en: x − 3x + 4x + 5 x−1
7 6 3 4. Hallar el resto en: x − 3x +2 x − 2x + 5 x +1
5 4 2 2. Hallar el resto en: x − 2x + x − 1 x+ 2
5. Hallar el residuo en:
x3 − x + 2 (x − 1) (x + 2)
8 6 4 2 3. Hallar el resto en: x + 2x −23x + x + 2 x −1
Colegios
66
TRILCE
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Álgebra Aprende más 1. Hallar el resto en la siguiente división: x11 − 8x7 + 3x + 9 x+ 1 a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
30 20 2. Calcular el residuo en: x − 3x + 3x − 1 x−1
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
c) 3 30
− 4x + x − 8 x−4 b) –2 c) –3 e) –5
3. Hallar el residuo en: x a) –1 d) –4
29
4. Calcular el valor de "a" si la división es exacta: x30 − 4x12 + x + a x+1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 5. Hallar "n", si el resto de la división es 15: x4 + 13x3 + 2x2 + x + n x−1 a) −6 d) −2
b) −5 e) 0
c) −7
8 4 2 6. Hallar el resto de dividir: x − 2x 2 − 7x + 5 x +2
a) 1 d) –9
b) –1 e) 27
c) 9
28 22 4 7. Calcule el resto de dividir: x − 4x 3 + 5x + 6 x +2
a) −10x+6 d) 8x−8
b) −8x+9 e) 0
10. Calcular el resto en: (x4 − 3x + 6)102 + (x4 − 3x + 4) 53 − 2 (x4 − 3x) − 1 x 4 − 3x + 5 a) 9 d) 12
b) 10 e) 8
c) 11
4 3 11. Hallar el resto de dividir: 2x + 17x − 68x + 32 x− 1 2
a) 0,25 d) –3,5
b) 3,5 e) 0,75
c) –1,25
12. Calcular el resto en: (x − 3) (x + 5) (x − 6) (x + 2) + 2x2 − 147 x2 − x − 1 a) x d) 4x
b) 2x e) 5x
13. Calcular el resto en: a) 30x−33 d) 3x−10
c) 3x
x 5 + 2x (x − 2) (x − 1)
b) 33x−11 e) 33x+30
c) 33x−30
3 14. Hallar el resto en: 2x − 3x x − 2x − 3
a) 4x+2 d) 4x+5
b) 4x+4 e) 4x−6
c) 4x+6
15. Calcular el resto luego de dividir: (x4 − 3x + 6)102 + (x4 − 3x + 4) 53 − 2x4 + 6x − 1 x 4 − 3x + 5 a) 9 d) 12
b) 10 e) 8
c) 11
c) 10x+9
8. Calcule el residuo en: 4x25 − 3x20 + 4x15 − x10 − x5 + 2 x5 + 1 a) –11 b) −9 d) −5 e) −7
c) −8
10 5 9. Hallar el resto en: (2x + 1) + 6x − 4 2x − 1
a) 1 d) 4
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b) 3 e) 5
c) 8
Segundo año de secundaria
67
13
Capítulo
Practica en casa 9. Hallar el resto en la siguiente división: 9x105 − 3x60 + 5x21 − 6x12 + x3 + 7 x3 − 1
4 1. Hallar el residuo en: 2x + 3x − 5 x−1 10 2. Hallar el residuo en: x + 3x − 1 x−1
3. Hallar el resto en la siguiente división: 4x25 − 3x2 + 5 x+1 5 4 4. Hallar el resto en: 8x + 16x − 5x + 9 x+2
5. Hallar "n", si en la siguiente división el resto es 4 2 cero: 3x + x + 5x + (2n − 3) x+ 1
10. Hallar el resto de la división: x18 + 3x9 + 5x6 + 7x + 1 x2 − 1 18 11. Hallar el valor de "a" si el resto es 8: 5x + 3x + a x+1 92 91 2 12. Hallar el resto en: x − 2x + 2x − 3x + 1 x−2 2000 + (x + 1) 35 − x − 2 13. Hallar el resto de: (3x + 5) x+2
24 15 4x6 − x3 + 2 6. Hallar el residuo en: x − 3x + x3 − 1
5 3 14. Calcular el resto de: x − 3x2 + 2x + 5 x −5
6 4 2 7. Hallar el resto en: x + 3x +25x + 6x − 4 x −1
7 7 7 15. Calcular el residuo de dividir: (x + a) − x − a x + 2a
2 8. Hallar el resto de dividir: 2x + 5x + 3 2x − 1
Tú puedes 1. Calcule el resto de la siguiente división: (2x − 4) 2 + (2x − 3) 2 + (2x − 2) 2 + ... + (2x + 2) 2 2x − 4 a) 91 d) 55 2. Hallar "n", si a) 4 d) 8
b) 81 e) 70
c) 76
(x + y) 4 − nx4 − y4 es exacta x − 2y b) 7 e) 10
c) 5
37 15 3 4. El resto de dividir: 2x + 5x2 + 4x + 13 , es x +1 2 R(x)=ax+b +4; calcular ab
a) –21 d) 0
b) 18 c) 21 e) más de una es correcta
5. Hallar el resto en: (x + 1) (x + 22) (x + 3) (x + 4) + 5 x + 5x + 5 a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
17 14 2 3. Si el residuo de: 2x + 3x2 + 4x − 1 , es de la x +1 forma R(x)=mx+n. Halle: R(m–n)
a) 0 d) 15
Colegios
68
TRILCE
b) 12 e) 14
c) 1
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Capítulo
14
Factorización I Lectura: Niels Henrik Abel (1802 – 1829) Matemático noruego, nació en una familia muy numerosa, hijo de un pastor protestante en condiciones de extrema pobreza. A los 16 años, su maestro le aconsejó leer los grandes libros de los matemáticos más eminentes. A los 19 años, demostró que las ecuaciones algebraicas de un grado superior a cuatro no tenían solución algebraica general, creando con el una importante teoría, llamada "teoría de grupos" y descubrió importantes propiedades relativas a las funciones elípticas y a una clase de ecuaciones llamadas ecuaciones abelianas. Murió de tuberculosis a sus escasos 27 años.
En este capítulo aprenderemos Factorización I .. El concepto de factorización de polinomios con coeficientes enteros. .. El concepto de factor algebraico y factor primo. .. Los criterios de factorización: –– Factor común. –– Agrupaciones de términos. –– Identidades notables.
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Segundo año de secundaria
69
14
Capítulo
Síntesis teórica
Factorización
Criterios de Factorización (Métodos)
Concepto
Factor común
Factor algebraico Agrupaciones de términos
Factor primo
Colegios
70
TRILCE
Identidades
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Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones: 11 a) x 9 = x
2
Rpta: ____________________ 3. Indicar cuál o cuales son polinomios lineales: a) P(x)=5x−1 2 b) F(x;y)=x +y c) M(a)=30
5 b) 20a2 = 5a 7 c) − 323x = 4x
d)
c) M(n)=K
Rpta: ____________________ 4. Indicar cuál o cuales son polinomios cuadráticos: 2 a) P(x)=x +1 b) F(x;y)=xy−2 c) M(n)=n(n−1)+K
110x4 y2 = − 10x2 y
Rpta: ____________________
3 5 7 e) –24a2 b3 c4 = –4a b c
5. Efectuar: a) x(x+8)=
2. Indicar cuál o cuales son polinomios constantes: a) P(x)=50 b) F(x;y)=3Kx+y
2
b) −2x(x −y)= c) (x+5)(x−5)=
Aplica lo comprendido 1. Indique los factores algebraicos del siguiente polinomio: P(x)=x.(x+1).(x−1)
4. Factorizar en cada caso: 2 2 a) P(x;y)=x y+x+xy +y
3
2
b) Q(x)=x +x +x+1 2. Del problema anterior, indique los factores primos de P(x).
2
c) F(a;b)=a −ab+ac−a+b−c
5. Factorizar en cada caso: 2 a) P(x)=25x −4 3. Factorizar en cada caso: 3 2 a) P(x)=x +3x 3 2
2 3
2 2
b) F(x;y)=x y −x y +3x y
3
b) R(x;y)=8x +y
3
2
c) M(x;z)=x (x+z)+3(x+z)
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Segundo año de secundaria
71
14
Capítulo
Aprende más
1. Siendo: P(x)=(x+1)(x–3)(z–1) indica el número de factores primos a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
10. Factorizar: ax+bx+cx+ay+by+cy–a–b–c a) (a+b+c)(x–y) c) (a+b+c)(x–y+1) e) (a+b+c)(x+y–1)
c) 3
2. Indica la suma de factores primos de: 2 3 P(x)=(x–1) (x+1) a) 0 d) 2x
b) 1 2 3 e) x +x
c) 2x
11. Factorizar: ab+7a+8b+56 2
3. Indica el factor primo que más se repite en: 10 8 5 10 P(x)=5 x (x–1) (y+3) a) (y+3) d) (x–1)
b) 5 e) 5x
c) x
b) 2x(x+3) c) x(3x+2) e) (3x+1)(1+2x) 2
a) (x+m)(m+y) c) (x+y+m)(x–m) e) (2m+x)(y+2m)
3
12. Factorizar: x –1 2
a) x(x–1) 2 c) (x–1)(x +x+1) 2 e) (x –1)(x+1)
b) x (x–1) 2 d) (x+1)(x –x+1)
b) (x+y)(x+m) d) (2x+n)(y+2m)
2
a) (a+x)(x+b) c) (a+b)(x+b) e) (a+x)(x+a+b)
b) (a+x)(ax+b) d) (a+b+x)(x–b)
2
7. Factorizar: 4a –9 (4a+3)(4a–3) (4a+9)(4a–9) 2 a (4–9)
b) (2a–3)(2a+3) d) a(4a–9)
2
8. Factorizar: 36x –25y
2
a) (8x+1)(x +1) 2 c) (2x+1)(4x –2x+1) 2 e) (8x +1)(x–1) 2
6. Factorizar: ax+x +ab+bx
a) c) e)
b) (ab+8)(ab+7) d) (a+7)(b+8)
13. Factorizar: (8x +1)
5. Factorizar: mx+m +xy+my
a) c) e)
a) (a+b+1)(a+7) c) (a+b+7)(a+b+8) e) (a+8)(b+7)
3
2
4. Factorizar: 3x +6x a) 3x(x+2) d) x(6x+3)
b) (a+b+x)(c–y) d) (a+b+c)(x+y)
3
b) 8(x +1) 2 d) (2x–1)(4x +2x+1) 2
14. Factorizar: P(x;y)=x +2xy+y −25 e indicar la suma de sus factores primos. a) 2(x+1) c) 2(x−y) e) 2x+y
b) 2(y+1) d) 2(x+y)
15. Factorizar: 2 2 2 P(x;m)=x +2ax+a −m +4m−4 indicar un factor primo a) x+a+m 2 c) x+a +m−2 e) x+2a+m−1
b) x−a+m d) x+a+m−2
2 2
(6x+5y)(6x–5y) b) x (36–25y) 2 2 y (36x –25) d) (36x+5y)(36x–5y) (36x+25y)(36x–25y) 4
4
9. Factorizar: 81x −y indicando un factor primo a) 9x+y 2 2 c) 9x +y 2 e) 3x−y
Colegios
72
TRILCE
b) 9x−y 2 d) 3x+y
Central: 6198 – 100
Álgebra Practica en casa 2
1. Siendo P(x;y)=5(x+3)(y+1)(z–5) Indique el n° de factores primos 2
9. Factorizar: 25m –4n
10. Factorizar: ax–bx+cx+ay–by+cy–a+b–c
4
2. Siendo: P(x)=(x+5) (y+3) (x–5) Indique la suma de factores primos 10
7
5
3
11. Factorizar: 27x +1 15
3. Siendo P(x;y)=5 (x+1) (y–3) (z+1) Indique el factor primo que más se repite 8
5
4. Factorizar: m +8m –6m
3
12. Factorizar: x –8 9
13. Factorizar: x +1
3
7
5. Factorizar: x (3a+2b)–x(3a+2b)–3a–2b 3 2
2
14. Factorizar: xy+5x+2y+10 7
6
5
4
3
2
15. Al factorizar: P(x)=x –x +x –x +x –x +x–1 a b c se obtiene: (x +m)(x +n)(x –p) siendo a>b>c; calcular: a.c + b m+n+p
2 3
6. Factorizar: x y (a–b)–x y (a–b) 7. Factorizar: ab+bc+ad+cd 2
8. Factorizar: 36x –1
Tú puedes 2
8
2
a) 8x+y d) (x+y+8)
b) (8x–3) e) (4x–y+8) 2
2
c) 8x–y
4
b) m–n 2 e) m –n 2
a) 1 d) 4
5 3
b) 2 e) 5 3 4 5
2
8
5
6
c) 3
2 4 3
2 3 3
2 3 5
5. Factorizar: n p z +n p z +n p z +n p z indicando el n° de factores primos
2. Factorizar: m np+mnp +mn p indicando un factor primo a) m+n+p 2 d) m+n
3 5
4. Factorizar: x +x y +x y +y +x y+y indicando el n° de factores primos
1. Factorizar: 64x –(8x+2y) indicando un factor primo
2
c) m +n
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
6
3. Factorizar: x +x +1+x indicando el n° de factores primos a) 1 d) 4
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b) 2 e) 5
c) 3
Segundo año de secundaria
73
15
Capítulo
Factorización II Lectura: Representación gráfica de las raíces de un polinomio Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto lo identificamos como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas). Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio graficado. Función
Raíces
Factorización
Gráfica f(x) 15 10
2
f(x) = x + x – 12
–4 y 3
f(x) = (x+4)(x–3)
(–4; 0) –4
5 –2
0 –5
(3; 0) 2
3
4
x
–10
En este capítulo aprenderemos Factorización II .. Los criterios de factorización complementarios: –– Métodos de las aspas: * Aspa simple * Método de los divisores binómicos. (Obtención de factores lineales)
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Álgebra Síntesis teórica
Factorización II
Métodos de Factorización
Aspa Simple
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Divisores Binómicos
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75
15
Capítulo
Saberes previos
1. Indicar cuál o cuales de los siguientes polinomios son trinomios cuadrados perfectos: 2 a) P(x)=x +8x+16 2 b) Q(y)=y −10y−25 4 2 c) R(a;b)=a +14a +49 2 2 d) S(m;n)=m −mn+n Rpta: _____________________ 2. Desarrollar: a) P(x)=(x+4)(x+9)
b) Q(x)=(x−5)(x−6)
b) Q(x;y)=(x−3y).(x−5y)
c) R(a;b)=(a+66).(a−4b)
d) S(a;b)=(a−9b).(a+7b)
4. Desarrollar: a) P(x)=(3x−5)(x+2)
2
c) R(x)=(x+12)(x−10)
d) S(x)=(x−15)(x+8)
3. Desarrollar: a) P(x;y)=(x+y).(x+2y)
2
b) Q(x;y)=(4x +3y)(5x −y)
5. Efectuar las siguientes divisiones: 3 2 a) x − 6x + 11x − 6 x−1
3 2 b) 6x + 6 − 19x + x 2x − 3
Aplica lo comprendido 1. Factorizar en cada caso: 2
a) x −11x+28= ________________________ 2
b) x +29x+100= _______________________ 2. Factorizar en cada caso: 2
a) x +17x−60= _________________________
2
2
b) m −4mn+4n = ______________________ 4. Factorizar en cada caso: 2
a) 6x +11x+3= ________________________ 2
b) 10x −22x+4= _______________________ 3
2
b) x −17−390= ________________________
2
5. Factorizar: P(x)=x −6x +11x−6
3. Factorizar en cada caso: 2 a) x +12x+36= _________________________ Colegios
76
TRILCE
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Álgebra Aprende más 2
1. Si el polinomio: P(x)=x −10x+(2k+1) es un trinomio cuadrado perfecto: halle el valor de "k" a) 10 c) 12 e) 14
b) 11 d) 13 2
a) (x–1)(x+2)(x+3) c) (x–1)(x–2)(x–3) e) (x–2)(x+3)(x+6) 3
b) (x+1)(x+2)(x+3) 3 d) (x+1)(x–2)
2
a) (x+5) (x–2) 2 c) (x+10)(x–1) 2 e) (x +x+2)(x–5)
b) (x–1)(x+5)(x+2) d) (x+1)(x–5)(x–2) 3
4. Indique el factor primo cuadrático de: 4 2 2 4 P(a;b)=a −a b −12b 2
b) a+b 2 2 d) a +3b
2
12. Indicar un factor primo de: x +8x +19x+12 a) x–1 c) x–4 e) x+4
b) 2x−y 2 d) 2x+y
a +b 2 a −b 2 2 a −3b
2
2
3. Indique un factor primo del siguiente polinomio: 2 2 P(x;y)=2x −15xy+7y
a) c) e)
2
b) (x−4)(x −3x+3) d) (x+3)(x+1)(x−3)
11. Factorizar: x +6x +3x–10
b) 2 d) 4
2
2
a) (x+4)(x +3x+3) 2 c) (x+4)(x +x+1) e) (x+3)(x−1)(x−3) 3
2
a) 2x+y c) x−y e) x+7y
2
10. Factorizar: x +4x +x–6
2. Si el polinomio: F(x;y)=4x +10mxy+25y es un trinomio cuadrado perfecto, halle el valor 2 de m +1. a) 1 c) 3 e) 5
3
9. Factorizar: x +7x +15x+12
b) x–3 d) x+2 3
2
13. Hallar un factor primo en: x –4x –67x+70 a) x+1 c) x–7 e) x+7
b) x–5 d) x+10 3
5. Indica la suma de coeficientes de uno de los 4 2 factores primos de: P(x)=4x −13x +9 a) 1 c) 8 e) 5
b) 4 d) 9
a) 7 c) 9 e) 5 2
6. Indicar un factor primo: F(x)=abx +bx+b(1−a) b) ax+1 d) x+1−a
a) x−1 c) ax−a+1 e) x−a
b) 4 d) 6 3
2
15. Factorizar: 2x +x +x–1 2
7. Factorizar e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos: 4 2 P(x)=x (2x−1)−5x (2x−1)+4(2x−1) a) −2 c) 0 e) 5
14. Al factorizar: 3x –21x+18; toma la forma: a(x–b)(x–c)(x–d) donde: b<c<d Calcular: a–b+c+d
a) (2x+3)(x –x+1) 2 c) (2x–1)(x +x+1) 2 e) (x +1)(2x+x–1)
2
b) (x+2)(2x +x+1) 2 d) (2x+1)(x –x+1)
b) −1 d) 1 3
2
8. Factorizar: x +x −7x−15 2
a) (x−3)(x +4x+5) 2 c) (x−3)(x −4x−5) e) (x−3(x+3)(x−2)
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2
b) (x+3)(x +4x+5) d) (x−3)(x+3)(x+2)
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77
15
Capítulo
Practica en casa 2
1. Factorizar: x +6x+9 2
2. Factorizar: 4x –4x+1
2
3
2
10. Factorizar: x –11x +31x–21
2
3. Factorizar: 9x +12x+4 Indicar la suma de factores primos
3
2
4. Factorizar: x +x–6 Indica el factor primo de mayor suma de coeficientes. 2
5. Factorizar: x +7x+12 Indica el factor primo de término independiente par. 2
6. Factorizar: 6x –5x–21 Indica suma de factores primos 6
3
9. Factorizar: x +2x –5x–6
3
12. Factorizar: x –4x+3 Indica el número de factores primos. 3
2
13. Factorizar: x –3x –16x–12 Indicar la suma de factores primos. 3
2
14. Factorizar: 2x –x –x–3 Indica el término independiente del factor primo de mayor grado. 3
2
15. Al factorizar: 2x +7x +4x–4 2 se obtiene: (ax+b)(x+a) Hallar: ab
3
7. Factorizar: x +7x +10 Indica el número de factores primos. 8
2
11. Factorizar: x –8x +3x–24 Indica el número de factores primos lineales.
4
8. Factorizar: 10m +17m +3 Indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes.
Tú puedes 2
1. Factorizar: P(abc)=(a+b+c) +3+4a+4b+4c, indicando el número de factores primos. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5 4
c) 3
2
2
b) x +x+2 2 e) x +x–2
2
a) x +5x–1 2 d) x +5x+1
2
b) x –5x–1 2 e) x +1 3
2
2. Factorizar: x +7x +16, indicando un factor primo. a) x +x+1 2 d) x –x+4
5
4. Indicar un factor primo: M(x)=(x–3) +x–2
2
c) x +x+3
2
c) x –5x+7
2
5. Factorizar: P(x)=3x +2x +5x–2, indicando la suma de términos independientes de sus factores primos. a) 1 d) –2
b) –1 e) 3
c) 2
3. ¿Qué término hay que sumarle a 2 P(n;k)=n(n+5k)+3(kn+7n ) para que sea factorizable? a) 3nk d) 8nk
Colegios
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TRILCE
b) 6nk e) 2nk
c) 5nk
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Capítulo
16
Fracciones algebraicas I Lectura: Las fracciones continuas Las aproximaciones numéricas son muy importantes en muchos problemas de matemáticas, ya que en gran cantidad de ocasiones no podemos disponer del valor exacto de ciertos datos, ya sea porque el cálculo de dicho valor exacto es demasiado laborioso o porque ni siquiera es posible (por ejemplo, en la práctica no podemos aspirar a disponer del valor exacto de π). Además en la mayoría de los casos necesitamos la mejor aproximación posible, ya que el hecho de utilizar una no muy buena aproximación puede hacer que el error cometido en nuestros cálculos crezca hasta niveles demasiado altos, inadmisibles en ciertos casos. Vamos a hablar de fracciones continuas, y de cómo estos entes matemáticos nos dan, en cierto sentido, la mejor aproximación posible a un cierto dato cuyo valor exacto no podemos calcular. Una fracción continua es una expresión del tipo 1
a 0+
1
a 1+
1
a 2+
1
a 3+
a 4+ Esta expresión tiene varias características muy interesantes. Por ejemplo, todo número real, ya sea entero racional o irracional, puede escribirse como una fracción continua, aunque en algunos casos será más sencillo que en otros. Por ejemplo: 1
3 =1+
1
1+
1
2+
1
1+
1
2+ 1+
En este capítulo aprenderemos Fracciones algebraicas I .. La definición y cálculo del MCD y MCM de polinomios. .. La definición de fracción algebraica así como la clasificación de los mismos. .. La simplificación de las fracciones algebraicas.
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79
16
Capítulo
Síntesis teórica MCD y MCM de Polinomios
Máximo Común Divisor (MCD)
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
es
es
otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios.
otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios.
se
se
obtiene factorizando los polinomios
obtiene factorizando los polinomios
y
y
viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes.
viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes.
