Revista Observatorio Gerencial
Tsu Cristela Lameda
Barquisimeto, Venezuela, Volumen N째 1
Métodos Determinísticos Programación Lineal En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.. se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Para hacernos una idea más clara de estos supuestos, veamos dos ejemplos: Ejemplo 1: Problema de máximos.
En una granja se preparan dos clases de piensos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 ptas. y cada saco de Q a 800 ptas. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de pienso deben preparar para obtener los máximos ingresos? Ejemplo 2: Problema de mínimos.
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación. El coste de producción de un yogur de limón es de 30 pesetas y 20 pesetas uno de fresa. En los dos ejemplos descritos está claro que tanto la cantidad que deseamos maximizar como la cantidad que deseamos minimizar podemos expresarlas en forma de ecuaciones lineales. Por otra parte, las restricciones que imponen las condiciones de ambos problemas se pueden expresar en forma de inecuaciones lineales. Tratemos de plantear en términos matemáticos los dos ejemplos anteriores:
1) Si designamos por x al número de sacos de pienso de clase P y por y el número de sacos de pienso de clase Q que se han de vender, la función: Z = 300x + 800y representará la cantidad de pesetas obtenidas por la venta de los sacos, y por tanto es la que debemos maximizar. 2) Podemos hacer un pequeño cuadro que nos ayude a obtener las restricciones: Nº kg de A kg de B P x
8x
2x
Q y
10y
5y
80
25
Por otra parte, las variables x e y, lógicamente, han de ser no negativas, por tanto: x 0, y 0 Conjunto de restricciones: 8x + 10y
80
2x + 5y
25
x
0
0, y
2) Si representamos por x el número de yogures de limón e y al número de yogures de fresa, se tiene que la función de coste es Z = 30x + 20y. Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones: De número : x + y 80 De fermentación: 0.5x + 0.2y 9000 Las variables x e y han de ser, lógicamente, no negativas; es decir: x 0, y 0 Conjunto de restricciones:
x+y
80
0.5x + 0.2y
x
0, y
0
9000
En definitiva: Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a: una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.ma programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a: una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.
Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:
Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades. En un problema de programación lineal intervienen: La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a... menores: < o ); como mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos. Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o región) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no
puede ser solución. En el apartado siguiente veremos como se determina la región factible. La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo. En ocasiones utilizaremos las siglas PPL para indicar problema de programación lineal.
Método Simplex El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones). Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. Como se verá en el método Gráfico, dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos
antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases. Preparando el modelo para adaptarlo al método Simplex La forma estándar del modelo de problema consta de una función objetivo sujeta a determinadas restricciones: Función objetivo:
c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn
Sujeto a:
a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1 a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2 ... am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm x1,..., xn ≥ 0
El modelo debe cumplir las siguientes condiciones: 1. El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la función objetivo (por ejemplo, incrementar ganancias o reducir pérdidas, respectivamente). 2. Todas las restricciones deben ser ecuaciones de igualdad (identidades matemáticas). 3. Todas las variables (xi) deben tener valor positivo o nulo (condición de no negatividad). 4. Los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser no negativos. Hay que adaptar el problema modelado a la forma estándar para poder aplicar el algoritmo del Simplex.
Tipo de optimización. Como se ha comentado, el objetivo del método consistirá en optimizar el valor de la función objetivo. Sin embargo se presentan dos opciones: obtener el valor óptimo mayor (maximizar) u obtener el valor óptimo menor (minimizar). Además existen diferencias en el algoritmo entre el objetivo de maximización y el de minimización en cuanto al criterio de condición de parada para finalizar las iteraciones y a las condiciones de entrada y salida de la base. Así: Objetivo de maximización Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor negativo. Condición de entrada a la base: el menor valor negativo en la fila Z (o el de mayor valor absoluto entre los negativos) indica la variable Pj que entra a la base. Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente positivos. Objetivo de minimización Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor positivo. Condición de entrada a la base: el mayor valor positivo en la fila Z indica la variable Pj que entra a la base. Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente negativos.
