1. ¿Cuáles son las definiciones de cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y energía cinética para una partícula simple? ¿Cuáles son las dimensiones de estas cantidades? Cantidad de movimiento: se refiere a la cantidad de movimiento de un objeto o partícula como el producto de su masa por su velocidad. p=mv •
Sus dimensiones son Kg ( m ) s
•
[ MLT −1 ]
Masa / Velocidad
Cantidad de movimiento angular: Se le llama cantidad de movimiento angular L para un objeto que gira en torno a un eje fijo, se define como: L=Iω donde I es el momento de inercia y ω es la velocidad angular en torno al eje de rotación: • •
Sus dimensiones son Kg∗m s
[ M L2 T −1 ]
2
Energía cinética: Está definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde su posición de equilibrio hasta una velocidad dada. Es la misma energía potencial que tiene un cuerpo pero que se convierte en cinética cuando el cuerpo se pone en movimiento (se desplaza a cierta velocidad). 2 −2 • Sus dimensiones son [ M L T ] •
Kg∗m2 s2
= Joule
2. ¿Cuáles son las dimensiones de velocidad, velocidad angular, presión, densidad, fuerza, trabajo y momento de torsión? ¿Cuáles son algunas unidades comunes usadas para estas cantidades? • m s
Velocidad
= Longitud / Tiempo
Unidades: •
Km m cm ft ; ; ; ; mph ; mps , nudo hr s s s Densidad
.
m L3
= Masa / Volumen
Unidades:
Kg g Kg ; ; m3 cm 3 L3
• Fuerza L m 2 = masa por longitud / tiempo T m Unidades SI: Kg s =Newton ( N ) ; dina(dyn) •
La velocidad angular
Angulo girado Tiempo Unidades: •
rad S Trabajo
f ∙ d =Fuerza ∙ distancia 2
Unidades: •
Kg ∙ m =Joule 2 s Momento de torsión
r ∙ F ∙ sin θ=distancia ∙ Fuerza aplicada Unidades:
n ∙ m ; lb ∙ ft
3. Verificar que es posible pasar de la ecuación 0.3-3 a la ecuación 0.3-4 m A 1 ́r A 1+ mA 2 ŕ A 2+ mB 1 ŕ B 1 + mB 2 ŕ B 2=m ' A1 ́r ' A 1+ m' A 2 ́r ' A 2 +m ' B 1 ŕ ' B 1+ m' B 2 ŕ ' B 2 Ecuación 0.3-3 Usamos las relaciones de los vectores de posición para los vectores de velocidad, por lo tanto podemos obtener:
́ A1 ́r A 1=́r A + R
Donde
́r A 1 es la suma del vector velocidad para el centro de masa y el vector de velocidad del ́ A 2=− R ́ A1 R
átomo respecto al centro de masa, y se reconoce que siguiente:
; De ésta manera vemos lo
́ A 1 )+ m A 2 ( ́r A + R ́ A 2 ) + mB 1 ( ́r B + Ŕ B 1 ) + mB 2 ( ŕ B + R ́ B 2 )=m' A 1 ( ́r ' A + Ŕ ' A 1 ) +m ' A 2 ( ́r ' A + Ŕ ' A 2 ) +m ' B 1 ( ŕ ' B + Ŕ m A 1 ( ́r A + R
Usamos
́ A 2=− R ́ A1 R
Y
́ B 2=− R ́ B1 R para los dos átomos.
