Matematika za prijemni lazovic, jovanov, djoric

Page 1

P. JIA30BHll

n. JOBAHOB

,[(. nOPHll

MATEMATHKA 3A IIPHJEMHH HCIIHT HA TEXHIPIK11M 11 IIP11PO)J;HO MATEMATWIKIIM

c

B

<l>AKYJITETI1MA

SADR AJ 1. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Izrazi

19

............................................................

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Kvadratne jednaqine i nejednaqine

............................

38

........................................................

55

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Polinomi

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Iracionalne jednaqine i nejednaqine

..........................

63

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6. Eksponencijalne jednaqine i nejednaqine

.....................

74

........................

81

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7. Logaritamske jednaqine i nejednaqine

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8. Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine

....................

96

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Rexeni primeri

................................................

117

Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

10. Binomna formula

.............................................

126

.....................................................

131

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

11. Progresije

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

12. Planimetrija

..................................................

141

13. Stereometrija

.................................................

163

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

14. Primena trigonometrije u geometriji

......................

181

.......................................

188

.......................................................

210

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

15. Analitiqka geometrija

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

16. Funkcije

Rexeni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Rexeni zadaci sa prijemnih ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

17. Prijemni ispiti na FON-u 2002. 2003. 2004. 2005. 2006. 2007.

godina godina godina godina godina godina

.................................. .................................................... .................................................... .................................................... .................................................... .................................................... ....................................................

226 226 232 237 242 246 250

8 TRIGONOMETRIJSKE JEDNAQINE I NEJEDNAQINE Rexeni primeri

¤

Trigonometrijske jednaqine Jednaqina u kojoj se nepoznata jav a kao argument neke trigonometrijske funkcije naziva se trigonometrijska jednaqina. Za rexava e trigonometrijskih jednaqina ne postoji jedinstven metod. Uglavnom se u svakom konkretnom sluqaju koriste razne trigonometrijske formule pomo u kojih se data jednaqina transformixe u jednu ili vixe osnovnih trigonometrijskih jednaqina. Mnoge trigonometrijske formule su taqne za sve vrednosti promen ivih. Takve su npr. formule sin 2Îą = 2 sin Îą cos Îą, cos 2Îą = cos2 Îą − sin2 Îą, sin2

Îą Îą 1 1 = (1 − cos Îą), cos2 = (1 + cos Îą), 2 2 2 2

kao i formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa, za proizvod sinusa i kosinusa, te formule za sinus i kosinus zbira i razlike. Neke trigonometrijske formule nisu taqne za sve vrednosti promen ivih, npr. jednakost tg Îą =

sin 2Îą 1 + cos 2Îą

je taqna za Îą =6 Ď€2 + kĎ€, (k ∈ Z). Primetimo da leva i desna strana te formule, kao funkcije od Îą, imaju istu oblast definisanosti: Ď€ Îą 6= + kĎ€, (k ∈ Z). 2 Drugi primer su formule sin 2Îą =

2tg Îą 1 − tg 2 Îą , cos 2Îą = 2 1 + tg Îą 1 + tg 2 Îą

koje su taqne za Îą 6= Ď€2 + kĎ€, (k ∈ Z). Za razliku od prethodne formule, leve i desne strane ovih formula imaju razliqite oblasti 96

106

8 Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine

Dati uslov je ekvivalentan uslovu jednaqina jednaqini Rexe e.

sin

π 5π ≤ x ≤ 2 2

, a data

x x x x − cos sin − cos − 1 = 0. 2 2 2 2

Jednaqina sin x2 −cos x2 = 0 je ekvivalentna jednaqini tg x2 = 1 qiji je skup n o rexe a Ď€2 + 2kĎ€ | k ∈ Z , dok se jednaqina sin x2 − cos x2 = 1, mno e em √ √ x Ď€ 2 sa 2 , svodi na jednaqinu sin 2 − 4 = 22 . Skup enih rexe a je Ď€ {Ď€ + 4lĎ€ | l ∈ Z} âˆŞ {2Ď€ + 4mĎ€ | m ∈ Z}. Za k = 0 i za k = 1 dobija se x = 2 i x = 5Ď€2 , dok se za l = 0 dobija x = Ď€. Za m = 0 je x = 2Ď€. To su jedina rexe a koja zadovo avaju dati uslov.