No obstante, es posible normalizar el objetivo del problema con el fin de aplicar siempre los mismos criterios en lo referente a la condición de parada del algoritmo y a las condiciones de entrada y salida de las variables de la base. De esta forma, si el objetivo es minimizar la solución, se puede cambiar el problema a otro equivalente de maximización simplemente multiplicando la función objetivo por "1". Es decir, el problema de minimizar Z es equivalente al problema de maximizar (-1)·Z. Una vez obtenida la solución será necesario multiplicarla también por (-1). Ventajas: No hay que preocuparse por nuevos criterios de parada, condición de entrada y salida de la base ya que se mantienen. Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todos los coeficientes de sus variables básicas positivos, y además las restricciones sean del tipo de desigualdad "≤", al hacer el cambio dichos coeficientes quedan negativos cumpliéndose la condición de parada en la primera iteración (en la fila del valor de la función objetivo todos los valores son positivos o cero). Obteniéndose en este caso por defecto un valor óptimo para la función igual a 0. Solución: Realmente no existe este problema dado que para que la solución sea superior a 0 es necesario que alguna restricción tenga impuesta la condición "≥" (y se trataría de un modelo para el método de las Dos Fases). En el caso planteado, la solución real debe ser cero.
Lógica Bayesiana Introducción Como anunciaba Lindley en el primer Congreso Internacional de Estadística Bayesiana, falta menos para el 2021 año en el que el adjetivo bayesiano para la estadística sería superfluo al ser bayesianas todas la aproximaciones a la estadística. El objetivo de la estadística, y en particular de la estadística Bayesiana, es proporcionar una metodología para analizar adecuadamente la información con la que se cuenta (análisis de datos) y decidir de manera razonable sobre la mejor forma de actuar (teoría de decisión). Tipos de inferencia: clásica y bayesiana • La toma de decisiones es un aspecto primordial en la vida de un profesional, por ejemplo, un médico debe de tomar decisiones. • La metodología estadística clásica se puede ver como un conjunto de recetas que resultan apropiadas en determinados casos y bajo ciertas condiciones. • Sin embargo, existe una metodología unificada y general que se deriva de analizar el proceso lógico que debe de seguirse para tomar una decisión (teoría de la decisión), y que incluye como caso particular al conjunto de recetas clásicas. • La estadística está basada en la teoría de probabilidades. Formalmente la probabilidad es una función que cumple con ciertas condiciones, pero en general puede entenderse como una medida o cuantificación de la incertidumbre.
Teoria de Juegos Introducción Los psicólogos destacan la importancia del juego en la infancia como medio de formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse en sociedad, a resolver problemas y situaciones conflictivas. Todos los juegos, de niños y de adultos, juegos de mesa o juegos deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y cooperativas en las que podemos reconocer situaciones y pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real. El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos los tiempos para el desarrollo de teorías y modelos matemáticos. La estadística es una rama de las matemáticas que surgió precisamente de los cálculos para diseñar estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad, media ponderada y distribución o desviación estándar, son términos acuñados por la estadística matemática y que tienen aplicación en el análisis de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos ante componentes aleatorios.
