APRENDIZAJE CONTINUO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES REVISTA ELECTRONICA VOL. 1 – NUM. 01 AÑO- 2015
EDICIÓN ESPECIAL
Anzoátegui, Venezuela
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA EDITORIAL En la época de la Segunda Guerra Mundial de la década de 1950 se remonta el principio de la investigación de operación, siendo introducida en las industrias, los negocios y el gobierno desde entonces, cuya disciplina se ha venido desarrollando con rapidez. Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones presente en este periodo, es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. En la investigación de operaciones
se desarrolla la
importancia del análisis de sensibilidad, problema de transporte y programación entera, donde se desplegaran practica
presente,
por medio de la
siendo el contenido que la desarrolla, la
encargada de establecer como implementar las mejoras en la productividad, ya sea para una empresa o negocio enfocada en la toma de decisiones mas factibles y poder así garantizar el beneficio en las empresas que puedan llegar a presentar dificultades en cuanto a problemas de transporte o problemas referente a la distribución de los productos.
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA Índice ANALISIS DE SENSIBILIDAD Cambios de disponibilidad de horas 3 • Planta 2 3-4 • Planta 3 5 • Planta 1 5-6 Cambios en los coeficientes de una Variable (VNB) Cambios en los coeficientes en una Variable (VB)
7 8
PROBLEMA DE TRANSPORTE Soluciones factibles a problemas de transporte Problemas 9 Problemas de programación de producción
8 10-11
SIMPLEX PARA TRANSORTE Problemas distribución de recursos hidráulicos Métodos de simplex simplificado Solución a problemas de transporte • Regla de la esquina noroccidental • Método de Vogel 16 • Método de Russel 17 Interacciones 18-19 PROGRAMACION ENTERA Problemas
20
14 15
12-13 15
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ANALISIS DE SENSIBILIDAD Es importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad, para investigar el efecto que tendría sobre la solución óptima y la función objetivo el hecho que los parámetros tomaran otros valores posibles. RECORDANDO Cualquier tabla del simplex se puede obtener a partir de:
Tabla original
Matriz que premultiplica a la tabla original
CAMBIOS QUE SE PUEDEN PRODUCIR EN LA APLICACIÓN DEL ANALISIS DE SENSINILIDAD las suposiciones en programación lineal es en las constantes conocidas: bi : (recursos) aij : (coeficientes tecnológicos) cj : (coeficientes de costos) En base al problema de la Wyndor se puede ver claramente los cambios en cuanto a los recursos bi; ya que este caso se basa en un aumento o disminución en cuanto a disponibilidad de horas en las plantas 1,2 y 3. Una vez recordado que por medio de la tabla simplex se puede obtener la tabla
original y la matriz que multiplica a la tabla original, podemos aplicar lo visto incluyendo el aumento o disminución de horas en la planta.
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA Aplicando lo visto
Se define:
Ya que: CAMBIADO DE LA DISPONIBILIDAD DE HORA EN LA PLANTA 2 (B2).
Se tiene el cambio en la siguiente formula ya que se presencia el vector b
TABLA OPTIMA
Se pone en riesgo la factibilidad si cambian los recurso al igual que los valores de las V.B y los de la funci贸n objetivo
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RESOLVIENDO el problema de la planta con la hora 2 (b2) tenemos que solo se vería un recurso al tiempo.
¿QUE SON PRECIOS SOMBRAS?
También costo PRECIO SOMBRA
Tenemos:
llamados marginal
o
precios duales, son los
encargados
suministrar
de la
interpretación económica Rangos de variación permitidos para b2
Recordando que es factible el problema si; bi ≥ 0
los
modelos midiendo el valor marginal de los recursos.
La disponibilidad de horas en la planta 2 puede variar entre 6 y 18 sin que se afecte la factibilidad del problema
de
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA CAMBIADO DE LA DISPONIBILIDAD DE HORA EN LA PLANTA 3 (B3).