Fracciones Algebraicas es
la división indicada de dos polinomios en la que, por lo menos, el denominador debe ser de grado 1.
Simplificación de fracciones debemos
factorizar numerador y denominador para
eliminar factores comunes siempre
que sean distintos de cero Colegios
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Álgebra Saberes previos 2
1. Factorizar: P(x)=x +5x
2
4. Factorizar: q(x)=x –9
2. Factorizar: f(x)=x(x+3)–8(x+3) 3
2
5. Factorizar: h(x)=x +6x +3x–10
2
3. Factorizar: g(x)=x −x−6
Aplica lo comprendido 1. Indica el MCM de los polinomios: 2 P(x)=x –x–12 2 Q(x)=x –9
2. Indica el MCD de los polinomios: 2 M(x)=x –25 2 N(x)=x +7x+10
2 4. Simplifica: x − 22x − 15 x −9
2 5. Simplifica: 2 x − 8x x − 6x − 16
3. Indica el MCM de: 2 3 F(x)=x(x–6) (x+1) (x–2) 2 4 G(x)=x (x–6)(x+1)
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81
16
Capítulo
Aprende más
Comunicación matemáticas 1. Relacionar las columnas correctamente: 9 6
Factores
A=a b 12 4 B=a b 6
2 7. Simplifica: 6x 2+ 7x − 3 2x + x − 3
comunes
A elevados al menor 4 9
exponente: a b
9
A=a .b 4 12 B=a .b
B
MCM=(x+3)(x–3) (x+6)
2
A=x –9 B=(x–3)(x+6)
C MCD=x–3 Factores comunes y no comunes elevados D al mayor exponente: 12 6 a b
2
A=x –9 B=(x+3)(x+6)
2. Completar los exponentes del MCD y MCM de los polinomios: 6 9 A=(x+4) (x–3) 8 2 4 B=(x+4) (x–3) (x+6) 2 5 C=(x+4) (x+6) • MCD=(x+4) (x–3)
(x+6)
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 6
• El MCM de los polinomios: A=(x–2) ; 4 7 7 B=(x–2) ; C=(x–2) es: (x–2) ............. (
)
4
• El MCD de los polinomios: A=(x–3) 8 8 2 8 8 (x+5) ; B=(x–3) (x+5) es: (x–3) (x+5) .(
)
• El MCD de los polinomios:
{
A=x+4 B=x–3; es "x" .................................. ( Resolución de problemas 2 4. Simplifica: x − 22x − 15 x −9
a) x + 5 x−3 d) x + 5 x+3
b) x − 3 x−5 e) x + 3 x−5
2 2 5. Simplifica: 10x (x − 16) 5x (x − 4) a) 5x(x–4) b) 2x(x+4) d) x(x+4) e) 5x(x+4)
c) x − 5 x−3
c) x(x–4)
6. Simplifica: 6x (x − 1) 2x (x + 1) a) 3(x+1) b) 3x(x–1) d) 3(x–1) e) x TRILCE
c) x + 1 3x
2 8. Simplifica: 3x 2+ 2x − 1 2x + x − 1
a) 3x + 1 2x − 1 3 d) x − 1 2x − 1
b) 3x − 1 2x + 1 1 e) + 3x 1 − 2x
c) x + 3 2x − 1
2 9. Luego de simplificar: 122x + 5x − 3 , calcula la 8x + 10x + 3 suma del numerador y denominador.
a) 5x–1 d) 1
b) 5x+1 2 e) 5x
6x 2 − 6y2 2x − 2y a) 3x–3y b) 3x d) 3x+3y e) x–y
c) 5x
)
3 2 11. Simplifica: x + 24x + x − 6 x +x−2 a) –x b) 3–x d) x+3 e) x–3 3 2 12. Simplifica: x + 62x + 3x − 10 x + 4x − 5 a) x b) x+2 d) 2x e) 2x+1
c) 3y
c) x
c) x–2
13. Luego de simplificar: (x + 1) (x − 3) +25 (x − 3) 36 − x calcula la suma del numerador y denominador a) 9x d) 3
b) –9
c) x+9
e) x–9
3 2 14. Luego de simplificar: x − x3 − 4x + 4 , calcula la x − 4x suma del numerador y denominador
a) 2x d) 2x+1
b) x–1 e) x+1
x 2 y 2 − 4y2 yx + 2y a) yx–2y b) yx+2y d) yx+2 e) yx+1
c) 2x–1
15. Simplifica:
2
82
b) 3x + 1 x−1 e) 2x − 1 x+1
10. Simplifica:
• MCM=(x+4)
Colegios
a) 3x + 1 x+1 d) 3x − 1 x−1
c) x(x+1)
c) yx
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Álgebra Practica en casa Simplificar las siguientes fracciones: 1.
7^x–5h 3x–15
2.
6^x2 –y2h x–y
3.
x2 –3x–4 x 2 + 5x + 4
2 8. 15x2 − 2x − 8 10x + 7x − 12 2 2 9. (x − 2x) (x − 4) x (x + 2) 2 10. 2x + x x + 2x + 1 3 2 11. x − 5x + 2x2− 103 3x − 15 + 5x − x
2 4. x 2–5x + 6 x –x–6
3 2 12. x +2 x − x − 1 x + 2x + 1
^ 2 h 5. 10x x –1 2x^x + 1h
Simplifica: 13.
2^ 2 h 6. x x –9 x^x + 3h
(x + y) 2 + 11 (x + y) + 24 (x + y) 2 − 9 3
Luego de simplificar las siguientes fracciones, calcula la suma del numerador y denominador: 2 7. x2 + x − 6 x + 2x − 3
14. x2 − 7x + 6 x + 2x − 3 3 2 15. x + 2x2 − 4x − 8 x −4
Tú puedes 1. Simplifica: 3mn + 6kn + mc + 2kc 3mn + 6kn − mc − 2kc
4. Simplifica:
(2x − y) 3 − 5 (2x − y) 4x 2 − y 2
a) n + 3c n−c
b) n − 3c n+c
d) n + c n−c
e) 3n − c 3n + c
a)
4x2 − 4xy + y2 − 5 2x + y
b)
(2x + y) 2 + 5 2x + y
(x + 2y) 3 + z3 2. Simplifica: (x + 2y) 2 − z2 y de como respuesta el denominador resultante
c)
(2x − y) 2 + 1 2x + y
d)
4x2 − 4xy + y2 + 5 2x − y
e)
2x + y 2x − y
a) x+y–z
b) x+y+z
d) x+2y–z
e) x–y+2z
3. Simplifica:
c) 3n + c 3n − c
c) x+2y+z
2 2 5. Simplifica: (1 + mx) 2 − (x + m2) 1 − mx + m − x
9x2 − 12xy + 4y2 27x3 − 8y3
a) 1–m
a)
3x − 2y 2 9x + 6xy + 4y2
b)
3x + 2y 2 x + 6xy + y2
c)
3x − 2y 9x + 6xy + 4y2
d)
3x − y 9x + 6xy + 4y2
e)
3x − y x2 + y2
2
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d) m
2
b) m+1
c) m
e) m–x
2
Segundo año de secundaria
83
17
Capítulo
Repaso II Lectura: El número de oro También conocido como el número áureo, es (podríamos decir) una constante matemática descubierta por los antiguos griegos como una proporción o relación entre partes de un cuerpo o cuerpos, que podemos encontrar en la naturaleza. Los antiguos griegos realizaban numerosas obras y edificios siguiendo esta relación, y en el Renacimiento se le dio el calificativo de la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo. Pero esto no es un blog de arte ni de historia, asi que ¿cuánto vale el número áureo? El número áureo se denota por la letra griega "U" FI (¿o PHI?), y vale 1,6180339..., y como cualquier otro número matemático (Neperiano, Pi, ....) surge de una expresión matemática: 1+ 5 2 Habiendo contado ya una parte de la popularidad de este número os voy a contar otras. • Este número aparece en la sucesión de Fibonacci. • Las cadenas de ADN tienen una relación matemática que es el número PHI. Muchas características humanas tienen relaciones matemáticas que el número PHI. • Las cajas de cigarrillos son rectángulos áureos. Así viendo todas estas ¿misteriosas? apariciones de este número y más que ahí, no es de extrañar que los griegos pensarán que era el número de los dioses y de la naturaleza.
En este capítulo recordaremos Repaso II .. Fracciones algebraicas .. Simplificación de fracciones .. Operaciones combinadas
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Álgebra Aplica lo comprendido 4xy o 20x 1. Reducir: e 5y c 16y m
2 7. Simplificar: 3x − x − 2 ' 2 + 3x x−4 x
2 2. Simplificar: 2 x − 1 x − 4x − 5
8. Reducir: c 2x2 − 2 m ' c 23x + 3 m 2x − 50 x − 4x − 5
2
2 3. Reducir: x2 + 3x − 4 x + 2x − 3
2 4. Reducir: x2 − 4x − 21 x − 5x − 14
9. Reducir: 3x + 7 + 2x − 5 + 1 − 5x x x x
2 10. Reducir: 2x − 2x − 29 − 2x x − 6x + 9 x + 9 − 6x
2 5. Simplificar: 2a 3− a − 15 4a − 25a
2 6. Simplificar: x +24x + 4 . x − 3 x+2 x −9
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85
17
Capítulo
Aprende más
Comunicación matemática
2 2 7. Efectuar: c 24 m e x −26x + 9 oc x + 9 m 2 x −9 2x − 18
1. Reducir: 3 • (a − 1) 2 = (a − 1)
a)
2 • x2 ' x3 = y y
d) 0
2. Indica verdadero corresponda:
(V)
o
falso
(F)
según
• El valor que toma: 3n para n=2 es 0. n−2 ......................................................... ( • La fracción: 5n − 1 no está definida n−8 para n=8............................................ ( 3. Relaciona las columnas correctamente: a ab
A
3a 2 b2
15a3 b2 5ab4
B
1 b
121a4 c5 d7 11ac5 d8
C
a
ab b
D
11a3 d
Resolución de problemas 2 4. Luego de simplificar: 2x2 + 7x + 3 2x − 7x − 4 Indica la suma del numerador y denominador
a) 2x d) 4
b) 4x–3 e) 5
c) 2x–1
2 2 5. Simplificar: e 2 x − 1 o e x2 + 2x − 3 o x − 2x + 1 x + 4 x + 3
a) x d) 1
b) x+1 2 e) x –x+1
c) x–1
6. Reducir: c 3x2 + 2 m e 3x +2 x − 2 o x −1 9x − 4
Colegios
86
TRILCE
2 x−1 e) 1 x−2 b)
) )
b) 1 e)
c)
x2 + 9 (x + 3) 2
9 (x + 3) 2
2 2 8. Al simplificar: (x − 6x3 + 9) (x + 3x + 9) (x − 27) (x − 3) se obtiene:
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
2 2 9. Efectuar: x2 + x − 2 + x 2+ 7x + 12 x + 2x − 3 x + 6x + 9
a) –2 d) 1
b) –1 e) 2
c) 0
2 2x − 3 + x2 − 4 10. Efectuar: x + 2x 2 − x − 1 2 x 2 + 5 x + 2
a) x+1 d) 1
b) 2 e) 0
c) x
11. Efectuar: 7x2 − 35 + 1 x − 25 x + 5 a)
14 x+ 5
d)
49 (x + 5) 2
14 (x + 5) 2 8 e) x+ 5 b)
c)
9 2 (x + 5)
2 2 12. Reducir: x − 1 + 1 − x x+1 1−x
a) x d) –x
b) 2x e) –2x
c) 1
13. Efectuar: 5x − 6 + 4x + 15 3 (x + 1) 3x + 3 a) 0 b) 1 d) 3 e) 4
c) 2
14. Efectuar: ` x + 2 − x − 5 j^x2 + 3x − 4h x−1 x+4
2
a) x − 4 x−1 d) 1 x+1
x2 (x + 3) 2
c)
1 x−1
a) 12x+1 d) 12x+4
b) 12x+2 e) 12x+5
c) 12x+3
2 15. Efectuar: ` x + 1 + x − 1je x 2− 1 o x − 1 x + 1 2x + 2
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
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Álgebra 16. Efectuar: x2 + 5x + 4 + x2 + 8x + 12 + x2 + 10x − 11 x2 + 8x + 7 x2 + 9x + 14 x 2 + 6x − 7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
19. Calcula: x2 − 3x + 2 x2 + 10x + 16 ' x2 + 6x − 16 e 2 oe 2 o e 2 o x + 3x + 2 x − 2x + 1 x −x−2
2 17. Efectuar: `x + 1 j`1 + 2 j − c x + 2x + 1m x+2 x x a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
e) –2
18. Efectuar: c 2
a) –x –y d)
a) x–2 x–1 d) x+2 x–1
x2 + y2 2xy
2
b) x +y e) −
2
c)
(x2 + y2) 2xy
c) x–2 x+1
2 2 3 4 2 20. Efectuar: (x − 3x2) . 27 −2 x ' x2 − 9x 2 (x + 3) − 3x (x + 3x) 9−x
x−y x+y x−y x+ y + − m 'c m x+y x−y x+ y x−y
2
b) x+2 x+2
3
a) x 3 2 d) x +3x
b) –3x 3 e) –x
2
3
c) x –3x
2
xy x + y2 2
Practica en casa 1. Relacionar las columnas correctamente:
• Si en la fracción: a , en la que b b!0, "a" se triplica y "b" se reduce a la mitad, entonces, la fracción se quintuplica......................................... (
8x − 8y ;x ! y 16x − 16y
A
x+4
x2 − 16 ; x ! 4 x−4
B
1 2
ab + b2 ; a ! 0; a ! − b ab + a2
C
b a
2 4. Simplificar: 6x2 − 7x − 3 ; x ! 1 ; 3 2 2 4x − 8x + 3
x2 + 1 4x 2 + 4
D
1 4
5. Reducir: (x2 + 2xy + y2) (x + 2y) ; x ! − y / x ! − 2y x2 + 3xy + 2y2
2. Reducir cada una de las fracciones: 1 • 1+ 1 x
=__________________
2 • x − 5x + 6 x 2 − 2x
=__________________
2 6. Simplificar: 42x − 4x ; x ! 1 x − 2x + 1 2 7. Reducir: a2 – 2a – 3 ; a ! –3; –1 a + 4a + 3
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 6n n−2 para: n=2; es 12................................. (
)
1 no está x − 5x + 6 definida para x=3; x=2...................... (
)
• El valor que toma la expresión: fracción:
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x2 − 4xy + 3y2 2 ; x ! y2 2 2 x −y 3xy − 15 9. Simplificar: 2 2 ; xy ! ! 5 x y − 25 x−y x+y 10. Efectuar: c 2 m; x ! ! y 2 mc 2 x + 2xy + y x − 2xy + y2 se obtiene una expresión de la forma: k r (x − y) . (x + y) p calcular: "k+r+p" 8. Reducir:
2 2 • a + 2ab + b =__________________ 3a + 3b
• La
)
2
2 y2 + y m 11. Efectuar: c x − 4 mc ; y ! 0 / x !! 2 xy + 2y x − 2
Segundo año de secundaria
87
17
Capítulo
2 12. Dado: A = x + x − 12 x2 + x − 20
2 ; B = x2 − 7x + 12 x + 9x + 20
2 C = `x + 4 j ; x b Z x−4
Simplificar: [(A)÷(B)]÷[C]
• Durante un programa nacional para inmunizar a la población contra cierta variedad de influenza, los funcionarios del Ministerio de Salud aseguran que el costo por vacunar al "x"% de la población es de aproximadamente: 2 P(x) = e 150x o en millones de soles. 2
13. Efectuar:
200x - x
1 1 1 1 `1 + x j`1 + x 1j`1 + x 2 j... `1 + x n j; x b Z + + +
2 14. Simplificar la fracción: P(x) = 150x
200x - x2
15. ¿Cuál es el costo por vacunar al 50% de la población
Tú puedes 1 + 2p 2 o 1 -1 p + 2 1. Reducir: ep2 − c1 − m e 2 o p+2 p p +p+1 a) p–1 d) p+2
b) p+1 e) p–2 -1
p3 − 1o 2. Simplificar: e p−1 3
a) p +p+1 d) p+1
c) p
p (p + 1) + 2 p +p+1 2
b) p +1 e) 1
c) 0
y−x 3x + xy − y 3. Si: x–y=2, calcular el valor de: E = 2 1 − 2 2− 2 x3 + y3 x − xy + y x −y a) 0 b) x
b) 1 c) x–y
a) –1
4. Efectuar: `1 + 1 j`1 + 1 j`1 + 1 j... c1 + 1 m x x+1 x+2 x+p x+p+1 x+1 x+p+1 d) x a)
x+p+1 x−1 e) x + 1 x+ p b)
c)
x+p x+1
1 1 5. Hallar la suma: S = 2 1 + 2 1 ; + + ... + 2 x + x x + 3 x + 2 x 2 + 5x + 6 x + (2k − 1) x + k2 − k para x=25 ∧ k=5 a)
1 150
d) 1 20
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88
TRILCE
b)
1 120
e)
1 170
c)
1 50
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Capítulo
18
Fracciones algebraicas II Lectura: Ver para creer No hay nada como una demostración visual para que un resultado matemático quede suficientemente claro. Las demostraciones visuales que vamos a ver ahora están relacionadas con sumas infinitas. 3
1 Suma de los inversos de las potencias de 2: Vamos a calcular el valor de la siguiente suma: n 1 2 n = Para ello vamos a usar la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica
/
1 1 = 2 =1 / n 1− 1 n= 1 2 2 3
Veamos ahora una imagen que aclara este resultado:
1/16
1/64
1/4
1/250
1/128
1/32
1/8
1/2
En la imagen podemos ver cómo 1 es la unidad del área del cuadrado de lado 1, cómo 1 es la mitad 2 4 de la otra mitad del cuadrado, y así sucesivamente. Realizando esa división un número infinito de pasos llegamos a tener el cuadrado entero, que al tener lado igual a 1 da área igual a 1.
En este capítulo aprenderemos Fracciones algebraicas II .. Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división para fracciones algebraicas con el objetivo de reducir o transformar expresiones algebraicas. .. Incidir en el desarrollo correcto de las operaciones cuando estos se presenten de manera combinada.
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Segundo año de secundaria
89
18
Capítulo
Síntesis teórica
Fracciones Algebraicas II
Operaciones con fracciones
obtener
Adición y sustracción
Multiplicación
División
obtener
se
se
MCD de todos los denominadores
multiplican los numeradores
invierte la segunda fracción
homogéneas
también
luego
a ! b = a !b c c c
se multiplican los denominadores
se multiplican las fracciones
heterogéneas
así
así
a − b + c = anp − bmp + cmn m n p mnp
a . c = a.c b d b.d
a= . d a.d ' c a= b d b c b.c
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Álgebra Saberes previos 1. Halla el MCM de: 2; 6 y 15
2. Halla el MCM de: (x+2)(x–2) y (x+2)
2
2
3. Halla el MCM de: x –3x y x –9
2 4. Simplifica: x − 16 x+4
2 5. Simplifica: x − 2x − 15 x (x − 5)
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91
18
Capítulo
Aplica lo comprendido
Comunicación matemática 1. Relacionar la columna correctamente: A
a−b c c a−c b d a'c b d a.c b d
7. 2x + 3 + x − 6 x−1 x−1 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 8. 3x − 1 − x + 3 5x − 2 5x − 2
a.d b c a.c b.d ad − bc bd a−b c
B C D
2x 5x − 2 d) 2x + 4 5x − 2 a)
•
a + x + 1 − a =__________; siendo: x!–1 x+1 x+1
•
−x + 1 1−x 1−x
=__________; siendo: x!1
=__________; siendo: x!–1 • x − 1' x − 1 x+1 x+1 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: x + 1 2x + 2 • 2 ` x − 1j = 2x − 2 ; x ! 1.......................(
)
x+ y x y = 1; xy ! 0 ..................( • + = y x y+ x
)
11. 2 + 23x x − 5 x − 25
)
10 x2 − 25 d) 10 x−5
a)
2
a)
4 + x + 2 + − 12 = 1; x ! 6 .......... ( x−6 x−6 x−6
Resolución de problemas Opera las siguientes fracciones de acuerdo a las operaciones que hay entre ellas: 4. x − 2 + 3x + 2 4 6 b) 9x + 2 6 9 x e) 24
c) 9x − 2 12
6.
c) 9x 8
5x − y 30 d) 5x + 1 60 Colegios
TRILCE
5x + y 60 e) 5x − 1 30 b)
c)
x − 5y 60
b) 5x2 − 1 x −1 e) 5x x+1
c) 5x + 1 x−1
b) x2− 10 x − 25 e) 5x + 10 x−5
c) 5x2 + 10 x − 25
c) x+1
13. Opera: x2 − 1 − 1 − 1 x + x 2 x − 2 2x + 2 1 − 2x x (x2 − 1) d) x − 1 x+1
2x − 1 x (x2 − 1) e) 1 b)
c)
2x x −1 2
2 14. Multiplica: 2x2 − 2 . x − 4x − 5 3x + 3 2x − 50
a) x − 1 3x d) 3x − 1 3x + 15
x − y 2x + y y − 4 x + + 12 15 30 a)
92
b) 10x 13 11 x e) 24
c) 1
2 2 12. 2x +22x . 2x − 3x 2x x − 2x − 3 a) 2 b) 1 d) x–2 e) x
a)
5. x − 1 + 2x + 3x + 4 3 6 12 a) 11x 12 13 x d) 12
c) 2x − 4 5x − 2
a) x + 6 b) x + 2 x+2 x−2 e) 2 d) 5x − 2 x−2 10. 2 + 3 − 21 x+ 1 x−1 x −1 5x x −1 5 d) x − 1 x+1
a) 9x + 2 24 9 x −2 d) 24
b) x − 4 5x − 2 e) x + 4 5x − 2
9. 3x + 4 − 2x + 2 x+2 x+2
2. Efectuar:
•
c) 3
x+1 3x + 15 e) x − 1 3x + 15 b)
c) x − 1 15
2 2 2 15. Simplifica: 2x − 8x + 7 . x 2− 36 ' x2 − x − 42 x − 11x + 30 x − 1 x − 4x − 5 a) x b) –1 c) 1 d) x–1 e) x+1
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Álgebra Practica en casa Realizar las siguientes operaciones:
2 9. Multiplicar: c x m`2 − 5 j 2x − 5 x
1. 3x − 1 + x + 2 5 5
2 10. Operar: ` x + 3 je x 2− 3x o 2x x −9
2. 6x − 5 − 5x − 6 7 7
2 2 11. Simplificar: c x + 6x m ' c x − 36 m 10 5
3. x − 1 + 2x − 1 2 3 4
2 12. Simplificar: x − 2x . 2 4 + x ' 1 x + 4 x + 3x − 10 x2 − 25
4. x + 1 − 4x − 3 4 5 2 5.