Pero la teoría de juegos tiene una relación muy lejana con la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las relaciones económicas
como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas. La técnica para el análisis de estas situaciones fue puesta a punto por un matemático, John von Neumann. A comienzos de la década de 1940 trabajó con el economista Oskar Morgenstern en las aplicaciones económicas de esa teoría. El libro que publicaron en 1944, "Theory of Games and Economic Behavior", abrió un insospechadamente amplio campo de estudio en el que actualmente trabajan miles de especialistas de todo el mundo. La Teoría de Juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y ha mostrado una gran versatilidad en la resolución de problemas. Muchos campos de la Economía ¿Equilibrio General, distribución de costes, etc.¿ se han visto beneficiados por las aportaciones de este método de análisis. En el medio siglo transcurrido desde su primera formulación el número de científicos dedicados a su desarrollo no ha cesado de crecer. Y no son sólo economistas y matemáticos sino sociólogos, politólogos, biólogos o psicólogos. Existen también aplicaciones jurídicas: asignación de responsabilidades, adopción de decisiones de pleitear o conciliación, etc. Hay dos clases de juegos que plantean una problemática muy diferente y requieren una forma de análisis distinta. Si los jugadores pueden comunicarse entre ellos y negociar los resultados se tratará de juegos con transferencia de utilidad (también llamados juegos cooperativos), en los que la problemática se concentra en el análisis de las posibles coaliciones y su estabilidad. En los juegos sin transferencia de utilidad, (también llamados juegos no cooperativos) los jugadores no pueden llegar a acuerdos previos; es el caso de los juegos conocidos como "la guerra de los sexos", el "dilema del prisionero" o el modelo "halcón-paloma". Los modelos de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser bipersonales, es decir, con sólo dos jugadores. Pueden ser simétricos o asimétricos según que los resultados sean idénticos desde el punto de vista de cada jugador. Pueden ser de suma cero,
cuando el aumento en las ganancias de un jugador implica una disminución por igual cuantía en las del otro, o de suma no nula en caso contrario, es decir, cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en función de sus decisiones. Cada jugador puede tener opción sólo a dos estrategias, en los juegos biestratégicos, o a muchas. Las estrategias pueden ser puras o mixtas; éstas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de los juegos con repetición, los que se juegan varias veces seguidas por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser también simples o reactivas, si la decisión depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.
MÉTODO DE TRANSPORTE Es un método de programación lineal para la asignación de artículos de un conjunto de origines a un conjunto de destinos de tal manera que se optimice la función objetivo. Esta técnica es particularmente usada en organizaciones que producen el mismo producto en numerosas plantas y que envía sus productos a diferentes destinos (Centros de distribución, almacenes). También se aplica en distribución, análisis de localización de plantas y programación de la producción. Se han desarrollado diferentes enfoques para resolver este problema de distribución, tales como: El método de la esquina noroeste, el método modificado de la esquina noroeste (celda mínima), método del trampolín (Cruce de arroyo, stepping stone), método de la distribución modificada (MODI), método de aproximación de Vogel y el método simplex. Se cubrirán únicamente en estas notas los siguientes métodos: a) Esquina Noroeste b) Modificado de la esquina Noroeste. c) Aproximación de Vogel. d) Del trampolín (Stepping stone) Para que un problema pueda ser solucionado por el método de transporte, este debe reunir tres condiciones: 1)
La función objetivo y las restricciones deben de ser lineales. 2) Los artículos deben de ser uniformes e intercambiables, los coeficientes de todas las variables en la ecuación deben de ser 0 o 1. 3) La suma de las capacidades de las fuentes debe ser igual a la suma de los requerimientos de los destinos, si alguna desigualdad existe una variable de holgura deberá ser añadida.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE Una cierta clase de problemas de programación lineal, conocida como problema de transporte se da muy frecuentemente en aplicaciones prácticas. El problema general de transporte puede ser formulado como sigue: Un producto está disponible en ciertas cantidades conocidas en cada uno de los m orígenes. Es requerido que ciertas cantidades de un producto sean transportadas a cada uno de los n destinos. El mínimo costo de transportar una unidad de cualquier origen a cualquier destino es conocido. Se desea determinar el programa de los envíos que minimiza el costo total de transporte. Sea ai la cantidad de producto disponible en el origen i y bj la
cantidad de producto requerida en el destino j. El costo de transportar una unidad de origen i al destino j será escrita como cij. Se asumirá que la cantidad disponible sea igual a la cantidad producida.
