INGENIERÍA ECONÓMICA, es el arte de hacer con un dólar lo que cualquier ignorante puede hacerlo gastando dos. Obra escrita por: Arthur M. Wellington – Ing. Civil - (EE.UU. 1887)
Autor: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA – PERÚ TIENDA VIRTUAL MUNDIAL: www.safperu.com
MATEMÁTICA FINANCIERA Simplificada LAS 6 FÓRMULAS CLAVES Y EL CIRCUITO FINANCIERO LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN
i R=S
n
(1+i) -1
LA ACTUALIZACIÓN
1 2
5
P=S
(1+i)n
R R
(1+i)n-1 0 P=R P i (1+i)n
1
...
2 ...
4
LA CAPITALIZACIÓN
S S = P (1+i)n R n
i
(1+i)n-1 S=R i
1
3
i (1+i)n R=P
n
6
(1+i) -1 LAS AMORTIZACIONES ¡ Si con esta METODOLOGÍA, no aprende MATEMÁTICA FINANCIERA, entonces . . . , este negocio . . . . , no es para usted !. DERECHOS RESERVADOS:
Registro Nro. 584 - D - 21-12-79 BIBLIOTECA NACIONAL DEL PERU
SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS
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Banca y Comercio
2: CONTABILIDAD GERENCIAL: Proyecciones y Análisis 3: EVALUACIÓN DE PROYECTOS: Económica y Financiera 4: EVALUACIÓN DE VALORES: Bonos y acciones. Con mis clases en DVD’s, HOY te enseño, “cuando quieras, donde quieras y cuantas veces quieras”. LA COSA ES ASÍ: “Escucha sus Clases en su MONITOR mirando su MANUAL y con su CALCULADORA CIENTÍFICA verifica las OPERACIONES FINANCIERAS”. Consultas x E-mail
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3
LOS 6 FACTORES FINANCIEROS
NUEVAS NOTACIONES desde el 2008 PROPUESTA del Prof.: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA (UNI) A las NUEVAS GENERACIONES de estudiantes, les propongo estas NUEVAS NOTACIONES de las 6 Fórmulas Claves: * Respecto a los Factores 1 y 2, les he quitado la S de la palabra SIMPLE. Ej.: Ya no digo, “Factor Simple de Capitalización: FSC”, sino “Factor de Capitalización: FC” Habían alumnos que creían que la S de Simple, significaba Interés Simple. Y nada que ver. * Respecto a los Factores 3, 4, 5 y 6, y para recordar fácilmente “para qué sirven” solo piense en 2 palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN de un Flujo Constante R. Las usa el profesor Frank Ayres de los EE. UU. en su libro: Matemáticas Financieras.
1) Factor de Capitalización (FC)
2) Factor de Actualización (FA)
1 n (1 + i)
n (1 + i)
3) Factor de Agrupamiento al Futuro (FAF)
4) Factor de Distribución de un Valor Futuro (FDVF)
n (1 + i) - 1
i n (1 + i) - 1
i 5) Factor de Agrupamiento al Presente (FAP)
6) Factor de Distribución de un Valor Presente (FDVP)
n (1 + i) - 1 n i (1 + i)
n i (1 + i) n (1 + i) - 1
CORRESPONDENCIA DE FACTORES Desde 2008 Si, n PERÚ
∞ Si, i = 0
Dr. Guadagni Tradicional Prof. TAYLOR Prof. TARQUIN
ARGENTINA
FC FA FAF
∞ 0 ∞
1 1 n
FSC FSA FCS
FDVF
0
1/n
FDFA
1/i
n
FAS
1/n
FRC
FAP FDVP Mi Propuesta.
i
EE.UU
EE.UU.
EE.UU.
s a sn i 1/s n i
SPCAF SPPWF USCAF
F/P,i,n P/F,i,n F/A,i,n
SFDF
A/F,i,n
an i 1/a n i
USPWF
P/A,i,n
CRF
A/P,i,n
ESAN 1975: Aquí aprendí estas Notaciones y las publiqué en 1980.
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1) El FACTOR de CAPITALIZACIÓN: Transforma un Stock Inicial P, en un Stock Final S.
4
2) El FACTOR de ACTUALIZACIÓN: Transforma un Stock Final S, en un Stock Inicial P.
1 FC = (1 + i)n
FA = (1 + i)n
S = P . FCn i
P = S . FAn i
S 0
S
n
P
0
n
P
3) El FACTOR de AGRUPAMIENTO al FUTURO: Transforma un Flujo Constante R, en un Stock Final S.
4) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN de un VALOR FUTURO Transforma un Stock Final S, en un Flujo Constante R.
(1 + i)n - 1 FAF =
i FDVF = (1 + i)n - 1
i
.
S = R . FAFn i
R = S . FDVFn i S
R
R
0
S
R n
5) El FACTOR de AGRUPAMIENTO al PRESENTE: Transforma un Flujo Constante R, en un Stock Inicial P.
R 0
n
un Stock Inicial P, en un Flujo Constante R.
i (1 + i)n FDVP =
i (1 + i)n
(1 + i)n - 1
P = R . FAPn i
R = P . FDVPn i
.
R 0
P
R
6) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN de un VALOR PRESENTE: Transforma
(1 + i)n - 1 FAP =
R
R
R n
R 0
P
R
R n
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5
MATEMÁTICA FINANCIERA Es álgebra aplicada a los negocios y la economía. ¿A QUIÉNES INTERESA LA MATEMÁTICA FINANCIERA? Miremos un Balance: ACTIVO Caja Facturas por Cobrar Inventario Edificios Maquinarias Equipos
PASIVO Pagarés BANQUEROS Facturas por Pagar COMERCIANTES CAPITAL
Acciones Utilidades
INVERSIONISTAS
EL BANQUERO, el COMERCIANTE y el INVERSIONISTA acuden al MATEMÁTICO, para que les elabore un HERRAMENTAL y puedan manejar sus operaciones con exactitud. El MATEMÁTICO, en base a un RAZONAMIENTO LÓGICO, desarrolla un CONJUNTO de FÓRMULAS útiles en el campo financiero. Por eso se habla de: El CALCULO RACIONAL o Matemático Es el FUNDAMENTO de la INGENIERÍA ECONÓMICA. Pero, el BANQUERO y el COMERCIANTE, no siempre trabajan como lo indica el Matemático y surgen: El Cálculo BANCARIO a interés “adelantado”. El Cálculo COMERCIAL a interés “horizontal”. En cambio, el INVERSIONISTA, sí trabaja como dice Matemático. Y por eso, usted JAMÁS escuchará a un inversionista decir: ¡Tengo un proyecto con una Tasa Interna de Retorno “adelantada”!. Eso de tasa “adelantada”, solo ocurre en la banca.
Por eso, para aprender y com-pren-der la MATEMÁTICA FINANCIERA, clasifico mi libro en 3 GRANDES LECCIONES:
1) El CÁLCULO RACIONAL o Matemático 2) El CÁLCULO BANCARIO. 3) El CÁLCULO COMERCIAL. Los COSTOS y RENDIMIENTOS verdaderos del dinero se descubren, con el CÁLCULO RACIONAL. ¡Ya lo veremos!
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EL DINERO Y SU TRATAMIENTO Como STOCK:
Como FLUJO:
Es una cantidad de dinero Es una sucesión de cantidades en un momento dado del tiempo. de dinero, a través del tiempo. STOCK Final S 0
n días
FLUJO CONSTANTE ( R ) R R R R 0
P STOCK Inicial
1
2 . . . . . . . . n periodos
P STOCK Inicial
Ej.: Préstamo Pagadero con UNA Cuota ( S ). Valor Nominal del Pagaré
Ej.: Préstamo Pagadero con VARIAS Cuotas
Inmediatas (yá en el 1er. periodo) y Vencidas (pero a fin del 1er. periodo)
NOTACIONES:
P STOCK INICIAL (Capital, Valor Presente, Valor Actual, Valor Líquido)
S STOCK FINAL (Monto, Valor Futuro, Valor a Plazo, Valor Nominal)
R FLUJO CONSTANTE (Serie Uniforme, Rentas, Anualidades)
n: HORIZONTE TEMPORAL (Periodos, Plazo, Vencimiento).
¡COLEGAS PROFESORES! Llamar ANUALIDAD a unas Cuotas MENSUALES, ¡Confunde! Sugiero decir: Flujo MENSUAL, Flujo TRIMESTRAL. Flujo SEMESTRAL.
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com
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LECCIÓN de CORTESÍA en PDF
EL CÁLCULO RACIONAL O MATEMÁTICO Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4 En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com
Con solo saber: SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR y DIVIDIR, Algo se puede aprender . . .
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CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS FINANCIEROS: ANUALIDADES O RENTAS (expresiones antiguas) I ) FLUJO INMEDIATO VENCIDO: Anualidades Vencidas o Rentas Pospagables. Las 4 últimas Fórmulas Claves están diseñadas para manejar solo este Tipo de Flujo.
0
R
R
R
R
R ..............
R
1
2
3
4
5 . . . . . . . . . . . . . . . . (n-1)
R
La BASE
n
Los siguientes Flujos se manejan combinando FACTORES.
II ) FLUJO INMEDIATO ANTICIPADO: Anualidades Anticipadas o Rentas Prepagables.
R
R
R
R
R ..............
0
1
2
3
4
R
5 . . . . . . . . . . . . . . . . (n-1)
n
III ) FLUJO DIFERIDO VENCIDO: Anualidades Diferidas Pospagables.
DIFERIMIENTO R 0
1
2
m
R
m+1
R .... R .......
R
(n-1)
n
IV ) FLUJO DIFERIDO ANTICIPADO: Anualidades Diferidas Prepagables.
DIFERIMIENTO
0
1
R
R
m
m+1
2
R .... .......
R (n-1)
n
V ) FLUJO CRECIENTE ARITMÉTICAMENTE: La Gradiente g. Es un Valor MONETARIO. Es la razón de la Progresión Aritmética.
0
g
2g 3g 4g 5g
(n - 1)g
+
+
+
+
+
.................. +
R
R
R
R
R
R
R
1
2
3
4
5
6
...................
n
VI ) FLUJO CRECIENTE GEOMÉTRICAMENTE: La Gradiente g %. Es una TASA. La razón de la Progresión Geométrica es: ( 1 + g )
R 0
1
R(1+g)1 2
R(1+g)2 3
R(1+g)2 . . . . . . . . . ..........
R(1+g)(n - 1) n
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LA TASA DE INTERÉS
i Es la GANANCIA de la UNIDAD MONETARIA al vencimiento de un PERIODO de tiempo.
EJEMPLO: TASA DE INTERÉS: PERIODO:
i = 3% mensual. UN mes
1 + 0.03 0
1 Mes
1 dólar Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4 En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA
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11
Aquí, el PERIODO DE LA TASA es el MES. Es un PERIODO notable. Pero, ¿si queremos la tasa para un periodo NO-NOTABLE: 7 días?. Los bancos usualmente anuncian la tasa de interés a PERIODO ANNUAL: Ej.: 18% ANUAL. ¿Cómo calculamos la tasa de interés para 7 días? La primera IDEA es DIVIDIR y MULTIPLICAR: 18% : 360 x 7 = 0.35%. Pero, en FINANZAS, se usan los términos NOMINAL and EFECTIVA para anunciar las tasas anuales. Esa primera IDEA está bien para una Tasa NOMINAL Anual, pero NO para una Tasa EFECTIVA Anual, porque las TASAS EFECTIVAS se manejan por RADICACIÓN y POTENCIACIÓN. Esto lo estudiaremos más adelante. Sigamos con el 3% mensual.
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EL INTERÉS ( I ) Es el resultado de aplicar la TASA DE INTERÉS ( i ) a UN CAPITAL ( P )
i I=P.i EJEMPLO.
PRÉSTAMO: Tasa de interés: Plazo:
P = US$ 600 i = 3% mensual n = 1 mes
I = 18 0
1 Mes
P = US$ 600
EL INTERÉS ( I ): I = 600 x 0.03 I = 18 La fórmula: I = P x i, es tan sencilla como en la FÍSICA: e = v x t Pero, la Física se complica cuando conocemos sobre la aceleración y el rozamiento.
Así también, la MATEMÁTICA FINANCIERA tiene su desarrollo con los conceptos: La Capitalización y la Actualización.
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13
DEUDA A PAGAR CON UNA CUOTA: EL INTERÉS VENCIDO O SUMADO al CAPITAL OBSERVE: El interés 18, ocurre al vencimiento del mes.
El MATEMÁTICO, le dice al PRESTAMISTA: ¿El Cliente a pedido US$ 600?. ¡Entregue . . . US$ 600! ¡Ahora . . . , SUME, a 600, el interés 18!. Por tanto: El VALOR NOMINAL del PAGARÉ es: S = US$ 618
S=P+I S = 618 0
i = 3% mensual
1 mes
P = 600
¿QUÉ HEMOS HECHO? Hemos transformado Un STOCK Inicial (P = 600) en un STOCK Final (S = 618) Para el MATEMÁTICO . . . , ESO ES TODO. PERO, si el Prestamista, RESTA el INTERÉS, diciendo que es cobrado “por adelantado”, empiezan las complicaciones, que veremos en la Lección 2.
