La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos ðC(C; r) es el conjunto siguiente: C (C; r) = {P tal que
= r}
La ecuación general de la circunferencia si colocamos el centro en el origen de un plano cartesiano, está dada por
Si el centro se mueve hacia un punto (h, k), la ecuación se transforma a ( ) ( )
I) C= centro es el punto medio entre dos puntos opuestos que nos dan el radio (2,5) C ( ) ( ) * + (
)
(-2,-1)
II) r = radio = distancia entre puntos/2 √[(
)
√(
)
(
) ]
La ecuación pedida es: (x-3)2+(y-1)2=17 //
√ √
Ampliemos el término, para ampliar nuestro conocimiento… ;)
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia: El segmento que une dos puntos de la circunferencia.
La que corta a la circunferencia en dos puntos.
CUERDA
RECTA SECANTE
RECTA TANGENTE La que toca a la circunferencia en un sólo punto. PUNTO DE TANGENCIA El de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
RADIO
El segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
DIÁMETRO CENTRO
El punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
El mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro).
Frases curiosas sobre la circunferencia "En la circunferencia, el comienzo y el fin coinciden." Heráclito (544-480 a. C.); filósofo griego.
"Inútil es la labor del que se fatiga intentando cuadrar el círculo." Stiffel (1544).
Datos curiosos
♥ Los pies de un elefante tienen forma circular. Multiplica el diámetro de su pie por 2π, y el resultado obtenido es la altura del elefante (de los pies a la espalda).
♥
Si quisiéramos escribir en línea recta los 200.000 millones de decimales de p calculados por Kanada y Takahasi en 1999, el papel necesario tendría una longitud tal, que podría dar una vuelta a la circunferencia de la Tierra.
Tips sobre la circunferencia y el círculo Círculo y circunferencia
no son lo mismo.
Círculo y circunferencia son lugares geométricos, conjuntos de puntos con un determinada condición.
Circunferencia
es el conjunto de puntos que están a igual distancia de otro punto llamado CENTRO El círculo es el conjunto de puntos de la circunferencia más todos los puntos interiores.
Radio
es la distancia entre cada punto de la circunferencia y el
centro. El diámetro es todo segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia.
多Donde miramos cotidianamente la circunferenia?
En todos lados, amigo!! :O
Elementos de una circunferencia
1. Centro de una circunferencia: (morado) Es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
2. Radio de una circunferencia (en rojo) Es cualquier segmento que va desde su centro a cualquier punto de dicha circunferencia. “El radio es la mitad del diámetro.” Todos los radios de una figura geométrica poseen la misma longitud.
3. Diámetro de una circunferencia (en azul) El diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia «Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera (segmento) que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales» Euclides de Alejandría, Elementos, libro I, definición
4. Recta Secante Una recta secante de una curva es una línea que (localmente) interseca dos puntos en la curva. ”Secante viene del latín secare, que significa, cortar.”
“Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.”
5. Recta tangente Toca a la circunferencia en un sólo punto; La recta tangente o también llamada recta exterior a una circunferencia de centro O que pasa por un punto T de la misma es la recta perpendicular al radio OT que pasa por el punto T. Esto ha de ser así porque la perpendicular a una recta trazada desde un punto exterior a la misma indica la menor distancia posible desde dicho punto a la recta. Si el radio OT no fuese perpendicular a la tangente en T, la verdadera perpendicular a la tangente trazada por O cortaría a la tangente en un punto T', de manera que la distancia |OT'| sería inferior a la distancia |OT|. Como la distancia |OT| es el radio de la circunferencia, T' sería un punto del interior de la circunferencia, lo cual se contradice con que la recta sea tangente a la circunferencia
5.a Punto de tangencia Una línea que intersecta a un círculo en exactamente un punto es llamada la tangente del círculo. El punto de intersección es el punto de tangencia.
6. La Cuerda La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. “El diámetro es la cuerda de longitud máxima.”, “El área que corta una cuerda circular es denominada un segmento circular.”
Propiedades y características 1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales. 2. Una bisectriz de una cuerda pasa por el centro. 3. Si las extensiones lineales (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se interceptan en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP·PB = CP·PD, (ver potencia de un punto). 4. La cuerda de mayor longitud posible para un determinado círculo es su propio diámetro.
