Edición 4– Dic 2014
Probabilidades Estadísticas
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Distribución binomial
Distribución binomial negativa Page 4 Distribucion poisson
“Probablemente” la mejor revista…
REVISTA PROBABILITY
Distribución de Probabilidad
Contenido
Distribución de probabilidad ............................ 2
Distribución Binomial ………………………3 Elaborado por: Grupo 5: Omar Marquez.
Distribución Poisson ………………………...4
Estadística I
Instituto Universitario
Distribución binomial negativa …………….5
Distribución Normal ……………..………….6
Politécnico Santiago Mariño.
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Hablemos acerca de…
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Por Omar Márquez Abarca toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Uno de los conceptos más importantes de la teoría de probabilidades es el de variable aleatoria que, intuitivamente, puede definirse como cualquier característica medible que toma diferentes valores con probabilidades determinadas. Toda variable aleatoria posee una Distribución de probabilidad que describe su comportamiento (vale decir, que desagrega el 1 La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. Dada una variable aleatoria , su función de distribución, , es
Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice y se escribe, simplemente, .
a lo largo de los valores posibles de la variable). Si la variable es discreta, es decir, si toma valores aislados dentro de un intervalo, su distribución de probabilidad especifica todos los valores posibles de la variable junto con la probabilidad especifica todos los valores posibles de la variable junto con la probabilidad de que cada uno ocurra.
PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD:
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Cabe destacar que... En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidaddiscreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí,
Por: Omar Marquez
con una probabilidad fija p de
La distribución binomial es un caso particular
ocurrencia del éxito entre los
de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.
ensayos.
Ejemplo:
Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli:
Un ejemplo de variable binomial puede ser el número de pacientes ingresados en una unidad hospitalaria que desarrollan una infección nosocomial.
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.
Un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la
2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
distribución de Bernoulli.
3.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,
n es el número de pruebas.
Parámetros:
k es el número de éxitos.
n: número de pruebas, n > 0 entero
q = 1 − p
p es la probabilidad de éxito. 4.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los r esultados obtenidos anteriormente. 5.La var iable aleatoria bino mial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede to marX son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.
q es la probabilidad de fracaso.
Valores: x: 0, 1, 2, ..., n
p: probabilidad de éxito, 0 < p < 1
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Distribución Poisson Por: Omar Marquez Llamada asi por su autor Siméon Denis Poisson, probabilista del siglo XIX, pues fue el primero en describirla. Es una generalización de la distribución binomial cuando sobre un
. Se define una
variable aleatoria que representa el número de éxitos independientes que ocurren para intervalos de medida específicos ( tiempos, lugares, espacios) , ademas con una probabilidad de ocurrencia pequeña. Se le llama distribución de los "eventos raros" pues se usa como aproximación a la binomial cuando el tamaño de muestra es grande y la proporción de éxitos es pequeña. Esos intervalos de medida pueden referirse a: Tiempo: (Segundo, minuto, hora, dia, semana, etc.) Area: (Segmento de linea, pulgada cuadrada, Centimetro cuadrado, etc). Volumen:( Litro, galón, onza, etc.)
La distribución de Poisson tiene iguales la media y la varianza. Si la variación de los casos observados en una población excede a la variación esperada por la Poisson, se está ante la presencia de un problema conocido como sobredispersión y, en tal caso, la distribución binomial negativa es más adecuada. Valores: x: 0, 1, 2, ... Parámetros: lambda: media de la distribución, lambda > 0
La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:
Vamos a explicarlo: El número "e" es 2,71828 ""=n
En Ia teoría de Ia probabilidad y en Ia estadística, Ia distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Ella expresa, por ejemplo, Ia probabilidad de que un correcto número de eventos ocurran en un periodo de tiempo, si estos ocurran con una tasa media conocida y si cada evento es independiente del tiempo transcurrido desde el último evento.
* p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo) " k " es
el número de éxito cuya probabilidad se está calculando Veamos un ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
Luego, P (x = 3) = 0,0892
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%
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Distribución binomial negativa
En estadística, la distribuci ón binomial negativa, o dis tribución pascal, es una dis tribución de probabilidad discreta. Esta distribución de variable discreta estudia el número de experimentos, independientes entre sí, realizados hasta la obtención del k-ésimo éxito. Es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. Donde k es el número de ensayos exitosos donde acaba el experimento y θ es la probabilidad de éxito en un ensayo (o experimento).
Por: Omar Marquez
Esta distribución o modelo puede hacerse derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que se presenten las siguientes condiciones: · El proceso consta de un número no definido de pruebas separadas o separables . El proceso concluirá cuando se obtenga un determinado número de resultados favorables K · Cada prueba puede dar dos resultados posibles mutuamente excluyentes A y no A
Propiedades de la distribución binomial negativo 1) Esperanza: E(X) = r 2) Varianza: V(X) = r
· La probabilidad de obtener un resultado A en cada una de las pruebas es p siendo la probabilidad de no A , q . Lo que nos lleva a que p+q=1
q/p q/p2
3) Se cumplen las siguientes propiedades respecto la función de densidad:
4) Este modelo se ajusta bien a contajes (números de individuos por unidad de superficie) cuando se produce una distribución contagiosa (los individuos tienden a agruparse). 5) La distribución Binomial negativa puede definirse con mayor generalidad si tomamos r como un número real positivo cualquiera (no necesariamente entero). Pero, en dicho caso, se pierde el carácter intuitivo del modelo y se complican ligeramente los cálculos. Por dichas razones, se ha excluido dicha posibilidad en esta presentación.
· Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas. Todas las pruebas son independientes. Si se trata de un experimento de extracción éste se llevará cabo con devolución del individuo extraído, a no ser que se trate de una población en la que el número de individuos tenga de carácter infinito. · (Derivación de la distribución) Si, en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria x sea "el número de pruebas necesarias para conseguir K éxitos o resultados A " ; entonces la variable aleatoria x seguirá una distribución binomial negativa con parámetros p y k
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Distribución Normal Por: Omar Marquez
La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística
Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. De todas formas, la importancia de la distribución normal queda totalmente consolidada por ser la distribución límite de
Dos razones fundamentales hacen que esta distribución ocupe un lugar tan importante: - Tiene propiedades que la hacen aplicable a un gran número de casos en los cuales es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras. - La distribución Normal se enmarca a la perfección a las distribuciones de frecuencias reales, que se observan en la cotidianidad, como son muchos fenómenos físicos (dimensiones y rendimientos), características humanas (pesos, alturas, índices IQ) y otras muchas medidas de importancia para los administradores en general.
numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas centrales del límite.
Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.
Su función de densidad es:
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El futuro es impredecible, todo se basa en probabilidadesâ&#x20AC;Ś