Entonces xij es la cantidad transportada del origen i al
destino j. Se desea encontrar las, las cuales satisfagan las m + n restricciones. , donde
>0, i = 1, 2,…m
, donde bj > 0, j = 1, 2,…n
Y que minimicen
El número de celdas asignadas, será igual a m + n + 1
Representación Tabular.
PLANTA 1 2
X11 X21
X12 X22
X1n X2n
A1 A2
m requerimientos
Xm1 B1
Xm2 B2
Xmn Bn
Am =
Todas la celdas no asignadas son iguales a cero, por ejemplo si tenemos una matriz del tamaño de 6x4 (m = 6 y n = 4), entonces el numero de celdas asignadas (valores de xij diferentes de cero) será m + n - 1 = 9, y las celdas no asignadas ( con valores de xij = 0 ) serán 6(4)-9=15.
TÉCNICA DE MONTE CARLO La
simulación
Monte
Carlo
es
una
técnica
matemática
computarizada que permite tener en cuenta el riesgo en análisis cuantitativos y tomas de decisiones. Esta técnica es utilizada por profesionales de campos tan dispares como los de finanzas, gestión de proyectos, energía, manufacturación, ingeniería, investigación y desarrollo, seguros, petróleo y gas, transporte y medio ambiente. La simulación Monte Carlo ofrece a la persona responsable de tomar las decisiones una serie de posibles resultados, así como la probabilidad de que se produzcan según las medidas tomadas. Muestra las posibilidades extremas —los resultados de tomar la medida más arriesgada y la más conservadora— así como todas las posibles consecuencias de las decisiones intermedias. Los científicos que trabajaron con la bomba atómica utilizaron esta técnica por primera; y le dieron el nombre de Monte Carlo, la ciudad turística de Mónaco conocida por sus casinos. Desde su introducción durante la Segunda Guerra Mundial, la simulación Monte Carlo se ha utilizado para modelar diferentes sistemas físicos y conceptuales. Cómo funciona la simulación Monte Carlo La simulación Monte Carlo realiza el análisis de riesgo con la creación de modelos de posibles resultados mediante la sustitución de un rango de valores —una distribución de probabilidad— para cualquier factor con incertidumbre inherente. Luego, calcula los resultados una y otra vez, cada vez usando un grupo diferente de valores aleatorios de las funciones de probabilidad. Dependiendo del número de incertidumbres y de los rangos especificados, para completar una simulación Monte Carlo puede ser necesario realizar miles o decenas de miles de recálculos. La simulación Monte Carlo produce distribuciones de valores de los resultados posibles. El
análisis
de
riesgo
se
puede
realizar
cualitativa
y
cuantitativamente. El análisis de riesgo cualitativo generalmente
incluye la evaluación instintiva o “por corazonada” de una situación, y se caracteriza por afirmaciones como “Eso parece muy
arriesgado”
o
“Probablemente
obtendremos
buenos
resultados”. El análisis de riesgo cuantitativo trata de asignar valores numéricos a los riesgos, utilizando datos empíricos o cuantificando evaluaciones cualitativas. Vamos a concentrarnos en el análisis de riesgo cuantitativo. Mediante el uso de distribuciones de probabilidad, las variables pueden generar diferentes probabilidades de que se produzcan diferentes resultados. Las distribuciones de probabilidad son una forma mucho más realista de describir la incertidumbre en las variables de un análisis de riesgo.
Las distribuciones de
probabilidad más comunes son: Normal – O “curva de campana”. El usuario simplemente define la media o valor esperado y una desviación estándar para describir la variación con respecto a la media.
Los valores
intermedios cercanos a la media tienen mayor probabilidad de producirse.
Es una distribución simétrica y describe muchos
fenómenos
naturales,
como
puede
ser
la
estatura
de
una
población.
Ejemplos de variables que se pueden describir con
distribuciones normales son los índices de inflación y los precios de la energía. Lognormal – Los valores muestran una clara desviación; no son simétricos como en la distribución normal.