7. Arco: El segmento curvilĂneo de puntos pertenecientes a una circunferencia; sector que estĂĄ comprendido entre dos radios. En el ejemplo: P(A) y P(B)
Donde
es el radio,
la longitud del arco y
angulo que contiene a .
8. Semicircunferencia Una Semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro, y está dada por la formula:
Donde es la longitud del arco dividido por el diámetro, es y que es el valor del radio del círculo.
cuyo valor aproximado
9. Ejercicios x² +y² =36
χ² +y² =r²
χ² +y² =6(es la raiz de 36) entonces: centro =(0,0) radio =6
Grafica
Ecuación(
)
(
)
Ecuación de la circunferencia con centro en “h”, “k” y radio r Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación general es Buscar que los términos en x y en y queden seguidos.
10. Aplicaciones a la vida La circunferencia la podemos encontrar en varias partes de nuestra vida cotidiana, por ejemplo al construir un redondel de una calle o avenida, un puente curvo (aunque no necesariamente debe ser toda la circunferencia), una rueda de chicago, o cualquier otro elemento que tenga una circunferencia en ella.
Ecuaciones de la circunferencia: Ecuaci贸n Ordinaria de la Circunferencia Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C (h,k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuaci贸n para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".
(
)
(
)
Ejemplo: Hallar la ecuaci贸n de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r=4 Soluci贸n:
(
)
(
)
Ecuaciรณn Canรณnica de la Circunferencia:
Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuaciรณn para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".
Ejemplo: Hallar la ecuaciรณn de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r=3 Soluciรณn:
Ecuación General de la Circunferencia Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:
Prueba:
(
)
(⏟
(
)
)
(⏟
)
(
)
Ejemplo:
Hallar la ecuaci贸n general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r =4
( (
) )
(
) (
)
D = -4 , E = -12 , F = +24
Observaciones:
Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:
(
√
(
)
(
)
)
Problemas Resueltos
De acuerdo al gráfico determinar: 1.- Ecuación Ordinaria de la circunferencia con centro en A. 2.- Ecuación General de la circunferencia con centro en B. 3.- Ecuación Canónica de la circunferencia que pasa por el punto D. 4.-Distancia entre los centros de A y B. 5.- Distancia entre G e H. 6.- Distancia entre I y J. 7.- Ecuación General de la circunferencia con centro en D y que pase por E.
SOLUCION
(
) √(
) (
√(( √ ( ( (
) ( )
(
=√
=5 )
( (
)
))
( ))
(
) )
(
))
√(
)
(
√(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=√
√
)
( ) ( )
)
=6
(
)
(
)
Ecuación Canónica de la circunferencia que pasa por el punto D
√((
√(
√
)
)
((
)
(
√
)
)
)
Distancia entre los centros de A y B
√(
(
))
√( ) √
(
( ) √
)
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
El radio de la circunferencia con centro A es:
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Sumando ambos radios tenemos:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ (
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅)
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅( )
Además se sabe que
̅̅̅̅̅
(
̅̅̅̅
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
) ) ̅̅̅̅̅
(
)
Reemplazando en (1)
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ (
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅)
̅̅̅̅̅
Distancia entre I y J EL radio de la circunferencia con radio en C es:
̅̅̅ El radio de la circunferencia con radio en B es:
̅̅̅ La distancia entre C y B es:
̅̅̅̅
√(
̅̅̅̅
√( )
̅̅̅̅
√
)
(
(
) √
Del grafico se ve que:
̅̅̅
)
̅
̅̅̅
̅ ̅
̅̅̅̅
Ecuación General de la circunferencia con centro en D y que pase por E El radio de la circunferencia es:
√(
(
))
√
(
√
Además se sabe que:
(
)
(
(
)
(
)
)
Reemplazando en la E. G.:
√
( ))
Caracterización de la ecuación general de la circunferencia
La ecuación de la circunferencia de centro el punto C (a,b) y su radio es: ( ) ( )
Si en esta ecuación eliminamos los paréntesis y pasamos todos los términos al primer miembro, tendremos:
que ordenada sería:
Llamando:
La v ecuación quedaría expresada de la forma:
Características
No existe término en Los coeficientes de Si entonces
Si
Si
entonces
son iguales. -
entonces r= Raíz cuadrada (
)
La condici贸n necesaria, por tanto, para que una ecuaci贸n dada represente una circunferencia es que:
Ejemplo: Determine la ecuaci贸n de la circunferencia con centro en: ( ( (
) )
) (
( [
)
( (
) )] )
1. Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:
(
2.