Trigonometrijske nejednaqine O Prilikom rexava a trigonometrijskih nejednaqina koristi se periodiqnost trigonometrijskih funkcija i ihova monotonost na odgovaraju im intervalima. Navedimo osnovne trigonometrijske nejednaqine. Funkcija sin x ima osnovni period 2π. Zbog toga je nejednaqine oblika sin x > a, sin x ≼ a, sin x < a, sin x ≤ a

dovo no rexiti na bilo kom intervalu du ine 2Ď€. Ako je (Îą, β) rexe e nejednaqine na posmatranom intervalu, onda je skup svih rexe a nejednaqine unija intervala oblika (Îą + 2kĎ€, β + 2kĎ€), (k ∈ Z rexiti na segmentu ). Prve dve nejednaqine je pogodno u poqetku Ď€ 3Ď€ Ď€ 5Ď€ − , , a druge dve na segmentu 2 , 2 . 2 2

Primer 34. sin x > − 12 . Reximo datu nejednaqinu na segmentu − Ď€2 , 3Ď€2 . Na delu h i tog segmenta − Ď€2 , Ď€2 funkcija sin x monotono raste, a jednaqina sin x = 1 Ď€ 1 Ď€ Ď€ − ima jedno rexe e x = − . Zbog toga je sin x > za − < x < . Na 2 6 2 6 2 Ď€ 3Ď€ segmentu − 2 , 2 funkcija sin x monotono opada, a jednaqina sin x = − 12 ima rexe e x = 7Ď€6 . Za Ď€2 ≤ x < 7Ď€6 je sin x > − 12 . Prema tome, na segmentu − Ď€2 , 3Ď€2 nejednaqina ima rexe e − Ď€6 < x < 7Ď€6 . Zbog periodiqnosti funkcije sin x rexe e polazne nejednaqine je unija intervala Rexe e.

8 Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine

109

S obzirom da je cos 2x = 1 − 2 sin2 x, uvo e em smene t = sin x, nejednaqina se svodi na nejednaqinu t(1 − 2t) > 0 qiji je skup 1 rexe a 0, 2 . Skup rexe a nejednaqine 0 < sin x < 12 na segmentu Rexe e.

je 0, π6 S nejednakostima

[0, 2Ď€]

5Ď€ ,Ď€ 6

2kπ < x <

. Sva rexe a date nejednaqine su odre ena

π + 2kπ, 6

5Ď€ + 2lĎ€ < x < Ď€ + 2lĎ€, (k, l ∈ Z). 6

Primer 42. cos x + cos 2x + cos 3x > 0.

Rexe e. Transformacijom prvog i posled eg sabirka u proizvod dobija se cos 2x(2 cos x + 1) > 0. Da e je cos 2x(2 cos x + 1) > 0 ⇔ 1 1 ⇔ cos 2x < 0 ∧ cos x < − ∨ cos 2x > 0 ∧ cos x > − . 2 2

Skup rexe a nejednaqine cos 2x < 0 je unija intervala

π 3π + kπ, + kπ , 4 4

a nejednaqine cos x < − 12 unija intervala Presek ova dva skupa rexe a je

(k ∈ Z),

2π 4π + 2lπ, + 2lπ , 3 3

(l ∈ Z).

2Ď€ 3Ď€ 5Ď€ 4Ď€ + 2kĎ€, + 2kĎ€ âˆŞ + 2nĎ€, + 2nĎ€ , (k, n ∈ Z), 3 4 4 3

xto je skup rexe a prvog sistema u disjunkciji. Sliqno se dobija da je skup rexe a drugog sistema u disjunkciji unija intervala Ď€ Ď€ − + 2lĎ€, + 2lĎ€ , (l ∈ Z). 4 4

Skup rexe a date nejednaqine je

[ [ 2Ď€ 3Ď€ 5Ď€ 4Ď€ Ď€ Ď€ + 2kĎ€, + 2kĎ€ + 2nĎ€, + 2nĎ€ − + 2lĎ€, + 2lĎ€ , 3 4 4 3 4 4

gde je k, n, l ∈ Z.

Rexeni zadaci sa prijemnih ispita

¤

1. Koliko rexe a u intervalu (0, 2Ď€) ima jednaqina sin2 x + cos x + 1 = 0?

A) nijedno;

B)

jedno;

C)

dva;

D)

tri;

2. Koliko rexe a jednaqine sin x cos π7 + cos x sin π7 =

valu

−

3π π , 2 2

?