Sigamos con el INTERÉS VENCIDO, sumado o añadido.
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DEUDA A PAGAR CON VARIAS CUOTAS (FLUJO)
EL MÉTODO ALEMÁN: De las Amortizaciones FIJAS
DATOS:
P = 600 i = 3% mensual n = 3 meses Los 3 datos básicos:
Mes n
1 2 3
Saldo al inicio
Interés Amortizaciones Cuota a pagar Saldo x FIJAS a fin de "n"
de “n”
0.03
600
P/n
200 200 200
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15
CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES: (1)
(2)
Mes n
(3)
(4)
(5)
Saldo al inicio
Interés Amortizaciones Cuota a pagar Saldo x FIJAS a fin de "n"
de “n”
0.03
P/n
(3) + (4)
1
600
18
218
2
400
12
3
200
6
200 200 200
212 206
ES UN MÉTODO ELEMENTAL
¿QUÉ HEMOS HECHO? P = 600
0
218
212
1
2
206 3 meses
Hemos transformado un STOCK Inicial (P) en un FLUJO. OTRA PRESENTACIÓN DEL CUADRO DE INTERESES (1)
(2)
(3)
Mes n
Saldo
Interés (2) x 0.03
0 1 2 3
600 400 200 0
18 12 6
(4)
(5)
Amortizaciones Cuota a Pagar P/n (3) + (4) Ver también la pág. 82 200 218 200 212 200 206
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16
MÉTODO AMERICANO: Amortización TOTAL al final de los n periodos de interés.
DATOS:
P = 600 i = 3% mensual n = 3 meses Los 3 datos básicos:
Mes n
1
Saldo al inicio
Interés Saldo x
de “n”
0.03
Amortización Cuota a pagar a fin de "n"
600
2 3
600 Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4 En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA
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CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES: (1) Mes n
(2)
(3)
(4)
(5)
Saldo al inicio
Interés Amortización Cuota a pagar Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.03
(3) + (4)
1
600
18
18
2
600
18
18
3
600
18
600
618
¿QUÉ HEMOS HECHO? P = 600
0
18
18
1
2
618 3 meses
Hemos transformado un STOCK Inicial (P) en un FLUJO. Este método tan elemental y primarioso se usa en ese Gran Campo de las FINANZAS llamado: EL MERCADO de CAPITALES cuando una empresa emite BONOS.
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18
CASO ESPECIAL de CORTO PLAZO Si el pago NO CUBRE el interés, el BANQUERO capitaliza la diferencia. (1)
(2)
Mes n
Saldo al inicio
Interés Amortización Cuota a pagar Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.03
(3) + (4)
600 608 611.24
18 18.24 18.34
10 15 629.58
1 2 3
(3)
(4)
611.24
(5)
OBSERVACIONES 1.- Cuando el PAGO no cubre, el INTERÉS del PERIODO, el SALDO de la DEUDA AUMENTA. (*) Se cobra interés sobre interés (se llamará Interés COMPUESTO) 2.- Cuando una CUOTA supera el INTERÉS del PERIODO, el SALDO de la DEUDA DISMINUYE. 3.- Cuando el PAGO solo IGUALA el INTERÉS del PERIODO, el SALDO de la DEUDA SE MANTIENE. ¡Así nomás es!
¿QUÉ HEMOS HECHO?
P = 600 0
10
15
1
2
629.58 3 meses
Hemos transformado un STOCK Inicial (P) en un FLUJO. (*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. Entonces el 2do. Interés, también sería 18. ¡NO ES ASÍ!. El banco cobrará 18.24. El Interés Simple NO SIRVE. Sugiero utilizar INTERÉS COMPUESTO a cualquier plazo en AHORROS y PRÉSTAMOS
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19
EJERCICIO LLENE LA TABLA (1)
(2)
Mes n
Saldo al inicio
Interés Amortización Cuota a pagar Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.02
1 2 3
(3)
(4)
(5)
(3) + (4)
900
12 9 RESPUESTA
(1)
Mes n
1 2 3
(2)
(3)
(4)
(5)
Saldo al inicio
Interés Amortización Cuota a pagar Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.02
900
18 18.12 18.30
906 915.12
(3) + (4)
12 9 915.12
933.42
(*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. ESO NO ES CIERTO. El Interés Simple NO LE SIRVE al Banquero, al Comerciante, al Inversionista, ni al Ahorrista. Solo hay CONVENIENCIAS. Cuando se trata de PAGAR no nos gustaría que capitalicen los intereses. Cuando se trata de COBRAR si nos gusta capitalizar los intereses. No debe ser así. Hay que MEDIR CON LA MISMA VARA. En INTERNET: En Google escriba: MATEMATICA FINANCIERA en Buscar. CEF: Centro de Estudios Financieros: (www.cef.es). Vea el Libro del Prof. Tovar en el Tema: Capitalización (?) a Interés Simple. Solo debe aplicarse INTERÉS COMPUESTO a cualquier plazo.
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20
Si ademรกs de sumar, restar, multiplcar y dividir, sabemos RADICAR y sabemos POTENCIAR, podemos aprender mรกs . . .
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21
1.1. LA CAPITALIZACIÓN La capitalización es un proceso de reinversión de ganancias
LA PRIMERA FÓRMULA CLAVE i
LA TASA DE INTERÉS
I = P.i
EL INTERÉS
LA CAPITALIZACIÓN
1ra. Fórmula Clave
S = P (1 + i)n El Factor de Capitalización:
FCni = (1 + i)n
LEER: Factor de Capitalización “ sub n a la tasa i ”
El FC, transforma un STOCK Inicial P, en un STOCK Final S.
S 0
P
1
2 ..............
i
n
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22
DEMOSTRACIÓN DE LA 1ra. FÓRMULA CLAVE:
S = P . FCn i
S = P (1 + i)n Se trata de una aplicación sucesiva de la Fórmula: I = P . i (1) PERIODO
n
(2) CAPITAL
al comienzo del periodo n
(3)
(4)
INTERES
MONTO
por periodo (2) x i
al final del periodo n CAPITALIZACIÓN
FACTORIZANDO
P.i
P+P.i
P(1+i)1
P( 1 + i )
P( 1 + i ) i
P( 1 + i ) + P( 1 + i ) i
P(1+i)2
3
P(1+i)2
P(1+i)2i
P(1+i)2 +P(1+i)2i
P(1+i)3
4
P(1+i)3
P(1+i)3i
P(1+i)3 +P(1+i)3i
P(1+i)4
1
P
2
.
. .
Por inducción matemática: Para " n " periodos, el exponente será " n "
n
P(1+i)n
LQQD
Así, como en la FÍSICA, la Fórmula Básica: e=v.t se complica con los conceptos de: aceleración y rozamiento. Así también, en FINANZAS, la Fórmula Básica:
I=P.i Se amplía con los conceptos: CAPITALIZACIÓN y ACTUALIZACIÓN.
MUY IMPORTANTE: Si trabaja con la tasa “i” MENSUAL, el exponente “n” debe ser en MESES. Si trabaja con la tasa “i” DIARIA, el exponente “n” debe ser en DÍAS.
NO SALE NADA, si pone, la tasa en AÑOS y el exponente en MESES.
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23
INTERÉS SIMPLE vs.
INTERÉS COMPUESTO P = US$ 1000
n = 4 trimestres
i = 10% trimestral
INTERÉS SIMPLE: Interés NO capitalizable I1=100 0
1
P=1000 P1=1000
I2=100
I3=100
I4=100 Constante
2
3
n = 4 Trimestres
P2=1000
P3=1000
P4=1000
Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100 el banco, para calcular el 2do. Interés, NUNCA aceptará aplicar 10% solo sobre 1000 y cobrar, otra vez: I2 = US$ 100.
INTERÉS COMPUESTO: Interés SÍ capitalizable EL PROCESO DETALLADO I1=100 I2=110 I3=121 I4=133.1 Creciente 0
1
P=1000 P1=1100
2
3
n = 4 Trimestres
P2=1210
P3=1331
P4=1464.10
Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100
el banco considera a I1 = US$ 100 como un NUEVO CAPITAL prestado y OBLIGARÁ aplicar la tasa 10% sobre (1000 + 100)
Entonces, el 2do. Interés será: I2 = 1100 x 0.10 = US$ 110 Así . . . , la deuda a fin del 2do. Trimestre será: P2 = US$ 1210 El INTERÉS SIMPLE, no le sirve al BANQUERO.
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24
A INTERÉS COMPUESTO: Sí reinvierte los intereses
EL PROCESO ABREVIADO DE LA CAPITALIZACIÓN 0
1
P=1000
2
3
n = 4 Trimestres
P4=1464.10
i = 0.10
S= P . FCni S = P (1 + i)n S = 1000(1+ 0.10)
4
S = 1000 (1.4641) S = 1464.10 dólares SIGNIFICADO: US $1000 HOY
<> US $1464.10 dentro de 4 trimestres a la tasa del 10% trimestral compuesto.
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25
SUMA ECONÓMICA vs.
SUMA CONTABLE EQUIVALENCIA FINANCIERA Y SUSTITUCIÓN DE DEUDAS El FLUJO de DEUDAS: 40, 50, y 60 mensuales, se desea cancelar con un STOCK FINAL: S, a fin del mes 4. 40
50
60 Dólares
0
1
2 meses
El Banco exige una tasa de interés del 4% mensual.
40
50
60
S=? SUMA
0
1
2
3
4 meses
SUMA
ECONÓMICA CONTABLE
60(1+ 0.04 )2 = 64.90 50(1+ 0.04 )3 = 56.24 40(1+ 0.04 )4 = 46.79
60 50 40
167.93
150
El Banco le hará firmar una NUEVA Letra por US$ 167.93. JAMÁS le aceptará US$ 150.
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26
Toda SUMA ECONÓMICA o, SUMA GEOMÉTRICA, se hace en un PUNTO en el TIEMPO. Es la base de la: EQUIVALENCIA FINANCIERA entre STOCK y FLUJO. Una ECUACIÓN FINANCIERA se plantea en cualquier PUNTO del TIEMPO
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27
DEUDA A PAGAR CON VARIAS CUOTAS
MÉTODO FRANCÉS: Las Cuotas FIJAS PROBLEMA: PRÉSTAMO: P = US$ 600 Tasa de interés: i = 3% mensual Cuotas mensuales: n = 3
Si solo sabemos la 1ra. FÓRMULA CLAVE
S = P . FCn i S = P (1 + i)n RAZONAMIENTO: "DOS CANTIDADES EQUIVALENTES LO SON EN CUALQUIER PUNTO DEL TIEMPO"
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28
COBRANZAS <> PRÉSTAMO Solo es cuestión de plantear la ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO FINAL (Punto 3).
COBRANZAS 0
R
R
1
2
R 3 meses
PRÉSTAMO P = 600
R(1+0.03)2 + R(1+0.03)1 + R
=
600(1+0.03)3
El 1er. Miembro de la ecuación es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 3. Despejando:
R = 212.12
Los 3 Datos Básicos: (1)
Mes n
(2)
Saldo al inicio
de “n” 1 2 3
600
(3)
(4)
(5)
Interés Amortización Pago constante Saldo x a fin de "n"
0.03
(5) – (3)
R 212.12 212.12 212.12
La CUOTA FIJA: R, contiene INTERESES y AMORTIZACIONES
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29
EL CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES Llenando el cuadro: (1)
Mes n
(2)
(3)
(4)
(5)
Saldo al inicio
Interés Amortización Pago constante Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.03
(5) – (3)
1
600
18
194.12
2
405.88
12.18
199.94
3
205.94
6.18
205.94
R 212.12 212.12 212.12
Σ = 600.00
RAZONE así: A fin del primer mes, el interés 18 es derecho del Prestamista. Pero, el deudor paga MÁS: 212.12 .
Entonces, la DIFERENCIA: 212.12 - 18 = 194.12 es la PRIMERA AMORTIZACIÓN, que rebaja el SALDO DEUDOR a US$ 405.88 a INICIO del SEGUNDO MES. Y así sucesivamente.
¿QUÉ HEMOS HECHO? P = 600 212.12 0
1
212.12 2
212.12 3 meses
Hemos transformado un STOCK Inicial ( P ) en un FLUJO CONSTANTE ( R )
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com
30
EL INTERÉS ASTRONÓMICO
S = P (1 + i)n Un banquero dijo: No sé cuál es la 7ma. Maravilla del Mundo, pero, sí sé cuál es la 8va. Se llama: INTERÉS COMPUESTO.