2 13. Simplificar: x − 36 ' (x + 6) (x − 6) 2x + 8 x+4
3 + 5 − 2x x + 1 (x + 1) (x − 1)
6. 3x − 2 − 2x + 2 3x 5x
14. Simplifica: x3 + x . 2x x ' 10x2 + 4x x3 − 3x2 + x − 3 5x2 − 13x − 6 15. Opera: 1 − 2 + 2 5 3x + 1 2x + 1 6x + 5x + 1
2 2 7. x − 9 . x + x x + 3 x (x − 3)
8.
x ' x2 x − 1 x2 − 1
Tú puedes 4. Simplifica: x3 − y3 2y 2xy + 4y + e 2y 4 − 2y − 2x + xy (2 − y) (x2 − 4) o
2 1. Simplifica: − 3c − a + 2 a − ax 2a − 2c a − ac + cx − ax
a) 2/3 d) 1
b) 2 e) 3/2
c) 4/5
2. Simplifica: 4 2 2 m − n m3 − n3 e m + n − 3 3 o (m + mn + n ) + 2mn m +n 2
2
a) m +n 2 d) (m+n)
b) (m–n) 4 e) 2m n
2
c) n
2
3. Indica el numerador final luego de simplificar: x + y x − y x + y x − y -1 − + c mc m x−y x+y x−y x+ y 2
a) x 2 2 d) x y
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2
b) y e) x+y
c) 2xy
a) 0 d) x+y
b) x e) x–y
c) y
5. Simplifica: a2 + ab . a3 − b3 . ab − ad . ba + ad . c2 a2 b2 ab (a + b) bc + cd bc − cd 3 a) ` a j − 1 b
3 b) ` a j + 1 b
3 d) c b m + 1 a
3 e) a + 1 b
3 c) c b m − 1 a
Segundo año de secundaria
93
19
Capítulo
Radicación I Lectura: Breve historia de las "Raíces" En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya, dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos. David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca del tema: "En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada". Antes del siglo XVI la raíz cuadrada se representaba poniendo un punto delante del número. El alemán Christoph Rudolff publica en 1525, un tratado titulado Coss. En este aparece por primera vez el símbolo , es decir es una variación de la letra "r", inicial de la palabra Radix.
En este capítulo aprenderemos Radicación I .. La definición de radicación desarrollada en el conjunto de los números reales. .. Las leyes de signos de la radicación y su restricción en los números reales. .. La aplicación de los Teoremas: ..
Radicales del mismo índice, multiplicación, división, raíz de raíz.
.. Operaciones –– Adición y sustracción. –– Multiplicación y división
Colegios
94
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Álgebra Síntesis teórica
Radicación Algebraica I
Ley de signos
Teoremas
Clasificación
Operaciones
Radicales Homogéneos
Adición y Sustracción Los radicales son semejantes
Radicales Semejantes
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Multiplicación y División Los radicales son homogéneos
Segundo año de secundaria
95
19
Capítulo
Saberes previos
1.
3x+5x+2x= 2
3.
3
2
3
5 m–11 6
2m +6m +3m +5m = 4
4
10 12 6
x .x .x = x .x
4
7x +8x –15x =
.x =
x12 = x10
6x–12x–7x=
x25 = x- 40
5
2.
(–3) = 4.
x
1/2
=
x
1/3
=
x
2/3
=
x
5/8
=
4
(–3) = 9
2 = 10
2 = 4
0 =
Aplica lo comprendido 1. Relacionar:
3. Calcular: E = 6 64 − 4 81 + 3 125 − 49
64
A
4
1024
B
16
5
− 32
C
2
4
256
D
8
256
E
–2
10
4. Efectuar: M = 3 ( 3 − 1) + 2 ( 2 − 1) + 3 + 2 + 5
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) 3
5 + 3 4 = 3 9 ..........................(
)
6 + 2 = 8 ............................(
)
2 3 + 4 3 = 6 3 .....................(
)
12 . 3 = 6 ...............................(
)
− 16 =− 2............................... (
)
4
Colegios
96
TRILCE
5. Efectuar: J = 8 + 12 + 50
Central: 6198 – 100
Álgebra Aprende más I. Comunicación matemática 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 8 + 50 = 7 2 ......................(
)
232 = 2.............................. ( 5 + 6 = 11...........................(
)
x + 5....................(
)
4 8
x+2+3 =
)
8
A
3 3
27
B
3 2
12
C
2 3
18
D
2 2
II. Resolución de problemas 28 + 63 − 175
a)
7
d)
7+ 3
b) 2 7 e) 0
c) 3 7
a) 8 2 + 8 5 b) 8 2
6. Efectuar: E = a) 2 d) 8
15
260 + b) 4 e) 12
c) 15 4 20
280 c) 6
7. Reducir: 2n V = n 6 n + 3 − 27 − 3 4 16 + 3 (5 32 − 1) 6 a) 1 d) 3
b) –1 e) 0
4
c) 2
3
2
16 − 6 4 + 3 54 o 3 2 b) 25 e) 5
c) 16
12. Reducir: 4 n- 4 F = n 5 . n 125 . n 625 − n 5 (n 625 + n 5 ) a) –5 d) 4
b) 3 e) –6 2+1 / y =
Además: E = M=
c) –2
2−1 2
(x + y) − (x − y) 2 (x + y) 3 − 6 2 5 (x + y)
Calcular: E+M
5. 3 (1 − 8 ) + 12 + 3 2 + 18 b) 14 e) 16
c) 6
b) 4 2 e) 3
11. Reducir: e
c) 8 5
d) 8 2 − 8 5 e) 8 ( 2 − 1)
2 2 + 2 8 − 2 18 π2 − 3 7
32. 3 24. 2 4 16. 3 72 + 6 18
a) 1
a) 100 d) 1
4
b) 3 e) 0
10. Reducir: M =
13. Si: x =
4. Efectuar: 2 2 + 3 ( 5 + 8 ) + 125
a) 12 d) 13
a) 2 d) –1
d) 4 3
2. Relacionar correctamente:
3. Efectuar:
9. Simplificar: L =
c) 2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
14. Reducir: G = 3 + 2 + 3 − 2 + (2 3 + 3) (2 3 − 3) 3− 2 3+ 2 ( 7 + 1) ( 7 − 1 ) a) –7 b) 9 c) 13 d) 21/2 e) 5/2 2 15. Calcular: B = ( 5 + 24 + 5 − 24 ) 2 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
3 4 8. Simplificar: E = ( 8 − 27 ) ( 16 + 1) 3 (2 2 − 3) a) –3 b) –2 c) 1 d) 2 e) 3
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Segundo año de secundaria
97
19
Capítulo
Practica en casa
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 45 + 125 = 8 5 ....................(
)
5 6
260 = 8 ...............................( 12 + 7 = 19 .........................(
)
− 32 − 3 − 27 = 1.....................(
)
5
)
2. Relacionar correctamente: A
8 2
128
B
6 2
98
C
4 2
32
D
7 2
5. Efectuar: E =
6. Reducir: H = n
3
+
3
10. Simplificar:
5
4
3
32 − 24 64 + 212 8 o 4 2
( 3 + 2 ) ( 3 − 2) + 1 2 2+5 6
2 2 16^ x + 1h^ x − 1h − `^ x + 1h + ^ x − 1h j
2
12. Efectuar: ( 8 + 7 ) 2 − ( 56 + 1) 2 13. Efectuar: ( 7 + 1) 2 + ( 7 − 1) 2 + 2 ( 7 + 1) ( 7 − 1)
(4 5 + 1) ( 5 + 1) (4 5 − 1) + (4 3 − 1) ( 3 + 1) (4 3 + 1)
4. Efectuar: 2 3 − 2 ( 5 + 27 ) + 20 30
9. Reducir: M = e
14. Efectuar:
18 + 50 − 72
15
3 +1+ 3 5 + 5 −1 5 +1
8. Reducir: M =
11. Efectuar:
72
3. Efectuar:
5 4 7. Simplificar: M = ( 12 − 32) ( 81 + 1) 5 (2 3 − 2)
3
15. Calcular:
6
f
5 2+
2
2 p f1 − 1 p 5 5 −1 .
72n + 3 − 64 − 3 3 1000 7n
Tú puedes 1. Calcular: F =
2 − 1; b = 2+1 3 3 Calcular: a b–ab
3 2+
2 . 2 1− 1 3 3 −1
a)
3
b)
6
d)
3 −1
e)
6 +1
c)
4. Si: a =
2
2. Si: a = 1 + 1 ; b = 1 − 1 2 2 2 2 entonces E = a + 1 + b + 1 es igual a: a b a)
2
d) 0
98
TRILCE
2 2
a) 0
b) 1
d) –24 2
e) –2 2
c) 2
5. Efectuar:
2 2 E = ( 12 + 8 + 3 + 2 ) + ( 27 − 18 − 3 + 2 ) 9 4
1 2
a) 7 d) 12
b) 9 e) 15
c) 10
2 2+ 3 + 2− 3 c m 3 3 +1 3 −1 b) 1 2
a) 2
Colegios
c)
e) –1
3. Efectuar: M =
d)
b) –3
2+1 2−1
e)
c)
2
2 4 Central: 6198 – 100
Capítulo
20
Radicación II Lectura: La divinidad del número áureo El número áureo de oro también llamado Divina proporción, representado por la letra griega f (fi) (en minúscula) o F (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional: j= 1 + 5 . 1,618033988749894848204586834365638117720309... 2 Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos arquitectónicos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, pinturas, música, etc. En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Poporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo: La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad; del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.
En este capítulo aprenderemos Radicación II .. A los radicales dobles. .. Su transformación a radicales simples. (Condición para la transformación) .. Los diferentes casos para transformar un radical doble a simples (tipo raíz cuadrada)
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Segundo año de secundaria
99
20
Capítulo
Síntesis teórica
Radical doble
Forma general
Caso:
A! B Condición operativa
Transformación a radicales simples
Fórmula de transformación
Regla práctica
Colegios
100
TRILCE
Casos diversos
Central: 6198 – 100
Álgebra Saberes previos x2 .a = x a (extraer un factor)
1.
4. Efectuar:
•
45 =____________________________
• (x+2)(x–2)
•
12 =____________________________
• ( 3 +2)( 3 –2) =____________________
•
8
•
32 =____________________________
• ( 3 –2)
•
108 =____________________________
5. Factorizar:
•
245 =____________________________
=____________________________
• ( 3 +2)
2
2
=____________________
=____________________ =____________________
2
• x –8x+15
x2 b (ingresar un factor)
2. x b =
• 2 5 =____________________________ • 6 3 =____________________________ • 2 7 =____________________________
2
• x –x–2
• 4 11 =____________________________ • 7 3 =____________________________ • 8 2 =____________________________ n n
3. x .y =(x.y)
2
n
• x +5x+4
2
2
• 2
1/3
.4
1/3
=__________________________
• 5
1/2
.5
1/2
=__________________________
• 4 .3
=__________________________
Aplica lo comprendido 1. Convertir a radicales simples: 8 + 2 15
2. Transformar a radicales simples: 9 − 2 20
4. Convertir a radicales simples: 2+
3
5. Transformar a radicales simples: 10 + 19
3. Convertir a radicales simples: 5 − 24
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101
20
Capítulo
Aprende más
Comunicación matemática 1. Relacionar correctamente:
8. Transformar en un solo radical doble: 8 + 60 − 5 − 24
7 + 2 12
A
6+ 2
a)
7 − 40
b)
10 + 40
8 + 2 12
B
3+ 2
d)
10 − 40
e)
5+ 2
8 + 2 15
C
5+ 3
5+2 6
D
3 +2
• El radical doble: 20 − 2 51 es equivalente a 17 − 3 .................... (
)
• El radical doble 6 + 32 es mayor que 7 + 2 .....................................(
)
• Al multiplicar 2 + 3 2 − 3 se obtiene 1........................................... (
)
• Todos los radicales dobles son transformables a radicales simples......(
)
Resolución de problemas 3. Convertir a radicales simples •
10 + 19 = __________________________
•
3+
•
8 = ___________________________
5+ 2
6 = __________________________
2x − 5 + 2 x2 − 5x − 6 =______________
______________________________________ 4. Reducir: A = 5 − 2 6 − 10 + 2 21 + 9 + 2 14 a) 3 − 1 d) –2
b) 3 + 1 e) 0
c)
3+
2
6. Efectuar: E = a) 5 d) 2
b) 4 e) 12
c) 6
21 − 320 − 2 + 9 + 80 b) 5
e) 7. Si se cumple que:
c) 3 7
Colegios
102
TRILCE
b) 7 e) 4
a)
2+1
b)
3 +1
d)
3+ 2
e)
3 −1
11. Efectuar: M = n n!Zn>2 a) 2n 2 d) 2
c)
3 −1
3 + 2 . 2n 5 − 2 6 c) 1
b) n 2 e) n 2 + 3
12. Calcular "x" en a) 3 d) 6
2b − 3b 2 = b) 4 e) 7
x− 2 c) 5
13. Transformar a radicales simples la expresión: E=
5x − 2 + 24x2 − 14x − 5
a)
6x − 5 + 2
4x + 1 2
b)
5 + 2x + 2 6x + 5 + 2
6x − 3 2 4x − 1 2
c)
e)
6x − 5 + 4x + 1 6x − 5 − 2
4x + 1 2
14. Calcular: M=
2 + 5 − 3 6 − 2 + 8 + 2 12
a) 4 2
b) 4 3
d) 2 2
e) 3 3
c)
3
15. Simplificar: M = 2 1 + 2 1 + ... + 2 1 + 2 3 + 2 2 e indicar uno de los radicales simples.
5x − 2 + 2 6x2 − 7x − 3 = mx + n + px − m Calcular: "m+n+p" a) 8 d) 5
a) –2 b) –3 c) –4 d) –5 e) –6 10. Descomponer en radicales simples: 2 . 4 7 − 2 12
d)
5. Calcular "A+B–C" si: A = 7 + 2 12 B = 8 − 2 15 C = 9 − 2 20 a) 2 d) 8
7 + 40
9. Calcular el valor de: E = (3 + 7 ) (5 − 7 ) − 32 + 10 7
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
•
c)
c) 6
a)
3
b)
d)
2 2
e) 2 2
5
c)
6
Central: 6198 – 100
Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente
4. Reducir: E = 5 + 24 + 9 − 56 − 10 − 84
9 − 2 14
A
5+2
9 − 2 18
B
7− 2
9 + 2 20
C
6+
9 + 2 18
D
6− 3
5. Reducir: L =
6. Si se cumple que: 5x − 1 + 2 6x2 − x − 2 = ax + b + cx − a
3
Calcular "a+b+c" 7. Transformar en un solo radical doble:
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) • El radical doble: 10 − 2 16 equivale a 2 ................................... (
M = 11 + 112 − 6 − 32 )
• Los radicales simples: 2 5 + 3 equivalen al radical doble 29 + 2 180 ...................................(
)
• El radical doble: 17 − 2 72 es igual a: 3 − 2 2 ......................................... (
)
• El radical doble 2x + 2 + 2 x2 + x equivale a los radicales simples: x + 1 + x ....................................... (
H = 5 + 2 3 ( 74 − 2 3 − 8 − 2 3 ) E=n
7 + 5 . 2n 12 − 2 35 ; (n ! Z; n > 2)
10. Descomponer en radicales simples: N=
2 . 4 17 + 2 72
11. Transformar a radicales simples: )
•
2 . 8 + 15 =________________________
•
2 . 18 + 35 =_______________________ 2
2x − 2 + 2 x − 2x − 15 = _____________ ______________________________________
•
8. Calcular el valor de: 9. Efectuar:
3. Convertir a radicales simples:
•
28 − 300 + 19 + 192
y 2 − 2y − 3
y−1+
N=
12. Simplificar y transformar a radicales simples: L=
2 + 2 2 + ... + 2 2 + 2 4 + 2 3 2 9 3 + 2 16 - x
13. Simplificar:
14. Si: 2b − 3b2 = x − 2 ; (5>b>1) Hallar el valor natural de "x" 15. Reducir: R =
4 4 − 2 6 − 2 5 + 10 − 2 5
2x + 2 x2 − 25 =_____________________
Tú puedes 1. Proporcionar el valor de: α.θ β
a)
Si: αx + θy + (αθ + β) xy es transformable a radicales dobles. a) 1/5 d) 1/3
b) 1/2 e) 1/6
c) 1/4
1 + 2x 1 − x2 ; 0<x<1
a)
x
b)
x−1
d)
x+1
e)
1 − x2
3. Transformar a radicales simples: x + 1 2x − 1 2 4
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4. Si:
b) e)
2 4 x+1 2
c)
2
P (x) + 2 Q (x) = ax + b + mx + 2 2
además: P(x)+Q(x)=8x +30x+17 Calcular: "a.b.m"
2. Indicar un radical simple de: E=
d)
2 2 x−1 8
c)
x+2
a) 35 d) 40 5. Calcular: racional. a) 5 d) 8
b) 70 e) 60 100
/
c) 80
( n − n − 1) , indicar la parte
n= 1
b) 6 e) 10
c) 7
Segundo año de secundaria
103
21
Capítulo
Radicación III Lectura: Ejercicios de 4 operaciones con radicales Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional, no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época. Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental de álgebra). FUENTE: http:/www.disfrutalasmatematicas.com
En este capítulo aprenderemos Radicación III .. El concepto de racionalización. .. El concepto de factor racionalizante. .. Racionalización de: –– Un solo radical. –– Una suma o diferencia de raíces cuadradas.
Colegios
104
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra Síntesis teórica
Racionalización
Factor racionalizante Cantidad irracional que al multiplicar a otra cantidad irracional la transforma en racional
Proceso que transforma el denominador (en algunos casos el numerador) irracional de una fracción en una cantidad racional.
Caso I:
n
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xm
Caso II:
A! B
Segundo año de secundaria
105
21
Capítulo
Saberes previos 1. Efectuar: 3 2 + 5 2 − 6 2
b) 13 m5 .13 m8 =
4. Efectuar:
2. Efectuar: a) 2 . 8 =
a) ( 3 + 2 ) ( 3 − 2 ) =
b) ( 5 + 2) ( 5 − 2) = b)
3
9.
3
3=
5. Transformar a radicales simples: 3. Efectuar:
a)
7 + 2 12 =
b)
12 − 2 27 =
a) 3 x2 . 3 x4 =
Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente
3. Racionalizar el denominador de:
Cantidad Irracional
1 = _______________________________________ • 7 x3
Factor Racionalizante
13
x5
A
13
x2
13
35
x
B
13
x
8
13
x4
C
13
x4
13
x50
D
13
x9
1 = ______________________________________ • 9 x17 4. Racionalizar el denominador de: •
1 = 13 − 2 ___________________________
•
1 = __________________________ 15 + 10
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) • El factor racionalizante de: 5 x3 es 5 2 x ..................................................(
)
• El factor racionalizante de x11 es x .................................................... (
)
• El factor racionalizante de 3 − 2 es − 3 + 2.............................................( 4 se obtiene • Al racionalizar 6 −2 6 + 2............................................... (
Colegios
106
TRILCE
5. Racionalizar el denominador de:
2 10 + 2 21
) )
Central: 6198 – 100
Álgebra Aprende más Comunicación matemática 1. Relacionar correctamente para que la cantidad racionalizada sea 2 11–3
A
– 11+3
11+3
B
(− 11 − 3)
– 11+3
C
11+3
– 11–3
D
11–3
• El F.R. de: 3 12 es 3 18 .....................(
)
• El factor racionalizante de 3 + 1 es 3 − 1............................................. (
)
2 − 1 es
1 − 2 ............................................... (
)
Resolución de problemas 3. Racionalizar el denominador de E = 5 42 49 a) 6
5
343
d) 5 49
b) 6
5
7
c) 6
5
49
e) 5 343
4. Racionalizar el denominador de: B = 4 18 36 a)
6
d) 4 6
b) 2 6
c) 3 6
e) 5 6
5. Indicar el denominador racionalizado de: xy H= 3 x5 y 7 2 3
a) x y 3 2 d) x y
2
b) xy 2 e) x y
c) xy
b) 20 e) 54
c) 24
7. Racionalizar el denominador de: E = a) 3 ( 7 + 2) d)
7 −1
www.trilce.edu.pe
b)
7 −2
e)
7 −3
e) 15–2 3 4 + 3+ 5 b) 2 e) 5
d)
2 + 5+ 3
2 + 5+ 3
a) 0
b)
c) 9–3 2 2 3 −1 c) 3
3 + 5− 2
1 3+ 2
c) 2 2
5
e) 2 5
2
11. Efectuar: N = 3 + 2 − 3 2 a)
3
b) 2 3
d)
2
e) 2 2
12. Efectuar: 4 + 8 + 2 12
1 3− 2
3 − 7 − 2 10
a) 1
b)
5
d) 0
e)
3
c) 0
1 11 − 2 30 c) 2
13. Efectuar: E=
3 2 − 9 + 2 18
a) 8 d) 3
4 3 + 8 + 2 12
b) 4 e) 5
6 5+2 6 c) 0
14. Indicar el denominador racionalizado de: 10 3+ 5+ 8 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
12 + 30 2+ 3+ 5 y reducir la expresión.