E) √

beskonaqno,

3 2

pripada inter-

8 Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine

111

A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) ve i od 3. 15. Jednaqina x = 4Ď€ sin x ima: A) taqno sedam rexe a; B) taqno pet rexe a; C) taqno tri rexe a; D) taqno jedno rexe e; E) paran broj rexe a. 16. Broj rexe a jednaqine 1 − cos(Ď€ − x) + sin Ď€ +2 x = 0 na segmentu [1997Ď€, 1998Ď€] je A) 0; B) 2; C) 1; D) 3; E) ve i od 3. 17. Brojeva Îą, 0 ≤ Îą < 2Ď€, takvih da su cos Îą i sin Îą rexe a jednaqine x2 + mx + 2n2 = 0, gde su m i n neki celi brojevi, ima: A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) vixe od 3. 18. Skup svih vrednosti parametra Îą za koje uvek va i Îą2 + 2Îą − cos2 x − 2Îą sin x > 2 je: √ √ √ A) (−∞, −2 − 6) âˆŞ ( 2, +∞); B) (−∞, −2 − 6); √ √ √ 3 C) (−∞, −2 + 6) âˆŞ ( 2, +∞); D) ( 2, +∞); E) , +∞ . 2 19. Broj rexe a nejednaqine | sin x|+| cos x| ≤ 1, koja pripadaju segmentu [0, Ď€] je: A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) ve i od 3, ali konaqan.

Rexe a i taqni odgovori Koriste i identitet sin2 x = 1 − cos2 x jednaqina se svodi na 2 jednaqinu cos x − cos x − 2 = 0, odakle sledi cos x = −1. Sva rexe a jednaqine su x = Ď€ + 2kĎ€, (k ∈ Z), a intervalu (0, 2Ď€) pripada jedno (x = Ď€) rexe e. Taqan odgovor je B). 1.

√

Data jednaqina je ekvivalentna jednaqini sin x + Ď€7 = 23 , qiji 4Ď€ 11Ď€ su skupovi rexe a 21 + 2kĎ€ | k ∈ Z i 21 + 2lĎ€ | l ∈ Z . Prema tome, 2.

segmentu − 3Ď€2 , Ď€2 pripadaju dva rexe a i to: x = 4Ď€ za k = 0 i x = 21 31Ď€ − za l = −1. 21 Taqan odgovor je C). 3. Jednaqina nema rexe a (videti primer 10.). Taqan odgovor je D). Ď€ 4. Jednaqina je definisana za cos x 6= 0, tj. za x 6= + kĎ€, (k ∈ Z). 2 Mno e em jednaqine sa cos x (x je iz oblasti definisanosti) dobija se jednaqina sin x(cos x + 1 − sin x) = 0 koja je ekvivalentna sa sin x = 0 ili cos x − sin x = −1. Rexe e √ prve jednaqine je x = kĎ€, (k ∈ Z).√Druga jednaqina se mno e em sa 22 svodi na jednaqinu cos x + Ď€4 = − 22 qija

8 Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine

115

Neka je f (t) = t2 − 2Îąt + Îą2 + 2Îą − 3. Problem se svodi na odre iva e svih vrednosti parametra Îą za koje je f (t) > 0, t ∈ [−1, 1].

(∗)

Funkcija f (t) ima minimum za t = Îą i pri tome je fmin = f (Îą) 2= 2Îą − 3. Za Îą > 1 uslov (∗) je ispu en ako i samo√ako je f (1) > 0, tj. Îą − 2 > 0. Rexe e sistema Îą > 1, Îą2 − 2 > 0 je Îą ∈ ( 2, +∞). Ako je −1 ≤ Îą ≤ 1, onda je −5 ≤ 2Îą − 3 ≤ −1, tj. fmin ≤ 0, pa uslov (∗) nije ispu en. Za Îą < −1 je fmin < −5, pa je uslov (∗) zadovo en ako i2 samo ako je f (−1) > 0, tj. Îą2 + 4Îą − 2√ > 0. Rexava em sistema Îą < −1, Îą + 4Îą − 2 > 0 dobija se Îą ∈ (−∞, −2 − 6). Prema tome, uslov (∗) je ispu en ako i samo ako je Îą ∈ (−∞, −2 −

√

Taqan odgovor je A).

√ 6) âˆŞ ( 2, +∞).