(
)
)
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de las rectas:
y su radio es igual a 5.
(
)
( (
)
)
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3,1) y es tangente de la recta: 3x – 4y + 5 = 0.
( (
) )
√
(
)
Aplicaciones prácticas
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar. Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal. También en los CD’S, piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un orificio redondo que sirve para tomar el Cd y para que la radio lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro.
Algunos links para consultar el tema: http://exordio.qfb.umich.mx/archivos%20PDF%20de%20trabajo%2 0UMSNH/Aphilosofia/Mate/circunferencia.pdf http://www.vadenumeros.es/primero/conicas-circunferencia-y-elipse.htm http://www.vitutor.com/geo/coni/f_e.html
Sigue informándote!! :D
Ecuación de la circunferencia a partir de 3 condiciones Tomemos como ejemplo: Si nos dan x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 Pasos: Lo primero que tenemos que hacer es encontrar el centro y el radio De la siguiente manera
C(1,2)
A continuación hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3)
Si sustituimos “x” e “y” en la ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema e Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo debemos calcular el centro y el radio.
A=-3
B=-3
C=2
A continuaci贸n se mostraran los siguientes pasos 1)
los coeficientes de x 2 e y 2 son distintos a la unidad, lo dividimos por 4:
2) No tiene t茅rmino en xy. 3)
Ya que se cumplen las tres condiciones, es una circunferencia. (
)
(
)
(
)
(
)
r=2
Ejemplo:
Calcula la ecuaci贸n de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas (
(
) (
)
)
(
)
RECUERDA: que la CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos de un plano que se hallan de un punto fijo llamado CENTRO.
DETERMINACION DE UNA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También se podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro puntos, llamado RADIO.
Estas propiedades es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).
Entonces para desarrollarnos en el tema de la Geométrica analítica, en el plano cartesiano. Se dice que para cualquier punto P(x, y) de una circunferencia cuyo centro es el punto C(a, b) y con radio r- la ecuación ordinaria es: (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 ¿Qué quiere decir esto? Significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano cartesiano y con el radio definido lo podemos “ver” como gráfico y también lo podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática. Así la vemos
Así podemos expresarla Dónde: (d) Distancia CP = r Y √(
)
(
)
Fórmula que elevada al cuadrado nos da (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 También se usa como (x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2
RECORDEMOS que en esta fórmula la x y la ysiempre serán la coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, y equidistante del centre de un (r). Y que la a y la b (o la h y la k según se usen) corresponden a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b). Importante: Cuadrado del binomio: debemos de recordar el cuadrado del binomio porque es muy importante para lo que viene a continuación. El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b)2 se resuelve de la forma (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma a2 ─ 2ab + b2.
Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en forma matemática representa una circunferencia).
Ecuación general de la recta: Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos: x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0 Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones: ─ 2a = D, ─ 2b = E, a2 + b2 ─ r2 = F la ecuación quedaría expresada de la forma: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo: No existe término en xy Los coeficientes de x2 e y2 son iguales. Si D = ─ 2a
entonces
Si E = ─ 2b
entonces
Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces
√(
)
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que: a2 + b2 ─ F > 0 (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)
Nota: Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen: ─ 2a = A, ─ 2b = B, a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Recapitulación Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2. (
)
(
)
Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
(
)

Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias: 1)
(
)
2)
(
(
)
(
)
√
)
No es una circunferencia real: 3)
Dividiendo por 4:
( ( )
(
)
)
4) 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0
(

)
Hallar la ecuaciĂłn de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0. ( (
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Posiciones Relativas De una recta y una circunferencia
Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, tangentes y secantes en función de como sea la distancia d del centro de la circunferencia a la recta con respecto al radio R de la circunferencia.
Las posiciones relativas de una recta y una circunferencia :
+
=
.