Recordando una vez mas que el problema es factible si bi ≥ 0
Se tiene:
Notaremos el cambio en la siguiente formula ya que se presencia el vector b como en la planta 2 (b2).
De manera que en este caso solo se varia un recurso al tiempo.
PRECIO SOMBRA
Rangos de variación permitidos para b3
La disponibilidad de horas en la planta 3 puede variar entre 12 y 24 sin que se afecte la factibilidad del problema
CAMBIADO DE LA DISPONIBILIDAD DE HORA EN LA PLANTA 1 (B1). Para la determinación de la disponibilidad de hora en la planta 1 se cumplen el procedimiento anteriores explicados de la planta 2 y 3, se obtiene que:
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En el ejemplo de la Wyndor una vez retomado y explicado las horas disponibles para las planta 1, 2 y 3 se supone una decisi贸n tentativa de las disponibilidades de recursos que son:
Planta 1
4 horas
Planta 2
6 horas
Planta 3
18 horas
Bi
Sabemos
que
todas las restricciones con precio dual mayor que cero son par谩metros sensibles, relacionadas con el concepto de restricciones de atadura conocidas como obligatorias. Ejemplo:
Viendo gr谩ficamente el aumento o disminuci贸n de los recursos (bi)
Restricciones obligatorias Su precio dual generalmente es positivo, y no tienen ni excedencia ni holgura
Restricciones no obligatorias Su precio dual siempre es cero , y tienen excedencias u holguras.
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA Cuando cambian los coeficientes de las variables de decisión cj en la función objetivo los coeficientes de costos cj requieren de un análisis según son:
Variables básicas
elementos cambian
que
Variables no básicas que afectan la función objetivo y la solución óptima provocando cambios en ellas. 1.Cambios en los coeficientes de una V.N.B Para las variables no básicas el único cambio será cj ( la componente j de c.
Único elemento que cambia
2.Cambios en los coeficientes de una V.B Para efectuar el cambio en los coeficientes de la V.B se debe tener precaución debido que al cambiar un elemento cj se pone en riesgo la optimalidad del problema (cambia el renglón cero )
NOTA: se garantiza que cB B-1A - c = 0 , para las V.B) Se requiere que los zj – cj ≥ 0 y los cB B-1 ≥ 0. La función objetivo cB B-1 b puede tomar cualquier valor.
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EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE Este problema es el que se aplica para poder determinar la manera mas optima de transportar bienes, no obstante se utiliza igual para aplicaciones como la programación de la producción que no tiene la relación en cuanto a el transporte siendo esta una de sus aplicaciones mas importantes. En el problema del transporte se representa la distribución de cualquier bien, desde cualquier grupo de centros de abastecimiento, llamados: Orígenes (ofertas) a cualquier grupo de centros de recepción llamados . Destinos (demandas) Se debe resaltar que en todo problema de trasnporte se cumple con la siguiente propiedad: Si s¡ y dj son enteros positivos, toda solución básica factible tiene valores enteros.
Soluciones factibles en problemas de transporte SE DEBE CUMPLIR
EN CASO DE NO CUMPLIRSE Si la oferta excede la demanda Se introduce un nodo ficticio de demanda
Verificándolo:
Si la demanda excede la oferta Se introduce un nodo ficticio de oferta.
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PROBLEMA Uno de los productos más importantes de la P & T Company son los chícharos enlatados. Los chícharos se preparan en 3 enlatadoras: • Bellingham (Washington) • Eugene (Oregon) • Albert Lea (Minessota) Luego se mandan por camión a 4 almacenes de distribución: • Sacramento (California) • Salt Lake City (Utah) • Rapid City (South Dakota) • Alburqueque (Nuevo México). Los costos de constituyen un gasto importante.