Se utiliza para
representar valores que no bajan por debajo del cero, pero tienen un potencial positivo ilimitado.
Ejemplos de variables descritas
por la distribución lognormal son los valores de las propiedades inmobiliarias y bienes raíces, los precios de las acciones de bolsa y las reservas de petróleo. Uniform – Todos los valores tienen las mismas probabilidades de producirse; el usuario sólo tiene que definir el mínimo y el máximo.
Ejemplos de variables que se distribuyen de forma
uniforme son los costos de manufacturación o los ingresos por las ventas futuras de un nuevo producto.
Triangular – El usuario define los valores mínimo, más probable y máximo.
Los valores situados alrededor del valor más probable
tienen más probabilidades de producirse.
Las variables que se
pueden describir con una distribución triangular son el historial de ventas pasadas por unidad de tiempo y los niveles de inventario. PERT – El usuario define los valores mínimo, más probable y máximo, como en la distribución triangular. Los valores situados alrededor
del
producirse.
más
probable
tienen
más
probabilidades
de
Sin embargo, los valores situados entre el más
probable y los extremos tienen más probabilidades de producirse que en la distribución triangular; es decir, los extremos no tienen tanto peso.
Un ejemplo de uso de la distribución PERT es la
descripción de la duración de una tarea en un modelo de gestión de un proyecto. Discrete – El usuario define los valores específicos que pueden ocurrir y la probabilidad de cada uno. Un ejemplo podría ser los resultados de una demanda legal: 20% de posibilidades de obtener un veredicto positivo, 30% de posibilidades de obtener un veredicto negativo, 40% de posibilidades de llegar a un acuerdo, y 10% de posibilidades de que se repita el juicio. Durante una simulación Monte Carlo, los valores se muestrean aleatoriamente a partir de las distribuciones de probabilidad introducidas. Cada grupo de muestras se denomina iteración, y el resultado correspondiente de esa muestra queda registrado.
La
simulación Monte Carlo realiza esta operación cientos o miles de veces, y el resultado es una distribución de probabilidad de posibles resultados.
De esta forma, la simulación Monte Carlo
proporciona una visión mucho más completa de lo que puede suceder. Indica no sólo lo que puede suceder, sino la probabilidad de que suceda. La simulación Monte Carlo proporciona una serie de ventajas sobre el análisis determinista o “estimación de un solo punto”:
Resultados probabilísticos. Los resultados muestran no sólo lo que puede suceder, sino lo probable que es un resultado. Resultados
gráficos.
Gracias
a
los
datos
que
genera
una
simulación Monte Carlo, es fácil crear gráficos de diferentes resultados y las posibilidades de que sucedan. Esto es importante para comunicar los resultados a otras personas interesadas. Análisis de sensibilidad. Con sólo unos pocos resultados, en los análisis deterministas es más difícil ver las variables que más afectan el resultado. En la simulación Monte Carlo, resulta más fácil ver qué variables introducidas tienen mayor influencia sobre los resultados finales. Análisis de escenario. En los modelos deterministas resulta muy difícil modelar diferentes combinaciones de valores de diferentes valores de entrada, con el fin de ver los efectos de situaciones verdaderamente diferentes.
Usando la simulación Monte Carlo,
los analistas pueden ver exactamente los valores que tienen cada variable cuando se producen ciertos resultados. Esto resulta muy valioso para profundizar en los análisis. Correlación de variables de entrada. En la simulación Monte Carlo es posible
modelar relaciones interdependientes entre
diferentes variables de entrada.
Esto es importante para
averiguar con precisión la razón real por la que, cuando algunos factores suben, otros suben o bajan paralelamente. Una ventaja de la simulación Monte Carlo es el uso del muestreo Latino Hipercúbico, que muestrea con mayor precisión a partir de un rango completo de funciones de distribución.
Expertos en Transporte
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