CÁLCULO PROPOSICIONAL
Roger Camargo
INTRODUCCIÓN • La lógica proposicional ?. La lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad.
LÓGICA DE PREDICADOS - PREÁMBULO
• Qué es lógica de predicados ?. La lógica de primer orden también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden.
CÁLCULO DE PREDICADOS INFERENCIA
• La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.
• Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.
• Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.
CÁLCULO DE PREDICADOS INFERENCIA • Inductiva: (de lo particular a lo general) . • Deductiva: (de lo general a lo particular). • En este caso se encuentran MPP: Modus Ponendo Ponens y MTT: Modus Tollendo Tollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer una inferencia válida.
• Transductiva: (de particular a particular o de general a general). • Abductiva: es semejante a la deductiva, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica.
CÁLCULO DE PREDICADOS INFERENCIA •• El Cálculo predicados analiza la estructura interna de la lógica de proposiciones.
A continuación se formaliza el ejemplo: ∀x: Todos los hombres son mortales. Hx: Sócrates es hombre. Mx:Sócrates es mortal. Premisa H(s) Premisa ∴M(s) Conclusión donde s es una constante que representa al individuo Sócrates y los predicados H y M son definidos como: Hx: “x es un hombre” Mx: “x es mortal” Este razonamiento se traduce en la siguiente fórmula del cálculo de predicados.
CÁLCULO DE PREDICADOS En términos de lógica hay que distinguir entre objetos y propiedades que satisfacen o no esos objetos, de tal manera que hablaríamos de propiedades como predicados y de objetos como sujetos. Ejemplos:
• Objetos: gente, casas, números, planetas,... • Propiedades: rojo, pequeño, primo,...
CÁLCULO DE PREDICADOS • Muchas proposiciones lógicas involucran sujetos u objetos, y su valor de verdad depende de estos. Ejemplo: Ana y María son hermanas : V Pedro y Juan son hermanos : F H(a, m) tiene 2 argumentos o es de aridad 2. H(p, j) tiene 2 argumentos o es de aridad 2. • Llamamos predicado a la propiedad que se esta considerando, ejemplo: Ser hermanos Ser numero primo
• A los sujetos u objetos los llamamos términos. Ejemplo: Pablo es alumno. Se simboliza de la siguiente forma, donde Pablo es el sujeto y es alumno es el predicado: A(p) tiene un argumento que es p
LOS CUANTIFICADORES • Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, pero quizás los más estudiados y utilizados sean: • CUANTIFICADOR UNIVERSAL • CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
LOS CUANTIFICADORES • El cálculo de predicados permite también el uso de cuantificadores para referirse a colecciones de objetos. Son 2 cuantificadores: • Universal o General Todos los gatos tienen cola. • Existencial o Particular Existen números primos.
LOS CUANTIFICADORES • Podemos simbolizar los cuantificadores, estos pueden ser, «según el lenguaje natural». • UNIVERSALES • Todo, ningún o ninguno, cada, cualquiera,… la forma de simbolizar es ∧ (conjunción) o también así: ∀
, si pongo ∀ x Se lee «para todo x»
LOS CUANTIFICADORES • Podemos simbolizar los cuantificadores, estos pueden ser, según el lenguaje natural. • PARTICULARES • Algún, algunos, algún no, hay un, ciertos, ciertos no, … la forma de simbolizar es ∨ (disyunción) o también así: ∃
, si pongo ∃ (x) Se lee «algún x» o «existe un x»
Elementos sintácticos del cálculo de predicados. Incluye todos lo del cálculo de proposiciones: Constantes, variables proposicionales, conectores lógicos. • Además tiene los términos, predicados y cuantificadores.
• El Universo del Discurso o Dominio es el conjunto de individuos considerados bajo un cierto contexto.
• A cada individuo se identifica por una constante única.
Predicados • Un predicado como por ejemplo María es la madre de Juan se puede escribir. • M( m, j) donde el símbolo M es el predicado “es madre de”, m,j representan los individuos considerados. • Obsérvese que el orden es importante.
Predicados • El número de argumentos se denomina la • aridad del predicado. • Los valores de verdad de predicados binarios se pueden dar en una tabla: filas son el 1er argumento y columnas el 2do argumento Ejemplo: • El predicado mayor que '>'
Formulas atómicas y compuestas • Un predicado seguido por su lista de argumentos es una fórmula atómica. Ej. madre(María, Juana) • Las fórmulas se pueden combinar mediante conectores lógicos. Ejemplo: madre(Maria, Juana) ~madre(Juana, Maria). gato(Tom) tiene Cola(Tom).
Variables y Particularizaciones • Muchas veces es deseable no particularizar el individuo. En ese caso se puede indicar mediante una variable, Ejemplo: x, y, z. Ejemplos: • gato(x) tieneCola(x) • madre(x, y) ~madre(y,x) • Así mismo, podemos dar un nombre a la expresión, ejemplo: • A = gato(x) tieneCola(x)
Particularización • Las variables pueden sustituirse por elementos del universo de discurso. • Para indicar que la variable x se reemplaza por ‘Tom' se utiliza la siguiente notación Ejemplo:
• lo cual produce… gato(Tom) tieneCola(Tom).
Cuantificador Universal • Con frecuencia se tienen predicados que aplican a todos los individuos de un dominio. • Esto se indica mediante del cuantificador universal.
∀xA ∀ se lee “para todo” A se denomina el ámbito o alcance La variable x esta ligada por el cuantificador (una variable no ligada esta libre).
Cuantificador Particular • Nos permite indicar que el predicado es verdadero para al menos un elemento del dominio. • Esto se indica así.
∃xA y se lee “Existe al menos un x tal que A”
Cuantificadores EJEMPLOS:
• • • •
Nadie es perfecto. Toda persona tiene una madre. Todos los perros son mamíferos. Algunos perros son marrones.
Variables libres y ligadas Consideremos el siguiente ejemplo:
∀x(P(x) Q(y)) ∧ ∃ yR(y) la variable y es libre en el ámbito del “para todo”, pero está ligada en el ámbito del “existe”. Al hacer una sustitución, debe tenerse cuidado de no afectar variables ligadas y prevenir colisiones de nombres, por ejemplo:
Variables libres y ligadas •
(∀x(P(x) Q(y))∧∃ yR(y)) ∀x(P(x) Q(z))∧∃ yR(y)
Interpretación y Validez Para poder determinar la verdad o falsedad de una expresión en cálculo de predicados es necesario tener: • El universo del discurso claramente definido, • una constante única asignada a cada término del universo del discurso, • un término del universo del discurso asignado a cada variable libre, y • una asignación para cada predicado dentro de la expresión.
Interpretación de los cuantificadores. • Dado un universo de discurso {a1,...,an} y un predicado P(x), la interpretación de ∀xP(x) es: ∀xP(x) ≡ P(a1) ∧ P(a2) ∧… ∧ P(an)
• De forma similar, el cuantificador existencial se interpreta de la siguiente manera: ∃xP(x) ≡ P(a1) ∨ P(a2) ∧… ∨ P(an)