embarque
Las variables de decisión en el problema: Xij : Número de cargas de camión que se mandan de la enlatadora i al almacén j. [ carga] i = 1,2,3. j=1,2,3,4. La funcion objetivo se representa como Z que es el costo total de transporte en miles de dólares.$
En cuanto a las restricciones estan: En Produccion ( enlatadoras) X11 + X12 + X13 + X14 = 75 X21 + X22 + X23 + X24 = 125 X31 + X32 + X33 + X34 =100
Como se observa en la siguiente tabla:
De demanda (almacenes) X11 + X21 + X31 = 80 X12 + X22 + X32 = 65 X13 + X23 + X33 = 70 X14 + X24 + X34 = 85 De no negatividad
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PROBLEMA de programación de producción La Northern Airplane CO. construye aviones comerciales para varias líneas en todo el mundo. La última etapa del proceso de producción consiste en fabricar los motores de turbina e instalarlos. Se debe programar la producción para los próximos 4 meses. En cada mes, teniendo en cuenta que las instalaciones disponibles limitan el número de motores que se pueden fabricar, debe cumplirse con unas demandas. El gerente de producción quiere calcular la programación del número de motores, que se deben fabricar en cada uno de los 4 meses, de manera que se minimicen los costos totales de producción y almacenaje.
VARIABLES DE DECISIÓN Xij : Nº de motores producidos en el mes Xij i = 1,2,34. j=1,2,3,4.
cij : Costo asociado con cada unidad de producción y cualquier almacenaje Si i≤j Si i>j : Es imposible por lo tanto Xij debe ser cero para i>j dj :Número de instalaciones programadas en el mes j
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A continuación se usara el método de la M grande para hallar los costos y así forzar que sean cero en la solución final, No obstante las restricciones sobre el abastecimiento no están presentes de forma usual, sino que están en forma de cotas superiores. Como se muestras en las tablas.
X11 + X12 + X13 + X14 ≤25 X21 + X22 + X23 + X24 ≤35 X31 + X32 + X33 + X34 ≤30 X41 + X42 + X43 + X44 ≤10 Se incluye un destino ficticio para convertir la desigualdad en ecuación estos se asumen cero, como la demanda en el destino ficticio es la capacidad total no utilizada, esta demanda es: (25+35+30+10)-(10+15+25+20)=30 Una vez incluida esta demanda la suma de los recursos debe ser igual a la suma de las demandas.
Los costos asociados con el destino ficticio deben ser cero.
CHISTE!
Llega Pedro a su casa, tumba la puerta y le dice a su esposa - María es cierto que me engañas con el policía del pueblo? - Ella: Negativo, cambio y fuera
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MÉTODO SIMPLEX SIMPLIFICADO PARA EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE Se aplicara un ejemplo a problema de transporte para poder observar como se aplica el método simplex DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS HIDRÁULICOS. El Distrito Metro es una dependencia que administra la distribución de agua en cierta región geográfica grande. El distrito debe comprar y traer agua desde fuera de ella. Las fuentes de agua son 3 ríos y se debe proveer de agua a 4 ciudades. Los costos varían entre ciudades y ríos. La administración tiene que resolver el problema de cómo asignar el agua disponible durante el próximo verano. Los ríos tienen cierta cantidad disponible, y el distrito se compromete a distribuir unas cantidades mínimas. Además las ciudades pueden solicitar agua por encima de los requerimientos mínimos. Se desea minimizar el costo total
Como se puede observar No hay forma de abastecer HollyGlass con agua del río Calorie. Igualmente en Berdoo que aceptaría hasta 20 millones de acres-pie por encima del mínimo requerido.