¿En cuánto se convierte US$ 100 después de 200 años a la tasa del 0.5% mensual? Rpta. US$ 15 796 039.67 ¡Que se pagaría a algún descendiente suyo!. Pero, si le cobran US$ 5 mensuales por “mantenimiento de cuenta”, ¿en cuánto tiempo “desaparece” su plata? Rpta. n = 21.12473931 meses. Plantée: 100(1.005)n = 5[{(1.005)n -1}/0.005]
UN PRÉSTAMO HIPOTÉTICO LA CAPITALIZACIÓN EN EL LARGUÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍSIMO PLAZO: 477 años Si a fines de 1532, el Sr. FRANCISCO PIZARRO, recibió ORO del INCA ATAHUALPA, equivalente a 1 MILLÓN de euros, para la Corona Española,
¿ cuánto debería pagar ESPAÑA al PERÚ, el 31 - 12 - 2010, suponiendo como valor del dinero, una tasa de interés, bajita nomás, del 0.5% mensual ?.
S = 1 000 000 ( 1 + 0.005 )5736 meses
S = 2’’’ 657, 848’’ 581, 000’ 000, 000 de euros Si somos 30 millones de habitantes nos tocaría: 88,594’952,700 euros A CADA UNO.
¡Que dicen! . . . ¿COBRAMOS?. “SOÑAR NO CUESTA NADA”
AHORRO PARA LA VEJEZ: El Plazo Fijo Con US$ 1000 al mes puede VIVIR BIEN una PAREJA de ANCIANOS. Si un joven de 25 años ahorra HOY, US$ 842.8311619 al 1% mensual, acumularía US$ 100 000 cuando cumpla 65 años. S = 842.8311619( 1 + 0.01 )480 meses = 100 000 dólares Cobraría: I = P . i = 100 000 x 0.01 = US$ 1000 mensual. El Capital US$ 100 000 lo dejaría a sus HEREDEROS. La CAJA TRUJILLO ya paga el 12 % anual a PLAZO FIJO en MN. +
(Ver: Diario “PERÚ 21” del 02.08.09 – Pág. 6)
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31
1.2. LA ACTUALIZACIÓN Es el proceso de descontar los intereses a un valor futuro.
LA SEGUNDA FÓRMULA CLAVE
i I=P.i LA CAPITALIZACIÓN
1ra. Fórmula Clave
S = P (1 + i)n LA ACTUALIZACIÓN
2da. Fórmula Clave
1 P=S (1 + i)n El Factor de Actualización:
FAni
1 =
n (1 + i) LEER: Factor de actualización “ sub n a la tasa i ” El FA, transforma un STOCK Final: S, en un STOCK Inicial: P
S 0
P
1
2 ..............
i
n
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32
LA ACTUALIZACIÓN: PROBLEMA: US$ 1000 se pagará con US$ 1464.10 dentro de 4 trimestres, a la tasa del 10% trimestral. ¿Cuánto se pagaría 2 trimestres antes del vencimiento?
S=1464.10
0
1
2
3
P2 = ?
P=1000
P = S . FAn
4 Trimestres i
P2 = 1464.10 FA2 0.10
1
P2 = 1464.10
2 (1 + 0.10) P2 = 1464.10 x 0.826446281
P2 = 1210 dólares
VERIFICACIÓN POR CAPITALIZACIÓN: LA CAPITALIZACIÓN Y LA ACTUALIZACIÓN Son como DOS CARAS de una MISMA MONEDA 0
P=1000
1
2
3
P2 = 1000 FC20.10
4 Trimestres
2 P2 = 1000 (1 + 0.10) = 1210 dólares
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33
ACTUALIZACIÓN
Y COSTO DE UN CRÉDITO EL MÉTODO ALEMÁN: P = 600 “efectivamente” recibido ¿Cuál es la tasa?
218 0
212
1
206
2
3 meses
1er. RAZONAMIENTO: El Flujo de Pagos ACTUALIZADO, debe estar en ecuación con el crédito, a cierta tasa de interés por calcular. Pagos 0
Crédito P = 600 P1 P2 P3 Donde: P =
218
212
1
2
206 3 meses
i=?
P1 1
+
P2 1
+
P3 1
600 = 218 + 212 + 206 ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3
El 2do. Miembro es una SUMA ECONÓMICA en el Punto "0" 2do. RAZONAMIENTO: Mirando la ECUACIÓN FINANCIERA planteada, decimos: “Debe existir una tasa, cuyo valor numérico reemplazado en el 2do. miembro y, realizando las operaciones indicadas, dé 600”. No pretenda despejar i. Use EXCEL FINANCIERO. Se VERIFICA la tasa con el Cuadro de Intereses yAmortizaciones.
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34
Ejemplo con EXCEL
A 1
-600
2
218
3
212
4
206
5
3
En A5, teclee: =TIR(A1:A4) Aparecerá el resultado: 3 Si quiere más decimales, haga CLICK aquí. +o oo
RESULTARÁ LO MISMO 3% con: EL MÉTODO AMERICANO
P = 600
0
EL MÉTODO FRANCÉS
18
618
1
2
3 meses
212.12
212.12
212.12
1
2
3 meses
10
15
629.58
1
2
3 meses
P = 600
0
Y CUOTAS VARIABLES
18
P = 600
0
Como resulta 3%, en los cuatro métodos, se dice que los 4 FLUJOS son:
FINANCIERAMENTE EQUIVALENTES. Lo que significa: 1º Que los 4 flujos contienen el mismo rendimiento: 3%, ó 2º Que los 4 flujos pagan el préstamo de US$ 600.
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35
ACTUALIZACIÓN Y CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO Una empresa tiene EXCEDENTES DE CAJA de US$ 30, 40 y 50 a través de 3 meses. Calcule el PRÉSTAMO MÁXIMO. i = 1% mensual. Capacidad de pago:
30
40
1
2
0
50 3 meses
Préstamo: P=? A cada pago parcial, se calcula su valor presente. 29.70
30(1+ 0.01)-1 = P1
39.21
40(1+ 0.01)-2 = P2
48.53 50(1+ 0.01)-3 = P3 117.44 Esta SUMA ECONÓMICA es el Préstamo MÁXIMO
VERIFICACIÓN: CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES (1)
(2)
(3)
(4)
Periodo Saldo Interés n al inicio de “n” (2) x 0.01 1 2 3
117.44 88.61 49.50
(5)
Amortiz. Pago (5) - (3) a fin de “n”
1.17 0.89 0.50
30 40 50
28.83 39.11 49.50
Σ = 117.44 Préstamo Máx. RELACIÓN entre INTERESES CAPITALIZADOS y AL REBATIR DETALLANDO EL GRÁFICO: 0
30
40
50
1
2
3
INTERESES CAPITALIZADOS c/ mes: INTERESES INTERESES INTERESES
P1 = 29.703 P2 = 39.212 P3 = 48.530 LA SUMA son INTERESES al REBATIR
0.297 0.392 0.485 1.174
0.396 0.490 0.886
0.495 0.495 Col. 3
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36
ACTUALIZACIÓN y SALDO DEUDOR Al INICIO del mes 2: El SALDO DEUDOR es US$
88.61
¡Véalo!
CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES (1)
(2)
(3)
(4)
Periodo Saldo Interés n al inicio de “n” (2) x 0.01
(5)
Amortiz. Pago (5) - (3) a fin de “n”
1
117.44
1.17
28.83
30
2 3
88.61
0.89 0.50
39.11 49.50
40 50
49.50
Si no dispone del cuadro, actualice el FLUJO pendiente de pago: 40 y 50 40 50 0
1
2
3 meses
SALDO: P1=? Se calcula el valor presente de cada cuota al Punto 1. 1 39.60 = 40
1
(1 + 0.01) 1 49.01 = 50
2
(1 + 0.01) Σ = 88.61 Es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 1. OBSERVACIÓN: ¿Y cómo se calcula el SALDO DEUDOR “un día cualquiera”?. Para eso, es necesario el CONOCIMIENTO de las TASAS EQUIVALENTES. Eso viene más adelante.
TIENDA VIRTUAL: www.safperu.com
37
INTERÉS SIMPLE vs. INTERÉS COMPUESTO
i I=P.i
Para 1 periodo: día, mes, año
Para n periodos
Para n periodos
n S = P(1 + i . n) CAPITALIZACIÓN S = P (1 + i) 1
1
P=S
P=S
ACTUALIZACIÓN
1+i.n
(1 + i)
A interés SIMPLE n, es FACTOR.
A interés COMPUESTO n, es EXPONENTE.
A la tasa: i = 10% trimestral
A la tasa: i = 10% trimestral
I=100 I=100 I=100 I=100 0
1
2
1000 1000
1000
n
I=100 I=110 I=121 I=133.1
3
4 Trim
0
1
2
1000
1000
1000
1100
1210
El Capital 1000 NO CRECE. No capitalizan los intereses. La tasa siempre se aplica al STOCK Inicial: P. Es como guardar cada ganancia 100 “bajo el colchón”. (Mt. 25-25) El Interés Simple no reconoce el valor del interés ganado en el periodo.
3
1331
4 Trim
1464.1
El Capital 1000 SÍ CRECE. Sí capitalizan los intereses. La tasa se aplica al STOCK al Inicio del Periodo + el INTERÉS. Ej.: A fin del Tr. 1 I = (1000 + 100) 0.10 = 110 (Mt. 25-27) El Interés Compuesto “sí reconoce” el valor del interés ganado en el periodo
Lo qué dice el Prof. JUSTIN MOORE de los EE.UU. (*) “La mezcla de interés compuesto con interés simple es tan ilógica como sería que un tendero insistiera que una mujer que quiere 10 3/4 yardas de paño, compre 10 yardas ¾ de “metro”. La misma unidad de medida debe aplicarse para medir las unidades y las fracciones de unidad”.
Por ello, el método científicamente correcto para calcular, por ej. el PRECIO EFECTIVO de un BONO (o un Papel Comercial) usa el INTERÉS COM-PUES-TO. PREGUNTA En cuánto se convierte $ 1000 después de 15 semestres y 1 mes, al 7% semestral? Según el MATEMÁTICO: 1000 (1 + 0.07)15 1/6 = 1000 (1 + 0.07)15.1666666 = $ 2 790.32 Es lo JUSTO. Según el COMERCIANTE: 1000 (1+0.07)15 (1+0.07 x 1/6) = $ 2 791.22 Es PRÁCTICO, pero INJUSTO. I. Compuesto
Int. Simple
(*) “Manual de Matemáticas Financieras” - Editorial UTHEA
MEZCLA: (1+ 0.07)15 (1+0.07x1/6)
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38
PROBLEMA : A la tasa 10 % mensual. ALTA, por alta inflación.
Datos:: P = $ 900 n = 3 meses. Calcular la Cuota Fija: R
INTERÉS SIMPLE R
R
R
1
2
3
0
P=900
vs. INTERÉS COMPUESTO R
R
R
1
2
3
0
i = 10 %
P=900
La ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO 3:
i = 10%
La ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO 3:
R(1+0.10x2) + R(1+0.10x1) + R
R(1 + 0.10)2 + R(1 + 0.10)1 + R
= 900 (1+0.10x3)
= 900 (1 + 0.10)3
R = 354.55
R = 361.90 Es mayor, pero JUSTO.
La ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO 0:
1
900 = R
1 +R
La ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO 0:
1 +R
1+0.10x1 1+0.10x 2 1+0.10x3
R = 358.33
> 354.55
¿Cuál es la verdad?
1
900 = R
1 +R
1 +R
(1+0.10)1 (1+0.10)2 (1+0.10)3
R = 361.90 Da valor al INTERÉS.
Sale IGUAL. Una sola VERDAD.
Con INTERÉS SIMPLE: Para plantear la ecuación financiera Al Cliente le conviene el Punto 3. Pagaría 354.55 Al Banco le conviene el Punto 0. Cobraría 358.33
CREA DUDAS
¡LA VERDAD DEBE SER UNA SOLA! Hay diferencia cuando se cambia el PUNTO para plantear la ecuación financiera. La diferencia es muy pequeña a tasas de interés muy bajas y en el corto plazo. La diferencia es mayor a tasas de interés altas y, sobre todo, en el largo plazo.
Se crea una discusión, entre el BANCO y el CLIENTE. A INTERÉS COMPUESTO: Siempre sale IGUAL, 361.90 NO CREA DUDAS. Hay exactitud aun cambiando el PUNTO para plantear la ecuación financiera. Autores españoles dicen que el INTERÉS SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. (?).
Yo digo: Si la aplican en el LARGO PLAZO, se “DERRUMBAN” las FINANZAS.
MI RECOMENDACIÓN: ¡Apliquen Interés COMPUESTO “a cualquier plazo”! Es JUSTO, cobrar interés sobre el interés ganado (nuevo capital). Es REINVERSIÓN de UTILIDADES. Pero es INJUSTO, ABUSIVO, cobrar ALTAS TASAS a la gente pobre aduciendo MAYOR RIESGO.