15. Racionalizar: E =
6. Al racionalizar: 4 6 3 se obtiene una expresión m 4 n , indicar: m×n. a) 18 d) 48
d) 12+3 2
10. Efectuar: A = )
• El factor racionalizante de
b) 9+3 2
a) 1 d) 4
3 ...................... (
12 es
a) 15+2 3
9. Efectuar: M =
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) • El F.R. de:
42 4− 2
8. Racionalizar el denominador: D =
c)
a) 2 3 + 3 2 b) 3 3 + 2 2 c) 2 5 + d)
3+
5
3
e) 2 30
3 7 −2 7 +2
Segundo año de secundaria
107
21
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente para que la cantidad racionalizada sea 3 7 –2
A
– 7 +2
7 +2
B
– 7 –2
– 7 +2
C
7 +2
– 7 –2
D
7 –2
6. Racionalizar: 9 12 25 .37 7. Racionalizar el denominador de: G =
4 5 −2
8. Racionalizar el denominador de: H =
72 27 − 5
9. Racionalizar el denominador de: M =
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda
6 8+2 7
10. Racionalizar el denominador de: 1 H= 10 − 2 21
• El factor racionalizante de: 3 7 es 3 49 ................................................. (
)
11. Racionalizar el denominador de: F =
• El factor racionalizante de 27 es 3 .................................................... (
)
• El factor racionalizante de 8 + 1 es 8 − 1............................................... (
12. Efectuar luego de racionalizar cada fracción: 1 + 1 1 + 5 −2 7+ 6 6+ 5
)
• El factor racionalizante de 3 − 1 es 3 + 1............................................... (
)
3. Dar la expresión racionalizada de: F = 9 3 4. Racionalizar el denominador de: B = 4 5 25 5. Indicar el denominador racionalizado de: J = 5 m.n m4 .n8
5 + 7+ 2
1 − 2+1
1 + 5+ 3
1 + 7+ 5
13. Calcular: 14. Reducir: 1 + 3 +1
18 + 12 3+ 6
6 7 −1 1 9+ 7
15. Indicar el denominador racionalizado de: 1 2+ 3 + 5
Tú puedes 1. La expresión racionalizada de: 1 equivale a: 2x + 5 + 2 x 2 + 5x + 6 a)
x+3+ x+2
c) x + 3 + e) 1 2. Efectuar: C = c a) 1 d) 4
x−2
b)
x+ 3− x+ 2
d)
x+ 3− x+ 2 -1 2
10 + ^ 3 + 5 h m 5 +1 b) 2 c) 32 e) 5
26 − 2 7 = a + b ; ("a", "b" 3− 7 2 enteros positivos). Hallar a –b
3. Si se cumple:
a) 9 d) 2 Colegios
108
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b) 15 e) 18
4. Después de reducir: 1 + 1 − 4 − 15 6 5 − 6 + 10 − 15 obtenemos: a)
6 + 10 + 15
c)
2+1
e)
5 −1
b) 3 + 5 + 2 d) 1
5. Hallar el valor de "x" en la siguiente igualdad: (6 256 + 9 8 ) 6x = 54 a) 1/2 d) 2
b) 1/3 e) 1/5
c) 1/6
c) 29
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Capítulo
22
Teoría de ecuaciones Lectura: Igualdad y equilibrio "El concepto de igualdad aparece desde tiempos romanos de la humanidad y la asociamos con la imagen de una balanza equilibrada, la cual nos indica una equivalencia de cantidades, si hay un desequilibrio buscaremos un peso adecuado para obtener el equilibrio, dicho peso nos da la idea de la incógnita en un ecuación.
En este capítulo aprenderemos Teoría de ecuaciones .. Concepto de igualdad y ecuación. .. Clasificación de las ecuaciones. –– Por su estructura. –– Por el número de soluciones. .. Teoremas de resolución: –– Resolución por despeje. –– Ecuaciones literales.
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109
22
Capítulo
Síntesis teórica
Teoría de ecuaciones
Igualdad
Ecuación
Definición
Solución
Teoremas de resolución
Clasificación
Por su estructura
Por el número de soluciones
Resolución por despeje
Ecuaciones literales
Colegios
110
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Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones:
2
4. Desarrollar: (x+5) –x(x+2)=
• 5+2–4 =
• –3+7= 2. Reducir: • x+5x–8x=
5. Factorizar: • mx+nx=
• 2m+4m+7m–9m=
3. Efectuar:
• mx–3x=
• 4(x–2)=
• 3(x–1)+3=
Aplica lo comprendido 1. Clasifica a las siguientes ecuaciones de acuerdo al número de sus soluciones:
3. Hallar "x" en la ecuación: 3x = 2 x+1
I. 2x+5=2x+5 II. 3x+7=3(x+2) III. 2x+1=15 4. Hallar "x" en la ecuación:
x−2 = 5
2. Si x=5 es solución de: 3(x–2)+n=2x Hallar "n" 5. Despejar "x" en la ecuación: x–2b=a
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111
22
Capítulo
Aprende más
1. Hallar "x" de la ecuación: 3x+1=13 a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
2. Hallar "x" en la ecuación: 5(x–2)+3(x+4)=66 a) 4 d) 40
b) 6 e) 12
c) 8
b) 13 e) 8
c) 9
Presenta solución única Presenta infinitas soluciones Es incompatible Su solución es 5
5. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: x(x–7)=5(x–7) b) {5} e) 5;7
c) {7}
6. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: (5x+3)(x–2)=8(x–2) a) {2} d) {–2; 3}
b) {1; 2} e) {2; 9}
c) {2; 3}
7. Hallar el conjunto solución de la ecuación: x2 − 1 = 3 x−1 a) {1} d) {3}
b) {2} e) {4}
8. A partir de la ecuación: 4x +
c) 8
a) ab d) –(b–a)
b) a+b e) 0
c) a.b
a)
a a+1
d) 2a + 1 a
b) a + 1 a
(a ! 0)
c) 2a − 1 a
e) 3a + 1 a
12. Hallar "x" en la ecuación: ax–3=bx+a a) a + b a−3
b) a + 3 a−b
d) 1
e) a − 3 a−b
(a!b)
c) a − 3 a+b
13. Halla "x" en la ecuación: ax–5b=2a+bx
e) No presenta solución
a) 5 d) {5;7}
b) 6 e) 11
11. Hallar "x" en la ecuación: ax − 1 = a 2
4. A partir de la ecuación: 5(x+2)=2(x+5)+3x Se puede afirmar que: a) b) c) d)
a) 4 d) 10
x−2 = 1 3
10. Despejar "x" de la ecuación: x+b=a
3. Hallar x" en la ecuación: 4 (x − 3) = 4 10 a) 5 d) 12
9. Hallar "x" en la ecuación:
c) { }
a) a + 5b a+b
b) 2a + b a−b
d) 2a + 5b a−b
e) 3a + b a−b
14. Hallar "x" en: a) 0 d) 2
c) 5b + a a−b
x2 + x + 1 = x + 1 b) 1 e) –2
c) –1
15. Halle el conjunto solución de: x2 − 4 + x = x2 − 9 − 11 x+2 x−3 a) {–2} d) {–8}
b) {–6} e) {–8;6}
c) {–2;–6}
8 = 20 + 8 x−5 x−5
Se puede afirmar que: a) Presenta solución única b) Presenta infinitas soluciones c) Es incompatible d) Su conjunto solución es vacío e) c y d
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Álgebra Practica en casa 1. Hallar "x" en la ecuación: 2x+3=11
9. La ecuación: clasifica como:
8x +
4 = 40 + 4 , x–5 x–5
se
2. Hallar el conjunto solución de: 7(x–2)=35 3. Hallar "x" en la ecuación: (x − 2) = 3 9 4. La ecuación: 4(x+2)=3(x+1)+x+5 de acuerdo al número de soluciones se clasifica como: 5. Si: x=3 es solución de: 4(x–2)+n=9 Hallar: "n"
10. Hallar "x" en la ecuación:
x+1= 4
11. Despejar "x" de la ecuación: x–m=a 12. Hallar "x" en la ecuación: mx − 1 = 3 m 13. Hallar "x" en la ecuación: ax+b=cx+d 14. Resolver la siguiente ecuación:
6. Halle el conjunto solución en la ecuación: x(x–4)=5(x–4) 7. Halle el conjunto solución de: (x+4)(x–1)=7(x–1)
x+5 = 2 2
15. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: x + 2 − x + 1 = x − 3 5 4 3
8. Halle el conjunto solución de la ecuación: x2 − 4 = 4 x+2
Tú puedes 1. Si el C.S de la ecuación: 2 (x + 1) − 1 − x = x + 3 ; es: n + 1 $ n . 3 5 10 2
Hallar el valor de: n –3 a) 0
b) 6
d) 13
e) 46
c) 22
2. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b; se obtiene infinitos valores para "x" que verifican la igualdad. Hallar el valor de "a+b" a) 6
b) 8
d) 12
e) 14
c) 10
3. Hallar "x" en: a) 46a 15 d) 49a 15
b) 47a 15 e) 50a 15
c) 48a 15
4. Halle el cardinal del siguiente conjunto: A={x∈R/x–5+ x − 9 =2+ x − 9 } a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
2 2 5. Hallar "x", en: x + m − x + n = m + n − 2; n m mn mn≠0
a) m+n d) n–m
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5x + a + 6a = 4; a > 0 5x + a − 6a
b) –2n e) –2m
c) m–n
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113
23
Capítulo
Ecuaciones de 1er grado I Lectura: Curiosidades matemáticas El uso de las letras x, y, z para representar incógnitas y las primeras del abecedario para valores conocidos, aparece en el libro "La Geometrie" de Descartes. Se cuenta que cuando el libro se estaba imprimiendo y debido a la gran cantidad de ecuaciones que tenía, los impresores se quedaban sin letras. El editor le preguntó a Descartes si podía emplear otras letras para las ecuaciones. Descartes le respondió que era indiferente las letras que utilizase en las ecuaciones. El editor eligió la x porque en francés esa letra se utiliza poco.
FUENTE: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/curiosidades.htm
En este capítulo aprenderemos Ecuaciones de 1er grado .. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. .. Ecuaciones reducibles a primer grado. .. Ecuación de la forma: Ax+b; compatible determinada, compatible indeterminada e incompatible.
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Álgebra Síntesis teórica
Ecuaciones de primer grado I
Resolución
Ecuaciones reducibles a primer grado
Análisis de la ecuación: Ax+B=0
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115
23
Capítulo
Saberes previos
1. Simplifica las siguientes expresiones • –3x+4x–5x+6x–6x–7x 2
2
2
2
• x +2x +4x –3x +5x 2
2
• x +3x+3x –5x+6x
2
• (x+9)(x–1)
=________________________
=____________ =____________
2
=____________
2. Multiplica los binomios • (x–2)(x+2)
=________________________
• (3+x)(3–x)
=________________________
• (x+4)(x–4)
=________________________
3. Multiplica los binomios • (x+1)(x–2)
=________________________
• (x–7)(x–8)
=________________________
4. Desarrolla los binomios al cuadrado
• (x+3) • (x–4)
2
2
=____________________________ =____________________________
2
• (2x–3) =____________________________ 5. Factorizar: • ax + 3x
= ______________________
• mx – nx
= ______________________
• ax + bx – 3x = ______________________
Aplica lo comprendido A. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones 1. 5(x+3)+2(x−1)=7(x+2)−x
2
B. Si la ecuación de incógnita "x":
(a–4)x=b+3 presenta infinitas soluciones; indicar el valor que adopta"ab".
2
2. (x+3) +(x−3) =2x(x+3)−3
C. Sea la ecuación: x3m–2+7m=10
si la incógnita "x" es de primer grado, hallar el conjunto solución.
2
3. (3x+1)(x–2)=3x –12
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Álgebra Aprende más 1. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 3(x+1)–2(x+3)=5–x a) {8} d) {–1}
b) {4} e) {5}
c) {2}
b) 13/4 e) 7/4
c) 11/4
3. Hallar "x" en la ecuación: (x–3)(x+2)–(x+5)(x–1)=3x a) 2 d) –1/8
b) 1/8 e) 0
c) –3
b) 6 e) 9
3
b) 4 e) –6
e)
c) 5 5
b) 4 e) 7
c) 5
b) 2 e) 5 a
c) 3 b
15. La ecuación: (a )x+256=27x+b es indeterminada: calcular el valor de "ab".
2
a) 1 d) 0
6. Hallar "x": (x+2) =(x+1) +3x +7x–5 a) 3 d) –4
b) 1
a) 1 d) 4
c) 11 3
a) 0 d) 25
14. Que valor no debe tomar "m" para que la ecuación en x: mx–1=3x+5, presente solución única.
c) 7
b) 10 e) –5
c) 3
12. Si la ecuación en "x": (m–5)x = 1, es 2 incompatible. Hallar m
a) 3 d) 6
5. Determinar el valor de la incógnita en: 2 2 2 (x+3) +x+(x+4) =2(x+5) a) 9 d) –9
b) 2 e) 5
13. Si la ecuación en "x": ax+5=5(x+4)+x, es absurda. Hallar "a".
4. Hallar "x" en la ecuación: 2 2 (x–3)(x +3x+9)–x(x –4)=1 a) 5 d) 8
a
a) 1 d) 4
2. Calcular el valor de "x", en la ecuación: 4(x–2)+3(x+7)=9+3(x+7) a) 17/4 d) 19/4
b
11. Obtener "a +b ", si la ecuación de incógnita "x": ax+3=2bx+3b, es compatible indeterminada.
c) –3
b) 4 e) 9
c) 12
7. Si 6 es solución de: 5(x+m)+2(x–3m)=1 Indicar el valor que adopta "m" a) 40 d) 43
b) 41 e) 44
c) 42
8. Si 9 es raíz de: 5(x+n)–2(x–3n)=x–4, hallar "n". a) –5 d) –3
b) –1 e) –4
c) –2
9. Si la ecuación de incógnita "x": n+3 –n+2)=7, es de primer 5–2(x Determinar: x+n a) –4 d) –8
b) –6 e) –9
grado.
c) –7
10. Hallar "m+n", si la ecuación de incógnita "x": (m–15)x+(6m–3n)=0, presenta infinitas soluciones a) 43 d) 46
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b) 44 e) 48
c) 45
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117
23
Capítulo
Practica en casa
1. Hallar el conjunto de la siguiente ecuación: 5(x–2)–3(x+1)=5–x 2. Calcular el valor de "x" en la ecuación: 3(x–2)+2(x–3)=7(a–4)
10. Hallar el valor de "m+n", si la ecuación de incógnita "x": (m–4)x+(3m–2n)=0 es indeterminada. 11. Obtener el valor de "ab", si la ecuación de incógnita "x": ax+8=b(3x+2) presenta infinitas soluciones.
3. Hallar el valor de "x" en la ecuación: (x+5)(x–1)–(x–3)(x–2)=88 4. Indicar el valor de la incógnita al resolver la 2 ecuación: (x+5)(x –5x+25)–x(x+3)(x–3)=1
12. Si la ecuación en "x": (49n–9)x=2012 es absurda, hallar el valor de: n
5. Determinar el valor de la incógnita en: 2 2 2 (x–8) +(x–2) =2(x–4)
13. Si la ecuación en "x": mx–4=3(x–2)–x es inconsistente, hallar el valor de "m"
3
2
2
6. Hallar el valor de "x" en: (x–2) +3x =(x–1) +2 7. Si: 3 es solución de la ecuación: 5 7(x+n)+3(x+2n)=5 indicar el valor que adopta "n".
14. Si la ecuación: bx–4=7–2x es incompatible Indicar el valor que adopta "b". n
m
15. La ecuación: n –(m )x=3125–4x presenta infinitas soluciones, calcular el valor de: J = n + 2m
–1
8. Si: 4 es raíz de la ecuación: 2 2 (x+2n) –(x–2n) =1 entonces el valor de "n" es: 9. Si la ecuación de incógnita "x": m+5 9–4(x +m–7)=1 es de primer grado, determinar el valor de "x+m".
Tú puedes 1. Determinar el valor de la incógnita "x" en: 2
2
2
2
(x+2a)(x –2ax+4a )+(2 2 ax) =(x +a) 2
(x+8a );
(a!0)
Indique: "x−c"
a) 2 2
b) 1
d) –2
a) 0
c) 2
b) 8 e) 30
c) 20
3. Calcular el valor de "x" en la ecuación: x + b + x = a (a − x) b a b2 a) a+b 2 2 d) a b
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b) ab 2 e) (a+b)
a) a d) a+b
2. Calcular "x" en la ecuación: (x+3)(x+1)(x−2)(x−4)=(x−5)(x+4)(x+2) (x−3)+12(x−5)(x+4)+6x a) 4 d) 24
4. Resolver para "x" 3 3 2 (b+c) = b − c + bc (b + c) ; bc!0 b−c x
b) b e) b − c a
c) c
5. Resolver la ecuación de primer grado definida para "x": 3 2 3 2 3 (x+a) −(x+b) +1=(x−a) +(x−b) +29a +2 2 (x+b ) a) −2 2 2 d) 2 +b
2
b) 2 2 e) −4b
c) −2b
2
c) a−b
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Capítulo
24
Ecuaciones de 1er grado II Lectura: Diofanto Diofanto fue un matemático griego que vivió entre el 200 y el 290 dC. Su vida se desconoce por completo; sin embargo ha llegado hasta nosotros un texto escrito por él llamado "La Aritmética" en el que se plantean y resuelven 189 problemas de álgebra que hoy resolveríamos utilizando ecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de ecuaciones. Por este hecho se le conoce como el padre del Álgebra y a las ecuaciones de primer grado se les llama, también, "ecuaciones diofantinas" Sobre su tumba, a manera de epitafio uno de sus alumnos escribió el siguiente problema: "Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad." ¿Podrías resolver el problema y encontrar cuántos años vivió Diofanto? FUENTE: http://juntadeandalucia.es
En este capítulo aprenderemos Ecuaciones de 1er grado II .. Resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios. .. Resolver ecuaciones fraccionarias que se transforman en ecuaciones de primer grado. (con restricciones) .. Plantear y resolver ecuaciones de 1er grado.
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Capítulo
Síntesis teórica
Ecuaciones de primer grado II
Con coeficientes fraccionarios y/o irracionales
Fraccionarias reducibles a 1er. grado
Planteo de ecuaciones de 1er. grado
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Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones:
4. Simplifica las siguientes fracciones:
• 4 (x–3) – 3 (x–5) =
•
x−3 3−x
•
4−a+b a−4−b
• 8(m–n) + 5 (2m+n) = 2. Calcular: • mcm (2; 3; 5; 7) =
5. Efectúa las siguientes operaciones:
• mcm (2; 6; 12; 9) =
• 2 5 + 3 5 − 125 =
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: x − 1 está definida; para x=2 ......... ( x−2
)
• x + 3 no está definida para x=3 ..... ( x−3
)
•
•
8+
2
Aplica lo comprendido Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 2 x + 1 = x − 1 3 5 2 10
2.
3.
3 x − 1= 2 + 6
4. 5x +
1 = 15 + 1 x−3 x−3
5. Representar a través de una expresión algebraica los siguientes enunciados: • El exceso de A sobre B. • A es excedido por B.
1 = 1 x−3 7−x
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121
24
Capítulo
Aprende más
1. Hallar el conjunto solución de: 2x − 2 x = x − 3 − 15 3 15 a) {–11} b) {–10} d) {–13} e) {–14}
10. Hallar "x" en: m (x + n) − n (x − m) = 1 m (m + n) + n (n − m) c) {–12}
b) $ − 3 . 2 e) $ − 1. 4
c) $ − 1. 2
b) {–1}
d) { }
e) {2}
c) {1}
a) { 5 + 3 }
b) { 5 − 3 }
c) { 5 − 2 3 }
d) { − 5 − 3 }
3}
5. Hallar "x" en: x − 2 − x − 3 = 2 3 2 6 a)
3+ 2
d) − 2 − 3 6. Hallar "x" en: a) 1 d) 4
b) 3 − 2 e) 1
a) 3 d) 9
a) 31 d) 35
4. Hallar el conjunto solución de la ecuación: 5 (x + 5 ) = 3 (x + 3 )
e) { − 5 +
c) m+n
b) 7 e) 10
c) 5
12. La tercera parte de la edad que tendré dentro de 12 años será igual a 15 años, ¿qué edad tengo?
3. Hallar el conjunto solución de: 5 (x − 2) − 4 (x + 1) = 2 − x 4 3 12 a) {0}
b) n e) mn
11. La suma de tres números consecutivos es 12. Indicar el número mayor.
2. Hallar el conjunto solución de: 2x − 1 = x + 2 3 10 5 a) $ − 2 . 3 d) $ − 4 . 3
a) m d) m–n
c)
2− 3
1 +4 = 3 +2 x−2 x−2 b) 2 c) 3 e) 5
b) 33 e) 40
c) 34
13. El exceso de un número sobre 30 equivale al exceso de 45 sobre la mitad del número en mención. Hallar dicho número. a) 10 d) 40
b) 20 e) 50
c) 30
14. Si el cuadrado de un número N se agrega 11 se obtiene el cuadrado del consecutivo de N. Indicar la quinta parte del valor que adopta N. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
15. Ana le pregunta a Claudia la hora y ella le responde: "Son las cinco séptimas horas de lo que falta para terminar el día", ¿qué hora es? a) 2 horas d) 12 horas
b) 4 horas e) 14 horas
c) 10 horas
7. Hallar "x" en: 3x + 7 + x = 1 + 8 x+2 x+2 a) –3 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4 8. Hallar "x" en: 2x − 2 = 3 x−1 x+1 a) 2 b) 3 d) 5 e) 6
c) 4
9. Hallar "x" en: 1 + 1 − 1 = 1 2x 4 10x 5 a) –8 d) –2
Colegios
122
TRILCE
b) –6 e) 0
c) –4/5
Central: 6198 – 100
Álgebra Practica en casa 1. Hallar el conjunto solución de: 5x − 8 = 3x + 4 7 5 2. Hallar el conjunto solución de: 4x − 1 = 2x + 4 9 3 5 3. Resolver: 3 (x − 1) − 2 (x + 3) = 3 − x 4 3 6 4. Resolver:
2 (2x + 1) = 3x + 1
5. Al resolver la ecuación: x + 1 = x−1
3 2
se obtiene el conjunto solución {a+ b }, hallar "a+b" 1 +9 = 7 +3 7−x 7−x 7. Hallar "x" en: 2x + 5 + 2x = 3 + 10 x+1 x+1 8. Hallar "x" en: 3x − 3 = 7 x−2 x+2 9. Hallar "x" en: 1 + 1 − 1 = 1 3x 6 15x 5 6. Resolver:
10. Hallar "x" en:
x+p x−q −1 = +1 q p
11. La mitad de la edad que tendrá Cecilia dentro de 13 años será igual a su edad actual disminuido en 7 años. ¿Cuál es la edad de Cecilia? 12. La mitad de la edad de Valentina excede a su sexta parte en 10 años. Indicar la edad de Valentina hace 5 años. 13. Hallar un número de tal manera que su quíntuplo aumentado en tres equivale a 28. 14. Un número es tal que sus dos quintas partes equivalen al cuadrado de diez. Hallar la mitad de dicho número. 15. El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora el nivel del agua disminuye en la mitad más un metro, determinar la cantidad de agua al inicio.