Za x ∈ 0, Ď€2 , Ď€ je oqigledno | sin x| + | cos x| = 1. Ako x ∈ nejednaqina se, zbog sin x > 0 i cos x > 0, svodi na ekvivalentnu 19.

n

o

√

sin x + cos x ≤ 1, Ď€ x ∈ 0, 2

Ď€ 0, 2 √

(∗)

sledi da je cos x − 4 > 22 , pa odnosno cos x − 4 ≤ 22 . Iz nejednaqina (∗) nema rexe a na intervalu 0, Ď€2 . Sliqno se, za x ∈ Ď€2 , Ď€ , pokazuje da nejednaqina (∗) nema rexe e. Prema tome, rexe a nejednaqine su x1 = 0, x2 = Ď€2 , x3 = Ď€. Taqan odgovor je D).

¤

Ď€

Ď€

Zadaci sa prijemnih ispita za samostalni rad Zbir rexe a jednaqine koja pripadaju [0, 2π] jednak je: 3π π 5π B) A) π ; ; C) ; D) ; 2 4 2

1.

3π 2 cos + x + 2 cos(x + π) + sin 2x = 2 2

.

E) 0

Jednaqina sin x + cos x = 32 u intervalu [0, 2Ď€]: A) ima jedno rexe e; B) nema rexe a ; C) ima dva rexe a; D) ima tri rexe a ; E) ima qetiri rexe a. x sin x = sin ima na odseqku [0, 15] razliqitih 3. Jednaqina 1 + cos x 2 rexe a taqno: A) 2; B) 3; C) 5; D) 6 ; E) 4.

2.

17 PRIJEMNI ISPITI NA FON-u 2002. godina a −1 − Za a = −1, 5 izraz ¡ a2 − a 1 − a2 2 ima vrednost: A) 3.2; B) −2; C) −0.25; D) −1; E) 2. p √ 2. Ako je a = 41 log 5 , b = (−1)2 − −1 i c = ab , onda je: 16 5 625 A) c = 1; B) c = 0, 25; C) c = ; D) c = ; E) c = . 625 2 16 3. K iga je poskupela za 60%. Da bi se cena vratila na prvobitni nivo, treba da pojeftini za: B) 60%; C) 70%; D) 62, 5%; E) 40%. A) 37, 5%; x−1 4. Ako je f (x) = , onda za x 6= −1 i x 6= 0 je f f x1 jednako: x+1

1.

−

1 a2 − a − ¡ a2 + 2a + 1 a3 − 1

a

1

2

3

2

; B) f (f (x)); C) x; D) −x; E) −f x1 . 5. Ako je i imaginarna jedinica, onda je vrednost izraza 2002 1+i √ je: 2 A) −21002 ; B) −i; C) i; D) 21002 i; E) 21002 . 6. U pravouglom trapezu ABCD (AB k CD, CD ⊼ AD) dijagonala AC je normalna na krak BC . Ako je du ina kraka AD jednaka 8cm, a ma e osnovice CD jednaka 6cm, onda je du ina ve e osnovice: 40 50 A) cm; B) cm; C) 16cm; D) 15cm; E) 17cm. 3 3 A)

7.

1 x

cos 350 ¡ ctg20 Vrednost izraza cos 80 ¡ sin je: 110 1 1 1 1 A) ; B) − ; C) − ; D) ; E) −i. 3 3 2 2 â—Ś

â—Ś

â—Ś

226

â—Ś

17 Prijemni ispiti na FON-u

227

Prava sadr i taqku A(8, 15) i seqe pravu y = 7x + 9 u taqki B pod pravim uglom. Zbir koordinata taqke B je: A) −7; B) 17, 8; C) 17 D) 0; E) 9. x x 9. Zbir svih rexe a jednaqine 3 ¡ 2x − 1 + 2 ¡ 2x − 1 = 5 je: 2¡2 −1 3¡2 −1 2 A) −2; B) 2, 5; C) 0, 5; D) 2 E) 0. 10. Vrednost parametra m, za koju je zbir kvadrata svih rexe a jednaqine x2 + 2mx + m − 3 = 0 najma i, pripada intervalu: A) (−∞, −5]; B) (5, +∞); C) (2, 5]; D) (−5, −2]; E) (−2, 2]. 11. Ako je n broj razliqitih rexe a jednaqine 8.

onda je :