La gente POBRE es más cumplidora. La gente RICA es más tramposa. Lc. 16-19 a 31. Ex. 22 - 25. Pr. 28 – 8 y 20. Hag. 2 - 8. Sal. 24 - 1,2. 2 Co. 5-10.
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39
AHORA: Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
1.3. LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE La TERCERA Fórmula Clave
i I=P.i
3ra. FÓRMULA CLAVE
(1 + i)n - 1
1ra. Fórmula Clave
S = P (1 + i)n
S=R i
2da. Fórmula Clave
1 P=S (1 + i)
n
El Factor de Agrupamiento al Futuro:
i
(1 + i)
n
-1
FAFn =
i El FAF, transforma un FLUJO CONSTANTE: R, en un STOCK Final S. El FAF, agrupa, reune, un FLUJO CONSTANTE: R, en un STOCK Final S.
S
0
R
R
R
R
1
2
............
n
MUY Importante: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO
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40
DEMOSTRACIÓN DE LA 3ra. FÓRMULA CLAVE: LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R )
S = R . FAFn i n (1 + i) - 1 S=R i Se trata de la AGRUPACIÓN de un FLUJO CONSTANTE . Se trata de una Suma Económica, al FINAL del horizonte temporal. DIAGRAMA:
S R( 1 + i ) n - 1
..... R( 1 + i ) 2 R( 1 + i ) 1
0
R
R
R
..........
1
2
3
4
R n-2
R n-1
R n
Hacemos la Suma Económica en el Punto ( n ), sacando ( R ) como factor común:
S = R [ 1 + ( 1 + i )1 + ( 1 + i )2 + ( 1 + i )3 + ............. + + ( 1 + i )n - 1 ] El corchete es una Progresión Geométrica cuya suma se calcula así :
"El 1er. término por la razón elevada al número de términos menos el 1er. término, sobre la razón menos uno " 1 ( 1 + i )n - 1 S=R[
] (1+i) - 1
Simplificando:
( 1 + i )n - 1 S=R
i
Al Corchete, se llamará
i
Factor de Agrupamiento al Futuro (FAFn )
RECUERDE: En este libro, TODO es INTERÉS COMPUESTO
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41
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
UN EJEMPLO SENCILLO: ¿Cuánto se podrá acumular, en 3 meses, con 3 depósitos mensuales de US$ 212.12 a la tasa del 3% mensual?
DETALLADAMENTE: Solo con la 1ra. Fórmula S=?
212.12
212.12
212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04 212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48 212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12 212.12 Σ = 655.64 Es una SUMA ECONÓMICA
0
1
2
3
en el Punto 3.
i = 0.03
ABREVIADAMENTE: CON LA 3ra. FÓRMULA CLAVE S = R . FAFn i (1 + i)
n
-1
S=R i Reemplazando datos: ( 1 + 0.03 )3 - 1 S = 212.12 0.03 S = 212.12 [ 3.0909 ]
S = 655.64 Dólares Rpta.
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42
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN ADMINISTRADORAS DE FONDOS DE PENSIONES: Si usted tiene 25 años, y deposita 100 euros mensuales en una AFP que hace rendir a su dinero, 1% promedio mensual, ¿cuánto acumulará cuando cumpla 65 años?
S=?
DIAGRAMA: 100 0
1
100
100
. . . . . . 100
100
2
3
419
480
i = 0.01
meses
ANÁLISIS: Se trata de transformar, agrupar, un FLUJO Constante, en un STOCK Final. Se aplicará el FAF.
OPERACIONES:
S = R . FAFn i
n (1 + i) - 1 S=R
(1 + 0.01)480 - 1 = 100
i
0.01
= 1 176 477.25 euros
SOLUCIÓN: 1 176 477.25 euros. PARA PASAR SU VEJEZ. OBSERVACIÓN: El INTERÉS mensual que cobraría, en adelante, sería: I = 1 176 477.25 x 0.01 = 11 765 euros
hasta su MUERTE. ¿Y el capital 1 176 477.25 euros?. Lo deja a su mujer. Y, si ella es joven, se casa de nuevo. CONCLUSIÓN: “Nadie sabe para quién trabaja”
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43
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
1.4. LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN La CUARTA Fórmula Clave
i I=P.i 1ra.
3ra.
4ta. Fórmula Clave
(1 + i)n - 1 S = P (1 + i)n
i R=S
S=R
(1 + i)n - 1
i
2da. 1 P=S (1 + i)n i
i
El Factor de Distribución de un Valor Futuro: FDVFn =
n (1 + i) - 1
El FDVF, transforma un STOCK Final: S, en un FLUJO constante: R. El FDVF, distribuye, reparte, un STOCK Final: S, en un FLUJO constante: R.
S
0
R
R
R
R
1
2
.............
n
MUY IMPORTANTE: El FLUJO Constante es INMEDIATO y VENCIDO
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44
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
LA DEPRECIACIÓN LOS CAMIONEROS: Un plazo MUY CORTO para entender. Una FLOTA de camiones costó US$ 655.64 y hay que renovarla al término de su VIDA ÚTIL que es de “3 meses” Si un banco paga una tasa del 3% mensual, ¿cuál sería la cantidad necesaria y suficiente depositar a fin de cada mes, para acumular su costo, en EFECTIVO?.
R = S . FDVFn i i
0.03
R= S
= 655.64 ( 1 + 0.03 )3 - 1
(1 + i)n - 1
R = 655.64 [ 0.323530363 ] = 212.12 dólares
VERIFICACIÓN: S = 655.64
212.12
212.12
212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04 212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48 212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12 212.12 Σ = 655.64 Acumula el capital deseado
0
1
2
3
para reemplazar el activo.
i = 0.03
Para recordar, para que sirve el FDVF, acuérdese de:
LOS CAMIONEROS. “Transforma un STOCK Final S, en un FLUJO Constante, R INMEDIATO y VENCIDO” PROBLEMA PARA UD.: Calcule la cuota fija mensual inmediata y vencida: R, a depositar en un banco, a la tasa del 1% mensual para ACUMULAR US$ 20 millones y renovar una FLOTA de CAMIONES, al término de su VIDA ÚTIL de 10 años. Rpta. US$ 86 941.90
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45
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
1.5.
LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE i La QUINTA Fórmula Clave
I=P.i
3ra.
4ta.
1ra. (1 + i)n - 1 S = P (1 + i)n
i
S=R
R=S (1 + i)n - 1
i
2da.
5ta. Fórmula Clave (1 + i)n - 1
1 P=R
P=S (1 + i)n
i (1 + i)n
El Factor de Agrupamiento al Presente:
FAPni =
n (1 + i) - 1 n i (1 + i)
El FAP, transforma un FLUJO constante: R, en un STOCK Inicial: P. El FAP, agrupa, reune, un FLUJO constante: R, en un STOCK Inicial: P.
0
R
R
R
R
1
2
...............
n
P MUY IMPORTANTE: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO
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46
DEMOSTRACIÓN DE LA 5ta. FÓRMULA CLAVE: LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R )
P = R . FAPn i n (1 + i) - 1 P=R n i (1 + i) DIAGRAMA:
R 0
R
1
R ........
2
3
4
R n-2
R n-1
R n
1 R ( 1 + i )1 1 R ( 1 + i )2 ..... 1 R ( 1 + i )n
P
Se trata de la AGRUPACIÓN de un FLUJO Constante . Se trata de una Suma Económica, al INICIO del horizonte temporal. 1
1
P=R[
1
+ (1 + i)1
] Corchete es una P.G.
+ ............................ + (1 + i)2
1
(1 + i)n 1
1
x (1 + i)n
(1 + i) P=R
(1 + i)
[
] 1 1 (1 + i)
Simplificando (1 + i)n - 1 P=R i (1 + i)n
Al Corchete, se llamará: i Factor de Agrupamiento al Presente (FAPn )
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47
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO ¿Cuánto se podrá prestar a una persona que tiene excedentes de efectivo de 212.12 dólares mensuales durante 3 meses?. Tasa de interés: i = 3% mensual
DETALLADAMENTE: Solo con la 2da. Fórmula 212.12 0
1
Es una SUMA ECONÓMICA 205.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-1 199.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-2 194.12 = 212.12 (1+ 0.03 )-3
P = 600
212.12 2
212.12 3
i = 0.03
P=?
ABREVIADAMENTE: Con la 5ta. FÓRMULA CLAVE P = R . FAPn i (1 + i)n - 1 P= R i (1 + i)n ( 1 + 0.03 )3 - 1 P = 212.12 0.03 ( 1 + 0.03 )3
P = 212.12 [ 2.828611355 ] P = 600 dólares
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48
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
EL PRECIO TEÓRICO DE UN BONO Un bono de minera “La Plata”, paga intereses I = US$ 30 trimestrales, y aún falta cobrar 20 cupones de interés. El Valor de Redención es V = US$ 1000 al final del plazo. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista que espera ganar un 4% trimestral?
DIAGRAMA: 0
30
30
30
1
2
3
......
V = 1000 30
30 19
20
P=? i = 0.04 meses ANÁLISIS: Se trata de transformar un FLUJO Constante de 30 de intereses, en un STOCK Inicial. Se aplicará el FAP. Pero, además, se SUMARÁ el valor presente de 1000 Se aplicará el FA. OPERACIONES: PRECIO = 30.FAP20
0.04
+ 1000.FA200.04
( 1 + 0.04 )20 - 1
1 + 1000
P = 30 0.04 ( 1 + 0.04 )20
(1 + 0.04)20
P = 30 [13.59032635 ] + 1000 (0.456386946) P = 407.71 + 456.39 = 864.10 SOLUCIÓN:
P = US$ 864.10 Es el Precio MÁXIMO a pagar.
OBSERVACIÓN: El Precio Teórico se calcula para negociar. Es el SECRETO del inversionista. En la negociación funciona la Ley de la Oferta y la Demanda. El inversionista “debe aprovecharse de la ANGUSTIA por LIQUIDEZ del vendedor y ofrecer pagar menos de 864.10”. Si el precio se negocia en US$ 800, aumenta la tasa de ganancia del inversionista. ¡USE EXCEL!. Rpta. 4.543% Trimestral
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49
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
1.6.
LAS AMORTIZACIONES La SEXTA Fórmula Clave
i I=P.i
1ra.
3ra.
4ta.
(1 + i)n - 1 S = P (1 + i)n
i
S=R
R=S (1 + i)n - 1
i
2da.
5ta.
6ta. Fórmula Clave
(1 + i)n - 1
1 P=S
i (1 + i)n R=P
P=R (1 + i)n
i (1 + i)n
(1 + i)n - 1 n i (1 + i)
i
El Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVPn =
n (1 + i) - 1
El FDVP, transforma un STOCK Inicial: P, en un FLUJO constante: R. El FDVP, distribuye, reparte, un STOCK Inicial: P, en un FLUJO constante: R.
0
R
R
R
R
1
2
.............
n
P MUY IMPORTANTE: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO
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50
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
EL MÉTODO FRANCÉS: RECUPERO DE PRÉSTAMOS EN CUOTAS FIJAS
Calcular la CUOTA FIJA (R) trimestral a pagar en 3 meses por un Préstamo de 600 dólares, al 3% mensual. INGRESOS 0
EGRESO
R
R
R
1
2
3 meses
P = 600
i = 3%
ABREVIADAMENTE:
CON LA 6ta. FÓRMULA CLAVE
R = P . FDVPn i i (1 + i)n R= P (1 + i)n - 1 0.03(1 + 0.03)3 R = 600 (1 + 0.03)3 - 1
R = 212.12 dólares CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES (1)
(2)
Mes n
SALDO al inicio de “n”
1 2 3
600.00 405.88 205.94
(3)
(4)
(5)
INTERÉS Amortización CUOTA FIJA a fin (2) x 0.03 (5) - (3) de "n"
18.00 12.18 6.18
194.12 199.94 205.94 Σ 600.00
212.12 212.12 212.12
RECUERDE: Con la 1ra. Fórmula Clave se hace “muy larga”
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51
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
EL CIRCUITO FINANCIERO LAS 6 TRANSFORMACIONES FINANCIERAS EQUIVALENTES FONDOS DE AMORTIZACIÓN R = S . FDVFni = 212.12
ACTUALIZACIÓN
CAPITALIZACIÓN
P = S . FAni = 600
S R
R
P = R . FAPni=600 0 1 P=600
S = P . FCni = 655.64
R
2 3 i =3%
S = R . FAFni =655.64
R = P . FDVPni = 212.12
AMORTIZACIONES
INTER-RELACIÓN EN UN SOLO ARMAZÓN de los 4 TEMAS de la Matemática Financiera: 1) LA CAPITALIZACIÓN 2) LA ACTUALIZACIÓN
3) LAS AMORTIZACIONES 4) LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN
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52
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
RESUMEN
LAS 6 FÓRMULAS CLAVES TODO ES UNA CADENA
i
AGRUPAMIENTO
I=P.i PRIMERA
DISTRIBUCIÓN
TERCERA
CUARTA
(1 + i)n - 1 S = P (1 + i)n
i
S=R
R=S (1 + i)n - 1
i SEGUNDA
QUINTA
SEXTA
(1 + i)n - 1
1 P=S
i (1 + i)n
P=R (1 + i)n
R=P i (1 + i)n
(1 + i)n - 1
Las 6 Transformaciones de un CAPITAL 600: i = 3% AGRUPAMIENTO
DISTRIBUCIÓN
S =? S=655.64 0
1
P=600
2
3
S=655.64
212.12 212.12 212.12 0
P=?