Entonces sustituimos ésta relación en la fórmula y continuamos a multiplicar: ́ A 1 )+ m A 2 ( ́r A− R ́ A 1 ) + m B 1 ( ́r B + Ŕ B 1 ) + m B 2 ( ́r B − R ́ B 1 )=m' A 1 ( ́r ' A+ R ́ ' A 1 )−m' A 2 ( ́r ' A + R ́ ' A 1 ) + m' B 1 ( ́r ' B + R ́ m A 1 ( ́r A + R
́ A 1+ m A 2 ́r A−mA 2 R ́ A 1+ mB 1 ŕ B + mB 1 R ́ B 1+ mB 2 ́r B−mB 2 R ́ B 1=m' A 1 ŕ ' A +m ' A1 Ŕ ' A1 + m' A 2 ́r ' A−m ' A m A 1 ́r A+ m A 1 R
Factorizar términos ( m A 1+ m A 2 ) ́r A + ( m A 1−mA 2 ) Ŕ A 1 + ( mB 1 +m B 2 ) ́r B + ( mB 1−mB 2 ) Ŕ B 1= ( m' A 1+ m' A 2 ) ́r ' A +( m' A 1−m' A 2 ) ' ́R A 1+ ( m' B 1+ m Tomando como referencia la ecuación 0.3-2, el hecho que para las moléculas diatómicas homoneculares se cumple que:
1 m A 1=m A 2= m A , donde podemos deducir que 2
m A 1−m A 2=0
por lo tanto procedemos a
sustituir en la ecuación
( 12 m + 12 m ) ŕ +( 0 ) Ŕ +( 12 m + 12 m ) ́r +( 0 ) Ŕ =( 12 m' + 12 m' ) ŕ ' +( 0) Ŕ ' +( 12 m' + 12 m' ) ŕ ' +( 0) Ŕ A
A
A
A1
B
B
B
B1
A
A
A
A1
B
B
B
Y finalmente obtenemos la ecuación: m A ́r A +m B ́r B=m A ŕ ' A + mB ́r ' B
Ec.0.3-4 4. Describir todos los detalles necesarios para obtener a ecuación 0.3-6 a partir de la ecuación 0.3-5 1 1 1 1 1 1 1 m ́r 2 + m ŕ 2 + ∅ A + mB 1 ́r 2B 1 + mB 2 ŕ 2 B 2+ ∅ B = m ' A 1 ́r ' 2 A 1+ m ' A 2 ́r ' 2A 2 + ∅ ' A + m' B 1 ́r ' 2 2 A1 A1 2 A 2 A2 2 2 2 2 2
(
)(
)(
)(
Ec. 0.3-5 De la misma manera que en la ecuación anterior, usamos las relaciones de los vectores de posición para los vectores de velocidad, por lo tanto podemos obtener ,
́ A1 ́r A 1=́r A + R
Expresamos la velocidad de átomo 1 de la molécula A como la suma de la velocidad del centro de masa A y la velocidad de 1 respecto al centro de masa; y observamos que Nótese que utilizamos la notación estándar abreviada de que poder sustituir en la ecuación resolvemos:
́r 2 A1= ( ́r A + Ŕ A 1 ) ( ŕ A + Ŕ A 1 ) ́ A1+ R ́ 2A1 ́r 2 A1= ́r 2 A + ́r A Ŕ A 1 + ŕ A R ́ A 1 + Ŕ 2A1 ́r 2 A1= ́r 2 A + 2 ́r A R
́ A 2=− R ́ A1 R
́r 2 A1= ( ́r A 1 ) ( ŕ A1 ) por lo tanto para
Procedemos a sustituir en la ecuación: 1 ́ 2 A 1 ) + 1 m A 2 ( ́r 2A + 2 ́r A R ́ A 2+ R ́ 2 A 2 ) + ∅ A + 1 m B 1 ( ́r 2 B + 2 ́r B R ́ B 1 + Ŕ 2B 1 ) + 1 m B 2 ( ́r 2B + 2 ́r B m ( ́r 2 + 2 ́r A Ŕ A 1 + R 2 A1 A 2 2 2
[
][
́ A 2=− R ́ A1 R
Sustituimos
[
́ B 2=− R ́ B1 R
y
y procedemos a multiplicar:
][
1 ́ 2 A 1 ) + 1 m A 2 ( ́r 2A−2 ́r A R ́ A 1+ R ́ 2 A 2 ) + ∅ A + 1 m B 1 ( ́r 2B + 2 ́r B R ́ B 1 + Ŕ 2B 1 ) + 1 m B 2 ( ŕ 2B −2 ŕ B m A 1 ( ́r 2 A + 2 ́r A Ŕ A 1 + R 2 2 2 2
( 12 m
A1
́ A 1+ 1 m A 1 Ŕ 2A 1 + 1 m A 2 ŕ 2 A−m A 2 ́r A R ́ A 1+ 1 m A 2 Ŕ 2 A 2+ ∅ A + 1 mB 1 ́r 2 B + mB 1 ́r B R ́ B1+ 1 mB1 ŕ 2A + m A 1 ́r A R 2 2 2 2 2
)(
Factorizamos términos comunes 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( m + m A 2 ) ́r A + ( m A 1−mA 2) ́r A Ŕ A 1 + 2 mA 1 Ŕ A 1+ 2 m A 2 ́r A + ∅ A + 2 ( mB 1 +m B 2 ) ́r B + ( mB 1 −m B 2 ) ́r B Ŕ B 1+ 2 m 2 A1
[
][
Sabemos que para moléculas diatómicas homonucleares se cumple que: 1 m A 1=m A 2= m A 2 1 1 m A 1+ m A 2= mA + m A=mA 2 2 m A 1−m A 2=0 Procedemos a sustituir y eliminar: 1 1 ́ 2 A 1+ 1 m A 2 R ́ 2 A 2+ ∅ A + 1 mB ŕ 2 B+ 1 m B 1 R ́ 2B 1 + 1 mB 2 Ŕ 2B 2 + ∅ B m A ́r 2 A + mA 1 R 2 2 2 2 2 2
[ [
][
]
=
][
1 1 ́ 2B2+ ∅ ' B ́ ' 2 A 1 + 1 m' A 2 Ŕ ' 2 A 2 + ∅ ' A + 1 m' B ́r ' 2 B + 1 m' B 1 Ŕ ' 2 B 1+ 1 m' B 2 R' m ' A ŕ ' 2 A + m' A 1 R 2 2 2 2 2 2
Al ser
u A la suma de las energías cinéticas de los átomos, referida al