Tú puedes 1. Si la ecuación lineal: 2 n n+2 3(a−3)−ax (x )=2(b+2n)+5x definida en "x", admite infinitas soluciones. Hallar el valor de "2a−b−n" a) 10 d) 1
c) 5 b) −1 e) −6 2. Resolver: 2 8x − 5 (x + 4)B = x − 3 − 2 (x + 2) 5 3 3 3 c) 5 a) 2 b) −1 d) 4 e) 7 3. En la ecuación en "x" 2 n (x−1)+x(10−7n)=14−9n Determine el valor de "n" para que dicha ecuación sea compatible indeterminada a) 0 d) 5
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b) 1 e) 7
4. Hallar el valor de "m" de tal manera que la 3 2 ecuación en "x": m x−2b+3xm =7−x(1+3m); sea incompatible a) 4 d) 1
b) 3 e) −1
c) 2
5. Don ramón cría cuyes en una granja. Él ha observado que si coloca 5 cuyes en una jaula, le sobra 4 cuyes; pero si coloca 7 cuyes en cada jaula, le sobran 2 jaulas. ¿Cuántas jaulas tiene Don Ramón? a) 9 d) 3
b) 7 e) 1
c) 5
c) 2
Segundo año de secundaria
123
25
Capítulo
Repaso III Lectura: Códigos algebraicos Cuenta la historia que a mediados de siglo XVI los estados españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que sus mensajes pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban una serie de caracteres desconocidos. Durante los desórdenes de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500 caracteres diferentes y aunque sus mensajes eran frecuentemente intersectados, no podían ser descifrados. Mandadas estas cartas a Vieta las descifró son mayores problemas. Esto desconcertó a los españoles durante dos años que pensaron que el rey lo había descubierto a través de un mago. Este mago, que era solo un matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro "El Álgebra nueva" donde Vieta muestra el enorme interés que tiene para las matemáticas al efectuar cálculos con letras en lugar de con números y aplicar la factorización. FUENTE: http://neetescuela.com
En este capítulo recordaremos Repaso III 2
2
.. La identidad notable como la diferencia de cuadrados (a −b ) y el trinomio cuadrado perfecto. (identificación, aplicación para factorizar) .. Identificaremos que el polinomio se trata de una suma o dife3 3 rencia de cubos (a ±b ). .. Reforzaremos el Método de Ruffini para factorizar polinomios 3 2 de la forma: ax +bx +cx+d
Colegios
124
TRILCE
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Álgebra Saberes previos 1. Factorizar las siguientes expresiones: 2
a) x −4 2
b) 4x −1 2
c) 25x −36 2
d) 49x −81y
2
4. Factorizar: 3
=______________________
b) a −343
3
=______________________
6
=______________________
=________________________
a) x +125
=________________________ =________________________
c) p −n
=________________________
d) 8x +27y
2. Factorizar los siguientes trinomios 2
=______________________
2
=______________________
a) x +2x+1 b) x −4x+4 2
c) 9x −6x+1
=______________________
2
d) 25x −40x+16 =______________________ 3. Factorizar los siguientes polinomios: 2
a) R(x)=x +11x+28 =___________________ 2
b) Q(x)=x −8x+15 =___________________ 2
=___________________
2
=___________________
c) Z(x)=2x −5x+2 d) S(x)=6x −5x−6
3
3
3
=______________________
5. Factorizar los siguientes polinomios: 3 a) R(x)=x −x ______________________________________ 3
b) Q(x)=3x −45x−6x
2
______________________________________ 5
c) T(x)=5x +40x
2
______________________________________ 4
3 2
2 3
d) M(a;b)=2a b−4a b +2a b
______________________________________
Aplica lo comprendido 1. Factorizar, indicar la suma de factores primos: 3
F(x)=x +2x−5x−6
3
2
4. Si el polinomio: R(x)=2x +3x −11x−6 Se anula para x=−3 Indicar otro de sus factores primos
2. Factorizar, indicar el producto de los términos independientes de sus factores primos. 3
2
G(x)=x +3x −4x−12
3. Si una de las raíces del polinomio: 3 2 Q(x)=3x −4x −17x+6, es 3. Indicar la suma de coeficientes de uno de los otros factores primos.
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2
5. El polinomio P(x)=x (x−5)−2(x−12), tiene un factor primo igual a (x+2). Determine la suma de los otros factores primos.
Segundo año de secundaria
125
25
Capítulo
Aprende más 2 10
10 2
1. Factorizar: P(x;y)=4x y −9x y e indicar la suma de coeficientes de un factor primo. a) 5 d) 0
b) −5 e) 13
c) −3 4 8
b) 3 e) 6
c) 4
c) (x+y+5)
2
c) 4x 4
2 2
6. Luego de factorizar: P(x;y)=x −10x y +9y Indicar un factor primo 2
b) 3x−y e) x−2y 3
4
c) x−9y
2
b) (m−n)(m+n) 3 3 d) m (m−n)
6 3
8. Factorizar: P(x;y)=x y +27 2 a) (x y)(xy+3) 2 2 4 2 b) (xy −3)(x y +3xy +9) 2 4 2 2 c) (x y+3)(x y −3x y+9) 2 3 d) (x y+3) 3 3 e) (xy +9) 3 3 3 9. Factorizar: P(x;y)=(x +64)y −8(x +64) a) b) c) d) e) Colegios
126
2
2
(x+4)(x −4x+16)(y−2)(y +2y+4) 2 2 (x+4)(x +4x+16)(y−2)(y −2y+4) 3 3 (x+4)(x−4) (y−2)(y+4) 2 2 (x+4)(x−4) (y−2)(y+4) 3 (x+4)(x−4)(x+y)
TRILCE
c) −1
b) 8 e) −2 2
13. Factorizar: P(x)=x −7x −14x+120; e indicar la suma de sus factores primos. a) 3x−7 d) 3x−5
b) 3x−14 e) 3x−10 3
a) 3x+2 d) 3x+4
c) 3x−15
2
2
b) 3x−2 e) 3x+5 3
c) 2x−1
2
15. Factorizar: F(x)=x −5x −2x+24; la suma de los términos independientes de sus factores primo es: a) −11 d) 11
b) −10 e) 2 3
c) −5
2
16. Factorizar: F(x)=2x +7x +7x+2 Indicar uno de sus factores lineales. a) x+3 d) 2x−1
3
7. Factorizar: P(m;n)=m −n +mn(m−n) a) (m+n)(m−n) 2 c) (m−n) (m−2n) 3 3 e) (m+n) (m−n)
b) (x+4)(x−7)(x+3) d) (x−7)(x+3)(x−4)
14. Factorizar: F(x)=x −2x −5x+6 La suma de factores primos lineales es:
b) (2x+3y+2) d) (4x+9y)
b) 2x+10 e) −10
a) 4 d) −6
3
5. Factorizar: P(x)=x +36−13x ; e indicar la suma de sus factores primos.
2
2
12. Factorizar: P(x)=x −39x−70; e indicar la suma de coeficientes de un factor primo.
b) (x−y+1) e) (x−y)
4
a) x −y d) x−y
2
3
a) (4x+9y+2) c) (4x+3y+2) e) (4x+9y+5)
2
2
b) 2a(a +12b ) 2 2 d) 4a(a +12b )
a) (x−3)(x+7)(x+4) c) (x+7)(x+3)(x−4) e) (x+3)(x−5)(x−4)
4. Luego de factorizar: 2 2 P(x;y)=4x +4x+1−9y −6y−1 Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.
a) 2x −13 d) 0
2
a) a(a +12b ) 2 2 c) 3a(a +12b ) 2 2 e) 5a(a +12b ) 3
3. Indicar un factor primo de: 2 2 P(x;y)=x −4x+4−y +6y−9 a) (x+y) d) (x−y−5)
2
3
11. Factorizar: P(x)=x −8x −5x+84
8 4
2. Luego de factorizar: P(x)=16x y −81x y Indique el número de factores primos a) 2 d) 5
3
10. Factorizar: P(a;b)=(a−2b) +(a+2b)
c) 2x+1
b) x−1 e) x−2 3
2
17. Factorizar: P(x)=2x −5x +x+2; indicar la suma de términos constantes de los factores primos. a) 0 d) −2
b) 1 e) −1 3
c) 2 2
18. Factorizar: F(x)=2x +5x −7x+2. Indicar el número de factores primos lineales. a) 2 d) 4
b) 3 e) 5 3
c) 1 2
19. Factorizar: F(x)=2x +x +5x−3. factor primo. a) 2x+1 d) 2x−3
b) 2x+3 e) x+3 3
Señale
un
c) 2x−1 2
20. Factorizar: P(x)=3x +(2x+1) , la suma de coeficientes de uno de sus factores primos es: a) −4
b) −3
c) −2
d) 3
e) 2
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Álgebra Practica en casa 10 2
2 10
3
1. Factorizar: P(x;y)=49x y −25x y 2
3
8. Factorizar: P(a;b)=a +b −ab(a+b) 3
3
6
5
3. Factorizar: P(x;y)=x y−xy
3
9. Factorizar: P(a;b)=(a −8)b +27(a −8)
2
2. Factorizar: P(x;y)=x −2x+1−y +2y−1
3
10. Factorizar: P(x;y)=x +7x −8
5
3
2
3
2
11. Factorizar: P(x)=x −6x +11x−6 4
2
4. Factorizar: P(x)=x −20x +64
12. Factorizar: P(x)=x −2x −33x+90 2
2
5. Factorizar: P(x;y)=x +3x−2xy+y −3y 6 2
3
2
13. Factorizar: P(x)=2x +x −11x−10
3 2
6. Factorizar: P(x;y)=x y +8x y
3
2
14. Factorizar: P(x)=6x +25x −24x+5 3
9 6
2
15. Factorizar: P(x)=12x −8x −13x−3
7. Factorizar: P(x;y)=x y −125
Tú puedes 3. ¿Cuántos factores irreductibles en Q, presenta el
1. Factorice el polinomio: 3
2
2
3
P(a;b)=ca +a bc+ab c+b c
polinomio?
y del valor de verdad de las siguientes proposiciones:
P(x)=1+x+x +x
I. Posee 3 factores primos.
2
a) 1 d) 2
3
b) 3 e) 4
c) 5
II. P(a;b) posee un factor primo lineal. III. La suma de los 2 2 a +b +a+b+c. a) VFF d) FVF
factores
b) FVV e) FFV 5
primos
es:
c) FFF
4. Factorice el polinomio Q, dar como respuesta la suma de sus términos independientes. 2
a) 1 d) 4
3 3
2. Factorizar: P(a;b)=a b−b a
Indicar el valor de verdad de las proposiciones:
III. Tiene un factor primo cuadrático.
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5
3
2
Luego, indique el número de factores primos
II. "ab" es un factor de P(a;b).
b) FVF e) FVF
c) −1
b) 7 e) 6
5. Factorizar: Z(n)=n +2n+1+n +n
I. Tiene un factor primo lineal.
a) VFV d) VFF
2
R(x)=(x +x+10)(x +x−4)+45
c) VVV
obtenidos. a) 2 d) 3
b) 1 e) 7
c) 5
Segundo año de secundaria
127
26
Capítulo
Sistemas de Ecuaciones I
Lectura: sistemas de ecuaciones babilónicos Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud=7 manos longitud + anchura=10 manos. Fuente: http://www.tallerhorus.com/paginas/
En este capítulo aprenderemos Sistemas de ecuaciones I .. Resolver un sistema de ecuaciones por: –– Igualación –– Sustitución –– Eliminación o reducción .. Sistemas con coeficientes literales .. Sistemas con coeficientes fraccionarios
Colegios
128
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Álgebra Síntesis teórica
Sistemas de Ecuaciones I
Sistemas Lineales
Ejercicios
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Segundo año de secundaria
129
26
Capítulo
Saberes previos
1. Despejar "x" en función de "y" de una de las siguientes ecuaciones: a) 2x=y b) x – 5=y+3 c) 2x+3y=–1 2. Despejar "y" en función de "x" de cada una de las siguientes ecuaciones: a) –7y=x b) –2x – y=25 7x − 2y c) =y 3
3. Representar en forma canónica los siguientes Zx−y sistemas: = 11 ] 2 ( x y ) 3 ( x y ) = + − a) ) b) [ 3 7x + 11 = 2y + 21 ] x −1 = y+1 3 \ 2 4. Si: x=1 – y Sustituir en la expresión: E=2x – 3y Determine la expresión simplificada en términos de "y". 5. Si: 2a+3b=1 Sustituir en: R=4a+5b De modo que R esté en términos de "a".
Aplica lo comprendido 3. Resolver el sistema por igualación x + 2y = 3 ......... (I) ) x − 3y = 13 ......... (II)
1. Cuál de los siguientes sistemas I) ) x + 2y = 7 ........ (I) x − y = 1 ......... (II) II) )3x + y = 7 ........ (I) x − 2y = 7 ........ (II) tienen como conjunto solución al par ordenado (3; 2) 2. Calcular: "m+n" si el conjunto solución del sistema mx + ny = 7 .......... (I) ) mx − 2ny = 4 .......... (II) es el par ordenado (2; 1)
4. Resolver por sustitución el siguiente sistema x − y = 10 .......... (I) ) x + 3y = 2 .......... (II) 5. Resolver por reducción el siguiente sistema: 3x − y = 7 .......... (I) ) –5x + 2y = –9 .......... (II)
Aprende más 1. De los siguientes sistemas: I) )2x + y = 12 II) )3x + 2y = 19 x–y=6 2x + 3y = 16 III) )5x – y = 23 4x + 2y = 24 ¿Cuáles tienen como conjunto solución al par ordenado (5; 2)? a) Sólo I d) I y II
b) Sólo II e) II y III
c) Sólo III
2. Calcular "a+b", si el par ordenado (3; –2) es solución del sistema: ax + by = 13 ) 2ax − by = 50 a) 6 d) 15 Colegios
130
TRILCE
b) 10 e) 19
3. La suma de dos números es 120 y su diferencia es 36. Hallar dichos números. a) 80 y 40 d) 68 y 52
b) 86 y 34 e) 82 y 46
c) 78 y 42
4. Aplicando el método de igualación, resolver el siguiente sistema: Z 9−y ]x = 5 [ ]x = 7 − y 3 \ Indicar el valor de "xy" a) –1 d) –9
b) 2 e) 5
c) 4
c) 11
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Álgebra 5. Resolver, aplicando el método de igualación en: 7y + 23 x= 5 * 2x = 3y + 11 Indicar el valor de "x – y" a) –2 d) –9
b) 1 e) –1
c) 0
Indique el valor de "x/y" b) 3/2 e) 15
c) 1/2
b) S/.24 e) S/.19
c) S/.17
8. Resolver por el método de sustitución el sistema: 8x + 3y = 7 ........ (I) ) 4x + y = 3 ........ (II)
c) 21 años
a) 221 y 109 d) 223 y 107
b) 220 y 110 e) 224 y 106
c) 222 y 108
)
3x + 5y − 9 + 3x + 5y − 9 −
3x − 5y + 4 = 7 3x − 5y + 4 = 1
Calcular: x+y a) 1 d) 4
b) 2 e) 7
c) 3
15. Resolver el sistema: (x − 3) (y + 4) − 18 = xy ) (x − 5) (y + 6) − xy = 16 indicar: xy
Indicar: (x.y) a) 1/2 d) 2
b) 20 años e) 25 años
14. Al resolver el sistema:
7. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan 31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos lapiceros y tres cuadernos? a) S/.18 d) S/.15
a) 18 años d) 22 años
13. Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de las patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero?
6. Resolver por igualación: 2y – 5 x= 3 * 2y = 4x – 10 a) 2 d) 3/5
12. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años, si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años, ¿cuál es la edad del mayor?
b) 1/3 e) 8
c) 1
a) 18 d) 10
b) –15 e) –12
c) –18
9. Resolver el sistema por sustitución 3x + 5y = 4 .......... (I) ) 7x − 3y = 24 .......... (II) Hallar: (x.y) a) 1 d) –2
b) 2 e) 8
c) –3
10. Resolver por sustitución el siguiente sistema: 3 (x − y) + 2y = 2 (x + 7) − 5 ............. (I) ) 5 (x + y) − 1 = 3 (x + 4) + 2y ............. (II) y
Hallar: "x " a) 4 d) 1/8
b) 1/4 e) 1/2
c) 8
11. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si el triple de uno de los lados congruentes excede al doble del lado desigual en 2 cm, ¿cuánto vale el lado desigual? a) 6 cm d) 2 cm
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b) 5 cm e) 1 cm
c) 3 cm
Segundo año de secundaria
131
26
Capítulo
Practica en casa
1. Cuáles de los sistemas: I) ) 4x + 2y = 14 II) )5x + y = 19 5x − 3y = 23 3x + y = 7 III) ) x + y = 3 4x + 5y = 11 tienen como conjunto al par ordenado (4; –1) 2. Calcular "a×b", si el par ordenado (–2; 5) es solución del sistema: 3ax + by = 46 ) ax − by = 2 3. La suma de dos números es 116 y su diferencia es 42. Hallar dichos números. 4. Aplicando el método de igualación, resolver el siguiente sistema: Z 7+y ]x = 3 [ ]x = 9 − y 5 \ Indicar el valor de "xy" 5. Resolver aplicando el método de igualación 5y + 17 x= 7 * 3x = 2y + 7 Indicar el valor de "x – y".
11. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a 38 cm, si el quíntuplo del lado desigual excede al doble de uno de los lados congruentes en 10 cm. Determinar la longitud del lado desigual. 12. La edad de dos hermanos suman 45 años, si dentro de 20 años la edad de uno de ellos será el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años. Determine la diferencia de las edades de dichos hermanos. 13. Una familia de 9 miembros entre adultos y niños asisten a un espectáculo por el que un adulto paga S/.7 y un niño S/.3. Si el papá invirtió S/.43 por este buen espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia? 14. Resolver el sistema: 4x + 5y − 13 + 3x − 4y − 4 = 3 ) 4x + 5y − 13 − 3x − 4y − 4 = 1 Calcular: x+y 15. Determinar el valor de "xy", sabiendo que: x (y − 2) − y (x − 3) =− 14 ........ (I) ) y (x − 6) − x (y + 9) = 54 ........ (II)
6. Resolver por igualación: 5y − 1 x= 3 * 5y = 4x − 2 y x Indique el valor de "x – y " 7. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles, mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130 soles, ¿cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa? 8. Resolver por sustitución el siguiente sistema 7x + 5y = 11 ........ (I) ) 3x + y = 7 ........ (II) x Hallar: "y " 9. Resolver el sistema por sustitución 5x + 7y = 18 ........ (I) ) 3x − 5y = 20 ........ (II) Hallar: "xy" 10. Resolver por sustitución el siguiente sistema: 4 (x − y) + 3y = 3 (x + 5) − 13 .......... (I) 6 (x + y) − 7 = 4 (x + 3) + 3y .......... (II) Hallar: "xy"
)
Colegios
132
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra Tú puedes 1. Hallar los valores de "a" y "b", si los sistemas: ax + 2y = 5 2x + ay = 7 ) ) bx + 3y = 10 3x + by = 8 son equivalentes, indicar "a×b" a) 3 d) 6
b) 4 e) 8
c) 5
2. Para el sistema definido en "x" e "y": 3x = a + 2y + 5b ; {a; b} ⊂ R ) 3y = 5a − 2 x − b x+y Hallar: 2 a) a – b b) a+b c) 2a+b d) a e) b 3. Luego de resolver el sistema definido en "x" e "y". a (x + y) + 2 x + 3 y = 32 + 3 ) 3 y − 2 x + a (x + y) = 8 + 3 Indicar el valor de "x" a) 1
b)
2 +1
d) 3
e)
2
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c)
3 –1
4. Encontrar "x" del sistema: 1+1 x .................(1) y= 1−x x 1+1 y .................(2) a= 1−y y a) a d)
b) 1 a
c)
1 a+1
e) –a
1 1−a
5. Resolver: 1 3 =5 + 2x + 3y − 1 x − 2 y + 1 4 4 7 = 1 − 2x + 3y − 1 x − 2 y + 1 4 Hallar: 3x+y a) 2 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
Segundo año de secundaria
133
27
Capítulo
Sistemas de ecuaciones II Lectura: Tres planos y un punto El sistema de ecuaciones está orientado a servir como una introducción operativa, y muy concreta, a los principios, conceptos y métodos básicos e importantes del Álgebra Lineal en general, así como a sus aplicaciones más elementales y directas que permiten estudiar una amplia gama de temas que, en términos matemáticos, pueden modelarse en torno a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Dado esto, los conceptos y métodos de este curso son de extrema importancia en la formación de científicos e ingenieros a nivel universitario, su rango de aplicación es muy grande: comprende desde la investigación científica básica hasta la creación de tecnologías nuevas. Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen una solución (1 caso). Tres planos que se cortan en un punto Fuente: http://2.bp.blogspot.com/YgAY7rFZCl
En este capítulo aprenderemos Sistemas de ecuaciones II .. La definición de sistemas de ecuaciones. .. Clasificación de los sistemas: –– Compatibles (determinadas e indeterminadas) –– Incompatibles. .. Resolución de sistemas lineales
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Álgebra Síntesis teórica
Definición
Solución
Sistemas de Ecuaciones II
Sistemas Equivalentes
Clasificación
Sistema Lineal
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135
27
Capítulo
Saberes previos 1. Resolver las siguiente ecuación: x + 1 = 7 2 2. Seleccione las ecuaciones lineales en: 2 a) 5x+y =1
b) 7x=3y
3. Cuál de las ecuaciones se verifica para x=2 ∧ y=–2 a) 5x – y=8 b) x+y=0 4. Despeje "x" de cada ecuación: a) 3x – y=0 b) x – y+5=0 5. Si x=–5 ∧ y=2 verifican la ecuación: x – 5+2y+7=n. Hallar "n"
Aplica lo comprendido 1. Expresar el sistema en forma canónica: x – 7 = 2y + 3 ........ (I) ) 3x – y + 1 = x + 2y + 9 ........ (II) 2. El conjunto solución {(3; 1)} corresponde a: I) ) x + y = –3 II) ) x + y = 4 x–y=9 x–y=2 3. Para que el sistema: )ax + y = 7 ...... (I) bx + y = 5 ...... (II) tenga solución única. ¿Cuál es la relación de "a" y b"?