1
2
3
0
R=? R
R
1
3
2
P=600
Con las FÓRMULAS 1 y 2, se resuelve CUALQUIER problema. LAS FÓRMULAS: 3, 4, 5 y 6 solo ABREVIAN el TRABAJO. Y están diseñadas para CAPITALIZAR o ACTUALIZAR. FLUJOS INMEDIATOS y VENCIDOS. ¡NADA MÁS!
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53
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
OBSERVE: AL FUTURO: Hay 2 CAMINOS para obtener US$ 655.64 PUNTO de PARTIDA: P = 600 Y calculando en el orden de los círculos: 1º, 2º, 3º. LA CAPITALIZACIÓN
0
P= 600
R
R
R
1
2
3
S = P . FCni = 655.64
1º
S = R . FAFni = 655.64
3º
i =3%
R = P . FDVPni = 212.12
2º
LAS AMORTIZACIONES
IDENTIDADES MUY ÚTILES: LA CAPITALIZACIÓN
S = P . FCni S = P . FDVPni . FAFni
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
AL PRESENTE: Hay 2 CAMINOS para obtener US$ 600 PUNTO de PARTIDA: S = 655.64 Y calculando en el orden de los círculos: 4º, 5º, 6º. LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN R = S . FDVFni = 212.12
5º
LA ACTUALIZACIÓN 4º 6º
P = S . FAni = 600 P = R . FAPni = 600 0
R
R
S = 655.64 R
1
2
3
IDENTIDADES MUY ÚTILES: LA ACTUALIZACIÓN
P = S . FAni P = S . FDVFni . FAPni
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55
EL FLUJO CONSTANTE: R = 212.12
por 2 CAMINOS Piense en: DISTRIBUCIÓN
LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN 5º
R = S . FDVFni = 212.12 S = 655.64
212.12 0
1
212.12 2
212.12 3
P = 600 2º
R = P . FDVPni = 212.12 LAS AMORTIZACIONES
IDENTIDADES MUY ÚTILES: R = P . FDVPni R contiene INTERESES. PAGA un Préstamo
R = S . FDVFni R no contiene INTERESES. GANA intereses para acumular un Capital Futuro.
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56
¡ MEMORICE ! 1.- ¿Para qué sirve el Factor de Capitalización: FC?. Sirve para transformar un STOCK Inicial: P en un STOCK Final: S 2
2.- ¿Para qué sirve el Factor de Actualización: FA?. Sirve para transformar un STOCK Final: S en un STOCK Inicial: P 3.- ¿Para qué sirve el Factor de Agrupamiento al Futuro: FAF?. Sirve para transformar un FLUJO Constante: R en un STOCK Final: S 4.- ¿Para qué sirve el Factor de Distribución de un Valor Futuro: FDVF?. Sirve para transformar un STOCK Final: S en un FLUJO Constante: R 5.- ¿Para qué sirve el Factor de Agrupamiento al Presente: FAP?. Sirve para transformar un FLUJO Constante: R en un STOCK Inicial: P 6.- ¿Para qué sirve el Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVP?. Sirve para transformar un STOCK Inicial: P en un FLUJO Constante: R
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57
¡ Esto sí . . . , es GRANDIOSO ! En solo 2 páginas . . . , le enseñaré a manejar las ANUALIDADES ANTICIPADAS y las DIFERIDAS. En otros libros, utilizan CAPÍTULOS, y no hay necesidad.
ANUALIDADES ANTICIPADAS Un PRÉSTAMO de US$ 1000 se paga en 7 meses al 3% mensual. Calcule las Cuotas Fijas Mensuales INMEDIATAS y ANTICIPADAS.
1er. PASO: Aplique el FDVP: RVENCIDA = 1000 . FDVP7 0.03 = 160.506 El FDVP, está diseñado solo para calcular Pagos Fijos al FINAL de CADA PERIODO 160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 0
1
2
3
P = 1000
4
5
6
7
i = 0.03
TRANSFORMACIÓN: De Pagos Fijos al FINAL de CADA PERIODO en Pagos Fijos al INICIO de CADA PERIODO.
2do. PASO: Actualice 1 Periodo la R = 160.506 con el FA 1
RANTICIPADA = 160.506
( 1 + 0.03 )
1
¡HAGA ESTO!
RANTICIPADA = 160.506 (0.970873786) RANTICIPADA = $ 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 0
1
P = 1000
2
3
i = 0.03
4
5
6
7
¡ESO ES TODO!
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58
ANUALIDADES DIFERIDAS VENCIDAS Un Préstamo de US$ 1000 se devuelve en 7 meses al 3% mensual. Calcule las Cuotas Fijas Mensuales R’ vencidas y diferidas 3 meses.
EL SECRETO:
Resalte un Flujo INMEDIATO Y VENCIDO:
UN CAMINO: Combinando el FC con el FDVP.
0
1
2
P = 1000
R
R
R
R
4
5
6
7
3
P3
(vea la línea gruesa)
R = [ 1000 ( FC30.03 ) ] ( FDVP40.03 ) R = [ 1092.727 ] ( 0.269027045 ) = 293.973
Respuesta
293.973 293.973 293.973 293.973 0
1
2
P = 1000
3
4
5
6
7
i = 0.03
OTRO CAMINO: Combinando el FC con el FDFV R 0
1
2
3
4
R 5
P = 1000 i = 0.03 R = [ 1000 ( FC70.03 ) ] ( FDVF40.03 ) R = [ 1229.873865 ] ( 0.239027045 ) = 293.973
R
S R
6
7
Sale igual.
ANUALIDADES DIFERIDAS ANTICIPADAS Solo actualizamos UN PERIODO el resultado anterior: R’ = R . FA10.03 R’ = 293.973 ( 0.970873786 ) = 285.41 285.41 285.41 285.41 285.41 0
1
P = 1000
2
3
4
i = 0.03
5
6
7
¡ESO ES TODO!
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59
PROBLEMA PARA USTED ¡ATÁQUELO POR 7 FRENTES COMBINANDO FÓRMULAS! PRÉSTAMO: P = 1000. Plazo total n = 7 meses. Tasa i = 4% mensual Cuotas Fijas: R = 309.89 (verificar) diferidas 3 meses y vencidas.
“Dos cantidades EQUIVALENTES, lo son en cualquier punto del tiempo” 1er. CAMINO: Con el FC, Ecuación Financiera en el Punto 7
0
1
2
3
= R. FC3
0.04
R
R
R
R
4
5
6
7 meses
P = 1000
1000 . FC7
0.04
+ R . FC2
0.04
+ R . FC1
0.04
+ R Despeje R
2do. CAMINO: Con el FA, Ecuación Financiera en el Punto 0
0
1
P = 1000
1000 = R.FA4
0.04
2
3
+ R . FA5
R
R
R
4
5
6
0.04
+ R . FA6
0.04
R 7 meses
+ R . FA7
0.04
Despeje R
3er. CAMINO: Con el FC y FA. Ecuación en el Punto Ej.: 5
0
1
2
3
R
R
R
R
4
5
6
7 meses
P = 1000
1000 . FC5
0.04
= R.FC1
0.04
+ R + R . FA1
0.04
+ R . FA2
0.04
Despeje R
60
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4to. CAMINO: Combinando el FC y el FAF en el Punto 7
0
1
2
3
R
R
R
R
4
5
6
7 meses
P = 1000
EL SECRETO: (vea la línea gruesa) BUSQUE un Flujo INMEDIATO y VENCIDO 1000 . FC70.04 = R . FAF40.04
R = 309.89
5to. CAMINO: Combinando el FC con el FDVP. 0
1
2
3
R
R
R
R
4
5
6
7 meses
Use el CIRCUITO R = [ 1000 (FC30.04 ) ]( FDVP40.04) Donde: R = 309.89 P = 1000
El corchete es Stock, al INICIO del mes 4.
6to. CAMINO: Combinando el FC con el FDVF
0
1
2
3
R
R
R
R
4
5
6
7 meses
Use el CIRCUITO R = [1000 ( FC70.04)]( FDVF40.04) Donde: R = 309.89 P = 1000
El corchete es Stock, al FINAL del mes 7
IDENTIDADES A RECORDAR:
R = P . FDVPni R = S . FDVFni
61
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7mo. CAMINO: Con R Artificiales El Diagrama ORIGINAL: R 0
1
P = 1000
2
3
R
4
5
R
R
6
7 meses
i = 4% mensual
Complételo así:
R 0
R
1
P = 1000
2
R 3
R
R
4
5
R
R
6
7 meses
En el Punto 0, planteamos la ECUACIÓN FINANCIERA: 1000 = R . FAP7
0.04
- R . FAP3
0.04
Restamos el Valor Actualizado de las R artificiales, por cuanto NO EXISTEN. Las RESTAS, también se hacen en un Punto en el tiempo.
1000 = R ( 6.00205467 – 2.775091033 ) Despejando:
R = 309.89
Igual resultado
¡ JUEGUE con las 6 FÓRMULAS CLAVES y el CIRCUITO FINANCIERO, para DOMINAR Matemática Financiera!
AHORA, solo falta manejar BIEN la tasa de interés. PROF.: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA (PERÚ)
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62
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@gmail.com
FLUJOS PERPÉTUOS Cuando n, tiende al infinito: n
∞ (Ver Pág. 2)
PROBLEMA 1: Un hospital recibe una renta perpétua mensual de US$ 200000. Hallar el valor por el cual puede ceder sus derechos a la renta perpetua. Tasa de interés: 2% mensual,
R = 200 000 mensual DIAGRAMA: 0 P =?
ANÁLISIS: Se trata de transformar un Flujo Constante R, ∞ meses en un Stock Inicial P. Se aplicará el i = 0.02 mensual FAP cuando n tiende al INFINITO. 1 1 i
OPERAC.: P = R.FAP∞ = R.
= 200 000 i 0.02
SOLUC.: P=US$10 millones
PROBLEMA 2: Sean bonos a perpetuidad con VN = US$ 1000 al 10% anual. Calcule la renta.
R=? DIAGRAMA: 0 ∞ P =1000 i = 0.10 i
ANÁLISIS: Se trata de transformar un Stock Inicial P, en un Flujo Constante R. Se aplicará el FDVP cuando n tiende al INFINITO.
OPERAC.: R = P. FDVP∞ = P. i = 1000 (0.10)
SOLUC.: R = US$ 100
FLUJO ANTICIPADO 1º FLUJO VENCIDO R: Ver págs. 30, 31, 50 212.12 212.12 212.12 0
1
2
Cuadro de Intereses y Amortizaciones (1)
(2)
(3)
n Saldo al Interés Amortiz Inicio de n (2) x 0.03
2º FLUJO ANTICIPADO R’: Pág. 57 -1 R’ = 212.12 (1 + 0.03) = 205.94 0 205.94 205.94 205.94 1 1
2
(5)
3 meses
P = 600
0
(4)
3 meses
P = 600 Dentro de un Flujo anticipado existe un Flujo vencido: ¡Vea! 205.94 205.94
2 3
(5) – (3)
Cuota Fin de n
600.00 394.06
0 11.82
205.94 194.12
205.94 205.94
199.94
6.00
199.94
205.94
NOTA: En el punto 0 (inicio del mes 1) el préstamo
neto es (600- 205.94) = 394.06 El 1er. Interés es 0, pues no ha pasado ningún tiempo.
0
1
2
3 meses
P = 394.06 Los 205.94 a INICIO del mes 3, es como si estuviera a FIN del mes 2.
La 1ra. Cuota (Punto 0) es TODO capital. Los 394.06 se paga con 2 cuotas VENCIDAS de 205.94 ANALOGÍA: Las 12 de la noche de HOY, es las 0 horas, del DIA SIGUIENTE.
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63
1.7.
LAS TASAS NOMINAL Y EFECTIVA CASO TERCER MUNDO: Perú TASA ANUAL NOMINAL CONTROLADA
TASAS ANUALES EFECTIVAS CONTROLADAS
TNA = 93% Inflación 158% Inflación 63%: 1986 BELAÚNDE ALAN GARCÍA
TASAS “MENSUALES” EFECTIVAS CONTROLADAS
TASAS ANUALES EFECTIVAS LIBRES
Inflación 7640% ALAN GARCÍA
Inflación 3.73% FUJIMORI
TEA = 289.6%
30% 255% 110%
55%
TEA = 125%
25% 20%
32%
Julio 1985
5 Ag. 1985
Julio Marz Set Dic Marz Marz Agosto 1987 1988 88 88 89 90 1990-2000 30% MENSUAL < > 2 230% ANUAL
¿Cómo surgen las tasas NOMINAL y EFECTIVA para UN periodo y para VARIOS periodos. Ej.: El AÑO?.