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA De las tablas anteriores se tiene que : Ríos Ciudades
Orígenes Destinos
La cantidad de agua que debe recibirse en cada uno (excepto en los Devils) es una variable de decisión con cota superior e inferior. La cota superior es la cantidad solicitada a menos que exceda la cantidad total disponible después de cumplir con las necesidades mínimas de las otras ciudades, en cuyo caso, esta cantidad disponible se convierte en la cota superior. Las cantidades solicitadas pueden tomarse como la demanda en el planteamiento de este problema, pero después de hacer un ajuste. Se debe crear un nodo ficticio de oferta para satisfacer el exceso en la capacidad dedemanda. La cantidad imaginaria de recursos para este origen ficticio es el excedente de la suma de las demandas sobre la suma de los recursos reales. (50+70+30+60) - (50+60+50) = 50 Demanda total
Oferta total
Se observan ahora los requerimientos mínimos de los destinos.
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA ¿Por qué es más conveniente este método? • No se necesitan variables artificiales. • Existe una forma simplificada de obtener el renglón (0)(mediante Uiy Vj ) • La variable básica que sale se identifica de manera sencilla.
Método simplex simplificado para el problema del transporte El problema del transporte es un tipo especial de problemas de P.L y puede resolverse tal y como se ha estudiado en clases anteriores. Sin embargo la estructura especial que tiene este tipo de problemas permite resolverlos con un método que ahorra muchos cálculos. Tabla simplex de transporte
• No se tiene que hacer ninguna tabla simplex y tampoco actualizarla. ¿Qué se necesita ? • Cij , si , dj • La s.b.f actual (conjunto de V.B). •Ui : Precio sombra de la restricción de oferta i •Vj : Precio sombra de la restricción de demanda j •Cij - Ui - Vj para cada V.N.B
Si Xij es una V.B
Si Xij es una V.N.B
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA SOLUCIÓN A PROBLEMAS DEL TRANSPORTE. A continuación se muestran los procedimientos para hallar una S.B.F inicial, los cuales son: • Regla de la esquina noroccidental. • Método de Vogel. • Método de Russel REGLA DE LA ESQUINA NOROCCIDENTAL. Se toma la celda para la variable X11 (esquina noroccidental) y se asigna el mínimo entre la oferta y la demanda. Si Xij fue la última V.B seleccionada, la siguiente elección será Xi, j+1 , si quedan recursos en el origen i. De lo contrario se elige Xi +1, j . En caso de que se satisfagan simultáneamente la oferta y la demanda se presenta una solución degenerada y se escoge arbitrariamente. veamos
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA MÉTODO DE VOGEL. Para cada columna y cada renglón elegible, calcule la diferencia, entendida como la diferencia aritmética entre el menor costo y el que le sigue en orden incremental, en este renglón. En el renglón o columna, donde exista la mayor diferencia, se selecciona la variable que entra como la de menor costo entre las que quedan. (En caso de empates se elige arbitrariamente) Se puede observar en las siguientes tablas
APRENDIZAJE CONTINUO REVISTA ELECTRONICA MÉTODO DE RUSSEL Para cada renglón elegible, debe determinarse Ui el mayor costo unitario Cij para el renglón seleccionado i. Para cada columna elegible j, debe determinarse Vj el mayor costo unitario de los Cij presentes en esa columna. Para cada variable Xij, que no haya sido seleccionada en estos renglones o columnas se calcula Dij = Cij - Ui - Vj
PRUEBA DE OPTIMALIDAD •Una S.B.F es óptima si y sólo si Cij - Ui - Vj ³0 para toda i,j tal que Xij es V.N.B en la iteración actual. •Como el valor de Cij - Ui - Vj debe ser cero si Xij es V.B, Ui y Vj satisfacen el conjunto de ecuaciones Cij = Ui + Vj para cada (i,j) tal que Xij es básica. •. Se recomienda seleccionar la que tenga el mayor número de asignaciones en un renglón. (hacer Ui = 0)
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ITERACIONES Paso 1 Se determina Cij - Ui - Vj para seleccionar la variable que entra a la base. Cij - Ui - Vj representa la tasa a la cual cambia la función objetivo si se incrementa la V.N.B Xij . La que entra debe tener un Cij - Ui - Vj negativo (se elige el más negativo). Paso 2 Al incrementar el valor de una variable se genera una reacción en cadena, de forma tal que se sigan satisfaciendo las restricciones. La primera V.B que disminuya su valor hasta cero será la variable que sale. Paso 3 La nueva S.B.F se identifica, sumando el valor (antes de los cambios) de la V.B que sale a las asignaciones de cada celda receptora, y restando esta misma cantidad de las asignaciones de cada celda donadora.