2

3x

1 log 10 (x − 2) 81 √ = 0, −x2 + 3x + 4

−5x

−

; B) n = 4; C) n = 0; D) n = 3; E) n = 2. √ √ 12. U razvoju binoma ( x + x)7 koeficijent uz x3 je: A) 30; B) 35; C) 21; D) 15; E) 7. 13. Ako je polinom P (x) = x5 − 3x4 + ax3 + x2 + b de iv polinomom Q(x) = (x − 2)2 , onda je a2 + b2 jednako: A) 20; B) 10; C) 17 ; D) 13; E) 16. 14. Zbir svih trocifrenih brojeva de ivih sa 7 je: A) 70336; B) 66878; C) 70224; D) 70315; E) 69342. 15. Zbir kvadrata najve eg negativnog i najma eg pozitivnog rexe a jednaqine cos 2x + sin4 x2 = cos4 x2 je: Ď€2 2Ď€ 2 8Ď€ 2 4Ď€ 2 A) ; B) 2Ď€ 2 ; C) ; D) ; E) . 2 9 9 9 tog ugla ima 16. Jedan√ugao trougla je 120 , a stranica naspram du inu 2 7cm. Ako je povrxina trougla P = 2√3cm2, onda je zbir du ina nepoznatih stranica trougla: A) 10cm; B) 9, 5cm; C) 7, 5cm; D) 8cm; E) 6cm. 2 +4 <2 17. Neka je a najve i ceo broj za koji je nejednakost xx2+−ax x+4 zadovo ena za svako realno x. Broj celih brojeva x za koje je √ log x 63 − 2x ≤ a jednak je: A) 23; B) 0; C) 22; D) 25; E) 24. √ 18. U sferu polupreqnika R = 6cm upisan je va ak maksimalne zapremine. Polupreqnik osnove tog va ka je: √ √ √ A) 2cm; B) 2cm; C) 3cm; D) 3cm; E) 5cm. A) n = 1

3

â—Ś

228 19.

17 Prijemni ispiti na FON-u

Ako je n broj celobrojnih rexe a jednaqine q

log 22 (1 − x) − 4 log 2 (1 − x) + 4 = 2 − log 2 (1 − x),

onda je:

; B) n = 1; C) n = 4; D) n = 3; E) n = 5. 20. Reqnik sadr i sve reqi od 5 slova, koje se mogu obrazovati od tri razliqita slova skupa {A, B, C, D, E, F }. Ako je n broj reqi u tom reqniku, onda je: A) 2000 ≤ n < 2500; B) 1500 ≤ n < 2000; C) 2500 ≤ n < 3000; D) 3500 ≤ n < 4000; E) 3000 ≤ n < 3500. A) n = 2

Rexe a i taqni odgovori 1. Kako je

a(a − 1) 1 − ¡ (a + 1)2 (a − 1)(a2 + a + 1)

1 a + a(a − 1) (a − 1)(a + 1)

=−

¡

a2 − 1 = 2

1 , a+1

za a = −1, 5 dati izraz ima vrednost 2. Taqan odgovor je E). 2. Iz a = 41−log2 5 =

p √ 4 , b = (−1)2 − 3 −1 = 2, 25 2 4 16 b c=a = . = 25 625

Taqan odgovor je C). 3. Neka je x cena k ige

sledi

pre poskup e a. Posle poskup e a cena k ige je odnosno 58 x. Oznaqimo sa p procenat pojefti e a k ige koji e cenu sma iti na poqetnu. Tada je x x+ ¡ 60 100

p 5 odakle je 1 − 100 = , tj. 8

8 p 8 x− x¡ = x, 5 5 100 75 p= = 37, 5%. 2

Taqan odgovor je A).

4. Ako je f (x) =

x−1 6 −1, x = 6 0), ; (x = x+1

tada je

1 −1 1 1−x , f = x = 1 x 1+x +1 x

17 Prijemni ispiti na FON-u

229

odakle sledi da je 1−x −1 1 −2x f f = 1+x = = −x. 1−x x 2 +1 1+x

Taqan odgovor je D).

5.

1+i √ 2

2002

=

(1 + 2i + i2 )1001 = i1001 = i. 21001 je C).