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64
LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA PARA UN PERIODO ¿Por qué, el solo decir: Ej.: 10% trimestral, es tasa VENCIDA y también es tasa E-FEC-TI-VA? Lo que dice el MATEMÁTICO: Lo que hace el BANQUERO: Dé al cliente el Préstamo “Cobra el interés por adelantado”. completo solicitado: US$ 1000. Y le da: $ 1000 - 100 = $ 900 (*) Es INTERÉS VENCIDO Es INTERÉS ADELANTADO O, AÑADIDO. O, DESCONTADO. I = 100 0
P = 1000
1 Trim
I = 100 0
1 Trim
P = 900
VERIFICACIÓN DE LA TASA VERIFICACIÓN DE LA TASA I 100 100 i= = = 0.10 = 10% trim i = = 0.1111 = 11.11% trim. P 1000 900 SE CUMPLE la tasa anunciada NO SE CUMPLE la tasa anunciada. 10% trimestral. Al 11.11% se llamará tasa EFECTIVA Es la tasa VERDADERA Al 10% se llamará tasa NOMINAL Es una tasa MENTIROSA
El Prof. Justin Moore, de los EE.UU., en su Libro: Manual de Matemáticas Financieras dice: “El Interés es VENCIDO porque hay que darle tiempo al cliente para que use el dinero”. (*) El Banquero, resta 2 cantidades en 2 distintos puntos del tiempo: 1000 al inicio – 100 al final = 900. ¿Eso no va contra las Finanzas?.
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com
65
En la VERIFICACIÓN a interés VENCIDO, I i=
100 i=
P
1000 i = 10% TRIMESTRAL es también tasa de interés EFECTIVA. Por DEFINICIÓN, la tasa de interés es VENCIDA.
Por tanto: "Toda tasa VENCIDA, es tasa EFECTIVA" Se lo digo en verso:
"La tasa de interés que es EFECTIVA, por DEFINICIÓN, deja de serlo, por IMPOSICIÓN". Abdías Espinoza
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66
LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA PARA VARIOS PERIODOS
La Tasa EFECTIVA Anual: TEA Con la 1ra. Fórmula Clave
S = P (1 + i)n al 10% trimestral y capitalizando (rotando el capital) m = 4 trimestres en el año. Tenemos: 1464.10 = 1000 ( 1 + 0.10TRIM )4 TRIM Se puede escribir:
ES UNA SUMA CONTABLE
0.10 + 0.10 + 0.10 + 0.10
1.4641 = ( 1 +
)
4
)
4
4 Separamos
Sumamos
0.40
1 + 0.4641 = ( 1 + 4 Surgen 2 Tasas ANUALES, que debemos diferenciar:
40% es una SUMA ARITMÉTICA. Será Tasa NOMINAL 46.41% es una SUMA GEOMÉTRICA. Será Tasa EFECTIVA
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67
LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA PARA VARIOS PERIODOS
Relación entre la Tasa de Interés Nominal Anual (TNA) y la Tasa Efectiva Anual (TEA):
TNA )m
1 + TEA = (1 + m
Donde: m = Rotación del Capital en el AÑO. Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4 En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA
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68
Con una MISMA Tasa NOMINAL Anual A mayor ROTACIÓN (m) del capital, mayor es la Tasa EFECTIVA Anual
Tasa Nominal
Periodo de
TNA = j capitalización
40 %
trimestre
Rotación m
4
TEA
Tasa Periódica
1+ i = (1 + j/m )
j/m
0.10
TEA m 4
1 + i = (1 + 0.10 )
i%
46.41%
40 %
mes
12
0.033333 1 + i = (1 + 0.033333)12 48.21%
40 %
dia
360
0.001111 1 + i =(1+0.001111)360 49.15%
Pero . . . , hay un LÍMITE: Se demuestra que la expresión de Capitalización DISCRETA:
m
1+ i = (1 + j/m )
Se convierte en la fórmula de Capitalización CONTÍNUA:
1+ i = e
j
Donde: e = 2.7182818285
EJEMPLO: A la TNA = j = 40% con Capitalización SEGUNDO a SEGUNDO, o INSTANTÁNEA:
1 + i = (2.7182818285 )
La TEA límite:
i = 49.182 %
0.40
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69
AL REVÉS:
AHORA . . . ,
Sabemos que: A la TEA = 46.41%, la Tasa Trimestral es 0.10 Se regresa a la tasa trimestral 0.10, radicando, no dividiendo: 46.41% : 4. VEAMOS: LA TASA PERIÓDICA: Rotación
Tasa Periódica
TEA
TNA = j capitalización
m
j / m = i’
1+ i = (1 + j / m )
40 %
4
0.10
1 + 0.4641 = (1 + i’ )
Tasa Nominal
Periodo de
trimestre
UN CAMINO: Detallado m
1 + i = ( 1 + j/m )
Denotemos: j/m = i’ como Tasa PERIÓDICA
TEA m 4
i (%) 46.41%
OTRO CAMINO: Abreviado 360
1 + TEA )n días - 1
i n días = ( 360
i 90 días = (
1 + 0.4641 )90 días - 1
1 + 0.4641 = ( 1 + i’ )4 4 1 + 0.4641 - 1 = i’ 0.10 = i’TRIM
i90 días = 0.10 = 10% TRIMESTRAL
La Tasa PROPORCIONAL: j/m = TNA/m Ej.: 40%/4 = 10% TRIMESTRAL es también EFECTIVA TRIMESTRAL
Este conocimiento, es MUY IMPORTANTE No es correcto, considerar: j/m, como NOMINAL, o tasa adelantada, o tasa de descuento, en Operaciones de PRÉSTAMOS BANCARIOS y DESCUENTOS BANCARIOS DE LETRAS. Lo veremos en la Lección 2
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70
Con DISTINTAS Tasas NOMINALES Anuales LA TASA EFECTIVA ANUAL: TEA MIDE LA RENTABILIDAD DE UNA INVERSIÓN ¿Cuál banco paga más?.
El Banco (A) ofrece: El Banco (B) ofrece: El Banco (C) ofrece:
48% nominal anual “con capitalización semestral”. 42% nominal anual “con capitalización diaria”. 46% nominal anual “con capitalización trimestral”.
Tasa Periodo Rotación Tasa Nominal de Valor de Periódica TNA = j capitalización m j/m
1+ i = (1 + j/m )m
i (%)
A:48 % semestre
1 + i = (1 + 0.24 )2
53.76%
B:42 % día C:46 % trimestre
2 360 4
0.24
TEA
TEA
0.0011666 1+i = (1 + 0.0011666)360 52.16% 0.115
1 + i = (1 + 0.115 )4
54.56%
El Banco C, es el que paga más: TEA = 54.56%
Aparentemente, el Banco A, paga más: 48%. Pero, su tasa es NOMINAL. Significaría que sus INTERESES, que cobra cada semestre, los guarda “debajo de su colchón”. Eso JAMÁS haría un INVERSIONISTA.
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71
MANEJO DE LAS TASAS DE INTERÉS
NOMINAL Y EFECTIVA Una Tasa NOMINAL se maneja por división y multiplicación. Una Tasa NOMINAL provoca tasas “PROPORCIONALES”, que son EFECTIVAS.
TNA i n días =
360
x n días
I=P. i 360 n días i n días = ( 1 + TEA ) -1 Una Tasa EFECTIVA se maneja por radicación y potenciación. Una Tasa EFECTIVA provoca tasas “EQUIVALENTES”, que también son EFECTIVAS.
Si usted lee solamente: Ej.: 24% anual, es EFECTIVA anual. Pero, muchos la consideran NOMINAL para calcular su tasa PERIÓDICA: Ejemplo MENSUAL:
Dividen 24% : 12 = 2 %. Que origina una TEA = 26.82417946%
Ejemplo BIMESTRAL: Dividen 24% : 6 = 4 %. Que origina una TEA = 26.53190185%
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LA TASA
72
NOMINAL ANUAL
PROBLEMA.- Cuánto es el interés de US$ 1000 por 90 días a la TNA = j = 28%. 1º Calcule la tasa para 90 días (1 trimestre): 0.28 1
i 90 días =
= 0.07
x 90 = 0.28 x 360
4
2º Calcule el INTERÉS: I = P . i I = 1000 x 0.07 = US$ 70 ES TODO
LA TASA
EFECTIVA ANUAL
PROBLEMA.- Cuánto es el interés de US$ 1000 por 90 días a la TEA = i = 28%. 1º Calcule la tasa para 90 días (1 trimestre): 360
i90 días = (
1 + 0.28 )
i90 días = (1.28)
1/4
90
-1 = (1.28)
- 1 = (1.28)
0.25
90/360
-1
- 1 = 0.063659179
2º Calcule el INTERÉS: I = P . i I = 1000 x 0.063659179 = US$ 63.66.
ES TODO
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73
CÁLCULO DE LA TASA PERIÓDICA A la TNA = 28%, con capitalización trimestral, calcule la tasa para un PERÍODO de 14 días: EL CAMINO LARGO: Que muchos utilizan
1er. PASO.- Calculan la Tasa Efectiva Anual: TEA 4 1 + TEA = ( 1 + 0.28 / 4 ) 4 TEA = ( 1 + 0.07) - 1 = 31.079601% 2do. PASO.- Sabiendo la TEA, bajan a 14 días. 360
i’14 días = (
1 + 0.31079601 )
14
- 1
i’14 días = (1.31079601)
14/360
i’14 días = (1.31079601)
0.0388888888
- 1 - 1
i’14 días = 1.010580258 - 1 = 0.010580258 = 1.0580258% EL CAMINO CORTO: EN UN SOLO PASO Lo vengo recomendando desde 1978: j RECONOCIENDO, que la TASA PROPORCIONAL: m es EFECTIVA se obtiene lo MISMO. j/m = 0.28 / 4 = 0.07 efectiva a 90 días
90
i’14 días = (
1 + 0.07
)
14
- 1 = 0.010580258
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74
LA TASA A PERIODO NO NOTABLE A la Tasa Nominal MENSUAL: 2% con capitalización semestral
calcular la Tasa para 17 días: EL CAMINO LARGO: Que muchos utilizan
1er. PASO.- Calculan la Tasa Efectiva Anual: TEA 1 + TEA = ( 1 + 0.02 x 6)
2
TEA = 25.44%% 2do. PASO.- Sabiendo la TEA, bajan a 17 días 360
i’17 días = (
1 + 0.2544 )
EL CAMINO CORTO:
17
- 1 = 0.010760749
EN UN SOLO PASO
Reconociendo, que la tasa PROPORCIONAL: 0.02 x 6 = 0.12 semestral (a 180 días) es EFECTIVA, se obtiene LO MISMO. 180
)17 - 1
i 17 días
=(
i 17 días
= 0.010760749 Sale igual.
1 + 0.12
¿Para qué se calcula esta tasa a periodo NO NOTABLE 17 días? Para calcular el INTERÉS I = P . i , compensatorio, o moratorio, de una DEUDA no pagada hace 17 días. PARA ESO ES.
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75
LAS TASAS EQUIVALENTES Dos o más tasas Son EQUIVALENTES entre sí, cuando dan el MISMO INTERÉS en un plazo dado. EXAMEN DE SELECCIÓN PARA TRABAJAR EN UN BANCO.
Diga, cuáles tasas son equivalentes: 13.13709% semestral, 6.36592% trimestral, 4.75012% bimestral, 2.07847% mensual.
PROCEDIMIENTO Elija un PLAZO: El que le dé la gana (yo voy a elegir UN AÑO) Elija un CAPITAL: Cuanto le dé la gana (yo voy a utilizar $ 100). 0 P=100
i = 13.13709 % semestral i = 6.36592 % trimestral i = 4.75012 % bimestral i = 2.07847 % mensual
1 year 2 semestres 4 trimestres 6 bimestres 12 meses
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76
LAS TASAS EQUIVALENTES Dos o más tasas son EQUIVALENTES entre sí, cuando dan el MISMO INTERÉS en un plazo dado
El concepto dice: “el mismo INTERÉS”. El Interés es esta diferencia: I = S - P Entonces, calcule el Stock Final: S, y luego . . . haga la diferencia: I S=P(1+i)
n
S = 100 ( 1 + 0.1313709 )2 = 128 S = 100 ( 1 + 0.0636592 )4 = 128 S = 100 ( 1 + 0.0475012 )6 = 132.1 S = 100 ( 1 + 0.0207847 )12 = 128
I=S - P I = 128 – 100 = 28 I = 128 – 100 = 28 I = 132.1 – 100 = 32.1 I = 128 – 100 = 28
Mirando los “mismos Intereses” ( I = 28), CONCLUÍMOS:
13.13709 % semestral < > 6.36592 % trimestral < > 2.07847 % mensual La tasa 4.75012 % bimestral, NO ES equivalente al resto, porque no da 28. PERO . . . , ¿ DE DÓNDE PROVIENEN LAS TASAS: SEMESTRAL, TRIMESTRAL Y MENSUAL?