4. Hallar "m" para que el sistema: mx + (m + 2) y = 5 ...... (I) ) 3x + 4y = 3 ...... (II) sea incompatible 5. Hallar "a+b" si el sistema ax + 4y = b + 3 ...... (I) ) 3x + 2y = 4 ...... (II) es compatible indeterminado
Aprende más 1. Expresar el sistema en forma canónica. Z x–3 ] 5 +y = 2 [ y+1 ]x+4 – =1 2 3 \ a) ) x + y = 13 3x + 5y = –4
b) ) x + y = 6 x–y=5
c) )3x – 2y = 8 2x + 3y = 9
d) ) x + 5y = 13 3 x – 2 y = –4
e) ) x + 5y = 13 2x – 3y = –4
III) )2x + y = 8 3x – 2y = 2
Colegios
136
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b) II e) II ó III
I) ) x + y = 13 x–y=5
II) )2x + y = 20 3x – 2y = 23
III) )3x + 2y = 35 5x – 3y = 33 ¿Cuáles son equivalentes? a) I y II d) I; II y III
b) I y III e) N.A.
c) II y III
4. Relacionar correctamente:
2. El conjunto solución {(3; 2)} corresponde al sistema: I) ) x + y = 5 II) )5x + y = 17 x–y=3 2x – y = 4
a) I d) I ó II
3. De los siguientes sistemas:
c) III
I) )10x + 6y = 2 5x + 3y = 1
a) Sistema compatible determinado
II) ) x + y = 3 2x + 2y = 1
b) Sistema compatible indeterminado
III) ) x + 2y = 5 2x + y = 7
c) Sistema incompatible
a) Ic,IIa,IIIb d) Ia,IIb,IIIc
b) Ia,IIc,IIIb e) Ib,IIa,IIIc
c) Ib,IIc,IIIa
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Álgebra 5. Colocar un aspa (x) en cada recuadro según corresponda: Sistema de ecuaciones
'
Compatible Determinado Indeterminado
Incompatible
3x + 7y = 12 x+y = 7
'
3x + 4y = 5
'
4x + 7y = 15
c) 5
10. Hallar "m" para que el sistema sea incompatible:
a) 2 d) 16/7
x+y = 4
b) 3 e) 0
c) 4/3
11. Hallar: "–4ab" si se sabe que el sistema:
6x + 8y = 10
(a – 3) x + ay = 12 ...... (I) ) 3x – 5by = 18 ...... (II)
8x + 14y = 19
tiene infinitas soluciones
6. Clasificar los siguientes sistemas: a) )3x + 5y =− 4 6x + 10y =− 8
Rpta: _____________
a) 25 d) 32
b) 20 e) 52
c) 30
12. Si el sistema
b) )mx + (m + 1) y = 10 mx + (m + 1) y = 2
Rpta: _____________
c) )2x − 3y = π − 2x − 3y = 7
Rpta: _____________
(a – 2) x + 3y = 12 ) (2 + a) x – y = 4 es incompatible. Hallar "a" a) 3 d) –3
7. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: • Un sistema compatible indeterminado no tiene solución. • El sistema lineal incompatible tiene más de una solución. • El sistema lineal compatible determinado tiene infinitas soluciones. • Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables puede tener tres soluciones.
c) 10
13. Si el sistema definido en "x" e "y".
)
(n + 2) x + 5y = 10 ) x + (n – 2) y = 2
(
)
es incompatible. Determinar el valor de "n".
(
)
a) –2 d) 3
(
)
(m + 2) x + y = 7 ...... (I) ) 5x + (m – 2) y = 4 ...... (II) sea compatible determinado b) m={2; –2} d) m∈R – {2; –2}
9. Hallar "m" si el sistema: (m – 1) x + 4y = 14 ...... (I) ) 6x + (m + 1) y = 21 ...... (II)
b) –1 e) 5
(
8. Hallar los valores que toma "m" para que el sistema:
a) m∈R c) m∈R – {3; –3} e) m={3; –3}
b) –1 e) 5 y –5
(3 – m) x + 5y = 4 ...... (I) ) 2y – (2 – m) x = 6 ...... (II)
4x + 5y = 9
'
a) –5 d) 1
b) 2 e) c y d
c) –3
14. Si el sistema: )2y = 3 − ax 2y + 1 = (a − 2) x es compatible determinado, determine el valor que no debe tomar "a". a) 3 d) –2
b) 1 e) 20
c) 2
15. Si el sistema: )2y = 3 − (5 + m) x 3y + (3 + m) x = 2 no presenta solución. Halle el valor de "m". a) 9 d) 7
b) 8 e) –9
c) –8
no tiene solución www.trilce.edu.pe
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137
27
Capítulo
Practica en casa 1. Expresar en forma canónica el siguiente sistema: Z 2x – 1 y – 1 ] 3 – 4 =3 [ ]x–4 + y+1= 1 3 \ 2 2. La siguiente gráfica:
• El sistema lineal compatible determinado tiene solución única. • Un sistema es compatible indeterminado, si presenta infinitos conjuntos soluciones. • Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables puede tener dos soluciones. 7. Clasifica los sistemas de ecuaciones marcando en el casillero respectivo con un aspa (x).
(4; 1) corresponde al sistema: I) ) x + y = 5 II) )3x + y = 13 2x – 3y = 2 2x – y = 6 III) )3x – 2y = 10 x+y = 5 3. Cuáles de los siguientes sistemas: I) ) 4x + 3y = 19 II) )5x – y = 18 3x – 2y = 10 3x + y = 14 III) )7x + 2y = 32 2x – y = 6 son equivalentes. 4. Relacionar correctamente: I) )8x + 5y = 3 7x + 3y = 11
a) Sistema incompatible
II) )2x + 3y = 5 4x + 6y = 7
b) Sistema compatible determinado
III) ) 4x + 8y = 9 12x + 24y = 27
c) Sistema compatible indeterminado
5. Clasificar los siguientes sistemas: a) )2x + 7y = 1 5x − 7y =− 1
Rpta: _____________
b) )(m + 1) x + my = 5 (m + 1) x + my = 7
Rpta: _____________
c) )5x + 7y = 1 10x + 14y = 2
Rpta: _____________
6. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Un sistema es incompatible si tiene conjunto solución. Colegios
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Sistema de ecuaciones
'
3x – 4y = 7
'
2x + 2y = 6
Compatible Determinado Indeterminado
Incompatible
4x + 3y = 11 3x + 3y = 9
'
x+y = 2
'
3x + 2y = 4
x+y = 3 4x – 3y = 16
8. Para qué valores de "a" el sistema (a + 1) x + 7y = 13 ........ (I) ) 5x + (a – 1) y = 23 ........ (II) será compatible determinada 9. Hallar "m", si el sistema: (m – 1) x + 3y = 15 ........ (I) ) 4x + my = 20 ........ (II) es incompatible 10. Hallar "n", si el sistema: )(n − 4) x − 7y = n − 11 x + (n + 4) y = 8 no tiene solución 11. Hallar "ab", si el sistema: )(a − 3) x + 9y = 15 4x + (b − 5) y = 20 tiene infinitas soluciones 12. Si el sistema: )(a − 3) x + 4y = 12 (3 + a) x − y = 3 es incompatible. Hallar "a" 13. Si el sistema definido en "x" e "y" ax + 16y = 12 ) x + ay = 3 no tiene solución. Determine el valor de "a". 14. Si el sistema: )(m + 1) x + (n − 2) y =− 15 3x + 2y =− 5 es compatible indeterminado. Hallar "m.n" 15. Si el sistema: ) y (a + 2) = 9 − (a − 1) x 2y =− 3 − x no presenta solución. Hallar el valor de "a". Central: 6198 – 100
Álgebra Tú puedes 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema: a1 + b1y = c1 ) a2 + b2 y = c2 a • es indeterminado, si: 1 = a2
b1 c ! 1 b2 c2 a1 b1 c1 • es incompatible, si: = = a2 b2 c2 a b • es determinado, si: 1 ! 1 a2 b2
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b) –9 e) 16
)
(
)
(
2. Al expresar en forma canónica el sistema: Z ]] x + 1 = y + 2 x –1 y – 2 [ x+y+2 a+3 ]] x + y – 2 = a – 3 \ se obtiene: mx+ny=10 px – qy=0 Calcular: "m+n+p+q+a" a) 8 d) +14
(
c) 10
)
3. Hallar "a" para que el sistema ax – 6y = 5a – 3 ........ (I) ) 2x + (a – 7) y = 29 – 7a ........ (II) sea indeterminado a) 3 d) 9
b) 5 e) –3
c) 7
4. Hallar el valor entero para "m" para que el sistema: (m + m2 + 1) x – 13y = 7 ........ (I) ) 2x + (1 – m) y = 5 ........ (II) sea incompatible a) –3 d) 1
b) –1 e) 3
c) 2
5. Si el sistema definido en "x" e "y": nx + 6y = 12 + x ) x + ny = 4 + 2y es incompatible. Indicar el valor de "n". a) 4 d) a o b
b) –1 c) a y b e) Imposible determinar
Segundo año de secundaria
139
28
Capítulo
Repaso IV Lectura: La evolución matemática en la resolución de sistemas Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema. Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema. Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal en ocasiones elevados, y destinados a la resolución de sistemas de gran dimensión con gran número de ecuaciones que dan lugar, normalmente, al empleo de ordenadores para realizar las operaciones necesarias. FUENTE: http://www.google.com.pe
En este capítulo aprenderemos Repaso IV .. Ecuaciones y sistema de ecuaciones
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Álgebra Aplica lo comprendido 1. Resolver: 7(x−5)−9(x+2)=3(x−1)−6(x+5)
7 (x + 5) − 2 (y + 9) =− 1 7. Resolver: ) 5 (x + 1) + 3 (y + 3) = 10 Determine el valor de "xy"
2. Resolver: (x−1)(x+3)=(x+3)(x−2)+77 Z 12 + 15 =− 3 ] x+1 y−1 8. Resolver: [ 6 − 9 =4 ] x \ +1 y−1 2
3. Resolver: (x+5) +(x−3)(x+3)=2(x+5)(x−1)
4. Resolver: (6x+7)(2x+5)−(3x+4)(4x−7)=14
Indicar el valor de "x−y"
9. Según los gráficos: (x–5)m
Z ] y = 5x − 8 5 ] 5. Resolver: [ ] y 40 − 5x ] = 3 \ Indique el valor de "x"
7x − 3y =− 10 6. Resolver: ) 10x − 3y = 164 Determinar el valor de "x"
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(x–6)m
2(x–8)m El área del cuadrilátero excede al área del 2 triángulo en 57 m . Determine el perímetro del cuadrilátero.
10. En cierto colegio de Lima, sucede lo siguiente: El número de carpetas por aula excede en tres unidades al número de aulas y el número de profesores de dicho centro educativo excede en 7 unidades al número de aulas del colegio. Además, el cuadrado del número de profesores excede en 159 unidades al número de carpetas de todo el colegio. ¿Con cuántos profesores cuenta el colegio?
Segundo año de secundaria
141
28
Capítulo
Aprende más
1. Hallar "x" en: 3(5−(2x−7))=4−(3(1+3x))+2x a) −5 d) −24
b) −7 e) −35
c) −17
2. Hallar "x" en: 4x + x = x + 11 5 4 2 10 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
e indicar el valor de "x" c) 3
3. Resolver: 3x + 5 = 5x + 2 6 4 a) {12} b) {18} c) {36} d) {41} e) {42} 4. Sean: M=3−{x−4(3−x)}−(−x+3) N=4x−2(x−5)−(−2x+7) ¿Para que valor de "x" se da que: M=N a) 0 d) 8 9
b) 9 8 e) 15 8
c) − 9 8
5. Resolver: 5 `x − 1 j + 7 ` x − 1 j = 44 6 3 6 5 7 9 a) 4 d) 10
b) 5 e) 12
c) 6
6. Resolver: (x−1)(x−2)+(x−1)(x−3)=2(x−2)(x−3) a) 1 d) 3 7
b) 6 7 e) 11 3
c) 7 3
7. Resolver para "x": m `1 − m j + n `1 − n j = 1 n x m x b) m+n a) m−n 2 2 2 2 d) m +n c) m −mn+n 2 2 e) m −n 8. Hallar "x" en: x + x + x − 1 = abc − x (a + b + c) ab bc ac a) a + b + c abc d) a − b c
b)
abc a+b+c
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TRILCE
a) 2a d) 2b
b) 3a e) 6a
c) 3b
12. Determine el valor de "m" para que el sistema: mx − 12y = 7 ... (I) tenga solución única. ) 4x − my = 12 ... (II) a) m∈R −{2; −2} c) m=±6 e) m∈R −{4; −4}
b) m∈R d) m∈R −{6; −6}
13. Para qué valor del parámetro "m" el sistema: (2m − 1) x + y = m ... (I) ) x + my = 2m − 1 ... (II) tiene infinitas soluciones. a) –1 d) 1/2
b) 0 e) 1
c) –1/2
14. Dar el valor o valores de "K" que hacen 3x + (K − 1) y = 12 ... (I) que el sistema: ) (K + 6) x + 6y = K ... (II) no admita solución. a) 1; 3 d) 3; –8 15. Del gráfico:
b) 2; 6 e) –8
c) 3
y ax−2by=1 4
Hallar: x/y
Colegios
c) 13
Z x y ] − = 1 ... (I) a b 4 9 6 11. Resolver: [ y x 14 ... (II) ] + = \ 6a 5b 15 Hallar "y"
e) a+b+c
b) 9 e) −4
b) 9 e) 23
a) 5 d) 17
c) ab c
3x − 7y = 38 .... (I) 9. Resolver el sistema: ) 7x + 4y = 48 .... (II) a) −16 d) 7
10. Resolver el sistema: (x − 2) (y + 3) − xy = 29 .... (I) ) (x − 4) (y + 5) − xy = 41 .... (II)
c) −8
3ax+by=4 6
Calcular el valor de "ab a) 1 6 d) 14
b) 3 4 e) 6
x −1
" c) 21 8
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Álgebra Z y ] x + = m + n ... (I) m n m + −n 16. Resolver: [ y ... (II) ] x + = 2m m n \ Hallar "x" a) m(m+n) d) n(m+n)
b) n(m−n) e) mn
c) m(m−n)
17. Repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda? a) $35 d) $10
b) $30 e) $60
c) $20
18. Dividir el número 46 en dos partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10. Hallar o indicar la mayor de las partes. a) 12 d) 24
b) 18 e) 28
c) 22
19. La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cociente es dos y queda un resto de ocho. Determina los números. a) 23 y 15 d) 48 y 10
b) 30 y 68 e) 20 y 58
c) 59 y 21
20. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina: "Libussa" de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteo el siguiente problema: ¿Cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella saco la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente, para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto quedó vacío, decir cuántas ciruelas tenía el canasto? a) 38 d) 48
b) 28 e) 24
c) 18
Practica en casa 1. Hallar "x" en: 5{x−[−5+2x]}=3−{4(x−5)} 2. Hallar "x" en: 6 − 2x + x = 2x + 2 + 1 3 5 3. Resolver: x − 20 + x − 30 + x − 40 = 3 70 60 50 2
tenga solución única.
2
2
3
3
4. Hallar "x" en: 2(x−4) −(x−2) =(x−8)
5. Hallar "x" en: 6x(x−3)=(x+1) −(x−1) 6. Luego de resolver el sistema: 7x − 5y = 76 ... (I) ) 6x + 7y = 20 ... (II) Hallar: "x+y" 7. Resolver el sistema: (x + 5) (y + 4) = xy + 19 ... (I) ) (x + 4) (y + 5) = xy + 12 ... (II) Indicar: "xy"
8. Hallar: "m×n" para que el sistema de ecuaciones: (m − 1) x + (n + 9) y = − 1 ) 2mx − ny = 62 Admita como solución: x=5; y=9 9. Hallar "K" si el sistema: (K − 4) x − 7y = K − 11 ... (I) ) x + (K + 4) y = 2 ... (II)
10. Calcular "K" para que el sistema: (1 + K) x − 3y = K ) (3 − K) x + 2y = 4 11. Determine los valores de "a" y "b" tal que el ax + by = a ... (I) sistema: ) 2 (b − 2a + 12) x + y = 3 ... (II) tenga infinita soluciones, además: ab!0 dar como respuesta: "a+b" 12. Dos números consecutivos son tales que un cuarto del menor excede a un quinto del mayor en 1, encontrar los números. 13. De un cierto número de fichas se toman 3 y el resto se divide por 4; el cociente se aumenta en 4 se divide por 5 y el resultado es 2. Hallar el número de fichas. 14. Encontrar tres números consecutivos tales que si ellos son divididos por 10, 17 y 26 respectivamente, la suma de sus cocientes es 10. 15. Pagamos S/. 38 por un libro, un cuaderno y un lapicero. El precio del cuaderno es un quinto del precio del libro. El lapicero cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el libro?
no tiene solución.
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Segundo año de secundaria
143
28
Capítulo
Tú puedes Z 7 − 9 =2 ] 2x − 1 3 y − 1 4. Resolver: [ 2x + 16 =− 10 ] 27 \ 9y − 15
1. En la siguiente ecuación: 1 1 1 1x − 1 − 1 − 1 = 1 j B . 3 $ 3 83 ` 3 Hallar el valor de "x" a) 27 d) 121
b) 81 e) 360
c) 120
2. Resolver la ecuación: x + a + x − a = x + b + 2 (x − b) , a ! b a−b a+b a+b a−b a) b d) 4b
b) 2b e) 6b
Determine "xy" a) –2
b) 3 2
d) 8
e) –1
5. Del gráfico:
Colegios
144
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b) n + c a c n − e) a+ b
c) b + c a
y=bx+3
y
c) 3b
a
3. En una fiesta, Isabel juega el "tiro al blanco" con la condición de que por cada uno que acierte recibirá "a" soles pagará "b" soles por cada uno de los que falle. Después de "n" tiros ha recibido "c" soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco? a) bn + c a+b d) c a+ b
c) 4
1
x 2y + 6x =b 4
Determinar: " a + b " a−b a) 18 d) 20
b) 5 e) –10
c) 2
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Capítulo
29
Sistemas de ecuaciones III
Lectura: Aplicación en la vida cotidiana de las ecuaciones Al pasar el tiempo los sistemas de ecuaciones no solo han servido para resolver problemas matemáticos, sino también problemas o situaciones cotidianas, desde una perspectiva científica o también aplicando resoluciones
matemáticas,
como
por
ejemplo en una granja donde hay conejos y pollos se puede hallar la cantidad de cada animal simplemente sabiendo el total de cabezas y de patas.
FUENTE: http://www.keywordpicture.com
En este capítulo aprenderemos Sistemas de ecuaciones III .. Problemas de sistemas lineales con 2 incógnitas –– Planteamiento de ecuaciones.
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Segundo año de secundaria
145
29
Capítulo
Saberes previos
1. Representar algebraicamente: "Los dos tercios de mi edad excede a tu edad en un año".
4. Representar simbólicamente: "Hace doce años nuestras edades sumaban la tercera parte de la diferencia del doble de mi edad y el triple de la tuya".
2. Representar simbólicamente: "La mitad de la diferencia de nuestras edades equivale al doble de tu edad disminuido en quince años". 5. Despejar "a" en función de "b" y "c" 17a−7(a−b+2c)=9b−11(c−2b) 3. Representar algebraicamente: "El quíntuplo de la diferencia de dos números equivale a la tercera parte de la suma de dichos números".
Aplica lo comprendido 1. La suma de dos números es 24 y su diferencia es 16 . Hallar dichos números.
4. Hallar una fracción sabiendo que si se aumenta al numerador y al denominador 3 unidades se obtiene 2/3 y si ambos se disminuyen en 2 unidades resulta 1/2.
2. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercero de su diferencia es 4. Hallar los números. 5. Dos cuadernos y tres lapiceros cuestan S/. 20 y tres cuadernos y dos lapiceros cuestan S/. 25. Hallar el precio del cuaderno y del lapicero. 3. Hallar dos números sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21 y que si este último se suma con el doble del primero resulta 18.
Colegios
146
TRILCE
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Álgebra Aprende más 1. La suma de dos números es 120 y su diferencia es 36. Hallar dichos números. a) 80 y 40 b) 86 y 34 c) 78 y 42 d) 68 y 52 e) 82 y 46 2. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan 31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos lapiceros y tres cuadernos? a) S/.18 d) S/.15
b) S/.24 e) S/.19
c) S/.17
3. Con S/.68 se compran 3 melones y 4 sandías pero faltaría S/.4 para comprar un melón mas y una sandía menos, ¿cuál es el precio de una sandía? a) S/.15 b) S/.13 c) S/.12 d) S/.8 e) S/.6 4. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años. ¿Cuál es la edad del mayor? a) 18 años b) 20 años c) 21 años d) 22 años e) 25 años 5. La suma de las edades de Pedro y Luis en 1960 era los 5/7 de la suma de las edades de ambos en 1970. En 1980, la edad de Pedro era la mitad de la edad de Luis. ¿En qué año nació Luis? a) 1916 b) 1918 c) 1920 d) 1921 e) 1924 6. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si el triple de uno de los lados congruentes excede al doble del lado desigual en 2 cm. ¿Cuánto vale el lado desigual? a) 6 cm b) 5 cm c) 3 cm d) 2 cm e) 1 cm 7. La relación de los lados de un cuadrado y un triángulo equilátero es de 7 a 5. La diferencia de sus perímetros es de 130 cm. Determine la diferencia de las longitudes de sus lados. a) 10 cm b) 17 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 30 cm 8. Un hombre y un niño hacen varios viajes juntos, llevando manzanas del campo a la casa. En cada viaje el hombre lleva 35 kg y el niño 15 kg. Transportando en total 650 kg, ¿cuánto habrá llevado cada uno, sabiendo que hacen el mismo número de viajes. a) 455 y 195 kg c) 475 y 175 kg e) 425 y 225 kg
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b) 375 y 275 kg d) 385 y 265 kg
9. En un depósito hay 40 celulares, de los cuales, algunos tienen 16 teclas y otros 20 teclas, la cantidad de teclas entre los 40 celulares es de 696. ¿Cuántos celulares de 20 teclas y cuántos de 16 teclas hay? a) 28 y 12 b) 22 y 18 c) 26 y 14 d) 17 y 23 e) 24 y 16 10. Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de las patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero? a) 221 y 109 b) 220 y 110 c) 222 y 108 d) 223 y 107 e) 224 y 106 11. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km por hora en carretera y a 24 km por hora en ciudad, su tiempo diario de manejo sobre un recorrido de 330 km fue de 7 horas. ¿Cuánto tiempo condujo sobre carretera? a) 2,5 h d) 4,5 h
b) 5,5 h e) 3,5 h
c) 1,5 h
12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos (numerador y denominador) se les suma dos, se obtiene un fracción equivalente a 7 , pero si 9 se les resta dos a ambos términos de la fracción original se obtiene una fracción equivalente a 3 . 5 a) 5 b) 2 c) 5 2 7 7 4 11 d) e) 9 7 13. Dos cilindros contienen un total de 85 galones de gasolina. Si del primero gasto la tercera parte y del segundo los 4 de su contenido, en el primer 5 cilindro quedarían 35 galones de gasolina más que en el segundo cilindro. Halla la cantidad de galones que contiene cada cilindro. a) 25 y 50 b) 60 y 25 c) 90 y 30 d) 50 y 40 e) 80 y 35 14. ¿Qué hora es? le pregunta Renzo a Mirko. Mirko le responde: Quedan del día 8 horas menos que las transcurridas. Decir: 'Qué hora es? a) 2 pm b) 4 pm c) 6 pm d) 8 pm e) 10 pm 15. Son más de las 3 sin ser 4 de esta madrugada pero dentro de 50' faltaran para las 5 a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde las 2 hasta hace 50', ¿qué hora es? a) 3:10 d) 3:40
b) 3:20 e) 3:50
c) 3:30
Segundo año de secundaria
147
29
Capítulo
Practica en casa
1. La suma de dos números es 116 y su diferencia es 42. Hallar dichos números.
10. Un tren sale de la ciudad de Chiclayo rumbo al este a 30 km/h. Dos horas más tarde, otro
2. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles,
tren sale a 45 km/h de la misma ciudad y en la
mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130
misma dirección sobre una vía paralela. ¿A qué
soles. ¿Cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa?
distancia de la ciudad dará alcance el segundo
3. Con 205 soles se compran 4 pelotas y 3 muñecas, pero faltaría 25 soles para comprar una pelota más y una muñeca menos. ¿Cuál es el precio de una muñeca?
tren al primero? 11. Una familia compuesta de 9 miembros entre adultos y niños asisten a un espectáculo por el que un adulto paga S/. 7 y un niño paga S/. 3. Si
4. La edad de dos hermanos suman 45 años. Si dentro de 20 años la edad de uno de ellos será el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años. Determine la diferencia de las edades de dichos hermanos.
el papá invirtió S/. 43 por este buen espectáculo. ¿Cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia? 12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos
tendría el cuádruplo de la de su hijo.