Es determinada investigando el número de soluciones del sistema:
(
)
(
)
Aplicando el método de sustitución, la ecuación de la circunferencia se reduce a una ecuación de segundo grado con una variable o incógnita. Por tanto la discriminante de esa ecuación de segundo grado define el número de soluciones del sistema y por lo tanto, la posición de la recta y la circunferencia.
EJEMPLOS 1. La recta la circunferencia son exteriores pues sustituyendo la ecuación de la recta en la circunferencia se tiene: ( )
2. La recta L: y la circunferencia , son secantes pues, sustituyendo “Y” de la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia, se tiene:
(
OBSERVACIÓN
)
(
)
(
)(
)
La posición relativa de una recta dada, y L: una circunferencia ( ) ( ) puede ser determinada más fácilmente, comparando la distancia entre el centro C y la recta L, con el radio “r”. Son Posibles 3 casos: Primer Caso, Segundo Caso y Tercer Caso.
EJEMPLOS 1. ¿Cuál es la posición de la recta circunferencia definida por
y la ?
Solución: Puesto que necesitamos las coordenadas del centro C(h, k) y el radio “r” de la circunferencia, las obtenemos de la ecuación: siendo estas : h-0; k-0; r-3; reemplazando en una De las anteriores fórmulas se tiene:
¿Cuál es la posición de la recta L: circunferencia?
en relación a la
Solución: Resolvemos el problema de dos métodos diferentes: 1er método: De la ecuación de la recta despejamos x, así: en la ecuación de la circunferencia propuesta:
De donde:
Entonces el discriminante de la ecuación es:
y sustituimos
Por tanto: La recta es secante a la circunferencia. 2do MĂŠtodo: Completamos Cuadrados en la ecuaciĂłn de la circunferencia, para expresarla en la forma:
AsĂ tenemos: De donde:C= Y en este mismo, el radio.
R= Y la distancia del centro de la recta es:
d= Como radio
<d=
= 4.4 entonces, la recta es secante a la circunferencia.
ULTIMO EJEMPLO 2. Determinar K de modo que la recta L:
sea
exterior de la circunferencia Solución: Expresamos la ecuación de la circunferencia en su forma reducida: (1, 1) y radio R = 1
+
= 1 por lo tanto el centro C =
Para que la recta L sea exterior a la circunferencia, deberá cumplir:
d= Luego:
d= Esto es: > 25
+ 2k - 24 > 0
K<-6óK>4 Es decir: K
=R-
“Logicwillgetyoufrom A to B. Imaginationwilltakeyoueverywhere.” A. E.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia en el plano
Una circunferencia es el lugar geomĂŠtrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.
Dada una circunferencia y una recta sobre el mismo plano, los puntos del plano al que pertenece la circunferencia pueden ser: * Interiores * De la circunferencia * Exteriores
ď&#x192;ź Interiores: Un punto es interior a una circunferencia si su distancia al centro es menor que el radio.
ď&#x192;ź De la circunferencia: Un punto pertenece a la circunferencia si su distancia al centro es igual al radio.
ď&#x192;ź Exteriores: Un punto es exterior a una circunferencia si su distancia al centro es mayor que el radio. Un punto es interior a una circunferencia si su distancia al centro es menor que el radio.
Dada una circunferencia y una recta sobre el mismo plano, se pueden representar los siguientes casos: * La recta no se intercepta con la circunferencia. * La recta se intercepta con la circunferencia en un solo punto. Es Decir, la recta es tangente a la circunferencia. * La recta se intercepta con la circunferencia en dos puntos. Es decir, la recta es secante a la circunferencia.
LA RECTA NO SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA
Una recta es exterior a una circunferencia cuando la intersecci贸n con la misma es nula.
LA RECTA SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA EN UN SOLO PUNTO
Una recta es tangente a una circunferencia cuando comparten un único punto. Es decir, una recta es tangente si toca a la circunferencia en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro. Para hallar los puntos comunes a una circunferencia y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas. En general se obtiene una ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante, Si Δ = 0 Una solución: entonces la recta y la circunferencia son tangentes.