Provienen de la Tasa EFECTIVA Anual: TEA = 28%. ¡CALCÚLELAS! Por eso: 28% anual < > 13.13709 % semestral < > 6.36592 % trimestral < > 2.07847 % mensual
Las tasas EFECTIVAS, producen Tasas EQUIVALENTES.
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1.8.
77
UN PROBLEMA PARA RECORDAR
Un préstamo de US$ 1000 se devuelve en 1 año a la TNA = j = 12 % con capitalización TRIMESTRAL. Calcule: A) La Cuota Fija Semestral Inmediata y Vencida B) La Cuota Fija Mensual Inmediata y Vencida.
El PERIODO de la Tasa es el TRIMESTRE. Su magnitud es: 12% / 4 = 3 % Y esta tasa PROPORCIONAL es
EFECTIVA Trimestral Si las Cuotas fueran TRIMESTRALES, aplicaríamos el Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVP 0.03
R = 1000 . FDVP 4 = 269.027 TRIMESTRAL PERO, se quieren cuotas SEMESTRALES y MENSUALES.
Entonces . . . , a partir del 3% EFECTIVA Trimestral calculamos las TASAS EQUIVALENTES necesarias: SEMESTRAL y MENSUAL. Ud. ya sabe cómo es: 3% trimestral <> 6.09% semestral <> 0.9901634% mensual
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78
A) La Cuota SEMESTRAL: R POR UN CAMINO
POR OTRO CAMINO
Aplicando el FDVP
Aplicando el FAF
Tomar P = 1000 y DISTRIBUIRLO en 2 cuotas semestrales. a la tasa i = 6.09% semestral,
Tomar 2 cuotas trimestrales y AGRUPARLAS en 1 cuota Semestral a la tasa i = 3% trimestral,
equivalente.
dato del problema. S=?
0
R
R
1
2 sem.
269.027 269.027 0
1
2 trim
P = 1000 R = P. FDVPn i = P.
i ( 1 + i )n ( 1 + i )n - 1
S = R. FAFn i = P
0.0609 ( 1 + 0.0609)2 R = 1000
2
(1 + i)n - 1 i
(1 + 0.03)2 - 1 S = 269.027
( 1 + 0.0609) - 1
0.03
R = 1000 x 0.5461249
S = 269.0270452 x 2.03
R = 546.1249 US$ semestral
S = 546.1249 US$ semestral
DOS CAMINOS Y UN MISMO RESULTADO Las Ecuaciónes Financieras a Interés COMPUESTO no fallan.
¡OLVÍDESE del Interés SIMPLE!.
¡No sirve!.
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79
B) La Cuota MENSUAL: R POR UN CAMINO
POR OTRO CAMINO
Aplicando el FDVP
Aplicando el FDVF
Tomar P = 1000 y DISTRIBUIRLO en 12 cuotas mensuales. a la tasa i = 0.9901634% mensual equivalente.
Tomar 1 cuota trimestral y DISTRIBUIRLA en 3 cuotas mensuales a la tasa i = 0.9901634% mensual equivalente. S = 269.027
0
R
R
R... R
1
2
3 . . . 11
R 12 meses
0
R
R
R
1
2
3 meses
P = 1000 i
R = P. FDVPn = P.
i ( 1 + i )n n
(1+i) -1
i
i
R = S. FDVFn = S
(1 + i)n - 1
0.00990163 (1.00990163)12 R = 1000 (1.00990163)12 - 1
R = 269.027
R = 1000 x 0.088793576
R = 269.0270452 x 0.33005447
R = 88.7936 US$ mensual
R = 88.7936 US$ mensual
0.00990163 (1.00990163)3 - 1
DOS CAMINOS Y UN MISMO RESULTADO Las Ecuaciónes Financieras a Interés COMPUESTO no fallan.
¡OLVÍDESE del Interés SIMPLE!. ¡No sirve!.
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80
¿CÓMO USTED DESCUBRE SI UNA TASA ANUNCIADA, ES NOMINAL, O ES EFECTIVA? Recomiendo leer este Tema en: INGENIERÍA ECONÓMICA, por Tarquin.
En la VIDA REAL: Pregunte en un banco de su país. Nada más. En la VIDA ACADÉMICA: En los LIBROS suele haber confusión. TASA ANUNCIADA
INTERPRETACIÓN Es EFECTIVA mensual. Y es VENCIDA. Siempre que se reciba 100 al inicio del mes.
5% mensual
12% anual Es NOMINAL por la frase: con capitalización trimestral. “con capitalización trimestral”. Y la tasa PROPORCIONAL trimestral: 12% : 4 = 3% es EFECTIVA. 1% nominal mensual con capitalización semestral.
El PERIODO de la tasa es el semestre. Su valor se obtiene por multiplicación: 1% x 6 = 6%, y es EFECTIVA semestral. De aquí: La tasa mensual “ i ” , para calcular un interés mensual será: i = (1 + 0.06) 1/6 – 1 = 0.975879418%
3% nominal mensual Es EFECTIVA mensual, por la coincidencia con capitalización mensual. del periodo de la tasa y la capitalización. 2% efectiva mensual compuesto mensualmente.
La expresión “compuesto mensualmente” está demás. Solo es 2% efectiva mensual.
¿Qué significa,: “con capitalización semestral”?
CASO: AHORRISTAS en el PERÚ Hasta agosto de 1983, Ud. podía depositar y retirar dinero cualquier día. Pero, los intereses eran abonados en su cuenta recién el dia siguiente, después del 30-06, o el día siguiente después del 31-12, de cada año. Dentro de cada semestre, los intereses eran SIMPLES y NO EXIGIBLES. Sí el ahorrista, por ejemplo, después del 30 de Junio, no retiraba sus INTERESES, entonces RECIÉN, le pagaban interés SOBRE su interés. AHÍ está la “CAPITALIZACIÓN SEMESTRAL”.
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81
RESUMEN Préstamo: P = US$ 600 Plazo: n = 3 meses. 3 Cuotas Mensuales. Tasa: i = 3% mensual MÉTODO ALEMÁN (1)
(2)
(3)
(4)
MÉTODO AMERICANO (5)
Mes Saldo Interés Amort. Cuota
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Mes Saldo Interés Amort. Cuota
1
600
18
200
218
1
600
18
18
2
400
12
200
212
2
600
18
18
3
200
6
200
206
3
600
18
MÉTODO INFORMAL ESPECIAL (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Mes Saldo Interés Amort. Pago
600
618
MÉTODO FRANCÉS (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Mes Saldo Interés Amort. Cuota
1 600
18
10
1 600
2 608
18.24
15
2 405.88 12.18 199.94 212.12
3 611.24 18.34 611.24 629.58 GRADIENTE ARITMÉTICA (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Mes Saldo Interés Amort. Pago 1 600
18
2 468
14.04 199.33 213.37
3 268.67
132
150
8.06 268.67 276.73
Gradiente: g = 63.37
18
3 205.94
194.12 212.12
6.18 205.94 212.12
GRADIENTE GEOMÉTRICA (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Mes Saldo Interés Amort. Cuota 1 600
18
2 468
14.04 192.33 206.37
3 275.67
132
150
8.27 275.67 283.94
Gradiente: g = 37.583%
¿POR QUÉ SON EQUIVALENTES LOS 6 PLANES DE REPAGO? DOS RESPUESTAS: 1) Tienen la misma tasa del rendimiento: 3% mensual 2) Los 6 FLUJOS, pagan el STOCK Inicial: P = 600
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82
CASO ESPECIAL: CUOTAS FIJAS EN FECHA FIJA PRÉSTAMO: P = US$ 600 recibido el 10 de Julio del 2007. 3 Cuotas Fijas a pagar el 10 de cada mes. Tasa = 3% mensual En este caso ya no funciona el FDVP, el cual está diseñado para calcular cuotas fijas, solo a intervalos TODOS Iguales. Hay que aplicar el FA y actualizar “UNO POR UNO”. DIAGRAMA:
R
Fechas:
R
R
31 días 31 días 30 días 10/07 10/08 10/09 10/10 P = 600 i = 0.03 (< > 0.000985779 diaria)
ANÁLISIS: Plantear la ecuación financiera en el punto 0, con el FA a la tasa DIARIA 0.000985779, equivalente al 0.03 mensual. OPERACIONES: R
R
600 =
31
(1.000985779) SOLUCION:
+
R 62
+
(1.000985779)
R = $ 212.4647 = 212.46
92
(1.000985779)
por defecto
CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES (1)
(2)
(3)
FECHA n
SALDO
INTERES
10 / 07 10 / 08 10 / 09 10 / 10
600.00 406.15 206.29 0.00
18.61 12.60 6.19
0 1 2 3
(4)
(5)
AMORT. CUOTA 193.85 199.86 206.29
212.46 212.46 212.48(*)
1er. Interés = 600 [(1 + 0.03)31/30 - 1] = 600 x 0.031015352 = 18.61 31/30 - 1] = 406.15 x 0.031015352 = 12.60 2do.Interés = 406.15 [(1 + 0.03) 30/30 - 1] = 206.27 x 0.03 = 6.19 3er. Interés = 206.27 [(1 + 0.03) OBSERVE: Con tasa mensual 0.03, el exponente en fracción mensual: 31/30 (*) Incluye defectos.
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83
Metodología NORTEAMERICANA (EE.UU.) vs. Metodología INCAICA (PERÚ) ( CUZCO - PERÚ: Tierra de los INCAS )
APLICACIÓN A UN PROBLEMA
ESPAÑOL ENUNCIADO: Similar al del Prof. Eloy Pozo de ESIC. Sea una renta de cuantía 60.000 u.m., de 8 años de duración valorada al 6% si se fracciona mensualmente. Calcular el valor final. Muchas veces los enunciados no son completos: RESPECTO A LA TASA ANUNCIADA En el problema, no se especifica si la tasa 6% es anual. Pero . . . , es USUAL que sea ANUAL. Además, en ESPAÑA, desde el 5 de diciembre de 1988, según la Circular No. 15 del Banco de España, la tasa de interés se anuncia en términos vencidos o “efectivos”, lo que conduce al manejo de las llamadas tasas “equivalentes”. (Tomado de Análisis y Formulación de las Operaciones Financieras, por Eloy Pozo y Javier Zúñiga)
RESPECTO AL FLUJO En ESPAÑA, el dato, 60.000 u.m. es la tradicional “ANUALIDAD”, o RENTA, y la expresión . . . , “si se fracciona mensualmente”, no se refiere a la tasa de interés. Indica, que los depósitos (R) son MENSUALES, resultante de dividir 60 000 / 12 meses = 5 000 u.m. OBSERVACIÓN: En AMÉRICA Puede confundir la frase: “al 6%, que se fracciona mensualmente”. Parecería que la tasa de interés se “capitaliza mensualmente”. Pero, no es así. Ya descubrimos que se refiere a la renta.
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84
Con Metodología Tradicional NORTEAMERICANA Fórmula complicada utilizada en ESPAÑA: (m) S
= n i
i . S J (m)
n i
Usan TABLAS FINANCIERAS (eso ya pasó a la historia) (12) S
0.06 = 60 000
8 0.06
. S 0.058410606
8 0.06
(12) S
= 610.007,09 u.m. 8 0.06
La fórmula puede encontrarse en el Libro del Prof. JUSTIN MOORE: Manual de Matemáticas Financieras Editorial UTHEA. TODA UNA BIBLIA, EN LA DÉCADA DEL 70, EN EL PERÚ. Justin Moore, fue un grande. Fue Asesor de la Irving Trust Company de los EE.UU. Hizo un tremendo esfuerzo al recopilar artículos franceses y alemanes del siglo XIX para darnos su libro (ver la bibliografía que estudió). Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4 En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA
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85
Con Metodología INCAICA Propuesta: S=? DIAGRAMA: 0
5000
5000
1
2
5000 . . . . . . . 5000 3
....
95
5000 96 meses
Tasa = 0.06 anual efectiva ANÁLISIS: Se trata de transformar un Flujo (R) en un Stock Final (S). Se aplicará el Factor de Agrupamiento al Futuro: FAF i la 3ra. Fórmula Clave: S = R . FAF n Previamente, y por cuanto el FLUJO es mensual, debemos calcular la tasa mensual equivalente al 6% efectiva anual.
i = ( 1 + 0.06) 1/12 – 1 = 0.00486755 OPERACIONES:
S = 5000 . FAF 96
0.00486755
( 1 + 0.00486755)96 - 1 S = 5000 0.00486755 S = 5000 ( 122.0014152 ) SOLUCIÓN:
S = 610 007.08 u.m.