Taqan odgovor 6. Kako je trougao ABC

pravougli (Sl.1) va i 82 = 6(a − 6), odakle

, pa je a = 50 . je a − 6 = 32 3 3 Taqan odgovor je B). 7. Kako je cos 350◦ = cos(360◦ −10◦ ) = cos 10◦ , sin 110◦ = sin(90◦ +20◦ ) = cos 20◦ va i ◦ ◦ ◦ cos 80 · cos 350 · ctg20 = sin 110◦

sin 10◦ · cos 10◦ · =

cos 20◦

cos 20◦ 1 2 sin 10◦ cos 10◦ · ◦ sin 20 = sin 20◦ = 1 . 2 2

Taqan odgovor je D).

8. Iz uslova ortogonalnosti pravih zak uqujemo da je k = − , pa 1 7

je jednaqina nepoznate prave Koordinate taqke

1 y − 15 = − (x − 8), tj. x + 7y = 113. 7 B predstav aju rexe e sistema jednaqina y = 7x + 9, x + 7y = 113.

Rexava em sistema se dobija Taqan odgovor je C). 9. Smenom t =

3 · 2x − 1 2 · 2x − 1

x = 1, y = 16,

pa je x + y = 17.

data jednaqina se svodi na jednaqinu t+

1 5 = , t 2

qija su rexe a 2 i 12 . Prema tome, realan broj x je rexe e date jednaqine ako i samo ako 3 · 2x − 1 3 · 2x − 1 1 = 2 ili = , x x 2·2 −1 2·2 −1 2 xto je ispu eno za x ∈ {0, −2}. Taqan odgovor je A).

230

17 Prijemni ispiti na FON-u 10. Primenom Vietovih formula na datu jednaqinu dobija se x21

+

x22

2

= (−2m) − 2(m − 3) = 4

pa je tra ena vrednost parametra Taqan odgovor je E).

m

"

1 m− 4

2

# 23 + , 16

jednaka 14 .

Sl.1

Sl.2

11. Brojilac razlomka na levoj strani date jednaqine je jednak 0

ako i samo ako je

ili log10 (x − 2) = 0, xto je ispu eno za x ∈ {3, 1, 4}. Potkorena veliqina u imeniocu je ve a od 0 samo za x = 3 pa je jedino rexe e date jednaqine x = 3. Taqan odgovor je A). 12. Opxti qlan u razvoju datog binoma je 3x

Ak+1

Iz uslova odnosno 35.

2

−5x

= 3−4

7−k √ k √ 7 7 3 = x ¡ ( x) = ¡ x(7−k)/3+(k/2) . k k

7−k k + = 3 3 2

se dobija

k = 4.

Koeficijent uz

x

3

je

7 , 4

Taqan odgovor je B).

13. Da bi polinom P (x) bio de iv sa (x − 2)2 potrebno je i dovo no

da je P (2) = 0 i P 0 (2) = 0. Kako je P 0 (x) = 5x4 − 12x3 + 3ax2 + 2x sledi 8a + b = 12, 12a = 12,

odakle je a = 1, b = 4. Dakle, a2 + b2 = 17. Taqan odgovor je C). 14. Trocifreni brojevi de ivi sa 7 su qlanovi aritmetiqkog niza 994 − 105 105, 112, . . . , 994. Broj qlanova tog niza je n = + 1 = 128, pa je 7 zbir svih qlanova niza jednak S=

Taqan odgovor je A).

128 (105 + 994) = 70336. 2

17 Prijemni ispiti na FON-u

231

15. Data jednaqina je ekvivalentna jednaqini cos 2x − cos x = 0 koja se transformisa em leve strane u proizvod svodi na −2 sin

x 3x sin = 0. 2 2

Posled a jednaqina ima dva niza rexe a koja se dobijaju iz uslova 3x x ∈ {kĎ€ : k ∈ Z} ili ∈ {lĎ€ : l ∈ Z}. Dakle, realan broj x je rexe e 2 2 date jednaqine ako i samo ako je x∈

2 kĎ€ : k ∈ Z} âˆŞ {2lĎ€ : l ∈ Z . 3

Zbir kvadrata najma eg pozitivnog i najve eg negativnog rexe a je 2 2 8Ď€ 2 2Ď€ 2Ď€ + = − . 3 3 9

Taqan odgovor je D). 16. Primenom kosinusne teoreme na trougao ABC dobija se √ (2 7)2 = b2 + c2 − 2bc ¡ cos 120â—Ś

tj.