centro de la masa de la molécula A, y el potencial interatómico de la molécula A es decir: 1 ́ 2 A 1+ 1 m A 2 Ŕ 2 A 2+ ∅ A u A= m A 1 R ∴ Sustituyendo, obtenemos la ecuación 2 2 0.3-6
( 12 m ŕ A
2 A
) ( 12 m ́r
+ uA +
B
2 B
+u B
)
=
( 12 m' ́r ' A
2 A
) ( 12 m' ́r '
+u' A +
B
2 B
+u ' B
)
Ec.0.3-6 5. Suponga que el origen de coordenadas se ha desplazado a una nueva posición. ¿Cómo afecta este hecho a la ecuación 0.3-7? ¿Cambia la ecuación?
]
La ecuación no cambia ni se ve afectada por éste hecho, ya que sigue el principio de las leyes mencionadas, el origen es arbitrario y pueden cambiar los vectores, sin embargo más los valores si cambiarían al ser introducidos en dicha ecuación a partir de las nuevas coordenadas 6. Compare y contraste la velocidad angular y la cantidad de movimiento
angular. Velocidad angular Cantidad de movimiento angular La velocidad angular se refiere a la movimiento circular alrededor de una velocidad rotacional de un objeto línea imaginaria llamada eje de desarrollando un ángulo en movimiento. rotación
Son referidos a un origen de coordenadas en el centro de masa de una molécula; y representan entonces, la "cantidad de movimiento angular interno". Por ello es que existe la posibilidad de intercambio entre la cantidad de movimiento angular de las moléculas (respecto al origen de coordenadas) y su cantidad de movimiento angular interno (respecto al centro de masa de la molécula). 7. ¿Qué se entiende por energía interna?, ¿y por energía potencial? Energía interna: Se refiere a la energía microscópica invisible de la escala atómica y molecular Desde el punto de vista molecular, la energía interna consta de la suma de las energías cinéticas de todos los átomos constituyentes, las energías potenciales intramoleculares y las energías intermoleculares, dentro de una pequeña región alrededor del punto r en el instante t. Está en una escala separada de la energía macroscópica ordenada, que se asocia con los objetos en movimiento se define como la energía asociada con el movimiento aleatorio y desordenado de las moléculas. Energía potencial: Es una energía que resulta de la posición o configuración del objeto. Posee un cuerpo en virtud de su posición en un campo de fuerzas, por ejemplo: una masa en un campo gravitacional, una partícula cargada en un campo eléctrico. la energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar un trabajo en función exclusivamente de su posición o configuración.
8. La ley de conservación de la materia, ¿siempre es válida? ¿Cuáles son sus limitaciones? La ley de la conservación de la materia enuncia: "En toda reacción química la masa se conserva, esto es, la masa total de los reactivos es igual a la masa total de los productos". Tomando como ejemplo en el siglo XVII, Lavoisier demostró que la calcinación de un metal (ganando masa al calcinarse) no era el resultado de la pérdida del misterioso flogisto, sino la ganancia de algún material: una parte de aire. La experiencia anterior y otras más realizadas por Lavoisier pusieron de manifiesto que si se tiene en cuenta todas las sustancias que forman parte en una reacción química y todos los productos formados, nunca varía la masa. Por lo tanto la teoría siempre es válida. Una limitación de dicha ley es que cuando hay un proceso que involucra una reacción química, parte de la materia se convierte en energía. Sólo se aplica en sistemas cerrados.