D Z= 10 (15 - 17 + 13 - 17) = 10 ( -2 )= -20 Z=2570 - 20 = 2550
SOLUCIÓN AL PROBLEMA : -Berdoo : 50 unidades desde el río Calorie. -Los Devils: 50 unidades desde el río Colombo y 20 desde el río Sacron. -San Go : 30 unidades ficticias. -Hollyglass: 40 unidades desde el río Sacron y 20 unidades ficticias.
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PROGRAMACION ENTERA
OTRAS DE PROGRAMACION ENTERA P.E pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros.
LA CALIFORNIA MANUFACTURING CO. , está analizando la posibilidad de expansión. Fábrica: Construcción de una fábrica en Los Angeles o en San Francisco, o tal vez en ambas ciudades Almacén: Construcción de un almacén a lo sumo, pero la decisión está restringida a que si hay almacén en ese sitio tiene que haber fábrica.
P.E mixta (PEM) : Algunas de las variables de
decisión
valores
tienen
enteros.
Las
demás cumplen con la suposición
de
divisibilidad. P.E. Binaria (PEB): Utiliza binarias
variables
Para formular el probelma se debe tener: Variables de decisión. =1 se construye. Xj =0 no se construy j= 1,2,3,4. Función objetivo Max Z = 9 X1 + 5 X2 + 6 X3 + 4 X4 Restricciones X3 + X4 £ 1 Alternativa excluyente X3 £ X1 Se construye la fabrica solo si se construye el X4 £ X2 almacén Xj Î [0,1] para j= 1,2,3,4. 6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 £ 10 Capital disponible
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EL PROBLEMA COMPLETO SERÀ: Max Z = 9 X1 + 5 X2 + 6 X3 + 4 X4 X3 + X4 ≤ 1 -X1 + X3 ≤0 -X2 + X4 ≤ 0 Xj Î [0,1] para j= 1,2,3,4. 6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤10 Otras posibilidades de formulación Es ocasiones es necesario utilizar variables para expresar relaciones combinatorias dentro de la formulación de los problemas. Para esto, además de las variables originales Xj , se hace necesario el uso de variables auxiliares yi del tipo binario, introducidas en la reformulación 1.
Restricciones una u otra.
Se aplica en los casos en que se tienen 2 tipos de recursos para un cierto propósito. P.ej : o bien 3 X1 + 2X2 £ 18 o X1 + 4X2 £ 16
2. Deben cumplirse K de N restricciones. Considere la situación en la que el modelo completo incluye un conjunto de N restricciones posibles entre las que sólo K de ellas se deben cumplir. (suponga que K < N). f 1 ( x 1 , x2 , ........., x n ) ≤d 1 f 2( x1 , x2 , ........., x n ) ≤d 2 fN( x1 , x2 , ........., x n ) ≤ d N 3. Funciones con N valores posibles. Considere la situación en la que una función dada tome cualquiera de N valores dados. Denotemos este requisito así: sigue f ( x1 , x2 , ........., x n ) = d1 , o d2 , ....., odN O un caso especial en que f ( x1 , x2 , ........., x n ) =S aj Xj 4.Problema de costo fijo. Es incurrir en un costo fijo cuando se emprende una actividad
Mundo Oriental De la mano con la comunidad
“Vivir es constantemente decidir lo que vamos a ser”. José Ortega y Gasset
Aprendizaje Continuo de Investigación de Operaciones
Donde quiera que estemos, está también nuestro aprendizaje. William Shakespeare