(numerador y denominador) se les suma 3, se obtiene una fracción equivalente a 7 pero si 6 se les resta 2 a ambos términos de la fracción
Hallar el promedio de las edades de ambos.
original se obtiene una fracción equivalente a 2.
5. La edad de un padre es el doble de la de su hijo. Si ambos tuvieran 20 años menos, el padre
6. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a 38 cm. Si el quíntuplo del lado desigual excede al doble de unos de los lados congruentes en 10 cm. Determine la longitud del lado desigual. 7. La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más que uno de los lados. Calcular
las
dimensiones
del
rectángulo,
sabiendo que su perímetro es de 14 cm.
13. Los cilindros contienen un total de 78 galones de gasolina. Si del primero gastó la mitad y del segundo los 3 de su contenido, en el primer 7 cilindro quedarían 9 galones de gasolina más que en el segundo. Halla la cantidad de galones que contiene cada cilindro. 14. Un alumno le dice a su amiga, cuando la suma
8. En un corral el número de patos excede en 4 al
de las cifras de las horas transcurridas sea igual
número de conejos. Además el número de patas
a las horas por transcurrir te espero donde ya tu
excede al número de cabezas en 24. ¿Cuántos
sabes. ¿A qué hora es la cita?
conejos hay?
15. Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada,
9. Un comerciante empleó 6720 nuevos soles en
pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4
comprar trajes a 375 nuevos soles y sombreros a
a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde la
45. Si la suma del número de trajes y el número de sombreros que compró es 54. ¿Cuántos trajes
1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?
compró y cuántos sombreros?
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148
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Álgebra Tú puedes 1. Si se pasara una moneda de la mano izquierda a la derecha, se tendría el mismo número de monedas en ambas manos, pero si se realizará la operación inversa, se tendría el doble número de monedas en la mano izquierda. ¿Cuántas monedas tengo en total? a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
en 6 cm a un tercio de la parte menor. ¿Cuánto mide la parte mayor? a) 72 cm d) 78 cm
b) 74 cm e) 80 cm
c) 76 cm
el para confundirlo le dice: Son más de las tres pero aun no son las cuatro. Si los minutos transcurridos desde las tres es dos veces más que lo que faltan transcurrir para que sean las cuatro. Si dio la hora exacta, ¿cuál es su respuesta?
Rpta: 3. Una persona compra objetos al precio de S/.48 y S/.42 pero no recuerda cuantas compró de S/.48 ni de S/.42, solamente recuerda que gasto S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 no llega a diez. ¿Cuántos objetos de S/.48 compró?
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resulta que un sexto de la parte mayor excede
5. Mathias le pregunta la hora a su tío Paolo y
2. Hace "n" años el promedio de tu edad y la mía era de "7n" años. Si dentro de "2n" años mi edad excederá a la que tu tenías hace "2n" años en "10n" años. ¿Qué edad tenías hace "4n" años?. Siendo n∈Z ∧ n≥1
a) 4 d) 9
4. Al dividir una varilla de 90 cm en dos partes
b) 6 e) 5
a) 3:43 d) 3:45
b) 3:42 e) 3:56
c) 3:50
c) 7
Segundo año de secundaria
149
30
Capítulo
Desigualdades Lectura: La desigualdad, una forma de comparar números Los seres humanos son especie donde todos son diferentes por uno u otro motivo no hay ser humano que sea igual que otro. Nos diferenciamos uno del otro por la estatura, el peso, el ADN, el cabello, ... etc. Así como entre todos nosotros hay diferencia y por lo tanto una desigualdad, en las matemáticas sucede lo mismo no hay un número que sea igual a otro pueden ser mayor, mayor igual, menor o menor igual, por ejemplo si comparamos el 2 y −2 podemos obtener una desigualdad ya que 2 es mayor igual que −2. FUENTE: http://panoramadiario.com
>-
En este capítulo aprenderemos Desigualdades .. La definición de desigualdad, su notación y su aplicación. .. Las propiedades básicas de las desigualdades.
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Álgebra Síntesis teórica
Desigualdades
Definición
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Propiedades
Segundo año de secundaria
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30
Capítulo
Saberes previos
1. Ordene de mayor a menor los siguientes números.
4
−3
0
−1
7
9
2. Ordene de mayor a menor los siguientes números. −1 2
−1
0
4 3
1
−7 5
1 2
4. Ordene de menor a mayor los siguientes números: 7
−1
0
2
4
− 3
−3
5. Entre que número enteros se encuentran los siguientes números racionales fraccionarios:
....
2 3
....
.... − 1 .... 5
3. Entre que números enteros se encuentran los siguientes números irracionales.
....
....
5
.... − 11 .... ....
p
....
Aplica lo comprendido 1. Completa las siguientes proposiciones correctamente, según corresponda. (>, = , <) a) 5
1
b) −7
−10
c) 2 3
23 31
d)
3+1
16
4. Completa las siguientes proposiciones: a) Si "a" es un número positivo entonces _______________________. b) Si "a" es un número negativo entonces _______________________.
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones: ..........(
)
5 b) 2 H6×5+2 ..........(
)
a) 40G43−3 2
..........(
)
3
..........(
)
c) 7×4H5 2
d) 10 G3
Colegios
152
TRILCE
3. Completa las siguientes proposiciones: a) La desigualdad 5>2 tiene el mismo significado que: ______________________. b) La desigualdad xH4 tiene el mismo significado que: ______________ o _______________.
5. Completa: a) 4Gx ∧ xG9 entonces: ___________________. b) xH8 ∧ x<11 entonces: _________________.
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Álgebra Aprende más 10. Si: −1Gm−3<2 Indicar el intervalo de: H=
1. Si: −2Gx<3 Indicar el intervalo de: E=x+7 a) 5<E<10 d) 9GE<10
b) 5<EG10 e) 5GE<8
c) 5GE<10
2. Si: −1<xG6 Indicar el intervalo de: M=x−8 a) −7<MG−2 c) −9<MG−2 e) −9<MG−6
b) −8<MG−2 d) −9<MG−3
3. Si: −4<xG3 Indicar el intervalo de: N=3x+2 a) −10<NG11 c) −10<NG10 e) −10<NG9
b) −9<NG10 d) −10<NG2
4. Si: 3<xG5 Indicar el intervalo de: P=−x+5 a) 0<P<2 c) −2GP<0 e) −3GP<0
b) 0GP<2 d) −2<PG0
b) −17<SG−13 d) −12GS<14
b) −40GHG115 d) −50GHG175
b) 5<y<8 e) 5<y<9
c) 6<y<9
8. Cuántos números enteros: H(x)=8−x existen; si se sabe que: 1<xG3 a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
9. Si: 1<x<5 Indicar el intervalo de: P= 1 x a) 1/5<P<2 b) 1/5<P<1 c) 1<P<5 d) 1/5<PG1 e) 2<P<4
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a) 1/5<M<2/3 c) 1/5GM<2/3 e) 1/5GM<2/3
b) 1/5<MG2/3 d) 1/5GMG2/3
12. Sea "x" la temperatura del departamento de Puno; esta cumple simultáneamente con las siguientes condiciones: x>1 y x<5. Se sabe por otro lado que por razones geográficas la temperatura de la capital depende de la función: P(x)= 3 2x + 1
a) 4/5<P<11/3 c) 1<P<11/3 e) 2/5<P<1
b) 2/17<P<1/5 d) 3/11<P<1
Indicar el intervalo de: F= 52 7 − 3x
7. Si: −1<11−2x<1 Indicar el intervalo de: y=3x−10 a) 2<y<7 d) 4<y<10
11. Si: −3<xG4 Indicar el intervalo de: M= 2 7−x
13. Si: −2<xG1
6. Si: −70G2xG20 Indicar el intervalo de: H=−3x a) −20GHG95 c) −30GHG105 e) −40GHG105
b) 1/9<HG1/6 d) 5GH<9
¿Cuál es el intervalo de variación de la temperatura de la capital?
5. Si: 4Gx<5 Indicar el intervalo de: S=3−4x a) −10<SG−3 c) −16<SG−13 e) −9GS<−4
a) 1/9<HG1/5 c) 1/9GH<1/4 e) 1/9<H<1/7
1 4+m
a) 4<FG12 c) 4<FG11 e) 3GF<14
b) 4<FG13 d) 4<F<13
14. Si: 2GxG5, indique la suma del mayor y menor valor que toma la expresión: x + 3 . x−1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7 15. Si: 4G x + 7 G13 x−5 Indicar el intervalo de "x" a) 1<xG4 d) 7GxG9
b) 6Gx<13 e) 4GxG8
c) 6GxG9
Segundo año de secundaria
153
30
Capítulo
Practica en casa
1. Si a>b, indicar verdadero (V) o falso (F) I. a+c>b+c II. 2a>a+b 2 III. a >ab 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: −1 −1/4<x <−1/3 ( ) si −3<x<−4 −1 2<x <5 ( ) si −5<x<−2 −1 0Gx <49 ( ) si −7<x<5
6. Si: (3x) ∈ <−60; 30> Indicar el intervalo de: a) P(x)=−5x b) Q(x)=700−25x 7. Si: (19−5x) ∈ <−21; 39] Además: (3x+7) ∈ [a; b> Hallar: "a+b" 8. Si x∈ <2; 3> entonces: ¿A qué intervalo pertenece:
3. Si: x−y>x ∧ x+y<y indicar, ¿cuántas de las afirmaciones son verdaderas?
9. Si: x∈ <0; 3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece: 4 ? 2x + 5
I. y<x II. x<y<0 III. xy>0 IV. xy<0 2 3 V. x >y 4. Si x∈<−3; 4] Determinar el intervalo de cada una de la siguientes expresiones: a) P(x)=2x+1 b) Q(x)=7x−11 5. Si: (3x−5) ∈ [4; 10> Determinar el intervalo de cada una de las siguientes expresiones: a) P(x)=10+2x b) Q(x)=2(x−11)
4 ? 2 − 3x
10. Si: x∈ <−4; −3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece: 4x + 13 ? x+ 3 11. Si: 2 G 4x + 3 G 3, entonces, ¿a qué intervalo x+ 2 pertenece x? 12. Si: x∈ <−3; 2> Hallar el intervalo de: "3x+5" 13. Si: x∈ <3; 8> Hallar el intervalo de: 2−5x 14. Si: 2x+1 ∈<3; 7> Hallar el intervalo de: 3x+7 15. Si: 3x−2 ∈ <−8; 7> Hallar el intervalo de: 4−x
Tú puedes 1. Si: a>b>0, hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. I.
b > a+b a+b a
III.
a2 + b2 > a
a) VFVV d) FVFV
2
2
II. a +b <2ab IV. ` a j − 1 < c b m − 1 b a b) VFVF e) FFVV
c) FFVF
2. Si: (3x−a+b) ∈ [2a+b; 4b−a>; a<0<b Además: F(x)=abx y F(x) ∈ <N; P] Determine el valor de " P " N a) a
b) b
e) 1 d) b a 3. Si x∈ <−2; 1], entonces: ¿A qué intervalo pertenece: Colegios
154
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c) a b
5 ? 2 − 3x
a) <0; 1> b) <−∞; 1> ∨ [2; +∞> c) <−∞; − 5 > ∨ [5; +∞> 8 d) < −∞; −5] ∨ < 5 ; +∞> 8 e) <−5; 5 > 8
4. Si: x∈ [1; 4] y se sabe que: m G x + 4 G n x+3 Calcular: "m+n" a) 13/7 d) 67/28
b) 19/28 e) 65/68
c) 17/4
5. Si: x + 7 ∈ [4; 13] x−5 2
Hallar el intervalo de: x −14x+46 a) [−5; 7> d) [−5; 25]
b) [−3; 25] e) <−1; 17]
c) [−3; 1]
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Capítulo
31
Intervalos Lectura: La música y los símbolos matemáticos Intervalo se refiere a aquel espacio o distancia que media entre dos momentos o entre dos puntos, según corresponda la situación. En tanto, será en la música, en la matemática y en el teatro donde mayormente uno se puede encontrar con el empleo de este término de manera regular. Porque para la matemática un intervalo será todo un subconjunto conexo de la recta real. Para representar a los mismos, generalmente se usan dos tipo de notaciones: a y b con el signo del corchete. Por otra parte, en la música se llama intervalo a la diferencia de altura (frecuencia) que puede darse entre dos notas musicales y que es medida cuantitativamente en grados o notas naturales y en términos cualitativos a través de semitonos. FUENTE: http//bach2411111.blogcindario.com
En este capítulo aprenderemos Intervalos .. La ubicación de los números en la recta numérica. .. Entender y representar intervalos: –– Intervalos abiertos –– Intervalos cerrados –– Intervalos semi abiertos –– Intervalos infinitos .. Intersección y unión de conjuntos en la recta numérica.
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Segundo año de secundaria
155
31
Capítulo
Síntesis teórica
Intervalos Abierto
Recta
Tipos
Numérica
Cerrado
Infinitos Intersección y unión
Colegios
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TRILCE
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Álgebra Saberes previos 1. Indique el intervalo haciendo el uso de los símbolos de desigualdad que represente a todos los números "x" entre −2 y 5.
2. Ordene los siguientes números reales: −7; −3; 0; 4; 3 ; −2; 2; −5
4. Si se tiene el conjunto: A={3, 5, 7} y B={−3, 3, 8} Dar la suma de elementos del conjunto A∪B
5. Si se tienen los conjuntos: A={3, 5, 8, 12} B={−7, −1, 5, 8, 14} Hallar la suma de elementos del conjunto A∩B.
3. Si: a=−7 y b=5 donde a<xGb ¿Cuántos números enteros toma "x"?
Aplica lo comprendido 1. Representa gráficamente lo siguiente: a) x<−7
3. Del siguiente gráfico:
B
A −7
−2 6
10
¿Qué intervalo entre A y B, representa el área sombreada? b) xH4
2. Represente gráficamente lo siguiente: a) −5<xG1
4. Si: A=<−3; 2], B=<0; +∞> Determine: a) A∪B
b) A∩B
b) x∈[−2; 3] 5. Si: A=<−2; 5]∪<7; +∞>, B=<−1; 9] Determine: A∩B
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Segundo año de secundaria
157
31
Capítulo
Aprende más 1. Indique verdadero (V) o falso (F) I. En el intervalo [−3; −1] existen tres valores enteros. II. El mayor valor en el intervalo <−4; 3> es 3. III. La suma de todos los elementos enteros del intervalo <−2; 4> es 5. a) VVF d) FFV
b) VFV e) FFF
2. La representación intervalo:
−∞ a) <2; 5] d) <2; 5>
c) VFF
gráfica
corresponde
b) <3; 4> e) <2; 5]
c) <3; 6>
3. Representar gráficamente y relacionar:
I. [1; 4]
A. −∞ −1
II. <1; 5>
B. −∞
III. −1Gx<4
C.
D.
IV. x>5
−∞
−∞
a) IA, IIB, IIIC, IVD c) IB, IIC, IIID, IVA e) ID, IIA, IIID, IVC
+∞
4
+∞
5
1
+∞
5
4
1
+∞
b) ID, IIC, IIIA, IVB d) ID, IIC, IIIB, IVA
c)
7
8
3
8
b)
−3
8
5. Si: (x+7)∈<−3; ∞>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "2x−1" a) c) Colegios
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TRILCE
−21
c)
−1
7
7. Si: (1−x)∈<−3; 7>, entonces representar 2 gráficamente el intervalo de: "x −10"
−10
26
−10
26
c)
b)
26
10
8. Dados los conjuntos: A=<−5; 8>; B=<3; 11] Determinar cuántos números enteros hay en: A∪B. a) 13 d) 16
b) 14 e) 17
c) 15
9. Dados los conjuntos: M=<−3; 8>; N=<5; 10]; P=<−6; 1]. Determinar "a × b". Si M∪N∪P ∈ <a; b] a) −30 d) −18
b) −40 e) 18
c) −60
10. Si: A=<−8; 2]; B=<−5; 10]; C=<7; 14] Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres conjuntos se representa de la forma:
A −∞ m
n
C
B p
q
r
s +∞
Hallar: (m+s)+np+r−q
4. Si: x∈<−2; 3], entonces representar gráficamente el intervalo de: "x+5" a)
b)
5
a)
a)
+∞
5
2
al
6. Si: (2x−1)∈<−∞; −7], entonces representar 2 gráficamente el intervalo de: x −10
b)
a) −5 d) 7
b) −3 e) 17
c) −1
11. Si A=<−10; 4] ∪ <0; 6> B=<−∞; 0> ∪ [2; +∞> Hallar: "A∪B" a) <−10; 6> b) <−10; 0>∪<2; 6> c) <−∞; −10>∪<6; +∞> d) B e) R
−21
−21 Central: 6198 – 100
Álgebra 12. En cada caso halla A∩B
B
A a) −∞ 2
13. Dados los conjuntos: M=<−3; 2] A=[−1; 0] T=[0; 3]
4
5
+∞
9
B
A b) −∞ −1
3
7 4
A c) −∞
B
2
e) −∞
−2
2
5
b) A∩T
d) M∩S
e) M∩A∩T∩ ∩S
+∞
+∞
a) 0 d) 3
II. A∩C= IV. B∩C=[5; 7]
b) 1 e) 4
c) 2
15. Se dan los conjuntos en R : A=<−2; 9>−{3} B=<4; 8>−{5} C=[−3; 6>∪{7} Hallar: a) A∩B d) A∩B∩C
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c) A∩T∩
14. Sean los intervalos: A=[−1; 4] B=<2; 7] C=[5; 9] ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? III. A∩B∩C=
B 1
a) M∩A
I. A∩B=<2; 4>
B
−3 −1 A
+∞
9
A d) −∞
+∞
=<−3; 0] S=[−2; 2] Hallar:
b) A∩C
c) B∩C
Segundo año de secundaria
159
31
Capítulo
Practica en casa 1. Indique verdadero (V) o falso (F): I. En el intervalo [−2; 3] existen cinco valores enteros. II. El menor valor en el intervalo [−4; 2> es −4. III. La suma de todos los elementos enteros del intervalo <−3; 5> es 4. 2. Indicar a que intervalo corresponde el siguiente gráfico:
−∞
A. −∞
II. <2; 5]
2
5
B. −∞
III. −1<xG3
C.
IV. x<2
D.
+∞ +∞
2
−∞ −1
2
+∞
−∞ −1
3
+∞
4. Si: x∈ [−3; 2>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "x−5" 5. Si: (x+10) ∈ <2; ∞>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "3x−2" 6. Si: (5x−17) ∈ <−∞; −37], entonces representar gráficamente el intervalo de: "1−3x" 7. Si: (−2x) ∈ <−6; 8], entonces representar 2 gráficamente el intervalo de: "x +10" 8. Dados los conjuntos: A=<−7; 5>; B=<2; 8] determinar el número de cantidades entera que hay en: A∪B. 9. Dados los conjuntos: A=<−5; 6>, B=<3; 7], C=<−8; 8]; determine "a+b". Si: A∪B∪C ∈ <a; b] 10. Si: A=<−6; 4], B=<−3; 12], C=<9; 16] Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres conjuntos esta representada por:
−∞
a
b
c
d
Hallar: (a+c)+(f.e)+(d+b) 11. Si: P=<−12; 2]∪<5; 8> Q=<−6; 7>∪[4; 15> Hallar: "P∪Q" Colegios
160
TRILCE
e
B
a) −∞ −4 −2 1
b) −∞ −7 −2
f
+∞
c) −∞
d) −∞
5 +∞
B
A
B −3
1
A e) −∞
+∞
8
−5
A
5 8 +∞
B
A
3. Relacionar cada intervalo según corresponda: I. [−1; 2>
A
+∞
3
−2
12. En cada caso hallar A∩B
B
6
−2 1
+∞
+∞
13. Dados los conjuntos: M=<−3; 1] A=[1; 7] T=<7; 13> =<8; 13> S=<−2; 6] Hallar: a) M∩A
b) A∩S
d) A∩T∩ ∩S
e) M∩A∩T∩ ∩S
c) A∩T∩
14. Sean los intervalos: A=<−3; −2> B=[−1; 2> C=<−2; 5] ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. A∩B=[−2; −1> II. A∩C={−2} III. B∩C=<−1; 2> IV. A∩B∩C= 15. Se dan los conjuntos en R A=<−4; 7>−{0} B=<−2; 8>∪{3} C=<−1; 6>−{3} Hallar: a) A∩B b) B∩C c) A∩C d) A∩B∩C
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Álgebra Tú puedes 1. De los siguientes enunciados: I. A=[−1; 2]∪<12; 20>; B=<−∞; −8]∪[5; 9> → A∩B=ø II. A=<−∞; −5>∪<6; 10]; B=<−5; −1]∪<2; +∞] → A∩B=<6; 10] III. A=[−6; −1]∪<3; +∞>; B=<−∞; 2>∪<5; 9] → A∩B=<−6; −1] Son verdaderos: a) Sólo I d) I y II
b) Sólo II e) I, II y III
c) Sólo III
2. Si: (1−2x) ∈ <2b+1; 1−6a] Además, el intervalo de "x", está representado gráficamente por: b−9 3
4 − 7a 2
4. Sean los intervalos: A=<−1; 3]∪[5; 7> B=<−2; 2>∪<5; 6] C=<−3; 1]∪[6; 8> ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. A∩B=<−1; 2>∪<5; 6] II. A∩C=<−3; 1]∪[5; 7> III. B∩C=<−2; 1]∪<5; 8] IV. A∩B∩C=<−1; 1]∪{6} a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
5. Sean los intervalos: A=<−3; 4]∪[7; 9> B=<−3; 1>∪<6; 8] C=<−4; 0>∪<7; 11> Hallar: I. (A∪B)∩(B∪C)
Determinar:"a+b" a) −11 d) 10
b) 7 c) 0 e) Imposible determinar
II. (A∪B)∩(A∩C)
3. Sean los conjuntos en R A=<−3; 8>; B=<−∞; 3]; C=[6; +∞> Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. (A∪B)∩C=<−∞; 7]...........................( II. (A∩C)∪B=<−∞; −3>∪<6; 8>.....( III. (C−A)=[8; +∞>............................... ( IV. A'=<−∞; −3]∪[8; +∞>..................( a) VFFV d) FFVF
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b) FVFV e) VVFV
) ) ) )
III. A∩B
IV. B∩C
c) FFVV
Segundo año de secundaria
161
32
Capítulo
Inecuaciones I Lectura: Las inecuaciones y la interpretación de resultados Al terminar los temas de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades e intervalos entramos al mundo de las inecuaciones y podemos introducir el tema aprendiendo a diferenciar ecuaciones de inecuaciones. Porque lo primero que nos preguntamos al ingresar a este tema es cuál es la diferencia y la respuesta es muy simple que las ecuaciones son igualdades donde obtendrás valores exactos; ejemplo: ecuación lineal obtendrás una solución, ecuación cuadrática obtendrás dos soluciones y así sucesivamente, mientras, que las inecuaciones son desigualdades y no importa el grado porque siempre obtendremos un intervalo de resultados. Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_V_g3inTTPu4/SFqd9iQBI
En este capítulo aprenderemos Inecuaciones I .. La definición de inecuación. .. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución. .. Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución.