LA RECTA SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA EN DOS PUNTOS
Una recta es secante a una circunferencia cuando la corta en dos puntos. Es decirla recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero. La recta adquiere el nombre de recta tangente.
Dados los puntos de intersecci贸n A y B puede calcularse la ecuaci贸n de la recta secante. Para ello en matem谩ticas se emplea la ecuaci贸n de la recta que pasa por dos puntos:
Aquí va una aplicación muy clara de este tema. Si quisiéramos ver a la recta secante aplicada a nuestra vida cotidiana, podríamos encontrarla en algo tan común como la comida. Ejemplo claro de lo anterior son las brochetas de fruta. El pincho corta o atraviesa en dos puntos a cada fruta para formar la brocheta, creando así una recta secante a las “circunferencias frutales”.
EJERCICIO RESUELTO
Determinar en cada caso, los puntos de intersección de la circunferencia con la recta e indicar si la recta es secante o tangente.
a. b. c.
SOLUCIÓN
a. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la recta se Resuelve el siguiente sistema. (1) (2) Se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación (1) ( ) ( ) Por tanto, Se divide la ecuación entre 2. )( ) De donde ( Luego, Para se tiene que Para se tiene que Por tanto, los puntos de intersección de la circunferencia con la recta son (7,-3) y (2,2). Así la recta es secante a la circunferencia.
b. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la recta se resuelve el siguiente sistema. (1) (2) Para resolverlo, se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación (1) ( ) , por tanto, Para este valor de y, se cumple que
( )
La recta se intercepta con la circunferencia solamente en el punto (-3,5). Por tanto es tangente.
c. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la recta se resuelve el siguiente sistema. (1) (2) Para resolverlo, se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación (1) y se obtiene Se aplica la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas y se obtiene √
√
Lo cual significa que el sistema no tiene solución real, por tanto, la recta no se intercepta con la circunferencia.
EJERCICIOS
Determinar la posición relativa entre la recta y la recta y la circunferencia dada.
1. 2. 3. (
)
4. (
)
5.
(
)
Posición Relativa de 2 circunferencias en el plano
Interiores: Hay dos tipos de circunferencias interiores en el plano y son:
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Ejemplo:
Concéntricas:
-
Las circunferencias concéntricas son las que tienen un mismo centro. Los centros coinciden. No tienen ningún punto común. La distancia entre los centros de la circunferencia es cero.
Ejemplo:
Tangentes:
En un mismo plano las posiciones relativas de un punto y de una recta respecto a una circunferencia estรกn determinadas por sus respectivas distancias al centro de la circunferencia.
Sea d la distancia de un punto P al centro de una circunferencia de centro O y de radio r en un mismo plano
Si d > r , P es exterior a la circunferencia. Si d = r , P estรก en la circunferencia. Si d < r , P es interior a la circunferencia.
Ejemplos:
Si una recta l y una circunferencia (O, r) son coplanares y ademรกs d es la distancia:
De la recta al centro O, entonces, de la figura 18.5, obtenemos: a. Si d > r, la recta l es exterior a la circunferencia. b. Si d = r, la recta l es tangente a la circunferencia.
Si dos circunferencias 1 1 1 C (O , r ) y 2 2 2 C (O , r ) estĂĄn en el mismo plano, las posiciones relativas entre ellas pueden relacionarse con la distancia d entre sus centros de la siguiente manera:
a.Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es mayor quela suma de sus radios C y 2 C son exteriores 1 2 d = d (O ,O ) 12d>r+r b. Dos circunferencias son tangentes exteriores si son tangentes a la misma recta en el mismo punto (su IntersecciĂłn es un punto).
Si la distancia entre los centros 1 2 d = r â&#x2C6;&#x2019; r , las dos circunferencias son tangentes interiores. Si la distancia entre los centros 1 2 d = r + r , las dos circunferencias son tangentes exteriores
Secantes:
La posici贸n relativa entre dos circunferencias viene determinada por la distancia entre sus centros (d) y el valor de sus radios R y R'. (La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios).
En este link se pueden encontrar varios ejemplos sobre la circunferencia en posici贸n relativa en el plano -
Exteriores Interiores Conc茅ntricas Tangentes Secantes
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/ circunejer.htm
Aprende MAS!!! :D