¿Vió? SALE IGUALITO.
RECOMENDACIÓN: ¡SIEMPRE! . . . , haga COINCIDIR, el INTERVALO del FLUJO, con el PERIODO de la TASA. Utilice el concepto de las TASAS EQUIVALENTES.
El PERIODO de la TASA, se adapta al INTERVALO del FLUJO. El INTERVALO ¡manda!. ¡ES EL CAMINO MÁS FÁCIL!. Es el Interés COMPUESTO, o interés CAPITALIZABLE. Ya le dije: El Interés SIMPLE, no le sirve al Banquero, al Inversionista, ni al Ahorrista. Ni al Jubilado.
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86
OTRO CAMINO: MÁS COMPLICADO Y POCO USUAL
ANÁLISIS: ¿Quiere trabajar con la Tasa 6% EFECTIVA ANUAL?. (NUNCA, nominal anual)
Entonces, el intervalo tiene que ser ANUAL. Por ARTIFICIO FINANCIERO, hay que transformar, el FLUJO: R = 5 000 mensual, en STOCK: S anual equivalente. (Similar al Costo Equivalente Anual, en Evaluación de Proyectos)
DIAGRAMA de 1 AÑO: 0
5000
5000
1
2
5000 . . . . . . . 5000 3
S = 5 000 x FAF 12
0.00486755
....
11
S=? 5000 12 meses
= 61 632.64178
Aquí tenemos un Flujo ANUAL en 8 AÑOS : DIAGRAMA en 8 años:
S=? 61 632.64 0
1
61 632.64 2
61 632.64 ....
8 años
Ahora, aplicamos el Factor de Agrupamiento al Futuro: FAF, para 8 años y con la tasa 6% Efectiva ANUAL:
S = 61 632.64178 x FAF 8 0.06 S = 610 007.09 u.m. ¿Vió? . . . . ¡TAMBIÉN SALE IGUALITO!
Pero, no se complique la vida. Es más fácil adaptar el PERIODO de la tasa, al INTERVALO del Flujo. ¡ASÍ NOMÁS ES, LA MATEMÁTICA FINANCIERA !.
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EX - ALUMNO APRECIA MI METODOLOGÍA E MAIL DEL ING. CARLOS HUERTA, DESDE EL ECUADOR: Se refiere, a los problemas de Matemática Financiera de la Universidad de Barcelona (España), que están solucionados de una manera: “QUE DA MIEDO SIQUIERA LEERLOS”. (lo dice él) Y ME MANIFIESTA que: “Con MI METODOLOGÍA se le hace MUY FÁCIL”.
Saludos desde Ecuador Carlos Huerta om_com@etapaonline.net.ec Mon, 23 Jan 2006 16:29:30 -0500
Estimado Ing. Abdias Espinoza : Me complace sobremanera poder saludarlo desde mucho tiempo atrás. Como le comenté telefónicamente tuve el honor de ser su alumno hace más de 20 años y poder aprender matemática financiera de la manera más fácil que sólo quienes lo dominan como Ud. pueden hacerlo. Hace unos meses me matriculé en un MBA on line de la Universidad de Barcelona ( España ) y estoy llevando un curso de Matemática Financiera. Están solucionados de una manera que da miedo siquiera leerlos. Con su metodología se me hace muy fácil y me gustaría compartirlas con mis compañeros ( de todas partes del mundo) y con el tutor del curso. Les he manifestado que tengo un material que les puede ayudar , y pensé hacerles llegar en CD o DVD , pero cómo todavía no está disponible espero enviarle a través del tutor una colección suya con su dedicatoria y referencias para que tomen contacto con Usted. Con mi esposa que se encuentra en Lima ( sólo esta semana) en un taller intensivo o de no poder con un familiar le estoy enviando S/. 100 para la adquisición de esta colección , y en mi próxima visita a fines de Febrero compraré una actualización para mI a la vez de apersonarme para saludarlo y llevarle los materiales del curso que pueden servir para comparar y también incorporar algunos casos tales como Gradientes o rentas de variación lineal, rentas de variación geométrica pues por ejemplo ésta última viene a ser un caso más general del FAS. Estas fórmulas las desarrollé yo pues en los materiales lo hacen de otra manera ( con factores de corrección, renta auxiliar, renta fraccionaria y demás) , que para mi son sus fórmulas y el concepto de interes equivalente ( metodo 1 sugerido por Ud. ) para series generales. De cualquier manera ahí le envío por este medio los materiales que he recibido , me gustaría compartir comentarios. Un abrazo , suerte y estemos en contacto . Mis telefonos son : cel ( 005939) -9757802 Casa en Cuenca Ecuador : ( 005937)-2376629 y oficinas en Machala Ecuador( dificil de encontrar pues viajo mucho ): ( 005937)-2921675 y 2931550. Mi e-mail : om_com@etapaonline.net.ec y ciaminex@hotmail.com Ing. Carlos Huerta EL ING. CARLOS HUERTA, después de más de 20 años, envió a una persona a mi local, en Lima, a comprar mi Colección 2006. Hoy, con DVD’s mi Producción desde el 2007
¡NO SE VENDE EN LIBRERÍAS!. Por mala experiencia. Cuando reciben los libros AL FIADO . . . , sonrien. Cuando uno va A COBRARLES . . . , se ponen serios. Te hacen esperar. Te dicen que no hay plata. Por eso, yo vendo directamente: TRANQUILO . . . no me afano. “del autor . . . , al lector”. “de la chacra . . . , a la olla”
abdiasespinoza1@gmail.com
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ÍNDICE TEMA LAS 6 FÓRMULAS CLAVES Y EL CIRCUITO FINANCIERO
PÁGINAS 1 - 6
EL CÁLCULO RACIONAL O MATEMÁTICO
7 - 20
El DINERO y su tratamiento: Stock y Flujo. La tasa de interés. El Interés Deuda a pagar con una Cuota: El Interés Vencido o sumado al Capital Deuda a pagar con varias Cuotas: El MÉTODO ALEMÁN. El MÉTODO AMERICANO CASO ESPECIAL: Si el pago NO CUBRE el interés LA CAPITALIZACIÓN: La 1ra. Fórmula Clave 21 - 30 Interés Simple vs. Interés Compuesto Suma Económica vs. Suma Contable: Equivalencia Financiera Deuda a pagar con varias Cuotas: El MÉTODO FRANCÉS LA ACTUALIZACIÓN: La 2da. Fórmula Clave 31 - 38 El Costo de un Crédito. Actualización y Capacidad de Endeudamiento Actualización y Saldo Deudor
LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE: La 3ra. Fórmula Clave
39 - 42
Administradoras de Fondos de Pensiones
Los Fondos de Amortización: La 4ta. Fórmula Clave
43 - 44
La Depreciación
LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE: La 5ta. Fórmula Clave
45 - 48
Capacidad de Endeudamiento El Precio Teórico de un BONO
Las Amortizaciones: La 6ta. Fórmula Clave
49 - 51
Deuda a pagar con varias Cuotas: El MÉTODO FRANCÉS RESUMEN: EL CIRCUITO FINANCIERO. 52 - 62 LAS 6 FÓRMULAS CLAVES: Todo es una cadena ¡Esto sí . . . , es GRANDIOSO!. En solo 2 páginas, le enseñaré a manejar: ANUALIDADES ANTICIPADAS y ANUALIDADES DIFERIDAS. Ataque el PROBLEMA por distintos caminos combinando Fórmulas La Tasa NOMINAL y la Tasa EFECTIVA: 63 - 82 Para UN Periodo y para VARIOS Periodos. Las Tasas Equivalentes UN PROBLEMA PARA RECORDAR Metodología AMERICANA (EE.UU.) vs. Metodología INCAICA 83 - 86 (PERÚ). APLICACIÓN A UN PROBLEMA ESPAÑOL. Hay mucho más.
EX - ALUMNO APRECIA MI METODOLOGÍA
INDICE. CURRÍCULUM. PROGRAMA de FINANZAS
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abdiasespinoza1@yahoo.es
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CURRICULUM Abdías, ESPINOZA HUERTAS Primer Ingeniero Economista del Perú Universidad Nacional de Ingeniería (U.N.I.) - LIMA - PERÚ FORMACIÓN PROFESIONAL: PRIMERA PROMOCIÓN * INGENIERIA ECONÓMICA Universidad Nacional de Ingeniería 1964 - 1968 * Obtuvo el Primer Diploma de BACHILLER en CIENCIAS con Mención en Economía. 1970 * Obtuvo el Primer TITULO Profesional de INGENIERO ECONOMISTA en el Perú. 1971 * Egresado de la MAESTRÍA en FINANZAS en la Universidad Federico Villareal 2002 - 2003 EXPERIENCIA PROFESIONAL: 1969 - 1985 * ASISTENTE FINANCIERO en la ex-Corporación del Mantaro * Administración de Contratos Financieros: ELECTROPERÚ * Proyecto " Linea de Transmisión Lima - Chimbote: * Proyecto de Electrificación de Trujillo: * Proyecto de Electrificación de Iquitos y Pucallpa:
Financiamiento de ITALIA B.I.D., BANCO MUNDIAL Financiamiento del JAPON Financiamiento COFIDE Financiamiento CHECO
EXPERIENCIA DOCENTE: 1973 - 2000 * Escritor en FINANZAS: 1.- MATEMÁTICA FINANCIERA Simplificada – Creó Moderna Metodología 1980 2.- CONTABILIDAD GERENCIAL: Para las Inversiones. 3.- EVALUACIÓN DE PROYECTOS: Económica y Financiera. 4.- BOLSA DE VALORES: Valuación de Bonos y Acciones. * Ex-profesor universitario de Estadística, Econometría e Investigación Operativa, Matemática Financiera Universidades: San Martín de Porres 1973 - 1977 Universidad Católica, Garcilaso De la Vega y Universidad Nacional de Ingeniería 1978 - 1988 Ex-profesor de MATEMÁTICA FINANCIERA en Bancos: * Continental, Wiese, Bco. Crédito, Banco de la Nación, FINSUR, Desde 1980 * Banco Popular de la Paz (87) y. Centro de Capacitación Empresarial (Nov. 98) BOLIVIA * Banco Consolidado en Caracas - (1990 y 1992) - Banvenez (1992) VENEZUELA * Cámaras de Comercio e Instituto de Administración de Empresas - IPAE 1981 - 1985 * Expositor en Finanzas: Arequipa - Trujillo -Chiclayo - Piura - Cuzco - Tacna 1985 - 1989 * Centro de Estudios Comerciales y Financieros - CECOFIN - (1990 a 1992) VENEZUELA * O.N.G.: Asociación RASUHUILLCA - Ayacucho (1997). CREAR - PRISMA - Lima (2005) * CENTROMIN (Cerro de Pasco-Perú en Mayo 1998) - Huánuco (1988) * UNIVERSIDAD DANIEL ALCIDES CARRION Cerro de Pasco - Junio 1998 * COLEGIO DE ECONOMISTAS DE AREQUIPA Arequipa - Setiembre 1998 * UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO Puno - Enero 2000 * CAJA MUNICIPAL DE SULLANA (Barranca) 2002 y 2007 * COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU: Finanzas para Ingenieros 1999 - 2004 * UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA: Formación de Analistas Financieros 2003 - 04 * Profesor en el Post Grado de la Facultad de Ingeniería Económica: U.N.I.- Lima 2004 - 05 * Profesor en el Post Grado de la Facultad de Ingeniería: Universidad San Agustín – Arequipa 2007 CARGOS PROFESIONALES * Fundador de la SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS
En 1981
Para difundir la NUEVA PROFESIÓN de la U.N.I. : 1ra. PROMOCIÓN 1968
* Primer Past Presidente Capítulo de INGENIEROS ECONOMISTAS del COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU
1988 - 1989
* Fundador de la SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS
En 2009
SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS
Prof. ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA TIENDA VIRTUAL MUNDIAL: www.safperu.com
FINANZAS ANALISTAS DE CRÉDITOS e INVERSIONES Con 4 MANUALES y 4 DVD’s de 3 Hs. de Clases c/u: 1: MATEMÁTICA FINANCIERA:
Banca y Comercio
2: CONTABILIDAD GERENCIAL: Proyecciones y Análisis 3: EVALUACIÓN DE PROYECTOS: Económica y Financiera 4: EVALUACIÓN DE VALORES: Bonos y acciones. Con mis clases en DVD’s, HOY te enseño, “cuando quieras, donde quieras y cuantas veces quieras”. LA COSA ES ASÍ: “Escucha sus Clases en su MONITOR mirando su MANUAL y con su CALCULADORA CIENTÍFICA verifica las OPERACIONES FINANCIERAS”. Consultas x E-mail
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