28 = b2 + c2 + bc. √ √ √ 1 1 â—Ś Iz uslova zadatka je 2 3 = 2 bc sin 120 , tj. 2 3 = 2 bc 23 , odakle bc = 8. Iz posled e dve jednakosti sledi (b + c)2 = 36, pa je b + c = 6.

je

Taqan odgovor je E) . 17. Data nejednakost je ekvivalentna nejednakosti

Posled a nejednakost je

−x2 + (a + 2)x − 4 < 0. x2 − x + 4 taqna za svako x ∈ R ako

i samo ako je

2

D = (a + 2) − 16 = (a + 2 − 4)(a + 2 + 4) = (a − 2)(a + 6) < 0,

xto je ekvivalentno sa a ∈ (−6, 2). Najve i ceo broj iz posled eg skupa je a = 1. Dakle treba odrediti broj celobrojnih rexe a nejednaqine log x

√ 63 − 2x ≤ 1.

Oblast definisanosti za datu nejednaqinu je D = (0, 1) âˆŞ (1, 63/2). Ako je x ∈ (0, 1), onda je razmatrana nejednaqina ekvivalentna nejednaqini 63 − 2x ≼ x2 , tj. x ∈ (0, 1). Ako je x ∈ (1, 63/2), razmatrana nejednaqina je ekvivalentna nejednaqini 63 − 2x ≤ x2 , tj. x ∈ [7, 31.5). Dakle, skup svih rexe a razmatrane nejednaqine je (0, 1) âˆŞ [7, 31.5). Celi brojevi koji pripadaju tom skupu su 7, 8, . . . , 31. Ima ih ukupno 25. Taqan odgovor je D). 18. Oznaqimo sa x du inu polupreqnika osnove√ upisanog va ka, a sa H du inu egove visine (Sl.2). Tada je H = 2 6 − x2 . Zapremina tog va ka je p p V (x) = x2 Ď€ ¡ 2 6 − x2 = 2Ď€x2

6 − x2 .

232

17 Prijemni ispiti na FON-u

Prvi izvod funkcije V (x) je x(12 − 3x2 ) √ , 6 − x2 pa je V 0 (x) = 0 ako i samo ako je x = 0 ili x = 2 ili x = −2. Kako polupreqnik va ka ne mo e biti negativan ili 0 jedino dopustivo rexe e je x = 2cm. √ Za x ∈ (0, 2) je V 0 (x) > 0 pa funkcija V (x) raste. Za x ∈ (2, 6) je V 0 (x) < 0 pa V (x) opada. Prema tome, za x = 2 funkcija V (x) dosti e svoj maksiV 0 (x) = 2Ď€ ¡

mum

Taqan odgovor je B). 19. Data jednaqina je ekvivalentna p

tj.

jednaqini

(log 2 (1 − x) − 2)2 = 2 − log 2 (1 − x),

| log 2 (1 − x) − 2| = 2 − log 2 (1 − x).

(∗)

Oblast definisanosti za datu jednaqinu je odre ena uslovom 1 − x > 0, tj. D = (−∞, 1). Razlikova emo slede e sluqajeve: 1. log2 (1 − x) − 2 < 0: U ovom sluqaju je jednaqina (∗) ekvivalentna jednaqini 2 − log 2 (1 − x) = 2 − log 2 (1 − x).

Imaju i u vidu uslov pod kojim rexavamo datu jednaqinu zak uqujemo da je skup svih rexe a u ovom sluqaju jednak (−3, 1) 2. log2 (1−x) ≼ 2. Jednaqina (∗) je u ovom sluqaju ekvivalentna jednaqini log 2 (1 − x) − 2 = 2 − log 2 (1 − x).

Jedino rexe e posled e jednaqine, pod datim ograniqe ima je x = −3. Dakle skup svih rexe a date jednaqine je [−3, 1). Celi brojevi koji pripadaju tom skupu su −3, −2, −1, 0. Taqan odgovor je C). 20. Broj reqi u reqniku je 6 5! 5! ¡3+ ¡ 3 , odnosno 3000. 3 3! ¡ 1! ¡ 1! 2! ¡ 2! ¡ 1! Taqan odgovor je E).

2003. godina

1.

Vrednost izraza A)

2.

5 3

;

B)

7 6

;

C)

Vrednost izraza

5 1+ 3

;

D)

3 5

6 7

√

a 1+a

− 1

2 : 3

; +

−1/2 E)

s

3 10

2 + 3

!−1

je:

.

1 1− (a − 1) a

, za 0 < a < 1 je:

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.