Colegios
162
TRILCE
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Álgebra Síntesis teórica
Inecuaciones I
Definición
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De primer grado, con una incógnita
Sistemas de inecuaciones de 1er Grado con una incógnita
Segundo año de secundaria
163
32
Capítulo
Saberes previos
1. Expresar de manera simbólica:
c) La quinta parte de "x" menor o igual que 3
4. Simboliza las siguientes proposiciones: a) 5 es menor que 15 .................. b) 3 es mayor que 1 .................. c) "x" es un número positivo .................. d) "y" es un número negativo ..................
d) Los tres medios de un número "Z" es mayor
5. Expresar simbólicamente las siguientes gráficas
a) Un número "x" menor que 8 b) El duplo de "x" mayor o igual que 32
que 15 2. Expresar el conjunto solución de cada caso del problema anterior, usando notación de intervalo. 3. Resolver cada caso indicando su conjunto numérico. a) Si: x∈ N ; x+3<7 b) Si: x∈ Z+ ; 2x – 3≤7 c) Si: x∈ Z- ; 5x>–25
a)
b)
c)
x –∞
3
5
+∞
x –∞
3
+∞
x –∞
7
+∞
Aplica lo comprendido 1. Determine el intervalo solución de: a) 1 – x<x – 1 b) 2(x – 1) – 3(x+1)≥0 2. Indique el intervalo solución de: a) 2x − 1 > 1 b) 2 − x # 1 3 4 8 6 3. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones. 2 2 a) (x – 3) >(x+2) b) (x+7)(x – 2)≤(x+6)(x – 2)
4. Graficar la solución de cada uno de los siguientes sistemas. Z 2x −1 < 1 ] b) [ 3 a) '2x − 1 # − 7 x + 1 > − 10 ] 3x + 1 # 10 \ 2 5. Resolver en Z 7(x – 1)+10 ≤ 5(x+2) – 13 < 6(x+1) Determine el producto del máximo y mínimo valor que asume "x".
Aprende más 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si 2x – 1>5 → x ∈<3; ∞> II. Si 3x+1≥7 → x ∈ [2; ∞> III. Si 5 – 2x≥7 → x ∈ [–1; ∞> a) VVV d) VFF
b) VVF e) FVF
c) VFV
2. De las siguientes proposiciones: I. 5<x+2<9 → x ∈<3; 7> II. 1≤x – 3<2 → x ∈ [4; 5> III. 1< 2x + 1 ≤5 → x ∈<1; 7> 3 IV. –1< 1 − x <3 → x ∈<–5; 3> 2 ¿Cuántas son verdaderas? a) 4 d) 1 Colegios
164
TRILCE
b) 3 e) ninguna
c) 2
3. Indicar verdadero o falso según corresponda: I. x+1>–5 → x ∈<–∞; –6> II. –3x – 1<5 → x ∈<–∞; –2> III. –2x+1>5 → x<–2 a) VVV d) FFV
b) FFF e) FVF
c) VFV
4. Resolver: 5(2x–1)–3(3x+1)≤7(2x+1)–5(3x–1) Indicar el mayor valor que puede tomar la incógnita. a) –9 d) 9
b) 10 e) N.A.
c) 11
5. Resolver: 2x + 1 − 3x + 1 > x − 1 − 2x + 1 3 2 6 4 Indicar el intervalo solución: a) [1; ∞>
b) − 3; 1 2
d) <–∞; 1>
e) − 3; − 1 2
c) 8 1 ; 3 2
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Álgebra 6. Resolver: 2 (2x – 1)(2x+1) – (x+1)(x – 1)≤3(x – 2) ¿Cuál de los siguientes valores no es solución para la inecuación? a) –95 d) 89
b) –155 c) 1 e) Todas son soluciones.
7. Resolver: 2 2 2 2 (2x – y) +(2x+y) – 2y >2(2x–1) +6x Indicar el mínimo valor entero de la incógnita "x" a) 1 d) 2
b) 5 e) –1
c) 0
8. Resuelve el siguiente sistema: (x − 4) (x + 2) $ (x − 5) (x + 7) ) (x − 3) (x + 2) < (x + 1) (x + 3) a) − 9 ; + 3 5
b) <–3; 1]
d) <–3; 1>
e) − 3; 27 B 4
c) − 9 ; 27 B 5 4
9. Resuelve el siguiente sistema de inecuación: ^x + 3h2 –^x–3h2 2 48 ) ^x + 6h2 + ^x–6h2 2 x^2x + 8h a) <4; 8> d) <6; 8>
b) <4; 9> e) <4; 11>
c) <5; 7>
10. Halla el conjunto solución del sistema de inecuaciones: x + 2 # x; x + 4 # x + 1; 2x + 17 > x 2 5 4 a) 0; 17 3
b) <1; 3>
d) 3; 17 3
e) 5; 19 3
c) 62; 17 3
11. Resuelve el siguiente sistema: 7x − 2 < 5x + 6 < 9 (x + 1) 2 3 5 a)
2; 3 5 2
d) 3 ; 18 2 11
c) <0; 1>
b) 1; 3 2 e)
1; 1 5 2
12. Resolver el sistema: Zx x−1 ]2+ 3 >3 [x+1 x − <1 ] 4 \ 3 a) <2; 5> b) <1; 3> d) <4; 8> e) <5; 8>
c) <4; 9>
13. Indicar la suma de valores enteros que verifican el sistema: Z 3x x − 2 ] 2 + 6 # 13 [ 2x x + 2 >2 − ] 4 \ 3 a) 10 b) 15 c) 20 d) 6 e) 18 14. Indicar el intervalo solución del sistema: Z 4x − 1 7x − 1 ] 3 +4 # 2 +2 [ 4x − 3 − x < 2 (x + 1) ] 2 3 \ c) [0; 5> a) 81; 13 b) 2; 13 2 2 d) 82; 13 2
e) [1; 6]
15. Cuántos valores naturales verifican el sistema de inecuaciones: x+4 # x−2 G x+3 5 3 4 a) 3 b) 8 c) 5 d) 7 e) 9
Practica en casa 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si 4x+1>9 → x ∈<2; ∞> II. Si –3x+2>11 → x ∈ <–3; ∞> III. Si x ≥1 → x ∈ [2; ∞> 2 2. De las siguientes proposiciones: I. 5<x – 1≤6 → x ∈<6; 7> II. –1<x+2<1 → x ∈<–3; –1> III. 2< 3x + 1 <5 → x ∈<–1; 3> 2 www.trilce.edu.pe
IV. –1< 1 − x <1 → x ∈<–4; 2> 2 ¿Cuántas son verdaderas? 3. Indicar verdadero o falso según corresponda: I. –4x+1>9 → x>–2 II. –2x – 1≥5 → x≤–3 III. –x+3<5 → x>–2 4. Resolver: 7(3x – 1) – 5(4x+2)≥5(3x+1) – 4(4x – 2) Indicar el menor valor que toma la incógnita.
Segundo año de secundaria
165
32
Capítulo
5. Resolver: 3x − 1 − 2x + 1 < x + 4 − 3 x − 1 3 2 6 4 Indicar el intervalo solución. 6. Resolver: 2 (3x – 1)(3x+1) – (2x+1)(2x – 1)≤5(x – 2) Indicar el máximo valor de la incógnita. 7. Resolver: 2 2 2 2 (3x – y) +(3x+y) – 2y < 2(3x – 1) – 14 Indicar el máximo valor entero que asume la incógnita "x" 8. Resuelve el siguiente sistema: 2x+3 ≤ 3x+4 ≤ 4x+5 9. Resuelve el siguiente sistema (x − 3) (x + 1) $ (x − 4) (x + 3) ) (x + 4) (x + 5) < (x + 2) (x + 9) 10. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones
11. Halla el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones: x − 1 < x; x + 3 $ x − 1; 8x − 5 > x 3 4 2 12. Resolver el sistema: Zx−1 x−2 1 ] 4 + 5 > 4 [x x 2 ] − + <2 4 \2 13. Calcular la suma de valores enteros que verifican el sistema: Zx 2x + 3 ]2 +1 > 6 [ 2x + 1 x − 1 x + 1 $ − ] 2 4 \ 3 14. Indicar el intervalo solución del sistema: Z2 1 1 ] 3 (x + 1) − 6 # 6 (x + 9) [ 2 (2 x + 1 ) ] − 1 > − 3 (x + 1 ) − x − 1 3 2 2 6 \ 15. ¿Cuántos números naturales satisfacen siguiente sistema de inecuaciones? 1 # x−1# x + 7 2 4 3
(x + 4) 2 − (x − 4) 2 $ 64 ) (x + 5) 2 + (x − 5) 2 < 2 (x2 + x)
el
Tú puedes 1. Hallar el conjunto A sabiendo que: A = $ x d R / la proposición 2x + 5 > − x − 1 3 −2
1 ;+3 (m + n) 2
c) − 3;
sea falsa a) <–7; ∞> d) <–∞; –7]
a) ;
b) [–7; ∞> e) <–7; 7>
c) <–∞;–7>
1 E (m + n) 2
b) ;
1 ;+3 (m − n) 2
d) − 3;
1 E (m − n) 2
e) [0; +∞>
2
2. Resolver: (ax+1)(bx+1)<abx +1 Si: a<b<0 a) x<0 d) x>1
b) x>0 e) x∈Ø
c) x<1
3. Resolver la siguiente inecuación: x + x + x + x > 1+ 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 15 35 63 2 6 12 20 30 42 56 72
a) x> 1 2
b) x< 1 2
d) x<– 1 2
e) x>2
4. Resolver: (m + n) x + 1 $ m + n + 1 m+n
c) x>– 1 2
5. Indicar el intervalo solución del sistema: Z 2x + 1 1 x+1 2 ] 6 +23 > 9 − 3 ]] 1 x x+1 [2 + 2 2 > 4 + 8 ] ] 2x + 1 + 5 > x + 1 4 \ 7 a) − 81; 43 3 5
b) − 55 ; 43 4 3
c) − 81; 55 3 4
d) − 55 ; − 81 4 3
e) − 55 ; 35 4 3
(m − n) x + 1 $ m − n + 1 m−n siendo: m>n>0 Colegios
166
TRILCE
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33
Capítulo
Inecuaciones II Lectura: La programación lineal En este capítulo se trabajan los Sistemas de Inecuaciones con dos Incógnitas. Su resolución es una habilidad que te conviene adquirir ya que
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Zx y # 2 ] + [ x − 2y $ − 4 ]y $1 \ x
0
1
y=2–x
2
1
x
0
2
2
3
será indispensable para resolver ejercicios de PROGRAMACIÓN LINEAL. La programación lineal un sistema que sirve para
y=
x +2 2
optimizar recursos. Ya fue utilizado con éxitos en el bloque de la URSS a Berlín y mucho antes para conseguir un mayor engorde del ganado con el menor alimento posible. Su desarrollo real comenzó
1
en 1947 cuando G.B. Dantzing formuló un sistema denominado método símplex para la resolución de estos problemas. FUENTE: http://4.bp.blogspot.com
En este capítulo aprenderemos Inecuaciones II .. Resolver sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas. .. Desarrollar un plan para llevar a cabo la resolución y planteo de un problema textual de una inecuación de 1er. Grado.
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Segundo año de secundaria
167
33
Capítulo
Síntesis teórica
Inecuaciones II
Sistema de inecuaciones lineales con dos o más incógnitas
Problemas de inecuaciones
Solución de problemas
Colegios
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Álgebra Saberes previos 1. Si: x – 3<7; hallar la suma de los números naturales que toma "x" 2. Resuelva las siguientes inecuaciones a) 3x − 1 < 11 2 b) 2x − 1 $ 5 3 3. Graficar los siguientes intervalos a) x ∈ <–7; 5] b) x ∈ [3; +∞> c) x ∈ <–∞; 4]
4. Representar gráficamente expresiones: a) 4 < x ≤ 7 b) –7 ≤ x < 3 c) – 1 < x < 1 2 5
las
siguientes
5. Luego de resolver, indicar la suma de valores enteros que verifique el siguiente sistema de inecuaciones. x − 3 < 5 ......... (I) ) 2x − 1 $ 5 .......... (II)
Aplica lo comprendido 1. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el sistema x>y ' x<3 x+y es igual a: 2. Resolver el sistema en enteros positivos Zx < 5 ] [y < 5 ] 2x + 3y > 19 \ luego indicar el valor de: xy 3. Resolver el sistema en enteros positivos: 3x < 2y ) x+y < 4
indicar: xy 4. Resolver el sistema en enteros: x+y<3 2x – y<1 luego indicar: xy 5. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el sistema. x+y # 3 *x – y # 2 x$2 indicar: xy
Aprende más 1. Si "x" e "y" son enteros positivos que verifican el sistema: x − 3y > 2 ) x–y<7 Entonces x+y puede ser: a) 5 d) 8 ó 9
b) 6 e) 9 ó 10
c) 7 ó 8
2. Resolver el sistema en enteros positivos: x+y < 5 ) x−y > 1 indicar: xy a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
3. Resolver el sistema en enteros para luego indicar el valor de: x – y Z 5x − 3 > 2 ] [ 2x + y < 11 ]y > 5 \ a) 6 b) –6 c) 4 d) –4 e) 2 +
4. Resolver en Z Zx+y #1 ] ]] 7 y [ −1$x ]5 5 5 ]] x # 1 \3 Indicar el valor de y/x a) –1 d) 4/3
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b) 2/3 e) 1
c) –4/5
Segundo año de secundaria
169
33
Capítulo
+
5. Resolver en Z : Zx y ] − > 2 ] 3 5 15 [ x + y < 11 ] 2 2 ] > 3 y \
10. Un número entero es tal que su duplo, aumentado en siete unidades es menor que 101. Y su quíntuplo, disminuido en treinta unidades no es menor que 200. Hallar tal número.
2
Indicar el valor de x +y a) 4 d) 9
a) 40 d) 47
2
b) 16 e) 36
c) 25
6. Resolver en Z Zx y ]4+6 #1 ] [x − y # 1 ]] 2 x > 1 \ a) –2 d) 7 7. Resolver en Z Zx y ] − > 1 ]] 3 7 21 [ 3x + y < 13 ]y > 2 ] \x < 3
b) 4 e) 8
2
2
b) 8 e) 9
c) –6
b) –4 e) –9
c) –8
170
TRILCE
b) 5 e) 8
b) 1 e) 21
c) 41
b) 90 e) 120
c) 100
14. Se compra un número par de naranjas, si se venden la cuarta parte, quedan menos de 59 por vender, y si se vendiera la sexta parte quedaría más de 64 por vender. ¿Cuántas naranjas se compraron? a) 64 d) 56
b) 78 e) 66
c) 82
15. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentado en una decena es menor que 29.
Indicar un valor de: E=x+y
Colegios
dinero, gasta que los 2/3 de luego la mitad ¿Cuántos tenía
13. Un carpintero hizo cierto número de sillas. Vende 49 y después le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 sillas y vende 20 quedándole menos de 41 sillas. ¿Cuántas sillas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de sillas? a) 80 d) 110
9. Si: {x; y; z} 1 N ; resolver: Z 3y < 2x ] ] 4y > 8 [ ]] 2x + 5 < 2z \ z < 12 a) 4 d) 13
c) 56 años
12. José tiene cierta cantidad de S/. 10 y lo que le queda es más lo que tenía inicialmente, gasta y el saldo es menor que S/. 11. inicialmente? a) 61 d) 31
8. Resolver el sistema en los enteros: Z 2x − 5y > 30 ] [ x + 3y < − 22 ]y > − 8 \ Indicar: x+y a) –5 d) 5
b) 54 años e) N.A.
+
Hallar el valor de: y – x a) 5 d) –7
c) 6
c) 46
11. La edad de mi padre disminuida en su tercera parte no es mayor a 38 años. Pero, si al doble de su edad le disminuimos la tercera parte de su edad actual no es menos que 95 años. ¿Qué edad tiene mi padre? a) 55 años d) 57 años
Indicar el mayor valor de "xy"
b) 45 e) 48
c) 6
a) 57 d) 85
b) 63 e) 74
c) 49
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Álgebra Practica en casa 1. Resolver el sistema en enteros positivos: x+y < 6 ) x−y > 2 Indicar: xy 2. Resolver el sistema en enteros positivos e indicar el mayor valor de "x+y" x + 2y < 10 ) x−y > 4 3. Calcular los valores enteros de "x" e "y" que verifican el sistema: Z 5x − 3y > 2 ] [ 2x + y < 11 ]y > 3 \ Indicar: "x+2y" 4. Resolver en Z Zx+y <1 ] ]] 10 x−y <1 [ ] 6 ]] x $ 1 \5 Determinar el máximo valor de "x" 5. Resolver en Z Z y ] x − $ 11 2 2 ]] x + y #− 1 [3 2 6 ] ]] y > − 1 \5 Indicar el mínimo valor entero que puede tomar "y" 6. Resolver en Z Zx y ] − # 1 ]] 6 9 2 x+y #1 [ ] 3 ]] x > 1 \2 Indicar el valor de "xy" 7. Resolver en Z Zx−y $1 ] ]] 10 (x + y) [− 6 $ 1 ] ]] − y < 1 \ 10
8. Al resolver el sistema Z 5 < 3y − 2 x ] [5 < x + y ]11 > x + 2y \ + para {x; y}∈Z Calcular: E=x+y 9. Hallar las soluciones enteras y positivas del sistema: 2y < x * 4y > 7z x − 4 < 2z Calcular: x+y+z 10. Un número entero es tal que su triple, aumentado en once unidades es menor que 98. Y su duplo, disminuido en diecisiete no es menor a 39. Hallar dicho número. 11. Mi dinero es tal que, si tuviera la tercera parte más no sería mayor que S/. 1000. Pero, si tuviera la tercera parte menos no sería menos a S/. 500. ¿Cuánto dinero tengo? 12. Ricardo tiene cierta cantidad de propina, gasta $8 y lo que queda es más que los 3/4 de lo que tenía inicialmente; luego gasta la mitad y el saldo es menor que $13. ¿Cuánto tenía inicialmente? 13. Un panadero hizo cierto número de tortas. Vende. Vende 29 y después le queda por vender más de la mitad. Hace después 9 tortas y vende 10 quedándose menos de 30 tortas. ¿Cuántas tortas ha hecho inicialmente el panadero? 14. Hallar un número natural, sabiendo que la quinta parte del que le precede disminuida en una docena, es mayor que 4, y que la tercera parte del que le sigue, aumentado en una docena es menor que 40. 15. Tres supervisores cuentan el número de piezas que por minuto fabrica una máquina. El primero contó la mitad menos 3, el segundo contó la sexta parte y 7 piezas, y el tercero contó la cuarta parte y 5 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo, pero menos que el tercero. ¿Qué número de piezas arroja la máquina por minuto?
Indicar el máximo valor entero de "y" www.trilce.edu.pe
Segundo año de secundaria
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Capítulo
Tú puedes
1. Luego de resolver en enteros el siguiente sistema: Zx + y + z > 8 ] ]x − y + z < 4 [ ]] z − y > 0 \z < 5 Indicar: y+z a) 7 d) 3
b) 5 e) 2
c) 4
2. Siendo "x", "y", "z" los valores enteros que satisfacen el siguiente sistema: Z x + y + z > 14 ] ]x − y + z < 6 [ ]] y < z \z < 7 El valor de la expresión x y3 − z2 − 8 es: a) 1 d) 4
b) 3 e) 2
3. Luego de resolver en Z Z2 ] (x − y) # 3 (x + y) 2 ]3 [ 1 (x − y) $ x ]6 ]y < 1 \
Colegios
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TRILCE
c) 5
Indique el valor de "x" a) –1 d) 3
b) 2 e) 1
c) 0
4. Hallar los valores enteros de x, y, z que satisfacen el siguiente sistema Z x − 2y + z < 1 ] ]x − y + z > 1 [ ]] 4x + y − 2z < 1 \z < 4 Indicar: xyz a) 1 d) 12
b) 8 e) 27
c) 6
5. Entre Carlos y Daniel tienen menos de 6 hijos; Daniel tiene más hijos que Pablo y aunque Carlos tuviera un hijo menos, seguiría teniendo más hijos que Pablo. ¿Cuántos hijos tiene cada uno de ellos? Ordenar hijos de Carlos después Daniel y último de Pablo. a) 2, 1, 3 d) 3, 1, 2
b) 1, 2, 3 e) 1, 3, 2
c) 3, 2, 1
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